TUTORIAL DE MATLAB
TUTORIAL DE MATLAB
1
1. ¿QUÉ ES MATLAB?
1.1 Uso de Matrices
1.2 Origen de MatLab
1.3 Plataformas
1.4 Productos
4
5
5
5
5
2. LIBRERÍA DE APLIC ACIONES DE MATLAB
7
2 . 1 S I G N A L P R O C E S S I N G TOOLBOX
7
2.2 THE MATLAB C MATH L I B R A R Y
2.2.1 Desarrollo de aplicaciones utilizando la MATLAB C Math Library
2.2.2 Utilización de MATLAB y de su compilador
2.2.3 Velocidad y Precisión
2.2.4 Lista parcial de funciones
Funciones matemáticas
Funcionales especiales y elementales
Algebra lineal numérica
Polinomios e interpolación
Métodos numéricos no lineales
Estadística y análisis de Fourier
Operaciones algebráicas y lógicas
2.2.5 Utilidades
2.2.6 Requerimientos
7
8
8
9
9
9
9
9
9
10
10
10
10
10
2.3 THE
2.3.1
2.3.2
2.3.3
2.3.4
2.3.5
11
11
12
12
12
13
MATLAB COMPILER TOOLBOX
Generación Automática de ficheros MEX.
Rendimiento del compilador
Opciones de ajuste del rendimiento
Requerimientos del sistema
Limitaciones del código compilado
2.4 SYMBOLIC MATH TOOLBOX
13
2 . 5 O P T I M I Z A T I O N T O O LBOX
14
2 . 6 I M A G E P R O C E S S I N G TOOLBOX
15
2.7 Neural Network Toolbox
16
2.8 NON LINEA R C O N T R O L D E S I G N T O O L B O X
17
2.9 NAG FOUNDATION TOOLBOX
18
3. INICIANDO MATLAB
20
1
4. USO DE COMANDOS
4 . 2 I n s t r u c c i o n e s d e M A T L A B y V a r i a b les
4.3 Obteniendo Información del Espacio de Trabajo
4.4 Variables Permanentes
4.6 Saliendo y Guardando el Espacio de Trabajo
4. 7 M a n i p u l a c i ó n d e V e c t o r e s y M a t r i c e s
4.8 Operaciones de Matrices
4.9 Operaciones de Arreglos
4.10 Ejemplos: Operaciones Aritméticas
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22
23
23
23
24
25
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29
5 . P R O G R A M A N D O C O N MATLAB
5.1 Generalidades
5.1.1 A r c h i v o s -M : C o m a n d o s y F u n c i o n e s
5.1.2 Otras funciones
5.1.3 Declaración function
5.2 Operadores relacionales
5.3 Operadores lógicos
5.4 Caracteres especiales
5.5 Control de flujo
5.5.1 Declaración FOR simple
5.5.2 Declaración FOR anidada.
5.5.3 Declaración WHILE
5.5.4 D e c l a r a c i o n e s I F , E L S E , E L S E I F y B R E A K
5.6.1 C r e a c i ó n d e u n a m a t r i z
5.6.2 C a m b i o d e l o r d e n d e u n a m a t r i z : reshape
5.6.3 M o d i f i c a c i ó n i n d i v i d u a l d e e l e m e n t o s
5.6.4 M o d i f i c a c i o n e s a d i c i o n a le s d e u n a m a t r i z
5.7.1 Declaración f o p e n
Ejemplo
5.7.2 Declaración f c l o s e
5.7.3 Declaración f r e a d
5.7.4 Declaración fwrite
5.7.5 Declaración f p r i n t f
5.8 Variables globales
5.9 Vectorización de algoritmos y estructuras (for, while)
5.10 Gráficas en Dos Dimensiones
33
33
33
37
41
41
42
43
44
44
45
46
47
50
50
50
51
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57
57
57
58
58
58
59
60
COMANDO PLOT
Símbolo Color
Símbolo Estilo de línea
5.10.6 Comandos gráficos
5.11 Gráficos en 3 dimensiones
5.12 Archivos de disco
5.12.1 M a n i p u l a c i ó n d e A r c h i v o s d e D i s c o
5.12.2 Ejecutando Programas Externos
5.12.3 I m p o r t a n d o y E x p o r t a n d o D a t o s
5.13 INDICE ALFABETICO
60
60
61
63
66
73
73
73
73
74
6. S I M U L I N K
6.1 Acelerador de Simulink
6 . 2 Ge n e r a d o r d e c ó d i g o - C en Simulink
75
77
77
7. COMANDOS DE MATLAB
7.1 General purpose commands:
C o n t r o l S y s t e m T o o l b o x C o m m a n d s:
78
78
81
2
8. APLICAN D O M A T L A B A L C O N T R O L DE PROCESOS
8.1 Respuesta en el dominio del tiempo
8.2 Respuesta en el dominio de la frecuencia
8.3 Lugar de las raíces
8.4 Controladores PID
86
86
91
95
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9. TRUCOS EN MATLAB®
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3
1. ¿QUÉ ES MATLAB?
MatLab e s u n p r o g r a m a i n t e r a c t i v o p a r a c o m p u t a c i ó n n u m é r i c a y v i s u a l i z a c i ó n d e
datos. Es ampliamente usado por Ingenieros de Control en el análisis y diseño,
posee además una extraordinaria versatilidad y capacidad para resolver
problemas en matemática aplicada, física, química, ingenierí a, finanzas y muchas
otras aplicaciones. Está basado en un sofisticado software de matrices para el
análisis de sistemas de ecuaciones. Permite resolver complicados problemas
numéricos sin necesidad de escribir un programa.
MATLAB es un entorno de computación y desarrollo de aplicaciones totalmente
integrado orientado para llevar a cabo proyectos en donde se encuentren
implicados elevados cálculos matemáticos y la visualización gráfica de los
mismos.
MATLAB integra análisis numérico, cálculo matricial, proceso de señal y
visualización gráfica en un entorno completo donde los problemas y sus
soluciones
son
expresados
del
mismo
modo
en
que
se
escribirían
tradicionalmente, sin necesidad de hacer uso de la programación tradicional.
El nombre de MATLAB proviene de la contracción de los términos MATrix
LABoratory y fue inicialmente concebido para proporcionar fácil acceso a las
librerías LINPACK y EISPACK, las cuales representan hoy en dia dos de las
librerías más importantes en computación y cálculo matricial.
M AT L A B e s u n s i s t e m a d e t r a b a j o i n t e r a c t i v o c u y o e l e m e n t o b á s i c o d e t r a b a j o
son las matrices. El programa permite realizar de un modo rápido la resolución
numérica de problemas en un tiempo mucho menor que si se quisiesen resolver
estos mismos problemas con lenguajes de programación tradicionales como
pueden ser los lenguajes Fortran, Basic o C.
MATLAB goza en la actualidad de un alto nivel de implantación en escuelas y
centros universitarios, así como en departamentos de investigación y desarrollo
de muchas c o m p a ñ í a s i n d u s t r i a l e s n a c i o n a l e s e i n t e r n a c i o n a l e s . E n e n t o r n o s
universitarios, por ejemplo, MATLAB se ha convertido en una herramienta
básica, tanto para los profesionales e investigadores de centros docentes, como
una importante herramienta para la impartición de cursos universitarios, tales
como sistemas e ingenieria de control, álgebra lineal, proceso digital de imagen,
señal, etc. En el mundo industrial, MATLAB está siendo utilizado como
herramienta de investigación para la resolución de complejos prob l e m a s
planteados en la realización y aplicación de modelos matemáticos en ingeniería.
Los usos más característicos de la herramienta los encontramos en áreas de
computación y cálculo numérico tradicional, prototipaje algorítmico, teoría de
c o n t r o l a u t o m á tico, estadística, análisis de series temporales para el proceso
digital de señal.
4
MATLAB dispone también en la actualidad de un amplio abanico de programas de
apoyo especializados, denominados Toolboxes, que extienden significativamente
el número de funciones incorporadas en el programa principal. Estos Toolboxes
cubren en la actualidad prácticamente casi todas las áreas principales en el
mundo de la ingeniería y la simulación, destacando entre ellos el 'toolbox' de
proceso de imágenes, señal, control robusto, estadística, análisis financiero,
matemáticas simbólicas, redes neurales, lógica difusa, identificación de
sistemas, simulación de sistemas dinámicos, etc.
Además también se dispone del programa Simulink que es un entorno gráfico
interactivo con el que se puede analizar, modelizar y simular la dinámica de
sistemas no lineales.
1.1 Uso de Matrices
MatLab emplea matrices porque con ellas se puede describir infinidad de cosas
de una forma altamente flexible y matemáticamente eficiente. Una matriz de
pixeles puede ser una imagen o una película. Una matriz de fluctuaciones de una
señal puede ser un sonido o una voz humana. Y tal vez más significativamente,
una matriz puede describir una relación lineal entre los componentes de un
modelo matemático. En este último sentido, una matriz puede describir el
comportamiento de un sistema extremadamente complejo. Por ejemplo una
matriz puede representar el vuelo de una avión a 40.000 pies de altura, o un
filtro digital de procesamiento de señales.
1.2 Origen de MatLab
MatLab fue originalmente desarrollado en lenguaje FORTRAN para ser usado en
computadoras mainframe. Fue el resultado de los proyectos Linpack y Eispack
desarrollados en el Argonne National Laboratory. Su nombre proviene de
MATrix LABoratory. Al pasar de los años fue complementado y reimplementado
en lenguaje C. Actualmente la licencia de MatLab es propiedad de MathWorks
Inc .
1.3 Plataformas
MatLab está disponible para una amplio número de plataformas: estaciones de
trabajo SUN, Apollo, VAXstation y HP, VAX, MicroVAX, Gould, Apple Macintosh
y PC AT compatibles 80386 o
superiores. Opera bajo sistemas operativos
UNIX, Macintosh y Windows.
1.4 Productos
La empresa MathWorks ofrece MatLab como su principal producto para
c o m p u t a c i ó n n u m é r i c a , a n á l i s i s y v i su a l i z a c i ó n d e d a t o s . T a m b i é n o f r e c e S i m u l i n k
5
como un anexo a MatLab y que interactua con él en lenguaje de MatLab y
lenguaje de bajo nivel C. Simulink es usado para simulación modelado no lineal
avanzado. Se ofrecen además numerosas herramientas especiales en "Toolboxes"
para resolver problemas de aplicaciones específicas, por ejemplo control,
procesamiento de señales, redes neurales, etc. Estas herramientas son
colecciones de rutinas escritas en MatLab.
6
2. Librería de Aplicaciones de MATLAB
2.1 SIGNAL P ROCESSING TOOLBOX
MATLAB tiene una gran colección de funciones para el procesamiento de señal
en el Signal Processing Toolbox. Este incluye funciones para:
•
Análisis de filtros digitales incluyendo respuesta en frecuencia, retardo de
grupo, retardo de fase.
•
Implementación de filtros, tanto directo como usando técnicas en el dominio
de la frecuencia basadas en la FFT.
•
Diseño de filtros IIR, incluyendo
Chebyshebv tipo II y elíptico.
•
Diseño de filtros FIR mediante el algorítmo ó p t i m o d e P a r k s -McClellan.
•
Procesamiento de la transformada rápida de Fourier FFT, incluyendo la
transformación para potencias de dos y su inversa, y transformada para no
potencias de dos.
Butterworth,
Chebyschev
tipo
I,
2.2 THE MATLAB C MATH LIBRARY
La MATLAB C Math Library proporcio n a a l u s u a r i o l a c a p a c i d a d c o m p u t a c i o n a l d e
MATLAB en una libreria en formato objeto enlazable. El objetivo principal de la
C Math Library es soportar el desarrollo de aplicaciones 'stand alone' utilizando
MATLAB y su compilador. Puede ser utilizada independientemente de MATLAB
por programadores avezados en lenguaje C que necesiten prestaciones
computacionales robustas y de alto rendimiento.
Junto con el compilador de MATLAB, la C Math Library permitirá a los
programadores de aplicaciones utilizar MATLAB para la creación de aplicaciones
'stand alone'. Para los usuarios clásicos de MATLAB, se elimina así cualquier
necesidad de volver a reescribir algoritmos en lenguaje C para ser utilizada por
programas externos. Para aquellos usuarios que sean nuevos en la tecnología
MATLAB, esta tecnología ofrece una nueva vía para la reducción del tiempo de
desarrollo y puesta a punto de aplicaciones.
La MATLAB C Math Library proporciona una amplia gama de funciones clásicas
del programa MATLAB, proporcionadas como libreri a s o b j e t o , i n c l u y e n d o
básicamente las siguientes categorías de funciones presentes en MATLAB y
ficheros M compilados:
•
Algebra lineal.
•
Funciones matemáticas elementales y especializadas.
•
Operadores lógicos y aritméticos.
7
•
Matrices elementales y manipulación de vectores.
•
Matrices especiales.
•
Estadística básica y análisis de datos.
•
Polinomios e interpolación.
•
Gestión de cadenas de caracteres.
•
Entradas y Salidas.
•
Gestión de memoria y errores.
(Nota: Las funciones del tipo Handle Graphics no están incluidas en la C Math
Library).
2.2.1 Desarrollo de aplicaciones utilizando la MATLAB C Math
Library
La construcción y desarrollo de aplicaciones utilizando esta librería es un
proceso de amplias perspectivas una vez se tiene un dominio adecuado de su
operativa. El producto está dividido en dos categorías (como librerías objeto):
la librería (built-in library) contiene versiones de las funciones de MATLAB en
lenguaje C del tipo numérico, lógico y utilidades. Por otra parte la librería de
toolboxes (toolbox library) contiene versiones compiladas de la mayoría de
ficheros M de MATLAB para cálculo numérico, análisis de datos y funciones de
acceso a ficheros y matrices.
En equipos UNIX estas librerias pueden ser igualmente obtenidas como librerías
de tipo estáti c o ( s t a t i c l i b r a r i e s ) o b i e n c o m o l i b r e r í a s c o m p a r t i d a s ( s h a r e d
libraries). Respecto al mundo PC, estas librerías pueden obtenerse como DLL's
en el entorno Microsoft Windows o como librerias compartidas en equipos Apple
MacIntosh.
2.2.2 Utilización de MATLAB y de su compilador
Para construir una aplicación del tipo 'stand alone' que incorpore código
originalmente desarrollado como ficheros M de MATLAB , deberán seguirse los
pasos siguientes:
1.
Utilizar el compilador de MATLAB para convertir ficheros M en C mediante
la utilización de la instrucción mcc -e (la cual es externa a MATLAB).
2. Compilar el código C fuente en código objeto utilizando un compilador ANSI
C.
3. Enlazar el código resultante con la MATLAB C Math Library y con cualquier
tipo de ficheros y prog ramas específicos que hayan sido previamente
definidos por el usuario.
8
2.2.3 Velocidad y Precisión
Los algoritmos utilizados en la MATLAB C Math Library han sido desarrollados
por un grupo de renombrados expertos en programación algorítmica de funciones
de tipo matemático (algebra lineal y cálculo numérico). Las funciones de álgebra
lineal han sido obtenidas de las librerias mundialmente reconocidas LINPACK y
EISPACK. La MATLAB C Math Library contiene más de 300 funciones numéricas,
lógicas y de utilidad. Todas estas funciones le permitirán operar en datos de
tipo escalar, vectorial o matricial con la misma facilidad sintáctica.
2.2.4 Lista parcial de funciones
Funciones matemáticas
Funcionales especiales y elementales
Funciones gamma, beta y elíp ticas.
Transformación de sistemas de coordenadas.
Matriz identidad y otras matrices elementales.
Matrices de Hilbert, Toeplitz, Vandermonde, Hadamard, etc.
Partes reales, imaginarias y complejas conjugadas.
Funciones trigonomé tricas y de potencias.
Algebra lineal numérica
Valores propios y descomposición de matrices.
Funciones generales de evaluación de matrices.
Determinantes, normas, rangos, etc.
Matrices inversas y factorización de matrices.
Ma triz exponencial, logarítmica y raíces cuadradas.
Polinomios e interpolación
Interpolación 1 - D y 2 - D.
Construcción polinomial.
Interpolación por splines cúbicos.
Diferenciación de polinomios.
Evaluación de polinomios.
Multiplicación y división de polinomios.
Residuos de polinomios y residuos.
