Тема 1. Функционалы и их экстремумы
● Вариационное исчисление и его применение. Одной из наиболее
важных задач, решаемых в математическом анализе, является задача об
отыскании экстремума функции. Если известна зависимость энергии от
координат, то именно в точке экстремума (минимума) энергии располагается точка равновесного состояния, к которому физическая система придет, потеряв всю энергию на трение. Но в некоторых случаях такое состояние задается не одиночным значением координаты, а функцией. Энергия
находится в отношении однозначного соответствия не с переменной,
а с множеством функций! Мы естественным образом приходим к понятию функционала.
Вариационное исчисление позволяет обобщить методы отыскания экстремумов и сделать их применимыми не к функциям, а к функционалам.
●●Понятие функционала. Строгое определение функционала удобно
дать, сравнивая его со стандартным определением функции:
Определение функции. Переменная = ( ) называется функцией
от переменной , если каждому значению из некоторой области изменения соответствует определенное значение .
Определение функционала. Переменная
= [ ( )] называется
функционалом от функции ( ),
если каждой функции ( ) из некоторого класса функций соответствует определенное значение .
Теперь, исходя из все той же аналогии с математическим анализом, следует ввести основные понятия исчисления бесконечно малых. Прежде
всего нам необходимо понятие приращения.
Приращением ∆
аргумента
функции = ( ) называется разность между двумя значениями аргумента: ∆ = − . Если – независимая переменная, приращение
равно дифференциалу: ∆ = .
Приращением
функции ( )
функционала = [ ( )] называется разность между двумя функциями:
= ( ) − ( ). При этом
предполагается, что ( ) меняется
произвольно в некотором классе
функций.
Следующий шаг состоит во введении понятия малости приращения
и,
соответственно, близости функций ( ) и ( ). Здесь следует принять
во внимание, что функционалы, возникающие в прикладных задачах (в
частности, в физике) могут "зависеть от функции ( )" в том смысле, что
их значения определяет как сама функция, так и ее производные. К примеру, в приложениях часто встречается функционал вида:
[ ( )] =
( , ( ) , ′( ) )
.
Часто понятие близости функций требуется определить таким образом,
чтобы близкими были не только значения самих функций, но и значения производных. Сформулируем требование близости.
Функции = ( ) и = ( ) близки в смысле близости k-ого порядка, если малыми величинами являются модули разностей значений самих функций и производных порядка вплоть до k-ого. То есть малы:
| ( ) − ( )|, | ′( ) − ′ ( )|, | "( ) − " ( )|,…, ( ) ( ) − ( ) ( ) .
(Можно записать то же самое более кратко – малы ( ) ( ) − ( ) ( ) при
= 0, … , , где ( ) ( ) ≡ ( ).)
В частности, близость нулевого порядка означает, что мал только модуль | ( ) − ( )|; близость первого порядка – что малы | ( ) − ( )|
и | ′( ) − ′ ( )|, и т.д.
На расположенных ниже рисунках кривые (функции) слева близки в
смысле первого порядка, справа – только в смысле нулевого порядка. Действительно, во втором случае производные функций не близки.
●● Непрерывность функционалов. Используя введенное определение, сформулируем понятие непрерывности функционала.
Функция = ( ) непрерывна
в точке = , если для любого сколь угодно малого положительного
> 0 можно
подобрать такое
> 0, что
при | − | < будет выполняться | ( ) − ( )| < .
Функционал = [ ( )] непрерывен
при = ( ) в смысле близости k-ого
порядка, если для любого сколь угодно
малого положительного > 0 можно подобрать такое > 0, что при выполне( )
( )
нии неравенств
( )−
( ) <
для = 0,1, … , ( ( ) ( ) ≡ ( )) будет
выполняться | [ ( )] − [ ( )]| < .
Условия на значения функций и производных можно сформулировать
более компактно, используя понятие метрики. Если считать, что функции являются точками в некотором обобщенном пространстве, которое
они образуют в совокупности, метрика позволяет находить "расстояние"
между этими точками. Существуют различные определения метрики,
каждое из которых удобно для решения определенного типа задач. Если
рассматриваются функции, которые непрерывны на отрезка
≤ ≤ ,
метрическую функцию можно определить выражением
( ,
)=∑
max
( )
( )
( )−
( )
( )
( ).
(#)
Понятно, что условие
( )−
( ) < для = 0,1, … , можно заменить условием ( , ) < . Данное определение метрики предполагает, что функции ( ) ( ), = 0,1, … , , непрерывны, и опирается на теорему о том, что непрерывная функция, определенная на замкнутом
интервале, достигает в некоторых точках этого интервала максимального и минимального значений.
●● Норма и метрика. При работе с векторами, операторами, функциями чрезвычайно полезными понятиями являются понятия нормы и метрики. Потратим немного времени на то, чтобы познакомиться с этими понятиями.
Норма. Для абстрактного элемента
некоторого линейного пространства, который рассматривается как обобщение понятия вектор,
норма ‖ ‖ играет ту же роль, какую для вектора играет понятие длины.
Способы определения нормы могут быть различными, однако должны выполняться аксиомы нормы:
1° ‖ ‖ ≥ 0, причем ‖ ‖ = 0 для = 0;
2° ‖ ∙ ‖ = | | ∙ ‖ ‖;
3° ‖ + ‖ ≤ ‖ ‖ + ‖ ‖ (неравенство Миньковского).
Имея дело с непрерывными функциями, заданными на замкнутом интервале, мы можем определить нормы выражением ‖ ‖ = max | ( )|.
Метрика. Введение метрики ( , ) означает, что мы интерпретируем
некоторые объекты, элементы , (например, функции, матрицы) как
точки; метрика определяет расстояние между точками. Совокупность
элементов, для которых вводится метрика, может не быть линейным пространством. Но векторы линейного пространства допускают введение
метрики. Для одних и тех же элементов метрику можно вводить по-разному. При этом должны выполняться аксиомы метрики:
1° ( , ) ≥ 0, ( , ) = 0, если = ;
2° ( , ) = ( , ) (симметричность);
3° ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) (неравенство треугольника).
Метрика, индуцированная нормой. Если уже введена норма, с ее помощь. легко ввести метрику, используя выражение: ( , ) = ‖ − ‖. Нетрудно показать, что если для нормы выполняются аксиомы нормы, то
для введенной таким образом метрики будут выполняться аксиомы
метрик. В нашем случае из введенной выше нормы получится метрика:
( , ) = max | ( ) − ( )|
(метрика в смысле близости нулевого порядка).
●● Линейность функционалов. Определение линейного функционала
аналогично определению линейной функции. Удобно рассмотреть их в
сравнении.
Линейной функцией называется функция = ( ) удовлетворяющая условию
(
)=
( )+
( ),
+
где и – произвольные постоянные
величины.
Линейным функционалом называется
функционал = [ ( )], удовлетворяющий условию
[
( )+
( )]=
[ ( )] +
=
[ ( )],
где и – произвольные постоянные
величины.
●● Вариация функционала. Понятие вариации функционала является
обобщением понятия первого дифференциала для функции. Сравним
определения этих величин.
Определение дифференциала функции. Если приращение функции
∆ ( )= ( +∆ )− ( )
может быть представлено в виде
∆ ( ) = ( )∆ + ( , ∆ )∆ ,
Определение вариации функционала.
Если приращение функционала
∆ [ ( )] = [ ( ) +
( )] − [ ( )]
может быть представлено в виде
( ) не зависит от ∆ и ( , ∆ ) → 0
при ∆ → 0, линейная по отношению к
∆ часть приращения называется дифференциалом:
= ( )∆ = ( ) .
Можно записать:
= ( ) →
⁄ = ( ) = ′( ) →
= ′( ) .
∆ [ ( )] = [ ( ), ( )] +
+ ( ( ), ( ))max| ( )|,
[ ( ), ( )]- линейный относигде
( ) функционал, а также
тельно
( ( ), ( )) → 0 при max| ( )| → 0,
линейная по отношению к
часть
приращения называется вариацией
функционала:
= [ ( ), ( )].
●● Определение вариации через производную по параметру. Удобно
при вычислении вариации использовать формулу, содержащую производную по параметру. Рассмотрим вначале этот прием применительно в вычислению дифференциала функции одной или нескольких переменных:
( )=
( )∆ =
( ,…,
)=∑
( + ∆ )∆ |
∆
=
(
=
( + ∆ )|
+ ∆ ,…,
+ ∆
,
)|
.
Найдем аналогичное выражение для вариации функционала. Вначале рассмотрим приращение функционала, в котором приращение функции под( ):
ставлено в виде
∆ = [ ( )+
∆ = [ ( ),
( )] − [ ( )],
( )] +
( ),
( ) | | max|
( )|.
Теперь продифференцируем каждое из выражений по , находя производную при = 0. В верхнем выражении вычитаемое от не зависит, так что
∗ lim (∆ ⁄ ) = ( ⁄
→
) [ ( )+
( )]|
.
Дифференцируя нижнее выражение, учтем линейность функционала
[ ,
]=
[ , ], а также то, что | |⁄ = ±1. Поскольку при → 0
также и max|
( )| → 0, предел от функции
∗ lim (∆ ⁄ ) = lim
→
=
→
[ ( ),
[ ( ),
( )] ± max|
( )] +
( )| ∙ lim
→
( ),
( ),
обращается в ноль:
( ) | | max|
( ) =
[ ( ),
( )| =
( )] .
Приравнивая правые части выражений (*), находим формулу для вариации функционала:
[ ( )+
( )]| .
= [ ( ), ( )] =
●● Максимум и минимум функционала. Функционал [ ( )] достигает на кривой (функции) = ( ) (i) максимума или (ii) минимума,
если для всех функций, близких к ( ), выполняется одно из неравенств:
(i) ∆ = [ ( )] − [ ( )] ≤ 0 или (ii) ∆ = [ ( )] − [ ( )] ≥ 0.
В том случае, если равенство ∆ = 0 имеет место только при ( ) = ( ),
на кривой = ( ) достигается строгий максимум или строгий минимум.
●● Необходимое условие существования экстремума (максимума
или минимума). Сформулируем теорему о необходимом условии. Здесь
опять можно провести параллель с аналогичным условием для функций.
Если функция ( ), имеющая дифференциал, достигает максимума
во внутренней точке =
области определения функции, то в
этой точке
( ) = 0.
Если функционал [ ( )], имеющий
вариацию, достигает максимума при
= ( ), где
( ) – внутренняя
точка области определения функци[ ( )] = 0.
онала, то
Следует пояснить смысл термина внутренняя точка.
– В случае функции одной переменной расстояния между точками на числовой оси аргументов обычно определяется на основе метрической
функции ( , ) = | − | (т.е. это расстояние в обычном смысле).
Точка, принадлежащая некоторой области:
∈ G, называется внутренней точкой этой области, если найдется такое > 0, что все точки из окрестности ( ) = { ( , ) < } точки
принадлежат G. Все точки
открытого интервала
< <
являются внутренними; у замкнутого
интервала
≤ ≤
(отрезка) концы не являются внутренними точками.
– В случае, если точка ̅ (вектор) принадлежит n-мерному пространству,
определение внутренней точки некоторой области этого пространства в
основном такое же, но метрическая функция должна соответствовать типу
пространства и решаемой задаче. Можно использовать в этой роли расстояние ( ̅ , ̅ ) = ( ̅ − ̅ , ̅ − ̅ ), где под знаком корня стоит скалярный квадрат разности векторов.
– В случае, если точка – это функция в пространстве функций, следует
определять внутреннюю точку, используя метрику в пространстве
функций – например определенную выше метрику (#).
Доказательство необходимого условия для функционалов. Поскольку ( ) – внутренняя точка области определения функционала,
найдется ε-окрестность [ ( )], принадлежащая области определения.
Фиксируя ( ) и ( ), можно образовать однопараметрическое семейство функций { ( ) +
( )} ∈ [ ( )]; условие вхождения в εокрестность будет выполнено, если | | < и достаточно мало.
( )]; она существует при
Образуем функцию ( ) = [ ( ) +
| | < . Если функция ( ) является точкой экстремума функционала,
точка = 0 является точкой экстремума функции ( ), к тому же это
внутренняя точка области определения этой точки. В математическом
анализе доказывается, что (0) = 0. Как следствие:
[ ( )] =
[ ( )+
( )]|
= (0) = 0, ч.т.д.
●● Сильный и слабый экстремум (максимум или минимум). Необходимое условие существования экстремума функции
( )=0
обычно позволяет находить локальные экстремумы, то есть наибольшие
или наименьшие значения функции в некоторой малой окрестности точки,
в которой дифференциал обращается в ноль. Точно так же экстремум
функционала, выявляемой с помощью условия, [ ( )] = 0, является
локальным - только теперь уже в пространстве функций. Иначе говоря,
точке экстремума соответствует функция ( ), принадлежащая семейству близких функций, где близость определяется на основе выбранной
метрики. Поскольку метрики могут быть различными, следует уточнять
– в смысле какой метрики мы трактуем понятие близости и экстремум.
Сильный экстремум (максимум или минимум). Так принято называть экстремум, который достигается на кривой ( ), принадлежащей семейству кривых ( ), близких к ( ) в следующем смысле: малы модули
разностей значений функций | ( ) − ( )| (близость нулевого порядка).
Слабый экстремум (максимум или минимум). Такой тип экстремума
соответствует ситуации, когда близость кривых ( ) к ( ) понимается
иначе: малы | ( ) − ( )| и | ′( ) − ′ ( )|.
Если на кривой ( ) достигается сильный экстремум, на ней же
достигается и слабый экстремум. Обратное не верно! Чтобы доказать
последнее утверждение, будем рассуждать так (ограничимся случаем максимума). Для выделенной кривой ( ) среди кривых, близких по значениям ординат и по направлениям касательных, может не быть таких, для
которых [ ( )] > [ ( )]; тогда ( ) – максимум. Переходя к рассмотрению кривых, близких только по значениям ординат, мы расширяем множество кривых. И в этом более широком множестве могут
найтись такие кривые, что [ ( )] > [ ( )], откуда следует, что ( )
максимумом уже не является.
Тема 2. Уравнение Эйлера
● Рассмотрим класс функционалов частного вида, играющий важную роль в прикладных задачах – в частности, в физике:
[ ( )] = ∫
, ( ),
( )
.
Будем рассматривать задачу нахождения экстремумов такого функционала на множестве функций (кривых), которые определим рядом условий
(в дальнейшем такие функции будем называть допустимыми). Одним из
условий будет условие закрепленности кривых на концах, то есть в точках, соответствующих границам области интегрирования: ( ) = ,
( ) = . Будем считать, что функции ( ) являются дважды дифференцируемыми, а функция ( , , ) - трижды дифференцируемой.
На основе двух допустимых функций = ( ) и = ( ) можно построить однопараметрическое семейство функций
( , )= ( )+
( )− ( ) = ( )+
( ),
для которого выполняется: ( , 0) = ( ), ( , 1) = ( ). Вариацию
( ) = ( ) − ( ) можно дифференцировать какое-то число раз; при
этом производные вариаций по совпадают с вариациями производных:
(
( ))(
)
=
( )(
)−
( )(
)=
( )
( ),
= 1,2, ….
Теперь представим, что при = 0 на кривой ( ) достигается экстремум; другая кривая ( ), соответствующая = 1, играет роль близкой
кривой сравнения.
Функционал, рассмотренный только на семействе кривых ( , ) превращается в функцию одной переменной:
( ) = [ ( , )] = ∫
, ( , ),
( , )
.
Эта функция имеет экстремум при = 0 (мы учитываем, что функционал, имея экстремум на ( ) по сравнению с любой близкой кривой,
имеет его и по сравнению с ( , ) при ≠ 0). Необходимое условие
наличия экстремума функции: (0) = 0.
Дифференцируя, имеем:
( )=
[ ( , )] =
[ ( , )] = ∫
( , )+
′( , )
,
где
=
, ( , ),
=
, ( , ),
( , ) =
( , ) =
( , )= [ ( )+
( )
′( , ) =
+
( , ,
( , ,
)|
)|
( , ),
( , ),
( , ),
( , )
,
]= ,
= ′.
Имеем далее:
′( ) = ∫
, ( , ),
( , )
+
, ( , ),
( , )
′
.
Вспомним, что
= (0), а условие экстремума функционала имеет
вид
= 0. Подставив в полученное выше выражение = 0, получаем
условие экстремума для функционала в виде:
=
(0) = ∫
, ( ),
( )
+
, ( ),
( )
Интегрируя второе слагаемое по частям имея в виду, что ( ) = (
получим:
=
| +∫
−
.
= 0.
)′,
Поскольку имеются условия на концах:
( )=
( ) − ( ) = 0,
( )=
( ) − ( ) = 0,
получаем выражение для вариации, приравнивание которого к нулю есть
необходимое условие экстремума:
=∫
−
= 0.
●● Основная лемма вариационного исчисления. Если для каждой непрерывной функции ( ) и для некоторой функции Φ( ), непрерывной на
отрезке [ , ] выполняется равенство
∫ Φ( ) ( )
= 0,
то Φ( ) ≡ 0.
Заметим, что если теорема будет доказана для случая, когда мы
ограничиваемся функциями ( ), принадлежащими некоторому достаточно узкому классу, то она останется верной и для функций ( )
более общего вида. Мы будем предполагать, что выполняются ограничения: ( ) = ( ) = 0; производные ( ) вплоть до порядка являются
непрерывными; | ( ) ( )| < для = 0,1, … , , ≤ .
Будем проводить доказательство методом "от противного". Предположим, что в некоторой точке ̅ , лежащей на отрезке, по которому проводится интегрирование: ≤ ̅ ≤ , мы имеем Φ( ̅ ) ≠ 0. Но в курсе математического анализа доказывается теорема о том, что если непрерывная
функция отлична от нуля в точке ̅ , она отлична от нуля и в некоторой
окрестности этой точки: ̅ ≤ ̅ ≤ ̅ . Выберем функцию = ̅ ( ), сохраняющую знак в той же окрестности и тождественно равной нулю вне этой
окрестности. Понятно, что
∫ Φ( ) ( )
̅
= ∫ ̅ Φ( ) ̅ ( )
≠ 0;
в итоге мы пришли к противоречию с исходным предположением о равенстве интеграла нулю.
В случае единственной переменой функций может
иметь график изображенный слева. Определяющее ее
формула может быть взята в виде
) ( − ) ,
∈[ , ]
( )=
.
0,
∈[ , ]
Такое определение (не единственно возможное) обеспечивает непрерывность функции и наличие непрерывных производных до порядка 2 − 1.
( −
●● Краевая задача для уравнения Эйлера. Применим "основную
лемму" к полученному выше интегралу, полагая приращения ( ) произвольными функциями (в указанном выше смысле) и получим:
∫
−
=0→
−
= 0;
( )=
,
( )=
.
Дифференциальное уравнение второго порядка, стоящее справа от
стрелки, называется уравнением Эйлера. Интегральные кривые уравнения Эйлера, имеющего второй порядок, образуют семейство функций, зависящих от двух констант интегрирования: = ( , , ). Они носят
названия экстремалей. Вместе с дополнительными условиями, наложенными на значения функций-решений на концах области интегрирования,
мы имеем краевую задачу для уравнения Эйлера. Эта задача может не
иметь решений либо иметь не единственное решение.
Производную, имеющуюся в вычитаемом в левой части, можно вычислить, что приведет к более длинной формуле:
−
=
, ( ), ( ) −
, ( ), ( ) =
, ( ),
=
, ( ),
−
=
( ) −
−
−
( )
∙
−
, ( ),
∙
−
∙ " = 0.
( )
−
, ( ),
( )
∙
=
●● Система уравнений Эйлера для функционала, зависящего от нескольких функций. Рассмотрим функционал вида:
[ ,
,…,
]=∫
( ,
,
,…,
, ′ , ′ ,…, ′ )
(везде для краткости аргументы x функций опущены; следует понимать,
что ≡ ( ), ′ ≡ ′ ( )), = 1,2, … , ). Концевые условия для функций задаются соотношениями:
( )=
( )=
,
,
( )=
( )=
( )=
( )=
,…,
,…,
,
.
(#)
Выделим теперь из всех функций единственную функцию с номером и
будем варьировать только ее, оставляя остальные функции фиксированными. Задача сведется к отысканию уравнения для поиска экстремума для
функционала того вида, что был рассмотрен выше
= [ ,
,…,
].
Повторяя все сказанное выше, мы найдем уравнение
−
= 0. По-
вторяя эту процедуру последовательно для всех функций, мы получим в
итоге систему уравнений Эйлера:
−
= 0,
= 1,2, … , .
Решая эту систему, мы найдем семейство функций
, , … , , зависящих от 2 параметров (констант интегрирования).
В частности, для функционала, зависящего от двух функций
[ ( ), ( )] = ∫
( , ( ), ( ), ′( ), ′( ))
,
мы имеем систему уравнений:
−
и условия на концах
( )=
,
= 0,
( )=
−
,
( )=
=0
,
( )=
.
Можно считать. что функции образует вектор: ⃗ = ( ,
соответствующие, более компактные, обозначения:
[ ⃗] = ∫
( , ⃗, ⃗′)
,
⃗( ) = ⃗ ,
,…,
), и ввести
⃗( ) = ⃗ .
●● Функционалы, зависящие от производных высокого порядка. Будем рассматривать функционал следующего вида:
, ( ), ( ), … , ( ) ( )
.
Дополнительные условия для функций и их производных должны теперь
иметь вид
(
)
(
)( )
( )= ,
′( ) = ′ , … ,
=
,
(
)
(
)( )
( )= ,
( )=
,…,
=
.
[ ( )] = ∫
Вводя, как и выше, однопараметрические семейства функций
( , )= ( )+
( )− ( ) = ( )+
( ),
и рассматривая функционал только на этом семействе, мы сводим его к
функции одной переменной (параметра):
( ) = [ ( , )] = ∫
, ( , ),
( )(
( , ), … ,
, )
.
Эта функция достигает экстремума при = 0 и в точке экстремума ее
производная, равная вариации функционала, обращается в ноль
(0) =
[ ( , )]|
=
= 0.
Теперь, подставляя явный вид функционала, получаем
=
, ( , ),
∫
+
=∫
+
"
( , ), … ,
( )(
" + ⋯+
( )
, )
( )
|
=
.
Далее, записывая интеграл суммы в виде суммы интегралов, первое слагаемое оставляем без изменения, второе – интегрируем по частям один
раз, третье – интегрируем по частям два раза, и т.д.
∫
=
|
−∫
,
" =
| −
| +∫
,
∫
"
"
"
……………………………………………………………………………
(
)
( )
(
)
=
| −
| + ⋯.
( )
( )
( )
∫
+(−1) ∫
.
( )
Вследствие выполнения граничных условий, наложенных на вариации и
их производные, в точках =
и = :
=
=
"= … =
(
)
= 0;
в итоге все внеинтегральные члены обратятся в ноль.
В итоге вариация, обращающаяся в ноль в точке экстремума, примет
вид:
=∫
−
+
"
− ⋯ + (−1)
( )
= 0.
Применяя к этому выражению основную лемму вариационного исчисления, получаем уравнение Эйлера-Пуассона:
−
+
"
− ⋯ + (−1)
( )
= 0.
Дополнив уравнение условиями для функций (#), мы получим соответствующую краевую задачу.
●● Функционалы, зависящие от функции двух
переменных. Аргументом функционала может быть
функция нескольких переменных, набор таких функций (в этом случае можно считать, что значения
функций образуют вектор). Рассмотрим частный случай, когда функционал зависит от функций двух переменных , и от ее первых частных производных:
[ ( , )] = ∬ ( , , ( , ),
( , ),
( , ))
,
где интегрирование проводится по некоторой ограниченной области ,
принадлежащей плоскости 0 . Будем использовать более краткие обозначения:
≝ ( ( , )⁄ ),
≝ ( ( , )⁄ ). Теперь функционал
можно записать в виде:
[ ( , )] = ∬ ( , , ( , ), ( , ), ( , ))
.
Для того, чтобы найти вариацию, определим, как и выше, однопараметрическое семейство функций, где функции теперь зависят от двух переменных:
= ( , , )= ( , )+
̅( , ) − ( , ) = ( , ) +
( , ).
