IMI1: Übungsblatt #3
Sebastian Macias
Osman Metin
Universität Heidelberg — 14. November 2022
Aufgabe:
1
2
3
4
Ergebnis
Max.Punkte:
2
6
8
4
20
Punkte:
1
Aufgabe
1. (2 Punkte) Eine reflexive und transitive Relation ist eine Äquivalenzrelation, wenn sie zusätzlich symmetrisch ist und ist eine partielle Ordnung, wenn sie zusätzlich antisymmetrisch ist.
Kann eine reflexive und transitive Relation sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch sein? Begründen Sie Ihre Antwort kurz.
Annahme
AM enge = {0, 1}
IRelation = {(0, 0), (1, 1)}
1.1
Symmetrie
Eine Relation R ist symmetrisch falls (a, b) ∈ R und (b, a) ∈ R gilt.
In unserer Annahme ist das umgekehrte Paar identisch mit dem ursprünglichen Paar und befindet sich
daher ebenfalls in R. Da bei allen Paaren in I beide Komponenten gleich sind, geschieht mit jedem von
ihnen dasselbe: Das umgekehrte Paar ist immer noch in I, weil es dasselbe ist wie das ursprüngliche
Paar. I ist also symmetrisch.
1.2
Antisymmetrie
R ist antisymmetrisch, wenn (a, b) und (b, a) beide zu R gehören, dann ist a = b.
In diesem fall sind sicherlich sowohl (a, b) als auch (b, a) in I, da es sich um dasselbe Paar handelt,
und es ist tatsächlich wahr, dass a = b ist. Somit ist I antisymmetrisch.
1.3
Transitivität
Wenn (a, b) und (b, c) beide zu R gehören, auch (a, c) dazugehört.
Für diese besondere Relation I gehört (a, b) nur dann zu I wenn a = b ist, und (b, c) gehört nur dann
zu I, wenn b = c ist, also gehören (a, b) und (b, c) nur dann zu I wenn a = b = c ist. In diesen Fall
(a, c) ∈ I ist die Transitivitätbedingung also erfüllt.
1
1.4
Reflexivität
R ist symmetrisch falls jedes Element von einer Menge X mit sich selbst verwandt oder verbunden ist, also
gilt: (a, a) ∈ R∀a ∈ X oder I ⊆ R. Aus der Beziehung I lässt sich leicht schließen, dass (a, a) ∈ I
für jedes Element existiert, was bedeutet, dass die Beziehung reflexiv ist
1.5
Abschluss
Anhand der Beweise für jede Situation können wir faktisch feststellen, dass eine Relation symmetrisch, transitiv, symmetrisch und antisymmetrisch sein kann. Es ist wichtig zu beachten, dass Antisymmetrie nicht dasselbe ist wie keine Symmetrie
2
Aufgabe
2. (6 Punkte) Es sei G die Menge der geraden natürlichen Zahlen. Im Folgenden ist jeweils eine Menge
A definiert und eine Relation ≤a , ≤b , ≤c beziehungsweise ≤d . Geben Sie jeweils an, ob die Relation auf
der Menge A eine partielle Präordnung, eine Präordnung, eine partielle Ordnung oder eine Ordnung
ist. Begründen Sie Ihre Antwort jeweils in zwei bis drei Sätzen.
a) A = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, . . .} und X ≤a Y gilt genau dann, wenn X ⊆ Y gilt.
b) A = P ot(N) und X ≤b Y gilt genau dann, wenn X ⊆ Y gilt.
c) A = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, . . .} und X ≤c Y gilt genau dann, wenn X ∩ G ⊆ Y ∩ G gilt.
d) A = P ot(N) und X ≤d Y gilt genau dann, wenn X ∩ G ⊆ Y ∩ G gilt.
a) ≤a ist eine Ordnung.
