ZOFIA KUJAWA
ZBIÓR ZADAŃ DLA U C ZN IÓ W G IM N A ZJU M
Z B IÓ R
u w z g l ę d n ia z m ia n y
SPIS
TREŚCI
W s t ę p ............................................................................................................................................4
1...Liczby i wyrażenia algebraiczne ................................................................................... 5
1.1. Działania na l i c z b a c h ......................................................................................................................... 5
1.2. P r o c e n t y ................................................................................................................................................. 16
1.3. W y ra że ni a a l g e b r a i c z n e ................................................................................................................ 24
1.4. Ró wn an ia .............................................................................................................................................. 28
1.5. Układy r ó w n a ń
.................................................................................................................................. 32
2. Wykresy f u n k c j i ................................................................................................................. 38
2.1. F u n k c j e .................................................................................................................................................... 38
2.2. O d c z y t y w a n i e w y k r e s ó w ................................................................................................................ 40
3. Elementy statystyki i rachunku p ra w d o p o d o b ie ń stw a .................................... 43
3.1. S ta ty st yk a o p is o w a ......................................................................................................................... 43
3.2. W p r o w a d z e n i e d o r a c h u n k u p r a w d o p o d o b i e ń s t w a
.................................................... 49
4. Figury płaskie ................................................................................................................... 51
4.1. T r ó j k ą t y .................................................................................................................................................... 51
4.2. W i e l o k ą t y .............................................................................................................................................. 54
4.3. Koła i o kr ę g i ........................................................................................................................................ 63
4.4. W i e l o k ą t y i o kr ę g i ............................................................................................................................ 66
5. B ry ły ...................................................................................................................................... 69
5.1. G r a n i a s t o s ł u p y ..................................................................................................................................... 69
5.2. O s t r o s ł u p y .............................................................................................................................................. 75
5.3. Bryły o b r o t o w e .................................................................................................................................. 79
6. Na każdy t e m a t - trening przed e g z a m i n e m ........................................................ 85
6.1. Pszczoły i m i ó d .................................................................................................................................. 85
6.2. W p o d r ó ż y ........................................................................................................................................... 89
6.3. Festyn .................................................................................................................................................... 93
6.4. M a t e m a t y k a o d k u c h n i
................................................................................................................ 97
6.5. Z p a p i e r u ........................................................................................................................................... 101
Rozwiązania z a d a ń .............................................................................................................. 105
Wymagania ogóln e i szczegółowe z m atem atyki zawarte w podstawie
p rogram ow ej kształcenia o g ó ln e g o dla g i m n a z j u m ............................................. 139
1.LICZBY
■ 1 .1 . D Z I A Ł A N I A
NA
I WYRAŻENIA
ALGEBRAICZNE
LICZBACH
H
BgM m M M m
i
I 1. Ile razy większa jest liczba liczb trzycyfrowych niż liczb dwucyfrowych?
S f i ia.
¡Za p isz o b iic —
...
!
;
|
i
!
:
i
i
i
I
i!’
j
^i
|
Odp.:
U 2. Członkowie kółka matematycznego
podali swój wzrost (zobacz rysu­
nek). Oceń prawdziwość poniższych
zdań.
I. Wszyscy chłopcy użyli liczby wy­
miernej.
□ PRAWDA
□ FAŁSZ
II. Rysunki ponumerowano w kolejności od chłopca najwyższego do najniższego.
□ PRAWDA
□ FAŁSZ
□ 3. Uzupełnij zdania.
I. Na niektórych budynkach znajdują się oznaczenia roku zakończenia ich budowy. Dom,
na którym umieszczono napis MCMVI powstał po
latach od wybudowa­
nia domu z oznaczeniem MDCCCV.
II. W napisach końcowych filmu podano rok jego produkcji jako MCMLVIII. Po 44 la­
tach nakręcono nową wersję tego filmu, którego zapis roku produkcji w systemie rzymskim
to
□ 4. Podaj dwie kolejne liczby naturalne, których suma jest równa 73.
i
Zapisz o bliczen ia.
_
Odp,
5
j
1. L i c z b y i w y r a ż e n i a a l g e b r a i c z n e
O 5. O ile suma liczb 7,6 i - l | jest większa od ilorazu liczb 0,25 i l |?
Zapisz o b lic z e n ia , i
O d p .:
.......................................................................................................................
□ 6. Przy dodawaniu kilku liczb uczeń błędnie odczy­
tał dwie cyfry. Cyfrę dziesiątek jednej z liczb: 5
odczytał jako 7, a cyfrę jedności którejś z liczb: 9
- jako 6 i otrzymał wynik równy 768. Podaj
właściwy wynik tego dodawania.
Zapisz o b lic z e n ia .
W ła ś c iw y w y n i k : ..................................................................................................
□ 7. O trzycyfrowej liczbie 78[? wiadomo, że dzie­
li się przez 2 i 3. Podaj wszystkie możliwe cyfry,
które można wstawić w miejsce znaku zapytania.
Zapisz o b lic z e n ia .
—
O d p ,:
8. Wyznacz wszystkie cyfry x oraz y tak, aby licz­
ba 23x75327)' była podzielna przez 36.
Zapisz o b lic z e n ia .
O d p .:
□ 9. Zaznacz zbiór, który zawiera wszystkie dzielniki liczby 48.
A. {2, 3, 4, 6, 8, 12,16, 24}
B. {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12,16, 24}
C. {2, 3, 4, 6, 8, 12,16, 24, 48}
D. {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
Cf/D 10. Zaznacz fałszywe dokończenie zdania: Liczba 654 132
A. dzieli się przez 3 i dzieli się przez 4.
B. dzieli się przez 6 i nie dzieli się przez 9.
C. dzieli się przez 2 i dzieli się przez 6.
D. dzieli się przez 6 i dzieli się przez 9.
□ 11. Zaznacz parę liczb, których NWD {a, b) = 24 i NWW {a, b) = 144.
A. a = 48, b = 72
B. a = 144, b = 72
C. a = 24, b = 6
D. a = 24, b =72
6
|
1.1. D z i a ł a n i a n a l i c z b a c h
□ 12. Liczbę 9 804 można przedstawić w postaci
A. 9 • 1 003 + 8 • 102 + 1
B. 9 • 1 003 + 8 • 97 + 4
C. 9 • 1 003 + 8 • 102 + 4 • 10
D. 9 • 1 003 + 8 • 97 + 1
13. W wyrażeniach na rysunku postaw nawiasy tak, aby wynik był największą liczbą - wiek
dziadka oraz najmniejszą - wiek wnuczka. Jaka jest średnia wieku dziadka i wnuczka?
zapis? obliczenia.
....
O dp..
4 ■12 + 18 : 6 + 3 !
Cfj □ 14. Podaj dziewięćdziesiątą dziewiątą cyfrę po przecinku w rozwinięciu dziesiętnym ułamka —
13
Odpowiedź uzasadnij.
Zapisz o b lic z e n ia .
•
O dp.:
\
:
i
1
□ 15. Zaznacz ^ liczby 54.
A. 5
B. 5
C. I 5
D. 4
C. 21,5
D. 215
□ 16. Zaznacz 1~ liczby 12,9.
A. 2,1
B. 2,15
□ 17. Zaznacz liczbę odwrotną do 3y.
A. - 3 j
B .3 J
□ 18. Zaznacz liczbę przeciwną do 1,15.
A 122.
b - is a
115
115
c —
23
C. 11,5
..... |..
D. -1,15
1. L i c z b y i w y r a ż e n i a a l g e b r a i c z n e
U 19. Podaj podwojoną liczbę przeciwną do odwrotności
liczby 7.
OciD
Zapisz o b lic z e n ia .
......................................
U 20. Uzasadnij, że liczba zapisana w postaci 212 + 48 + 2 ■3 + 164 jest podzielna przez 5.
0 21. Budżet międzynarodowego kartelu wynosi siedem bilionów pięćset miliardów dolarów, czyli
A. 7,5 • 109 $.
B. 7,5 • 1010$.
C. 7,5 • 1011 $.
D. 7,5 • 1012$.
□ 22. Średnia odległość między Słońcem a najbliższą mu planetą - Merkurym równa iest oko­
ło 57 900 000 km, czyli
A. 5 790 • 107km.
B. 5,79 • 107km.
C. 5 790 • 10“7 km.
D. 57,9 • 105 km.
□ 23. Objętość Ziemi równa jest 1,08321 • 1012km3, czyli
A. 1,08321 • 1015 m3.
B. 1,08321 • 1018m3.
C. 1,08321 • 1021 m3.
D. 1,08321 • 1025 m3.
□ 24. Przeciętna średnica atomu równa jest 0,00000008 cm, czyli
A. 8 - 0 , l 7 cm.
B. 0,8 • 0 ,l8cm.
C. 8 - 0 , l 8mm.
D. 0,8 • 0,19mm.
25. Rozpiętość rozmiarów komórek człowieka jest ogromna. Szczególnie jest to widoczne przy
porównaniu komórek rozrodczych - komórka jajowa ma około 0,2 mm, a plemnik jest od niej
85 000 razy mniejszy. Stosunek wielkości komórki jajowej do wielkości plemnika wyraża
się jako
A 1. 104.
B. 85 • 103.
C. i • 102.
D. 85 • 104.
■
85
26. Obok przedstawiono dane dotyczące średniej zawartości krwinek
czerwonych (erytrocytów) i białych (leukocytów) w 1 mm3 krwi psa.
a) W 1 cm3 krwi psa znajduje się średnio 650 000 000 erytrocytów.
□ TAK
□ N IE
b) Ile razy większa jest średnia liczba erytrocytów od średniej licz­
by leukocytów w krwi psa?
;
z.
8
1.1. D z i a ł a n i a n a l i c z b a c h
□ 27. Zaznacz rysunek przedstawiający zbiór liczb spełniających warunek x < i .
B
C
D
i
2
□ 28. Na osi liczbowej przedstawiono zbiór liczb spełniających warunek
A. x > 2,03.
B.x > 2,03.
C. x < 2,03.
D. x<2, 03.
2,03
U 29. Ile liczb naturalnych spełnia warunekx < 4?
A. nie ma takich liczb
C. pięć
B. cztery
D. nieskończenie wiele
U 30. Uzupełnij zdanie.
W zbiorze M = {-1, 0, ( ^ ) , 3, i/3} największą liczbą spełniającą warunekx < 1,69 jest
□ 31. Zaznacz na osi liczbowej wszystkie liczby spełniające warunek x > -2-|. Podaj najmniejszą
liczbę całkowitą spełniającą ten warunek.
!
1 1
0 32. Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb, które spełniają warunekx < l.W zbiorze tym wskaż
taką liczbę, żeby liczba do niej przeciwna także należała do tego zbioru.
1
i
j
i
i
!
i
i
i
i
!
i
i
!
:
:
i
i
i
■
l
i
i
i
i
i
!
i
i
1
j
........ L _ L J .........
;
J
33. Element x należący do zbioru zaznaczonego na osi liczbowej spełnia warunki
A. x > - 2 i x < 5 .
B.x>-2ix<5.
C. x > - 2 i x < 5 .
D.x^-2ix>5.
7?
□ 34. Maciej, wielbiciel komiksów, dostał 100 zł na zakupy w księgar­
ni. Postanowił kupić powieść za 34 zł, a resztę chce przeznaczyć
na zeszyty z serii przygód swojego ulubionego komiksowego
superbohatera, w cenie 12 zł za sztukę. Ile co najwyżej komik­
sów będzie mógł kupić Maciek?
A. 5
B. 6
C. 10
D. 12
1. L i c z b y i w y r a ż e n i a a l g e b r a i c z n e
□ 35. Oblicz wartość wyrażenia.
(2 ,2 +
L_-3 1 •(
J
J'
i) =
--
-
□ 36. Oblicz wartość wyrażenia i podaj liczbę przeciwną oraz odwrotną do wyniku działania.
’ ~~j
j
T ' " { .....
V 42
2a
+
[3 “ - j #
]
!
i
:
:
[‘...
i
......r.......
1
|
i
T
i
Liczba p r z e c iw n a :.............................
Liczba o d w ro tn a :
□ 37. Wyłącz wspólny czynnik przed nawias.
□ 38. Oblicz wartość wyrażenia.
□ 39. Oblicz wartość wyrażenia.
10,5 + [(?73-)
2
U-■(1,5) J]
-2,4)-' =
i ! !
1 f ■
1
..i... ”
i
10
1.1. D z i a ł a n i a n a l i c z b a c h
U
40. Oblicz wartość wyrażenia.
.... i..
I|
8
o
4- ( 5
i"? 5 ' [ 15 ( \ 24
3
il
... j3 • ( 4■)
j
|
|
....
U 41. Która z liczb m czy p jest większa i o ile?
m = 23 ■[0,4 - 0 ,1 : ( - 0 ,4 ) ]
p = (i)3- 0,8 : 2 - 2
Zapisz o b lic z e n ia .
i
i
0lip.: ..................... ........................... ...............
- ................. .
................................... ...
□ 42. Oblicz obwód trójkąta o bokach:
a = 3 • (310 : 37)
b = - 36 • (0,25^36 - 5° ■0,25 - 3 :1,5)
38 • ( I ) 10 • t/3 • 35
c = -------------------V3
2 ? ,3 i5 Z
>bUr* c:t' a.
Dc :
11
1. L i c z b y i w y r a ż e n i a a l g e b r a i c z n e
□ 43. Wody zajmują 2 ' 19 ’ 10 2+
3 ’ 11 ’ 10 km2 powierzchni Ziemi, a lądy: 14,894 • 107 km2.
Oblicz powierzchnię Ziemi. Wynik podaj w kilometrach kwadratowych.
iSr.......
! Zapis:
ib lic z e n ia .
'
T
j
______~ 7 ~
_i _
i
-j
... ...... ..
..... I..... '[..... |
l
j
[
i
| |
i_I _
□ 44. Kasia zapisała się do rozpoczynającej działalność w Domu Kultury sekcji matematyków.
Dostała informację, że pierwsze spotkanie odbędzie się w sali, której numer jest trzycyfro­
wą liczbą, gdzie cyfra setek równa jest 1 6 - ^ 3 ■(V108 - V48 + V27), dziesiątek: 14 —9 1,
44
a cyfra jedności: r—^ . Podaj numer sali.
o *2
; Zapisz o b lic z e n ia . | j
!
1
]
]
|
|
1
|
]
|
M
|
I I
i
M
i i
i
i
!
i
i
|
i
j
|
;
1
|
|
|
1
i
!
!
!
i
i
i
1
!
i
|
i
|
I
M
| |
.... ..
|
|
1
□ 45. Pani Halina rozlała kompot do słoików o pojemności 0,6 1. Do ilu słoików nalała kompo­
tu do pełna, jeżeli rozlała więcej niż 59 1 kompotu i mniej niż 61 1, a ilość kompotu
wyrażona jest liczbą naturalną?
Zapis
o b lic zenia.
.....
1
i
O d p ,:
12
1.1. D z i a ł a n i a n a l i c z b a c h
O 47. Oblicz, w jakiej odległości jest burza, gdy pomiędzy wyładowaniem elektrycznym (błyskiem)
i grzmotem upłynęło 25 sekund. Wynik podaj w kilometrach. (Prędkość rozchodzenia się
dźwięku w powietrzu równa jest 340 ®).
Zapisz o b lic z e n ia .
" T....
— —
i
i
O d p .:
□ 48. Samochód w czasie 12 minut przejechał 19 km. Oblicz, ile kilometrów przejedzie ten
samochód w czasie 4 godzin, gdy będzie jechał dalej z tą samą średnią prędkością.
Zapisz o b lic z e n ia .!
i
O d p .:
□ 49. Janek wyszedł z domu o godzinie 8:00, a jego brat Tomek o godzinie 12:40 wyjechał
rowerem. Tomek, który jechał ze średnią prędkością 18
dogonił Janka po 1 godzinie
i 20 minutach. Oblicz, z jaką prędkością szedł Janek, przy założeniu, że poruszał się on ze
stałą prędkością i że obaj bracia tego dnia wybrali tę samą trasę.
Zapisz o b lic z e n ia .
—
.....
—
O dp .:
13
1. L i c z b y i w y r a ż e n i a a l g e b r a i c z n e
□ 50. Na odcinku drogi o długości 800 m i szerokości 13 m wydzielono po obu jej stronach pas
dla rowerów o szerokości 2 m każdy. Na granicy pasa dla rowerów i jezdni dla samo­
chodów co 2 metry umieszczono punktowe elementy odblaskowe.
a) Jaką część drogi stanowi wydzielony dla rowerów pas jezdni?
oburzę"5;}.
Od
b) Ile elementów odblaskowych znajduje się na tym odcinku drogi?
Zapisz o b lic z e n ia .
C-.V\
□ 51. Gęstość mleka równa jest 1 030
ności 250 ml.
Zapisz o b lic z e n ia .
Oblicz, ile gramów mleka wypełnia szklankę o pojem­
i
0€!(>.:
I n f o r m a c j a do z a d a ń 5 2 -5 6
Największą na świecie złotą monetę, 100-kilogramowy
„Mapie Leaf” (ang., „Klonowy Liść”) o nominale miliona do­
larów kanadyjskich (CAD), sprzedano 25 czerwca 2010 roku
na aukcji w Wiedniu za 3,27 min euro, czyli równowartość
4,19 min CAD.
Królewska Mennica Kanadyjska wybiła w 2007 roku
pięć takich monet, aby zaprezentować swoje umiejętności
produkcyjne oraz uzyskać wpis do Księgi Rekordów
Guinnessa. „Mapie Leaf” o średnicy 53 cm i grubości 3 cm
jest wykonany z kruszcu o rekordowej czystości, zawie­
rającego 99,999% złota.
□ 52. Masa innych metali stanowiących domieszkę w złocie, z którego zrobiono sprzedany
na aukcji „Mapie Leaf”, równa się
A. 0,01 g.
B. 0,1 g.
C. Ig .
14
D. 10 g.
1.1. D z i a ł a n i a n a l i c z b a c h
□ 53. Oblicz kurs euro w dolarach kanadyj­
skich z dnia 25 czerwca 2010 roku
Wynik zaokrąglij do 0,0001 CAD.
.
Zapisz o b lic z e n ia .
vc
■
•
•"
•
Ą
.
:
i
I 54. W dniu sprzedaży „Mapie Leaf” gram zło­
ta kosztował średnio 148,13 zł. Oblicz
wartość kruszcu, z którego wykonana
jest ta unikatowa moneta. Wynik podaj
w PLN.
, pp
-
2 tp;?~ o b l ic z e n i a ,
'i
J_ 4
O d p.:
□ 55. Oblicz różnicę między wartością złota, z którego jest wykonany
„Mapie Leaf”, a ceną sprzedaży monety. Przyjmij podane śred­
nie kursy z dnia aukcji. Wynik podaj w PLN.
j
|
i
Średni kurs 2010.06.25
d o la r k an ad yjski:
1 CAD - 3,2348 PLN
euro:
1 EUR - 4,1405 PLN
|
OcJp :
J
56. Oblicz objętość monety „Mapie Leaf”, jeżeli gęstość złota równa jest 19 282
wynik w cm3 z dokładnością do części tysięcznych.
0a0.:
15
Podaj
i
LiczbV i w y r aż en i a al g e b ra i cz n e
I 1.2. P R O C E N T Y
□ 1. Adam na planowaną wraz z przyjaciółmi
wycieczkę przeznaczył 500 zł ze swoich
oszczędności. Wydatki zaplanował tak, jak
pokazano na diagramie. Uzupełnij dane
poprzez wpisanie odpowiednich kwot.
upom inki 2%
rezerwa
..........zł
transf)o rt
15°4
□ 2. Uzupełnij zdania.
I. 20 minut to ok.
HI. 10 minut to
% kwadransa.
V 18 milimetrów to
vn. 49 dekagramów to
kwadransa.
H. 5 minut to ok.
% godziny.
IV 1,2 metra to
% 18 centymetrów.
% 60 centymetrów.
VI. 250 decymetrów to
% kilograma.
VIII. 30 gramów to
% kilometra.
% 3 dekagramów.
u 3. Klient wpłacił 150 zł zaliczki przy zamawianiu telewizora. Ile kosztuje telewizor, jeżeli
wpłacona zaliczka stanowi 15% jego wartości?
A. 650 zł
B. 800 zł
C. 1 000 zł
D. 1 150 zł
jf u 4. W pojemniku znajduje się 12 guzików czerwonych i 9 - niebieskich. O ile procent należy
zmniejszyć liczbę guzików czerwonych, aby stanowiły one 40% liczby wszystkich guzików
w pojemniku?
A. 10%
B. 20%
C. 50%
D. 100%
U 5. Sok malinowy rozcieńczono w proporcji 1:3 (1 część soku i 3 części wody). Jaki procent
soku znajduje się w szklance przyrządzonego napoju?
A. 25%
B. 30%
C. 50%
D. 75%
U 6.W koszyku znajduje się 50 cukierków, z czego 10% to cukierki truskawkowe. Jaki pro­
cent cukierków owocowych stanowią cukierki truskawkowe, jeżeli w koszyku jest 20 cukier­
ków owocowych, a reszta to krówki?
A. 5%
B. 10%
C. 20%
16
D. 25%
1.2. P r o c e n t y
□ 7. Ile kilogramów mąki otrzyma się ze 120 kg pszenicy, jeżeli masa mąki stanowi 65% masy
ziarna?
A. 58 kg
B. 70 kg
C. 78 kg
D. 80 kg
□ 8. Droga z Dobrego do Nowego ma 196 km, z czego tylko 49 km jest pokryte asfaltem. Jaki pro­
cent tej drogi należy pokryć asfaltem, aby na caiej długości była asfaltowa?
A. 25%
B. 45%
C. 75%
D. 80%
□ 9. Wiek Kasi stanowi 32% wieku jej cioci, co stanowi 40% wieku taty Kasi. Oblicz, w jakim
wieku jest Kasia i jej tata, jeżeli ciocia ma 50 lat.
Zapisz o b lic z e n ia .
O d p .:
□ 10. Karol przeczytał w pierwszym dniu 20% książki liczącej 500 stron, drugiego dnia 40%
reszty, a trzeciego dnia skończył czytać książkę. Ile stron książki Karol przeczytał
w trzecim dniu?
i Zapisz o b lic z e n ia .
O d p .:
□ 11. Wśród uczniów pewnego gimnazjum przeprowadzono
ankietę na temat najchętniej czytanych książek. Wyniki
zilustrowano obok.
przyrodnicze
a) Oblicz, ilu uczniów brało udział w ankiecie, jeżeli ulu­
bioną lekturą 45 spośród nich są książki przyrodnicze.
Zapisz o d lic z e n ia ."'
T"
i
j
i
]
]
|
O dp .:
b) O ilu uczniów więcej wybrało odpowiedź „komiksy” niż „książki historyczne”?
Zapisz o b lic z e n ia .
Odp.:
17
i . L i c z b v i w y r a ż e n i a a l g ę b r a i c z ii e
□ 12. W trakcie produkcji mydła poddaje się je procesowi suszenia, podczas którego traci 12%
masy. Oblicz masę produktu otrzymanego w wyniku suszenia 64 kg mydła.
. j.
|
' I m - s z o b lic z e n ia .
|
}•
!
:
|
Udp
u
13. W sklepie meblowym ogłoszono wyprzedaż kanap
i foteli. Przez tydzień przy zakupie zestawu złożonego
z kanapy i trzech foteli obowiązywała cena obniżona
o 30%. Można też było kupić fotele i kanapy pojedynczo
z 10-proc. rabatem. Pan Pewny od razu kupił promo­
cyjny zestaw. Pan Niezdecydowany kupił jednego dnia
tylko kanapę i fotel, a w ostatnim dniu wyprzedaży
dokupił dwa fotele. Obaj wybrali meble z kolekcji
„Fiona”, których ceny podano na rysunku. O ile drożej
niż pana Pewnego kosztował komplet wypoczynkowy
pana Niezdecydowanego?
Za fisz
otjHczersia.
1l
i
I
00 f
U 14. Wykres prezentuje wysokość zarobków netto pracowników pewnej firmy. Ile procent
zatrudnionych zarabia więcej, niż wynosi średnia płaca w tej firmie?
Z a p is u o b lic z e n i a .
i
i
_
1
: i
1200 1500 1800 2700 5436
w y n a g r o d z e n i e w z ło t y c h
□ 15. Pracownik po podwyżce wynagrodzenia o 10% zarabia 1 650 zł, czyli jego pensja wzrosła o
A. 100 zł.
B. 150 zł.
C. 165 zł.
18
D. 200 zł.
1.2. P r o c e n t y
J 16. Wynagrodzenie nowo zatrudnionego pracownika wynosi 1 100 zł miesięcznie, z podwyżką
co kwartał o stałą kwotę równą 10% pensji początkowej przez kolejne dwa lata. Oblicz
wysokość pensji pracownika po roku pracy.
~ ..;....
Za pis: Ol)fic z e n ia .
........
□ 17. Pan Zaradny pracuje w teatrze jako konserwator scenografii. Jego wynagrodzenie jest
obliczane w systemie godzinowym. Stawka podstawowa za godzinę pracy od poniedziałku
do piątku to 8,20 zł. Za pracę w sobotę pan Zaradny otrzymuje 25% więcej, a w niedzielę
50% więcej niż w dni robocze. Uzupełnij tygodniową kartę pracy pana Zaradnego.
Dzień tyg o dn ia
Czas pracy
Poniedziałek
dzień w o ln y
W to re k
5 .0 0 -1 3 .3 0
Środa
6 .3 0 -1 3 .3 0
C zw artek
7 .0 0 -1 4 .0 0
Piątek
6 .0 0 -1 3 .3 0
Sobota
1 4 .0 0 -2 2 .0 0
Niedziela
8 .3 0 -1 4 .3 0
Liczba godzin
podst.
25%
50%
W ynagrodzenie
[Zł]
Razem:
Zapisz o b lic z e n ia , i
.18. Pan Jan wpłacił 5 000 zł na lokatę Hit, której oprocentowanie równe jest 10% w stosunku
rocznym, a kapitalizacja odsetek odbywa się co kwartał. Jaka kwota pieniędzy będzie znaj­
dowała się na lokacie pana Jana po pół roku od jej założenia? Wynik zaokrąglij do 1 gr.
¿a p is? obite
19
1. L i c z b y i w y r a ż e n i a a l g e b r a i c z n e
□ 19. Uzupełnij tabelę dotyczącą zawartości składników jaja
kurzego o masie 60 g.
Zapisz o b lic z e n i? .
Składniki
jaja kurzego
Woda
Zawartość
składnika
[%]
74
Białko
[J
Masa
składnika
igi
7,68
Tłuszcz
11,5
Cukier
0,7
Fosfor
0,12
Żelazo i inne
pierwiastki
0,48
20. Wartość energetyczna 100 gramów jaja kurzego równa jest 150 kcal. Dzienne zapotrze­
bowanie energetyczne dziewcząt w wieku 16 lat wynosi 1 800 kcal, a chłopców - 2 200 kcal.
Oblicz, jaki procent dziennego zapotrzebowania energetycznego uczennicy, a jaki
uczniowi gimnazjum zapewnia zjedzenie na śniadanie dwóch jajek o łącznej masie 115 g.
Wynik podaj w zaokrągleniu do 0,01%.
Zapis? ODMczŁni;:
..................
□ 21. Władze Międzynarodowej Federacji Samochodowej zatwierdziły zmianę regulaminu
wyścigów o Grand Prix Formuły 1. Od sezonu 2011 każdy zawodnik, którego najlepszy
czas w kwalifikacjach* przekroczy 107% czasu najszybszego zawodnika, nie zostanie
dopuszczony do wyścigu. Oceń prawdziwość poniższych zdań.
I. Jeżeli zawodnik w kwalifikacjach uzyska czas gorszy o 6,5 sekundy od najlepszego czasu
okrążenia, który wyniósł 1 min 35 s, to nie zostanie dopuszczony do wyścigu.
□ PRAWDA
□ FAŁSZ
II. W wyścigu weźmie udział kierowca, którego czas przejazdu okrążenia kwalifikacyjne­
go wyniósł 1 min 20,5 s, ponieważ najszybszy podczas kwalifikacji kierowca uzyskał
czas 1 min 15,5 s.
□ PRAWDA
□ FAŁSZ
* W trakcie kwalifikacji, odbywających się w F I z reguiy n a dzień przed wyścigiem, zawodnicy rywalizują o jak
najkrótszy czas okrążenia decydujący o pozycji zajmowanej na starcie do wyścigu.
20
1.2. P r o c e n t y
□ 22. Tabela obok przedstawia wyniki obserwacji zmiany
zawartości tłuszczów i węglowodanów (cukrów)
w dojrzewających nasionach orzecha laskowego.
a) Ile gramów tłuszczu zawarte było w 50 g orzechów
w ostatnim udokumentowanym dniu obserwacji?
A. 3,1 g
B. 5,58 g
C. 31 g
D. 55,8 g
Procentowa zawartość
Dzień
obserwacji
tłuszcze
węglowodany
1
3
29
30
16
17
60
59
4
90
62
4
b) Wyniki obserwacji przedstaw za pomocą wykresu liniowego.
23. Ratyfikowany przez 141 państw, w tym Polskę, protokół z Kioto dotyczy ograniczenia emisji
gazów cieplarnianych. Polska, podpisując protokół, zobowiązała się ograniczyć o 6% emisję
gazów cieplarnianych w latach 2008-2012 w porównaniu z rokiem 1988.
Oi i p
min ton
Łączna emisja głównych gazów cieplarnianych
w p0isce w latach 1998-2005
Źródło danych: GUS
Czy Polska zrealizuje postanowienia
protokołu z Kioto, przy założeniu, że
utrzymująca się od 2001 roku na
podobnym poziomie emisja gazów
cieplarnianych jest tendencją stałą?
Odpowiedź uzasadnij.
..........................................................................
21
1. L i c z b y i w y r a ż e n i a a l g e b r a i c z n e
□ 24. Latem 1988 roku w Górach Skalistych miały miejsce wielkie pożary. Spłonęło 323 tys. hekta­
rów lasu znajdującego się w granicach Parku Narodowego Yellowstone. 36% parku zmieniło się
w pogorzelisko. Jednak już wiosną następnego roku zaobserwowano, że na zniszczonych przez
ogień terenach rosną liczne gatunki roślin zielnych. Oblicz powierzchnię Parku Narodowe­
go Yellowstone. Podaj wynik w km2 w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.
.
Zapisz o b lic z e n ia .
i
!
1
O d p .:
0 25. Wyroby wykonane z metali szlachetnych oznaczone są tzw. próbą. Określa ona rodzaj me­
talu szlachetnego (symbol graficzny), zakład probierczy dokonujący analizy (litera) oraz
wyrażoną w częściach tysięcznych, czyli promilach, zawartość metalu szlachetnego w stopie.
a) Na platynowej obrączce o masie 15 g znajduje się symbol pokazany obok.
Masa czystej platyny w tej obrączce równa jest
A. 14,25 g.
B. 9,5 g.
C. 1,425 g.
950,
Ł
D. 0,950 g.
b) Srebrna łyżeczka o masie 350 g zawiera 280 g czystego srebra. Zaznacz próbę, którą
oznaczona jest ta łyżeczka.
A
W
925$
B
K
875^
c
p
D
830^
800?
I n f o r m a c j a do z a d a ń 2 6 -3 0
Wody mórz różnią się ilością rozpuszczonych w nich
substancji stałych, czyli zasoleniem (porównaj tabelę
obok). Jednakże ich skład chemiczny jest taki sam - są
w nich zawarte te same sole w jednakowym stosunku
procentowym (porównaj diagram poniżej).
3 ,6 %
2 ,5 %
Procentowy skład
soli w wodzie
morskiej
Średnie zasolenie wybranych mórz
Nazwa
Średnie zasolenie*
M orze Barentsa
33%o
M orze B ałtyckie
7%o
M orze Czarne
20%o
M orze C zerw one
41%o
M orze M a rtw e **
280%o
M orze Ś ródziem ne
38%o
'zasolenie wody w morzach wykazuje zróżnicowanie
(np.: wzrasta wraz z głębokością i odległością od brzegu)
•‘ bezodpływowe stone jezioro
chlorek sodu NaCI
[ZH siarczan wapnia CaS04
I I chlorek magnezu MgCI2 H I siarczan potasu K2S04
[_ J siarczan magnezu MgS04 H
inne
□ 26. O ile punktów procentowych różni się zasolenie wody w Morzu Martwym i Morzu Czarnym?
A. 260
B. 26
C. 14
22
D. 1,4
1.2. P r o c e n t y
II 27. Poniższy diagram prezentuje masę poszczególnych soli rozpuszczonych w 1 kg wody
pochodzącej z jednego z wymienionych w tabeli morza. Którego? Wpisz odpowiednią
nazwę w tytule pod diagramem.
j 28. Oblicz, o ile więcej substancji stałych uzyska się po odparowaniu z 1 kg wody z Morza
Martwego niż z tej samej ilości wody z Morza Czerwonego. Odpowiedź podaj w gramach.
a
c
d ;;
.