9
Métodos numéricos no lineales
Búsqueda de ceros en funciones de una única variable.
Minimización de funciones de una o más variables.
Resolución numérica de integrales.
Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Estadística y análisis de Fourier
Convolución 1 - D y 2 - D.
Filtros digitales 1- D y 2 -D .
Transformadas de Fourier 1 - D y 2 - D y s u i n v e r s a .
Coeficientes de correlación y m a t r i c e s d e c o v a r i a n z a .
Deconvolución.
Magnitudes y ángulos de fase.
Funciones max, min, sum, mean y otras funciones de estadística básica.
Operaciones algebráicas y lógicas
Suma, resta, multiplicación, división y potencias de matric e s .
Matrix traspuesta.
Operadores lógicos AND, OR, NOT y XOR.
2.2.5 Utilidades
Gestión y mantenimiento de errores.
Conversión de tipos de datos Fortran.
Funciones de fecha y hora.
Clasificación de matrices.
Conversión de n ú m e r o s a c a d e n a s y v i c e v e r s a .
2.2.6 Requerimientos
La libreria MATLAB C Math Library cumple con la normativa estándar ANSI
para compiladores C.
Finalmente, la librería trabajará con aquellos enlazadores
suministrados con la mayoría de compiladores ANSI C.
que
vienen
10
2.3 THE MATLAB COMPILER TOOLBOX
E l n u e v o c o m p i l a d o r d e M A T L A B - The MATLAB Compiler - p e r m i t e c r e a r c ó d i g o C
optimizado procedente de ficheros M - M files - de MATLAB. Este compilador
puede ser utilizado de dos modos:
1.
Como un generador MEX automático. Pueden convertirse ficheros M en
funciones C ejecutables que se ejecutaran desde dentro de MATLAB. Como
un generador de código C fuente.
2. Pueden construirse aplicaciones que se ejecutaran independientemente de
MATLAB. Estas aplicaciones externa s requieren de la MATLAB C Math
Library, que está disponible separadamente.
Mediante la conversión automática de ficheros M en código C fuente, el
compilador MATLAB elimina consumo de tiempo y la conversión manual de código.
T o d o e l p r o c e s o d e c o n v e r s i ó n , compilación y enlazado se inicia a través de una
simple instrucción de MATLAB.
2.3.1 Generación Automática de ficheros MEX.
El compilador de MATLAB automatiza la creación de ficheros MEX de C
(MATLAB Ejecutables).
L o s f i c h e r o s M E X c o n t i e n e n c ó d i g o o b j e to q u e e s d i n á m i c a m e n t e e n l a z a d o c o m o
'runtime' en el entorno MATLAB por el intérprete del programa.
El proceso en cuestión se realiza en tres pasos:
1.
El compilador de MATLAB traduce las funciones MATLAB en sus funciones
equivalente en lenguaje C.
2. La instrucción MATLAB cmex llama al compilador y al enlazador del sistema
para construir un fichero MEX objeto.
3. El intérprete de MATLAB enlaza automáticamente la función de MATLAB
como 'runtime'.
Mientras se efectúa una conversión de los ficheros M en ficheros MEX, el
compilador realiza llamadas a las rutinas de la libreria C para muchas de las
instrucciones contenidas en el propio núcleo de MATLAB. Existen algunas
funciones, incluyendo las rutinas 'Handle Graphics', para las cuales se generan
de nuevo llamadas 'c a l l b a c k s ' a M A T L A B .
Pueden convertirse convenientemente ficheros M en código fuente C para
incorporarlos posteriormente en los ficheros externos desarrollados en lenguaje
C, si ese es el caso. Esta opción es ideal para usuarios que quieren sacar la
m á x i ma ventaja de MATLAB desde cualquier otra aplicación o producir código C
eficiente a partir de los algoritmos desarrollados con MATLAB. Los desarrollos
11
del tipo 'stand-alone' requieren para ello de la MATLAB C Math Library.
Obsérvese que las funciones gráficas de MATLAB no están incluidas.
Para construir aplicaciones 'stand-alone' se debería seguir los siguientes pasos:
1.
Utilizar el compilador de MATLAB para convertir ficheros M en C con la
instrucción externa mcc - e.
2. Compilar el código C fuente en código ob j e t o u t i l i z a n d o u n c o m p i l a d o r C .
3. E n l a z a r e l c ó d i g o r e s u l t a n t e c o n l a s l i b r e r í a s m a t e m á t i c a s C d e M A T L A B y
los ficheros específicos que dispongamos.
2.3.2 Rendimiento del compilador
Mediante la compilación de los ficheros M se puede obtener un rendimien to
significativo. La velocidad de mejora de este rendimiento, depende fuertemente
de cada aplicación. En algunos casos el rendimiento puede mejorar hasta en 200
veces la ejecución si la comparamos con el modo de trabajo interpretado del
programa. Las opera ciones matriciales y vectoriales ejecutadas desde MATLAB
ya están fuertemente optimizadas en su diseño. Sin embargo, mediante la
utilización del compilador se obtendrán significativas mejoras.
2.3.3 Opciones de ajuste del rendimiento
E l c o m p i l a d o r d e M A T L AB ofrece varias opciones que permiten generar el
programa final de la forma más eficiente. Por ejemplo, Ud. puede directamente:
•
Tratar todas las variables en ficheros como datos enteros y/o reales.
•
Utilizar una variable concreta como variable escalar, vectorial, entera, real o
una combinación de estas.
•
Desactivar el control de parámetros de entrada y el redimensionamiento
dinámico de vectores.
2.3.4 Requerimientos del sistema
Para utilizar el compilador de MATLAB para crear ficheros MEX se necesita la
versión de MATLAB 4.2c y tener instalado uno de los siguientes compiladores de
lenguaje C:
PC/Microsoft Windows
Metaware High C/C++ V.3.0 o superior.
Watcom C V.10.0 o superior
Power MacIntosh
MetroWer ks CodeWarrior C V.7
12
MPW MrC V.1.0b2 o PPCC version 1.0.5
680x0 MacIntosh
MPW C Versión 3.4
UNIX y VMS
Cualquier compilador ANSI C (Nota: El compilador de SunOS 4.1.X no es un
compilador ANSI C).
Cualquiera que sea el equipo informático que vaya a utilizarse para desarrollar
aplicaciones 'stand alone' se requiere, además del compilador de MATLAB, que
se tengan las MATLAB C Math Library y un compilador ANSI C.
2.3.5 Limitaciones del código compilado
Ciertas instrucciones, como load y eval, no están soportadas por el compilador
de MATLAB . Este no puede generar código de los diagramas de bloques de
SIMULINK. Los toolboxes de MATLAB pueden incluir ficheros MEX y otros
componentes que no son compilables.
2.4 SYMBOLIC MATH TOOLBOX
El Toolbox de Matemática Simbólica, añade a MATLAB la capacidad de realizar
cálculos simbólicos basados en MAPLE V © soportando además (The Extended
Symbolic Math Toolbox) las librerías especializadas, y los programas realizados
para este último. Entre o t r o s , l o s p r i n c i p a l e s t i p o s d e o p e r a c i o n e s s o p o r t a d o s
son los siguientes:
•
Algebra simbólica: Derivación, integración y simplificación de expresiones
matemáticas.
•
Algebra lineal exacta: Inversas,
canónicas de matrices simbólicas.
•
Aritmética de precisión variable: Evaluación de expresiones matemáticas con
diversos grados de precisión.
•
Resolución de ecuaciones: Resolución numérica y simbólica de ecuaciones
algebraicas y diferenciales.
•
Funciones matemáticas especiales: E v a l u a c i ó n d e l a m a y o r í a d e l a s f u n c i o n e s
utilizadas en matemáticas aplicadas.
determinantes,
autovalores
y
formas
Existen dos versiones del mismo Toolbox. The Basic Symbolic Math Toolbox es
una colección de más de 50 funciones MATLAB las cuales permiten acceder al
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kernel de MAPLE utilizand o l a S i n t a x i s y el estilo del lenguaje MATLAB. The
Extended Symbolic Math Toolbox aumenta esta funcionalidad incluyendo todas
las características de programación de MAPLE, y el acceso a los paquetes de
funciones de más de veinte campos de las matemáticas e s p e c i a l e s a p l i c a d a s .
Es posible utilizar este Toolbox sin conocimiento previos de MAPLE, ya que los
ficheros contenidos en él son totalmente autónomos. Sin embargo, si lo que se
desea es obtener toda la potencia de cálculo del entorno, será necesario un
a mplio conocimiento del manejo y la programación de MAPLE
2.5 OPTIMIZATION TOOLBOX
El toolbox de optimización consta de un conjunto de funciones que resuelven
problemas de extremos, con o sin condiciones, de funciones reales las cuales son
generalmente multivariables y no lineales.
Asimismo, posee funciones para la resolución de algunos tipos de problemas
matriciales en extremos.
Resulta conveniente para una comprensión y mejor manejo de la toolbox poseer
conocimientos básicos previos de análisis de funciones reales, matrices y teoría
de extremos.
Algunas de las áreas básicas que cubre este toolbox para MATLAB son las
siguientes:
•
Cálculo de un extremo local (máximo o mínimo) de una función real f(x), en
general multivariable y no lineal, sin imponer ninguna restricción o condición
a la solución. Como caso particular, se incluye una rutina especial para
problemas de mínimos cuadrados no lineales.
•
Cálculo de un extremo local (máximo o mínimo) de una función real f(x), en
general multivariable y no lineal, condicionado a que la solución satisfaga
ciertas condiciones de desigualdad (g(x)<=0) y/o igualdad (g(x)=0).
•
Problemas de aproximación a un conjunto de objetivos.
•
Cálculo de soluciones de un sistema de ecuaciones continuas y, en general, no
lineales.
•
Solución de problemas minimax.
•
Programación lineal.
•
Programación cuadrática.
•
Problemas de mínimos cuadrados no negativos.
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2.6 IMAGE PROCESSING TOOLBOX
Este Toolbox proporciona a MATLAB de un conjunto de funciones que amplia las
capacidades del producto para realizar desarrollo de aplicaciones y de nuevos
algoritmos en el campo del proceso y análisis de imagenes. El entorno
matemático y de creación de MATLAB es ideal para el procesado de imágenes, ya
que estas imágenes son, al fin y al cabo, matrices. Este toolbox incorpora
funciones para:
•
Diseño de filtros.
•
Mejora y retocado de imágenes.
•
Análisis y estadística de imágenes.
•
Operaciones morfológicas, geométricas y de color.
•
Transformaciones 2D.
E l p r o c e s o d e i m á g e n e s e s u n c a m p o d e t r a b a j o a b s o l u t a m e n te c r u c i a l p a r a
aquellos colectivos e industrias que estén trabajando en áreas como diagnóstico
médico, astronomía, geofísica, ciencia medioambientales, análisis de datos en
laboratorios, inspección industrial, etc. Los programas actuales de procesado y
análisis de imágenes se clasifican actualmente en dos categorías: librerías de
bajo nivel para programadores profesionales y paquetes de aplicación con
capacidades limitadas de personalización. Ambos tipos de aplicaciones están,
generalmente, pensados para ta reas básicas de visualización de datos y
'rendering'. Sin embargo, muchos de ellos adolecen de la posibilidad de efectuar
análisis numéricos de los mismos. El Image Processing Toolbox entra dentro de
la categoría de familias de funciones que, desde el ento rno de trabajo de
MATLAB , permitirá al profesional efectuar una exploración exhaustiva y desde
un punto de vista matemático de las imágenes y gráficos que se deseen tratar o
analizar.
Algunas de las funciones más importantes incluidas dentro de este toolbo x s o n
las siguientes:
•
Análisis de imágenes y estadística.
•
Diseño de filtros y recuperación de imágenes.
•
Mejora de imágenes.
•
Operaciones morfológicas.
•
Definición de mapas de colores y modificación gráfica.
•
Operaciones geométricas.
•
Transformación de imágenes.
•
Proceso de bloques
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2.7 Neural Network Toolbox
Este toolbox proporciona funciones para el diseño, inicialización, simulación y
entrenamiento de los modelos neuronales de uso más extendido en la actualidad:
Perceptrón, redes lineales, redes de retropropagación, redes de base radial,
aprendizaje
asociativo
y
competitivo,
aplicaciones
autoorganizativas,
aprendizaje de cuantización vectorial, redes de Elman y redes de Hopfield.
Mediante la inclusión de un amplio abanico de funciones y procedimientos
escritos para MATLAB, el usuario puede mediante el Neural Network Toolbox
efectuar el diseño de arquitecturas complejas, combinando los modelos que ya
estan proporcionados por defecto en el toolbox. Asimismo, el usuario puede
definir sus propias funciones d e transferencia e inicialización, reglas de
aprendizaje, funciones de entrenamiento y estimación de error para usarlas
posteriormente con las funciones básicas.
El toolbox, aporta las facilidades y prestaciones gráficas de MATLAB para el
estudio del compor tamiento de las redes: visualización gráfica de la matriz de
pesos y vector de desplazamiento mediante diagramas de Hinton, representación
de errores a lo largo del entrenamiento, mapas de superficie de error en
función de pesos y vector de desplazamiento, etc. Estos gráficos resultan muy
útiles en el estudio de la convergencia y estabilidad de los algoritmos de
aprendizaje. Este toolbox incluye un manual de introducción al campo de las
redes neuronales junto con una colección de demostraciones y aplicaciones muy
didácticas, útiles para el estudio y la profundización en las cuestiones
fundamentales de los paradigmas de redes neuronales básicos. Asimismo, se
proporcionan las referencias bibliográficas más significativas referidas a los
distintos modelos que aparecen en la aplicación.
A pesar de que el estudio de las redes neuronales se inició ya hace algunas
decadas, las primeras aplicaciones sólidas dentro de este campo no han tenido
lugar hasta hace unos doce años y aun ahora constituyen un área de
investigación en rápido desarrollo. Este toolbox tiene por tanto una orientación
diferente a aquellos destinados a campos como el de sistemas de control u
optimización donde la terminología, fundamentos matemáticos y procedimientos
de diseño estan ya firmemente establecidos y se han aplicado durante años.
Este toolbox pretende que sea utilizado para la valoración y diseño de diseños
neuronales en la industria y sobre todo en educación e investigación.
Esta herramienta tiene el soporte de MATLAB 4.2c y SIMULINK. La librería de
SIMULINK contiene modelos de capas de redes neuronales de cada tipo de
neurona implementada en el toolbox de redes neuronales. Es posible por tanto
diseñar sistemas SIMULINK para simular redes neuronales creadas usando esta
herramienta. Simplemente, las capas se conectan de acuerdo con la arquitectura
de la red y se proporcionan como entrada a la caja de diálogo de cada capa la
matriz de pesos apropiada y el vector de desplazamiento. Usando el generador
de código C de SIMULINK es posible generar a u t o m á t i c a m e n t e e l c ó d i g o
correspondiente a un diseño neuronal.
16
Dentro de las aplicaciones básicas de este toolbox, cabe destacar aquellas que
están orientadas a aquellas que se enmarcan dentro del campo de la industria
aeroespacial y automoción (simulación, sistemas de control, autopilotaje), banca,
defensa (reconocimiento de patrones, procesamiento de señales, identificación
de imágenes, extracción de características, compresión de datos), electrónica
(control de procesos, análisis de errores, modelado no lineal, síntesis de voz,
visión por ordenador), economía (análisis financiero, análisis predictivo),
industria (control de procesos, identificación en tiempo real, sistemas de
inspección), medicina, robótica (control de trayectorias, sistemas de visión),
reconocimiento y síntesis del habla, telecomunicaciones (control de datos e
imágenes, servicios de información automatizada, traducción del lenguaje
hablado en tiempo real, diagnosis, sistemas de enrutamiento), etc. El toolbox
contiene muchos ejemplos de al g u n a s d e e s t a s a p l i c a c i o n e s .
