Multiplicadores de
Lagrange
Introducción
Al buscar los valores extremos de una función,
es posible que los valores de las variables estén
limitadas.
Por ejemplo:
• Al construir una caja de máximo
volumen con material limitado.
• Al maximizar la producción de una fábrica
con recursos limitados(horas-hombre, capital,
espacio)
Multiplicadores de Lagrange
En este caso debemos considerar además de la
función que se desea optimizar, la ecuación que
contiene las restricciones a que se someten las
variables independientes. Veamos el caso de dos
variable independientes
Si z  f ( x, y ) es la función que deseamos optimizar,
expresarem os con ecuaciones de la forma g ( x, y )  0
a las restriccio nes de las variables independie ntes.
g ( x, y )  0 es una curva en el plano.
Una interpretación geométrica
Veamos la base geométrica del método de Lagrange.
Si deseamos maximizar z=f(x,y), entonces buscamos la
curva de nivel mas alta donde (x,y) pertenecen a la curva
g(x,y)=0
En esta figura se muestran la curva
g(x,y)= 0 y varias curvas de nivel de la
función. Maximizar z=f(x, y) sujeta a
g(x, y)=0 es encontrar el valor más
grande de c tal que la curva de nivel
f(x, y)=c, intersecta a la curva g(x, y)=0.
Lagrange demostró que esto ocurre
cuando f(x,y)=c es tangente a la curva
g(x, y)=0, esto es, cuando sus
gradientes son paralelos.
Teorema de Lagrange
Teorema.
Si la función z  f(x,y) tiene un extremo en el punto (x0 , y0 )
sobre la gráfica de la ecuación de restricció n g(x,y)  0,
además, f y g tienen primeras derivadas parciales continuas
y g(x
0
, y0 )  0, entonces existe un número real  tal que el
gradiente de f(x,y) es un múltiplo de g ( x, y ) en el punto ( x0 , y0 ),
esto es, f(x0 , y0 )  g ( x0 , y0 )
 es llamado el multiplica dor de Lagrange.
Después de igualar las componentes, la ecuación
f  g es equivalente
a
f x ( x, y )  g x ( x0 , y0 )
f y ( x, y )  g y ( x0 , y0 )
Veamos mas imágenes donde se observa el
teorema
Procedimiento
Para aplicar el método de los multiplicadores de
Lagrange hacemos:
1) Escribir el problema en la forma
Maximizar (Minimizar ) f ( x, y ) sujeta a g(x,y)  0
2) Resolver el sistema de ecuaciones simultánea s
f x ( x , y )  g x ( x , y )
f y ( x , y )  g y ( x , y )
g ( x, y )  0
3) Evaluar la función en todos los puntos del paso 2.
Si el máximo(mín imo) requerido existen, este será
el mayor (menor) de esos valores.
* * * Nota : si sólo hay un punto crítico, se evalúa la función
en algún otro punto que cumpla la restricció n, para
determinar que tipo de extremo es.
Ejemplos.