Investigación
de
Operaciones
Ejemplo: La WYNDORGLASS CO.
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Ejemplo: La WYNDORGLASS CO.
Investigación de Operaciones
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Solución ejemplo de Wyndorglass
• Maximizar Z = 3X1 + 5X2
• Sujeto a
X1
2X2
3X1 + 2X2
X1 , X2 ≥ 0
Investigación de Operaciones
≤4
≤ 12
≤ 18
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Sistemas de ecuaciones e
inecuaciones
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de varias
ecuaciones que se deben resolver de manera conjunta,
es decir, que los valores de las incógnitas que son
soluciones de todas las ecuaciones simultáneamente
son las soluciones del sistema .
Se pueden clasificar los sistemas según el número de
ecuaciones del sistema (dos ecuaciones, tres
ecuaciones...), según el número de incógnitas (una
incógnita, dos incógnitas...), según el grado de las
incógnitas (lineal, cuadrático, no lineal...).
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Una clasificación importante es según las soluciones:
un sistema incompatible (I) es el que no tiene solución
(pero sus ecuaciones si pueden tener solución); un
sistema es compatible determinado (CD) si tiene una
solución única y será compatible indeterminado (CI) si
tiene más de una solución.
Sistemas equivalentes son los que tienen las mismas
soluciones. Para resolver sistemas normalmente se
manipulan las ecuaciones obteniendo sistemas
equivalentes que son más sencillos de resolver.
Investigación de Operaciones
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Investigación de Operaciones
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La Forma general
Investigación de Operaciones
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Grafica de las ecuaciones lineales
Investigación de Operaciones
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Grafica ecuaciones lineales
Investigación de Operaciones
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Grafica Ecuaciones lineales
Investigación de Operaciones
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Grafica ecuaciones lineales
Investigación de Operaciones
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Grafica ecuaciones lineales
Investigación de Operaciones
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Inecuaciones lineales
Investigación de Operaciones
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Inecuaciones lineales
Investigación de Operaciones
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Inecuaciones lineales
Investigación de Operaciones
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Inecuaciones lineales
Investigación de Operaciones
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Inecuaciones lineales
Investigación de Operaciones
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Inecuaciones lineales
Investigación de Operaciones
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Inecuaciones lineales
Investigación de Operaciones
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Resolución ecuaciones lineales
• Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos
incógnitas.
Son los sistemas del tipo:
a1 x+b1 y=c1
a2 x+b2 y=c2
Para resolverlos se utilizan uno de los tres métodos
conocidos: sustitución, reducción e igualación.
También se pueden resolver gráficamente.
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Ejemplo
3x−2y=4
2x+3y=7
Igualación. Se despeja la misma incógnita en las dos
ecuaciones y se igualan.
• X =2y+ 4
3
• X =7−3y
2
Como x = x , entonces
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
ejemplo
2y + 4 = 7 − 3y
3
2
ahora multiplicamos por 6 para eliminar denominadores y agrupamos
términos, entonces tenemos:
4y + 9y = 21 – 8;
de aquí y = 13 = 1
13
ahora sustituimos y obtenemos x = 2, la solución es
entonces el par (2, 1).
Investigación de Operaciones
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Sistemas de ecuaciones Lineales
• Definición
Investigación de Operaciones
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Clasificación de los sistemas de ecuaciones
lineales según sus soluciones
Investigación de Operaciones
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Sistema de Ecuaciones lineales
Métodos de resolución por sustitución , igualación y resducción
Investigación de Operaciones
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Sistema de ecuaciones
• Método de Gauss
Investigación de Operaciones
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Ejercicios
• Resolver y clasificar los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales :
Investigación de Operaciones
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Inecuaciones
• Inecuaciones de primer grado con una incógnita
Investigación de Operaciones
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Inecuaciones
• Inecuaciones Racionales con una incognita
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Ejemplo
Resolver el sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas:
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Investigación de Operaciones
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• Ejemplo: Resuelve el sistema
Investigación de Operaciones
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Investigación de Operaciones
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Ejemplo:
Resuelve la inecuación 3x+2y+5<0
Dibujamos la recta 3x+2y+5=0 sobre unos ejes de coordenadas y
comprobamos el punto O(0,0), que da: 3x0+2x0 + 5 < 0 falso
Luego la solución es la zona sombreada de la figura adjunta.
