Mat do muc hat nhan

MẬT ĐỘ MỨC HẠT NHÂN Biªn dÞch: Ph¹m §×nh Khang. Ph¶n biÖn: PGs.Ts. §Æng Huy Uyªn Ts. V−¬ng H÷u TÊn, Ts. NguyÔn MËu Chung Nhãm biªn dÞch rÊt mong cã sù gãp ý cña ®«ng ®¶o b¹n ®äc vµ ch©n thµnh c¶m ¬n çc çn bé, sinh viªn ®· gióp ®ì söa ch÷a b¶n dÞch cña quyÓn s¸ch nµy. Ng−êi dÞch Ts. Ph¹m §×nh Khang Môc lôc Lêi nãi ®Çu...................... Ch−¬ng 1. MËt ®é tr¹ng th¸i vµ çc mÉu h¹t nh©n nguyªn tö. 1.1. MËt ®é tr¹ng th¸i cña hÖ kÝn. 1.2. Ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa. 1.3. Çc mÉu trong lý thuyÕt h¹t nh©n. 1.4. Çc ®Æc tr−ng thèng kª cña h¹t nh©n nguyªn tö. Ch−¬ng 2. Çc ®Æc tr−ng thèng kª cña h¹t nh©n trong mÉu çc h¹t ®éc lËp. 2.1. Çc hÖ thøc c¬ b¶n. 2.2. MÉu khÝ Fermi. 2.3. Sù phô thuéc spin cña mËt ®é tr¹ng th¸i h¹t nh©n. 2.4. ¶nh h−ëng cÊu tróc líp cña phæ mét h¹t tíi çc ®Æc trng thèng kª cña h¹t nh©n. Ch−¬ng 3. MËt ®é tr¹ng th¸i trong mÉu h¹t nh©n siªu ch¶y. 3.1. Çc hÖ thøc c¬ b¶n. 3.2. Çc hiÖu øng cÆp gÇn tr¹ng th¸i c¬ b¶n. 3.3. Çc ®Æc tr−ng thèng kª cña hÖ trong mÉu çc gi¶ h¹t ®éc lËp. 3.5. Gi¶i ph¸p ®Ó m« t¶ çc ®Æc tr−ng thèng kª trong mÉu siªu ch¶y. Ch−¬ng 4. HiÖn t−îng luËn mËt ®é møc h¹t nh©n nguyªn tö 4.1. HiÖn t−îng luËn sù ¶nh h−ëng cña chuyÓn ®éng tËp thÓ tíi mËt ®é møc. 4.2. C«ng thøc tæ hîp Djinber – Kameron ®èi víi mËt ®é møc h¹t nh©n nguyªn tö. 4.3. HÖ thèng ho¸ çc th«ng sè mËt ®é møc theo Malsev. 4.4. MÉu khÝ Fermi cã dÞch chuyÓn ng−îc. Ch−¬ng 5. MËt ®é tr¹ng th¸i khi sè gi¶ h¹t kÝch thÝch cè ®Þnh 5.1. KhÝ çc h¹t Bolzman. 5.2. Çc ®Æc tr−ng h¹t-lç trèng cña h¹t nh©n trong mÉu çc h¹t ®éc lËp. 5.3. ¶nh h−ëng cña çc hiÖu øng t−¬ng quan tíi çc ®Æc tr−ng thèng kª ë sè gi¶ h¹t kÝch thÝch ®· cho. 5.4. M« t¶ h¹t-lç trèng çc ®Æc tr−ng trung b×nh cña h¹t nh©n. Phô lôc Tµi liÖu tham kh¶o 2 lêi nãi ®Çu mËt ®é møc h¹t nh©n nguyªn tö lµ ®¹i l−îng vËt lý cã liªn hÖ trùc tiÕp víi çc gi¸ trÞ ®o ®−îc. Thùc vËy, nÕu trong thÝ nghiÖm ph¸t hiÖn ®−îc çc møc cña h¹t nh©n trong mét kho¶ng n¨ng l−îng nµo ®ã th× khi chia sè møc cho kho¶ng n¨ng l−îng nµy ta sÏ thu ®−îc gi¸ trÞ mËt ®é møc thùc nghiÖm. Trong khi ®ã mËt ®é møc cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh b»ng lý thuyÕt. So s¸nh sè liÖu thùc nghiÖm víi çc gi¸ trÞ lý thuyÕt, chóng ta cã thÓ ®¸nh gi¸ møc ®é tin cËy cña çc gi¶ thuyÕt lý thuyÕt vÒ cÊu tróc h¹t nh©n nguyªn tö. MÆt kh¸c, mËt ®é møc cho biÕt d¹ng phô thuéc n¨ng l−îng cña tiÕt diÖn çc ph¶n øng h¹t nh©n kh¸c nhau ë vïng n¨ng l−îng thÊp vµ trung b×nh . Trong quyÓn s¸ch nµy ®· ®−a ra çc vÊn ®Ò c¬ b¶n cña lý thuyÕt mËt ®é møc h¹t nh©n nguyªn tö. MÆc dï ®©y lµ quyÓn s¸ch lý thuyÕt, nã vÉn ®−îc sö dông réng r·i. Trong néi dung cña cuèn s¸ch t¸c gi¶ ®· ®−a vµo nh÷ng kÕt qu¶ míi nhÊt cã ®é tin cËy cao. Çc t− liÖu ®· ®−îc lùa chän vµ ph©n t¸ch ®Ó ng−êi ®äc kh«ng ph¶i mÊt thêi gian tra cøu s¸ch hay tuyÓn tËp. V× thÕ, trong ch−¬ng 1 ®· tr×nh bÇy mét sè mÉu h¹t nh©n vµ ph−¬ng ph¸p thèng kª ®Ó tÝnh mËt ®é møc h¹t nh©n. Sù thay ®æi cña çc ®Æc tr−ng thèng kª trong mÉu líp vµ mÉu siªu ch¶y ®−îc ®−a ra trong ch−¬ng 2 vµ ch−¬ng 3. Bªn c¹nh çc m« t¶ vi m« cßn cã çc ph−¬ng ph¸p hiÖn t−îng luËn ®Ó tÝnh mËt ®é møc h¹t nh©n. VÊn ®Ò nµy ®−îc ®−a ra trong ch−¬ng 4. Trong ch−¬ng 5 lµ lý thuyÕt mËt ®é møc h¹t nh©n khi sè kÝch thÝch cè ®Þnh. Nh÷ng ®o¸n nh©n vÒ sè kÝch thÝch cè ®Þnh liªn quan tíi sù ph¸t triÓn nh÷ng gi¶ thiÕt vÒ qu¸ tr×nh bay h¬i tiÒn c©n b»ng cña çc h¹t. Gi¶i ph¸p thèng kª víi sè kÝch thÝch cè ®Þnh cho phÐp më réng kh¶ n¨ng m« t¶ thèng kª çc tÝnh chÊt cña h¹t nh©n bÞ kÝch thÝch. KÕt thóc quyÓn s¸ch nµy lµ phÇn phô lôc trong ®ã ®−a vµo mét vµi b¶ng sè liÖu. §ã lµ çc sè liÖu thùc nghiÖm vÒ mËt ®é céng h−ëng n¬tron, vµ c¶ b¶ng çc gi¸ trÞ çc th«ng sè mµ chóng ®−îc sö dông réng r·i trong ph−¬ng ph¸p h×nh thøc luËn mËt ®é møc h¹t nh©n nguyªn tö. Danh môc tµi liÖu bao gåm chØ nh÷ng c«ng tr×nh mµ çc kÕt qu¶ cña chóng ®−îc sö dông trùc tiÕp trong quyÓn s¸ch nµy. 3 Ch−¬ng 1 MËt ®é tr¹ng th¸i vµ çc mÉu h¹t nh©n nguyªn tö 1.1.MËt ®é tr¹ng th¸i cña mét hÖ kÝn. Chóng ta xem xÐt kh¸i niÖm mËt ®é tr¹ng th¸i cña mét hÖ bao gåm sè lín çc h¹t vµ cã sè bËc tù do lín [1 – 3]. Nãi chung trong thùc nghiÖm chØ ®o ®−îc mét vµi ®¹i l−îng vÜ m« nh− thÓ tÝch, ¸p suÊt, nhiÖt ®é ®Ó x¸c ®Þnh tr¹ng th¸i cña hÖ nµy. Tr¹ng th¸i ®−îc x¸c ®Þnh b»ng çc th«ng sè nãi trªn ®−îc gäi lµ tr¹ng th¸i vÜ m«. Song theo quan ®iÓm c¬ häc l−îng tö, mét tr¹ng th¸i bÊt kú vÒ nguyªn t¾c cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh víi møc ®é chÝnh x¸c tuú ý khi biÕt tÊt c¶ çc biÕn sè. Tr¹ng th¸i ®−îc x¸c ®Þnh nh− vËy ®−îc gäi lµ tr¹ng th¸i vi m«. H¹t nh©n nguyªn tö lµ ®èi t−îng m« t¶ thèng kª thuéc lo¹i hÖ l−îng tö kÝn. Trong c¬ häc l−îng tö, tr¹ng th¸i vi m« cña hÖ ®−îc coi nh− mét tr¹ng th¸i theo ý nghÜa l−îng tö. Cô thÓ h¬n, tr¹ng th¸i chuÈn b¾t buéc ph¶i lµ mét trong çc tr¹ng th¸i cña hÖ l−îng tö ®−îc x¸c ®Þnh b»ng ph−¬ng tr×nh Schrodinger: ∧ Η i = Εi i (1.1) ∧ ë ®©y Η lµ Hamilton cña hÖ; Ε i vµ i lµ n¨ng l−îng vµ hµm sãng cña tr¹ng th¸i l−îng tö thø i. Tr¹ng th¸i vÜ m« cña hÖ kÝn ®−îc m« t¶ b»ng çc tÝch ph©n chuyÓn ®éng. TÝch ph©n chuyÓn ®éng - ®ã lµ ®¹i l−îng vËt lý kh«ng ®æi theo thêi gian. Trong c¬ häc l−îng tö [4], çc to¸n tö tÝch ph©n chuyÓn ®éng ∧ kh«ng phô thuéc t−êng minh vµo thêi gian vµ giao ho¸n víi Hamilton Η . Nh÷ng ∧ to¸n tö nh− vËy cã hµm sãng riªng cña nã chung víi Hamilton Η . Mçi mét hµm riªng i x¸c ®Þnh mét tr¹ng th¸i vi m«. Chóng ta sÏ coi n¨ng l−îng toµn phÇn E, sè pr«ton Z, sè n¬tron N, m«men gãc toµn phÇn J vµ h×nh chiÕu cña nã lªn mét trôc cè ®Þnh lµ bé çc tÝch ph©n chuyÓn ®éng ®Æc tr−ng cho mét tr¹ng th¸i vÜ m« cña h¹t nh©n nguyªn tö. Mét bé çc gi¸ trÞ tÝch ph©n chuyÓn ®éng x¸c ®Þnh mét tr¹ng th¸i vÜ m« t−¬ng øng vµi tr¹ng th¸i vi m« cña hÖ. 4 MËt ®é tr¹ng th¸i ω cña hÖ lµ sè tr¹ng th¸i vi m« trong mét ®¬n vÞ n¨ng l−îng t−¬ng øng çc gi¸ trÞ tÝch ph©n chuyÓn ®éng ®· cho. Cô thÓ, ω(E) ë n¨ng l−îng E ®· cho cña hÖ ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: ω(Ε ) = ∑ δ(Ε − Ε i ) (1.2) i ë ®©y Ε i lµ n¨ng l−îng cña tr¹ng th¸i l−îng tö thø i mµ nã ®−îc tÝnh tõ ph−¬ng tr×nh Schrodinger (1.1); δ(E – Ei) lµ hµm delta §irac mµ nã cã nh÷ng tÝnh chÊt sau: Hµm δ(x-x0) lu«n b»ng 0 víi mäi x ≠ x0 vµ: ⎧ f ( x 0 ) x ⊂ [a , b] δ − = f ( x ) ( x x ) dx ∫ ⎨ 0 x ∉ [a , b] a ⎩ 0 b (1.3) Chóng ta l−u ý r»ng kho¶ng lÊy trung b×nh kh«ng ®−îc ®−a vµo (1.2). ViÖc x¸c ®Þnh mËt ®é tr¹ng th¸i (1.2) liªn quan trùc tiÕp tíi gi¸ trÞ mËt ®é tr¹ng th¸i ®o ®−îc b»ng thùc nghiÖm. NÕu tõ thùc nghiÖm suy ra r»ng trong kho¶ng n¨ng l−îng tõ E1 tíi E2 ph¸t hiÖn ®−îc n møc vµ ®· biÕt ®é suy biÕn gk cña mçi n mét møc th× ®Ó so s¸nh mËt ®é tr¹ng th¸i thùc nghiÖm ω = ⎛⎜ ∑ g k ⎞⎟ / (Ε 2 − Ε 1 ) ⎝1 ⎠ víi tÝnh to¸n lý thuyÕt, cÇn tÝnh ®¹i l−îng: ⎡ Ε2 ⎤ ω = ⎢ ∑ ∫ δ ( Ε − Ε i ) d Ε ⎥ /( Ε ⎣ i Ε1 ⎦ 2 − Ε1) (1.4) §iÒu nµy cã nghÜa lµ tõ tÊt c¶ tËp hîp çc tr¹ng th¸i vi m« i cÇn thiÕt chän vµ tÝnh chØ nh÷ng tr¹ng th¸i mµ gi¸ trÞ riªng Ei cña nã n»m trong kho¶ng (E1, E2). Khi chia sè thu ®−îc cho hiÖu sè E2 – E1 ta sÏ thu ®−îc sè tr¹ng th¸i trªn mét ®¬n vÞ n¨ng l−îng tøc lµ mËt ®é tr¹ng th¸i. Gi¶i ph¸p tÝnh ω(E) nh− vËy vÒ nguyªn t¾c lµ cã thÓ thùc hiÖn ®−îc vµ nã ®−îc sö dông trong çc tÝnh to¸n tæ hîp. Tuy nhiªn çc tÝnh to¸n nµy qu¸ phøc t¹p vµ chØ thu ®−îc çc hÖ thøc truy håi ®−îc sö dông trong tr−êng hîp ®èi víi nh÷ng hÖ cã phæ gi¸ trÞ riªng rÊt ®¬n gi¶n. 5 §Ó tÝnh ω(E) chóng ta sÏ sö dông ph−¬ng ph¸p thèng kª gÇn ®óng v¹n n¨ng [1]. Ph−¬ng ph¸p nµy gåm hai b−íc: phÐp biÕn ®æi Laplax vµ ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa. Çc tÝnh chÊt c¬ b¶n cña phÐp biÕn ®æi Laplax ®−îc ®−a ra trong [5, 6]. §èi víi hµm t¸c ®éng f(t) cña biÕn sè t , hµm F(p) ®−îc x¸c ®Þnh b»ng tÝch ph©n sau: F(p )= ∞ ∫ e − pt f ( t ) dt (1.5) 0 ®−îc gäi lµ ¶nh Laplax, ë ®©y p lµ biÕn phøc. TÝch ph©n trong (1.5) ®−îc lÊy trong nöa mÆt ph¼ng p tháa m·n ®iÒu kiÖn Re p > p0 (Re p - phÇn thùc cña biÕn phøc p ; p0 - sè thùc ). Gi¸ trÞ giíi h¹n cña p0 m« t¶ sù héi tô, ®−îc gäi lµ chØ sè héi tô cña phÐp biÕn ®æi Laplax. §èi víi Re p > p0, hµm F(p) lµ hµm t−¬ng tù cña biÕn sè p. Sù biÕn ®æi Laplax ng−îc ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c«ng thøc sau: f (t ) = 1 2π i p ' + i∞ F ( p ) e p t dp ∫ ' (1.6) p − i∞ ë ®©y ®−êng lÊy tÝch ph©n lµ ®−êng th¼ng song song víi trôc ¶o ®i qua ®iÓm phøc p’ mµ ë ®ã tháa m·n ®iÒu kiÖn Re p’ > p0 . DÔ dµng chøng minh ®−îc r»ng [5, 6]: p ' + i∞ ' ∫ F ( p )e p t p '' + i∞ dp = ,, p − i∞ ∫ F ( p ) e pt dp (1.7) p − i∞ §èi víi p’ , p’’ bÊt k× mµ víi chóng Re p’ > p0 vµ Re p’’ > p0. ¸p dông phÐp biÕn ®æi Laplax víi hai vÕ cña hÖ thøc (1.2): ∞ −β E ∫ e ω ( E )dE = 0 ∞ ∑∫ i e − β E δ ( E − E i )dE = 0 ∑e −β E i (1.8) i Nh− vËy sù biÕn ®æi Laplax tõ mËt ®é tr¹ng th¸i cã tæng thèng kª : ( Q ( β ) = ∑ exp (− β E i ) ≡ ∑ i exp − β Ĥ i i i 6 ) ≡ Sp ( exp ( − β Ĥ ) ) (1.9) ë ®©y kÝ hiÖu Sp ( ®−îc ®äc lµ vÕt ) lµ tæng tÊt c¶ çc yÕu tè trªn ®−êng chÐo cña ma trËn tõ to¸n tö ®øng trong ngoÆc. V× ®èi víi hÖ chuÈn [1] , mËt ®é tr¹ng th¸i ph¶i tháa m·n ®iÒu kiÖn : lim ω ( E E→ ∞ ) exp (− αE )= 0 cho α bÊt kú lín h¬n 0 nªn chØ sè héi tô cña tæng thèng kª Q(β) lµ β = 0 vµ tæng thèng kª nh− mét hµm biÕn phøc sÏ héi tô vµ cã gi¸ trÞ h÷u h¹n ë mÆt ph¼ng Re β > 0. H×nh 1.1: §−êng lÊy tÝch ph©n. Sö dông phÐp biÕn ®æi Laplax ng−îc víi Q( β) ta thu ®−îc gi¸ trÞ mËt ®é tr¹ng th¸i: 1 β ' + i∞ 1 β ' + i∞ S (β ) βE ω( E ) = dβ ∫ Q ( β ) e dβ = ∫ e 2 π i β ' − i∞ 2 π i β ' − i∞ ë ®©y S (β ) = β E + ln Q ( β ) (1.10) (1.11) TÝch ph©n trong (1.10) ®−îc lÊy theo chu tuyÕn trong mÆt ph¼ng phøc β nh− trªn h×nh 1.1. HÖ thøc (1.10) lµ chÝnh x¸c vµ cã thÓ ®−îc sö dông ®Ó chÝnh x¸c mËt ®é tr¹ng th¸i. Nã cã thÓ ®−îc tÝnh rÊt nhanh nÕu sö dông biÓu diÔn tÝch ph©n cña hµm delta δ [7]. Nh− vËy ®Ó x¸c ®Þnh mËt ®é tr¹ng th¸i, cÇn tÝnh tÝch 7 ph©n trong c«ng thøc (1.10). Khi ®ã ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa sÏ ®−îc sö dông. 1.2 Ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa. Ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa ®−îc sö dông ®Ó tÝnh tÝch ph©n F(λ) theo hµm biÕn phøc d¹ng: F(λ) = ∫ f (z) e λS ( z ) dz (1.12) C ë ®©y f(z) vµ S(z) lµ çc hµm biÕn z phøc mµ chóng kh¶ tÝch trong vïng G bao quanh ®−êng cong C cã thÓ lµ v« h¹n; λ - sè d−¬ng cã gi¸ trÞ lín. Víi gi¶ thiÕt r»ng tÝch ph©n (1.12) tån t¹i, chóng ta cÇn tÝnh hµm F(λ) khi λ lín. §Ó gi¶i thÝch b¶n chÊt ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa, chóng ta cÇn nghiªn cøu ph−¬ng ph¸p Laplax [5, 6] ®Ó thu ®−îc giíi h¹n cña tÝch ph©n cña hµm biÕn thùc x trong kho¶ng [a, b]: b Φ (λ ) = ∫ ϕ( x ) e λh ( x ) dx (1.13) a ë ®©y λ lµ sè d−¬ng lín, çc hµm ϕ(x) vµ h(x) lµ thùc vµ liªn tôc trong kho¶ng [a, b]. Chóng ta quan t©m ®Õn d¹ng cña Φ(λ) khi λ → ∞. Chóng ta gi¶ thiÕt r»ng hµm h(x) ®¹t ®Õn cùc ®¹i chØ ë ®iÓm x0 trong ®o¹n [a, b], h¬n n÷a ®¹o hµm bËc hai h’’(x) sÏ ©m ë ®iÓm nµy. Râ rµng lµ to¹ ®é cña ®iÓm x0 ®−îc x¸c ®Þnh b»ng ph−¬ng tr×nh: dh/dx = 0 (1.14) ë çc gi¸ trÞ λ > 0 vµ rÊt lín, gi¸ trÞ tÝch ph©n (1.13) ®−îc x¸c ®Þnh b»ng hµm exp[λh(x)]. Chóng ta kh¶o s¸t hµm : H(λ, x) = exp{λ[h(x) – h(x0)]} 8 (1.15) H×nh 1.2: BiÓu diÔn hµm h(x) trong kho¶ng [a, b]. Râ rµng lµ H(λ, x = x0) = 1 vµ khi x ≠ x0 gi¸ trÞ hµm H(λ, x) < 1, h¬n n÷a cùc ®¹i H(λ, x) khi x = x0 cµng trë nªn nhän nÕu λ cµng lín. Vïng quanh ®iÓm x0 [x0- δ, x0 + δ] ®ãng gãp chñ yÕu vµo gi¸ trÞ tÝch ph©n. Trong vïng nµy, cã thÓ viÕt hµm d−íi dÊu tÝch ph©n mét çch gÇn ®óng: ϕ(x) = ϕ(x0) khi ϕ(x0) ≠ 0 (1.16a) h(x) = h(x0) + 1/2 h’’(x0)(x – x0)2 (1.16b) Thay thÕ (1.16) vµo (1.13) ta thu ®−îc: Φ ( λ ) ≈ ϕ ( x 0 ). e λh ( x 0 ) x0 + δ λ h ''( x )( x − x ) ∫e 0 0 2 /2 dx x0 − δ = ϕ( x 0 ) exp[λh ( x 0 )] − λh ' ' ( x 0 ) δ − λh ' ' ( x 0 ) ∫ − δ − λh ' ' ( x 0 ) exp(− t2 )dt 2 (1.17) Khi λ → ∞ th× tÝch ph©n (1.17) tiÕn ®Õn tÝch ph©n Laplax [9]: ∞ t2 ∫ exp(− 2 )dt = −∞ 2π (1.18) Do vËy tiÖm cËn cña tÝch ph©n Φ(λ) khi λ → ∞ sÏ cã d¹ng: Φ(λ) = π ϕ( x 0 ) exp[λh ( x 0 )] − λh ' ' ( x 0 ) 9 (1.19) C«ng thøc (1.19) biÓu thÞ gi¸ trÞ gÇn ®óng cña tÝch ph©n (1.13) qua gi¸ trÞ cña hµm d−íi dÊu tÝch ph©n ë ®iÓm cùc ®¹i vµ thõa sè bæ sung nµo ®ã t−¬ng øng ®é dµi cña kho¶ng lÊy tÝch ph©n mµ ë ®ã, gi¸ trÞ cña hµm d−íi dÊu tÝch ph©n gÇn ®¹t cùc ®¹i. Nh÷ng biÓu thøc trªn lµ c¬ së cña ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa. Chóng ta chuyÓn sang ph©n tÝch ph−¬ng ph¸p tÝnh tiÖm cËn tÝch ph©n (1.12). TÝch ph©n (1.12) tõ hµm gi¶i tÝch trong vïng G cã thÓ tÝnh ®−îc qua gi¸ trÞ cùc ®¹i cña hµm d−íi dÊu tÝch ph©n víi bæ chÝnh vµo tèc ®é gi¶m cña nã ë ®−êng bao tÝch ph©n. Theo ®Þnh lý C«si, tÝch ph©n (1.12) tõ hµm gi¶i tÝch kh«ng phô thuéc vµo ®−êng lÊy tÝch ph©n mµ ®−îc x¸c ®Þnh chØ b»ng çc gi¸ trÞ ®iÓm ®Çu z1 vµ ®iÓm cuèi z2 cña ®−êng cong C. §iÒu ®ã cho phÐp ®æi d¹ng ®−êng bao tÝch ph©n trong vïng G mµ kh«ng lµm thay ®æi gi¸ trÞ tÝch ph©n. §iÒu kiÖn nµy sÏ ®−îc sö dông ®Ó lùa chän ®−êng bao tÝch ph©n mµ trong ®ã phÇn thùc cña hµm S(z) gi¶m nhanh trong khi phÇn ¶o lµ h»ng sè. Tr−íc hÕt chóng ta cÇn nªu l¹i tÝnh chÊt c¬ b¶n cña hµm gi¶i tÝch. Hµm gi¶i tÝch S(z) ®−îc x¸c ®Þnh lµ cã ®¹o hµm ë ®iÓm bÊt kú trong vïng G. NÕu z vµ S(z) biÓu diÔn d−íi d¹ng : z = x + iy ; S (z ) = u ( x , y ) + iv ( x , y ) (1.20) th× phÇn thùc u(x,y) vµ phÇn ¶o v(x,y) cña hµm gi¶i tÝch S(z) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn C«si – Rimann : ∂u / ∂x = ∂v / ∂y ; ∂u / ∂y = − ∂v / ∂x (1.21) DÔ dµng chøng minh biÓu thøc (1.21). §Ó thùc hiÖn ®iÒu ®ã cÇn lÊy ®¹o hµm ë mét ®iÓm z0 nµo ®ã. Chóng ta lÊy hai gia sè ∆z kh¸c nhau : ∆z = ∆x vµ ∆z = i∆y. NÕu hµm kh¶ vi t¹i ®iÓm z = z0 th× çc gi¸ trÞ ®¹o hµm cña nã kh«ng phô thuéc çch lùa chän ∆z vµ v× vËy chóng ph¶i b»ng nhau. C©n b»ng çc phÇn thùc vµ ¶o cña ®¹o hµm chóng ta thu ®−îc (1.21). §¹o hµm biÓu thøc thø nhÊt trong (1.21) theo x, biÓu thøc thø hai theo y råi céng l¹i chóng ta thu ®−îc : ∂ 2 u / ∂x 2 + ∂ 2 u / ∂y 2 = 0 T−¬ng tù chóng ta thu ®−îc : 10 (1.22) ∂ 2 v / ∂x 2 + ∂ 2 v / ∂y 2 = 0 (1.23) Chóng ta gi¶ thiÕt r»ng trong miÒn G cã duy nhÊt mét ®iÓm z0 mµ ë ®ã hµm S(z) cã ®¹o hµm b»ng 0: S ' (z 0 ) = 0 (1.24) §iÓm z = z0 ®−îc gäi lµ ®iÓm uèn. Gäi nh− vËy lµ v×: nÕu S”(z0) = S”’(z0) = ... = Sm(z0) = 0 mµ Sm+1(z0) ≠ 0 th× ®iÓm z0 ®−îc gäi lµ ®iÓm uèn bËc m. ë ®©y chóng ta chØ giíi h¹n ë tr−êng hîp ®iÓm uèn ®¬n gi¶n nhÊt lµ S”(z0) ≠ 0. Chóng ta xem xÐt tÝnh chÊt cña çc hµm thùc u(x,y) vµ v(x,y) ë l©n cËn ®iÓm uèn z = z0. Tõ ph−¬ng tr×nh (1.22) suy ra r»ng ë ®iÓm nµy, hµm u(x,y) kh«ng cã c¶ cùc ®¹i lÉn cùc tiÓu v× nÕu ∂2u/∂x2 <0 th× ∂2u/∂y2 >0 vµ ng−îc l¹i. Víi hµm v(x,y) còng nh− vËy. ë nh÷ng ®iÓm l©n cËn nµy, hµm u(x,y) kh«ng thÓ ®¹t tíi tiÖm cËn tuyÖt ®èi tøc lµ trong G kh«ng cã çc ®iÓm mµ ë ®ã u(x,y) hoÆc t¨ng hoÆc gi¶m theo mäi ph−¬ng. BÒ mÆt hµm u(x,y) ë l©n cËn z0 sÏ cã d¹ng parabon – hipebon (h×nh 1.3) mµ mÆt ngoµi rÊt cong. Do vËy z0 míi cã tªn lµ ®iÓm yªn ngùa vµ çch xem xÐt nµy ®−îc gäi lµ ph−¬ng ph¸p ®iÓm yªn ngùa. Trªn h×nh 1.3 thÊy r»ng ®−êng yªn ngùa cã d¹ng nh− vËy vµ ph−¬ng ph¸p nµy ®−îc gäi lµ ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa. H×nh 1.3: D¹ng hµm u(x,y) ë vïng l©n cËn ®iÓm yªn ngùa z0= x0+iy0. Víi tr−êng hîp ®iÓm yªn ngùa ®¬n gi¶n [S”(z0)≠0] ta biÓu diÔn hµm S(z) ë l©n cËn z = z0 d−íi d¹ng : S( z ) ≈ S( z 0 ) + (1 / 2 )S '' (z 0 )(z − z 0 ) 2 11 (1.25) Chóng ta ®Æt (1 / 2 )S '' (z 0 ) = r exp(iθ); z − z 0 = ρ exp(iϕ) khi ®ã S( z ) ≈ S( z 0 ) + rρ 2 [cos(θ + 2ϕ ) + i sin (θ + 2ϕ )] (1.26) vµ víi hµm u(x,y) vµ v(x,y) chóng ta cã : u( x , y) = u ( x 0 , y 0 ) + rρ 2 cos(θ + 2ϕ ) (1.27) v (x , y ) = v (x 0 , y 0 ) + rρ 2 sin(θ + 2ϕ) (1.28) Tr−íc hÕt chóng ta xem xÐt phÇn thøc cña hµm S(z) - tøc lµ hµm u(x,y) ë gÇn z = z0. Bëi v× gãc ϕ thay ®æi tõ 0 ®Õn 2π nªn tõ (1.27) suy ra r»ng hµm rρ2 × cos(θ+2ϕ) sÏ ®æi dÊu 4 lÇn khi ϕ thay ®æi tõ 0 ÷ 2π. V× vËy l©n cËn ®iÓm z = z0 bÞ t¸ch ra thµnh bèn vïng cong mµ ë çc vïng nµy hiÖu sè u(x,y) - u(x0,y0) b¶o toµn dÊu. Biªn cña çc vïng nµy thu ®−îc tõ ph−¬ng tr×nh (1.27). Çc vïng mµ u(x,y) > u(x0,y0) gäi lµ vïng d−¬ng, cßn çc vïng cã u(x,y) < u(x0,y0) ®−îc gäi lµ vïng ©m. Trªn h×nh 1.3 çc ®iÓm A vµ A’ n»m ë çc vïng ©m kh¸c nhau, çc ®iÓm B vµ B’ n»m ë çc vïng d−¬ng kh¸c nhau. Ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa ®−îc sö dông khi çc ®iÓm giíi h¹n cña ®−êng cong tÝch ph©n n»m ë çc vïng ©m kh¸c nhau. B©y giê cã thÓ lùa chän ®−êng lÊy tÝch ph©n mµ ë ®ã hµm u(x,y) gi¶m nhanh nhÊt. Tõ hÖ thøc (1.27) suy ra r»ng ®−êng lÊy tÝch ph©n n»m ë nh÷ng phÇn ©m vµ gãc ϕ mµ cos(θ + 2ϕ ) = −1 (1.29) t−¬ng øng víi sù gi¶m nhanh nhÊt cña hµm u(x,y). Hai gãc ϕ1 vµ ϕ2 ∈ [0,2π] phï hîp ®iÒu kiÖn trªn: ϕ1 = (− θ + π ) / 2 ; ϕ 2 = ϕ1 + π (1.30) Çc gãc ϕ1 vµ ϕ2 x¸c ®Þnh h−íng cña ®−êng gi¶m nhanh nhÊt tõ ®−êng cong qua ®iÓm yªn ngùa. NÕu thay gi¸ trÞ çc gãc ϕ1 vµ ϕ2 tõ c«ng thøc (1.30) vµo ph−¬ng tr×nh (1.28) th× ta thu ®−îc v(x,y) ≡ v(x0,y0). Do, phÇn ¶o cña hµm S(z) trªn çc ®−êng gi¶m nhanh nµy lµ h»ng sè. §©y lµ mét ®iÓm quan träng bëi v× 12 nã lý gi¶i t¹i sao hµm d−íi dÊu tÝch ph©n kh«ng dao ®éng. Nh− vËy nÕu lùa chän ®−êng lÊy tÝch ph©n ®i qua ®iÓm yªn ngùa däc theo ®−êng gi¶m nhanh nhÊt th× phu¬ng ph¸p Laplax cã t¸c dông ®Ó ®¸nh gi¸ tiÖm cËn cña tÝch ph©n (1.12). Chóng ta dÉn ®Õn ®Þnh lý sau [6] mµ kh«ng cÇn chøng minh. Gi¶ thiÕt r»ng: a) Hµm S(z) cã ®iÓm yªn ngùa ®¬n gi¶n duy nhÊt (S’(z0)=0 vµ S”(z0)≠0). b) §−êng cong tÝch ph©n C n»m trong miÒn kh¶ tÝch G ®iÓm ®Çu z1 vµ ®iÓm cuèi z2 n»m ë çc vïng ©m kh¸c nhau: Khi ®ã c«ng thøc giíi h¹n nh− sau: F (λ ) = ∫ f (z )e λ S ( z ) dz ≈ C 2π e λ S ( z 0 ) e i ϕ m f (z 0 ) '' λ S (z 0 ) (1.31) ë ®©y ϕm = (π - θ)/2 + mπ ; θ = argS”(z0). ViÖc lùa chän gi¸ trÞ ϕm sÏ x¸c ®Þnh dÊu trong c«ng thøc (1.31) vµ tÊt nhiªn viÖc lùa chän nµy phô thuéc vµo h−íng tÝch ph©n däc ®−êng C. Chóng ta sö dông ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa ®Ó tÝnh tÝch ph©n (1.10). Chóng ta t×m ®−îc to¹ ®é ®iÓm yªn ngùa β0 tõ ph−¬ng tr×nh: dS / dβ = 0 (1.32) Sö dông (1.9) vµ (1.11) ®Ó x¸c ®Þnh β0 ta cã : E = − −β 0 E i d ln Q = ∑ E ie / ∑ e −β 0 E i i i dβ (1.33) Râ rµng lµ β0 lµ sè thùc d−¬ng. Chóng ta tÝnh ®¹o hµm bËc hai: 2 d S = dβ 2 2 −β E ∑ Eie 0 i i −β E ∑e 0 i i ⎛ ∑ E ie − β 0 E i − ⎜⎜ i −β E ⎜ ∑e 0 i ⎝ i ⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠ 2 (1.34) Çc hÖ thøc (1.33) vµ (1.34) ®−îc viÕt l¹i b»ng çch kh¸c víi d¹ng thuËn tiÖn h¬n khi x¸c ®Þnh gi¸ trÞ trung b×nh cña çc to¸n tö theo tæng thèng kª. §èi víi to¸n tö ¢ gi¸ trÞ trung b×nh thèng kª cã d¹ng [10]: 13 ∧ ∧ ∧ ∧ ⎡ ⎤ A = Sp ⎡ A exp( − β H ) ⎤ / Sp ⎢ exp ⎛⎜ − β H ⎞⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ ⎠⎦ ⎣ (1.35) Khi ®ã to¹ ®é cña ®iÓm yªn ngùa ®−îc x¸c ®Þnh b»ng ph−¬ng tr×nh: ∧ ⎡∧ ⎤ Sp ⎢ H exp⎛⎜ − β H ⎞⎟⎥ ∧ d ln Q 1 dQ ⎝ ⎠⎦ = E=− =− = ⎣ H ∧ dβ Q dβ ⎡ ⎤ Sp ⎢ exp⎛⎜ − β H ⎞⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎣ (1.36) vµ hÖ thøc (1.34) cã d¹ng: d 2S = Ĥ 2 − Ĥ 2 dβ 2 ( = Ĥ − Ĥ ) 2 ⟩ 0 (1.37) Tõ (1.37) suy ra r»ng S” (β0) > 0 vµ ®iÓm yªn ngùa β0 lµ ®iÓm uèn mµ θ = arg[(S’’(β0) = 0)]. T−¬ng øng víi (1.30), ph−¬ng cña ®−êng gi¶m nhanh ®−îc x¸c ®Þnh b»ng gãc ϕ1=π/2 vµ trïng víi ®−êng th¼ng song song trôc ¶o Imβ tøc lµ trong tr−êng hîp cña chóng ta, nã trïng víi ®−êng lÊy tÝch ph©n. Ta cã thÓ sö dông (1.31) ®Ó viÕt biÓu thøc kÕt qu¶ cña tÝch ph©n (1.10). Tuy nhiªn chóng ta vÉn tiÕp tôc lÊy tÝch ph©n. Dùa trªn tÝnh chÊt (1.7) cña sù biÕn ®æi Laplax ng−îc ®èi víi mËt ®é tr¹ng th¸i chóng ta cã: 1 ω(E) = 2πi β 0 − i∞ ∫ eS(β)dβ (1.38) β 0 − i∞ Chóng ta ph©n tÝch hµm S(β) thµnh chuçi ë l©n cËn ®iÓm yªn ngùa β0 vµ chØ lÊy hai sè h¹ng ban ®Çu: S(β) ≈ S(β0) + S’’(β0)(β-β0)2/ 2 (1.39) vµ thùc hiÖn sù thay biÕn tÝch ph©n: β = β0 + iy (1.40) Khi ®ã ®èi víi ω(E) ta thu ®−îc: 14 ω( E) = 1 exp[S(β0 )] 2π +∞ ⎡ 1 ∫ exp⎢⎣− 2 S' ' (β0 ) y −∞ 2⎤ ⎥dy ⎦ = exp[S(β0 )]/ 2πS' ' (β0 ) (1.41) ë ®©y S(β0) = β0E + lnQ(β0) (1.42) Hµm sè ®−îc x¸c ®Þnh b»ng biÓu thøc (1.42) ®−îc gäi lµ entropy cña hÖ. Thùc tÕ trong vËt lý thèng kª, entropy ®−îc tÝnh b»ng logarit cña tæng thèng kª [1, 10]. Theo ®Þnh nghÜa, tæng thèng kª W(E, δE) lµ sè tr¹ng th¸i vi m« cña hÖ ë n¨ng l−îng E trong kho¶ng n¨ng l−îng vi ph©n δE << E. Nh− vËy ®èi víi W(E, δE) ta cã thÓ viÕt: W(E, δE) = ω(E) δE. KÕt hîp víi (1.41) vµ sau khi lÊy logarit ta thu ®−îc: lnW(E, δE) = S(β0) víi ®é chÝnh x¸c ®Õn bæ chÝnh nhá tuú ý. Khi ®ã cã thÓ t×m ®−îc entropy cña hÖ dùa trªn hÖ thøc ®· biÕt ®èi víi n¨ng l−îng tù do [10] F = - t lnQ = E - tS ë ®©y nhiÖt ®é t ®−îc x¸c ®Þnh b»ng t = β0−1 . Tõ ®ã suy ra c«ng thøc (1.42) x¸c ®Þnh entropy cña hÖ. S = (E + t lnQ)/t = Eβ0 + lnQ Nãi mét çch chÆt chÏ, ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa ®−îc sö dông khi trong hµm e mò cã th«ng sè d−¬ng λ lín. Chóng ta dù tÝnh sö dông ph−¬ng ph¸p nµy trong tÊt c¶ çc vïng n¨ng l−îng. Cã hai lý do nh− sau: Thø nhÊt - entropy cña hÖ t¨ng ®ñ nhanh khi n¨ng l−îng E t¨ng. Thø hai - nÕu ω(E) ®−îc tÝnh chÝnh x¸c nhê hÖ thøc (1.2) (®iÒu nµy ®−îc thùc hiÖn dÔ dµng ®èi víi hÖ fermi cã phæ rêi r¹c) vµ b»ng ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa th× thÊy r»ng trong vïng n¨ng 15 l−îng réng c¶ hai kÕt qu¶ tÝnh to¸n lµ trïng nhau trõ vïng n¨ng l−îng gÇn tr¹ng th¸i c¬ b¶n (xem §2.2). ë vïng n¨ng l−îng kÝch thÝch thÊp, gi¸ trÞ ω(E) ®−îc tÝnh b»ng ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa sÏ tiÕn ®Õn +∞, ®iÒu nµy râ rµng lµ phi lý. VÊn ®Ò lµ ë gÇn tr¹ng th¸i c¬ b¶n, nhiÖt ®é t tiÕn ®Õn 0 vµ do vËy ®iÓm yªn ngùa β0 → ∞. §èi víi tr−êng hîp khi ®iÓm yªn ngùa tiÕn ®Õn v« h¹n, kh«ng cã çch ®¸nh gi¸ tÝch ph©n b»ng ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa [11]. V× vËy khi sö dông ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa ®Ó tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i ph¶i lu«n nhí r»ng chóng ta kh«ng sö dông ph−¬ng ph¸p nµy ë n¨ng l−îng gÇn tr¹ng th¸i c¬ b¶n. 1.3 Çc mÉu lý thuyÕt cÊu tróc h¹t nh©n. §Ó tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i, cÇn ph¶i biÕt tæng thèng kª tøc lµ cÇn biÕt hµm tãan tö Hamilton cña h¹t nh©n. Trong môc nµy chóng ta xem xÐt mét çch tãm t¾t çc mÉu ®−îc sö dông réng r·i trong lý thuyÕt h¹t nh©n hiÖn ®¹i. §Ó lµm viÖc nµy, chóng ta sÏ sö dông çc c«ng tr×nh [3, 12, 13]. MÉu líp mét h¹t. Trong mÉu líp mét h¹t, ng−êi ta kh¶o s¸t chuyÓn ®éng cña mét h¹t ®éc lËp kh«ng t−¬ng t¸c víi çc nucleon kh¸c trong tr−êng thÕ trung b×nh V(r) t¹o nªn bëi tÊt c¶ çc nucleon. Çc møc n¨ng l−îng ®èi víi çc h¹t chuyÓn ®éng trong tr−êng thÕ nãi trªn bÞ nhãm l¹i t¹o nªn çc líp çch nhau bëi nh÷ng kho¶ng n¨ng l−îng lín. MÉu nh− vËy ®−îc gäi lµ mÉu vá hay mÉu çc h¹t ®éc lËp. Thùc nghiÖm chøng minh r»ng trong h¹t nh©n, ngoµi tr−êng thÕ trung b×nh cßn cã t−¬ng t¸c spin- quÜ ®¹o Vls. V× thÕ ®Ó tÝnh n¨ng l−îng cña çc møc mét h¹t, th−êng ph¶i gi¶i ph−¬ng tr×nh Schrodinger ®èi víi mét nucleon : ∧ ⎡ ⎤ h 2∆ h (r ) ψ ν (r ) ≡ ⎢ − + V (r ) + V ls (r )⎥ ψ ν (r ) = ε ν ψ ν (r ) 2µ ⎢⎣ ⎥⎦ (1.43) ë ®©y ĥ ( r ) – to¸n tö mét h¹t Hamilton, ψν (r) – hµm sãng trong tr¹ng th¸i thø ν víi n¨ng l−îng εν ; µ - khèi l−îng nucleon, h = h/2π, h – h»ng sè Plank, ∆ - To¸n tö Laplax. 16 Ng−êi ta th−êng sö dông tr−êng thÕ Xacxon – Wud hoÆc tr−êng thÕ Nilx¬n lµm tr−êng thÕ trung b×nh. ThÕ Xacxon – Wud chøa hai thµnh phÇn : PhÇn xuyªn t©m : V (r ) = − V0N , Z / [1 + exp(a (r − R 0 ))] (1.44) PhÇn spin- quÜ ®¹o : Vl s ( r ) = − κ 1 dV ( r ) (ls) r dr (1.45) ë ®©y V0N vµ V0z ®é s©u hè thÕ n¬tron vµ proton ; a - th«ng sè nhoÌ cña biªn h¹t nh©n, Ro = roA1/3, k - h»ng sè t−¬ng t¸c spin quÜ ®¹o. ThÕ Xacxon – Wud m« t¶ tèt sù phô thuéc mËt ®é chÊt h¹t nh©n vµo b¸n kÝnh. Çc th«ng sè cña hè thÕ ®−îc x¸c ®Þnh mét çch ®ñ tin cËy tõ phÇn thùc cña thÕ quang häc mµ çc ®Æc tÝnh cña nã thu ®−îc tõ sè liÖu thùc nghiÖm trong nghiªn cøu t¸n x¹ cña nucleon lªn h¹t nh©n. Hè thÕ Nilx¬n ®−îc t¹o tõ thÕ cña dao ®éng tö ®iÒu hoµ, liªn kÕt spin quÜ ®¹o vµ sè h¹ng tû lÖ víi b×nh ph−¬ng m«men gãc mµ m«men nµy ®−îc chän ë trong hè thÕ vu«ng gãc. Hamilton h(r) trong tr−êng hîp nµy cã thÓ viÕt d−íi d¹ng [14] : ∧ ∧ h (r ) = h o . c + C N (ls ) + D N l 2 ∧ ë ®©y h o.c h 2 ' µ ⎛ 2 '2 = − ∆ + ⎜ ω x ' x + ω 2y ' y ' 2 + ω 2z ' z ' 2 ⎞⎟ 2µ 2⎝ ⎠ (1.46) (1.47) ë ®©y x’, y’ vµ z’ – to¹ ®é cña çc h¹t ®Æt trong hÖ quy chiÕu g¾n víi h¹t nh©n. CN, DN vµ çc tÇn sè ω’x, ω’y vµ ω’z (trong gi¶ thiÕt vÒ sù biÕn d¹ng h¹t nh©n, çc tÇn sè nµy cã thÓ liªn quan víi tÇn sè dao ®éng c¬ b¶n ω00 = 41A-1/3 MeV) lµ çc th«ng sè cña hè thÕ. TÝnh chÊt ®Æc biÖt cña tr−êng thÕ trung b×nh ®−îc biÓu 17 diÔn trªn h×nh 1.4. Khi tÝnh møc n¨ng l−îng cña hÖ proton, thÕ n¨ng cña tr−êng trung b×nh cÇn ph¶i bæ sung t−¬ng t¸c Coulomb. H×nh 1.4 : Sù phô thuéc b¸n kÝnh cña phÇn xuyªn t©m cña thÕ Xacxon – Wud víi hÖ n¬tron cã a = 1,56 fm-1 (®−êng liÒn nÐt) vµ thÕ dao ®éng (®−êng ®øt nÐt). B¸n kÝnh tÝnh trong hÖ ®¬n vÞ Ro, thÕ trong hÖ ®¬n vÞ Vo. Trong m« t¶ tr¹ng th¸i mét h¹t, sù ®èi xøng cña tr−êng trung b×nh cã ý nghÜa lín. Trong çc h¹t nh©n cÇu, çc tr¹ng th¸i mét h¹t ®−îc m« t¶ b»ng n¨ng l−îng E, m«men quÜ ®¹o l, m«men gãc toµn phÇn j vµ h×nh chiÕu m, ngoµi ra n¨ng l−îng cña tr¹ng th¸i bÞ t¸ch ra thµnh m gi¸ trÞ. Trong çc h¹t nh©n biÕn d¹ng, d¹ng c©n b»ng cña chóng t−¬ng øng víi chuyÓn ®éng quay quanh mét trong çc trôc mµ ë hÖ to¹ ®é míi nµy, m«men gãc toµn phÇn j vÉn lµ mét sè l−îng tö tèt. Tr¹ng th¸i ®−îc m« t¶ b»ng n¨ng l−îng, ®é ch½n lÎ, h×nh chiÕu K cña m«men gãc toµn phÇn lªn trôc ®èi xøng cña h¹t nh©n. Trong tr−êng trung b×nh gi¶ ®èi xøng nµy x¶y ra sù ph©n t¸ch l¹i çc møc cña mçi møc con, tøc lµ t¸ch ra thµnh 2j +1 gi¸ trÞ theo tõng gi¸ trÞ m, theo kiÓu trong hè thÕ ®èi xøng cÇu. Tuy nhiªn trong tr−êng hîp ®ã, mçi møc mét h¹t cña tr−êng trung b×nh cßn suy biÕn bËc 2 theo dÊu cña m. §èi víi h¹t nh©n cÇu, do t−¬ng t¸c spin quÜ ®¹o, møc mét h¹t víi l ®· cho ph©n t¸ch m¹nh thµnh hai nhãm møc j = l + 1/2 vµ j = l-1/2. Nhãm møc cña j = l +1/2 n»m ë d−íi nhãm møc j = l -1/2. N¨ng l−îng ph©n t¸ch b»ng : ∆ ε ls ≈ − 20 ( ls ) A −2 / 3 (1.48) Khi ®ã sù ph©n t¸ch nh− sau: Çc møc gÇn nhau cña nhãm nµy vÉn t¸ch xa khái çc møc gÇn nhau cña nhãm kh¸c. Çc nhãm çc møc gÇn nhau t¹o thµnh líp. 18 PhÇn c¬ b¶n cña s¬ ®å møc proton vµ n¬tron mét h¹t [15] ®−îc tÝnh víi h¹t nh©n cÇu 208 Pb víi thÕ Xacxon – Wud [16] vµ thÕ Nilxon [14] ®−îc biÓu diÔn trªn h×nh 1-5. H×nh 1.5: S¬ ®å çc møc mét h¹t cña h¹t nh©n ch× 208Pb [15]. §èi víi çc møc mét h¹t cña h¹t nh©n ®èi xøng cÇu, ng−êi ta th−êng sö dông ký hiÖu phæ häc vi m« vÝ dô nh− 2d3/2. ë ®©y sè ®Çu tiªn chØ ra sè thø tù n cña møc víi m«men quü ®¹o l ®· cho, cßn víi çc gi¸ trÞ m«men quÜ ®¹o l = 0, 1, 2, 19 3 ... kh¸c nhau ng−êi ta ®−a vµo çc ký tù la tinh kh¸c nhau : s, p, d, f... chØ sè bªn d−íi c¹nh ch÷ çi lµ m«men toµn phÇn cña nucleon, b»ng tæng m«men quÜ ®¹o l vµ spin (s =1/2). Ký hiÖu møc 2d3/2 lµ : møc thø hai víi l = 2 vµ m«men toµn phÇn j = 3/2. ë çc møc víi n, l vµ j ®· cho, trªn mçi møc cã thÓ n»m 2j + 1 nucleon. Trong chØ sè tr¹ng th¸i mét h¹t ν mµ chóng ta sö dông ngoµi n, l, j cßn ®−a thªm vµo h×nh chiÕu m cña m«men gãc j trªn trôc ®èi xøng, m nhËn çc gi¸ trÞ – j, -j +1 ...j -1 ; j. ë tr¹ng th¸i c¬ b¶n, çc nucleon lÊp ®Çy çc møc d−íi, h¬n n÷a theo nguyªn lý Pauli, trong mét tr¹ng th¸i chØ cã mét nucleon (proton hoÆc n¬tron). H¹t nh©n chøa trong tr¹ng th¸i c¬ b¶n çc líp lÊp ®Çy b»ng proton hoÆc n¬tron ®−îc gäi lµ h¹t nh©n magic. H¹t nh©n lµ magic theo c¶ sè proton vµ n¬tron ®−îc gäi lµ h¹t nh©n hai lÇn magic. H¹t nh©n víi sè Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82 vµ N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 lµ h¹t nh©n magic. Trong mÉu líp, khi h¹t nh©n bÞ kÝch thÝch, mét vµi nucleon chuyÓn sang tr¹ng th¸i tù do cã n¨ng l−îng lín h¬n. N¨ng l−îng kÝch thÝch khi ®ã b»ng hiÖu sè n¨ng l−îng cña çc tr¹ng th¸i mét h¹t nµy. Mçi tr¹ng th¸i cña hÖ cã mét sè lÊp ®Çy cña çc tr¹ng th¸i mét h¹t. Chóng ta xem xÐt hµm sãng cña hÖ bao gåm N h¹t fermi ®éc lËp. Trong tr−êng hîp khi N h¹t gi÷ çc tr¹ng th¸i mét h¹t ν1, ν2 .... νN, cã thÓ m« t¶ hµm sãng biÓu diÔn tr¹ng th¸i cña h¹t nh©n d−íi d¹ng ®Þnh thøc Xleter: ψν1 (x1 ) ψν2 (x1 ) 1 ψν1 (x 2 ) ψν2 (x 2 ) ψ(ν1 , ν2 ,....,ν N ) = N! .............. ................ ψν1 (x N ) ψν2 (x N ) ... ... ψνN (x1 ) ψ νN ( x 2 ) ..... ............... ... ψνN (x N ) (1.49) ë ®©y ν - bé chØ sè ®Çy ®ñ ®Æc tr−ng cho çc tr¹ng th¸i mét h¹t, vÝ dô nh− ν = n, l, j, m ; xi – to¹ ®é cña h¹t trong ®ã cã c¶ biÕn sè spin. Gi¶ thiÕt r»ng tÊt c¶ ψν(x) ®Òu chuÈn ho¸. Kh«ng khã kh¨n ®Ó chøng minh r»ng biÓu thøc (1.49) cã tÝnh chÊt cña hµm sãng cña hÖ h¹t ®éc lËp: Nã tho¶ m·n nguyªn lý Pauli vµ sù thay ®æi bÊt ®èi xøng cña hai h¹t. NÕu gi÷a çc chØ sè ν1, ν2.... νN cã hai gi¸ trÞ nµo ®ã gièng nhau th× c¶ hai cét cña ®Þnh thøc gièng nhau vµ ®Þnh thøc cã gi¸ 20 trÞ b»ng 0. Nh− vËy trong hÖ Fermion ë mét tr¹ng th¸i kh«ng thÓ cã qu¸ mét h¹t vµ hµm sãng (1.49) tho¶ m·n nguyªn lý Pauli, sù ®æi chç hai h¹t t−¬ng øng víi ®æi chç hai dßng cña ®Þnh thøc (1.49) vµ do vËy dÊu cña nã sÏ thay ®æi. Hµm sãng bÊt ®èi xøng (1.49) hoµn toµn ®−îc x¸c ®Þnh b»ng sè çc tr¹ng th¸i mét h¹t lÊp ®Çy ν1, ν2 ,..., νN mét çch ®éc lËp víi çc h¹t lÊp ®Çy trong nã. V× thÕ bé tr¹ng th¸i ψ(ν1 ... νN) cã thÓ gäi lµ biÓu diÔn cña sè tr¹ng th¸i bÞ lÊp ®Çy. Chóng ta ®−a vµo to¸n tö a+ν, nã sÏ sinh h¹t ë tr¹ng th¸i ψν vµ a+ν ®−îc x¸c ®Þnh b»ng hÖ thøc : a+ν ψ(0) = ψ (ν) (1.50) ë ®©y ψ(0) – tr¹ng th¸i ch©n kh«ng tøc lµ tr¹ng th¸i kh«ng chøa h¹t nµo. Khi t¸c dông lªn hµm sãng ψ(ν1, ν2,... νN) to¸n tö a+ν t¹o nªn tr¹ng th¸i gåm N+1 h¹t trong ®ã tr¹ng th¸i thø ν lµ lÊp ®Çy: ⎧⎪ϕ (ν1 , ν 2 ,..., ν N , ν ), khi ν ≠ ν1 , ν 2 ,..