ECUACIONES FUNDAMENTALES DEL
FLUJO DE FLUIDOS
UNIDAD DIDACTICA N° 03
PARTE 01:
ANÁLISIS INTEGRAL.
Relaciones de Sistema y Volumen de Control.
Teorema de transporte de Reynolds.
Ecuación de Conservación de Masa.
Ecuación Conservación de la Energía.
Ecuación Cantidad de Movimiento.
Momento de la Cantidad de Movimiento.
PARTE 02:
ANÁLISIS DIFERENCIAL.
Sistema de coordenadas.
Ecuación de Continuidad.
Ecuación de Conservación de la Energía.
Ecuación General de la Cantidad de Movimiento.
PARTE 03:
FLUJO IDEAL.
Flujo Ideal o No Viscoso Bidimensionales:
Métodos para describir un Flujo.
Función de Corriente. Flujos con Potencial.
Flujos planos elementales.
Redes de flujo.
TIPOS DE SISTEMA:
CERRADO
es una región que contiene una masa constante; se denomina
masa de control. A través de sus limites solo se permite la
transferencia de energía, pero no de materia. La pared que
rodea el sistema es impermeable.
ABIERTO:
En un sistema abierto es posible la transferencia de masa y de
energía a través de sus limites; la masa contenida en el no es
necesariamente constante.
RÍGIDO
No permite el cambio de volumen.
AISLADO
Es aquel sistema que no puede transferir energía ni materia
con su entorno.
ADIABÁTICO
Solo permite intercambio en forma de trabajo entre el sistema y
su entorno.
DIATÉRMICA
Permite intercambio de energía de otra forma que no son
trabajo.
VOLUMEN DE CONTROL
Se refiere a una región en el espacio y es útil en el análisis de situaciones donde ocurre flujo dentro y
fuera del espacio. El tamaño y forma del volumen de control son arbitrarios y están delimitados por una
superficie de control.
SUPERFICIE DE CONTROL
Es la frontera del volumen de control y separa el volumen de control del exterior. Esta frontera puede ser
real o imaginaria.
TIPOS DE VOLUMENES DE CONTROL
Se refiere a una región en el espacio y es útil en el análisis de situaciones donde ocurre flujo
VC macroscópico
VC diferencial
METODOS DE ANALISIS DE FLUJOS
El flujo de fluidos a través de un
sistema hidráulico, puede
estudiarse mediante 3 métodos.
ANALISIS INTEGRAL
ANALISIS DIFERENCIAL
METODO EXPERIMENTAL
Variables del Flujo : V, Q, y, P, T
Sistema referencial : X,Y,Z (espacio), t (temporal)
EN EL ANALISIS INTEGRAL:
EN EL ANALISIS DIFERENCIAL:
V, Q, y,
P, T
𝜕 (V,Q,𝑦,𝑃,𝑇)
𝜕(x,y,z,t)
SC
VC
+ en aplicaciones practicas
ingenieriles de diseño y construcción.
√
Resolver significa conocer el
comportamiento de las variables
de flujo
+ en Investigación y diseño de
proyectos complejos.
EN EL METODO EXPERIMENTAL: Verificación o ajuste.
Se refiere a la construcción de un modelo de la obra real (Presa, Bocatoma, etc)
a escala reducida, para luego realizar ensayos del flujo a través del modelo.
Las dimensiones de la obra real son los determinados con los modelos
matemáticos (soluciones del análisis integral o diferencial).
Las dimensiones finales de las estructuras se determinan luego de los ensayos
de los modelos a escala reducida.
Barraje de una Bocatoma
PUNTO DE VISTA PARA DESCRIBIR EL
MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS
En la dinámica de fluidos, la cinemática de
fluidos es el estudio que explica cómo fluyen
los fluidos y cómo describir su movimiento.
Desde un punto de vista fundamental existen
dos maneras de describir el movimiento
En la mecánica
de solidos
PUNTO DE VISTA LAGRANGIANO
Joseph Louis Lagrange, matemático italiano (1736-1813).
Se siguen la trayectoria de los objetos por separado,
las ecuaciones básicas se deducen para una masa de
fluido dada.
Ejemplo, movimiento de las bolas en una mesa de
billar. Se usan las leyes de Newton para describir el
movimiento de las bolas (su posición, velocidad, etc)
y se puede predecir con exactitud a dónde van y
cómo se intercambia la cantidad de movimiento y la
energía cinética de una bola a otro.