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Puntos óptimos de funciones en
conjuntos convexos.
Se define una función lineal con dos variables como una expresión
de la forma f(x, y) = ax + by.
para cada valor de "c", el lugar geométrico de los puntos cuyas
coordenadas (x, y) verifican f(x, y) = c es la recta de ecuación
ax+by=c. Al variar "c", se obtiene rectas paralelas tales que todas
tiene la misma pendiente -a/b y cortan al eje Y en el punto (0, c/b).
Si los valores de x e y no están acotados, tampoco lo estará f(x, y),
en cambio, si están restringidos a un cierto conjunto C, la función
no podrá tomar cualquier valor. Se puede entonces hablar de
valores máximo o mínimo (valores óptimos) de f(x, y) en C.
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Puntos óptimos de funciones en
conjuntos convexos.
Se cumple el siguiente teorema: "Si una función lineal f(x,
y)=ax+by tiene máximo o mínimo en un conjunto C convexo,
toma este valor óptimo en un punto extremo".
En efecto, si el valor c fuera óptimo y correspondiera a un punto
(x, y) interior al conjunto convexo C, siempre se podrían
encontrar dos recta paralelas a ax+by+c=0, en las cuales f(x, y)
tomaría valores mayores o menores que c y no podría ser c
máximo o mínimo. Luego estos valores sólo pueden presentarse
en los puntos extremos.
Usando este teorema, para encontrar los puntos óptimos de f(x,
y) en el conjunto convexo C podemos proceder de dos formas:
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Puntos óptimos de funciones en
conjuntos convexos.
a. Estudiar los valores de la función en los vértices (si su
número es reducido) y decidir en cuál de ellos hay máximo o
mínimo. Tengamos en cuenta que si la función toma el
mismo valor en dos vértices consecutivos, también toma ese
valor en todos los puntos del segmento que une esos dos
vértices.
b. Representar las función en una gráfica para un valor
cualquiera de c (se suele tomar c=0) y obtener, por simple
inspección, desplazando la recta dibujada paralelamente a
sí misma el punto óptimo. Este procedimiento, por ser
gráfico es más impreciso a no ser que realicemos el dibujo
con mucha precisión. Nosotros utilizaremos el método a)
salvo que el número de vértices sea muy elevado.
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
BUSCANDO SOLUCIÓN
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
La solución de un problema de
programación lineal, en el supuesto de
que exista, debe estar en la región
determinada
por
las
distintas
desigualdades. Esta recibe el nombre
de región factible, y puede estar o no
acotada.
Investigación de Operaciones
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Región Factible
• La región factible incluye o no los lados y los vértices,
según que las desigualdades sean en sentido amplio
( ≤ ó ≥ ) o en sentido estricto (< ó >).
• Si la región factible está acotada, su representación
gráfica es un polígono convexo con un número de
lados menor o igual que el número de restricciones.
Investigación de Operaciones
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Conjunto Convexo
Investigación de Operaciones
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Procedimiento para determinar la región
factible :
1) Se resuelve cada inecuación por separado, es decir, se encuentra
el semiplano de soluciones de cada una de las inecuaciones.
Se dibuja la recta asociada a la inecuación. Esta recta divide al
plano en dos regiones o semiplanos
Para averiguar cuál es la región válida, el procedimiento práctico
consiste en elegir un punto, por ejemplo, el (0,0) si la recta no pasa
por el origen, y comprobar si las coordenadas satisfacen o no la
inecuación. Si lo hacen, la región en la que está ese punto es
aquella cuyos puntos verifican la inecuación; en caso contrario, la
región válida es la otra.
2) La región factible está formada por la intersección o región
común de las soluciones de todas las inecuaciones.
Como sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas
de inecuaciones lineales pueden presentar varias opciones respecto
a sus soluciones: puede no existir solución, en el caso de que exista
el conjunto solución puede ser acotado o no.