2.8 NON LINEAR CONTROL DESIGN TOOLBOX
Se trata del primer producto comercialmente disponible en la actualidad para el
diseño de controladores automáticos en entornos de sistemas no lineales. Este
n u e v o t o o l b o x e s t á p e n s a d o pa r a s e r u t i l i z a d o e x h a u s t i v a m e n t e p o r i n g e n i e r o s
que diseñan controladores para industrias avanzadas, destacando el sector del
automóvil,
ingenieria
aeroespacial,
control
de
procesos
y
empresas
petroquímicas. Según indica Jim Tung, Vicepresidente del área d e d e s a r r o l l o d e
The MathWorks Group, Inc. "El proceso de aproximación tradicional en el diseño
de controladores en sistemas no lineales ha sido hasta la fecha linealizarlos de
algún modo para aplicar posteriomente un método de diseño lineal que requiere
d e importantes ajustes manuales. El toolbox NCD permite por primera vez a los
ingenieros de control diseñar directamente sus controladores en un ambiente no
lineal, obviando la aproximación lineal y otros procedimientos auxiliares que
antes se necesitaban de m o d o i m p e r a t i v o .
Los resultados ahora son de elevada calidad, controladores más robustos y un
ciclo de diseño mucho más rápido.
El toolbox NCD extiende, además, las prestaciones que incorpora SIMULINK, el
e n t o r n o d e d e s a r r o l l o d e d i a g r a m a s d e b l o q u e s p a ra l a m o d e l a c i ó n y a n á l i s i s d e
sistemas dinámicos de The MathWorks, Inc. El usuario puede incluir uno o más
bloques NCD en el sistema y describir posteriormente de modo totalmente
gráfico las restricciones, tolerancias y límites de permisividad de cada uno d e
estos bloques. Los métodos avanzados de optimización y la simulación del
proceso son posteriormente analizados y ajustados mediante la inclusión de unas
ciertas variables de contorno para poder obtener los tiempos de respuesta
d e s e a d o s . E s t e t o o l b o x p u ed e s e r u t i l i z a d o p a r a a j u s t a r u n a a m p l i a v a r i e d a d d e
controladores que se utilicen en un sistema, destacando los controladores PID,
LQR, LQG y estructuras H infinito. El diseñador de sistemas puede utilizar el
método de Montecarlo para el diseño y análisis de controladores robustos,
17
siempre que se detecten determinadas variaciones en los componentes del
sistema.
El toolbox NCD es un componente avanzado del entorno integrado de desarrollo
que ofrecen a los especialistas los programas MATLAB y SIMULINK. Por ello,
los diseñadores podrán beneficiarse de muchos de los toolboxes desarrollados
para este entorno en materia de diseño de sistemas lineales.
Por ejemplo, podrán utilizarse toolboxes para el análisis de sistemas lineales
para el diseño inicial; posteriormente, podrán utilizarse modelos no lineales más
sofisticados utilizando SIMULINK.
Además, puede invocarse NCD para un mejor ajuste paramétrico y para la
optimización de los controladores. Este toolbox se encuentra actualmente
disponible para una amplia va riedad de plataformas informáticas, destacando
ordenadores personales tipo PC o Apple MacIntosh, numerosas estaciones UNIX
y ordenadores Digital VAX VMS.
2.9 NAG FOUNDATION TOOLBOX
Este toolbox proporciona un acceso interactivo, desde dentro de MATLAB, a u n
amplio conjunto de funciones matemáticas y estadísticas contenidas en las
clásicas NAG Fortran Libraries de la empresa The Numerical Algorithms Group
Incorpora más de 200 ficheros M, los cuales cubren un amplio espectro de áreas
d e i n t e r é s , e n t r e l a s qu e c a b e d e s t a c a r o p t i m i z a c i ó n , e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s
ordinarias y en derivadas parciales, cuadratura, estadística, etc. La NAG
Foundation Toolbox añade también rutinas concretas para campos específicos
tales como la resolución de problemas con condicion es de contorno, problemas
de cuadratura adaptativa multidimensional, ajuste de curvas y superficies y el
acceso a los algoritmos LAPACK para la resolución de ecuaciones lineales. Los
nombre de las funciones han sido directamente tomados de las especificaciones
de función clásica que añade The Numerical Algorithms Group para sus librerías.
Como resultado de esto, aquellos usuarios de las librerías Fortran de NAG que a
la vez sean usuarios de MATLAB, encontraran bastante cómodo acceder a las
rutinas NAG utilizando la nomenclatura original.
La NAG Foundation Toolbox es resultado de la colaboración corporativa que
actualmente están llevando a cabo The MathWorks Group y The Numerical
Algoriths Group para proporcionar un rápido acceso desde MATLAB a un
importante de rutinas matemáticas contenidas en la NAG Foundation Library.
Actualmente, este toolbox incorpora 250 rutinas matemáticas.
Algunas de las áreas de cobertura de la NAG Foundation Toolbox son las
siguientes:
•
Ceros de polinomios
•
Raíces de una o más ecuaciones de tipo trascendental.
18
•
Suma de series.
•
Cuadraturas.
•
Ecuaciones diferenciales ordinarias.
•
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
•
Estadística no paramétrica.
•
Análisis de series temporales.
•
Rutinas de clasificación.
•
Aproximación de funciones especiales.
•
Aproximación de curvas y superficies.
•
Maximización y minimización de funciones.
•
Factorización de matrices.
•
Valores y vectores propios.
•
Resolución de ecuaciones lineales simultáneas.
•
Ecuaciones lineales (LAPACK).
•
Estadística básica.
•
Análisis de correlación y regresiones.
•
Métodos multivariantes.
•
Generación de números aleatorios.
19
3. INICIANDO MATLAB
Después de ejecutar el programa MatLab desde el sistema operativo empleado,
por ejemplo haciendo doble click sobre el icono de MatLa b e n a m b i e n t e s
Windows, aparece el indicador de comandos el cual está listo para recibir
instrucciones en lenguaje MatLab. Este indicador es de la siguiente forma:
>>
Al iniciar el uso de MatLab están disponibles dos comandos de ayuda y
demostración. Para e j e c u t a r l o s s e e s c r i b e e l c o m a n d o e n l a l í n e a d e c o m a n d o s
después del símbolo >> y se presiona la tecla Enter. Por ejemplo:
>>help
permite obtener una ayuda sobre los diferentes comandos de MatLab.
>>demo
h a c e u n a d e m o s t r a c i ó n d e l a s d i f e r e n t e s a p l i c a c i o n es de MatLab.
Para cerrar o finalizar el uso de MatLab se usa el comando quit .
>>quit
4. USO DE COMANDOS
La primera forma de interactuar con MatLab es a través de la línea de
comandos. Puede ejecutarse un comando si este está escrito después del símbolo
>> y se presiona la tecla Enter.
MATLAB trabaja esencialmente con matrices numéricas rectangulares. La
manera más fácil de entrar matrices pequeñas es enumerando los elementos de
ésta de tal manera que:
•
los elementos estén separados por blancos ó comas.
•
l os elementos estén cerrados entre corchetes, [ ].
•
muestre el final de cada fila con ; (punto y coma).
Ejemplo:
A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ]
resultaría en la matriz
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
MATLAB guarda esta matriz para utilizarla luego bajo el nombre de A.
Si la matriz a introducir es muy grande se puede utilizar el siguiente formato:
20
A = [1 2 3
4 5 6
7 8 9]
El comando load y la función fread p u e d e n l e e r m a t r i c e s g e n e r a d a s e n s e s i o n e s
anteriores ó generadas por otros programas.
Ya que MatLab se basa en el álgebra de matrices como ejemplo crearemos una
matriz. Estas pueden estar formadas por un sólo elementos (escalar), por una
fila o una columna (vector) o por una serie de filas y columnas (matriz
propiamente dicha).
>>A=1
define A como un escalar de valor 1. Al definir A automáticamente MatLab
presenta en pantalla su valor.
A=
1
Para no presentar el valor de la variable creada, debe agregarse punto y coma
(;) al final del comando.
Después de crear una variable, puede presentarse
escri biendo la variable después del prompt (>>).
su
valor
en
pantalla
>>A
Se pueden redefinir variables, por ejemplo:
>>A=[1 2 3]
define A como un vector de tres elementos, A(1)=1, A(2)=2 y A(3)=3. Estos
elementos deben separase con espacios en blanco o comas (,).
Para definir una m a t r i z s e d e b e n s e p a r a r l a s f i l a s c o n p u n t o y c o m a ( ; ) o c o n
retorno (Enter).
>>A=[1 2 3; 4 5 6]
o
>>A=[1 2 3
4 5 6]
ambos comandos producen el mismo efecto:
A=
1 2 3
4 5 6
21
4.1 Elementos de matrices
Los elementos de una matriz pueden ser cualquier expr e s i ó n d e M A T L A B .
Ejemplo:
x = [-1.3,sqrt(3),(1+2+3) *4/5]
resultaría en
x =
-1 . 3 0 0 0 1 . 7 3 2 1 4 . 8 0 0 0
Nos podemos referir a elementos individuales de la matriz con índices entre
paréntesis.
Ejemplo: En el ejemplo anterior
x(4) = abs(x(1))
resultaría
x=
-1.3000 1.7321 4.8000 0 1.3000
Para añadir otra fila a la matriz A de arriba podemos hacer lo siguiente:
r = [10 11 12];
A = [A; r]
y resultaría
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
4.2 Instrucciones de MATLAB y Variables
Si omites el nombre de la variable y e l s i g n o " = " , M A T L A B a u t o m á t i c a m e n t e c r e a
la variable a n s p a r a g u a r d a r e l r e s u l t a d o . T a m b i é n d i s t i n g u e l a s l e t r a s
mayúsculas de las minúsculas. Todos los nombres de funciones deben ser en
letras minúsculas.
22
4.3 Obteniendo Información del Espacio de Trabajo
Los ejemplos que hemos dado se han guardado en variables que están en el
espacio de trabajo de MATLAB. Para listar las variables en el espacio de
trabajo se utiliza el comando who . Para ver información adicional acerca de
estas variables se utiliza el c o m a n d o w h o s .
4.4 Variables Permanentes
Las variables permanentes son aquellas con significado especial, y que no se
pueden eliminar. Estas son por ejemplo las variables a n s y e p s .
La variable e p s es una tolerancia para determinar. Por ejemplo la singula r i d a d y
el rango. Su valor inicial es la distancia de 1.0 al próximo número de punto
flotante mayor.
4.5 Funciones
Las funciones que utiliza MATLAB son intrínsecas al procesador de éste. Otras
f u n c i o n e s e s t á n d i s p o n i b l e s e n l a l i b r e r í a e x t e r n a d e a r c h i vo s -M . A d e m á s d e
éstas funciones todo usuario también puede crear otras funciones. Puedes
combinar las funciones de acuerdo a tu necesidad.
Ejemplo:
x = sqrt(log(z))
4.6 Saliendo y Guardando el Espacio de Trabajo
Para salir de MATLAB se escribe quit ó exit . Al terminar una sesión de MATLAB,
las variables en el espacio de trabajo se borran. Si deseas guardar tu espacio de
trabajo escribes s a v e .
s a v e guarda todas las variables en un archivo llamado matlab.mat.
Se puede utilizar s a v e y load con otros nombres de archivos, ó para guardar solo
variables seleccionadas
Ejemplo:
save temp X Y Z
Este ejemplo guarda las variables X, Y, Z en el archivo temp.mat. Usando el
comando load temp las obtienes nuevamente del archivo temp.mat. load y s a v e
también pueden impor tar y exportar información de archivos ASCII.
23
4.7 Manipulación de Vectores y Matrices
Generando Vectores
Los dos puntos, :, son importantes en MATLAB. Por ejemplo
x = 1:5
genera un vector fila que contiene los números enteros del 1 al 5:
x =
1 2 3 4 5
No necesariamente se tiene que incrementar por números enteros, pueden ser
decimales, números negativos ó constantes.
Índices
Podemos referirnos a elementos individuales de matrices encerrando sus índices
en paréntesis.
Ejemplo:
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A(3, 3) = A(1, 3) + A(3, 1)
resultaría
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 10
Un índice puede ser un vector. Si x y v son vectores, entonces x(v) es [x(v(1)),
x(v(2)), ...,x(v(n))]. Para matrices, los índices de vectores permiten acceso a
submatrices contiguas y no -con t i g u a s .
24
Por ejemplo, suponga que A es una matriz 10 por 10. Entonces
A(1:5, 3)
especifica la submatriz 5 x 1, ó vector columna, que consiste de los primeros
cinco elementos en la tercera columna de A.
También
A(1:5, 7:10)
es la submatriz 5 x 4 de las pr i m e r a s c i n c o f i l a s y l a s ú l t i m a s c u a t r o c o l u m n a s .
Utilizando solo los dos puntos denota todo lo correspondiente a la fila ó
columna. Podríamos tener una instrucción como:
A(:, [3 5 10]) = B(:, 1:3)
que reemplaza la tercera, quinta y décima columna de A con las primeras tres
columnas de B.
Manipulación de Matrices
diag - extrae ó crea una diagonal
t r i l - parte inferior triangular
triu - parte superior triangular
' - transposición
4.8 Operaciones de Matrices
Matrices Transpuestas
El caracter ' (apóstrofe) denota la transpuesta de la matriz. Si tenemos la
matriz A y llamamos B = A', B es la transpuesta de la matriz A.
Sumando y Restando Matrices
Las operaciones suma (+) y resta (-) son definidas para las matrices siempre y
c u a n d o é s tas tengan la misma dimensión. Es decir, si A y B son matrices 3 x 3,
entonces A + B se puede calcular.
Las operaciones suma y resta también está definidas si uno de los operandos es
un escalar, es decir, una matriz 1 x 1.
Ejemplo:
x=
-1
0
2
25
y = x - 1
resultaría
y =
-2
-1
1
Ejemplo:
>>A=[1 2 3;4 5 6]; B=[6 5 4; 3 2 1];
define las matrices A y B. Para sumarlas se escribe la operación:
>>A+B
El resultado de la operación es por defecto almacenado en la variable ans e
inmediatamente presentado en pantalla:
ans =
7 7 7
7 7 7
Para almacenar la suma de A y B en la variable C:
>>C=A+B
C=
7 7 7
7 7 7
Multiplicando Matrices
La operación de multiplicación de matrices está definida siempre que el número
de columnas de la primera matriz sea igual a el número de filas de la segunda
matriz.
Producto escalar
El producto interior (producto escalar ó producto punto) se consigue de la
siguiente manera:
x' * y
asumiendo que x y y son vectores columnas. Note que y' * x produce el mismo
resultado.
26
Producto de una matriz por un vector
El producto de una matriz y un vector es un caso especial del producto matrizmatriz y naturalmente, un escalar como pi, puede multiplicar, ó ser multiplicado
por, cualquier matriz.
Dividiendo Matrices
En división de matrices, si A es una matriz cuadrada no- s i n g u l a r , e n t o n c e s A\B y
B/A corresponden a la multiplicación izquierda y derecha de B por el inverso de
A, esto es, inv(A) * B y B * inv(A) respectivamente. El resultado es obtenido
directamente sin la computación del inverso.
X = A\B es una solución a A * X = B
X = B/A es una solución a X * A = B
A \B es definido cuando B tiene la misma cantidad de filas que A. Si A es
cuadrada, el método usado es la Eliminación Gaussiana. El resultado es una
matriz X con las mismas dimensiones que B.
Si A no es cuadrada, se factoriza utilizando la ortogonalización de Householder
con pivoteo de columnas.
Los factores son usados para resolver sistemas de ecuaciones sub-d e t e r m i n a d o s
y sobre -determinados. El resultado es una matriz X m-p o r -n donde m es el
número de columnas de A y n es el número de columnas de B. Cada columna de X
tiene, al menos, k componentes diferentes de cero, donde k es el rango efectivo
de A.
B/A esta definido en términos de A\B p o r B / A = ( A ' \B ' ) ' .
Usando Exponentes con Matrices
L a e x p r e s i ó n A ^ n e l e v a A a l a n- é s i m a p o t e n c i a y e s t a d e f i n i d o s i A e s u n a
matriz cuadrada y n un escalar.
Funciones Matriciales Trascendentales y Elementales
MATLAB considera expresiones como exp(A) y sqrt(A) como operaciones de
a r r e g l o s , d e f i n i d a s e n los elementos individuales de A. También puede calcular
funciones trascendentales de matrices, como la matriz exponencial y la matriz
27
logarítmica. Estas operaciones
matrices cuadradas.
especiales
están
definidas
solamente
para
Otras funciones elementales de matrices son:
poly - p o l i n o m i o c a r a c t e r í s t i c o
d e t - determinante
trace - traza
kron - p r o d u c t o t e n s o r i a l d e K r o n e c k e r
eig - calcula los valores propios de la matriz
4.9 Operaciones de Arreglos
El término operaciones de arreglo se refiere a las operacio n e s d e a r i t m é t i c a
elemento por elemento. Un punto (.) antes de un operador indica una operación
de arreglos elemento por elemento.
