David Hernández López.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA
MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CARTOGRÁFICA,
GEODESIA Y FOTOGRAMETRÍA.
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA
GEODÉSICA, CARTOGRÁFICA Y TOPOGRÁFICA.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA
DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
0. DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
0.1 INTRODUCCIÓN.
0.2 DESARROLLO HISTÓRICO DE LA GEODESIA.
0.2.1 EL MODELO ESFÉRICO DE LA TIERRA.
0.2.2 EL MODELO ELIPSOIDAL DE LA TIERRA.
0.3 FIGURAS GEOMETRICAS DE APROXIMACIÓN AL GEOIDE.
0.4 REFERENCIACIÓN GEODÉSICA.
0.4.1 COORDENADAS ASTRONÓMICAS.
0.4.2 COORDENADAS GEODÉSICAS.
0.5 REDES GEODÉSICAS.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
0-1
INTRODUCCIÓN A LA CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
1. INTRODUCCIÓN A LA CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
1.1 NECESIDAD DE LA CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA EN EL
PROCESO CARTOGRÁFICO.
1.1.1 INTRODUCCIÓN.
1.1.2 EL CONCEPTO DE MAPA FRENTE AL DE PLANO .
1.1.3 PROBLEMAS ASOCIADOS A LA REPRESENTACIÓN CARTOGRÁFICA.
1.2 REPRESENTACIÓN PLANA DE LA SUPERFICIE DE
REFERENCIA. CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
1-1
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
2. GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
2.1 CONCEPTO DE SUPERFICIE.
2.2 DEFINICIÓN DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
2.3 CURVAS PARAMÉTRICAS.
2.4 PLANO TANGENTE
SUPERFICIE.
Y
RECTA
NORMAL
A
UNA
2.5 DEFINICIÓN DE UNA CURVA CONTENIDA EN UNA
SUPERFICIE.
2.6 MEDIDA DE DISTANCIAS, ÁNGULOS Y SUPERFICIES
SOBRE UNA SUPERFICIE.
2.6.1 MEDIDA DE DISTANCIAS SOBRE UNA SUPERFICIE. PRIMERA
FORMA CUADRÁTICA FUNDAMENTAL.
2.6.2 MEDIDA DE ÁNGULOS SOBRE UNA SUPERFICIE.
2.6.3 MEDIDA DE SUPERFICIES SOBRE UNA SUPERFICIE.
2.7 SECCIÓN NORMAL Y LÍNEA GEODÉSICA SOBRE EL
ELIPSOIDE.
2.7.1 DEFINICIÓN DE SECCIÓN NORMAL.
2.7.2 DEFINICIÓN DE LÍNEA GEODÉSICA.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-1
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
2.8 TEOREMA DE EULER. RADIO DE CURVATURA DE UNA
SECCIÓN NORMAL CUALQUIERA SOBRE EL ELIPSOIDE.
2.8.1 INDICATRIZ DE DUPIN. DIRECCIONES PRINCIPALES.
2.8.2 CURVATURA DE UNA CURVA PLANA CONTÍNUA.
2.8.3 APLICACIÓN AL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-2
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
3. TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
3.1 INTRODUCCIÓN.
3.2 RELACIÓN
PLANO-SUPERFICIE
MÓDULOS DE DEFORMACIÓN.
DE
REFERENCIA.
3.2.1 CÁLCULO DE ELEMENTOS DIFERENCIALES SOBRE EL ELIPSOIDE Y
SUS CORRESPONDIENTES SOBRE EL PLANO.
3.2.1.1 CÁLCULO DE ELEMENTOS DIFERENCIALES SOBRE EL ELIPSOIDE.
3.2.1.2 CÁLCULO DE ELEMENTOS DIFERENCIALES SOBRE EL PLANO.
3.2.2 MÓDULOS DE DEFORMACIÓN LINEAL, ANGULAR Y SUPERFICIAL.
3.2.2.1 MÓDULO DE DEFORMACIÓN LINEAL.
3.2.2.2 MÓDULO DE DEFORMACIÓN ANGULAR.
3.2.2.3 MÓDULO DE DEFORMACIÓN SUPERFICIAL.
3.3 TEORÍA DE DEFORMACIONES. ELIPSE INDICATRIZ DE
TISSOT.
3.3.1 DEFINICIÓN DE LA ELIPSE INDICATRIZ DE TISSOT.
3.3.2 DEFORMACIÓN ANGULAR A PARTIR DE LOS SEMIEJES DE LA
ELIPSE INDICATRIZ DE TISSOT.
3.3.3 DEFORMACIÓN SUPERFICIAL A PARTIR DE LOS SEMIEJES DE LA
ELIPSE INDICATRIZ DE TISSOT.
3.3.4 CÁLCULO DE LOS SEMIEJES DE LA ELIPSE INDICATRIZ DE TISSOT.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-1
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
3.4 CONDICIONES DE CONFORMIDAD.
3.4.1 EQUIVALENCIA ENTRE LA CONDICIÓN DE CONFORMIDAD Y LA
CONDICIÓN DE QUE EN TODO PUNTO LA ELIPSE DE TISSOT SEA UN
CÍRCULO.
3.4.2 CONDICIONES DE CONFORMIDAD.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-2
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
4. PROYECCIÓN
UNIVERSAL
MERCATOR ( U.T.M ).
TRANSVERSA
DE
4.1 INTRODUCCIÓN.
4.2 FUNCIONES QUE DEFINEN LA PROYECCIÓN.
4.2.1 INTRODUCCIÓN.
4.2.2 PROBLEMA DIRECTO. PASO DE COORDENADAS GEODÉSICAS A
U.T.M.
4.2.3 PROBLEMA
GEODÉSICAS.
INVERSO.
PASO
DE
COORDENADAS
U.T.M.
A
4.3 CONVERGENCIA DE MERIDIANOS.
4.4 DEFORMACIÓN PRODUCIDA A LAS DISTANCIAS.
4.4.1 INTRODUCCIÓN.
4.4.2 MÓDULO DE DEFORMACIÓN LINEAL PUNTUAL.
4.4.3 MÓDULO DE DEFORMACIÓN LINEAL PARA LONGITUDES FINITAS.
4.4.4 DETERMINACIÓN
ARTIFICIO DE TISSOT.
DEL
COEFICIENTE
CORRESPONDIENTE
4.5 CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS-GEODÉSICOS
PROYECCIÓN U.T.M.
SOBRE
AL
LA
4.5.1 INTRODUCCIÓN.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-1
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
4.5.2 GEODÉSICAS TRANSFORMADAS SOBRE LA PROYECCIÓN.
4.5.2.1 PROBLEMÁTICA EN DISTANCIAS.
4.5.2.2 PROBLEMÁTICA ANGULAR.
4.6 CUADRÍCULA DE LA PROYECCIÓN U.T.M.
4.7 PROBLEMAS EN LAS ZONAS LIMÍTROFES ENTRE HUSOS.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-2
PROYECCIONES CÓNICAS.
5. PROYECCIONES CÓNICAS
5.1 INTRODUCCIÓN.
5.2 PROYECCIÓN CÓNICA CONFORME DE LAMBERT.
5.2.1 DEFINICIÓN DE LA PROYECCIÓN.
5.2.2 COMPROBACIÓN DE LA CONDICIÓN DE CONFORMIDAD.
5.2.3 ESTUDIO DE LA DEFORMACIÓN LINEAL DE LA PROYECCIÓN.
ARTIFICIO DE TISSOT.
5.3 PROYECCIÓN CÓNICA EQUIVALENTE. PROYECCIÓN DE
ALBERS.
5.4 EXTENSIÓN DE LAS PROYECCIONES ANTERIORES AL CASO
DE SISTEMA DE REFERENCIA QUE INCLUYA EN SU
DEFINICIÓN UNA SUPERFICIE DE REFERENCIA ESFÉRICA.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
5-1
DESARROLLOS CILÍNDRICOS DIRECTOS.
6. DESARROLLOS CILÍNDRICOS DIRECTOS.
6.1 INTRODUCCIÓN.
6.2 DESARROLLO CILÍNDRICO DIRECTO CONFORME. CARTA
DE MERCATOR.
6.2.1 INTRODUCCIÓN HISTÓRICA.
6.2.2 FUNCIONES QUE DEFINEN EL DESARROLLO.
6.2.3 DEFORMACIÓN LINEAL DE LA PROYECCIÓN.
6.2.4 APLICACIÓN A LA NAVEGACIÓN DE LA CARTA DE MERCATOR.
6.3 DESARROLLO CILÍNDRICO DIRECTO EQUIVALENTE DE
LAMBERT.
6.3.1 FUNCIONES QUE DEFINEN EL DESARROLLO.
6.3.2 ESTUDIO DE LAS DEFORMACIONES DEL DESARROLLO.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
6-1
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
7. PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
7.1 INTRODUCCIÓN.
7.2 PROYECCIÓN ESCENOGRÁFICA.
7.2.1 PROYECCIÓN ESCENOGRÁFICA OBLÍCUA.
7.2.2 PROYECCIÓN ESCENOGRÁFICA POLAR.
7.2.3 PROYECCIÓN ESCENOGRÁFICA MERIDIANA O ECUATORIAL.
7.3 PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA.
7.3.1 INTRODUCCIÓN. PROPIEDADES DE LA PROYECCIÓN
ESTEREOGRÁFICA.
7.3.2 PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA OBLÍCUA.
7.3.3 PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA POLAR.
7.3.4 PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA MERIDIANA O ECUATORIAL.
7.4 PROYECCIÓN GNOMÓNICA O CENTRAL.
7.4.1 INTRODUCCIÓN. PROPIEDADES.
7.4.2 PROYECCIÓN GNOMÓNICA OBLÍCUA.
7.4.3 PROYECCIÓN GNOMÓNICA POLAR.
7.4.4 PROYECCIÓN GNOMÓNICA MERIDIANA.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-1
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
7.5 PROYECCIÓN ORTOGRÁFICA.
7.5.1 INTRODUCCIÓN. PROPIEDADES.
7.5.2 PROYECCIÓN ORTOGRÁFICA OBLÍCUA.
7.5.3 PROYECCIÓN ORTOGRÁFICA POLAR.
7.5.4 PROYECCIÓN ORTOGRÁFICA MERIDIANA.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-2
SISTEMAS ISOMÉTRICOS DE COORDENADAS SOBRE UNA SUPERFICIE.
I. SISTEMAS ISOMÉTRICOS DE COORDENADAS SOBRE
UNA SUPERFICIE.
I.1 INTRODUCCIÓN.
I.2 DEFINICIÓN DE UN SISTEMA ISOMÉTRICO.
I.3 SISTEMAS ISOMÉTRICOS EN EL PLANO.
I.4 SISTEMAS ISOMÉTRICOS EN LA ESFERA.
I.5 SISTEMAS ISOMÉTRICOS EN EL ELIPSOIDE.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA
I-1
NUEVAS LATITUDES DEFINIDAS EN CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA: LATITUD CRECIENTE Y AUTÁLICA.
II. NUEVAS LATITUDES DEFINIDAS EN CARTOGRAFÍA
MATEMÁTICA: LATITUD CRECIENTE Y AUTÁLICA.
II.1 INTRODUCCIÓN.
II.2 LATITUD CRECIENTE.
II.2.1 DEFINICIÓN.
II.2.2 PASO DE LATITUD GEODÉSICA A CRECIENTE.
II.2.3 PASO DE LATITUD CRECIENTE A GEODÉSICA.
II.3 LATITUD AUTÁLICA.
II.3.1 DEFINICIÓN.
II.3.2 PASO DE LATITUD GEODÉSICA A AUTÁLICA.
II.3.3 PASO DE LATITUD AUTÁLICA A GEODÉSICA.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
II-1
PROYECCIONES CONFORMES A PARTIR DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
III. PROYECCIONES CONFORMES A
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
PARTIR
DE
III.1 INTRODUCCIÓN.
III.2 NÚMEROS COMPLEJOS.
III.3 FUNCIÓN DE VARIABLE COMPLEJA.
III.3.1 DEFINICIÓN.
III.3.2 FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA ANALÍTICAS. CONDICIONES
DE CAUCHY-RIEMANN.
III.3.3 DEMOSTRACIÓN DE QUE UNA FUNCIÓN COMPLEJA ANALÍTICA
IMPLICA UNA TRANSFORMACIÓN CONFORME.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
III-1
LONGITUD DEL ARCO DE MERIDIANO.
IV. LONGITUD DEL ARCO DE MERIDIANO.
IV.1 INTRODUCCIÓN.
IV.2 DEFINICIÓN.
IV.3 LONGITUD DEL ARCO DE MERIDIANO A PARTIR DE LA
LATITUD GEODÉSICA.
IV.4 DETERMINACIÓN
DE
LA
LATITUD
GEODÉSICA
CORRESPONDIENTE A UN DETERMINADO VALOR DE LA
LONGITUD DEL ARCO DE MERIDIANO.
IV.5 CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UN ARCO
LOXODRÓMICA SOBRE EL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
DE
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
IV-1
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.
V. DESARROLLO DE LA PROYECCIÓN U.T.M.
EXTENDIENDO EL HUSO 30 AL CONJUNTO DE LA
PENÍNSULA IBÉRICA Y DE LAS ISLAS BALEARES.
V.1 JUSTIFICACIÓN DEL ESTUDIO.
V.2 DESARROLLO DE LA PROYECCIÓN.
V.2.1 PROBLEMA DIRECTO.
V.2.2 PROBLEMA INVERSO.
V.2.3 CONVERGENCIA DE MERIDIANOS.
V.2.4 COEFICIENTE DE ANAMORFOSIS LINEAL.
V.3 APLICACIÓN PRÁCTICA DE UNA RED GEODÉSICA DE
PRIMER ORDEN.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-1
DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
0. DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
0.1 INTRODUCCIÓN.
La geodesia es la ciencia que estudia la figura y el campo gravitacional exterior de la Tierra. Por figura
entendemos la forma y dimensiones. El problema de la geodesia implica una formulación geométrica ( forma de
la Tierra ) y una física ( campo de gravedad ).
Hasta no hace mucho se aceptaba en la comunidad científica una división de la geodesia en:
• geodesia geométrica, siendo su objetivo la formulación geométrica y
• geodesia física, siendo su objetivo la formulación física.
Hoy día se tiende a considerar ambas formulaciones inseparables dado que están íntimamente ligadas.
El problema del estudio de la figura de la Tierra se reduce a la determinación de las coordenadas de los
puntos de su superficie en un sistema de referencia único, general para toda la Tierra.
El problema del estudio del campo gravitacional terrestre se reduce a la determinación del potencial de
la fuerza de la gravedad sobre la superficie terrestre y en su espacio exterior, en el mismo sistema de referencia
que se estudia la figura de la Tierra.
La superficie física de la Tierra es la frontera entre las masas sólidas o líquidas con la atmósfera.
Recientemente el fondo del océano también se ha considerado en el planteamiento del problema geodésico,
siendo la superficie limítrofe entre el cuerpo terrestre sólido y las masas de agua oceánicas.
La Tierra tiene una complicada configuración geométrica, siendo necesario definir una superficie de
referencia. Se define el geoide como una superficie equipotencial, lugar geométrico de los puntos que están en
equilibrio por la actuación de las siguientes solicitaciones:
• fuerzas de atracción entre las partículas que conforman la masa terrestre,
• fuerza centrífuga debida a la rotación terrestre y
• fuerza de atracción de los demás astros.
Estudiando estas fuerzas y los potenciales que provocan se pueden definir física y geométricamente la
figura del geoide, que es asimilable a prolongar la superficie de los mares en calma ( fluido en equilibrio
respecto de las solicitaciones anteriores ) por debajo de los continentes. Sin embargo, el geoide no coincide con
exactitud con la superficie real del mar, dado que los océanos están sujetos a mareas y corrientes. Por esta razón
para definir el geoide se utiliza el concepto de nivel medio del mar.
Dado que el geoide es una superficie equipotencial respecto del potencial gravitatorio y el vector fuerza
de la gravedad es el gradiente del mismo, la dirección del vector gravedad en cualquier punto de él será
perpendicular al geoide. La dirección del vector de la gravedad en un punto de la superficie terrestre coincide
con la línea de la plomada.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
0-1
DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
Ilustración 0 - 1
El geoide se ha escogido como la superficie equipotencial que corresponde al nivel medio del mar dado
que esta es una superficie con realidad física suficiente, es decir, es tangible, metrizable, reconocible.
Si la Tierra tuviera una densidad uniforme, no existiese orografía consolidada y las únicas fuerzas
solicitantes fuesen la de atracción newtoniana y la centrífuga, el geoide tendría una forma de esfera achatada por
los polos, de elipsoide de revolución. El hecho de que estos supuestos no sean ciertos tiene como consecuencia
que el geoide se aparte del elipsoide hasta ±100 m. Esta desviación se conoce como ondulación del geoide.
El cuerpo terrestre y su campo de gravedad están sujetos a variaciones temporales, de naturaleza
secular, periódica y singular, que pueden ocurrir a nivel global, regional y local. Las mediciones geodésicas y
técnicas de evaluación, actualmente han avanzado al grado que pueden detectar una parte de este cambio. Si las
condiciones promedio son calculables, entonces las observaciones deben corregirse por estos cambios, sirva de
ejemplo en esta línea la correción por movimiento del polo a las observaciones astronómicas ( paso de
observaciones instantáneas a absolutas ) estudiada en astronomía de posición. Con la detección de una parte de
las variaciones, la geodesia también contribuye a la investigación de la dinámica del cuerpo terrestre. La figura
de la Tierra y el campo de gravedad se conciben por lo tanto como variables dependientes del tiempo. Esto
conduce a la consideración de la “geodesia de cuatro dimensiones”.
La complicada forma del geoide impide que se pueda utilizar como superficie sobre la que realizar los
cálculos geométricos en geodesia. Se requieren sistemas de referencia con una métrica y curvatura definidas.
En cualquier trabajo geodésico será imprescindible tener definido el sistema de referencia en el que se
va a trabajar. En la definición del sistema de referencia cobra un papel fundamental la superficie de referencia
del mismo. Tres son las superficies de referencia que se han venido empleando: elipsoide de revolución, esfera y
plano.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
0-2
DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
Ilustración 0 - 2
Cuando se trabaja en un marco territorial reducido la falta de planeidad terrestre es lo suficientemente
pequeña como para que pueda despreciarse, con ciertas limitaciones que hay que tener siempre presente.
Este es el límite que durante mucho tiempo se ha considerado para separar la geodesia de la topografía.
No cabe duda de que la ciencia geodésica y la técnica topográfica tienen objetivos comunes en parte:
determinación de forma y dimensiones de la superficie terrestre y posibilidad de representación cartográfica de
la misma sobre un plano. Sin embargo, es difícil establecer una separación concisa. La geodesia empieza allí
donde termina la topografía, pero no pueden separarse ya que la topografía necesita apoyarse en la geodesia en
la mayor parte de los casos.
0.2 DESARROLLO HISTÓRICO DE LA GEODESIA.
La formulación del problema de la geodesia se desarrolló en el curso del siglo diecinueve. Sin embargo,
la pregunta de la figura de la Tierra ya se había planteado en la antigüedad. Después de que la esfera sirvió como
primer modelo para la Tierra, el elipsoide de revolución se impuso como forma de la Tierra en la primera mitad
del siglo dieciocho.
0.2.1 EL MODELO ESFÉRICO DE LA TIERRA.
En el pasado prevalecieron varias opiniones sobre la forma de la Tierra, por ejemplo el disco terrestre
rodeado de agua imaginado por Okeanus ( Ilíada de Homero - 800 a. C., Tales de Mileto - 600 a. C. ). Pitágoras
( - 580/500 a. C. ) y su escuela, así como Aristóteles ( 384/322 a. C. ), entre otros, apoyaron la forma esférica.
El fundador de la geodesia científica es Eratóstenes de Alejandría ( 276-195 a. C. ). Bajo la suposición
de una Tierra esférica, dedujo por mediciones, un radio para la Tierra. El principio del método de medida de
arco que él desarrollo se utilizó prácticamente hasta épocas actuales. Mediante mediciones geodésicas se
determina la longitud ∆G de un arco de meridiano, observaciones astronómicas proporcionan el ángulo central γ
inherente. El radio de la Tierra está dado por:
R =
∆G
γ
Cap. 0 - 1
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
0-3
DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
Ilustración 0 - 3
Eratóstenes encontró que en la época del solsticio de verano, los rayos del sol caían verticalmente
dentro de un pozo en Siena ( hoy día Asuán ); mientras que en Alejandría, aproximadamente en el mismo
meridiano, formaban un ángulo con respecto a la dirección de la línea de la plomada. De la longitud de la
sombra proyectada por una vara ( “gnomon” ) determinó este ángulo como 1/50 de un círculo completo, o sea γ
= 7° 12’. Estimó que la distancia entre Siena y Alejandría era de 5000 estadios, sacando ese dato de los mapas
catastrales egipcios. Siendo la longitud de un estadio egipcio de 157.5 m., obtenemos un radio terrestre de 6270
km. Este valor discrepa del radio de una Tierra esférica media ( 6371 m. ) por -2%. Una determinación posterior
en la antigüedad se le atribuye a Posidonio ( 135-51 a. C. ) usando el arco de meridiano de Alejandría a Rodas,
obtuvo un radio terrestre con discrepancia de -11%.
Durante la Edad Media en Europa, la pregunta sobre la figura de la Tierra no se plantea. Los árabes
transmitieron una medición de arco hecha por el Califa de Al-Mámun ( - 827 ) al noroeste de Bagdad ( + 10% de
desviación ). En los inicios de la era moderna, el físico francés Fernel observó en 1525 en el meridiano de París
las latitudes geográficas de París y Amiens, usando un cuadrante; la distancia la calculó del número de
rotaciones de una rueda de carreta ( + 0.1% de desviación ).
Las mediciones de arco restantes basadas en la noción de una Tierra esférica se caracterizan por
avances fundamentales en tecnología instrumental ( 1611, telescopio de Kepler ) y metodología ( después de la
aplicación inicial de triangulación elaborada por Gemma Frisius -1508,1555-en los Países Bajos, y por Tycho
Brahe -1546,1601- en Dinamarca, el holandés Willebrod Snellius -1580,1626- dirigió la primera triangulación
para determinar la figura de la Tierra).
A través de la iniciativa de la Academia de Ciencias fundada en París en 1666, Francia asumió en los
siglos diecisiete y dieciocho el liderazgo en geodesia. El abate francés J. Picard llevó a cabo en 1669/70 una
medición de arco en el meridiano de París entre Malvoisine y Amiens con la ayuda de una triangulación; él fue
el primero en usar un telescopio con hilos en la reticula. El valor que obtuvo para el radio de la Tierra (
desviación de +0.01% ) sirvió a Newton para la verificación de la ley de la gravedad que había formulado en
1665/66.
0.2.2 EL MODELO ELIPSOIDAL DE LA TIERRA.
En los siglos dieciséis y diecisiete provienen de la astronomía y la física nuevas observaciones e ideas
que tienen una influencia decisiva.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
0-4
DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
Nicolás Copérnico ( 1473-1543 ) logró la transición del universo geocéntrico de Tolomeo a un sistema
heliocéntrico ( 1543: “De revolutionibus orbium coelestium “ ), ya postulado por Aristarco de Samos ( 320-250
a. C. ). Juan Kepler ( 1571-1630 ) descubrió las leyes del movimiento planetario
( 1609: “Astronomía nova
...”, 1619: “Harmonices mundi” ), y Galileo Galilei ( 1564-1642 ) desarrolló mecanismos modernos ( ley de la
caída de los cuerpos, ley del movimiento del péndulo).
En 1666 el astrónomo J. D. Cassini observó el achatamiento de los polos de Júpiter. El astrónomo J.
Richer descubrió en 1672, con motivo de una expedición a Cayena para determinar paralajes de Marte, que él
debía acortar la longitud de un péndulo de segundos que había ajustado en París para volver a obtener
oscilaciones de un segundo. De esta observación y con base en la ley del movimiento pendular se puede concluir
que existe un incremento en gravedad del ecuador a los polos. Basándose en estos trabajos y en los suyos
propios Isaac Newton ( 1643-1727 ) y Christian Huygens ( 1629-1695 ) desarrollaron modelos terrestres,
basados en principios de física, que tenían los polos achatados.
Newton ( 1687: “Philosophiae naturalis principia mathematica” ) obtuvo un elipsoide de revolución
como la figura de equilibrio para una Tierra homogénea, líquida y rotacional basada en la validez de la ley de la
gravitación universal. El achatamiento,
f =
a - b
a
Cap. 0 - 2
( f = achatamiento, a = semieje mayor, b = semieje menor ) en este caso es de 1/230. Huygens (1690: “Discours
de la Cause de la Pesanteur” ) desplaza el origen de las fuerzas de atracción terrestres al centro de la Tierra y
desarrolla una superficie equilibrada, simétrica, rotacional, que tiene una curva meridiana con f = 1/578.
Frente al modelo de elipsoide achatado por los polos aparece el modelo con achatamiento en el ecuador
obtenido por La Hire y Cassini ( 1683-1718 ), quienes prolongaron el arco de Picard al Norte hacia Dunkerque y
al Sur hacia Collioure. Los cálculos de dos segmentos de arco dieron un achatamiento negativo de f = -1/95, que
puede atribuirse particularmente a errores de medición de las latitudes astronómicas. Las intensas disputas entre
los partidarios del modelo de Newton y los de Cassini sobre la figura de la Tierra fue resuelta por dos
mediciones de arco posteriores auspiciadas por la Academia Francesa de Ciencias.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
0-5
DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
Ilustración 0 - 4
Maupertius, Clairaut y Celsius, entre otros, participaron en la expedición a Laponia (1736/37). Jorge
Juan , Antonio de Ulloa y Louis Godin, entre otros, participaron en la expedición a Peru (1735/43). Como
resultado de estas medidas, una cerca del polo y otra cerca del ecuador, en 1756 se pudo probar la validez del
modelo de Newton. En palabras de Voltaire, “la expedición había aplastado los polos y a Cassini”.
Ilustración 0 - 5
Una síntesis entre la fundamentación física y geodésica de la forma elipsoidal de la Tierra fue
finalmente lograda por Clairaut ( 1713-1765 ) con el teorema que lleva su nombre en 1743, y que permite el
cálculo del achatamiento a partir de dos mediciones de gravedad en diferentes latitudes.
Después de que el elipsoide rotacional se había aceptado como modelo de la Tierra se realizaron
numerosas mediciones de arco hasta mediados del siglo diecinueve para determinar las dimensiones de este
elipsoide terrestre global. La longitud de arco se obtenía mediante una triangulación. Se realizaron mediciones
de arco a lo largo de un meridiano elipsoidal ( medición de arco de latitud ), a lo largo de un paralelo ( medida
de arco de longitud ), y mediciones de arco inclinadas al meridiano.
Como Laplace ( 1802 ), Gauss ( 1828 ), Bessel ( 1837 ), y otros ya habían reconocido, la suposición de
un modelo terrestre elipsoidal no se puede sostener teniendo una precisión de observación suficientemente alta.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
0-6
DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
No se puede ignorar la desviación de la dirección de la plomada física, a la cual están referidas las medidas, y de
la normal al elipsoide ( desviación de la vertical ).
A pesar de estas discrepancias, se adoptaron numerosos ajustes hasta mediados del siglo diecinueve
para determinar las dimensiones del elipsoide, en donde las desviaciones de la vertical, siendo causadas
físicamente, y por tanto teniendo características sistemáticas, se trataban como errores de observación
accidentales.
Con la definición de geodesia de Friedrich Robert Helmert y la presentación del Geoide se produce la
transición al concepto actual de la figura de la Tierra. Aquí las desviaciones de la vertical se toman en cuenta en
el cálculo de los parámetros del elipsoide.
La determinación del geoide fue por cerca de 70 años ( 18880-1950 ) la meta principal de la geodesia.
Su importancia disminuyó después de 1945 con el desarrollo de métodos para la derivación directa de la
superficie física de la Tierra; sin embargo, su determinación aún permanece como un problema esencial de la
geodesia.
0.3 FIGURAS GEOMETRICAS DE APROXIMACIÓN AL GEOIDE.
La geodesia geométrica tiene que utilizar una superficie de referencia de estructura matemática más
sencilla que el geoide. En la actualidad se utilizan como figuras de aproximación la esfera y el elipsoide de
revolución.
El sistema de referencia no se define únicamente mediante las dimensiones de la superficie de
referencia ( radio para esfera y semiejes para elipoide) sino que es preciso definir su localización y orientación
respecto de un eje medio de rotación terrestre y su centro de masas. Esto obliga a introducir el concepto de
datum en un apartado posterior de este tema.
La investigación geodésica, apoyada en costosos trabajos de campo, ha dado lugar a la aparición de
elipsoides con diferentes parámetros y distinto datum. La causa es la necesidad de obtener para cada país aquel
sistema de referencia que se aproxime lo más posible a la forma del geoide en sus dominios geográficos. Esto
dió lugar a la aparición de problemas en los enlaces de los diferentes trabajos geodésicos y en el establecimiento
de una cartografía uniforme. Se introduce por tanto el concepto de elipsoide geoexcéntrico en los diferentes
sistemas de referencia. Algunos elipsoides geoexcéntricos utilizados en diferentes sistemas de referencia son:
Fecha
1819
1830
1830
1841
1858
1859
1866
1880
1909
1927
1940
Nombre del científico
Walbeck
Airy
Everest
Bessel
Clarke
V. Shubert
Clarke
Clarke
Hayford
Internacional
Krassowsky
a = semieje mayor (m.)
6376896
6377563
6377276
6377397
6378361
6378566
6378206
6378249
6378388
6378388
6378295
f = aplanamiento
1/302.78
1/299.325
1/300.802
1/299.153
1/294.26
1/292.109
1/294.979
1/293.465
1/297.0
1/297.0
1/298.4
En la siguiente figura se puede apreciar la diferencia existente entre un elipsoide geocéntrico o global,
con centro en el centro de masas de la Tierra, y un elipsoide geoexcéntrico o local.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
0-7
DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
Ilustración 0 - 6
En 1909 Hayford publicó los resultados para un elipsoide en EEUU. En el año 1924 la Asamblea
General de la Asociación Internacional de Geodesia, celebrada en Madrid, adoptó este elipsoide pasando a
formar parte de las “Constantes Internacionales de 1927”.
En 1967, la Unión Astronómica Internacional y la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica
definierón un nuevo sistema de referencia, “Sistema Geodésico de Referencia de 1967” con las siguientes
características geométricas:
• superficie de referencia: elipsoide de revolución de,
• a = 6378160 m.
• f = 1 / 298.247167427
• semieje menor del elipoide de referencia paralelo al eje medio de rotación terrestre ( Origen
Convencional Internacional, C.I.O., polo medio definido por el Bureau International de l’Heure
( B.I.H.) en 1903 ).
• primer meridiano paralelo al meridiano cero definido también por el B.I.H.
Ilustración 0 - 7
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
0-8
DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
Ilustración 0 - 8
El sistema de referencia al que viene referida la geodesia española en la actualidad es el conocido como
Europeam Datum 1950, E.D.50. Está definido como,
•
•
•
•
superficie de referencia, elipsoide de Hayford,
datum, Postdam ( localidad alemana ),
origen de altitudes ortométricas, el nivel medio del mar en Alicante y
origen de longitudes, meridiano del observatorio astronómico de Grenwich.
Antiguamente en España en el sistema de referencia la superficie de referencia era el elipsoide de
Struve y el datum era el observatorio astronómico de Madrid, también origen de longitudes.
Un sistema de referencia que ha cobrado gran importancia mundial en la actualidad es el WGS84. Esto
es debido a que este es el sistema al que viene referido el Sistema de Posicionamiento Global ( G.P.S. ), sistema
de observación a satélites artificiales que es de uso ampliamente difundido en trabajos topográficos y
geodésicos. Este sistema se define como,
• elipsoide de revolución de parámetros:
• semieje mayor, a = 6378137 m.
• semieje menor, b = 6356752.3 m
• origen el centro de masas de la Tierra ( geocentro ),
• semieje menor paralelo al O.C.I., eje Z,
• origen de longitudes meridiano de Grenwich, eje X intersección del ecuador medio con el plano del
meridiano de Grenwich y
• eje Y situado en el plano del ecuador medio formando con los ejes Z y X una terna rectangular
dextrorsum.
En la actualidad se está comenzando a difundir la información geodésica con respecto también a este
sistema de referencia.
0.4 REFERENCIACIÓN GEODÉSICA.
Una vez definida la superficie de referencia que se va a utilizar como aproximación al geoide vamos a
pasar a definir los sistemas de coordenadas a los que referiremos la posición de cualquier punto de la superficie
terrestre.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
0-9
DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
0.4.1 COORDENADAS ASTRONÓMICAS.
Su definición es ineliduble dado que hemos de ser capaces de relacionar el geoide con la superficie de
referencia que empleemos.
La superficie de referencia que se emplea para las coordenadas astronómicas es una esfera centrada en
el centro de masas terrestre. A esta esfera se le conoce con el nombre de esfera celeste. El radio se considera
ilimitado. Elementos geográficos de la misma son:
Ilustración 0 - 9
• Eje terrestre.- línea coincidente con el eje de rotación de la Tierra. Debido a que el eje de rotación
terrestre no es fijo en el tiempo se considera el eje medio definido como O.C.I. del cual ya se ha
hablado. La movilidad del eje de rotación terrestre da lugar en astronomía a la consideración de
coordenadas y observaciones instántaneas o absolutas según se refieran al eje de rotación del
instante de observación o al eje medio.
• Polos geográficos.- Son los puntos de intersección del eje terrestre con la esfera celeste.
• Plano meridiano astronómico.- Cualquier plano que contenga al eje terrestre.
• Plano paralelo astronómico.- Cualquier plano normal al eje terrestre.
• Meridiano astronómico.- Intersección de cualquier plano meridiano astronómico con la esfera
celeste.
• Paralelo astronómico.- Intersección de cualquir plano paralelo astronómico con la esfera celeste.
• Plano ecuatorial astronómico.- Plano paralelo que pasa por el centro de la esfera celeste. Se puede
hablar de plano ecuatorial medio, definido por el B.I.H., o de plano ecuatorial instantáneo.
• Ecuador astronómico.- Es el paralelo correspondiente al plano ecuatorial astronómico.
• Vertical astronómica en un punto de la superficie terrestre.- Coincide con la dirección del vector de
gravedad o línea de la plomada, en dicho punto.
Definimos la dirección de la línea de la plomada en un punto como aquella normal a la superficie
equipotencial de la gravedad que pasa por el punto. La línea de la plomada no es recta sino curva debido a que
las superficies equipotenciales de la gravedad no son paralelas.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
0-10
DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
Ilustración 0 - 10
Ilustración 0 - 11
• Plano horizonte astronómico en un punto de la superficie terrestre.- Plano perpendicular a la vertical
astronómica en dicho punto.
Una vez definidos los elementos geográficos ya estamos en disposición de definir las coordenadas
astronómicas de un punto de la superficie terrestre:
Ilustración 0 - 12
• Longitud astronómica.- Es el ángulo medido a lo largo del ecuador astronómico, entre el meridiano
origen y el meridiano del punto en cuestión. En graduación sexagesimal se puede evaluar de 0° a
360° , creciendo al este del meridiano origen, o de 0° a 180°, positivo o negativo según el meridiano
del punto esté al este o al oeste del meridiano origen.
• Latitud astronómica.- Es el ángulo que forma la vertical astronómica del punto con el plano del
ecuador astronómico.
De acuerdo a lo anteriormente analizado podríamos hablar de coordenadas astronómicas instantáneas o
absolutas.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
0-11
DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
Es importante darse cuenta de que mediante estas dos coordenadas polares, longitud y latitud
astronómicas, definimos una recta en el espacio y no un punto. Para definir el punto faltaría como tercera
coordenada polar una distancia. Sin embargo, este no es objetivo astronómico sino geodésico.
0.4.2 COORDENADAS GEODÉSICAS.
En lo que sigue en este capítulo consideraremos como superficie de referencia del sistema de referencia
el elipsoide de revolución. La extensión de los conceptos abordados para el caso de una superficie de referencia
esférica es trivial.
El sistema de referencia geodésico se define mediante:
• superficie de referencia.- elipsoide de revolución cuyas dimensiones quedan definidas por dos de los
tres siguientes parámetros: semieje mayor ( a ), semieje menor ( b ) y aplanamiento ( f ),
• definiendo unos ejes o líneas de referencia en la superficie, un origen y un sentido de medida en los
mismos, curvas paramétricas que estudiaremos en su momento,
• definiendo la posición relativa del elipsoide respecto del geoide mediante el datum geodésico,
• definiendo el origen de alturas.
Tres son las coordenadas geodésicas que definen la posición de un punto de la superficie de terrestre,
latitud y longitud geodésica y altura elipsoidal, que posteriormente definiremos.
Vamos a estudiar en primer lugar como relacionar un punto de la superficie terrestre con la superficie
de referencia dado que dos de las coordenadas geodésicas ( longitud y latitud geodésicas ) se refieren a esta
superficie.
A un punto P sobre la superficie terrestre le corresponde un punto P0 sobre el geoide obtenido
proyectando según la línea de la plomada que pasa por P. Para obtener el punto correspondiente sobre la
superficie de referencia, Q0, proyectamos según la normal a dicha superficie, elipsoide, que pasa por P0. Esta
proyección es conocida como proyección Pizzetti. Otra posible posición para el punto Q, sobre el elipsoide,
correspondiente al P, sobre la superficie terrestre, se obtiene mediante la proyección Helmert, siendo Q obtenido
al proyectar según la normal al elipsoide que pasa por P. Esta segunda proyección es menos rigurosa pero
igualmente válida por la pequeña separación entre Q y Q0.
Ilustración 0 - 13
En esta figura se aprecian las diferentes alturas utilizadas en geodesia y topografía:
• Altura ortométrica, H.- Distancia de la superficie terrestre al geoide medida sobre la línea de la
plomada.
• Altura elipsoidal, h.- Distancia de la superficie terrestre al elipsoide medida sobre la normal al
elipsoide.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
0-12
DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
Se puede establecer como relación muy aproximada una de las principales ecuaciones de la geodesia,
h = H + N
Cap. 0 - 3
donde N es la ondulación del geoide o distancia entre Q0 y P0 medida a lo largo de la normal al elipsoide que
pasa por Q0.
Al igual que definimos una serie de elementos geográficos para la esfera celeste, o para las coordenadas
astronómicas, podemos definirlos para el elipsoide de revolución, o coordenadas geodésicas.
Vamos a considerar un sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales definido como:
Ilustración 0 - 14
• Centro, punto origen ( 0,0,0 ).- El centro del elipsoide de revolución.
• Eje Z.- Semieje menor del elipsoide de revolución.
• Plano XY ( Z=0 ).- Plano perpendicular al eje Z que contiene al origen del sistema de coordenadas.
Antes de definir los ejes X e Y hemos de definir algunos elementos geométricos:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Polos geodésicos.- Son los puntos de intersección del eje Z con el elipsoide de revolución.
Plano meridiano geodésico.- Cualquier plano que contenga al eje Z.
Plano paralelo geodésico.- Cualquier plano normal al eje Z.
Meridiano geodésico.- Intersección de cualquier plano meridiano geodésico con el elipsoide de
revolución. Su ecuación es la de una elipse.
Paralelo geodésico.- Intersección de cualquir plano paralelo geodésico con el elipsoide de
revolución. Su ecuación es la de un círculo de radio decreciente conforme nos apartemos del plano
Z=0.
Plano ecuatorial geodésico.- Plano Z=0.
Ecuador geodésico.- Es el paralelo geodésico correspondiente al plano ecuatorial geodésico.
Vertical geodésica en un punto de la superficie del elipsoide de revolución.- Coincide con la
dirección del vector normal al elipsoide en dicho punto.
Vertical geocéntrica.- Es la dirección del vector que une el punto con el centro del elipsoide.
Plano horizonte geodésico en un punto de la superficie del elipsoide.- Plano perpendicular a la
vertical geodésica que contiene al punto.
Meridiano geodésico origen.- Una vez posicionado el elipsoide respecto del geoide, mediante la
definición del datum, se puede obtener el punto correspondiente sobre el elipsoide de cualquier
punto de la superficie terrestre tal y como estudiamos anteriormente. Se adopta como meridiano
geodésico origen normalmente el meridiano geodésico del observatorio astronómico de Grenwich.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
0-13
DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
Una vez definido el meridiano geodésico origen podemos ya definir el eje X del sistema de
coordenadas cartesianas tridimensionales como el eje intersección del plano ecuatorial geodésico ( Z=0 ) y el
plano meridiano origen. El eje Y estará contenido en el plano Z=0 y será perpendicular al X y su sentido será tal
que los tres ejes formen una terna dextrógira.
Una vez definidos los elementos geográficos ya estamos en disposición de definir las coordenadas
geodésicas de un punto de la superficie del elipsoide:
• Longitud geodésica.- Es el ángulo medido a lo largo del ecuador geodésico, entre el meridiano
origen y el meridiano del punto en cuestión. En graduación sexagesimal se puede evaluar de 0° a
360° , creciendo al este del meridiano origen, o de 0° a 180°, positivo o negativo según el meridiano
del punto esté al este o al oeste del meridiano origen.
• Latitud geodésica.- Es el ángulo que forma la vertical geodésica del punto con el plano del ecuador
geodésico.
También se suele hablar de latitud geocéntrica definiéndola como el ángulo que forma la vertical
geocéntrica con el plano ecuatorial geodésico.
Si pretendemos definir la posición espacial de un punto de la superficie terrestre en el sistema de
referencia, dado que no se encuentra sobre la superficie del elipsoide de revolución, hemos de introducir una
tercera coordenada, la altura ortométrica ( H ), si el origen de alturas del sistema de referencia es la superficie
del geoide, o la altura elipsoidal ( h ), si el origen de alturas del sistema de referencia es la propia superficie del
elipsoide.
La posición de un punto respecto del sistema de referencia también la podremos expresar en
coordenadas cartesianas tridimensionales respecto del sistema de tales coordenadas previamente definido.
Un concepto muy importante en astronomía y geodesia es el de desviación relativa de la vertical.
Ilustración 0 - 15
La desviación relativa de la vertical en un punto no es sino el ángulo formado en dicho punto entre la
vertical astronómica y la vertical geodésica. También puede figurar en algunos textos como deflexión de la
vertical.
Este concepto es de gran importancia debido a que toda observación angular efectuada con un
goniómetro estará referido a la vertical astronómica instantánea debido a que el eje principal del mismo
materializa la dirección del vector de gravedad cuando se nivela. Dado que nos interesan coordenadas
geodésicas y no astronómicas, habrá ocasiones en que, a pesar de la pequeña diferencia entre la vertical
astronómica y geodésica, tendremos que realizar correcciones a las magnitudes observadas para referirlas al
sistema de referencia geodésico. Existe una rama de la ciencia geodésica que hace especial mención a este tema,
los métodos astrogeodésicos.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
0-14
DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
Para definir la posición relativa del elipsoide y geoide hemos de fijar el datum del sistema de referencia
que no es sino un punto en que el elipsoide y geoide son tangentes, o lo que es equivalente, la desviación relativa
de la vertical es nula.
En el caso del sistema de referencia oficial en España, E.D.50, ya se mencionó que el datum, o punto
fundamental, es Postdam, en Alemania. En el anterior sistema de referencia era el observatorio astronómico de
Madrid, que además era el origen de longitudes.
A partir del datum y mediante observaciones angulares y distanciométricas se irán transmitiendo las
coordenadas geodésicas, latitud y longitud geodésicas, a todos los puntos necesarios. La tercera coordenada o
cota ortométrica tendrá su origen definido en el sistema de referencia, nivel medio del mar en Alicante en el
E.D.50, y se transmitirá mediante métodos de nivelación a cualquier punto de interés.
Un concepto muy importante que nos resta por abordar es el de acimut que une dos puntos. En un
principio definiremos el acimut geodésico y el acimut astronómico dejando para un capítulo posterior la
definición del acimut cartográfico.
Ilustración 0 - 16
Azimut geodésico de un punto P a un punto Q, ambos sobre el elipsoide, es el ángulo entre dos planos,
ambos conteniendo a la vertical geodésica del punto P, uno de los cuales contiene al punto polo norte geodésico
y otro al punto Q ( nótese que hemos definido cada uno de los dos planos mediante una recta y un punto ). El
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
0-15
DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
ángulo se mide en el sentido de las agujas del reloj ( dextrógiro ó retrógrado ), desde el norte. El plano definido
por la vertical geodésica en P y el punto Q produce como intersección con el elipsoide la sección normal de P a
Q. Esta no coincide con la sección normal de Q a P.
Ilustración 0 - 17
El azimut geodésico que realmente interesa no es el de las secciones normales directa o recíproca sino
el de la línea geodésica que podemos definir como la línea más corta entre dos puntos sobre una superficie ( una
recta en una superficie plana, un círculo máximo en una superficie esférica, una curva de complicada ecuación
en un elipsoide de revolución ).
Al problema de determinar las coordenadas geodésicas de un punto, latitud y longitud, a partir de las de
otro y del azimut y distancia de la línea geodésica que lo une al primero, se le conoce como problema directo de
la geodesia. El problema inverso de la geodesia consistiría en determinar el azimut y distancia de la línea
geodésica que une dos puntos, conocidas las coordenadas de ambos.
Ilustración 0 - 18
Si como superficie de referencia utilizamos la esfera celeste y en lugar de considerar la vertical y polo
norte geodésicos consideramos los astronómicos, definiríamos el acimut astronómico. La relación existente entre
el azimut geodésico y el astronómico es objeto de estudio de la astronomía de posición.
0.5 REDES GEODÉSICAS.
El sistema de referencia oficial para la cartografía española, E.D.50, está materializado sobre la
superficie terrestre por la Red Geodésica Nacional y por la Red de Nivelación de Alta Precisión.
La Red Geodésica está constituida por un mallado de vértices geodésicos que son monumentaciones
con una morfología tal que facilitan la toma de observables topográficos y geodésicos. Están localizados en
zonas elevadas de forma que se posibilita la intervisibilidad entre los mismos.Desde cada uno de los vértices se
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
0-16
DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
observa un mínimo de vértices en su vuelta de horizonte lo que permite la toma de orientación o determinación
de la meridiana geodésica. La unión de cada uno de los vértices con los de su vuelta de horizonte da lugar a los
triángulos geodésicos que constituyen la malla. Actualmente se considera a los vértices geodésicos agrupados en
dos ordenes en función de la longitud del lado del triángulo de la malla:
• Red Geodésica de Primer Orden, R.G.P.O..- Integrada por vértices que forman triángulos
geodésicos de lado tipo 30 a 70 kilómetros.
• Red de Orden Inferior, R.O.I.- Integrada por vértices que forman triángulos geodésicos de lado tipo
5 a 10 kilómetros.
Ilustración 0 - 19
Los vértices geodésicos están dotados de las tres coordenadas. La tercera coordenada, o altura
ortométrica, es de precisión inferior a las coordenadas geodésicas longitud y latitud. Esto se debe a que el
método de nivelación empleado para dotarlos de la misma es nivelación trigonométrica. Sólo algunos vértices
están enlazados de forma precisa a la Red de Nivelación de Alta Precisión.
La Red de Nivelación de Alta Precisión completa a la Red Geodésica en la materialización del sistema
de referencia E.D.50. Está constituida por itinerarios entrelazados de clavos de nivelación dotados de altura
ortométrica precisa, al ser la nivelación geométrica de alta precisión el método empleado para dotarlos de la
misma. Dado que en el E.D.50 el origen de alturas, geoide, se identifica físicamente con el nivel medio del mar
en Alicante, esta red está enlazada al mareógrafo que define ese nivel medio en dicha localidad.
El proyecto, construcción, observación, cálculo, conservación y publicidad de estas redes es
competencia del Instituto Geográfico Nacional.
Actualmente está surgiendo la iniciativa por parte de Diputaciones, Ayuntamientos o Comunidades
Autónomas ( tal es el caso de la Comunidad Valenciana ) de densificar la Red Geodésica mediante redes
denominadas habitualmente de Cuarto Orden. Esta nomenclatura alude a una clasificación que antiguamente
correspondía a la Red Geodésica y que establecía redes de Primer, Segundo y Tercer Orden según criterio de
longitud del lado de los triángulos geodésicos de los vértices que las integraban. La longitud tipo para el caso de
las redes de Cuarto Orden es de 2 a 3.5 kilómetros. Esta densificación es muy positiva de cara a cualquier
trabajo topográfico ya que se reducen los errores transmitidos, los trabajos de densificación de la R.O.I.
mediante redes topográficas y aumenta la posibilidad de comprobación de los trabajos y eliminación de errores
groseros.
La siguiente figura corresponde a un gráfico de la red geodésica de primer orden.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
0-17
DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
Ilustración 0 - 20
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
0-18
INTRODUCCIÓN A LA CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
1. INTRODUCCIÓN A LA CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
1.1 NECESIDAD DE LA CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA EN EL
PROCESO CARTOGRÁFICO.
1.1.1 INTRODUCCIÓN.
La cartografía tiene como finalidad la concepción, preparación, redacción y realización de todos los
tipos de mapas, planos y cartas. Implica el estudio de la expresión gráfica de los fenómenos a representar y
engloba el conjunto de operaciones que, partiendo de información discretizada de datos, proveniente de
diferentes fuentes, culmina en una impresión ( sobre papel, en formato digital,... ) que suministra una gran
cantidad de información.
Constituye una transcripción gráfica de los fenómenos geográficos.
También se puede definir la cartografía como el conjunto de estudios y operaciones científicas y
técnicas que intervienen en la formación o análisis de mapas, modelos en relieve o globos, que representen la
Tierra, parte de ella, o cualquier parte del Universo.
Un producto cartográfico aparece como un conjunto de trazados, signos y palabras escritas, de tipología
más o menos complicada. Se trata de un esquema de la realidad y su formación obedece a numerosos acuerdos y
convenciones, expresados en el propio producto o implícitos, que deben conocerse para la interpretación
correcta de la información representada.
Hay productos cartográficos que pretenden únicamente ser una representación de la superficie terrestre
( accidentes naturales y artificiales ), o información georeferenciada. Otros tienen por objeto indicar la
localización de determinada información que por su naturaleza es atribuible a una posición geográfica ( datos
meteorológicos, ... ), o información georeferenciable. Al segundo tipo se les denomina temáticos, en oposición a
los primeros o topográficos.
1.1.2 EL CONCEPTO DE MAPA FRENTE AL DE PLANO .
Se acostumbra a denominar mapa a toda representación plana de una parte de la superficie terrestre que,
por su extensión y debido a la curvatura de la superficie de referencia del sistema de referencia adoptado para
dotar de coordenadas a los puntos de la misma, requiera hacer uso de transformaciones analizadas por la
cartografía matemática.
Se suele denominar plano a un mapa en el que se representa una porción de la superficie de referencia
lo suficientemente limitada como para que se haya prescindido de la curvatura de la misma gracias a que las
deformaciones que implican esta consideración son de una magnitud inferior a la precisión métrica de la
cartografía. Sin embargo, también se utiliza el término plano para mapas de gran escala, tipo 1/1000-1/2000-...,
en los que si se tiene en cuenta la curvatura de la superficie de referencia.
Otra clasificación o diferenciación entre ambos tipos de productos cartográficos muy estandarizada
alude a la escala de representación. Así, según una gran cantidad de tratados de cartografía, se habla de plano
cuando al escala es igual o mayor a 1:10000 y de mapas cuando es inferior a ella.
En general, si pretendemos que cualquier producto cartográfico tenga utilidad métrica, es decir, que a
partir de medidas sobre el mismo seamos capaces de obtener la misma magnitud real sobre el terreno, es
imprescindible hacer uso correcto de las transformaciones aportadas por la cartografía matemática.
Resulta conveniente hacer en este punto mención a en base a que parámetros se opta por una u otra
superficie de referencia.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
1-1
INTRODUCCIÓN A LA CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
En primer lugar hay que recordar que el sistema de referencia oficial para la cartografía española es el
E.D.50 y este utiliza como superficie de referencia el elipsoide de Hayford. Es por esto que cualquier producto
cartográfico oficial utilizará este elipsoide como superficie de referencia.
La superficie de referencia esférica es utilizada en representaciones a muy pequeña escala, tales como
mapas para atlas ( escalas 1/1000000 o inferiores ) y para representaciones de continentes o incluso de la
totalidad de la superficie terrestre.
Una superficie de referencia esférica de radio 6370000 metros es utilizada en cálculos topográficos y
fotogramétricos intermedios habitualmente para ciertas correcciones: corrección a los desniveles topográficos
obtenidos por nivelación trigonométrica, corrección a distancias reducidas sobre el plano del horizonte del punto
de observación, desplazamiento de imagen de puntos sobre la impresión fotográfica, ... Habitualmente estas
correcciones no son rigurosas dado que realmente se trabaja en el sistema de referencia E.D.50 pero están
estudiados los errores que produce esta simplificación, en función de la distancia normalmente, y se aplican
siempre y cuando sean lo suficientemente pequeños como para producir que la precisión final sea tal que el
trabajo en cuestión entre dentro de la tolerancia prefijada.
El hecho de adoptar como superficie de referencia un plano en un sistema local de coordenadas no
implica, salvo que el área de trabajo sea muy limitada, que pueda obviarse la desconexión con la realidad de esta
modelización. Este es uno de los principales problemas asociados a muchos trabajos de topografía de obras y por
ello lo estudiaremos en detalle.
1.1.3 PROBLEMAS ASOCIADOS A LA REPRESENTACIÓN CARTOGRÁFICA.
Dos son los problemas principales con los que nos encontramos.
En primer lugar pretendemos representar sobre un plano una porción, o incluso la totalidad, de la
superficie de referencia, incluyendo información del relieve, orografía o accidentes naturales del terreno.
Para solventarlo hemos de recurrir a:
• Adoptar una escala de representación, de forma que una amplia superficie quede representada en
pequeñas dimensiones.
• Una discretización de la superficie topográfica a representar y de la información en ella contenida.
No es sino una generalización, pasar del total de información del terreno a aquella que interese
representar tanto en cuanto a información georeferenciada como georeferenciable, en función del
factor de escala del producto cartográfico y del uso al que vaya destinado.
• Adoptar un sistema de representación del relieve sobre un plano, normalmente el sistema de planos
acotados.
En segundo lugar, a no ser que la superficie de referencia sea un plano, nos encontramos con el
problema de que tanto la superficie de una esfera como la de un elipsoide no son desarrollables sobre un plano.
Este problema se resuelve mediante la cartografía matemática. Nos permite establecer una correspondencia
biunívoca entre la superficie de referencia y el plano con deformaciones controladas.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
1-2
INTRODUCCIÓN A LA CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
Ilustración 1 - 1
Con todo lo expuesto hasta el momento queda justificada la necesidad de recurrir a la cartografía
matemática.
1.2 REPRESENTACIÓN PLANA DE LA SUPERFICIE DE
REFERENCIA. CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
Ya se estudió anteriormente como se relacionába la superficie terrestre con la superficie de referencia
que se continuará considerando como un elipsoide de revolución.
A cada punto de la superficie de referencia le corresponderá un punto de la superficie topográfica,
perfectamente identificado, y toda la información asociada al mismo, altura ortométrica y cualguier otro dato
georeferenciable.
El problema que ha de resolver la cartografía matemática es cómo pasar de esa superficie de referencia
al plano de representación del producto cartográfico.
El problema no es otro que la imposibilidad de desarrollar la superficie de un elipsoide sobre un plano.
Por expresarlo de una forma coloquial, no hay forma de producir una sección a esa superficie elipsódica y
estirarla hasta convertirla en un plano sin que aparezcan deformaciones.
Se recurre a una correspondencia biunívoca entre ambas superficies, a cada punto del elipsoide se le
hace corresponder un punto sobre el plano y existirá también la correspondencia inversa de forma que desde el
punto del plano se pueda regresar al punto sobre el elipsoide.
Para expresar esto analíticamente se considera que un punto del elipsoide viene representado por sus
coordenadas geodésicas polares latitud y longitud, ( ϕ, λ ) y el punto correspondiente sobre el plano se
representa por dos coordenadas en un sistema cartesiano bidimensional, ( x, y ). Existirán unas funciones, que
llamaremos directas, ( f, g ), para pasar del elipsoide al plano, y otras, que llamaremos inversas, ( f’, g’ ), para
pasar del plano al elipsoide, de forma que:
• transformación del elipsoide al plano:
x = f (ϕ , λ )
y = φ (ϕ , λ )
Cap. I - 1
• transformación recíproca o inversa, del plano al elipsoide:
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
1-3
INTRODUCCIÓN A LA CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
ϕ = f ' ( x, y)
λ = φ ' ( x, y)
Cap. I - 2
A cada una de las posibles transformaciones definidas por funciones de este tipo se le denomina
proyección cartográfica.
Se pueden clasificar las proyecciones en dos grupos:
• Proyecciones geométricas o perspectivas.- En estas, las funciones que definen la transformación se
obtienen del análisis geométrico de la proyección. Existe un punto origen o centro de la proyección
geométrica, situamos el plano de la proyección en una determinada posición y obtenemos la
proyección de un punto del elipsoide en la intersección de la recta proyectiva, recta que une el
origen o centro de la proyección, con el plano de la proyección. Según la posición del centro de la
proyección se hablará de:
Ilustración 1 - 2
Si en lugar de proyectar directamente sobre el plano de la proyección se proyecta sobre un cono o un
cilindro, que ocupe una determinada posición, y después se obtiene el plano como desarrollo de estos, se hablará
de desarrollos cartográficos.
Ilustración 1 - 3
• Proyecciones matemáticas.- En este caso, las funciones matemáticas que definen la transformación
no tienen un fundamento geométrico exacto, si bien se suelen obtener a partir de las proyecciones
geométricas con la imposición de ciertas condiciones matemáticas.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
1-4
INTRODUCCIÓN A LA CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
Es evidente que uno de los usos más extendidos de un producto cartográfico es obtener información
métrica de la superficie terrestre en él representada, ya sean medidas distanciométricas, superficiales o
angulares. Lo ideal sería utilizar una proyección cartográfica que no introdujese ninguna deformación en las
medidas angulares y ninguna otra que la propia homotecia debida al factor de escala en las medidas de distancias
y superficies. Pues bien, esto es imposible. No existe ninguna proyección cartográfica que conserve las tres
magnitudes.
Se pueden clasificar también las proyecciones cartográficas en función de qué magnitudes conserven
en:
• proyecciones conformes.- conservan los ángulos,
• proyecciones equidistantes o afilácticas.- conservan las distancias y
• proyecciones equivalentes.- conservan las superficies.
Como se estudiará en su momento, las hay también que siendo conformes conservan las distancias de
ciertas curvas sobre la superficie de referencia, las hay también que para ciertas zonas minimizan las tres
deformaciones,...
En cualquier caso será preciso conocer que deformaciones introduce una proyección para poder
eliminarla y restituir la magnitud real. Para esto estudiaremos como calcular en cada punto las tres
deformaciones mediante unas funciones matemáticas que denominaremos módulos de deformación angular,
lineal y superficial. Estos módulos de deformación, extendidos del entorno diferencial de un punto a la magnitud
medida ( ángulo, distancia o superficie ), permitirán restituir la magnitud real.
Una vez que se conozcan las diferentes proyecciones cartográficas y en base al uso al que vaya
destinado el producto cartográfico estaremos en posición de optar por una u otra.
Al igual que existe un sistema de referencia oficial para la cartografía española, el E.D.50, también
existe una proyección oficial o reglamentaria para toda la cartografía oficial. Según real decreto 2303/1970 de
16 de Julio de 1970 se adopta como reglamentaria en España la Proyección Universal Transversa de Mercator
(U.T.M.). Esta será la proyección cartográfica en que más centraremos la atención.
Las proyecciones cartográficas nos permitirán, además de resolver el problema de la representación de
la superficie de referencia sobre un plano, resolver problemas de cálculo de coordenadas sobre un plano
sirviéndonos de la sencilla geometría plana.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
1-5
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
2. GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
2.1 CONCEPTO DE SUPERFICIE.
Consideremos el espacio euclídeo de tres dimensiones. Superficie es el lugar geométrico de los
valores que adoptan tres funciones dependientes de dos parámetros.
Ilustración II - 1
La expresión analítica de una superficie se puede realizar de distintas formas:
- en forma paramétrica:
x = x( u, v )
y = y( u, v )
z = z( u , v )
Cap. II - 1
- en forma vectorial:
x = x (u, v) = x(u, v) • e 1 + y (u, v ) • e2 + z (u, v ) • e3 = ( x1 (u, v ), x 2 (u, v ), x 3 (u, v ))
Cap. II - 2
- en forma explícita:
z = f ( x, y)
Cap. II - 3
- en forma implícita:
F ( x , y , z) = 0
Cap. II - 4
Un punto de la superficie quedará definido por tres coordenadas. Los tres tipos de coordenadas
más utilizadas en geodesia son:
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-1
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
- coordenadas cartesianas.- (x,y,z) que, para el caso de una superficie, se obtienen directamente
de la expresión de la superficie en forma paramétrica.
- coordenadas esféricas.- Tienen gran trascendencia en el ámbito de la ingeniería cartográfica
por su utilización tanto en el modelo de superficie de referencia esférico como elipsoidal.
Ilustración II - 2
x = ρ ⋅ cos ϕ ⋅ cos λ
y = ρ ⋅ cos ϕ ⋅ sen λ
z = ρ ⋅ sen ϕ
Cap. II - 5
- coordenadas cilíndricas.
Ilustración II - 3
x = r ⋅ cos λ
y = r ⋅ sen λ
z = z
Cap. II - 6
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-2
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
2.2 DEFINICIÓN DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
El elipsoide de revolución es la figura geométrica que mejor se aproxima al geoide. La
caracterización genérica del elipsoide de revolución se analiza a continuación.
Ilustración II - 4
Se pretende parametrizar la superficie del elipsoide de revolución con las coordenadas
geodésicas ya analizadas: latitud y longitud geodésicas ( ϕ,λ ).
Las dimensiones del elipsoide de revolución se suelen definir por cualquier pareja de los
siguientes parámetros:
- semieje mayor.a
- semieje menor.- b
- primera excentricidad.-
e2 =
a 2 − b2
a2
Cap. II - 7
- segunda excentricidad.-
e '2 =
a 2 − b2
b2
Cap. II - 8
- aplanamiento.-
f =
a−b
a
Cap. II - 9
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-3
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
Se plantea llegar a establecer la definición en paramétricas de la superficie del elipsoide. En
definitiva se trata de encontrar las expresiones de las coordenadas cartesianas tridimensionales de un
punto de la superficie del elipsoide en función de las coordenadas latitud y longitud geodésicas..
Dada la elipse meridiana ( en el plano XZ ó Y=0 ), se consideran las circunferencias inscrita ( de
radio b ) y circunscrita ( de radio a ).
Ilustración II - 5
Se va a utilizar como paso intermedio una nueva coordenada, la latitud reducida ( u ).
cos u =
sen u =
x
a
z
b
→
x = a ⋅ cos u
Cap. II - 10
→
z = b ⋅ sen u
Cap. II - 11
La parametrización sería directa.
x = a ⋅ cos u ⋅ cos λ
y = a ⋅ cos u ⋅ sen λ
z = b ⋅ sen u
Cap. II - 12
El problema es que interesa la parametrización en función de las coordenadas geodésicas ( ϕ,λ )
y no ( u,λ ). La latitud geocéntrica, ψ, tampoco tiene interés.
Se verifica para cualquier punto de la elipse meridiana:
x = a ⋅ cos u
z = b ⋅ sen u
→
→
dx = −a ⋅ sen u ⋅ du
dz = b ⋅ cos u ⋅ du
Cap. II - 13
Si de la expresión de x en la elipse meridiana se despeja la latitud reducida,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-4
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
 x
u = arco cos  
 a
Cap. II - 14
La ecuación en forma explícita de la elipse meridiana sería,