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
ejemplo
Dibujar la región factible asociada a las siguientes
restricciones:
r = X+ Y ≥ 4
s = Y≤ 4
t=Y≥X
• Donde
r = X+ Y ≥ 4
s = Y≤ 4
t=Y≥X
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
r:x+y=4
Elegimos el punto O(0,0), que se
encuentra en el semiplano situado
por debajo de la recta.
Introduciendo las coordenadas
(0,0) en la inecuación x + y ≥ 4,
vemos que no la satisface:
0 + 0 = 0 < 4 . Por tanto, el conjunto
de soluciones de la inecuación es el
semiplano situado por encima de
la recta r : x + y = 4 .
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
s:y=4
Procedemos como en el
paso anterior. Las
coordenadas (0,0)
satisfacen la inecuación
y≤ 4 ( 0 ≤4) . Por tanto, el
conjunto de soluciones
de la inecuación es el
semiplano que incluye al
punto O.
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
t: y = x
La recta t asociada a la restricción
pasa por el origen, lo cual significa
que si probásemos con el punto
O(0,0) no llegaríamos a ninguna
conclusión. Elegimos el punto (1,0) y
vemos que no satisface la inecuación
y ≥ x ( y = 0 < 1 = x ). Por tanto, el
conjunto solución de esta inecuación
es el semiplano determinado por la
recta t que no incluye al punto (1,0).
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Región Factible
La región factible está
formada por los puntos
que cumplen las tres
restricciones, es decir,
se encuentran en los
tres
semiplanos
anteriores.
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Procedimientos para encontrar la
solución factible óptima:
Evaluar la función objetivo Z en cada una de las
esquinas del área de soluciones factibles. La
debilidad de este procedimiento se presenta
cuando se tienen muchas restricciones que por
supuesto generan un área con muchas esquinas,
volviéndose complicada la consecución de sus
coordenadas, que implica la solución de muchos
sistemas de ecuaciones lineales.
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Usando la función objetivo para determinar la
esquina del área de soluciones factible que la
optimiza. La debilidad de éste procedimiento se
presenta cuando la función objetivo es
aproximadamente paralela a uno de los lados
del área de soluciones factible, originando la
duda visual sobre la gráfica de cuál de los dos
extremos (esquinas) es el que hace que la
función objetivo se optimice.
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
ejemplo
Hallar el máximo y mínimo de la función f(x, y) = x-y en
el recinto convexo solución del sistema de
inecuaciones
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
ejemplo
Dado que la gráfica ya la tenemos (la reproducimos
poniendo nombre a los vértices del recinto que sólo
son dos A y B pues el conjunto solución es abierto y no
acotado):
• El punto A es solución del sistema
Luego Finalmente A
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
ejemplo
• El punto B es la solución de:
Siendo , pues B
Los valores de la función en ambos vértices son:
La función presenta un máximo en el punto B pero no hay ningún valor mínimo al no ser el
recinto acotado
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
USANDO UN GRAFICO SE
PUEDEN REPRESENTAR
TODAS LAS RESTRICCIONES,
LA FUNCION OBJETIVO Y LOS
TRES TIPOS DE PUNTOS DE
FACTIBILIDAD.
Investigación de Operaciones
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Ejemplo Modelo de Programación Lineal
Max 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)
Sujeto a:
2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de Materia Prima)
3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción)
X1 + X2 <= 800 (Limite producción total)
X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso)
Xj ≥ 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)
Investigación de Operaciones
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Conjunto de soluciones factibles para el
modelo lineal.
El conjunto de puntos que satisface todas las
restricciones del modelo es llamado:
REGION FACTIBLE
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
• Tipos de puntos de factibilidad
X2
1200
Restricción del plástico:
2X1+X2<=1200
The
Plastic constraint
Restricción del total de producción:
X1+X2<=800
No Factible
600
Horas de
Producción
3X1+4X2<=2400
Restricción del
exceso de producción:
X1-X2<=450
Factible
600
800
X1
Punto Inferior
Punto Medio
Investigación de Operaciones
Punto Extremo
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Resolución gráfica para
encontrar la solución óptima.
