Circuit RLC en régime libre
Oscillations électriques
Analogie électromécanique
Analogie électromécanique
Oscillations électriques du RLC
⇐⇒
oscillations mécaniques d’un système
solide ressort avec frottements
Analogie électromécanique
Oscillations électriques du RLC
Mécanique
⇐⇒
oscillations mécaniques d’un système
solide ressort avec frottements
Electricité
Analogie électromécanique
⇐⇒
Oscillations électriques du RLC
Mécanique
O
Electricité
x
k
–
oscillations mécaniques d’un système
solide ressort avec frottements
M (m)
Analogie électromécanique
⇐⇒
Oscillations électriques du RLC
Mécanique
O
Electricité
x
k
–
oscillations mécaniques d’un système
solide ressort avec frottements
M (m)
L
R
uC (t)
C
Analogie électromécanique
⇐⇒
Oscillations électriques du RLC
Mécanique
O
Electricité
x
k
oscillations mécaniques d’un système
solide ressort avec frottements
M (m)
–
Etude de la position x (t)
L
R
uC (t)
C
Analogie électromécanique
⇐⇒
Oscillations électriques du RLC
Mécanique
O
Electricité
x
k
oscillations mécaniques d’un système
solide ressort avec frottements
M (m)
L
R
uC (t)
C
–
Etude de la position x (t)
Etude de la tension uC (t)
Analogie électromécanique
⇐⇒
Oscillations électriques du RLC
Mécanique
Electricité
O
x
k
oscillations mécaniques d’un système
solide ressort avec frottements
M (m)
L
R
uC (t)
C
–
Etude de la position x (t)
Frottements : α
Etude de la tension uC (t)
Analogie électromécanique
⇐⇒
Oscillations électriques du RLC
Mécanique
Electricité
O
x
k
oscillations mécaniques d’un système
solide ressort avec frottements
M (m)
L
R
uC (t)
C
–
Etude de la position x (t)
Etude de la tension uC (t)
Frottements : α
Résistance : R
Analogie électromécanique
⇐⇒
Oscillations électriques du RLC
Mécanique
Electricité
O
x
k
oscillations mécaniques d’un système
solide ressort avec frottements
M (m)
L
R
uC (t)
C
–
Etude de la position x (t)
Etude de la tension uC (t)
Frottements : α
Résistance : R
PFD
Analogie électromécanique
⇐⇒
Oscillations électriques du RLC
Mécanique
Electricité
O
x
k
oscillations mécaniques d’un système
solide ressort avec frottements
M (m)
L
R
uC (t)
C
–
Etude de la position x (t)
Etude de la tension uC (t)
Frottements : α
Résistance : R
PFD =⇒ ẍ +
α
k
ẋ + x = 0
m
m
Analogie électromécanique
⇐⇒
Oscillations électriques du RLC
Mécanique
Electricité
O
x
k
oscillations mécaniques d’un système
solide ressort avec frottements
L
R
uC (t)
M (m)
C
–
Etude de la position x (t)
Etude de la tension uC (t)
Frottements : α
Résistance : R
PFD =⇒ ẍ +
α
k
ẋ + x = 0
m
m
?
Equation différentielle du RLC
L
i(t)
di(t)
dt
R i(t)
L
R
C
uC (t)
Equation différentielle du RLC
Loi des mailles
L
i(t)
di(t)
dt
R i(t)
L
R
C
uC (t)
Equation différentielle du RLC
Loi des mailles
di(t)
L
dt
L
i(t)
uC (t) + R i(t) + L
R i(t)
R
C
uC (t)
di(t)
=0
dt
Equation différentielle du RLC
Loi des mailles
di(t)
L
dt
L
i(t)
R i(t)
di(t)
uC (t) + R i(t) + L
=0
dt
duC (t)
d
duC (t)
=⇒ uC (t) + R C
+L
C
=0
dt
dt
dt
R
C
uC (t)
Equation différentielle du RLC
Loi des mailles
di(t)
L
dt
L
i(t)
R i(t)
di(t)
uC (t) + R i(t) + L
=0
dt
duC (t)
d
duC (t)
=⇒ uC (t) + R C
+L
C
=0
dt
dt
dt
=⇒ L C üC (t) + R C u̇C (t) + uC (t) = 0
R
C
uC (t)
Equation différentielle du RLC
Loi des mailles
di(t)
L
dt
L
i(t)
R i(t)
di(t)
uC (t) + R i(t) + L
=0
dt
duC (t)
d
duC (t)
=⇒ uC (t) + R C
+L
C
=0
dt
dt
dt
R
C
uC (t)
=⇒ L C üC (t) + R C u̇C (t) + uC (t) = 0
R
1
uC (t) = 0
=⇒ üC (t) + u̇C (t) +
L
LC
Analogie électromécanique
⇐⇒
Oscillations électriques du RLC
Mécanique
Electricité
O
x
k
oscillations mécaniques d’un système
solide ressort avec frottements
L
R
uC (t)
M (m)
C
–
Etude de la position x (t)
Etude de la tension uC (t)
Frottements : α
Résistance : R
PFD =⇒ ẍ +
α
k
ẋ + x = 0
m
m
?
