Luiz Roberto Dante
Matemática
Contexto
Aplicações
Manual do
Professor
2
Matemática - Ensino Médio
Luiz Roberto Dante
Matemática
Contexto
Luiz Roberto Dante
Aplicações
Manual do
Professor
Mestre em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP).
Doutor em Psicologia da Educação: Ensino da Matemática
pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP).
Livre-docente em Educação Matemática pela Universidade
Estadual Paulista (Unesp-SP, campus Rio Claro).
Pesquisador em Ensino e Aprendizagem da Matemática pela
Unesp-SP, campus Rio Claro.
Ex-professor da rede estadual do Ensino Fundamental e
Médio – São Paulo.
Autor de vários livros, entre os quais:
• Formulação e resolução de problemas de Matemática:
teoria e prática;
• Didática da Matemática na pré-escola;
• Projeto Ápis: Natureza e Sociedade, Linguagens e
Matemática (Educação Infantil – 3 volumes);
• Projeto Ápis Matemática (1º ao 5º ano);
• Projeto Teláris Matemática (6º ao 9º ano);
• Projeto Voaz Matemática (Ensino Médio – volume único);
• Projeto Múltiplo Matemática (Ensino Médio – 3 volumes).
3ª edição
São Paulo • 2016
2
Matemática - Ensino Médio
Diretoria editorial
Lidiane Vivaldini Olo
Gerência editorial
Luiz Tonolli
Editoria de Matemática e Física
Ronaldo Rocha
Edição
André Luiz Ramos de Oliveira
Gerência de produção editorial
Ricardo de Gan Braga
Arte
Andréa Dellamagna (coord. de criação),
Erik TS (progr. visual de capa e miolo),
André Gomes Vitale (coord.),
Claudemir Camargo Barbosa (edição)
e DIGKIDS (diagram.)
Revisão
Hélia de Jesus Gonsaga (ger.),
Rosângela Muricy (coord.), Ana Curci,
Célia da Silva Carvalho, Claudia Virgilio
e Vanessa de Paula Santos;
Brenda Morais e Gabriela Miragaia (estagiárias)
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Dante, Luiz Roberto
Matemática : contexto & aplicações : ensino
médio / Luiz Roberto Dante. -- 3. ed. -São Paulo : Ática, 2016.
Obra em 3 v.
Iconografia
Sílvio Kligin (superv.), Denise Durand Kremer (coord.),
Fernanda Regina Sales Gomes (pesquisa),
Cesar Wolf e Fernanda Crevin (tratamento de imagem)
1. Matemática (Ensino médio) I. Título.
Ilustrações
Dam d’Souza e Formato Comunicação
Cartografia
Alexandre Bueno, Eric Fuzii, Márcio Souza
Foto da capa: Detalhe de um favo de mel.
Dave Hamman/Getty Images
Protótipos
Magali Prado
Direitos desta edição cedidos à Editora Ática S.A.
Avenida das Nações Unidas, 7221, 3o andar, Setor A
Pinheiros – São Paulo – SP – CEP 05425-902
Tel.: 4003-3061
www.atica.com.br / editora@atica.com.br
2016
ISBN 978 85 08 17939 8 (AL)
ISBN 978 85 08 17940 4 (PR)
Cód. da obra CL 713347
CAE 566 663 (AL) / 566 664 (PR)
3a edição
1a impressão
Impressão e acabamento
2
16-02955
CDD-510.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática : Ensino médio
510.7
APRESENTAÇÃO
A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos.
Aristóteles
Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa
um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real.
Lobachevsky
A
o elaborar esta coleção para o Ensino Médio, levamos em conta as
ideias que abrem esta apresentação. Isso porque nosso objetivo é criar
condições para que você, aluno, possa compreender as ideias básicas
da Matemática desse nível de ensino atribuindo significado a elas, além de
saber aplicá-las na resolução de problemas do mundo real.
Todos os conceitos básicos próprios do Ensino Médio foram explorados de
maneira intuitiva e compreensível. As receitas prontas e o formalismo excessivo foram evitados, porém mantivemos o rigor coerente com o nível para o
qual a coleção está sendo proposta.
Na abertura de cada capítulo apresentamos uma imagem que está relacionada
com um dos conteúdos que o compõem; ela dará a você uma ideia de um dos temas
que será estudado. Durante o capítulo apresentamos textos que abordam fatos
históricos e/ou contextualizam a construção de algum assunto que será discutido.
Antes de resolver os exercícios, é absolutamente necessário que você estude a
teoria, analise os exemplos e refaça os exercícios resolvidos. Na seção Resolvido
passo a passo, comentamos e explicitamos as fases da resolução de um problema.
A seção Outros contextos foi criada para formular, resolver e interpretar
situações-problema que estão relacionadas a situações reais e/ou relacionadas com outras disciplinas.
Cada Unidade contém ainda as seções Pensando no Enem e Vestibulares de
Norte a Sul, com questões que abrangem algumas habilidades exploradas no
Enem (Exame Nacional do Ensino Médio) e de vestibulares de todas as regiões
do país, destinadas a revisar, fixar e aprofundar os conteúdos estudados. E no
fim de cada volume, na seção Caiu no Enem, foram incluídas questões do Enem
relacionadas a cada Unidade.
A coleção engloba, desse modo, todos os assuntos costumeiramente trabalhados no Ensino Médio, além de auxiliá-lo em sua preparação para os processos seletivos de ingresso nos cursos de Educação Superior.
As sugestões e críticas que visem ao aprimoramento deste trabalho serão
sempre bem-vindas.
O autor
3
Conheça seu livro
Cada volume da coleção é dividido em quatro Unidades nas quais você encontrará
os seguintes boxes e seções:
1
1
01
UNIDADE
Abertura
de Unidade
e abertura
de capítulo
Imagens de
impacto abrem
o capítulo
introduzindo
direta ou
indiretamente o
tema proposto.
CAPÍTULO
CAPÍTULO Trigonometria:
Conjuntosde
resolução
numéricos
triângulos
quaisquer
G. Dagli Ort/De Agostini/Getty Images
Marcus
NASA/Corbis/Latinstock
Lyon/Getty Images
Trigonometria
O teodolito é um instrumento óptico utilizado para medir ângulos, tanto
horizontal como verticalmente, em medidas diretas e indiretas de distâncias.
Aplicando uma relação trigonométrica podemos determinar, por exemplo,
a altura de uma região montanhosa. Para isso, precisamos saber a distância
entre
o ponto
de observação
e oApé
da perpendicular
da área
montanha
e, com o utiliza muitas relações
Topógrafo
utilizando
teodolito.
topografia,
que é uma
da Engenharia,
auxílio de um teodolito,
medir o ângulo
de elevaçãoada
região
estabelecidas
pela Trigonometria
para determinar
forma
e amontanhosa.
posição de elementos do relevo.
10
b) O que se pede?
Pede-se a posição da seta no momento em que se
abre o cofre.
Devemos obter o menor valor não negativo de a tal
que a 1 k ? 3608 5 1 3208, com k [ Z.
Então:
1 320 360
1 3208 5 2408 1 3608 ? 3
240 3
a
k
Logo, o arco pedido
mede 2408.
Para refletir
3. Executando o que foi planejado
Qual é o significado de um
número não negativo?
Sentido anti-horário: 2p 1 3p 5 17p
3
4
12
Sentido horário: 3p
2
Ângulos girados: 3p 2 17p 5 p
2
12
12
Fique atento!
Neste exercício dizemos que 2408 é a 1· determinação
positiva de 1 3208 ou que 1 3208 foi reduzido à 1· volta.
Assim, ao final do movimento, a seta estará na posição
p
rad 5 158 no sentido horário, a partir de A, ou seja,
12
Resolvido passo a passo
(Unifor-CE) O dispositivo de segurança de um cofre
tem o formato da figura abaixo, onde as 12 letras
A, B, ..., L estão igualmente
D
E
C
espaçadas (o ângulo cenF
B
tral entre duas letras vizinhas é o mesmo) e a posiG
A
ção inicial da seta, quando
H
L
o cofre se encontra fechaI
K
J
do, é a indicada.
Para abrir o cofre, são necessárias três operações
(o segredo), girando o disco menor (onde a seta
está gravada), de acordo com as seguintes instruções, a partir da posição indicada:
1) 2 p no sentido anti-horário.
3
2) 3 p no sentido horário.
2
3
p no sentido anti-horário.
3)
4
4. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa a.
5. Ampliando o problema
a) Certo casal comprou um dispositivo de segurança
idêntico ao citado na questão e determinou que o
segredo seria composto das letras iniciais do nome
dela, dele e do filho, que são, respectivamente, L, H e
L. Sendo assim, quais operações serão necessárias
para abrir o cofre? (Sabe-se que a seta parte de A.)
b) Desafio em equipe
Montem equipes encarregadas de criar segredos em
um dispositivo similar ao da questão, seguindo os
mesmos modelos de instruções. Depois de criarem
os segredos, troquem os projetos entre si e se desafiem a conseguir abrir o cofre mais rapidamente. O
que o fizer no menor tempo será o vencedor.
Sugestões de
atividades em que
o computador é
utilizado para
visualizar e manipular
gráficos e tabelas.
Uma oportunidade
de trabalhar com a
Matemática dinâmica.
Captura de tela do software no modo Álgebra.
Depois de acessar o programa, faça os exercícios a seguir.
1. Construa o gráfico das funções f(x) 5 sen x e g(x) 5 cos x, como a seguir. Para isso siga os passos:
• 1o passo: No campo Entrada de comando (situado na parte esquerda da tela) digite a função: f(x) 5 sen x e
tecle “Enter”. Em seguida, no mesmo campo digite g(x) 5 cos x e tecle “Enter”.
Captura de tela do 1o passo.
“Exibir ou esconder a malha” e selecione a malha quadriculada. Para colocar o eixo x na escala de p radianos,
clique sobre o eixo x com o botão direito do mouse e selecione com o botão esquerdo do mouse a opção “Janela de Visualização”. Clique na aba “Eixo X” e selecione em “Unidade” a opção p. A opção “Distância” não deve
estar selecionada.
Funções trigonométricas
Capítulo 2
Para refletir,
Fique atento!
e Você sabia?
Veremos agora que, quando a reta intersecta o plano, ela pode ou não ser perpendicular a ele.
Uma reta que intersecta um plano é perpendicular a ele quando, e somente quando, ela é
perpendicular a todas as retas desse plano que passam pelo ponto de intersecção.
r
s
t
s
u
t
P
r
P
u
a
a
Se uma reta intersecta um plano e não é perpendicular a ele, dizemos que ela é oblíqua ao plano.
Veja a figura e os símbolos correspondentes.
r
s
Para refletir
r é perpendicular a  (r ⊥ )
s é oblíqua a  (s ^ )
P
Se r ⊥  no ponto P, qual é a posição
de r em relação às retas de  que
não passam por P?
a
O ponto P, nesse caso, é chamado “pé da perpendicular”.
Voc• sabia?
Exercícios
Essenciais para a
aprendizagem.
Ajudam a fixar e
a aprofundar os
conteúdos
estudados.
51
Exerc’cios
25. Calcule:
32. Em um sofá há lugares para 4 pessoas. De quantas
maneiras diferentes podem se sentar 6 pessoas?
e) A5, 1
a) A4, 2
b) A6, 3
f ) A7, 0
c) A8, 2
g) A8, 5
d) A4, 4
h) An, 0
26. Determine a expressão correspondente a:
a) Ax, 2
27.
b) Ax 2 3, 2
c) A2x 1 1, 3
Determine o valor de x nas equações:
a) Ax 2 1, 2 5 30
b) Ax, 3 5 x3 2 40
Para refletir
Procure resolver o exercício 28 sem usar
a fórmula e usando a fórmula.
28. Um clube tem 30 membros. A diretoria é formada
33. Um estudante tem 6 lápis de cores diferentes. De
por um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar
apenas um desses cargos, de quantas maneiras é
possível formar uma diretoria?
quantas maneiras ele poderá pintar os estados da
região Sudeste do Brasil (São Paulo, Rio de Janeiro,
Minas Gerais e Espírito Santo), cada um de uma cor?
34. Responda:
29. Responda no caderno às questões:
a) Quantos anagramas podemos formar com as
letras da palavra FILHO?
a) Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados pelos dígitos 4, 5, 6, 7 e 8?
b) Quantos desses números formados são ímpares?
b) Quantas “palavras” de 4 letras distintas é possível formar com as letras da palavra FILHO?
30. De quantas maneiras podemos escolher uma pivô e
c) Quantas dessas “palavras” de 4 letras começam
com O?
uma ala em um grupo de 12 jogadoras de basquete?
O Obelisco aos heróis de 1932, em São Paulo, dá ideia de reta perpendicular a um plano. A Torre de Pisa, na Itália, dá ideia de reta
oblíqua a um plano.
Rubens Chaves/Pulsar Imagens
Pequenos boxes que
trazem questões para
reflexão ou dicas
importantes para
o estudo.
Agora, vamos aprender, ou relembrar, como construir gráficos de funções trigonométricas usando o
software livre GeoGebra.
Trata-se de um software matemático, criado por Markus Hohenwarter, que reúne Álgebra e Geometria. Ele
pode ser utilizado em todos os níveis de ensino e já recebeu diversos prêmios na Europa e nos Estados Unidos.
A instalação desse software é simples:
• Acesse o site <www.geogebra.org> e clique em “Baixe agora”, para tê-lo instalado no computador, ou em
“Comece a criar”, para usá-lo on-line.
Optando por utilizar a versão on-line, você deve clicar no botão “Álgebra”; a tela que abrirá se parece com a
reproduzida abaixo.
• 2o passo: Do lado direito da Barra de ferramentas (parte superior da tela), clique na Barra de estilos, depois, em
Ilustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
32
no ponto médio entre A e L.
Banco de Imagens/Arquivo da editora
4.
Apresenta a resolução
detalhada de uma
questão ou problema.
Não são modelos a
serem seguidos, mas
visam inspirar e indicar
estratégias de resolução.
2. Planejando a solução
Conhecemos as operações a serem realizadas com o
disco menor e o sentido a ser tomado (horário ou anti-horário), então podemos adicionar os valores das operações de sentido anti-horário e subtrair o resultado do
valor da operação de sentido horário. E assim identificar
a posição em que a seta deve ficar. Nesse caso, estamos
considerando o sentido horário como positivo.
Resolução:
Gráfico de funções trigonométricas no computador
Dam d’Souza/Arquivo da editora
1. Lendo e compreendendo
a) O que é dado no problema?
São dadas as informações sobre o funcionamento
do dispositivo de segurança e as instruções/operações para abrir o cofre.
b) expressão geral: x 1 2kp
3p
rad
x5
4
3p
1 2kp, com k [ Z
4
Qual é o menor arco não negativo côngruo ao arco
de 1 3208, ou seja, qual é a 1a determinação positiva
do arco de 1 3208?
Matemática
e tecnologia
Matemática e tecnologia
Christian Petersen/Getty Images
a) expressão geral: a 1 k ? 3608
a 5 458
458 1 k ? 3608, com k [ Z
d) em algum ponto
entre J e K.
e) na posição H.
Banco de imagens/Arquivo da editora
a) no ponto médio entre L e A.
b) na posição B.
c) na posição K.
Resolução:
3.
Exercícios
resolvidos
passo a passo: exerc’cio 4
Pode-se, então, afirmar corretamente que o cofre
será aberto quando a seta estiver:
Escreva a expressão geral dos arcos côngruos aos
arcos de:
3p
rad.
a) 458;
b)
4
d) Quantas dessas “palavras” de 4 letras terminam
com FI?
e) Quantas “palavras” de 4 letras contêm a letra I?
35. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6:
a) quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar?
nat8246/Shutterstock
2.
Banco de imagens/Arquivo da editora
Exercícios resolvidos
11
b) quantos números de 4 algarismos distintos
podemos formar tal que o último algarismo
seja sempre 6?
Seleção brasileira de basquete feminino nos Jogos Olímpicos de
Londres 2012, Inglaterra.
31.
c) quantos números pares de 4 algarismos distintos
podemos formar?
Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
a) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever?
b) Quantos números de 4 algarismos distintos que
terminem com 7 podemos escrever?
Obelisco, no Parque
do Ibirapuera,
em São Paulo (SP).
Fotografia de 2012.
154
4
Capítulo 7
c) Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?
Torre de Pisa,
na Itália.
Fotografia
de 2015.
d) Quantos números de 7 algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 5 e 6 sempre
juntos e nessa ordem?
214
Capítulo 9
d) quantos números ímpares de 4 algarismos distintos podemos formar?
36. De quantas maneiras diferentes podemos dispor
uma equipe de 4 alunos em uma sala de aula que
tem 30 carteiras?
37.
Dispomos de 5 cores e queremos pintar uma faixa
decorativa com 3 listras, cada uma de uma cor. De
quantas maneiras isso pode ser feito?
(0, 12)
O método gráfico
Banco de imagens/Arquivo da editora
Consideremos a seguinte situação-problema:
P
Q
Dois produtos, P e Q, contêm as vitaminas A, B e C nas quantidades indicadas no
A
3
1
12
quadro ao lado. A última coluna indica a quantidade mínima necessária de cada vitamina para uma alimentação sadia, e a última linha indica o preço de cada produto por
B
3
4
30
unidade. Que quantidade de cada produto uma dieta deve conter para que proporcione
C
2
7
28
uma alimentação sadia com o mínimo custo?
Diante de um problema de programação linear, consideramos as seguintes orientações
3
2
para resolvê-lo:
1. Estabelecemos a função objetivo, isto é, a função que queremos maximizar ou minimizar.
2. Transformamos as restrições impostas no problema em um sistema de inequações lineares.
3. Traçamos o gráfico da região poligonal convexa correspondente a essas restrições determinando as coordenadas dos
seus vértices.
4. Calculamos os valores da função objetivo em cada um dos vértices.
5. Constatamos que o maior desses valores é o máximo e o menor é o mínimo da função objetivo. Voltamos ao problema e damos a sua solução.
Acompanhe cada passo na resolução da nossa situação-problema:
Seja x a quantidade do produto P, e y a quantidade do produto Q nas condições do problema.
1. Função objetivo:
O custo é dado por C 5 3x 1 2y, o qual queremos minimizar.
2. Restrições:
As condições impostas pelo problema são x > 0, y > 0, 3x 1 y > 12, 3x 1 4y > 30 e 2x 1 7y > 28.
3. Gráfico:
Nesse caso, a região de possibilidades é a parte do plano limitada pelas
retas x 5 0, y 5 0, 3x 1 y 5 12, 3x 1 4y 5 30 e 2x 1 7y 5 28. Os vértices são
dados pelas soluções dos sistemas:
y
12
{
{
{
{
1
3x
y 5 12
2x 1
4y
7y 5
30
112
C 5 3 ? 14 1 2 ? 0 5 42 ← máximo
5. Conclusão:
A dieta ótima, que é sadia e tem custo mínimo, consiste em consumir 2 unidades do produto P e 6 unidades do produto Q.
Trabalhando com o texto
1.
Agora, responda no caderno às questões a seguir.
a) Qual é o custo de consumir 4 unidades do produto P e 5 unidades do produto Q?
b) Quanto de vitamina A seria consumido com 4 unidades do produto P e 5 unidades do produto Q?
c) Quanto de vitamina B e C seria consumido nas mesmas condições da pergunta anterior?
d) Essa dieta (4 unidades do produto P e 5 unidades do produto Q) está de acordo com o texto?
e) Pesquise qual profissional deve ser consultado antes de se iniciar uma dieta. Você conhece algum? Discuta com
seus colegas os perigos de fazer dietas sem acompanhamento médico.
Pesquisando e discutindo
2.
Na página de abertura deste capítulo foi falado sobre a utilização de programação linear para resolver sudokus.
Em grupo, realizem uma pesquisa em três etapas:
1ª) Pesquisem a origem e as regras do sudoku e também dicas de como preencher esse tipo de
“quebra-cabeça” matemático.
2ª) Pesquisem o que é modelagem matemática, sua importância no ramo da matemática aplicada e também
como poderia ser utilizada no processo de resolução de um sudoku.
3ª) Pesquisem mais a respeito de programação linear e também como ela poderia ser utilizada no processo de
resolução de um sudoku.
Por fim, os grupos devem apresentar um seminário com os resultados obtidos em cada uma das etapas da pesquisa.
Veja mais sobre o assunto
Procure informações e curiosidades sobre programação linear e a otimização de funções em jornais, revistas, livros
e na internet. Sugestões: (acessos em: 5 maio 2016)
people.ufpr.br/~ewkaras/ic/karla10.pdf>.
)
do Rio Grande do Sul, 2012. Disponível em: <www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/novos_conteudos/modulo_II/pdf/
dissertacao_ jorge_melo.pdf>.
• SILVA, K. Modelagem Matemática com programação linear: uma proposta de trabalho no Ensino Médio. Universidade
2 x 1 7 y 528
⇒ (x, y) 5 (14, 0)
y 50
28
5
Capítulo 8
(
C 5 3 ? 98 1 2 ? 24 5 26,3
13
13
(14, 0)
• Geniol: <www.geniol.com.br/logica/sudoku/>.
• MELO, J. N. B. Uma proposta de ensino e aprendizagem de programação linear no Ensino Médio. Universidade Federal
3x 1 y 5 12
⇒ (x, y) 5 (2, 6)
3x 1 4 y 530
2 x 1 7 y 5 28
98 24
,
⇒ (x, y) 5
13 13
3x 1 4 y 5 30
C 5 3 ? 2 1 2 ? 6 5 18 ← mínimo
( 9813 , 2413 )
• ARSIE, K. C. Jogos sudoku e quadrado mágico. Universidade Federal do Paraná. Curitiba, 2010. Disponível em: <http://
x
50
⇒ (x, y) 5 (0, 12)
3x 1 y 5 12
x
C 5 3 ? 0 1 2 ? 12 5 24
(2, 6)
As equações e inequações lineares, bem como os sistemas de equações e inequações simultâneas, são bastante
úteis na resolução de problemas de economia, transporte, alimentação (dietas), etc. Em problemas como esses é comum
precisarmos saber os valores máximo ou mínimo de uma função cujas variáveis estão sujeitas a certas desigualdades.
Em muitos deles a função que se quer otimizar (ou seja, da qual se quer encontrar o máximo ou o mínimo) é uma
função linear, e as desigualdades a que estão sujeitas suas variáveis também são lineares. Quando isso ocorre, dizemos
então que estamos diante de um problema de programação linear.
y50
Valor da função C  3x  2y
Vértice
Programação linear e a otimização de funções
x50
Temas interessantes
e curiosos que tratam
de situações práticas,
articulando a Matemática
com outras disciplinas
e com temas como o
movimento de um pêndulo,
programação linear,
entre outros.
4. Valores que a função objetivo assume nos vértices:
contextos
3x 1
Filósofo grego, Platão foi discípulo de Sócrates. Nasceu
em Atenas em 427 a.C. e morreu em 347 a.C., com 80 anos
de idade. Fundou uma escola em Atenas, no ano de 386 a.C.,
a “Academia”, onde transmitia seus ensinamentos aos seus
discípulos. Via nos filósofos-governantes a solução para os
problemas políticos. Suas obras são conhecidas como Diálogos, pois retratavam diálogos (reais e imaginários) entre
Sócrates e outras pessoas, que focavam principalmente a
política e a moral. Os Diálogos de Platão estão entre as maiores obras literárias do mundo, sendo considerados por muitos verdadeiras obras de arte.
O mais importante diálogo de Platão é a República, sendo também um dos mais longos. Nesse diálogo, Platão enfoca a Política, a Educação, a Arte, a Poesia e a Filosofia
pura, ocupando-se principalmente da natureza da justiça. É
uma visão geral de toda a filosofia de Platão e é nele que
está a famosa “Alegoria da caverna”.
Platão defendia o quadrivium, os quatro campos da
Matemática no estudo das artes liberais, que compreendia
a Aritmética, a Geometria plana, a Geometria espacial e a
Estátua de Platão (427 a.C.-347 a.C.) na
Astronomia. Acreditava que a busca da compreensão das
Academia de Atenas, Grécia. Fotografia de 2012.
coisas levava à pureza do conhecimento. Na porta de sua
academia, Platão escreveu “Que não entre aqui aquele que ignore a Geometria ”.
No diálogo Timeu (350 a.C.), Platão apresentou um estudo do Universo, que para ele consistia em formas;
em objetos particulares; em Deus, o artesão; em espaço absoluto e em matéria bruta. Platão acreditava que
tudo era composto de terra, ar, fogo e água, e que a cada um desses elementos correspondia um poliedro
regular – que já era conhecido dos gregos. Platão associou à terra o hexaedro (mais especificamente, o cubo)
por causa da sua “estabilidade”; ao fogo, o tetraedro; ao ar, o octaedro; e à água, o icosaedro, por serem
sólidos constituídos de triângulos, para ele a unidade básica de todas as coisas. O dodecaedro representava
o elemento do qual o Universo seria feito.
Leia, a seguir, um trecho do Timeu:
Devemos prosseguir distribuindo as figuras cujas origens acabamos de descrever pelo fogo, terra, água e ar.
Atribuímos o cubo à terra, uma vez que é o mais imóvel dos quatro corpos e o que tem a forma mais estável,
sendo estas características que deve possuir a figura com as formas mais estáveis. [...]
Mantemos assim o nosso princípio de verossimilhança atribuindo o cubo à terra e, de forma semelhante, atribuímos à água a menos móvel das outras figuras, a mais móvel ao fogo e a intermédia ao ar. E de
novo atribuímos a menor figura ao fogo, a maior à água, a intermédia ao ar; a mais cortante ao fogo, a
segunda mais cortante ao ar e a menos cortante à água. Resumindo, a figura que tem o menor número de
faces deverá ser, pela natureza das coisas, a mais móvel, assim como a mais cortante e a mais penetrante
e, finalmente, sendo composta pelo menor número de partes semelhantes, a mais leve. A nossa segunda
figura será a segunda em todas essas características, e a nossa terceira será a terceira. Deste modo, a lógica
e a verossimilhança exigem que olhemos a pirâmide como a figura sólida que é a unidade básica ou a semente do fogo; e podemos olhar a segunda das figuras que construímos (o octaedro) como a unidade básica do ar, a terceira (icosaedro) a da água.
scotto72/iStock/Getty Images
Platão e seus poliedros
198
Outros
Outros contextos
Leitura
Estadual do Sudoeste da Bahia, 2013. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/bitstream/handle/
123456789/486/2011_00379_KLEBER_SILVA.pdf?sequence=1>.
Capítulo 5
113
Sistemas lineares
Leitura(s)
Vestibulares de
Norte a Sul
(Uncisal) Numa praça circular de diâmetro 60 m há
um passeio que une seus pontos situados mais ao
5
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0
2
3
4
5
6
7
8
4.
2.
c) 6.
b) 5.
d) 7.
e) 8.
(Uepa) As caminhadas e corridas de rua são atividades
incorporadas à cultura esportiva dos brasileiros. Um
praticante de corrida popular (cooper) balança cada
um de seus braços ritmicamente enquanto corre de
acordo com o modelo dado pela expressão
⎡8
⎤
3 ⎥,
f (t )
sen ⎢
t
onde f(t) é o ângulo
9
4 ⎦
⎣ 3
compreendido entre a posição do braço e o eixo vertical, e t, tempo em segundos, conforme ilustrado
abaixo. Nessas condições, o maior ângulo obtido com
o movimento cíclico do braço do corredor é:
(
Banco de imagens/Arquivo da editora
θ
d)
522
1800
e)
360
c)
882
90
(Unifacs-BA) Uma sala de um laboratório de pesquisas onde se pretende desenvolver uma cultura de
bactérias teve sua temperatura ambiente T, em 8C,
modelada ao longo das 24 horas de determinado dia,
pela expressão
⎡h 9 ⎤
⎥, h  [0, 24].
T(h) 18 8 cos ⎢
⎣ 12
⎦
(
a) 108
O método dedutivo: algumas demonstrações
58
70
50
40
30
20
10
12:00
b) f (t ) 5 20 1 50 cos
02. 6
5.
18:00
Hora do dia
c) f (t ) 5 50 1 20 sen
04. 8
d) f(t) 5 70t2
05. 9
e) f(t) 5 t2 1 20
7.
b) junho.
c) 208
c) abril.
d) 258
d) maio.
e) 308
e) julho.
(UFTM-MG) Robô da Nasa anda em Marte: em seu
primeiro “test drive”, o Curiosity andou 4,5 m, girou
por 1208 e percorreu mais 2,5 m, em 16 minutos.
A figura esquematiza a trajetória do robô, contida
em um plano, onde todos os trechos por ele percorridos foram em movimento
retilíneo. Suponha que esse
robô retorne ao ponto de partida (P), mantendo a mesma
A
1208
velocidade média desenvolvida
anteriormente.
2,5 m
a) março.
b) 158
9.
(UFPR) Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h
em um curso de 458 em relação ao norte, no sentido
horário. O segundo viaja a uma velocidade de 6 km/h
em um curso de 1058 em relação ao norte, também
no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que
distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto?
a) 10 km.
c) 15 km.
e) 22 km.
b) 14 km.
d) 17 km.
10.
(Acafe-SC) Com o objetivo de auxiliar os maricultores
a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um
engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a
temperatura da água na região do sul da ilha, em
Florianópolis. Para isso, efetuou medições durante
três dias consecutivos, em intervalos de 1 hora. As
medições iniciaram às 5 horas da manhã do primeiro
dia (t 5 0) e os dados foram representados pela funpt
p
1
, em
ção periódica T (t ) 5 24 1 3 cos
6
3
(O Estado de S.Paulo, 24.08.2012.)
⎡ 2 (d 77) ⎤
⎥
250 sen ⎢
365
⎣
⎦
(Vunesp-SP) Para calcular
a distância entre duas árB
vores situadas nas margens opostas de um rio,
nos pontos A e B, um observador que se encontra
A
junto a A afasta-se 20 m
D
da margem, na direção
da reta AB, até o ponto C,
C
e depois caminha em linha reta até o ponto D, a
40 m de C, do qual ainda pode ver as árvores.
Tendo verificado que os ângulos DCB e BDC medem,
respectivamente, cerca de 158 e 1208, que valor ele
encontrou para a distância entre as árvores, se usou
a aproximação 6 = 2, 4 ? 28 m
Região Sul
Região Sudeste
(Univag-MT) Em uma determinada região, a intensidade média de radiação (I), em unidades de radiação,
varia em função do tempo, em dias (d), e é expressa
pela lei
300
6:00
( 12p t)
( 12p t)
03. 7
I
0:00
a) f(t) 5 50 1 20 cos (2pt)
01. 5
Região Centro-Oeste
8.
A expressão que descreve a variação da umidade do
ar (dada em porcentagem) como função da hora do
dia (dada pela variável t) é:
Sabendo que o argumento da função seno está em
radianos e que d 5 1 corresponde ao dia 1º- de janeiro,
é correto afirmar que a máxima radiação do ano irá
ocorrer no mês de:
Um pouco mais...
80
60
0
6:00
)
Assim, nesse dia, a temperatura foi superior a 22 8C
durante um número máximo de horas consecutivas
igual a:
)
θ
100
9 10
Interpretando o gráfico, podemos concluir que f(3p)
é igual a:
a) 4.
3042
b)
a)
1
Adotando como valor da raiz quadrada de um número decimal o número inteiro mais próximo, é correto
afirmar que, para ir do ponto B ao ponto P, o robô irá
demorar, aproximadamente,
a) 9 min 6 s.
d) 13 min 12 s.
b) 12 min 6 s.
e) 11 min 30 s.
c) 10 min 40 s.
(UFGD-MS) A umidade relativa do ar em uma determinada cidade foi medida das 6 horas da manhã de
um dia até às 6 horas da manhã do dia seguinte. Os
dados obtidos estão representados pela função periódica abaixo.
gura e adotarmos 2 5 1,4, qual é o comprimento
aproximado, em metros, desse passeio?
Banco de imagens/Arquivo da editora
3.
Norte e mais ao Nordeste. Se desprezarmos sua lar-
(Texto adaptado: Cálculo para
Ciências Médicas e Biológicas.
São Paulo: Harbra, 1998.)
Em um sistema dedutivo ou axiomático, precisamos identificar um conjunto de noções primitivas não definidas e um conjunto de axiomas e postulados, que são propriedades aceitas como
verdadeiras sem demonstrações. As demais propriedades (os teoremas) são demonstrados a
partir desses postulados.
Na Geometria espacial as noções básicas, primitivas, que aceitaremos sem definição são: ponto,
reta, plano e espaço.
Examine alguns postulados que relacionam ponto, reta, plano e espaço:
6.
Região Nordeste
(UFPA) Considere o gráfico da função trigonométrica
abaixo, no qual f(p) 5 5:
Banco de imagens/Arquivo da editora
1.
B
4,5 m
Banco de imagens/Arquivo da editora
Região Norte
Banco de imagens/Arquivo da editora
Questões de vestibulares,
de todas as regiões do
Brasil, relacionadas aos
conteúdos estudados.
Vestibulares de Norte a Sul
Umidade relativa do ar (%)
Textos que visam ampliar
e enriquecer o conteúdo
estudado no capítulo.
(
)
que t indica o tempo (em horas) decorrido após o
início da medição e T(t), a temperatura (em 8C) no
instante t.
O período da função, o valor da temperatura máxima
e o horário em que ocorreu essa temperatura no primeiro dia de observação valem, respectivamente:
a) 6 h, 25,5 8C e 10h.
c) 12 h, 27 8C e 15h.
b) 12 h, 27 8C e 10h.
d) 6 h, 25,5 8C e 15h.
d
P
Capítulo 3
59
Funções trigonométricas
Postulado 1: Dados dois pontos distintos do espaço, existe uma, e somente uma, reta
que os contém.
Postulado 2: Dados três pontos não colineares do espaço, existe um, e somente um, plano
que os contém.
Postulado 3: Se uma reta possui dois de seus pontos em um plano, ela está contida no plano.
Já vimos também que os teoremas são demonstrados a partir dos postulados e de outras propriedades já demonstradas, usando raciocínio lógico.
Voc• sabia?
Um pouco mais...
A Geometria assim desenvolvida usa o método dedutivo. Partimos de algumas noções para as quais não é apresentada
definição (entes primitivos) e algumas propriedades aceitas como verdadeiras sem demonstração (postulados ou
axiomas). Isso não é exclusividade da Geometria — ocorre em qualquer teoria matemática.
Vamos usar esses postulados para demonstrar alguns teoremas e compreender como funciona
o método dedutivo.
Demonstração:
Considere P um ponto não pertencente à reta r.
a
P
Marcamos sobre r dois pontos distintos, Q e R.
r
R
Os pontos P, Q e R não são colineares, pois, pelo postulado 1, r é a única
Q
reta que passa por Q e R e, por hipótese, P não pertence a r.
Pelo postulado 2, sabemos que existe um único plano a que contém P, Q e R. Como a reta r tem dois
de seus pontos (Q e R) em a, o postulado 3 garante que r está contida em a. Assim, de fato existe um
plano que contém r e P. Como esse é o único plano que contém P, Q e R, ele é o único que contém P e r.
Teorema 2: Duas retas concorrentes determinam um único plano.
Demonstração:
Seja P o ponto de intersecção das retas r e s.
Sejam R e S pontos de r e s, respectivamente, distintos de P. Os pontos
P, R e S são não colineares. Pelo postulado 2, eles determinam um único
plano a.
O postulado 3 garante que a contém r e s, uma vez que essas retas
têm dois de seus pontos em a.
a
S
r
s
P
R
Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
Teorema 1: Existe um único plano que contém uma reta e um ponto
não pertencente a ela.
Textos e exercícios que
ajudam a aprofundar o
conteúdo do
capítulo.
163
Pensando
no Enem
Questões
contextualizadas
que visam ao
desenvolvimento
das competências e
habilidades previstas
na Matriz de
Referência do Enem.
Caiu no Enem
Unidade 1
3.
(Enem) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de
suas várias propriedades é a retração (contração), que
consiste na evaporação da água existente em um
conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a
uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo
de cozimento, causa uma redução de até 20% nas
dimensões lineares de uma peça.
Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012.
A
Suponha que uma peça, quando moldada em argila,
possuía uma base retangular cujos lados mediam
30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram
reduzidos em 20%.
Em relação à área original, a área da base dessa peça,
após o cozimento, ficou reduzida em
a) 4%.
d) 64%.
b) 20%.
e) 96%.
c) 36%.
4.
(Enem) Diariamente, uma residência consome
20 160 Wh. Essa residência possui 100 células solares
retangulares (dispositivos capazes de converter a luz
solar em energia elétrica) de dimensões 6 cm 3 8 cm.
Cada uma das tais células produz, ao longo do dia,
24 Wh por centímetro de diagonal. O proprietário
dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a
mesma quantidade de energia que sua casa consome.
Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele
atinja o seu objetivo?
a) Retirar 16 células.
5.
B
Disponível em: www.flickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 158 e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na
avenida um espaço
a) menor que 100 m2.
b) entre 100 m2 e 300 m2.
Problemas
G
U
T
Gravidade
Urgência
Tendência
GUT
Rever contrato de locação
3
3
1
9
Treinar novo operador no sistema
4
4
2
32
Ampliar rede com mais 2 equipamentos
2
2
4
16
5
5
3
75
Fazer backup completo do banco de dados
Segunda Etapa (Pontuação dos Problemas)
Nesta etapa, é dada uma pontuação
para cada um dos problemas. [...] Ao final
Nota
da pontuação, é identificado o número
que mostrará o grau de prioridade dos
5
problemas. Para isso, deve-se multiplicar
os coeficientes [quocientes] gravidade 3
4
3 urgência 3 tendência (G 3 U 3 T),
sendo o problema que obtiver o maior
3
resultado, a principal prioridade a ser corrigida. No caso [...] acima, o principal pro2
blema encontrado foi o de “fazer o backup
completo do banco de dados”, que atingiu
1
75 pontos na Matriz GUT.
Gravidade
Urgência
Tendência
(“se nada for feito...”)
extremamente
grave
precisa de
ação imediata
... irá piorar rapidamente
muito grave
é urgente
... irá piorar em pouco
tempo
o mais rápido
possível
grave
... irá piorar
pouco grave
pouco
urgente
... irá piorar a longo
prazo
sem gravidade
pode esperar
... não irá mudar
Terceira Etapa (Classificação dos Problemas)
Após identificar, listar e, através da multiplicação dos fatores (gravidade, urgência e tendência), atribuir as
notas de cada um dos principais problemas identificados, é necessário traçar o plano de ação em relação aos
mesmos, levando em consideração cada um dos aspectos da matriz e a classificação [...] dos problemas inseridos
nela. [...]
Fonte: Portal Administração. Disponível em: <www.portal-administracao.com/
2014/01/matriz-gut-conceito-e-aplicacao.html>. Acesso em: 12 nov. 2015.
Um estudante, próximo ao final do ano letivo, listou seus
principais problemas e elaborou uma matriz GUT:
Podemos afirmar que:
a) o principal problema que o estudante deve resolver é
“estudar Química”.
b) o problema de maior prioridade é “começar academia”.
c) antes de “estudar Química” o estudante deve “planejar a
viagem”.
d) o que menos deve preocupá-lo é “planejar a viagem”.
e) a prioridade é “estudar Física”.
Problemas
G
Estudar Física
4
Planejar a viagem
2
Estudar Química
5
4
1
3
1
2
Começar academia
U
T
5
4
3
3
Capítulo 5
Caiu no Enem
Questões extraídas do
Enem classificadas de
acordo com as Unidades.
d) Acrescentar 20 células.
e) Acrescentar 40 células.
a) 5X 2 3Y 1 15 5 0
d) 3X 2 2Y 1 15 5 0
(Enem) Uma pessoa possui um espaço retangular de
lados 11,5 m e 14 m no quintal de sua casa e pretende
fazer um pomar doméstico de maçãs. Ao pesquisar
sobre o plantio dessa fruta, descobriu que as mudas
de maçã devem ser plantadas em covas com uma
única muda e com espaçamento mínimo de 3 metros
entre elas e entre elas e as laterais do terreno. Ela
sabe que conseguirá plantar um número maior de
mudas em seu pomar se dispuser as covas em filas
alinhadas paralelamente ao lado de maior extensão.
O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar no espaço disponível é:
a) 4.
d) 12.
b) 5X 2 2Y 1 10 5 0
e) 3X 2 2Y 1 10 5 0
b) 8.
Unidade 2
(Enem) Na aferição de um novo semáforo, os tempos
são ajustados de modo que, em cada ciclo completo
(verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça
acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde
permaneça acesa igual a 2 do tempo em que a luz
3
vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada
ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos.
Qual a expressão que representa a relação entre X e Y?
c) 3X 2 3Y 1 15 5 0
Primeira Etapa (Listagem dos Problemas)
Para iniciarmos com a Matriz GUT, primeiro é necessário listar todos os problemas e aspectos relacionados às
atividades que você deseja analisar. [...]
c) Acrescentar 5 células.
d) entre 500 m2 e 700 m2.
e) maior que 700 m2.
264
O que é a Matriz GUT?
A Matriz GUT é uma ferramenta bastante utilizada pelas empresas, principalmente com o intuito de priorizar
os problemas e consequentemente tratá-los, levando em conta suas gravidades, urgências e tendências. [...]
[...] Para facilitar o entendimento, nós iremos dividir o processo de montagem da matriz em etapas.
b) Retirar 40 células.
c) entre 300 m2 e 500 m2.
2.
1. Leia o texto a seguir.
114
Unidade 3
(Enem) As torres Puerta de Europa são duas torres
inclinadas uma contra a outra, construídas numa
avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres
é de 158 com a vertical e elas têm, cada uma, uma
altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o
segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de
um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas
pode ser observada na imagem.
Kathrin Eckert/Flickr/Acervo da fotógrafa
1.
Pensando no Enem
c) 9.
e) 20.
ATENÇÃO!
Não escreva
no seu livro!
Ao ver este selo, lembre-se
de registrar todas as
respostas no caderno.
Caiu no Enem
5
Sumário
Unidade 1: Trigonometria
CAPÍTULO 1
1
Revisão sobre resolução de
triângulos retângulos . . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... 12
2 Seno e cosseno de ângulos obtusos .. .. .. .. .. .. .. . 13
3 Lei dos senos . . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . .. .. 13
4 Lei dos cossenos. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . .. 17
CAPÍTULO 2
Conceitos trigonométricos básicos
1
Arcos e ângulos . .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . . 24
2 Unidades para medir ângulos e arcos . .. .. .. .. .. . 25
Relação entre as unidades para medir arcos .. .. .. .. .. 26
Stonehenge . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... .. .. .28
3 Circunferência orientada e circunferência
trigonométrica .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . .. 29
Circunferência orientada . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . 29
Circunferência trigonométrica.. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . . 30
4 Arcos côngruos (ou congruentes) . .. .. .. .. .. .. .. .. . 31
CAPÍTULO 3
Funções trigonométricas
1
A ideia de seno, cosseno e tangente
de um número real . .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . 35
2 Valores notáveis do seno e do cosseno . .. .. .. .. .. 37
3 Redução ao 1º quadrante .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . . 38
Arcos no 2º quadrante . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... 38
Arcos no 3º quadrante .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . .. 38
Arcos no 4º quadrante . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... 38
Arcos maiores do que 3608 (fora da 1ª volta) .. .. .. .. .. 39
4 A ideia geométrica de tangente .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 40
Valores notáveis da tangente .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .. 41
5 Estudo da função seno .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... .43
Gráfico da função seno . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ..43
Periodicidade da função seno .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... 44
Sinal da função seno .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . 45
6 Estudo da função cosseno .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . . 46
Gráfico da função cosseno . . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... 46
Sinal da função cosseno . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . . 47
7 Senoides . . . . . . . . .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . . . . . . . . 48
As senoides e os fenômenos periódicos . .. .. .. .. .. .. . 48
6
Pietus/iStock.com/Getty Images
Trigonometria:
resolução de triângulos quaisquer
Unidade 2: Matrizes, determinantes e sistemas lineares
CAPÍTULO 4
Transformações geométricas .... .... .... .... .... .... ...86
Translação .... .... ... ..... ... ..... ... .... . ... . ... . ... . ... 87
Matrizes e determinantes
1
Reflexão .. .... .... .... ... ..... ... ..... .. ... . ... . ... . ... . 88
Introdução às matrizes .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . .... 62
Quando surgiram as matrizes? .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... 64
Rotação . ..... ... ..... ... ..... ... ..... .. ... . ... . ... . ... . ..89
Escala ... .... .... .... ... ..... ... ..... ... ... . ... . ... . ... . .. 91
2 Definição de matriz .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . .. 65
3 Representação genérica de uma matriz . .. .. .. . .. 66
4 Matrizes especiais . .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... 67
Matriz quadrada .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . .... 67
Matriz identidade . . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . .. 67
Matriz nula. . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... .. .. .. 67
5 Igualdade de matrizes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... ..68
6 Adição e subtração de matrizes . .. . ... . ... . ... . .... 69
Adição de matrizes . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... 70
Matriz oposta de uma matriz A. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... 70
Subtração de matrizes .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . .. 71
Criptografia .... .... .... .... .... .... ... ..... ... ..... .. ... . . 92
CAPÍTULO 5
Sistemas lineares
1
O método chinês .... .... .... .... .... .... ... ..... ... .... 95
2 Sistemas lineares 2 3 2 ... ... ..... ... ..... ... ..... ... . 96
3 Equações lineares .. .... .... .... .... .... ... ..... ... ..... 96
4 Sistemas de equações lineares . .... .... .... .... ... .98
Solução de um sistema linear ... ... ..... ... ..... ... .....98
Classificação dos sistemas lineares . .... .... .... .... ... 99
Matrizes, sistemas lineares e determinantes.. .... ... 101
7 Multiplicação de número real por matriz . .. .. . .. 72
Escalonamento de sistemas lineares ... ... ..... ... ... 102
8 Matriz transposta. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . 73
Classificação e resolução de
sistemas lineares escalonados .. ..... .. ... . ... . ... . ... 102
9 Multiplicação de matrizes .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . 75
Sistemas lineares equivalentes . .... .... .... .... .... .. 104
10 Determinante de uma matriz . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... 80
O determinante de ordem 2. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .. 80
O determinante de ordem 3. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... 81
Teorema de Binet . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... .82
Processo para escalonamento de um
sistema linear . .... .... .... .... ... ..... ... ..... ... ..... . 105
Discussão de um sistema linear 2 3 2 .. .... ... ..... .. 110
Discussão de um sistema linear n 3 n, com n . 2 ... 111
11 Matriz inversa de uma matriz dada . .. .. .. .. . ... . 84
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12 Aplicações de matrizes .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . 85
Geometria e coordenadas .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . .. 85
7
Unidade 3: Geometria plana e espacial
CAPÍTULO 6
Reta e plano perpendiculares .. ..... ... ..... ... ..... .. 153
Planos perpendiculares . .... .... .... .... .... ... ..... ... . 157
Polígonos inscritos e áreas
1
Polígonos regulares inscritos
na circunferência .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . . 120
Cálculo da medida do lado e do apótema
de um polígono regular em função do raio
da circunferência .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . . 120
Quadrado inscrito em uma circunferência . . . . . . . . . . . 120
Hexágono regular inscrito em uma circunferência. . . . . 121
Triângulo equilátero inscrito em uma circunferência . . . . 121
10 Projeção ortogonal .... .... ... ..... ... ..... ... ..... .. 160
De um ponto sobre um plano.... .... .... .... .... ... .. 160
De uma figura qualquer sobre um plano ... .... ... .. 160
11 Distâncias .. ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... . ... 161
Distância entre dois pontos .... .... ... ..... ... ..... ... . 161
Distância de um ponto a uma reta .... .... .... ... ..... 161
Distância de um ponto a um plano .... .... .... ... .... 161
Distância entre duas retas distintas
e paralelas . .... .... .... .... .... ... ..... ... ..... ... ... . ... 161
Distância de uma reta a um plano
(quando a reta é paralela ao plano) . .... .... .... .... .. 161
Distância entre dois planos distintos
e paralelos .... .... .... .... .... ... ..... ... ..... ... .... . .. 162
Distância entre duas retas reversas .... .... .... .... .. 162
Comprimento da circunferência .. .. .. .. .. . ... . ... . ... 122
Comprimento de um arco .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . 122
2 Áreas: medidas de superfícies .. .. .. .. .. . ... . ... . .
A ideia intuitiva de área . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ...
Região quadrada unitária .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ..
Área do quadrado .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ...
Área do retângulo . . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... .
Área do paralelogramo . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ..
Área do triângulo . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ...
Área de um triângulo equilátero ... . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
Área do triângulo por meio da Trigonometria . . . . . . . .
Área do triângulo sendo conhecidos os três lados . . .
Área de um trapézio .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... .
Área de um losango . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ..
Área de um hexágono regular .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
Área de um polígono regular .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... .
Área do círculo . . . .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... .
Determinação da área do círculo . ... . . . . . . . . . . . . . . . . .
Área do setor circular . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... .
A área do círculo e o número p .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
Cálculo aproximado de áreas . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . .
Razão entre áreas de polígonos semelhantes . .. . ...
124
124
124
125
126
127
127
128
128
129
129
130
130
130
133
134
135
136
137
138
CAPÍTULO 7
Geometria espacial de posição:
uma abordagem intuitiva
1
Geometria de posição no plano . .. .. .. .. .. . ... . .. 142
2 Posições relativas: ponto e reta;
ponto e plano . . .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . 144
CAPÍTULO 8
Poliedros: prismas e pirâmides
1
Poliedros .. .... .... .... .... ... ..... ... ..... ... ..... . ... . 166
Poliedro convexo e poliedro não convexo .... .... ....167
2 Relação de Euler . .... .... .... .... .... .... ... ..... ... .. 169
Uma aplicação da relação de Euler .. .... .... .... .... .. 171
3 Poliedros regulares . .... .... .... .... .... ... ..... ... ... 172
Propriedade: existem apenas cinco poliedros
regulares convexos... .... ... ..... ... ..... ... ..... ... .... 172
Poliedros de Platão . .... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... 174
4 Prismas ... .... .... .... .... ... ..... ... ..... ... .... . ... . .. 174
Construção e definição de prisma . .... .... .... ... ... 174
Caso particular: o paralelepípedo.. .... .... .... .... .... 175
Prismas retos .... .... .... .... .... .... ... ..... ... ..... .. .. 175
Cálculo da diagonal de um paralelepípedo
retângulo e de um cubo .. .... .... .... ... ..... ... ..... .. 177
Área da superfície de um prisma ... .... .... .... .... ... 177
Poliedros arquimedianos .. .... .... .... .... .... ... ..... 180
5 Ideia intuitiva de volume ... .... ... ..... ... ..... ... . 181
Cubo unitário .. .... .... .... ... ..... ... ..... ... ..... ... .. 181
Volume do paralelepípedo retângulo
ou bloco retangular .... .... .... .... .... .... ... ..... ... . 181
3 Posições relativas de pontos no espaço .. .. .. .. 144
6 Princípio de Cavalieri .... .... .... ... ..... ... ..... ... . 184
4 Posições relativas de duas retas
distintas no espaço .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... 145
7 Volume do prisma ... .... .... ... ..... ... ..... ... ..... 185
5 Determinação de um plano .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . 147
6 Posições relativas de dois planos
distintos no espaço . .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . .. 148
7 Posições relativas de uma reta e
um plano . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . .. .. . 150
8 Paralelismo no espaço . .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... 151
9 Perpendicularismo no espaço . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 153
Retas perpendiculares e ortogonais .. .. .. .. .. .. .. .. .. 153
8
8 Pirâmides . ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... . ... . 188
Construção e definição de pirâmide .. .... ... ..... ... 188
Pirâmide regular . .... .... .... ... ..... ... ..... ... ..... ... 189
Caso particular importante: o tetraedro regular . ... . 189
Área da superfície da pirâmide .... .... ... ..... ... .... 190
Volume da pirâmide .... ... ..... ... ..... ... ..... ... ..... 191
Cálculo do volume da pirâmide triangular ... . ... . ... 192
Cálculo do volume de uma pirâmide qualquer .. . ... . 193
Tronco de pirâmide .... .... .... .... .... .... ... ..... ... . 195
Volume do tronco de pirâmide . ..... .. ... . ... . ... . ... . 195
Unidade 4: Análise combinatória e probabilidade
CAPÍTULO 9
CAPÍTULO 10
Análise combinatória
Probabilidade
1
1
Princípio da multiplicação ou princípio
fundamental da contagem .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . 204
2 Permutações simples e fatorial
de um número.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... 206
Fatorial . . . . . . . . . . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . . . . . . . . . 207
Fenômenos aleatórios ... .... .... .... .... .... ... .... 232
2 Espaço amostral e evento. .... .... .... .... .... .... . 233
3 Eventos certo, impossível e
mutuamente exclusivos ... .... .... .... .... .... ... . 234
3 Permutações com repetição .. .. . ... . ... . ... . ... . . 209
União de eventos, intersecção de eventos
e complementar de um evento .... .... .... .... .... ... 234
4 Arranjos simples . .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... 210
Fórmula do número total de arranjos simples .. .. .. 210
4 Cálculo de probabilidades ... .... .... .... .... ... ... 234
Certeza e impossibilidade ... .... .... .... .... .... ... ... 235
5 Combinações simples. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... 215
5 Definição teórica de probabilidade
e consequências.... .... .... ... ..... ... ..... ... ..... .. 238
Consequências da definição .... ... ..... ... ..... ... ... 238
Probabilidade condicional . .... .... .... .... .... .... ... . 243
Eventos independentes ... .... .... .... .... .... ... ..... 246
Fórmula do número total de
combinações simples . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . 215
Uma propriedade importante das combinações .. . .. 216
6 Problemas que envolvem os
vários tipos de agrupamentos .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 222
Alguns problemas de contagem .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 223
As 7 pontes de Königsberg . .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . 224
6 O método binomial .... .... .... .... .... ... ..... ... .. 249
7 Aplicações de probabilidade à Genética.. .... .. 253
7 Números binomiais .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . .. 225
Propriedade . . . . .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... . ... .. . 225
9 Binômio de Newton. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... . ... . . 228
O problema de Lucas .. .. .. .. .. . ... . ... . ... . ... . ... . ... 230
Caiu no Enem.................................................................. 264
Respostas ....................................................................... 268
Sugestões de leituras ................................................. 278
Significado das siglas de vestibulares .................. 279
Bibliografia..................................................................... 279
Índice remissivo ............................................................ 280
Fotos: John Smith/Corbis/Latinstock
8 Triângulo de Pascal ou triângulo aritmético .. . 225
Propriedades dos números binomiais . .. .. .. .. .. .. .. . 226
9
UNIDADE
1
Trigonometria
10
1
01
CAPÍTULO
CAPÍTULO Trigonometria:
Conjuntosde
resolução
numéricos
triângulos
quaisquer
G. Dagli Ort/De Agostini/Getty Images
Marcus
NASA/Corbis/Latinstock
Lyon/Getty Images
O teodolito é um instrumento óptico utilizado para medir ângulos, tanto
horizontal como verticalmente, em medidas diretas e indiretas de distâncias.
Aplicando uma relação trigonométrica podemos determinar, por exemplo, a
altura de uma região montanhosa. Para isso, precisamos saber a distância
entre
o ponto
de observação
e oApé
da perpendicular
da área
montanha
e, com o utiliza muitas relações
Topógrafo
utilizando
teodolito.
topografia,
que é uma
da Engenharia,
auxílio
de
um
teodolito,
medir
o
ângulo
de
elevação
da
região
montanhosa.
estabelecidas pela Trigonometria para determinar a forma e a posição de elementos do relevo.
11
1
Revisão sobre resolução de triângulos retângulos
Antes de abordar novos conceitos e relações da Trigonometria, vamos revisar o que foi estudado nos
anos anteriores. Faça dupla com um colega e tentem resolver os exercícios a seguir.
Quando necessário usem a tabela da página 22 ou uma calculadora científica.
Observação: Usaremos AB . ora para designar segmento de reta AB, ora para
designar medida do segmento de reta AB. Pelo contexto da situação saberemos
quando está sendo usado um significado e quando está sendo usado o outro.
Segmento de reta: parte da
reta compreendida entre
dois de seus pontos distintos, denominados extremos.
ATENÇÃO!
Não escreva
no seu livro!
Exercícios
1.
Nesta figura, as retas paralelas r e r’ representam as
margens de um rio. Determine a largura , desse rio.
C
5.
Um poste na posição vertical tem sua sombra
projetada em uma rua horizontal. A sombra tem
12 metros. Se a altura do poste é de 12 metros,
então, qual é a inclinação dos raios solares em
relação à rua horizontal? 458
6.
Determine a medida de CD . na figura abaixo. CD . é
a projeção ortogonal de AB . sobre um eixo.
ø = 10 3 m
r
,
30⬚
A
2.
30 m
B
r⬘
b)
a)
458
16
4 cm
158
y
20
x
CDu  3,9 cm
B
Calcule os valores das medidas x e y:
A
608
y 5 20 3
x 58 2
3.
C
Dois níveis de uma praça estão ligados por uma rampa de 2 metros de comprimento e 308 de inclinação,
conforme representa a figura. Devem-se construir,
sobre a rampa, 8 degraus de mesma altura. Encontre
a altura de cada degrau. 12,5 cm
7.
A
8.
Observe a figura:
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
y
v=
a
x
vx=
Dizemos que vx- e vy - são as componentes retangulares do vetor v .Considerando o módulo de v - igual a 10 cm e o ângulo a de 308, determine os módulos de vx- e v y - .
|vx-| 5 5 3 cm e |vy-| 5 5 cm
12
A  4,8 cm2
4 cm
h
308
vy=
Determine a área da região triangular abaixo.
C
2m
4.
D
9.
208
B
7 cm
Um observador, no ponto B
da figura representada ao lado, vê um prédio de modo
que o ângulo ABC é de 1058. Se
esse observador está situado
a uma distância de 8 m do
prédio e a uma altura de 8 m,
qual é a altura do prédio? 21,6 m
A
B
8m
C 8m
Calcule as medidas x, y, z e w indicadas nas figuras.
B b)
a) w 5 50 3
x
w
A
308
100
308
608
C
12
z
y
x 5 24; y 5 16 3 e z 5 8 3
Aproveite esta revisão para perceber o nível de conhecimento dos alunos. Se necessário, retome com eles os conceitos de seno, cosseno e tangente no
triângulo. Estimule-os a memorizar o valor do seno, do cosseno e da tangente de 308, 458 e 608 (ângulos notáveis); isso facilitará e agilizará os cálculos
abordados neste capítulo.
Capítulo 1
2
Seno e cosseno de ângulos obtusos
Neste capítulo precisaremos, em alguns momentos, saber os valores de senos e cossenos de ângulos obtusos. Como esse assunto ainda não foi estudado — não existem ângulos obtusos nos triângulos retângulos —, abordaremos neste momento apenas como
lidar com eles na prática, e deixaremos a parte teórica, que fundamenta o que estudaremos
agora, para outro capítulo.
Ângulo obtuso:
ângulo cuja medida está entre
908 e 1808.
Inicialmente, é necessário saber que:
•
sen 908 5 1 e cos 908 5 0
• senos de ângulos obtusos são exatamente iguais aos senos dos suplementos
desses ângulos:
sen x 5 sen (1808 2 x)
• cossenos de ângulos obtusos são opostos aos cossenos dos suplementos desses
Fique atento!
Lembre-se de que
ângulos
suplementares são
dois ângulos que
têm a soma de suas
medidas igual a 1808.
ângulos:
cos x 5 2cos (1808 2 x)
Exemplos:
a) sen 1208
O suplemento de 1208 é 608, portanto:
sen 1208 5 sen (1808 2 1208) 5 sen 608 5
b) cos 1208
3
2
cos 1208 5 2cos (1808 2 1208) 5 2cos 608 5 2
1
2
Exercícios
10.
Obtenha o valor de:
a) sen 1358
b) cos 1358
3
2
2
−
2
2
1
c) sen 1508
2
3
d) cos 1508 −
2
11.
Determine o valor de x em:
a) x 5 sen 208 2 sen 1608 1 cos 448 1 cos 1368 0
b) x 5 sen 108 ? cos 508 1 cos 1308 ? sen 1708 0
Lei dos senos
Acompanhe a seguinte situação-problema:
Uma empresa de fornecimento de energia, ao instalar a rede elétrica em uma fazenda, precisou colocar
dois postes em lados opostos de um lago para permitir a passagem da fiação. Com isso surgiu um pequeno
problema: para fazer o projeto da rede, seria necessário saber a distância entre os postes, e a presença do
lago impedia a medição direta dessa distância.
Um dos engenheiros posicionou-se em um local onde era possível visualizar os dois postes e medir a
distância entre eles. Com um aparelho apropriado, o teodolito, ele mediu o ângulo entre a linha de visão
dele e os postes, obtendo 1208. Um auxiliar mediu a distância entre o engenheiro e o poste mais afastado e
obteve 100 m; outro auxiliar mediu o ângulo entre a linha do poste mais próximo do engenheiro e a linha
entre os postes, obtendo 458. Com essas informações, o engenheiro ficou satisfeito, pois ele já conseguiria
calcular a distância entre os postes. Vamos descobrir como a seguir.
Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer
13
Realidade
A
100 m
d
O
Banco de imagens/Arquivo da editora
Dam d'Souza/Arquivo da editora
Modelo matemático
1208
458
B
O triângulo AOB é obtusângulo, e a resolução desse problema consiste em determinar a medida do
t Para resolvê-lo, vamos estudar a lei dos senos, cujo enunciado vem a seguir.
lado AB.
Em qualquer triângulo ABC, as medidas dos lados
são proporcionais aos senos dos ângulos opostos,
ou seja:
a
b
c
=
=
ˆ
ˆ
sen
n A sen
s B sen Cˆ
• No nACH1, retângulo em H1, temos:
• sen CB 5 hb ⇒ h1 5 b ? sen CB
• No nABH1, retângulo em H1, temos:
• sen BB 5 hc ⇒ h1 5 c ? sen BB
H2
1
B
A
H1
b
Comparando, temos:
a
c
5
ˆ
sen A
sen Cˆ
A
II
b
a
C
a
c
B
Veja a demonstração no Manual do Professor.
a
b
c
5
5
sen
n Aˆ
ssen Bˆ
sen Cˆ
Capítulo 1
B
H2
Lembre-se: sen a 5 sen (1808 2 a).
De I e II concluímos que:
14
h2
C
B
⇒ h2 5 c ? sen A
B 5 c ? sen BA ⇒
a ? sen C
c
Banco de imagens/Arquivo da editora
h1
• No nABH2, retângulo em H2, temos:
2
C
Verifique que a demonstração vale também para
o nABC obtusângulo e para o triângulo retângulo.
h
B 5 2 ⇒ h2 5 a ? sen C
B
sen C
a
• sen AB 5 hc
a
H1
Para refletir
I
• No nBCH2, retângulo em H2, temos:
•
h1
h2
Comparando, temos:
b
c
5
sen Bˆ
sen Cˆ
b
c
1
b ? sen CB 5 c ? sen BB ⇒
Banco de imagens/Arquivo da editora
Acompanhe a seguir a demonstração da lei dos senos para um triângulo acutângulo.
A
t 1 e BH
t 2.
Consideremos o nABC acutângulo e duas de suas alturas: AH
Observações:
1a) Pode-se provar que a razão
medida do lado a
é constante e igual a 2R, em que R é o raio da
seno do ângulo oposto a a
circunferência circunscrita ao triângulo considerado. A mesma relação vale para os outros dois lados
do triângulo.
A
c
a
b
c
= 2R
=
=
sen
n Aˆ sen
s Bˆ sen Cˆ
b
R
B
a
C
2a) Quando o enunciado de uma questão se refere a um triângulo ABC, devemos colocar o lado a oposto ao
ângulo A, o lado b oposto ao ângulo B, e o lado c oposto ao ângulo C, como na figura abaixo:
A
b
c
C
B
a
A
100 m
O
1208
458
B
d
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
Agora temos condições de resolver a situação-problema apresentada na página 13. Leia-a novamente e
acompanhe a resolução a seguir.
Retomando o modelo matemático, temos:
Pela lei dos senos, temos:
100
d
100
d
5
5
5
⇒ 2d 5 100 3 ⇒
sen 458 sen 1208
2
3
2
2
⇒d5
100 3 100 3 ⋅ 2 100 6
5
5
5 50 6 . 122,47
2
2
2⋅ 2
Então, a distância entre os postes é de, aproximadamente, 122,47 metros.
Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer
15
Exercícios resolvidos
1.
Em um triângulo isósceles, a base mede 6 cm e o
ângulo oposto à base mede 1208. Calcule a medida
dos lados congruentes do triângulo.
x
308
6 cm
Resolução:
BC
AC
AB ,
5
5
sen
n BA
sen
sen C
B
s BB
B 5 1808 2 (488 1 258) 5 1078.
sendo C
Em um triângulo
isósceles, a altura
relativa à base é
também mediana e
bissetriz. Use esse fato
e resolva este exercício
de outra forma.
6
x
⇒
5
sen 1208
sen 308
5
Pela lei dos senos:
Veja a
resolução no
Manual do
Professor.
Para refletir
Pela lei dos senos, temos:
6
3
2
x
⇒
1
2
⇒ 3 x 56 ⇒ x 5
6
5
3
Em um triângulo ABC, temos BC 5 5 cm, A
B 5 488 e
B B 5 258. Calcule a medida aproximada do lado AB
w
(use a tabela da página 22 ou uma calculadora
científica).
Resolução:
1208
308
⇒
2.
Fique atento!
Com a tabela obtemos sen 1078  0,956,
procurando sen 738.
Substituindo:
5
AB
5
AB
⇒
⇒
5
5
0,743
sen
n 488
ssen 1078
7
0,9
956
6 3
6 3
5
52 3
3
3? 3
⇒ AB 5
Cada um dos lados congruentes mede 2 3 cm.
5 · 0,956
43
. 6, 4
0,7743
t é 6,43 cm.
Portanto, a medida aproximada do lado AB
Se achar conveniente, comente com os alunos que a maioria das questões que são resolvidas pela lei dos senos relaciona dois ângulos e um lado de um triângulo.
Exercícios
12.
Observe a figura abaixo e calcule o valor da medida x.
15.
Em um triângulo ABC, são dados A
B 5 458, B
B 5 308 e
a 1 b 5 2 1 1. Calcule o valor de a. a5 2
16.
Use a tabela da página 22 ou uma calculadora científica e determine os valores de x (aproximadamente):
x
1058
100
x 5 100 2
458
13.
Observe o triângulo abaixo e calcule o valor da
medida x.
3 2
x
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
608
14.
5 2
5
328
x
458
b)
278
10
x
x =5 3
x
758
x . 9, 151
768
x 52 3
Em cada triângulo a seguir, calcule o valor da medida x.
a)
a)
x . 5,959
308
458
c)
b)
458
x
x=4 2
8
16
Capítulo 1
308
4
3
708
x . 458
x
4
Lei dos cossenos
Voltemos ao nosso engenheiro e seu problema em medir a distância entre os postes, sugerido no início
do item 3. Se tivesse encontrado alguma dificuldade para obter o ângulo de 458, ou mesmo que não quisesse obtê-lo, o engenheiro poderia ter pedido ao seu segundo auxiliar que medisse a distância do local
onde ele estava até o poste mais próximo. Assim, além do valor do ângulo (1208) que o engenheiro já havia
medido e da distância entre o poste mais afastado e ele (100 metros), o engenheiro teria obtido a nova
distância, de 36,60 metros, entre o poste mais próximo e ele. Essas informações também permitiriam calcular a distância desejada. Observe as representações novamente.
Realidade
A
100 m
O
1208
d
Banco de imagens/Arquivo da editora
Dam d'Souza/Arquivo da editora
Modelo matemático
36,60 m
B
Pela representação, observamos que o problema consiste em determinar a medida de um lado de
um triângulo, quando conhecemos as medidas dos outros dois lados e do ângulo oposto ao lado cuja
medida queremos encontrar.
Para resolvê-lo, precisamos estudar a lei dos cossenos, enunciada a seguir:
Em qualquer triângulo ABC, o quadrado da medida de um
lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois
lados menos duas vezes o produto das medidas desses lados
pelo cosseno do ângulo que eles formam, ou seja:
b
c
B
a
C
Banco de imagens/
Arquivo da editora
A
• a2 5 b2 1 c2 2 2bc ? cos AB
• b2 5 a2 1 c2 2 2ac ? cos BB
• c2 5 a2 1 b2 2 2ab ? cos CB
Vamos provar apenas a primeira das relações acima, considerando o ângulo A agudo;
a demonstração das outras relações é análoga.
Ângulo agudo:
ângulo cuja
medida é menor
do que 908.
Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer
17
O ângulo agudo A pode estar em um triângulo acutângulo, retângulo ou obtusângulo.
Ilustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
B
a
B
B
c
h
a5h
C
H
b
h
c
A
c
a
H
C;H
C
Para refletir
• Verifique que a relação
vale para A
B agudo no
triângulo retângulo e
no triângulo
obtusângulo.
• Podemos considerar o
teorema de Pitágoras
(a2 5 b2 1 c2) como um
caso particular da lei
dos cossenos (pois
cos 908 5 0).
Traçando a altura tBH, obtemos os triângulos retângulos ABH e CBH.
• No nABH, temos:

ˆ AH
ˆ
cos A 5 c ⇒ AH 5 c ⋅ cos A

2
2
2
 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c 5 h 1 AH ⇒ h 5 c 2 AH ⇒ h 5 c 2 c ⋅ cos Aˆ ⇒ h 5 c 2 c ⋅ cos Aˆ I
•
)
Veja comentários deste Para
refletir no Manual do Professor.
No nCBH, temos:
2
B )2 ⇒
a2 5 h2 1 CH ⇒ a2 5 h2 1 (b 2 AHu )2 ⇒ h2 5 a2 2 (b 2 c ? cos A
B 2 c2 ? cos2 A
B
⇒ h2 5 a2 2 b2 1 2bc ? cos A
• De
II
I e II temos:
B 2 c 2 ⋅ cos2 Aµ = c 2 − c 2 ⋅ cos2 Aµ ⇒
a2 2 b2 1 2bc ? cos A
a2 5 b2 1 c2 2 2bc ? cos A
B
Agora estamos em condições de resolver a situação-problema colocada no início deste item.
Retomando o modelo matemático, temos:
A
100 m
O
d
1208
36,60 m
B
Pela lei dos cossenos, temos:
d2 5 1002 1 (36,6)2 2 2 ? 100 ? 36,6 ? cos 1208 ⇒ d2 5 15 000 ⇒ d 5
Observe que esse valor é o mesmo encontrado na página 15.
18
Capítulo 1
A
A
b
Vamos demonstrar a lei dos cossenos usando o triângulo acutângulo.
(
b
15 000 5 50 6 . 122, 47 m
Exercício resolvido
passo a passo: exerc’cio 3
Banco de imagens/Arquivo da editora
3.
(Unesp) Um professor de geografia forneceu a seus
alunos um mapa do estado de São Paulo que informava que as distâncias aproximadas em linha reta
entre os pontos que representam as cidades de São
Paulo e Campinas e entre os pontos que representam
as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80 km e 160 km. Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre
os pontos que representam as cidades de São Paulo,
Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em
linha reta entre os pontos que representam as cidades
de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam
um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa.
2. Planejando a solução
A partir das informações do enunciado podemos
montar um triângulo obtusângulo que representa
o que se pede na questão:
Guaratinguetá
Banco de imagens/Arquivo da editora
Se achar conveniente, comente com os alunos que a maioria das
questões que são resolvidas com a lei dos cossenos relaciona dois lados e
Resolvido passo a passo um ângulo do triângulo.
160 km
d
150
São Paulo
80 km
Sorocaba
Assim, a distância d pode ser calculada pela lei dos
cossenos, pois conhecemos a medida de dois lados
e de um ângulo do triângulo.
SP
Guaratinguetá
Campinas
3. Executando o que foi planejado
Pela lei dos cossenos temos:
80 km
Sorocaba
160 km
São Paulo
d2 5 802 1 1602 2 2 ? 80 ? 160 ?
cos
142150
4
3°
cos 150° 52cos 30°
⇒

3 
⇒
⇒ d2 5 6 400 1 25 600 2 25 600 ? 2
2 
⇒ d2 5 32 000 1 12 800 3 ⇒
⇒ d 5 32 000 1 12800 3 ⇒
Com essas informações, os alunos determinaram
que a distância em linha reta entre os pontos que
representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de:
a) 80 ? 2 1 5 ?
3
d) 80 ? 5 1 3 ? 2
b) 80 ? 5 1 2 ?
3
e) 80 ? 7 ? 3
⇒ d 5 5 ? 80 2 1 2 ? 80 2 ? 3 ⇒
⇒d5
(
)
5 1 2 ? 3 ? 80
4. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa b.
c) 80 ? 6
1. Lendo e compreendendo
a) O que é dado no problema?
Um mapa com as distâncias entre algumas cidades, a informação de que as distâncias em linha
reta entre os pontos que representam as cidades
de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um
triângulo equilátero e que as distâncias em linha
reta entre os pontos que representam as cidades
de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo.
b) O que se pede?
A distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba,
em quilômetros.
5. Ampliando o problema
a) Uma empresa privada de transporte coletivo faz
o percurso entre algumas cidades do estado de São
Paulo, como Sorocaba, Guaratinguetá, Campinas e
a própria capital. Sabe-se que essa empresa cobra
uma taxa fixa de R$ 20,00 e uma taxa de R$ 1,50 por
quilômetro rodado. Dado isso, qual é o percurso
mais caro para os passageiros? Quanto esse percurso custa?
Guaratinguetá → São Paulo; R$ 260,00
b) Discussão em equipe
Troque ideias com seus colegas sobre o sistema de
transportes no Brasil. Quais ações podem ser adotadas para priorizar a utilização de meios de transporte que causem menos impacto ao meio ambiente?
Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer
19
Observação: Neste primeiro capítulo sobre Trigonometria, estudaremos a trigonometria do triângulo. Neste caso, as funções seno e cosseno têm como domínio
o conjunto A de todos os ângulos do plano, menores do que ou iguais a dois
ângulos retos. Tais funções são independentes da forma de como se medem os
ângulos. Logo, dispensam a consideração de arcos de circunferência, radianos,
etc. Isso merecerá atenção especial quando estudarmos, no capítulo 3, sen x e
cos x como funções reais de uma variável real.
Exercícios
17.
Atividade
em dupla
Ângulo reto: ângulo de
medida igual a 908.
Atividade
em equipe
No triângulo da figura abaixo, calcule a medida x.
x5
25.
(FCMSCSP) Considerando a figura abaixo, qual
o valor de sen a?
7
sen a 5
x
3
r
608
1
18.
3r
2
a
O
3 7
8
r
No triângulo da figura abaixo, determine x.
A
5
B
26.
x57
608
DESAFIO
Duas forças de intensidade F1 5 8 N e F2 5 12 N formam
entre si um ângulo de 608. Qual é a intensidade R
resultante dessas duas forças? R 5 4 19 N
x
8
C
19.
F2
a5 3
20. Considere o triângulo ABC com: AB 5 458, a 5 4 e
21.
R
608
Em um triângulo ABC são dados: A
B 5 308, b 5 2 3 e
c 5 3. Calcule a medida do terceiro lado do triângulo.
b 5 4 2 . Determine o lado c.
Física
F1
27.
c54
Considere uma circunferência de raio r e , a medida
do lado de um decágono regular inscrito nessa circun3608
ferência. Determine , em função de r. a 5
n
(
No triângulo abaixo, AC
t 5 3, tBC 5 4, AB
t 53e
BAC
B 5 a. Determine o valor de cos a. cos a 5 1
9
A
r 2(1 − cos368)
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
a
O
r
B
C
formam entre si um ângulo de 1208. Calcule a medida do terceiro lado. 14 cm
23. Em um triângulo ABC são dados AB 5 458, b 58
e c 5 10. Calcule a medida do terceiro lado. 2 17
2
Dois lados consecutivos de um paralelogramo
medem 14 cm e 10 cm e formam um ângulo de 608.
Calculem as medidas de suas diagonais.
BD 5 2 39 cm; AC 5 2 109 cm
20
Capítulo 1
a
r
ø
22. Dois lados de um triângulo medem 10 cm e 6 cm e
24.
)
28.
DESAFIO
Resolva no caderno o triângulo abaixo. Use
sua calculadora se precisar.
"Resolver um triângulo" é
encontrar os valores de todas
as medidas do triângulo
(3 lados e 3 ângulos).
688
y
x
508
5
a
a 5 628;
x  4,13;
y  4,76.
29.
Medida da distância de um ponto A (onde está o
observador) a um ponto P inacessível
Vamos supor que um observador esteja no ponto
A e queira saber a distância entre A e P, que é o
ponto onde se localiza uma árvore do outro lado de
um rio, conforme representado na figura a seguir.
31.
Física
Em Física o módulo do vetor resultante é dado pela
diagonal do paralelogramo. Exemplo:
v1
v
608
P
v2
Podemos usar a lei dos cossenos para obter o vetor
resultante. Para isso, basta perceber que:
A
v1
O observador se locomove de A para B, de onde
pode ver também o ponto P.
v1
v
180⬚ ⫺ ␪
␪
v2
v2
B
Aproximadamente 26,5 m/s.
v1 5 10 m/s
608
v2 5 20 m/s
Qual é a distância de A a P sabendo que a distância
B P é igual a
de A a B é 2 km, a medida do ângulo BA
1208 e a medida do ângulo AB
B P é igual a 458?
Aproximadamente 5,459 km ou 5 459 m.
Uberaba, Uberlândia e Araguari são cidades do
Triângulo Mineiro localizadas conforme representa a figura a seguir.
A partir dos dados fornecidos, determinem a distância aproximada de Uberaba a Uberlândia.
32.
Em 2010 as prefeituras de São José (SC) e Florianópolis (SC) inauguraram o pórtico e a ponte
sobre o rio Araújo, que liga as duas cidades. Veja:
111,6 km
Araguari
368
Uberlândia
1328
Ponte do Rio Araújo, onde há um pórtico em estrutura metálica.
Fotografia de 2012.
140 km
Uberaba
Sabendo que o pórtico forma com a pista aproximadamente um triângulo isósceles, que cada lado do
pórtico mede 40 m e que o cosseno do ângulo entre
as estruturas metálicas do pórtico (ângulo superior)
é de 0,875, qual é a medida da base do pórtico por
onde passam as pessoas e os automóveis?
a) 16 m
x c) 20 m
b) 18 m
d) 22 m
e) 24 m
Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer
21
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
30.
v
Lelia Valduga/Getty Images
A
r
Determinem o vetor resultante v na situação abaixo:
Ilustrações: Dam d'Souza/Arquivo da editora
P
v
Tabela de razões trigonométricas
Ângulo
sen
cos
tan
Ângulo
sen
cos
tan
18
28
38
48
58
0,017
0,035
0,052
0,070
0,087
1,000
0,999
0,999
0,998
0,996
0,017
0,035
0,052
0,070
0,087
468
478
488
498
508
0,719
0,731
0,743
0,755
0,766
0,695
0,682
0,669
0,656
0,643
1,036
1,072
1,111
1,150
1,192
68
78
88
98
108
0,105
0,122
0,139
0,156
0,174
0,995
0,993
0,990
0,988
0,985
0,105
0,123
0,141
0,158
0,176
518
528
538
548
558
0,777
0,788
0,799
0,809
0,819
0,629
0,616
0,602
0,588
0,574
1,235
1,280
1,327
1,376
1,428
118
128
138
148
158
0,191
0,208
0,225
0,242
0,259
0,982
0,978
0,974
0,970
0,966
0,194
0,213
0,231
0,249
0,268
568
578
588
598
608
0,829
0,839
0,848
0,857
0,866
0,559
0,545
0,530
0,515
0,500
1,483
1,540
1,600
1,664
1,732
168
178
188
198
208
0,276
0,292
0,309
0,326
0,342
0,961
0,956
0,951
0,946
0,940
0,287
0,306
0,325
0,344
0,364
618
628
638
648
658
0,875
0,883
0,891
0,899
0,906
0,485
0,469
0,454
0,438
0,423
1,804
1,881
1,963
2,050
2,145
218
228
238
248
258
0,358
0,375
0,391
0,407
0,423
0,934
0,927
0,921
0,914
0,906
0,384
0,404
0,424
0,445
0,466
668
678
688
698
708
0,914
0,921
0,927
0,934
0,940
0,407
0,391
0,375
0,358
0,342
2,246
2,356
2,475
2,605
2,747
268
278
288
298
308
0,438
0,454
0,469
0,485
0,500
0,899
0,891
0,883
0,875
0,866
0,488
0,510
0,532
0,554
0,577
718
728
738
748
758
0,946
0,951
0,956
0,961
0,966
0,326
0,309
0,292
0,276
0,259
2,904
3,078
3,271
3,487
3,732
318
328
338
348
358
0,515
0,530
0,545
0,559
0,574
0,857
0,848
0,839
0,829
0,819
0,601
0,625
0,649
0,675
0,700
768
778
788
798
808
0,970
0,974
0,978
0,982
0,985
0,242
0,225
0,208
0,191
0,174
4,011
4,332
4,705
5,145
5,671
368
378
388
398
408
0,588
0,602
0,616
0,629
0,643
0,809
0,799
0,788
0,777
0,766
0,727
0,754
0,781
0,810
0,839
818
828
838
848
858
0,988
0,990
0,993
0,995
0,996
0,156
0,139
0,122
0,105
0,087
6,314
7,115
8,144
9,514
11,430
418
428
438
448
458
0,656
0,669
0,682
0,695
0,707
0,755
0,743
0,731
0,719
0,707
0,869
0,900
0,933
0,966
1,000
868
878
888
898
0,998
0,999
0,999
1,000
0,070
0,052
0,035
0,017
14,301
19,081
28,636
57,290
Fonte: Dados experimentais.
22
Capítulo 1
2
01
CAPÍTULO
CAPÍTULO Conceitos
Conjuntos
trigonométricos
numéricos
básicos
Imago/ZUMA Press/Glow Images
NASA/Corbis/Latinstock
Sol sobre o Stonehenge (Inglaterra) durante o solstício
de inverno no hemisfério norte. Fotografia de 2013.
Veja mais sobre este monumento na página 28.
23
1
Arcos e ‰ngulos
No capítulo anterior estudamos a Trigonometria tal qual ela era utilizada há milhares de anos, com o objetivo de resolver triângulos. Nos próximos capítulos vamos fazer um estudo mais abrangente de seno, cosseno e tangente, uma necessidade mais recente da Matemática. Nesse novo contexto, o triângulo retângulo é
insuficiente para as definições necessárias e precisamos estabelecer um novo “ambiente” para a Trigonometria:
a circunferência trigonométrica.
Neste capítulo estudaremos conceitos necessários para esse novo estudo. Geometria plana: campo
da Matemática que estuda
Vamos recordar alguns conceitos já conhecidos da Geometria plana:
os elementos do plano
• Arco geométrico: é uma das partes da circunferência delimitada por dois pontos,
incluindo-os. Se os dois pontos coincidirem, teremos arco nulo ou arco de uma
volta.
B
(retas, circunferências, ângulos, etc.), suas propriedades e relações.
A;B
arco AB
O
O
A
Fique atento!
circunferência de raio r e centro O. Deslocando-se o ponto A sobre a circunferência, ele percorre uma distância , ao mesmo tempo que gira um ângulo a em
torno do centro O. Esse movimento do ponto A descreve um arco de circunferência de medida angular a e medida de comprimento ,.
A medida de
comprimento , depende
do raio da circunferência,
mas a medida angular a
não.
e o “radiano”. Para a medida do comprimento , usam-se em geral unidades como
“metro”, “centímetro”, “quilômetro”, etc.
Para refletir
• Unidades: para a medida angular a usam-se geralmente unidades como o “grau”
• Arco e ângulo central: todo arco de circunferência tem a mesma medida do
ângulo central que o subtende.
B
Arco: )AB
medida de )AB: a
ø
a
A
O
Ângulo central: A BOB
medida de AO
B B: a
• Comprimento de uma circunferência de raio r: Em qualquer circunferência, a
medida do seu comprimento (C) dividida pela medida do seu diâmetro (d) é igual
a p (pi), ou seja, C 4 d 5 p. Como d 5 2r, temos que C 4 2r 5 p ⇒ C 5 2pr .
• Medida de uma circunferência em graus: 3608.
Considere cinco
circunferências
concêntricas de raios
diferentes e um mesmo
ângulo central
subtendendo arcos em
todas elas. Os cinco arcos
terão a mesma medida?
E terão o mesmo
comprimento?
Terão a mesma medida, pois
elas são iguais à do ângulo
central, que é o mesmo.
Mas não terão o mesmo
comprimento, pois o
comprimento do arco
depende do raio.
Junte-se a um colega e respondam: se o comprimento de uma circunferência for 2p cm, qual será o
comprimento de um arco dessa circunferência de:
a) 1808 (semicircunferência)?
b) 908 (quadrante)?
c) 608?
608
d) 308?
, p
3
308 ,
p
6
, p
2
1808
,
p
, 2p
3
e) 1208?
1208
f) 2408?
2408 , 4 p
3
g) 2708 (3 quadrantes)?
2708
, 3p
2
O objetivo desta atividade é que os alunos percebam que o comprimento do arco é diretamente proporcional à medida do arco (ângulo central).
24
Capítulo 2
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
• Medida angular e comprimento de um arco: considere um ponto A sobre uma
2
Unidades para medir ângulos e arcos
Os arcos de circunferência têm comprimento e medida angular. A medida do comprimento de um arco
pode ser expressa em metros, centímetros, etc. A medida angular de um arco é, em geral, expressa em graus
ou radianos.
Por definição, a medida angular de um arco é a medida do ângulo central subtendido por ele.
1
Grau: O ângulo de um grau (18) é o ângulo correspondente a
de um ângulo reto. O arco de um grau
90
1
da circunferência.
(18) é o arco que subtende um ângulo central de 18, de modo que corresponde a
360
Considere o arco AB, que vai de A para B no sentido anti-horário:
Ilustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
•
B
O
Você sabia?
O
A
Essa divisão em 360 partes congruentes
possivelmente se deu pela influência do
sistema sexagesimal (sistema de base 60) e
pela associação do movimento de translação
da Terra, que dura aproximadamente 360 dias;
com isso, a circunferência foi dividida em 360
partes, ou seja, 360 gradus, na linguagem atual
360 graus. O grau foi dividido em 60 partes
menores chamadas minutae prime (primeira
parte pequena), o que originou a palavra
A
B
arco AB de 908
(um quarto de volta)
arco AB de 2708
(três quartos de volta)
( ( 601 )8).
minuto 1 =
B
O
arco AB de 1808
(meia volta)
A
O minuto foi dividido também em 60 partes
menores chamadas minutae secundae
(próxima parte pequena). Daí a origem da
1 Õ
.
palavra segundo 1 =
60
Assim, um arco de dois graus, trinta e cinco
minutos e quarenta segundos é representado
por 283540.
A;B
O
( ( ))
arco AB de 3608 ou 08
(uma volta ou nulo)
• Radiano: Considere uma circunferência cujo raio tem medida de comprimento igual a r, em uma determinada
unidade. Nessa circunferência, um arco de um radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento também é igual a r,
na mesma unidade. Assim, se retificássemos o arco, transformando-o em um segmento de reta, poderíamos
verificar que ele teria o mesmo comprimento do raio dessa circunferência. Um ângulo de um radiano (1 rad) é
um ângulo congruente a um ângulo central subtendido por um arco de um radiano.
A medida do comprimento de arco e a medida do ângulo central são proporcionais; então, a medida do
comprimento do arco e a medida angular do arco também são proporcionais.
Considerando-se a circunferência cujo raio tem medida igual a r, se por definição um arco de medida
1 rad tem comprimento de medida r, um arco de 2 rad tem medida de comprimento igual a 2r, e, generalizando, um arco de a rad tem medida de comprimento
B
O
r
,5a?r
.
Aproximadamente 578
“Retificando ou esticando” o arco AB, a medida
do segmento de reta obtido será igual à do raio.
Use o transferidor e verifique, aproximadamente,
a quantos graus corresponde 1 radiano.
Para refletir
A
t (r)
medida do comprimento do arco AB 5 medida do comprimento de OA
ou
medida angular do arco AB 5 1 rad
Comente com os alunos que existem
outras unidades para medir arcos; por
exemplo, o grado, que é um arco obtido
a partir da divisão da circunferência em
400 partes iguais. Porém, as unidades
mais usadas são o grau e o radiano.
Conceitos trigonométricos básicos
25
Relação entre as unidades para medir arcos
Como cada arco de comprimento r corresponde a 1 rad, podemos afirmar que
o arco correspondente à circunferência mede 2pr 5 2p ? 1 rad 5 2p rad.
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
A;B
) AB: arco de 3608 ou
arco de 2p rad
Fique atento!
O comprimento C da
circunferência de raio r é
igual a C 5 2pr, em que
p 5 3,141592...
( )
)AB: arco de 1808 3608 ou
B
A
2

 2p
rad
arco de p rad 

 2
B
)AB: arco de 908  3608  ou
 4 
A
A
p
2p

arco de rad 
rad
 4

2
)AB: arco de 2708 
3

de 3608  ou
4

arco de
3p
3
rad  de 2p rad
4

2
B
Observação: Sabendo que 1808 é equivalente a p rad , podemos fazer a conversão de unidades usando uma
regra de três simples. Porém, recomendamos que você se acostume a fazer as principais conversões entre
grau e radiano mentalmente, sem recorrer à regra de três. Esse procedimento é muito simples se observarmos que:
• 908 é 21 de 1808; logo, é 21 de p rad → 908 5 p2 rad
• 308 é 61 de 1808; logo, é 61 de p rad → 308 5 p6 rad
• 608 é 31 de 1808; logo, é 31 de p rad → 608 5 p3 rad
• 458 é 41 de 1808; logo, é 41 de p rad → 458 5 p4 rad
Você pode (e deve) memorizar essas relações para agilizar as conversões.
p
2p
Veja mais uma: 1208 é o dobro de 608; logo, 1208 5 2 ? rad 5
rad. Porém, se preferir, você pode usar a
3
3
regra de três nas conversões.
Exemplos de conversão usando regra de três:
a) 308 em radianos
grau
radiano
180
30
Portanto, 308 5
26
Capítulo 2
6
180
p
p
p
5
⇒ 6x 5 p ⇒ x 5 rad
⇒
6
x
30
x
1
p
rad.
6
Fique atento!
Outro modo de resolver:
1808 p rad p
3085
5
5
rad
6
6
6
b)
3p
rad em graus
4
grau
radiano
Fique atento!
180 4
180
p
⇒
⇒
⇒ 4 x 540 ⇒ x = 1358
3p
3
x
x
3
x
4
4
3p
.
Logo,
rad 5 1358
4
c) 1 rad em graus
180 p
180 180
5 ⇒ px 5 180 ⇒ x 5
.
. 57,38 ou 57818
x
p
1
3, 14
Portanto, 1 rad  57818.
180
d) 1 grau em radianos
3, 14
p
180 p
5 ⇒ 180 x 5 p ⇒ x 5
.
. 0,017 rad
x
180 180
1
Logo, 18  0,017 rad.
Exemplos de conversão sem usar regra de três:
p 11p
7p
• 3308 5 11  308 5 11  6 5 6
• 4 5 7  458 5 3158
p 5p
4p
• 2258 5 5  458 5 5  4 5 4
• 3 5 4  608 5 2408
7p
• 6 5 7  308 5 2108
É mais simples responder à pergunta
“Qual é o comprimento de um arco de
2 radianos em uma circunferência de
raio 10 cm?” do que à pergunta “Qual é
o comprimento de um arco de 308 em
uma circunferência de raio 10 cm?”.
Fique atento!
Como 2p rad 5 3608, os valores
que aparecem arredondados são:
( )
8
1 rad 5 180  57817’44,8”
p
18 5
p rad  0,01745 rad
180
Fique atento!
•
•
p
5308 ; p 5 458 ; p 5608
6
4
3
Quando a unidade não for
indicada, subentende-se que é o
radiano.
7p
7p
Por exemplo:
significa
rad.
6
6
Exercício resolvido
1.
Determine a medida, em radianos, de um arco de 20 centímetros de comprimento contido em uma circunferência de raio 8 centímetros.
Resolução:
, 5 20 cm; r 5 8 cm
8 cm
20 cm
5
⇒ x 5 20 5 2,5 rad
a 5 , 5 20 5 2,5 rad ou
1 rad
x rad
8
8
r
Exercícios
1.
2.
Veja a resposta do exercício 1 na seção Respostas.
Converta em radianos:
a) 608
c) 2108
e) 1208
g) 2708
b) 458
f ) 1508
h) 1358
Expresse em graus no caderno:
p
rad 308
6
p
rad 908
b)
2
p
c)
rad 458
4
a)
3.
d) 3008
5p
rad 1508
6
5p
e)
rad 2258
4
4p
f)
rad 2408
3
4.
Qual é o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 458 contido em uma
circunferência de raio 2 cm?  1,57 cm
5.
Determine o ângulo, em radianos, em cada item.
a)
b)
d)
Calcule, em radianos, a medida do ângulo central
correspondente a um arco de comprimento 15 cm
contido em uma circunferência de raio 3 cm. 5 rad
10 cm
a
ø 5 4p cm
1,2 rad
ø 5 12 cm
2p
rad
3
a
6 cm
6.
Um pêndulo tem 15 cm de comprimento e, no seu
movimento, suas posições extremas formam um
ângulo de 608. Qual é o comprimento do arco que
a extremidade do pêndulo descreve?  15,7 cm
Conceitos trigonométricos básicos
27
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
ATENÇÃO!
Não escreva
no seu livro!
Stonehenge
Voc• sabia?
O solstício é o momento em
que a Terra recebe maior
intensidade de luz solar em
um dos hemisférios em razão
de sua inclinação de 23,58 em
relação ao eixo de translação
(movimento da Terra em
torno do Sol). Normalmente,
o dia e a noite não têm
a mesma duração. Nos
solstícios, essa diferença
é a maior possível.
Os solstícios ocorrem em duas
datas do ano: em 21 de junho
e 21 de dezembro. Ambos os
solstícios marcam as entradas
do inverno e do verão,
dependendo do hemisfério.
No hemisfério norte, o solstício
de inverno (noite mais longa
do ano) ocorre em 21 de
dezembro, enquanto o solstício
de verão (dia mais longo do
ano) ocorre em 21 de junho.
De maneira inversa, no
hemisfério sul o solstício de
inverno ocorre no dia
21 de junho, e o solstício
de verão ocorre em 21 de
dezembro. Chamamos
de equinócio o momento em
que a luz solar incide sobre o
globo terrestre de igual forma,
nos dois hemisférios, fazendo
com que o dia e a noite
tenham igual duração.
Last Refuge/Alamy/Latinstock
Há tempos, as misteriosas ruínas de Stonehenge intrigam os estudiosos.
Não se sabe ao certo como e para que Stonehenge foi construído. Há quem
defenda a tese de que o monumento foi erguido como uma espécie de computador capaz de prever eclipses e outros fenômenos celestes. Há quem
acredite tratar-se de vestígios de um grande templo religioso.
Stonehenge está a cerca de 15 quilômetros ao norte de Salisbury, na Inglaterra. Vista de cima, a parte mais famosa do complexo de Stonehenge é
formada por dois círculos concêntricos de grandes blocos de pedra, o maior
com 32 metros de diâmetro. As pedras chegam a ter cinco metros de altura
e a pesar quase cinquenta toneladas. Na fotografia de abertura do capítulo
veja que as pedras do círculo maior sustentam pedras transversais. Suas formações incríveis permitem representar o solstício do verão no eixo da entrada, uma vez que a orientação do monumento está voltada para o nascimento do Sol. Apesar das controvérsias, a maior parte dos historiadores acredita
que o Stonehenge era usado como uma calculadora de pedra, um verdadeiro computador megalítico (referindo-se ao fato de ser feito de pedras brutas
extremamente pesadas) com o objetivo de prever o nascimento do Sol e da
Lua no solstício e no equinócio. É provável que construtores do Stonehenge
conhecessem o número de dias que compõem o ano (360 dias ou aproximações dele), assim como o início e término das estações do ano.
Observa-se, na fotografia abaixo, que os círculos concêntricos possuem
um alto grau de exatidão, se considerarmos que a construção do monumento teve início em 3500 a.C. e, depois de três fases de obra, foi concluída por
volta de 1100 a.C. Atualmente, relaciona-se Stonehenge à existência do povoado Durrington, estabelecido naquelas planícies no mesmo período. Acredita-se que o número p já era conhecido por aquele povo, pelo menos de
forma aproximada.
Vista aérea do monumento Stonehenge, Inglaterra. Fotografia de 2010.
28
Capítulo 2
3
Circunferência orientada e circunferência
trigonométrica
Como já estudamos, as medidas de arcos e ângulos variam de 08 ou 0 rad (arco nulo) até 3608 ou 2p rad
(arco de uma volta); portanto, não fazia sentido falar em, por exemplo, um arco de 7208 ou um ângulo de 7208.
Porém, estudos realizados em Mecânica, com os movimentos periódicos (como o movimento de um
pêndulo ou o movimento de uma mola pulsando), mostraram que era necessária uma ampliação da noção
de seno, de cosseno e de tangente de um ângulo para ângulos maiores que 3608 e para ângulos negativos.
Circunferência orientada
A cada número real associamos um percurso em uma circunferência. No caso de uma circunferência de
raio igual a 1, a medida desse percurso é o mesmo número real escolhido.
Se o número real for positivo, o percurso será feito no sentido anti-horário e, se o número real for negativo,
o percurso será feito no sentido horário.
Fique atento!
sentido anti-horário (+)
• Como vimos nas páginas 24 e 25,
o comprimento de um arco de
circunferência (,) depende do raio
da circunferência (r), mas a medida
angular (a) não. Sabendo que , 5 a ? r,
quando r 5 1 ⇒ , 5 a.
• Para a medida angular a usam-se
geralmente unidades como o “grau” e
o “radiano”.
O
Vejamos alguns exemplos:
sentido horário (–)
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
B
O
A
a) O número real dado é p . A esse número associamos o percurso no sentido anti2
-horário representado, em uma circunferência de raio igual a 1, pelo arco )AB de comprimento p .
2
O
A
B
b) O número real dado é 2 p . A esse número associamos o percurso no sentido
2
horário representado, em uma circunferência de raio igual a 1, pelo arco )AB de
comprimento p .
2
Agora, podemos apresentar a seguinte definição:
Circunferência orientada é toda circunferência na qual convencionamos
como positivo um dos sentidos do percurso (horário ou anti-horário).
Neste livro, convencionamos como positivo o sentido anti-horário.
Exercício
7.
No caderno, esboce o desenho para representar, em uma circunferência de raio igual a 2, os arcos de comprimentos iguais a:
p
a) p
b) 2p
c) 2 3p
d)
4
2
Veja a resolução deste exercício no Manual do Professor.
Conceitos trigonométricos básicos
29
Circunferência trigonométrica
Denomina-se circunferência trigonométrica a circunferência orientada, de centro na
origem do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo raio tem 1 unidade de
comprimento e na qual o sentido positivo é o anti-horário.
À circunferência trigonométrica de centro O vamos associar um sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais, fixando o ponto A de coordenadas (1, 0) como origem dos arcos (conforme figura abaixo).
y
B
1
A9
21
O
1
Para refletir
Os pontos B, A e B correspondem
a quais pares ordenados?
A
x
1
origem
dos
arcos (1, 0)
2
B(0, 1); A(1, 0) e B(0, 1)
B9
y
p
2 B
y
908 B
2º
1º
quadrante quadrante
A9
O
3º
4º
quadrante quadrante
1808
2708
08 A
x
3608
B9
A9
p
2º
1º
quadrante quadrante
O
3º
4º
quadrante quadrante
0 A
2p
x
Ilustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
Os eixos x e y dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes congruentes chamadas
quadrantes, numeradas de 1 a 4 e contadas a partir de A, no sentido positivo.
3p B9
2
Observações:
1a) Os pontos A, B, A e B são pontos dos eixos e por isso não são considerados pontos dos quadrantes.
2a) Para todo ponto (x, y) pertencente à circunferência trigonométrica, temos 1  x  1 e 1  y  1.
3a) Analisando os arcos que medem de 08 a 3608 (ou de 0 a 2p rad), podemos afirmar, por exemplo, que:
• são do primeiro quadrante os arcos de medidas 308 5
(
p
;
2
5p
são do segundo quadrante os arcos de medidas 1208 5 2p , 1508 5
e todos os de medida entre
6
3
p
908 e 1808 ou
ep ;
2
4p
7p
são do terceiro quadrante os arcos de medidas 2108 5
, 2408 5
e todos os de medida entre
3
6
3p
1808 e 2708 ou p e
;
2
16p
5p
são do quarto quadrante os arcos de medidas 3008 5
, 3208 5
e todos os de medida entre
9
3
3p
2708 e 3608 ou
e 2p .
2
08 e 908 ou 0 e
•
•
•
)
p
p
p
, 458 5 , 608 5
e todos os de medida entre
6
4
3
30
)
(
(
(
Capítulo 2
)
)
4
Arcos côngruos (ou congruentes)
Toda vez que o ponto da circunferência, final do arco iniciado em (1, 0), é o mesmo para dois arcos diferentes (por exemplo, 0 e 2p), chamamos esses arcos de arcos côngruos ou congruentes. É conveniente notar
que todos os arcos côngruos diferem entre si de um múltiplo de 2p, que é o comprimento de cada volta.
y
Ilustrações técnicas: Banco de Imagens/
Arquivo da editora
y
A
Ao número
y
B
B
x
A
p
está
3
associado o ponto B.
Ao número
B
Fique atento!
x
1 2p também
3
está associado o ponto B.
x
A
p
Ao número
Observe que na
circunferência
trigonométrica há
vários números
reais associados
à mesma
extremidade
de arco.
p
1 2 ? 2p está
3
associado o mesmo ponto B.
Imaginando o ponto como um móvel que se desloca sobre a circunferência no sentido anti-horário, teríamos o seguinte:
p
na primeira figura, o ponto deslocou-se ou 608 de A até B;
3
p
na segunda figura, o ponto deslocou-se uma volta inteira (2p ou 3608) e mais ou 608, ou seja, des3
7p
locou-se
ou 4208;
3
p
13p
na terceira figura, o ponto deslocou-se duas voltas inteiras (2  2p ou 2  3608) e mais ou 608, ou seja,
3
3
ou 7808.
Supondo que o ponto se deslocasse k voltas inteiras, o número associado à extremidade B do arco AB
seria escrito assim:
Questione os alunos sobre o
p
que acontece quando k é
1 k ? 2p ou 608 1 k ? 3608, com k  Z
3
negativo. A circunferência é
•
•
•
percorrida no sentido horário.
Podemos então definir:
Dois arcos são côngruos ou congruentes quando suas
medidas diferem de um múltiplo de 2p rad ou 3608.
Exemplos de arcos côngruos:
(
)
a) 308 e 308 1 3608 ou p e p 1 2p
(
6
b) 458 e 458 1 2 ? 3608 ou
6
(
)
c) 608 e 608  3 ? 3608 ou p e p 2 3 ? 2p
)
p
p
e
1 2 ? 2p
4
4
No último exemplo, o sinal negativo significa que as três voltas
completas foram dadas no sentido horário. Dizemos, nesse caso, que
17p
608  3 ? 3608 5 1 0208 ou 2
são arcos negativos.
3
3
3
Para refletir
Com relação ao exemplo a, podemos afirmar
13p
p
.
e
que são côngruos: 308 e 3908 ou
6
6
E com relação ao exemplo b?
458 e 7658 ou p e 17 p .
4
4
Fique atento!
De modo geral:
• se um arco mede a8, os arcos côngruos a ele podem ser dados pela expressão a8 1 k ? 3608, com k  Z.
• se um arco mede x radianos, os arcos côngruos a ele podem ser dados pela expressão x 1 k ? 2p ou x 1 2kp, com k  Z.
• como a cada ponto da circunferência podem estar associados infinitos arcos côngruos, dizemos que o arco da 1a volta positiva
(entre 0 e 2p ou entre 08 e 3608), associado a um ponto da circunferência, é a primeira determinação positiva de qualquer arco
côngruo associado ao mesmo ponto.
Conceitos trigonométricos básicos
31
Exercícios resolvidos
2.
passo a passo: exercício 4
Pode-se, então, afirmar corretamente que o cofre
será aberto quando a seta estiver:
Escreva a expressão geral dos arcos côngruos aos
arcos de:
3p
rad.
a) 458;
b)
4
a) no ponto médio entre L e A.
b) na posição B.
c) na posição K.
Resolução:
a) expressão geral: a 1 k ? 3608
a 5 458
458 1 k ? 3608, com k  Z
1. Lendo e compreendendo
a) O que é dado no problema?
São dadas as informações sobre o funcionamento
do dispositivo de segurança e as instruções/operações para abrir o cofre.
b) expressão geral: x 1 2kp
3p
rad
x5
4
3p
1 2kp, com k  Z
4
3.
b) O que se pede?
Pede-se a posição da seta no momento em que se
abre o cofre.
Qual é o menor arco não negativo côngruo ao arco
de 1 3208, ou seja, qual é a 1a determinação positiva
do arco de 1 3208?
2. Planejando a solução
Conhecemos as operações a serem realizadas com o
disco menor e o sentido a ser tomado (horário ou anti-horário), então podemos adicionar os valores das operações de sentido anti-horário e subtrair o resultado do
valor da operação de sentido horário. E assim identificar
a posição em que a seta deve ficar. Nesse caso, estamos
considerando o sentido horário como positivo.
Resolução:
Devemos obter o menor valor não negativo de a tal
que a 1 k ? 3608 5 1 3208, com k  Z.
Então:
1 320 360
1 3208 5 2408 1 3608 ? 3
240 3
a
k
Logo, o arco pedido
mede 2408.
Para refletir
3. Executando o que foi planejado
Qual é o significado de um
número não negativo?
Sentido anti-horário: 2p 1 3p 5 17p
3
4
12
Sentido horário: 3p
2
3
Ângulos girados: p 2 17p 5 p
2
12
12
Um número positivo ou zero.
Fique atento!
Neste exercício dizemos que 2408 é a 1· determinação
positiva de 1 3208 ou que 1 3208 foi reduzido à 1· volta.
Assim, ao final do movimento, a seta estará na posição
p
rad 5 158 no sentido horário, a partir de A, ou seja,
12
no ponto médio entre A e L.
(Unifor-CE) O dispositivo de segurança de um cofre
tem o formato da figura abaixo, onde as 12 letras
A, B, ..., L estão igualmente
D
E
C
espaçadas (o ângulo cenF
B
tral entre duas letras vizinhas é o mesmo) e a posiG
A
ção inicial da seta, quando
H
L
o cofre se encontra fechaI
K
J
do, é a indicada.
Para abrir o cofre, são necessárias três operações
(o segredo), girando o disco menor (onde a seta
está gravada), de acordo com as seguintes instruções, a partir da posição indicada:
1) 2 p no sentido anti-horário.
3
2) 3 p no sentido horário.
2
3
p no sentido anti-horário.
3)
4
32
Capítulo 2
Banco de Imagens/Arquivo da editora
Resolvido passo a passo
4.
d) em algum ponto
entre J e K.
e) na posição H.
4. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa a.
5. Ampliando o problema
a) Certo casal comprou um dispositivo de segurança
idêntico ao citado na questão e determinou que o
segredo seria composto das letras iniciais do nome
dela, dele e do filho, que são, respectivamente, L, H e
L. Sendo assim, quais operações serão necessárias
para abrir o cofre? (Sabe-se que a seta parte de A.)
Girar 308 no sentido horário, girar mais 1208 no sentido
horário e, por fim, 1208 no sentido anti-horário.
b) Desafio em equipe
Montem equipes encarregadas de criar segredos em
um dispositivo similar ao da questão, seguindo os
mesmos modelos de instruções. Depois de criarem
os segredos, troquem os projetos entre si e se desafiem a conseguir abrir o cofre mais rapidamente. O
que o fizer no menor tempo será o vencedor.
Exerc’cios
8.
9.
Atividade
em dupla
Atividade
em equipe
Escreva no caderno a expressão geral dos arcos congruentes a:
5p
+ 2kp,
5p
a) 608 608 1 k ? 3608,
c)
rad 4
com k  Z
com k  Z
4
11p
1208 1 k ? 3608,
11p
b) 1208 com k  Z
d)
rad 6 + 2kp,
6
com k  Z
Dê a expressão geral, em radianos, dos arcos de
extremidades nos pontos indicados, considerando
a origem em A:
y
a)
x5
P
308
O
A
x
11.
c) Quanto mede o menor arco não negativo côngruo de 2 6508? 1308
d) Qual é a expressão geral dos arcos côngruos
14 p 2p
+ 2kp, com k  Z
?
de
3
3
p
12kp, com k  Z
6
12.
y
b)
458
(PUC-MG) Ao projetar prédios muito altos, os
engenheiros devem ter em mente o movimento
de oscilação, que é típico de estruturas de arranha-céus. Se o ponto mais alto de um edifício de
1 8
400 m descreve um arco de
, a medida do
2
arco descrito por esse ponto, em metros, é:
()
P
O
Respondam no caderno:
7p
a) Convertendo
rad em graus, quanto obte4
mos? 3158
b) Qual é o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 608 contido em
p
uma circunferência de raio r 5 1,5 cm? 2 cm
A
x
x5
p
12kp, com k  Z
4
a) p.
3p
.
4
4p
c)
.
3
10p
x d)
.
9
11p
e)
.
10
b)
c)
y
P
1208
A
O
x
x5
2p
12kp, com k  Z
3
13.
y
d)
O
2608 A
x
x 52
p
12kp, com k  Z
3
P
Ilustrações técnicas desta página: Banco de Imagens/Arquivo da editora
10.
Encontrem a 1a determinação, ou seja, o menor
valor não negativo côngruo ao arco de:
a) 7808 608
b) 1 1408 608
c) 4008 3208
História
Em 1792, durante a Revolução Francesa, houve na França uma reforma de pesos e medidas que culminou na
adoção de uma nova unidade de medida de ângulos.
Essa unidade dividia o ângulo reto em 100 partes
iguais, chamadas grados. Um grado (1 gr) é, então, a
unidade que divide o ângulo reto em 100 partes iguais,
e o minuto divide o grado em 100 partes, bem como
o segundo divide o minuto também em 100 partes.
Tudo isso para que a unidade de medição de ângulos
ficasse em conformidade com o sistema métrico decimal. A ideia não foi muito bem-sucedida, mas até
hoje encontramos na maioria das calculadoras científicas as três unidades: grau, radiano e grado.
Com base no texto acima, respondam no caderno:
d)
15p
rad 3p rad
2
2
a) A quantos grados equivale meia volta de circunferência? E uma volta inteira? 200 grados;
e)
4p
10p
rad 3 rad
3
b) Em qual quadrante termina o arco trigonométrico de 250 gr? No 3o quadrante.
f)
9p
rad
2
p
rad
2
400 grados
200
c) A quantos grados equivale 1 rad? p grados
d) A quantos graus equivale 1 gr? 0,98
Conceitos trigonométricos básicos
33
3
01
CAPÍTULO
CAPÍTULO
Funções
Conjuntos
trigonométricas
numéricos
curtoicurto/iStock.com/Getty Images
NASA/Corbis/Latinstock
01_03_2CAMat18A_f001: NOVA Foto de relógio de
pêndulo bem bonito, pois entrará na abertura do
capítulo. (página 33).
Relógio de pêndulo. O movimento periódico e
oscilatório de um pêndulo pode ser descrito por meio
de uma função trigonométrica. Esse tipo de função
representa modelos aproximados, porém muito
importantes, dos fenômenos estudados.
34
Usaremos nesta coleção a notação tan x no lugar de tg x, cot x no lugar de cotg x e csc x no lugar de cossec x, pois seguiremos as normas da
Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), ISO 80 000-2, válidas a partir de 17/8/2012, em que, na parte de Grandezas e unidades (Parte 2:
Sinais matemáticos e símbolos a serem utilizados nas Ciências Naturais e Tecnologia, p. 17), consta que convém que tg x não seja utilizado.
1
A ideia de seno, cosseno e tangente
de um número real
Provavelmente, no 1o ano do Ensino Médio, foram definidos os valores sen a, cos a e tan a apenas para
p
ângulos agudos, ou seja, para 0  a  , com a indicando a medida do ângulo em radianos.
2
Para esses valores de a foram demonstradas duas importantes relações:
Fique atento!
sen2 a 1 cos2 a 5 1
tan a 5
e
sen a
cos a
Você poderá encontrar em testes,
livros traduzidos, questões de
vestibular e em outras fontes de
consulta a notação tg x referindo-se
à tangente de x.
No primeiro capítulo deste volume, os valores de sen a, cos a e
p
tan a foram estendidos para a 5 0 (ângulo nulo), a 5
(ângulo reto) e
2
p
 a  p (ângulos obtusos) para possibilitar a resolução de triângulos quaisquer, mas sem a justifica2
tiva desses valores.
Neste capítulo, vamos considerar as funções cos t e sen t definidas para todo número real t, ou seja,
definir cosseno e seno de um nœmero, em vez de um ângulo; o que é obtido por meio de uma função f cujo
domínio é o conjunto R dos números reais e cujo contradomínio é a circunferência trigonométrica, já definida no capítulo anterior.
Nesse caso, para cada número real t associamos um único ponto P(t) da circunferência trigonométrica,
assim determinado:
• se t 5 0, então o ponto P coincide com A(1, 0):
y
2
1
p
2
p
4
A ; P(1, 0)
O
21
–2
x
p
4
p
2
2
2
• se t . 0, medimos na circunferência trigonométrica, a partir do ponto A (1, 0), um arco de comprimento t,
no sentido positivo (como já definimos, sentido anti-horário). A extremidade desse arco é o ponto P(t).
Exemplos:
a)
y
P
O
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
b)
2
p
2
A
21
–2
P
1
p
4
p
4
p
2
2
2
y
x
2
1
O
c)
y
2
P
–2
p
4
p
2
2
2
x
O ponto P está associado
ao número real p .
2
p
2
1p
4
O
A
21
O ponto P está associado
ao número real p .
4
p
2
p
4
x
A
21
–2
p
4
p
2
2
2
Ao número 1 associamos
o ponto P.
Funções trigonométricas
35
• se t  0, medimos na circunferência trigonométrica, a partir do ponto A (1, 0), um arco de comprimento t, no
sentido negativo (como já definimos, sentido horário). A extremidade desse arco é o ponto P(t).
y
a)
b)
2
p
2
p
4
1
O
x
p
4
p
2
2
2
21
–2
2
p
2
p
4
1
A
O
A
P
y
O ponto P está associado
p
ao número real 2 .
21
4
c)
y
2
p
2
p
4
1
O
A
p
4
p
2
2
2
P 21
–2
–2
p
4
p
2
2
2
x
Ao número real 2 p
2
associamos o ponto P.
x
O número real 21 está
associado ao ponto P.
Assim:
Para cada número real t fica associado um ponto P, chamado de imagem de t
na circunferência trigonométrica e que representa, também, a extremidade do
» , cuja medida é t radianos.
arco trigonométrico AP
R
Com essa função, definimos cosseno e seno de um número real t: dado t  R, seja P(t) 5 (x, y), temos, por definição,
cos t 5 x e sen t 5 y.
y
p
2
P(cos t, sen t)
321
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
t
sen t
0
f p
→
1
cos t
t
O
sen t 5 ordenada de P
cos t 5 abscissa de P
0 ; 2p x
(1, 0)
tan t 5
sen t
(com sen t Þ 0)
cos t
3p
2
Observações:
1a) O eixo das abscissas é também chamado eixo dos cossenos e o eixo das ordenadas é também chamado eixo dos senos.
2 a) Quando 0  t  p, observamos que cos t 5 cos a e sen t 5 sen a, em que a é o ângulo que tem o
vértice na origem O e cujos lados são o semieixo positivo das abscissas e a semirreta que sai da
origem e passa pelo ponto P. Assim, temos a conexão entre cosseno e seno de um número real e
cosseno e seno de um ângulo.
36
Capítulo 3
2
Valores notáveis do seno e do cosseno
Observe nas figuras a seguir os pontos A(1, 0), B(0, 1), A9(21, 0) e
B9(0, 21). Lembrando que a abscissa do ponto P é o cosseno e a ordenada é o seno, temos:
Para refletir
Por que o nome “valores notáveis”?
Notável: digno de ser notado, de atenção.
y
x 5 0 (0)
A;P
O
sen 0 5 0
x
cos 0 5 1
y
x 5
B;P
1
A
O
sen
x
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
cos
p
(908 )
2
y
p
51
2
A
O
x
x5
3p
(2708 )
2
sen
3p
5 21
2
cos
3p
50
2
21
p
50
2
B9; P
y
y
x 5 2p (360)
x 5 p (180)
A9; P
A
sen p 5 0
x
O
x
A⬅P
O
sen 2p 5 0
cos 2p 5 1
cos p 5 21
Veja a tabela com os valores notáveis do seno e do cosseno:
x
0
sen x
0
cos x
1
p
6
(30)
p
4
(45)
p
3
(60)
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
p
2
(90)
p (180)
3p
2
(270)
2p (360)
1
0
21
0
0
21
0
1
Funções trigonométricas
37
3
Redução ao 1o quadrante
Sabendo os valores da tabela da página anterior e usando a simetria dos pontos da circunferência, podemos obter valores de seno e cosseno de arcos em todos os quadrantes.
Observe como usar a simetria nas figuras a seguir.
y
2p
(1208)
3
608
608
y
p
(608)
3
1358
458
x
x
O
O
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Arcos no 2o quadrante
Para determinar o seno ou o cosseno de um ângulo do 2o quadrante, basta compará-lo com o ângulo
correspondente do 1o quadrante.
sen (p 2 x) 5 sen x
cos (p 2 x) 5 2cos x
Arcos no 3o quadrante
y
308
O
y
308
p
6
p
(308)
6
x
x
O
7p
(2108)
6
7p
6
Para determinar o seno ou o cosseno de um ângulo do 3o quadrante, basta compará-lo com o ângulo
correspondente do 1o quadrante.
sen (p 1 x) 5 2sen x
cos (p 1 x) 5 2cos x
Arcos no 4o quadrante
y
y
608
p
(458)
4
O
458
458
x
x
O
7p
(3158)
4
3008
Para determinar o seno ou o cosseno de um ângulo do 4 o quadrante, basta compará-lo com o ângulo
correspondente do 1o quadrante.
sen (2p 2 x) 5 2sen x
cos (2p 2 x) 5 cos x
Como o arco 2p coincide com o arco 0, então, temos que:
sen (2p 2 x) 5 sen (0 2 x) 5 sen (2x) 5 2sen x
cos (2p 2 x) 5 cos (0 2 x) 5 cos (2x) 5 cos x
38
Capítulo 3
Arcos maiores do que 360 (fora da 1a volta)
Ilustrações técnicas desta página: Banco de
imagens/Arquivo da editora
y
y
7508
(côngruo
a 308)
3908
(côngruo
a 308)
x
Fique atento!
Quando o ponto da circunferência
final do arco iniciado em (1, 0) é o
mesmo para dois arcos diferentes,
por exemplo 0 e 2p, chamamos
esses arcos de arcos côngruos, ou
congruentes.
x
O
O
Para determinar o seno ou o cosseno de um arco fora da 1a volta, basta considerar seu côngruo na 1a volta.
Exercício resolvido
1.
Calcule o valor de:
2␲
b) cos 135
a) sen
3
c) sen 210
Fique atento!
d) cos 300
Perceba os sinais de seno e
cosseno em cada quadrante:
Resolução:
2␲
␲
3
a) sen
⫽ ssen
⫽
n
3
3
2
⫺ 2
b) cos 135⬚ ⫽ ⫺ cos 45⬚ ⫽
2
Exercícios
1.
2.
Atividade
em dupla
⫺1
c) sen
30⬚ ⫽
n 210⬚ ⫽ ⫺ ssen 3
2
1
d) coss 300⬚ ⫽ ccos 6
60⬚ ⫽
2
cos x ⫽⫺
4
5
4.
a) sen a  0 e cos a  0?
3o quadrante
b) sen a . 0 e cos a . 0?
1o quadrante
c) sen a  0 e cos a . 0?
4o quadrante
6.
a) sen
5.
37␲
6
1
2
1
4␲ ⫺ 3
c) sen 330 ⫺
2
2
3
Use os valores notáveis do cosseno e calcule fazendo redução ao 1‚ quadrante:
a) cos
2␲ ⫺ 1
5␲ ⫺ 3
c) cos
2
2
3
6
b) cos 315
2
2
d) cos 330
3
2
e) cos
5␲ ⫺ 2
2
4
1
f ) cos 240 ⫺
2
c) sen 6p 0
7.
19␲
4
2
2
e) sen 630 21
( ␲3 )
f) sen ⫺
−
3
2
Calculem os possíveis valores reais de x em:
Veja as respostas na seção Respostas.
a) sen x 5 21
b) sen x 5
8.
d) sen
2
2
b) sen (2225)
2o ou 3o
3
5
?
d) sen a 5
? 1o ou 2o
b) cos a 5 −
3
3
␲
Determine cos x sabendo que
 x  p e
2
3
sen x 5 . (Lembre-se de que sen2 x 1 cos2 x 5 1.)
5
Use os valores notáveis do seno para calcular pela
redução ao 1‚ quadrante:
b) sen
2 1
2 1
Use os valores notáveis do seno e calcule:
A que quadrante pode pertencer a se:
5␲ 1
6 2
1 1
2 2
ATENÇÃO!
Não escreva
no seu livro!
Em que quadrante temos simultaneamente:
a) sen
cosseno
Atividade
em equipe
1
a) sen a 5 − ? 3o ou 4o c) cos a 5 2 ? 1o ou 4o
4
5
3.
seno
c) sen x 5 ⫺
2
2
1
2
d) sen x 5 0
Calcule usando arcos côngruos:
a) cos
9␲
4
2
2
b) cos (2330)
c) cos
9␲
2
0
1
d) cos 1 140 2
e) cos
3
2
25␲
6
f) cos [⫺
3
2
15␲
]
4
2
2
g) cos 11p 21
3
h) cos 570 ⫺
2
Funções trigonométricas
39
4
A ideia geométrica de tangente
Dado um arco AP de medida x na circunferência trigonométrica, definimos tangente de x como o valor obtido assim:
sen x
, para cos x Þ 0
tan x 5
cos x
Geometricamente, o cosseno de x é a abscissa de P, e o seno de x é a ordenada de P.
Vejamos agora o significado geométrico de tangente de x.
Para isso, vamos considerar na circunferência trigonométrica a reta t, tangente à circunferência no ponto A,
com a mesma orientação do eixo y.
Observe as figuras com P em cada um dos quadrantes:
t
y
y
B
B
P
x
R
T
T
A9
O
t
R
A
x
O
A9
A
P
B9
t
y
t
B
B
P
x
A9
R
O
O
A
B9
A
P
T
x
R
A9
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y
B9
T
B9
Para refletir
Justifique que nORP , nOAT.
OBRP ≡ OBAT (reto)
P BOR ≡ TO
B R (comuns ou opostos pelo vértice)
Em todos os casos, nORP e nOAT são semelhantes. Dessa semelhança, vem:
PR
OR
5
TA
TA
sen x
ou
5
OA
1
cos x
TA
TA
sen x
5
5 TA, então temos tan x 5 TA, ou seja,
5 tan x (com cos x Þ 0) e tan x 5
1
OA
cos x
geometricamente a tan x é TA, medida algébrica de Tt A.
Como
Observação: Medida algébrica de Tt A significa que ela pode ser positiva, negativa ou nula.
Se T é o encontro das retas O
$ P% e t, no caso de essas retas serem paralelas, não existe TA, por isso também
não existe tan x.
p
3p
p
3p


Por exemplo, tan
e tan
não existem  perceba que cos 5 0 e cos
5 0 .


2
2
2
2
40
Capítulo 3
Valores notáveis da tangente
y
t
t
y
P⬅B
B
x 5
x50
x
A9
O
A x
A9
tan 0 5 0
P⬅A
O
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Não é definida
p
a tan .
2
B9
B9
y
y
t
B
t
B
x 5
x5p
A x
P ⬅ A9
p
2
O
A x
A9
Não é definida
3p
a tan
.
2
O
tan p 5 0
3p
2
P ⬅ B9
B9
y
t
B
x 5 2p
x
A9
O
P⬅A
tan 2p 5 0
B9
Temos, então, a tabela com os valores notáveis da tangente:
x
0
p (30)
6
p (45)
4
p (60)
3
p (90)
2
p (180)
3p (270)
2
2p (360)
tan x
0
3
1
3
não é
definida
0
não é
definida
0
3
Para o cálculo dos valores das tangentes de ângulos no 2o, 3o e 4 o quadrantes, procedemos exatamente
da mesma maneira que fizemos com senos e cossenos: sabendo o sinal da tangente em cada quadrante,
basta reduzir cada arco desejado ao 1o quadrante para saber o valor da tangente desse arco.
Funções trigonométricas
41
Acompanhe as simetrias nas figuras abaixo.
y
3p
4
p
4
t
p
6
Fique atento!
1
x
O
21
tan
t
y
Comparação de um arco
do 2o quadrante com um
correspondente do
1o quadrante.
tan (p 2 x) 5 2tan x
O
3
3
x
7p
6
3p
p
5 2 tan 5 2 1
4
4
tan
Fique atento!
Comparação de um arco
do 3o quadrante com
um correspondente do
1o quadrante.
tan (p 1 x) 5 tan x
7p
p
3
5 tan 5
6
6
3
t
y p
3
3
Fique atento!
x
O
2
5p
3
tan
3
Comparação de um arco
do 4o quadrante com
um correspondente do
1o quadrante.
tan (2p 2 x) 5 2tan x
Observe também que
tan (2x) 5 2tan x.
5p
p
5 2 tan 5 2 3
3
3
y
2
1
1
2
x
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Como a reta t é orientada “para cima”, a tangente é positiva quando P é do 1o‚ ou do 3o‚ quadrante; é negativa
quando P é do 2o‚ ou do 4o‚ quadrante. Assim, sabemos o sinal da tangente em qualquer quadrante.
Exerc’cios
9.
Calcule o valor de (use os valores notáveis, redução
ao 1‚ quadrante e arcos côngruos):
a) tan 180 0
e) tan 45 1
b) tan 0 0
f ) tan 60 3
g) tan 210
d) tan 90
h) tan 300 2
Não é definida.
42
Capítulo 3
3
l) tan
5p
3
2
3
6
Represente a expressão geral de x para que se tenha
tan x 5 1. x [ R | x 5 p 1 kp, com k [ Z
4
11.
Determine x nos seguintes casos, com x  R:
Veja as respostas na seção Respostas.
a) tan x 5 3
( )
3
3
c) tan 30 3
3
3p
i) tan
4 21
4p 3
j) tan
3
5p 3
k) tan 2
6 3
10.
b) tan x 5 21
12.
Determine o valor de tan 1 935. 21
5
Estudo da fun•‹o seno
Dado um número real x, podemos associar a ele o valor do seno de um ângulo (ou arco) de x radianos:
R
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R
Im
y 5 sen x
x1
sen x1
p
4
2
2
Fique atento!
Para cada valor real
de x existe sempre um
único valor real para
sen x.
Assim, definimos a função trigonométrica seno como a função real de
variáveis reais que associa a cada número real x o valor real sen x, ou seja,
f: R → R
x → f(x) 5 sen x
Já estudamos o processo que permite associar um número real x à medida x de um ângulo (ou arco) para
posterior obtenção do valor sen x. Estudamos também como obter os valores de sen x para quaisquer valores
x de medidas de ângulos (ou arcos). Lembramos que x, medida de ângulo (ou arco), é expresso em radianos.
Gráfico da função seno
Para construir o gráfico da função seno, primeiro elaboramos uma tabela com valores de x da 1a volta
positiva. O seno, em alguns casos, será usado com valores aproximados.
x
0
sen x
0
sen x
0
x
p
p
p
p
2p
3p
5p
6
4
3
2
3
4
6
1
2
3
2
2
2
0,5
0,7
0,9
1
1
3
2
1
2
2
2
0,9
0,7
0,5
7p
5p
4p
3p
5p
7p
11p
6
4
3
2
3
4
6
1
sen x
2
sen x
20,5
2
2
2
2
20,7
2
3
2
20,9
21
21
2
3
2
20,9
2
2
2
20,7
2
1
2
20,5
p
0
0
2p
0
0
Funções trigonométricas
43
y
1
0,9
0,7
0,5
7p 5p
6 4
p
6
0
p
4
p
3
p
2
2p
3
3p 5p
4 6
4p
3
3p
2
5p
3
7p
4
11p
6
x
p
2p
20,5
20,7
20,9
21
Como a função f(x) 5 sen x é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é R, a curva
pode ser estendida para valores de x menores do que zero e maiores do que 2p. Assim, o gráfico da função
f: R → R, definida por f(x) 5 sen x, é a curva chamada senoide, que tem o seguinte aspecto:
y
p
2
2
2p
22p
24p
2
3p
2
1
0
p
2
3p
2
p
x
2p
4p
21
Fique atento!
O gráfico de f(x) 5 sen x é simétrico
em relação à origem.
Periodicidade da fun•‹o seno
y
1
x
0
22p
2p
4p
21
período (p)
período (p)
Observando o gráfico da função seno, vemos que a função
repete periodicamente seus valores nos intervalos …, [22p, 0],
[0, 2p], [2p, 4p], … Daí dizermos que a função seno é periódica.
Veja no gráfico que:
sen x 5 sen (x 1 2p) 5 sen (x 1 4p) 5 … para todo x  R
período (p)
Fique atento!
Uma função f: R → R chama-se periódica quando
existe um número p Þ 0 tal que f(t 1 p) 5 f(t) para
todo t  R. Quando isso ocorre temos f(t 1 kp) 5 f(t)
para todo t  R e todo k  Z. O menor número p . 0
tal que f(t 1 p) 5 f(t) para todo t  R chama-se
período da função f.
Dizemos então que o período da função seno é 2p e indicamos assim: p 5 2p.
Para encontrar o período basta observar no gráfico o deslocamento horizontal necessário para que ele
comece a se repetir.
44
Capítulo 3
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
Veja o gráfico inicialmente para x  [0, 2p] e depois para x  R:
Sinal da função seno
Observando o sinal da função seno, vemos que a função é positiva para valores do 1o e 2o quadrantes
e negativa para valores do 3o e 4o quadrantes.
Banco de imagens/Arquivo da editora
y
1
p
2
Para refletir
Quais são os valores de
sen x para
x 5 0, x 5
1
p
0 x
p
3p
, x 5 p, x 5
e
2
2
seus arcos côngruos?
2p
2
2
x 5 0 1 2kp ⇒ sen x 5 0;
p
x5
1 2kp ⇒ sen x 5 1;
2
x 5 p 1 2kp ⇒ sen x 5 0;
3p
x5
1 2kp ⇒ sen x 5 21
2
3p
2
Observações sobre a função seno:
1a) Função seno é a função de R em R definida por f(x) 5 sen x.
2a) A função seno tem D 5 R e Im 5 [21, 1].
3a) A função seno não é injetiva nem sobrejetiva.
4a) A função seno é função ímpar, isto é, sen (2x) 5 2sen x, para todo x real.
Fique atento!
x é a medida do arco
em radianos.
5a) A função seno é periódica de período p 5 2p.
6a) • sen x 5 0, para x 5 kp, com k  Z.
p
1 2kp, com k  Z.
2
3p
• sen x  0, para x do 3o e 4o quadrantes e para x 5
1 2kp, com k  Z.
2
• sen x . 0, para x do 1o e 2o quadrantes e para x 5
Exercício resolvido
2.
Determine os valores reais que m pode assumir para que exista um número real x que satisfaça a igualdade sen x 5 2m 2 3.
Resolução:
Condição: 21 < sen x < 1 ⇒ 21 < 2m 2 3 < 1
Resolvendo a dupla desigualdade, temos:
21 < 2m 2 3 < 1 ⇒ 21 1 3 < 2m < 1 1 3 ⇒ 2 < 2m < 4 ⇒ 1 < m < 2
Logo, os valores de m são dados pelo conjunto {m  R | 1 < m < 2}.
Exercício
13.
Determine os valores reais de m para os quais as seguintes equações tenham solução:
c) sen x 5 m2 2 1 {m [ R | 2 2 ø m ø 2
a) sen x 5 2m 2 7 {m  R | 3 < m < 4}
b) sen x 5 3m 2 2 m [ R | 1 ø m ø 1

3

}
d) 4m 1 sen x 5 1 m [ R | 0 ø m ø 1 

2
Funções trigonométricas
45
6
Estudo da função cosseno
Dado um número real x, podemos associar a ele o valor do cosseno de um ângulo (ou arco) de x radianos:
Banco de imagens/Arquivo da editora
R
R
Im
y 5 cos x
x1
cos x1
p
2
0
Fique atento!
Para cada valor real de x
existe sempre um único
valor real para cos x.
Assim, definimos a função trigonométrica cosseno como
a função real de variáveis reais que associa a cada número real
x o valor real cos x, ou seja:
f: R → R
x → f(x) 5 cos x
Já estudamos o processo que permite associar um número real x à medida x de um ângulo (ou arco) para
posterior obtenção do valor cos x. Estudamos também como obter os valores cos x para quaisquer valores x
de medidas de ângulos (ou arcos). Lembramos que x, medida de ângulo (ou arco), é expresso em radianos.
Gráfico da função cosseno
Vamos construir o gráfico da função f(x) 5 cos x, inicialmente para x  [0, 2p] e depois para x  R.
Alguns valores de cos x serão aproximados.
x
0
p
p
p
p
2p
3p
5p
6
4
3
2
3
4
6
cos x
1
3
2
1
2
2
2
0
2
0,9
0,7
0,5
0
20,5
1
2
2
cos x
1
x
7p
5p
4p
3p
5p
7p
6
4
3
2
3
4
cos x
2
cos x
46
Capítulo 3
3
2
20,9
2
2
2
20,7
2
1
2
20,5
0
0
2
2
20,7
3
2
p
21
2
20,9
21
11p
6
2p
1
1
2
3
2
2
2
0,5
0,7
0,9
1
Ilustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
Veja o gráfico inicialmente para x  [0, 2p] e depois para x  R.
y
1
0,9
0,7
0,5
0
p p p
6 4 3
2p 3p 5p
3 4 6
p
2
p
7p 5p 4p
6 4 3
x
3p
2
2p
5p 7p 11p
3 4 6
20,5
20,7
20,9
21
Como a função f(x) 5 cos x é definida no conjunto dos números reais, ou seja, seu domínio é R, a curva
pode ser estendida para valores de x menores do que zero e maiores do que 2p. Assim, o gráfico da função
f: R → R, definida por f(x) 5 cos x, é a curva chamada cossenoide, que tem o seguinte aspecto:
1
2
24p
22p
3p
2
2
y
p
2
p
2
2p
0
Fique
atento!
3p
2
p
O gráfico de
f(x) 5 cos x é
simétrico em
relação ao
eixo y.
x
2p
4p
21
Observações sobre a função cosseno:
p
unidade para a direita. Observe na
2
p
senoide da página 43 que, se colocarmos o eixo y no ponto de abscissa x 5 , teremos exatamente o
2
gráfico da cossenoide. Isso faz com que a maioria dos aspectos relevantes da função cosseno seja a
mesma da função seno.
1a) A cossenoide não é uma nova curva, e sim uma senoide transladada
2a) O domínio é o mesmo: f: R → R tal que f(x) 5 cos x tem D 5 R.
3a) A imagem é a mesma: f: R → R tal que f(x) 5 cos x tem Im 5 [21, 1].
4a) O período é o mesmo: a função cosseno é periódica de período p 5 2p.
5a) A função cosseno também não é nem injetiva nem sobrejetiva.
As diferenças entre a função cosseno e a função seno ficam por conta dos aspectos que dependem dos valores
p
das imagens associados aos domínios, que transladam unidade. Por exemplo, a função seno é ímpar e a função
2
cosseno é par, pois cos (2x) 5 cos x, para todo x do D(f) 5 R.
Sinal da função cosseno
Observando o sinal da função f(x) 5 cos x, vemos que a função cosseno
é positiva para valores do 1 o e 4 o quadrantes e negativa para valores do 2o e
3o quadrantes.
Para refletir
y
p
2
2
1
2
1
p
3p
p
Quais são os valores de cos x para x 5 0, x 5 , x 5 p, x 5
e seus arcos côngruos?
2
2
x 5 0 1 2kp → cos x 5 1; x 5
3p
p
1 2kp → cos x 5 0; x 5 p 1 2kp → cos x 5 21; x 5
1 2kp → cos x 5 0
2
2
0 x
2p
3p
2
Funções trigonométricas
47
Exercícios
Veja as respostas dos exercícios 14, 15 e 16 na seção Respostas.
14. Determine os valores reais de m para que exista um
16.
número real x que satisfaça as seguintes igualdades:
15.
a) cos x 5 2m 1 5
c) cos x 5 1 2 m2
b) cos x 5 3m 1 4
d) cos x 1 5m 5 6
Considerando f e g funções de R em
f(x) 5 sen x e g(x) 5 cos x:
f
␲
␲
a) calcule f(p), g(p), f
,
⫺g
3
4
g
Para sen x 5 21, que é o valor mínimo de sen x, temos:
y 5 2 1 3(21) 5 21
R tal que
Para sen x 5 1, que é o valor máximo de sen x, temos:
( ) ( ) (( ))
3␲
3␲
;
f (⫺
e g (⫺
4 )
4 )
␲
6 ,
␲
6
y5213?155
Logo, ymín. 5 21 e ymáx. 5 5.
Agora é com você: Determine os valores máximo e
mínimo de y em cada item:
a) y 5 sen x 2 10
b) determine x  [0, 2p] tal que f(x) 5 g(x);
b) y 5 6 2 10 ? cos x
␲
c) determine se existe x  R tal que
xpe
2
c) y 5 3 ? cos2 x 1 1
f(x) 5 g(x) (justifique sua resposta).
7
Senoides
Veja como determinar os valores máximo e mínimo
da função y 5 2 1 3 ? sen x.
d) y 5 sen x 1 cos x
Assunto
opcional
Além das funções trigonométricas estudadas existem outras que envolvem seno e cosseno, que chamaremos senoides. Por exemplo, as funções f e g tal que:
a) f(x) 5 2 1 cos x, com x  R.
b) g(x) 5 sen 2x, com x  R.
Os movimentos das marés, da radiação eletromagnética, da luz visível, dos pêndulos, das molas, são
fenômenos físicos periódicos.
As funções trigonométricas, principalmente as senoides, são ótimas para descrever aproximadamente
tais fenômenos, uma vez que são funções periódicas. Mesmo que sejam modelos aproximados dos fenômenos reais, são importantes pela sua simplicidade: neles são necessáEqua•‹o: sentença matemática que
rios apenas 4 parâmetros para ajustar, de forma bastante razoável, uma
apresenta o sinal de igualdade (5) e
senoide a um fenômeno periódico.
uma ou mais incógnitas que representam números desconhecidos.
Essa relação dos fenômenos periódicos com as senoides se deve ao
fato de que, quando um ponto teórico P(x, y) percorre a circunferência
eixo dos senos
trigonométrica, ele está descrevendo um fenômeno periódico. Assim,
P
P0
quando se projeta o ponto P no eixo horizontal (abscissas), tem-se um
movimento de equação x 5 cos a e, quando se projeta o ponto P no
eixo dos
cossenos
a
eixo vertical (ordenadas), tem-se um movimento de equação y 5 sen a.
Os parâmetros de ajuste, descritos abaixo, servem apenas para adaptar
os valores aos fenômenos reais.
Dessa forma, já se demonstrou que é possível associar a qualquer movimento periódico uma função seno do tipo f(x) 5 a 1 b ? sen (cx 1 d) ou
P9
f(x) 5 a 1 b ? cos (cx 1 d), cuja imagem é dada por [a 2 |b|, a 1 |b|] e cujo
2␲
período é dado por
. Na descrição dos fenômenos periódicos, em geral
c
se opta por valores b e c positivos, de forma que a imagem da senoide
2␲
nesses casos passa a ser [a 2 b; a 1 b], e o período fica sendo .
c
48
Capítulo 3
Fique atento!
Na seção Matemática e tecnologia
você encontrará a indicação de um
software com o qual você poderá
visualizar as propriedades dessa
função.
Banco de imagens/Arquivo da editora
As senoides e os fenômenos periódicos
Exercícios resolvidos
3.
passo a passo: exerc’cio 6
Sendo f(x) 5 2 1 cos x, com x  R, e g(x) 5 sen 2x, com x  R, determine f
( p3 ) e g( p2 ).
Resolução:
f
4.
( p3 ) 5 2 1 cos p3 5 2 1 21 5 25
g
( p2 ) 5 sen (2 ? p2 ) 5 senp 5 0
Construa e analise os gráficos da função f(x) 5 3 ? sen x dando seu domínio, sua imagem e seu período. (Construa apenas um período completo.)
Resolução:
5.
3 ? sen x
y 5 f (x)
0
0
3?050
0
1
3?153
3
1
0
21
2
p
3p
2
2p
0
3?050
0
21
3(21) 5 23
23
0
3?050
0
Banco de imagens/Arquivo da editora
Verifique que
mudanças
ocorreram nos
gráficos de:
f(x) 5 3 ? sen x
com relação a
f(x) 5 sen x.
sen x
p
Fique
atento!
y
x
3
f(x) 5 3 ? sen x
p
2
p
3p
2
x
2p
f(x) 5 sen x
23
D 5 R, Im 5 [23, 3], p 5 2p
(FGV-SP) Um supermercado, que fica aberto 24 horas por dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada
3 horas. Com base nos dados observados, estima-se que o número de clientes possa ser calculado pela função trigox ?p
nométrica f (x ) 5 900 2 800 sen
, onde f(x) é o número de clientes e x, a hora da observação (x é um inteiro
12
tal que 0 < x < 24). Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número máximo e o número mínimo
de clientes dentro do supermercado, em um dia completo, é igual a:
( )
a) 600.
d) 1 500.
b) 800.
e) 1 600.
c) 900.
Resolução:
Precisamos do valor máximo e do mínimo da função, obtendo depois a diferença.
Lembrando que 21 < sen a < 1, para obter o máximo e o mínimo valor de uma senoide, basta calcular o valor
de f(x) para quando o seno valer 1 e 21. Depois, comparando os dois valores para estabelecer qual é o mínimo
e qual é o máximo.
( )
x?p
5 1 , f(x) valerá 900 2 800 ? 1 5 100; portanto, a estimativa é de que teremos
12
100 pessoas no supermercado.
Quando tivermos sen
Quando tivermos sen
( x 12? p ) 5 21, f(x) valerá 900 2 800 ? (21) 5 1 700; portanto, a estimativa é de que teremos
1 700 pessoas no supermercado.
Logo, o mínimo estimado são 100 pessoas, e o máximo estimado são 1 700 pessoas. A diferença procurada é
equivalente a 1 600 pessoas.
Alternativa e.
Funções trigonométricas
49
Resolvido passo a passo
6.
(UCS-RS) A pressão arterial P (em mmHg) de uma pessoa varia, com o tempo t (em segundos), de acordo com a função
definida por P(t) 5 100 1 20 cos (6t 1 p), em que cada ciclo completo (período) equivale a um batimento cardíaco.
Considerando que 19p . 60, quais são, de acordo com a função, respectivamente, a pressão mínima, a pressão
máxima e a frequência de batimentos cardíacos por minuto dessa pessoa?
a) 80, 120 e 57.
b) 80, 120 e 60.
c) 80, 100 e 19.
e) 100, 120 e 60.
d) 100, 120 e 19.
1. Lendo e compreendendo
a) O que é dado no problema?
São dados a função que define a pressão arterial, em função do tempo, e uma informação importante para
60
.
a resolução do problema: p .
19
b) O que se pede?
Pede-se a pressão máxima, mínima e a frequência de batimentos cardíacos por minuto.
2. Planejando a solução
Sabemos que a pressão máxima é obtida quando cos (6t 1 p) for igual a 11, e será mínima quando ele for igual a
21. Para encontrar o valor da frequência de batimentos cardíacos por minuto basta multiplicarmos a frequência
de batimentos por segundo por 60, a qual é obtida pelo inverso do período da função.
3. Executando o que foi planejado
Pressão mínima (em mmHg): P(t) 5 100 1 20 ? cos (6t 1 p) ⇒ P(t) 5 100 1 20 ? (21) ⇒ P(t) 5 80
Pressão máxima (em mmHg): P(t) 5 100 1 20 ? cos (6t 1 p) ⇒ P(t) 5 100 1 20 ? (11) ⇒ P(t) 5 120
60
Do enunciado, temos que p 5
.
19
Período: 2p 5 2p 5 p
c
6
3
60
60 1
20
60
Substituindo p por
, temos: Período 5 19 5
?
5
3
19
3
19
19
1
19
1
Frequência de batimentos cardíacos por minuto (em bpm):
? 60 5
? 60 5
20
per’odo
20
4. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa a.
? 60 5
1 140
20
5 57
19
5. Ampliando o problema
a) De quanto em quanto tempo são atingidas as pressões máximas? E as pressões mínimas?
10
20
Pressão máxima: a cada s; Pressão mínima: a cada s
b) Discussão em equipe
19
19
Troque ideias com seus colegas sobre a prevalência de doenças cardiovasculares na atualidade e sobre quais
seriam os principais motivos que as ocasionam, além dos hábitos que devem ser seguidos para reduzir a
probabilidade de ser acometido por tais enfermidades.
Os movimentos periódicos de elevação e abaixamento da superfície de oceanos, mares e lagos
são provocados pela força gravitacional da Lua e do Sol sobre a Terra. As marés ocorrem em
intervalos regulares de 6 horas e 12 minutos. Portanto, a cada 24 horas e 48 minutos, o mar sobe
e desce duas vezes, constituindo o fluxo e refluxo das águas. À medida que a Terra gira, outras
regiões passam a sofrer elevações, como se a subida de nível se deslocasse, seguindo a Lua.
No lado oposto da Terra dá-se o mesmo fenômeno: as águas também se erguem, de forma
que uma elevação compensa a outra. Assim, nas regiões da costa, essas elevações das águas
correspondem às marés altas.
Enquanto o nível das águas sobe em dois lados opostos na Terra, em outras duas regiões
do globo (também diametralmente opostas) ele desce: é a maré baixa.
A diferença entre a maré baixa e a maré alta é denominada amplitude das marŽs, medida
por meio de uma régua graduada, ou marégrafo. Como o movimento das marés é periódico,
as funções trigonométricas são amplamente utilizadas para fazer uma modelagem
matemática desse fenômeno.
50
Capítulo 3
Lua
maré
alta
mar
Terra
Dam d'Souza/Arquivo da editora
Voc• sabia?
Matemática e tecnologia
Gráfico de funções trigonométricas no computador
Banco de imagens/Arquivo da editora
Agora, vamos aprender, ou relembrar, como construir gráficos de funções trigonométricas usando o
software livre GeoGebra.
Trata-se de um software matemático, criado por Markus Hohenwarter, que reúne Álgebra e Geometria. Ele
pode ser utilizado em todos os níveis de ensino e já recebeu diversos prêmios na Europa e nos Estados Unidos.
A instalação desse software é simples:
Acesse
o site <www.geogebra.org> e clique em “Baixe agora”, para tê-lo instalado no computador, ou em
•
“Comece a criar”, para usá-lo on-line.
Optando por utilizar a versão on-line, você deve clicar no botão “Álgebra”; a tela que abrirá se parece com a
reproduzida abaixo.
Captura de tela do software no modo Álgebra.
Depois de acessar o programa, faça os exercícios a seguir.
1. Construa o gráfico das funções f(x) 5 sen x e g(x) 5 cos x, como a seguir. Para isso siga os passos:
• 1o passo: No campo Entrada de comando (situado na parte esquerda da tela) digite a função: f(x) 5 sen x e
Banco de imagens/Arquivo da editora
tecle “Enter”. Em seguida, no mesmo campo digite g(x) 5 cos x e tecle “Enter”.
Captura de tela do 1o passo.
• 2o passo: Do lado direito da Barra de ferramentas (parte superior da tela), clique na Barra de estilos, depois, em
“Exibir ou esconder a malha” e selecione a malha quadriculada. Para colocar o eixo x na escala de p radianos,
clique sobre o eixo x com o botão direito do mouse e selecione com o botão esquerdo do mouse a opção “Janela de Visualização”. Clique na aba “Eixo X” e selecione em “Unidade” a opção p. A opção “Distância” não deve
estar selecionada.
Funções trigonométricas
51
Fique atento!
Você pode mover, ampliar ou reduzir sua imagem
utilizando
da Barra de ferramentas. Outra opção
para aumentar ou diminuir o zoom é utilizar o scroll do
mouse (aquela “rodinha” que fica na parte superior da
maioria dos mouses).
Agora, de acordo com a construção, responda às questões.
a) Qual é a imagem das funções f e g? Im 5 {y  R | 21 < y < 1}
b) Qual é o período das funções f e g? p 5 2p
c) Quantos pontos de intersecção existem entre as funções f e g no intervalo [0, 2p]? 2 pontos.
2. Abra um novo documento e siga os passos a seguir:
• 1o passo: Na Barra de ferramentas clique, com o botão esquerdo do mouse, inicialmente na opção “Controle
Deslizante”
e, em seguida, clique em qualquer ponto da janela de visualização (Região gráfica); automati-
camente abrirá uma janela; clique em “OK”. Nesse momento aparecerá o parâmetro a (com valor inicial igual a 1).
. Repita a operação e insira novos parâmetros (b, c e d).
Banco de imagens/Arquivo da editora
Veja:
Captura de tela do 1o passo.
• 2o passo: No campo Entrada de comando (situado na parte esquerda da tela) digite a função:
f(x) 5 a 1 b*sen(c*x 1 d) e tecle “Enter”. Observe que * significa a operação de multiplicação. Dessa forma
você terá o gráfico da função f(x) 5 a 1 b ? sen (cx 1 d).
• 3o passo: Agora, você poderá observar significados importantes para os coeficientes a, b, c e d. Para isso
clique na bolinha do controle deslizante de a e altere o seu valor (basta arrastar a bolinha para um dos
lados). Observe o que acontece com o gráfico da senoide. Repita a operação para os controles deslizantes de b, c e d (utilize um controle deslizante por vez).
a) Qual é o efeito do parâmetro a no gráfico da função? Promove a translação vertical do gráfico.
b) Qual é o efeito do parâmetro b no gráfico da função? Promove a dilatação (ou compressão) vertical do gráfico.
o período da função, comprimindo ou dilatando o gráfico
c) Qual é o efeito do parâmetro c no gráfico da função?Altera
na horizontal.
d) Qual é o efeito do parâmetro d no gráfico da função? Promove a translação horizontal do gráfico.
e) Utilizando o controle deslizante e fazendo a 5 0, b 5 1, c 5 1 e d 5 1,6, você terá aproximadamente o
(
gráfico da função f(x) 5 sen x +
)
p
. Esta última função é equivalente a uma função conhecida. Qual é
2
essa função? Função cosseno (y 5 cos x).
52
Capítulo 3
Outros
contextos
Medir o tempo Ð Um desafio
Um grande desafio de nossa civilização foi quantificar e medir o tempo. Ao longo do desenvolvimento da humanidade, diversas foram as tentativas, e, apesar de não ser possível descrever precisamente todas elas, algumas
dessas tentativas chegaram ao nosso conhecimento nos dias de hoje. Assim, a medição do tempo não é mais problema para nossa civilização, mas uma volta ao passado pode nos proporcionar um interessante encontro do relógio
com a Matemática.
Bettmann/Corbis/Latinstock
Perde-se no tempo a origem do relógio de sol. Alguns
registros arqueológicos dizem respeito a obeliscos construídos por volta de 3500 a.C. com a finalidade de registrar as horas; outros, chamados de relógios de sombra,
deixam-nos vestígios de que existiram em 1500 a.C. na
Babilônia. É provável que na Antiguidade usava-se o comprimento das sombras para saber as horas do dia. No
Velho Testamento há remissão ao “relógio de Acaz”, por
volta de 700 a.C. O escritor romano Vitrúvio relata a existência de uma série de relógios de sol. O astrônomo
Padovani publicou uma dissertação sobre o relógio de
sol em 1570, na qual dava instruções para construção e
posicionamento para relógios horizontais e verticais.
À medida que o homem foi aprimorando seu conheciRelógio de sol do jardim botânico, em Cluj Napoca (Romênia).
mento em Astronomia, também foram se aprimorando
Fotografia de 2015.
modelos desse tipo de relógio.
Hoje consideramos o relógio de sol um instrumento obsoleto, presente em praças e jardins. Os tipos mais comuns
são feitos sobre um desenho horizontal no qual o Sol projeta sua sombra com linhas que indicam a hora do dia. Devem
ser alinhados com o eixo de rotação da Terra para que a medida seja a mais precisa possível.
Lucian Milasan/Shutterstock
O relógio de sol
O relógio de água
Outro sistema muito antigo, criado para medir o tempo, é o relógio de
água, também conhecido como clepsidra. Trata-se de dois recipientes colocados em níveis diferentes: a parte superior contém o líquido e a parte
inferior possui uma escala de níveis interna que fica inicialmente vazia.
Através de uma abertura parcialmente controlada no recipiente superior,
o líquido passa para o inferior, e o tempo gasto é observado na escala.
O relógio de água é um instrumento que evoluiu tecnicamente,
apresentando, atualmente, uma medição do tempo com relativa exatidão. A clepsidra mais antiga de que se tem notícia – do reinado de Amenhotep III (provavelmente entre 1389 a.C.–1353 a.C.) – foi encontrada em
Karnak, no Egito.
Relógio de água grego.
Funções trigonométricas
53
Andrey Burmakin/Shutterstock
A ampulheta
Embora o monge francês Luitprand, que viveu no século VIII, seja por vezes
apontado como criador da ampulheta, os primeiros registros concretos acerca
desse objeto datam do século XIV. Basicamente, uma ampulheta é formada por
dois cones de vidro ocos, unidos por um gargalo, de modo a deixar passar a areia
de um cone para o outro, em determinado intervalo de tempo – geralmente, utiliza-se uma armação de madeira ou latão para proteger o artefato.
A ampulheta não é um bom instrumento para determinar as horas do dia, mas
é excelente para marcar um intervalo de tempo específico.
Ampulheta
Relógios mecânicos
Em tempos mais recentes, surgiram os relógios mecânicos com ponteiros, e atualmente os digitais apresentam
excelente precisão. Dos relógios mecânicos, o de pêndulo tem grande relação com a Matemática.
Relógio de pêndulo
Banco de imagens/Arquivo da editora
Pietus/iStock.com/Getty Images
O mecanismo do relógio de pêndulo se baseia na regularidade da oscilação no movimento do pêndulo. A amplitude de sua oscilação deve permanecer constante, pois uma variação de apenas 4 pode fazer o relógio adiantar cerca
de 15 segundos por dia. O desgaste com o atrito é compensado porque o mecanismo dispõe de pesos ou molas capazes
de compensar a energia dissipada com o desgaste (atrito). Esse modelo de relógio foi inventado por Christiaan Huygens
em 1656, em Haia, Holanda. Huygens baseou-se num estudo feito por Galileu Galilei no século XVI.
θ
,
m
B
A
E
Relógio de pêndulo.
Representação esquemática de um pêndulo simples.
No mecanismo de relógio de pêndulo há um dispositivo que permite “dar corda” nele, que nada mais é do que
acumular energia potencial que vai aos poucos sendo liberada para que o relógio funcione.
Na figura acima vemos um modelo de pêndulo simples.
Nele destacamos:
Período: tempo de uma oscilação completa: sair da posição A, ir até B e voltar à posição A.
Frequência: indica o número de oscilações em determinado intervalo de tempo.
Amplitude: a maior distância alcançada pelo pêndulo em relação à posição de equilíbrio E.
Ângulo : deve ser um ângulo pequeno, menor do que 5, para configurar o movimento harmônico simples (MHS).
54
Capítulo 3
Como o pêndulo faz o relógio funcionar?
O pêndulo está acoplado ao mecanismo do relógio. Sendo a amplitude constante, o mecanismo é acionado em
intervalos de tempo iguais, permitindo a precisão do artefato.
Como (não ocorrendo atrito) o relógio pode atrasar ou adiantar?
Se o comprimento do fio aumentar (sofrer dilatação), o período vai aumentar, e o pêndulo vai demorar mais tempo para completar uma oscilação, então o relógio vai atrasar. Se o comprimento do fio diminuir, o pêndulo completará
uma oscilação em menos tempo, então o relógio vai adiantar. Outro fator é a gravidade, que é inversamente proporcional ao período. Quanto maior a gravidade, menor o período.
Cálculo do período (T)
T
2p
,
T 5 2p
⇒
5
g
,
g
Supondo g 5 10 m ? s22,  5 0,4 m e p . 3, qual será o período desse pêndulo?
T 5 2p
0,4 m
10 m · s22
5 (2 ? 3 ? 0,2) 5 1,2 s
Trabalhando com o texto
1.
Com uma garrafa PET e uma tesoura e observando os procedimentos a seguir, construa um relógio de água.
a) Corte a garrafa PET de 2 litros em duas partes, dividindo-a entre a base e a parte superior da garrafa. A parte
superior da garrafa, que chamaremos de A, vai se parecer com um funil. A base da garrafa será a parte B e vai
se parecer com um recipiente cilíndrico. Depois, fure o centro da tampa usando prego e martelo.
b) Pegue a metade da garrafa (A) que ficou com a tampa e coloque essa parte, com a tampa para baixo, na metade (B) da garrafa.
c) Encha de água a parte A da garrafa e observe que a água começa a pingar na metade B. Deixe escorrer por
30 minutos e marque com caneta a altura da água acumulada em B. Repita a operação de 30 em 30 minutos
até a água acabar em A.
d) Retornando toda água em A, você poderá constatar que construiu um relógio que marca o tempo de meia em
meia hora. Caso ache oportuno, construa também um relógio que marca o tempo em intervalos a sua escolha.
2.
Para que o relógio de sol apresente alguma precisão, com o que a haste usada para projetar a sombra deve estar
alinhada? Com o eixo de rotação da Terra.
3.
Se você levasse um relógio de pêndulo para a Lua, ele atrasaria ou adiantaria? Adiantaria.
4.
E se você levasse um relógio de pêndulo para o deserto do Saara ao meio-dia, o relógio de pêndulo atrasaria ou
adiantaria? Atrasaria.
Pesquisando e discutindo
5.
Se devido ao aquecimento global você descobrisse que o fio de seu relógio de pêndulo teve seu comprimento aumentado em 21%, qual seria o percentual de aumento de seu período? 10%
Veja mais sobre o assunto
Procure mais informações e curiosidades sobre relógios antigos, mecânicos e digitais em jornais, revistas, livros e
na internet. Sugestões (acessos em: 5 maio 2016):
• Fundação Museu da Tecnologia de São Paulo: <www.museutec.org.br/previewmuseologico/a_ampulheta.htm>
• InfoEscola: <www.infoescola.com/curiosidades/relogio-de-sol/>
Funções trigonométricas
55
Exercícios
•
f(x) 5 sen 4x
( )
de produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados,
xp
xp
C(x) 5 2 2 cos
e V (x ) 5 3 2 sen
, 0 ø x ø6 .
12
6
O lucro, em reais, obtido na produção de 3 dezenas
de peças é:
x c) 1 000.
a) 500.
e) 3 000.
( )
d) D(g) R
b) g(p) 2
c) f
zenas de certo tipo de peças. Sabendo-se que o custo
g(x) 5 1 2 cos x
e) Im(g) [0,2]
( p6 )
3
2
b) 750.
Construa no caderno um gráfico (um período completo) e dê o domínio, a imagem e o período de cada função. (Sugestão: para construí-lo, reveja os
gráficos de seno e cosseno.)
a) f tal que f(x) 5 cos 3x D( f ) 5 R; Im( f ) 5 [21, 1], p 5
23.
2p
3
b) g tal que g(x) 5 |sen x| D( g ) 5 R; Im( g ) 5 [0, 1], p 5 p
c) f tal que f(x) 5 2 sen x D( f ) 5 R; Im( f ) 5 [22, 2], p 5 2p
19.
Veja os gráficos no Manual do Professor.
Determine o período das seguintes funções:
2p
7
a) f(x) 5 sen 7x
(
p
4
b) f(x) 5 sen 2x 2
(
c) f(x) 5 2 ? cos 2x 1
(
)
)
p
)
24.
1
Banco de imagens/Arquivo da editora
21.
y
3
1
x
2p
x d) a 5 1 e b 5 22.
e) a 5 2 e b 5 21.
(UEL-PR) Uma bomba de água aspira e expira água
a cada três segundos. O volume de água da bomba
varia entre um mínimo de 2 litros e um máximo de
4 litros. Dentre as alternativas a seguir, assinale a
expressão algébrica para o volume ( y) de água na
bomba, em função do tempo (t).
( )
( )
p 
 2p ? t
? t x d) y 531 sen 
a) y 52 12 sen 
 3

