Escuela de Ingenierı́as
Mecánica del Medio Continuo - IC0263
Examen Parcial 01 (25 %)
Nota:
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Código:
Profesor:
Grupo:
Febrero 22 de 2013
1. (30 %) La figura 1 muestra el estado de tensiones en un punto al interior de un Medio Continuo. Sobre la cara
asociada al eje y 0 se dan las tensiones σy0 y0 y τy0 x0 y sobre la cara asociada al eje x0 se da el vector de tracciones
expresado en el sistema de referencia x − y.
Y'
Y
X'
X
Figura 1: Estado de tensiones en un punto al interior de un medio continuo.
Se pide lo siguiente:
a. (15 %) Escribir el tensor de tensiones en el sistema de referencia x0 − y 0 .
b. (15 %) Escribir el tensor de tensiones en el sistema de referencia x − y.
2. (20 %) La figura 2 muestra el estado de tensiones en un punto al interior de un Medio Continuo en el sistema de
referencia x − y. Adicionalmente en ésta figura se muestra el sistema de referencia x0 − y 0 que se encuentra rotado
y desplazado respecto al sistema x − y.
¿Cuál de las siguientes respuestas representa correctamente el tensor en el sistema de referencia x0 − y 0 ?.
a
b
−c −b
−b a
a. [σ] =
b. [σ] =
b
−c
−c − w
−b − (w + z)
c. [σ] =
−b − (w + z)
a−z
a−w
b − (w + z)
d. [σ] =
b − (w + z)
−c − z
−c b
e. [σ] =
b a
√
−c
−w
−b − w2 + z 2
√
f. [σ] =
−b − w2 + z 2
−a − z
g. Ninguno de los tensores presentados en las opciones de la (a) a la (f ).
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Código:
Y
c
b
b
a
a
X
b
z
b
Y'
c
w
X'
Figura 2: Estado de tensiones en un punto al interior de un medio continuo.
3. (20 %) Se quiere someter una columna a una tensión de compresión uniforme de 100 kgf /cm2 en su superficie
superior, ver la figura 3a, y se dispone sólo de cinco materiales diferentes cuyas capacidades máximas se relacionan
en el cuadro 1:
Y
Y
yy
yy
X
X
yy
(b) Tensor de tensiones
en cualquier punto al interior de la columna.
(a) Columna sometida a una tensión de
compresión σyy .
Figura 3
Capacidad Máxima a Cortante
Capacidad Máxima a Tracción
Capacidad Máxima a Compresión
Material 1
40
100
120
Material 2
60
60
60
Material 3
40
10
110
Material 4
160
20
80
Cuadro 1: Esfuerzos máximos soportados por los materiles en kgf /cm2 .
Material 5
50
10
80
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Código:
Seleccione cual o cuales de las siguientes afirmaciones son correctas.
a. La columna no falları́a si se construye con el Material 1.
b. La columna no falları́a si se construye con el Material 2.
c. La columna no falları́a si se construye con el Material 3.
d. La columna no falları́a si se construye con el Material 4.
e. La columna no falları́a si se construye con el Material 5.
f. La columna no falları́a si se construye con cualquiera de los materiales.
g. La columna falları́a si se construye con cualquiera de los materiales.
h. La columna no falları́a si se construye con el Material 1 o con el Material 4.
4. (30 %) Si el tensor de esfuerzos en cualquier punto de la cuña presentada en la figura 4 es:
−Scotanφ
0
[σ] =
0
Stanφ
y
S
l
x
S
l
Figura 4: Cuña de espesor e sometida a tensiones tangenciales constantes (S) en dos caras.
Se pide lo siguiente:
P
a. (5 %) Verificar el equilibrio global ( F = 0,0).
b. (5 %) Verificar el equilibrio a nivel diferencial.
c. (15 %) ¿Es posible encontrar esfuerzos cortantes τxy al interior de la cuña mayores a S?. Responder sı́ o no
y justificar su respuesta.
d. (5 %) Calcule el vector de tensiones en cada cara de la cuña.
Notas:
i) Lea bien los enunciados de cada numeral y describa los procedimientos que realice para facilitar su entendimiento.
ii) Sea ordenado, escriba legiblemente para que no se presenten inconvenientes durante la revisión de su examen
parcial.
iii) El medio continuo es homogéneo y sus propiedades permanecen elásticas para cualquier carga.
iv) Es válido el principio de superposición.
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Expresiones necesarias para el desarrollo del parcial:
a. Ecuaciones de equilibrio a nivel diferencial:
∂σxx ∂τxy
+
+ fx = 0
∂x
∂y
∂τxy ∂σyy
+
+ fy = 0
∂x
∂y
b. Proyección del tensor de tensiones en una dirección ~n arbitraria:
~t(~n) = [σ][n]
c. Transformación del tensor de tensiones de un sistema de referencia a otro:
[σ 0 ] = [T ][σ][T ]T
d. Relaciones trigonométricas útiles:
sin2 θ = 12 (1 − cos (2θ))
cos2 θ = 21 (1 + cos (2θ))
cos2 θ − sin2 θ = cos (2θ)
sinθcosθ = 12 sin (2θ)
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