Contenidos
1 La completitud de los números reales
1.1 Un campo ordenado . . . . . . . . . . .
1.1.1 Axiomas de campo . . . . . . . .
1.1.2 Axiomas de orden . . . . . . . .
1.1.3 Intervalos . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Valor Absoluto . . . . . . . . . .
1.1.5 Una copia de Q . . . . . . . . . .
1.2 Axioma de completitud . . . . . . . . .
1.2.1 Consecuencias . . . . . . . . . .
1.2.2 Existencia de raíces . . . . . . .
1.2.3 Los números irracionales . . . . .
1.3 La función exponencial . . . . . . . . . .
1.3.1 Un poco de historia . . . . . . .
1.3.2 Potencias de exponente racional
1.3.3 Potencias de exponente real . . .
2 Sucesiones Numéricas
2.1 Conceptos básicos . . . . . .
2.1.1 Sucesiones monótonas
2.1.2 Rango de una sucesión
2.1.3 Sucesiones acotadas .
2.2 Convergencia . . . . . . . . .
2.2.1 Divergencia a in…nito
2.2.2 Cálculo de límites . .
2.3 Sucesiones recurrentes . . . .
2.3.1 Ejercicios . . . . . . .
2.4 Subsucesiones . . . . . . . . .
2.4.1 Ejercicios . . . . . . .
2.5 Puntos límite . . . . . . . . .
2.5.1 El limsup y el liminf .
2.5.2 Sucesiones de Cauchy
2.5.3 Ejercicios . . . . . . .
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52
53
S. Cambronero
2
3 Límites y Continuidad
3.1 El nacimiento del cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 De…nición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Límites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Continuidad de las trigonométricas . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Composición de funciones continuas . . . . . . . . . . .
3.6.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Límites in…nitos y al in…nito . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Límites in…nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Límites al in…nito . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Continuidad de la exponencial . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 La función logarítmica . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9 Sucesiones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 La constante de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.1 Límites relacionados con e . . . . . . . . . . . . .
3.10.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.3 Proyecto opcional 1: e es irracional . . . . . . . .
3.10.4 Proyecto opcional 2: Exponencial vía sucesiones.
3.10.5 Proyecto opcional 3: Exponencial vía Series . . .
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4 Teoremas sobre continuidad
4.1 Teorema de los valores intermedios
4.1.1 Ejercicios . . . . . . . . . .
4.2 Extremos de funciones continuas .
4.2.1 Ejercicios . . . . . . . . . .
4.3 Continuidad uniforme . . . . . . .
4.3.1 Ejercicios . . . . . . . . . .
4.4 Continuidad de la función inversa .
4.4.1 Ejercicios . . . . . . . . . .
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5 Cálculo Diferencial
5.1 Conceptos básicos . . . . .
5.1.1 Algunos ejemplos . .
5.1.2 La función derivada
5.1.3 Propiedades . . . . .
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S. Cambronero
5.2
3
5.1.4 Derivadas de logaritmo y exponencial
5.1.5 Derivadas de trigonométricas . . . . .
5.1.6 Regla de la cadena . . . . . . . . . . .
5.1.7 Derivada de la función inversa . . . .
5.1.8 Derivadas de orden superior . . . . . .
5.1.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .
Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Extremos locales y globales . . . . . .
5.2.2 Puntos críticos y teorema de Rolle . .
5.2.3 El teorema del valo medio . . . . . . .
5.2.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Razones de cambio y optimización
6.1 Crecimiento y decrecimiento . . . .
6.1.1 Ejercicios . . . . . . . . . .
6.2 Razones de cambio . . . . . . . . .
6.2.1 Ejercicios . . . . . . . . . .
6.3 Problemas de optimización . . . .
6.3.1 Ejercicios . . . . . . . . . .
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7 Convexidad y gra…cación
7.1 Convexidad . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 De…nición y ejemplos . . . . . .
7.1.2 Concavidad . . . . . . . . . . .
7.1.3 Resultados sobre convexidad .
7.1.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . .
7.2 Convexidad y derivación . . . . . . . .
7.2.1 Convexidad y primera derivada
7.2.2 Convexidad y segunda derivada
7.2.3 Criterios para óptimos locales y
7.2.4 Asíntotas y trazo de grá…cas .
7.2.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . .
7.3 Regla de L’Hôpital . . . . . . . . . . .
7.3.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . .
8 Desarrollos de Taylor
8.1 Introducción . . . . .
8.1.1 Ejercicios . .
8.2 Teorema de Taylor .
8.2.1 Ejercicios . .
8.3 Desarrollos limitados
8.3.1 Ejercicios . .
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203
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S. Cambronero
9 Integral inde…nida
9.1 De…nición y ejemplos . . . . .
9.1.1 Ejercicios . . . . . . .
9.2 El método de sustitución . . .
9.2.1 Ejercicios . . . . . . .
9.3 Sustituciones trigonométricas
9.3.1 Ejercicios . . . . . . .
9.4 Integración por partes . . . .
9.4.1 Ejercicios . . . . . . .
4
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222
Capítulo 1
La completitud de los números
reales
El siglo XIX vio nacer las principales contribuciones a la fundamentación del Análisis. La
matemática comienza a desarrollarse como una ciencia formal, independiente de las ciencias
naturales. Surgen nuevos campos como el análisis complejo y se impone un nuevo rigor a las
demostraciones matemáticas. Cauchy establece la de…nición del concepto límite que usamos
en la actualidad, ubicando al análisis matemático sobre un fundamento riguroso. A través
de la teoría de conjuntos de Georg Cantor y el desarrollo de los fundamentos de la lógica
formal (Boole, Schröder, Frege entre otros), se inician líneas de desarrollo de la matemática
que impactarían el siguiente siglo.
Dentro de esta revolución formal, surge el ideal de la construcción de un conjunto numérico
continuo que prescindiera de la noción de magnitud. Como resultado aparecen diversas
construcciones de los números reales (Cortaduras de Dedekind, sucesiones de Cauchy, entre
otras) y posteriormente, aparecen las axiomatizaciones, con las que se desligó por completo
a los números de los conceptos geométricos que le dieron vida.
1.1
Un campo ordenado
Las propiedades algebraicas que conocemos de R, así como las propiedades de orden y su
compatibilidad con las operaciones, le merecen el nombre de campo totalmente ordenado.
Pero esas mismas propiedades son satisfechas por Q, lo que hace a R diferente de Q es su
capacidad de asignar un número a cada punto sobre una recta. Esta idea intuitiva se concreta
en el concepto analítico de completitud.
Para comenzar, R se presenta como un conjunto dotado de dos dos operaciones internas y
de una relación de orden ; que cumplen los axiomas de campo y los axiomas de orden.
Posteriormente se introduce la idea de completitud mediante el axioma del extremo superior.
5
Completitud
1.1.1
S. Cambronero
Axiomas de campo
Las operaciones suma y multiplicación cumplen los siguientes axiomas:
Axioma 1.1.1 La operación suma es cerrada. Es decir, la suma es una función
+ :R R !
R
(a; b)
! a+b
Axioma 1.1.2 La suma es conmutativa: Para a; b 2 R se cumple a + b = b + a:
Axioma 1.1.3 La suma es asociativa: Para a; b; c en R se cumple
a + (b + c) = (a + b) + c:
Axioma 1.1.4 Existencia de neutro aditivo: Existe 0 2 R tal que
8a 2 R
a + 0 = 0 + a = a:
Axioma 1.1.5 Para todo a 2 R, existe el inverso aditivo
a 2 R tal que
a + ( a) = ( a) + a = 0:
Axioma 1.1.6 La multiplicación es cerrada, es decir, es una función1
:R R ! R
(a; b)
! a b
Axioma 1.1.7 La multiplicación es conmutativa: Para a; b 2 R se tiene ab = ba:
Axioma 1.1.8 La multiplicación es asociativa: Para cualesquiera a; b y c en R se tiene
a(bc) = (ab)c:
Axioma 1.1.9 Existe un elemento neutro 1 2 R para la multiplicación
8a 2 R
1 a = a 1 = a:
Además 1 6= 0; lo que nos garantiza R 6= f0g :
Axioma 1.1.10 Para todo a 2 R no nulo, existe el inverso multiplicativo a
a a
1
=a
1
a = 1:
Axioma 1.1.11 Para cualesquiera a; b; c en R se cumple:
(a + b) c = ac + bc:
Esta es la distributividad de la multiplicación con respecto a la suma.
1
Como es costumbre, cuando no hay peligro se denota ab en vez de a b:
1
2 R tal que
6
Completitud
S. Cambronero
7
De los axiomas de campo que acabamos de enunciar, se pueden deducir las leyes usuales del
algebra elemental de números reales. A continuación enunciamos algunas de estas leyes.
Lema 1.1.1 Los elementos 0 y 1 son únicos: 0 es el único neutro de la suma y 1 el único
neutro de la multiplicación.
Suponga por ejemplo que 00 es un neutro de la suma. Entonces
00 = 0 + 00 (por ser 0 un neutro)
= 0
(por ser 00 un neutro).
Esto demuestra la unicidad del cero.
Ejercicio 1.1 Demuestre la unicidad del uno como elemento neutro del producto.
A continuación la ley de cancelación de la suma.
Lema 1.1.2 Sean a; b y c números reales. Si a + c = b + c entonces a = b:
En efecto, suponga que a + c = b + c. Por la asociatividad se tiene
a = a + (c + ( c)) = (a + c) + ( c) = (b + c) + ( c) = b:
El lector puede demostrar en forma similar la ley de cancelación de la multiplicación.
Ejercicio 1.2 Demuestre que si c 6= 0; entonces de ac = bc se sigue a = b:
Lema 1.1.3 Sean a; b 2 R. Entonces existe un único x 2 R tal que x + a = b:
Note que si x + a = b entonces
x = x + a + ( a) = b + ( a) :
Esto nos da de una vez la existencia y la unicidad de x:
En el lema anterior, se denota x = b a: Note que con b = 0 se obtiene la unicidad del inverso
aditivo.
Ejercicio 1.3 Demuestre que si a 6= 0 y b 2 R, existe un único y tal que ay = b: Concluya
que el recíproco de a es único.
Lema 1.1.4 Para todo a 2 R se tiene
( a) = a: Además, para a; b 2 R
(a + b) = ( a) + ( b) :
Completitud
S. Cambronero
Como a + a = 0; la unicidad del inverso aditivo de
segunda se obtiene de
(( a) + ( b)) + (a + b) =
8
a demuestra la primera a…rmación. La
a + a + ( b + b) = 0
y la unicidad del inverso de a + b:
Ejercicio 1.4 Si a y b son no nulos demuestre que
a
1
1
= a;
(ab)
1
=a
1
b
1
:
Ejercicio 1.5 Demuestre que el cero es absorbente. Es decir, para todo a 2 R se tiene
a 0 = 0 a = 0:
Lema 1.1.5 Sean a y b dos números reales. Entoces ab = 0 sii a = 0 _ b = 0:
El ”si” se sigue de la absorvencia del 0: Para el ”solo si” suponga que ab = 0: Si a 6= 0, por
la ley de cancelación del producto se obtiene b = 0:
Ejercicio 1.6 Concluya del lema anteior que
a 6= 0 6= b , ab 6= 0:
El siguiente resultado es una manera de escribir la ley de signos.
Lema 1.1.6 Sean a; b 2 R. Entonces:
a( b) =
(ab);
( a)( b) = ab
La primera identidad se obtiene de
a( b) + ab = a ( b + b) = a 0 = 0
y la unicidad del inverso.
Ejercicio 1.7 Demuestre la segunda identidad del lema anterior. Concluya que ( 1) a =
a:
a
Si a y b son números reales con b 6= 0; el número ab 1 se denota y se llama el cociente o
b
división de a por b: Note que a1 = a: Además si a 6= 0 se tiene aa = 1:
Teorema 1 Sean a; b; c y d números reales, con b 6= 0 y d 6= 0: Entonces
a c
ac
= ;
b d
bd
a c
ad + cb
+ =
:
b d
bd
Completitud
S. Cambronero
Demostración
Ambas identidades se obtienen de manera bastante directa si recordamos que (bd)
b 1 d 1 : En efecto
a c
ac
= (ab 1 )(cd 1 ) = ac(bd) 1 =
b d
bd
mientras
a c
ad + cb
= (ad + bc) (bd) 1 = add 1 b 1 + cbb 1 d 1 = + :
bd
b d
Ejercicio 1.8 Demuestre que para a; b 2 R con b 6= 0; se tiene que
9
1
=
a
= 0 , a = 0.
b
Ejercicio 1.9 Demuestre que para a 6= 0 6= b se tiene
a
b
1
=
b
:
a
Ejercicio 1.10 Demuestre que
a
b
c
d
1.1.2
=
ac
:
bd
Axiomas de orden
Se acepta la existencia de un subconjunto P
R que cumple las siguientes propiedades
Axioma 1.1.12 Si a 2 P y b 2 P; entonces a + b 2 P:
Axioma 1.1.13 Si a 2 P y b 2 P; entonces ab 2 P:
Axioma 1.1.14 Para todo a 2 R, si a 6= 0; entonces a 2 P o bien
a 2 P . Además 0 2
= P:
Los elementos del conjunto P los llamaremos números reales positivos. Al conjunto P [ f0g
lo denotaremos por R+ : Un número a se llama negativo si su inverso a es positivo.
De…nición 1.1.1 Dados a; b 2 R denotamos a
b (a menor o igual a b) si b a 2 R+ :
Denotamos a < b si b a 2 P . Note que a 0 sii a 2 R+ ; mientras a > 0 signi…ca que a es
positivo.
De estos axiomas se deducen las reglas de manipulación de desigualdades. Veamos.
Lema 1.1.7 Si a 2 R, entonces a y
a no pueden ser ambos positivos.
En efecto, si ambos fueran positivos, por el axioma 1.1.12 se tendría 0 =
al axioma 1.1.14.
Lema 1.1.8 El uno es positivo.
a+a 2 P; contrario
Completitud
S. Cambronero
Si no lo fuera, entonces
contradictorio:
10
1 sería positivo y luego 1 = ( 1) ( 1) sería positivo. Esto es
Ejercicio 1.11 Demuestre que
a
Teorema 2 La relación
0; b
0)a+b
0:
es un orden total en R.
Demostración
Re‡exividad: Como a
a 2 R+ se tiene a
Antisimetría: Suponga que a
negativo. Por lo tanto a = b:
Si a
byb
b y b
a para cada a 2 R.
a: Si a 6= b entonces a
b sería positivo y
c; por el ejercicio anterior se tiene
c
a = (c
b) + (b
a)
0
y por lo tanto a
c: Esto demuestra la transitividad. Finalmente, la totalidad del
orden es consecuencia directa del axioma 1.1.14.
Ejercicio 1.12 Demuestre la compatibilidad del orden con la suma: Para a; b; c en R
a
b,a+c
b+c
y la compatibilidad del orden con el producto: Para a; b; c
a
b ^ c > 0 ) ac
bc;
Ejercicio 1.13 Demuestre las leyes de signos:
a > 0 ^ b < 0 ) ab < 0;
Ejercicio 1.14 Si a
a < 0 ^ b < 0 ) ab > 0:
b y c < 0; demuestre que bc
Ejercicio 1.15 Sean a; b; c 2 R. Demuestre que
1. a > 0 ) a
1
2. a > b > 0 )
3. a2 + b2
>0
1
1
>
b
a
2ab
4. a > 1 ) a2 > a
5. 0 < a < 1 ) a > a2 :
ac:
Completitud
1.1.3
S. Cambronero
11
Intervalos
Los axiomas de orden, nos permiten introducir la noción de intervalo en R. Para empezar se
de…ne el intervalo cerrado
[a; b] = fx 2 R : a x bg :
Note que [a; b] = ; si b < a: En general, un conjunto I
R se llama intervalo si para cada
x; y 2 I se tiene [x; y]
I: El lector puede veri…car que bajo esta de…nición, los siguientes
son intervalos
(a; b) = fx 2 R : a < x < bg ;
[a; b) = fx 2 R : a
x < bg ;
(a; b] = fx 2 R : a < x
bg :
El primer caso corresponde a un intervalo abierto, los otros dos se llaman semiabiertos. Los
siguientes son intervalos no acotados
(a; +1) = fx 2 R : x > ag
[a; +1) = fx 2 R : x
ag
( 1; a] = fx 2 R : x
ag
( 1; a) = fx 2 R : x < ag :
Ejemplo 1.1 El conjunto A = [2; 3) [ f5g no es un intervalo, ya que 2 2 A; 4 2 A pero [2; 4]
no es subconjunto de A:
Ejemplo 1.2 R no es un intervalo, dado que [ 1; 1] no es subconjunto de R :
Ejemplo 1.3 El conjunto A = x 2 R+ : x2 > 2 sí es intervalo. En efecto, si a; b 2 A; se
sigue que a > 0 y a2 > 2: Luego, para cada x 2 [a; b] se tiene
x2
de donde x2
1.1.4
a2 = (x
a) (x + a)
a2 > 2: Esto demuestra que [a; b]
0;
A:
Valor Absoluto
El valor absoluto de un número real x se denota jxj ; y se de…ne como el mayor de los números
x y x:
jxj = max (x; x) :
Equivalentemente
jxj =
x
x
si x 0
si x < 0:
Geométricamente, jxj es la distancia del origen al punto representado por x en la recta
numérica. Similarmente, jx yj es la distancia entre los puntos representados por x e y. Una
consecuencia inmediata de la de…nición de valor absoluto es el hecho que
jxj = jyj , (x = y ó x =
y) :
Completitud
S. Cambronero
12
A continuación exponemos algunos resultados importantes acerca del valor absoluto. Para
comenzar observe que j xj = jxj : Además, es evidente que x jxj y x jxj : De esto se
concluye el siguiente teorema.
Ejercicio 1.16 Demuestre que para a 2 R se tiene a2 = jaj2 :
Ejercicio 1.17 Demuestre que para todo número real x se tiene que
jxj
Concluya que si a
x
jxj :
0 entonces
jxj
a,
a
x
a
Teorema 3 Para a; b 2 R se tiene
a2 < b2 , jaj < jbj:
El resultado se obtiene de manera directa del hecho que
b2
a2 = jbj2
jaj2 = (jbj + jaj) (jbj
jaj)
dado que jbj + jaj es positivo cuando a y b son distintos.
Ejercicio 1.18 Demuestre que
a2
b2 , jaj
jbj:
Ejercicio 1.19 Si a < b y c > d; demuestre que a
c<b
d:
Ejercicio 1.20 Demuestre que para a; b 2 R se tiene jabj = jaj jbj : Concluya que si b 6= 0
jaj
a
=
:
b
jbj
Teorema 4 Desigualdad triangular: Para a; b; 2 R se tiene
ja + bj
jaj + jbj
Sumando las desigualdades
jaj
a
jaj
jbj
b
jbj
se obtiene
(jaj + jbj)
a+b
jaj + jbj :
Por el ejercicio 1.17 se obtiene
ja + bj
jaj + jbj :
Completitud
S. Cambronero
13
Otra manera de demostrar la desigualdad triangular es observando que
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a2 + 2jaj jbj + b2
= jaj2 + 2jaj jbj + jbj2
= (jaj + jbj)2 ;
Ejercicio 1.21 Complete los detalles en este último argumento.
Ejercicio 1.22 Demuestre que para x; y; z 2 R se tiene
x
1
= jxj
1
;
jx
yj
jxj + jyj;
jjxj
jyjj
jx
yj:
Ejercicio 1.23 Se de…ne max (a; b) como el mayor de los números a y b: En otras palabras,
a si a b;
b si a < b:
max (a; b) =
Similarmente se de…ne min (a; b) : Demuestre que
max (a; b) =
a + b + ja
2
bj
;
min (a; b) =
Ejercicio 1.24 Demuestre que si 0 < a < b; entonces a <
1.1.5
a+b
p
ja
bj
a+b
2
< b:
2
ab <
:
Una copia de Q
Hasta el momento R es simplemente un campo ordenado, es decir que en principio no hay
diferencia con el campo de los racionales que conocemos. De hecho, se puede demostrar que
R contiene una copia de Q, como procedemos a explicar.
Primero se puede de…nir una copia del conjunto N de los números naturales como el menor
subconjunto inductivo de R. Para concretar esto, diremos primero que A
R se llama
inductivo si satisface las propiedades
(a) 0 2 A:
(b) x 2 A ) x + 1 2 A:
Por ejemplo R y R+ son inductivos. El intervalo (0; 1) no es inductivo, pues no contiene al
cero. Por otro lado, el conjunto R f5g no es inductivo pues no satisface la propiedad (b);
contiene a x = 4 pero no a x + 1 = 5:
Podemos ahora considerar la familia I de todos los subconjuntos inductivos de R. Entonces
tenemos, por ejemplo que R 2 I, [0; 1) 2 I. De…nimos N como la intersección de todos los
subconjuntos inductivos de R, esto es
\
N=
A:
A2I
Completitud
S. Cambronero
14
Como 0 2 A; para todo A 2 I, tenemos por de…nición que 0 2 N. Además, si x 2 N tenemos
x 2 A para cualquier A 2 I, así que x + 1 2 A por la inductividad de A: Como esto vale para
todo A 2 I se sigue x + 1 2 N. Concluimos entonces que N es también inductivo.
Se concluye que N es el conjunto inductivo más pequeño. Esto es en realidad el principio de
inducción, y los otros axiomas de Peano se satisfacen trivialmente, usando la función sucesor
n = n + 1:
Hemos construido así una copia de N dentro del campo R. Luego se de…ne una copia de Z
Z = fx 2 R : jxj 2 Ng
y …nalmente una copia de Q
Q=
na
: a 2 Z; b 2 Z
o
:
b
Es evidente del teorema 1 que las operaciones de R son cerradas en Q y coinciden con
las operaciones de…nidas en la construcción clásica de este campo a partir del anillo de los
números enteros. Hemos logrado entonces construir una copia de Q dentro de R.
Ejercicio 1.25 Sean a; b 2 N primos relativos. Demuestre que a2 y b2 son primos relativos.
a2
a
Concluya que si 2 es entero, entonces es entero.
b
b
Ejercicio 1.26 Demuestre que si n 2 N no es cuadrado perfecto, entonces no existe r 2 Q
tal que r2 = n:
Ejercicio 1.27 Si n 2 N y a; b 2 R, demuestre que
an
bn = (a
b) an
1
+ abn
+ ab +
2
+ bn
1
:
Ejercicio 1.28 Demuestre que para n entero positivo, la función
f : R+ ! R
f (x) = xn
es estrictamente creciente. Concluya que es inyectiva.
Ejercicio 1.29 Halle todos los números reales x que satisfacen cada una de las siguientes
inecuaciones:
3 + x2 < 7
4
1
+
>0
x 3 x
x2
x 7
>0
x + 11
4 x2 9 > 0
x2 + 4x + 3
0
(x + 3) (2x + 3) > 0:
Ejercicio 1.30 Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones e inecuaciones:
j2x + 3j < 7;
x2 + 4x + 3j > 0;
jx + 1j + jx
2j > 1:
Completitud
1.2
S. Cambronero
15
Axioma de completitud
Dado A R y b 2 R, se dice que b es cota superior de A si cada elemento x 2 A satisface
x
b: Cuando existe una cota superior de A; se dice que A es acotado superiormente.
Simbólicamente, A es acotado superiormente si
9b 2 R 8x 2 A x
b:
Ejemplo 1.4 El conjunto A = ] 1; 17[ es acotado superiormente y cualquier b 17 es cota
superior de A: Además, = 17 es la menor de las cotas superiores de A: En efecto, si b < 17
entonces b no puede ser cota superior de A; dado que en tal caso x = b+17
es un elemento de
2
A mayor que b:
En general, si A es acotado superiormente y
es la menor de las cotas superiores de A;
entonce se llama extremo superior de A; o supremo de A; se denota = sup A: En otras
palabras, es un extremo superior de A si:
1.
es cota superior de A
2. Para todo b cota superior de A; se tiene
b.
La antisimetría de la relación de orden en R, permite concluir que un conjunto acotado
superiormente tiene a lo sumo un extremo superior. El axioma de completitud (o axioma del
extremo superior) establece la existencia. Pero más que eso, el axioma de completitud es el
que marca la diferencia entre Q y R, como veremos.
Axioma 1.2.1 (Axioma del extremo superior) Sea A un subconjunto no vacío de R, acotado
superiormente. Entonces existe el extremo superior de A.
Ejemplo 1.5 Para A = [1; 3] [ f7g se tiene que = 7 es cota superior. Además, si b es cota
superior de A; como 7 2 A se debe tener 7 b: Esto demuestra que sup A = 7:
Ejemplo 1.6 Para A = [0; 1) se tiene que
= 1 es cota superior de A: Sea b una cota
superior de A: Entonces b 0 dado que 0 2 A: Si b < 1; entonces x = b+1
2 sería un elemento
de A, mayor que b: Como esto es contradictorio, se concluye que sup A = 1:
Nota: El ejemplo anterior demuestra que sup A no necesariamente es un elemento de A:
Además, el argumento del ejemplo 1.5 demuestra que si b es cota superior de A y b 2 A;
entonces b = sup A. En tal caso el extremo superior es el máximo del conjunto A:
Ejemplo 1.7 (Intervalos) Para cada 2 R, el conjunto A = fx 2 R : x < g es acotado
superiormente y sup A = : Dejamos la veri…cación como ejercicio.
La siguiente caracterización del supremo suele ser útil. Antes de establecerla, enfaticemos
una equivalencia que hemos venido usando en los ejemplos. Decir que b no es cota superior
del conjunto A es equivalente a decir que existe x 2 A tal que x > b: En efecto, la negación
de 8x 2 A x b es 9x 2 A x > b:
Completitud
Teorema 5 Si A
1.
S. Cambronero
R es no vacío y
16
es una cota superior de A; son equivalentes:
es el supremo de A
2. para todo real b < ; existe x 2 A tal que b < x
3. para todo real " > 0; existe x 2 A tal que
" < x:
Demostración
(1) ) (2) Suponga = sup A y sea b < : Como b no es cota superior de A; debe existir
x 2 A tal que x > b:
(2) ) (3) Dado " > 0; aplicando la hipótesis a b =
" se obtiene lo deseado.
(3) ) (1) Considere b < : Tomando " =
b; por hipótesis existe x 2 A tal que b =
"<
x: Consecuentemente, b no es cota superior de A y entonces = sup A.
Los conceptos arriba introducidos sobre acotación superior, tienen su versión en el caso de
acotación inferior. Se dice que a 2 R es cota inferior de A si a x para cada x 2 A: Cuando
A tiene alguna cota inferior, se dice que es acotado inferiormente. Si existe una cota inferior
que sea mayor que todas las demás, se le llama extremo inferior o ín…mo A. Se denota por
inf A:
Ejemplo 1.8 Considere el intervalo A = (0; 1) : Claramente a = 0 es cota inferior de A; lo
mismo que cualquier número real negativo. Por otro lado, si a > 0 entonces a no puede ser
cota inferior de A, dado que a2 2 A y a2 < a: Esto demuestra que = 0 es la mayor de las
cotas inferiores. Es decir
inf A = 0:
Teorema 6 Si A
rior.
R es acotado inferiormente y no vacío, entonces tiene un extremo infe-
Demostración
Considere el conjunto
B = f x : x 2 Ag :
Claramente B 6= ; y es acotado superiormente. Por el axioma del extremo superior, existe
= sup B: Es decir, es la menor de las cotas superiores de B: Pero entonces
es la
mayor de las cotas inferiores de A: Se invita al lector a escribir los detalles.
Así como se estableció una caracterización para el supremo, existe una similar para el ín…mo.
La demostración se basa en el hecho que la negación de 8x 2 A a x es 9x 2 A x < a:
Ejercicio 1.31 Sea A un subconjunto no vacío de R, acotado inferiormente, y sea
cota inferior de A: Demuestre que son equivalentes:
1.
es el ín…mo de A
2. Para todo a >
existe x 2 A tal que x < a
una
Completitud
S. Cambronero
3. Para todo " > 0; existe x 2 A tal que x <
17
+ ":
Ejercicio 1.32 Si B es acotado superiormente y A B; demuestre que A es acotado superiormente y además sup A sup B: Enuncie y demuestre el resultado similar para acotación
inferior.
Ejercicio 1.33 Considere A y B acotados superiormente y de…na
A + B = fx + y : x 2 A; y 2 Bg :
Demuestre que A + B es acotado superiormente y que sup (A + B) = sup A + sup B:
Ejercicio 1.34 Considere A y B acotados superiormente. Demuestre que A [ B es acotado
superiormente y
sup A [ B = max (sup A; sup B) :
Ejercicio 1.35 Con las hipótesis del ejercicio anterior, demuestre que si A \ B 6= ; entonces
sup (A \ B)
min (sup A; sup B) :
Demuestre mediante ejemplos que la desigualdad puede ser estricta.
Ejercicio 1.36 Considere A; B subconjuntos de R, no vacíos y tales que
8x 2 A 8y 2 B
x
y:
Demuestre que:
1. A es acotado superiormente y B es acotado inferiormente
2. El supremo de A es cota inferior de B. Concluya que sup A
inf B:
Ejercicio 1.37 En el ejercicio anterior, suponga que además
inf fb
a : a 2 A; b 2 Bg = 0:
Demuestre que sup A = inf B:
1.2.1
Consecuencias
El axioma del extremo superior puede usarse para demostrar muchas de las propiedades
básicas de los números reales, entre ellas la arquimedianidad de R o propiedad de Arquímedes.
Lema 1.2.1 N no es acotado superiormente en R. En otras palabras, para todo x 2 R existe
n 2 N tal que n > x:
Completitud
S. Cambronero
18
Demostración
Si N fuera acotado superiormente, tendría supremo, digamos . Como
1 < ; debe existir
n 2 N tal que n >
1: Esto implica n + 1 > ; lo cual es contradictorio dado que n + 1 2 N.
Dados x; y 2 R con y positivo, el lema anterior garantiza la existencia de n 2 N tal que n > xy ;
esto es ny > x: Es importante notar que si ny > x; entonces cualquier otro natural mayor
que n hace el mismo trabajo. En particular, siempre podemos asumir que n 6= 0: Resumimos
esto a continuación.
Teorema 7 (Propiedad de Arquímedes) Sean x; y 2 R con y > 0: Entonces existe n 2 N
tal que x < ny:
Nótese el caso particular x = 1. Se concluye que existe n 2 N tal que
ejemplo explota esta propiedad.
1
n
< y: El siguiente
Ejemplo 1.9 Considere el conjunto A = n1 : n 2 N : Claramente = 0 es cota inferior
de A: Además, si a > 0 existe n 2 N tal que n1 < a: Esto demuestra que ningún número
positivo puede ser cota inferior de A; es decir inf A = 0:
Ejercicio 1.38 Demuestre que el conjunto A =
halle el supremo.
2n 3
n
: n 2 N es acotado superiormente y
Ejercicio 1.39 Demuestre la existencia de la parte entera de un número real. Es decir, dado
x 2 R demuestre que existe un único n 2 Z tal que n x < n + 1: Se denota n = [x]] :
A continuación demostramos la densidad de Q como subconjunto de R.
Teorema 8 Dados x; y 2 R con x < y; existe (al menos un) r 2 Q tal que x < r < y:
Demostración
Por la propiedad de Arquímedes, existe n 2 N tal que
nx: De las desigualdades k nx < k + 1 se obtiene
x<
así que se puede tomar r =
k+1
n
x+
1
n
1
n
<y
x: Sea k la parte entera de
<y
k+1
n :
Ejemplo 1.10 Considere el conjunto
A = fx 2 Q : x < 1g :
Claramente = 1 es una cota superior de A. Además si b < 1; la densidad de Q permite
concluir que existe x 2 Q tal que b < x < 1: Se sigue que x 2 A y x > b: Esto demuestra que
sup A = 1:
Completitud
S. Cambronero
Ejercicio 1.40 Demuestre que el conjunto A =
infeiormente). Calcule los extremos de A.
x 2 Q : x2 < 9
19
es acotado (superior e
Ejercicio 1.41 Considere el conjunto
A = x 2 Q : x2
3x + 2 < 0 :
Demuestre que A es acotado y calcule sus extremos.
Ejercicio 1.42 Si x < y; n 2 N; demuestre que existen al menos n racionales entre x e y
(use inducción). Concluya que existe un número in…nito de racionales entre x e y:
1.2.2
Existencia de raíces
Recordemos que en Q no existe un número r tal que r2 = 2; es decir, no existe la raíz
cuadrada de 2: Dado que la única diferencia entre Q y R es la completitud, la existencia de
raíces cuadradas debe demostrarse usando el axioma de completitud. Considere un número
real positivo a y de…na el conjunto
0 : x2
A= x
a :
Como 0 2 A se tiene A 6= ;: Por otro lado
x > a + 1 ) x2 > (a + 1)2 > a + 1 > a ) x 2
= A:
Entonces para x 2 A debe tenerse (por contrapositiva) x a + 1; es decir que a + 1 es una
cota superior de A: Por el axioma del extremo superior, existe el supremo de A, llamémosle
: Vamos a demostrar que 2 = a descartando las posibilidades 2 > a y 2 < a:
1. Si
2
< a; tome 0 < " < 1 y note que
( + ")2 =
2
+ 2 " + "2 <
Si además
"<
2
+ (2 + 1)":
2
a
2 +1
se sigue que ( + ")2 < a: Pero esto implica + " 2 A y contradice el hecho que
cota superior de A: La opción 2 < a queda descartada.
2. Si
2
es
> a note que
(
2
")2 =
2
2 " + "2 >
2
2 ":
Si 0 < " < 2 a se obtiene (
")2 > a: Pero como
" < ; existe x 2 A tal que
2
2
x>
": Luego x > (
") > a; lo cual es contradictorio. Esto descarta también
la opción 2 > a:
Completitud
S. Cambronero
20
Para demostrar la existencia de raíces n ésimas, establecemos antes dos desigualdades que
generalizan las que usamos en el argumento anterior. Para la primera considere positivo y
0 < " < 1. Observe que
( + ")n =
n
+
n
X
n
k
k=1
"k
donde hemos usado la desigualdad
a k = 0 en la sumatoria se obtiene
n k k
+"
n
X
k=1
" para k
( + ")n <
Por otro lado, si 0 < " <
n
" <
n
n
k
n k
1: Agregando el término correspondiente
+ ( + 1)n ":
(1.1)
se tiene, por la desigualdad de Bernoulli
" n
"
(
")n = n 1
> n 1 n
;
esto es
")n >
(
Teorema 9 Dado un entero n
n
n
n 1
":
(1.2)
2 y real positivo a; existe un único
> 0 tal que
n
= a:
Para la demostración se procede como en el caso de la raíz cuadrada, considerando el conjunto
0 : xn
A = fx
ag :
Como 0 2 A se tiene A 6= ;: Por otro lado
x > a + 1 ) xn > (a + 1)n > a + 1 > a ) x 2
=A
y esto implica que a + 1 es cota superior de A. Por el axioma del extremo superior existe
= sup A: Igual que en el caso n = 2; se demuestra que n = a descartando las posibilidades
n > a y n < a:
1. Si
n
< a; tome
" = min 1;
n
a
( + 1)n
:
Por la desigualdad (1.1) se tiene
( + ")n
Esto implica
2. Si
n
n
+ ( + 1)n "
+ " 2 A y contradice el hecho que
> a, tome
n
"=
n
a
n 1
a:
es cota superior de A:
:
y note que 0 < " < : Usando la desigualdad (1.2) se tiene
(
Pero entonces
cota superior.
")n >
n
n
n 1
" = a:
" es cota superior de A: Esto contradice el hecho que
es la menor
Completitud
S. Cambronero
Ejercicio 1.43 Demuestre la unicidad de
21
en el teorema anterior.
El número del teorema anterior se denomina raíz n
p
para a positivo, n a es el único número real positivo
ésima de a y se denota
que cumple n = a:
p
n
a: Es decir,
Ejemplo 1.11 Para demostrar que
q
n
basta ver que
q
n
La unicidad de la raíz mn
p
m
mn
a
=
p
m
q
n
a=
p
m
p
nm
a
n m
a
=
p
m
a
m
= a:
ésima de a permite concluir el resultado.
Ejercicio 1.44 Demuestre que para a y b reales positivos y m; n enteros positivos se tiene
r
p
n
p
p
p
p
p
a
a
m
n
n
n m
n
n
n
= p
:
a =
a ;
ab = a b;
n
b
b
1.2.3
Los números irracionales
Como ya se ha demostrado,
p
2 es un número real que no es racional, es decir
p
2 2 I = R Q:
El conjunto I = R Q se llama el conjunto de los números irracionales. De igual forma,
p
n 2 I para todo natural n que no sea cuadrado perfecto.
Ejercicio 1.45 Demuestre que si p; n 2 N con n
no puede ser un racional no entero.
2; entonces
p
n
p 2 N [ I. Es decir,
p
n
p
Ejercicio 1.46 (Teorema de Gauss) Si x es un número real tal que
xn + an
donde a0 ; a1 ; : : : ; an
es divisor de a0 :
1
n 1
1x
+ : : : + a1 x + a0 = 0;
son enteros, demuestre que x 2 Z [ I. Además, si x es entero entonces
Las propiedades de campo de Q y R, permiten demostrar una serie de resultados interesantes
sobre los racionales y los irracionales. Por ejemplo, si a 2 Q y b 2 I, se sigue que a + b 2 I.
En efecto, si no fuera así se tendría a + b 2 Q y, por ser Q un campo, b = (a + b) a 2 Q.
Ejercicio 1.47 Demuestre que el conjunto de los números irracionales es denso en R.
Ejercicio 1.48 Dé un ejemplo de dos números irracionales, tales que su suma y su producto
sean ambos racionales. Concluya que I no es un campo.
Completitud
S. Cambronero
22
Ejercicio 1.49 Demuestre que los siguientes son números irracionales:
q
q
q
p
p
p
p
p
p
15
4
5
3
3
17
2;
2 + 3;
11 + 7;
11 + 4 7 + 11 4 7:
Ejercicio 1.50 Si a 6= 0 es racional y b irracional, demuestre que ab; ab
En particular, b 1 es irracional.
1
son irracionales.
p
p
p
p
Ejercicio 1.51 Demuestre que n + m y n
m son irracionales si m y n son primos
relativos y no son cuadrados perfectos. Dé varios ejemplos no triviales.
Ejercicio 1.52 Compruebe que cada uno de los siguientes números es un racional:
p
p
p
p
3
3
1. r = 20 + 14 2 + 20 14 2
p
p p
p
p
4
4
2. r = 2
7+4 3
7 4 3
1.3
La función exponencial
Presentamos en esta sección una aplicación del axioma de completitud a la construcción
rigurosa de la función exponencial. Los detalles de dicha construcción podrían parecer un
poco tediosos para quien recién se inicia en el tema. Con esta advertencia, se incluye a manera
de ilustración y no como parte esencial del desarrollo del curso. Más adelante veremos que,
conforme desarrollemos las herramientas de convergencia de sucesiones y el cálculo diferencial,
se pueden lograr construcciones mucho más sencillas. La construcción que aquí presentamos,
si bien es un poco elaborada en detalles, podría decirse que es la más intuitiva. Comenzamos
con un poco de historia y luego repasamos la de…nición de ar para r racional.
1.3.1
Un poco de historia
La noción de progresión geométrica no es nueva en Matemática. Existe evidencia que muestra
que los egipcios y babilonios manejaban este concepto. En cuano a los griegos, ya en Los
elementos de Euclides aparece un enunciado que establece la igualdad
am+n = am an
para n y m enteros positivos. En la Edad Media, N. Oresme (francés, s. XIV) vuelve a hallar
esta regla, hablando de exponentes racionales, y estableciendo otras identidades como
1
1
1
(ab) n = a n b n ;
p
1
(am ) q = (amp ) q :
Sus ideas eran muy avanzadas para la época y no fueron entendidas hasta que un siglo
después N. Choquet las retoma, introduciendo además exponentes enteros no positivos. En
esta época se consolida la función exponencial (no conocida como tal) como isomor…smo entre
los números reales (no conocidos como tales). En el siglo XVI, el matemático alemán Stifel
Completitud
S. Cambronero
23
completó el trabajo, introduciendo exponentes racionales arbitrarios, y el paso a exponentes
reales fue realizado por J. Neper2 (o Napier) y J. Bürgi entre 1614 y 1620, de manera intuitiva.
Desde entonces, y hasta mediados del siglo XIX, se admitió esta manera intuitiva de pasar
a exponentes reales, al no disponerse de una teoría sólida de números reales que permitiera
hacerlo más rigurosamente.
Las potencias y los logaritmos aparecieron como una herramienta de cálculo. En efecto, al
parecer ya Arquímedes utilizaba la idea de reducir la multiplicación de dos números (potencias
de 2; por ejemplo), por medio de la suma de sus logaritmos. Pero el verdadero auge de
los logaritmos, como herramienta de cálculo, sobre todo en navegación, …nanzas y cálculos
astronómicos, comienza en el siglo XVI con Stifel, y se consolida a inicios del XVII con Neper
y Bürgi, y posteriormente con la construcción de las primeras tablas de logaritmos en base
10; realizadas por H. Briggs (1631).
Las tablas de logaritmos se fueron perfeccionando a través de los años, y fueron utilizadas en
los cálculos y en la enseñanza hasta hace relativamente poco tiempo. La era de la computación
fue haciendo que las tablas fueran más fáciles de elaborar, pero también las hizo innecesarias.
Con el nacimiento del cálculo, las funciones exponencial y logarítmica comienzan a tener
importancia desde un punto de vista teórico, al comenzar a ser estudiadas sus propiedades
diferenciales. La importancia teórica de estas funciones ha invadido casi la totalidad de las
áreas de la Matemática, sobre todo aquellas en que las nociones del cálculo diferencial e
integral están presentes. Su importancia desde un punto de vista aplicado va mucho más allá
de su uso en los cálculos numéricos. Más que simples herramientas de cálculo numérico, estas
funciones sirven como base a modelos so…sticados y como herramientas teóricas en diferentes
áreas del quehacer cientí…co.
1.3.2
Potencias de exponente racional
Recordemos que para a 2 R y n 2 N se de…ne recursivamente
a0 = 1;
2
an+1 = an a.
Neper, John. Matemático escocés, nacido en 1550. Mientras estaba en la universidad, se unió al
Movimiento de Reformación en escocia, y en los años posteriores tomó un papel activo en cuestiones políticas.
En 1593, escribe una obra considerada la primera interpretación escocesa de la Biblia. Se le conoce principalmente como el inventor del primer sistema de logaritmos, lo cual describe en su obra Canomis Descriptio
(1614). El logaritmo natural (de base e) que utilizamos hoy, es llamado a veces logaritmo neperiano, aunque
Neper nunca usó el número e como base. Desde este punto de vista, el logaritmo natural sería más atribuible
a Bürgi, quien utilizó la base
104
1
1+ 4
10
que está relativamente cerca de e:
Neper fue uno de los primeros en usar el punto decimal para expresar fracciones, de una manera sistemática,
de acuerdo con el sistema moderno de notación decimal. Su descripción de la función logarítmica consistía en
considerar dos puntos M y N miviéndose simultáneamente sobre dos rectas, el primero a velocidad constante, y
el segundo a una velocidad proporcional a su desplazamiento. Neper de…nió la abscisa de M como el logaritmo
de la de N:
Completitud
S. Cambronero
24
El principio de inducción permite demostrar las propiedades
(an )m = anm ;
am an = am+n ;
(ab)n = an bn
válidas para a; b 2 R y m; n 2 N. Si además a 6= 0 se obtiene
b
a
n
bn
;
an
=
am
= am
an
n
donde n < m en el segundo caso. Esta última identidad sugiere la de…nición de las potencias
de exponente negativo. En efecto, para que dicha identidad sea válida con m = 0 es necesario
de…nir
a n = a1n ; n 2 N.
Las propiedades recién enunciadas siguen siendo válidas para m; n 2 Z, siempre que a y b
sean no nulos.
Para exponentes fraccionarios, si deseamos tener
n
1
an
no queda más que de…nir
1
an =
1
= an
p
n
a;
n
=a
a > 0:
Luego, la identidad deseable
1
m
(am ) n = a n
se traduce inmediatamente en la de…nición
m
an =
p
n
am :
Esto de…ne ar para a > 0 y r 2 Q. No es difícil veri…car que para a; b positivos y r; s 2 Q se
tiene
ar
a r
ar
r s
ar as = ar+s ; (ar )s = ars ; (ab)r = ar br ;
=
a
;
=
:
as
b
br
p
Por ejemplo, tome r = m
n y s = q ; con n > 0 y q > 0: Se tiene
r s
(a ) =
r
q
p
n
am
p
=
q
q
p
n
amp =
p
qn
mp
amp = a qn = ars :
Ejercicio 1.53 Complete los detalles en el renglón anterior y demuestre las otras propiedades
enunciadas.
Ejercicio 1.54 Para n 2 N se de…ne f : R+ ! R+ , f (x) = xn . Demuestre que f es
estrictamente creciente y biyectiva. ¿Cual es su inversa?
Ejercicio 1.55 Usando el ejercicio anterior, demuestre que para r racional positivo, la función f : R+ ! R+ , f (x) = xr ; es estrictamente creciente en R+ :
Completitud
S. Cambronero
25
Los siguientes lemas serán de gran utilidad para realizar el paso de exponentes racionales a
exponentes reales.
Lema 1.3.1 Si a > 1; la función exponencial
f : Q ! R;
f (r) = ar
(1.3)
es estrictamente creciente.
Demostración
Considere dos racionales r y s tales que r < s: Por el ejercicio anterior, dado que a > 1 se
tiene as r > 1: Luego
ar < ar as r = as :
Lema 1.3.2 Para a > 1 y n 2 N se tiene
1
1 < an < 1 +
Demostración
1
Se de…ne " = a n
a
:
n
1. Por el lema anterior se tiene " > 0 y por la desigualdad de Bernoulli
a = (1 + ")n
1 + n" > n"
esto es " < na .
1.3.3
Potencias de exponente real
La densidad de Q como subconjunto de R, permite extender el dominio de la función exponencial (1.3) para abarcar exponentes reales. Consideremos a > 1 y x 2 R. Por ser f
estrictamente creciente en Q, para r; s racionales tales que r x < s se tiene
ar < as :
Esto demuestra que para s > x, as es cota superior del conjunto
A = far : r 2 Q; r
xg :
Por el axioma del extremo superior, tiene sentido de…nir
expa (x) = sup far : r 2 Q; r
xg :
Es importante notar que si x 2 Q entonces ax es cota superior de A y además ax 2 A: Se
concluye que ax es el supremo de A; es decir
expa (x) = ax para x 2 Q:
A partir de aquí, denotamos ax = expa (x) para cualquier x 2 R. Nótese que por de…nición
se tiene ar ax as ; para cualesquiera racionales r; s tales que r < x < s.
Completitud
S. Cambronero
26
Lema 1.3.3 Para a > 1; la función exponencial
f (x) = ax
f : R ! R;
es estrictamente creciente.
Demostración
En efecto, si x < y podemos escoger dos racionales r1 ; s1 tales que x < s1 < r1 < y: Entonces
ax
as1 < ar1
ay :
Con esto se tienen los elementos necesarios para demostrar las propiedades de la exponencial
para exponentes reales.
Ejercicio 1.56 Considere r; s 2 Q y n 2 N : Si 0
s
1.3.2 que
ar+1
as ar <
:
n
r <
1
n
demuestre usando el lema
Ejercicio 1.57 Demuestre que para x 2 R se tiene
ax = inf fas : s 2 Q; s > xg :
El ejercicio anterior y el ejercicio 1.37 pueden ser útiles.