Wenn X ⊆ Y ist, wissen wir, dass alle Teilmengen reflexiv zueinander sind. Bei ∀X ∈ A : X ⊆ X
können wir sagen, dass ≤a reflexiv ist, da ∀X gilt, dass X ⊆ X ist. Da wir wissen, dass a reflexiv ist,
können wir auch sagen, dass es transitiv ist, da alle reflexiven Relationen transitiv sind, weil xRy∧yRz
und x = y = z gelten. Die Relation ist auch konnex, da entweder ∀x, y ∈ A : xRy ∨ yRx in diesem Fall
funktioniert, da (∀X, Y ∈ A : X ⊆ Y ∨ Y ⊆ X) gilt. Letztlich können wir auch wissen, dass unsere
Relation antisymmetrisch ist, da ∀X, Y ∈ A : X ⊆ Y ∧ Y ⊆ X also X = Y . Die Relation ≤a ist also
reflexiv, transitiv, antisymmetrisch und konnex, d. h. sie ist eine Ordnung
b) ≤b ist eine partielle Ordnung.
Die Relation≤b ist aus demselben Grund wie die Relation ≤a reflexiv, d. h. sie ist ebenfalls transitiv (Beweis siehe oben). Sie is nicht konnex, da die Potenzmenge P ot(N) natürlich bedeutet, dass die Potenzmenge P ot(N) unendlich viele Mengen hat, d.h., dass nicht alle Mengen innerhalb von Pot(N) Teilmengen der anderen sind (X ̸⊆ Y ), daher gilt die Eigenschaft der Konnexitivität (∀x, y ∈ A : xRy ∨ yRx)
nicht. Sie ist auch antisymmetrisch, da P ot(N) im Grunde bedeutet, das es keine Paare in ≤b gibt, die
gleich sind, daher wird die Symmetrie nie erfüllt, da jede Menge in A unterschiedlich sind, sodass es
keine Möglichkeit gibt, zwei gleiche Menge zu haben, daher wird die Relation antisymmetrisch..
Die Relation ≤b ist also reflexiv, transitiv und antisymmetrisch d. h. sie ist eine partielle Ordnung.
c) ≤c ist eine Präordnung.
Die Relation ≤c ist aus demselben Grund wie die Relation ≤a reflexiv, d. h. sie ist ebenfalls transitiv
(Beweis siehe oben). Sie ist konnex, weil alle Elemente innerhalb von A, die von G geschnitten werden,
eine Relation zueinander haben können, weil ∀X, Y ∈ A : X ⊆ Y ∨ Y ⊆ X, d.h, dass der Satz
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der Konexität (∀x, y ∈ A : xRy ∨ yRx) erfüllt ist. Die Relation ≤c ist nicht antisymmetrisch, da in
der Relation ≤c es einige Paare gibt, die symmetrisch sind, deshalb sind Sätze von Symmetrie und
Antisymmetrie nicht erfüllt.
Die Relation ≤c ist also reflexiv, transitiv und konnex d. h. sie ist eine Präordnung.
d) ≤d ist eine partielle Präordnung.
Die Relation ≤d ist aus demselben Grund wie die Relation ≤a reflexiv, d. h. sie ist ebenfalls transitiv (Beweis siehe oben). Sie ist auch nicht konnex aus demselben Grund wie ≤b . ≤d ist nicht antisymmetrisch, da dieser Fall genau das Gegenteil der Relation ≤b ist. Angesichts der Einschränkung
X ∩ G ⊆ Y ∩ G der Relation ≤d , dass wir nur gerade Zahlen in unserer Relation haben, können
Mengen symmetrisch werden, wodurch die Möglichkeit der Antisymmetrie verneint wird. Es ist wichtig zu wissen, dass Antisymmetrie nicht dasselbe ist wie keine Symmetrie, aber in diesem Fall negiert
die Symmetrie direkt die Antisymmetrie. Die Relation ≤d ist also reflexiv und transitiv d. h. sie ist
eine partielle Präordnung.
3
Aufgabe
3. (8 Punkte) Ein gerichteter Graph ist ein Paar (V, E) aus einer Menge V von Knoten und einer Menge
E ⊆ V × V von Kanten, wobei die Menge E keine Schleifen, das sind Kanten der Form (x, x) ,enthält. Durch gerichtete Graphen können Netzwerken dargestellt werden, die Knoten stehen dabei für
Rechner, etc. und eine Kante (u, v) steht für eine gerichtete Verbindung vom Knoten u zum Knoten
v, zum Beispiel eine nur in eine Richtung nutzbare Datenleitung. Formal ist ein gerichteter Graph
(V, E) somit nichts anderes als ein Paar aus einer Menge V und einer zweistelligen irreflexiven Relation E auf V , die als Kantenrelation bezeichnet wird. Im Graphen (V, E) gibt es eine Kante von u nach
v, falls uEv gilt, dies wird auch als u →E v geschrieben oder als u → v, falls die Kantenrelation klar ist.
