Université Ibn Zohr
FACULTE DES SCIENCES
- Agadir-
Session normale– SMP3- Janvier 2017
Epreuve de Thermodynamique 2
Durée : 2 h
Exercice (8 Points)
On considère une tige métallique horizontale, cylindrique de section droite circulaire d’aire A et
de diamètre d (dont les variations seront supposées négligeables). Son extrémité O est encastrée dans un
mur vertical et on admettra que l’axe de la tige reste horizontal tout au long du problème.
La tige est soumise à son extrémité B à une force de direction OB . Cette force est soit de
traction, soit de compression.
Sur l’axe Ox parallèle à OB , d’origine O, le sens positif est défini par le vecteur unitaire i de O
vers B. L’extrémité B de la barre a l’abscisse x (longueur de la tique).
Un état d’équilibre de la tige est défini par la longueur de la tige x , la température absolue T et la
variable d’état F liée à la force. Ces variables d’état sont liées par l’équation d’état
F 

x  x0 1  T  T0  
 valable pour des valeurs de T et F suffisamment faibles. Le coefficient de
E. A 

dilatation linéaire  et le module de Young ou d’élasticité E sont constants et T0  273,15K .
Lors d’une transformation élémentaire réversible, T , F et x ,varient respectivement de dT , de
dF et de dx . Les quantités de travail et de chaleur reçues algébriquement par la tige peuvent se mettre
respectivement sous les formes différentielles W  F.dx et Q  Cx .dT  .dx .
1- Justifier que dans l’expression du travail F est toujours négatif.
2- Exprimer W en fonction de x0 , A ,  , E , F , dT et dF .
3- Ecrire les expressions des différentielles de l’énergie interne dU et de l’entropie dS de la tige
correspondant aux variations dT et dF de T et F .
4- En déduire l’expression de  en fonction de A ,  , E et T .
5- Montrer que C x ne dépend que de T .
6- L’expression de la différentielle de la chaleur correspondant aux variations dT et dF de T et F est
de la forme Q  CF .dT  h.dF .
a- Exprimer alors h en fonction de  , x0 et T .
 x 
b- Exprimer CF  Cx en fonction de  et 
 puis en fonction de A ,  , E , x0 et T .
 T  F
7- On suppose maintiennent qu’une très faible variation T de la température entraine une traction
adiabatique réversible de la tige de F . Déterminer T en fonction de x0 ,  , CF et F .
Problème (12Ppoints)

On considère l’écoulement en régime permanent d’un fluide avec un débit massique m , dans une
conduite cylindrique horizontale de section droite circulaire d’aire A . A l’entrée de la conduite, on
notera : la pression du fluide par P0, sa température par T0, sa vitesse par u0 , son enthalpie massique
par H 0 , son entropie massique par S0 et sa masse volumique par ρ0. A la sortie de la conduite, on notera:
la pression du fluide par Ps, sa température par Ts, sa vitesse d’écoulement par us, son enthalpie
massique par H s , son entropie massique par S s et sa masse volumique par ρs.
1- En appliquant (dans le cas d’un écoulement avec frottements et avec échanges de travail et de
chaleur) les deux principes de la thermodynamique, écrire les bilans énergétique et entropique
1
Pr. L. BOUIRDEN
de ce système en grandeurs par unité de temps puis en grandeurs massiques. On notera

respectivement par X et X les grandeurs massique et par unité de temps d’une grandeur X .

2- Exprimer le débit massique m en fonction des données du problème et en déduire une
relation entre u0 , us, ρ0 et ρs.
C
3- Le fluide est supposé maintenant un gaz parfait de masse molaire M et de   P
CV
a- L’écoulement est supposé sans travail extérieur et avec frottements


i-
Exprimer la puissance calorifique Q échangée en fonction de u0 , us, H 0 , H s et m puis
en fonction de u0 , us, T0, Ts, A, ρ0, M, γ et de la constante du gaz parfait R.


ii- Exprimer la puissance entropique reçue S recue en fonction de S0 , S s m et de la puissance


entropique créée S créée puis en fonction de T0, Ts, P0, Ps, u0 , A, ρ0, M, γ , R et S créée .
b- L’écoulement est supposé maintenant sans travail extérieur et sans frottements, établir les


nouvelles expressions de Q et S recue .
c- Si on suppose maintenant que l’écoulement du gaz est sans frottements, isotherme à T0 et
avec un travail extérieur.

i- Etablir l’expression de la puissance calorifique échangée Q en fonction de T0, S0 ,

S s et m puis en fonction de u0 , A, ρ0, M, R, T0, P0 et Ps.

ii- Etablir l’expression de la puissance mécanique échangée W en fonction de u0 , us, H 0 ,