Ejercicio 1.58 Para a; b positivos y x; y 2 R demuetre que
(ax )y = axy ;
ax ay = ax+y ;
(ab)x = ax bx :
Ejercicio 1.59 Usando el ejercicio anterior deduzca las siguientes identidades:
b
a
En el caso 0 < a < 1 se tiene a
de…nida. Se de…ne entonces
1
x
=
bx
;
ax
ax
= ax
ay
y
:
> 1 y entonces la función exponencial de base a
ax =
1
(a
1 )x
y se obtiene que la función exponencial de base a es estrictamente decreciente.
Ejercicio 1.60 Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales
x3 = xx+1 ;
3x +
1
3x 1
= 4;
2x+3 =
Ejercicio 1.61 Resuelva las siguientes ecuaciones
p
p
3
x 36x+2=0
2x4 + 11x2 = 6
1 2x+1
;
2
x3
3x3=2
xx =
p
x:
1 = 0:
1
ya está
Capítulo 2
Sucesiones Numéricas
Las sucesiones han estado presente en la matemática prácticamente en todas las generaciones.
Es en el siglo XVIII que se comienza su estudio detallado y formal, apareciendo la noción de
convergencia, principalmente con los aportes de Leonhard Euler. Además de sus múltiples
contribuciones en otros campos de las matemáticas, Euler contribuyó en gran parte al entendimiento actual de la teoría de sucesiones y de las series numéricas. Posiblemente mucha
de la motivación que llevó a Euler y otros matemáticos a partir del siglo XVIII a interesarse
en las sucesiones, proviene de la introducción de las sucesiones de Fibonacci en el siglo XVII.
La utilidad de las sucesiones dentro de la matemática pasa por la construcción de conjuntos
numéricos y espacios abstractos, la simpli…cación de otros conceptos, los problemas de existencia (de ceros de una función, puntos …jos, soluciones de ecuaciones diferenciales, etc,) y de
extensiones (de funciones de Q a R por ejemplo), en aproximaciones de funciones y otros tipos
de transformaciones, por mencionar algunos de sus usos. Aparte de esto se puede mencionar
su uso indispensable en áreas como la matemática discreta, la probabilidad, particularmente
en teoría de juegos y en otras disciplinas como la Computación, la Economía y la Estadística.
Uno de los objetivos de este capítulo es comprender la gran utilidad de las sucesiones, no
solo desde un punto de vista teórico, sino también como herramienta que permite simpli…car
conceptos y presentarlos de una manera más intuitiva.
2.1
Conceptos básicos
Intuitivamente, una sucesión es una lista ordenada de objetos o elementos de un conjunto
(a0 ; a1 ; a2 ; : : :) :
A diferencia de un conjunto, en las sucesiones es esencial el orden en que aparecen los términos
y diferentes términos pueden tener el mismo valor. Nos restringiremos a sucesiones de números
reales, que llamaremos sucesiones numéricas.
En términos precisos, una sucesión numérica es una función a : N ! R. Se denota an = a(n)
al n ésimo término de la sucesión. La sucesión a se denota por (an ) o también (an )n2N . Es
27
Completitud
S. Cambronero
28
decir
(an )n2N = (a0 ; a1 ; : : :) :
Ejemplo 2.1 Considere la sucesión a : N ! R de…nida por an =
a=
1
n+1 n2N
1
n+1 :
Podemos denotar
= 1; 12 ; 13 ; : : : :
Ejemplo 2.2 La sucesión a de…nida por an = ( 1)n se escribe a = (1; 1; 1; 1; : : :) =
(( 1)n )n2N :
Ejemplo 2.3 Si an = 1 +
temente
1
2
1 + ( 1)n+1 ; entonces (an ) = (1; 2; 1; 2; 1; 2; : : :) : Equivalen1
si n es par
2 si n es impar.
an =
El concepto de sucesión se puede ampliar a funciones de…nidas a partir de cierto n0 2 N.
Cuando escribimos (an )n n0 ; nos referimos a una función a : fn0 ; n0 + 1; : : :g ! R.
Ejemplo 2.4 a =
1
n n 1
Ejemplo 2.5 Para a =
escribir
2.1.1
es la función a : N ! R, de…nida por an = n1 :
n
n2 8n+7 n 8
se tiene a8 = 87 ; a9 =
9
16 :
Nótese que no tiene sentido
n
:
n2 8n+7 n2N
Sucesiones monótonas
Dado que las sucesiones son funciones reales de variable real, la de…nición de sucesión monótona no es nueva para el lector. Sin embargo, las características propias de N permiten
dar una de…nición más simple. Por ejemplo una sucesión será creciente cuando cumple la
implicación
n < m ) an am
y para esto basta que se cumpla an
an+1 para cada n.
De…nición 2.1.1 La sucesión a = (an )n n0 se llama creciente si cumple an
an+1 para
cada n n0 ; se llama estrictamente creciente si an < an+1 para cada n n0 . Similarmente,
a se llama decreciente (estrictamente) si an an+1 (an > an+1 ) para cada n n0 . Se dice
que una sucesión es monótona si es creciente o decreciente; estrictamente monótona si es
estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
Ejemplo 2.6 La sucesión
1
n2 1 n 2
es estrictamente decreciente.
Ejemplo 2.7 La sucesión a = (( 1)n ) = (1; 1; 1; 1; : : :) no es monótona.
Completitud
S. Cambronero
Ejemplo 2.8 La sucesión
n
2
29
= (0; 0; 1; 1; 2; 2; : : :) es creciente, pero no estrictamente.
Ejercicio 2.1 En cada caso, determine si la sucesión es creciente, decreciente, estrictamente
creciente o estrictamente decreciente.
an =
n
;
n+1
bn = cos
n
2
;
cn = n (
1)n
;
dn =
n2 + 1
2
Ejercicio 2.2 Demuestre una sucesión (an ) es creciente (estrictamente) si y solo si es creciente en el sentido usual de funciones, es decir, si an am (an < am ) siempre que n < m:
Ejercicio 2.3 Demuestre que una sucesión (an ) es creciente si y solo si ( an ) es decreciente.
Ejercicio 2.4 Demuestre que si una función ' : N ! N es estrictamente creciente, entonces
satisface '(n) n para cada n 2 N. Si además ' no es la función identidad, concluya que
'(n) > n eventualmente.
2.1.2
Rango de una sucesión
Dado que una sucesión es una función, podemos hablar de su rango. El rango de la sucesión
(an )n n0 es
R = R (an ) = fan : n n0 g :
Ejemplo 2.9 El rango de la sucesión (( 1)n ) es el conjunto R = f 1; 1g :
Ejemplo 2.10 La sucesión (an ) de…nida por
an =
n + ( 1)n n
4
tiene rango N. En efecto, note que para k 2 N se tiene a2k = k; mientras a2k+1 = 0:
Ejemplo 2.11 Se de…ne la sucesión a por
8
n+1
>
<
2
an =
n
>
:
2
si n es impar
si n es par.
Entonces a = (0; 1; 1; 2; 2; 3; 3; : : :) ; así que el rango de a es Z.
Nota: Dado que Q es numerable, existen sucesiones cuyo rango es todo Q. Igualmente, como
R no es numerable, no existen sucesiones cuyo rango sea todo R.
Completitud
2.1.3
S. Cambronero
30
Sucesiones acotadas
Hablaremos de acotación de una sucesión de acuerdo con la acotación de su rango.
De…nición 2.1.2 La sucesión (an )n n0 se llama acotada superiormente si su rango es un
conjunto acotado superiormente, es decir, si existe b 2 R tal que an
b para cada n n0 .
La sucesión se llama acotada inferiormente si su rango lo es, y se llama acotada si su rango
es acotado.
Nótese que la acotación de (an ) es equivalente a la existencia de una constante T > 0 tal que
jan j
T; para cada n 2 N.
Ejercicio 2.5 Demuestre la a…rmación anterior.
Ejemplo 2.12 Las sucesiones
jan j 1.
1
n+1
y (( 1)n ) son acotadas; en ambos casos se cumple
Ejemplo 2.13 La sucesión (( 1)n n) no es acotada ni superior ni inferiormente, como consecuencia de la arquimedianidad.
p
Ejemplo 2.14 La sucesión ( n) es acotada inferiormente, pero no superiormente.
Nota: En la mayoría de los casos es poco importante el valor n0 en el que comienza la
sucesión, de manera que en muchos casos se escribe (an ) ; sin importar n0 :
Ejercicio 2.6 Estudie la monotonía de las sucesiones dadas por
an =
n+1
;
n+2
bn =
p
n2 + 1;
cn =
1
5
n2
:
Ejercicio 2.7 Halle el rango de (an ) cuando:
1. an el último dígito de 2n
2. an el último dígito de n + 2n
Ejercicio 2.8 Sea (an ) la sucesión de…nida por
an = min fp > n : p es primog :
Demuestre que (an ) está bien de…nida. Escriba explícitamente los primeros 20 términos de
esta sucesión. Determine el rango de (an ).
Ejercicio 2.9 Demuestre que (an ) es no acotada superiormente si y solo si, para cada b > 0
existe n 2 N tal que an > b:
Completitud
S. Cambronero
Ejercicio 2.10 Dada una sucesión a = (an )n n0 y n1 > n0 , la sucesión (an )n
una cola de a: Demuestre que son equivalentes:
n1
31
se llama
1. La sucesión a es acotada
2. Todas las colas de a son acotadas
3. Una cola de a es acotada.
Ejercicio 2.11 De…na a0 = 0 y an =
n 2k
2k
para 2k
n < 2k+1 :
1. Escriba an explícitamente en términos de n
2. Demuestre que el rango es el conjunto de diádicos en [0; 1[
3. Concluya que el rango de (an ) es un conjunto denso en [0; 1] :
2.2
Convergencia
El estudio del comportamiento de las sucesiones para valores grandes de n; es de vital importancia en matemática. Intuitivamente, diremos que la sucesión (an ) converge a 2 R si
an está cerca de para valores randes de n: Para precisar esto mejor, tomamos un intervalo
]
"; + "[: Si los an se acercan a ; debe tenerse an 2 ]
"; + "[ para n su…cientemente
grande. Esto sugiere la siguiente de…nición.
De…nición 2.2.1 Decimos que la sucesión a = (an ) converge a
existe N tal que
jan
j < " para cada n > N:
2 R si para todo " > 0;
(2.1)
En tal caso escribimos
lim an =
n!1
o también an ! . Si no existe tal , se dice que la sucesión es divergente.
Ejemplo 2.15 La sucesión constante a = (c) converge a c. En efecto, dado " > 0 se puede
tomar N = 1:
Ejemplo 2.16 La sucesión n1 converge a = 0. Dado " > 0 debemos hallar N de manera
que n1 < " para n > N: Esto es equivalente a tener n > 1" para n > N: Entonces basta tomar
1
N
":
Ejemplo 2.17 La sucesión (an ) de…nida por an =
veamos qué necesitamos para que jan
n2 1
n2 + 1
n2 1
converge a
n2 + 1
= 1: Dado " > 0;
1j < ":
2
2
< " , < n2 + 1:
+1
"
q
Para que esto ocurra basta que n2 > 2" ; o equivalentemente n > 2" .
jan
1j < " ,
1 <",
n2
Completitud
S. Cambronero
32
Nota:
1. En la de…nición de convergencia de sucesiones, es común pedir N 2 N. Sin embargo eso
no es necesario. En efecto, por la arquimedianidad de R, si existe N 2 R para el cual
se cumple (2.1), también existirá un natural con esa propiedad. Nosotros tomaremos
N natural cuando nos convenga.
2. Es común que en la de…nición de convergencia se use n N en vez de n > N: Como el
lector podrá darse cuenta, eso no hace diferencia alguna.
3. Al hablar de convergencia de la sucesión (an )n n0 está implícita la condición N
n0
pues, en caso contrario, no tendría sentido hablar de an para n N: Esto no es ninguna
restricción pues siempre se puede cambiar N por uno más grande.
Ejemplo 2.18 La sucesión (( 1)n ) es divergente. Para ver esto procedemos por contradicción. Supongamos que existe
2 R tal que ( 1)n ! . Tomando " = 1, existe N tal
que
j( 1)n
j < 1 para n > N:
Pero entonces, tomando un número par n > N se obtiene j1
j < 1; lo que implica > 0:
Similarmente, tomando un impar n > N se obtiene < 0. Como esto es contradictorio, la
sucesión diverge.
Es importante convencerse de que una sucesión no puede converger a dos límites diferentes.
Lema 2.2.1 Si (an ) es convergente, su límite es único.
Demostración
Supongamos que 1 y
que
jan
2
son límites de (an ) y sea " > 0. Por de…nición existen N1 y N2 tales
1j
<
"
2
para n > N1 ;
jan
2j
<
"
2
para n > N2 :
Sea n 2 N tal que n > maxfN1 ; N2 g: Tenemos:
j
1
2j
=j
1
an + an
2j
Esto demuestra que para cada " > 0 se tiene j
j
1
1
2j
an j + jan
< "; es decir j
2j
1
< ":
2j
= 0.
El siguiente resultado permite, entre otras cosas, demostrar con facilidad que ciertas sucesiones son divergentes.
Lema 2.2.2 Toda sucesión convergente es acotada.
Demostración
Considere (an ) convergente y sea su límite. Tomando " = 1; existe N 2 N tal que jan
j<
1 para n > N: Por la desigualdad triangular se sigue jan j < j j + 1 para n > N: Luego, para
cada n 2 N se tiene
jan j max (ja0 j ; ja1 j ; : : : ; jaN j ; j j + 1) :
Nótese que el recíproco es falso, pues por ejemplo la sucesión (( 1)n ) es acotada y divergente.
Completitud
S. Cambronero
p
Ejemplo 2.19 Las sucesiones ( n) y n
33
n2 son divergentes, por no ser acotadas.
De la de…nición se observa directamente que
an !
, (an
Ejemplo 2.20 La sucesión
n
n+1
Ejemplo 2.21 La sucesión
3n2 +5
n2 +1
) ! 0 , jan
j ! 0:
converge a 1 debido a que jan
1j =
1
n+1
! 0:
converge a 3. En efecto
3n2 +5
n2 +1
3=
n2 1
n2 + 1
1 !0
donde usamos el ejemplo 2.17.
2.2.1
Divergencia a in…nito
Ya demostramos que las sucesiones no acotadas son divergentes. Dentro de este tipo de
sucesiones, podemos identi…car aquellas que deciden alejarse inde…nidamente a la derecha o
a la izquierda, en la recta numérica.
De…nición 2.2.2 Decimos que (an ) diverge a 1 si para todo b > 0; existe N tal que
an > b para n > N:
En tal caso se escribe an ! 1; o también
lim an = 1:
n!1
Diremos que (an ) diverge a
1 si para todo b > 0; existe N tal que
an <
b para n > N:
p
Ejemplo 2.22 La sucesión ( n) diverge 1. Dado b > 0; basta tomar N > b2 para obtener:
p
n > N ) n > b2 ) n > b:
Ejemplo 2.23 La sucesión (n
an =
cuando n > 1 +
p
n2 ) diverge a
n (n
1) <
1. En efecto, dado b > 0
(n
1)2 <
b
b:
Ejemplo 2.24 La sucesión (( 1)n n) no es acotada ni superiormente ni inferiormente. Aunque
es divergente, esta sucesión no diverge ni a 1 ni a 1:
Completitud
S. Cambronero
34
En lo sucesivo usaremos el término eventualmente para indicar que una proposición ocure
para n su…cientemente grande, es decir que existe n0 tal que la proposición ocurre para todo
n n0 .
Ejemplo 2.25 La propiedad n2 17n > 71 ocurre eventualmente. En efecto, note que para
n 21 se tiene
n2 17n 21n 17n = 4n 84 > 71:
Con esta terminología podremos hablar de convergencia en términos más simples. Por ejemplo, an ! signi…ca que para todo " > 0 se tiene jan
j < " eventualmente. También
an ! 1 signi…ca que para todo b > 0 se tiene an > b eventualmente. Es claro que si las
proposiciones p (n) y q (n) ocurren, cada una eventualmente, entonces p (n) ^ q (n) ocurre
eventualmente.
Ejercicio 2.12 Demuestre la a…rmación recién enunciada.
Nótese que en particular, no puede ser que p (n) ocurra eventualmente y qp (n) también, pues
entonces la proposición
qp (n) ^ p (n)
ocurriría eventualmente.
Lema 2.2.3 Si an ! a, bn ! b y a < b entonces an < bn eventualmente.
Demostración
Tomando " = b 2 a se tiene jan
tualmente se tiene
aj < " y jbn
an < a + " = b
bj < " eventualmente. Pero entonces, even" < bn :
Ejemplo 2.26 Suponga que an ! a; bn ! b y an bn eventualmente. Entonces a b. En
efecto, si a < b por el lema anterior se tendría an < bn eventualmente. Pero esto contradice
la hipótesis. En particular, si (an ) converge y an 0 se sigue que lim an 0:
2.2.2
Cálculo de límites
Las técnicas para el cálculo de límites de sucesiones, se basan en la comparación de estas con
otras sucesiones previamente analizadas. Para esto, se requieren algunos resultados que nos
permitan este tipo de comparaciones.
Lema 2.2.4 (producto por un escalar) Si an !
Demostración
Dado " > 0 se tiene jan
j <
tendrá
jcan
y c 2 R, entonces can ! cl:
"
eventualmente. Eso implica que eventualmente se
jcj + 1
c j = jcj jan
j<
" jcj
< ":
jcj + 1
Completitud
S. Cambronero
1
n
Ejemplo 2.27 La sucesión
converge a cero dado que
35
1
1
= ( 1)
:
n
n
n
Ejemplo 2.28 La sucesión dada por an = ( 21) diverge. En efecto, si convergiera entonces
convergería la sucesión dada por bn = 2an ; pero bn = ( 1)n y previamente demostramos que
esta es divergente.
El siguiente teorema es la principal herramienta que utilizaremos para comparar sucesiones
con otras previamente estudiadas.
Teorema 10 (Ley del encaje) Suponga an bn
ambas a , entonces (bn ) también converge a .
cn eventualmente. Si (an ) y (cn ) convergen
Demostración
Dado " > 0 se tiene
jan
j<"
y
jcn
j<"
cn <
+ ":
eventualmente. Entonces eventualmente se tiene
" < an
bn
El siguiente lema se demuestra en forma similar, y queda como ejercicio para el lector.
Lema 2.2.5 Si bn ! 1 y bn
Ejemplo 2.29 La sucesión
an eventualmente, entonces an ! 1:
( 1)n
n
converge a 0 debido a que para n
1
n
( 1)n
n
1
n
y ya sabemos que las sucesiones de los extremos convergen a 0:
Ejemplo 2.30 Consideremos la sucesión de…nida por
an =
n2 + 8n 45
:
n2 + 4n + 6
Note que
an <
n2 + 8n
8
= 1 + ; para n
2
n
n
1:
Por otro lado
an
Esto demuestra que para n
1 , n2 + 8n
45
n2 + 4n + 6 , n
an
1+
13 se tiene
1
Por la ley del encaje se obtiene an ! 1:
8
:
n
51
:
4
1 se tiene
Completitud
S. Cambronero
36
p
p
Ejemplo 2.31 Considere la sucesión an = n a; donde a > 1 es …jo. Tomando "n = n a 1 >
0; tenemos por la desigualdad de Bernoulli
p n
a = n a = (1 + "n )n 1 + n"n > n"n :
Esto demuestra que
a
:
n
Por el teorema del encaje, ("n ) converge a 0: Hemos demostrado que
p
lim n a = 1:
0 < "n
n!1
Si an ! l 6= 0, entonces eventualmente debe tenerse an 6= 0: Mejor aún, an se aleja eventualmente del origen.
Lema 2.2.6 Supongamos que an ! l 6= 0: Entonces jan j >
Demostración
Basta tomar " =
1
2
1
2
j j eventualmente.
j j y aplicar la de…nición de convergencia.
El cálculo de límites de sucesiones, se simpli…ca enormemente con el uso del siguiente teorema.
Teorema 11 Suponga que an ! a y bn ! b. Sean
;
2 R.
1. (Ley de la suma) an + bn ! a + b y en general
an + bn ! a + b:
2. (Ley del producto) an bn ! ab:
3. (Ley del cociente) Si b 6= 0; entonces
an
bn
está bien de…nida eventualmente y
an
a
! .
bn
b
Demostración
1. Dado " > 0; las propiedades jan
Luego, eventualemente se tiene
j(an + bn )
aj <
"
2
(a + b)j
y jbn
jan
bj <
"
2
aj + jbn
se cumplen eventualmente.
bj < "
Combinando con la propiedad del producto por escalares se obtiene el caso de ( an + bn ) :
2. Como (bn ) es convergente, es acotada, es decir que existe T > 0 tal que jbn j
Además
jan bn
abj = j(an
jan
T jan
a) bn + a (bn
b)j
ajjbn j + jajjbn
bj
aj + jaj jbn
bj :
T.
Completitud
Como jan
S. Cambronero
aj ! 0 y jbn
37
bj ! 0; por la ley de la suma se tiene
T jan
aj + jaj jbn
bj ! 0:
La ley del encaje hace el resto del trabajo.
3. Por el lema anterior, jbn j > 12 jbj eventualmente. Luego
1
b
1
bn
=
jbn bj
<
jbn jjbj
2
b2
jbn
bj
eventualmente. Por la ley del encaje se obtiene bn 1 ! b
producto se obtiene
an bn 1 ! ab 1 :
Ejemplo 2.32 Considere an =
Ejemplo 2.33 Si an = 1 +
Ejemplo 2.34 Si an =
n2
3
n
1
: Como
n2
5
n2
! 0 se tiene an =
se tiene an ! 1 + 3 0
1
n
Finalmente, por la ley del
1
n
! 0:
5 0 = 1:
n
se tiene
+1
an =
Ejemplo 2.35 Considere an =
1
1
1
!0
= 0:
1
n 1 + n2
1+0
n2 + 3n 5
: Factorizando y cancelando n2 se tiene
2n2 + 40n + 6
an =
Ejemplo 2.36 Si an =
1
n
1:
1+
2+
3
n
40
n
5
n2
+ n62
1
! :
2
n + cos n
tenemos
3n + 1
n 1
3n + 1
an
Además
1
n 1
=
3n + 1
3+
n+1
:
3n + 1
1
n
1
n
1
! :
3
Por la ley del encaje se obtiene an ! 13 :
Ejemplo 2.37 Si an ! y si p 2 N , entonces apn ! p : Esto se obtiene por inducción,
usando la ley del producto. Note el caso particular n1p ! 0:
Completitud
S. Cambronero
Ejemplo 2.38 La sucesión de…nida por bn =
1+
100
n+3
2n + 5
converge a
3
2
38
100
: En
efecto, bn = a100
donde
n
1+
n+3
an = 1 +
=1+
2n + 5
2+
Ejemplo 2.39 Si an !
eventualmente. Además
p
Ejemplo 2.40 Si an !
positivos se tiene
jxp
> 0; entonces
p
an
p
p
!1+
p
an !
jan
j
p
=p
an +
aj xp
an ; a =
p
p
jan
+ xp
1
2
1
3
= :
2
2
: En primer lugar, note que an > 0
1
p jan
> 0 y si p 2 N , entonces
ap j = jx
Aplicando esto a x =
p
3
n
5
n
p
p
j ! 0:
p
p
an !
a + : : : + ap
ap
1
: En efecto, si a; x son
1
jx
aj
se obtiene
p
p
(p 1)=p
j
an
p
p
:
Por la ley del encaje se obtiene el resultado.
Ejemplo 2.41 Para la sucesión (an ) de…nida por
p
n + 3 8n6 + 7n + 3
an =
4n2 + 5
se tiene
an =
1
n
+
q
3
7
n5
5
n2
8+
4+
+
3
n6
!
p
3
1
8
= :
4
2
Ejercicio 2.13 Estudie la convergencia de (an ) en cada caso
n
n+1
an = n+1
n
an = 1 + ( 1)n
n
an = cos n2
n
an = 1+(n 1)
an = n( 1)
n
an = ( n1) + ( 1)n :
Ejercicio 2.14 Demuestre la convergencia de (an ) en cada caso, utilizando la de…nición
an =
n
n+1
an =
1 hh n ii
n 2
an = ( 1)n
an =
1
n
cos
n
5
9 n
10
an =
an =
n sen n
2n2 1
n2 n + 3
:
n2 + n + 1
Completitud
S. Cambronero
39
Ejercicio 2.15 En los siguientes casos, demuestre que la sucesión converge a cero
p
n sen n
3n + 2n
an =
;
bn = n+1
:
n+1
3
+ ( 2)n+1
Ejercicio 2.16 Demuestre que las siguientes sucesiones son divergentes
an = sen
n
4
;
an = 1 +
n
n
cos
;
n+1
2
an =
1
n
n2
3
:
Ejercicio 2.17 Demuestre que
1. an !
1 si y solo si
2. si jan j ! 1 entonces
an ! 1:
an
! 1.
1 + an
Ejercicio 2.18 Demuestre que toda sucesión que diverge a
1 es acotada superiormente.
Ejercicio 2.19 Para una sucesión (an ) cualquiera, demuestre que las siguientes propiedades
son equivalentes:
1. (an ) converge a
2. toda cola de (an ) converge a
3. una cola de (an ) converge a :
Ejercicio 2.20 Demuestre la convergencia de la sucesión dada por
an =
n2
1
n
si n < 106
si n 106 :
Ejercicio 2.21 Demuestre que son equivalentes:
1. la sucesión (an ) diverge a 1
2. toda cola de (an ) diverge a 1
3. una cola de (an ) diverge a 1:
Ejercicio 2.22 Demuestre que
1. si an !
entonces jan j ! j j
2. si jan j ! 1 entonces
1
an
!0
3. si an ! 0 y an > 0 eventualmente, entonces
1
! 1.
an
Completitud
S. Cambronero
40
Ejercicio 2.23 Considere la progresión geométrica an = cn ; con c …jo.
1. Demuestre que esta sucesión diverge si jcj > 1:
2. Demuestre que si jcj < 1; esta sucesión converge a cero.
3. Analice los casos c = 1 y c =
1:
Ejercicio 2.24 Si xn ! x, demuestre que jxn jr ! jxjr para r racional.
Ejercicio 2.25 Considere dos sucesiones (an ) y (bn ) : Demuestre que son equivalentes:
1. Existe una cantidad in…nita de valores de n tales que an = bn
2. Para todo N existe n > N tal que an = bn
3. La proposición "an 6= bn eventualmente" es falsa.
Ejercicio 2.26 Suponga que an ! a; bn ! b y an = bn para una cantidad in…nita de valores
de n: Demuestre que a = b.
an
an
Ejercicio 2.27 Demuestre que
! 0 para cualquier a 2 R. Sug. Si xn =
calcule
n!
n!
xn+1
:
xn
Ejercicio 2.28 Suponga que an !
muestre que = :
, bn !
Ejercicio 2.29 Suponga que an ! , bn !
Demuestre que = :
y además a2n = bn+7 eventualmente. Dey además a2n
bn2
a2n+3 eventualmente.
Ejercicio 2.30 Usando la desigualdad
(1 + ")n > 21 n (n
1) "2
p
que se obtiene de la fórmula del binomio, demuestre que la sucesión ( n n) converge a 1:
Ejercicio 2.31 Considere la sucesión
an =
P (n)
Q (n)
donde P y Q son polinomios.
1. Cuando el grado de P es menor que el grado de Q; demuestre que an ! 0:
2. Cuando P y Q tienen el mismo grado, demuestre que an ! ab ; donde a y b son los
coe…cientes del término de mayor grado en P y Q respectivamente.
Completitud
S. Cambronero
41
3. Explique el comportamiento de (an ) en el caso que el grado de P sea mayor que el de
Q:
Ejercicio 2.32 Estudie la convergencia de las siguientes sucesiones
an =
n2 + 1000 200n3
;
n4 + 7n + 1
bn =
n + 3n3 2n4
;
3n4 + 7n + 1
cn =
n + 3n2 2n4
:
3n3 + 4n + 7000
Ejercicio 2.33 Estudie la convergencia de las siguientes sucesiones
n + 1 + 3n2
an = p
;
n5 + 7n + 1
bn =
n
p
2 + 3n2 2n2
;
3n4 + 7n + 1
n3 + 1 + 3n2
cn = p
:
3n5 + 7n + 1
Ejercicio 2.34 Utilice la fórmula del binomio para demostrar que
2n >
n
k
;
n
k:
Observe que el lado derecho es un polinomio en n de grado k: Concluya que
P (n)
!0
2n
para cualquier polinomio P: Sug. Tome k mayor que el grado de P:
Ejercicio 2.35 Demuestre que
1
1+
n
n2
! 1;
1
1
n
n2
! 0:
Sug. Use la desigualdad de Bernoulli en el primer límite.
2.3
Sucesiones recurrentes
Cierto tipo de sucesiones suelen aparecer de…nidas en forma no explícita, sino a través de una
relación recurrente que de…ne el término n ésimo en términos de los anteriores. En tales
casos se dice que la sucesión está dada en forma recurrente. En algunos casos, es posible
deducir una forma explícita con ayuda del principio de inducción, por ejemplo.
Ejemplo 2.42 (Progresión aritmética) Sean a; c 2 R …jos, y de…namos a0 = a; an+1 =
an + c: Por inducción se obtiene
an = a + nc
para todo n. Esta sucesión diverge a 1 si c > 0; diverge a
progresión aritmética converge si y solamente si c = 0:
1 si c < 0: En particular, la
Completitud
S. Cambronero
42
Ejemplo 2.43 (Progresión geométrica) Para a; c 2 R …jos, con a 6= 0; se de…ne la
sucesión (xn ) por x0 = a y xn+1 = cxn . Por inducción se obtiene xn = acn . En los ejercicios
de la sección anterior se demostró que esta sucesión converge para jcj < 1 y diverge para
jcj > 1: Claramente converge para c = 1 y diverge para c = 1:
p
p
Ejemplo 2.44 Sea a1 = 2 y an = 2 + an 1 para n 2. Los términos de esta sucesión
son
r
q
q
p
p
p
2; 2 + 2; 2 + 2 + 2; : : : :
Ejemplo 2.45 La sucesión de Fibonacci se de…ne por
F0 = F1 = 1; Fn = Fn
1
+ Fn
2
para n
2:
Note que (Fn ) = (1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; : : :) :
Ejemplo 2.46 (El concepto de serie numérica) Dada una sucesión (xn ) ; podemos de…nir
una nueva sucesión (Sn ) por recurrencia de la siguiente manera:
S0 = a0 ;
S n = Sn
1
+ an :
Esta es una de…nición rigurosa de lo que entendemos como a0 +
la sucesión de sumas parciales de (an ) y se denota
Sn =
n
X
+ an : A (Sn ) se le llama
ak :
k=0
Cuando (Sn ) es convergente, se dice que la serie asociada a (an ) converge. Si Sn ! S se
escribe
1
X
an = S:
n=0
1
2n :
Como caso particular considere an =
En este caso se tiene Sn = 2 21n ; lo cual se veri…ca
por inducción y además es geométricamente evidente. Consecuentemente Sn ! 2 así que
1
X
1
= 2:
2n
n=0
Ejemplo 2.47 Similarmente podemos de…nir una nueva sucesión (Pn ) por
P0 = a0 ;
Se denota Pn =
n
Q
Pn = an Pn
1:
ak : Por ejemplo, si an = c para todo n se obtiene Pn = cn+1 :
k=0
El siguiente teorema nos ayudará a determinar la convergencia de ciertas sucesiones de…nidas
por recurrencia.
Completitud
S. Cambronero
43
Teorema 12 (Weierstrass) Toda sucesión monótona y acotada es convergente.
Demostración
Demostraremos el caso en que (an ) es acotada y creciente. Como la sucesión es acotada existe
l = supfan : n 2 Ng:
Vamos a demostrar que la sucesión converge a l: Por la caracterización del supremo, para
" > 0 existe N 2 N tal que aN > l ". Luego, como (an ) es creciente se obtiene
l
" < aN
an
l; para cada n
N:
Esto demuestra que an ! l.
Nota: Dado que toda sucesión creciente es acotada inferiormente, a la hora de utilizar
este teorema es su…ciente veri…car que la sucesión es creciente y acotada superiormente (o
decreciente y acotada inferiormente).
Ejemplo 2.48 Considere la sucesión dada de manera recurrente por:
p
p
a0 = 2; an = 2 + an 1 para n 1:
Veremos que (an ) es creciente y acotada superiormente. Para esto demostraremos por inducción que
an an+1 2:
p
p
p
Para n = 0 se tiene a0 = 2 a1 = 2 + 2 2:
Paso inductivo: Si an
obtener
an+1
y tomando raíces
esto es an+1
an+2
2, sumamos 2 a ambos lados de esta desigualdad para
p
2 + an
2 + an+1
2 + an
p
2:
2 + an+1
4
2;
Por el teorema de Weierstrass, existe l 2 R tal que an ! l. Aún no sabemos el valor
de l; pero la fórmula recurrente nos permite obtener
p
p
l = lim an+1 = lim 2 + an = 2 + l:
n!1
n!1
Entonces l satisface la ecuación l2 l 2 = 0, cuyas soluciones son l = 1 y l = 2: La
opción l = 1 queda descartada por ser negativo. Consecuentemente an ! 2:
Note que el teorema anterior es imprescindible en este ejemplo, ya que la manipulación para
hallar l solo está justi…cada después de conocer su existencia.
Completitud
S. Cambronero
44
Ejemplo 2.49 (Intervalos encajados) Sea (In ) una sucesión de intervalos encajados. Es
decir, para cada n se tiene que In+1
In : Si In = [an ; bn ] ; se obtiene inmediatamente que
(an ) es creciente y (bn ) es decreciente. Además, como a0 an bn b0 ; ambas sucesiones
son acotadas. Se concluye del teorema de Weierstras que (an ) y (bn ) son convergentes. Si
además se cumple que bn an ! 0; se concluye que lim an = lim bn : Denotando por dicho
límite, se tiene
\
In = f g :
n2N
Se dejan los detalles al lector.
Nota: En resultado del ejemplo anterior es equivalente al axioma del extremo superior. Es
decir, este resultado podría usarse como axioma y el axioma del extremo superior se podría
convertir entonces en un teorema.
2.3.1
Ejercicios
1. Sea (xn ) de…nida por
x1 = 2; xn+1 =
p
2xn + 4; n
1:
Demuestre por inducción que esta sucesión es creciente y acotada superiormente: Concluya que (xn ) es convergente y halle su límite.
p
p
2. Considere (an ) dada recurrentemente por: a0 = 1, an+1 = 1 + an .
(a) Demuestre que esta sucesión es creciente y acotada superiormente por 32 :
(b) Concluya que (an ) converge a una raíz de x4
2x2
x + 1 = 0.
(c) Aproxime dicha raíz calculando numéricamente a10 .
3. Considere la sucesión dada por a0 = 1, a2n+1 = can ; donde c > 0. Demuestre que es
monótona y se mantiene entre c y 1. Concluya que an ! c.
4. Para todo x 2 R, demuestre que existen dos sucesiones de racionales (rn ) y (sn ) ; la
primera estrictamente creciente y la segunda estrictamente decreciente, ambas convergentes a x: Concluya lo mismo para sucesiones de irracionales.
5. Considere la sucesión dada por x0 = 1, xn+1 = 1 +
(a) Demuestre que xn =
1
xn .
Fn+1
, donde (Fn ) es la sucesión de Fibonacci.
Fn
(b) Demuestre que an = Fn+1
p
1+ 5
2 Fn
satisface an+1 = an , con
(c) Concluya que an ! 0, y por lo tanto xn !
p
1+ 5
2 .
=
2p
.
1+ 5
Completitud
S. Cambronero
45
6. Considere la sucesión dada por
x0 = 3;
xn+1 =
3(1 + xn )
=3
3 + xn
6
:
3 + an
(a) Demuestre que (an ) es decreciente y acotada inferiormente por
p
(b) Concluya que an ! 3.
7. Si x1 = 1 y xn+1 =
a+x2n
2xn ;
demuestre que xn !
p
xpn
a
pxpn
1
=
3:
a:
8. (Existencia de raíces vía sucesiones) Considere a > 1 y p
que xp0 > a > 1, de…na
xn+1 = xn
p
a + (p
pxpn
1) xpn
1
2. Dado x0 > 0 tal
:
(a) Demuestre por inducción que xn > 0 para cada n.
(b) Demuestre que xpn > a; para todo n 2 N. Sug. Escriba
xpn+1 = xpn 1
xpn a
pxpn
p
y use la desigualdad de Bernoulli.
(c) Demuestre que (xn ) es decreciente y concluya que es convergente.
(d) Demuestre que = lim xn satisface
mediante el uso de sucesiones.
p
= a: Esto demuestra la existencia de
p
p
a
9. (Suma telescópica) Si an = bn bn+1 para cada n; demuestre que la sucesión de sumas
parciales de (an ) está dada por
Sn = b0
bn+1 :
Concluya que (Sn ) converge si y solo si (bn ) converge y se tiene
1
X
(bn
bn+1 ) = b0
n=0
lim bn :
n!1
10. Aplique el ejercicio anterior para estudiar la convergencia de las series
p
p
1
1
1
X
X
X
p
p
n
n+1
1
3
3
n
n+1 ;
;
:
n+1
n+2
k (k 1)
n=0
n=0
n=2
Completitud
S. Cambronero
11. Considere la sucesión de…nida por Sn =
n
P
k=1
an
2: Puede usar la desigualdad
1
:
k2
46
Demuestre que esta es creciente y que
1
1
<
2
k
k (k 1)
2
para k
2: Concluya que (Sn ) es convergente. Nota: Es conocido que Sn !
6
:
12. (Suma geométrica) Consideremos la progresión geométrica an = rn ; donde r 2 R es
…jo. Si (Sn ) es la sucesión de sumas parciales, demuestre que
(1
r) Sn =
n
X
rk
rk+1 = 1
rn+1 :
k=0
Concluya que la serie geométrica converge si y solo si jrj < 1 y en tal caso
1
X
rn =
n=0
1
1
r
(a) Entendiendo que x = 0; 333 : : : signi…ca x =
:
3
10
+
3
102
+
, demuestre que
1
0:333 : : : = :
3
(b) Usando la serie geométrica, halle el número racional reprentado por cada expansión:
(0; 111 : : :)2 ; (0; 555 : : :)6 ; 0; 4999 : : :
2.4
Subsucesiones
Una subsucesión de (an ) resulta de escoger ciertos términos en una forma ordenada, como
por ejemplo:
a2 ; a5 ; a8 ; a9 ; a12 ; a15 : : : :
Para determinar la subsucesión basta con determinar los subíndices de los elementos que se
escogerán.
De…nición 2.4.1 Dada una sucesión a = (an ) ; y una función ' : N ! N estrictamente
creciente, decimos que b = a ' es subsucesión de a: En otras palabras, la sucesión (bn ) es
subsucesión de (an ) si existe tal ' de manera que bk = a'(k) , para cada k 2 N. En tal caso
se denota b = a'(k) : También se acostumbra denotar b = (ank ), donde nk = '(k):
Ejemplo 2.50 La sucesión b = (1) es subsucesión de a = (( 1)n ). En efecto, tomando
'(k) = 2k se tiene a'(k) = bk : Igualmente, c = ( 1) = (a2k+1 ) es subsucesión de a:
Completitud
S. Cambronero
47
Ejemplo 2.51 La sucesión (n) es subsucesión de ([[ n3 ]]), considerando '(k) = 3k.
Nota: Si ' : N ! N es estrictamente creciente, entonces '(k)
demuestra por inducción, ver ejercicio 2.4 de la sección 2.2.
k para todo k. Esto se
Lema 2.4.1 Si (an ) converge a l, entonces todas sus subsucesiones convergen a l.
Demostración
Dado " > 0, existe N tal que jan
lj < " para n > N . Dada una subsucesión a'(k) se tiene
k > N ) ' (k) > N ) ja'(k)
lj < ":
Como ejercicio se puede demostrar, de manera similar, el siguiente lema.
Lema 2.4.2 Si (an ) diverge a 1, cualquier subsucesión diverge a 1.
Ejemplo 2.52 La sucesión
1
3n 1
Ejemplo 2.53 La sucesión
p
converge a 0, pues es subsucesión de
1
n
.
p
n2 + 1 diverge a 1, pues es subsucesión de ( n):
Ejemplo 2.54 La sucesión a = cos n4
verge.
diverge, pues la subsucesión (a4k ) = (( 1)k ) di-
Ejemplo 2.55 La sucesión (an ) = (1 + ( 1)n ) diverge, pues a2k ! 2 y a2k+1 ! 0:
En general, por el lema 2.4.1, la divergencia de una subsucesión implica la divergencia de la
sucesión. Por el mismo lema, si hay dos subsucesiones que convergen a límites distintos, la
sucesión original es divergente.
Lema 2.4.3 Si (an ) es no acotada superiormente, entonces tiene una subsucesión que crece
estrictamente a 1 (estrictamente creciente y divergente a 1).
Demostración
Vamos a de…nir nk recursivamente. Comenzamos con
n0 = min fn : an > 0g :
Una vez de…nido nk se de…ne
nk+1 = min fn > nk : an > max (ank ; k + 1)g :
El conjunto de la derecha es no vacío por ser la sucesión no acotada superiormente. Dado
que (nk ) es estrictamente creciente, (ank ) es una subsucesión de (an ). Además
ank > k;
ank+1 > ank :
De la primera de estas desigualdades se obtiene ank ! 1; la segunda nos da el crecimiento
estricto.
Completitud
S. Cambronero
48
Ejemplo 2.56 La sucesión (n + ( 1)n n) es no acotada superiormente. La subsucesión (a2k )
crece a 1, aunque la subsucesión (a2k+1 ) converge a 0.
Lema 2.4.4 Toda sucesión numérica tiene una subsucesión monótona.
Demostración
Diremos que n es un pico si an
am para cada m
n: Consideramos dos casos.
Si solo hay un número …nito de picos, sea m el mayor de los picos. Se de…ne n0 = m + 1.
Como n0 no es un pico, sea n1 > n0 el primer natural que cumple an1 > an0 : Repitiendo
este proceso, se de…ne nk+1 > nk como el primero tal que ank+1 > ank : La subsucesión
(ank ) es estrictamente creciente.
Si hay in…nitos picos se de…ne n0 como el primer pico. Recursivamente se de…ne nk+1
como el primer pico mayor que nk . Por ser nk un pico se tiene ank+1 ank : Entonces
(ank ) es una subsucesión decreciente.
El siguiente es uno de los teoremas que acompañarán al lector por el resto de su carrera.
Teorema 13 (Bolzano-Weierstrass) Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.
Demostración
Considere (an ) acotada. Por el lema anterior, (an ) tiene una subsucesión monótona. Luego,
por el teorema de Weierstrass, dicha subsucesión es convergente.
Ejemplo 2.57 La sucesión a = cos n2 tiene las siguientes subsucesiones convergentes,
(a2n+1 ) = (0; 0; : : :), (a4n ) = (1; 1; ; : : :) y (a4n+2 ) = ( 1; 1; : : :).
2.4.1
Ejercicios
1. Demuestre el lema 2.4.2.
2. Demuestre que (an ) converge a l si y solo si a2k ! l y a2k+1 ! l:
3. Suponga que an ! a, bn ! b y existen subsucesiones (ank ) y (bmk ) tales que ank = bmk
eventualmente. Demuestre que a = b:
4. Demuestre, usando subsucesiones, que las siguientes son divergentes
an =
n + ( 1)n n2
;
n2
bn = sen
3n
4
;
cn =
n + n2 cos (n )
:
n2 + 1
5. Considere una sucesión (an ) y un número real l: Demuestre que son equivalentes:
(a) (an ) converge a l
Completitud
S. Cambronero
49
(b) cada subsucesión de (an ) tiene una subsucesión que converge a l:
Demuestre el resultado análogo para divergencia a 1:
6. Demuestre que (an ) es no acotada inferiormente si y solo si tiene una subsucesión que
decrece a 1:
7. Demuestre que son equivalentes:
(a) La sucesión (an ) no diverge a 1
(b) Existe una subsucesión (ank ) acotada superiormente
(c) Existe una subsucesión (ank ) que converge o diverge a
1
8. Demuestre que son equivalentes:
(a) La sucesión (an ) no converge a l
(b) Existe " > 0 y una subsucesión (ank ) que satisface jank
lj
" para cada k:
9. Si (an ) es acotada, demuestre que son equivalentes:
(a) La sucesión (an ) no converge a l
(b) Existe una subsucesión (ank ) que converge a un punto distinto de l
10. Si (an ) es acotada, demuestre que son equivalentes:
(a) La sucesión (an ) converge a l
(b) Toda subsucesión (ank ) que converge, converge a l
11. Dé un ejemplo que demuestre que (b) ) (a) en el ejercicio anterior no es válido si no
se asume la acotación.
2.5
Puntos límite
Un punto c 2 R se llama punto límite de una sucesión (xn ), si existe una subsucesión (xnk )
que converge a c: Nótese que si ese es el caso, entonces
Para todo " > 0; el conjunto fn 2 N : jxn
cj < "g es in…nito.
(2.2)
Dicho de otra forma, todo vecindario abierto de c contiene una cantidad in…nita de términos
de la sucesión. Después de dar algunos ejemplos, vamos a demostrar que esta condición es
también su…ciente para garantizar que c sea un punto límite de la sucesión.
Es importante tomar en cuenta que los subconjuntos in…nitos de N son aquellos que tienen
elementos arbitrariamente grandes. Es decir, A N es in…nito si y solo si para cada N existe
n 2 A tal que n > N:
Completitud
S. Cambronero
50
Ejemplo 2.58 Para xn = ( 1)n tenemos x2k = 1 ! 1; x2k+1 = 1 ! 1: Además,
cualquier subsucesión convergente debe converger a uno de estos números. Entonces (xn )
posee únicamente los puntos límite 1 y 1:
n
Ejemplo 2.59 xn = n+1
+ ( 1)n n+1
n : En este caso tenemos los puntos límite 0 y 2; dado
que x2k ! 2 y x2k+1 ! 0:
Ejemplo 2.60 Para xn = cos n4 tenemos x4k = cos k
1)k
p
2
2 ;
= ( 1)k ; x4k+1 = cos
3
4
(
x4k+2 = cos 2 + k
= 0; x4k+3 = cos
+k
conjunto de puntos límite de esta sucesión es
n p
p o
2
2
;
1;
0;
1;
=
2
2
= (
1)k+1
p
2
2 :
4
+k
=
Entonces el
Lema 2.5.1 c es un punto límite de (xn ) sii satisface la propiedad (2.2).
Demostración
Si c es punto límite, se tiene c = lim xnk para alguna subsucesión (xnk ) : Dado " > 0 existe
K 2 N tal que
jxnk aj < " para k K:
Entonces efectivamente existe una cantidad in…nita de elementos de (xn ) que cumplen jxn
":
cj <
Recíprocamente, si (2.2) se satisface, se de…ne nk en forma recursiva como sigue. Tome
n1 = 1. Habiendo de…nido nk 1 ; el conjunto
A=
n : jxn
cj <
1
k
es in…nito. Seleccionamos nk como el primer elemento de fn 2 A : n > nk
(xnk ) satisface jxnk cj < k1 : Por lo tanto xnk ! c:
El conjunto de puntos límite de (xn ) lo vamos a denotar por
Ejemplo 2.61 Para xn = n + ( 1)n n; se tiene
Ejemplo 2.62 Para xn = ( 1)n n; se tiene
Ejemplo 2.64 Note además que
veri…carlo como ejercicio.
La subsucesión
((xn )) :
= f0g:
= ;:
n cos n2
Ejemplo 2.63 Similarmente se tiene
=
1g :
= f0g
n + ( 1)n n + cos n3
= f 1; 12 g: Se invita la lector a
Como consecuencia directa del teorema de Bolzano-Weierstrass, se tiene el siguiente lema.
