Límite y
Continuidad 5ºAÑO
Matemática
1502 - 2022
Dpto. de Matemátic a
LÍMITE FINITO
IDEA INTUITIVA DE LÍMITE
Presentamos algunas funciones con las que nos proponemos investigar qué sucede con las
imágenes que asume la función para valores del dominio cercanos a 1. Es decir, nos interesa
conocer el comportamiento de f(x) cuando x se aproxima a 1 tanto como se quiera.
𝑥 2 −1
𝑓1 (𝑥) = 𝑥 + 1
𝑓2 (𝑥) =
𝐷𝑜𝑚(𝑓1 ) = ℝ
𝐷𝑜𝑚(𝑓2 ) = ℝ − {1}
𝑥−1
(Observa que 𝑓2 (𝑥) = 𝑥 + 1 ∀𝑥 ≠ 1)
x
0,9
0,99
0,999
0,9999
1
1,0001
1,001
1,01
1,1
x
0,9
0,99
0,999
0,9999
1
1,0001
1,001
1,01
1,1
f2(x)
1,9
1,99
1,999
1,9999
2
2,0001
2,001
2,01
2,1
f2(x)
1,9
1,99
1,999
1,9999

2,0001
2,001
2,01
2,1
𝑥+1
𝑓3 (𝑥) = {
3
𝑠𝑖 𝑥 ≠ 1
𝑠𝑖 𝑥 = 1
𝐷𝑜𝑚(𝑓3 ) = ℝ
x
0,9
0,99
0,999
0,9999
1
1,0001
1,001
1,01
1,1
f3(x)
1,9
1,99
1,999
1,9999
5
2,0001
2,001
2,01
2,1
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Límite y Continuidad
Matemática – 5º Año
En los tres casos analizados podemos observar gráficamente o mediante las respectivas tablas de
valores, que cuando 𝑥 toma valores próximos a 1 las imágenes se aproximan a 2,
independientemente de lo que suceda con cada función en ese punto.
Para referirnos a este comportamiento decimos que 2 es el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 se aproxima
o tiende a 1, y lo indicamos:
lim 𝑓(𝑥) = 2
𝑥→1
Esto significa que cuando “𝑥” está suficientemente cerca (pero es distinto) de 1, las imágenes
están suficientemente cerca de 2.
En general, dada una función 𝒇(𝒙) cualquiera y un número 𝒄 diremos que:
El límite de 𝒇(𝒙), cuando 𝒙 tiende a 𝒄, es el número 𝑳 si los valores de
𝒇 (𝒙) se aproximan a 𝑳 tanto como se desee cuando los valores de 𝒙
están suficientemente próximos a 𝒄.
El número 𝑳 recibe el nombre de límite finito.
En símbolos se indica:
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑥→𝑐
Ejercicio propuesto:
1) Evalúa gráficamente el límite de 𝑓(𝑥) para los valores de “𝑐” que se indican:
y
4
3
2
1
C1
a) lim 𝑓(𝑥) =. … . .
𝑥→𝐶1
2
0
C2
b) lim 𝑓(𝑥) =. … . .
𝑥→𝐶2
POLITECNICO
C3
x
c) lim 𝑓(𝑥) =. … . .
𝑥→𝐶3
El límite de una
función en un punto
aporta información
acerca del
comportamiento de la
misma en las
proximidades de
dicho punto
Analicemos otros ejemplos:
y
Sea:
3
𝑥+1
𝑓4 (𝑥) = {
𝑥−1
𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
𝑠𝑖 𝑥 < 1
2
𝐷𝑜𝑚(𝑓4 ) = ℝ
•
1
o
1
x
1
Observemos el comportamiento de la función para valores próximos a c = 1.
Vemos que las imágenes se aproximan a 2 cuando 𝑥 tiende a 1 considerando valores mayores
que él (decimos que se aproxima a 1 por derecha y lo indicamos 𝑥 → 1+); en cambio, si 𝑥 tiende a
1 mediante valores menores (se aproxima a 1 por izquierda: 𝑥 → 1− ) las imágenes tienden a 0.
Cada uno de los comportamientos anteriores se expresa mediante los llamados “límites laterales”
y se indican:
lim 𝑓4 (𝑥) = 2
𝑥→1+
lim 𝑓4 (𝑥) = 0
𝑥→1−
Los límites laterales ilustran
el comportamiento de la
función a cada lado del
valor de análisis
En general decimos que:
El límite lateral izquierdo de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑐 es el número 𝐿1 , si los valores
de 𝑓(𝑥) se aproximan a 𝐿1 tanto como se desee cuando 𝑥 se acerca suficientemente a
𝑐 mediante valores menores que 𝑐. Lo representamos:
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿1
𝑥→𝑐 −
El límite lateral derecho de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑐 es el número 𝐿2 , si los valores
de 𝑓(𝑥) se aproximan a 𝐿2 tanto como se desee cuando 𝑥 se acerca suficientemente a
𝑐 mediante valores mayores que 𝑐. Lo representamos:
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿2
𝑥→𝑐 +
Es evidente que, si los límites laterales no existen o son distintos, la función no tendrá
límite en el punto. Concluimos entonces que:
El límite de una función en un punto existe si y solo sí los
dos límites laterales existen y son iguales.
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Límite y Continuidad
Matemática – 5º Año
y
Sea
𝑓5 (𝑥) = |
1
|
𝑥−1
𝐷𝑜𝑚(𝑓4 ) = ℝ − {1}
x
Para esta función, a medida que consideramos valores próximos a 1 por derecha o izquierda las
imágenes no se acercan a ningún valor determinado, sino que crecen sin tope. Decimos entonces
que la función tiene en 𝑐 = 1 un comportamiento no acotado y, por supuesto, no tiene límite