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
comenzar con una ganancia dada de = $2,000...
1200
X2
Entonces aumente la ganancia...
...y continúe hasta que salga de la región factible
800
4,
Utilid. = $ 000
3,
2, =$5040
Ganancia
600
X1
400
Investigación de Operaciones
600
800
Profesor: Juan Carlos Guzmán
1200
X2
Se toma un valor cercano al punto
óptimo
Región no
factible
800
600
Feasible
Región
region
Factible
X1
400
Investigación de Operaciones
600
800
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Resumen de la solución óptima
Producto N°1 = 480 docenas
Producto N°2 = 240 docenas
Ganancia = $5040
* Esta solución utiliza todas las materias primas y todas las horas de
producción.
* La producción total son 720 docenas (no 800).
* La producción del Producto N°1 excede a la del Producto N°2 por
solo240 docenas y no por 450.
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Soluciones óptimas y puntos extremos.
* Si un problema de programación lineal tiene una solución
óptima, entonces esta corresponde a un punto extremo.
Múltiples soluciones óptimas.
* Cuando existen múltiples soluciones óptimas implica que la
función objetivo es una recta paralela a uno de los lados
de la región factible.
* Cualquier promedio ponderado de la solución óptima es
también una solución óptima.
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Cabe preguntarse ahora: ¿Siempre hay punto
máximo o mínimo de una función lineal en dos
variables
en
un
recinto
convexo?
La respuesta es que la solución puede ser única. Infinitas o ninguna. Veamos
los casos que pueden darse:
Si el recinto es cerrado existe una solución única para el máximo y otra para
el mínimo en alguno de los vértices si en todos ellos la función toma valores
distintos.
Si es cerrado pero hay dos vértices consecutivos en los que la función toma
el mismo valor (y ese valor es por ejemplo máximo), entonces toma el
mismo valor en todos los puntos del segmento que une ambos vértices,
luego la función infinitos máximos y un mínimo. Al contrario sucedería si el
valor común de los dos vértices fuese mínimo, habiendo entonces infinitos
mínimos y un máximo.
Si el recinto convexo no está acotado superiormente, no existe máximo
aunque sí mínimo.
Si el recinto convexo no está acotado inferiormente, no existe mínimo
aunque sí máximo.
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Problemas de programación lineal
con dos variables.
Un problema de programación lineal con dos variables
tiene por finalidad optimizar (maximizar o minimizar)
una función lineal:
llamada función objetivo, sujeta a una serie de restricciones presentadas en forma
de sistema de inecuaciones con dos incógnitas de la forma:
Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un
semiplano. El conjunto intersección de todos esos semiplanos
recibe el nombre de zona de soluciones factibles. El conjunto
de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones
factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución
óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso). El
valor que toma la función objetivo en el vértice de solución
óptima se llama valor del programa lineal.
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
El procedimiento a seguir para resolver
un problema de programación lineal en
dos variables será:
•
•
•
•
Elegir las incógnitas.
Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.
Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.
Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando
gráficamente las restricciones.
• Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones
factibles (si son pocos).
• Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para
ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el
problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de
solución si el recinto no es acotado).
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Ejemplo
• Minimizar la función f(x, y)=2x+8y sometida a las
restricciones:
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Ejemplo
Llamaremos, respectivamente r, s y t a las rectas expresadas en las tres
últimas restricciones, la zona de soluciones factibles sería
Investigación de Operaciones
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Ejemplo
Investigación de Operaciones
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Ejemplo
• Siendo los valores de la función objetivo en ellos :
Alcanzándose el mínimo en el
punto C
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Ejemplo
Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio
quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que
quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000
pesos cada una para sacar el máximo beneficio. Para la
de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio,
y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales.
¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
ejemplo
• Sean las variables de decisión:
▪ x= n: de bicicletas de paseo vendidas.
▪ y= n: de bicicletas de montaña vendidas.