Lema 2.5.2 Si (xn ) es acotada entonces
=
((xn )) es no vacío y acotado.
Completitud
S. Cambronero
51
Demostración
En efecto, por el teorema de Bolzano-Weierstrass (xn ) tiene al menos un punto límite, es decir
[ b; b] :
6= ;: Además, si jxn j b y xnk ! x; se obtiene jxj b: Esto demuestra que
Lema 2.5.3 Una sucesión acotada (xn ) converge a l si y solo si
((xn )) = flg :
Demostración
Si (xn ) converge a l; entonces toda subsucesión converge a l y esto signi…ca ((xn )) = flg :
Recíprocamente, si (xn ) no converge a l; por el ejercicio 8 de la sección 2.4.1, existe " > 0 y una
subsucesión (xnk ) tal que jxnk lj ": Por el lema anterior, la sucesión (xnk ) tiene al menos
un punto límite a: Pero entonces a es punto límite de (xn ) y ja lj ": Conecuentemente
((xn )) 6= flg :
2.5.1
El limsup y el liminf
Dada una sucesión acotada (xn ) y
el conjunto de sus puntos límite, se de…ne
lim sup xn := sup ;
lim inf xn := inf :
Es importante ver que estos dos extremos son elementos de ; es decir, son máximo y mínimo
respectivamente.
Lema 2.5.4 Con las hipótesis anteriores, lim sup xn y lim inf xn son elementos de
:
Demostración
"
Sea = lim sup xn : Dado " > 0 existe a 2 tal que
a>
2 : Por ser a punto límite,
existe un número in…nito de elementos de la sucesión en el intervalo a 2" ; a + 2" , el cual
está contenido en ]
"; + "[ : Entonces es un punto límite. Para el liminf se procede
similarmente.
Consecuentemente lim sup xn es el mayor de los puntos límite y lim inf xn es el menor de los
puntos límite.
Nota: En el caso que (xn ) no sea acotada superiormente, recuérdese que existe una subsucesión que diverge a in…nito. En tal caso se escribe lim sup xn = 1: Similarmente, si (xn ) no
es acotada inferiormente, se escribe lim inf xn = 1:
Ejemplo 2.65 Para xn = cos n4 se tiene lim sup xn = 1; lim inf xn =
1:
Ejemplo 2.66 lim sup (n + ( 1)n n) = 1; lim inf (n + ( 1)n n) = 0:
Ejemplo 2.67 lim sup (( 1)n n) = 1; lim inf (( 1)n n) =
Ejemplo 2.68 lim sup (n
2n ) = lim inf (n
Ejemplo 2.69 lim sup n + ( 1)n n + cos n3
2n ) =
1:
1: En efecto, n
2n !
= 1; lim inf n + ( 1)n n + cos n3
1:
=
1:
Completitud
S. Cambronero
52
Finalizamos con una caracterización del limsup.
Teorema 14 Sea (xn ) una sucesión de números reales, tal que
tonces:
1. Dado " > 0; existe N tal que xn <
2. Dados " > 0 y N 2 N; existe n
+ " para n
N:
N tal que xn >
3. La sucesión dada por bn = sup xk converge a
= lim sup xn 2 R. En-
":
: Es decir
k n
lim sup xn = lim
n!1
sup xk
k n
!
:
Demostración
1. Si esto fuera falso, se podría construir una subsucesión (xnk ) que cumpla xnk
+ ":
Pero en tal caso habría un punto límite a la derecha de +"; contradiciendo la de…nición
de :
2. Como es punto límite, existe un número in…nito de elementos de la sucesión en el
intevalo (
"; + ") :
3. Sea " > 0: Por (1) existe N tal que bn = sup xk
+ "; para todo n
N: Pero por
k n
(2) también tenemos bn >
"; para todo n 2 N: Entonces
jbn
j < "; para n
N:
Esto demuestra que bn ! :
2.5.2
Sucesiones de Cauchy
Empezaremos justi…cando la de…nición de sucesión de Cauchy con el siguiente lema.
Lema 2.5.5 Si (an ) es convergente, entonces para todo " > 0, existe N 2 N tal que jan
am j < ", siempre que n; m N .
Demostración
Si l es el límite de (an ), existe N 2 N tal que jan lj < 2" para cada n
se tiene
jan am j jan lj + jl am j < ":
N . Dados n; m
N
De…nición 2.5.1 Una sucesión (an ) se llama de Cauchy si para cada " > 0, existe N 2 N
tal que
jan am j < " para n; m N:
Completitud
S. Cambronero
53
Por el lema anterior tenemos que toda sucesión convergente es de Cauchy. Demostraremos
que, para sucesiones reales, toda sucesión de Cauchy es convergente. Para esto se requieren
algunos resultados previos.
Lema 2.5.6 Si (an ) es de Cauchy y tiene un punto límite , entonces an ! .
Demostración
j<
Sea (ank ) una subsucesión que converge a . Dado " > 0 existen N1 y N2 tales que jank
"
"
para
k
>
N
,
y
ja
a
j
<
para
n;
m
>
N
.
Sea
N
=
maxfN
;
N
g
y
sea
k
>
N:
Para
1
n
m
2
1
2
2
2
todo n > N se tiene
j < ":
jan
j jan ank j + jank
Por lo tanto, (an ) converge a .
La demostración del siguiente lema queda como ejercicio.
Lema 2.5.7 Toda sucesión de Cauchy es acotada.
Ahora resulta fácil demostrar:
Teorema 15 Una sucesión de números reales (an ) es convergente si y solo si es de Cauchy.
Demostración
El lema 2.5.5 nos da una dirección. Recíprocamente, supongamos que (an ) es de Cauchy. Por
el lema anterior, (an ) es acotada y, por el teorema de Bolzano–Weierstrass, tiene un punto
límite. Finalmente, por el lema 2.5.6 se obtiene la convergencia de (an ).
Nota: Desde el punto de vista topológico, esta es la completitud de R. Se puede demostrar
que tanto el teorema de Weierstrass, como el teorema de Bolzano-Weierstrass, o el teorema
anterior, son equivalentes al axioma del extremo superior.
2.5.3
Ejercicios
1. Demuestre que si
= lim sup xn :
2 R satisface las condiciones (1) y (2) del teorema 14, entonces
2. Para las siguientes sucesiones, encuentre lim sup y lim inf
an = cos n3 ;
bn =
1 + n + ( 1)n n2
;
n2 + n + 3
cn = sen
n
;
4
3. Halle todos los puntos límite de la sucesión dada por
an = cos
y deduzca el valor de ambos extremos.
n
4
+ sen
n
4
dn =
1 + ( 1)n n + ( 1)n+1 n
+ p
:
3
n2 + 1
Completitud
S. Cambronero
54
4. Veri…que que para
xn = ( 1)n n2
se tiene lim inf xn =
n2 cos n1
1: Calcule lim sup xn :
5. Sea (xn ) de…nida por
n
2k
; para 2k n < 2k+1 :
2k
Demuestre usando el ejercicio 2.11 de la sección 2.1 que
xn =
((xn )) = [0; 1]:
Deduzca el valor de lim sup xn y lim inf xn :
6. Si a
xn
b para cada n 2 N, demuestre que a
lim inf xn
lim sup xn
b:
7. Si (xn ) es acotada, demuestre que
lim sup ( xn ) =
lim inf xn :
8. Demuestre que una sucesión acotada (xn ) es convergente si y solo si
lim sup xn = lim inf xn :
En tal caso xn ! lim sup xn :
9. Sea (xn ) una sucesión tal que para todo n se tiene jxn+1
(a) Use inducción para concluir que jxn+1
(b) Demuestre que
jxn+p
xn j
1
1
+
+
2n 2n+1
+
xn j
1
2n+p
1
2
xn j
1
2n jx1
x0 j:
jx1
x0 j <
1
jxn
1
2n
1
xn
jx1
1j :
x0 j :
(c) Concluya que (xn ) es de Cauchy y por lo tanto convergente.
p
p
10. Considere la sucesión an = n [[ n]].
(a) Para enteros 0 < p < q demuestre que
p
an2 q2 +2np = n2 q 2 + 2np nq = p
2np
n2 q 2 + 2np + nq
!
p
:
q
(b) Lo anterior demuestra que todo racional entre 0 y 1 es punto límite. Concluya que
(an ) = [0; 1] :
(c) Determine lim sup an y lim inf an :
11. Calcule limsup y liminf para
r
p
p
1
n
an =
n [[ n]]
2+ ;
n
bn =
p
n
p
[[ n]]
1+
3
n
n
;
cn = ( 1)n
p
n
p
[[ n]] :
Capítulo 3
Límites y Continuidad
3.1
El nacimiento del cálculo
El cálculo diferencial e integral nace como respuesta a nociones intiutivas de la física y la
geometría, como lo son la velocidad, el concepto de recta tangente y los problemas de optimización. En el siglo XVII, la consideración de este tipo de ideas revolucionó la manera
de hacer matemática. Gottfried Leibnz comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675,
publicando sus primeros trabajos en 1684. Introdujo gran parte de la simbología utilizada
en la actualidad. Isaac Newton, por su parte, introdujo lo que él llamaba el método de las
‡uxiones entre 1666 y 1669, considerando una curva como la trayectoria de un punto que
‡uye. Desarrolló además su propio método para el cálculo de tangentes.
Aunque Leibniz fue el primero en publicar un trabajo sobre el cálculo, quien primero desarrolló
estas ideas fue Newton. Las ‡uxiones de Newton eran un conjunto de reglas con las que
también podía calcular máximos, mínimos y tangentes.
Podría decirse que el cálculo es la matemática del cambio. Conceptos físicos como el de velocidad, aceleración, recta tangente, área, volumen, entre otros, han motivado la modelización
de situaciones de la vida real que han derivado en el perfeccionamiento de ideas matemáticas
como el cálculo diferencial.
El nacimiento del cálculo constituye uno de los grandes descubrimientos intelectuales de la
humanidad. Con él las distintas áreas de la matemática adquirieron una nueva perspectiva
teórica. Como toda idea innovadora en matemática, la historia del cálculo y el análisis
matemático que deriva de él, está lejos de haber llegado a un punto muerto. Los conceptos
y resultados posteriores que se han derivado de las ideas originales, así como el rango de
aplicaciones, son cada vez mayores.
3.2
De…nición y ejemplos
En término intuitivos, una función f tiene límite l en x = a; si f (x) está cerca de l cuando x
está cerca de a: En términos más dinámicos podríamos decir: si f (x) se acerca a l cuando x
55
Completitud
S. Cambronero
56
se acerca a a: Debemos precisar lo que queremos decir con “estar cerca de”, o “acercarse a”.
Modi…cando un poco nuestra de…nición, diremos que f tiene el límite l en x = a; si para que
f (x) esté su…cientemente cerca de l; basta que x esté su…cientemente cerca de a: Ahora, f (x)
su…cientemente cerca de l signi…ca que jf (x) lj < "; donde " es un número positivo tan
pequeño como queramos (" determina qué tan cerca ueremos que f esté de l). Por su parte,
x su…cientemente cerca de a signi…ca que existe un número > 0 (la distancia máxima) que
acota la distancia jx aj : Antes de establecer formalmente la de…nición de límite, debemos
agregar que al hablar de esta noción, no interesa realmente el valor que la función toma en
a; sino su comportamiento en puntos cercanos pero distintos de a:
De…nición 3.2.1 Considere la función f de…nida en un intervalo abierto I; excepto posiblemente en x = a: Se dice que f tiene el límite l 2 R cuando x se acerca al punto a; si a todo
" > 0; corresponde (al menos) un > 0 tal que jf (x) lj < "; siempre que 0 < jx aj < :
En tal caso se escribe
lim f (x) = l:
x!a
En lenguaje simbólico
8" > 09 > 0 (0 < jx
aj <
) jf (x)
lj < ":)
Ejemplo 3.1 Para f (x) = c tenemos lim f (x) = c para cualquier a: En efecto, dado " > 0
x!a
se tiene
jf (x) cj = 0 < "
para cualquier x: Cualquier
positivo funciona en este caso.
Ejemplo 3.2 Para f : R ! R de…nida por f (x) = x (función identidad), se tiene lim f (x) =
x!a
a: En efecto, nótese que
jf (x) aj = jx aj < "
siempre que 0 < jx
aj < ": Se puede tomar
Ejemplo 3.3 Para f (x) = 2x
1 se tiene lim f (x) = 3: Para veri…car esto note que
jf (x)
siempre que jx
= ".
x!2
3j = j2x
4j = 2 jx
2j < 2" : Entonces se puede tomar
= 2" .
2j < "
Completitud
S. Cambronero
57
Ejemplo 3.4 En general, la función afín de…nida por f (x) = mx + b satisface
lim f (x) = ma + b = f (a):
x!a
El caso m = 0 ya fue tratado. Si m 6= 0 se tiene
jf (x)
y consecuentemente, tomando
=
0 < jx
"
jmj
f (a)j = jmj jx
aj
se obtiene
aj <
) jf (x)
f (a)j < ":
Ejemplo 3.5 Para f (x) = x2 tenemos lim f (x) = 0: Para ver esto nótese que
x!0
Entonces
=
p
jf (x)
0j < " , x2 < " , jxj <
p
":
" satisface la implicación.
Ejemplo 3.6 Para f (x) = x2 tenemos lim f (x) = 4: La veri…cación en un poco más elabox!2
rada. Primero observe que
jf (x)
4j = jx + 2j jx
2j :
La idea es que se puede controlar el tamaño de jx + 2j acercando x a 2: Para precisar, tomamos
una primera restricción, digamos jx 2j < 1: Bajo esa restricción se tiene 3 < x + 2 < 5:
Luego
jx 2j < 1 ) jx + 2j < 5 ) jf (x) 4j < 5 jx 2j :
Si además jx 2j < 5" ; obtenemos jf (x) 4j < ": Consecuentemente, al tomar
se obtiene la implicación:
jx 2j < ) jf (x) 4j < ":
= min 1; 5"
x
Ejemplo 3.7 Considere la función de…nida en R por f (x) = jxj
: Esta función no tiene
límite en x = 0. Esto se deriva del hecho que f (x) = 1 para x > 0; mientras f (x) = 1 para
x < 0: Para demostrarlo procedemos por contradicción, asumiendo que existe l = lim f (x):
x!0
Aplicando la de…nición con " = 1 debe existir
0 < jxj <
> 0 tal que
) jf (x)
lj < 1:
Tomando x = 2 se obtiene j1 lj < 1 y entonces l > 0: Similarmente, tomando x =
obtiene l < 0: Como esto es contradictorio, el límite no puede existir.
2
se
Completitud
S. Cambronero
58
Ejemplo 3.8 De una manera similar se puede demostrar que la función de…nida por
1 si x 2 Q
0 si x 2
=Q
f (x) =
no tiene límite en x = 0: De hecho f no tiene límite en punto alguno. La demostración se
basa en densidad de Q e I, y se deja como ejercicio.
Ejemplo 3.9 La función de…nida por f (x) = x 2 no tiene límite (…nito) en x = 0: En
efecto, si f tuviera límite l 2 R entonces para " = 1 existiría > 0 tal que
0 < jxj <
Pero para 0 < x < min
Esto es contradictorio.
;p1
jlj+1
) x
se tiene x
2
2
l < 1:
> jlj + 1
l + 1; lo que implica x
2
l > 1:
Ejemplo 3.10 Para la función de…nida por
f (x) =
2x + 1 si x < 0
1 x2 si x > 0
se tiene lim f (x) = 1: En efecto, si x > 0 se tiene
x!0
jf (x)
Si x < 0; jf (x)
1j = x2 < " cuando x <
p
":
1j = 2 jxj < " cuando jxj < 2" : Podemos tomar
= min
" p
2; "
:
En algunos de los ejemplos anteriores, se observa que la función f está de…nida en a y el
límite es precisamente f (a) : En tales casos decimos que la función es continua en a:
Completitud
S. Cambronero
59
De…nición 3.2.2 Se dice que una función f es continua en a, si está de…nida en algún
intervalo abierto que lo contiene y
lim f (x) = f (a) :
x!a
Es decir, para cada " > 0, existe
jx
> 0 tal que:
aj <
) jf (x)
f (a)j < ":
Nótese que la de…nición anterior tiene implícitas las siguientes hipótesis: f está de…nida en
a; el límite de f existe en x = a y dicho límite coincide con la imagen de a: Cuando f no es
continua en a; se dice que es discontinua en a:
Ejemplo 3.11 Como ya vimos, en el caso que f sea una función constante de…nida por
f (x) = c; se tiene lim f (x) = c = f (a) : En otras palabras, las funciones constantes son
x!a
continuas en cada punto. Similarmente, la función identidad es continua en cada punto.
Ejemplo 3.12 La función raíz cuadrada es continua en cada punto a > 0: En efecto
p
para cada x > 0: Tomando
jx
La condición
aj <
p
jx aj
jx aj
p
p
a =p
x+ a
a
p
= min (a; " a) se obtiene
x
)x>0y
p
jx aj
p
<") x
a
p
a < ":
a se impone para que x sea positivo, es decir, pertenezca al dominio de f:
Ejemplo 3.13 La función de…nida por f (x) = x2 es continua en x = 2: En efecto, como
vimos en un ejemplo previo se tiene
lim f (x) = 4 = f (2) :
x!2
De…nición 3.2.3 Se dice que una función f es continua en un intervalo abierto I; si es
continua en cada uno de sus puntos.
Ejemplo 3.14 La función identidad es continua en todo R. Más generalmente, toda función
afín, de…nida por f (x) = mx + b; es continua en R.
Ejemplo 3.15 La función raíz cuadrada, es continua en I = ]0; 1[ ; de acuerdo con el
ejemplo 3.12.
x
Ejemplo 3.16 La función f; de…nida por f (x) = jxj
es continua en R : Por ejemplo, para
a>0
lim f (x) = lim 1 = 1 = f (a):
x!a
x!a
Note que f es discontinua en el origen, pues f (0) no está de…nida. Es más, aunque se
de…niera f (0); f seguiría siendo discontinua en ese punto, pues el límite no existe.
Completitud
S. Cambronero
60
En el ejemplo anterior, se utilizó implícitamente el siguiente resultado, el cual dejamos como
ejercicio.
Lema 3.2.1 Suponga que lim f (x) = l y que g (x) = f (x) para 0 < jx
x!a
0
aj <
0
(para algún
> 0). Entonces lim g (x) = l:
x!a
3.2.1
Ejercicios
1. Demuestre usando la de…nición, la existencia de cada uno de los siguientes límites:
lim 3x2 + 1
x!2
lim
x! 1
1
x!2 x
x!1
x
x!3 x + 1
x!a
lim x3
lim
x2 + 3x
lim x2 :
lim
2. Demuestre usando la de…nición que la función f : ]0; 1[ ! R de…nida por f (x) =
continua en cada a > 0:
3. Si lim f (x) = l; demuestre que lim f (x
es
a) = l: Si lim f (x) = l; demuestre que
x!a
x!0
1
x
x!a
lim f (x + a) = l: Use esto para calcular
x!0
lim
x!0
p
x + 4;
lim
x!0
p
5x + 3:
4. Demuestre la unicidad del límite: Si f tiene a l1 y a l2 como límites en x = a; debe
tenerse l1 = l2 :
5. Demuestre con todo detalle que las siguientes propiedades son equivalentes:
(a) lim f (x) = l
x!a
(b) lim (f (x)
l) = 0
(c) lim jf (x)
lj = 0:
x!a
x!a
6. Si lim f (x) = l y c 6= 0; demuestre que lim f (cx) = l: ¿Qué pasa si c = 0?
x!0
x!0
7. Suponga que lim g(x) = 0 y que jf (x)
x!a
lim f (x) = l: Concluya que si
lj
jg (x)j para x 2 I
fag : Demuestre que
x!a
jf (x)
lj
c jx
aj ; para x 2 I
fag
entonces lim f (x) = l:
x!a
8. Si lim f (x) = l; demuestre que lim jf (x)j = jlj : Dé un ejemplo que muestre que el
x!a
x!a
recíproco es falso.
Completitud
S. Cambronero
61
9. Si lim f (x) = l; demuestre que lim f (x2 ) = l. Dé un ejemplo que muestre que el
x!0
x!0
recíproco es falso.
10. Dé un ejemplo en el que lim jf (x)j y lim f (x2 ) existan, pero lim f (x) no exista.
x!0
x!0
x!0
11. Demuestre que si lim (f (x))2 = 0; entonces lim f (x) = 0:
x!a
x!a
12. Sea f : I ! R continua en a 2 I: Demuestre que f es acotada cerca de a: Es decir,
existen 0 > 0 y M > 0 tales que
jf (x)j
M para jx
aj <
0:
Explique cómo debe modi…carse esta conclusión, si solamente se tiene la existencia del
límite en a; pero no la continuidad de f en ese punto.
13. Demuestre que los siguientes límites no existen en R:
1
;
x!0 jxj
jx
x!3 x
lim
lim
3j
:
3
14. Suponga que a 2 I; f tiene límite en x = a y además
A
Demuestre que A
lim f (x)
x!a
f (x)
B; para x 2 I
fag:
B:
15. Demuestre con todo detalle el lema 3.2.1.
p
p
16. Si lim f (x) = l > 0; demuestre que lim f (x) = l: Calcule
x!a
x!a
1
lim p ;
x!9
x
lim
x!3
p
4
5x + 1;
lim p
x!2
1
:
2x + 5
17. Si f y g son continuas, demuestre que también son continuas f _ g y f ^ g de…nidas por
f _ g (x) = maxff (x); g(x)g
f ^ g(x) = minff (x) ; g (x)g:
3.3
Propiedades
Para poder desarrollar técnicas de cálculo de límites, vamos a establecer ahora las propiedades
básicas de esta teoría.
Lema 3.3.1 Para f : I
fag ! R, las siguientes proposiciones son equivalentes:
Completitud
S. Cambronero
62
(i) Existe el límite de f cuando x ! a
(ii) Existe una función fb : I ! R continua en a; tal que fb(x) = f (x) para x 2 I
Demostración
Si se cumple (i), se de…ne fb(a) = lim f (x) y fb(x) = f (x) para cada x 2 I
x!a
lema 3.2.1 se tiene
lim fb(x) = lim f (x) = fb(a)
x!a
fag :
fag : Por el
x!a
así que fb es continua en a:
Recíprocamente, si se cumple (ii), entonces por el lema 3.2.1 se tiene
lim f (x) = lim fb(x) = fb(a)
x!a
x!a
lo que signi…ca que se cumple (i).
Nota: Es común referirse a fb como si fuera f misma, donde se ha de…nido o rede…nido la
imagen de a para que sea continua.
De…nición 3.3.1 Cuando una función no es continua en a; pero existe el límite lim f (x);
x!a
se dice que la discontinuidad en a es evitable. Si por el contrario, el límite no existe, se dice
que la discontinuidad es inevitable.
x
Ejemplo 3.17 La función de…nida por f (x) = jxj
; tiene una discontinuidad inevitable en el
origen, dado que no existe el límite en ese punto.
Ejemplo 3.18 Considere la función de…nida por f (x) =
f (x) =
(x
1) (x
x 1
2)
Se sigue entonces del lema 3.2.1 que lim f (x) =
x!1
evitable en a = 1: Si se de…ne f (1) =
=x
x2 3x+2
x 1 ;
para x 6= 1: Note que
2; para x 6= 1:
1: En este caso, f tiene una discontinuidad
1; se obtiene una función continua en a = 1:
Lema 3.3.2 Si lim f (x) = l; y c es una constante, entonces lim cf (x) = cl: En particular,
x!a
x!a
si f es continua en a; se sigue que cf es continua en a:
Demostración
Como f tiene límite l; dado " > 0 existe
0 < jx
Hemos usado la de…nición con
0 < jx
aj <
"
jcj+1
aj <
> 0 tal que
) jf (x)
lj <
"
jcj + 1
en vez de ": Ahora se tiene
) jcf (x)
clj
jcj jf (x)
lj
jcj
" < ":
jcj + 1
Para el caso en que f es continua en a; se aplica lo anterior con l = f (a) :
Completitud
S. Cambronero
63
Ejemplo 3.19 Dado que la función raíz cuadrada es continua en ]0; 1[ se tiene
p
p
lim 3 x = 3 4 = 6:
x!4
p
Por la misma razón, la función de…nida por f (x) = c x es continua en ]0; 1[ :
Lema 3.3.3 (Propiedad de la suma) Si lim f (x) = l1 y lim g(x) = l2 , entonces
x!a
x!a
lim [f (x) + g(x)] = l1 + l2 :
x!a
En particular, la suma de funciones continuas es continua.
Demostración
Dado " > 0; usamos
1 > 0 tal que
"
2
en vez de " en la de…nición del límite de f: Obtenemos que existe
0 < jx
De la misma forma, existe
2
= min ( 1 ;
jh (x)
2) ;
) jf (x)
"
l1 j < :
2
aj <
2
) jf (x)
"
l2 j < :
2
h = f + g y l = l1 + l2 : Tenemos
lj = jf (x)
siempre que 0 < jx
1
> 0 tal que
0 < jx
De…nimos
aj <
l1 + g (x)
l2 j
jf (x)
l1 j + jg (x)
l2 j <
" "
+ ="
2 2
aj < :
El siguiente lema es una combinación de los dos anteriores, y su demostración se deja como
ejercicio.
Lema 3.3.4 Si lim f (x) = l1 y lim g(x) = l2 , entonces
x!a
x!a
lim [c1 f (x) + c2 g(x)] = c1 l1 + c2 l2
x!a
para todo par de constantes c1 ; c2 2 R. En particular lim [f (x)
x!a
g(x)] = l1
l2 : Si f y g
son continuas en a (o en todo I) entonces c1 f + c2 g lo es.
Ejemplo 3.20 De acuerdo con ejemplos previamente estudiados y el lema anterior se tiene
p
p
p
lim 5x2 + 7 x = 5 4 + 7 2 = 20 + 7 2:
x!2
Lema 3.3.5 (Ley del encaje) Suponga f (x) g(x) h(x); para x 2 I fag; donde I es un
intervalo abierto con a 2 I. Si lim f (x) = lim h(x) = l, entonces lim g(x) = l:
x!a
x!a
x!a
Completitud
S. Cambronero
Demostración
Dado " > 0; existe 1 > 0 tal que para 0 < jx aj <
aj < 2 se tiene jh (x)
2 > 0 tal que para 0 < jx
0 < jx aj < se tiene
l
" < f (x)
g (x)
64
se tiene jf (x) lj < ": Existe también
lj < ": Tomando = min ( 1 ; 2 ), para
1
h (x) < l + ":
Ejemplo 3.21 Considere la función
2x si x < 0
x2 si x > 0:
f (x) =
Entonces lim f (x) = 0: En efecto, para 0 < jxj < 1 se tiene 0
x!0
f (x)
2jxj: Por la ley del
encaje se obtiene el resultado.
p
Ejemplo 3.22 Demostremos que lim 1 x2 = 1: Para eso note que para x 2 ] 1; 1[ se
x!0
tiene
p
p
1 x2 1
1 x2 + 1
p
x2
2
p
0
1 x
1 =
=p
x2 jxj :
1 x2 + 1
1 x2 + 1
El resultado se sigue de la ley del encaje.
Veamos ahora la ley del producto.
Lema 3.3.6 (Ley del producto) Si lim f (x) = l1 y lim g(x) = l2 , se tiene
x!a
x!a
lim f (x)g(x) = l1 l2 :
x!a
En particular, el producto de funciones continuas es continua.
Demostración
Observe que
jf (x)g(x)
l1 l2 j = jf (x) [g (x)
jf (x)j jg (x)
l2 ] + l2 [f (x)
l2 j + jl2 j jf (x)
l1 ]j
l1 j :
Dado que f es acotada cerca de a (ver ejercicio 12 de la sección anterior) sean
tales que jf (x)j M para 0 < jx aj < 0 : Entonces
0
jf (x)g(x)
l1 l2 j
M jg (x)
l2 j + jl2 j jf (x)
0
>0yM >0
l1 j :
Claramente el lado derecho tiene límite nulo en x = a: Por la ley del encaje se sigue que
lim jf (x)g(x)
x!a
l1 l2 j = 0:
Completitud
S. Cambronero
65
Ejemplo 3.23 Como la función identidad es continua, se sigue por inducción que la función
de…nida por f (x) = xn es continua en todo R, para n 2 N. En efecto, para el paso inductivo
se tiene que xn+1 = xn x es continua por ser producto de continuas.
Ejemplo 3.24 Toda función polinomial es continua. Esto se deduce por inducción sobre el
grado del polinomio. Los polinomios de grado 0 son las constantes, mientras para el paso
inductivo, un polinomio de grado n + 1 se escribe como cxn+1 + q (x), donde q (x) es de grado
n:
La demostración del siguiente lema se deja como ejercicio.
Lema 3.3.7 (Ley del cociente) Si lim f (x) = l1 y lim g(x) = l2 6= 0, entonces
x!a
x!a
lim
x!a
f (x)
l1
= :
g(x)
l2
En particular, el cociente de funciones continuas es continua en su dominio.
Ejemplo 3.25 Ya habíamos observado que toda función polinomial es continua en R. El
lema anterior nos permite concluir que, si p(x) y q(x) son polinomios y q(a) 6= 0; entonces
lim
x!a
Es decir, la función racional
p(x)
q(x)
p(x)
p(a)
=
:
q(x)
q(a)
es continua en todo punto de su dominio.
Ejemplo 3.26 Considere la función
g(x) =
x si x 2 Q
0 si x 2
= Q:
Entonces g es continua en a = 0: Esto se sigue de la ley del encaje, dado que jxj g(x)
jxj : Vamos a demostrar que el límite lim g(x) no existe para a 6= 0: En efecto, si tal límite
x!a
existiera, entonces existiría el límite lim f (x) ; donde
x!a
f (x) =
g (x)
=
x
1 si x 2 Q
0 si x 2
= Q:
Pero ya sabíamos que tal función no tiene límite en ningún a:
Ejemplo 3.27 Para calcular
x2 + 2x 3
x!1
x2 1
no podemos aplicar la regla del cociente directamente, pues los límites en el numerador y
denominador son ambos 0: Sin embargo, para x 6= 1 se tiene
lim
x2 + 2x 3
(x + 3) (x
=
2
x
1
(x + 1) (x
1)
x+3
=
:
1)
x+1
Completitud
S. Cambronero
66
Luego
x2 + 2x 3
x+3
4
= lim
= = 2:
x!1
x!1 x + 1
x2 1
2
lim
Ejemplo 3.28 Un problema similar se presenta con
lim
x!0
1
x
p
:
x+1
En este caso, racionalizando el denominador se tiene
p
x 1+ x+1
x
p
=
=
1 (x + 1)
1
x+1
Luego
lim
x!0
1
x
p
= lim
x + 1 x!0
1
p
p
1
x + 1:
x+1 =
2
(Ver el ejercicio 3 de la sección 3.2 para el ultimo paso).
3.3.1
Ejercicios
1. Calcule los siguientes límites, justi…cando sus pasos con base en las propiedades estudiadas.
x3 + 4x 5
x!1
x4 + 1
lim 3x2 + 1
lim
x!2
x3 + 4x 5
lim
x!1
x4 + 1
lim
x!1
2. Calcule
lim
x!5 x2
1
2
x +1
lim
x! 1
100
x2 25
;
+ 7x + 10
lim
x!4
lim
x! 5 x2
"
x3 + 4x2 + 2x + 3
x2
1
5
3
x
p
x2 25
:
+ 7x + 10
3. Halle los siguientes límites:
x 1
x!1 x3
1
p
x+7 3
lim
x!2
x 2
lim
4. Para m; n 2 N calcule
5. Para a 2 R y m; n 2 N calcule
(x + 1)5 1
x!0
x
p
p
1 + 2x
1 + 3x
lim
2
x!0
x + 2x
lim
xm
x!1 xn
lim
xm
x!a xn
lim
1
:
1
am
:
an
x2
5x + 6
x!3
x 3
p
1 x2
1
lim
x!0
x
lim
2
#2
x
:
Completitud
S. Cambronero
6. Si lim g(x) = c 6= 0; demuestre que existe
x!a
> 0 tal que jg (x)j >
jcj
2 ,
: En particular, g (x) 6= 0 para tales valores de x:
7. Si f y g son continuas en a; demuestre que existe
]a
; a + [:
> 0 tal que
para 0 < jx
f (x)
g(x)
67
aj <
está de…nida en
8. Si lim g(x) = l 6= 0; demuestre que
x!a
1
1
= :
x!a g(x)
l
lim
Use esto y la ley del producto para demostrar la ley del cociente (lema 3.3.7).
9. Use inducción para demostrar que si lim f (x) = l y n 2 N; entonces lim (f (x))n = ln :
x!a
Si además l 6= 0; demuestre que lim (f (x))
n
x!a
10. Calcule
p
x+7
lim p
x!2
x+2
11. Suponga que jg(x)j
lim f (x)g(x) = 0:
3
;
2
lim
x!3
r
c; para x 2 I
x!a
=l
3x + 1
;
x+2
n:
lim
x!2
p
x+7
p
x+2
3
2
3
:
fag; y que lim f (x) = 0: Demuestre que
x!a
x!a
12. Si lim f (x) y lim (f (x) + g(x)) existen, demuestre que lim g(x) también existe. Dé un
x!a
x!a
x!a
ejemplo en el que
lim (f (x) + g(x))
x!a
exista, pero no existan los límites lim f (x) y lim g(x).
x!a
x!a
13. Si lim f (x) y lim f (x)g(x) existen, ¿se puede concluir que existe lim g(x)? Demuestre
x!a
x!a
x!a
o dé un contraejemplo.
p
14. Considere la función f : ]0; 1[ ! R de…nida por f (x) = n x; con n 2 N. Demuestre
que
jx aj
jx aj
jf (x) f (a)j = p n 1
p
p
p n 1
n 2 p
n 1
n
n
n
n
( x)
+ ( x)
a+
+ ( a)
( n a)
para a; x > 0: Concluya que f es continua en todo su dominio.
p
15. Considere la función f : R ! R de…nida por f (x) = n x; con n 2 N impar. Demuestre
que f es continua.
16. Demuestre que para r 2 Q, la función potencial
f : ]0; 1[ ! R;
es continua.
f (x) = xr
Completitud
S. Cambronero
17. Calcule
p
3
x2 + 8 + 3
lim p
;
x!0
7x + 9 2
lim
x!0
s
4
1+
(x + 6)5
3;
(x2 + 3)
lim
x!10
vq
u
u 3+
t
x3
10
x
68
+3
+6
:
18. Sean f; g : R ! R continuas, tales que f (r) = g (r) para cada r 2 Q. Demuestre que
f = g:
19. Sea f : R ! R tal que f (x + y) = f (x) + f (y); para x; y 2 R: Suponga que lim f (x) = l:
x!0
(a) Demuestre que f (0) = 0 y que f es impar.
(b) Demuestre que l = 0 y que f es continua en todo R.
(c) Demuestre por inducción que f (nx) = nf (x) para x 2 R y n 2 N.
(d) Usando lo anterior, concluya que f (x) = ax para x 2 Q, donde a = f (1) :
(e) Usando el ejercicio 18, concluya que f (x) = ax para cada x 2 R.
20. Determine en qué puntos es continua cada una de las siguientes funciones.
x
f (x) =
3.4
1
si x 2 I
x si x 2 Q
g (x) =
x3 si x 2 Q
x si x 2 I:
Límites laterales
Cuando el dominio de una función f incluye un intervalo abierto a la derecha de a; digamos
]a; b[; se puede hablar del límite de f cuando x se acerca al punto a por la derecha.
De…nición 3.4.1 Se dice que el límite de f por la derecha en x = a es l si para todo " > 0
existe > 0 tal que
a < x < a + ) jf (x) lj < ":
En tal caso se escribe
lim f (x) = l:
x!a+
Similarmente se de…ne el límite por la izquierda, se denota
lim f (x):
x!a
Si f está de…nida en I fag; donde I es un intervalo abierto que contiene al punto a; tiene
sentido hablar de ambos límites laterales en x = a:
Ejemplo 3.29 Considere f (x) =
x
jxj
de…nida en R : Para x > 0 tenemos f (x) = 1; así que
lim f (x) = 1:
x!0+
Similarmente lim f (x) =
x!0
1:
Completitud
S. Cambronero
69
Ejemplo 3.30 Para
f (x) =
1 si x 2 Q
0 si x 2
=Q
no existe lim f (x); tampoco lim f (x): De hecho f no tiene límites laterales en ningún
x!0+
x!0
punto. La demostración se basa en densidad de Q e I, y se deja como ejercicio.
Ejemplo 3.31 Para
f (x) =
1
x
si x > 0
x si x < 0
tenemos lim f (x) = 0 pero lim f (x) no existe en R.
x!0
x!0+
Nota: Si lim f (x) = l entonces como
x!a
a < x < a + ) 0 < jx
aj <
se sigue que el límite lim f (x) también existe y es igual a l; similarmente lim f (x) = l:
x!a+
x!a
Recíprocamente, si los límites laterales en a existen y son iguales, entonces lim f (x) también
x!a
existe, y coincide con el valor común de los límites laterales. Escribimos esto como un
terorema, y dejamos los detalles de la demostración como ejerccio.
Teorema 16 Sea f de…nida en I fag : Entonces el límite de f existe en a si y solo si los
límites laterales existen y son iguales. En tal caso se tiene
lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) :
x!a
x!a+
x!a
Ejemplo 3.32 Para la función
f (x) =
x + 1 si x < 0
x2 + x si x > 0
tenemos lim f (x) = 0; mientras lim f (x) = 1: Consecuentemente lim f (x) no existe.
x!0+
x!0
x!0
Ejemplo 3.33 Para la función
f (x) =
x + 1 si x < 0
x2 + 1 si x > 0
tenemos lim f (x) = lim f (x) = 1; así que lim f (x) = 1:
x!0+
x!0
x!0
Completitud
3.4.1
S. Cambronero
Ejercicios
1. Demuestre con detalle que si lim f (x) = lim f (x) = l; entonces lim f (x) = l.
x!a+
x!a
x!a
2. Demuestre que
lim f (x) = lim f ( x)
x!0+
x!0
en el sentido que, si uno de estos límites existe, el otro también existe y coinciden.
3. Demuestre que
lim f (x) = lim f (jxj) = lim f (x2 )
x!0+
x!0
x!0
en el sentido expresado en el ejercicio anterior.
4. Demuestre usando la de…nición que
p
lim x = 0;
lim
x!0+
x!1
p
4
1
x = 0:
5. Halle los siguientes límites:
p ;
lim x+1
x!0+ 1+ x
lim
x!2
j2x 4j
x 2 :
6. Para
1 si x 2 Q,
0 si x 2
= Q,
f (x) =
demuestre que no existe lim f (x) ni lim f (x); para ningún a 2 R.
x!a+
x!a
7. Estudie la existencia de lim f (x); para la función de…nida por
x!0
f (x) =
2x + 1 si x 0;
2x 1 si x < 0:
8. Estudie la existencia del límite de las siguientes funciones cuando x tiende a 1.
f (x) =
x2 1 si x < 1
;
1 x si x 1
g(x) =
x2
si x < 1
:
2x + 1 si x > 1
9. Halle las constantes a y b para que sea continua la función
8
< x2 + 3 si x < 0,
ax + b
si 0 x < 2,
f (x) =
:
x
si x 2:
Trace la grá…ca de f:
70
Completitud
S. Cambronero
71
10. Si f está de…nida en ]a; a + c[ ; se puede de…nir
g : ]a
c; a + c[
fag ! R
por g (x) = f (a + jx aj) : Veri…que que esta de…nición tiene sentido, es decir que
a + jx aj 2 ]a; a + c[ para cada x en el dominio de g: Demuestre que
lim f (x) = lim g (x)
x!a+
x!a
e interprete geométricamente.
11. Se dice que f es continua a trozos en un intervlo I, si es continua excepto en una
cantidad …nita de puntos, en cada uno de los cuales existen los límites laterales. Para
las siguientes funciones, estudie si son continuas a trozos en R.
8
8 2
2x
+
1
si
x
<
1
x
si x 0
>
>
>
>
<
< 1
si x 2 (0; 2]
x2
si x 2 [1; 3)
x
f (x) =
g (x) =
5
si x 2 (0; 5]
5
si
x
=
3
>
>
>
>
:
: p
x si x > 5:
x
si x > 3
12. Demuestre que las siguientes son funciones continuas a trozos en el intervalo ]0; 17[ :
f (x) = [[x]] ;
3.5
[[x]])2 :
h (x) = (x
Continuidad de las trigonométricas
Partiendo de la idea geométrica intuitiva de las funciones trigonométricas, considere
representado en el círculo trigonométrico del siguiente dibujo.
2]0; 2 [
El triángulo sombreado tiene base 1 y altura sen ; así que su área es sen2 : El área del sector
circular correspondiente es 2 . Finalmente, el triángulo rectángulo dibujado tiene base 1 y
altura tan ; así que su área es tan2 : Se obtiene
sen
tan :
(3.1)
Dado que la función seno es impar, esto implica
jsen j
j j ; para j j <
2
:
Completitud
S. Cambronero
72
Por la ley del encaje se concluye
lim sen = 0:
!0
Ahora como
sen2
1 + cos
se sigue otra vez de la ley del encaje que lim (1
0
1
cos =
!0
sen2 ; para j j <
2
cos ) = 0: Esto es
lim cos = 1:
!0
Lo anterior demuestra que las funciones seno y coseno son continuas en el origen. Las
fórmulas de suma de ángulos se pueden usar para obtener la continuidad en cualquier punto
a 2 R: Por ejemplo, de la identidad
sen x = sen (x
a + a) = sen (x
a) cos a + cos (x
a) sen a
se obtiene
lim sen x = cos a lim sen (x
x!a
x!a
a) + sen a lim cos (x
x!a
a)
= cos a lim sen x + sen a lim cos x
x!0
x!0
= sen a
Hemos demostrado que
lim sen x = sen a; a 2 R:
x!a
Similarmente se obtiene la continuidad de la función coseno.
La ley del cociente para funciones continuas, implica que las demás funciones trigonométricas
(tangente, cotangente, secante, cosecante) son continuas en sus respectivos dominios. Para
…nalizar esta sección, estudiaremos el límite
sen x
:
x!0 x
lim
Tanto el numerador como el denominador tienden a cero, así que no se puede evaluar directamente. Pero por la desigualdad (3.1) se tiene
1
x
sen x
o equivalentemente
cos x
sen x
x
Como tanto la función cos x como la función
en
2;0
1
; x 2 0;
cos x
1; x 2 0;
2
:
sen x
son pares, la desigualdad también es válida
x
: Luego, por la ley del encaje
sen x
= 1:
x!0 x
lim
2
Completitud
S. Cambronero
1
Ejemplo 3.34 Para calcular el límite lim
73
cos x
podemos observar que
x
x!0
cos x
1 cos2 x
sen x
sen x
=
=
x
x (1 + cos x)
x
1 + cos x
1
y entonces
1
lim
x!0
0
cos x
=1
= 0:
x
1+1
Ejemplo 3.35 De la misma forma se obtiene
lim
1
cos x
sen x
= lim
2
x!0
x
x
x!0
2
1
1
= :
1 + cos x
2
sen x
Ejemplo 3.36 La función de…nida por f (x) =
; es continua en todo punto a 6= 0; pues
x
es cociente de funciones continuas. La discontinuidad en el origen es evitable, pues el límite
existe en dicho punto. Más explícitamente, la función de…nida por f (x) = senx x para x 6= 0 y
f (0) = 1; es continua en todo R.
3.5.1
Ejercicios
1. Calcule los siguientes límites:
lim
sen2 x + cos x
x!0 (tan2 x
2
+ 3)
;
lim
x! 4
1 tan x
;
sen x cos x
lim
x! 2
cos x
;
cot x
lim sec :
!
2. Calcule los siguientes límites
lim
x!
sen x
;
x
lim
1
x!
cos (x
(x
)2
)
:
3. Halle los siguientes límites:
lim
x!0
tan x
sen x
tan2 x
lim
x!0
x
4. Demuestre que si lim
x!0
lim
x!0
lim
x!0
lim
x!0
(1
x
sen x
cos x)2
x
lim
!0
lim
!0
tan
sen
sec
1
sec
f (x)
f (cx)
= l y c 6= 0; entonces lim
= cl: Use esto para calcular
x!0
x
x
sen (2x)
;
x
lim
x!0
1
cos (3x)
;
x
lim
x!0
1
cos (2x)
:
x2
Completitud
S. Cambronero
74
5. Calcule los siguientes límites:
sen2 (2x)
;
x!0
x
sen (2x)
;
x!0 sen (3x)
lim
x sen x
;
x!0 1
cos x
lim
lim
sen2 (3x)
:
x!0
x2
lim
6. Dada una constante c; calcule:
tan2 x + cx
;
x!0
x + x2
lim
x2 (c + sen x)
;
x!0 (x + sen x)2
lim
sen (c + h)
h!0
h
lim
sen c
:
7. Considere la función
f (x) =
sen x
si x 2 Q;
1 cos x si x 2
= Q:
Demuestre que f es continua en x = 0: Determine en qué otros puntos es f continua.
8. Use el teorema del encaje para demostrar
lim x sen
x!0
1
x
= 0;
x
x!0 1+cos x
lim
x2 cos x1
x!0 sen x
= 0;
lim
= 0:
9. Demuestre que los siguientes límites no existen en R.
1
lim sen :
x!0
x
cos x
;
x!0 x
lim
10. Use la ley del encaje para deducir la existencia del límite
lim x2 sen
x!0
3.6
1
1
+ cos
x
x
:
Composición de funciones continuas
Muchos de los ejercicios demostrados en las secciones anteriores, se vuelven elementales al
utilizar el siguiente teorema. La demostración se puede resumir así: Para que g (f (x)) esté
cerca de g (f (a)) basta que f (x) esté cerca de f (a) ; para lo cual basta que x esté cerca de
a:
Teorema 17 Si f es continua en a y g es continua en b = f (a); entonces la composición
g f es continua en a: Si f es continua en I y g es continua en J = f (I) ; entonces g f es
continua en I:
Demostración
Dado " > 0; existe
> 0 tal que
jy
bj <
) jg (y)
g (b)j < ":
Completitud
Usando
S. Cambronero
en vez de " en la continuidad de f; existe
jx
aj <
) jf (x)
75
> 0 tal que
f (a)j < :
Combinando las dos implicaciones con y = f (x) se obtiene
jx
aj <
) jg (f (x))
g (f (a))j < ":
Ejemplo 3.37 Para calcular el límite
lim cos x2 + 3x
x!2
10
vemos que f (x) = x2 + 3x 10 es continua en x = 2; con f (2) = 0: Como la función coseno
es continua en el origen, obtenemos
lim cos x2 + 3x
x!2
10 = cos 0 = 1:
Ejemplo 3.38 Para calcular el límite
sen x2 1
x!1
x2 1
lim
sen x
usamos f (x) = x2 1: Quisiéramos tomar g(x) =
; pero esta no es continua en el
x
origen. Sin embargo, la discontinuidad es evitable. Más precisamente, de…nimos g de la
siguiente manera
8 sen x
<
si x 6= 0
x
g(x) =
:
1
si x = 0:
La función g así de…nida es continua en el origen. Luego
sen x2 1
= lim g(f (x)) = g(f (1)) = g(0) = 1:
x!1
x!1
x2 1
lim
Ejemplo 3.39 La función '(x) = cos x2 + 3x 10 es continua, pues es la composición de
la función coseno con el polinomio p(x) = x2 + 3x 10:
Ejemplo 3.40 La función
h(x) =
(
sen(x2 1)
x2 1
1
si jxj =
6 1;
si jxj = 1;
es continua, pues es la composición de las funciones f y g del ejemplo 3.38, las cuales son
continuas.
