ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ (2 КООРДИНАТЫ)
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
I.
1.
𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏
𝑘 – тангенс угла между прямой и положительным
направлением оси 𝑂𝑥
𝑏 – точка пересечения с осью 𝑂𝑦
2.
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
(𝐴, 𝐵) – координаты перпендикулярного к прямой вектора
( = вектора нормали)
3.
𝑦 − 𝑦1
𝑥 − 𝑥1
=
𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1
Прямая, проходящая через 2 точки (𝑥1 , 𝑦1 ), (𝑥2 , 𝑦2 )
4.
𝐴(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0 ) = 0
Прямая, проходящая через точку (𝑥0 , 𝑦0 ) перпендикулярно
вектору (𝐴, 𝐵)
5.
𝑥 𝑦
+ =1
𝑎 𝑏
𝑎, 𝑏 – точки пересечения прямой и осей 𝑥 и 𝑦
соответственно
ФОРМУЛЫ
II.
1.
Расстояние между двумя точками (𝑥1 , 𝑦1 ), (𝑥2 , 𝑦2 ):
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2
Деление отрезка 𝐴𝐵 (𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ), 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 )) в соотношении 𝐴𝑀 = 𝜆𝑀𝐵:
2.
𝑥𝑀 =
𝑥1 + 𝜆𝑥2
𝑦1 + 𝜆𝑦2
, 𝑦𝑀 =
1+𝜆
1+𝜆
Площадь треугольника через координаты его вершин (𝑥1 , 𝑦1 ), (𝑥2 , 𝑦2 ), (𝑥3 , 𝑦3 ):
3.
1
𝑥3 − 𝑥1
𝑆 = abs |𝑦 − 𝑦
3
1
2
𝑥2 − 𝑥1
𝑦2 − 𝑦1 |
(abs − модуль)
Угол между прямыми 𝑘1 𝑥 + 𝑏1 , 𝑘2 𝑥 + 𝑏2 :
4.
tg 𝜑 =
𝑘2 −𝑘1
1+𝑘1 𝑘2
Если 𝑘1 = 𝑘2 , то прямые параллельны, если 𝑘1 𝑘2 = −1, то прямые перпендикулярны.
Расстояние от точки (𝑥0 , 𝑦0 ) до прямой 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0:
5.
𝑑=
|𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶|
√𝐴2 + 𝐵2
ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ (3 КООРДИНАТЫ)
ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
I.
1.
2.
𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑧 − 𝑧0
=
=
𝑚
𝑛
𝑝
𝑥−𝑥1
𝑥2 −𝑥1
𝑦−𝑦1
=𝑦
2 −𝑦1
Прямая, проходящая через точку (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )
параллельно вектору (𝑚, 𝑛, 𝑝)
Прямая, проходящая через 2 точки
(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ), (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 )
𝑧−𝑧1
=𝑧
2 −𝑧1
Параметрическое уравнение. Прямая,
проходящая через точку (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) параллельно
вектору (𝑚, 𝑛, 𝑝)
𝑥 = 𝑥0 + 𝑚𝑡
{ 𝑦 = 𝑦0 + 𝑛𝑡
𝑧 = 𝑧0 + 𝑝𝑡
3.
ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
II.
1.
𝐴(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝐶(𝑧 − 𝑧0 ) = 0
Плоскость, проходящая через точку (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )
перпендикулярно вектору (𝐴, 𝐵, 𝐶)
2.
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
(𝐴, 𝐵, 𝐶) – координаты перпендикулярного к
плоскости вектора ( = вектора нормали)
3.
4.
𝑥 − 𝑥1
|𝑥2 − 𝑥1
𝑥3 − 𝑥1
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
𝑧 − 𝑧1
𝑧2 − 𝑧1 | = 0
𝑧3 − 𝑧1
Плоскость, проходящая через 3 точки
(𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ), (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ), (𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3 )
𝑎, 𝑏, 𝑐 – точки пересечения плоскости и осей
𝑥, 𝑦 и 𝑧 соответственно
𝑥 𝑦 𝑧
+ + =1
𝑎 𝑏 𝑐
ФОРМУЛЫ
III.
Расстояние от точки (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) до плоскости 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0:
1.
2.
𝑑=
3.
cos 𝜑 =
Угол между прямой
4.
𝑥−𝑥0
𝑚
=
𝑥−𝑥1
𝑚1
𝑥−𝑥1
𝑚1
=
𝑦−𝑦1
𝑛1
=
𝑥2 − 𝑥1
| 𝑚1
𝑚2
𝑦−𝑦1
𝑛1
=
𝑧−𝑧1
𝑝1
и
𝑥−𝑥2
𝑚2
=
𝑦−𝑦2
𝑛2
=
𝑧−𝑧2
:
𝑝2
√𝑚12 +𝑛12 +𝑝12 ⋅√𝑚22 +𝑛22 +𝑝22
𝑦−𝑦0
𝑛
𝑧−𝑧1
𝑝1
=
𝑚1 𝑚2 +𝑛1 𝑛2 +𝑝1 𝑝2
sin 𝜑 =
Если 2 прямые
6.
√𝐴2 +𝐵2 +𝐶 2
Угол между плоскостями 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝑧 + 𝐷1 = 0 и 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐷2 = 0:
𝐴1 𝐴2 + 𝐵1 𝐵2 + 𝐶1 𝐶2
cos 𝜑 =
√𝐴12 + 𝐵12 + 𝐶12 ⋅ √𝐴22 + 𝐵22 + 𝐶22
Угол между прямыми
5.
|𝐴𝑥0 +𝐵𝑦0 +𝐶𝑧0 +𝐷|
и
=
𝑧−𝑧0
𝑝
и плоскостью 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0:
𝐴𝑚+𝐵𝑛+𝐶𝑝
√𝐴2 +𝐵2 +𝐶 2 ⋅√𝑚2 +𝑛2 +𝑝2
𝑥−𝑥2
𝑚2
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑛1
𝑛2
𝑦−𝑦2
𝑛2
=
𝑧−𝑧2
𝑝2
лежат в одной плоскости, то
𝑧2 − 𝑧1
𝑝1 | = 0
𝑝2
Расстояние между двумя точками (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ), (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ):
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 + (𝑧2 − 𝑧1 )2