Suma y Resta de Arreglos
Para suma y resta, las operaciones de arreglos y las operaciones de matrices son
iguales.
Multiplicación y División de Arreglos
El símbolo .* denota multiplicación de arreglos elemento por elemento.
Ejemplo:
x = [1 2 3]; y = [4 5 6];
z = x. *y
resulta
z =
4 10 18
Las expresiones A./B y A. \B d a n l o s c o c i e n t e s d e l o s e l e m e n t o s i n d i v i d u a l e s .
Ejemplo:
z = x.\ y
resulta
z=
4.0000 2.5000 2.0000
28
Exponentes con Arreglos
El símbolo .^ denota exponenciación elemento por elemento.
4.10 Ejemplos: Operaciones Aritméticas
Ejemplos:
>> 1/2
ans =
0.5000
>> 2\ 1
ans =
0.5000
>> a=[2;1;2]
a=
2
1
2
>> b=[1;2;3]
b=
1
2
3
>> a'
ans =
2 1 2
>> b'
ans =
1 2 3
29
>> a*b
??? Error using ==> *
Inner matrix dimensions must agree.
>> a.*b
ans =
2
2
6
>> a*b'
ans =
2 4 6
1 2 3
2 4 6
>> a.*b'
??? Error using ==> .*
Matrix dimensions must agree.
>> a*3
ans =
6
3
6
>> b.*3
ans =
3
6
9
30
>> a/3
ans =
0.6667
0.3333
0.6667
>> a./3
ans =
0.6667
0.3333
0.6667
>> a^b
??? Error using ==> ^
Matrix dimensions must agree.
>> a.^b
ans =
2
1
8
>> a^2
??? Error using ==> ^
Matrix must be square.
>> a.^2
ans =
4
1
4
>> 2^a
??? Error using ==> ^
Matrix must be square.
31
>> 2.^a
ans =
4
2
4
Precisión
utilizada .-
Aproximadamente
16
dígitos
significativos
computadoras utilizando aritmética flotante IEEE. El rango aproximado es:
en
1 0 ^-3 0 8 a 1 0 ^ 3 0 8 .
Formatos de salida :
4/3
a) format short
1.3333
b) format short e
1.3333e+00
c) format long
1.33333333333333
d) format long e
1.33333333333333e00
e) format bank
1.33
f) format hex
3ff5555555555555
32
5. PROGRAMANDO CON M ATLAB
5.1 Generalidades
Programar en MatLab es usar una serie de comandos que permitan realizar una
tarea o función específica. Estos pueden ser escritos uno por uno a través de la
línea de comandos:
>>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>>A'
ans =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
El primer comando A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] define la matriz A y el siguiente
comando A' calcula y presenta en pantalla la transpuesta de A.
5.1.1 Archivos -M: Comandos y Funciones
Los archivos de disco que contienen instrucciones de MATLAB se llaman
a r c h i v o s- M. Esto es así porque siempre tienen una extención de ".m" como la
última parte de su nombre de archivo.
Un archivo - M c o n s i s t e d e u n a s e c u e n c i a d e i n s t r u c c i o n e s n o r m a l e s d e M A T L A B ,
q u e p r o b a b l e m e n t e i n c l u y e n r e f e r e n c i a s a o t r o s a r c h i v o s- M. Un archivo - M se
puede llamar a sí mismo recursivamente. Puedes crear archivos- M utilizando un
editor de texto ó procesador de palabras.
Hay dos tipos de archivos - M: los de comandos y las funciones. Los archivos de
comandos, automatizan secuencias largas de comandos. Los archivos de
funciones, permiten añadir a MATLAB funciones adicionales expandiendo asi la
capacidad
de
este
programa.
Ambos,
comandos
y
funciones,
son
archivosordinarios de texto ASCII.
Archivos de Comandos
Cuando un archivo de comandos es invocado, MATLAB simplemente ejecuta los
comandos encontrados en dicho archivo. Las instrucciones en un archivo de
comando operan globalmente en los datos en el espacio de trabajo. Los comandos
son utilizados para hacer análisis, resolver problemas, ó diseñar secuencias
33
l a r g a s d e c o m a n d o s q u e s e c o n v i e r t a n e n interactivas. Por ejemplo, suponga que
el archivo f i b o . m contiene los siguientes comandos de MATLAB:
% U n a r c h i v o -M p a r a c a l c u l a r l o s e l e m e n t o s d e l a s e r i e d e F i b o n a c c i
f = [1 1]; i = 1;
while f(i) + f(i+1) < 1000
f(i+2) = f(i) + f(i+1);
i = i + 1;
end
plot(f)
S i e s c r i b i m o s fibo e n u n a v e n t a n a d e M A T L A B s e g u i d o d e " e n t e r " v e m o s q u e
MATLAB calcula los primeros 16 números de Fibonacci, y luego grafica estos.
Luego que la ejecución del archivo es completada, las variables f y i permanecen
en el espacio de trabajo.
Los programas de demostraciones incluidos en MATLAB son ejemplos de como
usar comandos para hacer tareas más complicadas. Para utilizar estos escriba
demos en el "prompt" de MATLAB.
Archivos de Funciones
Un archivo - M q u e c o n t i e n e l a p a l a b r a f u n c ti o n a l p r i n c i p i o d e l a p r i m e r a l í n e a , e s
un archivo de función. En una función, a diferencia de un comando, se deben de
pasar los argumentos. Las variables definidas y manipuladas dentro de la función
son locales a esta y no operan globalmente en el espacio de trabajo. Los archivos
de funciones se utilizan para extender a MATLAB, i.e., crear nuevas funciones
para MATLAB utilizando el lenguaje propio de MATLAB.
El archivo m e a n . m contiene las instrucciones:
function y = mean(x)
% Valor medio.
% Para vectores, mean(x) retorna el valor medio de los elementos del vector x.
% Para matrices, mean(x) es un vector fila conteniendo el valor medio de cada columna.
[m, n] = size(x);
if m == 1
m = n;
end
y = sum(x)/m;
34
(Las lineas que comienzan con "%" son interpretadas como comentarios por
MATLAB). La existencia de este archivo en el disco duro define una nueva
función en MATLAB llamada m e a n . S i z e s u n v e c t o r d e l o s e n t e r o s d e s d e 1 a 9 9 ,
por ejemplo,
z = 1:99;
entonces, el valor promedio es encontrado escribiendo
m e a n ( z)
que resultaría
ans =
50
Veamos algunos detalles de m e a n . m:
La primera línea declara el nombre de la función, los argumentos de entrada, y
los argumentos de salida. Sin esta línea sería un archivo de comando.
% indica que el resto de la línea es un comentario.
Las primeras líneas documentan el archivo - M y a p a r e c e n e n l a p a n t a l l a c u a n d o
escribimos help mean.
Las variables m, n, e y son locales a mean y no existen en el espacio de trabajo.
(O si existen, permanecen sin cambios.)
No es necesario asi gnar los enteros de 1 al 99 en la variable x. Utilizamos mean
con una variable llamada z.
Este vector que contenía los enteros de 1 a 99 fue pasado ó copiado a mean
donde se convirtió en una variable local llamada x.
Ejemplo
% Ejemplo de un archivo-m
% Cre a c i ó n d e l v e c t o r x u s a n d o e l c o m a n d o f o r
n=5;
for i=1:n
x(i)=i^2;
end
x
% Fin del archivo-m
Este ejemplo es un archivo - m tipo comando. Para ejecutarlo, en la línea de
comandos se debe escribir el nombre del archivo:
>>ejemplo
x =
1 4 9 16 25
35
Ejemplo
% C a lc u l a e l p r o m e d i o d e l o s e l e m e n t o s d e u n v e c t o r y d i b u j a d i c h o v e c t o r
% Sintaxis : p r o m e d i o ( x ) d o n d e x e s e l v e c t o r a p r o m e d i a r
function p = promedio(x)
n=length(x);
p=0;
for i=1:n
p=p+x(i);
end
p=p/n;
plot(x);
P a r a e j e c u t a r l a f u n c i ó n , s e h a c e l a l l a m a d a en l a l í n e a d e c o m a n d o s i n c l u y e n d o
el parámetro. La función promedio usa por parámetro un vector. Este vector
debe ser definido previamente.
>>A=[1 2 4 3 7 5 6 1 2 0 8 5];
>>promedio(A)
ans =
3.6667
MatLab presenta las imágenes en una ventana de figuras. Al observar el
contenido de dicha ventana luego de ejecutar la función promedio, se tiene:
36
Esta imagen es el resultado del comando plot(x) al ejecutar la función promedio.
M a t L a b p o s e e u n c o n j u n t o d e a r c h i v o s- m i n c o r p o r a d o s ( b u i l t-in). Puede
agregársele archivos - m definidos por el usuario almacenando los mismos en el
directorio principal de MatLab. Los comentarios incluidos en estos scripts y
funciones se visualizan al usar el comando h e l p s e g u i d o d e l n o m b re d e l a r c h i v o .
>>help promedio
Calcula el promedio de los elementos de un vector y dibuja dicho vector
Sintaxis : p r o m e d i o ( x ) d o n d e x e s e l v e c t o r a p r o m e d i a r
P a r a v e r e l c o n t e n i d o d e u n a r c h i v o- m se usa el comando t y p e s e g u i d o d e l n o m b r e
del archivo.
5.1.2 Otras funciones
Funciones Matemáticas
Algunas funciones trigonométricas utilizadas por MATLAB son:
sin - seno
cos - coseno
t a n - tangente
asin - seno inverso
a c o s - coseno inverso
a t a n - tangente inversa
Algunas funciones elementales son:
real(a) Pa rte real
imag(a) Parte imaginaria
conj(a) C o n j u g a d o d e a
fft(x) Transformada discreta de Fourier del vector x
fft(x,n) FFT de n puntos muestrales
ifft(x) Transformada inversa rápida de Fourier del vector x
ifft(x,n) FFT inversa de n puntos muestrados
zero s Inicializa a ceros
zeros(n) M a t r i z d e n x n d e c e r o s
zeros(m,n) M a t r i z d e m x n d e c e r o s
y=zeros(size(A) Matriz del tamaño de A, todos ceros
37
Ejemplo
size R e g r e s a e l n ú m e r o d e f i l a s y c o l u m n a s
A=
0 7 -6
1 0 0
0 1 0
>> [m n]=size(A)
m =
3
n=
3
F u n c i o n e s ma t r i c i a l e s
tril(A) Matriz triangular inferior
triu(A) Matriz triangular superior
p a s c a l Triangulo de Pascal
t o c p l i t z Tocplitz
Ejemplos
>> A =
0 7 -6
1 0 0
0 1 0
>> toeplitz(A)
ans =
0 1 0 7 0 1 -6 0 0
1 0 1 0 7 0 1 -6 0
0 1 0 1 0 7 0 1 -6
P r o d u c t o d e d o s matrices triangulares.
Esta factorización se utiliza para obtener el inverso y el determinante. También
es la base para la solución de sistemas lineales. Para obtener la factorización LU
de A escribimos,
[L, U] = lu(A).
38
Factorización Ortogonal ó Factori z a c i ó n Q R .
Se utiliza para matrices cuadradas ó rectangulares. Esta factorización se utiliza
para resolver sistemas lineales con más ecuaciones que desconocidas. Esta
factorización también es la base para las funciones n u l l y orth, que generan
bases orto normales para el espacio nulo y rango de una matriz rectangular dada.
Descomposición de Valores Singulares
La descomposición de Valores Singulares es importante para el análisis de
problemas que envuelvan matrices.
La asignación triple [ U , S , V ] = s v d ( A ) produce los tres factores en la
descomposición de valores singulares A = U*S*V'. Las matrices U y V son
ortogonales y la matriz S es diagonal.
La función s v d ( A ) devuelve solamente los elementos de la diagonal de S, que son
los valores singulares de A.
Descomposición de Valores Propios
La Descomposición de Valores Propios se utiliza para obtener los valores y
vectores propios de una matriz cuadrada A.
La función e i g ( A ) devuelve los valores propios de A en un vector columna.
La asignación [ X , D ] = e i g ( A ) p ro d u c e u n a m a t r i z d i a g o n a l D c u y o s e l e m e n t o s
diagonales son los valores propios de A y las columnas de X son los vectores
propios correspondientes.
Las Funciones de norma, rango y acondicionamiento asociadas son:
c o n d - número de condición en la norma 2
nor m - norma 1, norma 2, norma F, norma
rank - rango
rcond - e s t i m a d o d e l n ú m e r o d e c o n d i c i ó n
Funciones de Funciones
MATLAB representa funciones matemáticas mediante archivos- M
función. Un ejemplo de una función es el archivo -M l l a m a d o h u m p s . m.
de
tipo
Ejemplo: El archivo- M l l a m a d o h u m p s . m contiene las siguientes instrucciones:
function y = humps(x)
39
y = 1 . / ( ( x- .3).^2 +.01) + 1./((x- .9).^2 +.04) - 6;
y para la gráfica de la función escribimos
x = - 1:.01:2;
plot(x, humps(x))
Integración Numérica (Cuadratura)
El área bajo la gráfica de la función f(x) se puede aproximar integrando f(x)
numéricamente mediante una regla de cuadratura. Para integrar la función
definida por h u m p s . m d e s d e 0 h a s t a 1 e s c r i b i m o s :
q = quad('humps', 0, 1)
q=
29.8583
N o t e q u e e l a rg u m e n t o d e q u a d c o n t i e n e u n n o m b r e d e u n a f u n c i ó n . P o r e s t o q u a d
se llama una función de función, i.e., es una función que opera en otras
funciones.
Ecuaciones No -lineales y Funciones de Optimización
Las funciones de funciones para ecuaciones no -lineales y optimización incluyen:
fmin - mínimo de una función de una variable
fmins - mínimo
restricciones)
de
una
función
multi - variable
(minimización
no-l i n e a l
sin
fzero - c e r o d e u n a f u n c i ó n d e u n a v a r i a b l e
c o n s t r - minimización con restricciones
fsolve - solución de ecuación no-l i n e a l
l e a s t s q - c u a d r a d o s m í n i m o s n o-lineales
Funciones para Ecuaciones Diferenciales
Las funciones de MATLAB para resolver
ecuaciones diferenciales ordinarias son:
problemas
de
valor
inicial
para
ode23 - método Runge- Kutta de largo de paso variable que combina un método de
orden dos con uno de orden tres.
ode45 - método Runge -Kutta -F e h l b e r g d e l a r g o d e p a s o v a r i a b l e q u e c o m b i n a u n
método de orden cuatro con uno de orden cinco.
40
Ejemplo
to=0; tf=10;
[t,x]=ode23(`edif',to,tf,xo);
[t,x] =ode23(`deriv',to,tf,xo);
ode45
[t,x]=ode23(`deriv',to,tf,xo,to1,trace);
ode45
trace => 0 - n o r e s u n t a d o s i n t e r m e d i o s
1 - resultados intermedios
default tol: ode23 -> 1.0e - 0 3
ode45 - > 1.oe- 0 6
5.1.3 Declaración function
Sintaxis:
function nombre_1=nombr e_2(parametro_1, ..., parametro_n)
Ejemplos:
function y=promedio(x)
function i=inodal(t,v)
function xpunto=vdpol(t,x)
xpunto=zeros(2,1);
xpunto(1)=x(1).*(1 -x ( 2 ) . ^ 2 )-x(2);
xpunto(2)=x(1);
5.2 Operadores relacionales
Los operadores relacionales de MatLab son:
< menor que
<= menor o igual a
> mayor que
>= mayor o igual a
== igual a
=~ no igual a
41
Ejemplo:
if n< maxn
...
if n>=0, break, end
5.3 Operadores lógicos
Los operadores &,
respectiv a m e n t e .
|
y
~
son
los
operadores
de
lógica
"y",
"ó"
y
"no"
El resultado de C = A & B es una matriz cuyos elementos son unos donde A y B
sean ambos distintos de cero, y ceros donde A ó B sean cero. A y B deben de ser
matrices con las mismas dimensiones, a menos que una de ellas sea un escalar.
