CAP 1 GEOMETRÍA ANALÍTICA
1.1. Sistema Coordenado en el plano, distancia entre dos puntos, razón, pendiente
y ángulo entre dos rectas
1.2. Ecuación de la recta: Punto pendiente, dos puntos, forma general, paralelismo
y perpendicularidad
1.3. Traslación de ejes
1.4. Ecuación de las cónicas: Forma ordinaria y forma general
CÁLCULO DIFERENCIAL
1.1. Sistema Coordenado en el plano, distancia entre dos
puntos, razón, pendiente y ángulo entre dos rectas
Plano Cartesiano
El plano cartesiano son dos rectas perpendiculares, cuyo punto de intersección de
denomina origen. La recta horizontal recibe el nombre de eje de las X o de las
abscisas y el eje vertical recibe el nombre de eje Y o eje de las ordenadas
CÁLCULO DIFERENCIAL
Geometría Analítica Bidimensional
Localiza en el plano cartesiano los siguientes puntos y únelos
1. A  3, 1 yB  4,3
2. A  0, 2  yB  3, 0 
111
CÁLCULO DIFERENCIAL
Distancia entre dos puntos
Dados
P1  x1 , y1  ; yP2  x2 , y2 
puntos del plano, la distancia que existe
entre ellos se denomina de la siguiente forma:
P2 (x2, y2)
y2
d
y2 - y1
d 2   x2  x1    y2  y1 
2
y1
O
CÁLCULO DIFERENCIAL
P1
Q
(x1, y1)
x1
2
d
x2 - x1
x2
 x2  x1    y2  y1 
2
2
Distancia entre dos puntos
Encuentra la distancia de los siguientes puntos:
A  2, 7  ; B  6, 1
d AB 
 6   2      1    7  
d AB  64  36
d AB  10
CÁLCULO DIFERENCIAL
2
 1
4

A  3,  ; B  , 1 
 2
3

2
2
d AB 
1
4



3


1





2
3


d AB 

d AB 
21
6
5 9

3 4
2
Distancia entre dos puntos
Demostrar que el triángulo ABC formado por los puntos A(-1,-3); B(6,1);
C(2,-5) es rectángulo
La distancia entre dos puntos es 34. Si uno de los extremos tiene
coordenadas A(1,3) y la abscisa del punto B es la mitad de la ordenada,
determina las coordenadas del extremo B
CÁLCULO DIFERENCIAL
División de un segmento en una razón dada
Sean P1  x1 , y1  ; y P2  x2 , y2  los segmentos de extremo de una recta
entonces la razón en que el punto P  x, y  que divide al segmento P1 P2
en dos partes proporcionales se define como:
B (x2, y2)
Y
P (x, y)
E (x2, y)
A (x1, y1)
C (x, y1)
D (x2, y1)
X
O
CÁLCULO DIFERENCIAL
AP
AC

PB
CD
x  x1
AP
r 
PB
x2  x
r 
x  x1
x2  x
r ( x2  x )  x  x1
rx2  x1  x  rx
r 
x  x1
x2  x
División de un segmento en una razón dada
r
P  P1
P2  P
Determina la razón
recta de extremos P1 yP2
1.P1  0, 2  ; P2  2, 4  yP  2, 0 
20
2  2
2
r
4
1
r
2
r
CÁLCULO DIFERENCIAL
en el que el punto P divide al segmento de
2.P1  1, 4  ; P2  0,3 yP  3, 0 
3  (1)
03
4
r
3
r
3.P1 (3, 4); P2 (0, 2) yP(2, 2)
23
02
1
r
2
r
División de un segmento en una recta dada
r
P1 , P2
P1 P
PP2
Dados los extremos P1 , P2 y la razón
encuentra las
coordenadas del punto P1P2 de división P del segmento x  x  rx
1
2
1 r
P1  4,1 ; P2  5, 2  y r  2
x
4   2  5 
1   2 
x6
CÁLCULO DIFERENCIAL
8.P1  0,5  ; P2  6, 1 y r  5
x
0  5 6
1 5
30
x
6
x5
P1  2,3 ; P2  4,5  y r 
2
3
2
2  4  
3
x
2
1
3
2
2
x 3
x
5
5
3
Punto medio de un segmento de recta
Punto medio de un segmento de recta con extremos P1 ( x1 , y1 ) yP2 ( x2 , y2 ) es
aquel punto Pm ( xm , ym ) que lo divide en dos segmentos iguales.
Si el punto Pm  P divide a P1 P2 en dos segmentos de recta iguales, entonces:
P1 P  PP2
r
P1 P PP2

1
PP2 PP2
Por lo tanto, las coordenadas del punto medio son:
 x  x y  y2 
Pm  1 2 , 1

2
2


CÁLCULO DIFERENCIAL
Punto medio de un segmento de recta
Determina las coordenadas del punto medio de los segmentos de recta
definidos por los puntos:
P1  3, 5  ; P2  2, 1
x1  3, x2  2, y1  5, y2  1
3 2
2
5
xm 
2
5 1
ym 
2
ym  2
xm 
CÁLCULO DIFERENCIAL
P1  0, 4  ; P2  3, 7 
x1  0, x2  3, y1  4, y2  7
03 3
xm 

2
2
4  7 11
ym 

2
2
P1  1,3 ; P2  9,11
x1  1, x2  9, y1  3, y2  11
1  9
4
2
3  11
ym 
7
2
xm 
Pendiente de una recta
Definiciónes
Inclinación de una recta. Es el ángulo que una recta forma con el eje X positivo, el
cual se representa con el símbolo θ, este ángulo se mide a partir del eje X y
girando en sentido opuesto a las manecillas del reloj.
Pendiente de una recta. Se define como la tangente del ángulo de inclinación que
tiene una recta y se representa con la letra m.
CÁLCULO DIFERENCIAL
La pendiente de una recta
Pendiente.- Inclinación, o una desviación de la horizontal.
Elevación
B (x2, y2)
A (x1, y1)
m = Pendiente de AB =
Recorrido
Elevación = y2 – y1
Recorrido
y2  y1
tan   
x2  x1
CÁLCULO DIFERENCIAL
Elevación
Recorrido = x2 – x1
tan    m
y2  y1
m
x2  x1
Pendiente de una recta
Teorema
Si la pendiente (m) es mayor que 0 se dice que la pendiente es positiva, si la
pendiente es menor que 0 se dice que la pendiente es negativa, si la pendiente
es igual a 0 la recta es paralela al eje (x) del plano cartesiano, y si la pendiente es
indefinida la recta es paralela al eje (y) del plano cartesiano
CÁLCULO DIFERENCIAL
Líneas de diversas pendientes.
Y
m = -3
m=3
m = 3/2
m = -1/2
m = 1/2
m=0
O
CÁLCULO DIFERENCIAL
X
Pendiente de una recta
Ejemplo
Determina la pendiente de los siguientes pares de puntos:
A(-3;5), B(2;7)
P2 (2;7)
)21,80
P1 (3;5)
CÁLCULO DIFERENCIAL
y2  y1
m
x2  x1
75
2
2
m


2  (3) 2  3 5
2
m
5
2
tan B  m
5
1  2 
tan  
5
B  21,80
Pendiente de una recta
Ejemplo 3
Determina la pendiente de los siguientes pares de puntos:
A(-1;2), B(4;-5)
y2  y1
m
x2  x1
P1 (1; 2)
54, 46 (
CÁLCULO DIFERENCIAL
5  2
7
7
m


4  (1) 4  1
5
7
m
5
P2 (4; 5)
7
tan B  m 
5
 7
tan 1   
 5
B  54.46
Condición de Paralelismo
Paralelismo
Dos rectas son paralelas si sus ángulos de inclinación son iguales y, por lo tanto
sus pendientes pendientes también.
m1 = m2
CÁLCULO DIFERENCIAL
Condición de Perpendicularidad
Perpendicularidad
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.
m1*m2 = -1
Por lo tanto
1
m1  
m2
CÁLCULO DIFERENCIAL
1
m2  
m1
Condición de Paralelismo
Ejemplo 1
Averigua si la recta 1 que pasa por los puntos A(3, -1) y B(-6, 5) es paralela o
perpendicular a la recta 2 que pasa por los puntos C(0, 2) y D(-2, 1).
mAB
y y
 2 1
x2  x1
5  (1) 5  1 6 2

 
6  3 9
9 3
2
mAB  
3
mAB 
CÁLCULO DIFERENCIAL
mCD
y2  y1

x2  x1
1  2 1 1
 
2  0 2 2
1
mCD  
2
 2  1 1
   
 3  2 3
mCD 
Son Perpendiculares
Condición de Paralelismo
Ejemplo 1
Comprueba por medio de pendientes que los punto s A(1, 3), B(2, 6), C(7, 8) y
D(6, 5) son vértices de un paralelogramo.
y2  y1
m
x2  x1
C
B
D
A
CÁLCULO DIFERENCIAL
63 3
mAB 
 3
2 1 1
mCD 
5  8 3
 3
6  7 1
mBC 
86 2

