NOTAS SOBRE CABOS DE ANTENAS: Uma excelente aplicação das impedâncias complexas.
Por Luiz Amaral
PY1LL/AC2BR
Quando se vai instalar uma nova antena, algumas perovidências prévias são recomendadas.
Entre estas, duas considero fundamentais sobre as linhas de transmissão, especialmente no
caso de cabos coaxiais:
1 - que se utilize o melhor cabo possível com relação às perdas na maior frequência de trabalho
(limitado pelos recursos econômicos, claro). As baixas perdas levam à maior potência
transmitida e ao maior sinal recebido, mas também fazem com que a impedância característica
Zo do cabo seja um número real, o que simplifica muito os cálculos.
2 - sempre antes de se pôr a antena em seu lugar, que o comprimento físico do cabo L seja
medido.
A razão dessa medição do ítem 2 vem do seguinte:
A impedância complexa (componentes resistiva e reativa) de uma antena de um modo geral
depende da posição e da altura dela com relação ao meio ambiente e a medição dela efetuada
com a antena fora de sua posição final (no laboratório, por exemplo) leva a resultados que
podem nada ter a ver com a realidade da antena já montada definitivamente. Porém, medir a
impedância na entrada de uma antena em seu lugar definitivo é um problema muitas vezes
complicado: a antena já montada pode estar em alturas que significam perigo para o indivíduo
efetuar as medições e, especialmente em impedâncias mais altas, a presença do corpo de quem
vai medir pode mudar em muito o valor da impedância e os resultados medidos não serem
confiáveis. Uma maneira de contornar a situação é, com a antena já instalada em seu local de
operação, medir a impedância no extremo do cabo que será conectado ao rádio. Com uma
matemática simples e conhecendo-se todas as características do cabo, incluindo seu
comprimento físico, é possível se inferir qual a impedância da antena à qual ele está conectado.
Vejamos como. A impedância complexa Z2 vista no extremo de um cabo de comprimento L,
impedância característica Zo (cabo de baixas perdas) na frequência F e carregado por uma
impedância complexa Z1 (antena, no caso) é dada por:
Z2 = Zo.(Z1 + j.t.Z0)/(Zo + j.t.Z1) [I], onde:
Z2 = R2 + j.X2 [II]
Z1 = R1 + j.X1 [III]
j = √(-1), a unidade imaginária
t = tg(2.π.L/λ) [IV]
Aqui:
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- R's e X's são as componentes real (resistiva) e imaginária (reativa) correspondentes.
- tg é a função trigonométrica tangente (não é necessário nenhum conhecimento sobre
ela; use uma calculadora científica para calculá-la, mas posta em RADIANOS, não em
GRAUS).
- λ é o comprimento de onda no cabo, isto é, levando em conta o fator de velocidade f
do mesmo.
- π é 3,1416...
Como λ é medido no cabo, ele é o comprimento de onda Λ no vácuo multiplicado pelo
fator de velocidade f = v/c (v = velocidade da luz no cabo e c velocidade da luz no vácuo
= 300.000km/s). Como c/Λ = F, a expressão de t finalmente fica, em termos dos
parâmetros conhecidos:
t = tg(2.π.L.F/f.c) [V]
Vamos em [I], após uma manipulação simples, tirar o valor de Z1 (faça você mesmo):
Z1 = Zo.(Z2 - j.t.Zo)/(Zo - j.t.Z2) [VI]
Em [VI], Z1 é a impedância que existe carregando o cabo no extremo da antena
quando eu meço no seu extremo do rádio uma impedância Z2. Dessa forma,
conhecendo-se Z2, é possível se saber qual a impedância Z1 da antena sabendo-se
todas as características do cabo expressas em [V]. Por isso é importante que, antes de
se instalar a antena, conheça-se o comprimento L de seu cabo. O fator de velocidade f
do cabo é obtido da tabela de seu fabricante.
Por [II] e [III], pode-se reescrever [VI], com j2 = -1:
R1 + j.X1 = Zo.[R2 + j.(X2 - t.Zo)]/[(Zo + t.X2) - j.t.R2] [VII]
Os dois termos, esquerdo e direito, de [VII] são complexos e, para serem iguais, as
componentes reais e imaginárias em ambos termos têm de ser iguais. O segundo termo
tem um complexo no denominador e deve ser retirado para se definir melhor os
termos. Multiplicando-se o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do
denominador, obtém-se um denominador real que nos interessa (o complexo
conjugado de um número complexo é o mesmo número com a componente imáginaria
de sinal trocado):
R1 + j.X1 = Zo.[R2 + j.(X2 - t.Zo)].[(Zo + t.X2) + j.t.R2]/{[(Zo + t.X2) - j.t.R2].[(Zo + t.X2) +
j.t.R2]}
R1 + j.X1 = {Zo/[(Zo + t.X2)2 + t2.R22}.[R2.Zo.(1 + t2)] + j.[t.X2 [VIII]
Igualando as componentes reais e imaginárias dos dois termos temos:
2
R1 = {Zo2/[t2.R22 + (Zo + t.X2)2]}.R2.(1 + t2) [IX]
X1 = {Zo/[t2.R22 + (Zo + t.X2)2]}.[t.(R22 + X22 - Zo2) + Zo.X2.(1 - t2)] [X]
As expressões [IX] e [X] mostram os valores das componentes resistiva e reativa da
antena quando se mede a impedância no extremo do cabo que vai ao rádio. A operação
é simples. Usa-se [V] e calcula-se o valor de t para o cabo que será usado. Mede-se o
valor das componentes resistiva R2 e reativa X2 no extremo do cabo que irá ao rádio.