El resultado d e C = A | B e s u n a m a t r i z c u y o s e l e m e n t o s s o n u n o s d o n d e A ó B
tienen un elemento diferentede cero, y ceros donde ambas tienen elementos
cero. A y B deben de ser matrices con las mismas dimensiones, a menos que una
sea un escalar.
El resultado de B = ~A es una matriz cuyos elementos son uno donde A tiene un
elemento cero, y ceros donde A tiene elementos diferentes de cero.
F u n c i ó n e s any, all
La función any(x) devuelve 1 si cualquiera de los elementos de x es diferente de
cero, de lo contrario devuelve 0.
La función all(x) d e v u e l v e 1 s o l a m e n t e s i t o d o s l o s e l e m e n t o s d e x s o n d i f e r e n t e s
de cero.
Estas funciones se usan en cláusulas i f. Por ejemplo:
if all(A <.5)
. . .
end
Para argumentos matriciales, a n y y a l l t r a b a j a n p o r c o l u m n a s p a r a d e v o l v e r u n
v e c tor fila con el resultado para cada columna. Aplicando la función dos veces,
any(any(A)), siempre reduce la matriz a una condición escalar.
Las funciones relacionales y lógicas en MATLAB son:
any - condiciones lógicas
all - condiciones lógicas
find - halla í n d i c e s d e a r r e g l o s d e v a l o r e s l ó g i c o s
exist - verifica si existen variables
isinf - d e t e c t a i n f i n i t o s
42
finite - v e r i f i c a p a r a l o s v a l o r e s f i n i t o s
5.4 Caracteres especiales
Los caracteres especiales de MatLab son:
[ ] Se utilizan para formar vectores y ma t r i c e s
( ) Define precedencia en expresiones aritméticas. Encierra argumentos de
funciones en forma usual
,
Separador de elementos de una matriz, argumentos
declaraciones en líneas con declaraciones múltiples
de
funciones
y
; Termina filas de una matriz, separador de declaraciones
% Comentario
Ejemplos:
[6.0 9.0 3.4 ]
sqrt(2)
for i=1:n, a(i)=0, end
for i=1:n; a(i)=0; end
% inicia vector a en 0
43
5.5 Control de flujo
5.5.1 Declaración FOR simple
Sintaxis
for variable=incio:paso:final
declar ación 1;
...
declaración n;
end
for variable=inicio:final
declaración 1;
...
declaración n;
end
Ejemplo:
for i=1:n
c(i)=a(i)*b(i);
end
o
for i=1:n; c(i)=a(i)*b(i); end
El ciclo FOR permite que una instrucción, ó grupo de instrucciones, pueda
repetirse un n ú m e r o d e t e r m i n a d o d e v e c e s . P o r e j e m p l o ,
for i = 1:n, x(i) = 0, end
asigna 0 a los primeros n elementos de x. Si n es menor de 1, el ciclo sigue
siendo válido pero MATLAB no ejecuta la instrucción intermedia. Si x no esta
definido, ó si tiene menos de n elementos, entonces un espacio adicional es
localizado automáticamente a x cada vez que sea necesario.
44
5.5.2 Declaración FOR anidada .
Sintaxis
for variable 1 = inicio1:paso1:fin1
for variable2 = inicio2:paso2:fin2
declaración 1;
...
declaración n;
en d
end
Ejemplo
y=1
for t1=0:0.1:1
for t2=1: - 0 . 1 : 0
y(1)=sin(t1*t2)
end
i=i+1;
end
Ejemplo
for i = 1:m
for j = 1:n
A(i, j) = 1/(i+j- 1);
end
end
A
La "A" al terminar el ciclo muestra en la pantalla el resultado final. Es
importante que para cada for halla un e n d .
45
5.5.3 Declaración WHILE
Sintaxis:
while expresion
proposición 1;
...
proposición 2;
end
Ejemplos
e=1.0;
while (1.0+e)>1.0001
e=e/2.0;
end
it=1; t=0; wo=2.0*pi*60.0;
while it<=npts, ut=sin(wo*t);t=t+dt;end
El ciclo WHILE permite a una instrucción , ó g r u p o d e i n s t r u c c i o n e s , r e p e t i r s e u n
número indefinido de veces, bajo el control de una condición lógica. El siguiente
ciclo while halla el primer entero n para el cual n! es un número de 100 digitos:
n = 1;
while prod(1:n) < 1.0e100, n = n+1; end
n
Un cálculo más práctico ilustrando el ciclo while es en el cómputo del
exponencial de una matriz, llamado e x p m ( A ) en MATLAB. Una posible definición
de la función exponencial es mediante la serie:
expm(A) = I + A + A^2/2! + A^3/3! + ...
La idea es sumar todos los términos necesarios hasta producir un resultado que,
en la precisión finita la de computadora, no cambie aunque más términos sean
añadidos. Para esto procedemos de la forma siguiente:
46
E = zeros(size(A));
F = eye(size(A));
k = 1;
w h i l e n o r m ( E + F- E, 1) > 0
E = E + F;
F = A*F/k
k = k+1;
end
Aqui A es la matriz dada, E representa la suma parcial de la serie, F es un
término individual en la serie, y k es el índice de este término.
5.5.4 Declaraciones IF, ELSE, ELSEIF y BREAK
Sintaxis
a) if expresió n
proposición 1;
...
proposición n;
end
b) if expresión
proposición 1;
...
proposición n;
else
proposición 1;
...
proposición m;
end
47
c) if expresión
proposición 1;
...
proposición n;
elseif
proposición 1;
...
proposición m;
else
proposición 1;
...
proposición r;
end
d) if expresión, break, end
Ejemplos
if dv(i) > maxer
maxer=dv(i);
nmaxe=i;
end
sum=0.0; y=1;
while i<=so
n=input(`Introduzca n, interrumpe con valor negativo `);
if n<0, break, end;
if n==0
sum=sum+n;
elseif n<=10
sum=sum+n/2;
else
sum=sum+n/10;
end
end
48
A continuación se muestra como un cálculo se puede dividir en tres casos,
dependiendo del signo ó paridad de un entero n:
if n < 0
A = negative(n)
else if rem(n, 2) == 0
A = even(n)
else
A = odd(n)
end
En el segundo, partiendo de un entero positivo n, si este es par, se divide entre
dos; si es impar, se multiplica por tres y se le suma uno. ¿Habrá algún entero
para el cual el proceso nunca termine? Aquí se ilustran los enunciados while y i f,
también se muestra la función input (en este caso es una entrada del teclado), y
el enunciado b r e a k, que provee salidas abruptas de los ciclos. Veamos:
% Problema "3n+1" clásico de la teoria de números.
while 1
n = input('Entre n, negativo termina. ');
if n <= 0, break, end
while n > 1
if rem(n, 2) == 0
n = n/2
else
n = 3*n+1
end
end
end
49
5.6 Algebra Matricial
5.6.1 Creación de una matriz
Ejemplo
>> A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
5.6.2 Cambio del orden de una matriz: reshape
Sintaxis:
matriz_modificada = reshape(matriz_origin al, filas, columnas)
Ejemplo
>> A=[1 4 7 10; 2 5 8 11; 3 6 9 12]
A=
1 4 7 10
2 5 8 11
3 6 9 12
>> B=reshape(A,2,6)
B=
1 3 5 7 9 11
2 4 6 8 10 12
5.6.3 Modificación individual de elementos
Ejemplos
>> A=[1 2; 3 4]
A=
1 2
3 4
>> A(1,1)=A(1,2)+A(2,1)
A =
5 2
3 4
50
>> A(1,2)=A(2,1)
A=
5 3
3 4
>> A(2,2)=10
A=
5 3
3 10
5.6.4 Modificaciones adicionales de una matriz
Ejemplo
>> A=[1 2; 3 4; 5 6 ]
A=
1 2
3 4
5 6
Conversión de una matriz en un vector
>> A=[1 2; 3 4; 5 6 ]
A=
1 2
3 4
5 6
>> b=A(:)
b=
1
3
5
2
4
6
51
Modificación de los elementos
>> A(:)=10:15
A=
10 13
11 14
12 15
Generación de vectores:
Ejemplos
>> x=1:5
x =
1 2 3 4 5
>> x=5:- 1 : 1
x =
5 4 3 2 1
>> x=0:0.25:1
x =
0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000
Acceso a submatrices contiguas y no contigua s
Ejemplos
Si la matriz original A es de 10*10, entonces:
A(1:3,5)
de A
matriz de 3x1 que tiene los tres primeros elementos de la columna 5
A(1:3, 5:9) matriz de 3x4 que tiene los tres primeros filas y las columnas de 5 a
9 de A
A(:,5) quinta columna de A
A(1:5,:) primeras cinco filas de A
A(:,[4 6])=B(:,1:2)
primeras de A
remplaza la cuarta y sexta columnas de A con las dos
52
Matrices vacias
La declaración
x = [ ]
asigna una matriz de dimensión 0x0 a x
Para la matriz A considerada previamente
A(:,[3,5])=[ ] borra columnas 3 y 5 de A
A([3,5 ],:)=[ ] borra filas 3 y 5 de A
Declaración de matrices complejas
A=[1 2; 3 4] + i*[5 6 ; 7 8]
o
A=[1 2; 3 4] + i*[5 6 ; 7 8]
o
A=[1+5i 2+6i; 3+7i 4+8i]
A =
1.0000 + 5.0000i 2.0000 + 6.0000i
3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i
Generación de tablas
>> x=(0.0:0.2:3.0);
> > y = e x p ( - x).*sin(x);
>> [x;y]
ans =
Columns 1 through 7
0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000
0 0.1627 0.2610 0.3099 0.3223 0.3096 0.2807
C ol um ns 8 thr ough 14
1.4000 1.6000 1.8000 2.0000 2.2000 2.4000 2.6000
0.2430 0.2018 0.1610 0.1231 0.0896 0.0613 0.0383
Columns 15 through 16
2.8000 3.0000
0.0204 0.0070
53
D e t e r m i n a n t e d e A: det(A)
>> A=[1 2 3;4 5 6; 7 8 9]
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> det(A)
ans =0
D i a g o n a l d e A: diag(A)
>> diag(A)
ans =
1
5
9
Valores y vectores característicos: e i g ( A )
>> A=[0 7 - 6; 1 0 0;0 1 0]
A=
0 7 -6
1 0 0
0 1 0
>> eig(A)
ans =
-3 . 0 0 0 0
2.0000
1.0000
v - Vectores característicos
d - valores característicos
54
>> [v d]=eig(A)
v=
0.9435 -0.8729 0.5774
-0 . 3 1 4 5 - 0. 4 3 6 4 0 . 5 7 7 4
0.1048 -0.2182 0.5774
d=
-3 . 0 0 0 0 0 0
0 2.0000 0
0 0 1.0000
- E x p o n e n c i a l d e u n a m a t r i z: e x p m ( A )
>> A=[0 7 - 6; 1 0 0;0 1 0]
A=
0 7 -6
1 0 0
0 1 0
>> expm(A)
ans =
5.2541 11.0757 - 1 3 . 6 1 1 5
2.2686 5.2541 - 4 . 8 0 4 4
0.8007 2.2686 - 0 . 3 5 1 0
- Factori z a c i ó n L U d e A : l u ( A )
>> [L U]=lu(A)
L=
0 1.0000 0
1.0000 0 0
0 0.1429 1.0000
U =
1.0000 0 0
0 7.0000 - 6.0000
0 0 0.8571
55
- I n v e r s a d e A: inv(A)
>> inv(A)
ans =
0 1.0000 0
0 0 1.0000
-0 . 1 6 6 7 0 1 . 1 6 6 7
- E c u a c i ó n c a r a c t e r í s t i c a d e l a m a t r i z A: poly(A)
>> p = p o l y ( A )
p=
1.0000 0.0000 - 7.0000 6.0000
- Raices de la ecuación característica : roots(p)
>> r=roots(p)
r =
-3 . 0 0 0 0
2.0000
1.0000
56
5.7 Archivos de E/S
5.7.1 Declaración fopen
Sintaxis
id = fopen(`nombre.dat', `permiso')
donde p e r m i s o puede ser:
`r' Abre archivo para lectura
`r+ Abre archivo para lectura y escritura
`w' Borra el contenido del archivo existente o crea un nuevo archivo y lo abre para
escritura
`w+' Idem que `w' únicamente que el archivo se abre para lectura y escritura
`a '
Crea y abre un nuevo archivo o abre un archivo
` a + ' I d e m que `a' únicamente que el archivo es abierto para lectura y escritura
Ejemplo
fid = fopen(`archivo.dat','r')
fid = -1, error
0, lectura/escritura normal
[fid, mensaje = fopen(`archivo.dat','r ' )
5.7.2 Declaración fclose
Sintaxis
status = fclose(fid)
o
status = fclose (`all') - cierra todos los archivos abiertos
5.7.3 Declaración fread
Lee un archivo abierto con una precisión indicada
Sintaxis
fread(fid,registros,'precision')
registros
`char' o `uchar'
`short' o `long'
`float' o `double'
57
Ejemplo:
A = fread(fid,10,'float')
5.7.4 Declaración fwrite
Sintaxis
fwrite(fid,A,'short')
5.7.5 Declaración fprintf
Salida con formato
Ejemplos:
fprintf(fid,'titulo \ n');
f p r i n t f ( f i d , ' % f % 1 2 . 7 f\ n', y);
Forma to
%s - c a d e n a d e c i m a l
%d - número decimal
% f - punto flotante
% g - formato g
5.8 Variables globales
Son variables, de las cuales una sola copia es compartida por el programa
principal y sus funciones.
Sintaxis:
global variable1, ..., variable_N
Ejemplo
function x=ccdifs(t,x)
global ka,kb
x p = [ x ( 1 )- ka*x(1)*x(2); - x(2)+kb*x(1)*x(2)];
...
global ka,kb
ka=0.01
kb=0.02
[t,x]=ode23('ccdifs',0,10,[1:1]);
58
5.9 Vectorización de algoritmos y estructuras (for, while)
Para que los programas en MATLAB ejecuten más rá p i d o , d e b e m o s v e c t o r i z a r
estos siempre que sea posible. Esto es, debemos convertir los ciclos for y while
a operaciones de vectores ó de matrices. Por ejemplo, un modo de calcular la
función "sin" para 1001 números entre 1 y 10 es:
i = 0;
for t = 0:.01:10
i = i + 1;
y(i) = sin(t);
end
Una versión vectorizada del mismo código es
t = 0:.01:10; y = sin(t);
En una computadora lenta, el primer ejemplo tomó 15 segundos, mientras que el
segundo tomó 0.6 segundos.
V e c t o r e s P r e- A s i g n a d o s
Si no podemos vectorizar un pedazo de código, podemos hacer que los ciclos for
vayan más rápido pre -asignando cualquier vector en el cual el resultado de salida
sea guardado. Veamos un ejemplo:
y = zeros (1,100);
for i = 1:100
y(i) = det(X^i);
end
Si no pre -asignamos el vector "y", el interpretador de MATLAB irá aumentando
el tamaño de "y" por uno cada vez que se itera en el ciclo.
Permite incrementar la velocidad de proceso de MATLAB
Sintaxis
variable=inicio:incremento:final
Ejemplo
i=1, wo=2*pi*fo;
for t=0:dt:per
f(i)=sin(wo*t);
i= i+1;
end
ó
t=0:dt:per;
fi=sin(wo*t);
59
5.10 Gráficas en Dos Dimensiones
5.10.1 Funciones elementales para graficar
p l o t - crea una gráfica de vectores ó columnas de matrices.
loglog - c r e a u n a g r á f i c a u t i l i z a n d o u n a e s c a l a l o g a r í t m i c a p a r a a m b o s e j e s .
semi l o g x - crea una gráfica utilizando una escala logarítmica para el eje-x y u n a
escala lineal para el eje-y .
s e m i l o g y - crea una gráfica utilizando una escala logarítmica para el eje -y y u n a
escala lineal para el eje-x .