finito. Este comportamiento será objeto de estudio más adelante.
Observación:
El límite finito de una función en un punto puede
existir o no, independientemente de que la
función esté o no definida en el punto.
Ejercicio propuesto
2) Determina el valor de cada límite indicado:
a) lím f(x) =
x →0
b) lím f(x) =
y
x → −1
4
•
c) lím - f(x) =
o
d) lím + f(x) =
x → -3
3
x → −3
e) lím f(x) =
2
x → -3
-5 -4 - 3 -2 -1 0
-1
1
-2
2
3
4
5
x
f) lím - f(x) =
x →3
g) lím+ f(x) =
x →3
h) lím f(x) =
x →3
i) lím f(x) =
x →5
j) lím f(x) =
x → −4
4
POLITECNICO
LÍMITE POR SUSTITUCIÓN DIRECTA
Para las siguientes funciones y a partir del análisis de su comportamiento, admitimos que
el límite de la función para 𝑥 → 𝑐 se obtiene por sustitución directa. Es decir:
lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐)
𝑥→𝑐
Función Constante
𝒇(𝒙) = 𝒌
Función Identidad
𝒇(𝒙) = 𝒙
𝐥𝐢𝐦 𝒙 = 𝒄
𝐥𝐢𝐦 𝒌 = 𝒌
𝒙→𝒄
𝒙→𝒄
Función Coseno
Función Seno
𝒇(𝒙) = 𝑐𝑜𝑠 𝒙
𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝐥𝐢𝐦 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒄
lim 𝒄𝒐𝒔 𝑥 = 𝒄𝒐𝒔 𝑐
𝒙→𝒄
Función Exponencial
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙
𝑥→𝑐
Función Logarítmica
𝒇(𝒙) = log 𝑎 𝑥
lim 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒄
𝐥𝐢𝐦 𝒂𝒙 = 𝒂𝒄
𝑥→𝑐
𝒙→𝒄
Función Raíz enésima
𝒏
𝒇(𝒙) = √𝒙
con 𝒏 ∈ ℕ − {𝟏}
𝒏
𝒏
𝐥𝐢𝐦 √𝒙 = √𝒄
𝒙→𝒄
(∀𝒄 si 𝒏 es impar y 𝒄 ≥ 𝟎 si 𝒏 es par)
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Límite y Continuidad
Matemática – 5º Año
Ejercicio propuesto
3) Resuelve los siguientes límites por sustitución directa:
a) lim sen x =
c) lim 5 x =
e) lim+ e =
g) lim log 3 x =
b) lim 2 =
d) lím cos x =
f) lim x =
3
h) lim+ x =
x→
x
x →1
x →0
x→
x →0
x→ 7
x →1
x →o
TEOREMAS SOBRE LÍMITES
Sean 𝑘 ∈ ℝ, 𝑓 y 𝑔 funciones que tengan límite para 𝑥 → 𝑐, entonces son
ciertas las siguientes propiedades:
1) Si existe, el límite de una función para 𝑥 → 𝑐 es único.
2) 𝑙í𝑚 (𝑓 (𝑥) + 𝑔 (𝑥)) = 𝑙í𝑚 𝑓 (𝑥) + 𝑙í𝑚 𝑔 (𝑥)
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
3) 𝑙í𝑚 (𝑓 (𝑥) − 𝑔 (𝑥)) = 𝑙í𝑚 𝑓 (𝑥) − 𝑙í𝑚 𝑔 (𝑥)
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
4) 𝑙í𝑚 (𝑓 (𝑥) . 𝑔 (𝑥)) = 𝑙í𝑚 𝑓 (𝑥) . 𝑙í𝑚 𝑔 (𝑥)
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑓 (𝑥)
5) 𝑙í𝑚 ቀ𝑔 (𝑥)ቁ =
𝑥→𝑐
𝑙í𝑚 𝑓 (𝑥)
𝑥→𝑐
𝑙í𝑚 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑐
; 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑙í𝑚 𝑔 (𝑥) ≠ 0
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
6) 𝑙í𝑚 ( 𝑘 . 𝑓 (𝑥) ) = 𝑘 . 𝑙𝑖𝑚 𝑓 (𝑥)
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
En particular, como aplicación de estos teoremas resulta que:
El límite de una función polinómica p(x) cuando x → c es el valor de la función en
c. Es decir, lím p(x) = p(c)
x →c
(
)
Ejemplo: lím 3x - x + 7x − 4 = 3.(- 1) - (- 1) + 7.(− 1) − 4 = −3 − 1 − 7 − 4 = −15
3
2
x →− 1
Si r( x ) =
3
2
p(x)
es una función racional con q(c)  0 entonces lim r( x ) = r(c )
x →c
q(x)
3x − 5x + 8
2
Ejemplo: lím
x →2
x + x−3
3
3.2 − 5.2 + 8
2
=
2 +2−3
3
=
10
7
Observación:
Todos los teoremas enunciados son válidos también para límites laterales
6
POLITECNICO
Una función racional es
aquella cuya ley es una
división de polinomios
Ejercicios propuestos
4) Resuelve los siguientes límites:
√𝑥
=
+1
𝑎) 𝑙í𝑚 56 =
𝑑) 𝑙í𝑚
𝑏) 𝑙í𝑚 ( 𝑙𝑛 𝑥 + 4√𝑥 − 4𝑥 ) =
𝑒) 𝑙í𝑚𝜋(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑙𝑜𝑔3 2)
𝑥→1 𝑥 2
𝑥→2
𝑥→1
𝑥→
2
𝑐) 𝑙í𝑚
𝑥→0
4𝑥 − 4𝑥 + 2
=
(𝑥 2 − 1). 𝑒 𝑥
𝑥2 + 3
5) Dada 𝑓(𝑥) = { 2
−2𝑥 + 3
2
3
𝑓) 𝑙í𝑚 𝑓 (𝑥) , 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑓 (𝑥) = { 2 𝑥 2− 𝑥
𝑥→1
2𝑥 − 2
𝑠𝑖 𝑥 < 1
𝑠𝑖 𝑥 > 1
a) ¿Existe 𝑙í𝑚 𝑓(𝑥)? Justifica.
𝑠𝑖 − 4 < 𝑥 < 0
𝑠𝑖 𝑥 = 0
𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 2
𝑥→0
b) Calcula: i) 𝑙í𝑚 𝑓(𝑥)
ii) 𝑙í𝑚 𝑓(𝑥)
𝑥→ −2
𝑥→1
c) ¿Existe 𝑙í𝑚 𝑓(𝑥)?
𝑥→2

 hx + 3 si x  1
el valor de “h” de modo que exista el lím f(x) si f(x) = 
.
x →1

 4 - hx si x  1
6) Determina
Representa gráficamente esta función y corrobora la existencia del límite pedido.
Recuerda:
LÍMITE DE LA FUNCIÓN COMPUESTA
(fog)(x) = f[g(x)]
Analicemos algunos ejemplos:
a) Dadas las funciones g (x) = 5 x - 3
Queremos hallar lím
x →1
3
f (x) =
y
3
x , definimos (fog) (x) =
3
5x −3 .
5x −3 .
Para calcular este límite podemos seguir el siguiente razonamiento:
Cuando x → 1,
(5x-3) → 2

