RICHIAMI DI MATEMATICA
RICHIAMI GENERALI
I fenomeni che interessano la Meccanica dei Fluidi si possono rappresentare in uno Spazio
Euclideo, in generale a 3 dimensioni, così definito:
E=
dove
x
rappresenta il vettore posizione di un punto geometrico nello spazio fissato e può essere
definito tramite le coordinate del vettore rispetto ad una base di riferimento
dei numeri reali a 3 dimensioni.
{ei}; R3 è l’insieme
I fenomeni, in genere, presentano un carattere evolutivo. Per rappresentare tale carattere si può fare
riferimento allo ‘Spazio degli Istanti’, descritto come uno spazio ad una dimensione definito nel
modo seguente:
T=
dove t è il generico istante temporale; R+ è l’insieme dei numeri reali positivi.
Le grandezze fisiche di interesse nella Meccanica dei Fluidi si possono rappresentare come
grandezze di campo (vale a dire dipendenti dalla posizione assunta nel dominio di definizione della
grandezza stessa) tensoriali, in genere funzioni del tempo. In particolare, sono di interesse
grandezze:
• Scalari – Tensori di ordine 0
• Vettoriali – Tensori di ordine 1
• Tensori – Tensori di ordine 2
RICHIAMI DI NOTAZIONI INDICIALI
▪ Convenzione di notazione implicita di sommatoria
a1b1 + a2b2 + …..+ anbn =
= aibi
▪ Operatore di Kronecker
con i,j = 1,2,3
Con valori dell’operatore così definiti:
se i = j;
se i  j.
1
con i=1,n.
▪ Operatore di Permutazione
con i,j,k = 1,2,3
Con valorti dell’operatore così definiti:
per permutazioni orarie degli indici senza ripetizioni;
per permutazioni antiorarie degli indici senza ripetizioni;
per permutazioni con ripetizioni degli indici.
RICHIAMI SU GRANDEZZE SCALARI
Alcune grandezze fisiche sono rappresentabili come grandezze scalari
RICHIAMI SU GRANDEZZE VETTORIALI
Alcune grandezze fisiche sono rappresentabili come grandezze vettoriali
Data una base di riferimento ortonormale{ei} un vettore
componenti rispetto alla base stessa:
A si può definire in termini delle sue
Relativamente ad un sistema cartesiano ortonormale di coordinate (x1,x2,x3) come mostrato in
figura:
X3
e3
e2
e1
X1
2
X2
Siano
(e 1 , e 2 , e 3 ) tre versori mutuamente ortogonali e paralleli agli assi coordinati. Un generico
vettore A può allora essere rappresentato mediante la relazione:
A = a1 e 1 + a 2 e 2 + a3 e 3 = ai e i
avendo assunto, secondo la convenzione di sommatoria, che due indici ripetuti sottintendono la
sommatoria dell’indice ripetuto da 1 a 3 e avendo indicato con ai le componenti del vettore lungo i
tre assi cartesiani. Nel seguito con A = a i a i indicheremo il modulo del vettore.
Tra vettori, a parte la somma, differenza e moltiplicazione per uno scalare che vengono assunte
come note, ricordiamo due operazioni fondamentali: il prodotto scalare e il prodotto vettoriale.
Prodotto scalare: a due vettori A, B associa uno scalare s così definito:
s ≡ A•B =│A││B│ cos( )
essendo 