 x
z = b ⋅ sen  arco cos   
 a

Cap. II - 15
Evidentemente, la tangente a un punto de la elipse meridiana se obtendría a partir de derivar la
función anterior con respecto a la variable de la que depende, es decir x,
resultaría,
−
dz
. Por lo tanto la normal
dx
dx
= tg ϕ
dz
Cap. II - 16
Aplicando las expresiones de las derivadas,
a ⋅ sen u ⋅ du
= tg ϕ
b ⋅ cos u ⋅ du
a
⋅ tg u = tg ϕ
b
→
tg u =
Cap. II - 17
b
⋅ tg ϕ
a
Operando convenientemente,
1
sen 2 u cos2 u + sen 2 u
1 + tg u = 1 +
=
=
2
2
cos u
cos u
cos 2 u
2
b2
a 2 + b 2 ⋅ tg 2 ϕ
2
1 + tg u = 1 + 2 ⋅ tg ϕ =
a
a2
2
sen 2 ϕ a 2 ⋅ cos 2 ϕ + b 2 ⋅ sen 2 ϕ
=
=
a + b ⋅ tg ϕ = a + b ⋅
cos 2 ϕ
cos 2 ϕ
1
=
⋅ ( a 2 + ( b 2 − a 2 ) ⋅ sen 2 ϕ )
cos 2 ϕ
2
2
cos 2 u =
2
2
2
a 2 ⋅ cos 2 ϕ
a 2 + ( b 2 − a 2 ) ⋅ sen 2 ϕ
=
cos 2 ϕ
cos 2 ϕ
=
1 − e 2 ⋅ sen 2 ϕ
b2 − a 2
2
1+
⋅ sen ϕ
a2
Por lo tanto,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-5
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
cos u =
cos ϕ
1- e 2 ⋅ sen 2 ϕ
Cap. II - 18
sen u = 1- cos2 u = 1 −
cos2 ϕ
1 − e 2 ⋅ sen 2 ϕ − cos2 ϕ
=
=
1 − e 2 ⋅ sen 2 ϕ
1 − e 2 ⋅ sen 2 ϕ
1 − e 2 ⋅ sen 2 ϕ − (1 − sen 2 ϕ )
=
=
1 − e 2 ⋅ sen 2 ϕ
− e 2 ⋅ sen 2 ϕ + sen 2 ϕ
=
1 − e 2 ⋅ sen 2 ϕ
sen 2 ϕ ⋅ (1 − e 2 )
1 − e 2 ⋅ sen 2 ϕ
Cap. II - 19
Reemplazando en las ecuaciones paramétricas primitivas,
x = a ⋅ cos u
⇒
x=
z = b ⋅ sen u
⇒
z=
a ⋅ cos ϕ
1
( 1- e 2 ⋅ sen 2 ϕ ) 2
b ⋅ sen ϕ ⋅ 1 − e 2
1
(1- e 2 ⋅ sen 2 ϕ ) 2
Cap. II - 20
Denominando,
ν=
(1 − e
a
2
⋅ sen 2 ϕ )
Cap. II - 21
1 − e2 = 1 −
a 2 − b2
=
a2
a 2 − a 2 + b2 b
=
a
a2
Cap. II - 22
Luego es directo llegar a las ecuaciones en paramétricas del elipsoide de revolución,
introduciendo la coordenada geodésica longitud,
x = ν ⋅ cos ϕ ⋅ cos λ
y = ν ⋅ cos ϕ ⋅ sen λ
b2
z = ν ⋅ 2 ⋅ sen ϕ = ν ⋅ ( 1 − e 2 ) ⋅ sen ϕ
a
Cap. II - 23
A la expresión ν, anteriormente obtenida, se la denomina gran normal o normal principal. Tiene
como significado geométrico el ser el radio de curvatura de la sección normal perpendicular al meridiano,
es el segmento comprendido entre el punto considerado de una elipse meridiana y la intersección de la
normal en él con el eje menor de la elipse meridiana.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-6
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
Ilustración II - 6
El elipsoide, así definido, verifica la ecuación genérica en implícitas
x2 + y2 z2
+ 2 =1
a2
b
Cap. II - 24
como fácilmente podría comprobarse.
Otro parámetro muy importante en el elipsoide de revolución es el radio de curvatura de la elipse
meridiana en un punto. Se denomina ρ y su expresión es:
ρ=
a ⋅ (1 − e 2 )
(1 − e
2
⋅ sen ϕ )
2
3
2
Cap. II - 25
Ilustración II - 7
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-7
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
Para localizar un punto de la superficie terrestre se ha de introducir una tercera coordenada
geodésica, la altura elipsoidal ( h ). La expresión de las coordenadas cartesianas tridimensionales se
obtiene de modo directo,
x = ( ν + h) ⋅ cos ϕ ⋅ cos λ
y = ( ν + h) ⋅ cos ϕ ⋅ sen λ
z = ( ν ⋅ ( 1 − e 2 ) + h) ⋅ sen ϕ
Cap. II - 26
Ilustración II - 8
La parametrización definida por Cap.II-25 correspondería a todo el espacio euclideo de tres
dimensiones.
También resulta interesante conocer el paso de coordenadas cartesianas tridimensionales a
coordenadas geodésicas,
( x, y, z)
⇒
( ϕ , λ, h )
Cap. II - 27
p=
x2 + y2
 z⋅a 

 p⋅b
θ = ar cot g
 z + e' 2 ⋅b ⋅ sen 3 θ 

2
3
 p − e ⋅ a ⋅ cos θ 
ϕ = ar cot g
 y
x
λ = ar cot g 
h=
p
−ν
cos ϕ
Cap. II - 28
Recuérdese que el paso de la altura elipsódica, con significado geométrico pero no físico, a
altura ortométrica, con significado físico, pasa por el conocimiento de la ondulación del geoide,
H = h− N
Cap. II - 29
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-8
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
2.3 CURVAS PARAMÉTRICAS.
Para una superficie dada por los parámetros ( u,v ), se denominan coordenadas curvilíneas a los
pares de valores ( ui, vi ) que toman los parámetros ( u,v ), definiéndose para cada par de valores un punto
de la superficie.
Para u=cte=c1, la ecuación bajo esta condición es
x = x ( c1 , v)
Cap. II - 30
que representa una curva llamada de parámetro v, o v-curva.
De igual forma, para v=cte=c2 la ecuación bajo esta condición es
x = x ( u,c 2 )
Cap. II - 31
que representa una curva llamada de parámetro u, o u-curva.
Trazando las curvas u=cte y v=cte, para todos los valores posibles de estos parámetros, de su
dominio, se establece el recubrimiento de una red de curvas paramétricas que definen la superficie.
Los vectores tangentes a las curvas paramétricas, v=cte y u=cte, son respectivamente
xu =
∂ x1 ∂ x 2 ∂ x 3
∂ x
= (
,
,
)
∂ u
∂ u ∂ u ∂ u
Cap. II - 32
xv =
∂ x1 ∂ x 2 ∂ x 3
∂ x
= (
,
,
)
∂ v
∂ v ∂ v ∂ v
Cap. II - 33
Ilustración II - 9
La condición necesaria y suficiente para que la ecuación represente una superficie es que,
x u ∧ xv
≠ 0
Cap. II - 34
Esta condición es equivalente a que las curvas de parámetros no van a ser nunca iguales en
ningún punto de la superficie. También se puede expresar como,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-9
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
rango ( J (
x1 , x 2 , x 3
)) = 2
u, v
Cap. II - 35
indicando J la matriz Jacobiana de la superficie respecto a los parámetros ( u,v ).
 ∂ x1

J =  ∂∂ xu
1

∂ v
∂ x2
∂ u
∂ x2
∂ v
∂ x3 
∂ u
∂ x3 

∂ v
Cap. II - 36
En el caso del elipsoide de revolución, la ecuación en forma vectorial es,
x (ϕ , λ) = ( ν ⋅ cosϕ ⋅ cosλ , ν ⋅ cosϕ ⋅ senλ , ν ⋅ ( 1- e 2 ) ⋅ sen ϕ )
Cap. II - 37
Las curvas paramétricas son los paralelos ( ϕ=cte ) y los meridianos ( λ=cte ).
A continución se determinarán los vectores tangentes.
a) vector tangente al meridiano de un punto.
∂ x ∂ x ∂ x 
xϕ =  1 , 2 , 3 
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 
Cap. II - 38

∂ν
∂ 
a
=
1
∂ϕ ∂ϕ
2
2
 ( 1 − e ⋅ sen ϕ ) 2
1

−
2
2
2
2
2
 a ⋅ ( 1 − e ⋅ sen ϕ ) ⋅ ( 2 ⋅ e ⋅ sen ϕ ⋅ cos ϕ ) ν ⋅ e ⋅ sen ϕ ⋅ cos ϕ
=
=

2 ⋅ (1 − e 2 ⋅ sen 2 ϕ )
1 − e 2 ⋅ sen 2 ϕ

∂ x1
∂
∂ν
=
⋅ cosϕ ⋅ cos λ - ν ⋅ senϕ ⋅ cos λ =
ν ⋅ cosϕ ⋅ cos λ ) =
(
∂ ϕ ∂ϕ
∂ϕ
 ν ⋅ e 2 ⋅ sen ϕ ⋅ cosϕ

 e 2 ⋅ cos 2 ϕ

=
⋅
−
⋅
ϕ
ν
ϕ
λ
=
− 1 ⋅ ν ⋅ sen ϕ ⋅ cos λ =
cos
sen
cos


2
2
2
2
 1 − e ⋅ sen ϕ

 1 − e ⋅ sen ϕ 
 e 2 ⋅ cos2 ϕ − 1 + e 2 ⋅ sen 2 ϕ 
=
 ⋅ ν ⋅ sen ϕ ⋅ cos λ = −
1 − e 2 ⋅ sen 2 ϕ


a ⋅ (1 − e 2 )
(1 − e
2
⋅ sen ϕ )
2
3
2
⋅ sen ϕ ⋅ cos λ
y, recordando la definición del radio del meridiano, ρ,
∂ x1
= − ρ ⋅ sen ϕ ⋅ cos λ
∂ϕ
Cap. II - 39
de la misma forma,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-10
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
∂ x2
= − ρ ⋅ sen ϕ ⋅ sen λ
∂ϕ
Cap. II - 40
Por último,
∂ ν

∂ x3
∂
=
⋅ sen ϕ + ν ⋅ cos ϕ  ⋅ ( 1 − e 2 ) =
ν ⋅ ( 1 − e 2 ) ⋅ sen ϕ ) = 
(
∂ ϕ

∂ϕ ∂ϕ
 ν ⋅ e 2 ⋅ sen 2 ϕ ⋅ cos ϕ

 ⋅e 2 ⋅ sen 2 ϕ ⋅

2
2
(
)
e
ν
ϕ
=
+
⋅
⋅
−
=
+
cos
1
1


 ⋅ ν ⋅ cos ϕ ⋅ ( 1 − e ) =
2
2
2
2
 1 − e ⋅ sen ϕ

 1 − e ⋅ sen ϕ

=
ν ⋅ (1 − e 2 )
1 − e 2 ⋅ sen 2 ϕ
⋅ cos ϕ = ρ ⋅ cos ϕ
Cap. II - 41
Por tanto, finalmente,
x ϕ = ( − ρ ⋅ sen ϕ ⋅ cos λ , - ρ ⋅ senϕ ⋅ senλ , ρ ⋅ cosϕ )
Cap. II - 42
b) vector tangente al paralelo de un punto.
Derivando con respecto a λ, se obtiene directamente,
x λ = ( −ν ⋅ cos ϕ ⋅ sen λ , ν ⋅ cos ϕ ⋅ cos λ , 0)
Cap. II - 43
2.4 PLANO TANGENTE
SUPERFICIE.
Y
RECTA
NORMAL
A
UNA
Dada una superficie, se denomina plano tangente en un punto P de la misma al lugar geométrico
de todas las rectas tangentes a todas las curvas que pasan por el mismo. La ecuación en forma vectorial
del mismo quedará en función del punto P y de los vectores tangentes a las curvas paramétricas
particularizadas en el punto P.
x (u, v,c 1 ,c 2 ) = x (u P , v P ) + c1 ⋅ x uP + c 2 ⋅ x vP
Cap. II - 44
La dirección de la normal está definida por la dirección perpendicular a los dos vectores
tangentes.
nP =
x uP ∧ x vP
x uP ∧ x vP
Cap. II - 45
Representa el vector normal normalizado, módulo unitario, denominado versor normal.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-11
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
Ilustración II - 10
La ecuación de la recta normal será,
x (u, v,c) = x (u P , v P ) + c ⋅ n P
Cap. II - 46
En el caso del elipsoide de revolución tendremos que:
a) vector y versor normal al elipsoide de revolución en un punto.
n =
xϕ ∧ x λ
xϕ ∧ x λ
Cap. II - 47
i
j
x ϕ ∧ x λ = − ρ ⋅ sen ϕ ⋅ cos λ − ρ ⋅ sen ϕ ⋅ sen λ
−ν ⋅ cos ϕ ⋅ sen λ
ν ⋅ cos ϕ ⋅ cos λ
k
ρ ⋅ cos ϕ =
0
= ( − ρ ⋅ ν ⋅ cos2 ϕ ⋅ cos λ , − ρ ⋅ ν ⋅ cos2 ϕ ⋅ sen λ , − ρ ⋅ ν ⋅ cos ϕ ⋅ sen ϕ )
Cap. II - 48
El módulo será,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-12
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
xϕ ∧ x λ
2
= ρ 2 ⋅ ν 2 ⋅ cos4 ϕ ⋅ cos2 λ + ρ 2 ⋅ ν 2 ⋅ cos4 ϕ ⋅ sen 2 λ + ρ 2 ⋅ ν 2 ⋅ cos4 ϕ ⋅ sen 2 ϕ =
(
)
= ρ 2 ⋅ ν 2 ⋅ ( cos 4 ϕ ⋅ ( cos 2 λ + sen 2 λ) ) + cos 2 ϕ ⋅ sen 2 ϕ =
= ρ 2 ⋅ ν 2 ⋅ ( cos 4 ϕ + cos 2 ϕ ⋅ ( 1 − cos 2 ϕ ) ) = ρ 2 ⋅ ν 2 ⋅ cos 2 ϕ
x ϕ ∧ x λ = ρ ⋅ ν ⋅ cos ϕ
Cap. II - 49
Luego el versor normal tendrá por expresión,
n = ( − cos ϕ ⋅ cos λ , - cosϕ ⋅ senλ , - senϕ )
Cap. II - 50
2.5 DEFINICIÓN DE UNA CURVA CONTENIDA EN UNA
SUPERFICIE.
Una curva C contenida en una superficie S queda definida mediante una aplicación entre los
parámetros ( u,v ), que definen la superficie, con un parámetro t que va a definir la curva, es decir,
u = u ( t ),
v=v(t)
La ecuación vectorial de la curva es
x = x ( u(t), v(t) ) = x (t )
Cap. II - 51
Ilustración II - 11
Entre las infinitas curvas que pueden trazarse sobre una superficie por un punto juegan un papel
fundamental las curvas paramétricas que ya se han estudiado.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-13
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
2.6 MEDIDA DE DISTANCIAS, ÁNGULOS Y SUPERFICIES
SOBRE UNA SUPERFICIE.
2.6.1 MEDIDA DE DISTANCIAS SOBRE UNA SUPERFICIE. PRIMERA
FORMA CUADRÁTICA FUNDAMENTAL.
En la geometría del plano euclídeo la distancia entre dos puntos infinitamente próximos de
coordenadas ( x, y ) y ( x+dx, y+dy ) viene dada por el módulo del vector que los une
dx 2 + dy 2 .
Se va a plantear aquí el problema de determinar la distancia entre dos puntos infinitamente
próximos de una superficie S. Para ello se puede considerar que, en un entorno de un punto P de S
suficientemente pequeño, la superficie coincide con el plano tangente a ella en P, y por tanto se pueden
trasladar las propiedades infinitesimales de la superficie a las del plano.
Sean los puntos de la superficie x y x + d x infinitamente próximos. La distancia euclídea
entre los puntos viene dada por el módulo del vector que une ambos puntos, luego,
ds 2 = d x ⋅ d x = ( x u ⋅ du + x v ⋅ dv ) ⋅ ( x u ⋅ du + x v ⋅ dv ) = E ⋅ du 2 + 2 ⋅ F ⋅ du ⋅ dv + G ⋅ dv 2
Cap. II - 52
siendo,
E = xu ⋅ xu
F = xu ⋅ xv
G = xv ⋅ xv
Cap. II - 53
los coeficientes de la denominada PRIMERA FORMA CUADRÁTICA FUNDAMENTAL.
Normalmente se expresa,
I (du,dv) = E ⋅ du 2 + 2 ⋅ F ⋅ du ⋅ dv + G ⋅ dv 2
Cap. II - 54
Matricialmente se puede expresar según,
E
I (du,dv) = ( du dv) ⋅ 
F
F   du 
⋅ 
G   dv 
Cap. II - 55
Se demuestra sin dificultad que es una forma cuadrática definida y positiva, es decir, la distancia
es siempre mayor o igual a cero, dándose este último caso únicamente cuando los dos puntos coinciden,
E ⋅G − F2 ≥ 0
Cap. II - 56
Además es un invariante frente a cambios de base, lo que es evidente al ser la distancia un
invariante.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-14
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
Consideremos ahora u = u (t) y v = v (t) una curva sobre s y x (t), x (t + dt) dos puntos
infinitamente próximos en dicha curva. Entonces la distancia entre estos puntos medida a lo largo de la
curva viene dada por,
2
 d x d x  2   du  2
 du dv 
 dv   2
ds = 
⋅
 ⋅ dt =  E ⋅   + 2 ⋅ F ⋅  ⋅  + G ⋅    ⋅ dt
 dt dt 
 dt  
 dt dt 
  dt 
2
2
ds =
2
 du 
 du dv 
 dv 
E ⋅   + 2 ⋅ F ⋅  ⋅  + G ⋅   ⋅ dt
 dt 
 dt 
 dt dt 
Cap. II - 57
La distancia entre los puntos x (t 1 ) y x ( t 2 ) de la curva es
t2
s=
∫
t1
2
2
 du 
 du   dv 
 dv 
E ⋅   + 2 ⋅ F ⋅   ⋅   + G ⋅   ⋅ dt
 dt 
 dt 
 dt   dt 
Cap. II - 58
De otra forma se puede expresar,
ds d x ( t )
=
dt
dt
Cap. II - 59
Si una curva viene parametrizada por un parámetro t, dado que existe esta relación entre s y t,
podemos decir que s es el parámetro longitud de arco. A la parametrización de una curva por la longitud
de arco, x = x ( s) , se le denomina regular. En este caso, sustituyendo en la expresión anterior el
parámetro t por el s,
ds d x ( s)
=
=1
ds
ds
→
vector unitario y tangente a la curva
Cap. II - 60
A continuación se determina la primera forma cuadrática fundamental para un elipsoide de
revolución retomando las expresiones de los vectores tangentes a las curvas paramétricas ya analizados.
E = x ϕ ⋅ x ϕ = ρ 2 ⋅ sen 2 ϕ ⋅ cos 2 λ + ρ 2 ⋅ sen 2 ϕ ⋅ sen 2 λ + ρ 2 ⋅ cos 2 ϕ = ρ 2
F = x ϕ ⋅ x λ = ρ ⋅ sen ϕ ⋅ cos λ ⋅ ν ⋅ cos ϕ ⋅ sen λ − ρ ⋅ sen ϕ ⋅ sen λ ⋅ ν ⋅ cos ϕ ⋅ cos λ = 0
G = x λ ⋅ x λ = ν 2 ⋅ cos2 ϕ ⋅ sen 2 λ + ν 2 ⋅ cos 2 ϕ ⋅ cos2 λ = ν 2 ⋅ cos2 ϕ
Cap. II - 61
y, por lo tanto,
I (dϕ , dλ ) = ρ ⋅ dϕ + ν ⋅ cos ϕ ⋅ dλ =
2
2
2
2
2
a 2 ⋅ (1 − e 2 )
(1 − e
2
2
⋅ sen ϕ )
2
3
⋅ dϕ
2
+
a 2 ⋅ cos 2 ϕ
(1 − e
2
⋅ sen ϕ )
2
⋅ dλ 2
Cap. II - 62
Ahora se evalua esta expresión sobre las líneas paramétricas.
Para los paralelos, latitud geodésica constante,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-15
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
a 2 ⋅ cos2 ϕ
⋅ dλ 2
2
2
(1 − e ⋅ sen ϕ )
I ( dλ ) = ds 2 = ν 2 ⋅ cos2 ϕ ⋅ dλ 2 =
s=
a ⋅ cos ϕ
(1 − e
2
a ⋅ cos ϕ
2
⋅ sen ϕ )
2
1
2
⋅ ∫ dλ =
1
(1 − e
2
⋅ sen ϕ )
2
1
2
⋅ (λ 2 − λ 1 )
Cap. II - 63
Luego evaluar la longitud de un arco de paralelo es muy sencillo. Fijándose en que el radio del
paralelo resulta, de acuerdo a la expresión para obtener la longitud de un arco de paralelo, ν ⋅ cos ϕ , se
puede confirmar el significado geométrico de la gran normal.
Para los meridianos, longitud geodésica constante,
I ( dϕ ) = ds = ρ ⋅ dϕ =
2
2
2
1
(1 − e
2
2
⋅ sen ϕ )
2
3
⋅ dϕ 2
dϕ
2
s = a ⋅ (1 − e 2 ) ⋅ ∫
a 2 ⋅ (1 − e 2 )
(1 − e
2
3
⋅ sen 2 ϕ ) 2
Cap. II - 64
Esta integral no tiene primitiva y normalmente se evalúa mediante el desarrollo de potencias en
e ⋅ sen 2 ϕ , truncándose en las potecias octava o décima. Al igual que en el caso anterior vemos que el
radio del arco de meridiano en un punto es ρ, dado que la longitud de arco de meridiano es ρ·dϕ. La
longitud del arco de meridiano es tratada con profundidad en el apéndice IV debido a que su resolución
es necearia en la proyección Universal Transversa de Mercator, U.T.M.
2
Un resultado importante del estudio de la primera forma cuadrática fundamental para el
elipsoide de revolución cuando está parametrizado por las coordenadas geodésidcas ( ϕ, λ ) es que sus
coeficientes sólo dependen de ϕ, por lo que se le conoce como parametrización de Clairaut.
2.6.2 MEDIDA DE ÁNGULOS SOBRE UNA SUPERFICIE.
Considérense dos curvas sobre una superficie S dadas por los parámetros t y τ.
x (t) = x ( u(t), v(t) )
x (τ ) = x ( u(τ ), v(τ ) )
Cap. II - 65
y considérense sus vectores tangentes dados por
dx
du
dv
= xu ⋅
+ xv ⋅
dt
dt
dt
dx
du
dv
=
= xu ⋅
+ xv ⋅
dτ
dτ
dτ
xt =
xτ
Cap. II - 66
El ángulo que dos curvas sobre una superficie forman en un punto vendrá dado por el ángulo
que forman sus vectores tangente en dicho punto. El ángulo que forman dos vectores se obtendrá a partir
del producto escalar de los mismos.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-16
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
xt ⋅ xτ
cos α =
x t ⋅ xτ
Cap. II - 67
x t ⋅ x τ = (x u ⋅
dv
dv
du
du
+ x v ⋅ ) ⋅ (x u ⋅
+ xv ⋅ ) =
dτ
dt
dτ
dt
 du du 
 du dv 
 dv dv 
 dv du 
 + ( xu ⋅ xv ) ⋅ ⋅
 + ( xv ⋅ xv ) ⋅ ⋅
 + ( xv ⋅ xu ) ⋅ ⋅
=
= ( xu ⋅ xu ) ⋅ ⋅
 dt dτ 
 dt dτ 
 dt dτ 
 dt dτ 
 du du 
 du dv dv du 
 dv dv 
 + F ⋅ ⋅
 + G ⋅ ⋅

+ ⋅
= E ⋅ ⋅
 dt dτ 
 dt dτ dt dτ 
 dt dτ 
Cap. II - 68
Según se vió,
xt =
ds
dt
xτ =
Cap. II - 69
ds
dτ
Por tanto,
 du du 
 du dv dv du 
 dv dv 
 + F ⋅ ⋅
 + G ⋅ ⋅

E ⋅ ⋅
+ ⋅
 dt dτ 
 dt dτ dt dτ 
 dt dτ 
cos α =
ds ds
⋅
dt dτ
Cap. II - 70
Así, el ángulo formado entre las curvas paramétricas, u=cte ( du=0 ) y v=cte ( dv=0 ), para las
curvas de parámetro t y τ, respectivamente,
2
2
2
2
2
 dv 
 du dv 
 dv 
 du 
 ds 
  = E ⋅  + G ⋅  + 2 ⋅ F ⋅ ⋅  = G ⋅ 
 dt 
 dt dt 
 dt 
 dt 
 dt 
2
2
 ds 
 du 
 dv 
 du dv 
 du 
  = E ⋅  + G ⋅  + 2 ⋅ F ⋅
 = E ⋅ 
⋅
 dτ 
 dτ 
 dτ 
 dτ dτ 
 dτ 
cos α =
 dv du 

F⋅ ⋅
 dt dτ 
 dv 
G ⋅ 
 dt 
2
 du 
⋅ E ⋅ 
 dτ 
2
=
2
F
G⋅E
Cap. II - 71
Analizando esta expresión se llega a la conclusión de que las curvas paramétricas forman un
sistema ortogonal si y sólo si F=0. Por lo tanto, para el elipsoide de revolución las curvas paramétricas,
ϕ=cte y λ=cte ( paralelos y meridianos ), forman un sistema ortogonal puesto que F=0.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-17
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
Ahora se determina el ángulo que forma una curva cualquiera 1de parámetro t, con los
meridianos ( λ=cte , dλ=0), curva 2 de parámetro τ, puesto que F=0,
 dϕ 1 dϕ 2 
E ⋅
⋅

 dt dτ  E ⋅ ( dϕ 1 ⋅ dϕ 2 )
cos α =
=
ds1 ds2
ds1 ⋅ ds2
⋅
dt dτ
Cap. II - 72
Pero, sobre un meridiano,
E ⋅ dϕ 2 = ρ ⋅ dϕ 2
ds2 =
Cap. II - 73
y, sustituyendo en la expresión anterior,
cos α =
ρ 2 ⋅ dϕ 1 ⋅ dϕ 2
dϕ
= ρ⋅ 1
ρ ⋅ dϕ 2 ⋅ ds1
ds1
Cap. II - 74
Se denominan curvas loxodromas a aquellas que forman un ángulo constante con los
meridianos, es decir,
( cos α )
2
2
1
2 dϕ
= 2 = ρ ⋅ 2
c
ds
Cap. II - 75
ds 2 = c 2 ⋅ ρ 2 ⋅ dϕ 2 = E ⋅ dϕ 2 ⋅ G ⋅ dλ2 = ρ 2 ⋅ dϕ 2 + ν 2 ⋅ cos2 ϕ ⋅ dλ2
ν 2 ⋅ cos2 ϕ ⋅ dλ2 = (c 2 − 1) ⋅ ρ 2 ⋅ dϕ 2
(c 2 − 1) ⋅ ρ 2 ⋅ dϕ 2
dλ 2 =
ν 2 ⋅ cos2 ϕ
1 − e 2 ⋅ sen 2 ϕ )
1 − e2 )
a 2 ⋅ (1 − e 2 )
(
(
ρ2
=
⋅
=
ν 2 (1 − e 2 ⋅ sen 2 ϕ ) 3
a2
(1 − e2 ⋅ sen 2 ϕ )
2
λ =
2
c 2 − 1 ⋅ (1 − e 2 ) ⋅ ∫
ϕ2
ϕ1
dϕ
cos ϕ ⋅ (1- e 2 ⋅ sen 2 ϕ )
Cap. II - 76
2.6.3 MEDIDA DE SUPERFICIES SOBRE UNA SUPERFICIE.
Considérese una pequeña región ∆R sobre una superficie S limitada por las curvas de parámetros
( u, u+du ) y ( v, v+dv ), se determinará el área de dicha superficie con la hipótesis de que es
infinitesimal.
El área del paralelogramo infinitesimal cuyos lados son los vectores,
d x 1 = x u ⋅ du
dx 2 = x v ⋅ dv
Cap. II - 77
viene dada por,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-18
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
dA = d x 1 ∧ d x 2 = x u ⋅ x v ⋅ du ⋅ dv =
E ⋅ G − F 2 ⋅ du ⋅ dv
Cap. II - 78
donde se ha tenido en cuenta la relación entre el módulo del producto vectorial y el módulo del producto
escalar. Finalmente, extendiendo la definición a un recinto no infinitesimal,
A = ∫∫ E ⋅ G − F 2 ⋅ du ⋅ dv
∆R
Cap. II - 79
En el caso del elipsoide de revolución parametrizado con las coordenadas geodésicas ( ϕ,λ ), el
área de un recinto vendrá dado por la expresión,
ϕ 2λ
A=
2
∫∫
E ⋅ G ⋅ dλ ⋅ dϕ =
ϕ 1λ 1
ϕ 2λ
2
∫ ∫ ρ ⋅ ν ⋅ cos ϕ ⋅ dλ ⋅ dϕ
ϕ 1λ 1
Cap. II - 80
A = a ⋅ (1 − e ) ⋅
2
2
ϕ2
cos ϕ ⋅ ( λ 2 − λ
∫ (1 − e
ϕ
2
1
1
⋅ sen 2 ϕ )
)
⋅ dϕ
Cap. II - 81
2.7 SECCIÓN NORMAL Y LÍNEA GEODÉSICA SOBRE EL
ELIPSOIDE.
2.7.1 DEFINICIÓN DE SECCIÓN NORMAL.
Sea un punto A sobre la superficie del elipsoide y sea la dirección de la normal al elipsoide en A.
Para cualquier otro punto del elipsoide existe una sección normal que lo contiene.
Ilustración II - 12
Para un punto tal como el B, se define el plano normal de A a B como el que contiene a la
normal en A y al punto B sobre el elipsoide. Se ha definido un plano mediante una recta y un punto. Se
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-19
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
define la sección normal de A a B como la curva intersección del plano nomal de A a B y la superficie
del elipsoide de revolución.
Es evidente que el plano normal de B a A no coincidirá con el de A a B debido a que el segundo
se definiría por la normal al elipsoide en B y el punto A sobre el elipsoide. En consecuencia, la sección
normal de B a A no coincide con la de A a B.
En la mayor parte de los trabajos topográficos e incluso geodésicos se desprecia la desviación
relativa de la vertical debido a su pequeña magnitud y a las pequeñas correcciones que implica un
tratamiento riguroso con respecto a la precisión de los observables topográficos y geodésicos.
Al despreciar la desviación relativa de la vertical se asume que coinciden la dirección de la
vertical astronómica y la vertical geodésica, normal al elipsoide. Esto supone que el eje principal de un
instrumento de medida de ángulos, correctamente estacionado, materializará la dirección de la normal al
elipsoide. Por tanto, las direcciones que se observarán serán secciones normales.
Ilustración II - 13
Si se observase un triángulo geodésico, debido a la falta de coincidencia entre la sección normal
directa y recíproca entre cada dos vértices del mismo, no sepodría hablar propiamente de un triángulo tal
y como se desprende de Ilustración II-9. No se tendrían tres lados sino seis.
2.7.2 DEFINICIÓN DE LÍNEA GEODÉSICA.
El problema que se planteaba en el apartado anterior, duplicidad de la línea que une dos puntos
sobre el elipsoide, sección normal directa y recíproca, se resuelve con la línea geodésica.
Hay diferentes formas de definir la línea geodésica entre dos puntos sobre una superficie.
Muchas de estas definiciones exigen de mayores conocimientos en cuanto a geodesia geométrica. De
forma sencilla, línea geodésica entre dos puntos de una superficie se puede definir como la curva de
menor longitud que los une. En un plano sería una recta, en una superficie esférica sería un círculo
máximo y en un elipsoide sería una curva definida por tres ecuaciones diferenciales de las cuales
realizamos una deducción simplificada.
Sea la siguiente figura donde aparece representado un triángulo elipsódico ( los tres lados son
geodésicas ). Se puede demostrar que los meridianos son líneas geodésicas, pero no los paralelos.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-20
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
Ilustración II - 14
Supóngase que la dirección del elemento inicial de la línea geodésica ds desde el punto A está
dada por el azimut A. Trázese desde el punto B’ el arco elemental de paralelo B’C. Las diferencias de
latitudes y longitudes de los puntos A y B’ están designadas por dϕ y dλ; la convergencia de meridianos
en el punto B’, por dA.
Partiendo del triángulo elemental AB’C se tendrá,
ρ ⋅ dϕ = ds ⋅ cosA
r ⋅ dλ = ν ⋅ cosϕ ⋅ dλ = ds ⋅ senA
Cap. II - 82
donde r es el radio del paralelo de latitud ϕ.
Teniendo en cuenta que el ángulo en el vértice B’ del triángulo CPB’ es igual a 90° menos dA,
se puede escribir,
cos (90 - ϕ ) = ctg dλ ⋅ c tg (90 - dA)
tg dλ ⋅ sen ϕ = tg dA
ds ⋅ sen A ⋅ tg ϕ
dA = dλ ⋅ sen ϕ =
ν
Cap. II - 83
Finalmente se obtienen las tres ecuaciones diferenciales que definen la geodésica,
dϕ cos A
=
ds
ρ
dλ sen A
=
⋅ sec ϕ
ds
ν
dA sen A
=
⋅ tg ϕ
ds
ν
Cap. II - 84
Este sistema de ecuaciones tiene un significado muy importante dado que es el sistema de
partida para resolver los problemas geodésicos directo e inverso a los que ya se hizo referencia en el
primer tema.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-21
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
Una importante propiedad de la línea geodésica que se puede deducir a partir de las expresiones
anteriores y de la siguiente figura es el teorema de Clairaut: ‘ a lo largo de una línea geodésica de una
superficie de revolución el producto del radio del paralelo por el seno del acimut es una cantidad
constante para todo punto de la misma’.
Ilustración II - 15
En el plano del dibujo aparece representado el meridiano del punto A. Si designamos por r el
radio del paralelo del punto A, el radio del paralelo del punto C será r+dr, de acuerdo al dibujo la
expresión de dr es,
− dr = ρ ⋅ dϕ ⋅ sen ϕ
Cap. II - 85
donde el signo negativo implica que cuando aumenta la latitud disminuye el radio del paralelo.
Retómese una expresión anteriormente deducida,
cos A = ρ ⋅
dϕ
ds
Cap. II - 86
Multiplicando ambos miembros de esta ecuación por r·dA,
r ⋅ cos A ⋅ dA = r ⋅ ρ ⋅
dϕ
⋅ dA
ds
Pero también se obtuvo que,
dA = sen ϕ ⋅ dλ
Cap. II - 87
y, sustituyendo en el segundo miembro de la ecuación anterior,
r ⋅ cos A ⋅ dA = r ⋅ ρ ⋅
dϕ
⋅ sen ϕ ⋅ dλ
ds
Cap. II - 88
Por otra parte también se obtuvo,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-22
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
sen A = r ⋅
dλ
ds
Cap. II - 89
Multiplicando ambos miembros por dr,
dr ⋅ sen A = r ⋅
dλ
⋅ dr
ds
Cap. II - 90
Si se sustituye la expresión de dr de Cap.II-85 en el segundo miembro,
dr ⋅ sen A = - r ⋅ ρ ⋅
dϕ
⋅ sen ϕ ⋅ dλ
ds
Cap. II - 91
Sumando Cap.II-88 y Cap.II-91 se llega a la siguiente ecuación diferencial,
r ⋅ cos A ⋅ dA + dr ⋅ sen A = 0
Cap. II - 92
Que es el resultado de diferenciar con respecto a las dos variables, r y A, la expresión, (r·sen A)
y puesto que esta derivada está igualada a cero se concluye el teorema de Clairaut,
r ⋅ sen A = cte.
Cap. II - 93
2.8 TEOREMA DE EULER. RADIO DE CURVATURA DE UNA
SECCIÓN NORMAL CUALQUIERA SOBRE EL ELIPSOIDE.
Hasta este momento se ha visto la expresión de los radios de curvatura de dos tipos de secciones
normales características en un punto del elipsoide de revolución:
- ρ, radio de curvatura de la elipse meridiana, o sección normal de acimut geodésico 0. Esta
sección normal se puede demostrar que es además una geodésica.
- ν, radio de curvatura del primer vertical, acimut geodésico 90°, o también gran normal.
Estas son las secciones principales en el elipsoide de revolución pero interesará también el radio
de cualquier otra sección normal.
El propósito de este apartado es demostrar el teorema de Euler que permite obtener el radio de
curvatura de una sección normal de acimut geodésico A por la expresión,
cos 2 A sen 2 A
1
=
+
RA
ρ
ν
Cap. II - 94
Hasta alcanzar esta expresión han de estudiarse una serie de conceptos previos.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-23
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
2.8.1 INDICATRIZ DE DUPIN. DIRECCIONES PRINCIPALES.
Considérese una superficie cualquiera definida por z=f ( x, y ).
Tómese el plano tangente en un punto M0 de esta superficie como plano xy ( z=0 ), y la normal a
este plano en M0 como eje z. En este sistema de ejes se puede escribir,
z = f ( x, y ) = f ( x 0 + h, y 0 + k )
Cap. II - 95
siendo h y k variaciones infinitamente pequeñas de las variables x e y alrededor del punto M0.
Si se desarrolla por Taylor,
 ∂ 2 f  h2  ∂ 2 f  k 2  ∂ 2 f 
∂ f
∂ f
z = f ( x, y ) = f ( x 0 , y 0 ) +   ⋅ h +   ⋅ k +  2  ⋅
 ⋅
+
 ⋅ h ⋅ k + ..
+
 ∂ x 0
 ∂ y 0
 ∂ x  0 2  ∂ y2  0 2  ∂ x ⋅ ∂ y 0
Cap. II - 96
f
Dado que se ha tomado el origen del sistema de coordenadas en el punto M0 , se tendrá que
( x0, y0 ) = 0. Además, si el plano xy coincide con el plano tangente las derivadas primeras de la función f
particularizadas para un punto del plano tangente, como el M0, son nulas. Por tanto el desarrollo en serie
de Taylor se reduce a,
 ∂ 2 f  h2  ∂ 2 f  k 2  ∂ 2 f 
 ⋅ h ⋅ k + ..
z = f ( x, y ) =  2  ⋅ +  2  ⋅
+
 ∂ x  0 2  ∂ y  0 2  ∂ x ⋅∂ y 0
Cap. II - 97
y, puesto que h y k son los incrementos de coordenadas x e y respectivamente de acuerdo al sistema de
ejes tomado,
 ∂ 2 f  x2  ∂ 2 f  y2  ∂ 2 f 
 ⋅ x ⋅ y + ..
 ⋅
z = f ( x, y ) =  2  ⋅
+
+
 ∂ x  0 2  ∂ y2  0 2  ∂ x ⋅∂ y 0
Cap. II - 98
Esta es la ecuación de un paraboloide referido a los ejes anteriormente citados y la coordenada z
es un infinitésimo de segundo orden con relación a x e y. Si z=0 el paraboloide se transforma en una
cónica. Su naturaleza será variable según la superficie estudiada y el punto considerado. Puede ser una
elipse, una parábola, una hipérbola o incluso dos rectas.
A este paraboloide se le conoce como Indicatríz de Dupín.
Aplicando un giro en el plano z=0 puede hacerse que adopte la forma,
z = a ⋅ x' 2 + b ⋅ y' 2
Cap. II - 99
Se llamarán direcciones principales de una superficie en un punto M0 de la misma a las
direcciones de los ejes de simetría de la indicatríz de Dupín.
2.8.2 CURVATURA DE UNA CURVA PLANA CONTÍNUA.
Sea una curva plana contínua que admite como expresión y=f(x).
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-24
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
Considérese un cambio de ejes de forma que se tome como eje x la tangente y como eje y la
normal en un punto M0. Las coordenadas de un punto de la curva distanciado del anterior un diferencial h
será y = f ( x0 + h ), y desarrollando por Taylor,
 ∂ 2 f  h2
∂ f
y = f ( x0 ) +   ⋅ h +  2  ⋅
+ ...
 ∂ x 0
∂ x 0 2
Cap. II - 100
Dado que el origen del sistema de coordenadas se ha situado en M0 se verifica que f ( x0 ) = 0.
Además, dado que el eje x tiene la dirección de la tangente la primera derivada particularizada en el punto
M0 se anula ( la pendiente es nula ). Puesto que h está en la dirección del eje x, la expresión se reduce a,
 ∂ 2 f  h2
y =  2 ⋅
+ ...
∂ x 0 2
Cap. II - 101
Si se desprecia el cuarto témino del desarrollo en serie de Taylor, para lo que h debe ser un
diferencial, se obtiene la siguiente ecuación,
2⋅ y ⋅
1
= x2
f '' 0
Cap. II - 102
La ecuación de un circulo de radio R que contiene al punto M0 tiene por coordenadas del centro
( 0, R ) y por tanto su ecuación es,
x2 +
(y
- R
)
2
= R2
Cap. II - 103
y, operando,
x2 + y2 = 2 ⋅ R ⋅ y
Cap. II - 104
Pero en un entorno diferencial del punto M0 resulta que ( y ) es un infinitésimo de segundo
orden comparado con la x luego el cuadrado de ( y ) lo será de cuarto orden y podrá despreciarse. Esto
justifica que la ecuación del círculo se reduzca a,
x2 = 2 ⋅ R ⋅ y
Cap. II - 105
Este círculo se conoce como círculo osculador y su radio se obtiene según,
R =
lim
x→ 0
 x2 