72 5
mAD 
53 2

6 1 5
Los lados opuestos son
paralelos y de igual
pendiente.
Condición de Perpendicularidad
Ejemplo 2
Una reta 1 pasa por los puntos (-2, -1) y (2, 3), y otra recta 2 pasa por el punto
(-1, 2) y el punto A, cuya ordenada es -4. determine la abscisa del punto A
cuando 1 es perpendicular a 2 .
y2  y1
m
 6 
m
m

(1)
x2  x1
1 2


3  (1) 3  1 4
m1 

 1
2  (2) 2  2 4
2  (4) 2  4 6
m2 


x 1 x 1 x 1
CÁLCULO DIFERENCIAL
 x 1 
(x  1)(1)  6
x 1  6
x  6 1
x5
Ángulos entre 2 rectas
Definición
El ángulo entre dos rectas y del espacio es el menor ángulo entre las rectas que se obtienen al proyectar y en
un mismo plano paralelo a ambas rectas. Las rectas se proyectan en un mismo plano porque, en general, no
tienen porque encontrarse en un mismo plano ( no tienen porque ser coplanarias ).
Teorema
Se debe tomar en cuenta que los ángulos se mide en sentido contrario a las manecillas de reloj ; en la recta que
inicia el ángulo, será la pendiente inicial, y en la recta que termine, la pendiente final.
Ángulos entre 2 rectas
Ejemplo 1
Determina la medida del ángulo agudo que forman las rectas con pendiente 1 y
3
4 1
17
 

m2  m1
255 17
5
3
15
tan  




11
1  m1m2
165 11
 1  4 
1     
 3  5  15
17
tan  
11
1  17 
  tan    57.09
 11 
57.09  0  180
0  180  57.09
0  122,91

4
5
Ángulos entre 2 rectas
Ejemplo 2
Se obtiene dos rectas 1 y 2 que contiene los puntos A(-1, 4), B(-4, 0), C(-3, 3)
y B(2, 1) respectivamente. Encuentre el ángulo que forman cuando estas se
cortan.
B
A
mAB 
C
B
  105.07
D
04
4 4 4

 
4  (1) 4  1 3 3
mCD 
1 3
2 2 2

 
2  (3) 2  3 5
5
2 4
26
 

m  m1
390 26
5 3
tan   2

 15 

7
1  m1m2
105 7
 4  2 
1     
15
 3  5 
26
7
 26 
  tan 1    74.93
 7 
tan  
74.93  0  180
0  180  74.93
0  105.07
1.2. Ecuación de la recta: Punto pendiente, dos puntos,
forma general, paralelismo
y perpendicularidad
La Recta
La línea recta es el lugar geométrico de los puntos del plano, de los cuales al
tomar dos cualesquiera, el valor de la pendiente m siempre es constante.
Ecuación de la Recta
Para determinar la ecuación de una recta en función de las condiciones dadas, se
emplean las siguientes ecuaciones según corresponda.
CÁLCULO DIFERENCIAL
Ecuaciones a emplear
Ecuación General
Se expresa de la siguiente manera:
Ax  By  C  0
Donde: A,B y C son constantes.
Ecuación Punto - Pendiente
Dado el punto
P1  x1 , y1  de la recta de pendiente m ,su ecuación es:
y  y1  m  x  x1 
CÁLCULO DIFERENCIAL
Ecuaciones a emplear
Ecuación de la Recata que pasa por dos Puntos
1  x1 , y1 
Dados los puntos P
y
P2  x2 , y2 
( y2  y1 )
y  y1 
 x  x1 
( x2  x1 )
CÁLCULO DIFERENCIAL
de la recta, su ecuación es:
La Recta
Ejemplo 1
¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto P1  2, 4  y tiene pendiente
3?
y  y1  m  x  x1 
y  4  3 x  2
y  4  3x  6
3 x  y  4  6  0
3 x  y  2  0
3x  y  2  0
CÁLCULO DIFERENCIAL
La Recta
Ejemplo 2
¿Cuál es la ecuación de la recta que es perpendicular al eje X y que se
encuentra a 5 unidades ala derecha del eje vertical ?
• Las rectas perpendiculares al eje x tienen ecuación de la forma 𝑥 = 𝑥1
donde 𝑥1 es la abscisa del punto de intersección de la recta con el eje
horizontal.
x5
x 5  0
CÁLCULO DIFERENCIAL
La Recta
Ejemplo 3
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 (1, 2) y P2 (2, 5)
y2  y1
y  y1 
 x  x1 
x2  x1
5  2
x   1 
y2

2   1
7
y  2    x  1
3
3  y  2   7  x  1
3 y  6  7 x  7
7x  3y  6  7  0
7x  3y 1  0
CÁLCULO DIFERENCIAL
La Recta
Ejemplo 4
Una recta que pasa por los puntos A  2,3 y B  2, 1 encuentra su
ecuación.
y y
y  y1 
2
1
x2  x1
 x  x1 
1  3
x   2  

2  2
4
y  3    x  2
0
y 3 
C
La pendiente de la recta es de la forma 0
(no esta definido) por consiguiente
es perpendicular al eje x y su ecuación es de la forma: x  x1
Por tanto su ecuación es:
CÁLCULO DIFERENCIAL
x  2
x20
La Recta
Ejemplo 5
Determina los vértices del triangulo cuyos lados están dados por las ecuaciones de
las rectas: 3 x  7 y  13  0
x  y 1  0
7 x  3 y  23  0
Sistema de ecuaciones para el vértice A: 3x  7 y  13  0
x  y 1  0
Punto de intersección: A(2,1)
Sistema de ecuaciones para el vértice B:
Punto de intersección: B (2, 3)
Sistema de ecuación par el vértice C:
Punto de intersección C: C (5, 4)
CÁLCULO DIFERENCIAL
x  y 1  0
7 x  3 y  23  0
3 x  7 y  13  0
7 x  3 y  23  0
La Recta
Ejemplo 6
Si se compra 20 pantalones el precio unitario de la prenda es de :$300 ,pero
si se compra 50 en toses el costo de cada pantalón es de $280 encuéntrala
ecuación de la demanda.
X : numero de pantalones
y:esl el precio de los pantalones
(20,30) y (50,280)
280  300
y  300 
 x  20 
50  20
2 x  3 y  940  0
CÁLCULO DIFERENCIAL
20
 x  20 
30
2
y  300    x  20 
3
y  300  
Formas de ecuación de la Recta
Ecuación de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen (forma
ordinaria o reducida)
Una vez que se conoce la pendiente de una recta y su ordenada la origen
(intersección con el eje y), se determina la siguiente ecuación.
y  mx  b
Donde, m: pendiente
b:ordenada al origen
Esta forma de la ecuación de la recta también
se conoce como la forma simplificada o reducida
CÁLCULO DIFERENCIAL
Ecuación de la recta en su forma pendiente-ordena al origen
Ejemplo 1
Encuentra la ecuación de la recta cuya intersección con el eje y es 4 y su
pendiente es -3.
y  mx  b
y  3 x  4
3x  y  4  0
CÁLCULO DIFERENCIAL
Ecuación de la recta en su forma pendiente-ordena al origen
Ejemplo 2
1
Determina la ecuación general de la recta que tiene pendiente y su
2
intersección con el eje es el punto (0,-5)
y  mx  b
1
y  x 5
2
2 y  x  10
x  2 y  10  0
CÁLCULO DIFERENCIAL
Formas de ecuación de la Recta
Transformación de la ecuación general a la forma ordinaria
Para transformar Ax  By  C  0 , ala forma y  mx  b , se procede de la siguiente
manera :
Ax  By  C  0
By   Ax  C
y
A
C
x
B
B
Esta ecuación es de la forma pendiente-ordenada la origen.
Si se compara con la ecuación y  mx  b se obtiene los valores de m y b, en
términos de los coeficientes de la ecuación general:
A
m
B
C
b
B
CÁLCULO DIFERENCIAL
Trasformación de la ecuación general ala forma ordinaria
Ejemplo 1
¿ Cual es la pendiente y la intercesión con el eje Y de la recta 4 x  5 y  12  0 ?
Despejo la variable y: 4 x  5 y  12  0
5 y  4 x  12
4
12
y
x
5
5
4
12
y  x
5
5
De esta ecuación se determina la pendiente y el punto de intersección con el eje
Y:
4
 12 
m
5
CÁLCULO DIFERENCIAL
 0, 
 5
Trasformación de la ecuación general ala forma ordinaria
Ejemplo 2
Trasformar ala forma simplificada la siguiente ecuación 3 x  5 y  7  0
A3
B5
C  7
A
C
y  x
B
B
3
7
y  x
5
5
3
7
y  x
5
5
CÁLCULO DIFERENCIAL
Trasformación de la ecuación general ala forma ordinaria
Ejemplo 3
Emplea la forma ordinaria de la ecuación de la recta y grafica la siguiente
recta. 2 x  3 y  9  0
Despejo la variable y:
2x  3y  9  0
3 y  2 x  9
2
y   x3
3
La ordenada la origen es b=3, significa que la recta corta al eje y 3 unidades por
encima del origen.
2
La pendiente m   3 ,significa que Y disminuye 2 unidades y X aumenta 3.
CÁLCULO DIFERENCIAL
Trasformación de la ecuación general ala forma ordinaria
Ejemplo 4
Grafica la recta de la ecuación
2y 5  0
Se expresa como: 0 x  2 y  5  0
A
C
y  x
B
B
0
5
y  x
2
2
La pendiente es 0 pero se expresa de manera equivalente como m 
graficar.
CÁLCULO DIFERENCIAL
0
para poder
2
Trasformación de la ecuación general ala forma ordinaria
Ejemplo 5
Determina la ecuación general de la recta que pasa por el punto
es perpendicular ala recta 3 x  2 y  6  0
3
y