J:,'
□ 29. Oblicz średnią zawartość NaCl w 1 tonie wody z Morza Śródziemnego. Wynik podaj
w kilogramach.
ia p K z o D iic ie n ia
p
U 30. Jakie stężenie soli będzie miał roztwór uzyskany ze zmieszania 100 g wody z Morza Barentsa
i 300 g wody z Morza Czarnego?
Zapisz o b lic z e n ia .
:
23
1. L i c z b y i w y r a ż e n i a a l g e b r a i c z n e
I 1.3. W Y R A Ż E N I A
ALGEBRAICZNE
MBSB
□ 1. Zaznacz liczbę spełniającą warunek: a > 15.
A. a = -15
B. a = f
Ca = f
D .a = 15
□ 2. Wyłącz wspólny czynnik przed nawias.
I. 4ab2 - 8a2b —
II. 3a3x - 6abc + 15ox3 =
□ 3. Uzupełnij wyrażenie algebraiczne tak, aby równość była prawdziwa.
3x ■
= 15x2y
□ 4. Wyrażenie (2a - b)(2a + b) można zapisać w postaci
A. 4a - b.
B. 4a2 - b2.
C. 4a - lab - lab - b.
D. 4a2 - 4ab + b2.
□ 5. Dany jest zbiór wyrażeń: {lx, 3x,x - 1, lx - 1, lx + 6, lx + 1, 3x + 3,x,x + 1}. Wypisz z niego
te, które dla każdej całkowitej wartości x są:
I. parzyste
II. nieparzyste
DI. podzielne przez 3 .....................
□ 6. Zapisz za pomocą odpowiedniego wyrażenia algebraicznego iloczyn dowolnych trzech
kolejnych liczb nieparzystych.
0 7. Napisz liczbę trzycyfrową, której cyfra setek jest równa m, cyfra dziesiątek jest o 1 większa
od cyfry setek, a cyfra jedności jest dwa razy większa od cyfry setek. Uzasadnij, że zapisana
liczba jest podzielna przez 2.
U z a s a d n ie n ie :.......................................................................................................................................................................
0 8. Oblicz wartość liczbową wyrażenia V2x + 6 + V54 - 6x dlax = 5.
24
1.3. W y r a ż e n i a a l g e b r a i c z n e
□ 9. Wyrażenie Ą2x - 6 • Ą2 równe jest
A. V4 x - 6 .
B. V4c - 12.
C. 4x - 6.
D. 4x - 12.
J 10. Oblicz wartość wyrażenia dla x = 1.
("V-\x
-1
f i + i)
o
¿j
\ 12
,2
(3.x - L)2 (3;c -_ z•)2 +
n «A
fil
'^
4
|
|
|
j
I 11. Różnica sum algebraicznych (1,8m2 - 0,34m + 27,5) - (2,4m2 - 3,2m - 5,5) jest równa
A. -0,6m2 - 3,54m + 33.
B. -0,6m2 + 2,86m + 33.
C. -0 ,6 m 2 - 2,94m + 33.
D. -0 ,6 m 2 + 24,3m + 22.
□ 12. Pole zacieniowanej części rysunku można zapisać w postaci
—
A. mk - 3 - 1 .
B. m k - 3 - 1 - 3 k.
m
C. (m - 3){k - 1).
D. (m - 3)(k + 1).
I
k
l
I] 13. O ile zwiększy się pole prostokąta o bokach a i b, gdy każdy z jego boków zwiększymy o 1,5?
A. 1,5ab + 2,25
B. ab + l,5a + 1,56 + 2,25
C. 1,5a + 1,5b + 2,25
D. l,5c + 1,56 + 22,5
II 14. Oblicz obwód trójkąta pokazanego obok. Odpowiedź
podaj w formie wyrażenia w najprostszej postaci.
Zapisz o b lic z e n ia .
■
25
1. L i c z b y i w y r a ż e n i a a l g e b r a i c z n e
□ 15. Karol oprawił zdjęcie w passe-partout (franc., wym.
paspartu), czyli kartonową ramkę z otworem
o powierzchni mniejszej od powierzchni oprawionej
ilustracji. Wymiary passe-partout podano obok.
a) Długości boków otworu w passe-partout równe są
A. a, b.
B. a + x, b + x.
C. a - x , b .
D. a - 2x, b - 2x.
b) Oblicz powierzchnię passe-partout. Odpowiedź
zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego.
Zapisz o b lic z e n ia .
Ocfp.
0 16. Na pierwszym przystanku do tramwaju wsiadło x pasażerów, a na następnym wysiadło
d osób i w siadło/osób. Liczbę pasażerów, która jest teraz w tramwaju, określa wyrażenie
A .x-(d + f).
B, x - d - f .
C .x-d + f.
D. xdf.
□ 17. Róża w kwiaciarni kosztuje n zł, a tulipan jest od niej o 20% tańszy. Które z wyrażeń alge­
braicznych nie prowadzi do obliczenia ceny bukietu złożonego z r róż i t tulipanów?
A. m + t(n - 0,2n)
B. m + t • 0,8n
C. n(r + 0,8«)
D , m + t n + 0,2nt
□ 18. Sprzedawczyni zmieszała m kg orzechów włoskich w cenie 26 zł za kilogram i n kg orzechów
nerkowca po 30 zł za kilogram. Jaka jest cena 1 kg przygotowanej mieszanki orzechów?
Zapisz o b lic z e n ia .
O d p .: . . . .
□ 19. Pani Krysia skorzystała z promocji przedstawionej na rysunku
i kupiła plecak, walizkę oraz dwie torby. Ile zapłaciła za zakupy?
Zapis o t)iic zen ia.
_
- :
........... !..
J 3 &
\!
> — r=rt.—
l É É lÊ ) i \
'IÀ <*
...
F r C " '" '
•
1
lis
■O dp.
26
M
U
A
\ A
r
^
*
i
T
\ 7
1.3. W y r a ż e n i a a l g e b r a i c z n e
□ 20. Przed sezonem w październiku 2009 roku sklep podwyższył cenę nart o 10%. Po sezonie
w kwietniu 2010 roku sklep ogłosił obniżkę ceny tych samych nart o 10%. Porównaj ceny nart
we wrześniu 2009 roku oraz w kwietniu 2010 roku. Która z cen była wyższa i o ile procent?
Zapisz o b lic z e n ia .
:;p
21. Wzór na objętość beczki do kisze­
nia ogórków przedstawiono obok.
Przekształć podany wzór tak, aby
wyznaczyć średnicę beczki w naj­
węższym punkcie jej przekroju.
V = ±
H
k H ( 2D2
+ d2)
D - największa średnica
przekroju beczki
d - najmniejsza średnica
u beczki
II - wysokość beczki
¡¡i .
J
22. Drogę przebytą przez ciało poruszające się ruchem ze wrastającą liniowo prędkością w sto­
sunku do czasu, czyli ruchem jednostajnie przyspieszonym, opisuje wzór:
s = s0 + v0t +
n t2
,
gdzie ,s0to droga początkowa ciała, v0 - prędkość początkowa ciała, t - czas trwania ruchu,
a - przyspieszenie. Wyznacz wartość przyspieszenia a.
Z a p iS i c o iic z e n ia
:
27
1. L i c z b y i w y r a ż e n i a a l g e b r a i c z n e
» 1 .4 . R
Ó
W
N
A
N
I A
H
^ H
B
^ H
H
B
H
K
a H
H
H
H
H
n n s n i
□ 1. Czy wartość poniższego wyrażenia jest pierwiastkiem równania: 1 - 3^--92 _ 2 X ?
..
■
>i
i1
V3
•0 7
iT
V
i *
, n i 1
i)
2> \ 3
18
n
I 1
..
..
O d p .:
..........................................................................................................................................................................................................................................................
□ 2. Suma cyfr x iy dwucyfrowej liczby 10x + _y równa jest 9. Podaj wszystkie liczby spełniające
ten warunek.
O d p ,:
..........................................................................................................................................................................................................................................................
□ 3. Do liczby naturalnej x dopisano z prawej jej strony cyfrę 8. Teraz liczba jest o 251 większa
od x. Jaką liczbą jest x?
i
Zapisz o b lic z e n ia .
O d p .:
..........................................................................................................................................................................................................................................................
Cf/D 4. Liczbę 165 rozkładamy na sumę dwóch składników tak, aby jeden był o 30 większy od 35%
drugiego składnika. Te składniki to
A. 65 i 100.
B. 35 i 130.
C. 85 i 80.
□ 5. Na podstawie danych z rysunku obok oblicz wartość x.
Zapisz o b lic z e n ia .
!
)
!
28
D. 60 i 105.
1.4. R ó w n a n i a
-f/ J 6. Prostokątny karton o obwodzie 112 cm rozcięto na dwa identyczne prostokąty o obwodzie
86 cm każdy. Oblicz długości boków kartonu przed rozcięciem.
Zapisz o b lic z e n ia .
■dp........................................................................
...........................................................
j 7. Pola trzech działek mają się do siebie jak 2,5:3:4,5. Oblicz pole każdej działki, jeżeli
największa jest o 720 m2 większa od średniej.
Zapisz o b lic z e n ia .
O d p .:
...
....................................................................................
. . . . . . . . . . . . . .
.
0 8. Bukiet róż kosztuje dwa razy tyle, co bukiet tulipanów.
Bukiet z kwiatów mieszanych kosztuje trzy razy mniej
niż bukiet z róż. Zapisz ceny poszczególnych bukietów
na rysunku obok, jeżeli wartość wszystkich trzech to 33 zł.
Za )is: otoiic zenia.
1
D 9. Dwaj koledzy: Kamil i Alek mają pewną kwotę pieniędzy. Kamil ma tego, co ma Alek.
Gdyby Kamil wydał ^ swoich pieniędzy, a Alek dostał 120 zł, to razem mieliby 1 080 zł.
Jaką kwotę pieniędzy ma każdy z chłopców?
i
Za pis: o ttiic z e n ia .
■¡i p
29
i
i
i
!
i
!
j
]
j
1 Liczby i wyrażenia algebraiczne
□ 10. Z mosiężnego pręta wykonano trzy wałki. Na pierwszy zużyto połowę pręta, na drugi | resz­
ty, a trzeci ma masę 3 kg. Oblicz, jaką masę ma cały pręt.
O dp . . .
...
............................................................................................................
fWu 11. Woda przy maksymalnie odkręconym kranie wypełnia basen w ciągu 8 godzin, a odpływ
odprowadza z niego wodę w ciągu 12 godzin. Przez niedopatrzenie zaczęto napełniać
basen przy otwartym odpływie. Czy woda napełni basen? A jeśli tak, to po ilu godzinach
basen zostanie napełniony?
Zapisz o b lic z e ń 13-
: C.:.
□ 12. Marysia ma 25% wieku swojego ojca, a jej brat Adam y wieku Marysi. Ile lat ma każda
z osób, jeżeli razem mają 64 lata?
Zapisz o b lic z e n ia .
Odp.:
0 13. Zwierzęta Tomka - hodowcy chomików i papug - mają razem 12 głów i 34 nogi. Zaznacz
równanie, które pozwoli obliczyć, ile chomików i ile papug ma Tomek.
A. x • 2 + (12 - x ) • 4 = 34
B. 2x • 4x = 34
C. (2 + 4>t = 34
D. 12x + (12- x ) • 4 = 34
u 14. Ze zbiornika zawierającego 180 1 benzyny odlano taką jej ilość, że w zbiorniku pozostało
cztery razy tyle paliwa, co odlano. Ile paliwa zostało w zbiorniku?
A. 36 1
B. 45 1
C. 144 1
30
D. 180 1
1.4. R ó w n a n i a
13 15. Turysta pokonał trasę w ciągu 2 dni. W pierwszym przeszedł o 8 km więcej niż w drugim
i pokonał | całej trasy. Oblicz, ile kilometrów turysta przeszedł każdego dnia oraz podaj
długość całej trasy.
t
i
1
i
i
,:dp.
H 16. Pasażer płaci 5 złotych, gdy taksówkarz uruchomi taksometr. Za prze­
jechanie 1 km taksometr wybija 3 zł. Które równanie pozwoli obliczyć,
ile kilometrów przejechał pan Jan, jeżeli za kurs zapłacił 61 zł?
A. 5 + 3 * = 61
B. 3% - 5 = 61
C . 3x = 61 + 5
D. (5 + 3 > = 61
3 17. Taksówkarz miał kurs za miasto. W mieście trasę 7,2 km pokonał ze śred­
nią prędkością 36
Z jaką średnią prędkością przejechał 40-kilometrową trasę za miastem, jeżeli całą trasę pokonał w ciągu godziny?
Zapisz o b lic z e n ia .
dp.;
...............
□ 18. O godzinie 9.00 na trasę o długości 36 km wyjechał rowerzysta, który jedzie ze średnią pręd­
kością 20
Pół godziny później w ślad za rowerzystą wyjechał motocyklista jadący ze
średnią prędkością 36
Oblicz, po jakim czasie motocyklista dogoni rowerzystę.
Zapisz o b lic z e n ia .
K ip
31
1. L i c z b y i w y r a ż e n i a a l g e b r a i c z n e
K 1.5. U K Ł A D Y
RÓWNAŃ
□ 1. Obwód prostokąta ma 60 cm. Jeżeli jeden bok tego prostokąta zwiększy się o 5 cm, a drugi
zmniejszy o 2 cm, to jego pole się nie zmieni. Który z układów pozwoli obliczyć długości
boków tego prostokąta?
fx + y = 60
A. \
x +5 = y - 2
i 2x + 2y = 60
B. 1
[x + 5 + y - 2 = 60
2x + 2y = 60
1 2x + 2y = 60
(x + 5)(y - 2) = 60
{ (x + 5)(y - 2 ) - xy
□ 2. Obwód prostokąta jest równy 40 cm. Jeżeli długość jednego boku zwiększy się o 3 cm,
a drugiego zmniejszy o 3 cm, to otrzyma się kwadrat. Oblicz pole tego prostokąta.
Zapisz o b lic z e n ia .
O d p .:
.........................................................................................................................................................................................................................................................
□ 3. Zmontowano rurociąg długości 344 m, złożony z 46 rur o dwóch długościach: 470 cm i 825 cm.
Uzupełnij równanie w układzie równań prowadzącym do obliczenia liczby rur krótszych
i dłuższych tworzących ten rurociąg.
k + d = 46
□ 4. Dwie przyjaciółki zamówiły po porcji tortu; jedna wybrała śmietankowy, a druga - orze­
chowy i zapłaciły razem 16 zł. Przy stoliku obok za zamówienie złożone z czterech
porcji tortu śmietankowego i dwóch - orzechowego zapłacono 52 zł.
Oblicz, ile kosztuje porcja tortu śmietankowego w tej kawiarni.
Zapisz o b lic z e n ia .
O d p .:
32
1.5. U k ł a d y r ó w n a ń
□ 5. Na podstawie układu równań uzupełnij dane w treści zadania.
x
+ y = 40
Ile kilogramów cukierków dwóch rodzajów po
20x + 30_y = 24-40
zł i
gram należy odważyć, aby otrzymać 40 kg mieszanki w cenie
złzakilozł?
I 6. Klientka kupiła rano tort owocowy oraz 15 ciastek i za­
płaciła 54 zł. Po godzinie 18 cukiernia przecenia niesprzedane torty o 40%, a ciastka - o 60%. Klient, który
wieczorem kupował 2 torty i 20 ciastek zapłacił 44,80 zł.
Jaka była cena tortu, a jaka - ciastka przed przeceną?
; 2?pśsz o d le ż e n ia
|
!
I
; ;
0<
I 7. Za trzy zeszyty i dwa długopisy zapłacono 26,20 zł. Po podwyżce ceny zeszytu o 10%, a ceny
długopisu o 20%, za tę samą liczbę zeszytów i długopisów zapłacono 30,42 zł. Oblicz cenę
zeszytu i długopisu po podwyżce cen.
z
O dp .:
I 8. W klasach 2a i 2b było razem 61 uczniów. W zorganizowanych zawodach sportowych brała
udział 29-osobowa drużyna złożona z 80% uczniów klasy 2a i 25% uczniów klasy 2b. Oblicz
liczbę uczniów każdej z klas.
zap ■
|
O dp.:
35
1. L i c z b y i w y r a ż e n i a a l g e b r a i c z n e
□ 9. Drużyna za pięć meczów wygranych i cztery zremisowane otrzymała 29 punktów, a za cztery
wygrane i cztery zremisowane 24 punkty. Ile punktów drużyna otrzymuje za mecz wygrany,
a ile - za remis?
Li
10. Przed 10 laty ojciec był jedenaście razy starszy niż syn. Ile lat ma obecnie ojciec, a ile syn, jeżeli
za 10 lat będą mieli razem 64 lata? Wskaż układ równań pozwalający odpowiedzieć na pytanie.
A.
[x = l l y
B.
+ 10 + y + 10 = 64
C.
fjc - 1 0 = l( y — 10)
jx + 10 + y + 10 = 64
D.
[x + y — 64
U
J x - 1 0 = ll(y - 10)
|x = 11y
[x + y = 64
11. Zapisz w ramkach wiek Patryka i jego mamy.
i ZE
■■ ■ ' '
=r i
U 12. Teofil i młodsza od niego Agata mają razem 105 lat. Różnica ich wieku równa się połowie
liczby lat Agaty. Ile lat ma Agata, a ile - Teofil?
U
:
34
1.5. U k ł a d y r ó w n a ń
13. Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 12. Jeżeli odejmiemy od tej liczby liczbę otrzymaną
przez przestawienie cyfr w liczbie pierwotnej, to otrzymamy 54. Który z układów pozwoli
znaleźć tę liczbę?
fx + y = 12
A.
^
fx + y — 12
B-
[jcy = 54
[2xy = 54
J x +; y = 12
J l 0 x + y = 12
| l(k + y - 10y - x = 54
[ 10x + y - 10y + x = 54
Z 14. Znajdź taką liczbę dwucyfrową, żeby suma jej cyfr wynosiła 14 i żeby po przestawieniu cyfr
otrzymać liczbę większą od liczby szukanej. Ile jest takich liczb? Podaj wszystkie
rozwiązania.
Z:
Odp : ...................... .............................. .. ........................................................................ .. . .................................................................... ..............................
I 15. Mianownik ułamka jest o 7 większy od jego licznika. Gdy od licznika i mianownika odję­
to 8, to otrzymano ułamek równy
Jaki to ułamek?
zap
i
O dp .:
................................................................................ .. .....................................................................................................................................................................
16. Zaznacz układ równań prowadzący do znalezienia dwóch liczb, których suma równa jest 35.
Jeżeli pierwsza z liczb będzie większa o 20%, a druga mniejsza o 20%, to ich suma
zwiększy się o 3.
fx + y = 35
A.
c
[20% -x + 20% -y = 35
j x + y = 35
{120% •x - 2 0 % •y = 35 +3
i x + y = 35
B^
[20% - x - 2 0 % - y = 35
j x + y = 35
'
55
1120%-x +
8 0 % -y = 35 +3
1. L i c z b y i w y r a ż e n i a a l g e b r a i c z n e
tf/O 17. Gdyby turysta powiększył swoją prędkość o pewną liczbę kilometrów na godzinę,
to drogę 24 km przebyłby w ciągu 6 godzin. Gdyby zaś prędkość o tę samą liczbę
zmniejszył, to ową drogę przeszedłby w ciągu 8 godzin. Z jaką prędkością idzie turysta?
Zapisz o b lic z e n ia .
O d p .:
□ 18. Odległość między przystaniami A i B równa jest 36 km. Kurs statku z A do B odbywa
się pod prąd rzeki i trwa 3 godziny, a z B do A - 2 godziny. Jaka jest prędkość prądu
rzeki, a jaka - statku na wodzie stojącej?
Zapisz o b lic z e n ia .
i
i
—
....L
O dp.
□ 19. Krawcowa dostała 32,8 m materiału, z którego ma uszyć 11 kostiu­
mów w dwóch rozmiarach. Ile kostiumów każdego z rozmiarów
uszyje, jeżeli na kostium w większym rozmiarze potrzebuje go 3,2 m,
a w mniejszym - 2,8 m i chce wykorzystać cały materiał?
1
1.5. U k f a d y r ó w n a ń
20. Zaznacz układ równań, który pozwoli obliczyć, ile trzeba zmieszać octu o stężeniu 6%
z octem o stężeniu 10%, żeby otrzymać 20 1 o stężeniu 7%.
A.
+ y — 20
B.
lo,6 -jc + 10% -y = 20
[ ó %- x + 10% -y = 7% • 20
C.
j"x + y = 20
■y = 20
D.
\ ó %- x + 10% -y = 7% • 20
fX + y = 10
l_0,06 • x - 0,01 • y = 0,07 • 20
21. W 18 kontenerach dwóch rodzajów: o pojemności 4 1 i 6 1, znajduje się 88 ton kawy. Oblicz
liczbę kontenerów większych i mniejszych, zakładając, że są zapakowane do pełna.
zap
|
|
|
|
I
i
• 1i
:
i
l
3 d p.:
I 22. Trzy skrzynki z towarem mają łącznie masę 250 kg. Trzecia skrzynka jest o 10 kg cięższa
niż pierwsza i druga razem, a druga z trzecią razem są cięższe o 110 kg od pierwszej. Jaką
masę ma każda skrzynka?
Zapisz o b lic z e n ia .
3 d p .:
........................................ ...............................................................................................................................................................................................................
_ 23. Uczestnikowi teleturnieju zadano 40 pytań. Za poprawną odpowiedź otrzymywał 10 punktów,
a tracił 5 punktów za błędną odpowiedź. Na ile pytań uczestnik odpowiedział błędnie, jeżeli
zdobył w sumie 340 punktów?
Zapisz o b lic z e n ia .
.i
O d p .;
...
................................................................................... .................. .. ......................................................................... .. ............................. .. ................................
37
2.
W Y CR , 5 “ F U N K C J I
■ 2.1. F UNKCJ E m m m m m m m m m m m m m m m m m m M g&ff»t
£MR£g<1 »
U 1. Zaznacz rysunek przedstawiający wykres funkcji, która zawsze przyjmuje wartości ujemne.
U 2. Zaznacz współrzędne punktu należącego do wykresu funkcji o wzorze y — -2x +1.
A. (-1,3)
B. (-2, -5)
C. (1, -3)
D. (5, 9)
□ 3. Który rysunek przedstawia wykres funkcji stałej?
y
.
.
n
B
i
y
X
1
X
L) 4. Zaznacz wykres funkcji, której miejscem zerowym jest liczba 3.
i1
D
□ 5. Zaznacz właściwe dokończenie zdań określających własności funkcji
zilustrowanej obok.
A
B
C
-2.
0.
3.
II. Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla
x > 3.
x >3.
x < 3.
III. Do wykresu funkcji należy punkt
(6, 2).
(6, -2). (3,-2).
I. Miejscem zerowym funkcji jest liczba
38
:X
2.1. F u n k c j e
~ W klepsydrze w ciągu sekundy przesypuje się 0,5 g piasku.
a» Uzupełnij tabelę określającą zależność ilości piaskuj od czasu jego przesypy­
wania się w klepsydrze x. Sporządź wykres tej zależności.
X
5 S
15 S
30 S
1 m in
2 m in
y
xy-
czas przesypyw ania się piasku
ilość przesypanego piasku w gram ach
b iic z e
b) Ile czasu odmierzyła klepsydra, jeżeli przesypało się w niej 45 dag piasku?
A. 225 sekund
B. 5 minut
C. kwadrans
D. pół godziny
c) Jaka masa piasku przesypałaby się w klepsydrze odmierzającej 12 godzin?
A. 43,2 kg
B. 4,32 kg
C. 2,16 kg
7. Karol dostał pewną kwotę pieniędzy, którą
w całości ma przeznaczyć na zakup jednego,
dowolnego rodzaju cukierków. Wykres
przedstawia zależność między ceną cukier­
kowy, a ich ilością x, którą Karol może kupić
za daną kwotę.
yx-
v
/i n
A. y = 36x
B .y =
C.y=f
D.y = 3,6x
cen< cułcierków w złotych za 1 kg i
ilość cukierków w kilogramach . V ,
-
I
70
. .'
.. ..
..........
■... ■■■{.... ■
. .
■ ■■■ •
. ■.......
.. ,.|
a) Który wzór wyraża zależność przedsta­
wioną na wykresie?
D. 21,6 kg
on
;
........i........
•
40
►
b) Określ prawdziwość zdań I-II. Wstaw
znak X przy właściwej odpowiedzi.
1
2
3
LJ
3 i
X
I. Gdyby Karol wybrał cukierki w cenie 25 zł za kilogram, to kupiłby ich 1,44 kg.
□ TAK
□ NIE
II. Karol kupił 2,40 kg cukierków, co oznacza, że wybrał te w cenie 15 zł za kilogram.
□ TAK
39
□ NIE
2. W y k r e s y f u n k c j i
1 2 2. o d c z y i y w a n i e
w y k r e s ó w
U 1. Wykres poniżej przedstawia dynamikę zmian cen pewnego modelu telewizora w jednym
ze sklepów internetowych w okresie 1.07.2010 r. - 30.09.2010 r.
Określ, które stwierdzenia (I-V) są prawdziwe, a które fałszywe. Wstaw znak X w odpowied­
nie miejsce tabeli.
PRAW DA
I.
FAŁSZ
Cena telewizora 26 lipca była równa 1 325 zł.
II. Różnica między minimalną i maksymalną ceną telewizora
w danym okresie była równa 55 zł.
III. Cena, która utrzymywała się najdłużej, to 1 320 zł.
IV. W dniu 16.07.2010 r. odnotowano największy spadek ceny.
V. W pierwszej dekadzie sierpnia średnia cena telewizora
wyniosła 1 311,50 zł.
I n f o r m a c j a do z a d a ń 2-7
Rodzina Nowaków spędziła niedzielne
przedpołudnie na wycieczce za miasto.
Nowakowie po wyjściu z domu poszli pieszo
na przystanek, a następnie autobusem poje­
chali do podmiejskiego parku krajobrazowe­
go. Tam przeszli trasę jednego ze szlaków
turystycznych i udali się na przystanek ko­
lejki miejskiej, którą wrócili do domu.
Wykres przedstawia średnie prędkości poru­
szania się Nowaków w odcinkach czasu odpo­
wiadających kolejnym etapom ich wyprawy.
U 2. Ile minut spędzili Nowakowie na przystan­
kach w oczekiwaniu na środki transportu?
A. 5
B. 10
C. 15
t - czas
v - prędkość (w km na godz.)
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15 J
10
5
0
—
i------- 1------- 1—
i------- i------- i—
i-------1------- 1—
i------- i—
y
t
—
i------- 1—
r
10°° 1020 1040 1100 1120 1140 1200 1220 1240
D. 20
40
2.2. O d c z y t y w a n i e w y k r e s ó w
: 3 . Zaznacz wykres zależności drogi poruszającego się autobusu od czasu w okresie, gdy
jechała nim rodzina Nowaków.
S - droga (m)
t - czas (s)
s - droga (km)
- droga (km)
■czas (min)
i - czas (min)
a s - droga (km)
t - czas (min)
i
i i i i i
10
20
3
4. Nowakowie, wracając do domu, wybrali najkrótszą trasę. Czy odległość między przystankiem
kolejki a ich miejscem zamieszkania, podana w zaokrągleniu do 10 m, jest równa 830 m?
□ TAK
□ NIE
5. Obok zilustrowano fragment wycieczki rodziny Nowaków.
Podaj przedział czasowy, którego dotyczy wykres.
Zapisz o b lic z e n ia .
|
j
i
j
j
i-c z a s (godz.)
!
O dp.:
I 6. Oblicz, jaką długość miał szlak wybrany przez Nowaków, zakładając, że 10% czasu zajęła
im łączna droga z przystanku do szlaku oraz od szlaku do kolejki?
Zapisz o b lic z e n ia .
O dp .:
_ 7. Ile kilometrów łącznie pokonali Nowakowie podczas niedzielnej wycieczki?
Zapisz o b lic z e n ia .
O dp.:
41
2. W y k r e s y f u n k c j i
u 8. Wykres przedstawia rozkład minimal­
nych i maksymalnych temperatur po­
wietrza odnotowanych w kolejnych
miesiącach na Śnieżce.
y
20°C
16°C
I. W którym miesiącu na Śnieżce jest
najcieplej?
x - miesiąc
temperatura powietrza:
maksymalna — •------minimalna
— *-------
12°C
8°C
4°C
0°C
II. W którym miesiącu różnica między
temperaturą powietrza minimalną
i maksymalną jest najmniejsza?
-4°C
-8°C
-12°C
III. W którym miesiącu średnia temperatura powietrza jest najniższa?
IV. Jaka jest średnia temperatura powietrza na Śnieżce w październiku?
V. Jaka jest średnia minimalna temperatura powietrza w okresie od stycznia do marca?
0 9. Na wykresie zilustrowano zależność śred­
niej wartości ciśnienia atmosferycznego p
i wysokości nad poziomem morza h.
h - wysokość n.p.m. (w km)
p - ciśnienie (w hPa)
a) W obserwatorium meteorologicznym
na Śnieżce (1 602 m n.p.m.) barometry
wskazują około
A. 358 hPa.
B. 538 hPa.
C. 830 hPa.
D. 985 hPa.
b) Ciśnienie atmosferyczne na wierzchoł­
ku Mount Everestu (8 848 m n.p.m.)
równe jest
A. 28 000 Pa.
B. 1800 Pa.
C. 280 Pa.
D. 180 Pa.
200 300 400 500 600 700 800 900 1 000
c) Na jakiej wysokości średnie ciśnienie atmosferyczne równe jest 50 000 Pa?
A. 8 400 m n.p.m.
B. 4 800 m n.p.m.
C. 840 m n.p.m.
D. 480 m n.p.m.
d) Ile razy mniejsze jest ciśnienie na wierzchołku Mount Everestu niż na poziomie morza?
A. ok. 2,5 razy
B. ok. 3 razy
C. ok. 3,5 razy
D. ok. 4 razy
¿2
3.
i RACHUNKU
13 .1. S T A T Y S T Y K A
E L E M E N T Y STATYSTYKI
PRAWDOPODOBIEŃST
OPISOWA!:
I n f o r m a c j a do z a d a ń 1-4
Do części matematyczno-przyrodniczej egzaminu gimnazjalnego, który odbył się 28 kwiet­
nia 2010 roku, przystąpiło 444 115 uczniów. Poniżej przedstawiono dane dotyczące wyników
tej części egzaminu ogłoszone przez Centralną Komisję Egzaminacyjną.
□ 1. Uzupełnij zdania.
Do części matematyczno-przyrod­
niczej egzaminu przystąpiło
uczniów. Wynik minimalny wyniósł
, a maksymalny Najwięcej zdających uzyskało wynik
. Maksymalną liczbę punktów
zdobyło ok.
% zdających.
I 2. Ilu uczniów zdobyło 28 punktów?
ź . a o i^
a b
; c z ć ? r . i2 .
;
o
:
3. Aby obliczyć, jaki procent zdających sta­
nowili uczniowie szkół wiejskich, wystarczy
wykonać działanie:
Wyniki części matematyczno-przyrodniczej egzaminu
gimnazjalnego a wielkość miejscowości
Wyszczególnienie
A. 154 119 : 444 115.
Wieś
Liczba
uczniów
Średnia
154119
22,93
B. (154 119 : 444 115) • 100%.
Miasto do 20 tys. mieszkańców
84 870
23,03
C. (444 115 • 100%) : 154 119.
Miasto od 20 tys. do 100 tys. mieszkańców
90 769
24,18
D. 444 115 - 154 119 • 100%.
Miasto powyżej 100 tys. mieszkańców
104 362
25,77
4. Czy Patrycja prawidłowo liczyła średnią punktów uzyskaną przez uczniów szkół w miastach?
W miejsce oznaczone jako I wpisz T A K lub N I E , a w oznaczone jako II - wybrane uzasadnie­
nie: A lub B.
(I)
, ponieważ (II)
Obliczenie Patrycji:
A. Patrycja wyliczyła średnią arytmetycz­
ną, a nie średnią ważoną.
23.03 + 24.18 + 25.17 _ 72.38 „
B. Patrycja wyliczyła średnią ważoną, a nie
średnią arytmetyczną.
43
24,13
3. E l e m e n t y s t a t y s t y k i i r a c h u n k u p r a w d o p o d o b i e ń s t w a
□ 5. Grafika przedstawia zróżnicowanie plonów oraz udział poszczególnych województw w zbio­
rach ziemniaków w 2008 roku.
a) Średnie plony z 1 ha w Polsce
w 2008 roku wynosiły
A. 1 910 kg.
B. 19 100 kg.
C. 1,91 tys. kg.
D. 191 tys. kg.
b) Najwyższe plony z hektara
odnotowano w województwie
A. mazowieckim.
B. dolnośląskim.
C. opolskim.
165 185 205 225 245
*decytona - jednostka miary stosowana
w rolnictwie; 1 decytona Idtl = 0,1 tony Iti
D. łódzkim.
c) Podaj nazwy województw, w których zebrano więcej niż 20,5 tony ziemniaków z hektara.
d) Podaj nazwy województw, których udział w zbiorach krajowych przekroczył 12%.
