Práctica General II Parcial
1. Determine la ecuación diferencial cuya solución general está dada por la función
x
y = Ae 3 + Be
2. Considere la ecuación diferencial D4
particular.
3. Considere la ecuación diferencial D2
particular.
x
3
+ Ce
4x
+
x
x
+ cos
9
3
2D3 + 4D2 y = 3+xex : Proponga la forma que tendría la solución
2D + 1 y = 7xex : Proponga la forma que tendría la solución
4. Sabiendo que y1 (x) = ex es solución de la ecuación diferencial y 00
solución general.
5. Sabiendo que y1 (x) = x es solución de la ecuación diferencial y 00
su solución general.
xf (x) y 0 + f (x) y = 0: Determine su
f (x) y 0 + (f (x)
1) y = 0: Determine
6. Utilizando el método de variación de parámetros, demostrar que la solución general de la ecuación diferencial y 00 + y = f (x) es
Z
Z
y = C1
f (x) senxdx cos x + C2 + f (x) cos xdx senx
7. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
(a)
y 000 + y 00
y0 + y = 0
(b)
y 000 + y 00
y 0 + y = x + ex
(c) x2 y 00
xy 0 + y = 0
2
(d) (x + 2) y 00
00
(e) y + y
000
y=4
= 6x
2 00
(f) x y
x (x + 2) y 0 + (x + 2) y = x3 sabiendo que y1 = x y y2 = xex son soluciones particulares de
la ecuación homogénea correspondiente.
(g) xy 00
y0 =
8y
x
Sugerencia : Hacer x = et y y = u (t) e
8. Resuelva la ecuación x2 y 00 + xy 0
cuando k = 1 o k = 1?
2t
y = 2 + ln xk + 3xk (k 6= 0) para toda k 2 R tal que jkj =
6 1:¿Qué sucede
9. Considere la ecuación 3x2 + 5x y 00
(6x + 5) y 0 + 6y = 0
(a) Veri…que que y1 (x) = x2 es una solución de la ecuación anterior.
(b) Encuentre la segunda solución y2 (x) y veri…que que ésta es linealmente independiente con y1 (x)
(c) Halle la solución para y ( 1) = 0 y y 0 (0) = 3
10. Determine la ecuación diferencial cuya solución general está dada por la función y = A + Bx + C cos (2x) +
2x
x4
Dsen (2x) + e16
24
11. La ecuación diferencial lineal homogénea, con coe…cientes constantes, puede ser denotada como an y (n) +
an 1 y (n 1) + ::: + a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = 0
(a) Si la correspondiente ecuación aulixiar tiene como soluciones a m = 1, m =
determine el valor de los coe…cientes an ; an 1 ; :::; a2 ; a1 ; a0 :
(b) Si an y (n) + an 1 y (n 1) + ::: + a2 y 00 + a1 y 0 + a0 y = 5ex + xe
que debe tener la solución general de la ecuación anterior.
1
2x
2 (doble) y m =
3i;
sen (3x) : Indique sólamente la forma
12. Considere la ecuación diferencial
2
(ax + b) y 00 (x) + (ax + b) y (x)
ay = F (x)
(a) Veri…que, utilizando le técnica de Euler, que la ecuación se puede escribir como
a2 y 00 (z)
a2
a y 0 (z)
(b) Utilice la ecuación anterior para resolver (2x
ay = F
2
3) y 00 (x) + (2x
13. Considere la ecuación diferencial y V + ay IV + by 000 = R (x)
ez
b
a
3) y (x)
2y = 4
(2x
3
3)
(2)
(a) Determine los valores de a y b de manera que la ecuación dada tenga como solución general
(b) Con base en el punto anterior, determine R (x)
14. Considere la ecuación diferencial y 00 + P (x) y 0 + Q (x) y = 0 (3)
(a) Demuestre que (3) se convierte en la ecuación v 00 + f (x) v = 0 haciendo la sustitución y = u (x) v (x)
(b) Justi…que bajo qué condiciones el factor integrante apropiado u (x) = e
(c) Utilizando los incisos a y b resuelva y 00 + 4xy 0 + 3 + 4x2 y = 2
1
2
R
P (x)dx
Rx
15. Demostrar que y = C1 cos x + C2 senx + 0 f (s) sen (x s) ds es una solución general de la ecuación
diferencial y 00 + y = f (x) ; donde f (x) es una función continua en R
16. Considere la ecuación diferencial
y 00 + P (x) y 0 + Q (x) y = g (x)
(a) Sean y1 (x) y y2 (x) soluciones particulares de la ecuación dada. Pruebe que yh = y1 (x)
la solución particular de la correspondiente ecuación homogénea.
y2 (x) es
(b) Sean y1 (x) = t2 ; y2 (x) = t2 + e2t y y3 (x) = 1 + t2 + 2e2t tres soluciones particulares de la ecuación
dada. Determine la solución general de la ecuación.
17. Demostrar que la ecuación diferencial y 00 + k 2 y = f (x) ; donde k > 0, tiene como solución particular a
Z
1 x
f (t) senk (x t) dt
yp =
k 0
18. Demuestre que la siguiente relación de…nida paramétricamente, es la solución de la ecuación diferencial
00
2y 0 + yy0 = 9
x = 19 ln p 19 ln p 92 + C2
y = 21 ln p 29 + C1
19. Determine la solución general de la ecuación x2 + 2x y 00
y y2 = 2x + 2 son soluciones de esta ecuación.