x3
Despejo la variable y:
2
y  y1  m '( x  x1 )
2
( x  (5))
3
3( y  3)  2( x  5)
y 3 
3 y  9  2 x  10
2 x  3 y  9  10  0
2 x  3 y  19  0
3
m


La pendiente de la recta es :
2
3
Cumple la condición m*m’=-1 :  m '  1
2
CÁLCULO DIFERENCIAL
2 x  3 y  19  0
m
2  1
3

2
3
A(5,3) y
Formas de ecuación de la Recta
Ecuación de la Recta en su forma simétrica
Una recta cuyas intercesiones con los ejes X y Y son a y b con a  0 y b 0 se
representa por:
x b
 1
a b
Donde:
a:Abscisa la origen
(representada por la intersección con el eje x)
b:Ordenada al origen
(representada por la intersección con el eje y)
CÁLCULO DIFERENCIAL
1.3. Traslación de ejes
En todos los temas tratados en relación con la línea recta, y los que veremos con
respecto a la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola, se considerada el
sistema de coordenadas rectangulares. Sin embargo, con tendencia a simplificar
las ecuaciones, particularmente las curvas cónicas, se opta por trazar un nuevo
sistema rectangular determinado, si cambiamos los ejes de las coordenadas que
nos permita trabajar con las ecuaciones mas simples.
Este cambio es la translación paralela de los ejes, el cual es el desplazamiento
de uno o ambos ejes de un sistema de coordenadas rectangulares, de tal
manera que el origen quede en una nueva posición pero permaneciendo cada
eje paralelo a los ejes originales.
CÁLCULO DIFERENCIAL
Usaremos la Figura 1 para ver como se
pueden trasladar las ecuaciones de las
curvas de un sistema cartesiano x o y,
hasta ocupar una posición x´ ó y´ de
ejes paralelos a los primeros.
Designamos el nuevo origen por 0’(h,
k), referidos al sistema de coordenadas
x, y, por el punto 0´ trazamos rectas
paralelas al eje x y al eje y, las que
tomaremos como los nuevos ejes x´ y
y´. Todo punto P(x, y) en el sistema
original tendrá P´(x´, y´) referidos al
nuevo sistema de ejes.
CÁLCULO DIFERENCIAL
1.4. Ecuación de las cónicas: Forma
ordinaria y forma general
Circunferencia
Elipse
Parábola
Hipérbola
Ecuaciones de la circunferencia
Las formas de expresar la ecuación de una circunferencia son las siguientes:
Ecuación en su forma ordinaria
Ecuación de la circunferencia con centro en el punto C(h,k) y radio r.
( x  h)  ( y  k )  r
2
2
2
Ecuación en su forma general
Esta ecuación se obtiene al desarrollar los binomios e igualar a cero la ecuación
ordinaria.
Ax  Cy  Dx  Ey  F  0, conA  C
2
2
CÁLCULO DIFERENCIAL
Ecuación en su forma canónica
Si el centro de la circunferencia se encuentra en el origen, entonces su ecuación
es de la forma:
x2  y 2  r 2
Análisis de la ecuación de una circunferencia
- Si r es positivo la circunferencia es real.
- Si r es negativo la circunferencia es imaginaria.
- Si r es igual a cero entonces representa un punto.
CÁLCULO DIFERENCIAL
Ecuaciones de la circunferencia
Ejemplo 1
Una circunferencia tiene su centro en el origen y su radio es de 6 unidades. ¿Cual
es su ecuación en forma general?
y
x 2  y 2  62
r=6
0
x
x  y  36
2
2
x 2  y 2  36  0
CÁLCULO DIFERENCIAL
Ejemplo 2
Encuentra Ia ecuación general de Ia circunferencia con
centro en (2, - 3) Y radio 5.
y
( x  h) 2  ( y  k 9) 2  r 2
x
r=5
C=(2,-3)
( x  2) 2  ( y  (3)) 2  (5) 2
( x  2) 2  ( y  3) 2  25
x  4 x  4  y  6 y  9  25
2
2
x 2  y 2  4 x  6 y  12  0
CÁLCULO DIFERENCIAL
Ejemplo 3
Determinar la ecuación general de la circunferencia de centro en el punto (7,4) y que pasa por el punto (-5,1).
( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2
r=13
( x  7)  ( y  (4))  (13)
2
2
2
( x  7) 2  ( y  4) 2  169
c=(7,-4)
x  14 x  49  y  8 y  16  169  0
2
2
x 2  y 2  14 x  8 y  104  0
CÁLCULO DIFERENCIAL
Transformación de la ecuación general a la forma ordinaria
Sea la ecuación de la circunferencia Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  0 ,en su forma
general y A=C , entonces para hallar el centro y el radio se sigue los siguientes
pasos:
Ax 2  Ay 2  Dx  Ey  F  0
-Se divide la ecuación entre A.
D
E
F
x y 
A
A
A
-Se agrupan los términos de x y y, el termino
D
E
F
independiente se pasa al segundo miembro.
x2  x  y 2  y  
A
A
A
2
2
D
D
E
E
D
E
F -Se completa el trinomio cuadrado perfecto.
x2  x  2  y 2  y  2 


A
4A
A
4A
4 A2 4 A2 A
x2  y 2 
D 
E 
D 2  E 2  4 AF

x   y
 
A 
2A 
4 A2

2
CÁLCULO DIFERENCIAL
2
-Se factoriza.
Ahora, al comparar la ecuación con su forma ordinaria se obtiene:
E 
1
 D
2
2
centro   
,
D  E  4 AF
 y el radio 
2A
 2A 2A 
Lo anterior indica que para transformar la ecuación general a la forma
ordinaria se utilizan los siguientes métodos:
-formula
-completando el trinomio cuadrado perfecto
Con los cuales se encuentra las coordenadas del centro y la longitud del
radio de una circunferencia
CÁLCULO DIFERENCIAL
Transformación de la ecuación general a la forma ordinaria
Ejemplo 1
Emplea las formulas para obtener el centro y el radio de la circunfencia
cuya ecuación es: x 2  y 2  4 x  6 y  6  0
Solución:
se determinan los valores de A, D, E y F.
A=1, D=4, E=-6 y F=6
Éstos se sustituye en las fórmulas:
 4
(6) 
centro   
.
 (2,3)

 2(1) 2(1) 
1
1
2
2
radio 
(4)  (6)  4(1)(6) 
28  7
2(1)
2
Se concluye que el centro es el punto
CÁLCULO DIFERENCIAL
(2,3)
y el radio
7.
Ejemplo 2
Para la circunferencia cuya ecuación es:
x 2  y 2  6 x  8 y  11  0
Determina completando los trinomios cuadrados perfectos el centro y el radio.
Traslación de ejes
x 2  y 2  6 x  8 y  11  0
Se agrupan los términos en x y en y, el
( x  6 x)  ( y  8 y )  11
término independiente se pasa al segundo
miembro.
( x 2  6 x  (3) 2 )  ( y 2  8 y  (4) 2 )  11  (3) 2  (4) 2 Se complementan los trinomios cuadrados
perfectos.
2
2
( x  6 x  9)  ( y  8 y  16)  36
Se factoriza para obtener la forma
( x  3) 2  ( y  4) 2  62
ordinaria.
2
2
Resulta que las coordenadas del centro son C(3,-4) y el radio r=6.
CÁLCULO DIFERENCIAL
Ejemplo 3
Encuentra las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunfencia,
cuya ecuación es: 9 x 2  9 y 2  18 x  12 y  10  0
Solución:
9 x 2  9 y 2  18 x  12 y  10  0
9 x 2 9 y 2 18 x 12
10
Se entre nueve la ecuación.