Tabla de material empleado:
Acero
Aluminio
Paseo
1
3
Montaña
2
2
Investigación de Operaciones
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ejemplo
• Función objetivo:
• f(x, y)= 20.000x+15.000y máxima
• Restricciones:
Investigación de Operaciones
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Espacio solución factible
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Soluciones
• Vértices del recinto (soluciones básicas):
• A(0, 40)
• B intersección de r y s:
• C(40,0)
Valores de la función objetivo en los vértices:
Por lo tanto ha de vender 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña para
obtener un beneficio máximo de $ 850.000 .
Investigación de Operaciones
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Ejercicio
• Una compañía forestal tiene un predio de 100 hectáreas de bosques para
explotar. Talar y dejar el suelo para uso agrícola tiene un costo inmediato
de M$10 por hectárea y un retorno posterior de M$50 por hectárea. Una
alternativa es talar y plantar pino que tiene un costo inmediato de M$50
por hectárea y un retorno posterior de M$120 por hectárea. De aquí que
los beneficios netos de ambos planes sean de M$40 y M$70 por hectárea,
respectivamente. Desafortunadamente, el segundo plan no puede ser
aplicado a todo el terreno ya que sólo se dispone de recursos inmediatos
por M$4.000.
• a) Formule y resuelva gráficamente un modelo de Programación Lineal
que provea el plan más eficiente de explotación, indicando claramente la
solución óptima y valor óptimo.
Investigación de Operaciones
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Investigación de Operaciones
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SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE
Programación L.
EL MÉTODO SIMPLEX
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Ejemplo
La WYNDOR GLASS CO. Produce artículos de vidrio de alta calidad, incluyendo
ventanas y puertas de vidrio. La empresa tiene tres plantas de producción. Los marcos
y molduras se hacen en la planta 1, los marcos de madera se fabrican en la planta 2 y
en la 3 se produce el vidrio y se ensamblan los productos.
Debido a que las ganancias se han reducido, la gerencia general ha decidido
reorganizar la línea de producción. Se descontinuarán varios productos no rentables y
se dejará libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación
de uno o dos productos nuevos que han tendido demanda. Uno de los productos
propuestos (Producto1) es una puerta de vidrio de 2,6 m con marco de aluminio. El
otro (Producto 2) es una ventana grande (1,3 m x 2 m) para vidrio doble con marco de
madera. El departamento de mercadotecnia ha obtenido como conclusión que la
compañía puede vender todo lo que pueda producir de cualquiera de los productos.
Sin embargo, como ambos productos compiten por la misma capacidad de producción
de la planta 3, no es obvio qué mezcla de los dos productos sería más redituable. Por
todo esto, la gerencia pidió al departamento de investigación de operaciones que
estudiara el asunto.
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Ejemplo
Después de hacer algunas investigaciones, el departamento mencionado
determinó:
1. El porcentaje de capacidad de producción de cada planta para cada
producto.
2. El porcentaje de esta capacidad que requiere cada unidad producida
por minuto.
3. La ganancia unitaria de cada
producto.
Esta información se resume en la siguiente tabla:
Realizar el modelo de programación lineal
Investigación de Operaciones
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El método simplex
Es un método genérico de solución de
problemas lineales, desarrollado por George
Dantzig en 1947
Como tal, el método simplex es un procedimiento
algebraico, pero puede entenderse más fácilmente
como un método geométrico
Para ilustrar esto, veamos el ejemplo :
Investigación de Operaciones
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ejemplo
Investigación de Operaciones
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Definiciónes
Restricción frontera:
Es una recta que marca el límite de lo que permite la
restricción correspondiente
Soluciones en el vértice :
Todos los puntos donde se interceptan las restricciones
frontera. Se clasifican en dos tipos
Soluciones factibles en el vértice: Puntos que se encuentran en los vértices
de la región factible. En este caso son: (0,6) ; (0,0) ; (4,0) ; (4,3) ; (2,6)
Soluciones no factibles en el vértice: Los otros puntos que se encuentran en los
vértices que no corresponden a la región factible. Estos son (0,9); (4,6); (6,0)
Investigación de Operaciones
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Gráficamente
Investigación de Operaciones
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En este problema se tienen dos variables de decisión
(X1,X2) , pero en general en un problema con n
variables de decisión, se puede decir que:
Dos soluciones factibles son adyacentes entre sí:
Si comparten por lo menos n - 1 restricciones
Arista:
Segmento de recta que conecta 2 soluciones FEV.