Puedes añadir títulos, encabezamien tos de ejes, líneas entre cortadas y texto a
tus gráficas utilizando:
tittle - a ñ a d e t í t u l o a l a g r á f i c a
xlabel - añade encabezamiento al eje-x
ylabel - añade encabezamiento al eje-y
text - añade una cadena de texto en una localización específica
g t e x t - a ñade texto a la gráfica utilizando el ratón
grid - crea líneas entrecortadas
5.10.2 Creando una gráfica
Comando
Plot
Sintaxis:
a) plot(y)
b) plot(x,y)
c) plot(x,y,'tipo_línea')
d) plot(x1,y1,'tipo_línea_1',x2,y2,'tipo_línea_2', ... , xn,yn,'tipo_línea_n')
Si y es un vector, p l o t ( y ) p r o d u c e u n a g r á f i c a l i n e a l d e l o s e l e m e n t o s d e y v e r s u s
el índice de estos. Si especifica dos vectores como argumentos, plot(x, y)
produce una gráfica de y versus x.
Símbolo Color
y amarillo
m magenta
c cyan (azul claro)
r rojo
g verde
60
b azul
w blanco
k negro
Símbolo Estilo de línea
. punto
o circulo
x marca
+ mas
* asterisco
- sólido
: punteado
-. s e g m e n t o p u n t o
-- s e g m e n t o
Ejemplo
t=0:pi/200:2*pi;x=sin(t);y1=sin(t+0.5);y2=sin(t+1.0);
plot(x,y1,'r-',x,y2,'g--'); title('Angulo difuso'); xlabel('x=sin(t)'); ...
ylabel('y=sin(t+)')
5.10.3 Graficando Matrices
plot(Y) - d i b u j a u n a l í n e a p a r a c a d a c o l u m n a d e Y . E l e j e -x es encabezado por el
vector índice de fila, 1:m, donde m es el número de filas en Y.
Si plot es usado con dos argumentos y si X ó Y tienen más de una fila ó columna,
entonces:
si Y es una matriz, y x es un vector, plot(x,Y) grafica las filas ó columnas de Y
versus el vector x;
si X es una matriz y y es un vector, plot(X,y) grafica cada fila ó columna de X
versus el vector y;
si X y Y son ambas matrices del mismo tamaño, plot(X, Y) grafica las columnas
de X versus las columnas de Y.
También puedes
matriciales:
usar
la
función
plot
con
múltiples
pares
de
argumentos
plot (X1, Y1, X2, Y2, ...)
Cada par X -Y es graficado, generando líneas múltiples. Los pares diferentes
pueden ser de dimensiones diferentes.
61
5.10.4 Importando Datos
Puede importar y graficar datos generados fuera de MATLAB utilizando el
comando load.
5.10.5 Graficando Funciones Matemáticas
Hay diferen tes formas de graficar funciones y = f(x). Una de estas formas es
evaluar la función en miles de puntos en el intervalo de interés. La siguiente
función oscila infinitamente rápido en el intervalo, 0 x 1.
Podemos gráficarla como sigue:
x = (0:1/2000:1)';
p lot(x, cos(tan(pi*x)))
Para hacer esto más eficiente podemos usar la función fplot la cual concentra su
evaluación sobre las regiones donde la rapidez de cambio de la función es más
grande.
P a r a e v a l u a r u n a f u n c i ó n , s e c r e a u n a r c h i v o d e e s t a f u n c i ó n y se le pasa el
nombre del archivo a fplot. El siguiente archivo -M de tipo función define la
función anterior como fofx.
function y = fofx(x)
y = cos(tan(pi*x));
Este archivo se guarda con el nombre de f o f x . m. Ahora la instrucción
fplot('fofx', [0 1])
prod u c e l a g r á f i c a :
62
Aquí, fplot usa menos puntos para evaluar la misma función a intervalos más
cerrados en la región donde la rapidez de cambio es mayor.
5.10.6 Comandos gráficos
h o l d Permite añadir líneas al dibujo previo
o n Activa hold
off Desactiva h o ld
Ejemplo
plot(x); hold on; plot(y',':');plot(yz,'-.')
loglog
Sintaxis
a) loglog(x,y)
b) loglog(x,y,'tipo_línea')
c)loglog(x1',y1','tipo_línea_1',...,
xn,yn,'tipo_línea_n')
Ejemplo
x = l o g s p a c e (- 1,3); loglog(x,exp(x))
donde l o g s p a c e tiene las formas:
l o g s pa c e ( a , b )
logspace(a,b,n)
a,b exponentes de los límites. Es decir, 10^a y 10^b
semilog(x), semilog(y)
Sintaxis
a) semilogx(x,y)
b) semilogy(x,y)
Ejemplo
x=0:.1:20; semilogy(x,10.^x)
63
fill
Dibuja el area interior de una curva en determinado color
Sinta x i s:
a) fill(x,y,'c')
b) fill(x1,y1,'c1',...,xn,yn,cn)
Ejemplo
t=0:0.5:2*pi; x=sin(t); fill(t,x,'b')
t=0:0.5:2*pi; x=sin(t); y=cos(t); fill(y,x,'r')
subplot
Dibuja la pantalla en mxn subdivisioens, numeradas por el parámetro p, de
izquierda a derecha, ini c i a n d o p o r l a f i l a s u p e r i o r
Sintaxis:
subplot(m,n,p)
Ejemplo:
vt=smvars(:,1);
it=smvars(:,2);
rang=smvars(:,3);
ikd=smvars(:,4);
subplot(2,2,1);
plot(vt)
subplot(2,2,2)
plot(it)
suplot(2,2,3)
plot(rang)
subplot(2,2,4)
plot(ikd)
bar
Crea una gráfica de ba r r a s
Sintaxis:
a) bar(y);
b) bar(x,y);
c) [xb,yb]=bar(y); => plot(xb,yb)
d) [xb,yb]=bar(x,y); => plot(xb,yb)
64
Ejemplo
x= - 2.8:0.2:2.8
b a r ( x , e x p (- x.*x)
Nota: Los valores de x deben estar igualmente espaciados
stairs
Igual que b a r, únicamente sin líneas in ternas
fplot
Dibuja la gráfica de una función
Sintaxis:
a) fplot(`función', [inicio,final])
b) fplot(`función', [inicio,final],n)
c) fplot(`función', [inicio,final],n,ángulo)
d) [x,y]=fplot(`función', [inicio,final]) => plot(x,y)
n - número de puntos
á n gulo - ángulo entre segmentos sucesivos de la función
Ejemplo
fplot(`sin',[0,pi])
fplot(`tanh',[ -2 2 ] )
function y=func(x)
y=200*sin(x(:))./x(:);
fplot(`func',[- 3 0 3 0 ] , 6 0 , 2 )
polar
Dibujo en coordenadas polares
Sintaxis:
a) polar(ángulo,radio)
b) polar(ángulo, radio, `tipo_línea')
Ejemplo
t=0:0.01:2*pi;
polar(t,sin(5*t))
65
colormap
Colorea con sombreado el interior de una curva o polígono
Sintaxis
colormap(colorbase)
donde colorbase es:
gray
hot
cool
copper
pink
Ejemplo
t=0:0.05:2*pi; x=sin(t); y=cos(t); colormap(hot(130)); ...
Nota: 130 es opcional el rango 0- 255
fill(y,x,x) => sombreado horizontal
f i l l ( y , x , y ) => sombreado vertical
5.11 Gráficos en 3 dimensiones
plot3
Dibuja líneas y puntos en 3 dimensiones
Sintaxis:
a) plot3(x,y,z)
b) plot3(x,y,z)
c) plot3(x,y,z,'tipo_línea)
d) plot3(x1,y1,z1,'tipo_línea',...,xn,yn,zn,'tipo_línea')
Ejemplo
t=0:0.05:10*pi; plot3(sin(t),cos(t),t)
contour, contour3
Genera dibujos compuestos de líneas de valores de datos constantes obtenidos
de una matriz de entrada
S i n ta x i s:
a) contour(z)
b) contour(z,n)
66
c) contour(x,y,z)
d) contour(x,y,z,n)
Ejemplo
contour(peeks)
contour(peeks,30)
contour3
Igual función de contour en 3 dimensiones
Sintaxis:
a) contour3(z)
b) contour3(z,n)
c) contour3(x,y,z)
d) contour3(x,y,z,n)
E j e mplo
contour3(peaks,30)
meshgrid
Genera arreglos X y Y para dibujos en 3 dimensiones
Sintaxis:
a) [X,Y] = meshgrid(x,y)
b) [X,Y] = meshgrid(x) => meshgrid(x,y)
Ejemplo. Evalue y dibuje la funcion z=x*exp( -x^2 -y^2) sobre el rango -2 < = x < = 2 ,
-2 < = y < = 2
[ X , Y ] = meshgrid(-2 : 2 : 2 ) ; z = x . * e x p (- x ^ 2 -y^2); ...
mesh(Z)
x= - 8:0.5,8; y=x; [x,y]=meshgrid(x,y);...
R=sqrt(x.^2+y.^2)+0.001; z=sin(R)./R;...
mesh(z)
67
mesh, meshc y meshz
Dibujan una superficie de malla tridimensional, crando una perspectiva del
dibujo, sobre y bajo el plano de referencia.
Sintaxis:
a) mesh(x,y,z,c)
b) mesh(x,y,z)
c) mesh(x,y,z,c)
d) mesh(x,y,z)
e) mesh(z,c)
f) mesh(z)
g) meshc(...) => mismo que mesh
h) meshc(...) => mismo que mesh
meshc
Añade un plano de contorno debajo del dibujo
meshz
Añ a d e u n p l a n o d e r e f e r e n c i a o c o r t i n a a l d i b u j o
Ejemplo:
[x,y] = meshgrid(-3:2:3); z=peaks(x,y); meshc(x,y,z)
[x,y] = meshgrid(-3:2:3); z=peaks(x,y); meshz(x,y,z)
surf, surfc
Crean superficies sombreadas en 3 dimensiones
Sintaxis:
a) surf(x,y,z,c)
b) surf(x,y,z)
c) surf(x,y,z,c)
d) surf(x,y,z)
e) surf(z,c)
f) surf(z)
g) surfc(...) => misma S i n t a x i s que surf
68
Ejemplo
[x,y]=meshgrid(- 3:.2:3); z=peaks(x,y); surf(x,y,z)
k = 5 ; n = 2 ^ k -1 ; [ x , y , z ] = s p h e r e ( n ) ; c = h a d a m a r d ( 2 ^ k ) ; . . .
surf(x,y,z,c); colormap(hot)
hadamar d
M a t r i z h a d a m a r d c o m p u e s t a d e 1 ' s y -1's, empleada en procesamiento de señales
y análisis numérico
Ejemplo (matriz de 4*4)
1 1 1 1
1 -1 1 -1
1 1 -1 -1
1 -1 -1 1
sphere
Genera una esfera
Sintaxis
[x,y,z] = sphere(n)
n - número de meridianos
Ejemplo
[x,y,z]=sphere(20);
mesh(x,y,z)
o con :
colormap(hot)
surfl
Superficie sombreada tridimensioanl con efecto de reflexión de luz
Sintaxis:
a) surfl(z)
b) surfl(z,s)
c) surfl(x,y,z)
d) surfl(x,y,z,s)
s - dirección de la luz
69
Ejemplo
[x,y]=meshgrid(- 3:0.01:3);
z=peaks(x,y);
surfl(x,y,z)
shading
Establece las propiedades de sombreado con color
Sintaxis
shading faceted
shading interp
shading flat
shading flat - cada segmento de la superficie tiene un valor constante
determinado por el color de los puntos extremos del segmento o sus esquinas
s h a d i n g i n t e r p - el color en cada segmento varia linealmente e interpolo los
valores extremos o esquinas
shading faceted
superpuestas
-
utiliza
sombreado
"flat"
con
líneas
de
malla
negras
Para el ejemplo anterior, añadiendo:
shading interp
y posteriormente:
colormap(gray);
axis
Escala y apariencia de los ejes
Sintaxis:
a) axis([xmin, xmax, ymin, ymax])
b) axis([xmin, xmax, ymin, ymax, zmin, zmax])
c) axis(`auto')
d) axis(`ij')
e) axis(`xy')
f) axis(`square')
g) axis(`equal' )
h) axis(`off')
70
i) axis(`on')
donde:
axis(`auto') realiza el escalamiento de ejes a su modo de autoescalamiento por
defecto.
a x i s ( ` i j ' ) dibuja nuevamente la gráfica.
El eje y es vertical y es numerado de arriba hacia abajo.
El eje j es horizontal y es n u m e r a d o d e i z q u i e r d a a d e r e c h a .
axis(`xy') regresa la forma de ejes cartesianos que existe por defecto . El eje x
es horizontal y se numera de izquierda a derecha. El eje y es vertical y se
numera de abajo hacia arriba
a x i s ( ` s q u a r e ' ) d e t e r m i n a q u e l a r e g i ó n de los ejes es cuadrada
axis(`equal') indica que los factores de escalamiento y marcas incrementales a lo
largo de los ejes x y y son iguales.
axis(`off') d e s a c t i v a l a s e t i q u e t a s d e l o s e j e s y l a s m a r c a s
a x i s ( ` o n ' ) activa las etiquetas de los ejes y las marcas
Para el ejemplo último:
...
axis([ - 3 3 - 3 3 - 8 8])
fill3 colorea polígonos de 3 dimensiones
a) fill3(x,y,z,'c')
b) fill3(x1,y1,z1,...,xn,yn,zn)
Ejemplo
colormap(hot)
fill3(rand(3,4), rand(3,4), rand(3,4), rand(3,4))
r a n d matrices y números aleato rios distribuidos uniformemente
Sintaxis:
a) rand(n) - matriz de nxn
b) rnad(m,n) - m a t r i z d e m x n
Ejemplo
fill3(rand(20), rand(20), rand(20), rand(20))
71
load carga en el area de trabajo un archivo (imagen, sonido, datos, etc)
Sintaxis
a) load archivo
b) l o a d a r c h i v o . e x t
donde:
ext - e x t e n s i ó n
Ejemplo
load clown
image crea un objeto imagen y lo presenta
Sintaxis:
a) image(x)
b) image(x,y,x)
c) presenta la matriz c como una imagen
d) especifica los límites de los datos de la imagen en los ejes x e y. En b) , x e y
son vectores
Ejemplo
load clown
colormap(map)
image(x)
brighten hace más brillante o más obscura la imagen
Sintaxis:
a) brighten(alfa)
b) brighten(map,alfa)
donde:
0<alfa<1 más brillante
-1<alfa<0 más obscuro
Del ejemplo anterior:
...
brighten(0. 6 )
ó brighten(- 0 . 6 )
72
c l f borra la figura
s o u n d convierte un vector en sonido (en computadoras sparc y macintosh)
Sintaxis
a) sound(y)
b) sound(y,Fs)
donde:
Fs frecuencia especificada en Hz
Ejemplo
load train
sound(y,Fs)
t=(0:length(y)- 1 ) / F s ;
plot(t,y)
5.12 Archivos de disco
5.12.1 Manipulación de Archivos de Disco
Algunos comandos utilizados para la manipulación de archivos de disco son dir,
type, delete y c d . Si la extención no se especifica, MATLAB utiliza .m
automáticamente. El comando diary c r e a un diario de tu sesión de MATLAB en un
archivo de disco. Para más información utiliza la Guía de Referencia de MATLAB
ó el comando help.
5.12.2 Ejecutando Programas Externos
El simbolo "!" le indica a MATLAB que el resto de la línea de entrada es un
coma ndo para el sistema operativo. Por ejemplo,
! edt darwin.m
invoca un editor llamado e d t e n u n a r c h i v o l l a m a d o darwin.m. L u e g o q u e e s t e
programa sea completado, el sistema operativo devuelve el control a MATLAB.
5.12.3 Importando y Exportando Datos
Puedes i n t r o d u c i r d a t o s d e o t r o s p r o g r a m a s a M A T L A B p o r v a r i o s m é t o d o s .
Similarmente, puedes exportar datos de MATLAB a otros programas. También
puedes hacer que tus programas manipulen datos directamente en archivos- MAT,
73
el cúal es el formato de archivo utilizado por MATLAB. Para información acerca
de las técnicas utilizadas para importar y exportar datos consulte la sección de
Importando y Exportando Datos de la guía de MATLAB ó utilice al comando help
de MATLAB.
