Chute libre et équation horaire
Introduction
La plupart des gens pensent que plus un objet est lourd, plus il tombera rapidement. Par
contre, en 1590, Galilée a démontré que la masse d’un objet n’a aucun effet sur sa vitesse de
chute.
D’abord, on doit savoir qu’on parle d’une chute libre. Cela signifie que l’objet n’est
soumis à aucune autre force que son poids.
La légende dit que Galilée a lâché des boules de même volume et de masses différentes
du haut de la tour de Pise et qu’elles ont atterri en même temps. Nous voulons savoir si cette
légende pourrait être vrai : Un objet lourd tombera-t-il plus rapidement qu’un objet léger ?
Pour répondre à cette question, nous étudierons la vitesse des balles dans le modèle
d’une chute libre. Ensuite, nous introduirons les forces de frottements ainsi que la poussée
d’Archimède dans nos calculs pour obtenir une formule de la vitesse plus précise.
Développement
I/Chute libre : Équations horaires
On va étudier l’expérience décrite dans la légende de Galilée dans le modèle de la chute
libre. On étudie une chute verticale, on s’intéresse donc qu’à l’axe des côtes z. Sachant qu’on
étudie une situation de chute libre, la somme des forces appliquées sur la boule est le poids. Or,
d’après la deuxième loi de Newton, la somme des forces est égale à la masse de l’objet
multipliée par son accélération. De même, le poids est égal au produit de la masse et de
l’intensité de pesanteur. On peut donc dire que le vecteur accélération a est le même que le
vecteur intensité de pesanteur g, c’est-à-dire il possède ses mêmes caractéristiques : une
accélération de -g sur l’axe des côtes, soit environ 9,8 m.s-2.
On sait que la vitesse est la primitive par rapport au temps de l’accélération. Alors, sur
l’axe des côtes la vitesse vaut -g fois le temps. On se trouve donc avec une équation horaire de
la vitesse qui ne dépend pas de la masse, elle ne dépend que de l’intensité de pesanteur. On en
déduit que la masse n’a aucun effet sur la vitesse de chute des balles.
Ce concept était en effet prouvé par l’expérience réalisée par l’astronome David Scott
sur la Lune. Il a lâché un marteau et une plume et ils ont touché le sol en même temps.
Feuille que je vais donner au jury :
Σ𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ 𝑒𝑡 𝑃⃗⃗ = 𝑚𝑔⃗
𝑚𝑎⃗ = 𝑚𝑔⃗ ↔ 𝑎⃗ = 𝑔⃗
𝑎 =0
𝑎⃗ {𝑎 𝑥= −𝑔
𝑦
𝑣𝑥 = 𝑐1
𝑣⃗ {𝑣 = −𝑔𝑡 + 𝑐
𝑦
2
𝑣𝑥0 = 0
𝑂𝑟: 𝑣⃗0 {𝑣 = 0
𝑦0
𝑣𝑥 = 0
𝐷𝑜𝑛𝑐: 𝑣⃗ {𝑣 = −𝑔𝑡
𝑦
II/Les frottements de l’air
Pourtant si on réalise cette même expérience sur Terre, on aura des résultats différents.
Depuis le début de cette présentation, nous négligeons les forces de frottements de l’air en
assumant qu’on parle d’une chute libre, ce qui n’est pas applicable sur Terre. En réalité, il existe
deux types de frottements : les frottements linéaires et les frottements quadratiques. Dans
cette présentation on va se concentrer plus sur les frottements linéaires. Il existe aussi la
poussée d’Archimède qui nous indique que tout corps émergé dans un fluide, en l’occurrence
l’air, subit une force verticale dirigé vers le haut.
La force des frottements linéaires est donnée par le produit de la vitesse de chute et
une constante k qui dépend de la nature de l’air et des caractéristiques de l’objet. De même, la
poussée d’Archimède est donnée par le produit de la masse volumique du fluide par le volume
du fluide déplacé et l’intensité de pesanteur g.
D’après la deuxième loi de Newton, la somme du poids, des forces de frottements et de
la poussé d’Archimède équivaut le produit de la masse de l’objet et son accélération. Sachant
que l’accélération est égale à la dérivée de la vitesse par rapport au temps, on retrouve une
équation différentielle reliant la vitesse, sa dérivée, l’intensité de pesanteur, la constante k, et
le plus important pour nous, la masse de l’objet. Ainsi, avec les frottements linéaires, un objet
lourd tombera plus vide qu’un objet léger.
Feuille que je vais donner au jury :
Σ𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗ 𝑒𝑡 Σ𝐹⃗ = 𝑃⃗⃗ + 𝑓⃗ + Π
𝑚𝑎⃗ = 𝑚𝑔⃗ − 𝑘𝑣⃗ − 𝜌𝑉𝑔⃗
𝑑𝑣⃗
𝑚
= 𝑚𝑔⃗ − 𝑘𝑣⃗ − 𝜌𝑉𝑔⃗
𝑑𝑡
𝑑𝑣⃗
𝑘
𝜌𝑉
𝐸𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒:
= − 𝑣⃗ + 𝑔⃗(1 − )
𝑑𝑡
𝑚
𝑚
𝑘
𝑔
⃗(𝑚
−
𝜌𝑉)
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙′ 𝑒𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛: 𝑣⃗ (𝑡 ) = 𝑒 −𝑚𝑡 +
𝑘
Conclusion
En effet, plus la vitesse de chute est grande, plus les effets des frottements sont importants. Et
plus la masse volumique de l’objet est petite en comparaison avec celle de l’air, plus la poussée
d’Archimède est importante. En plus, les caractéristiques de notre air varient beaucoup, en
fonction de la météo par exemple, et contribuent significativement à la vitesse de chute d’un
objet en fonction de sa forme, sa taille et sa masse. On en conclut que la masse va évidemment
varier la vitesse de chute des balles de Galilée. Ainsi, la légende de Galilée n’est qu’une légende,
pourtant elle illustre très bien le phénomène de chute libre qui est valide dans le vide, c’est ce
qu’on appelle « vacuum » en anglais et ce qui explique l’expérience de David Scott sur la Lune.