ν N a ψ (ν1 , ν 2 ,..., ν N ) = ⎨ khi ν = ν i , ν i = ν1 , ν 2 ,..., ν N ⎪⎩ 0 , + ν (1.51) Nhê to¸n tö a+ tõ ch©n kh«ng cã thÓ t¹o nªn tr¹ng th¸i N h¹t: ψ (ν1, ν2 ... νN) = a+νN ... a+ν2 a+ν1ψ(0) (1.52a) Tõ tÝch ph©n ®èi xøng cña ψ(ν1 ... νN) suy ra r»ng: a +νi a +ν j = − a +ν j a +ν i (1.52b) T−¬ng tù cã thÓ ®−a vµo to¸n tö aν mµ nã huû h¹t tr¹ng th¸i thø ν vµ t¹o nªn tr¹ng th¸i gåm N-1 h¹t mµ tr¹ng th¸i thø ν lµ trèng: ⎧ 0, khi ν ≠ ν 1 ...ν N a ν ψ (ν 1 , ν 2 ,..., ν N ) = ⎨ ⎩ψ (ν 1 , ν 2 ,..., ν N ) khi ν ≡ ν i râ rµng lµ: aν ψ(0 ) = 0 (1.53) (1.54) To¸n tö aν lµ liªn hîp emitic víi a+ vµ víi chóng cã ®¼ng thøc: 21 a νi a ν j = − a ν j a νi (1.55) DÔ dµng chøng minh: a ν+ a ν = − a ν+ a ν i j j i , khi ν i ≠ ν j (1.56) Chóng ta xem xÐt t¸c dông cña tÝch to¸n tö a+ν aν vµ aν a+ν lªn hµm ψ(ν1,ν2,...,νN): ⎧⎪0, khi ν ≠ ν , ν ,...ν ; 1 2 N a ν+ a ν ψ ( ν 1 , ν 2 ,...ν N ) = ⎨ ⎪⎩ ψ (ν 1 , ν 2 ,..., ν N ) khi ν ≡ ν i a ν a ν+ ψ ( ν 1 , ν 2 ,..., ν N ) (1.57) 0 khi ν ≡ ν i ⎧⎪ =⎨ ⎪⎩ψ (ν 1 , ν 2 ,..., ν N ), khi ν ≠ ν 1 , ν 2 ,..., ν N . (1.58) a ν+ a ν + a ν a ν+ = 1 Tõ (1.57) vµ (1.58) suy ra r»ng: (1.59) Çc biÓu thøc tõ (1.50) – (1.59) ®ñ ®Ó t¹o nªn çc tÝnh chÊt ®¹i sè cña çc to¸n tö aν vµ a+ν. Çc tÝnh chÊt nµy tr−íc tiªn cã thÓ viÕt d−íi d¹ng çc hÖ thøc giao ho¸n ®· biÕt nh− sau: {a ν' }= a ν ' a +ν + a +ν a ν ' = δ ν ν ' ; ⎫⎪ ⎬ {a ν ' , a ν } = {a +ν ' a +ν }= 0 . ⎪⎭ , a +ν (1.60) Tõ (1.57) suy ra r»ng x¸c suÊt ®Ó tr¹ng th¸i mét h¹t thø ν bÞ lÊp ®Çy ®−îc x¸c ®Þnh b»ng gi¸ trÞ trung b×nh cña to¸n tö a+ν aν. V× thÕ to¸n tö: n̂ = a +ν a ν (1.61) ®−îc gäi lµ to¸n tö lÊp ®Çy tr¹ng th¸i ν. To¸n tö sè h¹t toµn phÇn lµ : N̂ = ∑ n̂ ν = ∑ a +ν a ν ν ν cã gi¸ trÞ riªng b»ng sè h¹t trong hÖ. 22 (1.62) Chóng ta ®−a vµo biÓu thøc ®èi víi çc to¸n tö mét h¹t vµ hai h¹t cña hÖ h¹t ®−îc quan t©m. To¸n tö t¸c dông lªn nh÷ng h¹t ®−îc lùa chän lµ to¸n tö mét h¹t. To¸n tö nµy cã d¹ng : N F̂ = ∑ F̂ ( x k ) (1.63) k =1 Bëi v× to¸n tö Fˆ (xK) chØ thay ®æi tr¹ng th¸i cña h¹t thø k mµ kh«ng thay ®æi sè h¹t toµn phÇn nªn to¸n tö F̂ cã thÓ biÓu diÔn nh− tæng çc to¸n tö: F̂ = ∑ ν F̂ ν ' a +ν a ν ' (1.64) νν ' ë ®©y ν Fˆ ν ' = ∫ ψ ( x )Fˆ ( x )ψ ( x )dx * ν (1.65) ν' TÝch ph©n trong (1.65) thùc chÊt lµ lÊy tæng theo biÕn rêi r¹c. To¸n tö hai h¹t, vÝ dô nh− to¸n tö thÕ t−¬ng t¸c cña hai h¹t: V̂ = ∑ V̂ ( x i , x k ) (1.66) i<k khi t¸c dông lªn hÖ h¹t ®ang xÐt cã thÓ lµm thay ®æi tr¹ng th¸i cña hai h¹t nh−ng kh«ng lµm thay ®æi sè h¹t toµn phÇn cña hÖ. To¸n tö V̂ trong biÓu diÔn sè tr¹ng th¸i lÊp ®Çy cã d¹ng: V̂ = 1 2 ∑ ν1ν 2 ν 3ν 4 ν 3 ν 4 V̂ ν 1 ν 2 a +ν 4 a +ν 3 a ν 1 a ν 2 (1.67a) ë ®©y : ν 3 ν 4 V̂ ν 1 ν 2 = ∫ ψ ( x )ψ ( x )V̂ ( x , x ) ψ (x ) ψ (x )dx * ν3 * ν4 1 2 1 2 υ1 1 ν2 2 1 dx 2 (1.67b). Cã thÓ kiÓm tra l¹i (1.64) – (1.67) b»ng çch tÝnh trùc tiÕp çc phÇn tö ma trËn theo çc tr¹ng th¸i (1.49). Chóng ta cã thÓ dÔ dµng thu ®−îc biÓu thøc ®èi víi Hamilton Ho cña mÉu çc h¹t ®éc lËp trong biÓu diÔn sè tr¹ng th¸i lÊp ®Çy : Ĥ 0 = ∑ ĥ Z ( rk ) + ∑ ĥ N ( ri ) Z N k =1 i =1 23 (1.68) ë ®©y çc to¸n tö mét h¹t proton ĥ z (rk) ®−îc x¸c ®Þnh b»ng ph−¬ng tr×nh (1.43). Râ rµng lµ ®èi víi yÕu tè ma trËn ν ĥ τ ν' ta cã ®¼ng thøc : ν ĥ τ ν ' = ε τ ν δ νν ' (1.69) víi τ = Z hoÆc N. Khi ®ã, nh− víi (1.64) ta cã : Ĥ 0 = ∑ ε Z ν a Z+ v a Z v + ∑ ε N ν a +N ν a N ν = ∑ ε Z v n̂ Z v + ∑ ε N ν n̂ N ν ν ν ν ν (1.70) Hamilton Ĥ 0 liªn hîp víi to¸n tö sè h¹t toµn phÇn cña proton Ẑ vµ n¬tron N̂ mµ chóng b»ng: Ẑ = ∑ a +Z v a Z v = ∑ n̂ Z v ⎫⎪ ν ν ⎬ + ˆ N = ∑ a N ν a N ν = ∑ n̂ N ν ⎪ ⎭ ν ν (1.71) vµ cã hµm riªng chung nhau. MÉu mét h¹t gi¶i thÝch ®−îc phÇn lín sè liÖu thùc nghiÖm [3, 12, 17] vµ lµm c¬ së ®Ó nghiªn cøu çc ®Æc tr−ng cña h¹t nh©n víi t−¬ng t¸c d−. MÉu h¹t nh©n siªu ch¶y. MÉu çc h¹t ®éc lËp m« t¶ kh«ng tèt mét lo¹t çc hiÖu øng thùc nghiÖm. VÝ dô nh− çc tr¹ng th¸i kÝch thÝch cña çc h¹t nh©n ch½n - ch½n cã kho¶ng çch cì 1 - 2 MeV trong khi ®ã ë çc h¹t nh©n lÎ hoÆc lÎ - lÎ l¹i kh«ng cã kho¶ng çch nh− vËy. H¬n n÷a m«men qu¸n tÝnh cña h¹t nh©n biÕn d¹ng ®−îc t×m thÊy ë çc tr¹ng th¸i quay thÊp l¹i nhá h¬n m«men qu¸n tÝnh ®−îc tÝnh theo mÉu çc h¹t ®éc lËp tõ hai ®Õn ba lÇn. §Ó gi¶i thÝch çc sai lÖch nãi trªn vµ mét sè d÷ liÖu thùc nghiÖm kh¸c, ng−êi ta ®· dùng lªn mÉu siªu ch¶y [18. 19] vµ ph¸t triÓn nã [20, 21], mµ trong ®ã gi¶ thiÕt r»ng ngoµi tr−êng trung b×nh, çc phÇn cßn l¹i - gäi chung lµ t−¬ng t¸c d− - dÉn tíi chuyÓn ®éng t−¬ng quan cña proton vµ n¬tron. Khi ®ã çc cÆp n¬tron vµ proton víi m«men ®éng l−îng b»ng nhau nh−ng ng−îc chiÒu t¹o nªn çc tr¹ng th¸i liªn kÕt trong h¹t nh©n. §Ó ph¸ vì çc mèi liªn kÕt nµy cÇn n¨ng 24 l−îng 1 – 2 MeV. ý t−ëng mÉu h¹t nh©n siªu ch¶y xuÊt ph¸t tõ lý thuyÕt siªu ch¶y cña kim lo¹i vµ cña hªli láng. §Ó m« t¶ t−¬ng quan cÆp cña d¹ng siªu ch¶y ng−êi ta th−êng dïng Hamilton mµ trong biÓu diÔn sè lÊp ®Çy víi h¹t nh©n biÕn d¹ng ®−îc viÕt nh− sau : Ĥ = Ĥ N + Ĥ Z , ë ®©y (1.72) Ĥ N = ∑ ε v a +v a v − G N ∑ a s++ a s+− a s ' − a s ' + v ss ' ˆ Z = ∑ ε µ a µ+ a µ − G z ∑ a r++ a r+− a ' a ' H r − r+ µ rr ' (1.73a) (1.73b) víi εν vµ εµ lµ n¨ng l−îng cña tr¹ng th¸i mét h¹t ®èi víi hÖ n¬tron vµ proton t−¬ng øng. Çc tr¹ng th¸i mét h¹t ®Æc tr−ng b»ng çc sè l−îng tö ν = sδ, µ = rδ ë ®©y δ = ± 1. Çc ®¹i l−îng GN vµ GZ lµ çc h»ng sè t−¬ng t¸c cÆp ®èi víi hÖ n¬tron vµ proton mµ chóng ®−îc x¸c ®Þnh tõ n¨ng l−îng liªn kÕt cña h¹t nh©n. Hamilton Hˆ ë d¹ng (1.72) ®−îc sö dông tr−íc hÕt ®Ó m« t¶ tÝnh chÊt cña h¹t nh©n nÆng mµ trong ®ã kh«ng cã t−¬ng quan n¬tron – proton d¹ng siªu ch¶y [20]. Ngoµi ra, v× thÕ n¨ng cña tr−êng trung b×nh ®èi víi n¬tron vµ proton ®−îc t¹o nªn mét çch riªng biÖt nªn ng−êi ta gi¶i ph−¬ng tr×nh Schrodinger riªng rÏ ®Ó x¸c ®Þnh ®Æc tr−ng cña çc tr¹ng th¸i mét h¹t t¹o nªn hÖ proton vµ n¬tron mµ chóng ®−îc kh¶o s¸t riªng rÏ. §èi víi h¹t nh©n cÇu, Hamilton cña mÉu siªu ch¶y h¬i kh¸c biÓu thøc (1.73). D¹ng Hamilton vµ sù kh¶o s¸t çc hiÖu øng siªu ch¶y cña h¹t nh©n cÇu ®−îc ®−a ra trong çc c«ng tr×nh nh− [12,21]. ViÖc nghiªn cøu çc ®Æc tr−ng thèng kª cña mÉu siªu ch¶y ®−îc thùc hiÖn víi Hamilton (1.73). Dùa trªn sù biÕn ®æi Khacti - Ph«c - B«g«liub«v cã thÓ chuyÓn tõ Halilton (1.73a) sang Hamilton cña çc gi¶ h¹t ®éc lËp. Sù chuyÓn nµy sÏ ®−îc tr×nh bµy trong ch−¬ng 3 khi xem xÐt tÝnh chÊt thèng kª cña mÉu h¹t nh©n siªu ch¶y. MÉu h¹t nh©n suy réng : MÉu h¹t nh©n suy réng [12, 13] ®−îc h×nh thµnh tõ mÉu giät vµ mÉu líp. 25 Theo mÉu giät, mËt ®é nucleon trong h¹t nh©n rÊt lín vµ do cã t−¬ng t¸c m¹nh gi÷a chóng, va ch¹m gi÷a çc nucleon th−êng xuyªn x¶y ra v× thÕ chuyÓn ®éng ®éc lËp cña tõng nucleon riªng lÎ lµ kh«ng kh¶ dÜ. Theo mÉu nµy, h¹t nh©n lµ giät chÊt láng tÝch ®iÖn, bÒ mÆt cña nã cã thÓ dao ®éng. NÕu biªn ®é dao ®éng qu¸ lín th× giät chÊt láng vì ra tøc lµ x¶y ra sù ph©n chia h¹t nh©n. MÆc dï mÉu giät cã thÓ dïng ®Ó gi¶i thÝch nguyªn nh©n ph©n chia vµ c¬ chÕ cña nã vµ c¶ sù tån t¹i cña chuyÓn ®éng tËp thÓ cña h¹t nh©n nguyªn tö, hoµn toµn kh«ng quan s¸t ®−îc nh÷ng tiªn ®o¸n cña nã trong thÝ nghiÖm. Trong mÉu suy réng ng−êi ta gi¶ thiÕt r»ng h¹t nh©n bao gåm phÇn lâi bÒn v÷ng bªn trong (lâi nµy ®−îc t¹o nªn tõ çc nucleon cña líp lÊp ®Çy) vµ çc nucleon ë bªn ngoµi chuyÓn ®éng trong tr−êng cña lâi. ChuyÓn ®éng cña lâi ®−îc m« t¶ trong mÉu giät. D−íi ¶nh h−ëng cña çc nucleon ngoµi, lâi thay ®æi d¹ng cña m×nh vµ cã thÓ dao ®éng. Çc nucleon ngoµi chuyÓn ®éng trong tr−êng cña lâi vµ ®Õn l−ît m×nh - kh¸c víi mÉu líp - lâi bÞ thay ®æi do t−¬ng t¸c víi çc nucleon ngoµi. Dùa trªn mÉu suy réng cã hai gi¶ thiÕt: Thø nhÊt lµ d¹ng c©n b»ng cña h¹t nh©n kh¸c xa sè magic lµ d¹ng elipxoit hoÆc d¹ng vËt quay phøc t¹p h¬n. §iÒu nµy cho phÐp nãi vÒ ®Þnh h−íng cña hÖ mét çch tæng qu¸t. Thø hai lµ ®iÒu kiÖn gi¸n ®o¹n mµ nhê nã sù quay kh«ng ph¸ vì d¹ng tr−êng thÕ tøc lµ quay chËm ®Õn møc mµ çc nuclon tu©n theo chuyÓn ®éng gi¸n ®o¹n. §iÒu kiÖn gi¸n ®o¹n cã thÓ viÕt nh− sau : E i n ⟩⟩ E vib ⟩⟩ E rot (1.74) ë ®©y , Ein ,Evib vµ Erot – lµ n¨ng l−îng cña çc l−îng tö trong chuyÓn ®éng néi t¹i, dao ®éng vµ chuyÓn ®éng quay. Tõ hÖ thøc (1.74) suy ra r»ng dao ®éng bÒ mÆt ph©n t¸ch çc møc liªn quan tíi chuyÓn ®éng néi t¹i cña çc nucleon thµnh çc møc gÇn nhau vµ tíi l−ît m×nh, çc møc gÇn nhau nµy l¹i t¸ch nhá n÷a d−íi ¶nh h−ëng cña chuyÓn ®éng quay cña h¹t nh©n. Trong tr−êng hîp nµy, chuyÓn ®éng cña h¹t nh©n cã thÓ t¸ch lµm 3 d¹ng ®éc lËp : chuyÓn ®éng néi t¹i, dao ®éng vµ quay. Hamilton cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng : Ĥ = Ĥ in + Ĥ vib + Ĥ rot 26 (1.75) vµ hµm sãng ψ ®−îc x¸c ®Þnh lµ tÝch cña ba hµm sãng: ψ = ψin* ψvib*ψrot (1.76) trong ®ã ψin, ψvib , ψrot t−¬ng øng lµ çc hµm riªng cña to¸n tö Hamilton néi t¹i, dao ®éng vµ quay Ĥ in , Ĥ vib , Ĥ rot . MÉu suy réng tr−íc hÕt gi¶i thÝch ®−îc çc tÝnh chÊt cña h¹t nh©n biÕn d¹ng mµ trong sè ®ã çc h¹t nh©n víi 150 < A < 190 vµ A > 226 ®−îc nghiªn cøu kh¸ ®Çy ®ñ. MÉu nµy gi¶i thÝch m«men tø cùc cña mét sè h¹t nh©n lín lµ v× çc nucleon bªn ngoµi cña çc h¹t nh©n nµy lµm biÕn d¹ng lâi cña chóng rÊt m¹nh vµ h¹t nh©n trë thµnh cã d¹ng kh«ng cÇu - lµ elipxoit - bÞ kÐo d·n hoÆc nÐn l¹i theo trôc ®èi xøng. H¹t nh©n bÞ biÕn d¹ng cã thÓ quay quanh trôc vu«ng gãc víi trôc ®èi xøng vµ ®iÒu nµy gi¶i thÝch çc møc quay ®−îc t×m thÊy trong thÝ nghiÖm. Çc møc t−¬ng øng víi sù dao ®éng còng ®−îc t×m thÊy trong thÝ nghiÖm. MÉu suy réng cho phÐp bæ sung vµo ph©n lo¹i møc h¹t nh©n - ®−a vµo kh¸i niÖm møc mét h¹t liªn quan tíi çc nucleon ë ngoµi bÞ kÝch thÝch, møc tËp thÓ (quay vµ dao ®éng) t−¬ng øng víi sù kÝch thÝch lâi h¹t nh©n. 1.4 Nh÷ng ®Æc tr−ng thèng kª cña h¹t nh©n nguyªn tö. Chóng ta chuyÓn sang nghiªn cøu mËt ®é tr¹ng th¸i vµ çc ®Æc tr−ng thèng kª kh¸c cña h¹t nh©n nguyªn tö. D−êng nh− lµ viÖc x¸c ®Þnh mËt ®é tr¹ng th¸i tõ hÖ thøc (1.2) lµ kh«ng thÓ v× kh«ng thÓ dïng chóng ®Ó tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i ë mÉu c¬ b¶n nhÊt lµ mÉu çc h¹t ®éc lËp. VÊn ®Ò lµ çc gi¸ trÞ riªng Ei cña ph−¬ng tr×nh Schrodinger ®èi víi mÉu nµy : ⎛ Ĥ 0 i ⟩ = ⎜ ∑ ε Z ν n̂ Z ν + ∑ ε ν ⎝ ν Nν ⎞ n̂ N ν ⎟ i ⟩ = E i ⟩ ⎠ (1.77) cã thÓ lµ nh− nhau víi çc hÖ cã sè h¹t kh¸c nhau. Nãi mét çch kh¸c, gi¶i ph−¬ng tr×nh (1.77) lµ t×m gi¸ trÞ riªng trïng víi gi¶i çc ph−¬ng tr×nh : Zˆ i ⟩ = ⎛⎜ ∑ n̂ Z ν ⎞⎟ i ⟩ = Z i i ⟩ ⎝ ν ⎠ 27 Λ N i ⟩ = ⎛⎜ ∑ n̂ N ν ⎞⎟ i ⟩ ⎝ ν ⎠ = Ni i ⟩ ë ®ã h¹t ®ang xÐt lµ proton Zi vµ n¬tron Ni. §Ó nghiªn cøu ®Æc tr−ng thèng kª cÇn thay ®æi ®Þnh nghÜa (1.2). MËt ®é tr¹ng th¸i h¹t nh©n nguyªn tö víi sè proton Z vµ sè n¬tron N ë n¨ng l−îng E ®· cho ®−îc x¸c ®Þnh b»ng biÓu thøc ω ( Z, N, E ) = ∑ δ( Z − Z i )δ( N − N i )δ( E − E i ) i (1.78) Trong biÓu thøc nµy, hai hµm δ ®Çu tiªn t¸ch ra tõ tËp hîp çc tr¹ng th¸i vi m« ⎢i > chØ nh÷ng gi¸ trÞ riªng Zi vµ Ni trïng víi sè proton Z vµ sè n¬tron N trong h¹t nh©n. §Ó ®¬n gi¶n chóng ta kh¶o s¸t hÖ gåm N h¹t mét lo¹i. Trong tr−êng hîp nµy, tõ (1.78) víi mËt ®é tr¹ng th¸i ω(N,E) ta sÏ cã : ω ( N, E ) = ∑ δ ( N − N i ) δ ( E − E i i ) (1.79) Çc gi¸ trÞ riªng Ni vµ Ei ®−îc x¸c ®Þnh tõ hÖ ph−¬ng tr×nh: ˆ i ⟩ = Ni i ⟩ N ⎫ ⎬ Ĥ i ⟩ = E i i ⟩ ⎭ (1.80) §Ó sö dông biÓu thøc (1.79) x¸c ®Þnh mËt ®é tr¹ng th¸i víi N vµ E ®· biÕt, cÇn ph¶i tÝnh ®¹i l−îng : 1 ∑ ∆N ∆E i N + ∆N / 2 ∫ N − ∆N / 2 dN E + ∆E / 2 ∫ E − ∆E / 2 dE δ ( N − N i )δ ( E − E i ) (1.81) §iÒu nµy cã nghÜa lµ tõ tËp hîp çc tr¹ng th¸i vi m«, cÇn lùa chän vµ tÝnh chØ nh÷ng tr¹ng th¸i mµ gi¸ trÞ riªng Ni vµ Ei n»m gÇn N vµ E trong kho¶ng (N-∆N/2, N + ∆N/2) vµ (E - ∆E/2, E + ∆E/2). Chia sè thu ®−îc cho tÝch sè ∆N*∆E, chóng ta sÏ thu ®−îc sè tr¹ng th¸i trong mét ®¬n vÞ n¨ng l−îng tøc lµ mËt ®é tr¹ng th¸i. Còng sö dông (1.81), chóng ta kh¶o s¸t vÝ dô ®¬n gi¶n lµ mét hÖ gåm N h¹t fermi ®éc lËp cïng lo¹i, víi phæ mËt ®é gi¸n ®o¹n kh«ng suy biÕn g. Tøc lµ 28 kho¶ng çch gi÷a chóng lµ h»ng sè vµ b»ng d = g-1. Tr−êng hîp khi tÊt c¶ çc tr¹ng th¸i mét h¹t thÊp nhÊt bÞ chiÕm t−¬ng øng víi tr¹ng th¸i c¬ b¶n cña hÖ. NÕu n¨ng l−îng tÝnh tõ ®¸y hè thÕ th× tr¹ng th¸i c¬ b¶n Eo cña hÖ cã n¨ng l−îng nh− sau : N E 0 = d ∑ n = dN ( N + 1) / 2 n =1 (1.82) N¨ng l−îng b»ng nöa tæng n¨ng l−îng cña tr¹ng th¸i lÊp ®Çy sau cïng vµ cña møc kh«ng lÊp ®Çy thÊp nhÊt trong tr¹ng th¸i c¬ b¶n gäi lµ n¨ng l−îng Fermi: εF = ( εN + εN+1 ) / 2 (1.83) §èi víi hÖ N h¹t víi phæ ph©n bè ®Òu: ε F = ( N + 1 / 2) d (1.83a) Tõ εF suy ra r»ng trong tr¹ng th¸i c¬ b¶n, tÊt c¶ çc tr¹ng th¸i mét h¹t thø ν víi εν < εF ®Òu bÞ chiÕm gi÷, cßn çc tr¹ng th¸i mét h¹t thø ν víi εν > εF lµ tù do. Râ rµng lµ hÖ ®−îc kh¶o s¸t cã thÓ ë tr¹ng th¸i kÝch thÝch chØ víi n¨ng l−îng: E i = E 0 + id (1.84) ë ®©y i – sè nguyªn d−¬ng. H×nh 1.6. Çc tr¹ng th¸i vi m« cña hÖ víi phæ tr¹ng th¸i mét h¹t biÓu kiÕn tõ N h¹t Fermi vµ cã n¨ng l−îng toµn phÇn b»ng E = E0 + 4d. ë bªn tr¸i lµ tr¹ng th¸i vi m« cña hÖ ë tr¹ng th¸i c¬ b¶n. 29 Chóng ta tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i cña hÖ nµy. Ta ®−a vµo (1.81) kho¶ng lÊy trung b×nh theo sè h¹t ∆N vµ theo n¨ng l−îng ∆E. Víi hÖ ®−îc kh¶o s¸t, tÊt nhiªn ta ®Æt ∆N =1 vµ ∆E = d - kho¶ng çch n¨ng l−îng gi÷a çc møc kÝch thÝch c¹nh nhau. Tr¹ng th¸i vÜ m« cña hÖ ®−îc x¸c ®Þnh b»ng sè h¹t N vµ n¨ng l−îng toµn phÇn E mµ ta ®· cè ®Þnh vµ chän lµ Ei = Eo + 4d. Tr¹ng th¸i vi m« cña hÖ hoµn toµn ®−îc x¸c ®Þnh b»ng sè tr¹ng th¸i mét h¹t bÞ lÊp ®Çy. Kh«ng chØ mét mµ mét vµi tr¹ng th¸i vi m« t−¬ng øng víi hÖ cã n¨ng l−îng kÝch thÝch U = E - EO > d. Trªn h×nh 1.6 lµ s¬ ®å tÊt c¶ çc tr¹ng th¸i vi m« xuÊt hiÖn trong hÖ khi U = 4d. Râ rµng lµ ë n¨ng l−îng nµy sè tr¹ng th¸i vi m« lµ 5. Nh− vËy cã 5 tr¹ng th¸i vi m« mµ tÊt c¶ ®Òu cã gi¸ trÞ n¨ng l−îng Ei = EO + 4d vµ chóng kh¸c nhau bëi hµm riªng lÊp ®Çy çc tr¹ng th¸i mét h¹t kh¸c nhau t−¬ng øng víi tr¹ng th¸i vÜ m« cã N vµ E = EO + 4d. Râ rµng lµ kh«ng cã çc tr¹ng th¸i vi m« trong kho¶ng n¨ng l−îng [(EO + 4d) - d/2, (EO + 4d) + d/2] . §Ó thu ®−îc mËt ®é tr¹ng th¸i t−¬ng øng víi biÓu thøc (1.81) cÇn chia sè nµy cho kho¶ng n¨ng l−îng trung b×nh ∆E = d, ta cã: ω (N, E = EO + 4d ) = 5/d = 5g VÝ dô ®−îc kh¶o s¸t thuéc vÒ hÖ ®¬n gi¶n nhÊt. §èi víi hÖ nh− vËy, ë n¨ng l−îng kÝch thÝch kh«ng lín, dÔ dµng tÝnh ®−îc sè tr¹ng th¸i vi m« trong kho¶ng d b»ng çch bá qua çc cÊu h×nh kh¶ dÜ, khi ë n¨ng l−îng cao víi môc ®Ých nµy cã thÓ sö dông çc hÖ thøc truy håi [22]. Tuy nhiªn bµi to¸n trë nªn phøc t¹p h¬n nhiÒu nÕu ®Æt vÊn ®Ò tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i cña hÖ cã Hamilton cña mÉu líp mét h¹t. §Ó lµm viÖc nµy chóng ta sö dông ph−¬ng ph¸p thèng kª ®−îc m« t¶ trong §1.1 vµ §1.2. Tr−íc hÕt ta biÕn ®æi Laplax ë phÇn bªn tr¸i vµ bªn ph¶i biÓu thøc (1.79): ∞ ∞ 0 0 ∫ dE∫ dN e −β E + α N ∞ ∞ o o ω ( N, E) = ∑ ∫ dE∫ dN e −β E + α N δ ( E − Ei ) δ( N − N i ) = ∑ e−β Ei + α Ni i i (1.85) 30 Trong c¬ chÕ thèng kª, ®¹i l−îng ®øng bªn ph¶i cña (1.85) ®−îc gäi lµ tæng thèng kª ®Çy ®ñ Q( β,α ) [1.10] mµ nã cã thÓ ®−îc viÕt d−íi d¹ng : Q (β , α ) = ∑ e − β E i + α N i ≡ ∑ i e − β Ĥ + α N̂ i ( ≡ Sp e − β Ĥ + α N̂ i ) (1.86) Nh− vËy phÐp biÕn ®æi Laplax ®· biÕn mËt ®é tr¹ng th¸i (1.79) sang tæng thèng kª ®Çy ®ñ. TÊt nhiªn r»ng phÐp biÕn ®æi Laplax ng−îc tõ Q(β,α) sÏ cho mËt ®é tr¹ng th¸i : 1 ω ( N, E ) = (2π i )2 víi β ' + i∞ ∫ β ' − i∞ α ' + i∞ dβ ∫ dα e α ' − i∞ βE−α N 1 Q (β, α ) = (2π i )2 β ' + i∞ ∫ β ' − i∞ S ( β, α ) = β E − α N + ln Q ( β, α ). α ' + i∞ dβ ∫ dα e S(β ,α ) (1.87) α ' − i∞ (1.88) HÖ thøc (1.87) ®−îc coi lµ c«ng thøc x¸c ®Þnh chÝnh x¸c mËt ®é tr¹ng th¸i ω(N,E) vµ bµi to¸n tÝnh ω(N,E) l¹i quay vÒ tÝnh tÝch ph©n (1.87). TÝch ph©n trong (1.87) cã thÓ tÝnh ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa. Khi sö dông ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa ®èi víi hµm nhiÒu biÕn phøc th× x¶y ra tr−êng hîp t−¬ng tù nh− tr−êng hîp mét chiÒu [11]. Trong vïng ®iÓm yªn ngùa víi çc to¹ ®é βO vµ αO, ta t¸ch hµm S(β,α) thµnh chuçi vµ giíi h¹n b»ng hai sè h¹ng kh«ng bÞ triÖt tiªu: ∂2S 1 ∂2 S 1 ∂2S 2 (β − β0 ) + (β − β0 ) (α − α0 ) + S (β, α) = S ( β0 , α0 ) + (α − α0 )2 (1.89) 2 2 ∂β ∂α 2 ∂β 2 ∂α ë ®©y ®¹o hµm bËc hai cña S theo α vµ β ®−îc tÝnh ë ®iÓm yªn ngùa β0 vµ α0 mµ täa ®é cña chóng ®−îc x¸c ®Þnh tõ ph−¬ng tr×nh: ∂ S ∂β = 0 ; ∂ S ∂α = 0 (1.90) hoÆc lµ sö dông (1.88): E = − ∂ ln Q ∂β ; N = ∂ ln Q ∂α 31 (1.91) Thay (1.89) vµo (1.87) vµ sö dông phÐp ®æi biÕn β = β0 + iy ; α =α0+ ix, ta thu ®−îc: ω (N , E ) = e S ( β 0 , α0 ) ∞ ⎡ ⎛ 1 ∂ 2S 2 ∂ 2S 1 ∞ 1 ∂ 2S 2 ⎞⎤ x + xy + y ⎟⎟⎥ ∫ dx ∫ dy exp ⎢ − ⎜⎜ 2 2 ∂ β ∂ α ∂ β ∂ α 2 2 (2π )2 −∞ −∞ ⎠⎦ ⎣ ⎝ (1.92) TÝch ph©n trong (1.92) ë d¹ng chung cã thÓ viÕt nh− sau: n2 ⎛ 1 n ⎞ ∫ ... ∫ exp ⎜ − ∑ a i j x i x j ⎟ dx 1 ,..., dx n = (2π ) D −∞ −∞ ⎝ 2 i, j ⎠ ∞ ∞ −1 2 (1.93) ë ®©y D - ®Þnh thøc cña ma trËn (aij). §iÒu nµy th−êng ®−îc chøng minh nhê sù biÕn ®æi trùc giao ma trËn (aÞj) cña çc tÝch ph©n chuyÓn ®éng sang d¹ng chÐo sau khi thu ®−îc tÝch ph©n b»ng tÝch çc tÝch ph©n Laplax mét líp (1.18). Sö dông (1.93) víi mËt ®é tr¹ng th¸i ω ( N, E ) cuèi cïng ta thu ®−îc: ω (N , E ) = exp [ S ( β 0 α 0 2π D )] (1.94) 1 2 ë ®©y ∂ 2 ln Q ∂β 2 D= 2 ∂ ln Q ∂β ∂α ∂ 2 ln Q ∂β ∂α ∂ 2 ln Q ∂α 2 α=α0 (1.95) S ( β 0 , α 0 ) = β 0 E − α 0 N + ln Q ( β 0 , α 0 ). (1.96) β =β 0 vµ S lµ entr«py cña hÖ: HÖ thøc (1.91) cã thÓ viÕt l¹i ë d¹ng kh¸c thuËn tiÖn h¬n khi ®−a vµo to¸n tö trung b×nh theo tæng thèng kª ®Çy ®ñ. Theo ®ã, trung b×nh to¸n tö thèng kª ¢ cã d¹ng [10]: ( ) ( Â = Sp Â e −β ( Ĥ − λ N̂ ) / Sp e −β ( Ĥ − λ N̂ ) 32 ) (1.97) ë ®©y λ = α/β. Khi ®ã víi to¹ ®é cña ®iÓm yªn ngùa ta thu ®−îc ph−¬ng tr×nh: E=− { [ ( { [ ( )]} = ) ]} ˆ exp − β H ˆ −λN ˆ 1 ∂Q Sp H ∂ ln Q = =− Q ∂β ∂β Sp exp − β Ĥ − λN̂ Ĥ (1.98a) ˆ N= N (1.98b) Dùa vµo viÖc x¸c ®Þnh çc gi¸ trÞ trung b×nh thèng kª (1.97) cho ®¹o hµm bËc hai trong (1.95) ta sÏ cã: 2 ∂ 2 ln Q 1 ∂ 2 ln Q 1 ⎛ ∂Q ⎞ = − 2⎜ ⎟ = Ĥ 2 − Ĥ 2 2 ∂β Q ∂β Q ⎝ ∂β ⎠ 2 ∂ 2 ln Q ˆ2 − N ˆ = N ∂α 2 2 ∂ ln Q ˆN ˆ − H ˆ N ˆ = H ∂β ∂β 2 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ (1.99) Trong tr−êng hîp chung, nÕu cÇn tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i ë n¨ng l−îng E vµ cã çc tÝch ph©n chuyÓn ®éng K1, ... Kτ , ®èi víi hÖ nh− vËy cã thÓ viÕt tæng thèng kª d−íi d¹ng nh− sau: τ Q ( β, α1 ,..., α τ ) = Sp ⎡exp ⎛⎜ − β Ĥ + ∑ α i K̂ i ⎢⎣ i =1 ⎝ ⎞⎟ ⎤ ⎠ ⎥⎦ (1.100) Çc täa ®é cña ®iÓm yªn ngùa β0, α01, ... , α0τ ®−îc t×m ra b»ng çch gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: E = Ĥ ; K i = K̂ i i = 1,2 ,...,τ víi (1.101) MËt ®é tr¹ng th¸i ®−îc x¸c ®Þnh b»ng biÓu thøc sau : ω ( E, K 1 ,..., K τ ) = (2π )( − τ +1 ) / 2 D −1 / 2 exp [ S ( β 0 , α 01 , ..., α 0 τ )] (1.102) ë ®©y D - ®Þnh thøc ma trËn ®−îc t¹o nªn tõ çc ®¹o hµm bËc hai cña lnQ theo β, α1..., ατ. ®−îc tÝnh t¹i ®iÓm yªn ngùa ; S - entr«py cña hÖ. τ S ( β 0 , α 01 ,..., α 0 τ ) = β 0 E − ∑ α 0 i K i + ln Q ( β 0 , α 01 ,..., α 0 τ i =1 33 ) (1.103) Trong phÇn kÕt luËn chóng ta sÏ nãi vÒ viÖc lùa chän tÝch ph©n chuyÓn ®éng. Çc ®¹i l−îng vËt lý b¶o toµn theo thêi gian ®−îc gäi lµ çc tÝch ph©n chuyÓn ®éng. Tõ ®Þnh luËt b¶o toµn sè khèi, ®iÖn tÝch, n¨ng l−îng, m«men gãc vµ ®é ch½n lÎ ®èi víi hÖ kÝn suy ra r»ng sù m« t¶ kh¶ dÜ nhÊt cña hÖ ®−îc giíi h¹n b»ng bµi to¸n sè h¹t proton Z vµ n¬tron N, n¨ng l−îng toµn phÇn E, m«men gãc J vµ ®é ch½n lÎ π. Khi ®ã bµi to¸n gi¸ trÞ ba tÝch ph©n chuyÓn ®éng ®Çu tiªn - Z, N vµ E - lµ cÇn thiÕt ®Ó tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i ω(Z,N,E): Çc gi¸ trÞ N vµ Z cè ®Þnh ®· biÕt ®Ó t¸ch h¹t nh©n cô thÓ ra khái tËp hîp çc h¹t nh©n, n¨ng l−îng E x¸c ®Þnh møc ®é kÝch thÝch cña h¹t nh©n ®−îc kh¶o s¸t. Th−êng th× ω(Z,N,E) ®−îc gäi lµ mËt ®é tr¹ng th¸i toµn phÇn cña h¹t nh©n. Víi mét h¹t nh©n cô thÓ, çc ®Æc tÝnh Z vµ N kh«ng ®−îc nh¾c tíi, vµ thay v× n¨ng l−îng toµn phÇn E ng−êi ta th−êng sö dông n¨ng l−îng kÝch thÝch U b»ng: U = E − E0 (1.104) ë ®©y E0 lµ n¨ng l−îng tr¹ng th¸i c¬ b¶n. Trong çc ph¶n øng h¹t nh©n, sù giíi h¹n liªn quan tíi tÝnh b¶o toµn cña m« men gãc ®ãng vai trß lín. V× thÕ rÊt quan träng nÕu biÕt sù phô thuéc cña mËt ®é tr¹ng th¸i vµo m«men gãc toµn phÇn J mµ nã th−êng ®−îc gäi lµ sù phô thuéc spin cña mËt ®é tr¹ng th¸i. Bëi v× m«men gãc mét h¹t lµ vect¬, cßn h×nh chiÕu cña nã ®¹i l−îng ®¹i sè nªn th−êng nghiªn cøu sù phô thuéc ω(Z, N, E, M) vµo h×nh chiÕu m«men gãc M trªn mét trôc cè ®Þnh. §Ó tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i ω( Z,N, E, J ) theo çc biÓu thøc ®· biÕt víi ω ( Z, N, E, M ) ng−êi ta sö dông hÖ thøc: ρ(Z, N, E, J) = ω ( Z, N, E, M = J ) − ω(Z, N, E, M = J +1) ≈ − ∂ω(Z, N, E, M) ∂M (1.105) M=J+1/ 2 x¸c ®Þnh mËt ®é møc ρ(Z, N, E, J). Sù kh¸c nhau ë çc thuËt ng÷ “mËt ®é tr¹ng th¸i” vµ “mËt ®é møc” liªn quan tíi viÖc t¸ch çc sè l−îng tö vÝ dô theo m«men ®éng l−îng trong tr−êng hîp ®· cho. C«ng thøc (1.105) cÇn ®−îc lý gi¶i. Çc tr¹ng th¸i cã J’ ≥ J cã ®ãng gãp vµo mËt ®é tr¹ng th¸i ω(Z, N, E, M=J), cßn çc 34 tr¹ng th¸i cã J’≥ J+1 cã ®ãng gãp vµo mËt ®é tr¹ng th¸i ω(Z, N, E, M=J+1). Khi trõ nhau (theo 1.105) ta thu ®−îc mËt ®é tr¹ng th¸i víi gi¸ trÞ J cè ®Þnh. Tuy nhiªn v× mçi tr¹ng th¸i víi J ®· cho sÏ t¸ch ra 2J + 1 lÇn theo h×nh chiÕu m«men gãc, nªn ®¹i l−îng ®−îc x¸c ®Þnh theo (1.105) ®−îc gäi lµ mËt ®é møc vµ ký hiÖu lµ ρ(Z,N,E, J). MËt ®é møc ρ(Z,N,E, J) liªn quan víi mËt ®é tr¹ng th¸i theo hÖ thøc: ω (Z , N , E, J ) = ( 2J + 1) ρ ( Z, N , E, J ) (1.106) cßn víi mËt ®é toµn phÇn ω(Z,N,E) liªn quan víi mËt ®é tr¹ng th¸i theo hÖ thøc sau: ω ( Z, N, E ) = ∑ ( 2J + 1 )ρ ( Z, N, E, J ) J (1.107) Trong ch−¬ng 5 sÏ kh¶o s¸t mËt ®é tr¹ng th¸i khi sè gi¶ h¹t kÝch thÝch cè ®Þnh. Tõ çc ®Þnh luËt b¶o toµn kh«ng suy ra ®−îc tÝch ph©n chuyÓn ®éng nh− sè gi¶ h¹t kÝch thÝch n. Song trong mÉu líp vµ mÉu h¹t nh©n siªu ch¶y, cã thÓ ®−a vµo ®¹i l−îng vËt lý ®−îc x¸c ®Þnh b»ng sè gi¶ h¹t kÝch thÝch vµ to¸n tö cña nã liªn hîp víi hµm to¸n tö Hamilton. Theo quan ®iÓm nh− vËy, ®¹i l−îng vËt lý nµy lµ tÝch ph©n chuyÓn ®éng vµ trong çc mÉu ®ã cã thÓ dÉn ra cña çc tr¹ng th¸i theo sè gi¶ h¹t kÝch thÝch. 35 Ch−¬ng 2 çc ®Æc tr−ng thèng kª cña h¹t nh©n trong mÉu çc h¹t ®éc lËp 2.1 Çc hÖ thøc c¬ b¶n : Chóng ta nghiªn cøu mËt ®é tr¹ng th¸i vµ çc ®Æc tr−ng thèng kª kh¸c cña h¹t nh©n nguyªn tö trong çc mÉu cô thÓ. ViÖc nghiªn cøu nµy ®−îc b¾t ®Çu tõ viÖc kh¶o s¸t d¹ng t−êng minh cña ω(U) trong mÉu çc h¹t ®éc lËp. §Ó ®¬n gi¶n tr−íc hÕt ta h·y tÝnh cho hÖ mét thµnh phÇn vµ nã sÏ ®−îc më réng ra víi h¹t nh©n nh− hÖ hai thµnh phÇn gåm proton vµ n¬tron. Chóng ta kh¶o s¸t hÖ gåm N h¹t Fermi cïng lo¹i chuyÓn ®éng trong mét tr−êng thÕ trung b×nh. Hamilton H0 vµ to¸n tö sè h¹t N cña hÖ nµy trong biÓu diÔn sè lÊp ®Çy cã d¹ng sau (xem çc c«ng thøc (1.70) vµ (1.71)): (2.1a) Ĥ o = ∑ ε ν a +ν a ν = ∑ ε ν n̂ ν ν ν N̂ = ∑ a +ν a ν = ∑ n̂ ν ν (2.1b) ν ë ®©y çc to¸n tö a+ν vµ aν tu©n theo hÖ thøc giao ho¸n (1.60), εν lµ n¨ng l−îng cña tr¹ng th¸i mét h¹t thø ν. Chóng ta t×m thÊy tæng thèng kª cña hÖ : [ ( )] Q(β, α ) = Sp exp − βĤ + αN = ∑ i exp⎛⎜ − β ∑ (ε ν − λ )n̂ ν ⎞⎟ i i ν ⎝ ⎠ (2.2) ë ®©y λ = α/β. Bëi v× çc hµm sãng ⎢i > lµ çc hµm riªng cña to¸n tö ∧ ∧ Η = ∑ (ε ν − λ ) n ν víi çc gi¸ trÞ riªng lµ ε i = ∑ (ε ν − λ )n ν (i) nªn Q(α,β) cã thÓ ν ν viÕt l¹i nh− sau : Q(β, α ) = ∑ exp ⎡ − β∑ (ε ν − λ )n ν (i )⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ i ν (2.3) Víi nν(i) b»ng 0 vµ 1, tæng trong (2.3) ®−îc tÝnh cho tÊt c¶ çc tr¹ng th¸i kh¶ dÜ cña hÖ. §iÒu ®ã cã nghÜa r»ng trong tæng ph¶i tÝnh lµ mçi tr¹ng th¸i mét h¹t thø ν lµ bÞ chiÕm khi nν(i)=1 hay tù do khi nν(i) = 0. Nh− vËy ta cã: Q(β, α ) = {1 + exp[− β(ε1 − λ )]}×{1 + exp[− β(ε 2 − λ )]}... × {1 + exp[− β(ε ν − λ )]} = = ∏ {1 + exp[− β(ε 2 + α )]} ν (2.4) 36 ln Q (β , α ) = ∑ ln [1 + exp (− βε ν + α )] (2.5) ν Chóng ta ®· thu ®−îc kÕt qu¶ rÊt quan träng: chuyÓn tõ tæng theo çc tr¹ng th¸i cña hÖ trong (2.2) sang tæng theo çc tr¹ng th¸i mét h¹t (2.5). Chóng ta tÝnh gi¸ trÞ trung b×nh cña sè lÊp ®Çy çc tr¹ng th¸i mét h¹t thø ν. Nhê (1.97), dùa trªn çc hÖ thøc (2. 2) vµ (2.5) ta thu ®−îc: n ν = n̂ ν = ( [ ( ( [ ( )]) = − ∂ ln Q = {1 + exp [β (ε )]) β ∂ (ε − λ ) Sp n̂ ν exp − β Ĥ − λ N̂ Sp exp − β Ĥ − λ N̂ − λ )]} −1 ν ν (2.6) Çc ph−¬ng tr×nh (1.91) ®Ó x¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm yªn ngùa β0, α0 cã d¹ng: E = − N = ευ ∂ ln Q = ∑ = ∑ ενnν ν 1 + exp [β (ε ν ∂β ν − λ )] ∂ ln Q 1 = ∑ = ∑ nν ν 1 + exp [β (ε ν ∂α ν − λ )] (2.7a) (2.7b) vµ ta còng dÔ dµng thu ®−îc biÓu thøc ®èi víi entr«py S vµ çc ®¹o hµm bËc 2 cña lnQ theo α vµ β: S = βE − αN + ∑ln[1 + exp(− βεν + α)] = ∑[β(εν − λ)nν − ln(1 − nν )] (2.8) ν ν ∂ 2 ln Q = ∑ ε 2ν n ν (1 − n ν ) 2 ν ∂β (2.9a) ∂ 2 ln Q = ∑ ε ν n ν (1 − n ν ) ν ∂α∂β (2.9b) ∂ 2 ln Q = ∑ n ν (1 − n ν ) ν ∂α 2 (2.9c) Çc gi¸ trÞ trªn sÏ tÝnh ®−îc khi thu ®−îc β vµ α tõ nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh (2.7). Chóng ta ®· t×m ra tÊt c¶ çc hÖ thøc cÇn thiÕt ®Ó tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i cña hÖ ω(N,E). Tõ trªn suy ra r»ng nÕu víi hÖ cã phæ çc tr¹ng th¸i mét h¹t ®· biÕt, cÇn thiÕt ®Ó x¸c ®Þnh ω(U) th× ph¶i thùc hiÖn çc viÖc sau : 1. Víi N vµ E ®· cho, tõ (2.7) t×m ®−îc çc to¹ ®é ®iÓm yªn ngùa β0 vµ α0.. 2. Nhê β0 vµ α0 , theo çc c«ng thøc (2.8) vµ (2.9) tÝnh entr«py S cña hÖ vµ çc ®¹o hµm bËc hai lnQ theo β vµ α. 37 3. Thay thÕ S vµ çc ®¹o hµm bËc 2 vµo (1.94), tÝnh ω(N,E) - mËt ®é tr¹ng th¸i cña hÖ gåm N h¹t Fermi ®éc lËp ë n¨ng l−îng toµn phÇn E ®· cho. Ta nhËn thÊy r»ng çc tÝnh chÊt thèng kª cña hÖ mµ tõ ®ã biÕt ®−îc sù phô thuéc n¨ng l−îng cña çc ®¹i l−îng β, α, S vµ ω thùc tÕ phô thuéc vµo phæ çc tr¹ng th¸i mét h¹t εν. 2.2 MÉu khÝ Fermi Ta thu ®−îc mËt ®é tr¹ng th¸i ω(N,E) ®èi víi hÖ N h¹t Fermi ®éc lËp cã n¨ng l−îng E khi gi¶ thiÕt r»ng phæ mËt h¹t cña nã lµ kh«ng suy biÕn, ph©n bè çch ®Òu vµ cã mËt ®é g. §Ó tÝnh çc ®Æc tr−ng thèng kª, chóng ta sÏ sö dông gÇn ®óng liªn tiÕp b»ng çch thay tæng theo çc tr¹ng th¸i mét h¹t b»ng tÝch ph©n theo çc tr¹ng th¸i mét h¹t tøc lµ ∑ → g ∫ dε . T−¬ng øng víi (2.5), ®èi víi ν logarit tæng thèng kª lnQ(β,α) ta cã: ∞ ln Q(β, α) = ∑ ln[1 + exp(−βε ν + α)] = g ∫ ln[1 + exp(−βε + α)]dε (2.10) ν 0 Trong (2.10) ®iÓm gèc n¨ng l−îng ε ®−îc chän sao cho çc gi¸ trÞ n¨ng l−îng mét h¹t lu«n d−¬ng (ε ≥ 0), tøc lµ n¨ng l−îng b»ng 0 ë ®¸y hè thÕ. BiÓu thøc (2.10) ®−îc biÕn ®æi thµnh: α. / β lnQ(β,α) = g α/ β ∞ ∫ (α −βε)dε + g ∫ln[1+ exp(βε−α)]dε +g ∫ln[1+ exp(−βε+ α)]dε o (2.11) α/ β o TÝch ph©n thø hai trong (2.11), khi ®æi biÕn x = α - βε sÏ cã d¹ng: α/β ∫ ln[1 + exp(βε − α )] o 1α dε = ∫ ln(1 + e − x ) dx βo gi¸ trÞ tÝch ph©n nµy khi α→ ∞ sÏ tiÕn ®Õn π2/12 [9], cßn víi tÝch ph©n thø ba ∞ chóng ta thu ®−îc: ∫ ln[1 + exp(α − βε )]dε = α /β π2 12β Nh− vËy ë gÇn ®óng a >> 1 ®èi víi lnQ(β,α) ta cã: ln Q(β, α ) = gα 2 /(2β) + π 2 g /(6β 02 ) (2.12) HÖ çc ph−¬ng tr×nh ®Ó x¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm yªn ngùa β0, α0 trong tr−êng hîp nµy cã d¹ng: ( ) ( ) E 0 = −∂ ln Q / ∂β = gα 02 / 2β 02 + π 2 g / 6β 02 38 (2.13a) N = ∂ ln Q / ∂α = gα 0 / β 0 (2.13b) Chóng ta t×m mèi liªn hÖ gi÷a β0 , α0 vµ n¨ng l−îng Fermi εF. §Ó lµm ®iÒu ®ã ta sö dông c«ng thøc tÝnh sè h¹t N vµ n¨ng l−îng E0 ë tr¹ng th¸i c¬ b¶n cña hÖ: E0 = εF ∑ ν εν = g εF ∫ ε dε = ν ε ε F g ε 2F 2 (2.14a) F N = ∑ 1 = g ∫ dε = gε F ν (2.14b) 0 Tõ (2.13b) vµ (2.14b) ta thÊy r»ng α0= β0εF vµ ph−¬ng tr×nh (2.13a) cã d¹ng: U = ( E − E 0 ) = a / β02 = at 2 (2.15) ë ®©y a = (π2/6)g - th«ng sè mËt ®é møc ; t = β0-1 - nhiÖt ®é cña hÖ. Ta thu ®−îc ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i næi tiÕng cña mÉu khÝ Fermi [10]. Ta tÝnh Entr«pi S cña hÖ: S = β E − α N + ln Q (β, α ) = βE − α N + gα 2 / (2β ) + a / β Sö dông hÖ thøc (2.13) vµ (2.15) ta thu ®−îc: S = 2β 0 U = 2 aU (2.16) Çc ®¹o hµm bËc hai cña lnQ cã d¹ng: ∂ 2 ln Q ∂β2 = g α2 β3 + π 2g 3β3 ; ∂ 2 ln Q ∂α 2 ∂ 2 ln Q vµ ®Þnh thøc D b»ng: D= ∂β2 ∂ 2 ln Q ∂β ∂α = g β ∂ 2 ln Q gα = − ∂β ∂α β2 ; ∂ 2 ln Q ∂β ∂α = ∂ 2 ln Q ∂α 2 β =β0 π 2g 2 3β04 = 12 U 2 π2 (2.17) α =α 0 Thay çc gi¸ trÞ (2.16) vµ (2.17) vµo (1.94) ®èi víi mËt ®é tr¹ng th¸i ω(N,E)= ω(U) ta sÏ cã: ω( U) = exp(2 aU ) /( 48 × U) 39 (2.18) C«ng thøc (2.18) ®−îc viÕt d−íi d¹ng kh¸c: ⎛ π2 ⎞ exp⎜ 2 gU ⎟ ⎜ ⎟ 6 ⎝ ⎠ ω( U) = g = g p( n ) 48 (gU) ë ®©y ®· ®−a vµo çc sè n = gU , p ( n ) = exp[ 2 ( π 2 / 6 ) n ] / ( 48 n ) . Çch viÕt nh− vËy cho phÐp ®−a vÒ d¹ng (2.18). Thõa sè g ®Çu tiªn chÝnh lµ mËt ®é møc cña hÖ. Trong tr−êng hîp ®ang kh¶o s¸t, nã trïng víi mËt ®é çc tr¹ng th¸i mét h¹t. §iÒu tÊt yÕu ®ã ®−îc kh¶o s¸t kh¸ kü ë trong môc $1.4 (c«ng thøc 1.84). Thõa sè thø hai lµ sù suy biÕn møc cña hÖ ë n¨ng l−îng kÝch thÝch b»ng U. Ta nhËn ®−îc biÓu thøc ®èi víi suy biÕn p(n) ®Çu tiªn ë [23] khi gi¶i quyÕt vÊn ®Ò thuÇn tuý to¸n häc ®Ó x¸c ®Þnh gi¸ trÞ tiÖm cËn cña tæ hîp P(n) cña sè nguyªn n thµnh çc sè h¹ng nguyªn ®éc lËp víi bËc cña chóng. Bµi to¸n nµy tá ra liªn quan chÆt chÏ tíi sù x¸c ®Þnh sè tr¹ng th¸i cña hÖ Fermi ë n¨ng l−îng kÝch thÝch ®· cho U. Thùc vËy, trong vÝ dô ®−îc nghiªn cøu ë môc 1.4 ®· thu ®−îc r»ng sè tr¹ng th¸i víi phæ ®· biÕt khi U = 4d lµ b»ng 5. Khi ®ã dÔ d¹ng coi tæng çc sè nguyªn b»ng sè tæ hîp sau : 4 = 1+3 = 2+2 = 1+1+2 = 1+1+1+1 tøc lµ sè tæ hîp b»ng 5 hay P(4) = 5. Trong çc hÖ qu¶ cña c«ng thøc (2.18) ®· sö dông gÇn ®óng α0= εFβ0 >>1 mµ nã th−êng ®−îc gäi lµ sù gÇn ®óng nhiÖt ®é thÊp. Tõ ®ã suy ra r»ng t = β0-1 nhá h¬n nhiÒu so víi n¨ng l−îng Fermi. Bëi v× víi h¹t nh©n, εF ≅ 35MeV nªn bÊt ®¼ng thøc t << εF lu«n tho¶ m·n tèt ë vïng n¨ng l−îng kÝch thÝch réng. Trong c«ng thøc (2.18) kh«ng cã sù phô thuéc râ rµng cña ω(U) vµo sè h¹t N cña hÖ. §ã lµ v× hai gÇn ®óng sau : Thø nhÊt lµ trong çc hÖ qu¶ ®· sö dông sù gÇn ®óng nhiÖt ®é thÊp. Thø 2 - ®iÒu quan träng nhÊt lµ chóng ta kh¶o s¸t hÖ víi phæ mét h¹t ph©n bè ®Òu. MËt ®é tr¹ng th¸i mét h¹t g kh«ng phô thuéc n¨ng l−îng lµ th«ng sè duy nhÊt ®Æc tr−ng cho hÖ. Nh− sÏ ®−îc chøng minh trong $2.4, trong tr−êng hîp hÖ cã phæ líp vá kh«ng ®ång nhÊt sÏ xuÊt hiÖn sù phô thuéc rÊt m¹nh cña çc ®Æc tr−ng thèng kª vµo N. Trªn h×nh 2.1 ®−a ra sù phô thuéc n¨ng l−îng cña mËt ®é tr¹ng th¸i cña hÖ cã phæ ph©n bè ®Òu. Râ rµng lµ ®èi víi tÊt c¶ çc n¨ng l−îng kÝch thÝch U b¾t ®Çu tõ U = 5/g, c«ng thøc (2.18) ®−a l¹i gi¸ trÞ chÝnh x¸c cho mËt ®é tr¹ng th¸i. §ång thêi nh− ®· nªu trong §1.2 khi U → 0 mËt ®é tr¹ng th¸i ω(U) ®−îc tÝnh theo ph−¬ng ph¸p ®iÓm yªn ngùa sÏ tiÕn tíi ∞ tøc lµ tr¸i ng−îc râ rµng víi tÝnh to¸n chÝnh x¸c. 40 H×nh 2.1. Sù phô thuéc ω(U) ®èi víi hÖ h¹t Fermi cã phæ mét h¹t gi¸n ®o¹n: §−êng liªn tôc: TÝnh theo (2.18) ; §−êng bËc thang: TÝnh theo sè tæ hîp; N¨ng l−îng kÝch thÝch U ®−îc ®o trong ®¬n vÞ d = g-1. Tuy nhiªn çc ®Æc tr−ng thèng kª kh¸c nh− entr«py S vµ c¶ ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i (2.15) thÓ hiÖn mèi quan hÖ n¨ng l−îng cña tr¹ng th¸i víi mËt ®é sÏ “tù ®óng” khi U = 0. “Sù kh«ng ®óng” tøc lµ d¹ng mËt ®é tr¹ng th¸i tr¸i ng−îc gi÷a lý thuyÕt vµ tÝnh to¸n chÝnh x¸c ®−îc lý gi¶i lµ do cã thõa sè tr−íc hµm e mò tû lÖ víi U-1 vµ nã sÏ tiÕn tíi ∞ khi U → 0. Chóng ta tÝnh sè tr¹ng th¸i trung b×nh n xuÊt hiÖn trong hÖ ë n¨ng l−îng kÝch thÝch U b»ng tæng sè h¹t vµ lç trèng kÝch thÝch : ∞ εF ( dε = 2 6 ln 2 / π ε F 1 + exp [β (ε − ε F )] ∞ n = 2 g ∫ n ( ε )dε = 2 g ∫ ) gU ≈ 1 .08 gU (2.19) Trong (2.19), tÝch ph©n ®−a l¹i gi¸ trÞ trung b×nh cña sè h¹t kÝch thÝch víi n¨ng l−îng ε > εF vµ thõa sè 2 thÓ hiÖn lµ cø mçi lÇn sinh ra mét h¹t sÏ t−¬ng øng sinh ra mét lç trèng víi ε > εF. 2.3 Sù phô thuéc spin cña mËt ®é tr¹ng th¸i h¹t nh©n. Chóng ta xem xÐt mÉu h¹t nh©n mµ çc hÖ thøc cña nã hiÖn nay ®−îc sö dông réng r·i ®Ó m« t¶ mËt ®é tr¹ng th¸i. Trong mÉu nµy, h¹t nh©n nh− mét hÖ ®−îc ®Æc tr−ng b»ng sè proton Z vµ sè n¬tron N, n¨ng l−îng toµn phÇn E vµ h×nh chiÕu m« men quü ®¹o M trªn trôc cè ®Þnh. Chóng ta còng gi¶ thiÕt r»ng phæ cña tr¹ng th¸i mét h¹t lµ ph©n bè ®Òu vµ cã mËt ®é gZ vµ gN ®èi víi çc thµnh phÇn proton vµ n¬tron t−¬ng øng. Ngoµi ra cßn gi¶ thiÕt lµ çc phæ mét h¹t sÏ suy biÕn bËc hai theo dÊu cña h×nh chiÕu cña m«men mét h¹t mZ vµ mN , gi¸ trÞ cña chóng kh«ng phô thuéc vµo chØ sè ν. Cã thÓ thÊy r»ng phæ mét h¹t nh− vËy lµ qu¸ “nh©n t¹o” vµ sÏ “tù nhiªn” h¬n nÕu gi¶ thiÕt mZ = mN = 1/2 tøc lµ kh¶o s¸t phæ mét h¹t t¸ch ®«i theo spin. Tuy nhiªn khi ®ã xuÊt hiÖn çc hÖ sè bæ sung do cã m = 1/2 vµ chÝnh sù phô thuéc ®Æc tr−ng thèng kª vµo h×nh chiÕu m«men gãc mét h¹t m bÞ triÖt tiªu. Chóng ta l−u ý lµ trong tr−êng hîp ®−îc kh¶o s¸t, mËt ®é tr¹ng th¸i mét h¹t gZ,N kh«ng b»ng víi mËt ®é møc mét h¹t ~ g Z , N mµ b»ng ~ g Z , N /2. 