Completitud
S. Cambronero
76
p
Ejemplo 3.41 La función h de…nida por h(x) = 2 + cos x es continua, pues es la comp
posición de f (x) = 2 + cos x; con la función g(x) = x: Es importante aquí que las imágenes
bajo f se mantienen en ]0; 1[ y g es continua en ese intervalo.
p
Ejemplo 3.42 La función dada por j(x) = 1 x2 es continua en ] 1; 1[, pues es la
p
composición de f (x) = 1 x2 ; con la función g(x) = x: Observe que f (x) 2 ]0; 1[ para
x 2 ] 1; 1[ :
Ejemplo 3.43 Para calcular lim
x!1
q
x 1
x2 1
tomamos f (x) =
x 1
;
x2 1
g(x) =
p
x: En este caso f
1
2.
no es continua en x = 1; pero el límite existe y es
Dado que solo interesan los valores de
1
x 6= 1; podemos de…nir f (1) = 2 sin que esto afecte la existencia del límite pero haciendo f
contiua. Luego
r
p
x 1
1
lim
= lim f (x) = p :
2
x!1
x
1 x!1
2
Nota: El ejemplo anterior demuestra que el teorema 17 se puede generalizar un poco, pidiendo solamente que el límite de f exista en a; y sea igual a b. Además se puede pedir
únicamente que el límite de g en b exista (aunque g no sea continua en b), siempre que
f (x) 6= b para x 6= a: En la lista de ejercicios se pide demostrar estos detalles.
Ejemplo 3.44 Para calcular
lim
x!0+
1
cos
x
p
x
p
podemos formalmente hacer el cambio de variable t = x; de modo que
p
1 cos x
1 cos t
1
lim
= lim
= :
2
x!0+
t!0+
x
t
2
p
Realmente lo que se hizo fue usar el hecho que la función de…nida por f (x) = x satisface
t
lim f (x) = 0, mientras que g (t) = 1 tcos
tiene límite 21 en t = 0: Ver la nota anterior y el
2
x!0+
ejercicio 3 al …nal de esta sección. Note que f (x) 6= 0 para x 6= 0:
Ejemplo 3.45 Para calcular el límite
p
x
lim p
3
x!1
x
1
1
podemos hacer el cambio x = t6 : Entonces t tiende a 1 cuando x tiende a 1. Luego
p
x 1
t3 1
t2 + t + 1
3
lim p
= lim 2
= lim
= :
3
x!1
1 t!1 t + 1
2
x 1 t!1 t
En realidad aquí aplicamos el teorema 17 a las funciones g(t) =
t3
t2
p
1
; f (x) = 6 x:
1
Completitud
3.6.1
S. Cambronero
77
Ejercicios
1. Si lim f (x) = b y g es continua en b; demuestre que lim g (f (x)) = g(b):
x!a
x!a
2. Dé un ejemplo en el que f sea continua en a; lim g(y) exista y lim (g f ) (x) no exista.
x!a
y!b
3. Si lim f (x) = b, lim g(y) = c y f (x) 6= b para x 6= a; demuestre que lim g (f (x)) = c:
x!a
x!a
y!b
4. Calcule los siguientes límites
p
x 8
lim p
;
3
x!64
x 4
p
3
x
lim p
4
x!1
x
5. Para a 2 R y n 2 N calcule
lim
x!a
haciendo el cambio t =
6. Calcule
lim
x! 3
p
n
1
;
1
p
n
x
x
lim
x2=3
x!1
p
n
2x1=3 + 1
:
(x 1)2
a
a
x:
1 2 cos x
;
sen x 3
lim (1
x!1
x) tan
x
;
2
lim
x!a
sen x
x
sen a
:
a
7. Demuestre que las siguientes son funciones continuas en R
s
cos x 3
7
f (x) = 1 + x + 2
; g (x) = sen x + sen x2 + sen x3 + sen x
x +3
:
8. Demuestre que si P (x) es un polinomio, las siguientes son funciones continuas:
f (x) = P (cos x) ;
3.7
3.7.1
g (x) = P 1 +
p
x ;
h (x) =
cos (P (x))
:
[P (x)]2 + 1
Límites in…nitos y al in…nito
Límites in…nitos
En las secciones anteriores, vimos ejemplos como
1
x!0+ x
lim
los cuales no existen como límites reales, pero aún así pueden considerarse como existentes
en el sentido que expondremos a continuación. Escribiremos lim f (x) = 1 si la función f
x!a
crece inde…nidamente al acercarse x al punto a:
Completitud
S. Cambronero
78
De…nición 3.7.1 Sea f de…nida en I fag; donde I es un intervalo abierto que contiene
al punto a: Decimos que f tiene límite 1 cuando x tiende al punto a; si para todo M > 0
existe > 0 tal que
0 < jx aj < ) f (x) > M:
(3.2)
En tal caso escribimos lim f (x) = 1: Similarmente, si reemplazamos (3.2) por
x!a
a < x < a + ) f (x) > M
obtenemos la de…nición de lim f (x) = 1; si lo reemplazamos por
x!a+
0 < jx
obtenemos la de…nición de lim f (x) =
x!a
aj <
) f (x) <
M;
1.
El lector puede escribir como ejercicio, las de…niciones correspondientes de lim f (x) = 1;
x!a
lim f (x) =
x!a+
1; lim f (x) =
x!a
Ejemplo 3.46 Para f (x) =
tomar
=
1
M:
1:
1
x
se tiene lim f (x) = 1: En efecto, dado M > 0; basta con
x!0+
Tenemos
0<x<
Ejemplo 3.47 Para f (x) =
tomar
=
p1 :
M
1
x2
)
1
1
> = M:
x
tenemos lim f (x) = 1: En efecto, dado M > 0 se puede
x!0
Tenemos
0 < jxj <
Ejemplo 3.48 Veri…quemos que lim
x!1
1
<x<1)
1
x 1
<x
)
=
1
1
> 2 = M:
2
x
1: Para M > 0 tomamos
1<0)
1
x
1
<
1
=
=
1
M:
M:
5x3 + 4
tenemos lim f (x) = 1: Para ver esto observamos
x!2
(x 2)2
primero que f (x) > 0 para x > 0: Además
Ejemplo 3.49 Para f (x) =
1
(x 2)2
= lim 3
=0
x!2 f (x)
x!2 5x + 4x
lim
por las propiedades de los límites …nitos. Dado M > 0; tomando " =
> 0 tal que
1
1
0 < jx 2j < )
< " ) f (x) > = M:
f (x)
"
1
M
se sigue que existe
Completitud
S. Cambronero
79
Este mismo argumento demuestra el siguiente resultado general.
Teorema 18 Sea f de…nida en I
fag; con f (x) > 0 para cada x 2 I
lim f (x) = 1 , lim
x!a
x!a
fag : Entonces
1
= 0:
f (x)
El teorema se puede aplicar también con límites laterales, y con límites que dan
último caso pidiendo que f (x) < 0: La demostración se deja como ejercicio.
1
Ejemplo 3.50 Para f (x) =
p
x+1
x2
se tiene lim f (x) =
1. En efecto, nótese que
x!0+
f (x) < 0 para todo x > 0: Además
p
x2 1 + x + 1
p
p
=
x+1 1+ x+1
1
lim
= lim
x!0+ f (x)
x!0+ 1
1; en este
lim x 1 +
x!0+
p
x + 1 = 0:
Nota: Las propiedades del cálculo de límites …nitos siguen siendo válidas para límites in…nitos, siempre y cuando no haya inde…niciones.
Ejemplo 3.51 Para f (x) =
se tiene
p
1
4 x+1+ p
x
lim f (x) = lim
x!0+
p
x
4x+1+
p
x
x!0+
1
1 x2
Ejemplo 3.52 El límite lim
x!1
= lim
x!0+
1
1 x
es de la forma 1 1; lo cual es indeterminado.
Combinamos las fracciones
1
1
x2
1
1
p
1
4 x + 1 + lim p = 1 + 1 = 1:
x!0+
x
x
=
x
(1 + x) (1
x)
se obtiene
lim
x!1
3.7.2
1
1
1
x2
1
x
= lim
x!1
x
1+x
lim
x!1
1
1
x
=
1
1=
2
1:
Límites al in…nito
Sea f de…nida en un intervalo de la forma ]a; 1[ : Decimos que el límite de f cuando x tiende
a in…nito existe y es l; si para todo " > 0 existe b > a tal que
x > b ) jf (x)
lj < ":
En tal caso escribimos lim f (x) = l: Decimos que el límite es 1 si para todo M > 0 existe
x!1
b > a tal que
x > b ) f (x) > M:
En tal caso escribimos lim f (x) = 1: Similarmente se de…ne el límite lim f (x):
x!1
x! 1
Completitud
S. Cambronero
Ejemplo 3.53 lim
x!1
80
1
1
= 0: En efecto, dado " > 0, con b = se tiene
x
"
x>b)
1
x
0 =
1
< ":
x
Ejemplo 3.54 Para ver que lim x2 = 1; dado M > 0 se puede tomar b =
x!1
Ejemplo 3.55 Para veri…car que lim
x!1
Ejemplo 3.56 lim
x!1
x2
p
p
M:
x = 1; basta tomar b = M 2 :
x es de la forma indeterminada 1
1: Por los ejemplos ante-
riores y las propiedades de los límites (se siguen siendo válidas siempre que no haya inde…niciones) tenemos
x2
lim
x!1
x!1
Ejemplo 3.57 Para calcular lim
x!1
nominador.
1
x
x = lim x2 1
= 1 (1
0) = 1:
x2 + 1
factorizamos x2 en el numerador y x en el dex 1
x 1 + x12
x2 + 1
= lim
x!1 x
x!1
1
1 x1
lim
= 1:
Ejemplo 3.58 Dado que
x2 1 +
x2 + 1
=
3x2 + x 1
x2 3 + x1
se obtiene
1
x2
1
x2
=
1+
3+
1
x2
1
x
x2 + 1
1
= :
2
x!1 3x + x
1
3
lim
Ejemplo 3.59 La identidad
7 + 100
7x2 + 100x
x
=
x3 + x2 + 4
x 1 + x1 +
4
x3
nos permite concluir que
7x2 + 100x
= 0:
x!1 x3 + x2 + 4
p
p
Ejemplo 3.60 Para f (x) = x + 1
x se tiene
lim
lim f (x) = lim p
x!1
x!1
1
p = 0:
x+1+ x
1
x2
;
Completitud
Ejemplo 3.61
S. Cambronero
81
lim x sen x1 = 1; debido a que
x! 1
lim x sen
x! 1
1
x
1
= lim g
x x! 1
= g(0) = 1
donde g es la función utilizada en el ejemplo 3.38. Nótese que aquí tomamos a = 1 en el
teorema 17. El lector puede convencerse de que el resultado sigue siendo válido en este caso.
Lo que hicimos es equivalente a considerar el cambio de variable t = x1 : Cuando x tiende a
1 tenemos que t tiende a 0; y entonces
lim x sen
x!1
3.7.3
1
sen t
= lim
= 1:
x t!0
t
Ejercicios
1. Demuestre usando la de…nición que
n
lim x
x!1
= 0 (n 2 N );
lim
1
x!1 x2
1
= 0:
2. Estudie los límites
lim
x!2 x2
1
4
( 1)[[x]]
;
x!1 x
1
;
1+2+
+ [[x]]
:
2
x!1
x
lim
lim
3. Demuestre el teorema 18. Demuestre además que si f (x) < 0 en I
lim f (x) =
x!a
fag; entonces
1
= 0:
x!a f (x)
1 , lim
Enuncie y demuestre propiedades análogas para límites laterales.
4. Escriba las de…niciones de
lim f (x) =
x!1
1:
lim f (x) = l;
x! 1
5. Considere f; g de…nidas en I
lim f (x) = 1;
x! 1
lim f (x) =
x! 1
1;
fag ; donde I es un intervalo abierto. Demuestre que
lim f (x) =
x!a
1 , lim ( f (x)) = 1:
x!a
6. Si lim f (x) = 1 y g es acotada inferiormente en I fag ; demuestre que lim (f (x) + g (x)) =
x!a
x!a
1:
7. Suponga lim f (x) = 1 y lim g (x) = l 2 R. Demuestre que:
x!a
x!a
(a) lim f (x) g (x) = 1 si l > 0
x!a
(b) lim f (x) g (x) =
x!a
1 si l < 0
Completitud
S. Cambronero
82
8. (Forma indeterminada 0 1) Dé ejemplos en que f tenga límite 1; g tenga límite 0 y
f g tenga límite 1; 1; 0; 17.
9. Suponga que lim f (x) = 1 y g(x)
f (x) para 0 < jx
x!a
lim g(x) = 1:
aj <
: Demuestre que
x!a
10. Suponga que lim f (x) = 1 y g (x)
f (x) para x
x!1
11. Si f (x)
g (x)
h (x) para x
c. Demuestre que lim f (x) = 1:
x!1
c y lim f (x) = lim h (x) = l; demuestre que
x!1
x!1
lim g (x) = l:
x!1
12. Suponga que lim f (x) = lim g(x) = 1: Demuestre que
x!a
x!a
lim (f (x) + g(x)) = lim f (x)g(x) = 1:
x!a
13. (Formas indeterminadas 1
mientras
x!a
1y
1
1)
Dé ejemplos en los que lim f (x) = lim g(x) = 1
x!a
lim (f (x)
x!a
x!a
g(x))
f (x)
:
x!a g(x)
sea 0; 17; 1; 1; o no exista. Haga lo mismo con lim
14. Demuestre que lim f (x) = lim f ( x1 ); en el sentido que si uno de ellos existe o es
x!1
x!0+
in…nito, entonces el otro también, y ambos coinciden. De la misma forma demuestre
que
1
lim f (x) = lim f ( x);
lim f ( ) = lim f (x):
x!1
x! 1
x! 1
x!0
x
15. Calcule los siguientes límites:
lim
x!1
p
x+
p
x
p
p
x+ 31
x!1
p
x2 + 1
lim
x! 1 x + 1
x
p
x2 3
lim p
x!1 3 8x3 + 1
16. Calcule
lim
x!1
x3
lim
p
x2 + x
1
lim
x! 1
lim
x! 1
p
x2
x+1 :
17. Si lim f (x) = b y lim g (y) = l; demuestre que lim g (f (x)) = l:
x!1
y!b
x!1
18. Si lim f (x) = 1 y lim g (y) = l; demuestre que lim g (f (x)) = l:
x!a
y!1
x!a
p
p
3
x2 + x
x2 + 1
:
x+1
x
Completitud
S. Cambronero
19. Calcule el límite
p
lim sen x + 1
p
sen x :
x!1
Sug. Use la identidad sen
sen = 2 sen
la parte de la función seno tiende a cero.
20. Considere la función
f (x) =
83
cos
2
+
2
: Luego el coseno es acotado, y
P (x)
Q (x)
donde P y Q son polinomios.
(a) Cuando el grado de P es menor que el grado de Q demuestre que lim f (x) = 0:
(b) Cuando P y Q tienen el mismo grado, demuestre que lim f
x! 1
x! 1
(x) = ab ; donde
ay
b son los coe…cientes del término de mayor grado en P y Q respectivamente.
(c) Explique el comportamiento de lim f (x) en el caso que el grado de P sea mayor
x!1
que el de Q:
21. Usando el ejercicio anterior calcule
x2 + 1000 2x4
;
x!1
x4 + 7x + 1
lim
x + 3x3 2x3
;
1 3x4 + 7x + 1
lim
x!
x + 3x2 2x4
:
x!1 3x3 + 4x + 7000
lim
22. Calcule
x + 1 + 3x2
lim p
;
x!1 3 x5 + 7x + 1
3.8
lim p
x! 1
x 7
;
2
3x + 7x + 1
x3 + 1 + 3x2
lim p
:
x!1
3x5 + 7x + 1
Continuidad de la exponencial
Recordemos que la función exponencial
f : R ! R;
f (x) = ax
(3.3)
es estrictamente creciente cuando a > 1. Recordemos además que por el lema 1.3.2 se tiene
1
1 < an < 1 +
Dado " > 0; si escojamos n >
0<x<
Esto demuestra, con
=
a
"
a
;
n
n2N :
tenemos:
1
1
n
) 1 < ax < a n < 1 +
1
n
que
a
n
< 1 + " ) jax
lim ax = 1:
x!0+
1j < ":
Completitud
S. Cambronero
84
Por las propiedades de los límites laterales se sigue
lim ax = lim a
x!0
x
1
x
x!0+ a
= lim
x!0+
= 1:
Concluimos entonces que la función exponencial de base a > 1 es continua en el origen. Para
x 6= 0 se tiene
lim at = lim ax at x = ax lim au = ax :
t!x
t!x
u!0
Hemos demostrado parte del siguiente lema.
Lema 3.8.1 La función exponencial de base a > 1 es continua. Además tiene límite 1 en
1 y límite 0 en 1: Es decir
lim ax = 1;
x!1
lim ax = 0:
(3.4)
x! 1
Demostración
Ya demostramos la continuidad. Dado que a > 1, por la desigualdad de Bernoulli se tiene
an = (1 + (a
1))n
1 + n (a
Dado M > 0; sea n natural tal que n >
demuestra el primer límite y luego
M
a 1:
Para que ax
lim ax = lim
1
x
x!1 a
x! 1
1) > n (a
1) :
M basta que x
n: Esto
= 0:
Ejemplo 3.62 Para calcular el límite lim 32x ; podemos hacer el cambio t = 2x: Se obtiene
x! 1
lim 32x = lim 3t = 3
x! 1
x! 2
2
= 19 :
De hecho, como composición de continuas, ' (x) = 32x es continua en R.
Ejemplo 3.63 La función de…nida por f (x) = 4x
de continuas.
Como consecuencia de la identidad
ax =
2 +3x+1
es continua, por ser composición
1
1 x
a
se sigue que la función exponencial de base a 2 ]0; 1[ también es continua.
Completitud
3.8.1
S. Cambronero
85
La función logarítmica
En el capítulo 4 se demostrará con todo detalle que la función exponencial es también biyectiva
y su inversa, la función loga es continua (ver teorema 23 y corolario 4.4.1). Se tiene entonces
que la función
loga : ]0; 1[ ! R, loga y = x , ax = y
es continua. En lo que sigue, incluyendo los ejercicios, usaremos este resultado.
Las propiedades de la exponencial se transforman en propiedades de la función logarítmica.
Aunque el lector posiblemente esté bastante familiarizado con esas propiedades desde el punto
de vista práctico, conviene repasar la manera como se deducen.
La propiedad
aloga x+loga y = aloga x aloga y = xy
nos demuestra que
loga (xy) = loga x + loga y;
Por otro lado
ax loga b = aloga b
x; y positivos.
x
= bx
(3.5)
nos permite concluir
loga bx = x loga b:
Note en particular
loga
1
b
=
loga b:
Ahora considere b positivo y distinto de 1: Aplicando (3.5) con
loga x
loga b
en vez de x tenemos
loga x
b loga b = aloga x = x
lo que signi…ca
logb x =
loga x
loga b
para x > 0
(3.6)
siempre que a y b sean positivon y distinton de 1: Como inversa de la función exponencial,
la función loga es, además de continua, estrictamente monótona. Como loga 1 = 0; cuando
a > 1 se tiene
loga x < 0 para 0 < x < 1;
loga x > 0 para x > 1:
Los límites (3.4) se traducen en
lim lga y =
y!0+
1;
lim lga y = 1 (para a > 1).
y!1
Completitud
S. Cambronero
86
Grá…ca de la función logarítmica de base a > 1:
Ejemplo 3.64 La función de…nida por f (x) = log5 x2 + 4 ; es continua en todo R. En
efecto, la función de…nida por g (x) = x2 + 4 es continua y toma valores en el dominio de
log5 :
Ejemplo 3.65 Para calcular el límite
l = lim log5
x!3
2x2 + x 21
x2 9
observamos que
2x2 + x 21
2x + 7
13
= lim
= :
2
x!3
x!3 x + 3
x
9
6
lim
Luego l = log5
13
6 :
Ejemplo 3.66 Para calcular
lim (1 + cos x)sen x
x!0
podemos de…nir g (x) = log (1 + cos x)sen x = (sen x) log (1 + cos x) ; donde log = log10 : Por
la continuidad se tiene
lim g (x) = (sen 0) log (1 + cos 0) = 0:
x!0
Luego, por la continuidad de la exponencial de base 10
lim (1 + cos x)sen x = lim 10g(x) = 100 = 1:
x!0
x!0
En los ejercicios se pide generalizar este resultado.
3.8.2
Ejercicios
1. Calcule
2x
x!5 2x
lim
5
32
:
1
Completitud
S. Cambronero
87
2. Calcule
p
3x+2 + 7 4
;
lim p x
x!0
3 +3 2
lim
x!0
r
2x + 3
;
22x + 1
lim
x!10
sp
3 + log x 2
:
log x 1
Aquí log = log10 :
3. Calcule los siguientes límites, donde a > 0 es …jo.
a3x + 4ax 5
lim
x!0
a4x 1
lim log7
x!1
ax
x+1
lim
x!0
"
ax
3
1
x
2
p
1+
ax
4. Calcule los siguientes límites
3x + 4x 22x
x!1
22x + 1
lim (2x + x)
1
lim
x!2
lim log3
x!4
x(3x+7)
(x+5)(3x 8)
5. Calcule los siguientes límites aplicando la función logarítmica:
lim x2 + 2
x!2
1
x
;
lim
x! 1
x2 + x + 3
x3
;
lim
x!1
3+
6. Considere a > 0 y x0 2 R.
(a) Si existe b = lim g(x); demuestre que limx g (loga x) = b:
x!x0
x!a
0
(b) Si existe l = lim f (x); demuestre que lim af (x) = al :
x!x0
x!x0
7. Demuestre que si lim f (x) = b > 0 y lim g (x) =
x!a
x!a
entonces
lim [f (x)]g(x) = b :
x!a
Concluya que en particular la función
f : ]0; 1[ ! R;
f (x) = xr
de exponente r 2 R, es continua en ]0; 1[ :
8. Demuestre que para 0 < a < 1 se tiene
lim ax = 0;
x!1
lim ax = 1:
x! 1
Haga una grá…ca de la función exponencial en este caso.
sen x
x
2x+2
x
:
:
#2
:
Completitud
S. Cambronero
88
9. Demuestre que para 0 < a < 1 se tiene
lim loga y = 1;
y!0+
lim loga y =
y!1
1:
Haga una grá…ca de la función logarítmica en este caso.
10. Sea f : R ! R tal que f (x + y) = f (x)f (y); para x; y 2 R: Suponga que f no es
idénticamente nula y que existe lim f (x) = :
x!0
(a) Demuestre que f (0) = 1 y que f (x) > 0 para cada x 2 R.
(b) Demuestre que
= 1 y que f es continua en todo R.
(c) Demuestre usando inducción que f (nx) = [f (x)]n para cada x 2 R y n 2 N.
(d) Usando lo anterior, concluya que f (x) = ax para cada x 2 Q, donde a = f (1) :
(e) Usando el ejercicio 18 de la sección 3.3, concluya que f (x) = ax para cada x 2 R.
3.9
Sucesiones y funciones
Aunque las sucesiones numéricas son funciones reales de variable real, se tratan de manera
distinta debido a la naturaleza discreta de las sucesiones, en contraste con la naturaleza
continua con la cual se tratan los límites de funciones. Es decir, al hablar de límies de
funciones, de inmediato pensamos en su dominio como un intervalo o unión de intervalos. En
el caso de las sucesiones, el dominio siempre será un subconjunto de los naturales. A pesar
de esta diferencia de enfoque en ambas teorías, lo cierto es que sí se relacionan y de hecho se
complementan en varios aspectos. El siguiente resultado es una primera muestra de lo que
hemos comentado.
Teorema 19 Sea f una función de…nida en el intervalo abierto I; con a 2 I: Las siguientes
proposiciones son equivalentes:
(a) f es continua en a
(b) Para cada sucesión (xn ) en I tal que xn ! a; se tiene que f (xn ) ! f (a) :
Demostración
Suponga que f es continua en a y considere una sucesión (xn ) en I tal que xn ! a: Dado
" > 0; por la continuidad de f existe > 0 tal que
jx
aj <
Como xn ! a; existe N tal que jxn
n
N ) jxn
) jf (x)
aj <
aj <
para n
f (a)j < ":
N: Entonces
) jf (xn )
f (a)j < ":
Completitud
S. Cambronero
89
Esto demuestra que efectivamente f (xn ) ! f (a) :
Recíprocamente, supongamos que f no es continua en x = a: Debe existir entonces un " > 0
tal que para cada > 0 existe x 2 I que cumple jx aj < y jf (x) f (a)j
": En
particular, para = n1 existe xn 2 I tal que jxn aj < n1 y jf (xn ) f (a)j ": Pero entonces
xn ! a y f (xn ) 9 f (a) :
Ejemplo 3.67 Considere la función
0
si x 2 Q
cos x si x 2
= Q.
f (x) =
p
Considere la sucesión de irracionales xn = n1 2 ! 0: Si f fuera continua en el origen, se
tendría f (xn ) ! f (0) = 0: Sin embargo, por la continuidad de la función coseno se tiene
1p
2
n
f (xn ) = cos
! cos 0 = 1 6= f (0) :
Se concluye que f no es continua en el origen. Un argumento similar demuestra que f no es
continua en a; a menos que a = 2 + n para algún n 2 Z.
Con una pequeña modi…cación, el teorema anterior se puede utilizar para el cálculo de límites
en general. La demostración del teorema siguiente se deja como ejercicio.
Teorema 20 Sea f una función de…nida en I fag ; donde I es un intervalo abierto con
a 2 I: Las siguientes proposiciones son equivalentes:
(i) Existe el límite l = lim f (x)
x!a
(ii) Para cada sucesión (xn ) en I
fag tal que xn ! a; se tiene f (xn ) ! l:
En el teorema anterior, es importante enfatizar el requerimiento xn 2 I fag : Esto debido a
que f podría no estar de…nida en a; o aunque lo esté, f (a) podría ser distinto de l: El resultado
se puede aplicar a límites laterales. Por ejemplo l = lim f (x) si y solo si f (xn ) ! l siempre
x!a+
que xn > a y xn ! a:
Ejemplo 3.68 Considere la función
f (x) =
n
n+1
x
Si x = n1 ; con n 2 N
En cualquier otro caso
p
n
Para xn = n1 se tiene f (xn ) = n+1
! 1; mientras que para yn = n1 2 se tiene f (yn ) = yn !
0: De acuerdo con el teorema anterior, f no tiene límite en el origen.
El siguiente lema da una versión del teorema anterior para límites al in…nito.
Completitud
S. Cambronero
90
Lema 3.9.1 Suponga que f está de…nida en un intervalo de la forma ]a; 1[ y lim f (x) = l:
x!1
Entonces f (xn ) ! l siempre que xn ! 1: Recíprocamente, si f (xn ) ! l siempre que
xn ! 1; se sigue que lim f (x) = l:
x!1
Demostración
Dado " > 0; existe b > 0 tal que jf (x) lj < " para x > b: Si xn ! 1; se tiene xn > b
eventualmente y, por lo tanto, jf (xn ) lj < " eventualmente.
Recíprocamente, suponga que f no tiene límite l en 1: Esto quiere decir que existe " > 0 tal
que para cada b existe x > b con jf (x) lj ": En particular, para cada n existe xn > n tal
que jf (xn ) lj ": Pero entonces xn ! 1 y f (xn ) 9 l:
Ejemplo 3.69 Considere la sucesión xn = n sen n1 . Dado que f (x) = x sen x1 satisface
sen t
=1
t!0+ t
lim f (x) = lim
x!1
se sigue que xn ! 1:
Ejemplo 3.70 Considere f (x) = cos ( x). La sucesión dada por f (n) = ( 1)n es divergente. Entonces no existe lim f (x) :
x!1
Ejemplo 3.71 Para f (x) = sen ( x) se tiene f (n) = 0 ! 0; pero no existe lim f (x). En
x!1
efecto, note que
xn = + 2n ! 1; f (xn ) ! 1:
2
Los resultados anteriores son válidos también si l es in…nito. Veamos un ejemplo.
Ejemplo 3.72 La sucesión xn = sec
n+1
2n 3
diverge a
1. En efecto, observe que
n+1
!
2n 3
2
por la derecha. Luego sec
3.9.1
n+1
2n 3
!
1 debido a que lim sec x =
x! 2 +
1:
Ejercicios
1. Use sucesiones para demostrar que los siguientes límites no existen en R
1
lim ( 1)[[ x ]] ;
x!0
lim cos x1 ;
x!0
lim sen
x!1
p
x :
2. Demuestre usando sucesiones que si lim f (x) = l y c 6= 0; entonces lim f (cx) = l:
x!0
x!0
Completitud
S. Cambronero
91
3. Suponga que lim f (x) = l: Usando sucesiones, demuestre que
x!0
p
lim f (x2 ) = lim f ( x2 ) = lim f ( jxj) = lim f (jx
x!0
x!0
x!0
x!1
1j) = l:
4. Usando sucesiones, demuestre que
jx
x!3 x
3j
no existe.
3
lim
5. Considere f : [0; 1] ! R de…nida por
f (x) =
0 si x 2 I
si x 2 Q, x =
1
q
p
q
en forma canónica.
(a) Si una sucesión de racionales (rn ) converge a un irracional x 2 [0; 1] y cada rn se
escribe en forma canónica como
rn =
pn
;
qn
demuestre que qn ! 1: Sug. Dado M > 0; el conjunto de racionales en [0; 1] con
denominador q M (en su forma canónica) es …nito.
(b) Demuestre que f es continua en cada irracional y discontinua en cada racional.
6. Demuestre que lim f (x) = 1 si y solo si, para toda sucesión (xn ) que diverge a 1; se
x!1
tiene f (xn ) ! 1:
7. Sea f de…nida en I
fag; con a 2 I: Demuestre que son equivalentes:
(a) lim f (x) = 1:
x!a
(b) Para toda sucesión (xn ) en I fag; tal que xn ! a; se tiene que f (xn ) ! 1:
Enuncie el resultado análogo para límites laterales, y para cuando el límite es 1:
8. Demuestre el teorema 20.
9. Demuestre que lim f (x) = l si y solo si f (xn ) ! l siempre que xn ! a en forma
x!a+
estrictamente decreciente.
10. Demuestre usando sucesiones que la función f (x) = sen 2 x +
1:
11. Si f es una función monótona, demuestre que:
(a) l = lim f (x) si y solo si f a +
x!a+
1
n
!l
1
x
no tiene límite en
Completitud
S. Cambronero
(b) l = lim f (x) si y solo si f a
x!a
1
n
92
!l
(c) f es continua en a si y solo si
f
a+
( 1)n
n
! f (a) :
12. Demuestre que toda función monótona en un intervalo I; tiene límites laterales en cada
punto de I:
3.10
La constante de Euler
Considere la sucesión de…nida por
Sn =
n
X
1
:
k!
k=0
Es claro que (Sn ) es estrictamente creciente, dado que Sn+1 = Sn +
n 2
n
n
X
X
1
1
1
Sn = 2 +
2+
=3
:
k!
k (k 1)
n
k=2
1
(n+1)! :
Además, para
k=2
Se concluye que
2 < Sn < 3 para n
2:
Por el teorema de Weierstrass, (Sn ) es convergente; su límite es conocido como la constante
de Euler.
De…nición 3.10.1 La constante de Euler e se de…ne por
n
1
X
X
1
1
=
:
n!1
k!
k!
e = lim
k=0
k=0
Aparte de su utilidad inmediata, el siguiente lema nos permitirá foguearnos en el uso del
limsup y el liminf.
Lema 3.10.1 La constante e se puede obtener como
e = lim
n!1
1+
1
n
n
:
Completitud
S. Cambronero
93
Demostración
En primer lugar, por la fórmula del binomio
1
1+
n
n
n
n
X
X
n 1
n (n
=2+
=
k
k n
1)
nk
k=2
k=0
así que
1+
k=0
e:
(3.7)
m. Tenemos
n
1
n
n
X
1
<e
k!
k + 1) 1
k!
n
1
lim sup 1 +
n
Por otro lado, tomemos m …jo y n
(n
2+
m
X
n (n
1)
k=2
(n
nk
k + 1) 1
:
k!
(3.8)
Para cada k 2 f2; : : : ; mg se tiene
n (n
1)
(n
k + 1)
nk
=
1
n
1
1
2
n
::: 1
k
1
n
!1
y como m está …jo
2+
m
X
n (n
k=2
1)
(n
nk
m
X 1
k + 1) 1
!2+
= Sm :
k!
k!
k=2
De (3.8) se concluye que
lim inf 1 +
1
n
n
Sm
para cada m 2 N. Como el lado izquierdo es un número real …jo concluimos que
lim inf 1 +
1
n
n
e:
(3.9)
De (3.7) y (3.9) se obtiene el resultado.
Corolario 3.10.1 Para cada n 2 N se tiene
1+
1
n
n
< e:
Esto se obtiene del primer paso de la demostración del lema anterior. En los ejercicios se
n
pide demostrar además que la sucesión 1 + n1
es estrictamente creciente.
Ejemplo 3.73 Considere la sucesión dada por an = 1 +
an =
1
1+
n
n 3
1+
1
n
1 3n+1
:
n
! e3 :
Tenemos
Completitud
S. Cambronero
Ejemplo 3.74 Considere an = 1 +
1
1+ 2
n
1
1 n
:
n2
n
=
"
94
Por el corolario anterior
n2
1
1+ 2
n
Por la ley del encaje
#1
n
1
e n ! 1:
n
1
1+ 2
n
! 1:
El siguiente ejemplo será usado en lo que sigue.
Ejemplo 3.75 Las sucesiones
1
1+
n+1
an =
n
;
n+1
1
1+
n
bn =
convergen ambas a e: En efecto
n+1
1
e
n+1
!
= e:
1
1+0
1+
n+1
1+
an =
Para (bn ) se procede similarmente.
3.10.1
Límites relacionados con e
Demostraremos a continuación que
e = lim
x! 1
1+
1
x
x
:
(3.10)
En efecto, considere x > 0 y sea n su parte entera, es decir n 2 N y n
1
1+
n+1
n
<
1
1+
x
n
1
1+
x
x
1
1+
n
Con la notación del ejemplo anterior se tiene
a[[x]]
1
1+
x
x
b[[x]]
donde an ! e y bn ! e: Consecuentemente
lim
x!1
1
1+
x
x
= e:
x
<
x < n + 1: Tenemos
1
1+
n
n+1
:
Completitud
S. Cambronero
95
El lector puede completar el detalle. Es interesante observar que el mismo valor del límite en
(3.10) se obtiene cuando x !
lim
x! 1
1+
1
x
1: En efecto
x
=
x!1
=
lim
donde hicimos el cambio t = x
(3.10).
x
x
x
= lim
x
x!1
1
x
1
1+
x!1
x
1
x
1
lim
= lim
1
t!1
1+
1
t
t
1+
1
t
= e:
1 en el penúltimo paso. Esto concluye la demostración de
Ejemplo 3.76 Para calcular el límite
lim
x! 1
2
1+
x
x
podemos hacer el cambio t = x2 . Se obtiene
lim
1+
x! 1
x
2
x
= lim
1+
t! 1
1
t
2t
1
t
at
= e2 :
Ejemplo 3.77 En general, para calcular el límite
lim
x! 1
podemos hacer el cambio t =
x
a
lim
1+
a
x
x
y se obtiene
x! 1
1+
a
x
x
= lim
t! 1
1+
= ea
donde usamos la continuidad de la función potencial x 7! xa :
Pronto descubriremos que la función exponencial de base e juega un papel especial en el cálculo diferencial e integral. A la función logarítmica de base e se le llama logaritmo neperiano,
en honor a los aportes de John Napier. También se le suele llamar logaritmo natural. Se
denota
ln = loge : ]0; 1[ ! R
Por de…nición se tiene
ln ex = x (todo x 2 R) eln y = y
(todo y > 0).
Además, para a positivo y distinto de 1
ax = ex ln a ;
loga x =
ln x
;
ln a
x > 0:
Esto permite expresar todas las exponenciales y logarítmicas en términos de la función exponencial de base e y la función logaritmo natural.
Completitud
S. Cambronero
96
Ejemplo 3.78 Por la continuidad de la función logarítmica se tiene
lim n ln 1 +
1
n
= lim ln 1 +
lim x ln 1 +
1
x
= lim ln 1 +
n!1
n!1
n
1
n
= ln e = 1:
También se tiene
x! 1
3.10.2
x! 1
x
1
x
= ln e = 1:
Ejercicios
1. Si an ! ; bn !
y f : [a; 1) ! R satisface
a[[x]]
f (x)
b[[x]]
demuestre que limx!1 f (x) = : Use esto para completar el detalle de la demostración
de (3.10).
1 n
n
2. Demuestre que la sucesión an = 1 +
an+1
=
an
1
es estrictamente creciente. Sug. Escriba
1
(n + 1)2
n
n+2
n+1
y use la desigualdad de Bernoulli.
3. Calcule
lim
n!1
a2
n2
1
n
4. Estudie la existencia del límite
;
lim
n!1
a
1+
n
n2
;
lim
n!1
1+
a
n2
n
:
ln (1 + x)
:
x!0
x
lim
5. Calcule
ln (1 + 3x)
;
x!0
x
lim
6. Calcule
ln 1 + x2
;
x!0
x2
1
lim (1 + x) sin x ;
2 R entonces
1+
lim
lim (1 + x) 1
x!0
7. Demuestre que si an !
ln 1 + x2
:
x!0
x
lim
x
cos x
x!0
an
n
n
:
!e :
8. Calcule el límite de las siguientes sucesiones
p n
2n + ( 1)n n
3n
an = 1 +
; bn =
2
n +1
3n + 1
n
;
cn =
3 ( 1)n
1+
n2
2n
n
:
Completitud
S. Cambronero
97
9. Encuentre lim sup y lim inf para las siguientes sucesiones. Estudie la convergencia.
!n
!n
p
p
n
2[[ n2 ]] n
n cos n1 + ( 1)n
n 3nn
17
an =
; bn =
; cn = lim
:
n!1
2
n+1
n+1
10. Demuestre que si lim f (x) =
2 R entonces
x!1
f (x)
1+
x
lim
x!1
x
=e :
11. Calcule los siguientes límites
lim
x!1
1
1 + 2 sin
x
x
;
lim
x! 1
x2
1
cos
x
;
lim
x!1
1+
12. Demuestre que para t > 0 se tiene et > 1 + t: Sug. Para n >
desigualdades
et >
1+
1
n
nt
1+
1
n
[[nt]]
1+
1
[[nt]]
n
1
t
3 sin x 2x
x2
x
:
justi…que las siguientes
1+t
1
n
y luego haga n ! 1: Concluya que ln (1 + t) < t para t > 0: Interprete geométricamente.
13. Considere la sucesión dada por
an =
1+
1
2
1+
1
4
1+
1
2n
:
(a) Demuestre que (an ) es creciente y acotada. Sug. Para la acotación tome logaritmo
y use el ejercicio anterior.
(b) Concluya que (an ) converge y aproxime su límite con tres decimales de precisión.
3.10.3
Proyecto opcional 1: e es irracional
1. Considere
n
X
1
Sn =
:
k!
k=0
Demuestre que para n > m se tiene
1
1
1
1+
+
+
(m + 1)!
m + 2 (m + 2)(m + 3)
1
1
1
+
+
:
< Sm +
1+
(m + 1)!
m + 1 (m + 1)2
Sm < S n = Sm +
Completitud
S. Cambronero
2. Demuestre que Sm < Sn < Sm +
1
m m! ;
Sm < e
98
si n > m > 0: Concluya que
Sm +
1
; m2N .
m m!
(3.11)
3. Tome m = 12 y concluya que
2:718 281 828 28 < e < 2:718 281 828 48:
Esto nos da 9 dígitos exactos y un error menor que 2 10
10 :
p
4. Suponga que e = m
; con p; m 2 N. Use este m en la estimación (3.11) y multiplique
por m! para obtener
1
m! Sm p(m 1)! m! Sm + :
m
Explique por qué esto es contradictorio y concluya que e es irracional.
3.10.4
Proyecto opcional 2: Exponencial vía sucesiones.
He aquí una construcción de la función exponencial, que resulta más sencilla que la realizada
por medio del axioma del exrtemo superior. Más adelante encontraremos una aún más
sencilla. Se parte de la existencia y las propiedades de la exponencial de exponente racional.
Sea a > 1 y x 2 R.
1. Demuestre que existen sucesiones de racionales, (rn ) y (sn ) ; tales que la primera crece
a x y la segunda decrece a x.
2. Demuestre que la sucesión (arn ) es creciente y acotada superiormente por as1 ; mientras
que la sucesión (asn ) es decreciente y acotada inferiormente por ar1 :
3. Concluya que existen los límites
= lim arn ;
= lim asn :
4. Use la desigualdad
1
1 < an < 1 +
para demostrar que
a
n
= : De…na
ax = lim arn = lim asn :
5. Demuestre que con esta de…nición se obtiene
f : R ! R;
estrictamente creciente y continua.
f (x) = ax
(3.12)
Completitud
S. Cambronero
99
6. Demuestre que para x; y 2 R se tiene ax+y = ax ay : Concluya que
a
x
=
1
:
ax
7. Demuestre que para cada x 2 R se tiene
a
b
(ab)x = ax bx ;
x
=
ax
:
bx
8. Demuestre que para x; y 2 R se tiene (ax )y = axy :
3.10.5
Proyecto opcional 3: Exponencial vía Series
Aquí hay otra manera de de…nir la función exponencial, no tan sencilla aún. Es posible
que se deba investigar más a profundidad algunos de los conceptos de series que se vieron
super…cialmente en el capítulo. Se de…ne
exp (x) = 1 +
1
X
xn
n=1
= 1 + lim
n!
n!1
n
X
xk
k=1
k!
;
x 2 R:
1. Demuestre la convergencia de la serie, para x 2 R.
2. Calcule exp (0) ; exp (1) :
3. Demuestre que para jxj
1 se tiene
jexp (x)
1j = jxj
1
X
xn
1
jxj
n!
n=1
1
X
1
n!
n=1
2 jxj
y concluya que exp es continua en el origen.
4. La fórmula del producto de Cauchy dice que si las series
1
X
an =
y
n=0
1
X
an =
n=0
convergen absolutamente, entonces la serie
1
X
cn ;
con
cn =
n=0
n
X
ak bn
k
k=0
converge a
: Use este resultado (no lo demuestre) y la fórmula del binomio, para
demostrar que
exp (x + y) = exp (x) exp (y) ; x; y 2 R:
5. Resuelva el ejercicio 10 de la sección 3.8.
6. Concluya que exp (x) = ex para cada x 2 R.
Capítulo 4
Teoremas sobre continuidad
En este capítulo estudiamos algunos teoremas sobre funciones continuas, de gran importancia
en cálculo y análisis. El primero de ellos tiene que ver con la existencia de ceros de funciones
continuas.
4.1
Teorema de los valores intermedios
El resultado de esta sección se puede resumir en que las funciones continuas en intervalos no
tienen saltos. Para ser más precisos, al viajar x entre dos puntos a y b; sus imágenes deben
al menos pasar por todos los puntos entre f (a) y f (b) : Comenzamos precisando la idea de
continuidad en un intervalo.
De…nición 4.1.1 Considere f : [a; b] ! R. Decimos que f es continua en [a; b] si:
1. es continua en cada x 2 ]a; b[
2. es continua por la derecha en a y por la izquierda en b: Es decir
lim f (x) = f (a);
x!a+
Ejemplo 4.1 La función dada por f (x) =
p
1
lim f (x) = f (b):
x!b
x2 es continua en el intervalo [ 1; 1]:
Similarmente se puede hablar de continuidad en intervalos de la forma ( 1; b] y [a; 1): Todos
esos casos se pueden enmarcar dentro del concepto de continuidad relativa a un conjunto A:
De…nición 4.1.2 La función f : A ! R se llama continua en a 2 A si para todo " > 0
existe > 0 tal que para x 2 A
(x 2 A y jx
aj < ) ) jf (x)
f (a)j < ":
Si f es continua en cada a 2 A; decimos que es continua en A:
100
Completitud
S. Cambronero
101
Ejemplo 4.2 La función raíz cuadrada es continua en [0; 1): En efecto, para a > 0 el
concepto de continuidad es el que ya conocíamos. Para a = 0; se obtiene del hecho que
p
lim x = 0:
x!0+
La de…nición anterior debe tratarse con cuidado en un primer acercamiento al tema. Para
convencernos de los peligros, incluimos dos ejemplos.
Ejemplo 4.3 Considere la función
f : R ! R;
f (x) =
0 si x 2 Q
1 si x 2
=Q
Esta función es discontinua en todo punto. Sin embargo, su restricción al conjunto Q es
continua. Podríamos decir que es continua relativamente a Q.
Nótese que al hablar de la continuidad relativa a Q, realmente se está hablando de continuidad
de la función
g = f jQ : Q ! R; g (x) = 0:
Se trata de otra función, para empezar tiene un dominio distinto a la función original.
Ejemplo 4.4 Considere A = ]0; 1[ [ f5g : La función
f : A ! R;
f (x) =
x si x 2 ]0; 1[
17 si x = 5
es continua. En efecto, f es continua en el intervalo abierto ]0; 1[ y además, el único punto
de A que está cerca de a = 5 es x = 5:
En general, para evitar confusiones, en la de…nición 4.1.2 hablaremos siempre de continuidad
relativa al conjunto A: En los ejercicios, el lector podrá demostrar algunas propiedades relacionadas con este concepto. Nótese que la de…nición 4.1.1 de continuidad en [a; b] es equivalente a la de…nición de continuidad relativa al conjunto A = [a; b] :
El lema que sigue es, en esencia, el teorema de valores intermedios. Establecemos primero
esta versión simpli…cada con el objetivo de hacer más clara la presentación.
Lema 4.1.1 Si f es continua en [a; b] y f (a) f (b) < 0; existe c 2 ]a; b[ tal que f (c) = 0:
Demostración
Sin pérdida de generalidad, asuma que f (a) < 0 < f (b): Considere el conjunto
A = fx 2 [a; b] : f < 0 en [a; x]g :
Dado que [a; a] = fag y f (a) < 0; se obtiene a 2 A: Entonces A 6= ; y es acotado superiormente por b. Por la completitud de R existe c = sup A:
Completitud
S. Cambronero
Por la caracterización del supremo, para cada n 1 existe xn 2 A tal que xn
sucesión (xn ) converge a c y por la continuidad de f se tiene
f (c) = lim f (xn )
c
102
1
n:
La
0:
Ahora suponga f (c) < 0 y tome " = jf (c)j : Por continuidad existe > 0 tal que f (x) <
f (c) + " = 0 para c x c + : Esto implica en particular c + 2 A; lo cual contradice el
hecho que c es el supremo de A. Consecuentemente f (c) = 0:
Aplicando el lema anterior a la función g de…nida por g (x) = f (x)
tres resultados importantes de este capítulo.
y; se obtiene uno de los
Teorema 21 (Teorema de los valores intermedios) Sea f continua en [a; b] con f (a) 6= f (b),
sea y un número real entre f (a) y f (b) : Entonces existe un c 2 ]a; b[ tal que f (c) = y:
Ejemplo 4.5 Para f (x) =
satisface f (c) = 0:
1 2
4x
1
3
se tiene f (0) < 0 y f (2) > 0: En este caso c =
p2
3
y
x
El siguiente ejemplo muestra que, en general el, punto c no necesariamente es único.