 3 
p 
2p 
? t e) y 52312 sen 
?t
b) y 52 12 sen 
 3

 3 
 p ? t
c) y 531 sen 
 3 
56
Capítulo 3
12
11
0A
21
22
D
C
B
E
x (m)
2 3 4 5 6 7 8
(4 )
Física
a/
uz a
So or
d' edit
m
a
Da o d
iv
qu
Ar
Sabendo que a distância entre duas cristas consecutivas das ondas produzidas é de 2 cm, e a amplitude das ondas é de 0,3 cm, obtenham uma função
relacionando a altitude h da superfície da água (em
relação ao nível da água em repouso) para o momento em que em x 5 0 temos h 5 0 e a função
seja crescente em x 5 0.
2
( )
( )
( )
v (m/s)
Utilizando um pequeno bastão e uma
tigela com água, uma pessoa produz na superfície da água
ondas circulares, como
mostra a figura ao lado.
20. (UFRGS-RS) Se f(x) 5 a 1 b ? sen x tem como gráfico:
Então:
a) a 5 22 e b 5 1.
b) a 5 21 e b 5 2.
c) a 5 1 e b 5 21.
Física
0 1
1
d) f(x) 5 1 1 4 ? tan px 2
2
e) f(x) 5 1 1 sen (px 2 3) 2
0
21
d) 2 000.
Por esse instante, determinem uma senoide que
relaciona a velocidade v com a posição x dos pontos
da corda. v(x) 5 2 ? sen p x
p
p
3
( )
O gráfico representa, em um dado instante, a velocidade transversal dos pontos de uma corda na qual
se propaga uma onda senoidal na direção do eixo x.
Banco de imagens/
Arquivo da editora
•
Determine:
p
a) f
0
2
18.
22. (Vunesp-SP) Uma máquina produz diariamente x de-
Considere as funções f e g definidas por:
25.
h(x) 5 0,3 ? sen (px)
(UFG-GO) Física
O gráfico a seguir mostra a posição em função do
tempo de uma partícula em movimento harmônico
simples (MHS) no intervalo de tempo entre 0 e 4 s.
A equação da posição em função do tempo para
este movimento harmônico é dada por x 5 A ? cos
(vt 1 f). A partir do gráfico, encontrem as constantes A, v e f.
p
23p
Banco de imagens/Arquivo da editora
17.
A 5 2; v 5
x (m)
2
2
0
22
1
2
3
4
t (s)
ef5
2
Pensando no Enem
Matriz do Enem: H8 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
[...] a inauguração do teleférico do Pão de Açúcar
em 1912 projetou o nome do Brasil no exterior. O teleférico do Pão de Açúcar foi o primeiro instalado no
Brasil e o terceiro no mundo, alavancando o desenvolvimento do turismo nacional. [...]
[...] No Pão de Açúcar atualmente funcionam dois
sistemas teleféricos independentes, classificados como
de grande porte, com dois bondinhos em cada linha,
circulando em vaivém (jig-back). O novo sistema, instalado em 1972, aumentou a capacidade de transporte do
teleférico de 115 para 1 360 passageiros por hora. [...]
[...] Este trecho inicial, entre a Praia Vermelha e o
Morro da Urca, numa extensão de  metros e
220 metros de altura, foi inaugurado em 27 de outubro
de 1912, quando subiram 577 pessoas ao Morro da Urca,
ao preço de 2 mil réis pela viagem de ida e volta. [...]
[...] A mesma operação foi utilizada para o lançamento dos cabos e colocação do bondinho no segundo trecho, entre o Morro da Urca e o Pão de Açúcar,
numa extensão de  metros e 396 metros de altura,
que entrou em funcionamento no ano seguinte, no
dia 18 de janeiro de 1913, completando a ligação definitivamente até o alto do pico do Pão de Açúcar. [...]
Fonte: Companhia Caminho Aéreo Pão de Açúcar. Disponível em:
<www.bondinho.com.br/historia-e-curiosidades/#\”lightbox
[021a133ab17620a5b51835ec66a4d27f]\”/0/>. Acesso em: 5 maio 2015.
Frank van den Bergh/iStock.com/Getty Images
13,58
0,233
0,972
0,240
g
sen
cos
tan
g
Considerando:
• ângulo de inclinação dos cabos no 1º- trecho:
(referencial horizontal);
• ângulo de inclinação dos cabos no 2º- trecho:
(referencial horizontal);
• os valores:
25
13,5
258
0,423
0,906
0,466
podemos substituir as  do texto, na ordem em que
aparecem, por estas medidas aproximadas:
d) 93 m; 41 m
a) 243 m; 181 m
e) 520 m; 1 700 m
b) 472 m; 733 m
Matriz do Enem: H12 - Resolver situação-problema
x c) 520 m; 755 m que envolva medidas de grandezas.
2. Leia os textos a seguir.
Avião da AirAsia está no fundo do Mar de Java
Um barco com sonar ajudou na localização do jato.
Até o momento, sete corpos de vítimas foram resgatados
As buscas pelas 162 vítimas do AirAsia Voo QZ8501
recomeçaram no Mar de Java na madrugada desta
quarta-feira (31, pelo horário de Brasília) com a confirmação de que o Airbus 320-200 está no fundo do
Mar de Java.
Um navio que participa das operações de busca
conseguiu determinar com precisão a localização da
aeronave graças ao uso de um sonar, afirmou a Agência
Nacional de Busca e Resgate da Indonésia (Basarnas). [...]
Fonte: IG. Disponível em: <http://ultimosegundo.ig.com.br/
mundo/2014-12-31/confirmado-aviao-da-airasia-esta-no-fundo-do-marde-java.html>. Acesso em: 3 nov. 2015.
O sonar (sigla para Sound Navigation and
Ranging) é uma técnica que usa a propagação sonora
(geralmente sob a água, como na navegação
submarina) com o intuito de navegação, comunicação
ou detecção de objetos na ou sob a superfície da
água, como outras embarcações ou grandes animais.
Dois tipos de tecnologias dividem o nome “sonar”:
o sonar passivo trata de “ouvir” os sons feitos por
embarcações, já o sonar ativo emite pulsos de sons,
sendo capaz de receber o eco desses sons. [...]
Fonte: InfoEscola. Disponível em: <www.infoescola.com/tecnologia/
sonar/>. Acesso em: 5 maio 2016.
Suponha que um navio detecte um submarino a 89 km
de distância. O helicóptero detecta o submarino a
20 km do pé da perpendicular do helicóptero ao mar.
Dam d’Souza/Arquivo da editora
1. Leia o texto a seguir.
• o esquema:
SEGUNDO TRECHO
PÃO DE AÇÚCAR/MORRO DA URCA
PRIMEIRO TRECHO
MORRO DA URCA/PRAIA VERMELHA
ALTURA DO
PÃO DE AÇÚCAR
396 metros
ALTURA DO
MORRO DA URCA
PRAIA VERMELHA
220 metros
Baía de Guanabara com Pão de Açúcar. Fotografia de 2015.
Considerando o ângulo de 120 entre as direções dos
pulsos dos sonares da imagem, pode-se afirmar que a
distância entre o navio e o pé da perpendicular do helicóptero ao mar é, aproximadamente:
a) 81 km
c) 72 km
e) 77 km
b) 91 km
x d) 100 km
Funções trigonométricas
57
Vestibulares de Norte a Sul
Região Norte
1.
Região Nordeste
(UFPA) Considere o gráfico da função trigonométrica
abaixo, no qual f(p) 5 5:
3.
(Uncisal) Numa praça circular de diâmetro 60 m há
um passeio que une seus pontos situados mais ao
Norte e mais ao Nordeste. Se desprezarmos sua largura e adotarmos 2 5 1,4, qual é o comprimento
aproximado, em metros, desse passeio?
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0
1
2
3
4
5
6
7
8
Interpretando o gráfico, podemos concluir que f(3p)
é igual a:
a) 4.
c) 6.
x b) 5.
d) 7.
2.
e) 8.
(Uepa) As caminhadas e corridas de rua são atividades
incorporadas à cultura esportiva dos brasileiros. Um
praticante de corrida popular (cooper) balança cada
um de seus braços ritmicamente enquanto corre de
acordo com o modelo dado pela expressão
⎡8
3 ⎥⎤ ,
f (t )
sen ⎢
t
onde f(t) é o ângulo
9
4 ⎦
⎣ 3
compreendido entre a posição do braço e o eixo vertical, e t, tempo em segundos, conforme ilustrado
abaixo. Nessas condições, o maior ângulo obtido com
o movimento cíclico do braço do corredor é:
(
θ
3042
x d)
522
b)
1800
e)
360
c)
882
(Unifacs-BA) Uma sala de um laboratório de pesquisas onde se pretende desenvolver uma cultura de
bactérias teve sua temperatura ambiente T, em C,
modelada ao longo das 24 horas de determinado dia,
pela expressão
⎡h 9 ⎤
⎥, h  [0, 24].
T(h) 18 8 cos ⎢
⎣ 12
⎦
Assim, nesse dia, a temperatura foi superior a 22 C
durante um número máximo de horas consecutivas
igual a:
(
)
01. 5
02. 6
)
(Texto adaptado: Cálculo para
Ciências Médicas e Biológicas.
São Paulo: Harbra, 1998.)
θ
a)
9 10
4.
Banco de imagens/Arquivo da editora
Banco de imagens/Arquivo da editora
5
03. 7
x 04. 8
05. 9
Região Centro-Oeste
5.
(Univag-MT) Em uma determinada região, a intensidade média de radiação (I), em unidades de radiação,
varia em função do tempo, em dias (d), e é expressa
pela lei
I
300
⎡ 2 (d 77) ⎤
⎥
250 sen ⎢
365
⎣
⎦
Sabendo que o argumento da função seno está em
radianos e que d 5 1 corresponde ao dia 1º- de janeiro,
é correto afirmar que a máxima radiação do ano irá
ocorrer no mês de:
a) 10
a) março.
b) 15
x b) junho.
x c) 20
c) abril.
d) 25
d) maio.
e) 30
e) julho.
58
Capítulo 3
Adotando como valor da raiz quadrada de um número decimal o número inteiro mais próximo, é correto
afirmar que, para ir do ponto B ao ponto P, o robô irá
demorar, aproximadamente,
x a) 9 min 6 s.
d) 13 min 12 s.
b) 12 min 6 s.
e) 11 min 30 s.
c) 10 min 40 s.
(UFGD-MS) A umidade relativa do ar em uma determinada cidade foi medida das 6 horas da manhã de
um dia até às 6 horas da manhã do dia seguinte. Os
dados obtidos estão representados pela função periódica abaixo.
Banco de imagens/Arquivo da editora
100
Umidade relativa do ar (%)
90
80
70
60
50
40
30
8.
(Vunesp-SP) Para calcular
a distância entre duas árB
vores situadas nas margens opostas de um rio,
nos pontos A e B, um observador que se encontra
A
junto a A afasta-se 20 m
D
da margem, na direção
da reta AB, até o ponto C,
C
e depois caminha em linha reta até o ponto D, a
40 m de C, do qual ainda pode ver as árvores.
$ e BDC
µ medem,
Tendo verificado que os ângulos DCB
respectivamente, cerca de 15 e 120, que valor ele
encontrou para a distância entre as árvores, se usou
a aproximação 6 = 2, 4 ? 28 m
20
10
0
6:00
12:00
18:00
Hora do dia
0:00
6:00
A expressão que descreve a variação da umidade do
ar (dada em porcentagem) como função da hora do
dia (dada pela variável t) é:
a) f(t) 5 50 1 20 cos (2pt)
Região Sul
( 12p t)
p
c) f (t ) 5 50 1 20 sen ( t)
12
9.
b) f (t ) 5 20 1 50 cos
x
d) f(t) 5 70t2
e) f(t) 5 t2 1 20
Região Sudeste
(UFTM-MG) Robô da Nasa anda em Marte: em seu
primeiro “test drive”, o Curiosity andou 4,5 m, girou
por 120 e percorreu mais 2,5 m, em 16 minutos.
10.
(O Estado de S.Paulo, 24.08.2012.)
A figura esquematiza a trajetória do robô, contida
em um plano, onde todos os trechos por ele percorridos foram em movimento
retilíneo. Suponha que esse
robô retorne ao ponto de partida (P), mantendo a mesma
A
1208
velocidade média desenvolvida
anteriormente.
2,5 m
B
4,5 m
d
P
Banco de imagens/Arquivo da editora
7.
(UFPR) Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h
em um curso de 45 em relação ao norte, no sentido
horário. O segundo viaja a uma velocidade de 6 km/h
em um curso de 105 em relação ao norte, também
no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que
distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto?
a) 10 km.
c) 15 km.
e) 22 km.
x b) 14 km.
d) 17 km.
(Acafe-SC) Com o objetivo de auxiliar os maricultores
a aumentar a produção de ostras e mexilhões, um
engenheiro de aquicultura fez um estudo sobre a
temperatura da água na região do sul da ilha, em
Florianópolis. Para isso, efetuou medições durante
três dias consecutivos, em intervalos de 1 hora. As
medições iniciaram às 5 horas da manhã do primeiro
dia (t 5 0) e os dados foram representados pela funpt
p
1
, em
ção periódica T (t ) 5 24 1 3 cos
6
3
que t indica o tempo (em horas) decorrido após o
início da medição e T(t), a temperatura (em C) no
instante t.
O período da função, o valor da temperatura máxima
e o horário em que ocorreu essa temperatura no primeiro dia de observação valem, respectivamente:
x c) 12 h, 27 C e 15h.
a) 6 h, 25,5 C e 10h.
b) 12 h, 27 C e 10h.
d) 6 h, 25,5 C e 15h.
(
Funções trigonométricas
)
59
Banco de imagens/Arquivo da editora
6.
UNIDADE
2
Matrizes,
determinantes
e sistemas
lineares
60
4
01
CAPÍTULO
CAPÍTULO
Matrizes
e
Conjuntos
determinantes
numéricos
Reprodução/© 2015 The M.C. Escher Company - Holanda. Todos os direitos reservados.
NASA/Corbis/Latinstock
Obra Smaller and Smaller, “Menor e Menor”, do famoso
artista holandês Maurits Cornelis Escher (1898-1972). Escher
aplicou em muitas de suas obras transformações geométricas,
como rotação, reflexão, escala e translação. Imagine um eixo
horizontal x e um eixo vertical y. Cada ponto da obra pode ser
definido como uma coordenada específica no plano. Com as
coordenadas é possível obter uma matriz associada a cada
figura que compõe a obra; então, pode-se verificar as
transformações geométricas realizadas utilizando
operações matriciais. Medida da obra: 38 cm 3 38 cm.
61
1
Introdução às matrizes
Reprodu•‹o/FIVB
Atualmente, um dos bens mais desejados pelas empresas é a informação sobre os potenciais clientes.
Algumas das empresas mais valiosas e lucrativas do mundo são detentoras de uma enorme quantidade
dessas informações, por exemplo, alguns sites de busca e algumas redes sociais.
Essas informações, porém, não teriam valor algum se não fossem organizadas de forma lógica, nem
pudessem ser facilmente recuperadas e relacionadas. Essa organização é feita usando-se um banco de dados,
que é uma coleção de tabelas relacionadas entre si.
As matrizes são tabelas que relacionam dados numéricos.
Faça dupla com um colega e façam o que se pede.
As tabelas abaixo relacionam dados sobre o desempenho das equipes do grupo A da Liga Mundial 2015
de vôlei masculino. Depois de analisar os dados das tabelas, construam no caderno uma tabela com a pontuação total dessas quatro equipes.
Lance da partida entre Brasil e Sérvia durante a Liga Mundial 2015 de vôlei masculino.
Desempenho das equipes do grupo A da Liga Mundial 2015 de vôlei masculino
Vitórias por
3 3 0 ou 3 3 1
Vitórias por
332
Derrotas por
3 3 0 ou 3 3 1
Derrotas por
332
Brasil
7
2
0
3
Sérvia
5
2
1
4
Itália
3
3
5
1
Austrália
1
1
10
0
Pontos obtidos pelas equipes em caso de vitória ou derrota
Vitória por 3 3 0 ou 3 3 1
3
Vitória por 3 3 2
2
Derrota por 3 3 0 ou 3 3 1
0
Derrota por 3 3 2
1
Antes de os alunos formarem as duplas, leia a
atividade com eles e estimule a compreensão
dos dados da tabela; para isso faça alguns
questionamentos, por exemplo: “Quantas
vitórias teve a Sérvia?”, “Quantos jogos cada
equipe fez?”. Depois, deixe os alunos tentarem
efetuar a tarefa proposta. Se possível, ao conferir
os resultados, procure estimular a discussão dos
procedimentos escolhidos por eles na resolução.
Essa situação será retomada para motivar o
aprendizado do produto de matrizes.
Fonte dos dados: Federação Internacional de Voleibol (FIVB). Disponível em: <http://worldleague.2015.fivb.com/en>. Acesso em: 4 maio 2016.
62
Capítulo 4
Agora, acompanhe esta outra situação:
Em uma editora, a venda de livros de Matemática, Física e Química no primeiro trimestre de um ano
pode ser expressa pela tabela a seguir.
Vendas de livros didáticos de Matemática, Física e Química no primeiro trimestre
Janeiro
Fevereiro
Março
Matemática
20 000
32 000
45 000
Física
15 000
18 000
25 000
Química
16 000
17 000
23 000
Fonte: Dados fictícios.
Se quisermos saber:
• quantos livros de Matemática foram vendidos em fevereiro, basta olharmos o número que está na primeira linha e na segunda coluna;
• quantos livros de Física foram vendidos em janeiro, basta olharmos o número que está na segunda linha
e na primeira coluna;
• quantos livros de Química foram vendidos em março, basta olharmos o número que está na terceira linha
e na terceira coluna.
Uma tabela desse tipo, em que os números estão dispostos em 3 linhas e 3 colunas, denomina-se
matriz 3 3 3 (lê-se três por três) e podemos representá-la por:
 20 000 32 000 45 000
20 000 32 000 45 000 
 15 000 18 000 25 000 



 ou  15 000 18 000 25 000 
 16 000 177 000 23 000 
 16 000 177 000 23 000 
Para refletir
Por que se diz “matriz
três por três”?
Porque é uma matriz com
3 linhas e 3 colunas.
Curiosidade
SPL/Latinstock
Bettmann/Corbis/Latinstock
Historicamente, a representação de conjuntos de números em forma de matrizes aparece no século XIX,
embora haja indícios de que os chineses já resolvessem, muito antes disso, alguns tipos de problemas com
cálculos efetuados sobre uma tabela. Augustin-Louis Cauchy, matemático francês, parece ter sido o primeiro a nomear essas configurações numéricas de tableau (‘tabela’, em francês), em 1826, e só em 1850,
com o matemático inglês James Joseph Sylvester, é que esse tipo de configuração numérica recebeu o
nome de matriz.
Gravura de Augustin-Louis
Cauchy (1789-1857).
Fotografia em preto e
branco de James Joseph
Sylvester (1814-1897).
Matrizes e determinantes
63
Reprodução/Acervo da Academia de Matemática e Sistemas Científicos, Pequim, China.
Quando surgiram as matrizes?
Na China, no período entre os séculos II e I a.C., foram reunidos no livro Jiuzhang suanshu diversos textos, provavelmente de
diversos autores, para organizar o conhecimento matemático
chinês. Jiu e zhang traduzem-se como “nove capítulos”, e suan e
shu são atualmente traduzidos como “aritmética”; porém, provavelmente teriam como significado algo próximo de “a arte dos
números” e/ou “procedimentos de cálculo”. Hoje esse livro é
popularmente conhecido como Os nove capítulos da arte Matemática e contém 246 problemas práticos de Matemática elementar. O objetivo era apresentar métodos de resolução de
problemas diversos na matemática do dia a dia e também na
engenharia, na topografia, no comércio e na tributação. Pela
qualidade de exemplos, a obra teve papel fundamental no desenvolvimento posterior da Matemática na China.
Um dos problemas dessa obra é apresentado a seguir, redigido na nossa linguagem:
Página do capítulo Fang Cheng (“Matrizes
retangulares”) do livro Jiuzhang suanshu.
Existem três tipos de milho, dos quais três pacotes do primeiro, dois do segundo e um do terceiro somam
39 medidas. Dois do primeiro, três do segundo e um do terceiro somam 34 medidas. E um do primeiro, dois do
segundo e três do terceiro somam 26 medidas. Quantas medidas de milho estão contidas em um pacote de
cada tipo?
Em Os nove capítulos da arte Matemática são apresentados os dados contidos no enunciado, organizados
da seguinte maneira:
1
2
3
26
2
3
1
34
3
2
1
39
Observe que essa tabela resume perfeitamente os dados do problema, e, conforme a cultura oriental,
os dados estão dispostos da direita para esquerda.
Os resultados desse problema seriam:
37
medidas de milho.
4
17
em um pacote de milho do segundo tipo estão contidas
medidas de milho.
4
9
em um pacote de milho do terceiro tipo estão contidas
medidas de milho.
4
• em um pacote de milho do primeiro tipo estão contidas
•
•
Reflita um pouco sobre os resultados apresentados, porém não se preocupe caso não consiga chegar
aos mesmos valores. Depois de estudar o Capítulo 5, retorne a esse problema e então tente resolvê-lo.
Percebemos, assim, que os chineses, há mais de 2 mil anos, já trabalhavam com tabelas, com o objetivo
de reunir dados de um problema; entretanto, as matrizes se estabelecem como um novo ramo da Matemática apenas em 1858, quando foi publicado o livro Memoir on the Theory of Matrices (“Memória sobre a Teoria das Matrizes”) pelo matemático inglês Arthur Cayley (1821-1895).
64
Capítulo 4
2
Definição de matriz
Sejam m e n dois números inteiros maiores ou iguais a 1.
Denomina-se matriz m 3 n (lê-se m por n) uma tabela
retangular formada por m ? n números reais, dispostos em m
linhas e n colunas.
Dizemos que a matriz é do tipo m 3 n ou de ordem m 3 n.
Exemplos:
a)
 2 3 
é uma matriz do tipo 2 3 2 (dois por dois – duas linhas e duas colunas).
 5 1 
 1
b)  2

 2
25
3

 é uma matriz do tipo 2 3 3 (dois por três – duas linhas e três colunas).

0
1
Para refletir
Por que se diz “matriz
linha” e “matriz coluna”?
c) Quando m 5 1, a matriz é chamada matriz linha. Por exemplo: (1 3 22) é uma
matriz linha do tipo 1 3 3.
Porque a matriz só tem uma
linha e uma coluna,
 5
respectivamente.
 2


é uma matriz coluna do tipo 4 3 1.
d) Quando n 5 1, a matriz é chamada matriz coluna. Por exemplo:
 21 
 
 0
Quando temos matrizes linha ou matrizes coluna, também podemos chamá-las de vetores. Embora
essa não seja uma denominação comum no Ensino Médio, é bastante utilizada no Ensino Superior, principalmente em Computação e Álgebra linear. É muito comum uma matriz linha como [2 0 5] ser escrita como
(2, 0, 5) quando se trabalha com vetores.
ATENÇÃO!
Não escreva
no seu livro!
Exercícios
1.
Escreva no caderno a matriz correspondente à tabela abaixo.
Notas de três alunos no primeiro bimestre
2.
Matemática
Física
Química
Biologia
Ana
6
4
5
8
Antônio
5
7
5
5
Beatriz
5
6
7
4
 6 4 5
 5 7 5

 5 6 7
8
5
4




Fonte: Dados fic†ícios.
Com relação à matriz do exercício 1, responda no caderno:
a) O que significam os números da 1a linha? As notas de Ana em cada matéria.
b) O que significam os números da 2a coluna? As notas de cada aluno em Física.
c) O que significa o número da 3a linha e 3a coluna? A nota de Beatriz em Química.
Matrizes e determinantes
65
3
Representação genérica de uma matriz
Os números que aparecem na matriz são chamados elementos ou termos da matriz.
Analisemos, por exemplo, a seguinte matriz:
2
 3
 25 4

 6 22
5
10
2
21 
0

2 
Nela, podemos observar que:
• o elemento 3 está na 1a linha e na 1a coluna; indica-se: a11 (lê-se a um um) 5 3;
• o elemento 25 está na 2a linha e na 1a coluna; indica-se: a21 (lê-se a dois um) 5 25;
• o elemento 6 está na 3a linha e na 1a coluna; indica-se: a31 (lê-se: a três um) 5 6;
• o elemento 2 está na 1a linha e na 2a coluna; indica-se: a12 (lê-se: a um dois) 5 2;
• o elemento 2 está na 3a linha e na 4a coluna; indica-se: a34 (lê-se: a três quatro) 5
2.
Assim:
• para representar o elemento de uma matriz, usamos uma letra com dois índices: o primeiro indica em que
linha o elemento se encontra, e o segundo indica em que coluna; por exemplo, a23 é o elemento que está
na 2a linha e na 3a coluna;
• o elemento genérico de uma matriz A será indicado por aij, em que i representa a linha e j representa a
coluna na qual o elemento se encontra; ele é chamado (i, j)-ésimo elemento da matriz;
• a matriz A, do tipo m 3 n, será escrita, genericamente, do seguinte modo:
 a11
a
 21
A 5  a31
 :

 a
m1
a12
a22
a13
a23
...
...
a32
:
a33
:
...
am2
am3
...
a1n 
a2n 

a3n 
: 

a 
mn
A lista ordenada (ai1, ai2 , …, ain) chama-se a i-ésima linha ou o i-ésimo vetor linha da matriz, enquanto
(a1j, a2j, …, amj) chama-se a j-ésima coluna ou o j-ésimo vetor coluna da matriz.
De maneira abreviada, podemos escrever a matriz A na forma:
A 5 (aij)m 3 n, com 1 < i < m, 1 < j < n e i, j [ N
Fique atento!
Podemos também
escrever: A 5 [aij]m 3 n.
Lê-se: matriz A, dos elementos aij, do tipo m 3 n.
aij 5 1 para i 5 j
.
Por exemplo, acompanhe como escrever a matriz X 5 (aij), com 1 < i < 3 e 1 < j < 3, tal que 
aij 5 0 para i ≠ j
A matriz deve ter 3 linhas e 3 colunas tal que:
a11 5 a22 5 a33 5 1
a12 5 a13 5 a21 5 a23 5 a31 5 a32 5 0
 1 0 0


Assim, X 5 0 1 0  .
0 0 1 
66
Capítulo 4
4
Matrizes especiais
Matriz quadrada
Em uma matriz m 3 n, quando m 5 n (o número de linhas é igual ao número de colunas), diz-se que a
matriz é quadrada do tipo n 3 n ou simplesmente de ordem n.
Exemplos:
3 5 
a) 
 é uma matriz quadrada de ordem 2 (m 5 n 5 2).
2 6 
 5 3 10 
 21 2 4 6
b) 
 é uma matriz quadrada de ordem 3 (m 5 n 5 3).
1

 2 0 2 
2
Em uma matriz quadrada de ordem n, os elementos a11, a22, a33, ..., ann
formam a diagonal principal da matriz (são os elementos aij com i 5 j).
3 2 
 21 6
 1 3 10 
 23 0 8 


 5 2 1 6
diagonal principal
Fique atento!
Se i 5 j, então aij está na
diagonal principal.
Se i . j, então aij está abaixo
da diagonal principal.
Se i , j, então aij está acima
da diagonal principal.
Voc• sabia?
diagonal principal
A outra diagonal da matriz quadrada, que vai do
último elemento da 1a linha até o 1o elemento da
última linha, é conhecida como diagonal secundária.
Matriz identidade
A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os
outros elementos são iguais a zero é chamada matriz identidade e seu símbolo é In.
Exemplos:
 1 0 0


I3 5 0 1 0 
0 0 1 
 1 0
I2 5 

0 1 
1
0

I5 5 0

0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0

0

0
1 
I1 5 [1]
aij 5 1 para i 5 j
.
Em uma matriz identidade temos: 
aij 5 0 para i ± j
Matriz nula
No conjunto das matrizes, a matriz que tem todos os elementos iguais a zero denomina-se matriz
nula. Vamos simbolizar a matriz nula do tipo m 3 n por 0m 3 n, e a matriz nula de ordem n por 0n.
Exemplos:
 0 0
03 3 2 5  0 0


 0 0
0 0 
02 5 

0 0 
 0 0 0
03 5  0 0 0


 0 0 0
01 3 4 5 [0 0 0 0]
Na matriz nula do tipo m 3 n temos aij 5 0, quaisquer que sejam i e j, com 1 < i < m e 1 < j < n.
Matrizes e determinantes
67
5
Igualdade de matrizes
Vamos considerar duas matrizes, A e B, de mesmo tipo, m 3 n, no caso 3 3 2:
 a11 a12 
A 5  a21 a22 


 a31 a32 
 b11
B 5  b21

 b31
b12 
b22 

b32 
Em matrizes de mesmo tipo, os elementos que ocupam a mesma posição são denominados elementos
correspondentes.
Então, nas matrizes A e B consideradas, são elementos correspondentes:
a11 e b11
a12 e b12
a21 e b21
a22 e b22
a31 e b31
a32 e b32
Definimos:
Duas matrizes, A e B, são iguais se, e somente se, têm o mesmo tipo e
seus elementos correspondentes são iguais.
Simbolicamente, podemos escrever a definição acima assim:
A 5 B ⇔ aij 5 bij, com 1 < i < m e 1 < j < n
Exemplos:
 3 1
 6;2 2 2 1 
5 
→ as matrizes são quadradas de ordem 2 e os elementos correspondentes
a) 

 5 6
 5 ? 1 4 1 2
são iguais.
1
b) Se A 5 
21

3
0
1
2
e B 5 21

4 
 2
3
0  , então A ? B, pois A e B não têm o mesmo tipo.

4 
Exercício resolvido
1.
 3x 12 y
Determine x e y para que sejam iguais as matrizes 

2
Resolução:
As duas matrizes têm a mesma ordem (2).
Para que as matrizes sejam iguais devemos ter ainda:
{
3x 12 y 5 7
3x 23 y 523
Resolvendo esse sistema de equações do 1 o grau, temos:
3x 12 y 5 7
2 3x 13 y 53
5 y 5 10 ⇒ y 5 2
3x 1 2y 5 7 ⇒ 3x 1 2(2) 5 7 ⇒ 3x 1 4 5 7 ⇒ 3x 5 3 ⇒ x 5 1
Portanto, x 5 1 e y 5 2.
68
Capítulo 4
 7 2 
.
e
3x 23 y   2 23
2
6
Adição e subtração de matrizes
Acompanhe a seguinte situação:
O gerente de vendas de uma loja tem à sua disposição as tabelas de vendas mensais, em reais, dos seus
três vendedores, por produto vendido. Veja:
Vendas em janeiro (R$)
Vendedor
Geladeiras
Fogões
Paulo
23 000,00
12 000,00
Germano
27 000,00
10 000,00
Rodolfo
19 000,00
15 000,00
Fonte: Dados fictícios.
Vendas em fevereiro (R$)
Vendedor
Geladeiras
Fogões
Paulo
21 000,00
10 000,00
Germano
16 000,00
6 000,00
Rodolfo
20 000,00
9 000,00
Fonte: Dados fictícios.
O gerente precisava saber as vendas do 1o bimestre, em reais por produto vendido, dos seus três vendedores.
Nesse caso, ele somou os dados das duas tabelas (janeiro e fevereiro), obtendo a tabela dos dados do bimestre:
Vendas no 1o bimestre (R$)
Vendedor
Geladeiras
Fogões
Paulo
44 000,00
22 000,00
Germano
43 000,00
16 000,00
Rodolfo
39 000,00
24 000,00
Aproveite o exemplo para explorar
mais análises dos resultados.
Para refletir
• Qual foi o melhor
vendedor de geladeiras do
bimestre? E de fogões?
Paulo; Rodolfo.
Fonte: Dados fictícios.
Depois, o gerente precisava saber a evolução das vendas de janeiro para fevereiro: aumentaram? diminuíram? qual foi a diferença de faturamento entre janeiro e fevereiro?
Uma maneira de obter essas informações é calcular a diferença dos dados das duas primeiras tabelas
(fevereiro e janeiro), obtendo a tabela da evolução das vendas de janeiro para fevereiro:
Evolução das vendas de janeiro para
fevereiro (R$)
Vendedor
Geladeiras
Fogões
Paulo
22 000,00
22 000,00
Germano
211 000,00
24 000,00
1 000,00
26 000,00
Rodolfo
Para refletir
• Qual vendedor teve a
maior queda de vendas
de geladeira de janeiro
para fevereiro? Germano.
Fonte: Dados fictícios.
Esse exemplo ilustra as operações de adição e subtração de matrizes.
Matrizes e determinantes
69
Adição de matrizes
Consideremos duas matrizes, A e B, do tipo 3 3 3:
 3 5 22 
A 5  2 8 26


 1 4 2 
 1 24 21
B 5 7 0 2 


 3 1
0 
Vamos determinar uma matriz C tal que cij 5 aij 1 bij, ou seja, A 1 B 5 C:
A 44
6447
8
C 448
6447
B 448
6447
 3 5 22 
 4 1 23
 3 1 1 5 1 ( 2 4 ) ( 2 2) 1 ( 2 1)
 1 24 21 







2
810
( 2 6) 1 2
5  9 8 24
5 21 7
 2 8 26  1  7 0



 1 1 3
 4 5 2
 1 4 2 
0 
 3 1
411
2 1 0 




A matriz C assim obtida denomina-se soma da matriz A com a matriz B ou soma das matrizes A e B.
Assim:
Dadas duas matrizes, A e B, do mesmo tipo, m 3 n, denomina-se soma da matriz A com a matriz B, que representamos
por A 1 B, a matriz C do tipo m 3 n na qual cada elemento é
obtido adicionando-se os elementos correspondentes de A e B.
Para refletir
Dadas as matrizes, A, B e C, de mesma ordem:
•A1B5B1A
• (A 1 B) 1 C 5 A 1 (B 1 C)
• A 1 0 5 0 1 A 5 A, sendo 0 a matriz nula de mesma ordem
• A 1 (2A) 5 (2A) 1 A 5 0
Verifique as propriedades desse teorema, escolhendo três
matrizes de mesma ordem.
Matriz oposta de uma matriz A
Denomina-se matriz oposta de uma matriz A (representa-se
por 2A) a matriz que somada com A resulta em uma matriz nula.
Exemplo:
 3 6
 23 26
, então a matriz oposta de A é 
, pois:
Se A 5 

 22 1 
 2 21 
 0 0 
 3 6 
 23 26 
 22 1  1  2 21  5  0 0 
14243
14243
4244
3
14
A
B
matriz nula
Observação: Os elementos correspondentes de A e 2A são números opostos. Obtemos 2A mudando os
sinais de todos os elementos de A.
70
Capítulo 4
Subtração de matrizes
Sendo A e B duas matrizes do tipo m 3 n, denomina-se diferença entre A e B
(representada por A 2 B) a soma da matriz A com a matriz oposta de B, isto é,
A 2 B 5 A 1 (2B).
Para refletir
Lembra-se da diferença entre números inteiros?
3 2 4 5 3 1 (24)
Por exemplo:
1 ⫺1 
 3 ⫺2 5 
 ⫺2 3 ⫺6
 3 ⫺2 5 
 1
 2 ⫺3 6
1
2
5


 4 ⫺5 ⫺1  5  14 ⫺5 ⫺2
 10 0 ⫺1
 ⫺4 5 1 
 10 0 ⫺1
Exerc’cios
3.
Identifique os elementos a11, a22 e a13 na matriz
 2
 4
4.
6 10 
. a11 5 2; a22 5 25 e a13 5 10
⫺5 ⫺1 
 2
Escreva no caderno as matrizes: A 5  5

a) A 5 (aij)2 3 3 tal que aij 5 i2 1 j2.
5
8
10 

13 
b) X 5 (aij)4 3 2 de modo que aij 5 2i2 2 j.  1
5.
0

7
6
X5 
Escreva no caderno a matriz quadrada:  17 16
 31 30
a) de ordem 2, cujo elemento genérico é
aij 5 4i 2 2j 1 3;  5 3 

 9 7 

b) de ordem 3 tal que aij 5 i3 2 2j. 
6.
( )

11.
 0
C5  4

 ⫺2





⫺1 ⫺3 ⫺5 

6
4
2 
25 23 21 
3 6
Seja a matriz quadrada 2 10 . Calcule a diferença
entre o produto dos elementos da diagonal principal
e o produto dos elementos da diagonal secundária.
8.
 a ⫹b b ⫹c 
 9 ⫺1
Sabendo que 
 5 
 2b 2a ⫺ 3d 
 6 18
determine a, b, c e d. a 5 6; b 5 3; c 5 24; d 5 22
Determine m e n para que se tenha
 m⫹n m 
5 I2. m 5 0; n 5 1
 0
n 
10.

 0



 1
b)  4

 ⫺1
1 

⫺4

3 
i ⫹2 j , para i 艌 j
0, para i ⬍ j
{


A⫹B ⫽B ⫹A⫽  4 0 
 12 14 
i 3 , para i 艌 j
, calcule A 1 B e B 1 A.
0, para i ⬍ j
a) A 2 B 5 

b) A 1 B b) A 1 B 5 

14.




A e B são duas matrizes quadradas de ordem 2, cujos
elementos são dados por aij 5 3i 2 2j e bij 5 (aij)2.
Calcule:


a) A 2 B
0 ⫺2

⫺12 ⫺2 
2 0 

20 6 
Se A 5 (aij) é uma matriz quadrada de ordem 2 tal
que aij 5 2i 1 3j 2 5, escreva no caderno a matriz
oposta de A.  0 ⫺3 


 ⫺2 ⫺5 
Determine a, b e c para que se tenha
 a ⫹b ⫺1 0 
1
 a ⫺ 3c b  5 0 .
.
3 3 2 a 5 1; b 5 0; c 5


3
2b
0 

{
e B com bij 5
13.

 e


Dadas as seguintes matrizes quadradas de ordem 2:
A com aij 5

1 
 1 0 0 
I3 5  0 1 0 


 0 0 1 

c) A 2 B 2 C 
Escreva no caderno a matriz identidade de ordem 2 (I2)
e a matriz identidade de ordem 3 (I3). 5  1 0 
I2
9.

,


b) A 2 B 1 C
12.
 1

, B 5  6


 2


 , calcule:

  3
8


a) A 1 B 2 C  7 
18
7.
 2
Dadas as matrizes A 5  6

 3
15.
 ⫺3
2
⫺1 
⫹ 0, escreva no caderno
Se X ⫽ 
6
⫺
10
7 

X sabendo que 0 é a matriz nula do tipo 2 3 3.

X ⫽  ⫺3
 6
2
⫺10
⫺1 

7 
Matrizes e determinantes
71
7
Multiplicação de número real por matriz
Vamos voltar à situação do gerente de vendas:
Suponha que a comissão dos vendedores seja de 5% sobre o total mensal de vendas, em cada tipo de
produto. Dessa forma, o gerente pode desejar ter a informação sobre qual é o custo das comissões pagas
aos vendedores por tipo de produto vendido, em janeiro. Para obter tal informação, ele pode multiplicar
cada valor da tabela das vendas de janeiro por 0,05 (pois 0,05 5 5%, que é o percentual pago de comissão
pelas vendas). Assim, teríamos:
Comissões pagas em janeiro (R$)
Vendedor
Geladeiras
Fogões
Paulo
23 000,00 ? 0,05
12 000,00 ? 0,05
Germano
27 000,00 ? 0,05
10 000,00 ? 0,05
Rodolfo
19 000,00 ? 0,05
15 000,00 ? 0,05
Fonte: Dados fictícios.
Efetuados os cálculos, a tabela com a informação das comissões pagas em janeiro seria:
Comissões pagas em janeiro (R$)
Vendedor
Geladeiras
Fogões
Paulo
1 150,00
600,00
Germano
1 350,00
500,00
Rodolfo
950,00
750,00
Fonte: Dados fictícios.
Esse exemplo ilustra a operação de multiplicar uma matriz por um número real.
Acompanhe outro exemplo:
 5 8 21
, então 2A:
Sendo A 5 
 24 3 6 
 2 ? 5 2 ? 8 2(21) 
 10 16 22
 5 8 21
5
2A 5 2 
 5  28 6 12 

 24 3 6 
 2(24) 2 ? 3 2 ? 6 
Assim:
Para refletir
Se A é uma matriz m 3 n, de
elementos aij, e a é um número real,
então aA é uma matriz m 3 n cujos
elementos são aaij.
Sendo a e b números reais e A e B matrizes
de mesma ordem:
• (a 1 b)A 5 aA 1 bA
• a(A 1 B) 5 aA 1 aB
• a(bA) 5 (ab)A
• 1A 5 A
Verifique as propriedades desse teorema,
escolhendo dois números reais e duas matrizes
de mesma ordem.
72
Capítulo 4
8
Matriz transposta
O mesmo gerente citado anteriormente vai fazer uma apresentação para seus superiores e, entre outras
coisas, deseja mostrar as vendas bimestrais dos três vendedores. Ao preparar a apresentação, ele percebe
que a visualização da tabela ficaria melhor se os vendedores estivessem nas colunas e os produtos nas linhas
da tabela. Em outras palavras, ele gostaria de expor os dados como abaixo.
A tabela era assim:
Vendas no 1o bimestre (R$)
Vendedor
Geladeiras
Fogões
Paulo
44 000,00
22 000,00
Germano
43 000,00
16 000,00
Rodolfo
39 000,00
24 000,00
Fonte: Dados fictícios.
E vai ficar assim:
Vendas no 1o bimestre (R$)
Vendedor
Paulo
Germano
Rodolfo
Geladeiras
44 000,00
43 000,00
39 000,00
Fogões
22 000,00
16 000,00
24 000,00
Fonte: Dados fictícios.
A nova tabela do gerente é um exemplo de transposição de matriz.
Então:
Seja A uma matriz m 3 n. Denomina-se matriz transposta
de A (indica-se por At) a matriz n 3 m cujas linhas são, ordenadamente, as colunas de A.
Exemplos:
Para refletir
Qual é o significado da palavra
“ordenadamente” nessa definição?
Significa “em ordem”, da primeira à
última. Por exemplo, a 1a linha de At
é a 1a coluna de A.
 6 4
 6 22
⇒ At 5 
a) A 5 

 22 5 
4 5 
3 0
 3 10 21
t
b) A 5 
⇒ A 5  10 22


 0 22 6 
 21 6 
4 2 1
c) A 5  0 5 8  ⇒ At 5


23 2 10 
 4 0 23
2 5 2 


 1 8 10 
Notamos que, se A 5 (aij) é do tipo m 3 n, então At 5 (bji) é do tipo n 3 m e bji 5 aij.
Matrizes e determinantes
73
Atividade
em dupla
Exercícios
16.
Atividade
em equipe
Escreva no caderno a matriz transposta das
seguintes matrizes:
20. Sendo A 5
 5 
a) A 5 (5 2 6) At 5  2 


 6 
 3 8 
a) At 1 B 

3 0 
t 
9 13 
b) (5A 1 B)
 2 5 
b) B 5  21 4  B t 5  2 21 0 


 5 4 6 
 0 6 
 0 12 
21.
 24 2  C t 5  24 5 
 2 21 
c) C 5 
 5 21 
 1 3 2 
t
d) D 5  0 0 5  D 5


 21 4 3 
17.
 5 0  b) 

 10 5 

c) 5A 
 15 10  d) 

t
d) A
 1 2 

e) Bt  5 −2 
h) 

f) At 1 B
18.
 1 0 21 
 3 0 4 


 2 5 3 
1

4 
2 3 

1 2 
h) 3 ? At
 3 8 
 0 0 

 j) 

3 0 
0 0 
A 1 O3  3 0
b)  0 5
3A

 0 0
At
A 1 At  2 0
c) 0 4
A 2 At  0 0

2A 1 3At 2 I3
 23 25 


26 0 

 2 0 0 
 9 0 0
 e) 
 h) 

 0 4 0 
 0 19 0

 0 0 6 
 0 0 29
0
0
6
 4 0 0

 f)  0 8 0


 0 0 12





no Manual do Professor.
b) (A 1 B)t 5 At 1 Bt
c) (2A)t 5 2At
d) (A 2 B)t 5 At 2 Bt
Seja a um número real qualquer e A e B matrizes de
mesma ordem:
• (At)t 5 A • (aA)t 5 a ? At • (A 1 B)t 5 At 1 Bt
Verifique as três primeiras propriedades
relacionadas a uma matriz transposta.
74
Capítulo 4
Avião Maluco
23
21
Fura Bolo
28
36
Jogo
Versão A
Versão B
Avião Maluco
67
89
Fura Bolo
122
104
Fonte: Dados fictícios.

 0 0 0 
 g) 


 0 0 0 

 0 0 0 
0
0
7
Para refletir
Versão B
Downloads em 24 de outubro
k) 2(At 1 Bt)
 1 2 
 2 0 
eB5 
Sendo A 5 
,

 3 4 
 1 2 
mostrem que: Veja a resolução deste exercício
a) (At)t 5 A
Versão A


21. c) A 1 B 5  90 110  , total de downloads dos
 150 140  dois jogos nos dois dias.
Seja A uma matriz quadrada de ordem 3 cujos
0, se i ± j
.
elementos são dados por aij 5 
i1 j , se i5 j
Calcule:
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Jogo
Fonte: Dados fictícios.
 9 13 
 6 0 0
 2 0 0 
a) A
a)  0 4 0  d)  0 12 0



 0 0 18
b) A 1 I3  0 0 6 
19.
 8 0 
i) (5A 2 B)t 

0 12 
t
t
6 9  j) (3A) 2 3A

3 6 
Uma equipe de criadores de jogos para celular
acabou de lançar dois jogos, o “Avião Maluco” e o
“Fura Bolo”, nas versões A e B. As tabelas abaixo
mostram o número de downloads de cada jogo,
em cada tipo de versão, por dia:
Downloads em 23 de outubro
 2 1 
 1 5 
, determine:
Sendo A 5 
eB5 

 3 2 
 2 22 

t 
a) A 1 B  3 6 
 1 −4  g) A 1 B  3 3 
b) A 2 B
 2 1
1 5 
 3 2  e B 5  2 22  , determine:






De acordo com os dados das tabelas, façam no caderno o que se pede. a) A 5  23 21  b) B 5  67 89 


28 36 
 122 104 
a) Elaborem a matriz A, quadrada de ordem 2, com
os dados da tabela do dia 23 de outubro.
b) Elaborem a matriz B, quadrada de ordem 2, com
os dados da tabela do dia 24 de outubro.
c) Elaborem a matriz A 1 B e interpretem o que são
os valores dessa matriz, de acordo com o contexto do enunciado.
d) Elaborem a matriz B 2 A e interpretem o que são
os valores dessa matriz, de acordo com o contexto do enunciado.
e) Exatamente 10% do total de usuários que fizeram o download dos jogos nesses dois dias avaliaram os jogos como ótimos. Qual alternativa
abaixo contém a operação matricial que gera a
matriz C contendo a quantidade de usuários que
nesses dois dias avaliou cada jogo, em cada versão, como ótimo?
• C 5 0,1 ? A 1 B
• C 5 0,1 ? At 1 B
x • C 5 0,1 ? (A 1 B)
• C 5 0,1 ? (At 1 B)
 44 68 
21. d) B 2 A 5 
,
 94 68 
quantidade de downloads que foi
feita a mais no dia 24 de outubro.
9
Multiplicação de matrizes
A multiplicação de matrizes não é uma operação tão simples como as outras já estudadas até aqui; não
basta multiplicar os elementos correspondentes. Vamos introduzi-la por meio da seguinte situação:
Durante a Copa do Mundo de Futebol Feminino, realizada no Canadá em 2015, o grupo E era formado
por quatro países: Brasil, Coreia do Sul, Costa Rica e Espanha. Observe os resultados (número de vitórias,
empates e derrotas) de cada um, registrados em uma tabela e em uma matriz A, do tipo 4 3 3:
Desempenho das equipes do grupo E na Copa do
Mundo 2015 de Futebol Feminino
Vitórias
Empates
Derrotas
Brasil
3
0
0
Coreia do Sul
1
1
1
Costa Rica
0
2
1
Espanha
0
1
2
 3
1
A5
0
 0
0
1
2
1

0 
1
1
2

Fonte: Globo Esporte. Disponível em: <http://globoesporte.globo.com/futebol/
mundial-feminino/index.html>. Acesso em: 4 maio 2016.
Pelo regulamento da Copa do Mundo de Futebol Feminino, cada resultado (vitória, empate ou derrota)
tem pontuação correspondente (3 pontos, 1 ponto ou 0 ponto). Veja esse fato registrado em uma tabela e
em uma matriz B, do tipo 3 3 1.
Pontos obtidos por equipe
Vitória
3
Empate
1
Derrota
0
3

B 5  1 
0 
Fonte: Federação Internacional de Futebol (FIFA). Disponível em: <http://resources.
fifa.com/mm/document/tournament/competition/02/07/47/91/regulationsfwwc
canada2015e_neutral.pdf>. Acesso em: 4 maio 2016.
Terminada a primeira fase, foi verificado o total de pontos dos países participantes. Essa pontuação pode
ser registrada em uma matriz que é representada por AB (produto de A por B). Veja como é obtida a matriz da
pontuação de cada país do grupo E:
Brasil: 3 ? 3 1 0 ? 1 1 0 ? 0 5 9
Coreia do Sul: 1 ? 3 1 1 ? 1 1 1 ? 0 5 4
Costa Rica: 0 ? 3 1 2 ? 1 1 1 ? 0 5 2
Espanha: 0 ? 3 1 1 ? 1 1 2 ? 0 5 1


AB 5 


9
4
2
1





Esse exemplo sugere como deve ser feita a multiplicação de matrizes. Observe a relação que existe entre
os tamanhos das matrizes:
A4 3 3
?
B3 3 1
5
AB4 3 1
Para refletir
Como é determinado cada elemento de AB?
Cada elemento de AB é obtido multiplicando-se ordenadamente
os elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j
da matriz B e somando-se os produtos obtidos.
Matrizes e determinantes
75
Veja agora a definição matemática da multiplicação de matrizes:
Dada uma matriz A 5 (aij) do tipo m 3 n e uma matriz
B 5 (bij) do tipo n 3 p, o produto da matriz A pela matriz B
é a matriz C 5 (cij) do tipo m 3 p tal que o elemento cij é
calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos
da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da
matriz B, e somando-se os produtos obtidos. Para dizer
que a matriz C é o produto de A por B, vamos indicá-la
por AB.
Para refletir
Dadas as matrizes
A e B, tal que
C 5 AB, temos:
• (AB)t 5 BtAt
Verifique a quarta
propriedade
relacionada a uma
matriz transposta.
Observe que só definimos o produto AB de duas matrizes quando o número de colunas de A for igual ao
número de linhas de B; além disso, notamos que o produto AB possui o número de linhas de A e o número
de colunas de B:
Am3n
?
Bn 3 p
5
AB m 3 p
Fique atento!
A matriz identidade é o elemento neutro
da multiplicação de matrizes, ou seja,
quando existirem os produtos, temos:
A?I5AeI?B5B
Exercícios resolvidos
passo a passo: exerc’cio 5
 b11 
2. Dadas as matrizes A 5 (a11, a12, a13)1 3 3 e B 5  b21  , determine AB.
 b 
 31  3 3 1
Resolução:
 b11 


AB 5 (a11, a12, a13)1 3 3 ?  b21 
5 a11b11 1 a12b21 1 a13b31
 b 
 31 
331
1 3 2 
3. Dados A 5 
 e B5
0 5 21
Resolução:
3 0 
 4 22  ,

 determine AB.
 1 6 
A é uma matriz 2 3 3
2.
 AB será uma matrriiz 2 3 2
B é uma matriz 3 3 2 
 c 11
AB 5 
c21
c 12 
c22 
c11: usa-se a 1a linha de A e a 1a coluna de B, multiplicando-se ordenadamente os elementos:
1 ? 3 1 3 ? 4 1 2 ? 1 5 17
c12: usa-se a 1a linha de A e a 2a coluna de B: 1 ? 0 1 3(22) 1 2 ? 6 5 6
c21: usa-se a 2a linha de A e a 1a coluna de B: 0 ? 3 1 5 ? 4 1 (21)1 5 19
c22: usa-se a 2a linha de A e a 2a coluna de B: 0 ? 0 1 5(22) 1 (21)6 5 216
 1 3 2 
Concluindo: 

 0 5 21 
1444442
244444
444443
444443
A2 3 3
76
Capítulo 4
 3 0 
 17
6 
 4 22  5 
19
2
16 



1444442
24444
444443
1
6


144442
24444
44443
AB2 32
B3 3 2
4.
 3 2
0

 1 4
Dados A 5  5

 eB5


 3 1
 6 2 , determine AB.
Resolução:
Como A é uma matriz 3 3 2 e B é uma matriz 2 3 2, o número de colunas de A é igual ao número de linhas de
B; assim, está definido o produto AB, que será uma matriz 3 3 2, isto é:
 3 2
 c 11 c 12 
AB 5  c 21 c 22 5  5 0 




 1 4
 c 31 c 32
12
4 4
3
 3?3 1 2?6 3? 1 1 2?2
 3 1
6 2 5  5 ? 3 1 0 ? 6 5 ? 1 1 0 ? 2

123
 1?3 1 4 ?6 1? 1 1 4 ?2
332
232
 21 7 

 5  15 5 




 27 9 
14243
332
Resolvido passo a passo
5.
(UEL-PR) Atualmente, com a comunicação eletrônica, muitas atividades dependem do sigilo na troca de mensagens, principalmente as que envolvem transações financeiras. Os sistemas de envio e recepção de mensagens
codificadas chamam-se Criptografia. Uma forma de codificar mensagens é trocar letras por números, como
indicado na tabela-código a seguir.
1
2
3
4
5
1
Z
Y
X
V
U
2
T
S
R
Q
P
3
O
N
M
L
K
4
J
I
H
G
F
5
E
D
C
B
A
Nessa tabela-código, uma letra é identificada pelo número formado pela linha e pela coluna, nessa ordem.
Assim, o número 32 corresponde à letra N. A mensagem final M é dada por A 1 B 5 M, onde B é uma matriz
fixada, que deve ser mantida em segredo, e A é uma matriz enviada ao receptor legal. Cada linha da matriz M
corresponde a uma palavra da mensagem, sendo o 0 (zero) a ausência de letras ou o espaço entre palavras.
José tuitava durante o horário de trabalho quando recebeu uma mensagem do seu chefe, que continha uma
matriz A. De posse da matriz B e da tabela-código, ele decodificou a mensagem.
O que a chefia informou a José?
Dados:



A5 



12
0
45
30
1
20 13 8 50 25 1 
0 34 32 3 4 0 

26 13 24 0 0 0 
45 16 20 11 17 0 
50 21 3 35 42 11 



B5 



10 11 10 15 −8 30
30 −1 
14 31 19 19 −3 −4 0 

6 −4 8 31 0
0
0 
−8 6 16 32 20 −17 0 
44 −8 13 30 20 10 20 
a) SORRIA VOCE ESTA SENDO ADVERTIDO.
d) SORRIA VOCE ESTA SENDO IMPRODUTIVO.
b) SORRIA VOCE ESTA SENDO FILMADO.
e) SORRIA VOCE ESTA SENDO OBSERVADO.
c) SORRIA VOCE ESTA SENDO GRAVADO.
Matrizes e determinantes
77
1. Lendo e compreendendo
a) O que é dado no problema?
São dadas no problema uma tabela-código, que troca os números formados por (linha-coluna) pela letra correspondente, e a informação principal, a qual esclarece que a mensagem a ser seguida é fruto de uma matriz
formada pela soma de outras duas matrizes.
b) O que se pede?
Pede-se a decodificação da matriz, informando a mensagem que a chefia quis passar.
2. Planejando a solução
A estratégia base para solucionar o problema é inicialmente somar as matrizes (A) e (B) encontrando a
matriz (M). A partir desta, decodificamos os números em letras e, em seguida, montamos a frase transmitida pela chefia.
3. Executando o que foi planejado
1º- passo: Montar a matriz M.
A1B5M







12
0
45
30
1
 10 11 10 15 −8 30
20 13 8 50 25 1 
30 −1
 14 31 19 19 −3 −4 0
0 34 32 3 4 0 


26 13 24 0 0 0  1  6 −4 8 31 0
0
0
 −8 6 16 32 20 −17 0
45 16 20 11 17 0 
 44 −8 13 30 20 10 20
50 21 3 35 42 11 




5 



22 31 23 23 42 55 0
14 31 53 51 0 0 0
51 22 21 55 0 0 0
22 51 32 52 31 0 0
45 42 34 33 55 52 31



 5










2º- passo: Decodificar os números da matriz M em letras.
Mensagem decodificada:
22 31 23 23 42 55 14 31 53 51 51 22 21 55 22 51 32 52 31 45 42 34 33 55 52 31 5 SORRIA VOCE ESTA SENDO FILMADO
4. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa b.
5. Ampliando o problema



a) Exemplo de matriz: M 5 



52 51 22 53 15 34 25 
51 0 0 0 33 51 0 
0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 53 43 51 

45 51 0 0 0 0 0 
a) Levando em consideração a advertência que recebeu, José decidiu pedir desculpas ao chefe e enviou uma
mensagem codificada com a seguinte frase: “DESCULPE ME CHEFE”. Sendo assim, qual poderia ser a matriz M enviada à chefia?
b) Desafio em equipe.
Dividindo-se em grupos, montem 10 frases (mensagens) codificadas. Em seguida, cada grupo apresenta a sua
mensagem, e os demais têm a missão de anotar a frase que entenderam. Ao final das apresentações, o grupo
que acertar mais mensagens é o vencedor. Essa é uma atividade que trabalha a capacidade de expressão dos alunos e
o raciocínio pessoal.
78
Capítulo 4
Exercícios
22. Só definimos o produto AB de duas matrizes quan-
do o número de colunas de A for igual ao número
de linhas de B. Então, associe V ou F a cada uma das
seguintes afirmações:
a) Se A é uma matriz 3 3 1 e B é uma matriz 1 3 2,
existe o produto AB. V
 1
b) Se A 5  3 e B 5 (1 5 2), existe o produto AB. V
 
 5
27.
 4 1 
 6 22  e I2 é a matriz identidade de
ordem 2, determine:
a) A ? I2 A
b) I2 ? A A
28. Se A 5
29. Determine os produtos:

 2 4
a)  6 5  
 1 0   1 3
c) Se A é uma matriz 4 3 3 e B é uma matriz 1 3 4,
existe o produto AB. F
d) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 2, então o produto AB será, também, uma matriz
quadrada de ordem 2. V
 1
b)  3

 6
 1 3 
 4 21 
,
eB5 

 0 22 
 1 2 
23. Dadas as matrizes A 5 
determine:



−1 
24. Determine o produto AB, sendo A 5
 23
5   0 0
B5 
.
12
220   0 0 

25.
a) AB 5 BA F
b) Se AB 5 0, então A 5 0 e B 5 0. F
Para refletir
Dadas as matrizes quadradas A e B de mesma ordem, às
vezes temos AB 5 BA, mas em geral temos AB ? BA.
Quando AB 5 BA, dizemos que A e B comutam.
(
) ( )
0 21 , F 5
0 2
3 0
3 1
(
)
2 0 ,
23 4
verifique quais são as duas matrizes que comutam.
Dadas E 5
eG5
Só F e G comutam, pois EF ? FE, EG ? GE e FG 5 GF.
26.
 2 3
Dadas as matrizes A 5 
e
 5 1 
 3 1
, determinem:
B5 
 2 1 
 19 19 
a) A2, em que A2 5 AA;  15 16 
b) B2, em que B2 5 BB;  11 4 
c) (A 1 B)(A 2 B);

8

3 
 7 10 
c) 
 21 14 
d) A2 2 B2.  8 5 


7 13 
Fique
atento!
Só podemos
calcular A2
quando A é
matriz
quadrada.
 17 39 


2 4 
5 0 
15 0 

 12 30 0 
 2
5
0)  6





 5 0   29 24 
 2 4   23 22 


 
 3 2   26 4 




d)  5 1   0 5 1 6   2 24 9 27 
 3 2   2 21 4 23   4 13 11 12 
 4 1 
 8 2  e
Observem os resultados obtidos nos exercícios
23 e 24 acima e avaliem como verdadeira (V) ou
falsa (F) cada sentença abaixo (considerem A e B
matrizes quadradas de mesma ordem):

 (2


 1 3 6
c)  2 5 1

 4 0 2
a) AB  7 5 
 −2 −4 
b) BA  4 14 

1
Observando os resultados obtidos no exercício
anterior, respondam: para essas matrizes, A e B, vale a igualdade (A 1 B)(A 2 B) 5 A2 2 B2? Não.
 1 6 
 3 5
e)  22 1  
 21 2

 4 3 
 23 17 
 27 28 


 9 26 


 
f)  5 24   7 4   59 12 
 2 1   26 2   8 10 
30.
Para a fabricação de caminhões, uma indústria
montadora precisa de eixos e rodas para seus três
modelos de caminhões, com a seguinte especificação:
Número de eixos e rodas de cada
modelo de caminhão
Componentes/Modelo
A
B
C
Eixos
Rodas
2
4
3
6
4
8
Fonte: Dados fictícios.
Para os dois primeiros meses do ano, a produção da
fábrica deverá seguir a tabela abaixo:
Produção de caminhões nos meses
de janeiro e fevereiro
Modelo/Meses
Janeiro
Fevereiro
A
B
C
30
25
20
20
18
15
Fonte: Dados fictícios.
Usando a multiplicação de matrizes, respondam:
nessas condições, quantos eixos e quantas rodas
são necessários em cada um dos meses para que a
montadora atinja a produção planejada?
215 eixos para janeiro e 154 para fevereiro; 430 rodas para
janeiro e 308 para fevereiro
Matrizes e determinantes
79
10
Determinante de uma matriz
O determinante de uma matriz é um número real associado às
matrizes quadradas. Toda matriz quadrada possui determinante.
Historicamente, o determinante surgiu para indicar sistemas determinados (sistemas que têm solução
única, como estudaremos no próximo capítulo), mas ao longo do tempo tornou-se uma ferramenta matemática com diversas aplicações.
Estudaremos os determinantes mais usuais (os de ordem 2 e de ordem 3), aprendendo a determiná-los
por meio de regras práticas. Veremos também algumas de suas propriedades mais relevantes. E, ao longo
desta coleção, estudaremos a aplicação dos determinantes para classificar sistemas lineares, calcular áreas
de triângulos e obter equação da reta, entre outras coisas.
Junte-se com um colega e reflitam sobre que valor (ou valores) de x resolve(m) cada uma das equações
abaixo. Depois, discutam com os colegas da classe os valores escolhidos.
a) 2x 5 8
b) 2x 5 0
c) 0x 5 0
Os dois primeiros itens são básicos e podem fazer com que os alunos não deem a devida atenção aos itens c e d, por isso desafie-os por
meio de questionamentos. Depois que os alunos efetuarem a tarefa proposta, pergunte sobre as respostas obtidas e estimule-os a
discutir os resultados. Finalize pedindo que eles definam uma “regra” para que tenhamos soluções únicas nas equações.
d) 0x 5 5
O determinante de ordem 2
a11 x 1 a12 y 5 k1
Vamos analisar a solução do seguinte sistema 2 3 2: 
a21 x 1 a22 y 5 k2
Isolando x na primeira equação, temos:
x5
k1 2 a12 y
a11
Substituindo na segunda equação, temos:
 k1 2 a12 y 
1 a22y 5 k2 ⇒ a21k1 2 a12a21y 1 a11a22y 5 a11k2 ⇒ (a11a22 2 a12a21)y 5 a11k2 2 a21k1
a21 
 a11 
Para que exista um único valor de y que satisfaça essa igualdade é necessário que (a11a22 2 a12a21) não seja
nulo. Existindo um único valor de y, existirá um único valor de x, e o sistema terá solução (será determinado).
Sendo assim, o número (a11a22 2 a12a21) é chamado de determinante da matriz de ordem 2, pois conforme seu
valor sabemos de antemão se o sistema 2 3 2 é ou não é determinado.
Esse número pode ser obtido facilmente a partir de operações que envolvem os elementos da matriz
dos coeficientes do sistema que está sendo analisado por meio de uma regra prática.
a11 x 1 a12 y 5 k1
Por exemplo, para o sistema 
a matriz dos coeficientes é
a21 x 1 a22 y 5 k2
 a11 a12 

 . Observe que, se
 a21 a22 
fizermos o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secun-
 a11 a12
dária, obteremos exatamente (a11a22 2 a12a21), que foi definido como o determinante da matriz 
.
 a21 a22
Como essa matriz é de ordem 2, o determinante é dito de ordem 2.
80
Capítulo 4
 a11 a12 
Assim, dada a matriz A 5  a a  , indicamos seu determinante deste modo:
 21 22 
det A 5
a11 a12
5 a11 ? a22 2 a12 ? a21
a21 a22
6 3 
, é dado por:
Por exemplo, o determinante de matriz A (det A), sendo A 5 
 2 24 
det A 5
6 3
5 6 ? (24) 2 3 ? 2 5 224 2 6 5 230.
2 24
Fique atento!
É errado escrever
 6 3  5 230, pois não é a matriz, e sim seu determinante,
 2 24 
um número, que é 230. O correto é det A 5 230 ou 6 3
2 24
5 230.
O determinante de ordem 3
a11 x 1 a12 y 1 a13 z 5 k1

De forma análoga, vamos analisar a solução do seguinte sistema 3 3 3: a21 x 1 a22 y 1 a23 z 5 k2
a x 1 a y 1 a z 5 k
33
3
32
 31
Fazendo as operações adequadas, obtemos a seguinte equação na variável z:
(a11a22a33 1 a12a23a31 1 a13a21a32 2 a13a22a31 2 a12a21a33 2 a11a23a32)z 5
5 (a11a22k3 1 a12k2a31 1 k1a21a32 2 k1a22a31 2 a11k2a32 2 a12a21k3)
Da mesma forma que na equação obtida no sistema 2 3 2, para que exista um único valor de z, é necessário que:
(a11a22a33 1 a12a23a31 1 a13a21a32 2 a13a22a31 2 a12a21a33 2 a11a23a32)
não seja nulo. Então, o número:
(a11a22a33 1 a12a23a31 1 a13a21a32 2 a13a22a31 2 a12a21a33 2 a11a23a32)
é chamado determinante da matriz de ordem 3, e, conforme seu valor, sabemos se o sistema 3 3 3 é determinado ou não.
 a11 a12 a13 


Consideremos a matriz genérica de ordem 3: A 5  a21 a22 a23  .
 a31 a32 a33 
Define-se o determinante da matriz de ordem 3 ao número:
a11 a12
det A 5 a21 a22
a31 a32
a13
a23 5 a11a22a33 1 a12a23a31 1 a13a21a32 2 a13a22a31 2 a12a21a33 2 a11a23a32
a33
Fique atento!
Quando se diz determinante de ordem n, deve-se entender determinante de uma matriz de ordem n.
Matrizes e determinantes
81
Podemos obter esses seis produtos de uma forma prática, conhecida como regra de Sarrus, fazendo
o seguinte:
• repetimos as duas primeiras colunas à direita da matriz e efetuamos as seis multiplicações como indicado:
1 1 1
2 2 2
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
(a13a21a32)
(a12a23a31)
(a11a22a33)
2(a13a22a31)
2(a11a23a32)
2(a12a21a33)
• os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo sinal;
• os produtos obtidos na direção da diagonal secundária mudam de sinal;
• o determinante é a soma dos valores assim obtidos.
Exemplo:
3 1 5 
A 5  2 0 22 


21 4 23
3
1
5
3
1
2
0 22
2
0
21 4 23 21
4
012416
Fique atento!
Os três produtos da esquerda já estão
com o sinal trocado.
0 12 140 5 72
Portanto, det A 5 72.
Teorema de Binet
Assunto
opcional
Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz produto, então det (AB) 5 (det A)(det B).
Exemplo:
3 2 
A5 
, B 5
5 21
 3 4 
A1B5 

 8 3 
det (A 1 B) 5 9 2 32 5 223
det A 5 23 2 10 5 213
 ⇒ det A 1 det B 5 213 2 6 5 219
det B 5 0 2 6 5 26 
Logo, det (A 1 B) ? det A 1 det B.
0 2 
3 4


 6 14 
AB 5 
 ⇒ det (AB) 5 36 1 42 5 78
23 6 
det A ? det B 5 (23 2 10)(0 2 6) 5 (213)(26) 5 78
Para refletir
Calcule e compare: det (A 1 B) e det A 1 det B.
Exercício resolvido
6.
 1 21 0 
2 x 


Dadas as matrizes A 5 
 e B 5  2 3 x  , determine o valor de x para que se tenha det A 5 det B.
3 9 
21 2 1 
Resolução:
• A é matriz de ordem 2: det A 5 2 ? 9 2 3x 5 18 2 3x
• B é matriz de ordem 3; usamos a regra de Sarrus:
1 ⫺1
0
1 ⫺1
2
3
x
2
3
⫺1
2
1 ⫺1
2
0 ⫺2x ⫹2
⫹3 ⫹x
0
det B ⫽ ⫺x ⫹ 5
13
det A 5 det B ⇒ 18 2 3x 5 2x 1 5 ⇒ 23x 1 x 5 5 2 18 ⇒ 22x 5 213 ⇒ 2x 5 13 ⇒ x 5
2
13
Logo, x 5 .
2
82
Capítulo 4
Exercícios
31.
35. Resolva no caderno as equações:
Calcule os determinantes:
a)
6 2 10
4 3
a)
x22 6
3
5
b)
23 28
2
1
2
b)
2 3 22
0 1 x
2 x 23
c)
6 10 0
3 5
d)
e)
f)
a2 2 b2
(cos x )21
2sen x (cos x )21
cos a sen b
sen b cos a
 1 0 
a) I2 5 
1
 0 1 
tan 2x
37.
cos2 a 2 sen2 b
b)
c)
d)
2 1 22
3 21 0
4 1 23
e)
a 0 0
0 b a
0 1 1
1
ab 2 a2
f)
 0 0 0 
c) C 5  4 1 3  0


 21 2 1 
3 0 8
0 7 7 2413
4 9 0
 1
2 1 
d) D 5  4
8 3 0


 22 24 3 
280
33. Dadas as matrizes A 5  21 3  e
 2 28 
 2 21 
B5 
 , determinem:
 3 0 
Se achar conveniente, aproveite a
resolução deste exercício para
mencionar as propriedades que
zeram o determinante.
 3 1 3 
b) B 5  2 21 2  0


 8 5 8 
3 5 21
0 4 2 224
0 0 22
0 0 5
8 10 3
0 7 4
Calcule o determinante das matrizes:
 0 0 
a) A 5 
 0
 0 0 
nantes:
3 2 21
5 0
4 57
2 23 1
Chame a atenção dos alunos em relação
aos resultados deste exercício.
 1 0 0 
b) I3 5  0 1 0  1


 0 0 1 
32. Aplicando a regra de Sarrus, calcule os determi-
a)
5 2 S 5 {1, 2}
36. Calcule o determinante das matrizes:
a
b
a1b a1b
sen x
5 2 S 5 {6}
38. Se det A 5 5 e det B 5 2, determine:
a) det (AB) 10
b) det (A2) 25
c) det (B3) 8
 1 2 
a) A 1 B a)  5 −8 




b) At b)  −1 2 
 3 −8 

1 
c) A ? B c)  7

 −20 −2 
g) det (A 1 B) 218
d) det A 2
i) det (AB) 6
Lembrando que a matriz identidade I é o elemento neutro da multiplicação de matrizes, calculem o
determinante de uma matriz identidade qualquer
(ordem n), a partir do raciocínio abaixo: (A e I são da
mesma ordem e det A ? 0.)
e) det At 2
j) det A ? det B 6
A ? I 5 A ⇒ det (AI) 5 det A ⇒ det A ? det I 5 det A ⇒
⇒ det I 5 ? 1
34. Se A 5
f) det B 3
h) det A 1 det B 5
39.
 21 2 
 3 1 
 4 8  e B 5  22 6  , determine




det (AB).240
Para refletir
Qual é o determinante de qualquer
matriz identidade? 1
33. Se achar conveniente, use a resolução deste exercício para mostrar algumas propriedades
e não propriedades, ao comparar e discutir com os alunos os itens d e e; g e h; i e j.
Matrizes e determinantes
83
11
Assunto
opcional
Matriz inversa de uma matriz dada
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz
tal que AX 5 In e XA 5 ln, então x é denominada matriz inversa de
A e é indicada por A21.
Fique atento!
Lembre-se de que In é
a matriz identidade.
Existe a matriz inversa de A sempre que det A ? 0.
Exemplo:
1

0
 1 21

2
.
A matriz A 5  2 0  admite inversa, pois det A ? 0, e sua matriz inversa é A21 5 


1
 21 

2
1
1


0
0

 1 21 
 1 0 
2
2   1 21
Note que: 
5 1 0
e
 5






1
2 0  
 0 1
 0 1   21 1   2 0 
21 
↓
↓


2
2
I2
I2
1

0


21
21
2
Então, A admite inversa e A 5 
, ou seja, AA 5 A A 5 I2.

1
 21 

2

 .
Para refletir
21
Verifique as multiplicações
efetuadas.
Observação: Todo número real a diferente de zero possui o inverso multiplicativo a21, pois aa21 5 a21a 5 1.
Dada uma matriz quadrada n 3 n, nem sempre existe uma matriz B, do tipo n 3 n, tal
que AB 5 BA 5 I n . É necessário que det A ? 0 para que exista essa matriz B,
inversa de A.
Exercícios
40.
Calcule o determinante de cada matriz abaixo e determine se elas admitem inversas ou não.
42.
a) B sabendo que AB 5 I2;  23 −2 
 3 1 
a) A 5 
 Sim.
 4 6 
 2 3 
b) B 5 
 Não.
 4 6 
 a c 
 1 2 
Sejam A 5 
 e B 5  b d  . Determinem:
1
3




b) A21.  23 −2 

 21
43.

1 

 21

1 
 1

 6 2 
−1 

21
Sejam A 5 
.
 e A 5  2

 2 1 
Determinem:
 −1 3 
a) det A 2
1
 1 0 21 
c) C 5  4 2 1  Sim.


 5 2 3 
41.
84
Sejam A e B matrizes de ordem 3. Se B 5 A21, determine o produto AB. I3
Capítulo 4
b) det A21 2
c) det (AA21) 1
44.
Lembrando que se AA21 5 I então
det (AA21) 5 det I, calculem det A21 sabendo que
1
det A 5 3. 3
12
Aplicações de matrizes
Geometria e coordenadas
Observe a região triangular P no plano cartesiano a seguir.
y
4
3
P
2
1
x
0
1
2
3
4
Os vértices desse triângulo são descritos pelos pares ordenados: (1, 4); (4, 4) e (2, 1). Podemos escrever
esses pares ordenados em colunas, formando uma matriz. Veja:
 1 4 2
 4 4 1
Exercícios
y
Observe o triângulo Q no plano cartesiano ao lado e escreva no caderno: 4
a) os pares ordenados que descrevem seus vértices; (4, 2), (8, 1), (8, 4)
3
b) os pares ordenados formando uma matriz 2 3 3.  4
 2
8 

4 
8
1
Q
2
1
x
0
46.
2
3
4
5
6
7
8
Escreva no caderno a matriz correspondente aos vértices de cada figura a seguir.
a) R
4
b) S
R
c) T
e) V
y


a)  23 23 21 24 
 1
2
4 
2
3


b)  28 26 26 28 
 23 23 2
2 
2
1
d) U
28 27 26 25 24 23 22 21 0
21
22
S
T
23
x
1
2
3
4
5
U
6
V
7
8


c)  25 24 21 
 22 24 21 

5 4, 5 
d)  1, 5 2
 23 21 21 23 

6
8
7 
e)  5
 23 23 21 21 
24
47.
1
Coloque os pares ordenados de cada matriz a seguir em um plano cartesiano construído no caderno. Ligue os
pontos (em ordem) para formar uma figura. Veja a resolução deste exercício no Manual do Professor.
2 1 2 3
a) 
 1 3 6 3
 0 1 5 4
b) 
 0 2 2 0
 3 1 0
c) 
22 23 0
 0 5 5 0
d) 
 0 22 4 4
Matrizes e determinantes
85
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45.
Transformações geométricas
As imagens em uma tela de computador ou televisão de tecnologia mais moderna são na verdade
formadas por pequenos pontos (pixels), elementos de uma matriz.
Por exemplo, uma imagem de resolução 800 3 600 tem 800 ? 600 5 480 000 pixels distribuídos em
800 colunas e 600 linhas.
Quando um programa gráfico altera a posição, reflete, rotaciona ou muda a escala da imagem, na verdade está mudando a posição dos pixels que a formam. Em computação gráfica isso tudo é feito por operações de matrizes; é o que se chama de transformações geométricas.
Basicamente, as transformações geométricas no plano são quatro: rotação, reflexão, escala e translação.
Observe nas figuras abaixo um ABC sujeito a cada uma dessas transformações:
• Rotação do ABC, de 30º no sentido anti-horário, em torno da origem.
y
C9
B9
C
A9
B
30¡
x
A
O
• Reflexão do ABC em relação ao eixo y.
y
C
C9
B9
A9
B
A
x
• Mudança de escala do ABC em 50%. Essa mudança de escala chama-se homotetia.
y
C
B
C9
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
B9
O
A9
A
x
• Translação do ABC com 2 unidades para a esquerda e 2 unidades para cima.
y
C9
B9
B
A9
A
O
86
Capítulo 4
C
x
Translação
Observe as figuras abaixo.
y
8
7
6
5
4
3
2
1
A
x
0
y
8
7
6
5
4
3
2
1
8
2
A
A
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Vértices da região triangular A: (0, 2); (3, 6) e (4, 2).
1
x
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Vértices da região triangular A9: (8, 0); (11, 4) e (12, 0).
As matrizes relacionadas às figuras acima são:
 8 11 12 
 0 3 4
e A9 5 
A5 

 0 4 0 
 2 6 2
A região triangular A sofreu uma translação dando origem à região triangular A9. Podemos descrever
essa translação usando uma matriz coluna:
 8  → movemos 8 unidades à direita ao longo do eixo x , e depois
 −2  → movemos 2 unidades para baixo ao longo do eixo y .
Observe que:
 0
 8
 8
3
8
11
4
•  6 1  22 5  4 
•  2  1  22 5  0
8
12
•  2  1  22 5  0 
De modo geral, para transladar um ponto P(x, y) de a unidades para a direita e b unidades para cima,
efetuamos a adição de matrizes:
 a
 x
 x 1 a
 y  1  b 5  y 1 b
Exercícios
Veja a resolução dos exercícios 48 e 49 no Manual do Professor.
Escreva no caderno o que significa cada uma das
translações dadas pelas matrizes:
 2
a)  
 3
49.
 3
b)  
 21
c)
 22
 21 
 22
d)  
 4
Copie o diagrama abaixo em uma malha quadriculada. Translade o triângulo A de acordo com cada matriz coluna dada e desenhe o triângulo transladado.
y
 2
a)   , dando origem ao triângulo B.
 3
 23
, dando origem ao triângulo C.
b) 
 24 

 
 2
x
0
22 ; 3  ;  22 
 22   22   2 
c)   , dando origem ao triângulo D.
 25
 23
A
 3  8  3
;
;
 5   5   9 
 3   8   3

;
; 
23   23   1 
d)   , dando origem ao triângulo E.
 22
 22   3   22 


; ;
0   0  4 
e) Em cada caso, escreva a adição de matrizes correspondentes.
Matrizes e determinantes
87
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48.
Reflexão
Observe o diagrama abaixo. A figura A sofreu uma reflexão em relação ao eixo y dando origem à figura A9.
A
210 2928 27 26 25 24 23 22 21
21
Banco de imagens/Arquivo da editora
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
A9
x
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
22
23
Vértices da figura A: (23, 2), (24, 4), (22, 7), (28, 4)
Vértices da figura A9: (3, 2), (4, 4), (2, 7), (8, 4)
Veja a matriz associada a cada figura:
 3 4 2 8
 23 24 22 28
e A9 5 
A5 

 2 4 7 4 
 2 4 7 4
A reflexão que leva A em A9 é indicada por:
 3 4 2 8
 23 24 22 28
A → A9, ou seja, 
→ 

 2 4 7 4 
 2 4 7 4
Observe que neste caso a reflexão é em relação ao eixo y.
 21 0
, ou seja:
Podemos obter a matriz de A9 multiplicando a matriz de A pela matriz 
 0 1 
 23 24 22 28
 3 4 2 8
 21 0
 0 1  3  2 4 7 4  5  2 4 7 4 
Agora, considere uma reflexão da figura A em relação ao eixo x, dando origem à figura B. Veja:
A
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Banco de imagens/Arquivo da editora
0
210292827262524232221
21
22
23
B
24
25
26
27
28
29
210
88
Capítulo 4
y
Vértices da figura A: (23, 2), (24, 4), (22, 7), (28, 4)
Matriz associada:
23 24 22 28
2 4 7 4
x
1 2 3
Vértices da figura B: (23, 22), (24, 24), (22, 27), (28, 24)
Matriz associada:
23 24 22 28
22 24 2 7 24
Veja a matriz associada a essas figuras:
 23
A5 
 2
24
4
28 
4 
22
7
 23
e B5 
 22
24
24
22
27
28 
24 
A reflexão que leva A em B é indicada por:
 23 24 22 28
 23 24 22 28
→ 
A → B, ou seja, A 5 

 2 4 7 4
 22 24 27 24 
Observe que neste caso a reflexão é em relação ao eixo x. Podemos obter a matriz de B multiplicando a
1 0
matriz de A pela matriz 
, ou seja:
 0 21
 23 24 22 28
1 0
 23 24 22 28
 0 21 3  2 4 7 4  5  22 24 27 24 
De modo geral, para se obter a reflexão em relação ao eixo y de uma figura cuja matriz associada é
 a b c d
, basta efetuar a multiplicação:
dada, por exemplo, por 
 e f g h
 a b c d
 21 0
 0 1  3  e f g h
E, para se obter a reflexão em relação ao eixo x de uma figura cuja matriz associada é dada por
 a b c d
 e f g h , basta efetuar a multiplicação:
1 0
 a b c d
 0 21 3  e f g h
Rota•‹o
3
y
2
25 24 23 22 21
0
21
22
C
A
1
x
1
2
3
4
5
Banco de imagens/Arquivo da editora
Observe a representação a seguir:
23
A figura A sofreu uma rotação de 180º no sentido anti-horário em torno da origem (0, 0), dando origem
à figura C.
As matrizes associadas a cada uma dessas figuras são:
 1
A5 
 1
4
3
5 
1 
4
2
 21
e C 5 
 21
24
23
24
22
25 
21 
Indicamos a rotação que leva A em C por:
 1
A → C, ou seja, 
 1
4
3
4
2
 21
5 
→ 
1 
 21
24
23
24
22
25 
21 
Matrizes e determinantes
89
Nesse caso, obtemos a matriz associada à figura C multiplicando a matriz associada à figura A pela
 −1 0 
 cos 1808 2sen 1808 
, ou seja:
, que é correspondente a 
matriz 

 0 21 
 sen 1808 cos 1808 
 21 0 
 1
 0 21  3  1
4
3
4
2
 21
5 
5 

1 
 21
24
23
24
22
25 
21 
De modo geral, para se obter uma rotação de a graus no sentido anti-horário em torno da origem
 a b c d
(0, 0) de uma figura cuja matriz associada é dada, por exemplo, por 
, basta efetuar a mul e f g h
tiplicação:
 a b c d
 cos a 2sen
sen a 
 sen a cos a  3  e f g h 


Exerc’cios
Faça os exercícios a seguir no caderno ou em uma malha
quadriculada.
50.


figura pela matriz:  21 0 
2
0
1


Repita o exercício anterior, usando uma reflexão em
relação ao eixo y.
y
3
A
1
x
0
90
Capítulo 4
1
2
3
4
5
Banco de imagens/Arquivo da editora
Considere a figura A e uma rotação de 908 no sentido anti-horário em torno da origem (0, 0), originando uma figura D.
2
 1
4
4
5 
c) Verifique que a matriz associada pode ser obtida
 cos 908 2sen 908   1 4 4 5 
3
.
pelo produto 
 sen 908 2cos 908   1 2 3 1 
Veja a resposta do item b do exercício 50,
do exercício 51 e do item c do exercício 53
na seção Respostas.
a) Marque os pares ordenados em um plano cartesiano e ligue os pontos, em ordem, para formar
uma figura.
b) Efetue uma reflexão das figuras em relação ao
eixo x e escreva a matriz de cada figura refletida.
c) Constate que a matriz da figura refletida pode
ser obtida multiplicando-se a matriz associada à
52.
b) Desenhe em um mesmo plano cartesiano as figuras A e D.
a)  21 23 22 21 
Veja a resolução dos exercícios 50 a 53 no Manual do Professor.
Faça o que se pede para cada matriz a seguir:
 20 2 23 
 0 1 3
N5
M5


 3 5 1
 22 0 24 
 21 23 25 24 
Z5

22 22 21 24 
51.
a) Obtenha a matriz associada à figura D.
53.
Faça o que se pede para cada matriz a seguir.
 1 1 3
A5 
 1 3 3
 2 1 5 4
B5
 2 4 4 2 
 1 1 4 4
C5
 1 3 3 1 
a) Coloque os pares ordenados de cada matriz no
plano cartesiano e ligue os pontos em ordem
para formar uma figura.
b) Na matriz A aplique uma rotação de 90º, em B
uma rotação de 180º e em C uma rotação de
270º, no sentido anti-horário, em torno da origem (0, 0).
c) Em todos os casos escreva a matriz associada à
figura final e desenhe-as em um mesmo plano
cartesiano.
d) Verifique que a matriz associada pode ser obtida
multiplicando-se a matriz associada à figura ini-
 cos a 2sen a 
.
cial por 
 sen a 2cos a 
Escala
Nem todas as transformações geométricas preservam distâncias e forma como as estudadas até aqui.
Acompanhe o caso a seguir.
Consideremos uma mudança de escala de um ponto P(x, y) em relação à origem, usando um fator multiplicativo Sx para a coordenada x e um fator multiplicativo Sy para a coordenada y. Assim, sendo a matriz
 Sx 0 
 x
E 5 
e a matriz P 5   , devemos ter P9 5 E 3 P.

 y
 0 Sy 
Banco de imagens/Arquivo da editora
Por exemplo, observe a região triangular A a seguir:
y
A
x
Podemos aplicar a transformação escala a todos os pontos P(x, y) dessa figura em 100%. Aumentar em
100% nas direções dos eixos Ox e Oy é multiplicar por 2. Assim, Sx 5 2 e Sy 5 2. Logo:
 2 2 6
 2 0
 4 4 12
A9 5 
3
5


 2 6 2
 0 2
 4 12 4 
Verificando geometricamente, temos:
Banco de imagens/Arquivo da editora
y
A9
A
x
Matrizes associadas às figuras A e A9:
 4 4 12
 2 2 6
e A9 5 
A5 

 4 12 4 
 2 6 2
Matrizes e determinantes
91
Exerc’cios
54.
Veja a resolução dos exercícios 54 a 56 no Manual do Professor.
Considere o triângulo A a seguir. Aplique nele uma transformação escala segundo os fatores 3 e 1 nas direções
dos eixos Ox e Oy, respectivamente. Faça a verificação geométrica.
y
A
x
Transformem a figura a seguir usando a matriz de transformação escala:
 3 0
A1 5 
 0 1 
 22 0 
A2 5 
 0 1 
3
y
2
A
1
x
23
22
0
21
1
2
Ilustrações: Banco de imagens/
Arquivo da editora
55.
3
a) Qual é a área da figura A? 5 unidades de área
b) Qual é a área de cada figura transformada? 15 unidades de área; 10 unidades de área
c) Qual é a relação entre a área da figura inicial A e a área de cada figura transformada? O que ocorreu com a
figura A após sofrer cada transformação? Área de A91 : 3 3 área de A e área de A92 : 2 3 área de A.
56.
Explorem, investiguem e respondam.
 k 0
, para um númea) O que ocorre com uma figura quando aplicamos uma transformação escala do tipo 
 0 1 
ro real k qualquer?
Veja as respostas deste exercício na seção Respostas.
b) Qual é a relação entre a área da figura inicial e a área da figura transformada pela transformação escala do
 k 0
, para um número real k qualquer?
tipo 
 0 1 
Criptografia
Como dito anteriormente, podemos criptografar mensagens com o auxílio de matrizes. Uma técnica
bastante simples utiliza como chave codificadora/decodificadora um par de matrizes quadradas (A e B)
de elementos inteiros e inversas uma da outra e faz correspondência entre letras do alfabeto, símbolos
e números.
 1
 3 1 
1
Por exemplo, dadas as matrizes A 5
e B 
 e a tabela:
 2 3 
 2 1 
92
Capítulo 4
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
.
#
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Suponhamos que a mensagem a ser transmitida seja:
CRIPTOGRAFIA E MATRIZES.
De acordo com a tabela numérica temos os números: 3, 18, 9, 16, 20, 15, 7, 18, 1, 6, 9, 1, 28, 5, 28, 13, 1, 20, 18,
9, 26, 5, 19 e 27.
Devemos arrumar a sequência de números acima em uma matriz M de duas linhas:
 3
M 5 
 28
18
5
9
28
16
13
20
1
15
20
7
18
18
9
1
26
6
5
9
19
1 

27 
O remetente utiliza a matriz A para codificar a mensagem fazendo: N 5 AM e, desse modo, obtém a matriz N.
 3
AM 5 
 2
1   3
?
3   28
 37
5 
 90
59
51
18
5
55
102
9
28
61
71
16
13
61
43
20
1
65
90
15
20
39
68
63
63
7
18
18
9
29
80
1
26
23
27
6
5
46
75
9
19
1 
 5
27 
30 
 5N
83 
Os elementos de N constituem a mensagem codificada: 37, 59, 55, 61, 61, 65, 39, 63, 29, 23, 46, 30, 90, 51,
102, 71, 43, 90, 68, 63, 80, 27, 75 e 83.
Quando a mensagem codificada chega ao destinatário, ele utiliza a matriz decodificadora B para desfazer os procedimentos anteriores; já deve ter sido estabelecido que:
BN 5 BAM 5 IM 5 M
Com os números da mensagem codificada recebida, o destinatário constrói uma matriz com duas linhas
(N) e efetua o produto BN. Veja:
 3
1 

2  
7
7 
37
BN 5 
?
 2 3   90
 2

 7 7 
 3
5 
 28
18
5
9
28
59
51
16
13
55
102
20
1
61
71
15
20
61
43
7
18
65
90
18
9
39
68
1
26
63
63
6
5
29
80
23
27
46
75
30 
 5
83 
1 
 5M
27 
9
19
Os elementos da matriz M obtida formam a sequência de números: 3, 18, 9, 16, 20, 15, 7, 18, 1, 6, 9, 1, 28, 5,
28, 13, 1, 20, 18, 9, 26, 5, 19 e 27, cuja decodificação é:
3
18
9
16
20
15
7
18
1
6
9
1
28
5
C
R
I
P
T
O
G
R
A
F
I
A
#
E
28
13
1
20
18
9
26
5
19
27
#
M
A
T
R
I
Z
E
S
.
Exerc’cio
57.
Codifiquem uma mensagem utilizando os códigos dados acima, depois entreguem para outro grupo
decodificar. Resposta pessoal.
Matrizes e determinantes
93
5
01
CAPÍTULO
CAPÍTULO
Sistemas
Conjuntos
lineares
numéricos
Pessoa tentando resolver um sudoku. O sudoku é um problema
de lógica baseado na alocação de números na forma de matriz.
Tradicionalmente o objetivo desse “quebra-cabeça” é preencher
uma matriz 9 3 9 com números de 1 a 9 de modo que cada
coluna, cada linha e cada uma das matrizes 3 3 3 que compõem
a matriz maior contenham todos os dígitos de 1 a 9. Em 2008 foi
proposta uma solução deste problema por meio de programação
linear, um tipo de programação utilizada para resolver diversos
tipos de problema que podem ser escritos matematicamente na
forma de sistemas lineares.
94
Walter B. McKenzie/Photodisc/Getty Images
NASA/Corbis/Latinstock
1
O mŽtodo chin•s
No Capítulo 4 deste livro falamos sobre o livro chinês conhecido como Os nove capítulos da arte Matemática; agora, será apresentado um problema, também presente no livro chinês, e que pode ser relacionado com
um sistema linear de duas equações e duas incógnitas, porém sua solução é obtida utilizando-se um método
diferente daquele com que estamos acostumados. O problema, redigido na nossa linguagem, é o seguinte:
Um barril de um bom vinho custa 50 moedas de ouro, enquanto um barril de um vinho comum custa
apenas 10. Uma quantidade equivalente a 2 barris de vinho foi comprada por 30 moedas de ouro. Que quantidade de cada tipo de vinho foi comprada?
Em notação moderna, vamos representar por x e y as quantidades compradas de um bom vinho e de
um vinho comum, respectivamente, considerando o barril como unidade. A solução do problema consiste,
então, em resolver o sistema:
 x1 y 52

50 x 1 10 y 5 30
Uma forma de obter rapidamente a solução é simplificar (nesse caso, dividir por 10) a segunda equação
1
7
e subtrair a primeira equação. Encontramos 4x  1, ou seja, x =
de barril e y =
de barril. Os chineses
4
4
antigos resolviam esse problema de outra forma: eles usavam o que podemos chamar de método da tentativa e erro, que consistia em dar dois “chutes” para x, calcular os valores correspondentes de y e verificar os
erros cometidos no resultado de 50x  10y. Após verificarem os erros cometidos, era aplicado um método
para encontrar os valores corretos de x e y.
Em Os nove capítulos da arte Matemática este problema foi resolvido da seguinte maneira:
1
Primeiro chute: x 1 =
2
1
3
=
.
Substituindo x1 na primeira equação, encontramos y 1 = 2 −
2
2
Substituindo x1 e y1 na segunda equação, encontramos o termo independente da segunda equação:
•
50 x 1 + 10 y 1 = 50 ⋅
•
1
3
+ 10 ⋅
= 40
2
2
A diferença entre o valor encontrado e o valor correto é d1  40  30  10.
1
Segundo chute: x 2 =
5
1
9
Substituindo x2 na primeira equação, encontramos y 2 = 2 −
=
.
5
5
Substituindo x2 e y2 na segunda equação, encontramos o termo independente da segunda equação:
50 x 2 + 10 y 2 = 50 ⋅
1
9
+ 10 ⋅
= 28
5
5
A diferença entre o valor encontrado e o valor correto é d2  28  30  2.
d1
d2
=
.
x − x1
x − x2
Observe agora como se comporta essa proporção com os dois “chutes” que fizemos:
A partir daí, os chineses usavam a seguinte proporção para calcular o valor de x:
10
1
x −
2
=
−2
1
x −
5
⇒ 10 x − 2 = − 2 x + 1 ⇒ 12 x = 3 ⇒ x =
1
4
Observe que o valor de x está correto e, substituindo-o na primeira equação, também se pode obter o
valor de y. Curioso, não?
Sistemas lineares
95
2
Sistemas lineares 2 3 2
Os sistemas lineares 2 3 2 são estudados desde os anos finais do Ensino Fundamental, provenientes de
situações-problema, sejam matemáticas ou não. Neste capítulo avançaremos na teoria dos sistemas lineares
e aprenderemos a resolver sistemas 3 3 3 ou maiores.
Antes disso, vamos retomar a resolução de sistemas lineares 2 3 2.
Forme dupla com um colega e resolvam os sistemas a seguir pelo método que preferirem: adição, substituição, comparação ou fazendo a interpretação geométrica obtendo retas concorrentes, paralelas ou coincidentes. Você pode usar um método e seu colega usar outro, se preferirem.
b)
c)
{
{
{
x 1 y 5 10
2x 2 y 5 2
a)
x  4; y  6
2x 1 y 5 7
x 2 3 y 5 16
x  1; y  5
10 x 1 10 y 5 30
6x 1 3 y 5 9
3
A ideia é levar os alunos a relembrar como resolver um sistema linear 2 3 2 e detectar possíveis dificuldades.
Por ser um assunto do Ensino Fundamental, todos os alunos deveriam saber resolvê-lo, independentemente
do método utilizado. É importante deixar que eles tentem resolver e depois conferir os resultados. Se os alunos
mostrarem facilidade na resolução desses sistemas, sugerimos pular o exercício 1, já que ele visa apoiar o
professor que julgar necessário retomar os métodos de resolução de sistemas.
x  2; y  1
Equações lineares
Cada linha dos sistemas que resolvemos acima é uma equação linear. Veja outros exemplos:
a) x  y  16 é uma equação linear nas incógnitas x e y;
b) 2x  3y  2z  10 é uma equação linear nas incógnitas x, y e z;
c) x  5y  z  4t  0 é uma equação linear nas incógnitas x, y, z e t;
d) 4x  3y  x  y  1 é uma equação linear nas incógnitas x e y.
De modo geral, denomina-se equação linear toda equação que pode
ser escrita na forma geral:
a1x1  a2 x2  a3x3  ...  anxn  b
na qual:
• x1, x2, x3, ..., xn são incógnitas;
• a1, a2, a3, ..., an são números reais chamados coeficientes das incógnitas;
• b é o termo independente.
Observação: As incógnitas x1, x2, x3, ... geralmente aparecem como x, y, z, ...
Pela definição, não são equações lineares:
• xy  10
• x2  y  6
• x2  xy  yz  z2  1
96
Capítulo 5
Para refletir
Por que as equações ao
lado n‹o s‹o lineares?
Porque não são
equações do 1o grau.
Observe, agora, as seguintes equações lineares:
Fique atento!
a) 3x  2y  18
O par ordenado
Dizemos que:
• o par ordenado (4, 3) é uma solução da equação, pois 3 ? 4  2 ? 3  18;
• o par ordenado (6, 0) é uma solução da equação, pois 3 ? 6  2 ? 0  18;
• o par ordenado (5, 1) não é solução da equação, pois 3 ? 5  2 ? 1 Þ 18.
(α, 18223α ) , com a [ R,
é a solução geral da
equação do item a.
Fique atento!
b) 3x  y  2z  8
Para a [ R e b [ R, o
terno ordenado
Dizemos que:
• o terno ordenado (2, 4, 1) é uma solução da equação, pois 3 ? 2  4  2 ? 1  8;
• o terno ordenado (0, 6, 1) é uma solução da equação, pois 3 ? 0  6  2 ? (1)  8;
• o terno ordenado (5, 2, 3) não é solução da equação, pois 3 ? 5  (2)  2 ? 3 Þ 8.
(α, β, −8 + 32α + β ) é a
solução geral da equação
do item b.
Generalizando, dada a equação linear:
a1x1  a2 x2  a3x3  ...  anxn  b
dizemos que a ênupla ordenada de números reais (a1, a2, a3, ..., an) é
solução da equação linear se, e somente se:
a1a1  a2a2  a3a3  ...  anan  b
Se, e somente
se: expressão
de uma relação
de equivalência.
Observação:
Geometricamente:
a) cada par ordenado (x, y) de números reais representa um ponto no plano;
b) cada terno ordenado (x, y, z) de números reais representa um ponto no espaço.
ATENÇÃO!
Não escreva
no seu livro!
Exerc’cios
1.
{
{
{
{
2x 1 y 5 0
x  2; y  4
b)
x 1 4 y 5 14
c)
h) 2x  y  5z  15 A
i) 2x3  y2  5z  15 B
j) 3x1  4x2  x3  0 A
3.
20 x 1 10 y 5 10
x  1; y  3
x 1 y 52
2x 2 y 5 26 x  3; y  3
d)
2 x 2 3 y 5 23
2.
g) 2x  y  xy  8 B
Resolva no caderno cada sistema linear abaixo
pelo método que preferir:
x 1 y 55 x  3; y  2
a)
x 2 y 51
Identifique com a letra A as equações lineares e
com a letra B as equações que não são lineares:
a) 5x  2y  6 A
b) x  4y  z  0 A
c) x  y  z  t  0 A
d) x2  y  10 B
e) 3xy  10 B
f) x  y  z  2 A
Verifique se o par ordenado:
a) (6, 2) é uma solução da equação linear
4x  3y  18. Sim.
b) (3, 5) é uma solução da equação linear
2x  3y  21. Não.
4.
Verifique se o terno ordenado:
a) (1, 3, 2) é uma solução da equação linear
2x  y  5z  15. Sim.
b) (0, 0, 0) é uma solução da equação linear
2x  7y  3z  0. Sim.
5.
Calcule o valor de k para que o par ordenado (3, k)
seja uma solução da equação linear 3x  2y  5. 2
6.
O terno ordenado (k, 2, k  1) é uma das soluções da
equação linear 4x  5y  3z  10. Determine k. 3
Sistemas lineares
97
4
Sistemas de equações lineares
Denomina-se sistema linear m 3 n o conjunto de m equações lineares
em n incógnitas, que pode ser representado assim:
a11 x 1 ⫹ a12 x 2 ⫹ a13 x 3 ⫹ ... ⫹ a1n x n ⫽ b1
a21 x 1 ⫹ a22 x 2 ⫹ a23 x 3 ⫹ ... ⫹ a2n x n ⫽ b2
........................................................................................

am1 x 1 ⫹ am2 x 2 ⫹ am3 x 3 ⫹ ... ⫹ amn x n ⫽ bm
Fique atento!
m 3 n se lê: m por n.
Exemplos:
a)
b)
{
{
3x ⫺ 2 y ⫽ 6
é um sistema linear 2 3 2 (2 equações e 2 incógnitas) nas incógnitas x e y.
x ⫹ 3 y ⫽ 10
{
x ⫺ y ⫽ 3 ⫺ 2x
3x ⫺ y ⫽ 3
é um sistema linear 2 3 2 nas incógnitas x e y, pois equivale a
.
2 x ⫹ y ⫽ 12 ⫹ y
2 x ⫹ 0 y ⫽ 12
 x ⫺ 2 y ⫺ z ⫽ 0
c) 2 x ⫺ y ⫺ z ⫽ ⫺1 é um sistema linear 3 3 3 (3 equações e 3 incógnitas) nas incógnitas x, y e z.
 x ⫺ y ⫹ z ⫽ 8
x ⫹ 4 y ⫺ 2z ⫽ 1
é um sistema linear 2 3 3 (2 equações e 3 incógnitas) nas incógnitas x, y e z.
d)
3x ⫺ y ⫹ z ⫽ 6
{
Solu•‹o de um sistema linear
Dizemos que (a1, a2, a3, ..., an) é solução de um sistema linear quando (a1, a2, a3, ..., an) é solução de
cada uma das equações do sistema, ou seja, satisfaz simultaneamente todas as equações do sistema.
Veja:
2 x ⫹ 3 y ⫽ 13
2 ⭈ 5 ⫹ 3 ⭈ 1 ⫽ 13
, pois 
a) (5, 1) é solução do sistema 
3x ⫺ 5 y ⫽ 10
3 ⭈ 5 ⫺ 5 ⭈ 1 ⫽ 10
Para refletir
Faça a verificação do exemplo c.
2 x ⫹ 3 y ⫽ 13
2 ⭈ 2 ⫹ 3 ⭈ 3 ⫽ 13
, pois 
b) (2, 3) não é solução do sistema 
3x ⫺ 5 y ⫽ 10
3 ⭈ 2 ⫺ 5 ⭈ 3 ? 10
 x ⫹ 2 y ⫹ 3z ⫽ 1

c) (1, 3, 2) é solução do sistema  4 x ⫺ y ⫺ z ⫽ 3 , pois
 x⫹ y ⫺ z ⫽6

1 + 2(3) + 3(−2) = 1

 4(1) − 3 − (−2) = 3
1 + 3 − (−2) = 6

Exercício
7.
Verifique se:
a) (3, 1) é uma solução do sistema
{
2 x ⫺ 5 y ⫽ 11
3x ⫹ 6 y ⫽ 3 Sim.
 x ⫹ y ⫹ z ⫽ 0
b) (0, 0, 0) é uma solução do sistema 2 x ⫺ 3 y ⫹ 5z ⫽ 0 Sim.
4 x ⫺ 7 y ⫺ 3z ⫽ 0
 x ⫺ y ⫽ 1
c) (0, 1) é uma solução do sistema  x ⫹ y ⫽ ⫺1 Não.
3x ⫹ y ⫽ 2
98
Capítulo 5
Fique atento!
Geometricamente:
a) cada equação do primeiro
sistema representa os pontos
de uma reta no plano;
b) cada equação do terceiro
sistema representa os pontos
de um plano no espaço.
Classificação dos sistemas lineares
Observe, com bastante atenção, os três exemplos abaixo, todos eles
sistemas 2 3 2 resolvidos pelo método da adição.
3x 2 y 5 10 ? (5) 15 x 2 5 y 5 50
⇒
a) 
2x 1 5 y 5 1
2 x 1 5 y 5 1

17 x 5 51 ⇒ x 5
Fique atento!
51
5 3 (valor único de x )
17
3x 2 y 5 10 ? ( 2 2) 2 6 x 1 2 y 5220
⇒
2 x 1 5 y 5 1 ? (3)

 6 x 115 y 5 3
17 y 5217 ⇒ y 5
Optamos pelos sistemas 2 3 2
porque já estudamos esse tipo
de sistema desde o Ensino
Fundamental. Entretanto, os
resultados e as definições
podem ser generalizados para
quaisquer sistemas.
217
521 (valor único de y )
17
Então, (3, 1) é o único par ordenado de R 3 R que é solução do sistema.
Dizemos, então, que o sistema tem como solução S  h(3, 1)j e que ele
é um sistema possível e determinado (tem uma única solução).
Para refletir
Verifique se o par ordenado
(3, 1) é realmente solução do
sistema dado.
Interpretação geométrica: Para fazer a representação gráfica desse sistema, devemos perceber que cada
equação linear dele pode ser reescrita como uma função afim, cujo gráfico é uma reta.
3x 2 y 5 10 → y 5 3x 2 10

22 x 1 1

2 x 1 5 y 5 1 → y 5
5
Traçando o gráfico dessas duas retas no mesmo plano cartesiano, temos:
y
Banco de imagens/Arquivo da editora
2x 1 5y 5 1
3x 2 y 5 10
Fique atento!
2
21
22 21
1
2
3
1
22
23
24
4 x
(3, 21)
Os pares ordenados de
números reais que são
soluções de uma equação
linear com duas incógnitas
determinam no gráfico uma
reta. A intersecção das duas
retas das equações do
sistema determina sua
solução, se existir.
As retas concorrentes indicam que existe um único par ordenado que é solução do sistema (sistema possível
e determinado).
 x 2 2 y 5 5 ? ( 2 2) 2 2 x 1 4 y 5210
b) 
⇒
2x 2 4 y 5 2 x
2 x 2 4 y 5 2
 uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu
0 y 5 28
Se em 0y  8 não existe valor real para y, então não existe par ordenado de números reais que seja
solução do sistema.
Dizemos que o sistema tem como solução S  [ e que ele é um sistema impossível (não tem nenhuma
solução).
Sistemas lineares
99
 x 2 2 y 5 5 → y 5 x 25

2
Interpretação geométrica: Veja a representação gráfica desse sistema: 
x 21
2 x 2 4 y 5 2 → y 5
2

Banco de imagens/Arquivo da editora
y
1
21
2x 2 4y 5 2
x 2 2y 5 5
x
1
21
2
3
Fique atento!
{
x 22 y 55 → (1,22), ( 21,23), ...
2x 24 y 52 → (1, 0), (3, 1), ...
22
23
As retas paralelas e distintas indicam que não existe par ordenado que seja solução do sistema (sistema
impossível).
2 x
c) 
3x
6y
9y
 6 x
⇒
12 ( 2)  6 x
8
18 y
(3)
24
18 y
0y
24
0
Se 0y  0, a incógnita y pode assumir qualquer valor real. Fazendo y  a, com a [ R, e substituindo em
uma das equações do sistema, temos:
8 16 a
2x  6y  8 ⇒ 2x  6a  8 ⇒ 2x  8  6a ⇒ x 
 4  3a
2
O par ordenado (4  3a, a), com a [ R, é a solução geral do sistema. Para cada valor de a, temos uma
solução para o sistema, por exemplo: (7, 1), (4, 0), (1, 1), conforme a seja respectivamente 1, 0 ou 1.
Dizemos que o sistema tem conjunto solução S  {4  3a, a | a [ R} e que ele é um sistema possível e
indeterminado (tem infinitas soluções).
2 x 26 y 5 8 → y 5 x 2 4

3
Interpretação geométrica: Observe a representação gráfica desse sistema: 
x 24
3x 29 y 5 12 → y 5
3

Banco de imagens/Arquivo da editora
y
3x 2 9y 5 12
x
2
22 21
21
2x 2 6y 5 8
22
1
3
4
Fique atento!
{
2x 26 y 5 8 → (4, 0), (1 ,21 ), ...
3x 29 y 5 12 → (1 ,21 ), ( 4 , 0), ...
As retas coincidentes indicam que existem infinitos pares ordenados que são soluções do sistema (sistema possível e indeterminado).
O esquema abaixo resume as três possibilidades de classificação:
determinado (sistema possível e determinado)
possível
sistema
(tem solução)
impossível
(não tem solução)
100
Capítulo 5
(a solução é única)
indeterminado (sistema possível e indeterminado)
(tem infinitas soluções)
Matrizes, sistemas lineares e determinantes
Qualquer sistema linear n 3 n pode ser escrito como um produto de matrizes.
Exemplos:
 a11 a12   x 
 k1 
a11 x 1 a12 y 5 k1
?  5 
pode ser escrito como 
a) o sistema 

 a21 a22   y 
 k2 
a21 x 1 a22 y 5 k2
a11 x 1 a12 y 1 a13 z 5 k1

b) o sistema a21 x 1 a22 y 1 a23 z 5 k2 pode ser escrito como
a x 1 a y 1 a z 5 k
33
3
32
 31
 k1 
 a11 a12 a13   x 
 a a a  ?  y 5 k 
 2
 21 22 23   
 k3 
 a31 a32 a33   z 
No capítulo anterior, ao justificarmos o cálculo do determinante das matrizes 2 3 2 e 3 3 3, mostramos
que um determinante não nulo indica um sistema determinado. Agora, sabemos com mais precisão o que
é um sistema possível e determinado e o que são sistemas não determinados. Assim, se D for o determinante
da matriz dos coeficientes de um sistema, então o sistema será determinado se D Þ 0. E se D  0 o sistema
será indeterminado ou impossível. Isso significa que usar o determinante para classificar o sistema não é
um modo eficaz.
Entretanto, conhecendo-se o tipo de sistema, é plenamente possível prever o resultado do determinante D da matriz dos coeficientes do sistema:
• sistemas possíveis e determinados sempre têm determinante não nulo (D Þ 0);
• sistemas possíveis e indeterminados ou impossíveis sempre têm determinante nulo (D  0).
Exercício resolvido
1.
Determine o valor de k para que o sistema
Resolução:
{
kx 2 y 5 2
seja impossível.
x 15y 53
Se o sistema é impossível, então D  0.
Assim:
k 21
1
5 0 ⇒ 5k 1 1 5 0 ⇒ k 5 2
1 5
5
Exercícios
8.
Atividade
em dupla
Atividade
em equipe
 a23 
c) O par  a, 2  é a solução geral do sistema; sistema possível e indeterminado.
Resolva no caderno cada sistema abaixo pelo método que preferir e depois classifique-os:
3x 22 y 52 12 S  {(2, 3)};
5 x 2 10 y 5 15
4 x + 2 y = 4 S  [;
a)
b) 
c) 
sistema possível e
2 x + y = 5 sistema impossível.
5 x 16 y 58
2 x 2 4 y 5 6
{
determinado.
9.
Faça a representação gráfica de cada sistema do exercício anterior e verifique se estão de acordo com a
classificação feita. Veja os gráficos no Manual do Professor.
10.
No caderno, escreva os sistemas abaixo na forma de um produto matricial e verifique se eles são determinados
No item b, o sistema, ao não ser determinado, pode ser um sistema
ou não. possível e indeterminado ou um sistema impossível.
 x 1 y 1 2z 5 5
2x 1 5 y 5 8

a)
b)
 x 2 2 y 1 z 5 3 Sistema não determinado.
x 1 y 5 7 Sistema determinado.
 2 x 2 y 1 3z 5 24

 2 x 1 my 5 3
tenha uma única solução.
Determinem m para que o sistema linear 
mx 1 8 y 5 6
m Þ 4 e m Þ 4
{
11.
Sistemas lineares
101
Escalonamento de sistemas lineares
Dentre todos os métodos que nos permitem resolver, classificar e discutir sistemas lineares de ordens
quaisquer, um se destaca pela sua importância: o processo de escalonamento.
Junte-se com um colega e tentem resolver o sistema 4 3 4 abaixo. Prestem atenção nos detalhes!
x 1 y 1 z 1t 5 8
 2 y 1 z 1t 5 2


2z 1 t 5 5


2t 5 6
É importante não dar nenhuma dica aos alunos;
deixe-os perceber a melhor maneira de resolver esse
sistema. Após alguns minutos, pergunte a estratégia
usada e estimule-os a notar o que tornou esse
sistema fácil de ser resolvido.
Esse sistema está escalonado, e, por isso, foi simples resolvê-lo. Vamos, então, estudar o processo de
escalonamento.
Inicialmente é necessário saber o que é um sistema linear escalonado.
Considerando um sistema genérico m 3 n, dizemos que ele está escalonado quando a matriz dos coeficientes tiver, em cada uma de suas linhas, o primeiro elemento não nulo situado à esquerda do primeiro elemento
não nulo da linha seguinte. Além disso, linhas com todos os elementos nulos devem estar abaixo de todas as
outras. Observando as equações do sistema escalonado, percebe-se que, em cada linha considerada, a primeira
incógnita com coeficiente não nulo está sempre à esquerda da primeira incógnita com coeficiente não nulo da
linha seguinte.
São exemplos de sistemas escalonados:
 x 2 2 y 1 5z 5 7

a) 
3 y 1 2z 5 1

4z 5 8

3x 1 2 2 x2 1 7 x3 5 11
3x 1 2 2 x2 1 7 x3 5 11

b) 
ou 
4 x2 1 5 x3 524
4 x2 1 5 x3 524


0 x3 5 0

Para refletir
Quando o sistema não estiver
escalonado, é possível escaloná-lo. Isso
será visto nas próximas páginas.
x 22 y 1 z 1 t 5 9

0 y 1 4 z 1 5t 5 10
x 22 y 1 z 1 t 5 9

ou 
c) 
4 z 1 5t 5 10
0 z 1 0t 5 0



0t 5 0
Classificação e resolução de sistemas lineares escalonados
Para classificar um sistema escalonado, basta observar a última linha. Mas é preciso estar atento,
pois a última linha em um sistema de n incógnitas é a enésima linha, que, se não existir, deve ser considerada totalmente nula (0x  0y  0z  ...  0, que equivale a 0  0), como mostram os exemplos
b e c acima.
Generalizando, a última linha de um sistema escalonado:
an ? xn  kn
em que an é o coeficiente, xn é a incógnita e kn é o termo independente, podemos ter três situações:
• se an Þ 0, então a solução é única: sistema possível e determinado;
• se an  0 e kn  0, então temos infinitas soluções: sistema possível e indeterminado;
• se an  0 e kn Þ 0, então não temos soluções: sistema impossível.
102
Capítulo 5
Se o sistema é possível, basta resolvê-lo de baixo para cima, como veremos nos exemplos a seguir.
 3x 2 2 y 1 z 526

a) 
4 y 2 2z 5 0

5z 5 10

Sistema 3 3 3 já escalonado (número de equações  número de incógnitas).
Da 3a equação tiramos z  2.
Da 2a equação, fazendo z  2, temos 4y  2 ? 2  0 e daí y  1.
Fazendo y  1 e z  2 na 1a equação, temos 3x  2(1)  2  6 e daí x  2.
Podemos concluir que o sistema é possível e determinado, com S  {(2, 1, 2)}.
9 x 2 2 y 1 3z 2 w 5 1

y 2 2z 1 4w 5 6

b) 
5z 1 2w 5 3


0w 5 9
Sistema 4 3 4 já escalonado.
A 4a equação permite dizer que o sistema é impossível, logo S  [.
x1 y 1 z 50
c) 
3y 2 6z 5 0

Sistema 2 3 3 já escalonado (número de equações , número de incógnitas).
Quando um sistema escalonado tem mais incógnitas do que equações e pelo menos um coeficiente não
nulo em cada equação, ele é possível e indeterminado, pois as equações que faltam podem ser consideradas 0  0.
A incógnita que possui coeficiente igual a 0 (zero) é chamada incógnita livre. Quando conveniente, ela
pode ser omitida na equação.
Fique atento!
Nesse exemplo, z é a incógnita livre. Fazendo z  k, com k [ R, para
No exemplo c dizemos que o grau
descobrir a solução geral do sistema.
de indeterminação é 1 (3  2) e que
a
Da 2 equação, temos:
temos uma incógnita livre.
• para k  0, a solução é (0, 0, 0);
3y  6k  0 ⇒ y  2k
• para k Þ 0, as soluções podem ser
Usando z  k e y  2k, temos:
(3, 2, 1), (15, 10, 5) e outras.
x  2k  k  0 ⇒ x  3k
Portanto, o sistema é possível e indeterminado e sua solução geral é (3k, 2k, k).
2 x 2 y 1 z 2 t 5 2
d) 
2z 1 3t 5 1

Aqui o sistema é possível e indeterminado (está escalonado e tem duas equações e quatro incógnitas) e
são duas as incógnitas livres ( y e t).
Fazemos y  a e t  b, com a [ R e b [ R.
Substituindo nas equações:
1 − 3b
 2z  3b  1 ⇒ 2z  1  3b ⇒ z 
2


1
2
3
b
 b  2 ⇒ 4x  2a  1  3b  2b  4 ⇒
 2x  a 
2

 ⇒ 4x  2a  5b  3 ⇒ x  2a 1 5b 1 3
4
2
a
1
5
b
1
3
1
2
3b
Solução geral:
, a,
,b .
4
2
(
)
Fique atento!
No exemplo d o grau de
indeterminação é 2 (4  2)
e são duas as incógnitas livres.
O sistema tem infinitas soluções
e duas delas são (2, 0, 1, 1)
(
)
e 11 , 2,2 4 , 3 .
2
• Agora que você já viu como é vantajoso lidar com um sistema escalonado, vamos aprender o processo de
escalonamento. Antes, porém, é necessário apresentar o conceito de sistemas equivalentes.
Sistemas lineares
103
Sistemas lineares equivalentes
Dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
x ⫹ y ⫽ 10
Por exemplo, os sistemas 
e
x ⫺ y ⫽ 2
sentam como conjunto solução S  h(6, 4)j.
3x ⫹2 y ⫽ 26
são equivalentes, pois, resolvidos, ambos apre
2 x ⫺5 y ⫽⫺8
Exercício resolvido
2.
Calcule a e b para que os sistemas
{
ax ⫹ y ⫽ 12
sejam equivalentes.
2 x ⫺ by ⫽ 20
Resolução:
{
Para que os sistemas sejam equivalentes, S  {(7, 2)}
também deve ser o conjunto solução do outro sistema
dado, então:
x ⫺ y ⫽9
e
x ⫹ y ⫽5
ax  y  12 ⇒ a ? (7)  (2)  12 ⇒ 7a  2  12 ⇒
{
⇒ 7a  14 ⇒ a  2
x ⫺ y ⫽9
Primeiro, resolvemos o sistema
.
x ⫹ y ⫽5
x ⫺ y ⫽9
x ⫹ y ⫽5
2x  by  20 ⇒ 2 ? (7)  b ? (2)  20 ⇒
⇒ 14  2b 20 ⇒ 2b  6 ⇒ b  3
2 x ⫽ 14 ⇒ x ⫽ 7
7  y  9 ⇒ y  7  9⇒ y  2
Portanto, para os sistemas serem equivalentes
devemos ter a  2 e b  3.
Exercícios
Verifique se os sistemas abaixo são equivalentes:
x ⫹ y ⫽ 6 x ⫹ 2 y ⫽ 8
a) 
e 
y ⫽2 
x ⫽4

15.
Não.
 x ⫹ y ⫹ z ⫽0  x ⫹ y ⫺ z ⫽0


c) 
x ⫹ y ⫽ 1 Não.
y ⫹2z ⫽ 0 e 


x ⫽0
z ⫽0 

Classifique e resolva no caderno os sistemas lineares
escalonados.
 x ⫺ y ⫹ z ⫺ w ⫽0
 2 x ⫺ y ⫹ 3z ⫽ 0


y ⫹z ⫹ w ⫽ 5
2y ⫺z ⫽1
a) 
d) 

⫺ z ⫺2w ⫽ 1

2z ⫽⫺6


⫺ w⫽2
SPD; S  {(4, 1, 3)}
 a ⫹2b ⫺ c ⫹ d ⫽ 2
e) 
c ⫺d ⫽0

 3x ⫺ 2 x 2 ⫹ x 3 ⫽ 2
c)  1
x 2 ⫺ x 3 ⫽0

 3x ⫺ 5 y ⫽ 6
f) 
2y ⫽1

104
 k⫹2

, k , k 
SPI; S  
 3


Capítulo 5
{ xx ⫹⫺ yy ⫽⫽ 204 e {3axx ⫺⫹ by2 y ⫽⫽2032 são equia
4
eb2
3
Observem os dois planos cartesianos abaixo,
cada um contendo a representação gráfica de um
sistema linear 2 3 2. É possível afirmar que esses
sistemas lineares são equivalentes? Argumente defendendo sua resposta. Sim. Pois os dois sistemas têm
y
como solução S  {(4, 3)}.
x
y
SPD; S  h(1, 4, 3, 2)j
5x ⫺ 2 y ⫹ z ⫽ 3

4 y ⫺ z ⫽5
b) 

0z ⫽ 8

SI; S  [
Os sistemas
valentes. Calcule a e b.
Sim.
x ⫹ y ⫹ z ⫽ 10  x ⫹ y ⫺ z ⫽ 7


b) 
y ⫹ 2z ⫽ 5 e 
x ⫹ y ⫽8


z ⫽1
x ⫽5


13.
14.
SPI; S  {(2  2a, a, b, b)}
 17 1  
SPD, S   ,  
 6 2  
x
Ilustrações técnicas: Banco de imagens/Arquivo da editora
12.
Processo para escalonamento de um sistema linear
Quando o sistema linear não está escalonado, podemos obter um sistema equivalente a ele, que esteja
escalonado, por meio de algumas operações elementares. Para transformar um sistema não escalonado em
um sistema equivalente escalonado, alguns procedimentos podem ser feitos:
• Podemos trocar a posição das equações. Exemplo:
3x 22 y 5 6
 x 14 y 5 1
⇒ 

 x 14 y 5 1
3x 22 y 5 6
• Podemos multiplicar todos os termos de uma equação pelo mesmo número real diferente de zero:
3x  y  z  5 ⇒ 6x  2y  2z  10
• Podemos multiplicar todos os termos de uma equação por um mesmo número real diferente de zero e
somar os resultados aos membros correspondentes da outra equação. Exemplo:
 x 2 2 y 1 4 z 5 7 ? (−3)
 x 2 2 y 1 4 z 5 7
⇒

y 2 3z 5 4
3x 2 5 y 1 9z 5 25 1


• Se no processo de escalonamento obtivermos uma equação com todos os coeficientes nulos e o termo
independente diferente de zero, essa equação será suficiente para afirmar que o sistema é impossível,
isto é, tem S  [.
Exemplo:
0x  0y  0z  7 ⇒ S  [
Vejamos agora alguns exemplos nos quais os sistemas são escalonados e depois classificados e resolvidos.

x 1 2 y 1 z 5 7 ? (−2) ? (3)
a) 

 2 x 1 7 y 1 z 5 21 1
 23x 2 5 y 1 2z 528
1

Para anular os coeficientes de x na 2a e na 3a equações, podemos:
• multiplicar a 1a por 2 e somar com a 2a;
• multiplicar a 1a por 3 e somar com a 3a.
• Depois, podemos trocar as posições das duas últimas equações para que o coeficiente de y seja 1
na 2 a equação.
 x 12 y 1 z 5 7
 x 12 y 1 z 5 7
x 12 y 1 z 5 7



y 1 5z 5 13
3y2 z5 7 ⇒ 
y 15z 5 13 ? (23) ⇒ 




1
y 15z 5 13
3y2 z5 7
216z 5 −32



Fique atento!
É conveniente, mas não obrigatório,
que o 1o coeficiente da equação que
vai ser multiplicada seja 1 ou 1.
O sistema obtido está escalonado e é equivalente ao sistema dado.
Podemos agora resolver:
2
• z  2232
16
• y  5 ? 2  13 ⇒ y  13  10  3
• x  2 ? 3  2  7 ⇒ x  7  6  2  1
Sistema possível e determinado, com S  {(1, 3, 2)}.
Sistemas lineares
105

 x 1 2 y 2 z 53
 x 12 y 2 z 53
b)  x 1 2 y 2 z 5 3 ? (−3) ? (−2)


⇒
−7 y 1 4 z 5 −8 ⇒  −7 y 1 4 z 5 −8
1
 3x 2 y 1 z 5 1
 2 x 1 4 y 2 2z 5 6
 0 x 1 0 y 2 0z 5 0

0z 5 0
1



Sistema possível e indeterminado (pois após o escalonamento obtém-se um sistema 2 3 3).
Dizemos que z é uma incógnita livre, ou seja, o valor de z pode ser qualquer número real.
81 4a
z  a ⇒ 7y  4a  8 ⇒ 7y  8  4a ⇒ y 
7
8
1
4
a
x2?
 a  3 ⇒ 7x  16  8a  7a  21 ⇒ 7x  5  a ⇒ x  52a
7
7
•
•
Fique atento!
52a 81 4 a 
Solução geral: 
,a .
,
 7

7
No sistema escalonado do exemplo b, x e y também poderiam ser incógnitas
livres. Considerando na 3a equação x  b (sendo b um número real qualquer), a
solução geral seria dada em função de x. Considerando na 3a equação y  
(sendo  um número real qualquer), a solução geral seria dada em função de y.



c)  2 x 2 4 y 1 10 z 5 6 ;(2) ⇒  x 2 2 y 1 5z 5 3 ? (23) ⇒  x 2 2 y 1 5z 5 3



1
 3x 2 6 y 1 15z 511
 3x 2 6 y 1 15z 511
 0 x 1 0 y 1 0 z 5 2
Sistema impossível, portanto S  [.
Fique atento!


 x 13 y 52
d)  3x 2 2 y 525  x 1 3 y 5 2 ? (23) ? (1)
Dividir todos os termos de uma igualdade

1
1
⇒  2 11 y 52 11
 x 1 3 y 5 2 ⇒  3x 2 2 y 525
por 2 equivale a multiplicar por .
2
2x 1 4 y 5 5
2x 1 4 y 5 5

7 y 57
1 



Esse sistema tem o número de equações maior do que o número de variáveis (3 3 2).
As duas primeiras equações obtidas formam um sistema escalonado, que, resolvido, nos dá:
• y  211  1
211
• x  2  3 ? 1  1
O valor y  1 satisfaz também a 3a equação (7y  7).
Logo, o sistema dado é possível e determinado e tem S  {(1, 1)}.

 x 22y 5 4
e)  x 2 2 y 5 4 ? (24) ? (26)

⇒ 
2 y 526
1
 4 x 2 6 y 5 10
6x 2 9 y 5 0

3 y 5224
1


• 2y  6 ⇒ y  3
• 3y  24 ⇒ y  8
Logo, o sistema é impossível, pois não podemos ter, simultaneamente, y  3 e y  8.
Portanto, S  [.
 x 2 3 y 5 2 ? (25) ? (12)

 x 23 y 52
f)  3x 2 9 y 5 6 : (3)


x − 3 y 52
⇒  5 x 2 15 y 5 10
⇒  0x + 0 y 5 0 ⇒
1
 5 x 2 15 y 5 10
0 y 50
22 x 1 6 y 52 4
22 x 1 6 y 52 4
 0x + 0 y 5 0
1



A incógnita y é livre.
Para y  a, com a [ R, temos:
x  3a  2 ⇒ x  2  3a
Logo, o sistema é possível e indeterminado, com solução geral (2  3a, a).
{
106
Capítulo 5
Exercício resolvido
passo a passo: exerc’cio 3
Resolvido passo a passo
3.
(Unisa-SP) Augusto, Vinícius e Leonardo estudam no mesmo colégio e vão caminhando de suas casas ao colégio
todos os dias. Somadas as distâncias percorridas pelos três colegas, mensalmente, obtém-se 350 km. Sabe-se
que Augusto percorre o dobro da distância percorrida por Vinícius e que Leonardo percorre 10 km a menos que
os outros dois colegas juntos. Desse modo, Leonardo percorre mensalmente a mais que Augusto no trajeto
casa-escola uma distância, em km, igual a:
a) 80.
b) 70.
c) 50.
d) 60.
e) 40.
1. Lendo e compreendendo
a) O que é dado no problema?
As informações referentes às distâncias percorridas pelos três estudantes, bem como a comparação das
distâncias entre eles.
b) O que se pede?
O quanto Leonardo anda, mensalmente, a mais que Augusto, em km.
2. Planejando a solução
123
A partir das informações obtidas no enunciado podemos montar um sistema de equações, mostrado a seguir:
A V L 350
A 2V
A V L 10
Depois de montado o sistema, tentamos simplificá-lo para encontrar as distâncias percorridas. Após encontrar
as distâncias percorridas mensalmente por Leonardo e Augusto, basta subtraí-las para encontrar a resposta
desejada.
3. Executando o que foi planejado
123
Desenvolvendo o sistema, temos:
A + V + L = 350
A = 2V
A + V = L + 10
• A  V  L  350 ⇒ (L  10)  L  350 ⇒ 2L  340 ⇒ L  170 km
• A  V  L  10 ⇒ (2V)  V  L  10 ⇒ 3V  180 ⇒ V  60 km
• A  2V ⇒ A  120 km
Logo, Leonardo percorre 50 km a mais que Augusto.
4. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa c.
5. Ampliando o problema
Leonardo  113 quilocalorias;  22 667 passos.
a)
Augusto  80 quilocalorias; 16 000 passos.
Vinícius  40 quilocalorias; 8 000 passos.
a) Levando em consideração que os alunos vão para a escola caminhando e que, segundo um instituto de análises
físicas, a cada quilômetro percorrido por dia são gastas 20 quilocalorias e são dados 4 000 passos, quantas
quilocalorias são gastas diariamente por cada estudante? E quantos passos são dados por cada um?
b) Discussão em equipe
Com os colegas, troque ideias sobre a importância do exercício físico regular para a saúde, por menor que seja.
Pesquisem artigos científicos sobre a melhora do bem-estar a partir da prática das atividades físicas. Ao final,
combine com os amigos a prática de atividades físicas em equipe tendo em vista a saúde e a sociabilização do
grupo. Resposta pessoal.
Sistemas lineares
107
Exercícios
b)
c)
x
2x
x
2y
3y
14 z
360
4z 0
z 8 SPI; solução geral: (14k, 9k, k)
0
x y z 4
2 x y z 10 SI; S  [
2x y 7z 0
Classifique e resolva o sistema:
1 4 7 
Resolva a equação matricial 2 3 6 


 5 1 21
B
1 000 m
Tenho 156 moedas que pesam ao todo meio quilo e totalizam R$ 34,00. Sabendo que dentre elas há
as de 1 real, que pesam 10 g cada, as de 50 centavos,
que pesam 8 g cada, e as de 10 centavos, que pesam
2 g cada, quantas são as moedas de cada tipo?
O controle do fluxo de veículos nas ruas de mão
única no horário do rush no centro de uma cidade
pode ser compilado e estudado com auxílio de um
sistema de equações lineares. A figura a seguir representa dois conjuntos de ruas de mão única que
se cruzam no centro de uma cidade.
Capítulo 5
Z
480
C
312
A média do número de veículos por hora que entram
e a média dos que saem de uma seção durante o
horário de rush estão informadas na figura. O número de veículos que entram tem de ser igual ao
número de veículos que saem. Levem em consideração as setas indicadas pela figura e os dados nela
mostrados. Sabendo que em T a média é de 160
veículos por hora, determinem a média em X, Y e Z.
Analisem as afirmações abaixo e indiquem qual é a
verdadeira.
a) Em Z a quantidade de veículos é igual a 348.
b) Na passagem de A para B temos 240 veículos.
c) Entre os cruzamentos A e B temos mais veículos
que entre os cruzamentos B e C.
x d) Entre os cruzamentos D e A, temos 424 veículos.
e) Entre B e C temos 428 veículos.
Atividade elaborada pelos professores
Letícia M. Panciera e Márcio V. Ferreira, da Unifra-RS.
23.
Química
Considerem a reação química não balanceada:
Ca  H3PO 4 → Ca3P2O 8  H2
↓
cálcio
↓
ácido
fosfórico
↓
fosfato
de cálcio
↓
gás
hidrogênio
Essa equação pode ser balanceada fazendo:
xCa  yH3PO4 ⇒ zCa3P2O8  wH2
 x 5 3z
3 y 5 2w
dando origem ao sistema 
y 5 2z

S  {(3a, 2a, a, 3a), a [ R} 4 y 5 8 z
a) Resolvam o sistema.
b) Determinem o menor número inteiro de átomos
de cálcio, hidrogênio, fósforo e oxigênio com o
qual ocorre o balanceamento.
21. 16 moedas de 1 real, 10 moedas de 50 centavos e 130 moedas de 10 centavos.
108
512
D
T
384
 1 
(UFG-GO) Roberto gosta de fazer caminhadas
em uma pista próxima a sua casa. Ao longo da pista existem uma lanchonete, um posto médico e
uma banca de revistas. Fazendo o mesmo caminho
diariamente, Roberto constatou que, da lanchonete
à banca de revistas, passando pelo posto médico,
caminhou 1 000 passos. Do posto médico à lanchonete, passando pela banca de revistas, caminhou
800 passos, e da banca de revistas ao posto médico,
passando pela lanchonete, caminhou 700 passos.
Considerando que cada um dos passos de Roberto
mede 80 cm, qual é o comprimento da pista?
X
número dos carros que entram
número dos carros que saem
 2
 x
 y   2 .
 
