ASÍNTOTAS
EJERCICIOS RESUELTOS
1) Estudia las asíntotas de la función f  x  
 Asíntotas horizontales
2x 1
.
x3
2x 1
2x
 lim
 lim 2  2
x
x x  3
x  x
x
2x 1
2x
lim f  x   lim
 lim
 lim 2  2
x
x x  3
x  x
x
lim f  x   lim


 


y  2 es una asíntota horizontal de f
(por ambos lados)
Posición de la curva respecto de la asíntota
Le damos un valor lo suficientemente elevado  x    .
2  100  1 199
f 100  

 2.0515  2
100  3
97
Por lo tanto, por la derecha  x    , la curva está por encima de la
asíntota.
Le damos un valor lo suficientemente bajo  x    .
2   100   1 201 201


f  100  
 1,9515  2
100  3
103 103
Por lo tanto, por la izquierda  x    , la curva está por debajo de la
asíntota.
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1
 Asíntotas verticales
Las funciones racionales pueden tener asíntotas verticales en los valores que anulen a su denominador.
x3 0  x 3
Estudiamos los límites laterales en x  3 .
2x 1 5

    
lim f  x   lim
x3
x3 x  3

0
  x  3 es una asíntota vertical de f
2x 1 5
(por ambos lados)
    
lim f  x   lim
x3
x3 x  3
0

Posición de la curva respecto de la asíntota
Queda determinada por los límites laterales
 Asíntotas oblicuas
No tiene por tener asíntotas horizontales por ambos lados.
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2
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3
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4
x2
2) Estudia las asíntotas de la función f  x   2
.
x 4
 Asíntotas horizontales

x2
x2
lim f  x   lim 2
 lim 2  lim 1  1 
x
x x  4
x x
x

 
2
2
x
x
lim f  x   lim 2
 lim 2  lim 1  1 
x
x x  4
x x
x

y  1 es una asíntota horizontal de f
(por ambos lados)
Posición de la curva respecto de la asíntota
Le damos un valor lo suficientemente elevado  x    .
102
100 25
f 10   2


 1,0417  1
10  4 96 24
Por lo tanto, por la derecha  x    , la curva está por encima de la
asíntota.
Le damos un valor lo suficientemente bajo  x    .
 10   100  25  1,0417  1
f 10  
2
 10   4 96 24
Por lo tanto, por la izquierda  x    , la curva está por encima de
2
la asíntota.
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5
 Asíntotas verticales
Posibles asíntotas verticales
x2  4  0 
x  2
x2
Estudiamos los límites laterales en x  2 .

x2
4
lim f  x   lim 2
    
x2
x2 x  4

0
  x  2 es una asíntota vertical de f
2
(por ambos lados)
4
x
lim f  x   lim 2
    

x2
x2 x  4
0
Posición de la curva respecto de la asíntota
Queda determinada por los límites laterales
x  2
Estudiamos los límites laterales en x  2 .

x2
4
lim f  x   lim 2
    
x2
x2 x  4

0


2
4
x
lim f  x   lim 2
    

x2
x2 x  4
0
x  2 es una asíntota vertical de f
(por ambos lados)
Posición de la curva respecto de la asíntota
Queda determinada por los límites laterales
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6
 Asíntotas oblicuas
No tiene por tener asíntotas horizontales por ambos lados.
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7
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8
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9
x2  4
3) Estudia las asíntotas de la función f  x  
.
x 1
 Asíntotas horizontales
x2  4
x2
lim f  x   lim
 lim
 lim x  
x
x x  1
x  x
x
x2  4
x2
lim f  x   lim
 lim
 lim x  
x
x x  1
x  x
x


 


f no tiene asíntotas horizontales
Como no tiene asíntotas horizontales, puede tener asíntotas oblicuas.
 Asíntotas verticales
Posible asíntota vertical
x 1  0  x  1
Estudiamos los límites laterales en x  3 .
x 2  4 3
lim f  x   lim
   
x1
x1 x  1
0
x 2  4 3
lim f  x   lim
   
x1
x1 x  1
0


 


x  1 es una asíntota vertical de f
(por ambos lados)
Posición de la curva respecto de la asíntota
Queda determinada por los límites laterales
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10
 Asíntotas oblicuas
y  mx  n
x2  4
f  x
x2  4
x2

1
x
 lim
 lim 2
 lim 2  lim 1  1
m  lim
x
x
x x  x
x  x
x
x
x
 x2  4

x2  4  x2  x
x4
x
n  lim  f  x   mx   lim 
 x   lim
 lim
 lim  lim 1  1
x
x
x x  1
x x
x
x 1
 x 1
 x
Por lo tanto,
y  x  1 es una asíntota oblicua de f por ambos lados
Posición de la curva respecto de la asíntota
Comparamos la función f  x  con la asíntota a  x   x  1
Le damos un valor lo suficientemente elevado  x    .

102  4 96 32
f 10  


 10,6667 
10  1
9
3
 

a 10   10  1  11

f 10   a 10 
Por lo tanto, por la derecha  x    , la curva está por debajo de la asíntota.
Le damos un valor lo suficientemente bajo  x    .
 10 


96
f  10 

 8,7273
  f  10   a 10 
10  1
11

a 10   10  1  9

Por lo tanto, por la izquierda  x    , la curva está por encima de la asíntota.
2
4
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