Ejemplo 4.6 Considere f (x) = sen x con a = 5 y b = 26: Se tiene f (a) < 0 < f (b) y
existen siete valores de c en el intervalo (a; b) que cumplen f (c) = 0:
Ejemplo 4.7 Para f (x) = x3 + x se tiene f (1) = 2 < f ( 32 ) = 39
8 : Note que y = 4 está entre
3
:
El
teorema
garantiza
la
existencia
de
c
2
1;
tal
que
f
(c) = 4: Es decir
2 y 39
8
2
c3 + c = 4:
Dado que f es estrictamente creciente, en este caso c es único. Observando que
f (1:3) = 3: 497
f (1:4) = 4: 144
el teorema nos garantiza 1:3 < c < 1:4: Siguiendo con este proceso de aproximación se puede
demostrar que
c = 1: 378 8 : : :
Completitud
S. Cambronero
103
Ejemplo 4.8 Para f (x) = x cos x se tiene f ( 12 ) = 12 cos 12 < 0; f (1) = 1 cos 1 > 0:
Luego existe c 2 12 ; 1 tal que c cos c = 0: El punto (c; c) es el punto de intersección de la
recta y = x con la grá…ca de la función coseno.
y
x
Se puede demostrar que c = 0:73908513321516 : : :
Ahora estamos en posición de demostrar que la imagen continua de un intervalo es un intervalo. Recordemos que un conjunto A es un intervalo si y solo si contiene a cada intervalo de
la forma [a; b] ; con a; b 2 A:
Teorema 22 Si f es continua en un intervalo I; entonces J = f (I) es un intervalo.
Demostración
Considere y1 ; y2 2 J con y1 < y2 : Se tiene y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ) con x1 ; x2 2 I: Por el
teorema de valores intermedios, cada y 2 [y1 ; y2 ] es la imagen de algún elemento c entre x1 y
x2 , por tanto es imagen de algún c 2 I: Esto demuestra que [y1 ; y2 ] J y consecuentemente
J es un intervalo.
Ejemplo 4.9 Si f : R ! Z es continua, entonces f es constante. En efecto, J = f (R) es
un intervalo contenido en Z, pero los únicos intervalos contenidos en Z son los de la forma
[n; n] = fng :
El teorema anterior nos permite demostrar que la función exponencial
f : R ! ]0; 1[ ;
f (x) = ax
es biyectiva (para a > 0, a 6= 1). En efecto, por ser f contimnua, f (R) es un intervalo. En el
caso a > 1 se tiene además que f es creciente y satisface los límites (3.4), consecuentemente
f (R) = ]0; 1[ : Como la sobreyectividad era lo único que faltaba para concluir que f es
biyectiva, obtenemos el siguiente resultado, que anticipamos y usamos en la sección 3.8. El
caso 0 < a < 1 se obtiene similarmente.
Teorema 23 Dado a positivo y distinto de 1; la función exponencial de base a es biyectiva
y por lo tanto invertible.
Completitud
4.1.1
S. Cambronero
104
Ejercicios
1. Demuestre que existe c 2
2;
tal que
sen c
c
= 12 : Determine si c >
3
4
:
2. Demuestre que la recta de ecuación y = x corta a la grá…ca de y = sen 2x en el intervalo
4; 3 :
3. Demuestre que la ecuación tan x = x tiene un número in…nito de soluciones en R.
4. Demuestre la existencia de raíces usando el teorema de los valores intermedios. Más
precisamente, dado y > 0; demuestre que existe x > 0 tal que xn = y:
5. Demuestre que la ecuación x3 3x+1 = 0 tiene tres raíces, una en el intervalo 2; 32 ;
otra en 0; 12 y otra en 32 ; 2 : Aproxime una de estas raíces con dos dígitos de exactitud.
6. Considere un polinomio p(x) = an xn +
+ a1 x + a0 ; donde n es impar y an es positivo.
(a) Demuestre que lim p(x) = 1; lim p(x) =
x!1
x! 1
1:
(b) Demuestre que existe c 2 R tal que p(c) = 0:
7. Considere f (x) = ax5 + b cos x +
x
;
x2 +1
donde a > 0:
(a) Demuestre que lim f (x) = 1; lim f (x) =
x!1
x! 1
1:
(b) Concluya que existe c 2 R tal que f (c) = 0:
8. Demuestre que la ecuación
Determine si es única.
p
3
x+1 = 2
x2 tiene una solución en el intervalo [0; 1] :
9. Sea f continua en [a; b] tal que f (x) 6= 0 para cada x 2 [a; b] : Demuestre que f mantiene
el signo en [a; b] :
10. Demuestre que si f : ]0; 1[ ! R es creciente y f (n) ! l; entonces lim f (x) = l:
x!1
11. Demuestre que si f : [a; b) ! R es relativamente continua con respecto a [a; b) ; entonces
es continua en el sentido usual, es decir, f es continua en cada punto x 2 ]a; b[ y continua
por la derecha en a: Demuestre también el recíproco.
12. Demuestre que si f : R ! R es continua y satisface
lim f (x) = a; lim f (x) = b;
x! 1
x!1
entonces todo número real entre a y b tiene preimagen bajo f:
13. Considere f; g continuas en [a; b] y sea E = fx 2 [a; b] : f (x) = g (x)g : Demuestre que
si (xn ) es una sucesión en E tal que xn ! x; entonces x 2 E:
Completitud
4.2
S. Cambronero
105
Extremos de funciones continuas
Recordemos que una función f es acotada en un conjunto A si el conjunto
f (A) = ff (x) : x 2 Ag
es acotado. En tal caso tendremos la existencia de = inf A; = sup A: Si existe x 2 A tal
que f (x) = ; diremos que f alcanza su máximo en A: Similarmente, si existe x 2 A tal que
f (x) = ; diremos que f alcanza su mínimo. El teorema siguiente garantiza que eso ocurre
para funciones continuas en intervalos cerrados acotados.
Teorema 24 Sea f : [a; b] ! R continua. Entonces
(a) f es acotada en [a; b]
(b) f alcanza su máximo y su mínimo.
Demostración
(a) Suponga que f no es acotada superiormente. Entonces para cada n 2 N existe xn 2 [a; b]
tal que f (xn ) n: Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, (xn ) tiene una subsucesión
convergente, digamos xnk ! x: Como xn 2 [a; b] para cada n; se sigue que x 2 [a; b] :
Luego f (x) = lim f (xnk ) = 1; lo cual es contradictorio. Consecuentemente f es
acotada superiormente.
(b) De…na
= sup ff (x) : x 2 [a; b]g :
1
Dado n 1; existe xn 2 [a; b] tal que
f (xn ) >
y (xn ) tiene
n . Entonces f (xn ) !
una subsucesión convergente, digamos xnk ! x: Por continuidad de f se obtiene
f (x) = lim f (xnk ) = :
Aplicando lo que acabamos de demostrar a
alcanza su mínimo.
f se obtiene que f es acotada inferiormente y
Ejemplo 4.10 La función f (x) = x2 + 4x + 3 es continua en R. De acuerdo con el teorema,
esta función es acotada en el intervalo [ 3; 0]: Dado que la grá…ca de f es una parábola, para
x 2 [ 3; 0] se tiene
1 = f ( 2) f (x) f (0) = 3:
Entonces f alcanza su mínimo en x0 =
2 y su máximo en x1 = 0:
Completitud
S. Cambronero
106
Ejemplo 4.11 La función f (x) = x1 es continua en el intervalo (0; 1] ; pero no es acotada.
Esto demuestra que en el teorema es imprescindible que el intervalo sea cerrado.
x+1
: En el intervalo [0; 1] ; el teox2 + 1
rema anterior garantiza la existencia del máximo f (x1 ) f (0) = 1: Analicemos f fuera del
intervalo [0; 1] : Observe que
Ejemplo 4.12 Considere la función dada por f (x) =
x > 1 ) x2 + 1 > x + 1 )
x+1
<1
x2 + 1
mientras
x+1
< 1:
x2 + 1
x < 0 ) x + 1 < 1 < x2 + 1 )
Consecuentemente
max f (x) = f (x1 ) :
x2R
y
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-5
-4
-3
-2
-1
1
-0.2
2
3
4
5
x
x3 + cos (2 ex )
: Dado que f tiene
x4 + 1
límite cero en 1; existe b > 0 tal que jf (x)j < 1 para jxj > b: En el intervalo cerrado
[ b; b] ; el teorema anterior garantiza la existencia de un máximo f (x1 ) f (0) = 1: Como
f (x) < 1 para x 2
= [ b; b] se tiene
Ejemplo 4.13 Considere la función dada por f (x) =
max f (x) = f (x1 ) :
x2R
y
-5
-4
-3
-2
1
-1
1
-1
2
3
4
5
x
Completitud
4.2.1
S. Cambronero
107
Ejercicios
1. Sea f continua en [a; b] tal que f (x) > 0 para cada x 2 [a; b] : Demuestre que existe
> 0 tal que f (x)
para cada x 2 [a; b] :
2. Estudie la continuidad de la función
3x
f (x) =
x
si
1 x<1
1 si 1 x 3
en el intervalo [ 1; 1]: ¿Alcanza f un máximo o un mínimo en dicho intervalo?
3. Halle el máximo y el mínimo de la función f (x) = x2 4x + 2 en el intervalo [0; 3]:
Halle además los puntos en los cuales se alcanzan dichos extremos. Haga una grá…ca e
indique los extremos hallados.
4. Repita el ejercicio anterior con cada una de las funciones siguientes, en el intervalo
indicado:
(a) f (x) = cos x; en [
(b) f (x) = 1
3;
]:
x3 en [ 2; 0]:
(c) f (x) = cos x + sen x en [0; 2 ]:
5. Demuestre que si f es continua en [a; b]; entonces f ([a; b]) = [f (x1 ) ; f (x0 )] ; para
algunos x0 ,x1 en [a; b] :
6. Demuestre el paso 2 del teorema 24 de la siguiente manera: Si f no alcanzara el valor
m; entonces la función de…nida por
g(x) =
1
m f (x)
sería continua y no acotada en [a; b] :
x + cos x
es acotada en R y alcanza su máximo en
x2 + 1
algún punto x1 : Demuestre además que 0 < x1 < 1:
7. Demuestre que la función f (x) =
8. Si f : R ! R es continua y lim jf (x)j = 0; demuestre que f es acotada y alcanza al
x! 1
menos uno de sus extremos. En los siguientes casos, indique si f alcanza su máximo,
su mínimo o ambos
f (x) =
x + ln x2 + 1
;
x2 + 1
f (x) =
1
;
2
x +1
f (x) =
x2
:
x4 + 1
Completitud
4.3
S. Cambronero
108
Continuidad uniforme
Hemos de…nido la continuidad de una función en un intervalo, como la continuidad en cada
punto. Esto incluye el caso de intervalos cerrados, o más generalmente la continuidad relativa
a conjuntos arbitrarios, como en la de…nición 4.1.2. Para la continuidad en un punto a 2 A;
interesa únicamente el comportamiento de f cerca de a: Es decir el concepto de continuidad
es local. Dado " > 0; la continuidad de f en a signi…ca la existencia de > 0 tal que
jx
Claramente la escogencia de
hay in…nitos valores de (si
un = (a; ") :
aj <
) jf (x)
(4.1)
está afectada tanto por " como por el punto a: Aunque siempre
0 funciona, cualquier < 0 funciona), uno espera poder escoger
Ejemplo 4.14 La función dada por f (x) =
" > 0, un posible es
1
x
es continua en I = ]0; 1[ : Dado a 2 I y
= (a; ") = min
Otros valores de
a es inevitable.
f (a)j < ":
a a2 "
;
2 2
:
son posibles, pero siempre se debe tener
En caso que se pueda escoger un
continuidad uniforme.
< a; así que la dependencia de
que sea independiente de a; se obtiene el concepto de
De…nición 4.3.1 Sea f de…nida en un conjunto A 2 R. Diremos que f es uniformemente
continua en A; si para todo " > 0 existe > 0 tal que
(8x; y 2 A) (jx
yj <
) jf (x)
f (y)j < ") :
Claramente este concepto es más fuerte que el de continuidad. Es decir, continuidad uniforme
en A implica continuidad en cada punto de A:
Ejemplo 4.15 La función f : R ! R, f (x) = 3x + 1; es uniformemente continua en R. En
efecto
"
jf (x) f (a)j = 3 jx aj < "; siempre que jx aj < :
3
Se puede escoger = 3" ; independientemente de a:
Ejemplo 4.16 La función de…nida por f (x) = x2 ; es uniformemente continua en A =
[ 3; 5]: Para deducir esto observe que
jf (x)
Dado " > 0; se puede tomar
=
"
10 :
f (a)j =
=
x2 a2
jx + aj jx aj
(jxj + jaj) jx aj
10 jx aj :
Completitud
S. Cambronero
109
Nótese que la no continuidad uniforme de f en A signi…ca que existe " > 0 tal que, para todo
> 0; existen x; y 2 A con
jx
yj <
y jf (x)
f (y)j
":
Ejemplo 4.17 La función f : (0; 1] ! R, de…nida por f (x) = sen x1 no es uniformemente
continua. En efecto, tomemos " = 1: Dado > 0, existe n 2 N tal que n > 2 1 . Entonces
1
1
a = +2n
satisfacen ja xj < y
y x = +(2n+1)
2
2
jf (a)
f (x)j = sen
2
+ 2n
sen
2
+ (2n + 1)
=2
":
Teorema 25 Si f es continua en [a; b] ; entonces f es uniformemente continua en [a; b] :
Demostración
Procederemos por contradicción. Supongamos que f no es uniformemente continua en [a; b] :
Entonces existe " > 0 tal que, para todo > 0 existen x; y 2 I que satisfacen
jx
yj <
y jf (x)
f (y)j
":
En particular, para cada n 2 N existen xn , yn 2 [a; b] tales que
jxn
yn j <
1
y jf (xn )
n
f (yn )j
":
Como la sucesión (xn ) es acotada, existe una subsucesión (xnk ) que converge a cierto x: Dado
que jxnk ynk j < n1k ! 0; se sigue que (ynk ) también converge a x: Pero como x 2 [a; b] ; por
la continuidad de f se tiene
f (x) = lim f (xnk ) = lim f (ynk )
lo cual es contradictorio con el hecho que jf (xnk )
f (ynk )j
":
Ejemplo 4.18 Por el teorema anterior, la función f : R ! R de…nida por f (x) = x2 ; es
uniformemente continua en cada intervalo cerrado y acotado. Sin embargo, no es uniformemente continua en R. En efecto, nótese que n + n1
n = n1 ! 0; mientras
f n+
1
n
f (n) = 2 +
Consecuentemente, para " = 2 es imposible hallar
4.3.1
1
n2
> 2:
> 0 que satisfaga (4.1).
Ejercicios
1. Si f es uniformemente continua en A y B
continua en B:
A; demuestre que f es uniformemente
2. Demuestre que la función de…nida por f (x) = x3 ; no es uniformemente continua en
[17; 1) :
Completitud
S. Cambronero
110
3. Demuestre que la función exponencial de base a > 1 es uniformemente continua en R
pero no en R+ :
4. Demuestre que la función f (x) =
x
1+x2
es uniformemente continua en R.
5. Demuestre que la composición de funciones uniformemente continuas es uniformemente
continua.
6. Sean f; g uniformemente continuas en el intervalo I: Demuestre que:
(a) f + g es uniformementte continua en I
(b) si además f y g son acotadas, entonces f g es uniformementte continua en I
7. Una función f : R ! R es periódica si existe p > 0 tal que f (x + p) = f (x) para cada
x 2 R. Demuestre que si f es periódica y continua en R, entonces es uniformemente
continua en R.
8. Suponga que f es uniformemente continua en un conjunto S acotado. Demuestre que
f es acotada en S:
9. Suponga que f es uniformemente continua en A y existe c > 0 tal que f (x)
cada x 2 A. Demuestre que g = f1 es uniformemente continua en A:
c para
10. Demuestre que son equivalentes:
(a) f es uniformemente continua en A
(b) Para cada par de sucesiones (xn ) y (yn ) en A; si xn
f (yn ) ! 0:
yn ! 0 entonces f (xn )
11. Si f es uniformemente continua en A y (xn ) es una sucesión de Cauchy en A; demuestre
que (f (xn )) es de Cauchy. Note que aunque (xn ) converge, su límite podría no estar
en A:
12. Considere f : (0; 1] ! R tal que lim f (x) = 1: Demuestre que f no es uniformemente
x!0+
continua.
13. Si f : (0; 1] ! R es uniformemente continua demuestre que:
(a) Si tn 2 (0; 1] y tn ! 0; entonces (f (tn )) es de Cauchy
(b) El límite de (f (tn )) en (a) no depende de (tn )
(c) f tiene límite …nito por la derecha en el origen
(d) Se puede de…nir f (0) para que f resulte uniformemente continua en [0; 1] :
Completitud
S. Cambronero
111
14. Se dice que una función f : A ! R es de Lipschitz (satisface una condición de Lipschitz)
si existe > 0 tal que
jf (x)
f (y)j
jx
yj para x; y 2 A:
Demuestre que toda función de Lipschitz es uniformemente continua.
15. Demuestre que toda función ' : ]a; b[ ! R que sea uniformemente continua, tiene una
extensión continua (y por lo tanto uniformemente continua) a todo [a; b].
16. Demuestre que toda función f : Q ! R que sea uniformemente continua, tiene una
extensión uniformemente continua a todo R.
17. Sea f : R ! R uniformemente continua en R. Demuestre que existen a; b 2 R+ tales
que
jf (x)j a jxj + b
para cada x 2 R. Use esto para deducir que las siguientes funciones no son uniformemente continuas en R
f (x) = x3 ;
g (x) = 2x ;
h (x) =
x3 + x2 + 3
:
jxj + 1
18. Considere un intervalo I cualquiera. Demuestre que si f : I ! R es monótona, acotada
y continua, entonces f es uniformemente continua en I:
4.4
Continuidad de la función inversa
En esta sección, consideramos funciones de…nidas en un intervalo cualquiera I. Es común
establecer los resultados en primer lugar para intervalos cerrados acotados, para luego extenderlos al caso general. Para ello, es útil el siguiente resutado, cuya demostración se deja
como ejercicio.
Lema 4.4.1 Todo intervalo es la unión contable y creciente de intervalos cerrados acotados.
Más precisamente, dado un intervalo ISexisten sucesiones (an ) y (bn ) ; la primera decreciente
y la segunda creciente, tales que I =
[an ; bn ] :
n2N
Por ejemplo
(a; 1) =
1
[
n=2
1
a + ;a + n ;
n
Los demás casos se tratan de manera similar.
( 1; b] =
1
[
[b
n; b] :
n=1
Lema 4.4.2 Sea f : [a; b] ! R continua en inyectiva. Entonces f es estrictamente monótona.
Completitud
S. Cambronero
112
Demostración
Si f (a) < f (b) ; demostramos que f es estrictamente creciente. Sean x0 ; x1 2 [a; b] tales
que x0 < x1 : Nótese en primer lugar que si f (x0 ) > f (b) ; el teorema de valores intermedios
implicaría la existencia de c 2 (a; x0 ) tal que f (c) = f (b) ; lo que contradice la inyectividad.
Esto demuestra que f (x0 ) < f (b) : Similarmente, el supuesto f (x1 ) < f (x0 ) lleva a una
contradicción. Consecuentemente f (x0 ) < f (x1 ) :
Si f (a) > f (b) se aplica lo anterior a
f y se obtiene que f es estrictamente decreciente.
Este resultado es válido en cualquier intervalo I:
Teorema 26 Considere un intervalo cualquiera I: Si f : I ! R es continua e inyectiva,
entonces es estrictamente monótona.
Demostración
Sean (an ) y (bn ) las sucesiones del lema 4.4.1. Si f (a1 ) < f (b1 ) ; por el lema anterior se sigue
que f es estrictamente creciente en [a1 ; b1 ] : Dado que [a1 ; b1 ] [an ; bn ] y por el lema anterior,
f es estrictamente creciente en cada [an ; bn ] : Considere x; y 2 I tales que x < y: Como I es
la unión de los [an ; bn ] ; existe n tal que x; y 2 [an ; bn ] : Luego f (x) < f (y), demostrando así
que f es estrictamente creciente en I:
Teorema 27 Sea f continua e inyectiva en un intervalo I. Entonces f : I ! f (I) es
invertible y su inversa es continua
Demostración
La función f : I ! f (I) es claramente biyectiva y por lo tanto invertible. Falta demostrar
que f 1 es continua. Vamos a hacer el caso estrictamente creciente. El caso estrictamente
decreciente se obtiene aplicando lo aquí demostrado a f:
Considere y0 2 J y sea x0 = f 1 (y0 ) : Dado " > 0 tenemos x0
estrictamente creciente, se tiene
f (x0
" < x0 < x0 + ". Como f es
") < y0 < f (x0 + ") :
De…na
= min (y0
Como f
1
f (x0
") ; f (x0 + ")
y0 ) :
es también estrictamente creciente se obtiene
jy
y0 j
<
) f (x0
) x0
) jx
"<f
") < y < f (x0 + ")
1
(y) < x0 + ":
x0 j < ":
Finalmente se deduce el siguiente resultado, que habíamos anticipado y usado en la sección
3.8.
Corolario 4.4.1 Las funciones logarítmicas son continuas.
Completitud
4.4.1
S. Cambronero
113
Ejercicios
1. Explique por qué la función seno es estrictamente creciente en
S:
2; 2
! [ 1; 1] ;
2; 2
: Concluya que
S (x) = sen x
es biyectiva y su inversa es continua. La inversa de esta función se denota
2; 2
arcsen : [ 1; 1] !
:
Trace la grá…ca de la función arcsen :
2. Usando el hecho que cos
x = sen x; concluya que la función
2
C : [0; ] ! [0; 1] ;
C (x) = cos x
es estrictamente decreciente y biyectiva. Además su inversa arccos : [0; 1] ! [0; ]
satisface
arccos y =
arcsen y:
2
Trace la grá…ca de la función arccos :
3. Usando las funciones arcsen y arccos; halle todas las soluciones x 2 R de las ecuaciones
sen x = ;
con
cos x =
2 [ 1; 1].
4. Demuestre que la función tangente de…nida por
T :
2; 2
! R;
T (x) = tan x
es estrictamente creciente y además satisface
lim
x!
2
+
tan x =
1;
lim tan x = 1:
x! 2
Concluya que el rango de esta función es todo R y que por tanto tiene inversa continua.
La denotaremos
arctan : R !
2; 2 :
5. En el ejercicio anterior, determine el valor de los límites:
lim arctan x;
x!1
lim arctan x:
x! 1
6. Considerando la función tangente de dominio R
tan x = y;
2
+ n : n 2 Z ; resuelva la ecuación
donde y 2 R:
Completitud
S. Cambronero
114
7. Demuestre que la función
arccot : R ! ]0; [ ;
arccot x =
arctan x
2
es la inversa de la función
g : ]0; [ ! R;
g (x) = cot x:
Calcule
lim arccot x;
x! 1
lim arccot x:
x!1
8. Demuestre que la función
arcsec : R
] 1; 1[ ! [0; ]
2
;
arcsec x = arccos
1
x
es la inversa de la función
: [0; ]
!R
2
] 1; 1[ ;
(x) = sec x:
Calcule
lim arcsec x;
x! 1
lim arcsec x:
x!1
9. Demuestre que la función
arccsc : R
2; 2
] 1; 1[ !
f0g ;
arccsc x = arcsin
1
x
es la inversa de la función
:
2; 2
f0g ! R
] 1; 1[ ;
(x) = csc x:
Calcule
lim arccsc x;
x! 1
lim arccsc x:
x!1
10. Considere las funciones hiperbólicas de…nidas por
cosh t =
et + e
2
t
;
sinh x =
et
e
2
t
;
t 2 R:
Demuestre que cosh es una función par mientras sinh es impar. Además, para todo
t 2 R se tiene
cosh2 t sinh2 t = 1:
Es decir, el punto de coordenadas (cosh t; sinh t) está sobre la hipérbola de ecuación
x2 y 2 :
Completitud
S. Cambronero
115
11. Demuestre que la función sinh es estrictamente creciente y satisface
lim sinh t =
t! 1
1;
lim sinh t = 1:
t!1
Concluya que sinh es invertible y calcule explícitamente su inversa en términos del
logaritmo natural.
12. Demuestre que el ámbito de la función cosh es [1; 1) : Además, cada y > 1 tiene
exactamente dos raíces, una positiva y otra negativa. Hállelas explícitamente.
13. Demuestre que la función
f : [0; 1) ! [1; 1) ;
f (x) = cosh x
es invertible, encontrando explícitamente su inversa. Concluya que cosh es estrictamente
creciente en [0; 1) y estrictamente decreciente en ( 1; 0] :
14. Demuestre que la función
tanh : R ! R;
tanh x =
sinh x
cosh x
es impar, estrictamente creciente y satisface
lim tanh x =
t! 1
1;
lim tanh x = 1:
t!1
Calcule su inversa en forma explícita y observe que es continua. Observe además que
lim arctanh x =
t! 1+
1;
lim arctanh x = 1:
t!1
Gra…que las funciones tanh y arctanh usando esta información.
1
15. Demuestre que la función coth = tanh
: R ! R [ 1; 1] es estrictamente decreciente
en ] 1; 0[ y en ]0; 1[ ; pero no en R . Además satisface
lim coth x =
x! 1
1;
lim coth x =
x!0
1;
lim coth x = 1;
x!0+
lim coth x = 1:
x!1
Concluya que coth es biyectiva y su inversa es continua. Calcule explícitamente la
inversa. En la grá…ca siguiente, identi…que cuál color corresponde a coth y cuál a su
inversa.
Completitud
S. Cambronero
116
y
4
2
-4
-2
2
4
x
-2
-4
16. Haga un análisis similar al ejercicio anterior para las funciones sech =
1
cosh
y csch =
1
sinh :
Capítulo 5
Cálculo Diferencial
El cálculo diferencial tiene su nacimiento en el siglo XVII, con los trabajos de Newton1 y
Leibniz2 . Entre los años 1665 y 1666, Newton desarrolló sus principales ideas en torno al
Teorema del binomio, el cálculo diferencial e integral, la ley de gravitación universal y las
leyes de la composición de la luz. Después de estos años, fue divulgando estos descubrimientos
mediante correspondencia personal y en pequeños tratados que no serían publicados hasta
1
Isaac Newton (1643-1727) fue profesor de matemáticas en Cambridge y luego jefe de la casa de la moneda
en Londres. Sus principales ideas, sobre la gravitación universal, la teoría de los colores, la serie del binomio
y el cálculo de ‡uxiones, fueron desarrolladas entre los años 1664 y 1666.
Newton no publicaba sus resultados para evitar las críticas de sus contemporáneos.
En Octubre de 1666, escribió un tratado sobre ‡uxiones y en 1669, un tratado sobre series in…nitas que
circuló en forma de manuscrito y fue publicado en 1711. Su obra más famosa, donde expone su teoría de la
gravitación universal, fue publicada en 1687.
Del trabajo matemático de Newton, se distinguen temas centrales como desarrollos en series de potencias,
en especial el desarrollo del binomio, algoritmos para hallar raíces de ecuaciones y para la inversión de series,
la relación inversa entre diferenciación e integración y el concepto de ‡uentes y ‡uxiones como variables que
cambian en el tiempo. Newton estuvo muy interesado también en óptica, dinámica, alquimia, cronología de
la historia y en la interpretación de las sagradas escrituras.
2
De joven, Gotfried Wilhem Leibniz (1646-1716) estudió …losofía, derecho y lenguas clásicas. Su principal
interés estuvo centrado en desarrollar una especie de lenguaje simbólico para representar los conceptos fundamentales del pensamiento humano y las maneras de combinar estos símbolos para llegar a conceptos más
elaborados. Poco después de acabar sus estudios, empezó una misión diplomática en Paris. Allí conoció, entre
otros …lósofos y miembros de la alta sociedad, al holandés C. Huygens, quien le planteó que hallara la suma de
los inversos de los números triangulares. Leibniz fue capaz de hallar la suma de esta serie, y entonces creció
su interés en estudiar matemáticas. La entrada matemática de Leibniz fue impresionante, ya que le llevó al
descubrimiento del cálculo en 1675 y su elaboración y publicación en dos cortos artículos en 1684 y 1686, el
primero sobre cálculo diferencial y el segundo sobre cálculo integral.
El trabajo de Leibniz se conoce principalmente por los numerosos artículos que publicó y por sus cartas
personales y manuscritos. Uno de los ingredientes fundamentales del cálculo de Leibniz son las reglas para
la manipulación de los símbolos de la integral y la diferencial. Esto re‡eja sus ideas …losó…cas de buscar un
lenguaje simbólico universal.
Aparte de sus aportes fundamentales al cálculo y la solución de problemas geométricos y de ecuaciones
diferenciales, y resolución de ecuaciones y determinantes, Leibnitz contribuyó en prácticamente todos los
campos del conocimiento humano: religión, política, historia, física, mecánica, tecnología, lógica, geología,
linguística e historia natural.
117
Completitud
S. Cambronero
118
tiempo después, incluso después de su muerte.
Por su parte Leibniz, desarrolló sus ideas sobre el cálculo entre los años 1773 y 1776, y
los publicó entre 1684 y 1686, antes que Newton. Cada uno de ellos desarrolló sus ideas
independientemente, aunque por varios años se dió una polémica sobre cual lo había hecho
primero.
5.1
Conceptos básicos
Consideremos una función f de…nida en un intervalo abierto I, con a 2 I: Para h 6= 0; la
recta secante (color verde en el dibujo) que pasa por los puntos (a; f (a)) y (a + h; f (a + h))
tiene pendiente
f (a + h) f (a)
:
h
Cuando h tiende a 0; esta pendiente debería tender a la pendiente de la recta tangente (color
rojo en el dibujo) a la grá…ca de f en el punto (a; f (a)) :
Esto nos sugiere pensar en la existencia del límite
lim
h!0
f (a + h)
h
f (a)
:
Cuando este límite existe, le llamaremos derivada de f en el punto a y denotaremos
f 0 (a) = lim
h!0
f (a + h)
h
f (a)
:
(5.1)
La noción geométrica de recta tangente se puede precisar entonces mediante el concepto de
derivada. Es decir, podemos de…nir la recta tangente a la grá…ca de f en el punto (a; f (a)) ;
como la recta con pendiente f 0 (a) que pasa por ese punto. Esta es la recta de ecuación
y = f 0 (a) (x
a) + f (a):
De…nición 5.1.1 Se dice que la función f es derivable en a 2 I; si el límite en (5.1) existe.
En tal caso, a dicho límite se le llama la derivada de f en a:
Completitud
5.1.1
S. Cambronero
119
Algunos ejemplos
Ejemplo 5.1 Si f (x) = c para cada x (función constante) tenemos que
f (a + h)
h!0
h
lim
f (a)
= lim
c
c
h
h!0
=0
así que f es derivable en todo punto y f 0 (a) = 0 para cada a: La recta tangente en el punto
(a; c) es la recta y = c; que coincide con la grá…ca de f:
Ejemplo 5.2 En general, si f (x) = mx + b; tenemos que f es derivable en todo punto y
f (a + h)
h!0
h
f 0 (a) = lim
f (a)
m(a + h) + b
h!0
h
= lim
(ma + b)
= m:
La recta tangente en el punto (a; f (a)) es la misma grá…ca de f; como era de esperarse.
Ejemplo 5.3 Para f (x) = x2 se tiene
f (a + h)
h!0
h
lim
f (a)
(a + h)2
h!0
h
= lim
a2
2ah + h2
= 2a:
h!0
h
= lim
Entonces f es derivable en todo a; con f 0 (a) = 2a: Por ejemplo, la recta tangente en el punto
(1; 1) tiene ecuación
y = 2 (x 1) + 1 = 2x 1:
En general, la recta tangente a esta parábola en el punto a; a2 tiene ecuación
y = 2a(x
a) + a2 = 2ax
a2 :
Ejemplo 5.4 La función de…nida por f (x) = jxj no es derivable en a = 0; pues el límite
f (0 + h)
h!0
h
lim
f (0)
jhj
h!0 h
= lim
no existe. En este caso, por la derecha del origen se observa que la recta y = x cali…ca como
tangente, similarmente por la izquierda la que cali…ca es la recta y = x: Esto se re‡eja en
el hecho que
jhj
jhj
lim
= 1;
lim
= 1:
h!0+ h
h!0
h
Completitud
S. Cambronero
120
Ejemplo 5.5 Algo similar pasa con la función de…nida por
f (x) =
x2 si x 0;
x si x < 0:
En este caso se tiene
f (0 + h)
h!0+
h
f (0)
lim
mientras
f (0 + h)
h!0
h
La función no es derivable en el origen.
lim
Ejemplo 5.6 Para f (x) =
lim
x!0+
p
f (0)
h2
=0
h!0 h
= lim
= lim
h!0
h
=
h
1:
jxj se tiene que
f (x)
f (0)
x
= 1;
lim
x!0
f (x)
f (0)
x
=
1
así que f no es derivable en el origen. En el dibujo se presenta la grá…ca de f junto con dos
rectas tangentes, una para x positivo y otra para x negativo. Se observa que conforme x se
acerca al rigen por la izquierda, la pendiente de la recta tangente tiende a 1; por la derecha
tiende a 1:
Completitud
Ejemplo 5.7 Para g(x) =
S. Cambronero
p
3
121
x tenemos
lim
g(x)
g(0)
x
x!0
= lim x
2
3
x!0
=1
así que g no es derivable en el origen. Sin embargo, esta función se comporta mejor que la
anterior en el origen, ya que no tiene un “pico” en ese punto. De hecho, la recta x = 0 es
tangente a la grá…ca de g en el origen. Una manera de formalizar esto es considerar a x
como función de y: En efecto, x = y 3 sí es deribable en y = 0; con derivada nula.
Ejemplo 5.8 La función de…nida por
f (x) =
x2 sen x1
0
si x 6= 0;
si x = 0;
presenta un comportamiento interesante. La derivada en el origen existe y es
f 0 (0) = lim x sen x1 = 0
x!0
así que la recta tangente en ese punto es la recta y = 0:
y
x
El siguiente teorema nos da una condición necesaria para la existencia de la derivada.
Teorema 28 Si f es derivable en a; entonces f es continua en a:
Completitud
S. Cambronero
122
Demostración
Basta observar que
lim [f (x)
x!a
f (a)] = lim
x!a
f (x)
x
f (a)
(x
a
a) = f 0 (a) 0 = 0:
Note sin embargo que el recíproco es falso. Por ejemplo, la función f (x) = jxj es continua en
el origen, pero no es derivable en ese punto.
Lo mismo ocurre con
f (x) =
x sen x1
0
si x 6= 0;
si x = 0:
Se invita al lector a convencerse de que, en
efecto, esta función no es derivable en el origen.
5.1.2
La función derivada
De…nición 5.1.2 Se dice que la función f es derivable en el intervalo I; si es derivable en
cada a 2 I: En tal caso, la función f 0 que asocia a x 2 I con f 0 (x); se llama la función
derivada de f: Se utiliza también la notación de Leibnitz
df
= f 0 (x):
dx
Ejemplo 5.9 De los ejemplos anteriores se tiene
dc
= 0;
dx
d (mx + b)
= m;
dx
dx2
= 2x:
dx
Nota: Haciendo el cambio a + h = x se tiene
f 0 (a) = lim
x!a
f (x)
x
f (a)
a
siempre que f sea derivable. Recíprocamente, si este límite existe entonces f es derivable.
Ejemplo 5.10 Para f (x) =
p
x tenemos
p
p
1
x
a
1
0
p = p ; a > 0:
f (a) = lim
= lim p
x!a
x!a
x a
x+ a
2 a
Es decir
dp
1
x = p ; x > 0:
dx
2 x
Completitud
S. Cambronero
123
Ejemplo 5.11 Para f (x) = xn ; n 2 N se tiene
xn
x!a x
f 0 (a) = lim
an
= lim xn
x!a
a
1
+ xn
2
+ an
a+
1
= nan
1
con lo que
d n
x = nxn 1 ; x 2 R:
dx
p
Ejemplo 5.12 Considere f (x) = n x; con n 2 N. Para a > 0; haciendo el cambio x = y n
se tiene
p
p
n
x na
y b
1
0
= lim n
= n 1
f (a) = lim
n
x!a
y!b y
x a
b
nb
p
1
n
1
= a1 n se obtiene
donde b = n a y se usó el ejemplo anterior. Dado que b
1
1
d
x n = n1 x n 1 ; x > 0:
dx
Si n es impar, la fórmula es válida también para x < 0: En particular
p
d p
3
3
x = 13 x2 ; x 6= 0:
dx
Ejemplo 5.13 Para la función de…nida por g (x) =
1
h!0 h
g 0 (x) = lim
5.1.3
1
(x + h)2 + 1
x2
1
+1
= lim
h!0
1
x2 +1
se tiene
2x
h
2
(x + h) + 1 (x2 + 1)
=
2x
(x2
+ 1)2
:
Propiedades
Comenzamos con las propiedades más sencillas.
Lema 5.1.1 Sean f y g derivables en el punto a, y sea c 2 R. Entonces:
1. (Producto por escalares) cf es derivable en a; con (cf )0 (a) = cf 0 (a) : Equivalentemente
d
d
(cf (x)) = c f (x) :
dx
dx
2. (Regla de la suma) f + g es derivable en a; con (f + g)0 (a) = f 0 (a) + g 0 (a): Es decir
d
d
d
(f (x) + g (x)) =
f (x) +
g (x)
dx
dx
dx
3. (Regla del producto) f g es derivable en a; con
(f g)0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a)
y con la notación de Leibnitz
d
d
d
(f (x) g (x)) = g (x) f (x) + f (x) g (x) :
dx
dx
dx
Completitud
S. Cambronero
124
Demostración
Para la primera propiedad observe que
(cf ) (x)
x!a
x
(cf ) (a)
f (x)
= c lim
x!a
a
x
lim
f (a)
= cf 0 (a) :
a
Para la regla de la suma tenemos
(f + g) (x)
x!a
x
lim
(f + g) (a)
f (x)
= lim
x!a
a
x
f (a) g(x)
+
a
x
g(a)
= f 0 (a) + g 0 (a) :
a
Finalmente, para la regla del producto se observa que
f (x)g(x)
x
f (a)g(a)
f (x)
=
a
x
f (a)
g(x)
g(x) + f (a)
a
x
g(a)
a
y se usa las propiedades de los límites.
Ejemplo 5.14 Para f (x) = 3x2 se tiene f 0 (a) = 3 2a = 6a: En términos de la función
derivada se tiene
d
3x2 = 6x:
dx
p
Ejemplo 5.15 Para g (x) = 3x2 + x se tiene g 0 (x) = 6x + 2p1 x : Hemos usado la regla de
la suma y el ejemplo anterior.
Ejemplo 5.16 La función h de…nida por
h (x) =
x2
x
+1
es derivable en cada x 2 R. En efecto, h (x) = xg (x) ; donde g es la del ejemplo 5.13.
Entonces
dx
d
1
1
2x2
1 x2
h0 (x) =
+x
= 2
=
:
2
2
dx
dx x + 1
x + 1 (x2 + 1)
(x2 + 1)2
Ejemplo 5.17 Usando inducción y las propiedades anteriores, se tiene que todo polinomio
es derivable. Además
d
(an xn +
dx
+ a1 x + a0 ) = nan xn
1
+
+ 2a2 x + a1 :
Ahora demostraremos la regla del cociente. Para esto es su…ciente demostrar el siguiente
lema y luego combinar con la regla del producto.
Lema 5.1.2 Si f es derivable en a; con f (a) 6= 0; entonces
1
f
0
(a) =
f 0 (a)
:
[f (a)]2
Es decir
d
dx
1
f (x)
=
1
f
es derivable en a. Además
1
d
2 dx f (x) :
[f (x)]
Completitud
S. Cambronero
Demostración
Primero recordemos que existe > 0 tal que f (x) 6= 0 en ]a
de…nida en ]a
; a + [: Además
lim
x!a
1
f (x)
1
f (a)
x
1
f
; a + [: Luego
125
está bien
f (a) f (x)
f (x)f (a) (x a)
1
(f (x) f (a))
= lim
lim
:
x!a f (x)f (a)
x!a
x a
=
a
lim
x!a
La continuidad de f en a permite obtener el resultado.
Ejemplo 5.18 Para n 2 N se tiene
d
x
dx
n
=
d
dx
1
xn
=
nxn
x2n
1
=
n 1
nx
; x 6= 0:
Esto nos permite concluir que
d
(xm ) = mxm
dx
1
; m 2 Z:
Ahora es fácil demostrar la regla del cociente para derivadas.
Lema 5.1.3 Si f y g son derivables en a; con g(a) 6= 0, entonces
f
g
0
(a) =
Para ver esto escribimos
f
también lo es. Además
g
f 0 (a)g(a) f (a)g 0 (a)
:
[g(a)]2
f
1
=f
g
g
y usamos la propiedad anterior y la regla del producto. Se dejan los detalles al lector. En
notación de Leibnitz se tiene
d
dx
f (x)
g (x)
=
1
d
2 g (x) dx f (x)
[g (x)]
f (x)
d
g (x) :
dx
Ejemplo 5.19 Aplicando la regla del cociente se tiene
d
dx
1 x2
x2 + x + 1
=
=
=
1
x2
0
x2 + x + 1
1
x2
x2 + x + 1
(x2 + x + 1)2
2x x2 + x + 1
1 x2 (2x + 1)
(x2 + x + 1)2
x2 + 4x + 1
:
(x2 + x + 1)2
0
Completitud
S. Cambronero
126
Denotando y = f (x) ; podemos interpretar la función f como la relación entre la variables x
(independiente) y la variable y (dependiente). Se puede denotar entonces
dy
d
=
f (x) = f 0 (x) :
dx
dx
Esta notación es bastante sugestiva, puesto que la derivada es un límite de cocientes de
incrementos. En efecto, si a la variable x se le aplica un incremento de magnitud h = x;
entonces el incremento respectivo en la variable y es
y = f (x + h)
f (x) = f (x +
x)
f (x) :
Luego la derivada de f en el punto x es
lim
x!0
f (x + h)
y
= lim
h!0
x
h
f (x)
= f 0 (x) =
dy
:
dx
Las propiedades de la derivada se pueden ahora enunciar de la siguiente manera
d (cy)
dx
d 1
dx y
5.1.4
= c
=
dy
d (y + z)
dy
dz
d (yz)
dy
dz
;
=
+
;
=z
+y ;
dx
dx
dx dx
dx
dx
dx
1 dy
d y
1
dy
dz
;
= 2 z
y
:
y 2 dx
dx z
z
dx
dx
Derivadas de logaritmo y exponencial
Para derivar la función logaritmo natural, es importante recordar que
lim
x!1
1+
1
x
x
= lim
x! 1
1+
1
x
x
= e:
Tomemos f (x) = ln x y calculemos f 0 (1) : Se tiene
ln (1 + h)
h!0
h
f 0 (1) = lim
ln 1
1
= lim ln (1 + h) h :
h!0
Para el límite por la derecha, usando la continuidad del logaritmo y haciendo el cambio t =
se tiene
!
1
1 t
lim ln (1 + h) h = ln lim 1 +
= ln e = 1:
t!1
h!0+
t
1
h
Similarmente se procede con el límite por la izquierda, así que f 0 (1) = 1: Para a > 0
cualquiera se tiene
ln x
x!a
x
f 0 (a) = lim
ln a
=
a
ln xa
1
lim
a x!a x
1
a
=
1
lim
a t!1
ln t
=
t 1
1
a
dado que el último límite representa la derivada en t = 1: Hemos demostrado entonces que
d
1
ln x = ; x > 0:
dx
x
Completitud
S. Cambronero
127
Por otro lado, para calcular la derivada de la exponencial podemos utilizar lo anterior.
Veamos:
d x
ex+h ex
eh 1
t 1
e = lim
= ex lim
= ex lim
= ex :
t!0 ln t
h!0
h!0
dx
h
h
Hemos hecho el cambio t = ex ; y el último límite es el recíproco de la derivada del logaritmo
en a = 1: Tenemos entonces
d x
e = ex ; x 2 R:
dx
Ejemplo 5.20 Para derivar la función dada por f (x) = e2x ; la podemos escribir como
producto f (x) = ex ex : Se tiene
f 0 (x) = (ex )0 ex + ex (ex )0 = ex ex + ex ex = 2e2x :
Ejemplo 5.21 Para derivar la función logarítmica de base a; se puede utilizar la fórmula de
cambio de base. En efecto,
ln x
loga x =
;
ln a
así que
ln x 0
1
0
(loga x) =
=
:
ln a
x ln a
Ejemplo 5.22 Derivemos la función exponencial de base a > 0; f (x) = ax :
ax+h ax
ah 1
= ax lim
h!0
h!0
h
h
h
ln
a
et 1
e
1
= ax ln a lim
= ax lim
t!0
h!0
h
t
x
= a ln a:
f 0 (x) =
lim
Se hizo el cambio t = h ln a y el último límite es la derivada de la exponencial en x = 0:
Los ejemplo. anteriores se resumen en el siguiente lema:
Lema 5.1.4 Para a > 0 y a 6= 1 se tiene
d
1
loga x =
; x > 0;
dx
x ln a
5.1.5
d x
a = ax ln a; x 2 R:
dx
Derivadas de trigonométricas
Los siguientes ejemplos tienen que ver con funciones trigonométricas
Completitud
S. Cambronero
128
Ejemplo 5.23 Para f (x) = sen x se tiene
lim
h!0
sen (x + h)
h
sen x
sen x cos h + cos x sen h sen x
h!0
h
cos h 1
sen h
= sen x lim
+ cos x lim
h!0
h!0 h
h
= cos x:
=
lim
Esto demuestra que la función seno es derivable y
d
sen x = cos x; x 2 R:
dx
Ejemplo 5.24 Similarmente se obtiene (ejercicio)
d
cos x =
dx
sen x; x 2 R:
Ejemplo 5.25 Para f (x) = tan x se tiene, por la regla del cociente
f 0 (x) =
sen x
cos x
0
=
cos2 x + sen2 x
= sec2 x:
cos2 x
Ejemplo 5.26 Similarmente se obtiene (ejercicio)
d
sec x = sec x tan x;
dx
d
cot x =
dx
csc2 x;
d
csc x =
dx
csc x cot x:
Ejemplo 5.27 Para derivar la función f (x) = cos2 x podemos usar la regla del producto
d
d
cos2 x =
(cos x cos x) =
dx
dx
2 cos x sen x =
sen (2x) :
Ejemplo 5.28 Para derivar la función f (x) = cos (2x) ; podemos usar la identidad cos (2x) =
2 cos2 x 1: Por el ejemplo anterior
d
d
cos (2x) =
2 cos2 x
dx
dx
5.1.6
1 =
2 sen (2x) :
Regla de la cadena
Ejemplos como los dos anteriores pueden resolverse más fácilmente con la técnica que desarrollaremos en esta sección. En ambos casos se debe derivar una composición de funciones.
En general suponga que f es derivable en a y g es derivable en b = f (a): Nos preguntamos
si existe la derivada de g f en el punto a y si es posible calcularla en términos de f 0 (a) y
g 0 (b): La idea es escribir
(g f ) (x)
x
g (f (x))
(g f ) (a)
=
a
f (x)
g (f (a)) f (x)
f (a)
x
f (a)
;
a
Completitud
S. Cambronero
129
donde sin embargo debemos asumir que f (x) 6= f (a) para x 6= a: Cuando x ! a se tiene
f (x) ! f (a): Entonces el primer cociente tiende a g 0 (f (a)) : El segundo cociente tiende a
f 0 (a); así que
(g f )0 (a) = lim
x!a
g (f (x))
f (x)
g(f (a)) f (x)
f (a)
x
f (a)
= g 0 (f (a)) f 0 (a):
a
El problema en el argumento anterior radica en que estamos asumiendo que f (x) 6= f (a) para
x 6= a; lo cual no siempre es cierto. Para dar rigurosidad al argumento, observamos que la
función
8
>
< g (y) g (b)
si y 6= b
y b
'(y) =
>
:
g 0 (b)
si y = b
es continua en b: En efecto
lim ' (y) = lim
y!b
y!b
g (y)
y
g (b)
= g 0 (b) = ' (b) :
b
Ahora podemos establecer la regla de la cadena.