2 (x + 1) y 0 + 2y = 0 sabiendo que y1 = x + 1
(4 puntos)
20. Demuestre que si las funciones y1 ; y2 ; :::; yn son li y son soluciones particulares de la ecuación diferencial
lineal homogénea normal de orden n sobre un intervalo [a; b]
a0 (x) y (n) + a1 (x) y (n
1)
+ ::: + an (x) y = 0
entonces W [y1 ; y2 ; :::; yn ] 6= 0 en [a; b] : Sugerencia : suponga por contradicción que W = 0 para un x0 2 [a; b]
y pruebe que existen constantes C1 ; C2 ; :::; Cn no todas nulas que satisfacen que y (x0 ) = y 0 (x0 ) = ::: =
y (n 1) (x0 ) = 0 donde y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + ::: + Cn yn (x) : Luego concluya que y es la función nula.
2
21. Plantee y resuelva los siguientes problemas
(a) Un peso de 8 libras se acopla a un resorte y lo estira 24 pulgadas. Suponiendo que el peso se suelta
desde la posición de equilibrio con una velocidad inicial de 3 pies=seg hacia abajo y sobre él actúa
una fuerza externa numéricamente igual a 2sen (4t) entonces
i. Determine la posición y velocidad del peso en cualquier instante t; si no hay fuerza amortiguadora
actuando.
ii. ¿Entra el sistema en resonancia mecánica?
(b) En un sistema mecánico sin amortiguamiento un cuerpo de 8 lb estira un resorte 2 pies hasta llegar
a la posición de equilibrio. Una vez en esta posición una fuerza f (t) = sen ( 4t) actúa sobre el
sistema, haciéndolo vibrar. Determine:
i. Determine la posición del cuerpo como funciòn de t:
ii. Se da el efeco de resonancia mecánica en este modelo.
(c) A continuación se muestran tres grá…cos que representan modelos de sistemas vibratorios. Para cada
representación el desplazamiento y la velocidad respectivamente en cualquier instante t se denota
como x (t) y x (t) :
Modelo 1
x (t) = sen (4t)
Modelo 2
x (t) = 2e
5t
t cos (4t)
+ 10te
5t
2 cos (5t)
Modelo 3
x (t) = e t (2 cos (2t) + sen (2t))
3
Determine:
1. (a)
i. ¿Cuál o cuáles sistemas presentan resonancia mecánica?
ii. ¿La velicidad límite de cada sistema?
iii. ¿En cuál o cuáles sistemas la fuerza de amortiguamiento es mayor que la fuerza restauradora?
Soluciones
1. 9y 000 + 36y 00
y0
2
3
4y =
sin
x
3
4 cos
x
3
37
9
2. yp = Ax2 + (B + Cx) ex
3. yp = (A + Bx) x2 ex
4. y = c1 ex + c2 x
5. y = c1 x + c2 ex
6.
7. (a) y = Aex + Bsenx + C cos x
1
x
2 xe
(b) y = Aex + Bsenx + C cos x + 1 + x
(c) y = c1 x + c2 x ln x
(d) y = e
ln x
2
p
5
2
A cos
(e) y = A + Bx + Ce
x
ln x + Bsen
+ x3
p
5
2
ln x
4
3Ex2
(f) y = c1 x + c2 xex + x2 + x
(g) y = c1 e4t + c2 e6t = c1 x4 + c2 x6
8.
Si k = 1 ) yp (z)
Si k = 1 ) yp (z)
yc (z) ) yp (z) = Aze z + Bz + C
yc (z) ) yp (z) = Azez + Bz + C
9. (a)
(b) y2 =
3x +
5
2
(c) y = 21 x2 + 3x +
10. y (4) + 4y 00 = 2e2x
5
2
2x2
1
11. (a) a5 = 1; a4 = 3; a3 = 9; a2 = 23; a1 = 0 y a0 =
4
36
(b)
yc
yp
= C1 ex + (C2 + C3 x) e 2x + C4 sen (3x) + C5 cos (3x)
= Axex + [(Bx + C) sen (3x) + (Dx + E) cos (3x)] e 2x
) y = yc + y p
12. (a)
(b) y = c1 eln(2x
3)
+ c2 e
ln(2x
2
3)
2
1 3 ln(2x 3)
28 e
13. (a) 10m3 + 2m4 + m5 = 0; así a = 2 y b = 10
(b) R (x) = 11 cos x + 2 sin x
14.
15.
16. (a)
(b) y = c1 + c2 e2t + t2
17.
18.
19. y = c1 (x + 1) + c2 x2
20. (a)
i. x (t) = sen (4t) t cos (4t) y x0 (t) = 2 cos (4t) + tsen (4t)
ii. El sistema entra en resonancia mecánica
(b)
i. x (t) = 81 sen (4t) + 12 t cos (4t)
ii. El sistema entra en resonancia mecánica
(c)
i. El modelo 1 entra en resonancia mecánica
ii.
En el modelo uno tiende a in…nito.
En el modelo dos oscila entre
10 y 10:
En el modelo tres tiende a cero.
iii. Ninguno
5