 2 ⋅ y
Cap. II - 106
Identificando con la expresión Cap.II-102 el radio de curvatura de una curva plana contínua
sería,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-25
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
1
f ' '0
R =
Cap. II - 107
2.8.3 APLICACIÓN AL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
En el elipsoide de revolución la indicatríz de Dupín en un punto M0 es una elipse que responde a
la siguiente figura.
Ilustración II - 16
Una de las secciones principales, la correspondiente al semieje mayor, por simetría, es el
meridiano que pasa por M0. El otro eje de simetría de la elipse es perpendicular al anterior, y por tanto
corresponde al primer vertical, se corresponde con el semieje menor.
Para calcular los radios de curvatura hay que servirse de la expresión analizada en el apartado
anterior,
R =
x2
2⋅ y
Cap. II - 108
Se toman distintos planos para cada una de las curvas objeto de interés:
- Curva meridiana,
R1 =
( M A)
2
0
2⋅z
a2
=
=ρ
2⋅z
Cap. II - 109
- Primer vertical,
R2 =
( M B)
0
2⋅z
2
b2
=
=ν
2⋅z
Cap. II - 110
- Para una sección cualquiera,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-26
GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
RN
(M N)
=
2
0
2⋅z
Cap. II - 111
La ecuación de la indicatríz de Dupín es:
x2 y2
+
= 1
a2 b2
Cap. II - 112
Sustituyendo de las ecuaciones de R1 y R2, se obtiene,
y2
x2
+
= 1
R1 ⋅ 2 ⋅ z R2 ⋅ 2 ⋅ z
x2 y2
+
= ⋅2⋅z
R1 R2
Cap. II - 113
Dado que el punto N pertenece a la elipse podemos se pueden obtener sus coordenadas según,
x N = M 0 N ⋅ cos θ
y N = M 0 N ⋅ sen θ
Cap. II - 114
Sustituyendo estas coordenadas en la ecuación de la elipse sellega a,
(M N)
0
2
⋅ cos 2 θ
R1
+
(M N)
cos 2 θ sen 2 θ
+
=
R1
R2
2
0
⋅ sen 2 θ
R2
2⋅z
(M N)
2
=
0
= 2⋅z
1
R
Cap. II - 115
Se ha alcanzado la expresión del teorema de Euler.
1
cos 2 A sen 2 A
=
+
RA
ρ
ν
Cap. II - 116
Un radio medio muy utilizado es el obtenido por la expresión,
Rm =
ρ ⋅ν
Cap. II - 117
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
2-27
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
3. TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
3.1 INTRODUCCIÓN.
En un capítulo anterior se estudio la relación entre la superficie de la tierra y la superficie del
sistema de referencia. El paso siguiente es proceder a realizar una representación sobre un plano de la
superficie de referencia, es decir, establecer la relación entre la superficie de referencia y el plano de
representación cartográfica.
En prácticamente la totalidad de las ocasiones, el sistema de referencia contendrá en su definición
como superficie de referencia la de un elipsoide de revolución.
Cualquier representación cartográfica, ya sea sobre soporte digital o papel, tiene entre uno de sus
principales fines la extracción de información métrica; medición de distancias entre puntos, medición de
superficies limitadas por un determinado contorno o medición de ángulos.
No cabe duda de que, si una representación cartográfica conserva aproximadamente las formas, la
lectura de la misma resultará más sencilla, sobre todo para personas no familiarizadas con las mismas.
El problema que se plantea es que no existe ninguna proyección que conserve las tres magnitudes a
las que se ha hecho referencia: distancias, superficies y ángulos. Recuérdese que si una proyección conserva
los ángulos se denomina conforme, si conserva las superficies se denomina equivalente y si conserva las
distancias se denomina equidistante o afiláctica. De los tres tipos de proyecciones las que conservan mejor
las formas son las conformes.
En la cartografía oficial española actual se utliza una proyección que es conforme y presenta
deformaciones muy pequeñas en las distancias, aunque no constantes. Se trata de la proyección Universal
Transversa de Mercator, U.T.M.
Será fundamental conocer las deformaciones que se producen en cualquier magnitud que se mida
sobre una representación cartográfica en una determinada proyección para hacerlas desaparecer y restituir la
magnitud real sobre la superficie de referencia.
3.2 RELACIÓN PLANO-SUPERFICIE DE REFERENCIA. MÓDULOS
DE DEFORMACIÓN.
3.2.1 CÁLCULO DE ELEMENTOS DIFERENCIALES SOBRE EL ELIPSOIDE Y
SUS CORRESPONDIENTES SOBRE EL PLANO.
En este apartado se va a estudiar el cálculo de elementos diferenciales sobre el elipsoide y sus
correspondientes sobre el plano, a partir de una proyección general. De esta forma, a partir de las relaciones
entre ambos, podremos establecer la deformación que introduce en la magnitud correspondiente.
Para alcanzar este objetivo es necesario relacionar una figura en el elipsoide con su correspondiente
transformada mediante una proyección que, en principio, se considerará en modo general. Esta figura debe
permitir la medición de distancias, superficies y ángulos, por lo que se considerará un cuadrilatero
infinitesimal sobre el elipsoide limitado por dos paralelos y meridianos infinitamente próximos. A este
cuadrilatero ABCD sobre el elipsoide le corresponderá el cuadrilatero A1 , B1 , C1 y D1 obtenido sobre el
plano mediante la proyección genérica definida por las funciones,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-1
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
x = f (ϕ , λ )
y = φ (ϕ , λ )
Cap. III - 1
La proyección habrá introducido una serie de deformaciones lineales, angulares y superficiales que
se pretenden determinar.
En la siguiente figura se aprecia el cuadrilatero sobre el elispoide y su correspondiente transformada
sobre el plano de la proyección.
Ilustración III - 1
3.2.1.1 CÁLCULO DE ELEMENTOS DIFERENCIALES SOBRE EL ELIPSOIDE.
Sea el elipsoide de revolución parametrizado por las coordenadas curvilíneas latitud y longitud
geodésicas. Según se estudió en el capítulo anterior,la primera forma cuadrática fundamental de esta
superficie es, en base a esa parametrización,
I (du,dv) = E ⋅ du 2 + 2 ⋅ F ⋅ du ⋅ dv + G ⋅ dv 2
Cap. III - 2
E = x ϕ ⋅ x ϕ = ρ 2 ⋅ sen 2 ϕ ⋅ cos 2 λ + ρ 2 ⋅ sen 2 ϕ ⋅ sen 2 λ + ρ 2 ⋅ cos 2 ϕ = ρ 2
F = x ϕ ⋅ x λ = ρ ⋅ sen ϕ ⋅ cos λ ⋅ ν ⋅ cos ϕ ⋅ sen λ − ρ ⋅ sen ϕ ⋅ sen λ ⋅ ν ⋅ cos ϕ ⋅ cos λ = 0
G = x λ ⋅ x λ = ν 2 ⋅ cos2 ϕ ⋅ sen 2 λ + ν 2 ⋅ cos 2 ϕ ⋅ cos2 λ = ν 2 ⋅ cos2 ϕ
Cap. III - 3
I (dϕ , dλ ) = ρ ⋅ dϕ + ν ⋅ cos ϕ ⋅ dλ =
2
2
2
2
2
a 2 ⋅ (1 − e 2 )
(1 − e
2
2
⋅ sen ϕ )
2
3
⋅ dϕ
2
+
a 2 ⋅ cos 2 ϕ
(1 − e 2 ⋅ sen 2 ϕ )
⋅ dλ 2
Cap. III - 4
También se estudiaron los siguientes elementos diferenciales,
a) Elemento diferencial de longitud.
ds =
ρ 2 ⋅ dϕ 2 + ν 2 ⋅ cos2 ϕ ⋅ dλ 2
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-2
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
Cap. III - 5
b) Elemento angular.
Para un desplazamiento infinitesimal en el paralelo,
dsϕ = cte = ν ⋅ cos ϕ ⋅ dλ = r ⋅ dλ
Cap. III - 6
y, para un desplazamiento infinitesimal en el meridiano,
dsλ= cte = ρ ⋅ dϕ
Cap. III - 7
El ángulo θ de la figura anterior responde a la expresión,
tg θ =
ρ ⋅ dϕ
r ⋅ dλ
Cap. III - 8
Adviértase que este ángulo no corresponde al azimut geodésico dado que su origen es el paralelo en
sentido Este y aumenta en sentido antihorario.
c) Elemento diferencial de superficie.
Este elemento viene dado, según se vió, por,
dS = ρ ⋅ r ⋅ dϕ ⋅ dλ
Cap. III - 9
3.2.1.2 CÁLCULO DE ELEMENTOS DIFERENCIALES SOBRE EL PLANO.
Sea la representación plana del elipsoide de revolución definida por las funciones,
x = f (ϕ , λ )
y = φ (ϕ , λ )
Cap. III - 10
El paralelogramo proyectado se obtendrá de proyectar cada uno de los puntos del mismo. Así,
x A1 = f (ϕ A , λA )
y A 1 = φ (ϕ A , λA )
Cap. III - 11
En la figura se considera que tanto la transformada de un meridiano como la de un paralelo son
líneas rectas. Esta consideración no será generalmente válida. Se ha tomado esta licencia debido a la
consideración inicial de que las magnitudes lineales de estos segmentos de meridiano y paralelo son
infinitesimales.
Las coordenadas de C1 se pueden obtener de dos formas. La más evidente será proyectanto el punto
C. Otra forma sería a partir del conocimiento de la posición de A1 y de la posición relativa de C1 respecto de
(
)
A1 sobre la proyección. Denominando por dx , dy a esta posición relativa se tendría que la posición de C1
respondería a la siguiente expresión,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-3
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
x C 1 = x A 1 + dx
y C 1 = y A 1 + dy
Cap. III - 12
Las dx y dy se obtienen a partir de diferenciar las funciones ƒ y φ,
∂ f
∂f
⋅ dϕ +
⋅ dλ = f ϕ ⋅ dϕ + f λ ⋅ dλ
∂ϕ
∂λ
∂φ
∂φ
dy =
⋅ dϕ +
⋅ dλ = φϕ ⋅ dϕ + φλ ⋅ dλ
∂λ
∂ϕ
dx =
Cap. III - 13
donde los valores de los diferenciales de latitud y longitud geodésicas que habría que introducir serían los
existentes entre A y C.
A continuación se calculan los elementos diferenciales sobre el plano.
a) Elemento diferencial de longitud.
Resulta evidente que el elemento diferencial de longitud sobre el plano responderá a,
ds1 = dx 2 + dy 2
Cap. III - 14
Sustituyendo en Cap.III-14, los valored de Cap.III-13 para dx y dy se tendrá,
ds1 =
(f
2
ϕ
)
(
)
+ φϕ2 ⋅ dϕ 2 + ( f λ2 + φλ2 ) ⋅ dλ 2 + 2 ⋅ f ϕ ⋅ f λ + φϕ ⋅ φλ ⋅ dϕ ⋅ dλ
Cap. III - 15
E ' = f ϕ + φϕ ,
2
2
G'= f λ2 + φλ2 ,
F'= f ϕ ⋅ f λ + φϕ ⋅ φλ
Cap. III - 16
ds1 = E'⋅dϕ 2 + G '⋅dλ 2 + 2 ⋅ F '⋅dϕ ⋅ dλ
Cap. III - 17
Adviértase que la expresión anterior corresponde a la raíz cuadrada de la primera forma cuadrática
fundamental del plano de la proyección parametrizado en base a las coordenadas curvilíneas latitud y
longitud geodésicas. La notación E’, F’ y G’ pretende evitar la confusión al lector de estos coeficientes con
los anteriormente definidos E, F y G. Adviértase también que F’ no se anulará en general. Intuitivamente
cabe pensar que F’ se anulará para una proyección si en todo punto la transformada del meridiano y paralelo
forman un ángulo recto. Esto será demostrado posteriormente.
El elemento de arco ds’m , transformado de dsm se obtiene haciendo λ=cte,
ds' m =
E ' ⋅ dϕ
Cap. III - 18
y, para ϕ=cte,
ds' p = G ' ⋅ dλ
Cap. III - 19
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-4
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
b) Elemento angular.
El ángulo transformado se obtiene a partir de la transformada de arco de meridiano y paralelo,
tg θ '=
E' dϕ
⋅
G' dλ
Cap. III - 20
c) Elemento diferencial de superficie.
Se puede escribir, sin dificultad, el área del paralelogramo plano a partir del área del triángulo,
(
dS1 = ds' m ⋅ds' p ⋅ sen θ A 1 B 1 − θ A 1 D 1
)
Cap. III - 21
El primer problema será determinar esos ángulos.
Sea la figura,
Ilustración III - 2
El ángulo que forma el lado A1 D1 con el eje X vendrá dado por la expresión,
tg θ A 1 D 1 =
D1 D'1
A1 D'1
Cap. III - 22
Ahora bien, A1 y D1 tienen la misma latitud, entre ambos sólo hay variación en longitud, luego
D1D’1 es la variación de la ordenada de A1 al variar la longitud, por tanto,
D1 D'1 = φλ ⋅ dλ
Cap. III - 23
y, analogamente,
A1 D'1 = f λ ⋅ dλ
Cap. III - 24
Puesto que A1D1=ds’p , se obtiene que,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-5
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
D1 D'1
1
1
= φλ ⋅ dλ ⋅
= φλ ⋅
A1 D1
G ' ⋅ dλ
G'
sen θ A 1 D 1 =
Cap. III - 25
Se obtiene también,
A1 D'1
1
1
= f λ ⋅ dλ ⋅
= fλ ⋅
A1 D1
G ' ⋅ dλ
G'
cosθ A 1 D 1 =
Cap. III - 26
De la siguiente figura,
Ilustración III - 3
Dado que sen( 90 + x ) = cos( x )
A1 B'1
1
1
= φϕ ⋅ dϕ ⋅
= φϕ ⋅
A1 B1
E ' ⋅ dϕ
E'
sen θ A 1 B 1 =
Cap. III - 27
Dado que cos( 90 + x ) = − sen( x ) , pero dado que B’1B1 es negativo y se pretende obtener un
ángulo mayor que cero desaparecerá el signo negativo,
cosθ A 1 B 1 = −
− B'1 B1
1
1
= f ϕ ⋅ dϕ ⋅
= fϕ ⋅
A1 B1
E ' ⋅ dϕ
E'
Cap. III - 28
Para llegar a evaluar el elemento diferencial de superficie sobre el plano se desarrolla el seno de la
diferencia,
(
)
(
)
sen θ A 1 B 1 − θ A 1 D 1 = sen θ A 1 B 1 ⋅ cosθ A 1 D 1 − cosθ A 1 B 1 ⋅ sen θ A 1 D 1
sen θ A 1 B 1 − θ A 1 D 1 = φϕ ⋅
1
1
1
1
⋅ fλ ⋅
− fϕ ⋅
⋅ φλ ⋅
E'
G'
E'
G'
Cap. III - 29
Luego,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-6
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
1
1
1
1 

dS1 = φϕ ⋅
⋅ fλ ⋅
− fϕ ⋅
⋅ φλ ⋅
 ⋅ E ' ⋅ G ' ⋅ dϕ ⋅ dλ
E'
G'
E'
G' 

[
]
dS1 = φϕ ⋅ f λ − f ϕ ⋅ φλ ⋅ dϕ ⋅ dλ
Cap. III - 30
Expresión final del elemento diferencial de superficie sobre el plano correspondiente al elemento
diferencial de superficie sobre el elipsoide.
3.2.2 MÓDULOS DE DEFORMACIÓN LINEAL, ANGULAR Y SUPERFICIAL.
Sea la proyección cartográfica definiida por las funciones,
x = f (ϕ , λ )
y = φ (ϕ , λ )
Cap. III - 31
Se han determinado los elementos diferenciales lineales y superficiales sobre el elipsoide y sus
correspondientes transformados, así como los elementos angulares. Se debe proceder a continuación a definir
los módulos de deformación para cada una de estas magnitudes.
3.2.2.1 MÓDULO DE DEFORMACIÓN LINEAL.
Se denomina módulo de deformación lineal, en un punto y para una determinada dirección, al
cociente entre el elemento diferencial transformado sobre el plano, ds1 , y el elemento diferencial sobre el
elipsoide, ds.
k1 =
ds1
ds
Cap. III - 32
Es importante que quede claro que es función de punto y de la dirección.
Si fuese igual en cualquier dirección, y en todo punto de la superficie del elipsoide, la proyección
sería equidistante o afiláctica.
También se le denomina módulo de anamorfosis lineal. También se puede denotar como coeficiente
en lugar de módulo.
3.2.2.2 MÓDULO DE DEFORMACIÓN ANGULAR.
Dado un ángulo, θ, sobre el elipsoide, formado en un punto por dos curvas que se cortan en el
mismo, y el ángulo transformado en el plano, formado por las transformadas de las curvas en el transformado
del punto de corte, ω, se denomina módulo de deformación angular a la diferencia entre ambos ángulos,
k3 = ω − θ
Cap. III - 33
Este valor será función de punto y del ángulo en cuestión, definido por dos curvas de un
determinado azimut geodésico.
Si la transformación conserva la magnitud y el sentido de los ángulos en todo punto e
independientemente de las curvas que los definan, se dice que la proyección es conforme.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-7
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
3.2.2.3 MÓDULO DE DEFORMACIÓN SUPERFICIAL.
Dado un recinto sobre la superficie del elipsoide, dS, delimitado por unas determinadas curvas sobre
el mismo, y su transformado sobre el plano, dS1 , delimitado por las transformadas de esas curvas, se
denomina módulo de deformación superficial al cociente entre el segundo y el primero,
k2 =
dS1
dS
Cap. III - 34
Será función de todos los puntos que definan el perímetro del recinto.
Si para cualquier recinto sobre el elipsoide su superficie coincide con la superficie del recinto
transformado sobre el plano, k2 =1, se dirá que la proyección es equivalente.
3.3 TEORÍA DE DEFORMACIONES. ELIPSE INDICATRIZ DE
TISSOT.
3.3.1 DEFINICIÓN DE LA ELIPSE INDICATRIZ DE TISSOT.
Sea P( ϕ, λ ) un punto del elipsoide. Considérese un círculo infinitesimal de radio diferencial, ds,
con centro en el punto P sobre el elipsoide. La ecuación del círculo se puede escribir,
ds 2 = ρ 2 ⋅ dϕ 2 + r 2 ⋅ dλ 2
Cap. III - 35
Sea la proyección cartográfica del elipsoide de revolución definida por las funciones,
x = f (ϕ , λ )
y = φ (ϕ , λ )
Cap. III - 36
Para obtener el transformado de este círculo en el plano de la proyección bastará escribir ( dϕ, dλ )
en función de ( dx, dy ). Para ello, se parte de,
dx = f ϕ ⋅ dϕ + f λ ⋅ dλ
dy = φϕ ⋅ dϕ + φλ ⋅ dλ
Cap. III - 37
(
)
y, resolviendo el sistema compatible determinado en incógnitas dϕ , dλ , se obtiene sin dificultad,
dϕ =
dλ =
φλ ⋅ dx − f λ ⋅ dy
f ϕ ⋅ φλ − f λ ⋅ φϕ
− φϕ ⋅ dx + f ϕ ⋅ dy
f ϕ ⋅ φλ − f λ ⋅ φϕ
Cap. III - 38
Sustituyendo en la ecuación del círculo sobre el elipsoide, se obtiene,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-8
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
(
ds 2 ⋅ f ϕ ⋅ φλ − f λ ⋅ φϕ
) = (ρ
2
2
)
⋅ φλ2 + r 2 ⋅ φϕ2 ⋅ dx 2 +
(
(
)
+ ρ 2 ⋅ f λ2 + r 2 ⋅ f ϕ2 ⋅ dy 2 +
)
− 2 ⋅ ρ 2 ⋅ φλ ⋅ f λ + r 2 ⋅ φϕ ⋅ f ϕ ⋅ dx ⋅ dy
Cap. III - 39
En esta ecuación las cantidades entre corchetes son constantes puesto que dependen únicamente del
punto P y por tanto la ecuación se puede expresar como,
A ⋅ dx 2 + B ⋅ dy 2 − 2 ⋅ C ⋅ dx ⋅ dy = D
Cap. III - 40
que no es sino la ecuación de una cónica. Esta cónica es una elipse dado que los coeficientes A y B tendrán
siempre signo positivo, tal y como se desprende de Cap.III-39.
Se concluye por tanto que la transformada de un círculo infinitesimal de radio ds centrado en un
punto P sobre el elipsoide se transforma, según una proyección cartográfica arbitraria, en una elipse centrada
en el transformado del punto, sobre el plano de la proyección. A esta elipse se la denomina Elipse de Tissot.
Si se transforma en una elipse habrá una dirección, la del semieje menor de la misma, en que la
deformación será mínima, y una dirección, la del semieje mayor, en que la deformación será máxima.
Además ambas direcciones serán perpendiculares sobre el plano por el hecho de la definición de una elipse y
corresponderán a transformadas de curvas perpendiculares sobre el elipsoide. A continuación se procede a
demostrar ambas proposiones.
Partiendo de la expresión del módulo de deformación lineal se buscan los máximos y mínimos del
mismo.
k1 2 =
ds1 2 E '⋅dϕ 2 + 2 ⋅ F '⋅dϕ ⋅ dλ + G '⋅dλ 2
=
ρ 2 ⋅ dϕ 2 + r 2 ⋅ dλ 2
ds 2
Cap. III - 41
puesto que,
tg θ =
ρ ⋅ dϕ
r ⋅ dλ
Cap. III - 42
donde, recuédese que θ no es el azimut geodésico. Dividiendo en el numerador y denominador por r2·dλ2 y a
partir de la expresión anterior,
k1 2
E'
G' 2 ⋅ F '
E '⋅dϕ 2
F '⋅dϕ ⋅ dλ G '⋅dλ 2
2
⋅ tg θ
+
⋅
2
2 ⋅ tg θ + 2 +
2
2
2
2 + 2
2
r⋅ ρ
ρ
r
⋅
⋅
⋅
r
d
r
d
r
d
λ
λ
λ
=
=
ρ 2 ⋅ dϕ 2 + r 2 ⋅ dλ 2
1 + tg 2 θ
r 2 ⋅ dλ 2
Cap. III - 43
1 + tg 2 θ =
1
cos 2 θ
Cap. III - 44
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-9
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
k12 =
G'
2 ⋅ F'
2
⋅ sen θ ⋅ cosθ =
2 ⋅ cos θ +
r⋅ρ
ρ
r
E'
G'
F'
⋅ sen(2 ⋅ θ )
= 2 ⋅ sen 2 θ + 2 ⋅ cos2 θ +
r⋅ρ
ρ
r
E'
2
⋅ sen 2 θ +
Cap. III - 45
Esta expresión da el valor del módulo de deformación lineal en un punto de un elemento de curva
diferencial en función del ángulo θ que forma la curva con el paralelo del punto. Encontrar las direcciones de
máxima y mínima deformación es tan sencillo como igualar a cero la derivada de la función.
2 ⋅ k1 ⋅ k1 ' = 2 ⋅
E'
ρ
2
⋅ cosθ ⋅ sen θ − 2 ⋅
F'
G'
cos( 2 ⋅ θ )
2 ⋅ cosθ ⋅ sen θ + 2 ⋅
r⋅ ρ
r
Cap. III - 46
Igualando a cero el numerador de la derivada,
2⋅
E'
ρ
E'
ρ
2
2
⋅ cosθ ⋅ sen θ − 2 ⋅
⋅ sen( 2 ⋅ θ ) −
G'
F'
cos( 2 ⋅ θ ) = 0
2 ⋅ cosθ ⋅ sen θ + 2 ⋅
r⋅ρ
r
G'
F'
( )
cos( 2 ⋅ θ ) = 0
2 ⋅ sen 2 ⋅ θ + 2 ⋅
r⋅ρ
r
Cap. III - 47
dividiendo por cos( 2 ⋅ θ )
 E ' G'  2 ⋅ F '
tg( 2 ⋅ θ ) ⋅  2 − 2  +
=0
r  r⋅ρ
ρ
2 ⋅ F'
r⋅ρ
2 ⋅ tg θ
tg( 2 ⋅ θ ) =
=
G ' E ' 1 − tg 2 θ
− 2
r2
Cap. III - 48
y, ordenando en tg θ ,
G' E '
−
r2 ρ 2
2
tg θ + tg θ ⋅
−1= 0
F'
r⋅ρ
Cap. III - 49
La resolución de esta ecuación de segundo grado dará las direcciones sobre el elipsoide de máxima
y mínima deformación.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-10
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
2
 E ' G' 
G'
 2 − 2
−
r 
ρ
ρ 2 r2
tgθ =
±
2 +1
F'


F
'
2⋅
2 ⋅

r⋅ ρ
 r⋅ ρ
E'
Cap. III - 50
Las dos raíces de estas ecuaciones, tgθ1 y tgθ2 , verifican las condiciones,
tg θ1 ⋅ tg θ2 = −1
Cap. III - 51
E'
tgθ1 + tg θ2 =
ρ
2
−
G'
r2
F'
r⋅ρ
Cap. III - 52
La primera prueba que las dos direcciones de mínima y máxima deformación son perpendiculares.
A las tangentes en el elipsoide a estas direcciones se las denomina tangentes principales y su ángulo recto no
se altera sobre la proyección.
Una vez que se ha demostrado que las direcciones de máxima y mínima deformación sobre el
elipsoide son perpendiculares se demostrará que sus transformadas son perpendiculares sobre el plano de la
proyección. Intuitivamente debe ser cierto dado que son los semiejes de la Elipse Indicatriz de Tissot.
Sean θ1’ y θ2’ las direcciones correspondientes sobre el plano de la proyección, medidos a partir del
eje x en sentido positivo y en sentido antihorario, a las tangentes principales.
Se sabe que,
tg θ ' =
dy φϕ ⋅ dϕ + φλ ⋅ dλ
=
dx f ϕ ⋅ dϕ + f λ ⋅ dλ
Cap. III - 53
pero,
tg θ =
ρ ⋅ dϕ
r
→ dϕ = tg θ ⋅ ⋅ dλ
ρ
r ⋅ dλ
Cap. III - 54
Sustituyendo Cap.III-54 en Cap.III-53,
tg θ ' =
φϕ ⋅
fϕ ⋅
r
ρ
r
ρ
⋅ tg θ ⋅ dλ + φλ ⋅ dλ
⋅ tg θ ⋅ dλ + f λ ⋅ dλ
Cap. III - 55
Dividiendo por r ⋅ dλ ,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-11
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
tg θ
1
ρ
r
tg θ ' =
tg θ
1
fϕ ⋅
+ fλ ⋅
r
ρ
φϕ ⋅
+ φλ ⋅
Cap. III - 56
Ahora se plantea el producto de tg θ1 '⋅ tg θ2 ' ,
φϕ ⋅
r
⋅ tg θ1 ⋅ dλ + φλ ⋅ dλ φϕ
ρ
tg θ1 '⋅ tg θ2 ' =
⋅
r
f ϕ ⋅ ⋅ tg θ1 ⋅ dλ + f λ ⋅ dλ f ϕ
ρ
⋅
⋅
r
ρ
r
ρ
⋅ tg θ2 ⋅ dλ + φλ ⋅ dλ
⋅ tg θ2 ⋅ dλ + f λ ⋅ dλ
Cap. III - 57
pero,
E'
tg θ1 ⋅ tg θ2 = −1
y
tgθ1 + tg θ2 =
ρ
2
−
G'
r2
F'
r⋅ρ
Cap. III - 58
y, operando convenientemente,
tg θ2
tg θ1
1
1
1
⋅ φϕ2 + φλ ⋅ ⋅ φϕ ⋅
+ φϕ ⋅
⋅ φλ ⋅ + φλ2 ⋅ 2
r
ρ
ρ
r
r
ρ
=
tg θ1 '⋅ tg θ2 ' =
tg θ2
tg θ1
1
1
1
1
2
2
− 2 ⋅ f ϕ + f λ⋅ ⋅ ⋅ f ϕ ⋅
+ fϕ ⋅
⋅ f λ⋅ ⋅ + f λ ⋅ 2
r
ρ
ρ
r
ρ
r
1
1
1
− 2 ⋅ φϕ2 +
⋅ φλ ⋅ φϕ ⋅ ( tg ϑ1 + tg θ2 ) + φλ2 ⋅ 2
r⋅ρ
ρ
r
=
1
1
1
− 2 ⋅ f ϕ2 +
⋅ f λ ⋅ ⋅ f ϕ ⋅ ( tg ϑ1 + tg θ2 ) + f λ2 ⋅ 2
r⋅ρ
ρ
r
 E ' G' 
 2 − 2
1
1
1
ρ
r 
2
− 2 ⋅ φϕ +
⋅ φλ ⋅ φϕ ⋅ 
+ φλ2 ⋅ 2
F
'
ρ
r⋅ρ
r




⋅
ρ
r


=
=
 E ' G' 
 2 − 2
1
1
1
ρ
r 
2
− 2 ⋅ fϕ +
⋅ f λ⋅ ⋅ f ϕ ⋅ 
+ f λ2 ⋅ 2
ρ
r⋅ρ
r
 F' 


 ρ ⋅r 
−
1
2
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-12
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
 E ' G' 
 2 − 2
1 2
1
ρ
r 
− 2 ⋅ φϕ + φλ ⋅ φϕ ⋅ 
+ φλ2 ⋅ 2
ρ
r
 F' 




=
 E ' G' 
 2 − 2
1
1
ρ
r 
2
− 2 ⋅ f ϕ + f λ⋅ ⋅ f ϕ ⋅ 
+ f λ2 ⋅ 2
ρ
r
 F' 




Cap. III - 59
pero,
E ' = f ϕ2 + φϕ2 → φϕ2 = E '− f ϕ2
G ' = f λ2 + φλ2 → φλ2 = G '− f λ2
F ' = f ϕ ⋅ f λ + φϕ ⋅ φλ → φϕ ⋅ φλ = F '− f ϕ ⋅ f λ
Cap. III - 60
y, sustituyendo,
 E ' G' 
 2 − 2
1
1
r 
2
ρ
+ ( G '− f λ2 ) ⋅ 2
2 ⋅ f ϕ − E ' + F '− f ϕ ⋅ f λ ⋅
r
ρ
 F' 




=
=
 E ' G' 
 2 − 2
1
1
r 
ρ
2
+ f λ2 ⋅ 2
− 2 ⋅ f ϕ + f λ⋅ ⋅ f ϕ ⋅ 
r
ρ
 F' 




(
) (
)
 E ' G' 
 2 − 2
E '  E ' G'  G'
1
r  1
2
ρ
− 2 ⋅ f λ2 − 2 +  2 − 2  + 2
2 ⋅ f ϕ − f λ⋅ ⋅ f ϕ ⋅
r  r
ρ
ρ ρ
 F'  r




=
= −1
 E ' G' 
 2 − 2
1
1
r 
ρ
2
− 2 ⋅ f ϕ + f λ⋅ ⋅ f ϕ ⋅ 
+ f λ2 ⋅ 2
r
ρ
 F' 




Cap. III - 61
En consecuencia,
tg θ1 '⋅ tg θ2 ' = −1
Cap. III - 62
Lo que implica la perpendicularidad de estas direcciones, tal y como se pretendía demostrar.
Con estos resultados se puede enunciar el teorema de Tissot: “ En cada punto de la superficie del
elipsoide existen dos direcciones y sólo dos, cuyas correspondientes en el plano también son ortogonales,
salvo que la proyección sea conforme.”
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-13
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
Para completar el estudio de las deformaciones introducidas por una proyección una vez definida la
Elipse Indicatriz de Tissot, se seterminará la deformación angular y superficial a partir de los semiejes de
esta elipse. Para ello debe considerarse la siguiente figura,
Ilustración III - 4
En esta figura se superpone el círculo de radio infinitesimal, ds=1, sobre el elipsoide y la elipse en
que se transforma debido a la proyección, haciendo corresponder los ejes a las direcciones de las tangentes
principales y a los semiejes de ambas figuras.
La identificación de los elementos definidos por la notación de la figura es,
Aξ, Aη, son las direcciones correspondientes a las tangentes principales,
(ξ ,η ) , son las coordenadas de A en el sistema anterior,
1
1
1
Aξ’, Aη’, son las direcciones del semieje mayor a, proyección de la dirección Aξ, y del semieje
menor b, proyección de Aη, respectivamente,
(ξ ', η ') , son las coordenadas de A’ en el sistema anterior.
1
1
1
Es evidente que la escala local en la dirección de los ejes será,
ξ'
= a → ξ' = a ⋅ ξ
ξ
η'
k 1η = = b → η' = b ⋅ η
η
k 1ξ =
Cap. III - 63
Llámese u al ángulo que forma AA1 con el eje Aξ, por lo que las coordenadas de A son,
ξ1 = cos u
η1 = sen u
Cap. III - 64
y,de acuerdo a la relación encontrada anteriormente entre los dos sistemas coordenados,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-14
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
ξ1 ' = a ⋅ cos u
η1 ' = b ⋅ sen u
Cap. III - 65
Para que esto se verifique la imagen de A1, es decir A’1 , debe estar situada en la recta QP que es la
formada por todos los puntos de abcisa a ⋅ cos u . Como además debe pertenecer a la elipse será el resultado
de la intersección de la recta QP con la elipse. Adviértase que la ordenada de A’1 es igual a la de C,
b ⋅ sen u .
Una vez definida la figura se estudiará, en primer lugar, la deformación angular.
3.3.2 DEFORMACIÓN ANGULAR A PARTIR DE LOS SEMIEJES DE LA
ELIPSE INDICATRIZ DE TISSOT.
Sean u u’ los ángulos PAA1 y PAA’1, respectivamente. Se tendrá que,
tg u =
η
ξ
→
tg u' =
tg u η ⋅ ξ ' a ⋅ cos u ⋅ sen u a
=
=
=
tg u' ξ ⋅ η' b ⋅ sen u ⋅ cos u b
η'
ξ'
Cap. III - 66
b
⋅ tg u por loque la representación disminuye todos los ángulos agudos que tengan
a
b
el eje Aξ como uno de sus lados ya que
< 1.
a
Luego tg u' =
La deformación angular será,
b 
 b − a
b
tg u ⋅  − 1 tg u ⋅ 

⋅
−
u
u
tg
tg
a 
 a 
tg u'− tg u
a
=
=
=
tg( u'− u) =
b
1 + tg u'⋅ tg u
a + b ⋅ tg 2 u
a + b ⋅ tg 2 u
1 + ⋅ tg u ⋅ tg u
a
a
a
( b − a ) ⋅ tg u
tg( u'− u) =
a + b ⋅ tg 2 u
Cap. III - 67
La deformación angular máxima se obtendrá derivando respecto a u e igualando a cero.
(b − a ) ⋅
1
1
⋅ ( a + b ⋅ tg 2 u) − ( b − a ) ⋅ tg u ⋅ 2 ⋅ tg u ⋅ b ⋅
=0
2
cos u
cos 2 u
Cap. III - 68
donde se ha prescindido del signo de la derivada. Operando,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-15
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
b−a
b
⋅ ( a + b ⋅ tg 2 u) − 2 ⋅ tg 2 u ⋅ ( b − a ) ⋅
=0
2
cos u
cos 2 u
 a + b ⋅ tg 2 u 2 ⋅ b ⋅ tg 2 u 
(b − a ) ⋅ 
−
=0
2
cos 2 u 
 cos u
( b − a ) ⋅ (a − b ⋅ tg 2 u) = 0
a − b ⋅ tg 2 u = 0 → tg u =
a
b
Cap. III - 69
Este será el valor de u para el que se presenta la máxima deformación. Para evaluar esta máxima
deformación, tg w = tg( u'− u) habrá que sustituir el valor obtenido de u,
tg( u'− u) =
tg w =
( b − a ) ⋅ tg u
a + b ⋅ tg u
2
a
b
(b − a ) ⋅
=
a +b⋅
a
b
=
b−a
a
a
+b⋅
b
a
b
=
b−a
b−a
=
a ⋅b + a ⋅b 2 ⋅ a ⋅b
b−a
2 ⋅ a ⋅b
Cap. III - 70
Se demuestra que u’ y u, para la máxima deformación, son complementarios,
b 
 b + a
b
tg u ⋅  + 1 tg u ⋅ 

⋅
+
u
u
tg
tg


 a 
tg u'+ tg u
a
a
=
=
=
tg( u'+ u) =
b
1 − tg u'⋅ tg u
a − b ⋅ tg 2 u
a − b ⋅ tg 2 u
1 − ⋅ tg u ⋅ tg u
a
a
a
( b + a ) ⋅ tg u
tg( u'+ u) =
a − b ⋅ tg 2 u
Cap. III - 71
Introduciendo ahora el valor de u para la máxima deformación,
tg( u'+ u) =
( b + a ) ⋅ tg u
a − b ⋅ tg u
2
a
b
(b + a ) ⋅
=
a −b⋅
a
b
=
b+a
a
a
−b⋅
b
a
b
=
b+a
b−a
=
=∞
0
a ⋅b − a ⋅b
Cap. III - 72
Luego u'+ u =
π
2
, por lo que son complementarios.
También se puede obtener una exprexión para el seno de la máxima deformación,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-16
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
a ⋅ cos u = r ⋅ cos u' → a ⋅ cos u ⋅ sen u = r ⋅ cos u'⋅ sen u
b ⋅ sen u = r ⋅ sen u' → b ⋅ sen u ⋅ cos u = r ⋅ sen u'⋅ cos u
Cap. III - 73
sumando y restando,
( a + b) ⋅ cos u ⋅ sen u = r ⋅ ( cos u'⋅ sen u + sen u'⋅ cos u)
( a − b) ⋅ cos u ⋅ sen u = r ⋅ ( cos u'⋅ sen u − sen u'⋅ cos u)
( a + b) ⋅ cos u ⋅ sen u = r ⋅ sen( u'+u)
( a − b) ⋅ cos u ⋅ sen u = −r ⋅ sen( u'− u)
sen( u'− u) a − b
a −b
−
=
→ sen( u'− u) = −
⋅ sen( u'+ u)
sen( u'+ u) a + b
a +b
Cap. III - 74
Considerando ahora la máxima deformación, u + u' =
π
2
→ sen( u'+ u) = 1
Resultando finalmente,
sen w = −
a −b
a +b
Cap. III - 75
A modo de resumen, la máxima deformación se podrá obtener a partir de la expresión del seno o de
la tangente, y u y u’ son complementarios.
Considérese ahora la deformación que experimenta un ángulo formado por dos direcciones
cualesquiera AM y AN al pasar al plano de la proyección. Ünicamente se consideran los dos casos de la
siguiente figura porque existe simetría con los otros cuadrantes y las deformaciones serán iguales a las
habidas en el primero, siendo las cuatro máximas deformaciones angulares iguales en valor absoluto y del
mismo signo las del primero-tercero y las del segundo-cuarto.
Ilustración III - 5
En el primer caso, las dos direcciones están en el primer cuadrante. La deformación del ángulo
MAN será la diferencia de deformaciones de cada una de las direcciones con respecto al eje Aξ.,
MAN − M ' AN ' = ( ANξ − AMξ ) − ( AN ' ξ '− AM ' ξ ') = ( ANξ − AN ' ξ ') − ( AMξ − AM ' ξ ')
Cap. III - 76
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-17
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
En el segundo caso las dos direcciones están en distinto cuadrante, la deformación será la suma de
ambos,
MAN − M ' AN ' = ( ANξ − AN ' ξ ') + ( AMξ − AM ' ξ ')
Cap. III - 77
Por lo tanto, la deformación angular máxima que pueda producirse es 2w porque, para cada caso
más desfavorable, se tendrá la suma de las deformaciones y en cada uno de los sumandos el mayor valor es
w. Esto verifica que AM y AN son simétricos con respecto al eje Aξ.
3.3.3 DEFORMACIÓN SUPERFICIAL A PARTIR DE LOS SEMIEJES DE LA
ELIPSE INDICATRIZ DE TISSOT.
La deformación superficial correspondiente a la proyección de un círculo de radio diferencial
centrado en un punto de la superficie del elipsoide de revolución, responderá a la relación entre la superficie
de la Elipse indicatriz de Tissot en que se transforma y la superficie del mismo,
k2 = σ =
π ⋅ a ⋅b
π ⋅r2
Cap. III - 78
Considerando radio unidad resultaría,
k2 = σ =
π ⋅a ⋅b
= a ⋅b
π ⋅r2
Cap. III - 79
es decir, el producto de los semiejes.
3.3.4 CÁLCULO DE LOS SEMIEJES DE LA ELIPSE INDICATRIZ DE TISSOT.
Los semiejes se pueden determinar a partir de las expresiones vistas en un apartado anterior.
Resuelta la ecuación de segundo grado se tendrán los valores del ángulo θ de las direcciones de máxima y
mínima deformación, de las tangentes principales. A continuación se sustituirían estos valores de θ en la
expresión que proporciona el valor de la deformación lineal en función de este ángulo y el problema estaría
resuelto.
Existe una forma alternativa a la anterior para obtener los semiejes que culmina en un sistema de
dos ecuaciones en que las dos incógnitas son precisamente los semiejes.
Sean k1m y k1p los módulos de deformación lineal en la dirección del meridiano y paralelo,
respectivamente. Las expresiones correspondientes son,
k 1m =
k 1m =
(
ds' m
E'
1
=
→ k 12m = 2 ⋅ f ϕ2 + φϕ2
ds
ρ
ρ
ds' p
ds
=
)
G'
1
→ k 12p = 2 ⋅ ( f λ2 + φλ2 )
r
r
Cap. III - 80
Estos módulos serán conocidos en el momento que esté definida la proyección.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-18
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
Llámense um y up a los ángulos, en el sistema definido, correspondientes al meridiano y al paralelo.
Es evidente que, en todo punto, u p − um =
π
2
. Llamemos I a la deformación que experimenta éste ángulo
al transformarse bajo la proyección,
u' p − u ' m =
π
2
+I
Cap. III - 81
La escala local en cualquier dirección, por ejemplo la correspondiente a AA1, se puede obtener por,
k1 =
A' A'1
AA1
2
2
A' A'1 = ξ ' 2 +η' 2 = ( a ⋅ cos u) + ( b ⋅ sen u)
AA1 = ξ 2 + η 2 = cos2 u + sen 2 u = 1
k 12 = a 2 ⋅ cos2 u + b 2 ⋅ sen 2 u
Cap. III - 82
Aplicando esto a las direcciones del meridiano y paralelo,
k 12m = a 2 ⋅ cos2 um + b 2 ⋅ sen 2 um
k 12p = a 2 ⋅ cos 2 u p + b 2 ⋅ sen 2 u p
Cap. III - 83
Sumando las dos expresiones anteriores,
(
)
(
k12m + k12p = a 2 ⋅ cos2 um + cos2 u p + b 2 ⋅ sen 2 um + sen 2 u p
)
Cap. III - 84
pero,
π

cos2 u p = cos2  um +  = sen 2 um

2
π

sen 2 u p = sen 2  um +  = cos2 um

2
Cap. III - 85
Por tanto,
k12m + k12p = a 2 + b 2
Cap. III - 86
En cualquier dirección se cumple,
k1 =
r
ds
Cap. III - 87
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-19
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
y, también,
cos u' =
ξ'
cos u'
η'
η'
sen u' = → r =
r
sen u'
cos u =
sen u =
r
ξ'
→r=
ξ
ds
η
ds
ξ
→ ds =
cos u
→ ds =
Cap. III - 88
η
sen u
y, sustituyendo en la expresión anterior del módulo de deformación lineal, se obtiene,
ξ'
k1 =
k1 =
cos u'
→ pero ξ = cos u → k 1 =
ξ
cos u
η'
sen u'
η
→ pero η = sen u → k 1 =
ξ'
cos u'
η'
sen u'
=
a ⋅ cos u
→ k 1 ⋅ cos u' = a ⋅ cos u
cos u'
=
b ⋅ sen u
→ k 1 ⋅ sen u' = b ⋅ sen u
sen u'
sen u
Cap. III - 89
Aplicando esto a las direcciones del meridiano y del paralelo, se llegan a las siguientes cuatro
expresiones,
k 1m ⋅ cos u' m = a ⋅ cos um
k 1m ⋅ sen u' m = b ⋅ sen um
k 1 p ⋅ cos u' p = a ⋅ cos u p
k 1 p ⋅ sen u' p = b ⋅ sen u p
Cap. III - 90
Multiplicando la 1ª por la 4ª y la 2ª por la 3ª se obtienen las dos expresiones siguientes,
k 1m ⋅ k 1 p ⋅ cos u' m ⋅ sen u' p = a ⋅ cos um ⋅ b ⋅ sen u p
k 1m ⋅ k 1 p ⋅ sen u' m ⋅ cos u' p = b ⋅ sen um ⋅ a ⋅ cos u p
Cap. III - 91
Restando la 2ª de la 1ª,
(
)
(
k 1m ⋅ k 1 p ⋅ cos u' m ⋅ sen u' p − sen u' m ⋅ cos u' p = a ⋅ b ⋅ cos um ⋅ sen u p − sen um ⋅ cos u p
(
)
(
k 1m ⋅ k 1 p ⋅ sen u' p − u' m = a ⋅ b ⋅ sen u p − um
)
)
Cap. III - 92
pero,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-20
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
(
)
sen u p − um = sen
π
2
=1
π

sen u' p − u' m = sen + I  = cos I

2
(
)
Cap. III - 93
Por tanto,
k 1m ⋅ k 1 p ⋅ cos I = a ⋅ b = k 2 = σ
Cap. III - 94
Retomando también,
k 12m + k 12p = a 2 + b 2
Cap. III - 95
Se obtendrán ahora las expresiones del cuadrado de la suma y diferencia de los semiejes,
( a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2 ⋅ a ⋅ b = k12m + k12p + 2 ⋅ σ
( a − b) 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b = k12m + k12p − 2 ⋅ σ
Cap. III - 96
Sustituyendo las expresiones de los módulos de deformación lineal en la dirección del meridiano y
del paralelo y el móldulo de deformación superficial,
( a + b) 2 =
( a − b) 2 =
1
ρ
2
1
ρ
2
(
)
(
)
1
⋅ ( f λ2 + φλ2 ) +
r2
1
+ 2 ⋅ ( f λ2 + φλ2 ) −
r
⋅ f ϕ2 + φϕ2 +
⋅ f ϕ2 + φϕ2
(
)
(
)
2
⋅ φ ⋅ f − f ϕ ⋅ φλ
ρ ⋅r ϕ λ
2
⋅ φ ⋅ f − f ϕ ⋅ φλ
ρ ⋅r ϕ λ
Cap. III - 97
Operando convenientemente se puede comprobar que las expresiones anteriores son equivalentes a
las siguientes,
2
2
2
2
1

1

1
1
( a + b) =  ⋅ φϕ + ⋅ f λ  +  ⋅ f ϕ − ⋅ φλ 
r
r
ρ

ρ

2
1

1

1
1
( a − b) =  ⋅ f ϕ + ⋅ φλ  +  ⋅ φϕ − ⋅ f λ 
r
r
ρ

ρ

2
Cap. III - 98
De estas dos ecuaciones se pueden deducir los valores de los semiejes.
Se procede a continuación a determinar la deformación I. Aplicando,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-21
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
k 1m ⋅ k 1 p ⋅ cos I = a ⋅ b = k 2 = σ
cos I =
σ
k 1m ⋅ k 1 p
sen I = 1 − cos 2 I = 1 −
(
)
σ2
k 12m ⋅ k 12p
(
)
2
1
1
= 2 2 ⋅ φϕ2 ⋅ f λ2 + φλ2 ⋅ f ϕ2 − 2 ⋅ φϕ ⋅ f λ ⋅ φλ ⋅ f ϕ
2 ⋅ φϕ ⋅ f λ − φλ ⋅ f ϕ
ρ ⋅r
ρ ⋅r
1
k 12m ⋅ k12p = 2 2 ⋅ f ϕ2 ⋅ f λ2 + f ϕ2 ⋅ φλ2 + φϕ2 ⋅ f λ2 + φϕ2 ⋅ φλ2
ρ ⋅r
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2 ⋅ f ϕ ⋅ f λ + φϕ ⋅ φλ + 2 ⋅ φϕ ⋅ f λ ⋅ φλ ⋅ f ϕ
2
⋅
−
σ
k
k
ρ ⋅r
σ
F '2
1m
1p
1− 2
=
=
= 2 2 2
ρ ⋅ r ⋅ k1m ⋅ k12p
k 1m ⋅ k 12p
k 12m ⋅ k12p
k 12m ⋅ k 12p
σ2 =
2
(
)
(
)
Cap. III - 99
Por tanto, finalmente,
sen I =
F'
ρ ⋅ r ⋅ k1m ⋅ k1 p
Cap. III - 100
En muchas proyecciones se cumple que I = 0 , y por tanto F' = 0 , es decir, el ángulo formado por
la transformada de meridiano y paralelo es recto. En estos casos,
(
= (k
( a + b) 2 = k1m + k1 p
( a − b) 2
1m
− k1 p
)
)
2
2
Cap. III - 101
dado que k 1m ⋅ k 1 p ⋅ cos I = a ⋅ b → k 1m ⋅ k 1 p = a ⋅ b .
Esto da lugar a que las tangentes principales coincidan con el meridiano y paralelo, en dos
posibilidades,
a = k 1m
b = k1 p
y
o
b = k 1m
y
a = k1 p
Cap. III - 102
3.4 CONDICIONES DE CONFORMIDAD.
La mayor parte de las proyecciones más utilizadas en la actualidad a nivel mundial son conformes.
Se obtienen a partir de imponer la condición de conformidad a proyecciones que en principio se
fundamentan en principios geométricos.
A continuación se procede a tratar con detalle la condición de conformidad que consiste, tal y como
ha sido enunciado anteriormente, en la conservación de la magnitud y el sentido de los ángulos.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-22
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
3.4.1 EQUIVALENCIA ENTRE LA CONDICIÓN DE CONFORMIDAD Y LA
CONDICIÓN DE QUE EN TODO PUNTO LA ELIPSE DE TISSOT SEA UN
CÍRCULO.
Se puede expresar la condición de conformidad exigiendo que, en cada punto, la Elipse Indicatriz
de Tissot tenga por ecuación la de una circunferencia. Esto es equivalente a exigir que los semiejes mayor y
menor coincidan, por lo que el módulo de deformación lineal puntual no variará con la dirección. El objetivo
de este apartado es demostrarlo.
No hay que confundir la exigencia mencionada con que además el radio coincida en todo punto. Si
en todo punto la elipse fuese un circunferencia y además el radio coincidiese para cualquier punto del
elipsoide estaríamos frente a una proyección conforme y equidistante. No se exigie que el radio sea igual
para todo punto.
A continuación se va a demostrar que, manteniéndose la proporcionalidad de las distancias en un
punto en cualquier dirección, se conservan los ángulos.
Sea la siguiente figura,
Ilustración III - 6
La pregunta a si la proyección es conforme se plantea de la siguiente forma.
θ 1 − θ 2 = ω1 − ω2
→
¿?
Cap. III - 103
Para encontrar respuesta a esta pregunta habrá que comprobar la igualdad de los dos términos de la
ecuación.
ρ ⋅ dϕ1
r ⋅ dλ 1
ρ ⋅ dϕ2
tg θ2 =
r ⋅ dλ 2
tg θ1 =
Cap. III - 104
tg ω1 =
dy1
dx1
gω 2 =
dy2
dx2
Cap. III - 105
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-23
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
dx1 = f ϕ ⋅ dϕ1 + f λ ⋅ dλ 1
1
dx2 = f ϕ ⋅ dϕ2 + f λ ⋅ dλ 2
dy1 = φϕ ⋅ dϕ1 + φλ ⋅ dλ 1
dy2 = φϕ ⋅ dϕ2 + φλ ⋅ dλ 2
Cap. III - 106
Las tangentes se obtienen según,
a) En el elipsoide.
tg( θ 1 − θ 2 ) =
tg θ 1 − tg θ 2
1 + tg θ 1 ⋅ tg θ 2
tg θ 1 − tg θ 2 =
ρ ⋅ dϕ 1 ρ ⋅ dϕ 2 ρ ⋅ ( dϕ 1 ⋅ dλ 2 − dϕ 2 ⋅ dλ 1 )
−
=
r ⋅ dλ 1 ⋅ dλ 2
r ⋅ dλ 1 r ⋅ dλ 2
1 + tg θ 1 ⋅ tg θ 2 = 1 +
ρ ⋅ dϕ 1 ρ ⋅ dϕ 2 r 2 ⋅ dλ 1 ⋅ dλ 2 + ρ 2 ⋅ dϕ 1 ⋅ dϕ 2
⋅
=
r ⋅ dλ 1 r ⋅ dλ 2
r 2 ⋅ dλ 1 ⋅ dλ 2
Cap. III - 107
y, en consecuencia,
tg( θ 1 − θ 2 ) =
ρ ⋅ r ⋅ ( dϕ 1 ⋅ dλ 2 − dλ 1 ⋅ dϕ 2 )
r 2 ⋅ dλ 1 ⋅ dλ 2 + ρ 2 ⋅ dϕ 1 ⋅ dϕ 2
Cap. III - 108
b) En el plano,
tg(ω1 − ω2 ) =
tg ω1 − tg ω2
1 + tg ω1 ⋅ tg ω2
tg ω1 − tg ω2 =
dy1
dy
dx ⋅ dy1 − dx1 ⋅ dy2
− 2 = 2
dx 1 dx 2
dx1 ⋅ dx2
1 + tg ω1 ⋅ tg ω2 = 1 +
dy1 dy2
dx ⋅ dx2 + dy1 ⋅ dy2
⋅
= 1
dx 1 dx 2
dx1 ⋅ dx2
Cap. III - 109
y, en consecuencia,
tg( ω1 − ω2 ) =
dy1 ⋅ dx 2 − dx1 ⋅ dy 2
dx1 ⋅ dx 2 + dy1 ⋅ dy 2
Cap. III - 110
Desarrollando la expresión de la tangente del ángulo en el plano y sustituyendo,
tg( ω1 − ω2 ) =
( dϕ
1
(
⋅ dλ 2 − dλ 1 ⋅ dϕ 2 ) ⋅ φ ϕ ⋅ f λ − φ λ ⋅ f ϕ
)
E '⋅dϕ 1 ⋅ dϕ 2 + G '⋅dλ 1 ⋅ dλ 2 + F '⋅( dϕ 1 ⋅ dλ 2 + dλ 1 ⋅ dϕ 2 )
Cap. III - 111
Supóngase que la elipse de Tissot es una circunferencia, deformación lineal independiente de la
dirección. Recuérdese que la deformación en las transformadas del meridiano y paralelo responden a:
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-24
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
k12 =
k12 =
E'
ρ2
→ E ' = k12 ⋅ ρ 2
G'
→ G ' = k12 ⋅ r 2
r2
Cap. III - 112
que implica,
G' E '
−
=0
r2 ρ 2
Cap. III - 113
Recuédese, asimismo, la ecuación de segundo grado que permitía obtener las direcciones de máxima
y mínima deformación,
G' E '
−
r2 ρ 2
2
tg θ + tg θ ⋅
−1= 0
F'
r⋅ ρ
Cap. III - 114
que se puede escribir,
 G' E '  F '
F'
=0
⋅ tg 2θ + tg θ ⋅  2 − 2  −
r⋅ ρ
ρ  r⋅ ρ
r
Cap. III - 115
que el caso particular que se está estudiando resulta,
F'
F'
⋅ tg 2θ −
=0
r⋅ρ
r⋅ρ
Cap. III - 116
Y, por tanto, la exigencia de que la deformación lineal sea independiente de la dirección, es decir,
que la ecuación de segundo grado anterior no tenga solución, obliga a que F' = 0 .
Sustituyendo las ecuaciones Cap.III-112 en Cap.III-111,
tg(ω1 − ω2 ) =
(dϕ1 ⋅ dλ 2 − dλ 1 ⋅ dϕ2 ) ⋅ (φϕ ⋅ f λ − φλ ⋅ f ϕ )
k12 ⋅ ρ 2 ⋅ dϕ1 ⋅ dϕ2 + k12 ⋅ r 2 ⋅ dλ 1 ⋅ dλ 2
Cap. III - 117
Por otra parte, el módulo de deformación superficial, k2, adopta por expresión,
k2 =
dS1 φϕ ⋅ f λ − f ϕ ⋅ φλ
=
= a⋅b
dS
ρ ⋅r
Cap. III - 118
Pero en el supuesto establecido coinciden los semiejes de la Elipse Indicatriz de Tissot, por lo que,
k 2 = k 12
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-25
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
Cap. III - 119
Y, de esto se desprende que,
φϕ ⋅ f λ − f ϕ ⋅ φλ
ρ ⋅r
φϕ ⋅ f λ − f ϕ ⋅ φλ = k12 ⋅ ρ ⋅ r
k12 = k 2 =
Cap. III - 120
Sustituyendo Cap.III-120 en Cap.III-117 resulta,
tg(ω1 − ω2 ) =
( dϕ
⋅ dλ 2 − dλ 1 ⋅ dϕ2 ) ⋅ ρ ⋅ r
ρ ⋅ dϕ1 ⋅ dϕ2 + r 2 ⋅ dλ 1 ⋅ dλ 2
1
2
Cap. III - 121
que coincide con la ecuación del ángulo en el elipsoide, es decir,
tg( ω1 − ω2 ) = tg( θ 1 − θ 2 )
Cap. III - 122
Luego queda demostrado que si en todo punto el módulo de deformación lineal es independiente de
la dirección, es decir, la Elipse Indicatriz de Tissot se particulariza en una circunferencia, la proyección es
conforme.
3.4.2 CONDICIONES DE CONFORMIDAD.
De acuerdo a la conclusión del apartado anterior, imponer la condición de conformidad coincide con
imponer que la deformación lineal sea independiente de la dirección en todo punto. Esta condición se
impone, de acuerdo a lo estudiado anteriormente, con las ecuaciones,
G' E '
−
=0
r2 ρ 2
F' = 0
Cap. III - 123
Estas son las condiciones de conformidad.
También se pueden expresar,
F = fϕ ⋅ f λ + φϕ ⋅ φ λ = 0
1
ρ
2
(
)
⋅ f ϕ2 + φ ϕ2 =
1
2
2
2 ⋅( fλ + φλ )
r
Cap. III - 124
Se llega a otra forma de expresar las condiciones de conformidad retomando la expresión,
2
(a − b)
2
1