 
8
 z
20.
248
Y
SI; S  [
(Unicamp-SP) Resolva o seguinte sistema de  
2


equações lineares:
 21 
 2x ⫹ y ⫹ z ⫹ w ⫽ 1

 x ⫹ 2y ⫹ z ⫹ w ⫽ 2
S  {(1, 0, 1, 2)}

 x ⫹ y ⫹ 2z ⫹ w ⫽ 3
 x ⫹ y ⫹ z ⫹ 2w ⫽ 4
22.
A
x y 3
2x 2 y 6 .
3x 3 y 8
19.
21.
488
416
123
18.
x 3y z 0
SPD; solução
3x 3 y z 8
geral: (1, 1, 2)
2y z 0
123 123 123
a)
17.
Observação: As ruas na direção horizontal formam um conjunto e as ruas na direção vertical
formam outro conjunto.
Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares
abaixo:
Banco de imagens/Arquivo da editora
16.
cálcio: 3; hidrogênio: 6; fósforo: 2; oxigênio: 8.
24.
(Fuvest-SP) Um senhor feudal construiu um fosso, circundado por muros, em volta de seu castelo,
conforme a planta a seguir, e uma ponte para atravessá-lo. Em um certo dia, ele deu uma volta completa no muro externo, atravessou a ponte e deu
uma volta completa no muro interno. Esse trajeto
foi completado em 5 320 passos. No dia seguinte, ele
deu duas voltas completas no muro externo, atravessou a ponte e deu uma volta completa no muro
interno, completando esse novo trajeto em 8 120
passos. Pode-se concluir que a largura L do fosso,
em passos, é:
a) 36.
c) 44.
e) 50.
x b) 40.
d) 48.
fosso
L
L
L
muro
interno
ponte
L
muro externo
25.
Há alguns anos, o modo de atender os clientes nos
bancos era muito diferente do atual. Por exemplo,
cada caixa atendia uma fila formada diante de seu
guichê de trabalho. A tabela abaixo simula uma situação de atendimento ao público para cada um dos
caixas: caixa 1, caixa 2 e caixa 3, de acordo com a experiência e habilidade no trabalho de cada profissional,
referente à quantidade total de clientes que devem
ser atendidos por ele em sua jornada de trabalho.
27.
Biologia
O organismo humano, bem como o de outros animais, para seu bom funcionamento necessita de
vários tipos de substâncias, sais minerais, vitaminas,
proteínas, etc. Vamos supor que uma pessoa necessita fazer uma receita de modo que a quantidade de
cada alimento a ser ingerido corresponda às necessidades diárias de vitamina C, cálcio e magnésio. Ela
se alimentará de três diferentes ingredientes, e cada
um deles possui uma determinada quantidade de
nutrientes (expressa em miligramas) por unidade
de ingrediente (por exemplo, por colher), conforme
apresentado na tabela a seguir.
Tipo de alimento e respectivas quantidades
de nutrientes (mg)
Nutriente
1
2
3
Total necessário
de nutrientes (mg)
Vitamina C
10
20
30
100
Cálcio
40
40
10
210
Magnésio
20
10
30
110
Fonte: Dados fictícios.
Analisem os dados da tabela em relação às quantidades x, y e z de unidades dos ingredientes 1, 2 e 3, respectivamente, e indiquem a afirmação verdadeira.
Caixa
Geral
Idosos
PNE*/
Gestantes
Total
(clientes/dia)
1
10
8
5
51
2
6
6
4
34
a) A quantidade necessária de unidades do ingrediente 1 é o dobro da quantidade de unidades do ingrediente 2.
b) Para que a receita satisfaça as necessidades de
vitamina C, cálcio e magnésio, são necessárias
3 unidades do ingrediente 2.
x
c) A quantidade de unidades do ingrediente 2 é o dobro da quantidade de unidades do ingrediente 3.
d) O ingrediente 1 deve contribuir com 40% do total
necessário de vitamina C, cálcio e magnésio necessários à dieta alimentar do paciente.
e) O ingrediente 2 contribuirá com 50 mg de cálcio
para que a receita alcance o resultado desejado.
3
8
7
5
43
28. Se em um sistema linear todos os termos indepen-
Nº- de clientes/hora atendidos em cada
um dos caixas
* PNE é a sigla de Portador de Necessidades Especiais.
Fonte: Dados fictícios.
Com base na tabela acima, e sabendo que as quantidades de horas por dia que cada caixa gasta com
cada uma das classes de clientes são x, y e z, para
as classes Geral, Idosos e PNE/Gestantes, respectivamente, determinem o número de clientes idosos
atendidos por dia pelos três caixas. 42 idosos.
26.
 x 1 2 y 1 z 5 12
O sistema linear 5 x 1 12 y 1 5z 5 66
 x 2 y 1 12z 5 47
é determinado e sua solução é {(2, 3, 4)}. Inventem
um enunciado, criando uma situação que possa ser
representada por ele. Resposta pessoal.
dentes são nulos, o sistema é denominado linear
homogêneo. Resolva no caderno os sistemas homogêneos abaixo e classifique-os.
x 1 y 1 z 5 0
 x 2 y 1 z 50


1 z 50
a)  2 x 1 y 1 z 5 0
b) x

2x 1 2 y 1 5z 5 0
y
1
5z 50


SPD; S  {(0, 0, 0)}
SPD; S  {(0, 0, 0)}
29. Como em qualquer sistema homogêneo todos os
termos independentes são nulos, ao escalonarmos um sistema homogêneo, a última linha sempre será algo do tipo an ? xn  0, em que an Þ 0
ou an  0. O que isso significa em termos de classificação de um sistema homogêneo quanto ao
número de soluções?
29. Significa que um sistema homogêneo nunca será impossível: ou será possível e determinado ou será possível e indeterminado.
Sistemas lineares
109
Discussão de um sistema linear 2 3 2
onde D 5
a1 b 1
c1 b 1
, Dx 5
a1 x
a2 x
123
Consideremos o sistema linear
, Dy 5
b1 y
b2 y
c1
c2
a1 c 1
a2 c 2
c2 b 2
a2 b2
Pode ocorrer que:
a) D Þ 0. Neste caso, o sistema é possível e determinado com solução única dada por:
D
D
x 5 x e y 5 y .
D
D
b) D  0 e [Dx Þ 0 ou Dy Þ 0]. Neste caso, o sistema é impossível.
c) D  0, Dx  0 e Dy  0. Neste caso, o sistema é possível e indeterminado.
Observação: Este procedimento só é válido para sistemas lineares 2 3 2.
Exercícios resolvidos
4.
Verifique se o sistema
{
2 x 1 y 5 13
é possível e
3x 2 2 y 5 9
Dx 5
determinado, impossível ou possível e indeterminado.
D5
3 22
1
9 22
5 235 e x 5
235
Dx
5
55
27
D
2 13
Dy
221
5 221 e y 5
Dy 5
5
53
27
D
3 9
Logo, o conjunto solução S do sistema é dado por
S  {(5, 3)}.
5.
Discuta o sistema linear
Resolução:
{
x 1 ky 5 1
x 1 2y 5 3
Discutir um sistema significa descobrir para que
valores dos parâmetros ele é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível.
D5
110
1 k
2
1
1
1
3
52
• para k Þ 2, o sistema é possível e determinado.
• para k  2, o sistema é impossível.
5 27
Como D Þ 0, o sistema é possível e determinado.
Vamos, então, determinar sua solução:
Dx 5
3
5 23 e D y 5
Portanto:
1
13
2
Como Dx Þ 0 e Dy Þ 0, o sistema é impossível.
Resolução:
2
1
5 2 2k
6.
ax 12 y 5 1
Discuta o sistema  x 1 y 5
b

Resolução:
D
a 2
a2
1 1
Se D Þ 0 ⇒ a  2 Þ 0 ⇒ a Þ 2, teremos sistema
possível e determinado.
Para D  0 ⇒ a  2, é preciso escalonar.
2 x 1 2 y 5 1
Substituindo a  2, temos  x 1 y 5 b

x 1 y 5 b
Escalonando, obtemos: 
 0 y 5 1 2 2b
1
, o sistema será possível e
2
indeterminado. Senão, será sistema impossível.
Se 1  2b  0 ⇒ b 
Portanto:
• Se D Þ 0, ou seja, 2  k Þ 0 ⇒ k Þ 2, o sistema é
possível e determinado.
• a Þ 2 → sistema possível e determinado
• a  2 e b  21 → sistema possível e indeterminado
• Se D  0, ou seja, 2  k  0 ⇒ k  2, devemos
calcular Dx e Dy.
• a  2 e b Þ 21 → sistema impossível
1 2
Capítulo 5
Discussão de um sistema linear n 3 n, com n . 2
Para discutir um sistema linear qualquer n 3 n podemos usar dois procedimentos:
1º-) Escalonamos o sistema até a última linha e, a partir dela, fazemos a discussão do sistema.
2º-) Usamos o cálculo do determinante da matriz dos coeficientes aliado ao escalonamento.
Primeiro calcula-se o determinante de modo que seu valor não seja nulo, obtendo, então, as condições
dos parâmetros para que o sistema seja possível e determinado.
Depois, com o mesmo determinante, impõe-se que seu valor seja nulo para então substituirmos no
sistema os valores obtidos a partir dessa condição (se houver mais de um valor para o mesmo parâmetro,
teremos mais de um sistema a ser considerado).
Em seguida, escalona(m)-se o(s) sistema(s) até a última linha e, a partir dela, pode ser concluída a discussão
do sistema de acordo com as classificações possíveis dos sistemas lineares escalonados.
Exercício resolvido
7.
 x 2 2 y 1 az 5 1
Discuta o sistema  x 2 y 2 z 5 2 em função
2x 1 2 y 2 2z 5 b
dos parâmetros a e b.
Para D Þ 0 ⇒ a Þ 2 (sistema possível e determinado)
Resolução:
 x 2 2 y 1 2z 5 1

 x 2 y 2 z 5 2 → escalonando →
2x 1 2 y 2 2z 5 b
Com a  2, temos D  0. Portanto, não podemos
classificar o sistema sem escaloná-lo.
Substituindo a  2 no sistema, temos:
1ª- maneira: escalonando
Ao escalonar o sistema, obtemos
az 5 1
x 2 2 y 1
y
2
(
a
1
1)z 5 1


(a 2 2)z 5 b 1 1
x 2 2 y 1 2z 5 1

y 2 3z 5 1
→ 

0z 5 b 1 1
→
Observando a última linha, podemos concluir que:
Observando a última linha, teremos uma igualdade
verdadeira se b  1  0, portanto,
• a Þ 2 → sistema possível e determinado
• a  2 e b  1 → sistema possível e indeterminado
• a  2 e b Þ 1 → sistema impossível
b  1 (sistema possível e indeterminado).
A igualdade será falsa para b  1 Þ 0 ou b Þ 1
(sistema impossível).
Portanto:
• a Þ 2 → sistema possível e determinado
• a  2 e b  1 → sistema possível e indeterminado
• a  2 e b Þ 1 → sistema impossível
2ª- maneira:
1 22 a
1 21 21 5 a 2 2
21 2 22
D5
Exercícios
30.
Discuta os seguintes sistemas lineares:
my
3
8y
6
Veja a resolução deste exercício no
Manual do Professor.
é possível e determinado?
3x
5x
4y
7y
3z
az
b
8
Calculem os valores de a e b para que o sistema
seja impossível. a  1 e b Þ 7
33.
Para que valores de a o sistema:
 2 x 2 ay 1 z 5 27
 4 x 1 y 1 2z 5 13
 x 2 y 1 az 5 3
Seja o sistema linear:
2x 3 y 4 z 1
a Þ2
1
1
eaÞ
2
2
Verifiquem se o sistema linear homogêneo:
x
y
z 0
2x 2 y 4 z 0
x
y
3z 0
123
31.
2x
mx
123
b)
32.
123
 x 1 y 1 z 5 3
a)  x 1 2 y 1 3z 5 6
2 x 1 3 y 1 4 z 5 a
é determinado ou indeterminado. Indeterminado.
Sistemas lineares
111
Outros
contextos
Programação linear e a otimização de funções
As equações e inequações lineares, bem como os sistemas de equações e inequações simultâneas, são bastante
úteis na resolução de problemas de economia, transporte, alimentação (dietas), etc. Em problemas como esses é comum
precisarmos saber os valores máximo ou mínimo de uma função cujas variáveis estão sujeitas a certas desigualdades.
Em muitos deles a função que se quer otimizar (ou seja, da qual se quer encontrar o máximo ou o mínimo) é uma
função linear, e as desigualdades a que estão sujeitas suas variáveis também são lineares. Quando isso ocorre, dizemos
então que estamos diante de um problema de programação linear.
O método gráfico
Nesse caso, a região de possibilidades é a parte do plano limitada pelas
retas x  0, y  0, 3x  y  12, 3x  4y  30 e 2x  7y  28. Os vértices são
dados pelas soluções dos sistemas:
y
12
3x 1 y 5 12
⇒ (x, y)  (2, 6)
3x 1 4 y 530
3x 1
x
y50
2x 1
3x
1
2
y51
4y
5
30
112
{
{
{
{
x
50
⇒ (x, y)  (0, 12)
3x 1 y 5 12
x50
Banco de imagens/Arquivo da editora
Consideremos a seguinte situação-problema:
P
Q
Dois produtos, P e Q, contêm as vitaminas A, B e C nas quantidades indicadas no
A
3
1
12
quadro ao lado. A última coluna indica a quantidade mínima necessária de cada vitamina para uma alimentação sadia, e a última linha indica o preço de cada produto por
B
3
4
30
unidade. Que quantidade de cada produto uma dieta deve conter para que proporcione
C
2
7
28
uma alimentação sadia com o mínimo custo?
Diante de um problema de programação linear, consideramos as seguintes orientações
3
2
para resolvê-lo:
1. Estabelecemos a função objetivo, isto é, a função que queremos maximizar ou minimizar.
2. Transformamos as restrições impostas no problema em um sistema de inequações lineares.
3. Traçamos o gráfico da região poligonal convexa correspondente a essas restrições determinando as coordenadas dos
seus vértices.
4. Calculamos os valores da função objetivo em cada um dos vértices.
5. Constatamos que o maior desses valores é o máximo e o menor é o mínimo da função objetivo. Voltamos ao problema e damos a sua solução.
Acompanhe cada passo na resolução da nossa situação-problema:
Seja x a quantidade do produto P, e y a quantidade do produto Q nas condições do problema.
1. Função objetivo:
O custo é dado por C  3x  2y, o qual queremos minimizar.
2. Restrições:
As condições impostas pelo problema são x > 0, y > 0, 3x  y > 12, 3x  4y > 30 e 2x  7y > 28.
3. Gráfico:
Capítulo 5
7y 5
28
(
2 x 1 7 y 5 28
98 24
,
⇒ (x, y) 
13 13
3x 1 4 y 5 30
2 x 1 7 y 528
⇒ (x, y)  (14, 0)
y 50
)
Antes de aplicar as atividades propostas
na seção, o professor pode acessar os
links: <www.youtube.com/watch?v=_wJ
UzN8MoMg&index=1&list=PLVWA23fHC
Kz-XEuEVhTTzc15GiT2-KLTX> (modelo de
programação linear), <www.youtube.
com/watch?v=e6mXySsFQlY> (problema
de transporte), <www.youtube.com/
watch?v=Mp8Y2yjV4fU> (robô Lego
Mindstorms resolvendo um Sudoku) e
<www.youtube.com/watch?v=
RNPqbBcOS9M> (videoaula de raciocínio
lógico: Sudoku). Acessos em: 5 maio 2016.
4. Valores que a função objetivo assume nos vértices:
Vértice
Valor da função C  3x  2y
(0, 12)
C  3 ? 0  2 ? 12  24
(2, 6)
C  3 ? 2  2 ? 6  18 ← mínimo
( 9813 , 2413 )
C  3 ? 98  2 ? 24  26,3
13
13
(14, 0)
C  3 ? 14  2 ? 0  42 ← máximo
5. Conclusão:
A dieta ótima, que é sadia e tem custo mínimo, consiste em consumir 2 unidades do produto P e 6 unidades do produto Q.
Trabalhando com o texto
1.
Agora, responda no caderno às questões a seguir.
a) Qual é o custo de consumir 4 unidades do produto P e 5 unidades do produto Q? 22
b) Quanto de vitamina A seria consumido com 4 unidades do produto P e 5 unidades do produto Q? 17
c) Quanto de vitamina B e C seria consumido nas mesmas condições da pergunta anterior? 32 e 43.
d) Essa dieta (4 unidades do produto P e 5 unidades do produto Q) está de acordo com o texto?
Ela atende aos requisitos vitamínicos, porém não é a dieta de custo mínimo.
e) Pesquise qual profissional deve ser consultado antes de se iniciar uma dieta. Você conhece algum? Discuta com
seus colegas os perigos de fazer dietas sem acompanhamento médico. Nutricionista.
Pesquisando e discutindo
2.
Na página de abertura deste capítulo foi falado sobre a utilização de programação linear para resolver sudokus.
Em grupo, realizem uma pesquisa em três etapas:
1ª) Pesquisem a origem e as regras do sudoku e também dicas de como preencher esse tipo de
“quebra-cabeça” matemático.
2ª) Pesquisem o que é modelagem matemática, sua importância no ramo da matemática aplicada e também
como poderia ser utilizada no processo de resolução de um sudoku.
3ª) Pesquisem mais a respeito de programação linear e também como ela poderia ser utilizada no processo de
resolução de um sudoku.
Por fim, os grupos devem apresentar um seminário com os resultados obtidos em cada uma das etapas da pesquisa.
Veja mais sobre o assunto
Procure informações e curiosidades sobre programação linear e a otimização de funções em jornais, revistas, livros
e na internet. Sugestões: (acessos em: 5 maio 2016)
• ARSIE, K. C. Jogos sudoku e quadrado mágico. Universidade Federal do Paraná. Curitiba, 2010. Disponível em: <http://
people.ufpr.br/~ewkaras/ic/karla10.pdf>.
• Geniol: <www.geniol.com.br/logica/sudoku/>.
• MELO, J. N. B. Uma proposta de ensino e aprendizagem de programação linear no Ensino Médio. Universidade Federal
do Rio Grande do Sul, 2012. Disponível em: <www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/novos_conteudos/modulo_II/pdf/
dissertacao_ jorge_melo.pdf>.
• SILVA, K. Modelagem Matemática com programação linear: uma proposta de trabalho no Ensino Médio. Universidade
Estadual do Sudoeste da Bahia, 2013. Disponível em: <http://bit.profmat-sbm.org.br/xmlui/bitstream/handle/
123456789/486/2011_00379_KLEBER_SILVA.pdf?sequence=1>.
Sistemas lineares
113
Pensando no Enem
Matriz do Enem: H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
1. Leia o texto a seguir.
O que é a Matriz GUT?
A Matriz GUT é uma ferramenta bastante utilizada pelas empresas, principalmente com o intuito de priorizar
os problemas e consequentemente tratá-los, levando em conta suas gravidades, urgências e tendências. [...]
[...] Para facilitar o entendimento, nós iremos dividir o processo de montagem da matriz em etapas.
Primeira Etapa (Listagem dos Problemas)
Para iniciarmos com a Matriz GUT, primeiro é necessário listar todos os problemas e aspectos relacionados às
atividades que você deseja analisar. [...]
G
U
T
Gravidade
Urgência
Tendência
Rever contrato de locação
3
3
1
9
Treinar novo operador no sistema
4
4
2
32
Ampliar rede com mais 2 equipamentos
2
2
4
16
Fazer backup completo do banco de dados
5
5
3
75
Problemas
Segunda Etapa (Pontuação dos Problemas)
Nesta etapa, é dada uma pontuação
para cada um dos problemas. [...] Ao final
Nota
da pontuação, é identificado o número
que mostrará o grau de prioridade dos
5
problemas. Para isso, deve-se multiplicar
os coeficientes [quocientes] gravidade 3
4
3 urgência 3 tendência (G 3 U 3 T),
sendo o problema que obtiver o maior
3
resultado, a principal prioridade a ser corrigida. No caso [...] acima, o principal pro2
blema encontrado foi o de “fazer o backup
completo do banco de dados”, que atingiu
1
75 pontos na Matriz GUT.
GUT
Urgência
Tendência
(“se nada for feito...”)
extremamente
grave
precisa de
ação imediata
... irá piorar rapidamente
muito grave
é urgente
... irá piorar em pouco
tempo
grave
o mais rápido
possível
... irá piorar
pouco grave
pouco
urgente
... irá piorar a longo
prazo
sem gravidade
pode esperar
... não irá mudar
Gravidade
Terceira Etapa (Classificação dos Problemas)
Após identificar, listar e, através da multiplicação dos fatores (gravidade, urgência e tendência), atribuir as
notas de cada um dos principais problemas identificados, é necessário traçar o plano de ação em relação aos
mesmos, levando em consideração cada um dos aspectos da matriz e a classificação [...] dos problemas inseridos
nela. [...]
Fonte: Portal Administração. Disponível em: <www.portal-administracao.com/
2014/01/matriz-gut-conceito-e-aplicacao.html>. Acesso em: 12 nov. 2015.
Um estudante, próximo ao final do ano letivo, listou seus
principais problemas e elaborou uma matriz GUT:
Problemas
G
U
T
Podemos afirmar que:
Estudar Física
4
5
4
Planejar a viagem
2
3
3
Estudar Química
5
4
1
Começar academia
3
1
2
a) o principal problema que o estudante deve resolver é
“estudar Química”.
b) o problema de maior prioridade é “começar academia”.
c) antes de “estudar Química” o estudante deve “planejar a
viagem”.
d) o que menos deve preocupá-lo é “planejar a viagem”.
x e) a prioridade é “estudar Física”.
114
Capítulo 5
Matriz do Enem: H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
2. Movimentos de figuras em um plano, tais como reflexões, rotações e translações, podem ser obtidos por multiplicação de matrizes. Observe no plano cartesiano abaixo um exemplo de uma figura original e as figuras obtidas
por reflexões.
15
Reflexão no eixo y
Figura original
Reflexão na reta y  x
Reflexão no eixo x
WeStudio/Shutterstock
10
5
0
25
210
215
215
210
25
0
5
10
15
 1 0   x  x 
O produto de matrizes 
pode ser interpretado como uma reflexão do ponto (x, y) no eixo Ox.
?
5
 0 21  y   2 y 
Dizemos que (x, y) é a imagem, por reflexão em Ox, de (x, y).
 0 1  x   y
?
5   pode ser interpretado como uma reflexão de (x, y) em relação à reta
O produto de matrizes 
 1 0   y   y 
y  x (bissetriz dos quadrantes ímpares). Dizemos que ( y, x) é a imagem, por reflexão em y  x, de (x, y).
Observe no gráfico:
Para refletir o ponto (x, y) em relação ao eixo Oy e, em seguida, refletir sua imagem em relação a Ox de modo que
tenhamos o ponto (x, y), devemos realizar, na sequência, as multiplicações:
 1 0   x  x 
?
5
b) 
 0 21  y   2 y 
 −1 0 
1 
x c) 
0
 x
 −x 
?  5 
y
 
 y
 −1 0 
e) 
 0 −1
 x
 −x 
?  5

y
 
 − y
Oy
(x, y)
y5x
( y, x)
 21 0   x   2x 
;
?
5
 0 1   2 y   2 y 
 1 0
;
 0 −1
 −x 
 −1 0   x 
?  5 
d) 

y
 0 1  
 y
(2x, y)
 0 1
;
 1 0 
 −x 
 −x 
?  5

y
 
 − y
0
Ox
Banco de imagens/Arquivo da editora
 1 0   x  x   1 0   x   x
a)  0 21 ?  y  5  2 y  ;  0 21 ?  2 y  5  y 
 −x 
 y
?  5 
y
 
 −x 
 −x 
 1 0  − x 
;
?
5



y
−
 0 1 

 − y
(2x, 2y)
(x, 2y)
Sistemas lineares
115
Vestibulares de Norte a Sul
Região Norte
1.
Região Nordeste
(Ufam) Sejam A  (aij)4 3 3 e B  (bij)3 3 4 duas matrizes reais definidas por
123 123
j , se i > j
j , se i
j
i
i
aij
2i
j
bij
1, se i
1, se i
e
j . Se C é a matriz real
j
definida pela multiplicação da matriz A pela matriz
B, o elemento da terceira linha e segunda coluna
da matriz C é:
a) 25.
c) 37.
x b) 35.
d) 50.
2.
Feijão
Milho
Soja
Receita
total por
fazenda
(em R$)
A
1 200
800
1 500
206 000,00
B
800
600
1 200
151 000,00
C
Quantidade de sacos de
60 kg produzidos
1 500
x a) R$ 25,00.
b) R$ 40,00.
c) R$ 60,00.
1 000
(UFRN) Considere, a seguir, uma tabela com as notas de quatro alunos em três avaliações e a matriz
M formada pelos dados dessa tabela.
Avaliação 1
Avaliação 2
Avaliação 3
Thiago
8
9
6
Maria
6
8
7
Sônia
9
6
6
André
7
8
9
 8
6
M 5
9
 7
9
8
6
8
e) 53.
(Uepa) A produção na atividade agrícola exige escolhas racionais e utilização eficiente dos fatores
produtivos. Para administrar com eficiência e eficácia uma unidade produtiva agrícola é imprescindível o domínio da tecnologia e do conhecimento
dos resultados dos gastos com os insumos e serviços em cada fase produtiva da lavoura. Um agricultor decidiu diversificar a plantação nas três fazendas que possui plantando feijão, milho e soja. A
quantidade de sacos de 60 kg produzidos com
as colheitas de feijão, milho e soja por fazenda e a
receita total obtida em cada uma das fazendas estão registradas no quadro abaixo. Tomando por
base as informações contidas no quadro, esse agricultor vendeu o saco de milho por:
Fazendas
3.
2 000
265 000,00
O produto
116
Capítulo 5
 1 
1
M 1 corresponde à média:
3
 1 
a) de todos os alunos na Avaliação 3.
b) de cada avaliação.
x c) de cada aluno nas três avaliações.
d) de todos os alunos na Avaliação 2.
4.
(UPE) Em uma floricultura, é possível montar arranjos diferentes com rosas, lírios e margaridas. Um
arranjo com 4 margaridas, 2 lírios e 3 rosas custa
42 reais. No entanto, se o arranjo tiver uma margarida, 2 lírios e uma rosa, ele custa 20 reais. Entretanto, se o arranjo tiver 2 margaridas, 4 lírios e uma
rosa, custará 32 reais. Nessa floricultura, quanto
custará um arranjo simples, com uma margarida,
um lírio e uma rosa?
a) 5 reais.
c) 10 reais.
e) 24 reais.
b) 8 reais.
x d) 15 reais.
Região Centro-Oeste
5.
 2x
(UEG-GO) Dada a matriz A 5  e
 0
2

0
| y 1 x | 
e seja B uma matriz identidade de ordem 2, os valores de x e y não negativos, tal que as matrizes A
e B sejam iguais, são respectivamente:
x a) 0 e 1.
b) 1 e 1.
c) 0 e
d) R$ 65,00.
e) R$ 80,00.
6 
7
6
9 
d)
2
.
2
2
e 12
2
2
.
2
6.
(UFG-GO) Uma pessoa fez uma compra em um supermercado no valor de R$ 77,00. Ao efetuar o pagamento com uma nota de R$ 100,00, o operador
de caixa informou-lhe que dispunha apenas de
notas de R$ 10,00 para o troco. O cliente verificou
que ainda tinha em sua carteira R$ 73,00, sendo
três notas de R$ 10,00, oito notas de R$ 5,00 e três
moedas de R$ 1,00.
O menor valor que o cliente deve repassar ao operador de caixa, para facilitar o troco, considerando-se o dinheiro que tinha em sua carteira, é:
Região Sul
9.
(UEL-PR) Conforme dados da Agência Nacional de
Aviação Civil (Anac), no Brasil existem 720 aeródromos públicos e 1 814 aeródromos privados certificados. Os programas computacionais utilizados
para gerenciar o tráfego aéreo representam a malha aérea por meio de matrizes. Considere a malha
aérea entre quatro cidades com aeroportos por
meio de uma matriz. Sejam as cidades A, B, C e D
indexadas nas linhas e colunas da matriz 4 3 4 dada a seguir. Coloca-se 1 na posição X e Y da matriz
4 3 4 se as cidades X e Y possuem conexão aérea
direta, caso contrário coloca-se 0. A diagonal principal, que corresponde à posição X  Y, foi preenchida com 1.
A B C D
A  1 0 0 1 
B
0 1 1 1
C 0 1 1 0
D  1 1 0 1 
a) R$ 103,00.
x b) R$ 107,00.
c) R$ 113,00.
d) R$ 117,00.
e) R$ 123,00.
Região Sudeste
7.
(Unimontes-MG) Considere x um número real, e as
1  . Se
 2 2x  e B
 1
matrizes A


3
1
 x 3x 
o determinante de A for igual ao determinante de B,
então:
x c) x  2 ou x  1.
a) x  2 ou x  1.
b) x  2 ou x  1.
x a) Pode-se ir da cidade A até B passando por outras
cidades.
d) x  2 ou x  1.
b) Pode-se ir da cidade D até B passando por outras
cidades.
(IFSP) Analise a tira abaixo.
c) Pode-se ir diretamente da cidade D até C.
Garfield, Jim Davis © 1997 Paws, Inc. All Rights Reserved/Dist. Universal Uclick
8.
Considerando que, no trajeto, o avião não pode
pousar duas ou mais vezes em uma mesma cidade
nem voltar para a cidade de origem, indique a alternativa correta.
d) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades A e B.
e) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades A e C.
10.
 1
4
(Udesc) Considerando que A
B
 2
 4
3
1

,C




7 0
3 6



2
3

,

e
X 2 1 AB 5 2C , o valor do determinante de X é:
2
285
.
a)
2
Suponha que esse quebra-cabeça fosse retangular,
sendo todas as peças do mesmo tamanho, distribuídas em x linhas e y colunas. Sabendo que o contorno do retângulo era formado por 90 peças, é
correto afirmar que os valores de x e y são:
a) 4 e 125.
c) 10 e 50.
b) 125 e 5.
x d) 20 e 25.
e) 100 e 5.
b) 325 .
2
335
.
c)
2
x d) 245 .
2
315
.
e)
2
Sistemas lineares
117
UNIDADE
3
Geometria
plana e
espacial
118
6
01
CAPÍTULO
CAPÍTULO
Polígonos
Conjuntosinscritos
e numéricos
áreas
Paulo Whitaker/Reuters/Latinstock
NASA/Corbis/Latinstock
Floresta Amazônica, fronteira com terras desmatadas.
Área sendo preparada para o plantio de soja, no estado de
Mato Grosso. Fotografia de 2015. Na área desmatada são
visualizados dois triângulos e uma região que pode ser
dividida em dois trapézios. Fazendo aproximações de áreas
desconhecidas com áreas de polígonos já conhecidas,
podemos estimar a medida de área de qualquer superfície.
119
1
Polígonos regulares inscritos na circunferência
Ilustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
Os polígonos regulares são aqueles em que todos os lados e todos os ângulos são congruentes. Os mais
importantes são o quadrado, o triângulo equilátero e o hexágono regular. Observe a seguir o quadrado e o
pentágono regular inscritos em circunferências:
,4
a4
quadrado inscrito em
uma circunferência
4: lado
a4: apótema
Fique atento!
,5
pentágono regular inscrito
em uma circunferência
5: lado
a5: apótema
a5
Para refletir
Apótema é um segmento com uma extremidade no centro
da circunferência e outra no ponto médio do lado do
polígono regular.
Ele coincide com o raio da circunferência inscrita no
polígono regular.
Os n vértices do polígono regular dividem a circunferência
circunscrita em n partes iguais. Verifique isso nas figuras
desta página.
Cálculo da medida do lado e do apótema de um polígono regular em função
do raio da circunferência
Quadrado inscrito em uma circunferência
A
a) lado: 4
Aplicando o teorema de
Pitágoras no nAOB, temos:
,4
r
a4
O
r
B
 24 5 r2 1 r2 ⇒  24 5 2r2 ⇒ ,4 5 r 2
b) apótema: a4
Observe na figura que:
a4 1 a4 5 4 ⇒ 2a4 5 4 ⇒ a4 5
,4
2
r 2
Ou seja: a4 5
2
Fique atento!
• O apótema é a metade do lado do quadrado.
• O diâmetro da circunferência é a diagonal do quadrado.
Exercício resolvido
1.
Calcule o lado e o apótema de um quadrado inscrito em uma circunferência de 30 cm de raio.
Resolução:
• ,4 5 r
• a4 5
120
2 ⇒ , 4 5 30 2 ⇒ , 4 ⯝ 42,3 cm
r 2
30 2
⇒ a4 5
⇒ a 4 ⯝ 21,2 cm
2
2
Capítulo 6
A
r
a6
O
Ilustrações técnicas desta página: Banco
de imagens/Arquivo da editora
Hexágono regular inscrito em uma circunferência
,6
r
B
a) lado: 6
3608
B B > OB
B A
B
5 608; wOA > wOB ⇒ OA
AOB:
6
Nesse caso, OA
B B e OB
B A também medem
 1808 2 608 
608 
.
2
b) apótema: a6
AB
r
Como
5 , temos:
2
2
2
r
⇒
r2 5 a26 1
4
⇒ a26 5
Então, nOAB é equilátero e, daí, 6 5 r .
3r 2
r 3
⇒ a6 5
4
2
Triângulo equilátero inscrito em uma circunferência
A
r
O
,3
a3
B
C
M
a) lado: 3
Observe que AC 5 3 ⇒ CM 5 6. Logo, CM 5 r.
Aplicando o teorema de Pitágoras no nACM,
temos:
 23 1 r2 5 (2r)2 ⇒  23 5 3r2 ⇒ , 5 r 3
3
,6 5 r
b) apótema: a3
2
2
 r 3
, 
⇒
a 1  3  5 r 2 ⇒ a32 5 r 2 2 
 2
 2 
2
3
⇒
a3 5
r
2
Exercícios resolvidos
2.
Calcule o lado e o apótema de um hexágono regular inscrito em uma circunferência de 20 cm de raio.
Resolução:
• 6 5 r ⇒ 6 5 20 cm
r 3
20 3
⇒ a6 5
⇒ a6 . 17,3 cm
2
2
Calcule o lado e o apótema de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de 35 cm de raio.
• a6 5
3.
Resolução:
• , 3 5 r 3 ⇒ , 3 5 3355 3 ⇒ , 3 . 60,6 cm
r
35
• a3 5 2 ⇒ a3 5 2 ⇒ a3 5 17,5 cm
Fique atento!
O apótema é a terça parte da altura do
triângulo equilátero.
Polígonos inscritos e áreas
121
C
C
⫽␲ ⇒
⫽ ␲ ⇒ C ⫽ 2␲r
D
2r
Retrato de Arquimedes.
Banco de imagens/
Arquivo da editora
Historicamente, o cálculo do comprimento de uma circunferência
sempre foi feito a partir da comparação com o diâmetro. Há cerca de
4 mil anos, os babilônios obtinham o comprimento da circunferência
triplicando o diâmetro. Essa razão entre o comprimento da circunfeC
rência e o diâmetro dela é conhecida como o número p, ou seja, ␲ ⫽ .
D
Então, para os babilônios, p 5 3. Há cerca de 2 mil anos, Arquimedes
(287 a.C.–212 a.C.), um dos mais importantes geômetras gregos de
toda a História, publicou um tratado matemático contendo o cálcu223 22
e
. Isso equivalia a
lo do valor de p como um número entre
71
7
usar p 5 3,14, o mesmo que usamos atualmente nos cálculos práticos,
um feito notável para a época.
Hoje sabemos que p é o número irracional 3,14159265358979323
846264338327950288419716939937510..., aqui escrito com as cinquenta
primeiras casas decimais, mas que já foi obtido com precisão de 8 quatrilhões de casas decimais por poderosos computadores. Porém, mesmo
hoje em dia, usar p 5 3,14 é suficiente para as nossas necessidades
práticas. Em cálculos teóricos, não substituímos p pelo seu valor. Assim,
usamos para o comprimento da circunferência a fórmula C 5 2pr , pois:
Science Source/Photoresearches
Comprimento da circunferência
O
r
A
B
C
AB: medida da circunferência ou
comprimento da circunferência (C)
Comprimento de um arco
O comprimento  de um arco pode ser calculado de forma proporcional ao comprimento da circunferência.
Uma semicircunferência, por exemplo, é um arco de 1808 (metade de 3608), sendo seu comprimento, então,
a metade do comprimento da circunferência.
Dessa forma, podemos escrever:
␣graus
␣

⫽
⫽ rad ⫽ fração da circunferência ocupada pelo arco
2␲r
360⬚
2␲
Dependendo da informação conhecida (a em graus, a em radianos ou fração da circunferência), usamos
uma das relações acima.
Exercícios resolvidos
4.
Determine o comprimento de uma circunferência que tenha 5 cm de raio.
Resolução:
C 5 2pr ⇒ C 5 2 ? p ? 5 ⇒ C  10p cm
Determine o comprimento do arco AB na circunferência de raio 6 m da figura ao lado.
A
Resolução:
O arco representa
1
da circunferência. Então:
4

1
1
⫽
⇒⫽
⭈ ␲ ⭈ 12 ⫽ 3␲ m
2⭈␲⭈6
4
4
122
Capítulo 6
B
O
Banco de imagens/
Arquivo da editora
5.
ATENÇÃO!
Não escreva
no seu livro!
Exerc’cios
1.
Em uma circunferência de 10 cm de raio, calcule as
medidas do lado e do apótema de um:
11.
a) triângulo equilátero inscrito; 3 5 10 3  17,32 cm;
b) quadrado inscrito;
Qual é o comprimento dos arcos AB a seguir, sendo
10 cm o raio de cada circunferência de centro O?
A
a)
a3 5 5 cm
5p cm
4 5 10 2  14,14 cm; a4 5 5 2  7,07 cm
c) hexágono regular inscrito.
6 5 10 cm; a6 5 5 3  8,66 cm
2.
Determine o perímetro do hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio igual a 5 cm. 30 cm
3.
Um triângulo equilátero de lado 5 cm está inscrito
em uma circunferência de raio r. Qual é a medida
do diâmetro dessa circunferência? 10 3
3
O
10p cm
A
b)
. 5,77 cm
4.
Determine a razão entre o apótema de um quadrado
e o lado de um triângulo equilátero, ambos inscritos
em uma circunferência de raio igual a 6 cm. 6
5.
Determine o comprimento de uma circunferência
cujo diâmetro é 14 cm. 14p cm
O
6
Calcule a medida do raio de uma circunferência cujo
comprimento é 14p cm. 7 cm
7.
Uma roda de bicicleta tem diâmetro de 60 cm. Qual
é a distância percorrida pela bicicleta depois que a
roda deu 500 voltas? 300p m
Iwona Grodzka/
Shutterstock/Glow Images
6.
8.
B
B
A
c)
B
10p cm
3
60¡
O
12.
Qual é o comprimento de cada arco AB abaixo, considerando que em cada caso os polígonos inscritos são
regulares e o raio de cada circunferência é 24 cm? Lembre-se de que os vértices do polígono regular dividem
a circunferência circunscrita a eles em partes iguais.
a)
B
12p cm
A
Como ficará o comprimento de uma circunferência
quando seu raio:
a) dobrar? Dobrará.
b) triplicar? Triplicará.
A
16p cm
Determine o comprimento de uma circunferência
inscrita em um quadrado de lado 5 cm. 5p cm
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
9.
b)
B
A
c)
10.
Calcule o comprimento de uma circunferência na
qual está circunscrito um triângulo equilátero cujo
apótema é 6 cm. 12p cm
18p cm
B
Polígonos inscritos e áreas
123
Áreas: medidas de superfícies
Desde a época dos antigos
egípcios, que procuravam medir e
demarcar suas terras (daí surgiu o
nome Geometria 5 medida da terra), até hoje, quando topógrafos,
geólogos e arquitetos fazem mapeamentos e plantas, o cálculo de
áreas tem sido uma preocupação
constante.
Com os colegas, sugira maneiras de comparar a área da superfície de dois lagos para determinar a
maior delas. Neste tópico, aprofundaremos esse estudo, estabelecendo valores para as medidas das
superfícies e conhecendo as fórmulas para o cálculo da área das superfícies mais comuns.
A ideia intuitiva de área
Tiago Orihuela/Acervo do fot—grafo
2
Lago Caracaranã, localizado em Roraima. Possui aproximadamente 2,5 km² de área
superficial. Fotografia de 2010.
Uma das formas de medir a área da superfície de um lago é aproximar a área superficial do lago com a
área de alguma figura geométrica. No caso do lago Caracaranã, seu perímetro é de aproximadamente
5,8 km. Aproximando sua área com a área de um círculo de perímetro igual, podemos encontrar uma
medida de área equivalente à área aproximada do lago. Nas páginas 131, 133 e 137 a 140 esta explicação
poderá ser mais bem explorada.
Suponha que queiramos medir a região do plano indicada por F na figura abaixo. Para isso, precisamos
comparar F com uma unidade de área que chamaremos de U. O resultado dessa comparação é um número
que exprime quantas vezes a região F contém a unidade de área U. Esse número assim obtido é a área de F.
F
U
unidade de área: U
Então, a área da região plana F é 13,5 U, ou seja:
área de F 5 13,5 U
Região quadrada unitária
Vamos estabelecer como unidade de área uma região quadrada cujo lado mede uma unidade de
comprimento. Ela será chamada região quadrada unitária.
1
1
1
região quadrada unitária
Qualquer região quadrada cujo lado meça 1 terá, por definição, área igual a 1.
124
Capítulo 6
Área do quadrado
• Consideremos um quadrado Q cujo lado mede n, em que n é um número natural. Ele pode ser decom-
posto em n2 quadrados justapostos, cada um com lado unitário e, portanto, com área 1. Logo, o quadrado
Q tem área n2:
área de Q 5 n2
4
1
Q
Fique atento!
Quadrado é todo quadrilátero que tem os
quatro lados congruentes e os quatro
ângulos retos.
Para nos referirmos à “área da região
quadrada”, falaremos simplesmente “área
do quadrado”.
Região quadrada de lado 4, decomposta
em 16 5 42 quadrados unitários.
1
4
• Vejamos agora quando o lado do quadrado Q tem por medida n1 em que n [ N*. Nesse caso, o quadrado
unitário pode ser decomposto em n2 quadrados justapostos, todos congruentes a Q.
1
2
Q
Quadrado unitário decomposto em 4 5 22
quadrados congruentes a Q.
2
1  12 
 1
Área do quadrado Q 5
 2  ou   .
4 2
2
1
1
1
1
2
Assim, n2 ? (área de Q) 5 1. Logo:
área de Q 5
1
 1
ou  
 n
n2
2
• Passemos agora para um caso mais geral, em que a medida do lado do quadrado Q é um número racional
m
, m [ N e n [ N*.
n
1
Nesse caso, pode-se decompor Q em m2 quadrados, cada um dos quais com lado . Assim, a área de cada
n
1
um desses quadrados menores é 2 .
n
do tipo
4
3
Q
4
1
51
3
3
4
Quadrado de lado , decomposto em 16 5 42 quadrados menores, cada um
3
1
1
1
com lado cuja medida é e cuja área é 2 5 .
3
3
9
2
16  42 
 4
Área do quadrado Q 5  2  ou   .
 3
9 3 
1
1
3
1
m2
 1
Assim, neste caso, a área do quadrado Q será dada por m2  2  5 2 , ou seja:
n 
n
 m
área de Q 5  
 n
2
É possível provar que, se a medida do lado do quadrado Q for um número irracional k, ainda assim:
área de Q 5 k2
Conclusão: A área de um quadrado Q cujo lado mede  é dada por:
,
Q
área de Q 5  2
,
sendo < um número natural ou fracionário positivo.
Polígonos inscritos e áreas
125
Área do retângulo
O retângulo pintado abaixo contém 15 unidades de área. Portanto, sua área é de 15 cm2 .
Fique atento!
1 cm
Retângulo é todo quadrilátero que
tem os quatro ângulos retos.
Aqui também, quando falamos
“área do retângulo”, estamos
subentendendo “área da região
retangular”. E nos demais polígonos
nas próximas páginas também.
2
1 cm
1 cm
3 cm
unidade de
área: 1 cm2
5 cm
Observe que, em vez de contar quantas unidades de área estão contidas no retângulo, basta multiplicar
a medida do comprimento pela medida da largura:
5 cm ? 3 cm 5 15 cm2
Nesse caso, as medidas do comprimento e da largura são números naturais.
Vamos provar que, se a medida da base (b) e a medida da altura (h) forem números reais quaisquer, a área
do retângulo R é dada por:
área de R 5 b ? h
Consideremos um retângulo R de base b e altura h, em que b e h são números reais.
h
R
b
Construímos um quadrado cuja medida do lado é b 1 h, que contém duas cópias de R, e mais dois quadrados, um cujo lado mede b e outro cujo lado mede h.
b
b
h
h
R
h
R
b
b
h
A área desse quadrado (Q) é dada pelo quadrado de uma soma:
área de Q 5 (b 1 h)2 5 b2 1 2bh 1 h2
I
Como os quadrados têm áreas iguais a h2 e b2, concluímos que:
área de Q 5 b2 1 h2 1 2 ? (área de R)
Comparando I e II , chegamos a:
área de R 5 b ? h
126
Capítulo 6
II
Área do paralelogramo
t B de medida b e sua altura C
t E (perVamos calcular a área do paralelogramo ABCD tomando como base A
pendicular a tAB) de medida h.
Examine a figura:
F
D
C
Fique atento!
h
h
b
A
B
c
E
Paralelogramo é todo
quadrilátero no qual os
lados opostos são paralelos.
c
O paralelogramo está contido em um retângulo de base b 1 c e altura h. A área desse retângulo é
dada por:
(b 1 c)h 5 bh 1 ch
Observe que o retângulo é formado pelo paralelogramo mais dois triângulos que, juntos, formam um
retângulo de área ch. Assim:
bh 1 ch 5 (área do paralelogramo) 1 ch
Fique atento!
Portanto:
área do paralelogramo 5 bh
Isso significa que a área de um paralelogramo é igual ao produto da
medida de uma de suas bases pela medida da altura correspondente a essa
base escolhida.
Esse resultado não depende
da base escolhida. Se
tivéssemos escolhido outro
lado como base e tomado a
altura correspondente, o
resultado seria o mesmo.
Área do triângulo
Conhecendo-se a área de um paralelogramo, fica muito simples determinar a área de um triângulo.
Sabe por quê? Porque todo triângulo é metade de um paralelogramo de mesma base e mesma altura.
Veja:
Dado o triângulo ABC, cuja área queremos determinar, traçamos paraleA
D
t BeB
t C, determinando o ponto D e o paralelogramo ABCD.
las aos lados A
h
Consideremos a altura AE u de medida h desse paralelogramo.
t C é b, então a área do paralelogramo é
Já sabemos que, se a medida de B
bh. Mas os triângulos ABC e ADC são congruentes (pelo caso de congruência B
E
C
de triângulos ALA: têm um lado comum compreendido entre dois ângulos
de mesma medida). Logo, esses triângulos têm áreas iguais.
Assim:
área de ABCD 5 2 ? área do triângulo ABC
Fique atento!
ou
bh 5 2 ? área do triângulo ABC
Portanto:
Esse resultado não depende da base escolhida.
Temos três escolhas para a base b, cada uma
com sua altura h correspondente. Seja qual for
a escolha, o valor de
área do triângulo ABC 5
bh
será sempre o mesmo.
2
bh
1
ou bh
2
2
Podemos escrever: a área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da
altura correspondente.
Polígonos inscritos e áreas
127
Área de um triângulo equilátero
A
,
B
,
h
,
2
M
,
2
C
Ilustrações técnicas desta página:
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No triângulo equilátero, todos os lados são congruentes (,  e  ), todos os ângulos internos são congruentes (608, 608 e 608), e toda altura é também mediana e bissetriz.
Veja o cálculo da área, usando a base ( ) e a altura (h):
Fique atento!
Mediana é o segmento
de reta que une um
vértice ao ponto médio
do lado oposto.
O triângulo AMC é retângulo em M e, portanto, vale a relação de Pitágoras:
2
, 3
3, 2
,
2
 5h 1  ⇒h 5
⇒ h5 2
 2
4
2
2
Logo, a área do triângulo ABC é dada por:
,
3
base ? altura
BC ? h , ? 2
,2 3
5
5
5
A5
2
2
2
4
Portanto,
A5
,2 3
4
(área do triângulo equilátero de lado <).
Área do triângulo por meio da Trigonometria
Este caso se aplica quando são conhecidos dois lados do triângulo e o ângulo formado por eles.
Observe que LAL (Lado, Ângulo, Lado) é um caso de congruência de triângulos, o que significa que um triângulo fica perfeitamente determinado quando conhecemos dois de seus lados e o ângulo formado por eles.
Consideremos o triângulo ABC representado na figura abaixo.
Suponhamos que sejam conhecidas as medidas dos lados AC e CB e o ângulo formado por eles, ABBC.
$ 5 a para facilitar a demonstração.
Vamos indicar essas medidas assim: AC 5 b, CB 5 a e ACB
Seja h a altura relativa à base BC.
Sabemos que a área desse triângulo é dada por S 5
A
ah
.
2
h
Se nós conhecemos a, podemos escrever sen a 5 , já que ACH é um triângulo
b
retângulo.
Agora, podemos encontrar a altura em função de a e b:
b
C
h
c
a
H
B
a
h 5 b ? sen a
Para refletir
Assim, a área será dada por:
S5
128
Capítulo 6
ab ? sen a
2
Se no triângulo retângulo podemos
dizer que a área vale a metade do
produto das medidas dos catetos, o que
se pode concluir quanto ao valor do
seno de 908? sen 908 5 1
O triângulo possui três alturas, cada uma dependendo do lado que considerarmos como base. Então,
suponha que sejam conhecidos dois lados, AB e BC, por exemplo, e o ângulo formado por eles seja A BBC.
Verifique que a igualdade vista anteriormente também vale para eles.
Isso nos permite afirmar que:
A área S de qualquer triângulo é igual
à metade do produto das medidas de
dois dos seus lados multiplicada pelo
seno do ângulo formado por eles.
Fique atento!
Esta conclusão se estende
aos triângulos obtusângulos,
ou seja, aqueles que têm um
dos ângulos maior que 908.
Área do triângulo sendo conhecidos os três lados
Conhecidos os três lados (a, b e c) de um triângulo, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula
de Heron.
c
B
b
a
Sendo o semiperímetro p 5
A5
C
Para refletir
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A
O que significa semiperímetro
de um polígono?
A metade da soma das medidas dos
lados.
Fique atento!
a 1 b 1c
, é possível demonstrar que:
2
Heron de Alexandria, geômetra e
mecânico grego, esteve no auge
de sua produção intelectual em
torno do ano 62 a.C.
 Fórmula de Heron, muito útil quando 
 não conhecemos a altura do triângulo. 
p(p 2 a))((p 2 b)(
)(p 2 c )
Área de um trapézio
Podemos decompor uma figura plana em regiões cujas áreas já sabemos calcular. A área dessa figura
plana será a soma das áreas das regiões em que a figura foi decomposta.
Por exemplo, vamos decompor a área de um trapézio traçando uma de suas diagonais.
Dividimos o trapézio em dois triângulos: um de base B e altura h e outro de base b e altura h.
b
Fique atento!
h
h
Trapézio é todo
quadrilátero com um só
par de lados paralelos
(bases).
B
A área de um triângulo você já aprendeu a calcular. Portanto, a área do trapézio é dada por:
A5
Bh bh Bh 1 bh (B 1 b)h
1 5
5
2
2
2
2
Então:
A5
(B 1 b)h
2
ou
A 5
(basemaior 1 basemenor) ? altura
2
Dizemos que a área de um trapézio é igual à semissoma das medidas das bases vezes a medida da altura.
Polígonos inscritos e áreas
129
Área de um losango
Todo losango é um paralelogramo, daí a área dele poder ser calculada como o produto da base pela
altura. Entretanto, em geral, as dimensões de um losango são expressas pelas medidas de suas diagonais D e d.
d
Todo losango tem a mesma área de um retângulo com altura D e base , como mostram as figuras:
2
Fique atento!
D
Losango é todo quadrilátero que tem os
quatro lados com medidas iguais.
d
2
Assim, a área de um losango é dada pela metade do produto das medidas das
diagonais. Veja:
A5D?
D
diagonal maiorr ? d
diagonal menor
Dd ou
d ou
A5
A5
2
2
2
d
Fique atento!
Como todo quadrado é um losango, às vezes é conveniente calcular a área do quadrado em função das suas diagonais, que
têm a mesma medida. Nesse caso, a área do quadrado é dada por A 5
d2
.
2
Área de um hexágono regular
O hexágono regular é formado por seis triângulos equiláteros. Temos que a área do triângulo equilátero
é dada por:
A5
,2 3
4
Logo, a área de um hexágono regular é dada por:
A56?
,
608
,2 3
6, 2 3
3, 2 3
5
5
4
2
4
ou seja:
A5
3, 2 3
2
Área de um polígono regular
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de imagens/Arquivo da editora
Observe alguns exemplos de polígonos regulares:
,
ap—tema
a
O
Triângulo equilátero
(polígono regular de três lados)
Quadrado
(polígono regular de quatro lados)
Pentágono regular
(polígono regular de cinco lados)
Octógono regular
(polígono regular de oito lados)
Fique atento!
Polígono regular é aquele que tem todos os lados e todos os ângulos internos congruentes. Ele pode sempre ser inscrito em uma
circunferência.
130
Capítulo 6
Pode-se perceber que, se o polígono regular tem n lados, ele pode ser decomposto em n triângulos isósceles. Em cada um desses triângulos, a base é o lado (< ) e a altura é o apótema (a) do polígono regular.
A área de um polígono regular de n lados pode então ser escrita assim:
A5n?
,a
2
a
ou
A 5 pa
ou
A5
Para refletir
5
No pentágono regular temos A 5 a
2
e no octógono regular temos
A 5 4a.
Escreva no caderno a área de um
decágono regular em função do lado
e do apótema. 5a
B
Exercício resolvido
passo a passo: exerc’cio 6
B
(Enem) Para decorar a
fachada de um edifício,
um arquiteto projetou a
colocação de vitrais compostos de quadrados de
lado medindo 1 m, conforme a figura ao lado.
A
P
Q
C
D
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios
dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que
custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara
(regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2.
De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?
a) R$ 22,50
c) R$ 40,00
b) R$ 35,00
d) R$ 42,50
e) R$ 45,00
1. Lendo e compreendendo
a) O que é dado no problema?
É dado o formato de um vitral, com suas áreas diferenciadas visivelmente, suas medidas e o preço do m2
de cada tipo de vitral.
b) O que se pede?
Pede-se o custo dos materiais necessários para fabricação de um vitral.
2. Planejando a solução
Para simplificar a forma de solucionar tal problema, é
bom dividir sua resolução em etapas:
Reprodução/Enem 2012
Resolvido passo a passo
6.
aP
2
I. Cálculo da área do vitral confeccionado com o material representado pela parte sombreada, a qual é
composta por quatro triângulos retângulos de catetos medindo 0,5 m e um losango de diagonal maior
medindo 1 m e diagonal menor medindo 0,5 m.
II. Cálculo da área do vitral confeccionado com o material representado pela parte clara.
III. Soma dos produtos entre a área de cada parte pelo
custo de cada tipo de material.
3. Executando o que foi planejado
Etapa I:
(0,5)2
4 3 área dos triângulos retângulos 5 4 3
5 0,5
2
(D 3 d )
1 3 0,5
5
5 0,25
1 3 área do losango 5
2
2
0,5 1 0,25 5 0,75
Logo, 0,75 m2 é a medida da área da parte sombreada.
Etapa II:
área da parte clara 5 área do vitral 2 área da parte
sombreada ⇒ área da parte clara 5 (1)2 2 0,75 5 0,25
Logo, 0,25 m2 é a medida da área da parte clara.
Etapa III:
Custo com material (representado pela parte sombreada) 5 0,75 ? 30 5 22,50
Custo com material (representado pela parte clara) 5
5 0,25 ? 50 5 12,50
Custo total 5 22,50 1 12,50 5 35,00
Logo, o custo total é de R$ 35,00.
4. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa b.
Polígonos inscritos e áreas
131
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,
n,
?a
2
em que : lado
a: apótema
n: perímetro (2p)
p: semiperímetro
P: perímetro
O
A
A5
ou
5. Ampliando o problema
a) Sabe-se que a fachada do edifício possui 80 m de altura, 40 m de comprimento e toda ela será decorada
com vitrais. Sendo assim, qual o custo que o construtor terá para instalar os vitrais, sabendo-se ainda que
a mão de obra para instalação é de R$ 10,00 por m2?
O custo total é de R$ 144 000,00.
b) Discussão em equipe
Com os colegas, monte outros tipos de vitrais compostos de outras formas geométricas e mais de dois
tipos de materiais, definindo valores para cada um
Exercícios
13.
Atividade
em dupla
c) Pesquisa
Pesquise nas construtoras de sua região o custo médio de produção dos diferentes tipos de imóveis e,
como contrapartida, o valor de venda desses imóveis. Ao final, conclua por que o ramo da construção
civil teve um elevado crescimento na última década.
Atividade
em equipe
Feito o levantamento de um terreno, foram determinados os dados indicados na figura abaixo. Nessas condições, qual é a área do terreno? 2 320 m2
40 m
deles. Ao final do trabalho, calcule o custo com o
material para fabricação dos vitrais. Logo, vocês estarão exercitando os conhecimentos em geometria
e na matemática em geral.
17.
Determine a área do triângulo abaixo:
A
30 m
c 5 4 cm
40 m
14. Um terreno tem a forma de um trapézio de bases
20 m e 14 m, e altura 11 m. Nesse terreno, construiu-se uma piscina retangular de 8 m por 5 m. No
restante do terreno foram colocadas pedras mineiras. Qual foi a área onde se colocou pedra? 147 m2
(B 1 b)a
pode ser obti2
da decompondo-se o trapézio como na figura a
seguir.
Mostre que a fórmula A 5
b
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608
B
36 m
15.
18.
Em um triângulo ABC, dois lados medem 4 cm e
formam um ângulo de 608. Determine a área desse
triângulo. 4 3 cm2
19.
Qual é a área de um paralelogramo cujos lados medem 10 cm e 16 cm, sabendo que formam um ângulo de 308? 80 cm2
20. Um piso de cerâmica tem a forma hexagonal regular.
O lado do piso mede 8 cm. Qual é a área desse piso?
21.
96 3 cm2
Um cubo é um sólido formado por 6 quadrados.
Determine a área total da superfície do cubo da
figura abaixo. AT 5 600 cm2
Veja a
resolução
deste
exercício no
a Manual do
Professor.
16.
B
Um tetraedro regular é um
sólido formado por quatro
triângulos equiláteros. Qual
é a área total da superfície
do tetraedro regular ao lado?
36 3 cm2
132
Capítulo 6
C
a 5 5 cm
10 cm
10 cm
x
5 3 cm2
10 cm
22. Um
y
bloco retangular é um sólido formado por
6 retângulos. Determine a área total da superfície
do bloco retangular da figura abaixo. 94 cm2
6 cm
6 cm
6 cm
6 cm
5 cm
4 cm
3 cm
3 cm
6 cm
5 cm
4 cm
2 cm
23. Qual é a área de toda a parte colorida
da figura ao lado?
Qual é a área da região não colorida?
28. Uma cesta de lixo tem por faces laterais trapézios
isósceles e por fundo um quadrado de 19 cm de lado. Desprezando a espessura da madeira, quantos
metros quadrados de madeira foram necessários
para fabricar essa cesta de lixo? 0,3121 m2
2 cm
Região colorida:
8 cm2; região não
colorida: 8 cm2.
24. Um terreno tem forma triangular e as medidas dos
seus lados são 17 m, 15 m e 8 m. Qual é a área desse
terreno? 60 m2
face lateral
27 cm
25. (Unicamp-SP) Alguns jornais calculam o número de
pessoas presentes em atos públicos considerando
que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas.
Qual a estimativa do número de pessoas presentes
numa praça de 4 000 m2 que tenha ficado lotada
para um comício, segundo essa avaliação?
16 mil pessoas.
29. Calcule a área de uma cartolina cortada na forma
de um hexágono regular de lado 10 cm. 150 3 cm2
Geografia
(PUC-SP) Um mapa é feito em uma escala de 1 cm
para cada 200 km. O município onde se encontra a
capital de certo estado está representado, nesse
mapa, por um losango que tem um ângulo de 1208
e cuja diagonal menor mede 0,2 cm. Determine a
área desse município. 800 3 km2
27.
19 cm
Um quadrado tem 8 cm de lado.
a) Se cada lado aumentar em 3 cm, a área aumentará em quantos centímetros quadrados?
2
30. A figura abaixo mostra uma folha circular de zinco,
de onde foi recortado o triângulo equilátero colorido.
Calcule a área desse triângulo.
300 3 cm2
(,
3
5 r 3 e a3 5
r
2
)
20 cm
57 cm
b) Se cada lado aumentar em 20%, a área aumentará em quanto por cento? 44%
Área do círculo
2r
Veja o círculo ao lado inscrito em um quadrado.
Medida do lado do quadrado: 2r.
Área do quadrado: (2r)2 5 4r2.
Então, a área do círculo com raio de medida r é menor do que 4r2.
r
2r
Agora observe na segunda imagem o mesmo círculo circunscrito a um quadrado.
O quadrado tem diagonais de medidas 2r e 2r.
Como o quadrado é um caso particular de losango, a área do
quadrado pode ser obtida assim:
2r ? 2r
4r 2
5
5 2r 2
2
2
Então, a área do círculo com raio de medida r é maior do que 2r2.
Assim, em um círculo com raio de medida r, a área A é tal que:
2r
2r
r
r
r
r
2r2 , A , 4r2
ou seja, a área A é obtida pelo produto de um número próximo de 3 (que veremos que é o p) por r2.
Polígonos inscritos e áreas
133
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26.
30 cm
Determinação da área do círculo
Vamos mostrar duas dentre muitas maneiras de encontrar a área do círculo.
1a maneira: usando círculo dividido em setores
O círculo a seguir foi dividido em um número par de setores circulares que formaram uma figura cujo
 2pr

contorno lembra um paralelogramo. Sua base mede a metade do comprimento da circunferência 
5 pr 
 2

e sua altura mede r.
A área dessa figura, que é também a área do círculo, é A 5 (pr)r 5 pr2, isto é:
A 5 pr2
r
r
r
pr
2a maneira: usando polígonos regulares
aP
Já vimos que a área de um polígono regular é dada por A 5 , em que a é a medida do apótema e P é
2
o perímetro.
Analise esta sequência.
a)
c)
a
a
b)
e)
a
a
d)
a
g)
f)
a
h)
a
a r
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O que você pode perceber?
À medida que aumentamos suficientemente o número de lados dos polígonos regulares, a tendência é
chegar ao círculo, no qual o apótema passa a ser o raio (r) e o perímetro passa a ser o comprimento da circunferência (2pr).
Assim, a área do círculo pode ser representada por:
A5
aP
r ? 2pr
5
5 pr2, ou seja,
2
2
A 5 pr2
134
Capítulo 6
Área do setor circular
,
r
a
Banco de imagens/Arquivo da editora
A parte pintada da figura é conhecida como setor circular de um círculo de raio r. Todo setor circular tem
um arco correspondente ( ) e um ângulo (a).
Fique atento!
Setor circular é a parte de um
círculo limitada por dois raios e
um arco.
O setor circular é uma fração do círculo, e sua área A é diretamente proporcional ao ângulo central a.
Duplicando ou triplicando a medida do ângulo central, a área do setor circular duplica ou triplica. Um
semicírculo, por exemplo, é um setor circular cujo ângulo central é 1808 (metade de 3608) e sua área é
metade da área do círculo.
O comprimento < do arco também é proporcional ao ângulo central a. Então, podemos escrever que:
α graus
Asetor
α
5
5 rad 5 ,
2
2p
2pr
3608
pr
Dependendo da informação conhecida (a em graus, a em radianos, ou comprimento  do arco) usamos
as razões acima.
Exercícios resolvidos
7.
Calcule quantas pessoas cabem, aproximadamente, em uma praça circular de 20 m de raio, considerando
5 pessoas por metro quadrado. (Use p 5 3,14.)
Resolução:
A 5 pr2; p 5 3,14; r 5 20
A 5 202 ? 3,14 5 1 256 m2
Número aproximado de pessoas: 1 256 ? 5 5 6 280.
Assim, cabem aproximadamente 6 280 pessoas nessa praça.
8.
Calcule a área do setor circular pintado abaixo.
Resolução:
Banco de imagens/
Arquivo da editora
área do setor:
Asetor
5 458 ⇒ Asetor 5 1 ? p ? 36 5 9p
8
2
3608
p ? 62
6 m 458 6 m
A área do setor circular pintado é
9p 2
m.
2
Polígonos inscritos e áreas
135
A área do círculo e o número p
As tentativas para calcular a área de um círculo a partir de um diâmetro dado estiveram sempre presentes em toda a história da Matemática. Provavelmente, a mais antiga está no Papiro de Rhind, um documento
egípcio de cerca de 1650 a.C., que contém a resolução de 80 problemas matemáticos dos mais diferentes tipos.
No Capítulo 7 do Volume 1 existe um texto
O problema 50 do papiro de Rhind está escrito da seguinte forma:
onde também é abordado um problema
A resposta dada no papiro é 64 setat (que seria
equivalente à unidade de medida khet elevada ao
quadrado).
Na matemática do Egito antigo os enunciados e
as sentenças não eram colocados à prova, ou seja,
não havia demonstrações matemáticas, apenas uma
coleção de regras práticas para calcular as coisas que
necessitavam na vida diária. Entre essas regras, algumas eram exatas e outras eram simplesmente
aproximações; entretanto, funcionavam bem para
as exigências da época. Para o problema 50 a solução
é apresentada da seguinte maneira:
encontrado no Papiro de Rhind. Proponha
uma rápida pesquisa para conhecimento
geral sobre esta importante fonte histórica.
PROBLEMA 50
Tradução do problema 50 do Papiro de Rhind.
1
da solução, ou seja, 1, e restam 8. Faça a multiplicação 8 vezes 8; a solução dará 64, o montante
9
dele, ou seja, a área de 64 setat.
Tire
Esse texto do antigo Egito está afirmando que a área de um círculo de diâmetro 9 é igual à área de um
quadrado de lado 8. Vamos então avaliar qual é o valor de p utilizado na resolução deste problema.
2
Sabemos que a área do círculo de diâmetro D é p ⋅ D . Sabendo que para os egípcios antigos a área do
4
p ⋅ 92
256
5 64 , ou seja, p 5
círculo de diâmetro 9 é igual à de um quadrado de lado 8, temos que
, que
4
81
é aproximadamente 3,1605. Para a época esse valor é muito bom, pois contém um erro menor que 0,6%, o
que era perfeitamente adequado para os cálculos de que necessitavam.
Banco de imagens/Arquivo da editora
Desde o século III a.C. até o século XVI a área de um círculo calculada a partir de um raio dado era aproximada pelas áreas de polígonos regulares inscritos
com grande número de lados. Como se pode ver na figura ao lado, o polígono
regular de 36 lados já parece “praticamente” um círculo. Na Grécia antiga (século III a.C.), Arquimedes de Siracusa calculou a área de um polígono regular de
Polígono regular de 36 lados.
96 lados e pôde estimar que o número que hoje representamos por p estava
223
22
entre
e
, ou seja, entre 3,1408 e 3,1428.
71
7
A estimativa que Arquimedes fez é excelente, pois o erro em relação ao valor real é de aproximadamen223
22
te 0,025% para
e de aproximadamente 0,038% para
. Nos séculos seguintes, valores melhores
71
7
para p foram sendo obtidos com polígonos de número de lados cada vez maiores, e o recorde absoluto
para esse processo deve-se a Ludolph van Ceulen (1540–1610), que utilizou um polígono de 2 061 584 326 080
lados para conseguir obter p com 20 casas decimais exatas. Com a descoberta do Cálculo diferencial e integral por Newton e Leibniz, processos mais sofisticados puderam ser criados, e o número de casas decimais
de p aumentou vertiginosamente.
136
Capítulo 6
Reprodução/Associação Americana de
Matemática, Oberlin, Ohio, EUA.
Um campo circular tem diâmetro 9 khet. Qual é sua área?
Cálculo aproximado de áreas
R
Ilustrações técnicas desta página: Banco de
imagens/Arquivo da editora
Você saberia calcular a área desta região R?
Que método podemos adotar para achar a área de regiões com formas parecidas com essa?
Para responder a essas perguntas usamos o seguinte procedimento:
Primeiro decalcamos essa região em uma malha quadriculada e contamos o maior número possível de
quadrados inteiros que cabem dentro dela.
R
Em seguida, contamos o menor número possível de quadrados inteiros que cobrem R totalmente:
R
Assim:
• cabem 34 quadrados inteiros dentro da região R.
Dizemos que a área por falta da região R é de 34
.
• 67 quadrados inteiros cobrem a região R.
Dizemos que a área por excesso da região R é de 67
.
Conseguiu descobrir qual é a área?
A área da região R é maior do que 34
e menor do que 67
.
Uma razoável aproximação para essa área é dada pela média aritmética dos dois valores encontrados:
área aproximada 5 34 1 67 5 50,5
2
Como a área do
da malha quadriculada é de (0,5)2 cm2 5 0,25 cm2, então a área aproximada da região
R é dada por A  50,5 ? 0,25 5 12,63 cm2.
Polígonos inscritos e áreas
137
Razão entre áreas de polígonos semelhantes
Provavelmente você já estudou que polígonos semelhantes têm seus ângulos homólogos congruentes
e seus lados homólogos proporcionais. Por exemplo, todos os quadrados são semelhantes entre si.
Vamos considerar três quadrados de lados x, 2x e 3x:
3x
2x
x
Note que suas áreas são x2, 4x2 e 9x2, respectivamente. Isso mostra que, quando dobramos o lado, a área
não dobra (ela quadruplica). E quando triplicamos o lado, a área não triplica (ela nonuplica, ou seja, é multiplicada por 9). Esses números sugerem que a área de um polígono não é proporcional ao seu lado, mas é proporcional ao quadrado do seu lado.
Assim, se dois polígonos forem semelhantes e a razão entre seus lados homólogos for k, então a razão
entre suas áreas será k2.
Esse conceito também pode ser entendido pelo princípio da proporcionalidade: tomemos um retângulo
de área A(x, y). Um retângulo semelhante a esse, com lados kx e ky, terá área A(kx, ky). Pelo princípio da proporcionalidade, A(kx, ky) 5 k ? A(x, ky) 5 k ? k ? A(x, y) 5 k2 ? A(x, y). Podemos estender esse conceito para quaisquer superfícies semelhantes. Por exemplo, todos os círculos são semelhantes entre si, e a razão entre as áreas
de dois círculos é igual ao quadrado da razão entre seus respectivos raios.
Exercícios resolvidos
9.
Um triângulo escaleno de altura AH 5 10 cm foi cortado
perpendicularmente à sua altura AH, de forma que os dois
pedaços resultantes tivessem a mesma área. A que distância
do vértice A foi feito o corte?
A
A
x
10
H
Resolução:
Se os dois pedaços resultantes do corte (um triângulo e um trapézio) têm a mesma área, cada um deles tem metade
da área do triângulo original. O triângulo menor é semelhante ao maior, pois o corte foi perpendicular à altura, portanto paralelo à base.
A razão entre as alturas é k 5
altura2
5 x .
10
altura1
A razão entre as áreas é:
k2 5
A2
5 1 ⇒k5
A1
2
1
1
2
5
5
2
2
2
Então:
x
2 ⇒ x 5 5 2  7,1
5
10
2
Logo, o corte foi feito a aproximadamente 7,1 cm do vértice A.
138
Capítulo 6
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
Observação: Esse conceito também se aplica à razão entre volumes de sólidos semelhantes, devidamente
estendido. Como será mostrado mais adiante (quando for apresentada a ideia intuitiva de volume), a razão
entre os volumes de dois sólidos semelhantes será proporcional ao cubo da razão entre as medidas de seus
elementos lineares (arestas, raios, diagonais, etc).
10.
A área de um triângulo retângulo é de 30 cm2. A área
de um triângulo retângulo semelhante ao primeiro
é de 120 cm2 . Se a hipotenusa do primeiro triângulo mede 13 cm, quanto mede a hipotenusa do segundo triângulo?
x
5 2 ⇒ x 5 26.
13
Logo, a hipotenusa mede 26 cm.
Então,
11.
Resolução:
A razão entre as hipotenusas é
k5
A área de um dodecágono é de 10 cm2. Qual é a área
de um dodecágono semelhante ao primeiro cujo
perímetro é o triplo do perímetro do primeiro?
Resolução:
hipot2
5 x .
13
hipot 1
perím2
A razão entre os perímetros é k 5
5 3 5 3.
1
perím1
A razão entre as áreas é:
A
k2 5 32 5 2 ⇒ 9 5 x ⇒ x 5 90
A1
10
Logo, a área do segundo dodecágono é de 90 cm2.
A razão entre as áreas é:
A
120
k2 5 A2 5 30 5 4 ⇒ k 5 4 5 2
1
Exerc’cios
31.
Tem-se um círculo de 20 cm de diâmetro. Determine:
a) o perímetro desse círculo; 20p cm
b) a área desse círculo. 100p cm2
37.
10 cm
Calcule a área do
setor circular da figura. 20 cm2
O 4 cm
32. Determine a área dos setores circulares das figuras
abaixo. O raio de todas mede 6 cm.
18p cm2
a)
12p cm2
9p cm2
b)
c)
120¡
38. Dado um quadrado de lado 10 cm, qual é a área da
coroa circular limitada pelas circunferências inscritas e circunscritas nesse quadrado? 25p cm2
39. O perímetro do quadrado
ABCD da figura é 32 cm.
Calcule a área da região
colorida da figura.
33. Um terreno tem a forma da
figura ao lado. Na figura estão registrados alguns dados
do terreno, que nos permitem 6 m
calcular a sua área. Calcule a
área desse terreno.  25p 1 48  m2

2
A
B
D
C
16(4 2 p) cm2
40. Calcule a área aproximada
8m

de cada uma destas regiões abaixo. Use o
como unidade de área.
a)
11,5 cm2
34. Determine a área do círculo inscrito a um triângulo
equilátero de lado 12 cm. 12p cm2
35. Determine a área de um círculo circunscrito a um
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
hexágono regular de lado 8 cm. 64p cm2
36. Quantos centímetros quadrados de alumínio são
necessários para fazer uma arruela cujas dimensões estão na figura? 8p cm2
b)
12 cm2
r2 5 1 cm
O r 5 3 cm
1
Polígonos inscritos e áreas
139
41.
(Unicamp-SP) Um fio de 48 cm de comprimento é
cortado em duas partes para formar dois quadrados, de modo que a área de um deles seja quatro
vezes a área do outro.
a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das
partes dos fios? 4 cm e 8 cm
b) Qual será a área de cada um dos quadrados formados? 16 cm2 e 64 cm2
45. (FEI-SP) Uma chapa metálica de formato triangular
(triângulo retângulo) tem inicialmente as medidas
indicadas e deverá sofrer um corte reto (paralelo ao
lado que corresponde à hipotenusa do triângulo)
representado pela linha tracejada, de modo que sua
área seja reduzida à metade. Quais serão as novas
medidas x e y?
42. (FGV-SP) Uma pizzaria vende pizzas com preços pro-
40 cm
porcionais às suas áreas. Se a pizza média tiver raio
igual a 80% do raio da grande, seu preço será:
y
a) 59% do preço da grande.
x b) 64% do preço da grande.
x
c) 69% do preço da grande.
60 cm
d) 74% do preço da grande.
a) x 5 30 cm, y 5 20 cm.
e) 80% do preço da grande.
43. (Fuvest-SP) No papel quadriculado da figura a seguir,
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adota-se como unidade de comprimento o lado do
quadrado hachurado. DE é paralelo a BC. Para que a
área do triângulo ADE seja a metade da área do triângulo ABC, a medida de AD, na unidade adotada, é:
C
E
b) x 5 40 cm, y 5 30 cm.
x c) x 5 30 2 cm, y 5 20
2 cm,.
d) x 5 20 2 cm, y 5 30 2 cm.,
e) x 5 90 2 cm, y 5 60 2 cm.,
46. (Udesc) Se o raio de um círculo aumenta 10%, então
o seu perímetro e a sua área aumentarão respectivamente:
a) 10% e 10%.
d) 10% e 0%.
x b) 10% e 21%.
e) 0% e 10%.
c) 21% e 21%.
47. (UFC-CE) A planta de um apartamento está confecA
x a) 4 2 .
b) 4.
D
d)
B
8 3
.
3
7 3
e)
.
2
c) 3 3 .
44. Física
(Faap-SP) Uma chapa de metal circular, com 1 m
de raio, ficou exposta ao sol. Em consequência,
sofreu uma dilatação de 1% na dimensão do raio.
(Considere p 5 3,14.) A área dessa chapa após a
dilatação (em metros quadrados) é:
a) 3,14.
b) 3,32.
c) 3,10.
x d) 3,20.
e) 3,45.
140
Capítulo 6
cionada na escala 1 : 50. Então a área real, em metros
quadrados, de uma sala retangular cujas medidas
na planta são 12 cm e 14 cm é:
a) 24.
x d) 42.
b) 26.
e) 54.
c) 28.
48. (Fazu-MG) Um agricultor leva 3 h para limpar um
terreno circular de 5 m de raio. Se o raio do terreno
fosse igual a 10 m, ele levaria:
a) 8 h.
d) 10 h.
b) 15 h.
x e) 12 h.
c) 6 h.
49. (Unicamp-SP) Em uma fotografia aérea, um trecho
retilíneo de uma estrada que mede 12,5 km aparece
medindo 5 cm e, na mesma fotografia, uma área
queimada aparece com 9 cm2. Calcule:
a) o comprimento que corresponde a 1 cm na mesma fotografia; 2,5 km
b) a área da superfície queimada. 56,25 km2
7
01
CAPÍTULO
CAPÍTULO Geometria espacial
deConjuntos
posição: uma
numéricosintuitiva
abordagem
Rivaldo Gomes/Folhapress
NASA/Corbis/Latinstock
Museu de Arte de São Paulo Assis Chateaubriand
(Masp), em São Paulo. Projetado pela arquiteta Lina
Bo Bardi, tem um dos maiores vãos livres de concreto
do mundo, com 74 metros. Como característica de sua
arquitetura, a construção tem formas geométricas
espaciais bem definidas. Fotografia de 2013.
141
1
Geometria de posi•‹o no plano
No estudo da Geometria é comum, e adequado, usar objetos do cotidiano como modelos aproximados
para os conceitos geométricos. Por exemplo, para a ideia de ponto, costumamos pensar em uma marca de
giz na lousa ou em um ponto-final. Para a ideia de reta, costumamos usar um fio de barbante esticado ou
um lápis. Para a ideia de plano, costumamos usar uma folha de papel ou tampo de mesa.
A marca de giz na lousa ou o ponto-final no caderno têm dimensões (embora sejam pequenas), enquanto o ponto geométrico não tem dimensão. Formem trios e reflitam sobre as limitações físicas do lápis como
modelo de reta e da folha de papel como modelo de plano.
No Ensino Fundamental é feito o estudo das posições relativas de pontos e retas de um mesmo plano
Esta atividade é bastante difícil por envolver abstrações que nem sempre são fáceis para os alunos.
(Geometria de posição no plano).
Se necessário, interfira e conduza a atividade para que eles entendam o caminho a ser seguido.
Deixe claro que não é uma crítica ao uso de modelos, e sim uma reflexão sobre a distinção entre o
Por exemplo:
que é concreto e o que é abstrato. Um dos maiores problemas decorrentes de tais modelos é que os
• Relação entre um ponto e uma reta com bordas e quinas (o plano não tem bordas, ele é infinito em todas as direções).
alunos não compreendem a reta como infinita (o lápis tem tamanho finito) e imaginam o plano
Na figura ao lado:
o ponto A pertence à reta r;
o ponto B não pertence à reta r.
B
r
A
• Relação entre pontos
E
A
D
B
C
Fique atento!
Dois pontos são sempre colineares.
F
• Relação entre duas retas distintas de um plano
p
e
c
m
b
n
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Banco de imagens/Arquivo da editora
Nas figuras acima:
os pontos A, B e C são colineares (existe uma reta que passa pelos três);
os pontos D, E e F não são colineares (não existe reta que passa pelos três simultaneamente).
Nas figuras acima:
as retas c e m são paralelas;
as retas b e e são concorrentes e oblíquas;
as retas p e n são concorrentes e perpendiculares.
Agora, no Ensino Médio, será feito o estudo das posições relativas de pontos, retas e planos no espaço
(Geometria de posição espacial).
Com isso, surgirão novas relações, como entre reta e plano ou entre dois planos. Veremos também que
algumas relações estudadas no plano terão um enfoque diferente quando estudadas no espaço, como no
exemplo seguinte.
142
Capítulo 7
Dadas as retas distintas a, b e c:
• No plano: se a é perpendicular a b, e c é perpendicular a b, então a é paralela a c.
a
c
b
a
a
c
b
ou
c
b
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Arquivo da editora
• No espaço: se a é perpendicular a b, e c é perpendicular a b, então a pode ser paralela a c ou não.
Neste capítulo, o estudo da Geometria de posição no espaço será feito de maneira intuitiva, apoiado
essencialmente na observação de modelos, figuras e objetos.
Observe como as figuras serão representadas:
ponto (A, B, C, …)
reta (r, s, p, …)
plano (, , , …)
Você já deve ter notado que conceitos como ponto, reta, plano e espaço nunca foram definidos porque são
intuitivos, estão em nossa mente de forma natural e os distinguimos espontaneamente. Basta observar que
tanto reta como plano e espaço são considerados conjuntos infinitos de pontos, sem que seja necessário dizer
como são dispostos.
Os conceitos primitivos são os elementos iniciais da teoria que vamos desenvolver agora. Outros conceitos serão definidos a partir deles, e as propriedades da Geometria resultarão de suas relações.
No início, algumas afirmações serão admitidas sem que seja necessário demonstrá-las — elas se chamam
axiomas ou postulados — e as conclusões que puderem ser tiradas a partir delas serão os teoremas, que só
são aceitos mediante uma demonstração, uma argumentação lógica.
Fique atento!
Para melhor compreensão e identificação, os enunciados considerados axiomas ou postulados estarão indicados com
fundo azul ; os teoremas, indicados com fundo laranja ; e as definições, indicadas com fundo rosa .
Além disso, como se trata de um enfoque intuitivo da Geometria espacial, os teoremas não serão demonstrados ao longo do
capítulo. Apenas no final faremos algumas demonstrações a título de ilustração.
Usaremos a simbologia da teoria dos conjuntos que você provavelmente estudou no 1o ano do Ensino Médio.
Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva
143
2
Posições relativas: ponto e reta; ponto e plano
Como ponto é elemento da reta e do plano, dizemos que ele pertence ou não a eles. Assim:
• dados um ponto P e uma reta r, temos P  r ou P Ó r;
• dados um ponto P e um plano , temos P   ou P Ó .
Veja alguns exemplos:
b
B
s
C
E
A
H
F
a
D
G
J
M
I
X
r
Para refletir
B pertence a r
B não pertence a s
E não pertence a r
E não pertence a s
F pertence a 
F não pertence a 
H não pertence a 
H não pertence a 
Qual é a posição do ponto X
em relação às retas r e s?
E dos pontos M e G em
relação aos planos  e ?
X  r; X Ó s; G  ; G Ó ; M  ; M  
3
Posições relativas de pontos no espaço
Dados dois ou mais pontos no espaço:
• eles são ou não pontos colineares (existe ou não uma reta que
Fique atento!
passa por todos eles);
Dada uma reta no espaço, existem
pontos na reta e fora dela; dado
um plano no espaço, existem
pontos no plano e fora dele.
• eles são ou não pontos coplanares (existe ou não um plano que
passa por todos eles).
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Veja as figuras:
A
Q
B
P
R
C
A, B e C são pontos colineares.
P, Q e R são três pontos coplanares.
F
W
Y
E
X
G
E, F e G não são pontos colineares.
Z
X, Y, Z e W são pontos não coplanares.
Outros axiomas:
1o) Dois pontos distintos são sempre colineares e sobre eles passa uma
única reta. Dizemos então que
dois pontos distintos A e B determinam uma reta (, AB-).
Fique atento!
Podemos escrever “reta AB” ou usar a
notação ,AB- para se referir à reta que
passa pelos pontos A e B.
2o) Três pontos não colineares são sempre coplanares e sobre eles passa um único plano. Dizemos então que
três pontos não colineares A, B e C determinam um plano p(A, B e C).
144
Capítulo 7
4
Posições relativas de duas retas distintas no espaço
Banco de imagens/Arquivo da editora
Observe a figura na qual temos um paralelepípedo:
B
F
A
D
E
H
Para refletir
•
C
Em cada plano há infinitas retas. No
plano da face ABCD, por exemplo, além
das retas indicadas, temos A
, C-, B
, D- e outras.
•
No espaço há infinitas retas. Localize na
figura dada as retas A
, G-, B
, E-, B
, G- e D
, F-.
G
São 12 as arestas do paralelepípedo: AB, BC, CD, AD, EF , FG, GH, EH, BF, CG, AE e DH.
São 6 as suas faces, determinadas por: ABCD, FGHE, CDHG, BFGC, ADHE e ABFE.
Nesse modelo:
• As arestas serão “representações” das retas que as contêm.
Por exemplo:
, AB-: reta do espaço que contém a aresta AB.
, BC -: reta do espaço que contém a aresta BC.
Para refletir
•
• As faces serão “representações” dos planos que as contêm.
No espaço há infinitos planos. Além
dos 6 planos determinados pelas faces do
paralelepípedo, procure imaginar outros,
como p(ADGF), p(ABGH), p(AEGC), etc.
Por exemplo:
p(ABCD): plano do espaço que contém a face determinada por ABCD.
p(BFGC): plano do espaço que contém a face determinada por BFGC.
• Os vértices serão representações dos pontos do espaço: A, B, C, etc.
Usando esse modelo, podemos estudar as posições relativas de retas distintas no espaço:
Duas ou mais retas são coplanares quando existe um plano
que contém todas elas.
Fique atento!
, C- e E
, F- são
,AB- e G
, H- são retas coplanares. B
retas não coplanares.
, AB-, , BC ,- , CD-, , DA- e , AC - são retas coplanares porque o plano p(ABCD) as contém. Também são retas coplanares as retas , AE ,- , EH - e , DH - porque o plano p(AEHD) contém essas três retas.
Observe que as retas coplanares , AB - e , CD - não têm ponto comum. O mesmo acontece com as retas
,AD- e ,FG- são retas coplanares porque estão contidas no mesmo plano ADGF. Como
coplanares , BC - e , AD.essas retas não têm ponto comum, elas são paralelas.
Retas coplanares que não têm ponto comum são chamadas
retas paralelas.
Para refletir
• ,AD- e ,FG- são retas paralelas. Justifique.
Outros pares de retas paralelas são: , CD- e , GH-, , AD- e , EH ,- , CG - e , DH-, etc.
O par de retas , AB - e , AD- tem um único ponto comum, isto é, as retas intersectam-se em um ponto.
O mesmo acontece com , BC - e , CD-.
Retas que têm um único ponto comum são chamadas retas
concorrentes.
Para refletir
, D- são retas concorrentes. Justifique.
• CH- e G
,CH- e ,GD- são retas coplanares porque estão contidas no plano CDHG. ,CH- e
,GD- intersectam-se em um ponto; portanto, são concorrentes.
Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva
145
Outros pares de retas concorrentes são: , FG - e , GH ,- , CG - e , FG ,- , AD- e , DH-, etc.
Duas retas concorrentes são sempre coplanares.
Dadas as retas , AB- e , FG ,- não existe um plano que contém as duas; o mesmo ocorre com os pares de
retas , GH - e , AD-, , BC - e , EF - e outros.
Dadas duas retas, quando não existe um plano que
contém as duas, elas são chamadas retas reversas (ou não
coplanares).
Para refletir
, C- e F, H- são retas reversas. Justifique.
•A
, C- e F, H-;
Não existe um plano que contém A
portanto, elas são reversas.
Quadro-resumo:
Posições relativas de duas retas distintas no espaço
ralelas
para

coplanares

Duas retas 
concorrentes

no espaço 
reversas
Para refletir
• Considere o “encontro” de duas
paredes como representação de uma
reta.
Localize na sua sala duas retas paralelas,
duas retas concorrentes e duas retas
reversas.
Observação: No espaço, o fato de duas retas não serem paralelas não significa necessariamente que elas
sejam concorrentes, como acontece no plano. Duas retas reversas, por exemplo, não são paralelas nem
concorrentes.
ATENÇÃO!
Não escreva
no seu livro!
Exerc’cios
Observe os pontos de A a K nos vértices, arestas e faces do cubo ao lado.
A
Verifique se os pontos indicados em cada item são ou não colineares e coplanares.
mas
a) A e D Colineares e coplanares. d) B, C e D Coplanares,
não colineares.
b) A, F e E Coplanares, mas
e) E, J e K
c) H, I e D
f) B, E, K e J
não colineares.
Colineares e coplanares.
2.
3.
146
Colineares e coplanares.
Colineares e coplanares.
B
g) C, H, F e E Coplanares, mas
F
K
não colineares.
h) B, C, H e I Não são colineares
nem coplanares.
E
J
H
i) H, D, I e E
Coplanares, mas não colineares.
G
I
C
D
Considere que os pontos, as retas e os planos citados são distintos e verifique se cada afirmação é verdadeira (V)
ou falsa (F):
a) Por 2 pontos passa uma única reta. V
f) Existem 5 pontos não coplanares. V
b) 3 pontos são sempre colineares. F
g) Existem 3 pontos não coplanares. F
c) 3 pontos nunca são colineares. F
h) Pontos colineares são coplanares. V
d) 3 pontos podem ser colineares. V
i) Pontos coplanares são colineares. F
e) Existem 5 pontos coplanares. V
j) Pontos coplanares podem ser colineares. V
A
Observe a pirâmide de base quadrada e verifique se as retas indicadas em cada item
são paralelas, concorrentes ou reversas.
a) , AC - e , AD - concorrentes
d) , EC - e , BD - concorrentes
g) , BC - e , AE -reversas
b) , AB - e , ED - reversas
e) , BE - e , AE - concorrentes
h) , AE - e , AC concorrentes
c) , BC - e , ED - paralelas
f) , CD - e , BE -paralelas
i) , CD - e , BC-concorrentes
Capítulo 7
E
B
D
C
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
1.
5
Determinação de um plano
Já vimos que: Quando temos três pontos não colineares, existe um único plano que passa pelos três.
Isso equivale a dizer que: Três pontos não colineares determinam um plano.
O mesmo ocorre quando temos duas retas paralelas distintas, duas retas concorrentes ou uma reta e
um ponto que não pertence a ela.
a
A
C
a
b
B
b
: p(A, B, C)
: p(a, b)
Três pontos não colineares
determinam um plano.
Duas retas paralelas distintas
determinam um plano.
Para refletir
• Por que não podemos dizer
que três pontos colineares
determinam um plano?
Três pontos colineares pertencem
a uma única reta, e por essa reta
passam infinitos planos. Por isso,
não podemos dizer que três pontos
colineares determinam um plano.
A
r
g
d
r
s
: p(r, s)
d: p(A, r)
Duas retas concorrentes
determinam um plano.
Uma reta e um ponto fora
dela determinam um plano.
Para refletir
• Por que duas retas reversas
não determinam um plano?
Porque não há um plano que passe
pelas duas simultaneamente.
Quadro-resumo:
3 pontos não colineares
2 retas paralelas dist
stintas

Um plano fica determinado por 
2
retas
concorrentes

1 re
reta
ta e 1 pont
p o for
fora dela
Exercício
Observe as figuras e considere:
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
4.
: plano determinado pela reta , ED- e o ponto F î , ED: plano determinado pelas retas paralelas , AF - e , CD: plano determinado pelas retas concorrentes , AB- e , BC d: plano determinado pelos pontos não colineares B, A e E
A
1a)
3a)
C
B
C
B
A
2a)

F
D
E

F
D
E
B
C
d
F
E
B
A
4a)
A
D
C

F
E
D
Identifique em cada figura (1a, 2a, 3a e 4a) qual é o plano correspondente à face pintada (, ,  ou d).
Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva
147
6
Posições relativas de dois planos distintos no espaço
Observe o paralelepípedo:
A
D
E
B
H
C
F
G
Como vimos, as faces representam os planos que as contêm. Alguns desses planos têm pontos comuns,
outros não.
Por exemplo, p(ABCD) e p(EFGH) não têm ponto comum; p(ABCD) e p(CDHG) têm todos os pontos da
reta CD comuns.
Dois planos que não têm pontos comuns são chamados planos paralelos.
p(ABCD) / p(EFGH)
p(ADHE) / p(BCGF)
Podemos representar dois planos  e  distintos e paralelos do seguinte modo:
±
/
>5
Fique atento!
a
a
b
Dados dois planos distintos, ou eles
não têm ponto comum ou têm uma
única reta comum.
Não existem dois planos, por exemplo,
com um único ponto comum.
b
Se dois planos distintos não são paralelos, então eles possuem uma única reta comum.
Dois planos distintos que têm uma reta comum são chamados planos secantes (ou concorrentes).
Essa reta comum é a intersecção dos dois planos. Ou seja:
p(ABCD) e p(CDHG) são secantes e a reta intersecção deles é , CD.p(EFGH) e p(ABFE) são secantes e a intersecção deles é a reta EF.
Intersecção: o que é comum
(ou seja, existe simultaneamente) a dois ou mais conjuntos, nesse caso, planos.
Voc• sabia?
b
reta comum
a
148
Capítulo 7
Diversas situações ou objetos da vida real
podem representar a intersecção de dois
planos, por exemplo, um porta-revistas.
Jupiter Images/
Agência France-Presse
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
Podemos representar dois planos  e  secantes assim:
Quadro-resumo:
Posições relativas de dois planos distintos no espaço
Dois planos
no espaço
paralelos

ntes ou concorrentes
secant
Exerc’cios
5.
Veja a resposta do exercício 5 na seção Respostas.
Observando o cubo da figura seguinte, responda:
C
D
B
A
F
G
E
H
a) Dos planos determinados pelas faces, quais são os pares de planos paralelos?
b) Cite três pares de planos secantes.
c) Os planos determinados pelas faces CDGF e EFGH são secantes? Em caso afirmativo, qual é a reta intersecção?
d) A reta AD é intersecção dos planos determinados por quais faces?
6.
Observando a figura espacial a seguir, responda usando planos determinados por faces:
F
E
D
G
C
A
H
I
J
B
a) Qual é a posição relativa dos planos determinados pelas faces EFHC e DEFG? Planos secantes.
b) A reta AI é intersecção de quais planos? p(ABJI) e p(ADGI)
c) Qual é o plano paralelo ao determinado pela face ADGI? p(BCHJ)
d) Qual é a reta de intersecção dos planos secantes determinados por BCHJ e ECHF? ,CHIlustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
e) Há algum plano paralelo ao plano determinado pela face ABJI? Em caso afirmativo, qual é esse plano?
Sim, p(DCHG).
7.
Observando a figura espacial seguinte, responda:
H
G
F
E
C
D
A
B
a) Qual é a posição relativa dos planos determinados pelas faces ABCD e ADHE? Planos secantes.
b) Os planos BCGF e EFGH são secantes? Em caso afirmativo, qual é a reta de intersecção? Sim, ,FG-.
c) Há algum plano paralelo e distinto do plano determinado por EFGH? Qual? Sim, p(ABCD).
Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva
149
7
Posições relativas de uma reta e um plano
Considerando o paralelepípedo da figura a seguir, observamos que:
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
A
D
• o plano determinado pela face EFGH contém as
retas , EH ,- , HG-, , FG - e , EF -;
• as retas , BF ,- , CG ,- , AE - e , DH- intersectam o plano
B
determinado pela face EFGH, “furando-o”;
C
• as retas , BC ,- , CD-, , AD- e , AB- são paralelas ao plano
determinado pela face EFGH.
Fique atento!
E
H
,BD- está contida no p(ABCD)
,AG- intersecta p(EFGH)
,AF- não intersecta p(CDHG)
, F- intersecta p(ACGE)
D
F
G
Estas são as três posições possíveis, no espaço, de uma reta em relação a um plano:
t
r
A
s
b
a
A reta r é paralela ao
plano 
(r e  não têm ponto
comum).
A reta s está contida no
plano  ( e s têm em
comum todos os pontos
de s).
g
A reta t intersecta (“fura”) o
plano  no ponto A.
Então, a reta t é secante (ou
concorrente) ao plano .
O ponto A é chamado traço
de t em .
Quadro-resumo:
Posições relativas de uma reta e um plano no espaço
r é paralela a a

Uma reta r e um plano a no espaço: r está contida em a
r é secante a a

Para refletir
Use o lápis e a capa do livro para
representar uma reta e um plano.
Verifique as três posições possíveis
da reta em relação ao plano.
150
Capítulo 7
Paralelismo no espaço
8
Retomando o que vimos até agora sobre paralelismo no espaço, temos:
• Duas retas distintas são paralelas quando, e somente quando, são coplanares e não têm ponto comum.
• Dois planos distintos são paralelos quando, e somente quando, não têm ponto comum.
• Uma reta e um plano que não a contenha são paralelos quando, e somente quando, não têm ponto comum.
É preciso estar atento a certos fatos relativos ao paralelismo. Veja alguns:
o
1 ) Podemos ter, em dois planos paralelos, retas que não sejam paralelas.
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
Por exemplo, no paralelepípedo a seguir, os planos ABCD e EFGH são
paralelos; entretanto, as retas , AB- e , FH - pertencentes a eles não são paralelas, e sim reversas. Veja:
Para refletir
• Que posições relativas
podem ter duas retas
distintas que não são
paralelas?
• O que acontece com dois
planos distintos quando não
são paralelos?
• Que posições relativas
podem ter uma reta e um
plano quando não são
paralelos?
r
A
D
E
a
H
 / , r está em 
s está em 
r e s não são paralelas
r e s são reversas
C
B
F
s
b
G
• Se forem coplanares, as retas podem ser concorrentes.
Se não forem coplanares, serão retas reversas.
• São planos secantes.
• A reta está contida no plano ou a reta é secante ao
plano.
2o) Podemos ter retas paralelas contidas em dois planos que não sejam paralelos.
A
E
B
F
D
r
H
C
G
a
s
b
r / s, r está em 
s está em 
 e  não são paralelos
Voc• sabia?
Na cadeira de praia abaixo, o encosto
e o assento podem ser vistos como
partes de planos secantes; as ripas
de madeira podem ser vistas como
retas paralelas entre si.
Elsar/Shutterstock/Glow Images
Por exemplo, no paralelepípedo abaixo, as retas , AB- e , GH - são paralelas.
A reta AB está no plano ABCD e a reta GH está no plano CDHG, que se
intersectam segundo a reta CD.
Veja alguns teoremas que podem ser deduzidos:
• Uma reta é paralela a um plano se, e somente se, ela é paralela a uma reta do plano.
• Dados dois planos secantes, uma reta de um deles é paralela ao outro se, e somente se, ela é paralela à
reta de intersecção dos dois planos.
• Dois planos são paralelos se, e somente se, um deles é paralelo a duas retas concorrentes do outro.
Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva
151
Exercícios
8.
Observando o cubo, cite:
D
C
A
B
G
H
F
E
a) seis retas paralelas ao plano determinado pela face ADGH; ,BC-, ,CF-, ,EF-, ,BE-, ,BF-, ,CEb) seis retas que estejam contidas no plano determinado pela face CDGF; ,CD-, ,DG-, ,FG-, ,CF-, ,DF-, ,CGc) cinco retas secantes ao plano determinado pela face ABCD. Algumas das soluções possíveis: ,AH-, ,AE-, ,BG-, ,FC-, ,BE-.
9.
Observe a figura seguinte e sua representação matemática:
B
C
D
A
G
H
E
F
a) Qual é a posição da reta AB em relação ao plano
determinado por ABCD? Está contida.
f) Cite um plano paralelo ao plano determinado por
ABCD. p(EFGH)
b) Cite duas retas que estejam “furando” o plano
determinado por ABCD. Algumas das soluções
g) A reta DF está simultaneamente em vários planos.
p(ADFE),
Cite dois desses planos. Alguns:
p(CDFG) e p(BDFH).
c) Cite dois planos que intersectem a reta CD.
h) Cite duas retas paralelas ao plano determinado
por ABCD. ,EH-, ,EG-, ,EF-, ,HG-, ,FG-, ,FH-
possíveis: A
, E-, B
, F-, C
, G-, F, D-.
p(ABCD) e p(CDFG)
d) Qual é a posição relativa das retas , AB - e , BH -?
concorrentes
e) Cite uma reta que seja reversa à reta AD.
Algumas das soluções possíveis: ,BH-, ,CG-, ,BF-.
Observando a figura a seguir e sua representação matemática, verifique se a reta está contida,
se é paralela ou se é secante ao plano em cada item.
E
F
D
C
A
H
I
11.
B
G
a) , EF - e p(IJGH) paralela
e) , BD- e p(HIJG) paralela
b) , DE - e p(EFGH) está contida
f) , HJ - e p(, IJ ,- G) está contida
c) , HI - e p(EFCD) secante
g) , IC - e p(, ED-, , CF -) secante
h) , EC - e p(, DG-, , CH -) está contida
d) , GH - e p(EFCD) está contida
J
Na figura dada, A, B, C, D, E, F, G e H são os vértices de um paralelepípedo
e C, D, E, F, J e I são vértices de um prisma reto de base triangular.
B
A
D
Dê a posição relativa dos pares de figuras em cada item.
a)
b)
c)
d)
12.
, DE - e p(EFGH) secante
, AB- e , GF - retas reversas
p(A, D, H) e p(, BC ,- , CJ -) paralelo
D e p(A, , HI -) pertence
e)
f)
g)
h)
, AC - e p(A, B, D) está contida
, CD- e , IJ - paralela
p(CDIJ) e p(EFCD) concorrentes
, HE - e , ID- concorrentes
C
F
G
H
E
J
I
Indique se são verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmações:
a) Se dois planos são paralelos, qualquer reta de um deles é paralela a qualquer reta do outro. F
b) Se dois planos são paralelos, qualquer reta que intersecta um deles intersecta o outro. V
c) Se dois planos distintos são paralelos, qualquer reta de um deles é paralela ao outro. V
d) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si. F
e) Uma reta r não está contida em um plano  e é tal que r / . Então, existe uma reta s, contida em , tal que s / r.V
f) Se um plano intersecta dois planos paralelos, então as intersecções são retas paralelas. V
152
Capítulo 7
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
10.
9
Perpendicularismo no espaço
Retas perpendiculares e ortogonais
Sabemos que duas retas distintas no espaço podem ser paralelas, concorrentes ou reversas.
Quando são concorrentes e formam ângulos retos (908), essas retas são perpendiculares.
r
Para refletir
• Na figura ao lado, quais são as
medidas dos quatro ângulos
formados por s e t?
As retas s e t formam dois ângulos
de 458 e dois de 1358.
s
t
Pelo cubo, podemos visualizar:
• r e s são retas concorrentes e perpendiculares (r ⊥ s);
• s e t são retas concorrentes, mas não são perpendiculares. Dizemos que s e t são retas oblíquas.
Considere agora a e b retas reversas e c uma reta paralela à reta a e concorrente com b.
Se c e b forem perpendiculares, dizemos que as retas a e b são ortogonais.
Observe as retas reversas a e b, visualizadas no cubo, e a reta c, paralela à reta a e concorrente
com b.
a
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Fique atento!
b
a e b são retas reversas e ortogonais.
c
a
b
Retas perpendiculares
são um caso particular
de retas ortogonais.
Para refletir
a e b são reversas, mas não são ortogonais.
c
• Justifique as duas
afirmações ao lado.
• a e b são reversas, pois não há um plano que passe pelas duas retas.
a e b são ortogonais porque existe reta paralela a a, que é
perpendicular a b (c, por exemplo).
a e b são reversas, pois não há um plano que passe pelas duas retas.
c // a, mas c e b são oblíquas. Logo, a e b não são ortogonais.
Reta e plano perpendiculares
Vimos que, dada uma reta r e um plano , podem ocorrer três situações: a reta é paralela ao plano (r / ); a
reta está contida no plano (r  ); ou a reta intersecta o plano em um ponto P (r >  5 {P}).
Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva
153
Veremos agora que, quando a reta intersecta o plano, ela pode ou não ser perpendicular a ele.
r
s
t
s
u
t
P
r
P
u
a
Ilustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
Uma reta que intersecta um plano é perpendicular a ele quando, e somente quando, ela é
perpendicular a todas as retas desse plano que passam pelo ponto de intersecção.
a
Se uma reta intersecta um plano e não é perpendicular a ele, dizemos que ela é oblíqua ao plano.
Veja a figura e os símbolos correspondentes.
r
s
Para refletir
r é perpendicular a  (r ⊥ )
s é oblíqua a  (s ^ )
P
a
Se r ⊥  no ponto P, qual é a posição
de r em relação às retas de  que
não passam por P?
A reta r é reversa ortogonal às retas de  que
não passam por P.
O ponto P, nesse caso, é chamado “pé da perpendicular”.
Voc• sabia?
Obelisco, no Parque
do Ibirapuera,
em São Paulo (SP).
Fotografia de 2012.
154
Capítulo 7
nat8246/Shutterstock
Rubens Chaves/Pulsar Imagens
O Obelisco aos heróis de 1932, em São Paulo, dá ideia de reta perpendicular a um plano. A Torre de Pisa, na Itália, dá ideia de reta
oblíqua a um plano.
Torre de Pisa,
na Itália.
Fotografia
de 2015.
Para que uma reta seja perpendicular a um plano, é necessário e suficiente
que ela seja perpendicular a duas retas concorrentes desse plano no ponto de
intersecção (teorema fundamental do perpendicularismo entre reta e plano).
s
P
t
a
r
Você sabia?
O cabo do rodo não é perpendicular ao chão, embora seja
perpendicular à parte horizontal do rodo (que dá a ideia de
reta no plano do chão).
Photo 4/Keystone
Dam d’Souza/Arquivo da editora
Os pés do cabideiro dão a ideia de duas retas no plano do chão.
Dessa forma, a haste maior do cabideiro é perpendicular ao
chão.
Observe que uma reta pode ser perpendicular a uma reta do plano e não ser perpendicular ao plano:
r
s
t
a
t está contida em 
s está contida em 
r⊥s
r não é perpendicular a 
Ilustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
Assim, para uma reta ser perpendicular a um plano  é preciso ser perpendicular a duas retas concorrentes em , ou seja, são necessárias duas retas, porque vimos que uma reta não é suficiente para garantir
o perpendicularismo. No entanto, bastam duas retas concorrentes, ou seja, elas são suficientes, pois essas
duas concorrentes já determinam o plano .
a
a
Para refletir
Reproduza concretamente estas figuras
e comprove as afirmações feitas.
Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva
155
Exercício resolvido
passo a passo: exercício 1
Resolvido passo a passo
1.
(EsPCEx-SP) O sólido geométrico abaixo é formado
pela justaposição de um bloco retangular e um prisma reto, com uma face em comum. Na figura estão
indicados os vértices, tanto do bloco quanto do
prisma.
K
Banco de imagens/Arquivo da editora
H
D
I
G
C
E
3. Executando o que foi planejado
• Posição relativa ente as retas , LB - e , GE :- como as
retas possuem um ponto de intersecção, são concorrentes e, consequentemente, não são paralelas. As retas , LB - e , GE - também são coplanares, pois
fazem parte do plano p(GBEL).
• Posição relativa entre as retas , AG - e , HI :- são copla-
J
L
• , LB - e , GE • , AG - e , HI • , AD - e , GK -
nares e não paralelas. Assim, são concorrentes. O
ponto de intersecção entre as retas , AG - e , HI - pode
ser encontrado ao visualizarmos mentalmente a
extensão dos infinitos pontos que compõem as
duas retas.
• Posição relativa entre as retas , AD -e , GK :- a projeção
B
F
A
Considere os seguintes pares de retas definidos por pontos dessa figura: as retas , LB - e , GE ,- as retas , AG - e , HI - e as
retas , AD - e , GK .- As posições relativas desses pares de
retas são, respectivamente,
a) concorrentes; reversas; reversas.
b) reversas; reversas; paralelas.
c) concorrentes; reversas; paralelas.
ortogonal da reta , GK - no plano p(ACDF) é a reta , AE ,concorrente com a reta , AD - no ponto A. Assim, , AD e , GK - são reversas.
4. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa e.
5. Ampliando o problema
a) Levando em consideração apenas o bloco retangular do sólido geométrico e os valores de
suas arestas, fornecidos no quadro abaixo, informe quais as medidas dos segmentos de reta
t E eG
t K.
Lt B, G
d) reversas; concorrentes; reversas.
e) concorrentes; concorrentes; reversas.
1. Lendo e compreendendo
a) O que é dado no problema?
São dadas uma figura de um sólido geométrico, o
qual é composto por um bloco retangular e um prisma reto, bem como a indicação dos vértices desse
sólido geométrico.
2. Planejando a solução
Para solucionar o problema, devemos analisar reta por
reta, focando na análise de paralelismo, de coplanariedade e de pontos em comum. A partir dessa análise,
podemos classificar as posições relativas entre as retas
enunciadas duas a duas:
156
Capítulo 7
LG 5 KH 5 EB 5 AF 5 2 cm
AB 5 GH 5 LK 5 FE 5 5 cm
GA 5 HB 5 KE 5 LF 5 4 cm
LB 5 3 5 cm
123
b) O que se pede?
Pede-se a posição relativa entre retas que são citadas, classificando essa posição relativa em concorrente ou reversa.
Quadro das medidas
GE 5 3 5 cm
GK 5 29 cm
b) Desafio em equipe
Com os colegas, ponha em prática o que foi
aprendido na aula de geometria plana e espacial,
e, com o uso de papéis, cola, tesoura e régua,
desenhe no caderno e monte alguns sólidos geométricos – de preferência, prismas retos de
base quadrada, retangular ou triangular. Pesquise na biblioteca da sua escola/cidade livros que
abordem a planificação de sólidos geométricos.
Planos perpendiculares
Consideremos dois planos concorrentes  e  e tracemos um plano  perpendicular à sua reta r de intersecção, que corta  e  segundo as retas s e t.
b
t
Para refletir
Use seu caderno e um
esquadro para representar
planos perpendiculares e
planos oblíquos.
a
g
b
r

s
a
a
Quando s e t formam um ângulo reto, dizemos que os planos  e  são perpendiculares. Observe que, se  e  são perpendiculares, então a reta r de  é
perpendicular às retas s e t de . Assim, s é uma reta de  que é perpendicular a .
Se dois planos concorrentes não são perpendiculares, dizemos que são oblíquos.
b
^
Dois planos  e  são perpendiculares se, e somente se, um deles contém
uma reta perpendicular ao outro.
Você sabia?
Richard Boll/
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Dmitry Lobanov/
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Peter Gudella/
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Vtls/Shutterstock/
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Os notebooks abertos dão a ideia de planos oblíquos (os dois primeiros) e de planos perpendiculares (os dois últimos).
Notebooks abertos em diversas posições.
Exerc’cios
A figura ao lado é um paralelepípedo.
a) Cite duas retas que sejam
perpendiculares ao plano
EFGH.
C
D
A
b) Quais são os dois planos que contêm a reta DH
e são perpendiculares ao plano EFGH?
B
b) A reta AB é perpendicular ao
plano determinado por BCGF.
Cite outro plano perpendicu- E
lar à reta AB.
H
G
F
c) A reta AF é perpendicular à reta FG? Justifique a
a resposta dos exercícios 13 e 14 na
resposta. Veja
seção Respostas.
14.
D
Considerando o paralelepípedo ao lado e os planos
determinados pelas faces,
resolva as questões a seguir.
c) O plano diagonal ACGE é perpendicular ao plano
EFGH? Por quê?
d) A reta CG é perpendicular ao plano EFGH. Qual é
a posição dos planos CDHG, ACGE e BCGF em
relação ao plano EFGH?
15. Verifique se cada uma das afirmações é verdadeira (V)
ou falsa (F):
C
A
a) Se dois planos são perpendiculares, toda reta de
um deles que for perpendicular à intersecção
será perpendicular ao outro. V
B
H
E
a) Cite todos os planos perpendiculares a p(ABFE).
G
F
b) Se dois planos forem perpendiculares, toda reta
paralela a um deles será perpendicular ao outro. F
c) Dados um plano  e uma reta r, existe um plano
 que contém r e é perpendicular a . V
Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva
157
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
13.
Outros
contextos
O universo mágico das dimensões
A nossa percepção de espaço está ligada às ideias de comprimento, largura e altura. Segundo astrônomos, vivemos em
um universo curvo, finito, mas sem fronteiras. Nesse minúsculo pedacinho do universo onde vivemos, percebemos tudo a
nossa volta, objetos, plantas, animais atrelados à noção de três dimensões. Para nós tudo tem comprimento, largura e altura.
Vamos imaginar que vivêssemos em um mundo unidimensional, com uma dimensão só: o comprimento. Vamos
chamar esse mundo de Retolândia. Nesse mundo imaginário, as pessoas não teriam largura nem altura, seriam seres
“compridinhos” e viveriam eternamente em fila. Ninguém passaria à frente de outro, pois se o cidadão A da figura
quisesse ficar à direita de um cidadão B teria de usar um dos lados e estaria usando uma segunda dimensão. E se
fosse pular por cima estaria usando a terceira. Mas este ser imaginário não pensaria em nenhuma dessas possibilidades,
pois sua percepção estaria ligada tão somente à noção de comprimento, ele não tem noção de outras dimensões.
A
Pequena parte de um universo de uma só dimensão.
Vamos viajar agora para um universo bidimensional, a Planolândia. Nesse universo não existe a noção de “para
cima” nem de “para baixo”. Aqui não se conhece a terceira dimensão, a altura. As “pessoas” seriam planas, sem espessura. Vamos representar um ser da Planolândia por um triângulo e a casa dele à esquerda.
(vista aérea)
Para o “triângulo” se sentir seguro, basta entrar em sua
casa, fechar a porta e pronto. Ninguém entrará “por cima”,
pois nesse universo não existe a noção de altura.
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
3D
Ve
c
to
r/S
hu
tte
rs
to
ck
Vejamos a seguir como é difícil conceber uma dimensão além daquela em que vivemos. Eis um problema
envolvendo dois anéis na Planolândia e os elos de uma corrente em nosso mundo.
Na figura à direita vemos dois anéis planos em algum lugar da
Planolândia. Lá ninguém consegue tirar o anel menor de dentro do
maior sem quebrar o maior. Para nós é fácil, basta usarmos a terceira dimensão. Por aqui existe um problema similar. Como desfazer o elo da corrente da figura à esquerda sem quebrar uma das
peças? Bastaria usarmos uma quarta dimensão. Mas para nós é
um problema tão difícil como o problema dos anéis para o pessoal
da Planolândia. Presos à noção de três dimensões, não conseguimos
imaginar como isso seria possível.
Pensando as dimens›es
Fazendo uso dos eixos coordenados, temos a noção de uma só dimensão com apenas um eixo. Para que tenhamos
noção de um espaço em duas dimensões, basta colocarmos outro eixo perpendicular ao primeiro. Já para o espaço em
três dimensões é suficiente colocarmos um terceiro eixo, perpendicular aos dois primeiros.
y
z
y
x
x
Um só eixo: noção de
uma só dimensão.
158
Capítulo 7
Dois eixos perpendiculares:
noção de duas dimensões.
x
Três eixos perpendiculares entre
si: noção de três dimensões.
Figuras em 4D
Banco de imagens/Arquivo da editora
Para representarmos no plano uma figura tridimensional, usamos um recurso chamado perspectiva. Para representarmos um espaço tetradimensional, teríamos de colocar um quarto eixo coordenado perpendicular aos três já
existentes, o que foge à nossa imaginação. Essa “forma” de se obter a quarta dimensão foi atribuída ao astrônomo
Alexandrino Ptolomeu. Dos tempos de Euclides até Descartes raramente se cogitou a hipótese de um espaço tetradimensional (ao menos é o que se tem notícia).
Os estudos de Bernhard Riemann, jovem matemático alemão do final do século XIX, constataram que Alexandrino
Ptolomeu não estaria totalmente equivocado, uma vez entendida a Geometria de Euclides e de Descartes, desenvolveu-se a Geometria com 4 dimensões. Os estudos de Riemann também proporcionaram que Albert Einstein afirmasse,
em 1915, que o Universo, embora nos pareça uma variedade de 3D, é de fato 4D, dando o primeiro passo para a percepção da variedade espaçotemporal. Para Einstein a quarta dimensão seria o tempo.
O tesseract (hipercubo)
Deslocando-se um ponto (dimensão 0) no plano, vamos obter um segmento
de reta (dimensão 1); deslocando o segmento de reta no plano, podemos obter
um quadrado (dimensão 2); e deslocando convenientemente o quadrado no espaço, podemos obter o cubo (dimensão 3). Finalmente, deslocando o cubo em uma
quarta dimensão, obtemos o cubo de 4 dimensões: o tesseract. Como não sabemos
representar essa quarta dimensão, costumamos representá-la “para dentro” do
“cubo exterior”. Estudar as dimensões é fascinante, e saber que hoje se estudam
dimensões “quebradas”, não representadas por números inteiros, torna esse estudo mais desafiador.
1.
Tesseract ou hipercubo
A
Trabalhando com o texto
C
B
D
1.
Quando estudamos geometria plana, como o próprio nome sugere, as figuras são planas, isto é, em 2D. No entanto, com exceção do triângulo, existem regiões poligonais que não são necessariamente planas, são limitadas por
polígonos chamados reversos. Você conseguiria representar um quadrilátero reverso?
2.
Analisando a figura do tesseract, ao todo, quantos vértices, quantas arestas e quantas faces podem ser observados?
Podem ser observados 16 vértices, 32 arestas e 30 faces.
Pesquisando e discutindo
3.
4.
A reta tem dimensão? É possível medir seu comprimento?
A reta possui uma única dimensão, que é o comprimento.
Não se pode medir o “comprimento” de uma reta.
Na unidade destinada ao estudo de geometria espacial, pesquise a diferença entre os conceitos de dimensão
e medida.
Veja mais sobre o assunto
Procure informações e curiosidades sobre dimensões em jornais, revistas, livros e na internet. Sugestões: (acessos
em: 6 maio 2016)
• Para além da terceira dimensão: <http://alem3d.obidos.org/pt/intro4d/>.
• Física interessante: <www.fisica-interessante.com/fisica-relatividade-tesseract-4d-hipercubo.html>.
• Filme de ficção científica: Nimitz – de volta ao inferno (The final countdown, Don Taylor, United Artists, EUA, 1980).
Conta a história de um porta-aviões norte-americano, equipado com ogivas nucleares e aviões de última geração.
O porta-aviões e sua tripulação entram em uma fenda no tempo (quarta dimensão) e voltam para o dia 6 de dezembro de 1941 (véspera do ataque a Pearl Harbor). Eles poderiam mudar o curso da história. Por que não o fizeram?
Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva
159
10
Projeção ortogonal
Assunto
opcional
De um ponto sobre um plano
Traçamos a reta perpendicular ao plano  pelo ponto P e encontramos P9. O ponto P9 é chamado
projeção ortogonal do ponto P sobre o plano .
P
P9
Fique atento!
P
A projeção ortogonal do
ponto P sobre o plano  é
o “pé da perpendicular” ao
plano  que passa por P.
P9
a
a
Observação: Quando P  , os pontos P e P9 coincidem (P  P9).
P ; P9
a
H
G
F
G9
F9
H9
a
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De uma figura plana qualquer sobre um plano
As figuras F9, G9 e H9 são as projeções ortogonais das figuras F, G e H, respectivamente, sobre o plano .
Elas são formadas pelas projeções ortogonais de todos os pontos das figuras F, G e H sobre .
Exercícios
16.
Atividade
em dupla
Atividade
em equipe
a) A projeção ortogonal de um triângulo sobre um
plano pode ser um segmento de reta. V
b) A projeção ortogonal de uma circunferência
sobre um plano pode ser um ponto. F
c) Se a projeção ortogonal de AB sobre  é A9B9,
então a medida de A9B9 é menor do que a de AB.
F
d) Se a projeção ortogonal do nABC sobre um
plano  é o nA9B9C9 e o nABC é congruente ao
nA9B9C9, então o nABC está contido em  ou
está contido em um plano distinto e paralelo
a . V
160
e) A projeção ortogonal de uma esfera sobre um
plano é sempre um círculo. V
Verifiquem se cada afirmação é verdadeira (V)
ou falsa (F).
Capítulo 7
f) As projeções de três pontos não colineares sobre
um plano podem ser três pontos colineares. V
17.
Considerem um plano , uma reta r e um ponto
P tais que r ÷ , P Ó  e P Ó r.
Indiquem todas as possibilidades quando se faz a projeção ortogonal, respectivamente, de r e P sobre .
x a) Uma reta e um ponto fora dela.
b)
x c)
x d)
e)
Um único ponto.
Dois pontos distintos.
Uma reta.
Duas retas distintas.
11
Dist‰ncias
Distância entre dois pontos
Dados dois pontos distintos, A e B, a distância entre A e B é a medida do segmento de reta AB.
B
Fique atento!
Quando se diz que a distância entre A e B é
AB, subentende-se que é a medida de AB.
A
Distância de um ponto a uma reta
Dados um ponto P e uma reta r, do espaço, podemos traçar uma reta que passa por P e é perpendicular a r
no ponto A.
A distância do ponto P à reta r é a distância entre os pontos P e A, ou seja, é a medida do segmento
de reta Pt A.
Para refletir
P
r
A
• Em que condições a distância
entre P e r é igual a zero?
Quando P  r.
Distância de um ponto a um plano
Dados um ponto P e um plano , podemos determinar P9, que é a projeção ortogonal de P sobre .
A distância do ponto P ao plano  é a distância entre os pontos P e P9, ou seja, é a medida do segmento
de reta Pt P9.
P
Para refletir
• Qual é a distância entre P e 
P9
a
quando P  ?
A distância é zero.
Distância entre duas retas distintas e paralelas
Dadas as retas r e s, distintas e paralelas, a distância entre r e s é a distância de qualquer ponto de
uma delas à outra reta.
A
s
Fique atento!
Não se pode definir distância
entre duas retas concorrentes.
B
Distância de uma reta a um plano (quando a reta é paralela ao plano)
Dados a reta r e o plano  tais que r // , a distância da reta r ao plano  é a distância de qualquer
ponto de r ao plano .
A
r
Para refletir
• Se uma reta está contida em
a
A9
um plano, qual é a distância
da reta ao plano?
A distância é zero.
Observação: Não se pode falar em distância de uma reta a um plano quando ela é oblíqua a ele.
Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva
161
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r
Distância entre dois planos distintos e paralelos
Dados dois planos distintos,  e , tais que  // , a distância entre esses dois planos é a distância de
qualquer ponto de um deles ao outro plano.
A
a
Para refletir
• Quando a distância entre
A9
b
dois planos é zero?
Quando os planos são coincidentes.
Observação: Não se pode falar em distância entre dois planos concorrentes.
Distância entre duas retas reversas
Dadas duas retas reversas, r e s, vamos considerar um ponto qualquer de r e o plano  que contém
s e é paralelo a r. A distância entre r e s é a distância desse ponto a esse plano.
A
B
r
C
Para refletir
• É possível a distância entre
A9
a
B9
C9
duas retas reversas ser zero?
s
Não é possível.
Veja um exemplo que usa um cubo com arestas de medida 3 no qual são calculados os vários tipos de
medidas.
E
F
a) distância entre os pontos B e G → 3
b) distância entre F e H → 3 2
c) distância entre E e B → 3 3
Para refletir
H
G
• Como foi feito o cálculo nos
d) distância de H a ,AB= → 3
itens b e c?
e) distância entre ,DE= e ,BG= → 3 2
Veja a resolução no Manual do
Professor.
, D= e E, F= → 3
f ) distância entre B
D
C
→
g) distância de E, F= a p(A, B, C) 3
3 2
h) distância de ,FC= a p(E, D, B) →
2
A
B
i ) distância entre p(A, B, G) e p(E, F, C) → 3
18.
Considerem um paralelepípedo com as medidas indicadas na figura abaixo.
Determinem as distâncias:
a) entre os pontos A e B. 3
b) entre os pontos H e F. 5
c) entre os pontos C e E.
13
d) entre os pontos D e H.
2 5
j ) da reta ,BD - ao
plano p(E, F, H). 2
e) do ponto médio de AB à reta ,CD.- 4
, E.f ) do ponto médio de BC à reta H
13
g) do ponto F ao plano p(A, B, G). 4
h) entre as retas , HE - e , AD.- 2
162
Capítulo 7
B
i ) entre as retas , CE - e , BH .- 4
A
k) entre os planos
p(A, D, E) e
p(B, G, F). 3
l ) entre as retas , GH e , BD.- 2
m) entre os pontos B e E.
C
2
D
G
F
3
29 H
4
E
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Exerc’cio
Um pouco mais...
O método dedutivo: algumas demonstrações
Assunto
opcional
Em um sistema dedutivo ou axiomático, precisamos identificar um conjunto de noções primitivas não definidas e um conjunto de axiomas e postulados, que são propriedades aceitas como
verdadeiras sem demonstrações. As demais propriedades (os teoremas) são demonstrados a
partir desses postulados.
Na Geometria espacial as noções básicas, primitivas, que aceitaremos sem definição são: ponto,
reta, plano e espaço.
Examine alguns postulados que relacionam ponto, reta, plano e espaço:
Postulado 1: Dados dois pontos distintos do espaço, existe uma, e somente uma, reta
que os contém.
Postulado 2: Dados três pontos não colineares do espaço, existe um, e somente um, plano
que os contém.
Postulado 3: Se uma reta possui dois de seus pontos em um plano, ela está contida no plano.
Já vimos também que os teoremas são demonstrados a partir dos postulados e de outras propriedades já demonstradas, usando raciocínio lógico.
Voc• sabia?
A Geometria assim desenvolvida usa o mŽtodo dedutivo. Partimos de algumas noções para as quais não é apresentada
definição (entes primitivos) e algumas propriedades aceitas como verdadeiras sem demonstração (postulados ou
axiomas). Isso não é exclusividade da Geometria — ocorre em qualquer teoria matemática.
Vamos usar esses postulados para demonstrar alguns teoremas e compreender como funciona
o método dedutivo.
Demonstração:
Considere P um ponto não pertencente à reta r.
a
P
Marcamos sobre r dois pontos distintos, Q e R.
r
R
Os pontos P, Q e R não são colineares, pois, pelo postulado 1, r é a única
Q
reta que passa por Q e R e, por hipótese, P não pertence a r.
Pelo postulado 2, sabemos que existe um único plano  que contém P, Q e R. Como a reta r tem dois
de seus pontos (Q e R) em , o postulado 3 garante que r está contida em . Assim, de fato existe um
plano que contém r e P. Como esse é o único plano que contém P, Q e R, ele é o único que contém P e r.
Teorema 2: Duas retas concorrentes determinam um único plano.
Demonstração:
Seja P o ponto de intersecção das retas r e s.
Sejam R e S pontos de r e s, respectivamente, distintos de P. Os pontos
P, R e S são não colineares. Pelo postulado 2, eles determinam um único
plano .
O postulado 3 garante que  contém r e s, uma vez que essas retas
têm dois de seus pontos em .
a
S
r
s
P
R
Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva
163
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Teorema 1: Existe um único plano que contém uma reta e um ponto
não pertencente a ela.
Exerc’cio adicional
Demonstrem o teorema 3:
Veja a resolução no Manual do Professor.
Duas retas paralelas distintas determinam um único plano.
Teorema 4: Por um plano P fora de uma reta r do espaço passa uma única reta s
paralela a ela.
Demonstração:
Considere r uma reta do espaço e P um ponto que não pertence a r. Pelo teorema 1, existe
um único plano  que contém P e r; nesse plano, existe uma, e somente uma, reta s paralela a
r passando por P (quinto postulado de Euclides).
s
P
r
a
No entanto, não existem retas paralelas a r passando por P que não estejam contidas em ,
já que, pelo teorema 2, todas as retas coplanares com r passando por P estão contidas em .
Portanto, a reta s é a única reta do espaço que contém P e é paralela a r.
Teorema 5: Quando dois planos distintos possuem pontos comuns, sua intersecção
é uma reta.
Demonstração:
Considere os pontos P e Q comuns a  e .
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b
Q
r
P
a
Pelo postulado 3, a reta r definida por P e Q está contida, ao mesmo tempo, em  e  e, portanto,
em sua intersecção.
Contudo, se houvesse um ponto R comum a  e  que não pertencesse a r, os planos  e 
seriam coincidentes, uma vez que, pelo teorema 1, r e R determinam um único plano. Portanto,
r é a intersecção de  e .
164
Capítulo 7
8
01
CAPÍTULO
CAPÍTULO
Poliedros:
Conjuntos
prismas
e pirâmides
numéricos
Hans Von Manteuffel/Pulsar Images
Vista aérea da ilha de Antônio Vaz, em Recife (PE). A maioria dos
prédios de uma região metropolitana tem a forma de poliedros
convexos e poliedros não convexos, e, no geral, possui a forma de
um prisma. O Palácio do Campo das Princesas, por exemplo, tem a
forma de um poliedro não convexo. Fotografia de 2015.
165
Museu da Ciência/Biblioteca Fotográfica de Ciência e da Sociedade, Londres, Inglaterra.
1
Poliedros
Em geral, destacamos os poliedros
mais relevantes, pois a quantidade de
tipos e formas existentes desses sólidos é enorme. No Museu da Ciência de
Londres há uma seção dedicada aos
poliedros, com uma variedade bastante grande de tipos.
Museu da Ciência de Londres,
Inglaterra. Fotografia de 2015.
Ilustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
As figuras espaciais abaixo são exemplos de poliedros.
Cada poliedro é formado pela reunião de um número finito de polígonos chamados faces e a região do espaço limitada por eles. Cada
lado de um desses polígonos é também lado de um outro único polígono. A intersecção de duas faces quaisquer é um lado comum, ou é um
vértice, ou é vazia.
Cada lado de um polígono comum a exatamente duas faces é chamado aresta do poliedro. E cada vértice de uma face é um vértice
do poliedro.
Fique atento!
Cada vértice do poliedro é um ponto comum a três ou mais arestas.
166
Capítulo 8
vértice
aresta
face
Agora que já definimos os elementos básicos de um poliedro (aresta, vértice e face), formem grupos de
três colegas e, de acordo com a informação a seguir, respondam às questões.
Uma folha de papel é um poliedro (ela possui 3 dimensões, mesmo que a espessura do papel seja muito
difícil de ver).
6 faces; 12 arestas e
Qual é o número de faces de uma folha de papel? E o número de arestas? E de vértices? 8 vértices.
Após chegarem a um acordo no grupo, comparem suas respostas com as dos demais grupos.
A pergunta é incomum de propósito, a ideia é fazer os alunos refletirem sem que vejam um modelo. Peça aos grupos que exponham suas respostas
e permita a discussão entre os grupos. Só depois de todos os grupos darem sua opinião, intervenha e revele as respostas corretas, aproveitando
para institucionalizar esses conceitos.
Poliedro convexo e poliedro não convexo
Vamos recordar o que é uma região convexa do plano.
P
Q
P
Q
I
II
P
P
Q
Q
III
IV
Uma região do plano é convexa quando o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer dessa região
está inteiramente contido nela. Nas figuras acima, I e II são regiões convexas e III e IV são regiões não convexas do plano. De modo equivalente, podemos dizer também que uma região plana é convexa se qualquer
reta r desse plano intersecta seu contorno em, no máximo, dois pontos:
S
R
r
r
R
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S
Regiões planas convexas
R
S
T
U
r
R
S
T
U
r
Regiões planas não convexas
Poliedros: prismas e pirâmides
167
Um polígono é convexo quando o segmento de reta que liga dois de seus pontos está sempre contido nele.
De modo equivalente, podemos dizer que um poliedro é convexo se qualquer reta não paralela a nenhuma
das faces intersecta suas faces em, no máximo, dois pontos.
Poliedros convexos
Poliedros não convexos
r
U
R
R
T
S
S
r
R
S
U
R
r
T
S
r
Para refletir
• Pode-se dizer também que um
poliedro é convexo quando se situa
do mesmo lado de qualquer plano
que contenha uma de suas faces.
Constate isso nos poliedros dos
quadros acima.
ATENÇÃO!
Não escreva
no seu livro!
Exerc’cios
1.
A
Analise o poliedro da figura ao lado e responda:
5 faces, 8 arestas e 5 vértices.
a) Qual é o número de faces, de arestas e de vértices?
b) Qual é a forma de cada face? 4 faces triangulares e 1 face quadrangular.
Para refletir
c) O vértice C é comum a quantas arestas? 3 arestas.
d) O vértice A é comum a quantas arestas? 4 arestas.
e) Qual é a posição relativa das retas determinadas pelas
arestas AEu e BCu? Retas reversas.
2.
C
D
mínimo de faces
que pode ter um
poliedro? 4 faces
Classifique cada um dos poliedros em convexo ou não convexo.
a)
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• Qual é o número
E
B
c)
espaço vazado
(“furo“)
Fique atento!
convexo
não convexo
b)
d)
não convexo
168
Capítulo 8
convexo
O estudo que será feito a partir
daqui vai considerar apenas os
poliedros convexos. Por isso,
sempre que aparecer a palavra
poliedro deve-se subentender
que ele é convexo.
2
Rela•‹o de Euler
O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) descobriu uma importante relação entre o número de
vértices (V), o número de arestas (A) e o número de faces (F) de um poliedro convexo.
Observe estes exemplos:
Cubo
F56
V58
A 5 12
Tetraedro
F54
V54
A56
Dodecaedro
Prisma de
base pentagonal
F 5 12
V 5 20
A 5 30
Pirâmide de
base quadrangular
F57
V 5 10
A 5 15
F55
V55
A58
Tronco de pirâmide
de base retangular
F56
V58
A 5 12
Observe que, para cada um dos poliedros, o número de arestas é exatamente 2 unidades menos do que
a soma do número de faces com o número de vértices.
Essa relação pode ser escrita assim:
V2A1F52
Para refletir
relação de Euler
No cubo, temos: 8 2 12 1 6 5 2.
Escreva no caderno a relação de Euler
O valor 2 dessa expressão é uma característica de todos os poliedros
para os outros poliedros acima.
convexos.
Tetraedro: 4 2 6 1 4 5 2
Note a relação de Euler em mais um poliedro convexo:
V56
F 55
A59
V2A1F52
↓ ↓ ↓
6291552
Dodecaedro: 20 2 30 1 12 5 2
Prisma de base pentagonal: 10 2 15 1 7 5 2
Pirâmide de base quadrangular: 5 2 8 1 5 5 2
Tronco de pirâmide de base retangular:
8 2 12 1 6 5 2
Observações:
1a) Em alguns poliedros (não em todos) não convexos vale também a relação de Euler.
Examine um exemplo dessa afirmação no poliedro não convexo abaixo:
V2A1F52
7 2 12 1 7 5 2
2a) A expressão V 2 A 1 F pode assumir valores diferentes de 2 quando
o poliedro não é convexo.
Examine o poliedro ao lado, que é um exemplo dessa situação.
Neste caso:
V 2 A 1 F±2
↓
↓
↓
16 2 32 1 16 5 0
3a) Dados três números, V, A e F, tais que V 2 A 1 F 5 2, nem sempre
existe um poliedro que tenha V vértices, A arestas e F faces. Por exemplo, V 5 1, A 5 3 e F 5 4.
Ilustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
V57
F 57
A 5 12
Poliedro não convexo
Fique atento!
Todo poliedro convexo satisfaz a
relação de Euler, mas nem todo
poliedro que satisfaz a relação de
Euler é convexo.
Poliedros: prismas e pirâmides
169
Exercícios resolvidos
1.
Determine o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e
4 faces triangulares.
Resolução:
Como o poliedro tem 6 faces quadrangulares, calculamos: 6 ? 4 5 24; 24 arestas
O poliedro tem 4 faces triangulares: 4 ? 3 5 12; 12 arestas
Como cada aresta foi contada duas vezes, o número total de arestas é: A 5
Temos, então, F 5 10 e A 5 18.
24 1 12
5 18
2
Aplicando a relação de Euler: V 2 A 1 F 5 2 ⇒ V 2 18 1 10 5 2 ⇒ V 5 10
Logo, o poliedro tem 18 arestas e 10 vértices.
2.
Arquimedes (século III a.C.) descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez
na Copa do Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?
Staff/Agence France-Presse
Resolução:
Como o poliedro tem 12 faces pentagonais, então:
12 ? 5 5 60; 60 arestas
O poliedro tem 20 faces hexagonais, assim:
20 ? 6 5 120; 120 arestas
Logo:
F 5 12 1 20 5 32
Cada aresta foi contada duas vezes, portanto, temos:
2A 5 60 1 120 ⇒ 2A 5 180 ⇒ A 5 90
Como o poliedro é convexo, vale a relação de Euler,
V 2 A 1 F 5 2:
V 2 90 1 32 5 2 ⇒ V 5 2 1 90 2 32 ⇒ V 5 60
Assim, o número de vértices é 60.
Jogadores
disputam a bola
na Copa do
Mundo de Futebol
realizada no
México, em 1970;
jogo entre
Alemanha e
Marrocos.
Exercícios
Em um poliedro convexo, o número de vértices é 5
e o de arestas é 10. Qual é o número de faces?
4.
Em um poliedro convexo de 20 arestas, o número
de faces é igual ao número de vértices. Quantas
faces tem esse poliedro? 11 faces.
5.
Um poliedro convexo apresenta 1 face hexagonal e
6 faces triangulares. Quantos vértices tem esse poliedro? 7 vértices.
6.
Qual é o número de faces de um poliedro convexo
de 20 vértices tal que em cada vértice concorrem 5
arestas? 32 faces.
7.
Determine o número de vértices de um poliedro
convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais.
7 faces.
10 vértices.
170
Capítulo 8
8.
Como dito anteriormente, uma bola de futebol pode ser representada por um poliedro formado por
12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas
com lados congruentes entre si. Sabe-se que, para
costurar essas faces lado a lado, formando a superfície da bola, usa-se 20 cm de linha em cada aresta
do poliedro.
Le Do/Shutterstock/Glow Images
3.
Qual é o comprimento total de linha que será gasta
para costurar toda a bola, em metros? 18 m.
Uma aplicação da relação de Euler
Como visto anteriormente, Euler descobriu, em 1752, uma relação entre arestas, faces e vértices de um
poliedro que ficou famosa e leva o seu nome. Euler publicou sua descoberta com o seguinte enunciado:
Se um poliedro possui V vértices, A arestas e F faces, então V 2 A 1 F 5 2.
Banco de imagens/Arquivo da editora
Euler não demonstrou essa relação e nem poderia, pois ela não é verdadeira sempre, só é verdadeira
em poliedros convexos. A primeira demonstração correta foi feita em 1794 pelo matemático francês Adrien
Legendre (1752-1833), utilizando ângulos esféricos. Diversas outras demonstrações apareceram depois, mas
o matemático, também francês, Augustin-Louis Cauchy (1879-1857) percebeu que a relação de Euler é válida em outras situações. Em particular, ela é verdadeira para regiões de um plano. Para conhecer um pouco
mais sobre a aplicação da relação de Euler, observe a figura abaixo, que é uma divisão do plano em regiões:
6
7
1
5
2
8
9
4
3
Região Nordeste: Divisão política
40º O
OCEANO
ATLÂNTICO
PA
2
MARANHÃO
CEARÁ
RIO GRANDE
3 DO NORTE
4 PARAÍBA
PIAUÍ
5
1
PERNAMBUCO
6
ALAGOAS
TO
10º S
7
SERGIPE
BAHIA
8
GO
DF
N
MG
L
O
0
220
440 km
ES
S
Fonte: Adaptado de IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro. 2012. p. 164.
Poliedros: prismas e pirâmides
171
Banco de imagens/Arquivo da editora
O plano está dividido em 9 regiões, sendo 8 regiões limitadas e uma (a região 9) ilimitada. Alguns
chamam essa região ilimitada de “oceano” ou de
“região exterior”. Cada linha que separa duas regiões
é chamada de aresta; cada ponto no qual arestas se
encontram é um vértice; e cada região é, naturalmente, chamada de face. Observe na figura o número de
faces (regiões), vértices (pontos) e arestas
(linhas). Verifique que são 9 faces, 12 vértices e
19 arestas. Assim: V 2 A 1 F 5 12 2 19 1 9 5 2.
Essa é a versão plana da relação de Euler. Entretanto, para que ela seja verdadeira, devemos exigir
que cada aresta separe realmente duas regiões e que
nenhuma região esteja contida em outra. Cada região
é caracterizada pelo seu gênero: seu número de vértices e seu número de arestas. Assim, na figura acima,
a região 1 tem gênero 3, a região 2 tem gênero 5 e
assim por diante. Observe ainda que a região 9 (ilimitada) tem gênero 6. Veja agora o mapa da região Nordeste do Brasil com seus estados e verifique nele a
relação de Euler.
3
Poliedros regulares
Um poliedro convexo é regular quando todas as faces são polígonos regulares e congruentes e em todos
os vértices concorre o mesmo número de arestas.
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
Poliedro regular
Fique atento!
Poliedro regular
Um polígono regular é um
polígono que tem todos os lados
e ângulos internos congruentes.
Observe agora:
A
B
Poliedro não regular: as
faces não têm o mesmo
número de lados.
Poliedro não regular: as faces são
regulares e congruentes, mas para o
vértice A convergem 3 arestas e para
o B convergem 4 arestas.
Propriedade: existem apenas cinco poliedros regulares convexos*
Vamos demonstrar essa propriedade.
Consideremos um poliedro regular em que n é o número de lados de cada face e p é o número de arestas
que concorrem em cada vértice. Assim, temos:
2A 5 nF 5 pV
Para refletir
•
o que acarreta:
A5
nF
nF
eV 5
2
p
O cubo é um poliedro regular:
verifique nele que 2A 5 nF 5 pV.
• V 5 8; A 5 12; F 5 6; n 5 4 e p 5 3
2 ? 12 5 4 ? 6 5 3 ? 8
Substituindo esses valores na relação de Euler, V 2 A 1 F 5 2, temos:
nF nF
2nF 2 npF 1 2pF 4 p
2 1F 5 2 ⇒
5
⇒ F(2n 1 2p 2 np) 5 4p ⇒
2
p
2p
2p
4p
⇒F5
2n 1 2p 2 np
Fique atento!
•
•
2A 5 nF, pois cada aresta está
contida em 2 faces.
2A 5 pV, pois cada aresta
contém 2 vértices.
Precisamos ter 2n 1 2p 2 np  0, isto é:
2n  np 2 2p ⇒ 2n  p(n 2 2) ⇒
2n
.p
n 22
Como p  3, temos que:
2n
 p  3 ⇒ 2n  3n 2 6 ⇒ 2n  26 ⇒ n  6
n2 2
Para refletir
• n  3 e p  3. Por quê?
* Veja a seção Leitura no final do capítulo.
• n  3, pois o menor número possível de lados em cada face é 3 (face triangular).
p  3, pois o menor número possível de arestas que concorrem para o mesmo vértice é 3 (o cubo, por exemplo).
172
Capítulo 8
Portanto, temos as seguintes possibilidades: n 5 3, n 5 4 e n 5 5.
• Para n 5 3:
p 5 3 ⇒ F 5 4 (tetraedro)
4p

F5
→ p 5 4 ⇒ F 5 8 (octaedro)
6− p
p 5 5 ⇒ F 5 20 (icosaedro)

• Para n 5 4:
F5
4p
2p
→ p 5 3 ⇒ F 5 6 (cubo)
5
822p
42p
F5
4p
→ p 5 3 ⇒ F 5 12 (dodecaedro)
1023p
• Para n 5 5:
Fique atento!
Nas imagens abaixo, cada poliedro
está acompanhado de sua
identificação. As planificações são
representações das superfícies que
formam a fronteira do sólido (de
modo informal, a “casca” do sólido).
Examine estes desenhos:
Octaedro: 8 faces triangulares equiláteras e
4 arestas que concorrem em cada vértice.
Icosaedro: 20 faces triangulares equiláteras e
5 arestas que concorrem em cada vértice.
Cubo: 6 faces quadradas e 3 arestas
que concorrem em cada vértice.
Ilustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
Tetraedro: 4 faces triangulares equiláteras e
3 arestas que concorrem em cada vértice.
Dodecaedro: 12 faces pentagonais regulares congruentes e 3 arestas que concorrem em cada vértice.
Exerc’cio
9.
No caderno, copie e complete o quadro com os nomes, o número de faces, de vértices e de arestas dos poliedros
convexos regulares. Coloque também a forma das faces e verifique em cada um a relação de Euler.
Poliedros
regulares
Número
de faces
Número
de vértices
Número
de arestas
Forma
das faces
tetraedro
4
cubo
6
octaedro
Relação
de Euler
4
6
triangular
8
12
quadrada
8
6
12
triangular
6 2 12 1 6 5 2
dodecaedro
12
20
30
pentagonal
20 2 30 1 12 5 2
icosaedro
20
12
30
triangular
12 2 30 1 20 5 2
4261452
8 2 12 1 6 5 2
Poliedros: prismas e pirâmides
173
Poliedros de Platão
Um poliedro é denominado poliedro de Platão se, e somente se,
forem verificadas as seguintes condições:
Fique atento!
• Todas as faces têm o mesmo número de arestas.
• Em todos os vértices concorre o mesmo número de arestas.
• Vale a relação de Euler: V 2 A 1 F 5 2.
Em um poliedro de Platão as faces não
precisam ser pol’gonos regulares.
Dessa forma, todos os poliedros regulares convexos são poliedros de Platão.
E, da mesma maneira que foi demonstrado que só existem cinco poliedros regulares convexos, podemos
demonstrar que só existem cinco classes de poliedros de Platão: tetraedros, hexaedros, octaedros, dodecaedros
e icosaedros.
Este hexaedro é
poliedro de Platão,
mas não é regular,
pois não é o cubo.
4
O cubo é poliedro
regular e é poliedro
de Platão.
Prismas
Entre os poliedros mais conhecidos, destacamos os prismas, que vamos estudar com mais detalhes.
Veja alguns exemplos e procure perceber suas características.
As características que se
destacam nestas
imagens é a dupla de
faces paralelas e opostas
(faces horizontais das
imagens) unidas por
faces retangulares.
Construção e definição de prisma
␤
base
A⬘
A⬘
␤
D⬘
E⬘
C⬘
B⬘
A
␣
D
E
RR
E
C
A
B
r
174
Capítulo 8
aresta lateral
r
␣
D
base
B
aresta da base
C
face lateral
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
Considere um polígono, por exemplo ABCDE, contido em um plano a. Escolha um ponto A qualquer, não
pertencente a a. Por A trace o plano  paralelo a a. Pelos demais pontos, B, C, D, E, trace retas paralelas a
AA que cortam  nos pontos B, C, D, E. Essas retas são paralelas entre si.
Tome dois segmentos de reta consecutivos assim determinados, por exemplo AA
t
e BB.
t
O quadrilátero AABB é plano, pois seus lados AA e BB são paralelos. Isso acarreta que tAB e A
t B também são paralelos (pois estão contidos em retas coplanares que não se intersectam por estarem contidas em planos
paralelos). Logo, o quadrilátero AABB é um paralelogramo. Os paralelogramos assim determinados,
juntamente com os polígonos ABCDE e ABCDE, determinam um poliedro chamado prisma de bases
ABCDE e ABCDE.
A região do espaço ocupada por um prisma é formada pelos pontos dos segmentos de reta nos quais
cada extremidade está em uma das bases.
As arestas AA, BB, CC, DD e EE são chamadas arestas laterais. Todas as arestas laterais são paralelas
e de mesmo comprimento.
Arestas laterais consecutivas determinam paralelogramos e são chamadas faces laterais do prisma.
As bases ABCDE e ABCDE são congruentes. A altura do prisma é a distância entre as bases.
Caso particular: o paralelepípedo
Quando a base é um paralelogramo, temos um prisma particular chamado
paralelepípedo.
Paralelepípedos são prismas cuja particularidade é que qualquer de suas faces
pode ser tomada como base, pois duas faces opostas quaisquer estão situadas em
planos paralelos e são ligadas por arestas paralelas entre si.
paralelepípedo
Prismas retos
O prisma é reto quando as arestas laterais são perpendiculares às bases, e é oblíquo quando não o são.
Fique atento!
Retângulo é um caso
particular de paralelogramo.
prisma reto
prisma oblíquo
Assim, em um prisma reto, as faces laterais são retângulos.
De acordo com o polígono das bases, o prisma recebe nomes especiais. Veja alguns exemplos:
a) Prisma reto de base triangular ou prisma reto triangular
Ilustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
C
B
A
Fique atento!
As faces laterais são
paralelogramos particulares,
ou seja, retângulos.
F
D
E
planificado
Bases: triângulos ABC e DEF
Faces laterais: quadriláteros ABED, ACFD e BCFE
Arestas laterais: tAD, tCF e tBE
Poliedros: prismas e pirâmides
175
b) Prisma reto de base pentagonal ou prisma reto pentagonal
E
A
B
D
C
J
F
G
I
H
Planificado
Bases: pentágonos ABCDE e FGHIJ
Faces laterais: quadriláteros BCHG, CDIH, DEJI, AEJF e ABGF (retangulares)
Arestas laterais: tAF, Bt G, tEJ, C
t H e tDI
c) Prisma reto de base retangular ou paralelepípedo retângulo ou bloco retangular
Quando o prisma é reto e a base é um retângulo, obtemos um paralelepípedo retângulo ou bloco retangular, no qual cada face também é um retângulo.
Fique atento!
Um paralelepípedo retângulo é um
prisma reto em que qualquer face
serve de base.
Paralelepípedo retângulo
ou bloco retangular
Paralelepípedo retângulo planificado
d) Cubo ou hexaedro regular
Quando, em um prisma reto, a base é um polígono regular, temos um prisma regular. Um exemplo é o
cubo ou hexaedro regular, que é um caso particular de paralelepípedo retângulo, no qual cada face é um
quadrado. Assim:
Prisma regular é um prisma reto cuja base é um polígono regular.
Fique atento!
Todo quadrado é um retângulo.
Todo retângulo é um paralelogramo.
Então, todo quadrado é um
paralelogramo.
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
Cubo ou hexaedro regular
Cubo planificado
Examine essa classificação em um diagrama:
poliedros
prismas retos
pípedos retângu
alele
los
par
cubos
176
Capítulo 8
Fique atento!
Todo cubo é paralelepípedo, mas
nem todo paralelepípedo é cubo.
Cálculo da diagonal de um paralelepípedo retângulo
e de um cubo
H
G
F
E
c
d
D
C
x
A
b
a
B
Ilustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
No paralelepípedo de dimensões a, b e c, temos:
d 5 medida da diagonal do paralelepípedo
x 5 medida da diagonal da base
Na figura podemos localizar dois triângulos retângulos:
H
D
b
x
A
a
d
c
B
x
D
B
• Como o triângulo ABD é retângulo em A, temos, pela relação de Pitágoras:
x2 5 a2 1 b2 I
• Como o triângulo DBH é retângulo em D, temos, pela relação de Pitágoras:
d2 5 x2 1 c2 II
• Substituindo
I em II , vem:
d2 5 x2 1 c2 5 a2 1 b2 1 c2 ⇒ d 5 a 2 1 b 2 1 c 2
No cubo, como ele é um caso particular de paralelepípedo reto retangular, temos:
a
d
x
a
a
d 5 a2 1 a2 1 a2 5 3a2 5 a 3
d 5a 3
Área da superfície de um prisma
•
•
•
•
Em todo prisma, consideramos:
superfície lateral: é formada pelas faces laterais;
área lateral (A): é a área da superfície lateral;
superfície total: é formada pelas faces laterais e pelas bases;
área total (AT): é a área da superfície total.
Poliedros: prismas e pirâmides
177
Exercícios resolvidos
3.
área total 5 área lateral 1 área das bases
Em um prisma hexagonal regular, a aresta da base
mede 3 cm e a aresta da face lateral mede 6 cm.
Calcule a área total.
Nesse caso, a área total é dada por:
AT 5 A 1 2Ab 5 (108 + 277 3 ); AT = (108 + 277 3 ) cm2
s
Como 3 . 1,7, temos AT . 153,9 cm2.
4.
r
Uma indústria precisa fabricar 10 000 caixas de sabão com as medidas da figura abaixo. Desprezando
as abas, calcule, aproximadamente, quantos metros
quadrados de papelão serão necessários.
40 cm
Montado
20 cm
base
14 cm
s
Resolução:
r
A caixa tem a forma de um paralelepípedo retângulo:
base
a
Planificado
a
c
Resolução:
b
Na figura, temos:
r: medida da aresta lateral 5 6 cm
Montado
b
Planificado
s: medida da aresta da base 5 3 cm
Observando a figura, vemos que:
área lateral: A 5 6(r ? s) 5 6(6 ? 3) 5 108;
A 5 108 cm2
área da base: Ab 5 área do hexágono regular
O hexágono é formado por 6 triângulos equiláteros:
c
Todo paralelepípedo retângulo é formado por
6 faces:
• dois retângulos de medidas a e b;
• dois retângulos de medidas a e c;
• dois retângulos de medidas b e c.
Daí, temos:
área total: AT 5 2ab 1 2ac 1 2bc 5 2(ab 1 ac 1 bc)
Já estudamos neste volume que a área de um triân2
gulo equilátero de lado  é dada por A 5 , 3 .
4
Nesse caso, temos:
Ab 5 6 ?
s
2
3
4
56?
2
3
3
4
27 3
5
;
2
Ab 5 27 3 cm2
2
Como são duas bases, temos:
2Ab 5 2 ? 27 3 5 27 3 ; Ab 5 27 3 cm2
2
178
Capítulo 8
área de cada caixa: AT 5 2(40 ? 20 1 40 ? 14 1 20 ? 14) 5
5 2(800 1 560 1 280) 5 3 280; AT 5 3 280 cm2
Como são 10 000 caixas, temos:
A 5 3 280 ? 10 000 5 32 800 000;
32 800 000 cm2 5 3 280 m2
Portanto, serão necessários pelo menos 3 280 m2
de papelão.
Fique atento!
Se 1 m 5 100 cm,
então 1 m2 5 10 000 cm2.
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
Nesse caso:
Exerc’cios
10.
Quanto mede a diagonal de um paralelepípedo reto retangular no qual as dimensões são 10 cm, 6 cm e 8 cm?
11.
Um cubo tem 10 3 cm de aresta. Calcule a medida
de sua diagonal. 30 cm
12.
Em um cubo, a soma das medidas de todas as arestas
é 48 cm. Calcule a medida da diagonal desse cubo.
13.
10 2 cm
4 3 cm
A diagonal de um paralelepípedo reto retangular
mede 20 2 cm. As dimensões desse paralelepípedo são proporcionais aos números 5, 4 e 3, respectivamente. Calcule as dimensões desse paralelepípedo.
20 cm por 16 cm por 12 cm
14. Um cubo tem aresta de 6 cm. Qual é a área total
2
desse cubo? 216 cm
15.
Um paralelepípedo reto retangular tem dimensões
de 4 cm, 5 cm e 8 cm. Qual é a área total desse paralelepípedo? 184 cm2
16.
Quantos centímetros quadrados de papelão são
gastos para fazer uma caixa de sapatos do tipo e
tamanho a seguir? 2 264 cm2
32 cm
17 cm
2 cm
10 cm
17.
Um cubo tem área total de 96 m2. Qual é a medida
da aresta do cubo? 4 m
18.
Em um prisma triangular regular, a aresta da base mede 4 cm e a aresta lateral mede 9 cm. Calcule a área
2
lateral e a área total do prisma. A 5 108 cm ;
2
19.
AT 5 4(27 1 2 3 ) cm
É dado um prisma pentagonal regular no qual a
aresta da base mede 5 cm e a aresta lateral mede
10 cm. Calcule a área lateral do prisma. 250 cm2
21.
Quantos metros quadrados de madeira são
gastos, aproximadamente, para fabricar
100 caixas para transportar geladeiras? (A
forma e as medidas da
caixa estão na figura
ao lado.) 810 m2
1,80 cm
90 cm
90 cm
22. A diagonal de um cubo mede 10
3 m. Qual é a área
total desse cubo? 600 m2
23. Quantos centímetros quadrados de papel adesivo
são gastos para cobrir a superfície total de uma
peça sextavada cuja forma e medidas estão na
figura abaixo? 0,24(180 1 3 ) cm2
18 cm
4 mm
24. A figura ao lado nos mostra uma
peça de enfeite. A aresta do cubo
mede 20 cm. A cavidade, em forma
de prisma regular de base triangular
de aresta 5 cm, estende-se da face
inferior à face superior do cubo. De 5 400
termine a área total da peça.