 Por lo tanto : lim
x →1
Cuando (5x-3) → 2, 3 5 x − 3 → 3 2 
b) Si consideramos ahora las funciones g (x) = x + 1 y
2
(fog) (x) = 2
3
5 x-3 =
f (x) = 2
x
3
lim (5 x - 3) =
3
x →1
2
resulta
(x2 + 1)
. Con un razonamiento análogo al anterior podemos calcular el
2
lím 2
(x +1)
x →3
Cuando x → 3 , resulta (x 2 + 1) → 10
Cuando (x 2 + 1) → 10 , 2 (x
2 +1)
→ 210

lim (x 2 +1)

(x 2 +1)
x →3
Por
lo
tanto
:
lim
2
=
2
= 210

x →3


Estos ejemplos ilustran el siguiente teorema:
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Límite y Continuidad
Matemática – 5º Año
Si 𝑓 y 𝑔 son funciones tales que lim 𝑔(𝑥) = 𝐿 y lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝐿),
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
Resulta:
lim(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = lim 𝑓ሾ𝑔(𝑥)ሿ = 𝑓 ቂlim 𝑔(𝑥)ቃ = 𝑓(𝐿)
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
Recuerda:
Todos los teoremas
enunciados
son
válidos
también
para límites laterales
Ejercicio propuesto
7) Calcula los siguientes límites:
(
x →1
b) lím cos ( 3x − π ) =
x→
)
c ) lím  log 2 3 a 4 + 1  =

a →0 
sen ( 4y ) + a
d) lím
=
y →0
3+y
a) lím x + 3 =
π
3
TEOREMA DE INTERCALACIÓN
Sean 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) y ℎ(𝑥) funciones que satisfacen 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) ∀𝑥
cercano a 𝑐 (excepto quizás en 𝑐), si
lim 𝑓(𝑥) = lim ℎ(𝑥) = 𝐿 ⟹ lim 𝑔(𝑥) = 𝐿
𝑥→𝑐
y
𝑥→𝑐
𝑥⟶𝑐
h(x)
Desde el punto de vista geométrico el teorema es
intuitivamente cierto. En la representación de la izquierda
observamos que si f(x) < g(x) < h(x) para todo x cercano
a c, entonces la gráfica de g se encuentra entre las
gráficas de f y h en ese intervalo.
g(x)
L
x
c
Por lo tanto si f y h tienen el mismo límite L cuando x
tiende a c, es evidente que g también tiene el límite L.
f(x)
COROLARIO
Si las imágenes de dos funciones coinciden en las inmediaciones de un punto c
(salvo quizás en 𝑐) entonces los límites de ambas para 𝑥 ⟶ 𝑐 coinciden.
8
POLITECNICO
INDETERMINACIONES
INDETERMINACIONES DEL TIPO
0
0
Hemos resuelto límites por sustitución directa aplicando los teoremas anteriores. Sin embargo,
algunos límites de cocientes de funciones no pueden resolverse por este medio debido a que el
límite del divisor es 0.
En particular resulta de interés analizar límites de cocientes de funciones cuyos respectivos límites
0
son nulos, o sea, límites de la forma
.
0
Consideremos, por ejemplo:
3
a) lim
x →0
x
x
=
b) lím
x →0
x
2
x
2
=
c) lím
x →0
x
x
3
=
Estos límites no pueden calcularse por sustitución directa, pero es posible encontrar funciones que
compartan las mismas imágenes que las funciones dadas  x  0 (que es el valor de análisis) y
que, por el corolario del teorema de intercalación, nos permitan calcular el límite de otra manera.
Resulta entonces:
y
3
a) lim
x →0
x
x
= lim x
x →0
2
= 0 =0
2
x
0
y
b) lim
x →0
x
2
x
2
= lim 1 = 1
x →0
1
x
0
y
x
1
= lim
=  ( la función presenta
3
x →0
x →0 x 2
x
un comportamiento no acotado alrededor de 0)
c) lim
x
0
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Límite y Continuidad
Matemática – 5º Año
Observemos que no es posible asegurar a priori qué sucede con un límite que presenta la forma
0
0
, por eso decimos que
es una forma indeterminada.
0
0
0
UN LÍMITE INDETERMINADO DE LA FORMA
DE ESPECIAL INTERÉS:
0
0
lim
x →0
sen x
x
=
0
Para analizar el comportamiento de esta función alrededor de 𝑐 = 0, presentamos su gráfica:
Aceptamos sin demostrar que:
lim
x →0
sen x
x
=1
Ejercicio propuesto
8) Utilizando el límite anterior, verifica las siguientes igualdades:
3.senx
=3
x →0
x
a) lím
2
sen x
=0
x →0
x
b) lím
OTRAS INDETERMINACIONES DEL TIPO
2
x
=0
x →0 sen x
c) lím
0
:
0
En la práctica es posible “salvar” algunas indeterminaciones del tipo
0
0
a través de la
aplicación del corolario del teorema de intercalación. Es decir, es posible analizar un límite
indeterminado cambiando la ley de la función por otra equivalente en todos los valores
alrededor del punto de estudio y cuyo límite no presente la indeterminación. Para esto
existen algunos recursos matemáticos. Presentamos los casos más usuales:
10
POLITECNICO
I)
0
para limite de cociente de polinomios:
0
Para salvar estas indeterminaciones, se factorean los polinomios y se simplica como
muestra el ejemplo:
0
x -3x + 2
2
lim
2
x →1
= lim
x →1
x -1
(x - 1) . (x - 2)
x-2
1
= lim
= x
→
1
(x - 1 ) . ( x + 1)
x +1
2
0
Ejercicio propuesto
9) Calcula los siguientes límites:
x − 3x
x →0
II)
x + 2x
4
x + 6x + 12x + 8
3
2
a) lím
=
b) lím
2
x −4
2
x →−2
=
x2 − 4
−2 x + 2
lím
x→
0
para límite de cociente de funciones cuya ley presente (una de ellas o ambas) una
0
suma o diferencia donde al menos haya una raíz cuadrada
Recordando que: (a+b). (a-b) = a2-b2, se multiplica y divide el cociente por la expresión
conjugada de aquella que contiene la raíz:
Ejemplo resuelto:
0
x -1
lim
= lim
x →1 x - 1
x →1
(
) ( x + 1)
(x - 1 ) . ( x + 1)
x -1 .
= lim
x →1
(x - 1)
(x - 1) .
(
)
x +1
= lím
x →1
1
x +1
=
1
2
0
Ejercicio propuesto
10) Calcula los siguientes límites:
a) lím
4x − 4
x →1 1 −
x
=
b) lím
x →2
x− 2
x−2
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Límite y Continuidad
Matemática – 5º Año
0
para algunos cocientes de funciones trigonométricas:
0
III)
Algunos
límites
sen x
x
lim
x →0
=1
con
estas
características
pueden
resolverse
sabiendo
que
y efectuando algunas transformaciones:
Ejemplos resueltos:
0
1) lim
x →0
sen (3x)
3 . sen (3x)
sen (3x)
sen (3x)
= lim
= lim 3 .
= 3 . lim
x →0
x →0
x →0
x
3.x
3x
3x
3.x →0
3x →0
3x →0
0
= 3 .1 = 3
0
2) lim
x →2
sen (x - 2)
sen (x - 2)
= lim
= 1
x
→
2
(x - 2)
(x −2 )→0 (x - 2)
0
Ejercicio propuesto
11) Calcula los siguientes límites:
a) lim
x →0
IV)
sen x
5x
b) lím
x →0
tg x
=
x
0
para límites con valor absoluto:
0
Para “salvar” estas indeterminaciones, utilizaremos la definición de valor absoluto, como
se indica en los ejemplos:
0
1) lím
x →2
x-2
2
=
x -4
0
De acuerdo con la definición de valor absoluto se tiene que
Así para valores de “x” mayores que 2 la expresión
x-2