 y 0
9
9
9
9
9
Se agrupan los términos de x y y y se pasa
4
10
al segundo miembro del ´término
2
2
x  y  2x  y   0
3
9
independiente.
4
4
10
4
x2  2x  1  y 2  y     1 
Se completa el trinomio cuadrado perfecto.
3
9
9
9
2
2 1

( x  1)   y   
3 3

2
Se factoriza y simplifica para obtener la ecuación
ordinaria.
2
1
3


Finalmente las coordenadas del centro son c  1,  y el radio r 
3 3
3

CÁLCULO DIFERENCIAL
Traslación de ejes
Desplazamiento de los ejes de un sistema de coordenadas rectangulares, de tal
manera que el nuevo sea el Punto O(h,k). La traslación se utiliza para eliminar
los términos lineales de la ecuación del segundo grado de la forma:
Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  0
Y
Formula que relacionan el sistema de coordenadas X´Y´ con el sistema XY.
Y´
………………………………
P(X,Y)
P(X´,Y´)
Y´
y ……………………………………………………
0
……………..
k ……………....
O´(h,k)
CÁLCULO DIFERENCIAL
X´
h
x
Ecuaciones de traslación:
x  x´ h
y  y´ k
X´
X
Traslación de un punto a un nuevo sistema de coordenadas
Ejemplo:
Si el origen se traslada al punto (1,1),¿Cuáles serán las coordenadas del punto (-3,6)?
Solución:
Se calculculan de x, y, h, k:
x  3, y  6, h  1, k  1
Los valores se sustituyen en la ecuaciones de traslación, para encontrar el valor de x´y y.
x  x´ h
y
Y´
y  y´ k
3  x´1
6  y´1
3  1  x´
6  1  y´
x´ 4
y´ 5
P(-3,6)
P(-4,5)
0
0
Por lo tanto las coordenadas del punto en el nuevo sistema son: (-4,5)
CÁLCULO DIFERENCIAL
X´
x
Elipse
Definición
Es un lugar geométrico que describe un punto del plano que se mueve de tal
manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es
constante.
B
P(x, y)
b
V’
(-a, 0)
F’
(-c, 0)
F
c
O
c
V
(a, 0)
(c, 0)
X
b
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 2𝑎
𝐶: 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜
𝑉1 𝑦 𝑉2 = 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠
𝐹1 𝑦 𝐹2 = 𝐹𝑜cos
𝐵1 𝑦 𝐵2 = 𝐸𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝑉1 𝑉2 = 2𝑎(𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
𝐹1 𝐹2 = 2𝑎(𝑒𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙
𝐵1 𝐵2 = 2𝑎(𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 = 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2 ; 𝑎 > 𝑏; 𝑎 > 𝑐
𝑎2 − 𝑐 2, 𝑐 = 𝑎2 − 𝑏2
2𝐵2
𝐿𝑅 =
(𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑎
𝑐
𝑒 = < 1 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑎
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 =
B’
x2
y2
+
a2
CÁLCULO DIFERENCIAL
=1
b2
Elipse
Ejemplo 1
Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuyas sumas de
distancia a los puntos fijos 𝐹1 (0,3 𝑦 𝐹2 (0, −3
𝑃𝐹1 =
𝑥2 + 𝑦 − 3
𝑥2 + 𝑦 − 3
2
2,
𝑃𝐹2 =
+
𝑥 2 + 𝑦(−3
𝑥2 + 𝑦 + 3
2
2
= 10
Se despeja un radical y se elevan ambos miembros de la igualdad al cuadrado:
𝑥2 + 𝑦 − 3
(
𝑥2
+ 𝑦−3
2
2
2
= 10 −
𝑥2 + 𝑦 + 3
= (10 −
𝑥2
2
2
𝑥 2 + (y − 3 2 = 100 − 20 𝑥 2 + 𝑦 + 3
2
+ 𝑥 2 + (y + 3
𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑦 + 9 = 100 − 20 𝑥 2 + 𝑦 + 3
2
+ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑦 + 9
20 𝑥 2 + 𝑦 + 3
5 𝑥2 + 𝑦 + 3
CÁLCULO DIFERENCIAL
+ 𝑦+3
2
2
2
= 100 + 12𝑦
= 25 + 3𝑦
2
Elipse
se elevan al cuadrado ambos miembros y se obtiene:
2
(5
+ 𝑦+3
= (25 + 3𝑦 2
25(𝑥 2 + 𝑦 2 + 6𝑦 + 9 = 625 + 150𝑦 + 9𝑦 2
25𝑦 2 + 16𝑦 2 = 400
𝑥2
2
Por lo tanto la ecuación de la curva es: 25𝑥 2 + 16𝑦 2 =, 400 la cual por
definición es una elipse
CÁLCULO DIFERENCIAL
Elipse
Elipse con centro en el origen:
Como 𝐶𝑉1 = 𝐶𝑉2 = 𝑎 entonces, 𝑉1 𝑉2 = 2𝑎, y 𝑉1 al ser un punto de la elipse ,
𝑉1 𝐹1 + 𝑉1 𝐹2 = 2𝑎, por tanto, la suma de las distancias de cualquier punto de la
elipse a los dos puntos fijos (focos) es igual a 2𝑎 como 𝐵1 es un punto de la
elipse, entonces por la definición, 𝐵1 𝐹1 + 𝐵1 𝐹2 = 2𝑎 de donde 𝐵1 𝐹1 = 𝑎 y por la
grafica 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 .
P(x, y)
b
(a, 0) V’
F’
(-c, 0)
F
c
O
c
b
B’
CÁLCULO DIFERENCIAL
(c, 0)
V (a, 0) X
𝐶𝑉1 = 𝐶𝑉2 = 𝑎
𝐶𝐵1 = 𝐶𝐵2 = 𝑏
𝐶𝐹1 = 𝐶𝐹2 = 𝑐
Elipse
Ejemplo 1
Determina los elementos y grafica la elipse, cuya ecuación es:
Solución:
Se transforma la ecuación a su forma ordinaria:
9𝑥 2 + 4𝑦 2 − 36 = 0
Se divide para el termino independiente:
9𝑥 2 4𝑦 2 36
+
=
36
36
36
Se simplifica y se obtiene la forma canónica:
𝑥2 𝑦2
+
=1
4
9
CÁLCULO DIFERENCIAL
9𝑥 2 + 4𝑦 2 − 36 = 0
Elipse
Ejemplo 1
𝑎2 = 9 𝑦 𝑏 2 = 4𝑎, porque a > b, de donde, 𝑎 = 3 𝑦 𝑏 = 2, entonces
tenemos una elipse vertical de ecuación,
sustituye, 𝑎2 𝑦 𝑏 2 , en, 𝑐 =
𝑥2
𝑎2
𝑎2 − 𝑏2
𝑐 = 9−4= 5
CÁLCULO DIFERENCIAL
+
𝑦2
𝑏2
= 1, para encontrar c, se
Elipse
Ejemplo 1
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠
𝑉1 (0, 𝑎 𝑦𝑉2 (0, −𝑎 → 𝑉1 (0,3 𝑦𝑉2 (0, −3
𝑓𝑜cos
𝐹1 (0, 𝑐 𝑦𝐹2 (0, −𝑐 → 𝐹1 (0, 5 𝑦𝐹2 (0, − 5
𝐸𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠𝑑𝑒𝑙𝑒𝑗𝑒𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝐵1 (0, 𝑏 𝑦𝐵2 (0, −𝑏 → 𝐵1 (2,0 𝑦𝐵2 (−2,0
2𝑏 2 2 2 2 8
𝐿𝑅 =
=
=
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑎
3
3
𝑉1 𝑉2 = 2(𝑎 = 2(3 = 6 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑑𝑒𝑙𝑒𝑗𝑒𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
