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2.1 Cinématique
Chapitre 2.1
Synthese de Cinematique
L’objectif est de faire le bilan de ce qu’il faut connaitre en cinématique.
Les problèmes de Géométrie et de Cinématiques
Il faut savoir
• Déterminer/Vérifier une longueur ou un angle caractéristique (géométrie) ;
• Calculer une vitesse et une accélération :
o Vérifier une norme de vitesse et d’accélération
o Calculs de dynamique → Relation de comportement → Schéma bloc ;
• Déterminer une loi entrée/sortie d’un mécanisme ;
• Déterminer les paramètres d’une loi horaire.
Poser le problème
Dans l’immense majorité des problèmes, le paramétrage et le schéma cinématique, vous sont donnés. Avant
d’entamer le moindre calcul, je vous conseille de faire
• Le graphe des liaisons (ou graphe des structures)
• Les figures de changement de base.
Fermeture géométrique
Démarche
Une fermeture géométrique correspond à une relation de Chasles. On peut écrire autant de fermetures indépendantes
que de cycle dans le graphe des liaisons.
1. On écrit une loi de Chasles entre des points en passant par les points caractéristiques des liaisons.
2. On écrit ses vecteurs dans leur bases « naturelles ».
3. On réfléchit … On veut éliminer le(s) paramètre(s) inconnu(s) non recherché(s)… Alors deux solutions :
•
On projette dans la base la plus « simple » puis :
• Pour éliminer un angle, on exprime son cosinus,
son sinus, on élève au carré et on additionne.
• Si c’est une longueur, on fait le rapport de deux
équations.
Si c’est un angle, on part de la norme du vecteur
dont la direction est paramétrée par l’angle.
Si c’est une longueur, on projette sur la direction
perpendiculaire à la longueur à éliminer.
•
Nous obtenons ainsi une relation entre des paramètres géométriques.
CF : EXERCICE 1
Calcul d’une vitesse et d’une accélération
Notations
⃗ 𝑃 (2⁄1)
𝑉
⏟
⃗ 𝑃/1 − 𝑉
⃗ 𝑃/2
𝑉
⏟
=
𝑀é𝑐𝑎𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑢 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒
𝑀é𝑐𝑎𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑢 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡
Méthode par dérivation
⃗ 𝑃/1 = (
𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂
1𝑃
)
𝑑𝑡 𝑅
1
Si 𝑃𝜖2 alors
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2.1 Cinématique
⃗ 𝑃/2 = ⃗0
𝑉
Donc ssi 𝑃𝜖2
⃗ 𝑃 (2⁄1) = (
𝑉
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂
1𝑃
)
𝑑𝑡 𝑅
1
La dérivation …
Voir Annexe 2
À partir des torseurs cinématiques
Deux formules à notre disposition
Composition des vitesses
Permet de « changer » de solide au même point.
⃗ 𝑃 (2⁄0) = 𝑉
⃗ 𝑃 (2⁄1) + 𝑉
⃗ 𝑃 (1⁄0)
𝑉
Pour la décomposition, on passe par les liaisons (s’aider du graphe des liaisons !)
Formule de changement de point (formule de Varignon)
Permet de changer de point sur le même solide.
⃗ (2⁄1)
⃗ 𝐴 (2⁄1) = 𝑉
⃗ 𝐵 (2⁄1) + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉
𝐴𝐵 ∧ ⃗Ω
Calcul de l’accélération
On dérive la vitesse !
Γ𝑃 (2⁄1) =
CF : EXERCICE 2
⃗ 𝑃 (2⁄1)
𝑑𝑉
𝑑𝑡
Détermination d’une loi E/S
C’est la relation entre le paramètre cinématique d’entrée (paramètre de l’actionneur) et le paramètre cinématique de
la sortie (mouvement souhaité).
Fermeture géométrique
1. On réalise la fermeture géométrique … voir plus haut
2. On dérive la relation trouvée
Méthode la plus efficace si on ne cherche que la loi E/S
Fermeture cinématique
La fermeture cinématique consiste à réaliser une composition des mouvements. On passe par les liaisons connues. On
peut écrire autant de fermeture que de boucle dans le graphe des liaisons.
On en déduit deux équations vectorielles :
• Composition des rotations
• Composition des vitesses en un point à choisir judicieusement.
On obtient donc un système de six équations.