2 25 3 
2
 cm
2

25. Quantas caixas do tipo e tamanho abaixo podem
ser feitas com 41 000 cm2 de papelão?
Dado: 3 5 1,7. Aproximadamente 17 caixas.
10 cm
10 cm
30 cm
10 cm
30 cm
20. Quantos metros quadrados de azulejo são necessá-
2,70 m
10 cm
10 cm
26. Um calendário tem o tipo e o tamanho da figura
abaixo. Quantos centímetros quadrados de papelão são necessários para fazer esse calendário?
Dado: 3 5 1,7. 414,4 cm2
15 cm
S
3m
4m
10 cm
l
Abri
S D
7
S
Q
5 6
Q
4
3 14
3
2
1 1
2
21
11
0
2
1
9 10 18 19 27 28
8
7
26
6 1
25
15 1 3 24
2
22
30
29
T
8 cm
Poliedros: prismas e pirâmides
179
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
rios para revestir até o teto as quatro paredes de
uma cozinha com as dimensões da figura abaixo?
Sabe-se também que cada porta tem 1,60 m2 de
área e a janela tem uma área de 2 m2. 32,6 m2
Poliedros arquimedianos
Entre os anos de 323 a.C. e 146 a.C., o chamado período helenístico, houve grande difusão da cultura
grega e um extraordinário desenvolvimento das artes e da ciência. A atividade matemática nesse período
estava concentrada em Alexandria (Egito), cidade onde nasceu e viveu Euclides, autor de Os Elementos – uma
coleção de 13 livros que abrangiam de forma sistematizada a Matemática conhecida na época. Essa obra
influenciou o mundo da ciência por muitos séculos.
Arquimedes, considerado um dos maiores matemáticos e cientistas do seu tempo, nasceu em Siracusa
(Sicília, Itália), em 287 a.C. Pela cultura de Arquimedes, imagina-se que ele tenha estudado em Alexandria e
convivido com os discípulos de Euclides. De qualquer forma, Arquimedes conhecia a obra Os Elementos, de
Euclides, e, consequentemente, os cinco poliedros regulares. Sabe-se de forma indireta que Arquimedes
pesquisou uma classe de poliedros chamados hoje de “poliedros semirregulares”, ou, ainda, de “poliedros
arquimedianos”. Esse estudo se perdeu, mas Pappus de Alexandria (290-350) afirma que Arquimedes descobriu 13 poliedros semirregulares.
Os poliedros semirregulares ou arquimedianos são poliedros convexos que cumprem as condições:
• As faces são polígonos regulares de 2 ou 3 gêneros diferentes.
• Todos os vértices são idênticos.
Banco de imagens/Arquivo da editora
Por exemplo, a partir de um cubo, faça cortes passando pelos pontos
médios das arestas que concorrem em cada vértice. Um desses cortes você
vê na figura ao lado. Retirando-se as pequenas pirâmides, o poliedro resultante é formado por 8 triângulos equiláteros e 6 quadrados. Ele é um dos
poliedros semirregulares ou arquimedianos e tem o nome de cuboctaedro.
Reprodução/Arquivo da editora
Veja a seguir os 13 poliedros arquimedianos:
Tetraedro truncado
Cuboctaedro
Cuboctaedro truncado
Icosaedro truncado
180
Capítulo 8
Cubo truncado
Cubo achatado
Rombicosidodecaedro
Octaedro truncado
Icosidodecaedro
Icosidodecaedro truncado
Rombicuboctaedro
Dodecaedro truncado
Dodecaedro achatado
5
Ideia intuitiva de volume
Suponha que queiramos medir a quantidade de espaço ocupado por um sólido S. Para isso, precisamos
comparar S com uma unidade de volume. O resultado dessa comparação é um número que exprime quantas vezes o sólido S contém a unidade de volume. Esse número é a medida do volume de S, que costumamos
dizer, simplesmente, volume de S.
Unidade de volume: U
Sólido S
Por exemplo, o volume do sólido S acima é de 12 unidades de volume: 12 U, ou seja:
volume de S 5 12 U
Cubo unitário
Vamos estabelecer como unidade de volume um cubo cuja aresta mede uma unidade
de comprimento. Ele será chamado cubo unitário.
Qualquer cubo cuja aresta meça 1 terá, por definição, volume igual a 1.
1
1
1
Cubo unitário
Volume do paralelepípedo retângulo ou bloco retangular
O bloco retangular é um poliedro formado por 6 faces retangulares. Ele fica determinado por três medidas: o seu comprimento (a), a sua largura (b) e a sua altura (c). Indicaremos o volume desse bloco retangular por V(a, b, c) e o volume do cubo unitário por V(1, 1, 1) 5 1.
c
b
a
O volume do bloco retangular é proporcional a cada uma de suas dimensões, ou seja, se mantivermos
constantes duas das dimensões e multiplicarmos a terceira dimensão por um número natural qualquer, o
volume também será multiplicado pelo mesmo número natural. Isso pode ser observado no exemplo abaixo:
Ilustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
V(a, b, 3c) 5 V(a, 3b, c) 5 V(3a, b, c) 5 3V(a, b, c)
a
a
b
a
b
a
b
c
c
c
a
a
b
b
b
c
c
c
É possível provar que esse fato, constatado com um número natural, vale para qualquer número real
positivo. Ou seja, mantidas constantes duas dimensões do bloco retangular, seu volume é proporcional à
terceira dimensão. Assim, temos:
V(a, b, c) 5 a ? V(1, b, c) 5 ab ? V(1, 1, c) 5 abc ? V(1, 1, 1) 5 abc ? 1 5 abc
Logo:
V(a, b, c) 5 abc
a
1
1
b
1
c
Portanto, o volume de um paralelepípedo retângulo é dado pelo produto das suas dimensões.
Poliedros: prismas e pirâmides
181
Observações:
1a) Como ab indica a área da base e c indica a altura, é possível também indicar o
volume do paralelepípedo retângulo assim:
c
V 5 Abh
b
a
em que Ab 5 ab (área da base); h 5 c (altura correspondente).
Assim, pode-se dizer que o volume de um paralelepípedo retângulo é o produto da área da base
pela altura.
2a) Como o cubo é um caso particular de paralelepípedo retângulo com todas as arestas
de medidas iguais, seu volume é dado por:
V5a?a?a
ou
a
V 5 a3
a
3a) Agora podemos conceituar a razão entre volumes de sólidos semelhantes, citada na página 138. Se a
razão entre as arestas homólogas (ou seja, que se correspondem) de dois blocos retangulares for igual a
k, então a razão entre seus volumes será igual a k3. Com efeito, se V(x, y, z) é o volume de um bloco retangular de arestas x, y e z, e V(kx, ky, kz) é o volume do bloco de arestas kx, ky e kz, então: V(kx, ky, kz) 5
5 k ? V(x, ky, kz) 5 k ? k ? V(x, y, kz) 5 k ? k ? k ? V(x, y, z) 5 k3 ? V(x, y, z).
Podemos estender este conceito para quaisquer sólidos semelhantes. Por exemplo, todas as esferas são
semelhantes entre si, e a razão entre seus volumes é o cubo da razão entre seus raios.
Assim, considerando dois sólidos semelhantes, temos:
Razão entre seus elementos lineares homólogos (arestas, raios, alturas, etc.): k
Razão entre suas áreas: k2
Razão entre seus volumes: k3
Exercícios resolvidos
5.
passo a passo: exerc’cio 7
Qual é o volume de concreto necessário para construir uma laje de 20 cm de espessura em uma sala de 3 m
por 4 m?
Resolução:
V 5 área da base ? altura 5 Abh 5 12 m2 ? 0,20 m 5 2,40 m3
20 cm 5 0,20 m
4m
3m
São necessários 2,40 m3 de concreto.
6.
Sabendo que foram gastos 0,96 m2 de material para montar a caixa cúbica cuja figura está abaixo, calcule o
volume dessa caixa.
Resolução:
Nesse caso, a área total do cubo é:
0,96 m2 5 96 dm2 5 9 600 cm2
Sabendo que AT 5 6a2, temos:
9 600 5 6a2 ⇒ a2 5 1 600 ⇒ a 5 40 cm
Como V 5 a3, temos:
V 5 (40 cm)3 5 64 000 cm3 5 64 dm3 5 0,064 m3
182
Capítulo 8
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
área da base: Ab 5 3 ? 4 5 12; Ab 5 12 m2
3. Executando o que foi planejado
Resolvido passo a passo
(Enem) Um fazendeiro tem
um depósito para armazenar
leite formado por duas partes
cúbicas que se comunicam,
como indicado na figura. A
aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A
torneira utilizada para encher o depósito tem vazão
constante e levou 8 minutos para encher metade da
parte de baixo.
Quantos minutos essa torneira levará para encher
completamente o restante do depósito?
a) 8.
b) 10.
c) 16.
d) 18.
e) 24.
Reprodução/ENEM 2014
7.
1. Lendo e compreendendo
a) O que é dado no problema?
É dado o formato do depósito de armazenamento
de leite, um depósito composto por duas partes
cúbicas, com a parte cúbica maior apresentando
uma aresta com tamanho dobrado em relação à
aresta da parte cúbica menor. Além disso, é informado o tempo que a torneira leva para encher
certa parte do depósito.
b) O que se pede?
Pede-se o tempo restante necessário para a torneira encher completamente o tanque, considerando
que a torneira continue com a mesma vazão.
2. Planejando a solução
Uma das formas de solucionar o problema é calcular o
volume do depósito, considerando que a aresta da parte
cúbica maior seja igual a 2a e a da parte cúbica menor, a.
Feito o cálculo do volume do depósito, comparamos o
valor obtido com o volume já preenchido, e assim, por
regra de três simples, encontraremos o tempo necessário para preencher o restante do depósito.
• Volume do depósito
de armazenamento
Volume total 5
5 (2a)3 1 (a)3 ⇒
⇒ VT 5 8a3 1 a3 5 9a3
a
2a
• Volume da parte que já está cheia
VC 5 2a ? 2a ? a 5 4a3
• Cálculo do tempo necessário para preencher o res-
tante do depósito
Volume a ser preenchido (VP) 5 Volume total (VT) 2
2 Volume já enchido (VC)
VP 5 9a3 2 4a3 5 5a3
Volume preenchido
→
Tempo gasto
4a3
8 min
5a3
x min
40a 3
510 min
x5
4a 3
4. Emitindo a resposta
A resposta é a alternativa b.
5. Ampliando o problema
a) Considere que o valor de a seja de 2 metros. A partir
disso, considere que o valor do metro quadrado do
material de que é feito o depósito é de R$ 95,00.
Quanto o fazendeiro gastou para construir o depósito? E qual será a vazão da torneira que o preenche,
em litros/segundo (L/s)? Custo de produção do depósito 5
5 R$ 10 640,00; vazão:
b) Discussão em equipe
aproximadamente 66,7 L/s.
Troque ideias com os colegas sobre o armazenamento dos produtos que consumimos diariamente, no
processo de produção, transporte e venda. Discutam
sobre a importância do correto armazenamento de
produtos consumíveis e as consequências provenientes do mau armazenamento desses produtos.
Exercícios
de volume? 10 dm
29. Em um paralelepípedo, as dimensões da base são
33. Qual é o volume de um
uma caixa-d’água cujas dimensões são: 1,20 m por
0,90 m por 1 m? (Lembre-se: 1 000 L 5 1 m3.) 1 080 L
31.
Quantos dados podem ser colocados em uma caixa
cúbica de 20 cm de aresta, se esses dados forem
cubos de 2 cm de aresta? 1 000 dados.
32. Três cubos de chumbo, com arestas de 6 cm, 8 cm
e 10 cm, respectivamente, são fundidos em uma só
peça cúbica. Qual é o volume da peça cúbica obtida?
1,5 cm
3 cm
150 cm3
10 cm
4 cm e 7 cm. Se a altura do paralelepípedo é de 5 cm,
determine o seu volume. 140 cm3
30. Quantos litros de água são necessários para encher
1 cm
sólido cuja forma e medidas estão na figura ao
lado?
8 cm
34. Observe a piscina representada abaixo e as dimensões indicadas. Qual é a quantidade máxima de
água, em litros, que essa piscina pode conter?
226 800 L
12 m
7m
2,70 m
1 728 cm3
Poliedros: prismas e pirâmides
183
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
3
Formato Comunicação/
Arquivo da editora
27. Qual é o volume de um cubo de aresta 5 3 cm?
375 3 cm
28. Quanto mede a aresta de um cubo que tem 1 000 dm3
6
Princípio de Cavalieri
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
Imagine três pilhas com o mesmo número de folhas de papel, arrumadas de formas diferentes, como
indicam as figuras:
Note que qualquer plano horizontal que seccione as três pilhas terá intersecções de mesma área (uma
folha); note também que as três pilhas têm volumes iguais (só mudam as formas).
Essa situação serve para ilustrar o princípio de Cavalieri, que veremos em seguida.
Vamos considerar os sólidos S1 e S2 apoiados em um plano horizontal a. Consideremos também o plano ,
paralelo a a, que, ao seccionar S1, também secciona S2, determinando duas regiões planas de áreas A1 e A2.
A1
A2
␤
S1
S2
␣
Nessas condições, se para todo plano  temos A1 5 A2 , então:
volume S1 5 volume S2
É possível demonstrar o princípio de Cavalieri, mas aqui vamos considerá-lo verdadeiro sem fazer sua
demonstração. Veremos que esse princípio simplifica muito o cálculo de volumes.
Curiosidade
O italiano Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647), que foi discípulo de Galileu, publicou em 1635 sua
teoria do indivisível, contendo o que hoje é conhecido como “princípio de Cavalieri”. Entretanto, sua teoria,
que permitia que se encontrasse rapidamente e com exatidão a área e o volume de muitas figuras geométricas, foi duramente criticada na época. Segundo seus críticos, a teoria não se mostrava suficientemente
embasada.
Mal sabiam estes que o princípio de Cavalieri seria um dos pilares do que hoje conhecemos como cálculo integral, ajudando a definir a noção de integral.
[...] em 1647 Cavalieri publicou a obra Exercitationes geometricae sex, na qual apresentou de maneira mais
clara sua teoria. Esse livro transformou-se em fonte importante para os matemáticos do século XVII. Cavalieri
também escreveu sobre Astronomia e Óptica. [...]
Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/historia/cavaliere.htm>. Acesso em: 6 maio 2016.
184
Capítulo 8
7
Volume do prisma
Para calcular o volume de um prisma qualquer, aplicamos o princípio de Cavalieri.
Inicialmente, observamos que, em um prisma qualquer com a base contida em um plano a, se p é
paralelo a a, a secção determinada por p no prisma será sempre congruente à base, e por isso essa secção
e a base terão sempre áreas iguais.
Fique atento!
Em todo prisma, uma secção
paralela à base é congruente a
essa base.
␲
␣
S2
S1
␲ > S1
␲ > S2
h
h
␲
Ab
Ab
␣
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
Podemos agora calcular o volume de um prisma qualquer, utilizando o paralelepípedo retângulo
como auxílio.
Vamos considerar um prisma S1, cuja área da base é Ab e a altura é h, e também um paralelepípedo retângulo S2, cuja área da base é Ab e a altura é h. O plano a que contém as bases é horizontal. Qualquer plano
horizontal p que secciona os dois sólidos determina no prisma S1 a secção p > S1, cuja área é igual a Ab, e no
paralelepípedo retângulo S2 determina a secção p > S2, cuja área é igual a Ab.
Como área (p > S1) 5 Ab e área (p > S2) 5 Ab, para qualquer plano horizontal p temos:
área (p > S1) 5 área (p > S2)
Pelo princípio de Cavalieri, concluímos que:
volume do prisma 5 volume do paralelepípedo retângulo
Como o volume do paralelepípedo retângulo é obtido multiplicando a área da base pela altura, temos:
volume do prisma 5 área da base ? altura
V 5 Abh
Poliedros: prismas e pirâmides
185
Exercícios resolvidos
8.
Calcule o volume do prisma reto indicado na figura abaixo, cuja base é um triângulo retângulo.
15 cm
20 cm
12 cm
25 cm
Resolução:
A base desse prisma é um triângulo retângulo de catetos 15 cm e 20 cm:
Ab 5 15 ? 20 5 150
2
A altura do prisma é de 12 cm. Seu volume é:
V 5 Abh 5 150 ? 12 5 1 800
Logo, o volume do prisma é de 1 800 cm3.
9.
Queremos encher de areia a caixa indicada na figura abaixo à esquerda. Qual é o volume dessa caixa?
Modelo matemático
Realidade
35 cm
35 cm
10 cm
10 cm
Resolução:
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
A área da base é a área de um hexágono regular cujo lado mede 10 cm.
10 cm
Sabemos que o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros e que a área de um triângulo equilá,2 3
.
4
Logo, a área da base é dada por:
tero de lado  é dada por
2
Ab 5 6 ? 10 3 5 6 ? 2
0 3
255 3 5 150
4
O volume do prisma é dado por V 5 Abh, sendo Ab . 150
0 3 cm2 e h 5 35 cm.
0 3 cm2 ? 35 cm 5 5250 3 cm3 . 9 090 cm3.
V 5 150
O volume dessa caixa é de, aproximadamente, 9 090 cm3, ou, aproximadamente, 9 litros.
186
Capítulo 8
Exerc’cios
35.
42. Seis prismas triangulares regulares de aresta da ba-
Determine o volume de um prisma triangular regular no qual a aresta da base mede 4 cm e a al-
se 2 cm foram juntados formando um prisma hexagonal regular, como mostra a figura:
tura mede 10 3 cm. 120 cm
3
36. Uma barra de ouro é fundida na forma de um prisma
cuja base é um trapézio. As bases desse trapézio medem 8 cm e 12 cm e a altura da barra é 5 cm. O comprimento da barra é 30 cm. Qual é o seu volume?
37.
⇒
1 500 cm3
Calcule o volume de uma peça de metal cuja forma
e medidas estão na figura abaixo: 12 600 3 cm3
6
8 cm
a) O volume total dos 6 prismas triangulares somados é igual, maior ou menor que o volume do
prisma hexagonal? Justifique. Igual.
b) A área total dos 6 prismas triangulares somados
é igual, maior ou menor que a área total do prisma hexagonal? Justifique. Maior.
25 cm
43. Uma pessoa observa de cima cada um destes prismas, conforme indica a figura. Desenhe no caderno
o que ela vê em cada caso. Lembre-se de que o contorno de uma figura é sempre aparente, ou seja, nós
o vemos. Veja a resposta deste exercício no Manual do Professor.
20 cm
36 cm2. A altura do prisma é o triplo da aresta da
base. Calcule o volume do prisma. 6 3 cm3
39. O volume de um prisma regular de base quadrada
é 700 cm3. O perímetro da base é de 40 cm. Calcule
a altura e a área total do prisma.
h 5 7 cm; AT 5 480 cm2
40. A base de um prisma reto é um hexágono regular de
lado 8 cm. As faces laterais desse prisma são quadradas. Calcule o volume e a área total do prisma.
(I)
(II)
(III)
44. Antônio é proprietário de uma chácara e decidiu fazer uma piscina para seus filhos. Para isso quer utilizar uma área de 5 m de largura por 10 m de comprimento. Antônio quer que sua piscina tenha uma
profundidade de 1 m em um lado e uma profundidade de 1,90 m em outro lado, como mostra a figura:
No canto da sala, foram empilhados alguns cubos,
como mostra a figura.
10 m
1,9 m
1m
5m
Quantos metros cúbicos serão necessários para
que Antônio encha essa piscina de modo que falte
0,4 metro, na altura, para enchê-la totalmente?
Todos os cubos têm a mesma medida da aresta, que
mede 1 m. Qual é o volume total dos cubos empilhados na sala? 11 m3
x a) 52,5 m3
b) 72,5 m3
d) 9,5 m3
e) 57 m3
3
c) 95 m
Poliedros: prismas e pirâmides
187
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
41.
V 5 768 3 cm3 ; AT 5 192(2 1 3 ) cm2
Dam d’Souza/Arquivo da editora
38. A área lateral de um prisma triangular regular é
8
Pir‰mides
Constru•‹o e defini•‹o de pir‰mide
Considere um polígono, por exemplo ABCDE, contido em um plano a e um ponto V exterior ao plano
do polígono.
Traçamos os segmentos de reta VA, VB, VC, VD e VE. Cada dois vértices consecutivos de ABCDE determinam com V um triângulo. Esses triângulos, junto com o polígono ABCDE, determinam um poliedro chamado
pirâmide de base ABCDE e vértice V.
V
V
h
D
D
C
E
␣
A
C
E
␣
B
A
B
A região do espaço ocupada pela pirâmide é formada pelos pontos dos segmentos de reta que ligam o
vértice V aos pontos do polígono (base).
A distância do vértice ao plano da base, que indicamos por h, é chamada altura da pirâmide.
Os segmentos de reta VA, VB, VC, VD e VE são chamados arestas laterais, e os triângulos VAB, VBC, VCD,
VDE e VEA são chamados faces laterais da pirâmide.
Veja a seguir alguns exemplos de pirâmides:
1o)
2o)
A
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
E
B
D
C
3o)
A 1a pirâmide, ABCDE, é uma pirâmide de base quadrada (ou pirâmide quadrangular); o polígono BCDE é
sua base, AC é uma aresta lateral, BC é uma aresta da base e o triângulo ACD é uma das faces laterais.
A 2 a é uma pirâmide de base pentagonal (ou pirâmide pentagonal) e a 3a tem base triangular
(tetraedro).
188
Capítulo 8
Pirâmide regular
Pirâmide regular é uma pirâmide reta cuja base é um polígono regular.
Vamos considerar uma pirâmide cuja base é um quadrado e com arestas laterais congruentes:
P
P
Fique atento!
a
A
B
A
B
D
C
Polígono regular é o que tem todos
os lados e todos os ângulos internos
congruentes. Ele pode sempre ser
inscrito em uma circunferência, cujo
centro é considerado também centro
do polígono regular.
G
D
C
Pirâmide planificada
Essa pirâmide é regular, pois sua base é um polígono regular (quadrado) e suas arestas são congruentes
(pirâmide reta).
Nesse caso, podemos ainda afirmar que:
• o segmento de reta (PG) que liga o vértice ao centro da base é a altura da pirâmide;
• as faces laterais são triângulos isósceles e congruentes;
• a altura de cada face lateral é chamada de apótema da pirâmide regular (a).
Observação: Em toda pirâmide regular devemos destacar quatro importantes triângulos retângulos nos
quais aparecem: a aresta da base (), a aresta lateral (1), o raio da circunferência circunscrita à base (r), o
apótema da pirâmide (a), o apótema da base (a1) e a altura da pirâmide (h).
Veja, em uma pirâmide regular pentagonal, a aplicação da relação de Pitágoras nestes triângulos:
V
V
V
h
,1
M
A
,
nOMA
 ,
r 2 5 a12 1  
 2
a
O
M
r
,
a
r
 ,
,21 5 a2 1  
 2
a1
M
A
A
nVMA
2
O
2
nVOA
nVOM
,21 5 h2 1 r 2
a2 5 h2 1 a12
Caso particular importante: o tetraedro regular
Uma pirâmide particular formada por quatro
triângulos congruentes e equiláteros é o tetraedro
regular (tetra: quatro; edro: face).
Nele, qualquer uma das faces pode ser considerada base. O tetraedro regular é um caso particular
de pirâmide regular.
Tetraedro regular
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
O a1
h
,1
Planificado
Poliedros: prismas e pirâmides
189
Área da superfície da pirâmide
•
•
•
•
Do mesmo modo que foi visto nos prismas, nas pirâmides também temos:
superfície lateral: é formada pelas faces laterais (triângulos);
área lateral: é a área da superfície lateral;
superfície total: é formada pelas faces laterais e pela base;
área total: é a área da superfície total.
Exercício resolvido
10.
• Cálculo de a1 (apótema da base):
Uma pirâmide regular hexagonal tem 8 cm de altura e
a aresta da sua base mede 4 3 cm. Calcule a área total.
a1 5
Resolução:
Sabemos que:
,1
h
a
r5,
 4 3  2 ⇒ a 2 5 48 2 12 5 36 ⇒
1
 2 
⇒ a1 5 6; a1 5 6 cm
( 4 3 )2
P
a1
a2 5 82 1 (6)2 5 64 1 36 5 100 ⇒ a 5 10;
a 5 10 cm
• Cálculo de A (área lateral):
A 5 6 ? , a 5 3 ? 4 3 ? 10 5 120
0 3;
2
0 3 cm2
A 5 120
• Cálculo de Ab (área da base):
(4 3 )
56?
• Cálculo de At (área total):
Ab 5 72 3 cm2
5 19
192
2 3 ; A t 5 192
2 3 cm2
2
Ab
Exercícios
6?3 3
? 3 5 6 ? 116
5 72 3 ;
4
4
Atividade
em dupla
At 5 Ab 1 A 5 72 3 1 120
1
35
Atividade
em equipe
45. Uma pirâmide regular hexagonal tem 10 cm de al-
49. A soma das medidas de todas as arestas de um tetrae-
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tura e a aresta da sua base mede 4 cm. Calcule:
a) o apótema da base; 2 3cm
b) o apótema da pirâmide; 4 7 cm
c) a aresta lateral; 2 29cm
d) a área da base; 24 3 cm2
e) a área lateral; 48 7 cm2
f ) a área total. 24 ( 3 1 2 7 ) cm2
dro regular é 72 cm. Calcule a área total do tetraedro.
10 cm
faces de um cubo de aresta 2 cm. Sendo a aresta lateral da pirâmide igual à
diagonal do cubo e supondo que a
pirâmide e o cubo estão em semiespaços opostos em relação ao plano da
base da pirâmide (figura ao lado), calcule a área total do sólido formado pela união da pirâmide com o cubo. 4 (5 1 11 ) cm2
)
)
4 cm
altura é 15 cm e cuja base é um quadrado de 16 cm
de lado. 800 cm2
47. Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as
2
arestas iguais e a área da base é igual a 16 cm . Qual
é a área total da pirâmide? 16(1 1 3 ) cm2
48. Determine a área total de uma pirâmide regular hexagonal, sabendo que a aresta da base mede 8 cm e
a altura da pirâmide mede 12 cm. 208 3 cm2
Capítulo 8
144 3 cm2
50. A base de uma pirâmide é uma das
46. Determine a área total de uma pirâmide regular cuja
190
a12
• Cálculo de a (apótema da pirâmide):
( )
O
,
ou
 Atotal 5 Abas
base
e 1 Alateral (At 5 Ab 1 A, )

a1 5 , 3
2

2
 A 56 ? , 3
b
4

r 5 ,

2
r 2 5 ,2 5 a2 1 ,
1

2
 2
2
2
5
1
a
h
a
1

, 5 4 3

h 5 8
4 3? 3
56
2
51.
Em um tetraedro regular, a aresta
mede 2 3 cm.
Calculem:
a) a altura do tetraedro; 2 2 cm
A
b) a área total. 12 3 cm2
(Dica: o ponto O é o baricentro
do triângulo ABC.)
V
h
O
B
C
D
Volume da pirâmide
Ilustrações técnicas desta página:
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Observe a figura abaixo:
V
Fique atento!
x
B⬘
␲
A⬘
O⬘
p
Polígonos semelhantes têm ângulos
congruentes e segmentos
correspondentes proporcionais. Se a
h
b
é a razão constante entre seus
segmentos correspondentes, então
O
B
␣
A
( ba )
2
P
é a razão entre suas áreas.
A pirâmide tem a base P contida no plano a e está sendo seccionada pelo plano horizontal p, paralelo a a.
A secção da pirâmide pelo plano p é um polígono p semelhante à base P. É interessante notar que a secção
de uma pirâmide por um plano paralelo à base destaca uma pirâmide menor, que é semelhante à original. A
pirâmide miniatura tem base p e altura x (distância do ponto V ao plano p), e a pirâmide original tem base P e
altura h.
Como já estudamos na página 182, se duas figuras geométricas são semelhantes, com razão k entre
suas dimensões lineares, então suas áreas têm razão k2. No caso, k é a razão entre as alturas h e x das pirâmides semelhantes.
k5
h
h
⇒ k2 5  
 x
x
2
Assim, se p e P são semelhantes, então:
área de P  h 
5 
área de p  x 
2
Vamos agora considerar duas pirâmides cujas áreas das bases são iguais e que têm a mesma altura.
Vejamos o que acontece com as áreas das secções transversais situadas a uma mesma distância do vértice
da pirâmide.
x
p2
p1
␲
h
P2
P1
␣
2
2
área de P1  h 
área de P2  h 
5  e
5  .
Já vimos que
área de p1  x 
área de p2  x 
Daí tiramos
área de P1 área de P2
5
.
área de p1 área de p2
Como consideramos inicialmente que área de P1 5 área de P2, concluímos que:
área de p1 5 área de p2
para qualquer plano horizontal p.
Então, pelo princípio de Cavalieri, os volumes das pirâmides são iguais, ou seja:
Pirâmides com áreas das bases iguais e com mesma altura têm volumes iguais.
Poliedros: prismas e pirâmides
191
Cálculo do volume da pirâmide triangular
Vamos agora decompor um prisma triangular em três pirâmides, como indicam as figuras:
E
D
B
F
E
C
B
Ilustrações técnicas desta página:
Banco de imagens/Arquivo da editora
F
D
C
B
C
A
A
I
E
F
D
II
D
B
E
A
III
F
E
D
D
C
B
C
A
C
Observações:
1a) As pirâmides I e II têm bases congruentes e alturas iguais. De fato, os triângulos ABC e DEF são congruentes e
a distância de D ao plano (ABC) é igual à distância de C ao plano (DEF) – altura do prisma original. Logo, I e II
têm mesmo volume.
2a) As pirâmides II e III também têm bases congruentes e alturas iguais. De fato, o triângulo CEF é congruente ao triângulo BCE, pois cada um deles é a metade do paralelogramo BCFE, e a altura de cada uma dessas
pirâmides é a distância de D ao plano (BCFE). Logo, II e III têm o mesmo volume. Assim, VI 5 VII e VII 5 VIII
e, portanto, os três volumes são iguais.
Lembrando que Vprisma 5 VI 1 VII 1 VIII e fazendo VI 5 VII 5 VIII 5 V, temos:
Vprisma 5 3V ⇒ V 5
Vprisma
3
Como Vprisma 5 área da base ? altura, temos:
V ou Vpirâmide triangular 5
área da base ? altura
3
3a) A propriedade citada na 2a observação pode ser verificada experimentalmente. Se quiséssemos encher
de água uma vasilha em forma de prisma usando um recipiente em forma de pirâmide, com mesma
base e mesma altura, seria necessário usá-lo três vezes para encher a vasilha.
192
Capítulo 8
Cálculo do volume de uma pirâmide qualquer
Agora, para determinarmos o volume de uma pirâmide qualquer, usamos a conclusão anterior e o princípio de Cavalieri. Assim, dada uma pirâmide qualquer, consideramos uma pirâmide triangular que tenha a
mesma área da base e a mesma altura que uma pirâmide qualquer.
h
Ab
␣
Ab
O princípio de Cavalieri garante que duas pirâmides com áreas das bases iguais e com a mesma altura
têm volumes iguais. Então:
volume da pirâmide triangular 5 volume de uma pirâmide qualquer (de mesma
área da base e mesma altura)
Como o volume da pirâmide triangular é obtido fazendo
área da base ? altura
3
volume de uma pirâmide qualquer 5
Ab
, concluímos que:
área da base ? altura
ou seja:
V5
h
3
Abh
3
Exercícios resolvidos
Qual é o volume de um tetraedro regular de aresta a?
Resolução:
Sabemos que, em um tetraedro regular (figura
abaixo), as quatro faces são triângulos equiláteros.
2
Vamos calcular a área da base: Ab 5 a 3 (área de
4
um triângulo equilátero de lado a).
Calculamos, agora, a altura do tetraedro:
AD 5 a 3
2
Das observações feitas, podemos concluir que:
2 a 3
AO 5 3
2
a 3
3
Considerando o triângulo retângulo AOV (BO é reto),
temos:
( )
V
AV 2 5 AO2 1 OV 2 ⇒ a2 5 a 3
3
h
A
C
O
• AD é a altura do nABC relativa ao lado BC:
D
1 h2 ⇒
2
2
⇒ h2 5 a2 2 a 5 2a ⇒ h 5 a 2 5 a 6
3
3
3
3
Vamos, agora, calcular o volume:
B
• O é o centro do triângulo equilátero ABC
• AD é a mediana relativa ao lado BC
2
• AO 5 3 AD
2
Ah
V5 b 5
3
a2 3 ? a 6
3
3
4
3 5 3a 2 5 a 2
3
36
12
3
Então, o volume do tetraedro regular é a 2 .
12
Poliedros: prismas e pirâmides
193
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
11.
12.
Resolução:
Calcule o volume de uma pirâmide quadrada cuja
aresta da base mede 4 cm e a altura, 7 cm.
Vamos calcular a altura de cada pirâmide:
• AC → diagonal do quadrado: 5 2
• VO → altura da pirâmide (h)
• OC → metade da diagonal do quadrado: 5 22
Resolução:
2
Ab 5 4 cm ? 4 cm 5 16 cm
h 5 7 cm
V5
13.
Abh 16 cm2 ? 7 cm 112 cm3
5
5
. 37,3 cm3
3
3
3
B é reto) temos:
No triângulo retângulo VOC (O
2
5 2
52 5 h2 1 
 ⇒
 2 
Quando duas pirâmides regulares de bases quadradas e cujas faces laterais são triângulos equiláteros
são colocadas base a base, o sólido resultante (figura abaixo à direita) é chamado octaedro regular. Calcule o volume do octaedro regular de aresta 5 cm.
⇒ h2 5 25 2
Vamos calcular o volume:
V
Ab 5 5 ? 5 5 25
5
V5
h
D
A
5
C
O
5 2
50 50
⇒h5
5
4
4
2
B
5 2
1255 ? 1, 4
Abh 25 ? 2
.
. 29,1
5
3
3
6
Como são duas pirâmides, temos:
5
V . 2 ? 29,1 5 58,2
Portanto, o volume do octaedro regular é de aproximadamente 58,2 cm3.
Exercícios
52. Calcule o volume de uma pirâmide quadrada cuja ares-
56. A Pirâmide de Quéops é conhecida como a Grande
ta da base mede 15 cm e a altura mede 9 cm. 675 cm
3
Pirâmide do Egito. Sua base tem aproximadamente
230 m de aresta e sua altura é de 137 m. Qual é o
53. Uma peça maciça de cristal tem
volume aproximado dessa pirâmide?
o formato de um tetraedro (figu-
Aproximadamente 2 400 000 m3.
Copycat37/Shutterstock
ra ao lado). Sabendo que cada
aresta da peça mede 10 cm, qual
é o volume de cristal usado para
fazer essa peça? 2503 2 cm3
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
54. Uma pedra preciosa tem a forma da
figura ao lado. Sabendo que a pedra
tem 6 mm em todas as arestas, calcule o volume da pedra.
Aproximadamente 100,8 mm3.
55. A parte mais alta da torre de
uma igreja é uma pirâmide qua-
Pirâmide de Quéops. Fotografia de 2015.
drada (figura ao lado). A aresta
da base tem 6 m e a altura da
194
57.
A aresta da base de uma pirâmide quadrada mede
pirâmide é 4 m. Qual é o volume
10 cm e a altura da pirâmide mede 12 cm. Determi-
dessa parte da torre? 48 m3
ne o volume da pirâmide. 400 cm3
Capítulo 8
Tronco de pirâmide
V
Vamos considerar uma pirâmide de vértice V e altura h.
Traçando um plano p paralelo à base, que secciona a pirâmide a uma distância d do vértice, obtemos dois poliedros:
uma pirâmide de vértice V e altura d e um poliedro que
é chamado tronco da pirâmide inicial.
No tronco da pirâmide, destacamos:
d
p
h
• duas bases: a base da pirâmide inicial (base maior do
tronco) e a secção determinada por p (base menor do tronco);
• as faces laterais, que são trapézios;
• a distância entre as bases do tronco, que se chama altura do tronco;
base menor
altura (h1 5 h 2 d)
sua medida é expressa por h1 5 h 2 d.
Quando a pirâmide original é regular, o tronco de pirâmide
é chamado regular e, nesse caso:
face lateral
• as bases são polígonos regulares e semelhantes;
• as faces laterais são trapézios isósceles;
• a altura de um desses trapézios é chamada apótema do tronco.
base maior
1 5 aresta da base maior do tronco
,2
2 5 aresta da base menor do tronco
a 5 aresta lateral do tronco
a
h2
h2 5 apótema do tronco (ou altura da face lateral)
,1
Volume do tronco de pir‰mide
Consideremos o tronco de pirâmide representado pela figura abaixo.
P
d
A9
C9
h
D
C
h1
AB
A
AB 5 área da base maior
Ab 5 área da base menor
h 5 altura da pirâmide PABCD
d 5 altura da pirâmide PABCD
h1 5 altura do tronco
V 5 volume do tronco
B
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
D9
Ab
B9
Demonstra-se que o volume do tronco da pirâmide é dado por:
V5
(
h1
AB 1 AB Ab 1 Ab
3
)
Fique atento!
Na prática, em geral é mais adequado obter o
volume do tronco pela diferença dos volumes
das pirâmides semelhantes (PABCD e
PABCD), em vez de aplicar a fórmula
acima. Entretanto, fica a critério de cada
um o processo a ser usado.
Poliedros: prismas e pirâmides
195
Exercícios resolvidos
14.
Temos que h 5 x 1 8 e que as duas pirâmides são
semelhantes. Então:
A área da base de uma pirâmide é 36 cm2. Uma secção transversal feita a 3 cm da base tem 9 cm2 de
área. Calcule a altura da pirâmide.
k 5 5 5 x ⇒ 5h 5 12x ⇒ 5(x 1 8) 5 12x ⇒
12 h
Na figura, temos:
P1 5 36 cm2
p1 5 9 cm2
h 2 x 5 3 cm ⇒ x 5 h 2 3
2
P1
5 h2 ⇒
p1
x
h
p1
O volume da pirâmide original é
1
96
4 608
5
.
? 122 ?
7
3
7
P1
h2
⇒ 36 5
⇒
9
(h 2 3)2
⇒ 45
⇒ x 5 40 e h 5 96
7
7
x
O volume da pirâmide miniatura é
1 2 40
1 000
5
.
?5 ?
21
3
7
h2 ⇒ 2 5 h ⇒
2h 2 6 5 h ⇒ h 5 6
h23
(h 2 3)2
A altura da pirâmide é 6 cm.
15.
Um tronco de pirâmide tem como bases dois quadrados de lados 5 cm e 12 cm. A altura do tronco é
8 cm. Calcule o volume desse tronco.
Então, o volume do tronco é
4 608
1 000
1 832
2
5
. 610,6; 610,6 cm3.
7
21
3
16.
As bases de um tronco de pirâmide regular são
quadrados de lados 8 m e 2 m, respectivamente.
A aresta lateral do tronco mede 5 m. Calcule o volume do tronco.
Resolução:
1 a maneira: usando a fórmula
5 cm
aresta da base menor (l9)
8 cm
aresta lateral (g)
altura
apótema do
tronco (a9)
12 cm
aresta da base maior (l)
2
AB 5 12 cm ? 12 cm 5 144 cm
Resolução:
2
Ab 5 5 cm ? 5 cm 5 25 cm
1 a maneira: usando a fórmula
h1 5 8 cm
8
h
60 1 2
25) 5
4 1 60
V 5 31 AB 1 AB Ab 1 Ab 5 (144
3
A face lateral desse tronco de pirâmide determina um
trapézio isósceles, conforme mostra a figura abaixo.
(
)
2m
8
1 832
5 ? 229 5
. 610,6
3
3
Pela figura, temos:
5m
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
O volume do tronco é de 610,6 cm3, aproximadamente.
3m
2m
8m
196
Capítulo 8
3m
42 5 32 1 h2 ⇒ h2 5 7 ⇒ h 5 7 m
h
h
4
h
Para refletir
3
12
52 5 (a)2 1 32 ⇒
Vamos calcular a altura do tronco:
1
Pela figura, temos:
x
8
5m
⇒ (a)2 5 16 ⇒ a 5 4 m
2 a maneira: sem usar a fórmula
A partir do tronco, consideremos as pirâmides original e miniatura, com suas alturas h e x.
5
a9
4
Veja a resolução no
Manual do professor.
Localize a figura da esquerda no
desenho do tronco e justifique os
valores 4, 1, 4 e 3.
Vamos calcular o volume do tronco no qual temos
AB 5 64 m2, Ab 5 4 m2, h 5 7 m:
Temos que h 5 x 1 7 e que as duas pirâmides são
semelhantes. Então:
V 5 h (AB 1 AB Ab 1 Ab ) 5
3
k 5 2 5 x ⇒ 2h 5 8x ⇒ h 5 4x ⇒
8 h
5
7
7
(64 1 64 ? 4 1 4) 5
(64 1 16 1 4) 5
3
3
⇒ x 1 7 5 4x ⇒ x 5
5 84 7 5 28 7
3
Não calcularemos h.
O volume da pirâmide miniatura é:
Logo, o volume do tronco é 28 7 m3 .
1 ? 22 ? 7 5 4 7
3
3
9
A razão entre os volumes da pirâmide miniatura e
2 a maneira: sem usar a fórmula
Mesmo procedimento até obter h 5 7 ; depois, a
partir do tronco, consideremos as pirâmides original
e miniatura, com suas alturas h e x.
Banco de imagens/Arquivo da editora
7
3
3
2
1
da original é k3 5   5
. Assim:
 8
64
Vmini
5 1 ⇒
Voriginal 64
x
⇒ Voriginal 5 Vmini ? 64 5 256 7
9
h
2
√7
Então, o volume do tronco é:
6 7 2 4 7 5 252 7 5 28 7 ; 28 7 m3
256
9
9
9
8
Exerc’cios
8 cm. A altura da pirâmide é 20 cm. Calcule a área
da secção transversal feita a 12 cm do vértice.
23,04 cm2
59. A área da base de uma pirâmide é 100 cm2. A área
da secção transversal feita a 5 cm da base da pirâmide é 25 cm2. Calcule a altura da pirâmide. 10 cm
60. Uma secção transversal é feita a 4 cm do vértice de
uma pirâmide. A área da secção transversal é igual
4
da área da base da pirâmide. Calcule a altura
a
9
da pirâmide. 6 cm
61.
Uma pirâmide é de base hexagonal. O lado do hexágono da base mede 6 cm. A altura da pirâmide é
30 cm. Uma secção transversal é feita a 10 cm do vértice da pirâmide. Qual é a área da secção transversal?
6 3 cm2
62. Uma peça de cristal tem a forma e as medidas da
figura abaixo. Qual é o volume de cristal empregado para fazer essa peça se sua altura é de 15 cm?
Banco de imagens/
Arquivo da editora
30 cm
30 cm
18 500 cm3
63.
Um tronco de pirâmide tem como bases dois
quadrados de lados 8 cm e 12 cm, respectivamente. A altura do tronco é 10 cm. Calculem o volume
do tronco. 3 040 cm3
64. História
3
Em São Paulo, no Parque do Ibirapuera, há
um monumento de
concreto chamado Obelisco aos Heróis de 1932,
uma homenagem aos
que morreram na Revolução Constitucionalista de 1932. Esse monumento tem a forma de
um tronco de pirâmide
(fotografia ao lado) e
tem 72 m de altura. Suas bases são quadrados
de arestas 9 m e 7 m.
Qual é o volume de concreto usado na construção desse monumento?
Rubens Chaves/Pulsar Imagens
58. Uma pirâmide tem por base um quadrado de lado
4 632 cm3
40 cm
40 cm
Obelisco aos Heróis de 1932.
Fotografia de 2012.
Poliedros: prismas e pirâmides
197
Leitura
Filósofo grego, Platão foi discípulo de Sócrates. Nasceu
em Atenas em 427 a.C. e morreu em 347 a.C., com 80 anos
de idade. Fundou uma escola em Atenas, no ano de 386 a.C.,
a “Academia”, onde transmitia seus ensinamentos aos seus
discípulos. Via nos filósofos-governantes a solução para os
problemas políticos. Suas obras são conhecidas como Diálogos, pois retratavam diálogos (reais e imaginários) entre
Sócrates e outras pessoas, que focavam principalmente a
política e a moral. Os Diálogos de Platão estão entre as maiores obras literárias do mundo, sendo considerados por muitos verdadeiras obras de arte.
O mais importante diálogo de Platão é a República, sendo também um dos mais longos. Nesse diálogo, Platão enfoca a Política, a Educação, a Arte, a Poesia e a Filosofia
pura, ocupando-se principalmente da natureza da justiça. É
uma visão geral de toda a filosofia de Platão e é nele que
está a famosa “Alegoria da caverna”.
Platão defendia o quadrivium, os quatro campos da
Matemática no estudo das artes liberais, que compreendia
a Aritmética, a Geometria plana, a Geometria espacial e a
Estátua de Platão (427 a.C.-347 a.C.) na
Astronomia. Acreditava que a busca da compreensão das
Academia de Atenas, Grécia. Fotografia de 2012.
coisas levava à pureza do conhecimento. Na porta de sua
academia, Platão escreveu “Que não entre aqui aquele que ignore a Geometria ”.
No diálogo Timeu (350 a.C.), Platão apresentou um estudo do Universo, que para ele consistia em formas;
em objetos particulares; em Deus, o artesão; em espaço absoluto e em matéria bruta. Platão acreditava que
tudo era composto de terra, ar, fogo e água, e que a cada um desses elementos correspondia um poliedro
regular – que já era conhecido dos gregos. Platão associou à terra o hexaedro (mais especificamente, o cubo)
por causa da sua “estabilidade”; ao fogo, o tetraedro; ao ar, o octaedro; e à água, o icosaedro, por serem
sólidos constituídos de triângulos, para ele a unidade básica de todas as coisas. O dodecaedro representava
o elemento do qual o Universo seria feito.
Leia, a seguir, um trecho do Timeu:
Devemos prosseguir distribuindo as figuras cujas origens acabamos de descrever pelo fogo, terra, água e ar.
Atribuímos o cubo à terra, uma vez que é o mais imóvel dos quatro corpos e o que tem a forma mais estável,
sendo estas características que deve possuir a figura com as formas mais estáveis. [...]
Mantemos assim o nosso princípio de verossimilhança atribuindo o cubo à terra e, de forma semelhante, atribuímos à água a menos móvel das outras figuras, a mais móvel ao fogo e a intermédia ao ar. E de
novo atribuímos a menor figura ao fogo, a maior à água, a intermédia ao ar; a mais cortante ao fogo, a
segunda mais cortante ao ar e a menos cortante à água. Resumindo, a figura que tem o menor número de
faces deverá ser, pela natureza das coisas, a mais móvel, assim como a mais cortante e a mais penetrante
e, finalmente, sendo composta pelo menor número de partes semelhantes, a mais leve. A nossa segunda
figura será a segunda em todas essas características, e a nossa terceira será a terceira. Deste modo, a lógica
e a verossimilhança exigem que olhemos a pirâmide como a figura sólida que é a unidade básica ou a semente do fogo; e podemos olhar a segunda das figuras que construímos (o octaedro) como a unidade básica do ar, a terceira (icosaedro) a da água.
198
Capítulo 8
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Platão e seus poliedros
Pensando no Enem
Matriz do Enem: H8 - Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
1. Guta e Felipe compraram uma pequena chácara de formato de um quadrilátero irregular, como na figura abaixo.
B
A
D
C
Curiosos em saber a área do terreno, eles perceberam que na planta havia somente as medidas dos lados.
Uma maneira de calcular a área do terreno é:
a) multiplicar as medidas dos lados e depois extrair a raiz quadrada.
b) utilizar a fórmula ( p 2 a) ( p 2 b) ( p 2 c ) ( p 2 d ) , em que p é a medida do semiperímetro e a, b, c e d são
as medidas dos lados.
c) simplesmente multiplicar as medidas da base pela altura.
x d) fazer a medição de uma das diagonais, dividindo o quadrilátero em dois triângulos. Com as medidas dos lados dos
dois triângulos, calcular as suas áreas e depois adicioná-las.
e) Como todo quadrilátero é circunscritível em uma circunferência, basta calcular a medida do raio da circunferência
inscrita neste quadrilátero e depois multiplicar o semiperímetro pelo raio.
Matriz do Enem: H7 - Identificar características de figuras planas ou espaciais.
2. Quando um plano intercepta um cubo, sobre ele podem ser geradas várias figuras planas,
por exemplo, um hexágono, como mostra a figura ao lado.
Assinale a alternativa que contém um polígono que não pode ser obtido na intersecção de
um plano e um cubo.
a) triângulo
c) pentágono
b) quadrado
d) hexágono
x e) heptágono
Matriz do Enem: H22 - Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.
3. Uma bola de futebol é formada por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas com lados congruentes entre
si. Sabe-se que, para costurar essas faces lado a lado, formando a superfície de um poliedro convexo, usam-se 20 cm
de linha em cada aresta do poliedro. Essa mesma estrutura da bola de futebol repete-se em uma molécula tridimensional formada por átomos de carbono, o buckminsterfullereno, em que os átomos ocupam os vértices do
poliedro convexo. Veja as figuras:
Com base nessas informações, pode-se inferir que:
a)
b)
c)
x d)
e)
a molécula possui 40 átomos de carbono e o número de ligações entre esses átomos é 90.
são necessários 20 metros de linha para costurar inteiramente a bola.
o número de ligações entre 60 átomos da molécula é 90.
a molécula possui 60 átomos de carbono e são necessários 18 metros de linha para costurar inteiramente a bola.
a bola de futebol possui 32 faces, 90 arestas e 30 vértices.
Poliedros: prismas e pirâmides
199
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
Le Do/Shutterstock/Glow Images
12 pentágonos
20 hexágonos
Vestibulares de Norte a Sul
3.
Reprodução/Unicom/FIEACao
(UEA-AM) A Agência Nacional de Energia Elétrica
(Aneel) aprovou o pedido de elevação da cota do
reservatório da Usina de Santo Antônio, no rio Madeira (RO), de 70,5 metros para 71,3 metros. Na prática, isso significa que a usina terá direito de alagar
uma área maior do que a inicialmente prevista, de
350 km2 para 430 km2.
(IFPE) No interior de uma creche há um grande pátio quadrado, onde foi construído um salão circular
para que as crianças pudessem brincar livremente,
conforme figura abaixo. A parte pintada da figura
representa a área verde do pátio, onde os estudantes cultivam hortas. Determine a área total verde
das hortas desse pátio, em metros quadrados. Considere p 5 3.
Horta
a) 50 m2.
b) 75 m2.
c) 85 m2.
20 m
2
d) 92 m .
x e) 100 m2.
4.
Admita que a área alagada seja proporcional à altura da cota. Nesse caso, se a cota desse reservatório for elevada para 71 metros, a área total alagada, em metros quadrados, será corretamente
expressa por:
a) 4 ? 109.
8
b) 5 ? 10 .
c) 4 ? 107.
x e) 4 ? 108.
9
d) 5 ? 10 .
(Uepa) Texto XII
A arte é uma forma de expressão da racionalidade
humana. O origami é uma técnica japonesa baseada
em juntar módulos individuais de papel dobrado para
criar prismas e cubos, conforme ilustra a figura abaixo.
Kyla McCallum/Acervo da artista
2.
Fonte: <http://noticias.br.
msn.com/fotos/escocesaexploravaria%c3%a7%c3%b5es-tonais-de-luz-sobrepapel-emesculturas-deorigami-2?page=2#image=2>.
Todas as pirâmides ilustradas na composição artística acima são tetraedros regulares de base triangular de aresta L 5 1 dm ligados uns aos outros, por
meio de suas arestas e mantendo suas bases sobre
um mesmo plano. Nestas condições, a área total,
em dm2, de um desses tetraedros regulares é:
2 .
x c)
a)
e) 2 3 .
3.
2
b) 3 .
d) 2 2 .
2
200
Horta
Capítulo 8
Horta
Horta
(Uema) A bola de futebol evoluiu ao longo do tempo e, atualmente, é um icosaedro truncado, formado por 32 peças, denominadas de gomos e,
geometricamente, de faces. Nessa bola, 12 faces
são pentágonos regulares, e as outras, hexágonos,
também regulares. Os lados dos pentágonos e dos
hexágonos são iguais e
costurados. Ao unirem-se
os dois lados costurados
das faces, formam-se as
arestas. O encontro das
arestas forma os vértices.
Quando cheio, o poliedro é
similar a uma esfera.
O número de arestas e o número de vértices existentes nessa bola de futebol são, respectivamente:
Pode ser utilizado o Teorema de Descartes-Euler,
A 1 2 5 V 1 F.
a) 80 e 60.
c) 70 e 40.
b) 80 e 50.
x d) 90 e 60.
e) 90 e 50.
Região Centro-Oeste
5.
(UFGD-MS) A natureza nos surpreende com suas mais
belas formas geométricas. Uma delas é o formato das
células de um favo de mel. Cada célula de um favo é
um prisma reto de base hexagonal.
De acordo com estas informações, considere h (altura) e  (lado) do prisma. O volume de cada célula do
favo de mel é dado por:
a)
2h2 ø 3
3
x c)
3ø 2 h 3
2
b)
2ø 2 h 3
2
d)
2ø 2 h 3
3
Reprodução/Vestibular IFPE 2015
1.
Região Nordeste
e)
3h2 ø 3
2
Karen Katrjyan/Shutterstock
Região Norte
6.
(Univag-MT) Uma maleta térmica, utilizada para o
transporte de órgãos, possui altura h 5 40 cm e
volume de 40 litros. A base da maleta tem a forma
hexagonal formada por dois triângulos equiláteros
de lado a e um retângulo de lados a e b, como mostra a figura.
x
x
a) Determine o valor de x. x 5 10,2 cm
b) Calcule a área de um dos triângulos recortados.
A∆ 5 52,02 cm2
c) Calcule a área do octógono.
2
h
Aoctógono 5 947,92 cm
Região Sul
9.
(IFRS) Nas afirmações a seguir, indique com (V) as
verdadeiras e com (F), as falsas.
– Se a área de um triângulo equilátero é 3 , então
a medida do seu lado é 2.
b
Sabendo que 1 litro 5 1 000 cm3 e considerando
a 5 20 cm e 3 5 1,73, é correto afirmar que o valor de b, em cm, é:
– Se um triângulo retângulo tem seus catetos medindo 3 e 4, então seu perímetro e área são iguais a 12.
– Se o lado de um losango é 2 e sua diagonal
1
menor é 3 , então sua área é da 15 .
2
– Se aumentar a altura de um trapézio em 10%, sua
área aumentará em 5%.
a) 15,6.
b) 15,4.
x c) 32,7.
d) 15,7.
A alternativa que completa, corretamente, de cima
para baixo as afirmações é:
e) 32,4.
x d) V – F – V – F
a) V – F – V – V
Região Sudeste
7.
(Ibmec) Uma pizzaria vende pizzas circulares com
32 cm de diâmetro, divididas em 8 pedaços iguais.
O dono do estabelecimento pensou em criar uma
pizza de tamanho maior, a ser dividida em 12 pedaços iguais, de modo que a área de cada um deles
seja igual à área de um pedaço da pizza menor. Para isso, o diâmetro da pizza de 12 pedaços deve ser
aproximadamente igual a:
a) 36 cm.
x b) 40 cm.
b) F – V – F – F
e) F – F – V – V
c) V – V – F – V
10.
(UEL-PR) As retas r e s foram obtidas prolongando-se duas arestas de um cubo, como está representado na figura abaixo.
r
c) 44 cm.
d) 48 cm.
e) 52 cm.
8.
(UFV-MG) De um piso quadrado de 34 cm de lado
recortam-se pequenos triângulos retângulos isósceles de cateto x, de modo a obter um piso em forma de octógono regular, conforme ilustra a figura
a seguir. Considere 2 5 1, 4.
s
Sobre a situação dada, indique a afirmação incorreta.
x a) r e s são retas paralelas.
b) r e s são retas reversas.
c) r e s são retas ortogonais.
d) Não existe plano contendo r e s.
e) r > s 5 [
Poliedros: prismas e pirâmides
201
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
a
UNIDADE
4
Análise
combinatória e
probabilidade
202
9
01
CAPÍTULO
CAPÍTULO
Análise
Conjuntos
combinatória
numéricos
Sérgio Dotta Jr./Arquivo da editora
NASA/Corbis/Latinstock
Cadeado com senha – combinações de letras, números e
caracteres. A análise combinatória é a área da Matemática que
trata das técnicas de contagem. Utilizamos técnicas de contagem,
por exemplo, para descobrir quantas senhas podem ser formadas
em um cadeado com segredo. No caso do cadeado desta fotografia
podem ser formadas, ao todo, 12 milhões de combinações.
203
1
Princípio da multiplicação ou princípio
fundamental da contagem
Acompanhe a seguir a resolução de alguns problemas.
1 ) Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. Sabendo que há 5 roteiros diferentes para chegar a São Paulo partindo de Recife e 4 roteiros diferentes para chegar a Porto Alegre partindo de
São Paulo, de quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre?
Para facilitar a compreensão, vamos utilizar os esquemas seguintes:
o
Recife
1
A
São Paulo
2
B
3
C
4
D
5
5 possibilidades
4 possibilidades
Porto Alegre
ou
1
A B C D
2
A B C D
3
4
A B C D
5
A B C D
5 possibilidades
4 possibilidades
A B C D
Para refletir
Dizemos que a viagem
de Recife a Porto Alegre é
um evento composto de
duas etapas sucessivas e
independentes. Quais
são elas?
1ª etapa: Recife - São Paulo;
2ª etapa: São Paulo - Porto
Alegre.
Há 5 possibilidades para viajar de Recife a São Paulo e 4 possibilidades para viajar de São Paulo a Porto Alegre.
Total de possibilidades para viajar de Recife a Porto Alegre: 5  4 5 20.
São elas: 1A, 1B, 1C, 1D, 2A, 2B, 2C, 2D, 3A, 3B, 3C, 3D, 4A, 4B, 4C, 4D, 5A, 5B, 5C e 5D.
Portanto, há 20 maneiras possíveis de viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo.
2o) Ao lançarmos simultaneamente uma moeda e um dado, temos as seguintes possibilidades para o resultado (sendo C: cara e C: coroa):
C
C.
1
2
C1
C2
3
C3
4
5
C4
C5
6
C6
1
C. 1
2
C. 2
3
C. 3
4
5
C. 4
C. 5
C. 6
6
2
6
possibilidades possibilidades
Fique atento!
A esse segundo esquema damos
o nome de árvore de possibilidades
ou diagrama de árvore.
12
possibilidades
Observe que o evento tem duas etapas, com 2 possibilidades em uma e 6 possibilidades em outra, totalizando 12 possibilidades (2 ? 6 5 12).
De modo geral, podemos dizer:
Se um evento é composto de duas etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o número
de possibilidades na 1a etapa é m e para cada possibilidade da 1a etapa o número de possibilidades na
2a etapa é n, então o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m ? n.
Esse é o princípio fundamental da contagem.
Observação: O produto dos números de possibilidades vale para qualquer número de etapas independentes.
204
Capítulo 9
3o) Em um restaurante há 2 tipos de salada, 2 tipos de pratos quentes e 3 tipos de sobremesa. Quais e quantas possibilidades temos para fazer uma refeição com 1 salada, 1 prato quente e 1 sobremesa?
Representando por S1 e S2 os 2 tipos de salada; por P1 e P2 os 2 tipos de pratos quentes; e por s1, s2 e s3 os
3 tipos de sobremesa, temos:
P1
S1
P2
P1
S2
P2
2 possibilidades
2 possibilidades
s1
S1P1s1
s2
S1P1s2
s3
S1P1s3
s1
S1P2s1
s2
S1P2s2
s3
S1P2s3
s1
S2P1s1
s2
S2P1s2
s3
S2P1s3
s1
S2P2s1
s2
S2P2s2
s3
S2P2s3
3 possibilidades
12 possibilidades
Portanto, o número total de possibilidades é 2 ? 2 ? 3 5 12.
4 o) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7:
a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar?
centena dezena unidade
Existem 8 algarismos de 0 a 7. Há 7 possibilidades para a centena (0 não é permitido), 8 para a dezena e
8 para a unidade. Portanto, podemos formar 448 números (7 ? 8 ? 8 5 448).
b) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar?
centena dezena unidade
Para refletir
O zero é excluído do
algarismo das centenas,
pois o número
considerado deve ter
3 algarismos. Justifique.
Com 3 algarismos distintos, há 7 possibilidades para a centena, 7 para a dezena e 6 para a unidade. Portanto, podemos
formar 294 números (7 ? 7 ? 6 5 294) de 3 algarismos distintos com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
Se tivermos o zero nas centenas, significa que não há
5o) Qual é o total de números de três dígitos distintos?
centenas nesse número. Por exemplo: 0 4 5 5 45.
Temos 10 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. O primeiro dígito pode ser escolhido de 9 maneiras, pois ele não
pode ser igual a 0. O segundo dígito pode ser escolhido de 9 maneiras, pois não pode ser igual ao primeiro dígito. O terceiro dígito pode ser escolhido de 8 maneiras, pois não pode ser igual nem ao primeiro
nem ao segundo dígito.
Assim, temos: 9 3 9 3 8 5 648.
Portanto, são 648 números de três dígitos distintos.
Análise combinatória
205
2
Permutações simples e fatorial
de um número
Permutar é sinônimo de trocar. Intuitivamente, nos problemas de
contagem, devemos associar a permutação à noção de embaralhar,
isto é, trocar objetos de posição.
Vejamos agora quantos agrupamentos é possível formar quando temos n elementos e todos serão
usados em cada agrupamento. Observe os exercícios resolvidos:
Exercícios resolvidos
1.
Quantos números de 3 algarismos (sem repeti-los em um mesmo número) podemos formar com os algarismos
1, 2 e 3?
Resolução:
Podemos resolver por tentativa. Assim, temos: 123, 132, 213, 231, 312 e 321. Concluímos então que são 6 os números procurados. Podemos também fazer uma árvore de possibilidades:
1
2
3
3
possibilidades
2
3
1 23
3
2
1 32
1
3
213
3
1
231
1
2
312
2
1
321
2
possibilidades
1
possibilidade
Pelo princípio fundamental da contagem, temos 6 possibilidades (3 ? 2 ? 1 5 6).
Observe que a ordem dos algarismos é muito importante. Todos os números diferem entre si pela ordem de
seus algarismos.
2.
Quantos são os anagramas (diferentes disposições das letras de uma palavra) da palavra A N E L ?
Resolução:
Considerando as quatro letras: A, N, E e L, há 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a
segunda, 2 possibilidades para a terceira e 1 possibilidade para a quarta posição.
Pelo princípio fundamental da contagem, temos 24 possibilidades (4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24), ou seja, são 24 anagramas.
De modo geral, a pergunta é: de quantas maneiras podemos ordenar em fila n objetos distintos?
Podemos escolher o primeiro elemento da fila de n maneiras. Agora, de quantas maneiras podemos escolher
o segundo elemento da fila? De n – 1 maneiras. Prosseguindo dessa forma e usando o princípio multiplicativo,
fica claro que o número de agrupamentos ordenados que podemos obter com todos esses n elementos é
dado por:
n ? (n 2 1) ? (n 2 2) ? ... ? 3 ? 2 ? 1
Esses agrupamentos ordenados (diferem pela ordem) recebem o nome de permutações simples.
Indicamos por Pn o número de permutações simples de n elementos e escrevemos:
Pn 5 n ? (n 2 1) ? (n 2 2) ? ... ? 3 ? 2 ? 1
206
Capítulo 9
Fatorial
O valor obtido com Pn é também chamado fatorial do número natural n e
indicado por n! (lê-se “fatorial de n” ou “n fatorial”).
Fique atento!
Podemos
escrever:
Assim, temos n! 5 n ? (n 2 1) ? (n 2 2) ? ... ? 3 ? 2 ? 1, para n  1.
n! 5 n ? (n 2 1)!
Considera-se 0! 5 1.
15! 5 15 ? 14 ? 13!
Assim, o número de permutações simples de n objetos, ou seja, o número de vezes em que podemos
colocar n objetos distintos em diferentes ordens é n!; escrevemos Pn 5 n!
Exemplos:
a) P5 5 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 120
5! 5 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 120
b) P4 5 4! 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24
c) P2 5 2! 5 2 ? 1 5 2
Exercícios resolvidos
3.
Calcule quantos são os anagramas:
4.
a) da palavra PERDÃO;
b) da palavra PERDÃO que iniciam com P e terminam em O;
c) da palavra PERDÃO em que as letras A e O aparecem juntas e nessa ordem (ÃO);
d) da palavra PERDÃO em que P e O aparecem nos
extremos;
e) da palavra PERDÃO em que as letras PER aparecem juntas, em qualquer ordem.
Simplifique as expressões:
a)
20!
18!
Cada anagrama corresponde a uma ordem de colocação dessas 6 letras.
b) P — — — — O
Devemos permutar as 4 letras não fixas, ou seja,
calcular P4:
P4 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24
Portanto, há 24 anagramas da palavra PERDÃO
iniciados com P e terminados em O.
c) É como se a expressão ÃO fosse uma só letra:
PERD ÃO ; assim, temos que calcular P5:
P5 5 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 120
d) P — — — — O
O————P
Temos então 2 ? P4 5 2 ? 4! 5 48; 48 anagramas.
e) Considerando PER como uma só letra, PER DÃO,
temos que calcular P4:
P4 5 4! 5 24
Como as 3 letras de PER podem aparecer em
qualquer ordem, temos P3 5 3! 5 6 possibilidades de escrevê-las juntas.
Assim, o número total de anagramas pedido é:
P4 ? P3 5 24 ? 6 5 144; 144 anagramas
n!
c) (n 11)!
48!1 49!
50!
Resolução:
20!
18!
b)
48! 49!
50!
48!
50
50 49
1
49
c)
5.
20 19 18!
18!
a)
Resolução:
a) Basta calcular P6 5 6! 5 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 720.
b)
1)!
(49
50!
n!
(n
380
(n
n!
1) n!
48!)
48! (1 49)
50 49 48!
1
n
1
Colocando todos os anagramas da palavra ÂNGULO
listados em ordem alfabética, como em um dicionário, em que posição da lista estará a palavra:
a) ÂGLNOU?
b) UONLGÂ?
c) ÂNGULO?
Resolução:
a) Todas as letras estão em ordem alfabética, logo
a palavra ÂGLNOU ocupa a 1a posição.
b) As letras da palavra UONLGÂ estão na ordem
inversa da 1a posição, portanto esta palavra ocupa a última posição.
P6 5 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 720
Assim, UONLGÂ ocupa a 720a posição.
c) Â G — — — — → P4 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24
 L — — — — → P4 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24
 N G L — — → P2 5 2 ? 1 5 2
 N G O — — → P2 5 2 ? 1 5 2
 N G U L O → P1 5 1
Assim:
24 1 24 1 2 1 2 1 1 5 53
Portanto, ocupa a 53a posição.
Análise combinatória
207
Exercícios
1.
2.
Atividade
em dupla
Existem 2 vias de locomoção de uma cidade A para
uma cidade B e 3 vias de locomoção de uma cidade
B a uma cidade C. De quantas maneiras pode-se ir
de A a C passando por B? 6 maneiras.
Ao lançarmos sucessivamente 3 moedas diferentes,
quantas e quais são as possibilidades de resultado?
4.
Em um restaurante há 5 tipos de salada, 4 tipos de
pratos quentes e 3 tipos de sobremesa. De quantas
maneiras podemos fazer uma refeição composta
de 1 salada, 1 prato quente e 1 sobremesa?
6.
7.
8.
9.
60 maneiras.
Quantos números de dois algarismos podemos formar
sabendo que o algarismo das dezenas corresponde a
um múltiplo de 2 (diferente de zero) e o algarismo das
unidades corresponde a um múltiplo de 3? 16 números.
Usando somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números:
a) de 2 algarismos podemos formar? 36
b) pares de 2 algarismos podemos formar? 18
c) ímpares de 2 algarismos podemos formar? 18
d) de 2 algarismos distintos podemos formar? 30
e) de 2 algarismos pares podemos formar? 9
Uma prova é composta de 7 questões do tipo
“Verdadeiro ou Falso”. De quantas maneiras um
aluno pode responder a essa prova aleatoriamente,
ou seja, “chutando” as respostas? 128 maneiras.
Em um salão de festas há 6 janelas. De quantas
maneiras podemos escolher quais janelas estarão
abertas ou fechadas, de modo que pelo menos uma
das janelas esteja aberta? 63 maneiras.
11.
A
A
C
B
B
B
B
B
C
C
C
D
D
D
D
D
E
E
E
E
E
E
7!
210
4!
c)
3!5!
4!6!
1
24
n!
n2 2 n
(n 2 2)!
e)
(n 1 1)!
(n 1 2)!
f)
(n 1 3)! (n 2 1)!
?
(n 2 2)! (n 1 2)!
Determine o valor de n nas equações:
n! 5 56 n 5 8
a)
( n 2 2)
1
n+2
n2 1 2n 2 3
12.
Quantas palavras (com significado ou não) de 3 letras podemos formar com as letras A, L e I? Quais
são essas palavras? 6 palavras: ALI, AIL, LAI, LIA, IAL, ILA.
13.
Quantos números de 4 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4, 6 e 8? E de 4 algarismos
distintos? 256; 24
14.
De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode se sentar em um banco de 5 lugares para tirar
uma foto? 120 maneiras.
15.
De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode se sentar em um banco de 5 lugares, ficando
duas delas (por exemplo, pai e mãe) sempre juntas,
em qualquer ordem? 48 maneiras.
16.
Quantos são os anagramas da palavra AMOR?
17.
Quantos números naturais de algarismos distintos
entre 5 000 e 10 000 podemos formar com os algarismos 1, 2, 4 e 6? 6 números.
18.
Considere todos os anagramas da palavra TEORIA.
a) Quantos são? 720
24 anagramas.
b) Quantos começam por TEO? 6
c) Quantos têm as letras TEO juntas nessa ordem?
24
d) Quantos têm as letras TEO juntas em qualquer
ordem? 144
e) Quantos têm as vogais juntas, em ordem alfabética, e as consoantes juntas, em qualquer ordem?
4
19.
De quantas maneiras diferentes o cartão de respostas com as 90 questões dessa prova poderá ser
preenchido aleatoriamente? (Suponham que todas
as 90 questões foram respondidas no cartão.)
90
5 maneiras.
Capítulo 9
b)
d)
b) (n 1 2)! 1 (n 1 1)! 5 15n! n 5 2
Em uma prova de vestibular com 90 questões
do tipo teste, cada questão tem 5 alternativas. O
aluno deve preencher um cartão de respostas, assinalando o quadradinho correspondente à resposta de cada questão.
A
A
Calcule o valor ou simplifique:
a) 6! 720
8 possibilidades.
1
2
3
4
5
6
208
10.
De quantas maneiras diferentes pode-se vestir uma
pessoa que tenha 5 camisas, 3 calças, 2 pares de
meia e 2 pares de sapato? 60 maneiras.
3.
5.
ATENÇÃO!
Não escreva
no seu livro!
Atividade
em equipe
Colocando todos os anagramas da palavra AMIGO
listados em ordem alfabética, como em um dicionário, qual será a:
a) 1a palavra? AGIMO
b) 2a palavra? AGIOM
c) 25a palavra? GAIMO
d) penúltima palavra? OMIAG
e) 55a palavra? IGAMO
3
Permutações com repetição
Considere o exemplo:
Quantos são os anagramas da palavra BATATA?
Se os As fossem diferentes e os Ts também, teríamos as letras B, A1, A2, A3, T1, T2, e o total de anagramas
seria P6 5 6!.
Mas as permutações entre os 3 As não produzirão novo anagrama. Então precisamos dividir P6 por P3.
O mesmo ocorre com os dois Ts: precisamos dividir também P6 por P2.
Portanto, o número de anagramas da palavra BATATA é:
6 ? 5 ? 4 ? 3!
6!
P6
5
5
5 60
3!2!
3!2!
P3 ? P2
Generalizando:
O número de permutações de n elementos dos quais a é de um tipo, b é de outro e g é de outro, com
a 1 b 1 g 5 n, é dado por:
a
n!
a , b, g
b representam o número de vezes que certo elemento se repete.
Pn 5
a! b! g!
g
Exercícios resolvidos
6.
Quantos são os anagramas da palavra ARARA?
7.
Resolução:
Resolução:
Nesse caso, há 3 três letras A, 2 letras R e um total
de 5 letras.
Portanto, a 5 3 e b 5 2. Logo:
P53, 2 5
Quantos anagramas da palavra CAMARADA começam com A?
Fixamos uma letra A e fazemos os possíveis anagramas com as demais: ACAMARAD . Neste caso há 3
letras A e um total de 7 letras. Portanto, a 5 3. Logo:
5 ? 4 ? 3!
5!
5
5 10
3!2!
3!2!
7!
5 7 ? 6 ? 5 ? 4 5 840
3!
840 anagramas de CAMARADA começam com A.
P73, 1, 1, 1, 1 5
Logo, são 10 os anagramas da palavra ARARA.
Exercícios
20. Determine quantos são os anagramas das palavras:
a)
b)
c)
d)
e)
MISSISSIPPI; 34 650
ARARAQUARA; 5 040
ABÓBORA; 630
BISCOITO; 10 080
ARARAQUARA que começam e terminam com A.
1 120
Fique atento!
Por convenção, não se
considera a acentuação
gráfica nos anagramas.
Na palavra abóbora, por
exemplo, a letra O com
acento ou sem acento
tem o mesmo
significado.
21.
Em relação à palavra PAPA:
a) quantos são os anagramas? 6
b) quais são os anagramas?
PPAA, AAPP, APAP, APPA, PAAP e PAPA
22.
Uma matriz quadrada 3 3 3 deve ser preenchida
com 4 “zeros”, 3 “cincos” e 2 “setes”. De quantas
maneiras podemos preencher essa matriz?
23.
Uma prova tem 10 questões do tipo teste, cada
uma valendo 1 ponto se estiver certa ou 0 ponto se
estiver errada (não há “meio certo” nas questões). De
quantos modos é possível tirar nota 7 nessa prova?
24.
Um casal pretende ter 4 filhos, sendo 2 meninas
e 2 meninos, em qualquer ordem de nascimento.
Quantas são as ordens possíveis em que podem
ocorrer esses 4 nascimentos? 6 ordens.
1 260 maneiras.
120 modos.
Análise combinatória
209
4
Arranjos simples
Vimos que permutação simples de n elementos é qualquer agrupamento ordenado desses n elementos.
Agora, tendo n elementos, vamos estudar os agrupamentos ordenados de 1 elemento, de 2 elementos, de
3 elementos, ..., de p elementos, com p  n.
Exercícios resolvidos
8.
Pelo princípio fundamental da contagem, há, no
total, 4 ? 3 5 12 possibilidades.
Consideremos as letras a, b, c e d. Quais e quantos
agrupamentos ordenados diferentes de 2 letras
distintas é possível formar com elas?
Os 12 agrupamentos ordenados diferentes são:
ab
ba
ca
da
ac
bc
cb
db
ad
bd
cd
dc
Resolução:
b
c
a
Esses agrupamentos são chamados arranjos simples. Arranjamos 4 elementos 2 a 2, e o número
desses arranjos foi 12. Escrevemos então:
A4, 2 5 4 ? 3 5 12 (arranjo de 4 elementos tomados
2 a 2 é igual a 12)
d
a
c
b
d
a
9.
b
c
d
a
1ª posição
4 possibilidades
Resolução:
b
d
Usando os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9, quantos números
naturais de 3 algarismos distintos podemos formar?
centena dezena unidade
c
2ª posição
3 possibilidades
Na primeira posição temos 4 possibilidades (pois
temos 4 elementos disponíveis). Na segunda posição, 3 possibilidades (pois temos 3 elementos disponíveis).
Há 5 possibilidades para o primeiro algarismo, 4
para o segundo e 3 para o terceiro.
No total podemos então formar 60 números
(5 ? 4 ? 3 5 60).
Dizemos nesse exercício que fizemos arranjos de
5 elementos 3 a 3, e o número desses arranjos é 60.
Indicamos assim: A5, 3 5 5 ? 4 ? 3 5 60
Fórmula do número total de arranjos simples
Vejamos como calcular o número total desses agrupamentos no caso geral de n elementos arranjados
p a p, com p  n, ou seja, como calcular An, p (lê-se: arranjo de n elementos tomados p a p).
Para p 5 n, temos An, n 5 Pn 5 n! , já estudado.
Para p , n, temos n elementos distintos e vamos arranjá-los p a p. Construindo a árvore de possibilidades,
obtemos:
• na primeira posição: n possibilidades
(pois temos n elementos disponíveis)
• na segunda posição: (n 2 1) possibilidades
(pois temos (n 2 1) elementos disponíveis)
• na terceira posição: (n 2 2) possibilidades
(pois temos (n 2 2) elementos disponíveis)
•


na p-ésima posição: n 2 (p 2 1) possibilidades (pois temos n 2 (p 2 1) elementos disponíveis)
210
Capítulo 9
Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos que o número total de possibilidades é
dado por:
An, p 5 n ? (n 2 1) ? (n 2 2) ? … ? [n 2 (p 2 1)]
14444442444444
3
Fique atento!
n 2 (p 2 1) é o mesmo
que n 2 p 1 1.
p fatores
Podemos ainda indicar An, p por meio de fatoriais. Observe:
An, p 5 n ? (n 2 1) ? (n 2 2) ? … ? (n 2 p 1 1)
Multiplicando esse número por
(n 2 p)!
, temos:
(n 2 p)!
An, p 5 n ? (n 2 1) ? (n 2 2) ? … ? (n 2 p 1 1) ?
5
(n 2 p)! n ? (n 2 1) ? (n 2 2) ? … ? (n 2 p 1 1) ? (n 2 p)!
5
5
(n 2 p)!
(n 2 p)!
n!
n ? (n 2 1) ? (n 2 2) ? ... ? (n 2 p 1 1) ? (n 2 p) ? (n 2 p 2 1) ? (n 2 p 2 2) ? ... ? 3 ? 2 ? 1
5
(n 2 p)!
(n 2 p)!
Como p , n, multiplicar um número por
altera.
(n 2 p)!
significa multiplicá-lo por 1; logo, seu valor não se
(n 2 p)!
Portanto:
An, p 5
n!
(n 2 p)!
Resumindo:
Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p  n) são os agrupamentos ordenados
diferentes que se podem formar com p dos n elementos dados.
Indica-se por An, p ou Anp o total desses agrupamentos, que calculamos assim:
An, p 5 n ? (n 2 1) ? (n 2 2) ? … ? (n 2 p 1 1)
ou
An, p 5
n!
(n 2 p)!
Usando a segunda fórmula, podemos comprovar que, no caso n 5 p, temos: An, n 5 Pn 5
Exemplos:
n!
n! n!
5 5 5 n!
(n 2 n)! 0! 1
(10 2 4 1 1)
↑
a) A10, 4 5 10 ? 9 ? 8 ? 7 5 5 040
ou A10, 4 5
10! 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6!
5
5 5 040
6!
6!
(8 2 2 1 1)
↑
b) A8, 2 5 8 ? 7 5 56
ou A8, 2 5
8 ? 7 ? 6!
5 56
6!
Observação importante: Você pode usar tanto o conceito de arranjo como o princípio fundamental da contagem para resolver problemas, como veremos nos exercícios resolvidos a seguir. Compreender o que está
sendo feito é mais importante do que decorar uma fórmula e aplicá-la.
Análise combinatória
211
Exercícios resolvidos
10.
2 a maneira: usando a fórmula
Fixando as duas últimas como sendo TA, temos
de arranjar as 2 iniciais das 6 que sobraram. Assim:
A6, 2 5 6 ? 5 5 30
Quantos números de 2 algarismos diferentes podemos
escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
Resolução:
1 a maneira: usando a fórmula
Procuramos agrupamentos de 2 elementos em que
a ordem é importante, pois, por exemplo, 12 ± 21.
Temos 9 elementos para serem arranjados 2 a 2.
Assim, temos de calcular:
A9, 2 5
9!
(9
2)!
9!
7!
9 8 7!
7!
e) 1a maneira: sem usar a fórmula
Fixando M como 1a letra, restam 7 possibilidades
para a 2a letra, 6 para a 3a e 5 para a 4a letra. Assim,
temos 210 palavras (7 ? 6 ? 5 5 210) com o M na
1a posição. Da mesma forma, teremos 210 possibilidades para o M na 2a, na 3a e na 4a posição. Assim,
temos 840 palavras (4 ? 210 5 840).
72
2 a maneira: usando a fórmula
Colocando o M, temos A7, 3 5 7 ? 6 ? 5 5 210;
210 possibilidades para as outras letras. Como podemos colocar o M de quatro maneiras diferentes:
Portanto, existem 72 números de 2 algarismos diferentes que podem ser escritos com os algarismos
de 1 a 9.
2a maneira: sem usar a fórmula
Para o algarismo das dezenas temos 9 opções, e
para o algarismo das unidades, apenas 8 opções,
pois não podemos repetir algarismos. Assim, temos
9 ? 8 5 72. Portanto, são 72 números.
11.
M
M
c) 1 maneira: sem usar a fórmula
Fixando E como 1a letra, restam 7 possibilidades
para a 2a letra, 6 para a 3a e 5 para a 4a letra.
Assim, temos 7 ? 6 ? 5 5 210.
2a maneira: usando a fórmula
Fixando E como 1a letra, temos de arranjar as
3 restantes das 7 que sobraram. Assim:
A7, 3 5 7 ? 6 ? 5 5 210
d) 1a maneira: sem usar a fórmula
Fixando TA como 3a e 4a letras, restam 6 possibilidades para a 1a letra e 5 para a 2a. Assim, temos 30 palavras (6 ? 5 5 30).
212
Capítulo 9
M , temos:
Sem o M, teremos 7 letras para compor a palavra: 7 possibilidades para a 1a letra, 6 para a 2a,
5 para a 3a e 4 para a 4a letra. Assim, temos
840 palavras (7 ? 6 ? 5 ? 4 5 840).
2a maneira: usando a fórmula
Retirando o M, passamos a ter 7 letras. Como os
anagramas devem conter 4 letras, temos:
A7, 4 5 7 ? 6 ? 5 ? 4 5 840
Observação: Também poderíamos ter feito
1 680 2 840 para obter 840, subtraindo o número
de palavras obtido em e do número total obtido
em b.
a) P8 5 8! 5 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 40 320
a
e
;
f) 1 a maneira: sem usar a fórmula
Resolução:
2a maneira: usando a fórmula
A8, 4 5 8 ? 7 ? 6 ? 5 5 1 680
M
4 ? 210 5 840
Responda às seguintes questões:
a) Quantos anagramas podemos formar com as
letras da palavra CONTAGEM?
b) Quantas palavras de 4 letras distintas podemos
formar com as letras da palavra CONTAGEM?
c) Quantas dessas palavras começam com E?
d) Quantas terminam com TA?
e) Quantas contêm a letra M?
f ) Quantas não contêm a letra M?
b) 1a maneira: sem usar a fórmula
Temos 8 possibilidades para a 1a letra, 7 para a
2a, 6 para a 3a e 5 para a 4a letra. Assim, temos
8 ? 7 ? 6 ? 5 5 1 680; 1 680 palavras.
;
12.
De quantas maneiras 5 meninos podem se sentar
em um banco que tem apenas 3 lugares?
Resolução:
1 a maneira: sem usar a fórmula
5 meninos são possíveis para o 1o lugar do banco,
4 para o 2o e 3 para o 3o. Então, são 5 ? 4 ? 3 5 60;
60 possibilidades.
2 a maneira: usando a fórmula
Estamos interessados nos agrupamentos ordenados de 3 elementos, retirados de 5 elementos, ou
seja:
A5, 3 5
5!
5 5 ? 4 ? 3 5 60
2!
Portanto, há 60 maneiras possíveis.
13.
Quantas frações diferentes (e não iguais a 1) podemos escrever usando os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13?
15.
Um estudante tem 5 lápis de cores diferentes. De
quantas maneiras diferentes ele poderá pintar os
estados da região Sul do Brasil, cada um de uma cor?
Resolução:
Resolução:
1 maneira: usando a fórmula
1a maneira: sem usar a fórmula
Nesse caso estamos procurando agrupamentos de
2 elementos nos quais a ordem é importante
São 3 estados: Paraná, Santa Catarina e Rio Grande
do Sul. Para pintar o Paraná há 5 possibilidades,
para Santa Catarina há 4 possibilidades e para o
Rio Grande do Sul há 3 possibilidades. Logo,
5 ? 4 ? 3 5 60; 60 possibilidades.
a
 2 3  e nos quais um mesmo número não pode
 ± 
3 2
3
ser repetido na mesma fração  5 1 .
3 
2 a maneira: usando a fórmula
Os estados do Sul do Brasil são 3: Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul. Logo, devemos calcular
A5, 3.
Esses agrupamentos de 2 elementos devem ser formados com os 6 elementos: 2, 3, 5, 7, 11 e 13. Logo,
temos:
5!
5 5 ? 4 ? 3 5 60
2!
Portanto, há 60 maneiras diferentes de pintar os
estados do Sul usando 5 cores.
A5, 3 5
6!
A6, 2 5
5 6 ? 5 5 30
4!
Portanto, podemos formar 30 frações nessas condições.
2 a maneira: sem usar a fórmula
16.
Para o denominador temos 6 opções e, para o numerador, 5 opções. Então, 6 ? 5 5 30; 30 frações.
Temos as possibilidades:
•6
•5
•4
•3 5
•3 6
14. Quantos números ímpares de 4 algarismos não repetidos podemos escrever com os algarismos 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
Resolução:
Para a dezena, temos 8 opções, pois não podemos
repetir o algarismo usado nas unidades.
Para a centena, 7 opções; para o milhar, 6 opções.
Assim, 6 ? 7 ? 8 ? 5 5 1 680; 1 680 números.
2 a maneira: usando a fórmula
Dos 9 algarismos, 5 deles são ímpares.
Terminando com um desses 5 algarismos (por
1 ), podemos escrever A8, 3 núexemplo,
meros de 4 algarismos.
Como são 5 as possibilidades para a última posição,
podemos escrever:
5A8, 3 5 5 ?
8!
5 5(8 ? 7 ? 6) 5 1 680
5!
Portanto, há 1 680 números ímpares de 4 algarismos
não repetidos com os dígitos 1 a 9.
3A5, 2
2A4, 1
Então, o total de números é:
3A 5, 2 1 2 A 4, 1 5 3(5 ? 4) 1 2 ? 4 5 68
1 a maneira: sem usar a fórmula
Para que o número seja ímpar, devemos ter como
algarismo das unidades uma das 5 opções apresentadas (1, 3, 5, 7 ou 9).
Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números
de 3 algarismos distintos maiores do que 350 podemos formar?
17.
Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 3
algarismos distintos maiores que 300 podemos formar?
Resolução:
1a maneira: sem usar a fórmula
Para algarismos maiores do que 300 é necessário
que o algarismo da centena seja 3, 4, 5 ou 6. Assim,
temos 4 possibilidades para a centena.
Para a dezena, 5 possibilidades, pois não podemos
repetir a centena, e para a unidade, 4 possibilidades.
Assim, 4 ? 5 ? 4 5 80 números.
2 a maneira: usando a fórmula
Temos as possibilidades:
•3 _ _
•4 _ _
•5 _ _
•6 _ _
Para preencher cada uma das lacunas temos A5, 2
possibilidades.
Portanto, podemos formar:
4A5, 2 5 4(5 ? 4) 5 80 números
Análise combinatória
213
Exercícios
25. Calcule:
32. Em um sofá há lugares para 4 pessoas. De quantas
e) A5, 1 5
b) A6, 3 120
f ) A7, 0 1
c) A8, 2 56
g) A8, 5 6 720
d) A4, 4 24
h) An, 0 1
Dam d’Souza/Arquivo da editora
maneiras diferentes podem se sentar 6 pessoas?
a) A4, 2 12
26. Determine a expressão correspondente a:
a) Ax, 2
27.
x2 2 x
b) Ax 2 3, 2
x2 2 7x 1 12
c) A2x 1 1, 3
8x3 2 2x
Determine o valor de x nas equações:
a) Ax 2 1, 2 5 30 7
b) Ax, 3 5 x3 2 40 4
Para refletir
Procure resolver o exercício 28 sem usar
a fórmula e usando a fórmula.
360 maneiras.
28. Um clube tem 30 membros. A diretoria é formada
33. Um estudante tem 6 lápis de cores diferentes. De
por um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar
apenas um desses cargos, de quantas maneiras é
possível formar uma diretoria? 657 720 maneiras.
quantas maneiras ele poderá pintar os estados da
região Sudeste do Brasil (São Paulo, Rio de Janeiro,
Minas Gerais e Espírito Santo), cada um de uma cor?
360 maneiras.
34. Responda:
29. Responda no caderno às questões:
a) Quantos anagramas podemos formar com as
letras da palavra FILHO? 120
a) Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados pelos dígitos 4, 5, 6, 7 e 8? 120
b) Quantos desses números formados são ímpares?
b) Quantas “palavras” de 4 letras distintas é possível formar com as letras da palavra FILHO? 120
48
30. De quantas maneiras podemos escolher uma pivô e
c) Quantas dessas “palavras” de 4 letras começam
com O? 24
132 maneiras.
Christian Petersen/Getty Images
uma ala em um grupo de 12 jogadoras de basquete?
d) Quantas dessas “palavras” de 4 letras terminam
com FI? 6
e) Quantas “palavras” de 4 letras contêm a letra I?
96
35. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6:
a) quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar? 360
b) quantos números de 4 algarismos distintos
podemos formar tal que o último algarismo
seja sempre 6? 60
Seleção brasileira de basquete feminino nos Jogos Olímpicos de
Londres 2012, Inglaterra.
31.
Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
c) quantos números pares de 4 algarismos distintos
podemos formar? 180
a) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever? 504
d) quantos números ímpares de 4 algarismos distintos podemos formar? 180
b) Quantos números de 4 algarismos distintos que
terminem com 7 podemos escrever? 336
c) Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever?
2 520
d) Quantos números de 7 algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 5 e 6 sempre
juntos e nessa ordem? 15 120
214
Capítulo 9
36. De quantas maneiras diferentes podemos dispor
uma equipe de 4 alunos em uma sala de aula que
tem 30 carteiras? 657 720
37.
Dispomos de 5 cores e queremos pintar uma faixa
decorativa com 3 listras, cada uma de uma cor. De
quantas maneiras isso pode ser feito? 60
5
Combinações simples
Nos problemas de contagem, o conceito de combinação está intuitivamente associado à noção de
escolher subconjuntos. Observe com atenção estes dois exemplos:
a) Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma equipe. Dois deles precisam representar a equipe em
uma apresentação. Quais e quantas são as possibilidades?
Representemos por A: Ane; E: Elisa; R: Rosana; F: Felipe; e G: Gustavo. Precisamos determinar todos os
subconjuntos de 2 elementos do conjunto de 5 elementos {A, E, R, F, G}. A ordem em que os elementos
aparecem nesses subconjuntos não importa, pois Ane-Elisa, por exemplo, é a mesma dupla que Elisa-Ane.
Então, os subconjuntos de 2 elementos são: {A, E}, {A, R}, {A, F}, {A, G}, {E, R}, {E, F}, {E, G}, {R, F}, {R, G}, {F, G}.
A esses subconjuntos chamamos combinações simples de 5 elementos tomados com 2 elementos, ou
tomados 2 a 2, e escrevemos: C5, 2. Como o número total dessas combinações é 10, escrevemos C5, 2 5 10.
b) Consideremos um conjunto com 5 elementos e calculemos o número de combinações simples de 3 elementos, ou seja, o número de subconjuntos com 3 elementos.
Conjunto com 5 elementos: {a, b, c, d, e}.
Combinações simples de 3 elementos: {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e},
{b, d, e}, {c, d, e}.
Cada combinação dessas dá origem a 6 arranjos, permutando de todos os modos possíveis seus 3 elementos. Por exemplo: ao permutar todos os elementos da combinação {a, b, c} encontramos os arranjos:
(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a). Isso significa que o número de arranjos de 5 elementos
tomados 3 a 3 é seis vezes o número de combinações de 5 elementos tomados 3 a 3, ou seja: A5, 3 5 6C5, 3.
Como o 6 foi obtido fazendo permutações dos 3 elementos de, por exemplo, {a, b, c}, temos P3 5 6. Logo:
5!
A5, 3
5 ? 4 ? 3!
(5 2 3)!
20
5!
A5, 3 5 P3 ? C5, 3 ⇒ C5, 3 5
5
5
5 10
5
5
3!2!
P3
2
3!
3!(5 2 3)!
Fórmula do número total de combinações simples
A cada combinação de n elementos tomados p a p correspondem p! arranjos, que são obtidos pela permutação dos elementos da combinação, ou seja:
n!
Fique atento!
A
Calcular o número total de combinações
n
!
An, p
n
,
p
(n 2 p)!
n!
⇒ Cn, p 5
ou Cn, p 5
Cn, p 5
5
5
simples de n objetos tomados p a p é o
p!
p!(n 2 p)! mesmo que perguntar de quantos modos
p!
p!
p!(n 2 p)!
podemos selecionar p objetos distintos
entre n objetos distintos dados.
Combinações simples de n elementos tomados p a p (p  n) são os subconjuntos com exatamente p
elementos que se podem formar com os n elementos dados.
 n
Indica-se por Cn, p, Cnp ou   o número total de combinações de n elementos tomados p a p e cal p
An, p
n!
ou Cn, p 5
cula-se por Cn, p 5
.
p!(n 2 p)!
p!
Fique atento!
Como são subconjuntos de um conjunto, a ordem dos elementos não importa. Só consideramos subconjuntos distintos os
subconjuntos que diferem pela natureza dos seus elementos.
Como foi observado acima, do mesmo modo que se obtém a fórmula da combinação por meio da divisão
de um arranjo pela permutação, podemos obter a combinação sem usar a fórmula, calculando o arranjo
sem a fórmula e dividindo o resultado pela permutação dos elementos escolhidos. Isso será feito nos exercícios resolvidos nas próximas páginas.
Análise combinatória
215
Uma propriedade importante das combinações
Observemos que:
• C3, 2
5 C3, 1, pois C3, 2 5 3 e C3, 1 5 3
21153
• C5, 3
5 C5, 2, pois C5, 3 5
31255
A 5, 3
3!
5
Fique atento!
5? 4
A
5? 4 ?3
5 10
5 10 e C5, 2 5 5, 2 5
2? 1
3?2? 1
2!
Dado um conjunto de 5 elementos,
para cada subconjunto de 3 elementos
sobra um de 2 elementos.
Daí: C5, 3 5 C5, 2.
De modo geral, vale a propriedade:
Cn, p 5 Cn, n 2 p
pois:
Cn, p 5
n!
n!
n!
5 Cn, n 2 p
5
5
(n 2 p)! (n 2 (n 2 p))!
p! (n 2 p)!
(n 2 p)! p!
Essa propriedade é muito útil para simplificar os cálculos e é conhecida por igualdade de combinações
complementares.
Veja:
100 ? 99
C100, 98 5 C100, 2 5
5 4 950
2? 1
Para refletir
Para p 5 n, temos Cn, n. Qual é seu valor? 1
C43, 42 5 C43, 1 5 43
•
•
Veja a resolução no Manual do Professor.
Exercícios resolvidos
18.
passo a passo: exerc’cio 21
Calcule o valor de:
 4
b)  
2 
a) C6, 3
Resolução:
a) C6, 3 5
6 ? 5 ? 4 ? 3!
6!
6?5? 4
6!
6 ? 5? 4
5
5
5
5 20 ou C6, 3 5 A6, 3 5
5 20
3! (6 2 3)!
3
2
?
?
1
3! 3!
3! 3!
3 ? 2 ?1
3!
A4, 2
4!
 4
4 ?3
 4
4!
4 ?3
5
b)   5
5
5
5 6 ou   5
56
2!(4 2 2)!
2 
2
2! 2!
2
2
!
2? 1
 
19.
Com 6 mulheres e 5 homens, quantas comissões de 6 pessoas, com exatamente 4 mulheres, podem ser
formadas?
Resolução:
Para formar a comissão devemos escolher 4 das mulheres e 2 dos homens. Pelo princípio fundamental da contagem, multiplicamos esses números:
Escolha das mulheres: C6, 4
Escolha dos homens: C5, 2
Logo:
5!
6!
C 6, 4 C 5, 2
4!(6 4)! 2!(5 2)!
5!
6 5 4! 5 4 3!
6!
4! 2! 2! 3!
4! 2!
2! 3!
30 20
15 10 150
2
2
Assim, podem ser formadas 150 comissões com 6 pessoas e com, exatamente, 4 mulheres e 2 homens.
216
Capítulo 9
20. Em um plano marcamos 6 pontos distintos, dos quais 3 nunca estão em linha reta.
a) Quantos segmentos de reta podemos traçar ligando-os 2 a 2?
b) Quantos triângulos podemos formar tendo sempre 3 deles como vértices?
Resolução:
a) Marcamos 6 pontos em um plano, onde não existem 3 alinhados.
A
B
F
Como em cada segmento de reta temos 2 extremos e, por
exemplo, o segmento de reta AD é o mesmo que o segmento
6?5
de reta DA, o número de segmentos de reta é C6, 2 5
5 15.
2
C
E
D
Portanto, podemos traçar 15 segmentos de reta.
b) Como cada triângulo fica determinado por 3 pontos não colineares, temos, independentemente da
ordem deles:
A
B
F
C
E
D
C6, 3 5
6 ?5? 4
5 5 ? 4 5 20
3 ? 2 ?1
Logo, podemos formar 20 triângulos.
Resolvido passo a passo
21.
No primeiro dia de aula de Matemática do 2o ano, 30 alunos estavam presentes na sala de aula. Para se conhecerem melhor, o professor sugeriu que cada aluno cumprimentasse o outro com um aperto de mão e uma
breve apresentação. Qual foi o total de apertos de mão?
1. Lendo e compreendendo
a) O que é dado no problema?
O problema informa que há 30 alunos em uma sala. Eles vão se cumprimentar com um aperto de mão e uma
pequena apresentação.
b) O que se pede?
Pede-se o número total de cumprimentos (apertos de mão) entre os alunos.
c) Entendendo melhor o enunciado
Se apenas 2 alunos estivessem na sala, teríamos 1 cumprimento. Por exemplo, se Pedro cumprimenta Maria,
Maria estará cumprimentando Pedro, e isso conta apenas 1 cumprimento e não 2.
2. Planejando a solução
Há várias maneiras de resolver este problema. Vejamos três delas:
• 1 a maneira: elaborando diagramas e analisando casos mais simples.
• 2a maneira: elaborando uma tabela, descobrindo regularidades e usando progressão aritmética (PA).
• 3a maneira: usando raciocínio combinatório, isto é, usando a ideia de combinação.
Análise combinatória
217
3. Executando o que foi planejado
Os diagramas abaixo representam os cumprimentos para 1, 2, 3, 4 e 5 pessoas.
C
A
A
1 pessoa
A
2 pessoas
B
A
B
3 pessoas
C
D
4 pessoas
D
B
B
C
A
5 pessoas
E
Banco de imagens/Arquivo da editora
• 1a maneira: com diagramas
Observe que o problema dos cumprimentos se reduz à contagem do número de segmentos de reta necessários para conectar vários números de pontos.
Vamos ver o caso de 4 pessoas. A cumprimenta 3 pessoas: B, C e D (3 cumprimentos). B também cumprimenta 3 pessoas: A, C e D (3 cumprimentos). E assim por diante. Cada pessoa cumprimenta outras
3 pessoas. Parece então que teremos 4 ? 3 ou 12 cumprimentos. Mas note que os cumprimentos entre
A e B foram contados 2 vezes. Isso ocorre com cada uma das 4 pessoas. Consequentemente, cada cumpri4 ?3
mento foi contado 2 vezes. Assim, para obter a resposta, precisamos dividir 12 por 2, ou seja, fazer
ou
2
6, que é igual ao número de segmentos de reta traçados na figura (AB, AC, AD, BC, BD, CD).
5? 4
ou 10 cumprimentos
2
ou 10 segmentos de reta ligando 5 pontos não alinhados do plano. Podemos generalizar esse raciocínio
para um número qualquer de pessoas. Usando a estratégia acima, nosso problema fica resolvido fazendo
Faça esse mesmo raciocínio para o caso de 5 pessoas. Você descobrirá que serão
30 ? 29 870
ou 435 cumprimentos.
5
2
2
• 2 a maneira: elaborando uma tabela, descobrindo regularidades e usando PA.
Observe os diagramas e a tabela a seguir:
Número de pessoas
4
3
21
1
10
Número de cumprimentos
1
0
2
1
3
35112
4
6511213
5
10 5 1 1 2 1 3 1 4


10
1 1 2 1 3 1 4 15 1 6 1 7 1 8 1 9


30
1 1 2 1 3 1 … 1 28 1 29
3
Ilustrações: Dam d'Souza/Arquivo da editora
2
218
0 cumprimento
1
3 cumprimentos
4
10 cumprimentos
1
2
1 cumprimento
Capítulo 9
3
1
1
6 cumprimentos
Observe a regularidade:
a) para 4 pessoas temos 6 (1 1 2 1 3 5 6) cumprimentos;
b) para 5 pessoas temos 10(1 1 2 1 3 1 4 5 10) cumprimentos;
c) o último número da expressão 1 1 2 1 3 1 4 é igual ao número de pessoas menos 1.
Seguindo esse padrão, para 30 pessoas teremos:
1 1 2 1 3 1 4 1… 1 28 1 29 cumprimentos
A sequência 1, 2, 3, 4, …, 28, 29 é uma PA de razão igual a 1, onde o primeiro termo é 1, o último termo é 29
e o número de termos é 29.
(a 1 an )n
.
Provavelmente você já viu que a soma de uma PA finita é dada por Sn 5 1
2
Este assunto foi estudado no Capítulo 7 do
Nesse caso, a1 5 1, an 5 29 e n 5 29. Volume 1 desta coleção.
Assim, S29 5
(1 1 29) 229 5 30 ? 29 5 870 5 435.
2
2
2
Portanto, teremos 435 cumprimentos.
¥ 3a maneira: usando a ideia de combinação
São 30 alunos que vão se cumprimentar. Já vimos que não importa a ordem no cumprimento, ou seja, quando A cumprimenta B, B já cumprimentou A (não conta duas vezes, conta uma vez só). Assim, estamos combinando 30 alunos, 2 a 2. Para encontrar o número total de combinações, fazemos:
30!
30 29 28 ! 30 29 870
C30, 2
5
5 435
2! 2
28
8!
2
2!(30 2) !
2
Assim, temos 435 cumprimentos.
4. Emitindo a resposta
Quando 30 alunos se cumprimentam com um aperto de mão, há 435 cumprimentos no total.
5. Ampliando o problema
a) E se fossem 20 alunos, qual seria o total de cumprimentos? Escolha uma das maneiras e resolva. 190
b) Discussão em equipe
Troque ideias com seus colegas sobre qual maneira de resolver o problema foi a mais criativa, qual foi a mais
fácil, qual foi a mais rápida. Justifiquem suas escolhas. Resposta pessoal.
22. De quantas maneiras diferentes um técnico pode escalar seu time de basquete tendo à sua disposição 12 atletas que jogam em qualquer posição?
Resolução:
1a maneira: usando a fórmula
Procuramos o número total de subconjuntos (ou combinações) com 5 elementos tirados de um conjunto de
12 elementos. A ordem não importa; cada subconjunto difere um do outro apenas pela natureza dos seus elementos. Assim, procuramos:
C12, 5 5
A12, 5
5!
5
12 ? 11 ? 10 ? 9 ? 8
5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1
5 11 ? 9 ? 8 5 792
Portanto, podemos formar 792 times de basquete diferentes com 12 atletas.
2a maneira: sem usar a fórmula
São 5 jogadores a serem escolhidos entre 12. Então, teríamos 12 ? 11 ? 10 ? 9 ? 8 5 95 040 possibilidades
se estivéssemos calculando um arranjo. Como é uma combinação, então devemos dividir o resultado pelo
fatorial dos elementos escolhidos (5 elementos):
12 ? 11 ? 10 ? 9 ? 8
5 792
5!
Portanto, 792 possibilidades.
Análise combinatória
219
23. O conselho desportivo de uma escola é formado por 2 professores e 3 alunos. Candidataram-se 5 professores
e 30 alunos. De quantas maneiras diferentes esse conselho pode ser eleito?
Resolução:
Se escolhermos os professores de x maneiras e os alunos de y maneiras, pelo princípio fundamental da contagem escolheremos os professores e alunos de xy maneiras. Assim:
• escolha dos professores: C5, 2 5 2!5!3!
5
5? 4
5 ? 4 ? 3!
5
5 10
2? 1
2! 3!
30!
? 27 !
5
• escolha dos alunos: C30, 3 5 3! 227! 5 30 ? 293! ?228
7!
30 ? 29 ? 28
5 4 060
3? 2
Logo:
C5, 2 ? C30, 3 5 10 ? 4 060 5 40 600
Portanto, o conselho pode ser eleito de 40 600 maneiras diferentes.
24. De quantas maneiras distintas podemos colocar 10 bolas em 3 urnas de modo que fiquem 2 bolas na primeira urna, 3 bolas na segunda urna e 5 bolas na terceira?
Resolução:
Há C10, 2 maneiras de escolher as 2 bolas que ficarão na primeira urna. Para cada maneira há C8, 3 possibilidades de
escolher as 3 bolas que ficarão na segunda urna. Pelo princípio fundamental da contagem há, então, C10, 2 ? C8, 3
maneiras de distribuir as 2 bolas na primeira urna e as 3 bolas na segunda urna. Para cada uma dessas possibilidades, há C5, 5 maneiras de colocar as 5 bolas na terceira urna. Portanto, novamente pelo princípio fundamental
da contagem, há C10, 2 ? C8, 3 ? C maneiras diferentes de colocar 2 bolas na primeira urna, 3 bolas na segunda urna
e 5 bolas na terceira urna.
1a urna
2a urna
3a urna
2 bolas
3 bolas
5 bolas
em 10
em 8
em 5
C10, 2 ? C8, 3 ? C5, 5 5
10!
8!
5!
5
?
?
2! 8! 3! 5! 5! 0!
5
10 ? 9 ? 8 ! 8 ? 7 ? 6 ? 5! 1!
5 45 ? 56 ? 1 5 2 520
?
?
3 ? 2 ? 1 ? 5! 0!
1 2 ? 1 ? 8!
Portanto, existem 2 520 possibilidades de fazer essa distribuição.
25. No jogo de truco, cada jogador recebe 3 cartas de um baralho de 40 cartas (são excluídas as cartas 8, 9 e 10).
De quantas maneiras diferentes um jogador pode receber suas 3 cartas?
Resolução:
As 3 cartas diferem entre si pela natureza delas e não pela ordem. Como a ordem não importa, o problema fica
resolvido calculando:
C 40, 3 5
40 ? 39 ? 38
5 9 880
3? 2 ? 1
Portanto, cada jogador pode receber suas 3 cartas de 9 880 maneiras diferentes.
220
Capítulo 9
Exerc’cios
38. Calcule o valor de:
47. De quantas maneiras podemos extrair 4 cartas de
5
7
a) C6, 4 15
e) C
b) C5, 3 10
 7
f)   7
 6
c) C4, 1 4
 45 
g)  
 44
um baralho de 52 cartas? 270 725 maneiras.
21
48. Um rapaz tem 5 bermudas e 6 camisetas. De quantas formas ele pode escolher:
a) 1 bermuda e 1 camiseta? 30 formas.
45
b) 2 bermudas e 2 camisetas? 150 formas.
c) 4 peças quaisquer de roupas, entre bermudas e
camisetas? 330 formas.
 30
h)   27 405
 26
39. Determine o valor de x em:
a) 5 1 Cx, 2 5 x 1 14 6
d) C5, 4 5
49. Uma classe tem 24 alunos, sendo 10 meninas e
14 meninos. De quantos modos podemos escolher:
b) Cx 1 3, 2 5 15 3
a) 3 meninos e 2 meninas? 16 380 modos.
b) 5 alunos quaisquer? 42 504 modos.
40. Quantas equipes de 3 astronautas podem ser for-
c) 1 menino e 1 menina? 140 modos.
madas com 20 astronautas? 1 140 equipes.
41.
Quantas equipes diferentes de vôlei podemos escalar tendo à disposição 10 meninas que jogam em
qualquer posição? 210 equipes.
50.
a) em que ambos estejam presentes? 56 comissões.
42. Em uma prova de 10 questões, o aluno deve resolver
b) em que nenhum deles esteja presente?
apenas 8. De quantas maneiras diferentes ele poderá escolher essas 8 questões? 45 maneiras.
43. Uma associação tem uma diretoria formada por 10
pessoas: 6 homens e 4 mulheres. De quantas maneiras podemos formar uma comissão dessa diretoria que tenha 3 homens e 2 mulheres?
56 comissões.
c) em que apenas um deles esteja presente?
140 comissões.
51.
b) pelo menos 3 homens? 65 maneiras.
44. Uma urna contém 5 bolas azuis numeradas de 1 a 5
a) 3 bolas? 84 maneiras.
Em um grupo existem 5 homens e 6 mulheres.
De quantas maneiras podemos escolher uma
comissão de 4 pessoas com:
a) exatamente 3 homens? 60 maneiras.
120 maneiras.
e 4 bolas vermelhas numeradas de 1 a 4. De quantas
maneiras podemos selecionar:
Em um grupo de 10 pessoas estão Anderson e
Eduardo. Quantas comissões de 5 pessoas podemos
formar:
c) no máximo 1 homem? 115 maneiras.
52.
b) 3 bolas azuis e 2 vermelhas? 60 maneiras.
c) 3 bolas vermelhas e 2 azuis? 40 maneiras.
Considerem 10 pontos, sendo 6 na reta r e 4 na
reta s. De quantos modos podemos formar triângulos
com vértices nesses pontos? 96 modos.
Dam d'Souza/Arquivo da editora
r
s
53.
Existem quantos quadriláteros, de qualquer tamanho, com lados nas linhas da figura abaixo?
45. Quantas comissões com 5 alunos podemos formar
com os 30 alunos de uma classe? 142 506 comissões.
46. De quantos modos podemos formar triângulos com
3 dos vértices de um heptágono regular? 35 modos.
90 quadriláteros
Análise combinatória
221
6
Problemas que envolvem os vários
tipos de agrupamentos
Nos exercícios resolvidos a seguir temos os vários tipos de agrupamentos estudados e as formas de
calcular o número de agrupamentos.
Exercícios resolvidos
26. Usando os algarismos 5, 6 e 8, quantos números de
28. Quantas comissões diferentes de 3 pessoas podemos
3 algarismos distintos podemos formar?
formar para representar um grupo de 10 pessoas?
Resolução:
C10, 3 5
P3 5 3! 5 3 ? 2 ? 1 5 6
Portanto, 6 números.
27.
A5, 3 5
5? 4 ? 3? 2 ? 1
5!
5
5 60 ou
2!
2?1
29. Quantos anagramas tem a palavra BANANA?
Resolução:
6 ? 5 ? 4 ? 3? 2 ? 1
6!
5 60
5
3! 2! 1!
3 ? 2 ? 1? 2 ? 1? 1
P 36, 2,2 1 5
Podemos formar 60 números.
A palavra BANANA tem 60 anagramas.
É muito importante que os alunos saibam identificar qual tipo de agrupamento será utilizado para resolver cada
exercício. É interessante que eles discutam o enunciado e determinem a estratégia de resolução juntos.
54.
Quantos triângulos podemos formar unindo os
vértices de um octógono? 56 triângulos.
55.
A diretoria de um clube é composta de 10 membros, que podem ocupar a função de presidente,
secretário ou tesoureiro. De quantas maneiras podemos formar, com os 10 membros, chapas que
contenham presidente, secretário e tesoureiro?
61.
720 maneiras.
56.
Em um ônibus há 5 lugares vagos. Duas pessoas
entram no ônibus. De quantas maneiras diferentes
elas podem se sentar? 20 maneiras.
57.
Em uma competição com 10 países, de quantas
maneiras podem ser distribuídas as medalhas de
ouro, prata e bronze? 720 maneiras.
58.
Quantos são os anagramas da palavra
MATEMÁTICA? 151 200 anagramas.
59.
Sobre uma circunferência são marcados 6 pontos distintos. Quantos quadriláteros podemos traçar
com vértices nesses pontos? 15 quadriláteros.
Considerem a palavra LÓGICA:
a) Quantas permutações (anagramas) podemos
formar? 720 anagramas.
120 anagramas.
b) Quantos anagramas começam com L?
c) Quantos começam com LO? 24 anagramas.
d) Quantos começam e terminam com vogal?
144 anagramas.
e) Quantos começam com consoante e terminam
com vogal? 216 anagramas.
f ) Em quantos anagramas as letras L, O, G estão
juntas, nessa ordem? 24 anagramas.
g) Em quantos as letras L, O, G estão juntas?
144 anagramas.
Na despedida de um grupo de amigos, 36 abraços foram trocados. Sabendo que cada um abraçou
todos os outros, quantos amigos estavam reunidos?
9 amigos.
222
5
A5, 3 5 5 ? 4 ? 3 5 60
Exercícios
60.
A10, 3
10 ? 9 ? 8
5 120
3? 2 ? 1
3!
Podemos formar 120 comissões.
C10, 3 5
Usando os algarismos 1, 3, 4, 6 e 9, quantos números
de 3 algarismos distintos podemos formar?
10 ? 9 ? 8 ? 7!
10!
5
5 120 ou
3! 7!
3 ? 2 ? 1 ? 7!
Capítulo 9
62.
Quantos números de 4 algarismos distintos
maiores que 2 000 podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 300 números.
63.
As placas dos automóveis são formadas por 3 letras
seguidas de 4 algarismos. Quantas placas podemos
criar com as letras A e B e os algarismos pares, podendo repetir a letra e não podendo repetir o algarismo?
64.
Quantas duplas diferentes podemos formar com
um grupo de 8 tenistas? 28 duplas.
65.
Em um grupo de 20 pessoas há 6 homens. Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas de
modo que nelas haja pelo menos 1 homem?
960 placas.
3 844 comissões.
Alguns problemas de contagem
A combinatória é a parte da Matemática dedicada a resolver problemas de contagem, e os enunciados
desses problemas geralmente possuem uma frase parecida com: “De quantas maneiras tal fato pode ocorrer?”.
Durante a história, perguntas desse tipo apareceram em diversos lugares. Por exemplo, no livro hindu do
século III a.C., intitulado Bhagabati Sutra, aparece o primeiro problema de Combinatória de que se tem notícia:
De quantas maneiras posso provar seis sabores, tomando um, dois ou três sabores de cada vez?
Na mesma época, na China era comum o jogo do I Ching (O livro das mutações), que consistia em interpretar hexagramas como o da figura abaixo, formado por seis linhas, podendo, cada uma, ser inteira ou
6
dividida em duas partes. Quantos são os hexagramas possíveis do I Ching? 2 hexagramas possíveis.
Banco de imagens/Arquivo da editora
Apareceram também na China os quadrados mágicos. Os quadrados mágicos de ordem n são quadrados
divididos em n2 casas, cada uma contendo um número diferente e de forma que a soma dos números de
cada linha, coluna ou diagonal seja a mesma. Conta a lenda que o imperador Yu, o Grande (século XXI a.C.),
passeava pela margem do rio Amarelo quando viu uma tartaruga com estranhos desenhos em sua casca.
Observando bem, os desenhos sugeriam 9 números formando um quadrado mágico de ordem 3. Esse desenho foi chamado de quadrado Lo Shu, que quer dizer, mais ou menos, “a folha do rio”. Observe o desenho
da tartaruga, a representação numérica do quadrado Lo Shu e depois tente responder à seguinte questão:
utilizando os números de 1 a 9, quantos quadrados mágicos de ordem 3 podemos formar?
Podemos formar 1 quadrado
mágico de ordem 3.
No total podemos construir
8 quadrados mágicos de
ordem 3 aparentemente
diferentes, porém trata-se do
mesmo quadrado mágico,
invertido, refletido ou
rotacionado, logo,
algebricamente iguais.
Tartaruga da lenda de Lo Shu. Adaptado com base na
ilustração de Linda Braatz-Brown.
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Quadrado Lo Shu.
Problemas como esses sempre foram propostos e resolvidos sem uma teoria específica; todavia, os
métodos de contagem que foram usados tanto antigamente como hoje derivam do princípio fundamental
da contagem que você aprendeu neste livro.
Análise combinatória
223
As 7 pontes de Königsberg
Reprodução/Arquivo da editora
A cidade de Kaliningrado é chamada pelos alemães de Königsberg. Ela fica na foz do rio Pregel, que deságua no mar Báltico. Perto da foz há duas ilhas (veja o desenho abaixo), e a cidade se desenvolveu nas ilhas
e nas regiões acima e abaixo do rio. As quatro regiões estão conectadas por 7 pontes, como mostra o desenho. Havia uma superstição popular de que uma pessoa teria seu desejo realizado se pudesse fazer um caminho passando por cada ponte exatamente uma vez. Mas ninguém conseguia fazer esse caminho. E você?
O que acha? Quantos são os caminhos possíveis de ser realizados cruzando as 7 pontes da cidade de Königsberg
exatamente uma vez?
Mapa de Königsberg mostrando suas 7 pontes.
Reprodução/Editora George Allen & Unwin
No ano de 1735 esse problema foi proposto ao famoso matemático suíço Leonard Euler (1707-1783). Na
solução apresentada por Euler em seu artigo Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (A solução
para o problema é a geometria de posição), de 1736, foram utilizados novos argumentos (que não faziam
parte da Matemática então conhecida) para demonstrar que é impossível realizar qualquer caminho passando por cada ponte da cidade uma única vez. Os argumentos de Euler levaram ao desenvolvimento da
teoria dos grafos e de um novo ramo da Matemática chamado de topologia.
Desenho original de Euler sobre a impossibilidade de cruzar as 7 pontes
de Königsberg (a, b, c, d, e, f e g) passando por cada uma delas apenas uma vez.
224
Capítulo 9
7
Números binomiais
n!
 n
 n
Chama-se número binomial o número   , com n e p naturais, n  p, tal que   5
p!(n 2 p)!
 p
 p
 n
(n é o numerador e p é a classe do número binomial). Note que   5 Cn, p.
 p
Exemplo:
 5
5!
5!
 2 5 2!(5 2 2)! 5 2! 3!
Para refletir
5 4 3!
5 10 5 C5, 2
2 1 3!
n
n
n
Verifique que:   5 1;   5 n;   5 1.
 0
 1
 n
Propriedade
Veja a resolução no Manual do Professor.
Dois números binomiais são iguais se tiverem o mesmo numerador e:
• suas classes forem iguais, ou
• a soma de suas classes for igual ao numerador (binomiais complementares).
8
Triângulo de Pascal ou triângulo aritmético
Podemos dispor os números binomiais em formações triangulares, como abaixo:
 0
 0
 0
 0
 1
 0
2
 0
3
 0
 4
 0 
 1
 1 
 2
 1
 3
 1
 4
 1 
 2
 2
 3
 2
…
…
 n
 0
 n
 1 
 n
 2 
 4
 3 
Blaise Pascal (1623-1662)
foi um físico, filósofo e
teólogo francês que
estudou os problemas
matemáticos
relacionados aos jogos
de dados, e um dos
resultados dessa
pesquisa foi a tabela
numérica denominada
triângulo de Pascal.
…
 3   3  3  3
 0  1   2  3
ou
 4
 4 
…
 n
 3 
Voc• sabia?
 2   2  2
 0  1   2
 3
 3
 4
 2 
…
 1   1
 0  1
 4  4  4  4  4
 0   1   2   3   4 
…
… … … … …
 n
 n
…
 n   n  n  n  n
 0  1   2   3  …  n
Calculando cada número binomial, temos:
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
1
4
10
ou
1
5
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
...
Essa maneira de dispor tais coeficientes é conhecida como triângulo de Pascal. Veja a leitura na
página 229.
Análise combinatória
225
Propriedades dos números binomiais
Observando o triângulo de Pascal podemos tirar as seguintes propriedades:
 3  3
1a) Por exemplo:   5   → 1 1 2 5 3
 1  2
 4  4
 1  5  3  → 1 1 3 5 4
 5   5
 2 5  3 → 2 1 3 5 5
De modo geral, como já foi visto no estudo dos números binomiais:
 n  n
 a 5  b , pois a 1 b 5 n (binomiais complementares ou combinações complementares)
2a) Observe:
 3  3  4 
 1  1  2 5  2 
 3  3  4 
 2 1  3 5  3 
1
1
1
1
1
1
2
1
3 1 3 1 1
4
6 1 4
5
1
 4   4   5
 2  1  3  5  3
10
10
1
5
1
...
De modo geral:
 n 2 1  n 2 1  n 
 p 2 1 1  p  5  p
relação de Stifel
3a) Observe a soma dos elementos de uma mesma linha no triângulo de Pascal:
 0
0
 0 5 1 5 2
 1   1
1
 0 1  1 5 1 1 1 5 2 5 2
 2   2  2
2
 0 1  1  1  2 5 1 1 2 1 1 5 4 5 2
Você sabia?
Michael Stifel (1486-1567)
foi um matemático
alemão que fez pesquisas
na Álgebra e na
Aritmética. Seu trabalho
mais famoso é
Arithmetica Integra,
publicado em 1544, no
qual inclui o triângulo de
Pascal, o tratamento dos
números negativos,
radicais e potências.
 3   3  3  3
3
 0 1  1  1  2 1  3 5 1 1 3 1 3 1 1 5 8 5 2
 4  4  4  4  4
4
 0  1  1  1  2  1  3  1  4  5 1 1 4 1 6 1 4 1 1 5 16 5 2
 6   6  6  6  6   6  6
Qual seria o valor de   1   1   1   1   1   1   ?
 0  1   2   3   4   5   6
64
De modo geral, é possível demonstrar que:
 n   n  n  n
 n   n 5 2n
 0 1  1  1  2  1  3  1 … 1  n 2 1 1  n
Fique atento!
Observe que 2n é o mesmo que (1 1 1)n.
pois ambos os lados da igualdade são iguais ao número de subconjuntos de um conjunto de n elementos.
226
Capítulo 9
Exercícios resolvidos
30. Obtenha o valor de x sabendo que 37 5  7x .
 
 
Resolução:
Sabemos que a igualdade acontece em duas situações: x 5 3 ou 3 1 x 5 7. Se 3 1 x 5 7, então x 5 4.
Logo, os valores de x são: x 5 3 ou x 5 4.
31.
Uma casa tem 3 portas de entrada. De quantos modos essa casa pode ser aberta?
Resolução:
Há C3, 1 modos de abrir a casa abrindo 1 só porta, C3, 2 modos de abrir a casa abrindo 2 portas e C3, 3 modos de
abrir a casa abrindo as 3 portas.
Logo:
 3
3  3 3
C3, 1 1 C3, 2 1 C3, 3 5   1  1   5 23 2   5 8 2 1 5 7
 0
 1 2 3
Exercícios
66. Calcule o valor de:
 6
a)   15
 2
 7
b)   35
 3
72. Determine inteiros n e p de modo que:
c)
 n
 n 
 n 
 p
 p 1 1
 p 1 2 n 5 14 e p 5 4
5
5
1
2
3
 20
d)  
 18 
 6
 0 1
190
m
 
m
 
73. Lembrando que Cn, p 5
m
 
67. Se  9  5  8  , calcule  17  . 1
 n
 p , determine:
a) C4, 0 1 C4, 1 1 C4, 2 1 C4, 3 1 C4, 4 24 5 16
20
20
68. Determine o valor de x, sabendo que  2x  5  x 1 1 .

 12
 4  5
69. Simplifique a fração:
 12 8
 5 



x51
b) C8, 1 1 C8, 2 1 ... 1 C8, 7 1 C8, 8 28 2 1 5 127
74.
Um salão tem 6 janelas. De quantas maneiras
podemos abrir essas janelas de modo que o salão
nunca fique com todas as janelas fechadas?
75.
Dez pontos estão distribuídos em uma circunferência. Quantos polígonos podemos construir
usando quaisquer desses pontos como vértices?
76.
Em um restaurante, o cliente pode escolher entre 8 tipos de frutas para a sobremesa, podendo
também não escolher nenhuma das opções. De
quantos modos o cliente pode fazer a sua escolha?
70. Calcule o valor das expressões usando as propriedades do triângulo de Pascal:
 5   5  5  5  5   5
a)   1   1   1   1   1   32
 0  1  2  3  4  5
 9  9
c)   1   252
 5   4
968 polígonos.
256 modos.
Sérgio Dotta/Arquivo da editora
 6  6
 6  6
b)   1   1 … 1   1   63
1
2
   
 5   6
63 maneiras.
 8  8  8  8
d)   1   1   1   93
 0  1   2  3
71.
Se a 6a linha do triângulo de Pascal é:
1 5 10 10 5 1, escreva a 7a e a 8a linhas.
Mesa de frutas.
7a linha: 1 6 15 20 15 6 1; 8a linha: 1 7 21 35 35 21 7 1
Análise combinatória
227
9
Binômio de Newton
Toda potência da forma (x 1 y)n, com x [ R, y [ R e n [ N, é conhecida como binômio de Newton.
O desenvolvimento do binômio de Newton é simples em casos como os seguintes, que você já estudou
no Ensino Fundamental:
• (x 1 y)0 5 1
• (x 1 y)1 5 x 1 y
• (x 1 y)2 5 (x 1 y)(x 1 y) 5 x2 1 2xy 1 y2
• (x 1 y)3 5 (x 1 y)2(x 1 y) 5 x3 1 3x2y 1 3xy2 1 y3
Em casos como (x 1 y)7, (2x 2 y)5, (x 1 2)10 e outros, vamos recorrer aos conhecimentos adquiridos na
análise combinatória.
Observe nos exemplos seguintes os binômios de Newton desenvolvidos e veja como são os coeficientes
de cada termo:
2 2 0
 2 1 1
 2 0 2
a) (x 1 y)2 5 x2 1 2xy 1 y2 5 1x2y0 1 2x1y1 1 1x0y2 5   x y 1   x y 1   x y
 0
 1
 2
 3  3 0  3 2 1  3  1 2  3 0 3
b) (x 1 y)3 5 x3 1 3x2y 1 3xy2 1 y3 5 1x3y0 1 3x2y1 1 3x1y2 1 1x0y3 5   x y 1   x y 1   x y 1   x y
 0
 1
 2
 3
Note que os coeficientes dos desenvolvimentos são as linhas do triângulo de Pascal. Será que isso também acontece com (x 1 y)4?
De fato:
(x 1 y)4 5 x4 1 4x3y 1 6x2y2 1 4xy3 1 y4 5 1x4y0 1 4x3y1 1 6x2y2 1 4x1y3 1 1x0y4 5
 4 4 0
 4 3 1
 4 2 2
 4 1 3
 4 0 4
5 x y 1 x y 1 x y 1 x y 1  x y
 0
1
2
3 
 4
Generalizando, podemos escrever, para x e y [ R e n [ N:
 n n
 n
 n
 n
 n
(x 1 y)n 5   x 1   x n 2 1 y 1   x n 2 2 y 2 1 … 1   x n 2 k y k 1 … 1   y n
 0
1
 
 2
 n
 k
Note que os expoentes de x começam em n e decrescem de 1 em 1 até 0, enquanto os expoentes de y
começam em 0 e crescem de 1 em 1 até n.
n
Observação: Como já vimos, dados os números naturais n e p, com p  n, o número   é chamado
 p
n
n!
número binomial n sobre p. Lembre que Cn, p 5   5
.
 p
p!(n 2 p)!
Veja, por exemplo, como efetuar o desenvolvimento de (x 1 a)5:
 5
 5
 5
5 
5 
 5
( x 1 a)5 5   x 5 1   x 4 a 1   x 3a2 1   x 2a3 1   xa 4 1   a5
 2
 5
 1
 4
 0
 3
↓
↓
↓
↓
↓
↓
1
5
10
10
5
1
Portanto:
(x 1 a)5 5 x5 1 5x4a 1 10x3a2 1 10x2a3 1 5xa4 1 a5
228
Capítulo 9
Exercícios
77.
Efetue os seguintes desenvolvimentos:
5
a) (x 1 2) x5 1 10x4 1 40x3 1 80x2 1 80x 1 32
b) (a 2 3)4 a4 2 12a3 1 54a2 2 108a 1 81
Fique atento!
(a 2 3)4 5 (a 1 (23))4
78.
Considerem o desenvolvimento de (x 1 1)15. Sem
fazer o desenvolvimento todo, tentem responder
às perguntas:
a) Quantos termos tem o desenvolvimento?
b) Qual é o 1o termo? x15

16 termos

15 ? x13 5 105 ? x13
c) Qual é o 3o termo? 

2 
Leitura
O triângulo aritmético
Também conhecido como triângulo de Pascal, triângulo de Tartaglia ou triângulo de Yang-Hui, o triângulo aritmético já era conhecido dos matemáticos havia muito tempo. Referências ao triângulo aritmético
ou a seus coeficientes podem ser encontradas rudimentarmente em obras indianas e chinesas de épocas
anteriores a Cristo.
Na China, o Manual de Matemática de Jia Xian, escrito por volta do ano 1050, já traz o triângulo. O mais
famoso matemático chinês associado ao triângulo aritmético foi Yang-Hui, que estudou e aplicou o triângulo aritmético por volta do ano 1250. Outra importante referência chinesa ao triângulo aritmético é o livro
Precioso espelho dos quatro elementos, escrito em 1303 por Chu Shih-Chieh. Esse livro traz figuras de triângulos com até nove linhas; entretanto, a denominação chinesa mais comum para o triângulo aritmético é
triângulo de Yang-Hui.
O poeta, astrônomo e matemático persa Omar Khayyam (1048-1122) descreveu o triângulo aritmético
em alguns trabalhos por volta de 1100. Um arranjo semelhante dos coeficientes era conhecido dos árabes
na mesma época e, em 1265, o árabe Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274) faz uma clara referência ao triângulo
aritmético em uma de suas obras.
Na Europa, um século antes de Pascal, muitos matemáticos trabalharam com o triângulo aritmético. Um
dos mais antigos foi o matemático alemão Apianus (Petrus Apianus, 1495-1552), que em 1527 publicou um livro
cuja capa trazia um desenho do triângulo aritmético. Mas quem mais divulgou o triângulo foi o alemão Stifel
(Michael Stifel, 1486-1567), principalmente por meio de sua importante e influente obra Arithmetica Integra,
de 1544.
Após os alemães, alguns matemáticos italianos redescobriram o triângulo aritmético. O principal deles foi
Tartaglia (Niccolò Fontana Tartaglia, 1499-1559), que dedicou a esse assunto muitas páginas de seu extenso
livro General Tratato di numeri et misure, de 1556. Tartaglia reivindicou a criação do triângulo aritmético para
ele, e atualmente em alguns países este é chamado triângulo de Tartaglia.
O francês Pascal (Blaise Pascal, 1623-1662) chegou ao triângulo aritmético motivado pela resolução de um
problema que envolvia a probabilidade de obter um duplo 6 jogando dois dados. Escreveu uma monografia
de 60 páginas sobre o triângulo aritmético, Traité du triangle arithmétique, publicada postumamente em 1665.
Pascal propôs o triângulo em nova forma e estudou suas propriedades mais a fundo que seus antecessores,
provando várias delas. A consagração da denominação atual triângulo de Pascal ocorreu pelo fato de, em 1739,
De Moivre (Abraham de Moivre, 1667-1754) ter publicado um trabalho de grande repercussão na época, em que
usou a denominação triangulum arithmeticum pascalianum para o triângulo aritmético.
Fonte dos dados: GALERA, María Cristina Solaeche. Sistema de tabulación de coeficientes binomiales o triángulo de Pascal:
un modelo numérico rasga el telar de los tiempos. Venezuela: Divulgaciones matemáticas. n. 1, p. 61-68, v. 6, 1998; DAVIS, Harod T.
Tópicos de história da Matemática para uso em sala de aula. São Paulo: Atual, 1992; MORGADO, Augusto César de Oliveira et al.
Análise combinatória e probabilidade. Rio de Janeiro: SBM, 1991. (Coleção do Professor de Matemática).
Análise combinatória
229
O problema de Lucas
François Édouard Lucas (1842-1891) foi um matemático francês que ficou conhecido ao formular um
problema de combinatória com enunciado bem simples de entender, mas muitíssimo difícil de resolver. O
problema de Lucas é o seguinte:
De quantas maneiras n casais podem se sentar em 2n cadeiras diferentes em torno de um círculo de modo que pessoas do mesmo sexo não se sentem juntas e que nenhum homem fique ao lado de sua mulher?
Esse problema foi criado por Édouard Lucas, em 1891, e ficou 5 décadas sem uma solução. Em 1943 o
matemático canadense Irving Kaplanski (1917-2006), que trabalhava na Universidade de Harvard, publicou
um artigo na revista Bulletin of the Mathematical Society com a solução do problema de Lucas. Em sua solução ele utiliza novos métodos em combinatória que ficaram conhecidos como os Lemas de Kaplanski. A
fórmula geral que resolve o problema de Lucas é expressa pela seguinte expressão:
2n!
∑
0 k n
(−1)k
2n  2n − k 
 (n − k)!
2n − k 
k
Para 2 casais, a resposta do problema de Lucas é zero, pois não é possível que os dois homens não se
sentem ao lado de suas respectivas mulheres, uma vez que também vale que pessoas do mesmo sexo não
podem se sentar juntas. Utilizando a fórmula, vamos verificar o resultado do problema de Lucas para n 5 2
e consequentemente 2n 5 4.
Para k 5 0 temos:
4!
 0 4  4−0 



? 2! 5 2
(2 − 0 )! 5 1 ? 4 ?

(−1) 4 − 0 
0 
 4 0 ! ( 4 − 0 )!



Para k 5 1 temos:
3!
 1 4  4−1



? 1! 5 − 4
(2 − 1)! 5 21 ? 4 ?

(−1) 4 − 1 
1 
3 1! (3 − 1)!