41 Trong mÉu nµy, hÖ proton vµ n¬tron ®éc lËp - theo ý nghÜa lµ Hamilton cña h¹t nh©n (1.70) lµ tæng çc Hamilton cña nhãm proton vµ n¬tron. Khi ®ã l«garit tæng thèng kª cña h¹t nh©n b»ng tæng çc l«garit cña tæng thèng kª cña çc nhãm nãi trªn. Bëi v× to¸n tö h×nh chiÕu m«men gãc cña hÖ M cã d¹ng: ∧ ∧ ∧ ∧ M = ∑ m Z ν n Z ν + ∑ m N ν n N ν vµ giao ho¸n víi H 0 tøc lµ h×nh chiÕu m«men gãc ν ν lµ tÝch ph©n chuyÓn ®éng nªn t−¬ng tù víi hÖ qu¶ cña c«ng thøc (2.5) ®èi víi lnQ cña c¶ hÖ thu ®−îc: ln Q(β, α Z , α N , κ ) = ∑ ln[1 + exp (− βε Z ν + α Z + κm Z ν )] + + ∑ ln[1 + exp(− βε N ν + α N + κm N ν )] = ν ν g ∞ g ∞ = Z ∫ ln[1 + exp(− βε + α Z + κm Z )]dε + Z ∫ ln[1 + exp(− βε + α Z − κm Z )]dε + 2 0 2 0 ∞ g g ∞ + N ∫ ln[1 + exp(− βε + α N + κm N )]dε + N ∫ ln[1 + exp(− βε + α N − κm N )]dε 2 0 2 0 (2.20) ë ®©y ®· sö dông phÐp gÇn ®óng liªn tiÕp, khi céng theo ν ®· t¸ch çc tæng cã h×nh chiÕu m«men mét h¹t mZ vµ mN cã gi¸ trÞ d−¬ng vµ ©m ra. Trong sè çc tÝch ph©n trong (2.20) chóng ta h·y xÐt mét vÝ dô nh− tÝch ph©n ®Çu tiªn cã thÓ biÕn ®æi ë d¹ng: ∞ (α Z + κm Z ) / β 0 0 I = ∫ ln [1 + exp (− βε + α Z + κ m Z )]d ε = + + (α Z + κm Z ) / β ∫ ( α Z + κ m Z − βε ) d ε + ∫ ln[ 1 + exp( βε − α Z − κ m Z )]d ε + (2.21) 0 0 ∫ ln[ 1 + exp( − βε + α Z + κ m Z )]d ε (α Z + κm Z ) / β Khi tÝnh tÝch ph©n trong (2.21), ta gi¶ thiÕt r»ng (α + kmZ) >> 1 tøc lµ ta l¹i sö dông gÇn ®óng nhiÖt ®é thÊp. Khi ®ã dÔ dµng chøng tá r»ng khi thay thÕ biÕn x = az + kmZ - βε vµ x = βε - αZ - kmZ , çc tÝch ph©n thø 2 vµ thø 3 trong (2.21) ®Òu b»ng π2/(12β). Nh− vËy ta thu ®−îc: I = (αZ + kmZ)2/(2β) + π2/(6β) (2.22) Çc gi¸ trÞ cña çc tÝch ph©n cßn l¹i trong (2.20) víi ®é chÝnh x¸c ®Õn dÊu cña km trïng víi (2.22). Víi lnQ chóng ta cã: 42 ln Q = 2 g Z (α Z + κm Z ) 4β + 2 g Z (α Z − κm Z ) 4β π gN π2 g Z g (α + κm N ) + + + N N 6β 4β 2 2 g N (α N − κm N ) + 4β 6β 2 + = = (2.23) g Z α 2Z g N α 2N α κ 2 gm 2 + + + β 2β 2β 2β ë ®©y ®−a vµo çc biÓu diÔn: g = gZ + gN ( ) π2 1 ; a= g ; m 2 = m 2 Z g Z + m 2N g N . g 6 (2.24) HÖ ph−¬ng tr×nh ®Ó x¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm yªn ngùa cã d¹ng: ln Q g Z α 2Z g N α 2N α κ 2 gm 2 = + + 2+ E=− ∂β β 2β 2 2β 2 2β 2 (2.25a) Z = ∂ ln Q / ∂α Z = g Z α Z / β; (2.25b) N = ∂ ln Q / ∂ α N = g N α N / β (2.25c) M = ∂ ln Q / ∂κ = κ g m2 / β; (2.25d) Khi sö dông çc hÖ thøc ®èi víi tr¹ng th¸i c¬ b¶n cña hÖ: Z = g Z ε FZ ; N = g N ε FN ; E0 = g Z ε 2F Z 2 + g N ε 2F N 2 vµ hÖ thøc K = Mβ /(g m 2 ) mµ nã ®−îc suy ra tõ (2.25g), kh«ng khã kh¨n g× chóng ta cã thÓ thu ®−îc ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i: ( ) U − M 2 2g m 2 = a β 2 = a t 2 (2.26) ë ®©y t = β-1 , U = E – E0 – n¨ng l−îng kÝch thÝch. Entr«py cña hÖ cã d¹ng: [ ( )] S = βE − α Z Z − α N N − κM + ln Q = 2at = 2 a U − M 2 2g m 2 . (2.27) chóng ta ®−a vµo biÓu thøc ®èi víi ®¹o hµm bËc 2 cña lnQ theo β, αZ, αN vµ K: 43 ∂ 2 ln Q g Z α 2Z g N α 2N κ 2 g m 2 2a = 3 + + + 3; ∂β 2 β β3 β3 β 2 2 ∂ ln Q g Z ∂ ln Q g N ∂ 2 ln Q g m 2 = = = ; ; ; ∂α 2 β ∂β 2 β ∂κ 2 β g α g Zα Z ∂ 2 ln Q ∂ 2 ln Q =− 2 =− N2N ; ; ∂β ∂α Z β ∂β ∂α N β 2 2 2 2 2 ∂ ln Q κ gm ∂ ln Q ∂ ln Q ∂ 2 ln Q =− ; = = = 0. ∂β ∂κ β2 ∂α Z ∂α N ∂α Z ∂κ ∂α N ∂κ §Þnh thøc ma trËn cña çc ®¹o hµm bËc 2 tÝnh t¹i ®iÓm yªn ngùa lµ: D = 2 gg Z g N a m 2 / β 6 . th−êng sö dông gÇn ®óng gZ = gN = g/2. Khi ®ã: ( ) ( ) ( 3 ) [ 3 ( )] / 2 D = 6 π2 a 4 m2 / 2β6 = 6 π2 m2a U − M2 / 2gm2 3 (2.28) Thay (2.27) vµ (2.28) vµo (1.102) ®èi víi mËt ®é tr¹ng th¸i ω( Z,N,E,M ) = = ω ( U, M) ta thu ®−îc : [ ( )] 12 2gm [U − M / (2gm )] ⎧ ⎫ exp⎨ 2 a U − M 2 / 2gm2 ⎬ ⎩ ⎭ ω(U, M) = 2 2 2 3 2 (2.29) BiÓu thøc ®èi víi mËt ®é tr¹ng th¸i ë d¹ng (2.29) kh«ng phô thuéc vµo Z vµ N, vµ mäi ®Æc tr−ng cña hÖ trong ω chØ thÓ hiÖn qua mËt ®é tr¹ng th¸i mét h¹t tæng céng g = gZ + gN vµ trung b×nh b×nh ph−¬ng h×nh chiÕu cña m« men mét h¹t m 2 = (gZm2Z + gNm2N)/g. KÕt qu¶ nµy lµ do gi¶ thiÕt vÒ phæ mét h¹t ph©n bè ®Òu vµ gÇn ®óng nhiÖt ®é thÊp t = β-1 << εFZ, t <<εFN . Trong h¹t nh©n nguyªn tö, phæ çc tr¹ng th¸i mét h¹t kh«ng ph¶i lµ ph©n bè ®Òu. Trong gÇn ®óng liªn tiÕp, mËt ®é tr¹ng th¸i cña h¹t phô thuéc vµo n¨ng l−îng vµ h×nh chiÕu m« men mét h¹t g(ε,m), ®èi víi ω(Z,N,E,M) cã thÓ thu ®−îc biÓu thøc (2.29) [3]. Khi ®ã çc th«ng sè cña hÖ g vµ m2 ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: g = gZ + gN ( m 2 = g Z m 2Z + g N m 2N (2.30a) ) g (2.30b) ë ®©y: 44 +∞ g τ = ∫ g τ (ε F τ , m τ ) dm τ (2.31a ) −∞ +∞ m 2τ = ∫ m 2τ g (ε F τ , m τ ) dm −∞ τ / gτ (2.31b) víi τ = Z hoÆc N. Nh− vËy mËt ®é tr¹ng th¸i h¹t nh©n trong mÉu khÝ Fermi ®−îc x¸c ®Þnh b»ng hai th«ng sè : mËt ®é tr¹ng th¸i mét h¹t g hoÆc mËt ®é møc a = (π2/6)/g vµ trung b×nh cña b×nh ph−¬ng h×nh chiÕu m« men mét h¹t m 2 . Chóng ta sÏ t×m ra mèi liªn hÖ cña çc ®¹i l−îng nµy víi sè nucleon [24, 25]. §iÒu nµy kh«ng khã thùc hiÖn trong gÇn ®óng gi¶ h¹t khi gi¶ thiÕt r»ng h¹t nh©n bao gåm çc nucleon cã khèi l−îng µ chuyÓn ®éng trong hè thÕ h×nh cÇu cã ®é s©u v« h¹n b¸n kÝnh R = r0A1/3. §iÒu kiÖn l−îng tö ho¸ ®èi víi h¹t kh«ng cã spin liªn quan tíi sè l−îng tö chÝnh n tøc lµ sè thø tù cña møc mét h¹t víi m« men quü ®¹o l vµ n¨ng l−îng mét h¹t ε cã d¹ng lµ [4]: R 2µε (l +1/ 2)2 ⎛ 1⎞ 1 dr − ⎜ n + ⎟ π = ∫ pdr = ∫ (2.32) 2 2 2 h h r ⎝ ⎠ rmin ë ®©y rmin - gi¸ trÞ b¸n kÝnh trong ®ã xung l−îng p tiÕn tíi 0. LÊy tÝch ph©n trong (2.32) ta thu ®−îc: 2 ⎛ (l + 1 / 2) h ⎞⎤ 1 1 ⎡ 2µ ε R 2 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⎥ n+ = ⎢ − l + l arccos − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2µε R ⎟⎥ 2 π⎢ h2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ (2.33) MËt ®é tr¹ng th¸i mét h¹t sÏ lµ: g (ε , l ) = g S (2 l + 1 )dn / d ε (2.34) Thõa sè ®Çu tiªn trong (2.34) ®−îc x¸c ®Þnh b»ng biÓu diÔn cña spin vµ spin ®ång vÞ. §Ó ®¬n gi¶n ta gi¶ thiÕt r»ng h¹t nh©n bao gåm sè h¹t proton vµ n¬tron b»ng nhau : Z = N = A/2. V× thÕ gs = 4. Thõa sè thø hai dn/dε lµ mËt ®é møc mét h¹t, thõa sè (2l+1) tÝnh ®Õn sù suy biÕn theo m« men quü ®¹o cña mçi møc mét h¹t. Khi ®¹o hµm (2.33) theo ε vµ thay vµo (2.34) ®èi víi g(ε, l) ta thu ®−îc: ⎛ 1⎞ ⎜l + ⎟ 4 ⎛ 1⎞ 2µε ⎝ 2 ⎠ g(ε, l) = ⎜ l + ⎟ R − πε ⎝ 2 ⎠ h2 R2 2 Chóng ta sÏ t×m ra ®−îc mËt ®é tr¹ng th¸i mét h¹t: 45 (2.35) g (ε ) = l max 4 ε ∫ g (ε , l ) dl = 3 π 0 ⎛ 2µ R 2 ⎜ ⎜ h2 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 3 2 (2.36) Giíi h¹n trªn lmax trong (2.36) ®−îc chän tõ ®iÒu kiÖn lµ khi l = lmax th× xung l−îng [ c¨n thøc trong (2.35)] b»ng 0. Sè nucleon tæng céng cña h¹t nh©n trong tr¹ng th¸i c¬ b¶n b»ng: 8 ⎛ 2µεF R 2 ⎞ ⎟ A = ∫ g(ε)dε = ⎜⎜ 2 ⎟ π 9 0 ⎠ ⎝ h εF 3 2 (2.37) Tõ ®ã, víi n¨ng l−îng Fermi εF ta cã: 2 3 h2 ⎛ 9πA⎞ εF = ⎜ ⎟ 2µR2 ⎝ 8 ⎠ (2.38) Thay (2.38) vµo (2.36), ®èi víi mËt ®é tr¹ng th¸i mét h¹t ë n¨ng l−îng Fermi (εF) ta thu ®−îc: g(εF ) = vµ th«ng sè a sÏ lµ: 4µ r02 (3π ) 2 1 2 2 A (2.39) h π2 ⎛ π⎞ a = g (εF ) = ⎜ ⎟ 6 ⎝ 3⎠ 4 3 2µ r 20 A A = 13,5 h2 (2.40) ë ®©y a ®−îc biÓu thÞ trong ®¬n vÞ MeV-1. Ta thu ®−îc ®¸nh gi¸ míi nhÊt trong (2.40) ë r0=1,2φm. Chóng ta ®¸nh gi¸ trung b×nh cña b×nh ph−¬ng h×nh chiÕu cña m« men mét h¹t m 2 ë n¨ng l−îng Fermi. Do tÝnh ®èi xøng cÇu cña hè thÕ : m 2 1 1 = l2 = 3 g (ε F ) 3 l max· ∫l 2 g (ε F , l ) dl (2.41) 0 Thay (2.35) vµo (2.41) vµ tÝch ph©n theo l ta thu ®−îc m 2 2 µ l 02 5 / 3 ℑ TB g (ε F ) = A = 2 5 h2 h (2.42) ë ®©y ℑTB = (2/5)µr20A5/3 - m« men qu¸n tÝnh cña vËt r¾n h×nh cÇu cã khèi l−îng m = µA vµ b¸n kÝnh R = r0A1/3. Do vËy cã thÓ coi ®¹i l−îng M2/2g m 2 ) trong c«ng thøc (2.26) nh− n¨ng l−îng quay, vµ m 2 g theo ®¸nh gi¸ b¸n cæ ®iÓn (2.42) trïng víi m«men qu¸n tÝnh cña vËt r¾n h×nh cÇu. Tõ (2.42) hoµn toµn cã thÓ thu ®−îc : 46 2 m 2 2 ( 9π) 3 2/ 3 = A ≈ 0,31A 3 (2.43) 30 Khi m« t¶ mËt ®é tr¹ng th¸i cña h¹t nh©n th−êng dïng çc gÇn ®óng cña m«men nhá vµo cì n¨ng l−îng quay M2/(2J) – nhá h¬n nhiÒu n¨ng l−îng kÝch thÝch U[U<<M2/(2J)]. Trong gÇn ®óng ®ã c«ng thøc (2.29) ®èi víi ω(U,M) cã d¹ng: ω(U, M) = ( ) ⎛ M2 ⎞ ⎜− 2 ⎟ exp ⎜ 2σ ⎟ 12 2 σ a1/ 4 U5/ 4 ⎝ ⎠ exp 2 aU (2.44) ë ®©y σ2 – th«ng sè phô thuéc spin b»ng: σ2 = m2 gt = m2g U/ a (2.45) V× çc hÖ thøc cña mÉu nµy ®−îc sö dông réng r·i nªn ta ®−a vµo biÓu thøc ®èi víi mËt ®é tr¹ng th¸i toµn phÇn vµ c¶ mËt ®é møc ρ(U,j) vµ ρ(U). MËt ®é tr¹ng th¸i toµn phÇn ω(U) b»ng: +∞ ω(U) = ∑ω(U, M) ≈ ∫ ω(U, M)dM = M −∞ ( ) π exp 2 aU 1/ 4 5/ 2 12a U (2.46) C«ng thøc (2.44) cã thÓ ®æi sang d¹ng: ω(U, M) = ω(U) [ ( )] exp − M2 / 2σ2 (2.44a) 2πσ Sö dông (1.105) vµ (2.44a) cã thÓ t×m ®−îc mËt ®é møc: [ ( )] ∂ω(U, M) ( 2J + 1) exp − (J + 1/ 2)2 / 2σ2 ρ (U, J ) ≈ − = ω(U) = ∂M M=J+1/ 2 2 2π σ3 (2J + 1)exp[2 = ( )]ω(U) (2.47) aU − (J + 1/ 2)2 / 2σ2 24 2 σ3a1/ 4 U5 / 4 MËt ®é møc toµn phÇn ρ(U) b»ng: ( ∞ ) exp 2 aU (2.48) 1/ 4 5 / 4 12 2 σ a U J 0 Th−êng çc c«ng thøc (2.44) – (2.47) ®−îc gäi lµ çc hÖ thøc cña mÉu khÝ Fermi. LÇn ®Çu tiªn chóng thu ®−îc tõ Bete [24] çc hÖ qu¶ cña nh÷ng c«ng thøc nµy sÏ ®−îc lÆp l¹i trong mét lo¹t c«ng tr×nh [2,3,26]. ρ(U ) = ∑ ρ(U, J ) ≈ ∫ ρ (U, J )dJ = 2.4 ¶nh h−ëng cña cÊu tróc líp cña phæ mét h¹t tíi çc ®Æc tr−ng thèng kª cña h¹t nh©n. 47 ViÖc nghiªn cøu çc céng h−ëng trong t−¬ng t¸c cña n¬tron n¨ng l−îng En nhá víi h¹t nh©n (En ≤ vµi KeV) lµ nguån th«ng tin chÝnh vÒ mËt ®é tr¹ng th¸i h¹t nh©n ë n¨ng l−îng kÝch thÝch lín. Khi ë n¨ng l−îng nhá do hµng rµo thÕ xuyªn t©m, çc céng h−ëng cã l = 0 (céng h−ëng s) xuÊt hiÖn m¹nh h¬n rÊt nhiÒu so víi céng h−ëng cã l > 0. Tõ ®iÒu kiÖn l = 0 suy ra r»ng m« men gãc Ir vµ ®é ch½n lÎ πr cña çc tr¹ng th¸i céng h−ëng ®−îc tÝnh b»ng c«ng thøc läc lùa: Ir = I0 ± 1/2 ; πr = π0 (2.49) ë ®©y I0 vµ π0 – m«men gãc vµ ®é ch½n lÎ cña tr¹ng th¸i c¬ b¶n cña h¹t nh©n bia. Kho¶ng çch trung b×nh quan s¸t ®−îc D gi÷a çc céng h−ëng n¬tron sãng s liªn quan víi mËt ®é møc h¹t nh©n ρ(U,J) b»ng hÖ thøc: D −1 ⎧1 ⎡ ⎛ ∆E ∆E 1 ⎞⎤ 1⎞ ⎛ , I 0 − ⎟⎥ , I 0 + ⎟ + ρ⎜ U = S n + ⎪ ⎢ρ⎜ U = S n + 2 ⎠⎦ 2 2⎠ ⎝ 2 ⎪2 ⎣ ⎝ =⎨ ⎪ ∆E 1 ⎞ 1 ⎛ ρ ⎜ U = Sn + , ⎟ khi I 0 = 0 ⎪ 2⎠ 2 2 ⎝ ⎩ khi I 0 ≠ 0 (2.50) ë ®©y Sn – n¨ng l−îng liªn kÕt cña n¬tron (víi h¹t nh©n), ∆E – giíi h¹n kho¶ng n¨ng l−îng cña n¬tron mµ D (∆E << Sn) ®−îc x¸c ®Þnh ë trong ®ã. Thõa sè 1/2 t−¬ng øng víi (2.49), çc n¬tron sãng s ®−îc t¸ch ra tõ tËp hîp chØ nh÷ng tr¹ng th¸i cã ®é ch½n lÎ x¸c ®Þnh (π0) mµ khi ®ã cÇn bæ xung thªm lµ çc tr¹ng th¸i cña hai lo¹i ch½n lÎ cã x¸c suÊt nh− nhau khi tr¹ng th¸i kÝch thÝch cña h¹t nh©n gÇn vïng n¨ng l−îng liªn kÕt n¬tron. NÕu trong (2.50) ®èi víi mËt ®é møc ta sö dông c«ng thøc (2.47) vµ theo gi¸ trÞ D thùc nghiÖm ta t×m th«ng sè a th× ta sÏ cã sù kh¸c biÖt cã hÖ thèng cña çc gi¸ trÞ a ®èi víi nh÷ng h¹t nh©n lÎ – lÎ, lÎ vµ ch½n ch½n c¹nh nhau. §iÒu nµy ®−îc chØ ra lÇn ®Çu tiªn trong [27]. HiÖu øng nµy ®−îc quy cho lµ cã sù t¹o cÆp trong h¹t nh©n [28], ®Ó kÓ ®Õn chóng khi tÝnh mËt ®é møc, trong çc c«ng thøc (2.47) ; (2.48) ng−êi ta sö dông n¨ng l−îng hiÖu dông U*: δp + δn víi h¹t nh©n ch½n ch½n δp víi h¹t nh©n ch½n lÎ U* = U - δn víi h¹t nh©n lÎ ch½n (2.51) 0 víi h¹t nh©n lÎ lÎ ë ®©y δp.n lµ çc bæ chÝnh do ch½n lÎ kh¸c nhau tíi n¨ng l−îng liªn kÕt cña h¹t nh©n. Çc hiÖu øng ch½n lÎ nµy ®−îc t×m thÊy trong khèi l−îng h¹t nh©n vµ n¨ng l−îng liªn kÕt cña çc nucleon vµ v× vËy sö dông n¨ng l−îng t¹o cÆp trong c«ng thøc khèi l−îng b¸n thùc nghiÖm lµ ®iÒu tÊt yÕu [29]. 48 §èi víi phÇn lín çc h¹t nh©n, ®· cã th«ng tin hÖ thèng réng r·i vÒ çc gi¸ trÞ thùc nghiÖm ®èi víi kho¶ng çch trung b×nh D gi÷a çc céng h−ëng n¬tron sãng s. Çc sè liÖu thùc nghiÖm ®èi víi D vµ n¨ng l−îng liªn kÕt n¬tron Sn vµ spin cña h¹t nh©n bia ®èi víi 6 hÖ thèng quen thuéc [26, 30 – 35] ®−îc ®−a ra trong phô lôc. Çc sè liÖu nµy cho çch nh×n c¬ b¶n vÒ çc th«ng sè mËt ®é møc cña h¹t nh©n. NÕu lùa chän hµm cña trung b×nh b×nh ph−¬ng h×nh chiÕu cña m«men mét h¹t m 2 phô thuéc vµo sè khèi A th× dùa trªn sè liÖu thùc nghiÖm cña kho¶ng çch trung b×nh gi÷a çc céng h−ëng n¬tron sãng s vµ nhê hÖ thøc (2.47) vµ (2.50) cã thÓ tÝnh th«ng sè mËt ®é møc aexp. Ng−êi ta th−êng sö dông biÓu thøc m 2 = αA2/3 ®Ó m« t¶ sù phô thuéc m 2 = f(A), khi ®ã trong mét sè c«ng tr×nh kh¸c [26, 31] ng−êi ta lùa chän α = 0,146, cßn trong çc c«ng tr×nh kh¸c n÷a [33, 36, 37] ng−êi ta lùa chän α=0,24 sö dông m« men qu¸n tÝnh cña mét vËt r¾n. Çc lùa chän hÖ sè α kh¸c nhau cã liªn quan tíi gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña th«ng sè mËt ®é møc aexp, nh−ng sù phô thuéc cña th«ng sè a vµo sè khèi A lu«n tu©n theo hiÖu øng : gi¸ trÞ th«ng sè A ë h¹t nh©n magic, ®Æc biÖt lµ lo¹i h¹t nh©n hai lÇn magic nhá h¬n rÊt nhiÒu ë çc h¹t nh©n trung gian, kh«ng magic. HiÖn t−îng nµy thÓ hiÖn râ ë h×nh 2.2. Sù thay ®æi nh− vËy cña th«ng sè a tÊt nhiªn liªn quan tíi cÊu tróc líp cña phæ mét h¹t. Phæ mét h¹t cña h¹t nh©n nguyªn tö tÊt nhiªn lµ kh«ng ®ång nhÊt theo n¨ng l−îng suy biÕn cña sinh møc cô thÓ trªn h×nh 1.5. V× vËy rÊt cÇn thiÕt nghiªn cøu sù ¶nh h−ëng cña cÊu tróc líp cña phæ mét h¹t tíi çc ®Æc tr−ng thèng kª cña h¹t nh©n. Çc vÊn ®Ò nµy ®−îc nghiªn cøu tØ mØ trong [15, 38 – 42] ë ®ã ®−a ra sù kh¸c biÖt rÊt lín çc ®Æc tr−ng thèng kª cña h¹t nh©n so víi mÉu khÝ Fermi. H×nh 2.2. Sù phô thuéc th«ng sè mËt ®é møc a vµo sè khèi A [31]. Chóng ta h·y xÐt tr−êng hîp ®¬n gi¶n lµ hÖ mét thµnh phÇn. §Ó nhËn ®−îc ω(N,E) theo çc c«ng thøc (1.94)-(1.96) cÇn b»ng çch gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh (2.7) t×m ®−îc to¹ ®é ®iÓm yªn ngùa β0 vµ α0 mµ nhê chóng, ta tÝnh ®−îc entr«py S theo c«ng thøc (2.8) vµ ®Þnh thøc cña ma trËn çc yÕu tè ®¹o hµm bËc 49 hai theo c«ng thøc (2.9). Bµi to¸n nµy ®−îc gi¶i ë [38] mµ cô thÓ ®· nghiªn cøu sù phô thuéc n¨ng l−îng cña nhiÖt ®é t, entr«py S vµ th«ng sè mËt ®é møc a ®èi víi hÖ proton cã Z = 40 – 50 víi phæ mét h¹t cña thÕ Ninx¬n [14]. Nghiªn cøu hÖ nh− vËy sÏ ®−a l¹i kh¶ n¨ng t×m hiÓu kh¸ kü ¶nh h−ëng cña møc ®é lÊp ®Çy cña møc mét h¹t, trong tr−êng ®· cho lµ cña møc 1g g/2 tíi d¹ng ®Æc tr−ng thèng kª cña hÖ. NÕu víi hÖ cã phæ d·n çch ®Òu, ý nghÜa vËt lý cña th«ng sè g(a = (π2/6)g) lµ ®· biÕt (®©y lµ sè tr¹ng th¸i mét h¹t trong mét kho¶ng n¨ng l−îng) th× ®èi víi hÖ cã phæ cÊu tróc líp kh«ng ®ång nhÊt, nãi mét çch chÆt chÏ kh«ng thÓ chØ ra ®Æc tr−ng nh− vËy. Tuy nhiªn cã thÓ ®−a mét sè ®¹i l−îng mµ trong mÉu khÝ Fermi chóng trïng víi th«ng sè a vµo vÝ dô kh¶o s¸t. VÝ dô sau khi tÝnh S vµ t phô thuéc vµo U cã thÓ x¸c ®Þnh a b»ng mét sè çch : a’ = S2/(4U) ; a”=U/t2 ; a’’’ = S/(2t) (2.52) NÕu phæ mét h¹t cña hÖ lµ d·n çch ®Òu th× a’ = a” = a”’ vµ çc gi¸ trÞ nµy kh«ng phô thuéc U. H×nh 2.3. Th«ng sè a’(U) ®èi víi hÖ proton víi ®é lÊp ®Çy møc1g9/2 kh¸c nhau [38]. Trªn h×nh 2.3 chØ ra sù phô thuéc n¨ng l−îng cña th«ng sè a’ tÝnh theo c«ng thøc (2.52) ®èi víi hÖ proton cã Z = 40 - 50 víi phæ mét h¹t cña thÕ Nilxon. RÊt ®¸ng l−u ý sù thay ®æi cña a’ ë vïng n¨ng l−îng kÝch thÝch thÊp. Víi sù gi¶m U khi Z b»ng 42, 44, 46, 48, th«ng sè a’ t¨ng cßn Z b»ng 40, 50 th× a’ l¹i gi¶m. §Æc tÝnh nh− vËy ®−îc gi¶i thÝch rÊt ®¬n gi¶n : Th«ng sè a thùc tÕ lµ x¸c ®Þnh møc ®é kÝch thÝch cña hÖ, khi cïng mét gi¸ trÞ n¨ng l−îng kÝch thÝch U, sè tr¹ng th¸i kÝch thÝch lín sÏ t−¬ng øng víi hÖ cã gi¸ trÞ a lín. Çc hÖ víi Z b»ng 40 vµ 50 t−¬ng øng víi sù lÊp ®Çy cña çc møc mét h¹t ë tr¹ng th¸i c¬ b¶n, khi møc 1g9/2 hoÆc hoµn toµn trèng (Z = 40), hoÆc hoµn toµn bÞ lÊp ®Çy (Z=50). ë vïng n¨ng l−îng kÝch thÝch nhá cña hÖ, vÝ dô víi Z = 50, çc h¹t cÇn ph¶i cã n¨ng l−îng kh¸ lín kho¶ng 3 MeV - ®Ó chiÕm møc tù do 1g7/2 n»m gÇn møc 1g9/2 nhÊt. Trong tr−êng hîp nµy hÖ kh«ng dÔ bÞ kÝch thÝch vµ nh− vËy th«ng sè a bÞ gi¶m ë vïng n¨ng l−îng kÝch thÝch thÊp. §èi víi hÖ cã Z = 42 – 48, líp vá kh«ng bÞ chiÕm hoµn toµn vµ ë vïng n¨ng l−îng kÝch thÝch “vÊn ®Ò” nãi trªn kh«ng tån t¹i : HÖ thèng bÞ kÝch thÝch do çc h¹t tõ møc mét h¹t 2p1/2 vµ 2p3/2 50 chuyÓn tíi møc 1g9/2 gÇn nhÊt. Khi n¨ng l−îng kÝch thÝch lín U>>3 MeV lóc bÊy giê cã çc møc mét h¹t kh¸c tham dù vµo, a’ cña hÖ víi Z kh¸c nhau phô thuéc yÕu vµo U. Khi nghiªn cøu ®Æc tr−ng thèng kª cña h¹t nh©n nh− mét hÖ hai thµnh phÇn proton vµ n¬tron ng−êi ta th−êng sö dông gÇn ®óng m«men nhá mµ trong gÇn ®óng ®ã, çc hÖ thøc cÇn thiÕt ®Ó tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i trong mÉu çc h¹t ®éc lËp cã d¹ng: ω( Z, N, U) ω(Z, N, U, M ) = 2π σ ⎛ M2 ⎞ ⎟ exp ⎜⎜ − 2 ⎟ ⎝ 2σ ⎠ (2.53) ë ®©y mËt ®é toµn phÇn ω(Z, N, U) = expS (2.54) (2π)3/ 2 D1/ 2 Entr«py S cña hÖ: ⎧ ⎫ S = ∑ ⎨∑ [β(ε τν − λ τ )n τν − ln (1 − n τν )]⎬ τ=Z,N ⎩ ν ⎭ (2.55) σ2 – th«ng sè phô thuéc spin. σ2 = ∑ ⎡⎢⎣∑ m τ= Z, N 2 τν ν n τν (1 − n τν )⎤ ⎥⎦ (2.56) §Þnh thøc D cã d¹ng : Dββ Dβα Z Dβα N D = Dβα Z D α Zα Z Dα D Dα Dβα N αNα Z N αZ (2.57) α N N ë ®©y Dββ = ⎡ ∑ ⎢⎣∑ε τ=Z, N ν ⎤ n (1− nτν )⎥ ⎦ 2 τν τν Dβ α Z = ∑ ε Zν n Zν ( 1 − n Zν (2.58a) ) (2.58b) ν D αZαZ = ∑ n Zν (1 − n Zν ) (2.58c) ν 51 D α Zα N = 0 (2.58d) Çc ®¹i l−îng DβαN vµ DαNαN thu ®−îc tõ (2.58b) vµ (2.58c) b»ng çch thay ®æi chØ sè Zν sang Nν. Trong çc c«ng thøc (2.55) - (2.58) n τν lµ trung b×nh cña sè tr¹ng th¸i mét h¹t bÞ lÊp ®Çy. n τν = {1 + exp [ β (ε τν − λ τ ) ] }− 1 (2.59) ®èi víi thµnh phÇn proton (τ = Z) vµ n¬tron (τ = N), λτ = ατ/β. Entr«py S vµ ®Þnh thøc D cÇn ®−îc tÝnh ë ®iÓm yªn ngùa β0, αZ0 vµ αN0 mµ ®iÓm nµy ®−îc x¸c ®Þnh tõ hÖ ph−¬ng tr×nh: ⎛ ⎜ ∑ ε τν n τν − τ= Z ,N ⎝ ν Z = ∑ n Zν ; N = U = ∑ ν ∑ ⎞ ε τν ⎟ ⎠ n Nν ε τυ < ε τ F ∑ ν ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ (2.60) Trong tÝnh to¸n m«men qu¸n tÝnh J, trung b×nh b×nh ph−¬ng h×nh chiÕu cña m«men mét h¹t m 2 vµ th«ng sè a ng−êi ta th−êng sö dông çc hÖ thøc [15]: J = σ2β = σ2 t 2 m = (2.61) σ2 (2.62) ⎡ ⎤ ∑ ⎢∑ n τν (1 − nτν )⎥ τ=Z,N ⎣ ν ⎦ π2 ⎤ ⎡ a = β ∑ ⎢∑nτν(1− nτν)⎥ 6 τ=Z,N ⎣ ν ⎦ (2.63) D¹ng phô thuéc n¨ng l−îng cña th«ng sè a ®èi víi h¹t nh©n nh− hÖ hai thµnh phÇn kh«ng ph¶i lu«n râ rµng vµ kh«ng ®¬n gi¶n nh− trong vÝ dô ®−îc kh¶o s¸t ë trªn. Tuy nhiªn víi h¹t nh©n hai lÇn magic hÇu nh− râ rµng lµ a gi¶m khi n¨ng l−îng kÝch thÝch gi¶m, ®èi víi h¹t nh©n kh«ng magic th× a t¨ng khi U gi¶m. §èi víi h¹t nh©n biÕn d¹ng phæ mét h¹t cña chóng gÇn víi d¹ng ph©n bè ®Òu, gi¸ trÞ a hÇu nh− lµ h»ng sè víi U. §Æc tÝnh nh− vËy cña a’(U) ®−îc tÝnh theo (2.55) – (2.60) cã thÓ thÊy trªn h×nh 2.4. 52 Trong mÉu khÝ Fermi trõ th«ng sè a çc ®¹i l−îng trung b×nh b×nh ph−¬ng h×nh chiÕu cña m«men mét h¹t m 2 vµ m« men qu¸n tÝnh J lµ h»ng sè kh«ng phô thuéc vµo n¨ng l−îng kÝch thÝch. CÊu tróc líp cña phæ mét h¹t thÓ hiÖn sù phô thuéc n¨ng l−îng cña çc ®¹i l−îng nãi trªn trong ®ã sù phô thuéc n¨ng l−îng thÓ hiÖn kh¸ m¹nh trong çc ®Æc tr−ng cña çc h¹t nh©n hai lÇn magic. Trªn h×nh 2.5 cho thÊy çc ®Æc tr−ng thèng kª ®−îc tÝnh cho h¹t nh©n Pb208. MÆc dï gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña çc ®¹i l−îng ®èi víi hai phæ mét h¹t kh¸c nhau nh−ng trªn h×nh vÏ cho thÊy kh¸ râ d¹ng phô thuéc n¨ng l−îng cña a, m 2 vµ J. Khi nghiªn cøu çc ®Æc tr−ng thèng kª cña h¹t nh©n trong mÉu çc h¹t ®éc lËp th−êng sö dông sù gÇn ®óng cña m« men nhá. Çc kÕt qu¶ cña tÝnh to¸n chÝnh x¸c [43] çc ®Æc tr−ng thèng kª cña h¹t nh©n Pb208 chøng tá r»ng cã sù lÖch khái gÇn ®óng m«men nhá xuÊt hiÖn chØ ë çc gi¸ trÞ m« men gãc ®ñ lín. Còng nªn l−u ý r»ng sù phô thuéc n¨ng l−îng cña çc th«ng sè hiÖu dông a’ vµ f trong mÉu líp tån t¹i chØ khi n¨ng l−îng kÝch thÝch U kh«ng lín. Khi n¨ng l−îng kÝch thÝch cao kho¶ng 100 MeV, sù phô thuéc nµy bÞ triÖt tiªu vµ çc th«ng sè a vµ J nhËn gi¸ trÞ tiÖm cËn cña m×nh víi d¹ng phô thuéc tr¬n vµo sè khèi A (h×nh 2.6, 2.7). Tõ çc h×nh vÏ thÊy râ rµng lµ khi U = 7 MeV, trong d¹ng phô thuéc cña a vµ J vµo A cã cÊu tróc líp cô thÓ lµ xuÊt hiÖn sù thay ®æi lín cña th«ng sè a trong vïng h¹t nh©n hai lÇn magic. Trong khi ®ã ë U = 100 MeV th× çc ®¹i l−îng trªn l¹i ®¬n ®iÖu thay ®æi theo A. Tuy nhiªn chóng ta nhËn thÊy r»ng gi¸ trÞ tiÖm cËn cña çc th«ng sè hiÖu dông phô thuéc vµo phæ 53 çc tr¹ng th¸i mét h¹t. Çc tÝnh to¸n [15] chøng tá r»ng ®èi víi phæ cña thÕ Nilxon [14]: a = (0 .105 ± 0 .005 )A ⎫ ⎪ m = (0 .290 ± 0 .005 )(1 − 2 / 3ε ) A ⎬ 5/3 2⎪ J = (0 .0185 ± 0 .0005 )(1 − 2 / 3ε ) A h ⎭ 2 2/3 (2.64) vµ ®èi víi phæ cña thÕ Xacxon – Wud: a = (0 . 090 ± 0 . 005 )A ⎫ ⎪ 2 / 3 m = (0 . 263 ± 0 . 005 )(1 − 2 / 3 ε ) A ⎬ 5 /3 2 ⎪ J = (0 . 0144 ± 0 . 0005 )(1 − 2 / 3 ε ) A h ⎭ 2 (2.65) ë ®©y ε - th«ng sè biÕn d¹ng tø cùc [14], çc ®¹i l−îng a vµ J cã ®¬n vÞ MeV-1. H×nh 2.6. Sù phô thuéc a vµo sè khèi A tÝnh trong mÉu çc h¹t ®éc lËp. • TÝnh cho phæ mét h¹t cña h¹t nh©n. o TÝnh cho h¹t nh©n biÕn d¹ng. 54 H×nh 2.7. Sù phô thuéc J vµo A, ký hiÖu • vµ o gièng nh− ë h×nh 2.6. 55 Ch−¬ng 3 mËt ®é tr¹ng th¸i trong mÉu siªu ch¶y 3.1 Çc hÖ thøc c¬ b¶n: Chóng ta nghiªn cøu ¶nh h−ëng cña t−¬ng t¸c cÆp d− lªn çc ®Æc tr−ng thèng kª cña h¹t nh©n nguyªn tö ®èi víi hÖ h¹t Fermi ®éc lËp cïng lo¹i víi Hamilton cña mÉu siªu ch¶y d¹ng: Ĥ = ∑ ε ν a +νσ a νσ − G ∑ a +ν + a +ν − a ν ' − a ν ' + ' νσ (3.1.) νν ë ®©y εν - n¨ng l−îng cña çc tr¹ng th¸i mét h¹t mµ chóng suy biÕn bËc hai theo dÊu cña h×nh chiÕu cña m«men gãc tøc lµ σ = ± ; a+νσ vµ aνσ lµ çc to¸n tö sinh vµ huû h¹t ë çc tr¹ng th¸i ν, σ ; G - yÕu tè ma trËn cña t−¬ng t¸c cÆp d− gi÷a çc nucleon. §èi víi to¸n tö sè h¹t toµn phÇn ta cã: + N̂ = ∑ aνσ aνσ (3.2) νσ Cã thÓ tÝnh to¸n çc ®Æc tr−ng thèng kª cña hÖ nh− vËy nhê c«ng cô to¸n häc cña lý thuyÕt siªu ch¶y [44, 45]. §Ó lµm viÖc ®ã, cÇn chuyÓn tõ Hamilton víi t−¬ng t¸c cÆp (3.1) sang Hamilton cña çc gi¶ h¹t ®éc lËp mµ d¹ng t−êng minh cña chóng cã thÓ t×m ®−îc nhê phÐp biÕn ph©n Khatri - Phèc - B«g«liub«v [45]. Gi¶i ph¸p nh− vËy ®−îc sö dông trong [38-42, 46-52] khi tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i. Chóng ta nhËn thÊy r»ng trong bµi to¸n vÒ mËt ®é tr¹ng th¸i cã mét lo¹t tÝnh ®Æc biÖt liªn quan tíi mét lo¹t çc b−íc thùc hiÖn cña ph−¬ng ph¸p biÕn ph©n vµ sù tÝnh to¸n çc tÝch ph©n t−¬ng øng trong (1.87). VÊn ®Ò nµy ®−îc kh¶o s¸t trong [52], mµ c«ng tr×nh nµy ®· chøng minh r»ng ®Ó thu ®−îc d¹ng chÝnh x¸c cña çc ®Æc tr−ng thèng kª cña hÖ cÇn tÝnh çc tÝch ph©n vµ sau ®ã míi chuyÓn hoµn toµn sang Hamilton chuÈn. Sö dông ®¸nh gi¸ nh− vËy ®èi víi bµi to¸n cña chóng ta, nhê çc hÖ thøc (1.94) – (1.99) ®èi víi mËt ®é tr¹ng th¸i ta cã thÓ viÕt: ω ( N, E) = (2π) −1 D ë ®©y −1 / 2 exp S (3.3) [ ( ⎧ S = β E − α N + ln Sp ⎨ exp − β Ĥ − λ N̂ ⎩ D= Ĥ 2 − Ĥ 2 ĤN̂ − Ĥ N̂ ĤN̂ − Ĥ N̂ N̂ 2 − N̂ 2 )] ⎫ ⎬ ⎭ (3.4) (3.5) Çc gi¸ trÞ S vµ D cÇn ®−îc tÝnh theo β vµ α = λβ mµ ta thu ®−îc chóng tõ nghiÖm cña çc ph−¬ng tr×nh ®èi víi ®iÓm yªn ngùa: E = Ĥ , N = N̂ (3.6) 56 ë ®©y trung b×nh cña çc to¸n tö ®−îc x¸c ®Þnh theo tæng thèng kª ®Çy ®ñ b»ng hÖ thøc (1.97). Chóng ta chuyÓn tíi biÓu diÔn çc gi¶ h¹t [45] nhê phÐp biÕn ®æi chÝnh t¾c: a νσ = u ν α ν − σ + σv ν α +νσ ⎫ ⎬ a +νσ = u ν α +ν − σ + σv ν α νσ ⎭ (3.7) tøc lµ chuyÓn tõ to¸n tö h¹t sang to¸n tö gi¶ h¹t. Çc to¸n tö sinh vµ huû gi¶ h¹t α+νσ vµ ανσ tho¶ m·n çc hÖ thøc giao ho¸n nh− lµ çc to¸n tö a+νσ vµ aνσ : {α νσ , α +ν ' σ ' }= α νσ α +ν ' σ ' + α +ν ' σ ' α νσ = δ νν ' δ σσ ' ⎫ ⎬ {ανσ , α ν ' σ ' }= {α+νσ , α+ν ' σ ' }= 0 ⎭ (3.8) Tõ hÖ thøc giao ho¸n (3.8) vµ (1.60) suy ra r»ng: u 2ν + v 2ν = 1 (3.9) trong ®ã uν vµ vν lµ sè thùc víi sè lÊp ®Çy gi¶ h¹t h÷u h¹n. Nhê (3.7) ®èi víi to¸n tö Hamilton suy réng ( Ĥ−λN̂ ) cã thÓ thu ®−îc: Ĥ−λN̂ = ∑( εν −λ) [ ( u2ν −v2ν )( n̂ν+ +n̂ν− ) +2v2ν +2vν uν ( αν+αν− +α+ν−α+ν+ ) ] −G ∑B̂+ν B̂ν' (3.10) n̂ νσ = α +νσ α νσ (3.11) ν νν' ë ®©y lµ çc to¸n tö gi¶ h¹t vµ: B̂ ν = u 2ν α +ν − α +ν + − v 2ν α ν + α +ν − + u ν v ν (1 − n̂ ν + − n̂ ν − ) (3.12) Çc to¸n tö n̂ νσ tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh n̂ 2νσ = n̂ νσ vµ do vËy çc gi¸ trÞ riªng cña to¸n tö n̂ νσ b»ng 0 hoÆc b»ng 1. Chóng ta x¸c ®Þnh Hamilton chuÈn Ĥ0 b»ng biÓu thøc: Ĥ 0 = U 0 + ∑ E ν α +ν σ α ν σ (3.13) νσ vµ sÏ kh¶o s¸t trung b×nh thèng kª theo Hamilton cña mÉu: Â 0 [ ( )] [ ( = Sp Â exp − β Ĥ 0 / Sp exp − β Ĥ 0 )] (3.14) Çc gi¸ trÞ U0 vµ Eν vµ c¶ uν vµ vν ®Òu ®−îc t×m thÊy tõ ®iÒu kiÖn m« t¶ tèt nhÊt Ĥ− λN̂ . Hamilton Ĥ0 víi ®é chÝnh x¸c ®Õn phÇn kh«ng ®æi U0 trïng víi 0 Hamilton cña mÉu çc h¹t ®éc lËp (2.1a). V× thÕ ®èi víi lnQ cã thÓ viÕt: ⎧⎪ ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎫⎪ ln Q = ln Sp⎨exp ⎢− β⎜⎜ U 0 + ∑ E ν α +ν σ α ν σ ⎟⎟⎥ ⎬ = −βU 0 + 2∑ ln[1 + exp(− βE ν )] (3.15) νσ ν ⎪⎩ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎪⎭ 57 Chóng ta biÕn ®æi Hamilton suy réng (3.10) sau khi ®−a vµo nã chØ nh÷ng thµnh phÇn cã sè to¸n tö sinh α+νσ vµ huû ανσ b»ng nhau bëi v× chØ chóng míi cã ®ãng gãp kh¸c kh«ng vµo gi¸ trÞ trung b×nh cña Ĥ− λN̂ : 0 [ ] [ ] Ĥ − λN̂ = ∑(εν − λ) u ν2 (n̂ ν+ + n̂ ν− ) + vν2 (2 − n̂ ν+ − n̂ ν− ) − G∑ (u ν4 + vν4 )n̂ ν− n̂ ν+ + vν4 (1 − n̂ ν− − n̂ ν+ ) − [ ] − G∑u ν vν u ν' vν' 1 − (n̂ ν+ + n̂ ν− ) − (n̂ ν' + + n̂ ν' − ) + (n̂ ν+ + n̂ ν− )(n̂ ν' + + n̂ ν' − ) ν ν νν' (3.16) Tõ (3.16) thÊy r»ng ®Ó thu ®−îc Ĥ− λN̂ cÇn thiÕt tÝnh trung b×nh cña çc gi¸ trÞ 0 < n̂ νσ >0 , < n̂ ν- n̂ ν+>0 vµ <( n̂ ν++ n̂ ν-)( n̂ ν'++ n̂ ν'-)>0. Sö dông (3.15) ta sÏ cã: n̂ νσ 0 = [ ( Sp n̂ νσ exp − βĤ0 ( Sp exp − βĤ0 ) )] = − 1 ∂ lnSp[exp(−βĤ )] = [1+ exp(βE )] 0 2β ν ∂E ν −1 = nν (3.17) lµ trung b×nh sè gi¶ h¹t lÊp ®Çy. Chóng ta dÔ dµng tÝnh gi¸ trÞ trung b×nh cña < n̂ ν- n̂ ν+>0 khi Hamilton Ĥ 0 ®−îc biÓu diÔn d−íi d¹ng: ∧ ∧ ∧ ⎛ ⎞ H0 = U0 + ∑ ⎜ Eν + n ν + Eν − n ν − ⎟ ⎠ ν ⎝ vµ sau khi thu ®−îc gi¸ trÞ trung b×nh ta lµm phÐp c©n b»ng Eν+ = Eν- = Eν. Khi ®ã ®èi víi lnQ ta sÏ cã: lnQ = −βU0 + ∑ln[1 + exp − (βEν+ _)] + ∑ln[1 + exp(−βEν )] ν ν Khi tÝnh çc ®¹o hµm: [ ] [ [ ] ] Sp n̂ ν+ exp(−βĤ0 ) Sp n̂ ν− exp(−βĤ0 ) Sp n̂ ν+ n̂ ν− exp(−βĤ0 ) ∂ 2 ln Q = − + =0 2 β2 ∂E ν+ ∂E ν− Sp exp( − β Ĥ ) Sp exp(−βĤ0 ) 0 { [ ]} [ ] ta thu ®−îc: 2 n̂ν+n̂ν− = nνσ (3.18) T−¬ng tù ®èi víi <( nˆ ν++ nˆ ν-)( nˆ ν'’++ nˆ ν'’-)>0: ( )( ∂ 2 ln Q = − n̂ ν + + n̂ ν − n̂ ν' + + n̂ ν' − + n̂ ν + + n̂ ν − n̂ ν' + + n̂ ν' − 0 0 β 2 ∂E ν ∂E ν ' 2 δ νν ' exp( β E ν ) = = 2 δ νν ' n ν (1 − n ν ) [1 + exp( β E ν ) ]2 58 ) = (n̂ν+ + n̂ν− )(n̂ν' + + n̂ν' − ) 0 = 4nνnν' + 2δνν' nν(1−nν ) Tõ ®ã ∧ (3.19) ∧ vµ ®èi víi < H − λ N > 0 ta dÔ dµng thu ®−îc: ⎡ 2⎤ ⎛ ⎞⎤ ⎡ Ĥ − λN̂ = 2∑ ⎢(ε ν − λ)⎜ u ν2 n ν + vν2 (1− n ν )⎟⎥ − G∑ ⎢u ν4 n ν + 2u ν2 vν2 n ν (1− n ν ) + vν4 (1− n ν ) ⎥ − 0 ν ⎣ ν ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎦ ⎡ ' ⎤ ⎛ ⎞ − G∑ u ν vν u ν' vν' (1− 2n ν )× (1− 2n ν' ) = 2∑ ⎢(εν − λ)× ⎜ u ν2 n ν + vν2 (1− n ν )⎟⎥ − ∆2 / G ν ⎣ ⎝ ⎠⎦ νν ' (3.20) Çc møc n¨ng l−îng mét h¹t t¸i chuÈn ho¸ ®· ®−îc ®−a vµo ®¼ng thøc cuèi cïng cña (3.20): εν ' = εν − (G / 2)[uν2 nν + vν2 (1− nν )] ∆ = G∑uνvν(1− 2nν ) vµhµm t−¬ng quan: ν (3.21) Trong phÐp t¸i chuÈn ho¸ tiÕp theo, chóng ta sÏ bá qua çc møc mét h¹t bëi v× khi x¸c ®Þnh εν çc hiÖu øng t−¬ng quan cÇn ph¶i bÞ lo¹i trõ vµ v× thÕ thay cho ε'ν chóng ta l¹i sö dông ký hiÖu εν. Chóng ta x¸c ®Þnh gi¸ trÞ çc hÖ sè uν vµ vν mµ khi ®ã trung b×nh cña Ĥ− λN̂ cùc tiÓu. §Ó lµm vËy, ta cho ®¹o hµm biÕn 0 ph©n toµn phÇn b»ng 0: ⎛ ⎞ δ⎜ Ĥ − λN − ∑ u ν vν ⎟ = 0 0 ν ⎝ ⎠ (3.22) ë ®©y nν = u2ν+v2ν-1: ®iÒu kiÖn liªn kÕt (3.9) t¸c ®éng lªn çc hÖ sè uν vµ vν ; µν - çc thõa sè bÊt ®Þnh Lagr¨ng. Khi tÝnh ®¹o hµm biÕn ph©n theo uν vµ vν ta thu ®−îc: 2(εν − λ)uν nν − vν (1 − 2 nν )∆ − µuν = 0 2(εν − λ)vν (1 − nν ) − uν (1 − 2 nν )∆ − µvν = 0 Tõ ®ã suy ra ph−¬ng tr×nh thø hai ®Ó x¸c ®Þnh hÖ sè uν vµ vν: ( ) 2(ε ν − λ )u ν v ν = u ν2 − v ν2 ∆ (3.23) HÖ ph−¬ng tr×nh (3.9) vµ (3.23) cã hai nghiÖm. NghiÖm thø nhÊt lµ uνv'ν=0 vµ ∆=0 t−¬ng øng víi mÉu çc h¹t ®éc lËp. Khi ®ã: u ν = 1 − Θ (ε ν − λ ) ; v ν = Θ (ε ν − λ ) ë ®©y Θ (x ) = ⎧⎪ 1 , x > 0 ⎨ ⎪⎩ 0 , x < 0 (3.24) (3.24a) 59 Trong tr−êng hîp nghiÖm kh«ng tÇm th−êng khi uν, vν ≠ 0, víi çc hÖ sè uν vµ vν ta sÏ cã: ⎞ 1 ⎛⎜ εν − λ ⎟ u = 1+ 2 2 ⎟ 2⎜ (εν − λ) + ∆ ⎠ ⎝ 1⎛ εν − λ v ν2 = ⎜ 1 − 2⎜ (ε ν − λ )2 + ∆2 ⎝ 2 ν (3.25a) ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (3.25b) Thay thÕ (3.25) vµo (3.21) ta thu ®−îc ph−¬ng tr×nh ®èi víi hµm t−¬ng quan: 2 =∑ G ν 1 − 2n ν (3.26) (εν − λ )2 + ∆2 N¨ng l−îng cña çc tr¹ng th¸i gi¶ h¹t Eν ®−îc t×m ra tõ ®iÒu kiÖn δ Ĥ − λN̂ − Ĥ 0 δ nν 0 = 0 . Trong biÕn ph©n, çc hÖ sè uν vµ vν ®−îc coi lµ h»ng sè. Tõ (3.13) vµ (3.20) suy ra: δ Ĥ − λ N̂ − Ĥ 0 δnν = 2 ( ε ν − λ )( u 2ν − v 2ν )+ 4 u ν v ν ∆ − 2 E 0 = 0 Tõ ®ã nhê (3.25) ta cã: Eν = (εν − λ) + ∆2 2 ∧ ∧ (3.28) ∧ Dùa trªn ®¼ng thøc < H − λ N > 0 =< H 0 > 0 ta cã: ∆2 U0 = ∑[(εν − λ) − Eν ] + G ν (3.29) vµ kÕt qu¶ lµ chóng ta thu ®−îc: Ĥ − λN̂ 0 ⎡ εν − λ ⎤ ∆2 ∆2 (1 − 2n ν )⎥ − = ∑ [(εν − λ ) − E ν (1 − 2n ν )] + = ∑ (εν − λ) ⎢1 − G Eν ν ν ⎣ ⎦ G (3.30) Gi¸ trÞ trung b×nh cña to¸n tö sè h¹t < N̂ >0 cã d¹ng: ˆ N 0 νσ [ = 2 ∑ u 2ν n̂ ν + v 2ν (1 + 2 n ν = ∑ a +ν σ a ν σ 0 ν )] 0 ⎡ ε −λ ⎤ (1 − 2 n ν )⎥ (3.31) = ∑ ⎢1 − ν Eν ν ⎣ ⎦ Nh− vËy khi thùc hiÖn ®¸nh gi¸ nãi trªn, chóng ta ®· chuyÓn tõ viÖc kh¶o s¸t hÖ h¹t Fermi t−¬ng t¸c sang nghiªn cøu hÖ çc gi¶ h¹t ®éc lËp. Hamilton Ĥ 0 (3.13) vÒ d¹ng trïng víi Hamilton (2.1a) cña mÉu çc h¹t ®éc lËp ®Õn ®é chÝnh x¸c tíi 60 thµnh phÇn U0. V× thÕ t−¬ng øng víi trong môc §2.1, ®èi víi entr«py S cña hÖ (3.32) cã thÓ thu ®−îc: S = 2∑ [βE ν n ν − ln(1 − n ν )] ν Çc ph−¬ng tr×nh ®Ó x¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm yªn ngùa β0 vµ α0 = β0λ cã d¹ng: E = Ĥ 0 2 ⎡ ε −λ ⎤ (1 − 2n ν )⎥ − ∆ = ∑ εν ⎢1 − ν Eν ν ⎣ ⎦ G (3.33a) ⎡ ε −λ ⎤ (1 − 2n ν )⎥ N = N̂ 0 = ∑ ⎢1 − ν Eν ν ⎣ ⎦ ë ®©y ⎧⎪ ⎡ ⎤ ⎪⎫ nν = [1 + exp(βEν )]−1 = ⎨1 + exp⎢β (εν − λ)2 +∆2 ⎥ ⎬ ⎪⎩ ⎣ ⎦ ⎪⎭ (3.33b) −1 (3.34) lµ trung b×nh sè lÊp ®Çy çc gi¶ h¹t. B»ng çch t−¬ng tù ta tÝnh ®−îc çc trung b×nh theo Hamilton chuÈn mµ çc gi¸ trÞ trung b×nh nµy cÇn thiÕt cho viÖc tÝnh ®Þnh thøc D (3.5): ∆2 ⎤ ⎧⎪ ⎡ ⎡ ⎪ 2 ⎤⎫ D = 4 ⎢∑ E ν2 n ν (1 − n ν )⎥ × ⎨∑ ⎢ n ν (1 − n ν ) + 2 (1 − 2n ν ) ⎥ ⎬ 2E ν ⎦ ⎪⎩ ν ⎣ ⎣ν ⎦ ⎪⎭ (3.35) Çc hÖ thøc thu ®−îc ®ñ ®Ó tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i ω(N,E). §Ó lµm vËy cÇn t×m β, λ vµ ∆ ë N vµ E ®· biÕt khi gi¶i çc ph−¬ng tr×nh (3.33) cïng víi (3.26), sau ®ã theo çc c«ng thøc (3.32) vµ (3.35) tÝnh S vµ D råi thay chóng vµo (3.3) ®Ó thu ®−îc mËt ®é tr¹ng th¸i cña hÖ tõ N h¹t ë n¨ng l−îng E ®· cho tr−íc. Trong mÉu nµy ë gÇn ®óng m« men nhá, biÓu thøc x¸c ®Þnh mËt ®é tr¹ng th¸i ω(N,E,M) cã d¹ng gièng nh− (2.44a) ë mÉu çc h¹t ®éc lËp: ω(N, E, M ) = ω(N, E ) ⎛ M2 exp⎜⎜ − 2 2πσ ⎝ 2σ ⎞ ⎟⎟ ⎠ (3.36) Th«ng sè phô thuéc spin σ2 vµ m«men qu¸n tÝnh ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: σ2 = β−1 ; ℑ = 2∑ mν nν (1 − nν ) 2 (3.37) ν Sù kh¸c biÖt víi mÉu çc h¹t ®éc lËp xuÊt hiÖn chØ trong sè trung b×nh çc lÊp ®Çy mµ víi chóng ph¶i sö dông c«ng thøc (3.34). 