אינפי 1מ ־ תרגיל בית 1
אביב תשפ"ב
שאלה :1
א .הוכיחו כי 3
√
הוא אי־רציונלי.
√
ב .הוכיחו כי 6הוא אי־רציונלי.
√
√
ג .הוכיחו כי 2 + 3הוא אי־רציונלי.
שאלה :2
א .פתרו את אי־השיוויון הבא ,כלומר מצאו את כל המספרים הממשיים עבורם הוא מתקיים:
|2|x − 1
x
ב .הוכיחו כי אם |x − 5| < 1אז | < 1
2 −12x+35
x−9
< |3 + |x − 9
.| x
שאלה :3
הוכיחו באינדוקציה:
א .לכל קבוצת איברים סופית ולא ריקה יש איבר מקסימלי ואיבר מינימלי.
ב .נגדיר קבוצה אינסופית של מספרים
√
a1 , a2 , a3 , ...באופן הבא= an + 6 ,a1 = 4 :
הוכיחו:
.an+1
– an > 3לכל nטבעי.
– an+1 ≤ anלכל nטבעי.
שאלה :4
תהא A ⊂ Rקבוצה לא ריקה חסומה מלעיל .נסמן . s = sup A
הוכיחו שקיימת קבוצה B ⊂ Qכך ש־ . s = sup B
1
שאלות לתרגול נוסף
שאלה :5
הוכיחו באינדוקציה שלכל nטבעי מתקיים:
s
r
q
π
√
2 + 2 + . . . 2 = 2 cos n+1
2
)שימו לב :באגף שמאל יש nשורשים(
= An
2+
שאלה :6
תהיינה Aו־ Bקבוצות לא ריקות של מספרים ממשיים .הוכיחו או הפריכו:
א .נתון ש־ Aקבוצה חסומה מלעיל ומתקיים .B ⊂ A
אז Bחסומה מלעיל ומתקיים .sup B ≤ sup A
ב .נניח שלכל אחת מהקבוצות Aו־ Bיש מקסימום ומתקיים ∅ ≠ ) A ∩ Bכלומר ,החיתוך בין הקבוצות
אינו קבוצה ריקה(.
אז לקבוצה A ∩ Bיש מקסימום.
ג .נניח שקבוצה Aחסומה מלעיל .נגדיר קבוצה −Aבאופן הבא .−A = {−x|x ∈ A} :אז −A
חסומה מלרע ו־ .inf(−A) = − sup A
הערה :בשאלות ′′הוכיחו או הפריכו ′′עליכם לקבוע האם הטענה הנתונה בכל סעיף נכונה או לא .במידה
וכן ,עליכם להוכיח זאת .במידה ולא ,תנו דוגמא נגדית מנומקת היטב המראה שהטענה איננה נכונה.
שאלה 7־אתגר:
הוכיחו את אי שוויון הממוצעים עבור nכללי ,על פי השלבים הבאים:
א .יהיו .a ≤ 1 ≤ bהוכיחו כי .a + b ≥ 1 + abמתי מתקיים השוויון?
ב .יהיו x1 , x2 , ..., xnמספרים חיוביים כך ש־ .x1 · x2 · ... · xn = 1הוכיחו כי x1 + x2 + ... + xn ≥ n
והשוויון מתקיים אם ורק אם .x1 = x2 = ... = xn = 1
ג .יהיו a1 , a2 , ...anמספרים חיוביים .הוכיחו כי
a1 + a2 + ... + an
n
והשוויון מתקיים אם ורק אם .a1 = a2 = ... = an
2
≤ a1 a2 ...an
√
n