En la mecánica
de fluidos
r,v,a (x,y,z,t)
PUNTO DE VISTA EULERIANO
Leonhard Euler, matemático suizo (1707-1783).
En la descripción euleriana en realidad no importa lo
que sucede a las partículas de fluido por separado;
en lugar de ello, se interesa en el comportamiento
de las variables (P,V,T, etc) de cualquiera que sea la
partícula de fluido que llegue a estar en el lugar de
interés y el momento de interés.
Considera un volumen de control fijo o un punto fijo
en el espacio y las ecuaciones se deducen para
expresar cambios en masa, momentum y energía a
medida que el fluido pasa a través o cerca del
volumen o punto fijo.
Comparación:
Una persona que se encuentra en la ribera de un río midiendo sus
propiedades. En el enfoque lagrangiano, lanza al río una sonda que se
desplaza corriente abajo con el agua. En el euleriano, ancla la sonda en
una posición fija en el agua.
En mecánica de fluidos, se sigue el enfoque Euleriano.
Punto o sección
de interés fijo.
EL TEOREMA DE TRANSPORTE
DE REYNOLDS
Considerando el siguiente sistema y campo de flujo en movimiento.
Se demostrará como cambia o varía una propiedad N de un sistema
con la que ocurre en todo el volumen de control.
Sistema desplazable.
N = Una propiedad extensiva del flujo:
η = Propiedad específica del flujo = N/m
- Masa m.
- Cantidad de movimiento m𝐯
- Energía e
Volumen de control VC fijo.
La distribución de N por unidad de masa estará dada como η, de
manera que:
N=
ηρd ∀ , Por definición:
dN
) = lim
dt S ∆t→0
III ηρd∀+
dN
) = lim
dt S ∆t→0
II ηρd∀ t+∆t −
(
(
II ηρd∀ t+∆t −
I
ηρd∀+
II ηρd∀ t
∆t
II ηρd∀ t
∆t
Rapidez de crecimiento
de N dentro del VC.
+ lim
∆t→0
III ηρd∀ t+∆t
∆t
− lim
∆t→0
I
ηρd∀
∆t
Flujo neto que ingresa y/o sale
por la superficie de control SC.
t
Luego:
ECUACION DE
TRANSPORTE DE
REYNOLDS
˳
Donde: 𝐯 = Velocidad relativa media respecto al VC.
Si el flujo ENTRA:
sc
Si el flujo SALE:
ηρ v˳dA
Para flujo permanente:
Si la velocidad de entrada
ó salida es constante:
II
Rapidez de crecimiento
de N dentro del VC.
sc
Flujo neto que ingresa y/o sale
por la superficie de control SC.
ηρ v˳dA
˳
ηρd ∀ =0
V
V
V
A
v. dA = +V. A
v. dA = −V. A
V
A
A partir de la ecuación de transporte, se deducen las leyes básicas del
movimiento de los fluidos, desde el punto de vista integral y diferencial.
LEY DE CONSERVACION DE LA MASA ó Ecuación de Continuidad.
LEY DE CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ó Ecuación del Momentun (2da Ley de Newton).
LEY DE CONSERVACION DEL MOMENTUN ANGULAR.
PRIMERA LEY DE LA TERMODINAMICA ó Ecuación de la Energía.
SEGUNDA LEY DE LATERMODINAMICA ó Ley de la Entalpía.
Para resolver problemas de flujo de fluidos en sistemas hidráulicos presentados en las aplicaciones de
la Ingeniería Civil, se aplican generalmente las siguientes leyes de conservación y otras ecuaciones
empíricas.
- Ecuación de Continuidad.
- Ecuación de la cantidad de Movimiento.
- Ecuación de la Energía.
-
Ecuaciones Empíricas:
Ecuación de Manning(1), Chezy, Strickler.
Ecuación de Colebrok-White (2).
Ecuación de Darcy (3).
Otros.
Q=
1
𝑓
AR2/3 S1/2
(1)
n
𝑘/𝐷
3.7
= - 2 𝐿𝑜𝑔10 (
L V2
D 2g
hf = f. .