5.13 INDICE ALFABETICO
axis, all, any, bar, break, brighten, clf, for, colormap, conj, contour, contour3,
d et , d ia g , e lse , e lse i f, e i g , e xp m, f cl o s e, f il l , f il l 3 , f f t , f f t n , f u n ct io n , f o p e n ,
fplot, fread, fwrite, grid, gtext, hadamard, hold, if, ifft, ifftn, imag, image,
i n v , l o g l o g , l o a d , l u , m e s h , meshc, meshz, meshgrid, ode23, ode45, peaks, plot,
plot3, poly, reshape, rot90, sphere, tril, triu, pascal, polar, real, toplitz, rand,
reshape, semilog, semilogy, shading (flat interp faceted), size, sound, stairs,
subplot, surf, surfc, surfl, text, title, xlabel, ylabel, while, zeros.
74
6. SIMULINK
Simulink es una herramienta para el modelaje, análisis y simulación de una amplia
variedad de sistemas físicos y matemáticos, inclusive aquellos con elementos no
lineales y aquellos que hacen uso de tiempos continuos y discretos. Como una
extensión de MatLab, Simulink adiciona muchas características específicas a los
sistemas dinámicos, mientras conserva toda la funcionalidad de propósito
g e n e r a l d e M a t L a b . A s í S i m u l i n k n o e s c o m p l e t a m e n t e u n p r o g r a m a s e p a r a d o de
MatLab, sino un anexo a él. El ambiente de MatLab está siempre disponible
mientras se ejecuta una simulación en Simulink.
Simulink tiene dos fases de uso: la definición del modelo y el análisis del
modelo. La definición del modelo significa construir el modelo a partir de
elementos básicos construidos previamente, tal como, integradores, bloques de
ganancia o servomotores. El análisis del modelo significa realizar la simulación,
linealización y determinar el punto de equilibrio de un modelo previamente
definido.
Para simplificar la definición del modelo Simulink usa diferentes clases de
ventanas llamadas ventanas de diagramas de bloques. En estas ventanas se puede
crear y editar un modelo gráficamente usando el ratón. Simulink usa un ambiente
gráfico lo que hace sencillo la creación de los modelos de sistemas.
Después de definir un modelo este puede ser analizado seleccionando una opción
desde los menús de Simulink o entrando comandos desde la línea de comandos de
MatLab.
Simulink puede simular cualquier si s t e m a q u e p u e d a s e r d e f i n i d o p o r e c u a c i o n e s
diferenciales continuas y ecuaciones diferenciales discretas. Esto significa que
se puede modelar sistemas continuos en el tiempo, discretos en el tiempo o
sistemas híbridos.
S i m u l i n k u s a d i a g r a m a s d e b l o q u e s p a ra representar sistemas dinámicos.
Mediante una interface gráfica con el usuario se pueden arrastrar los
componentes desde una librería de bloques existentes y luego interconectarlos
mediante conectores y alambre. La ventana principal de Simulink se activa
escribiendo simulink en la línea de comandos de MatLab, y se muestra a
continuación:
Haciendo doble click en cualquiera de las librerías presentes en esta ventana se
abrirá otra ventana conteniendo una cantidad de bloques relativos a dicha
librería.
Para realizar un sistema debe abrirse una nueva ventana de diagrama de bloques
seleccionando la opción file del menú principal del Simulink y allí la opción new.
En esta nueva ventana se colocarán todos los bloques interconectados que
formarán el sistema deseado .
75
Como ejemplo se ha tomado un generador de ondas seno de la librería de fuentes
"sources" y un osciloscopio de la librería "sinks", ambos se unieron mediante un
conector usando el ratón. Este sistema se almacena como un archivo - m.
Haciendo doble click so bre cada elemento del sistema se pueden ver y modificar
sus características.
Por ejemplo, al generador seno se le puede modificar su amplitud, frecuencia y
fase. Al osciloscopio se le definen las escalas horizontal y vertical.
Para ejecutar el programa se usa la opción simulation en el menú de la ventana
del archivo - m creado.
En este submenú está la opción start que permite ejecutar el programa. También
está la opción parameters que activa el panel de control de Simulink en donde se
definen los métodos y parámetros usados para la simulación, tal como se
muestra a continuación:
Al ejecutar el programa seno.m creado mediante simulink, se puede observar la
respuesta al hacer doble click en el osciloscopio.
Existen numerosos bloques y funciones incorporados en las librerías de simulink
que pueden ser empleados para simular cualquier sistema.
Por ejemplo, para implementar un sistema que emplea un controlador PID
tenemos:
En este diagrama se tiene al bloque llamado PID que fue definido previamente y
agrupado como uno solo. El contenido de dicho bloque se obtiene haciendo doble
click sobre él. A continuación se muestra el bloque PID:
76
6.1 Acelerador de Simulink
Para incrementar la velocidad de Simulink se debe instalar el acelerador
"Accelerator". Este pe rmite automáticamente generar una versión mejorada de
los modelos los cuales correrán diez veces más rápido que el original. El
acelerador puede ser usado sobre modelos continuos, discretos en el tiempo y
híbridos.
El acelerador trabaja generando y compila n d o u n c ó d i g o - C para un modelo dado.
Una vez se completa la compilación, la simulación es ejecutada en la ventada de
modelos de Simulink exactamente igual que antes sólo que más rápidamente. El
propósito del acelerador es aumentar la velocidad de simulació n .
Si el programa MatLab posee instalado el "Accelerator" podrá iniciarse la acción
aceleradora seleccionando la opción simulation en el menú principal del Simulink
y dentro de esta seleccionando la opción Accelerate. Esta acción es totalmente
t r a n s p a r e n te en el sentido de que el incremento de la velocidad se presenta sin
ningún otro requerimiento por parte del usuario.
6.2 Generador de código-C en Simulink
Una vez se ha creado un modelo dinámico en Simulink, se puede invocar el
generador de código-C que permite convertir el diagrama de bloques
implementado en un código C. Este puede ser útil para varios propósitos: puede
ser usado para control en tiempo real, simulación en tiempo real o simulación
acelerada en tiempo no real. Sus aplicaciones pueden ser control de movimiento,
control de procesos, sistemas automotores, equipos médicos, robótica, etc.
El código-C es diseñado tal que puede ser ejecutado en tiempo real. No requiere
ser escrito manualmente por un programador pues es creado a nivel de
diagramas de bloques en Simulink. El código generado puede correr sobre un
amplio rango de hardware ubicado en estaciones de trabajo, PC o
microprocesadores. Este código es la forma en la que puede usare el Simulink
para adquisición de datos.
77
7. COMANDOS DE MATLAB
7.1 General purpose commands:
M a n a g i n g c o m m a n d s a n d f u n c t i o n s:
help - On -l i n e d o c u m e n t a t i o n .
what - Directory listing of M-, MAT - a n d M E X -files.
type - L i s t M-f i l e .
lookfor - Keyword search through the HELP entries.
which - L o c a t e f u n c t i o n s a n d f i l e s .
d emo - Run demos.
path - Control MATLAB's search path.
Managing variables and the workspace:
who - List current variables.
whos - List current variables, long form.
load - Retrieve variables from disk.
save - S a v e w o r k s p a c e v a r i a b l e s t o d i s k .
clear - C l e a r variables and functions from memory.
pack - C o n s o l i d a t e w o r k s p a c e m e m o r y .
size - Size of matrix.
length - Length of vector.
disp - Display matrix or text.
Working with files and the operating system:
cd - Change current working directory.
dir - Directory l i s t i n g .
delete - Delete file.
getenv - Get environment value.
! - Execute operating system command.
unix - Execute operating system command & return result.
diary - Save text of MATLAB session.
78
C o n t r o l l i n g t h e c o m m a n d w i n d o w:
cedit - S e t c o m m a n d l i n e e d it/recall facility parameters.
clc - Clear command window.
home - Send cursor home.
format - Set output format.
echo - E c h o c o m m a n d s i n s i d e s c r i p t f i l e s .
more - C o n t r o l p a g e d o u t p u t i n c o m m a n d w i n d o w .
Starting and quitting from MATLAB:
quit - T e r m i n a t e MATLAB.
startup - M -f i l e e x e c u t e d w h e n M A T L A B i s i n v o k e d .
matlabrc - Master startup M-f i l e .
General information:
info - I n f o r m a t i o n a b o u t M A T L A B a n d T h e M a t h W o r k s , I n c .
subscribe - B e c o m e s u b s c r i b i n g u s e r o f M A T L A B .
hostid - MATLAB server host identificati o n n u m b e r .
whatsnew - Information about new features not yet documented.
ver - M A T L A B , S I M U L I N K , a n d T O O L B O X v e r s i o n i n f o r m a t i o n .
Operators and special characters:
Char Name HELP topic
+ Plus arith
- Minus arith
* Matrix multiplication arith
.* Array multiplication arith
^ Matrix power arith
.^ Array power arith
\ Backslash or left division slash
/ Slash or right division slash
./ Array division slash
79
kron Kronecker tensor product kron
: Colon colon
( ) Parentheses paren
[ ] Brackets paren
. Decimal point p u n c t
.. Parent directory punct
... Continuation punct
, Comma punct
; Semicolon punct
% Comment punct
! Exclamation point punct
' Transpose and quote punct
= Assignment punct
== Equality relop
< > Relational operators relop
& Logical AND relop
| Logical O R relop
~ Logical NOT relop
xor Logical EXCLUSIVE OR xor
Logical characteristics:
exist - C h e c k i f v a r i a b l e s o r f u n c t i o n s a r e d e f i n e d .
any - T r u e i f a n y e l e m e n t o f v e c t o r i s t r u e .
a l l - True if all elements of vector are true.
f i n d - F i n d i n d i c e s o f n o n - zero elements.
isnan - T r u e f o r N o t- A- Number.
isinf - True for infinite elements.
finite - T r u e f o r f i n i t e e l e m e n t s .
isempty - T r u e f o r e m p t y m a t r i x .
issparse - True for sparse matrix.
isstr - T r u e f o r t e x t s t r i n g .
isglobal - True for global variables.
80
Con t r o l S y s t e m T o o l b o x C o m m a n d s:
Model building:
append - Append system dynamics.
augstate - A u g m e n t s t a t e s a s o u t p u t s .
b l k b u i l d - Build state -space system from block diagram.
cloop - C l o s e l o o p s o f s y s t e m .
connect - Block diagram modeling.
conv - Convolution of two polynomials.
destim - F o r m d i s c r e t e s t a t e e s t i m a t o r f r o m g a i n m a t r i x .
dreg - Form discrete controller/estimator from gain matrices.
drmodel - Generate random discrete model.
estim - Form continuous state estimator from gain matrix.
feedback - F e e d b a c k s y s t e m c o n n e c t i o n .
ord2 - G e n e r a t e A , B , C , D f o r a s e c o n d-order system.
pade - Pade approximation to time delay.
parallel - P a r a l l e l s y s t e m c o n n e c t i o n .
reg - F o r m c o n t i n u o u s c o n t r o l l e r / e s t i m a t o r f r o m g a i n m a t r i c e s .
rmodel - Generate random continuous mod e l .
series - S e r i e s s y s t e m c o n n e c t i o n .
ssdelete - Delete inputs, outputs, or states from model.
ssselect - Select subsystem from larger system.
Model conversions>:
c2d - Continuous to discrete - time conversion.
c2dm - Continuous to discrete- time conversion w i t h m e t h o d .
c2dt - C o n t i n u o u s t o d i s c r e t e c o n v e r s i o n w i t h d e l a y .
d2c - D i s c r e t e t o c o n t i n u o u s- t i m e c o n v e r s i o n .
d2cm - Discrete to continuous- time conversion with method.
poly - Roots to polynomial conversion.
residue - P a r t i a l f r a c t i o n e x p a n s i o n .
81
ss2tf - State - space to transfer function conversion.
ss2zp - S t a t e - space to zero -pole conversion.
tf2ss - Transfer function to state- s p a c e c o n v e r s i o n .
tf2zp - Transfer function to zero -p o l e c o n v e r s i o n .
zp2tf - Z e r o- pole to transfer function conversion.
zp2ss - Z e r o- pole to state- s p a c e c o n v e r s i o n .
Model reduction:
balreal - Balanced realization.
dbalreal - Discrete balanced realization.
dmodred - Discrete model order reduction.
minreal - M i n i m a l r e a l i z a t i o n a n d p o l e- zero cancellation.
modred - Model order reducti o n .
M o d e l r e a l i z a t i o n s:
canon - C a n o n i c a l f o r m .
ctrbf - Controllability staircase form.
obsvf - Observability staircase form.
ss2ss - Apply similarity transform.
Model properties:
covar - Continuous covariance response to white noise.
ctrb - C o n t r o l l a b i l ity matrix.
damp - Damping factors and natural frequencies.
dcgain - Continuous steady state (D.C.) gain.
dcovar - Discrete covariance response to white noise.
ddamp - D i s c r e t e d a m p i n g f a c t o r s a n d n a t u r a l f r e q u e n c i e s .
ddcgain - Discrete steady state (D.C.) gain.
dgram - Discrete controllability and observability gramians.
dsort - S o r t d i s c r e t e e i g e n v a l u e s b y m a g n i t u d e .
eig - Eigenvalues and eigenvectors.
esort - Sort continuous eigenvalues by real part.
82
gram - Controllability and observability gramians.
o b sv - Observability matrix.
printsys - Display system in formatted form.
roots - P o l y n o m i a l r o o t s .
tzero - T r a n s m i s s i o n z e r o s .
tzero2 - T r a n s m i s s i o n z e r o s u s i n g r a n d o m p e r t u r b a t i o n m e t h o d .
Time response:
dimpulse - Discrete unit sample response.
dinitial - Discrete initial condition response.
dlsim - Discrete simulation to arbitrary inputs.
dstep - Discrete step response.
filter - S I S O z - transform simulation.
impulse - Impulse response.
initial - Continuous initial condition response.
lsim - C o n t i n u o u s s i m u l ation to arbitrary inputs.
ltitr - Low level time response function.
step - Step response.
stepfun - S t e p f u n c t i o n .
Frequency response:
bode - Bode plot (frequency response).
dbode - Discrete Bode plot (frequency response).
dnichols - Discrete Nichols plo t.
dnyquist - Discrete Nyquist plot.
dsigma - Discrete singular value frequency plot.
fbode - F a s t B o d e p l o t f o r c o n t i n u o u s s y s t e m s .
freqs - Laplace - transform frequency response.
freqz - Z- t r a n s f o r m f r e q u e n c y r e s p o n s e .
ltifr - Low level frequency response f u n c t i o n .
margin - Gain and phase margins.
nichols - Nichols plot.
83
ngrid - D r a w g r i d l i n e s f o r N i c h o l s p l o t .
nyquist - Nyquist plot.
sigma - Singular value frequency plot.
R o o t l o c u s:
pzmap - P o l e- zero map.
rlocfind - Interactive root locus gain determina tion.
rlocus - E v a n s r o o t-locus.
sgrid - D r a w c o n t i n u o u s r o o t l o c u s w n , z g r i d .
zgrid - D r a w d i s c r e t e r o o t l o c u s w n , z g r i d .
Gain selection:
acker - SISO pole placement.
dlqe - D i s c r e t e l i n e a r -q u a d r a t i c e s t i m a t o r d e s i g n .
d l q e w - General discrete linear quad ratic estimator design.
dlqr - D i s c r e t e l i n e a r -q u a d r a t i c r e g u l a t o r d e s i g n .
dlqry - D i s c r e t e r e g u l a t o r d e s i g n w i t h w e i g h t i n g o n o u t p u t s .
lqe - L i n e a r-quadratic estimator design.
lqed - Discrete estimator design from continuous cost function.
lqe2 - Linear quadratic estimator design using Schur method.
l q e w - G e n e r a l l i n e a r-quadratic estimator design.
lqr - L i n e a r- quadratic regulator design.
lqrd - Discrete regulator design from continuous cost function.
lqry - R e g u l a t o r d e s i g n w i t h w e i g h t i n g o n o u t p u t s .
lqr2 - Linear quadratic regulator design using Schur method.
place - P o l e p l a c e m e n t .
Equation solution:
are - Algebraic Riccati equation solution.
dlyap - Discrete Lyapunov equation solution.
lyap - C o n t i n u o u s L y a p u n o v e q u a t i o n s o l u t i o n .
lyap2 - Lyapunov equa tion solution using diagonalization.
84
Demonstrations:
ctrldemo - Introduction to the Control Toolbox.
boildemo - LQG design of boiler system.
jetdemo - Classical design of jet transport yaw damper.
diskdemo - Digital control design of hard disk controller.
kalmdemo - K a l m a n f i l t e r d e s i g n a n d s i m u l a t i o n .