𝐹1 𝐹2 = 2(𝑐 = 2( 5 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑑𝑒𝑙𝑒𝑗𝑒𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙
𝐵1 𝐵2 = 2(𝑏 = 2(2 = 4 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑𝑑𝑒𝑙𝑒𝑗𝑒𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝑐
5
𝑒= =
𝑎
3
CÁLCULO DIFERENCIAL
𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
Elipse
Ejemplo 2
Determina los elementos y grafica la elipse, cuya ecuación es: 16𝑥 2 + 25𝑦 2 = 400
Solución:
Se transforma la ecuación a su forma
ordinaria:
2
2
2
2
𝑥
𝑦
16𝑥
25𝑦
400
+
=1
+
=
16𝑥 2 + 25𝑦 2 = 400
25 16
400
400
400
Como el denominador mayor se encuentra bajo la variable x esta ecuación
𝑥2
𝑎2
𝑦2
𝑏2
corresponde a una elipse horizontal de la forma +
25 𝑦 𝑏 2 = 16, obteniendo que 𝑎 = 5 𝑦 𝑏 = 4
Para hallar c se sustituye 𝑎2 𝑦 𝑏 2 𝑒𝑛 𝑐 = 𝑎2 − 𝑏 2
𝑐 = 25 − 16 = 9 = 3
CÁLCULO DIFERENCIAL
= 1 donde a,
𝑎2 =
Elipse
Ejemplo 2
CÁLCULO DIFERENCIAL
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠
𝑉1 (5,0 𝑦 𝑉2 (−5,0
𝑓𝑜cos
𝐹1 (3,0 𝑦 𝐹2 (−3,0
𝐸𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝐵1 (0,4 𝑦 𝐵2 (𝑂, −4
2𝑏 2 2 4 2 32
𝐿𝑅 =
=
=
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑎
5
5
𝑉1 𝑉2 = 2(𝑎 = 2(5 = 10 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
𝐹1 𝐹2 = 2(𝑐 = 2(3
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙
𝐵1 𝐵2 = 2(𝑏 = 2(4 = 8 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝑐 3
𝑒= =
𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
𝑎 5
Elipse
Ejemplo 3
Determinar las coordenadas de los focos de una elipse cuya ecuación es: 4𝑥 2 + 9𝑦 2 = 1
Solución:
Se transforma la ecuación a su forma ordinaria.
2
2
2
2
4𝑥
9𝑦
𝑥
𝑦
4𝑥 2 + 9𝑦 2 = 1 →
+
=1→
+
1
1
1
1
4
9
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑎2
CÁLCULO DIFERENCIAL
1 2 1
= 𝑏 = 𝑦𝑐 =
4
9
𝑎2
−
𝑏2
=
1 1
− =
4 9
9−4
5
=
36
6
Elipse
Ejemplo 3
La ecuación tiene la forma:
𝑥2
𝑎2
𝑦2
+ 2
𝑏
= 1 es decir, una elipse horizontal, para
encontrar los focos se sustituyen los valores
𝐹1 (𝑐, 0 = 𝐹1
5
5
, 0 → 𝐹2 (−𝑐, 0 = 𝐹2 −
,0
6
6
Por consiguiente, las coordenadas de los focos son:
5
5
𝐹1
, 0 𝑦 𝐹2 −
,0
6
6
CÁLCULO DIFERENCIAL
Elipse dado sus elementos
Ejemplo 1
Determina la ecuación de la elipse de centro en el origen, vértice (0,5) y foco en
(0,4).
Solución.
Se grafican los valores
𝑥2 𝑦2
La elipse es vertical y su ecuación es
, de la grafica se obtiene la
+
=
1
𝑎2 𝑏 2
distancia del centro al vértice (a) y la distancia del centro al foco (c), por tanto;
a=5 y c=4
CÁLCULO DIFERENCIAL
Elipse dado sus elementos
Ejemplo 1
Para encontrar b se sustituyen los valores de a y c en 𝑏 = 𝑎2 − 𝑐 2 :
𝑏 = 52 − 42 = 25 − 16 = 9 = 3
Se sustituyen los valores de a y b y resulta la ecuación:
Forma canónica:
𝑥2
9
+
𝑦2
25
=1
al multiplicar por 225 e igualar a cero, se obtiene
La ecuación en su forma general:
25𝑥 2 + 9𝑦 2 = 225 → 25𝑥 2 + 9𝑦 2 − 225 = 0
CÁLCULO DIFERENCIAL
Elipse dado sus elementos
Ejemplo 2
Determina la ecuación de la elipse con vértices en (-6,0)y (6,0) y la longitud de
20
uno de sus lados rectos igual a
3
Solución.
El eje mayor es la distancia entre los vértices, utilizando la formula
𝑑 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 2 , 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 :
2𝑎 =
CÁLCULO DIFERENCIAL
6+6
2
+ 0−0
2
→ 2𝑎 = 12 → 𝑎 = 6
Elipse dado sus elementos
Ejemplo 2
Al sustituir a=6, 𝐿𝑅 =
obtiene:
20
3
2
y despejar, 𝑏 , de la formula de lado recto, 𝐿𝑅 =
2𝑏 2 20
=
→ 𝑏 2 = 20
6
3
La elipse es horizontal y la ecuación es
𝑥2 𝑦2
𝑥2
𝑦2
+ 2=1→ 2+ 2=1
2
𝑎
𝑏
36
20
Se multiplica por 180 y tenemos que la ecuación es:
5𝑥 2 + 9𝑦 2 = 180 → 5𝑥 2 + 9𝑦 2 − 180 = 0
CÁLCULO DIFERENCIAL
2𝑏2
,
𝑎
se
Elipse dado sus elementos
Ejemplo 3
7
El eje mayor de una elipse mide 20 unidades, si la excentricidad es e= ;cual es
10
la distancia del eje menor?
Solución:
el eje mayor es la distancia entre los vértices, 𝑉1 𝑉2 = 2𝑎 = 20
2𝑎 = 20 𝑃𝑜𝑟 tan𝑡𝑜, 𝑎 = 10
𝑐
7
𝑐
7
la excentricidad es 𝑒 = = , 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 =
𝑎
10
10
10
Al despejar se obtiene que c=7
Si a=10 y c=7, se utiliza la condición 𝑏 = 𝑎2 − 𝑐 2
𝑏 = 102 − 72 = 1002 − 492 = 51
Así la longitud del eje menor es
2𝑏 = 2 51
CÁLCULO DIFERENCIAL
Elipse con centro en el punto ( h, k )
Para una elipse horizontal con centro fuera del origen en el punto (h,k), se hace
una traslación de los ejes XY al punto C(h,k).
sean, 𝑥′ = 𝑥 − ℎ, 𝑦′ = 𝑦 − 𝑘, la ecuación de la elipse con el nuevo sistema de
coordenadas es:
𝑥 ′2 𝑦 ′2
+ 2 =1
2
𝑎
𝑏
Se sustituyen, 𝑥′, 𝑦′, en la ecuación y se obtiene:
𝑥−ℎ 2
𝑦−𝑘 2
+
=1
2
2
𝑎
𝑏
Del mismo modo se obtiene la ecuación de la elipse vertical con centro (h,k)
fuera del origen:
𝑥−ℎ 2
𝑦−𝑘 2
+
=1
2
2
𝑏
𝑎
CÁLCULO DIFERENCIAL
Elipse con centro en el punto ( h, k )
𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝐶: 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜
𝑉1 𝑦 𝑉2 : 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠
𝐹1 𝐹2 : 𝑓𝑜cos
𝐵1 𝐵2 : 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝑉1 𝑉2 = 2𝑎(𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟
𝐹1 𝐹2 = 2𝑐(𝑒𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙
𝐵1 𝐵2 = 2𝑏(𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 ; 𝑎 > 𝑏, 𝑎 > 𝑐
𝑐
𝐸𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝑒 = ; 𝑒 < 1
𝑎
2𝑏 2
𝐿𝑅 =
(𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑎
CÁLCULO DIFERENCIAL
Elipse con centro en el punto ( h, k )
ELIPSE HORIZONTAL
Ecuación:
𝑥−ℎ 2
𝑎2
+
𝑦−𝑘 2
𝑏2
=1
𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠: 𝑉(ℎ ± 𝑎, 𝑘
𝑓𝑜cos: 𝐹(ℎ ± 𝑐, 𝑘
𝐸𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟: 𝐵(ℎ, 𝑘 ± 𝑏
ELIPSE VERTICAL
Ecuación:
𝑥−ℎ 2
𝑏2
+
𝑦−𝑘 2
𝑎2
=1
𝐸𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠: 𝑉(ℎ, 𝐾 ± 𝑎
𝑓𝑜cos: 𝐹(ℎ, 𝐾 ± 𝑐
𝐸𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟: 𝐵(ℎ, ±b, 𝑘
Ecuación general de la elipse: 𝐴𝑥 2 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, 𝑐𝑜𝑛 𝐴 ≠ 𝐶, y ambas
cantidades de igual signo.
CÁLCULO DIFERENCIAL
Elipse con centro en el punto ( h, k )
Ejemplo 1
Determina los elementos de la elipse 9𝑥 2 + 4𝑦 2 − 72𝑥 − 24𝑦 + 144 = 0; y
traza su grafica.
Solución:
9𝑥 2 + 4𝑦 2 − 72𝑥 − 24𝑦 + 144 = 0
9𝑥 2 + 4𝑦 2 − 72𝑥 − 24𝑦 = −144
se agrupan términos en xy:
(9𝑥 2 − 72𝑥 + (4𝑦 2 − 24𝑦 = −144
Se factoriza:
9(𝑥 2 − 8𝑥 + (4𝑦 2 − 24𝑦 = −144
CÁLCULO DIFERENCIAL
Elipse con centro en el punto ( h, k )
Ejemplo 1
Se complementan los trinomios cuadrados perfectos:
2
2
8
6
8
2
2
9 𝑥 − 8𝑥 +
+ 4 𝑦 − 6𝑦 −
= −144 + 9
2
2
2
2
6
+4
2
9(𝑥 2 − 8𝑥 + (4 2 + 4(𝑦 2 − 6𝑦 + (3 2 = −144 + 9(4 2 +4(3
9 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 + 4(𝑦 2 − 6𝑦 + 9 = −144 + 144 + 36
Al factorizar y simplificar, se obtiene,
9(𝑥 − 4 2 +4(𝑦 − 3 2 = 36
CÁLCULO DIFERENCIAL
2
2
Elipse con centro en el punto ( h, k )
Ejemplo 1
Se dividen ambos miembros entre 36:
9 𝑥 − 4 2 4 𝑦 − 3 2 36
𝑥−4
+
=
→
36
36
36
4
2
𝑦−3
+
9
2
=1
Es una elipse vertical con centro en C(4, 3),
𝑎 = 3, 𝑏 = 2, 𝑐 = 𝑎2 − 𝑏 2 = 9 − 4 = 5
Estos datos se sustituyen para obtener los elementos y trazar grafica.
CÁLCULO DIFERENCIAL
Elipse con centro en el punto ( h, k )
Ejemplo 1
𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 (ℎ, 𝑘 = 𝐶(4,3
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠(ℎ, 𝑘 ± 𝑎
𝑉1 (4,3 + 3 = 𝑉1 (4,6
𝑉2 (4,3 − 3 = 𝑉2 (4,0
𝑓𝑜cos(ℎ, 𝑘 ± 𝑐
𝐹1 (4,3 + 5 = 𝐹1 (4,5.2
𝐹2 (4,3 − 5 = 𝐹2 (4,0.7
𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 (ℎ ± 𝑏, 𝑘
𝐵1 (4 + 2.3 = 𝐵1 (6,3
𝐵2 (4 − 2, 3 = 𝐵2 (2,3
2𝑏2 2(4
8
𝐿𝑅 =
=
=
𝑎
3
3
𝑐
5
𝑒= =
𝑎
3
𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = 2𝑎 = 6
𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 2𝑏 = 4
𝑒𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 = 2𝑐 = 2 5
CÁLCULO DIFERENCIAL
Elipse con centro en el punto ( h, k )
Ejemplo 2
Determina los elementos de la elipse, cuya ecuación es:
𝑥 2 + 16𝑦 2 + 4𝑥 − 32𝑦 − 44 = 0
Solución:
Se transforma la ecuación a su forma ordinaria,
𝑥 2 + 16𝑦 2 + 4𝑥 − 32𝑦 − 44 = 0 → (𝑥 2 + 4𝑥 + 16(𝑦 2 − 32𝑦 = 44
(𝑥 2 + 4𝑥 + 16(𝑦 2 − 2𝑦 = 44
se completa el trinomio cuadrado perfecto,
(𝑥 2 + 4𝑥 + 4 + 16(𝑦 2 − 32𝑦 + 1 = 44 + 4 + 16
al factorizar y simplificar se obtiene: (𝑥 + 2 2 +16(𝑦 − 1 2 = 64
Se divide entre 64
Forma ordinaria
CÁLCULO DIFERENCIAL
𝑥+2 2
16 𝑦−1 2
64
+
=
64
64
64
𝑥+2 2
𝑦−1 2
+
=1
64
64
Elipse con centro en el punto ( h, k )
Ejemplo 2
Por tanto, los elementos y la grafica son;
𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜: 𝐶(ℎ, 𝑘 = 𝐶(−2,1
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠: 𝑉(ℎ ± 𝑎, 𝑘
𝑉1 (−2 + 8, 1 = 𝑉1 (6,1
𝑉2 (−2 − 8, 1 = 𝑉2 (−10,1
𝐹𝑜cos: 𝐹(ℎ ± 𝑐, 𝑘
𝐹1 (−2 + 2 15, 1 = 𝐹1 (5.7,1
𝐹1 (−2 + 2 15, 1 = (−9.7,1
CÁLCULO DIFERENCIAL
𝐸𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝐵(ℎ, 𝑘 ± 𝑏
𝐵1 (−2,1 + 2 = 𝐵1 (−2,3
𝐵2 (−2,1 − 2 = 𝐵2 (−2, −1
2𝑏 2 2(4
8
𝐿𝑅 =
=
= =1
𝑎
8
8
𝑐 2 5
15
𝑒= =
=
𝑎
8
4
Elipse con centro en el punto ( h, k )
Ejemplo 2
𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟: 2𝑎 = 16
𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟: 2𝑏 = 4
𝑒𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 : 2𝑐 = 4 15
CÁLCULO DIFERENCIAL
Elipse con centro en el punto ( h, k )
Ejemplo 3
Determina las coordenadas de los vértices de la elipse cuya ecuación es:
4𝑥 2 + 9𝑦 2 − 4𝑥 − 6𝑦 + 1 = 0
Solución:
se transforma la ecuación a su forma ordinaria
4𝑥 2 + 9𝑦 2 − 4𝑥 − 6𝑦 + 1 = 0 → (4𝑥 2 − 4𝑥 + (9𝑦 2 − 6𝑦 = −1
4(𝑥 2
−𝑥 +9
CÁLCULO DIFERENCIAL
𝑦2
2
1
2
1
2
2
− 𝑦 = −1 → 4 𝑥 − 𝑥 +
+9 𝑦 − 𝑦+
= −1 + 1 + 1
3
4
3
9
Elipse con centro en el punto ( h, k )
Ejemplo 3
4 𝑥−
1 2
2
+ 9 𝑦2 −
1 2
3
=1→
1
𝑥−2
1
4
2
+
1
𝑦−3
1
9
2
= 1,la ecuación tiene la forma de una
elipse horizontal
𝑥−ℎ
𝑎2
2
𝑦−𝑘
+
𝑏2
2
1 1
1
1
2
= 1, 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑛
,
𝑦𝑎 = → 𝑎 =
2 3
4
2
Se sustituyen el centro y el valor de a para obtener los vértices:
𝑉1 (ℎ + 𝑎, 𝑘 = 𝑉1
CÁLCULO DIFERENCIAL
1 1 1
1
1 1 1
1
+ ,
= 𝑉1 1,
→ 𝑉2 (ℎ − 𝑎, 𝑘 = 𝑉1
− ,
= 𝑉2 0,
2 2 3
3
2 2 3
3
PARÁBOLA
Elementos:
Elementos y Ecuación
Vértice en el origen.
Parábola Horizontal.
Parábola
Parábola Vertical.
Parábola con vértices (h,k)
Horizontal
Parábola con vértices (h,k)
Vertical
Parábola que pasa por tres puntos
PROPIEDADES
HIPÉRBOLA
Definición