□ 6. Skład chemiczny ziemniaka uzależniony jest od jego odmiany.
Średnią zawartość składników odżywczych w ziemniakach
przedstawiono poniżej.
składniki mineralne -1 %
białko —1%~|—|
woda - 78%
D
in n e -
[błonnik -1 ,5 % ]
skrobia-1 7 ,5 %
J1
i
i
i
i
1
20
40
60
80
100 %
Zapisz o b lic z e n ia .
w 50 kg ziemniaków.
1
_j....
O d p .:
i
Zapisz o b lic z e n ia .
dostarcza średnio 30 g błonnika.
O dp .:
44
—
3.1. S t a t y s t y k a o p i s o w a
I n f o r m a c j a do z a d a ń 7 -1 0
W Polsce powierzchnia obszarów chronionych równa jest 104,2 tys. km2. Na 1 000 mieszkań­
ców przypada 265 ha obszaru objętego ochroną. Główny element systemu ochrony to 23 parki
narodowe o łącznej powierzchni 3 145 km2. Równie ważne są inne formy ochrony przyrody,
w tym rezerwaty przyrody zajmujące obszar równy 1 736 km2, parki krajobrazowe - 25 138 km2,
a także obszary chronionego krajobrazu - 69 691 km2.
Dane liczbowe dotyczą roku 2008; źródło danych: „Mały rocznik statystyczny Polski 2009”, GUS, Warszawa 2009
_ 7. Powierzchnia Polski równa jest 322 575 km2. Jaki procent powierzchni naszego kraju stanowią
obszary objęte ochroną?
Zapisz o b lic z e n ia .
. J.. .
O dp.:
_ 8. Ile m2 obszaru chronionego przypada na jednego mieszkańca Polski?
|
Zapisz o b lic z e n ia . |
O dp .:
_ 9. Jaką część wszystkich obszarów chronionych w Polsce zajmują parki krajobrazowe?
i
ZapśS2 o b lic z e n ia .!
|
l
i
1
O d p .:
..........................................................................................................................................................................................................................................................
_ 10. Zaznacz diagram, który poprawnie prezentuje obszary chronione z uwzględnieniem form
ochrony przyrody.
I
I - parki narodowe O
- rezerwaty przyrody § H - parki krajobrazowe B
45
- obszary chronionego krajobrazu H
- inne
3. E l e m e n t y s t a t y s t y k i
i
rachunku prawdopodobieństwa
H 11. Tabela obok przedstawia dane dotyczące wyna­
lazków zgłoszonych w Urzędzie Patentowym
Rzeczypospolitej Polskiej.
Wyszczególnienie
zgtoszone
udzielone patenty
C. 2007
B. 2005
b) Jaka była średnia udzielonych patentów
w latach 2007-2008?
2005
2007
2008
2 404
2 028
2 392
2 488
939
1 054
1 575
1451
Wynalazki:
a) W którym roku stosunek liczby wynalazków
zgłoszonych do liczby udzielonych patentów
był najwyższy?
A. 2000
2000
'• 5b:
D. 2008
!
?enia.
c) Ile wynalazków w 2008 roku zgłosiły osoby fizyczne?
Wynalazki w 2008 r.
według podmiotów
zgłaszających
R ] - placówki naukowe
i I - podmioty gospodarcze
[ i - osoby fizyczne
d) O ile punktów procentowych więcej
wynalazków zostało zgłoszonych przez
placówki naukowe niż osoby fizyczne?
Z apisz o b lic z e n ia .
|
i
i
i
□ 12. Wykres przedstawia kurs euro w NBP obowiązujący w ostatnim dniu miesiąca.
I. Kiedy odnotowano najwyższy a kiedy najniższy kurs euro?
zt
420
400
380
360
II. O ile złotych mniej płacono za 100 euro
we wrześniu 2000 roku w stosunku do
czerwca tegoż roku?
340
320
300
Kurs: 100 e u r o ------- 2000 ------- 2005 ..........2007 = 2 0 0 8
rLl EU. W którym kwartale, którego roku nastąpił najwyższy wzrost kursu euro, a w którym
wahania kursu były najmniejsze?
46
3.1. S t a t y s t y k a o p i s o w a
I n f o r m a c j a do z a d a ń 1 3 -1 7
Źródło: „Mały rocznik statystyczny Polski 2009”,
GUS, Warszawa 2009
Liczba użytkow ników Internetu w roku 2000 i 2008 w wybranych państwach świata
1392_______________________________________
807
2000
2008
Stany
Zjednoczone
liczba użytkow njków
na;i 000 mieszkańców
400
600
I
800
1 000
13. W którym kraju liczba użytkowników Internetu wzrosła w latach 2000-2008 4,5 razy?
A. W Rosji.
B. W Turcji.
C. W Polsce.
D. We Włoszech.
14. Procentowo najwięcej wzrosła liczba użytkowników Internetu
A. w Nowej Zelandii.
B. we Włoszech.
C. w Rosji.
D. w USA.
15. Oblicz, ilu spośród 38 min Polaków korzystało z Internetu w roku 2000.
Zap.i; r b r« e n :•
|
I
esc
_ 16. Oblicz, o ile punktów procentowych wzrosła liczba użytkowników Internetu w Danii
w 2008 roku w porównaniu z rokiem 2000.
Zapisz cl-)iic zen ¡3. i
.
.
.......
O dp.:
_ 17. Oblicz liczbę ludności Francji w 2008 roku, jeżeli wówczas z Internetu korzystało 31,8 min
Francuzów.
Zapis? obliczenia.
;
..
47
...
3. E l e m e n t y s t a t y s t y k i i r a c h u n k u
prawdopodobieństwa
I n f o r m a c j a do z a d a ń 1 8 -1 9
Wykres przedstawia średnią dzienną zapadalność na grypę w sezonach 2005/6-2009/10
według okresowych meldunków Krajowego Ośrodka ds. Grypy. Zapadalność jest to liczba
nowo zarejestrowanych przypadków grypy w przedziale czasu na 100 tys. osób.
Ci /U 18. Zapisz trzy informacje, które możesz odczytać z wykresu, np.: ustal charakterystyczną
cechę rozkładu zapadalności na grypę dla każdego spośród zilustrowanych sezonów,
określ tendencję obserwowaną w ciągu ostatnich dwóch sezonów w porównaniu z po­
przednimi.
19. W okresie od 16 do 22 lutego 2010 roku średnia dzienna zapadalność wynosiła 5,0
na 100 tys. ludności. Oblicz przybliżoną, łączną liczbę zachorowań na grypę w tym okre­
sie, przyjmując, że liczba ludności Polski wynosiła 38,1 min.
- o>:ik zer
:
48
3.2. W p r o w a d z e n i e d o r a c h u n k u p r a w d o p o d o b i e ń s t w a
3 .2 . W P R O W A D Z E N I E
DO
RACHUNKU
PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1. Ile jest możliwych wyników dwukrotnego rzutu monetą?
O dp .:
...........................................................................................................
2. Sześcienna kostka ma jedną ściankę czer­
woną, dwie - żółte, a trzy - niebieskie.
Uzupełnij drzewko przez pokolorowanie
pól zgodnie z możliwymi wynikami
zdarzenia polegającego na dwukrotnym
rzucie tą kostką.
3. Narysuj drzewko ilustrujące eksperyment
losowy polegający na trzykrotnym rzucie
monetą.
4. Eksperyment polega na dwukrotnym rzucie sześcienną kostką do gry ze ścianami ponu­
merowanymi cyframi od 1 do 6.
I. Zapisz zbiór zdarzeń elementarnych tego eksperymentu.
II. Wypisz te zdarzenia, w których wypadała ta sama liczba oczek na obu kostkach.
5. W pudełku znajdują się trzy kartki oznaczone cyframi: 0, 1 i 2.
I. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne eksperymentu polegającego na losowaniu
kartek i układaniu ich w kolejności wylosowania.
II. Ile liczb trzycyfrowych uzyskano w tym eksperymencie?
49
3. E l e m e n t y s t a t y s t y k i
i rachunku
prawdopodobieństwa
□ 6. W pudełku znajdują się trzy kule: dwie oznaczone cyfrą 2 i jedna oznaczona cyfrą 1.
Losowano pojedynczo, i bez zwracania, trzy kule i zapisywano ich numery w kolejności
wylosowania. Ile liczb parzystych można otrzymać w wyniku opisanego zdarzenia?
|
Zapis: o b lic z e ń a.
o a p ................................................................
[
-
□ 7. Marcysia ma w szufladzie 9 różnych par kolczyków. Ile kolczyków musi wyciągnąć z szufla­
dy (nie zaglądając do niej), aby mieć pewność, że skompletuje jedną parę.
Odp..:
........................................................................................... ...........................................................................................................................................................................
■
..
. ...................................................................................... .....
□ 8. Kajetan zabrał na wycieczkę trzy różne czapeczki, trzy koszulki - każda w innym kolorze
oraz trzy pary spodni o różnej długości nogawek. Ile maksymalnie różnych zestawów stro­
ju może skomponować Kajetan z zabranych elementów garderoby?
Zapisz o b lic z e n ia .
i
s
j
i
l
On,;.;
............................
U 9. W szkolnym turnieju piłki siatkowej bierze udział 5 klasowych drużyn. Ile meczów należy
zaplanować, aby każda drużyna zagrała z każdą z drużyn?
Zapisz o b lic z e n ia . ]
i
|
i
|
i
J :ip .:
50
__ !
4. F I G U R Y
PŁASKIE
4.1. T R Ó J K Ą T Y
1. Na podstawie rysunku wskaż równość fałszywą.
A . <£a = < 5
B. ^ a + <(3 = 180°
aU
/
C. <£p + <Xy = 180°
D . ^ y + < a = 180°
2. Rumb jest jednostką miary kąta stosowaną w nawigacji, służy m.in. do określania miejsc
na widnokręgu i zmiany kierunku wiatru. Jeden rumb to ^ kąta pełnego, czyli
A. 32°.
B. 11,25°.
C. 45°.
D. 16,25°.
3. Pod jakim kątem przetną się proste a i b z rysunku obok?
A. 60°
B. 35°
C. 40°
D. 25°
Ustal kolejność czynności podczas konstrukcji kąta o mierze 45°. Wstaw w kratki odpowied­
nie numery.
Z wierzchołka kąta (O) kreślimy półprostą przechodzącą przez punkt wspólny
przecięcia okręgów.
] I.
n. Punkty przecięcia okręgu z ramionami kąta oznaczamy jako A i B.
] HI. Z wierzchołka kąta prostego oznaczonego jako O kreślimy okrąg o promieniu R
tak, aby przecinał ramiona kąta.
] IV Z punktował i B kreślimy okręgi o promieniach równych OA lub większym.
5. Długość odcinka BD na rysunku jest równa
A. 16 cm.
a \\b
|£ B | = 2 4 cm
B. 8,5 cm.
|AB | = 8 cm
C. 7,5 cm.
\AC | = 5 cm
D. 7 cm.
6. Wskaż prawdziwą równość, dotyczącą trójkąta
na rysunku obok.
A
.k + m - p
C. k 2
=
m 2 -I- p 2
B. p 2 = k2 • m 2
D . p 2 = k2 + m 2
51
4. F i g u r y p ł a s k i e
U 7. Oblicz długość boku trójkąta równobocznego, jeżeli jest ona o 2 cm większa niż wysokość
tego trójkąta.
Z;
; ■■ '
;
1
0cip ........................
.
. .. .
U 8. Oblicz pole trójkąta równoramiennego o obwodzie równym 84 cm i podstawie równej 36 cm.
Zapisz o b lic z e n ia .
i
Od
D 10. Miara dwóch kątów wewnętrznych trójkąta równa jest 30° i 45°, a jego wysokość poprowa­
dzona do najdłuższego boku ma 6 cm. Oblicz obwód trójkąta.
Zapisz o b lic z e n ia . |
i
i
i
1
i
f
1
i
i
j
Cc :
52
4.1. T r ó j k ą t y
11. Oblicz skalę podobieństwa trójkąta ARK do trójkąta ECK.
a
B
_ 12. Samochodowy trójkąt odblaskowy ma kształt trójkąta równobocznego o wysokości 7 cm.
Jaką powierzchnię ma ten element odblaskowy?
Zapisz obliczenia.
_ 13. Oblicz wysokość drzewa.
53
4. F i g u r y p t a s k i e
B 4 .2 . W I E L O K Ą T Y
H
B
1. Oblicz pole i obwód czworokąta A B CD.
1D
/
Zapisz obliczenia.
'1
Z,
■
\
i1k
\
/
odp.
□ 2. Oblicz pole prostokąta, jeżeli jego przekątna ma 12^3 cm, a jeden z boków 12 cm.
Zapisz obliczenia.
Odp.
□ 3. Przekątne prostokąta o długości 18 cm tworzą kąt 60°. Oblicz obwód prostokąta.
Zapisz o bliczenia.
1 i 1
1
;
i
O dp.:
□ 4. Stosunek długości sąsiednich boków prostokątnej działki jest równy 7:3, a długość płotu
otaczającego całą działkę jest równa 60 m. Oblicz długość przekątnej działki.
i Zapisz oblicze nia.
—
!
_
1
I
|
Odp.
54
4.2. W i e l o k ą t y
_ 5. Wykonaj rysunek i oblicz obwód czworokąta o współrzędnych wierzchołków: A = (-4, 3),
B = (-3, -1), C = (2, -2) i D = (1, 2).
Zapisz o bliczenia.
!!
y
|
......r...~
i
|
i
:
1
X
\
1
j
!
cap.
I 6. Oblicz pole i długość krótszej przekątnej równoległoboku.
:a p .:
", Podstawy trapezu równoramiennego mają długość 7 cm i 11 cm, a ramię - 4 cm. Oblicz
pole tego trapezu.
Zapisi
|
.
\
...
I
........................!
...:...
...........
...
I
!
|
—
i
I
!
i
:
j
:
j
:
55
4. F i g u r y p ias fd e
□ 8. Oblicz pole i obwód trapezu prostokątnego o podstawach równych 6 cm i 12 cm i krótszej
przekątnej - 1 0 cm.
Zapisz ob'!Czenia.
O d p .:...........................................................................................................................................................................................................................................
CfJU 9. W trapezie równoramiennym podstawy mają 4 cm i 8 cm, a przekątna dzieli kąt przy dłuższej
podstawie na połowy. Oblicz pole trapezu.
Zapisz obliczenia.
Odp.:
........................................................ ...............................................................................................................................................................................
□ 10. Przekątne rombu mają 10 cm i 24 cm. Bok tego rombu ma długość równą
A. 26 cm.
B. 22 cm.
C. 13 cm.
D. 11 cm.
□ 11. Oblicz pole i miarę kąta ostrego rombu, którego bok ma długość 20 cm, a dłuższa przekątna
- 201/3"cm.
Zapisz obliczenia.
■
Odp.:
56
<3.2. W i e l o k ą t y
_ 12. Oblicz obwód rombu, którego dłuższa przekątna ma długość 6 ^ cm, a kąt ostry miarę 60°.
Zapisz ol5liczema.
1
13. Kąty wewnętrzne trapezu z rysunku obok mają miary:
A. 30°, 45°, 135° i 150°.
B. 30°, 45°, 125° i 160°.
8
C. 45°, 60°, 120° i 135°.
^
D. 30°, 60°, 120° i 150°.
4
\4V 2
r-
\
14. Pole trapezu prostokątnego ma 72 cm2, a różnica długości podstaw tego trapezu równa
jest 6 cm. Oblicz obwód trapezu, jeżeli jego wysokość jest równa 4 cm.
m sz
o D ii C z ę n ia
15. Które spośród zilustrowanych obok prostokątów są podobne?
A. Żadne dwa
B. I i II
C. I i III
1,5
1,5
I
II
2’5
D. II i III
57
III
4. F i g u r y p i a s k i e
□ 16. Uzupełnij zdanie, a następnie oblicz skalę podobieństwa trójkąta A B K do trójkąta DKC.
Trójkąty A B K i DKC są podobne, ponieważ
5 cm
D
Zapisz obliczenia.
Ocip.:
I
!
c
I
.................................................................................................................................
□ 17. Rysunek przedstawia plan działki w skali 1:4 000.
Uwaga: Wyniki pom iaru na rysunku zaokrąglij do 1 mm.
a) Działka ma kształt trapezu o podstawach 80 m
i 240 m oraz wysokości równej 60 m.
□ PRAWDA
□ FAŁSZ
b) Powierzchnia działki jest równa
A. 0,96 a.
B. 9,6 a.
C. 96 a.
D. 960 a.
c) Oblicz, ile metrów siatki potrzeba na ogrodzenie tej działki. Przymij, że V220 ~ 14,3,
l/292 -1 7 ,1 .
Zapisz obliczenia.
j _ i ..L i _i.j__ L
Odp.
□ 18. Kąty wewnętrzne trapezu widocznego na rysunku obok
mają miary:
A. 65°, 75°, 75° i 145°.
B. 65°, 75°, 105° i 115°.
C. 65°, 75°, 95° i 125°.
D. 65°, 85°, 95° i 115°.
58
4.2. W i e l o k ą t y
19. Plan przedstawia pokoje, które zostaną wytapetowane dwoma rodzajami tapet: pokój A tapetą ze wzo­
rem, a pokój B - gładką. Pokoje mają 2,60 m wyso­
kości, dwoje drzwi o wymiarach 2,20 m X 1 m i cztery
okna o wymiarach 1,35 m x 1,60 m. Oblicz, ile rolek
każdego rodzaju tapety należy kupić, jeżeli przy tape­
towaniu tapetą gładką potrzebne jest 10%, ze wzo­
rem - 25% zapasu, a każda rolka zawiera 8 m2 tapety.
4,5 m
Zapisz ob liczenia .
20. Wartownik w czasie obchodu terenu zakładu porusza się
z prędkością 3 ^ po drodze przedstawionej na rysunku.
a) Jaką drogę pokonuje wartownik podczas jednego obejścia
terenu zakładu?
D
30 m C
80 m
Zapisz oblicze n ia.
E
A
F
90 nr
B
b) Określ odcinek, na którym znajdzie się wartownik w 25 minucie obchodu, jeżeli zaczy­
na go w punkcie D.
Zapisz obliczen ia.
c) Aby obliczyć odległość punktu K od odcinka AB można skorzystać z równości
gdy odcinek \KB\ = \\C B \.
□ TAK
59
□ N IE
ICE I
IKF |
~ \KBy.
4. F i g u r y p ł a s k i e
I n f o r m a c j a do z a d a ń 2 1 -2 4
10 cm
Przedstawiony obok wzór ułożono z czterech rodzajów
drewna oznaczonych na rysunku jako I-IV.
□ 21. Rysunek wzoru wykonano w skali
A. 2:1.
B. 1:2.
C. 4:1.
D. 1:4.
□ 22. Ile osi symetrii ma pokazany obok wzór?
A. 1
B .2
C. 4
D. 8
U 23. Oblicz powierzchnię poszczególnych rodzajów drewna, które tworzą pokazany wyżej
wzór.
: Zapisz obliczenia.
i
—
j
T
-
i
□ 24. Przedstawiony wyżej wzór jest fragmentem
mozaiki, która została ułożona na wieczku
kasetki pokazanej obok.
a) Oblicz powierzchnię wieczka kasetki.
O tlp .:
.........................................................................................................................................................................................................................................................................
b) Powierzchnia dwóch rodzajów drewna mozaiki na kasetce będzie taka sama. Których?
A. I i II
B. II i III
C. III i IV
D. IV i I
c) Ile osi symetrii ma mozaika ułożona na wieczku kasetki?
A. 8
B. 4
C. 2
60
D. 1
4.2. W i e l o k ą t y
I n f o r ma c j a do z a d a ń 2 5 -2 7
Karolina podarowała tacie
własnoręcznie wykonaną kartkę
(rysunek poniżej). Namalowała
tło, na które nakleiła papierowe
elementy żaglówki wycięte z róż­
nokolorowego papieru na podsta­
wie szablonu znalezionego w In­
ternecie (rysunek obok). Na końcu
dodała ozdoby ze sznurka i ramkę.
_ 25. Oblicz pola czworokątnych elementów żaglówki i uszereguj je rosnąco według wielkości pola.
zac
.
C ip .:
_ 26. Oblicz obwody trójkątnych elementów żaglówki.
Zapisz oblicze nia.
|
i
i
... j __
S
_ 27. Jaka jest skala rysunku gotowej kartki, jeżeli elementy szablonu mają wymiar rzeczywisty?
61
4. f ; g u r y p t a s k i e
I n f o r m a c j a do z a d ań 2 8 -3 2
O
U 28. Jaka jest długość boku kwadratowego arkusza, jeżeli zagięcie z pierwszego punktu
instrukcji wykonano w odległości 3 cm od krawędzi?
A. | cm
B. | cm
C. 24 cm
D. 48 cm
□ 29. Oblicz długość linii zgięcia arkusza zaznaczonej w pierwszym punkcie instrukcji przery­
waną linią, jeżeli do wykonania rybki użyto kwadratu o boku 16 cm.
| Zapisz obliczenia.
i
j
I
Otu.:
.
.
. . .
.
.
□ 30. Długość białej przerywanej linii na rysunku z drugiego punktu instrukcji jest równa
A. długości boku kwadratu.
B. połowie długości boku kwadratu.
C. czwartej części długości boku kwadratu.
D. ósmej części długości boku kwadratu.
□ 31. Rybkę wykonano z kwadratowego arkusza o powierzchni 144 cm2. Powierzchnia ciem­
niejszej części z drugiego punktu instrukcji była równa
A. 84 cm2.
B. 76 cm2.
C. 72 cm2.
D. 68 cm2.
u 32. Zaznacz punkt przedstawiający stosunek pola arkusza, z którego wykonano rybkę w zadaniu
nr 28 (P1) do pola arkusza użytego w zadaniu 31 (P9).
A . P i :P2 = 1 : 1
B .P i :P2 = 2:1
C .P i:P2 = 4 :l
D. P ^ P 2 = 8:1
□ 33. Pole powierzchni ilu trójkątów należałoby obliczyć, aby obliczyć pole całego ogona rybki?
A. Pięciu.
B. Czterech.
C. Dwóch.
52
D. Jednego.
4.3. K o t a i o k r ę g i
1. Zaznacz rysunek, na którym odległość środków okręgów równa jest |r - r2.
2. Suma miar kątów wpisanego i środkowego, opartych na tym samym luku w okręgu, równa
jest 120°. Miary tych kątów to
A. 60° i 60°.
B. 20° i 100°.
C. 30° i 90°.
D. 40° i 80°.
3. Na rysunku podane są długości odcinków. Oblicz odległość środka okręgu od narysowa­
nej cięciwy.
m = 5 cm
Zapisz o clirre n a
4. W okręgu o średnicy 10 cm poprowadzono cięciwę o długości 6 cm. Oblicz odległość cięciwy
od środka okręgu.
Zapis: ■
-------
5. Z p u n k tu j okręgu poprowadzono dwie prostopadłe cięciwy o długościach 2 f2 cm i 3"/2 cm
Oblicz pole koła.
Zapisz obliczenia.
!
53
4. F i g u r y p ł a s k i e
U 6. Oblicz pole zacieniowanej figury na rysunku obok.
1
| Zapisz oblicze nia .
.|
1i
□ 7. Oblicz pole zacieniowanej figury.
U 8. Koń chodzi w koło uwiązany na linie o długości 5 m. Jaką drogę pokona, jeżeli przejdzie
20 okrążeń?
■
0 9. Jaką drogę pokona w czasie jednego okrążenia samolot na uwięzi, ...
jeżeli porusza się zgodnie z danymi na rysunku obok?
Zapisz o b lic z e n ia .
1
6 o°;
r
1
|
15
|
U 10. Równik ma długość 40 076 km. Równoleżnik 60° jest o połowę krótszy niż równik. Oblicz
promień tego równoleżnika.
:
i
1
1
i
64
4.3. K o t a i o k r ę g i
I n f o r m a c j a do z a d a ń 1 1 -1 4
Koło widokowe Singapore Flyer ma 150 m średnicy
i umożliwia obserwację panoramy w promieniu 45 km.
W przymocowanych na zewnętrznej obręczy koła 28 kapsu­
łach turyści podróżują z prędkością 0,76
11. Singapurskie koło widokowe umożliwia obserwację
terenu o powierzchni równej
A. 635,85 km2.
B. 6358,5 km2.
C. 141,3 km2.
D. 1413 km2.
12. Oblicz kąt środkowy utworzony przez promienie dwóch
kolejnych kapsuł koła Singapore Flyer.
Zapisz obliczenia. I I I
I
I
!
I
T~ 1
F
13. Oblicz długość łuku koła Singapore Flyer, który wyznaczają dwie sąsiednie gondole.
.....j
Zapisz obliczenia.
:
I
i;
!
.
|
i
1 |
|
|
{
|
|
|
:
i
1
i
1-. Po jakim najkrótszym czasie pasażer, który wsiadł do kapsuły koła Singapore Flyer, znaj­
dzie się w tym samym miejscu? Wynik podaj z dokładnością do minuty.
iścisz obliczenia.
§•
|
65
a. F i g u r y p i a s k i “
1 4.4. WI ELOKĄTY ! OKRĘGI
U 2. W okrąg o promieniu 5 cm wpisano prostokąt, którego boki są w stosunku 3:4. Oblicz pole
tego prostokąta.
Zapisz obliczenia .
I
Ocp.
66
4.4, W ie lo k ą t y i o k r ę g i
. Na rysunku przedstawiono plan bieżni lekko­
atletycznej o obwodzie 400 m. Jaką długość
ma prostoliniowy odcinek bieżni oznaczony
na schemacie jako x l
m
_spisz o ::,:czen a.
I n f o r m a c j a do z a d a ń 6-9
Bileciki do świątecznych prezentów można wykonać własnoręcznie z kolorowego
papieru. Proponujemy wzór z bałwankiem, który pokazano na szablonie poniżej.
Wystarczy je odrysować i przykleić na kolorową prostokątną tekturkę.
6. Podaj stosunek długości promieni czterech rodza­
jów kół użytych do wykonania bałwanka.
<|) = 4,5 cm
Białe koła tworzące bałwanka zostały przykle­
jone w taki sposób, że są styczne zewnętrznie.
W jakiej odległości od siebie leżą środki tych kół?
A. 0,75 cm
B. 1,5 cm
C. 2,25 cm
D. 3,75 cm
<|) —0,3 cm
= 0,4 cm
S. Jaki procent powierzchni głowy bałwana stanowią jego oczy?
Is o is i
(|> = 3 cm
i3.
!
: Na rysunku obok pokazano sposób naklejenia kapelusza na głowę bał­
wanka. Jaka jest długość cięciwy pokrywającej się z brzegiem kapelusza?
: sz
67
4. F i g u r y p ł a s k i e
U 10. Oblicz czerwoną powierzchnię znaku zakazu ruchu o średnicy 80 cm.
l i i
i
:
■
U l i . Oblicz miarę kątów wewnętrznych wielokąta foremnego na rysunku.
:::
c u rc z e ris .
f
Od
□ 12. Na prostokątnej łące o wymiarach 16 m x 8 m właściciel wypasa krowę, która jest przycze­
piona do palika na 8-metrowym łańcuchu. Porównaj powierzchnię, z jakiej krowa może zjeść
trawę, gdy palik umieszczony jest na środku dłuższego boku oraz w narożniku pastwiska.
i
i
,
.
.....................................................................
□ 13. Dno pudełka na pizzę ma kształt kwadratu o boku 33 cm. Maksymalna średnica pizzy
pakowanej do tego rodzaju pudełka równa jest
A. 16,5 cm.
B. 16,5V^2cm.
C. 33 cm.
D. 33i2 cm.
J 14. Begoniami obsadzono kwadrat wpisany w klomb w kształcie koła o promieniu r. Zaznacz
wzór, za pomocą którego można obliczyć pole powierzchni zajmowane przez begonie.
A .P = r
B .P = \ i 2
C .P = \ ( 2 r f
D .P = Ąr2
u 15. Na trójkącie równobocznym o boku a równym 6 cm opisano okrąg.
I. Ile osi symetrii ma otrzymana figura?
A. Żadnej.
B. Jedną.
C. Trzy.
D. Sześć.
II. Z którego wzoru można skorzystać, aby obliczyć wysokość trójkąta.
A. h = \ a
B. h =
C. h = ^ D. h = ai3
III. Jakie jest pole koła wyznaczonego przez opisany okrąg.
A. 4k cm2
B. 1271 cm2
C. 4 cm2
68
D. 12 cm2
5. B R Y Ł Y
■ 5.1. G R A N I A S T O S Ł U P Y
10 cm
10 cm
Ściany sześciennej drewnianej kostki o krawędzi 10 cm
pomalowano farbą, a następnie kostkę podzielono na
mniejsze sześciany (zobacz rysunek).
a) Stosunek liczby sześcianów z pomalowaną jedną ścianą,
z pomalowanymi dwoma oraz trzema ścianami równy jest
A. 1:3:6.
B. 2:4:2.
C. 2:4:4.
D. 3:3:1.
b) Oblicz łączną objętość sześcianów, których żadna ze ścian
nie została pomalowana.
apisz o bliczenia.
_ 2. Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu, którego przekątna ściany ma 8 cm.
Zapisz obliczenia.
.
1
-
|
_
!»
-
I
59
5. B r y ł y
□ 3. Oblicz objętość sześcianu, którego pole powierzchni całkowitej jest równe 13,5 cm2.
|
Zapisz ob liczenia .
i
!
i
i
|
...i
!
i
!
|
Odp.:
□ 4. Jadzia zapakowała prezent dla swojej kuzynki w sześcienne pudełko
o krawędzi równej 20 cm. Oblicz całkowitą długość wstążki, którą
obwiązała pakunek, jeżeli na kokardę przypada 20% długości części
wstążki z pominięciem kokardy.
u
□ 5. Kanister na paliwo ma kształt prostopadłościanu o wymiarach 12 cm X 36 cm x 70 cm.
Ile litrów benzyny mieści kanister?
.... i
Zapisz obliczenia.
_
1
i
!
—
.......
Odp.:
70
5.1. C r a n i a s t o s ł u p y
_
6 . Oblicz objętość prostopadłościennego pudełka, jeżeli jego podstawą jest kwadrat o polu
równym 64 cm2, a przekątna tego pudełka ma długość 12^6" cm.
Zs.'2\SZ0 )liczenia.
i
I 5-Ile kartonów znajduje się w kontene­
rze, jeżeli zapakowano do niego
maksymalną liczbę kartonów?
A. 330
B. 400
C. 660
D. 800
kontener
karton
60 cm
12,2 m
71
5. B r y t y
□ 9. Oblicz objętość kartonowego otwartego
pudełka, złożonego z szablonu o wymiarach
podanych na rysunku poprzez zagięcie
zewnętrznych prostokątów do środka.
i___________ 80 cm
------------------—
Zapisz obliczenia.
8 :m | i
i crn
-1
]
Odp.:
72
5.1. G r a n i a s t o s t u p y
Zapisz obliczenia.
f
—
i
i
{
:
i *
Odp.:
73
5. B r y t y
□ 14. Podstawą graniastosłupa prostego jest trapez równoramienny o podstawach 6 cm i 12 cm,
którego ramię tworzy z dłuższą podstawą kąt 60°. Oblicz objętość graniastosłupa, jeżeli
przekątna największej ściany tworzy z krawędzią podstawy kąt 45°.
Zapisz obliczenia.
—
.....[--i
Odp.:
□ 15. Oblicz masę jeżyn wypełniających maksymalnie pojemnik
O dp.:
................................................................................................................
74
1 0 Cm
5.2. O s t r o s ł u p y
I 5.2. O S T R O S Ł U P Y
1. Zaznacz rysunek siatki, która nie jest siatką ostrosłupa prawidłowego.
2. Powierzchnia całkowita bryły, której siatkę przedstawiono obok,
jest równa
A.
B.
12
o
2V3
C.
l<2
D. a 2V3.
,
..........
..................
I 4. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy równa jest 8 cm, a krawędź
boczna - 12 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Za pisz obliczenia.
—
—
75
5. B r y t y
5.2. O s t r o s ł u p y
7. W pewnym kinie pudełko do popcornu, ulubionej przekąski
widzów, ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
o wymiarach pokazanych na rysunku obok. Oblicz, ile dm3
popcornu mieści się w tym opakowaniu.
Zapisz obliczenia.
;
i
]
/a
!
u—
20 cm
/
¡1111H a t f
a
\
//
Odp
8. Wieża ma kształt i wymiary pokazane na rysunku obok.
a) Oblicz kąt nachylenia bocznej ściany zwieńczenia
wieży do płaszczyzny jej podstawy.
i
Zap
12 m
9m
j
3dp,:
b) Oblicz powierzchnię blachy potrzebną na pokrycie
dachu wieży.
Za;;
)
Odp,
c) Zaznacz rysunek siatki powierzchni bocznej dachu przed­
stawionej w skali 1:300.