Teorema 29 Suponga que f es derivable en a y g es derivable en b = f (a): Entonces g
es derivable en a y se tiene
f
(g f )0 (a) = g 0 (f (a)) f 0 (a):
Demostración
Primero observe que
(g f ) (x)
x
(g f ) (a)
f (x)
= '(f (x))
a
x
f (a)
;
a
donde ' es la función recién de…nida. En efecto, cuando f (x) = f (a) ambos lados se anulan.
Como f es continua en a y ' es continua en b tenemos
(g f ) (a)
= ' (b) f 0 (a) = g 0 (f (a)) f 0 (a):
a
p
Ejemplo 5.29 Para f (x) = 2 + x2 ; g(x) = x tenemos f (1) = 3; f 0 (1) = 2; g 0 (3) =
Entonces para
p
h(x) = (g f ) (x) = 2 + x2
lim
x!a
se tiene
(g f ) (x)
x
1
1
h0 (1) = g 0 (3) f 0 (1) = p 2 = p :
2 3
3
En general
1
x
h0 (x) = g 0 (f (x)) f 0 (x) = p
2x = p
:
2
2 2+x
2 + x2
1
p
:
2 3
Completitud
S. Cambronero
Ejemplo 5.30 Para F (x) = cos
Entonces
p
x tenemos F = g
F 0 (x) = g 0 (f (x)) f 0 (x) =
Ejemplo 5.31 Para G(x) = x2 + 1
100
f; donde f (x) =
p
sen x
p :
2 x
p
130
x; g(x) = cos x:
tenemos
G0 (x) = 100 x2 + 1
99
2x = 200x x2 + 1
99
:
p
Ejemplo 5.32 Para derivar la función dada por f (x) = x2 1 + sen x, debemos aplicar la
regla del producto y la regla de la cadena.
p
x2 cos x
:
f 0 (x) = 2x 1 + sen x + p
2 1 + sen x
Ejemplo 5.33 Para x > 0 y
2 R se tiene
ln x
x =e
:
Aplicando la regla de la cadena se tiene
d
d
x =
e
dx
dx
Es decir
ln x
=e
ln x
d
( ln x) = x
dx
dx
= x
dx
1
;
x
= x
1
:
x > 0:
Ejemplo 5.34 Las funciones hiperbólicas se pueden ahora derivar sin mayor esfuerzo. En
efecto
d
d x
cosh x = 21
e + e x = 12 ex e x = sinh x
dx
dx
y similarmente
d
d x
sinh x = 12
e
e x = 12 ex + e x = cosh x:
dx
dx
Para la tangente hiperbólica tenemos
d
d sinh x
cosh2 x sinh2 x
1
tanh x =
=
=
= sech2 x:
2
2
dx
dx cosh x
cosh x
cosh x
Como ejercicio se pueden alcular las restantes.
Completitud
5.1.7
S. Cambronero
131
Derivada de la función inversa
Consideremos una función f derivable en a; y supongamos que f es invertible en un vecindario
de a: Es decir, supongamos que existen intervalos abiertos I; J; con a 2 I, tales que f : I ! J
es invertible. Queremos determinar si la función inversa f 1 : J ! I es derivable en b = f (a) :
Para aclarar las cosas, supongamos primero que ya sabemos que g = f 1 es derivable en b:
Considere h (x) = g (f (x)) = x: Por la regla de la cadena se tiene
g 0 (b) f 0 (a) = h0 (a) = 1:
Entonces debe tenerse f 0 (a) 6= 0 y
g 0 (b) =
1
f 0 (a)
=
1
f 0 (g (b))
:
(5.2)
Lo anterior nos dice que, para que f 1 sea derivable en b; se requiere al menos que f 0 (a) 6= 0:
Recíprocamente, si f es invertible y f 0 (a) 6= 0 se puede de…nir
(
x a
si x 6= a
f (x) f (a)
' (x) =
1
si x = a:
f 0 (a)
Dado que f 0 (a) 6= 0 y f (x) 6= f (a) para x 6= a, ' está bien de…nida. Claramente ' es
continua en a: Como g es continua en b; se sigue que ' g es continua en b; es decir
lim ' (g (y)) = ' (g (b)) :
y!b
Esto signi…ca que g es derivable en b y
g 0 (b) = lim
y!b
g (y)
y
g (b)
1
= 0
:
b
f (a)
El argumento anterior demuestra el siguiente teorema.
Teorema 30 Sea f derivable en a; con f 0 (a) 6= 0 y supongamos que f es invertible en un
vecindario de a: Entonces g = f 1 es derivable en b = f (a) y se cumple (5.2).
Corolario 5.1.1 Sean I; J intervalos abiertos. Sea f : I ! J invertible y derivable, con
f 0 (x) 6= 0 en cada x 2 I: Entonces g = f 1 es derivable en cada y 2 J, con
g 0 (y) = f 0 f
1
1
(y)
Con la notación de Leibniz, si y = f (x) se tiene
dx
=
dy
dy
dx
1
:
:
Completitud
S. Cambronero
132
Ejemplo 5.35 La derivada de la función logarítmica se puede deducir de la de la exponencial,
como sigue: Si y = ex entonces
d
ln y =
dy
1
d x
dx e
=
1
1
= :
x
e
y
Ejemplo 5.36 Recordemos que la función
arcsen : [ 1; 1] !
es la inversa de la función seno restringida a
2; 2
2; 2
: Es decir
arcsen y = x , sen x = y:
De acuerdo con el teorema anterior, arcsen es derivable en cada y 2 ] 1; 1[ y además
Como x = arcsen y 2
2; 2
d
1
arcsen y =
:
dy
cos (arcsen y)
p
p
; se tiene cos x = 1 sen2 x = 1
d
1
arcsen y = p
;
dy
1 y2
y 2 : Luego
y 2 ] 1; 1[ :
Ejemplo 5.37 Similarmente se puede analizar la función
cos : [0; ] ! [ 1; 1] ;
Sin embargo, dado que arccos x =
2
arccos y = x , cos x = y:
arcsen x; se deduce directamente que
d
1
arccos y = p
;
dy
1 y2
y 2 ] 1; 1[ :
Ejemplo 5.38 De manera similar
arctan : R !
2; 2
de…nida por arctan y = x , tan x = y; es diferenciable en cada punto y 2 R, con
1
1
d
arctan y =
=
;
dy
sec2 (arctan y)
1 + y2
y 2 R:
Grá…ca de la función arctan x:
Se invita al lector a hacer un análisis similar para las funciones arccot; arcsec y arccsc :
Completitud
5.1.8
S. Cambronero
133
Derivadas de orden superior
Dada una función f derivable en cada punto del intervalo abierto I; nos podemos preguntar
si la función derivada es derivable en un punto dado a 2 I: En tal caso de…nimos la derivada
segunda de f en a como la derivada de f 0 , y la denotamos f 00 (a): En otras palabras
f 0 (x)
x!a
x
f 00 (a) = lim
f 0 (a)
a
si tal límite existe. Si la derivada segunda existe en cada punto a 2 I; podemos hablar de la
función derivada segunda f 00 : Esto es
d
d 0
f (x) =
dx
dx
f 00 (x) =
df
dx
y se denota también
f 00 (x) =
d2 f
:
dx2
Inductivamente se de…ne la derivada f (n) de orden n: Esto es
dn+1 f
d
d
= f (n+1) (x) =
f (n) (x) =
n+1
dx
dx
dx
dn f
dxn
:
Ejemplo 5.39 Para f (x) = x3 se tiene f 0 (x) = 3x2 ; f 00 (x) = 6x; f 000 (x) = 6: Finalmente,
f (4) (x) = 0 para cada x 2 R:
Ejemplo 5.40 Para f (x) = sen x se tiene f 0 (x) = cos x; f 00 (x) =
f (4) (x) = sen x: Es decir, f (4) = f es este caso.
sen x; f 000 (x) =
cos x;
Ejemplo 5.41 Para f (x) = x jxj tenemos f 0 (x) = 2 jxj : Entonces f es derivable dos veces
en todo punto excepto el origen.
Ejemplo 5.42 La función de…nida por
f (x) =
x2 si x 2 Q;
0 si x 2 I;
es derivable en el origen, con f 0 (0) = 0: Sin embargo, en todo punto x 6= 0; f es discontinua y
por lo tanto no derivable. El dominio de la función derivada es f0g; así que no tiene sentido
siquiera preguntarse por la existencia de f 00 (0):
5.1.9
Ejercicios
1. Demuestre que la función dada por (??) es continua en el origen, pero no derivable.
2. Calcule la derivada de la función f (x) = x jxj ; en cualquier punto. Gra…que dicha
función.
Completitud
S. Cambronero
134
3. De…na y gra…que una función que sea derivable en todo punto, excepto en lo puntos de
la forma n1 : De…na y gra…que otra función que sea derivable en todo punto excepto en
el origen y en los puntos de la forma n1 :
4. Use la de…nición para calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:
f (x) = x jxj + x
f (x) =
1
x
1
f (x) = p
x
f (x) =
x2
x+1
1
x2
1
f (x) = n
x
f (x) =
5. Halle la ecuación de la recta tangente a la grá…ca de f en el punto dado.
p
(a) f (x) = cos x; en el punto 4 ; 22 :
p
(b) f (x) = 3 + x2 ; en el punto (1; 2) :
(c) f (x) = x3 + x + 1; en el punto (0; 1) :
(d) f (x) =
(e) f (x) =
(f) f (x) =
3x+1
;
x2 1
x 2=3
p
5
en el punto 2; 73 :
3x2 ; en el punto (1; 2) :
x3 + 5; en el punto ( 3; 2) :
6. La recta normal a una curva en el punto P es la recta perpendicular a la recta tangente
en ese punto. Halle la ecuación de la recta normal a cada una de las grá…cas del ejercicio
anterior, en el punto dado.
7. Halle las ecuaciones de las rectas normal y tangente a la grá…ca de y = 2x2
en el punto en que la pendiente es 2.
6x + 7;
8. Considere la recta normal a y = x2 x en el punto ( 2; 6) : Halle el punto de intersección
de esa recta con la recta de ecuación 2x + 5y = 5:
9. De las rectas tangentes a la parábola de ecuación y = x2
(a) halle la que contiene el punto (3; 5)
(b) hale la que tiene pendiente 23 :
10. Considere la función dada por f (x) = x4 16x2 128: Encuentre la ecuación de cada
una de las rectas tangentes a la grá…ca de f; que pasan por el punto (0; 112) :
11. Demuestre directamente de la de…nición que
(f (x) + c)0 = f 0 (x);
f x2
0
= 2xf 0 x2 :
Completitud
S. Cambronero
135
12. Demuestre directamente de la de…nición que
d
f (x + c) = f 0 (x + c):
dx
Más precisamente, si g(x) = f (x+c); entonces g 0 (x) = f 0 (x+c): Similarmente demuestre
que
d
f (cx) = cf 0 (cx):
dx
13. Si f es derivable y periódica de período p; demuestre que f 0 también es periódica de
período p:
14. Sea f una función derivable, de…nida en un intervalo centrado en el origen. Demuestre
que si f es par, entonces f 0 es impar. Si f es impar, demuestre que f 0 es par.
15. Considere
x3
f (x) =
x5 si x 2 Q
0
si x 2 I:
¿En qué puntos es esta función continua? ¿En qué puntos es derivable?
16. Repita el ejercicio anterior para la función
f (x) =
sen x si x 2 Q
cos x si x 2 I:
x2 ; demuestre que f es derivable en el origen.
17. Si f es una función tal que jf (x)j
18. Si f (x) = g(x) para jx aj < (para algún > 0) y una de ellas es derivable en a;
demuestre que la otra lo es. Demuestre además que f 0 (a) = g 0 (a):
19. Si f es derivable en a; demuestre que
f 0 (a) = lim
f (a + h)
f (a
h)
2h
h!0
:
20. Calcule la derivada de las siguientes funciones
y = sen x tan x
y=
p
p
x+ x
y=
tan x + sen x
cos x
1 + tan x
1 tan x
p
p
y = x + 1 + x2 :
1=
y = x5 cos (3x + 5)
21. Calcule las derivadas de las funciones
arccot x;
arcsec x;
arccsc x:
Utilice el teorema 30 para darle rigor a sus cálculos.
Completitud
S. Cambronero
136
22. Halle la derivada de orden n para
f (x) = sen x;
g (x) = xn ;
h (x) = x5 + x3 + x;
j (x) = ex :
23. Sea f : I ! R derivable, donde I es un intervalo abierto. Si xf (x) + f 2 (x)
Demuestre que
(x + 2f (x)) f 0 (x) + f (x) 0:
24. Halle los puntos sobre la grá…ca de y = x3
15x2 + 27x
25. Considere la función
f (x) = [[x]] +
p
x
0:
3; en que la pendiente es cero.
[[x]]:
Demuestre que f es continua en todo R. En qué puntos es f derivable. Explique.
26. Para la función dada por f (x) = jxj3 ; calcule f 00 (x): ¿En qué puntos existe f 000 (x)?
27. Si f (x) es un polinomio de grado n; demuestre que f (n+1) (x) es idénticamente nula.
28. Sea g derivable tal que g(0) = g 0 (0) = 0: Considere
f (x) =
g(x) sen x1
0
si x 6= 0
si x = 0:
Demuestre que f es derivable en todo punto y exprese f 0 (x) en términos de la función
g:
29. Sea f derivable en el origen, con f (0) = 0: Demuestre que existe g continua en el origen,
tal que f (x) = xg(x):
5.2
Teorema del valor medio
5.2.1
Extremos locales y globales
En el capítulo anterior vimos un teorema que asegura la existencia de extremos para una
función continua en un intervalo cerrado acotado. Especí…camente, si f es continua en [a; b];
existen x0 ; x1 2 [a; b] tales que
f (x0 )
f (x)
f (x1 ); para x 2 [a; b]:
En el lenguage que introduciremos a continuación, diremos que f alcanza su máximo absoluto
en el punto x1 ; y su mínimo absoluto en el punto x0 :
De…nición 5.2.1 Sea f : A ! R, con A R. Decimos que f alcanza su máximo absoluto
(o global) en a 2 A si para cada x 2 A se tiene f (x) f (a); f alcanza su mínimo absoluto
Completitud
S. Cambronero
en b 2 A si para cada x 2 A se tiene f (b) f (x):
Decimos que f alcanza un máximo local en a 2 A si existe
8x 2 A :
jx
aj <
) f (x)
> 0 tal que
f (a):
Decimos que f alcanza un mínimo local en b 2 A si existe
8x 2 A :
jx
aj <
) f (x)
137
> 0 tal que
f (a):
Ejemplo 5.43 La función f (x) = x2 en el intervalo [ 2; 4] alcanza su máximo absoluto en
a = 4; su mínimo absoluto en b = 0: El máximo de f en dicho intervalo es f (4) = 16; el
mínimo es f (0) = 0:
Ejemplo 5.44 La función f (x) = x2 en el intervalo [ 2; 4[ no alcanza un máximo absoluto.
Como puede notarse tenemos
sup ff (x) : x 2 [ 2; 4[g = 16
pero no existe a 2 [ 2; 4[ tal que f (a) = 16:
Ejemplo 5.45 La función de…nida por f (x) = j1 jxjj ; de…nida en todo R, alcanza un
máximo local f (0) = 1 y su mínimo absoluto en dos puntos: f (1) = f ( 1) = 0: Note que f
no alcanza un máximo absoluto.
El siguiente resultado nos permite simpli…car la búsqueda de óptimos locales.
Lema 5.2.1 Sea f de…nida en un intervalo abierto I; con a 2 I: Si f es derivable en a y
alcanza un óptimo local en a; entonces f 0 (a) = 0:
Demostración
Suponga que se trata de un máximo local. Sea > 0 tal que f (x)
Para x 2 ]a; a + [ se tiene
f (x) f (a)
0
x a
así que
f (x) f (a)
f 0 (a) = lim
0:
x!a+
x a
Similarmente
f (x) f (a)
f 0 (a) = lim
0:
x!a
x a
f (a) para x 2]a
; a+ [:
Completitud
S. Cambronero
138
Ejemplo 5.46 Considere la función de…nida por f (x) = 5x x3 : Queremos hallar el máximo
y el mínimo de f en el intervalo [ 1; 3] : De acuerdo con el lema anterior, si uno de estos
extremos se alcanza en un punto a 2 ] 1; 3[, seqdebe tener f 0q
(a) = 0. Dado que f 0 (x) =
5
3x2 ; la derivada se anula en los puntos
5
3:
5
3
2
= [ 1; 3], esto nos deja
q
p
5
10
solamente con tres candidatos para óptimos globales, f ( 1) = 4; f
15
4:
3 = 9
q
303 y f (3) = 12: Consecuentemente, f alcanza su máximo en x1 = 53 y su mínimo en
x0 = 3:
5.2.2
Como
Puntos críticos y teorema de Rolle
De…nición 5.2.2 Sea f : I ! R, c un punto interior de I: Decimos que c es punto crítico
de f si f 0 (c) = 0; o si f no es derivable en c:
Ejemplo 5.47 Para la función f (x) = x3 12x + 4 tenemos f 0 (x) = 3 x2 4 ; así que 2
y 2 son los únicos puntos críticos. De acuerdo con el lema anterior, para hallar el máximo
en el intervalo [ 3; 3] basta con evaluar en los puntos críticos y en los extremos del intervalo.
Tenemos f ( 3) = 13; f ( 2) = 20; f (2) = 12; f (3) = 5: Entonces el máximo de f en el
intervalo dado es f ( 2) = 20; el mínimo es f (2) = 12:
En general, para hallar los extremos de una función en un intervalo [a; b] basta con considerar
los extremos a y b; y cada uno de los puntos críticos.
Completitud
Ejemplo 5.48 Para la función
nunca se anula. El único punto
[ 2; 1]; f alcanza su máximopen
en ese intervalo es f ( 2) = 3 4;
S. Cambronero
139
f (x) = x2=3 tenemos f 0 (x) = 32 x 1=3 ; así que la derivada
crítico es x = 0; donde f no es derivable. En el intervalo
x = 2 y su mínimo en el punto crítico x = 0: El máximo
el mínimo es f (0) = 0:
y
x
3
Ejemplo 5.49 Para hallar los extremos de f (x) = j1 jxjj en el intervalo
2 ; 2 , evaluamos en los puntos críticos x0 = 1; x1 = 0; x2 = 1; y en los extremos a = 32 y b = 2:
3
1
Tenemos f ( 1) = f (1) = 0; f (0) = f (2) = 1; f
2 = 2 : Entonces el máximo de f es
f (0) = f (2) = 1; el mínimo es f ( 1) = f (1) = 0:
Teorema 31 (de Rolle) Sea f continua en [a; b]; derivable en ]a; b[; con f (a) = f (b): Entonces existe c 2]a; b[ tal que f 0 (c) = 0:
Demostración
Hay dos posibilidades:
Si f es constante en [a; b]; entonces f 0 (x) = 0 para todo x 2 ]a; b[ :
Si f no es constante en [a; b]; entonces al menos uno de los extremos de f se alcanza en
un punto c 2 ]a; b[. Por el lema anterior se sigue que c es un punto crítico:
Ejemplo 5.50 Considere la función f (x) = x3 4x 1: Nótese que f ( 2) = f (2) = 1:
0
Por el teorema de Rolle, existe al menos un c 2 ] 2; 2[ tal
p que f (c) = 0: En efecto, dado
2
0
2
que f (x) = 3x
4; hay dos valores de c; a saber c = 3 3:
Completitud
S. Cambronero
140
Ejemplo 5.51 Para la función f (x) = x3 + 3x2 + 2x tenemos f (0) = f ( 1) = f ( 2) = 0:
El teorema de Rolle garantiza la existencia de una raíz de f 0 (c) = 0 en el intervalo ] 2; 1[;
0
2
y otra en elpintervalo ] 1; 0[: De hecho
p note que f (x) = 3x + 6x + 2: Las raíces son
1
1
c1 = 1 + 3 3 2] 1; 0[ y c2 = 1 3 3 2] 2; 1[:
Geométricamente, el teorema de Rolle garantiza la existencia de un punto sobre la grá…ca de
f; en el que la recta tangente es horizontal. El teorema siguiente generaliza esta idea.
5.2.3
El teorema del valo medio
Teorema 32 (del valor medio) Sea f continua en [a; b] y derivable en ]a; b[: Existe c 2]a; b[
tal que
f (b) f (a)
f 0 (c) =
; es decir f (b) f (a) = f 0 (c) (b a) :
b a
Demostración
Considere la función
F (x) = f (x)
f (b)
b
f (a)
(x
a
a) + f (a)
y note que F (a) = F (b) = 0: Además F es derivable en ]a; b[ y continua en [a; b]: Por el
teorema de Rolle, existe c 2]a; b[ tal que F 0 (c) = 0: Como
F 0 (c) = f 0 (c)
f (b)
b
f (a)
a
obtenemos el resultado.
Geométricamente, el teorema garantiza la existencia de un punto en la grá…ca de f en el que
la tangente es paralela a la recta que pasa por los puntos (a; f (a)) y (b; f (b)) :
Completitud
S. Cambronero
Ejemplo 5.52 Para la función f (x) = sen x, existe c 2 0;
cos c =
sen
2
141
tal que
sen 0
2
= :
0
2
2
En efecto c = arccos 2 :
Ejemplo 5.53 Considere f (x) = cos x. Por el teorema del valor medio, dados a y b cualesquiera, existe c entre a y b tal que
cos b
cos a =
sen (c) (b
a) :
En particular
jcos b
cos aj
jb
aj :
Si a; b 2 [0; 1] se obtiene 0 < c < 1 y entonces 0 < sen c < sen 1: Luego
jcos b
cos aj
jb
aj ;
donde
= sen 1 < 1:
En particular la función coseno es contractiva en el intervalo [0; 1] : En el ejercicio 12 se
amplía más sobre este tema.
Ejemplo 5.54 Para la función exp (x) = ex se tiene
eb = 1 + ec b
donde c está entre 0 y b: En efecto, esto se obtiene del teorema del valor medio aplicado
en el intervalo [0; b] o [b; 0] según sea b positivo o negativo. Como corolario se obtiene la
desigualdad
eb 1 + b; b 2 R:
Esta desigualdad es geométricamente evidente, dado que la recta de ecuación y = x + 1 es la
tangente a la grá…ca de la exponencial en el punto (0; 1) :
Completitud
5.2.4
S. Cambronero
142
Ejercicios
1. Halle los extremos de cada función en el intervalo dado:
(a) f (x) = x2 + 5x + 7 en [ 3; 5]:
(b) f (x) = x3
(c) f (x) =
x3
4x + 6 en [ 2; 3]:
x2
8x + 1 en [ 2; 2]:
(d) f (x) = x5 + x + 1 en [ 1; 1]:
(e) f (x) = 3x4
8x3 + 6x2 en [ :5; :5]:
1
en [ :5; 1]:
+x+1
x+1
(g) f (x) = 2
en [ 1; :5]:
x +1
x
(h) f (x) = 2
en [0; 5]:
x
1
(f) f (x) =
x5
2. Si a > 0 y n 2 N, demuestre que p(x) = x2n+1 + ax + b no puede tener dos raíces reales.
3. Sea p un polinomio. Demuestre que entre dos raíces consecutivas de p0 (x) hay a lo sumo
una de p(x): Concluya que si p(x) tiene n raíces distintas, entonces p0 (x) tiene al menos
n 1 raíces distintas. Use esto para demostrar por inducción en n que un polinomio
de grado n tiene a lo sumo n raíces distintas.
4. Considere dos funciones f y g de…nidas en un intervalo abierto I: Demuestre que:
(a) si f 0 (x) = 0 para cada x 2 I; entonces f es constante en I
(b) si f 0 (x) = g 0 (x) para cada x 2 I; existe una constante c tal que
f (x) = g (x) + c;
x2I
(c) si f 0 (x) = x para cada x 2 I; entonces existe una constante c tal que
f (x) =
x2
+ c;
2
x 2 I:
Completitud
S. Cambronero
143
(d) si f 0 (x) = f (x) para cada x 2 I; existe una constante c tal que f (x) = cex para
x 2 I:
(e) Si f 0 (x) = xf (x) para cada x 2 I; existe una constante c tal que f (x) = ce
para x 2 I:
x2
2
5. Halle constantes a; b; c; d tales que la función
f (x) = ax3 + bx2 + cx + d
tenga un mínimo local f (0) = 0 y un máximo local f (2) = 2:
6. Halle constantes a; b; c tales que la función f (x) = ax2 + bx + c tenga un máximo local
f (5) = 20 y pase por el punto (2; 10) :
7. Halle los extremos locales para las siguientes funciones
8 3
x si x 2
= f 1; 0; 2; 3g
>
>
>
>
0
si
x
=
1
<
x si x 2 Q:
1 si x = 0
f (x) =
g(x) =
0 si x 2 I:
>
>
7 si x = 2
>
>
:
28 si x = 3
h(x) =
x si x = n1 :
0 si no:
8. Halle el valor de c en el teorema del valor medio, para las siguientes funciones, en el
intervalo dado:
(a) f (x) = x(x2
(b) f (x) =
x2=3 ;
x
2); en [ 1; 1]:
en [0; 1]:
x
(c) f (x) =
; en [ 1; 2]:
x 2
p
(d) x + 4 en [ 4; 0]:
(e) f (x) = sen x; en [0; ]:
9. (Teorema de Rolle generalizado) Sea f continua en [a; b] ; tal que en cada x 2 ]a; b[
existen las "derivadas laterales"
f 0 x+ = lim
h!0+
f (x + h)
h
f (x)
;
f0 x
= lim
h!0
f (x + h)
h
f (x)
:
Si f (a) = f (b) = 0; demuestre que existe c 2 ]a; b[, tal que f 0 (c )f 0 (c+ ) < 0:
10. Suponga que f es continua en [a; b]; derivable en ]a; b[; con m
x 2]a; b[: Demuestre que
m (b
Si jf 0 (x)j
a)
f (b)
f (a)
M (b
en ]a; b[ deduzca que
jf (b)
f (a)j
(b
a) :
a):
f 0 (x)
M para
Completitud
S. Cambronero
144
11. Suponga que f es continua en un intervalo J y derivable en el interior de J: Demuestre
que f satisface una condición de Lipschitz en J si y solo si f 0 es acotada (en el interior
de J).
12. Una función f : J ! R (donde J es un intervalo) se llama contractiva si es Lipschitz
de parámetro 2 ]0; 1[. Es decir, para a; b 2 J se tiene
jf (a)
f (b)j
ja
bj ;
donde 0 <
< 1:
Suponga que f es continua en J y derivable en el interior de J: Demuestre que f es
contractiva en J si y solo si existe < 1 tal que jf 0 (x)j
para cada x punto interior
de J:
13. Determine si las siguientes funciones son contractivas en el intervalo dado.
(a) f (x) = sen x en el intervalo
2; 2
1; 12
(b) f (x) =
ex
en el intervalo
(c) f (x) =
ex
en el intervalo [ 1; 1]
(d) f (x) = ex en el intervalo ] 1; 0[
(e) f (x) =
(f) f (x) =
(g) f (x) =
x
x2 +1
x
x2 +1
1
x2 +1
en todo R
en el intervalo
en todo R.
1
17 ; 1
Capítulo 6
Razones de cambio y optimización
6.1
Crecimiento y decrecimiento
Recordemos que la derivada de una función constante es idénticamente nula. El siguiente
lema demuestra el recíproco de este resultado; constituye una primera aplicación del teorema
del valor medio. En resumen, si una función tiene derivada idénticamente nula entonces es
constante.
Lema 6.1.1 Sea f continua en el intervalo I, derivable en cada punto interior de I, con
f 0 (x) = 0 en cada uno de esos puntos. Entonces f es constante en I:
Demostración
Fijemos a 2 I cualquiera. Por el teorema del valor medio, para cada x 2 I existe c entre a y
x tal que
f (x) f (a) = f 0 (c) (x a) = 0:
Entonces f (x) = f (a) para cada x 2 I:
Ejemplo 6.1 Considere una función y = f (x) de…nida en [0; 1) ; tal que y 2 y 0 = 0 para
cada x > 0: Por la regla de la cadena se tiene
y3
0
= 3y 2 y 0
0 en ]0; 1[ :
Por el lema anterior se sigue que y 3 es constante, es decir que existe c 2 R tal que y 3 = c
p
para cada x 0: Esto signi…ca f (x) = 3 c para x 0; así que f es constante.
El teorema del valor medio puede usarse también para estudiar el crecimiento de una función.
Teorema 33 Sea f continua en el intervalo I; derivable en cada punto interior de I; con
f 0 (x) 0. Entonces f es creciente en I: Si f 0 (x) > 0 en cada punto interior de I; entonces
f es estrictamente creciente en I: Similarmente, si f 0 (x) 0; entonces f es decreciente en
I; si f 0 (x) < 0 entonces f es estrictamente decreciente en I:
145
Completitud
S. Cambronero
146
Demostración
Sean x1 ; x2 2 I con x1 < x2 : Por el teorema del valor medio, existe c 2 ]x1 ; x2 [ tal que
f (x1 ) = f 0 (c) (x2
f (x2 )
Como x2
x1 es positivo, f (x2 )
x1 ) :
f (x1 ) será positivo, negativo o nulo según f 0 (c) lo sea.
Ejemplo 6.2 Para la función f (x) = x3 + 6x2 15x 4 tenemos f 0 (x) = 3x2 + 12x 15 =
3 (x 1) (x + 5) : Los puntos críticos son 1 y 5: Además f 0 (x) < 0 en ] 5; 1[; y f 0 (x) > 0
en ] 1; 5[[]1; 1[: Entonces f es creciente en ( 1; 5] y en [1; 1) ; es decreciente en
[ 5; 1] : En particular f alcanza un máximo local en x = 5 y un mínimo local en x = 1:
1
Ejemplo 6.3 Para f (x) = 5x 3
5
x 3 tenemos f 0 (x) =
5
3x
2
3
1
4
x3
para x 6= 0: Como
f 0 (0) no existe, el origen es un punto crítico. Además f 0 (x) = 0 , x = 1: Para 0 < jxj < 1
tenemos f 0 (x) > 0; así que f es creciente en [ 1; 0] y en [0; 1] ; es decreciente en los intervalos
( 1; 1] y [1; 1) : En particular f ( 1) = 4 es un mínimo local y f (1) = 4 es máximo
local. Por ser f creciente en [ 1; 0] y [0; 1] ; se deduce que es creciente en [ 1; 1] :
Ejemplo 6.4 Consideremos la función f (x) = ex (x + 1) : Dado que f 0 (x) = ex 1 > 0
para x > 0 y f 0 (x) < 0 para x < 0; se sigue que f es estrictamente creciente en [0; 1) y
estrictamente decreciente en ( 1; 0]: Entonces f alcanza su mínimo global en x = 0: En
particular
ex > x + 1; para x 6= 0:
Completitud
S. Cambronero
147
Este resultado se había deducido previamente. Ahora considere
g (x) = ex
1+x+
x2
2
:
Dado que g (0) = 0 y g 0 (x) = f (x) > 0 para cada x; se sigue que g es estrictamente creciente
en todo R. En particular g (x) > 0 para x > 0 y g (x) < 0 para x < 0: Es decir
ex > 1 + x +
x2
;
2
x > 0;
ex < 1 + x +
x2
;
2
Grá…cas de la exponencial (negro) y de y = 1 + x +
x < 0:
x2
2
(rojo).
Ejemplo 6.5 Considere la función f (x) = sen x x: Dado que f 0 (x) = cos x 1 < 0 para
x 2 ]0; 2 [ ; se sigue que f es estrictamente decreciente en [0; 2 ]. En particular:
sen x < x; para x 2 (0; 2 ] :
Esta desigualdad es evidente para x > 2 puesto que sen x
1: Como sen x es impar, se
sigue que sen x > x para x < 0: En resumen, jsen xj < jxj para todo x 6= 0:
Grá…cas de jsen xj y valor absoluto.
Grá…cas de sen y la función identidad.
Ejemplo 6.6 Para g (x) = cos x
1
g 0 (x)
x2
2
se tiene g 0 (x) = x
g 0 (x)
sen x: Por el ejemplo
anterior se tiene
> 0 para x positivo y
< 0 para x negativo. Luego, g es estrictamente decreciente en ( 1; 0] y estrictamente creciente en [0; 1). Consecuentementes
g (x) > g (0) = 0 para x 6= 0: Es decir
cos x > 1
x2
para todo x 6= 0:
2
Completitud
S. Cambronero
Grá…cas de g y de h (x) = 1
Ejemplo 6.7 Consideremos h (x) = ex
h0 (x)
1+x+
x2
2
x2
2 :
x3
6 :
0
h (x)
+
148
Se tiene h0 (x) = ex
1+x+
x2
2
Por el ejemplo 6.4, se tiene
> 0 para x > 0 y
< 0 para x < 0. Se sigue entonces que h es estrictamente decreciente en ( 1; 0] y estrictamente creciente en [0; 1): En
particular, h (0) = 0 es un mínimo global, así que
ex > 1 + x +
x2 x3
+ ; para x 6= 0:
2
6
La grá…ca de la exponencial en verde, la del polinomio en rojo.
Finalizamos esta sección, con un recíproco parcial del teorema anterior. La demostración no
es difícil, y se deja como ejercicio.
Teorema 34 Sea f creciente en el intervalo I, derivable en cada punto interior de I. Entonces f 0 (x)
0 en cada punto interior de I: Similarmente, si f es decreciente, entonces
f 0 (x) 0 en cada punto interior de I:
Sin embargo, del hecho que f sea estrictamente creciente, no se deduce que f 0 sea positiva.
Tal es el caso, por ejemplo de la función dada por f (x) = x3 : En este caso, f es estrictamente
creciente en todo R, aunque f 0 (0) = 0: Sin embargo, si f 0 (x) = 0 en todo un subintervalo de
I; entonces f será constante en ese subintervalo y no podrá ser estrictamente creciente.
:
Completitud
6.1.1
S. Cambronero
149
Ejercicios
1. Demuestre que
cos x < 1
x2 x4
+
para todo x 6= 0:
2!
4!
2. Demuestre por inducción que para n par se tiene
cos x < 1
x2 x4
+
2!
4!
: : : + ( 1)n
x2n
;
(2n)!
x2R
y que la desigualdad se invierte si n es impar. En la …gura, el color púrpura corresponde
a n = 2; el verde a n = 4 y el azul a n = 6:
3. Demuestre por inducción que para n 2 N y x > 0 se tiene
ex > 1 + x +
xn
x2
+ ::: +
.
2!
n!
Si n es impar, demuestre que la desigualdad es válida también para x < 0: Si n es par,
demuestre que se invierte para x < 0:
4. Suponga que f es tal que f 0 (x) = 2x para cada x 2 R. Demuestre que f (x) = x2 + c;
donde c es una constante. Sug. Calcule la derivada de f (x) x2 :
c
5. Suponga que f satisface la ecuación xf 0 (x) + 2f (x) = 2: Demuestre que f (x) = 1 + 2 ;
x
d
donde c es una constante. Sug. Calcule
x2 f (x) y use el ejercicio anterior.
dx
Completitud
S. Cambronero
150
6. Si una función f satisface f 00 0 en cierto intervalo abierto I; demuestre que f (x) es
un polinomio de grado 1. Generalice este resultado.
7. Sea f continua en un intervalo I; derivable en cada x 2 I
(asuma que S contiene los extremos de I; si los hay).
(a) Si f 0 (x) = 0 en cada x 2 I
(b) Si f 0 (x)
(c) Si
f 0 (x)
0 en cada x 2 I
> 0 en cada x 2 I
S; donde S
I es …nito
S; demuestre que f es constante en I:
S; demuestre que f es creciente en I:
S; demuestre que f es estrictamente creciente en I:
8. Suponga que y = f (x) es derivable dos veces en R y satisface la ecuación y 00 + y = 0
en cada punto.
(a) Si y (0) = y 0 (0) = 0; demuestre que y es idénticamente nula en R. Sug. Derive
y 2 + (y 0 )2 :
(b) Si y (0) = 0; y 0 (0) = 1; demuestre que y = sen x para cada x 2 R.
(c) En general demuestre que y = a cos x + b sen x, donde a = y (0) ; b = y 0 (0) :
6.2
Razones de cambio
La derivada se de…nió a partir de la noción intuitiva de recta tangente. Sin embargo, este
concepto responde en general a la idea de cambio instantáneo. Por ejemplo, si s(t) representa
la distancia recorrida por un objeto en tiempo t; entonces
s(b)
b
s(a)
a
es la velocidad media en la que se mueve el objeto entre los tiempos t = a y t = b: En un
intervalo de tiempo [x; x + x] ; la velocidad media es
s
s(t +
=
t
Cuando
t)
t
s(t)
:
t ! 0 se obtiene la velocidad instantánea en tiempo t; esto es
v (t) = s0 (t) = lim
t!0
s(t +
t)
t
s(t)
:
Entonces la derivada de la distancia recorrida es la velocidad instantánea del objeto. De la
misma forma, la aceleración como tasa de cambio de la velocidad, es la segunda derivada de
la distancia recorrida.
Ejemplo 6.8 La altura de un objeto t segundos después de haber sido lanzado desde 500 pies
de altura es
s(t) = 500 16t2 :
Completitud
S. Cambronero
151
La velocidadpdel objeto en el instante t es v (t) = s0 (t) = 32t: Esto es válido siempre que
0 < t < 52 5: Nótese que la velocidad es negativa, debido a que el objeto está cayendo,
es decir que la altura está decreciendo. La aceleración del objeto es a (t) = s00 (t) = 32:
Consecuentemente, el objeto cae in‡uenciado únicamente por la aceleración de la gravedad,
es decir 32 pies/seg2 :
Ejemplo 6.9 Suponga que la altura de un objeto que está cayendo es
s(t) =
1 2
2 gt
+ t + H:
Entonces s (0) = H; lo cual quiere decir que el objeto se dejó caer desde una altura H: Además
la velocidad del objeto en el instante t es v (t) = s0 (t) = gt + : Dado que s (0) = ; al
objeto se le imprimió una velocidad inicial : Si > 0; esto signi…ca que se lanzó hacia arriba
a velocidad ; si < 0 el objeto se lanzó hacia abajo. La aceleración es a (t) = g; que en
condiciones ideales debería coincidir con la aceleración de la gravedad.
Cantidades como la población de un país, el dinero en una cuenta de Banco o la masa presente
de un material radioactivo, cambian en el tiempo en forma discreta. Sin embargo, los cambios
instantáneos podrían ser tan pequeños con respecto a la cantidad total, que se pueden emplear
modelos aproximados en los que la cantidad es una función derivable.
Ejemplo 6.10 Se depositan 100 dólares en una cuenta bancaria. Si el Banco paga un interés
del 6% acumulado en forma diaria, después de n días se tendrá
Sn = 100 1 +
0:06
365
n
dólares en la cuenta. Si el tiempo se mide en años, n días coresponde a t =
cantidad en ese instante es
0:06
S (t) = Sn = 100 1 +
365
n
365 :
Entonces la
365t
100e0:06t :
Obtenemos así un modelo aproximado
S (t) = 100e0:06t
para la cantidad de dinero en la cuenta.
Cualquier cantidad c (t) que cambie en el tiempo, tendrá una tasa de cambio instantánea
c0 (t) ; siempre que esta derivada exista. Los siguientes problemas tienen que ver con dos o
más cantidades que varían en el tiempo y mantienen cierta relación que permite, entre otras
cosas, deducir la razón de cambio de una ellas en términos de la otra.
Completitud
S. Cambronero
152
Ejemplo 6.11 Dos trenes parten de un lugar común al mismo tiempo. El primero se dirige
hacia el este a 40km=h mientras que el segundo se dirige hacia el sur a 30km=h: Queremos
hallas la razón de cambio de la distancia entre ambos trenes.
Si x (t) es la distancia recorrida por el primer tren, se tiene x = 40t (donde el tiempo se mide
en horas). Si y (t) es la distancia recorrida por el segundo, se tiene y = 30t: La distancia
d (t) es entonces
p
p
d = x2 + y 2 = 402 t2 + 302 t2 = 50t:
Luego, la distancia entre los trenes crece a 50km=h:
Si los trenes pueden variar su velocidad, no es posible tener la fórmula explícita para la
distancia entre ellos. Aún así, es posible encontrar la razón de cambio de la distancia entre
ellos en cierto instante, conociendo las velocidades y distancias recorridas.
Ejemplo 6.12 Dos trenes parten de un lugar común al mismo tiempo. El primero se dirige
hacia el este mientras que el segundo se dirige hacia el sur, ambos con velocidades que varían
en el tiempo. En cierto instante, el primer tren ha recorrido 5km y se encuentra viajando a
una velocidad de 27km=h; mientras el segundo ha recorrido 12km y se encuentra viajando a
60km=h: Queremos determinar la velocidd a la que los dos trenes se están alejando en ese
instante.
Dado que d2 = x2 + y 2 ; se tiene 2d d0 = 2xx0 + 2yy 0 ; de dode
d0 =
xx0 + yy 0
:
d
En el instante en cuestión se tiene x = 5; x0 = 27; y = 12; y 0 = 60: Luego d =
13 y
5 27 + 12 60
d0 =
= 65: 77
13
Los trenes se están alejando a una velocidad de 65:77km=h:
p
52 + 122 =
Ejemplo 6.13 A un cilindro de base circular cuyo radio mide 1:5m le entra agua a razón de
12 l= min : Queremos determinar a qué ritmo crece la altura del cilindro.
El volumen v (t) de agua en el cilindo se relaciona con la altura h (t) mediante la fórmula
v (t) =
152 h (t) dm3
Luego v 0 = 225 h0 : La velocidad a la que entra el agua nos da explícitamente el ritmo de
cambio del volumen, es decir v 0 (t) = 12 dm3 = min : Luego
h0 (t) =
12
225
0:017:
La altura del agua crece a razón de 1:7 mm= min aproximadamente.
Completitud
S. Cambronero
153
Ejemplo 6.14 Un recipiente tiene forma de cono invertido de altura H y base circular de
radio R. El cono contiene cierta catidad de agua que está siendo extraída desde el vértice.
En tiempo t; el agua en el cono tiene una altura h (t) y un volument v (t) : Estas variables
están relacionadas mediante
v = 31 r2 h;
donde r es el radio de la base del cono que forma el agua. Por semejanza de triángulos se
tiene
r
R
R
h = H ; de forma que r = H h:
Luego
v=
2
R
Hh h
1
3
Al derivar se obtiene
v0 =
=
R2 3
h :
3H 2
R2 2 0
h h:
H2
Aquí hay tres variables dependientes del tiempo: la altura y las razones de cambio de la altura
y del volumen. En la práctica se podrá determinar la razón de cambio del volumen en un
instante dado, conociendo la altura y su razón de cambio en dicho instante. Si por ejemplo
R = 15cm; H = 90cm; la relación se convierte en
v0 =
36 h
2 0
h:
Si en cierto intante la altura del agua es 50cm y está bajando a razón de 2 cm= min; se tiene
v0 =
2
36 50
( 2) =
436:33
El volumen en ese instante está decreciendo a razón de 436.33 cm3 por minuto.
Ejemplo 6.15 Considere un globo esférico cuyo radio r (t) está creciendo en el tiempo. Entonces el volumen del globo es también dependiente del tiempo a través de la fórmula
v (t) =
4 3
r (t) :
3
Si en cierto instante conocemos por ejemplo el radio y su tasa de cambio, podemos hallar la
tasa de cambio del volumen. En efecto, por la regla de la cadena se tiene
v 0 (t) = 4 r2 (t) r0 (t) :
Si por ejemplo sabemos que en cierto instante r = 7cm y r0 = 2cm=s entonces
v 0 (t) = 4
49cm2 2cm=seg = 392 cm3 =s:
El volumen del globo estará creciendo a 392 centímetros cúbicos por segundo en ese instante.
Completitud
6.2.1
S. Cambronero
154
Ejercicios
1. En un tanque en forma de cono invertido, la altura está cambiando a un ritmo de 2
cm por segundo y el radio lo hace a 1 cm por segundo. Determine el ritmo de cambio
del volumen cuando el radio es r = 9 cm y la altura es h = 17 cm.
2. Una piedra cae en un lago provocando ondas circulares de radio creciente. Determine
la razón a la cual está cambiando el área de uno de estos círculos si el radio es de 2 m
y está cambiando a 30 cm/s.
3. Se bombea aire en un globo esférico a razón de 4 centímetros cúbicos por minuto.
Calcule el ritmo de cambio del radio del globo cuando este es de 3 centímetros.
4. Un punto se mueve sobre la grá…ca y = sen x de manera que la velocidad horizontal es
dx
dt = 2 cm/s. Halle el ritmo de cambio de la distancia del punto al origen, en términos
de x:
5. En un triángulo isósceles, sea
medida …ja s:
el ángulo entre los dos lados iguales, que tienen una
(a) Demuestre que el área del triángulo es A =
s2
2
sen :
(b) Si crece a medio radián por minuto, encuentre el ritmo de cambio del área cuando
= 3:
6. Una piscina tiene 12 metros de largo, 6 de ancho y un profundidad que cambia linealmente a lo largo desde 1 metro hasta 3 metros. Se bombea agua dentro de la piscina a
1
3 de metro cúbico por minuto. Cuando hay un metro cúbico de agua en la piscina, ¿a
qué ritmo está cambiando el nivel del agua?
7. La medida del lado de un cubo está creciendo a razón de 3 centímetros por minuto. ¿A
qué ritmo está creciendo el volumen del cubo cuando el lado es 5 centímetros? ¿A qué
ritmo está creciendo el área de la super…cie del cubo en ese instante?
8. Una escalera de longitud c cm está apoyada sobre una pared. Su base se empieza a
alejar de la pared a razón de v cm/min. Cuando la base está a una distancia a de la
pared calcule:
(a) la velocidad a la que baja el extremo superior de la escalera por la pared
(b) el ritmo al que cambia el área del triángulo formado por la escalera, la pared y el
suelo
(c) el ritmo de cambio del ángulo formado por la escalera y la pared.
9. Un avión vuela a 6 millas de altura y pasa exactamente por encima de un radar. Cuando
la distancia del radar al avión es de 11 millas, esa distancia está cambiando a 180 millas
por hora. Determine la velovidad del avión. Determine el ritmo de cambio del ángulo
de elevación con que un observador ubicado en el radar observa el avión.
Completitud
6.3
S. Cambronero
155
Problemas de optimización
En esta sección aplicamos el cálculo diferencial a la resolución de problema de optimización.
Ejemplo 6.16 Se quiere construir una caja abierta de base cuadrada, de manera que tenga
el volumen mayor posible. Si se dispone de 90m2 de material, hallar las dimensiones de la
caja.
Solución
Si x es el lado del cuadrado que forma la base de la caja, y si h es la altura, debemos tener
x2 + 4xh = 90: Entonces
90 x2
h=
:
4x
Luego, debemos maximizar el volumen
V = V (x) = x2 h = x2
x2
90
4x
=
45
x
2
x3
4
p
para x 2 [0; 90]: Derivando tenemos
3 2
x ;
4
p
p
así que los puntos críticos son
x
=
30:
Como
30 no pertenece al dominio, el único
p
punto crítico a considerar es 30: Como sabemos, el máximo se alcanza en un punto crítico
o en un extremo del intervalo. Entonces como
p
V (0) = V
90 = 0;
V 0 (x) =
45
2
p
p
p
el volumen máximo se alcanza cuando x = 30: El volumen máximo es V
30 = 15 30:
p
p
Las dimensiones de la caja de mayor volumen son x = 30; h = 12 30:
Ejemplo 6.17 Un pescador se encuentra en un bote a 2km del punto más cercano sobre la
costa (denotado por A), y se dirige a un lugar que queda sobre la costa, a 3km del punto A:
Se asume que la costa es recta. Si el bote navega a 3km por hora, y la persona camina a 6km
por hora, hallar el punto en el que tiene que desembarcar para tardar el menor tiempo posible.