В дальнейшем функция ( , ) будет играть роль экстремальной, функция
же ̅( , ) – некоторая близкая функция. Введем дополнительное ограничивающее условие для функций ( , ), предполагая, что на границе
области вариации равны нулю: |( , )∈ = 0. Говоря иначе, на этой
замкнутой кривой значения функции заданы определенным образом (закрепление на , что аналогично закрепления значений функций на концах
отрезка, см. выше). Подставляя = ( , , ) в функционал и считая, что
функции ( , ) и ( , ) фиксированы, получаем функцию одной переменной ( ) = [ ( , , )], как и выше. Необходимым условием экстремума будет условие равенства нулю вариации функционала, равной производной функции ( ) в нуле:
( )
=
[ ( , , )]|
=
.
Подставляет под знак оператора дифференцирования выражение для
функционала, вносим оператор под знак интеграла и выполняем дифференцирование:
=
( , , ( , , ),
∬
+
=∬
( , , ),
+
( , , ))
|
=
.
Чтобы была понятна связь между обозначениями, запишем:
, , ,
,
=
, , ,
,
|
( , ),
( , ),
( , ),
, , ,
,
=
, , ,
,
|
( , ),
( , ),
( , ),
, , ,
,
=
, , ,
,
|
( , ),
( , ),
( , ).
Эти соотношения означают, что частные производные от F по аргументам
, , вначале берутся так, как если бы эти переменные были независимыми; уже после нахождения производных на место переменных , ,
ставятся функции от , . Производные от
мать в соответствии с выражениями
и
( , , )= ( , )+
( , ),
( , , )= ( , )+
( , )=
( , , )=
( , )+
( , )=
по
и
следует пони-
( , )+
( , ),
( , )+
( , ).
Запишем очевидные соотношения:
=
+
=
=
+
=
+
,
+
.
С их помощью часть выражения для , равная интегралу от второго и
третьего слагаемого, может быть преобразована к виду:
∬
+
=∬
+
(∗)
−∬
+
.
-
Покажем, что первое слагаемое справа (*) равно нулю. Для этого нам понадобится формула Грина.
Формула Грина. Данная формула доказывается на промежуточном
этапе при выводе формулы Стокса и является ее частным случаем для
плоской области. Здесь мы поступим наоборот – выведем формулу Грина
из формулы Стокса
∬ rot
=∮
.
Рассмотрим частный случай, когда область лежит в плоскости 0 , так
что
= ∙
, где – орт оси . Возьмем поле в виде
( , ) = (− ( , ), ( , ), 0).
Нетрудно найти
∙ rot =
∙
⁄
−
⁄
⁄
0
=
+
,
откуда следует формула Грина:
∬
+
=∮ (
−
).
Используя формулу Грина, превратим интеграл (*) в криволинейный по
контуру . Этот интеграл обращается в ноль, поскольку |( , )∈ = 0:
+
∬
=∮
−
= 0.
Получается равенство:
∬
+
= −∬
+
.
Подставляя в выражение для вариации вместо левой части этого равенства
правую, получаем:
=∬
−
−
= 0.
Остается применить основную лемму вариационного исчисления: в итоге
получаем уравнение Остроградского:
−
−
Добавление к нему условия на контуре
вана краевая задача.
= 0.
означает, что у нас сформулиро-
Для операторов дифференцирования используется специальное обозначение ( ⁄ ){⋯ } и ( ⁄ ){⋯ }, чтобы подчеркнуть, что эти полные
частные производные следует вычислять так: считать переменные ,
независимыми, но в сложных функциях, стоящих фигурных скобках, учитывать все зависимости от или от . Приведем пример:
=
, , ( , ),
( , ),
( , )
=
, , ( , ),
( , ),
( , ) +
+
, , ( , ),
( , ),
( , )
=
+
+
, , ( , ),
( , ),
( , )
+
+
, , ( , ),
( , ),
( , )
.
Справа от знака равенства операторы дифференцирования – это стандартные операторы взятия частных производных; переменные, по которым
дифференцируется
, подчеркнуты.
Тема 3. Вариационные задачи
с подвижными границами
● Функционал от функции одной переменной. Вновь рассмотрим
класс функционалов вида, часто появляющийся в задачах физике:
[ ( )] = ∫
, ( ),
( )
.
Выше был рассмотрен случай, когда кривые (функции), играющие роль
аргументов функционала, были закреплены на концах ( ) = ,
( ) = . Снимем условия закрепленности и рассмотрим другие условия, при которых концы могут двигаться. Как и выше, будем считать, что
функции ( ) являются дважды дифференцируемыми, а функция
( , , ) - трижды дифференцируемой.
Для того, чтобы сделать задачу наиболее простой, снимем только одно
из условий закрепленности – в точке . Вспомним, что необходимое
условие наличия экстремума - уравнение Эйлера − ( ⁄ )
= 0, которое в нашем случае является уравнение второго порядка, имеющим общее решение c двумя константами интегрирования = ( , , ).
Два условия закрепления позволили бы однозначно определит обе константы, если же условие закрепления единственное – одна из констант
останется неопределенной: = ( , ).
Воспользуемся произволом в выборе
решения уравнения Эйлера следующим образом – будем считать, что положение второго конца задано, как точка ( , ), но он
не закреплен. К примеру, он может занимать различные положения на некоторой кривой (другие варианты мы пока не
рассматриваем, оставив этот как простейший).
(i) Для каждого положения концевой точки ( , ), решив задачу об
экстремуме функционала, мы найдем соответствующую экстремаль
(собственно, это функция = ( , ) при соответствующем выборе
;
на рисунке они изображены как зеленые кривые и красная кривая ).
(ii) Перебирая положения точек на кривой и сравнивая соответствующие им значения функционала для экстремалей, мы можем выбрать
уже среди этих наибольшее. Этот второй этап позволяет отобрать из семейства частных экстремалей, параметризованных положениями точек
( , ), единственную абсолютную (на рисунке – красная кривая).
Можно еще раз отметить, что учет левого условия закрепленности сокращает число неизвестных констант интегрирования до одно; эта константа однозначно определяется положение правого конца:
= ( , , )
⇒ = ( , );
⇔ ( , ).
( )=
Это позволяет нам определить через функционал функцию двух переменных:
̅ ( , ) ≝ [ ( , ) ].
реш.ур.Эйл.
Если среди экстремалей, соответствующих разным ( , ), имеется единственная, для которой [⋯ ] максимально – эта экстремаль находится путем отыскания локального экстремума функции ̅ ( , ). Поскольку
функция может быть продифференцирована, условием экстремума является равенство нулю дифференциала: ̅ = 0.
Не вводя новые обозначения, будем считать, что в некоторой вполне
определенной точке ( , ) функция ̅ ( , ) имеет экстремум (макси), смещенной на малое
мум/минимум). Тогда в точке ( +
, +
расстояние, значение функционала будет меньшим/большим. Запишем
соответствующее приращение функции, выразим его через функционал и
(чтобы получит дифференциал), "вручную" линеаризуем.
∆ ̅ = ̅(
=∫
+
, +
, ( ) + ( ),
( , +
=∫
,
) − ̅ ( , )=
( )+
( )
)
+
, ( ),
−∫
+∫ { ( , +
,
∆
( )
=
)− ( , ,
+
)}
=
∆
=∆ ̅ + ∆ ̅
(A) Чтобы линеаризовать ∆ ̅ , воспользуемся теоремой о среднем:
∆ ̅ =∫
( , +
,
+
)
= ( , ,
)|
∙
∙
, 0<
< 1.
Поскольку за счет малости отрезка интегрирования первый неисчезающий член имеет первый порядок малости, в подынтегральной функции ,
опущены (их учет привел бы к поправкам второго порядка малости).
Как обычно, выделяем в ∆ ̅ линейный член (дифференциал) и члены более высокого порядка малости; последними можно далее пренебречь:
∆ ̅ = ( , ,
)|
∙
+ (
)
̅ = ( , ,
⇒
)|
∙
.
(лин.часть)
(B) Чтобы линеаризовать ∆ ̅ , разложим подынтегральную функцию по формуле Тейлора, с сохранением только линейного члена (член
нулевого порядка обращается в ноль):
) − ( , , )} =
∆ ̅ =∫ { ( , + , +
=∫ ( ( , ,
)
+
( , ,
)
′)
+ (
,
′).
(лин.часть)
Преобразуем
̅ =∫
̅ , выполнив интегрирование по частям:
+
=
| +∫
−
(
)
( )
( )
.
( ) = 0, обраИмеем: ( ) член, содержащий
щается в ноль (левый конец неподвижен); ( )
подынтегральная функция равна нулю, так как
везде функции ( ) – это экстремали, решения
уравнения Эйлера. Остается
̅ =
|
.
Чтобы найти окончательное соотношение, рассмотрим рисунок. Здесь:
= |
,
=
,
≈ ′( )
.
Из геометрии имеем
=
−
⇒
|
=
− ′( )
(&).
Запишем теперь необходимое условие экстремума функции ̅ ( , )
в виде условия равенства нулю полного дифференциала этой функции; изменение
в точке = подставим в виде (&):
0=
̅=
̅ +
̅ = |
+
|
∙
|
(&)
=
−
∙
|
∙
Рассмотрим два частных случая.
+
|
∙
.
=
Правый конец не закреплен. В этом случае координатные смещения
граничной точки графика
и
являются независимыми переменными. Как следствие, условие равенства нулю дифференциала сводится к
двум равенствам:
−
∙
|
= 0,
|
= 0.
Правый конец лежит на заданной гладкой кривой:
= ( ). В
этом случае
≈ ′( )
, откуда + ( − ′)
|
= 0. Поскольку
произвольны, должно выполняться условие трансверсальности:
+ ( − ′)
|
= 0.
Это условие фактически дает соотношение между угловыми коэффициентами касательных к кривым ( ) и ( ) в точке контакта.
Если не закреплен и левый конец, можно повторить цепочку выводов
и найти аналогичные соотношения. В частности, если левый конец лежит
на кривой
= ( ), имеем: + ( − ′)
|
= 0.
● Функционал от двух функции одной переменной. Сделаем обобщение, соответствующее переходу от плоской кривой к пространственной. Для описания последней требуется две функции одной переменной,
так что функционал принимает вид:
[ ( ), ( )] = ∫
( , ( ), ( ),
( ), ′( ))
.
Полагаем, что левый конец кривой закреплен в точке ( , , ), правый
же конец находится в подвижной точке ( , , ), которая подвижна.
Для каждого фиксированного положения может существовать экстремаль, заданная однопараметрическим семейством точек ( , ( ), ( )),
где функции являются решениями системы уравнений Эйлера, полученной выше:
−( ⁄ )
= 0,
−( ⁄ )
= 0.
Функции имеют ( ), ( ) имеют свой особый вид для каждого положения точки . Меняя положение точки (например, перемещая ее вдоль
заданной кривой), мы можем среди значений функционала, соответствующих частным экстремалям, найти самое большое или самое маленькое.
Ему соответствует избранная (абсолютная) экстремаль, которую мы и
должны найти.
Общим решением системы уравнений Эйлера без дополнительных
условий является семейство функций с четырьмя константами интегрирования: = ( , , , , ), = ( , , , , ). После учета условия
закрепления кривой в точке останется две константы: = ( , , ),
= ( , , ). Их значения находятся из координат точки ( , , ),
так что поиск избранной экстремали сводится к отысканию локального
экстремума функции трех переменных
̅( ,
,
)≝
[ ( ,
,
), ( ,
,
) ].
реш.ур.Эйл.
Найдем вначале приращение этой функции, связанное со смещением
точки :
∆ ̅ = ̅(
=∫
−∫
+
,
+
, ( )+
, ( ), ( ),
) − ̅ ( , , )=
, +
( ), ( ) + ( ), ( ) +
( ), ( ) +
( ), ( )
=
( )
−
( , +
=∫
, +
,
+
,
+
,
+
)
+
∆
+∫ { ( , +
, +
,
+
)− ( , , ,
, ′)}
=
∆
=∆ ̅ + ∆ ̅ .
(A) Чтобы линеаризовать ∆ ̅ , воспользуемся теоремой о среднем
(отличие формул от полученных выше только в том, что возросло число
аргументов):
∆ ̅ = ( , , ,
, ′)|
+ (
) ⇒
̅ = ( , , ,
, ′)|
.
(лин.часть)
(B) Чтобы линеаризовать ∆ ̅ , разложим подынтегральную функцию по формуле Тейлора, с сохранением только линейного члена:
∆ ̅ =∫ { ( , +
=∫ (
+
, +
+
(лин.часть)
,
+
+
,
)
+
+ (
)− ( , , ,
,
,
,
′).
, ′)}
=
Теперь разобьем интеграл в ̅ на три слагаемых; первое, содержащее
и ,
оставим неизменным, во втором (с
) и третьем (с
) выполним интегрирование по частям. В итоге получим:
̅ =
+[
|
(
)
]|
(
+∫ [
−
+
−
]
.
)
В каждом из внеинтегральных членов обращаются в ноль слагаемые с
( ) = ( ) = 0. Кроме того, поскольку здесь везде ( ), ( ) – экстремали, т.е. решения уравнений Эйлера, выражения в круглых скобках
под знаком интеграла также равны нулю. В итоге
̅=
̅ +
̅ = |
+
+[
|
]|
.
Анализируя геометрическую схему, можно получить соотношения, аналогичные полученным выше
|
=
− ′( )
|
,
=
− ′( )
.
В результате дифференциал, приравниваемый к нулю, приобретает вид:
0=
̅=
−
−
|
+
|
+
|
.
Рассмотрим ряд частных случаев.
Правый конец не закреплен. В этом случае координатные смещения
граничной точки графика
,
и
являются независимыми переменными. Как следствие, условие равенства нулю дифференциала сводится к двум равенствам:
−
∙
−
∙
|
= 0,
|
= 0,
|
= 0.
.
Правый конец лежит на заданной кривой:
= ( ), = ( ).
В этом случае
≈ ′( )
,
≈ ′( )
откуда получается:
+( − )
+ ( − ′)
|
= 0. Поскольку
произвольны, должно выполняться условие трансверсальности:
+(
−
)
+(
− ′)
|
= 0.
Правый конец лежит на заданной поверхности:
= ( , ). В
этом случае
≈ ( , )
+ ( , )
. Подставим в выражение
для дифференциала ̅ , приравненного к нулю,
и
как независимые переменные, а
– в записанном выше виде:
−
−
+
|
+
+
|
= 0.
Поскольку
и
изменяются независимо, нужно приравнять к нулю
коэффициенты перед этими величинами. Получаем условие трансверсальности в виде:
−
−
+
|
= 0,
+
|
= 0.
Уравнения, получившиеся в каждом из рассмотренных частных случаев, (дополненные во втором случае уравнениями кривой, а в третьем –
уравнением поверхности), позволяют однозначно решить задачу об отыскании двух констант интегрирования для = ( , , ), = ( , , ).
Если подвижной является и точка ( , , ), соответствующие уравнения записываются аналогично.
Пример. Найти кривую, минимизирующую расстояние от точки до поверхности. Выражение для расстояния между двумя точками дается интегралом
=∫
+
+
=∫ 1 1+
+
.
0
Этот функционал является частным случаем функционала, для которого у функции под знаком интеграла нет зависимости от , , , т.е. функционала вида
[ ( ), ( )] = ∫ 1 ( ′, ′) .
0
Для таких функционалов справедлив общий результат: решением уравнений Эйлера является семейство прямых линий. Действительно, уравнения Эйлера позволяют найти:
−
=0−
"−
" = 0,
−
=0−
"−
" = 0.
Можно считать, что это система линейных однородных уравнений относительно
", ". Предполагая, что в общем случае определитель матрицы системы отличен
от нуля
−(
) ≠ 0,
Имеем
" = 0, " = 0, откуда
=
+
,
=
+
.
Теперь предположим, что правый конец кривой (у нас – прямой) лежит на
поверхности
= ( , ). Общие условия трансверсальности
−
+
позволяют найти
−
= 1+
+
(
(
+
+
=
)|
= 0,
+
|
′
1+
=0
)=
−
−
−
2
′
′
+
2
′
+
−
2
′
2
=
Приравнивая к нулю числители:
1+
= 0,
и комбинирую эти равенства, получаем:
=
=
=
′ ′
= 0,
= 0.
+
= 0,
.
Это – условие параллельности касательной к кривой (1,
мали к поверхности ( , , −1).
,
) и нор-
Тема 4. Достаточные условия экстремума
● Поле и пучок экстремалей. Задача отыскания функций, на которых
функционал достигает экстремума, выше была сведена к краевой задаче
для дифференциального уравнения. Характерной особенностью семейства функций, получающихся при решении такого уравнения, является то,
что в типичном случае выполнения условий теоремы существования и
единственности решения через каждую точку координатного пространства всегда проходит ровно одна кривая. Наряду с этим имеются
особые решения, для которых это условие нарушается. Семейство кривых
на плоскости = ( , ) образует в области собственное
поле (рис. слева), если через
каждую точку проходит только
одна кривая. Наклоном поля
( , ) в точке ( , ) называется взятый в этой точке угловой коэффициент касательной
к кривой из семейства y= ( , ). Условие отсутствия пересечений может
быть не выполнено; тогда, в общем случае, кривые могут пересекаться во
многих точках (рис. выше справа).
Кривые = ( , ) могут иметь в области единственную точку пересечения ( , ) (центр пучка). Если во всех точках области , кроме
центра пучка, выполнены условия собственного поля, говорят, что семейство кривых является центральным полем (рис. внизу слева).
Задача отыскания экстремума функционала сводится к получению собственного или центрального поля решений соответствующего дифференциального уравнения и выделению из поля или пучка единственной функции – экстремали. При
этом важную роль играет то, существуют или нет области точки
пересечения кривых, входящих в семейство, отличные от ( , ).
● C-дискриминантные кривые. Рассмотрим вопрос о возможности
наличия пересечений между кривыми = ( , ), описываемыми дифференциальным уравнением. Этот вопрос тесно связан с вопросом об особых
решениях этого уравнения. Пусть семейство решений, где каждому решению соответствует определенное значение , задано в неявном виде:
Φ( , , ) = 0
(связь с явным видом: Φ( , , ) ≡ ( , ) − ).
Рассмотрим кривую = ( ), = ( ), точки которой пробегаются при
изменении как параметра и которая определяется системой уравнений
(C-дискриминантную кривую):
Φ( , , ) = 0,
Φ( , , ) = 0.
Пусть кривая из семейства = ( , ), соответствующая = ∗ , проходит через точку ( ∗ , ∗ ). Это означает, что ∗ = ( ∗ , ∗ ), или, что эквивалентно, Φ( ∗ , ∗ , ∗ ) = 0. Поскольку это же уравнение входит в систему, определяющую C-дискриминантную кривую, можно утверждать,
что эта кривая при = ∗ (если при этом значении параметра она определена) также пройдет через точку ( ∗ , ∗ ).
Сравним угловые коэффициенты двух кривых:
(i) Φ( , ( ,
∗
),
∗)
=0 ⇒
(ii) Φ( ( ), ( ), ) = 0
+
⇒
=0 ⇒
=
=−
+
=0
⇒
+
⇒
=
(#)
⁄
⁄
=
=−
⁄
⁄
⁄
⁄
,
.
Отметим, что третье слагаемое, помеченное (#), равно нулю, так как это
следует из второго уравнения, определяющего C-дискриминантную кривую. Если предположить, что обе кривые проходят через точку ( ∗ , ∗ )
при = ∗ , выражения для угловых коэффициентов совпадут:
=−
⁄
⁄
|
∗,
∗,
∗
.
Это означает, что кривая из семейства экстремалей = ( , ) и Cдискриминантная кривая (если последняя существует) касаются друг
друга в точке пересечения.
(Заметим, что точка ( , ), в которой пересекаются экстремали, является частью C-дискриминантной кривой. Действительно, Φ( , , ) ≡ 0
при различных значениях , т.е. от не зависит, откуда Φ⁄ = 0.)
На рисунке справа изображено центральное поле
экстремалей,
имеющую
огибающую. Последняя
является
описывается
уравнениями для С-дискриминантной кривой. Из
рисунка видно, что точки пересечения кривых семейства сосредоточены
вблизи огибающий; для близких пересекающихся кривых
= ( , )и
= ( , + ) при
→ 0 точка пересечения стремится к точке ∗ на
огибающей. Точка ∗ называется точкой, сопряженной с точкой .
Если дуга
экстремали не имеет отличных от общих точек с Сдискриминантной кривой пучка экстремалей, включающих данную экстремаль, то близкие к
другие экстремали не пересекаются и образуют
центральное поле.
Условие Якоби. Возможность построения пучка (центрального поля)
экстремалей, включающих дугу
данной экстремали состоит в том,
чтобы точка ∗ , сопряженная точке , не лежала на дуге AB.
Чтобы найти соответствующий формальный критерий, будем рассуждать следующим образом. Поскольку Φ( , , ) ≡ ( , ) − , уравнения,
определяющие С-дискриминантную кривую, можно записать в виде
= ( , ),
С
( , ) = 0.
(4.1)
Считая, что выбрано определенное значение , будем двигаться вдоль
кривой = ( , ), изменяя . Определив функцию ( ) = ( , )⁄
и следя за ее значениями, мы можем обнаруживать сопряженные точки
∗
- в них будут выполняться оба уравнения (4.1), т.е. ( ) будет обращаться в ноль.
Функции = ( , ) являются решениями уравнения для экстремалей. Ограничиваясь рассмотрением функционала
[ ( )] = ∫
, ( ),
( )
,
возьмем соответствующее уравнение Эйлера и продифференцируем его
правую и левую части по :
, ( , ),
+
( , ) −
−
=
+
−
=(
−
) −
, ( , ),
+
( , ) =0
⇒
=
−
−
=
=0
(учитываем, что ( ⁄ ) = ( ⁄
) = ( ⁄ ) = ; подчеркнутые
члены сокращаются). Мы получили уравнение Якоби, являющееся линейным однородным уравнением второго порядка относительно ( ) = .
Если существует решение уравнения Якоби, обращающееся в нуль
в точке =
и не обращающееся в ноль ни в какой другой точке промежутка ( , ], то точек, сопряженных с , на дуге
нет. В противном случае это не так. Можно показать, что условие Якоби является
необходимым для достижения экстремума: для кривой
, соответствующей экстремуму, точка, сопряженная с , не может иметь абсциссу, принадлежащую ( , ).
● Вторая вариация функционала. При исследовании функций на экстремум тип экстремума обычно связывают со знаком второй производной
функции или второго дифференциала. Аналогичный подход может быть
развит и для функционалов. Дадим определение второй вариации функционала, основываясь на аналогии со вторым дифференциалом.
Формула Тейлора и второй дифференциал. Вспомним о том, как может быть записана формула Тейлора для функции одной переменной:
∆ = ( + ∆ ) − ( ) = ′( )∆ +
"( + Δ ) Δ
= ′( )∆ +
( )
"( ))Δ
+ .
( )
Здесь в средней части формула записана в форме Лагранжа, 0 < < 1;
правее – в форме Пеано, - величина более высокого порядка малости, чем
Δ ( ⁄Δ → 0 при Δ → 0). Первый и второй дифференциалы выделены.
Разложение для функционала. Запишем аналогичные разложения
для функционала:
∆ = [ ( )+
+ ∫ (
(
( )] − [ ( )] = ∫ (
) +2
′+
(
+
′) )
′)
+
,
( ) , ′( ) +
=
( , ( )+
′( )),
( ) , ′( ) +
=
( , ( )+
′( )),
( ) , ′( ) +
=
( , ( )+
′( ));
как и раньше, ,
,
,
,
- частные производные функции ;
выполняются неравенства | | < 1, | | < 1. Запишем то же разложение с
остаточным членом в форме Пеано:
где:
∆ = [ ( )+
=∫ (
+
[ ( )]
( )] − [ ( )] =
′)
+ ∫ (
(
) +2
′
′+
′ ′(
) )
+ .
[ ( )]
Здесь – величина более высокого порядка малости, чем второй. Квадратичный член является второй вариацией функционала. Таким образом
∆ [ ( )] =
[ ( )] +
[ ( )] + .
В том случае, если функция ( ) является экстремалью, первый дифференциал обращается в ноль и при малых ,
знак приращения функционала определяется знаком второй вариации. Можно сформулировать
утверждение.
Если на кривой ( ) достигается минимум (максимум) функцио( ), удовлетворяющей условиям на
нала, то для любой вариации
( ) = ( ) = , вторая вариация неотрицаконцах отрезка
тельна:
≥ (неположительна:
≤ ).
Проведем доказательство для минимума, используя метод "от противного". Предположим, что
< 0. Рассмотрим однопараметрическое се( ). Приращение примет вид:
мейство функции ( , ) = ( ) +
[ ( )+
( )] − [ ( )] =
[ ( )] +
[ ( )] + .
Поскольку ( ) соответствует минимуму, первый дифференциал равен
нулю. При достаточно малых член имеет более высокий порядок малости, чем ; знак приращения в этом случае совпадает со знаком
.
] − [ ] < 0; это противоречит
По нашему предположению [ +
утверждению о том, что на кривой ( ) достигается минимум.
● Функция Вейерштрасса и достаточные условия экстремума.
Предположим, что имеется центральное поле экстремалей, соответствующее задаче поиска экстремума функционала
[ ( )] = ∫
, ( ),
( )
;
экстремали пересекаются в точке , а точка
выбрана так, что выполнено условие Якоби точка ∗ , сопряженная точке , не лежит на
дуге
. На рисунке буквой
обозначена
дуга, являющаяся частью экстремали, а – некоторая близкая к ней допустимая дуга, экстремалью не являющаяся.
Представим разность между значениями функционала, найденными для
дуг и , в виде:
∆ =∫
( , ,
)
−∫
( , ,
)
.
Понятно, что если на дуге достигается минимум (максимум), то для любой дуги , близкой к экстремали, должно получиться ∆ ≥ 0 (∆ ≤ 0).
Для того, чтобы критерий экстремума привести к более удобному виду,
рассмотрим вспомогательный функционал:
=∫
( , , )+( ′− ) ( , , )
.
Использованные обозначения имеют следующий смысл. Интеграл берется вдоль контура , которому соответствует функция = ( ) (в общем случае не экстремаль). Производная ′ = ⁄
определяет касательное направление к при некотором , а = ( , ( )) определяет касательное направление к экстремали, принадлежащей полю экстремалей,
в той же точке ( = только для = ).
Учитывая, что
= , перепишем функционал в виде
( , , )−
=∫
( , , )
+
( , )
( , , )
.
( , )
Далее, используя формулу Грина, преобразуем интеграл по замкнутому
контуру, получившемуся при объединении и , в интеграл по области
Σ, ограниченной этими контурами:
∬
+
=∮∪
−
⇒∬
⇒
−
=∮∪
+
.
Покажем, что каждый из этих интегралов равен нулю.
Для этого, с одной стороны выполняя дифференцирование, найдем:
−
=
=
( ( , , )−
−
−
( , , )) −
−
+
( , , )=
.
(4.2)
С другой стороны, функция ( ), соответствующая дуге , удовлетворяет
уравнению Эйлера. Входящие в это уравнение производные можно связать с производными функции ( , ): поскольку ′ = ( , ( )), после
дифференцирования по получается " =
+ ∙ . Имеем:
0=
−
=
−
−
−
"
=
∙
=
−
−
−
+
.
(4.3)
Получившееся выражение (4.3) совпадает с выражением (4.2), полученном выше, и оба они равны нулю. Отсюда следует, что:
∪
≡0
⇒
≡ ( )
(если интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то интеграл по контуру, соединяющему две точки, не зависит от выбора этого контура). У
нас:
( , , )+( ′− ) ( , , )
=∫
= ( )=∫ ( , , ) ;
( )
выражение ( ) – это частный случай ( ) при
( )
=
и
= .
Вернемся к выражению для ∆ , где подменим вычитаемое:
∆ =∫
( , ,
)
−∫
( , ,
)
=
→
=∫
( , ,
)− ( , , )−( ′− ) ( , , )
.
Подынтегральная функция называется функцией Вейерштрасса:
( , , , ′) = ( , ,
) − ( , , ) − ( ′ − ) ( , , ).
Полезный результат выполненных преобразований состоит в том, что теперь функционал ∆ записан в виде единого интеграла с областью интегрирования .
Понятно, что достаточным условием достижения функционалом
[ ( )] минимума (максимума) на кривой
будет неотрицательность: ( , , , ′) ≥ (неположительность: ( , , , ′) ≤ ) функции Вейерштрасса во всех точках кривой .
Можно уточнить формулировку, учтя различия между сильными и
слабыми экстремумами.
●● Достаточное условие слабого минимума (максимума).
1. Кривая является экстремалью (решением уравнения Эйлера),
удовлетворяюшей граничным условиям.
2. Экстремаль может быть включена в центральное поле экстремалей (выполняется условие Якоби).
3. Функция Вейерштрасса ( , , , ′) ≥ (≤ ) во всех точках
( , ), близких к кривой С, и для значений ′, близких к ( , ).
●● Достаточное условие сильного минимума (максимума).
1. Кривая является экстремалью (решением уравнения Эйлера),
удовлетворяюшей граничным условиям.
2. Экстремаль может быть включена в центральное поле экстремалей (выполняется условие Якоби).
3. Функция Вейерштрасса ( , , , ′) ≥ (≤ ) во всех точках
( , ), близких к кривой С, и для произвольных значений ′.
● Условия Лежандра. Функция Вейерштрасса не удобна для анализа.
Более легко проверяемые условия получаются в случае применения разложения Тейлора:
2
1
′
′
( , , ) = ( , , )+
−
−
′( , , ) +
′ ′ ( , , ),
2
где лежит между
и . Подставляя это разложение в формулу для функции
Вейерштрасса, получаем:
1
( , , , ′) =
2
′
2
−
Теперь условия можно сформулировать иначе.
′ ′(
, , ).
●● Достаточное условие слабого минимума (максимума).
1. Кривая является экстремалью (решением уравнения Эйлера),
удовлетворяюшей граничным условиям.
2. Экстремаль может быть включена в центральное поле экстремалей (выполняется условие Якоби).
3. Выполняется
> (< ) на экстремали (усиленное условие Лежандра).
●● Достаточное условие сильного минимума (максимума).
1. Кривая является экстремалью (решением уравнения Эйлера),
удовлетворяюшей граничным условиям.
2. Экстремаль может быть включена в центральное поле экстремалей (выполняется условие Якоби).
3. Выполняется
≥ (≤ ) в точках ( , ), близких к экстремали
C при произвольных q.
Тема 5. Условный экстремум функционала
Каноническая форма уравнений Эйлера
● Функционал с условиями связи. Рассмотрим новую постановку вариационной задачи на отыскание экстремума, определяя функционал, экстремум которого мы ищем, выражением
=∫
( ,
,
,…,
,
,
,…,
)
,
дополненным условиями связей (в механике - голономные связи)
{
( , , , … , ) = 0,
= 1,2, … , ;
< .
Наиболее простой и естественный метод решения задачи состоит в разрешении уравнений связей относительно каких-нибудь относительно неизвестных. Предположим, что если выбрать в качестве неизвестных величины , , … , , они могут быть однозначно выражены через оставшиеся переменные ,
, … , . Это может быть в принципе выполнено,
если уравнения связей являются (по отношению к первым
неизвестным) независимыми. Критерий такой независимости – необращение в
ноль якобиана (определителя матрицы Якоби):
( ,…,
)
⁄
det
= ( , ,…, ) ≠ 0.
Результат отыскания переменных
,
,…,
мог бы иметь вид:
= ( ,
, … , ),
= ( ,
, … , ),
…………………………
=
( ,
, … , );
далее с помощью полученных выражений следовало бы исключить функции , , … ,
и свести задачу отыскания экстремума к ранее рассмотренной. Однако в реальности разрешить уравнения относительно части
неизвестным обычно невозможно.
Рассмотрим альтернативный подход, основанный на введении множителей Лагранжа. Вначале, как и в случае отсутствия связей, запишем
условие экстремума как условие равенства нулю первой вариации:
=∫ ∑
+
= 0.
Интегрируя по частям вторые слагаемые и учитывая, что выполняются равенства
′=
,
|
=
|
= 0, получим:
∫ ∑
−
= 0.
(5.1)
Выше, получив выражение такого вида, мы использовали основную
лемму вариационного исчисления и находили в результате дифференциальные уравнения Эйлера. Однако теперь это сделать нельзя, т.к. вариации
не независимы – они связаны условиями связи.
Можно найти условия связей для вариаций, варьируя каждое из уравнений
= 0, где = 1,2, … , . В результате получается система линейных уравнений для вариаций
∑
= 0,
= 1,2, … ,
,
<
<
;
⁄
с ее помощь при выполнении условия det
≠ 0 можно выразить
,
,…,
через
,…,
. Учтем, что каждое из уравнений – это тождественное равенство нулю некоторой функции от при
< < . Домножим левые части уравнений на множители ( ) (пока
никак не определенные) и проинтегрируем получившиеся произведения
по . Поскольку левые части уравнений равны нулю при всех , получаем
∫
( )∑
= 0,
= 1,2, … ,
.
(5.2)
Теперь сложим левые части уравнений, принадлежащих системе (5.2) и
прибавим эту сумму (равную нулю) к правой части (5.1). В результате
получим:
∫ ∑
+∑
( )
−
= 0.
(5.3)
Применить основную лемму вариационного исчисления к записанному
выражению мы все еще не можем, т.к. вариации
не независимы. Но
можно действовать следующим образом. Предположим, как и выше, что
вариации
,
,…,
являются функциями независимых переменных
,…,
. В (5.3) в каждом из слагаемых с = 1, … , , не делая никаких предположений относительно вида
, приравняем к нулю величину
в скобках:
( )
+∑
−
= 0,
= 1,2, … , .
(5.4)
Будем рассматривать эти равенства в совокупности как систему уравнений относительно функций ( ); эта система имеет единственное реше⁄
ние при det
≠ 0. Выбрав функции ( ) в виде решений этой
системы, мы обнулим в (5.3) первые слагаемых и получим
∫ ∑
+∑
( )
−
= 0.
Здесь в качестве множителей под знаком интеграла остались только вариации
, = + 1, … , , которые линейно независимы. Применяя основную лемму вариационного исчисления, получаем:
+∑
( )
−
= 0,
=
+ 1, … , .
(5.5)
Объединяя подсистемы (5.4) и (5.5), мы находим полную систему уравнений, решая которую (совместно с уравнениями
= 0, = 1,2, … , ),
можно найти экстремаль функционала.
Заметим, что уравнения выглядят так, как если бы мы искали экстремум функционала
#
=∫
#
=∫ ( +∑
( )
)
.
Используя функцию # , мы можем записать полную уравнений систему для отыскания экстремума в виде:
#
−
#
= ,
= ,…, ;
= ,
= , ,…,
Из
этих
уравнений
должны
быть
( ), ( ), … , ( ) и множители Лагранжа
.
найдены
функции
( ), ( ), … , ( ).
Полученные формулы верны и для связей вида (неголономные связи)
{ ( , , , … , , ′ , ′ , … , ′ ) = 0,
= 1,2, … , ;
< ,
но доказательство в этом случае выглядит сложнее.
● Преобразование уравнений Эйлера к канонической форме. Запишем
систему уравнений Эйлера для функционала
[ ,
,…,
]=∫
( ,
,
,…,
, ′ , ′ ,…, ′ )
,
который рассматривался в теме 2, и преобразуем формулы, вводя дополнительные новые переменные:
−
=0
⇒
=
,
=
,
= 1, … , . (5.6)
Рассмотрим совокупность равенств
,
,…,
,
,…,
=
= 1, … , ,
,
как систему уравнений относительно
, … , . Систему можно разрешить относительно этих величин в том случае, если отличен от нуля определитель матрицы Якоби:
det
=
(
,…,
(
,…,
)
)
≠ 0.
Результат решения этой системы уравнений можно записать в виде:
=
( ,
,…,
,…,
,
, ),
= 1, … , .
Заменяя с помощью этих соотношений , … , , на , … , , , мы можем
переписать систему (5.6) в виде системы уравнений Эйлера в канонической форме:
=
,
=
,
,…,
,…,
,
,…,
,
( ,
,
,
= 1, … , ,
,…,
, … ), … ,
,(
,
,…
,…)
.
Можно ввести функцию
,
,…,
–
,
,…,
, ,…,
,
=∑
,
( ,
,
∙
,…,
,…, ,
, … ), … ,
,…,
,( ,
С ее помощью систему уравнений можно записать в виде:
=
=−
,
= 1, … , .
–
,… ,…) .
,
В случае физической задаче переменная может иметь смысл времени;
при этом обычно
,…,
– (обобщенные) координаты, а
,…,
–
(обобщенные) импульсы. При такой интерпретации, ( , , … , … ) это функция Гамильтона (энергия), и получившиеся канонические уравнения Эйлера совпадают с уравнениями Гамильтона. При условии, что
не зависит явно от , функция будет удовлетворять уравнению:
⁄
=0
(в физике:
- интеграл движения).
Тема 6. Дифференциальные уравнения второго
порядка в частных производных
● Уравнения для функций, зависящих от двух переменных. Математическая формулировка многих физических проблем заключается в получении соответствующего дифференциального уравнения в частных производных (где роль переменных, от которых зависят физические величины, могут играть координаты и время). В классической математической
физике наиболее часто приходится иметь дело с уравнениями второго
порядка, линейными относительно старших производных. Запишем
общий вид уравнения такого типа для функции двух переменных ( 1 , 2 ):
( ,
)
+2
( ,
)
+
( ,
)
+
,
, ,
,
= 0.
В том случае, если
=
( ,
)
+
( ,
)
+ ( ,
) + ( ,
),
дифференциальное уравнение называется линейным. Если = 0, уравнение называется линейным однородным. Удобно записывать уравнение в
форме:
∑,
( 1,
2)
2
+
1, 2,
,
,
1
= 0.
2
Для решения одной и той же физической задачи можно использовать различные формы уравнения, отличающиеся выбором системы переменных.
Всегда может быть выполнена замена переменных
=
( ,
),
( ,
=
);
здесь функции
,
должны быть дифференцируемы и якобиан преобразования должен быть отличен от нуля:
det
=
(
(
,
,
)
)
≠ 0.
Особый интерес представляют замены переменных, упрощающих уравнения и позволяющие приводить их к стандартному виду. Покажем, как это
можно сделать для уравнений второго порядка. Используя правила дифференцирования сложных функций, получим
=∑
,
=
=
=∑
∙
,
∑2=1
=
+∑
∙
∑2=1
∙
+ ∑2=1
2
∙
=
.
Используя эти формулы, выполним преобразование в общем виде:
∑,
+∑ ,
+
∑
,
, ,
,
+
,
∙
=∑,
∑
, , ∑
+
∙
,
, ∑
= 0.
Мы видим, что в новых переменных уравнение приобретает ту же форму, какая
была до преобразования, однако изменились независимые переменные, а функции в коэффициентах приобрели новый вид:
∑
,
( ,
)
+
,
, ,
,
= 0.
(6.1)
В преобразованной формуле (6.1) к функции отнесены все члены, которые содержат первые производные (выше они подчеркнуты). Для приведения уравнений к стандартному виду следует преобразовать ту его часть,
которая содержит вторые производные:
=∑,
.
Запишем эти коэффициенты в развернутой форме:
=
+2
+
=
+
+
=
+2
+
,
+
,
(6.2)
.
С помощью подходящего преобразования некоторые коэффициенты
можно обратить в ноль. Докажем вначале теорему.
Теорема 6.1. Функция = ( , ) является решением дифференциального уравнения в частных производных
+
+
= ,
(6.3)
в том и только в том случае, если соотношение ( , ) = является общим интегралом обыкновенного дифференциального уравнения:
(
) +
+
(
) = .
(
Перепишем последнее уравнение, поделив правую и левую части на
) , в виде
⁄
⁄
(
) +2 (
)+
= 0.
(6.4)
Если уравнение ( , ) = является общим интегралом, оно задает решение дифференциального уравнения в неявном виде. Можно найти про⁄
изводную
, как производную неявно заданной функции:
( ,
( )) =
⇒0=
+
⇒
=−
⁄
⁄
|
(
,
)
.
⁄
Подставляя в (6.4)
, выраженную через частные производные от
) , мы получаем
и умножая правую и левую часть уравнения на ( ⁄
уравнение (6.3). Заметим, что полученная формула для производной справедлива только при выполнении равенства ( , ) = . Однако, поскольку выполняются условия теоремы существования и единственности
решения уравнения (6.4), для любой точки ( , ) можно так подобрать
, что равенство ( , ) = будет верным. Поэтому можно считать, что
и – независимые переменные.
Дифференциальное уравнение (6.4) можно вначале решить как квадратное. В результате мы получим два уравнения, соответствующие двум
⁄
разным знакам детерминанта:
=(
±
−
)
(подкоренного выражения). Заметим, что знак детерминанта является инвариантом преобразования замены переменных (т.е. посредством такой
замены его изменить нельзя). Чтобы в этом убедиться, достаточно с помощью прямых (но громоздких) преобразований показать, что справедлива формула:
)∙ ,
−
=(
−
=
−
≠ 0;
здесь – якобиан преобразования, который отличен от нуля, поскольку
преобразования замены координат – всегда невырожденное.
Рассмотри классификацию уравнений по знаку детерминанта.
I. Уравнения гиперболического типа:
−
> . В этом случае корни квадратного уравнения – вещественные и различные. Введем
обозначения для общих интегралов, соответствующих уравнениям, получающимся при выборе того или иного знака перед корнем:
( ,
)= ,
( ,
)=
.
Поскольку как уравнения, так и их решения, независимы, можно выполнить замену переменных: = ( , ),
= ( , ). Применяя теорему (6.1) к записанным выше выражениям для преобразованных коэффициентов, мы видим, что
=
= 0, и только
≠ 0. Мы получаем
первую каноническую форму для уравнений гиперболического типа:
=Φ
,
,
, ,
1
.
2
Иногда в качестве стандартной формы (канонической) формы удобнее использовать другое выражение. Сделаем еще одну (линейную) замену, введя новые
1
= 2(
координаты с помощью формул:
замена
=
1
+
=
,
=
1
1
−
+
1
+
2 ),
= (
−
) (обратная
). Нетрудно показать, что
2
1
−
2
=
2
−
2
.
В итоге получаем вторую каноническую форму для уравнений гиперболического типа:
−
=Φ
,
, ,
,
.
II. Уравнения параболического типа:
−
= . Теперь, когда детерминант равен нулю, у нас остается единственное уравнение, решение которого ( , ) =
позволяет нам найти только первую из
двух функций
= ( , ),
= ( , ), требуемых. для замены
переменных. В качестве второй функции можно взять любую, независимую от первой. Однако, поскольку условиям теоремы (6.1) удовлетворяет
только первая функция, на основании этой теоремы в ноль обратится один
коэффициент:
= 0. Можно заметить, что из
−
= 0 следует
= √ 11 √
(6.2)) в виде:
22 ;
=
это позволяет представить коэффициенты
+ 2√
+
√
= √
и
+√
(см.
,
12
=
= √
+√
11
1
1
+√
22
+
11 √ 22
1
2
√
11
2
1
+√
+
22
2
=
.
2
Выражение для
представляет собой квадрат величины, которая входит
в выражение
как сомножитель. Таким образом, из
= 0 следует
= 0; единственный ненулевой коэффициент
≠ 0. Получаем каноническую форму для уравнений параболического типа:
=Φ
,
, ,
,
.
III. Уравнения эллиптического типа:
−
< . Решив
квадратное уравнение в этом случае, Мы получим два комплексных сопряженных корня. Соответственно, независимые решения дифференциальных уравнений также будут комплексными сопряженными функциями:
= ( , ),
= ( , ) = ∗ ( , );
здесь * - обозначение комплексного сопряжения. Можно выполнить замену переменных с помощью , , однако получающиеся в результате коэффициенты (
и проч.) будут комплексными числами, что обычно неприемлемо. По этой причине определим вторую замену переменных:
= (
+
)= (
+
∗)
,
= (
−
)= (
−
∗)
.
Из определения следует, что
и
– вещественные; =
+
. Теперь, полагая, что мы выполнили переход к переменным и , и опираясь на теорему (6.1), получим:
= 0. Далее, уже в выражении для
(см. (6.2)) сделаем переход к
и , и получим соответствующие этим
переменным выражения для коэффициентов
,
и
:
0=
=
+2
+2
=
+
=
+
−
+2
+
11
+2
11
1
2
1
1
+
12
+
22
1
2
1
2
+
1
2
2
1
+
22
1
2
2
2
.
12
Сравнивая выражения, стоящие в квадратных скобках, с формулами (6.2),
мы видим, что это искомые коэффициенты. Поскольку равенство нулю
комплексного числа означает, что нулю равны как его действительная, так
и его мнимая части, имеем:
=
,
= 0. Как следствие, получаем
каноническую форму для уравнений эллиптического типа:
+
=Φ
,
, ,
,
.
● Приведение уравнений к каноническому виду при n>2. Можно рассмотреть дифференциальные уравнения второго порядка, разрешенные
относительно старших производных, в случае > 2 переменных. Теперь
для коэффициентов перед вторыми производными преобразование перехода к новым переменным будет иметь вид:
=∑,
.
(6.5)
Можно ли и в этом случае путем выбора формул преобразования координат = ( , … , ), = 1, … , , обратить часть коэффициентов в ноль,
привести уравнение к каноническому виду? Будем рассуждать следующим образом. Желая обратить в ноль один коэффициент, мы накладываем
на функции
одно условие связи (т.е. задаем уравнение, которому они
должны подчиняться). При произвольном , желая обратить в ноль все
недиагональные коэффициенты:
= 0 при ≠ , мы, с учетом симметрии
= , должны задать ( − 1)⁄2 условий связи. При этом полное
число функций
, определяющих новые переменные, равно . Возникают следующие возможности.
●● = На две функции = ( , ), = ( , ) накладывается одно условие связи
= 0. Остается возможность наложить второе
условие, которое, например, делает равными модули диагональных коэффициентов:
= ± . Можно поступить иначе – наложить два условия
=
= 0 и оставить отличным от нуля только недиагональный коэффициент:
≠ 0. Получаются рассмотренные выше варианты уравнений.
●● = Требуя, чтобы остались только диагональные члены, мы
накладываем 3(3 − 1)⁄2 = 3 условия
=
=
= 0 на три функции
= ( , , ),
= ( , , ),
= ( , , ). Можно
обеспечит выполнение этих условий, но сделать равными диагональные
коэффициенты
, = 1,2,3, уже нельзя.
число
число условий
(
)
●● > Теперь функций −
= –
< 0,
диагонализации
так что невозможно даже обратить в ноль все недиагональные коэффициенты.
● Локальная диагонализация. Сформулируем теперь более простое требование – добиться приведения к каноническому виду в единственной точке. Пусть
преобразование обратимое
= ( , … , ), = 1, … , превращает осу-
ществляет отображение точки ( , … , ) одного n-мерного пространства в точку ( , … , ) другого n-мерного пространства. Преобразование (6.5), содержит функции, которые можно записать в координатах каждого из двух типов; для фиксированных точек
и как коэффициенты
⁄
,
и производные
(элементы матрицы Якоби) принимают
вполне определенные числовые значения. Вводя матрицы коэффициентов
̅={ }и
⁄ }, можно записать преобразование
=
,
={
(6.5) в матричной форме: ̅ =
. Матрицу можно считать симметричной; преобразование { } → { } можно выбрать так, что матрица
будет ортогональной и иметь нужный вид. Мы видим, что ситуация не
отличается от той, которая возникает при диагонализации квадратичных
форм. Известно, что выбором матрицы можно добиться того, что
матрица
станет диагональной. Более того, изменяя масштаб по
осям системы координат { } с помощью еще одной матрицы ,
можно сделать диагональные элементы матрицы равными или
± . При этом число чисел , + и − – инвариантно относительно
преобразований замены переменных.
Замечание. Строгое доказательство инвариантности набора чисел,
определяющих число коэффициентов, равных 0, +1 или −1, мы опустим.
Однако можно просто описать идею такого доказательства. Пусть, выбрав
положение точки ( , … , ) и соответствующей ей точки ( , … , )
мы провели все описанные вычисления и нашли:
̅ = diag(
) = (+1, … , +1 , 0, … ,0 , −1, … , −1),
+
+
= .
Выполним смещение: → ′, → ′ в каждом из пространств на малое
расстояние. Используя в новой точке ′ для диагонализации и масштабирования по осям те же матрицы и , что и раньше, мы уже не получим
нужный результат – элементы матрицы ̅ приобретут малые добавки. Но,
немного поменяв значения элементов матриц
и , можно вновь добиться диагональности ̅ и того, что на диагонали буду стоять 0 и ±1.
Очевидно, что поскольку все изменения были малыми, значения чисел
, ,
для смещенной точки ′ останутся теми же, что были
для . С другой стороны, производя такие малые смещения, можно
пробежать всю допустимую область значений ( , … , ) (и, соответственно, значений ( , … , )).
Инвариантность чисел
,
,
означает, что с их помощью можно
классифицировать уравнения второго порядка при любом числе переменных . Принята следующая классификация уравнений:
●● гиперболический тип:
< 0;
> 0 для всех = 2,3, … , ;
●● ультрагиперболический тип:
< 0 для = 1, … , ;
> 0 для
= + 1, … , ;
●● параболический тип: найдется такое , что
= 0;
●● эллиптический тип:
> 0 для всех = 1, … , .
● Случай линейных уравнений с постоянными коэффициентами. В
этом случае локальная диагонализация превращается в глобальную. Диагонализация выполняется с помощью линейных замен переменных; матрица Якоби имеет постоянные коэффициенты.
Тема 7. Уравнение малых колебаний
(гиперболический тип).
● Массивная нить (струна). Уравнения колебаний описывают движение в физических системах самой разной природы. Обычно это система, в которой есть положение равновесия, отклонение от которого приводит к возникновению сил реакции, стремящихся вернуть систему в исходное состояние. В качестве простейшей механической модели, приводящей к уравнению малых колебаний, можно рассмотреть натянутую
струну.
Пусть имеется массивная гибкая нить (далее – струна), натянутая
вдоль оси между точками = 0 и = . Предположим, что:
а) масса распределена вдоль оси равномерно (ее можно охарактеризовать путем введения постоянной массовой плотности на единицу
длины нити);
б) струна натянута с силой ; в любом ее сечении натяжение постоянно (движением вдоль струны, а также изменением силы натяжения, связанным с удлинением струны, отклоненной от равновесия, пренебрегаем);
в) колебания струны происходят в плоскости (можно показать, что
малые колебания трехмерной струны, происходящие в двух ортогональных плоскостях, независимы);
г) колебания являются малыми (углы между касательными направлениями к струне, найденными в разных ее точках, малы);
д) струна вначале находится в состоянии,
отличном от равновесного (за счет начальной
формы струны, начального распределения скоростей ее участков), либо на струну действуют
силы, отклоняющие ее от равновесия.
● Вывод уравнений малых колебания струны.
Рассмотрим "малый" участок струны, расположенный между точками A и B. На выделенный
участок действуют силы BC⃗ и AD⃗, обусловленные
натяжением нити. Мы предполагаем, что с точностью до малых поправок |BC⃗| = |AD⃗| = . Вследствие изгиба нити направления сил не параллельны; их равнодействующая отлична от нуля и приводит к поперечному
движению нити. Так как мы не рассматриваем смещения вдоль нити,
фрагмент AB может смещаться только перпендикулярно относительно
оси . Учтем соотношения эквивалентности малых ≪ 1: tg ~ ~sin .
(
(вертикальная составляющая BC⃗)= sin ≈ tg =
∆ , )
,
( , )
(вертикальная составляющая AD⃗)≈ −
(знак минус, поскольку сила направлена против касательной). Суммирую,
получаем равнодействующую силу, действующую на AB. Считая, что
функция ( , ) по крайней мере дважды дифференцируема, находим:
(
(равнодействующая)≈
∆ , )
−
( , )
=
( , )
∆ + (∆ ).
Остается записать уравнение динамического баланса сил (в нашем случае уравнение Ньютона):
∙∆
масса
элемента
∙
( , )
ускорение
=
( , )
∆
равнодействующая
сил натяжения
+ ( , )∙∆ .
внешняя
сила
После сокращения ∆ получаем уравнение малых колебаний струны:
( , )
где
= / ,
=
( , )
+ ( , ),
(7.1)
( , ) = ( , )/ .
● Колебания бесконечной струны. Метод Даламбера. Рассмотрим
случай бесконечной струны. Такое приближение оправдано в том случае,
если рассматривается движения небольшого участка струны, расположенного вдали от точек закрепления концов. То же приближение применимо
при рассмотрении колебаний в неограниченных средах (волны в жидкостях и газах, электромагнитные волны).
Для того, чтобы задача о колебаниях струны была поставлена корректно, следует добавить к уравнению начальные условия:
( , 0) = ( ) ,
( , 0)⁄ = ( ).
С математической точки зрения – уравнение малых колебаний, являясь уравнением второго порядка по времени, аналогично обыкновенному дифференциальному уравнению со второй производной; в качестве
начальных условий в этом случае задаются значения функции и ее первой
производной.
С физической точки зрения – мы имеем задачу о механическом движении, для которого начальные условия задаются как распределение смещений и распределение скоростей.
Метод Даламбера может быть применен для решения уравнения после выполнения замены = − , = + :
=
−
+
=−
= −
+
+
,
−
=
+
+
= −4
=
+
⇒
.
В итоге волновое уравнение примет вид:
=−
( , ).
а) Случай = . В этом случае мы получаем уравнение свободных ко⁄
лебаний струны:
= 0. Решением такого уравнения являются
любые функции, зависящие только от или только от , либо константа.
Последнюю можно включить в одну из функции, так что общее решение
можно записать в виде: ( , ) = ( ) + ( )= ( − ) + ( + ).
Убедимся в том, что наложение начальных условий приведет к тому,
что мы получим единственное решение. Найдем:
( , 0) =
( , 0)⁄
( ) = ( ) + ( ),
= ( )= − ( −
)+
( +
) |
− ( )+
=
( ) .
В результате интегрирования второго уравнения получим:
− ( )+
( )= ∫
2
( )
+ ,
а после комбинирования:
( )=
( )− ∫
( )
Окончательно получаем:
( , )= ( − )+ ( +
( +
+
+
∫
+
)+ ∫
2
( )
.
( )
−
( )=
,
)=
+
1
2
1
( −
= [
( )+ ∫
+
.
( )
−
+
1
) − ∫0
( −
( )
)+
2
( +
)] +
Запишем результат - формулу Даламбера:
1
( , )=
2
1
( −
)+
1
( +
) +
∫
2
( )
.
Чтобы понять, какой физический смысл имеет
полученное решение, рассмотрим частный слу( , 0)⁄ = 0 (в начальный
чай: ( , 0) ≠ 0,
момент времени струна отклонена от равновесия, но неподвижна). Изображение соответствует случаю:
− , | |< ,
( , 0) = ( ) =
| |> .
0
Мы видим, что формируются две волны, бегущие в противоположных
1
направлениях: ( , ) = 2 1 ( − ) + 1 ( + ) .
( , )⁄
( , )⁄
б) Случай ≠ . Теперь
= [
+ ( , )].
Чтобы найти решение записанного неоднородного уравнения, рассмот-
рим вспомогательную задачу. Введем функцию = ( , ; , [ ]), которая является решением однородного уравнения, но при специальных
начальных условиях:
( , ; , [ ]) = 0,
( )
=
( );
( , ; ,[ ])
|
= ( , ); ( )
> ; −∞ < < ∞. Мы видим, что функция является решением однородного уравнения ( ), но при начальных условиях, зависящих от функции , взятой при различных , но при фиксированном = . Таким образом, дополнительно зависит от и от вида функции .
Выражение для можно получить методом Даламбера, считая начальным моментом времени = . Подставляя в решение Даламбера
=0и
( ) = ( , ), найдем:
(
)
( , ; , [ ]) = ∫ ( ) ( , ) .
Заметим, что в роли функции ( , ) может выступать любая функция. Поэтому общее решение Даламбера для однородного уравнения, найденное
выше, можно также записать в виде:
, ; ,[
( , )=
1]
+
, ; 0, [
2
] .
Докажем теорему.
Теорема 7.1. Частное решение неоднородного уравнения малых ко( , )⁄
( , )⁄
лебаний
=
+ ( , ) , соответствую( , )⁄ = , может быть
щее начальным условиям ( , ) = ,
записано в виде:
(
)
( , )=
(
)
,
;
,
[
]
=
∫
∫
∫ ( ) ( , ) .
Докажем теорему, выполняя дифференцирования:
=
( , ; , [ ]) +
, см.( )
( , ; ,[ ])
=
=
−
∫
|
( , ), см.( )
( , ; ,[ ])
=
2
∫0
( , ; ,[ ])
∫
+
=
( , ; ,[ ])
∫
∫
=
( , ; ,[ ])
( , )+
,
∫
( , ; ,[ ])
,
( , ; ,[ ])
−
=0
2
( , ; ,[ ])
+
( , ), ч.т.д.
,
Теперь мы можем воспользоваться результатом теоремы, которая
справедлива для любых линейных уравнений: общее решение неоднородного уравнения может быть представлено в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решение неоднородного уравнения.
Таким образом, окончательный вид общего решения:
( , )=
(
)
(
)
+
∫
( )
+ ∫
∫
(
(
)
)
( , )
.
● Свободные колебания полубесконечной струны с граничным усло( , )⁄ = . Рассмотрим одномерные колебавием ( , ) = или
ния нити (струны), расположенной вдоль полуоси 0 < < ∞; при = 0
заданы указанные граничные условия (второе условие, интерпретируемое
как "отсутствие закрепления" при = 0, не согласуется с рассмотренной
выше простой моделью натянутой струны, однако оно может рассматриваться применительно к другим моделям).
а) Заметим, что если функции, задающие начальные условия, являются
нечетными: (− ) = − ( ), (− ) = − ( ), то
(0, ) =
(
)
(
)
+
∫
( )
= 0.
Для первого слагаемого равенство нулю очевидно; во втором слагаемом первообразная от нечетной функции будет функцией четной, так что вычисление интеграла как разности значений первообразной на верхнем и нижнем пределе
также даст ноль.
б) Заметим, что если функции, задающие начальные условия, являются
четными: (− ) = ( ), (− ) = ( ), то
( , )
=
(
)
(
)
+
[
( )−
(− )] = 0.
Для первого слагаемого равенство нулю является следствием того, что
производная четной функции является нечетной; для второго обращение
в ноль очевидно.
Теперь можно сформулировать метод решения уравнения малых колебаний в наших случаях. Если начальные условия на положительной полу( , 0)⁄ = Φ ( ), можно построить
оси заданы как ( , 0) = Φ ( ),
нечетные (−) или четные функции (+), определенные на всей числовой
оси:
Φ1 ( ),
> 0,
Φ2 ( ),
> 0,
( )=
( )=
.
±Φ1 (| |), < 0,
±Φ2 (| |), < 0
Подставляя найденные таким образом
находим решения поставленных задач.
,
в формулу Даламбера, мы
● Колебания струны, закрепленной на концах. Метод Фурье. Рассмотрим теперь колебания струны при наличии как начальных, так и граничных условий. Для струны естественно предположить, что она закреплена на концах. В этом случае уравнение и дополнительные условия
нужно задать так:
( , )
=
( , )
+ ( , ),
( , 0) = φ ( ) , ( , 0) = φ ( ) ,
(0, ) = ( , ) = 0.
нач. ус. :
гран. ус. :
а) Случай = . В этом случае однородное уравнение можно решать
методом разделения переменных, положив ( , ) = ( ) ∙ ( ):
( , )
=
( , )
⇒
( )∙
( )
=
( )∙
( )
⇒
⇒
( )
( )
=
( )
( )
=
⇒
−
= 0,
−
= 0.
Обычно предполагается, что зависит только от , а соответственно
только от . В этом случае константа разделения не может зависеть
ни от , ни от . После выполнения преобразований уравнение в частных
производных распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения, связанных через .
⁄
Решение уравнения
−
= . Это линейное однородное
уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами; оно решается с помощью подстановки ( ) = exp( ), приводящей к характеристическому уравнению
− = 0, имеющему решение = ±√ . Возможны два случая.
Если > 0, значения являются вещественными. Решение дифференциального уравнения имеет вид линейной комбинации двух показательных функций. Поскольку каждая из них нигде не обращается в ноль,
условию (0, ) = ( , ) = 0 соответствует только тривиальное решение
( ) ≡ 0; нас это не устраивает.
Если < 0, значения являются мнимым. Если = − , то = ± .
Решение дифференциального уравнения можно записать в этом случае в
виде линейной комбинации: ( , ) = ( )cos + ( )sin . С учетом граничных условий, допустимы только решения:
( ) ≡ 0;
( )=0
при
( , )=
В итоге:
≠
;
sin(
≝
≠0.
⁄ ).
⁄
Решение уравнения
−
= . Это также уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Экспоненциальная подстановка ( ) = exp( ) приводит к характеристическому уравнению
+
= 0, имеющему решения = ±
= ± ( ⁄ ). В итоге:
( , )=
cos(
⁄ )+
sin(
⁄ ).
(7.2)
Общее решение получается путем образования всевозможных линейнонезависимых произведений ( , ) ∙ ( , ) и их суммирования:
( , )=∑
cos
+
sin
sin
.
Учет начальных условий. Подставив найденное выражение для решения в начальные условия, мы получим выражения, имеющие смысл разложений φ ( ) и φ ( ) в ряды Фурье; эти разложения можно обратить:
( , 0) = φ ( ) = ∑
sin
( , 0) = φ ( ) = ∑
⇒
sin
⇒
= ∫ φ ( )sin
,
= ∫ φ ( )sin
.
При проведении расчетов бывает удобно вначале найти коэффициенты
разложения для функций, задающих начальные условия, а после подставить их в решение. Однако можно оба этапа вычислений объединить и
представить одной формулой:
( , )=∑
2
∫0 φ1 ( )sin
+
= ∫
φ1 ( ) ∑∞=1 sin
cos
2
∫0 φ2 ( )sin
sin
cos
+
sin
+
sin
=
+φ2 ( ) ∑∞=1 sin
sin
sin
.
Возможна более компактная запись:
( , )= ∫
φ1 ( )
1(
, , ) + φ2 ( )
2(
, , ) ,
где
( , , )=∑
( , , )=∑
sin
sin
sin
cos
sin
,
sin
.
б) Случай ≠ . В этом случае следует воспользоваться тем, что для
линейных уравнений общее решение неоднородного уравнения есть
сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Таким образом, нам нужно найти любое частное
решение при ≠ 0. Воспользуемся полученным выше решением уравнения "( ) − ( ) = 0, которое с учетом граничных условий имеет при
⁄ ). Будем искать
= −( ⁄ ) , = 1,2 … решения ( , ) = sin(
частные решения в виде
( , )=∑
( )sin
.
(7.3)
Также найдем коэффициенты разложений в ряды Фурье для функций
( , ) и φ , ( ):
( , )=∑
φ( ) =∑
( ) sin
⇒
φ sin
( , )sin
( )= ∫
⇒ φ
= ∫ φ ( )sin
,
.
"
Подставляя в уравнение " =
+ ( , ) (см. (7.1)) решение в
форме (7.3), получаем тождественное равенство
∑
sin
−
( )−
( )
+
( ) ≡ 0.
Поскольку равенство должно выполняться при всех значениях , а функ⁄ ) при разных – линейно-независимые, следует приравнять
ции sin(
к нулю каждую из квадратных скобок. В итоге получается система обыкновенных дифференциальных уравнений:
( )
+
( )=
( ),
= 1,2,3 …; для уравнения с номером
(0) = φ1 ,
(0)⁄ = φ .
где
справедливы начальные условия:
Решение каждого из найденных линейных уравнений также может
быть представлено в виде суммы общего решения при
= 0 и любого
частного решения. Нас интересует только частное решение. Найдем его,
используя метод вариации произвольных постоянных. Для этого возьмем ранее найденное решение (7.2) и запишем его, считая константы интегрирования функциями от времени:
( )=
( )cos
+
( )sin
.
Для того, чтобы записанное выражение было решением одного из записанных выше уравнений, варьируемые функции-коэффициенты должны
быть решениями уравнений:
̇ ( )cos
− ̇ ( )
+ ̇ ( )sin
sin
+ ̇ ( )
= 0,
cos
=
()
(точкой обозначено дифференцирование по времени; формулы выводятся
в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений). Комбинируя уравнения, находя ̇ , ̇ и производя интегрирование, получаем:
̇ ( )=
cos
()
⇒
( )=
− ̇ ( )=
sin
()
⇒
( )=−
( )cos
∫
∫
( )sin
В результате подстановки найденных функций в выражение для
лучаем:
( )=
=
∫
( ) −cos
∫
( )sin
sin
(
)
+ sin
cos
,
.
( ) по=
.
Окончательное выражение для решения неоднородного уравнения малых колебаний, описывающего струну с закрепленными концами,
имеет вид:
( , )=∑
cos
+∑
∫
+
sin
(
( )sin
)
sin
sin
+
,
(7.4)
где
= ∫ φ ( )sin
( )= ∫
( , )sin
=
,
∫ φ ( )sin
,
.
● Колебания струны в случае движения концов по заданному закону. Рассмотрим уравнение малых колебаний с новым типом начальных
и граничных условий (принято говорить, что рассматривается общая первая краевая задача):
( , )
=
( , )
+ ( , ),
нач. ус. :
гран. ус. :
( , 0) = φ ( ) , ( , 0) = φ ( ) ,
(0, ) = ( ), ( , ) = ( ).
Чтобы решить уравнение при новых дополнительных условиях, представим решение в виде суммы двух функций, одну из которых зададим опре( , ) = ( , ) + ( , ). Уравнение для
деленным образом. Пусть
функции ( , ) = ( , ) − ( , ) имеет вид:
( , )
=
( , )
+ ̅( , ) ,
̅( , ) = ( , ) −
( , )
−
( , )
.
Соответственно, начальные ( ) и граничные условия ( ) для ( , ) принимают вид:
( ):
( , 0) = φ1 ( ) = φ1 ( ) − ( , 0),
̇ ( , 0) = φ2 ( ) = φ2 ( ) − ̇ ( , 0);
( ):
(0, ) = μ1 ( ) = μ1 ( ) − (0, ),
( , ) = μ2 ( ) = μ2 ( ) − ( , ) .
( , ) таким образом, чтобы краевая задача для
Выберем функцию
( , ) не отличалась от рассмотренной выше. Для этого нужно принять
условие "закрепления концов" μ ( ) = μ ( ) = 0. Эти условия определяют зависимость от времени функции ( , ) только на концах отрезка:
(0, ) = μ ( ), ( , ) = μ ( ). Имея возможность выбирать функцию в
остальном произвольно, удобно остановить свой выбор на самой простой
функции – линейной:
( , ) = μ ( ) + [μ ( ) − μ ( )].
(7.5)
Теперь, чтобы решить поставленную задачу, следует представить ( , )
в виде (7.4) (где в правую часть должны быть подставлены коэффициенты
фурье-разложений функций φ ( ), φ ( ) и (̅ , )). Прибавляя к полученному таким образом выражению для ( , ) функции (7.5), получим окончательное решение.
● Колебания струны в условиях стационарных неоднородностей.
Иногда представляет интерес частный случай, когда концы струны отклонены от равновесных положений, но неподвижны, и распределение сил не
зависит от времени:
( , )
=
( , )
+ ( ),
нач. ус. :
гран. ус. :
( , 0) = φ ( ) , ( , 0) = φ ( ) ,
(0, ) = , ( , ) = .
Будем искать решение в той же форме, что и в предыдущем случае, считая
одну из функций независящей от времени: ( , ) = ( , ) + ( ) (здесь
( ) – статический прогиб). Будем решать уравнения для функций в
правой части по отдельности.
⁄
Решение уравнения
+ ( ) = . Поскольку функции, входящие в уравнение, зависят только от , решение уравнения сводится к
двукратному интегрированию; при этом возникают две константы интегрирования. Требуя, чтобы выполнялись условия на концах (0) =
и
( ) = , в результате несложных вычислений можно найти:
( )=
+
+
∫
∫
( )
−∫
∫
( )
.
Заметим, что первое слагаемое в правой части – это линейная функция,
принимающая нужные значения на концах струны. Второе слагаемое –
⁄
это решение уравнения
= − ( ) при нулевых граничных условиях.
⁄
⁄
Решение уравнения
=
. Это уравнение должно
быть решено с граничными условиями (0, ) = ( , ) = 0 и с начальными условиями ( , 0) = φ ( ) = φ ( ) − ( ),
̇ ( , 0) = φ ( ).
Уравнение является однородным и может быть решено методом разделения переменных (методом Фурье; см. выше).
● Установившиеся колебания при наличии трения. Колебательная
система (в частности, струна) может возбуждаться распределенной
внешней силой, приложенной в различных точках, либо за счет движения
концов. Если в системе имеется трение, движение (при определенных
начальных условиях) начинается с переходного процесса, в результате завершения которого формируется режим установившихся колебаний.
При этом характеристики установившегося движения не зависят от того,
какими были начальные условия (говорят, что в системе происходит потеря памяти и она забывает о начальных условиях).
Рассмотрим один из наиболее простых примеров колебательной системы с трением – струну, у которой правый конец движется по гармоническому закону (возбуждение):
( , )
=
( , )
−
( , )
,
> 0; (7.6)
(0, ) = 0,
(, )= ( )=
cos(
)
.
В уравнение добавлен (феноменологически) "член трения" (сила трения
по величине пропорциональна скорости и направлена против скорости).
Выбор закона смещения в виде cos( + ) "не уменьшает общности",
так как произвольную функцию ( ) можно разложить в тригонометрический ряд, отдельно решить задачу для каждого члена ряда и результаты
просуммировать. Такая возможность является следствием того, что уравнение линейно и выполняется принцип суперпозиции.
Функцию ( ) = ( , ), задающую граничное условие, можно выбрать как в виде (i) ( ) = cos( ), так и в виде (ii) ( ) = sin( ).
Поскольку sin( ) = cos( − ⁄2) = cos( [ − ]) ,
= ⁄(2 ), с
точки зрения физики варианты (i), (ii) выбора граничного условия эквивалентны; различие только в том, как выбрано начало отсчета на оси времени. Можно, однако, взять ( ) =
= (cos( ) + sin( )). Решив уравнение (7.6) с таким граничным условием, мы получим комплекснозначную функцию ( , ). Можно показать, что вследствие линейности
уравнения (7.6) функции Re[ ( , )] и Im[ ( , )] будут вещественными
решениями того же уравнения, соответствующими граничным условиям
(i) и (ii). Если нам достаточно найти решение только для случая (i), мы
можем, проведя все вычисления в комплексной форме, считать окончательным результатом, имеющим физический смысл, Re[ ( , )].
Выберем ( ) =
и будем искать решение, описывающее установившиеся колебания, в виде ( , ) = ( )
. Подставляя это выражение в уравнение, находим:
( )
−
( )=
( )
− (
) ( )
+
( ) = 0,
⇒
=( −
)⁄ ,
(0) = 0, ( ) = .
Извлекая в
= ( ⁄ ) (1 − ⁄ ) квадратный корень из правой и левой
частей, можно найти = ±( ⁄ )(ch − sh ), где = Arsh( ⁄ ). Решением уравнения для является линейная комбинация функций sin( ) и
cos( ); условию (0) = 0 удовлетворяет ( ) = sin( ). Налагая на
эту функцию граничное условие ( ) = = sin( ), можно представить комплексное решение в виде: ( ) = [sin( )⁄sin( )]. Окончательный вид вещественного решения, соответствующего граничному
условию (i), таков:
( )
( , ) = Re
.
( )
В случае отсутствия трения, т.е. при = 0, найденное решение не
корректно. При выполнении условия резонанса
= ⁄ =
функция ( , ) становится бесконечно большой. С физической точки зрения
это означает, что в отсутствие трения при резонансе стационарный
режим колебаний не возникает, т.к. амплитуда колебаний растет в бесконечность. Если = 0 и условие резонанса не выполняется, полученная
функция ( , ) будет конечной. Но и в этом случае решение не является
верным, т.к. при = 0 опущенная нами часть решения, зависящая от
начальных условий, с ростом времени к нулю не стремится.
● Тригонометрические ряды Фурье (справочный материал). При решении уравнений методом Фурье приходится использовать аппарат тригонометрических рядов. Здесь мы соберем наиболее важные определения
и сведения об этих рядах.
●● Кусочно-непрерывная функция. Так называется функция ( ), определенная и непрерывная на отрезке [ , ], либо имеющая на этом отрезке
конечное число точек разрыва I-го рода, в каждой из которых существуют
конечные пределы справа и слева.
●● Кусочно-монотонная функция. Так называется функция ( ), определенная на отрезке [ , ] и либо монотонная на всем отрезке, либо, если
отрезок разбит на интервалы конечным числом точек, монотонная на каждом из этих интервалов (в точках разбиения функция непрерывна или
имеет разрывы I-го рода).
(i)
(ii)
(iii)
Функция (i) не является на [− , ], > ⁄2, кусочно-непрерывной, т.к. имеет
конечное число бесконечных разрывов (II-го рода). Функция (ii) не является кусочно-непрерывной на (0,1], т.к. на конечном интервале имеет бесконечное
число разрывов I-го рода. Функция (iii) не является кусочно-монотонной, т.к. на
конечном интервале имеет бесконечное число интервалов монотонности.
●● Условие Дирихле. Функция ( ) называется удовлетворяющей условию Дирихле на отрезке [ , ], если на этом отрезке она является кусочномонотонной и в каждой точке разрыва ∈ [ , ] определена условием:
( )=
lim
( ) + lim
→
( ) .
→
●● Тригонометрический ряд Фурье общего вида. Обычно стандартная
форма записи тригонометрического ряда Фурье выглядит так:
( ) = lim
→
( ),
( )=
+∑
cos
+
sin
, (7.7)
( )sin
. (7.8)
где
= ∫
( )
,
= ∫
( )cos
,
= ∫
Предполагается, что функция ( ) является периодической с периодом
2 . Разложение в ряд Фурье допустимо использовать для функций, определенных только на [− , ], т.к. такие функции можно превратить в периодические путем периодического продолжения (функция, являющаяся периодическим продолжением для функции ( ), ∈ [− , ], на каждом отрезке [− + 2 , + 2 ], = ±1, ±2, …, будет определяться формулой ( − 2 )).
●● Первый достаточный признак сходимости тригонометрического
ряда Фурье. Пусть функция периодична и непрерывна на всей числовой
оси. Пусть первая производная этой функции является кусочно-непрерывной функцией. Тогда тригонометрический ряд этой функции сходится
к функции равномерно на всей числовой оси.
●● Второй достаточный признак сходимости тригонометрического
ряда Фурье. Пусть функция определена и периодична на всей числовой
оси и удовлетворяет условию Дирихле на периоде. Тогда тригонометрический ряд сходится к этой функции (поточечно) на всей числовой оси.
●● Поточечная и равномерная сходимость. Для того, чтобы вспомнить,
в чем различие между этими типами сходимости, сравним определения.
Поточечная сходимость. Для любого > 0 и для каждого ∈ [− , ]
найдется такое , , что для целых
> , будет выполняться неравенство: | ( ) − ( )| < .
Равномерная сходимость. Для любого > 0 найдется такое
, общее для всех ∈ [− , ], что для целых >
будет выполняться неравенство: | ( ) − ( )| < .
Графики на рисунках позволяют понять, в чем состоит различие.
Функция ( ) определена на отрезке ⌈− , ⌉ как "единичная ступенька" и
после продолжена периодически на всю ось . Из-за наличия разрыва мы не можем, задавшись малым > 0, найти единое , при котором из >
следует
| ( ) − ( )| < . В малой окрестности точки = 0 всегда найдутся такие значения ≠ 0, для которых | ( ) − ( )|~ . Сходимость является поточечной.
Функция ( ) определена на отрезке ⌈− , ⌉ как парабола; ее периодическим продолжением является непрерывная функция. В этом случае можно найти
значение , не зависящее от ; сходимость является равномерной.
●● Ряд Фурье как разложение по базису в евклидовом пространстве.
Пространство функций ( ), определенных на отрезке [− , ] и интегри( ) < ∞, можно считать евклидовым нормируемых с квадратом:∫
рованным пространством, если определить скалярное произведение
( , ) и норму ‖ ‖ следующим образом:
( , )=∫
( ) ( )
‖ ‖=
,
( , ).
Непосредственными вычислениями интегралов нетрудно показать, что
совокупность функций
ℎ ( )=
√
, ℎ ( )=
√
cos
, ℎ
( )=
√
sin
,
= 1,2, … (7.9)
является в пространстве функций ортонормированным базисом:
ℎ ,ℎ
= ∫ ℎ ( )ℎ ( )
=
.
Разложение произвольной функции в ряд Фурье мы можем теперь считать
частным случаем разложения вектора (в обобщенном смысле) по элемен( )=∑
там ортонормированного базиса:
ℎ ( ).
Вычисляя квадрат нормы функции, заданной в виде разложения, можно
получить:
‖ ‖ = ∑
ℎ ,∑
ℎ
=∑,
ℎ ,ℎ
=∑
.
Мы получили равенство Парсеваля ‖ ‖ = ∑
, которое выполняется в том случае, если система базисных функций является полной (замкнутой), т.е. если рад Фурье (7.7), построенный на основе коэффициентов Фурье (7.8) некоторой функции действительно сходится к этой функции (в смысле сформулированных выше первого или второго достаточного признака). В более общем случае, когда система ортонормированных
функций может быть не полной (например, если в сумму ∑
ℎ ( )
войдут не все функции из набора (7.9)), будет выполняться неравенство
Бесселя ‖ ‖ ≥ ∑
.
●● Почленное дифференцирование ряда Фурье. Пусть периодическая
функция ( ) дифференцируема на периоде и имеет тригонометрический ряд
+∑
( )=
Тогда функция
( )⁄
∑
+
cos
cos
+
sin
.
имеет тригонометрический ряд:
=∑
sin
−
sin
+
cos
.
●● Почленное интегрирование ряда Фурье. Пусть периодическая функция ( ) непрерывна на периоде и имеет тригонометрический ряд
+∑
( )=
Тогда функция ∫
∫
+∑
∫
( )
cos
+
sin
.
имеет тригонометрический ряд:
cos
=
+
+∑
sin
=
sin
+
1 − cos
.
Тема 8. Уравнение теплопроводности
(параболический и эллиптический тип).
● Вывод уравнения теплопроводности. Рассмотрим процедуру вывода уравнения теплопроводности для простой модели сплошной среды,
имеющей однородные теплопроводность и теплоемкость. Пусть:
– поле температур ( , ) – скалярное поле в сплошной среде,
– поле плотности теплового потока ( , ) – векторное поле, смысл
которого таков: через малый элемент плоскости с нормалью , имеющей
площадь , за время
протекает количество теплоты
∆ =( ( , )∙ )∙
∙ .
а) Плотность потока тепла пропорциональна
градиенту температуры; коэффициент пропорциональности равен – , где > 0 – коэффициент теплопроводности среды (знак минус учитывает, что поток
тепла направлен против градиента температуры):
( , )=−
( , ).
б) Приращение температуры прямо пропорционально приращению
количества теплоты. В малой области
=
∙ ; здесь – удельная
теплоемкость среды (на единицу объема), V – объем области. Если количество теплоты и температура меняются во времени, можно записать:
=
∙ .
Пусть имеется малая пространственная область V, с граничной поверхностью Σ. Запишем для нее уравнение теплового баланса. Количество тепла, выходящего (наружу) через поверхность Σ в единицу времени,
равно:
∯ ( ∙ )
=− ∯ (
∙ )
=
⏟ −
( )
∭ ( ∙ )
( )
=− ∭
⏟
∆
.
( )
Заметим, что равенство ( ) обеспечивается теоремой Остроградского-Гаусса (поверхностный интеграл преобразован в тройной);
≡ grad , далее
( ): ∙
≡ div grad = ∆ – лапласиан поля u (не
путать с приращением!). Приравняем полученное выра-
жение для потерь тепла в единицу времени к выражению, имеющему тот же
смысл, но содержащему скорость изменения температуры:
− ∭ Δ
⇒
= − ∭V
∭
− Δ
= 0.
Поскольку тройной интеграл должен быть равен нулю при любом выборе
области V, в ноль должно обратиться подынтегральное выражение. Мы
получаем в итоге дифференциальное уравнение в частных производных,
описывающее теплоперенос – уравнение теплопроводности:
=
Δ ,
= ( , )
2
= ⁄
.
● Теплоперенос в стержне. Можно сформулировать задачу об одномерном теплопереносе как задачу о теплопереносе в тонком стержне.
Если толщина стержня мала по сравнению с его длиной, равновесная температура в каждом поперечном сечении стержня будет устанавливаться
очень быстро. Считая быструю стадию завершенной, можно ограничиться
рассмотрением теплопереноса вдоль стержня. Задача станет сложнее,
если предположить, что вдоль стержня имеется тепловой контакт с
окружающей средой, в результате которого на разных участках стержня
имеется приток (отток) тепла, интенсивность которого зависит от положения точки на стержне. Одномерное уравнение теплопереноса, отвечающее описанной модели, имеет следующий вид:
=
+ ( , ) ,
= ( , ).
(8.1)
Для того, чтобы краевая задача была поставлена корректно и имела определенное решение, нужно добавить к уравнению начальные и граничные
условия. Можно, к примеру, предположить, что задано начальное распределение температуры вдоль стержня и что на концах стержня поддерживается нулевая температура:
( , 0) = ( ),
( , ) = (0, ) = 0.
● Решение задачи о теплопереносе в стержне методом Фурье (случай = ). Решаем задачу методом разделения переменных. Подставим
функцию температуры в уравнение в виде: ( , ) = ( ) ∙ ( ) и найдем:
=
⇒
( )
( )
=
( )
( )
=
⇒
⁄ −
⁄
−
= 0,
= 0.
⁄
Решение уравнения
−
= . Это уравнение решается так
же, как и в случае струны, закрепленной на концах. Подстановка =
позволяет получить характеристическое уравнение
− = 0; ненулевое
решение, удовлетворяющее граничным условиям, может быть получено
только для = − ; его вид: ( , ) = ( )cos + ( )sin . Граничные условия (0) = ( ) = 0 могут быть выполнены, если ( ) ≡ 0 и
( ) ≠ 0 при =
= ⁄ , = 1,2 …. В итоге имеем:
( ,
)= ( , )=
sin
.
⁄ −
Решение уравнения
= . В это уравнение следует подставить = − = −( ⁄ ) . С помощью метода разделения переменных
можно получить:
( , )= ( )
( , )= ( ) ( ⁄) .
⇒
Общее решение представляет собой линейную комбинацию произведений найденных функций:
( , )=∑
( , )∙ ( , )=∑
exp −
sin
.
Учет начальных условий. Как и в случае задачи о струне, можно
найти коэффициенты , выполняя разложение в ряд Фурье функции, задающей начальное распределение:
( , 0) = ( ) = ∑
sin
⇒
= ∫
( )sin
.
Результирующие формулы:
( , )=∑
exp −
sin
можно также записать в виде:
( , ) = ∫ ( , 0) ( , , )
( , , )= ∑
sin
,
= ∫
( )sin
,
sin
exp −
.
.
● Решение задачи о теплопереносе в стержне методом Фурье (случай ≠ ; частное решение для начального условия ( , ) = ). Как и
в задаче о колебаниях струны, мы можем воспользоваться свойством ли-
нейных уравнений и искать общее решение уравнения с ≠ 0 (неоднородного) как сумму общего решения уравнения c = 0 (однородного) и
частного решения неоднородного уравнения. Решение для случая = 0
получено выше. Будем искать частное решение в виде:
( , )=∑
( )sin
.
(8.2)
Разложим в ряд Фурье функцию, задающую распределение источников
(стоков) тепла вдоль стержня:
( , )=∑
( ) sin
⇒
( , )sin
( )= ∫
.
(8.3)
Подставляя (7.2) и (7.3) (слева) в (7.1), получаем:
∑
sin
−
( )−
( )
+
( ) ≡ 0.
Поскольку равенство должно выполняться при всех значениях , а функ⁄ ) при разных – линейно-независимые, следует приравнять
ции sin(
к нулю каждую из квадратных скобок. В итоге получается система обыкновенных дифференциальных уравнений:
( )
( )=
+
( ),
где = 1,2,3 … (поскольку нас интересует частное решение, для уравнения с но(0) = 0). Решая уравнения спомером можно взять начальное условие:
собом, описанным в курсе теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, получим
( )=
2
∫0 exp −
2
( − )
( )
,
и далее:
част. (
, )=
∑
∫ exp −
( − )
( )
sin
.
Предполагается, что в правую часть будут подставлены коэффициенты
разложения функции ( , ), данные выражением (8.3) (справа). Решение
может быть записано в виде
част. (
, )=
∫ ∫
( , , − )= ∑
( , , − ) ( , )
sin
sin
,
exp −
( − ).
● Решение задачи о теплопереносе в стержне методом Фурье (случай ≠ ; общее решение для начального условия ( , ) = ( )). Общее решение неоднородного уравнения получается как сумма двух
найденных в предыдущих разделах:
( , )=∫
( , 0) ( , , )
( , , )= ∑
sin
+
∫ ∫
sin
( , , − ) ( , )
exp −
.
,
(8.4)
● Теплоперенос в стержне, на концах которого поддерживаются
различные значения температуры, зависящие от времени. Рассмотрим
краевую задачу с новыми граничными условиями:
( , )
=
( , )
+ ( , ),
нач. ус. :
гран. ус. :
( , 0) = ( ) ,
(0, ) = ( ),
(, )=
( ).
Как и в задаче об одномерных колебаниях, представим решение в виде
суммы двух слагаемых ( , ) = ( , ) + ( , ). Уравнение для функции
( , ) имеет вид:
( , )
=
( , )
+ ̅( , ) ,
( , )
̅( , ) = ( , ) −
( , )
−
.
При этом начальные и граничные условия заданы соотношениями:
( ):
( ):
( , 0) = ( ) = ( ) − ( , 0);
(0, ) = μ1 ( ) = μ1 ( ) − (0, ),
( , ) = μ2 ( ) = μ2 ( ) − ( , ) .
Краевая задача для функции ( , ) не будет отличаться от рассмотренной
выше (см. решение (8.4)), если путем выбора функции ( , ) мы добьемся выполнения граничных условия μ ( ) = μ ( ) = 0. Возможный подходящий вид функции ( , ) – линейная функция:
( , ) = μ ( ) + [μ ( ) − μ ( )].
В частном случае, когда температура на концах стержня постоянна, решение может быть записано в виде ( ( , , ) определено в (8.4)):
( , )=
стац. (
стац. (
)+∫
( , 0) −
) = (μ − μ ) ⁄ + μ .
стац. (
)
( , , )
,
● Интегральное преобразование Фурье (справочный материал),
Рассмотрим обобщение метода разложения Фурье на случай непериодических функций, определенных на всей числовой оси. Будем считать, что
функции, преобразуемые с помощью интегрального преобразования
Фурье (разлагаемые в "интеграл Фурье"), обладают свойством абсолютной интегрируемости: ∫ | ( )| < ∞ (несобственный интеграл от
модуля функции не расходится в бесконечность).
Запишем формулу разложения в ряд Фурье и формулы для коэффициентов:
( )= +∑
cos
+ sin
,
( )
= ∫
,
( )cos
= ∫
,
( )sin
= ∫
.
Подставим коэффициенты непосредственно в выражение для ( ):
( )=
+
∫
∫
( )sin
( )
+∑
sin
( )cos
∫
=
∫
( )
cos
+∑
∫
+
( )cos
(
)
.
Вводя обозначения
= ⁄,∆
виде:
( )= ∫ ( ) +∑
= ⁄ , перепишем то же равенство в
∫
( )cos
Выполним предельный переход: → ∞, ∆
деле обратится в ноль:
∫
( )
∫ | ( )|
≤
≤
∙∫
( − ) ∆
.
→ 0. Первое слагаемое в пре| ( )|
→ 0 при → ∞.
Второе слагаемое является интегральной суммой и в пределе превращается в интеграл: ∑ (… ) ⇒ ∫ (… ),
⇒ , ∆ ⇒ . Таким образом,
мы получаем:
( )=0+ ∫
=
√
∫
√
∫
∫
( )cos[ ( − )] =
( )cos
cos
+
√
∫
+
√
∫
( )sin
sin
.
Теперь мы можем записать формулы прямого и обратного интегрального
преобразования Фурье:
( )=
( )=
√
√
∫
∫
[ ( )cos
( )cos
+ ( )sin
,
( )=
],
√
∫
( )sin
.
Функция может быть разложена в интеграл Фурье, если на каждом конечном интервале числовой оси она имеет не имеет точек разрыва или имеет
конечное число точек разрыва первого рода. Функция также должна быть
абсолютно-интегрируемой (см. выше).
● Теплоперенос в бесконечном стержне, Рассмотрим решение уравнения теплопроводности при условии, что нет граничных условий и областью изменения пространственной координаты является все числовая ось.
Физически это соответствует случаю, когда процесс теплопереноса происходит в области, локализованной вдали от концов стержня. В отсут-
ствие граничных условий естественно потребовать, чтобы энергия, запасенная в стержне, была конечной. Из этого требования вытекают условие
на асимптотическое поведение: ( , ) → 0 при → ±∞.
При решении данной задачи мы также будем использовать метод
Фурье. Разделяя переменные, можно записать:
−
=0 ⇒ ( , )= ( )
,
−
= 0 ⇒ ( , ) = ( ) cos(√− ) + ( ) sin(√− ).
Заметим, что второе уравнение записано через синус и косинус, аргумент
которых может быть как вещественным (при < 0), так и мнимым (при
> 0).
Из физических соображений следует, что диффузия тепла не может
протекать как процесс повышения температуры в одном месте за счет
охлаждения в другом месте – тепло перетекает от более нагретой области
к более холодной. Отсюда следует, что с ростом времени ( , ) должно
уменьшаться, а значит должно выполняться условие < 0. Удобно записать = − , и далее:
( , ) = ̅( )
( , ) = ̅ ( ) cos
,
+ ̅ ( ) sin
.
Образовав произведение ( , ) ∙ ( , ), следует просуммировать по всем
значениям константы разделения. Поскольку никаких ограничений на
значения теперь нет, суммирование проводится как интегрирование:
( , )=∫
( , ) ( , )
=
√
∫ [ ( ) cos
̅ ̅ = ( )⁄√ ,
(сделано переобозначение:
учесть начальные условия:
( , 0) = ( ) =
√
∫ [ ( ) cos
]
+ ( ) sin
̅ ̅ = ( )⁄√ ). Можно
+ ( ) sin
]
.
Мы имеем функцию ( ), представленную в виде разложения в интеграл
Фурье. Коэффициенты этого разложения можно представить в виде:
( )=
1
√
∞
∫−∞ ( ) cos
( )=
,
1
√
∞
∫−∞ ( ) sin
.
Подставляя эти функции в найденное общее решение, найдем:
( , )= ∫
∫
( )[cos
∙ cos
+ sin
∙ sin
]
=
= ∫
cos[ ( − )]
( )∫
.
Удобно записать окончательное решение в виде:
( , )=∫
( ) ( − , ),
( − , )= ∫
cos[ ( − )]
.
Нахождение функции ( − , ). В формуле для интегрального ядра
интегрирование можно выполнить точно. Удобно вначале сделать замену
переменной, полагая √ = :
cos[ ( − )]
( − , )= ∫
∙
√
=
√
∫
cos
√
=
=
√
√
∫
√
√
.
Будем искать функцию
( ) = ∫ cos[ ]
.
Для этого вначале продифференцируем эту функцию:
cos
√
√
∙
( )
∙ sin[
=− ∫
]
.
Теперь выполним интегрирование по частям:
= sin[ ],
= cos[ ] ,
=−
( )
=
sin[
]
| − ∙ ∫ cos[
=
,
]
;
( ).
=−
Легко видеть, что получилось дифференциальное уравнение для искомой
функции, которое можно решить методом разделения переменных:
=−
⇒
⇒ ln| | = −
=−
+
⁄
( ) = (0)
⇒
Из данного выше определения функции ( ) следует, что
(0) = ∫
=
√
=
( )=
⇒
√
Как следствие:
( − , )=
√
exp −
(
)
.
⁄
√
.
.
Физический смысл найденного решения. Подставляя найденное интегральное ядро в формулу для решения, получим:
( , )=
√
∫
( , 0)exp −
(
)
.
Предположим, что в начальный момент
времени нагрет только малый участок
стержня в окрестности точки :
0,
( , ) = 1,
0,
− ∞ < ≤ − ∆ ⁄2 ,
− ∆ ⁄2 < < + ∆ ⁄2,
+ ∆ ⁄2 < < ∞.
Подставляя найденную функцию в интеграл и полагая, что на отрезке длиной ∆ экспоненциальная функция меняется незначительно, найдем приближенно:
∆
(
)
( , )≈
exp −
.
√
Графики этой функции при различных значениях t изображены на рисунке. Мы видим, что с ростом времени распределение "расплывается" –
происходит диффузия тепла.
Уравнение, совпадающее по виду с уравнением диффузии тепла, описывает также в определенных случаях диффузию вещества.
● Стационарное распределение тепла в пластине. Рассмотрим теперь полное трехмерное уравнение теплопроводности и упростим его следующим образом – будем полагать, что образец имеет форму
тонкой пластины, лежащей в
плоскости 0 , и что температура
не зависит от времени (стационарный теплоперенос). Поскольку толщина пластины мала,
процессы поперечного теплопереноса можно не рассматривать, считая температуру зависящей от двух
координат. Уравнение теплопроводности примет вид:
=
Δ
⇒
⏟
стационарн.
Δ =0
⇒
⏟
двумерн.
( , )
+
( , )
= 0.
В соответствии с введенной выше классификацией, это уравнение эллиптического типа. Рассмотрим пластину в форме круга или кольца. Граничные условия должны быть заданы на границах пластины, т.е. в нашем
случае на окружностях. По этой причине задачу удобно решать в полярных координатах.
Лапласиан в полярных координатах. Используя обычное определение для полярных координат, можно найти оператор Лапласа в этих координатах (мы воспользуемся готовой формулой):
= cos ,
=
+
= sin
,
⇒
= arctg( ⁄ )
Δ =
+
=
+
+
.
Разделение переменных в полярных координатах и решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Введем ( , ) = ( ) ∙ Φ( )
и получим:
Δ = Φ( )
( )
+
( )
+
( )
( )
= 0.
Разделение переменных позволяет получить два уравнения:
( )
( )
⇒
( )
+
=−
( )
( )
Φ( ) = 0
(8.5),
( )
+
( )
=−
⇒
( )
+
−
( ) = 0 (8.6).
Случай ≠ . Решаем уравнение (8.5) с помощь экспоненциальной
подстановки:
Φ" + Φ = 0 ⇒ Φ = e
⇒
+
=0 ⇒ =±
⇒
⇒
Φ( , ) = ( )cos + ( )sin
Заметим, что пока на константу разделения еще не наложено никакого
условия – можно выбрать вещественным или мнимым, соответственно
будет разным константы разделения . Однако следует заметить, что поскольку - полярный угол, переход → + 2 означает, что мы сделали
циклический обход вокруг начала координат и вернулись в ту же точку;
все физические величины должны быть периодическими по с периодом
2 . Это будет так, если будет вещественным и целым.
Решим уравнение (8.6):
"+ ′−
=0⇒ =
⇒ ( − 1) + −
=0⇒
⇒ ( − 1)
=
⇒
∙
+
( , )= ( )
∙ −
=0⇒
+ ( ) − .
= . Теперь уравнение (8.5) решается иначе:
Случай
Φ" = 0
⇒
Φ′ = A
⇒
Φ( , 0) = A
+B =
(требование периодичности, налагаемое на Φ( ), заставляет нас выбрать
A = 0, так что функция становится равной константе B ).
Решаем уравнение (8.6):
′=0 ⇒
′=
⇒
′+ =0 ⇒
′=− ⁄
⇒
⁄ = − ⁄ ⇒ ln| | = −ln +
( , 0) = ( ) = ⁄ ⇒
⇒
( , 0) = ∫ ( ) = ln + .
"+
⇒
⇒
Общее решение получается путем образования всевозможных произведений Φ( , ) ∙ ( , ) и их суммирования по = 0,1,2, …. Обозначая
по-новому константы интегрирования, запишем решение в виде:
( , )= ( , )=
+∑
( )
( )cos
+
+
ln + ∑
( )
( )sin
( )
.
( )cos
+
( )
( )sin
+
Вводя отрицательные значения индексов, можно записать:
( , )= ( , )=
+
ln + ∑
[
cos
+
sin
]
.
Стационарное распределение в круглой пластине. Теперь необходимо задать и учесть в решении граничное условие. В случае круглой пластины (радиуса = ) необходимо с помощью некоторой функции от
угла задать распределение температуры на граничной окружности:
( , ) = Ψ( ). Заметим, что роль другого граничного условия выполняет требование, наложенное на асимптотическое поведение решения при = . Оно состоит в том, что поскольку точка = входит
в физическую область, в этой точке температура ( , ) не может
стремиться к бесконечности. По этой причине = 0,
=
= 0 при
< 0. Остальные коэффициенты можно найти из равенства:
( , ) = Ψ( ) =
+∑
[
cos
+
sin
]
.
Заметим, это равенство есть фактически разложение Ψ( ) в ряд Фурье.
Находя коэффициенты ,
и с помощью формул, которые были рассмотрены в теме 7, получим в итоге:
( , )=
=
[
+∑
∫ Ψ( )
,
cos
=
+
sin
] ,
∫ Ψ( )cos
,
=
∫ Ψ( )sin
.
Можно подставить выражения для коэффициентов в решение и получить
формулу, выражающую ( , ) через ( , ) = Ψ( ):
( , )= ∫
+∑
cos[ ( − )]
( 0, )
.
Общее решение для случая кольца можно получить аналогичным образом. В этом случае следует оставить ненулевыми даже коэффициенты, входящие в члены, расходящиеся при → (точка = 0 теперь
не принадлежит физической области!). Коэффициенты следует искать, используя два равенства, получающиеся при разложении функций ( , )
и ( , ), задающих начальные условия на внешней ( = ) и внутренней ( = ) границах кольца.
Стационарное распределение температуры в кольце в случае постоянных значений на внутренней и внешней границах. Вместо решения общей задачи мы ограничимся рассмотрением случая, когда на граничных окружностях температуры фиксированы и не зависят от углового положения точки:
( , )=Ψ =
( , )=Ψ =
,
.
Поскольку распределения температуры на границах зависят
только от и не зависят от (и это будет справедливо и
для точек внутри кольца), полагаем
=
= 0 при всех ≠ 0. Формула
для общего решения примет вид: ( ) =
+ ln ; условия на границах
задаются уравнениями: Ψ =
+ ln , Ψ =
+ ln . Решая систему двух уравнений с двумя неизвестными, находим:
Ψ − ln = Ψ − ln
⇒
= (Ψ − Ψ )⁄(ln − ln );
(Ψ −
)⁄ln
Ψ ln
− Ψ ln
= (Ψ −
=
Находим решение :
(ln
)⁄ln
⇒ Ψ ln
− ln ) ⇒
( )=
−
ln
=
= Ψ ln
−
.
+
ln .
ln
⇒
Тема 9. Цилиндрические функции
● Стационарные колебания в двумерной среде. Будем искать стационарное решение однородного волнового уравнения, полагая, что возбуждение происходит через зависимость от времени граничных условий. Будем считать, что возбуждение является синусоидальным и что число пространственных переменных равно двум. Задавая зависимость от времени,
получаем:
=
∆
⇒
( , )= ( )
⇒ ∆ +
= 0,
= .
Мы получили однородное уравнение Гельмгольца ∆ +
= 0, которое
далее будем решать в полярных координатах. Преобразуя лапласиан,
имеем:
Δ =
+
=
+
⇒
+
+
= 0.
Ищем решение методом разделения переменных: ( , ) = ( ) ∙ Φ( ):
Φ
+
+
=0 ⇒
+
=−
=
⇒
⇒
+
−
= 0,
+
Φ=0.
Как и в примере, рассмотренном в конце темы 8, физическое решение
должно быть функцией от , периодической с периодом . Для этого
число должно быть вещественным и целым. Далее, чтобы освободить
первое уравнение от одного из параметров, сделаем замену = :
(
)
(
)
(
)
+ 1−(
)
=0 ⇒
+ 1−
= 0.
Уравнение для функции ( ), записанное выше (справа) называется уравнением Бесселя.
● Представление решения уравнения Бесселя в виде ряда. Теперь мы
рассмотрим процедуру решения уравнения Бесселя, которое можно записать в одной из двух форм:
"+
′+ 1 −
=0
⇔
"+
′+(
−
) = 0,
⁄
где " ≡
, ′ ≡ ⁄ . Далее, при отыскании решения нам будет
более удобно считать, что – это вещественное (а в некоторых случаях –
комплексное) число; случай, когда
дет рассмотреть, как частный.
= ,
= 0,1,2,3 … всегда можно бу-
Асимптотика → . Чтобы правильно выбрать форму ряда, который
представляет решение, рассмотрим характер поведения решений в пределе → 0. Для этого, считая малым, положим 1 − ⁄ ≈ − ⁄ .
Уравнение Бесселя превратится в этом случае в однородное уравнение
второго порядка:
"+ ′−
= 0. Известно, что решение такого
уравнения следует искать в виде = ; после подстановки имеем:
∙ ( − 1)
+
∙
−
=0
⇒
=
⇒
=± .
Поиск коэффициентов ряда для функции Бесселя. Учитывая проведенный анализ асимптотического поведения, будем искать общее решение в виде:
( )=
∑
+
+
+⋯+
+⋯ =
.
Найдем производные
=∑
⇒
⇒
=∑
"=∑
( + )
( + )( +
⇒
− 1)
и подставим их в уравнение, группируя члены:
"+
′+(
+ ∙ ∑
( + )
[
]
−
∙ ∑
( + )( +
∙ ∑
+
[( + ) −
=∑
=
) =
−
]
+
∙ ∑
−
+∑
[( + 1) −
+
− 1)
=
=
]
+∑
[( + ) −
]
+
(∗)
+∑
≡ 0.
(∗∗)
Произведем теперь переименование индексов суммирования:
(*); = в (**). В результате получим:
"+
′+(
+∑
=
0
[
−
) =
0
[( + + 2) −
]
]
−
+
1
[
[( + 1) −
+∑
]
−
+
+∑
]
1
[( + 1) −
]
= +2в
+
=
+
[( + + 2) −
]+
≡ 0.
Поскольку функции
при различных значениях являются линейно-независимыми, линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю только в
том случае, если равны нулю подчеркнутые коэффициенты:
[
2
−
2]
= 0,
[( + 1)2 −
2]
= 0,
+2 [(
+ + 2) 2 −
2]
+
= 0,
где = 0,1,2 …. Далее примем во внимание следующие соображения:
а)
≠ 0, поскольку условие = ∑
~ , = ± , накладыва-
емое на асимптотическое поведение решения при → 0, выполняется
только в этом случае;
б)
= 0, поскольку если = ± , то ( + 1) − ≠ 0; как следствие,
равенство [( + 1)2 − 2 ] = 0 может быть выполнено только за счет
того, что нулю равен первый сомножитель;
[… ] + = 0 связывают между собой коэффициенты со
в) уравнения
значениями индексов, отличающимися на 2, так что из
= 0 следует равенство нулю всех коэффициентов с нечетными номерами:
= 0.
Остающиеся условия для ненулевых коэффициентов
≠ 0,
=−
⁄( + + )( + − )
можно переписать, сделав замену
≠ 0,
=−
(
=2 :
) ⁄(
+ )( + 2
+2
− ).
Теперь с помощью этих формул любой коэффициент можно выразить через , при том что
можно выбрать произвольным образом. Принятая форма записи функций основана на выборе в качестве
специальных выражений, содержащих гамма-функцию.
●● Свойства гамма-функции. Определим гамма-функцию предельным
выражением
!
Γ( ) = lim ( )( )⋯( ) .
→
Докажем ряд выражений, отражающих свойства гамма-функции:
(i)
Γ( ) = lim
→
(
)(
!
)⋯(
)(
)
= Γ( + 1) ∙ 1 = Γ( + 1);
(ii) lim Γ( ) = ±∞, если k – целое число (при
→
знаменателе);
→ − возникает ноль в
(iii) Γ(1) = lim
→
!
∙ ∙ ⋯(
)
= lim
=1 ⇒
→
⇒ Γ( + 1) = Γ( ) = ( − 1)Γ( − 1) = ⋯ = ! Γ(1) = !.
Итак:
Γ( ) = Γ( + 1) ,
lim Γ( ) = ±∞, Γ( + 1) = !.
→
Далее случаи = + и = − мы должны рассмотреть отдельно. Каждый из них соответствует одному из фундаментальных решений (вспомним, что у уравнения второго порядка таких решений должно быть два).
Случай
⇒
Полагая
= :
=−
2
⁄(2
⁄2
= (−1)
=−
⁄2
(
+ ) ⇒
! ( + 1)( + 2) ⋯ ( + ) .
= 1⁄2 Γ( + 1). В итоге:
≠ − , удобно выбрать
= (−1)
+ 2 )2
22
+
Γ( + 1)Γ(
+ + 1).
Подставляя эти коэффициенты в ряд, получим выражение для функции
Бесселя первого рода –ого порядка:
( )=∑
(
( )
) (
)
.
(9.1)
Случай
⇒
Полагая
=− :
2
=−
⁄(2
= (−1)
⁄2
=−
⁄2
(
− ) ⇒
! (− + 1)(− + 2) ⋯ (− + ) .
= 1⁄2− Γ(− + 1). В итоге:
≠ , удобно выбрать
= (−1)
− 2 )2
22
−
Γ( + 1)Γ(
− + 1).
Подставляя эти коэффициенты в ряд, получим выражение для функции
Бесселя первого рода (− ) –ого порядка:
( )=∑
(
( )
) (
)
.
Сравнивая записанные выражения, можно заметить, одно превращается в
другое в результате замены ↔ − . Таким образом, оба случая описываются
одной и той же формулой. Общее решение уравнения Бесселя, содержащее две
константы интегрирования, имеет вид:
( )=
( )+
( ).
● Решения уравнения Бесселя с = ± . Мы не можем перейти к
функции Бесселя порядка = − простой подстановкой целого отрицательного значения , поскольку некоторые Г-функции, входящие в коэффициенты
ряда, в этом случае не существуют (расходятся в бесконечность). Однако можно
искать предельные значения lim при → − . Заметим, что если = − + ,
то
Γ(
+ + 1) = Γ(
−
+1+ )
→
⎯
± ∞,
если − + 1 ≤ 0, или
≤ − 1. Как следствие, в пределе = − все
члены ряда, номера которых удовлетворяют неравенству 0 ≤ ≤ − 1,
становятся равными нулю вследствие стремления Г-функций, стоящих в
знаменателях, к бесконечности – начальное значение индекса суммирования = . Делая замену
= + , = 0,1,2, …, можно найти:
( ) ≝ lim
→
( )=∑
=∑
(
(
(
( )
) (
)
) (
)
)
=
= (−1)
( ).
Мы можем сделать заключение, что функцию Бесселя при целом отрицательном можно определить с помощью предельной процедуры, но в
( )и
( ) линейно зависимы, не
этом частном случае функции
образуют (!) пару фундаментальных решений и не могут быть использованы для получения общего решения.
● Рекуррентные формулы для функций Бесселя. Докажем ряд полезных соотношений, связывающих функции Бесселя с разными .
( )=∑
⇒
=∑
( )
(
=
( )
( ) (
( )
) (
∑
)
⇒
)
(
( )
) (
=
⏟∑
(в)
=
⏟∑
)
(
(
(а)
( )
) ( [
]
)
( )
) (
=
⏟−
=
⏟
)
(б)
( )
.
(г)
Чтобы получить конечное выражение, мы выполняем: (а) почленное дифференцирование ряда; (б) с помощью равенства Γ( + 1) = Γ( ) делаем замену в
знаменателе и сокращаем 2 ; (в) заменяем на = − 1; (г) умножаем и
делим выражение на . Аналогичным образом находим:
[
=∑
( )]=
(
(
) (
∑
)
[
(
[
]
]
)
( )
) (
[
]
=
⏟∑
)
=
⏟
(
)
(
(а)
(
)
) (
)
=
⏟
(б)
( ).
(в)
Здесь выполнено: (а) почленное дифференцирование; (б) замена в знаменателе с помощью Γ( + + 1) = ( + )Γ( + ) и сокращение множителя 2( + ); (в) выделение сомножителя . Используя итоговые формулы
( )
( )
[
( )]=
( ) (9.3),
=−
(9.2),
можно найти:
( )
⇒
+1 ( ) =
( )
⇒
( )+
=−
=
−1 ( ) =
( )−
′
′
( )
⇒
( );
( )+
( )+
( )=−
( ).
( )=
( )
⇒
Далее, путем комбинирования, можно найти:
( )+
( )=
( ),
( )−
( ) = −2 ( ).
В частность, выполняются соотношения:
( ) = − ( );
[
( )] =
( )⇒
( )=∫
( )
.
● Функции Бесселя полуцелого порядка. Подставим в найденное вы
также Γ( + 1) = !, получаем:
/
(
! (
( )=∑
⁄
)
,
⁄ )
/
(
! (
( )=∑
⁄
)
.
⁄ )
Далее, используя свойства Г-функции (Γ(1/2) = √π, без вывода), найдем:
Γ
+
=
+
=
Γ
+
+
−
Выполним преобразования:
=
+
⋯ ∙ ∙Γ
−
=
Γ
−
∙ ∙ ⋯(
=
)
Γ
=
(
)!!
√π .
! (2 + 1)!! ∙ 2 = 1 ∙ 2 ∙ 3 ⋯ ∙ 2 ∙ 2 ⋯ 2 ∙ 1 ∙ 3 ∙ 5 ⋯ (2 + 1) =
сомн.
сомн.
= (2 ∙ 4 ∙ 6 ⋯ 2 ) ∙ 1 ∙ 3 ∙ 5 ⋯ (2 + 1) = (2 + 1)! .
Подставим это выражение в формулу для функции Бесселя и получим:
/
(
! (
( )=∑
=
⁄
)
⁄ )
∑
( )
!(
=
=
)!!∙
(
∑
!(
∑
(
)
)!!∙
√
)
(
)!
=
∙
=
sin .
Аналогичным образом можно получить:
/
( )=⋯=
∑
(
)
(
)!
=
cos .
Запишем результирующие формулы:
/
( )=
sin ,
/
( )=
cos .
Чтобы получить функции Бесселя с другими значениями полуцелого индекса,
можно использовать найденные выше соотношения, связывающие функции с
разными индексами, например:
⁄
( )=
( )−
⁄
⁄
( )=
2
sin
−
+ cos
2
−
2
.
● Асимптотическое поведение решений уравнения Бесселя при
больших значениях аргумента . Выше мы нашли решение уравнения
Бесселя в виде функции Бесселя. При нецелых пара функций с индексами ± образует полную систему решений, однако при целых эти
функции линейно-зависимы. В этом особом случае также существует
второе линейно-независимое решение; мы найдем его позже. Анализ поведения решений уравнения Бесселя (называемых также цилиндрическими функциями), который мы представим ниже, пригоден для всех решений. Выполним в уравнении Бесселя "+(1⁄ ) ′+(1 − ⁄ ) = 0
замену ( ) = ( )⁄√ :
= −(1⁄2)
" = (3⁄4)
(3⁄4)
+ 1−
⁄
2⁄ 2
⁄
⁄
⁄
−
⁄
⁄
+
′,
⁄
− 2(1⁄2)
⁄
′+
=
⁄
′+
⁄
" + (1⁄ ) −(1⁄2)
⁄
"+
+ (1⁄4)
",
⁄
⁄
⁄
+
−
2
⁄
′ +
=
=
⁄
"+ 1−
2− ⁄
Мы видим, что функция
"+ 1−
( )
= 0.
( ) является решением уравнения
= 0,
( )=
2
− 1⁄4
= (
→
) ⎯⎯
0.
Чтобы найти асимптотическое поведение при больших x, можно ограничиться решением уравнения в нулевом порядке малости по , т.е. решить
( ) = cos + sin хорошо изуравнение " + = 0. Его решение
вестно; оно может быть также записано в виде:
= sin
( ) = sin( + ).
⇒
= cos
Понятно, что при ином определении констант вместо синуса мы получим
косинус. В некоторых случаях требуются решения, которые ведут себя в
асимптотике как эйлеровская экспонента. Находя соответствующие , получаем такие варианты асимптотического поведения:
=
=
−1⁄2
sin( +
−1⁄2
cos( +
)+
)+
−3⁄2
−3⁄2
,
,
−1⁄2
=
exp⌈ ( +
)⌉ +
−3⁄2
⁄
(чтобы показать, что опущенные члены имеют порядок малости
,
нужно провести расчеты, которые мы опускаем).
Асимптотическое поведение функции ( ). Найдем теперь асимптотическую формулу для функции Бесселя 1-ого рода ( ). Поскольку
эта функция однозначно определена, для нее значения констант
и
должны быть также вполне определенными. Будем считать, что
⁄
( )=
cos( +
⁄
)+
−
cos( +
(−1⁄2)
⁄
⁄
)+
cos( +
)−
≡( ⁄ )
⁄
sin( +
≫1
( ) = ( ⁄ ) ( )−
и подставим асимптотические выражения в
⁄
при
⁄
)+
cos( +
⁄
)+
( ):
⁄
−
.
Записанное выше равенство имеет смысл тождественного равенства двух
функций, каждая из которых разложена в асимптотический ряд, т.е. по
⁄
⁄
⁄
степеням
,
,
, …. Равенство в этом случае достигается
только в том случае, если равны множители, стоящие перед множителями
⁄
с одинаковыми . Нам достаточно приравнять множители в членах
⁄
самого низкого порядка малости ~
(они подчеркнуты). Получается
равенство (а)
cos( +
) ≡ sin( + ), где справа синус можно
заменить на косинус: sin( + ) ≡ cos( + − ⁄2). Если равенство (а)
выполняется при всех , то будет верным и равенство (б) производных от
функций, стоящих в (а) правее и левее знака ≡; также будет верным равенство (в), получающееся при сложении правых и левых частей (а) и (б),
при том что в (б) справа и слева добавлены множители − :
(а)
(б) −
(в)
cos( +
sin( +
exp[ ( +
) ≡ cos( + − ⁄2),
) ≡ − sin( + − ⁄2),
)] ≡ exp[ ( + − ⁄2)].
Равенство (в) – это равенство двух комплексных чисел, представленных в
показательной форме; у таких чисел равны как модули, так и аргументы.
Значит:
= ,
= − ⁄2. Эти уравнения имеют очевидные
решения: = (не зависит от ), = − ∙ ( ⁄2). Остается найти значения двух констант. Для этого достаточно взять известное выражение
для функции Бесселя при = 1⁄2:
/
( )=
sin =
Подставляя найденные
Бесселя, получаем:
( )=
cos
и
− ∙ −
⇒
=
,
=− .
в асимптотическую формулу для функции
cos
− ∙ −
⁄
+
.
Асимптотический ряд Ганкеля. Найденной нами выражение является частью более полного выражения для асимптотического разложения
функции Бесселя:
( )=
( )=1−
( , 0) = 1,
cos
( , )
( )
−
+
( , )
( )
(
( , 2) =
( ) − sin
−
( )=
− ⋯,
)(
−
)⋯(
!
(
( ),
−
( , )
) )
,
−
( , )
( )
+ ⋯,
= 1,2,3 ….
● Функции Ханкеля и функция Неймана. Рассмотрев предварительно
вопрос об асимптотическом поведении решений уравнения Бесселя при
малых , мы показали что должно быть два типа решений, ведущих себя
при ≪ 1 как ~ ± . Далее мы показали, что при ≠ ± , где - целое
число, этими решениями являются функции ± ( ). Однако при = −
( ) = (−1) ( )~ ; второй функции, составляющей
получается:
вместе с ( ) фундаментальную систему решений, у нас нет. Наша
задача – найти эту функцию.
Будем рассуждать следующим образом. Если две функции составляют
систему линейно-независимых решений, линейно-независимыми будут и
функции, описывающие их асимптотическое поведение. Мы знаем, что
( ) ≈ 2⁄ cos( − ⁄2 − ⁄4) при ≫ 1, а также знаем, что функцией, линейно независимой по отношению к cos(… ) является sin(… ).
Можно, таким образом, поставить задачу найти решение уравнения Бесселя с асимптотикой ~ 2⁄ sin(… ).
Определим функции Ханкеля 1-ого и 2-ого рода как комплексные
функции с заданной асимптотикой при ≫ 1:
( )
( )
( )≈
2⁄
exp[ ( −
( )≈
2⁄
exp[− ( −
⁄2 − ⁄4)] ,
( )
⁄2 − ⁄4)] ,
( )=
( )
( )
∗
(вещественные и мнимые части каждой из этих функций имеют обе интересующие нас асимптотики). Рассматривая пока случай = − , воспользуемся тем, что при этом условии функции ± ( ) составляют полную систему и разложим:
( )
( )=
( )+
( ).
Коэффициенты
и
не зависят от , так что аналогичное уравнение
для асимптотических форм все трех функций будет иметь вид:
(
)
=
cos
−
−
+
cos
+
−
.
Преобразуем подчеркнутую часть, добиваясь однотипности аргументов:
cos
−sin
+
−
−
−
= cos
∙ sin(
−
).
−
+
= cos
−
−
∙ cos(
)−
Теперь в левой части предыдущего равенства выразим экспоненту через
синус и косинус, а справа запишем подчеркнутое выражение по-новому.
Опуская множитель с радикалом, получим:
cos
+
−
−
cos
+ ∙ sin
−
−
∙ cos(
−
−
=
) − sin
cos
−
−
−
−
∙ sin(
+
) .
Отдельно приравнивая множители, стоящие перед синусами и косинусами, находим систему уравнений для коэффициентов и решаем ее:
1=
⇒
cos(
+
=
(
)
,
),
sin(
=−
cos(
=1−
)
⇒
)=1−
(
(
)
)
=−
(
)
.
Подставляя коэффициенты, находим выражение для функции Ханкеля:
( )
( )=−
(
)
( )
+
( ).
Вещественная часть функции Ханкеля. Асимптотика вещественной
части функции ( ) ( ) была выбрана совпадающей с асимптотикой ( );
можно предположить, что вещественная часть всегда совпадает с ( ).
Покажем, что это действительно так:
( )
Re
(
( ) = Re
(
)
(
))
(
( )
( )
)
=
( ).
Мнимая часть функции Ханкеля. Асимптотика мнимой части функции ( ) ( ) была выбрана так, чтобы она была линейно-независимой по
отношению к асимптотике ( ). Обозначим
( )
( )=
( )+
( )
и найдем функцию Неймана (функцию Бесселя второго рода)
( )
( ) = Im
(
( ) =
)
( )
( )
( ):
( )
.
Теперь, переходя к пределу → , найдем второе фундаментальное решение при целых , линейно-независимое по отношению к ( ):
( ) = lim
( ) = lim
→
= lim
→
(
⁄
(
)
(
)) (
→
)
(
)
(
(
)
( )
( )
( )
⁄
)
=
=
− (−1)
.
Замечание. Полученный результат может показаться парадоксальным: мы
скомбинировали ( ) из функций ± ( ), которые при целых перестают быть
линейно-независимыми, и тем не менее получили для = функцию ( ), ли( ). Все дело в том, что подчеркнутая
нейно независимую по отношению к
дробь, стоящая под знаком предела, дает неопределенность [0⁄0], которая далее
раскрывается по правилу Лопиталя.
Покажем на простом примере, что таким образом действительно можно получить линейно-независимые функции. Определим функции ( ) ( , ) = +
и ( )( , ) = −
, которые линейно-независимы при ≠ 0, но перестают быть таковыми при → 0:
lim ( ) ( , ) = lim ( ) ( , ) = .
→
→
Функцию, линейно-независимую по отношению к ( ) ( , 0) можно, однако,
найти в виде предела:
lim ( ) ( , ) − ( ) ( , ) ⁄ = 2 .
→
Запишем результирующее выражение для функции Неймана:
( )=
− (−1)
.
Можно записать это же выражение в виде ряда; это громоздкое выражение
мы опустим (см. справочники). Можно показать, что:
( , )
( ) = (2⁄ )ln + ⋯ ;
⁄
( )=−
( )
⁄ (
)=
⁄
2⁄
( )=
2⁄
( ),
( )~
sin( − ⁄2),
exp[ ( − ⁄2)].
при
> 0,
≪ 1;
Графики функций
( )и
( ) выглядят так:
Тема 10. Решение краевых задач
с помощью цилиндрических функций
● Постановка основных краевых задач. Рассмотренные нами волновое уравнения и уравнения диффузии тепла содержат производные по времени и пространственным координатам. Мы познакомились с простыми
частными случаями одномерный уравнений, когда в качестве дополнительных условий берутся начальные и граничные условия. Такую постановку задачи можно обобщить на более общие случаи.
Задача Коши. Если уравнение описывает изменение (движение) во
времени, его обычно дополняют начальными условиями (постановка задачи Коши). В случае уравнения гиперболического (второго порядка по
времени) и параболического (первая производная по времени) дополнительные условия выглядят так:
гиперболический тип
|
= ( ), ( ⁄ )|
= ( ),
параболический тип
|
= ( ).
Краевые задачи. Для уравнений, которые в стационарном случае становятся уравнениями эллиптического типа (имеется
сумма вторых производных по координатам), типичные способы задания дополнительных условий таковы:
краевая задача первого рода | = ,
краевая задача второго рода ( ⁄ )| =
краевая задача третьего рода [( ⁄ ) +
,
]| =
.
Предполагается, что область G, в пределах которой происходит физический процесс, описываемый уравнением, имеет границу S. В левых частях
равенств находятся искомая функция или ее производная по направлению нормали к границе ( ⁄ ), или линейная комбинация этих величин
( ⁄ ) + , взятые в точках границы: (⋯ )| . Справа находятся функции, заданные в точках границы S.
В частном случае уравнений Пуассона ∆ = − или Лапласа ∆ = 0
принято называть краевые задачи так:
∆ =−
∆ =−
или ∆ = 0, | =
– задача Дирихле,
или ∆ = 0, ( ⁄ )| =
– задача Неймана.
Смешанной задачей принято называть постановку задачи для полных
уравнений, когда одновременно решается задача Коши (по времени) и
одна их краевых задач (по координатным переменным).
● Полный и ортогональный набор функций Бесселя. Выше мы получили уравнение Бесселя и функция Бесселя, исходя из задачи о решении
волнового уравнения при фиксированной частоте колебаний. Для того,
чтобы решить эту задачу до конца, необходимо научиться представлять
любые решения в виде рядов по функциям Бесселя (подобно тому, как в
одномерном случае мы получали решения в виде тригонометрических рядов Фурье). Прежде чем приступать к решению уравнений, мы должны
найти полный (счетный) набор функций Бесселя, пригодный для построения рядов. Покажем, что такой набор существует.
Учет граничных условий на отрезке и в прямоугольной области.
(а) Струна, закрепленная на концах (краевая задача первого рода).
Решением уравнения является комбинацией функций sin( ), cos( ); на
(0, ) = , ( , ) = , легко
концах отрезка [0, ] заданы условия
сводящееся к условию закрепления: (0, ) = ( , ) = 0. Мы отбираем
только те из функций
( ), которые обращаются в ноль на концах
( ),
⁄ ,
отрезка:
=
= , ,…
(б) Струна, закрепленная на левом конце, краевая задача третьего
рода на правом конце. Уравнение для нахождения
примет
( , )+
вид: [
( , )]|
= (при = 0 получится первая краевая
задача, при = 0 – вторая краевая задача). Если на левом
конце (0, ) = 0, останется только sin( ) и уравнение
( )+
( ) = . Хотя запизапишется как
санное уравнение не может быть решено аналитически
(является трансцендентным), легко показать графически
(см. рисунок слева), что и в этом случае возникает
счетное множество решений ,
= , ,…
(в) Круглая пластина, краевая задача третьего
рода на граничной окружности. Уравнение, определяющее граничные условия, примет вид
( , , )+
( , , ) = 0;
после разделения переменных и подстановки ( , ) =
( )Φ( ) в уравнение Гельмгольца функция Φ( ) может быть сокращена; место ( ) займет решение уравнения Бесселя ( ). В итоге, если радиус диска =
, уравнение примет вид
( )+
( ) = 0.
Всегда можно выбрать масштаб так, чтобы выполнялось = 1. Тогда уравнение запишется как
( )+
( ) = 0.
Отметим, что функции Бесселя, как и тригонометрические функции
sin(⋯ ), cos(⋯ ), осциллируют; из этого следует похожесть процедур
учета граничных условий для этих функций. Рисунок иллюстрирует случай краевой задачи первого рода: (внизу) в случае тригонометрических
функций sin(⋯ ) мы отбираем только те из них, которые обращаются в на
концах отрезка; (вверху) в случае функций Бесселя мы отбираем функции,
имеющие ноль на границах окружности заданного радиуса.
( )+
( ) = . Рассмотрим уравнение при
Корни уравнения
значениях переменных ≥ 0, ≥ 0, + > 0, а также при > −1. По(
) и
кажем, что если
и
– корни уравнения, то функции
(
) ортогональны на [ , ] (в смысле некоторого скалярного произведения, которое мы определим ниже).
Преобразуем уравнение Бесселя к более удобной форме:
( )+
( )+(
−
Теперь сделаем замену =
+
) ( )=0 ⇒
( )
+
−
( ) = 0.
:
−
=0 ⇒
⇒
+
2
−
Запишем результат комбинирования уравнений при двух значениях
= 0.
:
( ( (
1
)) ) +
( ( (
2
)) ) +
2
1
2
2
−
⁄
1
=0
| умнож. на
2
−
⁄
2
=0
| умнож. на −
1
сложить
Домножим левые и правые части уравнений на указанные множители, результаты сложим. Затем первые и вторые слагаемые разнесем по разные
стороны от знака равенства, далее – проинтегрируем по . Получим:
∫
(
=∫
(
)
(
)
(
)
(
−
)
(
)
(
−
)
(
)
(
(
)
)
−
(
)
=
−
(
−
=∫
)
(
(
)
)
)
(
+
)
(
)
=
=
(
=
)
(
)
−
(
)
(
)
| =
(∗)
=∫ −
−
+
−
(
) (
)
=
2−
2
2 ∫
1
(
) (
)
.
Подчеркнутые слагаемые во второй и третьей строках (сверху) сокращаются. Рассмотрим подробнее процедуру подстановки значений в выражение (*). Подстановка верхнего предела требует выполнения преобразований:
|
=
|
=
|
=
.
Чтобы правильно подставить нижний предел, нужно рассмотреть поведение функции Бесселя и ее производной вблизи нуля. Имеем:
(
)=
(
)
=
(
(1 + (
)
(
)=
(
)),
(1 + (
)
)).
После подстановки этих выражений в (*) члены наиболее низкого порядка
малости точно сокращаются. Для членов следующего порядка малости, с
учетом условия > −1, имеем:
(∗) = (
2
)
→
⎯
0.
Таким образом, ненулевой результат даст только подстановка верхнего
предела = 1. В итоге получаем:
) (
)
[
( ) ( )−
( ) ( )] .
=
∫ (
Случай
≠ . До этого момента мы никак не использовали тот
факт, что
и
– корни уравнения, следующего из условия на границе.
Запишем это уравнение с подставленным в него корнем, как верное равенство, дважды:
( )+
( )=0
( )
( )
⇒ + >0 ⇒
= 0.
( )+
( )=0
( )
( )
Рассмотрим выражение слева как систему двух линейных однородных
уравнений относительно переменных и . Поскольку + > 0, у нас
решение этой системы не является тривиальным (нулевым). В соответствии с теорией систем линейных уравнений, это возможно только в
случае, когда определитель матрицы системы равен нулю (выражение
справа). Как следствие:
( ) (
)−
(
) ( )=0 ⇒∫
(
) (
)
= 0.
Правое равенство может быть интерпретировано следующим образом: существует скалярное произведение, относительно которого функции
с разными значениями попарно-ортогональны:
( , )=∫
( ) ( )
( )=
,
( ),
⇒
≠ .
( ) = 0 при
Случай
= . До этого чтобы найти значение интеграла в этом случае, нужно раскрыть неопределенность с помощью правила Лопиталя:
∫ [ (
)]
= lim
[
= lim
→
(
) (
)
(
) (
( ) (
)
→
−
( )
( )+
( ) =
⏟
(∗)
(
)−
) (
(
)
) ( )] =
= [ ( )] −
[ ( )] −
( ) 1−
.
Выражение, стоящее левее знака равенства, помеченного (*), превращается в правое выражение с помощью уравнения Бесселя, в данном случае
принимающего вид:
( )+
( )+ 1−
( ) = 0.
Объединяя полученные выше выражения, можно получить окончательно
для любых пар корней и :
(
∫
)
=
−
1−
.
Вещественность корней и другие их свойства. Покажем, что если
, и – вещественные числа, то корни также будут вещественными.
Поскольку при вещественных степенные ряды, определяющие функции
Бесселя, не содержат мнимых единиц, выполняется ( ∗ ) = [ ( )]∗
(здесь * - комплексное сопряжение). Из этого следует, что:
[
( )+
( )]∗ =
( ∗) +
∗
( ∗ ) = [0]∗ = 0,
то есть если - корень, то ∗ - также корень. Покажем теперь, что
то есть что - вещественное число.
∗
= ,
Проведем доказательство методом "от противного". Предположим,
что ∗ ≠ ; тогда из полученного выше следует, что
0, так как ∗ ≠ ,
=
∫ ( ) ( ∗ )
> 0.
∫ | ( )|
Выводы, записанные правее фигурной скобки, противоречат друг другу.
Противоречие снимается только в том случае, если ∗ = .
Можно показать, что корни являются простыми, симметрично расположены относительно точки 0 и в множестве корней нет конечных предельных точек (доказательство опускаем). Корни могут быть
упорядочены:
<
<
< ⋯.
● Нестационарный теплоперенос в круге в
отсутствие источников тепла. Рассмотрим пластину, имеющую форму круга (диска), из теплопроводящего материала. Будем считать, что со стороны боковой поверхности пластина теплоизолирована, на границе же заданы краевые условия.
Взяв двумерное однородное уравнение теплопроводности, вначале
отделим переменную время, в результате чего получим уравнение Гельмгольца:
=
∆
⇒
( , )= ( )
⇒
∆ +
= 0,
=√ .
Выполним теперь разделение переменных в полярных координатах:
+
+
= 0 ⇒ ( , ) = ( )Φ( ) ⇒
( ) +( −
Φ" + Φ = 0,
⁄ ) = 0,
= 0,1 …
Решение уравнения " +
= . Как и выше, требуемые нам решения, периодические с периодом 2 , получаются при целых значениях .
Роль фундаментальных решений играет 1 при = 0 и функции cos ,
sin при ≠ 0.
Решение уравнения Бесселя и запись общего решения. Поскольку
константа – целая, фундаментальная система решений уравнения Бесселя должна включать в себя функции Бесселя ( ) и функции Неймана
( ) . Общее решение уравнения Гельмгольца при фиксированном
можно представить в виде:
( , , )=∑
( )
(
)+
+
( )
( )
(
(
) cos
)+
( )
+
(
) sin
.
Постановка краевой задачи и учет граничных условий. Будем считать, что на границе диска заданы условия, соответствующие третьей краевой задаче. В случае уравнения теплопереноса физический смысл такого условия состоит в том, что задана линейная связь между температурой и потоком тепла на границе. В случае диска, когда границей
G является окружность радиуса , условия можно записать как:
(1) ( , )||
(2)
|→
( , )+
= ( , , )|
→
< ∞ (нет расходимости в нуле!),
( , ) | =[
( , )+
( , )]| = 0.
Равенство (1) содержит требование ограниченности решения в начале
координат; вследствие этого требования следует отбросить члены с
функциями Неймана. В равенстве (2) можно перейти к дифференцированию по сферической координате:
=
+
+
⇒
∙
=
.
Подставим в (2) ⁄
= ⁄ и, на место ( , , ), частное решение в
( )cos
( )sin . В результате,
виде
или в виде
после сокращения функций от и , получится уравнение, из которого
можно найти допустимые значения константы :
( , , )
( , , )+
|
=0
⇒
(
)+
(
)=0.
Замена переменных позволяет привести полученное уравнение к рассмотренному выше уравнению, имеющему счетное множество корней:
=
( )
,
( )
, = 1,2,3 … − корни уравнения
( )+
( ) = 0.
( )
Теперь, учтя, что = ( )
и =
=
, мы можем найти общее решение, удовлетворяющее граничным условиям. Это решение
можно записать, используя функции синус и косинус, либо с помощью
эйлеровский экспонент:
( , )= ( , , )=
=∑
∑
=∑
cos
∑
e
+
∗
+
( )
( )
sin
=
( )
( )
e
.
Учет начальных условий. Чтобы решить задачу Коши и учесть
начальные условия, мы должны выразить решение в произвольный момент времени через распределение температуры в начальный момент времени. Нам понадобятся соотношения ортогональности:
(2) ∫
=
∫
(
=∫
(1) ∫
( )
( )
( )
)
=
,
( )
∫
( )
=
+
=2
( )
1−
( )
=
+
⁄
( )
=
( )
.
Теперь можно записать:
( , 0) = ( , ) = ∑
e
∫
=∑
∑
∫
=∑
∑
∫
=∑
∫
( )
( )
( )
( )
,
∗
( )
e
⇒
=
( )
( )
( )
+
( )
( , )
∫
=2
∑
e
∫
∙2
∙2 [
+
+
+
∗
∗
∗
,
e
=
=
]=
≠0
+
∗
,
= 0.
Мы получили возможность выразить коэффициенты
через интегралы,
содержащие ( , ); остается подставить их вы выражение для решения,
принимающего вид ряда Дини-Бесселя:
2
( , ) = ∫0 0
( , )
2
∫0
∙ {2cos[ ( − )] −
1
∞
∞
∑
∑
=1
=0
2
0
} exp −
1
( )
( )
( )
0
( )
∙
0
.
Можно также записать решение в виде:
( , ) = ( , , ) = ∫0 0
( , ; , ; )=
∑
∑
2
∫0
( , ; , ; ) ( , , 0) ,
( )
( )
∙
( )
∙ {2cos[ ( − )] −
} exp −
( )
.
● Теплоперенос в круге при наличии источников тепла. Рассмотрим
теперь неоднородное уравнение теплопроводности:
= [∆ + ( , )].
Мы должны найти частное решение этого уравнения; результирующее общее решение неоднородного уравнения можно получить, прибавляя к
частному решению общее решение однородного уравнения.
Учет граничных условий. Будем считать, что эти условия имеют тот
же вид, что и выше. Тогда решение сразу можно записать в виде разложения по функциям, зависящим от пространственных координат:
( , )= ( , , )=∑
( )
∑
( )
+
∗
( )
.
Разложение в ряд функции ( , ). Предположим, что функция, описывающая источники тепла, также может быть разложена в ряд:
( , )= ( , , )=∑
( )
∑
( )
+
∗
( )
.
Используя записанные выше соотношения ортогональности, можно выразить коэффициенты этого ряда через саму функцию:
( )=
2 ( )
0
∫
( , , )
∫
( )
.
Найдем теперь результат действия оператора Лапласа на каждую из функций, по которым производится разложение в ряд:
∆
( )
±
=
+
{⋯ } =
=
±
( )
+
=
⏟−
( )
2
( )
0
±
.
(∗)
При переходе от левой части равенства (*) к правой было использовано
уравнение Бесселя. Мы показали, что функции (⋯ ) ±
являются
собственными функциями оператора Лапласа. Подставляя теперь в
уравнение теплопроводности функции ( , ) и ( , ) в виде разложений
в ряды, а также учитывая результат действия оператора ∆, найдем:
∑
×
∑
( )
( )
+ к. с. +
⁄
∑
+ к. с. = −
∑
( )
( )
( )
∑
∑
( )
×
+ к. с.
(здесь "к.с." означает "комплексно-сопряженный член"). Перемножая подчеркнутые величины и составляя равенства, получаем бесконечную систему линейных дифференциальных уравнений:
( )
( )
( )=
( ).
+
Используя метод решений, изучаемый в курсе теории обыкновенных дифференциальных уравнений, находим решения:
( )=
( )
(0)
( )
+
∫
(
)
( )
.
Подставляя это решение в записанное выше разложение в ряд функции
( , ), находим окончательно:
2
( , ) = ( , , ) = ∫0 0
( , ; , ; )=
+
∫0
∑
∑
∫0
0
( , ; , ; ) ( , , 0) +
2
∫0
∫0 ( , ; , ; − ) ( , , )
( )
( )
∙
( )
∙ {2cos[ ( − )] −
} exp −
,
( )
.
● Колебания плоской мембраны. Рассмотрим задачу о колебаниях
круглой мембраны. В этой задаче физически понятным типом граничных
условий будет условие закрепленности мембраны на границах круга,
что соответствует краевой задаче I рода: | = . Если для краевой за( )+
( ) = 0, то к интедачи III рода уравнение имеет вид
ресующему нас случаю можно перейти, полагая = 0. Имеем:
(
)=0
⇒
( )
=
( )
,
( )
=
,
( )
где
- корни функции Бесселя; нормировочные коэффициенты выражаются через значения производных функция Бесселя в точках, соответствующих корням. Будем решать задачу о свободных колебаниях мембраны, учитывая, что мембрана колеблется гармонически:
=
∆
( , )= ( )
⇒
⇒
∆ +
= 0,
= .
Запишем общее решение и преобразуем его в комплексную форму, учи( )
( )
( )
( )
тывая, что
=
,
=
:
( , )= ( , , )=∑
+
cos
sin
( )
+
( )
=∑
+∑
( )
∑
∑
sin
exp
( )
cos
( )
cos
( )
exp
cos
( )
+
sin
+
sin
( )
+ к. с. +
+
( )
+ к. с. +
=
+∑
=∑
( )
∑
exp −
( )
∑
( )
+
exp
+
+ к. с. =
( )
+ к. с. .
Теперь произведем учет начальных условий. Разложения
( , 0) = ( , , 0) =
( , )
( , , 0) =
=
( , )=∑
( , )=∑
∑
( )
∑
( )
+ к. с. ,
( )
+ к. с.
могут быть обращены, то есть коэффициенты могут быть выражены через
функции, задающие начальные условия:
∫
=∑
∑
∫
=∑
∑
∫
=2 ∑
=2
( )
( , )
∫
[
( )
+ (−1)
+ (−1)
=
( )
( )
( )
( )
∗
∙2
( )
]∫
∗
∫
.
e
+
+
( )
∗
∗
,
=
e
=
=
Аналогичным образом получаем:
∫
∫
(
( )
=2
(
=
)
(
+ (−1)
( )
=2
( )
( , )
)
∗
−
=
)
− (−1)
∗
.
Теперь можно выразить из полученных формул сумму и разность коэффициентов (подчеркнутые выражения) и, комбинируя, найти сами коэффициенты:
+ (−1) ∗
+
− (−1) ∗
=2
;
=
( )
∫
( , )−
∫
(
)
( )
( , )
.
Подставляя их в найденное выше решение, получаем:
( , ) = ( , , ) = ∫0
0
2
∫0
1
4
∞
∞
2 ∑ =1 ∑ =0
0
1
( )
( )
( )
0
∙
0
( , )−
∙
=∫
∫
( )
∑
∑
( )
[ − ]+
( , ) exp
( )
+ к. с. =
( )
∙
( )
( )
∙
( , )cos
[ − ]+
( )
+
( , )
( )
[ − ]+
sin
.
Окончательное решение можно записать в виде:
( , )= ( , , )=
2
(1)
( , ; , ; ) ( , , 0) +
= ∫0 0
∫0
( )(
, ; , ; )=
∑
∑
(2)
( )
, ; , ; )=
∑
∑
( )
( )
∙ cos
( )(
( , ; , ; ) ( , , 0) ,
( )
∙
( )
( )
∙ sin
( )
( − )+
( − )+
⁄
( )
( )
,
∙
.
Тема 11. Сферические функции
● Решение уравнения Лапласа в сферической системе координат.
Изучение метода разделения переменных в сферических координатах
удобно начать с решения уравнения Лапласа ∆ = 0. Запишем уравнение
в координатах ( , , ), определяя их в как: = sin cos , = sin sin ,
= cos :
∆ =
+
sin
+
= 0.
Полагая ( , , ) = ( ) ( , ), получим:
=−
sin
+
=
.
В результате получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения,
связанных через константу разделения :
∆
"+2
′−
+
=
= 0,
sin
+
+
;
=0
оператор ∆ называется угловой частью лапласиана.
Сферические функции. Будем называть сферическими функциями
функции ( , ), если выполняются условия: ( , + 2 )= ( , );
| (0, )| < ∞; | ( , )| < ∞, а также если эти функции имеют непрерывные производные до второго порядка включительно и являются решениями уравнения ∆
+
= 0.
Разделение переменных в уравнении для ( , ). Чтобы найти сферические функции, положим ( , ) = Ψ( )Φ( ) и произведем второе
разделение переменных:
sin
+
+ Ψ =−
=
Φ = 0,
sin
⇒
+
−
(мы в праве обозначать производные как полные и писать
Ψ=0
вместо ).
Решение уравнения для ( ). Процедура решения этого уравнения
была рассмотрены выше. Имеем:
Φ⁄
+
Φ=0
⇒
Φ( ) = cos
+ sin
.
Из требования периодичности Φ( + 2 ) = Φ( ) вытекает условие для
константы разделения = 1,2, … .
Решение уравнения для ( ). Выполним замену = cos и переобозначим искомую функцию: Ψ( ) = (cos ). Преобразуем:
⁄
=(
⇒
⁄
sin
)( ⁄ ) = −sin ( ⁄ )
=
sin
=−
2sin cos
+ sin
= [1 −
]
=
−2
−sin
−sin
[1 −
⇒
]
=−
= −2cos
.
Мы привели, таким образом, уравнение к виду:
[1 −
]
+
−
= 0.
sin
+ sin
=
=
Сделаем теперь подстановку ( ) = (1 −
виться от 1 − в знаменателе:
[1 −
]
+
=
(1 −
)
(1 −
=
−
(1 −
)
= − (1 −
+
)
+ 1 (1 −
= (1 −
)
⁄
(1 −
−
)
⁄
⁄
)
[(1 −
)
(1 −
(−2 )
)
⁄
)
⁄
+ (1 −
+ {−
)
)
⁄
(1 −
)
− 2(
⁄
)
+ 1)
( ), позволяющую изба-
+
(1 −
−
( )=
(1 −
)
−
+
(
)
−
(1 −
)
−
(1 −
)
⁄
+
⁄
+
−
+{ −
)
+{ −
(
+ 1)}
)
⁄
+
+ ( + 1)(−2 )}
(
= (1 −
⁄
( )=
(−2 ) + (1 −
+ (1 −
+
⁄
⁄
⁄
)
)
⁄
⁄
( )=
( )=
} ]=
= 0.
Обозначая дифференцирования штрихами, можно записать полученное
уравнение в виде:
(1 −
) " − 2(
+ 1) ′ + { −
(
+ 1)} = 0 .
Решение уравнения зависят от значения параметра
и могут обозначаться
. Покажем, это что уравнение обладает замечательным свойством: взяв уравнение для
и приравнивая к нулю производную по его
левой части, мы получим уравнение для
:
[(1 −
= −2
) ′′ − 2(
+ (1 −
2
= (1 − )
2
2
+ 1) ′ + { − ( + 1)} ] =
)
− 2( + 1) − 2( + 1)
− 2([
+ 1] + 1)
+{ −[
−{ −
+ 1]([
(
+ 1)}
+ 1] + 1)}
= 0.
=
Отсюда следует, что
( )=
( ) ⇒
( )=
( ), где
( ) − решение при
= 0.
Полиномы Лежандра и присоединенные функции Лежандра. Немного забегая вперед и пока не рассматривая процедуру решения, отметим, что при = 0 и = = ( + 1) решениями найденного уравнения
являются полиномы, которые называются полиномами Лежандра и обо-
значаются ( ). Решения для ≠ 0 можно получать с помощью найденной формулы, выполняя дифференцирования. Эти решения называются
присоединенными функциями Лежандра и обозначаются ( ) ( ):
[1 −
]
+ ( + 1) = 0
[1 −
]
+
⇒
( + 1) −
=0 ⇒
( ),
( )
( ) = (1 −
)
⁄
( ).
Теперь мы рассмотрим процедуру решения уравнения при = 0 и покажем, что для описания физических процессов представляют интерес
только полиномиальные решения, соответствующие = ( + 1).
Будем искать решения в виде степенного ряда:
(1 −
)
+
(1 −
)
= (1 −
( )=∑
= 0,
)(∑
= (∑
−∑
=∑
( + 2)( + 1)
)
) =∑
−∑
⇒
= (1 −
)∑
( − 1)
( + 1)
=− ∑
=
−∑
( + 1)
.
=
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, находим уравнение для коэффициентов:
( + 2)( + 1) =
⇒
=(
(
)
)(
)
[ ( + 1) − ],
= 1,2, …
⇒
.
Рассмотрим теперь два случая.
а) = ( + ). В этом случае последовательность С → С → С …
будет содержать ненулевые коэффициенты вплоть до номера < ; коэффициент
все коэффициенты с большими номерами обращаются в
ноль. Понятно, что в этом случае ряд превращается в конечную сумму и
функция ( ) является полиномом.
б) ≠ ( + ). Теперь коэффициенты с любыми номерами в ноль не
обращаются и сумма является бесконечной. Рассмотрим вопрос о сходимости ряда. Достаточно рассмотреть сходимость -го остатка ряда, содержащего только члены с номерами > , где настолько велико, что
≫ √ . При вычислении коэффициентов, входящих в члены остатка,
можно вместо точной формулы использовать приближенную, в которой
опущено :
=(
(
)
)(
≈
)
⇒
=
⋯
=
.
Если подставить такие коэффициенты в выражение для суммы ряда, при
= ±1 этот ряд становится расходящимся гармоническим рядом:
~∑
=
∙∑
(±1)
=
∙∑
→ ∞.
Решения такого типа неприемлемы именно с физической точки зрения.
Поскольку = cos , случаям = ±1 соответствуют = 0 и = ; на
единичной сфере, точки которой параметризованы углами ( , ) это
направления от центра к "полюсам", а в декартовых координатах –в положительное и отрицательное направления оси z. Поскольку координатная
система выбирается произвольно, нет никаких причин, по которым физическое решение было бы неограниченным именно при таких значениях .
Свойства полиномов Лежандра и явный вид функции Лежандра.
Приведем без вывода некоторые соотношения для полиномов Лежандра:
а) производящая функция
(1 +
)
−2
⁄
=∑
( )
;
б) явное выражение в виде производной
( )=
[(
!
− 1) ];
в) рекуррентная формула (дополнительно
( + 1)
( ) − (2 + 1) ( ) +
( )=
( ) = 1)
( ) = 0;
г) соотношение ортогональности, норма
∫
( )
( )
=
,
‖ ‖ =∫
( )
=
.
Полиномы Лежандра являются равномерно-ограниченными функциями
на отрезке −1 ≤ ≤ 1. Функцию Лежандра можно записать в виде:
( )
( )=
(
)
!
[1 −
]
⁄
[(1 −
) ], −
≤
≤
.
Ортогональная система функций Лежандра. Покажем, что не
только полиномы Лежандра, но и функции Лежандра образуют ортогональную систему функций. Возьмем в качестве исходных следующие соотношения:
(1 −
)
− 2(
+ 1)
+[
−
(
+ 1)] = 0,
=
= ( + 1).
,
Домножим все члены уравнения на [1 − ] и подставим в это уравнение
функцию в виде производной от полинома Лежандра:
(1 −
)
− 2(
+ 1) (1 −
)
+
+[
−
(
+ 1)](1 −
)
= 0.
Заменим везде + 1 → . Запишем уравнение в форме равенства первых
двух членов третьему, взятому со знаком минус. Объединим первые два
члена в один.
(1 −
)
−2
(1 −
)
= − [ ( + 1) −
=
(
(1 −
− 1)](1 −
)
)
=
=
= −( +
)( −
+ 1)(1 −
)
.
Применяя метод интегрирования по частям, найдем рекуррентную формулу:
,
=∫
( )
=[
∙
( )
=0+( +
=( +
( )
( )
=∫
(1 −
) ]
)( −
)( −
+ 1) ∫
+ 1)
,
( )
−∫
( )
(1 −
(1 −
∙
( )
)
( )
(1 −
=
)
)
=
=
.
Здесь было учтено, что поскольку полиномы Лежандра и их производные
являются ограниченными функциями, обращение (1 − ) в ноль при
= ±1 приводит к обнулению левого члена. Путем итерирования соотношения , = ( + )( − + 1) , нетрудно найти:
,
= [( +
=
− 1) ⋯ ( + 1)] ∙ [( −
)( +
(
)!
!
!
(
2
.
)! 2 +1
+ 1)( −
+ 2) ⋯ ]
,
=
В результате мы получаем соотношение ортогональности для присоединенных функций Лежандра и выражение для нормы:
∫
( )
( )
( )
( )
=
( )
=
( + )!
( − )!
.
Формы представления сферических функций. Чтобы получить
наборы функций, необходимые для решения задач математической физики, нужно скомбинировать функции ( ) (cos ) с функциями от . Получающиеся функции называются сферическими функциями (СФ). Имеются различные определения СФ. Простейший вариант дан в учебнике
[Тихонов, Самарский]:
cos(
)
±
( , ) = ( ) (cos )
.
sin(
)
Однако в настоящее время в качестве стандартного принято другое определение, более удобное в квантовой механике (см. книгу [Варшалович,
Москаленко, Херсонский]):
(| |)
( , )=
(cos ),
(
(
=
| |)!
∙
| |)!
1,
(−1) ,
≥0
(*)
< 0.
Нетрудно показать, что эти функции являются линейно-независимыми и
образуют ортонормированный набор – это следует из полученных выше
соотношений. Эти функции можно записать более просто. Заметим, что в
формулах, стоящих левее стрелки, предполагается, что > 0 и
> 0;
правая же имеет смысл и при − < < 0:
=
!
,
( )
= [1 −
]
⁄
⇒
( )
⁄
=
!
.
Можно показать, что:
( )
( )=
(
(
)!
(−1)
)!
(
)
( ).
(**)
Теперь сферическую функцию можно записать единым выражением, не
используя операцию взятия модуля. Запишем формулу (*) дважды, один
раз для ≥ 0, второй – для < 0; второе выражение преобразуем с помощью (**) (подчеркнутые фрагменты в (##)):
( , )=
( , )=
,
(
∙(
)!
)!
(−1)
(
(
)!
(
)!
( )
(
)!
(
)!
)
( )=
(cos ),
( )
≥ 0;
(cos )(−1)
(
)!
(
)!
=
(
)
(
)!
(
)!
(cos ) ,
(#)
(−1) ∙
−
< 0.
(##)
Теперь легко видеть, что формула (##) получается из (#) заменой → − .
Иначе говоря, можно оставить только формулу (#), полагая, что m может
быть как положительным, так и отрицательным. Окончательное выражение для сферической функции имеет вид:
( , )=
( )
(cos ),
=
(
(
)!
.
)!
Ортогональность и нормировка сферических функций. Теперь мы
легко покажем, что функции
образуют ортонормированный набор.
Роль скалярного произведения будет играть выражение с интегрированием по телесному углу:
,
=∫
∫
sin
=
∫
(
)
=
2
∙ ∫
=
( +|
( −|
∗
∙ ∫
(|
|)!
|)!
( , )
sin
|)
( )
2 =
(|
( , )=
(|
|)
|)
(cos )
(|
|)
(cos ) =
( ) =
.
Полнота системы сферических функций. Рассмотрим вопрос о том,
какие функции можно раскладывать по СФ. Если система (базисных)
функций {ℎ } такова, что другие функции (из некоторого класса функций) можно раскладывать в ряды: = ∑ ℎ , (причем обращение ряда
позволяет восстановить разлагаемую функцию) говорят, что система {ℎ }
в данном классе функций полная. Таким образом, нас интересует, в каком
классе функций является полной система СФ.
Разложение по
можно записать вначале как разложение по функциям ±
(т.е. разложение в тригонометрический ряд Фурье), а далее –
через разложение каждого коэффициента этого ряда по функциям
( )
(cos ):
( , )=
∞
(
)
∑
+
=−∞,
0
=∑
( )
≠0
( )
(cos ) + ∑
=
∑
( )
,
(cos )
.
( ) = (cos ) разлагается непосредственно по полино( )
(cos ) ≡ (cos ). Заметим, что индекс полинома
мам Лежандра
равен старшей степени: ( ) =
+ ⋯; при этом коэффициенты при
прочих (меньших) степенях н равны нулю. Используя это, нетрудно пока( ).
зать, что для любого можно построить разложение
=∑
Далее: воспользуемся теоремой Вейерштрасса, которая утверждает,
что любую функцию, непрерывную на ограниченной области, можно
сколь угодно точно приблизить полиномом. Теперь мы можем рассуждать так: пусть некоторая функция с желаемой точностью приближена полиномом; далее – пусть в этом полиноме каждый одночлен
скомбинирован из полиномов Лежандра. Теперь можно сформулировать следствие
из теоремы Лежандра: что любую функцию, непрерывную на ограниченной области, можно сколь угодно точно приблизить конечной суммой
а) Функция
полиномов Лежандра. Понятно, что стремясь повысить точность, мы
наращиваем число членов и конечная сумма стремится к сумме ряда.
( )=
(cos ) =
б) Функции
( ) должны обращаться в ноль
при = 0 или = (при = ±1). Если это условие не выполняется,
функции (0, ) и ( , ) окажутся изменяющимися при изменении .
Этого не должно быть, если (0, ) и ( , ) – значения физического
поля, а и – сферические координаты, поскольку "полюсные" точки
на сфере = , при изменении остаются неподвижными.
На вопрос о том, каким требованиям должны удовлетворять функции,
разлагаемые по набору функций Лежандра, отвечает следующая теорема.
( ), которая определена и непрерывна на
Теорема. Любая функция
отрезке [−1,1], а также обращается в ноль на концах этого отрезка, может
быть равномерно аппроксимирована с любой степенью точности линейной комбинацией функций
доказательства).
( )
, где
– фиксированная величина (без
Как следствие, любая функция ( , ), имеющая непрерывные вторые производные, может быть сколь угодно точно равномерно аппроксимирована некоторой линейной комбинацией сферических функций.
Тема 12. Различные примеры использования
цилиндрических и сферических функций.
● Решение уравнения Лапласа в случае граничных условий, заданных на сфере. Вернемся к задаче о решении уравнения Лапласа ∆ = 0 и
дополним найденные в предыдущем разделе решения для угловой части
лапласиана решениями уравнения для ( ) (в литературе эту задачу часто
называют задачей Дирихле).
( , )
∆
+
=0 ⇒
∆ =∆ ( ) ( , ) =0 ⇒
.
"+2 ′−
=0 ⇒ ?
"+2
⇒
+
′−
= 0,
=
− ( + 1) = 0
⇒
⇒
= [−1 ± (2 + 1)] ⇒
= ,
Общее решение принимает вид:
( )= ( , , )=∑
∑
( − 1) + 2 − ( + 1) = 0 ⇒
,
=
−1 ± 1 + 4 ( + 1) =
= − −1
[
+
]
( , ).
Заметим, что хотя функции являются комплексно-значными, для получения вещественной суммы ряда ( ) (обычно требующейся в физических
задачах), не обязательно добавлять сопряженный член "+к.с.". Поскольку
[
]∗ = (−1)
, суммирую по значениям = 0, ±1, ±2, … , ± , мы
,
всегда имеем среди слагаемых в сумме ряда как член с
, так и член с
[
]∗ . Для того, чтобы сумма была вещественной, достаточно, чтобы выполнялось условие для коэффициентов: С∗ = (−1)
.
,
●● Внутренняя задача Дирихле. Пусть граничные условия заданы на
поверхности сферы = с помощью некоторой функции ( , ), а физической областью является область, охваченная сферой. В этом случае, поскольку начало координат входит в физическую область, следует
исключить слагаемые, расходящиеся в бесконечность при условии → 0.
Остается:
( )= ( , , )=∑
∑
( , ).
Теперь будем искать коэффициенты из граничного условия; после подставим их в общее решение.
( , , )= ( , )=∑
∫
( , , )
∫ sin
∙∫
∫ sin
⇒
=
∑
( , )
∫
∗
∗
∫ sin
( , )
( , )=∑
⇒
∑
∙
( , )=
( , , )
∗
( , ).
( , )
∗
( ′, ′)
Общее решение принимает вид:
внутр. (
=∫
)=
внутр. (
′ ∫ sin ′
, , )=
′ ∑
∑
( , ′, ′).
Удобно записать конечный результат в виде интегрального преобразования:
внутр. (
внутр.
, , )=∫
( , , , , ) ( , ′, ′) ,
∫ sin
внутр. (
, ,
,
, )=∑
∑
( , )
∗
( ′, ′).
●● Внешняя задача Дирихле. Пусть вновь граничные условия заданы
на поверхности сферы = с помощью некоторой функции ( , ), а
физической областью является область вне сферы. В этом случае
начало координат не входит в физическую область, но следует исключить
слагаемые, расходящиеся в бесконечность при условии → ∞. Остается:
( )= ( , , )=∑
∑
( , ).
Теперь будем искать коэффициенты из граничного условия, подставим их
в общее решение. Получим:
внеш. (
, , )=∫
внеш. (
, ,
,
, )=∑
∫ sin
∑
внеш.
( , ,
,
( , )
, ) ( , ′, ′) ,
∗
( ′, ′).
● Решение уравнения Гельмгольца в случае граничных условий, заданных на сфере. Гармонические колебания в шаровой области. Будем
считать, что однородная и изотропная упругая среда, описываемая волновым уравнением, заполняет область в виде шара, на границе которого задано условие отсутствия смещений (первая краевая задача):
=
∆ ,
| =0.
После разделения переменных и решения уравнения для функции времени, которое имеет фундаментальную систему решения cos , sin
(или, что эквивалентно, ± ), получаем уравнение Гельмгольца:
⁄
= ∆ ⇒ ( , )= ( )
⇒ ∆ +
= 0,
= ⁄ .
Далее, переходя к сферическим переменных и отделяя радиальную зависимость от угловой, получаем:
∆ +
=0
( , , )= ( ) ( , )
⇒
+
Δ
,
+
= 0.
−
= 0,
Уравнение для функции ( , ) нами уже решено, причем установлено,
что следует принимать во внимание только решения при = ( + 1). Теперь необходимо решить уравнение для ( ):
+
−
(
)
=0
⇒
+
+
Выполним замену переменных ( ) =
⁄
( ):
⁄
⁄
=−
+
′,
"=
После подстановки в уравнение имеем:
⁄
−2∙
⁄
⁄
"−
+
′+
⁄
−
⁄
+
+
⁄
⇒
"+
−
′+
⇒
"+
′+
−
′ +
−
(
⁄ )
−
+
−
=0.
(
(
)
)
−
⁄
(
)
′+
⁄
( )=0
=0
⇒
=0.
⁄
".
⇒
Получившееся уравнение является уравнением Бесселя для функций порядка + 1⁄2. Общее решение такого уравнения строится на основе фундаментальной системы решений, включающей функции: Бесселя
⁄ ( ), и Неймана
⁄ ( ). Если мы рассматриваем задачу о колебаниях в шаре, начало координат входит в физическую область и функцию Неймана, которая в этой точке расходится (имеет бесконечно большое значение), следует отбросить. Учитывая, что на граничной поверхности, сфере = , амплитуда колебаний должна быть равна нулю (условие
закрепленности среды), получаем условие для :
⁄
(
)=0
⇒
=
( )
,
= 1,2,3 ….
Определим новое обозначение для функций, которые принято называть
сферическими функциями Бесселя:
( )=
⁄
( ).
Общее решение уравнения Гельмгольца может быть теперь представлено
в виде
( , , )=∑
( , , ),
( )
( , , )=
( , ).
Докажем соотношение ортогональности.
∫ sin
∫
=∫
( )
∙ ∫ sin
=
=
( , , )
∫
( ) (
(
) ∙
(
)
∫
⁄
( )
⁄
⁄
)
( , )
∫
∗
∗
( )
( , , )=
( )
⁄
( )
∙
( , )=
⁄
=
( )
=
.
Общее решение может быть записано в форме, аналогичной той, что получалась в уравнении о колебаниях плоской мембраны. Нужно рассмотренные выше собственные функции домножить на функции времени и на
неопределенные множители, а получившиеся выражения просуммировать, получив сумму ряда:
( , )=∑
=∑
∑
∑
( )
∑
( )
∑
+
=∑
∑
∑
( )
( , )
( , )
∗
( , )
( )
( )
(−1)
( )
( )
+ к. с. =
+
,
( , )
+ (−1)
∗
( )
=
( )
.
Теперь необходимо учесть начальные условия. Для этого мы приравниваем общее решение при = 0 к заданной функции начального распределения отклонений; также производную по времени от общего решения,
взятую при = 0, приравниваем к заданной функции начального распределения скоростей:
( , 0) = ∑
∑
( , 0) = ∑
∑
( )
∑
( , )[
],
( )
( )
∑
∗
+ (−1)
[
( , )
− (−1)
∗
].
( )
⁄ )
( , ), инДомножая правые и левые части равенств на (
тегрируя по сферическим координатам и использую соотношения ортогональности, получаем:
[
+ (−1)
∗
]=
[
− (−1)
∗
]=−
∫ sin
∫
∫
( )
( , , , 0)
∫
∫ sin
∗
( , , ),
( , , , )
∫
∗
( , , ).
Складывая эти выражения и деля результат на два, получаем сами
=
∫
∫ sin
∫
( , , , 0) −
( , , , )
( )
Остается подставить найденные коэффициенты
общее решение:
∗
:
( , , ).
в полученное выше
( , )=∑
∑
( )
∑
∙
( , )∙
( )
+ (−1)
∗
( )
.
● Волновое излучение в области вне круга (асимптотическое решение). Колебательный процесс может происходить не внутри некоторой замкнутой области, на границах которой заданы граничные условия, а во
внешней по отношению к границе части пространства. Рассмотрим волновое излучение вне круга, на границе которой задано условие, соответствующее первой краевой задаче. Заметим, что найденное решение
можно рассматривать и как решение в трехмерном пространстве, считая,
что границей является поверхность цилиндра (если амплитуда колебаний
не зависит от ). Чтобы упростить задачу, будем считать поле колебаний
( , ) скалярным (обобщение на случай векторного поля производится
простой заменой ( , ) → ( , )). Рассмотрим случай, когда радиус
круга (цилиндра) существенно больше длины волны. Получим, как и
выше, из волнового уравнения уравнение Гельмгольца:
⁄
=
∆
( , )= ( )
⇒
⇒ ∆ +
= 0,
=
⁄ .
Переходя к полярным (в случае круга) или цилиндрическим (в случае цилиндра) координатам, запишем решение при фиксированных , в виде:
( , , )=∑
(
)
( ) (
+ (
)
+ к. с. ) +
( ) (
)
)
+ к. с. ) .
Условие краевой задачи первого рода состоит в требовании обращения
решения в ноль на границе. В нашем случае это приведет к различным
уравнениям для корней функций Бесселя или Неймана:
( )
( )=0 ⇒
=
;
| =0 ⇒
.
( )
( )=0 ⇒
=
, = 1,2,3 …
Запишем теперь общее решение волнового уравнения, суммируя по допустимым значениям и используя комплексную форму записи:
( , , )=∑
∑
(
( )
)
(
( )
)
+ к. с. ) +
+
(
( )
( )
(
)
)
+ к. с. ) .
Предположим теперь, что имеется только вращательно-симметричная
мода колебаний: = 0, =
:
( , , [ = 0, ]) =
( )
( )
( )
( )
+
+ к. с.
Также будем считать, что на промежутке от нуля до границы круга укладывается много осцилляций цилиндрических функций (см. рисунок, соответствующий
( )
( )
( )
⁄
(
)). Тогда ≫ 1 ⇒
≫ 1,
≫ 1.
( )
⁄ ≫ 1, ( ) ⁄ ≫ 1.
Поскольку ⁄ > 1, то и
Выполнение этих условий позволяет использовать для
функций Бесселя, Неймана и их корней не точные, а асимптотические выражения:
( )≈
cos
−
−
=0 ⇒
( )
=
(
)
+ +
⇒
( )
=
+
,
( )≈
sin
−
−
( )
=0 ⇒
=
+ +
⇒
( )
= +
.
Подставляя асимптотические выражения для цилиндрических функций,
удобно использовать эйлеровские экспоненты:
( )
( )
≈
cos
( )
≈
( )
( )
( )
−
( )
sin
=
+ к. с. ,
( )
( )
−
=
+ к. с. .
( )
Теперь решение будет иметь вид:
(0)
( , , [ = 0, ]) =
2
0
(0)
0
−4
+ к. с.
( )
( )
+
( )
+ к. с.
+ к. с. +
(0)
0
0
+ к. с. .
Раскрывая скобки, можно перегруппировать члены и объединить экспоненты, а также по-новому обозначить константы интегрирования. Тогда
результат примет вид:
( , , [ = 0, ]) =
=
√
√
∑(±)
(±)
∑(±)
(±)
+
Заметим, что
(0) ±
0
3
4
−4
+
±
+
0
= + 2 +1
и
−4
(0) ±
(±)
0
(±)
+
+
=
3
−4
+
4
+ к. с. =
±
0
+ 2
3
−4
+ к. с. .
. Поэтому за-
писанные слагаемые можно записать единообразно, вводя индекс
или 2 + 1. Обозначая коэффициенты также единообразно, имеем:
( , , [ = 0, ]) =
где
(±)
=
(±)
,
(±)
=
√
(±)
.
∑(±)
(±)
+
4 2
±
0
−4
+ к. с. ,
=2
При каждом мы имеем комбинацию сходящейся и расходящейся
круговых (цилиндрических) волн. Частоты этих волн равны:
=
+
.
● Разложение кулоновского потенциала по сферическим функциям. Выведем полезную формулу, которая используется при построении
мультипольных разложений в электродинамике. Пусть и – два произвольных радиус-вектора. Можно записать:
=| −
|=
( −
)∙( −
)=
−2 ∙
+
=
+
−2
cos .
Величина, обратная по отношению к записанной фигурирует в производящей функции для полиномов Лежандра и может быть разложена в ряд
по этим полиномам:
(1 + − 2 ) ⁄ = ∑
( ).
Если мы хотим, чтобы ряд был сходящийся, следует позаботиться о выполнении условия сходимости < 1. Для этого следует использовать
одну из двух записей:
=
=
( ⁄ )
( ⁄ )
( ⁄ )
( ⁄ )
=
∑
(cos ) ,
=
∑
(cos ) .
Верхнюю запись следует использовать при < , а
нижнюю при > . Будем считать, что векторы заданы
своими сферическими координатами:
= ( , , ), = ( , , ).
Используя геометрические построения, нетрудно показать: cos = cos cos + sin sin cos( − ). Воспользуемся теоремой сложения для функций Лежандра
(без вывода: см. Г.Джеффрис, Б.Свирлс. Методы математической физики. т.3. "Мир", М. 1970):
(
(
(cos ) = ∑
| |)!
| |)!
∑
=
(| |)
( ,
(cos )
)
∗
(| |)
(
(cos )
)
=
( , ).
Подставляя это выражение в записанные выше формулы, получаем:
=
∑
∑
ℱ( , )
ℱ( , )=
⁄
⁄
( ,
,
,
)
< ;
< .
∗
( , ),