Investigación de Operaciones
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Investigación de Operaciones
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En el ejemplo, por cada solución FEV,
se tienen 2 soluciones adyacentes,
correspondientes a 2 aristas.
Investigación de Operaciones
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Si la región factible es acotada y
no vacía existe una solución
óptima
Por lo tanto se puede asegurar que una de las
soluciones FEV es la solución óptima.
Para saber cuantas soluciones en el vértice existen
podemos utilizar la fórmula
Así entonces en el ejemplo donde n=2 y m=3 existirán:
Investigación de Operaciones
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Cuatro Teoremas claves de
Programación Lineal
1. Cuando hay solución óptima, siempre existe una en un
vértice.
2. Si una solución en un vértice, no tiene soluciones
adyacentes mejores, esa es la solución óptima (óptimo
local es global).
3. Solución básica (en un vértice aumentada) es
equivalente a hacer (n-m) variables iguales a cero y
resolver para las restantes.
4. Soluciones adyacentes tienen iguales todas las variables
básicas menos una (y por supuesto las no básicas).
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Prueba de optimalidad
Investigación de Operaciones
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Pasos
Inicialización.
Propóngase una solución FEV. Por lo general se
propone la solución (0,0) .
Prueba de optimalidad
Conclúyase que (0,0) no es óptimo (existen soluciones
FEV adyacentes mejores).
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Iteración 1
(muévase a una solución FEV
adyacente mejor)
1. Entre las 2 aristas de la región factible, elija moverse a lo
largo de la arista que aumente el valor de X2. (con una
función objetivo Z=3X1+5X2, el valor de Z crece más rápido
que aumentando el valor de X2.
2. Deténgase al llegar a la primera frontera de la
restricción: 2X2 = 12. (si se mueve más lejos en la dirección
seleccionada en el paso 1, se saldrá de la región factible).
3.Obtenga la intersección del nuevo conjunto de fronteras
restricción: (0,6) Las ecuaciones para estas fronteras de
restricción X1=0 y 2X2=12, llevan de inmediato a esta
solución.
Investigación de Operaciones
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Concluya que (0,6) no es
una solución óptima. Existe
una solución FEV adyacente
mejor.
Investigación de Operaciones
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Iteración 2
(Muévase a una mejor solución
FEV)
1. Entre las 2 aristas de la región factible que salen de (0,6), elija
moverse a lo largo de la que va a la derecha (al moverse a lo
largo de esta arista aumenta el valor de Z, mientras que al ir para
atrás hacia abajo del eje X2 lo disminuye.
2. Deténgase al encontrar la primera frontera de restricción en
esa dirección: 3X1+2X2 = 18. (si se mueve más lejos en la
dirección seleccionada en el paso 1, se saldrá de la región
factible).
3.Obtenga la intersección del nuevo conjunto de fronteras
restricción: (2,6) Las ecuaciones para estas fronteras de
restricción 3X1+2X2=18y 2X2=12, llevan de inmediato a esta
solución.
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Concluya que (2,6) es una
solución óptima y
deténgase. No existe una
solución FEV adyacente
mejor.
Investigación de Operaciones
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Concepto de solución
1.- El método simplex sólo revisa las soluciones FEV.
Una de éstas soluciones FEV debe ser la óptima.
Concepto de solución
2. El método simplex es un algoritmo iterativo.
Investigación de Operaciones
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Conceptos de solución….
3.- Siempre que es posible, el método simplex elige el
origen (todas las variables de decisión iguales a cero)
como la solución FEV inicial.
Si no es posible se requieren procedimientos
especiales
4.-Dada una solución FEV, es computacionalmente
más rápido reunir información sobre sus soluciones
FEV adyacentes que sobre otras soluciones FEV.
Por tanto, siempre el algoritmo recorre las aristas de
la región factible
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Conceptos de solución ….
5.- Después de identificar la FEV actual, el algoritmo simplex
identifica todas las aristas de la región factible que salen de esa
solución.