3.2 HiÖu øng cÆp gÇn tr¹ng th¸i c¬ b¶n: Chóng ta xem xÐt ®Æc tr−ng cña hÖ cã sù t−¬ng t¸c t−¬ng quan gÇn tr¹ng th¸i c¬ b¶n. §Ó lµm ®iÒu ®ã, ta cho nhiÖt ®é h¹t nh©n t = β-1 h−íng tíi kh«ng t−¬ng øng β→∞. Khi ®ã tõ (3.34) suy ra r»ng tÊt c¶ nν = 0 vµ çc ph−¬ng tr×nh (3.33) vµ (3.26) cã d¹ng : 61 ⎡ εν − λ0 E 0 = ∑ ε ν ⎢1 − ν (ε ν − λ 0 ) 2 + ∆20 ⎢⎣ ⎡ εν − λ 0 N = ∑ ⎢1 − ν ⎢ (εν − λ 0 ) 2 + ∆20 ⎣ 2 =∑ G ν ⎤ ∆2 0 ⎥− ⎥⎦ G (3.38a) ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (3.38b) 1 (3.38c) (εv − λ0 )2 + ∆20 NghiÖm çc ph−¬ng tr×nh nµy cho phÐp x¸c ®Þnh thÕ ho¸ häc λ, hµm t−¬ng quan ∆0 vµ n¨ng l−îng E0 cña tr¹ng th¸i c¬ b¶n cña hÖ. Kh«ng cÇn thiÕt g¸n cho n¨ng l−îng E0 gi¸ trÞ ®Æc biÖt v× ë nã ®−îc dïng chñ yÕu ®Ó x¸c ®Þnh n¨ng l−îng kÝch thÝch: ⎡ U = E − E0 = ∑ ⎢ ⎢ ⎣ ε v (ε v − λ (ε v − λ ) 2 ) +∆ 2 − 0 ( ε v (ε v − λ ) 1 − 2 n (ε v − λ )2 + ∆2 0 v ) −⎤⎥ + ∆ 2 ⎥ ⎦ 0 − ∆2 (3.39) G Bëi v× lùc t−¬ng t¸c cÆp lµ lùc kÐo, tr¹ng th¸i siªu ch¶y cña hÖ cã ∆0 ≠ 0 lµ tr¹ng th¸i c¬ b¶n cña hÖ. §iÒu nµy cã nghÜa lµ ë tr¹ng th¸i c¬ b¶n, n¨ng l−îng cña hÖ cã ∆0 ≠ 0 nhá h¬n n¨ng l−îng cña hÖ h¹t ®éc lËp víi ∆ = 0. Chóng ta chøng minh ®iÒu nµy: Chóng ta tÝnh n¨ng l−îng tÝch tô Ett b»ng hiÖu sè n¨ng l−îng ë tr¹ng th¸i c¬ b¶n cña hÖ h¹t ®éc lËp víi ∆= 0 vµ hÖ h¹t t−¬ng t¸c cã ∆0 ≠ 0 [47] : Ett = Hˆ − λNˆ ∆ 0 =0 − Hˆ − λNˆ ⎛ ε − λ0 = ∑ (ε ν − λ0 )⎜⎜1 − ν εν − λ0 ν ⎝ ∆0 ≠0 = ⎛ ⎞ ⎟ − ∑ (ε ν − λ0 )⎜1 − ⎟ ν ⎜ ⎠ ⎝ ⎞ ∆2 ⎟+ 0 2 ⎟ + ∆0 ⎠ G ε ν − λ0 (εν − λ) 2 (3.40) §Ó ®¸nh gi¸ Ett chóng ta gi¶ ®Þnh r»ng phæ çc tr¹ng th¸i mét h¹t cña hÖ lµ rêi r¹c vµ cã mËt ®é g. Trong gÇn ®óng liªn tiÕp víi Ett ta cã: ∞ g ⎡ Ett = ∫ ⎢ 2 0⎢ ⎣ (ε ν − λ0 ) 2 (εν − λ0 )2 + ∆20 + ∆20 2 (ε ν − λ0 ) 2 ⎤ − εν − λ0 ⎥dε 2 ⎥ + ∆0 ⎦ (3.41) Hµm d−íi dÊu tÝch ph©n ®èi xøng ®èi víi λ0 vµ ®ãng gãp c¬ b¶n vµo tÝch ph©n (3.41) lµ do vïng n¨ng l−îng ⏐ε-λ0 ⏐< γ. §èi víi n¨ng l−îng tÝch tô trong gÇn ®óng γ >> ∆0 ta dÔ dµng thu ®−îc: γ ⎞ ∆20 g ⎛⎜ x2 + − x ⎟dx = g∆20 / 4 (3.42) Ett = ∫ ⎟ 2 −γ ⎜ x 2 + ∆20 2 x 2 + ∆20 ⎝ ⎠ 62 Nh− vËy n¨ng l−îng tr¹ng th¸i c¬ b¶n cña hÖ cã t−¬ng t¸c cÆp nhá h¬n n¨ng l−îng tr¹ng th¸i c¬ b¶n cña hÖ h¹t ®éc lËp lµ Ett =g∆20/4. Chóng ta kh¶o s¸t tr¹ng th¸i c¬ b¶n kÝch thÝch ®Çu tiªn cña hÖ ch½n. Ch©n kh«ng gi¶ h¹t lµ tr¹ng th¸i c¬ b¶n ®Çu tiªn. §Ó kÝch thÝch hÖ nh− vËy cÇn sinh ra mét cÆp gi¶ h¹t. V× vËy n¨ng l−îng E1h cña tr¹ng th¸i kÝch thÝch ®Çu tiªn sÏ gåm c¶ n¨ng l−îng cña hai gi¶ h¹t (3.28). E1 = (ε1 − λ 0 )2 + ∆20 + (ε 2 − λ 0 )2 + ∆20 ≥ 2∆ 0 (3.43) Do vËy trong phæ cña hÖ ch½n sÏ cã suy biÕn n¨ng l−îng bËc 2∆0 khi ®ã lµ n¨ng l−îng liªn kÕt cÆp. Th−êng th× hÖ thøc (3.43) ®−îc nªu ra nh− mét kÕt qu¶ cña viÖc t¹o nªn mét tr¹ng th¸i liªn kÕt bëi çc cÆp h¹t hót nhau. V× vËy ng−êi ta th−êng gäi n¨ng l−îng 2∆0 lµ n¨ng l−îng cÆp lµ n¨ng l−îng cÇn thiÕt ®Ó ph¸ vì chóng. Tuy nhiªn ý nghÜa vÒ çc cÆp liªn kÕt kh«ng chØ lµ c©u ch÷ [10]. Phæ kÝch thÝch cña hÖ lÎ kh«ng cã nh÷ng tÝnh chÊt trªn v× tr¹ng th¸i khi mµ mét h¹t kh«ng liªn kÕt n»m ë møc mét h¹t kh«ng lÊp ®Çy thÊp nhÊt lµ tr¹ng th¸i c¬ b¶n cña hÖ. Çc tr¹ng th¸i kÝch thÝch ®Çu tiªn xuÊt hiÖn do dÞch chuyÓn cña h¹t kh«ng liªn kÕt mµ h¹t nµy cã thÓ chiÕm mét tr¹ng th¸i tù do bÊt kú. V× vËy ®Ó kÝch thÝch hÖ lÎ kh«ng cÇn "ph¸ vì cÆp " vµ sù suy biÕn trong çc phæ cña hÖ lÎ kh«ng tån t¹i. §èi víi hÖ lÎ, ph−¬ng tr×nh (3.38) cã d¹ng [2]: E ol = ε s F + N = 1+ 2 = ∑ G ν ≠s F ⎡ ⎢ ε ∑ ν 1− ⎢ ν ≠s F ⎣ ⎡ ⎢ ε ∑ ν 1− ⎢ ν ≠s F ⎣ εν − λ0 (ε ν − λ 0 )2 + ∆20 εν − λ0 (ε ν − λ 0 )2 − ∆20 ⎤ ⎥ G⎥ ⎦ ⎤ ⎥ 2 ⎥ + ∆0 ⎦ 1 (3.44a) (3.44b) (3.44c) (ε ν − λ 0 )2 + ∆20 ë ®©y εF - n¨ng l−îng Fermi. §Ó tÝnh ®Æc tr−ng cña çc tr¹ng th¸i c¬ b¶n vµ kÝch thÝch cña h¹t nh©n trong nh÷ng mÉu nµy, ngoµi phæ tr¹ng th¸i mét h¹t cßn cÇn biÕt çc h»ng sè t−¬ng t¸c t−¬ng quan GN vµ GZ ®èi víi hÖ notron vµ proton t−¬ng øng. Ng−êi ta th−êng thu ®−îc h»ng sè GN tõ sù so s¸nh n¨ng l−îng t¹o cÆp mµ çc gi¸ trÞ nµy ®−îc tÝnh theo c«ng thøc [12] : PN ( Z, N) = [3E c ( Z, N − 1) + E 0 ( Z, N + 1) − 3E 0 ( Z, N) − E 0 ( Z, N − 2)] / 4 (3.45) víi çc gi¸ trÞ PN(Z,N) t×m ®−îc tõ sè liÖu thùc nghiÖm qua sù kh¸c nhau cña khèi l−îng çc h¹t nh©n [29]. 63 H×nh 3.1. Çc hµm t−¬ng quan ∆0N vµ ∆0Z phô thuéc sè n¬tron N vµ sè proton Z. §−êng liªn nÐt : çc kÕt qu¶ cña [12]. §−êng ®øt nÐt : theo c«ng thøc ∆0 = 12A-1/2. T−¬ng tù cã thÓ t×m ®−îc Gz. Trong c«ng thøc (3.45) ®¹i l−îng E0 - n¨ng l−îng cña tr¹ng th¸i c¬ b¶n cña h¹t nh©n. Khi ®ã víi hÖ ch½n th× cÇn tÝnh Eo theo c«ng thøc (3.38a), cßn hÖ lÎ - theo (3.44a). Çc tÝnh to¸n GN vµ GZ nh− vËy ®−îc tiÕn hµnh víi cì lín h¹t nh©n cã 50 ≤ A ≤ 260 víi phæ mét h¹t Xacxon - Wood. Çc kÕt qu¶ chÝnh cña nh÷ng tÝnh to¸n nµy cã thÓ t×m trong [12, 21]. Gi¸ trÞ çc h»ng sè GN vµ GZ liªn quan ®¬n trÞ víi çc hµm t−¬ng quan ∆0N vµ ∆0Z ®−îc biÓu thÞ trªn h×nh 3.1. Tõ d¹ng phô thuéc ∆0N vµ ∆0Z vµo sè h¹t trong hÖ râ rµng cho thÊy cÊu tróc líp. Khi sè n¬tron hoÆc sè proton b»ng sè magic th× ∆0N vµ ∆0Z b»ng 0, khi Z vµ N kh¸c sè magic mét - hai ®¬n vÞ th× ∆0N vµ ∆0Z rÊt nhá. Tuy nhiªn ë çc gi¸ trÞ N vµ Z kh¸c th× çc hµm t−¬ng quan ®−îc m« t¶ tèt b»ng d¹ng phô thuéc ch½n ∆0 = 12A-1/2. Bøc tranh t−¬ng tù cã thÓ thÊy ®−îc khi quan s¸t quy luËt cña n¨ng l−îng tÝch tô. Trªn h×nh 3.2 còng nh− ë h×nh 3.1 râ rµng tån t¹i sù phô thuéc d¹ng líp cña Ett vµo N vµ Z ®èi víi c¶ hai hÖ phæ mét h¹t. 64 H×nh 3.2: N¨ng l−îng tÝch tô ®èi víi hÖ proton vµ n¬tron ch½n (ο) vµ lÎ (•). a. KÕt qu¶ tÝnh to¸n phæ mét h¹t cña thÕ Nilx¬n. b. KÕt qu¶ tÝnh to¸n phæ mét h¹t víi thÕ X¸cxon – Wud. 3.3 Çc ®Æc tr−ng thèng kª cña hÖ trong mÉu çc gi¶ h¹t ®éc lËp. Chóng ta nghiªn cøu çc tÝnh chÊt ®Æc tr−ng cña quy luËt thèng kª cña hÖ cã t−¬ng t¸c cÆp d− cña çc lo¹i t−¬ng quan. Tr−íc hÕt chóng ta xem xÐt hÖ mét thµnh phÇn cã phæ mét h¹t rêi r¹c suy biÕn bËc 2 theo h×nh chiÕu m«men. Chóng ta sÏ sö dông phÐp gÇn ®óng liªn tiÕp b»ng çch thay tæng b»ng tÝch ph©n: g → ∫ dε; ∑ 2 ν gm2 m → dε ∑ 2 ∫ ν 2 ν g - mËt ®é tr¹ng th¸i mét h¹t, m2 lµ trung b×nh b×nh ph−¬ng h×nh chiÕu m« men mét h¹t. Ngoµi ra chóng ta sÏ sö dông gÇn ®óng nhiÖt ®é thÊp t << λ. Trong çc gÇn ®óng nµy çc tÝnh to¸n ®· ®−îc ®¬n gi¶n ®i rÊt nhiÒu v× çc ®iÒu kiÖn b¶o toµn sè h¹t tù ®éng ®−îc tu©n theo do sù ®èi xøng cña phæ mét h¹t víi λ, cßn çc ®Æc tr−ng cña hÖ ®−îc tÝnh ®Õn trong mËt ®é tr¹ng th¸i th«ng qua çc th«ng sè g, m 2 vµ ∆0. Chóng ta nghiªn cøu d¹ng phô thuéc cña hµm t−¬ng quan ∆ vµo nhiÖt ®é t = β . Çc hµm t−¬ng quan ë tr¹ng th¸i c¬ b¶n ∆0 vµ ë tr¹ng th¸i kÝch thÝch ∆ liªn quan víi nhau b»ng hÖ thøc: -1 ∆0 ∞ n(ε)dε ln = 2∫ = 2 2 ∆ 0 ε +∆ ∞ 2∫ 0 [ dx x 2 + (β ∆ ) 2 1 + exp( x 2 + (β ∆ ) 2 ) ] = 2I(β∆) (3.46) hÖ thøc nãi trªn dÔ dµng thu ®−îc nhê (3.26) vµ (3.38b). Chóng ta kh¶o s¸t hai tr−êng hîp tíi h¹n [10]. §Çu tiªn gi¶ thiÕt r»ng nhiÖt ®é t nhá (do ®ã β = t -1→ ∞) khi ®ã ∆ ~ ∆0 vµ ∆β >>1. B»ng çch ph©n tÝch thµnh chuçi, biÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n (3.46) vµ giíi h¹n ë sè h¹ng ®Çu tiªn ta cã: −β ∆ ⎜ 1+ x 2 / ⎡ 2 (β ∆ ) ⎤ ⎟ ∆0 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎠ ≈ 2∫ e ⎝ ln ∆ 0 ∞ ⎛ 2 ⎞ ) 65 π −β∆ dx =2 e β∆ 2β ∆ Tõ ®ã: ⎛ ⎛ 2π −β∆0 ⎞⎟ 2πt −∆0 / t ⎞⎟ e ⎟ = ∆0 ⎜⎜1− e ⎟ ∆ = ∆0 ⎜⎜1− ∆ β ∆ 0 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ (3.47) Do vËy khi nhiÖt ®é t¨ng, hµm t−¬ng quan gi¶m (gi¸ trÞ liªn kÕt gi¶m). Chóng ta t×m gi¸ trÞ t mµ ë ®ã hµm t−¬ng quan ∆ tiÕn tíi 0. §Ó lµm vËy ta nghiªn cøu vïng β mµ ∆β <<1. RÊt thuËn tiÖn biÓu diÔn tÝch ph©n I(β∆) d−íi d¹ng: I(β∆) = I1 + I 2 (3.48) 1 ∞⎛ I1 = ∫ ⎜ 2 0⎝ ë ®©y 1 x2 +(β∆)2 − th(x / 2) ⎞ ⎟ dx x ⎠ (3.48a) ( ) ( ) 2 ⎞ 2 ∞⎛ 1 ⎜ th(x / 2) th x + β∆ / 2 ⎟ I2 = ∫ ⎜ − ⎟⎟ dx 2 2 2 0⎜ x x + β∆ ⎠ ⎝ 2 I1 = ln [π / ( γ β ∆ )] TÝch ph©n (3.48a) b»ng [9]: (3.48b) (3.49) ë ®©y lnγ = c = 0,577 - h»ng sè ¬le. Bëi v× khi ∆β = 0, tÝch ph©n I2 = 0 nªn ph©n tÝch I2 thµnh chuçi theo (∆β)2 vµ giíi h¹n ë sè h¹ng ®Çu tiªn ta thu ®−îc: 2 ∞ ( β∆) dx ⎛ 1 x ⎞ th =− ' I2 sö dông khai triÓn th ∫ x ⎜⎝ x 4 ⎟ 2⎠ 0 ∞ x 1 =4x∑ 2 ®èi víi I2 ta sÏ cã: 2 2 n = 0 π (2n + 1) + x 2 ∞ dx 2 2 2 0 [ π + ( 2 n + 1) + x ] ∞ 2I 2 =4(β∆ ) 2 ∑ ∫ n=0 2 (β∆ ) 2 ∞ 1 7 (β∆ ) 2 ξ(3) = = ∑ π 2 n = 0 ( 2n + 1) 2 8π 2 (3.50) ë ®©y ξ(3) lµ hµm Riman [9]. Nh− vËy ®èi víi tr−êng hîp ∆β <<1 ta thu ®−îc: 2 ∆ πt 7ζ(3) ⎛ ∆ ⎞ ln 0 = ln + 2 ⎜ ⎟ γ ∆ 8π ⎝ t ⎠ ∆ (3.51) Tõ (3.51) thÊy r»ng hµm t−¬ng quan tiÕn tíi 0 khi: t th = γ∆ 0 = 0.567∆ 0 π (3.52) 66 NhiÖt ®é tth x¸c ®Þnh ®iÓm chuyÓn pha tõ pha siªu ch¶y ∆≠0 sang pha b×nh th−êng ∆ = 0. Khi t < tth , hÖ ®−îc m« t¶ b»ng çc hÖ thøc cña mÉu siªu ch¶y mµ chóng sÏ thu ®−îc trong ch−¬ng nµy, cßn khi t ≥ tth th× hÖ ®−îc m« t¶ b»ng çc hÖ thøc cña mÉu çc h¹t ®éc lËp trong ch−¬ng 2. Khi lÊy gÇn ®óng liªn tôc, çc biÓu thøc ®èi víi entr«py S, m« men qu¸n tÝnh f vµ n¨ng l−îng kÝch thÝch U cã d¹ng: ∞ [ ] S = g ∫ β ε 2 + ∆2 n − ln(1 − n ) d ε (3.53) 0 ∞ ℑ = βg m ∫ n (1 − n ) dε 2 (3.54) 0 ∞ U = g∫ [ ε ë ®©y [ 0 2 + ∆20 ( − ε 2 n = 1+ exp β ε2 + ∆2 + ∆20 (1 − 2n)]dε + )] ∆2 − ∆20 G (3.55) −1 (3.56) NhiÖt ®é t = β-1 chóng ta lÊy tõ ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i (3.55). Khi chó ý r»ng ë t = tth, hµm t−¬ng quan cã gi¸ trÞ 0, tõ ph−¬ng tr×nh (3.55) kh«ng khã kh¨n chóng ta thu ®−îc n¨ng l−îng chuyÓn pha Uth = at 2th + g ∆20 = 0,778 g ∆20 4 (3.57) Khi U > Uth çc hÖ thøc cña mÉu siªu ch¶y chuyÓn thµnh çc hÖ thøc cña mÉu khÝ Fermi cã n¨ng l−îng kÝch thÝch hiÖu dông: U hd g ∆20 =U− = U − E tt 4 (3.58) Nh− vËy hiÖu øng t−¬ng t¸c d− cña lo¹i t−¬ng quan xuÊt hiÖn trong tÊt c¶ çc vïng n¨ng l−îng kÝch thÝch U : Trong pha siªu ch¶y khi U < Uth ®Ó m« t¶ çc ®Æc tr−ng thèng kª cÇn ph¶i sö dông çc hÖ thøc cña mÉu çc gi¶ h¹t ®éc lËp, khi U > Uth çc hÖ thøc nµy chuyÓn thµnh çc ph−¬ng tr×nh cña mÉu çc h¹t ®éc lËp víi n¨ng l−îng kÝch thÝch hiÖu dông Uhd. Khi ®ã ý nghÜa vËt lý cña Ett trë nªn râ rµng h¬n: ë n¨ng l−îng cao U > Uth ®Ó kÝch thÝch hÖ cÇn mÊt n¨ng l−îng b»ng n¨ng l−îng tÝch tô Eht ®Ó "bøt çc hÖ ra" vµ sau ®ã kÝch thÝch hÖ nh− khi çc h¹t Fermi ®éc lËp. Çc biÓu thøc (3.53) – (3.55) ®èi víi S, ℑ vµ U vµ thËm chÝ c¶ (3.46) ®èi víi ∆/∆0 trong [53] ®−îc ph©n t¸ch thµnh chuçi çc hµm Mac®onal vµ phô thuéc vµo t/tth. Çc kÕt qu¶ thu ®−îc chØ ra trªn h×nh 3.3. 67 H×nh 3.3. Sù phô thuéc nhiÖt ®é cña çc ®Æc tr−ng thèng kª cña hÖ cã phæ mét h¹t rêi r¹c ë çc biÕn kh«ng thø nguyªn (tth = 0,567∆0 ) [43]. Çc ®¹i l−îng cña mÉu khÝ Fermi t−¬ng øng víi çc ®−êng ®øt nÐt. Tõ h×nh vÏ râ rµng lµ cã sù kh«ng liªn tôc (gÉy khóc) cña çc ®¹i l−îng khi t = tth - xuÊt hiÖn sù chuyÓn pha lo¹i hai. T¹i ®iÓm chuyÓn pha khi t = tth hµm t−¬ng quan b»ng 0. Khi t > tth entropy S, n¨ng l−îng kÝch thÝch U vµ m«men qu¸n tÝnh ℑ phô thuéc vµo nhiÖt ®é nh− çc ®¹i l−îng t−¬ng øng ë mÉu khÝ Ferni: S = at ; U = at2 + g∆20/4, ℑ = m 2 g . Tõ h×nh vÏ còng thÊy r»ng sù t−¬ng t¸c cña lo¹i t−¬ng quan sÏ dÉn ®Õn sù gi¶m m¹nh m«men qu¸n tÝnh ë vïng nhiÖt ®é thÊp. Nh− vËy t−¬ng t¸c d− cña lo¹i t−¬ng quan tá ra cã ¶nh h−ëng ®ñ m¹nh lªn quy luËt cña çc ®Æc tr−ng thèng kª cña hÖ. Khi tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i h¹t nh©n nh− mét hÖ hai thµnh phÇn bao gåm proton vµ n¬tron, th−êng xuÊt ph¸t tõ ®iÒu kiÖn kh«ng cã t−¬ng t¸c t−¬ng quan gi÷a n¬tron vµ proton mµ nã cã d¹ng [12, 21]. λZ −λN > 2∆0 (3.59) Tøc lµ sù kh¸c nhau vÒ thÕ n¨ng ho¸ häc cña hÖ proton vµ n¬tron ph¶i v−ît qu¸ 2∆0. Trong çc h¹t nh©n phøc t¹p th× ®iÒu kiÖn nµy lu«n ®−îc tho¶ m·n. VÊn ®Ò vÒ t−¬ng quan n¬tron – pr«ton trong çc h¹t nh©n nhÑ ch−a ®−îc gi¶i quyÕt. Chóng ta gi¶ thiÕt r»ng ®iÒu kiÖn (2.59) ®−îc tho¶ m·n. Khi ®ã Hamilton cña h¹t nh©n cã tÝnh ®Õn t−¬ng t¸c cÆp cña lo¹i t−¬ng quan cã d¹ng: ˆ = H ⎛ τ= Z , N ⎝ v σ ∑ ⎜∑ε τv ⎞ a + τ v σa τ v σ + G τ ∑ a + τ v a + τ v a + τ v a + τ v ⎟ vv ' ⎠ + − '− '+ (3.60) Çc hÖ thøc ®Ó tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i h¹t nh©n trong mÉu çc gi¶ h¹t ®éc lËp ë gÇn ®óng momen nhá cã d¹ng gièng nh− ë mÉu çc h¹t ®éc lËp. Chóng ®−îc x¸c ®Þnh b»ng çc hÖ thøc (2.53) vµ (2.54). Khi ®ã Entr«py S, th«ng sè phô thuéc spin σ2 vµ çc yÕu tè cña ®Þnh thøc D ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: { } S = 2 ∑ ∑ [β E τ v n τ v − ln (1 − n τ v )] τ=Z,N σ2 = v ⎡ ∑ ⎢⎣∑m τ = Z, N v 2 τv ⎤ n τ v (1 − n τ v )⎥ ⎦ 68 (3.61) (3.62) ⎧⎪ ⎡ 2 ⎫ ∆2τ λ2τ 2 ⎤⎪ 2 ( D ββ = 2 ∑ ⎨ ∑ ⎢ (E τ ν − λ τ ) n τ v (1 − n τ ν ) + 1 − 2 n τ ν ) ⎥ ⎬ (3.63a) τ = Z, N ⎪ v ⎢ Eτv ⎥⎦ ⎪⎭ ⎩ ⎣ ⎡ ⎤ ∆2 (3.63b) D α N α N = ∑ ⎢ 2 n N v (1 − n τ v ) + 2 N (1 − 2 n τ ν )⎥ v ⎢ E ⎥ Nν ⎣ ⎦ Dβα N = λ N D α N α N (3.63c) Çc gi¸ trÞ Dβαz vµ Dαzατ thu ®−îc tõ DβαN vµ DαNα b»ng çch thay Z vµo N. Trong çc c«ng thøc (3.60) - (3.63) çc ®¹i l−îng n τν lµ trung b×nh sè lÊp ®Çy: [ ( nτ ν = [1+ exp ( β Eτ ν )] = 1 + exp β (ετν − λτ ) + ∆2τ −1 2 )] −1 (3.64) Çc ®Æc tr−ng thèng kª S, σ2 vµ çc yÕu tè ®Þnh thøc D ph¶i ®−îc tÝnh ë ®iÓm yªn ngùa mµ çc to¹ ®é β,αz vµ αN cña nã thu ®−îc b»ng çch gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: ⎧ ∆2τ − ∆ 0 τ ⎫ 0 U = ∑ ⎨ ∑ [E τν − E τν (1 − n τν )] + ⎬ τ= Z,N Gτ ⎭ ⎩v (3.65a) ⎤ ⎡ ετ ν − λ τ Z⎫ ( ) 1 1 2 n = − − ∑ ⎢ ⎬ τν ⎥ N ⎭ ν ⎣⎢ Eτν ⎦⎥ (3.65b) Çc ph−¬ng tr×nh ®Ó x¸c ®Þnh çc hµm t−¬ng quan ∆Z vµ ∆N cã d¹ng: 1 − 2n τ ν 2 =∑ G Eτν (3.65c) 2 ë ®©y: Eτ v = (ετ v − λτ ) 2 + ∆2τ , E0τ v = (ετ v − λ0 τ ) + ∆20 τ , çc hµm t−¬ng quan ∆0τ vµ çc thÕ n¨ng ho¸ häc λ0τ ë tr¹ng th¸i c¬ b¶n ®−îc x¸c ®Þnh b»ng ph−¬ng tr×nh sau : ⎛ ετν − λ 0τ Z⎫ ⎜ 1 = − ∑ ⎬ ν ⎜ N⎭ E 0τ ν ⎝ 2 1 =∑ 0 G ν E τν ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (3.66) 69 H×nh 3.4. Sù phô thuéc n¨ng l−îng cña çc ®Æc tr−ng thèng kª cña h¹t nh©n U236 (®−êng liÒn nÐt) vµ Hf176 (®−êng ®øt nÐt). Trong [15] ®· tÝnh to¸n çc ®Æc tr−ng thèng kª cña çc h¹t nh©n 176Hf vµ 236U cã kÓ ®Õn t−¬ng quan cÆp (xem h×nh 3.4). ë c«ng tr×nh nµy ®· sö dông s¬ ®å møc mét h¹t Nilx¬n cho çc h¹t nh©n biÕn d¹ng nÆng. §èi víi h¹t nh©n biÕn d¹ng, çc hiÖu øng kh«ng ®ång nhÊt cña phæ mét h¹t lµ nhá, vai trß t−¬ng t¸c cÆp thÓ hiÖn rÊt râ. Trªn h×nh vÏ chóng ta thÊy rÊt râ vai trß t−¬ng t¸c cÆp : çc gÉy khóc cña hµm mËt ®é tr¹ng th¸i vµ sù gi¶m m¹nh cña m«men qu¸n tÝnh ë vïng n¨ng l−îng kÝch thÝch thÊp. 3.4 Gi¶i ph¸p lo¹i trõ m« t¶ çc ®Æc tr−ng thèng kª trong mÉu siªu ch¶y. ViÖc m« t¶ mËt ®é tr¹ng th¸i h¹t nh©n trong mÉu siªu ch¶y truyÒn thèng víi çc yÕu tè ma trËn t−¬ng t¸c cÆp æn ®Þnh cã mét nh−îc ®iÓm rÊt lín lµ ngay c¶ ®èi víi hÖ cã phæ ph©n bè ®Òu còng kh«ng thu ®−îc çc biÓu thøc ®èi víi çc ®Æc tr−ng thèng kª ë d¹ng gi¶i tÝch. Nh−îc ®iÓm nµy cã thÓ kh¾c phôc ®−îc ë ph−¬ng ph¸p kh¸c m« t¶ ¶nh h−ëng cña t−¬ng t¸c cÆp. Ph−¬ng ph¸p nµy ®· ®−îc ®−a ra trong [55] khi nghiªn cøu tÝnh chÊt nhiÖt ®éng häc cña chÊt siªu dÉn. Gi¶i ph¸p nh− vËy th−êng ®−îc gäi lµ gi¶i ph¸p lo¹i trõ [56] ®· ®−îc ph¸t triÓn trong [57] ®Ó kh¶o s¸t çc ®Æc tr−ng thèng kª cña mÉu h¹t nh©n siªu ch¶y. Trong gi¶i ph¸p lo¹i trõ, hamilton cña hÖ mét thµnh phÇn ®−îc m« t¶ ë d¹ng: Ĥ = ∑ ε vσ a +vσ a vσ − ∑ G vv ' a + v + a +v − a v ' − a v ' + vσ (3.67) vv ' Nhê ph−¬ng ph¸p biÕn ph©n t−¬ng tù nh− ë §3.1 ®èi víi < Ĥ − λN̂ >0 cã thÓ thu ®−îc: 70 ⎧⎪ ⎫⎪ ⎡ εν − λ ⎤ ∆2ν ∑ν ⎨⎪(εν − λ) ⎢1− E (1− 2n ν )⎥ − 2E (1− 2n ν )⎬⎪ ν ν ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ Ĥ− λN̂ = 0 (3.68) HÖ thøc (3.68) kh¸c (3.30) ë chç hµm t−¬ng quan ∆ν hiÖn giê phô thuéc vµo chØ sè cña tr¹ng th¸i mét h¹t vµ ®−îc x¸c ®Þnh b»ng ph−¬ng tr×nh: ∆ν = ∑G ν' νν ' 1 − 2n ν ' ∆ ν' E ν' (3.69) n ν = [1 + exp( E ν / t ) ] ; E ν = ( ε ν − λ ) 2 + ∆2ν −1 ë ®©y lµ trung b×nh sè lÊp ®Çy vµ n¨ng l−îng cña tr¹ng th¸i gi¶ h¹t thø ν t−¬ng øng. Trong [55] ®· chØ ra r»ng ®èi víi d¹ng chung cña yÕu tè ma trËn Gνν', cã thÓ gi¶i ng¾n gän bµi to¸n t−¬ng t¸c cÆp nÕu nghiÖm çc ph−¬ng tr×nh (3.69) ë d¹ng ph©n t¸ch: ∆ ν ( t ) = ∆(ε ν )f ( t ) 370 (3.70) Thay thÕ (3.70) vµo (3.69) vµ chia hai vÕ cho f(t) th× thu ®−îc : (1 − 2 n ν ' ) / E ν ' = th ( E ν ' / 2 t ) / E ν ' = K ν ' kh«ng phô thuéc vµo nhiÖt ®é t. So s¸nh Kν' khi t = 0, tÊt c¶ E ν' = (ε ) ( ) 2 ν' − λ + ∆20 ε ν ' (3.71) nν = 0 vµ víi Kν' khi t = tth , ∆ν' = 0 vµ Eν' = εν' - λ ta sÏ cã: 1 (ε ν − λ ) 2 + ∆20 (ε ν ) = th [(ε ν − λ ) /( 2 t th )] εν − λ (3.72) Khi ®ã hµm phô thuéc n¨ng l−îng cña ∆0ν cña tr¹ng th¸i mét h¹t cã d¹ng: ∆ 0 (ε ν ) = (ε ν − λ ) / sh[(ε ν − λ ) /( 2 t th )] (3.73) tõ ®ã suy ra hÖ thøc liªn kÕt ∆0 (εF) víi tth: ∆ 0 (ε F )= 2t (3.74) th Chóng ta thu ®−îc ph−¬ng tr×nh ®èi víi f(t) tõ (3.71) khi gi¶ thiÕt εν = εF. §Ó lµm ®iÒu ®ã chóng ta so s¸nh Kν' ë t = 0 víi Kν' ë t bÊt kú: th[∆(ε F )f ( t ) /( 2t th )] 1 = ∆ (ε F ) ∆ (ε F )f ( t ) (3.75) Thay thÕ (3.74) vµo (3.75) ®èi víi f(t) ta sÏ cã ph−¬ng tr×nh : f ( t ) = th[t th f ( t ) / t ] (3.76) 71 ë gi¶i ph¸p nµy, entr«pyvµ çc ph−¬ng tr×nh ®Ó x¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm yªn ngùa trïng víi çc hÖ thøc t−¬ng tù cña mÉu siªu ch¶y chØ ë hµm t−¬ng quan cã phô thuéc chØ sè tr¹ng th¸i mét h¹t ν hay kh«ng. Chóng ta h·y kh¶o s¸t çc ®Æc tr−ng thèng kª cña hÖ cã phæ mét h¹t rêi r¹c ë gÇn ®óng nhiÖt ®é thÊp vµ liªn tôc. TÝnh to¸n n¨ng l−îng tÝch tô Ett b»ng hÖ thøc (3.41) trong môc 3.3. ∞ ⎤ ∆20 g ⎡ (ε − λ 0 ) 2 ⎥ ⎢ + − ε − λ 0 dε 2 ∫0 ⎢ (ε − λ 0 ) 2 + ∆20 2 (ε − λ 0 ) 2 + ∆20 ⎥⎦ ⎣ ∞ ∞ ⎡ ⎤ x x dx π2 = g ∫ ⎢ xth + − x ⎥ dx = 2g ∫ = gt 2th 2t th sh ( x / t th ) ⎦ exp(2 x / t th ) −1 12 0⎣ 0 E tt = (3.77) Çc ®¹i l−îng U, S, σ2 vµ D khi t < ttt cã d¹ng : [ π2 2 U = E − E 0 = gt th 1 − f 2 ( t ) 4 [ π 2 t 2th S= g 1 − f 2 (t) 3 t [ (3.78a) ] (3.78b) σ 2 = g m 2 t th 1 − f 2 ( t ) [ ] ] (3.78c) ][ ] 2 π2 2 4 D = g t th 1 + f 2 ( t ) 1 − f 2 ( t ) (3.78d) 3 Kh«ng khã kh¨n ®Ó thu ®−îc çc biÓu thøc nµy nÕu sö dông (3.71) vµo gÇn ®óng liªn tôc : [ th x 2 + ∆2 /(2t th ) x 2 + ∆2 ]= 1 x 2 + ∆20 = th[x /(2t th )] x (3.79) Çc hµm t−¬ng quan D(εF) theo gi¶i ph¸p nµy vµ ∆0 trong mÉu siªu ch¶y truyÒn thèng x¸c ®Þnh ®é ph©n t¸ch n¨ng l−îng trong phæ çc tr¹ng th¸i kÝch thÝch cña hÖ ch½n. Râ rµng r»ng khi l−îng ph©n t¸ch nh− nhau 2∆(εF) = 2∆0 sù phô thuéc n¨ng l−îng cña yÕu tè ma trËn t−¬ng t¸c cÆp dÉn ®Õn sù thay ®æi n¨ng l−îng tÝch tô vµ nhiÖt ®é tíi h¹n chuyÓn pha. Sù kh¸c biÖt t−¬ng tù còng ®−îc t×m thÊy ë çc ®Æc tr−ng thèng kª kh¸c. Tuy nhiªn ë phæ mét h¹t ®· cho, çc th«ng sè cña t−¬ng t¸c t−¬ng quan sÏ ®−îc lùa chän sao cho ë c¶ hai gi¶i ph¸p, nhiÖt ®é tíi h¹n ®Òu trïng nhau th× sù kh¸c biÖt vÒ d¹ng phô thuéc nhiÖt ®é vµ n¨ng l−îng cña mËt ®é tr¹ng th¸i vµ çc ®Æc tr−ng thèng kª kh¸c cña hÖ lµ nhá vµ bá qua. Mèi liªn hÖ sau gi÷a çc th«ng sè t−¬ng øng víi çc ®iÒu kiÖn ®ã lµ: ∆(εF) = 1,134∆0 (3.80) 72 Sù phô thuéc n¨ng l−îng entr«py S, th«ng sè phô thuéc spin σ2 vµ nhiÖt ®é t ®èi víi h¹t nh©n56Fe thu ®−îc ë [58] nhê çc hÖ thøc cña hai gi¶i ph¸p. Tõ h×nh 3.5 thÊy râ rµng lµ sù kh¸c biÖt cña çc hµm nhiÖt ®éng lµ cùc tiÓu. Trong khi ®ã trong çc c«ng thøc tÝnh to¸n, gi¶i ph¸p lo¹i trõ tá ra ®¬n gi¶n vµ thuËn tiÖn h¬n. Chóng ta h·y xÐt çc c«ng thøc mµ chóng ®−îc sö dông ®Ó m« t¶ mËt ®é møc h¹t nh©n víi phæ mét h¹t rêi r¹c trong gi¶i ph¸p lo¹i trõ. MËt ®é møc h¹t nh©n ë n¨ng l−îng kÝch thÝch U vµ m« men gãc J cè ®Þnh cã d¹ng [59] : ρ(U,J) = ( 2 J + 1) 2 2πσ 3 D 1/ 2 ⎛ (J + 1 / 2) 2 exp ⎜⎜ S − 2σ 2 ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ (3.81) §èi víi mËt ®é møc toµn phÇn ρ(U) cã thÓ viÕt: ρ(U) = exp( S) 2π σ D (3.82) 1/ 2 Mét trong nh÷ng th«ng sè c¬ b¶n cña mÉu nµy lµ hµm t−¬ng quan ∆0 mµ nhiÖt ®é chuyÓn pha ttt liªn hÖ trùc tiÕp víi nã tõ tr¹ng th¸i siªu ch¶y sang tr¹ng th¸i b×nh th−êng: t th = 0,567 ∆ 0 (3.83) H×nh 3.5. Sù phô thuéc n¨ng l−îng cña çc ®Æc tr−ng thèng kª cña h¹t nh©n Fe56 trong mÉu siªu ch¶y. §−êng liÒn nÐt: TÝnh theo gi¶i ph¸p truyÒn thèng (G = const). §−êng ®øt nÐt: TÝnh theo gi¶i ph¸p lo¹i trõ. D−íi ®iÓm chuyÓn pha t < tth, sù phô thuéc nhiÖt ®é cña U, S, σ2 vµ D cã d¹ng nh− sau : 73 U = U th (1 − f 2 ); S = Sth t th (1 − f 2 ) / t ; σ 2 = (6 / π 2 )a m 2 (1 − f 2 ) t th ; (3.84) D = D th (1 + f 2 ) 2 (1 − f 2 ) 3 ; ë ®©y Uth, Sth vµ Dth lµ çc ®¹i l−îng t−¬ng øng ®−îc x¸c ®Þnh ë nhiÖt ®é tíi h¹n: g∆20 3 a ∆20 = U th = a t + E tt ; E tt = 4 2π 2 144 3 5 S th = 2a t th ; D th = a t th π 2 th (3.85) Hµm f = (1- U/Uth)1/2 liªn quan víi nhiÖt ®é b»ng ph−¬ng tr×nh (3.76) mµ tõ nã cã thÓ thu ®−îc d¹ng phô thuéc f cña t: t = 2 f t th / ln[(1 + f ) /(1− f )] (3.86) ë nhiÖt ®é cao h¬n nhiÖt ®é tíi h¹n (t > tth) çc ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i cña mÉu çc gi¶ h¹t ®éc lËp kh¸c víi çc ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i cña khÝ Fermi chØ ë sù dÞch chuyÓn n¨ng l−îng kÝch thÝch sang n¨ng l−îng tÝch tô: U = a t 2 + E tt ; S = 2at = 2 a ( U − E tt ) σ2 = 6 144 3 5 a m2 t ; D = a t 2 π π (3.87) NÕu so s¸nh (3.81) – (3.87) víi (2.44) – (2.48), rÊt dÔ dµng thÊy r»ng çc hÖ thøc cña mÉu siªu ch¶y phøc t¹p h¬n chót Ýt so víi çc hÖ thøc cña mÉu khÝ Fermi. Tuy nhiªn mÉu siªu ch¶y th−êng ®−îc sö dông ®Ó m« t¶ çc sù kh¸c biÖt ch½n lÎ trong mËt ®é møc h¬n lµ mÉu khÝ Fermi. Sù kh¸c biÖt trong mÉu khÝ Fermi ®−îc tÝnh nhê c«ng thøc b¸n thùc nghiÖm (2.51) tÝnh δ t−¬ng øng cña n¨ng l−îng kÝch thÝch. Nh− ®· chøng minh trong [54], sù kh¸c biÖt ch½n lÎ cña çc ®Æc tr−ng thèng kª trong mÉu çc gi¶ h¹t ®éc lËp ®−îc x¸c ®Þnh b»ng dÞch chuyÓn n¨ng l−îng cña tr¹ng th¸i c¬ b¶n cña hÖ. Cã thÓ tÝnh chóng ®−îc nÕu nh− trong çc hÖ thøc (3.81) – (3.87) sö dông ®¹i l−îng sau nh− n¨ng l−îng kÝch thÝch : 0 - víi h¹t nh©n ch½n ch½n U* = U + ∆0 - h¹t nh©n lÎ (3.88) 2∆0 - h¹t nh©n lÎ lÎ vÊn ®Ò nµy sÏ ®−îc th¶o luËn kü h¬n trong ch−¬ng 5. 74 Ch−¬ng 4 m« t¶ hiÖn t−îng luËn mËt ®é møc h¹t nh©n nguyªn tö 4.1 M« t¶ hiÖn t−îng luËn ¶nh h−ëng chuyÓn ®éng tËp thÓ lªn mËt ®é møc. Trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y ng−êi ta chó ý nhiÒu ®Õn sù t¨ng tËp thÓ cña mËt ®é møc [43]. §¬n gi¶n nhÊt lµ ¶nh h−ëng cña chuyÓn ®éng tËp thÓ lªn mËt ®é møc ®−îc kh¶o s¸t trong khu«n khæ mÉu suy réng. §Ó m« t¶ mËt ®é tr¹ng th¸i ω(E) trong mÉu suy réng ng−êi ta gi¶ thiÕt r»ng x¶y ra gÇn ®óng gi¸n ®o¹n (1.74) vµ Hamilton Ĥ cïng hµm sãng cña nã cã thÓ viÕt ë d¹ng (1.75) vµ (1.76) tøc lµ: Ĥ = Ĥin + Ĥvib + Ĥrot ; ψ = ψvibψinψrot Çc møc n¨ng l−îng – çc gi¸ trÞ riªng cña to¸n tö Ĥ cã d¹ng [4]: 1 h2 E = Ein + hω (ν + ) + J(J +1) 2 2ℑ⊥ (4.1) 2 ë ®©y Ein, hω , h / 2ℑ⊥ - n¨ng l−îng cña çc l−îng tö chuyÓn ®éng néi t¹i, dao ®éng vµ quay t−¬ng øng, ν vµ J lµ çc sè l−îng tö dao ®éng vµ quay ; ℑ⊥ - m« men qu¸n tÝnh ®èi víi trôc vu«ng gãc víi trôc ®èi xøng cña h¹t nh©n. Theo §1.1, mËt ®é tr¹ng th¸i ω ®−îc x¸c ®Þnh b»ng ph−¬ng ph¸p biÕn ®æi Laplax ng−îc tõ tæng thèng kª Q(β) mµ ®èi víi Hamilton cña hÖ (1.75) cã thÓ viÕt nh− sau: [ ( )] [ ( ( ))] = )] Sp [exp (− β Ĥ )] Sp [exp (− β Ĥ )] = Q (β ) = Sp exp − β Ĥ = Sp exp − β Ĥ in + Ĥ vib + Ĥ rot [ ( = Sp exp − β Ĥ in vib rot (4.2) = Q in (β ) Q vib (β ) Q rot (β ) ∞ ë ®©y: Q vib (β) = ∑ e −hω( ν+1/ 2)β (4.3) ν =0 lµ tæng thèng kª cña dao ®éng. ∞ ⎡ h 2β ⎤ Q rot (β) = ∑ (2J + 1) exp ⎢− J (J + 1)⎥ J =0 ⎣ 2ℑ ⊥ ⎦ (4.4) lµ tæng thèng kª cña chuyÓn ®éng quay. Trong c«ng thøc (4.4), thõa sè (2J+1) chØ ra ®é suy biÕn møc víi J ®· cho. Chóng ta quay l¹i tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i. Chóng ta nhËn thÊy r»ng tÝch ph©n chuyÓn ®éng duy nhÊt chung cho c¶ ba lo¹i chuyÓn ®éng lµ n¨ng l−îng toµn phÇn E cña hÖ. Trong tr−êng hîp nµy theo §1.1, khi tÝnh ω(E) chóng ta sö dông 75 (1.10) vµ (1.11). Sö dông ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa ®èi víi ω(E) chóng ta thu ®−îc: expS(β0 ) ω(E) = (4.5) 1 ∂2 lnQ 2 2π ∂β2 β=β 0 cßn to¹ ®é ®iÓm yªn ngùa β0 th× thu tõ ph−¬ng tr×nh: ∂S / ∂β = 0 (4.6) nhê (1.11) vµ (4.2) cã thÓ viÕt ë d¹ng: E=− ∂ ln Q vib ∂ ln Q rot ∂ ln Q in − − ∂β ∂β ∂β (4.6a) NÕu gi¶ thiÕt r»ng nhiÖt ®é t = β0-1 nh− gi¶ thiÕt rót ra tõ ph−¬ng tr×nh (4.6a) lµ yÕu tè quan träng ®Çu tiªn cña ph−¬ng tr×nh nµy, tøc lµ phÇn lín n¨ng l−îng chuyÓn thµnh kÝch thÝch bËc tù do néi t¹i th× cã thÓ viÕt mét çch gÇn ®óng: ω (E ) = ω in (E )K vib ( t ) K rot ( t ) (4.7) ë ®©y ωin(E) - mËt ®é tr¹ng th¸i bËc tù do néi t¹i th−êng ®−îc ®ång nhÊt víi mËt ®é tr¹ng th¸i cña mÉu çc gi¶ h¹t ®éc lËp [59]: Kvib = Qvib(t) (4.8) Krot = Qrot (t) (4.9) Çc hÖ sè t¨ng cña mËt ®é tr¹ng th¸i dao ®éng vµ quay ®−îc tÝnh ë nhiÖt ®é t = β0-1 mµ nhiÖt ®é nµy lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh tr¹ng th¸i: E = −∂ ln Q in / ∂β (4.10) Chóng ta sÏ thu ®−îc tæng thèng kª cña chuyÓn ®éng quay vµ dao ®éng ®Ó ®¸nh gi¸ ®ãng gãp cña chuyÓn ®éng tËp thÓ vµo mËt ®é tr¹ng th¸i. Tr−íc hÕt chóng ta h·y tÝnh hÖ sè quay cña (4.4). Trong h¹t nh©n, n¨ng l−îng l−îng tö quay h 2 /(2ℑ⊥ ) vµo kho¶ng mét vµi KeV [21]. Gi¶i ph¸p thèng kª sÏ ®−îc sö dông ®Ó m« t¶ çc hiÖn t−îng h¹t nh©n ë n¨ng l−îng kÝch thÝch cì mét vµi MeV t−¬ng øng víi nhiÖt ®é t cì 1 MeV. Do ®ã h 2 /(2ℑ⊥ ) << t. Trong tr−êng hîp nµy ®ãng gãp chÝnh vµo tæng (4.4) lµ do çc thµnh phÇn cã J lín. Thay tæng (4.4) b»ng tÝch ph©n ta thu ®−îc [10]: ∞ ⎡ h 2β ⎤ K rot ( t ) = ∫ (2J + 1) exp ⎢− J(J + 1)⎥dJ ≈ 2ℑ ⊥ t / h 2 ⎣ 2ℑ ⊥ t ⎦ 0 (4.11) Còng ®¬n gi¶n nh− vËy ®Ó thu ®−îc hÖ sè t¨ng cña dao ®éng Kvib(t) = Qvib(t). §èi víi hÖ cã mét bËc tù do víi tÇn sè ω, tæng thèng kª Qvib(t) cã d¹ng (4.3). Chóng ta kh«ng tÝnh n¨ng l−îng dao ®éng cña tÇn sè thÊp nhÊt (ν = 0) cña møc dao ®éng tøc lµ ®−a ®¹i l−îng hω / 2 vµo Ein(4.1). Khi ®ã ta sÏ cã [10]: 76 ∞ K vib ( t ) = ∑ exp(− hων / t ) = ν =0 1 1 − exp(− hω / t ) (4.12) Trong h¹t nh©n cã thÓ xuÊt hiÖn çc l−îng tö dao ®éng hoÆc phonon cña çc ®a cùc kh¸c nhau. Çc phonon ®−îc ®Æc tr−ng b»ng m«men gãc λ, ®é ch½n lÎ (~1)λ, th«ng sè khèi l−îng Bλ vµ ®é cøng Cλ , mµ nã liªn quan trùc tiÕp víi tÇn sè cña phonon ωλ b»ng hÖ thøc ωλ = Cλ / Bλ . §èi víi h¹t nh©n, K vib ( t ) ë gÇn ®óng ®o¹n nhiÖt cã thÓ viÕt: ( λ) K vib (t ) = ∏Q(vib (t ) = ∏ 1 − e−hωλ / t λ ) − ( 2λ +1) (4.13) λ BËc (2λ +1) tÝnh ®Õn sù suy biÕn sinh phonon. Tõ biÓu thøc (4.13) ta suy ra r»ng çc phonon víi tÇn sè thÊp nhÊt ®ãng gãp chñ yÕu trong ph−¬ng tr×nh dao ®éng cña mËt ®é tr¹ng th¸i. Trong çc tÝnh to¸n Kvib(t) th−êng ®−îc giíi h¹n b»ng viÖc kh¶o s¸t çc phonon tø cùc víi λ = 2 vµ b¸t cùc λ = 3. Trong phÇn kÕt luËn, chóng ta cÇn nhí r»ng trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y nhÊt ®· ph¸t triÓn çc lý thuyÕt [43, 60, 61] mµ trong ®ã ®· tiÕn hµnh thö nghiÖm kh¶o s¸t ¶nh h−ëng cña chuyÓn ®éng tËp thÓ cña b¶n chÊt dao ®éng tíi çc ®Æc tr−ng thèng kª cña hÖ mµ kh«ng bæ sung tÝnh to¸n gÇn ®óng ®o¹n nhiÖt. 