 x - 2 si x  2
x-2 = 

- (x - 2) si x  2
se puede sustituir por (x – 2), y para
valores menores que 2 se sustituye por - (x – 2). Por lo tanto, se hace necesario calcular por
separado los límites cuando x → 2
lím
x →2 +
12
x-2
2
x -4
=
lím
x →2 +
+
(x - 2)
(x - 2) . (x + 2)
POLITECNICO
−
y cuando x → 2 , es decir calculamos los límites laterales:
=
lím
x →2 +
1
(x + 2)
=
1
4
x-2
lím
x →2 −
2
x -4
=
lím
x →2 −
- (x - 2)
(x - 2) . (x + 2)
=
lím
x →2 −
-1
(x + 2)
x-2
Como los límites laterales son diferentes, entonces el lím
no existe.
2
x→2
1
4
= -
x -4
Ejercicios propuestos
12) Verifica:
a)
x−4
lím
=1
x → 4+ x − 4
b) lím
x →−5
x −5
x+5
= -1
c)  lím
x →0
2x −x
3x
=
13) Calcula los siguientes límites:
x3 − 2x 2 + 7x
=
x →0
x 4 + 2x
a) lím
x −1
=
x3 − 1
sen (3x)
c) lím
=
x →0
2x
3x 3 + 3x 2 − 6x
d) lím
x →1
x 2 + 2x
x− 2
e) lím 2
=
x →2 x − 2x
sen (5x)
f) lím
=
x →0
3x
b) lím
x →1
14) Considera la función
6− x
=
x →6
x−6
x
h) lím
 sen (x)
x→
g) lím
4
x−2
=
x − 3x + 2
5x
j) lím
=
x →0 sen x
9−x
k) lím
=
x →9 x − 3
sen (x − 5)
l) lím
=
x →5 2x − 10
i) lím
x →2
 x2 + x - 2