Fique atento!
∑
f (k) representa a somatória
0 k n
dos valores da função f para k inteiro
entre 0 e n.
Por exemplo, para n 5 2,
∑
f (k)
0 k  2
equivale a f(0) 1 f(1) 1 f(2).
Para k 5 2 temos:
 2 4  4−2 


 4
2!
(−1) 4 − 2  2  (2 − 2)! 5 1 ? 2 ? 2! (2 − 2)! ? 0 ! 5 2




Logo, para 2 casais a resposta do problema de Lucas é:
2?2
∑ ( − 1)
0 k 2
k
4  4−k 
(2 − k )! 5 2 ? 2 ? [2 + ( − 4 ) + 2] 5 4 ? 0 5 0
4 − k  k 
Para 3 casais, a resposta do problema de Lucas é 12; esse valor pode ser encontrado pela fórmula acima,
mas fazendo um desenho também podemos obtê-lo. Para ver isso, considere os casais Aa, Bb, Cc, em que as
C
b
B
c
letras maiúsculas representam os homens e as minúsculas, as mulheres. Os homens sentam alternadamena
A
a
A
te, mas a ordem A, B, C pode estar no sentido anti-horário ou no sentido horário. Repare que, uma vez
B
c
C
b
que os homens estão sentados, só há uma posição
O problema de Lucas
possível para as mulheres.
Número de casais Respostas para o problema de Lucas
Como as cadeiras são diferentes, cada uma das fi2
0
guras ao lado pode girar ocupando 6 posições distintas.
Assim, o número total de possibilidades para que pes3
12
soas do mesmo sexo não fiquem juntas e nenhum ho4
96
mem fique ao lado de sua mulher é 6 1 6 5 12. As
5
3 120
respostas para o problema de Lucas crescem muito
6
115 200
rápido. Veja algumas delas ao lado.
Fonte: Dados experimentais.
230
Capítulo 9
10
01
CAPÍTULO
CAPÍTULO
Conjuntos
Probabilidade
numéricos
Blackregis/Shutterstock
NASA/Corbis/Latinstock
Os jogos com dados são um dos mais praticados
da história. Hoje são comumente utilizados em
jogos de tabuleiro tradicionais e jogos de RPG. Têm
a função de gerar um resultado aleatório (ao acaso).
231
1
Fen™menos aleat—rios*
Há certos fenômenos (ou experimentos) que, embora sejam repetidos muitas vezes e sob condições
idênticas, não apresentam os mesmos resultados. Por exemplo, no lançamento de uma moeda perfeita, o
resultado é imprevisível; não se pode determiná-lo antes de ser realizado. Não sabemos se sairá cara ou
coroa. Aos fenômenos (ou experimentos) desse tipo damos o nome de fenômenos aleatórios (ou casuais).
Por exemplo, são aleatórios os fenômenos:
Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno
aleatório é que buscamos os resultados prováveis, as chances, as
probabilidades de determinado resultado ocorrer. A teoria das probabilidades é um ramo da Matemática que cria, elabora e pesquisa
modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.
Formem grupos de quatro alunos e discutam a situação a seguir. Depois, cada grupo expõe e discute suas ideias com os
demais grupos.
No jogo da roleta**, muito comum em cassinos americanos, é
sorteado um número entre 1 e 36 (o zero também é possível, mas
vamos desconsiderá-lo neste momento). Nesse jogo é utilizada uma
mesa alongada na qual em uma das pontas fica a roleta, uma marca
na mesa indica a posição da pessoa que organiza o jogo e o restante
da mesa está ocupado por áreas demarcadas pelos números de 1 a
36, dispostos em 3 colunas e 36 fileiras. Cada jogador pode apostar
em várias situações, por exemplo: se o número que vai sair é par ou
ímpar; se ele é da 1a dúzia (1 a 12), da 2a dúzia (13 a 24) ou da 3a dúzia
(25 a 36); ou mesmo apostar em um número específico. O jogador
pode apostar em quantos números quiser em cada rodada.
Por exemplo, se um jogador apostar 1 dólar em um número específico e acertar, ele receberá 36 dólares; se apostar 1 dólar em uma das
3 dúzias e acertar, receberá 3 dólares; e se ele apostar 1 dólar em um
número par (ou ímpar) e acertar, receberá 2 dólares. Ele também pode
apostar 1 dólar em um grupo de 4 números e, se acertar (ou seja, se
for sorteado um dos 4 números escolhidos), receberá 9 dólares.
Agora discutam:
a) Alguns apostadores recebem 36 dólares, outros recebem apenas
2 dólares, sendo que a aposta é a mesma (1 dólar). Essas regras
são justas?
Para refletir
Qual é o significado de expressões
como “moeda perfeita” ou “dado
não viciado”?
Os dois lados da moeda ou as seis faces do
dado têm a mesma chance de sair.
Ngaga35/Shutterstock/Glow Images
• lançamento de um dado não viciado;
• resultado de um jogo de roleta;
• número de pessoas que ganharão na loteria.
O motivo de apresentar um jogo que não é comum
no Brasil é justamente pelo fato de a maioria dos
alunos não conhecer as regras e chances envolvidas
no jogo. Instigue situações de reflexão, mas não
revele as respostas; espere que a opinião da turma
convirja para determinada teoria (estimule isso
perguntando aos alunos qual teoria parece ser
melhor). As regras são justas, sim, pois quem
aposta em par/ímpar tem mais chances de ganhar
do que quem aposta em uma dúzia, e assim por
diante. Não é necessário envolver cálculos neste
momento, afinal não introduzimos a teoria ainda,
mas é simples mostrar que, já que existem 18 vezes
mais possibilidades de acertar um número par
(existem 18 pares) do que acertar um número
específico, é justo remunerar 18 vezes mais quem
acertar o número específico.
b) Por que pessoas que apostam em “par ou ímpar” receberiam menos em caso de acerto?
c) Não seria mais lógico todos apostarem em um número específico
para receber 36 dólares em caso de acerto? Ou será justo que um
tipo de aposta remunere mais do que outro?
* Veja a seção Leitura no final do capítulo.
** No Brasil todos os jogos de azar são proibidos, porém em outros países, como Uruguai, Espanha e China, esses jogos são legais.
232
Capítulo 10
2
Espaço amostral e evento
Em um experimento (ou fenômeno) aleatório, o conjunto formado por todos os resultados possíveis
é chamado espaço amostral (). Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado evento.
Neste capítulo nos referimos apenas a conjuntos finitos.
Acompanhe alguns exemplos de fenômenos (ou experimentos) aleatórios. Quando não especificado, os
dados dos experimentos são sempre os comuns, de 6 faces e não viciados.
a) Lançamento de um dado e registro do resultado.
Conjunto de todos os resultados possíveis: h1, 2, 3, 4, 5, 6j
Um subconjunto dele é h1, 3, 5j, que pode ser identificado por “ocorrer número ímpar no lançamento de
um dado”.
• espaço amostral:  5 h1, 2, 3, 4, 5, 6j
• evento A: “ocorrer número ímpar no lançamento de um dado” → A 5 h1, 3, 5j
b) Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e registrar o seu naipe.
Considerando C 5 copas, E 5 espadas, O 5 ouros e P 5 paus, temos:
Conjunto de todos os resultados possíveis: hC, E, O, Pj
Um subconjunto dele é hOj, que pode ser identificado por “retirar uma carta cujo naipe seja ouros”.
• espaço amostral:  5 hC, E, O, Pj
• evento A: “retirar uma carta cujo naipe seja ouros” → A 5 hOj
Observação: Quando um evento é formado apenas por um elemento do espaço amostral, ele é chamado
evento elementar.
Exercícios resolvidos
1.
No lançamento simultâneo de dois dados, um verde e um vermelho, determine o espaço amostral e
os eventos A: “sair o mesmo número em ambos os
dados”; B: “sair soma 7”; C: “sair soma maior do que
10”; D: “sair soma menor do que 5”; E: “sair soma
maior do que 12” e F: “sair soma maior do que 1 e
menor do que 13”.
Resolução:
Nesse caso, podemos representar o espaço amostral
por um diagrama:
(1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6)
Fique atento!
(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) (5, 5) (6, 5)
dado vermelho
O espaço
amostral
depende do
experimento.
Veja a diferença
quando se tem o
lançamento de
um dado e de
dois dados.
(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) (6, 4)
(1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) (6, 3)
(1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) (6, 2)
(1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1)
dado verde
2.
O espaço amostral é formado por 36 elementos.
São eles:
 5 h(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3),
(2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3),
(5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)j
evento A: “sair o mesmo número em ambos os dados”
→ A 5 h(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)j
evento B: “sair soma 7” → B 5 h(1, 6), (2, 5), (3, 4),
(4, 3), (5, 2), (6, 1)j
evento C: “sair soma maior do que 10” → C 5 h(5, 6),
(6, 5), (6, 6)j
evento D: “sair soma menor do que 5” → D 5 h(1, 1),
(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)j
evento E: “sair soma maior do que 12” → E 5 
evento F: “sair soma maior do que 1 e menor do
que 13” → F 5 h(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (6, 5), (6, 6)j 5 
No lançamento de uma moeda, determine o espaço
amostral e o evento “sair cara”.
Resolução:
Denotamos “cara” por C e “coroa” por C. Logo:
espaço amostral:  5 hC, Cj
evento A: “sair cara” → A 5 hCj
Probabilidade
233
3
Eventos certo, impossível e mutuamente
exclusivos
No experimento aleatório “lançar um dado e registrar o resultado”, temos:
• espaço amostral:  5 h1, 2, 3, 4, 5, 6j
• evento A: “ocorrência de um número menor do que 7” → A 5 h1, 2, 3, 4, 5, 6j
• Portanto, A 5 .
• evento B: “ocorrência de número maior do que 6” → no dado não existe número maior do que 6.
Portanto, B 5 .
Dizemos que:
Quando um evento coincide com o espaço amostral, ele é chamado evento certo.
Quando um evento é vazio, ele é chamado evento impossível.
Na situação acima, A é um evento certo e B é um evento impossível.
União de eventos, intersecção de eventos e complementar de um evento
Consideremos, no exemplo do lançamento de um dado, os eventos:
• C: ocorrência de número par → C 5 h2, 4, 6j
• D: ocorrência de múltiplo de 3 → D 5 h3, 6j
• E: ocorrência de número par ou número múltiplo de 3 → E 5 C < D 5 h2, 4, 6j < h3, 6j 5 h2, 3, 4, 6j
(união de eventos)
• F: ocorrência de número par e múltiplo de 3 → F 5 C > D 5 h2, 4, 6j > h3, 6j 5 h6j (intersecção de eventos)
• H: ocorrência de número ímpar → H 5 h1, 3, 5j
C
Indicamos assim: H 5 C 5 ­ V (complementar de C em relação a )
C e H são chamados eventos complementares. Observe que C > H 5  e C < H 5 .
Quando a intersecção de dois eventos é o conjunto vazio, eles são chamados eventos mutuamente
exclusivos.
4
Cálculo de probabilidades
Quando em um fenômeno (ou experimento) aleatório, com espaço amostral finito, consideramos que
todo evento elementar tem a mesma chance de ocorrer (o espaço é equiprovável), a probabilidade de ocorrer um evento A, indicada por p(A), é um número que mede essa chance e é dado por:
p( A) =
número de elementos de A n( A)
número de resultadoss fav
f oráveis
ou p( A) =
=
número de elementos de V
n( V )
número total de resultados possíveis
Nesse caso, os eventos elementares são chamados eventos equiprováveis, pois todos têm a mesma
chance de ocorrer. Os eventos aqui trabalhados serão todos equiprováveis.
Fique atento!
Lembre-se: evento elementar é aquele formado
por apenas um elemento do espaço amostral.
234
Capítulo 10
Certeza e impossibilidade
Vamos agora relacionar a probabilidade do evento impossível e do evento certo com os demais eventos.
Os conjuntos , A e  estão sempre relacionados por   A  .
Relacionando o número de elementos desses conjuntos, temos n() < n(A) < n().
Dividindo esses três números por n() . 0, encontramos
Como n() 5 0,
n( [ )
n( A)
n( V )
<
<
.
n( V )
n( V )
n( V )
n( A)
n( V )
5 p(A) e
5 1, concluímos:
n( V )
n( V )
0 < p(A) < 1
Isso significa que a probabilidade pode assumir valores de 0 a 1.
Quando p(A) 5 0, o evento A é o evento impossível, e não há possibilidade de que ele venha a ocorrer.
Quando p(A) 5 1, o evento A é o evento certo, e há certeza de que ele ocorrerá.
Exercícios resolvidos
3.
Consideremos o experimento aleatório do lançamento de uma moeda perfeita. Qual é a probabilidade de sair cara?
Resolução:
Tanto “sair cara” como “sair coroa” (que são os eventos elementares) têm a mesma chance de ocorrer. Assim, temos:
espaço amostral:  5 hC, C.j → n() 5 2
evento A: ocorrência de cara → A 5 hCj → n(A) 5 1
Portanto, p(A) 5
n( A)
1
5 .
n( V )
2
1
50
5
5 50%, temos que, no lançamento de uma moeda, a proba2
100
1
bilidade de sair cara é
ou 50%. Isso não significa que, se jogarmos duas vezes
2
a moeda, em uma das jogadas sairá cara e, na outra, coroa. Significa, sim, que,
após um grande número de jogadas, em aproximadamente 50% (metade) delas
sairá cara.
Como
4.
Para refletir
• Faça esse experimento e
comprove o que foi dito.
No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair número maior do que 4?
Resolução:
Nesse caso, temos:
espaço amostral:  5 h1, 2, 3, 4, 5, 6j → n() 5 6
evento A: ocorrência de número maior do que 4 → A 5 h5, 6j → n(A) 5 2
Logo, p(A) 5
n( A)
2
1 .
5
5
n( V )
6
3
1
1
5 1 : 3 . 0,33, então . 33%. Portanto, a probabilidade de obtermos número maior do que 4 no
3
3
1
lançamento de um dado é de ou 33%, aproximadamente.
3
Como
5.
No lançamento simultâneo de 3 moedas perfeitas distinguíveis, qual é a probabilidade de serem obtidas:
a) pelo menos 2 caras?
b) exatamente 2 caras?
Quando se diz “pelo menos duas”, admite-se que
aconteçam duas ou mais situações. Quando se diz
“exatamente duas”, há somente duas situações.
Para refletir
• Qual é a diferença entre
dizer “pelo menos duas”
e “exatamente duas”?
Probabilidade
235
Resolução:
Nesse caso, é conveniente usar o diagrama de árvore:
1· moeda
2· moeda
C
C
C.
C
C.
C.
3· moeda
C
(C, C, C)
C.
(C, C, C.)
C
(C , C. , C)
C.
(C, C. , C. )
C
(C., C, C)
C.
(C. , C, C.)
C
(C., C ., C)
C.
(C., C., C.)
 5 h(C, C, C), (C, C, C), (C, C, C), (C, C, C), (C, C, C), (C, C, C), (C, C, C), (C, C, C)j → n() 5 8
a) evento A: obter pelo menos 2 caras → A 5 h(C, C, C), (C, C, C), (C, C, C), (C, C, C)j → n(A) 5 4
n( A)
4
1
5
5
5 50%
n( V )
8
2
b) evento B: obter exatamente 2 caras → B 5 h(C, C, C), (C, C, C), (C, C, C)j → n(B) 5 3
n(B )
3
5
5 37,5%, pois 3 : 8 5 0,375
p(B) 5
n( V )
8
n( A)
Observação: Para determinar n() e n(A) e depois calcular p(A) 5
, não se deve necessariamente detern( V )
minar  e A. Veja os exercícios resolvidos seguintes.
p(A) 5
6.
Considere todos os números naturais de 4 algarismos distintos que é possível formar com os algarismos 1, 3, 4, 7, 8
e 9. Escolhendo um deles ao acaso, qual é a probabilidade de sair um número que comece por 3 e termine em 7?
}
? ? ? ? → n(  ) 5 A6 ,4 5 6 ? 5 ? 4 ? 3 5 360
12
1
5
p( A) 5
3 ? ? ? → n( A) 5 A4 ,2 5 4 ? 3 5 112
360
30
7.
Em um grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de
música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam somente de esporte;
e 5 jovens gostam somente de leitura.
a) Qual é a probabilidade de, ao apontar ao acaso um desses jovens, ele gostar de música?
b) Qual é a probabilidade de, ao apontar ao acaso um desses jovens, ele não gostar de nenhuma dessas atividades?
Nesse caso, elaboramos o diagrama de Venn ao lado, considerando M 5 música,
E 5 esporte e L 5 leitura.
Observamos que:
8
6
• 6 1 8 1 16 1 14 5 44 → 44 gostam de música.
• 75 2 (6 1 9 1 5 1 8 1 6 1 14 1 16) 5 75 2 64 5 11 → 11 não gostam de nenhuma
dessas atividades.
Como n() 5 75, temos:
E
M
14
11
16
5
9
6
Banco de imagens/Arquivo da editora
Resolução:
L
n( A)
44
. 0,586
0,586 . 559%
=
a) probabilidade de gostar de música: p( A) =
n( V )
75
b) probabilidade de não gostar de nenhuma dessas atividades: p(B ) =
n(B )
11
0, 146 . 115%
. 0,146
=
n( V )
75
Logo, ao se apontar ao acaso um desses jovens, a probabilidade de ele gostar de música é
babilidade de ele não gostar de nenhuma dessas atividades é de
236
Capítulo 10
11
. 15%.
75
44
. 59%, e a pro75
1.
2.
3.
ATENÇÃO!
Não escreva
no seu livro!
Atividade
em equipe
Ao girar a “roleta” ao lado, defina
o espaço amostral e os eventos A:
ocorrência do número 2; B: ocorrência de número ímpar.
3
Banco de imagens/
Arquivo da editora
Exerc’cios
Atividade
em dupla
1
2
7.
4
b) um ás? 52
1
c) um ás de copas? 52
 5 h1, 2, 3j; A 5 h2j; B 5 h1, 3j
No lançamento simultâneo de duas moedas distinguíveis, defina o espaço amostral e os eventos A: ocorrência de exatamente uma cara; B: ocorrência de coroa
em ambas; C: ocorrência de pelo menos uma cara.
Veja a resposta na seção Respostas.
No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de que o resultado seja:
1
a) um número par?
2
b) um número primo?
c) o número 3?
1
6
8.
4
c) não ocorra nenhuma cara?
1
4
d) ocorra exatamente uma coroa?
3 0
6 6
9.
6
Em uma caixa há 6 bolas brancas e 4 bolas vermelhas.
Qual é a probabilidade de, ao acaso, ser retirada:
a) uma bola vermelha? 4
6 10
10
(Observação: Para indicar o evento “sair bola vermelha”, use índices assim: A 5 hV1, V2, V3, V4j.)
1
2
1
2
Em uma enquete foram entrevistados 100 estudantes. Setenta deles responderam que frequentavam
um curso de Informática, 28 responderam que frequentavam um curso de Inglês e 10 responderam
que frequentavam ambos, Informática e Inglês.
Qual é a probabilidade de um desses estudantes,
selecionado ao acaso:
3
a) estar frequentando somente o curso de Informática? 5
b) não estar frequentando nenhum desses cursos?
10.
b) divisível por 3? 13
6
c) um número primo?
Em uma enquete foram entrevistadas 80 pessoas
sobre os meios de transporte que utilizavam para ir
ao trabalho e/ou à escola. Quarenta e duas responderam ônibus, 28 responderam carro e 30 responderam moto. Doze utilizavam-se de ônibus e
carro, 14, de carro e moto e 18, de ônibus e moto.
Cinco utilizavam-se dos três: carro, ônibus e moto. Qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas, selecionada ao acaso, utilize:
17
a) somente ônibus?
d) maior do que 8? 13
9
e) menor do que 10?
b) somente carro? 80
7
c) carro e ônibus, mas não moto? 80
Escreva em pedaços iguais de papel os números de
1 a 13. Dobre-os igualmente de modo que qualquer
um deles tenha a mesma chance de ser retirado de
uma caixa. Qual é a probabilidade de que o número
retirado seja:
6
a) par?
13
4
5 13
13
f ) um número entre 5 e 10?
3
g) múltiplo de 4? 13
6.
No lançamento simultâneo de duas moedas perfeitas e distinguíveis, qual é a probabilidade de que:
a) em ambas ocorra cara? 1
b) ocorra cara em uma e coroa na outra?
f ) um número menor do que 7?
5.
1
26
1
2
e) um número menor do que 1?
b) uma bola branca?
52
d) uma carta com naipe vermelho? 2
1
e) um “três” vermelho?
d) um número menor do que 3? 1
4.
Qual é a probabilidade de, ao retirar ao acaso uma
carta de um baralho de 52 cartas, obter:
13
a) uma carta de copas?
7 80
19
4
13
d) nenhum dos três veículos? 80
e) apenas um desses veículos? 27
No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos
e distinguíveis, um branco e outro vermelho, qual é
a probabilidade de que:
1
a) a soma seja 7?
6 1
b) a soma seja par? 2
5
c) a soma seja um número primo? 12
7
d) a soma seja maior do que 1 e menor do que 8? 12
1
e) ambos os números sejam pares? 4
1
f) ambos os números sejam iguais?
6
7
g) o primeiro número seja múltiplo do segundo? 18
80
11.
Considere todos os anagramas da palavra ROMA.
Escolhendo-se um deles ao acaso, qual é a probabilidade de sair “AMOR”? 1
12.
Considerem um baralho de 52 cartas.
a) De quantas formas é possível escolher aleatoriamente 2 cartas desse baralho? C52, 2 5 1 326
24
b) De quantas maneiras é possível escolher aleatoriamente 2 cartas de espadas desse baralho?
C13, 2 5 78
c) Qual é a probabilidade de, escolhendo-se aleatoriamente 2 cartas desse baralho, saírem 2 car1
tas de espadas?
17
Probabilidade
237
3
25
5
Definição teórica de probabilidade
e consequências
Vamos analisar o fenômeno aleatório lançamento de uma moeda perfeita.
Nesse caso, temos:
•  5 hC, C j ⇒ p() 5 1
• Os subconjuntos de  são: , hCj, h C j e hC, C j.
1
; p(h C j) 5 1 e p(hC, C j) 5 1.
2
2
Vemos que p(A) > 0, para todo A  .
Assim, p() 5 0; p(hCj) 5
• Considerando A 5 hCj e B 5 h C j, vemos que A > B 5  e
p(A < B) 5 p(hCj < h C j) 5 p(hC, C j) 5 p() 5 1 5
1
1
+
5 p(hCj) 1 p(hCj) 5 p(A) 1 p(B)
2
2
Definimos teoricamente probabilidade como uma função que associa a cada evento A um número
p(A) satisfazendo as seguintes propriedades:
1a) P1: 0 < p(A) < 1 para todo evento A
2a) P2: Se  é o espaço amostral, então p() 5 1
3a) P3: p(A < B) 5 p(A) 1 p(B), quando A > B 5  (eventos mutuamente exclusivos)
Observe que essas três propriedades são satisfeitas no exemplo acima.
Consequ•ncias da defini•‹o
Como consequências da definição teórica de probabilidade, temos as seguintes propriedades:
1a propriedade: Impossibilidade ou p() 5 0
Como um evento qualquer A (A subconjunto de ) pode ser escrito como A <  e como A >  5 , podemos
aplicar a propriedade P3 e temos:
P3
p(A) 5 p(A < ) 5 p(A) 1 p() ⇒ p() 5 0
p() 5 0
2a propriedade: Probabilidade do evento complementar
Observe que, sendo A a notação para “complementar de A”, temos:
A<A5 e A>A5
Logo:
p() 5 p(A < A )
Aplicando P2 e P3 , temos:
1 5 p(A) 1 p( A ) ou, equivalentemente, p( A ) 5 1 2 p(A)
p( A ) 5 1 2 p(A)
3a propriedade: Probabilidade da união de dois eventos
A partir do número de elementos da união de dois conjuntos, demonstraremos que:
p(A < B) 5 p(A) 1 p(B) 2 p(A > B)
→ probabilidade da união de dois eventos quaisquer
p(A < B) 5 p(A) 1 p(B), quando A > B 5  (eventos mutuamente exclusivos)
238
Capítulo 10
Sabemos também que, se A e B são conjuntos quaisquer, temos:
A < B 5 (A > B) < (A > B) < (A > B) I
A 5 (A > B) < (A > B)
B 5 (A > B) < (A > B)
A>B
A
A>B
A>B
B
V
II
Como (A > B), (A > B) e (A > B) são dois a dois disjuntos, podemos aplicar P3 e obtemos:
p(A < B) 5 p(A > B) 1 p(A > B) 1 p(A > B) III
Considerando as probabilidades dos eventos A e B em II , temos:
p(A) 5 p(A > B) 1 p(A > B) ⇔ p(A > B) 5 p(A) 2 p(A > B)
p(B) 5 p(A > B) 1 p(A > B) ⇔ p(A > B) 5 p(B) 2 p(A > B)
IV
V
Substituindo IV e V em III , concluímos que:
p(A < B) 5 p(A) 1 p(B) 2 p(A > B) → probabilidade da união de dois eventos quaisquer.
Exercícios resolvidos
Logo:
No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos
distinguíveis, qual é a probabilidade de se obter soma par ou soma múltipla de 3?
18
1
5
36
2
12
1
p(B ) 5
5
36
3
6
1
p( A > B ) 5
5
36
6
Assim, a probabilidade de se obter “soma par ou
soma múltipla de 3” é dada por:
p( A) 5
Fique atento!
A soma de dois números naturais é par nos
seguintes casos: par 1 par; ímpar 1 ímpar.
Resolução:
No quadro abaixo representamos o espaço amostral de 36 elementos: n(V) 5 36.
p(A < B) 5 p(A) 1 p(B) 2 p(A > B) 5
Marcamos com X o evento A “sair soma par” e com
s o evento B “sair soma múltipla de 3”.
5
Assim, foram marcados 18 X e 12 s, ou seja, n(A) 5 18
e n(B) 5 12.
É também possível observar n(A > B) 5 6.
1
2
1
1
3
1
6
2
probabilidade
probabilidade
probabilidade
de se obter
de se obter soma
de se obter soma
soma par
múltipla de 3
par e múltipla de 3
5
3
2
1
4
2
5
1
2
5
5
6
6
6
6
3
9.
Banco de imagens/Arquivo da editora
8.
passo a passo: exerc’cio 11
Ao retirar aleatoriamente uma carta de um baralho
de 52 cartas, qual é a probabilidade de que essa carta seja vermelha ou um ás?
Resolução:
A retirada aleatória de uma carta de um baralho é
considerada um evento equiprovável.
evento V: “a carta é vermelha”;
evento A: “a carta é ás”;
evento (V < A): “a carta é vermelha ou ás”
p(V < A) 5 p(V) 1 p(A) 2 p(V > A)
Probabilidade
239
Banco de imagens/Arquivo da editora
Demonstração:
Conhecemos as probabilidades de ocorrência de dois eventos quaisquer A e B e procuramos a probabilidade
de ocorrer o evento A < B. Ou seja, conhecemos p(A) e p(B) e procuramos uma expressão que nos dê p(A < B).
Vejamos qual é essa expressão.
Já sabemos, pela propriedade P3, que, se A < B 5 [, então
p(A < B) 5 p(A) 1 p(B).
Em um baralho de 52 cartas, há 26 cartas vermelhas
e 26 cartas pretas. Há também 4 ases, dos quais 2
são vermelhos.
Logo:
p(V) 5
26
1
5
52
2
p(A) 5
4
1
5
52
13
p(V > A) 5
O desempenho conjunto das duas máquinas é classificado conforme o quadro, em que P indica a probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser
defeituoso.
0<P,
2
1
5
52
26
Assim:
p(V < A) 5
1
1
1
14
7
1
2
5
5
2
13
26
26
13
A probabilidade de a carta retirada ser vermelha ou
7
ás é de .
13
10.
Em uma moeda viciada, a probabilidade de sair cara é o dobro da probabilidade de sair coroa. Qual é
a probabilidade de sair cara?
Quando a moeda é viciada, os eventos elementares
não são equiprováveis. Porém, sabemos que
P() 5 1. Assim:
P(C) 1 P( C ) 5 1 (propriedade)
P(C) 5 2 ? P( C ) (enunciado)
Logo, 3 ? P( C ) 5 1 e P( C ) 5
1
. Portanto:
3
2
3
Quando um experimento é dito viciado ou não
honesto, os eventos elementares do espaço amostral
não são equiprováveis.
Resolvido passo a passo
(Enem) Uma fábrica de parafusos possui duas máquinas, I e II, para a produção de certo tipo de parafuso.
Em setembro, a máquina I produziu 54 do total
100
de parafusos produzidos pela fábrica. Dos parafusos
25 eram defei1 000
dos parafusos produzidos
produzidos por essa máquina,
38
1000
no mesmo mês pela máquina II eram defeituosos.
tuosos. Por sua vez,
240
Capítulo 10
2 <P, 4
100
100
Bom
4 <P, 6
100
100
Regular
4 <P, 8
100
100
Ruim
8 <P<1
100
Péssimo
O desempenho conjunto dessas máquinas, em setembro, pode ser classificado como:
a) excelente.
b) bom.
c) regular.
d) ruim.
e) péssimo.
1. Lendo e compreendendo
São dadas várias informações:
I. Produção de cada máquina, percentualmente.
II. Produção defeituosa da máquina, percentualmente.
III. Tabela para análise do desempenho das máquinas, com a respectiva classificação.
b) O que se pede?
Pede-se que, a partir da tabela de parâmetro
fornecida, classifique-se o desempenho conjunto das duas máquinas.
2. Planejando a solução
Fique atento!
11.
Excelente
a) O que é dado no problema?
Resolução:
P(C) 5 1 2 P( C ) 5
2
100
Devemos fazer para cada máquina a probabilidade
de ser produzido um parafuso defeituoso. Em seguida, somamos as duas probabilidades, referentes ao
percentual de parafusos defeituosos por máquina,
e como resultado obtemos o percentual de produção
de parafusos defeituosos da fábrica dentro de um
mesmo mês. A partir desse percentual podemos
classificar o desempenho conjunto das duas máquinas com uma simples análise da tabela fornecida.
Fique atento!
Frequências percentuais podem ser vistas como
probabilidade. De forma que 0% < P < 100%.
3. Executando o que foi planejado
• Probabilidade para máquina 1 5 P1 5
5
54
2,5
135
1,35
?
5
5
100
100
100 · 100
100
• Probabilidade para máquina 2 5 P2 5
Resolução:
a) n() 5 número de combinações de 50 elementos
tomados 3 a 3
46
3,8
174,8
1,748
·
5
5
100
100
100 · 100
100
• Probabilidade conjunta 5 PC 5
5
5
1,35
1,748
3,098
1
5
100
100
100
∴
2
4
< PC ,
100
100
Fique atento!
n!
 n
Cn, p 5  p 5
p! (n 2 p)!
50!
50
n() 5 C50, 3 5  3  5
5
 
3! 47!
Logo, o desempenho conjunto das duas máquinas5
pode ser classificado como BOM.
5
evento A: os 3 parafusos são perfeitos
4. Emitindo a resposta
n( A) 5 C 45,3 5
A resposta é a alternativa b.
5. Ampliando o problema
5
a) Por critério de desempenho das máquinas, a gerência decidiu estabelecer preços diferenciados
para os parafusos: para os da máquina 1, o valor de
R$ 0,10; e para os da máquina 2, o valor de R$ 0,05.
Sabe-se que a empresa produz 10 milhões de parafusos mensalmente e vende toda a sua produção,
com exceção dos parafusos defeituosos. Sendo
assim, qual é a receita dessa fábrica, mensalmente?
b) Discussão em equipe
5
c) Pesquisa
Pesquise as profissões que lidam com esse tipo de
serviço e a procura desse tipo de profissional no
mercado de trabalho.
Uma máquina produziu 50 parafusos, dos quais 5
eram defeituosos. Ao pegar ao acaso 3 parafusos,
responda:
a) Qual é a probabilidade de que os 3 sejam perfeitos?
b) Qual é a probabilidade de que pelo menos um
seja defeituoso?
(453) 5 3!4542! ! 5
45 · 44 · 43 · 42 !
5 15 · 22 · 43
3 · 2 · 42 !
p( A) 5
1 419
n( A)
15 · 22 · 43
(. 72%)
5
5
n( V )
50 · 49 · 8
1 960
b) evento E: “pelo menos um é defeituoso”, que é
o complementar do evento A: “os três são perfeitos” (que é o mesmo que “nenhum é defeituoso”). Logo:
R$ 747 760,00
Troque ideias com seus colegas sobre o auxílio da
matemática para uma melhor eficiência econômica de uma fábrica. Discutam também sobre o
papel da estatística no processo de sucesso de
mercado de uma fábrica/empresa, por exemplo,
a avaliação do público sobre os produtos de tal
fábrica/empresa.
12.
50 · 49 · 48 · 47 !
5 50 ? 49 ? 8
3 · 2 · 47 !
p(E) 5 p( A ) 5 1 2 p(A) 5 1 2 0,72398 5 0,27602
13.
Se A e B são eventos mutuamente exclusivos e
p(A) 5 0,25 e p(B) 5 0,5, determine:
a) p(A < B)
b) p(A < B)
c) p( B )
Resolução:
a) p(A < B) 5 p(A) 1 p(B) 2 p(A > B) 5
5 0,25 1 0,5 2 0 5 0,75
b) p(A < B) 5 1 2 p(A < B) 5
5 1 2 [p(A) 1 p(B) 2 p(A > B)]
Temos:
p(A) 5 0,25
p(B) 5 0,5
p(A > B) 5 0 (A > B) 5  (mutuamente exclusivos)
Logo,
p(A < B) 5 1 2 (0,25 1 0,5) 5 0,25
c) p( B ) 5 1 2 p(B) 5 1 2 0,5 5 0,5
Quadro-resumo
Probabilidades
p( A) 5
n( A)
n( V )
p ( A ) 5 1 2 p( A )
p ( A < B ) 5 p( A ) 1 p( B ) 2 p( A > B )
Probabilidade
241
Exercícios
14.
Em uma urna existem bolas numeradas de 1 a 17.
Qualquer uma delas tem a mesma chance de ser
retirada. Qual é a probabilidade de se retirar uma
bola cujo número seja:
8
a) par?
17 7
b) primo?
17
14
c) par ou primo?
1 17
d) par e primo?
17
3
e) nem par nem primo?
17
7
f ) par mas não primo?
17 6
g) primo mas não par?
17
Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de 52 cartas. Qual é a probabilidade de a carta retirada ser:
a) copas? 1
4 1
b) dama?
13
4
c) copas ou dama?
13
1
d) copas e dama (dama de copas)?
52
e) não copas? 39
52 48
f) não dama?
52
9
g) nem copas nem dama?
No lançamento de dois dados perfeitos, qual é a probabilidade de se obter soma 8 ou números iguais nas
faces superiores? 5
16.
Em uma classe há 16 homens e 20 mulheres, sendo
que metade dos homens e metade das mulheres têm
cabelos castanhos. Ao escolher um aluno ao acaso,
qual é a probabilidade de que seja homem ou tenha
13
cabelos castanhos?
17.
No lançamento de um dado viciado, a probabilidade
de sair 6 é 3 . Qual é a probabilidade de não sair 6? 8
11
11
No lançamento de uma moeda viciada, a probabilidade de sair coroa é o triplo da probabilidade de sair
cara. Qual é a probabilidade de sair coroa? 3 (ou 75%)
19.
18
4
No lançamento de um dado viciado, a probabilidade de sair um número n é representada por
p(n) 5 n ? p(1), sendo n  h1, 2, 3, 4, 5, 6j. Calculem a
probabilidade de sair:
12
1
a) o número 3;
c) um número par.
7
21
6
21
Uma máquina produziu 40 peças, das quais 3 eram
defeituosas. Ao pegar, ao acaso, 2 dessas peças, qual
é a probabilidade de que:
666
a) ambas sejam perfeitas?
780
b) ambas sejam defeituosas?
3
780
c) pelo menos uma seja defeituosa? 114
780
242
22.
Um famoso jogo de computador é o Campo minado, em que o jogador precisa descobrir em que
posições (delimitadas pelos quadrados) estão colocadas 10 minas (bombas).
442
18
b) o número 2 ou 4;
20.
Duas cartas são retiradas aleatoriamente de um
baralho de 52 cartas. Qual é a probabilidade de que:
a) ambas sejam ouros? 1
17
13
b) uma seja copas e outra, ouros?
102
c) pelo menos uma seja ouros? 195
13
15.
18.
21.
Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora
13.
Capítulo 10
As regras do jogo são as seguintes:
• A área do jogo contém o campo de jogo, um contador de minas no lado esquerdo (são 10 ao todo)
e um cronômetro do lado direito.
• Você pode revelar um quadrado clicando nele
com o mouse. Se você revelar uma mina, perderá
o jogo.
• O número que aparece no quadrado indica quantas minas existem nos oito
quadrados que o cercam. No exemplo
ao lado, o número 2 indica que existem 2 minas espalhadas nos 8 quadrados que cercam o número 2.
• Para marcar um quadrado que você acha que contém uma mina, clique nele com o botão direito do
mouse. Ele ficará marcado com uma bandeirinha.
Com base nessas informações, verifiquem qual das
opções a seguir é a mais indicada para dar o próximo
clique, considerando que o objetivo é não revelar acidentalmente nenhuma mina. Justifiquem sua escolha.
Opção 1: Escolhendo aleatoriamente qualquer um
dos 8 quadrados que cercam o número 2 já revelado.
x Opção 2: Escolhendo aleatoriamente qualquer um
dos 8 quadrados que cercam o número 1 já revelado.
Opção 3: Escolhendo aleatoriamente qualquer um
dos quadrados restantes não incluídos nas opções
anteriores.
Analisemos as seguintes situações:
1 ) Experimento: um dado não viciado é lançado e observamos a sua face
de cima.
Neste caso, o espaço amostral é:
 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n() 5 6
Consideremos o evento A 5 {o resultado é ímpar} 5 {1, 3, 5}.
a
3 5 1 5 0,5
Neste caso, temos p( A) 5
. Essa é a probabilidade
6
2
antes de o experimento ser realizado.
Simon Marcus/Fuse/Getty Images/Tatiana Popova/Shutterstock
Probabilidade condicional
Lançamento de um dado não viciado.
Vamos supor agora que, ao realizar o experimento, verificou-se que o resultado não foi o número 6, isto
é, que ocorreu:
B 5 {o resultado é diferente de 6} 5 {1, 2, 3, 4, 5} e n(B) 5 5
Agora, a probabilidade de ocorrer A, sabendo que já ocorreu B, que denotamos por p(A/B), é:
3
5 0,6 (probabilidade de ocorrer A condicionada ao fato de já ter ocorrido B)
5
Observe que agora os casos possíveis são todos os elementos de B e não mais todos os elementos de .
E que os casos favoráveis à ocorrência de A não são mais todos os elementos de A e sim os elementos de B > A,
pois só os elementos pertencentes a B podem ocorrer.
p( A / B ) 5
2a) Oito amigos, sendo 4 homens e 4 mulheres, estão reunidos para revelar seus amigos secretos durante
uma confraternização de final de ano. Todos estão sentados na sala, escolhendo quem irá começar.
Filipe se dispõe a ser o primeiro a falar. Ele se levanta e vai para o meio da roda. Nesse momento, a chance de um dos sete participantes sentados ser o amigo secreto de Filipe é de 1 . Lúcia, como uma das
7
participantes, tem essa chance de 1 . Gabriel também.
7
Matematicamente, a situação atual é a seguinte:
 5 {todos os 7 amigos, exceto Filipe}; n() 5 7
L 5 {Lúcia}; n(L) 5 1 e p(L ) 5
n(L )
1
5
n( V )
7
G 5 {Gabriel}; n(G) 5 1 e p(G ) 5
n(G )
1
5
n( V )
7
Filipe começa: “Meu amigo secreto é uma mulher!”. Nesse momento, Gabriel exclama decepcionado. Ele sabe,
mesmo que intuitivamente, que a partir desse momento a chance de um dos homens ser o amigo secreto de
Filipe é zero. Ao mesmo tempo, a chance de Lúcia, bem como das outras três mulheres, passou a ser de 1 .
4
Essas probabilidades mencionadas, zero e 1 , são probabilidades condicionadas a uma informação extra.
4
A presença dessa informação extra modifica as probabilidades iniciais, pois ela modifica o espaço amostral. Matematicamente, indicamos a probabilidade de ocorrer o evento A, condicionada ao fato de já ter
ocorrido o evento B por p(A/B).
Agora vamos definir os eventos existentes nessa situação:
M é o evento “o amigo secreto de Filipe é mulher”, representado pelo conjunto
M 5 {Lúcia, Flávia, Denise, Fernanda}
L é o evento “o amigo secreto de Filipe é Lúcia“, representado pelo conjunto
L 5 {Lúcia}
G é o evento “o amigo secreto de Filipe é Gabriel”, representado pelo conjunto
G 5 {Gabriel}
Probabilidade
243
Quando os eventos L e G não estavam condicionados a nenhuma informação extra, tínhamos p(L) 5 p(G) 5
1
5
, como já visto anteriormente.
7
Mas agora, ambos estão condicionados ao fato que M ocorreu. Assim, devemos calcular p(L/M) e p(G/M).
1
Intuitivamente, sabemos que p(L/M) 5
e p(G/M) 5 0. Vamos aprender como calculá-los.
4
Note que, quando o evento M ocorre, o espaço amostral passa a ser os elementos de M. No caso, são as
4 mulheres. Assim, o número de elementos de M é 4, ou seja, n(M) 5 4.
Para o cálculo de uma probabilidade condicional, é necessário verificar se o evento está ou não contido no
novo espaço amostral. Gabriel, que é homem, não pertence ao conjunto M das mulheres. Ou seja, G > M 5 
e portanto n(G > M) 5 0. Esse é o motivo pelo qual p(G/M) 5 0.
n(G > M)
0
5
50.
Acompanhe: p(G / M) 5
n( M)
4
n(L > M)
1
Lúcia, por sua vez, pertence a M, ou seja, L > M 5 {Lúcia} e n(L > M) 5 1. Então, p(L/ M) 5
5 .
4
n( M)
n( A > B )
.
Este fato nos sugere que p( A/B ) 5
n(B )
n(AùB)
p( A > B )
n( A > B ) n( V )
n( A > B )
5 n(V) 5
?
5
Como
segue a definição de probabilidade
n(B)
p(B )
n( V )
n(B )
n(B )
n(V)
condicional.
Definição:
Dados dois eventos A e B, com p(B) . 0, a probabilidade condicional de ocorrer
A, já tendo ocorrido B, é um número dado por: p( A/B ) 5
p( A > B )
.
p(B )
Para refletir
Constate a
veracidade desta
fórmula nos dois
exemplos
anteriores.
Exercícios resolvidos
14.
Experimento: ao retirar aleatoriamente uma carta de
um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de se
retirar um ás vermelho? E qual é a probabilidade de
se retirar um ás vermelho de copas?
Resolução:
Nesse caso, temos n() 5 52.
Consideremos o evento A 5 {retirar um ás vermelho} 5
5 {retirar um ás de copas, retirar um ás de ouros};
n(A) 5 2
2
1
5
5 0,04.
Assim, temos: p( A) 5
52
26
Isso é a probabilidade de se retirar um ás vermelho
antes do experimento ser realizado.
Vamos supor agora que, ao realizar o experimento,
verificou-se que foi retirada uma carta de copas, ou
seja, que ocorreu:
B 5 {retirar uma carta de copas}; n(B) 5 13
Agora, a probabilidade de ocorrer A, condicionada
ao fato de que já ocorreu B, ou seja, p(A/B), é dada
1
5 0,08.
por: p( A/B ) 5
13
244
Capítulo 10
Note que agora os casos possíveis são os 13 elementos de B e não mais os 52 elementos do espaço
amostral inicial . E também que os casos favoráveis à ocorrência de A, já tendo ocorrido B, não são
mais todos os elementos de A e sim os elementos
de A > B.
Nesse caso, tivemos:
evento A 5 {retirar um ás de copas, retirar um ás de
ouros}
evento B 5 {retirar uma carta de copas}
A > B 5 {retirar um ás de copas} ⇒ n(A > B) 5 1
Assim, ao retirar uma carta de um baralho de
52 cartas, a probabilidade de sair um ás vermelho,
condicionada ao fato de que a carta retirada tem
1
de ser de copas, é de
.
13
Note que, usando a fórmula, temos:
p( A / B) 5
p( A • B)
1 .
5
p(B)
13
15.
2a maneira:
Biologia
Uma família planejou ter 3 crianças. Qual é a probabilidade de que a família tenha 3 homens, já que
a primeira criança que nasceu é homem?
 5 hHHH, HHM, HMM, MMM, MMH, MHH, HMH,
MHMj ⇒ n() 5 8
Se quisermos somar 8 e no primeiro dado saiu um 3,
então o espaço amostral para o próximo dado é
h1, 2, 3, 4, 5, 6j.
Nesse espaço amostral, o evento desejado é h5j.
Assim, a probabilidade de jogar dois dados e sair
soma 8, sabendo que no primeiro dado saiu um 3,
1
é de p(A/B) 5 .
6
Em uma população de 500 pessoas, 280 são mulheres e 60 exercem a profissão de advogado, sendo
20 do sexo feminino. Tomando ao acaso uma dessas
pessoas, qual é a probabilidade de que, sendo mulher, seja advogada?
evento A: a família tem 3 homens ⇒ A 5 hHHHj
Resolução:
evento B: a primeira criança é homem ⇒ B 5 hHHH,
HHM, HMH, HMMj
4
1
1
5
A > B 5 hHHHj; p(A > B) 5 ; p(B ) 5
8
2
8
1a maneira:
Resolução:
O nascimento de filhos é considerado um evento
equiprovável. Assim, “nascer homem” e “nascer mulher” têm a mesma probabilidade de ocorrer.
1a maneira:
Nesse caso, chamando M: mulher e H: homem, temos:
p(A/B) 5
p( A > B )
p(B )
5
1
8
1
2
17.
Sendo o evento A: a pessoa exerce advocacia, e o evento B: a pessoa é do sexo feminino, procuramos p(A/B).
280
14

5
1

500
25

1
25
n(A > B ) 5 20
 ⇒ p(A/B ) 5 14 5
1
4
20
1 
25
5
p(A > B ) 5

500
25
a
2 maneira:
p(B ) 5
5
1
4
2a maneira:
Se a primeira criança já é um homem, então o
espaço amostral para os próximos 2 filhos é hHH,
HM, MH, MMj.
Nesse espaço amostral, o evento desejado é hHHj.
Assim, a probabilidade de nascerem 3 filhos homens,
sabendo que o primeiro que nasceu é homem, é de
1
p(A/B) 5 .
4
16.
Dois dados perfeitos são lançados. Qual é a probabilidade de sair soma 8 se ocorreu o 3 no primeiro dado?
18.
Em vez de estudar a população toda, poderíamos
nos restringir às mulheres e perguntar qual é a probabilidade de ser advogada uma mulher tomada ao
1
20
5
caso. Teríamos: p(A/B) 5
14
280
Uma bolsa não transparente contém 3 bolinhas de
plástico azuis e 5 bolinhas de plástico vermelhas.
Retiram-se, aleatoriamente, sucessivamente e sem
reposição, duas bolinhas dessa bolsa. Qual é a probabilidade de ambas serem vermelhas?
Resolução:
Consideramos os eventos:
Resolução:
B 5 {a primeira bolinha retirada é vermelha}
1a maneira:
A 5 {a segunda bolinha retirada é vermelha}
 5 h(1, 1), (1, 2), ..., (6, 5), (6, 6)j → n() 5 36
Queremos determinar p(A > B).
evento A: sair soma 8 → A 5 h(2, 6), (3, 5), (4, 4),
(5, 3), (6, 2)j
Sabemos que p( A / B ) 5
evento B: sair 3 no primeiro dado → B 5 h(3, 1),
(3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)j
A > B 5 h(3, 5)j; p(A > B) 5
1
6
1
; p(B) 5
5
36
36
6
1
p(A > B )
1
p(A/B) 5
5 36 5
1
p(B )
6
6
p( A > B )
, daí:
p(B )
p(A > B) 5 p(B) ? p(A/B)
(consequência da definição de
probabilidade condicional)
Como p(B) 5
4
5
, temos:
e p( A / B) 5
7
8
p( A • B) 5
5 4
20
10
?
5
5
5 0,36
8 7
56
28
Probabilidade
245
John Smith/Corbis/Latinstock
Eventos independentes
Lançamento de dois dados perfeitos de cores diferentes.
O conceito de independência de eventos é muito importante em probabilidade. Após analisar um exemplo, definiremos o que são eventos independentes.
Consideremos o experimento “lançar dois dados perfeitos de cores diferentes”. Seja A o evento “sair 6 no
1o dado” e B o evento “sair 3 no 2o dado”. Observemos que:
6
1
5
• p(B) 5 36
6
• A > B 5 h(6, 3)j ⇒ p(A > B) 5
• n(V) 5 36
• A 5 h(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)j
• B 5 h(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3)j
6
1
5
• p(A) 5 36
6
•
p(B> A)
p(B/A) 5
5
p( A)
1
36
1
6
1
36
5
1
6
1
, ou seja, a probabilidade de “sair 3 no 2o dado” não foi afetada pelo fato de
6
“sair 6 no 1o dado”, ou, ainda, a probabilidade de ocorrer B não dependeu da ocorrência de A.
Assim, p(B) 5 p(B/A) 5
Nesse caso, dizemos que A e B são eventos independentes. A probabilidade de ocorrer um deles não
depende do fato de ter ou não ocorrido o outro.
Dessa forma, também é verdade que p(A) 5 p(A/B).
p( A > B )
,temos:
Assim, como p(A/B) 5
p(B )
( A/B )
p(A > B) 5 p
123 ? p(B) 5 p(A) ? p(B)
p (A )
Logo, o fato de A e B serem eventos independentes é equivalente a dizer que p(A > B) 5 p(A) ? p(B). Podemos, então, dar a definição:
Dois eventos A e B de um espaço amostral V (com p(A) Þ 0 e p(B) Þ 0) são independentes se, e somente
se, p(A/B) 5 p(A), ou, de modo equivalente:
p(A > B) 5 p(A) ? p(B)
Com isso, podemos afirmar que dois eventos A e B são dependentes quando p(A > B) Þ p(A) ? p(B).
Exercícios resolvidos
19.
Uma moeda perfeita é lançada duas vezes. Considerando os eventos A: sair cara na 1a jogada e B: sair
cara na 2a jogada, demonstre que os eventos A e B
são independentes.
1
4
Resoluçã0:
1
1
1
5
? , então p(A > B) 5 p(A) ? p(B).
4
2 2
Logo, A e B são independentes.
1a maneira:
2a maneira:
V 5 hCC, CC, CC, CC}
2
1
5
4
2
2
1
5
B 5 hCC, CC} ⇒ p(B ) 5
4
2
A 5 hCC, CC} ⇒ p( A) 5
246
A > B 5 hCCj ⇒ p(A > B) 5
Capítulo 10
Como
1
4 5 1
1
2
2
1
Como p(A) 5 , então p(A/B) 5 p(A) e os eventos A
2
e B são independentes.
p( A > B)
5
p(A/B) 5
p(B)
20. Uma fábrica produz três produtos: A, B e C. Qual é
a probabilidade de se selecionar, ao acaso, um produto defeituoso A, se é sabido que 30% dos produtos produzidos pela fábrica são produtos A e 5% dos
produtos produzidos A são defeituosos?
Resolução:
D: selecionar produto defeituoso
D > A: selecionar produto defeituoso A
• p(A) 5
30
3
5
100 10
• p(D/A) 5
•
5
1
5
100 20
p(D > A) 5 p(D/A) ? p(A) 5
1
3
3
?
5
5 1,5%
20 10
200
Portanto, p(D > A) 5 1,5%.
21.
Resolução:
Retirar 2 bolas equivale a retirar uma de cada vez,
sem reposição. Assim, para a primeira retirada,
4
temos p(A) 5
.
10
A segunda retirada é condicionada à retirada da
primeira, que já ocorreu. O espaço amostral agora é de 9 bolas, sendo 3 vermelhas e 6 azuis. Então,
3
p(B/A) 5 .
9
4
3
2
?
5
p(A > B) 5 p(A) ? p(B/A) 5
10 9
15
23. Biologia
Consideremos uma cria de cachorros com 3 filhotes.
Sejam os eventos:
A: obtenção de pelo menos dois machos
São realizados dois lançamentos sucessivos de um
dado perfeito. Qual é a probabilidade de ocorrer,
nos dois casos, o número 5?
Resolução:
1
6
A 5 {mmm, mmf, mfm, fmm} ⇒ p(A) 5
1
1
1
p(A > B) 5 p(A) ? p(B) 5
?
5
6 6
36
1
2
B 5 {mmf, mfm, fmm, mff, fmf, ffm} ⇒ p(B) 5
Dam d'Souza/Arquivo da editora
uma urna existem
10 bolas idênticas, sendo
4 vermelhas e 6 azuis. Retirando-se aleatoriamente
2 bolas dessa urna, qual é
a probabilidade de saírem
2 bolas vermelhas?
Resolução:
 5 {mmm, mmf, mfm, fmm, mff, fmf, ffm, fff}
A e B são independentes. Procuramos p(A > B).
22. Em
Os eventos A e B são independentes? Por quê?
O nascimento de machos e fêmeas é considerado
um evento equiprovável.
m: macho
f: fêmea
1
A: ocorrência de 5 no 1 lançamento → p(A) 5
6
o
B: ocorrência de 5 no 2o lançamento → p(B) 5
B: obtenção de pelo menos um filhote de cada sexo
A > B 5 {mmf, mfm, fmm} ⇒ p(A > B) 5
Vemos que:
3
1 3
5
? .
8
2 4
3
4
3
8
Como p(A > B) 5 p(A) ? p(B), temos que A e B são
independentes.
Exerc’cios
23.
Em uma sacola há 15 balas, sendo 6 de hortelã, 4 de morango e 5 de limão. Retirando-se ao acaso sucessivamente e sem reposição 2 balas dessa sacola, qual é a probabilidade de:
a) saírem 2 balas de hortelã?
1
7
b) saírem 2 balas de morango?
2
35
c) não sair nenhuma bala de limão?
24.
3
7
Uma moeda e um dado, ambos honestos, são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de se obter
7
cara ou um 6?
12
Probabilidade
247
25. Jogam-se dois dados honestos. Qual é a probabilidade
31.
Trinta por cento (30%) de uma população tem
deficiência de certa vitamina em razão de uma alimentação não equilibrada. Dez por cento (10%) das
pessoas com essa deficiência de vitamina têm certa doença. Qual é a probabilidade de que uma pessoa selecionada ao acaso tenha a doença e a deficiência de vitamina? 3%
32.
Se A e B são eventos independentes com
p(A) 5 0,2 e p(B) 5 0,4, determinem:
de se obter o 4 no primeiro dado se a soma dos resultados é 9? 1
4
26. Um grupo de pessoas está classificado da seguinte
maneira: Veja a resposta na seção Respostas.
27.
Professor
Advogado
Dentista
Homens
60
80
50
Mulheres
90
40
30
a) p(A > B) 0,08
33.
Se A e B são eventos independentes com
p(A) 5 0,5 e p(A > B) 5 0,3, determinem p(B). 0,6
a) p(A/H)
d) p(A/M)
34.
b) p(P/M)
e) p( A/M )
c) p(D/H)
f) p( D/H)
Dois dados perfeitos são lançados. Consideremos os eventos A: sair número ímpar no 1o dado e
B: a soma dos resultados ser 7. Determinem:
g) p(P/H )
1
a) p(A); 2
1
b) p(B);
6
Uma moeda honesta é lançada três vezes. Determine a probabilidade de se obter:
1
3 caras. 8
1
3 caras, dado que a primeira foi cara.
4
3
exatamente 2 caras.
8
1
2 caras, dado que a primeira foi coroa.
4
cara no 2o lançamento, dado que 2 coroas e
1 cara foram obtidas. 1
3
f ) cara no 2o lançamento, dado que 3 caras foram
obtidas. 1
g) cara no 2o lançamento, dado que pelo menos
1 cara foi obtida. 4
a)
b)
c)
d)
e)
c) p(A > B);
d) p(B/A);
35.
Uma carta é retirada ao acaso de um baralho de
52 cartas e, ao mesmo tempo, uma moeda é lançada.
Qual é a probabilidade de se obter:
1
4 3
b) carta vermelha ou cara?
4
a) carta vermelha e cara?
c) carta de figura (dama, valete, rei) e coroa?
28. Biologia
d) carta de figura ou coroa?
Uma família planeja ter 3 filhos. Qual é a probabilidade de que a família tenha exatamente 2
meninas, dado que a primeira criança que nasceu
1
é menina?
36.
2
29. Uma carta é retirada aleatoriamente de um bara-
4
1 c) a primeira carta seja copas e a segunda seja paus?
16
30. Em um conjunto de 100 parafusos, 90 deles estão
em boas condições. Dois deles são retirados, sucessivamente, ao acaso, sem reposição. Qual é a probabilidade de que o primeiro parafuso defeituoso
seja encontrado na 2a retirada? 1
11
Um pescador tem 80% de chance de conseguir
pescar algum peixe se não chover, e 30%, se chover.
Suponha que, em determinado dia, a chance de chover é de 40%.
b) Sabendo que o pescador não pescou nenhum
peixe, qual é a chance de ter chovido? 70%
1
a) a primeira carta seja copas?
4
b) a segunda carta seja paus, dado que a primeira
é uma carta de copas? 1
16
26
12
104
a) Qual é a chance de o pescador não pescar nenhum peixe? 40%
lho de 52 cartas e, em seguida, reposta no baralho.
Uma segunda carta é retirada. Qual é a probabilidade de que:
Capítulo 10
1
6
1
12
e) se A e B são independentes. Sim.
7
248
b) p(A < B) 0,52
Define-se que H: homem; M: mulher; P: professor;
A: advogado; D: dentista. Calcule cada probabilidade abaixo, supondo que cada pessoa tenha uma
única profissão.
37.
Biologia
(Vunesp-SP) Uma pesquisa sobre os grupos sanguíneos ABO, na qual foram testadas 6 000 pessoas de
uma mesma raça, revelou que 2 527 têm o antígeno
A, 2 234, o antígeno B e 1 846 não têm nenhum antígeno. Nessas condições, qual é a probabilidade de
que uma dessas pessoas, escolhida aleatoriamente,
tenha os dois antígenos? 607
6 000
6
Assunto
opcional
O mŽtodo binomial
O método do produto de probabilidades é usado, por exemplo, quando se quer saber qual é a probabilidade de, em uma família, todas as crianças serem meninos ou todas serem meninas. Se um casal planejou
ter 4 filhos, a probabilidade de que todos sejam meninos é:
1
1
1
1
1
?
?
?
5
2
2
2
2
16
Quando há mistura de sexos, por exemplo, 3 meninos e 1 menina, 2 meninos e 2 meninas, etc. e não
se especifica a ordem de ocorrência, podemos usar o método binomial. Para isso, vamos inicialmente
retomar as potências do binômio (a 1 b)n, conhecidas como binômio de Newton, que estudamos no capítulo anterior:
(a 1 b)1 5 1a 1 1b
(a 1 b)2 5 (a 1 b)(a 1 b) 5 a2 1 ab 1 ba 1 b2 5 1a2 1 2ab 1 1b2
(a 1 b)3 5 (a 1 b)2(a 1 b) 5 1a3 1 3a2b 1 3ab2 1 1b3
1
(a 1 b)4 5 (a 1 b)3(a 1 b) 5 1a4 1 4a3b 1 6a2b2 1 4ab3 1 1b4
1
(a 1 b)5 5 (a 1 b)4(a 1 b) 5 1a5 1 5a4b 1 10a3b2 1 10a2b3 1 5ab4 1 1b5
1
Os coeficientes são os elementos do triângulo de Pascal, conhecidos como
números binomiais:
 0
 
 0
1 
 
 0
3
 
 0
 4
 
 0
5 
 
 0
 5
 
 1
1
 3
 
 1
3
4
5
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
 2
 
 2
 3
 
 2
 4
 
2 
 5
 
 2
2
...
 2
 
 1
 4
 
1 
1
 1
 
 1
2
 
 0
que pode ser escrito assim:
1
1
 5
 
 3
 3
 
 3
 4
 
3
5 
 
 4
 4
 
 4
 5
 
 5
...
em que, como já sabemos:
A
 n
 n
n!
ou   5 n, k 5 Cn, k
Cn, k 5   5
k!
k !(n 2 k)!
 k
 k
é o número total de combinações de n objetos tomados k a k, ou seja, é o número de subconjuntos de k elementos tomados de um conjunto com n elementos.
Vejamos agora, por meio de exemplos, no que consiste o método binomial e quando podemos usá-lo.
Probabilidade
249
a) Consideremos uma família com 2 crianças. Se representamos o nascimento de 1 menino por M e o nascimento de 1 menina por F, temos:
1
2
p1q 5 1
1 
p (F) 5 q 5
2 
• p(M) 5 p 5
•
Para refletir
O nascimento de meninos e de
meninas é considerado um evento
equiprovável, isto é, que tem a
mesma probabilidade de ocorrer.
•  5 hMM, MF, FM, FFj
Como experimentalmente sabemos que cada nascimento é independente de nascimentos anteriores,
temos:
1
p(MM) 5 p(M) ? p(M) 5 p ? p 5 p2 5
4
•
• p(MF) 5 p(M) ? p(F) 5 p ? q 5 21 · 21 5 41
• p(FM) 5 p(F) ? p(M) 5 q ? p 5 21 · 21 5 41
• p(FF) 5 p(F) ? p(F) 5 q ? q 5 q2 5 21 · 21 5 41
Observe que a probabilidade total é igual a 1:
1
1
1
1
1 1 1 51
4
4
4
4
Se não consideramos a ordem em que ocorreram os nascimentos, podemos escrever:
p2
1
2pq
q2
1
5
probabilidade
de nascerem
2 meninos
probabilidade de
nascerem 1 menino
e 1 menina
probabilidade
de nascerem
2 meninas
{MM}
{MF, FM}
{FF}
1
Fique atento!
Lembre-se de que o quadrado de uma soma
é indicado por: (a 1 b)2 5 a2 1 2ab 1 b2.
Assim:
• a probabilidade de nascerem 2 meninos é p2, ou seja:
1
1
1
·
5
2 2
4
• a probabilidade de nascerem 1 menino e 1 menina (sem considerar a ordem) é 2pq, ou seja:
2·
1
1
1
·
5
2 2
2
• a probabilidade de nascerem 2 meninas é q2, ou seja:
1
1
1
·
5
2 2
4
Observemos que:
2
2
2
1p2 1 2pq 1 1q2 5   p 2 1   pq 1   q 2 5 (p 1 q)2 5 12 5 1
0
1
2
 
 
250
Capítulo 10
b) Consideremos o nascimento de 3 crianças e as mesmas representações do exemplo anterior.
Agora, as possibilidades de nascimento são dadas por:
 5 hMMM, MMF, MFM, FMM, MFF, FMF, FFM, FFFj
Assim:
• p(MMM) 5 p(M) ? p(M) ? p(M) 5 p ? p ? p 5 p3
• p(MMF) 5 ppq 5 p2q
• p(MFM) 5 pqp 5 p2q
• p(FMM) 5 qpp 5 p2q
• p(MFF) 5 pqq 5 pq2
• p(FMF) 5 qpq 5 pq2
• p(FFM) 5 qqp 5 pq2
• p(FFF) 5 qqq 5 q3
Se não consideramos a ordem dos nascimentos, as possibilidades se reduzem a MMM, MMF, MFF e FFF,
e as probabilidades correspondentes são dadas por:
• p(MMM) 5 p3
• p(MMF) 5 3p2q
• p(MFF) 5 3pq2
• p(FFF) 5 q3
e escrevemos:
p3 1 3p2q 1 3pq2 1 q3 5 1
que é a expressão do binômio (p 1 q)3 5 1.
Portanto, podemos dizer que:
• a probabilidade de que as 3 crianças sejam meninos é:
p3 = p ? p ? p 5
Fique atento!
Lembre-se de que o cubo de
uma soma é indicado por:
(a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3.
1
1
1
1
?
?
5
2 2 2
8
• a probabilidade de que nasçam 2 meninos e 1 menina é:
3p2q 5 3ppq 5 3 ?
1
1
1
3
?
?
5
2 2 2
8
• a probabilidade de que nasçam 1 menino e 2 meninas é:
3pq2 5 3pqq 5 3 ?
• a probabilidade de que nasçam 3 meninas é:
q3 5 qqq 5
1
1
1
3
?
?
5
2 2 2
8
1
1
1
1
?
?
5
2 2 2
8
e notamos que:
1
3
3
1
8
1
1
1
5
51
8
8
8
8
8
Observamos ainda que:
3
3
3
3
1p3 1 3p2q 1 3pq2 1 1q3 5   p 3 1   p 2q 1   pq 2 1   q 3
3
2
 1
 0
O método binomial pode ser usado em outros assuntos, nos quais os problemas tenham estrutura análoga à dos exercícios resolvidos a seguir.
Probabilidade
251
Exercícios resolvidos
24. Um dado honesto é jogado 7 vezes. Qual é a probabi-
Generalizando:
lidade de sair o número 5 quatro vezes?
Uma experiência é realizada n vezes independentemente:
Resolução:
Probabilidade de sair o 5 em cada jogada:
1
p5
6
Probabilidade de não sair o 5 em cada jogada:
5
q512p5
6
Probabilidade de sair o 5 em 4 das 7 jogadas:
( )( ) ( )
4
1
6
7
4
5
6
3
() ()
4
7!
1
?
5
6
4! 3!
5
?
6
3
• em cada uma das n vezes, um evento A tem pro-
babilidade p de ocorrer.
• a probabilidade de A não ocorrer em cada vez é
q 5 1 2 p.
• a probabilidade de A ocorrer em k das n vezes é
dada por: n p k q n 2 k .
k
()
26. Uma moeda honesta é lançada 8 vezes. Qual é a
probabilidade de sair cara 5 vezes?
teste com 5 alternativas em cada teste. Se um aluno
“chutar” (escolher aleatoriamente) todas as respostas,
qual é a probabilidade de ele acertar 6 exercícios?
Em cada lançamento:
10
6
1
5
4
5
( ) ? ( 45 )
10!
1
5 6! 4! ? 5
1
.
2
( )( ) ( )
8
5
4
tão: q 5 1 2 p 5
5
Probabilidade de acertar 6 das 10 questões:
( )( ) ( )
5
Então, a probabilidade de sair cara 5 vezes é:
Probabilidade de errar (não acertar), em cada ques-
6
1
.
2
• A probabilidade de não sair cara é q 5 1 2 21
Probabilidade de acertar, em cada questão:
1
p5
5
4
Não sair cara
equivale a sair coroa.
• A probabilidade de sair cara é p 5
Resolução:
6
Fique atento!
Resolução:
25. Uma prova é constituída de 10 exercícios em forma de
1
2
5
3
8 ? 7 ? 6 ? 5!
1
1
1
7
?
5
5
5
?
5! ? 3 ? 2 ? 1
2
32 8
32
5 0,21875 5 21,875%
Portanto, ao lançar-se uma moeda 8 vezes, a pro7
babilidade de sair cara 5 vezes é de
(aproxima32
damente 22%).
4
Exercícios
Um casal pretende ter 5 filhos e deseja saber qual
é a probabilidade de ter:
a)
b)
c)
d)
1
5 meninos;
32
5
2 meninos e 3 meninas;
16
5
1 menino e 4 meninas;
32
o 1o homem, o 2o mulher, o 3o mulher, o 4 o homem e o 5o mulher. (Cuidado, nesse caso a ordem
importa.) 1
39. Biologia
41.
Um dado honesto é lançado 5 vezes. Calcule a probabilidade de a face 6 sair 2 vezes. 625
3 888
(. 16%)
42. A probabilidade de um saltador atingir seu objetivo
é de 40% em cada salto. Calcule a probabilidade de,
em 8 saltos, ele conseguir seu objetivo:
256
(. 0,07%)
390 625
16 128
b) em 6 deles.
(. 4,13%)
390 625
a) em todos;
32
Um casal pretende ter 6 filhos. Determine a probabilidade de ter:
a) 3 meninos e 3 meninas;
b) 4 meninos e 2 meninas.
5
16
15
64
40. Se uma moeda honesta é lançada 6 vezes, qual é a
probabilidade de sair coroa 4 vezes? 15
64
252
Capítulo 10
Atleta Luiz Alberto de Araújo em salto a distância
durante os Jogos Olímpicos de Verão, no Estádio
Olímpico, Londres (Inglaterra). Fotografia de 2012.
Robert Beck /Sports Illustrated/Getty Images
38. Biologia
7
Aplicações de probabilidade à Genética
A Genética é, talvez, o ramo da Biologia que mais utiliza os conceitos matemáticos envolvidos na teoria
das probabilidades. Isso porque, em probabilidade, trabalhamos com os eventos chamados aleatórios, e um
bom exemplo de evento aleatório é o encontro de dois tipos de gametas com determinados genes. Um indivíduo heterozigoto para determinada característica (Aa) forma dois tipos de espermatozoides, A e a.
Se uma mulher também for heterozigota, poderá formar óvulos A e a. Depende apenas do acaso o fato de
ser o espermatozoide A ou a o responsável pela fecundação, assim como também depende apenas do acaso
o fato de ser a célula feminina A ou a a fecundada.
Assim, considere o seguinte esquema:
3
Aa
pais
gametas
(50% A e 50% a)
geração F1
Aa
A
a
A
a
AA
1
4
Aa
1
4
Aa
1
4
aa
1
4
Para
refletir
Pesquise o
que significa
um “indivíduo
heterozigoto”
e um
“indivíduo
homozigoto”.
e o quadro de possibilidades com suas respectivas probabilidades:
♀
♂
1
2
A
1
2
a
A
1
2
1
4
AA
1
4
Aa
a
1
2
1
4
Aa
1
4
aa
Fique atento!
Nos exercícios
abaixo, quando
não mencionado,
considere os
eventos
apresentados
como sendo
equiprováveis.
Exercícios resolvidos
27. Em uma população humana a probabilidade de ser
mudo é estimada em 0,005, a probabilidade de
ser cego é 0,0085 e a probabilidade de ser mudo e
cego é 0,0006. Qual é a probabilidade de que um
indivíduo, tomado ao acaso, seja mudo ou cego?
Resolução:
28. João e sua esposa Maria têm pigmentação normal. João é filho de um homem normal e mulher
albina; Maria é filha de uma mulher normal e pai
albino. Qual é a probabilidade de João e Maria
terem uma criança albina do sexo masculino?
Resolução:
Nesse caso, “ser mudo” não exclui a possibilidade
de “ser cego”, portanto os eventos não são mutuamente exclusivos. Logo:
João
Aa
p(ser mudo ou ser cego) 5 p(A ou B) 5
AA
Aa Aa
1
4
1
2
5 p(A) 1 p(B) 2 p(A e B) 5
5 0,0050 1 0,0085 2 0,0006 5 0,0129
3
Maria
Aa
aa (albino)
1
4
Probabilidade
253
Logo:
1
1
e p(sexo masculino) 5
4
2
Como os eventos “ser criança albina” e “ser do sexo masculino” são independentes, temos:
p(criança albina) 5
p(ser criança albina do sexo masculino) 5
1
1
1
ou 12,5%
?
5
2 4
8
29. No ser humano o albinismo é determinado por um gene recessivo a, enquanto a pele normal é determinada
pelo alelo dominante A. Um casal heterozigoto com pigmentação normal teve como primeiro descendente uma
criança albina.
Responda:
a) Qual é a probabilidade de que seus próximos dois filhos sejam albinos?
b) Qual é a probabilidade de que seus próximos dois filhos tenham pigmentação normal?
c) Qual é a probabilidade de pelo menos um dos seus próximos dois filhos ser albino e menino?
Resolução:
a) O fato de a primeira criança ser albina não influenciará, nesse aspecto, a hereditariedade das futuras crianças. São, pois, eventos independentes.
pais
gametas
(50% A e 50% a)
geração F1
Aa
Aa
3
A
a
AA
1 AA
4
Aa
A
a
Aa
aa
1
aa (albino)
4
1 Aa
2
Assim, a probabilidade de cada criança ser albina em qualquer nascimento é
1
4
1
p(terceira criança ser albina) 5
4
1
ou 25%. Portanto:
4
p(segunda criança ser albina) 5
p(segunda e terceira crianças serem albinas) 5
1
1
1
ou 6,2%
?
5
4 4
16
b) A probabilidade de que cada um dos seus próximos dois filhos, separadamente, tenha pigmentação normal
3
ou 75%, pois:
é
4
1
1
AA 1 Aa, ou seja, 1 1 1 5 3
2
4
4
2
4
Logo:
p(segunda e terceira crianças terem pigmentação normal) 5
3 3
9
ou 56%
?
5
4 4
16
c) A probabilidade de pelo menos um dos próximos dois filhos ser albino é:
12
9
7
5
ou 43%
16
16
Como a probabilidade de ser menino é 1 , então a probabilidade de pelo menos uma criança ser menino e
2
albina é:
1
7
7
ou 21%
?
5
2 16
32
254
Capítulo 10
30. Em um cruzamento Aa 3 Aa, sabemos que as com-
binações AA, Aa, aA e aa são igualmente prováveis,
1
cada uma com probabilidade . Sabemos também
4
que Aa e aA não podem ser distinguidas biologicamente. Qual é a probabilidade de ocorrer Aa ou aA?
Resolução:
1
4
1
p(aA) 5
4
p(Aa) 5
32. Um casal não albino tem um filho albino.
a) Qual é a probabilidade de aparecer na descendência uma filha não albina?
b) Se o casal tiver 4 filhos, qual é a probabilidade
de 3 serem não albinos e 1 albino?
Resolução:
Situação genética:
Pai
Aa e aA são mutuamente exclusivos, então
p(Aa > aA) 5 0.
Logo: p(Aa ou aA) 5
31.
p(as duas crianças terem queratose) 5
3 3
9
5
ou 56%
?
5
4 4
16
Mãe
Aa
3
1
AA
4
1
1
2
1
205
1
5
4
4
4
2
A queratose (anomalia na pele) é devida a um gene
dominante Q. Uma mulher com queratose cujo pai era
normal casa-se com um homem com queratose cuja
mãe era normal. Se esse casal tiver 2 filhos, qual é a
probabilidade de os dois apresentarem queratose?
2
Aa
4
3
não albinos
4
A_ 5 p 5
3
1
aa
4
albino
3
5 não albinos
4
1
5 albino
4
aa 5 q 5
Resolução:
mulher
Qq
Aa
a) Filha não albina
homem
Qq
Probabilidade de ser do sexo feminino 5
Probabilidade de ser não albina 5
QQ
Qq
Q é dominante →
Qq
qq
Probabilidade combinada 5
1
3
(queratose)
4
4
Assim, p(cada criança ter queratose) 5 3 . Como o
4
evento “primeira criança ter queratose” é independente do evento “segunda criança ter queratose”, temos:
3
4
1
2
3
1
3
?
5
4 2
8
b) Como são quatro filhos, há quatro possibilidades
de ocorrência de apenas um dos filhos ser
albino(a). Logo, a probabilidade é:
4?
( 43 ) ? 41 5 4 ? 6427 ? 41 5 6427
3
Fique atento!
Nos exercícios abaixo, quando não mencionado, considere os eventos apresentados como sendo equiprováveis.
Exerc’cios
43. Um casal tem 3 meninos e espera sua quarta criança.
45. As ovelhas de cor branca têm o genótipo WW em
Qual é a probabilidade de essa criança ser um menino?
relação a esse caráter; a coloração preta depende
do gene W. De um carneiro preto cruzado com uma
ovelha branca resultou um cordeiro branco. Qual é
a probabilidade de a próxima cria ser branca? 1
50%
44. Suponhamos que o caráter cor dos olhos seja con-
dicionado por um par de genes. Seja C dominante
para olhos escuros e c recessivo para olhos claros. Um
indivíduo de olhos escuros cuja mãe tenha olhos claros
casa com uma mulher de olhos claros cujo pai tinha
olhos escuros. Qual é a probabilidade de seu primeiro
filho ser do sexo masculino e ter olhos escuros? 1
4
2
46. Na espécie humana a polidactilia (dedos a mais) é devida a um gene dominante. Quando a mulher é polidáctila, de mãe e pai normais, qual é a probabilidade
de que o casal venha a ter descendente polidáctilo? 1
2
Probabilidade
255
Pensando no Enem
Matriz do Enem: H2 - Identificar padrões numéricos ou
princípios de contagem.
1.
A partir da análise das questões propostas nesta seção, pode ser proposto um
trabalho em grupo sobre como as tecnologias de informação afetam positiva e
negativamente a vida das pessoas. O momento é propício para realizar
também uma discussão sobre o uso destas tecnologias em sala de aula e da
mesma forma ressaltar as potencialidades e os aspectos desfavoráveis, no
que diz respeito principalmente à contribuição para o estudo da Matemática.
Leia o texto e resolva o problema abaixo
Telefônicas investem em internet para enfrentar concorrência de apps
Popularização de aplicativos de troca de mensagens reduz receita das operadoras com serviços
de voz e SMS. Meta agora é focar na venda de pacotes para web
A difusão do acesso a conexões de banda larga
colocou o modelo de negócios das empresas de
telefonia contra a parede. Com a competição de
aplicativos que substituem linhas telefônicas fixas
e serviços de envio de mensagens de texto (SMS),
as operadoras estão apostando todas as suas fichas
agora na venda de pacotes de dados para a internet.
[...]
As operadoras não revelam a parcela de receita referente a cada serviço, mas quem acompanha
o setor vê o foco nos pacotes de dados como definitivo. “Apesar de ainda serem o principal serviço,
as receitas de voz das operadoras na telefonia móvel estão caindo em alguns países e, no Brasil, parando de crescer. As operadoras já vêm investindo
cada vez mais em banda larga fixa e móvel, que é
de onde está vindo o crescimento da receita”, diz o
presidente da consultoria Teleco, Eduardo Tude.
Fonte: Jornal Gazeta do Povo. Disponível em: <www.gazetadopovo.com.br/
economia/telefonicas-investem-em-internet-para-enfrentar-concorrencia
-de-apps-8zv7go8ex9cr296iqzmmso1u6>. Acesso em: 6 maio 2016.
Uma empresa de telefonia tem como argumento em
uma campanha publicitária de seus diversos tipos de
planos o fato de que algumas pessoas preferem usar
o celular para enviar mensagens (M), outras estão
sempre conectadas à internet (I), outras ainda adoram conversar pelo celular (C). Considerando esses
três usos, o número de pacotes diferentes com apenas uma, ou apenas duas ou as três funcionalidades
que a empresa pode oferecer é:
a) 3
c) 15
x b) 7
d) 10
2.
e) 5
Matriz do Enem: H28 - Resolver situação-problema que
envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.
Leia o texto e resolva o problema abaixo:
Há diversos estudos comprovando que interagir com outras pessoas, principalmente com
amigos, é o que mais fazemos na internet.
[...]
A internet é a ferramenta mais poderosa já inventada no que diz respeito à amizade. E está transformando nossas relações: tornou muito mais fácil
manter contato com os amigos e conhecer gente
nova. Mas será que as amizades on-line não fazem
com que as pessoas acabem se isolando e tenham
menos amigos off-line, “de verdade”? Essa tese, geralmente citada nos debates sobre o assunto, foi
criada em 1995 pelo sociólogo americano Robert
Putnam. E provavelmente está errada. Uma pesquisa feita pela Universidade de Toronto constatou que
a internet faz você ter mais amigos – dentro e fora
da rede. Durante a década passada, período de surgimento e ascensão dos sites de rede social, o número médio de amizades das pessoas cresceu. E os
chamados heavy users, que passam mais tempo na
internet, foram os que ganharam mais amigos no
mundo real – 38% mais. Já quem não usava a internet
ampliou suas amizades em apenas 4,6%.
Então as pessoas começam a se adicionar [...]
e no final todo mundo vira amigo? Não é bem
assim. A internet raramente cria amizades do
zero – na maior parte dos casos, ela funciona como potencializadora de relações que já haviam
se insinuado na vida real. [...]
Fonte: Revista Superinteressante. Disponível em: <http://super.abril.com.br/
comportamento/como-a-internet-esta-mudando-a-amizade>.
Acesso em: 6 maio 2016.
Em determinada rede social, Elisa tem 500 amigos. Martha tem 480 amigos nessa mesma rede. João também
está nessa rede e tem 550 amigos. Elisa e Martha têm
50 amigos comuns na rede. Martha e João têm 30 amigos comuns. Elisa e João têm 45 amigos em comum.
Eles fizeram uma festa de aniversário presencial conjunta para a qual convidaram todos – e apenas – os
seus amigos dessa rede social.
Sabendo que todos os convidados compareceram e
há na festa 432 amigos exclusivos de Elisa, qual é a
probabilidade de encontrarmos nessa festa um amigo que seja amigo dos três?
Como a internet está mudando a amizade
Nunca foi tão fácil manter contato e conhecer
gente nova pela internet. Graças às redes sociais,
nunca tivemos tantos amigos. Mas isso está transformando a própria definição de amizade.
256
Capítulo 10
x a)
3
170
b) 427
1 530
c) 502
1 530
d)
5
153
e) 1
51
Leitura
A Matemática da sorte
A vida cotidiana está repleta de situações que as
pessoas julgam ser de sorte ou de azar. No entanto,
independentemente do conhecimento matemático
do indivíduo, essas sensações são meramente intuitivas. O cálculo das probabilidades ajuda a explicar
tais sensações.
Leia o texto a seguir, que foi publicado na revista
Superinteressante.
As probabilidades matemáticas mudam de maneiras que nem sempre percebemos – gerando o que
chamamos de sorte. No século XVII, o duque da Toscana notou que, quando jogava 3 dados, o número 10
aparecia com mais frequência que o 9. Mas a probabilidade de todos os resultados não deveria ser a mesma?
O duque chamou Galileu Galilei para investigar. Veja
o que ele descobriu.
Quando jogamos 3 dados, o número de combinações com as quais podemos obter tanto uma soma de
resultado 9 quanto uma de resultado 10 é exatamente
o mesmo.
Ilustrações: Banco de imagens/Arquivo da editora
Para o 9, temos seis combinações:
Mas a combinação
é mais rara do que as outras – porque estatisticamente é mais difícil que os dados caiam todos
com o mesmo número (no caso, 3) para cima.
Isso altera a probabilidade das coisas – e
faz com que a combinação 10 apareça 8%
mais vezes que o 9. Pura matemática.
Superinteressante. São Paulo: Abril, ed. 307, p. 51, ago. 2012.
1.
Determine a probabilidade de sair
1
(0,46%)
216
2. Determine a probabilidade de sair
1
(2,78%)
36
•
É importante notar que existe mais de
uma ordem possível, aumentando a probabilidade dessa combinação.
3. Determine a probabilidade de sair
1
(1,39%)
72
Para o 10, temos seis combinações:
•
Fique atento às possíveis ordens.
4. Observe as imagens do texto e determine:
a) Qual é a probabilidade de sair soma 9 jogando-se 3 dados? 25 (11,6%)
216
b) Qual é a probabilidade de sair soma 10 jogando-se 3 dados? 1 (12,5%)
8
Probabilidade
257
Outros
contextos
Probabilidade – Paradoxos e impossibilidades
Na Matemática, o estudo da teoria das probabilidades é rico em paradoxos e impossibilidades. Logo de cara, pode-se perceber que um enunciado aparentemente simples pode nos induzir a erros inesperados. Por exemplo, analise a
questão a seguir.
Um pai possui dois filhos e pelo menos um deles é menino. Qual é a probabilidade de que o outro filho também
seja um menino?
1
Provavelmente o primeiro impulso é responder ! Porém, essa não é a resposta correta!
Para refletir
2
O problema que
Observe que há 3 combinações possíveis, uma vez que um dos dois filhos certamente é
acabamos de ver pode
1
homem (H): HH; HM; MH. Veja agora com clareza que a resposta correta é . Se o enunciado
ser análogo ao problema
3
que envolve lançamento
houvesse dito que o filho mais velho era menino, nossas combinações ficariam restritas a
de duas moedas.
1
HH e MH; então a probabilidade de o “outro” também ser menino, aí sim, seria .
2
Um problema conhecido é o paradoxo dos aniversários. Ao escolher aleatoriamente 24 pessoas e perguntar qual é a
probabilidade de que duas dessas pessoas tenham a mesma data de aniversário (mesmo dia e mesmo mês), é difícil imaginar que a probabilidade dessa ocorrência seja superior a 50%. Vamos verificar! Suponha que Pedro faça parte do grupo,
então observe que a probabilidade de uma segunda pessoa não fazer aniversário na mesma data que Pedro é 364/365. A
probabilidade de que uma terceira pessoa também não faça aniversário no mesmo dia de Pedro é 363/365. Então, a probabilidade de que 23 pessoas não façam aniversário no mesmo dia de Pedro é dada pelo produto:
364 363 362 361
341
23
?
?
?
?…?
5
365 365 365 365
365
50
23
27
5
5 54%. Esse
50
50
resultado mostra que, ao escolher um grupo de 24 pessoas, pode não ocorrer que duas delas façam aniversário no
mesmo dia, mas a chance de que isso aconteça é maior que 50%.
Um exemplo interessante foi que, entre os 23 atletas convocados para a copa do mundo de 2002, quando o
Brasil conquistou o pentacampeonato, dois jogadores do grupo de atletas faziam aniversário no mesmo dia: Dida e
Gilberto Silva (ambos, no dia 7 de outubro). Todavia, se procurarmos tal coincidência entre os 22 jogadores da seleção campeã em 1958, não encontraremos. Da mesma maneira que foi solucionado o problema relacionando 24
pessoas quaisquer e suas datas de aniversário, pode-se determinar, de forma análoga, a probabilidade de os exemplos acima ocorrerem ou não.
O problema abaixo é mais um interessante caso envolvendo probabilidade.
João possui um pequeno tetraedro regular com as faces numeradas de 1 a 4. Ao jogar o tetraedro sobre uma mesa,
todas as faces terão a mesma probabilidade de cair com sua numeração voltada para baixo. João lançará o dado até
que ocorra a face 4 voltada para baixo. Qual é a probabilidade de que isso aconteça?
Veja a solução:
Acertar na 1a tentativa: 1
4
3
1
3
?
5
Acertar na 2a tentativa (errou na primeira tentativa):
4 4
16
Então, a probabilidade de que outra pessoa faça aniversário no mesmo dia que Pedro é 1 2
Acertar na 3a tentativa (errou nas duas primeiras tentativas): 3 ? 3 ? 1 5 9
4 4 4
64
e assim por diante.
Acertar alguma vez:
1
3
9
27
64
128
36
27
255
1
1
1
1… 5
1
1
1
1…5
1 … 5 1 5 100%
4
16
64
256
256
256
256
256
256
Ou seja, se João ficar lançando seu tetraedro, é certo que em alguma tentativa irá ocorrer a face 4 voltada para baixo.
258
Capítulo 10
Há eventos praticamente impossíveis de ocorrer; isto é, a probabilidade de que eles ocorram é um número
muito próximo de zero. Por exemplo, supondo existir uma urna suficientemente grande, de maneira que seja
possível colocar fichas numeradas representando cada um dos elementos do conjunto R. A probabilidade de retirar da urna ao acaso uma das fichas e nela estar escrito um número racional (inteiro, decimal exato ou decimal
periódico) é um número infinitesimal, próximo de zero.
Sabe-se, porém, que eventos com probabilidade muitíssimo pequena também podem ocorrer. Vejamos um
desses casos:
O jornal britânico Daily Mail noticiou que uma
aposentada inglesa, Wenda Douthwaite, jogava cartas
com três outros senhores (o jogo chama-se Whist) e,
ao distribuir 13 cartas para cada um dos quatro jogadores, todos eles haviam recebido só cartas do mesmo
naipe. A probabilidade de tal fato acontecer é uma em
2 235 197 406 895 366 368 301 599 999 vezes. Seria,
segundo o matemático Dr. Alexander Mijatovic, da
Universidade de Warwick, como encontrar uma determinada gota de água no oceano Pacífico.
Entre os eventos quase impossíveis está o nascimento de uma pessoa em específico, por exemplo. No exato
Wenda Douthwaite e seus três colegas. Juntos vivenciaram uma
instante da fecundação de um óvulo, a probabilidade de
improvável jogada durante uma partida de Whist. Fotografia de 2011.
que cada um dos espermatozoides tem é de 1 em alguns
milhões. Em outro instante qualquer, seriam tantas as variáveis a serem consideradas e acrescentadas ao problema que
a probabilidade seria quase zero. Enfim, a probabilidade de cada um de nós ter nascido é possivelmente menor do
que a chance que a senhora Wenda teve ao distribuir cartas entre ela e seus três amigos e acontecer o que foi noticiado.
Trabalhando com o texto
1.
Ao escolher quatro cartas de um baralho: o ás de espada, o ás de copas, o valete de ouros e o rei de paus,
Roberto e Luiz recebem duas dessas quatro cartas cada um. Roberto diz: “Tenho um ás”. Qual é a probabilidade
de que ele tenha também outro ás? 1
2.
O ato de retirar uma única carta de um baralho pode sugerir problemas interessantes. Vamos tomar agora 2
baralhos comuns, cada um com 52 cartas, 4 naipes. Retire uma carta de um baralho e, suponhamos que seja
um quatro de paus, coloque essa carta no segundo baralho. Embaralhe o segundo baralho, agora com 53 cartas.
Retire uma carta desse segundo baralho. Qual é a probabilidade de que ela seja também um quatro de paus?
5
1
1 378
Pesquisando e discutindo
3.
O triângulo aritmético de Pascal é usado em probabilidades quando estudamos distribuição binomial. É um
triângulo dotado de várias propriedades. Tente descobrir nele a sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Veja mais sobre o assunto
Observe no triângulo aritmético de Pascal da página 225 (disposto na forma de um triângulo
retângulo), que, ao somarmos os números das diagonais, os valores numéricos obtidos formam
a sequência de Fibonacci. [(1), (1), (1 1 1 5 2), (2 1 1 5 3), (1 1 3 1 1 5 5), (3 1 4 1 1 5 8), ... ]
Procure mais informações e curiosidades sobre probabilidade e seus paradoxos e também sobre eventos considerados impossíveis em jornais, revistas, livros e na internet. Sugestões: (acessos em: 7 maio 2016)
• Divertimentos matemáticos. Martin Gardner. Ibrasa, 1961.
• Daily Mail: <www.dailymail.co.uk/sciencetech/article-2065728/Whist-players-dealt-complete-suit-openinghand.html>.
• Brasil escola: <http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/o-uso-baralho-dado-no-ensino-probabilidade.
htm>.
• Instituto de Matemática UFRGS: <www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa6a.html>.
Probabilidade
259
SWNS/The Grosby Group
As impossibilidades
Leitura
Reprodução/Museu de Capodimonte, Nápoles, Itália.
Um pouco mais sobre probabilidade
Nos séculos XV e XVI matemáticos italianos começaram a escrever
sobre probabilidade. Em 1494 o monge franciscano e célebre matemático Luca Paccioli escreveu o primeiro livro de que se tem notícia contendo problemas de probabilidade, chamado Summa de arithmetica,
geometria, proportioni e proportionalita. Esse livro trouxe fama a
Paccioli, permitindo que ele se tornasse professor de Matemática na
corte de Ludovico, em Milão (Itália), tendo como um de seus alunos
Leonardo da Vinci (1452-1519).
A teoria da probabilidade nasceu das discussões matemáticas que
aconteciam por correspondência entre Pascal e Pierre de Fermat. Antes da teoria da probabilidade esse ramo da Matemática era trabalhado de forma apenas intuitiva, empregado principalmente na resolução
de problemas. As cartas trocadas entre Pascal e Fermat (que citaram
por vezes os problemas propostos por Chevalier de Méré, amigo de
Blaise e fanático por jogos de dados) foram fundamentais para o desenvolvimento dos modernos conceitos de probabilidade e suas propriedades. Pascal ficou conhecido pelos seus conhecimentos de probabilidade ao resolver o problema do jogo interrompido. Na época,
perguntava-se como um prêmio deveria ser dividido entre dois jogadores se, por algum motivo, o jogo não chegasse ao fim.
Reprodução/Arquivo da editora
Retrato de Girolamo Cardano (1501-1576).
Collection Roger-Villet/Agence France-Presse
Blaise Pascal, o grande personagem da teoria da probabilidade,
era filho do matemático Étienne Pascal, conhecido pelo estudo completo da curva descrita por um ponto de um círculo que rola sobre
outro de mesmo raio. De início, Étienne não queria que seu filho se
dedicasse à Matemática e procurou dar a ele estímulos em outras
áreas, porém isso de nada adiantou, pois o talento do jovem Blaise
para a Matemática se revelou cedo. Aos 14 anos já acompanhava o
pai nas reuniões da Academia Mersenne, em Paris (França), e aos 16
anos publicou seu primeiro trabalho em geometria intitulado Essay
pour les coniques (Ensaio para as cônicas).
Retrato de Luca Paccioli (1445-1517),
c. 1496. Óleo sobre tela, 98 cm 3 108 cm.
Retrato de Blaise Pascal (1623-1662).
Reprodução em preto e branco.
Ann Ronan Picture Library/Agence France-Presse
Girolamo Cardano nasceu em Pádua (Itália), formou-se em Medicina e trabalhou na universidade dessa mesma cidade, atuando
como um cientista polivalente, uma vez que suas pesquisas envolviam
Matemática, Medicina, Física, Química, Astrologia, Astronomia e jogos. Unindo o interesse por matemática e jogos, Cardano escreve o
livro De ratiociniis in ludo aleae (Os raciocínios nos jogos de azar).
Esse livro, escrito em 1526, só foi publicado em 1663 e, portanto, muitos matemáticos contemporâneos a Cardano não tiveram oportunidade de lê-lo.
Para ilustrar o problema do jogo interrompido vamos apresentar
uma situação imaginária com a questão que estava sendo discutida.
Pascal e Fermat estão em um Café em Paris e resolvem jogar “cara e
coroa” com uma moeda. Cada um colocou sobre a mesa 50 francos e
combinaram que, quem fizesse primeiro 10 pontos, levaria os 100 francos.
260
Capítulo 10
Gravura de Pierre de Fermat (1601-1665).
Capa do livro Sobre o raciocínio em
jogos de azar; ou, O valor de todas as
chances em jogos de fortuna; cartas,
dados, apostas, loterias, e etc;
Matematicamente demonstrado
(tradução livre).
Ann Ronan Picture Library/Agence France-Presse
Pouco tempo depois o cientista holandês Christian Huygens (1629-1695), inspirado nessas discussões, publicou em 1657 o primeiro livro
realmente voltado ao estudo das probabilidades, Libellus de ratiociniis
in ludo aleae, um tratado sobre problemas relacionados com jogos de
dados. Por causa do apelo inerente dos jogos de azar, a teoria da probabilidade se tornou bastante popular, desenvolvendo-se rapidamente
durante o século XVIII. Nesse período as principais contribuições ao
campo da probabilidade foram realizadas por Jakob Bernoulli (1654-1705)
e Abraham de Moivre (1667-1754), que em 1718 escreveu o livro Doutrina
das probabilidades.
Reprodução/Coleção do Memorial Posner/Biblioteca da Universidade Carnegie Mellon,
Pittsburgh, Pensilvânia, EUA.
Eles começaram a jogar, mas, no meio do jogo, algo estranho aconteceu.
Um mensageiro apareceu no Café e disse a Fermat que ele deveria se dirigir imediatamente a Toulouse, pois um grande amigo dele estava doente.
Fermat pediu então desculpas a Pascal e disse que o jogo estava interrompido, pois ele teria que se retirar imediatamente. Como, no momento,
Pascal ganhava o jogo por 8 a 7, a pergunta importante é: como os 100
francos deveriam ser repartidos?
Muitos achavam que a divisão dos 100 francos deveria ser feita
em partes proporcionais a 8 e 7, pois esses eram os números de vitórias
de cada um no momento da interrupção. Mas Pascal mostrou que
esse raciocínio é errado, pois não leva em conta que a partida terminaria quando um dos jogadores fizesse 10 pontos. Usando probabilidades, ele concluiu que deveria receber 11/16 da quantia total, ou seja,
68,75 francos. Utilizando outro raciocínio, Fermat também chegou à
mesma conclusão.
Mais tarde, Leonhard Euler (1707-1783) e Jean-Baptiste D’Alembert
(1717-1783) desenvolveram outros estudos sobre probabilidades, aplicando-os à Economia, às Ciências Sociais e a loterias.
Segundo Carl Boyer, “entre os problemas de loterias que Euler publicou em 1765, o mais simples é o seguinte: suponha que n bilhetes são
numerados consecutivamente de 1 a n e que três bilhetes são tirados ao
acaso. Então a probabilidade de que três números consecutivos sejam
2?3
tirados é
”*.
n(n 2 1 )
Gravura de Laplace (1749-1827). Papel
e tinta, 273 mm 3 190 mm.
O astrônomo e matemático francês Pierre de Laplace introduziu ideias novas de cálculo e aplicações de
probabilidades em seu livro, Teoria analítica das probabilidades (1812). Deve-se a ele a definição explícita de
probabilidade em espaços finitos (equiprováveis), como a razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos. Antes de Laplace, a teoria da probabilidade era voltada para o desenvolvimento de técnicas
matemáticas aplicadas aos jogos de azar. Laplace aplicou as ideias probabilísticas a muitos problemas científicos e práticos, como: teoria de erros, cálculos de seguros, mecânica e estatística.
Ainda segundo Boyer, “a teoria da probabilidade deve mais a Laplace que a qualquer outro matemático. A
partir de 1774 ele escreveu muitos artigos sobre o assunto, cujos resultados incorporou no clássico Théorie analytique
des probabilités, de 1812. Ele considerou a teoria em todos os aspectos e em todos os níveis”.
Mais recentemente, os nomes de Jules Henri Poincaré (1854-1912), Émile Borel (1871-1956) e John von
Neumann (1903-1957) aparecem ligados ao estudo de probabilidades e teoria dos jogos.
Atualmente, a teoria da probabilidade é muito usada na teoria dos jogos, em Estatística, em Biologia, em
Psicologia, em Sociologia, em Economia e em pesquisa operacional.
* História da Matemática, de Carl B. Boyer. São Paulo: Edgard Blücher/Edusp, 1974. p. 334.
Probabilidade
261
Vestibulares de Norte a Sul
1.
(Uepa) Atual tendência alimentar baseada no maior
consumo de legumes, verduras e frutas impulsiona
o mercado de produtos naturais e frescos sem agrotóxicos e uma diminuição no consumo de produtos
que levam glúten, lactose e açúcar. Uma empresa
especializada no preparo de refeições, visando a
esse novo mercado de consumidores, disponibiliza
aos seus clientes uma “quentinha executiva” que
pode ser entregue no local de trabalho na hora do
almoço. O cliente pode compor o seu almoço escolhendo entradas, pratos principais e sobremesas. Se
essa empresa oferece 8 tipos de entradas, 10 tipos
de pratos principais e 5 tipos de sobremesas, o número de possiblidades com que um cliente pode
compor seu almoço, escolhendo, dentre os tipos
ofertados, duas entradas, um prato principal e uma
sobremesa é:
Reprodução/Vestibular UFPB 2013
por números inteiros de 0 a 255, conforme ilustra
a figura a seguir.
Região Norte
Cores
OK
Padrão Personalizar
Cores:
Modelo de Cores:
Vermelho:
Verde:
Azul:
Cancelar
Cor definida pela escolha
Vermelho: 195
Verde: 127
Azul: 151
RGB
195
127
151
Nova
Atual
Com base nas informações apresentadas, conclui-se que
o número total de cores possíveis no modelo RGB é:
d) 256 3 255 3 254
a) 256!
b) 128 3 85 3 254
c) 221
4.
24
x e) 2
(Uneb-BA)
© Mauricio de Sousa/Mauricio
de Sousa Produções Ltda.
a) 400
b) 600
c) 800
d) 1 200
x e) 1 400
2.
(UnirG-TO) Em um determinado banco, existem mil
cofres e mil chaves que são numerados de um a
mil. A chave de número um abre todos os cofres,
a chave de número dois abre os cofres de número
par, a chave três, os cofres cujo número é um múltiplo de três e assim sucessivamente, até que a
chave de número mil abra somente o cofre de número mil. Diante do exposto, a probabilidade de
uma chave qualquer abrir o cofre de número duzentos é de:
a) 1/1 000
x b) 12/1 000
c) 200/1 000
d) 500/1 000
Região Nordeste
3.
262
(UFPB/PSS) O modelo de cores RGB é o sistema de
cores utilizado em dispositivos eletrônicos, como
aparelhos de televisão e monitores de computadores. Nesse modelo, as cores formadas em pixels
são obtidas combinando tonalidades das cores
primárias: vermelho, verde e azul. As tonalidades
de cada uma dessas três cores são representadas
Capítulo 10
De acordo com o texto, se Cebolinha lançar a sua
moeda dez vezes, a probabilidade de a face voltada
para cima sair cara, em pelo menos oito dos lançamentos, é igual a:
01) 25
512
02)
17
256
03)
15
256
x 04)
7
128
05)
5
128
Região Centro-Oeste
5.
(ESCS-DF) Os sintomas mais comuns do vírus ebola
são febre, diarreia, dores de cabeça, fraqueza, dor
de garganta, dores nas articulações e calafrios. Em
um hospital, depois que alguns pacientes foram
examinados, constatou-se que cada um deles tinha
exatamente três dos sete sintomas desse vírus, mas
quaisquer dois deles não apresentavam os mesmos
três sintomas.
A partir dessas informações, infere-se que o número
máximo de pacientes examinados foi:
x a) superior a 30 e inferior a 40.
b) superior a 40.
c) inferior a 20.
d) superior a 20 e inferior a 30.
6.
De acordo com as regras estabelecidas, a quantidade
possível de ordenações distintas de pacientes nessa
lista para receber o órgão transplantado é igual a:
(UEG-GO) A tabela a seguir apresenta a preferência
de homens e mulheres em relação a um prato, que
pode ser doce ou salgado, típico de certa região do
Estado de Goiás.
a) 256.
b) 144.
Preferência
Sexo
Doce
Salgado
Masculino
80
20
Feminino
60
40
8.
x c) 96.
e) 64.
d) 192.
(Uerj) Em um escritório, há dois porta-lápis: o porta-lápis A com 10 lápis, dentre os quais 3 estão apontados, e o porta-lápis B com 9 lápis, dentre os quais
4 estão apontados.
a) 0,43
x c) 0,60
b) 0,50
d) 0,70
Reprodução/Vestibular UERJ 2014
Considerando-se os dados apresentados na tabela,
a probabilidade de um desses indivíduos preferir o
prato típico doce, sabendo-se que ele é do sexo feminino, é de:
Um funcionário retira um lápis qualquer ao acaso do
porta-lápis A e o coloca no porta-lápis B.
Região Sudeste
7.
(FASM-SP) As regras para transplante de um órgão
dentre pacientes receptores compatíveis que integram uma lista são:
Novamente ao acaso, ele retira um lápis qualquer do
porta-lápis B.
A probabilidade de que este último lápis retirado não
tenha ponta é igual a:
• 1o critério: o paciente de maior idade completa tem
prioridade. Em caso de empate neste critério, o
melhor classificado no 2o critério terá prioridade.
• 2o critério: a prioridade é do paciente com maior
índice denominado por X.
Ainda de acordo com as regras, se persistir empate
após o 2o critério, realizam-se sorteios aleatórios simples entre os candidatos empatados de mesma idade
e índice X até que seja possível ordená-los. A lista a
seguir indica um grupo de pacientes receptores compatíveis para um transplante do órgão em questão.
a) 0,64
c) 0,52
x b) 0,57
d) 0,42
Região Sul
9.
(UCS-RS) Três integrantes de uma Comissão Parlamentar de Inquérito (CPI), na Câmara dos Deputados, devem ser escolhidos para ocupar os cargos de
Presidente, Secretário e Relator, cada qual de um
partido diferente. Foram pré-indicados 4 deputados
do Partido A , 3 do partido B e 2 do Partido C.
Sigla do
paciente
Idade
completa
Índice X
J. A. S.
68
7
M. C.
57
5
C. C. B.
62
5
G. E
68
6
10. (UFPR) Um kit para impressão vem com oito cartu-
S. R. O. M.
62
5
L. D. E.
57
4
B. T.
68
7
M. E. S.
62
5
J. C.
62
5
chos de tinta, de formato idêntico, para impressora.
Nesse kit há dois cartuchos de cada uma das quatro
cores diferentes necessárias para uma impressora
caseira (ciano, magenta, amarelo e preto). Escolhendo aleatoriamente dois cartuchos desse kit, qual a
probabilidade de se obter duas cores distintas?
L. F. G.
57
5
De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidos os ocupantes desses três cargos?
a) 24
c) 72
b) 48
d) 132
x a) 6/7.
b) 1/12.
c) 15/56.
x e) 144
e) 1/64.
d) 1/48.
Probabilidade
263
Caiu no Enem
Unidade 1
(Enem) As torres Puerta de Europa são duas torres
inclinadas uma contra a outra, construídas numa
avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres
é de 158 com a vertical e elas têm, cada uma, uma
altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o
segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de
um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas
pode ser observada na imagem.
3.
(Enem) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de
suas várias propriedades é a retração (contração), que
consiste na evaporação da água existente em um
conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a
uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo
de cozimento, causa uma redução de até 20% nas
dimensões lineares de uma peça.
A
Kathrin Eckert/Flickr/Acervo da fot—grafa
1.
Unidade 3
Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012.
Suponha que uma peça, quando moldada em argila,
possuía uma base retangular cujos lados mediam
30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram
reduzidos em 20%.
Em relação à área original, a área da base dessa peça,
após o cozimento, ficou reduzida em
a) 4%.
d) 64%.
b) 20%.
e) 96%.
x c) 36%.
4.
B
Disponível em: www.flickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 158 e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na
avenida um espaço
a) menor que 100 m2.
b) entre 100 m2 e 300 m2.
b) Retirar 40 células.
c) entre 300 m2 e 500 m2.
c) Acrescentar 5 células.
d) entre 500 m2 e 700 m2.
d) Acrescentar 20 células.
2
x e) maior que 700 m .
e) Acrescentar 40 células.
5.
Unidade 2
2.
(Enem) Na aferição de um novo semáforo, os tempos
são ajustados de modo que, em cada ciclo completo
(verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça
acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde
permaneça acesa igual a 2 do tempo em que a luz
3
vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada
ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos.
Qual a expressão que representa a relação entre X e Y?
a) 5X 2 3Y 1 15 5 0
d) 3X 2 2Y 1 15 5 0
x b) 5X 2 2Y 1 10 5 0
e) 3X 2 2Y 1 10 5 0
c) 3X 2 3Y 1 15 5 0
264
Caiu no Enem
(Enem) Diariamente, uma residência consome
20 160 Wh. Essa residência possui 100 células solares
retangulares (dispositivos capazes de converter a luz
solar em energia elétrica) de dimensões 6 cm 3 8 cm.
Cada uma das tais células produz, ao longo do dia,
24 Wh por centímetro de diagonal. O proprietário
dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a
mesma quantidade de energia que sua casa consome.
Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele
atinja o seu objetivo?
x a) Retirar 16 células.
(Enem) Uma pessoa possui um espaço retangular de
lados 11,5 m e 14 m no quintal de sua casa e pretende
fazer um pomar doméstico de maçãs. Ao pesquisar
sobre o plantio dessa fruta, descobriu que as mudas
de maçã devem ser plantadas em covas com uma
única muda e com espaçamento mínimo de 3 metros
entre elas e entre elas e as laterais do terreno. Ela
sabe que conseguirá plantar um número maior de
mudas em seu pomar se dispuser as covas em filas
alinhadas paralelamente ao lado de maior extensão.
O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar no espaço disponível é:
a) 4.
d) 12.
b) 8.
x c) 9.
e) 20.
D
C
A
O
Figura original
Reprodução/ENEM 2013
O
b) 2 m.
8.
B
F
d) 3 m.
(Enem) Uma criança deseja criar triângulos utilizando
palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e
pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um
triângulo construído com essas características.
Reprodução/ENEM 2014
Reprodução/ENEM 2013
b)
6
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
a) 1 m.
e) 2 6 m.
x c) 2,4 m.
A imagem que representa a nova figura é:
a)
E
4
O
Reprodução/ENEM 2013
c)
A quantidade máxima de triângulos não congruentes
dois a dois que podem ser construídos é:
x a) 3.
c) 6.
e) 10.
b) 5.
O
9.
O
Reprodução/ENEM 2013
d)
d) 8.
(Enem) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de
raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados
dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para
posteriormente ter fácil manutenção, é necessário
haver uma distância de 10 cm entre os canos soldados
e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por
um espaçador de metal, conforme a figura:
Reprodução/ENEM 2013
O
(Enem) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de
comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa
a situação real na qual os postes são descritos pelos
segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e
BC representam cabos de aço que serão instalados.
30 cm
Reprodução/ENEM 2013
10 cm
x e)
7.
Reprodução/ENEM 2013
(Enem) Um programa de edição
de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma
nova figura a partir da original. A
nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O.
Reprodução/ENEM 2013
6.
R
Utilize 1,7 como aproximação para 3 .
O valor de R, em centímetros, é igual a
a) 64,0.
d) 81,0.
b) 65,5.
e) 91,0.
x c) 74,0.
Caiu no Enem
265
10.
(Enem) Conforme regulamento da Agência Nacional
de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar
em voo doméstico poderá transportar bagagem de
mão, contudo a soma das dimensões da bagagem
(altura 1 comprimento 1 largura) não pode ser superior a 115 cm.
A figura mostra a planificação de uma caixa que tem
a forma de um paralelepípedo retângulo.
x
Reprodução/ENEM 2014
90 cm
24 cm
O maior valor possível para x, em centímetros, para
que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela Anac é:
a) 25.
b) 33.
c) 42.
d) 45. x e) 49.
11.
dades de comédia, o cliente alugará um filme de ação
e um de drama, até que todos os lançamentos sejam
vistos e sem que nenhum filme seja repetido.
De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática?
a) 20 3 8! 1 (3!)2
d) 8! 3 5! 3 3!
22
x b) 8! 3 5! 3 3!
e) 16!
c) 8! 3 5! 3 3!
28
28
13. (Enem) Considere o seguinte jogo de apostas:
Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números
disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será
premiado caso os 6 números sorteados estejam entre
os números escolhidos por ele numa mesma cartela.
O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.
Quantidade de números
escolhidos em uma cartela
6
7
8
9
10
Reprodução/ENEM 2014
(Enem) Na alimentação de gado de corte, o processo de
cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos
mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um
prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura.
h
B
C
b
Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para
apostar, fizeram as seguintes opções:
Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos;
Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos;
Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos;
Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos;
Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos.
Os dois apostadores com maiores probabilidades de
serem premiados são:
x a) Caio e Eduardo.
d) Arthur e Bruno.
e) Douglas e Eduardo.
b) Arthur e Eduardo.
c) Bruno e Caio.
Legenda:
b – largura do fundo
B – largura do topo
C – comprimento do silo
h – altura do silo
Considere um silo de 2 m de altura, 6 m de largura
de topo e 20 m de comprimento. Para cada metro de
altura do silo, a largura do topo tem 0,5 m a mais do
que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada
de forragem ocupa 2 m3 desse tipo de silo.
EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em:
www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado).
Após a silagem, a quantidade máxima de forragem
que cabe no silo, em toneladas, é:
b) 125.
c) 130.
d) 220.
e) 260.
x a) 110.
Unidade 4
12.
266
(Enem) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu
alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de
comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma
estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e
um de comédia. Quando se esgotarem as possibili-
Caiu no Enem
Preço da cartela
(R$)
2,00
12,00
40,00
125,00
250,00
14.
(Enem) O psicólogo de uma empresa aplica um teste
para analisar a aptidão de um candidato a determinado
cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas
respostas devem ser verdadeiro ou falso e termina quando o psicólogo fizer a décima pergunta ou quando o
candidato der a segunda resposta errada. Com base em
testes anteriores, o psicólogo sabe que a probabilidade
de o candidato errar uma resposta é 0,20.
A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é:
a) 0,02048.
d) 0,40960.
x b) 0,08192.
c) 0,24000.
e) 0,49152.
15.
(Enem) Um banco solicitou aos seus clientes a criação
de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta
corrente pela internet.
Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos,
permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto,
além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema,
cada letra maiúscula era considerada distinta de sua
versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de
outros tipos de caracteres.
Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de
senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que
é a razão do novo número de possibilidades de senhas
em relação ao antigo.
O coeficiente de melhora da alteração recomendada é
62! 4!
626
e) 626 2 106
c)
x a)
6
10! 56!
10
62!
d) 62! 2 10!
b)
10!
(Enem) Um artesão de joias tem a sua disposição
pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis
e verdes.
Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga
metálica, a partir de um molde no formato de um
losango não quadrado com pedras nos seus vértices,
de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.
A
A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices
A, B, C e D correspondem às posiB
D
ções ocupadas pelas pedras.
Reprodução/ENEM 2013
16.
Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?
a) 6
c) 18
e) 36
x b) 12
x a)
b)
18.
60
20
A
B
30
20
10
Janeiro
Fevereiro
Março
e)
7
15
(Enem) Para analisar o desempenho de um método
diagnóstico, realizam-se estudos em populações contendo pacientes sadios e doentes. Quatro situações
distintas podem acontecer nesse contexto de teste:
1) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é
POSITIVO.
2) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é
NEGATIVO.
3) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO.
4) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO.
Um índice de desempenho para avaliação de um teste diagnóstico é a sensibilidade, definida como a
probabilidade de o resultado do teste ser POSITIVO
se o paciente estiver com a doença.
O quadro refere-se a um teste diagnóstico para a
doença A, aplicado em uma amostra composta por
duzentos indivíduos.
Doença A
Ausente
Positivo
95
15
Negativo
5
85
BENSEÑOR, I. M.; LOTUFO, P. A. Epidemiologia: abordagem prática.
São Paulo: Sarvier, 2011 (adaptado).
Reprodução/ENEM 2014
80
3
242
5
22
6
d)
25
c)
Presente
Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade dele é de:
a) 47,5%
c) 86,3%
x e) 95,0%
d) 24
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1
20
Resultado
do Teste
C
(Enem) Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de
janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve
este gráfico:
Número de compradores
17.
A loja sorteará um brinde entre os compradores do
produto A e outro brinde entre os compradores do
produto B.
Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012?
b) 85,0%
d) 94,4%
19.
(Enem) Numa escola com 1 200 alunos foi realizada
uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas
línguas estrangeiras, inglês e espanhol.
Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam
inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer
um desses idiomas.
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e
sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
1
b) 5
c) 1
d) 5
e) 5
x a)
2
8
4
6
14
Caiu no Enem
267
Respostas
UNIDADE 1 • Trigonometria
Capítulo 2 • Conceitos trigonométricos básicos
p
rad
3
p
b)
rad
4
7p
c)
rad
6
Capítulo 1 • Trigonometria: resolução de
triângulos quaisquer
1. , 5 10 3 m
2. a) x 5 8 2
b) y 5 20 3
3. 12,5 cm
r
r
4. v x 5 5 3 cm e v y 5 5 cm
1. a)
5p
rad
3
2p
e)
rad
3
5p
f)
rad
6
3p
rad
2
3p
h)
rad
4
2. a) 308
c) 458
e) 2258
d) 1508
f) 2408
d)
b) 908
6. CD . 3,9 cm
3. 5 rad
4. . 1,57 cm
5. a) 1,2 rad
7. A . 4,8 cm2
6. . 15,7 cm
8. 21,6 m
Resolvido passo a passo
5. 458
9. a) w 5 50 3
2
2
b) 2
2
2
11. a) 0
e, por fim, 1208 no sentido anti-horário.
c)
1
2
d) 2
b)0
12. x 5 100 2
3
2
8. a) 608 1 k ? 3608, com k [ Z
c)
5p
1 2kp, com k [ Z
4
b) 1208 1 k ? 3608, com k [ Z
d)
11p
1 2kp, com k [ Z
6
9. a) x 5
13. x 5 2 3
b) x 5
14. a) x 5 5 3
b) x 5 4 2
15. a 5 2
16. a) x . 9,151
b) x . 5,959
Resolvido passo a passo
5. a) Guaratinguetá → São Paulo; R$ 260,00
c) x . 458
c) x 5
d) x 5
e) x 5
f) x 5
10. a) 608
17. x 5 7
b) 608
18. x 5 7
20. c 5 4
22. 14 cm
p
1 2kp, com k [ Z
6
p
1 kp, com k [ Z
4
p
6
1 2kp, com k [ Z
4
2p
1 2kp, com k [ Z
3
p
2
1 2kp, com k [ Z
3
p
6
1 2kp, com k [ Z
3
c) 3208
3p
rad
d)
2
11. a) 3158
19. a 5 3
21. cos a 5
1
9
23. 2 17
24. BD 5 2 39 cm; AC 5 2 109 cm
3 7
25. sen a 5
8
26. R 5 4 19 N
27. r 2(1 2 cos 36 o )
28. a 5 628; x . 4,13; y . 4,76
13. a) 200 grados; 400 grados
b) No 3o quadrante.
4p
rad
3
p
rad
2
2p
1 2kp, com k [ Z
3
20
200
0
grados
p
d) 0,98
c)
Para refletir
Página 24
Terão a mesma medida, pois elas são iguais à do ângulo
central, que é o mesmo. Mas não terão o mesmo comprimento, pois o comprimento do arco depende do raio.
Página 25
Aproximadamente 578.
Página 30
30. 111,6 km
458 e 7658 ou p e 17p
268
f)
d)
B(0, 1); A9(21, 0) e B9(0, 21)
31. Aproximadamente 26,5 m/s.
e)
c) 1308
p
cm
b)
2
12. d
29. Aproximadamente 5,459 km ou 5 459 m.
32. c
2p
rad
3
5. Girar 308 no sentido horário, girar mais 1208 no sentido horário
b) x 5 24; y 5 16 3 e z 5 8 3
10. a)
b)
g)
Página 31
Página 32
4
4
Um número positivo ou zero.
Capítulo 3 • Funções trigonométricas
1. a) 3 quadrante
b) 1 quadrante
o
o
2. a) 3 ou 4 quadrante
c) 1 ou 4 quadrante
b) 2o ou 3o quadrante
d) 1o ou 2o quadrante
o
o
3. cos x 5 2
1
2
4. a)
4
5
o
c) 2
3
2
5. a) 2
b) ymáx 5 16 ; ymín 5 24
c) ymáx 5 4; ymín 5 1
1
2
d) ymáx 5 2; ymín 5 22
Resolvido passo a passo
2
e) 2
2
1
f) 2
2
1
2
5. a) Pressão máxima: a cada
20
s.
19
2
2
d)
2
2
b)
16. a) ymáx 5 29; ymín 5 211
3
2
d)
2
b)
2
1
c) 2
2
6. a)
o
b) 2 3
2
f) 2
3p
7. a) x 5
1 2kp, com k [ Z
2
b) x 5
3p
1 2kp, com k [ Z
4
c) x 5
11p
1 2kp, com k [ Z
6
b)
2
2
c) 0
3
2
1
d)
2
9. a) 0
3
2
2. a) Promove a translação vertical do gráfico.
b) Promove a dilatação (ou compressão) vertical do gráfico.
c) Altera o período da função, comprimindo ou dilatando
o gráfico na horizontal.
d) Promove a translação horizontal do gráfico.
e) Função cosseno ( y 5 cos x).
3
3
c)
d) Não é definida.
10. x 5
3
2
e)
f)
{
{
3
h) 2
2
2
2
3
j) 3
g)
3
3
3
3
3
l) 2
3
}
p
1 kp
3
}
14. a) {m [ R | 23 < m < 22}
{
b) x [ R | x 5
c)
{
}
3p
1 kp
4
1
m[R |0ømø
2
}
m[R |2 2 ømø 2
}
} {
15. a) f(p) 5 0; g(p) 5 21; f ( p ) 2 g ( p ) 5 3 2 2 ;
3
4
2
p
f( )
6 5 3 ; f 2 3p 5 2 2 ; g 2 3p 5 2 2
( 4) 2 ( 4) 2
p
3
g( )
{
6
5
ø m ø 21 d)
3
m[R | 1ømø
3
2
e) [0, 2]
2p
3
c) D( f ) 5 R; Im(f) 5 [22, 2]; p 5 2p
{
{
d) R
5. 10%
b) D(g) 5 R; Im(g) 5 [0, 1]; p 5 p
c) m [ R | 2 2 ø m ø 2
d)
c)
18. a) D( f ) 5 R; Im(f) 5 [21, 1]; p 5
k)
h) 2 3
1
b) m [ R |
ømø1
3
b) m [ R | 2
17. a) 0
b) 2
f)
13. a) {m [ R | 3 < m < 4}
2. Eixo de rotação da Terra.
3. Adiantaria.
4. Atrasaria.
g)2 1
i) 2 1
p
1 kp, com x [ R e k [ Z
4
11. a) x [ R | x 5
12. 21
Outros contextos
e) 1
b) 0
c) 2 pontos.
b) p 5 2p
d) x 5 kp, com k [ Z
8. a)
10
s; Pressão mínima: a cada
19
Matemática e tecnologia
1. a) Im 5 {y [ R | 21 < y < 1}
e) 21
c) 0
p
5p
ou x 5
4
4
c) Não existe, porque nesse intervalo sen x . 0 e cos x , 0.
b) x 5
c) 4 quadrante
o
7
5
}
2p
7
b) p
19. a)
c) p
d) 1
20. d
21. d
22. c
}
e) 2
23. v(x) 5 2 ? sen
( p4 x)
24. h(x) 5 0,3 ? sen (px)
25. A 5 2; v 5
p
3p
ef52
2
2
Pensando no Enem
1. c
2. d
269
Vestibulares de Norte a Sul
1. b
2. c
3. d
4. 04
5. b
6. c
7. a
8. 28 m
9. b
10. c
Para refletir
Página 37
Notável: digno de ser notado, de atenção.
Página 40
$ ; OAT
µ (reto)
ORP
µ
µ
POR ; T OR (comuns ou opostos pelo vértice)
Página 45
1.  6 4 5 8 
5 7 5 5 


 5 6 7 4 
2. a) As notas de Ana em cada matéria.
b) As notas de cada aluno em Física.
c) A nota de Beatriz em Química.
 2 5 10 
4. a) A 5 

 5 8 13 
1 0
7 6 

b) X 5 
 17 16 
 31 30 


5. a)  5 3 
9 7 
21 23 25 
b)  6
2 
4


 25 23 21 
7. a 5 6, b 5 3, c 5 2 4 e d 5 2 2.
3
270
 2 0
b) A 1 B 5 

 20 6 


14.  0 23 
22 25 

15. X 5  23 12
21 
1
6
2
1
10
0
2
7 

 24
4 5 
c) C t 5 
 2 21 
 1 0 21
d)Dt 5  3 0 4 


2 5 3 
1 2 
e) 
 5 22 
 9 13 
i) 
 0 12 
 1 24 
b) 
 1 4 
 3 8
f) 
 3 0 
 0 0
j) 
 0 0 
 10 5 
c) 
 15 10 
 3 3
g) 
 8 0 
k)  23 25 
 26 0 
 2 3
d) 
 1 2 
 6 9
h) 
 3 6 


17. a)  3 6 
 5 0
Capítulo 4 • Matrizes e determinantes
9. m 5 0; n 5 1
1
10. a 5 1; b 5 0; c 5


13. a) A 2 B 5  0 22 
22 
212 22
 2 21 0 
b) Bt 5 
 5 4 6 
UNIDADE 2 • Matrizes,
determinantes e
sistemas lineares
 1 0
8. I2 5 

0 1 
0

 12 14 
 
 6
Como k [ Z , temos:
x 5 0 1 2kp ⇒ cos x 5 1
p
1 2kp ⇒ cos x 5 0
x 5
2
x 5 p 1 2kp ⇒ cos x 5 21
3p
1 2kp ⇒ cos x 5 0
x 5
2
 1 0 0
I3 5  0 1 0 


 0 0 1 
 1 
c)  24 


 3 
4
12. A 1 B 5 B 1 A 5 
16. a) At 5  2 
Página 47
6. 18
 1 
b)  4 


 21 
 8
 
 7
 5
Como k [ Z , temos:
x 5 0 1 2kp ⇒ sen x 5 0
p
1 2kp ⇒ sen x 5 1
x 5
2
x 5 p 1 2kp ⇒ sen x 5 0
3p
1 2kp ⇒ sen x 5 21
x 5
2
3. a11 5 2; a22 5 25; a13 5 10
11. a)  3 
18. a)  0 4 0 


2 0 0
 0 0 6 
2 0 0
e)  0 4 0 


 0 0 6 
3 0 0
b)  0 5 0 


 0 0 7 
4 0 0 
f)  0 8 0 


 0 0 12 
2 0 0
c)  0 4 0 


 0 0 6 
6 0 0 
d)  0 12 0 


 0 0 18 
0 0 0 
g)  0 0 0 


 0 0 0 
20. a)  3 8 
 3 0 
9 0 0 
h)  0 119
9 0


 0 0 29 
b)  9 113
3
 0 112 


21. a) A 5  23 21 
 28 36 
 67 89 
b) B 5 
 122 1104 
 90 110 
c) A 1 B 5 
; total de downloads dos dois jogos
0 1140  nos dois dias.
 150
 44 68 
d) B 2 A 5 
; quantidade de downloads feita a mais
 94 68  no dia 24 de outubro.
e) C 5 0,1 ? (A 1 B)
Resolvido passo a passo
 52
 51

5. a) Exemplo de matriz: M =  0
 0
 45

51
0
0
0
51
22
0
0
0
0
22. a) V
c) F
b) V
d) V


53
0
0
0
0
15
33
0
53
0
34
51
0
43
0
25 
0

0
51 
0 
44.
1
3
 4 8 8
b) 
 2 1 4 


46. a)  23 23 21 24 
2
4 
2
 1
 1,5 2
5 4,5 
d) 
 23 21 21 23
 0 0
 
 −2 
b) 
 −2 


d)  8 5 
 7 13


b)  11 4 
 8 3
27. Não.
28. a) A
 
 
49. a)  3  ;  8  ;  3 
 5  5   9
b) F

1 
c)  7 10
1 
 21 14
 19 19 
26. a) 
 15 16 
 3   −2 
;
;
 −2   2 
2 2
24 9 27 
d) 
4
113 11 12 

52. a) 
 2 5 0
b)  6 155 0 


 12 30 0 
 23 17 
e)  27 28 


2 
 9 26


53. c) A9:  21 23 23
3 
1
 1
 29 24 
c)  23 22 


 26 4 
 59 12 
f) 
1 
 8 10
39 
4 
b) 2
2
2
32. a) 57
c) ab 2 a
d) 224
b) 1


33. a)  1 2 
 5 28 
2
e) 2413
f) 280
e)
f)
g)
h)
i)
j)
 −1
2
b)  3 −8 


 7
1 
c) 
2 
20
2
2

d) 2
34. 240
2
3
218
5
6
6
35. a) S 5 {6}
b) S 5 {1, 2}
36. a) 1
37. a) 0
b) 1


42. a) 23 22 
21 1


b) 15 unidades de área; 10 unidades de área.
c) Área de A91 : 3 3 área de A e Área de A92 : 2 3 área de A.
56. a) Ela fica “espichada” (“esticada”) na direção positiva do eixo Ox
se k é positivo e na direção negativa do eixo Ox se k é negativo.
b) A área de uma figura transformada é k vezes a área da figura
original.
Página 63
Porque é uma matriz com 3 linhas e 3 colunas.
Página 65
Porque a matriz só tem uma linha e uma coluna, respectivamente.
Página 69
• Paulo; Rodolfo.
• Germano.
d) 0
38. a) 10
39. 1
40. a) Sim.
41. I3
2
Para refletir
c) 0
b) 0
55. a) 5 unidades de área.
f) cos a 2 sen b
d) a 2 b
 −2 
;
 4 
 1
3
1 
3
C9: 
 21 21 24 24 
e) tan 2x
2
 3
; 
 0
 22 21 25 24 
B9: 
 22 24 24 22 
janeiro e 308 para fevereiro.
c) 0
 −2 
d) 
 0 
 21 23 22 21
4
4
5 
 1
30. 215 eixos para janeiro e 154 para fevereiro; 430 rodas para
31. a) 10
 8   3
;  ; 
 −3   1 
 0 21 23  0 22 23   1 3 5 4 
;
;
5
1   22 0 24   2 2 1 4 
51. b) 
3

 3 
c)  
 −3 

1
3   0 2 3   21 23 25 24 
50. b)  0
;
;
 23 25 21  2 0 4   22 22 21 24 
b) A
29. a)  17
2
 5
6 8 7
e) 
 23 23 21 21
 25 24 21
c) 
 22 24 21
24. 
 0 0 
25. a) F
c) 1
45. a) (4, 2), (8, 1), (8, 4)
 28 26 26 28 
b) 
2 
 23 23 2
 4 114 
b) 
 1 21
5
23. a)  7
 22 24 
b) 1
2
43. a) 2
b) 25
c) 8
b) Não.
c) Sim.
23 22 
b) 

 21 1 
Página 73
Significa “em ordem”, da primeira à última. Por exemplo, a 1a linha
de At é a 1a coluna de A.
Página 75
Cada elemento de AB é obtido multiplicando-se ordenadamente
os elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j da
matriz B e somando-se os produtos obtidos.
Página 79
Só F e G comutam, pois EF Þ FE, EG Þ GE e FG 5 GF.
271
19. S 5 {( 21, 0, 1, 2)}
Página 82
A
 3 4 
8 3 
B
20. 1 000 m
21. 16 moedas de 1 real, 10 moedas de 50 centavos e 130 moedas
det (A 1 B) 5 9 2 32 5 223
}
det A 5 23 2 10 5 213
⇒ det A 1 det B 5 213 2 6 5 219
det B 5 0 2 6 5 26
Logo, det (A 1 B) Þ det A 1 det B.
b) cálcio: 3; hidrogênio: 6; fósforo: 2, oxigênio: 8.
Página 83
1
24. b
25. 42 idosos.
Capítulo 5 • Sistemas lineares
1. a) x 5 3; y 5 2
28. a) Sistema possível e determinado; S 5 {(0, 0, 0)}
d) x 5 3; y 5 3
2. a) A
e) B
i) A
b) A
f) A
j) A
c) A
g) B
d) B
h) A
3. a)
4. a)
5. 2
6. 3
7. a)
8. a)
27. c
c) x 5 21; y 5 3
b) x 5 22; y 5 4
de 10 centavos.
22. d
23. a) S 5 {(3a, 2a, a, 3a)} a [ R
b) Sistema possível e determinado; S 5 {(0, 0, 0)}
29. Significa que um sistema homogêneo nunca será impossível: ou
será possível e determinado ou será possível e indeterminado.
Sim.
b) Não.
Sim.
b) Sim.
1
1
e a±
2
2
32. a 5 21 e b ? 7
31. a ± 2
33. Indeterminado.
Sim.
b) Sim.
c) Não.
Outros contextos
S 5 [; sistema impossível.
b) S 5 {(22, 3)}; sistema possível e determinado.
a23
c) O par a,
é a solução geral do sistema; sistema
2
possível e indeterminado.
(
1. a) 22
b) 17
)
c) 32 e 43
d) Ela atende aos requisitos vitamínicos, porém não é a
dieta de custo mínimo.
10. a) Sistema determinado.
e) Nutricionista.
b) Sistema não determinado.
11. m ? 24 e m ? 4
12. a) Sim.
b) Não.
c) Não.
13. a) Sistema possível e determinado; S 5 {(4, 21, 23)}
b) Sistema impossível; S 5 [
{
Pensando no Enem
1. e
}
k 12
c) Sistema possível e indeterminado; S 5
, k, k
3
d) Sistema possível e determinado; S 5 {(21, 4, 3, 22)}
e) Sistema possível e indeterminado; S 5 {(2 2 2a, a, b, b )}
f) Sistema possível e determinado; S 5
4
14. a 5
eb52
3
15. Sim.
{
17 1
,
6 2
}
Resolvido passo a passo
 Leonardo . 113 quilocalorias; . 22667 passos

5. a)  Augusto 5 80 quilocalorias; 16 000 passos
 Vinicius 5 40 quilocalorias; 8000 passos
16. a) Sistema possível e determinado; solução geral: (1, 21, 2)
Vestibulares de Norte a Sul
1. b
2. a
3. c
7. c
8. d
9. a
10. d
Página 96
Porque não são equações do 1o grau.
UNIDADE 3 • Geometria plana
e espacial
Capítulo 6 • Polígonos inscritos e áreas
1. a) ,3 5 10 3 cm . 17,32; a3 5 5 cm
b) ,4 5 10 2 cm . 14,14 cm; a4 5 5 2 cm . 7,07 cm
c) ,6 5 10 cm; a6 5 5 3 cm . 8,66 cm
17. Sistema impossível, S 5 [
272
4. d
5. a
6. b
Para refletir
b) Sistema possível e indeterminado; solução geral: (14k, 29k, k)
c) Sistema impossível; S 5 [
 1
2. 30 cm
 
 21
3.
18.  2 
2. c
10 3
cm . 5,77 cm
3
46. b
6
6
5. 14p cm
48. e
6. 7 cm
49. a) 2,5 km
4.
47. d
7. 300p m
b) 56,25 km2
Para refletir
8. a) Dobrará.
Página 128
sen 908 5 1
b) Triplicará.
9. 5p cm
Página 129
A metade da soma das medidas dos lados.
10. 12p cm
11. a) 5p cm
b) 10p cm
12. a) 12p cm
b) 16p cm
10p
cm
3
c) 18p cm
c)
Resolvido passo a passo
Página 131
5,a
Capítulo 7 • Geometria espacial de posição:
uma abordagem intuitiva
5. a) O custo total é de R$ 144 000,00.
1. a) Colineares e coplanares.
b) Coplanares, mas não colineares.
13. 2 320 m2
c) Colineares e coplanares.
14. 147 m2
d) Coplanares, mas não colineares.
16. 36 3 cm2
e) Colineares e coplanares.
17. 5 3 cm
f) Colineares e coplanares.
2
g) Coplanares, mas não colineares.
18. 4 3 cm
2
h) Não são colineares nem coplanares.
19. 80 cm2
i) Coplanares, mas não colineares.
20. 96 3 cm2
2. Verdadeiras: a, d, e, f, h, j; falsas: b, c, g, i.
21. AT 5 600 cm2
3. Paralelas: c, f; concorrentes: a, d, e, h, i; reversas: b, g.
22. 94 cm2
23. Região colorida: 8 cm ; região não colorida: 8 cm .
2
24. 60 m
2
2
suur
b) p(ABCD) > p(BEHA) ; AB
suur
p(ADGH) > p(ABCD) ; AD
sur
p(BCFE) > p(HEFG) ; FE
26. 800 3 km2
27. a) 57 cm2
b) 44%
2
6. a) Planos secantes
29. 150 3 cm2
b) p(ABJI) e p(ADGI)
30. 300 3 cm2
c) p(BCHJ)
31. a) 20p cm
32. a) 18p cm2
33.
b) 100p cm2
( 25p 21 48 ) m
b) 9p cm2
c) 12p cm2
2
d) concorrentes
f) p(EFGH)
suur sur ssuur ssuu
uur sur ssuu
uur
h) EH , EG , EF , HG , FG , FH .
39. 16 (42 p) cm2
40. a) 11,5 cm2
b) 12 cm2
41. a) 4 cm e 8 cm
b) 16 cm2 e 64 cm2
45. c
suur sur sur sur sur
c) p(ABCD) e p(CDFG)
38. 25p cm2
44. d
c) Sim; p(ABCD).
suur sur ssuu
uur sur
b) Algumas das soluções possíveis: AE , BF , CG , FD.
2
37. 20 cm2
43. a
sur ssuur ssr
suur ssuur ssuur ssuur
8. a) BC , CF , EF , BE , BF , CE
sur ssuu
uur sur su
sur ssuu
uur sur
b) CD , DG , FG , CF , DF , CG
sur
b) Sim; FG.
9. a) Está contida.
35. 64p cm2
42. b
7. a) Planos secantes.
suur
d) CH
e) Sim; p(DCHG)
c) Algumas das soluções possíveis: AH , AE , BG , FC , BE.
34. 12p cm2
36. 8p cm
suur
c) Sim; FG.
FG
d)ADGH e ABCD.
5. a) p(ABCD) // p(EFGH);
p(ADGH) // p(BCFE);
p(ABEH) // p(CDGF).
25. 16 mil pessoas.
28. 0,3121 m
4. 1a: g; 2a: d; 3a: a; 4a: b.
10. A reta está contida em b, d, f, h; é paralela em a, e e é secante
em c e g.
11. a) secante
b) retas reversas
c) paralelo
d) pertence
e) está contida
f) paralela
g) concorrentes
h) concorrentes
12. Verdadeiras: b, c, e, f; falsas: a, d.
273
2. Poliedros convexos: a, d; poliedros não convexos: b, c.
Resolvido passo a passo
3. 7 faces.
 LB 5 3 5 cm

5. a)  GE 5 3 5 cm
 GK 5 29 cm

4. 11 faces.
5. 7 vértices.
sur sur sur suur
6. 32 faces.
13. a) Algumas das soluções possíveis: AE , BF , CG , DH.
7. 10 vértices.
b) O plano ADHE.
c) Sim, pois o ângulo AFG mede 908.
14. a) p(ABFE) ⊥ p(ABCD);
p(ABFE) ⊥ p(EFGH);
p(ABFE) ⊥ p(ADHE);
p(ABFE) ⊥ p(BCGF).
8. 18 m.
b) p(ADHE) e p(CDHG)
c) Sim.
d) Os três são perpendiculares ao p(EFGH).
15. Verdadeiras: a, c; falsa: b.
2. Podem-se observar 16 vértices, 32 arestas e 30 faces.
3. A reta possui uma única dimensão, que é o comprimento.
Não se pode medir o “comprimento” de uma reta.
16. Verdadeiras: a, d, e, f; falsas: b, c.
17. a, c e d.
18. a) 3
e) 4
i) 4
f)
13
13. 20 cm por 16 cm por 12 cm
g) 4
k) 3
d) 2 5
h) 2
l) 2
15. 184 cm2
16. 2 264 cm2
17. 4 m
18. A, 5 108 cm2; AT 5 4(27 1 2 3 ) cm2
19. 250 cm2
m)
29
j) 2
13
c)
11. 30 cm
12. 4 3 cm
14. 216 cm2
Outros contextos
b) 5
10. 10 2 cm
Para refletir
Página 144
20. 32,6 m2
21. 810 m2
22. 600 m2
23. 0,24(180 1 3 ) cm2
 5 400 2 25 3 
2
 cm
2
24. 