Analogie électromécanique
Oscillations électriques du RLC
Mécanique
oscillations mécaniques d’un système
solide ressort avec frottements
Electricité
O
x
k
⇐⇒
L
R
uC (t)
M (m)
C
–
Etude de la position x (t)
Etude de la tension uC (t)
Frottements : α
Résistance : R
PFD =⇒ ẍ +
α
k
ẋ + x = 0
m
m
Mailles =⇒üC (t) +
R
1
u̇C (t) +
uC (t) = 0
L
LC
Equation différentielle du RLC
Loi des mailles
di(t)
L
dt
L
i(t)
R i(t)
di(t)
uC (t) + R i(t) + L
=0
dt
duC (t)
d
duC (t)
=⇒ uC (t) + R C
+L
C
=0
dt
dt
dt
R
C
uC (t)
=⇒ L C üC (t) + R C u̇C (t) + uC (t) = 0
R
1
uC (t) = 0
=⇒ üC (t) + u̇C (t) +
L
LC
Equation différentielle du RLC
Loi des mailles
di(t)
L
dt
L
i(t)
R i(t)
di(t)
uC (t) + R i(t) + L
=0
dt
duC (t)
d
duC (t)
=⇒ uC (t) + R C
+L
C
=0
dt
dt
dt
R
C
uC (t)
=⇒ L C üC (t) + R C u̇C (t) + uC (t) = 0
R
1
uC (t) = 0
=⇒ üC (t) + u̇C (t) +
L
LC
Variables réduites :
Equation différentielle du RLC
Loi des mailles
di(t)
L
dt
L
i(t)
R i(t)
di(t)
uC (t) + R i(t) + L
=0
dt
duC (t)
d
duC (t)
=⇒ uC (t) + R C
+L
C
=0
dt
dt
dt
R
C
uC (t)
=⇒ L C üC (t) + R C u̇C (t) + uC (t) = 0
R
1
uC (t) = 0
=⇒ üC (t) + u̇C (t) +
L
LC
Variables réduites : 2 λ =
R
L
Equation différentielle du RLC
Loi des mailles
di(t)
L
dt
L
i(t)
R i(t)
di(t)
uC (t) + R i(t) + L
=0
dt
duC (t)
d
duC (t)
=⇒ uC (t) + R C
+L
C
=0
dt
dt
dt
R
C
uC (t)
=⇒ L C üC (t) + R C u̇C (t) + uC (t) = 0
R
1
uC (t) = 0
=⇒ üC (t) + u̇C (t) +
L
LC
Variables réduites : 2 λ =
R
L
et
Equation différentielle du RLC
Loi des mailles
di(t)
L
dt
L
i(t)
R i(t)
di(t)
uC (t) + R i(t) + L
=0
dt
duC (t)
d
duC (t)
=⇒ uC (t) + R C
+L
C
=0
dt
dt
dt
R
C
uC (t)
=⇒ L C üC (t) + R C u̇C (t) + uC (t) = 0
R
1
uC (t) = 0
=⇒ üC (t) + u̇C (t) +
L
LC
Variables réduites : 2 λ =
R
L
et
ω02 =
1
LC
Equation différentielle du RLC
Loi des mailles
di(t)
L
dt
L
i(t)
R i(t)
di(t)
uC (t) + R i(t) + L
=0
dt
duC (t)
d
duC (t)
=⇒ uC (t) + R C
+L
C
=0
dt
dt
dt
R
C
uC (t)
=⇒ L C üC (t) + R C u̇C (t) + uC (t) = 0
R
1
uC (t) = 0
=⇒ üC (t) + u̇C (t) +
L
LC
Variables réduites : 2 λ =
R
L
et
ω02 =
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
1
LC
Equation différentielle du RLC
Loi des mailles
di(t)
L
dt
L
i(t)
R i(t)
di(t)
uC (t) + R i(t) + L
=0
dt
duC (t)
d
duC (t)
=⇒ uC (t) + R C
+L
C
=0
dt
dt
dt
R
C
uC (t)
=⇒ L C üC (t) + R C u̇C (t) + uC (t) = 0
R
1
uC (t) = 0
=⇒ üC (t) + u̇C (t) +
L
LC
Variables réduites : 2 λ =
R
L
et
ω02 =
1
LC
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
Equation du deuxième ordre sans second
membre
Résolution de l’équation différentielle :
différents régimes
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
Résolution de l’équation différentielle :
différents régimes
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
Equation caractéristique
Résolution de l’équation différentielle :
différents régimes
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
Equation caractéristique
=⇒
Résolution de l’équation différentielle :
différents régimes
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
Equation caractéristique
=⇒ r 2 + 2 λ r + ω02 = 0
Résolution de l’équation différentielle :
différents régimes
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
Equation caractéristique
=⇒ r 2 + 2 λ r + ω02 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
Résolution de l’équation différentielle :
différents régimes
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