77
-6 ^
6m -
5.
Bryty
78
5.3. B r y t y o b r o t o w e
8 5.3. B R Y Ł Y
OBROTOWE
□ 1. Kwadrat o boku długości 2 cm obrócił się dookoła jednego
z boków (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej
powstałej bryły jest równe
A. 871 cm2.
B. 1671 cm2.
C. 24n cm2.
D. 32n cm2.
... ....... j.....
T K ...
2 cm
---------
□ 2. Prostokąt o bokach równych 20 cm i 6 cm obrócił się o 360° wokół dłuższego boku. Oblicz
objętość powstałej bryły. Wynik zaokrąglij do części dziesiątych.
Zapisz obliczenia.
i
Ocip.:
............................................................................................................................................................................................................................................
□ 3. Prostokąt o bokach długości 12 cm i 8 cm obrócił się dookoła symetralnej krótszego boku.
Oblicz pole powierzchni bocznej powstałej bryły.
Zapisz o bliczenia.
i
Odp.:
□ 4.Etykieta na puszkę w kształcie walca jest prostokątem o bokach równych 207C cm i 5 cm.
Oblicz pojemność tej puszki, jeżeli etykieta dokładnie okleja powierzchnię boczną puszki,
a krótszy bok etykiety jest równy wysokości puszki.
j
Zapisz obliczenia.
9
O dp.:
........................................................................................................................................................................................................................
^fjo 5. Na rysunku przedstawiono naczynie, w którym jest 250 ml płynu.
Wysokość tego naczynia w przybliżeniu jest równa
A. 10 cm.
B. 25 cm.
C. 50 cm.
79
D. 75 cm.
r
= 2,5 cm
5. B r y t y
□ 6. Do naczynia w kształcie walca wypełnionego do połowy wysokości wodą i promieniu pod­
stawy 15 cm, wlano 0,5 litra oleju. Oblicz grubość warstwy oleju, który pokrył wodę w naczyniu.
Wynik zaokrąglij do 1 mm.
Zapisz ob liczenia.
1
i
1
O dp.:
...........................................................................................................................................................................................................................
irj □ 7. Szlaczek taki jak na rysunku, w którym długość przerywanej linii jest
równa 154 cm, ozdabia pojemnik w kształcie walca. Oblicz objętość
tego pojemnika, jeżeli jego wysokość jest równa średnicy podstawy.
Do obliczeń przyjmij n = y . Wynik zaokrąglij do 1 cm3.
i—
—£
Zapisz obliczenia.
!
!
O dp.:
................................................................................................................................................................
I n f o r m a c j a do z a d a ń 8 -1 2
Słomę zbiera się z pola kombajnem wyposażonym w prasę o sze­
rokości 120 cm. Sprasowana słoma ma kształt beli (zobacz zdjęcie)
o średnicy od 120 cm do 180 cm, której masa jest równa od 200
do 500 kg. W ostatnich latach słoma zyskuje dodatkowe znaczenie
jako biopaliwo.
□ 8. Bela sprasowanej słomy o maksymalnej średnicy ma objętość
około
A. 0,3 m3.
B. 1 m3.
C. 3 m3.
D. 3,4 m3.
□ 9. Powierzchnia boczna beli słomy o minimalnej średnicy
jest równa około
A. 4,5 m2.
B. 9 m2.
C. 13,5 n r.
80
D. 18 n r.
5.3. B r y f y o b r o t o w e
□ 10. Oblicz objętość 1 tony sprasowanej w bele słomy. Do obliczeń przyjmij średnią z danych
zawartych w tekście.
Zapisz o blicze nia.
1
i
O dp.:
□ 11. Wydajność prasy to około 50 bel na godzinę. Przyjmij średnią wielkość oraz masę beli
i oblicz, ile czasu musi pracować prasa, aby sprasować objętość słomy równą 950 m3.
Wynik zaokrąglij do pełnej godziny.
Zapisz o bliczen ia, i
j
i
----------
____
___ -
O dp.:
12. Pan Witek kupił na zimę 5,6 tony słomy - ilość niezbędną do ogrzania domu jednorodzinnego
podczas całego sezonu grzewczego. Słoma sprasowana w bele o średnicy 120 cm i minimal­
nej masie 200 kg będzie przechowywana w stodole o wymiarach 8 m x 16 m x 4,5 m. Oblicz,
jakim procentem kubatury stodoły jest sumaryczna objętość kupionych bel słomy.
5. B r y t y
□ 13. Podstawą walca i stożka jest koło o powierzchni 57t cm2. Wysokość stożka jest trzy razy
większa od wysokości walca, a więc objętość stożka jest
A. dziewięć razy mniejsza od objętości walca.
B. trzy razy mniejsza od objętości walca.
C. trzy razy większa od objętości walca.
D. równa objętości walca.
'■fi □ 14. Pole podstawy bryły, której siatkę przedstawia rysunek obok,
8 cm
Odp.:
0 16. Trójkąt równoboczny o polu 16^3 cm2 obraca się o kąt 180° dookoła wysokości. Oblicz pole
powierzchni całkowitej powstałej bryły.
Zapisz obliczenia.
'
j
.. .
O dp.:
££/□ 17. Tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°. Pole powierzch­
ni całkowitej jest równe 4871 cm2. Oblicz objętość stożka.
Zapisz o bliczenia.
i
i
Odp.:
i
— |—
5.3. B r y t y o b r o t o w e
□ 18. Podstawa stożka ma pole równe 25n cm2. Oblicz powierzchnię boczną stożka, jeżeli jego
tworząca jest nachylona do podstawy pod kątem 60°.
Zapisz obliczenia.
OuP.:
............................................................................................................................................................................................................................................
■f-Jii 19. Papierowe koło o promieniu 15 cm rozcięto na połowy i z każdej z nich zwinięto rożek,
przeznaczając wycinek o pwierzchni ^ półkola na zakładkę. Jaka jest objętość rożka?
Wynik zaokrąglij do 1 cm3.
Z a p is z
o b lic z e n i
I
i
O dp.:
□ 20. Z 27 jednakowych ołowianych kulek o promieniu 2 cm po przetopieniu utworzono kulę.
Oblicz, ile razy powierzchnia tej kuli jest większa niż powierzchnia jednej z kulek,
z których powstała.
Zapisz obliczenia.
5
Odp.:
83
5. B r y f y
□ 21. Z ołowianego stożka o promieniu podstawy 4 cm i wysokości 27 cm po przetopieniu
powstało sześć jednakowych kulek, każda o objętości
A. 9k cm.
B. 1871 cm.
C. 24^ cm.
D. 72n cm.
i
□ 22. Do prostopadłościennego naczynia o podstawie 16 cm i 20 cm oraz wysokości 55 cm
wypełnionego wodą do | wysokości wrzucono metalową kulkę. Poziom wody podniósł się
do 25,14 cm. Oblicz promień kulki.
Zapisz obliczenia.
□ 23. W czasie letniej burzy na ziemię spadł grad w kształcie kulek o średnicy 0,8 cm. Ile takich
gradowych kulek się roztopi, dając 1 litr wody, jeżeli objętość lodu jest o 10% większa
od objętości wody otrzymanej ze stopienia tego lodu? Wynik zaokrąglij do całości.
]
Zapisz ob lic zenia.
i
i
|
i
0;■
;3.: ....................
U 24. Adam podarował koledze piłeczkę do te­
nisa stołowego ((j) = 4 cm) w pudełeczku
wykonanym na podstawie szablonu poka­
zanego obok. Oblicz minimalną długość
krawędzi podstawy pudełeczka. Wynik po­
daj z nadmiarem w przybliżeniu do 1 cm.
—
—
—
..
Zapisz obliczenia.
.
/
|
i- .
| 'f ? {
|
.
.
.
.
.
.
84
6
A KAŻDY TEMAT - TR E N IN G PRZED E G Z A M I N E M
fi
DCO 7 P
u> iI . ■
w 7 H
U Ł
ŁV
Y
ó D
u 1. Pszczoła robotnica wracająca do ula przynosi średnio 15 mg nektaru. Jaka jest masa nek­
taru, z którego powstaje 1 kg miodu, jeżeli pszczoły do zebrania takiej jego ilości muszą
wykonać około 180 tysięcy lotów?
A. ok. 27 kg
U
B. ok. 2,7 kg
C. ok. 270 000 g
D. ok. 270 g
2. Pasieki ustawia się możliwie najbliżej roślin pożytkowych, ponieważ im dalej pszczoła leci po
nektar, tym mniej przynosi go do ula. Na przykład pszczoła lecąca 3 km zużywa na potrzeby
energetyczne 70% masy ładunku, czyli jeżeli zebrała 2 mg nektaru, to do ula przyniesie go
A. 1,4 mg.
B. 0,14 mg.
C. 0,06 mg.
D. 0,6 mg.
I n f o r m a c j a do z a d a ń 3-5
Wykres przedstawia, jak zmieniała się odległość od ula
pszczoły robotnicy podczas jednego lotu po nektar.
* W czasie tego lotu pszczoła poruszała się ruchem prostoliniowym.
□ 3. Uzupełnij zdania.
Lot pszczoły trwał
nała dystans
minut, w czasie których poko­
km. Najszybciej leciała w
minu­
cie lotu. Najdalej od ula pszczoła znalazła się w
kundzie lotu, wówczas dzieliło ją od niego
odpoczywała przez
se­
metrów. W drodze powrotnej pszczoła
sekund, w odległości
oraz
metrów od ula.
U 4. Oblicz średnią prędkość, z jaką pszczoła oddalała się od ula w czasie pierwszej minuty lotu.
-
.
U 5. Zaznacz wykres zależności prędkości od czasu dla końcowych 2 minut lotu pszczoły.
B
ViTfJ
20
20
16-
16
12
12
D
8
4
4-
0
0
2 t [min!
85
i— i— i-----»1
2 t [mini
6. Na k a ż d y t e m a t - t r e n i n g p r z e d e g z a m i n e m
□ 6. W ciągu dnia pszczoła zbierająca nektar odwiedza 7 tys. kwiatów. Średnio ile razy dziennie
robotnica wylatuje po nektar, jeżeli podczas jednego lotu odwiedza około 140 kwiatów?
A. 5
B. 25
C. 50
D. 250
i
j 7. Nektar dostarczany do ula przez robotnice zawiera ok. 70% wody. Jednak w ciągu kolejnych
dni po złożeniu go w komórkach plastra pszczoły, wachlując skrzydłami, obniżają około
3,5 razy ilość zawartej w miodzie wody. Oblicz masę miodu, który powstaje z dziennych
zbiorów nektaru pszczelej rodziny równych 500 g.
■
U 8. Ile osi symetrii ma pojedyncza komórka plastra miodu?
A. 3
B. 4
C. 6
D. 12
□ 9. Pod zdjęciem przedstawiono obraz komórki plastra miodu
o boku a w przesunięciu o wektor. Oblicz długość tego wektora.
J / [] 10. Jaką powierzchnię na planie wykonanym w ska­
li 1:5 000 zajmuje pasieka, której powierzchnia
równa jest 0,04 hektara. Odpowiedź podaj
w centymetrach kwadratowych.
•
.
~~r-~..
■
......
............
...
........ ........
t: ~
.
L 11. 720 ml miodu ma masę 1 kg.
a) Oblicz masę 11 miodu. Wynik podaj w przy­
bliżeniu do 1 dag.
b) Gęstość miodu w zaokrągleniu do 0,01 rów­
na jest
A. 17 cm
, 3 3
C. 1,39
-Ł;.
7
cm 3
0
B. 1,38-^.
7
cm 3
D. 1,40-cm 3*
86
.
r ::
6.1. P s z c z o ł y i m i ó d
■ >
I n f o r m a c j a do z a d a ń 12 -1 5
On
O
Ul w kształcie walca pokrytego daszkiem o kształcie
stożka ma wymiary przedstawione na rysunku obok.
G
O\
O
□ 12. Długość linii spadku daszku równa jest
A. 50 cm.
C. 80 cm.
3
B. 60 cm.
D. 100 cm.
□ 13. Obwód podstawy daszku to
A. 160tt cm.
C. 160 cm.
100 cm
B. 8071 cm.
D. 80 cm.
160 cm
□ 14. Oblicz pole powierzchni daszku. Wynik podaj w metrach kwadratowych.
Zapisz obliczeni,
Odp.:
□ 15. Oblicz objętość wewnętrznej części ula w kształcie walca, jeżeli została ona zbudowana
z deseczek o grubości 1 cm, a na rysunku podane są jej wymiary zewnętrzne.
Zapisz obliczenia. i
1...1"
16. Pszczelarz rozlał 60 litrów miodu do 171 słojów o dwóch pojemnościach: 0,5 1 i 0,25 1.
Który układ równań pozwoli obliczyć liczby napełnionych słojów każdego rodzaju?
A.
C.
jx + y = 60
[ 0,5x + 0,25y = 171
\ x + y = 171
[ 0,5x + 0,25y = 60
B.
D.
[ 0,5x + y — 60
[ 0,5x + 0,25y = 60
jx + y = 171
[0,5x + 2,5y — 60
D 17. Na targach pszczelarskich jeden z wystawców ustawił
słoiki z miodem gryczanym (G) i lipowym (L) w rzę­
dach według reguły przedstawionej na rysunku. Podaj
liczbę słoików z każdym rodzajem miodu w rzędzie o nu­
merze n, licząc od góry, jeżeli n jest liczbą parzystą.
87
6. Ma k a ż d y t e m a t - t r e n i n g p r z e d e g z a m i n e m
O 18. Diagram przedstawia wiek polskich pszczelarzy w latach 2005-2008.
rok
2005
10,7%
34,5%
54,!
2006
9,8%
33,1%
"57,1%
2007
11,7%
31,0%
57,3%
2008
9,8
29,5%
0
20
40
60
do 35 lat
□
35-50 lat
E 3 powyżej 50 lat
60,7%
H
■
80
100
a) Zapisz wniosek wynikający z analizy diagramu.
b) W 2008 roku było w Polsce 39 018 pszczelarzy. Aby obliczyć,
ilu z nich było w wieku do 35 lat, wystarczy
I. obliczyć 9,8% liczby pszczelarzy.
□ TAK
□ NIE
II. od liczby pszczelarzy odjąć jej 90,2%.
□ TAK
□ NIE
III. liczbę pszczelarzy podzielić przez 0,98.
□ TAK
□ NIE
IV liczbę pszczelarzy pomnożyć przez 9,8 i wynik podzielić przez 100.
□ 19. W tabeli zestawiono spożycie miodu
w Polsce w przeliczeniu na jednego
mieszkańca.
Rok
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Miód w kg
na mieszk.
0,45 0,49 0,51 0,31 0,54 0,63 0,61
a) Zilustruj dane przedstawione w tabeli
za pomocą diagramu słupkowego.
b) W 2006 roku w Polsce wyprodukowano
22 tys. ton miodu. W jakim procencie
zaspokoiło to spożycie miodu w tym
roku przez 38,1 min Polaków?
|
■Zapisz obliczenia.
Odp.
Źródła danych do podrozdziału „Pszczoły i miód”: IERiGŻ
PZP, GUS oraz strony internetowe polskich pszczelarzy
88
6.2. W p o d r ó ż y
I 6.2. W
PODRÓŻY
□ 1. Zgodnie z definicją Światowej Organizacji Turystyki termin „turysta” dotyczy osób podróżu­
jących w celach innych niż podjęcie pracy, głównie wypoczynkowych, i pozostających
poza miejscem stałego pobytu nie dłużej niż rok. Poniżej podano czasy pobytu za granicą
czterech osób. Który z wyjazdów według przytoczonej definicji można zaliczyć do wyjazdów
turystycznych?
A. 73 ■22 • 3 • 5 godz.
B. 106 min
C. 6 • 107 s
D. 22 • 103 godz.
I n f o r m a c j a do z a d a ń 2- 4
Uczestnictwo Polaków w wieku 15 lat i więcej w wyjazdach turystycznych
W yszczególnienie
200 0
2005
2007
2008
Uczestnicy w y jazd ó w w % badanej populacji*
W y je ż d ż a ją c y **........................................................
60
47
47
48
w kraju na okres: 2 -4 d n i ....................................
37
24
23
20
5 dni i w i ę c e j ......................
34
29
28
29
za g r a n ic ę ...................................................................
15
12
15
17
IM iew yjeżdżający.......................................................
40
53
53
52
*w 2008 roku ankietowano 3,5 tys.
respondentów, tj. ok. 0,01% bada­
nej populacji.
**W dalszym podziale uczestnik an­
kiety może być wykazany więcej
niż jeden raz.
Na podstawie: „Mały rocznik statystyczny
Polski 2009”, GUS, Warszawa 2009
□ 2. Oblicz w przybliżeniu, ilu Polaków w roku 2008 było w wieku 15 lat i więcej oraz ilu z nich
wyjeżdżało w tymże roku w celach turystycznych.
Zapisz o bliczen ia.
—
—
OdP.:
0 3. Przedstaw graficznie za pomocą procento­
wego diagramu słupkowego porównanie
liczby osób wyjeżdżających (bez względu na
rodzaj wyjazdu) i niewyjeżdżających w la­
tach zestawionych w tabeli.
□ 4. Zapisz wnioski dotyczące turystycznych wy­
jazdów Polaków w 2008 roku w porówna­
niu z rokiem 2000.
89
6. Na k a ż d y t e m a t - t r e n i n g p r z e d e g z a m i n e m
□ 5. W 2008 roku w Polsce było 6 857 obiektów zbiorowego zakwaterowania, w tym 361 schronisk
młodzieżowych. Jaki procent wszystkich obiektów stanowiły schroniska młodzieżowe?
A. ok. 0,52%
B. ok. 0,53%
C. ok. 5,26%
D. ok. 52,60%
Ó 6. W hotelu jest łącznie 158 pokoi: cztero-, trzy- , dwu- i jednoosobowych, w których jest
329 miejsc. Oblicz, ile w tym hotelu jest pokoi każdego rodzaju, jeżeli pokoi czteroosobowych
jest tyle samo co trzyosobowych, a dwuosobowych tyle co jednoosobowych.
Zapisz obliczenia.
---
O dp.:
................................................................... , ......................................................................... ........................................................................................
□ 7. Opłata za pokój jednoosobowy wynosi 150 zł. W dwuosobowym pokoju nocleg dla jednej osoby
jest tańszy o 30 zł, w trzyosobowym stanowi 75% ceny „jedynki”, a w czteroosobowym równy
jest | ceny noclegu w „dwójce”. Oblicz cenę noclegu jednej osoby w każdym rodzaju pokoju.
Zapisz obliczenia.
Odp.:
□ 8. W 1841 roku Thomas Cook założył w Anglii pierwsze biuro podróży, którego pierwszą zorga­
nizowaną wycieczką była podróż pociągiem na trasie Leicester - Loughborough. Jaka odległość
dzieli te miasta, jeżeli na mapie w skali 1:1 200 000 odległość między nimi równa jest 1,8 cm?
A. 216 km
B. 21,6 km
C. 18 km
D. 2,16 km
□ 9. W ofercie biura podróży lotnicza wycieczka do Paryża kosztuje 2 849 zł od osoby. Jednakże
osoby podróżujące bez pary są kwaterowane w pokoju jednoosobowym z dopłatą 252 zł.
Ile osób zamieszkało w pokojach jednoosobowych, jeżeli wycieczka liczyła 69 uczestników,
a łączny koszt wycieczki to 199 857 zł?
90
6 .2 .
w
podróży
□ 10. Na podstawie diagramu klimatycznego Pa­
ryża zaznacz błędny wniosek dotyczący kli­
matu tego miasta.
A. Roczna amplituda opadów równa jest
około 43 mm.
B. Średnia roczna temperatura powietrza
równa jest około 10,8°C.
C. Średnia suma opadów w pierwszym kwar­
tale roku to około 54,75 mm.
D. Roczna am plituda tem peratury po­
wietrza wynosi około 15,5°C.
■tem peratura powietrza
■opady
□ 11. Samolot po 15 sekundach od startu znajduje się na wysokości 217 m. Na jakiej wysokości znaj­
dzie się po 48 sekundach od startu, gdy będzie leciał w linii prostej pod tym samym kątem?
O dp.:
U 12. Prędkości samolotów podaje się często w węzłach, podobnie jak prędkości morskich jed­
nostek pływających. Jeden węzeł równy jest 1,852km Maksymalna prędkość jednego z typów
samolotu pasażerskiego równa jest 328 węzłów, czyli w zaokrągleniu do km
A. 61 km
B .592 km
C. 607 km
D. 907 km
n
ti
h.
h
□ 13. O godzinie 19.55 z Warszawy wystartował samolot do Paryża, którego prędkość przelotowa*
równa była 308 węzłów. O której godzinie wylądował ten samolot na lotnisku im. Charles’a
de Gaulle’a, jeżeli odległość pomiędzy Warszawą a Paryżem na mapie w skali 1:30 000 000
równa jest 4,6 cm? (1 węzeł = 1,852 km)
*prędkość przelotowa - średnia prędkość, z jaką porusza się samolot podczas lotu
Zapisz obliczenia.
i
i
Odp.:
91
6. Na k a ż d y t e m a t - t r e n i n g p r z e d e g z a m i n e m
[] 14. Bilet wstępu do parku rozrywki podparyskiego Disneylandu kosztuje 53 euro dla osoby
dorosłej i 45 euro dla dziecka do 11 lat. Ile osób dorosłych i ile dzieci wybrało się na wy­
cieczkę do Disneylandu, jeżeli dzieci było trzy razy więcej niż dorosłych, a łączny koszt
biletów grupy w złotych - według kursu 4,05 zł za 1 euro - równy był 3 045,60 zł.
i
*Ą-;i ^
w
1' •
Zapis; < ODjlv
-
-•54
!
:
i
■
'
r
,
E
m Ą
:;<vr
*
:
|
\
n —
w
i-.< -,r*r.
1
•
1
—
1
—
—
—
1
>3
■H$ %i '’~
f t f
.... i.
m
t
k s
! .
1
Ł
: "~i
r
: V
■
1
1
1J g »
1
!
j
.
....
;
\
"Ą
F
!
{
Tir
—
“ 7*
•
I Si-
ll
mm
;
,
.! .
•
J
...
' 1
r
t
.
i
i -ĄL ś
h ..
~ ~ r
1
■'
^
4
/ i
J
>■
"
.../y
;
F
' i
!
..
. f
«
:-=
. 1
i
odp.:....................................... ........ — , ....... ż; , ;. .
n
□ 15. Uczestnicy wycieczki do Paryża kupili od ulicznego artysty malarza obraz na desce z wido­
kiem bazyliki Sacré-Coeur na szczycie Montmartre. Czy obraz o wymiarach 90 cm x 42 cm
zmieści się na dnie walizki, której objętość równa jest 81 dm3, a długości jej boków są
do siebie w stosunku 1:3:8?
1
-
□ 16. Jaką odległość pokonali turyści, wchodząc na szczyt góry, jeżeli
na mapie w skali 1:50 000 odległość ta równa jest 2,4 cm, a róż­
nica wysokości trasy odczytana z poziomic wynosi 500 m?
I
6.3. F e s t y n
1 6.3. F E S T Y N
■
«
—
—
I n f o r m a c j a do z a d a ń 1-6
Uwaga: Jeżeli do obliczeń konieczne będzie wykonanie pom iaru na planie, to wynik tego pom iaru zaokrąglij do 1 mm.
□ 1. W jakiej skali wykonano plan lokalizacji festynu?
A. 1:5 000
B. 1:10 000
C. 1:20 000
D. 1:40 000
□ 2. Jaką odległość w linii prostej musiał pokonać widz występów artystycznych odbywających
się na scenie, który chciał skosztować kiełbaski oferowanej na stoisku gastronomicznym?
A. 50 m
B. 250 m
C. 500 m
D. 1 000 m
□ 3. Gość festynu, który po zjedzeniu zbyt wielu kiełbasek musiał skorzystać z pomocy pielęgniarki,
udał się do niej z prędkością 6
Ile minut zajęła mu droga ze stoiska gastronomicznego
do punktu medycznego, jeśli poruszał się w linii prostej?
Zapisz o bliczen ia.
|
1
i
\
i
i
1
i
i
i
O d p . :............................................................................................................................................................
0 4. Podaj miarę kąta między drugim i trzecim
odcinkiem trasy biegu, jeżeli równoległa
do drugiego odcinka leśna ścieżka
przecina trasę biegu nieopodal paśnika
pod kątem 59"?
Odp.: .............................................................................................................................................................
93
1
6 . N a k a ż ci y t e m a t - t r e r. i n g p r z e d e g z a m I n .3 m
J
5. Dla uczestników biegu organizatorzy wydrukowali odpowiedni fragment planu, ustawiając
skalę powiększenia drukarki na 160%. W jakiej skali plan trasy biegu otrzymali zawodnicy?
A. 1:25
B. 1:250
U 6. Przedstaw za pomocą wykresu zależ­
ność przebytej drogi od czasu dla
zawodnika, który całą trasę biegu
pokonał w 24 minuty. Z jaką średnią
prędkością biegł ten zawodnik?
C. 1:2 500
D. 1:25 000
Z?,alt.?, o o i k ¿s '!a.
I n f o r m a c j a do z a d a ń 7-9
Dla harcerzy festyn stał się okazją do dofinansowania zbliżającego się biwaku drużyny.
Dzień przed festynem zebrali w pobliskim lesie 12 kobiałek jagód. Owoce przesypali do włas­
noręcznie wykonanych pojemników w kształcie rożków. Owoce sprzedawane na stoisku gastro­
nomicznym rozeszły się w ciągu godziny.
110 mm
□ 7. Oblicz objętość wszystkich owoców przygotowanych na festyn
przez harcerzy, jeżeli zbierali je, maksymalnie wypełniając
kobiałki o wymiarach podanych na rysunku obok.
'i52 0 ji k z e i r a .
z1 ,
/ / I /
|
....
140 m m
94
6.3. F e s t y n
□ 8. Jagody wypełniające kobiałkę (zobacz zad. 7) mają masę 3,3 kg. Oblicz masę litra jagód.
------
Zapisz o bliczenia.
_
!
j
!
]
Odp.:
□ 9. Harcerze przygotowali rożki na jagody, korzystając z szablonu pokazanego obok.
a) Oblicz objętość rożka na jagody. Do obliczeń przyjmij,
że k = y , a Vl 19 ~ 10,9.
...............................................................................
/
/
(____________ ^ 3 0 °
12 cm
\
Zapisz obliczenia.
*
—
|
V
7
J
i _
Odp.:
b) Oblicz, ile rożków musieli przygotować harcerze, aby rozdzielić wszystkie uzbierane
dzień wcześniej jagody, przy założeniu, że wypełniali je owocami maksymalnie.
Skorzystaj z wyników do zadania 7.
. j _j.— j.
—
i Zapisz oblicze nia.
;
1
O dp.: . .
□ 10. Ile zarobili harcerze ze sprzedaży rożków z jagodami, jeżeli sprzedawali je w cenie 4,50 zł,
a 12% ceny stanowił koszt opakowania. Skorzystaj z obliczeń do zadania 9b.
Zapisz ob liczenia .
..
i
—
i
—
—
—
1
-
Odp.:
95
6. Na k a ż d y t e m a t - t r e n i n g p r z e d e g z a m i n e m
□ 11. Na festynie został rozegrany turniej piłki nożnej, w którym uczestniczyło 5 drużyn. Każda
drużyna rozegrała z każdą mecz, którego połowa trwała 15 minut. Przerwy między
połowami meczu, a także pomiędzy kolejnymi meczami były 5-minutowe.
a) Ile meczów rozegrano w czasie festynu?
Zapisz o bliczenia.
Odo.:
b) O której godzinie zakończyły się rozgrywki piłki nożnej, jeżeli pierwszy mecz rozpoczął
się o godzinie 9.05 i w żadnym meczu nie było dogrywki, a wszystkie przerwy i połowy
trwały zgodnie z założeniami czasowymi?
Zapisz ob liczenia .
!
!
.....
1
i
i
1
I
!
i
i..... i___
O dp.:
□ 12. Na zakończenie festynu wszyscy
uczestnicy zawodów sportowych
ustawili się do zdjęcia. Grupa zajęła
6-metrową szerokość sceny. W jakiej
odległości od sceny umieszczono
aparat, jeżeli odległość między
soczewką a matrycą równa jest 12 cm,
a uzyskany obraz ma 6 cm szerokości
(zobacz rysunek).
Zapisz obliczenia .
O dp.:
96
6.4. M a t e m a t y k a o d k u c h n i
S 6.4. M A T E M A T Y K A
OD
KUCHNI
J 1. Koleżanki postanowiły zrobić biszkopt z galaretką i owoca­
mi. Znalazły przepis na ciasto, w którym składniki są podane
w gramach. Podaj przepis zawierający przybliżone ilości skład­
ników, przeliczone według poniższej tabeli tak, aby dziew­
częta, które nie mają wagi kuchennej, mogły upiec biszkopt.
Produkt
spożywczy
Zawartość gramów produktu w:
szklance 250 ml
tyżce stołowej
łyżeczce do herbaty
Mąka pszenna
170
10,2
3,4
Cukier puder
200
12,0
4,0
Masfo
238
14,2
4,7
-
-
5,1
Proszek do pieczenia
S k ł a d n ik i n a b is z k o p t :
6 j aj
3 0 d o g mąki p s z e n n e j
2 5 d a g c u k ru p u d r u
1,7" g p r o s z k u d o p ie c z e n ia
3 5 5 m a s ła
S^aaniKi n,s :
|
□ 2. Na podstawie danych w tabeli do zadania 1 podaj masę 1 cm3 mąki pszennej.
A. 17 g
B. 0,68 g
C. l i ^ g
D. 25 g
J 3. Ile kilogramów cukru wsypano do 3 litrów wody, jeżeli uzyskano 25-proc. syrop - półprodukt
do przygotowania kompotu. Przyjmij, że litr wody ma masę 1 kg.
A. 0,5 kg
B. 0,75 kg
C. 1 kg
D. 1,25 kg
□ 4. Do ilu słoików o pojemności 500 ml rozlano 15 litrów kompotu, jeżeli nalewano do nich | ich
pojemności?
A. 18
B. 24
C. 25
D. 36
U 5. Pieczarki stanowią 18% sosu do spaghetti, sprzedawanego w słoikach o zawartości równej 0,5 kg.
a) Ile gramów pieczarek znajduje się w jednym słoiku?
A. 9
B. 18
C. 90
D. 180
b) Ile co najmniej słoików należy kupić, aby przygotować spaghetti dla 6 osób, jeżeli porcja
sosu ma zawierać około 27 000 mg pieczarek?
l
~ ~i r ..
i
i
97
i
6. Na k a ż d y t e m a t - t r e n i n g p r z e d e g z a m i n e m
U
6. Czwórka przyjaciół na obiad zjadła w sumie 42 placki ziemniaczane. Adam zjadł o 20%
więcej niż Ania, Wojtek 2 | liczby placków zjedzonych przez Adama, a Staszek trzy razy
tyle, co Ania. Ile placków zjadła każda z osób?
j
.
1
1 i
J
i
7. Pani Lepińska przygotowała 348 pierogów dwóch rodzajów: ruskie i z jago­
dami. Pierogi podzieliła na porcje po 24 pierogi ruskie lub 20 - z jagodami.
Przygotowane porcje zapakowała do woreczków i zamroziła. Ile wśród
zamrożonych 16 porcji pierogów było tych z jagodami?
U 8. Naleśnik z dżemem polano dwiema łyżkami śmietany 12-procentowej. Ile gramów tłuszczu
zawiera ta porcja śmietany, jeżeli w jednej łyżce mieści się jej ok. 14,5 g?
.
□ 9. Oblicz gęstość 18-procentowej śmietanki, która zawiera zagęstniacze: mączkę chleba święto­
jańskiego i gumę guar, jeżeli kubeczek zawierający jej 390 g ma pojemność | litra.
CKi’."-.: .
.................
........
. ■
................
..........
.
. . . .
u 10. Tabliczka czekolady składa się z 18 kostek (3 rzędy po 6 kawałków). Ile co najmniej cięć
nożem należy wykonać, aby podzielić ją na pojedyncze kostki?
A. 7
B. 9
C. 12
98
D. 17
6.4. M a t e m a t y k a o d k u c h n i
□ 11. Zawartość witaminy C w 100 g surowej białej kapusty
jest równa 48 mg. O ile gramów więcej witaminy C
zawiera surówka przygotowana z 0,8 kg kapusty niż
taka sama ilość kapusty po gotowaniu przez 4 minuty?
Wptyw gotowania kapusty
na zawartość w niej witam iny C
e
g
Zapisz ob liczenia.
czas gotowania kapusty w minutach
_
□ 12. Tabela prezentuje przeciętne miesięczne wydatki
w gospodarstwach domowych na warzywa i owoce
w przeliczeniu na 1 osobę w latach 2007-2008.
a) O ile procent wzrosły wydatki gospodarstw domo­
wych na owoce i warzywa w roku 2008 w stosunku
do roku 2007? Wynik podaj w przybliżeniu do 1%.