4.2 C«ng thøc Djinber - Cameron ®èi víi mËt ®é møc h¹t nh©n. VÞ trÝ cña bµi to¸n: Trong c«ng tr×nh Djinber vµ Cameron [26], bµi to¸n ®−îc gi¶i nh− sau : Dùa trªn nh÷ng th«ng tin thùc nghiÖm trùc tiÕp, cÇn thu ®−îc sù m« t¶ mËt ®é møc víi nhãm lín h¹t nh©n cã 22 ≤ A ≤245 trong vïng n¨ng l−îng kÝch thÝch ®ñ réng. §Ó lµm ®iÒu nµy, hai tæ hîp çc hÖ thøc gi¶i tÝch ®· ®−îc sö dông. ë vïng n¨ng l−îng kÝch thÝch thÊp çc t¸c gi¶ ®· sö dông mÉu nhiÖt ®é kh«ng ®æi víi çc c«ng thøc sau ®Ó tÝnh sè møc toµn phÇn N(E) víi n¨ng l−îng E ®· cho vµ mËt ®é møc h¹t nh©n ρ(E): N ( E ) = exp[( E − E 0 ) / T ] (4.14) ρ(E ) = dN / dE = exp[(E − E 0 ) / T ] / T (4.15) ë ®©y E - n¨ng l−îng kÝch thÝch, Eo vµ T lµ çc th«ng sè cña mÉu. Trong vïng n¨ng l−îng cao th× c«ng thøc cña mÉu khÝ Fermi ®−îc sö dông nh− sau: ρ( E ) ~ exp( 2 aE ) (4.16) víi a lµ th«ng sè mËt ®é møc. Çc sè liÖu phæ häc vÒ tr¹ng th¸i kÝch thÝch cña h¹t nh©n ®−îc sö dông lµm th«ng tin thùc nghiÖm vÒ mËt ®é møc h¹t nh©n. ë vïng n¨ng l−îng cao chñ yÕu lµ sè liÖu vÒ kho¶ng çch trung b×nh gi÷a çc céng h−ëng n¬tron sãng s. Bµi to¸n thùc tÕ lµ trªn c¬ së ph©n tÝch sè liÖu thùc nghiÖm theo kiÓu quan hÖ lo¹i (4.14) – (4.16) x¸c ®Þnh çc th«ng sè a, Eo vµ T, hÖ thèng chóng ®Ó cã ®−îc çch m« t¶ tèt ®èi víi mËt ®é møc cña çc h¹t nh©n mµ míi biÕt mét phÇn nhá th«ng tin thùc nghiÖm. 77 X¸c ®Þnh çc th«ng sè cña mÉu khÝ Fermi. Çc hÖ thøc thu ®−îc trong §2.3 ®· ®−îc sö dông ®Ó x¸c ®Þnh çc th«ng sè cña mÉu khÝ Fermi. MËt ®é møc trong mÉu nµy ®èi víi h¹t nh©n cã n¨ng l−îng kÝch thÝch U vµ m«men gãc J cã d¹ng (2.47): 2 ⎡ ( J +1/ 2) ⎤ ρ(U, J) = exp⎢2 aU − ⎥ 5 1 3 4 4 2σ2 ⎦ 24 2σ a U ⎣ vµ mËt ®é møc toµn phÇn ρ(U) biÓu thÞ b»ng c«ng thøc (2.48): exp(2 aU ) ρ( U) = 5 1 12 2σa 4 U 4 2J +1 ë ®©y th«ng sè phô thuéc spin σ2 tho¶ m·n c«ng thøc (2.45). Khi ®ã mËt ®é møc ®−îc x¸c ®Þnh b»ng n¨ng l−îng kÝch thÝch U vµ hai th«ng sè cña mÉu: th«ng sè mËt ®é møc a vµ trung b×nh b×nh ph−¬ng h×nh chiÕu m« men mét h¹t m 2 mµ nã ®−îc tÝnh nh− sau trong [26]: m 2 = 0 .146 A 2 / 3 (4.17) Trong viÖc t×m çc th«ng sè cña mÉu, n¨ng l−îng cÆp P(Z) vµ P(N) vµ çc bæ chÝnh líp S(Z) vµ S(N) ®èi víi çc thµnh phÇn proton vµ n¬tron cã vai trß quan träng. Çc ®¹i l−îng nµy ®· thu ®−îc ë [62] tõ c«ng thøc b¸n thùc nghiÖm cña khèi l−îng nguyªn tö víi d¹ng hµm mò. N¨ng l−îng cÆp vµ bæ chÝnh líp ®−îc biÓu diÔn trong b¶ng 4.1. Çc n¨ng l−îng cÆp P(z) vµ P(N) dïng ®Ó hiÖu chØnh sù kh¸c biÖt ch½n lÎ hÖ thèng ®· biÕt trong th«ng sè mËt ®é møc. §Ó lµm vËy trong çc hÖ thøc (2.45), (2.47), (2.48) cÇn sö dông ®¹i l−îng sau lµm n¨ng l−îng kÝch thÝch: U = E - P(Z) - P(N) (4.18) Tõ b¶ng 4.1 thÊy r»ng P(Z) vµ P(N) b»ng 0 ®èi víi Z lÎ hoÆc N lÎ. C«ng thøc (4.18) ®−îc luËn gi¶i nh− sau : tr−íc khi coi khÝ proton hoÆc n¬tron lµ khÝ çc h¹t ®éc lËp, cÇn thiÕt t¸ch cÆp çc nucleon vµ ph¶i tèn mÊt n¨ng l−¬ng P(Z) + P(N). §¸nh gi¸ nµy mang tÝnh bæ chÝnh thùc nghiÖm v× nã gi¶m kh¸c biÖt ch½n lÎ hÖ thèng trong çc gi¸ trÞ a. Sau khi lùa chän d¹ng phô thuéc (4.17) ®èi víi trung b×nh b×nh ph−¬ng h×nh chiÕu m« men m2 vµ çc hiÖu øng ch½n lÎ ®−îc hiÖu chØnh l¹i b»ng biÓu thøc (4.18), cã thÓ chuyÓn sang x¸c ®Þnh th«ng sè ch−a biÕt duy nhÊt cña mÉu - th«ng sè mËt ®é møc a. §iÒu nµy ®−îc lµm b»ng çch lµm khíp trùc tiÕp mËt ®é møc tÝnh ®−îc theo (2.47) víi çc kho¶ng çch trung b×nh D gi÷a çc céng h−ëng n¬tron sãng s mµ sè liÖu thùc nghiÖm cïng n¨ng l−îng liªn kÕt n¬tron Sn, spin cña h¹t nh©n bia ®−îc chØ ra trong b¶ng II.1 phÇn phô lôc. Çc gi¸ trÞ a thu ®−îc lµ c¬ së ®Ó x¸c ®Þnh çc th«ng sè m« t¶ ph©n ®o¹n ®èi víi tÊt c¶ çc h¹t nh©n mµ trong sè ®ã cã c¶ nh÷ng h¹t nh©n mµ kh«ng cã sè liÖu thùc nghiÖm vÒ mËt ®é céng h−ëng n¬tron. 78 B¶ng 4.1 N¨ng l−îng cÆp vµ bæ chÝnh líp N vµ Z P(Z),MeV P(N),MeV S(Z),MeV S(N),MeV 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 0.00 2.46 0.00 2.09 0.00 1.62 0.00 1.62 0.00 1.83 0.00 1.73 0.00 1.35 0.00 1.54 0.00 1.20 0.00 1.06 0.00 1.36 0.00 1.43 0.00 1.17 0.00 1.24 0.00 1.20 0.00 1.28 0.00 1.28 0.00 2.67 0.00 1.80 0.00 1.67 0.00 1.86 0.00 2.04 0.00 1.64 0.00 1.44 0.00 1.54 0.00 1.30 0.00 1.27 0.00 1.29 0.00 1.41 0.00 1.50 0.00 1.50 0.00 1.43 0.00 1.88 0.00 1.47 -2.91 -4.17 -5.72 -7.80 -8.97 -9.70 -10.10 -10.70 -11.38 -12.07 -12.55 -13.24 -13.93 -14.71 -15.53 -16.37 -17.36 -18.52 -18.44 -18.19 -17.68 -17.09 -16.65 -16.66 -16.59 -16.35 -16.18 -16.41 -16.60 -16.54 -16.42 -16.84 -17.22 -17.42 6.80 7.53 7.55 7.21 7.44 8.07 8.94 9.81 10.60 11.39 12.54 13.68 14.34 14.19 13.83 13.50 13.00 12.13 12.60 13.26 14.13 14.92 15.60 16.38 17.08 17.55 17.98 18.33 18.56 18.71 18.65 18.55 18.52 18.34 79 45 46 47 48 49 50 N vµ Z 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 0.00 1.35 0.00 1.36 0.00 1.19 P(Z),MeV 0.00 1.14 0.00 1.12 0.00 1.58 0.00 1.17 0.00 1.18 0.00 1.22 0.00 0.97 0.00 0.92 0.00 0.62 0.00 0.68 0.00 0.64 0.00 0.72 0.00 0.75 0.00 0.71 0.00 0.87 0.00 0.83 0.00 0.89 0.00 0.79 0.00 0.00 1.57 0.00 1.46 0.00 0.93 P(N),MeV 0.00 0.72 0.00 1.12 0.00 1.29 0.00 0.94 0.00 1.24 0.00 1.25 0.00 1.14 0.00 1.32 0.00 1.15 0.00 1.24 0.00 1.43 0.00 1.09 0.00 1.20 0.00 1.04 0.00 0.70 0.00 0.85 0.00 0.76 0.00 0.92 0.00 80 -17.52 -17.82 -18.19 -18.58 -19.11 -19.83 S(Z),MeV -19.14 -18.35 -17.40 -16.54 -15.68 -14.75 -13.71 -12.87 -12.18 -11.67 -11.09 -10.78 -10.53 -10.41 -10.21 -9.85 -9.36 -8.97 -8.56 -8.13 -7.68 -7.33 -7.11 -7.16 -7.05 -6.81 -6.56 -6.95 -7.52 -8.03 -8.41 -8.86 -7.71 -6.38 -5.47 -4.78 -4.37 18.01 17.38 16.56 15.62 14.38 12.88 S(N),MeV 13.24 13.71 14.40 15.16 15.89 16.43 16.97 17.59 18.08 18.72 19.22 19.51 19.73 19.19 20.06 20.16 20.09 19.83 19.41 19.06 18.66 17.73 17.03 16.44 16.00 15.33 14.49 13.42 12.28 11.14 10.10 9.09 10.00 10.64 11.18 11.70 12.22 88 89 90 91 92 93 0.89 0.00 0.78 0.00 0.69 0.00 0.99 0.00 1.10 0.00 0.92 0.00 -4.17 -4.12 -4.29 -4.61 -5.04 -5.48 12.71 13.05 12.99 12.62 12.11 11.66 N vµ Z 94 95 96 97 98 99 100 101 P(Z),MeV 0.61 0.00 0.72 0.00 0.77 - P(N),MeV 0.73 0.00 0.70 0.00 0.87 0.00 0.61 0.00 S(Z),MeV -5.96 -6.40 -6.87 -7.20 -7.74 - S(N),MeV 11.21 10.81 10.38 10.03 9.65 9.38 8.99 8.62 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 - 0.69 0.00 0.55 0.00 0.40 0.00 0.73 0.00 0.58 0.00 0.86 0.00 1.13 0.00 0.84 0.00 0.79 0.00 0.82 0.00 0.71 0.00 0.41 0.00 0.38 0.00 0.67 0.00 - 8.33 8.10 7.82 7.56 7.33 7.15 6.83 6.69 6.55 6.53 6.49 6.39 5.82 5.26 4.53 3.83 3.08 2.37 1.72 1.05 0.27 -0.69 -1.69 -2.58 -3.16 -1.72 -0.41 0.71 81 130 131 132 133 134 135 N vµ Z 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 - 0.61 0.00 0.78 0.00 0.67 0.00 - 1.66 2.62 3.22 3.76 4.10 4.46 P(Z),MeV - P(N),MeV 0.67 0.00 0.79 0.00 0.60 0.00 0.57 0.00 0.49 0.00 0.43 0.00 0.50 0.00 0.39 S(Z),MeV - S(N),MeV 4.83 5.09 5.18 5.17 5.10 5.05 5.04 5.03 4.99 4.98 5.11 5.27 5.39 5.37 5.30 Theo ®¸nh gi¸ b¸n cæ ®iÓn cña Bette [24, 25] ®èi víi mÉu h¹t nh©n nh− hÖ gåm A h¹t chuyÓn ®éng trong hè thÕ ®èi xøng cÇu cã b¸n kÝnh R = r0.A1/3, th«ng sè mËt ®é møc a phï hîp víi hÖ thøc (2.40) tøc lµ : a/A=const (4.19) Do vËy, th«ng sè a sÏ t¨ng tuyÕn tÝnh theo sè khèi A. NÕu biÓu diÔn trªn ®å thÞ sù phô thuéc cña a vµo A th× ta thu ®−îc bøc tranh nh− ë h×nh 2.2. Râ rµng r»ng çc gi¸ trÞ a thu ®−îc t¨ng cã hÖ thèng khi A t¨ng, song cã lÖch khái quy t¾c ®¬n gi¶n nãi trªn. Sù sai lÖch nãi trªn kh«ng liªn quan g× tíi hiÖu øng ch½n lÎ. Sù phô thuéc cña a nh− mét hµm cña A thÓ hiÖn râ sù cã mÆt cña hiÖu øng líp: a gi¶m trong vïng h¹t nh©n hai lÇn magic cã Z = 82 vµ N = 126. Çc líp víi N = 50 vµ N = 82 còng cho thÊy hiÖu øng nh− vËy. Trong mÉu cña Bete, kh«ng tÝnh ®Õn hiÖu øng líp. ¶nh h−ëng cña cÊu tróc líp cña phæ mét h¹t lªn th«ng sè a lÇn ®Çu tiªn ®−îc Niut¬n kh¶o s¸t trong [28]. Niut¬n ®· thay thÕ phæ rêi r¹c cña tr¹ng th¸i mét h¹t b»ng phæ trung b×nh ®· lµm khíp cña mÉu líp khi sö dông hµm träng sè Fermi - §ir¾c ®èi víi sè lÊp ®Çy trung b×nh. Trong mÉu líp, m« men gãc toµn phÇn jν cña tr¹ng th¸i mét h¹t lµ sè l−îng tö tèt. §èi víi hè thÕ vu«ng gãc b¸n kÝnh R = r0A1/3, mËt ®é tr¹ng th¸i mét h¹t cña mÉu líp ®èi víi A lín thay ®æi theo A2/3. Mçi tr¹ng th¸i ph©n t¸ch (2j+1) lÇn theo h×nh chiÕu m« mem gãc vµ do vËy mËt ®é tr¹ng th¸i mét h¹t thay ®æi d¹ng (jZ+jN+1)A2/3 ë ®©y jZ vµ JN lµ sè spin cña thµnh phÇn proton vµ n¬tron cña mÉu líp [63]. Khi 82 lÊy tdao ®éng b×nh jZ vµ jN ë gÇn n¨ng l−îng Fermi, Niut¬n thu ®−îc biÓu thøc cho th«ng sè a [28] a[A] = 2α( jZ + jN +1)A2/3 (4.20) ë ®©y α lµ h»ng sè. Khi ®ã ®· sö dông s¬ ®å mét h¹t do Klinkenber ®−a ra [63]. Tuy nhiªn Djinber vµ Cameron còng ®· ®¹t ®−îc gi¶i ph¸p nh− vËy khi ph©n tÝch th«ng sè a dùa trªn c¬ së lµ trong c«ng tr×nh cña Niut¬n hiÖu øng líp m¹nh nhÊt víi a x¶y ra ë vïng h¹t nh©n gÇn Hg202 mµ kh«ng ph¶i ë Pb208 nh− ®· ®−îc ph¸t hiÖn trong thÝ nghiÖm. Víi kÕt luËn ®ã, çc t¸c gi¶ [26] ®· g¾n ¶nh h−ëng cña cÊu tróc líp cña phæ mét h¹t víi gi¸ trÞ th«ng sè a cã bæ chÝnh líp S = S(Z)+S(N). T¹m thêi chØ sö dông trong ch−¬ng nµy ký hiÖu S ®Ó ký hiÖu bæ chÝnh líp chø kh«ng ph¶i entr«py. Trªn h×nh 4.1. chØ ra sù phô thuéc cña a/A vµo S mµ çc gi¸ trÞ S(N) vµ S(Z) ®−îc lÊy tõ b¶ng 4.1. Trªn h×nh vÏ cho thÊy sù kh¸c nhau râ rÖt gi÷a a/A ®èi víi çc h¹t nh©n biÕn d¹ng vµ kh«ng biÕn d¹ng. §èi víi h¹t nh©n kh«ng biÕn d¹ng mèi liªn hÖ tuyÕn tÝnh gi÷a a/A vµ S nh− sau: a/A = 0.00917 S + 0.142 (4.21) §Ó m« t¶ sù phô thuéc a/A = f(S) ®èi víi h¹t nh©n biÕn d¹ng, hµm tuyÕn tÝnh sau ®−îc sö dông: a/A = 0.00917 S + 0.120 (4.22) Trong (4.21) vµ (4.22) çc gi¸ trÞ a/A cã ®¬n vÞ MeV-1 . Khi ®ã gi¶ thiÕt r»ng h¹t nh©n lµ biÕn d¹ng nÕu Z vµ N n»m xa sè magic. Çc t¸c gi¶ ®· kh¶o s¸t vïng biÕn d¹ng : 54 ≤ Z ≤78 , 86 ≤ N ≤ 122 86 ≤ Z ≤ 122, 130 ≤ N ≤ 182 H×nh 4.1: Sù phô thuéc cña a/A vµo S [26]: x §èi víi h¹t nh©n kh«ng biÕn d¹ng. • §èi víi h¹t nh©n biÕn d¹ng. H¹t nh©n kh«ng thuéc vµo lo¹i biÕn d¹ng nÕu nã cã çc líp vá kÝn hoÆc gÇn nh− kÝn. Ng−êi ta coi tÊt c¶ çc h¹t nh©n nÆng lµ biÕn d¹ng nÕu Z hoÆc N cña chóng kh¸c sè magic h¬n 3 ®¬n vÞ. MÆc dï cã mét vµi g−îng Ðp khi ®¸nh gi¸ h¹t nh©n nh− vËy nh−ng ®iÒu ®ã kh«ng tá ra lµ lín trong çc kÕt qu¶. 83 NÕu sö dông hÖ thøc (4.21) vµ (4.22) ®Ó x¸c ®Þnh th«ng sè a vµ tÝnh mËt ®é ρc cña çc céng h−ëng n¬tron sãng s theo c«ng thøc (2.50) th× cã thÓ ®¸nh gi¸ ®é chÝnh x¸c cña hÖ th«ng sè a thu ®−îc. §Ó lµm ®iÒu ®ã tr−íc hÕt ®èi víi mçi mét h¹t nh©n ta cÇn tÝnh l = ln(ρc/ρcbs) víi ρcbs = 1 . Sau ®ã ®èi víi tËp D hîp n h¹t nh©n ta thu ®−îc exp= a ∑l i=1 2 i / n . §¹i l−îng F cã thÓ dïng lµm th−íc ®o ®é chÝnh x¸c cña phÐp tÝnh gÇn ®óng cña th«ng sè a. Trong tr−êng hîp nµy F ~ 1,75. Çc t¸c gi¶ [26] nhËn thÊy r»ng ®¸nh gi¸ phøc t¹p h¬n cña Cameron [64] còng cho bËc chÝnh x¸c nh− vËy vµ ®é chÝnh x¸c nµy tèt h¬n trong c«ng tr×nh [28] cña Niut¬n. Çc th«ng sè mËt ®é møc ë vïng n¨ng l−îng thÊp. §èi víi ®a sè h¹t nh©n nhÊt lµ h¹t nh©n nÆng ng−êi ta míi chØ biÕt ®−îc mét sè møc ë vïng n¨ng l−îng thÊp nhÊt. NÕu biÓu diÔn chóng nhê ph−¬ng tr×nh (4.14) th× viÖc lùa chän çc th«ng sè Eo vµ T sÏ Ýt bÞ h¹n chÕ. §Ó lùa chän Eo vµ T tèt nhÊt, çc t¸c gi¶ cña [26] ®· ®ßi hái sù biÓu diÔn tuyÕn tÝnh cña çc møc thÊp khi chuyÓn tíi çc møc cã sè Np ë n¨ng l−îng Up. Møc nµy ®−îc gäi lµ ®iÓm uèn vµ cã mèi liªn hÖ gi÷a Eo vµ T nh− sau: [ N p = exp (E p − E 0 ) / T ] (4.23) hoÆc: E 0 = E p − T ln N p (4.24) Trong vïng n¨ng l−îng thÊp mËt ®é møc ®−îc m« t¶ b»ng hÖ thøc (4.15) vµ nã ®−îc ký hiÖu lµ ρ1, cßn ë vïng n¨ng l−îng cao mËt ®é møc ®−îc m« t¶ b»ng (2.48) vµ ký hiÖu lµ ρ2 . Khi lµm khíp c¶ hai hµm nµy ®· sö dông biÓu diÔn tuyÕn tÝnh N(E) (sè møc d−íi n¨ng l−îng E) ®Ó quay vÒ gÇn ®iÓm uèn. Bëi v× viÖc lµm khíp ρ1 vµ ρ2 ®−îc thùc hiÖn ®ång thêi nªn tr−íc hÕt cÇn kiÓm tra N(E) cã thùc sù biÓu diÔn tèt çc møc thÊp vµ cã thÓ kÓ c¶ nh÷ng møc ®Çu tiªn hay kh«ng. NÕu kh«ng cÇn chän ®iÓm uèn kh¸c. NÕu thu ®−îc kÕt qu¶ tèt th× ®−êng th¼ng ®i qua toµn bé hoÆc hÇu hÕt çc møc thÊp, khi ®ã sÏ kh«ng cã sai kh¸c lín do møc nµo ®−îc chän lµm ®iÓm uèn. Khi lµm khíp hai ®−êng cong ng−êi ta gi¶ thiÕt r»ng mËt ®é møc vµ ®¹o hµm bËc mét cña nã theo n¨ng l−îng lµ liªn tôc. Do vËy ρ1 vµ ρ2 ®−îc lµm khíp mét çch tiÕp tuyÕn, vµ ë ®iÓm nèi Ex ph¶i tho¶ m·n çc hÖ thøc: ρ1 = ρ 2 ; T=τ (4.25) ë ®©y nhiÖt ®é τ ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: 1 τ = d lnρ2 (U) / dU = a / U − 3 /(2U) 84 (4.26) Bëi v× T = const ®èi víi ®−êng cong thÊp ρ1 vµ τ lµ hµm t¨ng theo U ®èi víi ®−êng cong ρ2 nªn nhiÖt ®é h¹t nh©n lu«n kh«ng gi¶m. Trªn c¬ së ®ã cã thÓ lùa chän gi¸ trÞ n¨ng l−îng Ex cña ®iÓm tiÕp tuyÕn hoÆc cao h¬n hoÆc thÊp h¬n n¨ng l−îng liªn kÕt cña n¬tron Sn. Trong [26] ®· th¶o luËn kh¸ kü çc tr−êng hîp kh¸c nhau cña lµm khíp çc ®−êng cong ë ®iÓm tiÕp tuyÕn. Çc hÖ thøc (4.25) lµ ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh to¹ ®é cña ®iÓm tiÕp tuyÕn Ex vµ çc th«ng sè T vµ Eo. ë ®©y ®· thu ®−îc çc gi¸ trÞ Ex, T vµ Eo kh«ng chØ ®èi víi çc h¹t nh©n cã sè liÖu vÒ mËt ®é céng h−ëng proton hoÆc n¬tron mµ cßn c¶ víi nh÷ng h¹t nh©n cho ®Õn nay míi biÕt ®−îc mét sè møc thÊp. §Ó lµm ®iÒu ®ã tÊt nhiªn ®· sö dông çc ph−¬ng tr×nh (4.21) vµ (4.22) mµ chóng thÓ hiÖn mèi quan hÖ gi÷a th«ng sè a vµ bæ chÝnh líp S. Chóng ta nhËn thÊy r»ng çc bæ chÝnh líp vµ n¨ng l−îng cÆp ®−îc ®−a ra trong b¶ng 4.1 lµ ®èi víi çc h¹t nh©n víi A ≥ 22. Çc gi¸ trÞ thu ®−îc a, T, E0, Ex, σ vµ c¶ N1 - sè møc d−íi ®· biÕt, to¹ ®é møc chuyÓn Np ë n¨ng l−îng trong [26] ®−îc ®−a trong b¶ng 2 trong phÇn phô lôc. Çc th«ng sè phô thuéc spin σ mµ chóng còng ®−îc ®−a ra trong phô lôc ®−îc tÝnh theo c«ng thøc (2.45) ë t¹i ®iÓm tiÕp tuyÕn E = Ex. Trong tÝnh to¸n mËt ®é møc h¹t nh©n ë vïng n¨ng l−îng E < Ex, çc th«ng sè σ ®−îc coi lµ h»ng sè vµ b»ng gi¸ trÞ σ ®· ®−îc ®−a ra, vµ khi E > Ex, gi¸ trÞ σ ®−îc coi lµ phï hîp víi (2.45). Chóng ta kh¶o s¸t d¹ng biÓu diÔn cña T, Eo vµ Ex theo sè khèi A. §−êng cong T(A) ®−îc ®−a ra trªn h×nh 4.2. DÔ dµng thÊy ®−îc hai xu h−íng: Thø nhÊt T gi¶m khi A t¨ng, thø 2 : cã sù tham dù cña hiÖu øng líp ®Æc biÖt khi ë gÇn h¹t nh©n hai lÇn magic 208Pb. DÔ dµng gi¶i thÝch d¹ng thÓ hiÖn T = f(A) nh− vËy khi ®· ph©n tÝch sù phô thuéc cña th«ng sè mËt ®é møc vµo sè khèi A. NghÞch ®¶o n¨ng l−îng T-1 trong c«ng thøc (4.15) ®ãng vai trß nh− th«ng sè mËt ®é møc a trong çc c«ng thøc (2.47) vµ (2.48): Çc gi¸ trÞ nµy x¸c ®Þnh d¹ng logarit cña mËt ®é møc. Bëi v× th«ng sè a rÊt nhá víi h¹t nh©n cã çc líp vá kÝn nªn T-1 còng ph¶i nhá vµ do vËy T sÏ rÊt lín. T gi¶m cã hÖ thèng khi A t¨ng còng ®−îc gi¶i thÝch t−¬ng tù. Bëi v× nh×n chung, khi kh«ng cã hiÖu øng líp, th«ng sè a t¨ng tû lÖ víi A (xem 4.19) nªn T-1 tû lÖ víi A vµ do vËy T tû lÖ víi A-1. H×nh 4.2. Sù phô thuéc cña nhiÖt ®é h¹t nh©n vµo sè khèi A [26]. Trªn h×nh 4.3 lµ çc gi¸ trÞ Eo thay ®æi theo A. Trªn h×nh nµy thÊy râ hiÖu øng ch½n lÎ: Sù sai kh¸c gi÷a çc gi¸ trÞ Eo ®èi víi çc h¹t nh©n ch½n ch½n vµ lÎ lÎ 85 vµo cì n¨ng l−îng cÆp. Thùc tÕ tËp hîp tÊt c¶ çc ®iÓm Eo = f(A) lµ n»m gi÷a hai ®−êng cong ± <P> víi <P> lµ gi¸ trÞ trung b×nh cña P(Z) vµ P(N): P=1/2[P(Z) + P(N)]. Tõ h×nh 4.3 ë çc ®−êng cong P cã mét vµi chç bÞ ph¸ vì. Tr−êng hîp nh− vËy lµ b×nh th−êng v× E - E0 x¸c ®Þnh n¨ng l−îng kÝch thÝch trong mÉu nhiÖt ®é kh«ng ®æi mµ ë mÉu nµy nh− trong mÉu khÝ Fermi cã sù xuÊt hiÖn cña hiÖu øng ch½n lÎ. §Ó tÝnh ®Õn hiÖu øng ch½n lÎ, cÇn kh¶o s¸t d¹ng ®¹i l−îng Ux = E x- P(z) P(N) nh− mét hµm cña A mµ kh«ng ph¶i cña to¹ ®é ®iÓm tiÕp tuyÕn Ex. Trªn h×nh 4.4 biÓu diÔn sù phô thuéc nµy. Râ rµng ®¹i l−îng Ux gi¶m khi A t¨ng vµ sù th¨ng gi¸ng cña Ux ë mçi gi¸ trÞ A còng gi¶m khi A t¨ng. Qua tËp hîp ®iÓm Ux = f(A) cã thÓ ®−a ra ba ®−êng cong: Ux = 2,5 + 150/A ®−êng cong 1 (4.27a) Ux = 2,6 + 200/A ®−êng cong 2 (4.27b) Ux = 2,1 +120/A ®−êng cong 3 (4.27c) H×nh 4.3: Sù phô thuéc Eo vµo sè khèi [26]. + - §èi víi h¹t nh©n ch½n lÎ. x - §èi víi h¹t nh©n lÎ – lÎ. • - §èi víi h¹t nh©n A lÎ. MÆc dï lµ ®é bÊt ®Þnh ë çc gi¸ trÞ Ux lµ kh¸ lín nh−ng vÉn kh«ng ph¶i lµ quan träng. VÊn ®Ò lµ nÕu x©y dùng ρ(U) gÇn ®iÓm tiÕp tuyÕn Ex th× c¶ ρ1(U) ë U < Ux lÉn ρ2(U) khi U > Ux chØ çch nhau mét l−îng kho¶ng 1MeV ë gÇn U = Ux. H×nh 4.4. N¨ng l−îng Ux cña ®iÓm tiÕp tuyÕn nh− mét hµm cña A [26]. 86 Nh÷ng kÕt luËn chÝnh : Dùa trªn sù ph©n tÝch cña Djinbert - Cameron, ng−êi ta ®· ®−a ra s¬ ®å tÝnh to¸n mËt ®é møc mµ chóng h÷u dông ngay c¶ trong nh÷ng tr−êng hîp kh«ng cã sè liÖu thùc nghiÖm trùc tiÕp. §iÓm tiÕp tuyÕn chia kho¶ng n¨ng l−îng ra lµm 2 miÒn : E>Ex vµ E < Ex. Gi¸ trÞ Ex ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: E x = U x + P (Z ) + P ( N ) (4.28) ë ®©y Ex ®−îc lÊy tõ (4.27a). Trong vïng n¨ng l−îng cao E > Ex mËt ®é møc ®−îc tÝnh tõ biÓu thøc (2.47) trong ®ã n¨ng l−îng kÝch thÝch ®−îc tÝnh theo (4.18), cßn ®èi víi σ2 vµ m 2 th× theo c«ng thøc (2.45) vµ (4.17). Khi ®ã çc gi¸ trÞ cña n¨ng l−îng t¹o cÆp P(z) vµ P(N) ®−îc lÊy tõ b¶ng 4.1. MËt ®é møc toµn phÇn ρ(U) ®−îc tÝnh theo (2.48). Trong vïng n¨ng l−îng E < Ex mËt ®é møc ®−îc tÝnh theo (4.15). TÊt c¶ çc th«ng sè cÇn cho viÖc tÝnh to¸n mËt ®é møc trong kho¶ng n¨ng l−îng réng ®èi víi mét sè lín h¹t nh©n ®−îc ®−a ra trong b¶ng 2 phô lôc. §Ó kÕt luËn, chóng ta nhí r»ng s¬ ®å tÝnh to¸n ph©n ®o¹n kh«ng ph¶i bao giê còng tèt, chóng ta ®· thÊy r»ng ®èi víi mét lo¹t h¹t nh©n kh«ng thÓ lµm khíp ρ1 vµ ρ2. Cô thÓ lµ s¬ ®å nµy kh«ng ¸p dông ®−îc cho hai miÒn lµ A < 40 vµ ®èi víi h¹t nh©n cã N hoÆc Z kh¸c sè magic mét hoÆc hai ®¬n vÞ. Çc t¸c gi¶ [26] gi¶i thÝch lµ do nh÷ng h¹t nh©n ®ã cã sè møc rÊt nhá. V× vËy sù liªn hÖ gi÷a çc møc thÊp nhÊt vµ çc møc n¨ng l−îng gÇn n¨ng l−îng liªn kÕt cña n¬tron víi h¹t nh©n kh«ng ®¬n gi¶n nh− ®−îc ®−a ra trong s¬ ®å lµm khíp. Sö dông sù m« t¶ chung cã thÓ cho sai sè lín h¬n ®èi víi çc h¹t nh©n ë vïng nãi trªn so víi çc h¹t nh©n kh«ng cã líp vá lÊp ®Çy. Djinbert vµ Cameron ®· th¶o luËn kü nh÷ng khã kh¨n kh¸c liªn quan tíi viÖc lµm khíp çc th«ng sè cña c«ng thøc chung cho nh÷ng nhãm h¹t nh©n kh¸c nhau. H×nh 4.5. Sè møc N(E) cña h¹t nh©n Sm148 [26]. X - §iÓm tiÕp tuyÕn. §−êng ®øt nÐt - Hµm ρ1 (®èi víi E > Ex) gÇn ®iÓm tiÕp tuyÕn; p - ®iÓm nèi ; §−êng nhÈy bËc - sè liÖu thùc nghiÖm. 4.3 HÖ thèng çc th«ng sè mËt ®é møc cña Mal−sep. A.V. Mal−sep trong [31] ®· kh«ng dõng bµi to¸n ë chç m« t¶ mËt ®é møc ë vïng n¨ng l−îng kÝch thÝch réng mµ h−íng tíi viÖc thu nhËn th«ng tin vÒ th«ng sè mËt ®é møc mµ nã liªn quan tíi phæ çc kÝch thÝch chÝnh cña h¹t nh©n 87 tõ sè liÖu thùc nghiÖm vÒ mËt ®é céng h−ëng n¬tron sãng s. Çc hÖ thøc cña mÉu khÝ Fermi (2.45) – (2.48) còng ®−îc xem xÐt nh− ë trong [26]. §èi víi h¹t nh©n cã 24 ≤ A ≤ 247 çc th«ng sè mËt ®é møc a phô thuéc spin cã d¹ng (2.45) vµ (4.17). Khi ®ã n¨ng l−îng hiÖu dông U* ë (2.51) ®−îc chän lµm n¨ng l−îng kÝch thÝch U. N¨ng l−îng cÆp dïng ®Ó t×m U ®−îc tÝnh theo c«ng thøc trong [65]: ë ®©y: δp = εp − 1 9A 1 / 3 0.691 N2 ⎡ ⎤ ( )( ) 17 − 3 A − 1 3 A − 2 Z + 89 ⎢ ⎥ A A3 ⎣ ⎦ δn = εn − 1 9A 1 / 3 1.38 Z2 ⎡ ⎤ ( ) − − + 17 Z Z 1 89 ⎢ ⎥ A A3 ⎣ ⎦ (4.29b) εp = 1 [E(Z, N ) − 2E(Z − 1, N ) + E(Z − 2, N )] 2 (4.30a) εn = 1 [E(Z, N ) − 2E(Z, N − 1) + E(Z, N − 2)] 2 (4.29a) (4.30b) lµ n¨ng l−îng cÆp trªn mét nucleon [29]. E[Z,N] - khèi l−îng cña h¹t nh©n t−¬ng øng tÝnh b»ng ®¬n vÞ MeV. Çc thµnh phÇn bæ chÝnh trong (4.29) ®−îc dÉn gi¶i tõ çc hiÖu chØnh n¨ng l−îng cul«ng, n¨ng l−îng bÒ mÆt vµ n¨ng l−îng ®èi xøng cña h¹t nh©n bªn c¹nh. Sau khi lùa chän hµm (4.17) ®èi víi trung b×nh b×nh ph−¬ng h×nh chiÕu m« men mét h¹t vµ tÝnh b»ng hÖ thøc (2.51) hiÖu øng ch½n lÎ, dÔ dµng x¸c ®Þnh ®−îc th«ng sè mËt ®é møc a duy nhÊt cßn l¹i. Cã thÓ lµm ®−îc ®iÒu ®ã b»ng çch lµm khíp trùc tiÕp mËt ®é møc - tÝnh theo c«ng thøc (2.47) víi çc gi¸ trÞ kho¶ng çch trung b×nh D gi÷a çc céng h−ëng n¬tron sãng s (2.50). Sè liÖu thùc nghiÖm cña ®a sè h¹t nh©n cã 24 ≤ A ≤ 250 ®−îc ®−a ra trong b¶ng 1 phÇn phô lôc. Çc gi¸ trÞ th«ng sè a thu ®−îc th¨ng gi¸ng tuú thuéc vµo A (xem h×nh 2.2), kÌm theo quy luËt t¨ng chung cña a = f(A) cßn quan s¸t ®−îc sù suy gi¶m ®ét biÕn ë vïng h¹t nh©n A ≈ 210 - liªn quan tíi cÊu tróc líp cña phæ mét h¹t. §Ó m« t¶ d¹ng phô thuéc a = f(A) A.V. Mal−sep ®· dïng hÖ thøc (4.20) do Niut¬n thu ®−îc trong [28] trong ®ã gi¶ thiÕt r»ng α kh«ng phô thuéc A: a(A) = 2 α( jZ + jN +1)A2/3 B¶ng 4.2 BËc ®a cùc cña çc møc mét h¹t gÇn n¨ng l−îng Fermi. Z 2jZ+1 2 j Z + 1 Z Z 2jZ+1 2 j Z + 1 2jZ+1 2 j Z + 1 1 2 3 2 2 4 2 2.67 3.33 31 32 33 6 6 4 88 6 5.33 5.33 64 65-66 67 8 6 12 6.4 7.6 6.8 4-5 6 7 8 9 10-13 14 15 16 17 18-19 20 21 22-28 29 30 4 4 2 2 6 6 6 2 2 4 4 4 8 8 4 6 N 2jN+1 1 2 3 4-5 6 7 8 9 10-13 14 15 16 17 18-19 20 21 22-28 29 30 31 32 33 34 35 2 2 4 4 4 2 2 6 6 6 2 2 4 4 4 8 8 4 6 6 6 4 6 4 4 3.33 2.67 3.33 4.67 6 4.67 3.33 2.67 3.33 4 5.33 6.67 8 5 5.33 2 jN + 1 2 2.67 3.33 4 3.33 2.67 3.33 4.67 6 4.67 3.33 2.67 3.33 4 5.33 6.67 8 4 4.67 5.33 5.33 5.33 4.67 5.33 34 35 36 37 38 39 40-50 51 52 53-56 57 58 59 60 61-62 63 6 4 6 4 6 10 10 8 8 8 8 8 6 6 6 6 4.67 5.33 4.67 5.33 6.67 8.67 10 8.8 8.4 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 6.4 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 6 4 4 8 8 8 12 6 12 4 4 4 4 2 2 10 6.4 6.8 6 6.4 8 8.4 9.2 8.4 7.6 6 5.6 3.6 3.2 3 2.67 6.8 N 2jN+1 2 jN + 1 N 2jN+1 2 jN + 1 50 51-54 55 56 57 58 59-64 65-74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85-88 89 90 91 92 93 6 6 6 6 8 8 8 12 12 12 4 12 4 12 4 12 8 8 8 14 14 10 10 10 8.0 6 6.67 7.6 8.4 9.2 10 10 8.8 7.6 8.8 8.4 7.2 8.8 8 9.33 5.6 6.8 8 11.2 11.6 11.6 10.8 9.6 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 4 10 10 10 10 14 8 6 6 4 6 14 10 10 10 2 14 2 14 4 14 6 4 2 7.2 7.6 8.8 10.8 10.4 9.6 8.8 7.6 6 6.29 6.57 7.15 8 9.43 8.86 8.86 8 8.57 8 8.29 6.59 6.59 5.33 5.6 89 36 37 38 39 40-47 48 49 6 6 6 10 10 10 2 5.33 94 6 95 7.33 96 8.67 97-98 10 99 7.33 100 7.0 101 10 8 8 8 14 8 4 9.2 8.8 8.4 9.2 8.4 7.6 8 126 127 2 10 3.5 7.14 Nh− chóng ta biÕt, gi¶i ph¸p Niuton vÒ sù phô thuéc cña a vµo A trong c«ng tr×nh [26] ®· dùa trªn c¬ së lµ hÖ thøc (4.20) ®èi víi th«ng sè a cho gi¸ trÞ cùc tiÓu víi A ~ 200. VÊn ®Ò lµ hiÖu øng nµy phô thuéc vµo s¬ ®å lÊp ®Çy çc møc mét h¹t sau cïng. Trong c«ng tr×nh [28] ®· sö dông s¬ ®å mét h¹t ®−îc ®−a ra trong [63]. Trong ph©n tÝch hÖ thøc (4.20) Mal−sep ®· sö dông s¬ ®å møc mét h¹t trong [66]. Çc gi¸ trÞ trung b×nh 2 jZ +1vµ 2 jN +1 vµ c¶ ®a cùc 2 jZ +1vµ 2 jN +1 cña çc møc mét h¹t gÇn n¨ng l−îng Fermi ®−îc ®−a ra ë b¶ng 4.2. Khi tÝnh jZ vµ jN ®· sö dông ®¸nh gi¸ trung b×nh theo kho¶ng n¨ng l−îng cì nhiÖt ®é ë n¨ng l−îng kÝch thÝch b»ng n¨ng l−îng liªn kÕt cña n¬tron trong h¹t nh©n. Song nÕu chia gi¸ trÞ thùc nghiÖm atn thu ®−îc tõ mËt ®é céng h−ëng n¬tron cho 2 ( jZ + jN +1)A2/3 th× trong hµm a = f(A) vÉn thÊy ®−îc sù thay ®æi tuÇn hoµn. Mal−sep ®· coi nhãm ho¸ çc møc mét h¹t ®−îc t¹o ra theo n¨ng l−îng lµ nguyªn nh©n kh¶ dÜ c¬ b¶n cña sù thay ®æi tuÇn hoµn nãi trªn. Khi gi¶ thiÕt r»ng sù nhãm l¹i çc møc lÊp ®Çy trong s¬ ®å líp ®èi víi proton vµ n¬tron cã thÓ m« t¶ ®−îc b»ng hµm tuÇn hoµn, th× Mal−sep ®· ®−a ra biÓu thøc b¸n thùc nghiÖm nh− sau ®èi víi hÖ sè a: ⎡ ⎛ ⎤ A0 ⎞ ⎡ ⎤ − γ − 1 ( N Z ) ⎢ ⎜ ⎥ ⎟ ⎢π ⎥ 2 ⎠ π⎝ A ⎢ ⎥ ⎥ cos a = α0 −β sin⎢ (4.31) 2 ⎢ ⎥ A − A0 ⎞ ⎥ 20 ⎛ ⎢ 20 ⎛ A ⎞ 0 ⎢ ⎥ ⎜1+ γ ⎟ ⎢ ⎜1+ γ 2 ⎟ ⎥ ⎠⎦ ⎣ ⎝ 2 ⎝ ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥ ë ®©y çc th«ng sè α0 = 0,0380; β = 0,0125; γ = 0,0067 ®èi víi A > Ao ≥ 80 (víi A < 80 th× γ = 0) ®−îc lùa chän ®Ó gi¸ trÞ thùc nghiÖm atn phï hîp nhÊt víi çc gi¸ trÞ a tÝnh theo c«ng thøc (4.20). Sù ph©n lo¹i çc th«ng sè mËt ®é møc do Mal−sep ®−a ra liªn quan tíi çc th«ng sè ®ång nhÊt. Çc th«ng sè nh− vËy cã thÓ ®−îc sö dông khi m« t¶ mËt ®é møc gÇn n¨ng l−îng kÝch thÝch mµ ë ®ã çc th«ng sè ®−îc hÖ thèng hãa vµ trong tr−êng hîp ®· cho lµ n¨ng l−îng liªn kÕt cña n¬tron víi h¹t nh©n. 4.4 MÉu khÝ Fermi víi sù dÞch chuyÓn ng−îc. Çc t¸c gi¶ [33] ®· ®−a ra ph−¬ng ph¸p ph©n ®o¹n ®¬n gi¶n vµ cã hiÖu qu¶ ®Ó m« t¶ mËt ®é møc h¹t nh©n trong kho¶ng n¨ng l−îng kÝch thÝch tõ 0 - 10 MeV. Çc hÖ thøc cña mÉu khÝ Fermi víi dÞch chuyÓn ng−îc ®−îc dïng lµm c¬ 90 së cña ph−¬ng ph¸p. MËt ®é møc cña h¹t nh©n cã n¨ng l−îng kÝch thÝch U vµ m«men gãc J ®−îc viÕt nh− sau: ρ(U, J ) = ⎡ J(J +1) ⎤ exp⎢2 a ( U − ∆) − ⎥ 2σ2 ⎦ 24 2σ3a 4 ( U − ∆ + t )5 / 4 ⎣ 2J + 1 1 víi mËt ®é møc toµn phÇn: ρ( U ) = [ exp 2 a ( U − ∆ ) ] 1 12 2σ a 4 ( U − ∆ + t )5 / 4 (4.32) (4.33) NhiÖt ®é t lÊy tõ ph−¬ng tr×nh: U − ∆ = at 2 − t (4.34) Th«ng sè phô thuéc spin σ2 ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: σ2 = 6 a m2t = ℑ t / h2 2 π (4.35) ë ®©y ℑ lµ m«men qu¸n tÝnh cña h¹t nh©n. Nãi mét çch chÆt chÏ, çc biÓu thøc (4.32) - (4.35) ngay c¶ khi gi¶ thiÕt ∆ = 0 còng kh«ng ph¶i lµ çc biÓu thøc cña mÉu khÝ Fermi: chóng kh¸c víi çc biÓu thøc thu ®−îc trong §2.3 [xem çc c«ng thøc (2.47) vµ (2.48)]. Trong khi ®ã çc biÓu thøc (4.32) - (4.35) th−êng ®−îc sö dông ®Ó m« t¶ mËt ®é møc. Chóng thu ®−îc trong [67] khi sö dông trùc tiÕp ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa theo çc biÕn kh¸c nhau cu¶ tÝch ph©n. Nh− vËy çc gi¸ trÞ tiÖm cËn cña tÝch ph©n lo¹i (1.87) b»ng ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa lµ kh«ng chÝnh x¸c [11,26] bëi v× gi¸ trÞ tÝch ph©n khi ®ã phô thuéc vµo bËc tÝch ph©n. Çc c«ng thøc (4.32) - (4.34) còng kh«ng thuËn tiÖn h¬n khi sö dông v× chóng dï kh¸c rÊt Ýt so víi çc hÖ thøc b×nh ph−¬ng a, ∆, ℑ trong (4.32) - (4.35) lµ çc th«ng sè ®−îc x¸c ®Þnh tõ sù m« t¶ tèt nhÊt vµ kho¶ng çch trung b×nh D gi÷a çc céng h−ëng n¬tron sãng s ë n¨ng l−îng liªn kÕt Sn cña n¬tron trong h¹t nh©n ®−îc sö dông lµm th«ng tin thùc nghiÖm trong [37]. Sè liÖu D ®−îc ®−a ra trong b¶ng 1 phÇn phô lôc. V× kh«ng cã sè liÖu ®¸ng tin cËy vÒ m« men qu¸n tÝnh nªn viÖc x¸c ®Þnh çc th«ng sè a vµ ∆ ®−îc thùc hiÖn ë hai gi¸ trÞ m«men qu¸n tÝnh ℑtb vµ ℑ = ℑtb /2 ë ®©y ℑtb = 2/5 MR2 - m« men qu¸n tÝnh vËt r¾n. NÕu gi¶ thiÕt r»ng b¸n kÝnh h¹t nh©n R = 1,25A1/2 φm th× σ2 cã thÓ thu ®−îc nh− sau : σ 2tb = ℑtb t / h 2 = 0,0150 A 5 / 3 t (4.36) ViÖc lµm khíp ®−îc thùc hiÖn b»ng çch sau: Nhê biÓu thøc (4.33) ®· tÝnh sè møc toµn phÇn N cã n¨ng l−îng kÝch thÝch tõ 0 tíi U0: U0 N 0 = ∫ ρ( U) dU (4.37) 0 HÖ thøc thø 2 ®Ó x¸c ®Þnh a vµ ∆ ®−îc rót ra tõ (2.50) cã d¹ng sau: 91 ⎧ ⎛ 1⎞ 1⎞ ∆Ε ∆Ε ⎛ ; I 0 + ⎟ + ρ⎜ Sn + ; I0 − ⎟ I0 ≠ 0 ρ⎜ Sn + ⎪ 2 ⎪ 2 2⎠ 2 2⎠ ⎝ = ⎨ ⎝ ∆Ε 1 ⎞ ⎛ D ⎪ ; ⎟ ρ⎜ Sn + I0 = 0 ⎪⎩ 2 2⎠ ⎝ (4.38) ë ®©y Sn- n¨ng l−îng liªn kÕt cña n¬tron, I0 - spin cña h¹t nh©n bia, ∆E <<Sn giíi h¹n trªn cña kho¶ng n¨ng l−îng n¬tron mµ trong ®ã D ®−îc x¸c ®Þnh. ë çc gi¸ trÞ ®· cho D , A, No, S, ∆E vµ Io, hÖ ph−¬ng tr×nh (4.37) vµ (4.38) ®−îc gi¶i b»ng sè trªn m¸y tÝnh ®Ó t×m a vµ ∆ khi ℑ = ℑ vr vµ ℑ = ℑ vr/2. Çc b−íc lµm khíp ®−îc m« t¶ trong [68] ë ®ã ®· sö dông chóng ®Ó x¸c ®Þnh a vµ ∆ ®èi víi h¹t nh©n cã A < 65 . Çc gi¸ trÞ a vµ ∆ thu ®−îc ®−îc ®−a ra trong b¶ng 3 phÇn phô lôc. Çc kÕt qu¶ c¬ b¶n cña viÖc ph©n tÝch võa qua cã thÓ tãm t¾t nh− sau: 1. Çc gi¸ trÞ ∆ thÓ hiÖn râ hiÖu øng ch½n - lÎ. Chóng cã gi¸ trÞ ©m vµ kh¸ lín ®èi víi h¹t nh©n lÎ - lÎ, ©m nh−ng nhá víi A lÎ, d−¬ng nh−ng kh«ng lín víi h¹t nh©n ch½n - ch½n. Çc gi¸ trÞ ∆ nh− vËy lµm thµnh c¬ së ®Ó gäi tªn mÉu mÉu Fermi víi dÞch chuyÓn ng−îc bëi v× trong mÉu truyÒn thèng n¨ng l−îng kÝch thÝch ®èi víi h¹t nh©n lÎ - lÎ ®−îc tÝnh tõ tr¹ng th¸i c¬ b¶n mµ kh«ng cã sù dÞch chuyÓn bæ xung nµo (xem hÖ thøc (2.51)), cßn trong mÉu nµy n¨ng l−îng kÝch thÝch bÞ dÞch ®i ngay c¶ vÒ phÝa ©m. C¬ së lý thuyÕt cña gi¸ trÞ ∆ thu ®−îc cã thÓ rót ra tõ hÖ thøc (3.88) mµ chóng ®−îc sö dông trong mÉu siªu ch¶y ®Ó tÝnh çc hiÖu øng ch½n lÎ. NÕu ∆ thu ®−îc tõ n¨ng l−îng cÆp p th× hiÖu sè P-∆ sÏ lµ mét hµm cña A mµ kh«ng xuÊt hiÖn hiÖu øng ch½n - lÎ. Trong c«ng tr×nh [33] ®· tÝnh gi¸ trÞ P b»ng hÖ thøc: δ A-1/2 víi A lÎ P= 2δA-1/2 víi A ch½n - ch½n (4.39) µA-1 víi A lÎ - lÎ ë ®©y δ = 12,8 MeV vµ µ = 29,4 MeV. 2. Çc gi¸ trÞ cña th«ng sè a phô thuéc A thÓ hiÖn râ hiÖu øng líp mµ hiÖu øng nµy ®−îc thÊy rÊt râ khi lµm khíp mét th«ng sè [31]. §èi víi h¹t nh©n cã líp vá gÇn ®Çy th× gi¸ trÞ a nhá h¬n nhiÒu so víi a cña nh÷ng h¹t nh©n kh«ng lÊp ®Çy hoµn toµn. Th«ng sè a trung b×nh nhá h¬n a thu ®−îc khi lµm khíp mét th«ng sè trong mÉu khÝ Fermi truyÒn thèng kho¶ng 15% [31]. Trong khi ®ã hiÖu øng ch½n lÎ kh«ng xuÊt hiÖn ë hµm a = f(A). 