l’angolo fra i due vettori.
Il prodotto scalare gode della proprietà commutativa e associativa. Tenendo conto allora che
(e 1 , e 2 , e 3 ) sono versori mutuamente ortogonali fra loro ossia:
1, se i = j
ei  e j =  i j  
0, se i  j
segue che A•B =
i, j = 1,2,3
(1)
( ai e i )  (b j e j ) = ai b j (e i  e j ) = ai b j i j = ai bi
La precedente permette di calcolare il prodotto scalare mediante la semplice somma dei prodotti
delle componenti omonime dei due vettori. Tale formula vale solo se sussiste la (1).
Prodotto vettoriale: a due vettori A, B associa un vettore C così definito:
│C│ ≡│A x B│ =│A││B│ sin( )
essendo    l’angolo fra i due vettori.
La direzione di C è quella ortogonale al piano individuato da A, B, mentre il verso è tale che la
rotazione che porta A su B percorrendo l’angolo sia antioraria vista da C. Il prodotto vettoriale
può essere eseguito mediante lo sviluppo secondo i minori della prima riga del seguente
determinante 3x3:
3
e1 e 2 e 3
a1 a 2 a3 = e 1 (a 2 b3 − a3 b2 ) − e 2 (a1b3 − a3b1 ) + e 3 (a1b2 − a 2 b1 ) =
b1 b2 b3
Il prodotto vettoriale è distributivo ma anticommutativo ossia: (A x B) = - (B x A).
In base alle precedenti segue che condizione necessaria e sufficiente affinché due vettori siano
ortogonali è che il loro prodotto scalare sia nullo, mentre affinché siano paralleli deve essere nullo
quello vettoriale.
4
ELEMENTI DI ANALISI TENSORIALE
Le grandezze scalari e vettoriali sono un caso particolare di una classe più vasta di grandezze dette
tensoriali. In particolare le grandezze scalari sono dette tensori di rango zero, i vettori tensori di
rango uno. Il rango è associabile al numero di indici necessari a denotare le componenti del tensore.
Così gli scalari non necessitano di indici (hanno una sola componente), i vettori avendo tre
componenti possono essere denotati mediante un solo indice (ad es.
ai ).
Introduciamo ora il
concetto di tensore di rango due o detto anche tensore del secondo ordine. Tali grandezze le
indicheremo con lettere maiuscole in grassetto.
Definizione: un tensore del secondo ordine T è una applicazione lineare che trasforma vettori in
vettori.
In simboli:
T : R 3 −  R 3

 N −  T( N )
T( N + M ) = T ( N ) + T( M )
T(N ) = T( N )
qualunque siano i vettori N e M e lo scalare  ( R indica lo spazio dei vettori in tre
dimensioni). Nel seguito l’operazione di trasformazione verrà indicata con N • T e la si chiamerà
3
prodotto misto del vettore N per il tensore T. Fissata una base di versori
(e 1 , e 2 , e 3 )
in un
riferimento cartesiano ortonormale, al tensore T è associabile una matrice 3x3, i cui elementi si
chiamano componenti del tensore. Queste possono essere denotate mediante due indici t ij (rango
due) che rappresentano riga e colonna della generica componente del tensore. La trasformazione
N • T diventa allora semplicemente il prodotto della matrice (1x3) avente per elementi le
componenti del vettore N moltiplicata per la matrice T secondo la regola “righe x colonne”
seguente:
 t11 t12 t13 


(
n
n
n
)
t
t
t
N • T = 1 2 3  21 22 23  = ni t ij e j
t t t 
 31 32 33 
Prodotto tensoriale
Dati due vettori A e B si definisce prodotto tensoriale dei due vettori e lo si indicherà con A  B il
tensore le cui componenti sono date da ai b j .
5
Consideriamo ora particolari tipi di tensori riferendoci alla matrice che li rappresenta in un sistema
ortonormale.
1 0 0 