Es sei G = (V, E) ein gerichteter Graph. Ein Kantenzug in G ist eine Folge v1 , . . . , vt von Knoten,
so dass es für i = 1, . . . , t − 1 eine Kante von vi zu vi+1 gibt, also das Paar (vi , vi+1 ) in E ist. Ein solcher
Kantenzug hat Länge t − 1 , ein einzelner Knoten bildet einen Kantenzug der Länge 0. Ein Knoten
v ist von einem Knoten u aus erreichbar, wenn es einen Kantenzug gibt, dessen erster Knoten gleich
u und dessen letzter Knoten gleich v ist, in diesem Fall schreiben wir u ↷E v oder u ↷ v, falls die
Kantenrelation E klar ist. Nach Definition ist jeder Knoten von sich selbst aus erreichbar,u ↷ v gilt für
alle v in V.
a) Es sei G = (V, E) ein gerichteter Graph. Zeigen Sie, dass die Erreichbarkeitsrelation ↷ reflexiv
und transitiv und somit eine partielle Präordnung auf der Knotenmenge V ist.
b) Nach einem Satz der Vorlesung bilden die Äquivalenzklassen einer partiellen Präordnung auf
einer Menge eine Zerlegung dieser Menge. Die Äquivalenzklassen der Erreichbarkeitsrelation
eines gerichteten Graphen bilden also eine Zerlegung der Knotenmenge des Graphen. Die Äquivalenzklassen werden als Komponenten des starken Zusammenhangs des Graphen bezeichnet.
Beschreiben Sie in zwei bis drei Sätzen anschaulich, worin der starke Zusammenhang in einer
solchen Komponente besteht und ob und in welcher Weise verschiedene Komponenten miteinander verbunden sein können.
Aufgabeteil (a)
Reflexivität:
Angesichts der Tatsache, dass ein Knoten sich selbst erreichen kann, beweist im Grunde die Idee,
dass die Erreichbarkeitsrelation reflexiv ist, da v v erreicht, kann auch als v ↷ v geschrieben werden,
was bedeutet, dass ∀v ∈ V im Rahmen der Erreichbarkeit die Eigenschaft der Reflexivität hat, da
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∀v ∈ V , vRv sich selbst erreichen kann. Die Fähigkeit eines Knotens, sich selbst zu erreichen (v ↷
v), führt dazu, dass die Erreichbarkeitsrelation mit dem Reflexivitätstheorem (∀x ∈ X : xRx)
übereinstimmt
Transitivität:
Damit u ↷ v funktioniert, muss ein Kantenzug bestehen, d.h. die Anzahl von t − 1 Kanten muss zwischen unseren t Knoten sein. Jeder Knoten ist durch diesen Kantenzug mit jedem anderen verbunden,
d.h. im Rahmen der Erreichbarkeitsrelation ist die Relation transitiv, da jeder Knoten verbunden ist
und somit der erste Knoten mit dem letzten verbunden ist. Das heißt, das Transitivitäts-Theorem
(∀vi ∈ E : (vi Rvi+1 ) ∧ (vi+1 Rvi+2 ) → (vi Rvi+2 )) ist erfüllt.
Abschluss:
Angesichts des oben erbrachten Beweises für Transitivität und Reflexivität wird gefolgert, dass der
Graph G = (V, E) eine partielle Präordnung auf der Knotenmenge V ist.
Aufgabeteil (b)
Abbildung 1:
Da die Erreichbarkeitsrelation äquivalente Klassen hat, können wir direkt schließen, dass die Erreichbarkeitsrelation auch eine Äquivalentrelation ist. Dies bedeutet, dass unsere Erreichbarkeitsrelation
die Eigenschaften reflexiv, transitiv und symmetrisch besitzt (die 3 Eigenschaften einer Äquivalentrelation). Die Eigenschaft, die es ermöglicht, dass der gerichtete Graph G = (V, E) stark zusammenhängend ist, ist die Eigenschaft der Transitivität, da diese besagt, dass für drei Elemente
x, y, z einer Menge aus xRy und yRz stets xRz folgt, was den Komponenten unserer Äquivalenzklasse
die Fähigkeit gibt, transitiv zu sein. Es ist auch wichtig zu beachten, dass die Komponenten unserer
Äquivalenzklasse sind nur einseitig verbunden, da wir nur eine gerichtete Kante zwischen den
Komponenten haben, können sie nur in eine Richtung verbunden werden.