1  1
1
=  ⋅ f ϕ + ⋅ φλ  +  ⋅ φϕ − ⋅ f λ 
r  ρ
r
ρ

2
Cap. III - 125
debido a la igualdad de los semiejes los dos sumandos deben ser nulos luego,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-26
TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
r
1
⋅ f ϕ = − ⋅ φλ → ⋅ f ϕ = −φλ
ρ
ρ
r
r
1
1
⋅ φϕ = ⋅ f λ
→ ⋅ φϕ = f λ
ρ
ρ
r
1
Cap. III - 126
Introduciendo la latitud creciente, cuya descripción se encuentra en el apéndice II se obtienen, como
condiciones de conformidad, las condiciones de Cauchy-Riemann.
dΦ =
ρ
r
⋅ dϕ → LATITUD CRECIENTE
fϕ = f Φ ⋅ Φϕ = f Φ ⋅
φϕ = φΦ ⋅ Φϕ = φΦ ⋅
ρ
r
ρ
r
Cap. III - 127
Sustituyendo en Cap.III-126,
f Φ = −φλ
φΦ = f λ
Cap. III - 128
Si en lugar de Cap.III-125 se considera,
2
( a + b)
2
1
 1
1
1 
=  ⋅ φϕ + ⋅ f λ  +  ⋅ f ϕ − ⋅ φλ 
r
r 
ρ
 ρ
2
Cap. III - 129
operando de igual forma se llega a,
f Φ = φλ
φΦ = − f λ
Cap. III - 130
Por tanto, finalmente, las condiciones de conformidad se expresarían,
f Φ = mφλ
φΦ = ± f λ
Cap. III - 131
Las condiciones anteriores coinciden con las condiciones de Cauchy-Riemann que son tratadas con
detalle en el apéndice III.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
3-27
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
4. PROYECCIÓN
UNIVERSAL
MERCATOR ( U.T.M ).
TRANSVERSA
DE
4.1 INTRODUCCIÓN.
En un tema posterior se estudiará el desarrollo cilíndrico directo conforme de Mercator. La
representación de Mercator transversa no es sino una generalización de la anterior con el cilindro en posición
transversa, es decir, tangente a lo largo de un meridiano y no del ecuador con el eje del cilindro en el plano
del ecuador..
El fundamento de esta proyección es similar a las proyecciones cilíndrica conforme transversa de
Lambert y proyección de Gauss-Krüger.
La siguiente figura ilustra la idea de esta proyección.
Ilustración IV - 1
La proyección transversa de Mercator es, actualmente, la más utilizada de todas las proyecciones, de
acuerdo a la recomendación de la Asociación Internacional de Geodesia y Geofísica. Algunos países que la
utilizan son: Estados Unidos, Australia, el Reino Unido, Alemania,... En Alemania recibe el nombre de
proyección de Gauss-Kruger. En la antigua U.R.S.S. fue introducida en 1930.
Al final de la II Guerra Mundial, fue propuesta por el A.M.S de E.E.U.U. para propósitos militares
para toda la Tierra, a excepción de las regiones polares, con el nombre de Universal Transversa de Mercator
( U.T.M. ). Su carácter de universalidad será analizado a continuación. Para las regiones con latitud
geodésica mayor a 80º se recurre a una proyección estereográfica polar.
En España, el decreto nº 2992/1968, por el que se aprueban las bases para una nueva
reglamentación de la cartografía militar, en su base cuarta, dice : “ Se utilizará como elipsoide de referencia
el internacional o de Hayford, el datum europeo ( Postdam ), la proyección Universal Transversa de
Mercator ( U.T.M. ) y su correspondiente cuadrícula. “
De igual forma, el decreto nº 2303/1970, en su artículo primero, dispone : “ Para la revisión y nueva
edición del Mapa Topográfico Nacional en escala ! :50000 y para la restante cartografía que publique el
Instituto Geográfico y Catastral, se adopta como reglamentaria la proyección Universal Transversa de
Mercator ( U.T.M. ), única que será utilizada en lo sucesivo. La distribución en husos y zonas será la
internacional.”
Un sistema cilíndrico transverso conforme, utilizado para toda la superficie de referencia, tiene el
inconveniente de que, a medida que se produce una separarión en longitud del meridiano de tangencia, las
deformaciones aumentan, llegando a alcanzar valores inadmisibles, tal y como se desprende de la siguiente
figura.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-1
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
Ilustración IV - 2
La universalidad se consigue recurriendo al artificio de subdividir la superficie de referencia, el
elipsoide de revolución, en 60 husos iguales de 6º de amplitud. En cada huso se considerará un desarrollo
cilíndrico conforme transverso. Se tendrán por tanto 60 proyecciones iguales, pero referida cada una al
meridiano central del huso respectivo y al ecuador. Dado que la superficie de referencia es una superficie de
revolución las expresiones que resuelvan el paso directo e inverso, los estudios de deformaciones,... serán
iguales para cada una de las 60 proyecciones sin mas que particularizar la longitud geodésica del meridiano
central correspondiente. En estas razones se fundamenta su elección para constituir un sistema cartográfico
mundial.
El primer huso comprende las longitudes: 180º E. a 186º E. o -180º W a -174º W. Los husos crecen,
a partir de este primer huso, hacia el W. De esta forma, el meridiano de Greenwich es el de separación entre
los husos 30 y 31.
La proyección U.T.M. se define bajo las siguientes condiciones:
1. La proyección es conforme.
2. El plano de referencia donde se define el sistema rectangular es único para todas las zonas.
3. Los errores causados por las deformaciones propias de la proyección no exceden a una tolerancia
dada.
4. La transformada del meridiano central de cada huso es una línea isométrica ( formada por puntos
con igual coeficiente de deformación lineal k0=0.9996 ). Esta condición, al ser el meridiano una
geodésica del elipsoide, convierte a su transformada en una recta.
5. Las expresiones de transformación son las mismas para cualquier zona, siempre que se suponga
una misma superficie de referencia, un mismo elipsoide.
6. La convergencia de meridianos no excede nunca los 5º.
El motivo de que el meridiano central de cada huso no sea automecoico, sino que presente un
módulo de deformación lineal de k0=0.9996 en todos sus puntos, es que se aplica el artificio de Tissot para
reducir las deformaciones en los extremos de cada huso. Esto se traduce en que el cilindro deja de ser
tangente para pasar a ser secante.
El territorio nacional se encuentra en los husos: 29, 30 y 31, a excepción de las Islas Canarias que se
localizan en los husos 27 y 28.
Por el hecho de que haya que de utilizar diferentes husos en nuestro territorio nacional, habrá ciertas
situaciones extremas, cuando se trabaja en el límite entre dos husos, en que se planteará el problema de tener
las coordenadas de la proyección en dos sistemas de referencia distintos, uno para cada huso. Sin embargo, la
solución de este problema no entraña ninguna dificultad, de acuerdo a como será estudiado en el apéndice V.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-2
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
4.2 FUNCIONES QUE DEFINEN LA PROYECCIÓN.
4.2.1 INTRODUCCIÓN.
Para llegar a definir las funciones que resuelven el paso directo, paso de un punto sobre el elipsoide
al correspondiente sobre el plano de la proyección, y el inverso, paso de un punto sobre el plano de la
proyección al correspondiente sobre el elipsoide, cumpliendo con las condiciones impuestas a la proyección,
es preciso recurrir a la teoría de proyecciones conformes a partir de funciones de variable compleja
desarrollada en el apéndice III.
Se parte de la consideración de dos planos complejos. Uno asociado a un sistema isométrico de
coordenadas sobre el elipsoide (Φ, ∆λ ), latitud creciente e incremento de longitud geodésica respecto del
meridiano central de cada huso. Otro asociado a un sistema isométrico de coordenadas sobre el plano de la
proyección ( x, y ). La teoría correspondiente a los sistemas isométricos de coordenadas sobre una superficie
se encuentra desarrollada en el apéndice I.
El problema de resolver el paso directo se reduce a encontrar una función de variable compleja que
relacione los dos planos antes definidos y cumpla con las condiciones impuestas a la proyección:
y + i ⋅ x = f ( Φ + i ⋅ ∆λ )
Cap. IV - 1
Para el paso inverso habrá que encontrar, de igual forma, otra función de variable compleja:
Φ + i ⋅ ∆λ = F ( y + i ⋅ x )
Cap. IV - 2
Si ambas funciones son derivables, y por tanto analíticas, en el dominio de trabajo, que no incluye a
los polos, la proyección así definida cumplirá con una de las condiciones impuestas, la de conformidad.
En las siguientes figuras aparece la definición del sistema de referencia para cada huso.
Ilustración IV - 3
Como eje de ordenadas se adopta la transformada del meridiano central del huso, el meridiano de 3º
de longitud geodésica W para el huso 30 p.e., y como eje de abcisas la transformada del ecuador geodésico.
De esta forma, el origen del sistema de referencia de la proyección tendrá por coordenadas geodésicas: 0º de
latitud geodésica y λ0 de longitud geodésica. Cualquier otro punto del huso tendrá con respecto al mismo un
incremento de latitud geodésica, o creciente ∆Φ ( o Φ directamente ), y un incremento de longitud geodésica
∆λ.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-3
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
Es evidente que, de acuerdo a esta definición del sistema de referencia sobre la proyección,
cualquier punto que tenga un incremento de longitud geodésica negativa, este al oeste del meridiano central
del huso, tendrá una coordenada ( x ) negativa y que, cualquier punto que tenga un incremento de latitud
creciente negativa, pertenezca al hemisferio sur, tendrá una coordenada ( y ) negativa. En el caso de la
península ibérica el único supuesto de los anteriores que afecta es el primero, para cada uno de los husos, y
se soluciona considerando una traslación de 500000 m. al eje de ordenadas al oeste del meridiano central del
huso respectivo.
4.2.2 PROBLEMA DIRECTO. PASO DE COORDENADAS GEODÉSICAS A
U.T.M.
Se parte de expresar la transformación mediante una función de variable compleja. Esta relaciona
dos planos complejos correspondientes a dos sistemas de coordenadas isométricos : uno sobre la proyección,
coordenadas ( x, y ), y otro sobre el elipsoide, latitud creciente e incremento de longitud geodésica respecto
del meridiano central del huso respectivo.
Si esta función es analítica, es decir, diferenciable, en todo el entorno de trabajo, la proyección así
definida cumplirá con la primera de las condiciones que se le impone, la condición de conformidad.
y + i ⋅ x = f ( Φ + i ⋅ ∆λ )
Cap. IV - 3
Considérese el desarrollo en serie de Taylor de la función en torno al punto Φ. Toda la teoría de
desarrollo en serie de Taylor de las funciones reales de variable real es extensible al caso de las funciones de
variable compleja. Evidentemente para que se pueda aplicar este desarrollo a una función compleja se exige
que tenga las derivadas correspondientes al desarrollo. Por esto último, el aplicar este desarrollo obliga a que
se cumpla la condición de conformidad. Aplicado el desarrollo en serie de Taylor obtenemos:
f ( Φ + i ⋅ ∆λ ) = f ( Φ) +
( i ⋅ ∆λ ) 1  ∂ f ( Φ ) 
1!
⋅
 +
 ∂ Φ Φ
( i ⋅ ∆λ ) 2  ∂ 2 f ( Φ ) 
2!
⋅
2  +
 ∂ Φ Φ
( i ⋅ ∆λ ) 3  ∂ 3 f ( Φ ) 
3!
⋅
3  +...
 ∂ Φ Φ
Cap. IV - 4
El número que aparece como superíndice de la función indica el orden de la derivada.
El aplicar el desarrollo en serie de Taylor para el valor de Φ implica que se aplica en la
transformada del meridiano central del huso, eje ( y ) de la proyección, y el incremento que hemos de
considerar para la variable es i ⋅ ∆λ .
Para que exista la derivada de una función de variable compleja es preciso que el valor de la misma
en un punto no varíe en función de la dirección en la que nos acerquemos al punto. Esto permite calcular la
derivada en cualquier dirección del plano complejo correspondiente al elipsoide, se calculará en la dirección
de la transformada del meridiano central del huso, en la dirección de Φ, por comodidad.
Las distintas derivadas que aparecen en el desarrollo en serie de Taylor se particularizan en el valor
de la variable en la que hemos particularizado el desarrollo, es decir, en Φ.
De acuerdo a la relación ( i2 =-1 ), en las potencias pares desaparecerá la componente imaginaria. En
el desarrollo habrá por tanto sumandos reales e imaginarios. Se igualarán a los correspondientes del otro
miembro, resultando:
( ∆λ ) 3  ∂ 3 f ( Φ)  ( ∆λ ) 5
 ∂ f ( Φ) 
x = ∆λ ⋅ 
−
⋅
+

3!  ∂ Φ 3  Φ
5!
 ∂ Φ Φ
 ∂ 5 f ( Φ) 
⋅
5 
 ∂ Φ Φ
Cap. IV - 5
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-4
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
y = f ( Φ) −
( ∆λ ) 2  ∂ 2 f ( Φ) 
2!
⋅
 +
2
 ∂ Φ Φ
( ∆λ ) 4  ∂ 4 f ( Φ) 
4!
⋅
 −
4
 ∂ Φ Φ
( ∆λ ) 6  ∂ 6 f ( Φ) 
6!
⋅

6
 ∂ Φ Φ
Cap. IV - 6
Es evidente que, cuanto mayor sea ( i ⋅ ∆λ ) , mayor será el número de términos que será preciso
considerar en el desarrollo de Taylor. De acuerdo a un incremento de longitud geodésica máximo en valor
absoluto de 3º dentro de un huso, es suficiente con limitar el desarrollo a los términos que figuran en las
ecuaciones anteriores para asegurar la precisión del milímetro. Con esto se cumple la tercera de las seis
condiciones impuestas a la proyección.
La segunda condición, que el meridiano central sea una línea isométrica, igual coeficiente de escala
en todos sus puntos k0 ( correspondiente al artificio de Tissot ), es muy fácil de imponer al haber considerado
el desarrollo en serie de Taylor de la función en el punto ( Γ, ∆λ = 0 ) . Si consideramos la transformada del
meridiano central, puntos con ( ∆λ = 0), obtenida por las funciones anteriores se aprecia que : la coordenada
( x ) de cualquier punto de la misma es nula pues todos los coeficientes de la función que da la coordenada (
x ) vienen multiplicados por una potencia de ( ∆λ ) y la coordenada ( y ) vendrá dada por el único término
que no está multiplicado por una potencia de ( ∆λ ), es decir,
y = f ( Φ)
Cap. IV - 7
En la siguiente figura se ilustra la consideración que se esta realizando. Para un punto P aparecen la
transformada de su meridiano y paralelo. Se aprecia como la transformada del meridiano es una curva que
tiende hacia el eje de ordenadas a medida que aumenta la latitud. Esto es evidente puesto que la transformada
del polo estará situada sobre el eje de ordenadas. Dado que es una proyección conforme, el paralelo se debe
transformar según una curva que se aproxima al eje de abcisas a medida que decrece el incremento de
longitud geodésica respecto del meridiano central del huso para conservar el ángulo recto con la
transformada del meridiano. El punto en que se particulariza el desarrollo en serie de Taylor es el punto R
dado que tiene la misma latitud creciente, y por tanto la misma latitud geodésica, que el punto P.
Ilustración IV - 4
Si se impone la condición de que se conserven las distancias multiplicadas por el coeficiente k0
,constante a lo largo de esta línea, esto se traduce en imponer,
ϕ
y = f ( Φ) = k 0 ⋅ ∫ ρ ⋅ dϕ = k 0 ⋅ β (ϕ )
0
Cap. IV - 8
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-5
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
Representando la función β(ϕ), de acuerdo a la nomenclatura acostumbrada en la bibliografía, la
longitud del arco de meridiano que es tratada con todo detalle en el apéndice IV.
El imponer esta condición permite definir una ecuación diferencial que debe satisfacer la función
buscada:
∂ f ( Φ)
= k0 ⋅ ρ
∂ϕ
Cap. IV - 9
Sólo resta calcular las derivadas de esta función.
f 1 ( Φ) =
∂f
∂f ∂ϕ
=
⋅
∂Φ ∂ϕ ∂Φ
Cap. IV - 10
De acuerdo a la ecuación diferencial anterior y a partir de la definición de la latitud creciente,
dΦ =
ρ
r
⋅ dϕ →
∂ϕ r
=
∂Φ ρ
Cap. IV - 11
Se tendrá que,
f 1 ( Φ) =
r
∂f
∂f ∂ϕ
=
⋅
= k 0 ⋅ ρ ⋅ = k 0 ⋅ r = k 0 ⋅ ν ⋅ cos ϕ
∂Φ ∂ϕ ∂Φ
ρ
Cap. IV - 12
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-6
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
Para las derivadas superiores se necesitá considerar los siguientes cambios de variable,
V 2 = 1 + e' 2 ⋅ cos2 ϕ = 1 + η 2
t = tanϕ
Cap. IV - 13
Diferenciando,
2 ⋅ V ⋅ dV = 2 ⋅ e' 2 ⋅ cosϕ ⋅ ( − sen ϕ ) ⋅ dϕ
dV
e' 2 ⋅sinϕ ⋅ cosϕ
η2 ⋅t
= Vϕ = −
=−
dϕ
V
V
y
2 ⋅ η ⋅ dη = 2 ⋅ e' 2 ⋅ cosϕ ⋅ ( − sen ϕ ) ⋅ dϕ
dη
e' 2 ⋅ sen ϕ ⋅ cosϕ
η2 ⋅t
= ηϕ = −
=−
= −η ⋅ t
dϕ
η
η
Cap. IV - 14
También se debe obtener,
dt = sec 2 ϕ ⋅ dϕ = ( 1 + t 2 ) ⋅ dϕ →
dt
= tϕ = 1 + t 2
dϕ
Cap. IV - 15
Los valores de los radios principales de curvatura, ν y ρ, a partir de la variable V antes definida y de
la constante c, son:
a −b
a
a2
=
, con f =
1− f
b
a
c=
c η2 ⋅ t
c
c
→ dν = 2 ⋅ − Vϕ ⋅ dϕ = 2 ⋅
⋅ dϕ
V
V
V
V
c
ρ= 3
V
ν ⋅ η2 ⋅ t
dν
2
= νϕ = ρ ⋅ η ⋅ t =
dϕ
V2
(
ν=
)
Cap. IV - 16
c
c η2 ⋅ t
⋅
−
V
⋅
d
ϕ
=
3
⋅
⋅
⋅ dϕ
ϕ
V4
V4 V
3 ⋅ ρ ⋅ η2 ⋅ t 3 ⋅ν ⋅ η2 ⋅ t
= ρϕ =
=
V2
V4
c ⋅ cos ϕ
r
= = V
= V 2 ⋅ cos ϕ
c
ρ
V3
dρ = 3 ⋅
dρ
dϕ
dϕ
dΓ
( )
Cap. IV - 17
Se procede a continuación a determinar las derivadas siguientes del desarrollo en serie de Taylor.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-7
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
- Derivada segunda:
∂ 2 f ( Φ) ∂ f 1 ( Φ)
=
∂ Φ2
∂Φ
∂ ( k 0 ⋅ ν ⋅ cos ϕ ) ∂ ϕ
⋅
= k 0 ⋅ ( cos ϕ ⋅ ρ ⋅ η 2 ⋅ t − ν ⋅ sen ϕ ) ⋅ V 2 ⋅ cos ϕ =
f 2 (Φ) =
∂ϕ
∂Φ
f
2
(Φ) =
(
)
= k 0 ⋅ ν ⋅ η 2 ⋅ sinϕ ⋅ cos ϕ − ν ⋅ V 2 ⋅ sinϕ ⋅ cos ϕ =
(
= k 0 ⋅ ν ⋅ sinϕ ⋅ cos ϕ ⋅ η 2 − 1 − η 2
f
2
)
(Φ) = − k 0 ⋅ ν ⋅ sen ϕ ⋅ cos ϕ
Cap. IV - 18
- Derivada tercera:
∂ 3 f ( Φ) ∂ f 2 ( Φ)
=
∂ Φ3
∂Φ
∂ ( − k 0 ⋅ ν ⋅ cos ϕ ⋅ sen ϕ ) ∂ ϕ ∂ ( − k 0 ⋅ ν ⋅ t ⋅ cos2 ϕ ) ∂ ϕ
⋅
=
⋅
=
f 3 ( Φ) =
∂ϕ
∂Φ
∂ϕ
∂Φ
f 3 ( Φ) =


ν ⋅ η2 ⋅ t
2
= k 0 ⋅ − t ⋅ cos ϕ ⋅
+ ν ⋅ t ⋅ 2 ⋅ cos ϕ ⋅ sen ϕ − ν ⋅ cos2 ϕ ⋅ (1 + t 2 ) ⋅ V 2 ⋅ cos ϕ =
2
V


[
]
= k 0 ⋅ − ν ⋅ cos3 ϕ ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 2 ⋅ ν ⋅ V 2 ⋅ t ⋅ sen ϕ ⋅ cos2 ϕ − ν ⋅ V 2 ⋅ cos3 ϕ ⋅ (1 + t 2 ) =
[
]
= − k 0 ⋅ ν ⋅ cos3 ϕ ⋅ η 2 ⋅ t 2 − 2 ⋅ V 2 ⋅ t 2 + V 2 ⋅ (1 + t 2 ) =
= − k 0 ⋅ ν ⋅ cos3 ϕ ⋅ [η 2 ⋅ t 2 − ⋅V 2 ⋅ t 2 + V 2 ] =
[
= − k 0 ⋅ ν ⋅ cos3 ϕ ⋅ η 2 ⋅ t 2 − ⋅(1 + η 2 ) ⋅ t 2 + (1 + η 2 )
f 3 ( Φ) = − k 0 ⋅ ν ⋅ cos3 ϕ ⋅ [1 + η 2 − t 2 ]
]
Cap. IV - 19
- Derivada cuarta:
f
4
(Φ) =
f
4
(Φ) =
∂ 4 f ( Φ) ∂ f 3 (Φ)
=
∂ Φ4
∂Φ
∂ − k 0 ⋅ ν ⋅ cos3 ϕ ⋅ (1 + η 2 − t 2 )
(
∂ϕ
)⋅∂ϕ
∂Φ
Cap. IV - 20
Primero se deriva,
∂ (1 + η 2 − t 2 )
= 2 ⋅ η ⋅ ( −η ⋅ t ) − 2 ⋅ t ⋅ ( 1 + t 2 ) = −2 ⋅ η 2 ⋅ t − 2 ⋅ t ⋅ ( 1 + t 2 )
∂ϕ
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-8
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
f
4
( Φ) =
(
∂ − k 0 ⋅ ν ⋅ cos3 ϕ ⋅ (1 + η 2 − t 2 )
∂ϕ
)⋅∂ϕ =
∂Φ

ν ⋅ η2 ⋅ t
= k 0 ⋅ − cos3 ϕ ⋅ (1 + η 2 − t 2 ) ⋅
+ ν ⋅ (1 + η 2 − t 2 ) ⋅ 3 ⋅ cos2 ϕ ⋅ sen ϕ −
V2

)]
(
− ν ⋅ cos3 ϕ ⋅ − 2 ⋅ η 2 ⋅ t − 2 ⋅ t ⋅ (1 + t 2 ) ⋅ V 2 ⋅ cos ϕ =
(
= k 0 ⋅ ν ⋅ cos3 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ [− η 2 ⋅ (1 + η 2 − t 2 ) + 3 ⋅V 2 ⋅ (1 + η 2 − t 2 ) + V 2 ⋅ 2 ⋅ η 2 + 2 ⋅ (1 + t 2 )
[
= k 0 ⋅ ν ⋅ cos3 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ − η 2 − η 4 + η 2 ⋅ t 2 + 3 ⋅ (1 + η 2 ) ⋅(1 + η 2 − t 2 ) +
(1 + η ) ⋅ ( 2 ⋅ η
2
2
)]
]
+ 2 + 2⋅t2) =
= k 0 ⋅ ν ⋅ cos ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ [− η − η 4 + η 2 ⋅ t 2 + 3 + 3 ⋅ η 2 − 3 ⋅ t 2 + 3 ⋅ η 2 + 3 ⋅ η 4 − 3 ⋅ η 2 ⋅ t 2 +
3
2
+ 2 ⋅η2 + 2 + 2 ⋅ t 2 + 2 ⋅η4 + 2 ⋅η2 + 2 ⋅η2 ⋅ t 2 ] =
f
4
( Φ) = k 0 ⋅ ν ⋅ cos3 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ (5 + 9 ⋅ η 2 − t 2 + 4 ⋅ η 4 )
Cap. IV - 21
- Derivada quinta:
f
5
f
5
( Φ) =
( Φ) =
∂ 5 f ( Φ) ∂ f 4 ( Φ) ∂ f 4 ( Φ) ∂ ϕ
=
=
⋅
∂Φ
∂ϕ
∂Φ
∂ Φ5
(
∂ k 0 ⋅ ν ⋅ cos3 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ ( 5 + 9 ⋅ η 2 − t 2 + 4 ⋅ η 4 )
∂ϕ
)⋅∂ϕ
∂Φ
Cap. IV - 22
En primer lugar se deriva,
∂ (5 + 9 ⋅ η 2 − t 2 + 4 ⋅ η 4 )
= 18 ⋅ η ⋅ ( −η ⋅ t ) − 2 ⋅ t ⋅ ( 1 + t 2 ) + 16 ⋅ η 3 ⋅ ( −η ⋅ t ) = −18η 2 ⋅ t − 2 ⋅ t ⋅ ( 1 + t 2 ) − 16 ⋅ η 4 ⋅ t
∂ϕ
(
)
∂ k 0 ⋅ ν ⋅ cos3 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ ( 5 + 9 ⋅ η 2 − t 2 + 4 ⋅ η 4 ) ∂ ϕ
f ( Φ) =
⋅
=
∂ϕ
∂Φ
5
ν ⋅ η 2 ⋅ t
= k0 ⋅ 
⋅ cos3 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ ( 5 + 9 ⋅ η 2 − t 2 + 4 ⋅ η 4 ) +
2
V

ν ⋅ ( 5 + 9 ⋅ η 2 − t 2 + 4 ⋅ η 4 ) ⋅ (sen ϕ ⋅ 3 ⋅ cos2 ϕ ⋅ ( − sen ϕ ) + cos3 ϕ ⋅ cosϕ ) +
)]
(
ν ⋅ cos3 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ − 18 ⋅ η 2 ⋅ t − 2 ⋅ t ⋅ (1 + t 2 ) − 16 ⋅ η 4 ⋅ t ⋅V 2 ⋅ cosϕ =
[
= k 0 ⋅ ν ⋅ cos5 ϕ ⋅ η 2 ⋅ t 2 ⋅ ( 5 + 9 ⋅ η 2 − t 2 + 4 ⋅ η 4 ) + (1 + η 2 ) ⋅ ( 5 + 9 ⋅ η 2 − t 2 + 4 ⋅ η 4 ) ⋅ ( − 3 ⋅ t 2 + 1) +
(
)]
+ t ⋅ (1 + η 2 ) ⋅ − 18 ⋅ η 2 ⋅ t − 2 ⋅ t ⋅ (1 + t 2 ) − 16 ⋅ η 4 ⋅ t =
= k 0 ⋅ ν ⋅ cos5 ϕ ⋅ [5 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 9 ⋅ η 4 ⋅ t 2 − η 2 ⋅ t 4 + 4 ⋅ η 6 ⋅ t 2 +5 + 9 ⋅ η 2 − t 2 + 4 ⋅ η 4 −
− 15 ⋅ t 2 − 27 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 3 ⋅ t 4 − 12 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 5 ⋅ η 2 + 9 ⋅ η 4 − η 2 ⋅ t 2 + 4 ⋅ η 6 −
− 15 ⋅ η 2 ⋅ t 2 − 27 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 3 ⋅⋅η 2 ⋅ t 4 − 12 ⋅ η 6 ⋅ t 2 +
]
+ ( t + η 2 ⋅ t ) ⋅ ( − 18 ⋅ η 2 ⋅ t − 2 ⋅ t − 2 ⋅ t 3 − 16 ⋅ η 4 ⋅ t ) =
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-9
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
= k 0 ⋅ ν ⋅ cos5 ϕ ⋅ [5 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 9 ⋅ η 4 ⋅ t 2 − η 2 ⋅ t 4 + 4 ⋅ η 6 ⋅ t 2 +5 + 9 ⋅ η 2 − t 2 + 4 ⋅ η 4 −
− 15 ⋅ t 2 − 27 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 3 ⋅ t 4 − 12 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 5 ⋅ η 2 + 9 ⋅ η 4 − η 2 ⋅ t 2 + 4 ⋅ η 6 −
− 15 ⋅ η 2 ⋅ t 2 − 27 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 3 ⋅⋅η 2 ⋅ t 4 − 12 ⋅ η 6 ⋅ t 2 +
− 18 ⋅ η 2 ⋅ t 2 − 2 ⋅ t 2 − 2 ⋅ t 4 − 16 ⋅ η 4 ⋅ t 2 −
− 18 ⋅ η 4 ⋅ t 2 − 2 ⋅ η 2 ⋅ t 2 − 2 ⋅ η 2 ⋅ t 4 − 16 ⋅ η 6 ⋅ t 2 ]
f 5 ( Φ) = k 0 ⋅ ν ⋅ cos5 ϕ ⋅ ( 5 − 18 ⋅ t 2 + t 4 + 14 ⋅ η 2 − 58 ⋅ η 2 ⋅ t 2 − 64 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 13 ⋅ η 4 + 4 ⋅ η 6 − 24 ⋅ η 6 ⋅ t 2 )
Cap. IV - 23
- Derivada sexta.
Para simplificar las expresiones que se desarrollan a continuación se considera la notación de forma
que:
−
f 5 ( Φ) = k 0 ⋅ ν ⋅ cos5 ϕ ⋅ x
x = 5 − 18 ⋅ t 2 + t 4 + 14 ⋅ η 2 − 58 ⋅ η 2 ⋅ t 2 − 64 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 13 ⋅ η 4 + 4 ⋅ η 6 − 24 ⋅ η 6 ⋅ t 2
Cap. IV - 24
f
6
( Φ) =
∂ 6 f (Φ) ∂ f 5 (Φ) ∂ f 5 ∂ ϕ
=
=
⋅
=
∂ Φ6
∂Φ
∂ϕ ∂Φ
ν ⋅ η 2 ⋅ t
1 ∂ x  2
= k0 ⋅ 
⋅ x ⋅ cos5 ϕ + 5 ⋅ ν ⋅ x ⋅ cos4 ⋅ ( − sen ϕ ) + ν ⋅ cos5 ϕ ⋅ t ⋅  ⋅
  ⋅ V ⋅ cos ϕ
2
 t ∂ ϕ
 V

= − k o ⋅ ν ⋅ cos5 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ − η 2 ⋅ x + 5 ⋅ x ⋅ 1 + η 2 − 1 + η 2

(
) (

) ⋅  1t ⋅ ∂∂ ϕx  

Cap. IV - 25
Con los siguientes resultados intermedios,
− η 2 ⋅ x = −5 ⋅ η 2 + 18 ⋅ η 2 ⋅ t 2 − η 2 ⋅ t 4 − 14 ⋅ η 4 + 58 ⋅ η 4 ⋅ t 2 − 13 ⋅ η 6 + 64 ⋅ η 6 ⋅ t 2 − 4 ⋅ η 8 + 24 ⋅ η 8 ⋅ t 2
5 ⋅ x ⋅ (1 + η 2 ) = 25 − 90 ⋅ t 2 + 5 ⋅ t 4 + 95 ⋅ η 2 − 380 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 5 ⋅ η 2 ⋅ t 4 + 135 ⋅ η 4 −
− 610 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 85 ⋅ η 6 − 440 ⋅ η 6 ⋅ t 2 + 20 ⋅ η 8 − 120 ⋅ η 8 ⋅ t 2
1 ∂ x 
− (1 + η 2 ) ⋅  ⋅
 = 36 + 32 ⋅ t 2 − 4 ⋅ t 4 + 180 ⋅ η 2 + 32 ⋅ η 2 ⋅ t 2 − 4 ⋅ η 2 ⋅ t 4 + 324 ⋅ η 4 −
t ∂ ϕ
− 128 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 252 ⋅ η 6 − 224 ⋅ η 6 ⋅ t 2 + 72 ⋅ η 8 − 96 ⋅ η 8 ⋅ t 2
Resultando, finalmente :
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-10
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
f 6 ( Φ) = − k 0 ⋅ ν ⋅ cos5 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ ( 61 − 58 ⋅ t 2 + t 4 + 270 ⋅ η 2 − 330 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 445 ⋅ η 4 −
− 680 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 324 ⋅ η 6 − 600 ⋅ η 6 ⋅ t 2 + 88 ⋅ η 8 − 192 ⋅ η 8 ⋅ t 2 )
Cap. IV - 26
Si se retoman las expresiones de las funciones de la transformación se tendrá,

( ∆λ ) 3
x = 500000 + k 0 ⋅ ∆λ ⋅ ν ⋅ cosϕ +
⋅ ν ⋅ cos3 ϕ ⋅ (1 − t 2 + η 2 ) +
6

+
( ∆λ )5

⋅ ν ⋅ cos5 ϕ ⋅ ( 5 − 18 ⋅ t 2 + t 4 + 14 ⋅ η 2 − 58 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 13 ⋅ η 4 − 64 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 4 ⋅ η 6 − 24 ⋅ η 6 ⋅ t 2 ) 
120

Cap. IV - 27
2
4

∆λ )
∆λ )
(
(
2
y = k 0 ⋅ β (ϕ ) +
⋅ ν ⋅ t ⋅ cos ϕ +
⋅ ν ⋅ t ⋅ cos4 ϕ ⋅ 5 − t 2 + 9 ⋅ η 2 + 4 ⋅ η 4 +
2
24

(
6
∆λ )
(
+
⋅ ν ⋅ t ⋅ cos6 ϕ ⋅
720
(61 − 58 ⋅ t
2
)
+ t 4 + 270 ⋅ η 2 − 330 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 445 ⋅ η 4 −
− 680 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 324 ⋅ η 6 − 600 ⋅ η 6 ⋅ t 2 + 88 ⋅ η 8 − 192 ⋅ η 8 ⋅ t 2
)]
Cap. IV - 28
Con los valores de :
η 2 = e'2 ⋅ cos2 ϕ
t = tanϕ
Cap. IV - 29
4.2.3 PROBLEMA
GEODÉSICAS.
INVERSO.
PASO
DE
COORDENADAS
U.T.M.
A
Este problema consiste en determinar qué punto sobre la superficie del elipsoide de revolución se
corresponde con un punto del plano de la proyección ( x, y ). Se supondrá en adelante que se ha anulado la
traslación en el eje de ordenadas de 500000 m, es decir, a la coordenada ( x ) se le ha restado ese valor. Se
supondrá, igualmente, que se han dividido ambas coordenadas, la ( x ) después de efectuar la resta anterior,
por el k0 correspondiente al artificio de Tissot. En definitiva, se parte de :
x=
y=
( x − 500000)
k0
y
k0
Cap. IV - 30
Se plantea el problema inverso de forma similar al problema directo. Se define una función de
variable compleja que relaciona dos planos complejos : plano de la proyección y superficie del elipsoide de
revolución, parametrizados por ( x, y ) y por (Φ, ∆λ ), respectivamente. Ahora el dominio de la función será
el plano de la proyección y el resultado de su aplicación corresponderá al elipsoide.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-11
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
Φ + i ⋅ ∆λ = F ( y + i ⋅ x )
Cap. IV - 31
De nuevo se aplica un desarrollo en serie de Taylor particularizado en la componente real, es decir,
en el punto ( y+ i·0 ) sobre la proyección, sobre el meridiano central del huso. Pero, si se retoma Ilustración
IV-4 se observa que la coordenada ( y ) se corresponderá con la longitud de arco del meridiano central de
una latitud ϕ’, punto F, mayor que la real del punto P :
ϕ'
y = β (ϕ ) = ∫ ρ '⋅dϕ
0
Cap. IV - 32
El problema de obtener el valor de la latitud a partir del desarrollo del arco de meridiano está
resuelto en el apéndice IV.
Una vez determinado el valor de ϕ’ se obtiene el valor para la latitud creciente,Φ’, que no es el
buscado :
ϕ'
Φ' =
ρ'
∫ r ' ⋅ dϕ
0
Cap. IV - 33
Por tanto, se puede escribir el desarrollo en serie de Taylor de la función de variable compleja
definida según,
(i ⋅ x)
(i ⋅ x)
i⋅x 1
Φ + i ⋅ ∆λ = F ( y + i ⋅ x ) = F ( y ) y +
⋅ F ( y) y +
⋅ F 2 ( y) y +
⋅ F 3 ( y ) y +... =
1!
2!
3!
2
3
(i ⋅ x)
(i ⋅ x)
i⋅x 1
= Φ '+
⋅ F ( y) y +
⋅ F 2 ( y) y +
⋅ F 3 ( y ) y +...
1!
2!
3!
2
3
Cap. IV - 34
Estableciendo la correspondencia entre la parte real e imaginaria de ambos miembros de la igualdad
se tendrá que la latitud creciente dependerá de los términos con potencia par de ( i·x ) y el incremento de
longitud geodésica de los términos con potencia impar :
(i ⋅ x) 2
(i ⋅ x) 4
⋅ F 2 ( y) y +
⋅ F 4 ( y) y +
(i ⋅ x) 6
⋅ F 6 ( y ) y +...
2!
4!
6!
(i ⋅ x) 3 3
(i ⋅ x) 5 5
i⋅x 1
i ⋅ ∆λ =
⋅ F ( y) y +
⋅ F ( y) y +
⋅ F ( y ) y +...
1!
3!
5!
Φ = Φ '+
Cap. IV - 35
Todas las derivadas deberán particularizarse en el valor conocido de la latitud, ϕ’. Esto es
equivalente a particularizar el desarrollo en el punto F.
( )
Conocida la función F y = Γ' =
ϕ'
ρ'
∫ r ' ⋅ dϕ ,
sólo restará diferenciar convenientemente para
0
alcanzar las funciones de la transformación inversa. Es conveniente servirse de las siguientes identidades :
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-12
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
∂ F ρ'
=
∂ ϕ r'
ϕ
β (ϕ ) = ∫ ρ '⋅dϕ = y
0
∂β
=1
∂y
∂ϕ 1
→
=
∂ β ρ'
→
Cap. IV - 36
- Primera derivada :
F 1 ( y) =
∂ F ∂ F ∂ ϕ ∂ β ρ' 1
1
1
=
⋅
⋅
= ⋅ ⋅1 = =
r ' ν '⋅ cos ϕ '
∂ y ∂ ϕ ∂ β ∂ y r' ρ'
Cap. IV - 37
- Segunda derivada :
F 2 ( y) =
∂F
=
∂y
1
 1 

 ν '⋅cosϕ '  ∂ ϕ ∂ β
⋅
⋅
∂ϕ
∂β ∂y
∂
ν '⋅η'2 ⋅t '
∂  1  − V '2 ⋅ cos ϕ '+ν '⋅ sen ϕ '
=

=
∂ ϕ  ν '⋅cosϕ ' 
ν '2 ⋅ cos2 ϕ '
−
ν '⋅η'2 ⋅t '
+ ν '⋅t '
1 + η'2
=
ν '2 ⋅ cos ϕ '
ν '⋅t '
− ν '⋅η'2 ⋅t '+ν '⋅t '+η'2 ⋅ν '⋅t '
2
1 + η'
1 + η'2
= 2
=
ν '2 ⋅ cos ϕ '
ν ' ⋅ cos ϕ '
ν '⋅t '
2
ν' 1
1
t'
t'
c 1 V '3
V
'
⋅ =
⋅
⋅ =
⋅ ⋅
⋅
F ( y) = 2
ν ' ⋅ cos ϕ ' ρ ' ν '2 ⋅ cos ϕ ' V ' 2 ρ ' ν '2 ⋅ cos ϕ ' V ' V '2 c
t'
F 2 ( y) = 2
ν ' ⋅ cos ϕ '
2
Cap. IV - 38
- Tercera derivada :
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-13
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
∂F
=
∂y
2
F 3 ( y) =


t'

2
 ν ' ⋅cosϕ '  ∂ ϕ ∂ β
⋅
⋅
∂ϕ
∂β ∂y
∂
(1 + t '2 ) ⋅ ν '2 ⋅cosϕ '−2 ⋅ ν '⋅ ν 'V⋅η''2 ⋅t ' ⋅ t '⋅ cosϕ '+t '⋅ν '2 ⋅ sen ϕ '
2

∂ 
t'
 2
=
∂ ϕ  ν ' ⋅cosϕ ' 
ν ' 4 ⋅ cos2 ϕ '
(1 + t '2 ) ⋅ ν '−2 ⋅ ν 'V⋅η''2 ⋅t ' ⋅ t '+t '2 ⋅ν '
ν'
2
=
ν ' ⋅ cosϕ '
3
ν'
= V'
2
2
= V'
[
⋅ (1 + t ' 2 ) ⋅ (1 + η' 2 ) − 2 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 + t ' 2 ⋅(1 + η' 2 )
ν ' ⋅ cosϕ '
3
⋅ [1 + t ' 2 +η' 2 +η' 2 ⋅t ' 2 −2 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 + t ' 2 +η' 2 ⋅t ' 2 ]
ν ' 3 ⋅ cosϕ '
ν'
2
F ( y) = V '
3
=
ν'
2
= V'
]
=
⋅ (1 + η' 2 +2 ⋅ t ' 2 )
ν ' 3 ⋅ cosϕ '
⋅ (1 + η' 2 +2 ⋅ t ' 2 ) 1 (1 + η' 2 +2 ⋅ t ' 2 )
⋅ =
ν ' 3 ⋅ cosϕ '
ρ'
ν ' 3 ⋅ cosϕ '
Cap. IV - 39
- Cuarta derivada :
 (1 + η' 2 +2 ⋅ t ' 2 ) 

∂
3
3
'
⋅
cos
'
ν
ϕ

 ∂ϕ ∂β
F
∂
=
⋅
⋅
F 4 ( y) =
∂y
∂ϕ
∂β ∂y
 ν '⋅η' ⋅t '

− 2 ⋅ η' ⋅t '+4 ⋅ t '⋅(1 + t ' )) ⋅ ν ' ⋅ cosϕ '− 3 ⋅
⋅ ν ' ⋅ cosϕ '−ν ' ⋅ sen ϕ ' ⋅ (1 + η' +2 ⋅ t ' )
(
 (1 + η' +2 ⋅ t ' ) 
V'


=

=
2
2
∂
∂ϕ
2
ν ' 3 ⋅ cosϕ '
2
3
2
2
3
2
2
2
ν ' 6 ⋅ cos2 ϕ '

(− 2 ⋅ η' ⋅t '+4 ⋅ t '⋅(1 + t ' )) ⋅ ν '− 3 ⋅ ν 'V⋅η'' ⋅t ' − ν '⋅t ' ⋅ (1 + η' +2 ⋅ t ' )
2
2
2
2
2
2
=
ν ' 4 ⋅ cosϕ '


 η' 2 
2
2
1
1
2
t
−
⋅
+
+
⋅
η
'
'

(
)

 V '2 

=
ν '⋅t '⋅− 2 ⋅ η' 2 +4 ⋅ (1 + t ' 2 ) −  3 ⋅

=
ν'
2
= V'
ν'
2
= V'
ν ' 4 ⋅ cosϕ '
[
(
)
=
⋅ t '⋅ ( − 2 ⋅ η' 2 +4 + 4 ⋅ t ' 2 ) ⋅ (1 + η' 2 ) − 3 ⋅ η' 2 −(1 + η' 2 ) ⋅ (1 + η' 2 +2 ⋅ t ' 2 )
ν ' ⋅ cosϕ '
4
]=
[
⋅ t '⋅ − 2 ⋅ η' 2 +4 + 4 ⋅ t ' 2 −2 ⋅ η' 4 +4 ⋅ η' 2 +4 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 −( 2 ⋅ η' 2 −1) ⋅ (1 + η' 2 +2 ⋅ t ' 2 )
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
ν ' 4 ⋅ cosϕ '
4-14
]
=
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
ν'
2
= V'
ν'
2
= V'
ν'
2
F ( y) = V '
4
⋅ t '⋅[ 4 + 2 ⋅ η' 2 +4 ⋅ t ' 2 −2 ⋅ η' 4 +4 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 +1 + η' 2 +2 ⋅ t ' 2 −2 ⋅ η' 2 −2 ⋅ η' 4 −4 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 ]
ν ' 4 ⋅ cosϕ '
⋅ t '⋅[ 5 + η' 2 −4 ⋅ η' 4 +6 ⋅ t ' 2 ]
ν ' 4 ⋅ cosϕ '
⋅ t '⋅(5 + η'2 −4 ⋅ η'4 +6 ⋅ t '2 ) 1 t '⋅(5 + η '2 −4 ⋅ η '4 +6 ⋅ t '2 )
⋅ =
ν '4 ⋅ cos ϕ '
ρ
ν '4 ⋅ cos ϕ '
Cap. IV - 40
- Quinta derivada :
∂ F4
=
F ( y) =
∂y
5
 t '⋅(5 + η' 2 −4 ⋅ η' 4 +6 ⋅ t ' 2 ) 

ν '4 ⋅ cos ϕ '

 ∂ϕ ∂β
⋅
⋅
∂ϕ
∂β ∂y
∂
[
)]
(
 t '⋅( 5 + η' 2 −4 ⋅ η' 4 +6 ⋅ t ' 2 ) 
(1 + t ' 2 ) ⋅ (5 + η' 2 −4 ⋅ η' 4 +6 ⋅ t ' 2 ) + t '⋅ − 2 ⋅ η' 2 ⋅t '+16 ⋅ η' 4 ⋅t '+12 ⋅ t '⋅(1 + t ' 2 ) ⋅ ν ' 4 ⋅ cosϕ '
=
−
∂ 

ν ' 4 ⋅ cosϕ '
ν '8 ⋅ cos 2 ϕ '


=
[5 + η'


ν '⋅η' 2 ⋅t '
− ν ' 4 ⋅ sen ϕ '
t '⋅( 5 + η' 2 −4 ⋅ η' 4 +6 ⋅ t ' 2 ) ⋅  4 ⋅ ν ' 3 ⋅ cos ϕ '⋅
V '2


−
=
8
2
ν ' ⋅ cos ϕ '
2
−4 ⋅ η' 4 +6 ⋅ t ' 2 +5 ⋅ t ' 2 +η' 2 ⋅t ' 2 −4 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 +6 ⋅ t ' 4 −2 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 +16 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 +12 ⋅ t ' 2 +12 ⋅ t ' 4 ] ⋅ ν '
ν '5 ⋅ cosϕ '
−
 ν '⋅η' 2 ⋅t '

− ν '⋅t '
t '⋅( 5 + η' 2 −4 ⋅ η' 4 +6 ⋅ t ' 2 ) ⋅  4 ⋅
2
V'


−
=
3
⋅
ν ' cosϕ '
=
[5 + 23 ⋅ t '
2
+18 ⋅ t ' 4 +η' 2 −4 ⋅ η' 4 −η' 2 ⋅t ' 2 +12 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 ] ⋅ ν '
ν ' 5 ⋅ cosϕ '
(5 ⋅ t '
−
2
−

1 + η' 2 
η' 2
 ⋅ν'
+η' 2 ⋅t ' 2 −4 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 +6 ⋅ t ' 4 ) ⋅  4 ⋅
−
2
2 
 (1 + η ' ) ( 1 + η ' ) 
=
ν ' 5 ⋅ cosϕ '
ν'
=
V '2
⋅ [5 + 23 ⋅ t ' 2 +18 ⋅ t ' 4 +η' 2 −4 ⋅ η' 4 −η' 2 ⋅t ' 2 +12 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 +
ν ' ⋅ cosϕ '
5
+ 5 ⋅ η' 2 +23 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 +18 ⋅ η' 2 ⋅t ' 4 +η' 4 −4 ⋅ η' 6 −η' 4 ⋅t ' 2 +12 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 +
+ 5 ⋅ t ' 2 +η' 2 ⋅t ' 2 −4 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 +6 ⋅ t ' 4 −15 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 −3 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 +12 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 −18 ⋅ η' 2 ⋅t ' 4 ] =
ν'
2
V
= 5 '
⋅ [5 + 28 ⋅ t ' 2 +24 ⋅ t ' 4 +6 ⋅ η' 2 +8 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 −3 ⋅ η' 4 +4 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 − 4 ⋅ η' 6 +24 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 ]
ν ' ⋅ cosϕ '
ν'
2
1
⋅ [5 + 28 ⋅ t ' 2 +24 ⋅ t ' 4 +6 ⋅ η' 2 +8 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 −3 ⋅ η' 4 +4 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 − 4 ⋅ η' 6 +24 ⋅ η' 6 ⋅t' 2 ] ⋅
F 5 ( y ) = 5V '
ρ
ν ' ⋅ cosϕ '
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-15
=
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
F 5 ( y) =
1
ν '5 ⋅ cosϕ '
⋅ [ 5 + 28 ⋅ t ' 2 +24 ⋅ t ' 4 +6 ⋅ η' 2 +8 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 −3 ⋅ η' 4 +4 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 − 4 ⋅ η' 6 +24 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 ]
Cap. IV - 41
- Sexta derivada.
Para obtener la sexta derivada se considera primero la derivada de la expresión que aparece entre
paréntesis en la quinta derivada.
x(ϕ ) = 5 + 28 ⋅ t ' 2 +24 ⋅ t ' 4 +6 ⋅ η' 2 +8 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 −3 ⋅ η' 4 +4 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 −4 ⋅ η' 6 +24 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2
∂x
= 56 ⋅ t '⋅(1 + t ' 2 ) + 96 ⋅ t ' 3 ⋅(1 + t ' 2 ) − 12 ⋅ η' 2 ⋅t '−16 ⋅ η' 2 ⋅t ' 3 +16 ⋅ η' 2 ⋅t '⋅(1 + t ' 2 ) + 12 ⋅ η' 4 ⋅t '−
∂ϕ
− 16 ⋅ η' 4 ⋅t ' 3 +8 ⋅ η' 4 ⋅t '⋅(1 + t ' 2 ) + 24 ⋅ η' 6 ⋅t '−144 ⋅ η' 6 ⋅t ' 3 +48 ⋅ η' 6 ⋅t '⋅(1 + t ' 2 ) =
= 56 ⋅ t '+56 ⋅ t ' 3 +96 ⋅ t ' 3 +96 ⋅ t '5 −12 ⋅ η' 2 ⋅t '−16 ⋅ η' 2 ⋅t ' 3 +16 ⋅ η' 2 ⋅t '+16 ⋅ η' 2 ⋅t ' 3 +12 ⋅ η' 4 ⋅t '−
− 16 ⋅ η' 4 ⋅t ' 3 +8 ⋅ η' 4 ⋅t '+8 ⋅ η' 4 ⋅t ' 3 +24 ⋅ η' 6 ⋅t '−144 ⋅ η' 6 ⋅t ' 3 +48 ⋅ η' 6 ⋅t '+48 ⋅ η' 6 ⋅t ' 3
∂x
= 56 ⋅ t '+152 ⋅ t ' 3 +96 ⋅ t ' 5 +4 ⋅ η' 2 ⋅t '+20 ⋅ η' 4 ⋅t '−8 ⋅ η' 4 ⋅t ' 3 +72 ⋅ η' 6 ⋅t '−96 ⋅ η' 6 ⋅t ' 3
∂ϕ
∂x 1
⋅ = 56 + 152 ⋅ t ' 2 +96 ⋅ t ' 4 +4 ⋅ η' 2 +20 ⋅ η' 4 −8 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 +72 ⋅ η' 6 −96 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2
∂ ϕ t'
Cap. IV - 42
F 6 ( y) =
∂F
∂F ∂ϕ ∂β
=
⋅
⋅
=
∂y
∂ϕ ∂β ∂y
5
5


1
⋅ x
5
 ν ' ⋅ cosϕ '  1
⋅
∂
∂ϕ
ρ


∂x 5
ν '⋅η' 2 ⋅t '
⋅ ν ' ⋅ cosϕ '− 5 ⋅ ν ' 4 ⋅ cosϕ '⋅
− ν ' 5 ⋅ sen ϕ ' ⋅ x
2
V'


 ∂ϕ
1
∂ 
⋅ x =
=

∂ ϕ  ν ' 5 ⋅ cosϕ ' 
ν '10 ⋅ cos 2 ϕ '
 ν '⋅η' 2 ⋅t '


∂x
t '⋅ν '  ∂ x 1
⋅ ν '−  5 ⋅
− ν '⋅t ' ⋅ x
⋅
⋅ ⋅ (1 + η ' 2 ) − 5 ⋅ η ' 2 ⋅ x + (1 + η ' 2 ) ⋅ x 
∂ϕ
V '2
V ' 2  ∂ ϕ t '



=
=
ν ' 6 ⋅ cosϕ '
ν ' 6 ⋅ cosϕ '
Se necesitan como resultados intermedios,
(1 + η ' )
2
∂x 1
⋅ = 56 + 152 ⋅ t ' 2 +96 ⋅ t ' 4 +4 ⋅ η' 2 +20 ⋅ η' 4 −8 ⋅ η ' 4 ⋅t ' 2 +72 ⋅ η' 6 −96 ⋅ η ' 6 ⋅t ' 2 +
∂ ϕ t'
+ 56 ⋅ η' 2 +152 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 +96 ⋅ η' 2 ⋅t ' 4 +4 ⋅ η' 4 +20 ⋅ η' 6 −8 ⋅ η ' 6 ⋅t ' 2 +72 ⋅ η' 8 −96 ⋅ η' 8 ⋅t ' 2 =
= 56 + 152 ⋅ t ' 2 +96 ⋅ t ' 4 +60 ⋅ η ' 2 +152 ⋅ η ' 2 ⋅t ' 2 +96 ⋅ η ' 2 ⋅t ' 4 +24 ⋅ η' 4 −8 ⋅ η ' 4 ⋅t ' 2 +92 ⋅ η ' 6 −104 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 +72 ⋅ η ' 8 −96 ⋅ η' 8 ⋅t ' 2
− 5 ⋅ x ⋅ η' 2 = −25 ⋅ η' 2 −140 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 −120 ⋅ η' 2 ⋅t ' 4 −30 ⋅ η' 4 −40 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 +15 ⋅ η' 6 −20 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 +20 ⋅ η' 8 −120 ⋅ η' 8 ⋅t ' 2
(1 + η' ) ⋅ x = 5 + 28 ⋅ t '
2
2
+24 ⋅ t ' 4 +6 ⋅ η' 2 +8 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 −3 ⋅ η' 4 +4 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 −4 ⋅ η' 6 +24 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 +
+ 5 ⋅ η' 2 +28 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 +24 ⋅ η' 2 ⋅t ' 4 +6 ⋅ η' 4 +8 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 −3 ⋅ η' 6 +4 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 −4 ⋅ η' 8 +24 ⋅ η' 8 ⋅t ' 2 =
= 5 + 28 ⋅ t ' 2 +24 ⋅ t ' 4 +11 ⋅ η' 2 +36 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 +24 ⋅ η' 2 ⋅t ' 4 +3 ⋅ η' 4 +12 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 −7 ⋅ η' 6 +28 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 −4 ⋅ η' 8 +24 ⋅ η' 8 ⋅t ' 2
Se obtiene,
t '⋅ν '
2
4
2
2
2
4
4
2
6
6
2
8
8
2
 V ' 2 ⋅ [61 + 180 ⋅ t ' +120 ⋅ t ' +46 ⋅ η' +48 ⋅ η' ⋅t ' −3 ⋅ η' −36 ⋅ η' ⋅t ' +100 ⋅ η' −96 ⋅ η' ⋅t ' +88 ⋅ η' −192 ⋅ η' ⋅t ' ]
∂ 
1
⋅ x =