X [ r; X Ó s; G [ a; G Ó b; M [ a; M [ b
25. Aproximadamente 17 caixas.
Página 147
• Três pontos colineares pertencem a uma única reta e, por essa
reta, passam infinitos planos. Por isso, não podemos dizer que
três pontos colineares determinam um plano.
• Porque não há um plano que passe pelas duas simultaneamente.
26. 414,4 cm2
Página 151
• Se forem coplanares, as retas podem ser concorrentes. Se não
forem coplanares, serão retas reversas.
• São planos secantes.
• A reta está contida no plano ou a reta é secante ao plano.
Página 153
• As retas s e t formam dois ângulos de 458 e dois de 1358.
Página 154
• A reta r é reversa ortogonal às retas de a que não passam por P.
Página 161
• Quando P [ r
• A distância é zero.
• A distância é zero.
Resolvido passo a passo
5. a) Custo de produção do depósito 5 R$ 10 640,00; vazão:
aproximadamente 66,7 L/s.
27. 375 3 cm3
28. 10 dm
29. 140 cm3
30. 1 080 L
31. 1 000 dados.
32. 1 728 cm3
33. 150 cm3
34. 226 800 L
35. 120 cm3
Página 162
• Quando os planos são coincidentes.
• Não é possível.
36. 1 500 cm3
Capítulo 8 • Poliedros: prismas e pir‰mides
38. 6 3 cm3
1. a) 5 faces, 8 arestas e 5 vértices.
b)
c)
d)
e)
274
4 faces triangulares e 1 face quadrangular.
3 arestas.
4 arestas.
Retas reversas.
37. 12 600 3 cm3
39. h 5 7 cm; AT 5 480 cm2
40. V 5 768 3 cm3; AT 5 192 (2 1 3 ) cm2
41. 11 m3
42. a) Igual.
b) Maior.
44. a
45. a) 2 3 cm
d) 24 3 cm2
b) 4 7 cm
e) 48 7 cm2
f) 24 ( 3 1 2 7 ) cm2
c) 2 29 cm
46. 800 cm2
47. 16 (1 1 3 ) cm2
48. 208 3 cm2
49. 1444 3 cm2
50. 4 (5 1 11 ) cm2
51. a) 2 2 cm
b) 12 3 cm2
52. 675 cm3
55. 48 m3
1. 6 maneiras.
2. 60 maneiras.
3. 8 possibilidades.
4. 60 maneiras.
5. 16 números.
6. a) 36
d) 30
b) 18
c) 18
e) 9
d) n2 2 n
1
e)
n12
b) 210
1
c)
24
56. Aproximadamente 2 400 000 m3.
57. 400 cm3
f) n2 1 2n 23
11. a) n 5 8
b) n 5 2
12. 6 palavras: ALI, AIL, LAI, LIA, IAL, ILA.
13. 256; 24
14. 120 maneiras.
15. 48 maneiras.
16. 24 anagramas.
17. 6 números.
18. a) 720
d) 144
58. 23,04 cm2
59. 10 cm
60. 6 cm
61. 6 3 cm2
62. 18 500 cm3
3 040
cm3
3
64. 4 632 cm3
63.
b) 6
2. e
e) 4
c) 24
Pensando no Enem
3. d
Vestibulares de Norte a Sul
1. e
Capítulo 9 • Análise combinatória
7. 128 maneiras.
8. 63 maneiras.
9. 590 maneiras.
10. a) 720
250
25
0 2
53.
cm3
3
54. Aproximadamente 100,8 mm3.
1. d
UNIDADE 4 • Análise combinatória
e probabilidade
19. a) AGIMO
d) OMIAG
b) AGIOM
e) IGAMO
c) GAIMO
5. c
b) An 5 52,02 cm2
2. c
6. c
c) Aoctógono 5 947,92 cm2
3. e
7. b
4. d
8. a) x 5 10,2 cm
9. d
10. a
Para refletir
Página 168
4 faces.
Página 169
Tetraedro: 4 2 6 1 4 5 2
Dodecaedro: 20 2 30 1 12 5 2
Prisma de base pentagonal: 10 2 15 1 7 5 2
Pirâmide de base quadrangular: 5 2 8 1 5 5 2
Tronco de pirâmide de base retangular:
8 2 12 1 6 5 2
Página 172
• V 5 8; A 5 12; F 5 6; n 5 4 e p 5 3
2 ? 12 5 4 ? 6 5 3 ? 8
• n > 3, pois o menor número possível de lados em cada face é 3
(face triangular)
p > 3, pois o menor número possível de arestas que concorrem
para o mesmo vértice é 3 (o cubo, por exemplo)
20. a) 34 650
d) 10 080
b) 5 040
e) 1 120
c) 630
21. a) 6
b) PPAA, AAPP, APAP, APPA, PAAP e PAPA
22. 1 260 maneiras.
23. 120 modos.
24. 6 ordens.
25. a) 12
d) 24
g) 6 720
b) 120
e) 5
h) 1
c) 56
f) 1
26. a) x2 2 x
b) x2 2 7x 1 12
27. a) 7
28. 657 720 maneiras.
b) 4
29. a) 120
30. 132 maneiras.
b) 48
31. a) 504
c) 2 520
b) 336
d) 15 120
c) 8x3 2 2x
32. 360 maneiras.
33. 360 maneiras.
275
34. a) 120
c) 24
35. a) 360
74. 63 maneiras.
e) 96
d) 6
b) 120
b) 60
75. 968 polígonos.
c) 180
d) 180
76. 256 modos.
77. a) x5 1 10x4 1 40x3 1 80x2 1 80x 1 32
36. 657 720
b) a4 2 12a3 1 54a2 2 108a 1 81
37. 60
78. a) 16 termos.
Para refletir
Resolvido passo a passo
5. a) 190
38. a) 15
c) 4
e) 21
g) 45
b) 10
d) 5
f) 7
h) 27 405
39. a) 6
40. 1 140 equipes.
41. 210 equipes.
42. 45 maneiras.
43. 120 maneiras.
44. a) 84 maneiras.
45. 142 506 comissões.
46. 35 modos.
47. 270 725 maneiras.
48. a) 30 formas.
b) 3
c) 40 maneiras.
c) 330 formas.
50. a) 56 comissões.
b) 56 comissões.
c) 140 comissões.
51. a) 60 maneiras.
52. 96 modos.
53. 90 quadriláteros.
54. 56 triângulos.
55. 720 maneiras.
56. 20 maneiras.
57. 720 maneiras.
58. 151 200 anagramas.
59. 15 quadriláteros.
60. 9 amigos.
61. a) 720 anagramas.
b) 65 maneiras.
c) 115 maneiras.
1. V 5 {1, 2, 3}; A 5 {2}; B 5 {1, 3}
1
2
1
b)
2
4
4. a)
10
6
5. a)
13
4
13
1
6. a)
6
b)
1
2
13
7. a)
52
b)
e) 216 anagramas.
f) 24 anagramas.
g) 144 anagramas.
b) 120 anagramas.
c) 24 anagramas.
d) 144 anagramas.
b)
8. a)
9. a)
62. 300 números.
63. 960 placas.
64. 28 duplas.
65. 3 844 comissões.
66. a) 15
b) 35
67. 1
68. x 5 1
69. 5
10. a)
b)
c) 1
1
6
1
d)
3
d) 190
4
52
1
4
3
5
17
80
7
80
c)
0
6
6
f)
6
e)
6
10
9
e)
13
b)
c)
6
13
5
13
5
c)
12
d)
d)
7
12
4
13
1
e)
4
f)
g)
7
18
1
6
1
52
1
d)
2
1
2
3
13
f)
c)
b)
g)
e)
c)
1
26
1
4
3
25
7
c)
80
19
d)
80
e)
27
80
b) C13,2 5 78
c)
1
17
d)
1
2
g)
6
17
b)
1
24
12. a) C52,2 5 1 326
11.
Resolvido passo a passo
b) 63
c) 252
71. 7 linha: 1 6 15 20 15 6 1; 8 linha: 1 7 21 35 35 21 7 1
276
Página 205
Se tivermos o zero nas centenas significa que não há centena
nesse número. Por exemplo: 0 4 5 5 45.
3. a)
c) 140 modos.
b) 28 5 127
Página 204
1a etapa: Recife – São Paulo;
2a etapa: São Paulo – Porto Alegre.
2. A: {(C1, C 2 ), ( C 1, C2)}; B: {( C 1, C 2 )}; C: {(C1, C2), (C1, C 2), ( C 1, C2)}
b) 42 504 modos
72. n 5 14 e p 5 4
73. a) 24 5 16
 15  13
? x 5 105 ? x13
 2
Capítulo 10 • Probabilidade
b) 60 maneiras.
b) 150 formas.
a
c)
Página 216
1
49. a) 16 380 modos.
8
70. a) 32
b) x15
d) 93
5. a) R$ 747 760,00
a
13. a)
8
17
c)
14
17
e)
3
17
b)
7
17
d)
1
17
f)
7
17
14. a)
b)
1
4
1
13
4
13
1
d)
52
c)
e)
39
52
f)
48
52
g)
9
13
40.
15
64
41.
625
(. 16%)
3888
15.
5
18
42. a)
256
(. 0,07%)
390 625
25
16.
13
18
b)
128
16 12
(. 4,13%)
39
390
06
625
17.
8
11
18.
3
(ou 75%)
4
43. 50%
44.
1
4
19. a)
1
7
b)
6
21
c)
12
21
45.
1
2
20. a)
666
780
b)
3
780
c)
114
780
46.
1
2
b)
13
102
c)
195
442
Pensando no Enem
2
35
c)
3
7
Leitura
1
17
22. Opção 2.
21. a)
23. a)
24.
7
12
25.
1
4
1
7
b)
26. a)
8
19
c)
5
19
e)
11
19
b)
9
16
d)
1
4
f)
14
19
27. a)
1
8
c)
3
8
e)
1
3
b)
1
4
d)
1
4
f) 1
28.
g)
1. b
9
16
1
4
g)
4
7
b)
1
4
c)
32. a) 0,08
1
16
1
4
36. a) 40%
b) 0,52
37.
b) 1
6
b)
5
39. a)
16
b)
15
64
3.
1
(1,39%)
72
25
(11,6%)
216
216
1
b)
(12,5%)
8
c)
3
4
1
12
d) 1
6
12
104
10
b) 70%
1
5
1
13
378
78
1. e
4. 04
7. c
2. b
5. a
8. b
3. e
6. c
9. e
e) Sim.
10. a
16
26
c)
d)
5
c)
32
1
d)
32
Página 232
Os dois lados da moeda ou as seis faces do dado têm a mesma
chance de sair.
Página 235
Quando se diz “pelo menos duas”, admite-se que aconteçam duas
ou mais situações. Quando se diz “exatamente duas”, há somente
duas situações.
Caiu no Enem
5
b)
16
2.
Para refletir
607
6 000
1
38. a)
32
1
(2,78%)
36
Vestibulares de Norte a Sul
33. 0,6
35. a)
2.
1.
1
11
31. 3%
2
1
(0,46%)
216
Outros contextos
30.
34. a) 1
1.
4. a)
1
2
29. a)
2. a
1. e
6. e
11. a
16. b
2. b
7. c
12. b
17. a
3. c
8. a
13. a
18. e
4. a
9. c
14. b
19. a
5. c
10. e
15. a
277
Reprodução/Editora Best Seller
Sugestões de leituras
ACZEL, Amir D. Quais são suas chances?. São Paulo: Best Seller, 2007.
Coleção PEC – Projeto Escola e Cidadania. São Paulo:
Editora do Brasil, 2001.
Reprodução/Editora Ciência Moderna
Nesta coleção há vários módulos que ajudam a compreender conteúdos,
em especial: Arranjando e permutando, Combinações,
O que é probabilidade e Observando formas.
Reprodução/Editora do Brasil
O autor, um famoso matemático, explica como o homem, desde os tempos
antigos, já procurava entender os caprichos da sorte ou do azar. De forma
atraente e fácil, o livro aborda como funcionam as fórmulas que fundamentam
as probabilidades e ensina como aplicá-las às diferentes situações do cotidiano.
COUTINHO, Lázaro. Matemática & Mistério em Baker Street.
Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2004.
STEWART, Ian. Mania de Matemática – 2: novos enigmas e desafios.
Tradução de Diego Alfaro. Revisão técnica de Samuel Jurkiewicz.
Rio de Janeiro: Zahar, 2009.
Reprodução/Editora Record
Como dividir um bolo em partes iguais? Se embaralharmos muitas
vezes as cartas de um baralho, elas voltam à posição inicial? Através
de problemas como esses, o professor Stewart mostra a diversidade
e a importância da Matemática. Este livro inclui gráficos
explicativos e expõe de forma simples temas complicados.
Reprodução/Editora Zahar
Escrito em linguagem simples, o livro nos conduz ao fantástico mundo de
Sherlock Holmes e seu parceiro, Dr. Watson. Para o enriquecimento do texto,
concorrem fatos, lendas e curiosidades de Matemática.
KEITH, Devlin. O instinto matemático. Rio de Janeiro: Record, 2009.
MLODINOW, Leonard. O andar do bêbado: como o acaso determina nossas
vidas. Tradução de Diego Alfaro. Consultoria de Samuel Jurkiewicz.
Rio de Janeiro: Zahar, 2009.
O livro combina os mais diferentes exemplos para mostrar que notas escolares, diagnósticos
médicos, sucessos de bilheteria e resultados eleitorais são, como muitas outras coisas,
determinados em larga escala por eventos imprevisíveis. Também são apresentadas
ferramentas para identificar os indícios do acaso, procurando ajudar o leitor a fazer escolhas
mais acertadas e a conviver melhor com fatores que ele não pode controlar.
278
Reprodução/Zahar
O autor afirma que há dois tipos de Matemática: a natural e a simbólica.
A Matemática natural evolui há milhões de anos, proporcionando – tanto a
humanos quanto a animais – inacreditáveis habilidades relacionadas à
necessidade de sobrevivência, ao senso de direção e à captura de presas.
A Matemática simbólica é exclusiva do ser humano e tem pelo menos 3 mil anos.
Significado das siglas de vestibulares
Acafe-SC: Associação Catarinense das Fundações Educacionais
(Santa Catarina)
Uepa: Universidade do Estado do Pará
Uerj: Universidade do Estado do Rio de Janeiro
EsPCEx-SP: Escola Preparatória de Cadetes do Exército (São Paulo)
Ufam: Universidade Federal do Amazonas
Faap-SP: Fundação Armando Álvares Penteado (São Paulo)
UFC-CE: Universidade Federal do Ceará
FASM-SP: Faculdade Santa Marcelina (São Paulo)
UFG-GO: Universidade Federal de Goiás
Fazu-MG: Faculdade de Agronomia e Zootecnia de Uberaba (Minas
UFGD-MS: Universidade Federal da Grande Dourados (Mato Grosso
Gerais)
FCMSCSP: Faculdade de Ciências Médicas da Santa Casa de São
Paulo
FEI-SP: Centro Universitário da Faculdade de Engenharia Industrial
(São Paulo)
do Sul)
UFPA: Universidade Federal do Pará
UFPB/PSS: Universidade Federal da Paraíba/Processo de Seleção
Seriado
UFPR: Universidade Federal do Paraná
FGV-SP: Fundação Getúlio Vargas (São Paulo)
UFRGS-RS: Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Fuvest-SP: Fundação Universitária para o Vestibular (São Paulo)
UFRN: Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Ibmec: Faculdades do Instituto Brasileiro de Mercado de Capitais
UFTM-MG: Universidade Federal do Triângulo Mineiro (Minas
IFPE: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de
Pernambuco
IFRS: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio
Grande do Sul
IFSP: Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São
Paulo
Gerais)
UFV-MG: Universidade Federal de Viçosa (Minas Gerais)
Uncisal: Universidade Estadual de Ciências da Saúde de Alagoas
Unesp-SP: Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”
(São Paulo)
Unicamp-SP: Universidade Estadual de Campinas (São Paulo)
PUC-SP: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
Unifacs-BA: Universidade Salvador (Bahia)
UCS-RS: Universidade de Caxias do Sul (Rio Grande do Sul)
Unifor-CE: Fundação Edson Queiroz Universidade de Fortaleza (Ceará)
Udesc: Universidade do Estado de Santa Catarina
Unimontes-MG: Universidade de Montes Claros (Minas Gerais)
UEA-AM: Universidade do Estado do Amazonas
Unisa-SP: Universidade de Santo Amaro (São Paulo)
UEG-GO: Universidade Estadual de Goiás
Univag-MT: Faculdades Unidas de Várzea Grande (Mato Grosso)
UEL-PR: Universidade Estadual de Londrina (Paraná)
UPE: Universidade de Pernambuco
Uema: Universidade Estadual do Maranhão
Vunesp-SP: Fundação para o Vestibular da Unesp (São Paulo)
Bibliografia
• ÁVILA, G. Cálculo das funções de uma variável. 7. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos (LTC),
2003.
• BOYER, Carl B. História da Matemática. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher/Edusp, 2010.
• COLEÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. Rio de Janeiro: SBM, 2003. 26 v.
• DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de Matemática. 12. ed. São Paulo: Ática, 2002.
• DAVIS, P. J.; HERSH, R. A experiência matemática. 2. ed. Rio de Janeiro: Gradiva, 2012.
• MAGEE, Bryan. História da Filosofia. São Paulo: Loyola, 1999.
• MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística básica. 7. ed. São Paulo: Saraiva, 2011.
• POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
. Mathematical Discovery on Understanding, Learning and Teaching Problem Solving.
•
New York: John Wiley & Sons, 2009. 2 v.
• REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo: SBM, 1982/1998. v. 1 a 36.
279
Índice remissivo
A
F
abscissa 36
agrupamento ordenado 210
altura da pirâmide 188
do prisma 175
ângulo central 24
obtuso 13
reto 20, 157
apótema 120
arco côngruo 31
área 124
do quadrado 125
do retângulo 126
do triângulo 127
da superfície da pirâmide 190
da superfície de um prisma 177
do círculo 133
do setor circular 135
aresta 166
lateral 174, 188
arranjo 210
axiomas 143
face 166, 172
fatorial 207
B
base da pirâmide 195
binômio de Newton 228
C
circunferência trigonométrica 24, 29, 35
combinações 215
cosseno 13, 34
cossenoide 47
cubo 176, 181
D
determinante de uma matriz 80
diagonal do paralelepípedo 177
diagrama de árvore 204
distância entre dois pontos 161
dodecaedro 169, 173
domínio 20, 43
E
elemento neutro 76
equação linear 96
equiprovável 234
escala 86, 91
escalonamento 102, 111
espaço amostral 233
finito 234
evento 204, 233
certo 234
complementar 238
impossível 234
eventos independentes 246
mutuamente exclusivos 234
experimento aleatório 234
280
G
grau 24
H
hexaedro 174
regular 176
I
icosaedro 173
identidade 67
interpretação geométrica 96
intersecção de eventos 234
L
lei dos cossenos 17
dos senos 13
M
matriz 65
coluna 65
identidade 67
inversa 84
linha 65
nula 67
oposta 70
quadrada 67
transposta 73
método dedutivo 163
binomial 249
N
números binomiais 225, 249
O
octaedro 173
ordenada 37
P
par ordenado 97
paralelepípedo 145, 175
retângulo 176
parâmetro 111
permutações 206, 215
perpendicularismo 155
pirâmide 169, 288
regular 189
planos paralelos 148
poliedro 166
de Platão 174
regular 172
posições relativas de dois planos 149
relativas de duas retas 146
relativas de pontos 142
postulados 143
princípio de Cavalieri 184
fundamental da contagem 204
prisma 174
regular 176
probabilidade 232, 238
condicional 243
projeções ortogonais 160
Q
quadrantes 30
R
radiano 24
reflexão 86
regra de Sarrus 82
relação de Euler 169
de Stifel 226
reta e plano perpendiculares 153
rotação 86
S
secante 150
seno 13, 35, 43
senoide 44
simetria 38
sistema escalonado 102
equivalente 105
impossível 99
linear 95
possível e determinado 99
possível e indeterminado 100
subconjunto 216, 233
T
tangente 35, 40
teorema de Binet 82
tetraedro 173
regular 189
translação 87
triângulo acutângulo 14
de Pascal 225, 228, 249
retângulo 24, 128
tronco de pirâmide 169, 195
U
união de eventos 234
V
vértice 85, 166, 172
volume da pirâmide 192
do paralelepípedo 182
do prisma 185
do tronco da pirâmide 195
manual
do Professor
Matemática
Volume 2
Sumário
1
Conversa com o professor. ....................................................................................................................................... 283
2 Apresentação da coleção. ......................................................................................................................................... 283
3 Um pouco da história do ensino da Matemática no Brasil. ........................................................................... 284
4 Pressupostos teóricos e metodológicos para o ensino da Matemática..................................................... 287
5 Características da coleção......................................................................................................................................... 293
6 Orientações metodológicas e o conteúdo digital na prática pedagógica................................................. 297
7 O novo Enem................................................................................................................................................................. 302
8 Avaliação em Matemática........................................................................................................................................304
9 Texto complementar: Por que se deve avaliar?. ................................................................................................309
10 Sugestões complementares: leituras, recursos digitais e passeios............................................................. 311
11 Observações e sugestões para as Unidades e os capítulos
Unidade 1 – Trigonometria. ...................................................................................................................................... 317
Capítulo 1 • Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer................................................................................ 317
Capítulo 2 • Conceitos trigonométricos básicos. ........................................................................................................ 318
Capítulo 3 • Funções trigonométricas.......................................................................................................................... 319
Atividades complementares à Unidade 1..................................................................................................................... 320
Unidade 2 – Matrizes, determinantes e sistemas lineares. ........................................................................... 322
Capítulo 4 • Matrizes e determinantes......................................................................................................................... 322
Capítulo 5 • Sistemas lineares........................................................................................................................................ 325
Atividades complementares à Unidade 2. ................................................................................................................... 327
Unidade 3 – Geometria plana e espacial. ............................................................................................................ 330
Capítulo 6 • Polígonos inscritos e áreas. ...................................................................................................................... 330
Capítulo 7 • Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva.................................................................. 331
Capítulo 8 • Poliedros: prismas e pirâmides. ............................................................................................................... 333
Atividades complementares à Unidade 3. ................................................................................................................... 335
Unidade 4 – Análise combinatória e probabilidade ........................................................................................ 338
Capítulo 9 • Análise combinatória. ............................................................................................................................... 338
Capítulo 10 • Probabilidade............................................................................................................................................340
Atividades complementares à Unidade 4.................................................................................................................... 341
12 Resolução dos exercícios........................................................................................................................................... 347
Capítulo 1.......................................................................................................................................................................... 347
Capítulo 2. ........................................................................................................................................................................ 350
Capítulo 3. ........................................................................................................................................................................ 352
Capítulo 4......................................................................................................................................................................... 358
Capítulo 5. ........................................................................................................................................................................ 363
Capítulo 6.........................................................................................................................................................................369
Capítulo 7.......................................................................................................................................................................... 371
Capítulo 8......................................................................................................................................................................... 372
Capítulo 9......................................................................................................................................................................... 378
Capítulo 10........................................................................................................................................................................ 382
Caiu no Enem...................................................................................................................................................................390
282
1
Conversa com o professor
Este Manual foi escrito especialmente para você, professor.
Sei que nem sempre temos condições e oportunidades de ler
revistas, livros e acessar sites especializados em Educação Matemática, de participar de encontros e congressos ou de frequentar cursos de especialização ou mestrado. Mas, com base
no trabalho que desenvolvo há décadas com professores de
Matemática como você, sei da grande vontade que todos têm
de estar atualizados e de ter acesso às mais recentes informações sobre aprendizagem e ensino da Matemática.
Estou certo de que este Manual vai ajudá-lo nessa procura. Você será convidado a refletir comigo sobre questões
como: a história do ensino da Matemática no Brasil, os pressupostos teóricos e metodológicos para o ensino da Matemática, o novo Enem, algumas estratégias didáticas, os
conteúdos digitais, os temas interdisciplinares e a avaliação
em Matemática, além de outras.
Reconhecer o caminho trilhado pelo ensino da Matemática no Brasil e buscar respostas para as questões presentes no dia a dia do professor constituíram os primeiros
suportes para a elaboração desta coleção. Outros pressupostos que dão sustentação às propostas apresentadas
dizem respeito aos aspectos presentes na Lei de Diretrizes
2
e Bases da Educação Nacional (LDB), no 9.394/96, e na
Resolução no 2, de 30 de janeiro de 2012, que define as
Diretrizes Curriculares para o Ensino Médio.
No item Sugestões complementares: leituras, recursos
digitais e passeios, procuro estimulá-lo a estar sempre atualizado, aperfeiçoando e aprofundando continuamente sua
formação em Matemática, em Metodologia do Ensino de
Matemática e em Educação. Fazendo parte desse movimento nacional em prol da melhoria da qualidade da aprendizagem e do ensino de Matemática, certamente você se
sentirá mais seguro e motivado nessa difícil, mas gratificante, tarefa diária de criar condições para que seus alunos
aprendam Matemática com significado e prazer, para poderem usá-la naturalmente em sua vida como cidadãos. Com
isso, estará auxiliando seus alunos na concretização dos
princípios gerais da educação: aprender a conhecer, a fazer,
a conviver e a ser.
Bom trabalho! Compartilhe comigo suas vitórias, seus
sucessos, suas dúvidas e suas dificuldades enviando sugestões para melhorar este trabalho.
Um abraço.
O Autor.
Apresentação da coleção
A educação brasileira, de maneira geral, passa por uma
fase de grandes mudanças, sendo elas de recursos didáticos,
de currículo, de expectativas de aprendizagem, de perfil cultural e cognitivo de nossos jovens, entre outras. Essas mudanças geram impactos no trabalho do profissional da educação,
podendo até mesmo causar desconforto ou insegurança.
Assim, um dos objetivos desta coleção, composta de livro do
aluno e Manual do Professor, é fornecer elementos que ajudem
a atender às necessidades desse novo cenário educacional.
Esta coleção apresenta uma metodologia que procura
atribuir ao aluno o papel central no processo de ensino-aprendizagem, como agente da sua aprendizagem em constante
interação com o texto. O aluno é solicitado a responder perguntas, confrontar soluções, verificar regularidades, refletir e
tirar conclusões. Para isso, grande parte do conteúdo é introduzida por situações-problema e depois sistematizada.
São abordados os principais conteúdos nos campos da
Aritmética, da Álgebra, da Geometria, das Grandezas e Medidas,
da Estatística, da Combinatória e da Probabilidade – sempre
que possível, integrados entre si e com as demais áreas do
conhecimento. A maioria desses temas é trabalhada a partir
de situações-problema contextualizadas ou interdisciplinares.
Os conteúdos são trabalhados de maneira diferenciada.
Por exemplo: tópicos de Grandezas e Medidas aparecem
como aplicações dos números reais; aborda taxa de variação
da função afim; não introduz função como caso particular
de relação, como é tradicionalmente feito; trabalha as progressões como caso particular de função; explora a proporcionalidade na função linear; explora a Geometria analítica
da parábola na função quadrática; relaciona a função quadrática a uma progressão aritmética; apresenta caracterização da função exponencial por meio da progressão geométrica; abrevia o cálculo com logaritmos e dá lugar ao uso
da calculadora; apresenta a interpretação geométrica de
uma progressão aritmética e de uma progressão geométrica; apresenta as posições relativas dos três planos no espaço ao estudar os sistemas lineares 3 3 3; apresenta uma
introdução à programação linear; apresenta o método binomial para o cálculo de probabilidade; apresenta as aplicações de Probabilidade à Genética, etc.
A distribuição dos conteúdos, ao longo da coleção, não
esgota um assunto em um único capítulo e aborda um mesmo conceito em vários dos campos mencionados anteriormente, bem como sob diferentes pontos de vista dentro de
um mesmo campo. É o caso das funções e progressões, da
função afim e da Geometria analítica da reta, da função
quadrática e da Geometria analítica da parábola, das grandezas e medidas e dos números, etc.
Manual do Professor
283
3
Um pouco da história do ensino
da Matemática no Brasil
A história da humanidade traz as marcas do desenvolvimento de todas as ciências, e a Matemática, como tal,
apresenta grande evolução nos seus métodos, processos e
técnicas; na sua organização; na sua relação com outras
áreas da atividade humana e no alcance e na importância
das suas aplicações.
No campo educacional, o ensino da Matemática também passou por evoluções na organização de sua estrutura
como componente curricular e no alcance e na importância
de sua função no desenvolvimento do pensamento dos
indivíduos.
Essas transformações estão intimamente ligadas às mudanças políticas e sociais ocorridas historicamente. Fiorentini
(1995) destaca que não é simples descrever os diferentes
modos de ensinar Matemática ao longo do desenvolvimento
da educação no Brasil, pois em cada um deles há a influência da
concepção de ensino, de aprendizagem, de Matemática e de
Educação; dos valores e das finalidades atribuídos ao ensino
da Matemática; da relação professor-aluno e da visão que se
tem de mundo, de sociedade e de ser humano que se percebe em cada período histórico.
No período colonial, os jesuítas eram responsáveis pela
escolarização e tinham o propósito de oferecer uma cultura
geral básica, ou seja, relevante para a formação do ser humano. Segundo o educador Valente (1999) “as ciências, e em
particular a Matemática, não constituíram, ao longo dos
duzentos anos de escolarização jesuítica no Brasil, um elemento integrante da cultura escolar”.
A pouca atenção dada à Matemática pelos jesuítas em
seus colégios no Brasil foi fruto do pensamento corrente da
época. A Companhia de Jesus contava com homens de ciências
entre os seus, mas mesmo entre eles a Matemática nunca foi
considerada ciência autônoma, abstrata e geral. Para eles o
ensino das Letras era mais importante, pois era visto como o
verdadeiro formador do ser humano.
Valente (1999) afirma que essa postura perante a Matemática mudou no Brasil com a independência de Portugal
da dominação espanhola, a que esteve submetido de 1580 a
1640. Com o restabelecimento de sua soberania, o rei português dom João IV buscou reorganizar seu Exército nacional
e trazer para o país os avanços realizados na arte da guerra.
Esse movimento influenciou a educação em Portugal
e, consequentemente, no Brasil. O rei precisava de engenheiros aptos aos novos métodos de construção de fortificações e à arte de trabalhar o aço e a pólvora, para a criação
e o manuseio de canhões de artilharia. Esses profissionais
foram peças fundamentais das novas Forças Armadas, pois
eram especialistas nas “artes mecânicas” e matemáticos
hábeis, capazes de usar geometria e aritmética em múltiplos campos de trabalho. Para esse fim o rei criou as “aulas
284
Manual do Professor
de artilharia e fortificação”. A primeira dessas aulas no Brasil foi criada em 1699, no Rio de Janeiro, com a intenção de
ensinar a desenhar fortificações. Assim, o Brasil começava
a formar seus próprios engenheiros com ensino baseado
na filosofia racionalista cartesiana, com o intuito de assegurar e registrar as fronteiras da colônia portuguesa.
No século XVIII, com a “febre” do ouro no Brasil, os militares
portugueses eram responsáveis pela organização, fundação
das vilas e construção da vida civil nas regiões de mineração,
o que levou à criação de uma escola militar no ano de 1738.
No final do século XIX e começo do século XX, o Brasil
passou por uma transformação em suas estruturas de poder,
deixando para trás uma sociedade latifundiária e escravocrata, caminhando para um modelo urbano-industrial. O
ensino da Matemática, que ainda mantinha muitas das
características do proposto pelos jesuítas, resumia-se a uma
apresentação seca, abstrata e lógica, que não atendia a essa
nova sociedade emergente.
A instalação do Governo Provisório em 1930, com uma
nova proposta política e econômica, colocou em destaque
a necessidade de infraestrutura adequada à nova realidade, provocando as reformas de ensino de Francisco Campos,
na década de 1930, e a de Gustavo Capanema, na década
de 1940.
Esses dois políticos tomaram emprestadas muitas
ideias desenvolvidas entre os anos 1929 e 1937 pelo professor de matemática Euclides Roxo. Discípulo do alemão
Felix Klein, um matemático que propôs o que se chamava
“Primeiro Movimento Internacional para a Modernização
do Ensino da Matemática”, Roxo acreditava que o ensino
da Matemática de forma fragmentada, como era feito até
então, não estava de acordo com o desenvolvimento psicológico do aluno.
A nova proposta curricular de Matemática foi implantada
pela primeira vez em 1929 no Colégio Pedro II, onde Roxo era
professor catedrático. De acordo com o próprio Roxo (1929),
a reforma na cadeira da disciplina foi uma completa renovação e fazia com que os alunos não tivessem provas distintas de Aritmética, Álgebra e Geometria, mas sim um
exame único de Matemática. Isso permitia que o conteúdo
das três áreas citadas fosse espalhado e dividido ao longo
dos quatro anos de educação no colégio. Ele ainda explicou
que tal proposta estava resguardada pelas recentes correntes
pedagógicas do mundo civilizado.
Roxo (1890-1950) acreditava que a Matemática abstrata
ensinada nos colégios já não fazia sentido em uma sociedade de demandas comerciais e industriais como a que
existia então no Brasil e queria apresentar conceitos matemáticos de forma viva e concreta, respondendo às mudanças
culturais do país, mais uma vez influenciado por Felix Klein.
De acordo com Dassie e Rocha (2003), influenciado por
essa nova proposta, Francisco Rocha, o então ministro da
Educação e da Saúde do Governo Provisório de Getúlio
Vargas, buscou reformar a educação brasileira com ideais
escolanovistas. Em um esforço para criar uma educação
secundária com finalidade própria, e não mais um simples
preparatório para cursos das universidades, ele instituiu o
Decreto no 19.890, de 18 de abril de 1931, conhecido como
Reforma Francisco Rocha. Nesse documento estava previsto
o ensino da Matemática de forma muito similar ao que pensara Euclides Roxo para o Colégio Pedro II, ou seja, prevendo
o ensino simultâneo dos diferentes campos da disciplina,
porém sem o preciosismo das instruções metodológicas
apresentadas no programa de Roxo.
Tais mudanças não foram recebidas com facilidade pelos
professores do país, notadamente pelo Exército brasileiro e
pela Igreja católica, que apresentaram críticas severas ao
plano do ministro e levaram para a mídia um extenso debate sobre as metodologias do ensino matemático; o professor
Euclides Roxo participou como defensor da reforma.
Em 1939, o então ministro da Educação e da Saúde,
Gustavo Capanema, começou uma série de estudos e consultas para a elaboração de uma nova reforma. Entre os documentos analisados estavam os relatórios do Instituto Nacional
de Estudos Pedagógicos, a proposta do Colégio Pedro II, as
legislações educacionais vigentes em diversos países europeus, as cartas enviadas pelo próprio Euclides Roxo e seus
opositores às instituições de ensino do Exército e da Igreja.
Assim, a Lei Orgânica do Ensino Secundário foi promulgada em 9 de abril de 1942 e foi fruto de um trabalho de
escrita, revisão e crítica do qual participaram todos os principais envolvidos nos recentes debates sobre Educação
Matemática. O objetivo da nova reforma era criar um ensino
secundário capaz de “formar a personalidade integral dos
adolescentes; acentuar e elevar, na formação espiritual
dos adolescentes, a consciência patriótica e a consciência
humanística; e dar preparação intelectual geral que possa
servir de base a estudos mais elevados de formação especial”.
Ela dividia o ensino secundário em dois ciclos: o ginasial, com
duração de quatro anos, e os cursos clássico e científico no
segundo momento, ambos com duração de três anos.
Esse processo de reestruturação ocorrido no início da
década de 1940 ficou conhecido como Reforma Capanema.
Fiorentini (1995) classificou o ensino da Matemática presente até o final da década de 1950 como sendo de tendência
formalista cl‡ssica, na qual o ensino era “acentuadamente
livresco e centrado no professor e no seu papel de transmissor
e expositor do conteúdo” por meio de explanações orais e apresentação teórica na lousa. Ao aluno cabia apenas o papel de
reproduzir exatamente o raciocínio e os procedimentos realizados pelo professor ou presentes no livro didático. Essa
tendência recebeu o nome de formalista clássica porque em
relação ao seu ensino a Matemática era apresentada como
reprodução do modelo euclidiano, isto é, como uma organiza-
ção lógica a partir de conhecimentos primitivos, axiomas, definições e teoremas para, depois, serem apresentados os exercícios. A concepção de Matemática subjacente era a platônica,
na qual se considera que as ideias matemáticas existem independentemente do ser humano e, portanto, não são construídas por ele, o que justifica a postura determinada aos estudantes de apenas reproduzir o que era apresentado.
Do ponto de vista social e político, Fiorentini destaca que
nessa época a aprendizagem da Matemática era para poucos “bem dotados” intelectualmente e financeiramente.
Garantia-se na escola um ensino mais racional e rigoroso à
elite dirigente e aos membros da Igreja e, para as classes
menos favorecidas que frequentavam a escola técnica, prevalecia o cálculo e a abordagem mais mecânica com uma
coleção de regras e fórmulas.
Outro marco da década de 1950 foi a derrota dos americanos no início da corrida espacial para os soviéticos, o
que colocou em destaque a necessidade de se investir em
avanço tecnológico. A partir daí, enormes quantias foram
dispensadas pelas associações científicas para promover a
reunião de especialistas de renome em Educação, Psicologia
e diferentes campos das ciências exatas e naturais. Em relação ao ensino da Matemática, ocorreu na França o Seminário de Royaumont, cuja proposta era a de discutir novas
perspectivas, tendo em vista uma formação matemática
voltada ao pensamento científico e tecnológico. Esse seminário deu origem ao movimento chamado Matemática
moderna, consolidado pelo grupo Bourbaki.
No Brasil, de 1955 a 1966, foram realizados cinco Congressos de Professores de Matemática com a preocupação
de discutir conteúdos e metodologias de ensino. Esses encontros inspiraram a criação de grupos importantes para o
cenário da Educação Matemática no país nas décadas de
1960 e 1970. Dentre eles destacam-se, em São Paulo, o Geem
(Grupo de Estudos do Ensino de Matemática), liderado por
Oswaldo Sangiorgi e Renata Watanabe; em Porto Alegre, o
Geempa (Grupo de Estudos sobre Educação, Metodologia
de Pesquisa e Ação), com Ester Pilar Grossi como líder desde
sua criação; no Rio de Janeiro, o Gemeg, que foi substituído
pelo Gepem (Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação
Matemática), tendo como presidente Maria Laura Mouzinho
Leite Lopes; desse grupo também participou José Carlos de
Mello e Souza (Malba Tahan) e, posteriormente, em Rio Claro (SP), o Sapo (Serviço Ativador em Pedagogia e Orientação),
que foi o embrião do primeiro Mestrado em Educação
Matemática do país.
Segundo Fiorentini (1995), os principais propósitos do
Movimento da Matemática Moderna foram:
• integrar os três campos fundamentais da Matemática com
a introdução de elementos unificadores, como a teoria dos
conjuntos, estruturas algébricas e relações e funções;
• substituir o caráter mecanizado, não justificado e regrado
presente na Matemática escolar por outro com mais ênfase nos aspectos estruturais e lógicos da Matemática;
Manual do Professor
285
•
fazer com que o ensino de 1o e 2o graus refletisse o espírito
da Matemática contemporânea, que, graças ao processo de
algebrização, tornou-se mais poderosa, precisa e fundamentada logicamente.
Com a aprovação, em 1961, da Lei de Diretrizes e Bases
da Educação Nacional, esse movimento ganhou força nas
décadas de 1960 e 1970. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de 1998 destacam que, com base nesse movimento, a Matemática era concebida como lógica e que deveria ser compreendida a partir de suas estruturas,
conferindo um papel fundamental à linguagem matemática. O ensino passou a ter excessiva preocupação com abstrações internas à própria Matemática, em uma tentativa
de aproximar a Matemática pura da Matemática escolar.
Para Fiorentini (1995), esse movimento promovia o retorno ao formalismo matemático, só que tendo como fundamento as estruturas algébricas e a linguagem formal da
Matemática contemporânea. Enfatizava o uso preciso da
linguagem matemática, o rigor e as justificativas das transformações algébricas por meio das propriedades estruturais.
No entanto, destaca esse autor que não ocorreram muitas mudanças em relação ao ensino-aprendizagem, pois o
ensino continuou acentuadamente autoritário e centrado
no professor, que permaneceu desenvolvendo sua aula na
lousa, onde demonstrava tudo rigorosamente. O aluno
continuou sendo considerado aquele que deve receber passivamente o apresentado pelo professor, tendo de reproduzir a linguagem e os raciocínios lógico-estruturais ditados por ele.
Nessa linha, as finalidades do ensino da Matemática
estariam voltadas mais a formar um especialista em Matemática do que um cidadão, pois a Matemática escolar perdeu tanto seu papel de formadora da disciplina mental
quanto seu emprego como ferramenta para a resolução de
problemas. A formação matemática assumiu uma perspectiva em que era mais importante a apreensão da estrutura,
que capacitaria o aluno a aplicar essas formas de pensamento aos mais variados domínios, do que a aprendizagem
de conceitos e aplicações da Matemática.
Fiorentini (1995) sintetiza dizendo que o ensino da Matemática nesse contexto pode ser considerado de tendência
formalista moderna e, tal como a tendência formalista clássica, “pecou pelo reducionismo à forma de organização/sistematização dos conteúdos matemáticos, uma vez que em
ambos se relega a segundo plano sua significação histórico-cultural e a essência das ideias e conceitos matemáticos”.
Destaca, porém, que uma diferença fundamental entre essas
duas tendências está no fato de que, enquanto a clássica
enfatiza e valoriza o encadeamento lógico do raciocínio matemático e as formas perfeitas e absolutas das ideias matemáticas, a moderna busca os desdobramentos lógico-estruturais das ideias matemáticas, tendo por base as
estruturações algébricas mais atuais, considerando estar aí
expressada a qualidade do ensino.
286
Manual do Professor
De acordo com os PCN, em 1980, nos Estados Unidos, o
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) divulgou o documento “Agenda para Ação”, no qual apresentou
recomendações para o ensino da Matemática, destacando a
resolução de problemas como foco. Imprimiu novos rumos às
discussões curriculares ao destacar a compreensão da relevância
de aspectos sociais, antropológicos e linguísticos na aprendizagem da Matemática. As reformas educacionais foram fortemente influenciadas por esse documento, de modo que propostas
elaboradas em diferentes países, nas décadas de 1980 e 1990,
apresentam pontos em comum no que diz respeito a:
• direcionamento do Ensino Fundamental para a aquisição
de competências básicas necessárias ao cidadão e não
apenas voltadas para a preparação de estudos posteriores;
• importância do desempenho de um papel ativo do aluno
na construção do seu conhecimento;
• ênfase na resolução de problemas, na exploração da Matemática a partir dos problemas vividos no cotidiano e
encontrados nas várias disciplinas;
• importância de se trabalhar com um amplo espectro de
conteúdos, incluindo-se, já no Ensino Fundamental, elementos de Estatística, Probabilidade e Combinatória para
atender à demanda social que indica a necessidade de
abordagem desses assuntos;
• necessidade de levar os alunos a compreender a importância do uso da tecnologia e a acompanhar sua permanente renovação (PCN Matemática, 1997, p. 21).
Esses aspectos apontados foram os norteadores das
indicações e propostas apresentadas para o ensino da
Matemática pelos PCN, válidas até hoje.
Esse documento destaca a Etnomatemática com suas
propostas alternativas para a ação pedagógica. Tal programa
contrapõe-se às orientações que desconsideram qualquer
relacionamento mais íntimo da Matemática com aspectos
socioculturais e políticos — o que a mantém intocável por
fatores outros a não ser sua própria dinâmica interna. Do
ponto de vista educacional, procura compreender os processos de pensamento, os modos de explicar, de entender e
de atuar na realidade, dentro do contexto cultural do próprio
indivíduo. A Etnomatemática procura partir da realidade e
chegar à ação pedagógica de maneira natural, mediante um
enfoque cognitivo com forte fundamentação cultural.
O mesmo documento, ao apresentar “caminhos para se
‘fazer Matemática’ em sala de aula”, dá ênfase à resolução
de problemas como um recurso a ser utilizado em seu ensino. Apoia-se na história da Matemática para justificar sua
aplicação, considerando que a própria Matemática foi construída como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos, motivadas por problemas de ordem
prática (divisão de terras, cálculo de créditos), por problemas
vinculados a outras ciências (Física, Astronomia), bem como
por problemas relacionados a investigações internas à própria Matemática. Assim, defende uma proposta com os seguintes princípios:
•
o ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o problema. No processo de ensino-aprendizagem,
conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo
de estratégia para resolvê-las;
• o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um
processo operatório. Só há problema se o aluno for levado
a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a
estruturar a situação que lhe é apresentada;
• aproximações sucessivas ao conceito são construídas
para resolver certo tipo de problema; em outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros,
o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se observa na história
da Matemática;
• o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de conceitos que tomam
sentido em um campo de problemas. Um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por
meio de uma série de retificações e generalizações;
• a resolução de problemas não é uma atividade para ser
desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois
proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas. (PCN Matemática, 1997, p. 32-33).
A década de 1980 foi decisiva para a Educação Matemática no Brasil, pelo início da expansão, em praticamente todo
o país, de programas de pós-graduação em Educação Matemática. Em 1984, inicia-se formalmente o primeiro Mestrado
4
em Educação Matemática do país, na Unesp de Rio Claro (SP).
Destacamos também a influência dos trabalhos desenvolvidos na Faculdade de Educação da Unicamp, a linha de pesquisa ‘Educação Matemática’ existente no Programa de Pós-Graduação em Educação da UFRN, o Programa de
Pós-Graduação em Psicologia da UFPE, etc. Acrescenta-se
ainda o SPEC (Subprograma Educação para a Ciência), da UFRJ.
Em fevereiro de 1987 aconteceu o I Encontro Nacional
de Educação Matemática (ENEM), realizado no Centro de
Ciências Matemáticas, Físicas e Tecnológicas da PUC-SP. Ao
todo já aconteceram onze ENEMs. Nesses encontros têm
sido apresentados os últimos trabalhos e pesquisas em Educação Matemática. São oferecidos minicursos, palestras,
conferências, mesas redondas, oficinas, com o objetivo de
divulgar e socializar os conhecimentos sobre o tema, trocar
experiências de ensino de Matemática em todos os níveis
e promover o intercâmbio de ideias. Esse evento é realizado
a cada três anos.
Todos os esforços dos precursores do movimento da
Educação Matemática no Brasil resultaram na criação da
SBEM – Sociedade Brasileira de Educação Matemática, durante o II ENEM, em janeiro de 1988, na Universidade Estadual de Maringá (PR). A SBEM tem como finalidade congregar profissionais da área de Educação Matemática e de
áreas afins e cumpre um importante papel na formação da
comunidade de professores de Matemática no Brasil.
O Movimento de Educação Matemática acontece em
âmbito internacional, em várias instâncias e em todos os
níveis de ensino. O Brasil tem sido até mesmo palco de encontros internacionais de Educação Matemática, a exemplo
do Seminário Internacional de Pesquisas em Educação Matemática (SIPEM). Ao todo já aconteceram seis SIPEM’s.
Pressupostos teóricos e metodológicos
para o ensino da Matemática
Ensino Médio
Na organização da educação escolar brasileira, determinada pela LDB, o Ensino Médio constitui a última etapa
da Educação Básica e é considerado um momento de consolidação e aprofundamento dos conhecimentos básicos do
Ensino Fundamental. De acordo com ela, nessa fase promover-se-á uma preparação básica para o trabalho e a cidadania da pessoa, que permita que esta continue aprendendo
e se adaptando a uma sociedade em constante mudança,
isto é, nesse nível de escolaridade deve-se visar ao aprimoramento da ética, da autonomia intelectual e do pensamento crítico do estudante, promovendo o relacionamento entre
teoria e prática, possibilitando a compreensão dos fundamentos científicos e tecnológicos que orientam os processos
produtivos da sociedade.
Mais detalhadamente, a Resolução no 2, de 30 de janeiro de 2012, emitida pela Câmara de Educação Básica do Con-
selho Nacional de Educação, ao definir as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio, agrega a essa etapa
do processo educacional maior presença dos desenvolvimentos sociais e tecnológicos e enfoque interdisciplinar,
com intuito de garantir uma relação mais ampla entre o
aprendido na escola e os acontecimentos cotidianos da sociedade em que estão inseridos. Assim, são essenciais a
participação e a iniciativa dos alunos, que devem trazer seu
mundo à escola para que possam compreendê-lo e mudá-lo
com o exercício de sua cidadania.
Para Angela Maria Martins (2000), estudiosa e pesquisadora de políticas de Educação Básica e Educação Profissional, essas resoluções oficiais estão promovendo um
processo de modernização do Ensino Médio, que tem como
principal motivo a necessidade de readequação da educação brasileira às mudanças do mercado de trabalho e da
nova realidade econômica que começou a se impor a partir
Manual do Professor
287
da década de 1980, época da revolução tecnológica e início
do declínio da concentração de capital nos meios de produção industriais.
Segundo ela, essa modernização torna-se emergencial
neste momento histórico de computadores conectados a
redes globais, gerando um imenso volume de informação.
Momento que mostra ser inegável a importância do conhecimento e raciocínio matemático. O próprio Ministério da
Educação, em suas publicações recentes, reconhece que a
Matemática deve ser hoje compreendida como uma parcela do conhecimento humano essencial para a formação de
todos os jovens, capaz de contribuir para a construção de
uma visão de mundo, essencial para ler e interpretar a realidade e para desenvolver capacidades que serão exigidas
na vida social e profissional das pessoas.
Nesse contexto, a Matemática supera o caráter instrumental e deve ser apresentada como ciência, com características próprias de investigação e de linguagem, e papel
integrador importante ao lado das Ciências da Natureza.
Essa nova percepção da Matemática como ciência deve permitir ao aluno perceber sua dimensão histórica e a estreita
relação que possui com a sociedade e a cultura em diferentes épocas, ampliando e aprofundando o espaço de conhecimento que existe nessas inter-relações.
Sua inserção no Ensino Médio, no entanto, deve ser adequada ao desenvolvimento e à promoção de seu valor entre
os alunos, tendo em mente que existem diferentes motivações, interesses e capacidades.
Levando em conta ainda as resoluções do governo federal,
há que se destacar a proposta do Ensino Médio Inovador,
motivada, segundo a revista Educação (Edição 172. São Paulo:
Segmento) de agosto de 2011, pela percepção em todo o mundo de um clima de desinteresse dos adolescentes pela vida
escolar. A partir daí, muitas reflexões têm sido feitas sobre os
possíveis caminhos para que o Ensino Médio seja vivido e
percebido como significativo. Nessa perspectiva, o desafio
dos sistemas de ensino nos últimos anos tem sido a busca
da organização de um programa curricular que consiga, ao
mesmo tempo, formar os jovens para continuar os estudos
no Ensino Superior e prepará-los para o mercado de trabalho.
No Brasil, para melhorar o cenário, o governo federal
aposta, desde 2004, em propostas que apontem para um
programa curricular mais flexível. Uma das principais medidas foi a possibilidade de integrar o ensino regular e a
educação profissional, sacramentada pelo Decreto
no 5.154/04. A Portaria no 971, de outubro de 2009, instituiu
o Programa Ensino Médio Inovador (ProEMI) como parte
das ações do Plano de Desenvolvimento da Educação, em
uma tentativa de induzir, por meio de parcerias com municípios e estados, a reestruturação do currículo do Ensino
Médio brasileiro.
Essa iniciativa tem como preocupação os recentes números levantados por pesquisas oficiais que mostram a
desaceleração ou a queda no ingresso de alunos no Ensino
288
Manual do Professor
Médio em todo o território brasileiro. No documento orientador (Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/dmdocuments/documento_orientador.pdf>. Acesso em: 13 maio
2016), o Ministério da Educação reconhece que um dos fatores possíveis para essas estatísticas problemáticas, nessa
etapa do sistema educacional, seja exatamente a falta de
sensibilidade e de objetivos para o currículo do Ensino Médio.
Assim, o Ensino Médio deixa de ser simplesmente preparatório para o Ensino Superior ou estritamente profissionalizante para assumir necessariamente a responsabilidade
de completar a educação básica, preparando para a vida,
qualificando para a cidadania e capacitando para o aprendizado permanente, em eventual prosseguimento dos estudos ou diretamente no mundo do trabalho.
Essa implantação implicará um aumento de 600 horas
na formação do aluno, passando a carga horária de 2 400
horas anuais para 3 000 horas anuais. Esse aumento será
gradativo, à razão de 200 horas por ano. A grade horária
sofrerá uma flexibilização e o aluno terá a possibilidade de
escolher 20% da sua carga horária, em um conjunto de atividades oferecidas pela escola. Além dessas mudanças, o
Ensino Médio Inovador estabelece como referencial as seguintes proposições curriculares e condições básicas para
os projetos das escolas:
a) centralidade na leitura, como elemento básico de todas
as disciplinas; utilização, elaboração de materiais motivadores e orientação docente voltadas para essa prática;
b) estímulo a atividades teórico-práticas apoiadas em laboratórios de Ciências, Matemática e outros que auxiliem os processos de aprendizagem nas diferentes áreas
do conhecimento;
c) fomento de atividades de Arte, com o objetivo de promover a ampliação do universo cultural do aluno;
d) atividade docente com dedicação exclusiva à escola;
e) projeto político-pedagógico implementado com a participação efetiva da comunidade escolar e a organização
curricular articulada com os exames do Sistema Nacional de Avaliação do Ensino Médio.
Em apoio à estratégia do redesenho curricular, encontra-se o Pacto Nacional pelo Fortalecimento do Ensino Médio
no Brasil (PNEM), instituído pela Portaria no 1.140, de 22 de
novembro de 2013, visando elevar o padrão de qualidade
nesse nível de ensino, em suas diferentes modalidades,
orientado pela perspectiva de inclusão de todos que a ele
têm direito. (PNEM. Disponível em: <http://pactoensino
medio.mec.gov.br/>. Acesso em: 4 fev. 2016.)
No momento da reformulação deste Manual, encontrava-se em discussão a Base Nacional Comum Curricular (BNC),
que, quando aprovada, será o principal documento norteador
da educação básica no Brasil. Até março de 2016, cidadãos,
organizações e profissionais da educação puderam, por meio
do site da BNC, conhecer a sua proposta, dar contribuições
às discussões e acessá-las, verificar os números da consulta
pública realizada, além de acessar relatórios do MEC. (BNC.
Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/#/
site/inicio>. Acesso em: 14 mar. 2016.)
Tendo esses elementos como pressupostos é que podemos agora considerar os objetivos específicos do ensino de
Matemática no Ensino Médio.
Objetivos gerais do ensino da
Matemática no Ensino Médio
Vivemos em uma sociedade tecnológica, informatizada,
globalizada e é fundamental que se desenvolva nos alunos
do Ensino Médio a capacidade de: comunicar-se em várias
linguagens; investigar, resolver e elaborar problemas; tomar
decisões, fazer conjecturas, hipóteses e inferências; criar
estratégias e procedimentos; adquirir e aperfeiçoar conhecimentos e valores; trabalhar solidária e cooperativamente;
e estar sempre aprendendo.
No Ensino Fundamental os alunos tiveram um primeiro
contato com vários campos da Matemática, como números
e operações, formas geométricas planas e espaciais, grandezas e medidas, iniciação à Álgebra, aos gráficos e às noções
de probabilidade. Agora, no Ensino Médio, é o momento de
ampliar e aprofundar tais conhecimentos, estudar outros
temas, desenvolver ainda mais a capacidade de raciocinar,
de resolver problemas, generalizar, abstrair e de analisar e
interpretar a realidade que nos cerca, usando para isso o
instrumental matemático.
Mas a Matemática tem características próprias, tem uma
beleza intrínseca que deve ser ressaltada na importância
dos conceitos, das propriedades, das demonstrações dos
encadeamentos lógicos, do seu aspecto dedutivo, fundamentando seu caráter instrumental e validando ou não
intuições e conjecturas. Assim, no Ensino Médio é importante trabalhar gradativamente a Matemática também
como um sistema abstrato de ideias.
Objetivos específicos do ensino
da Matemática no Ensino Médio
As propostas e atividades matemáticas devem possibilitar aos estudantes:
• compreender os conceitos, procedimentos e estratégias
matemáticos e planejar soluções para problemas novos,
que exijam iniciativa e criatividade;
• aplicar conhecimentos matemáticos para compreender,
interpretar e resolver situações-problema do cotidiano ou
do mundo tecnológico e científico;
• desenvolver a capacidade de comunicação de ideias matemáticas por escrito ou oralmente, promovendo sua
capacidade de argumentação;
• estabelecer relações, conexões e integração entre os diferentes campos da Matemática para resolver problemas, interpretando-os de várias maneiras e sob diferentes pontos de vista;
• interpretar e validar os resultados obtidos na solução de
situações-problema;
•
fazer arredondamentos e estimativas mentais de resultados aproximados;
• desenvolver atitudes positivas em relação à Matemática, como autonomia, confiança em relação às suas
capacidades matemáticas, perseverança na resolução
de problemas, gosto pela Matemática e pelo trabalho
cooperativo;
• analisar e interpretar criticamente dados provenientes de
problemas matemáticos, de outras áreas do conhecimento
e do cotidiano.
Em relação aos campos da Matemática, os objetivos
específicos do ensino devem ser os de capacitar o estudante para:
• saber utilizar o sistema de numeração, as operações, suas
propriedades e suas regularidades nos diversos conjuntos
numéricos;
• empregar corretamente os conceitos e procedimentos
algébricos, incluindo o uso do importante conceito de
função e de suas várias representações (gráficos, tabelas,
fórmulas, etc.);
• conhecer as propriedades geométricas das figuras planas
e sólidas e suas representações gráfica e algébrica, bem
como reconhecer regularidades nelas;
• compreender os conceitos fundamentais de grandezas e
medidas e saber usá-los na formulação e resolução de
problemas;
• utilizar os conceitos e procedimentos da Estatística e da Probabilidade, valendo-se para isso da Combinatória, entre outros recursos.
Temas transversais
e a Matem‡tica
Na escola, professores e alunos muitas vezes são confrontados por questões que envolvem assuntos atuais e
urgentes que precisam ser tratados por toda a comunidade
escolar, para atender às demandas da sociedade ou da própria escola. Os temas transversais trazem ao currículo escolar a possibilidade de abordar essas questões por todas as
áreas e disciplinas.
É importante destacar que os temas transversais não
são novas disciplinas ou novos componentes curriculares
a serem acrescidos aos já existentes, mas sim objetos de
conhecimento cuja complexidade demanda as perspectivas teóricas e práticas de todos os componentes curriculares, além de incluir saberes extraescolares.
É uma proposta que deve buscar construir uma articulação das diversas áreas de conhecimento, o envolvimento
de toda a comunidade escolar, desenvolver as relações interpessoais democráticas, o pensamento crítico e a disposição para intervir na realidade e transformá-la.
Os PCN do Ensino Fundamental apresentam quatro critérios a serem adotados para a seleção de temas transversais:
Manual do Professor
289
urgência social, abrangência nacional, possibilidade de ensino e aprendizagem e favorecimento da compreensão da
realidade e da participação social.
O critério da urgência social aponta para a preocupação
de se ter como tema transversal questões que se apresentem
como obstáculos ao exercício pleno da cidadania, afrontem
a dignidade das pessoas e deteriorem sua qualidade de vida.
O critério da abrangência nacional indica a necessidade
de se tratar de questões pertinentes a todo o país.
O critério da possibilidade de ensino e aprendizagem procura nortear a escolha de temas ao alcance da aprendizagem,
alicerçada nas experiências pedagógicas, no caso específico
da Matemática, nas propostas da Educação Matemática.
O último critério, favorecimento da compreensão da
realidade e da participação social, aponta para a importância de os temas transversais possibilitarem aos alunos uma
visão ampla e consistente da realidade brasileira de modo
que possam assumir atitudes responsáveis, sem excluir a
possibilidade de que cada localidade apresente temas relevantes às suas necessidades específicas.
Com base nesses princípios, os PCN sugerem alguns temas amplos a serem considerados geradores de discussões
na comunidade escolar. A Matemática tem muitas contribuições a dar nesse trabalho conjunto e muitas delas já permeiam os assuntos desta coleção.
Os temas transversais podem ser apresentados por meio
de situações-problema e trabalhos em equipe. Esses temas
aparecem ao longo de toda a coleção, tendo um destaque
especial na seção Outros contextos. O professor poderá enriquecer suas atividades com esses temas seguindo as orientações dos PCN e dos PCN+. (PCN+. Ensino Médio: Orientações Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais
– Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias.
Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/
CienciasNatureza.pdf>. Acesso em: 28 mar. 2016.)
A seguir, discutiremos algumas dessas orientações.
estimule a solidariedade entre os alunos, superando o
individualismo.
O trabalho em duplas ou em equipes é próprio para o
desenvolvimento de tais atitudes.
Orientação Sexual
Não cabe ao professor de Matemática dar orientação
sexual aos alunos, mas, de modo transversal, poderá propor
situações-problema, principalmente envolvendo tabelas e
gráficos, a respeito de temas sobre os quais os alunos possam refletir.
Veja alguns exemplos que podem ser explorados:
• estatísticas sobre a incidência de gravidez prematura entre jovens e adolescentes;
• evolução da Aids em diferentes grupos ( jovens, idosos,
homens, mulheres, etc.);
• estatísticas sobre doenças sexualmente transmissíveis;
• estatísticas sobre prevenção de doenças sexualmente
transmissíveis.
É possível também trabalhar com estatísticas e situações-problema que não reafirmem preconceitos em relação
à capacidade de aprendizagem de alunos de sexos diferentes, bem como mostrar a diferença de remuneração e de
cargos de chefia entre homens e mulheres.
Meio Ambiente
Esse tema pode e deve ser trabalhado em vários momentos na aula de Matemática. Veja alguns exemplos:
Coleta, organização e interpretação de dados estatísticos, formulação de hipóteses, modelagem, prática da argumentação, etc. são procedimentos que auxiliam na tomada
de decisões sobre a preservação do meio ambiente.
A quantificação permite tomar decisões e fazer investigações necessárias (por exemplo, reciclagem e aproveitamento de materiais).
Áreas, volumes, proporcionalidade e porcentagem são
conceitos utilizados para abordar questões como poluição,
desmatamento, camada de ozônio, etc.
Saúde
Ética
Com atividades apropriadas, é possível desenvolver no
aluno atitudes como:
• confiança na própria capacidade de construir e adquirir
conhecimentos matemáticos e resolver problemas com eles;
• empenho em participar ativamente das atividades na sala
de aula;
• respeito à maneira de pensar dos colegas.
Para isso, é preciso que o professor:
• valorize a troca de experiências entre os alunos;
• promova o intercâmbio de ideias;
• respeite o pensamento, a produção e a maneira de se
expressar do aluno;
• deixe claro que a Matemática é para todos e não apenas
para alguns mais talentosos;
290
•
Manual do Professor
Dados estatísticos sobre vários fatores que interferem
na saúde do cidadão, quando trabalhados adequadamente
na sala de aula, podem conscientizar o aluno e, indiretamente,
sua família. Alguns contextos apropriados para a aprendizagem de conteúdos matemáticos são:
• índices da fome, da subnutrição e da mortalidade infantil
em várias regiões do país e, em particular, naquela em que
vive o aluno;
• médias de desenvolvimento físico no Brasil e em outros
países;
• razão médico/população e suas consequências;
• estatísticas sobre várias doenças (dengue, malária, etc.) e
como preveni-las;
• levantamento de dados sobre saneamento básico, condições de trabalho, dieta básica, etc.
Pluralidade Cultural
A Matemática foi e é construída por todos os grupos
sociais (e não apenas por matemáticos) que desenvolvem
habilidades para contar, localizar, medir, desenhar, representar, jogar e explicar, em função de suas necessidades e
interesses. Valorizar esse saber matemático-cultural e aproximá-lo do saber escolar em que o aluno está inserido é de
fundamental importância para o processo de ensino-aprendizagem. A Etnomatemática dá grande contribuição a esse
tipo de trabalho.
No estudo comparativo dos sistemas de numeração,
por exemplo, os alunos poderão constatar a supremacia
do sistema indo-arábico e concluir que a demora de sua
adoção pelos europeus se deveu também ao preconceito
contra os povos de tez mais escura e que não eram cristãos. Outros exemplos poderão ser encontrados ao se
pesquisar a produção de conhecimento matemático em
culturas como a chinesa, a maia e a romana. Nesse momento entra o recurso da história da Matemática e da
Etnomatemática.
Trabalho e Consumo
Situações ligadas ao tema trabalho podem se tornar
contextos interessantes a ser explorados na sala de aula: o
estudo de causas que determinam aumento/diminuição de
empregos; pesquisa sobre oferta/procura de emprego; previsões sobre o futuro mercado de trabalho em função de
indicadores atuais; pesquisas dos alunos dentro da escola
ou na comunidade a respeito dos valores que os jovens de
hoje atribuem ao trabalho.
Às vezes o consumo é apresentado como forma e objetivo de vida, transformando bens supérfluos em vitais e
levando ao consumismo. É preciso mostrar que o objeto de
consumo – um tênis ou uma roupa “de marca”, um produto
alimentício ou um aparelho eletrônico, etc. – é fruto de um
tempo de trabalho.
Aspectos ligados aos direitos do consumidor também
necessitam da Matemática para ser mais bem compreendidos. Por exemplo, para analisar a composição e a qualidade de produtos e avaliar seu impacto sobre a saúde e o
meio ambiente, ou para analisar a razão entre menor preço/
maior quantidade. Nesse caso, situações de oferta como
“compre 3 e pague 2” nem sempre são vantajosas, pois geralmente são feitas para produtos que não estão com muita saída – portanto, não há, muitas vezes, necessidade de
comprá-los em grande quantidade – ou que estão com o
prazo de validade próximo do vencimento.
Interdisciplinaridade e
contextualiza•‹o
O atual mundo globalizado apresenta muitos desafios
ao ser humano, e a educação manifesta a necessidade de
romper com modelos tradicionais para o ensino. Essa ne-
cessidade foi expressa no relatório da Comissão Internacional sobre a Educação para o Século XXI, no texto “Educação: um tesouro a descobrir”, publicado em 1998 por
Edições Unesco Brasil. As considerações desse importante
documento passaram a integrar os eixos norteadores da
política educacional. Os quatro pilares da educação contemporânea citados pela Unesco são: aprender a ser,
aprender a fazer, aprender a viver juntos e aprender a
conhecer. Esses eixos devem constituir ações permanentes
que visem à formação do educando como pessoa e como
cidadão. Na relação entre esses quatro pilares é que a interdisciplinaridade e a contextualização se inserem na ousadia
de novas abordagens de ensino na Educação Básica.
Interdisciplinaridade
A interdisciplinaridade, como a própria palavra recomenda, não anula as disciplinas, mas sugere que elas dialoguem
entre si. O caráter puramente disciplinar do ensino formal
tem dificultado a aprendizagem do aluno e não tem estimulado o desenvolvimento de seu pensamento, a habilidade
de resolver problemas e de estabelecer conexões entre os
fatos e conceitos, isto é, de “pensar” sobre o que está sendo
estudado. De acordo com Edgar Morin (2001), “o parcelamento e a compartimentação dos saberes impedem o aluno de apreender o que está tecido junto”.
É importante considerar que a interdisciplinaridade supõe um eixo integrador com as disciplinas de um currículo
para que os alunos aprendam a olhar o mesmo objeto sob
diferentes perspectivas. Os PCN destacam que:
O conceito de interdisciplinaridade fica mais claro quando
se considera o fato trivial de que todo conhecimento mantém
um diálogo permanente com os outros conhecimentos, que
pode ser de questionamento, de confirmação, de complementação, de negação, de ampliação, [...].
PCNEM (2000, p. 75).
Dessa forma, trabalhando de modo interdisciplinar,
propõe-se que a organização e o tratamento dos conteúdos
do ensino e as situações de aprendizagem sejam feitos
destacando-se as múltiplas interações entre as várias disciplinas do currículo, superando sempre que possível a fragmentação entre elas. É sabido que algumas disciplinas se
identificam, se aproximam, têm muitas afinidades (como,
por exemplo, a Matemática e a Física), enquanto outras se
diferenciam em vários aspectos: pelos métodos e procedimentos que envolvem, pelo objeto que pretendem conhecer
ou ainda pelo tipo de habilidade que mobilizam naquele
que as investiga, conhece, ensina ou aprende.
Os professores de uma mesma classe podem promover
um ensino interdisciplinar por meio de um projeto de
investigação, um plano de intervenção ou mesmo de uma
atividade. Nesse caso, são identificados os conceitos e
procedimentos de cada disciplina que podem contribuir
nessa tarefa, descrevendo-a, explicando-a, prevendo soluções e executando-a. Os conceitos podem ser formalizados,
Manual do Professor
291
sistematizados e registrados no âmbito das disciplinas que
contribuem para o seu desenvolvimento, ou seja, a interdisciplinaridade não pressupõe a diluição das disciplinas.
A tarefa a ser executada é que é interdisciplinar na sua
concepção, execução e avaliação.
A linguagem matemática é comum às demais áreas do
currículo. Por exemplo, os conceitos das Ciências Naturais
(Física, Química e Biologia) e as leis naturais geralmente são
expressos pela linguagem matemática.
Esta coleção procura dar relevo a vários modelos matemáticos que favorecem a interdisciplinaridade, tais
como: a função linear e as situações de proporcionalidade
direta; a função quadrática e o movimento uniformemente variado; a função exponencial e vários fenômenos naturais; a Probabilidade e a Genética; as Grandezas e Medidas e as práticas científicas, tecnológicas e sociais; as
funções trigonométricas e os fenômenos periódicos, etc.
Contextualização
Tratar os conteúdos de ensino de forma contextualizada
significa aproveitar ao máximo as relações existentes entre
esses conteúdos e o contexto pessoal ou social do aluno,
dando significado ao que está sendo aprendido, levando-se
em conta que todo conhecimento envolve uma relação ativa entre o sujeito e o objeto do conhecimento. Assim, a contextualização ajuda a desenvolver no aluno a capacidade
de relacionar o aprendido com o observado e a teoria com
suas consequências e aplicações práticas. Ajuda também a
articular a Matemática com os temas atuais da ciência e da
tecnologia, bem como a fazer conexões dentro da própria
Matemática.
A história da Matemática é também uma importante
ferramenta de contextualização ao enfocar a evolução e
as crises pelas quais determinados conceitos matemáticos
passaram ao longo da História. Grande parte das situações-problema desta coleção é contextualizada.
A contextualização é um instrumento bastante útil, desde que interpretada em uma abordagem mais ampla e não
empregada de modo artificial, forçado e restrito. Não se
pode entender a contextualização como banalização do
conteúdo, mas como recurso pedagógico para tornar a constituição de conhecimentos um processo permanente de
formação de capacidades intelectuais superiores. Capacidades que permitem transitar inteligentemente do mundo
da experiência imediata e espontânea para o plano das
abstrações. Assim, contextualizar é situar um fato dentro
de uma teia de relações possíveis em que se encontram os
elementos constituintes da própria relação considerada.
Ao assumir essa concepção de contextualização, toma-se
a posição de que um trabalho em Matemática, com esse
propósito, não tem sua ênfase apenas voltada a situações
aplicadas ao cotidiano ou a outras disciplinas, mas também
a situações puramente matemáticas. Nesses casos, são propostas investigações que podem ser efetuadas a partir de
conhecimentos mais simples que evoluem para situações e
292
Manual do Professor
conhecimentos mais complexos. Esse tipo de contextualização atende às perspectivas de formação de alunos mais curiosos, estimulando a criatividade e o espírito inventivo.
Etnomatemática e modelagem
O que é Etnomatemática?
O prefixo etno tem significado muito amplo, referente
ao contexto cultural e, portanto, inclui considerações como
linguagem, jargão, códigos de comportamento, mitos e símbolos; matema é uma raiz difícil, que vai na direção de explicar, de conhecer, de entender; tica, sem dúvida, vem de
techne, que é a mesma raiz de arte e de técnica. Assim,
Etnomatemática é a arte ou técnica de explicar, de conhecer,
de entender nos diversos contextos culturais. Ela procura
compreender o saber/fazer matemático ao longo da História da humanidade, contextualizando, em diferentes grupos
de interesse, comunidades, povos e nações.
As práticas matemáticas de feirantes, comerciantes, borracheiros, cirurgiões cardíacos, vendedores de suco de frutas,
bicheiros, indígenas e de grupos africanos enquadram-se, por
exemplo, nos estudos e nas pesquisas da Etnomatemática.
Para se inteirar sobre Etnomatemática, recomendamos
a leitura dos livros Etnomatemática: elo entre as tradições e
a modernidade, de Ubiratan D’Ambrósio, editora Autêntica;
e Etnomatemática, de Ubiratan D’Ambrósio, editora Ática; e
da revista Educação Matemática em Revista, da SBEM, ano 1,
n. 1, 1993, inteiramente dedicada a esse tema.
O que é modelagem?
Diante de uma realidade complexa, global, podemos
reduzir esse grau de complexidade isolando algumas variáveis. Temos, assim, uma representação da realidade sobre a
qual refletimos e procuramos construir estratégias de ação.
De posse dos resultados obtidos nessa representação,
voltamos ao global.
Esse processo de passagem do global para o local e do
local para o global, a partir de representações, é geralmente
chamado modelagem.
Acompanhe esta explicação apresentada por Ubiratan
D’Ambrósio:
O esforço de explicar, de entender, de manejar uma porção
da realidade, um sistema, normalmente se faz isolando esse
sistema e escolhendo alguns parâmetros nos quais concentraremos nossa análise. Com isso, o sistema, com toda a complexidade que ele oferece, fica aproximado por um sistema
artificial, no qual se destacam somente alguns parâmetros
(algumas qualidades) e se ignoram suas interações com o
todo. Dessa maneira considera-se um modelo e passa-se a
analisar e refletir sobre o modelo. Este é o processo de modelagem, na sua essência, uma forma de abstração. São exemplos históricos de modelagem em Matemática a Geometria
euclidiana, a Mecânica newtoniana, a Óptica geométrica.
A modelagem, visando aplicações, que é mais comum, faz
sempre apelo à realidade na qual está inserido o sistema que
deu origem ao modelo com o qual trabalhamos, sempre procurando verificar a adequação dos parâmetros selecionados
e as implicações dessa seleção no inter-relacionamento desse
sistema com a realidade como um todo, isto é, procurando
recuperar o sentido holístico que permeia o matema. Não é
possível explicar, conhecer, entender, manejar, lidar com a
realidade fora do contexto holístico. Têm-se não mais que
visões parciais e incompletas da realidade.
A modelagem é eficiente a partir do momento em que
nos conscientizamos de que estamos sempre trabalhando
com aproximações da situação real, que, na verdade, estamos
elaborando sobre representações. Assim, a modelagem pode
5
ser uma metodologia de ensino muito útil e se enquadra no
Programa Etnomatemática, que inclui a crítica, também de
natureza histórica, sobre representações, que deve estar subjacente ao processo de modelagem.
D'AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática: um programa.
Educação Matemática em Revista, Blumenau, n. 1, p. 5-11, 1993.
Para saber mais sobre modelagem, recomendamos a leitura de: Ensino-aprendizagem com modelagem matemática,
de Rodney Carlos Bassanezi, editora Contexto; e Modelagem
matemática & implicações no ensino-aprendizagem de Matemática, de Maria Salett Biembengut, Editora da Universidade
Regional de Blumenau (Furb). Veja também um modelo para
racionamento de energia elétrica na revista Educação Matemática em Revista, da SBM, ano 8, n. 11, p. 41-50, dez. 2001.
Características da coleção
Nesta coleção procuraram de forma ativa a recordação,
a ampliação, o aprofundamento de conceitos e procedimentos já explorados durante o Ensino Fundamental, apresentando-os sob diversos pontos de vista e linguagens: natural,
gráfica, em tabelas e simbólica.
Deu-se preferência ao longo da obra para atividades
realizadas em dupla ou em equipe, com o intuito de valorizar a iniciativa e a capacidade de decisão dos estudantes,
reforçando a ajuda mútua, a ética e a solidariedade.
As situações e os problemas apresentados ao longo da
coleção têm como pressuposto que as discussões a serem
realizadas em sala de aula e os recursos de que o professor
pode lançar mão, a partir das resoluções propostas pelos
alunos, são os geradores de uma visão de Matemática e de
ensino e aprendizagem dessa disciplina como as consideradas até aqui, tanto do ponto de vista dos pesquisadores
como das leis e propostas governamentais.
As propostas da coleção visam possibilitar aos jovens
alunos a compreensão e a interpretação do mundo ao seu
redor por meio da ampliação de suas capacidades analíticas
e críticas, necessárias para a tomada de decisões em benefício próprio, de sua comunidade e da sociedade, no complexo processo de participação e cidadania.
Como qualquer outro material didático, o livro deve ser
visto como mais um (e não o único) importante auxiliar do
professor que busca ensinar Matemática de modo mais significativo para o aluno, com assuntos da vivência dele, desenvolvendo conceitos por meio da compreensão de situações-problema interessantes, contextualizadas ou interdisciplinares.
Em geral, os conceitos são desenvolvidos a partir de uma
situação-problema, como é recomendado hoje pelos educadores matemáticos que trabalham com resolução de problemas;
a modelagem matemática é feita pela procura de modelos
matemáticos com base em problemas reais (por exemplo, os
números reais como modelo para as medidas; a função linear
como modelo dos problemas de proporcionalidade; a função
quadrática como modelo do movimento uniformemente va-
riado; a função exponencial como modelo dos juros compostos,
da desintegração radioativa, do aumento do número de bactérias em uma cultura, etc.); as abordagens da história da Matemática, ora feitas como introdução de um assunto, ora como
leitura para complementação; e o uso da tecnologia de informação, como calculadoras e softwares, é realizado em vários
momentos da coleção, principalmente nos problemas que
envolvem funções, Trigonometria e números reais.
Procurou-se colocar em cada volume conteúdos de diferentes blocos curriculares, permitindo alternância de temas.
A organização das atividades foi feita com o objetivo de proporcionar a construção de conceitos, procedimentos e algoritmos, de modo equilibrado e sem descuidar das aplicações.
Sempre que possível, valorizaram-se diferentes enfoques
e articulações com diversos campos da Matemática e de
outras ciências.
Procurou-se um equilíbrio no emprego da linguagem
usual e da linguagem matemática, evitando exacerbar esta
última e tornando a comunicação clara e adequada ao nível
do aluno a que se destina esta coleção. A coleção introduz o
método axiomático dedutivo de forma criativa, utilizando-se
de retículas coloridas para identificar as definições (em retículas rosa), axiomas ou postulados (em retículas azuis) e
teoremas (em retículas laranja), assim, intuitivamente, o
aluno poderá compreender como a Matemática se estrutura. O objetivo é que o aluno perceba por si próprio que, na
Matemática, algumas afirmações (proposições) são admitidas como verdadeiras por terem um caráter aparente (definições) ou por serem tomadas inicialmente como verdade,
sem que seja necessário demonstrá-las (axiomas ou postulados), e, com base nelas, por meio de um encadeamento
lógico (prova/demonstração), pode-se chegar a outras afirmações mais gerais; algumas dessas afirmações têm maior
importância para a Matemática (teoremas). Destaques,
quadros-resumos, resultados que antecedem diretamente
um teorema e/ou consequências diretas de um teorema são
expressos em retículas roxas.
Manual do Professor
293
A tônica desta coleção é ajudar o aluno a construir e desenvolver conceitos e procedimentos matemáticos, sempre compreendendo e atribuindo significado ao que ele está fazendo,
evitando a simples memorização e mecanização. E tudo isso
valendo-se de situações-problema contextualizadas e, posteriormente, aplicando os conceitos em situações cotidianas, na
própria Matemática ou em outras áreas do conhecimento.
As atividades propiciam, em muitos momentos, fazer a
articulação entre os grandes campos temáticos, bem como
entre o conhecimento novo e o já abordado. Para exemplificar, citamos funções e progressões, funções (afim e quadrática) e Geometria analítica, sistemas lineares e Geometria analítica, etc.
As retomadas frequentes de conceitos e procedimentos, seguidas de aprofundamento, são outra forma de
articulação.
Por exemplo, números reais e números complexos, a
equação da reta na função afim e na Geometria analítica,
a parábola na função quadrática e na Geometria analítica,
os sistemas lineares 2 3 2 estudados no Ensino Fundamental e os sistemas lineares 3 3 3 com suas interpretações
geométricas, etc.
Sempre que possível, o desencadeamento de novos conceitos e a apresentação de exercícios e problemas são feitos
por meio de situações-problema contextualizadas.
É grande o número de exercícios e problemas desta coleção em que se procurou aplicar conceitos matemáticos na
solução de situações de outros componentes curriculares,
como Física, Química, Geografia, Biologia e outras áreas do
conhecimento. Em especial na seção Outros contextos.
O enfoque metodológico da coleção, em geral, foi feito
por meio da formulação e resolução de problemas, quer
desencadeando um novo conceito, quer aplicando os conceitos e procedimentos estudados em situações contextualizadas e/ou interdisciplinares ou mesmo em problemas da
própria Matemática.
Sumário
Enumeração dos capítulos e das demais seções do
volume. Dá ao aluno uma visão geral da obra.
Abertura de capítulo
Na abertura de cada capítulo, apresenta-se uma imagem
de impacto, ligada a algum contexto relacionado aos conteúdos trabalhados no capítulo.
Para refletir, Fique atento! e Você sabia?
Seções: definições e algumas
sugestões de abordagem
Conheça seu livro
Seção destinada ao aluno, estimulando-o a conhecer os
recursos disponíveis em seu material.
Seções que são dispostas nas laterais das páginas.
Para refletir apresenta questões que visam destacar algo
que merece reflexão. São indicadores de investigação a ser
realizada de modo que os alunos percebam alguma propriedade ou fato, ou que constatem, descubram, ou provem algo.
Pode representar uma complementação do estudo do tópico que está sendo abordado.
294
Manual do Professor
Fique atento! apresenta conteúdos que o aluno já estudou e devem ser relembrados ou relacionados com o
assunto que está sendo representado ou detalhes importantes que devem ser ressaltados.
Voc• sabia? apresenta informações interessantes que
ampliam o tema em estudo.
Exercícios resolvidos
Mostram as várias formas de resolução de uma questão
ou problema. Não devem ser vistos como modelos que os
alunos apenas imitam e dos quais repetem estratégias. Servem para inspirar e indicar possíveis estratégias.
Podem ser resolvidos pelo aluno, como experiência de
verificação da compreensão do conteúdo já desenvolvido
pelo professor, e comparados com a resolução apresentada
no livro. Esse trabalho pode ser realizado em duplas, visando à discussão e ao intercâmbio de experiências.
Também podem ser explorados como um momento de
desenvolvimento da leitura e interpretação em Matemática se for pedido ao aluno que explique, com suas próprias
palavras, o que está expresso ali, tanto do ponto de vista
da solução dada como do ponto de vista da linguagem
matemática empregada e do tratamento dado a ela.
Em alguns exercícios resolvidos, explicitamos as fases da
resolução de um problema (compreender, planejar, executar,
verificar e emitir a resposta); eles são destacados como passo
a passo. Também mostramos em que direções a questão pode
ser ampliada, apresentando em geral uma proposta de discussão em equipe sobre o assunto.
Grande variedade de exercícios e situações-problema
para o aluno checar, consolidar e aplicar os conhecimentos
recentes. Eles são apresentados com diferentes graus de
dificuldade e, sempre que possível, contextualizados com
exploração interdisciplinar.
Podem ser trabalhados em sala de aula, dando continuidade ao processo de fixação dos conceitos, ou como tarefa
de casa, para sedimentação da aprendizagem.
Alguns exercícios são classificados como desafios. A
fim de estimular os alunos durante as tentativas de resolução, quando necessário, promova discussões e sugira
algumas pistas para que os alunos se sintam motivados
a continuar.
Também temos exercícios com indicação para serem realizados em duplas ou em equipe, por terem um grau de complexidade maior ou cuja discussão ajudará no entendimento
do conceito em estudo.
Leitura(s)
Textos que ampliam e enriquecem o conteúdo. Podem
ter uma abordagem interdisciplinar.
Matemática e tecnologia
Nesta seção apresentamos atividades em que o recurso
do computador é utilizado para auxiliar na manipulação e
visualização de gráficos e tabelas.
Exercícios
Manual do Professor
295
Outros contextos
O foco da seção é colocar o aluno em contato com
vários tipos de textos favorecendo a interdisciplinaridade,
a experimentação de conteúdos matemáticos e o
desenvolvimento da competência leitora. Ela destaca os
assuntos ao relacioná-los com situações em que a Matemática estudada tem presença significativa. Embora essas discussões sejam muito mais proveitosas quando
feitas em conjunto pela comunidade escolar, o professor
poderá promover interessantes investigações matemáticas nos contextos considerados.
matemáticos ou se preparar para algum exame específico de
acesso ao Ensino Superior.
Ao professor, cabe a responsabilidade de adequar o conteúdo disponível no livro didático à sua realidade. Algumas
vezes, “pular” assuntos que não serão obstáculos na aprendizagem do aluno para dedicar mais tempo ao trabalho com
temas que serão fundamentais na formação do estudante
pode ser mais proveitoso. Além disso, nem todos os alunos
precisam de um alto grau de aprofundamento, visto que
não seguirão carreiras associadas à Matemática.
Vestibulares de Norte a Sul
Pensando no Enem
Questões direcionadas ao desenvolvimento das habilidades da Matriz de Referência desse exame. As questões
propostas são contextualizadas, muitas vezes tratando de
fenômenos naturais ou sociais.
Questões de vestibular, relacionadas ao conteúdo da
unidade, separadas por região geográfica.
Caiu no Enem
Um pouco mais...
Essa seção aparece no final de alguns capítulos tratando
de assuntos adicionais. O objetivo é abordar, de forma breve,
alguns conteúdos matemáticos que exigem uma fundamentação mais criteriosa. Apesar do maior rigor matemático, tal fundamentação é apresentada de forma didática.
Fica a critério do professor abordá-la ou não.
Ao longo dos capítulos indicaremos ao professor, por
meio do ícone
, alguns outros assuntos que acreditamos
ser opcionais, pois muitos deles não estão relacionados à
Matriz do Enem.
A opção de manter esses assuntos no livro se faz necessária para atender alunos que desejem aprofundar conteúdos
296
Manual do Professor
Questões do Enem classificadas de acordo com as unidades de cada livro.
6
Orientações metodológicas e o conteúdo
digital na prática pedagógica
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
Orientações metodológicas
•
estimulá-lo a pensar, raciocinar, criar, relacionar ideias,
descobrir e ter autonomia de pensamento. Em lugar de
simplesmente imitar, repetir e seguir o que o professor
fez e ensinou, o próprio aluno pode e deve fazer
Matemática, descobrindo ou redescobrindo por si só
ideias, propriedades, maneiras diferentes de resolver uma
questão, etc. Para que isso ocorra, é preciso que o professor crie oportunidades e condições para que o aluno descubra e expresse suas descobertas. Por exemplo, desafios,
jogos, quebra-cabeças, problemas curiosos, etc. auxiliam
o aluno a pensar logicamente, a relacionar ideias e a realizar descobertas;
•
trabalhar a Matemática por meio de situações-problema
que o façam realmente pensar, analisar, julgar e decidir-se pela melhor solução. Vamos destacar o que consideramos ser um problema matemático. Para alguns autores é toda situação que requer a descoberta de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que
tenta resolvê-lo e/ou a invenção de uma demonstração
de um resultado matemático dado. Outros o definem
como uma situação na qual um indivíduo deseja fazer
algo, porém desconhece o caminho das ações necessárias para concretizar a sua ação. Outros ainda destacam
que problema é uma situação na qual um indivíduo atua
com o propósito de alcançar uma meta utilizando para
isso alguma estratégia em particular. De modo geral,
podemos afirmar que existe um problema quando há
um objetivo a ser alcançado e não sabemos como atingi-lo, isto é, existe um problema quando há um resultado
– conhecido ou não – a ser demonstrado utilizando
conhecimentos matemáticos.
No plano didático, há a hipótese de que determinados
problemas permitam a aquisição de conceitos novos e se
inscrevam em uma organização de ensino-aprendizagem
eficaz para a maioria dos alunos. Uma organização assim
foi apresentada por Douady (1984) em sua teoria conhecida como Dialética Ferramenta-Objeto. Conforme essa
teoria, em atividades matemáticas, quando um problema
é proposto, podemos considerá-lo resolvido se pudermos
fundamentar suas explicações de acordo com um sistema
de validação próprio dos matemáticos. Nessa tentativa,
criamos conceitos que atuam como ferramentas que possibilitarão a resolução do problema. Ao serem descontextualizados, de modo que possam ser reutilizados, esses
conceitos tornam-se objeto do saber.
Douady chama de dialética ferramenta-objeto o processo
de resolução de problemas, no qual temos as seguintes fases:
Fase 1: Antigo – Mobilização de conhecimentos antigos,
que funcionam como ferramentas, para resolver, ao menos em parte, o problema.
Os avanços conquistados pela Educação Matemática
indicam que, para que o aluno aprenda Matemática com
significado, é fundamental:
• trabalhar as ideias, os conceitos matemáticos intuitivamente, antes da simbologia, antes da linguagem matemática. Por exemplo, antes de ser apresentada em
linguagem matemática, a ideia de função deve ser
trabalhada de forma intuitiva com o aluno. Uma situação-problema que torna isso possível é: “Considere a quantidade de litros de gasolina e o respectivo preço a pagar:
Quantidade de litros (,)
Pre•o a pagar
1
2,50
2
5,00
3
7,50
.
.
.
.
.
.
50
125,00
O preço a pagar é dado em função da quantidade de litros
que se coloca no tanque, portanto, depende do número
de litros comprados”.
Depois desse trabalho intuitivo calcado na elaboração de
conceitos é que, pouco a pouco, vamos introduzindo a
linguagem matemática:
A
x
B
ƒ
ƒ(x)
f: A → B
x → f (x)
“Cada x de A corresponde a um único f(x) de B, levado pela
função f.”
•
que o aluno aprenda por compreensão. O aluno deve
atribuir significado àquilo que aprende. Para isso, deve
saber o porquê das coisas, e não simplesmente mecanizar procedimentos e regras. Por exemplo, não basta dizer
3
1
ou ; é
9
3
preciso, para a sua compreensão, saber por que isso ocorre,
fazendo, por exemplo:
x 5 0,3333... ⇒ 10x 5 3,333... 5 3 1 0,333... ⇒
3
1
5
⇒ 10x 5 3 1 9x 5 3 ⇒ x 5
9
3
que o número racional 0,3333... é igual a
Manual do Professor
297
Banco de imagens/
Arquivo da editora
100
20 2 x
Área:
A(x) 5 x(20 2 x) 5 20x 2 x2 5 2x2 1 20x ⇒
⇒ A(x) 5 2x2 1 20x (modelo matemático para esta situação)
Manual do Professor
A(x)
(10, 100)
x
10
•
•
•
x
perímetro 5 40 m
298
Nesse caso, temos a função quadrática f(x) 5 2x2 1 20x,
cujo gráfico é dado a seguir.
Banco de imagens/Arquivo da editora
Fase 2: Pesquisa – Dificuldade em resolver o problema por
completo, e novas questões são colocadas e levam à procura de novos meios para a resolução do problema.
Fase 3: Explicitação – Exposição dos trabalhos realizados,
das dificuldades e dos resultados obtidos, sendo as produções discutidas coletivamente com a classe. Essa explicitação possibilita ao professor criar debates sobre os conhecimentos antigos, que estão sendo mobilizados, e sobre os
novos, que estão sendo gerados implicitamente, sem que
se crie uma situação de bloqueio. Esses debates são úteis
na validação de alguns conhecimentos produzidos nessa
fase e permitem aos alunos reconhecer procedimentos
corretos e diagnosticar procedimentos incorretos.
Fase 4: Institucionalização – Institucionalizam-se os novos
conhecimentos como objetos de saber matemático. O
professor ressalta os conhecimentos que devem ser retidos e explicita as convenções de uso. Trata-se de um meio
de constituição de um saber coletivo. Para cada aluno,
constitui uma maneira de estabelecer pontos de referência para seu próprio saber e, dessa forma, assegurar o
progresso de seus conhecimentos.
Fase 5: Familiarização – É o momento de resolver exercícios utilizando as noções recentemente institucionalizadas como ferramentas explícitas. Esses exercícios, simples
ou complexos, tratam apenas do que é conhecido. Os
problemas propostos nessa fase destinam-se, segundo
Douady, a desenvolver hábitos e práticas, a integrar o
saber social com o saber do aluno, que ainda precisa ser
testado em novas experiências, eventualmente sozinho,
os conhecimentos que julga ter alcançado e esclarecer
para si mesmo o que realmente sabe.
Fase 6: Novo problema – Os alunos são instigados a utilizar os novos conhecimentos em situações mais complexas
que envolvam outros conceitos, sejam eles conhecidos ou
visados pela aprendizagem. Os conhecimentos novos adquirem, agora, o estatuto de antigos, em um novo ciclo da
dialética ferramenta-objeto. De acordo com Douady, para
a aprendizagem de um conceito ou propriedade, muitos
ciclos podem ser necessários.
Por exemplo, o estudo da função quadrática poderá ser
desenvolvido a partir da seguinte situação-problema: “Se
quisermos cercar um terreno retangular com uma tela de
40 m de comprimento, a fim de cercar a maior área possível, quais devem ser as dimensões do terreno?”.
Como o perímetro é de 40 m, as dimensões do terreno são:
O ponto de máximo da parábola (10, 100) dará a solução
do problema. Assim, o terreno que satisfaz às condições
impostas é de forma quadrada (o quadrado é um caso
particular de retângulo), de lado igual a 10 m e área igual
a 100 m2. É consenso entre os educadores matemáticos
que a capacidade de pensar, de raciocinar e de resolver
problemas deve constituir um dos principais objetivos do
estudo da Matemática;
trabalhar o conteúdo com significado, levando o aluno a
compreender que aquele conhecimento é importante
para sua vida em sociedade e/ou que o conteúdo trabalhado lhe será útil para entender o mundo em que vive.
Por exemplo, ao trabalhar as diversas funções e seus gráficos relacionando-os com o cotidiano e com os fenômenos das Ciências Naturais, ao resolver problemas de juros
compostos usando logaritmos, ao coletar dados, fazer
tabelas, gráficos e interpretá-los, ao estudar Probabilidade com a Genética da Biologia, etc., o aluno percebe que
tudo isso tem sentido em sua vida presente e futura. Para
que o aluno veja a Matemática como um assunto útil e
prático e possa apreciar o seu poder, precisa perceber que
ela está presente em praticamente tudo e é aplicada para
resolver problemas do mundo real e entender uma grande variedade de fenômenos;
valorizar a experiência acumulada pelo aluno dentro e fora
da escola. É preciso lembrar que, quando o aluno chega ao
Ensino Médio, ele já acumulou experiências pelo menos
até seus 14 anos de idade. A partir dessa vivência, o professor deve iniciar o trabalho de construir e aplicar novos
conceitos e procedimentos matemáticos, dando continuidade ao que o aluno já aprendeu no Ensino Fundamental
e na vida. Detectar os conhecimentos prévios dos alunos
para, com base neles, desenvolver novos conhecimentos
contribui para uma aprendizagem significativa;
estimular o aluno a fazer cálculo mental, estimativas e
arredondamentos, obtendo resultados aproximados. Por
exemplo, quando o aluno efetua a divisão 306 4 3 e coloca
12 como resultado, ele evidencia que não tem sentido numérico, não sabe arredondar (300 4 3 5 100; 6 4 3 5 2 e,
portanto, 306 4 3 5 102), enfim, falta-lhe a habilidade de
cálculo mental. Muitas vezes, em situações cotidianas, mais
•
•
vale saber qual é o resultado aproximado do que o resultado correto propriamente dito;
considerar mais o processo do que o produto da aprendizagem – “aprender a aprender” mais do que levar em conta
resultados prontos e acabados. É muito mais importante
valorizar a maneira como o aluno resolveu um problema,
principalmente se ele o fez de maneira autônoma, original,
em vez de simplesmente verificar se acertou a resposta. O
mesmo se pode dizer sobre o modo de realizar operações,
medições, resolver equações e sobre as maneiras de observar
e descobrir propriedades e regularidades em algumas formas geométricas. Sempre que possível, devemos analisar
diferentes resoluções de um mesmo problema;
compreender a aprendizagem da Matemática como um
processo ativo. Os alunos são pessoas ativas que observam,
constroem, modificam e relacionam ideias, interagindo com
outros alunos e outras pessoas, com materiais diversos e
com o mundo físico. O professor precisa criar um ambiente
de busca, de construção e de descoberta e encorajar os alunos a explorar, desenvolver, levantar hipóteses, testar, discutir e aplicar ideias matemáticas. As salas de aula deveriam
ser verdadeiras salas-ambiente de Matemática, equipadas
com grande diversidade de materiais instrucionais que favorecessem a curiosidade, a aprendizagem matemática e o
“fazer Matemática”. Esse “fazer Matemática” pode ser estimulado apresentando-se atividades investigativas ao aluno.
Uma atividade de investigação matemática diferencia-se
das demais por ser uma situação-problema desafiadora e
aberta, permitindo aos alunos mobilizarem sua intuição e
conhecimentos antigos em alternativas diversas de exploração. Esse tipo de atividade de ensino e aprendizagem:
[...] ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um
matemático, não só na formulação de questões e conjecturas
e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com
os seus colegas e o professor [...]
•
(
)
•
trabalhar o desenvolvimento de uma atitude positiva em
relação à Matemática. Reforçar a autoconfiança do aluno
na resolução de problemas e aumentar o interesse por
diferentes maneiras de solucionar um problema; conduzir
o aluno à observação de características e regularidades
de números, funções, figuras geométricas, etc. Sensibilizá-lo para organizar, argumentar logicamente e perceber a
beleza intrínseca da Matemática (simetrias, regularidades,
logicidade, encadeamentos lógicos, etc.);
•
utilizar jogos. Os jogos constituem outro excelente recurso
didático, pois podem possibilitar a compreensão de regras,
promover interesses, satisfação e prazer, formar hábitos e
gerar a identificação de regularidades. Além disso, facilitam
o trabalho com símbolos e o raciocínio por analogias;
•
enfatizar igualmente os grandes eixos temáticos da Matemática – Números e Funções (Álgebra), Espaço e Forma (Geometria), Grandezas e Medidas e Tratamento da Informação
(Estatística e Probabilidade) – e, de preferência, trabalhá-los
de modo integrado;
trabalhar os temas transversais (Ética, Orientação Sexual,
Meio Ambiente, Saúde, Pluralidade Cultural, Trabalho e
Consumo) de modo integrado com as atividades de
Matemática, por meio de situações-problema.
PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2003, p. 23.
Tendo como pressuposto que todos podem produzir Matemática, em suas diferentes expressões, as atividades
de investigação podem estar presentes em todos os eixos
de conteúdos, contribuindo para um trabalho mais dinâmico e significativo. Levar o aluno a agir como um matemático não implica obrigatoriamente trabalhar com
problemas muito difíceis. Ponte, Brocardo e Oliveira
(2003) destacam que, pelo contrário, investigar significa
trabalhar com questões que nos cercam e, por isso, constitui uma poderosa forma de construir conhecimento.
Assim, é em torno de um ou mais problemas que uma
investigação matemática se desenvolve, porém as descobertas que ocorrem durante a busca da solução podem
ser tão ou mais importantes que ela.
Em toda atividade de investigação o professor deve dispor
de tempo e oportunidade ao aluno para organizar e desenvolver seus modos de pensar, expressá-los aos colegas e ao
professor e registrá-los utilizando linguagem matemática
adequada. Dessa forma, espera-se que o aluno adquira
confiança na sua capacidade de “fazer Matemática” e
torne-se apto a resolver problemas matemáticos, porque
aprendeu a pensar e a se comunicar matematicamente.
No entanto, isso não quer dizer que as atividades matemáticas dos alunos se restrinjam apenas às investigativas; as
fases da dialética ferramenta-objeto de Douady já indicam
que depois dos problemas de investigação o professor deve
abordar problemas de familiarização do novo conhecimento, em diferentes domínios matemáticos e contextos. Assim,
o tempo didático do professor acaba por se tornar pequeno,
exigindo que outras atividades e problemas sejam desenvolvidos como tarefa de casa, a fim de que ocorram a fixação
e a manutenção dos conhecimentos construídos;
utilizar a história da Matemática como um excelente recurso didático. Comparar a Matemática de diferentes períodos
da história ou de diferentes culturas (Etnomatemática). Por
exemplo, pode-se contar a época na qual os pitagóricos só
conheciam os números racionais e acreditavam apenas na
existência dos segmentos comensuráveis (um pode ser
medido pelo outro e a medida é expressa por um número racional). Ao medir a diagonal do quadrado de lado igual
a uma unidade, usando esse lado como unidade de medida,
surgem os números irracionais 2 , no caso e os segmentos incomensuráveis: d 2 5 12 1 12 5 2 ⇒ d 5 2
O lado e a diagonal desse quadrado são segmentos incomensuráveis entre si;
•
Manual do Professor
299
Recursos digitais na prática
pedagógica
Atualmente já não há dúvidas sobre a necessidade do
uso das novas tecnologias em sala de aula. Novas que já
estão ficando velhas, de acordo com o pesquisador de processos de ensino-aprendizagem por meio do computador,
José Armando Valente. Para ele, a possibilidade de junção
de diferentes mídias em um só artefato (TV, vídeo, computador, internet) poderá ter um impacto ainda maior no processo de ensino-aprendizagem, causando uma revolução a
ser enfrentada pelos educadores.
Nessa revolução, Valente considera que dois aspectos
devem ser considerados na implantação desses recursos na
educação. O primeiro é que os conhecimentos técnicos e
pedagógicos devem crescer simultaneamente, um demandando novas ideias do outro. O outro é que o educador precisa ponderar sobre o que cada uma dessas facilidades tecnológicas tem a oferecer e como pode ser explorada em
diferentes situações educacionais. Ora a televisão pode ser
mais apropriada, ora o computador pode ser mais interessante, dependendo dos objetivos que se deseja atingir ou
do que esteja sendo explorado. Mesmo o uso do computador
permite uma grande variação nas atividades que professores e alunos podem realizar. No entanto, ressalta que:
[...] essa ampla gama de atividades pode ou não estar
contribuindo para o processo de construção de conhecimento. O aluno pode estar fazendo coisas fantásticas, porém o
conhecimento usado nessas atividades pode ser o mesmo que
o exigido em uma outra atividade menos espetacular. O produto pode ser sofisticado, mas não ser efetivo na construção
de novos conhecimentos.
VALENTE, [s.d.], p. 23.
Esse mesmo autor destaca que situações vividas com o
emprego de recursos digitais contribuem para que o cotidiano escolar não seja visto como espaço de rotina e de
repetição, mas como espaço de reflexão, crítica e autoexpressão, promovendo assim um novo sentido para a aprendizagem escolar.
Cada vez mais, cientistas e outros profissionais estão
implantando sistemas colaborativos baseados em conexões
via internet. Esse meio de comunicação vem ganhando força e importância no mundo profissional. O trabalho cooperativo é fundamental para a solução de problemas complexos, por conseguinte a aprendizagem colaborativa é um
passo determinante no sentido de preparar o jovem estudante para a futura realidade profissional.
O uso de recursos digitais passa a ser parte integrante
do trabalho de investigação, pois muitos dos problemas
podem ser abordados com o apoio de softwares e objetos
educacionais digitais especialmente elaborados para isso.
A seguir indicamos um dos softwares que estão sendo alvo
300
Manual do Professor
de pesquisas bem-sucedidas em Educação Matemática
com dois sites em que há exemplos de utilização em sala
de aula.
• GeoGebra
Criado por Markus Hohenwarter, é um software de Geometria dinâmica e álgebra gratuito e desenvolvido para
o ensino-aprendizagem da Matemática nos vários níveis de ensino. Ele reúne recursos de Geometria, Álgebra, tabelas, gráficos, Probabilidade, Estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. Assim, ele permite apresentar, ao mesmo tempo, representações diferentes de um mesmo objeto que interagem entre si.
Disponível em português, o GeoGebra é uma multiplataforma e, portanto, pode ser instalado em computadores com Windows, Linux ou MacOS. No livro do aluno
apresentamos algumas atividades com esse software.
Os sites <www.pucsp.br/geogebrasp/>, do Instituto GeoGebra de São Paulo, e <www.geogebra.im-uff.mat.br/bib.
html>, do Instituto GeoGebra do Rio de Janeiro, fornecem
os links para downloads tanto do software como dos tutoriais de uso, além de exemplos de aplicações para sala de
aula. Acesso em: 13 maio 2016.
Outros exemplos de uso podem ser encontrados em: <http://
pt.wikibooks.org/wiki/Aplicações_do_GeoGebra_ao_ensino_de_Matemática/Atividades>. Acesso em: 13 maio 2016.
Linguagem digital
A linguagem digital voltada ao ensino utiliza três termos correntes. Apesar de não haver muito rigor a respeito de seus significados, convém fazer a distinção entre
eles: conteúdo digital, ferramenta digital e tecnologia
digital. Conteúdo digital é o correspondente ao conteúdo
escolar, mas que é disponibilizado na rede, como textos,
hipertextos, figuras, gráficos, entre outros. Ferramenta
digital é o meio pelo qual o conteúdo digital é disponibilizado na rede, como filmes, áudios, jogos, animações,
simuladores, hipertextos, sites, redes sociais, fóruns, blogs, entre outros. Tecnologia digital é o instrumento que
permite a conexão dessas ferramentas e o respectivo
acesso ao conteúdo digital, como computadores, tablets,
telefones, lousas digitais, entre outros.
A utilização de todos esses recursos digitais no ensino
é cada vez mais frequente e facilita a comunicação entre os
agentes do processo didático, além de ampliar as possibilidades pedagógicas.
Animação, por exemplo, é uma representação dinâmica
de um processo qualquer, como um fenômeno natural ou
outro evento, mas que não admite a interação com o usuário, pois ela funciona como um filme feito em linguagem
computacional. Já os simuladores admitem a interatividade
com o usuário, que pode alterar parâmetros e então modificar a dinâmica em curso.
Vídeoaulas não interativas, dirigidas tanto a alunos
do ensino básico quanto à formação docente, também
ajudam a compor o conteúdo digital voltado ao ensino que
pode ser encontrado na rede. Grandes universidades, nacionais e internacionais, disponibilizam gratuitamente, ou não,
cursos inteiros pela internet. Alguns deles são oficiais e atribuem titulação de graduação para o aluno, os conhecidos
cursos de Ensino a Distância (EAD). Universidades públicas
e outras instituições públicas e privadas ainda se valem dos
Ambientes Virtuais de Aprendizagem (AVA) para divulgar
calendários, disponibilizar recursos didáticos digitais, além
de organizar debates e discussões via fóruns síncronos ou
assíncronos para seus alunos. Além disso, professores e alunos contam com um grande acervo de demonstrações experimentais gravadas em vídeo e disponibilizadas de forma
gratuita pelos canais da rede, além de enciclopédias virtuais,
dicionários on-line, entre tantos outros recursos.
As vantagens e prejuízos dos recursos digitais são causados pelo uso que se faz deles, ou seja, devemos evitar a noção
ilusória de que a simples presença do recurso digital garante
melhores resultados de aprendizagem. Em contrapartida, o
seu uso planejado e apropriado tem se mostrado eficiente
em melhorar o ensino em vários cenários educacionais.
•
e também estima sua soma. Em seguida, conferem seus cálculos com a calculadora. Quem se aproximar mais do resultado correto marca um ponto.Vence quem fizer 5 pontos primeiro. Algo semelhante pode ser feito com as demais operações,
usando números naturais inteiros, racionais e irracionais.
Para investigar propriedades matemáticas.
Analisando padrões ou regularidades que ocorrem em
situações ou em tabelas com muitos dados, o aluno pode
levantar hipóteses, fazer conjecturas, testá-las e descobrir
propriedades. Por exemplo, ao preencher tabelas usando
calculadora, os alunos podem descobrir propriedades da
multiplicação e da divisão, que, depois, poderão ser provadas pelo professor, generalizando.
Por exemplo:
O uso da calculadora
A presença de telefones celulares na sala de aula, principalmente no Ensino Médio, tem se tornado um problema
para as escolas, mesmo considerando sua proibição por leis
estaduais. No entanto, em vez de lutarmos contra eles podemos buscar desenvolver propostas em que eles sejam
usados pelos alunos em suas atividades investigativas. É
preciso considerar que os celulares estão cada vez mais equipados, contando com recursos como: câmeras, que fotografam e filmam com boa qualidade de som e imagem; gravadores de áudio; calendários; comunicadores instantâneos;
calculadoras e tantas outras ferramentas que precisam ser
aproveitadas na escola.
Não existem ainda modelos de sua utilização, mas atividades geralmente propostas com calculadoras podem ser
realizadas nos celulares. Exemplos de utilização de calculadoras no Ensino Médio:
• Quando os cálculos numéricos são apenas auxiliares.
A calculadora é recomendada quando os cálculos numéricos são apenas auxiliares na questão a ser resolvida, liberando mais tempo para o aluno pensar, criar, investigar,
conjecturar, relacionar ideias, descobrir regularidades, etc.
O tempo gasto desnecessariamente com cálculos longos
e enfadonhos pode ser usado na busca de novas estratégias para a resolução de problemas, na busca de soluções
de um desafio, de um jogo, etc.
• Para melhorar a estimativa dos alunos por meio de jogos.
A calculadora é recomendada também para aguçar a capacidade de estimativa do aluno. Há várias possibilidades de
jogos do tipo “estime e confira”. Por exemplo, de um conjunto de 15 a 20 números de três algarismos, um aluno escolhe
três deles e estima sua soma. Outro aluno escolhe mais três
Fator
15
15
15
Fator
12
24
48
Produto
?
?
?
Dividendo
13
26
52
Divisor
5
10
20
Quociente
?
?
?
“Quando se dobra um fator, o produto também dobra.”
“Quando se dobram o dividendo e o divisor, o quociente
permanece o mesmo.”
Outro exemplo é quando os alunos trabalham com operações de radicais usando calculadora:
a
b
a ? b
a ?b
a
b
a
b
5
3
?
?
?
?
7
10
?
?
?
?
3
1
?
?
?
?
a
b
a 1 b
a 1b
a 2 b
a 2b
5
3
?
?
?
?
7
10
?
?
?
?
3
1
?
?
?
?
Eles poderão conjecturar que, por exemplo,
•
a ? b 5 a ? b e a 1 b  a ? b . Em seguida,
o professor poderá demonstrar que essas conjecturas
estão corretas.
Para trabalhar com problemas da realidade.
Ao trabalhar com problemas que apresentam dados reais,
em geral os números são muito “grandes” ou “pequenos”
e, às vezes, são muitos itens e muitas operações a serem
realizadas. Isso torna a calculadora um instrumento fundamental para diminuir o trabalho manual e mecânico
do aluno, e permitir que ele se concentre no essencial,
que são o raciocínio, as estratégias e as descobertas.
Manual do Professor
301
Por exemplo, o índice de massa corpórea (IMC) de uma
m
pessoa é dado pela fórmula IMC 5 2 , em que m é a
h
massa (em quilogramas) e h é a altura (em metros). Outro
exemplo: Gastam-se 11,2 cm de arame de aço galvanizado
para fabricar um clipe de papel. Com 100 m desse arame,
quantos clipes serão fabricados aproximadamente?
Mais alguns exemplos poderão ser encontrados em:
<http://www.univates.br/ppgece/docs/PT_Ieda.pdf> e
<http://educacao.uol.com.br/planos-de-aula/medio/
7
em: 29 mar. 2016.
Outras ideias de emprego dos celulares podem ser con-
sideradas, por exemplo, o uso de fotografias para explorar
aspectos geométricos de vistas possíveis de sólidos (é possível fotografar um cubo de modo que a vista seja um hexágo-
no?), no uso de torpedos para a troca de informações entre
grupos de trabalho para compartilhamento de pesquisas pela
internet ou no acesso a vídeos disponíveis na internet.
O novo Enem
As exigências presentes no Exame Nacional do Ensino
Médio (Enem) se constituem em uma das demandas de
nossa sociedade para a continuidade dos estudos.
O Enem foi criado em 1998 com o objetivo de avaliar o
desempenho do estudante ao fim da escolaridade básica,
cuja ideia central considera os princípios da LDB (Lei
no 9.394/96), que preconiza, dentre as funções do Ensino
Médio, o domínio dos princípios científicos, tecnológicos
que orientam a produção moderna, bem como a compreensão do conhecimento das formas contemporâneas de uso
e aplicação das linguagens, da utilização dos códigos e o
domínio e a aquisição da organização da reflexão filosófica e sociológica para a vida em sociedade.
O pressuposto desse modelo de avaliação representa
uma tentativa de análise da qualidade da oferta de Ensino
Médio, considerando as expectativas presentes na LDB. Desse modo, a princípio, podiam participar do exame os alunos
que estavam cursando ou que tinham concluído o Ensino
Médio em anos anteriores, independentemente da idade
ou do ano de término do curso. Já nos primeiros anos de
aplicação, diversas instituições de Ensino Superior começaram a utilizar o Enem como uma alavanca para a pontuação
obtida por aqueles que prestavam vestibular.
Em 2009, o Ministério da Educação (MEC) alterou de
forma significativa a proposta do exame: ele passou a ser
um instrumento de política pública para conduzir e alinhar
o currículo de Ensino Médio em todo o país.
O MEC considera que os vestibulares de ingresso para a
maioria das instituições de Ensino Superior, apesar de bem-sucedidos na seleção dos melhores para ingressar em seus
quadros discentes, acabam por criar disparidades no sistema
de Ensino Médio nacional e na sociedade. As exigências
feitas por esses concursos de mérito exercem uma influência indesejada sobre os currículos das instituições de Ensino
Médio, que acabam por submeter-se a esses requisitos, sem
oferecer sentido ao que se ensina.
Outro fator negativo apontado pelo Ministério foi a
falta de mobilidade de estudantes que resulta da descentralização dos vestibulares das diversas instituições pú302
matematica-atividades-com-calculadoras.htm>. Acesso
Manual do Professor
blicas de Ensino Superior. A mudança realizada no Enem
visa corrigir algumas dessas deficiências, oferecendo um
vestibular unificado criado pelo governo federal e obedecendo a suas diretrizes e seus parâmetros curriculares.
O novo Enem tem como fim avaliar o aspecto cognitivo,
mas enfatizando a capacidade de autonomia intelectual e
o pensamento crítico dos alunos.
As instituições de Ensino Superior podem usar esse novo
exame de diferentes modos, seja considerando-o uma fase
única de avaliação, como uma primeira fase do processo de
ingresso, utilizando sua nota em conjunto com um exame
da própria instituição, seja como critério de seleção para
vagas remanescentes.
Com a adoção do Sistema de Seleção Unificado (Sisu), o
exame posssibilita aos alunos escolher a instituição em que
desejam estudar, sem terem de prestar vestibular em vários
lugares, favorecendo assim a mobilidade estudantil e o intercâmbio entre jovens de todo o país.
Por fim, o Enem se propõe a melhorar a qualidade do
Ensino Médio, uma vez que avalia o desenvolvimento de
certas competências e habilidades dos alunos, não isoladamente, mas de forma conjunta. Assim, o conteúdo ministrado no Ensino Médio passa a ser determinado pelos professores, coordenadores e diretores e não exclusivamente
ditado pelas universidades. Desse modo, é importante que
os docentes compreendam e discutam a proposta integralmente, pois a execução desses pressupostos em sala de aula
poderá contribuir para uma reorientação nas concepções e
nas práticas, já que não se trata de mera revisão de conteúdos a ensinar, mas de redimensionar o papel da escola e
seus atores.
Características do novo Enem:
• 180 questões divididas em 4 áreas de conhecimento e
uma redação;
• a prova é realizada em 2 dias;
• além da contextualização e interdisciplinaridade, é exigido praticamente todo o conteúdo do Ensino Médio;
•
serve também como forma de ingresso em diversas instituições de Ensino Superior.
Site oficial do Enem: <http://portal.inep.gov.br/web/
enem/>. Acesso em: 13 maio de 2016.
Contém informações sobre o exame, edições anteriores,
legislação, documentos, resultados por escola, etc.
Hora do Enem: <http://horadoenem.mec.gov.br/>. Acesso em: 13 maio de 2016.
O Hora do Enem é um projeto pensado para quem vai
fazer o Exame Nacional do Ensino Médio. Pode-se escolher:
acompanhar o programa de TV, fazer simulados on-line, criar
um plano de estudos adequado às suas próprias necessidades e baixar vídeos. Também é possível acessar notícias,
receber orientações de como se preparar para a prova e ver
questões que já caíram nos anos anteriores comentadas por
professores. O objetivo do projeto é ajudar o aluno a se preparar para o Enem.
As questões do novo Enem são elaboradas com base na
Matriz de Referência divulgada pelo MEC.
Nessa matriz estão descritas as competências e habilidades que se esperam do aluno do Ensino Médio e que estão
fundamentadas em cinco eixos cognitivos:
I. Domínio das linguagens (DL): dominar a norma culta da
Língua Portuguesa e fazer uso das linguagens matemática, artística e científica e das línguas espanhola e inglesa.
II. Compreensão dos fenômenos (CF): construir e aplicar
conceitos das várias áreas do conhecimento para a compreensão de fenômenos naturais, de processos histórico-geográficos, da produção tecnológica e das manifestações artísticas.
III. Enfrentamento das situações-problema (SP): selecionar,
organizar, relacionar, interpretar dados e informações
representados de diferentes formas para tomar decisões
e enfrentar situações-problema.
IV. Construção da argumentação (CA): relacionar informações, representadas em diferentes formas, e conhecimentos disponíveis em situações concretas, para construir argumentação consistente.
V. Elaboração de propostas (EP): recorrer aos conhecimentos
desenvolvidos na escola para elaboração de propostas de
intervenção solidária na realidade, respeitando os valores
humanos e considerando a diversidade sociocultural.
A prova do novo Enem abrange uma redação e 180 questões objetivas, sendo 45 questões para cada uma das áreas
de conhecimento em que está dividido o exame:
• Linguagens, Códigos e suas Tecnologias (Língua Portuguesa,
Literatura e Língua Estrangeira).
• Matemática e suas Tecnologias (Álgebra e Geometria).
• Ciências da Natureza e suas Tecnologias (Física, Química
e Biologia).
• Ciências Humanas e suas Tecnologias (Geografia, História,
Filosofia e Sociologia).
As competências e as habilidades (indicadas por H) da
Matriz de Referência para a prova de Matemática e suas
Tecnologias são:
• Competência de área 1 – Construir significados para os
números naturais, inteiros, racionais e reais.
H1 – Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações – naturais,
inteiros, racionais ou reais.
H2 – Identificar padrões numéricos ou princípios de
contagem.
H3 – Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.
H4 – Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na
construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.
H5 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos numéricos.
•
Competência de área 2 – Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.
H6 – Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação
no espaço bidimensional.
H7 – Identificar características de figuras planas ou espaciais.
H8 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.
H9 – Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e
forma na seleção de argumentos propostos como solução
de problemas do cotidiano.
•
Competência de área 3 – Construir noções de grandezas
e medidas para a compreensão da realidade e a solução
de problemas do cotidiano.
H10 – Identificar relações entre grandezas e unidades de
medida.
H11 – Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.
H12 – Resolver situação-problema que envolva medidas
de grandezas.
H13 – Avaliar o resultado de uma medição na construção
de um argumento consistente.
H14 – Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a
grandezas e medidas.
•
Competência de área 4 – Construir noções de variação de
grandezas para a compreensão da realidade e a solução
de problemas do cotidiano.
H15 – Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 – Resolver situação-problema envolvendo a variação
de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
H17 – Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.
H18 – Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.
•
Competência de área 5 – Modelar e resolver problemas
que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.
H19 – Identificar representações algébricas que expressem
a relação entre grandezas.
H20 – Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
Manual do Professor
303
•
•
H21 – Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.
H22 – Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos
como recurso para a construção de argumentação.
H23 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.
Competência de área 6 – Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e
tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação,
interpolação e interpretação.
H24 – Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 – Resolver problema com dados apresentados em
tabelas ou gráficos.
H26 – Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.
Competência de área 7 – Compreender o caráter aleatório
e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e
utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma
distribuição estatística.
H27 – Calcular medidas de tendência central ou de dis-
8
Como destaca o Pacto Nacional pelo Fortalecimento do
Ensino Médio1, a avaliação educacional no contexto do Ensino Médio deve estar integrada ao projeto político-pedagógico da escola, tanto na concepção como na implementação, considerando estudantes e professores como sujeitos
históricos e de direitos, participantes ativos e protagonistas
na sua diversidade e singularidade. Deve, também, estar
articulada com a proposta de ensino médio integral, de qualidade social, e em consonância com as novas Diretrizes
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (DCNEM), que
reforçam o compromisso da “avaliação da aprendizagem,
com diagnóstico preliminar, e entendida como processo de
caráter formativo, permanente e cumulativo” (BRASIL, 2012).
As DCNEM (BRASIL, 2012, pág. 7), em consonância com
as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação Básica
(DCNEB), indicam três dimensões de avaliação: avaliação da
aprendizagem, avaliação institucional e avaliação externa,
esta, também, apresentada algumas vezes como avaliação
de redes de escolas ou avaliação em larga escala.
A avaliação da aprendizagem, conforme a Lei de Diretrizes de Bases da Educação Nacional (LDB), Lei nº 9.394,
Brasil. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Formação
de Professores do Ensino Médio, Etapa I – Caderno VI: Avaliação no Ensino Médio.
304
Esta coleção e o Enem
Na seção 11. Observações e sugestões para as Unidades e os
capítulos deste Manual, em que comentamos cada capítulo,
apresentamos uma tabela que relaciona os objetos de conhecimento associados à Matriz de Referência para Matemática
e suas Tecnologias aos conteúdos abordados no capítulo.
É importante ressaltar que nem todos os assuntos da
nossa coleção estão relacionados com a Matriz de Referência do MEC.
Avaliação em Matemática
Aspectos legais da avaliação no
Ensino Médio
1
persão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não em classes)
ou em gráficos.
H28 – Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de Estatística e Probabilidade.
H29 – Utilizar conhecimentos de Estatística e Probabilidade como recurso para a construção de argumentação.
H30 – Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de Estatística e Probabilidade.
Além disso, cada área possui objetos de conhecimento
que fazem parte do currículo do Ensino Médio atual e que
o aluno precisa dominar.
Manual do Professor
de 20 de dezembro de 1996, pode ser adotada, tendo como
objetivo a promoção, aceleração de estudos e classificação,
e deve ser desenvolvida pela escola refletindo a proposta
expressa em seu projeto político-pedagógico.
A avaliação institucional interna é realizada com base
na proposta pedagógica da escola, assim como no seu plano de trabalho, que devem ser avaliados sistematicamente, de maneira que a instituição possa analisar seus avanços e localizar aspectos que merecem reorientação.
A avaliação externa de escolas e redes de ensino é responsabilidade do Estado, seja realizada pela União, seja
pelos demais entes federados. No Ensino Médio, em âmbito nacional, ela está contemplada no Sistema de Avaliação da Educação Básica (Saeb). Os resultados de Matemática têm foco na resolução de problemas e, juntamente
com as taxas de aprovação, são utilizados no cálculo do
Índice de Desenvolvimento da Educação Básica (Ideb), instituído com o propósito de medir a qualidade de cada escola, no caso do Ensino Fundamental público, e externamente, também é apresentada como avaliação de redes
de escolas ou avaliação em larga escala.
O que avaliar? Como avaliar?
A avaliação é um instrumento fundamental para fornecer informações sobre como está se realizando o processo de ensino-aprendizagem como um todo – tanto para
o professor e a equipe escolar conhecerem e analisarem
os resultados de seu trabalho, como para o aluno verificar
seu desempenho. Ela não deve simplesmente focalizar o
aluno, seu desempenho cognitivo e o acúmulo de conteúdos para classificá-lo em “aprovado” ou “reprovado”.
Uma função crucial da avaliação é a de desencadear
ações que promovam tanto a evolução do aluno como a
do professor para que ambos possam superar os desafios
pedagógicos que enfrentam.
Nessa visão, a avaliação é concebida como um processo que implica uma reflexão crítica sobre a prática, no
sentido de captar seus avanços, suas resistências, suas
dificuldades e possibilitar a tomada de decisão sobre o
que fazer para superar os obstáculos.
Esse movimento traz consigo a necessidade de o professor dominar o que ensina para reconhecer qual a relevância social e cognitiva do ensinado e, então, definir o que
vai se tornar material a ser avaliado.
A mudança das práticas de avaliação é então acompanhada por uma transformação do ensino, uma vez que essa
tomada de posição em relação ao que é realmente importante é que vai orientar a organização do tempo didático
em sala de aula e definir o que deve ser avaliado e as formas
a serem adotadas para avaliar.
Na busca de exercer a educação de modo justo e eficiente é preciso garantir a coerência entre as metas planejadas,
o que se ensina e o que se avalia.
Assim, a definição clara sobre o que ensinar permitirá,
em cada etapa ou nível de ensino, delimitar as expectativas
de aprendizagem, das quais dependem tanto os critérios de
avaliação quanto o nível de exigência.
A clareza sobre o que ensinar e o que avaliar deve estar
explicitada em objetivos observáveis que “traduzem” os
conteúdos formulados, geralmente de modo muito amplo,
nos documentos curriculares ou planos de curso. Tendo isso
em mente, a avaliação deve ser considerada em seus três
aspectos: diagnóstico, formativo ou processual e acreditativo ou certificativo.
• Em seu aspecto diagnóstico, a avaliação permite detectar
os conhecimentos, formais ou informais, que os alunos já
possuem, contribuindo para a estruturação do processo
de ensino-aprendizagem, pois esses conhecimentos são
tomados como base.
Com a avaliação diagnóstica inicial, o professor pode
obter evidências sobre as formas de aprender dos alunos, seus conhecimentos e experiências prévios, seus
erros e concepções. A interpretação dessas evidências
deve ser feita, se possível, em conjunto com o aluno,
buscando perceber seu ponto de vista, o significado de
suas respostas, as possibilidades de estabelecimento
de relações e os níveis de compreensão que possui dos
objetos a serem estudados. Os instrumentos utilizados
nesse tipo de avaliação, conjugados entre si ou não,
podem ser: perguntas orais, realização de um microprojeto ou tarefa.
•
Em seu aspecto formativo, a avaliação permite acom-
panhar a evolução dos alunos em seu processo de
aprendizagem, por isso também é chamada avaliação
processual. Os resultados sobre essa evolução implicam, para os professores, em tarefa de ajuste entre o
processo de ensino e o de aprendizagem, a fim de se
adequar à evolução dos alunos e estabelecer novos
esquemas de atuação.
•
Para diagnosticar os avanços, assim como as lacunas na
aprendizagem, pode-se tomar para análise tanto as pro-
duções escritas e orais diárias dos estudantes quanto
alguns instrumentos específicos, como tarefas, fichas,
portifólios, etc., que forneçam dados mais controlados
e sistemáticos sobre o domínio dos saberes a que se
referem os objetivos e as metas de ensino. A análise dos
trabalhos pode ser feita levando-se em conta a exigência cognitiva das tarefas propostas, a detenção de erros
conceituais observados e as relações não previstas. Des-
sa forma, são levantados subsídios para o professor e
para o aluno que podem ajudar no progresso do proces-
so de apreensão dos conhecimentos, desenvolvimento
e aprimoramento de destrezas, construção de valores e
qualidades pessoais.
•
O aspecto acreditativo ou certificativo da avaliação é o de
obter dados que permitam determinar se os estudantes
desenvolveram as capacidades esperadas ao final de um
processo. Esses dados devem possibilitar que se concluam,
em conjunto com os resultados das avaliações processuais,
as condições de desempenho do aluno segundo as normas
especificadas, tanto internamente à escola como as requeridas em avaliações externas.
A elaboração de escalas indicando as capacidades esperadas de desenvolvimento no processo de aprendizagem,
graduadas em diferentes níveis, de acordo com aspectos
observáveis nas produções orais e escritas dos alunos, são
instrumentos essenciais tanto para o aspecto formativo
como para o certificativo da avaliação.
Os alunos devem ter conhecimento da escala utilizada
pelo professor, por uma questão de transparência na ava-
liação, e também para apoiar-se nela ao fazerem sua autoavaliação.
O quadro da página seguinte é um exemplo de escala2
que pode ser empregada para avaliação em Matemática.
2
Fonte dos dados: PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA (2006), p. 121-123.
Manual do Professor
305
Nível
Conhecimento matemático
Mostra compreender os conceitos e princípios matemáticos envolvidos no problema.
V
Executa completa e adequadamente os algoritmos.
Estratégias, processos e modos de pensar
Usa informação exterior relevante de
natureza formal ou informal.
Identifica todos os elementos importantes do problema e mostra compreensão
da relação entre eles.
Comunicação matemática
Usa terminologia e notação apropriadas.
Apresenta resposta completa e não
ambígua.
Inclui diagramas ou representações apropriados, exemplos ou contraexemplos.
Indica estratégia apropriada e sistemátiApresenta como suportes argumentos
ca para a resolução do problema e mostra
coerentes e completos.
adequadamente o processo de solução.
IV
Mostra compreender, quase Usa informação exterior relevante de
natureza formal ou informal.
completamente, os conceitos e princípios matemáticos
Identifica todos os elementos importanenvolvidos no problema.
tes do problema e mostra compreensão
da relação entre eles.
Executa completamente os
algoritmos.
O processo de solução é completo ou
quase completo.
Os cálculos em geral estão
corretos, contendo eventualmente pequenos erros.
Mostra compreender alguns
dos conceitos e princípios
matemáticos envolvidos no
problema.
III
A resposta tem erros de
cálculo.
Mostra compreensão muito
limitada dos conceitos e
princípios matemáticos
envolvidos no problema.
II
I
A resposta tem graves erros
de cálculo.
Mostra não compreender
os conceitos e princípios
matemáticos envolvidos no
problema.
Inclui diagramas ou representações,
exemplos ou contraexemplos de modo
ainda incompleto.
Apresenta como suportes argumentos
logicamente corretos, mas insuficientes.
Mostra alguma evidência do processo de
solução, mas ele está incompleto ou
pouco sistematizado.
Inclui diagramas ou representações
pouco claras e imprecisas.
Usa informação exterior irrelevante.
Falha no uso dos termos matemáticos.
Apresenta como suportes argumentos
incompletos ou baseados em premissas
pouco importantes.
Falha na identificação, quase por completo, Apresenta alguns elementos satisfatórios, mas omite partes significativas do
de aspectos importantes ou coloca muita
ênfase em elementos pouco importantes. problema.
Reflete uma estratégia inadequada para
resolver o problema.
Inclui diagramas ou representações de
forma incorreta.
O processo de solução não existe, é de
difícil identificação ou não está sistematizado.
Não apresenta argumentos logicamente
corretos.
Tenta usar informação exterior irrelevante. Comunica de forma ineficaz.
Falha na identificação de quais elementos do problema são apropriados para a
resolução.
Indicadores para a avaliação em
Matemática
Como já dissemos, esta coleção contemplou algumas
das atuais tendências em Educação Matemática. Elas dizem
respeito ao desenvolvimento de um ensino que aumente a
capacidade matemática do aluno por intermédio da resolução de problemas, valorizando a comunicação matemática, a construção e a compreensão de conceitos e procedimentos. Passamos, então, a exemplificar como avaliar tais
capacidades.
Manual do Professor
Apresenta resposta completa com explicação razoável.
Identifica alguns elementos importantes Mostra progresso significativo na diredo problema e mostra compreensão limi- ção de completar o problema, mas a
explicação é ambígua.
tada da relação entre eles.
Copia partes do problema, sem procurar
a solução.
306
Usa terminologia e notação parcialmente corretas.
Integra desenhos que não representam
a situação.
As palavras que emprega não refletem o
problema.
Avaliando a capacidade matemática
do aluno
É preciso avaliar a capacidade matemática do aluno, ou
seja, a sua capacidade de usar a informação para raciocinar,
pensar criativamente e para formular problemas, resolvê-los
e refletir criticamente sobre eles.
A avaliação deve analisar até que ponto o aluno integrou
e deu sentido à informação, se consegue aplicá-la em situações que requeiram raciocínio e pensamento criativo e se
é capaz de utilizar a Matemática para comunicar ideias.
Além disso, a avaliação deve analisar a predisposição do
da Matemática. Como a Matemática utiliza símbolos e, por-
aluno em face dessa ciência, em particular a sua confiança
tanto, tem uma linguagem própria, específica, às vezes a
em fazer Matemática e o modo como a valoriza.
comunicação fica dificultada.
Por exemplo, em uma situação-problema aberta como
Ao avaliar a comunicação de ideias matemáticas pelos
esta: “Elabore a maquete da escola com base na sua planta”,
alunos, é preciso verificar se ele é capaz de expressar-se
o aluno pode revelar a sua capacidade matemática.
oralmente, por escrito, de forma visual ou por demons-
trações com materiais pedagógicos; se compreende e
Avaliando a resolução de problemas
interpreta corretamente ideias matemáticas apresenta-
Como a resolução de problemas deve constituir o eixo
das de forma escrita, oral ou visual e se utiliza correta-
fundamental da Matemática escolar, o mesmo deve ocorrer
mente o vocabulário matemático e a linguagem mate-
com a avaliação. A capacidade dos alunos para resolver pro-
mática para representar ideias, descrever relações e
blemas desenvolve-se ao longo do tempo, como resultado
construir modelos da realidade. Veja a seguir um proble-
de um ensino prolongado, de várias oportunidades para a
ma que envolve esses aspectos:
“Suponha que você esteja ao telefone falando com
resolução de muitos tipos de problemas e do confronto com
um colega de turma e quer que ele desenhe algumas fi-
situações do mundo real.
Ao avaliar essa capacidade do aluno, é importante
guras. Escreva instruções que lhe permitam desenhar a
verificar se ele é capaz de resolver problemas não padro-
figura e o gráfico exatamente como estão desenhados
nizados, de formular problemas a partir de certos dados,
abaixo.”
de empregar várias estratégias de resolução e de fazer a
verificação dos resultados, bem como a generalização
ração de problemas. Por exemplo, em um problema do
tipo: “Você vai comprar 10 itens no supermercado. Na fila
do caixa rápido (para 10 itens ou menos) estão 6 pessoas.
O caixa 1 tem uma pessoa na fila e o caixa 3 tem 2.
Os outros caixas estão fechados. Para qual dos caixas
você se dirigirá?”, qual é a informação necessária para
responder à pergunta? (É preciso saber o número de mer-
cadorias que cada pessoa está comprando e a velocidade
dos caixas.) Generalizar soluções de problemas é outro
ponto fundamental. Por exemplo, peça aos alunos que
determinem qual é o valor de 1 1 3 1 5 1 7 1 9 (é 25);
depois, proponha ao aluno que formule uma expressão
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
deles. Identificar lacunas é muito importante na elabo-
y
x
que forneça a soma dos n primeiros números ímpares. A
solução seria:
1 parcela: 1
Avaliando o raciocínio do aluno
2 parcelas: 1 1 3 5 4 (22)
Para avaliar a capacidade de raciocínio matemático
3 parcelas: 1 1 3 1 5 5 9 (32)
do aluno, é preciso verificar se ele identifica padrões, for-
4 parcelas: 1 1 3 1 5 1 7 5 16 (42)
5 parcelas: 1 1 3 1 5 1 7 1 9 5 25 (5 )
mula hipóteses e faz conjecturas. Por exemplo, peça a ele
:
que descubra como começaram e como continuam as
2
n parcelas: n
2
sequências:
0, 3, 8, 15, 24, (35), (48), (63) → (n2 2 1; n 5 1, 2, 3, ...)
-----------
Avaliando a comunicação do aluno
2, 1,
Na sala de aula discutem-se ideias e conceitos matemá-
( )( )( )
1 1 1
1
1
1
, , ,
,
,
2 4 8 _16
_ _ _ _32_ _ _64
__
ticos, partilham-se descobertas, confirmam-se hipóteses e
É preciso verificar ainda se ele analisa situações para
adquire-se conhecimento matemático pela escrita, pela fala
identificar propriedades comuns. Por exemplo, o que há
e pela leitura. O próprio ato de comunicar clareia e organiza
de comum entre o losango e o quadrado? E no que eles
o pensamento e leva o aluno a se envolver na construção
diferem?
Manual do Professor
307
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
quadrado
losango
E se ele utiliza o raciocínio espacial ou proporcional para
resolver problemas.
Por exemplo, peça ao aluno que desenhe um cubo
planificado, ou que desenhe um cone montado a partir
de uma planificação. Para verificar o uso do raciocínio
proporcional, pergunte: “Quantos alunos da escola usam
óculos?”. Isso leva o aluno a desenvolver um processo que
permite identificar os que usam óculos de uma amostra
de alunos e a utilizar raciocínio proporcional para determinar o número de alunos que usam óculos em toda a
escola. Para aferir o raciocínio dedutivo, peça ao aluno
que justifique por que, se somarmos o mesmo número
de pontos à porcentagem de acertos no teste de cada
aluno, a média das classificações aumentará na mesma
quantidade.
Avaliando a compreensão
de conceitos
A essência do conhecimento matemático são os conceitos. O aluno só pode dar significado à Matemática se compreender os seus conceitos e significados.
A avaliação do conhecimento de conceitos e da compreensão deles pelo aluno deve indicar se é capaz de
verbalizá-los e defini-los; identificá-los e produzir exemplos e contraexemplos; utilizar modelos, diagramas e símbolos para representar conceitos; passar de uma forma de
representação para outra; reconhecer vários significados
e interpretações de um conceito; comparar conceitos e
integrá-los.
Para identificar exemplos e contraexemplos de conceitos, apresente uma questão como esta:
“Quais das seguintes expressões representam números
racionais?”
2
3
1,3434
4
5
25,6
216
308
0
Manual do Professor
26
26
5
1,121121112...
25%
Para reconhecer condições que determinam um conceito, proponha ao aluno que faça uma classificação dos
quadriláteros (4 lados). Ao separar os paralelogramos
(2 pares de lados paralelos) dos trapézios (apenas 1 par
de lados paralelos), o aluno demonstra que sabe identificar essas formas geométricas pelas suas propriedades.
Na continuação, pode separar os retângulos (4 ângulos
retos) dos losangos (4 lados de mesma medida) e incluir
os quadrados (4 ângulos retos e 4 lados de mesma medida) nos losangos, demonstrando compreensão dos conceitos de quadrado, losango, retângulo, paralelogramo e
quadrilátero.
Para passar de uma representação de um conceito para
outra, peça ao aluno, por exemplo, que escreva a equação
da reta:
y
x
(1, 0)
(0, 22)
A integração de conceitos pode ser trabalhada com atividades do tipo: “Una os pontos médios dos lados de um
trapézio isósceles. Qual figura se obtém? Justifique sua
resposta.”.
Avaliando procedimentos matemáticos
Procedimentos matemáticos são, por exemplo, os algoritmos ou as técnicas de cálculo, são as maneiras de traçar
retas paralelas, perpendiculares, ângulos, etc.
A avaliação do conhecimento de procedimentos do
aluno deve indicar se é capaz de executar uma atividade
matemática com confiança e eficiência; de justificar os
passos de um procedimento, reconhecer se ele é adequado
ou não a determinada situação e se funciona ou não; e,
sobretudo, se é capaz de criar novos procedimentos corretos e simples.
Para verificar se o aluno conhece as razões dos passos
de um procedimento, peça-lhe, por exemplo, que justifique
cada passagem da multiplicação (x 1 3)(x 1 2):
(x 1 3)(x 1 2) 5 x(x 1 2) 1 3(x 1 2) 5 x2 1 2x 1 3x 1 6 5
5 x2 1 (2 1 3)x 1 6 5 x2 1 5x 1 6
Para verificar se o resultado de um procedimento está
correto, proponha, por exemplo, que o aluno inverta a matriz


A 5 3 21 e verifique se o resultado é realmente a inver1
4
sa dela.
9
Texto complementar: Por que se deve avaliar?
A função social do ensino não consiste apenas em promover e selecionar os “mais aptos” para a universidade. Ela
abarca outras dimensões da personalidade.
avaliar, a quem se deve avaliar, como se deve avaliar, como
devemos comunicar o conhecimento obtido através da avaliação, etc.
Habitualmente, quando se fala de avaliação, logo se
pensa, de forma prioritária ou mesmo exclusiva, nos resultados obtidos pelos alunos. Hoje em dia, este continua sendo o principal alvo de qualquer aproximação ao fato avaliador. Os professores, as administrações, os pais e os próprios
alunos referem-se à avaliação como o instrumento ou processo para avaliar o grau de alcance em relação a determinados objetivos previstos nos diversos níveis escolares. A
avaliação é basicamente considerada como um instrumento sancionador e qualificador, em que o sujeito da avaliação
é o aluno e somente o aluno, e o objeto da avaliação são as
aprendizagens realizadas segundo certos objetivos mínimos
para todos.
Os sujeitos e os objetos
da avalia•‹o
Mesmo assim, já faz muito tempo que, a partir da literatura pedagógica, as declarações de princípios das reformas
educacionais empreendidas em diferentes países e grupos de
educadores mais inquietos propõem formas de entender a
avaliação que não se limitam à valoração dos resultados obtidos pelos alunos. O processo seguido por eles, o progresso
pessoal e o processo coletivo de ensino-aprendizagem aparecem como elementos ou dimensões da avaliação.
Desse modo, é possível encontrar definições de avaliação
bastante diferentes e, em muitos casos, bastante ambíguas,
cujos sujeitos e objetos de estudo aparecem de maneira confusa e indeterminada. Em alguns casos, o sujeito da avaliação
é o aluno; em outros, é o grupo/classe e, inclusive, o professor
ou a equipe docente. Quanto ao objeto da avaliação, às vezes
é o processo de aprendizagem seguido pelo aluno ou os resultados obtidos, enquanto outras vezes se desloca para a
própria intervenção do professor.
As definições mais habituais da avaliação remetem a um
todo indiferenciado que inclui processos individuais e grupais,
os alunos e os professores. Esse ponto de vista é plenamente
justificável, já que os processos que têm lugar na aula são
processos globais em que é difícil – e certamente desnecessário – separar os diferentes elementos que os compõem. Nossa
tradição avaliadora tem-se centrado exclusivamente nos resultados obtidos pelos alunos. Assim, é conveniente dar-se
conta de que, ao falar de avaliação na sala de aula, pode-se
aludir em particular a algum dos componentes do processo
de ensino-aprendizagem, como também a todo o processo em
sua globalidade.
Talvez a pergunta que nos permita esclarecer em cada
momento qual deve ser o objeto e o sujeito da avaliação
seja aquela que corresponde aos próprios fins do ensino: por
que temos que avaliar? Sem dúvida, a partir da resposta a
esta pergunta surgirão outras, por exemplo, o que se deve
Como em outras variáveis do ensino, muitos dos problemas de compreensão do que acontece nas escolas não são
devidos tanto às dificuldades reais, mas sim aos hábitos e
costumes acumulados de uma tradição escolar cuja função
básica sempre foi seletiva e propedêutica. Em uma concepção do ensino centrado na seleção dos alunos mais preparados para continuar a escolarização até os estudos universitários, é lógico que o sujeito da avaliação seja o aluno e
que se considerem como objeto da avaliação as aprendizagens alcançadas em relação às necessidades futuras que
foram estabelecidas – as universitárias. Dessa forma, dá-se
prioridade a uma clara função sancionadora: qualificar e
sancionar desde pequenos aqueles que podem triunfar nessa carreira até a universidade.
No entanto, podemos entender que a função social do
ensino não consiste apenas em promover e selecionar os "mais
aptos" para a universidade, mas que abarca outras dimensões
da personalidade. Quando a formação integral é a finalidade
principal do ensino e, portanto, seu objetivo é o desenvolvimento de todas as capacidades da pessoa e não apenas as
cognitivas, muitos dos pressupostos da avaliação mudam. Em
primeiro lugar, e isto é muito importante, os conteúdos de
aprendizagem a serem avaliados não serão unicamente conteúdos associados às necessidades do caminho para a universidade. Será necessário também levar em consideração os
conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais que promovam as capacidades motoras, de equilíbrio e de autonomia
pessoal, de relação interpessoal e de inserção social.
Uma opção dessa natureza implica uma mudança radical
na maneira de conceber a avaliação, uma vez que o ponto de
vista já não é seletivo, já não consiste em ir separando os que
não podem superar distintos obstáculos, mas em oferecer a
cada um dos alunos a oportunidade de desenvolver, no maior
grau possível, todas as suas capacidades. O objetivo do ensino
não centra sua atenção em certos parâmetros finalistas para
todos, mas nas possibilidades pessoais de cada um.
O problema não está em como conseguir que o máximo
de alunos tenham acesso à universidade, mas em como conseguir desenvolver ao máximo todas as suas capacidades e,
entre elas, evidentemente aquelas necessárias para que cheguem a ser bons profissionais. Tudo isso envolve mudanças
substanciais tanto nos conteúdos da avaliação quanto no
caráter e na forma das informações que devem ser proporcionadas sobre o conhecimento que se tem das aprendizagens
Manual do Professor
309
realizadas, considerando as capacidades previstas. Por enquanto, digamos apenas que se trata de informações complexas, que não combinam com um tratamento estritamente quantitativo; elas se referem a valorações e indicadores
personalizados que raramente podem ser traduzidos em
notas e qualificações clássicas.
Avaliação formativa: inicial,
reguladora e final integradora
A tomada de posição em relação às finalidades do ensino,
relacionada a um modelo voltado à formação integral da
pessoa, implica mudanças fundamentais, especialmente nos
conteúdos e no sentido da avaliação. Além disso, quando na
análise da avaliação introduzimos a concepção construtivista do ensino e da aprendizagem como referencial psicopedagógico, o objeto da avaliação deixa de se focar exclusivamente nos resultados obtidos para se situar prioritariamente no
processo de ensino-aprendizagem, tanto do grupo/classe
quanto de cada um dos alunos. Por outro lado, o sujeito da
avaliação não apenas se centra no aluno, como também na
equipe que intervém no processo.
Como pudemos observar, procedemos de uma tradição
educacional prioritariamente uniformizadora, que parte do
princípio de que as diferenças entre os alunos da mesma faixa etária não são motivo suficiente para mudar as formas de
ensino, mas que constituem uma evidência que valida a função seletiva do sistema e, por conseguinte, sua capacidade
para escolher os melhores. A uniformidade é um valor de
qualidade do sistema, pois é o que permite reconhecer e validar os que servem. Quer dizer, são bons alunos aqueles que
se adaptam a um ensino igual para todos; não é o ensino que
deve adaptar-se às diferenças dos alunos.
O conhecimento que temos sobre como as aprendizagens
são produzidas revela a extraordinária singularidade desses
processos, de tal maneira que cada vez é mais difícil estabelecer propostas universais que vão além da constatação dessas diferenças e singularidades. O fato de que as experiências
vividas constituam o valor básico de qualquer aprendizagem
obriga a levar em conta a diversidade dos processos de aprendizagem e, portanto, a necessidade de que os processos de
ensino – e sobretudo os avaliadores – não apenas os observem, mas também os tomem como eixo vertebrador.
Sob uma perspectiva uniformizadora e seletiva, o que
interessa são determinados resultados em conformidade com
certos níveis predeterminados. Quando o ponto de partida é
a singularidade de cada aluno, é impossível estabelecer níveis
universais. Aceitamos que cada aluno chega à escola com
uma bagagem determinada e diferente em relação às experiências vividas, conforme o seu ambiente sociocultural e
familiar, sendo condicionado por suas características pessoais.
Essa diversidade óbvia implica a relativização de duas das
invariáveis das propostas uniformizadoras – os objetivos, os
310
Manual do Professor
conteúdos e a forma de ensinar – e a exigência de serem tratadas em função da diversidade dos alunos.
Então, a primeira necessidade do educador é responder
às seguintes perguntas: que sabem os alunos em relação ao
que eu quero ensinar? Que experiências tiveram? O que são
capazes de aprender? Quais são seus interesses? Quais são
seus estilos de aprendizagem? Nesse âmbito, a avaliação já
não pode ser estática, baseada na análise de resultado, porque
se torna um processo. E uma das primeiras fases do processo
consiste em conhecer o que cada um dos alunos sabe, sabe
fazer e é, juntamente com o que pode chegar a saber, saber fazer ou ser e como aprendê-lo. A avaliação é um processo
cuja primeira fase denomina-se avaliação inicial.
O conhecimento do que cada aluno sabe, sabe fazer e
como é, torna-se o ponto de partida que nos permite, em
relação aos objetivos e conteúdos de aprendizagem previstos,
estabelecer o tipo de atividades e tarefas que devem favorecer
a aprendizagem de cada um. Isso nos proporciona referências
para definir uma proposta hipotética de intervenção, a organização de uma série de atividades de aprendizagem que,
dada nossa experiência e nosso conhecimento pessoais, supomos que possibilitará o progresso dos alunos. Porém, não
é mais do que uma hipótese de trabalho, já que dificilmente
a resposta a nossas propostas será sempre a mesma, nem a
que nós esperamos.
A complexidade do fato educacional impede dar, como
respostas definitivas, soluções que tiveram bom resultado
anteriormente. Não só os alunos são diferentes em cada ocasião, como as experiências educacionais também são diferentes e não se repetem. Isso supõe que, no processo de aplicação
do plano de intervenção previsto em sala de aula, será necessário adequar às necessidades de cada aluno as diferentes
variáveis educativas: as tarefas e as atividades, seu conteúdo,
as formas de agrupamento, os tempos, etc.
Conforme se desenvolvam o plano previsto e a resposta
dos alunos a nossas propostas, haveremos de ir introduzindo
atividades novas que comportem desafios mais adequados
e ajudas mais contingentes. O conhecimento de como cada
aluno aprende ao longo do processo de ensino-aprendizagem,
para se adaptar às novas necessidades que se colocam, é o
que podemos chamar de avaliação reguladora.
Alguns educadores, e o próprio vocabulário da reforma
educacional, utilizam o termo avaliação formativa. Pessoalmente, para designar esse processo, prefiro usar o termo avaliação reguladora, já que explica melhor as características de
adaptação e adequação. Ao mesmo tempo, essa opção permite reservar o termo formativo para uma determinada concepção da avaliação em geral, entendida como aquela que
tem como propósito a modificação e a melhora contínua do
aluno que se avalia, ou seja, que entende que a finalidade da
avaliação é ser um instrumento educativo que informa e faz
uma valoração do processo de aprendizagem seguido pelo
aluno, com o objetivo de lhe oportunizar, em todo momento,
as propostas educacionais mais adequadas.
O conjunto de atividades de ensino-aprendizagem realizadas permitiu que cada aluno atingisse os objetivos previstos em determinado grau. A fim de validar as atividades realizadas, conhecer a situação de cada aluno e poder tomar as
medidas educativas pertinentes ajudará a sistematizar o
conhecimento do progresso seguido. Isso requer, por um lado,
apurar os resultados obtidos (as competências alcançadas
em relação aos objetivos previstos); por outro, implica analisar o processo e a progressão que cada aluno seguiu, com
vistas a continuar sua formação levando em conta suas características específicas.
Muitas vezes, o conhecimento dos resultados obtidos é
designado com o termo avaliação final ou avaliação somativa. Pessoalmente, penso que a utilização conjunta dos dois
termos é ambígua e não ajuda a identificar ou diferenciar
essas duas necessidades: o conhecimento do resultado obtido
e a análise do processo que o aluno seguiu. Prefiro utilizar o
termo avaliação final para me referir aos resultados obtidos
e aos conhecimentos adquiridos e reservar o termo avaliação
somativa ou integradora para o conhecimento e a avaliação
de todo o percurso do aluno. Assim, a avaliação somativa ou
integradora é entendida como um informe global do processo que, a partir do conhecimento inicial (avaliação inicial),
manifesta a trajetória seguida pelo aluno, as medidas espe-
10
cíficas que foram tomadas, o resultado final de todo o processo e, em especial, a partir desse conhecimento, as previsões
sobre o que é necessário continuar fazendo ou o que é necessário fazer de novo.
Por que avaliar? O aperfeiçoamento da prática educativa
é o objetivo básico de todo educador. E entende-se esse aperfeiçoamento como meio para que todos os alunos atinjam o
maior grau de competências, conforme suas possibilidades
reais. O alcance dos objetivos por parte de cada aluno é um
alvo que exige conhecer os resultados e os processos de aprendizagem que os alunos seguem. E, para melhorar a qualidade
do ensino, é preciso conhecer e poder avaliar a intervenção
pedagógica dos professores, de modo que a ação avaliadora
observe simultaneamente os processos individuais e grupais.
Refiro-me tanto aos processos de aprendizagem quanto aos
de ensino, já que, de uma perspectiva profissional, o conhecimento relativo a como os alunos aprendem é, em primeiro
lugar, um meio para ajudá-los em seu crescimento e, em segundo lugar, o instrumento que nos permite melhorar nossa
atuação em aula.
Esse texto foi publicado originalmente no livro A prática
educativa: como ensinar, de Antoni Zabala. Porto Alegre: Artmed, 1998.
Antoni Zabala é licenciado em Pedagogia.
Fonte: Grupo A. Disponível em: <www.grupoa.com.br/revista-patio/
artigo/5937/por-que-se-deve-avaliar.aspx>. Acesso em: 29 mar. 2016.
Sugestões complementares: leituras,
recursos digitais e passeios
A importância da atualização
Já falamos anteriormente sobre as mudanças que estão
revolucionando a economia e a sociedade, e como a Matemática tem um importante papel na formação e preparação
dos alunos para as novas demandas. É importante que o
professor esteja devidamente informado e seja capaz de
lidar com essas expectativas e novos anseios dos alunos.
Além das novas exigências que são trazidas para a sala
de aula pela sociedade, teorias e práticas de Educação Matemática passam por debates, discussões, atualizações e
alterações que são fruto do trabalho de grupos de estudo e
de aplicação. O professor é parte desse processo de renovação, sendo ele o responsável por apresentar situações aos
alunos, debater alternativas e soluções para os problemas
que surgirem e, finalmente, aplicar o que foi proposto em
seu espaço de trabalho, chegando a novos resultados.
Atualmente temos a facilidade da internet, que é capaz
de reunir em portais, fóruns de discussão, blogs, artigos e
listas de e-mails, uma comunidade de profissionais competentes e dispostos a manter ativo o debate entre professores
e pesquisadores.
Também não faltam oportunidades de cursos oferecidos por instituições de ensino, centros de pesquisa, e até
mesmo pelo poder público, que podem aprofundar certos
aspectos da atividade de docência e oferecer a chance de
trocar conhecimentos e experiências com outros professores e pesquisadores.
Tudo isso é o que podemos chamar de formação continuada do professor, esse aperfeiçoamento constante que
coloca o docente no tempo presente, pronto para atender às
demandas sociais que são impostas a ele e a seus alunos.
Em seguida oferecemos informações de locais onde
os professores poderão encontrar recursos para dar continuidade à sua formação e orientações para o dia a dia
do seu trabalho.
Sites
• <http://m3.ime.unicamp.br/>. Acesso em: 13 maio 2016.
Coleção M3 Matemática Multimídia: portal que contém
recursos educacionais multimídia em formatos digitais
desenvolvidos pela Unicamp para o Ensino Médio de Matemática no Brasil.
Manual do Professor
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<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/index.html>. Acesso
em: 13 maio 2016.
Portal do Professor: espaço para acessar sugestões de planos de aula, mídias de apoio, notícias sobre educação e
iniciativas do MEC, e também para compartilhar um plano
de aula, participar de uma discussão ou fazer um curso.
<http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content
&view=article&id=12583%3Aensino-medio&Itemid=859>.
Acesso em: 14 maio 2016.
Coleção Explorando o Ensino – Matemática – Ensino Médio: coletânea de artigos extraídos da Revista do Professor
de Matemática (RPM) – uma publicação da Sociedade
Brasileira de Matemática (SBM), com apoio da Universidade de São Paulo.
<http://matematica.com.br/site/index.php>. Acesso em:
14 maio 2016.
Portal Matemática: provas de vestibulares e concursos,
simulados on-line, curiosidades matemáticas, dicas,
biografia de matemáticos, dicionário da Matemática,
vídeos e desafios, link para universidades e faculdades
do Brasil.
<http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/
medio.htm>. Acesso em: 14 maio 2016.
Matemática essencial: conteúdos de Matemática para o
Ensino Fundamental, Médio e Superior.
<www.aprendiz.com.br>. Acesso em: 14 maio 2016.
Projeto Aprendiz: site destinado a professores e alunos.
<www.inep.gov.br/>. Acesso em: 14 maio 2016.
Inep (Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira): site do órgão que responde pelas
avaliações do Sistema Educacional Brasileiro (todos os
níveis e modalidades), com todas as informações relativas
ao Enem (Exame Nacional de Ensino Médio).
<www.fc.up.pt/cmup/polya/polya_home.html>. Acesso
em: 14 maio 2016.
Projeto Polya: site especializado na resolução de problemas matemáticos.
<www.obm.org.br/>. Acesso em: 14 maio 2016.
Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM): informações,
provas e gabaritos.
<http://cmais.com.br/educacao>. Acesso em: 14 maio 2016.
Cmais: site da TV Cultura com informações e notícias sobre educação.
<www.uol.com.br/cienciahoje>. Acesso em: 14 maio 2016.
Publicações como: revista Ciência Hoje das Crianças, Alô,
Professor, etc.
<http://revistaescola.abril.com.br/>. Acesso em: 14 maio 2016.
Revista Escola: apresenta diversos materiais sobre educação e mantém blogs e fóruns de discussão.
<www.planetaeducacao.com.br>. Acesso em: 14 maio 2016.
Planeta Educação: portal educacional que tem como objetivo disseminar o uso pedagógico e administrativo das
novas tecnologias da informação e da comunicação nas
escolas públicas brasileiras de Educação Infantil, Ensino
Fundamental e Médio.
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Manual do Professor
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<http://educador.brasilescola.com/>. Acesso em: 14 maio
2016.
Orientações para pais e educadores sobre vários aspectos
do Ensino.
<www.somatematica.com.br/>. Acesso em: 14 maio 2016.
Portal Só Matemática: apresenta conteúdos matemáticos
e sugestões de uso de tecnologias e jogos em sala de aula.
Alguns desses sites podem ser trabalhados com os alunos;
fica a seu critério selecioná-los.
Vídeos
• As séries do TV Escola disponíveis no site <http://tvescola.
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mec.gov.br/tve/home> possuem diversos vídeos que
apresentam variadas aplicações dos conteúdos em situações simples do dia a dia. Acesso em: 14 maio 2016.
O site <https://pt.wikiversity.org/wiki/Portal:Matem%C3%
A1tica_e_Estat%C3%ADstica/Videoteca> apresenta uma
lista de vídeos de matemática da Videoteca do Instituto
de Matemática e Estatística. Entre os vídeos existem documentários, séries educativas e teleaulas. Acesso em: 14
maio 2016.
No site Domínio Público <www.dominiopublico.gov.br/
pesquisa/PesquisaObraForm.jsp> são disponibilizados
vários vídeos que auxiliam o professor no seu trabalho
em sala de aula, principalmente no que diz respeito ao
Programa de Formação de Professores em Exercício. Acesso em: 14 maio 2016.
Jogos
Os jogos são ótimos recursos para o ensino de Matemática. Tanto os conhecidos jogos de tabuleiro ou cartas como
os eletrônicos, que podem ser propostos no laboratório de
Informática ou para serem explorados em casa com roteiros
de observação e discutidos depois, em sala de aula.
Existem poucos jogos eletrônicos voltados para os temas
de Matemática do Ensino Médio. Abaixo e na próxima página seguem links para jogos que podem estimular a familiaridade dos alunos com a disciplina, mas também encorajamos os professores a desvendar os processos matemáticos
que estão contidos nos diversos contatos que os estudantes
têm com os jogos. Entre os jogos eletrônicos adequados para
o Ensino Médio sugerimos os que se encontram em:
• Jogos de Matemática no site da Unesp <www.ibilce.unesp.
br/#!/departamentos/matematica/extensao/lab-mat/
jogos-no-ensino-de-matematica/ensino-medio/>. Acesso
em: 14 maio 2016.
Nesse site serão encontrados diversos jogos matemáticos
para o Ensino Médio, com objetivos, regras e até tabuleiros e peças para impressão.
• MathPlayground <www.mathplayground.com/game_
directory.html>. Acesso em: 14 maio 2016.
O site em inglês contém uma série de jogos matemáticos
que abarcam diferentes disciplinas. Os jogos são simples e
trabalham com conhecimentos específicos. Para o professor
•
de Ensino Médio recomendamos explorar as seções de Geometria (Geometry), jogos lógicos (Logic Games) e de contextualização do uso da Matemática no mundo real (Real
World Math Connections).
Power My Learning <http://powermylearning.com/>.
Acesso em: 14 maio 2016.
Site em inglês criado pela organização americana CFY.
Dedicada à modernização do ensino, oferece jogos e atividades em diversas áreas, como Tecnologia, Matemática,
Ciências e Arte, disponibilizando conteúdo específico para
Ensino Médio.
Softwares
Existem softwares que podem ser usados especificamente para explorar determinados conceitos matemáticos. Abaixo listamos algumas sugestões de aplicativos e repositórios
que podem ser explorados.
• Wolfram Alpha <www.wolframalpha.com/>. Acesso em:
14 maio 2016.
Similar a uma ferramenta de busca, o site oferece um
campo de entrada simples que deve ser preenchido com
o “nome” do que se pretende encontrar. O que embasa
esse sistema é o Matemathica, de Stephen Wolfram. O
site oferece soluções para problemas matemáticos complexos, porém toda a linguagem é em inglês.
• Lista de softwares do site da UFF <www.uff.br/cdme/>.
Acesso em: 14 maio 2016.
A seção de conteúdos digitais para o ensino e aprendizagem de Matemática e Estatística ligada ao Instituto de
Matemática da UFF disponibiliza softwares educacionais,
experimentos educacionais e atividades em áudio relacionadas à Matemática do Ensino Médio.
• Lista de softwares do portal Só Matemática <www.soma
tematica.com.br/softwares.php>. Acesso em: 14 maio 2016.
Esse portal de ensino de Matemática oferece para professores e alunos uma seleção de aplicativos que podem ser
úteis em atividades diárias de sala de aula. A lista é grande e o professor deve pesquisar quais softwares são adequados para as suas necessidades.
Passeios para aprender Matemática
• Planetários
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Visitas a planetários são ótimas como geradoras de investigações sobre o uso da Trigonometria e dos logaritmos para
diversos cálculos envolvendo grandes distâncias e números
muito longos, além de aspectos de interdisciplinaridade
com a Física e a Biologia. Há planetários importantes em
todo o território nacional e seus endereços e contatos podem ser encontrados em: <www.uranometrianova.pro.br/
planetarios/planbrasil.htm>. Acesso em: 14 maio 2016.
Museus e programas de visitas científicas podem ser encontrados no catálogo Centros e Museus de Ciência do
Brasil 2015 elaborado pela Associação Brasileira de Centros
e Museus de Ciência (ABCMC), pelo Centro Cultural de
Ciência e Tecnologia da UFRJ (Casa da Ciência) e pela Casa
de Oswaldo Cruz/Fiocruz (Museu da Vida). Além dos centros e museus de ciência, podem ser consultados zoológicos, jardins botânicos, parques, jardins zoobotânicos,
aquários, planetários e observatórios presentes em todas
as regiões do Brasil. Disponível em: <www.mcti.gov.br/
documents/10179/472850/Centros+e+Museus+de+Ci%C
3%AAncia+do+Brasil+2015+-+pdf/667a12b2-b8c0-4a3798f5-1cbf51575e63>. Acesso em: 14 maio de 2016.
Revistas e boletins de Educação
Matemática
• Bolema – Boletim de Educação Matemática publicado pelo
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Departamento de Matemática, IGCE – Unesp – Rio Claro (SP).
site: <www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/
bolema>. Acesso em: 14 maio 2016.
Boletim Gepem – Série Reflexão em Educação Matemática.
Publicações do Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação
Matemática e do Mestrado em Educação Matemática da
Universidade de Santa Úrsula (RJ). Para ter acesso, é necessário cadastro no site.
site: <www.ufrrj.br/SEER/index.php?journal=gepem>.
Acesso em: 14 maio 2016.
Educação Matemática em Revista – Temas e Debates publicações da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM).
site: <www.sbem.com.br/revista/index.php/emr>. Acesso
em: 14 maio 2016.
Educação Matemática Pesquisa, revista do Programa de Estudos Pós-graduados em Educação Matemática da PUC (SP).
site: <http://revistas.pucsp.br/index.php/emp>. Acesso
em: 14 maio 2016.
Revista Brasileira de História da Matemática (SBHMat).
site: <www.sbhmat.org>. Acesso em: 14 maio 2016.
Revista do Professor de Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM).
site: <www.rpm.org.br>. Acesso em: 14 maio 2016.
Zetetiké – Publicações do Cempem – Unicamp.
site: <www.cempem.fae.unicamp.br/zetetike.htm>.
Acesso em: 14 maio 2016.
Alguns órgãos governamentais
• Fundação Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE)
•
Tel.: 0800-616161
site: <www.fnde.gov.br>. Acesso em: 14 maio 2016.
O FNDE mantém o Programa Nacional do Livro Didático
(PNLD).
Secretaria de Educação Básica (SEB)
Tel.: 0800-616161
site: <http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_co
ntent&view=article&id=293&Itemid=809>. Acesso em:
14 maio 2016.
Informações sobre os Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCN) de Matemática, sobre o Guia do Livro Didático e
todas as questões relacionadas ao Ensino Médio.
Manual do Professor
313
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Secretaria de Educação Continuada, Alfabetização, Diversidade e Inclusão (Secadi)
Tel.: 0800-616161
site: <http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_
content&view=article&id=290&Itemid=816>. Acesso
em: 14 maio 2016.
Implementa políticas educacionais nas áreas de alfabetização e educação de jovens e adultos, educação ambiental, educação em direitos humanos, educação especial, do
campo, escolar indígena, quilombola e educação para as
relações étnico-raciais.
Secretarias de Educação estaduais e municipais
Provavelmente a Secretaria de Educação do estado em que
você mora e também a do seu município mantenham
equipes pedagógicas, publicações e ofereçam cursos de
Matemática a professores. Procure se informar e participar.
Programas de acesso ao Ensino Superior
Com o intuito de auxiliar o ingresso de jovens ao Ensino
Superior, o Ministério da Educação (MEC) oferece programas
como o Fies, o Prouni e o Sisu.
O Fundo de Financiamento Estudantil (Fies) é um programa que financia a graduação de estudantes em instituições privadas de Ensino Superior. Os estudantes que pretendem ingressar em cursos superiores particulares
cadastrados no programa e os que tenham avaliação positiva nos processos conduzidos pelo MEC podem recorrer ao
financiamento. É obrigatória a participação no Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) e os candidatos precisam,
após se inscreverem, ser aprovados por uma Comissão Permanente de Seleção, conforme cronograma definido pelo
MEC. O pagamento do financiamento deve ser iniciado um
ano e meio depois da graduação do estudante, e o prazo
final dependerá do curso escolhido.
O Programa Universidade para Todos (Prouni) tem como
finalidade a concessão de bolsas de estudos integrais e parciais (50%) a estudantes de cursos de graduação e de cursos
sequenciais de formação específica em instituições privadas.
Essas bolsas são destinadas a alunos selecionados com
base nas notas do Enem e também em critérios e condições
estabelecidos em regulamentação específica. Para os estudantes que receberem bolsas parciais, há a possibilidade de
acesso ao Fies para financiar o restante do estudo.
O Sistema de Seleção Unificada (Sisu) é gerenciado pelo
MEC. Nesse sistema são oferecidas vagas em instituições
públicas de Ensino Superior para candidatos participantes
do Enem. A seleção dos candidatos é realizada de acordo
com a nota obtida no exame, dentro do número de vagas
em cada curso, por modalidade de concorrência.
Para maiores informações sobre esses programas, acesse o portal do Ministério da Educação: <http://portal.mec.
gov.br/index.php> (acesso em: 2 maio 2016).
Curso para a formação do professor
• <www.profmat-sbm.org.br/>. Acesso em: 2 maio 2016.
Pós-graduação stricto sensu para aprimoramento da for314
Manual do Professor
mação profissional de professores da Educação Básica, da
Sociedade Brasileira de Matemática.
Programa semipresencial, com bolsas Capes para professores em exercício na rede pública.
Referências bibliográficas
para o professor
Aprofundando os conhecimentos
matemáticos
A primeira regra do ensino é saber o que se deve ensinar.
A segunda é saber um pouco mais do que aquilo que se deve
ensinar.
George Polya.
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TENÓRIO, R. M. (Org.). Aprendendo pelas raízes. Alguns
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VALENTE, Wagner Rodrigues. Uma história da Matemática
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______. Secretaria de Educação Básica. Diretoria de Currículos e Educação Integral. Coordenação Geral do Ensino Médio. Programa Ensino Médio Inovador. Documento
Orientador Brasília, 2013. Disponível em: <http://portal.
mec .gov.br/index .php?option=com_docman&
view=download&alias=13249-doc-orientador-proemi
2013- novo-pdf&category_slug=junho-2013-pdf&
Itemid=30192>. Acesso em: 14 maio 2016.
______. Undime. Consed. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, 2015. Documento em discussão durante
a reformulação deste Manual para o Professor. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/
documents/bncc-2versao.revista.pdf>. Acesso em: 14
maio 2016.
11
Observações e sugestões para as Unidades
e os capítulos
Nesta seção do Manual do Professor apresentamos comentários e sugestões didáticas para cada capítulo que compõe o
Volume 2 desta coleção.
Também fornecemos a resolução dos exercícios e das atividades propostos no livro do aluno, com exceção das resoluções
já contempladas nas páginas do próprio livro e de exercícios e atividades cujas respostas são diretas.
Ressaltamos que fica a critério do professor a escolha da ordem de abordagem dos conteúdos, que pode ser diferente da
apresentada nesta obra. Cabe ao professor considerar o projeto político-pedagógico da escola para planejar suas aulas.
Unidade 1 – Trigonometria
Capítulo 1 – Trigonometria: resolução de triângulos quaisquer
Tópicos
Objetos de conhecimento (associados às
Matrizes de Referência para o Enem 2012)
Competência
Habilidade
Revisão sobre resolução de
triângulos retângulos
Conhecimento geométrico:
Trigonometria do ângulo agudo
C2
H8/H9
Seno e cosseno de
ângulos obtusos
–
–
–
Conhecimentos geométricos: Trigonometria
do ângulo agudo, Unidades de medida
C2/C3
H7/H8/H9/H10/
H12/H13
Lei dos senos
Lei dos cossenos
A imagem de abertura do capítulo é um teodolito, um
instrumento de medição, cuja funcionalidade está toda
pautada na trigonometria. A partir dessa referência pode-se
fazer menção à instrumentalização da Matemática, isto é,
o seu emprego na interpretação da natureza e seus fenômenos. Pode-se ver então a Matemática não apenas como
um produto do meio, mas também como uma ferramenta
para compreender o mesmo.
Em seguida, apresentamos uma Revisão sobre resolução
de triângulos retângulos retomando conteúdos já estudados no Ensino Fundamental e no ano anterior. A realização
desses exercícios pode ser feita em grupo. Aproveite os exercícios para perceber o nível de conhecimentos de seus alunos
e estimule-os a recordar os conceitos de seno, cosseno e
tangente no triângulo, bem como o valor dos senos, cossenos e tangentes para os ângulos de 308, 458 e 608. Produza
um quadro resumo e uma tabela com as informações coletadas para facilitar e agilizar os cálculos. Aproveite para
apresentar as relações do tópico Seno e cosseno de ângulos
obtusos e propor a realização dos exercícios 10 e 11 como
exemplos de aplicação.
É importante ressaltar que nem sempre os triângulos
são retângulos, e muitas vezes precisamos resolver problemas envolvendo outros triângulos, tendo como referência
alguns lados e/ou alguns ângulos. Para esse tipo de problema usaremos novas relações. A primeira delas é a Lei dos
senos, útil para resolver situações em que se conhecem o
valor de dois ângulos e de um lado. Use o exemplo do engenheiro que precisa calcular a distância entre os dois postes, para apresentar a lei dos senos e determinar a distância
entre os dois postes. Destaque que essa é uma situação
muito comum para os engenheiros civis ao construir estradas, pontes e viadutos, fazendo uso de um equipamento
chamado teodolito para determinação de ângulos. Complemente com os exercícios resolvidos 1 e 2 e proponha a resolução dos exercícios 12 a 16 como atividade de fixação.
Em seguida, continue no exemplo do engenheiro, apenas
alterando algumas informações iniciais do problema, para
apresentar a Lei dos cossenos. Essa lei é usada para resolver
situações em que se conhecem o valor de dois lados e de um
ângulo. Complemente com o exercício resolvido. No exercício 3,
que é resolvido passo a passo, apresenta-se um problema
sobre a distância entre algumas cidades do estado de São
Paulo: Guaratinguetá, Campinas, Sorocaba e a capital paulista, São Paulo. Com os dados fornecidos e utilizando a lei dos
cossenos, resolve-se o problema. Aproveite para falar também
sobre escalas fornecidas nos mapas geográficos. Proponha
os exercícios 17 a 24 como atividade de fixação. Os exercícios
25 a 32 podem ser resolvidos como aprofundamento em dupla, destacando-se os exercícios 26 e 31, em que se apresentam aplicações da Física (soma de vetores). O exercício 26 é
um excelente momento para mostrar que a fórmula usada
em Física para obter o vetor resultante é uma aplicação da
lei dos cossenos.
Manual do Professor - Capítulo 1
317
Cap’tulo 2 – Conceitos trigonométricos básicos
Tópicos
Objetos de conhecimento (associados às
Matrizes de Referência para o Enem 2012)
Competência
Habilidade
Arcos e ângulos
Conhecimentos geométricos:
Característica de figuras geométricas planas
C2
H7/H8
Unidades para medir
ângulos e arcos
Conhecimentos geométricos: Unidades de medida
C2
H7/H8
Conhecimento algébrico/geométrico:
Plano cartesiano/Conhecimento geométrico:
Unidades de medida
C2/C3
H7/H8/H10/H12
Circunferência orientada e
circunferência trigonométrica
Arcos côngruos (ou congruentes)
A imagem do Sol batendo em Stonehenge durante o
solstício de inverno no hemisfério norte foi escolhida por
ser um interessante começo de conversa sobre o assunto.
Estimule os alunos a pesquisar mais sobre a construção
desse monumento. Ao explorar o texto Stonehenge as relações entre esse monumento e a trigonometria ficarão
mais claras. Destaque que passaremos a estudar a Trigonometria em um contexto mais abrangente, no qual o triângulo retângulo passa a ser insuficiente para representar as
situações propostas. Este é o momento de recordar alguns
conceitos de Geometria plana já conhecidos, tais como Arcos
e ângulos, Unidades para medir ângulos e arcos e a relação
entre as unidades para medir arcos.
Na abordagem da definição do conceito de arco geométrico e das medidas de comprimento da circunferência,
arco de circunferência e ângulo central, os alunos podem
desenhar no caderno três circunferências concêntricas com
raios diferentes e, com o auxílio de um barbante, demarcarem arcos de mesmo ângulo central nas três circunferências. A seguir, determinam o comprimento do arco de cada
uma das circunferências desenhadas. Depois, deverão responder se os arcos têm o mesmo comprimento. Discuta
então os conceitos de medida de arco (ângulo) e comprimento de arco, pois esses conceitos podem ser confundidos
pelos alunos.
No tópico Unidades para medir ângulos e arcos sugerimos iniciar com a unidade mais conhecida, o grau, e representar alguns arcos importantes na circunferência. Para
apresentar a unidade de medida radiano, pode-se desenhar
uma circunferência e, com o auxílio do compasso ou barbante, representar o arco equivalente a um raio, ou seja, um
radiano. Complemente mostrando que, usando a medida
do raio como referência, será possível completar uma volta
na circunferência com seis raios, com alguma sobra, e que
318
Manual do Professor
esse resultado equivale ao comprimento da circunferência
(2pr . 6,28r).
Estabeleça a relação entre as unidades para medir arcos,
usando os ângulos de 3608 (ou 2p rad); 1808 (ou p rad); 908
 ou p rad ; 2708  ou 3p rad como referência, e esta