85
8. APLICANDO MATLAB AL CONTROL DE PROCESOS
8.1 Respuesta en el dominio del tiempo
Para obtener la respuesta de un sistema en el tiempo ante una entrada estándar,
debe primero definirse el sistema. Para el lo puede definirse en MatLab la
función de transferencia propia del sistema o las ecuaciones de estado.
La función de transferencia de un sistema es una relación formada por un
numerador y un denominador:
En MatLab debe definirse el numerado r Y(s) y el denominador U(s) como
vectores, cuyos elementos son los coeficientes de los polinomios del numerador
y del denominador en potencias decrecientes de S. Por ejemplo, para definir la
función de transferencia:
>>y=[1];
>>u=[1 0.25 1];
Para d e t e r m i n a r l a r e s p u e s t a e n e l t i e m p o p a r a u n a e n t r a d a e s c a l ó n u n i t a r i o d e
este sistema se usa el comandos step indicando el vector del numerador y del
denominador entre paréntesis. step(num,den)
>>step(y,u)
MatLab presenta la respuesta en el tiempo en la ventana de figuras:
86
Puede definirse el tiempo en el cual se desea la respuesta al escalón, mediante
un vector de tiempo T, step(num,den,T)
>>t=0:0.1:20;
>>step(y,u,t)
Se define t como un vector cuyo elemento inicial es 0, su elemento final es 20 y
existen elementos que son el incremento desde 0 hasta 20 de 0.1 en 0.1. Al
ejecutar el comando step para y y u se obtiene en la ventana de figuras la
respuesta escalón para los primeros 20 segundos.
Otra forma de definir el sistema en MatLab es usando las ecuaciones de estado
de la forma:
x = Ax + Bu
y = Cx + Du
MatLab permite hacer la conversión de una función de transferencia a su
equivalente en ecuaciones de estado, mediante el comando tf2ss. Se deben
especificar las cuatro matrices de estado de la forma:
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
Para el ejemplo anterior tenemos:
>>[a,b,c,d]=tf2ss(y,u)
a =
-0 . 2 5 0 0 -1 . 0 0 0 0
1.0000 0
b =
1
0
c =
0 1
d =
0
87
Se puede hacer la conversión de una ecuación de estado a su equivalente función
de transferencia, mediante el comando ss2tf. Se deben especificar los vectores
para almacenar los coeficientes del polinomio numerador y del denominador. Su
Sintaxis e s :
[num,den]=ss2tf(a,b,c,d)
Ejemplo
>>[num,den]=ss2tf(a,b,c,d)
num =
0 0 1.0000
den =
1.0000 0.2500 1.0000
P a r a o b t e n e r l a respuesta escalón de un sistema a partir de las ecuaciones de
estado se usa el
comando step con la
Sintaxis:
step(A,B,C,D)
Ejemplo
>>step(a,b,c,d)
Para obtener la respuesta en el tiempo para una entrada impulso unitario se usa
el comando impulse, con Sin taxis idéntica a la utilizada con el comando step:
Si se define el sistema en MatLab por los polinomios
denominador de la función de transferencia tenemos:
del
numerador
y
» y=[1 5 4];
» u=[1 6 11 6];
» impulse(y,u)
Si por el contrario el sistema se defin e en MatLab por las ecuaciones de estado:
» [A,B,C,D]=tf2ss(y,u)
A=
-6 - 1 1 - 6
1 0 0
0 1 0
88
B=
1
0
0
C=
1 5 4
D =
0
» impulse(A,B,C,D)
En ambos casos, MatLab presenta la respuesta en el tiempo en la ventana de
figuras:
89
MatLab permite, además de obtener la respuesta en el tiempo para una entrada
escalón o impulso, también obtener respuesta para otras entradas tal como
rampas o sinusoides. El comando lsim permite obtener la respuesta en el tiempo
para un sistema con una entrada u, donde u se define como una función del
tiempo.
La Sintaxis de este comando es: lsim(A,B,C,D,U,T) usando las matrices de estado
o lsim(NUM,DEN,U,T) usando la función de transferencia.
Para obtener la respuesta en el tiempo para una función rampa, se define U de la
siguiente forma:
>>T=0:0.1:10
>>U=T;
>>NUM=[1];
>>DEN=[1 0.25 1];
>>[Y,X]=lsim(NUM,DEN,U,T);
>>PLOT(T,Y,T,U)
Al hacer U=T se está definiendo la función rampa. T es el vector de tiempo
variando desde 0 hasta 10
s e g . N U M y D E N s o n l o s v e c t o r e s d e l o s c o e f i c i e n t e s d e c r e c i e n tes en potencia
de S de los polinomios del numerador y del denominador respectivamente. En la
variable Y se almacena la salida del sistema en función del tiempo T. El comando
plot permite presentar en la ventana de figuras la variable Y (salida) y la
entra da U (rampa) en función del tiempo, obteniéndose:
90
8.2 Respuesta en el dominio de la frecuencia
Para el estudio de un sistema en el dominio de la frecuencia existen tres
herramientas disponibles en MatLab como son: los diagramas de Bode, de
Nyquist y de Nichols.
Para obtener el diagrama de Bode de una función de transferencia, se definen
dos vectores cuyos elementos son los coeficientes de los polinomios del
numerador y del denominador en potencias decrecientes de S. Estos vectores
son usados en el comando b o d e c o n l a s i g u i e n t e
Sintaxis:
bode(num,den).
Se define la función de transferencia:
Ejemplo
>>y=[1];
>>u=[1 0.25 1];
>>bode(y,u)
MatLab presenta el diagrama de bode en la ventana de figuras:
91
Otro formato mediante el cual el comando bode presenta el diagrama de bode,
es a través de las ecuaciones de estado representadas por las matrices de
estado (A,B,C,D). Su
Sintaxis e s :
bode(A,B,C,D).
Para especificar un rango deseado de frecuencias en las cuales se desea obtener
el diagrama de Bode, se emplea un vector de frecuencias en el que se especifica
la frecuencia inicial, el incremento y la frecuencia final. Por ejemplo:
>>W=0:0.1:100;
>>bode(y,u,W)
Este comando muestra el diagrama de Bode entre 0 y 100 rad/s.
Otra herramienta de análisis en el d o m i n i o e n l a f r e c u e n c i a q u e o f r e c e M a t L a b
es el diagrama de Nichols. Para obtener el diagrama de Nichols se utiliza el
comando nichols, cuya Sintaxis es idéntica a la del comando bode:
nichols(A,B,C,D,W) si se emplean las matrices de estado o nichols(num, den,W) si
se emplea la función de transferencia.
Si se define y como el vector de los coeficientes del polinomio del numerador y
u como el deldenominador:
>>y=[0 0 100];
>>u=[0.04 1 0];
>>nichols(y,u)
MatLab presenta en la ventana de figuras el diagrama de Nichols:
92
Otra herramienta de análisis en el dominio en la frecuencia que ofrece MatLab
es el diagrama de Nyquist. Para obtenerlo se utiliza el comando nyquist, cuya
Sintaxis es idéntica a la del comando bode y nichols: nyquist(A,B,C,D,W) si se
emplean las matrices de estado o nyquist(num,den,W) si se emplea la función de
transferencia.
Si se define y como el vector de los coeficientes del polinomio del numerador y
u como el del denominador:
>>y=[1];
>>u=[1 6 5];
>>nyquist(y,u)
M a t L a b p r e s e n t a e n l a ventana de figuras el diagrama de Nyquist:
93
Para obtener el margen de ganancia, el margen de fase, la frecuencia de cruce
de ganancia y la frecuencia de cruce de fase MatLab dispone del comando
margin. Las diferentes formas de utilizar este comando son:
[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = MARGIN(A,B,C,D) retorna los valores de margen de ganancia
(Gm), margen de fase (Pm), frecuencia de cruce de ganancia (Wcg) y la
frecuencia de cruce de fase (Wcp) cuando se trabaja con las matrices de estado
(A,B,C,D).
[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = MA R G I N ( N U M , D E N ) cuando se trabaja con la función de
transferencia.
[Gm,Pm,Wcg,Wcp] = MARGIN(MAG,PHASE,W) toma los vectores de magnitud,
fase y frecuencia del diagrama de Bode.
M A R G I N ( A , B , C , D ) dibuja el diagrama de Bode y muestra con líneas verticales los
m á rg e n e s d e g a n a n c i a y d e f a s e .
>>num=10;
>>den=[1 0.25 1];
>>[Gm,Pm,Wcg,Wcp] =margin(num,den)
Gm =
Inf
Pm =
4.7487
Wcg =
NaN
Wcp =
3.3114
>>margin(num,den)
94
8.3 Lugar de las raíces
Para obtener el lugar de las raíces de un sistema como el mostrado en el
siguiente diagrama:
Se debe determinar su ecuación característica, la cual es de la forma:
Para obtener el lugar de las raíces, MatLab dispone del comando rlocus. Las
diferentes
Sintaxis para utilizar este comando son:
r l o c u s ( N U M , D E N ) c a l c u l a y dibuja el lugar de las raíces cuando se trabaja con la
función de transferencia donde NUM y DEN son los vectores de los coeficientes
en potencia descendiente de S de los polinomios del numerador y denominador
de la función de transferencia G(S). MatLab g enerará automáticamente un
conjunto de valores de la ganancia K.
rlocus(NUM,DEN,K): calcula y dibuja el lugar de las raíces cuando se trabaja con
la función de transferencia y ha sido previamente definido el rango de valores
de K. Por ejemplo de 0 a 100 co n incrementos de 10: k=0:10:100
R = rlocus(NUM,DEN,K) o [R,K] = rlocus(NUM,DEN) no dibuja el lugar de las
raíces pero almacena en la matriz R, de longitud igual al número de elementos de
K, la localización de las raíces. R tendrá tantas columnas como raíces existan,
estas pueden además ser complejas.
rlocus(A,B,C,D), R=rlocus(A,B,C,D,K), o [R,K]=rlocus(A,B,C,D) son equivalentes a
las Sintaxis anteriores pero empleando las matrices de estado para hallar el
lugar de las raíces.
95
Para la siguiente forma modificada de la ecuación característica de un sistema
se desea hallar el lugar de las raíces mediante MatLab:
>>num=[0,0,0,1];
>>den=[1,3,2,0];
>>rlocus(num,den)
MatLab dispone del comando rlocfind que permite determinar los polos del
sistema para una valor dete rminado de k. Su
Sintaxis e s :
[K,POLES] = rlocfind(num,den) p e r m i t e d e t e r m i n a r l o s p o l o s p a r a u n v a l o r
determinado de k, cuando se trabaja con la función de transferencia. Por medio
del curso en el lugar de las raíces se selecciona una localización, MatLa b retorna
el valor de k para esta localización y los polos asociados a esta ganancia.
Cuando se trabaja con las matrices de estado, las Sintaxis para el comando
rlocfind es: [ K , P O L E S ] = r l o c f i n d ( A , B , C , D ) .
A l e j e c u t a r e l c o m a n d o r l o c f i n d c o n l a f u n c i ó n d e transferencia anterior, MatLab
activa la ventana de figuras en espera de que el usuario seleccione un punto del
lugar de las raíces mediante el cursor. En este caso el punto seleccionado fue 2.4623 en la parte real y - 0 . 0 1 3 2 e n l a p a r t e i m a g i n a r i a .
» [k,p o l e s ] = r l o c f i n d ( n u m , d e n )
Select a point in the graphics window
selected_point =
-2 . 4 6 2 3 - 0 . 0 1 3 2 i
k =
1.6655
poles =
-2 . 4 6 2 5
-0 . 2 6 8 8 + 0 . 7 7 7 3 i
-0 . 2 6 8 8 - 0 . 7 7 7 3 i
Para seleccionar el punto en el cual calcular los polos del lugar de las raíces sin
usar el cu rsor se agrega un parámetro al comando rlocfind. Este debe ser el
punto o los puntos en donde se desea tomar el valor de k. La nueva
Sintaxis es:
[K,POLES] = rlocfind(A,B,C,D,P) o [K,POLES] = rlocfind(num,den,P)
P debe definirse previamente indicando la parte real e imaginaria del mismo. Por
ejemplo: P=3+0i o P=1 -0 . 5 5 5 i .
96
8.4 Controladores PID
Para implementar los diferentes tipos de controladores (P, PD, PI, PID) en
MatLab se hace uso de la función de transferencia propia del sistema a objeto
de estudio . Si dicho sistema es de la forma:
donde G(S) es la función de transferencia de la planta o proceso; mientras que
C(S) es la función de transferencia del controlador.
Para el caso del controlador proporcional, C(S)=Kp, que es una constante o valor
es c a l a r . E l c o n t r o l a d o r P I e s C ( S ) = K p + K i / S q u e p u e d e r e p r e s e n t a r s e c o m o u n a
relación ente dos polinomios.
El controlador PID es C(S)=Kp + Ki/S + Kd S que se representa como:
que es de nuevo una relación entre dos polinomios. Los coeficientes decrec i e n t e s
en potencias de S de estos polinomio pueden ser almacenados en vectores en
MatLab. Si se multiplica el controlador C(S) por la función de transferencia del
proceso o planta G(S) se formará la función de transferencia de lazo abierto.
Por ejemplo un G(S) puede ser:
97
Para obtener la respuesta en lazo abierto ante una entrada escalón unitario
tenemos:
>>Kp=50;
>>Ki=1;
>>Kd=10;
>>num=[Kd Kp Ki];
>>den=[1 10 20 0 0];
>>step(num,den)
Para obtener la respuesta de lazo cerrado en el tiempo para una entra da escalón
unitario se emplea el comando cloop, el cual genera los polinomios del numerador
(numc) y denominador (denc) de la función de transferencia de lazo cerrado con
realimentación unitaria a partir de los polinomios de la función de transferencia
de l a z o a b i e r t o ( n u m y d e n ) . S u
Sintaxis es:
[numc,denc]=cloop(num,den,sign)
El signo de la realimentación viene dado por sign. Para el ejemplo anterior,
tenemos:
>>Kp=500;
>>Ki=1;
>>Kd=100;
>>num1=[Kd Kp Ki];
>>den1=[1 0];
>>num2=1;
>>den2=[1 10 20 0];
> > [numc,numd]=cloop(conv(num1,num2),conv(den1,den2), - 1);
>>step(numc,denc)
Se usa el comando c o n v p a r a o b t e n e r l a c o n v o l u c i ó n y m u l t i p l i c a c i ó n p o l i n o m i a l d e
dos vectores. La salida obtenida mediante el comando s t e p se muestra a
continuación:
98
9. TRUCOS EN MATLAB®
Paper semilogarítmico gratis: papelbod.m
Para cotejar sus diagramas de Bode:
>>bode(num,den)
donde n u m y d e n son vectores que contienen los coeficientes del numerador y
denominador de H(s) en orden de potencias descendentes de s.
N o t a : E s t o da l a s c u r v a s e x a c t a s , n o l a s a p r o x i m a c i o n e s a s i n t ó t i c a s c o n l í n e a s
rectas.
Ejemplo: Para ,
Escribimos
>>bode([158.11 15.811],[1 5 0])
Precaución: El punto "." puede significar operación elemento -p o r -e l e m e n t o o
punto decimal.
C u a n d o e s c r i b i m o s un dígito pegado al punto como "2.", el interpretador cree
que es el número "2.0". Entonces si queremos calcular A2B2, donde A y B son
a r r e g l o s y n o m a t r i c e s ( o s e a , q u e r e m o s o p e r a c i ó n e l e m e n t o -p o r- elemento),
debemos escribir
>>A.^2 .*B.^2 (notar el espacio después del primer 2)
y no
>>A.^2.*B.^2
Para remover ejes de la gráfica:
>>set(gca,'Visible','off')
o simplemente
>>axis off
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Para cambiar el color de trasfondo de la gráfica:
>> whitebg('c')
donde c es el código del color descrito en help plot.
Para establecer propiedades de la gráfica, es más fácil hacerlo al crearla que
después. Por ejemplo, para graficar con una línea gruesa,
>>plot(x,y,'linewidth',3) (En el momento de creación)
>>set(get(gca,'children'),'linewidth',3) ( D e s p u é s d e c r e a d a )
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