Año:
Materia:
2022
Matemáticas discretas
Periodo:
Profesores:
Evaluación:
Primera
Fecha:
PAO II
Margarita Martı́nez
Ebner Pineda
Domingo Quiróz
COMPROMISO DE HONOR
Yo,
, al firmar este compromiso, reconozco que el presente
examen está diseñado para ser resuelto de manera individual, que puedo usar una calculadora ordinaria para cálculos
aritméticos, un lápiz o esferográfico; que sólo puedo comunicarme con la persona responsable de la recepción del
examen; y, cualquier instrumento de comunicaciń que hubiere traı́do, debo apagarlo y depositarlo donde se me
indique, junto con cualquier otro material que se encuentre acompañándome. No debo además, consultar libros,
notas, ni apuntes adicionales a los que se entreguen en esta evaluación. Los temas debo desarrollarlos de manera
ordenada.
Firmo al pie del presente compromiso, como constancia de haber leı́do y aceptado la declaración
anterior.
“Como estudiante de ESPOL me comprometo a combatir la mediocridad y actuar con honestidad, por eso no copio
ni dejo copiar”.
Firma:
Número de matrı́cula:
1. (6 puntos) Determine el tipo de las siguientes formas proposicionales:
i) (¬p ∨ q) ∧ (p → q)
ii) (¬p ∨ ¬q) → (p ∧ q)
iii) p ∧ (¬p ∨ ¬q) ↔ (p ∧ ¬q)
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Paralelo:
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2. (8 puntos) Traduzca el siguiente razonamiento y analice su validez.
Todos los narcotraficantes tienen conexiones en la cárcel. Algún preso no tiene conexiones en la cárcel.
Todos los que no tienen conexiones en la cárcel son maltratados. Por lo tanto existe al menos un preso
que no es narcotraficante y es maltratado.
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3. (12 puntos) Demuestre la validez de las siguientes proposiciones:
a) Sea (bn ) la sucesión de los números naturales pares. Entonces la suma de los n primeros términos
de la sucesión es n(n + 1).
b) Sea y un número natural de 4 dı́gitos que se representa en el sistema decimal como y = x1 x2 x3 x4 .
Si 3|(x1 + x2 + x3 + x4 ) entonces 3|y.
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4. (8 puntos) Sea el conjunto X formado por Brasil, Argentina, Uruguay, Canadá, Estados Unidos, Costa
Rica, México y Ecuador.
Sea R la relación sobre X dada por αRβ si |α| ≥ |β|. En este caso, α y β son nombres de paises en X
considerados como cadenas de letras. Además, |α| y |β| son sus respectivas longitudes.
i) El diagrama sagital de una relación R contiene una flecha desde α hasta β si αRβ.
Construya el diagrama sagital de R.
ii) Determine justificadamente que propiedades cumple R.
Observación: Para la longitud de una cadena no se cuenta el espacio.
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5. (8 puntos) Sea A = {n ∈ Z : n ≥ 2}. Para cada n ∈ A, defina f (n) = k donde k es el entero
no negativo más grande tal que 2k |n. Entonces f : A → N ∪ {0}.
a) ¿Cuáles son los valores de f (10), f (32) y f (33)?
b) ¿ Es f inyectiva?
c) ¿Es f sobreyectiva?
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6. (8 puntos) Supongamos que para la segunda ronda (Octavos de final) del Mundial de Futbol
tenemos la siguiente configuración:
a) ¿Cuántos partidos se jugarán desde la segunda ronda hasta la final?
(sin incluı́r el partido por el tercer lugar).
b) ¿De cuántas maneras distintas se pueden llenar las 14 casillas vacı́as en la configuración anterior?
Recuerde que a partir de la segunda ronda, cada partido debe tener un ganador (no se permiten
empates). El ganador de un partido pasa a la siguiente ronda y el perdedor queda eliminado.
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