Equation caractéristique
=⇒ r 2 + 2 λ r + ω02 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables
Résolution de l’équation différentielle :
différents régimes
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
Equation caractéristique
=⇒ r 2 + 2 λ r + ω02 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ ω0 )
Résolution de l’équation différentielle :
différents régimes
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
Equation caractéristique
=⇒ r 2 + 2 λ r + ω02 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ ω0 )
⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique
Résolution de l’équation différentielle :
différents régimes
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
Equation caractéristique
=⇒ r 2 + 2 λ r + ω02 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ ω0 )
⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique
=⇒ Oscillations électriques
Résolution de l’équation différentielle :
différents régimes
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
Equation caractéristique
=⇒ r 2 + 2 λ r + ω02 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ ω0 )
• frottements critiques
⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique
=⇒ Oscillations électriques
Résolution de l’équation différentielle :
différents régimes
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
Equation caractéristique
=⇒ r 2 + 2 λ r + ω02 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ ω0 )
• frottements critiques (λ = ω0 )
⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique
=⇒ Oscillations électriques
Résolution de l’équation différentielle :
différents régimes
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
Equation caractéristique
=⇒ r 2 + 2 λ r + ω02 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ ω0 )
⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique
=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques (λ = ω0 )
⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique
Résolution de l’équation différentielle :
différents régimes
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
Equation caractéristique
=⇒ r 2 + 2 λ r + ω02 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ ω0 )
⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique
=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques (λ = ω0 )
⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique
=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide
Résolution de l’équation différentielle :
différents régimes
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
Equation caractéristique
=⇒ r 2 + 2 λ r + ω02 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ ω0 )
⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique
=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques (λ = ω0 )
⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique
=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide
• frottements importants
Résolution de l’équation différentielle :
différents régimes
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
Equation caractéristique
=⇒ r 2 + 2 λ r + ω02 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ ω0 )
⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique
=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques (λ = ω0 )
⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique
=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide
• frottements importants (λ ω0 )
Résolution de l’équation différentielle :
différents régimes
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
Equation caractéristique
=⇒ r 2 + 2 λ r + ω02 = 0
Différents régimes selon le discriminant :
• frottements négligeables (λ ω0 )
⇐⇒ ∆ < 0 : régime pseudo-périodique
=⇒ Oscillations électriques
• frottements critiques (λ = ω0 )
⇐⇒ ∆ = 0 : régime critique
=⇒ retour à l’équilibre le plus rapide
• frottements importants (λ ω0 )
⇐⇒ ∆ > 0 : régime apériodique
Facteur de qualité et régimes
Facteur de qualité et régimes
ω0
1
Q=
=
2λ
R
r
L
C
Facteur de qualité et régimes
ω0
1
Q=
=
2λ
R
• Q>
1
=⇒ régime pseudo-périodique ;
2
r
L
C
Facteur de qualité et régimes
ω0
1
Q=
=
2λ
R
1
=⇒ régime pseudo-périodique ;
2
1
• Q = =⇒ régime critique ;
2
• Q>
r
L
C
Facteur de qualité et régimes
ω0
1
Q=
=
2λ
R
1
=⇒ régime pseudo-périodique ;
2
1
• Q = =⇒ régime critique ;
2
1
• Q < =⇒ régime apériodique ;
2
• Q>
r
L
C
Résolution de l’équation différentielle : solutions
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒ r 2 + 2 λ r + ω02 = 0
Résolution de l’équation différentielle : solutions
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒ r 2 + 2 λ r + ω02 = 0
• Les solutions r1 , r2 de l’équation caractéristique permettent d’obtenir les solutions
de l’équation différentielle ;
Résolution de l’équation différentielle : solutions
üC (t) + 2 λ u̇C (t) + ω02 uC (t) = 0
Equation caractéristique =⇒ r 2 + 2 λ r + ω02 = 0
• Les solutions r1 , r2 de l’équation caractéristique permettent d’obtenir les solutions
de l’équation différentielle ;
• Selon le régime (donc le discriminant de l’équation caractéristique), r1,2 peuvent
être réelles ou complexes, ce qui donne différents types de solutions uC (t).
Régime pseudo-périodique
Régime pseudo-périodique
uC
E
T
t
-E
: λ = 1/4
: λ = 1/2
:λ=1
Régime pseudo-périodique
uC
E
uC (t) = E exp (−λ t) cos (ω t + φ)
T
avec ω =
t
-E
: λ = 1/4
: λ = 1/2
:λ=1
q
ω02 − λ2
et E la tension initiale aux bornes du
condensateur.
Régime pseudo-périodique
uC
E
uC (t) = E exp (−λ t) cos (ω t + φ)
T
avec ω =
t
-E
: λ = 1/4
: λ = 1/2
:λ=1
q
ω02 − λ2
et E la tension initiale aux bornes du
condensateur.
T =
2π
2π
=q
ω
ω02 − λ2
Régime critique
Régime critique
uC
E
t
Régime critique
uC (t) = (A t + B) exp(−λ t)
uC
E
t
Régime critique
uC (t) = (A t + B) exp(−λ t)
uC
Régime critique = premier régime apériodique.
E
t
Régime critique
uC (t) = (A t + B) exp(−λ t)
uC
Régime critique = premier régime apériodique.
E
Obtention graphique de λ
t
Régime critique
uC (t) = (A t + B) exp(−λ t)
uC
Régime critique = premier régime apériodique.
E
Obtention graphique de λ
D’après l’expression mathématique de la solution ci-dessus :
2 E e −1
1
λ
t
àt =
1
, uC = 2 E e −1
λ
où E est la tension initiale aux bornes du
condensateur.
Régimes apériodiques
Régimes apériodiques
x
xm
:λ=2
:λ=3
:λ=4
t
Régimes apériodiques
x
xm
:λ=2
:λ=3
:λ=4
uC (t) =A exp
−λ +
+B exp
t
−λ −
q
λ2
q
−
ω02
t
λ2 − ω02 t
Régimes apériodiques
x
xm
:λ=2
:λ=3
:λ=4
uC (t) =A exp
−λ +
+B exp
−λ −
q
λ2
q
t
λ2 − ω02 t
Pas d’oscillations électriques
t
−
ω02
Régimes apériodiques
x
xm
:λ=2
:λ=3
:λ=4
uC (t) =A exp
−λ +
+B exp
−λ −
q
λ2
q
−
ω02
t
λ2 − ω02 t
Pas d’oscillations électriques
t
Retour à l’équilibre d’autant plus lent
que λ est grand