4
Aufgabe
4. (4 Punkte) Als nächstes betrachten wir ungerichtete Graphen. Diese unterscheiden sich von gerichteten Graphen anschaulich gesprochen dadurch, dass die Kanten keine Richtung haben, also nicht
zwischen einer Kante (u, v) und der Kante (v, u) unterschieden wird. Formal definieren wir einen ungerichteten Graphen als einen gerichteten Graphen, dessen Kantenrelation E symmetrisch ist. Die in
Aufgabe 3 definierten Begriffe und Schreibweisen übertragen sich damit auf ungerichtete Graphen,
insbesondere ist ein Knoten v von einem Knoten u aus erreichbar, kurz: u ↷ v, wenn es einen Kantenzug mit erstem Knoten u und letztem Knoten v gibt. Auch das Ergebnis aus Aufgabe 3, dass die
Erreichbarkeitsrelation eines gerichteten Graphen eine partielle Ordnung auf ihren Äquivalenzklassen
induziert, überträgt sich auf ungerichtete Graphen.
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a) Es sei G = (V, E) in ungerichteter Graph. Zeigen Sie, dass die Erreichbarkeitsrelation ↷ eine
Äquivalentrelation auf der Knotenmenge V ist.
b) Die Äquivalenzklassen der Erreichbarkeitsrelation eines ungerichteten Graphen werden als Zusammenhangskomponenten des Graphen bezeichnet. Beschreiben Sie in zwei bis drei Sätzen
anschaulich, worin der Zusammenhang in einer solchen Komponente besteht und in welcher
Hinsicht die verschiedenen Zusammenhangskomponenten voneinander getrennt sind.
Aufgabeteil (a)
Eine äquivalente Relation definiert sich dadurch, dass sie symmetrisch, reflexiv und transitiv ist. Unsere Erreichbarkeitsrelation erfüllt alle diese Anforderungen: Sie ist reflexiv, da jeder Knoten sich
selbst erreichen kann, d. h. v ↷ v, was ihr die Eigenschaft der Reflexivität verleiht (∀x, y ∈ A : xRx).
Sie ist auch transitiv, da jeder Knoten verbunden ist, was bedeutet, dass das Theorem (∀x, y, z ∈
A : (aRb ∧ bRc → aRc)) erfüllt ist, da der Kantenzug von u nach v geht und jeden Knoten verbindet,
was ihn zu einem transitiven Pfad macht. Unsere Relation ist auch symmetrisch, da im Gegensatz
zu gerichteten Graphen (die zwei Kanten benötigen, die u mit v und v mit u verbinden), ungerichtete Graphen u mit v und v mit u mit einer einzigen Kante verbinden. Daraus können wir schließen,
dass das Theorem der Symmetrie ebenfalls erfüllt ist, was unsere Erreichbarkeitsrelation zu einer
Äquivalentrelation macht.
Aufgabeteil (b)
Abbildung 2:
Ein ungerichteter Graph gilt als zusammenhängend, wenn für zwei beliebige Knoten u, v ∈ V ein ungerichteter Pfad in G existiert, wobei u der Anfangsknoten und v der Endknoten ist. Dies ist im Prinzip
die Eigenschaft der Symmetrie. Ungerichtete Graphen haben die Eigenschaft, dass es einen Weg von
Knoten u zu Knoten v gibt, was bedeutet, dass die Erreichbarkeitsrelation die Knoten ßpiegeln"kann,
wodurch die Erreichbarkeit reflexiv wird. Mit der Eigenschaft des zweiseitigen Pfades haben wir auch
Mit nur einer Kante können die Komponenten miteinander verbunden werden, im Gegensatz zu einem gerichteten Graphen, bei dem man zwei Kanten benötigt, die in die entgegengesetzte Richtung
führen.
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