Cette méthode permet de déterminer tous les paramètres cinématiques inconnus.
CF : EXERCICE 2
Cas particulier
Il existe une relation géométrique entre des vecteurs de bases de par la constitution du système.
• Perpendicularité : joint de cardan, Sinusmatic …
• Parallélisme : parallélogramme déformable.
CF : EXERCICE 3
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2.1 Cinématique
Hypothèse de RSG
L’hypothèse de roulement sans glissement en un point 𝐼 entre deux solides 1 et 2 se traduit par :
⃗
⃗ 𝐼 (1⁄2) = 0
𝑉
On fait apparaitre les paramètres des liaisons par composition des mouvements.
CF : EXERCICE 4
Engrenages
On note :
• 𝑑 : diamètre primitif
• 𝑍 : le nombre de dents
• 𝑚 : le module
• 𝑝𝑎𝑠 ∶ le pas mesuré sur le diamètre primitif
Deux relations à connaitre :
• 𝑑 = 𝑚. 𝑍
• 𝑃𝑎𝑠 = 𝑚. 𝜋
Train simple
Les liaisons pivots sont toutes liées au bâti. La mobilité est de 1.
Relation
𝜔𝑠
Π 𝑍𝑚𝑒𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
= (−1)𝑛 .
𝜔𝑒
Π 𝑍𝑚𝑒𝑛é𝑒𝑠
Train épicycloïdal
•
•
•
1 et 3 sont les planétaires leurs axes sont en liaison pivot par rapport au bâti.
2 est le satellite. Son axe de rotation tourne par rapport au bâti.
4 est le porte-satellite. Son axe de rotation est fixe par rapport au bâti. il porte le satellite et ne possède pas de
pignons.
Raison basique
𝜆=
𝜔𝑝𝑙2⁄𝑝𝑠 [𝜔𝑝𝑙2 − 𝜔𝑝𝑠 ]
Π𝑍𝑚𝑒𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
=
= (−1)𝑛
𝜔𝑝𝑙1⁄𝑝𝑠 [𝜔𝑝𝑙1 − 𝜔𝑝𝑠 ]
Π𝑍𝑚𝑒𝑛é𝑒𝑠
On peut aussi écrire :
𝜔𝑝𝑙2 − 𝜆𝜔𝑝𝑙1 + (𝜆 − 1)𝜔𝑝𝑠 = 0
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2.1 Cinématique
Utilisation
La mobilité du train est de deux, c'est-à-dire que l’on doit commander deux vitesses de rotations pour obtenir la
troisième.
• Réducteur : on bloque une des trois vitesses. Avec les deux vitesses restantes, on obtient un réducteur. Le
rapport est à calculer en fonction de 𝜆.
• Additionneur de puissance ou comparateur.
CF : EXERCICE 5
Extension
•
•
•
•
Roue vis sans fin : pour la vis 𝑍 est le nombre de filets. Le rapport des vitesses est le rapport des 𝑍.
Poulies-courroie : C’est le rapport des rayons. Il y a changement de sens de rotation si on croise la courroie.
Pignon-crémaillère : la vitesse d’avance de la crémaillère correspond à la vitesse linéaire au niveau du
diamètre primitif. Le pas est la distance entre deux dents. Ainsi le périmètre est donné de deux manières par
2𝜋𝑅 = 𝜋𝐷 = 𝑝𝑎𝑠. 𝑍
Et donc
𝑝𝑎𝑠. 𝑍
𝑉 = 𝑅𝜔 =
𝜔
𝜋
Vis-écrou : 𝑉 = 𝑝𝑎𝑠. 𝜔
CF : EXERCICE 6
Lois horaires
On traite ici de l’évolution temporelle d’un paramètre scalaire.
Méthode
À partir des données et en travaillant phase par phase,
• Établir la forme générale des équations. On introduit des constantes inconnues.
• Établir les conditions limites.
• À partir des conditions limites, on détermine les inconnues.
Rappel : l’intégrale est la surface sous la courbe
Utilisation
•
On part d’une évolution désirée (trapèze, triangle, …) et on cherche les paramètres d’accélération et de vitesse
qui permettent d’assurer un CdC….. ou inversement.
• Permet d’établir un profil de came en fonction d’une évolution souhaité (loi de levée).
De ces courbes on peut « trouver » les cas critiques d’accélération pour les calculs de dynamique.
CF : EXERCICE 7
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