Wyszczególnienie
2007
2008
Owoce
12,71 zt
13,79 zt
W arzywa
24,11 zl
24,09 zt
5,98 Zt
4,80 Zl
- i/i/ tym ziem niaki
Źródło: „Rocznik statystyczny Polski 2009”,
GUS, Warszawa 2009
Odp.
b) Jaki procent wydatków gospodarstw domowych na warzywa w 2008 roku stanowiły
wydatki na ziemniaki.
A. ok. 6%
B. ok. 20%
C. ok. 60%
0 13. Oblicz objętość miseczki o średnicy 24 cm, jeżeli ma ona
kształt czaszy kuli o promieniu 13 cm. Skorzystaj ze wzoru
podanego pod rysunkiem. Wynik zaokrąglij do 1 cm3.
D. ok. 70%
r
/
r~ “
Zapisz o bliczenia.
—
—
r - promień podstawy czaszy
h - wysokość miseczki
R - promień kuli
Odp.:
99
S. Na k a ż d y t e m a t - t r e n i n g p r z e d e g z a m i n e m
I n f o r m a c j a do z a d a ń 14 -1 8
Kasia na popołudniowej her­
batce z przyjaciółką podała koreczki. Sposób przygotowania
serowych podstaw pod koreczki
przedstawiono obok.
□ 14. Przekątna serowego bloku
z rys. 1 ma długość równą
A. 20 cm.
B. 2 0 f2 cm.
^
C. 20^3"cm.
D. 2 0f6 cm.
20 cm
>
□ 15. Kasia kupiła połowę serowego bloku i w celu przygo­
towania koreczków odkroiła jego część (zob. rys. 2).
Oblicz długość linii cięcia zaznaczonej jakox.
-
:
□ 16. Oblicz objętość kawałka sera, który pozostał po odkrojeniu części na koreczki (rys. 3a).
-
I
1
jci:)
...........................................
i
.................................... ......................................... ........................................
i
.......................................................................................
□ 17. Kawałek na koreczki (rys. 3b) podzielono na porcje (linie cięcia zaznaczono linią przerywaną). Oblicz objętość porcji sera na jeden koreczek.
Zapisz o lic z e n ia .
|
|
|
.
U 18. Kasia ułożyła 10 gotowych koreczków na okrągłym talerzu tak, jak po­
kazano na rysunku, a na środku umieściła winogrona. Oblicz kąt a.
:
100
6.5. Z p a p i e r u
6.5. 2 p a p i e r u
□ 1. Dawne kroniki chińskie wymieniają jako wynalazcę papieru dostojnika na dworze cesarza
He Di z dynastii Han imieniem Caj Lun. On to miał wpaść około 105 r. n.e. na pomysł, aby
moczyć i gotować łyko drzewa morwowego, łodygi bambusa i szmaty jedwabne, a uzyskaną
w ten sposób masę odcedzać i suszyć na sicie. Do Europy wynalazek dotarł znacznie później
- pierwszą wytwórnię papieru otworzono w 1100 roku na Sycylii.
a) Ile lat upłynęło między wynalezieniem papieru a rozpoczęciem jego produkcji w Europie?
A. 95
B. 995
C. 1195
D. 1205
b) Ile dekad minęło od powstania pierwszej europejskiej papierni do dnia dzisiejszego?
A. 89
B. 90
C. 91
D. 92
0 2. Gramatura papieru jest to masa 1 m2papieru wyrażona w gramach. Gramaturę oznacza się jed­
nostką
jednak w krajach anglosaskich zwykle wyraża się ją w funtach (lb) na ryzę* papieru.
*ryza - tradycyjna jednostka liczby arkuszy papieru równa 500 arkuszy
a) Oblicz, jaką masę ma ryza papieru formatu 210 mm x 297 mm o gramaturze 90 -Ł.
b) Jeden kilogram jest równy 2,2046 funta. Jeden funt w zaokrągleniu do 1 g to
A. 4,53 kg.
B. 0,454 kg.
C. 0,45 kg.
D. 4,536 kg.
c) Na opakowaniu papieru jest oznaczenie 24,8 łb/ryza. Podaj gramaturę tego papieru w jed­
nostkach stosowanych w Polsce. Wynik zaokrąglij do 1
U 3. Według danych Głównego Urzędu Statystycznego w Polsce w 2007 roku wyprodukowano
3 005 tys. ton papieru i tektury. Oblicz procentowy udział Polski w światowej produkcji papieru
i tektury, która wynosiła w 2007 roku 383 603 tys. ton. Wynik podaj w zaokrągleniu do 1 % o.
101
6 . Na k a ż d y t e m a t - t r e n i n g p r z e d e g z a m i n e m
I n f o r m a c j a do z a d a ń 4 -1 2
Instrukcja wykonania pudełka na drobiazgi m etodą origami
HH
z kolorowego arkusza papieru
w ytnij kwadrat i zaznacz
otówkiem jego przekątne.
Rogi kwadratu pozaginaj dokładnie do punktu
przecięcia przekątnych kwadratu (linie zagięcia
zaznaczono przerywaną kreską).
Wykonaj zagięcia zgodnie z rysunkami.
Zaznaczone elem enty
odegnij na zewnątrz.
Wykonaj zagięcia wzdtuż
zaznaczonych ciemnych linii.
Zaznaczone elem enty
odegnij o 90°.
Pozaginaj elem enty do środka,
wzdtuż już istniejących zagięć.
Wykonaj ściankę pudelka poprzez jej zagięcie wzdtuż zaznaczonych, wcześniej wykonanych
zagięć - najpierw do góry (8), a następnie do w ew nątrz pudelka (9). Czynności powtórz,
wykonując przeciwiegtą ściankę (10).
...i pudełko gotowe!
□ 4. Długość przekątnej kwadratu z pierwszego punktu instrukcji równa jest
A.fa.
B .a l2 .
C.fa.
102
D .2 a i2 .
6.5. Z p a p i e r u
□ 5 .0 ile zmniejszy się powierzchnia kwadratu z pierwszego punktu instrukcji po wykonaniu za­
gięcia pierwszego rogu w drugim punkcie?
A. ~ a 2
B. —a2
C. ^ a 2
D. i « 2
□ 6. Bok kwadratu, który powstał po wykonaniu wszystkich zagięć rogów w drugim punkcie inst­
rukcji, ma długość
a
Ą u.
b
M a.
cĄa.
D. a.
□ 7. Pole kwadratu, który powstał po wykonaniu drugiego punktu instrukcji, jest równe
A. 0,25 a.
B. 0,25 a2.
C. 0,5 a.
D. 0,5 a2.
□ 8. Podaj w postaci wyrażenia algebraicznego obwód sześciokąta z piątego punktu instrukcji.
i
Zapisz obliczenia.
i
I
i
I
Odp.:
□ 9. Podaj w postaci wyrażenia algebraicznego pole sześciokąta z piątego punktu instrukcji.
Zapisz o b liczen ia.
!
i
..__L
....i....
...
Odp.:
U
10. Obwód sześciokąta z siódmego punktu instrukcji jest równy
B. a + a fi.
C. a +
D. 2a + a fl.
□ 11. Jaką częścią przekątnej kwadratu, z którego jest wykonane pudełko, jest odpowiednio kra­
wędź podstawy i wysokość pudełka?
A
_L i i
16
C
- i^ 4 12
8
D ' i4 i1 i8
U 12. Oblicz objętość gotowego pudełka wykonanego z kwadratowego arkusza o boku 12 cm.
Zapisz o bliczenia.
Odp.:
103
6 . Na k a ż d y t e m a t - t r e n i n g p r z e d e g z a m i n e m
I n f o r m a c j a do z a d a ń 1 3 -1 8
Skacząca „żabka” to zabawka w formie pudełka ze stalową
lub szklaną kulką w środku, którą możesz wykonać samodziel­
nie i zaskoczyć przyjaciół lub sprawić niespodziankę rodzeństwu.
Szablon pudełka należy przygotować na podstawie rysunku
obok, dostosowując jego wymiary do średnicy posiadanej kulki.
Wysokość i szerokość pudełka równa jest dwóm średnicom kulki,
a długość - sześciu średnicom kulki. Wycięty szablon należy
pozaginać wzdłuż przerywanych linii, a następnie skleić, za­
mykając kulkę wewnątrz. Wykonana w ten sposób „żabka” efek­
townie skacze na pochyłej, lekko szorstkiej powierzchni.
Umiesz wytłumaczyć, dlaczego tak się dzieje? Pomóc może Ci
nauczyciel fizyki. Powróćmy jednak do matematyki...
□ 13. Jaką częścią długości pudełka powinien być promień kulki?
B. 0,20
C. i
D. 0,12
■'HQ 14. Powierzchnia „żabki” (nie wliczając miejsc sklejeń) jest równa
A. 2n + 54.
B. 4n + 32.
C. 2n + 48.
D. 6n + 32.
□ 15. Oblicz objętość kulki, jeżeli wysokość pudełka wynosi h.
przekrój podtużny „żabki"
Ti
u 16. Objętość żabki, której wysokość to h, jest równa
A. 2/73.
j
B. (f + 2 )h 3.
C. 2 \ h \
D. n r 3 + 2h 3.
17. Droga, jaką pokona żabka w czasie jednego skoku (pełnego obrotu pudełka), jest równa około
A. 11,4 j.
B. 12 j.
C. 14,3 j.
D. 16 j.
u 18. Weronika ma szklaną kulkę o średnicy 1,2 cm. Oblicz minimalne wymiary arkusza tektu­
ry, z którego może wykonać „żabkę”.
ZOFIA KUJAWA
ZBIÓR ZADAŃ DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM
'•'■."■'I
Wydawnictwo S E N E K A
ROZ W IĄZAMI A ZA D A Ń
W tabeli zestawione zostały rozwiązania wszystkich zadań ze zbioru: podano poprawne odpowiedzi
w zadaniach zamkniętych oraz przykładowe sposoby rozwiązania zadań otwartych. Dla tych drugich
podano także kryteria oceny poziomu rozwiązania zadania2, który określa, jakie zasadnicze trudności
zadania muszą zostać pokonane, aby zadanie zostało rozwiązane w sposób pełny. Jeżeli istnieje kilka
sposobów rozwiązania zadania, to wybrano te najczęściej stosowane, ale każde inne poprawne
rozwiązanie jest punktowane maksymalną liczbą punktów przyznawaną za dane zadanie.
Dodatkowo dla każdego zadania wskazano oznaczenia najważniejszych wymagań ogólnych i numery
wymagań szczegółowych określonych w podstawie programowej kształcenia ogólnego dla gimnazjum2.
Opis sprawdzanych w danym zadaniu wymagań znajdziecie na końcu zbioru3.
1 W ięcej info rm acji n a te m a t sposobu oceny zad ań na egzam inie zaw iera Inform ator o egzaminie gim nazjalnym od roku szkolnego
2011/2012 d o stęp n y n a in tern eto w ej stro n ie C en traln ej K om isji E gzam inacyjnej o raz w szkołach.
- P odstaw a program ow a nie obejm uje działań n a liczbach niewymiernych, dlatego w ym agania szczegółowe dotyczące obliczeń, w których
o b o k liczb w ym iernych w ystępują liczby niew ym ierne, w tab eli oznaczono gw iazdką, np.: 2.4*.
3 Z a d a n ia m o g ą się o d nosić tak że do w ym agań z zakresu m atem aty k i przypisanych do w cześniejszych etapów edukacyjnych, czego
nie u ję to szczegółow o w poniższej tabeli. W takich w ypadkach p o d a n o jed y n ie inform ację w p o sta ci sk ró tu - SP.
1.
1.1. D Z I A Ł A N I A
L ? C 2 B Y : W Y R A Ż E N I A A L C E B R A I C I IMSi
NA L I C Z B A C H
Nr
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
1. 99 - 9 = 90; 999 - 99 = 900
900 : 90 = 10
Odp.: Liczb trzycyfrowych jest 10 razy więcej niż dwucyfrowych.
• Obliczenie liczby liczb dwu­
cyfrowych i trzycyfrowych.
• Obliczenie, ile razy większa
jest liczba liczb trzycyfro­
wych niż dwucyfrowych.
Suma Wymagania
pkt ogólne szczegot.
2
IV
1.7
SP
2
II
2.1
• Odczytanie liczb naturalnych
zapisanych w systemie rzyms­
kim i wykonanie obliczeń.
2
II
1.1
SP
4. mniejsza z liczb: (73 —1 ) : 2 = 36
większa z liczb: 36 + 1 = 37
Odp.: Dwie kolejne liczby naturalne, których suma jest
równa 73, to 36 i 37.
• Obliczenie mniejszej z liczb.
• Obliczenie większej z liczb.
2
IV
SP
5. 7,6 + ( - l§ ) - ( 0 ,2 5 :l§ ) = 5 i§ i
• Zapisanie różnicy sumy
i ilorazu podanych liczb.
• Obliczenie różnicy.
3
IV
1.5
6. Uczeń 50 odczytał jako 70, czyli błąd wynikający z tej pomyłki
zawyża wynik o 20; 9 odczytał jako 6, co zaniża wynik o 3.
7 6 8 -2 0 + 3 = 751
Odp.: Właściwy wynik dodawania liczb to 751.
• Znalezienie błędu w zapisie
sumy.
• Obliczenie prawidłowej sumy.
2
IV
1.7
1.5
7. Aby liczba dzieliła się przez 2, jej cyfra jedności musi być pa­
rzysta, czyli należy do zbioru {0, 2, 4, 6, 8}. Aby liczba dzieliła się
przez 3, suma jej cyfr musi być podzielna przez 3.
Cyfra jedności musi być parzysta i podzielna przez 3.
780 spełnia warunki zadania, ponieważ: 7 + 8 + 0 = 15 = 3- 5
781 nie spełnia warunków zadania 7 + 8 + 1 = 16 itd.
Odp.: W miejsce znaku zapytania można wstawić 0 (780)
lub 6 (786).
• Zastosowanie cech podziel­
ności liczb przez 2 i 3.
• Znalezienie liczb spełniają­
cych warunki zadania.
2
IV
1.5
SP
2. I. FAŁSZ; II. FAŁSZ
3.
I. 101; II. MMII
oznaczenia występujące w zdaniach: MCMVI = 1906;
MDCCCV = 1805; MCMLVIII = 1958
Odp: Suma jest większa od ilorazu o 5 ^ |j •
107
R o z w i ą z a n i a z a d a rt
8. Liczba dzieli się przez 36, jeżeli dzieli się przez 4 i 9.
• Zastosowanie cech podziel­
Aby liczba była podzielna przez 4, to liczba utworzona przez
ności liczb przez 4 i 9.
cyfry w rzędzie dziesiątek i jedności musi być podzielna przez 4, • Znalezienie liczb spełniają­
czylij należy do zbioru {2, 6}. Aby liczba była podzielna przez 9,
cych warunki zadania.
i
to suma jej cyfr musi dzielić się przez 9.
Odp.: Szukane pary to x = 5 i y = 2 oraz x = 1 iy = 6.
2
IV
SP
1.5
9. D
1
IV
SP
10. D
1
IV
SP
11. A
1
IV
SP
12. D
1
IV
SP
13. wiek dziadka: 4 • (12 + 18 : 6 +3) = 72
wiek wnuczka: (4 ■12 + 18) : 6 +3 = 14
72 + 14 _ 43
2
Odp.: Średnia wieku dziadka i jego wnuczka równa jest 43 lata.
• Zastosowanie reguł dotyczą­
cych kolejności wykonywa­
nia działań.
• Obliczenie średniej
arytmetycznej.
3
IV
SP
9.4
14.
• Obliczenie ilorazu i ustalenie
okresu.
• Ustalenie 99. cyfry po prze­
cinku.
2
IV
V
1.5
1.3
15. B
1
III
2.4
16.
C
1
III
1.3
17.
C
1
III
1.3
18. D
1
III
SP
19.
7 :13 = 0,538461538461... = 0,(538461)
99 : 6 = 16 r 3, czyli 99. cyfra po przecinku to trzecia cyfra
w 17. wystąpieniu okresu
Odp.: Szukaną cyfrą jest 8.
2 ■ (-!) = - 2
Odp.: Liczba dwa razy większa niż liczba przeciwna do od­
wrotności liczby 7 to -%j.
• Obliczenie liczby dwa razy
większej niż liczba przeciwna
do odwrotności danej liczby.
1
III
SP
20. Liczba zapisana w postaci 212 + 48 + 2 ■3 + 164 jest podzielna
przez 5, ponieważ suma cyfr (2 + 8 + 6 + 4) w rzędzie jedności
równa jest 0 (jest to cecha podzielności liczb przez 5).
• Zastosowanie cech podziel­
ności liczb przez 5 i uzasad­
nienie.
1
IV
SP
21. D
1
III
3.5
22. B
1
III
3.5
23.
C
1
III
3.5
24.
C
1
III
3.5
25.
B
1
III
3.5
26.
a) NIE
1
III
3.5
1
III
1.5
27. A
1
III
2.2
28. D
1
III
2.2
29. B
1
III
2.2
1
III
2.1
b) (6,5 ■106) : (8 • 103) = 812,5
Odp.: W krwi psa średnia liczba erytrocytów jest
812,5 razy większa od średniej liczby leukocytów.
30.
• Obliczenie, ile razy jedna
liczba jest większa od dru­
giej-
(_9_)2
W
• Wskazanie w zbiorze liczb
największej liczby spełniają­
cej podany warunek.
108
Rozwiązania zadań
31.
---------- A--------------- +— *.
- 2§
0
Odp.: Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą warunek
x > - 2-=jest liczba - 2.
32.
-----------1--------- ------------ ►
0
1
Odp.: Na przykład A i liczba do niej przeciwna - 1 .
• Zaznaczenie na osi liczbowej
zbioru liczb spełniających
podany warunek.
■Wskazanie w zbiorze liczby
według warunków zadania.
2
II
2.1
• Zaznaczenie na osi liczbowej
zbioru liczb spełniających
podany warunek.
• Wskazanie w zbiorze liczby
według warunków zadania.
2
II
2.2
1
III
2.1
1
IV
1.6
• Obliczenie wartości
wyrażenia.
2
II
1.2
• Obliczenie wartości
wyrażenia.
• Podanie liczby przeciwnej
oraz odwrotnej do wyniku.
2
II
4.2
3.1
33. A
34. A
35.
4
7
36. 4
liczba przeciwna: -4; liczba odwrotna: 1
37.
5(5f2 + 3)
• Wyłączenie wspólnego
czynnika przed nawias.
1
II
2.4*
38.
212
20
• Obliczenie wartości
wyrażenia.
2
II
4.1
1.5
39.
18,1
• Obliczenie wartości
wyrażenia.
2
II
4.1
1.5
40. -1,25
• Obliczenie wartości
wyrażenia.
2
II
3.4
1.5
41. m = 14,95; p = -2,275
m - p = 17,225
Odp.: Liczba m jest większa od liczby p o 17,225.
• Obliczenie wartości
wyrażeń.
• Obliczenie różnicy wyników.
3
II
IV
1.5
1.7
42. a = 81; b = 27; c = 81
81 + 27 + 81 = 189
Odp.: Obwód trójkąta jest równy 189.
• Obliczenie wartości
wyrażeń.
• Obliczenie sumy wyników.
4
II
3.1
1.5
4.1
43. Wody zajmują 361 066 000 km2 powierzchni Ziemi, a lady 148 940 000 km2.
361 066 000 km2 + 148 940 000 km2 = 510 006 000 km2
Odp.: Powierzchnia Ziemi jest równa 510 006 000 km2.
• Obliczenie wartości
wyrażeń.
• Obliczenie potęgi liczb wy­
miernych.
3
II
1.4
3.1
44.
cyfra setek: 1; cyfra dziesiątek: 5; cyfry jedności: 4
Odp.: Spotkanie odbędzie się w sali 154.
■Obliczenie wartości
wyrażeń.
3
III
4.1
3.1
SP
45.
60 : 0,6 = 100
Odp.: Pani Halina napełniła 100 słoików.
• Obliczenie ilorazu i wskaza­
nie liczby w zbiorze liczb,
spełniającej warunki zadania.
2
V
1.5
1.2
46.
14 • 6 : 3 = 28 minut
1 500 s = 25 min
(28 min - 25 m in ): 2 = 3 min : 2 = 1 min 30 s
Odp.: Każdą relację należy skrócić o 1 min 30 s.
• Zastosowanie obliczeń
na liczbach w praktyce.
• Zamiana jednostek czasu.
• Obliczenie czasu według
warunków zadania.
3
III
1.7
1.5
109
R o :: w i ą z a n I a z a d a ń
• Obliczenie odległości we­
dług warunków określonych
w zadaniu.
2
III
SP
1.7
• Obliczenie odległości we­
dług warunków określonych
w zadaniu.
1
III
1.7
• Obliczenie długości, czasu
oraz średniej prędkości
według warunków określo­
nych w zadaniu.
3
III
SP
1.7
1.5
a'!2 ' 2 - 4
> 13
13
Odp.: Pasy drogi dla rowerów stanowią ~ całej drogi.
• Zastosowanie obliczeń
w praktyce.
1
III
1.5
SP
b) (800:2 + 1 )-2 = 802
Odp.: Na remontowanym odcinku drogi znajdują się 802
elementy odblaskowe.
• Zastosowanie obliczeń
w praktyce.
1
II
1.5
51.
1 030 ^4 = 1,03 -&T
mó
cmJ
1,03 -Ł - ■250 cm3 = 257,5 g
cmj
Odp.: 250 ml mleka ma masę 257,5 g.
• Zamiana jednostek gęstości.
• Obliczenie masy według
warunków określonych
w zadaniu.
2
III
1.7
2.3
52.
C
1
II
5.2
53.
4,19 min : 3,27 min = 1,281345... = 1,2813 CAD
Odp.: Kurs euro w dolarach kanadyjskich z dnia 25 czerw­
ca 2010 roku równy był 1,2813 CAD.
• Zastosowanie obliczeń
w praktyce.
2
II
1.5
1.4
54.
100 000 ■148,13 zł = 14 813 000 zł
Odp.: Wartość złota, z którego zrobiony jest „Mapie Leaf”,
w dniu jego sprzedaży równa była 14 813 000 zł.
• Zastosowanie obliczeń
w praktyce.
• Zamiana jednostek mone­
tarnych.
2
II
1.7
1.5
55.
3,27 min • 4,1405 zł = 13 539 435 zł
14 813 000 zł - 13 539 435 zł = 1 273 565 zł
Odp.: Różnica między wartością złota, z którego jest wykonany
„Mapie Leaf”, a ceną jego sprzedaży równa jest 1 273 565 zł.
• Zastosowanie obliczeń
w praktyce.
• Obliczenie różnicy według
warunków zadania.
2
II
1.7
1.5
56.
V
• Obliczenie objętości według
warunków zadania.
• Zamiana jednostek oraz
przybliżenie do 1 mm3.
2
II
1.7
1.5
47.
340 —• 25 s = 8 500 m = 8,5 km
s
Odp.: Burza jest w odległości około 8,5 km.
48. 4 • 5 • 19 km = 380 km
Odp.: Samochód przejedzie 380 km.
49.
1 h 20 min • 18 ^
= 24 km - długość trasy
1240 + 1 h 20 min - 800 = 6 h - czas przejścia trasy
24 km : 6 h = 4 ^ 3
h
,
Odp.: Janek szedł ze średnią prędkością 4 ™ .
50.
= 100kg: 19 2 8 2 ^ = 0,005186184005... m3 =
m3
5 186,184005 cm3 = 5 186,184 cm3
Odp.: Objętość monety „Mapie Leaf” równa jest 5 186,184 cm3.
1.2. P R 0 C E N T ¥
Nr
zad.
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
Obliczenie procentu danej
liczby.
• Obliczenie rezerwy.
2
II
5.2
9.3
Obliczenie procentu danej
liczby.
4
II
5:
1
II
5.2
1. upominki: 2% • 500 = 10 zł; rozrywki: 55 zł; telefon: 25 zł;
noclegi: 75 zł, wyżywienie: 225 zł, transport: 75 zł;
rezerwa: (100% - 2% - 11% - 5% - 15% - 45% - 15%) ■500
= 35 zł
•
2. I. 33%; II. 33%, III. 6 6 |% ; IV. 200%, V. 10%, VI. 2,5%; VII. 49%;
•
VIII. 100%
3.
c
110
Suma Wymagania
pkt ogólne szczegół.
R o zw i ą za n i a zadań
4.
C
D
7.
III
5.4
III
5.4
III
5.4
III
5.4
III
5.4
wiek Kasi: 32% ■50 = 16
wiek taty Kasi: 40%x = 16; x = 40
Odp.: Kasia ma 16 lat, a jej tata - 40.
' Obliczenie procentu danej
liczby.
' Zastosowanie obliczeń pro­
centowych w praktyce.
IV
5.2
5.3
10 .
pierwszy dzień: 20% • 500 = 100
drugi dzień: 40% ■(500 - 1 0 0 ) = 160
trzeci dzień: 500 - 100 - 160 = 240
Odp.: Trzeciego dnia Karol przeczytał 240 stron książki.
1Obliczenie procentu danej
liczby.
1Obliczenie wartości wyraże­
nia.
IV
5.2
1.5
11.
a) 9%x = 45; jc = 500
Odp.: W ankiecie brało udział 500 uczniów.
1Obliczenie procentu danej
liczby.
II
5.2
Obliczenie procentu danej
liczby.
II
5.2
(100% - 12%) ■64 kg = 56,32 kg
• Obliczenie procentu danej
Odp.: Z 64 kg mydła poddanego procesowi suszenia otrzymuje się
liczby.
56,32 kg gotowego produktu.
II
5.2
5.4
b) (40% - 12%) • 500 = 140
Odp.: Odpowiedź „komiksy” wybrało o 140 uczniów więcej
niż odpowiedź „książki historyczne”.
12.
13. pan Pewny: (1 200 zł + 3 • 480 zł) • 0,70 = 1 848 zł
pan Niezdecydowany: (1 200 zł + 480 zł) • 0,9 + 2 ■480 zł • 0,9
= 2 376 zł
2 376 zł - 1 848 zł = 528 zł
Odp.: Pan Pewny zapłacił za meble o 528 zł mniej
niż pan Niezdecydowany.
Zastosowanie obliczeń pro­
centowych w praktyce.
Obliczenie wartości wyraże­
nia.
IV
14.
Obliczenie średniej arytme­
tycznej.
Obliczenie, jakim procentem
jednej liczby jest druga licz­
ba.
IV
9.4
5.4
IV
5.3
■Zastosowanie obliczeń pro­
centowych w praktyce.
IV
5.2
1.5
1Zastosowanie obliczeń pro­
centowych w praktyce.
1Obliczenie wartości wyraże­
nia.
IV
5.2
9.1
1.5
(1 200 • 15 + 1 500 ■12 + 1 800 • 20 + 2 700 • 6 + 5 436):
(15 + 12 + 20 + 6 + 1) = 1 734 [zł]
(20 + 6 + 1): (15 + 12 + 20 + 6 + 1) • 100% = 50%
Odp.: Płaca 50% pracowników jest wyższa od średniej płacy
w tej firmie.
15. D
16. 0,1 • 1100 = 110 [zł]; 1100 + 4 • 110 = 1 540 [zł]
Odp.: Pracownik po roku pracy będzie zarabiał 1 540 zł.
17.
Dzień tygodnia
Czas pracy
Liczba godzin
podst.
25%
50%
Wynagrodzenie
Ezłi
Poniedziałek
dzień wolny
Wtorek
5.00-13.30
8,5
69,70
Środa
6.30-13.30
7
57,40
Czwartek
7.00-14.00
7
57,40
Piątek
6.00-13.30
7,5
61,50
Sobota
14.00 - 22.00
Niedziela
8.30-14.30
8
82,00
6
73,80
Razem:
401,80
111
1.6
R o z w i ą za n i a zadań
18.
i • 0,1 • 5 000 + 5 000 = 5 125 [zł]
1 • 0,1 • 5 125 + 5 125 * 5 253,13 [zl]
1Zastosowanie obliczeń pro­
centowych w praktyce.
V
5.4
2.4
1Obliczenie procentu danej
liczby.
1Obliczenie liczby jako pro­
cent danej wielkości.
III
5.2
1.7
1.5
■Zastosowanie obliczeń pro­
centowych w praktyce.
’ Obliczenie procentu danej
liczby.
III
5.4
1.7
1.5
1.4
II
5.2
II
2.4
1Przedstawienie danych
z tabeli za pomocą wykresu.
III
8.1
Odp.: Po pół roku od założenia lokaty na koncie pana Jana
będzie się znajdowało 5 253,13 zł.
19.
Składniki
jaja kurzego
Zawartość
Masa
składnika składnika
[%l
[gj
Woda
74
44,4
Biafko
12,8
7,68
Tłuszcz
11,5
6,9
Cukier
0,7
0,42
Fosfor
0,2
0,12
Żelazo i inne
pierwiastki
0,8
0,48
20 .
115 • 150 :100 = 172,5 kcal
172,5 • 100 :1 800 = 9,58%; 172,5 • 100 : 2 200 = 7,8
Odp.: 115-gramowe jajko zapewnia 9,58% dziennego zapotrze­
bowania energetycznego dziewczynce i 7,84% - chłopcu.
21 .
I. FAŁSZ; II. PRAW D A
22 . a) C
Zmiany procentowej zawartości tłuszczów i węglowodanów
w dojrzewających nasionach orzecha laskowego
b)
9.1
o
t
dzień obserwacji
23.
Przykład odpowiedzi:
Polska w okresie od 1988 r. do 2001 r. zanotowała spadek emisji
gazów cieplarnianych o około 30%, czyli o około 24% przekro­
czyła swoje zobowiązania. Utrzymująca się w kolejnych latach
na stałym obniżonym poziomie emisja gazów cieplarnianych spo­
wodowała, że Polska zrealizuje założenia protokołu z Kioto.
1Interpretacja danych przed­
stawionych za pomocą
tekstu i wykresu.
IV
5.4
9.2
24.
0,36 •x = 323 000 ha; x = 323 000 ha : 0,36 = 897 222 ha
= 8 972,22 km2
Odp.: Powierzchnia Parku Narodowego Yellowstone
jest równa 8 972,22 km2.
’ Interpretacja danych przed­
stawionych za pomocą tekstu.
■Obliczenie liczby jako pro­
cent danej wielkości.
■Zamiana jednostek
powierzchni.
IV
5.3
1.7
1.5
25.
a) A
II
5.2
b) D
II
5.3
B
II
5.4
26.
112
R o zw i ą z a n i a zadań
27.
15,56 + 2,18 + 0,94 + 0,1 + 0,5 + 0,72 = 20 g
2 0 :1 000 • 1 000%c = 20%c
Odp.: Zawartość soli w 1 kg wody z Morza Czarnego.
• Zastosowanie obliczeń pro­
centowych w praktyce.
• Obliczenie stężenia roztworu.
2
II
IV
5.4
2.4
28.
1 000 g • 0,28 = 280 g; 1 000 g • 0,041 = 41 g
280 g - 41 g = 239 g
Odp.: W 1 kg wody z Morza Martwego jest o 239 g więcej
substancji stałych niż w 1 kg wody z Morza Czerwonego.
• Obliczenie procentu danej
liczby.
• Obliczenie wartości wyraże­
nia arytmetycznego.
3
IV
5.2
1.5
29.
1 1 = 1 000 kg; 1 000 • 0,038 ■0,778 = 29,564 kg
Odp.: W tonie wody z Morza Śródziemnego znajduje się
29,564 kg chlorku sodu.
• Obliczenie procentu danej
liczby.
• Zamiana jednostek masy.
2
III
5.2
SP
30.
100 • 0,033 = 3,3 g; 300 • 0,02 = 6 g
(3,3 + 6) : (100 + 300) • 100% = 2,325% = 23,3%c
Odp: Roztwór uzyskany ze zmieszania 100 g wody z Morza
Barentsa i 300 g wody z Morza Czarnego będzie mial stężenie
około 23,3%e.
• Obliczenie procentu danej
liczby.
• Obliczenie stężenia roztwo­
ru według warunków
określonych w zadaniu.
3
IV
2.4
5.3
1.3. W Y R A Ż E N I A
Nr
zad.
ALGEBRAICZNE
R ozw iązanie zadania
Kryteria oceny
1. C
Suma Wymagania
pkt ogólne szczegół.
1
II
6.2
2. I. 4ab(b - 2a); II. 3ax(a2 - 2a + 5 x 2)
• Wyłączenie wspólnego
czynnika przed nawias.
2
II
6.6
3. 5xy
• Mnożenie jednomianów.
1
II
6.5
1
II
6.5
4. B
5. I. 2x, 2x + 6; ll.2 x - 1, 2x + 1; III. 3x, 3x + 3
• Podanie liczb spełniających
warunki określone w zadaniu.
3
II
6.5
1.5
6. Np.: (2n - 1) • (2n + 1) • ( 2n + 3 )
• Podanie iloczynu trzech ko­
lejnych liczb nieparzystych.