(3)
+
2.51
𝑅𝑒 𝑓
)
(2)
LEY DE CONSERVACION DE LA MASA
ECUACION DE CONTINUIDAD
En la ecuación de transporte de Reynolds:
N = Masa =m. η = N/m= 1
dN
)
dt S
(
= 0, Pues la masa no cambia en el Sistema.
Si el flujo es permanente e Incompresible:
Β=0, ρ=cte.
CAUDAL (volumétrico)
FLUJO MASICO
𝜕
(
𝜕t
˳
vc
ρd∀) = 0
sc
v. dA = 0
Q = V.A (m3/seg)
m = ρ.VA (kgm/seg)
EJEMPLO 01:
Flujo incompresible en un estanque con
entradas y salidas.
En este caso:
𝜕
(
𝜕t
vc
ρd∀) +
sc
ρ v˳dA = 0
V
V
A
v. dA = +V. A
EJEMPLO 02:
LEY DE CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
ECUACION DEL MOMENTUN
En la ecuación de transporte de Reynolds:
N = cantidad de movimiento = m𝐯.
η = N/m= 𝐯
dN
dt
=
d(m𝐯)
dt
=
𝐅
=
m.d𝐯
dt
=
m.𝐚
=𝐅
Suma de Fuerzas que
actúan sobre el sistema
PARA UN VOLUMEN DE CONTROL NO INERCIAL
1. EL VOLUMEN DE CONTROL PERMANECE FIJO
Reemplazando en la ecuación general de
Transporte, se tiene:
𝐅=
𝜕
(
𝜕t
vc
ρvd∀) +
sc
VC sin movimiento o
con velocidad constante
respecto a XYZ:
ρv(v˳dA)
Tasa temporal de
Tasa neta del momentun
incremento del momentun lineal que ingresa y/o sale por
lineal dentro del VC.
la superficie de control SC.
𝐅
= 𝐅 masicas + 𝐅 superficiales +𝐅 cortantes
Peso
fluido
Presiones en las 𝜏 Pared
caras del fluido del flujo
𝐅
= 𝐅m + 𝐅s
Descomponiendo en los 3 ejes:
Fmx +Fsx =
Fmy +Fsy =
Fmz +Fsz =
𝜕
𝜕t
𝜕
𝜕t
𝜕
𝜕t
(
vc
ρVx d∀) +
sc
ρVx (v˳dA)
(
vc
ρVy d∀) +
sc
ρVy (v˳dA)
(
vc
ρVz d∀) +
sc
ρVz (v˳dA)
Fuerzas generadas
por el fluido en
movimiento sobre el
sistema
EJEMPLO:
Flujo permanente a través de un Codo de tubería, apoyada sobre un soporte.
El peso del agua y tubería se desprecia. El fluido es incompresible.
W=0, Fmx =0
𝜕
𝜕t
vc
ρVx d∀ = 0
Entonces:
Fx
Fy
Fx =
sc
ρVx (v˳dA)
Fy =
sc
ρV𝑦 (v˳dA)
(v˳dA)= ± VA
Luego:
Fx , Fy
R x = - Fx
R 𝑦 = - F𝑦
2.
EL VOLUMEN DE CONTROL SE MUEVE CON
VELOCIDAD CONSTANTE
CASO DE ALABES EN MOVIMIENTO:
La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento no inercial con referencia al sistema de coordenadas
fijo XYZ, es valida también para el caso que el VC se mueve con velocidad constante, siempre que:
VC con velocidad
constante respecto a
XYZ:
-
Todas las velocidades se miden RELATIVAS
al volumen de control.
Todas las derivadas respecto al tiempo se
miden RELATIVAS al Volumen de control.
𝐅=
𝜕
𝜕t
vc
ρVr d∀ +
sc
ρvr(vr˳dA)
Se considera que: vr= V - U
EJEMPLO:
Flujo constante de un chorro de agua que impacta a un alabe montada a un
carrito. El peso del agua y tubería se desprecia. El fluido es incompresible.
A
A
PARA UN VOLUMEN DE CONTROL INERCIAL
3.