∂ ϕ  ν '5 ⋅ cosϕ ' 
ν ' 6 ⋅ cosϕ '
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-16
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
F 6 ( y) =
t'
⋅ ⋅[ 61 + 180 ⋅ t ' 2 +120 ⋅ t ' 4 +46 ⋅ η' 2 +48 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 −3 ⋅ η' 4 −36 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 +100 ⋅ η' 6 −96 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 +88 ⋅ η' 8 −192 ⋅ η' 8 ⋅t ' 2 ]
ν ' ⋅ cos ϕ '
6
Cap. IV - 43
Una vez obtenidas las derivadas se puede expresar :
Φ = Φ '−
−
x2
x4
⋅ t '+
⋅ t '⋅(5 + 6 ⋅ t ' 2 +η' 2 −4 ⋅ η' 4 ) −
2 ⋅ ν ' ⋅ cosϕ '
24 ⋅ ν ' 4 ⋅ cosϕ '
2
x6
⋅ t '⋅( 61 + 180 ⋅ t ' 2 +120 ⋅ t ' 4 +46 ⋅ η' 2 +48 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 −3 ⋅ η' 4 −36 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 +100 ⋅ η' 6 −96 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 +88 ⋅ η' 8 −192 ⋅ η' 8 ⋅t ' 2 )
720 ⋅ ν ' 6 ⋅ cosϕ '
Cap. IV - 44
∆λ =
x
x3
−
⋅ (1 + 2 ⋅ t '2 +η'2 ) +
ν '⋅ cos ϕ ' 6 ⋅ ν '3 ⋅ cos ϕ '
x5
⋅ (5 + 28 ⋅ t '2 +24 ⋅ t '4 +6 ⋅ η'2 +8 ⋅ η'2 ⋅t ' 2 −3 ⋅ η' 4 +4 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 −4 ⋅ η' 6 +24 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 )
120 ⋅ ν '5 ⋅ cos ϕ '
λ = λ0 + ∆λ
+
Cap. IV - 45
Tras efectuar estos cálculos se tienen las coordenadas del sistema isométrico, (Φ,λ), del punto en
cuestión.
El paso de latitud creciente a geodésica está totalmente desarrollado en el apéndice II. Sin embargo,
en esta proyección se opera de la siguiente forma.
Es conocido que se puede expresar la latitud geodésica como una función de la latitud creciente :
Φ
ϕ = h( Φ) = ∫
0
r
ρ
⋅ dΦ
∂ϕ r
=
∂Φ ρ
∂h
→
=1
∂ϕ
→
Cap. IV - 46
Para obtener la latitud se puede plantear el desarrollo en serie de Taylor de la función
h( Φ) particularizada enΦ’ tomando como incremento el valor de ∆Φ = Φ − Φ' , es decir,
ϕ = h( Φ) = h[Φ'+( Φ − Φ') ]
Cap. IV - 47
de forma que, evidentemente, el resultado es correcto.
El desarrollo en serie de Taylor mencionado se expresaría,
( ∆Φ) 2  ∂ 2 h 
( ∆Φ) 3  ∂ 3 h 
∆Φ  ∂ h 
ϕ = h( Φ) = h( Φ') +
⋅
⋅
⋅
 +
 +
 +...
1!  ∂ Φ  Φ '
2!  ∂ Φ2  Φ′
3!  ∂Φ 3  Φ '
Cap. IV - 48
El valor de ∆Φ se obtiene de la expresión Cap. IV-44:
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-17
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
∆Φ = Φ − Φ' = −
−
x2
x4
⋅ t '+
⋅ t '⋅( 5 + 6 ⋅ t ' 2 +η' 2 −4 ⋅ η' 4 ) −
2 ⋅ ν ' ⋅ cos ϕ '
24 ⋅ ν ' 4 ⋅ cos ϕ '
2
x6
⋅ t '⋅( 61 + 180 ⋅ t ' 2 +120 ⋅ t ' 4 +46 ⋅ η' 2 +48 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 −3 ⋅ η' 4 −36 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 +100 ⋅ η' 6 −96 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 +88 ⋅ η' 8 −192 ⋅ η' 8 ⋅t ' 2 )
720 ⋅ ν ' 6 ⋅ cos ϕ '
Cap. IV - 49
Se tendrán que obtener las potencias de la expresión anterior. Es suficiente considerar en el
desarrollo en serie los cuatro primeros términos con el límite a la potencia sexta de la coordenada x.
( ∆Φ) 2 =
x4
x6
2
⋅
t
'
−
⋅ t ' 2 ⋅(5 + 6 ⋅ t ' 2 +η' 2 −4 ⋅ η' 4 )
4 ⋅ ν ' 4 ⋅ cos 2 ϕ '
24 ⋅ ν ' 6 ⋅ cos 2 ϕ '
( ∆Φ) 3 = −
x6
⋅ t '3
8 ⋅ ν ' 6 ⋅ cos3 ϕ '
Cap. IV - 50
El resto de los términos son totalmente despreciables debido a que en el denominador aparece una
potencia del radio de curvatura de la sección normal muy elevada.
También es preciso obtener las derivadas de la función h.
∂h ∂h ∂ϕ
r
=
⋅
= 1 ⋅ = (1 + η 2 ) ⋅ cos ϕ
∂ Φ ∂ ϕ ∂Φ
ρ
 ∂h
→
 = (1 + η'2 ) ⋅ cos ϕ '
 ∂ Φ  Φ'
Cap. IV - 51
∂ 2 h ∂ ((1 + η ) ⋅ cos ϕ ) ∂ ϕ
=
⋅
∂ Φ2
∂ϕ
∂Φ
2
∂ ((1 + η 2 ) ⋅ cos ϕ )
= −2 ⋅ η 2 ⋅ t ⋅ cos ϕ − sen ϕ − η 2 ⋅ sen ϕ =
∂ϕ
− 2 ⋅ η 2 ⋅ sen ϕ − sen ϕ − η 2 ⋅ sen ϕ = −(1 + 3 ⋅ η 2 ) ⋅ sen ϕ
∂ 2h
2
2
2
2
2
2 = −(1 + 3 ⋅ η ) ⋅ sen ϕ ⋅ (1 + η ) ⋅ cos ϕ = −(1 + η ) ⋅ (1 + 3 ⋅ η ) ⋅ t ⋅ cos ϕ
∂Φ
 ∂2 h
→
 = −(1 + 4 ⋅ η'2 +3 ⋅ η'4 ) ⋅ t '⋅ cos2 ϕ ' = −(1 + η 2 ) ⋅ (1 + 3 ⋅ η 2 ) ⋅ t ⋅ cos2 ϕ
 ∂ Φ 2  Φ'
Cap. IV - 52
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-18
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
(
)
2
4
2
∂ 3 h ∂ − (1 + 4 ⋅ η + 3 ⋅ η ) ⋅ t ⋅ cos ϕ ∂ ϕ
=
⋅
∂ϕ
∂Φ
∂ Φ3
(
∂ − (1 + 4 ⋅ η 2 + 3 ⋅ η 4 ) ⋅ t ⋅ cos2 ϕ
∂ϕ
) = 8 ⋅η
2
⋅ t 2 ⋅ cos2 ϕ + 12 ⋅ η 4 ⋅ t 2 ⋅ cos2 ϕ −
− (1 + 4 ⋅ η 2 + 3 ⋅ η 4 ) ⋅ (1 + t 2 ) ⋅ cos2 ϕ + 2 ⋅ (1 + 4 ⋅ η 2 + 3 ⋅ η 4 ) ⋅ t 2 ⋅ cos2 ϕ =
= cos2 ϕ ⋅ ( 8 ⋅ η 2 ⋅ t 2 +12 ⋅ η 4 ⋅ t 2 − 1 − 4 ⋅ η 2 − 3 ⋅ η 4 − 1 ⋅ t 2 − 4 ⋅ t 2 ⋅ η 2 − 3 ⋅ t 2 ⋅ η 4 +
+ 2 ⋅ t 2 + 8 ⋅ t 2 ⋅η2 + 6 ⋅ t 2 ⋅η4 ) =
= cos2 ϕ ⋅ ( − 1 + t 2 − 4 ⋅ η 2 + 12 ⋅ η 2 ⋅ t 2 − 3 ⋅ η 4 + 15 ⋅ η 4 ⋅ t 2 )
∂ 3h
= cos2 ϕ ⋅ ( − 1 + t 2 − 4 ⋅ η 2 + 12 ⋅ η 2 ⋅ t 2 − 3 ⋅ η 4 + 15 ⋅ η 4 ⋅ t 2 ) ⋅ (1 + η 2 ) ⋅ cosϕ =
∂ Φ3
= cos3 ϕ ⋅ ( − 1 + t 2 − 4 ⋅ η 2 + 12 ⋅ η 2 ⋅ t 2 − 3 ⋅ η 4 + 15 ⋅ η 4 ⋅ t 2 − 1 ⋅ η 2 + t 2 ⋅ η 2 − 4 ⋅ η 4 + 12 ⋅ η 4 ⋅ t 2 − 3 ⋅ η 6 + 15 ⋅ η 6 ⋅ t 2 ) =
= cos3 ϕ ⋅ ( − 1 + t 2 − 5 ⋅ η 2 + 13 ⋅ η 2 ⋅ t 2 − 7 ⋅ η 4 + 27 ⋅ η 4 ⋅ t 2 − 3 ⋅ η 6 + 15 ⋅ η 6 ⋅ t 2 )
 ∂3 h
→
 = − cos 3 ϕ '⋅(1 − t ' 2 +5 ⋅ η' 2 −13 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 +7 ⋅ η' 4 −27 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 +3 ⋅ η' 6 −15 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 )
 ∂ Φ 3  Φ'
Cap. IV - 53
Sustituyendo los resultados obtenidos en el desarrollo en serie,
( ∆Φ) 2  ∂ 2 h 
( ∆Φ) 3  ∂ 3 h 
 ∂h
⋅
+
⋅
 +


 ∂ Φ  Φ'
2!  ∂ Φ 2  Φ'
3!  ∂ Φ 3  Φ '
ϕ = ϕ '+ ∆Φ ⋅ 
Cap. IV - 54

x2
x4
⋅ t '+
⋅ t '⋅( 5 + 6 ⋅ t ' 2 +η' 2 −4 ⋅ η' 4 ) −
24 ⋅ ν ' 4 ⋅ cos ϕ '
 2 ⋅ ν ' ⋅ cos ϕ '
ϕ = ϕ '+(1 + η' 2 ) ⋅ cos ϕ '⋅−
2
−

x6
⋅ t '⋅( 61 + 180 ⋅ t ' 2 +120 ⋅ t ' 4 +46 ⋅ η' 2 +48 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 −3 ⋅ η' 4 −36 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 +100 ⋅ η' 6 −96 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 +88 ⋅ η' 8 −192 ⋅ η' 8 ⋅t ' 2 )  −
720 ⋅ ν ' 6 ⋅ cos ϕ '

-

1
x4
2 ⋅ x6
⋅ (1 + η' 2 ) ⋅ (1 + 3 ⋅ η' 2 ) ⋅ t'⋅cos 2ϕ '⋅
⋅ t '2 ⋅ t ' 2 ⋅( 5 + 6 ⋅ t ' 2 +η' 2 −4 ⋅ η' 4 ) +
4
2
2
48 ⋅ ν ' 6 ⋅ cos 2 ϕ '
 4 ⋅ ν ' ⋅ cos ϕ '
]
x6
1
⋅ t '3
+ cos 3 ϕ '⋅(1 − t ' 2 +5 ⋅ η' 2 −13 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 +7 ⋅ η' 4 −27 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 +3 ⋅ η' 6 −15 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 ) ⋅
6
6
8 ⋅ ν ' ⋅ cos 3 ϕ '
[
x2
x4
2
⋅ t '⋅ (1 + η'2 ) ⋅ ( 5 + 6 ⋅ t '2 +η'2 −4 ⋅ η'4 ) − 3 ⋅ t '2 ⋅(1 + η'2 ) ⋅ (1 + 3 ⋅ η'2 ) −
2 ⋅ t '⋅(1 + η' ) +
2 ⋅ν '
24 ⋅ ν '4
x6
−
⋅ t '⋅ (1 + η'2 ) ⋅ ( 61 + 180 ⋅ t '2 +120 ⋅ t '4 +46 ⋅ η'2 +48 ⋅ η'2 ⋅t '2 −3 ⋅ η'4 −36 ⋅ η'4 ⋅t '2 +100 ⋅ η'6 −96 ⋅ η'6 ⋅t '2 +88 ⋅ η'8 −192 ⋅ η'8 ⋅t '2 )
720 ⋅ ν '6
− 15 ⋅ t '2 ⋅(1 + η'2 ) ⋅ (1 + 3 ⋅ η'2 ) ⋅ ( 5 + 6 ⋅ t '2 +η'2 −4 ⋅ η'4 ) − 15 ⋅ t '2 ⋅(1 − t '2 +5 ⋅ η'2 −13 ⋅ η'2 ⋅t '2 +7 ⋅ η'4 −27 ⋅ η'4 ⋅t '2 +3 ⋅ η'6 −15 ⋅ η'6 ⋅t '2 )
ϕ = ϕ '−
]
[
]
x2
x4
⋅ t '⋅(1 + η' 2 ) +
⋅ t '⋅ 5 + 6 ⋅ t ' 2 +η' 2 −4 ⋅ η' 4 +5 ⋅ η' 2 +6 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 +η' 4 −4 ⋅ η' 6 − 3 ⋅ t ' 2 −3 ⋅ t ' 2 ⋅η' 2 −9 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 −9 ⋅ t ' 2 ⋅η' 4 ] −
2
2 ⋅ν'
24 ⋅ ν ' 4
x6
−
⋅ t '⋅[61 + 180 ⋅ t ' 2 +120 ⋅ t ' 4 +46 ⋅ η' 2 +48 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 −3 ⋅ η' 4 −36 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 +100 ⋅ η' 6 −96 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 +88 ⋅ η' 8 −192 ⋅ η' 8 ⋅t ' 2
720 ⋅ ν ' 6
61 ⋅ η' 2 +180 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 +120 ⋅ η' 2 ⋅t ' 4 +46 ⋅ η' 4 +48 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 −3 ⋅ η' 6 −36 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 +100 ⋅ η' 8 −96 ⋅ η' 8 ⋅t ' 2 +88 ⋅ η'10 −192 ⋅ η' 10 ⋅t ' 2 −
[
ϕ = ϕ '−
− 75 ⋅ t ' 2 −90 ⋅ t ' 4 −315 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 −360 ⋅ η' 2 ⋅t ' 4 −225 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 −270 ⋅ η' 4 ⋅t ' 4 +195 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 +180 ⋅ η' 8 ⋅t ' 2 −
− 15 ⋅ t ' 2 +15 ⋅ t ' 4 −75 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 +195 ⋅ η' 2 ⋅t ' 4 −105 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 +405 ⋅ η' 4 ⋅t ' 4 −45 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 +225 ⋅ η' 6 ⋅t ' 4
]
Finalmente,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-19
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
x2
x4
2
⋅ t '⋅( 5 + 3 ⋅ t ' 2 +6 ⋅ η' 2 −6 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 −3 ⋅ η' 4 −9 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 ) −
2 ⋅ t '⋅(1 + η ' ) +
2 ⋅ν'
24 ⋅ ν ' 4
x6
−
⋅ t '⋅( 61 + 90 ⋅ t ' 2 +45 ⋅ t ' 4 +107 ⋅ η' 2 −162 ⋅ η' 2 ⋅t ' 2 −45 ⋅ η' 2 ⋅t ' 4 +43 ⋅ η' 4 −318 ⋅ η' 4 ⋅t ' 2 +135 ⋅ η' 4 ⋅t ' 4 +
720 ⋅ ν ' 6
+ 97 ⋅ η' 6 +18 ⋅ η' 6 ⋅t ' 2 +225 ⋅ η' 6 ⋅t ' 4 +188 ⋅ η' 8 −108 ⋅ η' 8 ⋅t ' 2 +88 ⋅ η'10 −192 ⋅ η'10 ⋅t ' 2 )
Cap. IV - 55
ϕ = ϕ '−
4.3 CONVERGENCIA DE MERIDIANOS.
Los ángulos que se obtienen sobre el elipsoide están referidos al norte geodésico(N.G.), y su
dirección en cada punto está definida por la dirección del meridiano geodésico.
Sobre la proyección U.T.M. los meridianos del huso respectivo no se transforman según rectas
paralelas. El único meridiano que se transforma en una recta es el meridiano central del huso que define la
dirección del eje de ordenadas. El resto de los meridianos se transforman según curvas con concavidad hacia
el meridiano central.
En consecuencia, para cualquier punto que no pertenezca al meridiano central, el azimut geodésico
no coincidirá con el azimut cartográfico, la dirección del N.G. no coincide con la dirección del N.C.
Para relacionar ambos azimutes se define la convergencia de meridianos γ , en un punto, como el
ángulo formado por la transformada del meridiano del mismo y la dirección del eje de ordenadas de la
cuadricula U.T.M., tal y como se aprecia en las siguientes figuras,
N
M eridiano central del hu so
Y
A
NC NG
B
NC NG
A’
Ecuador
Huso
B’
X
E cu ado r
S
Ilustración IV - 5
Ilustración IV - 6
La convergencia de meridianos será positiva para todo punto que se encuentre al este del meridiano
central del huso y negativa en caso de encontrarse al oeste del mismo.
La ecuación que define la convergencia será :
γ = θ −V
Cap. IV - 56
siendo :
- θ, el ángulo que forma una cuerda sobre la proyección con el norte geodésico.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-20
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
- V, el ángulo que forma una cuerda sobre la proyección con el norte cartográfico.
A partir de la expresión anterior resulta evidente que el ángulo γ se corresponde también con el que
forma la transformada del paralelo con el eje de abcisas. Es lícito, por tanto, expresar su valor a partir de la
ecuación :
∂y
∂y ∂y ∂λ ∂λ
tg γ =
=
⋅
=
∂x ∂λ ∂x ∂x
∂λ
Cap. IV - 57
Habrá que obtener las derivadas de las funciones deducidas para la coordenadas ( x, y ) con respecto
a la longitud geodésica.
∂ x
1
 1

2
4
= k0 ⋅ ν ⋅ cosϕ ⋅ 1 + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos2 ϕ ⋅ (1 − t 2 + η 2 ) + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos4 ϕ ⋅ (5 − 18 ⋅ t 2 + t 4 + 14 ⋅ η 2 − 58 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 13 ⋅ η 4 − 64 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 4 ⋅ η 6 − 24 ⋅ η 6 ⋅ t 2 )
∂λ
24
 2

Cap. IV - 58
∂y
1
3
= k0 ⋅ ν ⋅ cos ϕ ⋅ [ ∆λ ⋅ t ⋅ cos ϕ + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ t ⋅ cos3 ϕ ⋅ ( 5 − t 2 + 9 ⋅ η 2 + 4 ⋅ η 4 ) +
∂λ
6
1
5
⋅ ( ∆λ ) ⋅ t ⋅ cos5 ϕ ⋅ ( 61 − 58 ⋅ t 2 + t 4 + 270 ⋅ η 2 − 330 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 445 ⋅ η 4 − 680 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 324 ⋅ η 6 − 600 ⋅ η 6 ⋅ t 2 + 88 ⋅ η8 − 192 ⋅ η 8 ⋅ t 2 )
120
]
Cap. IV - 59
Sustituyendo estos resultados en la expresión de la tangente de la convergencia de meridianos, con
limitación a los términos en grado quinto del incremento de longitud geodésica y considerando el desarrollo
en serie siguiente,
1
≈ 1 − x + x2
(1 + x )
Cap. IV - 60
se obtiene, con la suficiente aproximación,
1
1


3
( ∆λ ) 5 ⋅ cos 4 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ ( 61 − 58 ⋅ t 2 + t 4 )
tg γ =  ∆λ ⋅ t ⋅ cos ϕ + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos 2 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ (5 − t 2 + 9 ⋅ η 2 + 4 ⋅ η 4 ) +
120
6


1
1
 1

2
4
4
2
2
2
4
2
4
4
2
⋅ 1 − ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos ϕ ⋅ (1 − t + η ) − ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos ϕ ⋅ (5 − 18 ⋅ t + t +...) + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos ϕ ⋅ (1 − 2 ⋅ t + ⋅t 4 + 2 ⋅ η 2 − 2 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + η 4 ) =
24
24
 2

1
1


3
( ∆λ ) 5 ⋅ cos 4 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ ( 61 − 58 ⋅ t 2 + t 4 )
tg γ =  ∆λ ⋅ t ⋅ cos ϕ + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos 2 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ (5 − t 2 + 9 ⋅ η 2 + 4 ⋅ η 4 ) +
6
120


1
 1

2
4
2
2
2
4
2
4
⋅ 1 − ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos ϕ ⋅ (1 − t + η ) + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos ϕ ⋅ (1 + 6 ⋅ t + 5 ⋅ t +...)
24
 2

Cap. IV - 61
Para obtener esta expresión se han consideradon además únicamente los coeficientes de grado
quinto del incremento de longitud geodésica a los términos en t2, t4 y término independiente.
Efectuando la multiplicación,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-21
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
1
1
3
5
tg γ = ∆λ ⋅ sen ϕ + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos 2 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ (5 − t 2 + 9 ⋅ η 2 + 4 ⋅ η 4 ) +
⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos4 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ ( 61 − 58 ⋅ t 2 + t 4 ) −
6
120
1
1
3
5
− ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos2 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ ( 3 − 3 ⋅ t 2 + 3 ⋅ η 2 ) − ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos 4 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ (5 − t 2 + 9 ⋅ η 2 + 4 ⋅ η 4 ) ⋅ (1 − t 2 + η 2 ) +
6
12
1
5
+
⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos4 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ (1 + 6 ⋅ t 2 + 5 ⋅ t 4 ) =
24
1
1
3
5
tg γ = ∆λ ⋅ sen ϕ + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos 2 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ ( 2 + 2 ⋅ t 2 + 6 ⋅ η 2 + 4 ⋅ η 4 ) +
⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos4 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ ( 61 − 58 ⋅ t 2 + t 4 ) −
6
120
1
1
5
5
− ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos 4 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ ( 5 − 6 ⋅ t 2 + t 4 ) +
⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos4 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ (1 + 6 ⋅ t 2 + 5 ⋅ t 4 )
12
24
1
1
3
5
tg γ = ∆λ ⋅ sen ϕ + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos2 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ (1 + t 2 + 3 ⋅ η 2 + 2 ⋅ η 4 ) +
⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos4 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ ( 61 − 58 ⋅ t 2 + t 4 ) −
120
3
1
1
5
5
−
⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos4 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ (50 − 60 ⋅ t 2 + 10 ⋅ t 4 ) +
⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos4 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ (5 + 30 ⋅ t 2 + 25 ⋅ t 4 ) =
120
120
1
1
3
5
t tg γ = ∆λ ⋅ sen ϕ + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos 2 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ (1 + t 2 + 3 ⋅ η 2 + 2 ⋅ η 4 ) +
⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos4 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ (16 + 32 ⋅ t 2 + 16 ⋅ t 4 ) =
3
120
1
1
3
5
tg γ = ∆λ ⋅ sen ϕ + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos 2 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ (1 + t 2 + 3 ⋅ η 2 + 2 ⋅ η 4 ) + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos 4 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ ( 2 + 4 ⋅ t 2 + 2 ⋅ t 4 )
3
15
Cap. IV - 62
Por tanto, se obtendría el valor de la convergencia de meridianos aplicando,


1
3
γ = ar cot g  ∆λ ⋅ sen ϕ + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos2 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ (1 + t 2 + 3 ⋅ η 2 + 2 ⋅ η 4 ) +
3
1

5
⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos4 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ ( 2 + 4 ⋅ t 2 + 2 ⋅ t 4 )

15
Cap. IV - 63
Si se considera el desarrollo en serie de la arcotangente,
1
3
1
5
γ = tg γ − ⋅ tg 3 ϕ + ⋅ tg5 ϕ −...
Cap. IV - 64
Al limitarse a la potencia quinta del incremento de la longitud geodésica, llegamos a :


1
3
γ = ar cot g  ∆λ ⋅ sen ϕ + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos 2 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ (1 + t 2 + 3 ⋅ η 2 + 2 ⋅ η 4 ) −
−
3
1

5
⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos 4 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ (5 − 6 ⋅ t 2 + t 4 + 14 ⋅ η 2 − 10 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 13 ⋅ η 4 − 4 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 4 ⋅ η 6 )

12
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-22
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
1
3
1
5
⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos4 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ ( 2 + 4 ⋅ t 2 + 2 ⋅ t 4 )
15
1
1
 1
5
5
5
− ⋅ ( ∆λ ) ⋅ sen 5 ϕ + 3 ⋅ ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos2 ϕ ⋅ sen 3 ϕ ⋅ (1 + t 2 + 3 ⋅ η 2 + 2 ⋅ η 4 )  + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ sen 5 ϕ =
3
3
 5
γ = ∆λ ⋅ sen ϕ + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos2 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ (1 + t 2 + 3 ⋅ η 2 + 2 ⋅ η 4 ) +
3
[
= ∆λ ⋅ sen ϕ +
( ∆λ ) 3
3
⋅ cos2 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ (1 + t 2 + 3 ⋅ η 2 + 2 ⋅ η 4 ) −
( ∆λ ) 3
3
⋅ t 2 ⋅ cos2 ϕ ⋅ sen ϕ +
1
1 
1
5
+ ( ∆λ ) ⋅ cos4 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅  ⋅ ( 2 + 4 ⋅ t 2 + 2 ⋅ t 4 ) − ⋅ t 2 ⋅ (1 + t 2 + 3 ⋅ η 2 + 2 ⋅ η 4 ) + ⋅ t 4  =
3
5 
15
= ∆λ ⋅ sen ϕ +
( ∆λ ) 3
3
⋅ cos2 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ (1 + 3 ⋅ η 2 + 2 ⋅ η 4 ) +
1
1
1

5
+ ( ∆λ ) ⋅ cos4 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅  ⋅ ( 2 + 4 ⋅ t 2 + 2 ⋅ t 4 ) − ⋅ ( 5 ⋅ t 2 + 5 ⋅ t 4 + 15 ⋅ t 2 ⋅ η 2 + 10 ⋅ t 2 ⋅ η 4 ) + ⋅ 3 ⋅ t 4 
3
15
15

Cap. IV - 65
Se llega, con una precisión considerada suficiente, a la expresión final :
γ = ∆λ ⋅ sen ϕ +
( ∆λ ) 3
3
⋅ cos2 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ (1 + 3 ⋅ η 2 + 2 ⋅ η 4 ) +
( ∆λ ) 5
15
⋅ cos4 ϕ ⋅ sen ϕ ⋅ ( 2 − t 2 )
Cap. IV - 66
También se podría llegar a una expresión de la convergencia de meridianos no en función de las
coordenadas geodésicas, como la anterior, sino en función de las coordenadas cartesianas ( x, y ) sobre el
plano de la proyección U.T.M. La obtención de esta expresión es más complicada, resultando :
x
x3
x5
2
2
4
γ = ⋅ t '−
⋅ t '⋅(1 + t ' −η' −2 ⋅ η' ) +
⋅ t '⋅( 2 + 5 ⋅ t '2 +3 ⋅ t 4 )
ν'
3 ⋅ ν '3
15 ⋅ ν '5
Cap. IV - 67
Esta expresión es función de la abcisa del punto y de la latitud correspondiente a un desarrollo del
arco de meridiano central del huso igual a la ordenada del punto.
4.4 DEFORMACIÓN PRODUCIDA A LAS DISTANCIAS.
4.4.1 INTRODUCCIÓN.
En este apartado se va a estudiar todo lo relativo a las deformaciones que se producen en la
distancia entre dos puntos del elipsoide de revolución cuando se proyectan sobre el plano U.T.M.
Tres son los problemas objeto de estudio :
- Estudio del módulo de anamorfosis lineal puntual.
- Estudio del módulo de deformación lineal para la distancia entre los puntos sobre la
proyección U.T.M.
- Corrección a considerar debido a la falta de coincidencia entre la transformada de la
geodésica que une los puntos sobre el elipsoide y la cuerda que los une sobre la proyección
U.T.M.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-23
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
4.4.2 MÓDULO DE DEFORMACIÓN LINEAL PUNTUAL.
El módulo de deformación lineal introducido por una proyección en un punto, de acuerdo a lo
estudiado en el capítulo 3, se define a partir de la relación entre la distancia sobre el plano de la proyección y
sobre la superficie de referencia, elipsoide en nuestro caso :
k1 =
ds'
ds
ds' = dx 2 + dy 2
ds = ρ 2 ⋅ dϕ 2 + (ν ⋅ cos ϕ ) ⋅ dλ2
2
Cap. IV - 68
En el capítulo 3 se demostró que una proyección conforme presenta en cada punto un módulo de
deformación lineal independiente de la dirección.
Dado que la proyección U.T.M. es conforme se podrá estudiar el módulo de deformación lineal en
aquella dirección que resulte más sencillo a nivel de cálculo. Se considerará por tanto el estudio de esta
deformación en la dirección del paralelo del punto, es decir, dϕ = 0 .
k12 =
 ∂ x  2  ∂ y  2 
 +
  ⋅ dλ2



∂ λ 
 ∂λ
(ν ⋅ cosϕ )
2
⋅ dλ2
=
1
2
ν ⋅ cos2 ϕ
 ∂ x  2  ∂ y  2 
⋅ 
 +

 ∂ λ  
 ∂ λ 
Cap. IV - 69
Estas derivadas ya fueron necesarias para el cálculo de la convergencia de meridianos :
∂ x
1
 1

2
4
= k0 ⋅ ν ⋅ cosϕ ⋅ 1 + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos2 ϕ ⋅ (1 − t 2 + η 2 ) + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos4 ϕ ⋅ (5 − 18 ⋅ t 2 + t 4 + 14 ⋅ η 2 − 58 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 13 ⋅ η 4 − 64 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 4 ⋅ η 6 − 24 ⋅ η 6 ⋅ t 2 )
∂λ
24
 2

Cap. IV - 70
∂y
1
3
= k0 ⋅ ν ⋅ cos ϕ ⋅ [ ∆λ ⋅ t ⋅ cos ϕ + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ t ⋅ cos3 ϕ ⋅ ( 5 − t 2 + 9 ⋅ η 2 + 4 ⋅ η 4 ) +
∂λ
6
1
5
⋅ ( ∆λ ) ⋅ t ⋅ cos5 ϕ ⋅ ( 61 − 58 ⋅ t 2 + t 4 + 270 ⋅ η 2 − 330 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 445 ⋅ η 4 − 680 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 324 ⋅ η 6 − 600 ⋅ η 6 ⋅ t 2 + 88 ⋅ η8 − 192 ⋅ η 8 ⋅ t 2 )
120
]
Cap. IV - 71
Es suficiente con la limitación a las potencias de grado cuarto del incremento de la longitud
geodésica.
2
2
2
 ∂ x
 1
2
4

 = k 02 ⋅ ν 2 ⋅ cos 2 ϕ ⋅ 1 + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos 4 ϕ ⋅ (1 − t 2 + η 2 ) + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos 2 ϕ ⋅ (1 − t 2 + η 2 ) +
∂λ
2
 4
+
2

4
⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos4 ϕ ⋅ ( 5 − 18 ⋅ t 2 + t 4 + 14 ⋅ η 2 − 58 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 13 ⋅ η 4 − 64 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 4 ⋅ η 6 − 24 ⋅ η 6 ⋅ t 2 )  =
24

 1
4
2
= k 02 ⋅ ν 2 ⋅ cos2 ϕ ⋅ 1 + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos4 ϕ ⋅ (1 − 2 ⋅ t 2 + t 4 + 2 ⋅ η 2 − 2 ⋅ t 3η 2 + η 4 ) + ( ∆λ ) ⋅ cos2 ϕ ⋅ (1 − t 2 + η 2 ) +
 4
1

4
+ ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos4 ϕ ⋅ ( 5 − 18 ⋅ t 2 + t 4 + 14 ⋅ η 2 − 58 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 13 ⋅ η 4 − 64 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 4 ⋅ η 6 − 24 ⋅ η 6 ⋅ t 2 ) 
12

[
= k 02 ⋅ ν 2 ⋅ cos2 ϕ ⋅ 1 + ( ∆λ ) ⋅ cos2 ϕ ⋅ (1 − t 2 + η 2 ) +
+
2
1

4
⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos4 ϕ ⋅ ( 8 − 24 ⋅ t 2 + 4 ⋅ t 4 + 20 ⋅ η 2 − 64 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 16 ⋅ η 4 − 64 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 4 ⋅ η 6 − 24 ⋅ η 6 ⋅ t 2 ) 
12

GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-24
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
2
 ∂ y
2
4

 = k 02 ⋅ ν 2 ⋅ cos2 ϕ ⋅ ( ∆λ ) ⋅ t 2 ⋅ cos2 ϕ + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ t 2 ⋅ cos 4ϕ ⋅ (5 − t 2 + 9 ⋅ η 2 + 4 ⋅ η 4 ) =
∂ λ
6
2
]
[
[
2
= k 02 ⋅ ν 2 ⋅ cos2 ϕ ⋅ ( ∆λ ) ⋅ t 2 ⋅ cos2 ϕ +
1
4
⋅ ( ∆λ ) cos 4ϕ ⋅ ( 20 ⋅ t 2 − 4 ⋅ t 4 + 36 ⋅ t 2 ⋅ η 2 + 16 ⋅ t 2 ⋅ η 4 )
12
]
(
1

2
4
k 12 = k 02 ⋅ 1 + ( ∆λ ) ⋅ cos 2 ϕ ⋅ (1 + η 2 ) + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos 4 ϕ ⋅ 8 − 4 ⋅ t 2 + 20 ⋅ η 2 − 28 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 16 ⋅ η 4 − 48 ⋅ η 4 ⋅t 2 + 4 ⋅ η 6 − 24 ⋅ η 6 ⋅ t 2 )

12
Cap. IV - 72
Para resolver la raíz cuadrada se considerará el desarrollo en serie de Taylor siguiente :
1
2
1
1
8
(1 + x) 2 = 1 + ⋅ x − ⋅ x 2 +...
Cap. IV - 73
x = ( ∆λ )
2
1
4
⋅ cos ϕ ⋅ (1 + η ) + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos 4 ϕ ⋅ ( 8 − 4 ⋅ t 2 + 20 ⋅ η 2 − 28 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 16 ⋅ η 4 − 48 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 4 ⋅ η 6 − 24 ⋅ η 6 ⋅ t 2 )
12
2
2
Cap. IV - 74
Para calcular la potencia de x al cuadrado se considera la limitación de nuevo a los términos en
potencia cuarta del incremento de longitud geodésica.
x 2 = ( ∆λ ) ⋅ cos 4 ϕ ⋅ (1 + η 2 ) = ( ∆λ ) ⋅ cos 4 ϕ ⋅ (1 + 2 ⋅ η 2 + η 4 )
2
4
4
Cap. IV - 75
Por tanto,
1

 1
2
4
k 1 = k 0 ⋅ 1+ ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos 2 ϕ ⋅ (1 + η 2 ) + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos 4 ϕ ⋅ ( 5 − 4 ⋅ t 2 + 14 ⋅ η 2 − 28 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 13 ⋅ η 4 − 48 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 4 ⋅ η 6 − 24 ⋅ η 6 ⋅ t 2 )

 2
24
Cap. IV - 76
También se puede obtener el módulo de deformación lineal como función de las coordenadas planas
sobre la proyección U.T.M. Tras una complicada deducción se llega a :


x2
x4
2
4
2
4
6
2
6
k1 = k 0 ⋅ 1 +
+
4 ⋅ (1 + 6 ⋅ η ' +9 ⋅ η ' −24 ⋅ t ' ⋅η ' +4 ⋅ η ' −24 ⋅ t ' ⋅η ) 
2
⋅
⋅
ρ
'
ν
'
24
⋅
ν
'


Cap. IV - 77
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-25
)
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
4.4.3 MÓDULO DE DEFORMACIÓN LINEAL PARA LONGITUDES FINITAS.
De acuerdo a la definición del módulo de deformación lineal su carácter es puntual. Esto quiere
decir que permite ‘proyectar’ un diferencial de longitud en torno al punto para el que se calcule.
En cuanto a cálculos geodésicos y topográficos, sin embargo, se pretende ‘proyectar’ una longitud
finita entre dos puntos del elipsoide que estarán separados distancias tipo a las que se pueden obtener por
medidas realizadas con el instrumental distanciométrico existente en la actualidad :
Estaciones totales y distanciómetros de corto alcance :
Distanciómetros de medio alcance :
Distanciómetros geodésicos de largo alcance :
hasta 2000 m.
hasta 15000 m.
hasta 60000 m.
Este instrumental ha motivado que, hasta la fecha, en el estudio de los cálculos sobre la proyección
U.T.M. no se considerasen distancias mayores. Sin embargo, la aplicación de la instrumentación G.P.S. a las
observaciones geodésicas ha hecho considerar que la distancia máxima de la relación anterior se sobrepase
con creces. Es importante conocer las limitaciones de la proyección U.T.M. para trabajar con largas
distancias, con el objeto de tener constancia de cuando es preciso de prescindir de coordenadas planas y
trabajar sobre el elipsoide de revolución.
La longitud de la transformada de la línea geodésica que une los puntos A y B, debe obtenerse a
partir de integrar la siguiente expresión :
ds' = k1 ⋅ ds
Cap. IV - 78
Por tanto,
B
s' = ∫ k1 ⋅ ds
A
Cap. IV - 79
El problema es que el módulo de deformación lineal no se puede considerar constante a lo largo de
la trayectoria de integración.
La solución aproximada que se considera correcta para grandes distancias geodésicas, incluso
superiores a los 100 km. de acuerdo a la bibliografía, viene dada por la integración numérica de Simpson :
1 1  1
4
1 
= ⋅
+
+

k1 6  k1A k1M k1B 
 1
4
1 
+
+

k1 = 6 ⋅ 
 k1 A k1M k1B 
−1
Cap. IV - 80
Siendo :
k1A, el correspondiente al punto A.
k1B, el correspondiente al punto B.
k1M, el correspondiente al punto medio.
Si las coordenadas de B son desconocidas también lo serán las del punto medio y no se podrá
calcular el valor anterior para el módulo de deformación lineal. Este problema se puede solucionar por un
proceso iterativo :
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-26
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
1º.- Cálculo de un primer valor de la distancia sobre la proyección U.T.M. a partir del k1A.
2º.- Cálculo de unas primeras coordenadas del punto B con la distancia anterior.
3º.- Cálculo del punto medio, en la cuerda AB, y determinación de un nuevo valor para la distancia
con el módulo de deformación lineal correspondiente a la expresión de Simpson.
4º.- Iterar el paso 3º hasta que la diferencia entre unas coordenadas y las siguientes sea despreciable
para la precisión final perseguida.
Es evidente que, en general, nunca se podrá conocer el valor exacto del módulo de deformación
lineal para una distancia finita y su error será tanto mayor cuanto mayor sea la longitud de la misma. En este
sentido es importante considerar que el punto medio corresponde al punto medio de la geodésica, o de la
geodésica transformada, y no al punto medio de la cuerda.
En definitiva, se puede concluir que toda proyección de una distancia sobre el plano U.T.M. siempre
introducirá un sistematismo. Calculando de la forma que se indica en este capítulo este error se minimiza
siendo preciso estudiar si es despreciable.
4.4.4 DETERMINACIÓN
ARTIFICIO DE TISSOT.
DEL
COEFICIENTE
CORRESPONDIENTE
AL
En principio, la proyección U.T.M., en un huso, coincide con la proyección de Gauss-Krüger, con
un desarrollo cilíndrico transverso y conforme. De acuerdo a la tangencia del cilindro con la superficie del
elipsoide de revolución en un meridiano, el central del huso, este debería se automecoico. Sin embargo, para
disminuir las deformaciones en los extremos del huso se aplica el artificio de Tissot, de forma similar a como
se aplica en la proyección cónica conforme de Lambert.
Geométricamente el artificio de Tissot implica que el cilindro deja de ser tangente para pasar a ser
secante. La consecuencia es que aparecerán dos líneas automecoicas en la proyección, al este y oeste del
meridiano central, y el meridiano central pasa a ser una línea isométrica pero con un módulo de deformación
lineal distinto de la unidad.
Analíticamente implica que el módulo de deformación lineal adopta una expresión del tipo :
k1 = k0 ⋅ k '
Cap. IV - 81
1

 1
2
4
k 1 = k 0 ⋅ 1+ ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos 2 ϕ ⋅ (1 + η 2 ) + ⋅ ( ∆λ ) ⋅ cos 4 ϕ ⋅ ( 5 − 4 ⋅ t 2 + 14 ⋅ η 2 − 28 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 13 ⋅ η 4 − 48 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 4 ⋅ η 6 − 24 ⋅ η 6 ⋅ t 2 )

 2
24
Cap. IV - 82
Para deducir el valor de k0 se tendrá en cuenta que el artificio de Tissot implica reducir a la mitad la
deformación en los extremos del huso. El módulo de deformación lineal sin artificio de Tissot en los
extremos del huso se puede expresar por :
( k') ∆λ = 3 = 1 + ε
Cap. IV - 83


Dando a k0 el valor k 0 =  1 −
ε
 , el módulo de deformación lineal aplicando el artificio de Tissot
2
en los extremos valdrá :
(k )
1
∆λ = 3o
= k 0 ⋅ ( k ') ∆λ =3o
ε
ε ε
ε

=  1 −  ⋅ (1 + ε ) = 1 + ε − −
≅ 1+

2
2 2
2
2
Cap. IV - 84
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-27
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.


Por tanto se reduce la deformación a la mitad en los extremos al pasar de (1 + ε ) a  1 +
ε
.
2
Dado que k’ para el meridiano central es igual a la unidad, el valor del módulo de deformación
lineal tras aplicar el artificio de Tissot será el propio coeficiente k0.
El valor de k0 se calcula a partir del valor de k’ para un incremento de longitud de 3º. Pero además
k’ es función de la latitud geodésica. Adoptando un valor medio para el dominio de la U.T.M., es decir, 40º (
= 80º / 2 ), tenemos que, finalmente :
( k') ∆λ = 3 ,ϕ = 40 = 1 + ε = 100081
.
o
o
→ ε = 1−
ε
2
= 1 − 0.0004 = 0.9996
Cap. IV - 85
Este artificio tiene como consecuencia que las deformaciones sean nulas en ciertas líneas que no
coindiden exactamente con meridianos pero son próximas a los meridianos de la siguiente figura.
Ilustración IV - 7
4.5 CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS-GEODÉSICOS
PROYECCIÓN U.T.M.
SOBRE
LA
4.5.1 INTRODUCCIÓN.
Un punto puede quedar referido al sistema de referencia ED50 según distintos sistemas de
coordenadas. Los habituales son:
• Coordenadas geodésicas (ϕ, λ, H)
• Coordenadas tridimensionales ( X,Y,Z )
• Coordenadas en cualquier sistema proyectivo, para nuestro caso en la proyección U.T.M. ( X,Y )
y H.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-28
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
La gran ventaja que presenta el cálculo de coordenadas sobre la proyección U.T.M. es su facilidad,
ya que involucra a geometría plana. El inconveniente será transformar las observaciones topográficasgeodésicas que se realizan en campo a las necesarias sobre la proyección.
En la proyección U.T.M., las funciones que nos permiten obtener las coordenadas de otro punto B
serán:
Y
NC
(θ )
B
A UTM
YB = YA
(DAB)UTM
A
( )
+ (D )
X B = X A + D AB
B
( )
⋅ cos(θ )
U .T . M .
B
A U .T . M .
⋅ sen θ AB
cuerda
B
A cuerda
Cap. IV - 86
X
O
Ilustración IV - 8
Ambas funciones dependen de dos variables:
• siendo ( DAB )
proyección.
U.T.M.
la distancia de la cuerda que une los puntos A y B sobre el plano de
• (θAB )cuerda azimut cartográfico de la cuerda que une los puntos A y B.
Como las transformaciones que se deben realizar a los datos de campo para tenerlos referidos al
elipsoide, operación denominada reducción, pertenecen al campo de la geodesia, supondremos como
conocidos tanto el azimut geodésico como la distancia geodésica que une a los puntos sobre el elipsoide.
4.5.2 GEODÉSICAS TRANSFORMADAS SOBRE LA PROYECCIÓN.
Dados dos puntos sobre el elipsoide y sus proyecciones respectivas sobre el plano U.T.M., la
transformada de la geodésica que los une sobre el elipsoide no coincide con la cuerda que los une sobre la
proyección.
A continuación se va a estudiar como se relaciona la transformada de la geodésica con la cuerda.
Sean dos puntos A y B situados al este del meridiano central del huso, si trazamos los arcos s1 y s2
(correspondientes a sus geodésicas ) simétricos respecto de la cuerda AB.
• K1 será el factor de escala para los puntos de la geodésica s1.
• K2 será el factor de escala para los puntos de la geodésica s2.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-29
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
Y
X2
B
S2
S1
X1
A
X
O
Ilustración IV - 9
Sabiendo que la línea geodésica debe tener una longitud mínimo, integrando a lo largo de s1 y s2
tendremos:
B
s1 = ∫
A
ds
k1
Cap. IV - 87
B
s2 = ∫
A
ds
k2
Cap. IV - 88
como para todos los puntos de s1 ( exceptuando A y B ), se verifica X1 > X2 también k1 > k2 entonces:
s1 < s2
Cap. IV - 89
por lo tanto la geodésica correspondería al arco elipsoidal más pequeño s1, la cual vuelve su concavidad
hacia el meridiano central del huso. La misma demostración se puede aplicar para una geodésica situada al
oeste del meridiano central del huso.
Las líneas geodésicas que corten al meridiano central del huso, invertirán el sentido de su curvatura
a uno y otro lado del meridiano, sabiendo que dicha curvatura es continua, observándose un punto de
inflexión en el corte.
Meridiano central del huso
NG
NC
NG
A
NC
Ecuador
B
Ilustración IV - 10
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-30
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
Todos los casos posibles se observan en la siguiente ilustración.
Ilustración IV - 11
4.5.2.1 PROBLEMÁTICA EN DISTANCIAS.
Se ha estudiado que la transformada de una línea geodésica no coincidirá con la cuerda en la
proyección.
Y
B
d
S’
A
X
O
Ilustración IV - 12
Se estudia a continuación como proyectar una distancia geodésica sobre el elipsoide a su
correspondiente en la proyección U.T.M.
 1
4
1 
k1 = 6 ⋅ 
+
+

 k 1 A k 1 M k1 B 
−1
s' = k1 ⋅ s
Cap. IV - 90
con:
• s’ distancia de la geodésica proyectada sobre el plano U.T.M..
• s distancia de la línea geodésica sobre el elipsoide.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-31
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
La relación entre d y s’ se obtendrá a partir de la siguiente expresión aproximada:
2

xm
1 
s =d + 
2 ⋅ cos θcuerda  ⋅ d
24  ρ m ⋅v m ⋅ k o

'
3
Cap. IV - 91
con:
• d distancia correspondiente a la cuerda en la proyección U.T.M..
Ahora se obtiene la distancia de la línea geodésica sobre la proyección U.T.M., pero dicha distancia
corresponderá a la cuerda.
2

1
xm
'3
d =s − 
⋅
cos
θ
cuerda  ⋅ s
2
24  ρ m ⋅v m ⋅ k o

'
Cap. IV - 92
El error que se produce por considerar el punto medio de la cuerda, en lugar del punto medio sobre
la geodésica, es despreciable a todos los efectos. Siendo recomendable trabajar sobre la superficie del
elipsoide, cuando las distancias con las que se trabaje estén dentro del orden de la geodesia de primer orden
4.5.2.2 PROBLEMÁTICA ANGULAR.
El problema se plantea en los siguientes términos: a partir del azimut geodésico de la línea
geodésica sobre el elipsoide obtener el azimut cartográfico de la cuerda sobre la proyección.
Para resolver este problema habrá que relacionar la geodésica con la cuerda a través de la reducción
angular a la cuerda y el norte geodésico con el norte cartográfico mediante la convergencia de meridianos.
La convergencia de meridianos ya ha sido estudiada con anterioridad, restando únicamente entrar a
resolver el problema de la reducción angular de la cuerda.
La reducción angular de la cuerda se puede definir como el ángulo que corresponde a la diferencia
entre el azimut cartográfico de la transformada de la línea geodésica y el azimut cartográfico de la cuerda.
Y
NC
NG
B
(θ )
B
A C
γ
(θAB)G
A
dTAB
X
O
Ilustración IV - 13
•
γ convergencia de meridianos.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-32
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
•
(θAB)G Azimut geodésico.
•
(θAB)C Azimut de la cuerda.
θ
B
A cuerda
∆ x AB
= arctg
∆ y AB
Cap. IV - 93
• dTAB y dTBA ángulos de reducción a la cuerda.
Para obtener las reducciones angulares de la cuerda se utiliza la siguiente secuencia de cálculos:
dTAB =
(y
B
x=
X A − 500000
ko
y=
YA
Ko
− y A ) ⋅ (2 ⋅ x A + x B )
⋅ (1 + ηm2 )
6 ⋅ vm ⋅ ρm
Cap. IV - 94
dTBA =
(y
B
− y A ) ⋅ (2 ⋅ x B + x A )
⋅ (1 + ηm2 )
6 ⋅ vm ⋅ ρm
Cap. IV - 95
Utilizándose para el calculo la latitud media, correspondiente al punto medio sobre la cuerda.
Al igual que sucedia con el cálculo del coeficiente de anamorfosis lineal para la distancia es
necesaria conocer las coordenadas de ambos extremos de la cuerda para obtener las reducciones angulares de
la cuerda. Esto obligará a plantear un proceso iterativo. El primer cálculo se realizaría con el coeficiente de
anamorfosis lineal puntual del extremo conocido y sin aplicar reducción angular de la cuerda.
Resuelto el problema de determinar la reducción angular de la cuerda se puede relacionar el azimut
geodésico de la línea geodésica sobre el elipsoide con el azimut cartográfico de la cuerda sobre la
proyección.
A partir de las observaciones de campo se puede obtener el azimut geodésico de la línea geodésica
que une los puntos A y B en el elipsoide de revolución.
El azimut cartográfico de la geodésica lo podremos obtener aplicando la convergencia de
meridianos en el punto origen de la observación:
( θAB )c .geodésica = ( θAB )geodésica − γ A
Cap. IV - 96
Finalmente se obtendrá el azimut cartográfico de la cuerda restando al azimut cartográfico de la
geodésica la reducción angular de la cuerda:
( θAB )c .cuerda = ( θAB )c .geodésica − dTAB
Cap. IV - 97
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-33
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
Como resumen, se considerará el problema de obtener las coordenadas U.T.M. de un punto B a
partir de otro A conocido y los observables clásicos. Han de ser conocidas las coordenadas U.T.M. de A,
( X A , YA ) ,y la altura ortométrica, HA. También han de ser conocidas las coordenadas U.T.M: de otro
U .T . M .
punto R,
(X
R
, YR )U .T . M . ,al que se observa en lectura horizontal para orientar el aparato. Los observables
clásicos que se toman de A hasta B son: lectura horizontal, lectura cenital y distancia geométrica. También se
considera, por supuesto, realizada la medida de la altura del instrumento en A y del elemento de puntería en
B. Se calculará siguiendo los siguientes pasos:
• 1º.- A partir de los datos anteriores se obtienen lecturas horizontales y distancia correspondientes
a las líneas geodésicas sobre el elipsoide. La reducción de observables al elipsoide no es objeto
de estudio de la cartografía matemática.
• 2º- Se debe obtener la desorientación del instrumento. Para ello en primer lugar se determina el
azimut cartográfico de la cuerda de A hasta R,
θ
R
A cuerda
∆x AR
= arctg R
∆y A
Cap. IV - 98
Dado que la observación se refiere a la línea geodésica y no a la cuerda, habrá que corregir el
azimut cartográfico anterior con la reducción angular de la cuerda de A a R, que se puede
calcular sin ningun problema al ser conocidas las coordenadas U.T.M. de ambos puntos. Así,
δ A g = (θ AR cuerda + dTAR ) − LRA g
Cap. IV - 99
donde, δAg es la desorientación del instrumento en A correspondiente a líneas geodésicas, y LR
Ag es la lectura correspondiente a la línea geodésica sobre el elipsoide. Nótese que en ningún
momento seha determinado el azimut geodésico de A a R.
• 3º- Se calcula el azimut cartográfico de la línea geodésica de A a B proyectada sobre el plano
U.T.M.
θ AgB = δ A g + LBA g
Cap. IV - 100
• 4º- Se determina un primer valor para la distancia de geodésica proyectada aplicando a la
longitud de la línea geodésica de A a B el coeficiente de anamorfosis lineal del punto A.
DAB cuerda = k1A ⋅ sAB
Cap. IV - 101
• 5º- Se obtienen unas primeras coordenadas de B con el azimut de Cap.IV-100 y la distancia de
Cap.IV-101.
• 6º- Con las coordenadas de A y las primera obtenidas para B se mejora el cálculo a través de la
corrección de reducción angular de la cuerda al azimut cartográfico de la geodésica proyectada
para pasarlo a azimut cartográfico de la cuerda y obteniendo la distancia de geodésica
proyectada con el coeficiente de anamorfosis lineal de la distancia. Normalmente no se aplica la
corrección para pasar la distancia de la geodésica proyectada a la cuerda. Se obtienen unas
nuevas coordenadas.
• El proceso se podría iterar hasta obtener una variación entre las coordenadas de B con respecto
al paso anterior inferior a una cota prefijada, el milímetro, por ejemplo. Sin embargo, las
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-34
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
segundas coordenadas de B son lo suficientemente correctas, sobre todo si se plantea
posteriormente un ajuste por mínimos cuadrados.
4.6 CUADRÍCULA DE LA PROYECCIÓN U.T.M.
Para facilitar la localización global de cualquier punto se diseño una cuadrícula con una
nomenclatura en la que se incluyen una serie de letras que se definirán a continuación.
Cada huso se divide en 20 filas de 8º de latitud, entre los paralelos de ± 80º. A cada una de estas
filas se le asigna una letra mayúscula comenzando en la C en el extremo sur y creciendo hasta la X en el
norte. Con objeto de evitar ambigüedades se excluyen las letras CH, I, LL, Ñ y O. Se reservan las letras A,
B, Y, y Z para las zonas polares representadas en proyección estereográfica polar. Se forma así un conjunto
de 1200 zonas trapezoidales ( 60 husos · 20 filas ) de 6º de longitud por 8º de latitud. Se designarán por el
número del huso seguido de la letra correspondiente. La ciudad de Valencia está incluida en la zona 30S.
Ilustración IV - 14
Cada una de estas zonas se divide en cuadrados de 100 km. de lado los cuales se apoyan en los
sistemas de ejes propios de la proyección: meridiano central de cada huso como eje de ordenadas y ecuador
como eje de abcisas. A cada columna se le asigna una letra mayúscula de la A hasta la Z inclusive ( salvo
CH, I, LL, Ñ y O ), comenzando en el antimeridiano de Greenwich y avanzando hacia el este. Este alfabeto
incompleto ( 24 letras ) se repite cada 18º de intervalo. Análogamente, las filas de cuadrados se rotulan con
sendas mayúsculas, de la A hasta la V inclusive ( salvo CH, I, LL, Ñ y O ), comenzando en el ecuador con la
letra A para los husos impares y con la F para los pares. Este alfabeto incompleto ( 20 letras ) se repite cada
2000000 m. Cuando a un cuadrado se le asigna la última letra de una serie se empieza en el siguiente con la
primera, de esta forma los cuadrados con letras iguales se encuentran separados 1900 km. lo que implica que
habrían cambiado de huso o zona no existiendo por tanto posibilidad de error. La identificación de
cualquiera de estos cuadrados se realiza con la letra de la columna y de la fila, en este orden.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-35
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
Ilustración IV - 15
La subdivisión continúa al obtener otros diez cuadrados de 10 km. de lado a partir de los anteriores
que ya aparecen representados, se trazan, en el M.T.N. 1:50000. Se establecen otras de 5 y 1 km. de lado
trazadas con líneas de distinto grosor.
Basándose en este criterio se identificará un punto citando la zona, el cuadrado y las coordenadas
rectangulares referidas a la esquina sur-oeste, con la precisión necesaria.
Un punto de la situado en el huso 30 con coordenadas ( X = 437224 m. Y = 4286544 m. ) se puede
comprobar que está situado en la zona 30 S y el cuadrado VH dentro de la misma. Las coordenadas de la
esquina sur-oeste de este cuadrado son ( X = 400000 m. Y = 4200000 m. ) y por tanto su identificación en la
CTUM será: 30 SVH 3722486544 . Siempre son cifras pares; la mitad para la abcisa y la mitad para la
ordenada. Si la precisión fuese el decámetro sería: 30 SVH 37228654, si fuese el hectómetro: 30 SVH
372865 y si fuese el kilómetro: 30 SVH 3786.
4.7 PROBLEMAS EN LAS ZONAS LIMÍTROFES ENTRE HUSOS.
Todos los problemas asociados a los trabajos topográfico-geodésicos que se ejecutan en las zonas
limítrofes entre dos husos se debe a que la división de los husos de la proyección U.T.M. no tiene ninguna
realidad física.
Estos problemas aparecen en España en las proximidades del meridiano de -6º y en el meridiano 0º,
o meridiano de Greenwich.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-36
PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
Un claro ejemplo de los problemas que pueden aparecer es la orientación de un instrumento de
observación angular situado en un vértice perteneciente al huso 30, por ejemplo, desde el que, en un
momento determinado sólo son visibles vértices del huso 31. Es evidente que el azimut cartográfico de la
cuerda de uno a otro no se podrá obtener por las funciones conocidas dado que el eje de ordenadas de uno y
otro huso siguen direcciones distintas.
La aparición de instrumental que permite ampliar las distancias de observación, G.P.S. por ejemplo,
agrava estos problemas.
Existen soluciones estudiadas por distintos autores de la bibliografía.
El autor propone una solución particular muy sencilla para la Península Ibérica y las Islas Baleares.
Esta se encuentra desarrollada en el apéndice V. Básicamente, la solución propuesta consiste en ampliar el
intervalo de longitud del huso 30 de forma que englobe todo el territorio. Esta ampliación pasa por
considerar más términos en los desarrollos en serie de Taylor correspondientes al problema directo e inverso
de la proyección, así como mayor número de términos en los cálculos necesarios para obtener la
convergencia de meridianos, el coeficiente de anamorfosis lineal, ... Esto no implica que los resultados
definitivos de cualquier trabajo no estén referidos al huso correcto, es meramente un artificio de cálculo.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
4-37
PROYECCIONES CÓNICAS.
5. PROYECCIONES CÓNICAS
5.1 INTRODUCCIÓN.
Este capítulo trata las proyecciones cónicas más utilizadas en la producción cartográfica mundial. Se
centra en un caso de proyección cónica conforme, la proyección de Lambert, y un caso de proyección cónica
equivalente, la proyección de Albers.
Tal y como fue estudiado en el primer capítulo, las proyecciones cónicas se obtienen proyectando la
superficie de referencia sobre un cono, tangente o secante a la misma, y desarrollando posteriormente esta
superficie de paso sobre un plano.
5.2 PROYECCIÓN CÓNICA CONFORME DE LAMBERT.
La deducción de las funciones que definen esta proyección se fundamenta en la teoría de
proyecciones conformes a partir de funciones de variable compleja. Se remite al lector desconocedor de esta
teoría al apéndice III, titulado “Proyecciones conformes a través de funciones de variable compleja “, donde
se trata con el rigor necesario para el objetivo a cubrir.
5.2.1 DEFINICIÓN DE LA PROYECCIÓN.
La representación conforme de Lambert también se conoce como proyección cónica conforme de
Lambert o desarrollo cónico conforme de Lambert.
Se ha utilizado mucho en España, sobre todo por organismos militares, hasta el punto de que
todavía en muchos mapas a diferentes escalas figura la cuadrícula Lambert junto a la cuadrícula de la
proyección oficial, U.T.M.
Es un desarrollo cónico directo. Se establece una correspondencia entre la superficie de referencia y
un cono tangente a un paralelo denominado fundamental.
Cuando se comenzó a aplicar esta proyección el sistema de referencia español no era el ED50 sino
uno anterior que incluía en su definición como superficie de referencia el elipsoide de Struve. El meridiano
origen era Madrid. El paralelo fundamental era el paralelo de 40º.
El fundamento de esta proyección se deduce de las siguientes ilustraciones.
Ilustración V - 1
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
5-1
PROYECCIONES CÓNICAS.
En el plano, la dirección del eje de ordenadas es la de la transformada del meridiano origen, Madrid.
En principio el origen se considera en el paralelo fundamental pero, para evitar coordenadas negativas, se
aplica una traslación de 600 km. al sur y al oeste al sistema coordenado.
La proyección se define a partir de una función compleja de la forma,
U + i ⋅ V = m ⋅ ( ∆λ + i ⋅ ∆Φ)
Cap. V - 1
Esta función relaciona dos planos complejos, uno asociado al elipsoide y otro al plano de la
proyección:
• ( ∆λ + i ⋅ ∆Φ ) es un punto del plano complejo asociado con el elipsoide de revolución
parametrizado por el sistema isométrico ( latitud creciente, longitud geodésica ). El incremento
de longitudes geodésicas corresponderá al meridiano origen y el incremento de latitud creciente
se referirá al paralelo fundamental.
• (U + i ⋅ V ) es un punto del plano complejo asociado con el plano de la proyección,
parametrizado por un sistema de coordenadas isométrico polar que se deducirá posteriormente.
En el plano cartográfico el eje y , tal y como se enunció anteriormente, corresponderá a la
transformada del meridiano origen y el origen del sistema se situará en el punto sobre el mismo
correspondiente al paralelo de tangencia. La expresión de las coordenadas cartesianas de un punto se deduce
de la siguiente figura,
Ilustración V - 2
Nota.- La latitud φ que aparece en las ilustraciones es la geodésica, no la creciente Φ.
x = R ⋅ sen γ
y = R0 − R ⋅ cos γ
Cap. V - 2
Es preciso encontrar el sistema polar de coordenadas isométricas (U, V). Estudiemos si R y γ lo
definen,
x = R ⋅ sen γ → dx = sen γ ⋅ dR + R ⋅ cos γ ⋅ dγ
y = R0 − R ⋅ cos γ → dy = − cos γ ⋅ dR + R ⋅ sen γ ⋅ dγ
Cap. V - 3
La primera forma cuadrática fundamental resultará,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
5-2
PROYECCIONES CÓNICAS.
ds 2 = dx 2 + dy 2 = sen 2 γ ⋅ dR 2 + R 2 ⋅ cos2 γ ⋅ dγ 2 + 2 ⋅ R ⋅ sen γ ⋅ cos γ ⋅ dγ ⋅ dR +
+ cos2 γ ⋅ dR 2 + R 2 ⋅ sen 2 γ ⋅ dγ 2 − 2 ⋅ R ⋅ sen γ ⋅ cos γ ⋅ dγ ⋅ dR
 dR 2

ds 2 = dR 2 + R 2 ⋅ dγ 2 = R 2 ⋅  2 + dγ 2 
 R

Cap. V - 4
Y, en consecuencia, (γ, R) no definen un sistema de coordenadas isométrico.
Tomemos ahora la definición del sistema de coordenadas,
u = R0 ⋅ γ
v = R0 − R
Cap. V - 5
y estudiemos si es simétrico .
du
R0
v = R0 − R → dR = − dv
u = R0 ⋅ γ → dγ =
Cap. V - 6
Sustituyendo en Cap.V-4,
 dv 2 du 2 
ds = R ⋅  2 + 2 
R0 
R
2
2
Cap. V - 7
Y, operando,
2