1
III
6.1
2
IV
6.1
6.6
2
II
6.2
4.2
1
II
6.5
1
II
6.2
1.5
11. B
1
II
6.4
12. C
1
II
6.1
13.
1
III
6.5
7.
lOOm + 10 • (m + 1) + 1 • 2m = 112m +10 = 2 • (56m +5)
* Zapis liczby trzycyfrowej.
Uzasadnienie: Ponieważ sumę można zapisać w postaci iloczynu • Obliczenie sumy i uzasadnie­
2 • (56m + 5), gdzie w należy do liczb naturalnych, to jest ona
nie zgodne z warunkami
podzielna przez 2.
określonymi w zadaniu.
8. 4 + 21/6
• Obliczenie wartości wyraże­
nia algebraicznego według
warunków określonych
w zadaniu.
9. B
10. -84
• Obliczenie wartości wyrażenia
według warunków zadania.
C
113
R o z w i ą za n i a zadań
14. 2 x - 3 + 5 - 2x + 4 * - 7 = 4 * - 5
Odp.: Obwód trójkąta równy jest 4* - 5.
2
III
6.4
10.9
1
III
6.1
3
III
6.5
6.3
16. C
1
II
6.1
17.
C
1
II
6.1
18.
Odp.: Cena za kilogram mieszanki orzechów równa jest
(26m + 30n) : (m + n ) złotych.
• Opisanie związków między
wielkościami za pomocą
wyrażenia algebraicznego.
1
II
6.1
19.
(100% - 30%) •p + (100% - 50%) ■w + 2(100% - 70%) • t =
= 10%p + 50%w + 2 • 30%i = 0,7p + 0,5w + 0,6ć
Odp.: Pani Krysia zapłaciła za zakupy (0,7p + 0,5w + 0,6i) zł.
• Opisanie związków między
wielkościami za pomocą
wyrażenia algebraicznego.
3
III
6.1
5.2
6.3
20. Cena we wrześniu 2009 roku:*; (100% + 10%) z i ; 1,1*
90% z 1,1*; 0,99*
x - 0,99* = 0,01*
Odp.: Cena w kwietniu 2010 roku była niższa od ceny
we wrześniu 2009 roku o 1%.
• Obliczenie procentu danej
liczby.
• Opisanie związków między
wielkościami za pomocą
wyrażenia algebraicznego.
" Sformułowanie odpowiedzi.
4
IV
5.2
6.1
6.3
5.4
21. Odp.: Największą średnicę przekroju beczki można obliczyć
ze wzoru:
• Przekształcenie wzoru i wyz­
naczenie danej wielkości.
1
II
6.7
22. Odp.: Wartość przyspieszenia to:
a = 2 • (i + Vgi): t2.
• Przekształcenie wzoru i wyz­
naczenie danej wielkości.
1
II
6.7
15.
• Obliczenie obwodu trójkąta.
a) D
b) ab - (a - 2x) ■(b - 2x) = 2ax + 2bx - 4*2
Odp.: Powierzchnia passe-partout równa jest 2ax + 2bx - 4*2.
• Obliczenie powierzchni
według warunków zadania.
1.4. R Ó W N A N I A
Nr
zad.
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
1. wartość wyrażenia: 12
L — 1 3 ' 12 - 9 2 - 9 ; p - 3 . 1 2 - 9 ; L —p
Suma
Wymagania
pkt
ogóirte szczegół.
• Obliczenie wartości wyrażenia.
• Podstawienie obliczonej
wartości do równania.
• Sprawdzenie, czy lewa strona
równania jest równa prawej.
3
III
1.5
7.2
2. Odp.: 18, 27,36,45, 54, 63, 72, 81, 90.
• Określenie liczb spełniają­
cych podane równanie.
1
II
7.2
3.
• Ułożenie równania.
• Rozwiązanie równania.
2
III
7.1
7.3
1
II
7.3
Odp.: Wartość wyrażenia jest pierwiastkiem równania.
lOtc + 8 = x + 251; jc = 27
Odp.: Szukaną liczbą* jest 27.
4. A
5. 5x - 1 = 3x +2; x = |
^ -i
Odp: Liczba* równa jest
• Zastosowanie własności
trójkąta równobocznego.
• Rozwiązanie równania.
2
III
10.22
7.3
6. 2- 8 6 - 2 - 6 = 112; b = 30 [cm]
2a + 2 • 30 = 112; a = 26 [cm]
Odp.: Boki prostokąta mają długość 30 cm i 26 cm.
• Ułożenie równania prowa­
dzącego do obliczenia jed­
nego z boków prostokąta.
• Rozwiązanie równania.
• Obliczenie drugiego boku
prostokąta.
3
III
7.1
10.9
7.3
114
R o zw i ą za n i a zadań
7. Pj = 2,5x; P2 = 3jc; P3 - 4,5x
4,5x - 3x = 720; x = 480
P1= 2,5 • 480 = 1 200 [m2]; P2 = 3 • 480 = 1 440 [m2];
p3 = 4,5 • 480 = 2 160 [m2]
Odp: Działki mają powierzchnię równą: 1 200 m2, 1 440 m2
i 2 160 m2.
• Ułożenie równania.
• Rozwiązanie równania.
• Obliczenie pól powierzchni
według warunków zadania.
4
IV
10.9
7.1
7.3
8. cena bukietu róż:x + 0,5x +
• Ułożenie równania pozwala­
jącego obliczyć jedną z szu­
kanych wielkości.
' Rozwiązanie równania.
• Obliczenie pozostałych
szukanych wielkości według
warunków zadania.
3
IV
7.1
7.3
6.3
• Ułożenie równania.
• Rozwiązanie równania.
• Obliczenie pozostałych
szukanych wielkości według
warunków zadania.
3
IV
1.5
7.1
7.3
’ Ułożenie równania.
• Rozwiązanie równania.
2
IV
7.1
7.3
• Obliczenie wartości wyraże­
nia arytmetycznego.
• Ułożenie równania.
• Rozwiązanie równania.
3
IV
7.1
7.3
1.5
• Ułożenie równania.
0 Rozwiązanie równania.
• Obliczenie pozostałych
szukanych wielkości według
warunków zadania.
3
IV
7.1
7.3
5.2
13. A
1
II
7.1
14.
1
III
7.3
3
IV
7.1
7.3
1.5
1
II
7.1
• Obliczenie wartości wyraże­
nia arytmetycznego.
• Zastosowanie wzoru
na średnią prędkość
w ruchu prostoliniowym.
3
IV
7.1
7.3
1.5
• Obliczenie wartości wyraże­
nia arytmetycznego.
• Ułożenie równania.
• Rozwiązanie równania.
3
IV
7.1
7.3
1.5
= 33; x =18 [zł]
cena bukietu tulipanów: 0,5x = 9 [zł]
cena bukietu z kwiatów mieszanych:
= 6 [zł]
9. a - kwota Alka; k - kwota Kamila
2 f l - 2 - i « + t f + 1 2 0 = l 080; a = 640
4
k =
4
4
3
= 2 • 640 = 480
4
Odp.: Alek ma 640 zł, a Kamil 480 zł.
10. x - masa pręta
x - f y - 2 - ± x = 3;x = 18 [kg]
Odp.: Cały pręt ma masę 18 kg.
11. Kran w ciągu godziny napełnia 1 część basenu, a odpływ
opróżnia jL część basenu.
x - szukana liczba godzin
(5 ~
= x = 24
Odp.: Tak, woda napełni basen w ciągu 24 godzin.
12. t - wiek ojca
25 %t + 1 • 25 %t + t= 64; t = 48
Marysia: i • 48 = 12; Adam: i • 12 = 4
Odp.: Ojciec ma 48 łat, Marysia 12 lat, a Adam 4 lata.
C
15. x - długość trasy
(x - 8) : 2 + 8 =
x = 24
2- 24 = 16
Odp.: Pierwszego dnia turysta przeszedł 16 km, a drugiego 8 km.
• Ułożenie równania.
• Rozwiązanie równania.
• Obliczenie szukanej wiel­
kości według warunków
zadania.
16. A
17.
1 - 7 ,2 :3 6 = 0,8 [h]
v = 40 : 0,8; v = 50 [b»i
h
Odp.: Samochód poza miastem jechał ze średnią prędkością
50 kilometrów na godzinę.
18. 0,5 • 20 = 10 [km]
10 + 20i = 36f; t = |
O
Odp: Motocyklista dogoni rowerzystę po upływie | godziny
od chwili wyjazdu.
115
R o z w ' ą z a n i a z a ci a ń
1.5. U K Ł A D Y R Ó W N A Ń
Nr
zad.
Kryteria oceny
Rozwiązanie zadania
1. D
Suma 'Wymagania
pkt ogólne szczegół.
1
II
7.4
«, £>—długości boków prostokąta
2. J2a + 26 = 40
ja - 3 = b +3
a = 13; b = 7
P = a ■b = 13 cm •7 cm = 91 cm2
Odp.: Pole prostokąta równe jest 91 cm2.
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
• Obliczenie pola prostokąta.
3
IV
7.4
7.6
10.9
3. 4,70* + 8,25d = 344
• Ułożenie równania.
1
III
7.4
x - cena porcji tortu śmietankowego
4. j x + y = 16
j 4x + 2y = 52
y - cena porcji tortu orzechowego
x = 10; y = 6
Odp.: Porcja tortu śmietankowego kosztuje 10 zł.
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
5. Kolejno: 20, 30, 24
• Uzupełnienie danych.
1
III
7.4
t - pierwotna cena tortu
6. j t + 15c = 54
121 • 0,6 + 20c • 0,4 = 44,80
c - pierwotna cena ciastka
t = 24; c = 2
Odp: Tort przed obniżką kosztował 24 zł, a ciastko - 2 zł.
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
• Ułożenie układu dwóch
f 3z + 2d = 26,20
z - pierwotna cena zeszytu
równań.
13z ■1,1 + 2d ■1,2 = 30,42
d - pierwotna cena długopisu
• Rozwiązanie układu równań.
z = 3,4 i d = 8
• Obliczenie pozostałych szu­
3,4 • 1,1 = 3,74 zł; 8 • 1,2 = 9,60 zł
Odp.: Po podwyżce zeszyt kosztował 3,74 zł, a długopis - 9,60 zł. kanych wielkości.
3
IV
7.4
7.6
5.2
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
x - liczba pkt za wygrany mecz • Ułożenie układu dwóch
równań.
14x + 4y = 24
y - liczba pkt za remis
• Rozwiązanie układu równań.
x = 5;y = 1
Odp.: Za mecz wygrany drużyna otrzymuje 5 punktów,
a za remis - 1 punkt.
2
IV
7.4
7.6
1
II
7.4
7.
x - liczba uczniów klasy 2a
8. f 0,8x + 0,25y = 29
1x + y = 61
y - liczba uczniów klasy 2b
x = 25; y = 36
Odp.: W klasie 2a jest 25 uczniów, a w klasie 2b - 36 uczniów.
9.
j 5x + 4y = 29
10. B
x - wiek mamy, y - wiek Patryka
11. Jx = y + 21
|x + 10 + y +10 = 55
x = 28 - wiek mamy;y = 7 - wiek syna;
10 lat później: odpowiednio 38 i 17 lat
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
12. j x + y = 105
• Ułożenie układu dwóch
równań.
■Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
1
II
7.4
3
IV
V
7.4
7.6
x - wiek Teofila, y - wiek Agaty
{ x - y = \y
x = 63 -,y = 42
Odp.: Agata ma 42 lata, a Teofil - 63.
13.
C
14.
lx + y = 14
{ lOy + x > 10x + y
warunki spełniają: (5, 9); (6, 8)
95 > 59; 86 > 68
Odp.: Szukane liczby to 59 i 68, ponieważ zmiennex i y
oznaczające cyfry liczby 10x + y i lOy + x nie są równe.
116
• Ułożenie układu złożonego
z równania i nierówności.
• Rozwiązanie układu równań
i zapis rozwiązań.
• Analiza treści zadania i uza­
sadnienie rozwiązania.
R o z w i ą z a n i a zadań
15.
iy = x + 7
1 * - 8 —A
[y-8
12
* = 13 ;y = 20
x - licznik ułamka
y - mianownik ułamka
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
16. D
1
IV
7.4
17.
i 6 (v + x) = 24
v - prędkość turysty
• Ułożenie układu dwóch
18 (v - x ) = 24
x - liczba km/h, o którą zmienia się prędkość
równań.
x = 0,5; v = 3,5
• Rozwiązanie układu równań.
Odp.: Turysta poruszał się z prędkością 3,5
2
IV
7.4
7.6
18.
i 3 (v - x ) = 36
v - prędkość statku
[2 (y + x) = 36
x - prędkość prądu rzeki
v = 15; x = 3
Odp.: Prędkość statku na wodzie stojącej równa jest 15
a prądu wody 3
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
• Ułożenie układu dwóch
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
1
IV
7.4
2
IV
7.4
7.6
Odp.: Szukanym ułamkiem jest
19. jx + y = 11
x - liczba większych kostiumów
13,2*4- 2,8>y = 32,8
y - liczba mniejszych kostiumów
x = 5;y = 6
Odp.: Krawcowa z 32,8 m materiału uszyje 5 kostiumów
w większym rozmiarze i 6 w mniejszym.
20. A
21. Jx+ y = 18
x - liczba mniejszych kontenerów
j 4x+ 6y = 88
y - liczba większych kontenerów
x = 10; y = 8
Odp.: Kawę zapakowano do 10 kontenerów 4-tonowych
i 8 kontenerów 6-tonowych.
• Ułożenie układu dwóch
22.
(x + y + z = 250
x - masa pierwszej skrzynki
\z = V ) + x + y
y - masa drugiej skrzynki
[y+z=110+x
z - masa trzeciej skrzynki
x = 70; y = 50; z = 130
Odp.: Skrzynie z towarem mają masę 70 kg, 50 kg oraz 130 kg.
• Ułożenie układu trzech
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
23.
i 10x - 5y = 340
x - liczba poprawnych odpowiedzi
|x + y = 40
y - liczba błędnych odpowiedzi
x = 36;y = 4
Odp.: Uczestnik teleturnieju udzielił 36 dobrych odpowiedzi
i 4 błędne.
• Ułożenie układu dwóch
równań.
* Rozwiązanie układu równań.
2
IV
7.4
7.6
równań.
• Rozwiązanie układu równań.
2 . WYKRES Y F UNKCJ I
2 .1 . F U N K C J E
Nr
zad.
Rozw iązanie zadania
Kryteria oceny
Suma Wyms gania
pkt ogólne szczegół.
1. D
1
II
8.3
2.
A
1
II
8.5
3.
C
1
II
8.3
4.
C
1
II
8.3
5.
I. C, II. B, III. A
3
II
8.3
117
R o z w i ą z a n. i a zadań
.V
15 S
2,5
>
7,5
30 5 1 min
15
• Uzupełnienie tabeli przedsta­
wiającej zależność określoną
warunkami zadania.
• Sporządzenie wykresu
funkcji.
2 min
30
60
b) I. TAK; II. TAK
2.2. O D C Z Y T Y W A N I E W Y K R E S Ó W
Nr
zsd.
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
Suma Wyme gania
pke ogólne szczegół
1. I. PRAW DA; II. FAŁSZ; III. PRAW DA; IV. FAŁSZ; V. PRAW D A
5
I
8.4
2.
C
1
III
8.4
3. B
1
I
8.4
4. T A K
1
III
8.4
• Interpretacja danych
przedstawionych za pomocą
wykresu.
1
II
8.4
6. czas przejścia całej trasy: 1 godz. 30 min
1,5 • 2,5 • 0,9 = 3,375 km
Odp.: Długość szlaku wybranego przez Nowaków równa jest
3,375 km.
• Odczytanie danych z wykre­
su.
• Obliczenie czasu i długości
według warunków zadania.
2
IV
8.4
1.7
7. 4 ' 5 +
• Odczytanie danych z wykre­
su.
• Obliczenie drogi według
warunków zadania.
2
III
8.4
1.7
• Odczytanie danych z wykresu.
5
II
8.4
9. a) C
1
II
8.4
b) A
1
II
8.4
c) B
1
II
8.4
d) C
1
II
8.4
5.
Odp.: Przedział czasowy, którego dotyczy wykres,
to 11.50-12.30.
12
60
• 40 + 1,5 • 2,5 +
60
• 60 + 12 • 5 = 45 km
60
Odp.: Nowakowie podczas niedzielnej wycieczki pokonali
trasę długości 45 km.
8. I. w lipcu i sierpniu; II. w kwietniu; III. w lutym; IV. 2°C; V. -7 |°C
118
R o zw i ą z a n i a zadań
3.ELEM EN TY
3.1. S T A T Y S T Y K A
Nr
zad.
STATYSTYKI
I RACHUN KU
PR A W D O PO D O B IEŃ STW A
OPISOWA
Rozw iązanie zadania
Kryteria oceny
Suma Wymagania
pkt ogólne szczegół.
1. Kolejno: 444 115; 0 pkt, 50 pkt; 19; 0,5
" Odczytanie danych z diagra­
mu i uzupełnienie zdań.
2
II
8.4
2. 444 115 • 0,03 = 13 323
Odp.: Okoio 13 323 uczniów uzyskało wynik równy 28 punktów.
• Odczytanie danych z diagra­
mu i wykonanie obliczeń.
1
II
8.4
1.4
3. B
1
II
5.4
4. I. NIE; II. A
2
II
9.4
5.
a) B
1
II
1.7
b) C
1
II
9.1
c) pomorskie, zachodniopomorskie, dolnośląskie, opolskie,
śląskie
• Podanie nazw województw
zgodnie z warunkami zadania.
1
II
9.1
d) mazowieckie
*Podanie nazwy województwa
zgodnie z warunkami zadania.
1
II
9.1
a) 50- ^
• Odczytanie danych z diagra­
mu i wykonanie obliczeń.
2
III
9.4
2.2
• Odczytanie danych z diagra­
mu i ułożenie równania.
• Rozwiązanie równania.
3
III
9.1
7.1
7.3
(104 200 : 322 575) • 100% * 32,3%
• Wykonanie obliczeń na pod­
Odp.: Około 32,3% powierzchni kraju stanowią obszary chronione. stawie danych z tekstu.
1
III
5.4
8. 265 h a : 1 000 = 2 650 000 m2 :1 000 = 2 650 m2
• Odczytanie danych z tekstu
Odp.: Na jednego mieszkańca Polski przypada 2 650 m2 obszaru
i wykonanie obliczeń.
chronionego.
• Zamiana jednostek po­
wierzchni.
2
III
9.1
2.4
9. 25 138 : 104 200 = 0,24
Odp.: Powierzchnia parków krajobrazowych zajmuje 0,24
wszystkich obszarów chronionych.
2
III
9.1
2.4
6.
= 8,75 [kg]
Odp.: Średnia zawartość skrobi w 50 kg ziemniaków to 8,75 kg.
b) UK)'X = 30;x = 200° g = 2 k S
Odp.: Dwa kg ziemniaków dostarcza średnio 30 g błonnika.
7.
• Odczytanie danych z tekstu
i wykonanie obliczeń.
1
10. B
1
II
9.1
11.
a) A
1
III
2.3
b) (1 575 + 1 451): 2 = 1513
* Odczytanie danych z tabeli
Odp.: W latach 2007-2008 udzielono średnio 1513 patentów rocznie. i obliczenie średniej.
1
III
9.4
c) (25,9 :100) • 2 488 = 644,392 = 644
Odp.: W 2008 roku osoby fizyczne zgłosiły 644 wynalazki.
• Odczytanie danych z tabeli
oraz diagramu i obliczenie
wyniku.
2
III
9.4
2.4
d) 43,6% - 25,9% = 17,7%
Odp.: Placówki naukowe w 2008 roku zgłosiły o 17,7 punktów
procentowych więcej wynalazków niż osoby fizyczne.
• Odczytanie danych z tabeli
oraz diagramu i obliczenie
wyniku.
1
III
5.4
I. najwyższy kurs: kwiecień 2005 r., najniższy: w lipcu 2008 r.;
II. o 20 zł; III. najwyższy wzrost kursu: czwarty kwartał 2008 r.,
najmniejsze wahania kursu: trzeci kwartał 2007 r.
• Interpretacja danych przedsta­
wionych za pomocą wykresu.
1
12.
119
1
i
|
1
i
s
II
9.1
R o z wi ą z a n i a zadań
13. B
1
II
9.1
14. C
1
III
5.4
• Odczytanie danych z diagra­
mu i wykonanie obliczeń.
2
III
9.1
2.4
• Odczytanie danych z diagra­
16. 80,7% -39,2% = 41,5%
mu i wykonanie obliczeń.
Odp.: Liczba użytkowników Internetu w Danii w 2008 roku w po­
równaniu z rokiem 2000 wzrosła o 41,5 punktu procentowego.
2
III
9.1
5.4
2
III
9.1
2.4
1.4
• Interpretacja danych przedsta­
18. Przykład odpowiedzi:
wionych za pomocą wykresu.
Grypa jest chorobą sezonową, której szczyt zachorowań notuje się
w okresie zimowym i trwa ok. 2 miesięcy, po czym liczba zachoro­
wań spada i w okresie letnim utrzymuje się na niskim poziomie.
W ostatnich latach obserwuje się stopniowe przesuwanie szczytu
zachorowań na wcześniejsze miesiące okresu zimowego.
1
II
9.1
• Odczytanie danych dotyczą­
cych sposobu obliczenia
i wykonanie obliczenia.
2
III
2.4
1.4
}5.
(73 :1000) • 38 000 000 = 2 774 000
Odp.: W roku 2000 z Internetu korzystało 2 774 000 Polaków.
• Ułożenie równania.
• Rozwiązanie równania.
17. 0,512* = 31 800 000; x = 62 109 375 = 62,1 min
Odp.: Liczba ludności Francji w 2008 roku wynosiła
około 62,1 min.
19. 38 100 000 : 100 000 = 381; 381 •5 = 1 905; 1 905 •7 = 13 335
Odp.: W okresie od 16 do 22 lutego 2010 r. na grypę zachoro­
wało w Polsce około 13 300 osób.
3.2. W P R O W A D Z E N I E
Nr
DO R A C H U N K U
PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Kryteria oceny
Rozwiązanie zadania
zad.
Suma Wymagania
pkt ogólne szczegół.
1. możliwe wyniki: (R, R), (R, O), (O, R), (O, O)
Odp.: Są cztery możliwe wyniki dwukrotnego rzutu monetą.
• Analiza zdarzenia losowego
i podanie liczby jego wyników.
1
III
9.5
2.
• Analiza zdarzenia losowego
i uzupełnienie rysunku.
1
III
9.5
• Analiza zdarzenia losowego
i wykonanie rysunku.
1
III
9.5
4. I. {(1,1), (1,2), (1,3), (1, 4), (1,5), (1, 6), (2,1), (2,2),..., (6, 6)} • Analiza doświadczenia loso­
wego i wypisanie jego zda­
-je s t 36 wyników zdarzenia;
rzeń elementarnych.
II. (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)
2
III
9.5
5. I. 0-1-2, 0-2-1,1-0-2,1-2-0,2-0-1, 2-1-0; II. cztery
• Analiza zdarzenia losowego.
2
III
9.5
6. wyniki: { ( 1 , 2, 2), (2 , 1, 2), ( 2 ,2 , 1)}
Odp.: Można otrzymać dwie liczby parzyste: 122 i 212.
• Analiza zdarzenia losowego.
2
III
9.5
7. Odp.: Marcysia musi wyciągnąć z szuflady 10 kolczyków, aby
mieć pewność, że skompletuje jedną parę.
• Analiza zdarzenia losowego.
1
III
9.5
8.
• Analiza zdarzenia losowego.
1
III
9.5
• Analiza zdarzenia losowego.
1
III
9.5
_ CZ£rWOny
—
fń
3.
[z
\
Pn] ~
IM- niebieski
/ \
O
R
A
-a
R O
^
/ x
r - R
R 0
3 •3 • 3 = 27
Odp.: Kajetan może się ubrać na 27 sposobów.
9. Sposób rozstawienia drużyn a, b, c, d, e: a-b
5 • 4 : 2 = 10
a~c
a-d
Odp.: Odbędzie się 10 meczów.
a-e
b-c
£-d
b-e
c-d
c_e
120
d-e
Roz wi ąz ani a z a d a ń
4. FI GURY P ŁASKI E
4. 1. T R Ó J K Ą T Y
Nr
zad.
1.
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
Suma
pkt
Wymagania
ogólne szczegół
D
1
II
10.1
2. B
1
III
2.4
C
1
III
SP
4. I. 4; II. 2, III. 1, IV. 3
4
IV
10.20
5.
C
1
III
10.13
6.
D
1
II
10.7
• Obliczenie boku trójkąta.
3
IV
7.1
7.3
2.4*
• Obliczenie wysokości trój­
4
IV
7.1
10.9
10.7
2
IV
10.7
10.9
4
V
10.20
3.
7. h
=
aM; a = h
+
2
a - a i 3 + 2; a - j ^ [ c m ]
Odp.: Długość boku trójkąta jest równa
8.
a + 2b
=
cm.
84; b = 24 cm
kąta.
• Obliczenie pola trójkąta.
ń2 = 52 - (Aa)2; /z = 6l/7 [cm]
P = i •36 •6f7 = 108V7 [cm2j
a = 36 cm
Odp.: Pole trójkąta jest równe 108V7 cm2.
9. ft = ib 2 - 6 2 = 21/3 [cm]
P
=
" Obliczenie wysokości trój­
kąta.
• Obliczenie pola trójkąta.
i • 12 •2l/3 = 12l/3 [cm2]
Odp.: Pole trójkąta jest równe 12l/3 cm2.
10. L = 61/2 + 12 + 6 + 6i3
cm
= 18 + 6i/2 + 6i/3 [cm]
• Stosowanie własności trój­
\
6l/2 cm \
Odp.: Obwód trójkąta
6V3 cm
\ ~ j (
jest równv 18 + 6V2 + 6l/3 cm.
W
m'v.
12 cm
11.
|D £ | = 1/I62 - 82 = 8 f 3 ;|£ C | = I 6 - 81/3
AE C K -A A B K
L _ 16-81/3 _ 2-1/3
16
2
Odp.: Trójkąt
12.
jest podobny do trójkąta ARK w skali
h = d ź = l - , a = 14^p _ o M _ ( 1 4 f ) 2-V3_ 49^
^
kąta prostokątnego.
• Obliczenie długości boków
trójkąta.
• Obliczenie obwodu trójkąta.
10.9
10.15
2.4*
• Obliczenie długości boku
trójkąta ADE.
‘ Obliczenie długości odcinka.
• Obliczenie skali podobień­
stwa trójkątów.
3
• Obliczenie długości boku
trójkąta równobocznego.
• Obliczenie pola trójkąta.
3
IV
2.4*
10.7
10.9
4
IV
10.15
2.4
IV
10.7
2.4*
10.11
Odp.: Samochodowy trójkąt odblaskowy ma powierzchnię
równą yV 3 cm2.
13. AOBA ~ AOLK w skali k = | = 4
|LX| = 35 + 115 - 50 = 100 [cm]
|AB | = k ■\LK\ = 4 • 100 = 400 [cm] = 4 m
wysokość drzewa: 4 m + 0,5 m = 4,5 m
Odp.: Wysokość drzewa
•
jest równa 4,5 m.
■
. -'
• Obliczenie skali podobień­
stwa trójkątów.
• Obliczenie boku trójkąta
. . . . j
powiększonego w skali.
• Obliczenie długości szuka­
j i- *i
1
nego odcinka.
( '•'f « J
cfiL35cm
O
'
I*
_____............................................................
/'T 50cm
1
2 ni
[|j
1
iM A
6m
1
121
10.11
f
R o zw i ą za n i a zadań
4 .2 . W I E L O K Ą T Y
Nr
K ryteria oceny
Rozw iązanie zadania
zad.
IV
10.7
10.9
1Obliczenie boku prostokąta.
1Obliczenie pola prostokąta.
IV
10.7
10.9
1Obliczenie długości boków
prostokąta.
■Obliczenie obwodu prostoką­
ta.
IV
10.15
2.4*
10.9
• Obliczenie długości boków
prostokąta.
1Obliczenie długości przekąt­
nej prostokąta.
IV
10.9
7.1
7.3
10.7
■Narysowanie czworokąta.
■Obliczenie długości boków
czworokąta.
1Obliczenie obwodu czworo­
kąta.
IV
10.7
2.4*
10.9
• Obliczenie pola powierzchni
czworokąta.
• Obliczenie długości boku
trójkąta.
• Obliczenie długości prze­
kątnej równoległoboku.
IV
10.9
10.7
2.4*
7 cm
1Obliczenie długości boku
trójkąta.
1Obliczenie wysokości trape­
zu.
1Obliczenie pola trapezu.
IV
10.9
10.7
2.4*
c
1Obliczenie wysokości trape­
zu.
■Obliczenie długości ramie­
nia trapezu.
■Obliczenie pola trapezu.
■Obliczenie obwodu trapezu.
IV
10.7
10.9
' Obliczenie długości boku
trójkąta równoramiennego.
' Obliczenie wysokości trape­
zu.
1Obliczenie pola trapezu.
IV
10.1
L = 4 ■2l/2 = 81/2
Odp.: Pole czworokąta A B CD jest równe 8, a obwód - 8l/2.
2 x2 + 122 = ( 12V3)2; x = 12V2 cm
12 cm
P = 12 • 12l/2 = 144i/2 [cm2]
Wymagania
ogólne szczegół.
1Obliczenie długości boku
kwadratu.
1Obliczenie pola kwadratu.
1Obliczenie obwodu kwadratu.
a = 2; b = 2l/2
P = b2 = (2l/2)2 = 8
.
Suma
Odp.: Pole prostokąta jest równe 144l/2 cm2.
3.
i è = 4,5 cm
i a = 4,5^3 cm
b = 9 cm; a = 9l/3 cm
L = 2 • 9 + 2 ■9i/3 = 18(1 + V3) [cm]
Odp.: Obwód prostokąta jest równy 18(1 + i3) cm.
L = 2a -t- 2b = 60
2 - 7x + 2 • 3x = 60; x = 3;
a = 21 m, b = 9 m
a = lx
¿2 = 212 + 92; d = 1/522 = 3l/58 [m]
Odp.: Długość przekątnej działki to 31/58 m.
b = 3x
5. a = \AD \ ; a2 = l 2 + 52; a = {26
b = \A B \;b 2 = \ 2 + 42-,b = f Ü
L = 2a + 2b = 2(i/26 + i/l7)
Odp.: Obwód czworokąta o podanych
współrzędnych jest równy 2(l/26 + l/Ï7).
6.
p = a • h = 8i/3 cm2
8 cm
x2 + 1/3^ = (2{3)2; x = 3 cm
y = 8 - 3 = 5 [cm]
¿2 = 52 + t/ 32 = 28; d = 2 ff [cm]
'
^
Odp.: Pole czworokąta jest równe 81/3 cm2,
a długość krótszej przekątnej - 2l/7 cm.
x=
7 = 2 [cm]
h2 + 22 = 42; h 2 = 1 2 ; h = 2^3 [cm]
^
P = 1(11 + 7) ■2l/3 = 18l/3 [cm2]
Odp.: Pole trapezu jest równe 18l/3 cm2.
h 2 = 102 - 62 = 64; h = 8 cm
6 cm
c = 10 cm, bo AABC jest równoramienny
P = 6 + 12 8 = 72 [cm2]
L — 6 + 8 + 12 + 10 — 36 [cm]
Odp.: Pole trapezu jest równe 72 cm2,
a jego obwód - 36 cm.
._ 8 -4 _
2 [cm]
12 cm
4 cm
h2 = 42 - 2 2 = 12; h = 2l/3 cm
p = ł ± J • 21/3 = 12l/3 [cm2]
Odp.: Pole powierzchni trapezu
jest równe 12l/3 cm2.
8 cm
122
8.1
10.7
2.4*
10.9
R o zw i ą za n i a zadań
10. C
1
III
10.7
• Obliczenie długości krótszej
przekątnej.
• Obliczenie pola rombu.
• Obliczenie miary kąta
ostrego.
5
IV
10.7
10.8
10.9
10.15
2.4*
• Wykorzystanie własności
kątów w rombie.
• Obliczenie długości boku
rombu.
• Obliczenie obwodu rombu.
3
IV
10.15
10.8
10.9
1
II
10.8
5
IV
10.7
7.1
7.4
10.9
1
III
10.13
16. T rójkąty^5iiiD iiC sąpodobne, ponieważ |st/C4.B| = \^D C K \ • Podanie własności trójkątów
i \^ A B K \ = |<£CIU*r| (kąty naprzemianległe są równe),
podobnych.
\^D K C \ = \^HAKB\ (kąty wierzchołkowe).
• Podanie skali podobieństwa.
\AB \ _ 15 _ 3
\DC\
5
1
Odp.: Trójkąt A B K je st podobny do trójkąta DKC
w skali 3:1.