H s , m et Q puis en fonction de A, ρ0, u0 , us, M, R, T0, P0 et Ps.
d- L’écoulement est supposé maintenant isentropique est sans travail extérieur.
i- Etablir la variation de l’enthalpie massique  H en fonction de la variation de l’énergie
cinétique massique  E c du gaz entre l’entée et la sortie de la conduite.
ii- En déduire l’expression de la vitesse us de l’écoulement du gaz à la sortie de la conduite
en fonction de u0 , T0, Ts, M, γ et R. puis en fonction de u0 , T0, P0, Ps, M, γ et R.
************************
2
Pr. L. BOUIRDEN
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Session normale– SMP3- Janvier 2017
Corrigé de l’épreuve de Thermodynamique 2
Exercice (8Points)
1- Dans le cas de la compression dx  0 . la tige reçoit du travail
Dans le cas de la traction dx  0 . la tige fournit du travail W  0
W  0
F 0
F 0
xF
1
 x 
 x 


dF   W  x0.FdT  0 dF
2- W  F.dx or dx  
 dT  
 dF  x0 .dT 
A.E
A.E 
 T  F
 F T

Q
dT 
 Cx
 dx
3- dU  Cx dT    F dx et dS 
T
T T
 C      F 
4et dS est une
dU est une différentielle totale exacte   x      
 (1)
 x T  T  x  T  x
   C 
1  C 
  1   
    
 C 
différentielle totale exacte    x     x   2  
   (2)
  x  
T  T  x
 x T T  T  x
 x  T  T T  x T T
 F 
(1) et (2)    T 
 (3)
 T  x
x

 F 
Or on a F  A.E   1   T  T0  d’où 
   .E. A.T
  .E. A
 T  x
 x0

 2F 
 C 
5- (1) et (3)   x   T  2   0 Don ne dépend que de C x ne dépend que de T
 x T
 T  x

 x  
 x 
 x 
6- a- Q  C x dT  dx   C x  
 dT  
 dF  CF dT  hdF  h  
 Or d’après
 T  F 
 F T
 F T

x
F 
 x 

 h  x0 ...T
l’équation d’état x  x0  1   (T  T0  
  0
 on a 
E. A 
 F T E. A

x
 x 
b- CF  Cx   
Or 
 CF  Cx  2 x0 EAT
  x0

T

T

F

F
7- Q  CF .dT  h.dF  CF .dT  x0 ...T .dF  0

dT
x .
  0 dF 
T
CF
T  T

T
dT
x .
 0
T
CF
F  F
 dF
F
x .
x .;T
 T  T  T
 ln
  0 F
Soit donc T   0
F

CF
CF
 T  T
Problème (12 Points)
1- En grandeurs par unité de temps






1 2

2 
le 1er Principe : W  Q   H s  H 0  (us  u0 ) m et le 2ème principe : S créée  S reçuee  S s  S 0 m
2


En grandeurs massiques
1 2

2 
le 1er Principe : W  Q   H s  H 0  (us  u0 ) et le 2ème principe : Scréée  Srecue  S s  S 0
2



2- m  u0 .0 . A  us . s . A








 u0 .0  us . s
3
Pr. L. BOUIRDEN




1 2

2 
3a-i- Q   H s  H 0  (us  u0 ) m
2


 
 

R
Ts  T0   1 (us 2  u0 2 ) m   R Ts  T0   1 (us 2  u0 2 )u0 0 A
 Q 
2
2
 M (  1)

 M (  1)










 S reçue  S s  S 0 m S créée
(irréversible)

S créée  S reçuee  S s  S 0 m
ii- d’après le 2ème principe
pour un écoulement avec frottements
or S s  S 0 
 T  R  Ps 
R
Ln s  
Ln 
M (  1)  T0  M  P0 


 R
 R
 T  R  Ps   
T  R
 P 
 S recue  
Ln s  
Ln  m S créée  
Ln s  
Ln s u0 0 A  S créée
 M (  1)  T0  M  P0 
 M (  1)  T0  M  P0 


1 2

2 
b-i- Q   H s  H 0  (us  u0 ) m
2




 
 

R
Ts  T0   1 (us 2  u0 2 ) m   R Ts  T0   1 (us 2  u0 2 )u0 0 A
 Q 
2
2
 M (  1)

 M (  1)


ii- S créée  0 pour un écoulement sans frottements réversible)
Ss  S0 




 S reçue  S s  S 0 m
or
 T  R  Ps 
R
Ln s  
Ln 
M (  1)  T0  M  P0 

 R
 T  R  Ps    R
 T  R  Ps 
 S recue  
Ln s  
Ln  m  
Ln s  
Ln u0 0 A
M
(


1
)
T
M
P
M
(


1
)
T
M
 0
 0 
 0
 P0 



c- i- L’écoulement est réversible (sans frottements)  S créée  0


L’écoulement est isotherme  S reçue
Q

T0


 RT
 P    RT
 P 
R  Ps 
Ln   Q  T0 S s  S m   0 Ln s  m   0 Ln s u0 0 A
M  P0 
 P0 
 P0 
 M
 M



1 2

2 
ii- W  H s  H 0  (us  u0 ) m Q
2



 RT
 P  
Or H s  H 0  0 et Q   0 Ln s  m
 M
 P0 
 1
 P    1 2
 P 
RT
RT
2
2
2
 W   (us  u0 )  0 Ln s  m   (us  u0 )  0 Ln s u0 0 A
M
M
 P0 
 P0 
 2
 2

Ss  S0  







1 2
2
d- i- Le premier principe implique H s  H 0  (us  u0 )  0
2
1 2
2
H s  H 0   (u s  u0 )   H   E c
2


 
R
Ts  T0  or Ts  T0  P0 
ii - us  u0  2 H s  H 0  u0  2
M (  1)
 Ps 
2

RT0   Ps 
 u s  u0  2
 
M (  1)   P0 
2

2
 1

1 

P 
 T0  s 
 P0 
 1



 1


4
Pr. L. BOUIRDEN