Estas aristas llevan a una solución FEV adyacente en el otro
punto terminal, pero el algoritmo ni siquiera se toma la
molestia de obtener la solución FEV adyacente. Solamente
identifica la tasa de mejoramiento en Z que se obtendría al
moverse por dicha arista. Entre las aristas con una tasa de
mejoramiento en Z positiva, selecciona moverse por aquella
con una tasa de mejoramiento en Z más grande.
Se escoge luego esta solución factible como la nueva solución
actual.
Investigación de Operaciones
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Conceptos de soluciones …
6.- Cuando ninguna de las tasas de ganancia le aporta
a la función objetivo, significa que esa FEV es la
solución óptima.
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Del procedimiento geométrico al
algebraico.
El método simplex es un método algebraico. Por lo
tanto las soluciones del método se derivan al resolver
un sistema de ecuaciones.
El sistema aumentado se obtiene al convertir el
sistema de desigualdades de la forma original, en un
sistema de igualdades equivalentes para las
restricciones funcionales
Investigación de Operaciones
Profesor: Juan Carlos Guzmán
Variables de holgura.
Es el procedimiento que se utiliza para convertir una
restricción funcional de desigualdad, en una
restricción de igualdad equivalente.
Ejemplo:
Retomemos la primera restricción del problema X1≤4
Sea X3 = 4 - X1 (lo que le falta a X1 para ser igual a 4)
• Notemos que: X3≥0
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De ahí que X1 ≤ 4 es equivalente a
X1 + X 3 = 4
Investigación de Operaciones
X3≥0
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El ejemplo
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Las variables de holgura no se ven en la función
objetivo porque su coeficiente es cero.
Solución aumentada.
Es una solución para las variables originales (variables
de decisión) , que se ha aumentado con los valores
correspondientes de las variables de holgura
Ejemplo:
Solución
Solución
sistema original
aumentada
(3,2)
(3,2,1,8,5)
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Solución básica.
Es una solución en un vértice aumentada.
Ejemplo
Solución en el
vértice sistema
Original
Solución Básica
(4,6)
(4,6,0,0,-6)
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Solución básica factible.
Es una solución factible en un vértice aumentada.
Ejemplo
Solución en el
vértice sistema
Original
Solución Básica
(4,3)
(4,3,0,6,0)
Investigación de Operaciones
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Así tenemos un sistema que posee
m=3 ecuaciones con n=5 variables de
decisión
Se tiene 2 grados de libertad Se
llaman 2 grados de libertad porque se
pueden dar valores a 2 de las
variables y así hallar la solución de las
otras 3.
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Recordar que dos grados de libertad
implica
Se tienen 2 variables arbitrarias El simplex
siempre les da el valor de cero.
Por tanto siempre se tendrá la solución al
sistema y a estas variables se les
denominará variables básicas.
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Propiedades de las soluciones BF.
1.Cada variable de decisión puede clasificarse en
básica o no básica (incluyendo las holguras).
2. Habrá tantas variables básicas como restricciones
funcionales.
3. En un problema con n variables y m restricciones
habrá n-m variables no básicas. Siempre se hacen
iguales a cero
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Propiedades de las soluciones BF.
4. Las variables básicas obtienen su valor al solucionar
el sistema de ecuaciones.
5. Si los valores de las variables satisfacen condición
de no negatividad se les denomina soluciones
básicas factibles.
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Teorema
Dos soluciones básicas factibles son adyacentes entre
sí, si tienen todas las V.B menos 1 comunes.
Ejemplo
(0,0)
(0,6)
(0,0,4,12,18)
(0,6,4,0,6)
Comparten todas las variables básicas menos una
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Para trabajar la forma algebraica
elproblema se expresa.
Max Z
Sujeto a
(0) Z - 3X1 - 5X2
=0
(1)
X1 +
X3
=4
(2)
2X2 + X4
= 12
(3) 3X1 + 2X2 +
X5 = 18
X1 , X2, X3, X4, X5 ≥ 0
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FIN
(… o mejor: comienzo del
camino)