3
V
10.1
2.4
17. a ) PRAW D A
1
III
10.11
1
III
10.9
3
V
10.7
10.9
1.4
1
III
10.8
4
IV
10.9
2.4
1.4
11. x2 + (10i/3)2 = 202;x 2 = 100;x = 10[cm ]
di = 20l/3cm; d2 = 20 cm
z'
x
p = l . d r d2 = 1-20-201/3
-----------
= 2001/3 [cm2]
a = 2 ■30° = 60°
\-
Odp.: Pole powierzchni rombu
jest równe 200 {3 cm2, a miara
jego kąta ostrego to 60°.
10 cm
6 0 ^ 2 0 cm
A
10i3 cm
12. L = 4 -6 = 24 [cm]
Odp.: Obwód rombu
jest równy 24 cm.
x
...............
cm
3 cm
^
i3 0 ^
3i3 cm
13. A
14. a - b = 6; a = 6 + b
P = a i- —■h
15 cm
4 cm s\ c
4 cm
6 + b + b . 4 _ 72; b - 15 cm
15 cm
• Obliczenie długości ramie­
nia trapezu.
• Obliczenie obwodu trapezu.
' 6 cm '
a = 21 cm
42 + 62 = c2; c = 2l/l3 cm
L = 15 + 21 + 4 + 21/13 = 40 + 2l/ 13 = 2(20 +1/I3) [cm]
Odp.: Obwód trapezu równy jest 2(2 3 + l/l3) cm.
15.
C
b) C
c) c = Vl602 + 602 = 101/292 =
• Obliczenie różnicy długości
podstaw trapezu.
• Obliczenie długości ramie­
nia trapezu.
• Obliczenie obwodu trapezu.
= 10-17,1 = 171 [m]
L — 80 + 240 + 60 + 171
= 551 [m]
160 m
Odp.: Na ogrodzenie działki
potrzeba 551 m siatki.
18. B
19.
1,25 • [(3,2 ■2 + 3,8 • 2) • 2,6 -1,35 • 1,6 - 2,20 • 2] = 37,3 [m2]
37,3 m2 : 8 m2 = 4,6625 ~ 5 rolek tapety wzorzystej
1,1 • (4,5 • 4 ■2,6 - 3 • 1,35 • 1,6 - 2,2 • 1) = 41,932 [m2]
41,932 m2 : 8 m2 = 5,2445 “ 6 rolek tapety gładkiej
Odp.: Do wytapetowania pokojów należy kupić 5 rolek tapety
we wzory i 6 rolek tapety gładkiej.
123
• Obliczenie powierzchni
według warunków określo­
nych w zadaniu.
• Obliczenie wartości wyraże­
nia arytmetycznego.
R o 2: w i ą z a n i a z a d a ń
• Obliczenie obwodu trapezu.
1
III
10.9
b) 25 min =
3 ^ = 3 000 ®
7
60
h
h
S = H • 3 000 = 1 250 [m]
• Zamiana jednostek czasu
i jednostek prędkości.
• Obliczenie drogi według
1 250 : 300 = 4 r 50, czyli wartownik obejdzie teren cztery razy
warunków określonych
i jeszcze 50 metrów
w zadaniu.
Odp.: W 25 minucie obchodu wartownik znajdzie się na odcinku
• Sformułowanie odpowiedzi.
oznaczonym jako^D .
1
IV
V
SP
1.7
2.4
c) TAK
1
II
10.11
21. B
1
III
10.11
22. C
1
II
10.16
• Obliczenie powierzchni pól
według warunków określo­
nych w zadaniu.
4
IV
SP
10.9
• Obliczenie poła zgodnie
z warunkami zadania.
3
IV
1.7
10.9
b) C
1
II
10.9
c) C
1
II
SP
• Obliczenie pól powierzchni
czworokątów.
• Porównanie wielkości pól
czworokątów.
4
V
10.9
2.4
• Obliczenie długości boków
trójkątów.
• Obliczenie obwodów
trójkątów.
6
V
10.7
10.9
• Podanie skali rysunku.
1
II
SP
1
III
2.4
3
III
2.4
10.7
1
II
SP
20. a) L = 80 + 90 + 100 + 30 = 300 [m]
Odp.: Wartownik podczas jednego obejścia terenu zakładu
pokonuje drogę równą 300 m.
i
23.
I. 4 • 22 = 16 [cm2]; II. 4 • 2 ■6 = 48 [cm2];
III. 4 • 1 • 3 • 3 = 18 [cm2]; IV. ± • 62 = 18 [cm2]
Odp.: Wzór tworzy 16 cm2 drewna oznaczonego jako I,
48 cm2 - II, oraz po 18 cm2 drewna - III i IV
24.
25.
a) 10 + 10 - 2 = 18 [cm]; 2 • 10 + 10 - 2 = 28 [cm]
p = 18 • 28 = 504 [cm2]
Odp.: Powierzchnia wieczka kasetki jest rówma 504 cm2.
1 . 2 8 - 1 0 - 1 - 4 - 2 8 - 1 - 6 - 4 - 1 - 2 2 - 2 - 1 ( 2 + 10)-2 = 178
2.18 - 2 4 - 1 - 4 - 1 4 - 1 - 2 0 - 6 - 1 - 1 0 - 8 - 1 - 2 - 6 = 276
6.1-23=23
Odp.: 6 - 2 3 ,1 - 1 7 8 , 2 -2 7 6 .
26. 3. 42 + 162 = rnr; m = 4Vl7
202 + 202 = k2; k = 20{2
\ 5
L = 2 • 4l/l7 + 201/2 =
= 8Vl7 + 20V2
d
K i
4. 42 + 22 = c2; c = 2{5
\ \
k
¿ = 4 + 2- 2^5 = 4 + 41/5
5. 122 + 42 = b2;b = 4i/l0
142 + i 22 = d2;d = 2{85
Ą
\
\
b
4
ą
L = 18 + 41/IO + 2V85
27.
Odp.: Rysunek gotowej kartki jest przedstawiony w skali 1:3.
28. C
29.
1 - 1 6 = 2 [cm]
162 + 122 = x2; x = 20 cm
Odp.: Linia pierwszego zagięcia
arkusza ma długość 20 cm.
■
2 cm
16 cm
• Obliczenie długości boków
trójkąta.
• Obliczenie długości przeciw12 cm
prostokątnej.
X' N
-
30. B
■
31.
C
1
III
10.9
32.
C
1
III
10.12
33. B
1
II
SP
124
R o zw i ą za n i a zadań
4 .3 . K O Ł A
S OKRĘG!
Nr
zad.
Rozw iązanie zadania
Kryteria oceny
Suma Wytruigania
pkt ogólne szczegół
1. A
1
II
10.3
2.
1
II
10.4
• Obliczenie odległości z wy­
korzystaniem twierdzenia
Pitagorasa.
3
IV
10.7
• Zastosowanie twierdzenia
Pitagorasa.
• Obliczenie długości według
warunków określonych
w zadaniu.
3
III
10.7
• Zastosowanie twierdzenia
Pitagorasa.
• Obliczenie długości promie­
nia koła.
• Obliczenie pola koła.
4
IV
10.7
• Obliczenie pola wycinka
kołowego.
• Obliczenie pola trójkąta.
• Obliczenie pola figury.
3
IV
10.6
10.9
2.4*
• Obliczenie długości promieni.
• Obliczenie pól kół.
• Obliczenie pola figury.
4
IV
2.4*
10.6
8. 20 • 2nr = 20 ■2 ■71 • 5 = 20071 = 628 [m]
Odp.: Koń pokona drogę około 628 m.
• Obliczenie obwodu okręgu.
• Obliczenie drogi.
2
IV
10.5
2.4*
9.
• Zastosowanie własności trój­
kąta prostokątnego i oblicze­
nie długości promienia.
• Obliczenie długości okręgu.
3
IV
10.5
10. L = 40 076 : 2 = 20 036 [km]
• Obliczenie długości równo­
leżnika.
2tir - 20 038; r - 20_038 - 3 190,764 km
2n
• Obliczenie długości promie­
Odp.: Długość promienia koła przekroju kuli ziemskiej, którego
nia.
obwodem jest równoleżnik 60°, jest równa 3 190,764 km.
4
IV
2.4*
10.5
7.1
1.4
11. B
1
III
10.6
• Obliczenie miary kąta środ­
kowego.
2
III
10.4
2.4
• Obliczenie długości luku
okręgu.
2
III
10.5
2.4*
1.4
• Obliczenie obwodu okręgu.
• Obliczenie czasu okrążenia.
• Zamiana jednostek pręd­
kości.
3
V
10.5
1.7
1.4
D
3. *2 + 2,52 = 72;x 2 = m ; x = M 2 c m
ni
Odp.: Odległość środka okręgu od cięciwy
/
jest równa
j
cm.
4. 52 - 32 = x 2; x = 4 cm
Odp.: Odległość cięciwy od środka okręgu
jest równa 4 cm.
—5cm
x
j
\
r—7 cm\
.V'
|
/ ''-x
5. 4r2 = (2V2)2 + (31/2)2; r2 = ~
P = jtr2 = 12-71 [cm2l
2
i-,
,
Odp.: Pole koła jest równe -yTt cm .
21/2 cir|
\
>
6. Ą 7 = l j t - 2 2 = 7t;PA = l - 2 - 2 = 2
P = n -2
Odp.: Powierzchnia pola figury jest równa n - 2.
7. r; = 1,5 cm; r2 = 1 cm; r3 =
= 2,5 [cm];
P = n ■2,52 - 7t • l 2 - Tc • 1,52 = 3n cm2
Odp.: Zacieniowana figura ma pole równe 37t cm2.
152 = 7,52 + r2;r = 7,5^3 m
L = 2 • 7,5V3 • 7t = 151/3 • 7t » 80,07 [m]
Odp.: W czasie jednego okrążenia samolot na uwięzi pokona
drogę około 80,07 m.
12. 360° : 28 = 12^°
Odp.: Kąt środkowy utworzony przez promienie dwóch
kolejnych kapsuł koła Singapore Flyer ma miarę 12^°.
13. i
• 27ir » 16,82 [m]
Odp.: Długość łuku koła Singapore Flyer, który wyznaczają
dwie sąsiednie gondole, wynosi około 16,82 m.
14.
(27tr): 0,76 ^
= (2 • 3,14 • 75): (0,76 ■i f f i ) = 37 [min]
Odp.: Pasażer, który wsiadł do kapsuły koła Singapore Flyer,
znajdzie się w tym samym miejscu po 37 minutach.
125
J
Roz wIą z a n ia zadań
4.4. W I E L O K Ą T Y ! O K R Ę G !
Nr
zad.
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
Suma Wyni i gania
pkt ogólne szczegół.
3
V
10.4
• Zastosowanie tw. Pitagorasa.
• Obliczenie długości boków
prostokąta.
• Obliczenie pola prostokąta.
3
V
10.7
10.9
• Obliczenie wysokości
trójkąta równobocznego.
2
V
SP
10.7
• Obliczenie pola trójkąta.
• Obliczenie długości przeciwprostokątnej trójkąta.
• Obliczenie promienia kola.
• Obliczenie pola koła opisa­
nego na trójkącie.
4
V
10.9
10.21
10.7
5. L = 400 m; 2nr + 2x = 400; x = 85,39 [m]
Odp.: Długość prostoliniowego odcinka bieżni to około 85,39 m.
• Ułożenie równania i obli­
czenie długości odcinka.
3
V
7.1
10.5
6. 45:30:4:3
• Określenie skali podobień­
stwa kół.
1
V
SP
1.7
1
III
10.2
• Obliczenie kątów trójkąta.
1. |<WKL| = |<EJVML| = 90°; \<SNM\ = |<SMV| = (180°-50°): 2 = 65°;
s \<KNM\ = 60° + 65° = 125°; \<KLM\ = 180°- \<KNM\ = 180° -125° = 55°;
Odp.: Miary kątów czworokąta to: 90°, 125°, 90° i 55°.
2.
('3x')2 + (4x)2 = 102;x = 2 cm
a = 3 -2 = 6 [cm]; b = 4 ■2 = S [cm]
P = a ■b = 48 cm2
Odp.: Pole prostokąta jest równe 48 cm-.
( 3x
4v
,
3. h = s M = M = 31/3[cm]
Odp.: Odległość cięciwy od środka okręgu jest równa 3^3 cm.
4.
PA = i • 6 • 8 = 24
62 + 82 = c2; c = 10; r = i-c = 5
p = nr2 = 25 k « 78,5
Odp.: Pole trójkąta jest równe 24, a pole opisanego na nim
k o ła-7 8 ,5 .
7. D
8. oczy: 2 ■7t • 0,152 = 0,045ti [cm]; głowa: k ■1,52 = 2,25ti [cm]
0.04571 ■100% - w .
2,25ti
Odp.: Oczy bałwana stanowią 2% powierzchni jego głowy.
• Obliczenie pól powierzchni
kół.
• Zastosowanie obliczeń pro­
centowych w praktyce.
3
V
10.6
5.4
9. x2 + 1,22 = l,5 2;x = 0,9 cm
0,9 • 2 = 1,8 [cm]
Odp.: Długość cięciwy równa jest 1,8 cm.
■Obliczenie długości cięciwy.
2
V
10.7
10. 5a = 40; a = 8; rj = 5 • 8 = 40 [cm]; r2 = 4 • 8 = 32 [cm]
• Obliczenie długości promie­
P, = 7t • 402;P2 = n ’ 322; P1- P 2 = 1 600ti- 1 024tt = 1 808,64 [cm2] ni kół.
Odp.: Czerwone pole powierzchni znaku zakazu ruchu
• Obliczenie pola powierzchni
jest równe około 1 808,64 cm2.
pierścienia kołowego.
4
V
10.6
11. 360°: 8 = 45°; (180° - 45°): 2 = 67,5°
kąt wewnętrzny: 2 • 67,5° = 135°
Odp.: Kąty wewnętrzne wielokąta mają miarę równą 135°.
3
V
SP
10.4
3
V
10.6
1.4
12. P1 = 1 • 7t • 82 = 100,48 [m2]
16 cm
p 2 = i • 7i • 82 = 50,24 [m2]
Odp.: Gdy palik umieszczony jest na środku
dłuższego boku pastwiska, to krowa może
zjeść trawę z dwa razy większego obszaru
niż wówczas, gdy palik umieszczony jest w naroż niku.
• Obliczenie miary kątów
wewnętrznych ośmiokąta.
• Obliczenie pola półkola.
8 cm • Oblicznie pola i kola.
• Porównanie powierzchni
według warunków określo­
nych w zadaniu.
13.
C
1
II
10.22
14.
C
1
III
10.22
15. I. c
II. c
III. B
3
II
II
III
10.17
10.7
10.6
126
R o z w i ą za n i a zadań
5. B R Y Ł Y
5.1. G R A N I A S T O S Ł U P Y
Nr
zad.
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
1. a) D
b) a = 2,5 cm; b = 2 •2,5 cm = 5 cm
V = 5 •5 ■5 = 125 [cm3]
Odp.: Łączna objętość sześcianów, których żadna ze ścian
nie została pomalowana, jest równa 125 cm3.
2. a2 = 8; a = 4i/2 cm
Pc = 6-a2 = 6- (4i/2)2 = 192 [cm2]
^
Odp.: Pole powierzchni całkowitej
sześcianu jest równe 192 cm2.
Suma
Wymijgania
pkt
ogólne szczegół.
1
II
SP
• Obliczenie boku sześcianu
według warunków zadania.
• Obliczenie objętości
sześcianów.
2
V
11.2
2.4
• Obliczenie długości boku
3
V
11.2
10.7
• Obliczenie długości boku
kwadratu.
• Obliczenie objętości sześcianu.
2
V
11.2
4.1
kwadratu.
• Obliczenie pola całkowitego
sześcianu.
a
a
3. p c = 6-a2 = 13,5; a2 = 2,25; a = l/2^5 = 1,5 [cm]
V = a3 = (1,5)3 = 3,375 [cm3]
Odp.: Objętość sześcianu jest równa 3,375 cm3.
4.
8 • 20 + 0,2(8 • 20) = 192 [cm]
Odp.: Długość wstążki, którą Jadzia obwiązała prezent,
jest równa 192 cm.
• Obliczenie długości wstążki
według warunków zadania.
2
V
11.1
10.9
5.2
5.
V = 12 • 36 • 70 = 30 240 [cm3] = 30,24 dcm3 = 30,241
Odp.: Kanister mieści 30,24 litra benzyny.
• Obliczenie objętości prosto­
padłościanu.
* Zamiana jednostek objętości.
2
V
11.2
11.3
• Obliczenie długości krawę­
dzi podstawy.
• Obliczenie długości przekąt­
nej ściany prostopadłościanu.
• Obliczenie objętości prosto­
padłościanu.
4
V
11.2
10.7
• Obliczenie wysokości prosto­
padłościanu.
• Obliczenie długości przekąt­
nej podstawy prostopadło­
ścianu.
• Obliczenie objętości prosto­
padłościanu.
• Obliczenie pola powierzchni
prostopadłościanu.
5
V
11.2
10.7
10.15
1
V
SP
• Obliczenie długości krawę­
dzi prostopadłościanu.
• Obliczenie objętości prosto­
padłościanu.
2
III
11.2
2.4
• Obliczenie objętości.
• Zamiana jednostek objętości.
• Obliczenie objętości prosto­
padłościanu z uwzględnie­
niem warunków zadania.
3
V
11.2’
11.3
6. P = 64 cm2;«2 = 64 cm2; a = 8 cm
h 2 + (a{2)2 = (121/6)2; h = 41/46 cm
h
SSN\ sfc ^ l2 ^ c m
V = 4i/46 ■64 = 2561/46 [cm3]
Odp.: Objętość prostopadłościennego
pudełka jest równa 256^46 cm3.
7. d 2 = 122 + 62 = 180;
d = ai2
I\
d = 6V5 cm
H2 + (6i/5)2 = (121/5)2;
H
\ 1 21/5 cm
H
H = 6il5 cm
V = 6 ■12 • 6l/l5 =
■ 432i/l5 [cm3]
m\
óV5 cm
12 cm
^ 6cir
Pc = 2(12 • 6 + 6 • 6l/l5 + 12 • 6l/l5) =
= 2(72 + 1081/15) = 72(2 + 3 /l5 ) [cm2]
Odp.: Objętość prostopadłości;mu równa jest 4321/15 cm3
a pole powierzchni - 72(2 + 3"!^15) cm2.
8. C
9. krawędzie: 8 cm; 80 - 2 ■8 = 64 [cm]; 40 - 2 ■8 = 24 [cm]
V = 24 • 64 ■8 = 12 288 [cm3]
Odp.: Objętość kartonowego pudełka jest równa 12 288 cm3.
10.
V = 12 ■25 • (21 - 1) = 6 000 [cm3] = 61
Odp.: W naczyniu zmieści się 6 litrów wody.
1
127
1
R o z w i ą z a n i a z a ci a ń
11.
/
h2 = 144 cm; h = 12 cm
a = 12 : 4 = 3 [cm]
j/ = 32 • 12 = 108 [cm3]
Odp.: Objętość graniastosłupa jest równa 108 cm3.
7l
12 cm
'3 cm
3 cm
12.
Vi = V2 = 1 000 cm3
82 • hj = 1 000; hj = 1 000 : 64 = 1 5 | [cm]
(82 - 4 • i • 22) • h2 = 1 000; h2 = 1 000 : 56 = 17^ [cm]
h 2 - hq = 2 ^ | cm
Odp.: Różnica wysokości kartonów jest równa 2 ^ cm.
13. h = H = 18 cm
h =
= 18 cm; a = 12l/3 cm
18 cm
Obliczenie wysokości i kra­
wędzi podstawy graniastosiupa.
Obliczenie objętości graniastoslupa prawidłowego
czworokątnego.
V
Obliczenie objętości prosto­
padłościanu.
Obliczenie objętości graniastostupa.
Porównanie wysokości obu
brył.
V
Obliczenie wysokości graniastoslupa.
Obliczenie pola siatki.
V
1Zastosowanie własności
trójkątów prostokątnych.
1Obliczenie pola podstawy
graniastoslupa.
1Obliczenie objętości graniastosłupa.
V
1Obliczenie pola trapezu.
1Obliczenie objętości graniastosłupa.
1Zamiana jednostek masy.
V
11.2
2.4
11.2
7.1
11.2
10.7
7.1
Ps = l , 1 0 - ( 2 - ^ S + 3-fl-/!) =
1 616 [cm2]
1,10 ■((12^ )2' ^ + 3 • 121/3 • 18)
Odp.: Pole powierzchni szablonu jest równe około 1 616 cm2.
6 cm
14. Pp = \ • (6 + 12) • 3Í3 = 271/3 [cm2]
3Í3 cm
'3 c m 1
H = 12 cm
11.2
10.15
10.9
y = P p . H = 21{3 ■12 = 3241/3 [cm3]
Odp.: Objętość graniastoslupa
jest równa 324{3 cm3.
12 cm
15. V = i • (6 + 10) • 5 • 10 = 400 [cm3]
1 000 cm3 — 0,44 kg
400 cm3 —
x kg
11.2
11.3
SP
X = 5f o T O ^ ° ’176[kg] = 176g
Odp.: Pojemnik wypełnia 176 g jeżyn.
5,2. O S T R O S Ł l P Y
Nr
zad.
Kryteria oceny
Rozwiązanie zadania
Suma Wy mi gania
pkt ogóine SiCzegoi.
1. B
1
II
11.1
2. D
1
V
11.2
• Obliczenie wysokości ostro­
słupa.
• Obliczenie objętości ostro­
słupa.
4
V
11.2
10.7
• Obliczenie wysokości ostro­
słupa.
• Obliczenie objętości ostro­
słupa.
4
V
11.2
7.1
10.7
3.
H2 +
= a 2;
/
H = a j|
a/
y — 1 . a2{3 . a- J I = s L f i
3
4
"3
12
3 i—
Odp.: Objętość bryły równa jest ^ v 2 .
4. H 2 + 42 = 122\H = 8 V 2 cm
H
/
z -------- ——
27. _ 2 . a i3 — d 3
3
3
3 2
/
12 cm
j / = 1 . 1 . 8 2 -8i / 2 = ^ 6 V 2 [ c m 3]
/
\ 12 cm
/
Odp.: Objętość ostrosłupa
jest równa 22i>V2 c m 3.
/
\
/
4 cml
1 28
R o zw i ą z a n i a zadań
Pa = nr2 = 48ji; r = 4l/3 cm
d _ 2 . a f i _ aj_3
3
2
3
«£= 41/3; a = 12 cm
1Obliczenie długości krawę
dzi podstawy ostrosłupa.
1Obliczenie pola powierzchni
całkowitej ostrosłupa.
V
1Obliczenie długości krawę­
dzi podstawy i wysokości
ściany bocznej ostrosłupa.
Obliczenie pola powierzchni
podstawy ostrosłupa.
Obliczenie pola powierzchni
bocznej ostrosłupa.
Obliczenie pola powierzchni
całkowitej ostrosłupa.
V
1Obliczenie wysokości ostro­
słupa.
Obliczenie objętości ostro­
słupa.
Zamiana jednostek objętości.
V
Obliczenie długości przyprostokątnych trójkąta.
Zastosowanie własności ką­
tów w trójkącie prostokąt­
nym i obliczenie miary kąta.
V
SP
2.4
Obliczenie wysokości trój­
kąta.
Obliczenie pola powierzchni
dachu.
V
11.2
10.6
11.2
10.7
p c = 4 . ¿¡M = 144y3 fcm2]
Odp.: Powierzchnia całkowita czworościanu foremnego
jest równa 1441/3 cm3.
x2 + x2 = 182;jc = 9l/2 [cm]
a = 2x = I 81/2 [cm]
h = x = 9l/2 [cm]
Pp = a2 = (18i/2)2 = 648 [cm2]
p b = 4 • 1 « -/j = 2 • 18l/2 • 91/2 = 648 [cm2]
Pc = Pp + Pb = 648 + 648 = 1 296 [cm2]
Odp.: Pole powierzchni ostrosłupa jest równe 1 296 cm2.
d = 20V2 cm
H = i2 0 2 -(1 0 i2 ) 2 =
= 10V2 [cm]
20 cm
20 cm
V = ^a2 -H = i-202 • IO1/2 =
11.2
10.7
11.2
11.3
10.7
4 0 f fli2 [cm3] = 4 i2 d m 3
Odp.: W opakowaniu mieści się ^
dm3 popcornu.
a) a = 45°
Odp.: Boczna ściana zwieńczenia
wieży jest nachylona do płaszczyzny
jej podstawy pod kątem 45°.
3m
b) h = 31/2 m
P c = 4 • I • 6 • 31/2 = 36l/2 [m2] * 50,4 m2
Odp: Na pokrycie dachu wieży potrzeba około 50,4 m2 blachy.
c) C
III
= 169l/3;d2 = 169 • 4; d = 26 cm
L = 4 -a + 4 - d = 4- 13l/2 + 4- 26
= 52i2 + 104 [cm] ~ 176,8 cm
Odp.: Drut, z którego wykonany jest stelaż siatki
ma długość około 176,8 cm.
h2 + 322 = 1282; h = 32l/l5 cm
P c = 6 • i • 64 • 32l/l5 = 23961,6 [cm2]
128 cm
128 cm
2,39616 m2 : 8 m2 = 0,3
Odp.: Na pomalowanie dachu gołębnika
zużyto około 0,3 litra farby.
64 cm
129
• Obliczenie wysokości ostro­
słupa.
• Obliczenie pola powierzchni
ostrosłupa.
• Obliczenie ilości farby.
• Zamiana jednostek powierz­
chni.
11.1
11.2
10.7
2.4*
1.4
• Obliczenie długości prze­
kątnej kwadratu.
• Obliczenie długości boku
podstawy ostrosłupa.
• Obliczenie krawędzi bocznej
ostrosłupa.
• Obliczenie sumy wszystkich
krawędzi ostrosłupa.
a i l = 26; a = 13{2 cm
10 .
10.9
1.4
V
11.2
10.7
2.4*
1.4
SP
R o z wi ą z a n i a zadań
5 .3 . B R Y Ł Y
OBROTOWE
Nr
zad.
Kryteria oceny
Rozw iązanie zadania
Suma Wymagania
pkt ogólne szczegół.
1
III
11.2
• Obliczenie objętości walca.
2
IV
11.2
2.4*
1.4
• Obliczenie pola powierzchni
bocznej walca.
2
IV
11.2
2.4*
1.4
• Obliczenie promienia koła.
• Obliczenie objętości walca.
• Zamiana jednostek objętości.
4
V
11.2
11.3
7.1
1.4
1
IV
11.2
3
V
11.2
11.3
7.1
1.4
3
V
11.2
2.4*
10.5
7.1
1.4
C
1
IV
11.2
9. A
1
IV
11.2
5
V
11.2
9.4
2.4*
7.1
1.4
2
V
11.2
1.4
5
V
11.2
5.1
2.4*
1.4
13. D
1
III
11.2
14. D
1
III
11.2
1. B
2.
V = nr2 ■H = TC■62 • 20 = 720tc = 2 260,8 [cm3]
Odp.: Objętość powstałej bryiy
jest równa około 2 260,8 cm3.
„
1
H = 20 cm
r = 6 cm
3. Pb = 2nr ■H = 2 • 4 • tc • 12 = 9Ó7c = 301,44 [cm2]
Odp.: Pole powierzchni bocznej bryły
jest równe około 301,44 cm2.
H = 12 cm
r = 4 cm
H
r '■
H
r
4. 2jcr • H = 20tc • 5; r = 10 cm
K = OT-2 ■H = it ■102 ■5 = 500tc = 1 570 [cm3] =
1,57 dm3 = 1,571
Odp.: Pojemność puszki jest równa około 1,57 litra.
5. B
• Zamiana jednostek objętości.
6. 0,51 = 0,5 dm3 = 500 cm3
nr2 ■h = 500; h =
• Obliczenie wysokości walca.
= 0,71 [cm] ~ 0,7 cm
Odp.: Grubość warstwy oleju, który pokrył wodę w naczyniu
jest równa około 0,7 cm.
7.
154 cm = n ■2tc ■3,5; n = 7;
7 • 14 cm = 98 cm; 2mp ~ 98; rp = 4 ^ [cm]; dp = ^
V = Ter2 ■H ~ 1 ■( ^ ) 2 •
[cm]
= 5 764|01 „ 2 3 821 [cm3]
Odp.: Pojemność pojemnika jest równa około 23 821 cm3.
8.
10.
• Ustalenie sposobu oblicze­
nia długości promienia pod­
stawy i wysokości walca.
• Obliczenie liczby półokręgów.
• Obliczenie objętości walca.
(200 + 500) : 2 = 350 [kg]; (120 + 180) : 2 = 1,50 [m], r = 0,75 m • Obliczenie powierzchni koła.
• Obliczenie średniej arytme­
F=Tt - 0, 752 - 1,2 = 2,1195 [m3]
tycznej.
2,1195 m3 — 350 kg
• Obliczenie objętości według
x m3 — 1 000 kg
warunków określonych
x = 6,0557... ~ 6 [m3]
w zadaniu.
Odp.: Objętość 1 tony sprasowanej w bele słomy jest równa
około 6 m3.
11. V = 2,1195 [m3]
950 : 2,1195 = 448; 448 : 50 = 8,96 = 9 [h]
Odp.: Aby sprasować objętość słomy równą 950 m3,
prasa musi pracować przez około 9 godzin.
• Obliczenie czasu i zaokrą­
12. objętość beli: V = 7t • 0,62 • 1,2 ~ 1,35648 [m3]
masa beli: 200 kg; liczba bel: 5 600 : 200 = 28
objętość stodoły zajęta przez bele: 28 ■1,35648 = 37,98144 [m3]
objętość stodoły: V = 8 ■1,6 • 4,5 = 576 [m3]
(37,98144 : 576) ■100% = 6,6%
Odp.: Bele słomy zajmują 6,6% kubatury stodoły.
• Obliczenie objętości walca.
glenie wyniku.
130
• Obliczenie objętości prosto­
padłościanu.
• Obliczenie, jaki procent
jednej liczby stanowi druga
liczba.
R o zw i ą za n i a zadań
15. H 2 + 22 = 82;H = 2Vl5 cm
K = l - 7 i - r 2 - / / = i - j f 4 - 2f i 5 = | 7iVl5 [cm3]
/
Odp.: Objętość bryły jest równa
\ 8 cm
• Obliczenie długości stożka.
• Obliczenie objętości stożka.
4
V
11.2
10.7
• Obliczenie długości boku
trójkąta.
• Obliczenie pola powierzchni
stożka.
5
V
11.2
11.3
7.4
10.7
• Obliczenie długości promie­
nia podstawy, tworzącej
i wysokości stożka.
• Obliczenie objętości stożka.
5
V
11.2
11.3
7.4
• Obliczenie długości promie­
nia podstawy i wysokości
stożka.
• Obliczenie pola powierzchni
bocznej stożka.
5
V
11.2
7.4
10,15
• Obliczenie długości promie­
nia podstawy i wysokości
stożka.
• Obliczenie objętości stożka.
• Zaokrąglenie wyniku.
6
V
11.2
10.9
7.4
10.7
1.5
• Obliczenie promienia dużej
kuli.
• Obliczenie stosunku pól kul.
5
V
11.2
2.4
4.1
1
III
11.2
6
V
11.2
2.4*
4.1
• Obliczenie promienia kuli.
• Obliczenie objętości kuli.
• Obliczenie liczby według
warunków zadania.
• Zamiana jednostek objętości.
4
V
11.2
11.3
2.4*
• Obliczenie promienia piłki.
• Obliczenie długości boku
trójkąta równobocznego
opisanego na okręgu.
4
V
10,7
2.4*
/
|j i i l 5 cm3.
/ __
16. Pa = 16{3 cm;
= 16i/3; a = 8 cm, o = Z,
P = 7trZ + 7tr2 = 7t • 4 • 8 + 7t • 42 = 4871 “ 150,72 [cm2]
Odp.: Pole powierzchni powstałej bryły jest równe 150,72 cm2.
17. Kri + n r 2 = 48tc; r = 4 cm; Z= 8 cm; / i = 4i/3 cm
/
F = i - 7 t - ? ' 2 - / / = i ' 7 t ' 1 6 - 4l/3 =
2r z'
= yjili3 [cm3]
//
Odp.: Objętość stożka jest
równa y-7tV3 cm3.
zWYr
-------
18. 7tr2 = 25tc; r = 5 cm; Z= 10 cm
p b = Krl = 507t [cm2]
/'
10 cm
Odp.: Pole powierzchni bocznej stożka
jest równe 50 tc cm2.
im . . _
oc
19. ^ a u = ¿nr; r = ^ cm
h 2 + (22)2 = 152; h = |V li9 cm
r{3\
5{3ćm
/
.........
5 cm
i
V^50>¥
V
V = ^ - n ■r2 ■h = j - n ■(25)2 • |VTl9 =
3 I25?! ~ 51 [cm3]
/
15 cm / h \
/
/-r~ "
Odp.: Objętość rożka jest równa
około 51 cm3.
20. |t i R 3= 27 • | 7tr3; P 3 = 27 • 23;P = 6 cm
47tR2 _ 62 _ n
471T2 22
Odp.: Powierzchnia kuli jest 9 razy większa niż powierzchnia
jednej z kulek, z których powstała.
