Gráficas paramétricas en 2 y 3D. Superficies, gradientes y curvas de Nivel (Funciones de
dos variables F(x,y))
Escribe un LiveScript con cada uno de los siguientes casos
Algunas funciones de 𝑅 → 𝑅
1. Genera un script que permita estudiar como varia la familia de funciones f(x)=ax, cuando a
varía en un rango de valores entre -10 y 10
2. De forma similar al ejercicio anterior genera un script que permita ejemplificar como varía la
función f(x)=x+b, cuando se varía el parámetro b en cierto rango
3. La curva “Catenaria” caracterizada por la función
1
𝑦(𝑥) = 𝑎 acosh⁡(𝑥/𝑎), es la curva ideal que formaría una “cadena” bajo un campo gravitacional
uniforme. Es una curva relevante en ingeniería. Estudia que pasa al variar el parámetro a.
Curvas paramétricas en 2 y 3 dimensiones
1. Obtener las gráficas paramétricas representadas por:
𝑥(𝑡) = 𝑡 2 − 2𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑡 + 1
2. Obtener la gráfica paramétrica representada por:
̂ = ⟨𝑡 3 − 4𝑡, 𝑡 2 − 4⟩
𝐹(𝑡)
3. Las figuras de Lissajous L(a,b) definida por:
𝑥(𝑡) = sin⁡(𝑎𝑡)
para el caso a=2, b=3
𝑦(𝑡) = sin⁡(𝑏𝑡)
4. Luego estudiar la figura de Lissajous sí b=a+1, y variamos el valor de a, escoge un caso
de tu agrado para mostrar.
5. La parametrización del círculo de radio r es:
𝑥(𝑡) = 𝑟⁡cos⁡(𝑡)
𝑦(𝑡) = 𝑟⁡sin⁡(𝑡)
Primero grafica el círculo de forma paramétrica para r=1, y luego analiza como podrías
modificar esta parametrización para generar una espiral que va decreciendo y acercándose
al centro.
6. La cicloide es la curva generada al seguir un punto fijo sobre una circunferencia de radio a
que gira sobre una superficie plana. Sus respectivas ecuaciones paramétricas son:
𝑥(𝑡) = 𝑎𝑡 − a⁡sin⁡(𝑡)
escoge un radio en particular y genera la curva de la cicloide.
𝑦(𝑡) = 𝑎 − a⁡cos⁡(𝑡)
Superficies en R3
7. Obtener la gráfica del paraboloide elíptico definido por las ecuaciones siguientes
𝑥(𝑡, 𝑢) = a⁡cos(𝑡) cos⁡(𝑢)
𝑦(𝑡, 𝑢) = b⁡cos(𝑡) sin⁡(𝑢) para los siguientes valores, a=1, b=1, 0<t<2pi, 0<u<2pi
𝑧(𝑡, 𝑢) = cos2 (𝑡)
Campos Vectoriales
̂ = ⟨2𝑥⁡𝑠𝑖𝑛(𝑦), 𝑥 2 cos⁡(𝑦)⟩ se puede obtener a partir de la siguiente
El campo vectorial 𝐹(𝑡)
función potencial. 𝑃(𝑥, 𝑦) = −𝑥 2 sin(𝑦).⁡Al determinar el menos gradiente,
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹(𝑥, 𝑦) = −∇𝑃(𝑥, 𝑦).
8. Confirma que en efecto se cumple: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹(𝑥, 𝑦) = −∇𝑃(𝑥, 𝑦)
9. Para estudiar la relación entre la función potencial y el campo vectorial asociado
primeramente. Grafica la función potencial como una superficie en 𝑅 3, usando tanto la
función surf como la función contour.
10. Después usa la función gradient para determinar el gradiente y graficarlo usando la función
quiver.