f(x) =  x − 1

 x −1
2
si x  1
si x  1
¿Existe lim f(x) ? Justifica tu respuesta.
x →1
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Límite y Continuidad
Matemática – 5º Año
LÍMITES INFINITOS
Observemos las siguientes funciones y evaluemos lim f(x) en cada caso:
x→c
Sea
1
𝑓6 (𝑥) = |𝑥−1|; 𝑐 = 1
y
𝑓(𝑥) crece
sin tope
𝐷𝑜𝑚(𝑓6 ) = ℝ − {1}
La función no tiene límite finito para 𝑥 ⟶ 1 .
Cuando “𝑥” toma valores cada vez más próximos a 1,
la función tiende a tomar valores positivos cada vez
mayores (crece sin tope).
Es decir: 𝑓(𝑥) ⟶ +∞ cuando 𝑥 ⟶ 1
(((
Para indicar este comportamiento diremos que:
1
lím
= + 
x →1 x - 1
)))
Este comportamiento indica la existencia de una recta denominada
ASÍNTOTA VERTICAL.
En este ejemplo, hay una asíntota vertical de ecuación: 𝑥 = 1.
Sea
𝑓7 (𝑥) = −
1
;
𝑥2
𝑐= 0
(((
𝐷𝑜𝑚(𝑓7 ) = ℝ − {0}
y
En este caso tampoco existe límite finito para 𝑥 ⟶ 0, f
toma valores cada vez menores (decrece sin tope) para
valores suficientemente próximos a 0.
Es decir: 𝑓(𝑥) ⟶ −∞ cuando 𝑥 ⟶ 0
Indicaremos entonces que:
 1 
lím  - 2  = − 
x →0
 x 
Aquí hay una asíntota vertical de ecuación: 𝑥 = 0.
14
POLITECNICO
𝑓 (𝑥) decrece
sin tope
)))
x
Sea
1
𝑓8 (𝑥) = 𝑥+2; 𝑐 = −2
𝐷𝑜𝑚(𝑓8 ) = ℝ − {−2}
y
𝑓(𝑥) crece
sin tope
( ( (
x
) ) )
La función no tiene límite finito para x → -2 .
Observemos que f(x) crece sin tope cuando
+
x → -2 y decrece sin tope cuando x → -2
.
No
podemos
indicar
un
único
comportamiento de la función para x → -2 ,
es decir, no podemos indicar un resultado para
1
lím
.
x → −2 x + 2
Sin embargo, es razonable caracterizar estas
tendencias a través de límites laterales
1
lím +
= + 
x → −2
x+2
𝑓 (𝑥) decrece
sin tope
lím
x→ −2
-
1
= −
x+2
Aquí hay una asíntota vertical de ecuación: 𝑥 = −2.
Observaciones :
 Diremos que: lim 𝑓(𝑥) = +∞ cuando lim+ 𝑓(𝑥) = lim− 𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
lim 𝑓(𝑥) = −∞ cuando lim+ 𝑓(𝑥) = lim− 𝑓(𝑥) = −∞
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
 Los límites infinitos indican el comportamiento no acotado de una función. El
símbolo ∞ (infinito) indica una tendencia y no representa ningún número real. Este
comportamiento no acotado indica la existencia de una recta denominada
ASÍNTOTA VERTICAL.
DEFINICIÓN “Asíntota Vertical”
La recta vertical 𝑥 = 𝑎, con 𝑎 ∈ ℝ, es una ASÍNTOTA VERTICAL de la gráfica de la
función 𝑓 si presenta al menos una de las siguientes condiciones:
lim 𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→𝑎
lim 𝑓(𝑥) = −∞
𝑥→𝑎
lim 𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→𝑎+
lim 𝑓(𝑥) = −∞
𝑥→𝑎+
lim 𝑓(𝑥) = +∞
𝑥→𝑎−
lim 𝑓(𝑥) = −∞
𝑥→𝑎−
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Límite y Continuidad
Matemática – 5º Año
Ejemplo resuelto:
2x
lim x - 2 =
x →2
Como la expresión (x – 2) puede aproximarse a cero a través de valores positivos o a través de
valores negativos, estudiamos los límites laterales:
4
2x
lim x - 2
+
4
= +
2x
lim x - 2
−
y
x →2
= −
x →2
0+
0-
2x
Como los límites laterales son diferentes decimos que lim
x-2
x→2
no existe. Más allá de esto,
podemos advertir con sólo el análisis del primer límite lateral, que la gráfica de esta función posee
una asíntota vertical en x = 2.
Ejercicio propuesto
15) Resuelve los siguientes límites e indica si de este cálculo existe asíntota vertical:
a) lím
x →1
x +1
=
x2 − 1
b) lím+ (6 + ln x ) =
c)
x →0
lím
x →3 -
x−6
=
x−3
Ejemplo resuelto:
Obtiene, si es que posee, la o las ecuaciones de las asíntotas verticales de la gráfica de
𝑥−2
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −4.
Lo primero que deberemos hacer es obtener el dominio de esta función racional, por motivos
que explicaremos al final de este apunte, una función racional poseerá asíntotas verticales
solo en valores de 𝑥 que no pertenecen al dominio.
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {−2,2}
Entonces estudiaremos qué sucede con el límite cuando 𝑥 → 2 y cuando 𝑥 → −2:
✓
𝑥−2
1
1
lim 𝑓(𝑥) = lim+ (𝑥−2)(𝑥+2) = lim+ 𝑥+2 = 4 = lim− 𝑓(𝑥). Entonces no hay asíntota
𝑥→2+
𝑥>2
𝑥→2
𝑥>2
𝑥→2
𝑥>2
𝑥→2
vertical en 𝑥 = 2.
✓
16
lim + 𝑓(𝑥) = lim +
𝑥→−2
𝑥>−2
𝑥→−2
𝑥>−2
POLITECNICO
1
𝑥+2
= +∞. Entonces existe asíntota vertical en 𝑥 = −2.
0+
LÍMITES EN EL INFINITO
y
Consideremos la función:
𝑓9 (𝑥) =
1
𝑥−3
𝐷𝑜𝑚(𝑓9 ) = ℝ − {3}
“x” decrece
sin tope
x
“x” crece sin
tope
Observamos que cuando x toma valores cada vez más grandes, las imágenes se aproximan cada
vez más a 0. Para indicar este comportamiento escribimos:
lím f (x) = 0
x → +
Con un análisis similar resulta:
Cuando escribimos 𝑥 → +∞ estamos diciendo
que x está creciendo indefinidamente, y no que
tiende a algún valor particular “muy grande”.
Análogamente 𝑥 → −∞ indica que x decrece
indefinidamente.
9
lím f (x) = 0
x → −
9
Geométricamente los límites anteriores indican que los puntos de la gráfica de la función se
acercan tanto como se quiera a la recta y = 0 cuando x crece o decrece sin tope. Esta recta recibe
el nombre de asíntota horizontal del gráfico de la función.
DEFINICIÓN “Asíntota Horizontal”
La recta horizontal 𝑦 = 𝑎, con 𝑎 ∈ ℝ, es una ASÍNTOTA HORIZONTAL de la gráfica
de la función 𝑓 si presenta al menos una de las siguientes condiciones:
lim 𝑓(𝑥) = 𝑎
𝑥→+∞
lim 𝑓(𝑥) = 𝑎
𝑥→−∞
Observaciones
 La gráfica de una función posee a lo sumo dos asíntotas horizontales.
 La gráfica de una función puede tener infinitas asíntotas verticales. (Ejemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔 𝑥)
Ejemplo resuelto:
13
=
x →+ x − 5
Como 𝑥 → +∞ resulta (𝑥 − 5) → +∞, por lo tanto: 𝑙í𝑚
lím
13
13
𝑥→+∞ 𝑥−5
asíntota horizontal.
=0. Entonces 𝑦 = 0. Es una
+
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Límite y Continuidad
Matemática – 5º Año
LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO
Finalmente, analizamos las funciones:
➔ f10 (x) = x - 1
f11 (x) = x – 1
y
y
+
+
-
x
+
x
-
-
+
Observemos que f crece sin tope
cuando x crece o decrece sin tope.
En este caso, f crece sin tope cuando x crece
sin tope y f decrece sin tope cuando x
decrece sin tope. Escribimos entonces:
Indicamos este comportamiento así:
y
y
Ejemplo resuelto:
lím
x → +
3x + 1
=
−7
+
Como x → +  resulta
(3 x + 1 )
3x + 1
= −
x →+ − 7
→ +  , por lo tanto lím
-7
Ejercicios propuestos
𝑙𝑜𝑔2 ( 𝑥 − 2) si x > 2
16) a) Representa gráficamente la función 𝑓(𝑥) = {
1
𝑥+1
0
si x ≤ 2 ∧ x ≠ -1
si x = -1
b) Calcula:
𝑖) lìm 𝑓(𝑥) =
ii) lím−𝑓(𝑥) =
iii) lím+𝑓(𝑥) =
iv) lím 𝑓(𝑥) =
𝑣) f(2) =
vi) lím− 𝑓(𝑥) =
vii) lím+𝑓(𝑥) =
viii) lím 𝑓(𝑥) =
ix) f(-1) =
x) lím f(𝑥) =
xi) lím 𝑓(𝑥) =
xii) lím 𝑓(𝑥) =
𝑥→0
𝑥→2
𝑥→-1
𝑥→−∞
𝑥→2
𝑥→-1
𝑥→+∞
c) Si existen, indica las ecuaciones de las asíntotas de f(x).
18
POLITECNICO
𝑥→2
𝑥→-1
𝑥→-9
17) Dada una función f(x), ¿cómo interpretas la expresión lím f ( x ) = − ? Dibuja una función que
x → +
ilustre este comportamiento.
INDETERMINACIONES CON LÍMITES INFINITOS Y EN EL INFINITO
Son indeterminaciones las siguientes operaciones que involucran al símbolo  y que
aparecerán asociadas al cálculo de estos límites: 0. ±∞ ;
0 
;
y  −  (con igual
0 
signo)
De manera similar a lo trabajado con límites finitos, cuando se presenta una
indeterminación con límites infinitos o en el infinito, tenemos que transformar la expresión
de modo tal que desaparezca esa indeterminación.
Mostramos sólo algunos recursos para salvar las indeterminaciones a través del álgebra.
I) En muchas situaciones basta con efectuar las operaciones indicadas, tal como lo mostramos en
-
0
el ejemplo:
lim
x →0