3. NÕu so s¸nh a vµ ∆ thu ®−îc víi ℑ = ℑ vr vµ ℑ TB/2 th× cã thÓ thÊy r»ng ∆ cña c¶ hai gi¸ trÞ ℑ víi h¹t nh©n nhÑ kh¸c nhau kh«ng h¬n 0,4 MeV, víi A > 70 nhá h¬n 0,1 MeV. Çc gi¸ trÞ a rÊt nh¹y víi çch lùa chän ℑ : Sù thay ®æi cña chóng vµo kho¶ng 15% ®èi víi h¹t nh©n nhÑ vµ gÇn 8 % ®èi víi h¹t nh©n nÆng. Çc sè liÖu thùc nghiÖm [69] ®· kh¼ng ®Þnh çch lùa chän b»ng m« 92 men qu¸n tÝnh cña vËt r¾n ®èi víi nh÷ng h¹t nh©n A < 100; ®èi víi çc h¹t nh©n nÆng h¬n th× khã cã kÕt luËn cô thÓ vÒ sù lùa chän gi¸ trÞ m«men qu¸n tÝnh. V× thÕ, ®é bÊt ®Þnh hÖ thèng chñ yÕu trong çc th«ng sè cña h¹t nh©n nÆng lµ do sù bÊt ®Þnh trong viÖc l−¹ chän m«men qu¸n tÝnh. 4. Çc gi¸ trÞ a vµ ∆ nh− lµ mét hµm cña sè khèi A n»m gÇn mét ®−êng cong tr¬n. §é lÖch cña a khái a = f(A) kh«ng lín h¬n 10%, cßn cña ∆ vµo kho¶ng 0,5 MeV. §iÒu nµy cho phÐp ®ñ tin cËy ®Ó tiªn ®o¸n çc gi¸ trÞ a vµ ∆ ®èi víi nh÷ng h¹t nh©n mµ ch−a cã sè liÖu thùc nghiÖm. Trong nh÷ng tr−êng hîp nh− vËy, çc th«ng sè a vµ ∆ cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh nhanh vµ ®¬n gi¶n nhê phÐp néi suy gi÷a çc gi¸ trÞ t−¬ng øng cña çc h¹t nh©n bªn c¹nh. Cô thÓ, ®èi víi nh÷ng h¹t nh©n cã 40 < A < 63 kh«ng cã sè liÖu thùc nghiÖm, cã thÓ sö dông bé th«ng sè sau ®Ó m« t¶ mËt ®é møc: F = Ftb , r0 = 1, 25 .10 − 13 cm ⎫ ⎪ a = 2 , 40 + 0 , 067 A ⎬ −1 ⎪ ∆ = − 130 A + P ⎭ (4.40) ë ®©y a vµ ∆ ®−îc tÝnh trong ®¬n vÞ MeV-1, cßn P ®−îc x¸c ®Þnh tõ hÖ thøc (4.39). Trªn çc h×nh 4.6 ®Õn 4.9 lµ çc kÕt qu¶ tÝnh to¸n mËt ®é møc ®èi víi çc h¹t nh©n cã ch½n lÎ kh¸c nhau 41Ca, 55Mn, 56Fe vµ 60Co so víi çc gi¸ trÞ thùc nghiÖm trong vïng 0 ®Õn 20 MeV. Ngo¹i trõ mét vµi sai kh¸c trong viÖc m« t¶ ρ(U) ®èi víi 55Mn, mÉu khÝ Fermi hai th«ng sè cã sù dÞch chuyÓn ng−îc ®· cho sù phï hîp ρ(U) tèt gi÷a lý thuyÕt vµ sè liÖu thùc nghiÖm trong tÊt c¶ çc vïng n¨ng l−îng. Trong çc tr−êng hîp kh¸c sù phï hîp nãi chung kh«ng kÐm h¬n so víi viÖc sö dông c«ng thøc tæ hîp phøc t¹p Djinber – Cameron. H×nh 4.6: MËt ®é møc h¹t nh©n 41Ca [33]: H×nh 4.7: MËt ®é møc h¹t nh©n 55Mn [33] 93 H×nh 4.8: MËt ®é møc h¹t nh©n 56Fe [33]. H×nh 4.9: MËt ®é møc h¹t nh©n 60Co. 94 Ch−¬ng 5 MËt ®é tr¹ng th¸i khi cè ®Þnh sè gi¶ h¹t kÝch thÝch 5.1. KhÝ çc h¹t Bolzman. Chóng ta kh¶o s¸t mËt ®é tr¹ng th¸i h¹t nh©n khi cè ®Þnh sè gi¶ h¹t kÝch thÝch. Nãi mét çch chÆt chÏ, tõ çc ®Þnh luËt b¶o toµn kh«ng thÓ suy ra sè gi¶ h¹t kÝch thÝch lµ tÝch ph©n chuyÓn ®éng. Tuy nhiªn cã thÓ ®−a vµo mét ®¹i l−îng vËt lý (ký hiÖu lµ n) cña çc mÉu h¹t ®éc lËp vµ mÉu h¹t nh©n siªu ch¶y mµ gi¸ trÞ cña nã ®−îc x¸c ®Þnh b»ng sè gi¶ h¹t kÝch thÝch, to¸n tö cña nã giao ho¸n víi Hamilton cña hÖ. Víi quan ®iÓm nµy cã thÓ gäi ®¹i l−îng vËt lý n ®ã lµ tÝch ph©n chuyÓn ®éng. §iÒu kh¼ng ®Þnh nµy cho phÐp ph©n lo¹i tr¹ng th¸i theo sè kÝch thÝch tøc lµ chóng ta cã quyÒn t¸ch ra vµ tÝnh l¹i chØ nh÷ng tr¹ng th¸i víi n ®· cho tõ tËp hîp ®Çy ®ñ çc tr¹ng th¸i. Trong mÉu çc h¹t ®éc lËp th× ®ã lµ tæng sè h¹t vµ lç trèng bÞ kÝch thÝch cßn trong mÉu siªu ch¶y lµ sè çc gi¶ h¹t bÞ kÝch thÝch t−¬ng øng. MËt ®é tr¹ng th¸i khi sè gi¶ h¹t bÞ kÝch thÝch cè ®Þnh th−êng ®−îc gäi lµ mËt ®é tr¹ng th¸i h¹t - lç trèng. Sù quan t©m ®Õn mËt ®é tr¹ng th¸i h¹t - lç trèng xuÊt hiÖn do ph¸t triÓn gi¶ thiÕt vÒ sù ®èt nãng tiÒn c©n b»ng çc h¹t [74, 75]. Tr−íc hÕt chóng ta nghiªn cøu mËt ®é tr¹ng th¸i khÝ gåm çc h¹t Bolzman. MÉu nµy kh«ng tÝnh ®Õn nguyªn lý Pauli ®èi víi sè tr¹ng th¸i mét h¹t bÞ lÊp ®Çy ®−îc sö dông réng r·i khi m« t¶ çc qu¸ tr×nh tiÒn c©n b»ng. VÊn ®Ò lµ chØ trong mÉu nµy míi thu ®−îc çc biÓu thøc ph©n tÝch ®¬n gi¶n thuËn tiÖn ®èi víi çc ®Æc tr−ng thèng kª khi cè ®Þnh n. Chóng ta kh¶o s¸t mËt ®é tr¹ng th¸i cña hÖ gåm n h¹t Bolzman. §Ó lµm vËy, chóng ta ph¶i thu ®−îc tæng thèng kª [10] mµ nã ®−îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc (1.9) cã d¹ng: Q(β) = ∑ exp( −βE i ) i ë ®©y viÖc lÊy tæng ®−îc thùc hiÖn theo tÊt c¶ çc tr¹ng th¸i i cã n¨ng l−îng Ei cña hÖ. Khi viÕt n¨ng l−îng Ei d−íi d¹ng tæng çc n¨ng l−îng mét h¹t εν, cã thÓ thay viÖc lÊy tæng çc tr¹ng th¸i cña hÖ thµnh lÊy tæng theo tÊt c¶ çc tr¹ng th¸i cña tõng h¹t riªng biÖt. Mçi tr¹ng th¸i cña hÖ ®−îc x¸c ®Þnh b»ng bé n gi¸ trÞ εν (n - sè h¹t trong hÖ) mµ çc gi¸ trÞ εn trong tr−êng hîp khÝ Bolzman ®−îc gi¶ thiÕt lµ kh¸c nhau. Khi viÕt exp(-βEi) d−íi d¹ng tÝch çc thõa sè exp(-βEν) ®èi víi mçi mét h¹t vµ tæng theo çc tr¹ng th¸i kh¶ dÜ cña tõng h¹t mét çch riªng biÖt chóng ta thu ®−îc biÓu thøc: ⎛⎜ ∑ exp( −βε ) ⎞⎟ ν ⎠ ⎝ν n 95 (5.1) Bé çc gi¸ trÞ kh¶ dÜ εν ®èi víi tÊt c¶ çc h¹t gièng nhau lµ nh− nhau vµ tæng ∑ exp( −βε ν ) còng nh− vËy. TÊt c¶ çc bé n gi¸ trÞ εν kh¸c nhau chØ ë ph©n bè ν çc h¹t theo tr¹ng th¸i εν kh¸c nhau t−¬ng øng víi chØ mét tr¹ng th¸i l−îng tö cña hÖ. V× thÕ cÇn chia biÓu thøc (5.1) theo sè chuyÓn ho¸ kh¶ dÜ n h¹t víi nhau tøc lµ n!. Nh− vËy ta cã: Q n (β ) = 1 ⎛ ⎜ n! ⎝ ∑ ν ⎞ e − βε ν ⎟ n ⎠ (5.2) §èi víi hÖ cã phæ mét h¹t ph©n bè ®Òu mËt ®é g trong gÇn ®óng liªn tôc khi chuyÓn tõ tæng sang tÝch ph©n víi Qn(β) ta thu ®−îc: n 1 ⎛ ∞ −β ε ⎞ gn Q n ( β ) = ⎜ g ∫ e dε ⎟ = n! ⎝ 0 n !β n ⎠ (5.3) NÕu xem xÐt çc h¹t bÞ kÝch thÝch ®èi víi hÖ Fermi võa t¹o thµnh mµ çc h¹t bÞ kÝch thÝch lÊp ®Çy çc tr¹ng th¸i mét h¹t cao h¬n n¨ng l−îng Fermi vµ c¶ çc lç trèng n»m d−íi n¨ng l−îng Fermi nh− lµ çc h¹t Bolzman, tæng n¨ng l−îng cña chóng lµ n¨ng l−îng kÝch thÝch U cña hÖ th× cã thÓ tÝnh ®−îc mËt ®é tr¹ng th¸i cña hÖ nh− vËy víi sè h¹t kÝch thÝch p vµ sè lç trèng n ®· biÕt trong gÇn ®óng phæ mét h¹t liªn tôc [76]. Sö dông biÓu thøc (1.10) chóng ta cã: g(gU ) ω ph ( U ) = p! h ! ( p + h − 1) ! p+ h − 1 (5.4) Chóng ta nhËn thÊy r»ng c«ng thøc (5.4) võa nhËn ®−îc mét çch chÝnh x¸c nhê lý thuyÕt tæ hîp [5, 6] mµ kh«ng sö dông ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa. NÕu sö dông ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa, ®èi víi ωph(v) ta sÏ cã : g(gU ) ω ph ( U ) = p! h ! ( p + h − 1) ! p+ h − 1 ⎛ ⎞ 1 ⎜⎜ 1 + ⎟⎟ 12 ( p h ) + ⎝ ⎠ (5.5) Do vËy trong tr−êng hîp nµy ®èi víi mËt ®é tr¹ng th¸i, ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa cho ®é chÝnh x¸c ®ñ cao. §èi víi hÖ nh− trªn còng cã thÓ kh¶o s¸t sù phô thuéc cña mËt ®é tr¹ng th¸i vµo m«men gãc [77]. §èi víi p h¹t cã thÓ viÕt: 1 ⎡ ⎤ Q p ( β , µ )= exp ( − β ε ν + µ m υ ) ⎥ ∑ ⎢ p! ⎣ ν ⎦ p (5.6) ë ®©y mν - h×nh chiÕu m«men gãc cña tr¹ng th¸i mét h¹t thø ν. ThÕ ho¸ häc µ ®−îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn b¶o toµn gi¸ trÞ h×nh chiÕu m«men gãc cña hÖ. NÕu gi¶ thiÕt phæ mét h¹t cña hÖ lµ rêi r¹c vµ çc tr¹ng th¸i bÞ ph©n t¸ch theo dÊu h×nh chiÕu nh−ng gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña h×nh chiÕu cña çc tr¹ng th¸i lµ nh− 96 nhau tøc lµ ®èi víi tÊt c¶ çc h×nh chiÕu mν = ± m, tæng thèng kª (5.6) cã thÓ viÕt d−íi d¹ng : 1 Q p ( β ,µ )= p! ⎛ g ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ β 2 ⎝ ⎠ p p k µm(p−2k) ∑ Cp e k=0 (5.7) ë ®©y Ckp = p! /[k ! (p-k)!]. Tæng thèng kª ®èi víi hÖ gåm h lç trèng còng ®−îc viÕt t−¬ng tù (5.7). MËt ®é tr¹ng th¸i ωph(U,M) thu ®−îc tõ sù biÕn ®æi Laplax cña tæng thèng kª: 1 ω ph ( U , M ) = (2 π i ) β' + i ∞ ∫ β' − i ∞ µ' + i ∞ dβ ∫ µ' − i ∞ dµ e β U − µ M Qp ( β, µ ) Qh ( β , µ ) g (gU) p + h −1 = p+h C(pp++hh − M / m ) / 2 2 p!h!(p + h −1)! (5.8) Râ rµng lµ trong mÉu nµy mçi h×nh chiÕu m« men gãc suy biÕn bËc m (cã m gi¸ trÞ) vµ thay ®æi víi b−íc ∆M = 2m. Trong tæng (5.8), theo çc gi¸ trÞ kh¶ dÜ M ta thu ®−îc biÓu thøc nh− ®èi víi mËt ®é tr¹ng th¸i (5.4). Ngoµi ra tõ (5.8) ta suy ra r»ng h×nh chiÕu M bÞ giíi h¹n: M max = m ( p + h ) (5.9) Trong gÇn ®óng m« men nhá M << Mmax theo c«ng thøc Stirling ®èi víi çc giai thõa, biÓu thøc (5.8) cã thÓ chuyÓn sang d¹ng ®¬n gi¶n h¬n nh− sau: ⎡ M 2 ( p + h +1) ⎤ 2 ω ph ( U , M ) = ω ph ( U ) exp ⎢ − 2 2 ⎥ π (p + h ) ⎣ 2m (p+h) ⎦ (5.10) NÕu chuyÓn sang mËt ®é tr¹ng th¸i trªn kho¶ng n¨ng l−îng ®¬n vÞ cña gi¸ trÞ M tøc lµ chia ωph(U,M) cho 2m , ta thu ®−îc: ω ph ( U , M ) = ω ph ( U ) 2 π σ ph ⎛ M2 exp ⎜ − ⎜ 2 σ2 ph ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (5.11) ë ®©y th«ng sè phô thuéc spin σ2ph b»ng : (p+h) 2 σ =m ≈ m 2 (p+h) p + h −1 2 ph 2 (5.12) HÖ thøc (5.11) cã d¹ng t−¬ng tù d¹ng phô thuéc spin cña çc tr¹ng th¸i cña mÉu khÝ Fermi (2.44a). 5.2 Çc ®Æc tr−ng h¹t - lç trèng cña h¹t nh©n ®éc lËp. 97 Chóng ta kh¶o s¸t ®Æc tr−ng h¹t - lç trèng trong mÉu çc h¹t ®éc lËp. Tr−íc hÕt lµ tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i víi tæng n cña p h¹t bÞ kÝch thÝch vµ h lç trèng (n = p + h). §èi víi hÖ Fermi cña mét lo¹i h¹t, to¸n tö sè kÝch thÝch n̂ cã d¹ng [78]: n̂ = N̂ + ∑ q ν n̂ ν (5.13) ν ë ®©y N̂ lµ to¸n tö sè h¹t. ⎧ −1 q ν =⎨ ⎩ +1 khi ε ν ≤ ε F (5.14) khi ε ν > ε F n̂ν lµ çc to¸n tö lÊp ®Çy tr¹ng th¸i mét h¹t thø ν. Sö dông çc biÓu thøc (2.1a) vµ (2.1b) ®èi víi to¸n tö Hamilton Ĥ vµ sè h¹t N̂ dÔ dµng chøng minh r»ng to¸n tö n̂ giao ho¸n víi Ĥ vµ N̂ vµ nh− vËy nã lµ tÝch ph©n chuyÓn ®éng. Khi ®ã t−¬ng tù ë § 2.1 ®èi víi mËt ®é tr¹ng th¸i ω(E, N, M, n) t−¬ng øng víi (1.102) ta sÏ cã tæng thèng kª d−íi d¹ng: ln Q ( β , α, κ, γ ) = γ N + ∑ ln 1 + exp ( − β ε ν + a + κ m ν + γ q ν ) (5.15) ν ω ( E, M, N, n ) = ë ®©y [ ] exp [ S ( β 0 , α 0 , κ 0 , γ 0 ( 2π 2 ) D )] (5.16) 1 /2 S = β 0 E − β 0 N − κ 0 M − γ 0 n + ln Q ( β 0 , α 0 , κ 0 , γ 0 ) (5.17) lµ entropy cña hÖ. Çc to¹ ®é ®iÓm yªn ngùa β0, α0, κ0, γ0 ®−îc t×m ra b»ng çch gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: E = ∑ εν n ν ν N = ∑nν ν M = ∑ mν nν ν n = N + ∑ qν nν ν ë ®©y: ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭ n ν = [1 + exp ( β ε ν − α − κ m ν − γ q ν ) ] (5.18) −1 (5.19) lµ trung b×nh sè gi¶ h¹t lÊp ®Çy cña tr¹ng th¸i mét h¹t thø ν. Chóng ta kh«ng ®−a vµo çc ®¹o hµm bËc hai ®Ó tÝnh ®Þnh thøc D. Chóng sÏ ®−îc tÝnh dÔ dµng trong çc b−íc tÝnh ω ®· ®−îc ®−a ra trong môc §1.4. 98 Chóng ta h·y kh¶o s¸t kü h¬n çc ®Æc tr−ng h¹t lç trèng cña hÖ cã phæ çc møc mét h¹t, mËt ®é g/2 suy biÕn bËc 2 theo dÊu h×nh chiÕu m«men quü ®¹o mét h¹t m. Trong tr−êng hîp nµy khi lÊy tæng theo ν, rÊt dÔ dµng t¸ch tæng theo dÊu cña h×nh chiÕu m vµ c¶ khi x¸c ®Þnh qν theo (5.14), tæng theo ν ®−îc thùc hiÖn tõ 0 ®Õn εF víi qν = -1 vµ tõ εF ®Õn ∞ víi qν=1. Khi ®ã trong gÇn ®óng liªn tiÕp víi hÖ ph−¬ng tr×nh (5.18) ta cã: ) ( ) ( ∞ − + − + g ⎡ εF ⎤ ε + − ε + n n 2 d + ∫ ∫ n − + n − dε ⎥ + ⎢ 2 ⎣0 εF ⎦ εF ∞ − + − + g ⎡ ⎤ N = ⎢ ∫ n + + n + dε + ∫ n − + n − dε⎥ 2 ⎣0 εF ⎦ εF ∞ − + − + gm ⎡ ⎤ − n n n M= − − n − dε + dε + ∫ ∫ + ⎥ 2 ⎢⎣ 0 εF ⎦ εF ∞ − + − + g⎡ ⎤ n = N + ⎢ − ∫ n + + n + dε + ∫ n − + n − dε ⎥ 2⎣ 0 εF ⎦ U = E − E0 = ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( n ++,,−− [1 + exp(βε − α ± κm ± γ ] −1 ë ®©y: ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭ (5.20) (5.21) Trong c«ng thøc (5.21), dÊu chØ sè trªn tuú thuéc dÊu cña km, dÊu chØ sè d−íi tuú thuéc dÊu cña γ. Thùc hiÖn çc tÝch ph©n ë (5.20) trong vïng gÇn ®óng n¨ng l−îng thÊp βεF >>1 ®èi víi viÖc x¸c ®Þnh β0, κ 0 vµ γ0 ta thu ®−îc: κ0 m + γ0 ( κ0 m + γ0 ) π2 Uβ = g+ g+g ∫ ln ( 1 + e − x )dx 6 2 κ0 m − γ0 2 2 0 M= n= [ mg ln ( 1 + e β0 [ g ln ( 1 + e β0 γ0 + κ0 m γ0 + κ0 m ) − ln (1 + e ) + ln (1 + e γ0 − κ0 m γ0 − κ0 m )] )] (5.22a) (5.22b) (5.22c) Ph−¬ng tr×nh ®Ó x¸c ®Þnh α0 trong gÇn ®óng nãi trªn bÞ triÖt tiªu, tøc lµ trong tr−êng hîp nµy mËt ®é tr¹ng th¸i kh«ng phô thuéc vµo sè h¹t N cña hÖ. Entr«pi S cã d¹ng: S = 2β0 U − γ 0 n − κ 0 M (5.23) HÖ çc ph−¬ng tr×nh (5.22) cã thÓ lµm hÖ c¬ b¶n cho çc tÝnh to¸n kh¸c. Chóng ta xem xÐt gÇn ®óng m«men nhá. Gi¶ thiÕt κm << 1 vµ ph−¬ng tr×nh (5.22) ®−îc kh¶ triÓn theo chuçi κm chóng ta sÏ cã: 99 γ0 κ 02 m 2 π2 Uβ = g + 2 g ∫ ln ( 1 + exp x ) dx + 6 1 + exp ( − γ 0 ) 0 2 2 κ0 m g M= β 0 [ 1 + exp ( − γ 0 )] 2 0 (5.24a) (5.24b) g κ 02 m 2 exp ( − γ 0 ) 2g n= ln ( 1 + exp γ 0 ) + 2 β0 β 0 [ 1 + exp ( − γ 0 ) ] (5.24c) Tõ ®ã, ®Ó x¸c ®Þnh β0 vµ γ0 ta thu ®−îc: γ0 π2 g + 2 g ∫ ln ( 1 + exp x ) dx 6 2 0 β0 = 2 U − M [ 1 + exp ( − γ 0 ) ] / ( 4 m 2 g ) M 2 β 0 e xp ( − γ 0 2 n = g ln ( 1 + exp γ 0 ) + β0 4 m2 g (5.25a) ) (5.25b) MËt ®é tr¹ng th¸i ω(U, M,n) trong gÇn ®óng nµy thu ®−îc nh− sau [79]: ω (U, M, n ) ⎛ M2 ω (U, n ) exp ⎜⎜ − 2 σ 2n ⎝ = 2 n σn ⎞ ⎟⎟ ⎠ (5.26) ë ®©y σ 2n - th«ng sè phô thuéc spin. 2 m2 g σ = β 0 [1 + exp ( − γ 0 2 n )] ω ( U, n ) = g Φ 1 ( U, n ) vµ (5.27) exp S n (5.28) ( g U) 5/ 4 ⎡ ln ( 1 + exp γ 0 )⎤ Φ 1 ( U, n ) = ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 π n / g U ⎥⎦ 1 + exp ( − γ 0 3/ 2 ) [1 − [1 + exp( − γ )]n / ( 4 g U ) ] 2 1/ 2 0 (5.29) Sn = 2β0 U − γ 0 n (5.30) çc ®¹i l−îng β0 vµ γ0 trong (5.27) - (5.30) ®−îc x¸c ®Þnh b»ng hÖ ph−¬ng tr×nh (5.25) khi M = 0. Çc hÖ thøc (5.28) - (5.30) ®èi víi mËt ®é çc tr¹ng th¸i h¹tlç trèng kh«ng tÝnh ®Õn m«men gãc ®−îc ®−a ra trong [78]. Còng nh− trong bµi to¸n vÒ mËt ®é tr¹ng th¸i kh«ng cè ®Þnh sè kÝch thÝch, trong tr−êng hîp nµy 100 chóng ta cã thÓ ®−a vµo kh¸i niÖm m«men qu¸n tÝnh mµ nã ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: 2 m2 g ℑn = σ β0 = 1 + exp ( − γ 0 2 0 ) (5.31) khi γ = 0, çc hÖ thøc (5.25) - (5.31) chuyÓn thµnh çc ph−¬ng tr×nh cña mÉu khÝ Fermi kh«ng cè ®Þnh sè kÝch thÝch mµ chóng ta ®· kh¶o s¸t trong ch−¬ng 2. Khi ®ã, ph−¬ng tr×nh (5.25b) víi M = 0 x¸c ®Þnh sè h¹t vµ lç trèng bÞ kÝch thÝch trung b×nh nh− sau: n = 2 g t ln 2 ≈ 1,08 g U (5.32) con sè nµy trïng víi kÕt qu¶ ®· thu ®−îc (2.19). Khi M = 0 tû sè cña çc ®Æc tr−ng thèng kª Sn, σ2n, Jn víi çc ®Æc tr−ng t−¬ng tù khi γ = 0 phô thuéc chØ vµo tû sè n vµ do vËy çc tû sè nµy cã d¹ng chung kh«ng phô thuéc vµo çc th«ng n 2 sè cña hÖ ®−îc kh¶o s¸t. Trªn h×nh 5.1 biÓu thÞ tû sè Sn/ S , σ n , ℑ n ℑ vµ c¶ TB gÝa trÞ thõa sè tr−íc hµm e mò φ1 vµ thÕ ho¸ häc γ t−¬ng øng víi quy luËt b¶o toµn sè h¹t vµ lç trèng kÝch thÝch n. Râ rµng r»ng khi n << n th× γ →- ∞ cßn khi n → nmax th× γ → ∞. Çc th«ng tin trªn h×nh 5.1 lµ ®ñ ®Ó tÝnh gi¸ trÞ mËt ®é møc khÝ Fermi ë gÇn ®óng m«men nhá. σ H×nh 5.1. Çc ®Æc tr−ng h¹t – lç trèng cña H×nh 5.2. Trung b×nh sè lÊp ®Çy n(ε/εF) mÉu khÝ Fermi [78,79]. trong hÖ Fermi víi sè h¹t kÝch thÝch x¸c ®Þnh ®−îc tÝnh ë nhiÖt ®é t = εF/15 ®èi víi çc gi¸ trÞ γ kh¸c nhau. Chóng ta nhËn thÊy trong hÖ víi n cè ®Þnh tån t¹i çc ®Æc tr−ng x¸c ®Þnh khi biÓu thÞ sè lÊp ®Çy trung b×nh n theo n¨ng l−îng tr¹ng th¸i mét h¹t ε. Trªn h×nh 5.2 chØ ra sù phô thuéc n (ε/εF). Trªn h×nh vÏ thÊy râ sù thay ®æi ngét ngét khi ε 101 = εF mµ gi¸ trÞ cña chóng kh«ng phô thuéc vµo t mµ chØ x¸c ®Þnh b»ng gi¸ trÞ γ tøc lµ b»ng tû sè n/ n : [ ] lim n ( ε F + δ ) − n ( ε F − δ ) = th δ→0 γ 2 π2 + e γ ; ln ( 1 + e γ ) ≈ e γ ∫ ln ( 1 + e )dx ≈ − 12 0 γ x (5.32) (5.33) Chóng ta kh¶o s¸t tr−êng hîp ng−ìng cña sù phô thuéc cña ®Æc tr−ng h¹t lç trèng vµo n/ n . Nh− ®· nhËn thÊy khi n / n = 1, ®¹i l−îng γ = 0, entropy Sn, th«ng sè phô thuéc spin σn2, m«men qu¸n tÝnh ℑ TB b»ng çc gi¸ trÞ t−¬ng øng cña mÉu khi Fermi kh«ng cè ®Þnh sè kÝch thÝch. n/ n << 1 t−¬ng øng víi tr−êng hîp γ → - ∞. Mét çch gÇn ®óng cã thÓ coi lµ thay thÕ (5.33) vµo (5.25) khi M = 0 ta thu ®−îc: λn n2 (5.34a) γ ≈ ln = 2 ln ; λ ≈ 1,08 2gU 2n β −1 = t = U / n (5.34b) Tõ (5.34) thÊy r»ng trong tr−êng hîp nµy nhiÖt ®é mang ý nghÜa cæ ®iÓn nh− n¨ng l−îng t¹o nªn mét kÝch thÝch. §èi víi Sn, σn2 vµ ℑ n ta cã: [ S n = 2 n ln e n 2 / ( n λ ) ] σ n2 = m 2 n ( (5.35a) (5.35b) ℑn =m2 g λn / n ) 2 (5.35c) BiÓu thøc (5.35b) ®èi víi σn2 trïng víi (5.12) cña hÖ khÝ cña çc h¹t Bolzman. Trong [78] ®· chøng minh r»ng ë ng−ìng n/n << 1, mËt ®é tr¹ng th¸i h¹t lç trèng ω(U, M, n) cã d¹ng gièng nh− mËt ®é tr¹ng th¸i ®èi víi khÝ çc h¹t Bolzman. Do vËy khi n/ n << 1 nguyªn lý cÊm Pauli kh«ng cã ý nghÜa thùc tÕ vµ ®Ó tÝnh ω(U, M, n) cã thÓ sö dông çc hÖ thøc (5.4) vµ (5.11). Khi trõ ph−¬ng tr×nh (5.22c) cho (5.22b) ta thu ®−îc: ln [ 1 + exp ( γ − κ m ) ] = ( β / 2 g )( n − M / m ) (5.36) Tõ ®ã m«men cùc ®¹i cña hÖ lý t−ëng b»ng: M 'max = m n (5.37) 102 h¬n n÷a giíi h¹n nµy ®¹t ®−îc khi γ → - ∞ tøc lµ khi n/ n << 1. Tõ (5.37) suy ra r»ng h×nh chiÕu m« men gãc M cña hÖ kh«ng thÓ lín h¬n tæng çc h×nh chiÕu m« men mét h¹t vµ lç trèng bÞ kÝch thÝch. Chóng ta kh¶o s¸t tr−êng hîp khi n/ n >> 1. Khi ®ã γ → ∞ vµ cã thÓ viÕt mét çch gÇn ®óng: π2 γ2 + ; ln ( 1 + e x ) ≈ γ ∫ ln ( 1 + e )dx ≈ 6 2 0 γ x Thay thÕ (5.38) vµo (5.25) khi M = 0 ta thu ®−îc: γ = π n / 3( 4 g U − n 2 ) β = 2πg/ 3( 4 g U − n 2 ) (5.38) (5.39a) (5.39b) Do vËy trong mÉu khÝ Fermi ®Ó xuÊt hiÖn kÝch thÝch n h¹t trong hÖ cÇn mÊt n¨ng l−îng cùc tiÓu lµ: U min = n 2 / ( 4 g ) (5.40) Khi ®ã β→ ∞ vµ do vËy t = β-1→ 0 Chóng ta chøng minh r»ng biÓu thøc (5.40) ®èi víi Umin mµ ta thu ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa trong gi¶i ph¸p thèng kª trïng víi biÓu thøc tÝnh tæ hîp. Trªn h×nh 5.3 lµ s¬ ®å kÝch thÝch cña hÖ Fermi víi phæ mét h¹t ph©n bè ®Òu cña mËt ®é g. Bªn d−íi εF xuÊt hiÖn çc lç trèng, bªn trªn εF lµ çc h¹t, h¬n n÷a trong tr−êng hîp kÝch thÝch cã n¨ng l−îng cùc tiÓu, çc h¹t vµ lç trèng ®−îc sinh ra gÇn n¨ng l−îng Fermi εF. Râ rµng lµ n¨ng l−îng cùc tiÓu ®Ó kÝch thÝch p h¹t vµ h lç trèng trong hÖ (p = h = n/2) b»ng: U min 1 3 2n − 1 n / 2 2k − 1 n 2 = + + ... = ∑ = k =1 g g g g 4g 103 (tæng cã n/2 sè h¹ng) H×nh 5.3. Ph©n bè h¹t trong hÖ Fermi víi n cè ®Þnh khi t = 0. • Ph©n bè h¹t çc møc bÞ çc h¹t lÊp ®Çy. o Ph©n bè çc møc bÞ lÊp ®Çy b»ng lç trèng. Dùa trªn (5.40) cã thÓ tÝnh sè kÝch thÝch cùc ®¹i cã thÓ xuÊt hiÖn trong hÖ n max = 2 g U ≈ 1,86 n (5.41) ë n¨ng l−îng ®· cho: Khi thay thÕ γ vµ β tõ (5.39) vµo çc hÖ thøc (5.30), (5.27) vµ (5.31) ®èi víi Sn, σn2 vµ ℑ n ta thu ®−îc: 2 π Sn = 3 1,86 n / n − 1 (5.42a) 3 2 m2 2 σn = n 3 1,86 n / n − 1 (5.42b) π ℑ n = 2 m 2 g = 2 ℑ tb (5.42c) [( ] ) [( ) ] ë ®©y ℑ tb= m2g. ë trªn ®· nghiªn cøu ®Æc tr−ng thèng kª ®èi víi çc tr−êng hîp ng−ìng ë gÇn ®óng m«men nhá. B©y giê chóng ta cÇn xem xÐt vÊn ®Ò m«men cùc ®¹i mµ nã cã thÓ xuÊt hiÖn trong hÖ vµ c¶ vïng gi¸ trÞ M mµ çc gÇn ®óng m«men nhá ®ñ ®Ó m« t¶ çc ®Æc tr−ng h¹t – lç trèng cña hÖ. Ta ®· thu ®−îc hÖ thøc (5.37) ®èi víi Mmax. HÖ thøc nµy ®−îc t×m ra khi γ→-∞ tøc lµ n << n . Trong tr−êng hîp n > n ë giíi h¹n γ→-∞ çc hÖ thøc (5.22) cã thÓ ®−îc biÓu diÔn nh− sau: βM βn ; γ = 2 2gm 2g 2 2 π n M2 = β2 + β2 g + 2 3 4g 4m g κ = Uβ 2 ⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎭⎪ (5.43) ë giíi h¹n t = 0 (β → ∞) tõ ph−¬ng tr×nh cuèi cïng cña (5.43) ta thu ®−îc: 104 U = n 2 /( 4g ) + M 2 / (4gm 2 ) (5.44) tõ ®ã suy ra r»ng trong tr−êng hîp nµy n¨ng l−îng kÝch thÝch ph©n bè nh− sau: Umin = n2/4g - n¨ng l−îng cùc tiÓu ®Ó kÝch thÝch n h¹t vµ lç trèng trong hÖ; M2/ (2 ℑ n ) = U - n2/4g - n¨ng l−îng quay khi çc h¹t vµ lç trèng chiÕm çc tr¹ng th¸i mét h¹t kh¶ dÜ thÊp nhÊt khi ®ã ℑ T = 2gm2 = 2 ℑ tb phï hîp víi biÓu thøc (5.42c) mµ ta ®· thu ®−îc. Ngoµi ra tõ (5.44) suy ra r»ng gi¸ trÞ kh¶ dÜ cùc ®¹i cña m«men trong hÖ b»ng: ' M 'max = 2m g U − n2 / 4 (5.45) Do vËy khi n < n m«men cùc ®¹i b»ng Mmax, cßn khi n > n th× m«men cùc ®¹i b»ng M”max. Chóng ta h·y t×m gi¸ trÞ n/n sao cho c¶ hai biÓu thøc (5.37) vµ (5.45) b»ng nhau. Thay thÕ chç M”max trong (5.45) b»ng gi¸ trÞ M 'max = mn ta cã: n / n ≈ 1,31 (5.46) Nh− vËy, ta thu ®−îc vïng t¸c ®éng cña çc hÖ thøc (5.37) vµ (5.45) chÝnh x¸c h¬n víi n/ n < 1,31 giíi h¹n cña Mmax ®−îc tÝnh b»ng (5.37), cßn víi n/ n >1,31 th× b»ng biÓu thøc (5.45). Cuèi cïng tõ (5.37) vµ (5.45) suy ra r»ng gi¸ trÞ cùc ®¹i kh¶ dÜ cña h×nh chiÕu m«men gãc trong hÖ b»ng: M max = 1,31 m n (5.47) NghiÖm hÖ ph−¬ng tr×nh (5.22) theo çc vïng thay ®æi kh¶ dÜ cña m«men gãc ®· ®−îc t×m theo ph−¬ng ph¸p sè. Trªn h×nh 5.4 biÓu thÞ tû sè Sn(M)/ S (M=0) ( S = 2 aU ). Râ rµng r»ng gÇn ®óng m«men nhá m« t¶ chÝnh x¸c entr«py cña hÖ ë M vµ n/ n bÊt kú, kÓ c¶ vïng m«men lín ®èi víi n > n tøc lµ khi M gÇn b»ng M”max. Bëi v× d¹ng mËt ®é tr¹ng th¸i ®−îc x¸c ®Þnh b»ng sù phô thuéc cña entr«py S vµo tÝch ph©n chuyÓn ®éng nªn cã thÓ gi¶ thiÕt r»ng mËt ®é tr¹ng th¸i h¹t lç trèng sÏ ®−îc m« t¶ ®ñ tèt b»ng gÇn ®óng m«men nhá trong tÊt c¶ çc vïng cña gi¸ trÞ M. H×nh 5.4. Tû sè Sn/ S phô thuéc vµo M/mn [77] Vïng giíi h¹n cña çc gi¸ trÞ cho phÐp M ; - TÝnh theo c«ng thøc (5.24) ----- TÝnh trong gÇn ®óng m«men nhá. 105 PhÇn m« t¶ d¹ng ®Æc tr−ng h¹t lç trèng cña hÖ Fermi víi phæ rêi r¹c chóng ta xem h×nh 5.5. H×nh 5.5. Sù phô thuéc n¨ng l−îng cña mËt ®é tr¹ng th¸i vµ th«ng sè phô thuéc spin ®−îc tÝnh cho mÉu khÝ Fermi theo c«ng thøc 5.27 ; 5.28 (®−êng cong liÒn nÐt) vµ ®èi víi mÉu khÝ Bolzman theo c«ng thøc (5.4) vµ (5.12) (®−êng ®øt nÐt) khi sè h¹t kÝch thÝch cè ®Þnh. Çc con sè ë çc ®−êng cong lµ n = p+h - sè h¹t vµ lç trèng bÞ kÝch thÝch. Çc ®−êng cong ®−îc tÝnh víi hÖ cã g=12,2MeV-1, m2 =1. Trªn h×nh lµ sù phô thuéc n¨ng l−îng cña lnωn vµ σ2n. Râ rµng lµ mÉu khÝ çc h¹t Bolzman m« t¶ kh¸ tèt ωn vµ σ2n ë n nhá. Sù kh¸c biÖt râ xuÊt hiÖn ë vïng n¨ng l−îng kÝch thÝch nhá ®èi víi n lín lµ do ¶nh h−ëng cña nguyªn lý cÊm Pauly cßn cã t¸c dông. §Ó xem vai trß nguyªn lý Pauly ®Õn ®©u, th−êng sö dông c«ng thøc gÇn ®óng thu ®−îc trong [80] ®Ó tÝnh ω(U,n): g(g U * ) ωph ( U ) = p ! h ! (p + h − 1 )! p + h −1 (5.48) ë ®©y n¨ng l−îng kÝch thÝch hiÖu dông U* trong tr−êng hîp p=h=n/2 cã d¹ng: U* = U− n(n−2 ) 8 (5.49) BiÓu thøc (5.48) khi n nhá m« t¶ tèt mËt ®é tr¹ng th¸i h¹t lç trèng cña hÖ Fermi trong tÊt c¶ d¶i n¨ng l−îng kÝch thÝch. Khi n t¨ng th× ®é chÝnh x¸c cña sù m« t¶ gi¶m xuèng ®Æc biÖt gÇn ng−ìng xuÊt hiÖn n kÝch thÝch h¹t - lç trèng. Chóng ta xem xÐt ¶nh h−ëng cña cÊu tróc líp cña phæ mét h¹t tíi çc ®Æc tr−ng thèng kª cña h¹t nh©n nguyªn tö khi sè gi¶ h¹t kÝch thÝch cè ®Þnh. ë ®©y sÏ kh«ng t×m çch ®−a ra çc hÖ thøc cÇn thiÕt ®Ó tÝnh çc ®Æc tr−ng thèng kª nµy v× rÊt dÔ dµng thu ®−îc chóng. Chóng hoµn toµn t−¬ng tù çc biÓu thøc (2.53) - (2.60). ChØ duy nhÊt bæ sung mét ph−¬ng tr×nh ®Ó x¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm yªn ngùa γ vµ t−¬ng øng lµ entr«py S vµ ®Þnh thøc cña ma trËn çc ®¹o hµm bËc hai D sÏ phøc t¹p h¬n. Çc hiÖu øng líp xuÊt hiÖn m¹nh nhÊt ë çc tÝnh chÊt cña h¹t nh©n hai lÇn magic. Trªn h×nh 5.6 vµ 5.7 lµ çc ®Æc tr−ng h¹t - lç trèng cña h¹t nh©n Pb208 thu 106 ®−îc víi phæ mét h¹t cña thÕ X¨cxon - Wud [16], khi so s¸nh víi çc tÝnh to¸n kh«ng cè ®Þnh sè kÝch thÝch vµ víi mÉu khÝ Fermi. ¶nh h−ëng cña cÊu tróc líp tá ra rÊt m¹nh khi so s¸nh víi çc tÝnh to¸n çc ®Æc tr−ng trong mÉu cã phæ mét h¹t ph©n bè rêi r¹c (h×nh 5.7). Râ rµng lµ ®èi víi phæ cÊu tróc líp, d¹ng çc ®−êng cong trªn h×nh phô thuéc nhiÒu vµo n¨ng l−îng kÝch thÝch. Khi t¨ng n¨ng l−îng kÝch thÝch, ¶nh h−ëng cña hiÖu øng líp gi¶m yÕu vµ çc ®−êng cong sÏ gÇn víi d¹ng tÝnh cho mÉu khÝ Fermi. Tuy nhiªn dÔ nhËn thÊy sù suy yÕu cña hiÖu øng líp xuÊt hiÖn chñ yÕu víi n ≤ n tøc lµ khi sù suy biÕn líp kh«ng ¸p ®Æt çc giíi h¹n lªn sù ph©n bè n¨ng l−îng kÝch thÝch cña hÖ theo çc tr¹ng th¸i kh¶ dÜ cña çc h¹t vµ lç trèng. §èi víi n > n çc hiÖu øng líp lu«n tån t¹i vµ sù kh¸c biÖt víi çc ®−êng cong cña khÝ Fermi lµ lín c¶ khi n¨ng l−îng kÝch thÝch cao. Trong [81] ®· chøng minh r»ng nÕu ®−a vµo çc ®¹i l−îng a , m 2 t−¬ng øng víi (2.63), (2.62) mµ trong mÉu khÝ Fermi chóng lµ h»ng sè th× sù phô thuéc n¨ng l−îng cña chóng cßn tá ra m¹nh h¬n so víi trong gi¶i ph¸p kh«ng cè ®Þnh sè kÝch thÝch. 5.3 ¶nh h−ëng cña çc hiÖu øng t−¬ng quan tíi çc ®Æc tr−ng thèng kª khi sè gi¶ h¹t kÝch thÝch cè ®Þnh. Chóng ta h·y nghiªn cøu çc ®Æc tr−ng thèng kª trong mÉu h¹t nh©n siªu ch¶y. §Ó ®¬n gi¶n, chóng ta giíi h¹n viÖc kh¶o s¸t hÖ h¹t Fermi cho mét lo¹i h¹t víi Hamilton cã d¹ng (5.1). Dùa trªn phÐp biÕn ®æi Khatri-Phok-B«g«lib«v cã thÓ chuyÓn tõ Hamilton cña çc h¹t t−¬ng t¸c sang Hamilton cña çc gi¶ h¹t ®éc lËp. Çch chuyÓn nµy ®· ®−îc thùc hiÖn ë môc §3.1 Nh− vËy chóng ta sÏ kh¶o s¸t hÖ víi Hamilton: Ĥ = U 0 + ∑ E ν n̂ ν (5.50) ν ë ®©y n̂ = a+νaν ; a+ν vµ aν - lµ çc to¸n tö sinh vµ huû gi¶ h¹t trong çc tr¹ng th¸i 2 cã n¨ng l−îng E ν = (ε ν − λ ) + ∆2 ; εν - n¨ng l−îng cña tr¹ng th¸i mét h¹t, λ thÕ ho¸ häc ®−îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn b¶o toµn sè h¹t toµn phÇn trong hÖ ; ∆ hµm t−¬ng quan. Chóng ta kh¶o s¸t mËt ®é tr¹ng th¸i cña hÖ gåm N h¹t Fermi cã n¨ng l−îng kÝch thÝch U ®· cho, h×nh chiÕu m«men gãc M vµ sè gi¶ h¹t kÝch thÝch ®· biÕt n. Çc to¸n tö h×nh chiÕu m«men gãc M̂ vµ sè gi¶ h¹t kÝch thÝch cã d¹ng: M̂ = ∑ mν a+ν aν = ∑ mν nν ν ν + ν ν n̂ = ∑ a a = ∑ n̂ν ν ν Râ rµng lµ çc to¸n tö M̂ vµ n̂ giao ho¸n víi Ĥ (5.50) vµ do vËy çc to¸n tö nµy lµ tÝch ph©n chuyÓn ®éng. 107 2 H×nh 5.6. Sù phô thuéc n¨ng l−îng cña çc - σn n 208 , H×nh 5.7. Sù phô thuéc cña S / S ®Æc tr−ng h¹t – lç trèng cña h¹t nh©n Pb σ2 [81]. Çc con sè ë çc ®−êng cong lµ n = vµ γ vµo n / n ®èi víi Pb208 [77, 81] ë çc p+h lµ sè h¹t vµ lç trèng kÝch thÝch. n¨ng l−îng kÝch thÝch kh¸c nhau U(®−êng liÒn nÐt). Sù phô thuéc t−¬ng tù trong mÉu khÝ Fermi ®−îc thÓ hiÖn b»ng çc ®−êng ®øt nÐt. Ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa ®−îc ®−a ra trong §1.2 vµ §1.4 cho phÐp viÕt çc hÖ thøc tæng qu¸t ®Ó tÝnh to¸n mËt ®é tr¹ng th¸i cña hÖ víi N, U, M vµ n ®· biÕt. §Ó m« t¶ chÝnh x¸c nhÊt ¶nh h−ëng cña çc hiÖu øng cÆp tíi çc ®Æc tr−ng thèng kª, chóng ta gi¶ thiÕt r»ng hÖ cã mËt ®é g/2 vµ phæ mét h¹t rêi r¹c suy biÕn bËc 2 theo h×nh chiÕu cña m«men gãc m. Ngoµi ra chóng ta sÏ sö dông gÇn ®óng nhiÖt ®é thÊp t << εF vµ gÇn ®óng phæ liªn tôc. Çc tÝnh to¸n sÏ bít phøc t¹p h¬n rÊt nhiÒu khi gi¶ thiÕt nh− vËy v× ®iÒu kiÖn b¶o toµn sè h¹t toµn phÇn sÏ tù ®éng tho¶ m·n do tÝnh ®èi xøng cña phæ mét h¹t ®èi víi λ vµ çc ®Æc tr−ng kh¸c cña hÖ ®−îc tÝnh ®Õn trong hµm mËt ®é tr¹ng th¸i th«ng qua çc th«ng sè g, m vµ ∆0. Trong çc gÇn ®óng nµy, t−¬ng øng víi ph©n tÝch trong ch−¬ng 3, ®èi víi entr«pi S cña hÖ cã thÓ viÕt [77]: ~ ω S=g ∫ [ 0 { (β ) ( ) ε + ∆ + γ + κ m ) ]+ ln[1+exp( −β ε + ∆ + γ − κ m ) ] }dε ε 2 + ∆2 − γ − κ m n+ + β ε 2 + ∆2 − γ + κ m n− + ( + ln 1+exp −β 2 2 2 (5.52) 2 Çc ph−¬ng tr×nh ®Ó x¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm yªn ngùa β, γ vµ κ cã d¹ng : ~ ω U= g ∫ [ ( ε +∆ − ε − ∆ 1−n+ −n− 2 2 2 2 0 108 )] ∆2 −∆20 dε + G (5.53a) ~ ω ( ) n = g ∫ n + − n − dε 0 ~ ω ( (5.53b) ) M = m g ∫ n + − n − dε (5.53c) 0 ë ®©y: [ ( n ± = 1 + exp β ε + ∆ 2 − γ m κ m )] −1 (5.54) lµ trung b×nh sè lÊp ®Çy çc tr¹ng th¸i gi¶ h¹t ; ∆0 vµ ∆ - hµm t−¬ng quan cña tr¹ng th¸i c¬ b¶n vµ tr¹ng th¸i kÝch thÝch mµ chóng ®−îc x¸c ®Þnh tõ çc ph−¬ng tr×nh: ~ ω 2 dε = g∫ (5.55a) G 0 ε 2 + ∆2 ~ ω 2 1 + n+ − n− = g∫ dε G 0 ε 2 + ∆2 (5.55b) ë ®©y G - h»ng sè t−¬ng t¸c t−¬ng quan. Sau khi tÝch ph©n theo n¨ng l−îng trong (5.52), (5.55) ta cho ω tiÕn ®Õn ∞. Chóng ta nhËn thÊy r»ng ∆ = 0 th× çc hÖ thøc (5.52) - (5.54) chuyÓn thµnh çc hÖ thøc (5.22), (5.23) cña mÉu khÝ Fermi víi n¨ng l−îng kÝch thÝch hiÖu dông U* = U - g∆20/4. Çc ph−¬ng tr×nh (5.53) vµ (5.55) chuyÓn thµnh: ∆20 −∆2 ω~ ⎛⎜ 2 2 ∆2 ⎞⎟ + g∫ ε +∆ − U= g− n+ + n− dε 2 2 ⎟ 4 0 ⎜ 2 ε +∆ ⎠ ⎝ ( ) (5.56a) ~ ω n + M / m = 2 g ∫ n + dε (5.56b) 0 ~ ω n − M / m = 2 g ∫ n − dε (5.56c) 0 ∆ 0 ω~ n + + n − ln dε =∫ ∆ 0 ε 2 + ∆2 (5.56d) Tõ ph−¬ng tr×nh (5.56c) suy ra r»ng trong hÖ kh«ng thÓ cã m«men gãc víi h×nh chiÕu lín h¬n M’ = mn. Chóng ta sÏ gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh (5.56) ®èi víi mét lo¹t çc tr−êng hîp ng−ìng. Gi¶ thiÕt r»ng t = 0 (β→∞). Trong tr−êng hîp nµy hÖ n»m ë tr¹ng th¸i thÊp nhÊt víi U, M, n ®· biÕt. Chóng ta t×m ∆ vµ U tõ hai tr−êng hîp ng−ìng M = mn vµ M = 0. 