Tensore identità I =  0 1 0   n  I = n, n
 0 0 1


 p 0 0


Tensore isotropo Ip =  0 p 0   n  I p = pn, n, p
0 0 p 


Tensore simmetrico S: s ij = s ji
Tensore emisimmetrico E: eij = −e ji
Si definisce poi traccia di un tensore T e la si indica con Tr (T)  t ii la somma degli elementi della
diagonale principale. Tale traccia è un invariante, nel senso che, cambiando sistema di coordinate
cambiano in generale le componenti del tensore, ma la traccia rimane la stessa.
Consideriamo ora alcune decomposizioni notevoli. Ogni tensore del secondo ordine T può essere
decomposto nella somma di un tensore simmetrico e di uno emisimmetrico. Infatti considerando le
matrici rappresentative del tensore basta costruire l’identità:
1
1
t ij = (t ij + t j i ) + (t ij − t j i )
2
2
1
1
(t ij + t j i ) è simmetrico, mentre eij  (t ij − t j i ) è emisimmetrico. Infine il
2
2
tensore simmetrico S può essere decomposto nella somma di un tensore isotropo Ip e di un tensore
detto deviatore D costruendo la seguente identità:
e verificare che sij 
1
1
S = I p + D  Tr (S)I + (S − Tr (S)I )
3
3
La caratteristica fondamentale del deviatore D è di essere a traccia nulla. Infatti:
1
Tr (D) = Tr (S) − 3 Tr (S) = 0
3
In conclusione ogni tensore del secondo ordine T può essere decomposto nella somma di un
tensore isotropo, di un tensore simmetrico a traccia nulla e di un emisimmetrico:
T = Ip + D + E
6
CAMPI TENSORIALI E OPERATORI DIFFERENZIALI
( x1 , x2 , x3 ) di un dominio D dello spazio tridimensionale è associato un
tensore, si dice che in D è definito un campo tensoriale. In particolare si parlerà di campo scalare,
Se ad ogni punto
vettoriale, tensoriale rispettivamente per indicare campi tensoriali di rango 0,1,2. Su tali campi è
possibile definire degli operatori differenziali. In particolare verranno esaminati tre tipi di operatori:
il gradiente, il rotore e la divergenza. Introducendo l’operatore simbolico Nabla
  e i  / xi gli
operatori in coordinate cartesiane sono definibili nel modo seguente:
Divergenza=  
Tale operazione abbassa il rango della grandezza a cui viene applicata. Se applicata a vettori
produce scalari, se applicata a tensori del secondo ordine produce vettori.
Divergenza di un campo vettoriale A = a i e i
  A  ai / xi
si ottiene così uno scalare che è la somma delle derivate parziali delle componenti del vettore
derivate rispetto alle coordinate omonime.
Divergenza di un campo tensoriale T =
t
ij
  T = tij / xi e j
si ottiene così un vettore che può essere ottenuto effettuando un prodotto misto simbolico
dell’operatore Nabla per il tensore stesso.
Gradiente= 
Tale operazione alza il rango della grandezza a cui viene applicata. Se applicata a scalari produce
vettori, se applicata a vettori produce tensori del secondo ordine.
Gradiente di un campo scalare
a ( x1 , x2 , x3 ) :
a  e i a / xi
si ottiene così un vettore che ha per componenti le derivate parziali del campo scalare rispetto alle
tre coordinate
( x1 , x2 , x3 ) .
7
Gradiente di un campo vettoriale A = a i e i :
 a1 / x1 a 2 / x1 a3 / x1 


A   a1 / x 2 a 2 / x2 a3 / x 2 
 a / x a / x a / x 
 1 3 2 3 3 3
si ottiene cosi un tensore del secondo ordine, la cui matrice rappresentativa contiene le derivate
parziali delle componenti del campo vettoriale.
Rotore=  
Tale operazione lascia inalterato il rango della grandezza a cui viene applicata. Limiteremo
l’applicazione di tale operazione ai soli vettori.
Rotore di un campo vettoriale A = a i e i :
e1
e2
e3
  A  /x1 /x 2 /x3
a1
a2
a3
si ottiene così un vettore le cui componenti si ottengono sviluppando il determinante (formalmente
come se fosse un prodotto vettoriale). La prima componente ad es. sarà
e analogamente per le altre.
8
a3 / x2 − a2 / x3
PROPRIETA’ DEGLI OPERATORI DIFFERENZIALI
1)   a = 0
2)   (  A) = 0
3)   (b I ) = b
4)   (bA) = b  A + b  A
5)   ( A  B) = A  B + (  A)B
6) ( A  B) = A  (  B) + B  (  A) + A  B + B  A
Nel caso in cui sia A = B = V, dalla relazione 6 si può ricavare la seguente relazione:
6bis) V  V = (| V | 2 / 2) − V  (  V )
7) n  A =
A
n
FORMULE DI GREEN-GAUSS
D la sua frontiera e n = ni e i
normale alla frontiera orientata verso l’interno del dominio D . Valgono allora le formule:
Sia
D
un dominio limitato dello spazio tridimensionale,
la
 f / xi dD = −  f ni d (D )
D
D
f = f ( x1 , x2 , x3 )
Dalla precedente si può ricavare il teorema della divergenza nelle due forme vettoriale e tensoriale:
9
   V dD = −  V  n d (D)
D
D
   T dD = −  n  T d (D)
D
D
dove V e T sono rispettivamente un generico campo vettoriale e tensoriale del secondo ordine.
TEOREMA DEL TRASPORTO o di REYNOLDS
Esiste un teorema fondamentale per la Meccanica dei Fluidi: il Teorema di Reynolds, detto anche
Teorema del trasporto.
Questo teorema consente di ridurre il calcolo della derivata materiale della quantità integrale di una
grandezza di campo, integrata su un dominio fluido Ωf (dominio che varia nel tempo in modo da
contenere sempre la stessa materia nella sua evoluzione dinamica) ad un calcolo integrale su un
dominio di controllo Ωc fisso nel tempo.
Nel seguito, tralasciando la dimostrazione del teorema, si riportano tre possibili formulazioni del
teorema stesso.
1a Formulazione
2a Formulazione
3a Formulazione
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