x-2 
 = lim 


x→ 0  x + 1 

x2
x- 2

x + 1
x2
= -2
0+
II) En indeterminaciones con funciones polinómicas sacamos como factor común la variable
elevada al grado del polinomio, tal como lo podemos observar en los siguientes ejemplos:


x2
1
a) lim (2 x3 + 4 x2 + 1 ) = lim  x3  2 + 4 
+

x→ − 
x→ −  
x3
x3


+
x →−
x3 + 2 x5
3 x2 - 5

 
  = lim x3  2 + 4 1 + 1
  x→ −   
x
x3

0

  = - 
 
2
+
b) lim
0
-
- -
= lim
x →−
+
 1

x5 .  2 + 2 
x
 =
5


x2 .  3 - 2 
x 

lim
x →−
 1

x3 .  2 + 2 
x

5 

3 - 2 
x 

= -
III) En los casos en que aparecen sumas o restas con al menos una raíz cuadrada, multiplicamos
y dividimos por+laexpresión conjugada.
 x - x2 + 1    x + x2 + 1 
2
2

 

x - x +1
2




 x 
x + 1  = lim
= lim
=
lim 

 x →+ 
 x + x2 + 1 
 x + x2 + 1 
x →+ 
x
→
+









+
(
=
lim
x →+ 
-1
x +


2
x + 1 

)
= 0
+
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Límite y Continuidad
Matemática – 5º Año
Ejercicios propuestos
18) Calcula los siguientes límites:
1 
 3
a) lím 
−
=
−
x − 5 
x →5  x − 5
(
e) lím
x →+
)
d) lím
b) lím −2x − x − 4 =
x →−
2
(
x →−
)
c) lím 4x 2 − 1 + 2x =
x →−
e) lím
x →−
4x 5 − 2x 3
−3x 2 − 8
=
5x 3 − 4x 2 + 6
−5x 3 + 2x + 11
x2 − 2
7x 4 + 4x
=
=
 x−3 
d) lím  2
=
+
x →3  x − 9 
19) Determina, si existen, las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones:
a) f (x ) =
2 x -1
c) f ( x ) =
x2 - 5 x + 6
b) f ( x ) =
- x - 2 x2
x2 + 1
x2 + x - 6
x2 - 4
A modo de ejemplo, resolvemos el apartado a)
✓ Asíntotas verticales:
Para que la función tenga una asíntota vertical en x = c tiene que ocurrir que alguno de los límites
laterales cuando x → c sea infinito. Entonces, para una función cuya ley involucra un cociente, los
candidatos a asíntotas verticales son aquellos valores que anulan el divisor. En este ejemplo x = 2
y x = 3. Evaluamos los límites laterales en cada valor:
3
lím
x→2+
2 x -1
x2 - 5 x + 6
2 x -1
(x - 2) . (x - 3)
x→ 2+
= lím
0+
= -
 x = 2 es asíntota vertical de f(x)
-1
5
lím
x→3+
2 x -1
x2 - 5 x + 6
2 x -1
(x - 2) . (x - 3)
x → 3+
= lím
1
20
POLITECNICO
= +
0+
 x = 3 es asíntota vertical de f(x)
Observemos que, si uno de los límites laterales ya me permite encontrar la asíntota, no es
necesario evaluar el otro.
✓ Asíntotas horizontales:
La recta y = a es una asíntota horizontal de la función f si es el límite de f cuando x →  es “a”.
Luego, para determinar la o las asíntotas horizontales de la función evaluamos los límites en infinito
de la misma. Es necesario evaluar los dos límites: para x→ + y para x → -  .
En nuestro ejemplo f es una función racional donde el grado del polinomio del divisor es mayor
que el del dividendo, por lo tanto:
lím
x→ +
lím
x → −
2 x -1
2
x -5x +6
2 x -1
x2 - 5 x + 6
= 0  y = 0 es asíntota horizontal de f(x)
= 0  y = 0 es asíntota horizontal de f(x)
Concluimos entonces que la función tiene dos asíntotas verticales: x = 2 y x = 3 y una asíntota
horizontal: y = 0.
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Límite y Continuidad
Matemática – 5º Año
CONTINUIDAD
Continuidad de una función en un punto
Una función 𝑓 es continua en 𝑥 = 𝑐 si se cumplen las siguientes
condiciones:
1º.
𝑐 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), es decir ∃𝑓(𝑐).
2º.
∃ lim 𝑓(𝑥), es decir lim+ 𝑓(𝑥) = lim− 𝑓(𝑥)
3º.
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
𝑥→𝑐
lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐)
𝑥→𝑐
Continuidades laterales
Una función 𝑓 es continua por derecha en 𝑥 = 𝑐 si se cumplen las
siguientes condiciones:
1º.
𝑐 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), es decir ∃𝑓(𝑐).
2º.
∃ lim+ 𝑓(𝑥)
3º.
𝑥→𝑐
lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐)
𝑥→𝑐 +
Una función 𝑓 es continua por izquierda en 𝑥 = 𝑐 si se cumplen las
siguientes condiciones:
1º.
𝑐 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), es decir ∃𝑓(𝑐).
2º.
∃ lim− 𝑓(𝑥)
3º.
𝑥→𝑐
lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐)
𝑥→𝑐 −
Continuidad en un intervalo abierto (𝒂; 𝒃)
Una función 𝑓 es continua en un intervalo abierto (𝑎; 𝑏) si es continua ∀𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏)
Continuidad en un intervalo cerrado ሾ𝒂; 𝒃ሿ
Una función 𝑓 es continua en un intervalo cerrado ሾ𝑎; 𝑏ሿ si es continua en (𝑎; 𝑏), continua
por derecha en 𝑎 y continua por izquierda en 𝑏.
22
POLITECNICO
DISCONTINUIDADES
Si una función f no es continua en un punto c , diremos que f es discontinua en c o que
c es un punto de discontinuidad de f .
f
Ejemplos:
1) Observando la gráfica podemos concluir que la función f(x) es:
 continua en x = -2 ya que
lim
x → −2+
f ( x) =
lim
x → −2−
f ( x ) = f ( −2) = 0
 continua por derecha en x = 1 ya que lim+ f ( x ) = f (1) = 1
x →1
 discontinua en x = 1 ya que lim+ f ( x ) = 1  lim− f ( x ) = 3
x →1
2)
x →1
y
Observando la gráfica podemos concluir que la
función f(x) es:
6

