МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ (МНК)
СОДЕРЖАНИЕ
1.
2.
3.
4.
Титульный слайд
Содержание
Заключение
Список литературы
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ (МНК)
• математический метод,
применяемый для решения
различных задач, основанный на
минимизации суммы квадратов
отклонений некоторых функций от
экспериментальных входных
данных.
•
МЕТОД
НАИМЕНЬШИХ
КВАДРАТОВ
Это один из методов регрессионного
анализа для оценки неизвестных величин
по результатам измерений, содержащих
случайные ошибки.
Метод наименьших квадратов
применяется также для приближенного
представления заданной функции
другими (более простыми) функциями и
часто оказывается полезным при
обработке наблюдений.
ОСНОВНОЙ ПРИНЦИП МЕТОДА
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
• При замене точного
(неизвестного) параметра модели
приблизительным значением
необходимо минимизировать
разницу между
экспериментальными данными и
теоретическими (вычисленными
при помощи предложенной
модели).
ВЫЧИСЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ
ФУНКЦИИ. МЕТОД
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
• Нужно подобрать параметры функции
(a, b, c и пр.) так, чтобы функция
располагалась как можно ближе к
экспериментальным точка.
• Искомая функция должна быть
построена так, чтобы сумма квадратов
отклонений y-координат всех
экспериментальных точек от yкоординат графика функции была
минимальной.
• R2 – коэффициент
детерминированности.
0<R2 <1. R2
=1 – удачная регр. модель, R2 =0 –
неудачная регр. модель.
ПРИМЕР.
ЗАВИСИМОСТЬ ЗАБОЛЕВАЕМЫХ АСТМОЙ ОТ
КОНЦЕНТРАЦИИ УГАРНОГО ГАЗА.
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ.
Р,бол./тыс
2
19
2,5
20
2,9
32
3,2
34
3,6
51
3,9
55
4,2
90
4,6
108
5
171
180
Хронических
больных на тыс.
жителей
C, мг/м^3
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
Концентрация угарного газа (мг/куб.м)
6
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ
ФУНКЦИЯ (ТРЕНД).
Хронических
больных на тыс.
жителей
180
y = 3,4302e0,7555x
2
R = 0,9716
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
Концентрация угарного газа (мг/куб.м)
6
Хронических больных
на тыс. жителей
КВАДРАТИЧНАЯ
ФУНКЦИЯ (ТРЕНД)
y = 21,845x2 - 106,97x + 150,21
R2 = 0,9768
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
Концентрация угарного газа (мг/куб.м)
6
Хронических больных
на тыс. жителей
ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ (ТРЕНД)
180
160
140
y = 46,361x - 99,881
2
R = 0,8304
120
100
80
60
40
20
0
-20 0
1
2
3
4
5
Концентрация угарного газа (мг/куб.м)
6
ВЫВОДЫ:
Метод наименьших квадратов, а также его
различные модификации широко
используется в аналитической химии, в
частности, при построении
градуировочной модели.
В рамках метода наименьших квадратов
минимизируется величина сумма
квадратов отклонений действительных
(экспериментальных) значений от
теоретических.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
•Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической
теории обработки наблюдений. — 2-е изд. — М., 1962. (математическая теория)
•Айвазян С. А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Том 2. — М.: ЮнитиДана, 2001. — 432 с.
•Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, 1999. —
402 с.
•Кремер Н. Ш., Путко Б. А. Эконометрика. — М.: Юнити-Дана, 2003—2004. —
311 с.
•Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. —
М.: Дело, 2007. — 504 с.
•Эконометрика. Учебник / Под ред. Елисеевой И. И. — 2-е изд. — М.: Финансы и
статистика, 2006. — 576 с.