EL VOLUMEN DE CONTROL SE MUEVE CON
ACELERACION MULTIPLE
Cuando el volumen de control VC se mueve con una
aceleración lineal o rotacional, con referencia al sistema
de coordenadas fijo XYZ, la ecuación de conservación de
la cantidad de movimiento será:
El desplazamiento absoluto de una partícula respecto a
XYZ es:
Si = r + R
Derivando obtenemos la velocidad absoluta:
Vi = V +
dR
dt
+ Ωxr
Una segunda derivada nos da la aceleración absoluta:
𝐚i =
dV
dt
+
d2 R
dt2
+
r + 2ΩxV + Ωx(Ωxr)
dΩ
x
dt
ó
𝐚XYZ = 𝐚xyz + R + Ωxr + 2ΩxVxyz + Ωx(Ωxr)
𝐚rf = R : Es la aceleración del sistema de coordenadas xyz
no inercial xyz relativa al marco inercial XYZ.
dΩ/dt : Es el efecto de la aceleración angular.
2ΩxV : Es la aceleración de coriolis.
Ωx(Ωxr) : Es la aceleración centrípeta, dirigida desde la partícula,
perpendicular aleje de rotación, de magnitud Ω2 L,
donde L es la distancia perpendicular a dicho eje.
Segunda Ley de Newton:
d𝐅 = dm. 𝐚XYZ = dm.[axyz + 𝐚rf + Ωxr + 2ΩxVxyz + Ωx(Ωxr ) ]
d𝐅 - dm.[axyz + 𝐚rf + Ωxr + 2ΩxVxyz + Ωx(Ωxr ) ] = dm. 𝐚XYZ = Dt (dm. 𝐕xyz )
D
𝐅𝐦 + 𝐅s -
vc
Fuerzas de masa y
superficie que actúan
sobre el fluido dentro
del VC.
𝐚rf + 2ΩxVxyz + Ωxr + Ωx(Ωxr ρd∀ =
𝜕
𝜕t
vc
Vxyz ρd∀ +
Tasa de incremento del
momentum lineal dentro del
volumen de control.
Fuerzas hipotéticas originadas por el movimiento
acelerado, en el volumen de control no inercial.
sc
Vxyz(ρVxyz ˳dA)
Tasa de flujo de salida del
momentum lineal a través
de la superficie de control.
Sus componentes escalares en los 3 ejes son los siguientes:
𝐅𝐦𝐱 + 𝐅sx -
vc
𝐚rf𝑥 + 2𝛀x𝐕xyz + 𝛀x𝐫 + 𝛀x(𝛀xr ρd∀ =
𝐅𝐦𝐱 + 𝐅sy -
vc
𝐚rf𝑦 + 2𝛀x𝐕xyz + 𝛀x𝐫 + 𝛀x(𝛀xr ρd∀ =
𝐅𝐦𝐳 + 𝐅sz -
vc
𝐚rf𝑧 + 2𝛀x𝐕xyz + 𝛀x𝐫 + 𝛀x(𝛀xr ρd∀ =
𝜕
𝜕t
𝐚rf + 2ΩxVxyz + Ωxr + Ωx(Ωxr ρd∀ =
= 𝐚rf .
vc
ρd∀ = M. 𝐚rf
ρVx. d∀ +
sc
Vx. (ρVxyz˳dA)
vc
ρVy. d∀ +
sc
V𝑦. (ρVxyz˳dA)
vc
ρVz. d∀ +
sc
𝜕
𝜕t
𝜕
𝜕t
CASO:
VOLUMEN DE CONTROL CON MOVIMIENTO RECTILINEO
Si el VC no gira, Ω=0, Ω=0 y solo se traslada, entonces las fuerzas
Hipotéticas puede escribirse como:
vc
vc
𝐚 . ρd∀
vc rf
V𝑧. (ρVxyz˳dA)
𝐚rf no es función de las coordenadas xyz.
M es la masa total del material dentro del VC en cualquier instante.:
𝐅𝐦 + 𝐅s
-
M. 𝐚rf =
𝜕
vc
𝜕t
ρVxyz d∀ +
sc
Vxyz(ρVxyz˳dA)
EJEMPLO:
Alabe montado en un carrito que se mueve con
aceleración rectilínea, sobre una superficie sin fricción, por
efecto de un chorro que sale de una tobera estacionaria.
¿Cuál es la velocidad del carrito como función del tiempo?.
El eje XY permanece fijo, y el eje xy se
mueve linealmente con el carrito.
El movimiento del VC es solo en el eje x.