Es el lugar geométrico que describe un punto del plano que se mueve de tal
l
manera que el valor absoluto
de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos
llamados focos, es siempre constante.
GRAFICA
|𝑃𝐹1 − 𝑃𝐹2 | = 2𝑎
CÁLCULO DIFERENCIAL
ELEMENTO
C: Centro
𝑉1 y 𝑉2 : Vértices
𝐹1 y 𝐹2 : Focos
𝐵1 y 𝐵2 : Extremos del eje Conjugado
𝑉1 𝑉2 = 2𝑎 (eje trasverso o real)
𝐹1 𝐹2 = 2𝑐 (eje focal)
𝐵1 𝐵2 = 2𝑏(eje conjugado o imaginario)
Condición: 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 ; 𝑐 > 𝑏; 𝑐 > 𝑎
𝑐
Excentricidad: 𝑒 = (𝑒 > 1
𝑎
2𝑏2
𝐿𝑅 = 𝑎 (lado recto)
𝑙1 y 𝑙2 : Asindota
HIPÉRBOLA
Ejemplo 1
Determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano, cuya
diferencia de sus distancias a los puntos fijos (5,0) (-5,0), es siempre igual a 8
unidades.
SOLUCION
Se obtiene las distancias del punto P(x,y) a los puntos fijos(focos),
𝑃𝐹1 = 𝑥 − 5 2 + 𝑦 2 y 𝑃𝐹2 = 𝑥 + 5 2 + 𝑦 2
Y se aplica la definición de la Hipérbola
𝑥 − 5 2 + 𝑦2 − 𝑥 + 5 2 + 𝑦2 = 8
Se despeja un radical y se elevan ambos miembros de igualdad al cuadrado,
𝑥 − 5 2 + 𝑦 2 = 8 + 𝑥 + 5 2 + 𝑦 2 + 𝑥 + 5 2 + 𝑦 2 → −4 𝑥 + 5
Ahora al elevar ambos miembros al cuadrado resulta que,
2
2
+ 𝑦 2 = 5𝑥 + 16
−4 𝑥 + 5 +
= 5𝑥 + 16 2 → 16 𝑥 2 + 𝑦 2 + 10𝑥 + 25 = 25𝑥 2 + 160𝑥 + 256
Finalmente, se simplifica y se obtiene la ecuación: 9𝑥 2 − 16𝑦 2 − 144 = 0
2
CÁLCULO DIFERENCIAL
𝑦2
Ecuación de la Hipérbola con centro en el origen
En la figura:
𝐶𝑉1 = 𝐶𝑉2 = 𝑎
𝐶𝐵1 = 𝐶𝑉2 = 𝑏
𝐶𝐹1 = 𝐶𝐹2 = 𝑐
𝐶𝑉1 = 𝐶𝑉2 = 𝑎, entonces, 𝑉1 𝑉2 = 2𝑎 al ser 𝑉1 un punto
de la hipérbola se tiene que: 𝑉1 𝐹2 − 𝑉1 𝐹1 = 2𝑎 , por tanto,
la diferencia de las distancias de cualquier punto de la
hipérbola a los dos puntos fijos (focos) es igual a 2𝑎.
la distancia de 𝐵1 0, 𝑏 a 𝑉1 𝑎, 0 es𝐵1 𝑉1 =
𝑎 − 𝑜 2 + 0 − 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 , 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏2 = 𝑐 2 − 𝑎2
Sea P(x,y) un punto de la hipérbola, al hallar la distancia de P
a los puntos fijos 𝐹1 𝑐, 0 , 𝐹2 −𝑐, 0 , y al aplicar la
definicion 𝑃𝐹2 − 𝑃𝐹1 = 2𝑎, se obtiene:
𝑋+𝐶
CÁLCULO DIFERENCIAL
2
+ 𝑌−0
2
−
𝑥−𝑐
2
+ 𝑦−0
2
= 2𝑎 →
𝑥+𝑐
2
+ 𝑦2 −
𝑥−𝑐
2
+ 𝑦 2 = 2𝑎
Ecuación de la Hipérbola con centro en el origen
Se despeja una radical: 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 = 2𝑎 + 𝑥 − 𝑐
Se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad:
𝑥+𝑐
2
+
𝑦2
2
2
= 4𝑎 + 4𝑎
𝑥−𝑐
2
+
𝑦2
+
2
+ 𝑦2
𝑥−𝑐
2
+
𝑦2
2
𝑥 2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2 = 4𝑎2 + 4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦 2 + 𝑥 2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2
Se despeja el radical y se divide entre 4𝑎:
𝑐𝑥
4𝑐𝑥 − 4𝑎2 = 4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦 2 →
− 𝑎 = 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2
𝑎
Se eleva al cuadrado y se simplifica:
2𝑥2
2
2
𝑐𝑥
𝑐
−𝑎 =
𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦 2 → 2 − 2𝑐𝑥 + 𝑎2 = 𝑥 2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦 2
𝑎
𝑎
𝑐2𝑥2
𝑐 2 − 𝑎2 2
2
2
2
2
2 = 𝑐 2 − 𝑎 2 , 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑐 2 − 𝑎 2 ;
−
𝑥
−
𝑦
+
𝑎
−
𝑐
=
0
→
𝑥
−
𝑦
𝑎2
𝑎2
𝑥2
𝑦2
− 2
= 1, 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑏2 = 𝑐 2 − 𝑎2 ; Se sustituye y se obtiene:
2
2
𝑎
𝑐 −𝑎
La cual es la ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen.
De forma análoga para una hipérbola vertical, resulta la ecuación: 𝑦 2 𝑥 2
−
=1
𝑎2 𝑏2
CÁLCULO DIFERENCIAL
𝑥2 𝑦2
−
=1
𝑎2 𝑏2
Hipérbola horizontal
Ecuación canónica
𝑥2 𝑦2
−
=1
𝑎2 𝑏2
Elementos
Vértices: 𝑉(±𝑎, 0
Focos: 𝐹(±𝑐, 0
Extremos del eje conjugado: 𝐵(0, ±𝑏
Ecuación de las asíndotas:
𝑙1 : 𝑦 =
CÁLCULO DIFERENCIAL
𝑏
𝑥
𝑎
𝑏
𝑙2 : 𝑦 = − 𝑥
𝑎
Hipérbola Vertical
Ecuación canónica
𝑦2 𝑥2
−
=1
𝑎2 𝑏2
Elementos
Vértices: 𝑉(0, ±𝑎
Focos: 𝐹(0, ±𝑐
Extremos del eje conjugado: 𝐵(±𝑏, 0
Ecuación de las asíndotas:
𝑙1 : 𝑦 =
CÁLCULO DIFERENCIAL
𝑏
𝑥
𝑎
𝑏
𝑙2 : 𝑦 = − 𝑥
𝑎
Dada la ecuación obtener sus elementos
Ejemplo 1
Determine los elementos y traza la grafica cuya ecuación es:
9𝑥 2 − 4𝑦 2 − 36 = 0
Solución.
Se transforma la ecuación a la forma canónica:
9𝑥 2 − 4𝑦 2 − 36 = 0
Se divide entre el termino independiente y simplificada:
9𝑥 2 − 4𝑦 2 = 36
9𝑥 2 4𝑦 2 36 𝑥 2 𝑦 2
−
=
→
−
= 1 Ecuación en su forma canónica
36
36
36
4
9
2
2
La ecuación representa una hipérbola horizontal de la forma: 𝑥 − 𝑦 = 1
𝑎2 𝑏2
De la cual se obtiene el semieje trasverso 𝑎 y semieje conjugado 𝑏:
𝑎2 = 4 → 𝑎 = 2
𝑦
𝑏2 = 9 → 𝑏 = 3
Se aplica la condición para encontrar el valor de c(distancia del centro del foco):
𝑐2 =
CÁLCULO DIFERENCIAL
𝑎2 + 𝑏2 = 4 + 9 = 13
Dada la ecuación obtener sus elementos
Al sustituir:𝑎 = 2, 𝑏 = 3 y 𝑐 = 13 se obtiene:
Vértice: 𝑉 ±𝑎, 0 = 𝑉(±2,0
Foco: F ±𝑐, 0 = 𝐹(± 31, 0
Extremos del eje conjugado: B 0, ±𝑐 = 𝐵(0, ±3
Asíntotas:
3
𝑙1 : 𝑦 = 𝑥 → 3𝑥 − 2𝑦 = 0
2
3
𝑙2 : 𝑦 = − 𝑥 → 3𝑥 + 2𝑦 = 0
2
2𝑏2 2 3 2 18
=
=
=9
Lado Recto: 𝐿𝑅 =
𝑎
2
2
Eje Trasverso:𝑉1 𝑉2 = 2a = 2(2 = 4
𝐹1 𝐹2 = 2c = 2 13
Eje Focal:
Eje conjugado: 𝐵1 𝐵2 = 2𝑏 = 2(3 = 6
𝑐
13
Excentricidad: 𝑒 = =
𝑎
2
CÁLCULO DIFERENCIAL
Dada la ecuación obtener sus elementos
Ejemplo 2
Determina los elementos de la hipérbola cuya ecuación es 𝑥 2 − 4𝑦 2 + 4 = 0