Com esses valores medidos e o valor de Zo, calcula-se R1 e X1. As medições de de R2 e
X2 devem ser efetuadas por um bom analisador de antenas (que mostre essas duas
componentes separadas) ou por um impedancímetro vetorial. Por isso mesmo é que tal
equipamento é fundamental para quem projeta e monta antenas, sem o que não se
consegue maximizar a eficiência das mesmas.
Podemos notar que (tentem calcular para treinar), quando t = 0 ou seja, o cabo tem
comprimento múltiplo de 1/2 onda, R1 = R2 e X1 = X2, ou seja, Z1 = Z2, independente
de Zo, como era de se esperar.
Quando t → ±∞, ou seja, o comprimento do cabo é múltiplo impar de 1/4 de onda, o
produto Z1.Z2 = Zo2, como também era de se esperar.
Se t = ±1, ou seja, o cabo tem comprimento múltiplo ímpar de 1/8 de onda, o módulo
de Z1 = √(R12 + X12) é igual a Zo, independentemente dos valores de R1 e X1, como
deve ser.
Fiz um programa de computador para calcular [IX] e [X] para facilitar o cálculo.
Como exemplo vamos supor os seguintes valores após as medidas:
Zo = 50Ω
t=1
R2 = 25Ω
X2 = 25Ω
Usando [IX] e [X], obtemos o resultado (seria um ótimo exercício para o leitor efetuar
esses cálculos):
R1 = 20Ω
X1 = -10Ω
Nesse caso a antena tem a componente resistiva de 20Ω e a reativa capacitiva de 10Ω.
Tem-se ainda as expressões inversas, isto é, qual a impedância que se deve ter no
extremo do rádio para que a antena apresente a impedância correta, isto é, R1 = Zo e
X1 = 0 que corresponde ao caso ideal e com ROE = 1. Isto é útil quando se deseja
modificar a antena (crescer sua altura e/ou alterar os comprimentos de seus
elementos) observando-se apenas o valor medido de Z2, ou seja, mede-se Z2 enquanto
se modifica a antena até se obter o valor deseja do Z2 (o que corresponde à melhor
situação possível). Essas expressões são obtidas de [I], fazendo-se Z1 = Zo (R1 = Zo e X1
= 0). Assim temos duas possibilidades:
Z2 = Zo, que é o caso ideal com cabo e antena absolutamente casados; ou Z2 = Z1, para
qualquer valor de Zo (pode ocorrer que o usuário não tenha o cabo da impedância
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desejada, normalmente de Zo = 50Ω). Isto só ocorre para certos valores de t, isto é, do
comprimento do cabo. Em [I], fazendo Z2 = Z1, tem-se:
Z1 = Zo.(Z1 + j.t.Zo)/(Zo + j.t.Z1) ou
Z1.Zo + j.t.Z12 = Z1.Zo + j.t.Zo2 ou
j.t.Z12 = j.t.Zo2 ou
t.(Z12 - Zo2) = 0 que produz as duas possibilidades referidas:
1 - Z12 - Zo2 = 0, que leva a Z1 = Zo, ou seja, caso ideal, ou
2 - t = 0, ou seja, o comprimento do cabo de qualquer impedância Zo tem de ser
múltiplo de 1/2 comprimento de onda, algo bem conhecido. Nesse caso o rádio 'vê'
uma impedância igual à da antena para qualquer valor de Zo. Não é o caso ideal (como
a impedância do cabo não é igual à da antena, existe uma certa ROE que prejudica a
eficiência global), mas é o melhor que se pode obter com um cabo qualquer.
Alguns analisadores de antena, como o AIM4170, já possuem um método de medida
indireta como a descrita aqui, de modo que o trabalho é muito pequeno, se resumindo
em coletar os dados necessários e mostram o resultado das expressões [IX] e [X]
diretamente sem a nacessidade de nenhum cálculo por parte do usuário.
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