109 Tõ çc ph−¬ng tr×nh (5.56) thÊy r»ng tr−êng hîp t = 0 vµ M = mn t−¬ng øng víi n − = 0 vµ: ⎧1 ⎪ n+ ( ε ) = ⎨ ⎪⎩0 khi ε ≤ n / g (5.57) khi ε⟩ n / g NghiÖm cña çc ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: 1/ 2 ∆ = ∆ 0 [1 − 2 n / ( g ∆ 0 ) ] U min ( M = m n ) = n ∆ 0 [1 − n / ( 2 g ∆ 0 (5.58a) )] (5.58b) Trong tr−êng hîp t = 0 vµ M = 0 chóng ta cã: ⎧1 khi ε ≤ n / ( 2 g ) n+ ( ε) = n− ( ε) = ⎨ ⎩0 khi ε ⟩ n / ( 2 g ) (5.59) Çc ph−¬ng tr×nh (5.56) cã thÓ ®−îc viÕt d−íi d¹ng: ∆3 − 2 ∆ 0 ∆2 + ∆20 ∆ − ∆ 0 ( n / g ) = 0 2 2 ⎡ g ∆20 ⎢ ⎛ ∆ ⎞ n ⎟⎟ + U min ( M = 0 ) = 1 − ⎜⎜ 4 ⎢ ⎝ ∆0 ⎠ g ∆0 ⎣ (5.60a) ⎛ n ⎜⎜ ⎝ g ∆0 ⎞ ⎛ ∆ ⎞ ⎟⎟ + 4 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎠ ⎝ ∆0 ⎠ 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (5.60b) NghiÖm cña çc ph−¬ng tr×nh (5.58) vµ (5.60) ®−îc biÓu diÔn ë h×nh 5.8. Ph−¬ng tr×nh (5.60a) cã hai kÕt qu¶ ®−îc phÐp vÒ mÆt vËt lý: Trªn h×nh 5.8a, ∆ gi¶m khi n t¨ng trªn ®−êng liÒn nÐt vµ t¨ng trªn ®−êng ®øt nÐt. Khi n < g∆0/3, nh¸nh trªn cña ph−¬ng tr×nh (5.60a) trïng víi nghiÖm (5.58a) mµ chóng ta thu ®−îc ®èi víi tr−êng hîp M = mn. Trªn h×nh 5.8b lµ çc kÕt qu¶ Umin cña tÝnh to¸n. Nh÷ng nh¸nh trªn cña ph−¬ng tr×nh (5.60a) t−¬ng øng víi n¨ng l−îng kÝch thÝch thÊp h¬n vµ do vËy nh¸nh nµy cã nghÜa trong hÖ khi t = 0. Khi ®ã ®èi víi n < g∆0/3 n¨ng l−îng Umin ®−îc tÝnh theo çc c«ng thøc (5.58b) vµ (5.60b) ®èi víi hai hÖ trïng nhau. Nh− vËy hµm t−¬ng quan ∆n khi t = 0 ®èi víi n < g∆o/3 ®−îc x¸c ®Þnh chØ b»ng sè gi¶ h¹t kÝch thÝch vµ kh«ng phô thuéc vµo m«men gãc. Trong vïng n > g∆0/3 tr−êng hîp khi kÝch thÝch cã ∆ > 0 tá ra phøc t¹p h¬n. Tuy nhiªn cÇn xem xÐt víi ∆n = 0. Khi ®ã thùc hiÖn tÝch ph©n trong (5.56a) víi t = 0, ∆n = 0 vµ M = 0 dÔ dµng thu ®−îc: U min = g ∆20 / 4 + n 2 / ( 4 g ) (5.61) Trªn h×nh 5.8b cho thÊy khi n > g∆0/3 hÖ dÔ d¹ng bÞ kÝch thÝch ngay c¶ víi ∆n= 0. Do vËy cã thÓ t¸ch hai vïng gi¸ trÞ n: 110 - Vïng víi n < g∆0/3 trong ®ã hµm t−¬ng quan ∆n vµ n¨ng l−îng kÝch thÝch cùc tiÓu Umin ®−îc m« t¶ b»ng çc hÖ thøc (5.58a) vµ (5.58b). - Vïng víi n > g∆0/3 trong ®ã ∆n= 0 vµ n¨ng l−îng cùc tiÓu cã d¹ng (5.61). H×nh 5.8. N¨ng l−îng cÆp vµ n¨ng l−îng cùc tiÓu phô thuéc vµo sè gi¶ h¹t [77]: 1 - §èi víi M = mn ; 2 - §èi víi M= 0 ; 3 - NghiÖm víi ∆ =0 thu ®−îc tõ c«ng thøc (5.61). ý nghÜa vËt lý cña kÕt qu¶ nµy kh¸ râ rµng: Khi sè gi¶ h¹t kÝch thÝch nhá, hÖ dÔ dµng bÞ kÝch thÝch víi sù ph¸ vì cÆp vµ phÇn n¨ng l−îng ®Ó ph¸ vì tõng cÆp lµ kho¶ng 2∆0. Tõ hÖ thøc (5.58b) râ rµng lµ n¨ng l−îng cùc tiÓu cña cÊu h×nh n h¹t çch Umin ®èi víi cÊu h×nh n+2 h¹t mét l−îng 2∆0. Nh©n tö trong çc dÊu ngoÆc vu«ng cña (5.58a) mµ nã dÉn tíi sù gi¶m cña ∆n liªn quan tíi hiÖu øng nhãm l¹i çc møc [12, 21] ë chç hµm t−¬ng quan gi¶m khi xuÊt hiÖn gi¶ h¹t ®¬n lÎ gÇn n¨ng l−îng Fermi (n¨ng l−îng gi¶ h¹t gÇn b»ng n¨ng l−îng Fermi). Cô thÓ h¬n chóng ta nhËn thÊy r»ng gi¶i ph¸p thèng kª víi sè gi¶ h¹t kÝch thÝch cè ®Þnh cho phÐp thu ®−îc khe hÑp cì 2∆0 trong phæ cña hÖ ch½n ®©y lµ kÕt qu¶ rÊt tèt khi m« t¶ vi m« mét hÖ cã t−¬ng t¸c t−¬ng quan mµ kh«ng thu ®−îc b»ng gi¶i ph¸p thèng kª truyÒn thèng. Tõ (5.58b) suy ra r»ng: U min ( n = 2 ) = 2 ∆ 0 [1 − 1 / ( g ∆ 0 ) ] (5.62) Cïng lóc ®· thu ®−îc lµ theo chiÒu t¨ng cña n khi n lín h¬n g∆0/3, hÖ b¾t ®Çu bÞ kÝch thÝch víi ∆ = 0 sau khi tèn mét n¨ng l−îng cùc tiÓu (5.61). HÖ qu¶ ®Çu tiªn cña (5.61) - ®ã lµ n¨ng l−îng liªn kÕt (3.42), hÖ qu¶ thø 2 lµ nã trïng víi biÓu thøc (5.40) ®èi víi n¨ng l−îng cùc tiÓu khi kÝch thÝch n h¹t trong mÉu khÝ Fermi. Nh− vËy, theo kiÓu kÝch thÝch nµy, hÖ mÊt mét phÇn n¨ng l−îng liªn kÕt ®Ó chuyÓn tõ tr¹ng th¸i siªu ch¶y sang tr¹ng th¸i b×nh th−êng sau ®ã bÞ kÝch thÝch nh− khÝ çc h¹t Fermi. KÕt qu¶ quan träng thø hai lµ: çc n¨ng l−îng cÆp ∆n khi M = mn vµ khi M = 0 trïng nhau khi t = 0. Trong [77] ®· chøng minh r»ng víi n bÊt kú, hµm t−¬ng quan thùc tÕ kh«ng phô thuéc vµo h×nh chiÕu m«men gãc. §iÒu ®ã cã nghÜa r»ng sè gi¶ h¹t kÝch thÝch cè ®Þnh cã ¶nh h−ëng m¹nh tíi hµm t−¬ng quan cña hÖ vµ sù cè ®Þnh cña h×nh chiÕu m«men gãc kh«ng dÉn tíi sù thay ®æi bÊt kú cña ∆n. V× vËy sù phô thuéc m«men gãc cña 111 mËt ®é tr¹ng th¸i cña hÖ víi sè gi¶ h¹t kÝch thÝch ®· cho ®−îc m« t¶ tèt trong c¶ mÉu siªu ch¶y lÉn mÉu çc h¹t ®éc lËp ë gÇn ®óng m«men nhá. Chóng ta xem xÐt çc ®Æc tr−ng thèng kª khi M = 0 vµ nhiÖt ®é t = β-1 > 0. NghiÖm cña çc ph−¬ng tr×nh (5.55) vµ (5.56a) khi γ = 0 trïng víi çc nghiÖm cña çc ph−¬ng tr×nh (3.46) vµ (3.55) trong gi¶i ph¸p thèng kª kh«ng cè ®Þnh sè kÝch thÝch. Khi γ = 0, dÔ dµng tÝnh ®−îc trung b×nh sè gi¶ h¹t kÝch thÝch: ∞ ( ) ∞ n = n ( γ = 0 ) = g ∫ ch 2 β ε 2 + ∆2 / 2 dε = 2 g ∆ ∑ ( − 1 ) ν + 1 K 1 ( ν β ∆ ) (5.63) 0 ν =1 ë ®©y K1(x) - Hµm Macdoman [9]. Chóng ta nghiªn cøu ®Æc tr−ng cña hÖ khi n < n ë nhiÖt ®é ®· cho. Trong tr−êng hîp nµy γ < 0 vµ trung b×nh sè lÊp ®Çy cã thÓ ®−îc khai triÓn thµnh chuçi [46 – 48]. Khi ®ã hÖ ph−¬ng tr×nh (5.56) cã d¹ng: ∞ U = g ∆2n ∑ ( − 1 ) ν +1 ν =1 e γ ν K 2 ( ν β ∆ )+ ∞ n = 2 g ∆ n ∑ ( −1 ) ν +1 ν =1 ln g 2 ( ∆ 0 − ∆2n 4 K1 ( ν β ∆ n ) ) ∞ ∆n ν +1 = − 2 ∑ ( − 1 ) e γ ν K 0 (ν β ∆ n ν =1 ∆0 (5.64a) (5.64b) ) (5.64c) §èi víi entr«py Sn vµ th«ng sè phô thuéc spin σ2n ta thu ®−îc: g ⎡ ⎤ S n = 2 β ⎢ U − ( ∆20 − ∆2n ) ⎥ − γ n 5.65a) 4 ⎣ ⎦ ∞ σ 2n = 2 g m 2 ∑ ( − 1 ) ν =1 ν +1 e γ ν K1 ( ν β ∆ n ) (5.65b) NÕu sè gi¶ h¹t kÝch thÝch n nhá h¬n n rÊt nhiÒu th× γ → -∞ , vµ trong çc ®a thøc (5.64) vµ (5.65) cã thÓ giíi h¹n chØ ë nh÷ng sè ®Çu tiªn. Khi ®ã cã thÓ thu ®−îc sù phô thuéc râ rµng cña çc ®Æc tr−ng thèng kª vµo n: ln ∆n n K0 (β ∆n =− ∆0 g ∆ n K1 ( β ∆ n ) ) U * = U − g ( ∆20 − ∆2n )/ 4 = (5.66a) n ∆n K2 (β ∆n ) 2 K1 (β ∆ ) S n = 2 β U * − n ln [ n / ( 2 g ∆ n K1 ( n β ∆ n ) ) ] 112 (5.66b) (5.66c) σ n2 = m 2 n (5.66d) Çc hÖ thøc (5.66) cã d¹ng rÊt ®¬n gi¶n ë vïng nhiÖt ®é cao (∆nβ → 0) khi ®ã trong çc chuçi khai triÓn cña hµm Mac®oman cã thÓ giíi h¹n chØ ë nh÷ng sè h¹ng kh«ng bÞ triÖt tiªu ®Çu tiªn [9], tõ ®ã: ∆ nβ 2 ln n = − ln (5.67a) ∆0 g Cβ ∆ n U * = n /β S n = 2 n − n ln [ n 2 / ( 2 g U * )] (5.67b) (5.67c) ë ®©y C = 0,5722 - H»ng sè ¥le. Tõ (5.67a) suy ra r»ng trong hÖ cã sè gi¶ h¹t kÝch thÝch cè ®Þnh khi t¨ng n¨ng l−îng kÝch thÝch t → ∞ (β → 0), hµm t−¬ng quan ∆n tiÕn tíi ∆0. Sù thay ®æi nh− vËy cña hµm t−¬ng quan cã thÓ ®−îc gi¶i thÝch nh− sau : gi¸ trÞ hµm t−¬ng quan cùc ®¹i vµ b»ng ∆ ë tr¹ng th¸i c¬ b¶n, víi viÖc t¹o ra çc gi¶ h¹t gÇn n¨ng l−îng Fermi, hµm t−¬ng quan gi¶m xuèng lµm ph¸ vì hiÖu øng nhãm møc [12,21]. Trªn h×nh 5.2 chØ ra r»ng ®èi víi khÝ Fermi khi γ = -2 t−¬ng øng víi tr−êng hîp n < n, ph©n bè çc gi¶ h¹t gÇn n¨ng l−îng Fermi gièng nh− ph©n bè çc gi¶ h¹t ë tr¹ng th¸i c¬ b¶n. Khi ®ã nguyªn nh©n lµ ∆n → ∆0 theo chiÒu t¨ng cña n¨ng l−îng kÝch thÝch. Tõ hÖ thøc (5.67) còng thÊy r»ng khi n < n, sù thay ®æi çc ®Æc tr−ng thèng kª ë n¨ng l−îng kÝch thÝch cao ®−îc x¸c ®Þnh b»ng ph−¬ng tr×nh khÝ çc h¹t Bolzman. §iÒu ®ã cho phÐp sö dông çc hÖ thøc (5.4) vµ (5.11) ®Ó tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i víi n < n ë vïng n¨ng l−îng kÝch thÝch cao. Chóng ta xem xÐt sù thay ®æi cña çc ®Æc tr−ng thèng kª trong tr−êng hîp khi sè gi¶ h¹t kÝch thÝch cè ®Þnh. Cã thÓ hiÓu nh÷ng ®Æc tÝnh c¬ b¶n cña thay ®æi nãi trªn dùa trªn hai tr−êng hîp giíi h¹n ®· ®−îc kh¶o s¸t. §èi víi sè gi¶ h¹t kÝch thÝch nhá n ≤ g∆0/3, hµm t−¬ng quan cña hÖ kh¸c kh«ng ë n¨ng l−îng kÝch thÝch U bÊt kú, h¬n n÷a nã t¨ng khi U t¨ng. Khi sè kÝch thÝch lín (n > g∆0/3) hµm t−¬ng quan ë vïng n¨ng l−îng thÊp b»ng kh«ng vµ sù thay ®æi cña çc ®Æc tr−ng thèng kª cña hÖ ®−îc m« t¶ b»ng çc ph−¬ng tr×nh cña mÉu khÝ Fermi víi n¨ng l−îng kÝch thÝch hiÖu dông U* = U - g∆0/4. Tuy nhiªn khi n¨ng l−îng kÝch thÝch t¨ng th× hµm t−¬ng quan xuÊt hiÖn trong hÖ, nh− vËy tøc lµ x¶y ra sù dÞch chuyÓn pha tõ tr¹ng th¸i b×nh th−êng sang tr¹ng th¸i siªu ch¶y vµ khi U rÊt lín, hÖ trë thµnh hÖ khÝ çc h¹t Bolzman. §Ó m« t¶ ®Þnh l−îng çc ®Æc tr−ng thèng kª cña hÖ, cÇn gi¶i hÖ çc ph−¬ng tr×nh (5.56) khi M = 0. NghiÖm cña hÖ nµy ®· ®−îc tÝnh b»ng sè. Çc kÕt qu¶ thu ®−îc nh− sau : 113 t k p = 0,567 ∆ 0 ; U k p = 0,778 g ∆20 ; S k p = ( π 2 / 3 )g t k p σ 2k p = m 2 g t k p ; n k p = 2 ( ln 2 ) g t k p (5.68) Çc ®¹i l−îng trªn chØ ra çc ®Æc tr−ng thèng kª cña ®iÓm chuyÓn pha tõ tr¹ng th¸i siªu ch¶y sang tr¹ng th¸i b×nh th−êng ®èi víi hÖ kh«ng cè ®Þnh sè gi¶ h¹t kÝch thÝch. Sù phô thuéc ®¼ng nhiÖt cña çc ®Æc tr−ng thèng kª cña hÖ vµo sè gi¶ h¹t kÝch thÝch ®−îc biÓu diÔn trªn h×nh 5.9. Bªn ph¶i cña ®−êng cong chuyÓn pha lµ hÖ n»m ë pha b×nh th−êng (∆0 = 0), bªn tr¸i lµ pha siªu ch¶y (∆n > 0). Sù phô thuéc n¨ng l−îng cña çc ®Æc tr−ng thèng kª cña hÖ khi n cè ®Þnh ®−îc ®−a ra trªn h×nh 5.10 vµ 5.11. Çc kÕt qu¶ tÝnh to¸n ®−îc ®−a ra kh¼ng ®Þnh çc kÕt luËn ë phÇn trªn vÒ çc d¹ng thay ®æi chung cña çc ®Æc tr−ng thèng kª cña hÖ cã sè gi¶ h¹t cè ®Þnh. H×nh 5.9. Sù phô thuéc cña Un/Uc, ,Sn/Sc vµ σ2n/σ2c vµo n/nc [82] §−êng cong chuyÓn pha tõ tr¹ng th¸i siªu ch¶y sang tr¹ng th¸i th−êng. N¨ng l−îng cùc tiÓu (5.58b), (5.61) t−¬ng øng víi t = 0. Chóng ta xem xÐt bµi to¸n tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i cña hÖ. Sù kh¸c biÖt cña lnω so víi entr«py ®−îc gi¶i thÝch lµ do cã çc thõa sè tr−íc hµm e mò vµ v× thõa sè nµy lµ hµm phô thuéc yÕu vµo n¨ng l−îng kÝch thÝch nªn vµi trß cña nã lµ chØ ®Ó thu ®−îc chÝnh x¸c gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña ω. Sù phô thuéc n¨ng l−îng cña mËt ®é tr¹ng th¸i ®−îc x¸c ®Þnh nhê sù thay ®æi entr«pi cña hÖ. DÔ dµng tÝnh ®−îc hoÆc kh¶o s¸t ®−îc thõa sè tr−íc e mò [82]. Nh÷ng tÝnh to¸n nh− vËy rÊt tû mØ v× vËy rÊt cÇn nh÷ng hÖ thøc thËt ®¬n gi¶n ®Ó tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i. Tõ nh÷ng kÕt qu¶ ®−îc biÓu diÔn trªn h×nh 5.10 vµ 5.11 dÔ dµng thÊy r»ng ®èi víi hÖ cã n > g∆0/3, sù thay ®æi çc ®Æc tr−ng thèng kª ë nhiÖt ®é kÝch thÝch thÊp ®−îc m« t¶ b»ng çc ph−¬ng tr×nh cña mÉu khÝ Fermi. V× thÕ ë vïng nµy mËt ®é tr¹ng th¸i sÏ cã d¹ng hµm cña mÉu khÝ Fermi víi n¨ng l−îng kÝch thÝch hiÖu dông lµ U* = U-g∆20/4. Trong [80] ®· chøng minh r»ng ®èi víi mÉu khÝ Fermi, mËt ®é tr¹ng th¸i cã thÓ viÕt d−íi d¹ng (5.48) víi n¨ng l−îng hiÖu dông (5.49). Do vËy khi x¸c ®Þnh chÝnh x¸c n¨ng l−îng kÝch thÝch hiÖu dông, hÖ thøc (5.48) sÏ m« t¶ tèt mËt ®é tr¹ng th¸i cña hÖ c¶ ë vïng n¨ng luîng kÝch thÝch thÊp lÉn vïng n¨ng l−îng kÝch thÝch cao. V× thÕ cã thÓ coi hÖ thøc (5.48) lµ sù gÇn ®óng tèt ®Ó tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i cña hÖ cã 114 sè gi¶ h¹t kÝch thÝch cè ®Þnh ®èi víi çc biÕn U vµ n nÕu coi n¨ng l−îng hiÖu dông cã d¹ng nh− sau: g 2 ( ∆ 0 − ∆2n ) − n ( n − 2 ) 4 8g U* = U − (5.69) vµ sö dông çc kÕt qu¶ nghiÖm sè ®· thu ®−îc ®Ó tÝnh ∆n(ν). Çc tÝnh to¸n trong [82] ®· chØ ra r»ng ®é chÝnh x¸c cña sù gÇn ®óng nh− vËy lµ ®ñ cao vµ sai sè trë nªn nhËn biÕt ®−îc chØ ë gÇn ng−ìng xuÊt hiÖn cÊu h×nh gi¶ h¹t. V× thÕ ®Ó x¸c ®Þnh ng−ìng, tèt nhÊt lµ sö dông çc hÖ thøc chÝnh x¸c (5.58b) vµ (5.61) chø kh«ng sö dông hÖ thøc gÇn ®óng suy ra tõ (5.69). H×nh 5.10. Sù phô thuéc ∆n/∆0 vµo nhiÖt ®é vµ n¨ng l−îng kÝch thÝch [82] (®−êng ®øt nÐt – çc kÕt qu¶ cña nghiÖm (5.58) khi t = 0). H×nh 5.11. Sù phô thuéc n¨ng l−îng cña Sn/Sc vµ σ2n/σ2c [82] ---- sù chuyÓn pha - . - sù thay ®æi cña çc ®¹i l−îng trung b×nh khi γ = 0 5.4 M« t¶ h¹t lç trèng çc ®Æc tr−ng trung b×nh cña h¹t nh©n. Çc ®Æc tr−ng trung b×nh vµ sù chuyÓn pha trong mÉu siªu ch¶y. Cã thÓ thu ®−îc mËt ®é tr¹ng th¸i toµn phÇn ω(U) cña h¹t nh©n b»ng çch céng mËt ®é cña gi¶ h¹t thø n theo tÊt c¶ n kh¶ dÜ vÒ mÆt n¨ng l−îng [54]: ω ( U ) = ∑ ωn ( U ) (5.70) n Râ rµng lµ ®èi víi hÖ cã sè h¹t toµn phÇn N lµ ch½n, çc sè gi¶ h¹t kÝch thÝch n sÏ nhËn nh÷ng gi¸ trÞ lÎ: n = 1,3,5 ... Cã thÓ tÝnh ®Æc tr−ng trung b×nh bÊt kú A(ν) theo c«ng thøc: A ( U ) = ∑ A n ωn ( U ) / ω ( U ) n 115 (5.71) §Ó ®¬n gi¶n tÝnh to¸n chóng ta h·y kh¶o s¸t h¹t nh©n nh− mét hÖ h¹t Fermi gåm mét lo¹i h¹t víi phæ mét h¹t rêi r¹c suy biÕn bËc hai. §èi víi hÖ nh− vËy çc ®Æc tr−ng trung b×nh hoµn toµn x¸c ®Þnh b»ng mËt ®é tr¹ng th¸i mét h¹t g, trung b×nh b×nh ph−¬ng h×nh chiÕu m« men mét h¹t m 2 vµ n¨ng l−îng cÆp ë tr¹ng th¸i c¬ b¶n ∆0. Trªn h×nh 5.12 ®· ®−a ra çc kÕt qu¶ tÝnh to¸n çc ®Æc tr−ng h¹t - lç trèng trung b×nh ®èi víi hÖ cã çc th«ng sè g = 18,3MeV vµ ∆0= 0,85 MeV (çc th«ng sè nµy t−¬ng øng víi h¹t nh©n vïng çc nguyªn tè vËn chuyÓn) vµ c¶ çc kÕt qu¶ tÝnh to¸n mËt ®é toµn phÇn vµ çc ®Æc tr−ng trung b×nh dùa trªn çc hÖ thøc gi¶i ph¸p thèng kª truyÒn thèng thu ®−îc trong ch−¬ng 3 mµ kh«ng chó ý tíi sù thay ®æi tr¹ng th¸i kÝch thÝch theo sè gi¶ h¹t. Trong mÉu siªu ch¶y ë çch tiÕp cËn truyÒn thèng, n¨ng l−îng cÆp ∆(U) gi¶m khi n¨ng l−îng kÝch thÝch t¨ng vµ b»ng kh«ng khi n¨ng l−îng kÝch thÝch lín h¬n Uc = 0,778g∆20 - ®iÓm chuyÓn pha (h×nh 3.3). Cao h¬n n¨ng l−îng chuyÓn pha, çc ®Æc tr−ng thèng kª cña hÖ ®−îc m« t¶ b»ng çc ph−¬ng tr×nh cña mÉu çc h¹t ®éc lËp víi U*= U- g∆20/4. Khi U = Uc, trong biÓu diÔn phô thuéc c¶ n¨ng l−îng cña entr«py th«ng sè phô thuéc spin vµ çc ®Æc tr−ng thèng kª kh¸c cña hÖ cã sù g·y gãc (h×nh 3.3) ®Æc tr−ng cho sù chuyÓn pha lo¹i hai. Trong m« t¶ thèng kª víi sè gi¶ h¹t cè ®Þnh, n¨ng l−îng cÆp víi n < g∆0/3 kh¸c 0 trong tÊt c¶ çc kho¶ng n¨ng l−îng kÝch thÝch, tøc lµ hÖ víi n nh− vËy n»m ë pha siªu ch¶y ë U bÊt kú. Khi n > g∆0/3 hÖ cã thÓ n»m ë pha siªu ch¶y còng nh− çc pha b×nh th−êng, nh−ng vïng tr¹ng th¸i b×nh th−êng (∆ = 0) n»m ë vïng n¨ng l−îng kÝch thÝch thÊp h¬n so víi vïng çc tr¹ng th¸i siªu ch¶y (∆ ≠ 0). Khi ®ã chuyÓn pha cã h−íng ng−îc vÒ mÆt n¨ng l−îng so víi chuyÓn pha b×nh th−êng. §èi víi tr¹ng th¸i cã n bÊt kú khi t¨ng n¨ng l−îng kÝch thÝch, çc n¨ng l−îng cÆp ∆n(U) t¨ng vµ tiÕn ®Õn ∆0 khi U →∞ (H×nh 5.10). NÕu tÝnh mËt ®é tr¹ng th¸i toµn phÇn vµ çc ®Æc tr−ng thèng kª trung b×nh dùa trªn çc hÖ thøc (5.70) vµ (5.71) th× kh«ng cã mét sù thay ®æi ®ét biÕn nµo khi U = Uc trong ®−êng biÓu diÔn mËt ®é tr¹ng th¸i toµn phÇn vµ th«ng sè σ2 theo n¨ng l−îng nh− ®· thÊy trªn h×nh 5.12. N¨ng l−îng liªn kÕt cÆp trung b×nh gi¶m khi n¨ng l−îng kÝch thÝch t¨ng nh−ng kh«ng b»ng 0 khi U = Uc. Çc kÕt qu¶ nµy chØ ra r»ng ®èi víi çc ®Æc tr−ng thèng kª trung b×nh cña hÖ, sù chuyÓn pha nãi mét çch chÆt chÏ lµ kh«ng cã. 116 H×nh 5.12a. Sù phô thuéc n¨ng l−îng cña çc ®Æc tr−ng h¹t – lç trèng trung b×nh cña hÖ [54] : KÕt qu¶ víi n cè ®Þnh cho hÖ ch½n h¹t. ⎯ • ⎯ Giíi h¹n cho phÐp cña ∆n(U) H×nh 5.12b. Sù phô thuéc n¨ng l−îng cña çc ®Æc tr−ng h¹t – lç trèng trung b×nh cña hÖ [54] : KÕt qu¶ víi n cè ®Þnh cho hÖ lÎ h¹t. ⎯⋅ • ⎯⋅ Giíi h¹n cho phÐp cña ∆n(U) H×nh 5.12c – TÝnh to¸n çc ®Æc tr−ng trung b×nh [ - ®èi víi hÖ ch¾n, ---- ®èi víi hÖ lÎ ; -.- tÝnh to¸n kh«ng giíi h¹n sè gi¶ h¹t ]. Sù xuÊt hiÖn qu¸ tr×nh chuyÓn pha trong m« t¶ thèng kª truyÒn thèng çc ®Æc tr−ng cña h¹t nh©n bÞ kÝch thÝch lµ “çi gi¸” ph¶i tr¶ cho sù rót gän ®−îc sö dông ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò. Sù chuyÓn pha trong tr−êng hîp nµy chØ ph¶n ¸nh mét hiÖn t−îng lµ hµm t−¬ng quan b»ng 0 ®èi víi cÊu h×nh n gi¶ h¹t kh¶ dÜ nhÊt khi n¨ng l−îng lín h¬n n¨ng l−îng chuyÓn pha. Trong çc chÊt siªu dÉn, tr¹ng th¸i cña hÖ ®−îc x¸c ®Þnh hoµn toµn b»ng cÊu h×nh kh¶ dÜ nhÊt (x¸c suÊt lín nhÊt vµ ®Æc tr−ng trung b×nh thùc tÕ lµ trïng nhau) vµ sù phô thuéc nhiÖt ®é cña hµm t−¬ng quan ∆(t) ®−îc quan s¸t trùc tiÕp trong thÝ nghiÖm. §èi víi h¹t nh©n, çc cÊu h×nh kh¸c víi cÊu h×nh kh¶ dÜ nhÊt ®ãng gãp vµo mËt ®é tr¹ng th¸i toµn phÇn cña hÖ vµ ®iÒu nµy ®−îc quan s¸t ë sù kh¸c nhau râ rÖt gi÷a çc ®Æc tr−ng kh¶ dÜ nhÊt cña hÖ víi çc ®Æc tr−ng trung b×nh (h×nh 5.12). TÝnh to¸n mËt ®é tr¹ng th¸i toµn phÇn dùa trªn biÓu thøc (5.71) t−¬ng øng víi m« t¶ chÝnh x¸c h¬n çc tÝnh chÊt thèng kª cña hÖ ®−îc kh¶o s¸t. Sù chÝnh x¸c thu ®−îc chñ yÕu thuéc vÒ vÊn ®Ò kh¸c biÖt nguyªn t¾c cña nhiÖt 117 ®éng häc h¹t nh©n so víi nhiÖt ®éng häc siªu dÉn. Sù kh¸c biÖt nµy lµ kh«ng cã sù chuyÓn pha vµ t−¬ng ®−¬ng víi viÖc kh«ng cã sù chuyÓn pha lµ kh«ng cã sù thay ®æi ®ét ngét çc ®Æc tr−ng thèng kª cña h¹t nh©n theo n¨ng l−îng. Tuy nhiªn trªn h×nh 5.12 cho thÊy r»ng nÕu kh«ng coi cÊu tróc ë vïng nhiÖt ®é thÊp vµ sù thay ®æi ®ét ngét theo n¨ng l−îng cã ý nghÜa quan träng th× viÖc sö dông çc hÖ thøc cña gi¶i ph¸p truyÒn thèng thu ®−îc trong ch−¬ng 3 lµ sù gÇn ®óng ®ñ tèt ®Ó m« t¶ çc ®Æc tr−ng thèng kª trung b×nh cña hÖ. CÊu tróc nhÈy bËc cña çc ®Æc tr−ng trung b×nh cña h¹t nh©n. V× çc cÊu h×nh víi sè gi¶ h¹t x¸c ®Þnh xuÊt hiÖn chØ khi n¨ng l−îng kÝch thÝch v−ît gi¸ trÞ cùc tiÓu: U min ⎧ ⎛ n n 1− ∆ ⎪ 0 ⎜ ⎜ ⎪ 2 g ∆0 ⎝ =⎨ 2 2 ⎪ g ∆0 + n ⎪⎩ 4 4g ⎞ ⎟⎟ ⎠ khi n ≤ g ∆ 0 / 3 (5.72) khi n ⟩ g ∆ 0 / 3 nªn ng−ìng kÝch thÝch n gi¶ h¹t ph¶i cã mÆt trong mËt ®é tr¹ng th¸i toµn phÇn vµ trong çc ®Æc tr−ng thèng kª trung b×nh cña hÖ d−íi d¹ng cÊu tróc nh¶y bËc. Khi mËt ®é tr¹ng th¸i mét h¹t g nhá, çc cÊu tróc nµy thÓ hiÖn kh«ng râ rµng [54], vµ do vËy nã kh«ng tån t¹i ë çc h¹t nh©n cã sè khèi trung b×nh, nh−ng trong vïng h¹t nh©n nÆng ë n¨ng l−îng kÝch thÝch kh«ng lín, cÊu tróc nh¶y bËc cña çc ®Æc tr−ng thèng kª thÓ hiÖn kh¸ râ rµng (h×nh 5.12). CÊu tróc nh− vËy ®−îc ph¸t hiÖn ë th«ng sè K20 thay ®æi theo n¨ng l−îng - th«ng sè K20 x¸c ®Þnh ph©n bè gãc cña çc s¶n phÈm ph©n h¹ch. Nã liªn quan tíi çc ®Æc tr−ng ph©n chia cña h¹t nh©n b»ng hÖ thøc [83]: K 20 = ℑef t / h 2 (5.73) ë ®©y t lµ nhiÖt ®é h¹t nh©n, cßn ℑ ef – m«men qu¸n tÝnh hiÖu dông vµ b»ng: ℑef = ℑ // ℑ ⊥ ℑ ⊥ − ℑ // (5.74) ë ®©y ℑ // vµ ℑ ⊥ lµ çc m«men qu¸n tÝnh cña h¹t nh©n ë ®iÓm yªn ngùa ®èi víi trôc ®èi xøng song song vµ vu«ng gãc. Khi ®−a vµo ®¹i l−îng K 2 = ℑ // t / h 2 , cã thÓ biÓu diÔn K20 d−íi d¹ng: K 02 = K2 1 − ℑ // / ℑ ⊥ (5.75) ë ®©y th«ng sè K2 rÊt quan träng ®èi víi th«ng sè phô thuéc spin σ2 ®−îc kh¶o s¸t ë phÇn trªn. 118 Trong c«ng tr×nh [84] ®· nghiªn cøu sù bÊt ®èi xøng gãc cña çc m¶nh ph©n h¹ch cña h¹t nh©n 239Pu do n¬tron g©y nªn trong kho¶ng n¨ng l−îng kÝch thÝch ®ñ réng (tõ 0 tíi 30 MeV). Sè liÖu thùc nghiÖm vÒ d¹ng K20(U) trong vïng n¨ng l−îng kÝch thÝch thÊp [84] ®−îc ®−a ra trªn h×nh 5.13. Tõ nh÷ng sè liÖu nµy cã thÓ rót ra hai kÕt luËn chÝnh vÒ sù phô thuéc vµo U cña K20 : 1. Trong tÊt c¶ vïng n¨ng l−îng kÝch thÝch ®−îc kh¶o s¸t, sè liÖu thùc nghiÖm nãi chung ®−îc m« t¶ tèt b»ng çc hÖ thøc cña mÉu h¹t nh©n siªu ch¶y kh«ng cè ®Þnh sè kÝch thÝch. 2. ë vïng n¨ng l−îng kÝch thÝch thÊp ®· ph¸t hiÖn cÊu tróc nh¶y bËc cña K20 theo n¨ng l−îng. ViÖc m« t¶ cÊu tróc nµy kh«ng thÓ thiÕu sù bæ chÝnh ph−¬ng ph¸p thèng kª cã sè kÝch thÝch cè ®Þnh. §−êng cong biÓu diÔn trªn h×nh 5.13 thu ®−îc nhê hÖ thøc (5.75). Çc th«ng sè cÇn thiÕt cho m« t¶ nã lµ g = 18,3 MeV-1, ∆0 = 0,85 MeV vµ m2 = 4,2 ®· ®−îc lùa chän [84]. Trong c«ng thøc (5.75) ®Ó tÝnh K20 chØ cßn x¸c ®Þnh tû sè ℑ // / ℑ ⊥. HÖ thøc nµy cã thÓ viÕt l¹i d−íi d¹ng: ℑ // ℑ⊥ = ℑ // / ℑ // tb ℑ // tb ℑ ⊥ / ℑ ⊥ tb ℑ ⊥ tb ë ®©y ℑ //tb vµ ℑ ⊥tb lµ gi¸ trÞ cña m«men qu¸n tÝnh vËt r¾n t−¬ng øng. §Ó m« t¶ sù phô thuéc n¨ng l−îng cña çc tû sè ℑ /// ℑ //tb vµ ℑ ⊥/ ℑ ⊥tb , ng−êi ta ®· sö dông çc kÕt qu¶ tÝnh to¸n mÉu h¹t nh©n siªu ch¶y truyÒn thèng ®−îc ®−a ra trªn h×nh 5.13. H×nh 5.13. Sù phô thuéc n¨ng l−îng cña th«ng sè K20 [54]: o – Gi¸ trÞ thùc nghiÖm; -- TÝnh theo c«ng thøc (5.75). Tû sè çc m«men vËt r¾n ℑ ⊥tb/ ℑ //tb = 3 ®· ®−îc t×m ra tõ sù ph©n tÝch K20 trong [84]. Trªn h×nh 5.13 thÊy râ r»ng ®−êng cong lý thuyÕt thu ®−îc m« t¶ ®ñ tèt sè liÖu thùc nghiÖm trong mäi kho¶ng n¨ng l−îng kÝch thÝch. §Ó m« t¶ sè liÖu thùc nghiÖm chÝnh x¸c h¬n cÇn tÝnh ®Õn cÊu tróc líp cña phæ mét h¹t trong çc biÕn d¹ng t−¬ng øng ®iÓm yªn ngùa. HiÖu øng ch½n lÎ trong mËt ®é møc h¹t nh©n. 119 Sù tån t¹i nh÷ng kh¸c biÖt lín trong mËt ®é tr¹ng th¸i kÝch thÝch cña nh÷ng h¹t nh©n mµ sè n¬tron vµ pr«ton cña chóng kh¸c nhau b»ng sè ch½n lµ mét hiÖu øng thùc nghiÖm ®· ®−îc x¸c ®Þnh. §Ó m« t¶ nh÷ng kh¸c nhau nµy trong mÉu khÝ Fermi, ng−êi ta ®−a vµo n¨ng l−îng kÝch thÝch hiÖu dông U*=Uδ ë ®©y δ th−êng ®−îc ®ång nhÊt víi n¨ng l−îng t¹o cÆp ®èi víi çc thµnh phÇn n¬tron hoÆc proton ch½n t−¬ng øng (xem §2.4). Sù ®¸nh gi¸ hiÖn t−îng luËn nh− vËy m« t¶ kh¸ tèt sè liÖu thùc nghiÖm trong kho¶ng n¨ng l−îng kÝch thÝch hÑp, vÝ dô nh− mËt ®é çc céng h−ëng n¬tron sãng s, nh−ng chÝnh viÖc ®−a vµo sù dÞch chuyÓn n¨ng l−îng nh− vËy cÇn ph¶i ®−îc gi¶i thÝch. Sù kh¸c biÖt vÒ ®é ch½n lÎ ë tr¹ng th¸i c¬ b¶n cña h¹t nh©n ®−îc gi¶i thÝch chÝnh x¸c trong mÉu çc gi¶ h¹t ®éc lËp [12, 21]. Chóng ®−îc gi¶i thÝch b»ng ¶nh h−ëng cña h¹t ®¬n lÎ lªn n¨ng l−îng tÝch tô cña hÖ cã sè h¹t lÎ. Trong [15] ®· chó ý tíi mèi liªn hÖ chÆt chÏ cña hiÖu øng nµy víi sù kh¸c biÖt ch½n - lÎ trong mËt ®é møc h¹t nh©n. Trong [15] viÖc tÝnh to¸n mËt ®é tr¹ng th¸i trong mÉu gi¶ h¹t ®· ®−îc thùc hiÖn chØ víi nh÷ng h¹t nh©n ch½n ch½n vµ ¶nh h−ëng cña h¹t ®¬n lÎ tíi çc ®Æc tr−ng thèng kª cña h¹t nh©n bÞ kÝch thÝch ch−a ®−îc kh¶o s¸t. Nh÷ng khã kh¨n chÝnh trong nghiªn cøu vÊn ®Ò nµy lµ ë chç b»ng çch nµo cã thÓ t¸ch ra ¶nh h−ëng cña gi¶ h¹t ®¬n lÎ trªn nÒn çc gi¶ h¹t kÝch thÝch chÝnh trong m« t¶ thèng kª b×nh th−êng. Sö dông gi¶i ph¸p thèng kª víi sè gi¶ h¹t cè ®Þnh cho phÐp thu ®−îc lêi gi¶i chÝnh x¸c cña bµi to¸n nµy. Çc kÕt qu¶ tÝnh to¸n mËt ®é tr¹ng th¸i toµn phÇn theo c«ng thøc (5.70) ®èi víi hÖ cã sè nucleon ch½n vµ lÎ ®−îc ®−a ra trªn h×nh 5.12. Râ rµng r»ng trong lùa chän ®iÓm mèc cña n¨ng l−îng kÝch thÝch (n¨ng l−îng kÝch thÝch b»ng kh«ng t−¬ng øng kh«ng cã gi¶ h¹t), sù kh¸c biÖt ch½n lÎ trong mËt ®é tr¹ng th¸i toµn phÇn chØ tån t¹i ë vïng n¨ng l−îng kÝch thÝch thÊp. MËt ®é tr¹ng th¸i ®−îc lÊy trung b×nh theo cÊu tróc nµy ®èi víi c¶ h¹t nh©n ch½n còng nh− h¹t nh©n lÎ phï hîp tèt víi çc kÕt qu¶ tÝnh to¸n thèng kª b×nh th−êng cña mËt ®é tr¹ng th¸i (xem ch−¬ng 3). §èi víi hÖ cã sè h¹t lµ ch½n, n¨ng l−îng cña tr¹ng th¸i c¬ b¶n trong mÉu çc gi¶ h¹t ®éc lËp trïng víi n¨ng l−îng ch©n kh«ng gi¶ h¹t (kh«ng cã gi¶ h¹t), cßn víi hÖ cã sè lÎ, tr¹ng th¸i c¬ b¶n cã n¨ng l−îng cña tr¹ng th¸i mét gi¶ h¹t thÊp nhÊt. V× thÕ khi x¸c ®Þnh n¨ng l−îng kÝch thÝch, thang n¨ng l−îng cña hÖ lÎ ph¶i dÞch ®i mét kho¶ng b»ng hiÖu sè n¨ng l−îng cña møc thÊp nhÊt vµ ch©n kh«ng gi¶ h¹t. §èi víi hÖ cã phæ rêi r¹c t−¬ng øng víi (5.58b), hiÖu sè nµy b»ng: [ U 1 min = ∆ 0 1 − 1 / ( 2 g ∆ 0 ) ] (5.76) vµ cã thÓ chØ ra r»ng trong tr−êng hîp chung, nã lµ hiÖu sè cña n¨ng l−îng tÝch tô ®−îc tÝnh cho tr¹ng th¸i c¬ b¶n cña hÖ cã sè h¹t lÎ khi kh«ng tÝnh vµ cã tÝnh ®Õn sù nhãm l¹i h¹t lÎ cña møc mét h¹t gÇn n¨ng l−îng Fermi nhÊt. Nh− vËy, sù kh¸c biÖt ch½n lÎ trong mËt ®é møc ®−îc x¸c ®Þnh chØ b»ng sù dÞch chuyÓn cña ®iÓm mèc n¨ng l−îng kÝch thÝch vµ trong lùa chän t−¬ng øng ®iÓm xuÊt ph¸t sù m« t¶ truyÒn thèng mËt ®é møc cña hÖ ch½n còng nh− cña hÖ lÎ (h×nh 5.12). 120 Nh÷ng kÕt luËn trªn dÔ dµng ¸p dông ®−îc cho hÖ hai thµnh phÇn (proton vµ n¬tron). Trong m« t¶ thèng kª truyÒn thèng cho tr−êng hîp nµy cÇn chó ý tíi ¶nh h−ëng cña nh÷ng h¹t lÎ tíi n¨ng l−îng tÝch tô cña c¶ thµnh phÇn n¬tron lÉn proton. Bëi v× phæ mét h¹t cña h¹t nh©n cã cÊu tróc kh«ng ®ång nhÊt nªn çc tÝnh to¸n n¨ng l−îng tÝch tô cÇn ®−îc thùc hiÖn víi çc s¬ ®å møc mét h¹t cô thÓ. Çc kÕt qu¶ tÝnh to¸n n¨ng l−îng tÝch tô cña hÖ víi sè nucleon ch½n vµ lÎ ®· ®−îc ®−a ra trªn h×nh 3.2 mµ trªn ®ã cho thÊy r»ng däc theo çc sè magic hiÖu sè n¨ng l−îng tÝch tô cña hÖ ch½n vµ lÎ b»ng kho¶ng 1MeV, vµ kÕt qu¶ nµy phô thuéc rÊt Ýt vµo viÖc lùa chän phæ mét h¹t. Çc sè liÖu thùc nghiÖm thu ®−îc ®èi víi nh÷ng h¹t nh©n nhÑ vÒ mËt ®é møc trong kho¶ng n¨ng l−îng kÝch thÝch ®ñ réng [71, 72] ®−a l¹i kh¶ n¨ng kiÓm tra trùc tiÕp viÖc sö dông mÉu ®−îc nghiªn cøu. Çc kÕt qu¶ tÝnh to¸n mËt ®é møc ®èi víi çc h¹t nh©n nhÑ cã ®é ch½n nucleon kh¸c nhau ®−îc ®−a ra trªn h×nh 5.14 cïng víi sè liÖu thùc nghiÖm t−¬ng øng. Chóng ta nhËn thÊy r»ng hiÖn nay kh¸ nhiÒu th«ng tin thùc nghiÖm vÒ mËt ®é møc h¹t nh©n ë vïng n¨ng l−îng kÝch thÝch thÊp ®−îc tËp hîp trong [85]. Trªn h×nh vÏ, çc ®−êng cong lý thuyÕt thu ®−îc theo mÉu çc gi¶ h¹t ®éc lËp kh«ng cè ®Þnh sè gi¶ h¹t kÝch thÝch ®èi víi s¬ ®å mÉu mét h¹t cña hè thÕ Xacxon – Wud. H»ng sè t−¬ng t¸c cÆp ®−îc x¸c ®Þnh tõ ®ãng gãp vµo mËt ®é møc n¨ng l−îng thÊp cña h¹t nh©n ch½n - ch½n 56 Fe vµ nã kh«ng thay ®æi khi tÝnh víi çc h¹t nh©n kh¸c. Çc ®−êng cong thu ®−îc m« t¶ tèt sù kh¸c biÖt trong mËt ®é møc cña çc h¹t nh©n cã ®é ch½n sè nucleon kh¸c nhau. Phï hîp víi ®iÒu nãi trªn, trong hµm ρ(U) ®èi víi nh÷ng h¹t nh©n cã ®é ch½n nucleon kh¸c nhau ph¶i quan s¸t ®−îc sù dÞch chuyÓn çc ®−êng cong lý thuyÕt ®i mét l−îng Umin. HiÖu øng nµy trªn h×nh 5.14 ®−îc gi¶i thÝch lµ do ¶nh h−ëng cña cÊu tróc líp cña phæ mét h¹t. Sù ph©n tÝch trªn chøng tá lµ viÖc sö dông gi¶i ph¸p thèng kª víi sè gi¶ h¹t kÝch tÝch cè ®Þnh cho phÐp më réng kh¶ n¨ng m« t¶ thèng kª çc tÝnh chÊt cña çc h¹t nh©n bÞ kÝch thÝch. H×nh 5.14. Sù phô thuéc n¨ng l−îng cña mËt ®é møc h¹t nh©n 55Mn, 56 Mn vµ 56Fe [54] (§−êng liÒn nÐt : KÕt qu¶ tÝnh to¸n). Tµi liÖu tham kh¶o 1 Cubo P. C¬ häc thèng kª: DÞch tõ tiÕng Anh. Biªn tËp D.N. Dubarev Nhµ xuÊt b¶n Mir. 1967. 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Ericson T. // Advances Phys. 1960. Vol. 9,N 36.P. 425-511 Born O., Mottenxon B. CÊu tróc h¹t nh©n nguyªn tö : DÞch tõ tiÕng Anh. Biªn tËp L.A.Sliva. M.: Mir.1971. T.1: ChuyÓn ®éng mét h¹t. Landao L.D, Lipfsif E.M. C¬ häc l−îng tö. Nhµ xuÊt b¶n Khoa häc 1963 Sidorov Iu.V., Phegoriu M.V, Xabunhin M.I. TËp bµi gi¶ng vÒ lý thuyÕt hµm biÕn phøc: Gi¸o tr×nh cao häc. Nhµ xuÊt b¶n Khoa häc, 1982. Svexnhicov A.G., Tikhonov A.N. Lý thuyÕt hµm biÕn phøc. Gi¸o tr×nh cao häc. Nhµ xuÊt b¶n Khoa häc. 1979. Xneddov I. BiÕn ®æi Furier. DÞch tõ tiÕng Anh A. N. Matveva. Biªn tËp Iu. L. Rabinovich. Nhµ xuÊt b¶n Khoa häc.1955. Naiphe A. NhËp m«n ph−¬ng ph¸p nhiÔu lo¹n. DÞch tõ tiÕng Anh. Biªn tËp R. G .Baransev. Nhµ xuÊt b¶n Hoµ b×nh. 1984. Gradstien I.C., R−gik I.M. B¶ng tÝch ph©n, tæng chuçi vµ ®¹o hµm. Nhµ xuÊt b¶n Giphmn, 1962. Landao L.D, Lipfsif E.M. VËt lý thèng kª. Nhµ xuÊt b¶n Khoa häc 1964 Phe®oriuk M.V. Ph−¬ng ph¸p ®−êng yªn ngùa. Nhµ xuÊt b¶n Khoa häc 1977 Xoloviev V.G. Lý thuyÕt h¹t nh©n nguyªn tö: Çc mÉu h¹t nh©n. Maxcova Nhµ xuÊt b¶n N¨ng l−îng nguyªn tö. 1981 VËt lý vi m«. 1980 trang 498 - 524 Nilxon C. Çc tr¹ng th¸i liªn kÕt cña çc nucleon trong h¹t nh©n biÕn d¹ng nÆng. // Sù biÕn d¹ng cña h¹t nh©n nguyªn tö: TuyÓn tËp çc bµi b¸o: DÞch tõ tiÕng Anh// Chñ biªn: L.A. Xliva, Nhµ xuÊt b¶n Ngo¹i v¨n 1958 Trang 232 - 304 Ignatiuk A.V., Stavinsky V.X., Subin Iu.N. Nuclear Data for Reactors. IAEA-CN-26/76. Vienna, 1970. Vol. 2, P. 885-907; Stavinsky V.S . // Çc h¹t c¬ b¶n cña h¹t nh©n nguyªn tö 1972. TËp 3 phÇn 4 trang 832-893 Nemirovxky P. E , Trepyrnov V. A .// VËt lý h¹t nh©n ,1966. TËp 3, trang 998-1010. Nemirovxky P.E . Çc mÉu h¹t nh©n nguyªn tö hiÖn ®¹i Nhµ xuÊt b¶n nguyªn tö. 1960. Beliaev S.T. Mat.- fys. medd. Kgl.danske vid. selskab. 1959. Bd.31, N11 Xoloviev V.G. // T¹p chÝ vËt lý thùc nghiÖm vµ lý thuyÕt. 1958. TËp 35 Trang 823 - 825; 1959 TËp 36. Trang 1869 - 1874. B¸o ço cña ViÖn hµn l©m khoa häc Liªn x«. 1958. TËp 123. Trang 652 - 656; VËt lý h¹t nh©n 1958/59 phÇn 9 trang 655 - 664. Xoloviev V.G. ¶nh h−ëng cña t−¬ng t¸c cÆp d¹ng siªu ch¶y lªn çc tÝnh chÊt cña h¹t nh©n nguyªn tö. Nhµ xuÊt b¶n nguyªn tö. 1963. Xoloviev V.G. Lý thuyÕt h¹t nh©n phøc t¹p. Nhµ xuÊt b¶n Khoa häc 1971 122 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 Kholl M. Sù tæ hîp: DÞch tõ tiÕng Anh/ Chñ biªn A.O. Genphond vµ V.E. Tarakanov Nhµ xuÊt b¶n Hoµ b×nh, 1970. Hardy G.H, Ramanajan S : Proc. Lodon. Math. Soc.(2).1918. PhÇn 17, trang 75 - 115. Bethe H. // Phys. Rev. 1936. PhÇn 50, trang 332 - 341. Bete G. VËt lý h¹t nh©n DÞch tõ tiÕng Anh Nhµ xuÊt b¶n Goxte 1948 PhÇn 2 §éng häc h¹t nh©n lý thuyÕt. Gilbert A, Cameron A.G.W : Canad. J. Phys. 1965. Vol. 43, P. 1446 1496. Mal−uxep A.V.// T¹p chÝ vËt lý thùc nghiÖm vµ lý thuyÕt. 1963. TËp 45. Trang 316 - 324. Niuton T.D. Canad. J. Phys. 1965. Vol.34, P.804 -829. Kravsov V.A. Khèi l−îng nguyªn tö vµ n¨ng l−îng liªn kÕt h¹t nh©n. Nhµ xuÊt b¶n Nguyªn tö. 1974. Linn J. E. The Theory of Neutron Resonance Reactions . oxfoxd : Claredon Press. 1968. Mal−uxev A.V.// MËt ®é møc vµ cÊu tróc h¹t nh©n nguyªn tö. Nhµ xuÊt b¶n Nguyªn tö. 1969. Baba H. Nucl. Phys. A. 1970. Vol. 159, P. 625 - 641. Dilg W, Schantl W, Vonach H . Nucl. Phys. A.1973. Vol. 217, P. 269 298. Mughabghab S.F, Divadeeam M, Holden N.E . Neutron Gross Section. NiuYock-Lond. Academic Press, 1981. Vol.1. Pt.A: Z= 1 –60. Mughabghab S.F Neutron Gross Section. N.Y. Lond.: Academic Press, 1984 Vol.1. Pt.B: Z= 61 –100. Erba E, Facchini U, E. Saetta - Manichella:// Nuovo cimento 1961. Vol.22, P. 1237 - 1260. Lang D.W Nucl. Phys. 1966. Vol. 77, P. 545 - 558. Ignatiuk A.V. Subin Iu.N. // VËt lý h¹t nh©n, 1968 TËp 8 trang 1135 1141 Ignatiuk A.V. Xtavinxki V.X. Subin Iu.N. // VËt lý h¹t nh©n 1970. TËp 11 trang 1213 - 1220. Ignatiuk A.V. Xtavinxki V.X. // VËt lý h¹t nh©n 1970. TËp 11 trang 1012 - 1015. Decowski P, Grochulski W, Marcinkowski A. ... : Nucl. Phys. 1968. Vol. 110, P. 129 - 141. Rubtsenia V.A. //VËt lý h¹t nh©n 1970. TËp 11 trang 1028 - 1033. Ignatiuk A.V. TÝnh chÊt thèng kª cña çc h¹t nh©n bÞ kÝch thÝch. Nhµ xuÊt b¶n N¨ng l−îng nguyªn tö 1983. Bardeen I., Cooper L., Schriffer I. : Phys. Rev. 1957. Vol. 108, P. 1175 - 1204. Bogoliubov N.N. B¸o ço cña ViÖn hµn l©m khoa häc Liªn x« 1958. tËp 123 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 119 trang 52 - 55; Çc thµnh tùu cña khoa häc vËt lý. 1959 tËp 67 trang 549 - 580. Lang D.W. Nucl. Phys. 1963. Vol. 42, P. 353 - 366. Sano M., Yamasaki S. : Progr. Theoret. Phys. 1963. Vol. 29, P. 397 414. Grin Iu.T. Xtructinxki V.M. // VËt lý h¹t nh©n 1965. TËp 1. Trang 420 - 425. Moretto L.G. Nucl. Phys. A. 1972. Vol. 185, P. 145 - 165. Huizenga J.R., Behkami A.N., Atcher R. W. : Nucl. Phys. A. 1974. Vol. 223, P. 577 - 588; Huizenga J.R, Behkami A.N, Atcher R. W : Nucl. Phys. A. 1974. Vol. 223, P. 589 - 598. Dossing T., Jensen A.S. : Nucl. Phys. A. 1974. Vol. 222, P. 493 - 511. Ignatiuk A. V . VËt lý h¹t nh©n. 1973. PhÇn 17, trang 502-518. Muhlschlegel B. // Z. Physics 1959 Vol. 155. P. 313 - 327 Ignatiuk A. V . Xokolov Iu.V. // VËt lý h¹t nh©n. 1974. PhÇn 19, trang 1229 - 1238. Rothowart A. R. Phys. Lett. A. 1967. Vol. 24, P. 307 - 308. Subin Iu.N. // Çc h¹t c¬ b¶n cña h¹t nh©n nguyªn tö 1974. TËp 5 phÇn 4 Trang 1023 - 1074. Ignatiuk A.V. Subin Iu.N. // Th«ng tin ViÖn hµn l©m khoa häc Liªn x« ngµnh VËt lý. 1973. TËp 37 trang 1947 - 1952. Blokhin A.V. Xokolov Iu.V. // VËt lý h¹t nh©n 1981. TËp 34 trang 33 44 Ignatiuk A.V. Ixtekov K.K. Xmirenkin G.N. // VËt lý h¹t nh©n 1979 TËp 29 trang 875 - 883 Ignatiuk A.V.// Th«ng tin ViÖn hµn l©m khoa häc Liªn x« ngµnh VËt lý. 1974. TËp 38 trang 2612 - 2617. Ignatiuk A.V.// VËt lý h¹t nh©n 1975. TËp 21 trang 20 - 30 Cameron A. G. W, Elkin R.M. // Canad. J. Phys. 1965 .Vol 43. P. 1288 - 1311 Klinkenbec P. F. A. : Rev. Mod. Phys. 1952. Vol 29. P. 63 - 73 Cameron A. G. W. : Canad. J. Phys. 1958. Vol. 36, P. 1040 - 1057. Nemirovsky P.E., Adamchuck Yu.V. : Nucl. Phys. 1962. Vol. 39, P. 553 - 562. Abdelmalek N.N., Stavinsky B. S. : Nucl. Phys. 1964. Vol. 58, P. 601 610. Lang J. M. B., LeCouter K. J. : Proc. Phys. Soc.1954. Vol. 67, P. 586 597. Vonach H., Hille M. : Nucl. Phys. A. 1969. Vol. 127, P. 289 - 304. Bormann M., Bissem H. H., Magiera E. ... : Nucl. Phys. A. 1970. Vol. 157, P. 481 - 496. Kopsch D., Cierjacks S. Statistical properties of nuclei / Ed. J . Grag 124 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 NiuYock: Plenum Press, 1972, P. 455 - 470. Katsanos A. A., Shaw R. W., Jr., Vandenbosch R. ... : Phys. Rev .C. 1970. Vol. 1, P. 594 - 601. Huizenga J.R., Vonach H. K., Katsanon A. A. : Phys. Rev. 1969. Vol. 182, P. 1149 - 1164. Lu C. C., Vaz L. C., Huizenga J.R. : Nucl. Phys. A. 1972. Vol. 90, P. 229 - 260. Griffin J. J. Phys. Rev. Lett. 1966. Vol. 17, P. 478 - 481. Cline C. K., Blann M. : Nucl. Phys. A. 1971. Vol. 172, P. 225 - 259. Structinsky V. M. : Intern. Conf. on Nucl. Phys. Paris: IAEA, 1958. P. 617 - 623. Ignatiuk A.V. Xokolov Iu.V. // VËt lý h¹t nh©n, 1978 TËp 28 trang 914 925 Bohning M. : Nucl. Phys. A. 1970. PhÇn 152, trang 529 - 546. Sokholop Iu. V. VËt lý h¹t nh©n 1972 TËp 16 trang 27 - 33 Wiliams P. G. : Nucl. Phys. A. 1973. PhÇn 166, trang 231 - 240. Ignatiuk A.V. Xokolov Iu.V. // VËt lý h¹t nh©n, 1972 TËp 16 trang 277 283 Ignatiuk A.V. Xokolov Iu.V. // VËt lý h¹t nh©n. 1973 TËp 17 trang 723 283 Halpern I., Struntinsky V. M. : Second V.N. Intern. Conf. on the peaceful Uses of Atomic Energy. Geneva, 1958, Paper P/1513, P. 408 417. Slak §.L., Oxtapenko Iu.B., Xmirenki G.N. // VËt lý h¹t nh©n. 1971 TËp 13 trang 950 - 962. Lederer C. M., Shirley V. S. : Tables of Isotopes. NiuYock, J. Wiley and Sons Inc, 1978. Vol.1. 