V Satz des Pythagoras und Körper, 1 Der Satz des Pythagoras
Trainingsblatt
1
Die Seitenlängen eines Dreiecks sind gegeben.
a) Prüfe rechnerisch, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Falls dies der Fall ist, gib
an, wo der rechte Winkel liegt. Falls dies nicht der
Fall ist, ändere eine Seite so ab, dass ein
rechtwinkliges Dreieck entsteht.
(1) x = 8 cm, y = 26 cm, z = 24 cm
(2) x = 12,5 cm, y = 12 cm, z = 35 mm
b) Beschreibe dein Vorgehen in Worten. Verwende
die Begriffe Kathete, Hypotenuse, Satz des Pythagoras, rechter Winkel.
2
Von einem Dreieck sind zwei Seitenlängen
gegeben: k = 6,4 cm und l = 12 cm.
Überlege dir eine dritte Seitenlänge, sodass ein
rechtwinkliges Dreieck entsteht.
Erläutere, ob es mehr als eine Lösung gibt.
3
Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche sind falsch? Gib bei den falschen Aussagen jeweils ein
Gegenbeispiel an oder begründe, wieso sie falsch ist.
a) In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse immer die längste Seite.
 wahr  falsch
Gegenbeispiel/Begründung:
b) In einem rechtwinkligen Dreieck kann es einen Innenwinkel mit mehr als 90° Größe geben.
 wahr  falsch
Gegenbeispiel/Begründung:
c) Die Höhe auf der Hypotenuse liegt in einem rechtwinkligen Dreieck immer im Innern des Dreiecks.
 wahr  falsch
Gegenbeispiel/Begründung:
4
Drei ganze Zahlen, die den Satz des Pythagoras erfüllen, heißen „pythagoreisches Zahlentripel“.
Ein Beispiel sind die drei Zahlen 20, 21 und 29, denn es gilt 20 + 21 = 29², weil 400 + 441 = 841 ist.
Finde weitere solche Zahlentripel.
Als Starthilfe ist bei zwei der Tripel die größte Zahl bereits angegeben und bei einem die mittlere Zahl.
Tipp: Erstelle dir eine Liste mit den Quadratzahlen.
a)
;
; 13
weil
+
= 169
b)
;
; 41
weil
+
= 1681
c)
; 24;
weil
+ 576 =
d)
;
weil
+
;
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vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen
Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten.
=
Text: Alexander Hildebrandt, Sven Rempe
S 87
V Satz des Pythagoras und Körper, 1 Der Satz des Pythagoras
Trainingsblatt
Lösungen
, S 87
1
a) (1) 8 + 24 = 64 + 576 = 640; √640 ≈ 25,3
Die dritte Seite y ist aber angegeben mit 26 cm. Wenn man y ändert in 25,3 cm, liegt ein rechtwinkliges Dreieck
mit dem rechten Winkel zwischen den Seiten x und z vor.
(2) x = 125 mm; y = 120 mm; z = 35 mm
120 + 35 = 14 400 + 1225 = 15 625; √15 625 = 125
Das Dreieck ist rechtwinklig. Der rechte Winkel liegt zwischen den Seiten y und z.
b) Zuerst schaut man, welches die längste Seite ist. Wenn ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, ist die längste
Seite die Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten sind die Katheten. Dann wendet man den Satz des
Pythagoras an und berechnet die Summe der Quadrate aus den beiden Kathetenlängen. Wenn die Wurzel aus
dieser Summe der Seitenlänge der dritten Seite entspricht, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck.
2
Wenn die dritte Seite x die Hypotenuse des Dreiecks ist, gilt:
x = 6,4 + 12 = 144 + 40,96 = 184,96 = 13,6
Mit der Seitenlänge 13,6 cm entsteht ein rechtwinkliges Dreieck.
Eine weitere Lösung erhält man, wenn die Seite x eine Kathete ist.
6,4 + x = 12 ; x = √144 − 40,96 ≈ 10,15; dritte Seite 10,15 cm
Es gibt also zwei mögliche Dreiecke.
3
a) wahr
b) falsch, da durch den 90°-Winkel die Winkelsumme größer als 180° wäre
c) wahr
4
a) 5; 12; 13, weil 25 + 144 = 169
b) 9; 40; 41,
weil 81 + 1600 = 1681
c) 7; 24; 25,
weil 49 + 576 = 625 oder 10; 24; 26, weil 100 + 576 = 676
d) individuelle Lösung, zum Beispiel (3; 4; 5), (8; 15; 17), (20; 21; 29) usw.
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Text: Alexander Hildebrandt, Sven Rempe