Solución.
Se transforma la ecuación 𝑥 2 − 4𝑦 2 + 4 = 0 a su forma canónica:
𝑥 2 4𝑦 2 = −4
𝑥 2 4𝑦 2 −4
−
=
−4 −4 −4 Se divide entre el termino independiente.
𝑥2 𝑦2
+
= 1 Se simplifican las fracciones.
−4 1
𝑦2 𝑥2
−
= 1 Ecuación en su forma canónica.
1
4
Es una hipérbola vertical de la forma 𝑦 2 𝑥 2
−
=1
𝑎2 𝑏2
De la cual 𝑎2 = 1 y 𝑏2 = 4, por tanto, a=1 y 𝑏 = 2
El valor de c es: 𝑐 = 𝑎2 + 𝑏2 = 1 + 4 = 5
Con los valores de 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 y 𝑐 = 5, se determinan los elementos y la grafica,
CÁLCULO DIFERENCIAL
Dada la ecuación obtener sus elementos
Vértice: 𝑉 0, ±𝑎 = 𝑉(0, ±1
Foco: F 0, ±𝑐 = 𝐹(0, ± 5
Extremos del eje conjugado: B ±𝑏, 0 = 𝐵(±2,0
Asíntotas:1
𝑙1 : 𝑦 = 𝑥 → 𝑥 − 2𝑦 = 0
2
1
𝑙2 : 𝑦 = − 𝑥 → 𝑥 + 2𝑦 = 0
2
2𝑏2 2 2 2
Lado Recto: 𝐿𝑅 =
=
=8
𝑎
1
Eje Trasverso: 𝑉1 𝑉2 = 2a = 2(1 = 2
Eje Focal: 𝐹 𝐹 = 2c = 2 5
1 2
Eje conjugado: 𝐵1 𝐵2 = 2𝑏 = 2(2 = 4
Excentricidad: 𝑒 =
CÁLCULO DIFERENCIAL
𝑐
5
=
= 5
𝑎
1
Dada la ecuación obtener sus elementos
Ejemplo 3
Determina los vértices los focos, los extremos del eje conjugado, la excentricidad, el lado recto, y las
asindotas de la hipérbola es 𝑥 2 − 8𝑦 2 = 8
Solución.
al transformar la ecuación en su forma canónica:
𝑥2 𝑦2
−
=1
8
1
𝑥2 𝑦2
La ecuación representa una hipérbola horizontal de la forma :
−
=1
8
1
𝑎2 = 8 𝑦 𝑏2 = 1, 𝑝𝑜𝑟 tanto, 𝑎 = 2 2 𝑦 𝑏 = 1, 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:
𝑐=
𝑎2 + 𝑏2 = 8 + 1 = 9 = 3
Los elementos son
Vertices:𝑉 ±𝑎, 0 = 𝑉(±2 2,0)
Focos:F ±𝑐, 0 = 𝐹(±3,0)
Extremo del eje conjugado 0, ±1
Asindotas:
𝑏
𝑙1 : 𝑦 = 𝑥
𝑎
𝑥 − 2 2𝑦 = 0
CÁLCULO DIFERENCIAL
2𝑏2
2
Lado recto: 𝐿𝑅 =
=
𝑎
2
𝑐 3 2
=
𝑎
4
𝑏
𝑙
:
𝑦
=
−
𝑥
2
Asindota:
𝑎
𝑥 + 2 2𝑦 = 0
Excentricidad:
𝑒=
Dada la ecuación determinar sus elementos
Ejemplo 1
Cual es la ecuación de la hipérbola cuyos vértices y focos son puntos ±3,0 𝑦(±4,0 respectivamente
Solución.
Se localizan los puntos en el plano cartesiano
Y el resultado de una hipérbola horizontal con centro en el origen, semieje trasverso 𝑎 =
3 𝑦 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑐 = 4
El valor de 𝑏 𝑒𝑠: 𝑏 = 𝑐 2 − 𝑎2 = 42 + 32 = 16 − 9 = 7 2
𝑥
𝑦2
Los valores de 𝑎 = 3 𝑦 𝑏 = 7 se sustituyen en la ecuación
2 − 𝑏2 = 1
𝑎
Y se obtiene la ecuación de la hipérbola
𝑥2 𝑦2
−
=1 𝑜
9
7
CÁLCULO DIFERENCIAL
7𝑥 2 − 9𝑦 2 − 63 = 0
Dada la ecuación determinar sus elementos
Ejemplo 2
8
Determine la ecuación de la hipérbola cuyos vértices son los puntos (0,3) (0,-3) y lado recto igual a 3
Solución.
Se obtiene la distancia entre los vértices.
+ 3+3 2 =6
6
𝑎=
2
𝑎=3
8
Si el lado recto es 3 y a = 3 entonces
2𝑎 =
0−0=
2
2𝑏2 8
= → 𝑏2 = 4 → 𝑏 = 2
3
3
Los vértices son de la forma (0,-a) (0,a) por tanto la hipérbola es vertical y para determinar la ecuación
se utiliza 𝑦 2 𝑥 2
−
=1
9
4
4𝑦 2 − 9𝑥 2 − 36 = 0 → 9𝑥 2 − 4𝑦 2 + 36 = 0
CÁLCULO DIFERENCIAL
Ecuación con Centro (h,k)
Ejemplo 1
Determinar los elementos de la hipérbola cuya ecuación es: 4𝑦 2 − 9𝑥 2 + 8𝑦 − 54𝑥 − 113 = 0
Solución.
4 y 2  9 x 2  8 y  54 x  113
4( y 2  2 y)  9( x 2  6 x)  113
Se factoriza los coeficientes de los términos cuadráticos.
4( y 2  2 y  (1)2 )  9( x 2  6 x  (3)2 )  113  4(1)2  9(3)2 Se completa el trinomio cuadrado perfecto
4( y 2  2 y  1)  9( x 2  6 x  9)  113  4  81 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 −3, −2 ; 𝑎 = 9 𝑦 𝑏 = 2
4( y  1)2  9( x  3)2  36 Se factoriza
𝑐=
𝑎2 + 𝑏2 = 9 + 4 = 13
Se dividen ambos miembros entre 36 para obtener la ecuación en su forma ordinaria
4 𝑦 + 1 2 9 𝑥 + 3 2 36
𝑦+1 2
𝑥+3 2
−
=
;
−
=1
36
36
36
9
4
Determinar los eles una hipérbola vertical de elementos
𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 −3, −2 ; 𝑎 = 9 𝑦 𝑏 = 2
𝑐=
CÁLCULO DIFERENCIAL
𝑎2 + 𝑏2 = 9 + 4 = 13
Ecuación con Centro (h,k)
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠: ℎ, 𝑘; ±𝑎
𝑉1 (3, −1 + 3 = −3,2
𝑉2 −3, −1 − 3 = (−3, −4
𝐹𝑜cos(ℎ, 𝑘 ± 𝑐
𝐹1 (−3, −1 + 13 = (−3,2.6
𝐹2 (−3,1 − 13 = (−3,4.6
𝐸𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒: 𝐵(ℎ ± 𝑏, 𝑘
𝐵1 (−3 + 1, −1 = (−1, −1
𝐵2 (−3 − 2,1 = (−5, −1
2𝑏2 2(4
8
𝐿𝑅 =
=
=
𝑎
3
3
𝑉1 𝑉2 = 2𝑎 = 2(3 = 6
𝐹1 𝐹2 = 2𝑐 = 2 13
𝑎
3
𝐵1 𝐵2 = 2𝑏 = 2(2 = 4
𝑙1 : 𝑦 − 𝑘 = (𝑥 − ℎ → 𝑙1 : 𝑦 + 1 = (𝑥 + 3 → 3𝑥 − 2𝑦 + 7
𝑏
2
𝑐
13
𝑎
3
𝑙2 : 𝑦 − 𝑘 = − (𝑥 − ℎ → 𝑙2 : 𝑦 + 1 = − (𝑥 + 3 → 3𝑥 + 2𝑦 + 11 𝐸𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑: 𝑒 = 𝑎 = 3
𝑏
2
CÁLCULO DIFERENCIAL
Ecuación con Centro (h,k)
Ejemplo 1
Determine la ecuación general de la hipérbola cuyos focos son los puntos (-2,3),(-2,-5) y su lado
recto
Solución.
Se obtienen las coordenadas del centro y el valor del semieje focal c
𝑐(−2, −1 𝑦 𝑐 = 4
2𝑏2 14
2𝑏2
7
2
𝐿𝑅 =
=
𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎(𝑏 ;
=𝑏 𝑎
𝑎
3
𝑎
3
7
3
Se sustituye 𝑐 = 4 𝑦 𝑏2 = 𝑎 en la condicion y se resuelve la ecuacion
𝑐2
=
𝑎2
+
𝑏2
→
(4 2 =
𝑎2
7
+ 𝑎
3
7
16 − +
3
2
0 = 3𝑎 + 7𝑎 − 48
3𝑎 + 15 𝑎 − 3 = 0
𝑎2
CÁLCULO DIFERENCIAL
Ecuación con Centro (h,k)
De la ecuación a=3 el valor del semejante conjugado es
𝑏2 =
7
7
𝑎 → 𝑏2 = (3 = 7 → 𝑏 = 7
3
3
𝑦−𝑘 2
𝑥−ℎ 2
−
=1
𝑎2
𝑏2
𝑦−1 2
𝑥−2 2
−
=1
9
7
7𝑦 2 − 9𝑥 2 + 14𝑦 − 36𝑥 − 93 = 0 → 9𝑥 2 7𝑦 2 + 36𝑥 + 14𝑦 + 92
CÁLCULO DIFERENCIAL