4
2
beleça uma relação de comparação para uso em regra de
três simples (1808 equivale a p rad, por exemplo). Faça as
conversões sugeridas no texto, explorando as diversas possibilidades de transformação entre as unidades de medida,
deixando claro que, na ausência de unidades prevalece o
3p
3p
radiano, por exemplo:
equivale a
rad, mas 30 não
2
2
equivale a 308, e sim a 30 rad.
Em geral, os alunos costumam ter dificuldade nesse
assunto, e na maioria das vezes essa dificuldade está associada a dois fatores:
1o) O número p: é importante que os alunos percebam
que p rad significa aproximadamente 3,14 rad, da
mesma forma que p km significa aproximadamente
3,14 km.
2o) Frações: uma das vantagens em usar a unidade de medida radiano reside na possibilidade de fracionar o ciclo
trigonométrico e visualizar simetrias. No entanto, muitos alunos têm dificuldade com frações, e automaticamente definem que o sistema de unidade radiano é
mais difícil de ser usado.
Com o intuito de diminuir esses obstáculos, pode-se
fazer uma atividade lúdica bem simples.
Atividade em dupla: Solicite aos alunos que tragam papéis coloridos, tampas circulares de diversos tamanhos,
régua, tesoura e transferidor. Cada dupla deverá traçar no
papel colorido 4 circunferências de tamanhos diferentes.
Cada uma delas deverá ser dividida ao meio, ficando cada
metade com um elemento da dupla. Em seguida, o primeiro
pedaço deverá ser dividido ao meio, o segundo pedaço em
três partes iguais, o terceiro pedaço em quatro partes iguais
e o último pedaço em seis partes iguais, representando os
p
p
p
p
rad,
rad,
rad e
rad, respectivaângulos de
6
3
4
2
mente. Compare as divisões de várias duplas, destacando
que os raios não interferem no ângulo obtido, e represente
os resultados na lousa. Finalize usando o transferidor para
medir cada ângulo obtido em graus, comparando com os
resultados em radianos.
Os exercícios 1 e 2 podem ser usados como atividade de
fixação; já os exercícios 3 a 6 podem ser resolvidos em dupla,
como atividade de aprofundamento e revisão.
Use a atividade com a circunferência como referência
para apresentar a Circunferência orientada e circunferência
trigonométrica aos alunos, representando os principais valores de ângulos (08, 908, 1808, 2708, 3608) tanto em graus
quanto em radianos, assim como os quadrantes. Represente
p
também alguns ângulos notáveis, tais como 308 
rad
 6

p
ou 458 
rad . Destaque que a circunferência trigonomé 4

trica possui uma orientação anti-horária para ângulos positivos e horária para ângulos negativos, solicite que os alunos
representem a localização do ângulo 2308, por exemplo.
Uma das vantagens do uso da circunferência trigonométrica é a possibilidade de se representar qualquer
ângulo e observar simetrias. Uma das situações interes-
santes está relacionada, inclusive, com esportes radicais.
Em vários esportes, tais como skate, patins, snowboard,
surfe, bodyboard, entre outros, há manobras associadas
ao grau da rotação. As mais conhecidas são o 180 e o 360,
quando o esportista consegue efetuar um giro de 1808
ou de 3608. No entanto, o que aconteceria com o esportista caso ele conseguisse efetuar a manobra 7208? Onde
ele terminaria? A resposta para essa pergunta é simples: ele
completaria duas voltas sobre o seu eixo e pararia na
mesma posição.
Aproveite o exemplo para definir os Arcos côngruos
(ou congruentes). Represente alguns dos ângulos notáveis
e solicite aos alunos que determinem seus ângulos côngruos (para uma e duas voltas completas), e finalize apresentando as expressões gerais para ângulos côngruos,
tanto em graus quanto em radianos, apresentando o
exercício resolvido 1 como exemplo e propondo também
a análise do exercício resolvido 4, em que se discutem as
operações de abertura de um cofre utilizando-se conceitos
básicos de trigonometria.
O exercício 7 pode ser usado como atividade de fixação.
Os exercícios resolvidos 2 e 3 podem auxiliar na apresentação do conceito de primeira determinação positiva, usada
na representação dos ângulos côngruos, e o exercício 8 como
atividade de fixação; já os exercícios 9 a 13 podem ser usados
como atividade de aprofundamento e revisão.
Cap’tulo 3 – Funções trigonométricas
Tópicos
Objetos de conhecimento (associados às
Matrizes de Referência para o Enem 2012)
Competência
Habilidade
Conhecimentos algébricos:
Relações no ciclo trigonométrico/
Conhecimentos geométricos: Simetria de
figuras planas ou espaciais, Congruência
de triângulos
C2
H7/H8
Conhecimentos algébricos:
Funções trigonométricas
C5
H19/H20/H21/H22/H23
A ideia de seno, cosseno e
tangente de um número real
Valores notáveis do seno e do
cosseno
Redução ao 1o quadrante
A ideia geométrica de tangente
Estudo da função seno
Estudo da função cosseno
Senoides
O estudo das Funções trigonométricas é de suma importância para a compreensão de fenômenos comuns
em nosso cotidiano, uma vez que todas as situações
envolvendo movimentos oscilatórios (tais como relógio
de ponteiros, pêndulos, todos os tipos de ondas eletromagnéticas, vibrações em instrumentos de cordas, entre
outros) podem ser descritas a partir de funções trigonométricas.
A leitura da imagem inicial pode servir como estímulo
ao estudo do tema das noções iniciais. Também pode-se
recordar as definições de tangente de um ângulo e a relação
fundamental, que serão usadas adiante.
Manual do Professor - Capítulo 3
319
A apresentação de A ideia de seno, cosseno e tangente
de um número real pode ser feita usando o círculo trigonométrico como referência, destacando que, para um ponto qualquer pertencente ao círculo trigonométrico, haverá
um ângulo correspondente, e um triângulo, cuja altura
estará relacionada ao seno desse ângulo, e a largura da
base estará relacionada ao cosseno desse ângulo. Faça uso
de figuras e tabelas para representar os Valores notáveis
do seno e do cosseno em todos os quadrantes, destacando
os sinais de cada relação em cada um dos quadrantes. Solicite que cada aluno confeccione um grande círculo trigonométrico representando os eixos dos senos e dos cossenos, e seus respectivos valores para os ângulos notáveis
em todos os quadrantes. A atividade pode ser feita em
dupla ou grupo, no entanto cada aluno deverá individualmente registrar a atividade em seu caderno.
Destaque as simetrias existentes determinando o valor
do seno dos ângulos: 308, 1508, 2108 e 3308 e dos cosseno dos
ângulos 608, 1208, 2408 e 3008. Repita o procedimento para
p 2p 4 p 7p
determinar o valor do seno dos ângulos ,
,
e
3
3
3 3
p 5p
11p
7p
cosseno dos ângulos
,
,
e
, solicitando
6
6
6
6
que os exercícios 1 a 6 e 8 sejam resolvidos em seguida, como
atividade de fixação. O exercício 7 pode ser usado como
atividade em dupla, para aprofundamento.
A ideia geométrica de tangente pode ser apresentada
usando ângulos em diferentes quadrantes, destacando os
sinais e ângulos para os quais ela se anula ou não é definida. O exercício 9 pode ser usado como atividade de fixação,
e os exercícios 10 a 12 como atividade de aprofundamento.
Prosseguimos com o Estudo da função seno, solicitando
aos alunos a confecção de uma tabela com os valores do
p p
seno para os seguintes ângulos na primeira volta: 0, , ,
6 4
7p 5p 4 p 3p 5p
p p 2p 3p 5p
, p,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
6
4
3
2
3
3
6
2
4
3
7p 11p
,
e 2p. Em seguida, construa o gráfico da função
4
6
f(x) 5 sen x, destacando suas principais características, tais
como imagem, e definindo seu período e sinais. O exercício
13 pode ser usado como fixação do conceito de imagem da
função. Repita o procedimento para o Estudo da função cosseno, usando o exercício 14 como fixação do conceito de imagem, e os exercícios 15 e 16 como aprofundamento.
Em aplicações cotidianas, as funções trigonométricas
envolvendo senos e cossenos são chamadas de Senoides.
Use como exemplo as funções f(x) 5 2 1 cos x e g(x) 5 sen 2x,
p
p
determinando f   e g   . Represente graficamente
 3
 2
as funções, comparando-as com as funções sen x e cos x. Na
seção Atividades complementares à Unidade 1 a seguir,
apresentamos uma atividade em grupo que pode ser usada
para abordar as senoides.
320
Manual do Professor
Outras contextualizações podem ser obtidas estudando-se As senoides e os fenômenos periódicos, que podem ser
representados pelas senoides f(x) 5 a 1 b ? sen (cx 1 d) ou
f(x) 5 a 1 b ? cos (cx 1 d), com coeficientes b e c positivos,
imagem representada pelo intervalo [a 2 b; a 1 b] e período
2p . O exercício resolvido 5 trata de uma representação do
c
movimento de clientes em um supermercado ao longo do dia.
O exercício resolvido 6 trata da pressão arterial de uma pessoa
variando com o tempo.
No boxe Você sabia? temos um texto com uma discussão a respeito da formação das marés (Física) e sua
representação senoidal, podendo ser usado como avaliação e revisão.
Na seção Matemática e tecnologia – Gráfico de funções
trigonométricas no computador, apresentamos uma sugestão de atividade envolvendo a construção de gráficos de
funções senoidais com o auxílio do programa livre GeoGebra, que pode ser complementada solicitando que os alunos
representem as funções obtidas na atividade proposta a
seguir, com o objetivo de comparar os gráficos obtidos pelo
programa e pelas medições dos grupos.
A seção Outros contextos apresenta os textos Medir o
tempo – Um desafio e Relógios mecânicos. Essa é uma
oportunidade para apresentar relações entre o funcionamento do relógio de pêndulo e as funções trigonométricas.
Além disso, pode-se trabalhar em conjunto com o professor
de Física, com o intuito de uma melhor sistematização da
análise de um pêndulo simples. Assim os alunos poderão
também compreender que, para pequenas oscilações, um
pêndulo simples descreve um Movimento Harmônico Simples (MHS).
Os exercícios 17 a 21 representam atividades de fixação
individual ou em grupo. Os exercícios 22 a 25 apresentam
outras situações do cotidiano que podem ser representadas a partir de senoides, em especial os exercícios 23 a 25,
que tratam de temas de Física, tais como velocidade de
cordas, ondas em superfícies líquidas e movimento harmônico simples.
Atividades complementares ˆ Unidade 1
A atividade a seguir pode ser feita para complementar
e auxiliar o estudo das senoides feito no Capítulo 3.
1. Atividade em grupo: Cada grupo será responsável pela
coleta de dados e confecção de uma tabela de dados e
de um gráfico, usando como referência o disco do pedal
de uma bicicleta, cujo movimento pode ser classificado
como um movimento periódico e, consequentemente,
descrito por uma senoide.
As medidas deverão ser feitas usando uma régua (cm) e
um transferidor, para determinar a posição dos ângulos
notáveis no disco da bicicleta. Cada grupo deverá também medir e anotar o valor do raio do disco.
2. Medindo distâncias em ambientes inacessíveis
A topografia, palavra que significa descrição de um lugar,
é a ciência que trata da medição e representação da superfície terrestre. Os levantamentos topográficos permitem o conhecimento de determinada região, possibilitando
a elaboração de estudos e projetos de Engenharia (edificação, sistemas viários, agrícolas, etc.), além de implantar
e controlar dimensionalmente as obras projetadas. Como
estudamos no livro, um dos aparelhos característicos dos
topógrafos é o teodolito, que serve para medir precisamente ângulos horizontais e verticais, obtendo assim
informações sobre terrenos onde serão construídos prédios, casas, além de ajudar a medir distâncias de difíceis
acessos, tais como a largura de um rio.
Um rio muito importante para o Nordeste, por exemplo,
é o rio São Francisco. Para se ter ideia do tamanho e da
sua importância, ele possui 2 830 km de extensão, entre
300 m e 800 m de largura, separa a Bahia de Pernambuco e Alagoas de Sergipe e passa por áreas influenciadas por diferentes climas, vegetações e relevos. Suas
utilidades são das mais variadas, por exemplo, o uso
para fonte hídrica para a geração de energia em cinco
usinas hidrelétricas, além de, em diversos trechos, o “Velho Chico” (como é conhecido popularmente) oferecer
condições de navegação servindo assim como transporte de materiais importantes, como cimento, sal, açúcar,
arroz, soja, madeira, etc.
Com a apresentação dos conceitos iniciais de seno e
cosseno de um ângulo agudo, que se dá em um triângulo retângulo, tem-se certa dependência da presença
do ângulo reto no triângulo, ou seja, para resolver alguns
problemas há a necessidade de que o triângulo seja
retângulo. Sempre é possível resolver um problema de
trigonometria no triângulo com as definições das razões
trigonométricas no triângulo retângulo, porém, existem
processos práticos que encurtam as soluções de alguns
problemas sem que haja a necessidade da existência
de um ângulo reto no triângulo, que é o caso da lei dos
senos e da lei dos cossenos.
Para se calcular a largura de um rio como o São Francisco, que não possui uma largura fixa, basta usar o teodolito para fazer a medição de dois ângulos e, formando
um triângulo, a partir da lei dos senos, determinar a
largura.
Agora, faça o que se pede.
a) Defina topografia.
b) Qual é a finalidade do teodolito?
c) Pesquise com seus colegas os tipos de teodolito mais
usados nas edificações hoje.
d) Indique pelo menos três funções importantes do rio
São Francisco.
e) Qual é a vantagem de se conhecer a lei dos senos e a
lei dos cossenos?
f) Suponha que a largura do rio São Francisco seja a
média aritmética entre a maior e a menor largura
que ele possui e que um topógrafo localizado num
ponto P da margem esquerda fixe um ponto A na
margem direita através do teodolito, de modo que
AP seja a largura média do rio. Se o topógrafo se
deslocar 200 m na mesma margem esquerda e, ao
ö de 308,
parar num ponto B, medir um ângulo PBA
observe a representação matemática dessa situação
e determine o seno do ângulo PÂB.
A
P
Dam d'Souza/Arquivo da editora
Grupo 1: Medirá as alturas do pedal, a partir do centro
da circunferência (pedal).
Grupo 2: Medirá as alturas do pedal a partir do ponto
mais baixo da circunferência (pedal).
Grupo 3: Medirá as larguras do pedal, a partir do centro
da circunferência (pedal).
Grupo 4: Medirá as larguras do pedal, a partir do ponto
mais à esquerda da circunferência (pedal).
Compare os gráficos apresentados pelos grupos e discuta as possíveis comparações para representar as funções obtidas a partir de funções seno e cosseno.
Grupo 1: f(x) 5 r ? sen x, em que r representa o raio do
disco do pedal.
Grupo 2: f(x) 5 r(1 1 sen x), em que r representa o raio
do disco do pedal.
Grupo 3: f(x) 5 r ? cos x, em que r representa o raio do
disco do pedal.
Grupo 4: f(x) 5 r(1 1 cos x), em que r representa o raio
do disco do pedal.
As atividades a seguir devem ser realizadas em grupos
e complementam o assunto estudado na unidade.
B
Resolu•‹o:
a) Topografia é a ciência que trata da medição e representação da superfície terrestre.
b) Medir precisamente ângulos horizontais e verticais.
c) Resposta pessoal.
Manual do Professor - Capítulo 3
321
d) Fonte hídrica para a geração de energia em cinco usinas
hidrelétricas; transporte de vários elementos básicos de
alta importância, como açúcar, madeira, etc.; irrigação
e desenvolvimento de várias cidades, como Pirapora
(MG), Juazeiro (BA), Petrolina (PE) e Piranhas (AL).
e) A maior vantagem é a quebra da dependência da
existência do ângulo reto, ou seja, essas leis podem
ser aplicadas em um triângulo qualquer.
f) De acordo com o texto temos que os valores máximo
e mínimo da largura do “Velho Chico” são de 800 m
e 300 m, então: PA 5 300 m 1 800 m = 500 m
2
Sendo a 5 PÂB, pela lei dos senos, temos:
PA
PB
500
200
5
5
⇒
⇒
1
sen 308
sen a
sen a
2
1
⇒ 5 sen a 5 1 ⇒ sen a 5
5
3. Sejam A, B e C três pontos distintos de uma circunferência
ö seja 1208.
tais que AB 5 2, BC 5 1 e a medida do ângulo ABC
1
⇒ AC2 5 1 1 4 2 4 ?  2  5 7 ⇒ AC 5
 2
c) Pela lei dos senos, temos:
AC
5 2r ⇒
sen 120 o
a) 1 000 000p km2
d) 2 000 000p km2
2 000 000
1000 000
p km2
b)
e)
p km2
3
3
1000 000
c)
p km2
5
Resolução:
Aplicando a lei dos senos, temos:
1000
1 000
1 000
5 2r ⇒ r 5
5 2r ⇒
sen 608
3
3
2
b) Calcule a medida de AC.
1208
A
O
R
Banco de imagens/
Arquivo da editora
c) Calcule a medida do raio da circunferência.
C
7
5
3
5 2r ⇒ r 5
1000 000
p km2
3
Resposta: alternativa b.
Área de busca: pr2 5
b) Aplicando a lei dos cossenos, temos:
AC2 5 12 1 22 2 2 ? 1 ? 2 ? cos 1208 ⇒
Unidade 2 – Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Capítulo 4 – Matrizes e determinantes
322
Tópicos
Objetos de conhecimento (associados às
Matrizes de Referência para o Enem 2012)
Competência
Habilidade
Introdução às matrizes
–
–
–
Definição de matriz
–
–
–
Representação genérica de uma matriz
–
–
–
Matrizes especiais
–
–
–
Igualdade de matrizes
–
–
–
Adição e subtração de matrizes
–
–
–
Multiplicação de número real por matriz
–
–
–
Matriz transposta
–
–
–
Multiplicação de matrizes
–
–
–
Determinante de uma matriz
–
–
–
Matriz inversa de uma matriz dada
–
–
–
Aplicações de matrizes
–
–
–
Manual do Professor
21
3
4. Triângulo das Bermudas
O Triângulo das Bermudas é um dos únicos lugares do
mundo onde uma bússola não aponta para o norte magnético. Através dos anos centenas de barcos e aviões
desapareceram na área do oceano Atlântico entre Bermuda, Porto Rico e Fort Lauderdale. Quando ocorre um desaparecimento as equipes de resgate realizam busca em
uma área circular com um determinado raio. Se um navio
desapareceu no Triângulo das Bermudas e deseja-se realizar uma busca em uma região circular circunscrita ao
Triângulo, qual deverá ser a área de busca sabendo que o
Triângulo das Bermudas é equilátero de lado 1 000 km?
a) Faça uma figura representativa da situação descrita.
Resolução:
a) 1 km B 2 km
7
3
2
7
Uma das obras de Escher abre o capítulo, com o objetivo de levar o aluno a refletir sobre as transformações
geométricas no plano, realizadas matematicamente por
meio de operações com matrizes. Apesar de não estar
contemplado na Matriz do Enem, o assunto do capítulo
tem extensas aplicações em nosso cotidiano, variando
desde a configuração de memórias em computadores,
programas e previsões em redes sociais de empresas até
a determinação de probabilidades e cálculos de comissões.
O estudo de Matrizes e determinantes pode auxiliar a
compreensão de operações algébricas e desenvolver o
raciocínio lógico matemático.
O tema pode ser iniciado discutindo-se com os alunos
situações que envolvam a distribuição ordenada de informações, tais como um gaveteiro ou uma estante em uma
biblioteca, o monitor de um computador ou televisão, entre
outras situações que possam surgir. Discuta a estrutura de
armazenamento das situações exploradas, aproveitando
para fazer uma Introdução às matrizes, usando como
exemplos os dados disponibilizados sobre a Liga Mundial
2015 de vôlei masculino, discutindo questões do tipo:
“Quantas vitórias teve o Brasil?”, “Quantos jogos cada equi-
pe fez?”, auxiliando-os a interpretar e a obter informações
nas tabelas fornecidas.
Uma das informações a serem obtidas com os dados
fornecidos nas tabelas apresentadas no livro do aluno é a
pontuação total das quatro equipes do grupo A da Liga
Mundial 2015 de vôlei masculino. Essa tabela deve ser cons-
truída pelos alunos, com o auxílio do professor. Observe o
modelo de tabela abaixo, já com os resultados referentes à
pontuação das equipes.
Pontos obtidos em
vitória por 3 3 0 ou
3 3 1 (3 pontos cada)
Pontos obtidos em
vitória por 3 3 2
(2 pontos cada)
Pontos obtidos em
derrota por 3 3 0 ou
3 3 1 (0 ponto cada)
Pontos obtidos em
derrota por 3 3 2
(1 ponto cada)
Pontuação total
(soma de todos
os pontos)
Brasil
7 ? 3 5 21
2?254
0?050
3?153
21 1 4 1 0 1 3 5 28
Sérvia
5 ? 3 5 15
2?254
1?050
4?154
15 1 4 1 0 1 4 5 23
Itália
3?359
3?256
5?050
1?151
9 1 6 1 0 1 1 5 16
Austrália
1?353
1?252
10 ? 0 5 0
0?150
312101055
Em seguida, aborde o exemplo relacionando a venda
de livros em uma editora. Para finalizar a apresentação de
noções iniciais discuta com os alunos sobre o problema
apresentado em Quando surgiram as matrizes?, pois, além
do conteúdo histórico, que é muito interessante, pretende-se direcionar os alunos à investigação, no que diz respeito à relação intrínseca entre matrizes e sistemas lineares.
Chegando à Definição de matriz, apresentando sua representação matemática e descrevendo suas principais características (número de linhas, número de colunas e elementos da matriz). Complemente com exemplos de outras
matrizes com formatos diferentes, por exemplo, matrizes
do tipo 2 3 2, 2 3 3, 1 3 3 e 3 3 1, resolvendo os exercícios
1 e 2 para fixar.
Prossiga apresentando a Representação genérica de
uma matriz e as Matrizes especiais, tais como a matriz quadrada, a matriz identidade e a matriz nula, analisando os
exemplos de cada uma delas e destacando as diagonais
principal e secundária na matriz quadrada.
Apresente e discuta o conceito de Igualdade de matrizes
com exemplos de matrizes que podem ser iguais (duas matrizes 2 3 2) e matrizes que não podem ser iguais (uma matriz
2 3 3 e outra 3 3 2) destacando que não apenas os elementos
devem ser correspondentes, mas o formato da matriz deve
ser compatível, caso contrário não há comparação possível.
Complemente com o exercício resolvido 1 e proponha aos
alunos a resolução dos exercícios 3 a 7 como fixação e os
exercícios 8 a 10 como aprofundamento e revisão.
As operações de Adição e subtração de matrizes podem
ser explicadas usando o exemplo proposto em que se apresenta, sob a forma de tabela, as vendas de dois eletrodomésticos efetuadas por três vendedores, em um determinado mês, e as mesmas vendas para o mês seguinte. Para
se determinar o valor arrecadado com as vendas no bimestre será necessário somar os elementos das duas matrizes
obtidas a partir das tabelas. Efetuando-se a subtração pode-se avaliar a evolução das vendas no bimestre. Esse exemplo
também pode ser usado para definir matriz oposta de uma
matriz A e subtração de matrizes, solicitando que os exercícios
11 e 15 sejam feitos como atividade de fixação.
A situação-problema das vendas de eletrodomésticos
também é usada como referência para se calcular a Multiplicação de número real por matriz, quando for necessário determinar o valor da comissão ganha por vendedor, presumindo-se que cada um ganha de comissão 5% sobre as vendas,
por exemplo. No caso da Matriz transposta, basta solicitar que
Manual do Professor - Capítulo 4
323
os alunos apresentem os dados das tabelas representando os
vendedores nas colunas e não mais nas linhas. Complemente
com exemplos de matrizes 2 3 2, 2 3 3 e 3 3 3 e solicite que
os exercícios 16 a 18 sejam feitos como atividade de fixação.
Os exercícios 19 e 21 podem ser realizados em dupla, como
atividade de aprofundamento e avaliação.
A Multiplicação de matrizes é usada em casos em que
se necessita determinar, por exemplo, a pontuação total
de um determinado time em um campeonato, sabendo-se
o número de vitórias, empates e derrotas de cada time e
dispondo esses dados em uma tabela. Usando a situação
apresentada no livro, os alunos serão levados a determinar
o total de pontos, sendo necessário transpor para o formato de matrizes e detalhar os procedimentos para a explicação. Destaque que o produto das matrizes (A ? B) será
possível somente nos casos nos quais A é matriz do tipo
m 3 n e B é matriz do tipo n 3 p e a matriz resultante será
do tipo m 3 p. Mostre exemplos de produtos de matrizes
1 3 3 por uma matriz 3 3 1, cujo resultado será uma matriz
1 3 1; de uma matriz 2 3 3 por uma matriz 3 3 2, cujo resultado será uma matriz 2 3 2 e de uma matriz 3 3 2 por
uma matriz 2 3 2, cujo resultado será uma matriz 3 3 2.
Destaque para o exercício resolvido 5, que aborda os sistemas de envio e recepção de mensagens codificadas, apresentando assim uma conexão com a comunicação
eletrônica e a criptografia. Esta conexão poderá ser trabalhada durante o capítulo. Solicite que os exercícios 22 a 25
e 28 a 30 sejam resolvidos como atividade de fixação e os
exercícios 26 e 27 como referência para discutir as potências de matrizes e produtos notáveis.
Alguns trabalhos podem ser propostos para estimular
o estudo do tema, como atividade em grupo de avaliação.
Por exemplo:
Proposta 1: Trabalho envolvendo as disciplinas de Educação
Física, Biologia e Matemática com o tema: Matrizes e Diabetes, tomando como referência o artigo “Tratamento de
diabetes: uma aplicação de matrizes”, de Cristiani dos Santos Campos, disponível em: <www.gestaoescolar.diaadia.
pr.gov.br/arquivos/File/producoes_pde/artigo_cristiani_
santos_campos.pdf>. Acesso em: 4 fev. 2016.
Proposta 2: Trabalho envolvendo matrizes e rotas aéreas,
baseado na atividade interativa “Aviões e matrizes”, disponível
no site do Matemática Multimídia da Unicamp: <http://
m3.ime.unicamp.br/recursos/1221>. Acesso em: 4 fev. 2016.
Proposta 3: Lista extra de exercícios com aplicações diversas,
baseada no artigo “A modelagem matemática no ensino de
matrizes e sistemas lineares”, de Letícia Menezes Panciera
e Dr. Márcio Violante Ferreira, disponível em: <www.mtm.
ufsc.br/~daniel/7105/A%20MODELAGEM%20MATEM%
C3%81TICA%20NO%20ENSINO%20DE%20MATRIZES.pdf>.
Acesso em: 4 fev. 2016.
324
Manual do Professor
Ao abordar o tópico Determinante de uma matriz,
explique que ele é um número associado a matrizes quadradas que historicamente surgiu para indicar se um
sistema possui uma única solução ou não, mas que também possui uma série de aplicações, principalmente no
cálculo de áreas de figuras planas e condições de alinhamento de pontos.
Uma vez que os determinantes estão associados às soluções de sistemas, discuta com seus alunos as soluções das
seguintes equações:
a) 2x 5 8; possui uma única solução, x 5 4.
b) 2x 5 0; como no item anterior possui uma única solução,
x 5 0;
c) 0x 5 0; parece óbvio, mas é importante destacar que a
equação possui infinitas soluções, uma vez que o produto de qualquer número real por zero será sempre zero.
d) 0x 5 5; nesse caso a equação não possui solução, uma
vez que o produto de um número real por zero é sempre
zero, nunca será 5.
Na discussão, certifique-se de que os alunos tenham
notado que, para a solução ser única, o coeficiente de x não
deve ser nulo.
Apresente o determinante de ordem 2, que representa a
quantidade de soluções de um sistema 2 3 2, usando como
referência a solução do sistema genérico e compare com
o cálculo a partir da matriz. Em seguida, apresente alguns
exemplos simples, destacando as nomenclaturas associadas
e que o determinante pode ser tanto positivo quanto negativo.
Devemos representar o determinante de uma matriz A
por det A ou pelos elementos da matriz A envoltos por | |. O
uso de ( ) ou [ ] fica reservado para as matrizes.
O determinante de ordem 3 pode ser apresentado usando diretamente a forma prática, ou regra de Sarrus, seguindo as instruções do livro-texto, e usando os exercícios 31 e
32 como atividade de fixação.
Use o exercício resolvido 6 para discutir a solução de
equações envolvendo determinantes e os exercícios 35 e 36
como aprofundamento. O exercício 33 pode ser usado como
atividade de revisão e aprofundamento, aproveitando para
demonstrar algumas propriedades e não propriedades,
comparando os itens d e e; g e h; i e j. Já o exercício 37 representa situações em que o determinante resulta em zero,
podendo ser usadas como fonte de discussão das propriedades que zeram determinantes.
O Teorema de Binet também pode ser discutido, fazendo uma apresentação simples com duas matrizes A e B,
ambas 2 3 2, mostrando que det (A ? B) 5 (det A) ? (det B).
Os exercícios 34 e 38 são para fixação e aplicação no cálculo de determinantes de potências de matrizes e o exercício
39, para calcular o determinante da matriz identidade I.
Você pode finalizar definindo a Matriz inversa de uma
matriz dada, a partir do produto A21 ? A 5 A ? A21 5 1.
Tome como referência a definição de inverso multiplicativo de um número, definindo o produto a ? a21 5 1, tomando
1
o cuidado de destacar que o inverso de 2 é, por exemplo, ,
2
mas para determinar a matriz inversa de uma matriz não
basta inverter os elementos, temos que considerar a definição de inverso, ou seja, o produto de dois inversos é igual a 1.
Use como exemplo as matrizes A e A21 definidas no livro,
provando que o determinante de A é diferente de zero e que
o produto das duas matrizes é a matriz I2. Os exercícios 40 e
41 podem ser usados como atividade de fixação, o exercício
43 pode ser usado como exemplo de como se determina uma
matriz inversa, e os exercícios 43 e 44 podem ser usados como
atividade de aprofundamento e revisão.
Em Aplicações de matrizes é apresentada a mudança de
posição de figuras (translação, reflexão, rotação e escala)
por meio das matrizes e um modo de criptografar textos.
Cap’tulo 5 – Sistemas lineares
Tópicos
Objetos de conhecimento (associados às
Matrizes de Referência para o Enem 2012)
Competência
Habilidade
Conhecimentos algébricos: Equações/
Conhecimentos algébricos/geométricos:
Sistema de equações
C5
H19/H20/H21/H22/H23
O método chinês
Sistemas lineares 2 3 2
Equações lineares
Sistemas de equações lineares
A abertura do capítulo coloca em evidência o Sudoku,
um desafio de lógica baseado na alocação de números
organizados na forma de matriz. Consequentemente, uma
matriz ou uma equação matricial podem ser vistas como
um sistema de equações. No capítulo, pretende-se construir uma estreita relação entre matrizes e sistemas de
equações.
O método chinês para resolução de sistemas de equações lineares é uma excelente oportunidade para se trabalhar história da Matemática de forma interativa, o mesmo
possibilita o desenvolvimento de outras atividades. Após o
estudo do Capítulo 5 volte ao problema dos 3 tipos de milho,
apresentado no início do Capítulo 4.
O estudo da resolução de Sistemas lineares – problemas
com duas ou mais variáveis – sempre esteve entre os desafios mais intrigantes e relacionados a situações do cotidiano, e tem sido objeto de estudo dos matemáticos ocidentais
desde o século XVII com as importantes contribuições de
Leibniz e Cayley relacionando sistemas lineares a determinantes e suas representações matriciais.
Divida a turma em duplas e apresente o tópico Sistemas
lineares 2 3 2, propondo que eles resolvam os itens apresentados e que sugiram resoluções. Supondo que o tema
tenha sido estudado no Ensino Fundamental, a intenção é
fazer com que os alunos recordem, discutam e reativem a
memória dos procedimentos necessários para obter a solução de sistemas, tais como método da adição, da substituição, comparação; possibilitando ao professor identificar
potenciais dificuldades. Caso observe alguma dificuldade,
utilize o exercício 1 como ferramenta para revisar os métodos
de resolução de sistemas lineares.
Destaque que discutiremos no capítulo somente as
Equações lineares, citando os exemplos apresentados no
livro-texto. Apresente também as equações que não são
consideradas equações lineares e o porquê de não serem.
Discuta as possíveis soluções das equações apresentadas nos itens a e b do início da página 97. Destaque a im-
portância da interpretação das informações contidas no par
ordenado. No caso do par (4, 3) temos, obrigatoriamente,
x 5 4 e y 53, e nunca o contrário. Aproveite para discutir o
significado geométrico do par ordenado (no caso do exemplo, os pares ordenados são números reais que representam
a solução de cada equação linear, geometricamente representadas por retas). No caso do item b as ternas ordenadas
representam pontos de um plano no espaço.
Os exercícios 2 e 3 são atividades de fixação, com o
objetivo de habilitar a verificação de soluções de uma
equação linear. Os exercícios de 3 a 6 são para aprofundamento do conteúdo.
Os Sistemas de equações lineares podem ser apresen-
tados também a partir dos exemplos sugeridos no livro-texto, discutindo, em seguida, a verificação de possíveis
soluções para os outros sistemas apresentados. Destaque
que só poderemos considerar como solução possível o con-
junto de valores que satisfizer a verificação de todas as
equações do sistema linear, usando o exercício 7 como atividade de fixação.
Manual do Professor - Capítulo 5
325
Trabalhamos a Classificação dos sistemas lineares usando exemplos de sistemas do tipo 2 3 2, uma vez que os
alunos possuem familiaridade com esse tipo de problema.
Além disso, faremos uso da interpretação geométrica de
cada situação apresentada, com o objetivo de destacar as
aplicações e trabalhar com as habilidades relacionadas à
Geometria e à construção de gráficos com os alunos.
O exemplo proposto no item a do livro-texto apresenta um sistema possível e determinado, aquele que possui
uma única solução, ou seja, um conjunto solução unitário.
No nosso exemplo a interpretação geométrica equivale a
determinar o ponto de intersecção das duas retas representadas pelas equações lineares do sistema. No item b o
sistema é impossível e representado geometricamente por
duas retas paralelas, já no item c o sistema é possível e
indeterminado, representado geometricamente por retas
coincidentes. O assunto pode ser abordado solicitando que
os alunos, em dupla, representem graficamente as retas,
usando régua e malha quadriculada, discutindo os resultados obtidos e construindo um resumo das discussões
apresentadas. A atividade também poderá ser realizada
usando programas de construção gráfica (tais como o programa de uso livre GeoGebra), caso seja viável. Finalize a
atividade com a resolução dos exercícios 8 e 9, como atividade de fixação.
No capítulo anterior foi apresentada a relação entre
determinantes e sistemas, e discutiremos agora com mais
precisão a relação entre matrizes, sistemas lineares e determinantes, usando como exemplo os sistemas estudados
no item Classificação dos sistemas lineares, representando-os matricialmente e solicitando que os alunos calculem o
determinante da matriz dos coeficientes e discutindo os
resultados obtidos. Os resultados obtidos são apresentados
a seguir:
3x − y = 10

  x   10 
⇒  3 −1  ? 
=
a) 
2
5

  y   1 
2
x
+
5
y
=
1

3 −1 = 3 ? 5 − ( 21 ) ? 2 = 15 1 2 = 17 ± 0
2 5
 x − 2y = 5

  x   5 
b) 
⇒  1 −2  ? 
=
2
−
4

  y   2 
2
x
−
4
y
=
2

1 −2
2 −4
= 1 ? ( − 4 ) − ( − 2 ) ? 2 = −4 + 4 = 0
2 x − 6 y = 8

  x   8 
⇒  2 −6  ? 
=
c) 
 3 −9   y   12 
3x − 9 y = 12
2 −6 = 2 ? (−9) − (−6) ? 3 = −18 + 18 = 0
3 −9
Dessa forma, pode-se observar que determinantes diferentes de zero estão associados a sistemas possíveis e
determinados, e que determinantes iguais a zero estão
326
Manual do Professor
associados a sistemas impossíveis ou a sistemas possíveis
e indeterminados. Ressalte que o uso do determinante por
si só não é suficiente para diferenciar os sistemas impossíveis e os possíveis e indeterminados. Use o exercício 10
como exemplo de aplicação do cálculo do determinante e
o exercício 11 como atividade de fixação.
O Escalonamento de sistemas lineares é um método
que proporciona uma classificação eficaz dos sistemas lineares, bem como a determinação de seu conjunto solução.
Inicie apresentando o sistema linear escalonado sugerido
no livro, proponha aos alunos que determinem sua solução.
Permita a discussão para determinar o melhor procedimento a seguir, estimulando-os a notar o que tornou o
sistema de simples solução. Apresente então os outros
sistemas escalonados propostos no livro como exemplo
para Classificação e resolução de sistemas escalonados,
usando-os como referência para classificá-los, destacando
que a observação da última linha é suficiente para determinar sua classificação.
Sistemas possíveis e determinados apresentam na última linha uma equação linear com apenas uma incógnita,
com solução determinada, como é o caso do sistema apresentado no item a. Para determinar o conjunto solução,
basta resolvê-lo de baixo para cima, substituindo os valores
de cada incógnita determinada.
O sistema será impossível quando a última equação linear for impossível de ser resolvida, como é o caso do sistema apresentado no item b.
O sistema será possível e indeterminado quando o número de equações for menor que o número de incógnitas,
ou quando a última equação linear for indeterminada (o
que acontece, por exemplo, no caso da equação 0x 5 0).
O conjunto solução, nesse caso, estará invariavelmente
ligado a uma ou mais incógnitas livres, ou seja, a determinação das variáveis depende necessariamente de outras. Os
exemplos apresentados nos itens c e d representam duas
situações em que o sistema é possível e indeterminado, no
primeiro caso com grau de indeterminação 1 (uma incógnita livre) e com grau de indeterminação 2 (duas incógnitas
livres) no segundo caso.
Os exercícios 12 e 13 devem ser usados como atividades
de fixação, para que os alunos classifiquem e determinem
soluções de sistemas escalonados.
O procedimento usado para escalonar sistemas engloba
a ideia de Sistemas lineares equivalentes, bastando apresentar os sistemas equivalentes sugeridos no livro e a denominação de sistemas equivalentes àqueles sistemas que
apresentam o mesmo conjunto solução. O conceito pode
ser usado para determinar coeficientes desconhecidos em
sistemas equivalentes, como apresentado no exercício resolvido 2 e nos exercícios 14 e 15.
A aplicação mais comum de sistemas equivalentes é o
Processo para escalonamento de um sistema linear, em que
usamos as operações básicas e procedimentos adotados no
método da adição (usado para determinar a solução de sistemas lineares no Ensino Fundamental) com o objetivo de
sucessivamente reduzir o número de incógnitas nas equações lineares de um sistema. Use os exemplos propostos no
livro para apresentar o processo, discutir os sistemas equivalentes obtidos e determinar seu conjunto solução. Complemente a explicação com o exercício resolvido 3, no qual
se questiona a distância percorrida por três alunos para
chegar à escola. O problema apresentado pode ser modelado na forma de um sistema linear.
Você pode usar os exercícios 16 a 19 como atividade de
fixação. Os exercícios 20 a 27 apresentam diversas situações
contextualizadas, em que é necessário interpretar o enunciado, para posteriormente escrever o sistema e avaliar o
melhor procedimento para a resolução do problema, e podem ser usados como atividade de aprofundamento ou em
duplas, como avaliação. Alguns, em especial, apresentam
aplicações interessantes, tais como o exercício 22, que apresenta uma discussão relacionada ao fluxo de trânsito em
uma área urbana de mão única; no exercício 25 se discute
o fluxo de atendimento em caixas bancários; o exercício 23
apresenta uma equação química balanceada (se necessário,
peça auxílio ao professor de Química) e o exercício 27, que
discute a quantidade de nutrientes em determinados alimentos em uma determinada receita. O exercício 26 apresenta um sistema para o qual os alunos deverão criar uma
situação que possa ser representada por ele, e os exercícios
28 e 29 podem ser usados como exemplos de situações de
aprofundamento, pois discutem a solução de sistemas homogêneos (sistemas nos quais todas as equações lineares
são iguais a zero).
Você pode finalizar o capítulo apresentando a Discussão
de um sistema linear 2 3 2 e n 3 n, com n . 2, a partir de
parâmetros propostos pelo problema, tomando como referência a classificação dos sistemas a partir do determinante. Use o exemplo apresentado no livro e determine os possíveis valores de cada parâmetro de acordo com o
determinante, considerando inicialmente a condição para
que ele seja um sistema possível e determinado, ou seja,
que o determinante seja não nulo. Em seguida, leve em
consideração o determinante nulo associado aos sistemas
impossíveis e possíveis e indeterminados, avalie o parâmetro restante, diferenciando as duas classificações. Os exercícios resolvidos 4 a 7 podem ser usados como exemplo, e
os exercícios 30 a 33, como atividade de fixação, em dupla.
Como aprofundamento, sugerimos a leitura da seção
Outros contextos que apresenta o tema Programação linear
e a otimização de funções abordando a otimização nutri-
cional e custo de uma dieta (conexão com Biologia) e pode
ser usada como referência para a execução de um trabalho
avaliativo. Sugerimos como material auxiliar o vídeo: Co-
mendo números, disponível no site Matemática Multimídia
da Unicamp: <http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1073>.
Acesso em: 5 fev. 2016.
As questões apresentadas na seção Pensando no Enem
abordam algumas aplicações de matrizes tais como a utilização da matriz GUT, que é uma ferramenta utilizada pelas
empresas no intuito de priorizar os problemas, e a questão
2, que trata de movimentos de figuras em um plano por
meio de operações com as matrizes.
Na seção Vestibulares de Norte a Sul são apresentadas
diversas situações que podem ser usadas como atividades
de avaliação e aprofundamento. Destacamos o exercício 2,
que trata de uma atividade agrícola, e o exercício 9, que
aborda o gerenciamento do tráfego aéreo.
Atividades complementares à Unidade 2
As atividades a seguir envolvem os conteúdos estudados nesta unidade e podem ser abordadas como mini-
projetos.
1. Embalagens, linhas aéreas, as matrizes e o seu ciclo de
trabalho
As matrizes são tabelas nas quais dispomos elementos
(números, letras, palavras, etc.) em linhas horizontais e
em colunas verticais. Em um mundo globalizado como
o nosso, em que a quantidade de informações cresce
rapidamente, podemos usar as matrizes para armazenar
e exibir, de modo bem organizado e de fácil leitura, mui-
tas informações. Se no dia a dia observarmos mais aten-
tamente ao nosso redor verificaremos diversas situações cujas matrizes se fazem presentes. Por exemplo,
nos rótulos de muitos produtos que compramos no
supermercado nos quais estão descritas as composições
químicas dos produtos; nos boletins escolares, em que
as notas das diversas disciplinas e o número de faltas
por bimestre são dispostos ao longo do boletim (que
nada mais é que uma tabela, ou seja, uma matriz); nos
jornais e revistas em que diariamente há dezenas de
tabelas com índices de reajustes de preços e de desenvolvimento de diversos países, números de estudantes
que tiveram acesso ao ensino superior ao longo de determinados anos, entre muitas outras situações. Enfim,
estamos cercados por situações em que as matrizes
estão presentes.
Uma situação que evidencia o poder de síntese da linguagem das matrizes é o tráfego aéreo existente entre
determinadas cidades. A figura a seguir ilustra parte
desse tráfego aéreo entre algumas cidades brasileiras:
Manual do Professor - Capítulo 5
327
São Luís
Fortaleza
aij =
{
1 , quando o vértice i está ligado ao vé
értice j
0, quando o vértice i não está ligado ao vértice j
Consideremos algumas capitais do Brasil como os vérNatal
Teresina
tices e as rotas aéreas que ligam os principais aeropor-
João Pessoa
tos dessas capitais, operados por certa empresa aérea,
como as arestas, conforme o grafo abaixo:
Recife
São Luís (9)
Fortaleza (8)
Maceió
Aracaju
Natal (1)
Teresina (7)
Salvador
João Pessoa (2)
Se entre duas cidades da figura apresentada há uma
linha ligando-as, significa que na prática existe voo
Recife (3)
direto operado por certa companhia aérea de uma
Maceió (4)
para outra e vice-versa. Assim, por exemplo, se
Aracaju (5)
constatarmos na figura uma linha de reta ligando as
cidades de Natal e Recife, significa que essa empresa
Salvador (6)
aérea tem voo direto de Natal para Recife e vice-versa.
Já as cidades de Natal e Maceió não são conectadas,
o que quer dizer que não existe voo direto de Natal
para Maceió pela companhia considerada, nem de
Maceió para Natal.
Podemos usar a linguagem das matrizes para resumir
todas as informações que podem ser obtidas a partir da
figura em questão. Para ilustrar esse processo consideremos um grafo, que, grosso modo, é um conjunto de
pontos chamados vértices, que podem ou não ser ligados por meio de segmentos chamados de arestas, conforme ilustra a figura abaixo:
A partir desse grafo podemos montar a seguinte matriz
de adjacência:
0
0
1
0
A = 0
0
0

1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
que resume todas as informações contidas na figura
apresentada, pois, quando um elemento aij dessa matriz
é igual a 1, significa que há voo direto, operado por esta
Banco de imagens/Arquivo da editora
empresa, da cidade i para a cidade j e vice-versa. Em um
estudo mais aprofundado, demonstra-se que as potências A2, A3, ... carregam outras informações interessantes
sobre o grafo original.
Agora, faça o que se pede:
a) Procure algumas matrizes presentes em embalagens
de alguns produtos que você costuma usar ou consumir no seu dia a dia. Transcreva essas matrizes e
identifique as suas ordens (seus tamanhos, isto é,
quantidade de linhas e de colunas).
Quando enumeramos os vértices de um grafo, podemos
b) O mapa a seguir ilustra as rotas efetuadas por outra
associar a ele uma matriz chamada de matriz de adja-
companhia aérea brasileira entre diversas cidades do
c•ncia do grafo (que de certa forma carrega muitas
nosso país e de alguns países vizinhos. Enumere as
informações sobre ele). Para um grafo com n vértices
cidades que aparecem no mapa, e a partir daí monte
(pontos), a matriz de adjacência é uma matriz n 3 n
um grafo que represente essas rotas aéreas e finalize
cujos elementos aij são definidos pela lei:
montando a matriz de adjacência desse grafo.
328
Manual do Professor
Brasília
La Paz
Belo
Horizonte
Campo
Grande
Capricórnio
Trópico de
OCEANO
PACÍFICO
Santiago
Vitória
Rio de Janeiro
Assunção Foz do
São Paulo
Iguaçu Curitiba
Corrientes
Florianópolis
Posadas
Córdoba
Porto Alegre
Santa Fé
Buenos
Aires
OCEANO
ATLÂNTICO
Montevidéu
ESCALA
0
670
1 340 km
Adaptado de: IBGE. Atlas geográfico escolar.
6. ed. Rio de Janeiro, 2012. p. 41.
c) O modelo que descrevemos para as rotas aéreas entre
algumas cidades também pode ser usado para descrever, por exemplo, as relações entre alunos de uma
turma. Imaginando os alunos da sua turma como os
pontos e que dois alunos são ligados por um traço, se
eles já fizeram trabalhos juntos, desenhe um grafo que
descreva essa relação e monte a sua matriz de adjacência. Neste modelo considere que cada pessoa faz
trabalho consigo mesma e em termos do grafo desenhe para cada uma das pessoas uma curva iniciando
nela e voltando para ela.
d) Pesquise outras características sobre o grafo que podem ser obtidas a partir das potências naturais da
matriz de adjacência de um grafo.
e) Explique por que a matriz de adjacência de um grafo
é uma matriz simétrica.
Resolução:
a) Podem ser encontradas tabelas que apresentam a
composição química em pacotes de alimentos em
geral, produtos de limpeza, entre outros.
b) Enumere as cidades a partir de uma cidade qualquer,
entre as existentes no mapa, e a partir daí monte uma
matriz n 3 n (em que n é o número de cidades) na
qual os seus elementos aij são dados por:
ade
1, quando a cidade i está ligada à cida
 j por uma linha aérea
aij 5 
0, quando a cidade i não está ligada à cidade
 j por uma linha aérea
A matriz que cada aluno irá obter depende dos números que ele atribuir inicialmente a cada cidade.
c) De posse da relação de todos os alunos da sua turma,
cada aluno deve ser representado por um ponto,
numerando-os e em seguida ligando os pontos em
Banco de imagens/Arquivo da editora
50º O
Cuiabá
que os dois alunos já fizeram trabalhos juntos. Os
alunos não podem esquecer de considerar que cada
pessoa sempre faz trabalho consigo mesma. Em
seguida, deve-se montar a matriz de adjacência desse grafo, seguindo a lei:
1, quando o aluno i já fez trabalhos
como aluno j
aij 5 
0, quando o aluno i não fez trabalhos
como aluno j
d) Uma propriedade interessante das potências naturais da matriz de adjacência de um grafo é que, por
exemplo, na matriz A2 (quadrado da matriz de adjacência), cada um dos seus elementos indicam o número de caminhos de comprimento 2 (isto é, uma
rota aérea com uma escala ligando duas determinadas cidades). Já na matriz A3, cada um dos seus
elementos indica o número de caminhos de comprimento 3 (isto é, uma rota aérea com duas escalas
ligando duas determinadas cidades) ligando duas
cidades e assim sucessivamente.
e) Na matriz de adjacência de um grafo sempre temos
aij 5 aji, pois se i está ligado com j, então j está ligado
com i ou i e j não são ligados entre si. Assim:
aij 5 aji 5 1 ou aij 2 aji 5 1
Assim, em uma matriz de adjacência sempre teremos
aij 5 aji, i, j, que é justamente a condição para que
A 5 At, ou seja, para que a matriz A seja simétrica.
2. Qual é o valor da minha conta? Use sistemas lineares!
Geralmente quando deparamos com sistemas de equações lineares, mesmo em situações práticas, sempre
preferimos que o número de equações e o número de
incógnitas que queremos determinar sejam os mesmos.
Esse é um hábito tão comum e tão cultivado na escola
que sempre que estamos diante de um problema, mesmo prático, cuja solução passe por um sistema de equações lineares, sempre nos esforçamos ao máximo para
ficarmos com uma mesma quantidade de equações e
incógnitas. Mas em algumas situações isso não é necessário, por exemplo na situação a seguir.
Imagine que três amigos, João, José e Maria, realizaram
uma compra em um determinado supermercado e que
as suas compras foram as seguintes:
João: 1 lanche, 2 maçãs e 3 sucos
José: 2 lanches, 3 maçãs e 1 suco
Maria: 2 lanches, 5 maçãs e 11 sucos
Sabendo que todos compraram produtos iguais e que os
valores pagos por João e por José foram respectivamente
R$ 13,00 e R$ 16,80, qual foi o valor pago por Maria?
Sendo l, m e s os preços individuais dos lanches, maçãs
e sucos, respectivamente, segue:
João → 1l 1 2m 1 3s 5 13
José → 2l 1 3m 1 1s 5 16,80
Manual do Professor - Capítulo 5
329
Maria → 2l 1 5m 1 11s 5 ?
b) Que condições devem satisfazer as quantidades de
Nesse caso temos um sistema com duas equações e três
lanches, maçãs e sucos compradas por Maria para
incógnitas: l 1 2m 1 3s 5 13
.
2l 1 3m 1 s 5 16,80
que possamos encontrar o total gasto por ela?
{
Evidentemente não temos como achar algebricamente
os valores de l, m e s individualmente. Então, como podemos obter o valor de 2l + 5m + 11s? Nesse caso, podemos
c) Escolha três entre os seus colegas de turma para si-
mular uma situação como essa em uma lanchonete,
ou seja, pesquisem os preços de três ou mais produtos
e simulem a compra desses produtos. Escolha dois
tentar “combinar” as equações do sistema para obter a
entre os três amigos para relatar as quantidades e
combinação.
quanto gastariam na compra dos respectivos produtos.
Para isso, multiplicamos a primeira equação por a e a
segunda equação por b:
A partir dessas informações, tente descobrir quanto
gastaria a terceira pessoa, sabendo apenas das quan-
al 1 2am 1 3as 5 13a
2bl 1 3bm 1 bs 5 16,80b

tidades de produtos que ela comprou. Discuta com
Adicionando as duas equações acima, obtemos:
gasto pela terceira pessoa ou explique a eles porque
seus colegas como você conseguiu descobrir o valor
(a 1 2b)l 1 (2a 1 3b)m 1 (3a 1 b)s 5 13a 1 16,80b
Mas, para obtermos o valor da conta de Maria, devemos
calcular 2l + 5m + 11s. Assim, igualando os respectivos
não é possível descobrir esse valor, se for o caso.
d) É possível fazer este procedimento com mais de três
pessoas?
coeficientes de l, m e s obtemos:
Resolução:
a 1 2b 5 2

2a 1 3b 5 5 ⇒ a 5 4 e b 5 21
3a 1 b 5 11
a) Não. Nem sempre conseguiremos encontrar o gasto
Nesse último sistema escolhemos duas das três equa-
ções (as duas primeiras, por exemplo), resolvemos o
sistema formado por estas duas equações e verificamos
se os valores encontrados para a e b também satisfazem
a terceira equação.
Assim, substituindo-se estes valores a 5 4 e b 5 21 na
equação: (a 1 2b)l 1 (2a 1 3b)m 1 (3a 1 b)s 5 13a 1 16,80b
Obtemos:
(4 1 2(21))l 1 (2 ? 4 1 3 ? (21))m 1 (3 ? 4 1 (21))s 5
5 13 ? 4 1 16,80 ? (21) ⇒ 2l 1 5m 1 11s 5 35,20
Assim, o valor pago por Maria foi de R$ 35,20.
referente às compras de Maria. Na verdade só conse-
guiremos encontrar o gasto referente às compras de
Maria quando as quantidades de lanches, maçãs e sucos
a 1 2b 5 l

compradas são tais que o sistema: 2a 1 3b 5 m
3a 1 b 5 s
tenha solução. Assim, por exemplo, se l 5 2, m 5 5 e
s 510 o sistema acima não teria solução.
b) Como dito no item anterior, para que possamos encontrar o gasto de Maria na compra de lanches, maçãs e sucos é preciso que estes números permitam
a 1 2b 5 l

que o sistema 2a 1 3b 5 m admita solução.
3a 1 b 5 s
Agora, faça o que se pede:
c) Resposta pessoal.
a) Na situação apresentada, quaisquer que fossem as
d) Sim, basta que a expressão que se queira encontrar
quantidades de lanches, maçãs e sucos compradas por
possa ser obtida a partir das equações dadas por um
Maria, nós poderíamos determinar o valor gasto por ela?
procedimento análogo ao descrito no texto.
Unidade 3 – Geometria plana e espacial
Capítulo 6 – Polígonos inscritos e áreas
Tópicos
Objetos de conhecimento (associados às
Matrizes de Referência para o Enem 2012)
Competência
Habilidade
Polígonos regulares inscritos
na circunferência
Conhecimentos geométricos: Características
das figuras geométricas planas, Circunferência
C2
H7/H8
Áreas: medidas de superfícies
Conhecimentos geométricos: Grandezas,
Unidades de medida, Áreas
C2/C3
H7/H8/H10/H12/H13/H14
330
Manual do Professor
Neste capítulo aprofundaremos alguns aspectos da Geometria plana com o intuito de preparar os alunos para o
estudo da Geometria espacial.
A imagem de abertura do capítulo visa instigar os alunos. Incentive-os a desenvolver estratégias para comparar
as áreas. Essa situação será retomada posteriormente e
ajudará na compreensão dos conceitos a serem estudados.
Antes de abordar o tópico Polígonos regulares inscritos
na circunferência você pode fazer com os alunos uma lista
com todos os polígonos que eles lembrarem, destacando as
características de cada um deles. Posteriormente, eles deverão
classificar esses polígonos em regulares ou não. Aproveite
para mostrar que todas as figuras planas regulares possuem
uma circunferência que tangencia seus vértices, definindo
também o apótema (segmento com extremidades no centro
da circunferência circunscrita e no ponto médio do lado do
polígono regular). Peça aos alunos que identifiquem os apótemas nas figuras regulares que eles citaram anteriormente.
Você pode apresentar o Cálculo da medida do lado e do
apótema de um polígono regular em função do raio da circunferência para o quadrado, o hexágono regular e o triângulo equilátero, resolvendo os exercícios 1 a 4 como atividade de fixação.
Uma vez que os polígonos regulares estão associados à
circunferência, é importante recordar o cálculo do comprimento da circunferência e do comprimento do arco, fazendo os exercícios 5 a 7 e 11 como atividade de fixação e os
exercícios 8 a 10 e 12 como atividade de aprofundamento
ou avaliação.
Inicie uma discussão sobre a área das regiões desmatadas que aparecem na imagem de abertura do capítulo, fazendo comparações com essas regiões e figuras geométricas. Discuta também sobre como é possível medir a área
superficial de um lago. Para isso, utilize a fotografia do lago
Caracaranã para introduzir o tópico Áreas: medidas de
superfícies, apresentando a ideia intuitiva de área e a região
quadrada unitária como referência de medida. Represente
regiões limitadas pelas figuras geométricas citadas (qua-
drado, retângulo, paralelogramo, triângulo, trapézio, losango e hexágono regular), discutindo com os alunos as fórmulas usadas para calcular a área de cada uma delas. No caso
específico do triângulo, destaque as diferentes opções de
cálculo, dependendo das informações contidas na figura
(base e altura, ângulo e lados adjacentes, perímetro). Finalize apresentando o cálculo da área de uma região limitada
por um polígono regular, utilizada em situações em que o
apótema é explicitado. O exercício resolvido 6 é um exemplo
de situação em que se faz necessária a determinação de
áreas. Os exercícios 13 a 22 podem ser usados como atividade de fixação e os exercícios 23 a 30 como atividade de aprofundamento ou avaliação.
Apresente a Área do círculo e a Área do setor circular
por meio dos exercícios 31 e 32 como atividade de fixação,
e os exercícios 33 a 39 como atividade de aprofundamento (estes podem ser feitos em duplas).
Em A área do círculo e o número p é apresentado o problema 50 do papiro de Rhind, que envolve o cálculo da área
de um campo circular, o método de resolução utilizado no
antigo Egito, se aplicado à obtenção da área de outros círculos, não confere a mesma precisão do exemplo apresentado. No mesmo texto é trabalhado como se deu a busca
por aproximações cada vez melhores do número p. O exercício 40 é um exemplo em que se deve efetuar o Cálculo
aproximado de áreas.
Para discutir a Razão entre áreas de polígonos semelhantes, apresente o enunciado do exercício resolvido 9 e pergunte aos alunos qual seria a solução. Direcione a discussão
apresentando desenhos das figuras semelhantes, fazendo
com que eles determinem a resolução em conjunto, destacando que a razão de semelhança k aparece ao quadrado
no caso do cálculo de áreas e, ao cubo, no caso de proporções
entre volumes.
Complemente com os exercícios resolvidos 10 e 11, em
que são apresentadas outras situações envolvendo proporção entre áreas, usando os exercícios 41 a 49 como atividade
de fixação.
Cap’tulo 7 – Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva
Tópicos
Objetos de conhecimento (associados às
Matrizes de Referência para o Enem 2012)
Competência
Habilidade
Geometria de posição no plano
–
–
–
Posições relativas: ponto e reta;
ponto e plano
–
–
–
Posições relativas de pontos no espaço
–
–
–
Posições relativas de duas retas distintas
no espaço
Conhecimentos geométricos: Posições de retas
C2
H7/H8
Manual do Professor - Capítulo 7
331
Determinação de um plano
–
–
–
Posições relativas de dois planos distintos
no espaço
–
–
–
Posições relativas de uma reta e um plano
–
–
–
Paralelismo no espaço
–
–
–
Perpendicularismo no espaço
–
–
–
Projeção ortogonal
–
–
–
Distâncias
–
–
–
Banco de imagens/
Arquivo da editora
O estudo da Geometria espacial de posição: uma abordagem intuitiva tem como objetivo ajudar a desenvolver
as habilidades relacionadas à Geometria plana e espacial,
reduzindo as dificuldades encontradas pelos alunos na
observação e identificação de elementos e estruturas
tridimensionais.
Inicie o estudo conversando com os alunos a respeito da
imagem que abre o capítulo. Trata-se de uma construção
que surpreende pelo enorme vão livre de concreto e que
apresenta forma geométrica espacial facilmente identificável pelos alunos. Solicite aos alunos que pesquisem e apresentem outras imagens de diferentes construções. A partir
dessas imagens discuta a importância da Geometria na
Arquitetura e promova uma discussão sobre posições relativas de pontos e retas no mesmo plano, destacando a:
• relação entre ponto e reta: ponto pertence ou não pertence a uma reta;
• relação entre pontos: pontos colineares ou não colineares;
• relação entre retas de um plano: retas paralelas, concorrentes, coincidentes e perpendiculares, destacando que a
classificação é válida apenas para posições relativas entre
pontos e retas no mesmo plano, usando como exemplo a
figura sugerida a seguir.
Para analisar situações envolvendo figuras tridimensionais será necessário estudar outras posições relativas, tais
como Posições relativas: ponto e reta; ponto e plano usando as figuras sugeridas no livro como referência para a discussão das relações de pertinência acima. Em seguida, discuta as Posições relativas de pontos no espaço (colineares
332
Manual do Professor
ou não, coplanares ou não), usando os exercícios 1 e 2 como
atividade de fixação. Complemente solicitando aos alunos
que identifiquem pontos nas condições estudadas nas imagens apresentadas por eles no início da aula.
Você pode apresentar então a imagem do paralelepípedo
proposto no livro-texto para apresentar as Posições relativas
de duas retas distintas no espaço, solicitando aos alunos que
identifiquem as arestas e as faces da figura. Discuta as diferenças entre aresta e reta, face e plano, definindo para o modelo de estudo que arestas representarão retas, faces que representam planos, e vértices que representam pontos no
espaço tridimensional. Dessa forma, pode-se estudar as posições relativas de retas distintas no espaço, definindo as retas
coplanares, paralelas, concorrentes e reversas, solicitando aos
alunos que identifiquem cada uma delas no paralelepípedo
usado como referência. Construa um quadro-resumo ao final
da discussão. Proponha o exercício 3 como atividade de fixação.
Discuta com seus alunos as condições necessárias para
a Determinação de um plano, apresentadas no quadro-resumo do livro e propondo o exercício 4 como referência.
Novamente, use a figura do paralelepípedo para apresentar
as Posições relativas de dois planos distintos no espaço (paralelos distintos, secantes ou concorrentes e coincidentes)
e aplique os exercícios 5 a 7 como atividade de fixação.
Para apresentar as Posições relativas de uma reta e um
plano também use o paralelepípedo como referência e represente nele as situações em que a reta é paralela, está contida
e intersecta o plano de referência. Solicite aos alunos que
refaçam as condições apresentadas usando o livro e uma
caneta como referências de plano e reta, respectivamente.
Proponha os exercícios 8 e 9 como atividade de fixação e os
exercícios 10 e 11 como atividades de aprofundamento e avaliação (neste caso, podem ser aplicados em dupla).
Retome as situações que representam Paralelismo no
espaço, selecionando as condições de paralelismo entre retas, planos e reta e plano, usando o exercício 12 como atividade de fixação. Em seguida, apresente as condições de
Perpendicularismo no espaço, solicitando aos alunos que
identifiquem as situações apresentadas usando uma caixa
de sapatos. Discuta as características de uma reta e plano
perpendiculares, comparando com construções, tais como
prédios comuns e a Torre de Pisa na Itália. Analise com os
alunos o exercício resolvido 1, que aborda o caminhar de
uma formiga por um prisma. Os exercícios 13 e 14 são atividades de fixação. Repita o procedimento para discutir as
condições para se obter planos perpendiculares, usando a
abertura de livros e notebooks como exemplos. O exercício
15 é uma atividade de fixação.
Na seção Outros contextos são apresentados O universo mágico das dimensões e as Figuras em 4D, como uma
excelente fonte de conexão com um tema relativamente
desconhecido e abstrato, porém muito interessante. Para
o bom desenvolvimento das atividades e explanação sobre
o tema é de essencial importância estudar as sugestões
do Veja mais sobre o assunto e também consultar outras
fontes de pesquisa.
Apresente o conceito de Projeção ortogonal usando as
sombras como exemplo, discutindo as condições necessárias
para comparar uma sombra a uma projeção ortogonal e
resolvendo os exercícios 16 e 17 como atividade de fixação.
Sugerimos uma atividade na quadra para discutir o tema
Distâncias. Solicite aos alunos que tragam diversos instru-
mentos de medida (trena, régua, esquadro, fita métrica,
barbante, entre outros). Divida a sala em grupos e use a
quadra (ou até mesmo a sala de aula) como ambiente onde
os grupos deverão destacar pontos, retas e planos (oriente
e auxilie os alunos sempre que necessário) e determinar as
distâncias entre:
• dois pontos;
• um ponto e uma reta;
• um ponto e um plano;
• duas retas distintas e paralelas;
• reta e plano (quando a reta é paralela ao plano e não está
contida nele);
• dois planos distintos e paralelos;
• duas retas reversas.
A atividade deverá ser registrada pelo grupo fazendo a
representação gráfica do local usado para as medições. Ela pode
ser usada como avaliação, em conjunto com o exercício 18.
Na seção Um pouco mais... apresentamos como assun-
to opcional O método dedutivo: algumas demonstrações,
em que são apresentados alguns postulados e teoremas
discutidos intuitivamente ao longo do capítulo. O conteúdo dessa seção pode ser usado como atividade de apro-
fundamento.
Cap’tulo 8 – Poliedros: prismas e pirâmides
Tópicos
Objetos de conhecimento (associados às Matrizes de
Referência para o Enem 2012)
Competência
Habilidade
Conhecimentos geométricos:
Características das figuras geométricas espaciais
C2
H7/H8/H9
Conhecimentos geométricos:
Grandezas, Unidades de medida, Volume
C2/C3
H7/H8/H10/H12/
H13/H14
Conhecimentos geométricos:
Características das figuras geométricas espaciais
C2
H7/H8/H9
Poliedros
Relação de Euler
Poliedros regulares
Prismas
Ideia intuitiva de volume
Princípio de Cavalieri
Volume do prisma
Pirâmides
Dando continuidade ao desenvolvimento das habilidades relacionadas à observação e à identificação de elementos e estruturas tridimensionais, iniciaremos o estudo dos
Poliedros: prismas e pirâmides, observando figuras presentes em nosso cotidiano, desde a estrutura de prédios, como
os que aparecem na imagem que abre o capítulo, até os mais
diversos tipos de embalagens e objetos.
Iniciamos apresentando algumas formas caracterizadas
como Poliedros, destacando suas principais características e
identificando seus vértices, faces e arestas, usando como exemplo uma folha de papel. Em seguida, resolva o exercício 1 como
atividade de fixação. Para definir Poliedro convexo e poliedro
não convexo, convém discutir inicialmente a definição de região
convexa e região não convexa, extrapolando a mesma para os
Manual do Professor - Capítulo 8
333
poliedros, fazendo uso de desenhos para auxiliar na compreensão, e resolvendo o exercício 2 como atividade de fixação.
Destaque que os estudos dos poliedros se concentrarão nos
poliedros convexos, sendo desnecessária a classificação a partir de então.
O trabalho com a Relação de Euler ajuda a desenvolver
a abstração e a estabelecer correlações e padrões. Ele pode
ser feito organizando em uma tabela o número de faces,
vértices e arestas de vários poliedros e adicionando uma
coluna extra para o cálculo da relação de Euler. Em seguida,
trabalhe os exercícios resolvidos, em especial o exercício
resolvido 2, que apresenta um dos poliedros descobertos
por Arquimedes e que inspirou a fabricação da bola de futebol. Os exercícios 3 a 5 podem ser usados como atividade
de fixação e os exercícios 6 a 8 como atividade de aprofundamento ou avaliação.
Em Uma aplicação da relação de Euler está descrita uma
valiosa contribuição histórica e uma oportunidade de conexão com a Cartografia.
A discussão sobre Poliedros regulares pode ser iniciada
recordando o conceito de polígonos regulares e extrapolando para as figuras espaciais. Apresente os poliedros
regulares convexos (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro
e icosaedro) avaliando as planificações e as estruturas tridimensionais resultantes. Sugerimos que seja feita uma
atividade em grupo em que os alunos deverão, a partir das
planificações dos poliedros regulares convexos, construir
as figuras e resolver o exercício 9, completando o quadro
a partir das construções realizadas. Aproveite para apresentar as diferenças existentes entre os poliedros regulares
e os poliedros de Platão, abordando o texto da seção Leitura, Platão e seus poliedros, disponível ao final do capítulo,
e o texto Poliedros arquimedianos, no final do tópico Prismas; este, além de apresentar um panorama histórico em
torno de Arquimedes, traz a representação gráfica dos 13
poliedros arquimedianos.
Uma vez compreendidos os conceitos iniciais de Poliedros, podemos apresentar os Prismas, destacando entre suas
características a presença da dupla de faces paralelas e
opostas. Apresente e discuta as principais características,
similaridades e diferenças entre os paralelepípedos e prismas retos, orientando os alunos na construção dos prismas
retos mais comuns (base triangular, base pentagonal, base
hexagonal, paralelepípedo retângulo e cubo) identificando
os formatos das faces laterais e bases, e determinando as
diagonais (no paralelepípedo retângulo e cubo). Levando-se
em consideração que os alunos podem ter dificuldade no
aprendizado do assunto por conta da falta de visão espacial,
a construção das figuras a partir da planificação pode ser
uma ferramenta extremamente eficaz que auxilia tanto na
melhoria da percepção espacial quanto na identificação das
faces. Os exercícios 10 a 12 devem ser usados como atividade
334
Manual do Professor
de fixação, e o exercício 13 pode ser resolvido pelo professor,
como exemplo de aprofundamento.
Na sequência, determine a área da superfície de um
prisma, distinguindo a área da superfície lateral da área da
superfície total, usando as planificações como ferramenta
auxiliar na identificação das superfícies, e propondo os exercícios resolvidos 3 e 4 como exemplo. Os exercícios 14 a 16
podem ser usados como atividade de fixação, e os exercícios
17 a 26 podem ser resolvidos como aprofundamento ou atividade avaliativa.
Você pode apresentar a Ideia intuitiva de volume usando o cubo como referência e extrapolando para a determinação do volume de um paralelepípedo. Sugerimos como
atividade o uso das peças do material dourado (ou de pequenos cubos, se houver disponível) para a construção de
um paralelepípedo, fazendo a contagem dos cubos para a
determinação do volume total, relacionando a contagem
com as dimensões da figura construída. Analisem os exercícios resolvidos de 5 a 7, destacando o exercício resolvido 7,
que aborda uma situação envolvendo o tempo que uma
torneira leva para completar um reservatório de leite, que
já tem uma parte preenchida, após a torneira ficar ligada
por 8 minutos. Complemente com os exercícios 27 a 31 como
atividade de fixação, e os exercícios 32 a 34 como aprofundamento e avaliação.
Em seguida vem a determinação da fórmula do volume
do prisma (obtida a partir do Princípio de Cavalieri), analisando-se os exercícios resolvidos 8 e 9 como exemplo, e os
exercícios 35 a 37 como atividade de fixação. Os exercícios
38 a 44 são atividades de aprofundamento, destacando-se
o exercício 44, em que se pede para determinar o volume
de água necessário para encher uma piscina com formato
de prisma cujas bases estão representadas no desenho
como as faces laterais. É um bom exemplo de situação onde
se deve observar cuidadosamente a figura para identificar
os elementos-chave do problema.
As Pirâmides são poliedros com características diferentes dos prismas, por não terem faces paralelas nem faces
laterais retangulares, e sim uma base e um vértice, formando faces laterais triangulares. Novamente, a visualização
é extremamente importante; portanto, construa com seus
alunos pirâmides com as mais diversas bases, não esquecendo de destacar as pirâmides regulares e o tetraedro
regular, identificando nas planificações e no objeto
tridimensional os elementos relacionados à base e suas
faces laterais. Uma vez que pode ocorrer confusão na identificação das alturas, use o objeto tridimensional para
identificar e diferenciar a altura da pirâmide do apótema
da mesma (altura das faces laterais). O exercício resolvido
10 também pode ajudar na identificação dos elementos
da pirâmide e no cálculo das áreas lateral e total. Aplique
os exercícios 45 a 47 como atividade de fixação, os exercícios
48 a 50 como atividade para aprofundamento e o exercício
51 como atividade em dupla.
Você pode apresentar então o cálculo do Volume da
pirâmide fazendo a demonstração sugerida no livro se
achar necessário e usando os exercícios resolvidos 11 a 13
como exemplo, seguidos dos exercícios 52 a 57 como atividade de fixação.
Para introdução do tema Tronco de pirâmide, aborde o
exercício resolvido 14, que trabalha com secções transversais e proporção, servindo como referência para os exercícios 58 a 60.
Use como referência as figuras geradas a partir da secção
da pirâmide para iniciar a discussão sobre tronco de pirâmide, apresentando os principais elementos dessa figura, bem
como os procedimentos para determinar seu volume, usando os exercícios resolvidos 15 e 16 como exemplo e os exercícios 61 a 64 como atividade de fixação.
Atividades complementares à Unidade 3
As atividades a seguir complementam os assuntos estudados na unidade e representam um momento de aprofundamento, de interdisciplinaridade e de contextualização.
Esta primeira atividade deve ser realizada em trios e visa
levar os alunos a conjecturarem.
1. Considerem os prismas de base triangular, quadrangular
e pentagonal. Cada aluno do trio deve escolher um dos
poliedros e contar o número de vértices, de arestas e de
faces. Despois disso, façam o que se pede em cada item
a seguir.
a) Juntem os resultados e preencham uma única tabela,
relacionando os valores obtidos com o número de
lados da base de cada prisma. Sugestão de tabela:
prisma
lados da base
vértices
arestas
faces
d) Vamos demonstrar essa conjectura? Só a demonstração valida uma conjectura, por mais que estejamos
convencidos de que ela é verdadeira. Dica: lembre-se
de que um polígono de n lados tem n vértices.
Resolução:
a)
prisma
lados da base
vértices
arestas
faces
triangular
3
6
9
5
quadrangular
4
8
12
6
pentagonal
5
10
15
7
b) Os alunos devem perceber que o número de vértices
é o dobro do número de lados da base, o número de
arestas é o triplo do número de lados da base e o número de faces é 2 unidades maior do que o número
de lados da base.
c) Se os alunos chegaram ao esperado: funciona, pois o
prisma hexagonal tem 6 lados na base, 12 vértices, 18
arestas e 8 faces.
d) Se n é o número de lados da base, cada base tem n
vértices. Como são duas as bases do prisma, o prisma
tem 2n vértices. Assim, V 5 2n. Cada base tem n lados.
No prisma, esses lados são arestas da base, então temos 2n arestas da base. Além disso, cada um dos n
vértices de uma base se conecta a um vértice da outra
base por meio de uma aresta lateral. Com isso, temos
mais n arestas, totalizando 3n arestas. Assim, A 5 3n.
Conhecendo-se V e A, podemos demonstrar F a partir
da relação de Euler: V 2 A 1 F 5 2 ⇒ 2n 2 3n 1 F 5 2 ⇒
⇒F2n52⇒F5n12
2. Monumentos da Antiguidade e seus reis
b) Observe a tabela e tentem relacionar os dados obtidos
(vértices, arestas e faces) com o número de lados da
base, conjecturando regras que possam ser válidas
para qualquer prisma. Queremos três conjecturas:
uma relacionando o número de vértices com o número de lados da base, outra relacionando o número de
arestas com o número de lados da base e a última
relacionando o número de faces com o número de
lados da base.
c) Será que estamos no caminho certo? Testem as conjecturas com o prisma hexagonal. Se forem válidas, é
um ótimo sinal. Se falharem, voltem à etapa anterior
e elaborem novas conjecturas.
No decorrer dos séculos muitas foram as construções erguidas pelo ser humano. Os egípcios e os maias deixaram
construções que venceram o tempo e até hoje nos espantam pela sua beleza, regularidade e complexidade de construção. As pirâmides egípcias são um belo exemplo disso.
Através das várias dinastias que existiram, as construções
foram se modificando e ficando cada vez mais belas e
elaboradas.
Vejamos como evoluíram as pirâmides, que eram os túmulos
dos faraós. Vale ressaltar que alguns egiptólogos discordam
das datas exatas de início e término das dinastias.
A partir do início da I dinastia (c. 2920 a 2770 a.C.), os
faraós eram enterrados em estruturas formadas por câmaras funerárias abaixo da superfície da terra, sobrepostas
Manual do Professor - Capítulo 8
335
Ao longo da IV dinastia (c. 2575 a 2465 a. C.), o poder dos
por enormes estruturas de “adobe”, que significa “tijolo cru”.
Atualmente são conhecidas por “mastabas”. Veja a fotografia a seguir.
reis aumentou, o que ficou bem claro pelas obras erguidas
durante aquele período, no qual a construção de pirâmiJon Bodsworth/Wikimedia Commons
des atingiu seu apogeu. O ponto máximo do desenvolvimento das obras ou construções pode ser observado na
Grande Pirâmide ou pirâmide de Quéops. Essa estrutura,
que domina o planalto de Gizé, um pouco ao norte de
Mênfis, a oeste do Nilo, permanece como uma das mais
notáveis construções jamais erguidas pelo homem. Na
fotografia abaixo vemos a pirâmide de Miquerinos, a de
Mastaba de Shepseskaf.
No subterrâneo das tumbas, ou túmulos, existiam muitas
câmaras destinadas aos deuses funerários não tão importantes quanto o faraó. Esses túmulos eram muito
procurados por ladrões, fato que levou à evolução de sua
estrutura.
Sobre as tumbas dos que reinaram durante a II dinastia
(c. 2770 a 2649 a.C.), foi erguido o templo funerário de
Wenis (c. 2356 a 2323 a.C.), que reinou durante a V dinastia,
a menos de duas tumbas dos dois últimos reis daquela
dinastia, Peribsen e Khasekhemwy, que estão enterrados
em Saqqara.
LatitudeStock/Alamy/Glow Images
Durante a III dinastia (c. 2649 a 2575 a.C.) houve o faraó
Djoser (c. 2630 a 2611 a.C.) e seu arquiteto Imhotep, que construíram um notável monumento, a pirâmide de degraus de
Saqqara, que podemos observar na fotografia a seguir, cercada por muros que reservam muitas construções, como dois
cemitérios com vários túmulos importantes do que chamamos Período Dinástico Primitivo (c. 2920 a 2575 a.C.).
André Klaassen/Shutterstock/Glow Images
Quéfren e a de Quéops.
Pirâmides de Gizé.
A quantidade de pedra talhada que foi usada para erguer
a pirâmide de Quéops não pode ser computada com
exatidão, pois o centro de seu interior consiste de um
núcleo de rochas cujo tamanho não pode ser determinado com precisão. Todavia, estima-se que quando pron-
ta e intacta devia ser formada por dois milhões e 300
mil blocos de pedra, cada um pesando em média duas
toneladas e meia, sendo que os maiores deles pesavam
15 toneladas. O peso total do monumento tem sido ava-
liado em 5 273 834 toneladas. Sua parte interna foi ergui-
da com a rocha de qualidade inferior que se encontra
normalmente naquelas vizinhanças e todo seu revestimento foi feito com a pedra calcária branca de excelente
qualidade da região de Tura, localidade perto do Cairo. A
altura original da pirâmide de Quéops era de 146 metros
e atualmente mede 137 metros, pois nove metros de seu
topo se perderam com o tempo.
Os lados da base da pirâmide medem aproximadamente
230 metros cada um e os ângulos entre eles são retos,
quase perfeitos. As quatro faces da pirâmide se inclinam
Pirâmide de degraus.
336
Manual do Professor
em um ângulo de cerca de 51852’ em relação ao solo.
d) V0 5
continuaram a ser erguidas, algumas em Abusir (Abusir é
V1 5 1 ? 2302 ? 137 5 2 415 766 m3
3
o nome dado a um sítio arqueológico do Egito nas redondezas da capital, Cairo) e outras em Saqqara, mas todas
muito menores do que as grandes estruturas de Gizé, po-
rém, elas foram grandemente qualificadas, decoradas e
muito bem pintadas, e ainda mais, com variações.
Fonte: O fascínio do antigo Egito. Disponível em:
<www.fascinioegito.sh06.com/faranome.htm>.
Acesso em: 10 maio 2016.
1
? 2302 ? 146 5 2 574 446 m3
3
2 574 446 2 2 415 766 5 158 680 m3
e) Sendo , a medida do lado, temos:
1
? ,2 ? 143 ⇒ , 5 232,4 m
3
f) Do texto obtemos que a altura atual é de 137 m e o
2 574 446 5
lado mede 230 m. Podemos, então, calcular o apótema
lateral (g) da pirâmide. Veja a figura abaixo:
Agora que você leu um pouco mais sobre o antigo
V
Egito, faça o que se pede com a ajuda de dois ou três
V
colegas:
Banco de imagens/Arquivo da editora
Durante a V dinastia (c. 2465 a 2323 a.C.) as pirâmides
a) De acordo com o texto, façam uma relação das datas
das cinco primeiras dinastias.
b) Quantos anos durou cada uma das cinco primeiras
dinastias?
c) Façam um gráfico de setores representando o tempo
g
h
g
137
C
D
O
230
de duração de cada uma das cinco primeiras dinas-
A
m
M
B
O
115
M
tias. Os valores podem ser arredondados e, se for o
g2 5 1372 1 1152 ⇒ g 5 178,9
caso, usem uma calculadora.
Arredondando esse valor para 179 m, a área lateral será:
d) Percebam no texto que a altura original e a atual são
diferentes. Em seguida, calculem a diferença de volume que isso significa.
179
5 82 340
2
Assim, a área da lona deveria ser de 82 340 m2.
4 ? 230 ?
e) Mostrem que, ao saber que a pirâmide de Quéfren
A complementação desta unidade também pode ser fei-
tem 143 metros de altura, quantos metros de lado ela
ta por meio de uma atividade prática: a construção de um
deveria ter para que os volumes dela e da pirâmide
sólido geométrico. Esse tipo de atividade ajuda a tornar a aula
original de Quéops sejam iguais?
mais atraente, diversificada, ilustrada e, consequentemente,
f) Se vocês tivessem de cobrir a pirâmide de Quéops
com uma lona, qual deveria ser a área dessa lona?
mais produtiva.
A construção de um material concreto, junto com a sua
Resoluções:
utilização, tem por objetivo cristalizar o conteúdo aprendido
a) I. 2920 a 2770 a.C.
em sala de aula. Tem também como ponto importante tornar
II. 2770 a 2649 a.C.
a Matemática mais significativa para o aluno, contextuali-
zando e relacionando a teoria com a prática.
III. 2649 a 2575 a.C.
Um programa que pode ser utilizado como apoio é o Poly
IV. 2575 a 2465 a.C.
Pro <www.peda.com/polypro/>, que fornece a opção de usar
V. 2465 a 2323 a.C.
b) I. 150 anos; II. l21 anos; III. 74 anos; IV. 110 anos e
V. 142 anos
a versão demonstração sem efetuar o registro. Esse programa
apresenta mais de uma centena de sólidos geométricos e em
todos eles é possível rotacionar, planificar, mudar cores, etc.
I
III
IV
V
Reprodução/Poly Pro/Pedagoguery Software Inc.
II
A utilização do programa é bem simples e intuitiva.
Banco de imagens/Arquivo da editora
c) I. 25%; II. 20%; III. 13,5%; IV. 18% e V. 23,5%
Manual do Professor - Capítulo 8
337
Ilustrações: Reprodução/Poly Pro/Pedagoguery Software Inc.
Os alunos devem formar duplas e escolherem um dos
poliedros regulares (tetraedro, hexaedro, octaedro,
dodecaedro e icosaedro) para construírem. Essa construção
pode ser feita em casa utilizando-se os mais diversos materiais: cartolinas, canudos, palitos de churrasco, madeira,
etc. Deixe que os alunos tenham liberdade para usar a
imaginação na realização do trabalho. Os poliedros regu-
lares são mais fáceis de serem construídos, pois são formados por polígonos regulares, mas se achar interessante
pode ser solicitado aos alunos à construção de outros sólidos além dos regulares. O programa Poly Pro apresenta
outras opções.
Na data estipulada para entrega, peça a cada dupla que
faça uma breve explanação sobre o sólido escolhido: falar
sobre o material utilizado, o número de faces, número de
vértices, número de arestas, mostrar a veracidade da relação
de Euler (no caso de poliedros), etc.
Unidade 4 – Análise combinatória e probabilidade
Capítulo 9 – Análise combinatória
Objetos de conhecimento (associados às
Matrizes de Referência para o Enem 2012)
Competência
Habilidade
Conhecimentos numéricos:
Princípios de contagem
C1
H2/H3/H4/H5
Números binomiais
–
–
–
Triângulo de Pascal ou triângulo
aritmético
–
–
–
Binômio de Newton
–
–
–
Tópicos
Princípio da multiplicação ou
princípio fundamental da contagem
Permutações simples e fatorial de
um número
Permutações com repetição
Arranjos simples
Combinações simples
Problemas que envolvem os vários
tipos de agrupamentos
338
Manual do Professor
Para abrir um cadeado, basta conhecer a combinação,
que pode ser de letras, de números, de caracteres, ou,
e dos exercícios 22 a 24 como atividade de aprofundamento e avaliação.
mesmo, de números, letras e caracteres. A segurança do
Destaque que as situações trabalhadas até então en-
cadeado está no fato de existir, em meio a inúmeras pos-
volvem problemas em que há “espaço” para todos os en-
sibilidades, apenas uma combinação que permite abri-lo.
volvidos, caracterizadas pelas permutações. Nas situações
Quantificar essas possibilidades e outros eventos, como
seguintes, uma das características é o fato de não haver
possibilidades de cardápio em um restaurante, rotas aé-
mais “espaço” para todos os elementos do problema. Use
reas, sorteios possíveis em uma determinada loteria, en-
o exercício resolvido 8 como exemplo para explicar os Ar-
tre outros, é tarefa que pode ser executada com o auxílio
ranjos simples, montando a árvore de possiblidades e usan-
da Análise combinatória, objeto de estudo do capítulo e
do o Princípio Fundamental da Contagem. Apresente tam-
que permite ao aluno aprimorar a percepção de seme-
bém a situação proposta no exercício resolvido 9,
lhanças e diferenças entre diversas situações-problema,
apresentando então a fórmula para o cálculo dos arranjos
auxiliando na interpretação de textos e desenvolvendo o
simples e usando os exercícios 25 e 26 como atividade de
raciocínio lógico matemático.
fixação. Analise com os alunos os exercícios resolvidos de
Você pode iniciar o trabalho com esse assunto conversando com os alunos sobre diferentes técnicas de conta-
10 a 17, pois serão importantes na resolução dos exercícios
de 27 a 37.
gem, apresente o exemplo sugerido na abertura do capí-
A situação envolvendo formação de grupos de pes-
tulo e, em seguida, a situação-problema envolvendo as
soas visa exemplificar os problemas envolvendo Combi-
possíveis rotas para uma viagem de Recife a Porto Alegre,
nações simples, destacando as semelhanças e diferenças
passando por São Paulo, introduzindo assim o Princípio da
entre as situações envolvendo arranjos estudadas ante-
multiplicação ou princípio fundamental da contagem e
riormente, apresentando a fórmula e a propriedade da
apresentando a árvore de possibilidades. Complemente
igualdade de combinações complementares. O exercício
com os exemplos sobre o lançamento da moeda, cardápio
resolvido 18 é referência para o exercício 38; o exercício
do restaurante e formação de números com vários alga-
resolvido 21 apresenta uma discussão interessante a res-
rismos, resolvendo os exercícios 1 a 6 como atividade de
peito do número de apertos de mão dados em um grupo
fixação e exercícios 7 a 9 como atividade de aprofunda-
e, juntamente com os exercícios resolvidos 19 a 25, apre-
mento e avaliação em dupla.
sentam situações diversas que devem ser apresentadas e
Aproveite os exercícios resolvidos 1 e 2 para discutir as
discutidas para que os alunos percebam, avaliem e anali-
situações envolvendo Permutações simples e fatorial de um
sem as principais características das combinações. Em
número, destaque o significado da palavra permutar (trocar),
seguida devem resolver os exercícios 39 a 46 para fixação
que está diretamente associado à situação avaliada. É im-
do conteúdo. Os exercícios 47 a 49 podem ser usados como
portante que o aluno perceba que enunciados diferentes
aprofundamento e os exercícios 50 a 53 como atividade
podem propor situações similares; sempre que a situação
avaliativa em dupla.
envolver trocas de posição, teremos um problema relacio-
Com o objetivo de auxiliar os alunos na interpretação
nado a permutações. O momento também é propício para
dos problemas e identificação das situações propostas,
introduzir o conceito de Fatorial de um número e fixar o
apresentamos Problemas que envolvem os vários tipos de
conteúdo com os exercícios 10 e 11.
agrupamentos. Os exercícios resolvidos 26 a 29 podem ser
Uma aplicação comum relacionada a permutações e
abordados como revisão e destaque das principais carac-
fatoriais é o cálculo da quantidade de anagramas de uma
terísticas de cada situação estudada, e os exercícios 54 a 65
palavra, que pode ser exemplificado usando os exercícios
devem ser usados como atividade de revisão e aprofunda-
resolvidos 3 e 5, seguidos da resolução dos exercícios 12 a 17
mento em dupla.
como atividade de fixação e dos exercícios 18 e 19, em dupla,
como atividade de aprofundamento e avaliação.
Um dos pontos altos do capítulo são as abordagens
históricas apresentadas em Alguns problemas de contagem
Uma sequência natural do tema é trabalhar as Permu-
e As 7 pontes de Königsberg, pois dessas pode-se originar
tações com repetição, usando os anagramas com letras
diversas atividades a serem realizadas em classe ou como
iguais como exemplo, tal como nos exercícios resolvidos 6
pesquisas externas, relacionadas a sutras hindus, hexagra-
e 7, seguidos dos exercícios 20 e 21 como atividade de fixação
mas chineses e teoria dos grafos.
Manual do Professor - Capítulo 9
339
O conceito de Números binomiais pode ser iniciado
Destaque que a principal aplicação dos números bino-
por meio de exemplos para que os alunos percebam a
miais e do Triângulo de Pascal se apresenta na determinação
propriedade da igualdade quando suas classes forem
dos coeficientes do Binômio de Newton, estudados no En-
iguais e binômios complementares, bem como as condi-
sino Fundamental em sua forma mais simples, com ex-
ções para que eles sejam unitários ou iguais ao numera-
poentes de baixo índice. No entanto, em casos em que o
dor, usando o exercício 66 como atividade de fixação.
expoente é alto, o uso dos números binomiais é bastante
Analise o exercício resolvido 30, que envolve equação
eficaz. Apresente exemplos de situações simples, que podem
binomial, para auxiliá-los na resolução dos exercícios
ser desenvolvidas por meio de produtos notáveis ou pro-
67 e 68.
priedade distributiva, e exemplos mais complexos, avalian-
Apresente o Triângulo de Pascal ou triângulo aritmé-
do a necessidade de uma ferramenta mais ágil e mostrando
tico por meio do texto da seção Leitura, O triângulo arit-
o uso dos números binomiais nesses casos, usando os exer-
mético, aproveitando para discutir as propriedades dos
cícios 77 e 78 como atividade de fixação. Por fim seria bas-
números binomiais e observar as propriedades do triân-
tante proveitoso reservar uma aula para uma abordagem
gulo, destacando-se a relação de Stifel e a soma dos ele-
minuciosa do texto O problema de Lucas, uma oportunida-
mentos da linha, resolvendo os exercícios 69 a 72. O exer-
de de emergir na história da Matemática e também de con-
cício resolvido 31 pode ser usado como referência para os
solidar a aplicação do cálculo binomial, que é utilizado na
exercícios 73 a 76.
resolução desse interessante problema histórico.
Cap’tulo 10 – Probabilidade
Objetos de conhecimento (associados às
Matrizes de Referência para o Enem 2012)
Competência
Habilidade
Conhecimentos de probabilidade: Noções de
probabilidade
C7
H28/H29/H30
O método binomial
–
–
–
Aplicações de probabilidade
à Genética
Conhecimentos de probabilidade: Noções
C7
H28/H29/H30
Tópicos
Fenômenos aleatórios
Espaço amostral e evento
Eventos certo, impossível
e mutuamente exclusivos
Cálculo de probabilidades
Definição teórica de probabilidade
e consequências
As probabilidades estão inseridas em nosso cotidiano
de uma maneira tão sutil que nem percebemos. Aparecem
de conjuntos, operações com frações e porcentagens, até
análise combinatória.
em áreas como meteorologia, comunicação (pesquisa de
A imagem dos dados na abertura do capítulo tem o ob-
mercado e desenvolvimento de produtos), loterias, risco
jetivo de levar o aluno a fixar o conceito de aleatoriedade,
bancário (usado na determinação de taxas de juros em
que é o mesmo que incerteza, indeterminação, ou seja, não
empréstimos), seguradoras (o risco do segurado influencia
se pode determinar com certeza o resultado do lançamen-
no valor do seguro), entre outras. É uma área muito com-
to de alguns dados honestos, entretanto, podemos prever e
plexa e interessante, pois integra conceitos desde teoria
estimar as chances envolvidas no evento.
340
Manual do Professor
Em Fenômenos aleatórios apresentamos exemplos de
entre as disciplinas. Os exercícios resolvidos 27 a 32 apre-
situações em que o cálculo da porcentagem se faz presente.
sentam diversos exemplos de problemas de Genética,
Destaque e discuta as diferenças entre Espaço amostral
cuja resolução necessita de conhecimentos de probabili-
e evento, usando o lançamento de um dado e o sorteio de
dade, servindo de referência para os exercícios 43 a
um número ímpar como exemplo, diferenciando do espaço
46, que podem ser resolvidos em dupla, como atividade
amostral obtido no sorteio de dois dados distinguíveis.
de avaliação.
Prossiga apresentando os conceitos de Eventos certo, im-
As questões apresentadas na seção Pensando no
possível e mutuamente exclusivos solicitando aos alunos
Enem representam algumas aplicações da análise com-
que apresentem exemplos de situações relacionadas à dis-
binatória e probabilidade relacionadas ao uso da telefo-
cussão proposta, aproveitando para recordar operações com
nia celular e das redes sociais. Deve-se dar atenção ao
conjuntos (união, intersecção e complemento).
comentário para o professor na página do livro, onde é
O Cálculo de probabilidades pode ser introduzido dis-
sugerida a realização de um trabalho em grupo.
cutindo-se o lançamento de uma moeda e, posteriormente,
Na seção Outros contextos são abordadas algumas
o lançamento de um dado. Procure apresentar diversas per-
situações interessantes envolvendo Probabilidade. Apesar
guntas relacionando as situações, apresentando também
de o assunto ainda estar no contexto da Matemática, o
problemas em que o uso de diagramas e teoria de conjuntos
objetivo é mostrar que em praticamente qualquer situação
faz parte da resolução. Caso os alunos apresentem alguma
cotidiana podemos enxergar conceitos probabilísticos.
dificuldade no cálculo, recorde os procedimentos necessá-
Desde o nascimento de um filho, ou fazer aniversário no
rios para a transformação de frações em porcentagens e
mesmo dia que alguma pessoa da classe, ou ao realizar
proponha os exercícios 1 a 9 como atividade de fixação, e os
uma jogada em um jogo com peças, cartas e/ou dados. Na
exercícios 10 a 12 como atividade de aprofundamento e ava-
seção merece destaque o texto As impossibilidades, que
liação, em duplas.
retrata a história de uma jogada quase improvável, viven-
A discussão da Definição teórica de probabilidade e
consequências é um ponto importante para o desenvolvi-
ciada por uma senhora e três senhores durante uma partida de Whist.
mento de habilidades relacionadas à abstração, interpre-
Uma interessante atividade de aprofundamento e
tação da linguagem matemática para uma posterior ade-
avaliação pode ser feita usando as Leituras: A Matemáti-
quação a situações do cotidiano. Os exercícios resolvidos
ca da sorte e Um pouco mais sobre probabilidades, esti-
8 a 13 apresentam situações que auxiliam na resolução dos
mulando os alunos a uma discussão e análise histórica
exercícios 13 a 22, que podem ser resolvidos em dupla, de-
sobre o assunto.
vido ao grau de complexidade e teor das discussões. Os
Na seção Vestibulares de Norte a Sul são apresentadas
exercícios resolvidos 14 a 18 podem ser usados na exem-
questões de vestibulares relacionadas aos temas estudados,
plificação de casos em que a probabilidade condicional
com destaque para a questão 1, em que se discute tendên-
está envolvida, auxiliando na resolução dos exercícios 23
cia alimentar, a questão 5, que trata do vírus Ebola, e a ques-
a 26, que pode ser feita em dupla; e os exercícios resolvidos
tão 7, que aborda regras para transplante de órgão. As de-
19 a 23 apresentam situações relacionadas a eventos in-
mais questões pedem aplicações conceituais.
dependentes, importantes para os exercícios 27 a 37, cuja
resolução poderá ser feita em duplas, como atividade de
avaliação e aprofundamento.
Atividades complementares à Unidade 4
Esta unidade pode ser complementada com atividades
Situações mais complexas, que envolvem, por exemplo,
em grupo que podem ser abordadas como miniprojetos.
a probabilidade de se ter vários filhos de um determinado
Veja algumas sugestões a seguir, sendo que as atividades
sexo, podem ser resolvidas usando O método binomial; os
1 e 2 abordam Matemática e Ciências Sociais (Acessibilida-
exercícios resolvidos 24 a 26 apresentam interessantes
de/Inclusão).
exemplos de aplicações desse método, auxiliando na reso-
1. Braille
lução dos problemas 38 a 42, que devem ser resolvidos em
O Braille é um processo de escrita em relevo para leitura
dupla, como atividade de aprofundamento.
tátil, inventado por Louis Braille (1809-1852) e compõe-se
As Aplicações de probabilidade à Genética represen-
de diversos sinais formados por pontos a partir de um
tam uma das sinergias mais interessantes entre Mate-
conjunto matricial. Com o Braille representam-se os al-
mática e Biologia, sendo essencial a discussão e interação
fabetos latino, grego, hebraico e outros, bem como os
Manual do Professor - Capítulo 10
341
alfabetos e outros processos de escrita das línguas orien-
passassem a ser representados utilizando-se uma
tais; escreve-se o texto vocabular, Matemática, Química,
matriz 3 3 3, quantos seriam os caracteres que apre-
Informática, Música, etc.
sentam 3 pontos destacados?
A escrita é feita com pautas e punções e também em má-
e) Escreva seu nome em Braille.
quinas datilográficas especiais. Veja o alfabeto Braille:
f) Nas Paralimpíadas de 2012, em Londres, o Brasil
tornou-se tricampeão de futebol de cinco. O futebol
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
de cinco consiste em uma adaptação do futebol de
salão para deficientes visuais. Os jogadores podem
ter deficiência visual total ou parcial, em que os últimos utilizam vendas. A bola apresenta um dispo-
Louis Braille, nascido na França em 1809, aos 3 anos
sitivo que emite um som e ajuda na sua localização.
de idade tornou-se deficiente visual ao ferir-se com um
Um técnico tem à disposição 10 jogadores, sendo 2
instrumento de trabalho do seu pai, que produzia selas.
goleiros (que enxergam normalmente), 3 totalmen-
Aos 10 anos iniciou os seus estudos na Escola para Cegos
de Paris. Aos 15 anos, Louis Braille dedicou-se a encontrar
te cegos e 5 com visão parcial. De quantas formas o
técnico pode montar um time com um goleiro e
um sistema que possibilitasse ao cego escrever em relevo,
quatro jogadores de linha, sendo exatamente dois
surgindo o sistema que hoje conhecemos como Braille. É
com visão parcial?
curioso constatar que para criar o sistema Braille ele inspirou-se nos desenhos em relevo que enfeitavam as selas
confeccionadas pelo seu pai, feitos pelo próprio instrumen-
to que o cegou. Apesar de o sistema não ter sido muito
aceito no seu tempo, ele evoluiu ao longo dos anos e foi
aperfeiçoado, sendo nos dias de hoje amplamente utiliza-
do pelos portadores de deficiência visual de todo o mundo
para terem acesso à escrita e leitura através do tato. Após
g) Pesquise e discuta com seus colegas a respeito de
acessibilidade. Procure informações a respeito de piso
tátil e semáforo de trânsito sonoro.
Resoluções:
a) 2 3 3
b) A MATEMÁTICA É A RAINHA DAS CIÊNCIAS
c) C6, 1 1 C6, 2 1 C6, 3 1 C6, 4 1 C6, 5 1 C6, 6 5
mais de 150 anos da sua criação, o sistema Braille tem um
5 6 1 15 1 20 1 15 1 6 1 1 5 63
inestimável valor e constitui uma contribuição essencial
O total é de 63 caracteres.
aos deficientes visuais.
Uma opção alternativa para a resolução desta ques-
Fonte dos dados: acessibilidade.net. Disponível em:
<www.acessibilidade.net/mecbraille/braille.php>.
Acesso em: 1o abr. 2013.
Depois de ler o texto, faça o que se pede:
tão é:
26 2 1 5 64 21 5 63 (Total de subconjuntos subtraídos
de 1 que é o conjunto vazio).
d) C6, 3 5 20
a) Na escrita Braille cada letra é representada por uma
20 caracteres
matriz. Qual é o tipo (ou a ordem) dessa matriz?
C9, 3 5 10 080
b) Transcreva para a linguagem comum a frase escrita
em Braille:
10 080 caracteres
e) Resposta pessoal.
f) C2, 1 ? C3, 2 ? C5, 2 5 60
Assim, o técnico pode montar o time de 60 formas.
g) Resposta pessoal.
2. Sistema de identificação de cores ColorADD
O designer português Miguel Neiva criou um código que
c) Como os caracteres são definidos por matrizes que
está ajudando aos daltônicos (pessoas que sofrem de
podem ter um ou mais pontos destacados (pontos
daltonismo, que é uma perturbação da percepção visual
pretos), qual é o total de caracteres definidos no sis-
que dificulta a identificação de uma ou mais cores) a
tema Braille?
identificar as cores. O código ColorADD foi criado em
d) Quantos são os caracteres que apresentam 3 pontos
2009 e consiste na representação de cada uma das co-
destacados? Se os caracteres do sistema Braille
res primárias (amarelo, azul e vermelho). A justaposição
342
Manual do Professor
de dois ou três símbolos formam as cores secundárias
sabendo que de acordo com o último censo do IBGE,
e terciárias. As cores ainda podem ser identificadas
que ocorreu em 2010, o país possuía aproximadamen-
como claras e escuras a partir da combinação com o
te 194 milhões de habitantes e as mulheres represen-
preto ou com o branco. O preto e o branco são identifi-
tavam 51,5% da população?
cados por pequenos quadrados: o que simboliza o pre-
Resolu•‹o:
to é cheio, enquanto o branco é vazio. Veja a represen-
a) Cores secundárias: C3, 2 5 3
tação abaixo.
Cores terciárias 5 3 ? C3, 2 5 9
Existem divergências entre a quantidade de cores terciárias; aqui consideraremos 9.
azul
verde
castanho
rosa
amarelo-torrado
amarelo
laranja vermelho
violeta
azul-claro
verde-claro
casca
de ovo
laranja-claro
lilás
bege
azul-escuro
verde-escuro
tijolo
bordô
roxo
castanho-escuro
b)
c) • Listras de cores diferentes: 6 ? 5 ? 4 ? 3 5 360
• Listras vizinhas que não sejam da mesma cor:
6 ? 5 ? 5 ? 5 5 750
→ rosa
d)
a) Sabendo que uma cor secundária é obtida a partir da
combinação de duas cores primárias distintas e que uma
cor terciária é obtida a partir da combinação de uma cor
primária e uma cor secundária, quantas são as cores
secundárias e quantas são as cores terciárias possíveis?
b) Imagine que você precisa representar a bandeira do
Brasil para um estrangeiro daltônico. Faça o desenho
Total de anagramas:
P4 5 24
→ laranja
Total de anagramas
P73 5
7!
5 840
3!
da bandeira do Brasil colocando os símbolos que representam suas cores.
e) Total de mulheres:
c) Usando apenas cores primárias e secundárias, sem
misturá-las, quantas são as possibilidades de pintar-se
Total de homens:
51,5
? 194 000 000 5 99910 000
100
48,5
? 194 000 000 5 94 090 000
100
uma bandeira com quatro listras de tal forma que:
• todas as listras sejam de cores diferentes?
• duas listras vizinhas não sejam da mesma cor?
d) Quantos são os anagramas da cor (palavra) repre-
sentada por
por
? E da cor (palavra) representada
?
Mulheres daltônicas:
0, 4
? 99910 000 5 399640
100
8
? 94 090 000 5 7 527 200
100
Total de pessoas daltônicas:
399 640 1 7 527 200 5 7 926 840
Homens daltônicos:
As atividades a seguir são interdisciplinares com Biologia
e) O daltonismo é bem mais frequente que pensamos.
e devem ser feitas em grupos. Elas remetem ao assunto
Estima-se que 8% dos homens e 0,4% das mulheres
abordado na abertura desta unidade e no Capítulo 12, e
apresentam algum tipo de daltonismo. Qual seria a
também podem ser desenvolvidas com a colaboração do
estimativa para a quantidade de daltônicos no Brasil,
professor de Biologia.
Manual do Professor - Capítulo 10
343
3. GenŽtica
Quando a mulher está grávida é comum especular-se
sobre a cor da pele, dos olhos e do cabelo do bebê. É algo
b) Qual é a probabilidade de um casal heterozigoto ter
uma criança com olhos claros? E com olhos escuros?
pais, tios e avós.
c) Qual é a probabilidade de um casal de olhos escuros,
cujas mães materna e paterna tenham olhos claros,
ter uma menina de olhos escuros?
A teoria das probabilidades é o ramo da Matemática que
d) É possível um casal de olhos escuros, cujas mães ma-
pesquisa e desenvolve modelos para o estudo dos mais
terna e paterna possuem olhos claros, ter 4 crianças
sendo duas com olhos claros e duas com olhos
escuros? Se isso acontecer, significa que a teoria das
probabilidades está errada?
natural e normalmente feito baseado no genótipo dos
diversos fenômenos aleatórios e está presente em diversas
Ciências. Na Biologia, mais especificamente no estudo de
Genética, a probabilidade é uma forte aliada no entendimento e a na resolução desse e dos mais diversos proble-
mas. A cor dos olhos é uma herança quantitativa
determinada por um par de alelos em que a cor escura é
e) Dois irmãos, um de olhos claros e outro de olhos escuros, são filhos do mesmo pai e da mesma mãe. Podemos afirmar a respeito desses pais:
uma característica do gene dominante e a cor clara é uma
I.
II.
III.
IV.
característica do gene recessivo. O alelo recessivo é representado por uma letra minúscula (a) e o alelo dominante
é representado por uma letra maiúscula (A). Denominamos os seguintes pares de alelos e seus fenótipos:
AA → Homozigoto dominante (olhos escuros)
Aa → Heterozigoto (olhos escuros)
aa → Homozigoto recessivo (olhos claros)
Ambos podem ter olhos claros.
Ambos podem ser homozigotos dominantes.
Ambos podem ser heterozigotos.
Ambos podem ser homozigotos recessivos.
Resolução:
a)
Aa 3 Aa
a
a
A
Aa
Aa
a
aa
aa
Dessa forma, um indivíduo possuirá olhos claros apenas
se seu par de alelos for aa. Caso contrário possuirá olhos
escuros. O cruzamento de dois indivíduos pode facilmen-
te ser determinado utilizando-se a tabela de cruzamentos
ou tabela de Punnett. Veja, como exemplo, o cruzamento
de dois indivíduos heterozigotos (Aa 3 Aa):
Aa 3 Aa
A
a
A
AA
Aa
a
Aa
aa
O cruzamento de um indivíduo homozigoto dominante
e de um indivíduo heterozigoto (AA 3 Aa):
Aa 3 Aa
A
a
A
AA
Aa
b) Fazendo a tabela de Punnett temos:
Aa 3 Aa
A
a
A
AA
Aa
a
Aa
aa
1
4
Probabilidade de ter uma criança com olhos escuros: 3
4
c) Como as avós da criança têm olhos claros, os pais herdarão o alelo a. Como os pais têm olhos escuros, eles
serão heterozigotos (Aa).
Probabilidade de ter uma criança com olhos claros:
Fazendo a tabela de Punnett temos:
A
AA
Aa
Agora, faça o que se pede.
a) Faça uma tabela que apresente os resultados possíveis
de um cruzamento de um indivíduo homozigoto recessivo com um indivíduo heterozigoto.
344
Manual do Professor
Aa 3 Aa
A
a
A
AA
Aa
a
Aa
aa
3
Probabilidade de ter uma criança com olhos escuros:
4
1
Probabilidade de ter uma menina:
2
Probabilidade de ter uma menina com olhos escuros:
3
3
1
?
5
4
8
2
d) Como pode-se observar na questão anterior, a probabilidade de nascer uma criança com olhos escuros é
1
3
e com olhos claros é
. Porém, é possível que
4
4
nasçam quatro crianças sendo duas com olhos claros
e duas com olhos escuros. Se a quantidade de filhos
aumentasse muito (de forma irreal, tendendo ao infinito), teríamos que a proporção dos filhos com olhos
3
1
claros seria
e com olhos escuros seria
. Com
4
4
uma quantidade pequena de filhos essa proporção
pode ou não acontecer.
e) Os filhos serão da forma aa (olhos claros) e AA ou Aa
P(A) 5 1 2
3
1
1
?
5
4
2 2
Durante o Ensino Básico o estudante depara com di-
versos problemas em que há a necessidade de cálculo de
áreas de figuras planas. Mas, em geral, os cálculos são fei-
tos usando figuras elementares, tais como: triângulos,
quadrados, retângulos, trapézios, losangos, hexágonos
regulares, etc.
Ao iniciar o Ensino Superior, já nos primeiros semestres, muitos estudantes aprendem a calcular áreas de
figuras irregulares. Para isso eles fazem uso de uma
poderosa ferramenta que é a integral. Com a utilização
da integral diversas áreas irregulares podem ser calculadas, mas ainda há necessidade de conhecer a função geradora da curva. O problema consiste em que o assunto
integral, em geral, não é ensinado para os alunos do Ensino Médio.
(olhos escuros). Como um dos alelos é herdado da
Agora, apresentaremos, por meio de uma experiência,
mãe e o outro alelo é herdado do pai, temos as seguintes possibilidades para os pais: Aa e aa ou Aa e
Aa. Portanto, é possível que os pais sejam heterozigotos: alternativa III.
uma interessante forma de estimar o valor da área de
4. Um casal tem duas crianças. Uma delas é uma menina.
Qual é a probabilidade da outra ser uma menina?
não determinísticos. O método de Monte Carlo teve ori-
uma figura plana irregular. Esse método é conhecido
como método de Monte Carlo e é bastante utilizado na
estatística em simulações que têm origem em processos
gem durante a construção da bomba atômica na Segun-
Resolução:
da Guerra Mundial, em que eram feitas simulações
1
, mas não é. Quando um
2
casal tem duas crianças temos 4 possibilidades: HH,
HM, MH e MM. Como uma delas é menina, então a
possibilidade HH está descartada. Para serem duas
meninas, a probabilidade será então 1 em 3, ou seja,
1
. Observe que é diferente de ter sido dito que a
3
primeira é uma menina, nesse caso a probabilidade
probabilísticas que estavam relacionadas com o coefi-
A resposta parece óbvia,
seria 1 .
2
5. O transplante de fígado, que é realizado com o doador
ciente de difusão do nêutron em certos materiais. O nome
Monte Carlo é uma alusão à cidade de Monte Carlo, no
principado de Mônaco, famosa por seus cassinos e roletas
que geram números aleatórios. Os alunos devem realizar
os passos a seguir.
1. Construção do material da experiência
a) Material necessário
Caixa de sapatos
Grãos de milho ou grãos de feijão
vivo, é denominado “transplante intervivos”. Trinta dias
Cola
após a cirurgia o doador tem a sua massa hepática res-
Tesoura
tituída ao normal, tendo em vista que o fígado possui
Calculadora
alto poder de regeneração. A probabilidade da mãe ser
uma doadora compatível é de 50% e do pai ser doador
compatível também é de 50%.
Um paciente com uma grave doença hepática precisa
de um doador de fígado. Qual é a probabilidade de pelo
menos um dos pais ser doador?
Resolução:
Mapa do Brasil ou da sua cidade/região em escala
Régua
b) Procedimento para a montagem
• Recorte um quadrado e cole no fundo da caixa.
• Meça as dimensões do quadrado e do fundo da caixa.
2. Realizando a experiência
O único caso que não serve é nenhum dos pais ser
Coloque de forma aleatória uma quantidade conhecida
doador, logo:
de grãos no fundo da caixa. Quanto maior a quantidade
Manual do Professor - Capítulo 10
345
de grãos, maior será a precisão para a estimativa da área.
Como exemplo tome um mapa, em escala, do Brasil. Caso
É razoável uma quantidade entre 100 e 300 grãos.
não seja informado qual a escala utilizada é possível des-
Espalhe os grãos de forma que não fiquem todos em uma
cobrir utilizando uma informação complementar.
mesma região. Uma forma de deixar os grãos espalhados
A distância entre os dois pontos extremos, monte Caburaí
de forma aleatória é colocar a tampa e realizar algumas
(RR) e Arroio Chuí (RS), é de aproximadamente 4 400 km.
batidas no fundo da caixa.
Esses dois pontos são facilmente identificados em um mapa.
Conte quantos grãos estão sobre a região do quadrado.
a) Verifique qual é a distância entre os dois pontos no
Repita a operação por mais quatro vezes, determine
55º O
proporção:
Monte Caburaí (RR)
quantidade média de grãos na região do quadrado
.
quantidade de grãos no fundo da caixa
.
RR
Equador
AP
0º
área do quadrado
.
área do fundo da caixa
AM
CE
MA
PA
RN
PB
PI
Você verá que, de fato, chegamos a um resultado apro-
ximado.
TO
RO
DF
fundo da caixa tenha lado igual a 8 cm, que as dimentenham sido utilizados 200 grãos nessa experiência.
Suponha ainda que as quantidades de grãos em cima
BA
MT
Por exemplo, suponha que o quadrado colado no
sões do fundo da caixa sejam 16 cm por 25 cm e que
⯝ 4 400 km
MG
MS
OCEANO
PACÍFICO
Trópico d
GO
SP
e Capricó
rnio
RS
ESCALA
0
1
31
2
33
3
30
4
32
5
33
Média
31,8
OCEANO
ATLÂNTICO
RJ
SC
rimento foram:
Quantidade de gr‹os
ES
PR
da região do quadrado nas cinco repetições do expe-
Contagem
PE
AL
SE
AC
560
1 120 km
Arroio Chuí (RS)
Adaptado de: IBGE. Atlas geográfico escolar.
6. ed. Rio de Janeiro, 2012. p. 91.
b) Repita o procedimento da experiência de contagem
de grãos feita anteriormente.
c) Utilize novamente a relação abaixo:
quantidade média de grãos sobre o mapa
.
quan
ntidade degrãos no fundo da caixa
área do mapa
.
área do fundo da caixa
Assim teremos aproximadamente a área do mapa,
mas devemos lembrar que o mapa está em uma deAssim, de acordo com o exposto anteriormente, teremos:
31,8
8⋅8
.
5 0,159 . 0,160
200
16 ⋅ 25
Ocorreu um erro de 0,001, que para o nosso experimento
é desprezível.
3. Calculando áreas não elementares de figuras planas
terminada escala, então usando a relação abaixo iremos identificar a área da superfície brasileira.
2
área do mapa
 distância entre os extremos do mapa 

 .
disttância real entre os extremos 
área do Brasil
Esse procedimento envolvendo probabilidade pode ser
Agora que já vimos, empiricamente, que o método fun-
realizado para estimar as mais diversas áreas (área do esta-
ciona, podemos realizar uma estimativa, bem aproxima-
do, da cidade, da escola). Será necessário ter o mapa/planta
da, para a área de uma figura plana qualquer. Vamos
da região. Há vários sites que fornecem mapas, basta escolher
verificar qual o procedimento para calcular a área de uma
a região. Como a escala não é fornecida, o aluno precisará
região utilizando um mapa em escala e o método de
calcular a escala medindo a distância real entre dois pontos
Monte Carlo.
conhecidos. Para isso, ele pode utilizar passos, trena, etc.
346
Manual do Professor
Banco de imagens/Arquivo da editora
mapa utilizando uma régua.
a média aritmética simples e em seguida utilize a
12
Resolução dos exercícios
Observa•‹o: As resoluções que não estiverem nesta seção
aparecem ao lado do respectivo exercício no livro do professor.
8.
A
Unidade 1
Capítulo 1

⇒
30
1. tan 308 5
8 m 608
E
3

5
⇒  5 10 3
3
30
x
⇒
16
2. a) cos 458 5
b) tan 608 5
B
458
y
⇒
20
8m
2
x
5
⇒ 2 x 5 16 2 ⇒ x 5 8 2
2
16
3 5
C
D
EC 5 BD ⇒ EC 5 8 m
Como EBCD é um quadrado, temos CBBE 5 458, e portanto:
EBBA 5 1058 2 158 5 608
y
⇒ z 5 20 3
20
Então:
3.
308
w
 3
w
tan 308 5
5


100 1 a
100 1 a
9. a) 
⇒  3
⇒
tan 608 5 w
 3 5 w


a
a
3w 5 100 3 1 3 a
⇒
w 5 a 3
Como H 5 8h, temos:
1
m ⇒ h 5 0,125 m ⇒ h 5 12,5 cm
8
3 3 a 2 3 a 5 100 3 ⇒ 3a − a 5 100 ⇒
⇒ 2a 5 100 ⇒ a 5 50
ur
u
vx
3
5
⇒
2
10
uur
uur
uur
vy
vy
vy
1
sen a 5 r ⇒ sen 308 5
⇒
5
10
2
10
v
uur
⇒ v y 5 5 cm
w 5 50 3
Resolvendo este exercício de outra maneira:
B
308
⇒
1208
A
5.
12 m
6. CD 5 AB ? cos 158 ⇒ CD 5 4 ?cos 158 ⇒ CD . 4 ? 0,966 ⇒
⇒ CD . 3,9 cm
7. A 5
AB ? h
2
h 5 BC ? sen BB 5 4 ? sen 208 5 4 ? 0,342 . 1,37
A.
7 ? 1,37
. 4,8
2
Logo, A . 4,8 cm2.
608
C
D
100
w
⇒
100
sen 60 º 5
12 m
12
⇒ tan a 5 1 ⇒ a 5 45 8
12
308
$ 5 308.
µ 5 1808 2 608 5 1208, então ABD
Como ADB
t
u
Portanto, o ABD é isósceles e BD 5 100. Logo:
a
tan a 5
w
100
ur
u
ur
u
vx
vx
4. cos a 5 r ⇒ cos 308 5
⇒
10
v
ur
u
⇒ v x 5 5 3 cm
AE
⇒ AE 5 8 3 m
8
3 5
Logo:
hprédio 5 AE 1 EC 5 8 3 1 8 5 8( 3 1 1) . 8(1,7 1 1) . 21,6 m
1
H
H
⇒ 5
⇒ H 51m
2
2
2
8h 5 1 m ⇒ h 5
AE
⇒
BE
3
w
5
⇒ w 5 50 3
2
100
b)
A
x
B
608
308
sen 308 5
z
12
y
C
12
1
12
⇒ 5
⇒ x 5 24
x
2
x
12
3
12
⇒
⇒
5
z
2
z
24 3
⇒ z5
⇒ z 58 3
3 3
sen 608 5
D
3 z 5 24 ⇒ z 5
24
⇒
3
Manual do Professor - Capítulo 1
347
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
2m
sen 308 5
tan 608 5
h
h
h
h
H
h
h
h
h
Substituindo I em II , temos:
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
y 2 5 x 2 1 z 2 ⇒ y 2 5 (24 )2 1 ( 8 3 ) ⇒ y 2 5 576 1 192 ⇒
a1b 5 2 11 ⇒ b 2 1b 5 2 11 ⇒ b
⇒ y 2 5 768 ⇒ y 5 16 3
⇒b51
Podemos encontrar o valor de y de outra maneira:
Substituindo b 5 1 em I , temos:
12
12
12
12
1
1
⇒ y5
⇒
tan 30 8
tan 60 8
3
3
3
⇒ y 5 12 3 1 4 3 ⇒ y 5 16 3
a5b 2 ⇒a5 2
2
y 5 BC 1 CD ⇒ y 5
10. a) sen 135 8 5 sen 45 8 5
x
5
x
5
5
⇒
.
⇒
sen 768
sen 328
0,970
0,530
5 ? 0,970
⇒ x.
⇒ x . 9,151
0,530
x
10
10
x
10
⇒
⇒
5
5
.
b)
sen 308
sen 1238
sen 57°
0,500
0,839
2
2
c) O suplemento de 1508 é 308, portanto:
1
sen 150° 5 sen 30° 5
2
b) cos 1358 5 2cos 458 5 2
c)
3
2
3
4
3
4
5
⇒
.
⇒
sen x
sen 708
sen x
0,940
3 ? 0,940
⇒ sen x .
⇒ 0,705 ⇒ x . 458
4
Resolvido passo a passo
5. a) Como a maior distância é entre São Paulo e Guaratinguetá,
vem que o maior custo será:
C 5 20 1 160(1,50) 5 20 1 240 5 260
Resposta: R$ 260,00.
12. 1808 2 A E ( 105 8 1 45 8 ) 5 308
100
100
x
x
x
⇒
5
⇒
5 50 2 ⇒
5
1
sen 308
sen 45 8
2
2
2
2
⇒ x 5 100 2
3 2
x
sen 458
5 3 2 ?
⇒ x 53 2 ?
13.
5
sen 60 8
sen 458
sen 60 8
10 ? 0,500
⇒ x . 5,959
0,839
⇒ x .
11. a) x 5 sen 208 2 sen(1808 2 1608) 1 cos 448 2 cos (1808 2 1368) ⇒
⇒ x 5 sen 208 2 sen 208 1 cos 448 2 cos 448 5 0
b) x 5 sen 108 ? cos 508 2 cos(1808 2 1308) ? sen(1808 2 1708) ⇒
⇒ x 5 sen 108 ? cos 508 2 cos 508 sen ? 108 5 0
3
17. x2 5 32 1 12 2 2 ? 3 ? 1 ? cos 608 5 10 2 6 ?
⇒x5
2
2
3
2
⇒
⇒x5 3 2 ?
3
52 3
3
14. a) Bx 5 1808 2 (758 1 458) ⇒ Bx 5 1808 2 1208 5 608
1
18. x2 5 52 1 82 2 2 ? 8 ? 5 ? cos 608 ⇒ x2 5 25 1 64 2 80 ?
⇒
2
2
⇒ x 5 49 ⇒ x 5 7
19. a2 5 (2 3 ) 1 32 2 2 ? 2 3 ? 3 ?
20.
⇒x5 5 2 ?
C
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
b)
4 2
A
5 5 3
⇒x58?
15.
4
5 8 ?
45°
⇒ 16 5 c2 1 32 2 c ? 8 2 ?
2
54 2
2
21. 16 5 9 1 9 2 2 ? 3 ? 3 ? cos a ⇒ 18 ? cos a 5 18 2 16 ⇒
2
1
⇒ cos a 5
5
18
9
A
a
458
A
10 cm
1208
308
6 cm
B
c
a
b

 sen 45 8 5 sen 30 8 ⇒



 a 1 b 5 2 1 1 II
348
2
⇒ 16 5 c2 1 32 2 8c ⇒
2
⇒ c2 2 8c 1 16 5 0 ⇒ c 5 4
22.
1058
B
c
42 5 c2 1 ( 4 2 ) 2 2c ? 4 2 ? cos 458 ⇒
C
b
4
2
sen 308
8
x
⇒
⇒x58?
5
sen 458
sen 458
sen 308
1
2
2
2
Manual do Professor
3
⇒ a2 5 12 1 9 2 18 ⇒
2
3
⇒ a2 5 3 ⇒ a 5
sen 608
5 2
x
⇒x5 5 2 ?
⇒
5
sen 608
sen 45 8
sen 458
3
2
2
2
1
5 10 2 3 5 7 ⇒
2
1
7
2
2
6
5
?
3
3
2 11 5 2 11 ⇒
16. a)
2
2
d) cos 150° 5 2cos 30° 5 2
)
(
a
b
5
⇒ a5b 2 I
1
2
2
2
B
C
a
60 
1 
a2 5 36 1 100 2 2 ? 6 ? 10 ? cos 1208 5 136 2 120  2  5
 2 
1
5 136 1 60 5 196 ⇒ a 5 14 cm
688 1 508 1 a 5 1808 ⇒ a 5 628
Pela lei dos senos, vem:
y
5 ? sen 508
5
x
⇒ x 5
. 4, 13
5
5
sen 688
sen 508
sen 628
sen 688
B
a
10
C
8 2
A
5 ? sen 628
. 4,76
sen 688
Logo, a 5 628, x . 4,13 e y . 4,76.
y 5
a2 5 100 1 128 2 2 ? 10 ? 8 2 ? cos 458 5
2
5 228 2 160 2 ?
24.
5 68 ⇒ a 5
2
68 5 2 17
D
29.
C
10
10
1208
608
A
x
B
14
1208
2
458
• Cálculo da diagonal AC:
AC2 5 100 1 196 2 2 ? 10 ? 14 ? cos 1208 5
140
1
5 296 2 280 ? [2 ] 5 296 1 140 5 436 ⇒
2
B
1
Aplicando a lei dos senos no ABP, temos:
⇒ AC 5 2 109 ; AC 5 2 109 cm.
25.
( )
2
2
x
2 ? sen 158
2 ? 0,707
⇒ x 5
.
. 5, 459
5
sen 158
sen 458
sen 458
0,259
 9r 2 
5 r 1 r 22 ? r ? r ? cos a ⇒ 
5 22r 2 ? cos a ⇒
 4 
2
2
⇒ 2r 2 ? cos a 5 2r 2 2
⇒ 2r 2 ? cos a 5 2
9r
4
2
⇒ 2r 2 ? cos a 5
2
Logo, a distância de A a P é de aproximadamente 5,459 km ou
5 459 m.
2
8r 2 9r
⇒
4
30.
Araguari
r2
r2
1
⇒ cos a 5 2
?
⇒
4
4
2r2
1
⇒ cos a 5 2
8
sen2 a 1
P
A
• Cálculo da diagonal BD:
140
1
5
BD2 5 100 1 196 2 2 ? 10 ? 14 ? cos 608 5 296 2 280 ?
2
1
5 156 ⇒ BD 5 156 5 2 39 ; BD 5 2 39 cm.
3r
2
158
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
458
Dam d'Souza/ Arquivo da editora
23.
368
1328
Uberl‰ndia
1
1
63
5 1 ⇒ sen2 a 5 1 2
5
⇒
64
64
64
63
3 7
5
8
8
⇒ sen a 5
x
140 km
26.
12
R
608
12
1208
Uberaba
8
96
 1 
R 2 5 64 1 144 2 2 ? 8 ? 12 ? cos 120 º 5 208 2 192 2
5
 2 1 
5 208 1 96 5 304 ⇒ R 5 4 19 N
3608
5 368
10
2
2
2
, 5 r 1 r 2 2 ? r ? r ? cos 368 5 2r2 2 2r2 ? cos 368 5
5 2r2(1 2 cos 368) ⇒ , 5 r 2(1 2 cos 368)
27. a 5
28.
688
y
x
140
x
140
x
⇒
5
⇒ x 5 111,6
5
sen 1328
sen 368
0,74
0,59
A distância aproximada é de 111,6 km.
ur 2
31. V 5 10 2 1 20 2 2 2 ? 10 ? 20 ? cos 1208
ur 2
ur 2
 1
V 5 102 1 202 2 2 ? 10 ? 20 ? 2  ⇒ V 5 100 1 400 1 200 ⇒
 2
ur 2
ur
ur
⇒ V 5 700 ⇒ V 5 700 ⇒ V 5 10 7 . 26,5 m/s
32. x2 5 402 1 402 2 2 ? 40 ? 40 ? cos a ⇒ x2 5 3200 2 3200 ? 0,875 ⇒
⇒ x2 5 400 ⇒ x 5 20 m
Resposta: alternativa c.
Para refletir
508
a
5
P‡gina 14
Demonstração para o triângulo obtusângulo:
O ângulo BB é o ângulo CBBA, interno do triângulo ABC.
Manual do Professor - Capítulo 1
349
Assim, o ângulo ABBH1 é o ângulo (1808 2 BB).
No triângulo retângulo ABH1, temos:
h
sen (1808 2 BB) 5 1 ⇒ h1 5 c ? sen (1808 2 BB)
c
Como sen a 5 sen (1808 2 a), então sen (1808 2 BB) 5 sen BB e, portanto, h1 5
c ? sen BB.
No triângulo retângulo ACH1, temos:
B
B 5 h1 ⇒ h1 5 b ? sen C
sen C
b
Comparando, temos:
c
b
5
c ? sen BB 5 b ? sen BC ⇒
sen BC
sen BB
No triângulo retângulo ABH2, temos:
B
B 5 h2 ⇒ h2 5 c ? sen A
sen A
c
No triângulo retângulo BCH2, temos:
Observa-se que, para BA agudo no ABC retângulo em BB, a demonstração é
a mesma já realizada para o triângulo acutângulo. Portanto, vale ainda a
relação a2 5 b2 1 c2 2 2bc ? cos BA (lei dos cossenos).
Capítulo 2
1. a) 1808
608
1
h2
⇒ h2 5 a ? sen BC
a
Comparando, temos:
a
c
5
c ? sen BA 5 a ? sen BC ⇒
sen BA
sen BC
De 1 e 2 concluímos que:
b
c
a
5
5
sen BB
sen BA
sen BC
sen BC 5
2
Demonstração para o triângulo retângulo:
b
b
sen BB 5
⇒ b 5 a ? sen BB ⇒ a 5
a
sen BB
c) 1808
2108
p
210 p
7p
⇒x 5
5
rad
x
6
180
d) 1808
3008
p
300 p
5p
⇒x 5
5
rad
x
3
180
e) 1808
1208
p
120 p
2p
⇒x 5
5
rad
x
3
180
608 608
3 cm
7
6
5
3
2
3
5
p
150 p
5p
5
rad
⇒x5
x
6
180
3
g) 1808
2708
p
270 p
3p
⇒x5
5
rad
x
2
180
h) 1808
1358
p
135 p
3p
x ⇒ x 5 180 5 4 rad
x
2. a) 1808
3 cm
3
3
⇒
5
x
x
3
⇒ x 5
2
x
2
6
?
3
3
6 3
5
52 3 c
3
3
b) 1808
1
x
Página 18
• No ABH, temos:
c) 1808

µ 5 AH ⇒ AH 5 c ? cos A
µ
cos A
c

2
c 2 5 h2 1 AH ⇒ h2 5 c 2 2 AH 2

x
d) 1808
µ
h2 5 c 2 2 (c · cos A)2 5 c 2 2 c 2 ? cos2 A
x
• No CBH, temos:
µ 2 b) ⇒
a 2 5 h2 1 CH ⇒ a 2 5 h2 1 ( AH 2 b) ⇒ a 2 5 h2 1 (c ? cos A
2
2
2
e) 1808
µ 2 b) ⇒
⇒ h 5 a 2 (c ? cos A
2
2
2
2 µ
µ 1 b2) ⇒
(
⇒ h 5 a 2 c · cos A 2 2bc · cos A
2
2
x
f) 1808
µ 5 a 2 2 c 2 · cos2 A
µ 1 2bc · cos A
µ 2 b2 ⇒
⇒ c 2 2 c 2 · cos2 A
µ (lei dos cossenos)
⇒ a 2 5 b 2 1 c 2 2 2bc · cos A
x
Vamos demonstrar a lei dos cossenos usando o triângulo retângulo:
3.
B
350
4
2
3
4
x
Banco de imagens/
Arquivo da editora
Banco de imagens/
Arquivo da editora
Página 16
2
1
p
p
45 p
rad
⇒x 5
5
x
4
180
6
Como BA 5 908, sen BA 5 1. Então, podemos escrever que:
c
a
a
a
b
5
. Assim,
5
5
.
a5
sen BA
1
sen BA
sen BB
sen BC
sen 608 5
3
b) 1808
458
f) 1808
1508
c
c
⇒ c 5 a ? sen BC ⇒ a 5
a
sen BC
Dessa forma, temos:
b
c
5
a5
sen BC
sen BB
sen BC 5
1
p
60 p
p
⇒ x5
5
rad
3
x
180
a
h
C
Manual do Professor
Hb
c
p
p
2
90
⇒ x 5 180 ?
5 308
p
1
?
5 908
2
p
45
p
p
1
p ⇒ x 5 180 ? 4 ? p 5 458
1
4
30
p
5p
1
5p ⇒ x 5 180 ? 6 ? p 5 1508
1
6
p
5p
4
45
⇒ x 5 180 ?
5p
1
?
5 2258
4
p
60
p
4p
1
4p ⇒ x 5 180 ? 3 ? p 5 2408
3
{
, 5 15 cm
r 5 3 cm
,
15
a5
5
5 5 rad
r
3
4. 1808
458
A
30
p
p
1
p ⇒ x 5 180 ? 6 ? p
1
6
a5
1
p
45 p
p
⇒x 5
5
rad
x
4
180
4
,
p
,
p
⇒
5
⇒ ,5
cm . 1,57 cm
r
4
2
2
, 5 12 cm
5. a) 
r 5 10 cm
5
5 1,2 rad
, 5 a ? r ⇒ 12 5 a ? 10 ⇒ a 5
6
, 5 4 p cm
b) 
2
r 5 6 cm
4p
2p
5
rad
, 5 a ? r ⇒ 4p 5 a ? 6 ⇒ a 5
3
6
10. a) 780 360
60
2
a 5 608
b) 1140 360
60
3
a 5 608
c) 400 360
40
1
a 5 360 2 40 5 3208
3
r 5 15 cm
6. 
p
a 5 608 5 3 rad
5
p
, 5 ar 5
? 15 5 5p cm . 15,7 cm
3
15p
15p 2 4 p
11p
2 2p 5
5
2
2
2
11p
11p 2 4 p
7p
2 2p 5
5
2
2
2
7p
7p 2 4 p
3p
2 2p 5
5
2
2
2
3p
a5
rad
2
10p
10p 2 6p
4p
2 2p 5
5
e)
3
3
3
4p
a5
rad
3
9p
9p 2 4 p
5p
2 2p 5
5
f)
2
2
2
5p
5p 2 4 p
p
2 2p 5
5
2
2
2
p
a5
rad
2
d)
1
y
7. a)
m( »
AB ) 5 2p
A x
(2, 0)
B
2p
m( »
AB ) 5 4 p
y
b)
11. a) 1808
A 5 B 5 (2, 0)
4p x
x
b) 1808
608
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
c)
B
p
p
p
p
l
15
a5
? 1,5 5
?
5
;a5
cm
⇒l=
r
3
2
2
3
10
23p
1
A
x
m( »
AB ) 5
y
p
2
B
2
c) 2650 360
130
7
26508 5 7 ? 3608 1 1308
Mede 1308.
d)
d)
p
p
60p
p
⇒x5
5
;x 5
rad
180
3
3
x
1
3
m( »
AB ) 5 2 3p
y
45
p
7p
1
7p ⇒ x 5 180 ? 4 ? p 5 3158
1
4
p
2
14p
2p
rad
2 4p 5
3
3
2p
a5
1 2kp, com k  Z
3
12.
[
A x
(2, 0)
1 o
]
2
3608
2p ? 400
()
x
1 8
2
400 m
⇒x 5
⇒
400p
10p
5
360
9
Resolvido passo a passo
5. a) Sabendo que no seletor do cofre o ângulo central entre
duas letras vizinhas é o mesmo e, sabendo que uma circunferência tem 3608, então, o ângulo central entre duas
letras vizinhas é 3608  12 5 308.
De A até L temos um ângulo central, no sentido horário, o
que equivale a 308 nesse sentido.
De L até H temos quatro ângulos centrais, no sentido horário, o que equivale a 1208 nesse sentido.
De H até L temos quatro ângulos centrais, no sentido anti-horário, o que equivale a 1208 nesse sentido.
Resposta: alternativa d.
13. a)
1
volta
4
1
volta
2
1
volta
4
1 volta
100 gr
x
100 gr
x
⇒ x 5 200 gr
⇒ x 5 400 gr
Manual do Professor - Capítulo 2
351
b)
100
7. a) sen
y
0
400
200
x
300
3¼ quadrante
c) 200 volta
x volta
p real
200 200
⇒ p ? x 5 200 ⇒ x 5
;
gr
1 real
p
p
3p
2
1808
⇒ 200x 5 180 ⇒ x 5 0,98
x
d) 200 volta
1 gr
b) sen
Capítulo 3
()
2
Como
4
p
, x , p, temos cos x 5 2 .
5
2
4. a) sen
5p
p
1
p
5 sen p –
5 sen
5
6
6
6
2
b) sen
(
)
(
(
b) cos 3158 5 cos (3608 2 458) 5 cos 458 5
(
)
x 5
1
2
)
c) sen
(
7p
6
)
p
p
5 6p 1
6
6
p
1
5
6
2
1
2
p
6
x
5p
p
2
p
5 cos p 1
e) cos
5 2cos
52
4
4
4
2
6. a) 37p 5 36p 1
6
6
37p
sen
5 sen
6
1
p
52
6
2
5p
6
3
2
f ) cos 2408 5 cos (1808 1 608) 5 2cos 608 5 2
p
3p
1 2kp ou x 5
1 2kp, com k  Z
4
4
y
2
2
2p
p
1
p
5 cos p 2
c) cos
5 2cos
52
3
3
3
2
d) cos 3308 5 cos (3608 2 308) 5 cos 308 5
p
4
x
)
5p
p
3
p
5 cos p 2
5. a) cos
5 2cos
52
6
6
6
2
2
2
3p
4
4p
p
3
p
5 sen p 1
5 2sen
52
3
2
3
3
c) sen 3308 5 sen(3608 2 308) 5 2sen 308 5 2
p
5
4
y
9
3 2
3. sen x 1 cos x 5 1 ⇒
⇒
1 cos2 x 5 1 ⇒ cos2 x 5 1 2
25
5
16
4
⇒ cos2 x 5
⇒ cos x 5 
25
5
2
3p
3p
521⇒x 5
1 2kp, com k  Z
2
2
1
2
x 5
21
2
11p
6
7p
11p
1 2kp ou x 5
1 2kp, com k  Z
6
6
d) sen 0 5 0
y
sen ( 22258 ) 5 sen 1358 5 sen 458 5
2
2
p
0 x
c) 6p 5 3 ? 2p
sen 6p 5 sen 2p 5 0
d)
19p
16p
3p
3p
5
1
5 4p 1
4
4
4
4
sen
19p
3p
p
5 sen
5
5 sen
4
4
4
2
2
e) 6308 5 3608 1 2708
sen 6308 5 sen 2708 5 21
f) 2p 2 p 5 5p
3
3
5p
3
p
p
sen 2
5 sen
5 2 sen
52
3
3
3
2
( )
352
Manual do Professor
x 5 0 1 kp 5 kp, com k  Z
8. a)
9p
8p
5
1
4
4
9p
cos
5 cos
4
p
p
5 2p 1
4
4
p
2
5
4
2
b) 23308 5 2 3608 1 308 5 2 1 ? 3608 1 308
cos ( 23308) 5 cos 308 5
3
2
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b) 3608 2 2258 5 1358
d) sen x 5 1 2 4m ⇒ 21  1 2 4m  1 ⇒ 22  24m  0 ⇒
1
⇒ 0  4m  2 ⇒ 0  m 
2
Portanto, os valores de m são dados por:
1
mR | 0m
.
2
8p
p
p
p
c) 9p
5
1
5 4p 1
5 2 ? 2p 1
2
2
2
2
2
9p
p
cos
5 cos
50
2
2
{
d) 1 1408 5 3 ? 3608 1 608
1
cos 1 1408 5 cos 608 5
2
e)
25p
24 p
5
1
6
6
25p
5 cos
cos
6
p
p
p
5 4p 1
5 2 ? 2p 1
6
6
6
3
p
5
6
2
15p
16p
p
p
p
52
1
5 2 4p 1
5 2 2 ? 2p 1
4
4
4
4
4
2
15p
p
cos 2
5 cos
5
4
4
2
f) 2
)
(
}
14. a) 21  2m 1 5  1 ⇒ 26  2m  2 4 ⇒ 23  m  22
Logo
o, os valores de m são dados por:
{m  R | 23  m  22}.
5
b) 21  3m 1 4  1 ⇒ 25  3m  23 ⇒ 2  m  2 1
3
Portanto, os valores de m são dados por:
5
m  R | 2  m  21 .
3
I
G5555H
c) 21  1 2 m2  1 ⇒ 22  2m2  0 ⇒ 0  m2  2
E55F
II
2
I m 0
{
}
m2 5 0 ⇒ m 5 0
g) 11p 5 10p 1 p 5 5 ? 2p 1 p
cos 11p 5 cos p 5 21
1
h) 5708 5 3608 1 2108
cos 5708 5 cos 2108 5 cos (1808 1 308 ) 5 2cos 308 5 2
1
0
3
2
(II)
II m2  2 ⇒ m2 2 2  0
m2 2 2 5 0 ⇒ m 5  2
12. 1 9358 5 5 ? 3608 1 1358
1
tan 1 9358 5 tan 1358 5 2 tan(1808 2 1358) 5 2tan 458 5 21
2√ 2
SI
13. a) 21  2m 2 7  1 ⇒ 6  2m  8 ⇒ 3  m  4
Porttanto, os valores de m são dados por :
{m  R | 3  m  4}.
1
b) 21  3m 2 2  1 ⇒ 1  3m  3 ⇒
m1
3
Porrtanto, os valores de m são dados por :
1
mR |
m1.
3
{
I
S
1√2
0
2√ 2
√2
2√ 2
√2
Logo, os valores de m são dados por:
{m  R | 2
2 m
d) cos x 5 6 2 5m ⇒ 2 1  6 2 5m  1 ⇒ 2 7  2 5m  2 5 ⇒
7
⇒ 5  5m  7 ⇒ 1  m 
5
Portanto, os valores de m são dados por:
7
mR| 1m
.
5
{
21 < m2 2 1 < 1
II
}
2 .
}
15. a) f (p) 5 sen p 5 0
g(p) 5 cosp 5 2 1
I m2 > 0
raiz: m 5 0
( p3 ) 2 g( p4 ) 5 sen p3 2 cos p4 5 23 2 22 5
p
f( )
6 5 sen p : cos p 5 1 : 3 5 1 ? 2 5
p
6
6
2
2
2
3
g( )
6
3p
3p
p
2
5 sen (2
5 2sen
52
f (2
4 )
4 )
4
2
3p
3p
p
2
5 cos (2
5 2 cos
52
g(2
4 )
4 )
4
2
f
1
1
0
II (II) m2 2 2  0
raízes: m2 5 2 ⇒ m9 5
1
−√ 2
SI
2√2
2 e m 5 − 2
1
2
0
p
4
√2
SII
S
1
3
5
3
3
y
b)
√2
32 2
2
x
O
√2
2√2
Logo, os valores de m são dados por:
{m  R | 2
2 m 
}
2 .
5p
4
Como x  [0, 2p], sen x 5 cos x. Então, x 5
5p
p
ou x 5
.
4
4
Manual do Professor - Capítulo 3
353
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
c)
}
SII
1
2
c) Não existe, porque nesse intervalo sen x . 0 e cos x , 0.
t
16. a) ymáx. → sen x 5 1
0
p
2
ymáx. 5 1 2 10 ⇒ ymáx. 5 29
ymín. → sen x 5 21
ymín. 5 21 2 10 ⇒ ymín. 5 211
p
b) ymáx. → cos x 5 21
3p
2
ymáx. 5 6 2 10 ? (21) ⇒ ymáx. 5 16
ymín. → cos x 5 1
2p
ymín. 5 6 2 10 ? 1 ⇒ ymín. 5 24
c) ymáx. → cos x 5 1
2
x
cos t
0
1
p
6
p
3
p
2
21
2p
3
1
0
0
y
ymáx. 5 3 ? 1 1 1 ⇒ ymáx. 5 4
1
ymín. → cos2 x 5 0
f(x) 5 cos 3x
ymín. 5 3 ? 0 1 1 ⇒ ymín. 5 1
d) ymáx. → sen x 5 1 e cos x 5 1
0
ymáx. 5 1 1 1 5 2
ymín. → sen x 5 21 e cos x 5 21
p
6
p
3
p 2p
2 3
D( f ) 5 R, Im( f ) 5 [21, 1], p 5
21
ymín. 5 (21) 1 (21) 5 22
b)
Resolvido passo a passo
x
sen x
|sen x|
5. a) Pressão máxima (para t . 0)
60
⇒
cos (6t 1 p) 5 1 ⇒ 6t 1 p 5 2p ⇒ 6t 5 p ⇒ 6t 5
19
10
⇒t5
s
19
0
0
0
p
2
1
1
p
0
0
3p
2
21
1
2p
0
0
Pressão mínima (para t . 0)
p
⇒
cos (6t 1 p) 5 21 ⇒ 6t 1 p 5 3p ⇒ 6t 5 2p ⇒ t 5
3
60
20
⇒ t 5 19 ⇒ t 5
s
3
19
5. Por exemplo, considerando um pêndulo com fio de 1 m, temos que
se ocorrer uma dilatação linear térmica de 21%, devido ao aumento
de temperatura no planeta Terra, então lf 5 1 ? 1,21 5 1,21; lf 5 1,21 m.
Considerando p 5 3 e g 5 10 m ? s22 constantes, temos:
1
g(x) 5 |sen x|
x
0
21
1
5 2 ? 3 ? 0, 1 5 6 0, 1
10
Assim, o aumento percentual do período do pêndulo é dado por
0, 121
2 1 5 1, 1 2 1 5 0, 1 5 10%
0, 1
6 0, 121
215
6 0, 1
17. a) f
( p2 ) 5 sen (4 ? p2 ) 5 sen 2p 5 0
b) g(p) 5 1 2 cos p 5 1 2 (21) 5 2
c) f
( p6 ) 5 sen (4 ? p6 ) 5 sen 23p 5 sen (p 2 p3 ) 5
p
5
3
d) D( g) 5 R
5 sen
3
2
18. a) Fazemos:
354
x
sen x
2 sen x
0
0
0
p
2
1
2
p
0
0
3p
2
21
22
2p
0
0
y
2
3p
2
1
0
21
e) Im( g) 5 [0, 2]
3x 5 t ⇒ x 5
c)
p
2
p
22
t
3
Manual do Professor
D( f ) 5 R, Im( f ) 5 [22, 2], p 5 2p
x
2p
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
D( g ) 5 R, Im( g ) 5 [0, 1], p 5 p
• o período depois de ocorrer a dilatação era dado por:
1,21
5 2 ? 3 ? 0, 121 5 6 0, 121
10
p
p
2
• o período depois de ocorrer a dilatação era dado por:
Tf 5 2p
2p
3
y
Outros contextos
Ti 5 2p
x
p
2p
2p
⇒p5
|7|
7
b) p 5
2p
⇒p5p
|2|
c) p 5
2p
⇒p5p
|2|
h (cm)
2
0,3
x (cm)
d) A tangente tem período p. Como f(x) tem c 5 p, vem:
p
p5
⇒p51
|p|
e) p 5
20,3
2p
⇒ p52
|p|
Optaremos por b e c positivos, que é o mais comum. Então:
• Im 5 [20,3; 0,3]
20. f(0) 5 1 ⇒ a 1 b ? (sen 0) 5 1 ⇒ a 5 1
a 1 b 5 0,3
⇒ a 5 0 e b 5 0,3

a – b 5 20,3
( )
p
p
5 21 ⇒ 1 1 b ? sen
5 21 ⇒ 1 1 b ? 1 5 21 ⇒ b 5 22
f
2
2
Resposta: alternativa d.
• O período da senoide é de 2 cm, então:
2p
52⇒c5p
c
• Não há deslocamento horizontal da senoide: d 5 0.
Logo, a função pode ser h(x) 5 0,3 ? sen (px).
21. y 5 a 1 b sen (ct)
Im(g) 5 fa 2 |b|; a 1 bg
p5
2p
c
25. Como a função pedida é derivada de uma função cosseno, temos
de considerar uma translação de 3 e para a direita [portanto,
d
5 3]. Além disso, o gráfico nos mostra que o período é
2
c
a 2 b = 2

a 1 b = 4
2a = 6 ⇒ a = 3
4 [portanto, c 5
b51
35
2p
2p
⇒ |c| 5
c
3
y 5 3 1 sen
2
( 23p t)
d
d
3p
53⇒ 2
53⇒d5 2
p
c
2
2
A imagem é Im 5 [22, 2], portanto a 5 0 e b 5 2.
Resposta: alternativa d.
Dessa forma, a função é x 5 2 ? cos
( xp6 )
xp
v(x) 5 3 2 ? sen (
12 )
22. C(x) 5 2 2 cos
são A 5 2,  5
L(3) 5 3 2 ? sen
p
p
2 2 2 cos  ⇒

4
2 
⇒ L(3) 5 3 2 ?
2
2 f2 2 0g ⇒ L(3) 5 3 2 2 ⇒
2
1. Considerando as medidas dos ângulos e das distâncias na ilustração, h1 a hipotenusa do triângulo retângulo no 1o trecho e h2 a hipotenusa do triângulo retângulo no 2o trecho, temos:
• Como o período da senoide é 8 m, então:
2p
p
58⇒c5
c
4
• Não há deslocamento horizontal: d 5 0.
Logo, a função pode ser v(x) 5 2 ? sen
( p4 x).
24. Queremos uma função do tipo h(x) 5 a 1 b ? sen (cx 1 d) por
causa da aparência do gráfico:
Frank van den Bergh/iStock.com/Getty Images
Resposta: alternativa c.
a 1 b 5 2
⇒ a 5 0e b 5 2

a 2 b 5 22
p
3p
e  52
.
2
2
Pensando no Enem
Observando as alternativas e sabendo que o lucro é igual a uma
unidade de reais, conclui-se que o lucro é de 1 mil reais, R$ 1 000,00.
23. Vamos optar por uma função do tipo v(x) 5 a 1 b ? sen (cx 1 d)
por causa da aparência do gráfico. Optaremos também por b e c
positivos, que é o mais comum.
Então, temos:
• Im 5 [22, 2]
( p2 t 2 32p ) e as constantes
Observa•‹o: Podemos considerar também que seja uma translad
ção de 1 s para a esquerda, e então 2 5 21, que resultaria em
c
p
p
3p
são arcos côngruos, portanto am. Note que
e 2
d5
2
2
2
bas as respostas estariam corretas do ponto de vista matemático.
L(x) 5 v(x) 2 c(x)
⇒ L(3) 5 1
p
], e assim:
2
SEGUNDO TRECHO
PÃO DE AÇÚCAR/MORRO DA URCA
h2
176 m
13,58
PRIMEIRO TRECHO
MORRO DA URCA/PRAIA VERMELHA
h1
220 m
258
ALTURA DO
PÃO DE AÇÚCAR
396 metros
PRAIA VERMELHA
ALTURA DO
MORRO DA URCA
220 metros
220
220
⇒ h1 5
⇒ h1 . 520 metros
h1
sen 258
176
176
sen 13,58 5
⇒ h2 5
⇒ h2 . 755 metros
h2
sen 13,58
sen 258 5
Manual do Professor - Capítulo 3
355
Banco de imagens/Arquivo da editora
19. a) p 5
Explicando as alternativas erradas:
Os valores da alternativa a correspondem a utilizar os cossenos
dos ângulos, determinando, assim, as distâncias horizontais e não
o comprimento dos cabos.
Os valores da alternativa b correspondem a utilizar as tangentes
dos ângulos.
Os valores da alternativa d correspondem a multiplicar – em vez
de dividir – os valores das alturas dos morros pelos senos (erro na
resolução das equações).
Os valores da alternativa e correspondem, no cálculo do segundo
trecho, a utilizar a altura de 396 m do Morro do Pão de Açúcar em
vez de 396 2 220 5 176 m; no cálculo do primeiro trecho, o valor
está correto.
2. Ao analisarmos a expressão que representa o ângulo compreendido entre a posição do braço e o eixo vertical f(t), em função do
tempo (t), em segundos, concluímos que o maior ângulo obtido
ocorre quando o seno da expressão for máximo, ou seja, igual a 1.
Logo,
5
(
1808
5 208
9
Resposta: alternativa c.
3. A partir da figura contendo os pontos cardeais, verificamos que o
trecho circular que une os pontos mais ao Norte e mais ao Nordeste, representa da praça circular, ou seja,
Comprimento do passeio 5 Comprimento da pista ?
Resposta: alternativa c.
Banco de imagens/Arquivo da editora
2. Pela lei dos cossenos, temos:
Dam d’Souza/Arquivo da editora
)
p
p
p
8p
3 
t2
? sen 
5
?15
5
 3
9
4 
9
9
f (t )máx. 5
d
20 km
89 km
1208
N
Trecho referente ao passeio
NE
O
L
S
Logo,
Comprimento do passeio 5
d2 5 892 1 202 2 2 ? 89 ? 20 ? cos 1208
d2 5 7 921 1 400 1 1 780
d2 5 10 101
d . 100 km
Explicando as alternativas erradas:
Na alternativa a considerou-se cos 1208 5 0,5 ou não se efetuou a
regra de sinais no produto.
d 5 6 541
2
d . 81 km
Na alternativa b considerou-se apenas:
d2 5 892 1 202
d2 5 8 321
1
? 2pR ⇒
8
⇒ Comprimento do passeio .
2 ? 3,14 ? 30
. 23,55 m
8
Como as alternativas só apresentam valores em forma de raiz, ao
elevarmos 23,55 ao quadrado vemos que 522 é o resultado mais
próximo. Assim a alternativa correta é a letra d.
4. Desejamos T(h) . 22, então
(
)
(
cos Xˆ 5
)
Na alternativa c foi utilizada a lei dos cossenos, de forma errada,
[ Assim, temos
como:
cos 

d2 5 5 238
d . 72 km
Na alternativa e foi utilizada a lei dos senos, considerando o termo
“perpendicular”, como em:
d
89
5
⇒ d . 77 km
sen 1208
sen 908
Resposta: alternativa d.
Vestibulares de Norte a Sul
1. Do gráfico, temos f(0) 5 5. Do enunciado, f(p) 5 5.
Novamente observando o gráfico, temos que em x 1 p completa-se
um período. Então, o período deste gráfico é p, e assim:
f(3p) 5 f(p) 5 f(0) 5 5.
Resposta: alternativa b.
356
Manual do Professor
)
1
2
p
5p
7p
11p
Xö 5
5
5
5
L
3
3
3
3
d2 5 7 921 1 400 2 3 083
(
h19 
h19 
18 1 8 cos 
p . 22 ⇒ 8 cos 
p .4 ⇒
 12

 12

h19 
1

p .
⇒ cos
 12

2
d . 91 km
d2 5 892 1 202 2 2 ? 89 ? 20 ? sen 1208
1
8
( h 112 9 )p 5 cos ( p3 ) ⇔ h 121 9 5 31 ⇔
⇔ 12 5 3h 1 27 ⇔ 3h 5 215 ⇔ h 5 25
(não serve, pois h  [0, 24])
(
)
( )
h19 
5p
h19
5
⇔
⇔
cos 
p 5 cos
5
 12

3
12
3
⇔ 60 5 3h 1 27 ⇔ 3h 5 33 ⇔ h 5 11
(a temperatura ultrapassa os 228 as 11 horas)
(
)
( )
h+9 
7p
h19
7
cos 
p 5 cos
⇔
5
⇔
 12

3
12
3
⇔ 84 5 3h 1 27 ⇔ 3h 5 57 ⇔ h 5 19
(a temperatura permanece acima dos 228 até as 19 horas)
(
)
( )
h19 
11p
h19
11
⇔
⇔
cos 
p 5 cos
5
 12

3
12
3
⇔ 132 5 3h 1 27 ⇔ 3h 5 105 ⇔ h 5 35
(não serve, pois h  [0, 24])
Logo, o número máximo de horas consecutivas em que a temperatura foi superior a 22 8C é de 19 2 11 5 8; 8 horas.
Resposta: alternativa 04.
5. A intensidade de radiação será máxima quando o seno presente
na lei que expressa a intensidade média de radiação em função
do tempo, em dias, for igual a 1.
Assim,
sen 

∴
2p(d 2 77 ) 
p
5 1 5 sen 908 5 sen

2
365
8. Dados do problema:
µ 5 1208.
$ 5 158; BDC
AC 5 20 m; CD 5 40 m; BCD
$
$
µ
$
CBD 5 180 2 (BCD 1 BDC ) ⇒ CBD 5 180 2 (15 1 120) ⇒
$ 5 458
$ 5 180 2 (15 1 120) ⇒ CBD
$ 5 45; CBD
⇒ CBD
B
2p(d 2 77)
p
5
⇒ 4 p(d 2 77) 5 365p ⇒
365
2
458
⇒ 4d 5 365 1 288 ⇒ d 5 163,25
1208
A
O dia em que a radiação máxima ocorre é o dia 163,25 do ano (centésimo sexagésimo terceiro dia, mais um quarto de dia). Levando
em consideração o mês comercial de 30 dias, temos
mês 5
163,25
. 5, 45
30
20 m
D
158
C
Pela Lei dos senos temos que
Ou seja, o 6o mês do ano ( junho) é o que terá o dia com maior
radiação.
Resposta: alternativa b.
6. A questão pode ser resolvida por eliminação das alternativas através de análise e teste. Inicialmente, podemos eliminar as alternativas d e e já que não representam funções periódicas. Após feito
isso, vamos analisar as demais alternativas através de testes com
os dados contidos no gráfico:
Para t 5 0h, temos que o valor da unidade relativa do ar é de 50%,
testando, temos
a) f (t ) 5 50 1 20 ? cos(2pt) 5 50 ⇔
40 3 2 20 2
⇒
2
40 3 2 20 2
2
40 3 2 2 20 2 2
⇒ AB 5
⇒
?
5
2
2
2 2
40 3 2 2 20 ? 2
40 6 2 40
⇒ AB 5
5
5 20 ? 2, 4 2 20 ⇒
2
2
⇒ AB 5 48 2 20 5 28; AB 5 28 m
⇒ AB 5
9. De acordo com o enunciado temos que a diferença em graus entre os dois navios é de 608. Assim, temos que
N1
⇔ 50 5 50 1 20 ? cos(2p ? 0) ⇔ 50  70 (Falso)
14243
11
b) f (t ) 5 50 1 20 ? cos(2pt) 5 50 ⇔
(
40
CD
CB
20 1 AB
5
5
⇒
⇒
sen 45°
sen 120°
sen Bˆ
sen Dˆ
40
20 1 AB
40 3
20 2
AB 2
5
5
1
⇒
⇒
⇒
2
2
2
2
3
2
2
⇒ 40 3 5 20 2 1 AB 2 ⇒ AB 2 5 40 3 2 20 2 ⇒
)
16
km
2p
⇔ 50 5 50 1 20 ? cos
? 0 ⇔ 50  70 (Falso)
1244
14
42
3
11
d
( 12p ? t) 5 50 ⇔
p
⇔ 50 5 50 1 20 ? sen(
? 0 ⇔ 50 5 50 (Verdadeiro)
1243)
142
608
c) f (t ) 5 50 1 20 ? sen
0
Ou seja, a resposta é a alternativa c.
7. Inicialmente obtemos a velocidade média do robô: v ROBÔ 5
7m
16 min
Em busca de encontrarmos o valor de d, utilizamos a lei dos cossenos:
6c
m
N2
A partir da figura podemos encontrar o valor de d utilizando a lei
dos cossenos:
1
⇒ d 2 5 256 1 36 2 96 ⇒
2
⇒ d 2 5 196 ⇒ d 5 14 km
d 2 5 162 1 62 2 2 ? 16 ?
Resposta: alternativa b.
10. Cálculo do período:
1208
A
4,5 m
608
2,5 m
B
d
P
d 5 (4,5) 1 (2,5) 2 2 ? (4,5) ? (2,5) ? cos 608 ⇒
1
⇒
2
2
⇒ d 5 15,25 . 3,9 ⇒ d 5 4m
Logo, o tempo gasto pelo robô para ir de B à P é
16 min
7m
x min
4m
2
2
2
⇒ d2 5 (20,25) 1 (6,25) 2 2 ? (11,25) ?
64
. 9,14 min ⇒
7
⇒ x . 996 (nove minutos e seis segundos)
7 x 5 64 ⇒ x 5
Resposta: alternativa a.
2p
2p
5
5 2 ? 6 5 12
p
valor que multiplica a incógnita (t)
6
Período 5 12 horas
Temperatura máxima:
A temperatura máxima é atingida quando o valor do cosseno é
igual a 1, assim, a temperatura máxima é
Tmáx. 5 24 1 3 ? 1 5 27
Tmáx. 5 27 8C
Horário em que ocorreu a temperatura máxima:
Como o evento ocorre quando o cos 5 1, temos
cos
( p6t 1 p3 ) 5 1 ⇒ cos ( p6t 1 p3 ) 5 cos 2p ⇒
pt
p
pt 1 2p
1
5 2p ⇒
5 2p ⇒ 12p 5 p(2 1 t ) ⇒
6
3
6
⇒ 12 2 2 5 t ⇒ t 5 10
⇒
Como as medições se iniciaram às 5h (a.m.), o horário do ocorrido,
então, é às 15h.
Resposta: alternativa c.
Manual do Professor - Capítulo 3
357
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
Período =
 2
11.  6
 3
Unidade 2
Capítulo 4

 1
 1 6

 2

 0
 2 4

 22

 3
 5 8

 7



 2 
 1 
 0 
 1 
 6  2 6  1 4  5 4 
 3 
 2 
 22 
 21 
 a11 a12 a13 
4. a) A 5 
 a21 a22 a23 
a11 5 12 1 12 5 2
 2 
 1
 6  2 6
 3 
 2
a12 5 12 1 22 5 5
a13 5 12 1 32 5 10

 0
 2 4

 22

 1
 5  24

 3



a21 5 22 1 12 5 5
a22 5 22 1 22 5 8
12. a11 5 1 1 2 5 3
a21 5 2 1 2 5 4
a23 5 22 1 32 5 13
A matriz pedida é A 5  2 5 10  .
 5 8 13 


b) X 5 


a11
a21
a31
a 41
a12
a22
a32
a 42
Portanto, A 5  3 0  .
 4 6





b11 5 13 5 1
b12 5 0
b21 5 23 5 8
b22 5 23 5 8
Portanto, B 5  1 0  .
 8 8 
a11 5 2 · 1 2 1 5 1
a21 5 2 · 4 2 1 5 7
a31 5 2 · 9 2 1 5 17
a 41 5 2 · 16 2 1 5 31


A matriz pedida é X 5 

a12 5 0
a22 5 2 1 4 5 6
a12 5 2 · 12 2 5 0
a22 5 2 · 4 2 2 5 6
a32 5 2 · 9 2 2 5 16
a 42 5 2 · 16 2 2 5 30
1
7
17
31
0
6
16
30


.