R 2  2  Ro 
ds = 2 ⋅  du +   ⋅ dv 2 
 R
R0 

2
Cap. V - 8
Por tanto, el sistema (u, v) no es isométrico. Sin embargo, el sistema (U, V) definido por las
ecuaciones diferenciales,
dU = du = R0 ⋅ dγ
R
R
dV = 0 ⋅ dv = − 0 ⋅ dR
R
R
Cap. V - 9
si lo será. Para obtener estas nuevas coordenadas tan solo habrá que integrar las ecuaciones diferenciales,
U = R0 ⋅ γ + k1
V = − R0 ⋅ ln R + k 2
Cap. V - 10
Para resolver las constantes de integración consideraremos las condiciones iniciales,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
5-3
PROYECCIONES CÓNICAS.
u = 0 → γ = 0 → k1 = 0
v = 0 → R = R0 →
→ 0 = - R0 ⋅ ln R0 + k 2 → k 2 = R0 ⋅ ln R0
Cap. V - 11
Y, finalmente,
U = R0 ⋅ γ
V = − R0 ⋅ ln R + R0 ⋅ ln R0 = − R0 ⋅ ln
R
R
= R0 ⋅ ln 0
R0
R
Cap. V - 12
Una vez definidos los dos planos complejos relacionados por la función,
U + i ⋅ V = m ⋅ ( ∆λ + i ⋅ ∆Φ)
Cap. V - 13
es evidente que si m es un factor de proporcionalidad, la proyección será conforme dado que la función es
analítica.
Para comprobar que la función es analítica se verificará que cumple las condiciones de CauchyRiemann,
U = U ( ∆Φ, ∆λ ) = m ⋅ ∆λ
∂U
=0
∂Φ
∂U
=m
∂λ
Cap. V - 14
V = V ( ∆Φ, ∆λ ) = m ⋅ ∆Φ
∂V
=m
∂Φ
∂V
=0
∂λ
Cap. V - 15
Por tanto se verifican las condiciones de Cauchy-Riemann, la función es analítica e implica una
transformación conforme.
∂U ∂V
=
=m
∂λ ∂Φ
Cap. V - 16
∂V
∂U
=−
=0
∂λ
∂Φ
Cap. V - 17
Para que se verifique la igualdad de Cap.V-1, es decir, la igualdad de dos números complejos, es
preciso que sean igual tanto la parte real como la parte imaginaria.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
5-4
PROYECCIONES CÓNICAS.
U = m ⋅ ∆λ
V = m ⋅ ∆Φ
Cap. V - 18
De acuerdo al sistema isométrico obtenido anteriormente,
R0 ⋅ γ = m ⋅ ∆λ → γ =
m
⋅ ∆λ
R0
Cap. V - 19
m
− ∆⋅Φ
R
R
m
− R0 ⋅ ln
= m ⋅ ∆Φ → ln
=−
⋅ ∆Φ → R = R0 ⋅ e R0
R0
R0
R0
Cap. V - 20
La deducción del valor de la constante de proporcionalidad m parte de la consideración de que el
paralelo de tangencia no sufrirá ninguna alteración lineal, será automecoico, y por tanto,
R0 ⋅ γ = ν0 ⋅ cos ϕ0 ⋅ ∆λ = m ⋅ ∆λ
Cap. V - 21
De donde,
m = ν 0 ⋅ cos ϕ 0
Cap. V - 22
Y, de acuerdo a la primera figura,
R0 ⋅ sen ϕ 0 = ν 0 ⋅ cos ϕ 0
R0 = ν 0 ⋅ cot gϕ 0
Cap. V - 23
Por lo que, sustituyendo el valor del coeficiente de proporcionalidad, m,
γ =
ν ⋅ cos ϕ0
m
⋅ ∆λ = sen ϕ0 ⋅ ∆λ
⋅ ∆λ = 0
R0
ν0 ⋅ cot gϕ0
R = R0 ⋅ e −sen ϕ0 ⋅∆Φ
Cap. V - 24
γ representa la convergencia de meridianos, el ángulo que forma la transformada del meridiano con la
dirección del eje de ordenadas cartográfico. Es un parámetro fundamental ya que permite relacionar el
azimut geodésico de una línea geodésica sobre el elipsoide con el azimut cartográfico de su transformada
sobre el plano de la proyección.
A partir de las coordenadas polares (γ, R), las coordenadas cartesianas vendrán dadas por las
funciones que se analizaron al principio,
x = R ⋅ sen γ
y = R0 − R ⋅ cos γ
Cap. V - 25
Por tanto, el orden de cálculos para obtener un punto proyectado a partir de sus coordenadas (ϕ, λ)
serán :
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
5-5
PROYECCIONES CÓNICAS.
1º → R 0 = ν 0 ⋅ cot gϕ 0
2º → ∆λ = λ − λ0
3º → γ = sen ϕ 0 ⋅ ∆λ
4º → R = R0 ⋅ e −sen ϕ0 ⋅∆Φ , con ∆Φ = Φ − Φ 0
5º → x = 600000 + R ⋅ sen γ
6º → y = 600000 + R0 − R ⋅ cos γ
Cap. V - 26
La traslación tiene por objeto evitar la aparición de coordenadas negativas.
El problema inverso, cálculo de ( ϕ, λ ) a partir de ( x, y ), es algo más complicado. Se procede de la
siguiente forma,
x − 600000 = R ⋅ sen γ
600000 + R0 − y = R ⋅ cos γ
 x − 600000 
1º → γ = arctg

 600000 + R0 − y 
2º → R =
( x − 600000) 2 + (600000 + R0 − y) 2
3º → ∆λ =
e −sen ϕ0 ⋅∆Φ
γ
sen ϕ0
R
=
R0
4º → ∆Φ = −
→ λ = λ0 + ∆λ
1
R
⋅ ln
→ Φ = Φ 0 + ∆Φ
sen ϕ0
R0
5º → ϕ = funcion( Φ)
Cap. V - 27
5.2.2 COMPROBACIÓN DE LA CONDICIÓN DE CONFORMIDAD.
Anteriormente se ha probado que la función de variable compleja es analítica y por tanto conforme.
Por si quedase alguna duda, y para calcular el módulo de deformación lineal, se comprobarán las condiciones
de conformidad,
F'= 0
E'
ρ
2
=
G'
r2
Cap. V - 28
En primer lugar habrá que obtener los coeficientes.
La función que da la coordenada x sobre el plano de la proyección es,
x = R ⋅ sen γ
Cap. V - 29
Derivando,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
5-6
PROYECCIONES CÓNICAS.
∂x ∂x ∂R ∂x ∂R ∂Γ
=
⋅
=
⋅
⋅
∂ϕ ∂R ∂ϕ ∂R ∂Γ ∂ϕ
∂x
= sen γ
∂R
∂Γ ρ
=
∂ϕ r
R = R0 ⋅ e −sen ϕ0 ⋅∆Γ
∂R
= − sen ϕ0 ⋅ R
∂Γ
ρ
∂x
= − sen γ ⋅ sen ϕ0 ⋅ R ⋅
r
∂ϕ
∂x ∂x ∂γ
=
⋅
= R ⋅ cos γ ⋅ sen ϕ0
∂λ ∂γ ∂λ
Cap. V - 30
La función que da la coordenada y sobre el plano de la proyección es,
y = R0 − R ⋅ cos γ
Cap. V - 31
Derivando,
∂y ∂y ∂R ∂y ∂R ∂Γ
=
⋅
=
⋅
⋅
∂ϕ ∂R ∂ϕ ∂R ∂Γ ∂ϕ
∂y
= − cos γ
∂R
∂Γ ρ
=
∂ϕ r
R = R0 ⋅ e −sen ϕ0 ⋅∆Γ
∂R
= − sen ϕ 0 ⋅ R
∂Γ
ρ
∂y
= cos γ ⋅ sen ϕ 0 ⋅ R ⋅
r
∂ϕ
∂y ∂y ∂γ
=
⋅
= R ⋅ sen γ ⋅ sen ϕ 0
∂λ ∂γ ∂λ
Cap. V - 32
En consecuencia,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
5-7
PROYECCIONES CÓNICAS.
2
2
∂ x
∂ y
ρ2
E' = 
 +
 = sen 2 ϕ0 ⋅ R 2 ⋅ 2
r
∂ ϕ
∂ ϕ
∂ x
 ∂ y
 +
 = sen 2 ϕ0 ⋅ R 2
G' = 
∂ λ
∂ λ
∂ x ∂ x ∂ y ∂ y
⋅
+
⋅
=0
F' =
2
2
∂ ϕ ∂ λ
∂ ϕ ∂ λ
Cap. V - 33
Verificándose las condiciones de conformidad.
5.2.3 ESTUDIO DE LA DEFORMACIÓN LINEAL DE LA PROYECCIÓN.
ARTIFICIO DE TISSOT.
Dado que la proyección es conforme, el módulo de deformación lineal en un punto de la superficie
de referencia, elipsoide, se obtiene a partir de,
k12 =
E'
ρ
2
=
G'
r2
Cap. V - 34
Y, de acuerdo al resultado del apartado anterior,
k12 =
k1 =
E'
ρ
2
= sen 2 ϕ0 ⋅ R 2 ⋅
1
r2
R
⋅ sen ϕ0
r
Cap. V - 35
Por el hecho de que se ha obtenido la proyección considerando un paralelo fundamental, donde el
cono era tangente a la superficie de referencia, en este paralelo no habrá deformaciones, es un paralelo
automecoico. Al alejarse del paralelo fundamental, a medida que crezca el ∆ϕ respecto al mismo, aumentarán
las deformaciones.
El denominado “artificio de Tissot“ tiene como propósito reducir las deformaciones en los
extremos de la representación.
Por ejemplo, si se utilizase esta proyección para representar la península ibérica posiblemente se
optaría por considerar como paralelo fundamental el de ϕ=40º. Como consecuencia de esto las
deformaciones en los extremos de la zona a representar, limitada por los paralelos de 36º y 44º, serían las
máximas en la zona representada. Es intuitiva la idea de que la deformación no será función de la longitud
geodésica, tal y como se obtiene a partir del análisis de la función de k1, las líneas isométricas son paralelos,
el cono pasa a ser secante. Esta idea se aprecia en la siguiente figura.
Ilustración V - 3
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
5-8
PROYECCIONES CÓNICAS.
Al ser la proyección conforme, la deformación lineal no depende de la dirección, reducir la
deformación es equivalente a multiplicar el módulo de deformación por un valor menor y próximo a la
unidad. Si se multiplica k1 por un factor, p, de reducción de la forma,
p ⋅ k1 = p ⋅
R
⋅ sen ϕ0
r
Cap. V - 36
En función del valor asignado al factor p tendremos un valor de deformación lineal en el paralelo de
tangencia igual a p·k1 . El paralelo fundamental ha dejado de ser una línea automecoica. Sin embargo, habrán
aparecido dos paralelos automecoicos, siempre que p<1, en donde k1 toma valor 1.
En el problema directo, conocido el valor de p, la única modificación ha introducir consiste en
multiplicar el valor de R0 por ese coeficiente p de cambio de escala. El resto de las expresiones serían
válidas. En el problema inverso no es preciso realizar ninguna consideración especial.
El problema de como plantear el artificio de Tissot se puede establecer de dos formas.
a) Conocidos los paralelos automecoicos de latitudes ϕ1 y ϕ2, determinar los valores de ϕ0 y de R0,
el paralelo fundamental es desconocido.
La expresión que da el valor de R se puede escribir,
R = R0 ⋅ e − .n⋅∆Φ
Cap. V - 37
con n = sen ϕ 0
Sobre los dos paralelos automecoicos el módulo de deformación lineal es igual a la unidad,
luego,
1=
sen ϕ0 ⋅ R1 sen ϕ0 ⋅ R2
R
ν ⋅ cos ϕ1
=
→ 1 = 1
R2 ν2 ⋅ cos ϕ2
ν1 ⋅ cos ϕ1 ν2 ⋅ cos ϕ2
R1 = R0 ⋅ e −n⋅∆Φ1
R2 = R0 ⋅ e −n⋅∆Φ2
Cap. V - 38
n
 e − ∆Φ1 
ν ⋅ cos ϕ1
e −n⋅∆Φ1 ν1 ⋅ cos ϕ1
=
→
 − ∆Φ2  = 1
− n⋅∆φ2
e
ν 2 ⋅ cos ϕ 2
ν 2 ⋅ cos ϕ 2
e

n ⋅ ln
ln
ν ⋅ cos ϕ1
e − ∆Φ1
= ln 1
− ∆Φ 2
ν 2 ⋅ cos ϕ 2
e
e − ∆Φ1
= ln e − ∆Φ1 − ln e − ∆Φ2 = − ∆Φ1 − ( − ∆Φ 2 ) = ( Φ 0 − Φ1 ) − ( Φ 0 − Φ 2 ) = Φ 2 − Φ1
e − ∆Φ2
ln
n=
ν1 ⋅ cos ϕ1
ν 2 ⋅ cos ϕ 2
Φ 2 − Φ1
→ ϕ 0 = arcsen n
Cap. V - 39
Para determinar el valor de R0 se debe recurrir a la expresión del módulo de deformación lineal,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
5-9
PROYECCIONES CÓNICAS.
1=
sen ϕ0 ⋅ R1 sen ϕ0 ⋅ R0 ⋅ e − n⋅∆Φ1
=
r1
ν1 ⋅ cos ϕ1
Cap. V - 40
Ecuación en la que la única incógnita es R0, y
R0 = p ⋅ ν 0 ⋅ cot agϕ 0
Cap. V - 41
De forma que se puede obtener el valor de p, aunque no es preciso dado que es suficiente con
conocer la constante R0, afectada del artificio de Tissot.
b) Conocidos el valor de ϕ0 y el factor de reducción p, determinar las latitudes ϕ1 y ϕ2 de los
paralelos automecoicos.
Lo habitual es fijar una reducción de la deformación en los extremos de la zona de forma que,
k1 + 1
2
k +1
p= 1
2 ⋅ k1
p ⋅ k1 =
Cap. V - 42
siendo k1 la deformación de los extremos calculada sin aplicar artificio de Tissot.. Esto es equivalente a
reducir la deformación a la mitad.
Este fue el método utilizado por el Servicio Geográfico del ejército en la cartografía Lambert
conforme. Los intervalos de representación eran 44º y 36º. El paralelo fundamental original era 40º. Para el
elipsoide de Struve, a = 6378298.3 m. y f =
1
, el valor para p resultó, p = 0.9988085293.
294.73
Una vez determinado p, para encontrar las latitudes geodésicas correspondientes a los paralelos
automecoicos se debe realizar una búsqueda dicotómica.
5.3 PROYECCIÓN CÓNICA EQUIVALENTE. PROYECCIÓN DE
ALBERS.
Se dice que una proyección es equivalente cuando conserva las superficies. Por tanto el módulo de
deformación superficial, k2, a de ser igual a la unidad.
Esta condición se podría expresar de varias formas, de acuerdo a lo estudiado en el temas anteriores,
∂φ ∂f ∂f ∂φ
⋅
−
⋅
∂ϕ ∂λ ∂ϕ ∂λ
1º → k 2 =
=1
ρ ⋅r
2º → k 2 = a ⋅ b = 1
Cap. V - 43
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
5-10
PROYECCIONES CÓNICAS.
Expresando la segunda forma que un círculo de radio unitario sobre el elipsoide se debe transformar
en una elipse, de Tissot, sobre la proyección de producto de semiejes unitario, debido a que la superficie de
un círculo es
π ⋅ r2
y la de una elipse
π ⋅a ⋅b.
Para hacer el estudio de las funciones de la transformación se ha de partir del mismo caso que en la
proyección cónica conforme de Lambert.
Considérese un desarrollo cónico directo, eje coincidente con el eje z del sistema de referencia
geodésico, que es tangente a la superficie de referencia, elipsoide, en un paralelo fundamental, ϕ0, que será
automecoico. Sea la siguiente figura,
Ilustración V - 4
Si se definen las coordenadas sobre la proyección de forma similar al caso de la proyección cónica
conforme de Lambert,
x = R ⋅ sen γ
y = R0 − R ⋅ cos γ
Cap. V - 44
Con,
R0 = ν 0 ⋅ cos ϕ 0
γ = sen ϕ 0 ⋅ ∆λ
Cap. V - 45
por el hecho de ser el paralelo fundamental automecoico.
Esta proyección no coincide con la cónica conforme de Lambert porque el valor de R se determinará
con la condición de que la proyección sea equivalente. De partida se considera que R = f
(ϕ ) .
Una superficie diferencial sobre el elipsoide se determina según,
dS = ρ ⋅ r ⋅ dϕ ⋅ dλ
Cap. V - 46
Sobre el plano de la proyección,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
5-11
PROYECCIONES CÓNICAS.
dS ' = R ⋅ dR ⋅ dγ = R ⋅
dS ' = R ⋅ sen ϕ0 ⋅
dR dγ
⋅
⋅ dλ
dϕ dλ
dR
⋅ dλ
dϕ
Cap. V - 47
La condición de equivalencia se expresa según,
dS = dS '
ρ ⋅ r ⋅ dϕ ⋅ dλ = R ⋅ sen ϕ0 ⋅
dR
⋅ dϕ ⋅ dλ
dϕ
Cap. V - 48
Para que esta ecuación se cumpla se tendrá que determinar el valor adecuado de R.
R ⋅ dR =
ρ ⋅r
dϕ
sen ϕ0
Cap. V - 49
Integrando,
ϕ
2
R =
⋅ ρ ⋅ r ⋅ dϕ
sen ϕ0 ∫0
2
Cap. V - 50
Muy relacionada con esta integral esta la latitud autálica que se utiliza en la proyección cilíndrica
equivalente de Lambert y que responde a la siguiente expresión,
ϕ
ψ =∫
0
r⋅ρ
⋅ dϕ
a2
Cap. V - 51
Se remite al lector al apéndice II, titulado “Nuevas latitudes necesarias en Cartografía Matemática:
latitud creciente y autálica.”, donde se resuelve la integral anterior y el paso de latitud autálica a geodésica.
De esta forma, el valor de R será,
2 ⋅ a2
⋅ψ + k
R =
sen ϕ0
2
Cap. V - 52
Siendo k una constante de integración a determinar a partir de la condición inicial,
ϕ = ϕ0 → R = R0
Cap. V - 53
R02 = (ν0 ⋅ cot gϕ0 ) =
2
2 ⋅ a2
⋅ψ0 + k
sen ϕ0
Cap. V - 54
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
5-12
PROYECCIONES CÓNICAS.
k = (ν0 ⋅ cot gϕ0 )
2
2 ⋅ a2
−
⋅ψ
sen ϕ0 0
Cap. V - 55
Y, finalmente,
R=
2 ⋅a2
2 ⋅a2
2
⋅ ψ + (ν0 ⋅ cot gϕ0 ) −
⋅ψ
sen ϕ0
sen ϕ0 0
Cap. V - 56
Por tanto, el orden de cálculos para obtener un punto proyectado a partir de sus coordenadas (ϕ, λ)
serán :
1º → R 0 = ν0 ⋅ cot gϕ0
2º → γ = sen ϕ0 ⋅ ∆λ
3º → R =
2 ⋅ a2
2 ⋅ a2
2
⋅ ψ + (ν 0 ⋅ cot gϕ 0 ) −
⋅ψ0
sen ϕ0
sen ϕ0
4º → x = R ⋅ sen γ
5º → y = R0 − R ⋅ cos γ
Cap. V - 57
El problema inverso, cálculo de (ϕ, λ) a partir de (x, y), es algo más complicado. Se procede de la
siguiente forma,
x = R ⋅ sen γ
R0 − y = R ⋅ cos γ
 x 
1º → γ = arctg

 R0 − y 
2º → R =
3º → ∆λ =
( x ) 2 + ( R0 − y ) 2
γ
sen ϕ0
→ λ = λ0 + ∆λ
R 2 − (ν0 ⋅ cot gϕ0 ) +
2
4º → ψ =
2 ⋅ a2
⋅ψ
sen ϕ0 0
2 ⋅ a2
sen ϕ0
5º → ϕ = f (ψ )
Cap. V - 58
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
5-13
PROYECCIONES CÓNICAS.
5.4 EXTENSIÓN DE LAS PROYECCIONES ANTERIORES AL CASO
DE SISTEMA DE REFERENCIA QUE INCLUYA EN SU
DEFINICIÓN UNA SUPERFICIE DE REFERENCIA ESFÉRICA.
Tanto la proyección cónica conforme de Lambert como la proyección cónica equivalente de Albers
se puede extender al caso de superficie de referencia esférica sin más que considerar en las expresiones de
las mismas la simplificación oportuna. De nuevo conviene recordar que una esfera no es sino un caso
particular de un elipsoide de revolución con los semiejes iguales, aplanamiento nulo, y por tanto es una
superficie de curvatura constante.
La simplificación afecta principalmente a la relación entre la latitud geodésica y las latitudes
creciente y autálica. Esto es tratado en el apéndice II.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
5-14
DESARROLLOS CILÍNDRICOS DIRECTOS.
6. DESARROLLOS CILÍNDRICOS DIRECTOS.
6.1 INTRODUCCIÓN.
Los desarrollos cilíndricos directos se fundamentan en la consideración de un cilindro tangente a la
superficie de referencia, a lo largo del ecuador de la misma, estableciendo entre los puntos de ambas
superficies una correspondencia biunívoca. Desarrollando a continuación el cilindro se obtiene el plano de la
representación cartográfica.
Los meridianos geodésicos se representarán por rectas paralelas con una separación que es
proporcional a la correspondiente diferencia de longitudes geodésicas. Los paralelos geodésicos se
transforman en rectas normales a los meridianos proyectados y la separación entre los mismos será distinta
según la proyección se defina conforme o equivalente. El único paralelo automecoico es el ecuador
geodésico.
El eje x del sistema de referencia bidimensional del plano de la proyección será la transformada del
ecuador y el eje y será la transformada del meridiano geodésico definido como origen.
Este capítulo se centra en dos de las más importantes desarrollos cilíndricos directos : el desarrollo
cilíndrico directo conforme o “ carta de Mercator ” y el desarrollo cilíndrico directo equivalente de Lambert.
6.2 DESARROLLO CILÍNDRICO DIRECTO CONFORME. CARTA
DE MERCATOR.
6.2.1 INTRODUCCIÓN HISTÓRICA.
Se debe al cartógrafo holandés Gerhard Kremer (1512-1594), más conocido por Mercator, su
nombre latino. La utilizó por primera vez en su mapa mundi publicado en 1569.
En el momento de su aparición facilitar la navegación era uno de los objetivos más perseguidos por
todos los cartógrafos. El objetivo de Mercator fue realizar una representación que permitiese representar
mediante una línea recta las curvas sobre la superficie de referencia que tienen un acimut geodésico
constante, las loxodrómicas ya estudiadas en el capítulo 2. La sencillez de la navegación siguiendo una
loxodrómica es evidente dado que es suficiente con mantener un rumbo constante y esto no representaba
ningún problema para los instrumentos de navegación de la época. Hoy día parecería más lógico navegar
según las geodésicas, líneas de distancia más corta, o, en todo caso, aproximar segmentos de la geodésica por
loxodrómicas.
El convertir las transformadas de las loxodrómicas en rectas lo consiguió alterando la separación
entre las imágenes de los paralelos. El método seguido por Mercator no se explicó hasta que, veinte años
después, lo hizo el cartógrafo irlandés Wrigth. Él sería reconocido como el cartógrafo que daría un verdadero
impulso a los llamados mapas de latitudes crecientes. El fundamento de los mismos es que los paralelos se
separaban en el plano de manera que las deformaciones en el sentido de la latitud fuesen iguales a las
existentes en el sentido de la longitud.
6.2.2 FUNCIONES QUE DEFINEN EL DESARROLLO.
Si con los conocimientos adquiridos con los 5 temas anteriores, se plantease cómo conseguir ese
objetivo : que la transformada de las loxodrómicas sean líneas rectas en un desarrollo cilíndrico directo, se
respondería que imponiéndole la condición de conformidad a la proyección. La loxodrómica es una curva
que corta a todos los meridianos que atraviesa bajo un mismo ángulo y, si la proyección es conforme, el
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
6-1
DESARROLLOS CILÍNDRICOS DIRECTOS.
ángulo entre la transformada de la loxodrómica y la transformada de cada uno de los meridianos será igual al
acimut geodésico de la loxodrómica. Si los meridianos geodésicos se transforman un rectas, la transformada
de una loxodrómica ha de ser también una recta para que se cumpla lo anterior.
En el tema anterior se estudiaron los desarrollos cónicos directos. Si se considera un desarrollo
cilíndrico directo como un caso particular de un desarrollo cónico directo es evidente que el vértice del
mismo se sitúa en el infinito y el cono se convierte en un cilindro. Esto implica que a partir de un desarrollo
cónico directo conforme podemos obtener un desarrollo cilíndrico directo conforme sin más que imponerle
que el paralelo fundamental sea el ecuador geodésico.
Retomemos las expresiones que definen el desarrollo cónico directo conforme.
x = R ⋅ sen γ
y = R0 − R ⋅ cos γ
Cap. VI - 1
Con,
γ =
m
⋅ ∆λ
R0
m = ν 0 ⋅ cos ϕ 0
R0 = ν0 ⋅ cot gϕ0
R = R0 ⋅ e − senϕ0 ⋅∆Φ
Cap. VI - 2
Imponiendo la condición de que ϕ0=0, se tendrá,
ν0 =
a
(1 − e
2
⋅ sen ϕ 0
2
)
1
2
=a
m = ν 0 ⋅ cos ϕ 0 = a
R0 = ν 0 ⋅ cot agϕ 0 = ∞
R = R0 ⋅ e
−
m
⋅∆Φ
R0
= R0 ⋅ e −0⋅∆Φ = R0 ⋅ 1 = R0
Cap. VI - 3
Las funciones que definen la transformación resulta,.
x = R ⋅ sen γ = R0 ⋅ sen γ
Cap. VI - 4
De acuerdo al desarrollo en serie de Taylor de la función seno,
sen γ = γ −
1 3
1
⋅γ +
⋅ γ 5 + R( γ 7 )
6
120
Cap. VI - 5
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
6-2
DESARROLLOS CILÍNDRICOS DIRECTOS.
y al valor de
γ =
m
⋅ ∆λ
R0
3
m


1 m

x = R0 ⋅  ⋅ ∆λ − ⋅  ⋅ ∆λ  +... = m ⋅ ∆λ = a ⋅ ∆λ
6  R0

 R0

Cap. VI - 6
Dado que R0=∝.
y = R0 − R ⋅ cos γ
Cap. VI - 7
m

⋅ ∆λ  = cos( 0 ⋅ ∆λ ) = 1 , luego,
 R0

Pero, cos γ = cos
y = R0 − R = R0 − R0 ⋅ e
−
m
⋅∆Φ
R0
Cap. VI - 8
El desarrollo en serie de la función ex es,
ex = 1 + x +
1 2 1 3 1 4
⋅x + ⋅x +
⋅ x + R( x 5 )
2
6
24
Cap. VI - 9
Aplicando a la expresión anterior,
2
2
m
 

m


− ⋅∆Φ 


m
1 m
1 m
y = R0  1 − e R0  = R0 ⋅  1 −  1 −
⋅ ∆Φ + ⋅  ⋅ ∆Φ +...  = R0 ⋅  ⋅ ∆Φ + ⋅  ⋅ ∆Φ +... =
 
R0
2  R0
2  R0




 
 R0


m ⋅ ∆Φ = a ⋅ ∆Φ
Cap. VI - 10
Y, finalmente,
x = a ⋅ ∆λ
y = a ⋅ ∆Φ
Cap. VI - 11
La carta de Mercator respondería a la siguiente ilustración.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
6-3
DESARROLLOS CILÍNDRICOS DIRECTOS.
Ilustración VI - 1
6.2.3 DEFORMACIÓN LINEAL DE LA PROYECCIÓN.
El módulo de deformación lineal, k1, es independiente de la dirección en cada punto al ser conforme
la proyección.
De acuerdo a lo estudiado en temas anteriores,
k12 =
E'
ρ
2
=
G'
r2
Cap. VI - 12
Luego,
E ' = f ϕ2 + φϕ2
f = a ⋅ ∆λ → f ϕ = 0
φ = a ⋅ ∆Φ → φϕ = φΓ ⋅ Φ ϕ = a ⋅
ρ
r
a ⋅ρ
a
2
2 =
ρ ⋅r
r2
a
k1 =
r
2
2
2
k12 =
Cap. VI - 13
El denominador es el radio del paralelo. Esto implica que la deformación será menor cuanto mayor
sea el radio del paralelo, es decir, cuanto menor sea la latitud. Recuérdes que el ecuador es la única geodésica
automecoica y conforme nos alejemos del mismo es lógico que aumente la deformación lineal. En los polos,
donde el radio del paralelo es cero, la deformación lineal sería infinita.
De acuerdo al análisis anterior de la deformación lineal, la carta de Mercator no es buena para
latitudes altas, en ambos hemisferios. En realidad esta proyección nunca ha tenido aplicaciones geodésicas.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
6-4
DESARROLLOS CILÍNDRICOS DIRECTOS.
6.2.4 APLICACIÓN A LA NAVEGACIÓN DE LA CARTA DE MERCATOR.
Tal y como se ha mencionado anteriormente, la principal aplicación de esta proyección es a la
navegación. Las loxodrómicas, curvas de acimut geodésico constante, se transforman en líneas rectas. Los
navíos podían navegar según estas curvas sin mas que fijar el rumbo.
Según se vio en el tema 2, se denominan curvas loxodromas a aquellas que forman un ángulo
constante con los meridianos, es decir,
( cos α )
2
2
1
2 dϕ
= 2 = ρ ⋅ 2
c
ds
Cap. VI - 14
ds 2 = c 2 ⋅ ρ 2 ⋅ dϕ 2 = E ⋅ dϕ 2 ⋅ G ⋅ dλ2 = ρ 2 ⋅ dϕ 2 + ν 2 ⋅ cos2 ϕ ⋅ dλ2
ν 2 ⋅ cos2 ϕ ⋅ dλ2 = (c 2 − 1) ⋅ ρ 2 ⋅ dϕ 2
dλ 2 =
(c 2 − 1) ⋅ ρ 2 ⋅ dϕ 2
ν 2 ⋅ cos2 ϕ
a 2 ⋅ (1 − e 2 )
1 − e 2 ⋅ sen 2 ϕ )
1 − e2 )
(
(
ρ2
=
⋅
=
a2
ν 2 (1 − e 2 ⋅ sen 2 ϕ ) 3
(1 − e2 ⋅ sen 2 ϕ )
2
λ =
(
2
)
c2 − 1 ⋅ 1 − e2 ⋅ ∫
ϕ2
ϕ1
dϕ
cos ϕ ⋅ 1 - e 2 ⋅ sen 2 ϕ
(
)
Cap. VI - 15
Supónganse dos puntos sobre la carta de Mercator transformados de los puntos correspondientes
sobre el elipsoide, ( ϕ1, λ1 ) y ( ϕ2, λ2 ).
Ilustración VI - 2
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
6-5
DESARROLLOS CILÍNDRICOS DIRECTOS.
Dado que en esta proyección la convergencia de meridianos es nula, es decir, la dirección del eje de
ordenadas de la proyección coincide con la transformada del meridiano, el acimut geodésico y el acimut
cartográfico coinciden. Por tanto, el acimut geodésico de la loxodrómica se puede obtener según,
tg θ =
a ⋅ ∆λ
 ∆λ 
→ θ = ar cot g 

 ∆Φ 
a ⋅ ∆Φ
Cap. VI - 16
La distancia de la loxodrómica se obtiene por,
( cos α ) 2 =
ds =
1
cos θ
2
1
2 dϕ
=ρ ⋅ 2
ds
c2
ϕ2
∫ ρ ⋅ dϕ
ϕ1
Cap. VI - 17
De nuevo aparece el problema de determinar la longitud del arco de meridiano, l.a.m. La solución se
encuentra en el apéndice IV, titulado “Longitud del arco de meridiano”.
El problema de calcular la longitud de la loxodrómica está resuelto.
ds =
1
cosθ
ϕ2
1
∫ϕ ρ ⋅ dϕ = cosθ ⋅ [(l. a. m.)ϕ − (l. a. m.)ϕ ]
2
1
1
Cap. VI - 18
Dado que las loxodrómicas no son geodésicas, la distancia recorrida siguiendo la ruta de navegación
marcada por una loxodrómica no es la de distancia mínima. Cuando la ruta tiene un origen y destino muy
distanciados puede resultar conveniente proceder a dividir la geodésica, ortodrómica, y navegar aproximando
cada sector de ortodrómica por la loxodrómica respectiva. Esto último se aprecia en la siguiente ilustración.
Ilustración VI - 3
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
6-6
DESARROLLOS CILÍNDRICOS DIRECTOS.
La solución correcta de este problema exigiría realizar los cálculos de los sectores de geodésica,
puntos que los definen, sobre el elipsoide de revolución, para lo cual habría que resolver el problema directo
e inverso de la geodesia.
En todo lo descrito en cuanto a rutas de navegación seguidas en la época correspondiente al período
que abarca los siglos XIV-XVIII no ha sido tenido en cuenta un parámetro fundamental, el viento. Es
evidente que la fuente principal de energía para la navegación a vela es la eólica y por tanto a la hora de
decidir el trazado de cualquier ruta se hacían intervenir las direcciones de los vientos principales, en función
de la época del año.
6.3 DESARROLLO CILÍNDRICO DIRECTO EQUIVALENTE DE
LAMBERT.
Este desarrollo no ha tenido apenas aplicaciones geodésicas. Sin embargo, es interesante
desarrollarlo para no dejar un vacío en el desarrollo teórico del presente tema.
6.3.1 FUNCIONES QUE DEFINEN EL DESARROLLO.
En este desarrollo se parte de considerar que la ecuación de los meridianos sobre la proyección
coincide con la obtenida en la carta de Mercator. Es decir,
x = a ⋅ ∆λ = f ( λ )
Cap. VI - 19
La función que da la segunda coordenada sobre la proyección, que coincidirá con la ecuación de la
transformada de los paralelos, se obtiene a partir de imponer la condición de equivalencia.
y = φ (ϕ )
Cap. VI - 20
La condición de equivalencia se expresa según,
dS = ρ ⋅ r ⋅ dϕ ⋅ dλ
dS ' = f λ ⋅ dλ ⋅ φϕ ⋅ dϕ
Cap. VI - 21
dS = dS '
ρ ⋅ r ⋅ dϕ ⋅ dλ = a ⋅ dλ ⋅ φϕ ⋅ dϕ
φϕ =
ρ⋅r
a
ϕ
ϕ
a2 ρ ⋅ r
1
φ = ⋅ ∫ ρ ⋅ r ⋅ dϕ =
⋅
⋅ dϕ = a ⋅ ψ
a 0
a ∫0 a 2
Cap. VI - 22
Luego aparece la latitud autálica, tratada en el apéndice II. Por tanto, las funciones que definen el
desarrollo son :
x = f ( λ ) = a ⋅ ∆λ
y = φ (ϕ ) = a ⋅ ψ
Cap. VI - 23
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
6-7
DESARROLLOS CILÍNDRICOS DIRECTOS.
Siendo la x función del incremento de la longitud geodésica referida al meridiano considerado como
origen.
Ilustración VI - 4
Se puede apreciar que, al contrario de lo sucedido con la latitud creciente, con la latitud autálica se
produce una aproximación de los paralelos transformados a medida que aumenta el valor absoluto de la
latitud geodésica.
6.3.2 ESTUDIO DE LAS DEFORMACIONES DEL DESARROLLO.
El propósito planteado a continuación es estudiar la deformación lineal de la proyección y la forma
de la elipse indicatriz de Tissot, en cada punto de la proyección.
Dado que la proyección no es conforme la deformación lineal en el entorno diferencial de un punto
variará en función de la dirección considerada.
Calculamos los coeficientes de la primera forma cuadrática de esta proyección en función de las
coordenadas geodésicas.
E ' = f ϕ2 + φϕ2
G ' = f λ2 + φλ2
F ' = f ϕ ⋅ f λ + φϕ ⋅ φλ
Cap. VI - 24
Dado que,
f ϕ = φλ
fλ = a
φϕ = φψ ⋅ ψ ϕ = a ⋅
ρ ⋅r
a
2
=
ρ⋅r
a
Cap. VI - 25
Se obtiene,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
6-8
DESARROLLOS CILÍNDRICOS DIRECTOS.
E' =
ρ2 ⋅ r2
a2
G' = a 2
F' = 0
Cap. VI - 26
Se tendrá que las deformaciones a lo largo de las transformadas de las curvas paramétricas serán,
(k )
=
(k )
=
2
1 λ = cte
2
1 ϕ = cte
E'
ρ2
=
r2
r
→ meridianos
2 → ( k1 ) λ = cte =
a
a
G' a 2
a
→ paralelos
2 =
2 → ( k1 )ϕ = cte =
r
r
r
Cap. VI - 27
Si se calculan las direcciones de la elipse de Tissot en todo punto,
2
 E ' G' 
G'
 2 − 2
−
r 
ρ
ρ 2 r2
tgθ =
±
2 +1
F'


'
F
2⋅
2 ⋅

r⋅ ρ
 r⋅ ρ
E'
Cap. VI - 28
tg θ1 = ∞ + ∞ = ∞ → θ1 = 90o → meridiano
tg θ 2 = ∞ − ∞ = 0 → θ 2 = 0o → paralelo
Cap. VI - 29
Dado que,
r = ν ⋅ cos ϕ =
a ⋅ cos ϕ
(1 − e
2
⋅ sen ϕ )
2
1
2
r < a ∀ ϕ , salvo para ϕ = 0 → r = a
Cap. VI - 30
Luego la dirección del semieje mayor de la elipse indicatriz de Tissot estará, en cada punto, en la
dirección de la transformada del paralelo, eje x. La dirección del semieje menor será la de la transformada
del meridiano, el eje y.
En todo punto de la proyección, ( xp, yp ), la elipse indicatriz de Tissot tendrá por ecuación,
(x − x ) + (y − y )
2
p
 r
 
 a
p
2
 a
 
 r
2
2
=1
Cap. VI - 31
Evidentemente, en el ecuador, eje de abcisas de la proyección, la elipse indicatriz de Tissot se
convierte en un círculo de radio unidad. Era de esperar por el hecho de ser automecoico.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
6-9
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
7. PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
7.1 INTRODUCCIÓN.
En este tema se ocupa de las proyecciones geométricas que también son denominadas en muchos
textos como naturales o perspectivas.
Se entiendo por proyecciones geométricas aquellas en las que la obtención de las funciones de la
transformación para pasar de la superficie de referencia al plano se fundamenta en principios de geometría
proyectiva.
Los elementos principales que intervendrán en la geometría proyectiva que se estudiarán son:
• Figura a proyectar. En nuestro caso será la superficie de referencia del sistema de referencia
geodésico. Consideraremos en este tema como superficie de referencia una esfera. La geometría
de la esfera quedará definida por su radio. Se puede considerar un radio medio terrestre, 6370
km. por ejemplo, aunque se podría considerar un radio local de la zona a representar. Esta
superficie estará parametrizada por las coordenadas geodésicas latitud y longitud, siendo de total
extensión toda la teoría de superficies expuesta en el tema 2.
• Plano de la proyección. Es el plano sobre el que se proyecta. Se considerará un plano tangente a
la superficie de referencia en un punto. Según la posición del mismo hablaremos de:
• Proyecciones polares. El punto de tangencia es uno de los polos geodésicos.
• Proyecciones meridianas o ecuatoriales. El punto de tangencia pertenece al ecuador
geodésico.
• Proyecciones oblícuas. El punto de tangencia es cualquier otro de la superficie de
referencia.
• Eje proyectivo. Será la normal a la superficie de referencia en el punto de tangencia del plano de
la proyección.
• Vértice de la proyección. Es el punto a partir del que se proyecta. Es el origen de todo rayo
proyectivo. Se encuentra en el eje proyectivo. Según la posición del vértice de la proyección
hablaremos de:
• Proyecciones escenográficas. El vértice de la proyección es cualquier punto del eje
proyectivo exterior a la superficie de referencia pero su distancia al plano de la
proyección es finita.
• Proyecciones estereográficas. El vértice de la proyección es la intersección del eje
proyectivo con la superficie de referencia en el punto opuesto al punto de tangencia.
• Proyecciones gnomónicas o centrales. El vértice de la proyección está en el centro de la
superficie de referencia.
• Proyecciones ortográficas. El vértice de la proyección está en el infinito.
• Rayo proyectivo de un punto de la superficie de referencia. Es el resultado de unir el vértice de
la proyección con el punto es cuestión de la superficie de referencia. La intersección del rayo
proyectivo con el plano de la proyección dará el punto proyectado u homólogo del primero de
acuerdo a la proyección. El rayo proyectivo del punto de tangencia del plano de la proyección se
denomina eje proyectivo, tal y como se definió anteriormente.
En primer lugar se estudia el caso más general dentro de este conjunto de proyecciones, la
proyección escenográfica oblícua, dado que el resto se puede obtener como un caso particular del mismo.
Se obtendrán para cada una de las proyecciones las funciones de la transformación proponiéndose al
alumno el estudio del cumplimiento de las condiciones de equidistancia, equivalencia y conformidad.
En las siguientes figuras se ve gráficamente parte de lo analizado.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-1
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
Ilustración VII - 1
7.2 PROYECCIÓN ESCENOGRÁFICA.
7.2.1 PROYECCIÓN ESCENOGRÁFICA OBLÍCUA.
Por el hecho de ser proyección escenográfica, el vértice de la proyección se encontrará en el exterior
de la superficie de referencia, a una distancia finita del plano de la proyección. Por el hecho de ser
proyección oblícua, el plano de la proyección será tangente a la superficie de referencia en un punto distinto
de los polos geodésicos y no contenido en el ecuador geodésico.
Sea la figura siguiente.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-2
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
Ilustración VII - 2
El plano de la proyección es tangente a la superficie de referencia en un punto de coordenadas
geodésicas ( ϕ0, λ0 ).
El vértice de la proyección, V, se encuentra sobre el eje proyectivo a una distancia D del centro de
la superficie de referencia.
En el plano proyectivo se define el siguiente sistema de referencia bidimensional:
• Origen. El punto de tangencia.
• Eje Y. Intersección del plano meridiano del punto con el plano de la proyección..El sentido
positivo será el correspondiente al norte geodésico.
• Eje X. Intersección del primer vertical, plano normal de acimut geodésico 90º, con el plano de la
proyección. El sentido positivo será el correspondiente al este geodésico.
El punto homólogo de un punto A, de coordenadas geodésicas ( ϕ, λ ), será el punto A’. Es la
intersección del rayo proyectivo VA con el plano de la proyección. A continuación se deducen las
funciones de la transformación.
Sea el triángulo esférico PGA, cuyos lados y ángulos son:
•
•
•
•
a = ζ, lado correspondiente al vértice en el polo norte geodésico.
b = 90º-ϕ. Colatitud del punto A.
c = 90º-ϕ0. Colatitud del punto de tangencia del plano de la proyección.
A = P, ángulo en el polo norte geodésico correspondiente al incremento de longitud geodésica
entre A y G.
• G = 360º-Z. Complemento a 360º del acimut geodésico del punto A desde G.
• A, ángulo en el vértice correspondiente al punto A.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-3
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
De acuerdo a la resolución de triángulos esféricos,
cos a = sen ϕ ⋅ sen ϕ 0 + cosϕ ⋅ cosϕ 0 ⋅ cos ∆λ
sen a ⋅ sen( 360 o − Z ) = cos ϕ ⋅ sen ∆λ = sen a ⋅ sen Z
sen a ⋅ cos Z = sen ϕ ⋅ cosϕ 0 − cosϕ ⋅ sen ϕ 0 ⋅ cos ∆λ
Cap. VII - 1
De acuerdo a la siguiente figura,
Ilustración VII - 3
Las coordenadas del punto A’ en el plano de la proyección serán:
x = GA' ⋅ sen Z
y = GA' ⋅ cos Z
Cap. VII - 2
Para determinar el valor de GA' se consideran los triángulos semejantes VGA’ y VqA, siendo q el
punto intersección de la normal desde A a la recta VG.
qA R ⋅ cos a + D
R ⋅ sen a R ⋅ cos a + D
R ⋅ sen a ⋅ ( D + R ) sen a ⋅ ( D + R )
=
→
=
→ GA' =
=
D
D+R
D+R
R ⋅ cos a + D
GA'
GA'
cos a +
R
Cap. VII - 3
En consecuencia,
sen a ⋅ ( D + R)
⋅ sen Z
D
cos a +
R
(
sen a ⋅ D + R)
⋅ cos Z
y=
D
cos a +
R
x=
Cap. VII - 4
Y, de acuerdo a las expresiones de trigonometría esférica vistas,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-4
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
x=
( D + R) ⋅ cosϕ ⋅ sen ∆λ
D
+ sen ϕ ⋅ sen ϕ 0 + cos ϕ ⋅ cos ϕ 0 ⋅ cos ∆λ
R
( D + R) ⋅ (sen ϕ ⋅ cosϕ0 − cosϕ ⋅ sen ϕ0 ⋅ cos ∆λ )
y=
D
+ sen ϕ ⋅ sen ϕ 0 + cosϕ ⋅ cos ϕ 0 ⋅ cos ∆λ
R
Cap. VII - 5
Estas son las funciones de la transformación.
7.2.2 PROYECCIÓN ESCENOGRÁFICA POLAR.
Es un caso particular de la proyección escenográfica oblícua en el que el plano de la proyección es
tangente a alguno de los polos geodésicos. Para nuestras latitudes interesaría aquella que tiene por
coordenada latitud del punto de tangencia ϕ0 = 90º.
Las funciones de la transformación resultarían:
x=
( D + R) ⋅ cosϕ ⋅ sen ∆λ
D
+ sen ϕ
R
( D + R) ⋅ ( − cosϕ ⋅ cos ∆λ )
y=
D
+ sen ϕ
R
Cap. VII - 6
7.2.3 PROYECCIÓN ESCENOGRÁFICA MERIDIANA O ECUATORIAL.
Es un caso particular de la proyección escenográfica oblícua en el que el plano de la proyección es
tangente en un punto del ecuador.
Las funciones de la transformación, por el hecho de ser ϕ0 = 0º, resultarían:
x=
( D + R) ⋅ cos ϕ ⋅ sen ∆λ
D
+ cos ϕ ⋅ cos ∆λ
R
( D + R) ⋅ ( sen ϕ )
y=
D
+ cos ϕ ⋅ cos ∆λ
R
Cap. VII - 7
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-5
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
7.3 PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA.
7.3.1 INTRODUCCIÓN. PROPIEDADES DE LA PROYECCIÓN
ESTEREOGRÁFICA.
En la proyección estereográfica el vértice de la proyección es un punto de la superficie de referencia
obtenido como intersección de la misma con el eje de la proyección en el punto opuesto al de tangencia del
plano de la proyección.
Son propiedades importantes de las proyecciones estereográficas:
1. Las circunferencias de la superficie de referencia que pasan por el vértice de la proyección se
transforman como rectas. El resto se transforman como circunferencias.
2. La proyección estereográfica es conforme.
Se estudiarán las funciones de las proyecciones estereográficas como particularización de la
proyección escenográfica oblícua.
7.3.2 PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA OBLÍCUA.
Es el caso general de las proyecciones estereográficas. El plano de la proyección puede ser tangente
a la superficie de referencia en cualquier punto de la misma, excluyendo al ecuador y a los polos.
Las funciones de la transformación se obtienen de las de la escenográfica oblícua considerando que
la distancia D, del vértice de la proyeccion al centro de la superficie de referencia, es precisamente el radio
de la superficie de referencia, R.
x=
y=
2 ⋅ R ⋅ cos ϕ ⋅ sen ∆λ
1 + sen ϕ ⋅ sen ϕ 0 + cosϕ ⋅ cos ϕ 0 ⋅ cos ∆λ
2 ⋅ R ⋅ (sen ϕ ⋅ cos ϕ 0 − cos ϕ ⋅ sen ϕ 0 ⋅ cos ∆λ )
1 + sen ϕ ⋅ sen ϕ 0 + cos ϕ ⋅ cos ϕ 0 ⋅ cos ∆λ
Cap. VII - 8
Las siguientes ilustraciones se corresponden con esta proyección.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-6
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
Ilustración VII - 4
7.3.3 PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA POLAR.
Por ser una proyección estereográfica, la distancia D del vértice de la proyección al centro de la
superficie de referencia será igual al radio de la misma, R. Por ser una proyección polar, la latitud geodésica
del punto de tangencia de la superficie de referencia con el plano de la proyección será 90º.
En consecuencia, las funciones que definen la transformación se pueden escribir:
x=
y=
2 ⋅ R ⋅ cos ϕ ⋅ sen ∆λ
1 + sen ϕ
2 ⋅ R ⋅ ( − cos ϕ ⋅ cos ∆λ )
1 + sen ϕ
Cap. VII - 9
Esta proyección se corresponde con la siguiente figura.
Ilustración VII - 5
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-7
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
Esta proyección es de especial importancia de entre el conjunto de las proyecciones geométricas
dado que es utilizada para completar a la proyección U.T.M. para la representación de las regiones cercanas
a los polos.
Ilustración VII - 6
Se estudiarán las condiciones de conformidad vistas en el tema 3.
Recúerdese que los coeficientes de la primera forma cuadrática fundamental a partir de una
transformación definida como,
x = f (ϕ , λ )
y = φ (ϕ , λ )
Cap. VII - 10
eran:
2
2
∂ f 
∂ φ
E'=   + 
 ,
 ∂ϕ 
 ∂ϕ 
∂ f 
∂ φ
G'=   + 
 ,
 ∂λ 
 ∂λ 
2
2
F'=
∂f ∂f ∂φ ∂φ
⋅
+
⋅
∂ϕ ∂λ ∂ϕ ∂λ
Cap. VII - 11
Las condiciones de conformidad analizadas se expresan como:
G' E '
G'
E'
2
2 −
2 = 0 →
2 =
2 = k1
r
ρ
r
ρ
y
F'= 0
Cap. VII - 12
que también se escriben,
F = f ϕ ⋅ f λ + φϕ ⋅ φλ = 0
1
ρ
2
(
)
⋅ f ϕ2 + φϕ2 =
1
⋅ ( f λ2 + φλ2 )
r2
Cap. VII - 13
Para comprobar que la proyección es conforme se comienza por calcular los coeficientes de la
primera forma cuadrática fundamental.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-8
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
2 ⋅ R ⋅ cos ϕ ⋅ sen ∆λ
1 + sen ϕ
∂ x 2 ⋅ R ⋅ cos ϕ ⋅ cos ∆λ
=
∂λ
1 + sen ϕ
x=
∂ x ( − 2 ⋅ R ⋅ sen ϕ ⋅ sen ∆λ ) ⋅ (1 + sen ϕ ) − cos ϕ ⋅ ( 2 ⋅ R ⋅ cos ϕ ⋅ sen ∆λ )
=
=
∂ϕ
(1 + sen ϕ ) 2
=
=
− 2 ⋅ R ⋅ sen 2 ϕ ⋅ sen ∆λ − 2 ⋅ R ⋅ sen ϕ ⋅ sen ∆λ − 2 ⋅ R ⋅ cos 2 ϕ ⋅ sen ∆λ
(1 + sen ϕ ) 2
− 2 ⋅ R ⋅ sen ∆λ − 2 ⋅ R ⋅ sen ϕ ⋅ sen ∆λ
(1 + sen ϕ ) 2
=−
=
(1 + sen ϕ ) ⋅ 2 ⋅ R ⋅ sen ∆λ
(1 + sen ϕ ) 2
∂x
2 ⋅ R ⋅ sen ∆λ
=−
∂ϕ
1 + sen ϕ
Cap. VII - 14
Y, por otra parte,
2 ⋅ R ⋅ ( − cos ϕ ⋅ cos ∆λ )
y=
1 + sen ϕ
∂ y 2 ⋅ R ⋅ cos ϕ ⋅ sen ∆λ
=
∂λ
1 + sen ϕ
∂ y 2 ⋅ R ⋅ cos ∆λ
=
∂ϕ
1 + sen ϕ
Cap. VII - 15
Por tanto, los coeficientes de la primera forma cuadrática fundamental resultan,
2
∂ f 
∂ φ
E'=   + 