Solución
Si x es la distancia del punto
p A al punto donde desembarca el pescador, entonces la distacia
recorrida en bote es y = x2 +
p 4; mientras que la distancia 1recorrida a pie es 3 x: Luego, el
1
tiempo que tarda en bote es 3 x2 + 4; el que tarda a pie es 6 (3 x) : La función a minimizar
es entonces
1p 2
1
T (x) =
x + 4 + (3 x) ; 0 x 3:
3
6
Derivando tenemos
x
1
T 0 (x) = p
:
2
3 x +4 6
Completitud
S. Cambronero
La derivada se anula cuando
156
x
1
p
= ;
6
3 x2 + 4
esto es cuando
2x =
p
x2 + 4:
Elevando al cuadrado a ambos lados se obtiene x2 = 43 : El único punto crítico en el intervalo
[0; 3] es x = p23 : Dado que
7
T (0) =
6
1:17;
T ( p23 )
el mínimo tiempo posible se alcanza en x =
p2 km
3
1:05;
p2 :
3
T (3) =
p
13
3
1:2
El pescador debe desembarcar entonces a
(1155m aproximadamente) del punto A:
Ejemplo 6.18 Con las condiciones del ejemplo anterior, asuma que el lugar al cual se dirije
el pescador queda 1km tierra adentro. Hallar el punto en el que debe desembarcar para tardar
el menor tiempo posible.
Solución
p
Ahora q
la distancia recorrida en bote es x2 + 4; mientras que la distancia recorrida a
p
pie es (3 x)2 + 1: El tiempo que tarda en bote es 31 x2 + 4 y el que tarda a pie es
q
1
(3 x)2 + 1: La función a minimizar es
6
1p 2
1
T (x) =
x +4+
3
6
q
(3
x)2 + 1;
0
x
3:
Completitud
S. Cambronero
157
Derivando e igualando a cero tenemos
x
3 x
;
= q
2
3 x +4
6 (3 x)2 + 1
p
de donde
q
2x (3
x)2 + 1 = (3
x)
Elevando al cuadrado a ambos lados se obtiene
x4
El polinomio p(x) = x4
obtenemos
6x3 + 9x2 + 8x
6x3 + 9x2 + 8x
x2 + 4:
12 = 0:
12 tiene a x = 1 por raíz. Dividiendo por x
1) x3
p(x) = (x
p
1
5x2 + 4x + 12 :
Es fácil ver que f (x) = x3p 5x2 + 4x + 12pno tiene raíces en [0; 3]: En efecto, f tiene dos
puntos críticos x1 = 35 31 13 y x2 = 53 + 31 13. Evaluando en estos puntos críticos y en los
extremos, se obtiene que el mínimo de f en [0; 3] es f (x2 ) = 5:93:
Se concluye que el único punto crítico de T en el intervalo [0; 3] es x = 1: Dado que
T (0)
1:193;
T (1)
1:118;
T (3)
1:368
concluimos que el mínimo se alcanza en x = 1: El pescador debe desembarcar a 1km del
punto A:
Ejemplo 6.19 Hallar las dimensiones del cono de volumen máximo que se puede inscribir
en una esfera de radio r:
Solución
Si x es el
p radio de la base del cono, y h es la altura, por el teorema de Pitágoras se tiene
h = r + r2 x2 : Luego, el volumen a maximizar es
p
V (x) = x2 h = x2 r + r2 x2 ; 0 x r:
3
3
Tenemos
V 0 (x) =
3
2x r +
p
r2
x2
p
x3
r2
Entonces V 0 (x) = 0 cuando x = 0 y cuando
2 r+
Lo último ocurre cuando
2 r
p
p
r2
r2
x2 = p
x2 + r2
x2
r2
x2
:
x2 = x2 ;
x2
:
Completitud
S. Cambronero
es decir
2r
p
r2
x2 = 3x2
158
2r2 :
Elevando al cuadrado y simpli…cando se obtiene
x2 9x2
cuyas raíces son x =
p
2r 2
3 ;
8r2 = 0;
y x = 0: Como
extremo de éste, basta con evaluar en 0;
V (0) = 0; V
p
2r 2
3 ; r:
p
2r 2
3
=
tenemos que el máximo se alcanza cuando x =
p
2r 2
3
no pertenece al intervalo, y 0 es un
Tenemos
32 3
r ; V (r) = r3 ;
81
3
p
2r 2
3 ;
h = 43 r:
Ejemplo 6.20 Vamos a determinar el punto sobre la grá…ca y = xa ; x > 0; que está más
cerca del origen. Para esto debemos minimizar la función distancia
r
p
a2
d (x) = x2 + y 2 = x2 + 2 :
x
Dado que la función raíz cuadrada es creciente, es su…ciente minimizar la función
f (x) = x2 +
a2
:
x2
Al derivar se obtiene f 0 (x) = 2x 2a2 x 3 = x23 x4 a2 : El único cero de la derivada es
p
p
x = a: Note además que la derivada es creciente, así que es negativa en ]0; a[ y positiva
p
p
en ] a; 1[ : Consecuentemente f ( a) es el mínimo de f: Entonces la distancia mínima es
r
a2 p
a+
= 2a
a
p p
y se alcanza en el punto ( a; a) : Es importante notar que el punto de distancia mínima al
origen es el punto donde la recta normal coincide con la recta determinada por ese punto y
el origen.
Completitud
6.3.1
S. Cambronero
159
Ejercicios
1. Entre todos los cilindros circulares de volumen …jo V; halle el de menor super…cie
(incluyendo las caras).
2. Un triángulo rectágulo con hipotenusa de longitud a se hace girar alrededro de uno de
sus catetos. Halle el volumen máximo posible del cono que resulta.
3. Demuestre usando derivadas que:
(a) la suma de un número positivo y su inverso multiplicativo es al menos 2
3
(b) la suma de un número positivo y el inverso de su cuadrado es al menos p
3
4
(c) el producto de dos números positivos que suman a es a lo sumo
a2
4
p
(d) la suma de dos números positivos cuyo producto es b; es al menos 2 b
4. Halle usando cálculo diferencial:
(a) el rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un círculo de radio a
(b) el rectángulo de mayor área que puede inscribirse en un semicírculo de radio a
5. Considere la recta tangente a la grá…ca de y = x1 en un punto cualquiera a; a1 ; con
a > 0: Demuestre que el triángulo formado por esta recta y los ejes coordenados tiene
área …ja. Determine esa área.
6. Considere la recta tangente a la grá…ca de y = x1p en un punto cualquiera a; a1p ; con
a > 0 y p > 1: Demuestre que el triángulo formado por esta recta y los ejes coordenados
tiene área decreciente en x0 > 0. ¿A qué tiende esa área cuando a ! 1? ¿A qué tiende
cuando a ! 0? Interprete geométricamente.
7. Considere un rectángulo de lados paralelos a los ejes coordenados, con un vértice en
el origen y otro sobre la hipérbola de ecuación y = x1p ; con p > 1: Determine el área
de ese rectángulo. ¿Existe uno de estos rectángulos que tenga área mínima? Explique
la variación del área de este rectángulpo conforme el punto que lo determina se mueve
sobre la grá…ca.
8. Determine el punto de la grá…ca de y = cos x que está más cerca del origen.
9. Calcule usando derivadas, la distancia de un punto (x0 ; y0 ) a una recta de ecuación
ax + by = c:
10. Calcule los puntos de la parábola y = 4
x2 que está más cerca del punto (0; 2) :
11. Determine el triángulo isósceles de mayor área que puede inscribirse en un círculo de
radio r:
Completitud
S. Cambronero
160
12. Una página rectangular debe contener 150 centímetros cuadrados de impresión. Los
márgenes superior e inferior deben ser de 3:75 centímetros, mientras que los márgenes
izquierdo y derecho deben ser de 2:5 centímetros. Halle las dimensiones de la página
que usa la menor cantidad de papel.
13. Dos postes, uno de 3 metros de altura y el otro de 7 metros de altura, están a 7:5 metros
de distancia uno del otro. Ambos se deben sostener, desde su parte más alta, por dos
cables que se sostienen de una misma estaca a nivel del suelo. Determinar el punto en
que se debe colocar la estaca para usar la menor cantidad de cable.
14. Se dispone de un cable de longitud l; el cual se debe usar para crear un cuadrado y un
círculo. Determine cuánto cable se debe usar en el círculo y cuánto en el cuadrado para
lograr la mayor área total.
p
15. Encuentre el punto sobre la grá…ca de y = x que está más cerca de (4; 0) :
Capítulo 7
Convexidad y gra…cación
7.1
7.1.1
Convexidad
De…nición y ejemplos
Se dice que una función f es convexa (o que su grá…ca es convexa), si para cada par de
puntos de su grá…ca, el segmento de recta que los une se ubica por encima de la grá…ca. En
la …gura siguiente, se presentan tres grá…cas convexas. En el primer caso, el segmento de
recta está siempre estrictamente por encima de la grá…ca, en este caso se dice que la función
es estrictamente convexa. En los otros dos casos, la convexidad no es estricta.
Grá…cas convexas.
Se deduce que la función no es convexa cuando existen puntos sobre la grá…ca, tales que el
segmento de recta que los une tiene partes por debajo de dicha grá…ca.
Ejemplos de grá…cas no convexas.
161
Completitud
S. Cambronero
162
De…nición analítica de la convexidad
Consideremos los puntos (a; f (a)) y (b; f (b)) sobre la grá…ca de f; con a < b: La recta que
une estos puntos, tiene ecuación
y=
f (b)
b
f (a)
(x
a
a) + f (a) :
La condición de convexidad se traduce en
f (x)
f (b)
b
f (a)
(x
a
a) + f (a) ; para a
x
b:
(7.1)
Escribimos esto como nuestra de…nición.
De…nición 7.1.1 Se dice que la función f es convexa en cierto intervalo I; si satisface la
propiedad (7.1) para cada par de elementos a; b 2 I; tales que a < b: Se dice que f es
estrictamente convexa en I si, para cada par de elementos a; b 2 I; con a < b; se tiene
f (x) <
f (b)
b
f (a)
(x
a
a) + f (a) ; para a < x < b:
(7.2)
De acuerdo con esta de…nición, toda función a…n es convexa, dado que en tal caso el segmento
de recta que une dos puntos de la grá…ca, es parte de la grá…ca misma. Sin embargo, las
funciones a…nes no son estrictamente convexas.
Ejemplo 7.1 La función f : R ! R, de…nida por f (x) = x2 , es estrictamente convexa. En
efecto, si a < b la recta que pasa por a; a2 y b; b2 tiene pendiente
m=
b2
b
a2
= a + b:
a
Su ecuación es
y = (a + b) (x
a) + a2 :
Dado que
x2
(a + b) (x
a) + a2 = (x
a) (x
para a < x < b; se obtene que f sa…sface (7.2).
Grá…ca de la función f (x) = x2 :
b) < 0
Completitud
S. Cambronero
163
Ejemplo 7.2 La función g : ]0; 1[! R, de…nida por g (x) = x1 ; es estrictamente convexa.
En efecto, la recta que pasa por los puntos a; a1 y b; 1b tiene ecuación
y=
1
(x
ab
es decir
y=
1
a) + ;
a
a+b x
:
ab
Considere la resta
1
x
a+b x
x2
=
ab
Para 0 < a < x < b se tiene x
(a + b) x + ab
1
=
(x
abx
abx
b<0yx
b) (x
a) :
a > 0: Por lo tanto se cumple (??).
De…nición equivalente de convexidad
Una manera equivalente, y a veces más cómoda, de de…nir la convexidad, se obtiene al
escribir la recta que une los puntos (a; f (a)) y (b; f (b)) en forma paramétrica. Para hacer
esto observamos que la función
' : [a; b] ! [0; 1] ;
' (x) =
x a
b a
es biyectiva. Su inversa está dada por
x='
1
(t) = a + t (b
a) = (1
t) a + tb:
La ecuación del segmento de recta
y=
f (b)
b
f (a)
(x
a
a) + f (a) ;
a
x
t
1:
b
se puede escribir como
y = (1
t) f (a) + tf (b) ;
0
Obtenemos que todo punto (x; y) del segmento de recta satisface
x = (1
t) a + tb;
y = (1
t) f (a) + tf (b) ;
0
t
1:
Completitud
S. Cambronero
164
La convexidad se traduce en la desigualdad
f ((1
t) a + tb)
(1
t) f (a) + tf (b) ;
para 0 < t < 1:
(7.3)
La convexidad estricta se obtiene cuando la desigualdad anterior es estricta. Se deduce que
la siguiente es una de…nición equivalente de convexidad.
De…nición 7.1.2 (versión 2 de convexidad) Una función f se llama convexa en un intervalo
I si para a; b 2 I se cumple (7.3). Se llama estrictamente convexa en I si se satisface (7.3)
con desigualdad estricta.
Ejemplo 7.3 La función valor absoluto es convexa en todo R. En efecto, para a; b 2 R y
t 2 [0; 1] se tiene, por la desigualdad triangular:
j(1
7.1.2
t) a + tbj
j(1
t) aj + jtbj = (1
t) jaj + t jbj :
Concavidad
Diremos que una función f es cóncava en un intervalo I; si la función f es convexa en dicho
intervalo. Igualmente, f se llama estrictamente cóncava en I si f es estrictamente convexa.
Es claro entonces la forma que tiene la grá…ca de una función cóncava, pues esta se obtiene
de una grá…ca convexa, re‡ejando con respecto al ejej x:
Una aplicación directa de la de…nición de convexidad demuestra el siguiente lema.
Lema 7.1.1 Son equivalentes
1. La función f es cóncava en el intervalo I
2. Para a; b 2 I y x entre a y b se tiene
f (x)
f (b)
b
f (a)
(x
a
a) + f (a) :
3. Para a; b 2 I y 0 < t < 1 se tiene
f ((1
t) a + tb)
(1
t) f (a) + tf (b) :
Completitud
S. Cambronero
165
x2 , es estrictamente cóncava.
Ejemplo 7.4 La función f : R ! R, de…nida por f (x) =
1
x;
Ejemplo 7.5 La función h : ]0; 1[! R, de…nida por h (x) =
es estrictamente cóncava.
p
Ejemplo 7.6 La función de…nida por f (x) = x es estrictamente cóncava. Esto es evidente
geométricamente y será veri…cado en la siguiente sección.
7.1.3
Resultados sobre convexidad
Los ejemplos anteriores nos sugieren algunos resultados que son válidos en general. El último
ejemplo sugiere que la inversa de una función convexa es cóncava. Esto es sin embargo falso
en general, pues debe imponerse la hipótesis adicional de que f sea creciente.
Lema 7.1.2 Sea f : I ! J convexa e invertible. Entonces f
1
es
1. convexa si f es decreciente
2. cóncava si f es creciente.
Demostración
En efecto, sean ;
se tiene
2 J y de…na a = f
f ((1
t) a + tb)
1(
(1
); b = f
1(
) : Por ser f convexa, para 0
t) f (a) + tf (b) = (1
t)
t
1
+t :
Cuando f es creciente, lo anterior es equivalente a
(1
t) a + tb
f
1
((1
t)
+t )
y esto nos da la concavidad de f 1 . Si f es decreciente, en el paso anterior se invierte la
desigualdad y se obtiene la convexidad de f 1 .
Ejemplo 7.7 La función f de…nida por f (x) =
de una convexa creciente.
p
x; es cóncava en R+ ; por ser la inversa
Ejemplo 7.8 La función g : R+ ! R de…nida por g (x) =
de la funciòn convexa decreciente h : R ! R+ ; h (x) = x2 :
p
x; es convexa, como inversa
Completitud
S. Cambronero
166
Lema 7.1.3 Si f es convexa en I y g (x) = f ( x) ; para x 2 J = fx : x 2 Ig ; entonces g
es convexa en J: En particular, si f es par y es convexa en R+ ; entonces es convexa en R :
Demostración
Sean a; x; c 2 J; con a
x
c: Por la convexidad de f en I se tiene
f ( x)
f ( c)
( c)
es decir
g (x)
g (c)
c
f ( a)
( x
( a)
g (a)
(x
a
( a)) + f ( a) ;
a) + g (a) :
Es importante notar, que el hecho que f sea convexa en R+ y en R ; no implica que sea
convexa en todo R.
p
Ejemplo 7.9 Considere la función f : R ! R de…nida por f (x) =
jxj. Por el ejemplo
7.8, esta función es convexa en R+ : Como además es par, se sigue que es convexa en R :
Sin embargo, no es convexa en todo R.
Lema 7.1.4 Si f es creciente y convexa en R+ ; y además es par, entonces es convexa en
todo R. Similarmente, si es cóncava y decreciente en R+ ; entonces es cóncava en R :
Demostración
En efecto, ya sabemos que es convexa en R+ y en R : Para ver que es convexa en todo
R, basta demostrar la desigualdad (7.3) para a < 0 < c: Tomando x = (1 t) a + tc, con
0 t 1; hay dos posibilidades:
Completitud
S. Cambronero
167
Si x < 0; por la convexidad de f en R se tiene
f (x)
Si x
(1
t) f (a) + tf (0)
(1
t) f (a) + tf (c) :
(1
t) f (a) + tf (c) ;
0; por la convexidad de f en R+ se tiene
f (x)
(1
t) f (0) + tf (c)
la última desigualdad por ser f decreciente en R :
Ejemplo 7.10 La función de…nida por f (x) = jxj3 es convexa en todo R, por ser par,
convexa y creciente en R+ : Se dejan los detalles al lector.
Lema 7.1.5 Sea f una función impar. Si f es convexa en R+ ; entonces es cóncava en R :
Similarmente, si es cóncava en R+ ; entonces es convexa en R :
Demostración
En efecto, la función g de…nida en R por g (x) = f ( x) ; es convexa, de acuerdo con el
lema anterior. Luego, por ser f impar, en R se tiene f = g; así que f es cóncava en es
intervalo.
Ejemplo 7.11 La concavidad de la función x 7! x3 en R ; se puede deducir de que es
p
convexa en R+ ; y es impar. Por otro lado, la función h : R ! R de…nida por f (x) = 3 x;
es convexa en R : En efecto, esta es impar por ser la inversa de una impar, y es cóncava en
R+ ; como ya se había visto. Por el lema anterior, es convexa en R :
Completitud
7.1.4
S. Cambronero
168
Ejercicios
1. Demuestre que la función f : R ! R de…nida por f (x) = max (x; 0) es convexa.
Grafíquela.
2. Demuestre que la función f : R ! R de…nida por f (x) = min (x; 0) es cóncava.
Grafíquela.
3. Considere f : R ! R, f (x) = x3 .
(a) Demuestre que la recta que pasa por a; a3 y b; b3 tiene ecuación
y = g (x) = a2 + ab + b2 (x
a) + a3 :
(b) Demuestre que
f (x)
g (x) = (x
a) (x
b) (x + a + b) :
(c) Concluya que f es convexa.
4. Demuestre que la función de…nida por f (x) = jxj3 ; es convexa en todo R.
5. Demuestre que la función f : R ! R de…nida por f (x) =
jxj ; es cóncava.
6. Demuestre que la función de…nida por g (x) = jxj3 es cóncava en todo R. Concluya
que la función f : R ! R de…nida por f (x) = x3 es convexa en R+ y cóncava en R :
p
7. Demuestre que la función f : R+ ! R+ de…nida por f (x) = x; es estrictamente cóncava. Primero convénzase geométricamente analizándola como inversa de una convexa.
8. Demuestre que f es convexa en un intervalo I si y solo si satisface
!
n
n
X
X
f
ti xi
ti f (xi )
k=1
k=1
siempre que n 2 N, x1 ; : : : ; xn 2 I; t1 ; : : : ; tn 2 [0; 1] y t1 + : : : + tn = 1:
Completitud
7.2
7.2.1
S. Cambronero
169
Convexidad y derivación
Convexidad y primera derivada
Consideremos una función f convexa en un intervalo I. La de…nición de convexidad nos dice
que para a < x1 < x2 se tiene
f (x2 )
x2
f (x1 )
de donde
f (x1 )
x1
f (a)
a
f (a)
(x1
a
f (x2 )
x2
a) + f (a)
f (a)
;
a
a < x1 < x2
(7.4)
Similarmente, para x1 < x2 < a se tiene
f (x1 )
x1
f (x2 )
f (a)
(x2
a
a) + f (a)
de donde (7.4) es válida también para x1 < x2 < a: Esto nos dice que la función
'a (x) =
f (x)
x
f (a)
a
es creciente, tanto a la derecha como a la izquierda de a: Pero nótese que 'a (x) = 'x (a) :
Entonces, para x < a < y se tiene
'a (x) = 'x (a)
'x (y) = 'y (x)
'y (a) = 'a (y) :
(7.5)
Hemos usado el crecimiento de 'x y luego el crecimiento de 'y . Por el ejercicio 12 de la
sección 3.9 se obtiene la existencia de
f 0 (a+) = lim 'a (x) = lim
x!a+
x!a+
f (x)
x
f (a)
a
siempre que a no sea el extremo derecho de I: De la misma forma, existe
f 0 (a ) = lim 'a (x) = lim
x!a
x!a
f (x)
x
f (a)
a
siempre que a no sea el extremo izquierdo de I. En particular, cuando a es punto interior de
I; existen ambas derivadas laterales f 0 (a ) y f 0 (a+). Por (7.5) se obtiene
f 0 (a )
f 0 (a+) :
Completitud
S. Cambronero
170
Para a < x < y < b tenemos
'a (x)
'a (b) = 'b (a)
'b (y) :
En el límite se obtiene
f 0 (a+)
f 0 (b ) ;
a < b:
Esto implica de inmediato que las derivadas laterales son crecientes. En efecto, para a < b
se tiene
f 0 (a ) f 0 (a+) f 0 (b ) f 0 (b+) :
A continuación se resume lo que hemos demostrado.
Teorema 35 Considere f una función convexa en un intervalo I: En cada punto de a 2 I
se tene
1. La derivada por la derecha f 0 (a+) existe siempre que a no sea el extremos derecho de
I
2. La derivada por la izquierda f 0 (a ) existe siempre que a no sea el extremo izquierdo
de I
3. f 0 (a )
f 0 (a+) siempre que a sea punto interior de I
4. Ambas derivadas laterales son crecientes en sus respectivos dominios
Cuando f es estrictamente convexa, las desigualdades son estrictas y se obtiene que las
derivadas laterales son estrictamente crecientes. Es importante notar que, aunque las desigualdades estrictas podrían convertirse en igualdades en el paso al límite en un contexto
general, no es ese el caso porque los cocientes de diferencias son crecientes. Los detalles se
dejan como ejercicio.
Ejemplo 7.12 Para f (x) = jxj las derivadas laterales son iguales en cada punto x 6= 0;
dado que f es derivable en tales puntos. En el origen se tiene f 0 (0+) = 1; f 0 (0 ) = 1:
Claramente f es derivable en a si y solo si las derivadas laterales existen y son iguales, en
cuyo caso la derivada f 0 (a) coincide con el valor común de las derivadas laterales.
Corolario 7.2.1 Si f es convexa y derivable en I; entonces f 0 es creciente en el interior de
I: Si la convexidad es estricta, entonces f 0 es estrictamente creciente en el interior de I:
Recíprocamente, supongamos que f 0 es estrictamente creciente en el interior de I: Tomemos
a; b 2 I con a < b y de…namos
h (x) = f (x)
f (b)
b
f (a)
(x
a
a) + f (a) :
Completitud
S. Cambronero
171
Dado que h (a) = h (b) = 0; el teorema de Rolle garantiza la existencia de c 2 ]a; b[ tal que
h0 (c) = 0: Nótese que
f (b) f (a)
h0 (x) = f 0 (x)
b a
es también estrictamente creciente. Entonces h0 es negativa en ]a; c[ y positiva en ]c; b[ :
Consecuentemente h es negativa en ]a; b[ : Esto demuestra que f es estrictamente convexa en
I:
Resumimos el resultado en un teorema.
Teorema 36 Sea f derivable en cada punto del intervalo abierto I: Entonces f es convexa
en I si y solo si f 0 es creciente en I: Además, f es estrictamente convexa en I si y solo si f 0
es estrictamente creciente en I:
Corolario 7.2.2 Sea f derivable en cada punto del intervalo abierto I: Entonces f es cóncava
en I si y solo si f 0 es decreciente en I: f es estrictamente cóncava en I si y solo si f 0 es
estrictamente decreciente en I:
Ejemplo 7.13 La función de…nida por f (x) = x5 + 2x3 + x; es estrictamente convexa en R+
y estrictamente cóncava en R ; dado que f 0 (x) = 5x4 + 6x2 + 1 es estrictamente creciente en
R+ y estrictamente decreciente en R . El punto (0; 0) es un punto de in‡exión, de acuerdo
con la siguiente de…nición.
De…nición 7.2.1 Un punto (a; f (a)) de la grá…ca de f; se llama punto de in‡exión si dicha
grá…ca tiene recta tangente en el punto y además f cambia de cóncava a convexa o viceversa,
en dicho punto.
Nota: Es común hablar de funciones cóncavas hacia arriba, en vez de convexas, y de funciones
cóncavas hacia abajo, en vez de cóncavas. Así, en la de…nición anterior, podríamos decir que
el punto es de in‡exión si f cambia el sentido de la concavidad en dicho punto.
7.2.2
Convexidad y segunda derivada
Sea f una función dos veces derivable en el intervalo I; es decir, f 00 (a) existe en cada a 2 I:
Si f 00 (x) 0 en I; se sigue del teorema 33 que la primera derivada f 0 es creciente. Por los
resultados de la sección anterior se obtiene que f es convexa en I: Si f 00 (x) > 0 para cada
Completitud
S. Cambronero
172
x 2 I; se sigue que f 0 es estrictamente creciente en I y por lo tanto f es estrictamente convexa
en I: Similares resultados se cumplen con f 00 (x) 0 y f 00 (x) < 0:
A continuación resumimos lo demostrado.
Teorema 37 Suponga que f 00 existe y f 00 (x) 0 para x 2 I: Entonces f es convexa en ese
intervalo. Si f 00 (x) 0, para x 2 I; entonces f es cóncava en ese intervalo. La convexidad
(concavidad) es estricta si f 00 (x) > 0 (f 00 (x) < 0) para cada x 2 I:
Ejemplo 7.14 Para f (x) = x2 tenemos f 00 (x) = 2 > 0: Entonces f es convexa en todo R.
Ejemplo 7.15 Para f (x) = x3 tenemos f 00 (x) = 6x; así que f es convexa en R+ y cóncava
en R .
En este caso (0; 0) es un punto de in‡exión.
p
Ejemplo 7.16 El punto (0; 0) es un punto de in‡exión para f (x) = 3 x; pues f 00 (x) =
2
5=3 cambia de signo en x = 0: Note que aunque la derivada en el origen no existe (es
9x
in…nita), sí existe la recta tangente x = 0:
Ejemplo 7.17 Para la función de…nida por f (x) =
f 0 (x) =
4x
(x2
Entonces la función es cóncava en ]
2;
1)
x2 + 1
tenemos
x2 1
f 00 (x) =
4 + 12x2
(x2
1; 1[ y convexa en ]
1)3
:
1; 1[ y en ]1; 1[:
Completitud
S. Cambronero
173
Ejemplo 7.18 Para la función dada por f (x) = x4 se tiene f 0 (x) = 4x3 , f 00 (x) = 12x2 :
Nótese que f 00 (x) > 0; excepto en x = 0: Aunque f 00 no es positiva siempre, f 0 es estrictamente creciente en todo R. Por lo tanto f es estrictamente convexa en todo R.
Nota: El ejemplo anterior demuestra que el recíproco del teorema anterior no es del todo
válido. En efecto, del hecho que f sea estrictamente convexa, no se sigue que f 00 sea positiva
en todo punto del dominio. Es claro sin embargo que no se puede tener f 00 (x) = 0 en todo un
subintervalo, pues de ser así, la grá…ca de f sería un segmento de recta en ese subintervalo.
El siguiente teorema es un recíproco parcial del teorema anterior, y su demostración se deja
como ejercicio.
Teorema 38 Si f es convexa en un intervalo I; y si f 00 existe en cada punto de I; entonces
f 00 (x) 0 en cada x 2 I: Si f es estrictamente convexa en I; entonces f 00
0 y f 00 no se
anula es ningún intervalo.
7.2.3
Criterios para óptimos locales y globales
El siguiente teorema nos proporciona condiciones su…cientes para que f alcance un óptimo
absoluto en un intervalo I. En realidad ya hemos hecho uso de este resultado en los problemas
de optimización.
Teorema 39 (Criterio de la primera derivada para óptimos globales) Sea f : I ! R continua, donde I es un intervalo y c 2 I: Suponga que f 0 existe para cualquier x 6= c que sea
punto interior. Si f 0 (x) 0 para x < c y f 0 (x) 0 para x > c; entonces f (c) es el máximo
de f en I: Si f 0 (x) 0 para x < c y f 0 (x) 0 para x > c; entonces f (c) es el mínimo de f
en I:
Demostración
En efecto, en el primer caso se tiene que f es creciente en I \] 1; c] y decreciente en I \[c; 1[ :
Ejemplo 7.19 Para f (x) = 3x4 2x3 + 1; se tiene f 0 (x) = 12x2 x 12 ; así que f 0 0 a
la izquierda de 21 ; y f 0 0 a la derecha de 12 : Luego, f 21 = 15
16 es el mínimo de f en todo R.
Completitud
S. Cambronero
174
2
1
0
1
Para aplicar el teorema anterior a la existencia de óptimos locales, es importante la siguiente
de…nición.
De…nición 7.2.2 Se dice que una función g cambia de positiva a negativa en c; si existe un
intervalo abierto J; con c 2 J; tal que g (x) 0 para c > x 2 J y g (x) 0 para c < x 2 J:
Se dice g cambia de negativa a positiva en c; si g cambia de positiva a negativa.
Teorema 40 (Criterio de la primera derivada para óptimos locales) Sea c 2 I; f derivable
en cada x 2 I fcg ; continua en c: Si f 0 cambia de negativa a positiva en c; entonces f (c)
es un mínimo local. Si f 0 cambia de positiva a negativa, f (c) es un máximo local.
Demostración
En efecto, si por ejemplo f 0 cambia de positiva a negativa, entonces existe J intervalo abierto,
con c 2 J; que cumple las hipótesis del teorema anterior. Por lo tanto f (c) es máximo en J;
es decir que f (c) es máximo local.
Teorema 41 (criterio de la segunda derivada) Sea f tal que f 0 (c) = 0 y f 00 (c) existe. Si
f 00 (c) > 0, entonces f (c) es un mínimo local; si f 00 (c) < 0; entonces f (c) es un máximo local.
La demostración sería sencilla si asumimos que f 00 (x) > 0 para todo x en un intervalo abierto
J que contenga a c; pues en ese caso se tendría f 0 creciente en dicho intervalo, con lo que f 0
cambiaría de negativa a positiva en c: Luego f sería decreciente a la izquierda de c y creciente
a la derecha de c:
Grá…ca en un vecindario de c; cuando f 00 > 0 en todo un vecindario.
Completitud
S. Cambronero
175
Pero de hecho, f 00 podría existir solo en x = c:
Demostración del teorema
Dado que f 0 (c) = 0; tenemos
f 0 (x)
> 0;
x!c x
c
f 00 (c) = lim
de donde se sigue que existe
> 0 tal que
f 0 (x)
> 0 para x 2 J =]c
x c
Luego, para x1 ; x2 2 ]c
; c + [:
; c + [ tenemos
x1 < c < x2 ) f 0 (x1 ) < 0 < f 0 (x2 ):
Esto demuestra que f 0 cambia de negativa a positiva en c; y por lo tanto f (c) es mínimo
local. El caso f 00 (c) < 0 se trata de manera similar.
Ejemplo 7.20 Para la función f (x) = 3x4 2x6 tenemos f 0 (x) = 12x3 1 x2 ; así que los
puntos críticos son (0; 0) ; (1; 1) y ( 1; 1) : Además f 00 (x) = 12x2 3 5x2 ; así que f 00 (0) = 0;
f 00 ( 1) = f 00 (1) = 24 < 0: Entonces f tiene máximos locales en x = 1: En x = 0 el
teorema no decide, pero observando que f 0 cambia de negativa a positiva en ese punto, vemos
que f (0) = 0 es un mínimo local.
1
-1
1
-1
Ejemplo 7.21 Para la función f (x) = 3x7 7x3 tenemos f 0 (x) = 21x2 x4 1 ; así que
los puntos críticos son (0; 0) ; (1; 4) y ( 1; 4) : Además f 00 (x) = 21x 6x4 2 ; así que
f 00 (0) = 0; f 00 ( 1) = 84; f 00 (1) = 84: Entonces f tiene un máximo local en x = 1 y un
mínimo local en x = 1: En x = 0 el teorema no decide, pero observando que f 0 no cambia de
signo en ese punto, vemos que f (0) = 0 no es extremo local. De hecho, dado que f 00 cambia
Completitud
S. Cambronero
176
de signo en el origen obtenemos que (0; 0) es un punto de in‡exión.
4
2
-1
1
-2
-4
7.2.4
Asíntotas y trazo de grá…cas
La recta x = a se llama asíntota vertical de f si ocurre una de las variantes:
lim f (x) =
1:
x!a
El signi…cado geométrico de este hecho es evidente. Similarmente, la recta y = b se llama
asíntota horizontal de f cuando x tiende a 1 o 1 si
lim f (x) = b ó
lim f (x) = b:
x!1
x! 1
Finalmente, si m 6= 0; la recta y = mx + b se llama asíntota oblicua de f si se da al menos
uno de los límites
lim (f (x)
mx) = b;
x!1
lim (f (x)
x! 1
mx) = b:
En otras palabras, conforme x se mueva hacia 1 o 1; la grá…ca de f (x) se acerca a la recta
de ecuación y = mx + b: Nótese que para que y = mx + b sea asíntota oblicua, debe tenerse
al menos uno de los límites
lim
x!1
Ejemplo 7.22 Para f (x) =
p
f (x)
= m;
x
y luego
x!1
f (x)
= m;
x
r
1
=1
x2
x2 + 1 tenemos
f (x)
= lim
lim
x!1 x
x!1
lim (f (x)
lim
x! 1
x) = lim
x!1
p
x2 + 1
1+
x = lim p
x!1
1
=0:
x2 + 1 + x
Completitud
S. Cambronero
Entonces y = x es asíntota oblicua cuando x ! 1: Además
r
f (x)
1
lim
1+ 2 =
= lim
x!1
x! 1 x
x
177
1
y luego
p
lim (f (x) + x) = lim
x! 1
Entonces y =
x! 1
x2 + 1 + x = lim p
x! 1
x es asíntota oblicua cuando x !
f 0 (x) = p
x2
1
+1
x
=0:
1: Derivando tenemos
x
;
+1
x2
así que f decrece a la izquierda del origen y crece a la derecha. Además
p
x2 + 1 x pxx2 +1
1
00
f (x) =
=
2
x2 + 1
(x + 1)3=2
es siempre positiva, así que f es cóncava hacia arriba siempre.
La grá…ca de f es una rama de la hipérbola de ecuación y 2
Ejemplo 7.23 Para la función dada por f (x) =
f 0 (x) =
4x
(x2
1)2
x2 = 1:
x2 + 1
tenemos
x2 1
; x 6=
1; 1:
Entonces f es creciente en ] 1; 1[ y en ] 1; 0[; es decreciente en ]0; 1[ y en ]1; 1[: En
particular f (0) = 1 es un máximo local. Además
f 00 (x) =
4 + 12x2
(x2
1)3
:
Completitud
S. Cambronero
178
Entonces la función es cóncava hacia abajo en ] 1; 1[ y cóncava hacia arriba en ( 1; 1) y
en (1; 1) : Las rectas x = 1 y x = 1 son asíntotas verticales, dado que
lim f (x) = 1;
x! 1
lim f (x) =
1;
x! 1+
lim f (x) =
1;
x!1
lim f (x) = 1:
x!1+
La recta y = 1 es asíntota horizontal, ya que
lim f (x) = lim f (x) = 1:
x!1
x! 1
Ejemplo 7.24 La función f (x) =
f 0 (x) =
x2
x
x2
4x + 3
00
f (x) =
(2x
4) x2
(x
4x + 3
2
2) (2x
4)
2
(x2
Dado que el polinomio cuadrático x2
2
tiene dominio D = R
4x + 3
4x + 3)
=
x2
(x2
f1; 3g : Además
4x + 5
4x + 3)2
4x + 5 es siempre positivo, f 0 (x) < 0 en todo D. Ahora
x2
(x2
4x + 5 2 x2
4x + 3 (2x
4)
4
4x + 3)
=
2 (x
(x
2) x2
3
1) (x
Dado que x2 4x + 7 es siempre positivo, el signo de f 00 cambia solamente en x = 1; 2; 3:
Luego, como f 00 (0) < 0; f 00 (1:5) > 0; f 00 (3:5) < 0; f 00 (4) > 0; tenemos que f es cóncava hacia
arriba en ]1; 2[ y en ]3; 1[ ; es cóncava hacia abajo en ] 1; 1[ y en ]2; 3[ : En particular (2; 0)
es un punto de in‡exión. Nótese que y = 0 es asíntota horizontal, mientras x = 1 y x = 3
son asíntotas verticales.
y
-5
-4
-3
-2
1
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
x
4x + 7
3)3
:
Completitud
S. Cambronero
179
Ejemplo 7.25 Consideremos la función dada por
9 4
1
1
x + x5 + x6 :
8
20
12
1 3
x
3
g (x) = 5x2
Calculando la derivada se tiene
g 0 (x) = 10x
9 3 1 4 1 5
x + x + x
2
4
2
x2
1
x (2x + 5) (x + 2) (x
4
=
2)2 :
5
Se tiene entonces que g crece en los intervalos
1; 25 y en
2 ; 2 y [0; 1) ; decrece en
5
6125
42
[ 2; 0] : En particular g
2 = 768 y g (0) = 0 son mínimos locales, mientras g ( 2) = 5
es máximo local. Nótese que, aunque g 0 (2) = 0; en dicho punto no hay extremo local, debido
a que g 0 no cambia de signo. Calculando la segunda derivada se iene
27 2
x
2
g 00 (x) = x3
=
1
(x
2
5
2x + x4 + 10
2
2) (x + 1) 7x + 5x2
10 :
Las raíces de la cuadrática son
x1 =
1p
249
10
7
10
2: 28;
x2 =
1p
249
10
7
10
0:88:
Nótese que x1 < 1 < x2 < 2; así que g 00 es positiva en ] 1; x1 [ ; ] 1; x2 [ y ]2; 1[ ; mientras
que es negativa en ]x1 ; 1[ y ]x2 ; 2[ : El punto 2; 94
15 es un punto de in‡exión. Con esta
información, se puede trazar la grá…ca.
y8
6
4
2
-2
7.2.5
-1
0
1
2
x
Ejercicios
1. Demuestre que si f : I ! R y a es un punto interior de I; entonces f es derivable en a
si y solo si las derivadas laterales f (a+) y f 0 (a ) ambas existen y son iguales.
2. Demuestre que toda función convexa es continua. Esto incluye los extremos, es decir
que si por ejemplo f es convexa en [a; b] entonces f es continua en [a; b].
Completitud
S. Cambronero
180
3. Demuestre que si f estrictamente convexa en el intervalo I; las derivadas laterales son
estrictamente crecientes en I:
4. Demuestre el teorema 38.
5. Considere p > 1: Demuestre que la función de…nida por f (x) = xp es convexa en R+ :
Concluya que para a y b positivos se tiene
(a + b)p
2p
1
(ap + bp ) :
6. Demuestre que f (x) = ln x es estrictamente cóncava en (0; 1) : Concluya que para a y
b positivos y 0 < t < 1 se tiene
a1 t bt
Note el caso particular
p
(1
ab
t) a + tb:
a+b
:
2
7. Halle el dominio, los puntos críticos, los extremos locales, intervalos de crecimiento y
puntos de in‡exión. Analice la concavidad y haga un bosquejo de la grá…ca.
f (x) = 2x3 + 3x2 12x
i (x) = x4 2x2
g(x) = x4 2x3
j (x) = x5 + x3 + x
h(x) = (x
k (x) = 4x6
3)2 (x + 2)
24x4 27x2
8. Haga el análisis del ejercicio anterior para las funciones. Agregue el estudio de asíntotas
dentro del análisis.
f (x) =
p
i (x) =
1
2
x +x+1
x2 + 2x + 2
p
g(x) = x x + 2
j (x) =
x2
2x + 2
x 1
x+3
x22
x
k (x) = 2
x
9
h(x) =
9. Haga el análisis del ejercicio anterior para las funciones
f (x) = x2 + cos x;
0 x 3
h (x) = 2 sin x + cos 2x; 0 x 2
g(x) = sin 2 x + sin x; 0
cos x
;0 x
j (x) =
1 + sin x
10. Extienda las grá…cas del ejercicio anterior al intervalo [ 4 ; 4 ] :
11. Realice el análisis y gra…cación de la función f (x) = jxj2=3 (x
5) :
x 2
2 ; x=
6
3
2
:
Completitud
7.3
S. Cambronero
181
Regla de L’Hôpital
Antes de enunciar el teorema principal de esta sección, lo usaremos en el cálculo de límites.
Básicamente la idea es calcular límites indeterminado de una de la forma 00 ó 1
1 :Para motivar
0
el resultado, asuma que f y g son derivables en a; con f (a) = g (a) = 0 y g (a) 6= 0: En tal
caso
f (x) f (a)
f (x) f (a)
f (x)
f 0 (a)
= lim
= lim g(x)x ag(a) = 0
:
lim
x!a g (x)
x!a
x!a g (x)
g (a)
g (a)
x a
Ejemplo 7.26 Para calcular
x2 + 2x 3
;
x!1
x2 1
lim
tomamos f (x) = x2 + 2x
se tiene
3 y g (x) = x2
1. Dado que f (1) = g (1) = 0 y g 0 (1) = 2 6= 0;
x2 + 2x 3
f 0 (1)
4
=
= = 2:
2
0
x!1
x
1
g (1)
2
lim
El resultado anterior es válido con mucha mayor generalidad. Para empezar no se requiere
que f y g estén de…nidas en a; menos aún que sean derivables en ese punto. Solo se necesita
que el límite
f (x)
lim
(7.6)
x!a g (x)
tenga una de las formas indeterminadas ya mencionadas y que
f 0 (x)
x!a g 0 (x)
lim
exista, ya sea …nito o in…nito. En tal caso se concluye
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
:
x!a g (x)
x!a g (x)
lim
También se aplica para límites laterales y límites al in…nito. Vamos a sacar provecho de este
resultado en esta generalidad, antes de demostrarlo en detalle.
Ejemplo 7.27 Tomando f (x) = x, g (x) = 1
f 0 (x)
= lim
x!0 g 0 (x)
x!0
1
lim
p1
2 x+1
p
=
x + 1 se tiene
2 lim
x!0
p
Dado que además f (1) = g (1) = 0 se obtiene
lim
x!0
1
x
p
=
x+1
2:
x+1=
2:
Completitud
S. Cambronero
182
Ejemplo 7.28 En forma resumida se tiene
11 (x + 1)10
11
1 L
= lim
2 = 12 :
x!0
8
3 (x + 2)
(x + 1)11
lim
x!0 (x + 2)3
Ejemplo 7.29 En límites como el siguiente, ya no hay que racionalizar:
lim
p
x!0
p
1 + 2x
1 + 3x L
= lim
2
x!0
x + 2x
p 1
1+2x
p3
2 1+3x
1 + 4x
3
2
1
=
1
=
1
:
2
Se deja como ejercicio completar los detalles.
Ejemplo 7.30 El límite
4x sen x
2x 1
1
es indeterminado de la forma 1 : No se puede usar la regla de L’Hôpital dado que
lim
x!1
lim
4
x!1
cos x
2
no existe. Sin embargo note que
4
4x sen x
lim
= lim
x!1 2x
x!1 2
1
sen x
x
1
x
= 2:
Ejemplo 7.31 Usando el ejemplo anterior y la regla de L’Hôpital se tiene
2x2 + cos x L
4x sen x
= 2:
= lim
2
x!1 x
x!1 2x
x+3
1
lim
Ejemplo 7.32 El límite
sin 2 x + x cos x
x!0
tan x
lim
es de la forma 00 : Usando la regla de L’Hôpital tenemos
sin 2 x + x cos x L
2 sin x cos x + cos x
= lim
x!0
x!0
tan x
sec 2 x
lim
x sin x
= 1:
Ejemplo 7.33 La regla de L’Hôpital se puede usar reiteradamente, por ejemplo
3x2 + 2x L
6x + 2 L
6
1
x3 + x2 + 1 L
=
lim
= lim
= lim
= :
x!1 2x3 + 4x
x!1 12x
x!1 12
7 x!1 6x2 + 4
2
lim
Los tres primeros límites son de la forma
L’Hôpital.
1
1;
lo que permite seguir utilizando la regla de
Completitud
Ejemplo 7.34 Si
S. Cambronero
183
> 0 y n 2 N se tiene
nxn 1 L
n (n
xn L
=
lim
= lim
x
x
x!1
x!1
x!1 e
e
lim
1) xn
2 x
e
2
L
L
= : : : = lim
x!1
n!
e
n
x
= 0:
Este cálculo se puede formalizar mediante inducción. Este es un resultado que ya habíamos
anticipado.
Ejemplo 7.35 Para f (x) = x ln x; el límite cuando x ! 0+ es de la forma 0 ( 1) : Lo
convertimos a 00 y aplicamos regla de L’Hôpital
lim x ln x = lim
x!0+
ln x
x!0+
1
x
L
1
x
x!0+ 21
x
= lim
= lim ( x) = 0:
x!0+
En particular podemos de…nir f (0) = 0 y obtenemos que f es continua en [0; 1) : Podemos
aprovechar para gra…car esta función. Para esto vemos que f 0 (x) = 1 + ln x es negativa
en 0; e 1 y positiva en e 1 ; 1 : Entonces f e 1 = e 1 es el mínimo global. Además
f 00 (x) = x1 > 0 para cada x > 0; así que f es convexa.
1
Ejemplo 7.36 Para calcular lim (1 + sin x) sin x tomamos logaritmo para convertirlo en
x!0
cos x
ln (1 + sin x) L
1
= 1:
= lim 1+sin x = lim
x!0
x!0 cos x
x!0 1 + sin x
sin x
lim
Entonces
1
lim (1 + sin x) sin x = e:
x!0
Para demostrar la regla de L’Hôpital, necesitaremos el siguiente teorema, que generaliza el
teorema del valor medio.
Teorema 42 (del valor medio de Cauchy) Sean f y g continuas en [a; b], derivables en ]a; b[,
con g 0 (x) 6= 0 en cada x 2 ]a:b[ : Entonces existe c 2 ]a; b[ tal que
f (b)
g (b)
f (a)
f 0 (c)
= 0
:
g (a)
g (c)
Completitud
S. Cambronero
184
Demostración
Observe que g (b) g (a) 6= 0 por el teorema de Rolle. Para la demostración, aplique dicho
teorema a la función h de…nida por
h (x) = f (x)
f (a)
f (b)
g (b)
f (a)
[g (x)
g (a)
g (a)] :
Ahora demostraremos la primera versión de la regla de L’Hôpital.