discontinua en x = 2 pues no existe lim f(x)
4

discontinua en x = 6 pues lim f(x)  f(6)

continua por derecha en x = 2 pues lim+ f ( x ) = f (2) = 2
5
x →2
3
2
1
x →6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
x →2
x

3) La función f ( x ) =  x
1

si x  0
es:
y
si x = 0
2

continua por la derecha en x = 0 pues lim+ f ( x ) = f (0) = 1

discontinua en x = 0 pues no existe lim f ( x ) .
1
x →0
-3
-2
-1
x→0
1
2
3
x
-1
En los casos anteriores analizamos la continuidad de las funciones observando su gráfica.
En lo que sigue, lo haremos utilizando como recurso analítico, el concepto de continuidad y las
propiedades de los límites, sin recurrir a la gráfica.
Ejemplos
x+4

a. ¿La función g( x ) =  x + 4
 2x
si x  −4
es continua en c = −4 ?
si x  −4
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x
Límite y Continuidad
Matemática – 5º Año
x+4

g
(
x
)
=
Para probar que la función
x+4
 2x
que:
1º) Exista g( −4) : g( −4) = −8
si x  −4
es continua en c = −4 , hay que demostrar
si x  −4
2º) Exista lim g( x ) :
x → −4

x+4
x+4
= lim
= lim 1 = 1
x → −4 +
x → −4 + x + 4
x → −4 + x + 4
x → −4 +

  no existe lim g( x )
x → −4

lim g( x ) = lim 2x = −8
−
−

x → −4
x → −4
lim g( x ) = lim
Por lo tanto g( x ) no es continua en c = -4
 x−5
si x  5

 2
b. ¿La función g( x ) =  x − 25
es continua en c = 5 ?
 1
si x  5
 10

Siguiendo el ejemplo anterior:
1
1º) g(5) =
10
1
1
x−5
x−5
= lim
= lim
=
2
+
+
x − 25 x →5 (x + 5 )(x − 5 ) x →5 x + 5 10   lim g( x) = 1

1
1
x →5
10

lim g( x ) = lim
=
−
−

10
x →5
x → 5 10
lim g( x ) = lim
2º)
3º)
x →5 +
x →5+
lim g( x ) = g(5)
x →5
Por lo tanto g( x ) es continua en x = 5
(
)
 sen x 2 − 1

c. ¿La función g( x ) =  x − 1

4

1º) g(1) = 4
si x = 1
)
lim g( x )  g(1) :
x →1
Por lo tanto g( x ) no es continua en x = 1
24
es continua en c = 1 ?
(
)
(
)
(x + 1)  sen x 2 − 1 = lim (x + 1)  lim sen x 2 − 1 = 2  1 = 2
sen x 2 − 1
= lim
2
x →1
x →1
x →1
x →1
(x + 1)  (x − 1)
x −1
x −1
2º) lim g( x ) = lim
x →1
(
si x  1
POLITECNICO
(
)
Ejercicios propuestos
20) Analiza, justificando la respuesta, que la función g( x ) es continua en x = c en cada caso.
 x− 2

a. g( x ) =  x − 2
 3x − 7

si x  2
; c=2
si x  2
 2x 3 − 2x

b. g( x ) =  x + 1

4

si x  −1
; c = −1
si x = −1
21) Determina el valor de M, si existe, para que la función f(x) sea continua en x = c
a.
(
 sen x 2 − 4