 ∂ϕ 
 ∂ϕ 
2
2 ⋅ R ⋅ sen ∆λ
1 + sen ϕ
2 ⋅ R ⋅ cos ∆λ
φϕ =
1 + sen ϕ
fϕ = −
(f )
2
ϕ
(φ )
ϕ
E'=
2
=
=
4 ⋅ R 2 ⋅ sen 2 ∆λ
(1 + sen ϕ ) 2
4 ⋅ R 2 ⋅ cos2 ∆λ
(1 + sen ϕ ) 2
4 ⋅ R2
(1 + sen ϕ ) 2
Cap. VII - 16
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-9
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
∂ φ
∂ f 
G'= 
 +

 ∂λ 
 ∂λ 
2
2
2 ⋅ R ⋅ cosϕ ⋅ cos ∆λ
1 + sen ϕ
2 ⋅ R ⋅ cos ϕ ⋅ sen ∆λ
φλ =
1 + sen ϕ
fλ =
( fλ ) =
4 ⋅ R 2 ⋅ cos2 ϕ ⋅ cos2 ∆λ
(φ )
4 ⋅ R 2 ⋅ cos 2 ϕ ⋅ sen 2 ∆λ
2
λ
G' =
2
=
(1 + sen ϕ )
(1 + sen ϕ )
2
2
4 ⋅ R 2 ⋅ cos2 ϕ
(1 + sen ϕ )
2
Cap. VII - 17
F'=
∂f ∂f ∂φ ∂φ
⋅
+
⋅
∂ϕ ∂λ ∂ϕ ∂λ
fϕ ⋅ f λ = −
4 ⋅ R 2 ⋅ cosϕ ⋅ sen ∆λ ⋅ cos ∆λ
2 ⋅ R ⋅ sen ∆λ 2 ⋅ R ⋅ cosϕ ⋅ cos ∆λ
=⋅
1 + sen ϕ
1 + sen ϕ
(1 + sen ϕ ) 2
2 ⋅ R ⋅ cos ∆λ 2 ⋅ R ⋅ cosϕ ⋅ sen ∆λ
4 ⋅ R 2 ⋅ cosϕ ⋅ sen ∆λ ⋅ cos ∆λ
φϕ ⋅ φλ =
=
⋅
1 + sen ϕ
1 + sen ϕ
(1 + sen ϕ ) 2
Cap. VII - 18
F'= 0
Cap. VII - 19
Luego se cumple la primera condición.
A continuación se estudia la segunda,
G' E '
G'
E'
2
2 −
2 = 0 →
2 =
2 = k1
ρ
ρ
r
r
Cap. VII - 20
En el caso de la esfera,
r = R ⋅ cosϕ
ρ=R
Cap. VII - 21
Luego,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-10
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
G ' 4 ⋅ R 2 ⋅ cos 2 ϕ
1
4
=
2 =
2 ⋅
2
2
r
(1 + sen ϕ ) R ⋅ cos ϕ (1 + sen ϕ ) 2
E'
ρ
2
=
4 ⋅ R2
(1 + sen ϕ )
2
⋅
1
4
2 =
R
(1 + sen ϕ ) 2
Cap. VII - 22
En consecuencia,
G'
E'
y la proyección es conforme.
2 =
ρ2
r
El módulo de anamorfosis lineal en un punto será independiente de la dirección y su valor será,
k1 =
2
1 + sen ϕ
Cap. VII - 23
Por lo tanto, cuanto mayor sea la latitud, cuanto mayor sea la proximidad al polo, menor será la
deformación lineal introducida por la proyección. En el límite, es decir, en el polo, el módulo se hace 1,
como es lógico.
7.3.4 PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA MERIDIANA O ECUATORIAL.
El fundamento geométrico de esta proyección se aprecia en el siguiente dibujo.
Ilustración VII - 7
Las funciones de la transformación se pueden obtener particularizando de la estereográfica oblícua.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-11
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
2 ⋅ R ⋅ cos ϕ ⋅ sen ∆λ
1 + cos ϕ ⋅ cos ∆λ
2 ⋅ R ⋅ sen ϕ
y=
1 + cos ϕ ⋅ cos ∆λ
x=
Cap. VII - 24
Una de las aplicaciones de esta proyección es la representación de la esfera celeste, ya que al ser
conforme, las formas dentro de cada constelación definida por la posición de las estrellas integradas en la
misma, se conserva.
Ilustración VII - 8
7.4 PROYECCIÓN GNOMÓNICA O CENTRAL.
7.4.1 INTRODUCCIÓN. PROPIEDADES.
En esta proyección el vértice de la proyección es el centro de la superficie de referencia. El plano de
la proyección se puede situar tangente a cualquier punto de la superficie de referencia.
La principal propiedad de esta proyección es que cualquier geodésica de la superficie de referencia,
círculo máximo en nuestro caso, se transforma en una línea recta. A las líneas geodésicas sobre una
superficie de referencia esférica se las conoce como ortodrómicas y materializan la curva de menor distancia
por ser geodésicas.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-12
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
Esta propiedad ha hecho que se utilice esta proyección para cartografía con fines de navegación
aérea dado que los aviones siguen, a menudo, ortodrómicas.
7.4.2 PROYECCIÓN GNOMÓNICA OBLÍCUA.
Por el hecho de ser una proyección gnomónica la distancia, D, del vértice de proyección al centro de
la superficie de referencia es 0. Por el hecho de ser una proyección oblícua el plano de la proyección puede
ser tangente a la superficie de referencia en cualquier punto de la misma, excluyendo al ecuador y a los
polos.
Las funciones que definen la transformación se obtienen de particularizar de la proyección
escenográfica oblícua.
x=
y=
R ⋅ cos ϕ ⋅ sen ∆λ
sen ϕ ⋅ sen ϕ 0 + cos ϕ ⋅ cos ϕ 0 ⋅ cos ∆λ
R ⋅ (sen ϕ ⋅ cos ϕ 0 − cos ϕ ⋅ sen ϕ 0 ⋅ cos ∆λ )
sen ϕ ⋅ sen ϕ 0 + cosϕ ⋅ cos ϕ 0 ⋅ cos ∆λ
Cap. VII - 25
Ilustración VII - 9
7.4.3 PROYECCIÓN GNOMÓNICA POLAR.
En este caso el plano de la proyección es tangente a la superficie de referencia en uno de los polos y
el vértice de la proyección está en el centro de la superficie de referencia.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-13
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
Las funciones de la transformación, obtenidas de particularizar la proyección gnomónica oblícua,
son:
x=
R ⋅ cos ϕ ⋅ sen ∆λ
= R ⋅ cotan ϕ ⋅ sen ∆λ
sen ϕ
y=
R ⋅ ( − cos ϕ ⋅ cos ∆λ )
= − R ⋅ cot anϕ ⋅ cos ∆λ
sen ϕ
Cap. VII - 26
En este caso resulta muy sencillo estudiar la ecuación de las curvas paramétricas proyectadas.
La ecuación de los meridianos se obtiene si dividimos la primera entre la segunda,
x = − y ⋅ tan∆λ
Cap. VII - 27
Si se da un valor constante a ∆λ estaremos definiendo un meridiano y la ecuación representa un
recta.
Ilustración VII - 10
La ecuación de los paralelos se obtiene elevando al cuadrado y sumando ambas funciones,
x 2 + y 2 = cot an 2ϕ
Cap. VII - 28
Dando un valor constante a ϕ tendremos la ecuación de un paralelo que es, evidentemente, una
circunferencia.
Si estudiásemos la deformación lineal veríamos que esta aumenta rápidamente al alejarnos de los
polos por lo que sólo es válida para regiones próximas a los mismos.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-14
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
Ilustración VII - 11
7.4.4 PROYECCIÓN GNOMÓNICA MERIDIANA.
En este caso el plano de la proyección es tangente a la superficie de referencia en cualquier punto
del ecuador geodésico y el vértice de la proyección está en el centro de la superficie de referencia.
Esta proyección responde a la siguiente figura.
Ilustración VII - 12
Las funciones de la transformación se obtienen de particularizar en las funciones de la proyección
gnomónica oblícua.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-15
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
R ⋅ cos ϕ ⋅ sen ∆λ
= R ⋅ tan∆λ
cos ϕ ⋅ cos ∆λ
R ⋅ sen ϕ
R ⋅ tanϕ
y=
=
cos ϕ ⋅ cos ∆λ
cos ∆λ
x=
Cap. VII - 29
En este caso llegar a las ecuaciones de la proyección de las curvas paramétricas es un poco más
complicado.
Elevemos al cuadrado la primera ecuación,
x 2 = R 2 ⋅ tan 2 ∆λ =
2
1
R 2 ⋅ sen 2 ∆λ


2 1 − cos ∆λ
=
⋅
= R2 ⋅ 
− 1
R
2
2
2
 cos ∆λ 
cos ∆λ
cos ∆λ
Cap. VII - 30
Si elevamos al cuadrado la segunda,
R 2 ⋅ tan 2ϕ
y =
cos 2 ∆λ
y2
1
=
cos 2 ∆λ R 2 ⋅ tan 2ϕ
2
Cap. VII - 31
Sustituyendo en la ecuación anterior,


y2
x2 = R2 ⋅  2
− 1
2
 R ⋅ tan ϕ 
−
x2
y2
+
=1
R 2 R 2 ⋅ tan 2ϕ
Cap. VII - 32
Esta es la ecuación de una hipérbola, representación de cualquier paralelo.
De acuerdo a la función que da la coordenada x de la proyección, todo meridiano se transforma en
una recta paralela al eje de ordenadas de la proyección.
Un ejemplo gráfico de lo que hemos visto analíticamente sería,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-16
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
Ilustración VII - 13
7.5 PROYECCIÓN ORTOGRÁFICA.
7.5.1 INTRODUCCIÓN. PROPIEDADES.
En esta proyección el vértice de la proyección se localiza sobre el eje de la proyección a una
distancia infinita por lo que los rayos proyectivos son ortogonales al plano de la proyección
Según se trate de oblícua, polar o meridiana, las ecuaciones de las transformadas de las curvas
parámetricas de la superficie de referencia serán distintas.
7.5.2 PROYECCIÓN ORTOGRÁFICA OBLÍCUA.
Por el hecho de ser una proyección ortográfica la distancia, D, hasta el vértice de la proyección será
infinita. Por el hecho de ser una proyección oblícua, el plano de la proyección podrá ser tangente a la
superficie de referencia en cualquier punto de la misma, excluyendo al ecuador y a los polos.
Particularizando de la proyección escenográfica oblícua.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-17
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
R

 1 +  ⋅ cos ϕ ⋅ sen ∆λ

D
x = lim
= R ⋅ cos ϕ ⋅ sen ∆λ
D →∞ 1
sen ϕ ⋅ sen ϕ 0 + cosϕ ⋅ cosϕ 0 ⋅ cos ∆λ
+
R
D
R

 1 +  ⋅ ( sen ϕ ⋅ cos ϕ 0 − cos ϕ ⋅ sen ϕ 0 ⋅ cos ∆λ )

D
y = lim
= R ⋅ ( sen ϕ ⋅ cos ϕ 0 − cos ϕ ⋅ sen ϕ 0 ⋅ cos ∆λ )
D →∞
1 sen ϕ ⋅ sen ϕ 0 + cos ϕ ⋅ cos ϕ 0 ⋅ cos ∆λ
+
R
D
Cap. VII - 33
Un ejemplo gráfico de una proyección de este tipo sería,
Ilustración VII - 14
7.5.3 PROYECCIÓN ORTOGRÁFICA POLAR.
Las funciones que definen la proyección se obtienen sin dificultad particularizando las expresiones
de la proyección ortográfica oblícua en el caso que nos ocupa, ϕ0 = 90º.
x = R ⋅ cos ϕ ⋅ sen ∆λ
y = − R ⋅ cos ϕ ⋅ cos ∆λ
Cap. VII - 34
La ecuación de los meridianos es una recta, x = − y ⋅ tan∆λ , como se deduce directamente.
La ecuación de los paralelos es una circunferencia, como se obtiene elevando al cuadrado y
sumando las dos funciones que definen la proyección,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-18
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
x 2 + y 2 = cos 2 ϕ
Cap. VII - 35
Ilustración VII - 15
7.5.4 PROYECCIÓN ORTOGRÁFICA MERIDIANA.
Las funciones que definen la proyección se obtienen sin dificultad particularizando las expresiones
de la proyección ortográfica oblícua en el caso que nos ocupa, ϕ0 = 0º.
x = R ⋅ cos ϕ ⋅ sen ∆λ
y = R ⋅ sen ϕ
Cap. VII - 36
Como ejemplo de representación analícese la siguiente ilustración,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-19
PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
Ilustración VII - 16
La segunda de las funciones que definen la proyección es la ecuación de los paralelos
transformados, son rectas paralelas al eje de abcisas.
Para obtener la ecuación de los meridianos transformados hay que hacer algunas operaciones,
x 2 = R 2 ⋅ cos 2 ϕ ⋅ sen 2 ∆λ
y 2 = R 2 ⋅ sen 2 ϕ
Cap. VII - 37
x2
cos ϕ = 2
R ⋅ sen 2 ∆λ
y2
sen 2 ϕ = 2
R
2
x
y2
+
=1
R 2 ⋅ sen 2 ∆λ R 2
2
Cap. VII - 38
En consecuencia, los meridianos se transforman en elipses.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
7-20
SISTEMAS ISOMÉTRICOS DE COORDENADAS SOBRE UNA SUPERFICIE.
I. SISTEMAS ISOMÉTRICOS DE COORDENADAS SOBRE
UNA SUPERFICIE.
I.1 INTRODUCCIÓN.
Los sistemas isométricos de coordenadas sobre una superficie son fundamentales en la teoría de
proyecciones conformes a partir de funciones de variable compleja desarrollado en el apéndice III.
En este apéndice se procede en primer lugar a definir estos sistemas y a dar una interpretación
geométrica a los mismos. A continuación se estudian sistemas de coordenadas simétricas en tres superficies:
el plano, la esfera y el elipsoide de revolución.
En toda superficie pueden definirse una infinidad de sistemas isométricos.
I.2 DEFINICIÓN DE UN SISTEMA ISOMÉTRICO.
(
)
Sea una superficie parametrizada por los parámetros u, v . Se dice que el sistema de coordenadas
(
)
definido por u, v es isométrico para la superficie si la primera forma cuadrática fundamental se puede
expresar según,
I (du, dv ) = ds 2 = h(u, v ) ⋅ ( du 2 + dv 2 )
Apéndice I - 1
Para realizar una interpretación geométrica de esta definición es preciso considerar la primera forma
cuadrática fundamental particularizada en las curvas paramétricas.
Así, en la curva de parámetro u, o u-curva, la longitud de arco se determinará según,
dsv = cte = h( u, v ) ⋅ du
Apéndice I - 2
Y, de igual forma, en la v-curva,
dsu=cte = h(u, v ) ⋅ dv
Apéndice I - 3
Si se considera una misma longitud sobre ambas curvas paramétricas resulta que,
dsv = cte = dsu= cte
h( u, v ) ⋅ du = h( u, v ) ⋅ dv
→ du = dv
Apéndice I - 4
se produce una misma variación en ambos parámetros.
En consecuencia, se puede definir un sistema isométrico sobre una superficie como aquel en que,
para un mismo desplazamiento en las curvas paramétricas, las coordenadas se incrementan el mismo valor.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA
I-1
SISTEMAS ISOMÉTRICOS DE COORDENADAS SOBRE UNA SUPERFICIE.
I.3 SISTEMAS ISOMÉTRICOS EN EL PLANO.
En el plano, las coordenadas cartesianas, (x, y), definen un sistema isométrico, puesto que la
expresión de la primera forma cuadrática fundamental resulta,
I ( dx , dy ) = ds 2 = dx 2 + dy 2
Apéndice I - 5
(
)
que, evidentemente, se ajusta a la condición impuesta por Apéndice I-1 sin más que considerar h x , y = 1 .
La comprobación a partir de la interpretación geométrica también es directa. Un desplazamiento de
una magnitud z sobre la x-curva, eje de abcisas, se debe a que x varía una magnitud z. Un desplazamiento de
una magnitud z sobre la y-curva, eje de ordenadas, se debe a que y varía una magnitud z. Por tanto, un
mismo desplazamiento sobre ambas curvas paramétricas implica una variación igual de ambos parámetros.
( )
Ahora bien, el sistema de coordenadas polares r, γ definido por,
x = r ⋅ cos γ
y = r ⋅ sen γ
Apéndice I - 6
no es un sistema isométrico. La comprobación es sencilla,
x = r ⋅ cos γ → dx = cos γ ⋅ dr − r ⋅ sen γ ⋅ dγ
y = r ⋅ sen γ → dy = sen γ ⋅ dr + r ⋅ cos γ ⋅ dγ
Apéndice I - 7
Y por tanto, la primera forma cuadrática fundamental resulta,
ds 2 = dx 2 + dy 2 = cos2 γ ⋅ dr 2 + r 2 ⋅ sen 2 γ ⋅ dθ 2 − 2 ⋅ r ⋅ sen γ ⋅ cos γ ⋅ dγ ⋅ dr +
+ sen 2 γ ⋅ dr 2 + r 2 ⋅ cos2 γ ⋅ dγ 2 + 2 ⋅ r ⋅ sen γ ⋅ cos γ ⋅ dγ ⋅ dr =
= dr 2 + r 2 ⋅ dγ 2
 dr 2

ds 2 = r 2 ⋅  2 + dγ 2 

 r
Apéndice I - 8
No es posible encontrar una expresión del tipo de Apéndice I-1, y, en consecuencia, el sistema de
coordenadas definido no es isométrico.
También se puede comprobar a partir de la interpretación geométrica. Un desplazamiento de una
magnitud z sobre la r-curva, que es una recta, se debe a que r varía una magnitud z. Un desplazamiento de
una magnitud z sobre la γ-curva, que es una circunferencia, se debe a que y varía una magnitud z . Por
r
tanto, un mismo desplazamiento sobre ambas curvas paramétricas no implica una variación igual de ambos
parámetros.
Para conseguir un sistema de coordenadas que sea isométrico se plantea la necesidad de considerar,
por ejemplo, el siguiente cambio de variable,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA
I-2
SISTEMAS ISOMÉTRICOS DE COORDENADAS SOBRE UNA SUPERFICIE.
dU = dγ → U = γ
dr
→ V = ln r → r = eV
dV =
r
Apéndice I - 9
(
)
El nuevo sistema de coordenadas V , U cumpliría la condición impuesta a un sistema isométrico
ya que la primera forma cuadrática fundamental resultaría,
I (dV , dU ) = ds 2 = e 2⋅V ⋅ ( dV 2 + dU 2 )
Apéndice I - 10
I.4 SISTEMAS ISOMÉTRICOS EN LA ESFERA.
Sea una esfera de radio R parametrizada en base a las coordenadas polares latitud y longitud,
(ϕ , λ ) , tal que:
x = R ⋅ cos ϕ ⋅ cos λ
y = R ⋅ cos ϕ ⋅ sen λ
z = R ⋅ sen ϕ
x(ϕ , λ ) = R ⋅ cos ϕ ⋅ cos λ ⋅ e1 + R ⋅ cos ϕ ⋅ sen λ ⋅ e 2 + R ⋅ sen ϕ ⋅ e 3
Apéndice I - 11
No define un sistema isométrico dado que la primera forma cuadrática fundamental resulta, tal y
como fácilmente se puede comprobar,
I ( dϕ , dλ ) = ds2 = R 2 ⋅ dϕ 2 + R 2 ⋅ cos2 ϕ ⋅ dλ2
 dϕ 2

I ( dϕ , dλ ) = ds 2 = R 2 ⋅ cos2 ϕ 
+ dλ2 
2
 cos ϕ

Apéndice I - 12
no siendo posible encontrar una forma similar a la expresión de Apéndice I-1.
La explicación de porqué no es un sistema isométrico es que los radios de curvatura de las dos
curvas paramétricas en un punto son distintos, salvo en el plano z=0. Si los radios de curvatura de las curvas
paramétricas son distintos es evidente que para que se produzca un desplazamiento similar en ambas curvas
la variación del parámetro no puede ser igual. En la curva paramétrica de mayor radio de curvatura, la ϕcurva, el parámetro variará menos.
Obtener un sistema isométrico a partir del anterior es sencillo.
Ahora se planteará desde la interpretación geométrica.
Un desplazamiento en la ϕ-curva viene dado por,
dsλ = cte = R ⋅ dϕ
Apéndice I - 13
De igual forma, un desplazamiento en la λ-curva viene dado por,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA
I-3
SISTEMAS ISOMÉTRICOS DE COORDENADAS SOBRE UNA SUPERFICIE.
dsϕ =cte = R ⋅ cos ϕ ⋅ dλ
Apéndice I - 14
Si se considera un desplazamiento igual en ambas curvas paramétricas resulta,
dsλ = cte = dsϕ = cte
R ⋅ dϕ = R ⋅ cos ϕ ⋅ dλ
dϕ = cos ϕ ⋅ dλ
dλ =
1
⋅ dϕ
cos ϕ
Apéndice I - 15
Si se define un nuevo parámetro, Φ , como,
dΦ =
ϕ
Φ=∫
0
1
⋅ dϕ
cos ϕ
1
⋅ dϕ
cos ϕ
Apéndice I - 16
(
)
Es evidente que el sistema de coordenadas Φ , λ define un sistema isométrico sobre la esfera.
Está muy relacionada con la latitud creciente que se vera en el apartado siguiente.
I.5 SISTEMAS ISOMÉTRICOS EN EL ELIPSOIDE.
Sea la superficie del elipsoide de revolución parametrizada en base a los parámetros latitud
geodésica y longitud geodésica,
(ϕ , λ ) .
De esta forma, la ecuación de esta superficie sería,
x = ν ⋅ cos ϕ ⋅ cos λ
y = ν ⋅ cos ϕ ⋅ sen λ
b2
z = ν ⋅ 2 ⋅ sen ϕ = ν ⋅ ( 1 − e 2 ) ⋅ sen ϕ
a
x (ϕ , λ) = ( ν ⋅ cosϕ ⋅ cosλ , ν ⋅ cosϕ ⋅ senλ , ν ⋅ ( 1- e 2 ) ⋅ sen ϕ )
Apéndice I - 17
La primera forma cuadrática fundamental resulta, tal y como fue desarrollado en el capítulo 2,
I (dϕ , dλ ) = ds2 = ρ 2 ⋅ dϕ 2 + ν 2 ⋅ cos2 ϕ ⋅ dλ 2
Apéndice I - 18
Si se intenta encontrar una forma similar a la expresión Apéndice I-1, se comprueba que no es
posible por lo que el sistema de coordenadas no es isométrico.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA
I-4
SISTEMAS ISOMÉTRICOS DE COORDENADAS SOBRE UNA SUPERFICIE.
 ρ2

I (dϕ , dλ ) = ds = ρ ⋅ dϕ + r ⋅ dλ = r ⋅  2 ⋅ dϕ 2 + dλ2 
r

2
2
2
2
2
2
Apéndice I - 19
donde r es el radio del paralelo geodésico.
A partir de la interpretación geométrica se concluye que el sistema de coordenadas no es isométrico
de forma similar al caso de la esfera; en un punto, salvo en el ecuador geodésico, los radios de curvatura de
las curvas paramétricas son distintos y esto implica que un desplazamiento similar sobre las curvas
paramétricas no se corresponde con una misma variación de los dos parámetros.
Obtener un sistema isométrico a partir del anterior es sencillo.
Ahora se planteará desde la interpretación geométrica.
Un desplazamiento en la ϕ-curva, meridiano geodésico, viene dado por,
dsλ =cte = ρ ⋅ dϕ
Apéndice I - 20
De igual forma, un desplazamiento en la λ-curva, paralelo geodésico, viene dado por,
dsϕ =cte = ν ⋅ cos ϕ ⋅ dλ = r ⋅ dλ
Apéndice I - 21
Si se considera un desplazamiento igual en ambas curvas paramétricas resulta,
dsλ = cte = dsϕ =cte
ρ ⋅ dϕ = r ⋅ dλ
ρ
dλ = ⋅ dϕ
r
Apéndice I - 22
Si se define un nuevo parámetro, Φ , como,
ρ
dΦ =
r
ϕ
Φ=∫
0
ρ
r
⋅ dϕ
⋅ dϕ
Apéndice I - 23
(
)
Es evidente que el sistema de coordenadas Φ , λ define un sistema isométrico sobre el elipsoide
de revolución. Sirva de nueva comprobación que la primera forma cuadrática fundamental resulta,
I (dΦ, dλ ) = ds2 = r 2 ⋅ ( dΦ 2 + dλ2 )
Apéndice I - 24
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA
I-5
SISTEMAS ISOMÉTRICOS DE COORDENADAS SOBRE UNA SUPERFICIE.
Este nuevo parámetro, Φ, se denomina latitud creciente. El término latitud alude a que es una
función de la latitud. El término creciente se comprende con el estudio del desarrollo cilíndrico conforme de
Mercator.
La latitud creciente se desarrolla en el apéndice II, titulado “ Nuevas latitudes definidas en
Cartografía Matemática: latitud creciente y autálica”.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA
I-6
NUEVAS LATITUDES DEFINIDAS EN CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA: LATITUD CRECIENTE Y AUTÁLICA.
II. NUEVAS LATITUDES DEFINIDAS EN CARTOGRAFÍA
MATEMÁTICA: LATITUD CRECIENTE Y AUTÁLICA.
II.1 INTRODUCCIÓN.
En el búsqueda de las funciones que definen algunas de las proyecciones más importantes aparecen
dos nuevas variables que, al depender directamente de la latitud geodésica, se han dado en denominar latitud
creciente y autálica.
Los hechos que han dado lugar a la aparición de una y otra latitud son distintos, si bien están
relacionados con el fin último de buscar la desaparición de una determinada deformación.
II.2 LATITUD CRECIENTE.
II.2.1 DEFINICIÓN.
La latitud creciente es la coordenada que junto a la longitud geodésica define un sistema de
coordenadas simétricas sobre la superficie del elipsoide de revolución.
Para cualquier aclaración respecto a los sistemas de coordenadas simétricos se remite al lector al
apéndice I, titulado “Sistemas isométricos de coordenadas sobre una superficie”.
De acuerdo a la teoría expuesta en el apéndice III, titulado “Proyecciones conformes a partir de
funciones de variable compleja”, es imprescindible en gran parte de las proyecciones conformes tales como;
el desarrollo cilíndrico conforme de Mercator, la proyección Universal Transversa de Mercator, la
proyección cónica conforme de Lambert, ...
La definición de la latitud creciente es,
ϕ
Φ=∫
0
ρ
r
⋅ dϕ
Apéndice II - 1
II.2.2 PASO DE LATITUD GEODÉSICA A CRECIENTE.
Dado un valor de latitud geodésica, la latitud creciente correspondiente se obtendrá resolviendo la
integral definida que la define.
A continuación se resuelve la integral.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
II-1
NUEVAS LATITUDES DEFINIDAS EN CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA: LATITUD CRECIENTE Y AUTÁLICA.
a ⋅ (1 − e
ϕ
Φ=∫
0
(1 − e
2
1
)
3
2
⋅ sen 2 ϕ ) 2
(1 − e 2 ⋅ sen 2 ϕ ) 2
(1 − e 2 ) ⋅ cos ϕ
⋅
⋅ dϕ = ∫
⋅ dϕ =
2
2
2
a ⋅ cos ϕ
0 (1 − e ⋅ sen ϕ ) ⋅ cos ϕ
ϕ
ϕ

(1 − e 2 ) ⋅ cos ϕ
cos ϕ 
e 2 ⋅ cos ϕ
=∫
⋅ dϕ = ∫  −
+
 ⋅ dϕ =
2
2
2
2
2
 1 − e ⋅ sen ϕ 1 − sen 2 ϕ 
0 (1 − e ⋅ sen ϕ ) ⋅ (1 − sen ϕ )
0
ϕ
ϕ
ϕ
1 
e 2 ⋅ cos ϕ
1  cos ϕ
e 2 ⋅ cos ϕ 
cos ϕ 
= - ⋅ ∫ −
+
+
 ⋅ dϕ + ⋅ ∫ 
 ⋅ dϕ =
2
2 0  1 + e ⋅ sen ϕ 1 − e ⋅ sen ϕ 
2 0  1 + sen ϕ 1 − sen ϕ 
e
1
ϕ
ϕ
= − ⋅ [ Ln( 1 + e ⋅ sen ϕ ) − Ln( 1 − e ⋅ sen ϕ ) ] 0 + ⋅ [ Ln( 1 + sen ϕ ) − Ln( 1 − sen ϕ ) ] 0 =
2
2
ϕ
ϕ
 1 + sen ϕ 
 1 + e ⋅ sen ϕ 
e
1

 + ⋅ Ln
= − ⋅ Ln
 1 − sen ϕ  0
 1 − e ⋅ sen ϕ  0 2
2
Apéndice II - 2
Pero,
2
2
2
 ϕ 
 ϕ    ϕ 

ϕ 
ϕ   ϕ 
1 + 2 ⋅ sen  ⋅ cos   sen  + cos 
 tg 2  + 1   tg 2  + 1 
 2 
1 + sen ϕ
π ϕ 
2
2  2
 =
 = tg 2  + 
=
=
2 =
ϕ
ϕ
4 2
ϕ 
ϕ   ϕ 




1 − sen ϕ
 ϕ 
 tg  − 1   − tg  + 1 
1 − 2 ⋅ sen  ⋅ cos   sen  − cos 
2
2  2
2 
 2  
 2 
Luego, sustituyendo en Apéndice II-2,
e

( 1 − e ⋅ sen ϕ ) 2  π ϕ  
Φ = Ln 
+ 
e ⋅ tg
 4 2
2
 (1 + e ⋅ sen ϕ )

Apéndice II - 3
donde e representa a la raíz cuadrada de la primera excentricidad. Es importante no confundir esta constante
con la base del logaritmo neperiano. Un error común al calcular la latitud creciente es no intruducir la latitud
geodésica en la unidad correcta en el argumento de la tangente.
Si se trabajase con un modelo de superficie de referencia esférica, e=0, la expresión Apéndice II-3
se simplifica a,
 π ϕ
Φ = Ln  tg +  
  4 2
Apéndice II - 4
En muchos textos se hace referencia a la latitud isométrica, L, definida por la ecuación,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
II-2
NUEVAS LATITUDES DEFINIDAS EN CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA: LATITUD CRECIENTE Y AUTÁLICA.
e


 π ϕ   (1 − e ⋅ sen ϕ ) 2 
 π L
tg +  = tg +  ⋅ 
e 
 4 2
 4 2 
2
ϕ
1
+
e
⋅
sen
(
)


Apéndice II - 5
de manera que,
L
Φ=∫
0
dL
cos L
Apéndice II - 6
II.2.3 PASO DE LATITUD CRECIENTE A GEODÉSICA.
Determinar el valor de latitud geodésica que le corresponde a una determinada latitud creciente es
algo más complicado que el paso contrario.
Apéndice II-3 es una relación entre la latitud creciente y la geodésica. Si fuese posible despejar
directamente la latitud geodésica en función de la creciente el problema estaría resuelto. Sin embargo, esto
no es posible.
Será preciso recurrir al proceso iterativo convergente que se propone a continuación.
Los pasos son:
1) Se obtiene un primer valor de la latitud utilizando la expresión particulariza en el caso de
primera excentricidad nula,
π
 π ϕ
π ϕ 

Φ = Ln  tg +   → tg + 1  = e Φ → ϕ1 = 2 ⋅  arctg( e Φ ) − 

4 2
4
  4 2
Apéndice II - 7
2) Con este valor inicial se obtiene otro mejor sin la consideración de superficie de referencia
esférica,
π ϕ 
tg + 2  =
4 2 
e
eΦ
e
2
(1 − e ⋅ sen ϕ1 )
e
(1 + e ⋅ sen ϕ1 ) 2
=
e Φ ⋅ (1 + e ⋅ sen ϕ1 ) 2
e
(1 − e ⋅ sen ϕ1 ) 2
e



 Φ
2
e
e
⋅
+
⋅
sen
ϕ
1
(
)
π



1
ϕ2 = 2 ⋅  arctg
e
 − 4 

 (1 − e ⋅ sen ϕ1 ) 2 


Apéndice II - 8
3) Con esta nueva latitud volvemos al paso 2. El proceso iterativo será consistirá por tanto en
aplicar repetidamente la expresión,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
II-3
NUEVAS LATITUDES DEFINIDAS EN CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA: LATITUD CRECIENTE Y AUTÁLICA.
e


 Φ

2
e
⋅
1
+
e
⋅
sen
ϕ

(
)

 π
n −1
ϕn = 2 ⋅  arctg
e
− 
 (1 − e ⋅ sen ϕ ) 2  4 





n−1
Apéndice II - 9
El proceso iterativo se detendría fijando un determinado criterio de convergencia, por ejemplo,
cuando la diferencia entre una latitud y la siguiente sea inferior a una cienmilésima de segundo sexagesimal.
La consideración de que un segundo sexagesimal corresponde a 30 m. implica que el criterio de
convergencia anterior garantiza una precisión lineal milimétrica.
II.3 LATITUD AUTÁLICA.
II.3.1 DEFINICIÓN.
La latitud autálica aparece al imponer la condición de equivalencia en algunas proyecciones como el
desarrollo cilíndrico equivalente de Albers y la proyección conica equivalente de Lambert.
Responde a la expresión,
ϕ
ψ =∫
0
r⋅ρ
⋅ dϕ
a2
Apéndice II - 10
II.3.2 PASO DE LATITUD GEODÉSICA A AUTÁLICA.
Dado un valor de latitud geodésica, la latitud autálica correspondiente se obtendrá resolviendo la
integral definida que la define.
A continuación se resuelve la integral.
ϕ
r⋅ρ
1
ψ = ∫ 2 ⋅ dϕ = 2
a
a
0
ϕ
∫
0
a ⋅ cosϕ
(1 − e
1
2
⋅ sen2 ϕ ) 2
⋅
a ⋅ (1 − e 2 )
(1 − e
3
2
(1 − e2 ) ⋅ cosϕ
2 ⋅ dϕ
2
2
0 ( 1 − e ⋅ sen ϕ )
ϕ
⋅ sen2 ϕ ) 2
⋅ dϕ = ∫
Apéndice II - 11
Considérese el cambio de variable,
u = sen ϕ → du = cos ϕ ⋅ dϕ
Apéndice II - 12
que, sustituido en Apéndice II-9 da lugar a,
u
ψ =∫
0
(1 − e2 )
(1 − e 2 ⋅ u 2 )2
⋅ du
Apéndice II - 13
pero,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
II-4
NUEVAS LATITUDES DEFINIDAS EN CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA: LATITUD CRECIENTE Y AUTÁLICA.
1 + e2 ⋅ u2
1
1 + e2 ⋅ u2 + 1 − e2 ⋅ u2
2
+
=
2
2
2 =
2
2
2
1− e ⋅u
(1 − e ⋅ u )
(1 − e ⋅ u 2 ) 2
(1 − e 2 ⋅ u 2 ) 2
Apéndice II - 14
de donde,
(1 − e 2 )
u
ψ =∫
0
u

1 − e 2  1 + e 2 ⋅ u 2
1

⋅ du =
⋅∫
+
2
2  ⋅ du
2
2 2
2
1
−
⋅
e
u

0  (1 − e ⋅ u )
(1 − e 2 ⋅ u 2 ) 2
Apéndice II - 15
Considérese un nuevo cambio de variable,
e ⋅ u = tg w → e ⋅ du =
1
⋅ dw
cos2 w
Apéndice II - 16
que, sustituido en Apéndice II-13 da lugar a,
ψ=
w

1 − e 2  1 + tg 2 w
1
1
⋅
⋅∫
dw
+
2
2
2
2
1 − tg w  e ⋅ cos2 w
0  (1 − tg w)
Apéndice II - 17
Pero,
1
cos2 w
1 + tg 2 w =
(1 − tg w) ⋅ (cos w)
2
2
2
2
2
(1 − tg w) ⋅ (cos w) = (cos
2
2
2
 cos2 w − sen 2 w 

sen 2 w 
2
2
2
= 1 −
 ⋅ ( cos2 w)
 ⋅ ( cos w) = 
2
2
cos w
cos w 



2
w − sen 2 w)
Apéndice II - 18
Y,
ψ=

w
1 − e2 
1
1
 dw
⋅∫
+
2
2
2

2
4
2 ⋅ e 0 1 − tg w ⋅ cos w 1 − tg w ⋅ cos w 


ψ=
(
)
(
)
w

1 − e 2 
1
1
 dw
⋅∫
+
2 ⋅ e 0  ( cos2 w − sen 2 w) 2 cos2 w − sen 2 w 
cos 2 w = cos2 w − sen 2 w →
w
1 − e2 
1
1 
 dw =
ψ=
⋅ ∫ 
+
2 ⋅ e 0  ( cos 2 w) 2 cos 2 w 
w

1 − e2  1
1
=
⋅  ⋅ tg 2 w + ∫
⋅ dw =
cos 2 w
2⋅e 2

0
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
II-5
NUEVAS LATITUDES DEFINIDAS EN CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA: LATITUD CRECIENTE Y AUTÁLICA.
ψ=
1 − e2  1
1

π
⋅  ⋅ tg 2 w + ⋅ ln tg + w  =

4
2⋅e 2
2
1 − e2 

π
=
⋅  tg 2 w + ln tg + w 

4
4⋅e 
ψ =
1 − e 2  2 ⋅ tg w
1 + tg w 

⋅
+ ln
2
4 ⋅ e  1 − tg w
1 − tg w 
Apéndice II - 19
Una vez resuelta la integral se debe proceder a deshacer los cambios de variable.
ψ=
1 − e2
4⋅e
1+ e⋅u 
 2⋅e⋅u
⋅

2
2 + ln
1− e ⋅u
1− e⋅u 
Apéndice II - 20
El resultado final será,
1 − e2
ψ=
4⋅e
 2 ⋅ e ⋅ sen ϕ
1 + e ⋅ sen ϕ 
+ ln
⋅

2
2
1 − e ⋅ sen ϕ 
1 − e ⋅ sen ϕ
Apéndice II - 21
donde e representa a la raíz cuadrada de la primera excentricidad. Es importante no confundir esta
constante con la base del logaritmo neperiano.
II.3.3 PASO DE LATITUD AUTÁLICA A GEODÉSICA.
Determinar el valor de latitud geodésica que le corresponde a una determinada latitud creciente es
algo más complicado que el paso contrario.
Apéndice II-21 es una relación entre la latitud autálica y la geodésica. Si fuese posible despejar
directamente la latitud geodésica en función de la autálica el problema estaría resuelto. Sin embargo, esto no
es posible.
Será necesario considerar un desarrollo en serie de Taylor de Apéndice II-19, expresada como
función del sen ϕ ,
2
3
3
5
4
7
ψ = (1 − e 2 ) ⋅ sen ϕ + ⋅ (1 − e 2 ) ⋅ e 2 ⋅ sen 3 ϕ + ⋅ (1 − e 2 ) ⋅ e 4 ⋅ sen 5 ϕ + ⋅ (1 − e 2 ) ⋅ e 6 ⋅ sen 7 ϕ +
+
5
6
⋅ (1 − e 2 ) ⋅ e8 ⋅ sen 9 ϕ + ⋅ (1 − e 2 ) ⋅ e10 ⋅ sen11 ϕ +...
9
11
Apéndice II - 22
Una forma de estimar la precisión de este desarrollo es evaluar el valor máximo del último término
para el elipsoide de Hayford, por ejemplo. Este valor máximo, obtenido para el polo, resulta ser 1.53
millonésimas de segundo sexagesimal. Por tanto, el desarrollo se puede considerar exacto.
De este desarrollo se deduce que en el caso de considerar como superficie de referencia una
superficie esférica, e=0, la expresión de la latitud autálica se simplifica a,
ψ = sen ϕ
Apéndice II - 23
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
II-6
NUEVAS LATITUDES DEFINIDAS EN CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA: LATITUD CRECIENTE Y AUTÁLICA.
El paso inverso, de latitud autálica a geodésica se puede resolver por un proceso iterativo a partir del
desarrollo en serie anterior,
 ψ 
1º → ϕ1 = asin

 1 − e2 
2 2
3
4
5
6
 ψ

2º → ϕ2 = asin
⋅ e ⋅ sen 3 ϕ1 − ⋅ e 4 ⋅ sen 5 ϕ1 − ⋅ e 6 ⋅ sen 7 ϕ1 − ⋅ e 8 ⋅ sen 9 ϕ1 − ⋅ e10 ⋅ sen 11 ϕ1 
2 −
1− e

3
5
7
9
11
El proceso iterativo se plantearía según la expresión,
2 2
3
4
5
6
 ψ

⋅ e ⋅ sen 3 ϕn −1 − ⋅ e 4 ⋅ sen 5 ϕn −1 − ⋅ e 6 ⋅ sen 7 ϕn −1 − ⋅ e 8 ⋅ sen 9 ϕn −1 − ⋅ e10 ⋅ sen 11 ϕn −1 
2 −
1− e

3
5
7
9
11
ϕn = asin
Apéndice II - 24
El proceso se detendría cuando de un paso al siguiente la latitud geodésica no variase una cantidad
superior a una cienmilésima de segundo sexagesimal.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
II-7
PROYECCIONES CONFORMES A PARTIR DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
III. PROYECCIONES CONFORMES A
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
PARTIR
DE
III.1 INTRODUCCIÓN.
Para la mayor parte de las proyecciones conformes es necesario hacer intervenir funciones de
variable compleja, de acuerdo al siguiente teorema de representaciones conformes:
Teorema: Dos superficies admiten una representación conforme siempre que a un sistema isométrico (u, v) de
una de ellas le corresponda un sistema isométrico de la otra (α , β ) . Esta correspondencia puede establecerse
mediante una función analítica de variable compleja α + i ⋅ β = f ( u + i ⋅ v) .
Los sistemas isométrico de una superficie son tratados en el apéndice I.
De acuerdo al teorema anterior, para establecer una representación conforme entre el elipsoide de
revolución y el plano de la proyección bastará con encontrar una función de variable compleja analítica que
relacione sistemas isométricos de ambas superficies.
De esta forma, la proyección Universal Transversa de Mercator, U.T.M., se planteará
P. D. x + i ⋅ y = f ( Φ + i ⋅ ∆λ )
P. I . Φ + i ⋅ ∆λ = F( x + i ⋅ y)
Apéndice III - 1
donde, el sistema isométrico para el elipsoide es el definido por la latitud creciente y la longitud geodésica y,
el sistema isométrico para el plano de la proyección es el sistema de coordenadas cartesianas.
En este apéndice se realizará una demostración de este teorema. Para esto habrá que estudiar
previamente algunas nociones elementales acerca de variable compleja.
III.2 NÚMEROS COMPLEJOS.
Los números reales son un subconjunto de los números complejos.
Por número complejo se entiende un número de la forma z = a + i ⋅ b , donde a y b son números
reales, componente real e imaginaria respectivamente, e i es la llamada unidad imaginaria definida por
i 2 = −1
Se representan sobre el plano complejo, o plano de Argand. En el eje de abcisas representamos la
componente real y en el de ordenadas la imaginaria, tal y como se aprecia en la ilustración III-1.
Ilustración III - 1
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
III-1
PROYECCIONES CONFORMES A PARTIR DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
La adición, sustracción y multiplicación de números complejos siguen las conocidas reglas para las
cantidades reales con el cuidado adicional de que, en la multiplicación, todas las potencias de i se deben
reducir tanto como sea posible, aplicando la propiedad que define a i, i2=-1, i3=-i, i4=1,...
Así, ( a + i ⋅ b) ⋅ ( c + i ⋅ d ) = ( a ⋅ c − b ⋅ d ) + ( b ⋅ c + a ⋅ d ) ⋅ i .
De igual forma, la expresión correspondiente a la división entre números complejos es,
a + i ⋅b a ⋅c + b ⋅d b ⋅c − a ⋅d
= 2
+ 2
⋅ i,
c +i ⋅d
c + d2
c + d2
con c + i ⋅ d ≠ 0, →
1
= −i
i
Si z = a + i·b , su conjugado, z = a - i·b.
Un número complejo se puede expresar como forma polar o trigonométrica, de acuerdo a la
ilustración III-2, de la forma,
Ilustración III - 2
z = x+i⋅y
z = r ⋅ cosθ + i ⋅ r ⋅ sen θ = r ⋅ ( cosθ + i ⋅ sen θ )
r=
x2 + y2
θ = atan
y
x
Apéndice III - 2
III.3 FUNCIÓN DE VARIABLE COMPLEJA.
III.3.1 DEFINICIÓN.
Si z = x + i ⋅ y y w = u + i ⋅ v son dos variables complejas, y si para cada valor de z en alguna
porción del plano complejo se definen uno o más valores de w, entonces se dice que w es una función de z y
se escribe,
w = f ( z)
Apéndice III - 3
También se escribe,
u + i ⋅ v = f ( x + i ⋅ y)
Apéndice III - 4
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
III-2
PROYECCIONES CONFORMES A PARTIR DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
Por lo que los números reales u y v están determinados por los números reales x e y. Por tanto, la
aseveración de que w es una función de z se puede también expresar,
w = u( x , y ) + i ⋅ v( x , y)
Apéndice III - 5
de esta forma, se puede expresar una función de variable compleja a partir de dos funciones de variables
reales.
Muy importante en la teoría de variable compleja es la función exponencial ez. Se puede demostrar
que,
e z = e x +i⋅y = e x ⋅ ( cos y + i ⋅ sen y )
Apéndice III - 6
donde se aprecia que el primer miembro de la parte derecha de la ecuación es el módulo y la expresión entre
paréntesis el argumento. La posibilidad de escribir cualquier número complejo en forma exponencial es
ahora evidente, pues considerando x=0 e y=θ,
e i⋅θ = cosθ + i ⋅ sen θ
r ⋅ e i⋅θ = r ⋅ ( cosθ + i ⋅ sen θ )
Apéndice III - 7
El hecho de que el ángulo, o argumento, de un número complejo sea realmente un exponente,
explica por qué los ángulos de los números complejos se suman cuando se multiplican los números y se
restan cuando se dividen.
A partir de la definición anterior, por suma y sustracción es muy sencillo llegar a las llamadas
fórmulas de Euler,
e i⋅θ + e − i⋅θ
e i ⋅z + e − i ⋅z
cosθ =
→ cos z =
2
2
i⋅θ
−i⋅θ
i⋅z
e −e
e − e − i⋅z
sen θ =
→ sen z =
2
2
Apéndice III - 8
También se definen las funciones hiperbólicas,
ez + e−z
cosh z =
2
z
e − e −z
senh z =
2
Apéndice III - 9
Si se pretende representar una función compleja,
u + i ⋅ v = f ( x + i ⋅ y)
aparece el problema de que intervienen cuatro variables reales, a saber, las dos variables independientes x e
y, junto a dos dependientes, u y v. Requiere por tanto un espacio de cuatro dimensiones. Para evitar este
problema se consideran dos planos complejos, uno el plano z, en el cual se representa el punto
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
III-3
PROYECCIONES CONFORMES A PARTIR DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
z = x + i ⋅ y , y el plano w, en el que se representará el punto w = u + i ⋅ v . Ahora una función
w = f ( z) se representará no por un lugar geométrico de puntos en un espacio de cuatro dimensiones, sino
por una correspondencia entre los puntos de estos dos planos cartesianos. La función define así una
aplicación o transformación del plano z sobre el plano w.
Si aplicamos esto a la cartografía matemática se tendrá que uno de los planos corresponde con la
superficie de referencia, elipsoide de revolución o esfera, y el otro con el plano de la proyección. Es evidente
que será necesario que las coordenadas de ambas superficies estén referidas a un sistema simétrico, en cada
plano debe coincidir la unidad de escala en el eje de abcisas y ordenadas.
III.3.2 FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA ANALÍTICAS. CONDICIONES
DE CAUCHY-RIEMANN.
La definición de límite de una función de variable compleja se extiende del límite de una función de
variable real.
La derivada de una función de variable compleja, w = f ( z) , se define como,
dw
f ( z + ∆ z) − f ( z )
= w' = f ' ( z) = lim
∆ z→ 0
dz
∆z
Apéndice III - 10
Esta definición es formalmente idéntica a la de la derivada de una función de variable real. El
problema es que ∆z puede tender a cero en una infinidad de maneras, es decir, un punto (z+∆z) puede
acercarse a (z) a lo largo de una infinidad de trayectorias.
Por definición,
[
] [
u( x + ∆x , y + ∆y ) + i ⋅ v( x + ∆x , y + ∆y) − u( x , y) + i ⋅ v( x, y)
dw
∆w
= lim
= lim
0
dz ∆ z→0 ∆z ∆∆xy→
∆x + i ⋅ ∆y
→0
]
Apéndice III - 11
La existencia del límite obliga a que sea independiente de la dirección de aproximación ∆z.
Podemos plantear la obtención del límite en dos direcciones particulares: la dirección paralela al eje
de abcisas y la dirección paralela al eje de ordenadas.
• Si ∆z es real, esto es, si ∆y=0, obtenemos,
[
] [
]
u( x + ∆x , y ) + i ⋅ v( x + ∆x , y ) − u( x , y ) + i ⋅ v( x , y )
dw
= lim
=
dz ∆x → 0
∆x
 u( x + ∆x , y ) − u( x , y )
v ( x + ∆x , y ) − v ( x , y ) 
= lim 
+i⋅

∆x → 0
∆x
∆x


Que se puede expresar,
dw ∂ u
∂v
=
+i⋅
dz ∂ x
∂x
Apéndice III - 12
• Si ∆z es imaginario, es decir, si ∆x=0,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
III-4
PROYECCIONES CONFORMES A PARTIR DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
[
] [
]
u( x , y + ∆y ) + i ⋅ v( x , y + ∆y ) − u( x , y ) + i ⋅ v( x , y )
dw
= lim
=
dz ∆x → 0
i ⋅ ∆y
 u( x , y + ∆y ) − u( x , y )
v ( x , y + ∆y ) − v ( x , y ) 

= lim 
+i⋅
∆x → 0
i ⋅ ∆y
i ⋅ ∆y


Que se expresa, dado que
1
= −i ,
i
dw ∂ v
∂u
=
−i⋅
dz ∂ y
∂y
Apéndice III - 13
Se demuestra que si los límites en las direcciones particularizadas, eje de abcisas y eje de ordenadas,
coinciden, lo harán en cualquier otra dirección. De hecho, una dirección arbitraria se expresa como una
combinación lineal de las particularizadas anteriormente.
De acuerdo a lo anterior, para comprobar si una función de variable compleja es derivable en un
punto de su dominio es suficiente con verificar la igualdad de los límites anteriores,
∂u
∂v ∂v
∂u
+i⋅
=
−i⋅
∂x
∂x ∂y
∂y
Apéndice III - 14
Lo cual exige que se igualen partes reales e imaginarias,
∂u ∂v
=
∂x ∂y
Apéndice III - 15
∂v
∂u
=−
∂x
∂y
Apéndice III - 16
Estas son las condiciones de Cauchy-Riemann. Considerando las dos direcciones de aproximación
se escriben,
∂u
∂v
=±
∂x
∂y
∂v
∂u
=m
∂x
∂y
Apéndice III - 17
Estas condiciones han surgido de considerar únicamente dos de la infinidad de trayectorias por las
que ∆z puede tender a cero. Se puede demostrar que si u y v, junto con sus primeras derivadas parciales ux,
uy, vx, vy son continuas en la vecindad del punto donde pretendemos estudiar la derivabilidad de la función,
entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann no son sólo condiciones necesarias, sino también suficientes
para la existencia de la derivada.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
III-5
PROYECCIONES CONFORMES A PARTIR DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
Si w = f ( z) posee una derivada en z=z0 y en todo punto en alguna vecindad de z0, entonces se dice
que f ( z) es analítica en z0, y z0 recibe el nombre de punto regular de la función.
III.3.3 DEMOSTRACIÓN DE QUE UNA FUNCIÓN COMPLEJA ANALÍTICA
IMPLICA UNA TRANSFORMACIÓN CONFORME.
A continuación se va a demostrar que si la relación entre dos superficies se plantea a través de una
función de variable compleja la transformación será conforme en el dominio en que la función sea analítica.
Consideremos ahora un valor z y su imagen w = f ( z) , siendo la función analítica, y sean,
∆z = ∆z ⋅ e i⋅θ
∆w = ∆w ⋅ e i⋅φ
Apéndice III - 18
los incrementos correspondientes a esas cantidades. Entonces,
Ilustración III - 3
∆w
∆w ⋅ e i⋅φ
∆w i⋅(φ −θ )
= lim
⋅e
i⋅θ = lim
∆z→ 0 ∆z
∆z→ 0 ∆z ⋅ e
∆z→ 0 ∆z
f ' ( z) = lim
Apéndice III - 19
A partir de esto es evidente que,
∆w
= f ' ( z)
∆z →0 ∆z
lim
lim ( φ − θ ) = arg f ' ( z )
∆z →0
Apéndice III - 20
Considerando unos incrementos lo suficientemente pequeños,
∆w = f ' ( z) ⋅ ∆z
φ = θ + arg f ' ( z) → arg ∆w = arg ∆z + arg f ' ( z)
Apéndice III - 21
Esto se puede resumir diciendo que en la aplicación definida por una función analítica las longitudes
de segmentos infinitesimales, cualquiera que sea su dirección, se alteran en un factor, f ' ( z) , que solamente
depende del punto origen de la transformación. Del mismo modo se deduce que la diferencia entre los
ángulos de un segmento infinitesimal y su imagen es independiente de la dirección del segmento y sólo
depende del punto a partir del cual se traza el segmento. En particular, dos segmentos infinitesimales que
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
III-6
PROYECCIONES CONFORMES A PARTIR DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
forman un ángulo serán girados ambos en el mismo sentido un ángulo igual ; de modo que la medida del
ángulo que forman quedará invariante por la transformación. La excepción se producirá en los puntos
críticos, f ' ( z) = 0 .
En términos matemáticos, una transformación que preserva las magnitudes de los ángulos se dice
que es isogonal. Si preserva, además de la magnitud, el sentido de los ángulos, se dice que es conforme. Si
f ( z) es una función analítica en la vecindad de cualquier punto en el que f ′ ( z) ≠ 0 , la transformación es
conforme.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
III-7
LONGITUD DEL ARCO DE MERIDIANO.
IV. LONGITUD DEL ARCO DE MERIDIANO.
IV.1 INTRODUCCIÓN.
La determinación de la longitud de un arco de meridiano es importante en cálculos geodésicos y en
cartografia matemática.
En cálculos geodésicos se sirve, por ejemplo, para determinar la longitud de un arco de loxodrómica.
En cartografía matemática es imprescindible en la proyección Universal Transversa de Mercator.
IV.2 DEFINICIÓN.
La primera forma cuadrática fundamental de la superficie del elipsoide de revolución parametrizado
por la latitud y longitud geodésica responde a la expresión:
I (dϕ , dλ ) = ds2 = ρ 2 ⋅ dϕ 2 + ν 2 ⋅ cos2 ϕ ⋅ dλ 2
Apéndice IV - 1
Por tanto, la longitud de una curva cualquiera sobre la superficie del elipsoide de revolución, de un
punto 1 a un punto 2, se determina por,
λ2 ϕ 2
s=
∫∫
ρ 2 ⋅ dϕ 2 + ν 2 ⋅ cos2 ϕ ⋅ dλ 2
λ1 ϕ 1
Apéndice IV - 2
Si se particulariza en el caso de que la curva sea un arco de meridiano, es decir, una de las curvas
paramétricas, la expresión se simplifica a,
ϕ2
s = ∫ ρ ⋅ dϕ
ϕ1
Apéndice IV - 3
Por tanto, la expresión que permite obtener la longitud de un arco de meridiano resultará,
ϕ2
l. a. m. = a ⋅ (1 − e ) ⋅ ∫
ϕ2
ϕ1
dϕ
2
ϕ1
(1 − e
2
⋅ sen ϕ )
2
3
2
Apéndice IV - 4
Es evidente que la longitud de un arco de meridiano desde un paralelo ϕ 1 a otro ϕ 2 se puede
obtener a partir de las longitudes de los arcos de meridiano que van del ecuador a los paralelos anteriores.
Se define la longitud del arco de meridiano de un determinado paralelo de latitud
solución a la integral definida,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
ϕ como la
IV-1
LONGITUD DEL ARCO DE MERIDIANO.
(
)
ϕ
dϕ
l. a. m. (ϕ ) = a ⋅ 1 − e ⋅ ∫
2
(1 − e
0
2
⋅ sen ϕ
2
)
3
2
Apéndice IV - 5
IV.3 LONGITUD DEL ARCO DE MERIDIANO A PARTIR DE LA
LATITUD GEODÉSICA.
Dado un valor de latitud geodésica, obtener la longitud del arco de meridiano correspondiente pasa
por resolver Apéndice IV-5.
e
2
Esta integral no tiene primitiva y normalmente se evalúa mediante el desarrollo de potencias en
⋅ sen 2 ϕ , truncándose en las potecias octava o décima.
Sea la función,
f (ϕ ) =
1
3
(1 − e 2 ⋅ sen2 ϕ ) 2
Apéndice IV - 6
Realizando el cambio de variable
x = sen(ϕ ) , la función se transforma en,
f ( x) =
1
(1 − e
2
⋅x
3
2 2
)
Apéndice IV - 7
Desarrollando en serie de Taylor tendremos,
f ( x) = 1 +
3 2 2 15 4 4 35 6 6 315 8 8 693 10 10
⋅e ⋅ x + ⋅e ⋅ x + ⋅e ⋅ x +
⋅e ⋅ x +
⋅ e ⋅ x + R( x 12 )
2
8
16
128
256
Apéndice IV - 8
El limitar el desarrollo en el término de potencia diez es totalmente válido tal y como se analizará
posteriormente.
Si se deshace el cambio de variable y se integra, resulta,
ϕ
l. a. m. = ∫ ρ ⋅ dϕ =a ⋅ (1 − e 2 ) ⋅ ( g1 + g2 + g3 + g4 + g5 + g6)
0
Apéndice IV - 9
siendo,
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
IV-2
LONGITUD DEL ARCO DE MERIDIANO.
g1 = ϕ
g2 =
3 2  1
1 
⋅ e ⋅  − ⋅ sen ϕ ⋅ cos ϕ + ⋅ ϕ 
 2
2
2 
g3 =
15 4  1
3
3 
⋅ e ⋅  − ⋅ sen3 ϕ ⋅ cos ϕ − ⋅ sen ϕ ⋅ cos ϕ + ⋅ ϕ 

8
4
8
8 
g4 =
5
5
5 
35 6  1
⋅ e ⋅  − ⋅ sen5 ϕ ⋅ cos ϕ −
⋅ sen3 ϕ ⋅ cos ϕ − ⋅ sen ϕ ⋅ cosϕ + ⋅ ϕ 
 6
16
24
16
16 
Apéndice IV - 10
g5 =
315 8  1
7
35
35
35 
⋅ e ⋅  − ⋅ sen 7 ϕ ⋅ cos ϕ −
⋅ sen 5 ϕ ⋅ cos ϕ −
⋅ sen 3 ϕ ⋅ cos ϕ −
⋅ sen ϕ ⋅ cos ϕ +
⋅ ϕ
 8
128
48
192
128
128 
g6 =
693 10  1
9
21
21
63
63 
⋅ e ⋅  − ⋅ sen 9 ϕ ⋅ cos ϕ − ⋅ sen 7 ϕ ⋅ cos ϕ −
⋅ sen5 ϕ ⋅ cos ϕ −
⋅ sen 3 ϕ ⋅ cos ϕ −
⋅ sen ϕ ⋅ cos ϕ +
⋅ ϕ
 10
256
80
160
128
256
256 
Apéndice IV - 11
La constante de integración es nula por la condición inicial; en el ecuador la longitud del arco de
meridiano es nula.
Todos los términos de Apéndice IV-10 y 11 han de ser adimensionales de forma que la unidad en
que resulte la longitud del arco de meridiano sea la unidad en que se considere el semieje mayor, a . Por
tanto, la latitud geodésica que aparece fuera de funciones trigonométricas tendrá que ser introducida en
radianes.
Dado que el producto
a ⋅ (1 − e 2 ) ⋅ g6 es muy pequeño, no supera 0.0004 m. para el elipsoide de
Hayford, es totalmente lícito haber limitado hasta este término el desarrollo en serie de Taylor de Apéndice
IV-8.
IV.4 DETERMINACIÓN
DE
LA
LATITUD
GEODÉSICA
CORRESPONDIENTE A UN DETERMINADO VALOR DE LA
LONGITUD DEL ARCO DE MERIDIANO.
La resolución de este problema se plantea en el problema inverso de la proyección Universal
Transversa de Mercator.
Ahora el valor conocido es la longitud del arco de meridiano, l.a.m., y la incógnita es el valor de la
latitud, ϕ.
Se puede obtener por un proceso iterativo.
Como primer valor de la latitud se adopta:
ϕ1 =
l. a. m.
a ⋅ (1 − e 2 )
Apéndice IV - 12
Con este primer valor se obtendría un segundo valor por :
ϕ2 =
[
y
− ( g2 )ϕ + ( g3 )ϕ + ( g4 )ϕ + ( g5 )ϕ + ( g6 )ϕ
1
1
1
1
1
a ⋅ 1 − e2
(
)
]
Apéndice IV - 13
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
IV-3
LONGITUD DEL ARCO DE MERIDIANO.
El proceso iterativo se plantea en los términos de la siguiente expresión,
ϕn =
[
y
− ( g2 )ϕ + ( g3 )ϕ + ( g4 )ϕ + ( g5 )ϕ + ( g6 )ϕ
n −1
n −1
n −1
n −1
n −1
a ⋅ (1 − e 2 )
]
Apéndice IV - 14
El proceso iterativo se detendría cuando entre una latitud geodésica y la siguiente la variación
producida fuese inferior a una cota prefijada, una cienmilésima de segundo sexagesimal. La convergencia está
asegurada al corresponder la cota de una cienmilésima de segundo sexagesimal a 0.001 m. y ser la cota del
producto
a ⋅ (1 − e 2 ) ⋅ g6 0.0004 m.
IV.5 CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UN ARCO
LOXODRÓMICA SOBRE EL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
DE
Anteriormente se mencionón que una aplicación geodésica de la determinación de la longitud del
arco de meridiano era el cálculo de la longitud de un arco de loxodrómica sobre el elipsoide de revolución.
Tal y como se analizó en el punto IV.1 de este apéndice, la longitud de una curva cualquiera sobre el
elipsoide de revolución entre dos puntos 1 y 2 se obtiene por,
λ2 ϕ 2
s=
∫∫
ρ 2 ⋅ dϕ 2 + ν 2 ⋅ cos2 ϕ ⋅ dλ 2
λ1 ϕ 1
Apéndice IV - 15
Si la curva es una loxodrómica, de azimut geodésico θ, se simplifica el cálculo de su longitud a,
1
ds =
cos θ
ϕ2
∫ ρ ⋅ dϕ =
ϕ1
[
1
⋅ (l . a. m.)ϕ − (l. a. m.)ϕ
2
1
cos θ
]
Apéndice IV - 16
Por lo que el problema está resuelto.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
IV-4
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.
V. DESARROLLO DE LA PROYECCIÓN U.T.M.
EXTENDIENDO EL HUSO 30 AL CONJUNTO DE LA
PENÍNSULA IBÉRICA Y DE LAS ISLAS BALEARES.
El objeto del presente estudio consiste en extender la definición del huso 30 de la proyección
Universal Transversa de Mercator, U.T.M., del intervalo de longitudes geodésicas comprendidas entre los
6º oeste y el meridiano de Greenwich a la totalidad de la Península Ibérica y las Islas Baleares.
Este estudio forma parte del proyecto final de carrera para la consecución de los estudios de
Ingeniería Técnica en Topografía por parte de D. Alberto Ponce Mañez, bajo la dirección académica de
David Hernández López.
Nota.- En este apéndice la latitud creciente se denota con el símbolo Γ, mientras en el resto del texto se ha utilizado para
denotar esta variable el símbolo Φ.
La siguiente figura da idea del objetivo de este estudio.
30
29
30
31
Polo Norte
M
Y
Ecuador
X
O
Polo Sur
V.1 JUSTIFICACIÓN DEL ESTUDIO.
El principal problema asociado a la utilización de la proyección U.T.M. en España se encuentra
en el hecho de que, dada la amplitud en longitud geodésica del territorio, intervienen diferentes husos en
su tratamiento.
Las principales aplicaciones de la proyección son dos. En primer lugar, como sistema de
representación cartográfica, permite la representación plana de una parte de la superficie de referencia,
elipsoide de revolución. En segundo lugar, esta proyección permite plantear los problemas de cálculo
topográficos y geodésicos sobre un plano, involucrando a la geometría plana evitando el cálculo sobre el
elipsoide de revolución.
Las expresiones que forman parte de la definición oficial de la proyección garantizan la
precisión milimétrica en la totalidad de la zona correspondiente a cada huso. El problema se plantea si
pretendemos utilizar estas expresiones en regiones que, por su longitud geodésica, pertenecen a otro
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-1
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.
huso. Trabajando con zonas cuyo incremento de longitud geodésica respecto al meridiano central del
huso sea superior a 3º decrece la precisión en relación directa con el incremento de longitud geodésica.
De cara a la aplicación de la proyección en una representación cartográfica de la totalidad del
territorio, esto no supone un verdadero problema debido a que el error cometido será imperceptible de
acuerdo a la pequeñez de las escalas requeridas.
Si se piensa en la aplicación de la proyección en cálculos topográficos y geodésicos es preciso
encontrar una solución al problema para garantizar que el error introducido por la proyección ( problema
directo e inverso de la proyección, proyección de observables en los dos sentidos,…) sea totalmente
inapreciable de acuerdo a la precisión intrínseca al propio trabajo topográfico o geodésico.
Existen algunos estudios desarrollados para evitar algunos de los problemas que se plantean en
trabajos que involucran a puntos situados en diferentes husos. Uno de estos problemas tratados es, por
ejemplo, la transmisión de orientación de un huso a otro.
El objetivo perseguido con este estudio es completar las expresiones de la proyección para
extender el huso 30 a todo el intervalo de longitudes geodésicas que corresponde a la Península Ibérica y
las Islas Baleares. En ningún caso se ha pretendido modificar la caracterización de la proyección en el
huso 30. Por esta razón no se ha considerado oportuno modificar el coeficiente de anamorfosis lineal del
meridiano central del huso, k0, correspondiente al artificio de Tissot, así como la magnitud de la
traslación al oeste del eje de ordenadas.
V.2 DESARROLLO DE LA PROYECCIÓN.
La definición de la proyección U.T.M. se alcanzará en el momento que sean determinadas las
funciones que permitan resolver el problema directo y el inverso de la misma:
• Problema directo.- dado un punto sobre el elipsoide, determinado por sus coordenadas
geodésicas (ϕ, λ), obtener el punto que le corresponde sobre la proyección (x, y).
x = fd 1 (ϕ , λ
y = fd 2
)
(ϕ , λ )
• Problema inverso.- dado un punto sobre la proyección U.T.M., determinado por sus
coordenadas planas (x, y), obtener el punto que le corresponde sobre el elipsoide (ϕ, λ).
ϕ = fi1 ( x , y )
λ = fi2 ( x , y )
Ambos problemas establecerán una correspondencia biunívoca entre las dos superficies.
Para establecer las funciones se imponen una serie de condiciones, siendo las principales:
• La proyección ha de ser conforme.
• El meridiano central del huso ha de ser una línea isométrica de módulo de deformación lineal
k0.
• Las funciones obtenidas deben garantizar una precisión del milímetro para los puntos más
desfavorables, aquellos más alejados del meridiano central del huso, de un mayor ∆λ. La
proyección U.T.M. considera husos de un intervalo de longitud geodésica de 6º y por tanto
∆λ = 3º.
De acuerdo al objetivo de este estudio, el incremento de longitudes geodésicas se ve modificado.
El valor para el incremento de longitud geodésica que consideraremos será el correspondiente al extremo
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-2
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.
más oriental de las Islas Baleares, ∆λ = 7º 30’ dado que para el extremo más occidental de la Península
no sobrepasa el valor de ∆λ = 6º 30’.
Como veremos a continuación, plantearemos la obtención de las funciones a partir de la teoría de
variable compleja relacionando dos sistemas de coordenadas simétricas, uno para el elipsoide y otro para
el plano de la proyección:
• En el plano de la proyección el sistema de coordenadas simétricas utilizado será el cartesiano
( )
bidimensional: x , y
• El elipsoide de revolución se parametriza en base a las coordenadas geodésicas ( ϕ, λ) pero
este sistema no es simétrico por lo que se utilizará el definido por la latitud creciente y el
incremento de longitud geodésica respecto al meridiano central del huso (Γ , ∆λ ) . La
latitud creciente responde a la siguiente expresión:
ϕ
Γ=∫
0
ρ
r
⋅ dϕ
La solución de esta integral será introducida en un apéndice.
V.2.1 PROBLEMA DIRECTO.
Resolver el problema directo consistirá en encontrar la función de variable compleja que
relacione los dos planos complejos mencionados:
y + i ⋅ x = f ( Γ + i ⋅ ∆λ )
cumpliendo las tres condiciones que se imponen a la proyección.
De acuerdo a la teoría de variable compleja, si la función es analítica, plantearemos un desarrollo
en serie de Taylor de la misma, la transformación definida será conforme, se cumplirá la primera de las
condiciones impuestas.
Consideraremos el desarrollo en serie de Taylor para dicha función, en torno al meridiano
central, punto ( Γ + i·0 ) = Γ.
f ( Γ + i ⋅ ∆λ ) = f ( Γ ) +
( i ⋅ ∆λ ) 1  ∂ f ( Γ ) 
1!
⋅
 +
 ∂ Γ Γ
( i ⋅ ∆λ ) 2  ∂ 2 f ( Γ ) 
2!
⋅
2  +
 ∂ Γ Γ
( i ⋅ ∆λ ) 3  ∂ 3 f ( Γ ) 
3!
⋅
3  +...
 ∂ Γ Γ
Particularizando el desarrollo en el meridiano central, ∆λ=0, transformaremos el problema en
determinar f ( Γ ) . De acuerdo a la teoría del desarrollo en serie de Taylor las derivadas se particularizan
también en el meridiano central.
El motivo de realizar la derivada parcial respecto de la coordenada latitud creciente, Γ, no es otro
que facilitarnos la tarea de obtener las sucesivas derivadas, lo que se comprenderá una vez deducido el
valor de f ( Γ ) . Recordemos que la derivada de una función de variable compleja en un punto de su
dominio es independiente de la dirección en la que se obtenga.
Por el hecho de suponer que la función se puede obtener como un desarrollo en serie de Taylor,
en el dominio de trabajo, obligamos a que exista la primera derivada y por tanto será analítica y por esto
último conforme. Conclusión: al imponer el desarrollo en serie de Taylor en la deducción de la función
imponemos la condición de conformidad.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-3
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.
Fijándonos en el desarrollo, en las potencias pares de ( i·∆λ ) desaparece el número imaginario i,
una potencia par de i será ±1. De esta forma, la suma de los términos correspondientes a potencias pares
de ∆λ corresponderá a la componente real de la imagen de la función, es decir, a la ordenada sobre el
plano de la proyección, coordenada y. De la misma forma, la suma de los términos correspondientes a
potencias impares de ∆λ corresponderán a la abcisa sobre el plano de la proyección, coordenada x.
De acuerdo con la teoría del desarrollo en serie de Taylor, cuanto mayor sea
será el numero de términos que deberemos considerar en el desarrollo.
( i ⋅ ∆λ ) , mayor
De acuerdo a la segunda condición la transformada del meridiano central debe ser una línea
isométrica de módulo de deformación lineal k0. De esta forma, si a un punto de latitud ϕ le corresponde
una longitud de arco de meridiano hasta el ecuador de:
ϕ
l .a . m.=β (ϕ ) = ∫ ρ ⋅ dϕ
0
la ordenada del punto sobre el plano de la proyección, coordenada y, ha de ser:
y = k 0 ⋅ β (ϕ )
y = f ( Γ)
ϕ
→ f ( Γ ) = k 0 ⋅ β (ϕ ) = k 0 ⋅ ∫ ρ ⋅ dϕ
0
La solución numérica de esta integral será introducida en un apéndice.
Ya definida la función únicamente restará calcular las sucesivas derivadas.
En la definición oficial de la proyección dado que el incremento de longitud geodésica máximo
de un huso es de 3º es suficiente limitar el desarrollo a la sexta derivada para garantizar la precisión
milimétrica.
Debido a que en este estudio se considera para el incremento de longitud geodésica un valor
máximo de 7º30’, es preciso prolongar el desarrollo hasta la novena derivada.
De resultado de realizar todas las derivadas se obtienen finalmente las siguientes expresiones:
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V-4
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.
∆λ ⋅ v ⋅ cos⋅ ϕ +






3


∆λ
(
)


+
⋅ v ⋅ cos 3 ϕ ⋅ 1 − t 2 + η 2 +


6




5
2
4
2
2
2


 5 − 18 ⋅ t + t + 14 ⋅ η − 58 ⋅ η ⋅ t + 
∆λ )
(
5




+
⋅ v ⋅ cos ϕ ⋅
+
120


 + 13 ⋅ η 4 − 64 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 4 ⋅ η 6 − 24 ⋅ η 6 ⋅ t 2 






2
4
6
2
 61 − 479 ⋅ t + 179 ⋅ t − t + 331 ⋅ η − 




2
2
2
4
4


 − 3298 ⋅ η ⋅ t + 177 ⋅ η ⋅ t + 715 ⋅ η − 


7


∆λ )
− 8655 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 6080 ⋅ η 4 ⋅ t 4 + 769 ⋅ η 6 
(


7

cos
ϕ
v
+
⋅
⋅
⋅
+


 − 10964 ⋅ η 6 ⋅ t 2 + 9480 ⋅ η 6 ⋅ t 4 + 412 ⋅ η 8 
5040




8
2
8
4
10


−
5176
⋅
η
⋅
t
+
6912
⋅
η
⋅
t
+
88
⋅
η


x = 500000 + k o ⋅




− 1632 ⋅ η 10 ⋅ t 2 + 1920 ⋅ η 10 ⋅ t 4














1385 − 20480 ⋅ t 2 + 20690 ⋅ t 4 − 1636 ⋅ t 6 + t 8 + 12284 ⋅ η 2 −





− 173088 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 201468 ⋅ η 2 ⋅ t 4 − 54979 ⋅ η 2 ⋅ t 6 − 21 ⋅ η 2 ⋅ t 8 +



 45318 ⋅ η 4 − 883449 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 1499197 ⋅ η 4 ⋅ t 4 − 390607 ⋅ η 4 ⋅ t 6 −







− 14 ⋅ η 4 ⋅ t 8 + 90804 ⋅ η 6 − − 2195193 ⋅ η 6 ⋅ t 2 + 4594800 ⋅ η 6 ⋅ t 4 −

9
( ∆λ ) ⋅ v ⋅ cos 9 ϕ ⋅  −1394064 ⋅ η 6 ⋅ t 6 + 104073 ⋅ η 8 − 2875680 ⋅ η 8 ⋅ t 2 + 7041648 ⋅ η 8 ⋅ t 4 − 

+


 362880
 − 2644992 ⋅ η 8 ⋅ t 6 + 68568 ⋅ η 10 − 2115840 ⋅ η 10 ⋅ t 2 + 5968512 ⋅ η 10 ⋅ t 4 − 




 −2741760 ⋅ η 10 ⋅ t 6 + 25552 ⋅ η 12 − 880192 ⋅ η 12 ⋅ t 2 + 2811456 ⋅ η 12 ⋅ t 4 − 




− 1474560 ⋅ η 12 ⋅ t 6 + 4672 ⋅ η 14 − 175680 ⋅ η 14 ⋅ t 2 +






+ 603648 ⋅ η 14 ⋅ t 4 − 322560 ⋅ η 14 ⋅ t 6



(
)
Al ampliar el intervalo de longitudes del huso 30 nos encontramos que la traslación de 500000
m. no es suficiente para evitar coordenadas negativas en las longitudes más occidentales,
correspondientes al extremo occidental de la Comunidad Gallega. La solución a este problema sería tan
sencillo como aplicar una traslación mayor. Con la intención de no modificar en absoluto la proyección
para aquellos puntos que realmente pertenecen al huso 30 parece acertado decidir no modificar la
traslación. Además cabe preguntarse: ¿ es realmente un problema tener coordenadas negativas a efectos
de cálculo ?.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-5
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.


β (ϕ ) +






( ∆ λ) 2
+
⋅v ⋅ t ⋅ cos 2 ϕ +


2






4
( ∆ λ)


+
⋅v ⋅ t ⋅ cos 4 ϕ ⋅ ( 5 − t 2 + 9 ⋅ η 2 + 4 ⋅ η 4 ) +
24






2
4
2
2
2
 61 − 58 ⋅ t + t + 270 ⋅ η − 330 ⋅ η ⋅ t 


6
( ∆ λ)


6
4
4
2
6


ϕ
η
η
η
+
⋅
v
⋅
t
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
t
+
⋅
+
cos
445
680
324


y = k o ⋅

720


6
2
8
8
2


 − 600 ⋅ η ⋅ t + 88 ⋅ η − 192 ⋅ η ⋅ t






 1385 − 3595 ⋅ t 2 + 543 ⋅ t 4 − t 6 + 10899 ⋅ η 2 − 18634 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 



2
4
2
6
4
4
2

 + 10787 ⋅ η ⋅ t + 7 ⋅ η ⋅ t + 34419 ⋅ η − 120582 ⋅ η ⋅ t + 
 ( ∆ λ) 8


+ 49644 ⋅ η 4 ⋅ t 4 + 56385η 6 − 252084 ⋅ η 6 ⋅ t 2 +
+

⋅v ⋅ t ⋅ cos 8 ϕ ⋅ 
+ 121800 ⋅ η 6 ⋅ t 4 + 47688 ⋅ η 8 − 242496 ⋅ η 8 ⋅ t 2 +
 40320





8
4
10
10
2
+ 151872 ⋅ η ⋅ t + 20880 ⋅ η − 121920 ⋅ η ⋅ t +



10
4
12
12
2
12
4

 + 94080 ⋅ η ⋅ t + 4672 ⋅ η − 30528 ⋅ η ⋅ t + 23040 ⋅ η ⋅ t 




Para valores de:
η2 = e'2 ⋅ cos2 ϕ
t = tanϕ
V.2.2 PROBLEMA INVERSO.
De acuerdo a toda la teoría correspondiente al problema directo, el planteamiento del problema
corresponde a encontrar la siguiente función:
Γ + i ⋅ ∆λ = F ( y + i ⋅ x )
Consideraremos el desarrollo en serie de Taylor para dicha función, en torno al punto ( y , i 0 ). ,
es decir, en el meridiano central.
Supondremos :
• que anulamos la traslación en la coordenada X, se le restan 500000 m.
• dividiremos las coordenadas( x , y ) por ko, resultando:
x=
X − 500000
ko
y=
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
y
ko
V-6
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.
En este caso, el valor que se conoce es la longitud de arco de meridiano ( y/k0=l.a.m.), y la
incógnita será ϕ‘ , latitud correspondiente al punto del meridiano central que tiene ordenada y/k0.
El paso de la longitud del arco de meridiano a la latitud geodésica correspondiente se introduce
en una apéndice.
A partir de esta latitud se obtiene la correspondiente latitud creciente:
ϕ'
'
Γ =
ρ'
∫r
'
⋅ dϕ
0
El problema del paso de la latitud geodésica a la creciente será desarrollado en un apéndice.
Establecemos el desarrollo en serie de la función buscada según:
Γ + i ⋅ ∆λ = F( y + i ⋅ x) = F( y) +
= Γ' +
( i ⋅ x)1 ⋅ F1 y + ( i ⋅ x)2 ⋅ F2 y + ( i ⋅ x)3 ⋅ F3 y + ⋅ ⋅ ⋅ =
( )
( )
( )
1!
2!
3!
( i ⋅ x)1 ⋅ F1 y + ( i ⋅ x)2 ⋅ F2 y + ( i ⋅ x)3 ⋅ F3 y + ⋅ ⋅ ⋅
( )
( )
( )
1!
2!
3!
donde :
• la latitud creciente dependerá de los términos con potencia par de (i x).
• él incremento de longitud geodésica se relaciona con los términos de potencia impar.
Γ = Γ ' + F( y) +
i ⋅ ∆λ ='
( i ⋅ x)2 ⋅ F2 y + ( i ⋅ x)4 ⋅ F4 y + ( i ⋅ x)6 ⋅ F6 y + ( i ⋅ x)8 ⋅ F8 y +⋅⋅⋅ =
()
()
()
()
2!
4!
6!
8!
(i ⋅ x)1 ⋅ F1 y + ( i ⋅ x)3 ⋅ F3 y + ( i ⋅ x)5 ⋅ F5 y + ( i ⋅ x)7 ⋅ F7 y + ( i ⋅ x)9 ⋅ F9 y +⋅⋅⋅
()
()
()
()
()
1!
3!
5!
7!
9!
De nuevo consideramos en el desarrollo hasta la novena derivada, resultando:
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-7
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.
x


−


'
v ⋅ cosϕ '






3
x


−
⋅ 1 + 2 ⋅ t '2 + η'2 +
3
'
'


6 ⋅ v ⋅ cosϕ






'2
'4
'2
'2
'2
'4
5


+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
+
5
28
24
6
8
3
η
η
η
t
t
t
x



+
⋅
−
5
'
'


120 ⋅ v ⋅ cosϕ 
+4 ⋅ η'4 ⋅ t '2 − 4 ⋅ η'6 + 24 ⋅ η'6 ⋅ t '2







'2
'4
'6
'2
'2
'2


61 + 662 ⋅ t + 1320 ⋅ t + 720 ⋅ t + 107 ⋅ η + 440 ⋅ η ⋅ t +




'2
'4
'4
'4
'2
'4
'4
'6


 +336 ⋅ η ⋅ t + 43 ⋅ η − 234 ⋅ η ⋅ t − 192 ⋅ η ⋅ t + 97 ⋅ η −
x7


−
⋅
+
'7
' 
'6
'2
'6
'4
'8
'8
'2
5040 ⋅ v ⋅ cosϕ 

−772 ⋅ η ⋅ t + 408 ⋅ η ⋅ t + 188 ⋅ η − 2392 ⋅ η ⋅ t + 
⋅∆λ = 




'8
'4
'10
'10
'2
'10
'4

 +1536 ⋅ η ⋅ t + 88 ⋅ η − 1632 ⋅ η ⋅ t + 1920 ⋅ η ⋅ t










'2
'4
'6
'8
'2
1385 + 24568 ⋅ t + 83664 ⋅ t + 100800 ⋅ t + 40320 ⋅ t + 3116 ⋅ η + 




+26736 ⋅ η'2 ⋅ t '2 + 47808 ⋅ η'2 ⋅ t '4 + 24192 ⋅ η'2 ⋅ t '6 + 1158 ⋅ η'4 −





'4
'2
'4
'4
'4
'6
'6

4884
20736
13824
3500
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
+
η
t
η
t
η
t
η



'
6
'
2
'
6
'
4
'
6
'
6
'
8


+27104 ⋅ η ⋅ t + 576 ⋅ η ⋅ t + 12192 ⋅ η ⋅ t − 11735 ⋅ η +
x9

+ 362880 ⋅ v'9 ⋅ cosϕ ' ⋅  +47788 ⋅ η'8 ⋅ t '2 − 195984 ⋅ η'8 ⋅ t '4 + 9788 ⋅ η'8 ⋅ t '6 − 20280 ⋅ η'10 +  





'10
'2
'10
'4
'10
'6
'12

459312
817344
178556
16144
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
η
t
η
t
η
t
η
+



 +483712 ⋅ η'12 ⋅ t '2 − 1239552 ⋅ η'12 ⋅ t '4 + 437760 ⋅ η'12 ⋅ t '6 − 4672 ⋅ η'14 +  

 


+175680 ⋅ η'14 ⋅ t '2 − 603648 ⋅ η'14 ⋅ t '4 + 322560 ⋅ η'14 ⋅ t '6



(
)
λ = λO + ∆λ
Γ = Γ' −
'
x2
x4
⋅ t' +
⋅ t ⋅ 5 + 6 ⋅ t ' 2 + η' 2 − 4 ⋅ η' 4 −
'
'4
2 ⋅ v ⋅ cos ϕ
24 ⋅ v ⋅ cos ϕ'
[
'2
]
61 + 180 ⋅ t ' 2 + 120 ⋅ t ' 4 + 46 ⋅ η' 2 + 48 ⋅ η' 2 ⋅ t ' 2 − 


x
−
⋅ t ' ⋅  −3 ⋅ η' 4 − 36 ⋅ η' 4 ⋅ t ' 2 + 100 ⋅ η' 6 − 96 ⋅ η' 6 ⋅ t ' 2 +  +
'6
'
720 ⋅ v ⋅ cos ϕ


+88 ⋅ η' 8 − 192 ⋅ η' 8 ⋅ t ' 2


6


1385 + 7266 ⋅ t ' 2 + 10920 ⋅ t ' 4 + 5040 ⋅ t ' 6 +


'2
'2
'2
'2
'4
+
⋅
+
⋅
⋅
t
+
⋅
⋅
t
−
1731
η
4416
η
2688
η


 −573 ⋅ η' 4 − 1830 ⋅ η' 4 ⋅ t ' 2 − 1536 ⋅ η' 4 ⋅ t ' 4 − 


x8
'
'6
'6
'2
'6
'4


+
⋅
⋅
t
−
⋅
+
⋅
⋅
t
+
⋅
⋅
t
−
2927
η
5052
η
744
η
40320 ⋅ v ' 8 ⋅ cos ϕ '


'8
'8
'2
'8
'4
 −8808 ⋅ η + 27456 ⋅ η ⋅ t − 7872 ⋅ η ⋅ t − 


' 10
' 10
'2
' 10
'4
−11472 ⋅ η + 53952 ⋅ η ⋅ t − 24960 ⋅ η ⋅ t − 
 −4672 ⋅ η' 12 + 30528 ⋅ η' 12 ⋅ t ' 2 − 23040 ⋅ η' 12 ⋅ t ' 4 


Obtener la latitud geodésica a partir de la creciente se podría realizar de acuerdo a lo
explicado en un apéndice posterior. Sin embargo, de acuerdo al método seguido en la definición oficial
de la proyección se considera la función:
[
ϕ = h( Γ ) = h Γ ' + ( Γ − Γ ' )
]
De la que se plantea un desarrollo de Taylor :
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-8
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.
( ∆Γ)  ∂2 h  ( ∆Γ)  ∂3h  ( ∆Γ)  ∂4 h 
∆Γ  ∂h 
ϕ = h( Γ) = h Γ +
⋅  +
⋅
⋅
⋅
 +...
 +
 +
1!  ∆Γ  Γ'
2 !  ∆Γ 2  Γ'
3!  ∆Γ 3  Γ'
4 !  ∆Γ 4  Γ'
( )
2
3
4
'
Por tanto, tendremos que obtener el incremento de latitud creciente, sus potencias y derivar la
función anterior, resultando finalmente:


x2
−
⋅ t ' ⋅ (1 + η ' 2 ) +


'2
2⋅v






'2
'2
'2
'2
'4
4


+
⋅
+
⋅
η
−
⋅
η
⋅
−
⋅
η
−
5
3
6
6
3
t
t
x


'


+
⋅
⋅
−
t


24 ⋅ v '4
− 9 ⋅ η '4 ⋅ t '2 − 4 ⋅ η '6








'2
'4
'2
'2
'2
'2
'4
'4
6


61 + 90 ⋅ t + 45 ⋅ t + 107 ⋅ η − 162 ⋅ η ⋅ t − 45 ⋅ η ⋅ t + 43 ⋅ η − 
x

'


−
⋅
⋅
t
+
 720 ⋅ v '6
 − 318 ⋅ η '4 ⋅ t '2 + 135 ⋅ η '4 ⋅ t '4 + 97 ⋅ η '6 + 18 ⋅ η '6 ⋅ t '2 + 225 ⋅ η '6 ⋅ t '4  


⋅ ϕ = ϕ '+ 


'2
'4
'4
'2
'2
'2
 1385 + 3633.⋅t + 4515 ⋅ t + 2310 ⋅ t + 3116 ⋅ η − 5748 ⋅ η ⋅ t +  




+ 4704 ⋅ η '2 ⋅ t '4 − 525 ⋅ η '2 ⋅ t '6 + 1158 ⋅ η '4 − 17826 ⋅ η '4 ⋅ t '2 +





'6
'6
'6
'2
'4
'4
'4

⋅
−
3500
⋅
η
+
1164
⋅
η
⋅
+
37734
η
9450
η
t
t
+
⋅
⋅
−
⋅
t



x8
'6
'4
'6
'6
'8
'8
'2
' 

+
+
14006
⋅
η
⋅
−
20790
⋅
η
⋅
−
11735
⋅
η
+
29001
⋅
η
⋅
+
⋅
⋅
t
t
t
t
'8


 40320 ⋅ v
 + 13389 ⋅ η '8 ⋅ t '4 − 45 ⋅ η '8 ⋅ t '6 − 20280 ⋅ η '10 + 64272 ⋅ η '10 ⋅ t '2 −  



'10
'4
'12
'12
'2
'12
'4

 − 15864 ⋅ η ⋅ t − 16144 ⋅ η + 75408 ⋅ η ⋅ t − 31872 ⋅ η ⋅ t + 




− 4672 ⋅ η '14 + 30528 ⋅ η '14 ⋅ t '2 − 23040 ⋅ η '14 ⋅ t '4






V.2.3 CONVERGENCIA DE MERIDIANOS.
Se define la convergencia de meridianos, γ, en un punto de la proyección como el ángulo
formado por la transformada del meridiano del punto y la dirección del eje de ordenadas de la
proyección.
Se obtiene a partir de la siguiente expresión:
∂y
∂y ∂y ∂λ ∂λ
tg γ =
=
⋅
=
∂x ∂λ ∂x ∂x
∂λ
A partir de las expresiones del problema directo de la proyección y derivando hasta el orden
séptimo, se obtiene:
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-9
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.
∆λ ⋅ t ⋅ cos ϕ +








1
3
3
2
2
4
+ ⋅ ( ∆λ ) ⋅ t ⋅ cos ϕ ⋅ 1 + t + 3⋅ η + 2 ⋅ η +


3






2
4
2
4
4
2
 2 − 4 ⋅ t + 2 ⋅ t + 15 ⋅ η + 35 ⋅ η − 40 ⋅ η ⋅ t +
1
5



+ ⋅ ( ∆λ ) ⋅ t ⋅ cos5 ϕ ⋅ 
+


15
 +33 ⋅ η 6 − 60 ⋅ η 6 ⋅ t 2 + 11⋅ η 8 − 24 ⋅ η 8 ⋅ t 2 


tg γ = 



 −148 − 2195 ⋅ t 2 + 2482 ⋅ t 4 − 155⋅ t 6 + 2023⋅ η 2 − 37716 ⋅ η 2 ⋅ t 2 +  



2
4
4
4
2
4
4

 +8526 ⋅ η ⋅ t + 18984 ⋅ η − 81172 ⋅ η ⋅ t + 46424 ⋅ η ⋅ t +  
 1


7
+
⋅ ( ∆λ ) ⋅ t ⋅ cos 7 ϕ ⋅  +34783⋅ η 6 − 212240 ⋅ η 6 ⋅ t 2 + 124740 ⋅ η 6 ⋅ t 4 + 36180 ⋅ η 8 −  

 5040
 −255572 ⋅ η 8 ⋅ t 2 + 147840 ⋅ η 8 ⋅ t 4 + 18472 ⋅ η 10 − 114528 ⋅ η 10 ⋅ t 2 + 




 +94080 ⋅ η 10 ⋅ t 4 + 4672 ⋅ η 12 − 30528 ⋅ η 12 ⋅ t 2 + 23040 ⋅ η 12 ⋅ t 4  







(
)
Considerando el desarrollo en serie de la arcotangente,
1
3
1
5
γ = tg γ − ⋅ tg 3 γ + ⋅ tg 5 γ − ⋅⋅⋅
limitado a esos términos, obtenemos finalmente:
( ∆λ ) ⋅ sen ϕ +








1
3
2
2
4
+ ⋅ ( ∆λ ) ⋅ sen ϕ ⋅ cos ϕ ⋅ (1 + 3 ⋅ η + 2 ⋅ η ) +


3






2
2
2
2
4
4
2


2 − t + 15 ⋅ η − 15 ⋅ η ⋅ t + 35 ⋅ η − 50 ⋅ η ⋅ t +
1


5
4


(
)
+
⋅ ∆λ ⋅ sen ϕ ⋅ cos ϕ ⋅
+


15
+ 33 ⋅ η 6 − 60 ⋅ η 6 ⋅ t 2 + 11 ⋅ η 8 − 24 ⋅ η 8 ⋅ t 2




γ =



2
4
6
2
2
2
 − 148 − 3427 ⋅ t + 18 ⋅ t − 1387 ⋅ t + 2023 ⋅ η − 46116 ⋅ η ⋅ t +  




 + 5166 ⋅ η 2 ⋅ t 4 + 18984 ⋅ η 4 − 100212 ⋅ η 4 ⋅ t 2 + 57624 ⋅ η 4 ⋅ t 4 +  

+ 1 ⋅ ( ∆λ ) 7 ⋅ sen ϕ ⋅ cos 6 ϕ ⋅  + 34783 ⋅ η 6 − 219968 ⋅ η 6 ⋅ t 2 + 144900 ⋅ η 6 ⋅ t 4 + 36180 ⋅ η 8 −  


 5040
 − 261508 ⋅ η 8 ⋅ t 2 + 155904 ⋅ η 8 ⋅ t 4 + 18472 ⋅ η10 − 114528 ⋅ η10 ⋅ t 2 + 






 + 94080 ⋅ η10 ⋅ t 4 + 4672 ⋅ η12 − 30528 ⋅ η12 ⋅ t 2 + 23040 ⋅ η12 ⋅ t 4  





V.2.4 COEFICIENTE DE ANAMORFOSIS LINEAL.
Dado que la proyección es conforme el coeficiente de anamorfosis lineal, k1, es independiente de
la dirección considerada, pero función del punto considerado. Permite transformar una distancia
infinitesimal del elispoide en la correspondiente sobre la proyección:
ds1 = k 1 ⋅ ds
Por comodidad se determinará en la dirección del paralelo según:
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-10
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.
 ∂x 2  ∂y 2 
2
  +   ⋅ dλ
 ∂x 2  ∂y 2 
∂λ
∂λ




1


2
= 2
⋅   +   
k1 =
v ⋅ cos 2 ϕ  ∂λ   ∂λ  
(v ⋅ cos ϕ ) 2 ⋅ dλ2
Llegando hasta la sexta derivada, se obtiene:
k 12


1+




2


+ ( ∆ λ ) ⋅ cos 2 ϕ ⋅ ( 1 + η 2 ) +




2
4
2
2
2




8
24
4
20
28
t
t
t
−
⋅
+
⋅
+
⋅
η
−
⋅
η
⋅
+
1
4


+
⋅ ( ∆ λ ) ⋅ cos 4 ϕ ⋅ 
+

4
4
2
6
6
2
12


 + 16 ⋅ η − 48 ⋅ η ⋅ t + 4 ⋅ η − 24 ⋅ η ⋅ t 


2 

= ko ⋅
136 + 10576 ⋅ t 2 − 9136 ⋅ t 4 + 224 ⋅ t 6 + 616 ⋅ η 2 + 




2
2
2
4
4
 + 43952 ⋅ η ⋅ t − 50058 ⋅ η ⋅ t − 1120 ⋅ η + 

 + 66960 ⋅ η 4 ⋅ t 2 − 95680 ⋅ η 4 ⋅ t 4 + 1024 ⋅ η 6 + 
 1
6

+
⋅ ( ∆ λ ) ⋅ cos 6 ϕ ⋅ 
6
2
6
4
8
 + 42736 ⋅ η ⋅ t − 80160 ⋅ η ⋅ t + 472 ⋅ η + 
 360
 + 9184 ⋅ η 8 ⋅ t 2 − 21888 ⋅ η 8 ⋅ t 4 + 88 ⋅ η 10 − 





− 1632 ⋅ η 10 ⋅ t 2 + 1920 ⋅ η 10 ⋅ t 4






Para resolver la raíz cuadrada, consideraremos el desarrollo en serie de Taylor:
1
1
2
1
8
(1 + x ) 2 = 1 + ⋅ x − ⋅ x 2 +
1
⋅ x 3 −⋅⋅⋅
16
operando finalmente, con los términos apuntados en la ecuación anterior, obtendremos :


1+




1


2
2
2
+ ⋅ ( ∆ λ ) ⋅ cos ϕ ⋅ (1 + η ) +


2






 5 − 4 ⋅ t 2 + 14 ⋅ η 2 − 28 ⋅ η 2 ⋅ t 2 + 13 ⋅ η 4 − 
1
4
4
 + ⋅ ( ∆ λ ) ⋅ cos ϕ ⋅ 
+ 
4
2
6
6
2
24
−48 ⋅ η ⋅ t + 4 ⋅ η − 24 ⋅ η ⋅ t






k 1 = k o ⋅

 61 + 10636 ⋅ t 2 − 9136 ⋅ t 4 + 224 ⋅ t 6 + 331 ⋅ η 2 + 




2
2
2
4
4
 +44432 ⋅ η ⋅ t − 50058 ⋅ η ⋅ t + 715 ⋅ η + 

 +68100 ⋅ η 4 ⋅ t 2 − 95680 ⋅ η 4 ⋅ t 4 + 769 ⋅ η 6 + 
 1
6
6


(
)
λ
cos
ϕ
+
⋅
∆
⋅
⋅

6
4
8
6
2
 +43816 ⋅ η ⋅ t − 80160 ⋅ η ⋅ t + 412 ⋅ η + 
 720
 +9644 ⋅ η 8 ⋅ t 2 − 21888 ⋅ η 8 ⋅ t 4 + 88 ⋅ η 10 − 




−1632 ⋅ η 10 ⋅ t 2 + 1920 ⋅ η 10 ⋅ t 4





GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-11
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.
V.3 APLICACIÓN PRÁCTICA DE UNA RED GEODÉSICA DE
PRIMER ORDEN.
Del problema existente para la Península Ibérica y particularizándolo a la Comunidad
Valenciana, la cual se encuentra comprendida bajo la influencia de los husos 30 y 31, nace el
planteamiento hipotético de una red geodésica de primer orden para toda la provincia de Castellón, ya
que dicha provincia se encuentra cubierta por los husos anteriormente mencionados.
Dicha red esta formada por vértices geodésicos oficiales de primer orden en ED-50:
Pto
Latitud
Longitud
Huso
Hoja
Nombre
1 39.41585934
-0.26548854
30
668
Rebalsadores
2 40.13260984
-0.20547852
30
592
Peñagolosa
3 40.18253882
0.17377863
31
594
Campanillas
4 40.40140022
-0.05125619
30
520
Carrascal
5 40.41185398
0.49067737
31
523
L’illa de Riu
Coordenadas GEODÉSICAS en formato pseudosexagesimal.
Tabla de observaciones geodésicas (sobre el elipsoide) obtenidas a partir de la resolución del
problema inverso de la geodesía.
Inicio Final Long.Geodésica
Az.Directo
Az.Reciproco
1
2
58841.5271
8.19114169
188.23027031
1
3
92565.7685
42.59169853
223.27551030
1
4
112130.6948
15.49533420
196.03537095
1
5
153945.7802
44.05302425
224.54344186
2
3
55419.0109
80.12126865
260.37073809
2
4
54341.2574
24.01583673
204.12096376
2
5
111634.7319
62.05550673
242.51213956
3
4
51681.8359
321.28482997
141.13585270
3
5
61423.0632
46.13557936
226.34225486
4
5
76570.3385
88.12543886
268.48189383
Longitudes geodésicas en metros a la décima de milímetro.
Azimutes geodésicos en formato pseudosexagesimal a la diezmilésima de segundo.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-12
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.
Transformación a la proyección U.T.M. (para un único HUSO-30 ).
Punto Huso
Xu.t.m.
Yu.t.m.
Ku.t.m.
Convergencia.
1
30
718763.1524 4397605.0467 1.00018920
1.37494316
2
30
725609.5929 4456059.2218 1.00022658
1.42466714
3
30
779935.0173 4467123.0558 1.00056471
2.07555828
4
30
746245.8504 4506346.4384 1.00034639
1.53581840
5
30
822703.8591 4511271.1051 1.00088199
2.29298776
Las coordenadas están en metros a la décima de milímetro.
La Convergencia esta en formato pseudosexagesimal a la diezmilésima de segundo.
Tabla de observaciones cartográficas para la cuerda obtenidas a partir de las coordenadas sobre
la proyección.
Inicio Final Longuit.Cuerda
Az.Directo
Az.Reciproco
1
2
58853.7538
6.40491774
186.40491774
1
3
92599.9495
41.20453374
221.20453374
1
4
112160.5499
14.11009810
194.11009810
1
5
154024.8140
42.26276771
222.26276771
2
3
55440.6002
78.29191618
258.29191618
2
4
54356.7776
22.18420139
202.18420139
2
5
111694.4429
60.22322279
240.22322279
3
4
51705.2580
319.20259702
139.20259702
3
5
61467.2602
44.05272405
224.05272405
4
5
76616.4436
86.18527934
266.18527934
Longitudes cartográficas en metros a la décima de milímetro.
Azimutes cartográfico en formato pseudosexagesimal a la diezmilésima de segundo.
• PASO DEL ELIPSOIDE A LA PROYECCIÓN U.T.M..
Paso de longitudes geodésicas a la proyección U.T.M..
Inicio Final
1
2
1
3
1
4
1
5
2
3
2
4
2
5
3
4
3
5
4
5
L.Geod.
K.D.
58841.5271
92565.7685
112130.6948
153945.7802
55419.0109
54341.2574
111634.7319
51681.8359
61423.0632
76570.3385
L.Geo*K.D.
1.00020779
1.00036927
1.00026625
1.00051339
1.00038958
1.00028561
1.00053490
1.00045321
1.00071959
1.00060216
L.Cuerda
58853.7539
92599.9501
112160.5490
154024.8144
55440.6009
54356.7779
111694.4452
51705.2588
61467.2627
76616.4460
E.D.Cuerda D.Tipica.
58853.7513
-0.0025
92599.9437
-0.0058
112160.5311
-0.0188
154024.7845
-0.0295
55440.6008
0.0006
54356.7760
-0.0016
111694.4401
-0.0028
51705.2576
-0.0003
61467.2608
0.0006
76616.4460
0.0024
0.1187
0.1862
0.2253
0.3090
0.1119
0.1097
0.2244
0.1044
0.1239
0.1542
Longitudes en metros a la décima de milímetro.
Errores en las distancias para la cuerda a la décima de milímetro.
Desviación típica para las distancias expresadas en metros.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-13
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.
Paso de azimut de la geodésica a azimut de la cuerda.
Inicio Final
1
1
1
1
2
2
2
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3
4
2
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4
5
3
4
5
4
5
5
2
3
4
5
3
4
5
4
5
5
1
1
1
1
2
2
2
3
3
4
Az.G.Elip.
8.19114169
42.59169853
15.49533420
44.05302425
80.12126865
24.01583673
62.05550673
321.28482997
46.13557936
88.12543886
188.23027031
223.27551030
196.03537095
224.54344186
260.37073809
204.12096376
242.51213956
141.13585270
226.34225486
268.48189383
A.G.U.T.M.
6.41219853
41.21275538
14.12039104
42.27408110
78.29260151
22.19116959
60.23083959
319.20527169
44.06002109
86.18562046
186.40160317
221.19595202
194.09555256
222.25045410
258.29117982
202.18114536
240.21515179
139.20003430
224.04526710
266.18490606
R.A.C.
Az.Cuerda
E.Az.C
0.00329502
0.00423965
0.01031994
0.0113448
0.00068756
0.00298090
0.00363158
0.00268722
0.00331148
0.00034117
-0.00332904
-0.00460113
-0.01057395
-0.01234902
-0.00073864
-0.00306909
-0.00408719
-0.00257491
-0.00347195
-0.00037317
6.40490351
41.20451573
14.11007110
42.26273628
78.29191396
22.18418870
60.22320801
319.20258448
44.05270961
86.18527929
186.40493222
221.20455315
194.11012651
222.26280311
258.29191846
202.18421446
240.22323898
139.20260922
224.05273905
266.18527923
0.1423
0.1801
0.2700
0.3143
0.0222
0.1269
0.1478
0.1254
0.1444
0.0005
-0.1448
-0.1941
-0.2841
-0.3540
-0.0228
-0.1307
-0.1619
-0.1220
-0.1500
0.0011
D.Tipica.
0.4160
0.4148
0.4144
0.4139
0.4163
0.4163
0.4144
0.4165
0.4159
0.4152
0.4160
0.4148
0.4144
0.4139
0.4163
0.4163
0.4144
0.4165
0.4159
0.4152
Ángulos expresados en graduación pseudosexagesimal.
Errores en los azimutes a la cuerda en segundos sexagesimales.
Desviación típica para azimutes a la cuerda expresados en segundos sexagesimales.
• PASO DE LA PROYECCIÓN U.T.M. AL ELIPSOIDE.
Paso de longitudes de la proyección U.T.M. a longitudes geodésicas.
Inicio Final L.P.Cuerda
L.P.Geod
K.D.
L.Geod
E.L.Geod
1
1
1
1
2
2
2
3
3
4
58853.7565
92599.9559
112160.5679
154024.8439
55440.6003
54356.7795
111694.4480
51705.2592
61467.2622
76616.4437
1.00020779
1.00036927
1.00026625
1.00051339
1.00038958
1.00028561
1.00053490
1.00045321
1.00071959
1.00060216
58841.5296
92565.7743
112130.7136
153945.8097
55419.0103
54341.2590
111634.7347
51681.8362
61423.0626
76570.3361
0.0025
0.0058
0.0188
0.0295
-0.0006
0.0016
0.0028
0.0003
-0.0006
-0.0024
2
3
4
5
3
4
5
4
5
5
58853.7538
92599.9495
112160.5499
154024.8140
55440.6002
54356.7776
111694.4429
51705.2580
61467.2602
76616.4436
D.Tipica.
0.1187
0.1861
0.2253
0.3089
0.1118
0.1097
0.2243
0.1044
0.1238
0.1541
Longitudes expresadas en metros a la décima de milímetro.
Error en las distancias geodésicas expresadas en metros.
Desviación típica para las distancias en metros.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-14
DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.
Paso del azimut de la cuerda U.T.M. a la geodésica sobre el elipsoide.
Inicio Final
1
1
1
1
2
2
2
3
3
4
2
3
4
5
3
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5
4
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5
2
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5
3
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5
4
5
5
1
1
1
1
2
2
2
3
3
4
Az.Cuerda
6.40491774
41.20453374
14.11009810
42.26276771
78.29191618
22.18420139
60.22322279
319.20259702
44.05272405
86.18527934
186.40491774
221.20453374
194.11009810
222.26276771
258.29191618
202.18420139
240.22322279
139.20259702
224.05272405
266.18527934
R.Ang.Cuerd
0.00329502
0.00423965
0.01031994
0.01134481
0.00068756
0.00298090
0.00363158
0.00268722
0.00331148
0.00034117
-0.00332904
-0.00460113
-0.01057395
-0.01234902
-0.00073864
-0.00306909
-0.00408719
-0.00257491
-0.00347195
-0.00037317
Az.G.U.T.M.
6.40162272
41.20029409
14.09577816
42.25142290
78.29122862
22.18122049
60.21559121
319.19590980
44.04541257
86.18493817
186.41224678
221.21313486
194.12067205
222.27511673
258.29265483
202.19127048
240.23130997
139.20517193
224.06019599
266.18565251
Az.Geod
8.19115592
42.59171654
15.49536119
44.05305568
80.12127088
24.01584942
62.05552151
321.28484251
46.13559380
88.12543891
188.23025584
223.27549089
196.03534254
224.54340646
260.37073582
204.12095069
242.51212336
141.13584050
226.34223986
268.48189394
E.Az.G.
D.Tipica.
0.1423
0.1801
0.2700
0.3143
0.0222
0.1269
0.1478
0.1254
0.1444
0.0005
-0.1448
-0.1941
-0.2841
-0.3540
-0.0228
-0.1307
-0.1619
-0.1220
-0.1500
0.0011
0.4160
0.4148
0.4144
0.4139
0.4163
0.4163
0.4144
0.4165
0.4159
0.4152
0.4160
0.4148
0.4144
0.4139
0.4163
0.4163
0.4144
0.4165
0.4159
0.4152
Ángulos expresados en graduación pseudosexagesimal.
Errores en los azimutes en segundos sexagesimales.
Desviación típica para azimutes geodésicos en segundos sexagesimales.
Tanto en el paso de observables del elipsoide a la proyección como en el inverso, aparece como
penúltima columna el error cometido. En la última columna figura la desviación típica que correspondería
a un observable de la magnitud correspondiente para un instrumental de precisión ± (1 mm. + 2 ppm.).
De la comparación de ambas columnas se desprende que el error es muy inferior a la desviación típica en
el caso de las distancias mientras que en los ángulos la diferencia es más pequeña pero suficiente.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
V-15
BIBLIOGRAFÍA.
BIBLIOGRAFÍA.
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GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
1