𝐅𝐦𝐱 + 𝐅sx - M. 𝐚rfx =
𝐅𝐦𝐱 = 𝐅sx = 0
A1 = A2 = A
𝐚rf = 𝐚x
𝜕
𝜕t
𝜕
𝜕t
vc
vc
ρVx d∀ +
ρVxyz d∀ = 0
sc
Vx(ρVxyz˳dA)
sc
Vx(ρVxyz˳dA) = Vx1(-ρVxyz1.A1) + Vx2(ρVxyz2.A2)
Vxyz1 = Vxyz2
V1 = V2
Vx1 = V1 = (V – U)
Vx2 = V2 Cosθ = (V – U) Cosθ
= - V1(ρV1.A1) + V2 Cosθ (ρV2.A2)
= - ρ (V − U) 2 .A + ρ Cosθ(V − U) 2 .A
0 - M. 𝐚rf = 0 - ρ (V − U) 2 .A + ρ Cosθ(V − U) 2 .A
-M
dU
2
= 0 - ρ (V − U) 2 .A + ρ Cosθ(V − U) 2 .A = (Cosθ–1)ρ V − U A
dt
U dU
0 V−U 2
=
t
bdt
0
Donde: b =
U
Vbt
=
V
1+Vbt
(Cosθ–1)ρA
M
LEY DE CONSERVACION DEL MOMENTUN ANGULAR
En la ecuación de transporte de Reynolds:
dN
dt
N = cantidad de movimiento = 𝐫 x m𝐯.
η = N/m= 𝐫 x 𝐯.
=
=
d(𝐫 x m𝐯)
dt
𝐫x𝐅 =
A). PARA UN VOLUMEN DE CONTROL NO INERCIAL : VC FIJO
M = 𝐫 x 𝐅s +
VC
𝐫 x 𝐠 dm + 𝐓flecha
Momento
Momento
Momento
producido por producido por producido por
las fuerzas las fuerzas
de fuerzas
superficiales
másicas
giratorias
M =
𝜕
(
𝜕t
vc
ρ(𝐫x 𝐯)d∀) +
Suma de todos los Rapidez de cambio del
momentos externos momentun angular del
que actúan sobre el contenido del VC
VC
sc
ρ(𝐫x 𝐯)(v˳dA)
Flujo del momentun
angular hacia fuera de
la superficie de control
por el flujo de masa
=
𝐫xdm𝐯
dt
M
=𝐫 x 𝐅
Suma de Momentos que
actúan sobre el sistema
Descomponiendo en sus 3 componentes escalares:
Mx =
My =
Mz =
𝜕
𝜕t
𝜕
𝜕t
𝜕
(
vc
ρ 𝐫 𝐱 𝐕𝐱 d∀) +
sc
ρ 𝐫 𝐱 𝐕𝐱 (v˳dA)
(
vc
ρ 𝐫 𝐱 𝐕𝐲 d∀) +
sc
ρ 𝐫 𝐱 𝐕𝒚 (v˳dA)
(
vc
ρ 𝐫 𝐱 𝐕𝐳 d∀) +
sc
ρ 𝐫 𝐱 𝐕𝒛 (v˳dA)
𝜕t
Ejemplo:
Flujo a través de una tubería, con
soporte tipo brazo.
Momentos generados por
el fluido sobre el sistema
B). PARA UN VOLUMEN DE CONTROL INERCIAL : VC ROTATORIO
En este caso, se incrementa el momento generado por la rotación, indicado en la
sección anterior, entonces:
M = 𝐫 x 𝐅s +
𝐫 x 𝐅s +
=
𝜕
𝜕t
(
vc
VC
VC
𝐫 x 𝐠 dm + 𝐓flecha -
𝐫 x 𝐠 dm + 𝐓flecha -
ρ(𝐫xVxyz)d∀) +
sc
VC
VC
𝐫 x 𝟐ω𝐱Vxyz + 𝛚𝐱 𝛚𝐱𝐫 + 𝛚𝐱𝐫 ρd∀
𝐫 x 𝟐ω𝐱Vxyz + 𝛚𝐱 𝛚𝐱𝐫 + 𝛚𝐱𝐫 ρd∀
ρ(𝐫xVxyz)(Vxyz˳dA)
Todas las velocidades y las relaciones de cambio del fluido, se evalúan respecto al
volumen de control.
LEY DE CONSERVACION DE LA ENERGIA
LINEAS CARACTERISTICAS
DE LOS FLUJOS