f(x) = 
x−2

 Mx + 5
)
si x  2 ; c = 2
si x  2
1 − x 2

b. f ( x ) =  1 − x
 Mx

si x  1
; c=1
si x  1
CLASIFICACIÓN DE DISCONTINUIDADES
Teniendo en cuenta la definición de continuidad en un punto, podemos concluir que las
discontinuidades se pueden dar por las siguientes causas:
•
No pertenecer el punto al dominio de la función, es decir, no existe la imagen
en dicho punto
•
La no existencia del límite en el punto
•
En el caso de existir la imagen y el límite en el punto, ambos no coincidan
Ejemplos:
a)
c)
b)
d)
e)
y
x
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Límite y Continuidad
Matemática – 5º Año
En todos los casos vistos anteriormente, la función f presenta una discontinuidad en 2. La
misma se presenta debido a:
Ejemplo a: No existe la imagen en x = 2
Ejemplo b: Existe la imagen en x = 2 pero no coincide con el límite en dicho puntos
Ejemplos c; d y e: No existe el límite en dicho punto
 f presenta en c una discontinuidad evitable o eliminable cuando exista el lim f ( x )
x→c
 f presenta en c una discontinuidad inevitable o no eliminable cuando no exista el
lim f ( x )
x→c
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS
Si 𝑓 y 𝑔 son funciones continuas para 𝑥 = 𝑐, entonces las siguientes
funciones son continuas en 𝑥 = 𝑐:
1) (𝑓 + 𝑔) (𝑥)
2)
(𝑓 − 𝑔) (𝑥)
3) (𝑓 ∙ 𝑔) (𝑥)
4) 𝑘𝑓(𝑥) , con 𝑘 ∈ ℝ
𝑓
5) ቀ𝑔ቁ (𝑥) , si 𝑔(𝑐) ≠ 0
Consecuencias de las propiedades anteriores
Puede demostrarse, aplicando las propiedades anteriores y la definición de continuidad,
que los siguientes tipos de funciones son continuas para todo c de su dominio:
Constante: f ( x ) = k, k  R
Potencia: f ( x ) = x n , n  N
n
n −1
+ ....... + a1x + a0 , n  N0
Polinómicas: f ( x) = an x + an −1x
Racionales: f ( x ) =
P( x )
, siendo P(x) y Q(x) funciones polinómicas
Q( x )
Raíz: f ( x ) = n x , n  N- 1
26
POLITECNICO
Exponenciales: f ( x ) = a x , a  R + -1
+
Logarítmicas: f ( x ) = log a x, a  R -1
Trigonométricas y sus inversas (seno, coseno, tangente, cosecante, secante,
cotangente y sus respectivas inversas)
TEOREMA 1
Si 𝑓 es una función continua en 𝑐 cercano a 𝑐 y 𝑔 una función continua en
𝑓(𝑐), entonces (𝑔 ∘ 𝑓) es continua en 𝑐, con 𝑐 perteneciente al dominio de
la composición.
Ejemplo:
Dada la función f ( x ) =
5
2x 2 + 24 , analizaremos su continuidad en x = 2 , para ello deberemos
probar que lim f ( x ) = f (2) . Entonces:
x →2
(
)

(3)
lim 2x + 24 = 32 
5
x →2
2x 2 + 24 = 2 = f (2)
  xlim
( 2)
→2
lim 5 x = 2 
x →32

2
(1)
(1)
2x 2 + 24 es continua en x = 2 por ser función
polinómica
(2)
(3)
5
x es continua en x = 32 por ser función raíz
Teorema 1
Ejercicios propuestos
22) Indica los puntos en los cuales la función dada en cada caso es discontinua y luego clasifícalas.
a.
f(x) =
x
1 − x2
b. f ( x ) =
x 3 − 3x − 2
x2 − 1
− 2x + 3 si x  1
c. f ( x ) = 
2
si x  1
 x
23) Demuestra que cada una de las siguientes funciones es continua en el intervalo indicado
x2 − 1
; (− 2; 0)
x −1
ex + 1
si x  0

b) f 6 ( x ) =  24
;
 x + 1 si x  0
 2
c) f5 ( x ) = sen (x + 1) ;
a) f1 ( x ) =
0; 
− 1; 1
TEOREMA 2. Teorema del Valor Intermedio (TVI)
Si 𝑓 es una función continua en ሾ𝑎; 𝑏ሿ, entonces 𝑓 toma todos los valores entre 𝑓(𝑎)
y 𝑓(𝑏). Es decir, si 𝑓 es una función continua en ሾ𝑎; 𝑏ሿ, entonces existe al menos un
valor 𝑐 ∈ (𝑎; 𝑏) tal que 𝑓(𝑐) = 𝑘, para cualquier 𝑘 entre 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏)
ICO
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P OPL O
I TLEI T
CE
NC
I CNO
Límite y Continuidad
Matemática – 5º Año
La demostración de este teorema queda fuera
del alcance de este curso, solo haremos su
interpretación geométrica.
y
f(b)
k
f(a)
a c1 c2
c3
b
x
Una consecuencia del teorema del valor intermedio
Un problema matemático frecuente es saber si una ecuación tiene raíces reales. El teorema
anterior se puede particularizar de la siguiente manera:
TEOREMA 3. Teorema de Bolzano
Si 𝑓 es una función continua en ሾ𝑎; 𝑏ሿ y el signo de 𝑓(𝑎) es distinto al signo de 𝑓(𝑏),
entonces 𝑓 presenta al menos una raíz en es una función continua en (𝑎; 𝑏).
Gráficamente, este teorema asegura que la gráfica de una función continua y con
imágenes de distinto signo en los extremos del dominio, corta al eje x en al menos un
punto.
y
En símbolos:
H) f es una función continua en a; b y signo de
f(a)
f(a) distinto al signo de f(b)
T)  c  (a; b) tal que f (c ) = 0
La demostración de este teorema queda
fuera del alcance de este curso, solo
haremos su interpretación geométrica.
o
a
c
b x
f(b)
Ejemplo:
La función f ( x ) = x 3 − 15 x + 1 tiene al menos una raíz en el intervalo  −4; 4 .
Según el teorema anterior si la función es continua en ese intervalo y los signos en los extremos
son distintos, asegura que existe por lo menos un cero en el intervalo abierto.
Entonces:
28
POLITECNICO
f ( x ) es continua en - 4; 4 por ser función polinómica 
 (1)
f(-4) = −3  0
  c  (− 4; 4 ) / f (c ) = 0

f(4) = 3  0

(1) Teorema
de Bolzano
Ejercicio propuesto
5
4
3
24) Demuestra que la ecuación x − 3x − 2x − x + 2 = 0 tiene una solución real entre 0 y 1.
BIBLIOGRAFÍA:
El presente apunte es un extracto de los apuntes titulados “Límite de Funciones”, cod 1407; autoras:
Prof. Silvia Amicozzi y Prof. Silvia Belletti; y “Continuidad de una Función” cod. 1408; autoras: Prof. Noemí
Lagreca y Prof. Betina Cattaneo. Dpto. de Matemática. IPS.
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