A1B 5 3 0 1 1 0 5 4 0 
 4 6
 8 8
 12 14 






B1A5 1 0 1 3 0 5 4 0 
 8 8
 4 6
 12 14 
13. a11 5 3 2 2 5 1
a21 5 6 2 2 5 4
a12 5 3 2 4 5 21
a22 5 6 2 4 5 2
5. a) a11 5 4(1) 2 2(1) 1 3 5 4 2 2 1 3 5 5
a12 5 4(1) 2 2(2) 1 3 5 4 2 4 1 3 5 3
a215 4(2) 2 2(1) 1 3 5 8 2 2 1 3 5 9
a22 5 4(2) 2 2(2) 1 3 5 8 2 4 1 3 5 7


Portanto, A 5  1 21  .
 4 2 
b11 5 12 5 1
b21 5 42 5 16
b12 5 (21)2 5 1
b22 5 22 5 4


A matriz pedida é  5 3  .
 9 7 
b) a11 5 13 2 2 · 15 12 2 521
Portanto B 5  1 1  .
 16 4 
a12 5 13 2 2 · 2 5 12 4 523
3
a13 5 1 2 2 · 35 12 6 525
a ) A 2 B 5  1 21  2  1 1  5  0 22 
 4 2 
 16 4 
 212 22 
a21 5 23 2 2 · 15 8 2 2 5 6
a22 5 23 2 2 · 2 5 8 2 4 5 4
b ) A 1 B 5  1 21  1  1 1  5  2 0 
 4 2 
 16 4 
 20 6 
a23 5 23 2 2 · 35 8 2 6 5 2
a31 5 33 2 2 · 15 27 2 2 5 25
a32 5 33 2 2 · 2 5 27 2 4 5 23
14. a11 5 2(1) 1 3(1) 2 5 5 2 1 3 2 5 5 0
a33 5 33 2 2 · 35 27 2 6 5 21
a12 5 2(1) 1 3(2) 2 5 5 2 1 6 2 5 5 3
 21 23 25 
A matriz pedida é  6 4 2  .
 25 23 21 
a21 5 2(2) 1 3(1) 2 5 5 4 1 3 2 5 5 2
a22 5 2(2) 1 3(2) 2 5 5 4 1 6 2 5 5 5
A 5  0 3  ⇒ 2A 5  0 23 
 2 5
 22 25 
6. 3  10 2 2  6 5 30 2 12 5 18
7. • 2b 5 6 ⇒ b 5 3
•a 1 b5 9 ⇒ a 1 3 5 9 ⇒ a5 6
• b 1 c 5 21 ⇒ 3 1 c 5 21 ⇒ c 5 24
• 2a 2 3d 5 18 ⇒ 12 2 3d 5 18 ⇒ 23d 5 6 ⇒ d 5 22


d) A t 5  2 3 
 1 2 
 a1b21 0  0 0
10.  a 2 3c b  5  0 0  ⇒ b 5 0


2b
0   0 0 

•a 1 b 2 1 5 a 1 0 2 1 5 0 ⇒ a 5 1
Portanto, a 5 1, b 5 0 e c 5
358
Manual do Professor
1
.
3






b) A 2 B 5  2 1  1  21 25  5  1 24 
 3 2 
 22 2 
 1 4 

 

c) 5 A 5 5 2 1  5  10 5 
 3 2   15 10 
9.  m1 n m  5  1 0  ⇒ m 5 0 e n 5 1
 0
n   0 1 
• a 2 3c 5 1 2 3c 5 0 ⇒ 23c 5 21 ⇒ c 5






17. a) A 1 B 5  2 1  1  1 5  5  3 6 
 3 2 
 2 22 
 5 0 


e) B t 5  1 2 
 5 22 
1
3






f) A t 1 B 5  2 3  1  1 5  5  3 8 
 1 2 
 2 22 
 3 0 






g) A 1 B t 5  2 1  1  1 2  5  3 3 
 3 2 
 5 22 
 8 0 
 1 3  2 1 3 4
• At 1 B t 5 
1
5
2 4  0 2 2 6
h) 3A t 5 3 ·  2 3  5  6 9 
 3 6 
 1 2 




i) (5 A 2 B )t 5   10 5  2  1 5
 2 22
  15 10 

Lo
ogo, (A 1 B) 5 At 1 B t .
t
t


 5


2
c) • 2 A 5 
6
1
• At 5 
2
t






5   9 0   5  9 13 
 0 12 
  13 12  


21 2 t
21 2
d) • (A 2 B)t 5 
5
 2 2
 2 2
t
t
 1 3
 2 1 21 2
• At 2 B t 5 
2
5
2 4
 0 2  2 2






5 6 9  2 6 9  5 0 0 
 3 6 
 3 6 
 0 0 
Logo, (A 2 B) 5 At 2 B t .
t




 
k) 2 At 1 B t 5 2   2 3  1  2 3   5 2 3 5  5
 6 0 
  1 2   1 22  
)


5  23 25 
 26 0 

 



20. a) A t 1 B 5  2 3  1  1 5  5  3 8 
 2 22   3 0 
 1 2 
t
  10 5   1 5  
t
b) 5 A 2 B 5  
 2
 5
  15 10 2 22 
(
)
t
 9 0 
 9 13
5 
  5  0 12
  13 12 
18. a) a11 5 1 1 1 5 2
a12 5 0
a13 5 0
a21 5 0
a22 5 2 1 2 5 4
a23 5 0
a31 5 0
a32 5 0
a33 5 3 1 3 5 6

 
 

21. c) A 1 B 5  23 21  1  67 89  5  90 110 
 28 36   122 104   150 140 
Total de downloads dos dois jogos nos dois dias.
 2 0 0
A5  0 4 0
 0 0 6



 

d) B 2 A 5  67 89  2  23 21  5  44 68 
 122 104 
 28 36   94 68 
Quantidade de downloads que foi feita a mais no dia 24 de
outubro.
e) 10% → 0,10 5 0,1
C 5 0,1 ? (A 1 B)



 2 0 0
b) A 1 I3 5  0 4 0
 0 0 6

 1 0 0 
 3 0 0 
 1 0 1 0  5  0 5 0 

 0 0 1 
 0 0 7 


21  5
23. a) AB 5  1 3   4
 0 22   1 2 
 2 0 0   0 0 0   2 0 0 
c) A 1 0 3 5  0 4 0  1  0 0 0  5  0 4 0 
 0 0 6   0 0 0   0 0 6 
 2 0 0
d) 3A 5 3 0 4 0
 0 0 6
 2 0 0
e) A t 5  0 4 0
 0 0 6

 6 0 0
 5  0 12 0

 0 0 18
 1?4 1 3?1
1 ? ( 2 1) 1 3 ? 2 
 7
5 
5 
 5  22 24 
 0 ? 4 1 ( 22) ? 1 0 ? ( 2 1) 1 ( 22) ? 2 






b) BA 5  4 21   1 3  5
 1 2   0 22 
 4 ? 1 1 ( 2 1) ? 0 4 ? 3 1 ( 2 1) ? ( 22) 
5 
5  4 14 
 1 21 
1 ? 3 1 2 ? ( 22) 
 1?1 1 2?0



 2 0 0
f) A 1 A t 5  0 4 0
 0 0 6

 2 0 0 
 4 0 0
 1 0 4 0  5  0 8 0

 0 0 6 
 0 0 12



 2 0 0 
 2 0 0 
 0 0 0 
t
g) A 2 A 5  0 4 0  2  0 4 0  5  0 0 0 
 0 0 6 
 0 0 6 
 0 0 0 
h) 2 A 1 3A t 2 I3 5
 2 0 0
5 2 0 4 0
 0 0 6
6
8
6
8
Portanto, (2 A)t 5 2 At .


j) (3A)t 2 3At 5   6 3   2 3 ?  2 3  5
 1 2 
 9 6 


(
4
2
⇒ (2 A)t 5 
4
8
3
2
t
⇒ 2A 5 
4
4

 2 0 0 
 1 0 0 
 1 3 0 4 0  2  0 1 0  5

 0 0 6 
 0 0 1 
 4 0 0 
 6 0 0 
 1 0 0 
5  0 8 0  1  0 12 0  2  0 1 0  5
 0 0 12 
 0 0 18 
 0 0 1 
 10 0 0
5  0 20 0
 0 0 30

 1 0 0 
 9 0 0
 2  0 1 0  5  0 19 0

 0 0 1 
 0 0 29
 1 3
19. a) At 5 
⇒ At
2 4
( )
t
 1 2
5
5A
3 4
3 2
t
3 4
b) • A 1 B 5 
⇒ (A 1 B) 5 
 4 6
2 6



5   0 0
 4 1 23
24. 
5
 8 2  12 220  0 0
25. a) AB 5 AB. Falso, pois temos AB ? BA no exercício 23.
b) Falso, pois no exercício 24 temos A ? 0, B ? 0 e AB 5 0.
2 3 2 3  19 9 
5
26. a) 
 5 1  5 1  15 16
3 1 3 1  11 4
b) 
5
2 1 2 1  8 3
 5 4   21 2   7 10 
c) 
5
 7 2   3 0   21 14 
 19 9   11 4 8 5 
2
5
d) 
 15 16  8 3  7 13

 



28. a) A ? I2 5  4 1  ?  1 0  5  4 1  5 A
 6 22   0 1 
 6 22 

 



b) I2 ? A 5  1 0  ?  4 1  5  4 1  5 A
 0 1   6 22 
 6 22 
Manual do Professor - Capítulo 4
359
29. a)  6 ? 2 1 5 ? 1 6 ? 4 1 5 ? 3  5  12 1 5 24 1 15  5
 1 ? 2 1 0 ? 1 1 ? 4 1 0 ? 3 
 2 1 0
4 1 0 
5  17 39 
 2 4 
 1?2 1?5 1? 0
b)  3 ? 2 3 ? 5 3 ? 0
 6 ? 2 6 ? 5 6 ? 0

 2 5 0
 5  6 15 0

 12 30 0


 5


 29 24 



5

 23 22 

 26 4 


d)  5 ? 0 1 1 ? 2 5 ? 5 1 1 ? 2 1 5 ? 1 1 1 ? 4 5 ? 6 1 1 ? 23  5
 3 ? 0 1 2 ? 2 3 ? 5 1 2 ? 2 1 3 ? 1 1 2 ? 4 3 ? 6 1 2 ? 23 
 2 24 9 27 
 0 1 2 25 2 1 5 1 4 30 2 3 
5 
 5  4 13 11 12 


 0 1 4 15 2 2 3 1 8 18 2 6 
 1 ? 3 1 6 ? 21
1?5 1 6?2
e)  22 ? 3 1 1 ? 2 1 22 ? 5 1 1 ? 2

 4 ? 3 1 3 ? 2 1 4 ? 5 1 3 ? 2
 326
5 1 12
5  26 2 1 210 1 2

 12 2 3 20 1 6

 5



 23 17 
 5  27 28 




 9 26 
 5 ? 7 1 (24 ? 26) 5 ? 4 1 (24 ? 2) 
f) 
 5
2 ? 7 1 (1 ? 26)
2? 4 1 1 ? 2 

 59 12 
 35 1 24 20 2 8 
5 
5 

8 1 2 
 8 10 
 14 2 6
30 20
 2 3 4 
 215 154 
25 18 5
30. 

 4 6 8 20 15   430 308


Portanto, são necessários 215 eixos para janeiro e 154 para fevereiro,
430 rodas para janeiro e 308 para fevereiro.
31. a) 18 2 8 5 10
b) 26 2 (28) 5 26 1 8 5 2
c) 30 2 30 5 0
d) a(a 1 b) 2 b(a 1 b) 5 a 2 1 ab 2 ab 2 b 2 5 a 2 2 b 2
e) sen x ? (cos x)21 2 [2sen x ? (cos x)21] 5 tan x 1 tan x 5
5 tan (x 1 x) 5 tan 2x
Obs.:
• temos que tan (a 1 b) 5 tan 2a 5 tan 2b, apenas nos casos
em que a 5 b.
• no Volume 3 serão apresentadas as fórmulas de adição de
arcos, de onde têm-se que:
2 ? tan a
tan 2a 5
1 2 tan2 a
f) cos2 a 2 sen2 b
32. a)
3
2 21
5
0 4
2 23
1
3
2
5
0 5 16 1 15 1 36 2 10 5 57
2 23
b)
2
1 22
3 21
0
4
1 23
2
1
3 21 5 6 2 6 2 8 1 9 5 1
4
1
c)
a 0 0
0 b a
0 1 1
d)
3 5 21
0 4
2
0 0 22
360
a 0
0 b 5 ab 2 a 2
0 1
3 5
0 4
0 0
3 0 8
0 7 7
4 9 0
f)
0 0 5
8 10 3
0 7 4



 1?5 1 3?2 1 6?3 1? 0 1 3? 4 1 6?2
c)  2 ? 5 1 5 ? 2 1 1 ? 3 2 ? 0 1 5 ? 4 1 1 ? 2

 4 ? 5 1 0 ? 2 1 2 ? 3 4 ? 0 1 0 ? 4 1 2 ? 2
 5 1 6 1 18 0 1 12 1 12

5  10 1 10 1 3 0 1 20 1 2
 20 1 0 1 6 0 1 0 1 4
e)
3 0
0 7 5 2224 2 189 5 2 413
4 9
0 0
8 10 5 280
0 7
3  1  2 21  5  1
2 
33. a) A 1 B 5  21
 3
 5 28 
 2 28 
0 
b) A t 5  21 2 
 3 28 
3  ?  2 21  5  22 1 9 1 1 0  5
c) A ? B 5  21
 4 2 24 22 1 0 
 2 28   3
0 
1 
5  7
 220 22 
3 5 8 2 65 2
d) det A 5 21
2 28
2 5 8 2 65 2
e) det A t 5 21
3 28
f) det B 5
2 21 5 0 1 3 5 3
3 0
g) det (A 1 B ) 5
1 2 5 28 2 10 5 218
5 8
h) det A 1 det B 5 2 1 3 5 5
7
1 5 2 14 1 20 5 6
220 22
j) det A ? det B 5 2 ? 3 5 6
i) det (AB ) 5 det


34. AB 5  25 220  ⇒ det (AB) 5 2280 1 240 5 240
 12 56 
35. a) 5(x 2 2) 2 18 5 2 ⇒ 5 x 2 10 5 20 ⇒ 5 x 5 30 ⇒ x 5 6
S 5 {6}
b)
2 3 22
0 1
x
2 x 23
2 3
0 1
2 x
5 26 1 6 x 1 4 2 2 x 2 5 2 ⇒
⇒ 22 x 2 1 6 x 2 4 5 0 ⇒ x 2 2 3x 1 2 5 0
∆ 5 9 2 4(1)(2) 5 1
31
⇒ x9 5 2 e x  5 1
x 5
2
S 5 {1, 2}
36. a) det I2 5
1 0 51
0 1
1 0 0
b) det I3 5 0 1 0
0 0 1
1 0
0 1 51
0 0
37. a) det A 5 0 0 5 0
0 0
3 1 3
b) det B 5 2 21 2
8 5 8
c) det D 5
d) det D 5
0 0 0
4 1 3
21 2 1
3 1
2 21 5 224 1 16 1 30 1 24 2 30 2 16 5 0
8 5
0 0
4 1
21 2
50
1
2 1 1
2
4 8 3 4 8 5 24 2 12 2 16 1 16 1 12 2 24 5 0
22 24 3 22 24
38. a) det (A ? B) 5 det A ? det B 5 5 ? 2 5 10
b) det (A2) 5 det A ? det A 5 5 ? 5 5 25
c) det (B)3 5 det B ? det B ? det B 5 2 ? 2 ? 2 5 8
5 224
Manual do Professor
39. A ? I 5 A ⇒ det (AI) 5 det A ⇒ det A ? det I 5 det A ⇒ det I 5 1
40. a) det A 5
3 1
4 6
o do eixo x , e depois

 → movemos 3 unidades àdireitaao longo
b)  3 
 21  → movemos 1 unidades para baixo ao longo do eixo y .
5 18 2 4 5 14
Sim, pois det A ? 0.
b) det B 5
2 3
4 6
ngo do eixo x , e depois
  → movemos 8 unidades àesquerdaao lon
c) 22
 21 → movemos 1 unidades parabaixo ao longo do eixo y .
5 12 2 12 5 0
Não, pois det A 5 0.
c) det C 5
1 0 21
4 2 1
5 2 3
1 0
4 2
5 2
go do eixo x , e depois
  → movemos 2 unidadesàesquerdaao long
d)  22
 4  → movemos 2 unidades para cimaao longo do eixo y .
5 6 1 0 2 8 1 10 2 2 1 0 5 6
1
2
3
6
2
8
1
2
3
49. a)   1   5   ;   1   5   ;   1   5  
 2
 3
 5  2 
 3
 5   6
 3
 9
Sim, pois det A ? 0.
41. A e B são matrizes de ordem 3.
Se B 5 A21, então: AB 5 A ? A21 5 I3.
y
B

 
 




42. a)  1 2   a c  5  1 0  ⇒  a 1 2b c 1 2d  5  1 0 
 1 3  b d   0 1 
 a 1 3b c 1 3d   0 1 
a 1 2b 5 1
2

a 1 3b 5 0
2b 5 1 ⇒ b 5 2 1
A
a53
x
c 1 2d 5 0
2

c 1 3d 5 1
2d 5 2 1 ⇒ d 5 1




 



 

b)  1  1  23  5  22  ;  6  1  23  5  3  ;
 24 
 22 
 2 
 24 
 22   2 
c 5 22


B 5  3 22 
 21 1 
 1 
 23 
 22 
 6  1  24  5  2 
y


b) A ? A21 5 I2, então A21 5 B 5  3 22 
 21 1 
43. a) det A 5
6 2
2 1
b) det A21 5
562452
A
1
3
1
21
5
215
2
2
2
21 3
c) det (A ? A21) 5 det A ? det A21 5 2 ?
1
51
2
C
44. det (A ? A21) 5 det I ⇒ det A ? det A21 5 det I ⇒ 3 ? det A21 5 1 ⇒
1
⇒ det A21 5
3
y
6

 ;
y
3
1
1
1 2 3
A
3
0
x
x
22
23
y
b)
 2 
 8
  6 
 ;  2  1  255  5  23
 1 
 2 
 3 
 6  1  25  5  1 
y
c)
 



c)  1  1  2  5  3
 2 
 25 
 23
D
x
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47. a)
x
y
d)
 3 


 



 

d)  1  1  23  5  22  ;  6  1  23
5  3 ;
 22 
 0 
 2 
 22 
 0   2 
0
 1 
 23 
 22 
 6  1  22  5  4 
4
2
1
4 5
x
y
x
0
5
A
22
  → movemos 2 unidades àdireitaao longo do eixo x , e depois
48. a)  2 
 3  → movemos 3 unidades para cimaao longo do eixo y .
E
x
Manual do Professor - Capítulo 4
361
50.
y
52.
y
y
b)
a)
D
b)
A
0
x
0
a)
b)
x
a)
x
0


c)  cos 908 2sen 908    1 4 4 5  5
 1 3 2 1 
 sen 908 cos 908 






5  0 21    1 4 4 5  5  21 23 22 21 
 1 0 
 1 3 2 1 
 1
4
4
5 
y
a)
53. a)
0
y
y
y
x
b)
x
x
c) Matrizes associadas às figuras refletidas:
y
b)
 0
1
3   0 2 3   21 23 25 24 
 23 25 21  ;  2 0 4  ;  22 22 21 24 
Rota•‹o de 908
Multiplicando pela matriz dada:
 1 0 



1
3 
 0 1 3  5 0
 0 21 
 3 5 1 
 23 25 21 
x
 1 0 
 0 2 3 
 0 2 3 
 0 21    22 0 24  5  2 0 4 
y
 1 0 
 21 23 25 24 


5  21 23 25 24 
 0 21    2 2
 22 22 21 24 
1
4 
y
51.
b)
Rota•‹o de
1808
y
x
a)
x
x
b)
a)
y
Rota•‹o de
2708
y
a)
x
b)
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
x


c) Matriz associada de A9:  21 23 23 
 1
1
3 
c) Matrizes associadas às figuras refletidas:
 0 21 23   0 22 23   1 3 5 4 
;
;
 3 5
1   22 0 24   2 2 1 4 


Matriz associada de B9:  22 21 25 24 
 22 24 24 22 

3
3
1 
Matriz associada de C9:  1
 21 21 24 24 
y
Multiplicando pela matriz dada:
 1 0 




  0 1 3  5  0 21 3 
 0 21 
 3 5 1 
 3 5 1 
 1 0 
 0 2 3 
 0 22 23 
 0 21    22 0 24  5  22 0 24 
 1 0 
 21 23 25 24 


5 1 3 5 4 
 0 21    2 2
 2 2 1 4 
1
4 
362
Manual do Professor
x
x
56. Depois de explorarem vários exemplos, os alunos poderão concluir que:
a) Ela fica “espichada” (“esticada”) na direção positiva do eixo Ox
se k é positivo e na direção negativa do eixo Ox se k é negativo.
b) A área de uma figura transformada é k vezes a área da figura
inicial.
 cos 90° 2sen 90° 
 1 1 3 
 sen 90° cos 90°    1 3 3  5
5  0 21    1 1 3  5  21 23 23 
 1 0 
 1 3 3 
 1
1
3 
 cos 90° 2sen 90° 


 2 1 5 4  5
 2 4 4 2 
 sen 90° cos 90° 






5  21 0    2 1 5 4  5  22 21 25 24 
 0 21 
 2 4 4 2 
 22 24 24 22 
 cos 90° 2sen 90° 
 1 1 4 4 
 sen 90° cos 90°    1 3 3 1  5
x 1 y 5 5
1. a) 
1
x 2 y 5 1
2x 5 6 ⇒ x 5 3
y52





3
3
1 
5  0 1   1 1 4 4  5  1
 21 0 
 1 3 3 1 
 21 21 24 24 
 2x 1 y 5 0
2 x 1 y 5 0
b) 
⇒ 
x 1 4 y 5 14 ? ( 22)
22 x 2 8 y 5 228
2 7y 5 228 ⇒ y 5 4
x 5 22
y
54.
A
120 x 1 10 y 5 10
20 x 1 10 y 5 10
c) 
⇒ 
x 1 y 5 2 ? ( 2 10)
210 x 2 10 y 5 220
10x 5 2 10 ⇒ x 521
211y52⇒y53
A’
x
Neste caso, a matriz de transformação escala é dada por:
 Sx
 0

0 


5 3 0 
S y 
 0 1 
b) 2(3) 1 3(25) 5 6 2 15 5 29 ? 21
(3, 25) não é solução da equação dada.
55. a) Área de A: 5 unidades de área
4. a) 2(1) 1 3 1 5(2) 5 2 1 3 1 10 5 15


b) Matriz associada à figura A:  0 0 1 2 2 
 0 2 3 2 0 
Para A1:
É solução.
b) 2(0) 1 7(0) 2 3(0) 5 0
 3 0   0 0 1 2 2   0 0 3 6 6 
 0 1    0 2 3 2 0  5  0 2 3 2 0 
3
y
5. 3(3) 2 2(k ) 5 5 ⇒ 9 2 2k 5 5 ⇒ 22k 5 24 ⇒ k 5 2
4k 1 10 2 3(k 1 1) 5 10 ⇒ 4k 1 10 2 3k 2 3 5 10 ⇒ k 5 3
A
1
0
1
A1 ⬘
2
3
4
5
6
x
Área de A19: 15 unidades de área
Para A2:
 22 0   0 0 1 2 2   0 0 22 24 24 
 0 1    0 2 3 2 0  5  0 2 3
2
0 
3
A2⬘
1
⫺1
0
2 ? 3 2 5(21) 5 11
7. a) 
3 ? 3 1 6(21) 5 3
(3, 21) é uma solução do sistema.
0 1 0 1 0 5 0

b) 2 ? 0 2 3 ? 0 1 5 ? 0 5 0
4 ? 0 1 7 ? 0 2 3 ? 0 5 0

(0, 0, 0) é uma solução do
o sistema.
0 1 1 5 1

c) 0 2 1 5 2 1
3 ? 0 1 ( 2 1) 5 1

(0, 21) não é solução do sistema.
y
2
⫺4 ⫺3 ⫺2
É solução.
6. (k , 2, k 1 1)  4 x 1 5 y 2 3z 5 10, então:
2
⫺1
22 x 22 y 5 2 12
2x 2 y 5 26 ? ( 22)
⇒ 
d) 
2 x 2 3 y 5 23
12 x 23 y 5 23
25y 5 2 15 ⇒ y 5 3
2x 2 3 5 2 6 ⇒ x 5 3
3. a) 4(6) 2 3(2) 5 24 2 6 5 18
(6, 2) é uma solução da
a equação dada.
 3 0 
 2 2 6 
 6 6 18 
 0 1    2 6 2  5  2 6 2 
⫺3 ⫺2
Capítulo 5
A
1
2
3
x
Área de A29: 10 unidades de área
c) A transformação A1 “espichou” a figura A na direção positiva do
eixo Ox, segundo um fator 3. A transformação A2 “espichou” a
figura A na direção negativa do eixo Ox, segundo um fator 22.
4 x 1 2 y 5 4
4 x 1 2 y 5 4
⇒
8. a) 
2 x 1 y 5 5 · (22)
24 x 2 2 y 5 210
0 5 26
O sistema é impossível, ou seja, S 5 .
9 x 2 6 y 5 236
3x 2 2 y 5 212 · (3)
⇒
b) 
5
x
1
6
y
5
8

5 x 1 6 y 5 8
14 x 5 228 ⇒ x 5 22
5(22
2) 1 6 y 5 8 ⇒ 2 10 1 6 y 5 8 ⇒ 6 y 5 18 ⇒ y 5 3
Log
go, o sistema é possível e determinado e S 5 {(22
2, 3)}.
Manual do Professor - Capítulo 5
363
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d)
c) 5 x 2 10 y 5 15 ? (2)
10 x 2 20 y 5 30
⇒

2
x
2
4
y
5
6
?
(
−
5
)

210 x 1 20 y 5230
050
Logo, o sistema é possível e indeterminado (possui infinitas
 5
b)  1 1 2   x 
 1 22 1  ?  y  5  3
 2 21 3  
 24
 z 
1 1 2
1 22 1
2 21 3
soluções).
Fazendo x 5 a , temos:
2a 2 4 y 5 6 ⇒ 24 y 5 22a 1 6 ⇒ 4 y 5 2a2 6 ⇒
⇒ y5
2(a2 3)
2a2 6
a2 3
5
5
4
4
2
(
O par a ,
)
a23
é a solução geral do sistema.
2
9. a) Representação gráfica:
4 x 1 2 y 5 4 → (1, 0), (0, 2), …

2 x 1 y 5 5 → (1, 3), (2, 1), …
3
2
2x 1 y 5 5
4x 1 2y 5 4
b) Representação gráfica:
3x 2 2 y 5 212 → (0, 6), ( 22, 3), …

5 x 1 6 y 5 8 → ( 22, 3), (4, 22), …
3x 2 2y 5 212
5
4
3
Na 2 a equação, temos:
2 y 2 (23) 5 1 ⇒ 2 y 5 1 2 3 ⇒ y 5 21
1
Na 1a equação, temos:
2 x 2 (21) 1 3( 23) 5 0 ⇒ 2 x 1 1 2 9 5 0 ⇒ 2 x 2 8 5 0 ⇒
⇒x54
Portanto, o sistema é possíível e determinado e
S 5 {(4, 21, 23)}.
x
0
21
1
22
2
3
4
5x 1 6y 5 8
c) Representação gráfica:
(
b) Da 3a equação já deduzimos que o sistema é impossível. Então,
S 5 .
c) O número de equacões é menor do que o número de incógnitas.
A incógnita livre é x3. Fazemos x 3 5 k , com k  R .
)
5 x 2 10 y 5 15 → 2, 2 1 , (3, 0), …

2

2 x 2 4 y 5 6 → (3,0), ( 21, 22), …
Da 2 a equação, temos:
x2 2 k 5 0 ⇒ x2 5 k
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y
Da 1a equação, temos:
2
1
22 21 0
21
5x 2 10y 5 15
2
1
22

  x 


5  8 
10.  2 5  ? 
 1 1   y 
 7 
a)
2 5
1 1
5 2 ? 1 2 5 ? 1 5 2 2 5 5 23
det ? 0 (Sistema determinado)
364
x 5 4 → S 5 {2, 4}
13. a) Da 3 a equação, z 5 23.
2
23 22 21
 0 ⇒ 16 2 m2  0 ⇒ m2  16 ⇒ m  4 e
x 1 y 1 z 5 0

c)  y 1 2z 5 0 ⇒ z 5 0, y 5 0 e x 5 0 → S 5 {0, 0, 0}

z50

x 1 y 2 z 5 0

x 1 y 5 1 ⇒ x 5 0, y 5 1 e z 5 21 → S 5 {21, 0, 1}


x 50

Os sistemas não são equivalentes.
y
6
2 m
m 8
m  24
11. D 5
x 1 y 1 z 5 10

y 1 2z 5 5 ⇒ z 5 0, y 5 5 e x 5 5 → S 5 {0, 5, 5}
b) 

z50

x 1 y 2 z 5 7

x 1 y 5 8 ⇒ x 5 5, y 5 3 e z 5 1 → S 5 {1, 3, 5}


x 55

Os sistemas não são equivalentes.
x
1
1 2 ? 1 ? (21) 2 2 ? (22) ? 2 2 1 ? (21) ? 3 ? 1 ? 1 5 0
det 5 0 (Sistema não determinado)
x 1 2 y 5 8
⇒ x 5 4 e y 5 2 → S 5 {2, 4}

x 54

Os sistemas são equivalentes.
2
21 0
5 1 ? (22) ? 3 1 1 ? 1 ? 2 1
x 1 y 5 6
12. a) 
⇒ y52 e
y 52

y
1



Manual do Professor
3
x
2x 2 4y 5 6
3x 1 2 2k 1 k 5 2 ⇒ 3x 1 5 k 1 2 ⇒ x 1 5
k12
3
O sistema é possível e indeterminado e a solução geral é
k12
, k, k .
3
(
)
d) Da 4 a equação, w 5 22.
Na 3 a equação, temos:
2z 2 2(22) 5 1 ⇒ 2z 1 4 5 1 ⇒ 2z 5 23 ⇒ z 5 3
Na 2 a equação, temos:
y 132255⇒ y 1155⇒ y 5 4
Na 1a equação, temos:
x 2 4 1 3 1 2 5 0 ⇒ x 1 1 5 0 ⇒ x 5 21
Portanto, o sistema é possível e determinado e
S 5 {(21, 4 , 3, 22)}.
e) O número de equações é menor do que o número de incógnitas e
as incógnitas livres são b e d. Fazemos b 5 a e d 5 b, com a  R e
b  R.
Da 2 a equação, temos :
c 2b50 ⇒ c 5b
Da 1 equação, temos:
a 1 2a 2 b 1 b 5 2 ⇒ a 5 2 2 2a
O sistema é possível e indeterminado e a solução geral é
(2 2 2a, a, b, b).
3x 2 5 ∙
1
. Substituindo na 1a equação, temos:
2
5
17
17
1
5 6 ⇒ 3x 5
1 6 ⇒ 3x 5
⇒x5
2
2
2
6
Portanto, o sistema é possível e determinado e S 5
{( 176 , 21 )}.
x 1 y 5 20
14. 
x 2 y 5 4
2 x 5 24 ⇒ x 5 12
12 1 y 5 20 ⇒ y 5 8
12a 5 32 2 16
ax 1 2 y 5 32
12a 1 2 ? 8 5 32
⇒
⇒ 
⇒ 

28b 5 20 2 36
3x 2 by 5 20
3 ? 12 2 8b 5 20
4
⇒a5
eb52
3
15. Sim, representam sistemas equivalentes, pois 2 retas concorrentes
são a representação gráfica de sistemas determinados e o ponto
em comum das retas concorrentes representa a solução do sistema. Observando os dois planos cartesianos, percebe-se que o ponto
em comum nas duas situações é o mesmo, portanto representam
sistemas com a mesma solução, e assim, são equivalentes. A solução S 5 {(4, 3)} é comum aos dois sistemas.
Resolvido passo a passo
5. a) Ao resolver o sistema no exercício anterior encontramos os
seguintes valores:
L 5 170 km, A 5 120 km e V 5 60 km.
Logo,
• se L 5 170 km
170 ? 20
 113
As quilocalorias serão:
30
170 ? 4 000
Os passos serão:
 22 667
30
• se A 5 120 km
120 ? 20
5 80
30
120 ? 4000
5 16 000
Os passos serão:
30
se V 5 60 km
60 ? 20
5 40
As quilocalorias serão:
30
60 ? 4 000
Os passos serão:
5 8 000
30
As quilocalorias serão
•
 x 1 3 y 1 z 5 0 ? ( 23) (I)

16. a) 3x 2 3 y 1 z 5 8
(II) Inverter (III) com (II)

2y 1 z 5 0
(III)

x 1 3 y 1 z 5 0

2 y 1 z 5 0 ? ( 26)

 2 12y 2 2z 5 8

x 1 3y 1 z 5 0

2y 1 z 5 0


4z 5 8 ⇒ z 5 2

22
x 1 2 y 1 4 z 5 0

b) 2 x 1 3 y 2 z 5 0
x 2 14 z 5 0

a
f) Da 2· equação, y 5
2y 1 2 5 0 ⇒ y 5 21
x 1 3(21) 1 2 5 0
x51
Sistema possível e determinado, com solução (1,21, 2).
21
x 1 2 y 1 4 z 5 0

⇒  2 y 2 9z 5 0
 22 y 2 18 z 5 0

Notamos que a 2a e a 3a equações são equivalentes, o que significa que temos duas equações e três incógnitas. Portanto, o
sistema é possível e indeterminado. Fazendo z 5 k, temos:
2 y 2 9k 5 0 ⇒ y 5 29k
x 2 18k 1 4k 5 0 ⇒ x 2 14k 5 0 ⇒ x 5 14k
As soluções são do tipo (14k , 29k , k ).
 x 1 y 1 z 5 4 ? ( 22)
x 1 y 1 z 5 4


c) 2 x 1 y 2 z 5 10
? (23) ⇒
⇒  2 y 2 3z 5 2
2 x 2 y 2 7 z 5 0
 23 y 2 9 z 5 28


x 1 y 1 z 5 4

⇒  2 y 2 3z 5 2

0zz 5 214

Absurdo → Sistema impossível, S 5 [
 x 1 y 1 z 53 

 equivalentess ? (23)
17. 2 x 1 2 y 1 z 5 6
⇒
 3x 1 3 y 5 8
⇒ x 1 y 5 3 ⇒ 0y 5 21
Sistema impossível, S 5 [
 x 1 4 y 1 7z 5 2

18. 2 x 1 3 y 1 6z 5 2
5 x 1 y 2 z 5 8

? (2 2) ? (25)
x 1 4 y 1 7 z 5 2

25 y 2 8 z 5 22 ⇒
1 ⇒ 
 219 y 2 36z 5 22

1
x 1 4 y 1 7 z 5 2
x 1 4 y 1 7 z 5 2


(? 19)
⇒
5 y 1 8z 5 2
⇒ 
5 y 1 8z 5 2
1

 219 y 2 36z 5 22
(
)
?
5
228 z 5 28


228 z 5 28 ⇒ z 5 2 1
5 y 1 8z 5 2 ⇒ 5 y 2 8 5 2 ⇒ y 5 2
x 1 4 y 1 7z 5 2 ⇒ x 1 8 2 7 5 2 ⇒ x 5 1
 1
A matriz procurada é  2
 21

.

2 x + y + z + w 5 1
1
x + 2 y + z + w 5 2 ? ( 2 1)
19. 
1 ⇒
x + y + 2z + w 5 3 ? ( 2 1)
1
x + y + z + 2w 5 4 ? ( 2 1)
2 x + y + z + w 5 1
x 2 y 5 21 ⇒ y 5 x + 1
⇒ 
x 2 z 5 22 ⇒ z 5 x + 2
x 2 w 5 23 ⇒ w 5 x + 3
2 x 1 y 1 z 1 w 5 1 ⇒ 2x 1 x 1 1 1 x 1 2 1 x 1 3 5 1 ⇒
⇒ 5 x 5 25 ⇒ x 5 2 1
Logo, y 5 0, z 5 1 e w 5 2.
S 5 {( 2 1, 0 , 1, 2)}
20. x 5 distância de A até B
y 5 distância de B até C
z 5 distância de C até A
x 1 y 5 1 000 passos
 y 5 1 000 2 x


 y 1 z 5 800 passos ⇒ 1 000 2 x 1 z 5 800 1
z 1 x 5 700 passos
x 1 z 5 700


1 000 1 2z 5 1 500 ⇒ z 5 250
Substituindo o valor de z no sistema, temos x 5 450 e y 5 550.
Logo, a medida da pista será:
x 1 y 1 z 5 450 1 550 1 250 5 1 250 passos
Manual do Professor - Capítulo 5
365
Considerando que cada passo de Roberto mede 80 cm, temos:
1 250 passos  80 cm 5 100 000 cm 5 1 000 m
21. Sendo x as moedas de 1 real, y as moedas de 50 centavos e z as
moedas de 10 centavos, temos:
 x 1 y 1 z 5 156
 x 1 y 1 z 5 156 ? ( 25)


10 x 1 8 y 1 2z 5 500 ⇒  5 x 1 4 y 1 z 5 250 ? ( 22) ⇒
x 1 0,5 y 1 0,1z 5 34
10 x 1 5 y 1 z 5 340


x 1 y 1 z 5 156
 x 1 y 1 z 5 156


⇒  2 y 2 4 z 5 2530 ? ( 23) ⇒  1 y 1 4 z 5 530 ⇒ z 5 130
23 y 2 z 5 2160

11z 5 1430


y 5 10 e x 5 16
Assim, são 16 moedas de 1 real, 10 moedas de 50 centavos e 130
moedas de 10 centavos.
22. Em A → x 1 360 5 488 1 y
Em B → y 1 416 5 z 1 384
Em C → z 1 312 5 T 1 480
Em D → T 1 512 5 x 1 248
x 2 y 5 128
y 2 z 5 232
z 5 160 1 480 2 312 5 328
x 5 160 1 512 2 248 5 424
y 5 x 2 128 5 424 2 128 5 296
x 5 424
y 5 296
z 5 328
Resposta: alternativa d.
x 2 3z 5 0
x 5 3z
x 2 3z 5 0
3 y 2 2w 5 0
3 y 5 2w
 y 2 2z 5 0
⇒
⇒ 
23. a) 
y
5
2
z
y
2
2
z
5
0


6z 2 2w 5 0
4 y 2 8 z 5 0
 y 2 2z 5 0
4 y 5 8 z
SPI
m 1 8L 1 m 1 L 5 5 320
2m 1 9L 5 5 320
⇒ 
(
2 m 1 8L) 1 m 1 L 5 8 120
3m 1 17L 5 8 120
Logo, m 5 2 480 e L 5 40.
Resposta : alternativa b.
25. Temos o sistema:
10 x 1 8y 1 5z 5 51 I

6 x 1 6y 1 4z 5 34 II

8x 1 7y 1 5z 5 43 III
Fazendo I 1 II , vem:
IV
Fazendo IV 2 2  III , temos:
16x 1 14y 1 9z 5 85
216x 2 14y 2 10z 5 286
2 z 5 21 ⇒ z 5 1
Substituindo z 5 1 nas duas primeiras equações do sistema inicial,
temos:
Manual do Professor
x1255⇒x53
O número de clientes idosos atendidos por dia é:
8y 1 6y 1 7y 5 21y 5 21  2 5 42
Resposta: 42 idosos.
27. Sendo x, y e z as quantidades dos alimentos 1, 2 e 3, respectivamente, temos o sistema:
 (24)
 (22)
10x 1 20y 1 30z 5 100

1
1
40x 1 40y 1 10z 5 210
20x 1 10y 1 30z 5 110
⇒

10x 1 20y 1 30z 5 100

240y 2 110z 5 2 190  ( 2 10) ⇒
⇒ 

23
30y 2 30z 5 290  ( 230)

⇒
y1z53⇒y1153⇒y52
10x 1 20 ? 2 1 30 ? 1 5 100 ⇒ 10x 5 30 ⇒ x 5 3
Como y 5 2 e z 5 1, a quantidade do ingrediente 2 é o dobro da
quantidade do ingrediente 3.
Resposta: alternativa c.
24. Notando que o muro externo tem perímetro igual ao muro interno (m)
mais 8L (2L por lado), podemos resolver o sistema deste modo:
366
22 y 5 2 4
⇒ y 52
x 1y 55
10 x 1 20y 1 30z 5 100

⇒ 
⇒z51
7z 5 z

y1 z 53

b) Para a 5 1, temos x 5 3, y 5 2, z 5 1 e w 5 3. Logo, o menor número inteiro de átomos é: cálcio: 3; hidrogênio: 6; fósforo: 2; e
oxigênio: 8.
10 x 1 8y 5 46
⇒

6x 1 6y 5 30  (6)
10 x 1 8y 5 46
1⇒
⇒ 
? ( 2 10)
 x 1y 55
{
10x 1 20y 1 30z 5 100

⇒ 
4y 1 11z 5 19

y1
z 5 3 ? (24) 1

Se z 5 a, temos y 5 2a, w 5 3a e x 5 3a. Portanto,
S 5 {(3a, 2a, a, 3a), a  R}.
16x 1 14y 1 9z 5 85
⇒
x 2 y 1 z 5 0
 x 2 y 1 z 5 0 ? ( 22)


⇒  3y 2 z 5 0
28. a)  2 x 1 y 1 z 5 0
 y 1 6z 5 0
2 x 1 2 y 1 5z 5 34


y 1 6z 5 0 ⇒ y 5 26z
3(26z) 2 z 5 0 ⇒ 218z 2 z 5 0 ⇒ 219z 5 0 ⇒ z 5 0
x50
y50
SPD, S 5 h(0, 0, 0)j
x 1 y 1 z 5 0 (21)
x 1 y 1 z 5 0


y 1 5z 5 0
b) x
⇒
1z 50 ⇒ 
x 1
 y 1 5z 5 0
z50


x 1 y 1 z 5 0

⇒  y 1 5z 5 0

y 50

5z 5 0 ⇒ z 5 0
x50
y50
SPD, S 5 h(0, 0, 0)j
29. Significa que o sistema homogêneo nunca será impossível; ou ele
será sistema possível e determinado ou sistema possível e indeterminado. Note que xi 5 0 ; i é sempre solução do sitema homogêneo. A isso chamamos “solução trivial”.
x 1 y 1 z 5 3 21

30. a) x 1 2 y 1 3z 5 6
2 x 1 3 y 1 4 z 5 a

x

⇒ y
y

92a
92a
2
21
1y 1z 53
21
1 2z 5 3
1 2z 5 12 2 a
5 0 ⇒ a 5 9 → SPI
 0 ⇒ a  9 → SI
⇒
⇒
{
x 1y 1z 53
0 592a
2 x 1 my 5 3
b) 
mx 2 8 y 5 6
2. a) As multiplicações
2 x 1 my 5 3
⇒ 
2
(16 1 m ) y 5 3m 2 12
m
22
Como 16 1 m2  0 para todo m  R , o sistema é possível e
determinado.
31.
2 2a 1
4 1 2
1 21 a
? 0 ⇒ 2a 2 2a 2 4 2 1 1 4 1 4a2 ? 0
4a2 2 1 ? 0 ⇒ a2 ?
 1 0
 0 21

2 x 1 3 y 2 4 z 5 1
? (23)

1 ⇒
32. 3x 1 4 y 1 3z 5 b
? (2)
5 x 1 7 y 1 az 5 8

? (25)
2 x 1 3 y 2 4 z 5 1

⇒
2 y 1 18 z 5 2b 2 3
1 ⇒
5 x 1 7 y 1 az 5 8
? (2)

33. D 5
1 1 1
2 2 4
1 1 3
? (21)
 2x 
 x   21 0   x 
 x 
  y  5  2y  ;  0 1   2y  5  2y 










correspondem a refletir o ponto (x, y) em relação ao eixo Ox e, em
seguida, sua imagem em relação a Oy. Levam ao ponto desejado,
mas não na sequência solicitada.
c) Para refletir o ponto (x, y) em relação ao eixo Oy e, em seguida,
sua imagem em relação a Ox, de modo que tenhamos o ponto
(2x, 2y), devemos realizar, na sequência, as multiplicações:
⇒
1
 2x   1 0
 −1 0   x 
 0 1   y  5  y  ;  0 21




 
 2x 
  2x 
  y  5  2y  .




d) As multiplicações
 y 
 2x   0 1   2x 
 21 0   x 

 0 1  y  5  y ;  1 0  y  5 






 2x 



5 0 porque a 1a e a 2a colunas são iguais. Logo,
o sistema é indeterminado.
Outros contextos
correspondem a refletir o ponto (x, y) em relação ao eixo Oy e, em
seguida, sua imagem em relação à reta y 5 x (bissetriz dos quadrantes ímpares).
 21 0   x   2x 
e) A multiplicação 
 =
 leva ao ponto de
 0 21   y   2 y 
sejado por uma reflexão em relação à origem (0, 0) e a multiplica-
1. a) C 5 3x 1 2y 5 (3 ? 4) 1 (2 ? 5) 5 12 1 10 5 22
b) A 5 3x 1 y 5 (3 ? 4) 1 (1 ? 5) 5 12 1 5 5 17
c) B 5 3x 1 4y 5 (3 ? 4) 1 (4 ? 5) 5 12 1 20 5 32
C 5 2x 1 7y 5 (2 ? 4) 1 (7 ? 5) 5 8 1 35 5 43
d) A: 17 . 12, B: 32 . 30 e C: 43 . 28, então a dieta que inclui o consumo de 4 unidades do produto P e 5 unidades do produto Q
atende os requisitos vitamínicos, porém o seu custo é maior que
o custo mínimo possível para a mesma dieta, no caso, 22 . 18.
 1 0   2x   2x 
ção pela matriz identidade 
 =
 leva ao

 0 1   2y   2y 
próprio ponto; não foi a sequência solicitada.
Resposta: alternativa c.
Vestibulares de Norte a Sul
1. Montando as matrizes, temos
Pensando no Enem
1. Considerando a matriz GUT do estudante e calculando G 3 U 3 T:
Problemas
correspondem a refletir o ponto (x, y) em relação ao eixo Ox e,
em seguida, sua imagem em relação a Ox, voltando ao ponto
inicial (x, y).
b) As multiplicações
1
1
1
⇒a?
ou a ? 2
4
2
2
4z 5 1
2 x 1 3 y 2

18 z 5 2b 2 3
⇒
2y1

2 y 1 (20 1 2a) z 5 11

2 x 1 3 y 2 4 z 5 1

⇒
2 y 1 18z 5 2b 2 3

(2a 1 2) z 5 14 2 2b

2a 1 2 5 0 ⇒ 2a 522 ⇒ a 521
14 2 2b  0 ⇒ 2b  14 ⇒ b  7
 x 
 x   1 0  x 
 1 0  x 
 0 21   y  5  − y  ;  0 21   2 y  5  y 








 
G
U
T
GUT
Estudar Física
4
5
4
80
Planejar a viagem
2
3
3
18
Estudar Química
5
4
1
20
Come•ar academia
3
1
2
6
Desse modo, o ranking de prioridades da maior para a menor é: Estudar Física, Estudar Química, Planejar a viagem e Começar academia.
 3 1 2 3
B(3× 4 ) 5  0 5 2 3

 0 1 7 3
A( 4×3)

.




= 


2 −1 −2 
3 4 −1 

4 5 6 
5 6 7 
e
Como a matriz C é resultado do produto das matrizes A 3 B, temos
C ( 4× 4 )


5 



25 212 23 
22
7
18 
 → Elemento da 3a linha e
12 35 60 45 
2a coluna.

15 42
71 54 
6
9
Resposta: alternativa b.
Sendo assim:
O principal problema que o estudante deve resolver é “estudar
Química”. (Falso)
O problema de maior prioridade é começar “academia”. (Falso)
Antes de “estudar Química” o estudante deve “planejar a viagem”.
(Falso)
2. A partir dos dados da tabela, e reduzindo os valores mil vezes, temos o seguinte sistema
1,5F 1 1M 1 2S 5 265

1,2F 1 0,8 M 1 1,5S 5 206 (3 1,25) ⇒
0,8F 1 0,6M 1 1,2S 5 151 (3 1,875)

O que menos deve preocupá-lo é “planejar a viagem”. (Falso)
A prioridade é “estudar Física”. (Verdadeiro)
Resposta: alternativa e.
⇒
2
1,5F 1 1M 1 2S 5 265
2

⇒
1,5F 1 1M 1 1,875S 5 257,5
1,5F 1 1,125M 1 2,25S 5 283,125

Manual do Professor - Capítulo 5
367
1,5F 1 1M 1 2S 5 265

7,5
⇒ 0,125S 5 7,5 ⇒ S 5
5 60
0,125

20,125M 2 0,250S 5 2 18,125
Substituindo o valor de S na terceira equação, temos que:
20,125M 2 0,250 ? (60) 5 218,125 ⇒ 20,125M 2 15 5 218,125 ⇒
⇒ 20,125M 5 23,125 ⇒ M 5
23,125
5 25
20,125
Assim, o saco de milho é vendido por R$ 25,00.
Resposta: alternativa a.
8
6
9
7
9
8
6
8
6
7
6
9
 23

 21
  1
1


? 1 5
?
3  21
  
 24
  1 
 23 / 3



 5  7
 7

 8








Logo, o produto corresponde à média de cada aluno nas três avaliações.
23
Exemplo: termo a11 5
⇒ média do aluno Thiago nas três
3
avaliações
margaridas → M

4. Considerando que lírios → L
, podemos montar o sistema:
rosas → R

4 M 1 2L 1 3R 5 42

1M 1 2L 1 R 5 20 (3 4) ⇒
2M 1 4L 1 R 5 32 (3 2)

2
2
⇒
4 M 1 2L 1 3R 5 42

⇒
⇒ 26L 2 R 5 238
2R 5 16

16
Se 2R 5 16 ⇒ R 5
58
2
Se − 6L − R 5 − 38 ⇒ − 6L − 8 5 − 38 ⇒ − 6L 5 − 30 ⇒
−30
⇒ L5
55
−6
Se 4 M 1 2L 1 3R 5 42 ⇒ 4 M 1 2 ? (5) 1 3 ? (8) 5 42 ⇒
⇒ 4 M 1 10 1 24 5 42 ⇒
8
⇒ 4 M 1 34 5 42 ⇒ 4 M 5 8 ⇒ M 5
52
4
Logo, R 1 L 1 M 5 8 1 5 1 2 5 15
Um arranjo simples custará 15 reais.
Resposta: alternativa d.
 1 0 
5. Matriz identidade de ordem 2 ⇒ 
 5B
 0 1 
Como A 5 B, temos
 e2x 2

 0
0
| y + x|

 1 0 
 5 


 0 1 
2
Então, e 2 x 5 1 e x + y 5 1
2
2
Resolvendo a igualdade: e 2 x 5 1 ⇒ e 2 x 5 e 0 ⇒ 2 x 2 5 0 ⇒
⇒ x2 5 0 ⇒ x 5 0
Como |x 1 y| 5 1 ⇒ |0 1 y| 5 1 ⇒ |y| 5 1 ⇒ y 5 1 ou y 5 21 (não
convém)
Assim, x 5 0 e y 5 1
Resposta: alternativa a.
368
Manual do Professor
8. De acordo com a tirinha do enunciado, temos que o quebra-cabeças possui 500 peças. A partir disso, podemos montar o sistema:
x 1 y 5 45
x ? y 5 500
{
Desenvolvendo, temos
(45 2 y) ? y 5 500 ⇒ y 2 2 45 y 1 500 5 0 ⇒
{
y 5 25
y  5 20
Logo, se y 5 25, x 5 20 ou se y 5 20, x 5 25.
Resposta: alternativa c.
4 M 1 2L 1 3R 5 42

⇒ 4 M 1 8L 1 4R 5 80
4 M 1 8L 1 2R 5 64

7. Calculando os determinantes, temos
• det(A) 5 (2 ? 3x) 2 [2x ? (2x)] 5 (6x) 2 (22x2) 5 2x2 1 6x
• det(B) 5 [1 ∙ (21)] 2 (1 ∙ 3) 5 (21) 2 (3) 5 24
Como, det(A) 5 det(B) temos
x 5 22
2x2 1 6x 5 24 ⇒ 2x2 1 6x 1 4 5 0 ⇒
x  5 21
Resposta: alternativa c.
{
3. Representando o produto, temos:

1 
?
3 

6. O supermercado deveria dar 23 reais de troco, porém, como só dispunha de notas de R$ 10,00, o valor múltiplo de 10 “mais próximo”
a 23 reais seria R$ 30,00.
Para que o supermercado possa lhe dar o troco de R$ 30,00, o
cliente deverá dar além dos R$ 100,00 mais R$ 7,00 (2 moedas de
R$ 1,00 e 1 nota de R$ 5,00).
Logo, o cliente deu R$ 100,00 1 R$ 7,00 5 R$ 107,00.
Resposta: alternativa b.
Resposta: alternativa d.
9. Analisando as alternativas, temos
a) (Correta). Já que se pode ir até (D) e daí para a cidade (B).
b) (Falsa). Pois (D) não faz conexão com nenhuma cidade que faça
conexão com (B).
c) (Falsa). Pois não há conexão direta entre essas cidades.
d) (Falsa). Não, apenas um caminho (A → D → B).
e) (Falsa). Não, apenas um caminho (A → D → B → C).
Resposta: alternativa a.
10. Temos,

 25
 10 25 
1
A?B5
; 2 ?A?B5

2
 24 29 
 2

5
2
9
2


 14 0 
 ; 2C 5 

 26 12 


Logo,

5 
 5 22 
 14 0 

 5 
X2
 ⇒
9 

 26 12 
 22 2 2 

5 
 5 22 
 a b 
 14 0 
 5 
⇒ 
 2

9
c
d


 26 12 


 22 2 2 
a 2 5 5 14 ⇒ a 5 14 1 5 5 19
5
5
b 2 (2 ) 5 0 ⇒ b 5 2
2
2
c 2 (22) 5 26 ⇒ c 5 26 2 2 5 28
9
9
15
d 2 (2 ) 5 12 ⇒ d 5 12 2
5
2
2
2

5 
 19 2 2 
 a b 

∴X 5 
 5
15 

 c d 
 28
2 
15
285
5
40
245
det (X ) 5 19 ?
2 2
? (28) 5
2
5
 2

2
2
2
2
(
) ( )
Resposta: alternativa d.
Unidade 3
,
Capítulo 6
2 p ? 10
,
2 p ? 10
p
c) a 5
3
b) , 5 r 2 5 10 2 cm  14 ,14 cm
4
r 2
10 2
cm  7,07 cm
5
2
2
c) , 6 5 r 5 10 cm
a6 5
10 3
r 3
5
5 5 3 cm  8,66 cm
2
2
2. ,6 5 r 5 5
p 5 6,6 5 6 ? 5 5 30 cm
3.
5
4. a4 5
5 3
,3 5 5 ⇒ r 3 5 5 ⇒ r 5
3
5 3
10 3
d 5 2r 5 2 ?

5
3
3
 5,77 cm
5
r 2
6 2
5
53 2
2
2
,
2 p ? 10
,3
5
5
p
⇒ , 5 10p cm
2p
5
p
⇒ , 5 10p cm
2 p ?3
3
c) r 5 24 cm
3p
,5
4
, 5 ra cm
, 5 18p cm
b) r 5 24 cm
2p
a5
3
, 5 ra cm
, 5 16p cm
Resolvido passo a passo
5. a) Área total da fachada (AT)
AT 5 (80) ? (40) 5 3 200 m2
Se os vitrais possuem área de 1 m2, então serão necessários
3 200 vitrais.
Custo da mão de obra 5 (3 200) ? (10) 5 32 000
Custo total 5 112 000 5 112 000 1 32 000 5 144 000
Resposta: R$ 144 000,00
13.
A
40 m
6
6
3 2
5
6 3
p
⇒ , 5 5p cm
2 p ?2
12. a) r 5 24 cm
p
a5
2
, 5 ra cm
, 5 12p cm
,3 5 r 3 5 6 3
a4
5
b) a 5 p
1. a) ,3 5 r 3 5 10 3  17,32 cm
r
10
a3 5
5
5 5 cm
2
2
a4 5
p
2
11. a) a 5
30 m
B
5. d 5 14 cm ⇒ r 5 7 cm
C 5 2pr 5 2p ? 7 5 14p; C 5 14p cm
E
40 m
6. C 5 14p ⇒ 2pr 5 14p ⇒ r 5 7 cm
C
7. d 5 60 cm ⇒ r 5 30 cm
n 5 500
C 5 2pr 5 2p ? 30 5 60p
S 5 60p ? 500 5 30 000p cm 5 300p m
Utilizando o teorema de Pitágoras, temos:
BE2 5 402 1 302 5 1 600 1 900 5 2 500 ⇒ BE 5 50 m
20
Área do ABE 5
14 m
5m
14.
20 m
(20 1 14)11
Strapézio 5
5 187 m2
2
Spiscina 5 5 ? 8 5 40 m2
5
2
Spedras 5 187 2 40 5 147 m2
5
5 5p cm
2
D
15.
a3 5 r 5 6
C 5 2pr 5 2p ? 6 5 12p; C 5 12p cm
a3
piscina 8 m
)
,55
10.
20
(50 1 36) 40
5 1 720 m2
21
Área do terreno 5 600 1 1 720 5 2 320 m2
11 m
C 5 2pr 5 2p ?
40 ? 30
5 600 m2
21
Área do trapézio BCDE 5
9.
2r 5 , 5 5 ⇒ r 5
D
I
A
x
b
II
C
a
III
y
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
8. a) raio r → C 5 2pr
raio 2r → C1 5 2p ? 2r 5 4pr
Aumento: C1 2 C 5 4pr 2 2pr 5 2pr
Logo, o comprimento dobra quando o raio dobra.
b) raio r → C 5 2pr
raio 3r → C1 5 2p ? 3r 5 6pr
Logo, o comprimento triplica quando o raio triplica.
36 m
B
Manual do Professor - Capítulo 6
369
• Cálculo da área da região I: SI 5
ax
2
2
28. • Laterais: 4S
• Cálculo da área da região II: SII 5 ab
ay
xa
1 ab 1
5
2
2
y
y
b
b
x
x
5 a 1 b 1  5 a 1 1 1  5
 2
 2
2
2
2
2
a
5 (x 1 b 1 b 1 y)
2
a
(B 1 b)a
(B 1 b) 5
2
2
4
56?
100 3
2
5 150 3 cm
4
30. r 5 20 cm → , 5 20 3 cm
(20 3 )2 3
5
4
S 5
100
400 ? 3 3
2
5 300 3 cm
41
31. P 5 2pr 5 20p cm
A 5 pr2 5 100p cm2
16. , 5 6 cm
62 3
5 9 3 cm2
4
2
32. a) A 5 pr 5 18p cm2
2
Stotal 5 36 3 cm2
17. A 5
4 ? 5 ? sen 60 10 ? 3
5
5 5 3 cm2
2
2
18. A 5
4 ? 4 ? sen 60
8 3
5
5 4 3 cm2
2
2
10 ? 16 ? sen 30
1
5 160 ?
5 80 cm2
2
2
b) A 5
p ? 62
5 9p cm2
2?2
c) A 5
2p ? 62
5 12p cm2
3?2
33. • Cálculo da hipotenusa do triângulo:
x2 5 62 1 82 5 36 1 64 5 100 ⇒ x 5 10 m
• Cálculo da área do semicírculo de raio 5:
S5
 8 2 ? sen 60 
2
20. A 5 6 ? 
 5 96 3 cm

2
p ? 52
25p 2
m
5
2
2
• Cálculo da área do triângulo:
S5
21. AT 5 6 ? 102 5 600 cm2
22. A 5 2 ? 5 ? 3 1 2 ? 4 ? 5 1 2 ? 4 ? 3 5 94 cm2
8? 6
21
3
5 24 m2
• Área do terreno 5
2?2
5 2 cm2
2
Scolorida 5 4 ? 2 5 8 cm2
S 5 S 2 Scol. 5 42 2 8 5 16 2 8 5 8 cm2
23. • S 5
25p
 25p 1 48  2
1 24 5 
m


2
2
34.
Apótema 5 2 3 cm
17 1 15 1 8
40
5
5 20 m
24. p 5
2
2
S 5 20(20 2 17)(20 2 15)(20 2 8) 5 22 ? 3 ? 5 5 60 m2
25. 1 m2 → 4 pessoas
4 000 m2 → 16 000 pessoas
2
A 5 p ? (2 3 ) 5 12p cm2
26. 1 cm → 200 km
0,2 cm → 40 km
35.
60°
60°
ll
40 km
60°
402 3
2
S52?
5 800 3 km
4
27. a) 112 2 82 5 121 2 64 5 57
A área aumentará em 57 cm2.
b) (1,2,)2 5 1,44,2
A área aumentará em 44%.
370
ll
Manual do Professor
ll
r5,58
A 5 p ? 82 5 64p cm2
(
)
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
19. A 5 2 ?
,2 3
29. A 5 6 ?
Fazendo x 1 b 1 y 5 B, temos:
S5
4 (27 1 19)30
5 2 760 m2
21
• Fundo: S 5 192 5 361 cm2
• Área total: 2 760 1 361 5 3 121 cm2 5 0,3121 m2
ya
• Cálculo da área da região III: SIII 5
2
• Soma das áreas 5 SI 1 SII 1 SIII 5
5
36. S 5 p r 21 2 r 22 5 p(32 2 12) 5 8p cm2
37. S 5
4 ? 10
r,
5 20 cm2
5
2
2
38.
• a razão entre as áreas é:
Amenor
1
5 ⇒k5
Amaior
2
5
2
k2 5
Logo:
5
x
2
⇒ x 5 30 2
5
2
60
y
2
⇒ y 5 20 2
5
40
2
)
2
A 5 p ? 5 2  2 5 5 25p cm2
39. • Lado do quadrado: 8 cm → r 5 4 cm
• Área colorida 5 área do quadrado ABCD 2 área de um círculo
de 4 cm de raio 5 82 2 p ? 42 5 64 2 16p 5 16(4 2 p) cm2
40. a) Por falta: 31 ■; por excesso: 61 ■.
31 1 61
5 46 ■
média 5
2
Considerando que ■ tem 0,5 cm de lado:
S  46 ? 0,52 5 11,5 cm2
b) Por falta: 34 ■; por excesso: 62 ■.
34 1 62
média 5
5 48 ■
2
Considerando que ■ tem 0,5 cm de lado:
S  48 ? 0,52 5 12 cm2
41. • Se as áreas têm razão de semelhança k2 5 4, os perímetros têm
razão de semelhança k 5 2. Assim:
x 1 2x 5 48 ⇒ x 5 16 cm e 2x 5 32 cm
16
a) Então, um dos quadrados tem lado
5 4 cm e o outro tem
4
32
lado
5 8 cm.
4
b) As áreas são, respectivamente, 42 5 16 cm2 e 82 5 64 cm2.
42. Se o raio da pizza média é 80% do raio da pizza grande, então a
razão entre os raios da pizza média e da grande é 0,8. Assim:
k 5 0,8 ⇒ k2 5 0,64
Logo, a razão entre as áreas das pizzas média e grande é:
k2 5 0,64 5 64%
Resposta: alternativa b.
46. A 5 p(1,1r)2 5 pr ? 1,21
21%
P 5 2p(1,1r) 5 2pr ? 1,1
10%
Resposta: alternativa b.
47. Se a escala é 1 : 50, então k 5 50 e k2 5 2 500. Se a área na planta é
12 ? 14 5 168 cm2, a área real é
168 ? 2 500 5 420 000 cm2 5 42 m2.
Resposta: alternativa d.
48. O tempo gasto para limpar o terreno é proporcional à área dele.
Assim, se o raio dobra (k 5 2), a área quadruplica (k2 5 4). Então, ele
gastará 4 vezes mais tempo: 3 ? 4 5 12 h.
Resposta: alternativa e.
49. a) A razão de semelhança linear é
k5
1 250 000
5 250 000.
5
Portanto, 1 cm na foto equivale a
250 000 cm 5 2 500 m 5 2,5 km.
A
⇒ A 5 562 500 000 000 cm2 5
9
2
5 56 250 000 m 5 56,25 km2
b) k2 5 250 0002 5
Para refletir
Página 120
Basta ligar cada vértice da figura ao centro da circunferência:
43. A razão entre os lados é:
k5
Resposta: alternativa c.
AD
x
5
AB
8
A razão entre as áreas é:
k2 5
A2
1
5 ⇒k5
A1
2
728
1
2
5
2
2
Logo:
x
2
⇒ x54 2
5
8
2
Resposta: alternativa a.
44. Se o raio aumentou 1%, então o fator de aumento é 1,01 (k 5 1,01).
Portanto, a área aumentará k2 5 1,012 5 1,0201.
Logo:
x
5 1,0201 ⇒ x 5 3,14 ? 1 ? 1,0201  3,20
p ? 12
Resposta: alternativa d.
45. O triângulo menor é semelhante ao maior, pois o corte foi paralelo ao lado do triângulo maior. Assim:
• a razão entre os catetos é:
k5
y
x
5
60
40
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
(
2
1
2
5
2
2
A circunferência é divida igualmente em arcos de 90 e 72, respectivamente.
Página 131
A5
10
,a 5 5,a
2
Capítulo 7
5. a) p(ABCD) // p(EFGH); p(ADGH) // p(BCFE); p(ABEH) // p(CDGF).
b) Algumas soluções possíveis: p(ABCD) e p(ADGH); p(CDGF) e
p(ACFH); p(CBEF) e p(ABEH).
suur
c) Sim; FG.
d) ADGH e ABCD.
Manual do Professor - Capítulo 7
371
g) 4
Resolvido passo a passo
5. a) Cálculo de LB (diagonal do prisma retangular)
h) 2
i) 4
K
j) 2
k) 3
H
l) 2
2
2
2
m) BE 5 EG 1 BG 5 52 1 22 ⇒ BE 5
L
G
E
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4
B
29
Exercício adicional
1 a parte: existência do plano a
Sejam r e s as retas dadas. Sendo paralelas distintas, são coplanares por
definição; portanto, existe um plano a que as contém.
2 a parte: unicidade do plano a
Se existisse qualquer outro plano b ? a que contivesse as retas r e s, e
tomando-se um ponto A em r, com a passando por A e por s, teríamos
b também passando por A e por s e, portanto, o plano b coincidiria com
a, conforme o teorema 2. Então, o plano a é único.
Para refletir
F
P‡gina 162
No item b a distância entre F e H é a diagonal de um quadrado de lado 3.
Logo, mede 3 2 .
No item c a distância entre E e B é a hipotenusa do triângulo EBG, cujos
catetos medem 3 2 e 3. Logo, mede 3 3 .
5
2
A
• Cálculo de FB
O triângulo FAB é retângulo, pois FÂB é reto, então, pelo Teorema de Pitágoras:
2
2
2
2
FB 5 2 1 5 5 4 1 25 ⇒ FB 5 29 ⇒ FB 5
29 cm
$ é reto, então, pelo
O triângulo LFB também é retângulo, pois LFB
Teorema de Pitágoras:
2
2
2
2
FB 5 LF 1 FB 5 4 1 29
⇒ LB 2 5 45 ⇒ LB 5
2
2
⇒ LB 5 16 1 29 ⇒
45 ⇒ LB 5 3 5 cm
• Cálculo de GE
Veja que GE 5 LB ⇒ GE 5 3 5 cm.
• Cálculo de GK
Observe que GK 5 FB ⇒ GK 5
29 cm.
Logo, LB 5 GE 5 3 5 cm.
suur suur sur sur
13. a) algumas soluções: AE , DH , BF , CG
b) p(ADHE)
c) Sim. A figura é um paralelepípedo, então AFGD é um retângulo.
suur suur
$ é reto e, portanto, AF ⊥ FG.
Logo, AFG
14. a) p(ABFE) ⊥ p(ABCD); p(ABFE) ⊥ p(EFGH); p(ABFE) ⊥ p(ADHE);
p(ABFE) ⊥ p(BCGF).
b) p(ADHE) e p(CDHG)
suur
c) Sim. AE é perpendicular ao p(EFGH).
suur
Como AE  p(ACGE), então p(ACGE) é perpendicular ao p(EFGH).
d) Os três são perpendiculares ao p(EFGH).
18. a) 3
2
b) HF 5 4 2 1 32 ⇒ HF 5 5
2
c) CE 5 32 1 22 ⇒ CE 5
2
2
2
d) DH 5 4 1 2 ⇒ DH 5
13
20 5 2 5
Capítulo 8
3. V 2 A 1 F 5 2 ⇒ 5 2 10 1 F 5 2 ⇒ F 5 2 1 5 ⇒ F 5 7
4. F 5 V ⇒ F 2 20 1 F 5 2 ⇒ 2F 5 22 ⇒ F 5 11
5. 1 face hexagonal: 6 arestas
6 faces triangulares: 6 ? 3 5 18 arestas
6 1 18
24
5
5 12
2
2
V 2 12 1 7 5 2 ⇒ V 5 2 1 5 5 7; V 5 7
A5
6. V 5 20
20 ? 5
A5
5 50
2
20 2 50 1 F 5 2 ⇒ F 5 2 1 30 5 32; F 5 32
7. 3 faces triangulares: 3 ? 3 5 9 arestas
1 face quadrangular: 1 ? 4 5 4 arestas
1 face pentagona l: 1 ? 5 5 5 arestas
2 faces hexagonais: 2 ? 6 5 1 2 arestas
F 57
9 1 4 1 5 1 12
A5
5 15
2
V 2 15 1 7 5 2 ⇒ V 5 2 1 8 5 10; V 5 10
8. 12 – faces pentagonais
20 – faces hexagonais
Como a bola tem 12 faces pentagonais, temos: 12 ? 5 5 60 arestas
A bola também tem 20 faces hexagonais; assim, temos: 20 ? 6 5 120.
Como cada aresta foi contada duas vezes, o número total de
arestas é:
60 1 120
A5
5 90
2
Assim, para determinar o comprimento total de linha, temos:
20 ? 90 5 1 800 cm 5 18 m
e) 4
f)
372
13
Manual do Professor
10. d 5
102 1 62 1 82 5
100 1 36 1 64 5 200 5 10 2 cm
11. d 5 a 3 5 10 3 ∙
22. d 5 a 3 ⇒ 10 3 5 a 3 ⇒ a 5 10
3 5 30 cm
48
5 4 cm.
12
12. O cubo tem 12 arestas. Logo, cada uma mede
d 5 a 3 5 4 3 cm
2
AT 5 6a2 5 6 ? 102 5 6 ? 100 5 600 m2
3
13. d 5 a 1 b 1 c 5 20 2 ⇒ a 1 b 1 c 5 800
2
Logo:
2
2
2
2
a 5 5k ⇒ a2 5 25k 2
2
b 5 4k ⇒ b 5 16k
23. AT 5 6 ( 18 ? 0, 4 ) 1 6 ?
(
( 0,4 )2
)
1
24. AT 5 6 ? 202 1 3( 5 ? 20 ) 2 2 ?
800 ⇒ k 2 5 16 ⇒ k 5 4
25k 2 1 16k 2 1 9k 2 5 800 ⇒ 50k 2 58
a 5 20 cm, b 5 16 cm, c 5 12 cm
14. A 5 6<2 5 6 ? 62 5 6 ? 36 5 216 cm2
5 43,2 1 0,24 3 5
5 0,24 180 1 3 cm2
2
c 5 3k ⇒ c 2 5 9k 2
3
42
5 2 700 2
25 3
52 3
5 2 400 1 300 2
5
2
42
 5 400 2 25 3 
25 3
2
5
 cm
2
2


2
25. A, 5 6( 30 ? 10 ) 5 1 800 cm
15. A 5 2 ? (4 ? 5 ? 5 ? 8 1 4 ? 8) 5 2 ? 92 5 184 cm2
16. AT 5 2(ab 1 ac 1 bc)
Nesse caso, a 5 32 cm, b 5 17 cm e c 5 10 cm.
Assim:
AT 5 2(32 ? 17 1 32 ? 10 1 17 ? 10) 5 2(544 1 320 1 170) 5 2(1 034) 5
5 2 068 cm2
Logo, A T 5 2 068 cm2.
A aba da tampa é formada por quatro regiões retangulares: duas
cujas medidas são 2 cm por 17 cm e duas cujas medidas são 2 cm
por 32 cm.
102 3
5 150 3 cm2
4
AT 5 1 800 1 2 ? 150 3 5 1 800 1 300 3 5
Ab 5 6 ?
5 1 800 1 300 ? 1, 7 5 2 310 cm2
Com 41 000 cm2 podem ser feitas
26. AT 5 A, 1 2 Ab 5 3( 8 ? 15 ) 1 2 ?
5 360 1 32 ? 1, 7 5 414 , 4 cm2
41 000
 17 caixas.
2 310
82 3
5 360 1 32 3 5
4
Resolvido passo a passo
5. a) Vamos calcular a área total de material utilizado para construir um reservatório.
a52m
sem material
Assim:
A 5 2 ? 2 ? 17 1 2 ? 2 ? 32 5 68 1 128 5 196 cm2
quantidade total 5 2 068 cm2 1 196 cm2 5 2 264 cm2 de papelão
Portanto, são gastos 2 264 cm2 de papelão para fazer essa caixa de
sapatos.
4m
17. AT 5 6a2 5 96 ⇒ a2 5 16 ⇒ a 5 4 m
1o) Cubo maior de aresta 4 m
42 3
,2 3
Ab 5
5
5 4 3 cm2
4
4
AT 5 A, 1 2 Ab 5 108 1 8 3 5 4 ( 27 1 2 3 cm2
)
19.
A T 5 6 ? (4)2 5 96 m2
1
2o) Cubo menor de aresta 2 m
A T 5 6 ? (2)2 5 24 m2
2
3o) Área de base do cubo menor que é acoplado e não leva
material.
B 5 (2)2 5 4 ⇒ retirar o resultado das duas áreas totais
10 cm
4o) A T 5 96 1 24 2 2 ? (4) 5 112 m2
Al 5 5( 5 ? 10 ) 5 5 ? 50 5 250 cm2
Portanto: Custo total 5 112 3 95 5 10 640
Resposta: O fazendeiro gastou R$ 10 640,00.
5 cm
20. Área lateral: 2( 3 ? 2, 7 1 4 ? 2,7 ) 5 2( 8, 1 1 10,8 ) 5 37,8
De s contando a janela e as duas portas, temos:
37,8
8 2 ( 2 1 2 ? 1,6 ) 5 37,8 2 5,2 5 32,6 m2
21. AT 5 A, 1 2 Ab 5 4 ( 0,90 ? 1,80 ) 1 2( 0,90 ? 0,90 ) 5
5 6,48 1 1,62 5 8,1 m2
Para fabricar 100 caixas são gastos:
100 ? 8,1 5 810 m2
De acordo com o enunciado, a torneira preenche 4a3, ou
seja, 4(2)3 5 32 m3 em 8 min.
Como 1 m3 é igual a 1 000 L e 1 min é igual a 60 s, então a
vazão será dada por:
32 ? 1 000
32 000
5
 66,67
8 · 60
480
Vazão  66,67 L/s
Vazão 5
27. V 5 ( 5 3 ) 5 125 ? 3 3 5 375 3 cm3
3
Manual do Professor - Capítulo 8
373
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18. Al 5 3( 4 ? 9 ) 5 3 ? 36 5 108 cm2
40.
28. V 5 a3 5 1 000 ⇒ a 5 10 dm
8 cm
29. V 5 4 ? 7 ? 5 5 140 cm3
30. V 5 1,20  0,90  1 5 1,08 m3 5 1 080 dm3 5 1 080 L
8 cm
82 3
? 8 5 768 3 cm3
4
1
3
82 3
AT 5 2 Ab 1 Al 5 2 ? 6 ?
1 6 ? 82 5 192 3 1 384 5
4
31. Volume da caixa: V 5 (20)3 5 8 000 cm3
3
V 5 Abh 5 6 ?
3
Volume do dado: V 5 2 5 8 cm
Portanto, podem ser colocados na caixa
8 000
5 1 000 dados.
8
2
(
32. V 5 63 1 83 1 103 ⇒ 216 1 512 1 1 000 5 1 728 cm3
1
)
2
5 192 2 1 3 cm
33. Vamos imaginar o sólido sem o corte:
V 5 8 ? 10 ? 3 5 240 cm3
D e terminamos o volume do pedaço que falta:
V 5 1,5 ? 6 ? 10 5 90 cm3
Portanto, o volume do sólido da figura é:
41. Volume de 1 cubo: V 5 a3 5 13 5 1 m3
VTotal 5 11 ? 1 5 11 m3
42. a) Igual.
240 2 90 5 150 cm3
Volume total dos 6 prismas triangulares: 6 ? Ab ? h 5 6 3 h
Volume total do prisma hexagonal: Ab ? h 5 6 3 h
34. V 5 12 ? 7 ? 2,70 5 226,8 m3 5 226 800 dm3 5 226 800 L
b) Maior.
Área total dos 6 prismas triangulares:
35.
V 5 Abh 5
A T 5 6[A, 1 2Ab] 5 36< 1 2 3
42 3
? 10 3 5 120 cm3
4
Área total do prisma hexagonal: AT 5 [A, 1 2Ab] 5 12< 1 12 3
Área total dos 6 prismas triangulares . área total do prisma
10√3 cm
hexagonal
4 cm
43.
36. V 5 Abh 5
( 8 1 12 ) 5
2
15
? 30 5 1 500 cm3
1
37. • Volume da peça sem descontar o “furo”:
V 5 Abh 5 6 ?
20
2
3
4
• Volume do “furo”:
? 25 5 15 000 3 cm3
44. Vamos dividir a figura em dois sólidos, um paralelepípedo e um
prisma triangular.
• Paralelepípedo
10 m
82 3
V 5 Abh 5 6 ?
? 25 5 2 400 3 cm3
4
Volume da peça:
1m
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
V 5 15 000 3 2 2 400 3 5 12 600 3 cm3
38.
5m
A, 5 3 ? 3a2 5 9a2 5 36 ⇒ a2 5 4 ⇒ a 5 2 cm
1
V 5
3a
a2 3
4 3
? 3a 5
? 6 5 6 3 cm3
4
4
1
V 5 Ab ? h 5 1 ? 10 ? 5 5 50 m3
Descontando 0,4 m, então o volume é:
V 5 0,6 ? 10 ? 5 5 30m3
• Prisma triangular
a
10 m
39.
h
0,9 m
5m
10 cm
Perímetro da base 5 40 cm
Cada lado do quadrado mede 10 cm.
700
5 7 cm
V 5 Abh 5 102 h 5 700 ⇒ h 5
100
2
AT 5 Al 1 2 Ab 5 4 ? 70 1 2 ? 10 5 280 1 200 5 480 cm2
374
Manual do Professor
V 5 Ab ? h 5
10 ? 5
? 0,9 5 22,5 m3
2
Assim, o volume total é:
V 5 30 1 22,5 5 52,5 m3
Resposta: alternativa a.
45.
49. Tetraedro: 6 arestas e 4 faces
6a 5 72 ⇒ a 5 12 cm
10 cm
1
AT 5 4 A 5 4 ?
122 3
5 144 3 cm2
4
1
)
50. • Base da pirâmide:
)
2
4 cm
a) a1 5
1 cm  1 cm
4 3
, 3
5
5 2 3 cm
2
2
2
2
2
2
2 cm
2
b) a 5 h 1 a 5 10 1 12 5 112 ⇒ a 5 112 5 4 7 cm
d 5 , 3 5 2 3 cm
• Aresta later a l da pirâmide:
2
,
c) a2 1   5 ,21 ⇒ ,21 5 112 1 4 5 116 ⇒
 2
, 1 5 d ⇒ , 1 5 2 3 cm
• Face later a l da pirâmide:
⇒ , 1 5 116 5 2 29 cm
d) Ab 5 6 ?
.
• Diagonal do cubo:
42 3
5 24 3 cm2
4
2√3 cm
a
2
4 ?4 7
5 48 7 cm2
e) A, 5 6 ?
2
1 cm
2 cm
1
f) AT 5 Ab 1 A, 5 24 3 1 48 7 5 24
(
)
3 1 2 7 cm2
(
a2 1 12 5 2 3
)
2
⇒ a2 5 4 ? 3 2 1 5 11 ⇒ a 5 11 cm
• Área do sólido formado:
46.
1
15 cm
2 ? 11
1 5 ? 22 5 4 11 1 20 5
2
AT 5 4 A 1 5 AW 5 4 ?
a
 8 cm 
(
1
)
5 4 5 1 11 cm2
8 cm

8 cm
51. a) a1 5
1 , 3
1 1
3
?
5 ? 2 3 ?
5 1 cm
3
2
3
2
1
16 cm
a2 5 152 1 82 5 225 1 64 5 289 ⇒ a 5 17 cm
2
16 ? 17
AT 5 Ab 1 4 A 5 162 1 4 ?
5 256 1 544 5 800 cm2
2
1
2 3 ? 3
, 3
a5
5
5 3 cm
2
2
2
2
2
2
2
h 1 a1 5 a ⇒ h 1 1 5 32 ⇒ h2 5 9 2 1 5 8 ⇒
⇒ h 5 2 2 cm
(2 3 )
2
b) AT 5 4 Ab 5 4 ?
47. Base quadrada: , 5 4 cm
AT 5 Ab 1 4 A 5 16 1 4 ?
(
4
2
)
3
4
5 16 1 16 3 5
5 16 1 1 3 cm2
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora

8 cm
5 4 ? 3 3 5 12 3 cm2
3
152 ? 9
Ah
52. V 5 b 5
5 675 cm3
3
3
1
48. • Base da pirâmide:
a1 4 cm
3
4
53. O volume do tetraedro é dado por V 5
8 3
5 4 3 cm
2
2
8 3
Ab 5
5 16 3 cm2
4
a1 5
a3 2
.
12
L ogo:
1 000 2
250 2
103 2
5
5
cm3
12
12
3
V 5
54. • Face lateral da pirâmide:
• Pirâmide:
6
a 6
3
)
3
a2 1 9 5 36 ⇒ a2 5 27 ⇒
⇒ a 5 27 5 3 3 mm
• Altura da pirâmide:
12

3√3
h
)
a 2 5 a12 1 h2 5 (4 3 ) 1 122 5 48 1 144 5 192 ⇒
3
h2 1 9 5 27 ⇒ h2 5 18 ⇒
⇒ h 5 18 5 3 2 mm
2
⇒ a5
192 5 8 3 cm
AT 5 A b 1 6 A 5 16 3 1 6 ?
5 208 3 cm2
8?8 3
5 16 3 1 192 3 5
2
• Volume da pirâmide:
62 ? 3 2
Abh
5
5 36 2 mm3
3
3
• Volume da pedra:
Vp 5
V 5 2Vp 5 2 ? 36 2  100,8 mm3
Manual do Professor - Capítulo 8
375
55. V 5
62 ? 4
5 48 m3
3
2302 ? 137
⇒ V  2 415 766, 7 m3
3
O volume dessa pirâmide é de aproximadamente 2 400 000 m3.
56. V 5
A bh
102 ? 12
5
5 400 cm3
3
3
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
1
58.
h 5 12 cm
Ab
20 cm
8 cm
Ab
(
)
 AB 5 92 5 81 m2

64.  Ab 5 72 5 49 m2
 h 5 72 m
 1
72
V 5
81 1 81 ? 49 1 49 ⇒ V 5 24 ( 130 1 63 ) ⇒
3
⇒ V 5 4 632 m3
(
4
57. V 5
10
10
3 040
144 1 144 ⋅ 64 1 64 5
(144 1 96 1 64) 5
cm3
3
3
3
V5
)
Pensando no Enem
1. A fórmula A 5 p (p 2 a)(p 2 b)(p 2 c) é válida apenas para triângulos. Medindo uma das diagonais do terreno, pode-se dividi-lo
em dois triângulos, e, ao somar suas áreas, chegar à área do quadrilátero.
Resposta: alternativa d.
 Ab 5 64 cm2

 h 5 20 cm
 h 5 12 cm

2. Os possíveis polígonos são:
2
64 ? 144
64
64
400
 20 
⇒
⇒ Ab 5
5
5
5 23, 04 cm2

 12 
Ab
Ab
144
400
triângulo
quadrilátero
pentágono
O heptágono não pode ser formado.
 Ab 5 100 cm2

59.  Ab 5 25 cm2
h 5 h 2 5

hexágono
Resposta: alternativa e.
3. A estrutura possui 32 faces. Então:
2
100
 h  ⇒
5
 h – 5 
25
h
100
h
⇒25
⇒
5
25
h25
h–5
⇒ 2h 2 10 5 h ⇒ h 5 10 cm
 h 5 4 cm
60. 
4
 Ab 5 9 Ab
4
Ab
16
9
h2
⇒ h2 5
5 36 ⇒ h 5 6 cm
5
5 16 ?
4
4
16
4
Ab
1
9
9

62 3
 Ab 5 6 ?
5 54 3 cm2
4

61. 
 h 5 30 cm
 h 5 10 cm

A5
5 ? 12
6 ? 20
1
5 90 arestas
2
2
V 2 A 1 F 5 2 ⇒ V 2 90 1 32 5 2 ⇒ V 5 60 vértices
Para cada “aresta” da bola são necessários 20 cm, ou seja,
90 ? 20 5 1 800 cm 5 18 m de linha.
Cada “vértice” da molécula é um átomo de carbono, ou seja,
60 átomos.
Resposta: alternativa d.
Vestibulares de Norte a Sul
1. De acordo com o enunciado temos que para uma altura de cota
igual à 71,3 m, a área alagada é de 430 km2. Como medida inicial,
transformaremos a unidade km2 em m2: 1 km2 5 106 m2. Sendo
assim, temos:
6
54 3
302
54 3 ? 100
5 2 ⇒ Ab 5
5 6 3 cm2
Ab
10
900
Altura da cota
Área alagada
71,3 m
430 ? 106 m2
71,0
A
9
1
 AB 5 402 5 1 600 cm2

62.  Ab 5 302 5 900 cm2
 h 5 15 cm
 1
A5
15
1 600 1 1 600 ∙ 900 1 900 5 5 ( 2 500 1 1 200 ) 5
3
5 5 ? 3 700 5 18 500 cm3
V 5
(
63.
10 cm
8 cm
12 cm
 AB 5 122 5 144 cm2

 Ab 5 8 2 5 64 cm2

h1 5 10 cm

376
Manual do Professor
)
71 ? 4,3 ? 10 8 m2
 4 ? 10 8 m2
71,3
Resposta: alternativa e.
2. Um tetraedro regular é uma pirâmide de base triangular, ou seja,
suas quatro faces são triângulos equiláteros.
A área de um triângulo equilátero é calculada pela fórmula:
A5
L2 3
.
4
Logo, a área total do tetraedro regular é calculada por: AT 5 L2 3 .
AT 5 (1)
2
3 5
3 dm2
Resposta: alternativa c.
3. Tomando por base as fórmulas que calculam a área de um quadrado e de uma área circular, temos:
AQ 5 L2
AC 5 pR2
área do quadrado
área circular
Sendo assim, a área total verde das hortas do pátio da creche é
calculada pela subtração da área do quadrado pela área circular:
área verde 5 AQ 2 AC ⇒ área verde 5 (20)2 2 p(10)2 ⇒
⇒ área verde 5 400 2 3 ? 100 5 400 2 300 5 100;
área verde 5 100 m2
4. De acordo com o enunciado, sabe-se que existem 32 faces, sendo
12 pentagonais e 20 hexagonais. Para calcular o número de arestas da bola temos que multiplicar o número de faces pentagonais
por 5, e as hexagonais por 6. Feito isso, dividimos o resultado por
2, já que uma aresta sempre é compartilhada por duas faces.
Aplicando essas instruções, temos:
12 ? 5 1 20 ? 6
60 1 120
5
5 90; 90 arestas
2
2
Agora, basta aplicarmos, o que já foi verificado, no teorema de
Descartes-Euler:
A 1 2 5 V 1 F ⇒ 90 1 2 5 V 1 32 ⇒ V 5 60; 60 vértices
8.
x√2
x
x
x√2
x
x
x√2
x√2 34 cm
x√2
x√2
x√2
x
x
x
x√2
a) x 1 x 2 1 x 5 34 ⇒ x(2 1 2 ) 5 34 ⇒
34
(2 2 2 ) ⇒ x 5
?
(2 1 2 ) (2 2 2 )
⇒ x 5 17(2 2 2 ) ⇒ x 5 10,2 cm
⇒x5
34(2 2 2 )
⇒
422
xx
x2
(10,2)2
5
5
⇒ A 5 52,02 cm2
2
2
2
b) A 5
c) Aoctógono 5 Aquadrado 2 4Atriângulo ⇒ Aoctógono 5 342 2 4 ? 52,02 ⇒
⇒ Aoctógono 5 947,92 cm2
9. Afirmativas:
(I) Verdadeiro
5. Volume 5 Área da base 3 altura
Área da base (Ab)
Área do triângulo equilátero 5
6, 2 3
6 ,2 3
3, 2 3
Ab 5
5
5
4
4
2
,2 3
(2)2 3
5
5
4
4
(II) Falso
Valor encontrado através do teorema de Pitágoras
Logo, o volume será:
perímetro 5 3 1 4 1 5 5 12
3? 4

2
área 5 2 5 6 cm
3, 2h 3
3, 2 3
?h 5
2
2
Resposta: alternativa c.
(III) Verdadeiro
6. Como regra geral, o volume de um prisma é calculado pelo produto: área da base 3 altura do prisma.
A partir da informação, calculemos a área da base que possui forma hexagonal:
Área da base 5 2 ? (área do triângulo equilátero) 1 (área do
retângulo)
 a2 3 
Área da base 5 2 ? 
1 a?b
 4 
 ( 20 ) 3 
 400 3 
Área da base 5 2 ? 
1 20b
 1 20 ? b 5 2 ? 
4
4 

2
2
D
2
2
3
2
[
( 2)
2
5
( D2 )
2
 3
1
 2 
2
⇒ 25
3
D2
1
⇒
4
4
3
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
Resposta: alternativa d.
V 5
Resposta: alternativa b.
x
Resposta: alternativa e.
A5
384p 5 pR2 ⇒ R 5 384  20 cm
Logo, o diâmetro é de aproximadamente 40 cm.
⇒ 8 5 D2 1 3 ⇒ D 5
5
Área da base 5 2 ? ( 100 ? 1,73) 1 20b 5 346 1 20b
Logo, a área do losango 5
Como o volume da maleta térmica é de 40 litros 5 40 000 cm3,
temos a seguinte igualdade
diagonal maior ? diagonal menor
5
2
5
40
{
?
área
base
da maleta
6da4
4
744
8
(346 1 20b)
5
volume da
67
4maleta
4
8 térmica
40 000
altura da maleta térmica
 346 1 20b 5 1 000 ⇒ 20b 5 654 ⇒ b 5 32,7 cm
Resposta: alternativa c.
7. Calculando a área da pizza circular de 8 fatias, temos A 5 p ? (16)2 5
5 256p cm2
A partir disso, cada fatia terá uma área de 32p cm2.
Para que a nova pizza de 12 fatias atenda aos desejos do dono, ela
deverá ter uma área de (12 ? 32p) cm2 5 384p cm2.
A fim de encontrar o valor do diâmetro da nova pizza, inicialmente
encontramos o valor do raio e, depois, multiplicamos por 2.
5 ? 3
5
2
15
2
(IV) Falso
Área do trapézio 5
(B 1 b) ? h
Bh 1 bh
5
2
2
Então, quando aumentamos a altura em 10%, temos
(B 1 b) ? 1,1h
5
2
1,0 Bh 1 0,1Bh 1 1,0 bh 1 0,1bh
5
5
2
Bh 1 bh
Bh 1 bh
5 1?
1 0,1 ?
2
2
área do trapézio 5
(
)
(
)
Logo, o aumento na área também será de 10%, e não de 5%.
Resposta: alternativa d.
Manual do Professor - Capítulo 8
377
10. As retas r e s não estão no mesmo plano. Portanto, não podem ser
paralelas.
Resposta: alternativa a.
Para refletir
b)
7!
7 ? 6 ? 5 ? 4!
5
5 210
4!
4!
c)
3!5!
3 ! 5 ? 4!
1
1
5
5
5
4!6!
6∙4
24
4!6 ? 5 ? 4 ? 3!
P‡gina 196
Banco de imagens/
Arquivo da editora
2
d)
1
h 4
h
)
8
5
(n 2 2) !
5 n2 2 n
1
e)
)3
4
(n 1 1) !
1
5
(n 1 2) (n 1 1)!
n12
1
1
1
A aresta da base maior mede 8 m. Logo, o apótema da base mede 4 m. A
aresta da base menor mede 2 m. Logo, o apótema da base menor mede 1 m.
Aplicando o teorema de Pitágoras, encontramos h 5 7 m. A diferença
entre os apótemas das duas bases é 4 2 1 5 3 m. O apótema do tronco
mede 4 m ( já calculado).
1
1
5 n2 1 2n 2 3
n(n 2 1) (n 22)!
(n22)!
5 56 ⇔ n 5 8
b) (n 1 2)(n 1 1)n! 1 (n 1 1)n! 5 15n! ⇒ u2 1 3n 1 2 1 n 1 1 5 15 ⇒
⇒ u2 1 4n 2 12 5 0 ⇒ n 5 2
Capítulo 9
B
2 vias
(n 1 3) (n 1 2) ! (n 2 1) (n 2 2) !
?
f)
5 (n 1 3)(n 2 1) 5
(n 2 2) !
(n 1 2) !
11. a)
Unidade 4
1. A
n(n 2 1) (n 2 2) !
C
3 vias
Logo, há 2 ? 3 5 6 maneiras para irmos de A a C passando por B.
12. P3 5 3! 5 3 ? 2 ? 1 5 6
ALI, AIL, LAI, LIA, IAL, ILA
13. Podemos escrever 4 ? 4 ? 4 ? 4 5 256 números de 4 algarismos.
P4 5 4! 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24 números de 4 algarismos distintos.
2. 5 ? 3 ? 2 ? 2 5 60 maneiras diferentes.
14. P5 5 5! 5 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 120 maneiras
3. Em cada lançamento, podemos ter cara ou coroa. Utilizando A para
cara e B para coroa, temos 2 ? 2 ? 2 5 8 possibilidades de resultado:
15. Se duas pessoas estão sempre juntas, podemos considerá-las
como uma única pessoa.
A
A
B
A
B
B
A
A2A2A
B
A2A2B
A
A2B2A
B
A2B2B
A
B2A2A
B
B2A2B
A
B2B2A
B
B2B2B
4. Há 5 ? 4 ? 3 5 60 maneiras.
5. Algarismos das dezenas: 2, 4, 6 ou 8
Algarismos das unidades: 0, 3, 6 ou 9
Logo, podemos formar 4 ? 4 5 16 números.
6. a) 6 ? 6 5 36 números
b) O algarismo das unidades pode ser 2, 4 ou 6. Logo, temos
6 ? 3 5 18 números pares.
c) O algarismo das unidades pode ser 1, 3 ou 5. Logo, temos
6 ? 3 5 18 números ímpares.
d) 6 ? 5 5 30 números
e) Só podem ser utilizados os algarismos 2, 4 e 6. Logo, temos
3 ? 3 5 9 números.
7. 27 5 128 maneiras
8. 26 2 1 5 63 maneiras
9. 5 ?
5
?
…
? 5
? 5 5 590
90 vezes
10. a) 6! 5 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 720
378
Manual do Professor
P4 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24
Essas duas pessoas podem sentar-se de duas maneiras. Logo, temos 2 ? 24 5 48 maneiras.
16. P4 5 4! 5 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 24 anagramas
17. Os números devem ter o algarismo 6 na unidade de milhar porque eles estão entre 5 000 e 10 000. Logo, fixando o 6, temos
3 algarismos para as outras três ordens:
P3 5 3! 5 3 ? 2 ? 1 5 6 números com algarismos distintos
(6 124 , 6 142, 6 214 , 6 241, 6 412, 6 421)
18. a) P6 5 720
b) TEO 3 ? 2 ? 1 5 P3 5 6
c) P4 5 24
d) P4 ? P3 5 144
e) AEIO 2 ? 1 5 P2 5 2
2 ? 1 AEIO 5 P2 5 2
Logo, 4 anagramas.
19. a) A G I M O
b) A G I O M
c) A 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 P4 5 24
GAIMO 5 25o anagrama
d) última: OMIGA
penúltima: OMIAG
e) A 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 P4 5 24 anagramas
G 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 5 P4 5 24 anagramas
I A 3 ? 2 ? 1 5 P3 5 6 anagramas
I G A M O 5 1 anagrama
Logo, 55o anagrama é IGAMO.
20. a) MISSISSIPPI tem 4“”
I , 4 “S”, 2 “P” e 1 “M”:
11 ? 10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5
!
11
5
P114 , 4 , 2 5
5 34 650
4 ? 3 ? 2 ?1? 2 ?1
4!4!2!
(x 2 1)!
(x 2 1)!
5 30 ⇒
5 30 ⇒
(x 2 1 2 2)!
(x 2 3)!
(x 2 1)(x 2 2) (x 2 3)!
5 30 ⇒ x 2 2 3x 1 2 5 30 ⇒
⇒
(x 2 3)!
27. a) Ax 2 1, 2 5 30 ⇒
b) ARARAQUARA : tem 5 “A” e 3 “R”:
P105, 3 5
⇒ x 2 2 3x 2 28 5 0 ⇒ (x 2 7)(x 1 4) 5 0 ⇒
⇒ x 5 7 ou x  524 (não convém, pois x 2 3  0 ⇒ x  3)
Portanto, x 5 7.
10!
10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6
5
5 5 040
5!3!
3 ? 2 ?1
c) ABÓBORA: tem 2 “A”, 2 “B” e 2 “O”:
7!
7?6?5? 4 ?3
5
P72, 2, 2 5
5 630
2!2!2!
2 ? 1? 2 ? 1
x!
5 x 3 2 40 ⇒
(x 2 3)!
⇒ x (x 2 1)(x 2 2) 5 x 3 2 40 ⇒ x (x 2 2 3x 1 2) 5 x 3 2 40 ⇒
b) Ax , 3 5 x 3 2 40 ⇒
⇒ x 3 2 3x 2 1 2 x 2 x 3 1 40 5 0 ⇒ 3x 2 2 2 x 2 40 5 0
 5 4 2 4 (3)(240) 5 484
10
2  22
(não convém) ou x 5 4
⇒ x 52
x 5
6
3
Obs.: não considerando o acento na letra Ó.
d) BISCOITO: tem 2 “”
I e 2 “O”:
2
P82, 2 5
8!
8?7?6?5? 4 ?3
5
5 10 080
2!2!
2 ?1
e) ARARAQUARA
14243 : fixando A no início e no final da palavra,
temos 8 letras, sendo 3 “A” e 3“R”:
P83, 3 5
8!
8? 7? 6 ?5? 4
5
5 1 120
3!3!
3 ? 2 ?1
21. a) P42,2 5
4!
4 ?3?2
5
56
2! 2!
2?2
22. P94 , 3, 2 5
9!
5 1 260 maneiras.
4! ? 3! ? 2!
29. a) A5,
b) A6, 3
d) A4 ,
4
e) A5, 1
4!
5 4 ? 3 5 12
2!
b)
A8 , 3
c) 3
A7 , 5
8!
5 8 ? 7 5 56
6!
8!
5 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 5 6 720
3!
h) An, 0 5
n!
51
n!
26. a) Ax , 2 5
x!
(x 2 2)!
b) Ax 2 3, 2 5
8
7!
5
5 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 5 2 520
2!
7!
5 6 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 5 15 120
2!
32. A6,
4
5
6!
5 6 ? 5 ? 4 ? 3 5 360
2!
33. A6,
4
5
6!
5 360
2!
34. a) P5 5 5! 5 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 120
5
(x 2 3)!
x (x 2 1) (x 2 2)!
(x 2 3 2 2)!
(x 2 2)!
5
5 x2 2 x
(x 2 3)(x 2 4) (x 2 5)!
(x 2 3)!
5
5
(x 2 5)!
(x 2 5)!
5 (x 2 3)(x 2 4) 5 x 2 2 7 x 1 12
(2 x 1 1)!
5
(2 x 1 1 2 3)!
(2 x 2 2)!
(2 x 1 1)2 x (2 x 2 1) (2 x 2 2)!
5
5 2 x (2 x 1 1)(2 x 2 1) 5
(2 x 2 2)!
c) A2 x 1 1, 3 5
7
8!
5
5 8 ? 7 ? 6 5 336
5!
6 A7 , 5 5 6 ?
5!
5
55
4!
g) A8 , 5 5
9!
5 9 ? 8 ? 7 5 504
6!
d) Podemos considerar 5 e 6 um único dígito, uma vez que estão
juntos. Temos, então:
4!
4 ?3?2? 1
5
5
5 24
0!
1
7!
51
7!
4!
5 2 ? 4 ? 3 ? 2 5 48.
1!
12!
5 12 ? 11 5 132
10!
31. a) A9, 3 5
f) A7 , 0 5
5!
5 5 ? 4 ? 3 ? 2 5 120
1!
5 ou 7
30. A12, 2 5
6!
5
5 6 ? 5 ? 4 5 120
3!
c) A8 , 2 5
5
Queremos, então, 2 A4 , 3 5 2 ?
4!
5 6 ordens.
2! ? 2!
25. a) A4 , 2 5
4
b)
23. Devemos ter 7 questões certas e 3 erradas.
10!
5 120 modos.
P107, 3 5
7! ? 3!
24. P42, 2 5
28. 1 a maneira: usando a fórmula
30!
A30 , 4 5
5 30 ? 29 ? 28 ? 27 5 657 720
26!
a
1 maneira: sem usar a fórmula
30 ? 29 ? 28 ? 27 5 657 720
(2 x 1 1)!
5
5 2 x (4 x 2 2 1) 5 8 x 3 2 2x
b) A5,
4
5
5!
5 5 ? 4 ? 3 ? 2 5 120
1!
c) O
A4 , 3 5
4!
5 4 ? 3 ? 2 5 24
1!
F
d)
A3, 2
I
3!
5
5 3?2 5 6
1!
e) O I pode ocupar qualquer um dos 4 lugares. Então :
4!
4 A4 , 3 5 4 ?
5 4 ? 4 ? 3 ? 2 5 96
1!
Manual do Professor - Capítulo 9
379
35. a) A6,
5
4
b)
A5, 3
6
5!
5
5 5 ? 4 ? 3 5 60
2!
3A5, 3
3A5, 3
4
3
44. a) C 9, 3
1
1
4
9!
9 ? 8 ?7
5
5
5 84
3!6!
3?2
1
1
2
b) C 5, 3 ? C 4 , 2
2
4 ?3
5!
4!
5? 4
?
?
5
5
5 10 ? 6 5 60
3!2! 2!2!
2 ?1
2?1
1
1
2
c) C 4 , 3 ? C 5, 2 5
5!
5 60
2!
37. A5, 3 5
4 ?3
6!
4!
6 ?5? 4
?
?
5
5 120
3!3! 2!2!
2 ?1
3 ? 2 ?1
1
30!
5 30 ? 29 ? 28 ? 27 5 657 720
26!
5
2
1
43. C 6, 3 ? C 4 , 2 5
1, 3 ou 5
5!
5 3?
5 180
2!
d)
10!
10 ? 9
5
5 45
8!2!
2?1
42. C 10 , 8 5
2, 4 ou 6
5!
5 3?
5 3 ? 60 5 180
2!
c)
36. A30 ,
6!
5 6 ? 5 ? 4 ? 3 5 360
2!
4!
5!
4 5? 4
?
?
5
5 4 ? 10 5 40
3!1! 2!3!
1
2
1
7
Resolvido passo a passo
5. a) C20, 2 5
20!
20 ? 19
5 190 apertos de mão
5
18!2!
2!
5
6!
6?5
5
5 15
4!2!
2?1
b) C 5, 3 5
5!
5? 4
5
5 10
3!2!
2?1
c) C 4 , 1 5
4!
4
5
54
3!1!
1
d) C 5,
5!
5
5
55
4!1!
1
38. a) C 6,
4
4
5
e) C 75 5
45. C 30 , 5
30!
30 ? 29 ? 28 ? 27 ? 26
5 142 506
5
5
5!25!
5 ? 4 ? 3 ? 2 ?1
1
1
1
1
46. Heptágono tem 7 vértices; para fazer um triângulo precisamos de
3 vértices, assim:
7!
7 ? 6 ? 5 ? 4!
5
5 35
3!4!
3 ? 2 ? 4!
C 7, 3 5
13
17
25
52!
52 ? 51 ? 50 ? 49
5 270 725
5
4 ? 3 ? 2 ?1
4!48!
47. C 52, 4 5
1
1
1
48. a) C5, 1 ? C6, 1 5 5 ? 6 5 30 formas
5!
6!
b) C5, 2 ? C6, 2 5
?
5 10 ? 15 5 150 formas
2! ? 3!
2! ? 4!
7!
7?6
5
5 21
5!2!
2?1
7!
7


5
57
f)  7  5
 6 
6!1!
1
3
c) C11, 4 5
45!
45


5
5 45
g)  45  5
 44 
44!1!
1
11!
11 ? 10 ? 9 ? 8
5
5 330 formas
4! ? 7!
4 ? 3 ? 2 ?1
5
10
7
30!
30 ? 29 ? 28 ? 27
 
5
h)  30  5
5 5 ? 29 ? 7 ? 27 5 27 405
 26 
26!4!
4 ? 3 ? 2 ?1
1
39. a) 5 1
1
1
x ( x 2 1)
x!
5 x 1 14 ⇒
5 x 1 14 ⇒ 5 1
2
2!( x 2 2)!
⇒ 10 1 x 2 2 x 5 2x 1 28 ⇒ x 2 2 3x 2 18 5 0 ⇒
⇒ ( x 2 6)( x 1 3) 5 0 ⇒ x 5 6 ou x 5 2 3 (nã
ão convém)
Logo, x 5 6.
b)
( x 1 3)!
( x 1 3)!
5 15 ⇒
5 15 ⇒
2!( x 1 3 2 2)!
2!( x 1 1)!
( x 1 3) ( x 1 2)
⇒
5 15 ⇒ (x 1 3) (x 1 2) 5 30 ⇒
2
2
⇒ x 1 5x 1 6 2 30 5 0 ⇒ x 2 1 5x 2 24 5 0 ⇒
⇒ (x 1 8)(x 2 3) 5 0 ⇒ x 5 3 ou x 5 28 (não convém)
Portanto, x 5 3.
6
20!
20 ? 19 ? 18
5
5
5 1 140
3!17!
3 ? 2 ?1
1
41. C 10 , 6 5
3
2
1
1
10!
10 ? 9 ? 8 ? 7
5 210
5
6!4!
4 ? 3 ? 2 ?1
1
380
1
Manual do Professor
5
4
b) C24, 5 5
24!
24 ? 23 ? 22 ? 21 ? 20
?
5 42 504 modos
5! ? 19!
8 ?4 ?3?2
c) C14, 1 ? C10, 1 5 14 ? 10 5 140 modos
8!
8 ?7 ? 6
5
50. a) A E { 5
5 56 comissões
3! ? 5!
3?2
C
8, 3
b) C8, 5 5 C8, 3 5 56 comissões
2
8 ? 7 ? 6 ?5
c) A { 5 2 ? C8, 4 5 2 ?
5 140 comissões
ou
4 ?3?2
C
E
8, 4
51. a) H H H
123
C5, 3
10
40. C 20 , 3
2
14!
10!
14 ? 13 ? 12
10 ? 9
?
5
5
?
49. a) C14, 3 ? C10, 2 5
3! ? 11! 2! ? 8!
2
3?2
5 16 380 modos
5!
6!
M
{ 5 C5, 3 ? C6, 1 5 3! ? 2! ? 1! ? 5! 5 10 ? 6 5 60 maneiras
C 6, 1
b) Podemos ter exatamente 3 homens e 1 mulher ou exatamente
4 homens.
5!
C5, 3 ? C6, 1 1C5, 4 5 60 1
5 60 1 5 5 65 maneiras
4! ? 1!
c) Podemos ter exatamente 1 homem e 3 mulheres ou nenhum
homem e 4 mulheres.
5!
6!
6!
C5, 1 ? C6, 3 1C6, 4 5
?
1
5 115 maneiras
1! ? 4!
3! ? 3!
4! ? 2!
52. C10,3 2 C6,3 2 C4,3 5
10!
6!
4!
2
2
5 96 modos
3! ? 7!
3! ? 3!
3! ? 1!
53. Como os lados dos quadriláteros devem coincidir com as linhas da
figura apresentada no exercício, então, podemos dizer que esses
quadriláteros são todos retângulos. Vale lembrar também que
todo quadrado é um retângulo.
Para encontrar todos os retângulos existentes na figura, devemos
escolher entre seis pontos uma linha na horizontal (formada por
dois pontos alinhados horizontalmente) e entre quatro pontos
uma linha na vertical (formada por dois pontos alinhados verticalmente), portanto:
6!
4!
?
5 15 ? 6 5 90.
Número de quadriláteros 5 C6, 2 ? C4, 2 5
2!4! 2!2!
54. C 8 , 3 5
63. 14243 1442443
letras
64. C 8 , 2 5
C 20 ,
8!
8?7? 6
5 56 triângu
ulos
5
3!5!
3 ? 2 ?1
5!
5 5 ? 4 5 20 maneiras
3!
57. A10, 3 5 10 ? 9 ? 8 5 720 maneiras
n(n 2 1)
n!
5 36 ⇒
5 36 ⇒
2!(n 2 2)!
2
⇒ n(n 2 1) 5 72 ⇒ n2 2 n 2 72 5 0 ⇒
⇒ (n  8)(n 2 9) 5 0 ⇒ n 5 28 (não convém) ou n 5 9
Porttanto, estavam reunidos 9 amigos.
61. a) P6 5 6! 5 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 5 720 anagramas
b) L
P5 5 5! 5 120 anagrama
as




67.  m  5  m  ⇒ m 5 9  8 5 17
 9 
 8 
17!
 17 
 m 
51
 17  5  17  ⇒
17!0!
68. 2 x 5 x  1 ⇒ x 5 1 ou 2 x  x  1 5 20 ⇒
19
⇒ 3 x 5 19 ⇒ x 5
(não convém)
3
Portanto, x 5 1.
12!
4!8! 5 12! ? 5!7! 5 5 ? 4! 7! 5 5
12!
8
4!8! 12!
4!8 ? 7!
5!7!
70. a) 25 5 32
L
f)
O
G
Podemos considerar LOG como uma única letra. Logo, trata-se
de P4 5 4! 5 24 anagramas.
g) Há P3 maneiras de L , O, G estarem juntas.
Temos, então:
P3 ? P4 5 3!4! 5 6 ? 24 5 144 anagramas
7
20!
20 ? 19


d)  20  5
5
5 190
 18 
18!2!
2
69.
3 ? 3P4 5 9 ? 4! 5 9 ? 24 5 216 anagramas
20!
14!
2
5
4!16!
4!10!
6!


c)  6  5
51
 0 
0!6!
d) O total de maneiras para escolher as vogais que iniciam e terminam a palavra é A3, 2. Determinadas essas vogais, há 4 letras
a serem permutadas, ou seja, P4 anagramas.
e) Há 3 consoantes que podem iniciar a palavra e 3 vogais que
podem terminá-la. As 4 letras restantes se permutam.
3
5
7!
7? 6 ?5


5
5 35
b)  7  5
 3 
3!4!
3? 2
c) L O
P4 5 4! 5 24 anagramas
3!
A3, 2 ? P4 5
? 4! 5 6 ? 24 5 144 anagramas
1!
4
6!
6?5


5
5 15
66. a)  6  5
 2 
2!4!
2
6!
6?5
5
5
5 15 quadriláteros
4!2!
2?1
60. C n, 2 5 36 ⇒
2 C 14 ,
5
Obs.: não considerando o acento na letra Á.
4
4
20 ? 19 ? 18 ? 17
14 ? 13 ? 12 ? 11
2
5
5 4 845 2 1001 5 3844
4 ? 3 ? 2 ?1
4 ? 3 ? 2 ?1
58. MATEMÁTICA → 2 “M”, 3 “A”, 2 “T”
10!
10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4
P102, 3, 2 5
5
5 151 200
2!3!2!
2?2
59. C 6,
8!
8?7
5
5 28 duplas
2!6!
2
65. De todas as comissões possíveis, devemos subtrair aquelas em
que não haja mulheres:
55. A10, 3 5 10 ? 9 ? 8 5 720 maneiras
56. A5, 2 5
algarismos
Como as letras são A e B para ocuparem três espaços,
temos 2 ? 2 ? 2 5 8.
Os algarismos são pares (0, 2, 4, 6, 8) e sem repetição;
logo, é o caso de A5, 4 .
5!
Total de placas 5 8 · A5, 4 5 8 ?
5 8 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 5 960
1!


b) 26 2  6  5 64 2 1 5 63
 0 
2
3
2
3
10!
10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 6


c)  10  5
5
5 252
 5 
5!5!
5? 4?3?2
3
4
9!
9!
9 ? 8 ?7

 


5 9
5 93
d)  9    9  5
 1   3 
8!1!
3!6!
3?2
71. A 6a linha do triângulo de Pascal é expressa por:
 5   5  5  5  5   5
 0   1   2   3   4   5  5 1 5 10 10 5 1
A 7a linha do triângulo de Pascal é expressa por:
 6  6  6  6  6   6  6
 0   1   2   3   4   5   6  5 1 6 15 20 15 6 1
62.
↑
↑
↑
↑
5 pos. 5 pos. 4 pos. 3 pos.
5 A5, 3 5 5 ?
5!
5 5 ? 5 ? 4 ? 3 5 300
2!
A 8a linha do triângulo de Pascal é expressa por:
 7  7 7 7 7  7 7 7
 0   1   2   3   4   5   6   7  5 1 7 21 35 35 21 7 1
Manual do Professor - Capítulo 9
381
 n 
 n 
72. • 
 5 2 p  ⇒


 p + 1
5 2?
n!
⇒
p!(n 2 p)!
 8
 8
 0  1  1  1 ... 1
n!
5
(p 1 1)!(n 2 p 2 1)!
1
(p 1 1) p!(n 2 p 2 1)!
 
 
 
 
 
77.  5  x 5 1  5  x 4 ? 2 1  5  x 3 ? 22 1  5  x 2 ? 23 1  5  x ? 2 4 1
 0
 1
 2
 3
 4
5
↓
1
2
1
2
5
⇒
⇒
p!(n 2 p)(n 2 p 2 1)!
p11
n2p
5
n!
⇒
(n 2 p)!p!
= 3?
n!
(p 1 2)!(n 2 p 2 2)!
↓
1
1
5
(p 1 2)(p 1 1) p!(n 2 p 2 2)!
↓
5
3
↓
6
↓
4
↓
1
2
5 a 2 12a 1 54a 2 108a 1 81


b)  15  x15 ? 10 5 x15
 0 
II
3
(2p 1 2)(2p 1 2 2 1)
↓
4
3
4
78. a) 15 1 1 5 16 termos
(n 2 p)(n 2 p 2 1)


c)  15  x15 2 2 ? 12 5 105x13
 2 
⇒
Para refletir
⇒ 3(p 1 3p 1 2) 5 (2p 1 2)(2p 1 1) ⇒
Página 216
2
2
↓
10
 4
 4
 4
 4
 4
b)   a 4 2   a 3 ? 3 1   a 2 ? 32 2   a ? 33 1   34 5
 0
 1
 2
 3
 4
5
Substituindo I em II , temos:
(p 1 2)(p 1 1) 5
↓
10
↓
1
3
=
⇒
(n 2 p)(n 2 p 2 1)(n 2 p 2 2)!p!
⇒ (p 1 2)(p 1 1) 5
↓
5
 
1  5  25 5 x 5 1 10 x 4 1 40 x 3 1 80 x 2 1 80 x 1 32
 5
⇒ n 2 p 5 2p 1 2 I
 n 

n 
•
 = 3 p  ⇒
2
p
1




 8
8
 8  5 2 5 256 modos de fazer a escolha.
1
2
⇒ 3p 1 9p 1 6 5 4 p 1 2p 1 4 p 1 2 ⇒
C n, n 5
⇒ 2 p 2 1 3p 1 4 5 0 ⇒ p 2 2 3p 2 4 5 0
1
∆ 5 9 2 4 (1)(24) 5 25
Página 225
35
⇒ p 5 4 ou p 5 2 1 (não convém)
2
Como n 2 p 5 2p 1 2, então:
n!
 n 
5
51
 0 
0! ? n!
p5
n (n 2 1)!
n!
 n 
5
5n
 1  5
1! ? (n 2 1)!
1! ? (n 2 1)!
n 2 4 5 2(4) 1 2 ⇒ n 2 4 5 10 ⇒ n 5 14
Portanto, n 5 14 e p 5 4.


73. a) C4, 0 1 C4, 1 1 C4, 2 1 C4, 3 1 C4, 4 5  4 
 0 




1  4  1  4  5 16
 3 
 4 


b) C8, 1 1 C8, 2 1 ... 1 C8, 7 1 C8, 8 5  8  1
 0 
n!
1
1
5 51
5
0!
1
n! 0!




1  4  1  4  1
 1 
 2 
 8 
 8 
 1  1 ... 1  7  1


1  8  5 127
 8 




74. Há  6  maneiras de abrir uma das janelas,  6 
 1 
 2 

de abrir duas das janelas e assim por diante até  6
 6
ras de abrir as seis janelas. Logo:
maneiras

 manei-
 6   6 
 6 
 6 
6
 1  1  2  1 ... 1  6  5 2 2  0  5 64 2 1 5 63 maneiras




75. Há  10  maneiras de fazer triângulos,  10  maneiras de fa 3 
 4 
zer quadriláteros, e assim por diante, até  10  maneiras de fa 10 
zer decágonos.
 n 
 n 
 n  5  0  5 1
Capítulo 10
1. Neste caso, o espaço amostral é  5 { 1, 2, 3} .
A: ocorrência do número 2 5 {2}
B : ocorrência de número ímpar 5 { 1, 3}
2. Espaço amostral  5
{(C , C ) , (C , C ) , (C , C ) , (C , C )} , em
1
2
1
2
1
2
1
2
que C1 e C2 são as caras e C 1 e C 2 são as coroas.
Podemos representar o experimento da seguinte forma:
C1
C1
C2
C2
C2
C2
2 ª moeda
Logo:
1ª moeda
 10   10 



 
 

1
1 ... 1  10  5 210 2  10  2  10  2  10  5
 3   4 
 10 
 0   1   2 
{( C , C ) , ( C , C )}
B : coroa em ambas 5 {( C , C )}
C : pelo menos uma cara 5 {( C , C ) , ( C , C ) , ( C , C )}
5 1 024 2 1 2 10 2 45 5 968 polígonos




76. Há  8  maneiras de não escolher cobertura alguma,  8 
 0 
 1 


maneiras de escolher uma só cobertura,  8  maneiras de esco 2 


lher duas das coberturas, e assim por diante, até  8  maneiras
 8 
de escolher as 8 coberturas juntas. Assim:
382
Manual do Professor
A: exatamente uma cara 5
1
1
2
1
1
2
1
2
2
3.  5 { 1, 2, 3, 4 , 5, 6 }
a) A: número par 5 {2, 4 , 6 }
n ( A)
3
1
p ( A) 5
5 5 5 50 %
n ()
6
2
2
1
2
b) B : número primo 5 {2, 3, 5}
n (B )
3
1
p (B ) 5
5 5 5 50%
n ()
6
2
b) B 5 {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5),
(4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}
n(B) 5 18
18
1
p(B) 5
5
5 50%
36
2
c) C : número 3 5 {3}
n (C )
1
p (C ) 5
5  16,7 %
n ()
6
d) D : número menor do que 3 5 { 1, 2}
n (D)
2
1
p (D) 5
5 5  33,3 %
n ()
6
3
e) E : número menor do que 1 5 {
n (E )
0
p (E ) 5
5 5 0%
n ()
6
}
f) F : número menor do que 7 5 { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
n (F )
6
p (F ) 5
5 5 100%
n ()
6
4.  5 { B1 , B2 , B3 , B4 , B5 , B6 , V1 , V2 , V3 , V4 } ⇒ n (  ) 5 10
a) A: uma bola vermelha 5 {V1 , V2 , V3 , V4 }
4
p ( A) 5
5 40%
10
b) B: uma bola branca 5 { B1 , B2 , B3 , B4 , B5 , B6 }
6
p (B ) 5
5 60%
10
5.  5 { 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13} ⇒ n (  ) 5 13
a) A 5 {2, 4 , 6, 8, 10, 12}
6
p (A) 5
 46,2%
13
b) B 5 {3, 6, 9, 12}
4
p (B) 5
 30,8%
13
c) C 5 {2, 3, 5, 7, 11, 13}
6
p (C) 5
 46,2%
13
d) D 5 {9, 10, 11, 12, 13}
5
p (D) 5
 38,5%
13
e) E 5 { 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9}
9
p (E) 5
 69,2%
13
f) F 5 {6, 7, 8, 9}
4
p (F) 5
 30,8%
13
g) G 5 { 4 , 8, 12}
3
p (G) 5
 23, 1%
13
6.  5 {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4),
(2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3),
(4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2),
(6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
n() 5 36
a) A 5 {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}
n(A) 5 6
6
1
p(A) 5
5
 16, 7%
36
6
c) C 5 {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4),
(4, 1), (4, 3), (5, 2), (5, 6), (6, 1), (6, 5)}
n(C) 5 15
15
5
p(C) 5
5
 41, 7%
36
12
d) D 5 {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3),
(2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1),
(5, 2), (6, 1)}
n(D) 5 21
21
7
p(D) 5
 58,3%
5
36
12
e) E 5 {(2, 2), (4, 4), (6, 6), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 6), (6, 2), (6, 4)}
n(E) 5 9
9
1
p(E) 5
5
5 25%
36
4
f) F 5 {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
n(F) 5 6
6
1
p(F) 5
5
 16, 7%
36
6
g) G 5 {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 4), (5, 1),
(5, 5), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 6)}
n(G) 5 14
14
7
p(G) 5
5
 38,9%
36
18
7.  5 {2c , 2o, 2e, 2p, ..., Ac , Ao, Ae , Ap } ⇒ n (  ) 5 52
a) A 5 {2c , 3c , 4c , ..., Ac}
n(A) 5 13
13
5 25%
p(A) 5
52
b) B 5 {Ac , Ao, Ae , Ap}
n(B) 5 4
4
p(B) 5
 7 , 7%
52
c) C 5 {Ac}
n(C) 5 1
1
p(C) 5
 1,9%
52
d) D 5 {2o, 3o, ..., Ao, 2c , 3c , ..., Ac}
Para cada naipe há 13 cartas, então n(D) 5 26.
1
26
5
5 50%
p(D) 5
52
2
e) E 5 {3o, 3c}
n(E) 5 2
2
1
5
 3,8%
p(E) 5
52
26
Manual do Professor - Capítulo 10
383
8. Espaço amostral:
C2
C1
C1
C2
 5
b) B : somente carro
n(B) 5 7
n(B)
7
p(B) 5
5
5 8, 75%
n()
80
C2
C2
{( C , C ) , ( C , C ) , ( C , C ) , ( C , C )}
1
2
1
2
2
1
1
2
a) A 5 {(C 1 , C 2)}
n(A) 5 1
1
p(A) 5
5 25%
4
{
d) D : nenhum veículo
n(D) 5 19
n(D)
19
p(D) 5
5
5 23, 75%
n()
80
}
b) B 5 (C 1 , C 2) , (C 1 , C 2)
n(B) 5 2
2
1
5 5 50%
p(B) 5
4
2
{(
e) E : apenas um dos veículos
n(E) 5 17 1 7 1 3 5 27
)}
c) C 5 C 1 , C 2
n(C) 5 1
1
p (C) 5 5 25%
4
{(
c) C : carro e ônibus, mas não moto
n(C) 5 7
n(C)
7
p(C) 5
5
5 8, 75%
n()
80
apenas
ônibus apenas
carro
)}
)(
9. Complementando o diagrama de Venn para o caso, temos:
Informática
n(E)
27
5
5 33, 75%
n()
80
p (E) 5
d) D 5 C 1 , C 2 , C 1 , C 2
n(D) 5 2
2
1
p (D) 5 5 5 50%
4 2
Inglês
apenas
moto
11. Sendo  o espaço amostral do experimento e A o evento: “sair o
anagrama AMOR”, temos que:
• n() 5 P4 5 4! 5 24
• n(A) 5 1
1
Assim, a probabilidade “procurada” é dada por: p(A) 5
24
12. a) O número de formas “procurado” é dado por:
52!
5 1 326
2! ? 50!
b) O número de maneiras “procurado” é dado por:
C52, 2 5
60
10
18
C13, 2 5
12
a) Frequentam somente o curso de informática 5 60
Probabilidade de cursar somente o curso de informática 5
5
60
3
5 5 60%
100
5
b) Não frequentam nenhum curso 5 12
Probabilidade de não frequentar nenhum curso 5
5
12
3
5
5 12%
100
25
Ilustrações técnicas desta página: Banco de imagens/Arquivo da editora
c) Sendo  o espaço amostral do experimento e A o evento: “saírem duas cartas de espadas”, temos que:
• n() 5 C52, 2 5 1 326
• n(A) 5 C13, 2 5 78
Assim, a probabilidade “procurada” é dada por:
p(A) 5
78
1
5
1326
17
Resolvido passo a passo
5. a) Dados da máquina I
10. Temos o seguinte diagrama de Venn:
Ônibus
13!
5 78
2! ? 11!
Carro
• Porcentagem de parafusos não defeituosos:
100% 2 2,5% 5 97,5%
• 54% da produção de 10 000 000, representa 5 400 000 parafusos produzidos.
• Total de parafusos bons: 97,5% de 5 400 000 5 5 265 000
7
17
13
5
• Receita 5 5 265 000 ? (0,10) 5 526 500
7
Dados da máquina II
9
3
• Porcentagem de parafusos não defeituosos:
19
100% 2 3,8% 5 96,2%
• 46% da produção de 10 000 000, representa 4 600 000 parafusos produzidos.
Moto
n( ) 5 80
a) A: somente ônibus
n(A) 5 17
n(A)
17
p(A) 5
5
5 21,25%
n()
80
384
Manual do Professor
• Total de parafusos bons: 96,2% de 4 600 000 5 4 425 200
• Receita 5 4 425 200 ? (0,05) 5 221 260
Receita total das máquinas:
RT 5 526 500 1 221 260 5 747 760
A receita mensal é de R$ 747 760,00
13. a) Evento A: número par
A 5 {2, 4 , 6, 8, 10, 12, 14 , 16}
n(A)
8
p (A) 5
5
n()
17
b) Evento B: número primo
B 5 {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 }
n(B)
7
p (B) 5
5
n()
17
c) Evento C : par ou primo
C 5 {2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14 , 16, 17 }
n(C)
14
p (C) 5
5
n()
17
15. Evento A: soma 8 5 {(2, 6) , (6, 2) , (3, 5) , (5, 3) , (4 , 4)} ⇒
⇒ n(A) 5 5
Evento B : números iguais 5 {(1, 1) , (2, 2) , (3, 3) , (4 , 4) , (5, 5) , (6, 6)} ⇒
⇒ n(B) 5 6
Evento A  B : {(4, 4)} ⇒ n(A  B) 5 1
Logo:
n(A  B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A  B) 5 5 1 6 2 1 5 10
Assim:
p(A  B) 5
n(A  B)
10
5
 27, 78%
5
5
36
18
n(Ω)
16. Evento A: ser homem ⇒ n(A) 5 16
16
20
1
5 18
2
2
Evento (A  B): homeme cabelo castanho ⇒ n(A  B) 5 8
Evento B : ter cabelo castanho ⇒ n(B) 5
d) Evento D: par e primo
D 5 {2}
n(D)
1
p (D) 5
5
n()
17
e) Evento E: nem par nem primo
14
3
1 2 p (par ou primo) 5 1 2
5
17
17
f) Evento F : par mas não primo
p (par não primo) 5 p (par) 2 p (par e primo) 5
8
1
7
5
2
5
17
17
17
n(A  B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A  B) 5 16 1 18 2 8 5 26
Logo:
26
13
p(A  B) 5
5
 72,2%
36
18
17. Quando o dado é viciado, os eventos elementares não são equiprováveis. Porém, sabemos que p() 5 1
Assim, sendo A o evento: “sair o número 6”, temos que:
p(A) 1 p(A) 5 1
Então, como p(A) 5
g) Evento G: primo mas não par
p (primo não par) 5 p (primo) 2 p (primo e par) 5
7
1
6
5
2
5
17
17
17
14. a) Evento A: copas ⇒ n(A) 5 13
13
1
p (A) 5
5
5 25%
52
4
b) Evento B : dama ⇒ n(B) 5 4
4
1
p (B) 5
5
 7 , 7%
52
13
c) Evento C : copas ou dama
O evento copas e dama tem 1 elemento.
1
Então, p (copas e dama) 5
. Logo :
52
p (copas ou dama) 5 p (copas) 1 p (dama) 2 p (copas e dama) 5
13
4
1
16
4
5
1
2
5
5
 30,8%
52
52
52
52
13
d) Evento D: copas e dama
1
p (copas e dama) 5
52
e) E : não copas
13
Se p(E) 5
, então:
52
p( E ) 5 1 2 p(E) 5 1 2
f) F : não dama
4
Se p (F) 5
, então:
52
( )
p F 5 1 2 p (F) 5 1 2
⇒12
8
3
5
11
11
3
3
, concluímos que:
1 p(A) 5 1 ⇒
11
11
Portanto