125 Phô lôc B¶ng 1. Kho¶ng çch trung b×nh gi÷a çc céng h−ëng n¬tron sãng s Nguyªn tè I π D (eV) Sn (Mev) [34.35] 20 F 24 Na 25 Mg 28 Al 32 P 33 S 36 Cl 38 Cl 41 Ar 40 K 42 K 41 Ca 43 Ca 44 Ca 45 Ca 46 Sc 47 Ti 48 Ti 49 Ti 50 Ti 51 Ti 51 V 52 V 51 Cr 53 Cr 54 Cr 55 Cr 56 Mn 55 Fe 57 Fe 58 Fe 59 Fe 60 Co [26] [33] [32] [30] [31] 1/2+ 3/2+ 0+ 5/2+ 1/2+ 0+ 3/2+ 3/2+ 0+ 3/2+ 3/2+ 0+ 0+ 7/20+ 1/20+ 5/20+ 1/20+ 6+ 7/20+ 0+ 3/20+ 5/20+ 0+ 1/2- 6.60 6.96 7.33 7.73 7.94 8.64 8.58 6.11 6.10 7.80 7.53 8.36 7.93 11.13 7.42 8.76 8.88 11.63 8.14 10.94 6.37 11.05 7.31 9.26 7.94 9.72 6.25 7.27 9.30 7.65 10.04 45000 1300 20000 2200 13000 5000 125000 2700 15000 42000 7100 26000 2700 13000 17000 6000 13300 10000 10000 50000 4000 2200 28000 3700 44000 2100 25000 29000 - 90000 45000 28000 3300 33000 1100 22000 1600 25000 6000 1300 4900 21000 47000 5700 66000 1900 20000 25000 - 55000 66000 170000 26000 21000 87000 40000 37000 10000 10000 50000 28500 2900 55000 1600 45000 2820 20000 3600 18000 2610 4390 19000 46000 3200 48000 2970 21000 21000 5900 270000 54000 350000 5600 49000 28500 50000 30000 15000 12000 1100 3600 16500 44000 23500 2100 25000 29000 - 41000 55000 200000 13500 13500 10000 10000 50000 28000 3300 33300 2200 30000 2600 22000 5600 123000 1400 3300 19000 44000 3000 50000 3300 25000 29000 10000 0+ 7/2- 6.58 7.49 35000 1100 2500 1300 1530 960 2500 126 Nguyªn tè Iπ D (eV) Sn (Mev) [34.35] 59 Ni 61 Ni 62 Ni 63 Ni 65 Ni 64 Cu 66 Cu 65 Zn 67 Zn 68 Zn 69 Zn 71 Zn 70 Ga 72 Ga 71 Ge 73 Ge 74 Ge 75 Ge 77 Ge 76 As 75 Se 77 Se 78 Se 79 Se 81 Se 83 Se 80 Br 82 Br 79 Kr 81 Kr 83 Kr 84 Kr 85 Kr 86 Rb 88 Rb 85 Sr 0+ 0+ 3/20+ 0+ 3/23/20+ 0+ 5/20+ 0+ 3/23/20+ 0+ 9/2+ 0+ 0+ 3/20+ 0+ 1/20+ 0+ 0+ 3/23/20+ 0+ 0+ 9/2+ 0+ 5/23/20+ 9.00 7.82 10.66 6.84 6.10 7.92 7.07 7.98 7.05 10.2 6.48 5.84 7.66 6.52 7.42 6.78 10.20 6.51 6.07 7.33 8.03 7.42 10.5 6.96 6.70 5.90 7.89 7.59 8.36 7.88 7.47 10.52 7.11 8.65 6.08 8.52 13700 16000 1800 19100 19900 320 510 3440 4700 510 5770 6900 181 225 930 960 82 3000 3750 75 420 667 146 1390 3500 6700 47 94 230 200 382 326 242 200 2640 383 [26] 24000 21000 1000 1700 6500 1000 3000 77 87 1500 140 3300 3300 55 65 - 127 [33] [32] [30] [31] 22000 17000 1400 19000 28000 580 1000 360 6000 600 10000 320 370 1330 1550 62 3900 4200 87 370 700 120 1000 1200 6700 60 80 400 21000 21000 2300 19500 28500 1060 1170 3400 5600 720 20000 320 190 2000 3900 77 8500 8000 87.3 200 1200 4500 1600 6900 61 52 1100 1800 350 27000 23000 19500 28500 1200 2000 1800 5000 340 170 1700 2100 8500 8000 87 250 1200 100 3700 4300 7000 57 51 530 200 130 1200 - 22000 20000 2400 23500 36000 1200 1250 6500 700 8600 250 200 2000 2600 77 70 1500 1300 3300 5000 55 75 1000 2000 1500 Nguyªn tè Iπ D (eV) Sn (Mev) [34.35] 87 Sr 88 Sr 89 Sr 90 Y 91 Zr 92 Zr 93 Zr 95 Zr 97 Zr 94 Nb 93 Mo 95 Mo 96 Mo 97 Mo 98 Mo 99 Mo 101 Mo 100 Tc 100 Ru 102 Ru 104 Rh 106 Pd 109 Pd 108 Ag 110 Ag 107 Cd 109 Cd 111 Cd 112 Cd 113 Cd 114 Cd 115 Cd 117 Cd 114 In 116 In 113 Sn 115 Sn 116 Sn 0+ 9/2+ 0+ 1/20+ 1/2+ 0+ 0+ 0+ 9/2+ 0+ 0+ 5/2+ 0+ 5/2+ 0+ 0+ 9/2+ 5/2+ 5/2+ 1/25/2+ 0+ 1/21/20+ 0+ 0+ 1/2+ 0+ 1/2+ 0+ 0+ 9/2+ 9/2+ 0+ 0+ 1/2+ 8.43 11.11 6.36 6.86 7.19 8.64 6.73 6.47 5.57 7.23 8.07 7.37 9.15 6.83 8.64 5.93 5.40 6.76 9.67 9.22 7.06 9.55 6.15 7.27 6.81 7.93 7.36 6.98 9.39 6.54 9.04 6.15 5.77 7.27 6.78 7.75 7.55 9.56 500 121 25000 4000 6400 570 2600 3600 13000 44 2100 55 850 32 970 400 107 25 16 16 14 135 120 155 20 190 21 235 390 9.4 - [26] - 2000 4500 290 1300 2500 55 100 140 21 17 35 31 22 33 27 6.5 6.5 25 150 50 128 [33] 1000 250 3000 5000 2500 2400 64 102 80 34 18 27 23 18 26 198 25 157 11 10.7 300 - [32] [30] 2100 210 12000 1600 3300 250 3400 3300 1100 36 100 1200 120 790 400 26 200 15 10.3 11.1 50 19.1 34 200 27 7.1 9.5 140 320 50 55000 1000 4500 315 1200 2400 70 170 24 16 19 13 14 13 26 200 25 160 6.5 6.7 108 150 50 [31] 6000 255 55000 4500 13000 300 3300 6800 3000 95 2400 1000 150 1000 160 270 430 25 17 17 9.5 45 20 22 33 27 6.5 7.0 100 600 50 117 Sn Nguyªn tè 0+ 6.94 Iπ Sn (Mev) - Sn 119 Sn 120 Sn 121 Sn 123 Sn 125 Sn 122 Sb 124 Sb 123 Te 124 Te 125 Te 126 Te 127 Te 129 Te 131 Te 128 I 130 I 130 Xe 132 Xe 136 Xe 134 Cs 131 Ba 135 Ba 136 Ba 137 Ba 138 Ba 139 Ba 139 La 140 La 137 Ce 141 Ce 143 Ce 142 Pr 143 Nd 144 Nd 145 Nd 146 Nd 1/2+ 0+ 1/2+ 0+ 0+ 0+ 5/2+ 7/2+ 0+ 1/2+ 0+ 1/2+ 0+ 0+ 0+ 5/2+ 7/2+ 1/2+ 3/2+ 3/2+ 7/2+ 0+ 0+ 3/2+ 0+ 3/2+ 0+ 57/2+ 0+ 0+ 0+ 5/2+ 0+ 7/20+ 7/2- 9.33 6.49 9.11 6.17 5.95 5.73 6.81 6.47 6.93 9.42 6.57 9.12 6.29 6.09 5.92 6.83 6.46 9.26 8.94 7.99 6.89 7.49 6.97 9.11 6.90 8.61 4.72 8.79 5.16 7.49 5.43 5.15 5.84 6.12 7.82 5.76 7.56 250 250 180 700 D (eV) [34.35] 118 180 870 1400 18 38 132 25 130 38 210 260 870 9.7 20.65 40 430 290 6300 208 50 3200 88 440 45 430 22 [26] [33] [32] [30] [31] 25 180 30 12 29 22 60 5500 13.3 27 25 18.5 50 3000 1000 90 40 22 45 600 70 2500 12.5 25 132 26 147 38 207 262 872 13.5 35 35 20.5 55 140 36 600 230 10000 23 260 58 3000 90 415 36 537 19 65 730 62 240 400 250 13 30 130 33 46 550 5700 19 21 31 500 20.7 120 380 35 3800 460 9600 41 110 3000 1000 83.8 19 25 25 180 30 200 400 13 18 82 31 20 51 8000 200 10000 23 73 1000 51 72 33 60 750 180 1000 1600 1600 12.5 29 140 20 220 50 2000 3500 12 17.5 30 40 17 50 14000 46 3000 1000 65 50 25 129 147 Nd 149 Nd 0+ 0+ 5.29 5.04 Nguyªn tè Iπ Sn (Mev) 235 140 Nd 148 Pm 148 Sm 150 Sm 151 Sm 152 Sm 153 Sm 155 Sm 152 Eu 154 Eu 153 Gd 155 Gd 156 Gd 157 Gd 158 Gd 159 Gd 161 Gd 160 Tb 157 Dy 161 Dy 162 Dy 163 Dy 164 Dy 165 Dy 166 Ho 163 Er 165 Er 167 Er 168 Er 169 Er 171 Er 170 Tm 169 Yb 171 Yb 172 Yb 173 Yb 0+ 7/2+ 7/27/20+ 5/20+ 0+ 5/2+ 5/2 0+ 0+ 3/20+ 3/20+ 0+ 3/2+ 0+ 0+ 5/2+ 0+ 5/20+ 7/20+ 0+ 0+ 7/2+ 0+ 0+ 1/2+ 0+ 0+ 1/20+ 5.33 5.90 8.14 7.99 5.60 8.26 5.90 5.81 6.31 6.44 6.25 6.44 8.54 6.36 7.94 5.94 5.64 6.38 6.97 6.45 8.20 6.27 7.66 5.72 6.24 6.91 6.65 6.44 7.77 6.00 5.68 6.59 6.79 6.61 8.02 6.38 211 - - - [32] [30] - D (eV) [34.35] 151 - 174 3.6 5.7 2.2 55 1.2 51.8 115 0.73 1.3 15 14.5 1.8 37.8 4.9 85 202 3.9 2.7 27.3 2.67 6.46 6.85 147 4.6 6.9 20 38 4.0 94 125 7.3 37 5.8 70 [26] 42 7.7 2.8 1.3 45 0.65 1.25 1.8 33 5.5 5 2.2 42 9 6.1 3 7.1 8.7 - 130 [33] 121 7.3 2.3 68 1.3 52 115 0.7 1.1 11.5 10.2 1.9 47 6.0 8.5 170 4.2 3.4 11 2.9 72 9.6 200 5.5 6.9 22 38 4.1 95 155 7.3 37 6.5 63 5.7 7.9 3.22 24 1.3 60 0.72 1.3 1.99 75 6.1 4.3 2.55 42 9.6 5.67 7.1 17 47 4.0 100 6.6 20 22 7.2 75 5.2 8.0 1.3 0.75 1.4 2.1 12 3.9 2.1 130 11 6.1 3 6.0 - [31] 4 7.0 3.00 1.3 45 0.85 1.10 2.0 33 5.5 3.75 2.25 210 11 6.0 6.5 3.8 7.5 5.5 - 174 Yb 175 Yb 177 Yb 5/20+ 0+ 7.46 5.82 5.57 Nguyªn tè Iπ Sn (Mev) 7.8 162 180 Lu 177 Lu 175 Hf 177 Hf 178 Hf 179 Hf 180 Hf 181 Hf 181 Ta 182 Ta 183 Ta 181 W 183 W 184 W 185 W 187 W 186 Re 188 Re 187 Os 188 Os 189 Os 190 Os 191 Os 193 Os 192 Ir 194 Ir 193 Pt 195 Pt 196 Pt 198 Au 199 Hg 200 Hg 201 Hg 202 Hg 203 Hg 7/2+ 70+ 0+ 7/20+ 9/2+ 0+ 8+ 7/2+ 30+ 0+ 1/20+ 0+ 5/2+ 5/2+ 0+ 1/20+ 3/20+ 0+ 3/2+ 3/2+ 0+ 0+ 1/23/2+ 0+ 1/20+ 3/20+ 6.29 7.07 6.79 6.38 7.63 6.10 7.39 5.70 7.58 6.06 6.93 6.69 6.19 7.41 5.75 5.47 6.18 5.87 6.29 7.99 5.92 7.79 5.76 5.58 6.20 6.07 6.29 6.11 7.92 6.51 6.67 8.03 6.16 7.76 6.00 8.4 164 185 7.8 250 250 - 7.3 - [32] [30] [31] 3.61 2.37 41 3.2 55 5.8 140 1.5 4.33 56 15.8 93 87 3.2 6.4 14 5 3.2 8.5 140 19.3 15.8 100 84 1300 110 - 3.7 2.3 2.9 4.0 4.4 55 15 150 3.8 4.5 3.1 8.2 18 17 99 70 2200 100 2400 3.5 2.3 2.80 60 4.2 135 3.0 4.5 3.0 60 14 140 100 3.5 5 18 5 3.1 8.0 37 17 90 65 1700 85 2500 D (eV) [34.35] 176 12 - 3.45 1.74 21 32 2.4 62 4.4 94 1.1 4.17 4.7 22.5 66 12 81 87 3.1 4.1 26 4.4 40 3.3 70 115 1.8 5.54 240 18 16.5 105 100 - [26] 3.3 2.1 3.8 32 5.6 125 4.35 50 12.5 130 3.8 5.5 5.1 3.3 7.7 16 16 83 59 1300 90 - 131 [33] 3.0 2.3 16 32 2.4 64 4.4 125 4.3 18 66 12 89 123 3.3 3.8 30 9.1 4.3 2.8 8.0 12 16.2 90 75 1300 90 - 204 Tl 206 Tl 205 Pb 207 Pb 1/2+ 1/2+ 0+ 0+ 6.66 6.50 6.73 6.74 Nguyªn tè Iπ Sn (Mev) 360 5500 1520 37100 Pb 209 Pb 210 Bi 227 Ra 230 Th 231 Th 233 Th 232 Pa 234 Pa 233 U 234 U 235 U 236 U 237 U 238 U 239 U 238 Np 239 Pu 240 Pu 241 Pu 242 Pu 243 Pu 245 Pu 242 Am 243 Am 244 Am 243 Cm 244 Cm 245 Cm 246 Cm 247 Cm 248 Cm 249 Cm 250 Bk 1/20+ 9/20+ 5/2+ 0+ 0+ 3/23/20+ 5/2+ 0+ 7/20+ 1/2+ 0+ 5/2+ 0+ 1/2+ 0+ 5/2+ 0+ 0+ 5/255/20+ 5/2+ 0+ 7/2+ 0+ 9/20+ 7/2+ 7.37 4.37 4.60 4.56 6.79 5.12 4.79 5.56 5.21 5.75 6.84 5.30 6.55 5.13 6.15 4.81 5.49 5.65 6.53 5.24 6.31 5.03 4.72 5.54 6.34 5.36 5.70 6.80 5.52 6.46 5.16 6.21 4.71 4.97 2000 4000 2700 50000 2200 19000 24000 2000 10000 - 2000 1000 2700 57000 D (eV) [34.35] 208 2000 10000 57000 35700 4500 30.3 0.53 9.6 16.8 0.45 0.59 4.6 0.55 10.6 0.44 14.7 3.5 20.9 0.52 9 2.3 13.6 0.9 15.5 17 0.55 0.4 0.6 25 1.1 12 1.4 34 1.4 33 1.0 [26] [33] [32] [30] [31] 50000 6900 60000 4700 22000 110000 5420 8000 - 19000 350000 5000 - - - - - 17.5 0.45 0.86 7.6 0.91 13 0.65 14.5 17.7 0.58 2.6 10 1.3 0.43 1.25 12.6 - 0.60 7.7 16.7 4.2 0.61 12.3 0.53 15.4 20.8 0.67 11.7 2.4 12.5 0.6 13.7 1.5 38 35 - 0.58 11 12.4 0.443 1.03 14.2 0.99 18 0.67 2.7 18.1 0.72 16 2.3 14 1.17 0.578 1.5 20 - 17.5 1.0 0.8 7.6 13 17 17.7 13 13 15 0.77 1.4 13 - 0.65 8.5 17 0.45 0.85 7.6 0.38 12 0.65 14 18 0.65 13 2.9 12 1.25 20 0.6 1.4 10 40 - 132 250 Cf 253 Cf 9/20+ 6.62 4.80 0.7 27 - - - - - B¶ng 2. Çc th«ng sè cña c«ng thøc tæ hîp Zinber- Cameron Nguyªn a, T, E0 Ex -1 tè (MeV ) (MeV) (MeV) (MeV) 22 Na Na 24 Na 25 Na 24 Mg 25 Mg 26 Mg 27 Mg 26 Al 27 Al 28 Al 29 Al 28 Si 29 Si 30 Si 31 Si 30 P 31 P 32 P 32 S 33 S 34 S 34 Cl 35 Cl 36 Cl 37 Cl 38 Cl 36 Ar 37 Ar 38 Ar 39 Ar 40 Ar 41 Ar 23 3.13 3.68 4.03 3.32 3.85 4.08 4.00 3.65 3.45 4.08 3.05 3.57 3.81 4.05 3.47 3.87 3.45 3.39 4.36 4.12 3.72 4.11 4.88 5.41 4.03 4.41 4.80 5.34 6.70 5.74 2.23 2.13 1.29 1.91 2.18 2.12 2.07 2.04 1.95 2.08 1.50 1.88 2.09 1.91 2.04 1.79 1.89 1.78 1.96 2.05 1.68 1.77 1.92 1.76 1.44 1.40 1.31 1.69 1.73 1.73 1.44 1.28 1.43 -2.00 -0.40 0.20 -0.70 2.80 -1.00 0.50 -0.80 -1.80 -0.35 -0.70 -0.65 3.20 0.75 0.10 0.40 -1.00 0.40 -1.75 1.75 0.00 1.84 -1.61 0.31 -0.50 1.15 -0.99 2.46 -0.34 0.91 -0.04 1.00 -0.50 7.5 11.9 10.3 13.0 12.4 14.6 12.2 6.8 9.6 9.5 12.9 8.1 12.5 8.8 5.3 7.5 6.0 10.0 8.0 9.8 6.6 8.0 6.3 4.4 8.6 8.8 11.8 7.4 9.8 8.4 133 σ NL Np Ep (MeV) 1.9 2.0 2.2 2.1 2.0 2.15 2.25 2.25 2.0 2.0 2.2 2.2 2.0 2.1 2.25 2.15 1.9 2.0 2.0 2.0 2.2 2.2 2.15 2.2 2.2 2.1 2.2 2.1 2.35 2.5 2.4 2.65 2.55 70 11 29 30 60 88 42 60 30 42 30 68 54 34 30 13 52 25 100 22 21 9 4 10 17 26 24 8 23 42 15 15 9 4 9 5 10 15 7 - 6.63 3.59 4.17 3.10 1.88 5.17 3.65 5.60 2.76 - 38 K 4.29 1.59 -0.94 4.0 K 4.68 1.50 0.95 7.0 40 K 5.34 1.31 -0.90 4.2 41 K 5.78 1.55 -1.48 9.9 42 K 5.56 1.49 -2.27 6.8 41 Ca 5.44 1.52 -0.50 9.2 Nguyªn a, T, E0 Ex -1 tè (MeV ) (MeV) (MeV) (MeV) 39 42 Ca Ca 44 Ca 45 Ca 41 Sc 43 Sc 44 Sc 45 Sc 46 Sc 47 Sc 45 Ti 46 Ti 47 Ti 48 Ti 49 Ti 47 V 48 V 49 V 50 V 51 V 50 Cr 51 Cr 52 Cr 53 Cr 54 Cr 55 Cr 51 Mn 52 Mn 53 Mn 54 Mn 55 Mn 56 Mn 54 Fe 55 Fe 43 6.58 6.91 6.34 7.11 5.63 6.55 6.97 7.59 6.33 7.08 6.84 6.93 5.97 6.93 6.11 6.79 6.77 6.76 6.76 6.72 6.54 6.44 6.15 6.58 6.96 7.52 6.29 6.17 5.87 6.21 7.41 7.27 6.13 5.76 1.39 1.37 1.43 1.23 1.41 1.31 1.20 1.24 1.35 1.28 1.30 1.23 1.47 1.32 1.41 1.32 1.14 1.35 1.19 1.18 1.34 1.32 1.43 1.40 1.24 1.13 1.22 1.20 1.21 1.27 1.14 1.06 1.39 1.53 0.50 -1.45 0.30 -0.44 0.20 -0.61 -1.88 -1.45 -2.28 -1.10 -0.83 1.14 -1.00 0.52 -0.70 -1.13 -1.28 -1.33 -1.48 -0.15 0.43 -0.78 0.02 -0.65 0.65 -0.47 0.26 -1.04 0.50 -1.49 -0.50 -1.32 0.60 -1.25 11.1 10.2 11.5 8.2 8.3 8.1 5.7 8.9 6.7 8.6 8.8 9.1 9.6 10.5 9.0 8.5 4.9 9.1 5.1 6.6 10.0 7.8 10.1 8.2 8.8 7.1 6.5 4.4 5.3 5.4 7.0 4.6 9.9 9.8 134 2.15 2.2 2.2 2.7 2.6 2.5 σ 38 16 41 22 39 23 NL 20 12 15 Np 3.81 4.68 2.71 Ep (MeV) 2.75 2.9 2.8 2.75 2.5 2.65 2.65 2.9 2.75 2.85 2.8 2.7 2.8 2.85 2.8 2.8 2.6 2.9 2.65 27 2.85 2.8 2.9 2.8 2.9 2.9 2.6 2.55 2.45 2.7 2.9 2.75 2.9 3.0 13 35 12 20 67 6 16 52 60 10 11 10 17 25 21 4 7 16 12 37 22 27 17 22 19 11 10 5 8 16 43 80 80 88 12 16 4 14 30 10 8 8 12 4 6 12 7 18 18 14 17 9 9 5 7 14 30 - 3.95 2.97 1.20 1.28 2.31 1.85 1.88 3.69 3.79 0.69 0.77 2.04 0.84 4.31 3.03 3.80 4.14 2.02 2.94 0.89 2.85 1.86 2.30 - 56 Fe 6.75 1.26 0.80 9.2 Fe 6.91 1.37 -1.60 9.9 58 Fe 7.65 1.17 0.60 9.3 59 Fe 7.33 1.27 -1.20 9.1 56 Co 5.51 1.31 -0.96 4.8 57 Co 5.95 1.27 0.05 6.3 59 Co 8.04 1.06 -0.40 6.7 Nguyªn a, T, E0 Ex -1 tè (MeV ) (MeV) (MeV) (MeV) 57 60 Co Ni 59 Ni 60 Ni 61 Ni 62 Ni 64 Ni 62 Cu 63 Cu 64 Cu 65 Cu 66 Cu 63 Zn 64 Zn 65 Zn 66 Zn 67 Zn 68 Zn 69 Ga 71 Ga 70 Ge 72 Ge 74 Ge 75 As 75 Se 76 Se 77 Se 78 Se 80 Se 79 Br 84 Kr 83 Rb 85 Sr 58 7.23 5.44 5.97 6.54 6.94 7.59 8.52 7.19 8.88 8.09 8.70 8.33 7.45 8.03 8.57 8.99 9.39 9.75 10.21 10.76 10.74 11.30 12.48 11.95 12.02 12.11 11.80 11.88 11.89 12.48 11.36 12.70 12.19 1.14 1.59 1.51 1.36 1.29 1.13 0.99 1.06 0.98 0.995 0.97 0.94 1.10 1.04 1.07 0.89 0.95 0.88 0.855 0.815 0.885 0.845 0.83 0.92 0.835 0.875 0.84 0.82 0.865 0.835 0.79 0.745 0.725 -1.56 -0.17 -1.75 0.01 -1.25 0.77 1.20 -1.00 -0.25 -1.25 0.03 -1.02 -0.44 0.99 -1.11 1.50 -0.73 1.19 0.08 0.05 0.89 0.88 0.84 -1.24 -0.76 0.60 -0.68 0.94 0.57 -0.98 1.20 -0.04 -0.01 5.1 10.5 9.7 9.8 8.4 8.3 7.5 4.1 6.6 4.5 6.4 3.9 6.4 7.4 7.0 6.4 6.3 6.9 5.8 5.6 8.0 7.9 9.0 8.7 6.9 9.7 6.9 8.0 8.9 7.4 6.9 6.0 5.1 135 2.9 3.2 3.05 3.15 2.6 2.7 3.0 σ 33 100 70 66 13 5 40 NL 10 5 Np 2.06 2.10 Ep (MeV) 2.9 2.95 3.1 3.05 3.1 3.0 3.0 2.75 3.1 2.9 3.05 2.9 3.0 3.0 3.2 2.9 3.2 3.1 3.15 3.2 3.35 3.4 3.65 3.75 3.55 3.75 3.6 3.55 3.7 3.75 3.45 3.55 3.4 58 14 100 21 100 19 30 5 46 64 22 54 7 13 12 9 6 6 10 10 7 12 12 12 9 8 7 9 7 9 8 7 8 30 12 18 16 16 5 25 18 10 7 8 10 7 6 6 9 8 5 7 5 9 7 5 6 6 4 8 6 5 5 2.31 3.77 3.92 3.91 3.95 0.70 1.94 2.84 1.15 1.70 3.14 1.35 3.23 0.98 2.76 1.95 1.74 2.31 2.52 2.18 0.78 0.86 2.01 0.82 2.41 1.77 0.76 2.62 1.16 1.16 92 Zr 11.17 0.74 1.01 5.4 Zr 12.15 0.76 0.84 6.7 93 Nb 10.88 0.745 -0.12 4.1 93 Mo 10.13 0.79 0.43 4.8 95 Mo 11.36 0.87 -0.87 6.7 96 Mo 12.67 0.725 1.01 6.5 97 Mo 12.93 0.70 -0.01 5.1 99 Mo 14.17 0.72 -0.66 6.1 Nguyªn a, T, E0 Ex -1 tè (MeV ) (MeV) (MeV) (MeV) 94 101 Mo Ru 100 Ru 101 Ru 102 Ru 103 Rh 104 Rh 105 Rh 104 Pd 105 Pd 106 Pd 108 Pd 107 Ag 108 Ag 109 Ag 111 Ag 108 Cd 109 Cd 110 Cd 111 Cd 112 Cd 114 Cd 115 In 117 In 116 Sn 117 Sn 118 Sn 119 Sn 120 Sn 122 Te 124 Te 125 Te 99 15.48 12.68 13.30 13.93 15.13 14.70 15.30 16.06 14.55 15.16 15.64 17.01 15.71 15.14 16.80 17.51 15.47 16.12 16.56 16.94 15.82 17.43 17.44 17.38 14.90 16.70 16.22 18.01 16.57 17.81 16.81 16.24 0.66 0.745 0.725 0.745 0.64 0.64 0.60 0.615 0.655 0.72 0.66 0.65 0.59 0.56 0.61 0.575 0.625 0.675 0.62 0.615 0.65 0.635 0.55 0.535 0.665 0.545 0.58 0.525 0.565 0.58 0.62 0.66 -0.51 -0.27 0.95 -0.83 0.80 -0.36 -1.11 -0.24 0.90 -0.99 0.78 0.47 0.08 -0.76 -0.41 -0.31 1.20 -0.80 0.95 -0.39 0.77 0.59 0.15 0.11 0.92 0.23 1.16 0.14 1.31 -0.43 0.85 -0.85 5.7 5.8 7.0 6.3 6.1 4.6 3.4 5.1 6.2 6.8 7.1 7.7 4.6 2.8 5.4 4.9 6.6 6.3 6.7 5.6 6.9 7.5 4.7 4.2 6.9 4.3 5.8 4.3 5.8 5.3 6.9 5.9 136 3.35 3.65 3.3 3.3 3.8 3.7 3.6 3.95 σ 9 8 10 15 14 10 14 16 NL 7 5 9 5 9 7 8 6 Np 2.48 2.06 1.51 1.70 1.05 2.42 1.45 0.63 Ep (MeV) 4.0 3.8 3.8 4.0 3.85 3.75 3.75 3.95 3.85 4.2 4.1 4.3 3.8 3.6 4.1 4.05 3.95 4.25 4.1 4.15 4.15 4.35 4.0 3.9 4.15 3.9 4.0 4.0 4.0 4.35 4.35 4.4 12 14 7 10 9 16 40 8 9 15 16 8 7 13 8 8 11 21 6 7 14 34 8 11 13 16 10 15 10 6 10 10 10 9 5 8 7 7 20 7 8 10 10 6 6 12 8 6 9 10 6 6 7 13 6 6 10 7 7 6 8 5 6 10 1.01 1.23 2.11 0.72 2.04 0.88 0.68 0.96 2.26 0.67 2.30 1.63 1.14 0.63 0.86 0.72 2.53 0.76 2.06 0.72 2.03 2.22 1.13 1.07 2.45 1.29 2.29 1.08 2.49 0.50 1.96 0.67 127 I 16.92 0.60 -0.42 5.1 I 15.87 0.64 -0.45 5.5 131 I 13.82 0.63 0.11 4.4 129 Xe 17.68 0.75 -0.35 4.8 131 Xe 16.13 0.63 -0.49 5.4 132 Xe 15.79 0.605 0.89 5.9 133 Xe 13.68 0.645 0.15 4.5 131 Cs 18.18 0.585 -0.52 5.6 134 Cs 15.71 0.53 -0.63 2.6 Nguyªn a, T, E0 Ex -1 tè (MeV ) (MeV) (MeV) (MeV) P P 129 P P P P P P P P P P P P P P P P B P 134 Ba Ba 138 Ba 144 Nd 150 Nd 147 Pm 149 Pm 151 Pm 148 Sm 149 Sm 150 Sm 151 Sm 152 Sm 154 Sm 149 Eu 151 Eu 153 Eu 152 Gd 153 Gd 154 Gd 155 Gd 156 Gd 157 Gd 158 Gd 159 Tb 161 Tb 160 Dy 161 Dy 163 Dy 164 Dy 165 Ho P P 136 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 17.38 14.37 17.43 16.35 19.90 18.46 20.09 20.74 19.18 19.85 21.90 21.27 22.85 20.36 19.47 21.13 21.80 21.45 22.07 22.12 21.75 21.41 21.92 20.19 20.54 19.57 21.19 20.74 21.62 19.78 20.24 B P 0.63 0.645 0.715 0.57 0.595 0.522 0.51 0.495 0.54 0.56 0.555 0.56 0.55 0.58 0.495 0.51 0.515 0.525 0.515 0.535 0.525 0.495 0.50 0.49 0.495 0.49 0.515 0.53 0.50 0.525 0.52 0.64 1.07 1.29 0.86 -0.01 -0.22 -0.32 -0.18 0.70 -0.61 -0.08 -0.94 -0.08 -0.02 -0.13 -0.55 -0.64 0.18 -0.81 0.03 -0.83 0.48 -0.56 0.60 -0.52 -0.29 0.07 -0.74 -0.55 0.43 -0.55 7.4 6.1 6.2 5.3 7.2 4.1 4.6 4.3 6.0 5.5 7.2 6.0 7.3 6.9 3.9 4.7 5.1 5.9 5.0 6.6 5.1 5.6 4.9 5.0 4.0 3.6 5.4 4.8 4.6 5.5 4.6 137 4.3 4.3 3.95 4.25 4.35 4.2 3.95 4.5 3.85 σ 11 12 9 7 7 10 8 9 12 NL 6 6 5 5 6 7 6 8 6 Np 4.6 4.15 4.0 4.25 4.95 4.35 4.6 4.5 4.6 4.8 5.1 5.0 5.2 5.0 4.3 4.7 4.85 4.8 4.9 5.05 4.9 4.75 4.85 4.6 4.6 4.4 4.8 4.8 4.85 4.8 4.8 7 9 6 8 6 6 8 11 50 60 50 18 25 20 10 9 10 8 12 14 11 30 7 32 18 6 22 9 7 45 17 6 7 5 5 6 6 7 8 16 13 22 10 19 15 9 8 5 6 9 10 10 20 4 16 10 6 13 6 6 12 14 B B B B B 0.65 0.70 1.13 0.58 0.64 2.07 1.30 0.70 0.32 Ep (MeV) B 1.77 2.33 2.44 1.78 1.06 0.73 0.65 0.85 2.22 0.83 1.64 0.35 1.53 1.52 0.96 0.51 0.19 1.12 0.32 1.26 0.37 1.97 0.13 1.95 0.62 0.59 1.39 0.21 0.34 1.73 0.82 166 Ho 19.01 0.485 -0.85 2.8 Er 22.31 0.465 -0.62 3.8 165 Er 21.41 0.47 -0.50 3.8 166 Er 20.95 0.515 -0.01 5.2 167 Er 20.67 0.47 -0.39 3.7 168 Er 19.59 0.505 -0.10 4.5 169 Tm 20.96 0.47 -0.45 3.6 171 Tm 20.17 0.47 -0.24 3.5 169 Yb 22.22 0.455 -0.55 4.0 171 Yb 21.28 0.505 -0.80 4.6 Nguyªn a, T, E0 Ex -1 tè (MeV ) (MeV) (MeV) (MeV) P P 163 P P P P P P P P P P P P P P P P P P B P 172 Yb Yb 173 Lu 175 Lu 177 Lu 173 Hf 175 Hf 177 Hf 178 Hf 179 Hf 180 Hf 181 Ta 181 W 182 W 183 W 184 W 185 W 187 Re 185 Os 186 Os 187 Os 188 Os 189 Os 190 Os 189 Ir 191 Ir 193 Ir 191 Pt 192 Pt 193 Pt P P 177 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 19.59 19.64 21.79 21.22 20.67 22.80 22.23 21.61 19.24 20.26 19.91 21.26 21.70 21.30 20.71 20.45 20.46 21.47 22.00 21.88 21.96 22.01 21.96 21.41 22.56 21.63 19.56 21.95 21.06 20.19 B P 0.475 0.515 0.455 0.445 0.44 0.455 0.475 0.43 0.485 0.485 0.485 0.47 0.445 0.46 0.505 0.495 0.45 0.465 0.49 0.465 0.475 0.485 0.50 0.53 0.465 0.525 0.555 0.49 0.52 0.53 0.50 -0.58 -0.33 -0.28 -0.34 -0.55 -0.68 -0.15 0.16 -0.44 0.36 -0.36 -0.22 0.44 -0.64 0.10 -0.07 -0.18 -0.65 0.21 -0.50 0.22 -0.75 0.13 -0.4 -0.63 -0.79 -0.68 0.27 -0.80 4.2 4.3 3.6 3.1 2.9 3.8 4.1 3.3 3.9 3.8 4.4 3.9 3.5 4.3 4.3 4.6 3.4 3.8 4.1 4.5 4.0 5.0 4.3 6.1 4.3 5.3 5.0 4.2 5.7 4.5 138 4.45 4.7 4.7 4.85 4.6 4.65 4.6 4.5 4.8 5.0 σ 30 13 18 10 9 10 7 11 12 9 NL 20 12 13 6 8 6 7 8 11 8 Np 4.5 4.8 4.65 4.5 4.45 4.8 4.9 4.55 4.55 4.75 4.7 4.8 4.65 4.7 4.95 4.85 4.6 4.75 4.95 4.9 4.9 5.0 5.05 5.3 5.05 5.25 5.15 5.05 5.15 5.05 14 60 12 6 11 7 12 21 20 50 5 12 12 34 10 15 13 10 8 21 9 10 9 13 12 13 11 12 8 10 10 10 7 5 6 6 10 12 15 10 5 6 10 18 8 11 5 8 8 10 6 6 8 7 8 10 8 10 6 8 B B B B B 0.60 0.54 0.70 0.91 0.58 0.95 0.47 0.74 0.57 0.25 Ep (MeV) B 1.60 0.61 0.55 0.43 0.45 0.26 0.41 0.71 1.47 0.68 1.14 0.62 0.82 1.77 0.41 1.29 0.66 0.78 0.36 1.28 0.35 1.09 0.78 1.16 0.57 0.36 0.36 0.44 1.20 0.30 194 Pt 18.98 0.515 0.44 4.9 Pt 17.82 0.57 -0.65 4.6 196 Pt 19.71 0.51 0.40 4.8 193 Au 24.40 0.43 -0.04 4.1 195 Au 22.33 0.43 -0.01 3.4 197 Au 19.95 0.505 -0.40 4.1 198 Au 17.85 0.535 -1.02 3.3 199 Au 17.66 0.535 -0.17 3.9 197 Hg 20.39 0.495 -0.30 4.1 198 Hg 19.14 0.475 0.91 4.4 199 Hg 19.09 0.535 -0.43 4.5 Nguyªn a, T, E0 Ex -1 tè (MeV ) (MeV) (MeV) (MeV) 200 Hg 17.11 0.58 0.38 5.5 203 Pb 14.29 0.615 -0.02 4.1 204 Pb 12.91 0.63 0.96 4.5 205 Pb 11.18 0.825 -0.58 5.5 206 Pb 9.32 0.96 -0.18 6.4 206 Bi 13.39 0.615 -0.59 2.8 207 Bi 11.54 0.705 -0.22 3.7 208 Bi 9.92 0.83 -0.82 3.8 210 Bi 10.40 0.78 -0.68 3.6 211 Bi 14.26 0.595 0.01 3.5 212 Po 16.92 0.52 0.84 4.4 214 Po 21.14 0.415 0.95 3.7 215 Po 23.13 0.44 -0.18 4.0 219 Em 24.23 0.455 -0.57 4.3 223 Ra 27.36 0.455 -0.89 4.7 226 Ra 29.20 0.44 -0.29 5.7 223 Ac 26.71 0.42 -0.66 3.8 224 Ac 27.58 0.355 -0.75 2.2 225 Ac 28.45 0.405 -0.70 3.8 227 Ac 29.43 0.405 -0.72 4.3 228 Th 29.41 0.405 0.04 4.9 229 Th 29.32 0.39 -0.52 3.7 230 Th 29.31 0.395 0.01 4.6 232 Th 29.44 0.385 0.07 4.3 231 Pa 28.76 0.385 -0.57 3.6 233 Pa 28.88 0.405 -0.85 3.8 232 U 27.97 0.405 -0.02 4.3 233 U 27.02 0.39 -0.34 3.5 234 U 26.79 0.405 0.09 4.3 235 U 29.05 0.41 -0.87 4.2 P P 195 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P B P P B P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 33 6 7 12 15 6 28 7 6 8 7 NL 19 5 6 7 8 5 18 6 6 7 6 Np 4.95 4.55 4.35 4.7 4.6 4.3 4.35 4.35 4.4 4.45 4.65 4.6 5.15 5.4 5.7 5.95 5.4 5.0 5.5 5.75 5.7 5.5 5.65 5.55 5.5 5.65 5.5 5.4 5.5 5.85 13 6 10 30 18 10 14 10 29 6 6 25 9 25 17 6 9 25 11 19 25 10 10 7 9 19 13 7 15 18 10 6 7 20 12 6 7 10 13 4 5 7 7 17 16 14 8 16 9 10 7 7 7 7 7 15 10 7 10 15 B B B P P P 4.85 4.95 4.9 5.0 4.7 4.9 4.8 4.7 4.9 4.65 5.0 σ 139 B 1.96 0.26 1.32 0.80 0.88 0.41 0.52 0.79 0.53 1.83 0.53 Ep (MeV) 1.72 1.08 2.19 1.90 2.20 0.51 1.15 1.10 1.32 0.83 1.68 1.76 0.68 0.71 0.35 0.32 0.21 0.24 0.19 0.21 0.83 0.24 0.78 0.82 0.18 0.24 0.91 0.42 1.02 0.25 B 236 U U 237 Np 238 Pu 239 Pu 240 Pu 245 Cm P 28.51 27.80 27.37 28.27 26.54 27.41 26.53 P 237 P P P P P P P P P P P P 0.415 0.385 0.40 0.425 0.405 0.39 0.425 -0.31 -0.39 -0.72 0.14 -0.54 -0.03 -0.65 4.6 3.5 3.5 5.3 3.5 3.8 4.1 5.8 5.5 3.01 5.8 5.45 5.45 5.57 5 7 21 9 13 9 16 5 4 15 9 11 5 12 B¶ng 3. Çc th«ng sè cña mÉu khÝ Fermi cã dÞch chuyÓn ng−îc Nguyªn tè 41 Ar 41 K 41 Ca 43 Ca 44 Ca 45 Ca 46 Cs 47 Ti 48 Ti 49 Ti 50 Ti 49 V 51 V 52 V 51 Cr 53 Cr 54 Cr 55 Cr 51 Mn 53 Mn 55 Mn 56 Mn 55 Fe 57 Fe 58 Fe 55 Co 57 Co P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P T=0.5TTB -1 a(MeV ) ∆(Mev) 4.52 -0.96 3.90 -2.31 4.12 -1.07 4.63 -1.21 5.29 1.01 4.92 -0.83 5.72 -2.20 4.68 -1.23 5.37 0.67 5.37 -0.05 5.26 1.76 4.85 -1.24 7.23 0.96 5.24 -2.30 4.76 -0.89 5.09 -0.32 5.28 0.38 5.22 -1.02 4.23 -1.87 4.64 -1.20 4.74 -1.51 5.83 -2.55 4.87 -0.82 5.22 -1.04 5.98 0.66 4.90 0.60 5.21 -0.41 P B B P 140 T=T 'TB a(MeV-1) ∆(MeV) 5.58 -0.49 4.51 -1.92 4.91 -0.56 5.54 -0.59 5.48 0.79 5.84 -0.41 5.96 -2.37 5.54 -0.69 5.85 0.66 6.34 0.33 5.53 1.55 5.65 -0.84 6.39 0.21 5.59 -2.38 5.58 -0.45 6.06 0.14 6.01 0.55 6.28 -0.56 5.05 -1.34 5.46 -0.71 5.45 -1.20 6.45 -2.46 5.70 -0.40 6.22 -0.48 6.79 0.82 5.81 0.93 6.12 -0.02 P P P PB B 0.35 0.15 0.37 1.07 0.43 0.60 0.41 59 Co Co 59 Ni 61 Ni 62 Ni 63 Ni 65 Ni 61 Cu 63 Cu 64 Cu 65 Cu 66 Cu 65 Zn Nguyªn tè 67 Zn 68 Zn 69 Zn 70 Ga 72 Ga 71 Ge 73 Ge 74 Ge 75 Ge 77 Ge 76 As 75 Se 77 Se 78 Se 79 Se 81 Se 83 Se 80 Br 82 Br 86 Rb 85 Sr 87 Sr 88 Sr 89 Sr 90 Y 91 Zr 92 Zr 93 Zr 95 Zr P P 60 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 5.50 -0.77 6.41 -2.11 4.91 -1.27 5.69 -1.02 6.48 0.79 6.67 0.02 6.90 0.03 5.03 -1.55 5.74 -0.96 7.55 -1.13 5.47 -1.00 7.94 -0.75 7.07 -1.01 T=0.5TTB -1 a(MeV ) ∆(Mev) 7.74 -0.22 7.25 0.69 7.32 -0.44 8.53 -0.99 8.68 -1.82 8.33 -1.24 8.74 -1.21 9.96 1.07 8.03 -1.35 9.26 -0.38 9.78 -1.54 9.29 -1.12 9.25 -1.10 9.66 1.13 9.78 -0.56 10.20 -0.26 9.35 -0.09 9.94 -1.37 10.72 -0.67 7.84 -1.14 9.95 -0.09 9.97 0.82 8.75 2.05 7.63 0.68 7.93 -0.43 9.00 0.45 9.92 1.14 10.89 0.74 10.99 0.42 P B B P 141 6.31 6.86 5.77 6.69 7.27 7.94 8.14 5.99 6.63 8.40 6.24 8.92 8.04 -0.47 -2.16 -0.76 -0.56 1.07 0.44 0.30 -1.06 -0.67 -1.07 -0.77 -0.63 -0.84 T=T 'TB a(MeV-1) ∆(MeV) 8.85 -0.09 7.97 0.75 8.43 -0.29 9.46 -0.94 9.69 -1.71 9.39 -1.11 9.86 -1.11 10.26 0.94 9.14 -1.22 10.50 -0.32 10.81 -1.45 10.37 -1.03 10.35 -1.02 10.66 1.15 10.95 -0.51 11.45 -0.21 10.67 -0.01 10.93 -1.32 11.79 -0.64 8.61 -1.10 11.07 -0.03 11.21 0.92 9.25 1.97 8.95 0.92 8.99 -0.31 10.26 0.57 10.87 1.16 12.31 0.81 12.39 0.48 P P P PB B 94 Nb Mo 95 Mo 96 Mo 97 Mo 98 Mo 99 Mo 100 Mo 100 Ru 102 Ru 103 Ru 105 Ru 104 Rh Nguyªn tè 106 Pd 108 Ag 110 Ag 112 Cd 113 Cd 114 Cd 115 Cd 114 In 116 In 113 Sn 115 Sn 117 Sn 118 Sn 119 Sn 120 Sn 121 Sn 123 Sn 125 Sn 122 Sb 124 Sb 123 Te 124 Te 125 Te 126 Te 127 Te 129 Te 131 Te 128 I 130 Xe P P 93 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 11.42 -0.69 9.19 0.54 10.02 0.11 10.37 0.81 10.76 -0.22 11.05 0.66 12.05 -0.55 13.48 -0.25 10.85 0.52 12.02 0.49 11.37 -1.55 13.63 -0.46 13.35 -1.06 T=0.5TTB -1 a(MeV ) ∆(Mev) 13.35 1.20 13.49 -0.93 14.39 -0.96 13.50 1.28 13.36 -0.42 14.36 1.44 14.74 -0.23 14.46 -0.21 14.53 -0.74 14.58 0.69 12.85 0.47 13.84 0.38 13.28 1.42 13.92 0.64 12.96 1.35 14.77 0.89 13.95 0.91 13.09 0.52 13.72 -1.23 12.99 -1.40 14.33 0.04 13.53 1.08 13.90 -0.53 13.77 1.26 14.61 -0.12 14.26 -0.38 14.16 0.32 13.73 -1.23 13.46 1.02 P B B P 142 11.98 10.36 11.27 11.34 12.04 12.06 13.43 15.03 11.77 13.01 12.69 15.15 14.67 -0.76 0.66 0.22 0.83 -0.15 0.67 -0.50 -0.21 0.50 0.48 -1.08 -0.42 -1.02 T=T 'TB a(MeV-1) ∆(MeV) 14.44 1.21 14.80 -0.90 15.79 -0.92 14.82 1.31 14.81 -0.38 15.74 1.46 16.31 -0.20 15.23 -0.26 15.33 -0.78 15.97 0.69 14.21 0.49 15.30 0.39 14.59 1.45 15.51 0.67 14.28 1.33 16.43 0.91 15.73 0.97 14.73 0.56 14.90 -1.21 14.04 -1.39 15.80 0.06 14.85 1.12 15.33 -0.51 15.10 1.27 16.18 -0.08 15.79 -0.35 15.85 0.37 14.95 -1.20 14.74 1.02 P P P PB B 132 Xe Cs 135 Ba 136 Ba 137 Ba 138 Ba 139 Ba 139 La 140 La 137 Ce 141 Ce 143 Ce 142 Pr Nguyªn tè 143 Nd 144 Nd 145 Nd 146 Nd 147 Nd 151 Nd 148 Sm 150 Sm 151 Sm 152 Sm 153 Sm 155 Sm 152 Eu 154 Eu 153 Gd 155 Gd 156 Gd 157 Gd 158 Gd 159 Gd 161 Gd 160 Tb 157 Dy 159 Dy 161 Dy 162 Dy 163 Dy 164 Dy 165 Dy P P 134 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 13.59 1.29 12.95 -1.33 14.10 -0.23 13.54 1.44 13.86 0.85 11.76 1.29 12.76 0.35 12.34 0.11 12.68 -1.11 14.65 -0.01 15.43 1.22 16.51 0.60 14.19 -0.43 T=0.5TTB -1 a(MeV ) ∆(Mev) 17.67 1.41 15.31 1.49 15.47 0.28 16.47 1.30 16.40 -0.47 17.59 -0.37 15.63 0.66 17.72 0.63 16.56 -1.00 17.04 0.01 16.69 -1.01 15.49 -0.99 19.66 -1.03 19.55 -0.64 18.01 -0.76 18.20 -0.81 16.79 0.17 16.35 -0.70 16.42 0.28 16.38 -0.66 16.30 -0.51 17.46 -1.00 19.08 -0.71 15.84 -0.94 18.41 -0.72 16.44 0.16 15.68 -0.91 15.23 -0.14 15.42 -0.81 P B B P 143 14.91 14.01 15.51 14.83 15.40 13.02 14.57 13.15 13.91 16.03 17.47 18.57 15.58 1.32 -1.32 -0.22 1.45 0.87 1.33 0.41 0.08 -1.07 -0.01 1.27 0.66 -0.41 T=T 'TB a(MeV-1) ∆(MeV) 19.72 1.45 16.58 1.48 17.19 0.31 17.76 1.29 18.12 -0.45 19.39 -0.36 16.80 0.64 18.98 0.61 18.23 -0.96 18.33 0.00 18.35 -0.97 17.08 -0.95 21.16 -1.02 21.04 -0.65 19.64 -0.74 19.86 -0.78 18.14 0.15 17.93 -0.67 17.83 0.28 18.03 -0.63 17.99 -0.48 18.99 -0.98 20.68 -0.70 17.34 -0.91 20.05 -0.71 17.75 0.15 17.22 -0.88 16.52 -0.14 17.04 -0.77 P P P PB B 166 Ho Er 165 Er 167 Er 168 Er 169 Er 171 Er 170 Tm 171 Yb 172 Yb 173 Yb 174 Yb 175 Yb Nguyªn tè 177 Yb 176 Lu 177 Lu 175 Hf 177 Hf 178 Hf 179 Hf 180 Hf 181 Hf 182 Ta 181 W 183 W 184 W 185 W 187 W 186 Re 188 Re 187 Os 188 Os 190 Os 192 Ir 194 Ir 196 Pt 198 Au 199 Hg 200 Hg 201 Hg 202 Hg 204 Tl P P 163 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 16.74 18.21 17.00 17.07 16.58 16.73 16.59 17.68 16.24 17.30 -1.03 -0.74 -0.76 -0.52 0.17 -0.45 -0.49 -0.84 -0.88 0.27 -0.53 0.47 -0.39 16.90 16.51 T=0.5TTB -1 a(MeV ) ∆(Mev) 17.16 -0.28 18.27 -0.75 18.04 -0.36 17.33 -0.75 17.77 -0.88 18.06 0.30 17.44 -0.62 17.76 0.40 17.61 -0.28 18.00 -0.88 18.35 -0.40 16.74 -0.69 18.08 0.42 16.80 -0.89 18.57 -0.17 18.64 -0.82 18.92 -0.91 17.41 -0.75 18.07 0.73 18.37 0.58 19.56 -0.82 17.99 -0.90 17.95 0.74 16.26 -0.86 15.92 -0.67 14.86 0.52 13.00 -0.62 14.68 0.81 11.26 -0.50 P B B P 144 18.07 19.80 18.56 18.71 17.86 18.42 18.29 19.26 17.76 18.81 18.19 18.43 18.22 -1.02 -0.73 -0.74 -0.49 0.17 -0.42 -0.46 -0.83 -0.86 0.27 -0.51 0.47 -0.36 T=T 'TB a(MeV-1) ∆(MeV) 18.94 -0.25 19.66 -0.75 18.74 -0.41 18.87 -0.74 19.43 -0.46 19.40 0.29 19.14 -0.40 18.99 0.39 19.37 -0.27 19.42 -0.87 19.99 -0.39 18.35 -0.67 19.70 0.42 18.46 -0.86 20.46 -0.15 20.19 -0.81 20.52 -0.90 19.33 -0.73 19.66 0.73 19.95 0.59 21.25 -0.80 19.61 -0.83 19.55 0.75 17.76 -0.84 17.43 -0.66 16.32 0.55 14.47 -0.56 16.13 0.83 12.69 -0.37 P P P PB B 206 Tl Pb 207 Pb 208 Pb 209 Pb 210 Bi 230 Th 231 Th 233 Th 233 U 234 U 235 U 236 U Nguyªn tè 237 U 239 U 238 Np 239 Pu 240 Pu 241 Pu 243 Am 245 Cm 246 Cm 247 Cm 249 Cm P P 205 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 10.21 -0.90 12.09 -0.12 8.94 0.40 8.53 1.52 8.48 0.11 10.12 -1.36 23.62 0.27 24.33 -0.62 24.07 -0.59 24.20 -0.41 23.00 0.12 23.69 -0.38 24.58 0.37 T=0.5TTB -1 a(MeV ) ∆(Mev) 24.37 -0.25 25.11 -0.59 24.71 -0.67 22.28 -0.54 24.72 0.57 23.01 -0.68 22.05 -0.57 23.00 -0.38 22.61 0.20 21.65 -0.57 23.14 -0.61 P B B P 145 11.52 13.55 10.32 10.02 10.14 11.43 25.38 26.43 26.27 26.19 24.74 25.82 26.34 -0.77 -0.02 0.61 1.80 0.39 -1.23 0.25 -0.61 -0.58 -0.41 0.11 -0.36 0.36 T=T 'TB a(MeV-1) ∆(MeV) 26.56 -0.23 27.33 -0.58 26.62 -0.67 24.22 -0.53 26.79 0.58 25.04 -0.67 23.05 -0.58 25.02 -0.37 24.33 0.19 23.69 -0.55 25.29 -0.60 P P P PB B

Mat do muc hat nhan

Related documents

Products

Support

Mat do muc hat nhan

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib