Конспект занятия по профильной математике с Аделией Адамовой
Тригонометрические уравнения. Задание 12
Тригонометрические тождества
sin2α + cos2α = 1
cosα
sinα
tgα =
ctgα =
sinα
cosα
cosα =/ 0
sinα =/ 0
tgα ∙ ctgα = 1
Тригонометрические тождества. Вывод
1
1 + tg2α =
cos2α
1
1 + ctg2α =
sin2α
cos2α + sin2α = 1
sin2α + cos2α = 1
Поделим на cos2α =/ 0:
Поделим на sin2α =/ 0:
1
cos2α
sin2α
+
=
cos2α cos2α cos2α
1
sin2α
cos2α
=
+
sin2α sin2α sin2α
1
1 + tg2α =
cos2α
1
1 + ctg2α =
sin2α
1
cделано командой Умскул
Тригонометрическая окружность
Значение углов, соответствующих одной точке
sinx
α = α0 + 2π ∙ k, k ϵ Z
Начальный угол
(берём наименьший
по модулю).
соответствующая
точка
Число кругов (число оборотов).
α0
0
Круг (повторение
данной точки).
2
cделано командой Умскул
cosx
Решение простейших тригонометрических уравнений (с помощью окружности)
sinx
1
sinx =
2
5π
6
π
6
1
2
1
1. Отмечаем значение
на оси синусов;
2
2. Проводим перпендикуляр к оси синусов, пересекаем
им окружность;
0
cosx
0
cosx
π
5π
3. Получаем две точки:
и
.
6
6
4. Записываем получившиеся корни:
π
х = + 2πk,
6
5π
x=
+ 2πk,
6
k ϵ Z.
sinx
π
3
1
cosx =
2
1
1. Отмечаем значение
на оси косинусов;
2
2. Проводим перпендикуляр к оси косинусов,
пересекаем им окружность;
π
π
3. Получаем две точки: и - .
3
3
1
2
-
4. Записываем получившиеся корни:
π
3
π
х = +- + 2πk, k ϵ Z.
3
tgx
tgx = 3
3
1. Отмечаем значение на оси тангенсов
π
3
3 ;
2. Соединяем начало координат и точку 3 ,
продолжаем прямую до второго пересечения
с окружностью;
0
π
4π
3. Получим две точки:
и
.
3
3
4π
3
3
cделано командой Умскул
4π
π
4. ЗАМЕЧАНИЕ: период tgx равен πk, поэтому точки и
повторились через полкруга 3 3
(на окружности видно).
π
-> запись корней: х = + πk, k ϵ Z.
3
Простейшие уравнения. Примеры
3
1. cosx =
2
π
x = ± + 2πk, k
6
Z
2
2. sinx = 2
π
x = - + 2πk, k
4
Z;
Z
cos x
π
6
3π
4
2
2
Z
tgx
sin x
π
6
3
2
3π
x=+ 2πk, k
4
3. tgx = - 3
π
x = - + πk, k
3
π
4
Практика #задание 12, ЕГЭ
1. а) Решите уравнение:
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение
а)
4
cделано командой Умскул
π
3
- 3
б)
Ответ:
а)
б)