21. C
22. poziom wody przed wrzuceniem kulki:
^
• Obliczenie wysokości słupa
wody przed wrzuceniem
kulki.
różnica poziomów przed i po wrzucę55 cm
• Obliczenie, 0 ile podniósł się
niu kulki: 25,14-22 = 3,14 [cm]
22 cm poziom wody po wrzuceniu
V = 16-20-3, 14 = 1 004,8 [cm3]
kulki.
| j t r 3= 1 004,8; r3 - 240; r - 2l/30 cm
2t
cm
•
Obliczenie
objętości wody
3,—
16 cm
Odp.: Promień kulki jest równy 21/30 cm.
wypartej przez kulkę.
• Obliczenie promienia kuli.
i
55 = 22 [cm]
23. r = 0,4 cm; | Ttr3= | n ■0,43 == 0,27 [cm3]
1,11 = 1100 cm3; 1100 cm3 : 0,27 cm3 = 4 074
Odp.: Litr wody powstanie po roztopieniu około 4 074 kulek.
24. r = i h = 1 ^
= a l i - a i I = 2;a = 4l/3 [cm] = 7 cm
Odp.: Minimalna długość krawędzi podstawy pudełeczka
jest równa około 7 cm.
131
Rozwiązania zadań
6. h A K A
DY
E M P- '
-
i 5 E N I IMC P R
EI
E C Z A IV1! N E M
6.1. P S Z C Z O Ł Y i MI ÓD
Nr
zad.
Kryteria oceny
Rozwiązanie zadania
Suma
pKt
Wymagania
ogólne szczegół.
1. B
1
II
1.7
2. D
1
II
5.2
• Odczytanie danych z wykre­
su i uzupełnienie zdań.
3
I
8.4
• Odczytanie danych z wykre­
su i zamiana jednostek czasu.
• Obliczenie prędkości.
2
III
8.4
1.7
5. B
1
V
8.4
6.
C
1
II
1.2
7.
(500 g • 70% ): 100% = 350 g; 500 g - 350 g = 150 g
350 g : 3,5 = 100 g
150 g + 100 g = 250 g
Odp.: Masa miodu, która powstaje z 500 g nektaru,
jest równa 250 g.
2
V
5.2
5.4
2.4
8.
C
1
II
10.17
9.
(la )1 = a2 + x2; x = a i3
Odp.: Wektor ma długość równą a{3.
• Obliczenie długości
odcinka.
1
IV
10.7
10. 0,04 ha = 4 000 000 cm2
4 000 000 cm2 : 5 0002 = 0,16 cm2
Odp.: Na planie w skali 1:5 000 pasieka zajmuje 0,16 cm2.
• Zamiana jednostek po­
wierzchni.
• Obliczenie powierzchni
w skali.
2
III
10.11
10.12
11. a) 720 cm3 — 100 dag
1 000 cm3 — x
x = 138,88... dag = 1,3888... kg = 1,39 kg
Odp.: Litr miodu ma masę około 1,39 kg.
• Obliczenie masy według
warunków zadania.
• Zamiana jednostek masy
i przybliżenie.
2
II
1.7
SP
1.4
1
II
1.7
12. D
1
II
10.7
13. A
1
II
10.5
H = 60 cm • Zastosowanie twierdzenia
/ = ioo cm
Pitagorasa.
r = 80 cm
• Obliczenie pola powierzchni
stożka i zamiana jednostek
powierzchni.
1
IV
10.7
11.2
• Obliczenie objętości walca
z uwzględnieniem warun­
ków określonych w zadaniu.
1
IV
11.2
1
IV
7.4
1
V
6.1
3. Kolejno: 8; 2,1; pierwszej, 120; 1 050; 60; 750; 400.
4.
0,9 km : 1 min = 0,9 km : ¿ r h = 54 ^
60
h
Odp.: W czasie pierwszej minuty lotu pszczoła oddalała się
od ula z prędkością 54 t a
• Obliczenie procentu danej
liczby.
b )C
14. Z2 = H 2 + r2 = 602 + 802 = 100 cm
p b = %rl * 3,14 • 80 • 100 =
= 25 120 [cm2] = 2,512 m2
/ /
Odp.: Pole powierzchni daszku
to w przybliżeniu 2,512 m2.
z '' \
X. /
H
\
r
15.
V = nr2H = 7t(50 - 1)2 •100 = 0,75 [m3]
Odp.: Objętość wewnętrznej części ula równa jest
około 0,75 m3.
16.
C
17. Jeśli n jest liczbą parzystą, to w rzędzie o numerze n
będzie n słoików z miodem gryczanym i n - 1 słoików
z miodem lipowym.
• Zbudowanie modelu mate­
matycznego zilustrowanej
sytuacji.
152
R o zw i ą za n i a zadań
18. a) Przykłady odpowiedzi:
Z upływem lat jest coraz więcej starszych pszczelarzy, a coraz
mniej młodych.
’ Analiza diagramu i zapisa­
nie wniosku.
9.1
b) I - T A K , I I - T A K , I I I - N IE , I V - T A K
19.
a)
II
' Sporządzenie diagramu
słupkowego na podstawie
danych podanych w tabeli.
0,8
Spożycie miodu w Polsce
w latach 2001-2007
: 0,7
9.3
0,6
0,5
0,4
i 0,3 0,2
0,1 H
0,0
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
rok
b) 38,1 min • 0,63 kg = 24 003 000 kg = 24 003 t
(22 0001 : 24 003 t) • 100% = 92%
Odp.: Produkcja miodu w naszym kraju w 2006 roku zaspokoiła
spożycie miodu przez Polaków w około 92%.
■Odczytanie danych z tabeli
i wykonanie obliczeń zgod­
nie z warunkami zadania.
■Zamiana jednostek masy.
1Zastosowanie obliczeń
procentowych w praktyce.
II
6.1
SP
5.4
6.2. W P O D R Ó Ż Y
Nr
zad.
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
1. A
Suma Wyrmigania
pkt ogólne szczegół.
1
II
3.3
2. 3 500 = 0,01%jc; x = 35 000 000;
0,48 • 35 000 000 = 16 800 000
Odp.: Polaków w wieku 15 lat i więcej w 2008 roku było 35 min,
z czego 16,8 min wyjeżdżało w celach turystycznych.
• Odczytanie danych z wy­
kresu i wykonanie obliczeń
zgodnie z warunkami zada­
nia.
• Obliczenie procentu danej
liczby.
4
III
9.2
5.2
7.1
1.5
3.
* Sporządzenie diagramu
słupkowego na podstawie
danych podanych w tabeli.
1
I
9.3
2
I
9.1
Porć>wnariie iczby o< ób w wiek li 15 lat i w Ięcej wyjeżdżających
1nie wyje; dż£ijących w celach tu rystycznyc h
60%
□ -wyjeżdżając y
8 - niewyjeżdżający
50%
40%
30%
20%
10%
0
4.
2000
2005
2007
2008
Przykład odpowiedzi: Liczba wyjazdów turystycznych w stosunku • Analiza danych zapisanych
do 2000 roku spadła, przy czym znacznie obniżyła się liczba osób
w tabeli i z własnoręcznie
wypoczywających w kraju, ale zanotowano wzrost liczby osób wy­
wykonanego diagramu oraz
bierających wypoczynek za granicą.
sformułowanie wniosków.
133
Rozwiązania zadań
5. C
1
II
5.2
6. liczba pokoi: czteroosobowych -x, trzyosobowych - x,
dwuosobowych -v , jednoosobowych -y
¡2x + 2y = 158
[4x + 3x + 2y + y = 329
x = 23; y = 56
Odp.: Pokoi dwu- i jednoosobowych jest po 56, a czteroi trzyosobowych po 23.
• Zapisanie zależności między
wielkościami według warun­
ków określonych w zadaniu.
• Ułożenie układu równań.
• Rozwiązanie układu
równań.
3
IV
7.4
7.5
7. cena noclegu w pokoju:
jednoosobowym: 150 zł
dwuosobowym: 150 zł - 30 zł = 120 zł
trzyosobowym: 75% • 150 zł = 112,50 zł
czteroosobowym: | ■120 zł = 80 zł
Odp.: Koszt noclegu jednej osoby w pokojach jedno-, dwu-,
trzy- i czteroosobowym równy jest kolejno: 150 zł, 120 zł,
112,50 zł oraz 80 zł.
• Obliczenie procentu danej
liczby.
• Obliczenie ułamka danej
liczby.
• Obliczenie kosztów według
warunków określonych
w zadaniu.
3
IV
SP
1.5
1.2
5.2
1
II
SP
2
IV
7.4
7.5
1
II
9.1
3
IV
10.13
7.1
7.2
1
II
7.5
• Przeliczenie jednostek dłu­
gości.
• Obliczenie długości odcinka
na podstawie skali.
• Obliczenie czasu według
warunków zadania.
4
IV
1.7
SP
• Zamiana jednostek mone­
tarnych.
• Ułożenie układu równań.
• Rozwiązanie układu równań.
3
IV
SP
7.4
7.6
• Ułożenie równania.
• Rozwiązanie układu równań.
• Obliczenie objętości prosto­
padłościanu.
4
IV
V
7.3
11.2
4.1
• Zastosowanie twierdzenia
Pitagorasa.
• Obliczenie odległości według
warunków zadania.
2
IV
10.7
SP
8. B
9. x - liczba osób zakwaterowanych w pokojach dwuosobowych
y - liczba osób zakwaterowanych w pokojach jednoosobowych
i x + y = 69
[2 849x + 3 lOly = 199 857
y = 13; x = 56
Odp.: W pokojach jednoosobowych zakwaterowano 13 uczest­
ników wycieczki.
• Ułożenie układu równań.
• Rozwiązanie układu równań.
10. C
11.
4§ = ~jy;x = 694,4 m
Odp.: Samolot po 46 sekundach
kości 694,4 m.
12.
A
|
48
1
C
13. 4,6 cm • 30 000 000 cm = 138 000 000 cm = 1 380 km =
308 węzłów = 570,416 t a
1 380 : 570,416 * 2,42 [h] = 2 h 24 min
1955 + 2 h 24 min = 2219
Odp.: Samolot wylądował w Paryżu około godziny 22.19.
14. 3 045,6 : 4,05 = 752 [euro]
x - liczba osób dorosłych, y - liczba dzieci
fy = 3x
[53x + 45- y = 752
x = 4-y = l2
Odp.: Na wycieczkę wybrało się 12 dzieci i 4 osoby dorosłe.
15.
• Zastosowanie podobieństwa
trójkątów.
• Obliczenie długości boku
trójkąta.
ix ■3x • & = 81; 24x3 = 81; x = 1,5 [dm]
1,5 dm x 4,5 dm x 12 dm -w ym iary walizki
Odp.: Obraz zmieści się do walizki.
16. skala: 1:50 000; odległość: 2,4 cm
różnica wysokości: 500 m
9 4 ■^0 0^0 —
000 cm - 1 ^>0^ m
x2 = 1 2002 + 5002; x = 1 300 [m]
Odp.: Turyści pokonali 1 300 m.
x
500 m
1 200 m
134
Rozwiązania zadań
6.3. F E S T Y N
Nr
zad.
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
Suma Wym agania
pkt ogólne szczegół.
1. D
1
II
SP
2. D
1
II
SP
3.
= ioo -4 n
mm
0,6 cm = 600 m; 600 m : 100 - S - = 6 min
mm
Odp.: Droga ze stoiska gastronomicznego do punktu medycz­
nego zajęła gościowi festynu 6 minut.
• Zamiana jednostek pręd­
kości.
• Zastosowanie obliczeń na
liczbach wymiernych.
3
II
1.7
4.
Odp.: Kąt między drugim i trzecim odcinkiem trasy biegu
ma miarę 59°.
• Wykorzystanie związków
między kątami utworzonymi
przez prostą przecinającą
dwie proste równoległe.
1
II
10.1
1
II
5.2
• Przedstawienie zależności
drogi od czasu za pomocą
wykresu.
• Zamiana jednostek prędkości.
• Obliczenie prędkości.
3
IV
8.1
1.7
2.3
• Zamiana jednostek długości.
• Obliczenie objętości prosto­
padłościanu.
• Obliczenie objętości według
warunków zadania.
3
IV
I.7
II.2
• Zamiana jednostek objętości.
• Obliczenie masy i zaokrągle­
nie wyniku.
2
IV
1.7
1.5
1.4
• Obliczenie objętości stożka.
• Zaokrąglenie rozwinięcia
dziesiętnego liczby.
2
IV
11.2
1.4
b) 68,4 1: 0,29 1 - 235
Odp.: Harcerze przygotowali 235 rożków z jagodami.
• Zastosowanie obliczeń na
liczbach wymiernych.
• Zaokrąglenie rozwinięcia
dziesiętnego liczb.
2
IV
1.7
1.4
10.
0,12 • 4,50 = 0,54 [zł]; 4,50 - 0,54 = 3,96 [zł]
3,96 • 235 = 930,60 [zł]
Odp.: Harcerze na sprzedaży rożków z jagodami
zarobili 930 zł 60 gr.
• Obliczenie procentu danej
liczby.
• Zastosowanie obliczeń na
liczbach wymiernych.
2
IV
5.2
1.7
11.
a) 5 • 4 : 2 = 10
Odp.: Odbędzie się 10 meczów.
• Obliczenie liczby rozegra­
nych meczów.
1
III
9.5
b) 10 • 2 • 15 + 10 • 5 + 9 • 5 = 395 min = 6 h 35 min
905 + 6 godz. 35 min = 1540
Odp.: Rozgrywki zakończyły się o godzinie 15.40.
• Obliczenie czasu i godziny
według warunków określo­
nych w zadaniu.
2
IV
1.7
• Obliczenie skali podobień­
stwa trójkątów.
• Obliczenie odległości.
3
5. D
6.
24 min =
h
1,1 60
i
6 k m : i h = 1 5 ta
60
h
Odp.: Zawodnik biegł ze średnią
prędkością 15
V
s [km]
65n
4.
3.
2
0-
7.
—>
6 12 18 241 Imin]
110 mm = 11 cm; 370 mm = 37 cm; 140 mm = 14 cm
V = 11 • 37 • 14= 5 698 [cm3]
12 • 5 698 cm3 = 68 376 cm3 = 68,41
Odp.: Owoce przygotowane na festyn mają objętość
równą 68,4 1.
8. 11 = 1 000 cm3
3,3 • 1 000 : 5 698 = 0,5791... = 0,579 kg
Odp.: Litr jagód ma masę 0,579 kg.
9.
a) r : 12 = 150°: 360°; r = 5 [cm]
H 2 = r2 + 122; H = VTl9 [cm]
V = 1 ■n ■r2 •H = 1 • n ■52 • iU 9 * 285,216 [cm3] = 0,29 1
Odp.: Objętość rożka na jagody równa jest 0,291.
12. AABO ~ AOCD w skali k = 6 m •’ 6 cm = 100
x = 12 cm ■100 = 1 200 cm = 12 m
Odp.: Aparat umieszczono w odległości 12 m od sceny.
135
ę
III
IV
10.13
10.11
2.4
R o z w i ą za n i a zadań
6 .4 . M A T E M A T Y K A
Nr
zad.
OD K U C H N I
Rozw iązanie zadania
K ryteria oceny
1. Np.: 6 jaj; 1 szklanka i 13 łyżek mąki; 1 szklanka i 4 łyżki cukru
i pudru; i łyżeczki proszku do pieczenia; 7 łyżeczek masła
Suma
Wymagania
pkt
ogólne szczegół.
2
II
1.2
2. B
1
II
1.7
3. C
1
II
5.3
4. D
1
II
1.2
5. a) C
1
II
5.4
• Obliczenie liczby na podsta­
wie danego jej procentu.
• Zaokrąglenie rozwinięcia
dziesiętnego liczby.
2
IV
1.2
1.4
• Ułożenie równania.
• Rozwiązanie równania.
• Obliczenie pozostałych
szukanych danych.
3
IV
1.2
7.1
7.3
7. liczba porcji pierogów: ruskich -x , z jagodam i- y
• Ułożenie układu dwóch
fx + y = 16
równań.
124x + 2Dy = 348
• Rozwiązanie układu
x = 1-y = 9
równań.
Odp.: Pani Lepińska przygotowała 9 porcji pierogów z jagodami.
2
IV
7.4
7.6
8. 0,12 • 2 • 14,5 = 3,48 g
Odp.: Dwie łyżki 12-procentowej śmietany zawierają
3,48 g tłuszczu.
• Obliczenie procentu danej
liczby.
2
IV
5.2
1.2
9.
• Zamiana jednostek masy.
• Obliczenie gęstości.
2
IV
11.3
1.2
1
V
9.5
b) 27 000 mg = 27 g
6 - 2 7 : 9 0 = 1,8 = 2
Odp.: Do przygotowania sześciu porcji spaghetti należy kupić
dwa słoiki sosu.
6. x - liczba placków zjedzonych przez Anię
1,2* + x +
• \,2x + 3x = 42; x = 5
1,2 • 5 = 6; | • 1,2 • 5 = 16; 3 • 5 = 15
Odp.: Adam zjadł 6 placków, Ania - 5, Wojtek -1 6 ,
a Staszek -1 5 .
1 1 = 375 cm3
390 g : 375 cm3 = 1,04 -Ł j
cm
Odp.: Śmietana ma gęstość równą 1,04
• Przeliczenie jednostek masy
na niestandardowe.
10. A
11. 0,8 : 0,1 • 0,5 • 48 = 192 [mg]
Odp.: Surówka z kapusty zawiera o 192 mg więcej witaminy C
niż taka sama ilość kapusty po gotowaniu przez 4 minuty.
• Obliczenie procentu danej
liczby.
• Zastosowanie obliczeń
na liczbach wymiernych.
2
III
IV
5.2
1.2
12.
• Odczytanie danych z tabeli
i obliczenie kosztów według
warunków zadania.
• Obliczenie, jakim procentem
jednej liczby jest druga liczba.
• Zaokrąglenie rozwinięcia
dziesiętnego liczby.
3
III
1.2
5.1
1.4
1
II
5.1
2
II
11.2
1.4
12,71 + 24,11 = 36,82 [zł]; 13,79 + 24,09 = 37,88 [zl]
(37,88 - 36,82): 36,82 ■100% = 2,88% = 3%
Odp.: Wydatki na owoce i warzywa wzrosły o około 3%.
b) B
13. x2 = 132 - 122;x = 5 cm; h = 13 - 5 = 8 [cm]
• Obliczenie objętości czaszy.
• Zaokrąglenie rozwinięcia
dziesiętnego liczby.
V = 0,5tc • 122 • 8 + ±ti83 = 2 076,59 = 2 077 [cm3]
Odp.: Miseczka ma objętość równą 2 077 cm3.
136
R o z w i ą za n i a zadań
14.
C
15.
(0,25 • 20)2 + (0,25 ■20)2 = x2
x = 5{2 cm
Odp.: Linia, wzdłuż której przecięto ser, ma długość
równą 5f2 cm.
16. 1 ■203 = 4 000 [cm3] - objętość połowy sera
• 4 000 = 250 [cm3] - objętość kawałka sera n a koreczki
1
IV
10.7
• Zastosowanie twierdzenia
Pitagorasa.
• Obliczenie długości odcinka.
2
IV
10.7
1.2
• Obliczenie objętości graniastosłupa.
2
IV
11.2
1.2
• Obliczenie objętości graniastosłupa.
2
IV
11.2
1.2
• Obliczenie miary kąta środ­
kowego dziesięciokąta.
* Obliczenie miary kąta dzie­
sięciokąta.
3
III
IV
1.2
5.1
1.4
10.4
4 0 0 0 -2 5 0 = 3 750 [cm3]
Odp.: Objętość pozostałej części sera jest równa 3 750 cm3.
17.
V = 250: 20 = 12,5 [cm3]
Odp.: Jeden koreczek ma 12,5 cm3 objętości.
18. 360°: 10 = 36°
(180° - 36°): 2 = 72°; 2 • 72° = 144°
±oc = 0,5 • 144° - 45°= 72° - 45° = 27°
a = 2 • 27° = 54°
Odp.: Kąt między dwoma koreczkami ma 54°.
6.5. Z P A P I E R U
Nr
zad.
Rozwiązanie zadania
Kryteria oceny
Suma Wymagania
pkt ogólne szczegół.
1. a) B
1
III
SP
b) C
1
II
SP
2
V
1.7
1.2
1
III
1.2
• Przeliczenie jednostek grama­
tury papieru według warun­
ków określonych w zadaniu.
• Zaokrąglenie wyniku.
2
V
1.7
1.4
(3 005 tys. t : 383 603 tys. ton) • 100% = 0,783% * 0,8% = 8%o • Obliczenie, jakim procentem
Odp.: Papier wyprodukowany w Polsce w 2007 roku stanowił
jednej liczby jest druga liczba.
8%o światowej produkcji papieru w tymże roku.
• Zaokrąglenie rozwinięcia
dziesiętnego liczby.
2
III
5.2
1.4
4. B
1
III
10.7
5. B
1
IV
10.9
6. A
1
IV
10.7
7. D
1
IV
10.9
3
IV
10.9
6.3
6.5
2. a) 210 mm • 297 mm • 90 Ą ; = 5,6133 g
m2
500 • 5,6133 g = 2 806,65 g = 2,8 kg
Odp.: Ryza papieru form atu 210 mm x 297 mm
o gram aturze 90 ^ m a masę równą 2,8 kg.
• Zamiana jednostek długości.
• Obliczenie masy według
warunków określonych
w zadaniu.
b) B
r\ 24,8 lb _
24.8 - 0.454
S
> ryza
500-0,21-0,297
m2
Odp.: G ram atura papieru to około 361 Ą^.
3.
8.
4-ia + 2 - ^ = 2 a + a i 2
• Obliczenie obwodu sześcio­
kąta.
• Zastosowanie działań na
wyrażeniach algebraicznych.
Odp.: Obwód sześciokąta jest równy 2a + a f l .
137
R o zw i ą za n i a zadań
9.
a2 - 2 - l - ( j a ) 2 = f e 2
3
IV
10.9
6.3
6.5
id1. A
1
V
6.5
11. D
1
IV
1.2
2
IV
11.2
6.5
13. C
1
IV
1.2
14. D
1
V
10.9
3
V
7.1
7.3
11.3
6.5
Odp.: Pole powierzchni sześciokąta jest równe -2a2.
12. V = (ifl2V2)2 • 1 • a{2 = 3^2- = 21f i [cm3]
Odp.: Objętość gotowego pudełka równa jest 21f i cm3.
15. r = 2 • 2R; R = ±r
V = \n R 3 =
• Obliczenie pola sześciokąta.
• Zastosowanie działań na
wyrażeniach algebraicznych.
• Obliczenie objętości prosto­
padłościanu z uwzględnie­
niem warunków określonych
w zadaniu.
• Obliczenie długości promie­
nia kuli.
• Obliczenie objętości kuli.
=^
Odp.: Objętość kulki równa jest jg 3.
16.
B
1
V
11.3
17.
C
1
V
10.5
• Obliczenie długości i szero­
kości „żabki”.
h = 2 • 1,2 cm = 2,4 cm
• Obliczenie długości kratki.
szerokość „żabki”: 2,4 cm; długość „żabki”: 6 • 1,2 cm = 7,2 cm
• Obliczenie wymiarów arku­
szerokość „żabki” = dwie kratki szablonu = 2,4 cm; jedna kratka
sza.
szablonu = 1,2 cm
wymiary arkusza: 8 • 1,2 cm = 9,6 cm; 16 • 1,2 cm = 19,2 cm
Odp.: Weronika może wykonać „żabkę” z arkusza
o minimalnych wymiarach równych 9,6 na 19,2 cm.
3
V
1.2
1.7
18. R = 1 • 1,2 cm = 0,6 cm
138
W Y M A G A N I A OG ÓL N E I S Z C Z E G Ó Ł O W E Z MA T E MA T Y K I
Z A WA R T E W P OD S T A WI E P R O G R A M O W E J K S Z T A Ł C E N I A
O G Ó L N E G O DL A G I M N A Z J U M
Cele kształcenia - wymagania ogólne
I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
Uczeń interpretuje i tworzy teksty o charakterze mate­
matycznym, używa języka matematycznego do opisu
rozumowania i uzyskanych wyników.
II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji.
Uczeń używa prostych, dobrze znanych obiektów
matematycznych, interpretuje pojęcia matematyczne
i operuje obiektami matematycznymi.
III. Modelowanie matematyczne.
Uczeń dobiera model matematyczny do prostej sytuacji,
buduje model matematyczny danej sytuacji.
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Uczeń stosuje strategię jasno wynikającą z treści zada­
nia, tworzy strategię rozwiązania problemu.
V. Rozumowanie i argumentacja.
Uczeń prowadzi proste rozumowania, podaje argumen­
ty uzasadniające poprawność rozumowania.
Treści nauczania - wymagania szczegółowe
1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń:
1) odczytuje i zapisuje liczby naturalne dodatnie
w systemie rzymskim (w zakresie do 3000);
2) dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli liczby wymierne
zapisane w postaci ułamków zwykłych lub roz­
winięć dziesiętnych skończonych zgodnie z własną
strategią obliczeń (także z wykorzystaniem kalku­
latora);
3) zamienia ułamki zwykłe na ułamki dziesiętne
(także okresowe), zamienia ułamki dziesiętne
skończone na ułamki zwykłe;
4) zaokrągla rozwinięcia dziesiętne liczb;
5) oblicza wartości nieskomplikowanych wyrażeń
arytmetycznych zawierających ułamki zwykłe
i dziesiętne;
6) szacuje wartości wyrażeń aiytmetycznych;
7) stosuje obliczenia na liczbach wymiernych do roz­
wiązywania problemów w kontekście praktycz­
nym, w tym do zamiany jednostek (jednostek
prędkości, gęstości itp.).
2. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie). Uczeń:
1) inteipretuje liczby wymierne na osi liczbowej,
oblicza odległość między dwiema liczbami na osi
liczbowej;
2) wskazuje na osi liczbowej zbiór liczb spełnia­
jących warunek typu: x ^ 3 , x<5;
139
3) dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli liczby wymierne;
4) oblicza wartości nieskomplikowanych wyrażeń
aiytmetycznych zawierających liczby wymierne.
3. Potęgi. Uczeń:
1) oblicza potęgi liczb wymiernych o wykładnikach
naturalnych;
2) zapisuje w postaci jednej potęgi: iloczyny i ilorazy
potęg o takich samych podstawach, iloczyny i ilo­
razy potęg o takich samych wykładnikach oraz
potęgę potęgi (przy wykładnikach naturalnych);
3) porównuje potęgi o różnych wykładnikach natu­
ralnych i takich samych podstawach oraz
porównuje potęgi o takich samych wykładnikach
naturalnych i różnych dodatnich podstawach;
4) zamienia potęgi o wykładnikach całkowitych
ujemnych na odpowiednie potęgi o wykładnikach
naturalnych;
5) zapisuje liczby w notacji wykładniczej, tzn. w p o ­
staci a ■ 10^, gdzie l^ a < 1 0 oraz k jest liczbą
całkowitą.
4. Pierwiastki. Uczeń:
1) oblicza wartości pierwiastków drugiego i trzeciego
stopnia z liczb, które są odpowiednio kwadratami
lub sześcianami liczb wymiernych;
2) wyłącza czynnik przed znak pierwiastka oraz włą­
cza czynnik pod znak pierwiastka;
3) mnoży i dzieli pierwiastki drugiego stopnia;
4) mnoży i dzieli pierwiastki trzeciego stopnia.
5. Procenty. Uczeń:
1) przedstawia część pewnej wielkości jako procent
lub promil tej wielkości i odwrotnie;
2) oblicza procent danej liczby;
3) oblicza liczbę na podstawie danego jej procentu;
4) stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania
problemów w kontekście praktycznym, np. oblicza
ceny po podwyżce lub obniżce o dany procent,
wykonuje obliczenia związane z VAT, oblicza
odsetki dla lokaty rocznej.
6. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń:
1) opisuje za pom ocą wyrażeń algebraicznych
związki między różnymi wielkościami;
2) oblicza wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych;
3) redukuje wyrazy podobne w sumie algebraicznej;
4) dodaje i odejmuje sumy algebraiczne;
5) mnoży jednomiany, mnoży sumę algebraiczną
przez jednomian oraz, w nietrudnych przykładach,
mnoży sumy algebraiczne;
P od s t a w a p r og r a m o w a ( f r a g m e n t !
prawdopodobieństwa najprostszych zdarzeń
w tych doświadczeniach (prawdopodobieństwo
wypadnięcia orła w rzucie monetą, dwójki lub
szóstki w rzucie kostką, itp.).
6) wyłącza wspólny czynnik z wyrazów sumy alge­
braicznej poza nawias;
7) wyznacza wskazaną wielkość z podanych wzorów,
w tym geometrycznych i fizycznych.
i
7. Równania. Uczeń:
1) zapisuje związki między wielkościami za pomocą
równania pierwszego stopnia z jedną niewia­
domą, w tym związki między wielkościami wprost
proporcjonalnymi i odwrotnie proporcjonalnymi;
2) sprawdza, czy dana liczba spełnia równanie stop­
nia pierwszego z jedną niewiadomą;
3) rozwiązuje równania stopnia pierwszego z jedną
niewiadomą;
4) zapisuje związki między nieznanymi wielkościami
za pomocą układu dwóch równań pierwszego
stopnia z dwiema niewiadomymi;
5) sprawdza, czy dana para liczb spełnia układ
dwóch równań stopnia pierwszego z dwiema
niewiadomymi;
6) rozwiązuje układy równań stopnia pierwszego
z dwiema niewiadomymi;
7) za pomocą równań łub układów równań opisuje
i rozwiązuje zadania osadzone w kontekście prak­
tycznym.
8. Wykresy funkcji. Uczeń:
1) zaznacza w układzie współrzędnych na płaszczyź­
nie punkty o danych współrzędnych;
2) odczytuje współrzędne danych punktów;
3) odczytuje z wykresu funkcji: wartość funkcji dla
danego argumentu, argumenty dla danej wartości
funkcji, dla jakich argumentów funkcja przyjmu­
je wartości dodatnie, dla jakich ujemne, a dla ja ­
kich zero;
4) odczytuje i interprettije informacje przedstawione
za pomocą wykresów funkcji (w tym wykresów
opisujących zjawiska występujące w przyrodzie,
gospodarce, życiu codziennym);
5) oblicza wartości funkcji podanych nieskom­
plikowanym wzorem i zaznacza punkty należące
do jej wykresu.
9 . Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku
prawdopodobieństwa. Uczeń:
1) interpretuje dane przedstawione za pomocą tabel,
diagramów słupkowych i kołowych, wykresów;
2) wyszukuje, selekcjonuje i porządkuje informacje
z dostępnych źródeł;
3) przedstawia dane w tabeli za pomocą diagramu
słupkowego łub kołowego;
4) wyznacza średnią arytmetyczną i medianę zestawu
danych;
5) analizuje proste doświadczenia losowe (np. rzut
kostką, rzut monetą, wyciąganie losu) i określa
10. Figury płaskie. Uczeń:
1) korzysta ze związków między kątami utworzonymi
przez prostą przecinającą dwie proste równoległe;
2) rozpoznaje wzajemne położenie prostej i okręgu,
rozpoznaje styczną do okręgu;
3) korzysta z faktu, że styczna do okręgu jest
prostopadła do promienia poprowadzonego do
punktu styczności;
4) rozpoznaje kąty środkowe;
5) oblicza długość okręgu i łuku okręgu;
6) oblicza pole koła, pierścienia kołowego, wycinka
kołowego;
7) stosuje twierdzenie Pitagorasa;
8) korzysta z własności kątów i przekątnych w pros­
tokątach, równoległobokach, rombach i w trape­
zach;
9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów;
10) zamienia jednostki pola;
11) oblicza wymiary wielokąta powiększonego łub
pomniejszonego w danej skali;
12) oblicza stosunek pól wielokątów podobnych;
13) rozpoznaje wielokąty przystające i podobne;
14) stosuje cechy przystawania trójkątów;
15) korzysta z własności trójkątów prostokątnych
podobnych;
16) rozpoznaje pary figur symetrycznych względem
prostej i względem punktu. Rysuje pary figur
symetrycznych;
17) rozpoznaje figury, które mają oś symetńi, i figury,
które mają środek symetrii. Wskazuje oś symetrii
i środek symetrii figury;
18) rozpoznaje symetralną odcinka i dwusieczną
kąta;
19) konstruuje symetralną odcinka i dwusieczną
kąta,
20) konstruuje kąty o miarach 60°, 30°, 45°;
21) konstruuje okrąg opisany na trójkącie oraz okrąg
wpisany w trójkąt;
22) rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich
podstawowych własności.
11. Bryły. Uczeń:
1) rozpoznaje graniastosłupy i ostrosłupy prawidłowe;
2) oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa
prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli (także
w zadaniach osadzonych w kontekście prakty­
cznym);
3) zamienia jednostki objętości.
140