Teorema 43 Sean f; g derivables en I
fag ; con a 2 I. Suponga que
lim f (x) = lim g (x) = 0
x!a
y g 0 (x) 6= 0 para cada x 2 I
:
x!a
f 0 (x)
0
x!a g (x)
fag : Si lim
=
f (x)
x!a g(x)
2 R = R [ f 1; 1g entonces lim
=
Demostración
De…niendo f (a) = g (a) = 0; se obtiene que f y g son continuas en a: Por el teorema de Rolle
se sigue que g (x) 6= 0 para x 2 I fag : Dada una sucesión (xn ) en I fag ; con xn ! a;
aplicando el teorema anterior se tiene
f (xn )
f (xn )
=
g (xn )
g (xn )
f (a)
f 0 (cn )
= 0
;
f (a)
g (cn )
donde cn está entre a y xn : Como xn ! a se obtiene cn ! a; así que
f (xn )
f 0 (cn )
= lim 0
= :
n!1 g (xn )
x!a g (cn )
lim
Como esto es válido siempre que xn ! a; se obtiene
lim
x!a
f (x)
= :
g (x)
El teorema anterior es claramente válido para límites laterales e incluye el caso = 1:
Ahora analicemos el caso a = 1: Más precisamente, tenemos f y g de…nidas en un intervalo
de la forma ]b; 1[ y
lim f (x) = lim g (x) = 0:
x!1
Se supone además que
x!1
f 0 (x)
=
x!1 g 0 (x)
lim
De…na ' (t) = f 1t ; (t) = g
de generalidad). Se tiene
1
t
; para 0 < t < b
lim ' (t) = lim f (x) = 0;
t!0+
x!1
lim
2 R:
1
t!0+
(el supuesto b > 0 no produce pérdida
(t) = lim g (x) = 0
x!1
Completitud
S. Cambronero
185
y además
f0
'0 (t)
=
lim
t!0+ 0 (t)
t!0+ g 0
lim
1
t
1
t
1
t2
1
t2
f 0 (x)
= :
x!1 g 0 (x)
= lim
Por el teorema anterior se obtiene
lim
t!0+
' (t)
= ;
(t)
es decir lim
x!1
f (x)
= :
g (x)
Hemos demostrado el siguiente teorema.
f 0 (x)
0
x!1 g (x)
Teorema 44 Sean f; g derivables en ]b; 1[ ; con lim f (x) = lim g (x) = 0: Si lim
x!1
f (x)
x!1 g(x)
2 R entonces lim
x!1
=
= :
El caso 1
1 es un poco más delicado. Para simpli…car las cosas, tomemos f y g de…nidas en
]a; b[ : Suponemos
f 0 (x)
= :
x!a+ g 0 (x)
lim f (x) = lim g (x) = 1;
x!a+
Vamos a suponer que
lim
x!a+
2 R. Dado " > 0; escogemos
f 0 (x)
g 0 (x)
"
> 0 tal que
para a < x
a+ :
Sea (an ) una sucesión en ]a; b[ tal que an ! a. Dado que eventualmente se tiene an < a + ,
aplicamos el teorema del valor medio de Cauchy para obtener
f (a + )
f 0 (cn )
= 0
g (a + )
g (cn )
f (an )
g (an )
donde an < cn < a + . Entonces eventualente se tiene
f (an )
g (an )
f (a + )
g (a + )
=
f 0 (cn )
g 0 (cn )
":
Dado que f (an ) ! 1 y g (an ) ! 1, se sigue del ejercicio 1 de esta sección que
lim sup
f (an )
g (an )
= lim sup
f (an )
g (an )
f (a + )
g (a + )
":
Como " > 0 es arbitrario se obtiene
lim sup
f (an )
g (an )
= 0;
lo que implica
f (an )
= :
x!0+ g (an )
Los demás casos se deducen de este, o se demuestran en forma similar. Resumimos el resultado.
lim
Completitud
S. Cambronero
Teorema 45 Suponga que f y g son derivables en ]a; b[ y satisfacen
f 0 (x)
= :
x!a+ g 0 (x)
lim f (x) = lim g (x) = 1;
x!a+
x!a+
Entonces
lim
x!a+
7.3.1
lim
f (x)
= :
g (x)
Ejercicios
1. Suponga que an ! 1 y bn ! 1. Demuestre que:
(a) para cualesquiera a; b 2 R se tiene
lim sup
(b) para cualesquiera a; b;
an
an + a
= lim sup
:
bn
bn + b
2 R se tiene
lim sup
an
bn
an + a
bn + b
= lim sup
:
2. Demuestre la regla de L’Hôpital en los siguientes casos:
(a)
f 0 (x)
0
x! 1 g (x)
lim f (x) = lim g (x) = 0 y lim
x! 1
x! 1
f 0 (x)
0
x!a g (x)
(b) lim f (x) = lim g (x) = 1 y lim
x!a
x!a
f 0 (x)
0
x!1 g (x)
(d)
x!1
lim f (x) = 1; lim g (x) =
x! 1
x! 1
2R
=1
(c) lim f (x) = lim g (x) = 1 y lim
x!1
=
=
2R
f 0 (x)
0
x!1 g (x)
1 y lim
=
1:
3. Calcule los siguientes límites usando L’Hôpital
x2 25
;
x!5 x2 + 7x + 10
lim
lim
x!
4. Calcule los siguientes límites usando L’Hôpital
p
x 1
1
1 x2
lim 3
; lim
;
x!1 x
x!0
1
x
5. Para a 2 R y m; n 2 N calcule usando L’Hôpital
xm
x!a xn
lim
am
:
an
x5 + 1
:
1 x7 + 1
lim
x!3
x2
5x + 6
:
x 3
186
Completitud
S. Cambronero
6. Calcule los siguientes límites usando L’Hôpital
lim
x! 4
1 tan x
;
sen x cos x
cos x
;
cot x
lim
x! 2
lim sec :
!
7. Calcule los siguientes límites usando L’Hôpital
lim
x!
1
cos (x
(x
)2
)
cos x)2
;
cos x2
(1
x!0 1
:
lim
sin 2 (ax)
:
x!0 1
cos (bx)
sec
1
;
!0
sec
lim
lim
8. Dada una constante c; calcule los siguientes límites usando L’Hôpital
tan2 x + cx
;
x!0
x + x2
lim
x2 (c + sen x)
:
x!0 (x + sen x)2
lim
9. Calcule los siguientes límites, donde a > 0 es …jo.
2x
x!4 3x
ax + bx (a + b)x
:
x!1
(ab)x ab
a3x + 4ax 5
x!0
a4x 1
16
;
81
lim
lim
lim
10. Calcule los siguientes límites usando L’Hôpital
n
lim
1+
n!1
lim x2 + 2
;
n
1
x
x!1
;
lim
x! 1
x2 + 3x + 3
1
x+1
11. Calcule los siguientes límites usando L’Hôpital
ln 1 + x2
;
x!0
x2
ln (1 + 3x)
;
x!0
x
lim
ln 1 + x2
:
x!0
x
lim
lim
12. Calcule los siguientes límites usando L’Hôpital
1
lim (1 + x) sin x ;
lim (1 + x) 1
x!0
x
cos x
x!0
:
13. Calcule los siguientes límites usando L’Hôpital
lim
ex
x!0
1
x2
2
x
x3
;
lim
x!0
sin x
x+
x3
6
x5
;
lim
cos x
x!0
1+
x2
2
x4
14. Calcule los siguientes límites usando L’Hôpital
lim (1
x!0
1
lim (1 + sin 2x)csc x
2x) x
x!0
lim (tan x)tan 2x
x!0
lim
x!0+
sinx
x
1
x
(1 + x)1=x e
x!0+
x
1
1
lim
x
x!0 x
e
1
lim
x
lim ( sinx)e
x!0+
1
lim (ex + x) x
x!0
xx 1
:
x!0 x ln x
lim
1
:
:
187
Completitud
S. Cambronero
15. Calcule los siguientes límites usando L’Hôpital
ln 1 + x2
sin x2
x!0
1 cos x2
lim
lim
x!0
2
ex + sin x
x3
cos x
lim
x!0
2x
2tan x
x2
1=x
lim
x!0
(1 + x)
e
lim
!1
x
x!0
3x
p
x
x!a ln x
lim
3sin x
x3
p
a
ln a
188
Capítulo 8
Desarrollos de Taylor
En este capítulo estudiamos una herramienta básica en el cálculo diferencial e integral: La
teoría de desarrollos limitados y de Taylor. Esta teoría es de gran utilidad no sólo en el
cálculo de límites, sino también en el estudio de la convergencia de integrales impropias y
series.
8.1
Introducción
Sea I un intervalo abierto. Consideremos una función f : I ! R; derivable en el punto a 2 I:
Esto signi…ca que existe el límite
f 0 (a) = lim
x!a
f (x)
x
f (a)
:
a
Desde el punto de vista geométrico, este valor es la pendiente de la recta tangente a la grá…ca
de f en el punto (a; f (a)) : Desde el punto de vista numérico, la función afín
y = f 0 (a)(x
a) + f (a)
aproxima la función y = f (x) cerca de a: Más precisamente, si consideramos el resto
"(x) = f (x)
f (a)
f 0 (a)(x
a)
(8.1)
se tiene
lim "(x) = 0:
x!a
Mejor aún
lim
x!a
f (x)
"(x)
= lim
x a x!a
x
f (a)
a
f 0 (a) = 0:
De acuerdo con la siguiene de…nición se tiene
"(x) = o(x
a); cuando x ! a:
189
(8.2)
Completitud
S. Cambronero
190
De…nición 8.1.1 Se dice que f (x) es despreciable con respecto a g(x) cerca de a; si para
todo " > 0 existe > 0 tal que
jf (x)j
" jg(x)j ; para 0 < jx
aj < :
En tal caso se dice también que "f (x) es o pequeña de g (x)" y se escribe
f (x) = o(g(x));
cuando x ! a:
Note que si g no se anula en un vecindario de a; entonces f es despreciable con respecto a g
cerca de a si y solo si
f (x)
lim
= 0:
x!a g(x)
Ejemplo 8.1 Cuando x ! 0; x2 es despreciable con respecto a x: Más generalmente, xn es
despreciable con respecto a xm si m < n: En efecto, dado que n m > 0 se tiene
xn
= lim xn
x!0 xm
x!0
lim
m
= 0:
En resumen, si m < n se tiene
o(xn ) = o(xm )
cuando x ! 0
Sin embargo es falso que o(xm ) = o(xn ); es decir que la expresión anterior no es commutativa.
Ejemplo 8.2 Cuando x ! 0; f (x) = 1
lim
cos x es despreciable con respecto a x; dado que
1
x!0
cos x
= 0:
x
Es importante observar que
lim f (x) = 0 () f (x) = o (1)
x!a
cuando x ! a:
Lema 8.1.1 Son equivalentes
1. f (x) = o(g(x)) cuando x ! a
2. Existe h continua con h (a) = 0 y tal que f (x) = g (x) h (x) :
(x)
En efecto, si se tiene (1) se puede de…nir h (x) = fg(x)
cuando g (x) 6= 0 y h (x) = 0 cuando
g (x) = 0: La otra dirección es más sencilla. Se dejan los detalles como ejercicio. En resumen
se tiene
o(g(x)) = g(x)o(1); x ! a:
Considere f de…nida en un intervalo abierto I que contiene a x0 : Diremos que f es diferenciable en x0 si existe 2 R y > 0 tales que
f (x) = f (x0 ) + (x
x0 ) + " (x) ;
jx
x0 j <
donde " (x) = o (x x0 ) cuando x ! x0 : Por (8.2) se tiene que toda función derivable en x0
es diferenciable, con = f 0 (x0 ) : El recíproco es bastante directo y se deja como ejercicio.
Completitud
S. Cambronero
191
p
Ejemplo 8.3 Vamos a aproximar 101 usando una aproximación lineal para función f (x) =
p
1
x: Note que f (100) = 10, f 0 (100) = 20
; así que
p
101 = f (101)
1
(101
20
10 +
100) = 10:05:
Ejemplo 8.4 Queremos aproximar sen 1. Dado que
Tenemos que f (x) = sen x satisface f
p
3 1
f (1) =
+
1
2
2
3
3
=
p
3
2 ,
f0
3
=
3
1:732 1
+
2
2
= 1: 047 2 vamos a tomar x0 =
1
2:
Luego
3:1416
3
1
3:
0:8424:
En los ejemplos anteriores nos queda la interrogante de qué tan buena es la aproximación
obtenida. El lema siguiente nos ayuda a responder esta pregunta.
Lema 8.1.2 Sea f dos veces derivable en el intervalo I; con a 2 I: Para todo x 2 I se tiene
f (x) = f (a) + f 0 (a)(x
a) + 21 f 00 (z)(x
a)2 ;
donde z (que depende de x) está situado entre a y x: En particular,
"(x) = 12 f 00 (z)(x
a)2 :
Demostración
Para x …jo, considere la función ' : I ! R de…nida por
'(t) = f (x)
f (t)
f 0 (t)(x
t)
"(x)
(x
(x
t)2
:
a)2
Dado que f es dos veces derivable, se sigue que ' es derivable y
'0 (t) =
2"(x)
(x a)2
f 00 (t) (x
t):
Nótese que ' (a) = '(x) = 0, lo que se deduce evaluando directamente y usando (8.1). Por
el teorema de Rolle, existe z entre a y x tal que '0 (z) = 0; esto es
2"(x)
(x a)2
Como z 6= x se obtiene
f 00 (z) (x
"(x) = 21 f 00 (z)(x
z) = 0:
a)2 :
Si f 00 es acotada en un vecindario de a (para eso basta que f 00 sea continua en a), se sigue
del lema anterior que
"(x)
= 21 f 00 (z)
(x a)2
se mantiene acotada cerca de a: De acuerdo con la siguiente de…nición se tiene
"(x) = O(x
a)2 cuando x ! a:
Completitud
S. Cambronero
192
De…nición 8.1.2 Se dice que f (x) está dominada por g(x) cerca de a si existen M > 0 y
> 0 tales que
jf (x)j M jg (x)j para 0 < jx aj < :
En tal caso se dice también que "f es O grande de g cerca de a" y se escribe
f (x) = O(g(x));
cuando x ! a:
Al igual que para el lema anterior se tiene
O(g(x)) = g(x)O(1);
x ! a:
Nótese que "f (x) = O (1) cuando x ! a" signi…ca que f es acotada cerca de a.
Ejemplo 8.5 Si f (x) = O (xn ) cuando x ! 0; entonces f (x) = o (xm ) para todo m < n:
Ejemplo 8.6 En el ejemplo 8.3 se tiene f 00 (x) =
la aproximación es " (101) =
p
p
z 3 > 1003 = 1000 se tiene
1 p1
2 4 z 3 (101
0 > " (101) >
Luego
10:05 >
p
100)2 =
p1 : Entonces el error cometido en
4 x3
p1 ; donde 100 < z < 101: Dado que
8 z3
1
1
) j" (x)j <
= 0:0001 25:
8000
8000
101 > 10:05
0:000125 = 10:049875:
Nótese que usando la expansión 10:049999::: en vez de 10:05; se obtiene que nuestra aproximación nos da al menos tres dígitos exactos. Mediante una calculadora se obtiene
p
101 = 10: 04987562 : : :
Ejemplo 8.7 En el ejemplo 8.4 se tiene f 00 (x) =
sen z
1
2
" (1) =
donde z está entre 1 y
3:
2
3
0:0011138 sen z
Dado que 0 < sen z < 1 se obtiene
0 > " (1) >
y luego
sen x y entonces
p
3 1
+
1
2
2
3
> sen 1 >
0:0011138
p
3 1
+
1
2
2
3
Esto es
0:842 43 > sen 1 > 0:841 32:
Un valor más exacto para sen 1 es sin 1
0:841 47 : : :
0:0011138:
Completitud
S. Cambronero
193
Ejemplo 8.8 Considere f (x) = sen x: Para a = 0; por el lema anterior existe z entre 0 y x
tal que
1
x2
sen x = sen 0 + cos 0 x
sen z x2 = x
sen z:
2
2
Como sen z está acotado por 1 se obtiene
sen x = x + x2 O(1) cuando x ! 0:
También se tiene
sen x = x + xo (1) cuando x ! 0:
Ejemplo 8.9 Para f (x) = ex con a = 0 se tiene
ex = e0 + e0 x + ez
Como ez
x2
x2 ez
=1+x+
:
2
2
ejxj se obtiene
ex = 1 + x + x2 O(1)
cuando x ! 0
ex = 1 + x + xo (1)
cuando x ! 0
o también
Ejemplo 8.10 La función f (x) = ln(1 + x) está de…nida en ]
tiene
1
f 0 (0) = 1;
f 00 (x) =
:
(1 + x)2
Por el lema anterior
ln(1 + x) = x
x2
2(1 + z)2
1; 1[: Tomando a = 0 se
Completitud
S. Cambronero
194
con z entre 0 y x: Esto implica
ln(1 + x) = x + x2 O(1)
cuando x ! 0:
ln(1 + x) = x + xo (1)
cuando x ! 0:
o también
En particular
1
ln(1 + x)
= 1; o equivalentemente, lim (1 + x) x = e:
x!0
x!0
x
lim
Ejemplo 8.11 Usemos ahora los ejemplos anteriores para calcular
ex 1
x!0 3 ln(1 + x)
lim
x
:
Tenemos
ex 1
x!0 3 ln(1 + x)
lim
x
= lim
x!0
Ejemplo 8.12 Para calcular
x + x o(1)
1 + o (1))
1
= lim
= :
x!0
3(x + xo (1)) x
2 + o (1))
2
esen x 1
:
x!0 3 ln(1 + x)
x
lim
podemos usar el hecho que sen x ! 0 cuando x ! 0: Tomamos sen x como argumento en la
aproximación de la exponencial y obtenemos
esen x
1 = sen x + senx o(1):
Luego
esen x 1
sen x + senx o(1)
= lim
= lim
x!0 3 ln(1 + x)
sen x x!0 3(x + xo (1)) x x!0
lim
sen x
x (1
+ o (1))
1
= :
2 + o (1)
2
Alternativamente se puede hacer
esen x
1 = sen x + senx o(1) = x + xo (1)
y se continúa como en el ejemplo anterior.
Completitud
S. Cambronero
195
Podemos hablar de funciones despreciables o dominadas con respecto a otra cuando x ! 1:
Por ejemplo, f (x) = o (g (x)) cuando x ! 1 signi…ca: para todo " > 0; existe N tal que
jf (x)j
" jg (x)j ;
para x
N:
Cuando g no se anula, esto es equivalente a
f (x)
= 0:
x!1 g (x)
lim
En los ejercicios se pide desarrollar algunos ejemplos sobre estos conceptos.
Ejemplo 8.13 Para calcular el límite
lim
x!1
vemos que x21+1 = o (1) y
anteriores para obtener
1
x
x sen x21+1
ln(1 + x1 )
x sen x21+1
ln(1 + x1 )
= o (1) cuando x ! 1: Podemos entonces usar los ejemplos
x
=
1
+ x21+1 o(1)
x2 +1
1
1
x + x o(1)
cuando x ! 1: Se obtiene
lim
x!1
x sen x21+1
ln(1 +
1
x)
= lim
x2
x2 +1
=
x2
x2 +1
1 + o (1)
(1 + o (1))
1 + o (1)
x!1
(1 + o (1))
= 1:
Ejemplo 8.14 Considere f (x) = ln x; con a = 2: Note que f (2) = ln 2; f 0 (2) = 12 ; f 00 (x) =
1
: Por el lema anteior
x2
ln x = ln 2 + 21 (x
2)
1
(x
2z 2
2)2 ;
con z entre 2 y x: En particular,
ln x = ln 2 + 12 (x
8.1.1
2) + (x
2)2 O(1); cuando x ! 2:
Ejercicios
1. Usando el lema 8.1.2 con a = 23 ; aproxime cos 2. Demuestre que se obtienen al menos
dos dígitos exactos.
p
2. Aproxime 3 26 usando el lema 8.1.2. Demuestre que se obtienen al menos dos dígitos
exactos.
3. Aproxime ln (1:001) = 9: 995
puede garantizar?
10
4
partiendo de ln 1 = 0: ¿Cuántos dígitos exactos
Completitud
S. Cambronero
4. Aproxime arctan 89 partiendo de arctan 1 =
tizar?
1
4
196
: ¿Cuántos dígitos exactos puede garan-
5. Aproxime ln 7:4 partiendo de ln e2 = 2: ¿Cuántos dígitos exactos puede garantizar?
6. Calcule los siguientes límites usando el lema 8.1.2.
lim (1
x!0
1
x
lim (1 + sen 2x)csc x ;
2x) x ;
lim (sen x)e
x!0
lim (ex + x)1=x ;
x!0
lim
x!1
1+
a
x
x
1
x!0
;
lim
x!1
1+
x
x
2
x +1
:
7. Demuestre que si f (x) = O(xn+1 ) cuando x ! 0; entonces f (x) = o(xn ) cuando x ! 0:
8. Demuestre que las "o pequeñas" absorven las constantes, es decir o (g (x)) = o (g (x)).
Más precisamente
f (x) = o(g(x)) ) f (x) = o(g(x)):
Demuestre lo mismo para las "O grandes".
9. Si lim g(x) = 2 R y f (x) = o(h(x)) cuando x ! a; demuestre que g(x)f (x) = o(h(x))
x!a
cuando x ! a:
g(x)
x!a h(x)
10. Si lim
=
6= 0; demuestre que cuando x ! a se tiene:
f (x) = o(g(x)) () f (x) = o(h(x)):
11. Suponga que ' (x) = o (1) cuando x ! 1: Demuestre que
sen ' (x) = ' (x) (1 + o (1)) ;
cuando x ! 1:
Concluya que cuando x ! 1 se tiene
1
1
sen p = p (1 + o (1)) ;
x
x
sen
sen x
sen x
=
(1 + o (1)) ;
x
x
1
sen e x
1 =
1
(1 + o (1)) :
x
12. Suponga que f (x) = ' (x) + x1 o (1) cuando x ! 1; donde ' (x) ! 0 pero x' (x) ! 1
cuando x ! 1: Demuestre que
sen f (x) = ' (x) + ' (x) o (1) ;
cuando x ! 1:
13. Suponga que f (x) = ' (x) + x1 o (1) cuando x ! 1; donde ' (x) ! 0 pero x'2 (x) ! 1
cuando x ! 1: Suponga además que g (x) = ax + bx2 + x2 o (1) cuando x ! 0:
Demuestre que
g (f (x)) = a' (x) + b'2 (x) + '2 (x) o (1) ;
cuando x ! 1:
14. Suponga que f (x) = x+x3 +x3 o (1) y g (x) = x2 +x4 +x4 o (1) cuando x ! 0: Justi…que
cuidadosamente los siguientes cálculos:
g (f (x)) = x + x3
2
+ x4 + x4 o (1) = x2 + 3x4 + x4 o (1) ;
cuando x ! 0:
Completitud
8.2
S. Cambronero
197
Teorema de Taylor
La demostración del lema anteior se puede modi…car un poco para demostrar un resultado
más general. Supongamos que f : I ! R es derivable n + 1 veces y de…namos ' : I ! R por
'(t) = f (x)
f (t)
"n (x) = f (x)
f (a)
f 0 (t)(x
t)n
1 (n)
(t)(x
n! f
t)
"n (x)
(x
(x
t)n+1
;
a)n+1
donde
f 0 (a)(x
a)
1 00
2 f (a)(x
a)2
1 (n)
(a)(x
n! f
a)n :
Se tiene que '(x) = '(a) = 0: Por el teorema de Rolle, existe z entre a y x tal que '0 (z) = 0:
Note además que
'0 (t) =
f 0 (t) + f 0 (t) f 00 (t)(x t) +
h
1 (n+1)
+ (n 1 1)! f (n) (t)(x t)n 1 n!
f
(t)(x
n
= (n + 1)"n (x) (x(x a)t)n+1
1 (n+1)
(t)(x
n! f
t)n ;
i
n
t)n + (n + 1)"n (x) (x(x a)t)n+1
de donde se concluye que
(x
z)n
(n + 1)"n (x)
(x a)n+1
1 (n+1)
f
(z) = 0;
n!
esto es
"n (x) =
(n+1)
1
(z) (x
(n+1)! f
a)n+1 :
(8.3)
Esto demuestra el siguiente teorema.
Teorema 46 (Teorema de Taylor) Supongamos que f : I ! R es derivable n + 1 veces,
con a 2 I: Para todo x 2 I se tiene
f (x) = Tn (x) + "n (x);
donde
Tn (x) =
n
X
f (k) (a)
k=0
k!
(x
a)k ;
mientras que "n (x) está dado por (8.3) y z (que depende de x) está situado entre a y x:
El polinomio Tn (x) se llama el polinomio de Taylor asociado a f en el punto a (o centrado
en a).
Completitud
S. Cambronero
198
Ejemplo 8.15 La función exponencial exp(x) = ex es simple de tratar. Los coe…cientes del
0
1
polinomio de Taylor centrado en a = 0 son ak = ek! = k!
: Luego
Tn (x) =
n
X
xk
k=0
k!
; x 2 R:
El resto está dado por
ez xn+1
:
(n + 1)!
"n (x) =
Ejemplo 8.16 Para f (x) = sen x tenemos f 0 (x) = cos x; f 00 (x) =
En general
( 1)j sen x
si k = 2j;
f (k) (x) =
( 1)j 1 cos x si k = 2j 1:
sen x; f 000 (x) =
cos x:
En particular
0
( 1)j
f (k) (0) =
El polinomio de Taylor de orden 2n
T2n
1 (x)
=x
1
si k es par
si k = 2j 1:
1 está dado por
n 1
x3
+
3!
n 1
+ ( 1)
X ( 1)k x2k+1
x2n 1
=
:
(2n 1)!
(2k + 1)!
k=0
Como f (2n) (0) = 0; se tiene T2n (x) = T2n 1 (x): La fórmula de Taylor de orden 2n
da
n
X1 ( 1)k x2k+1
( 1)n sen z 2n
sen x =
+
x
(2k + 1)!
(2n)!
1 nos
k=0
y la de orden 2n
sen x =
n
X1
k=0
( 1)k x2k+1 ( 1)n cos zb 2n+1
+
x
:
(2k + 1)!
(2n + 1)!
El polinomio de Taylor es el mismo en ambos casos, pero la forma del resto varía. Por
ejemplo
x3 sen z 4
x3 cos zb 5
sen x = x
+
x =x
+
x :
6
24
6
120
En particular
sen x = x
= x
x3
+ x5 O(1)
6
x3
+ x4 o(1);
6
x ! 0:
Completitud
S. Cambronero
199
Ejemplo 8.17 Un análisis similar da como resultado el polinomio de Taylor para la función
cos x: En este caso tenemos
n
X ( 1)k x2k
x2k
+ ( 1)
=
;
(2k)!
(2k)!
x2
+
2
T2k (x) = T2k+1 (x) = 1
k
k=0
y por el teorema de Taylor
cos x =
=
n
X
( 1)k x2k
( 1)n 1 sen z 2n+1
+
x
(2k)!
(2n + 1)!
k=0
n
X
k=0
( 1)n 1 cos zb 2n+2
( 1)k x2k
+
x
:
(2k)!
(2n + 2)!
Por ejemplo
cos x = 1
x2 sen z 3
+
x =1
2
6
x2 cos zb 4
+
x
2
24
y en particular
cos x =
1
=
1
x2
+ x4 O(1)
2
x2
+ x3 o(1); x ! 0:
2
Dado que (sen x)0 = cos x; no es de extrañar que la derivada del polinomio de Taylor de orden
2n + 1 para sen x; sea precisamente el polinomio de taylor de orden 2n para cos x:
En general, el polinomio de Taylor Tn de orden n para cierta función f tiene coe…cientes
ak =
f (k) (a)
; k = 0; : : : :n:
k!
mientras que el polinomio de Taylor Sn
bk =
Entonces
Sn
1 (x)
=
1
1 para f 0 tiene coe…cientes
de orden n
(f 0 )(k) (a)
(k + 1)f (k+1) (a)
=
= (k + 1)ak+1 :
k!
(k + 1)!
n
X1
(k + 1)ak+1 (x
a)k =
k=0
n
X
kak (x
a)k
1
= Tn0 (x):
k=1
Recíprocamente, si el polinomio de Taylor de orden n para f 0 , centrado en a; es
Tn (x) =
n
X
k=0
ak (x
a)k ;
Completitud
S. Cambronero
200
entonces el de orden n + 1 para f es
f (a) +
n
X
ak
(x
k+1
a)k+1 :
k=0
Se deja al lector la demostración como ejercicio.
Ejemplo 8.18 Para la función
f (x) =
1
1 x
el resto en el desarrollo de Taylor puede ser hallado explícitamente. En efecto, dado que
f (k) (x) = k!(1 x) k 1 ; resulta que el polinomio de Taylor de orden n centrado en a = 0 es
n
X
Tn (x) = 1 + x + x2 + : : : + xn =
xk :
k=0
Se recordamos que
1
1
x
=
n
X
k=0
entonces
"n (x) =
Ejemplo 8.19 Reemplazando x con
1
=1
1+x
xk +
xn+1
1 x
xn+1
:
1 x
x en el ejemplo anterior tenemos
x + x2
: : : + ( 1)n xn +
( 1)n+1 xn+1
;
1+x
donde observamos el polinomio de Taylor de orden n
Tn (x) = 1
x + x2
: : : + ( 1)n xn =
n
X
( 1)k xk
k=0
y el resto
"n (x) =
( 1)n+1 xn+1
:
1+x
En general, si Tn (x) es el polinomio de Taylor de orden n para f , centrado en a; entonces Tn ( x) es el polinomio de Taylor de orden n para g(x) = f ( x); centrado en a
(la demostración se deja como ejercicio).
Ejemplo 8.20 Del ejemplo anterior, obtenemos el polinomio de Taylor de orden n de la
1
función f (x) = ln(1 + x); dado que f 0 (x) = 1+x
: En efecto, se obtiene
n
X1
k=0
n
( 1)k xk+1 X ( 1)k 1 xk
=
:
k+1
k
k=1
Completitud
S. Cambronero
201
Por ejemplo tenemos
x2 x3
+
2
3
ln(1 + x) = x
x4
+ x5 O(1); cuando x ! 0:
4
Ejemplo 8.21 El polinomio de Taylor para arctan x puede ser hallado similarmente. Primero
tomemos x2 en vez de x para obtener
1
1 + x2
=
n
X
: : : + ( 1)n x2n +
x2 + x4
= 1
( 1)n+1 x2n+2
;
1 + x2
( 1)k x2k +
k=0
de donde
T2n (x) =
( 1)n+1 x2n+2
1 + x2
n
X
( 1)k x2k :
k=0
Obtenemos que el polinomio de Taylor de orden 2n + 1 para arctan x; es
n
X
( 1)k
k=0
En particular
arctan x =
n
X
k=0
8.2.1
( 1)k
x2k+1
:
2k + 1
x2k+1
+ x2n+2 O(1); cuandox ! 0:
2k + 1
Ejercicios
1. Demuestre que si Tn (x) es el polinomio de Taylor de orden n para f , centrado en a;
entonces Tn ( x) es el polinomio de Taylor de orden n para g(x) = f ( x); centrado en
a.
2. Sea Tn (x) el polinomio de Taylor de orden n para f centrado en a: Si c 6= 0; demuestre
que Tbn (x) = Tn (cx) es el polinomio de taylor de orden n para h(x) = f (cx); centrado
en ac :
3. Usando el ejercicio anterior para calcular el polinomio de Taylor de orden n en los
siguientes casos:
(a) f (x) = e
x;
centrado en el origen
(b) f (x) = ln x, centrado en a =
1
8
(c) f (x) = sen (3x) ; centrado en el origen
(d) f (x) =
1
;
1+4x2
centrado ene le origen.
Completitud
S. Cambronero
202
4. Si Tn y Sn son los polinomios de Taylor de orden n para f y g respectivamente, en el
punto a, y ; 2 R; demuestre que Tn + Sn es el polinomio de taylor de grado n
para f + g. Determien el polinomio de Taylor de orden n; centrado en el origen, para
las siguientes funciones:
f (x) = ln (2x + 3) ;
g (x) = ex
3
;
h (x) = senh x;
' (x) = cosh x;
(x) =
x
2x
1
5. Si f tiene a Tn como polinomio de Taylor de orden n centrado en el origen, demuestre
que la función g (x) = f (x a) tiene como polinomio de Taylor a Sn dado por S (x) =
T (x a) : Use esto para calcular el polinomio de Taylor en los siguientes casos:
(a) f (x) = sen x, a =
2
(b) f (x) = ex ; a = 1
(c) f (x) = ln x; a = 1:
6. Escribiendo sen x = sen (a + x a) = sen a cos (x a) + cos a sen (x a) ; calcule el
polinomio de Taylor de orden n para sen x centrado en cualquier a: Haga lo mismo con
cos x:
7. En cada caso, determine el polinomio de Taylor de orden n; centrado en cualquier a del
dominio.
1
f (x) = ex ; g (x) = ; h (x) = ln x:
x
8. Determine el polinomio de Taylor centrado en a = 7 para
f (x) =
2x + 1
;
3x 2
g (x) =
x2
;
x+1
h (x) =
1
1
x3
:
9. Halle el polinomio de Taylor de orden n para f (x) = (1 + x) ; centrado en el origen.
Úselo para calcular
p
p
p
p
1 + 2x
1 2x
1+x 31 x
p
p
lim p
;
lim p
:
3
5
x!0 3 1 + 3x
x!0 4 1 + 3x
1 3x
1 3x
10. Use el resultado del ejercicio anterior para hallar el polinomio de Taylor de orden 2n
de la función
1
f (x) = p
; a = 0:
1 x2
Luego obtenga el polinomio de Taylor de orden 2n + 1 para
f (x) = arcsen x; a = 0:
:
Completitud
S. Cambronero
203
11. Halle el polinomio de Taylor de orden n; centrado en el origen, para
f (x) = ln(1
x2 );
1 x
1+x
g (x) = ln
:
¿Cuál de estos polinomios es mejor para aproximar ln 2; dado n ?
12. Halle el polinomio de Taylor de orden 4 para f (x) = sen x; centrado en a =
esto para aproximar sen
4
9
: Demuestre que el error está acotado por 10
5:
2
: Use
13. Usando el teorema de Taylor, demuestre que para cada x 2 R se tiene
x
e =
1
X
xn
n!
n=0
:
Más precisamente, demuestre que la sucesión dada por
Sn =
n
X
xk
k!
k=0
converge a ex :
14. Demuestre que para cada x 2 R se tiene
sen x =
1
X
( 1)n x2n+1
;
(2n + 1)!
cos x =
n=0
1
X
( 1)n x2n
(2n)!
n=0
en el sentido expresado en el ejemplo anterior.
15. Demuestre que
1
X
( 1)n+1 xn
ln (1 + x) =
;
n
n=1
8.3
x 2 ( 1; 1] :
Desarrollos limitados
En muchos contextos, la utilidad del teorema de Taylor radica en la forma especí…ca del
polinomio de Taylor y la potencia de (x a) que aparece en el residuo. Los desarrollos
limitados nos prermiten explotar esas dos partes que forman lo esencial a la hora de calcular
límites.
De…nición 8.3.1 Se dice que f admite un desarrollo limitado de orden n alrededor de a; si
existe un polinomio p de grado a lo sumo n; tal que
f (x) = p(x) + o(x
a)n ; cuando x ! a:
Completitud
S. Cambronero
204
Ejemplo 8.22 Considere
f (x) =
Cuando x ! 0 se tiene
x4 + 3x + 4
:
x+1
3x + 4
1
+ O x4 = 3 +
+ O x4
x+1
x+1
= 4 x + x2 x3 + o x3 :
f (x) =
Hemos hallado un desarrollo limitado de orden 3 alrededor del origen.
Ejemplo 8.23 Considere
f (x) =
p
1 + x + x5 jxj sen x1
1+x
x 6= 0
x = 0:
Entonces f admite un desarrollo limitado de orden 5 alrededor del origen. En efecto, note
que
f (x) = 1 + x + x5 o (1) ; x ! 0:
Lema 8.3.1 El desarrollo limitado de orden n; cuando existe, es único.
Demostración
Suponga que p y q son polinomios de grado a lo sumo n que satisfacen
f (x) = p (x) + o (x
Entonces el polinomio r = p
a)n = q (x) + o (x
a)n cuando x ! a:
q satisface
r (x) = o (x
a)n cuando x ! a:
Ahora demostremos por inducción sobre n que eso solo puede llevar a que r (x) es el polinomio
nulo. En el caso n = 0; r es una constante que cumple r = o (1) : Esto solo puede ocurrir si
r = 0:
Asumiendo el resultado cierto para n; considere r de grado a lo sumo n + 1, tal que
r (x) = o (x
a)n+1 ;
x ! a:
En particular r (a) = 0 y por el teorema del factor se sigue que r (x) = (x a) s (x) ; donde
s (x) es un polinomio de grado a lo sumo n: De inmediato se sigue que s (x) = o (x a)n
y por la hipótesis de inducción se obtiene que s es el polinomio nulo, lo que implica que r
también lo es. Finalmente, como r = 0 se obtiene p = q:
Por la fórmula de Taylor, si f (n+1) es continua en a; entonces f admite un desarrollo limitado
de orden n alrededor de a; dado que en tal caso
"n (x)
x a (n+1)
=
f
(z) ! 0:
n
(x a)
(n + 1)!
El siguiente teorema demuestra que basta pedir continuidad de f (n) en el punto a:
Completitud
S. Cambronero
205
Teorema 47 Si f es derivable n veces en I; con f (n) continua en a; entonces
Tn (x) =
n
X
f (k) (a)
k=0
k!
a)k
(x
es un desarrollo limitado de orden n para f alrededor del punto a: Esto es
f (x) = Tn (x) + o(x
Además, Tn es el único polinomio de grado
Demostración
Por el teorema de Taylor de orden n
f (x) = Tn
a)n ; cuando x ! a:
(8.4)
n con esta propiedad.
1 tenemos
1 (x)
+
1 (n)
(z)(x
n! f
a)n ;
donde z está entre a y x: Sumando y restando el término de orden n se obtiene
h
i
1
f (x) = Tn (x) + n!
f (n) (z) f (n) (a) (x a)n :
Por la continuidad de f (n) en a tenemos
h
i
(n)
(n)
1
f
(z)
f
(a)
= o (1) ;
n!
cuando x ! a:
Esto demuestra (8.4). La unicidad se obtiene del lema anterior.
Corolario 8.3.1 Suponga que 0 2 I; f es derivable n veces en I; con f (n) continua en el
origen. Para k 2 N de…na g(x) = f (xk ): Si Tn es el polinomio de Taylor de orden n para f
en el origen, entonces Snk (x) Tn (xk ) es el polinomio de Taylor de orden nk para g en el
origen.
Demostración
Como f (x) = Tn (x) + o(xn ) cuando x ! 0; tenemos
g(x) = f (xk ) = Tn (xk ) + o(xnk ); x ! 0:
El resultado se obtiene de la unicidad del desarrollo limitado de orden nk para g:
De acuerdo con los ejemplos de la sección anterior, tenemos los siguientes desarrollos limitados:
n
n
X
X
( 1)k x2k+1
( 1)k x2k
sen x =
+ x2n+2 o(1); cos x =
+ x2n+1 o(1):
(2k + 1)!
(2k)!
k=0
k=0
Para la expoencial y logarítmica tenemos
ex =
n
X
xk
k=0
k!
+ xn o(1);
ln(1 + x) =
n
X
( 1)k 1 xk
+ xn o(1):
k
k=1
Completitud
S. Cambronero
206
Para la función arctan tenemos
arctan x =
n
X
( 1)k x2k+1
+ x2n+1 o(1)
2k + 1
k=0
mientras que
1
1
x
+ xn + xn o(1):
= 1 + x + x2 +
Ejemplo 8.24 Para hallar el desarrollo limitado de orden 5 para f (x) = sen2 x; podemos
usar la fórmula
sen2 x =
=
1
2 (1
1
2
cos 2x)
1
1+
(2x)2
2
(2x)4
+ o((2x)5 )
24
1 4
x + x5 o(1):
3
= x2
Este desarrollo puede ser hallado también de
sen2 x =
x
2
x3
+ x4 o(1)
6
desarrollando el cuadrado.
Ejemplo 8.25 El desarrollo limitado de orden 5 para cos2 x se obtiene ahora fácilmente
cos2 x = 1
sen2 x = 1
1
x2 + x4 + x5 o(1):
3
Ejemplo 8.26 Hallemos ahora el desarrollo limitado de orden 5 para la función sec x: Tenemos
sec x =
1
=
cos x
1
x2
2
= 1+
1
x2
2
x4
+
x4
24
+
+ o(x5 )
x4
+ x5 o(1)
4
24
5x4
= 1+
+
+ x5 o(1)
2
24
x2
donde hemos usado el desarrollo de
1
, con t =
x2
2
1 t
omitido los términos que son despreciables con respecto a
Ejemplo 8.27 Hallar el límite
(sen x)x 1
:
x!0+
x2x 1
lim
x4
24 +
x5 :
x5 o(1): En cada paso se han
Completitud
S. Cambronero
Primero observe que cuando x ! 0 por la derecha se tiene
ln(sen x)x = x ln(sen x)
= x ln(x + x2 o(1))
= x [ln x + ln(1 + xo(1))]
= x [ln x + xo(1)] = x ln x + x2 o(1):
Entonces
2 o(1)
(sen x)x = ex ln x+x
= 1 + x ln x + x2 o(1) + x ln x o(1)
= 1 + x ln x + x ln x o(1):
Similarmente
x2x = e2x ln x = 1 + 2x ln x + x ln x o(1)
así que
(sen x)x 1
x ln x + x ln x o(1)
1 + o(1)
1
=
=
! :
2x
x
1
2x ln x + x ln x o(1)
2 + o(x)
2
Ejemplo 8.28 Calculemos el desarrollo de orden 7 para la función
x
sen x
f (x) =
1
si x 6= 0
si x = 0
en el origen. Para empezar observe que para x 6= 0 se tiene
x
f (x) =
x
x3
6
x7
5040
+ x8 o (1)
1
=
1
Ahora aplicamos el desarrollo de (1
t=
+
x5
120
x2
6
t)
x2
x4
6
120
1
+
x6
5040
:
+ x7 o (1)
con
x4
x6
+
+ x7 o (1) :
120 5040
En cada paso, se omiten los términos que son despreciables con respecto a x7
f (x) = 1 + t + t2 + t3 + t4 o (1)
x2
6
x2
6
2
3
x4
x6
x2
x4
x2
+
+
+
+ x7 o (1)
120 5040
6
120
6
x4
x6
x4
x6
x6
= 1+
+
+
+
+ x7 o (1)
120 5040
36 360
216
1
7 4
31 6
= 1 + x2 +
x +
x + x7 o (1) :
6
360
15120
1+
207
Completitud
8.3.1
S. Cambronero
208
Ejercicios
1. Halle en forma directa (derivando) el desarrollo limitado en cada caso.
(a) f (x) = tan x; orden 3; centardo en a = 4 :
(b) f (x) = ln(cos x); orden 4; centrado en el origen.
(c) f (x) = arcsin x; orden 5; centrado en el origen.
(d) f (x) = csc x; orden 4; centrado en a = 4 :
(e) f (x) = ln(1
sin x); orden 4; centrado en el origen.
2. Encuentre los desarrollos del ejercicio anterior combinando los ejemplos ya conocidos.
3. Calcule el desarrollo de f (x) = ln3 (1 + x) ; de orden 5; centrado en el origen.
4. Calcule el desarrollo de orden 7; centrado en el origen, para la función f (x) = sec x:
5. Caclule el desarrollo de orden n para las funciones
f (x) = cosh x;
g(x) = sinh x:
6. Calcule los siguientes límites usando desarrollos limitados.
1
(1 + x) x
lim
x!0+
x
e
;
1
lim (ex + x) x ;
lim
2x
x!0
lim
x!0
x!0
2tan x
;
x2
1
1
x
x e
1
sin x
lim
x!0+
x
xx 1
lim
:
x!0 2x ln x
;
1
x
7. Calcule los siguientes límites usando desarrollos limitados
ln 1 + x2
sin x2
;
lim
x!0
1 cos x2
lim
x!0
8. Calcule
2
ex + sin x + cos x
p
;
ln (1 + 2x4 )
2
lim
x!0+
4ex
lim
x!0
lim
x!0
4 cos x3
2
1
2 cos x x2
;
x2
1
1 !x
(1 + x) x
;
e
p
2 sin x4 8 1 + x2
p
3
1
1 + 13x6
9. En cada caso, halle el desarrollo limitado que se pide
2
(a) f (x) = (1 + x)x ; en el origen, orden 6
(b) g (x) = (x + 1)x+1 ; en el origen, orden 3
(c) h (x) = xx ; en a = 1; orden 3 (use el anterior)
lim
3x
3sin x
x3
x!0
sin2 ( x)
:
x!1 cos2 ( x)
2
lim
x4 + 8
:
;
Completitud
S. Cambronero
1
(d) ' (x) = (1 + x) x ; en el origen, orden 2:
10. Realice los cálculos para veri…car que cuando x ! 0 se tiene:
1
1 + x (1 + x) x
x
= 1 + ex2
e
(e + 1) x3 + x3 o (1) :
2
Deduzca el valor de los límites
1
1 + x (1 + x) x
lim
x!0
x2
x
1
1
1 + x (1 + x) x
;
lim
x!0
x3
x
1
ex2
:
209
Capítulo 9
Integral inde…nida
En muchas aplicaciones del cálculo diferencial aparecen ecuaciones en que se debe determinar
cierta función a partir del conocimiento de ciertas relaciones entre sus derivadas. El caso
más simple se presenta cuando queremos determinar una función a partir del conocimiento
explícito de su primera derivada. Al proceso de determinar la forma de f a partir de f 0 se le
llama integración inde…nida.
En lo que sigue tratamos este proceso y establecemos las principales técnicas de integración
inde…nida. Luego incluimos una serie de aplicaciones interesantes, incluyendo aquellas relacionadas con conceptos como de área entre curvas y volumen de sólidos de revolución, sin
preocuparnos por los detalles técnicos de la integración de…nida, que será tema a tratar en el
siguiente curso.
9.1
De…nición y ejemplos
Decimos que una función F es una primitiva (o antiderivada) de f en el intervalo abierto I
si F 0 (x) = f (x) para cada x 2 I: Estudiamos a continuación algunos ejemplos, con base en
nuestro conocimiento previo del cálculo diferencial.
Ejemplo 9.1 La función de…nida por F (x) = x2 + 3x + 7 es primitiva de la función dada
por f (x) = 2x + 3 en todo R.
p
Ejemplo 9.2 Para cualquier constante c; la función de…nida por F (x) = c + 1 x2 es
primitiva de
x
f (x) = p
1 x2
en el intervalo ]
1; 1[:
Ejemplo 9.3 La función de…nida por F (x) = sen x + c es primitiva de f (x) = cos x en
todo R; donde c es cualquier constante.
210
Completitud
S. Cambronero
211
Ejemplo 9.4 La función de…nida por F (x) = arctan x + c (donde c es cualquier constante)
es primitiva de
1
f (x) =
1 + x2
en todo R:
Ejemplo 9.5 La función de…nida por F (x) = tan x es primitiva de f (x) = sec2 x en cada
intervalo de la forma
; n 2 Z:
2 +n ; 2 +n
Ejemplo 9.6 La función F (x) = cex es primitiva de sí misma en todo R, para cualquier
constante c.
Como el lector podrá haber intuido, si F (x) es una primitiva de f (x) ; se sigue que F (x) + c
también lo es, para cualquier constante c: Recíprocamente, cualquier otra primitiva tiene esta
forma. En efecto, si G es otra primitiva de f; se tiene (G F )0 = f f 0; así que G F
es constante. Esto es, toda primitiva de f tiene la forma
G (x) = F (x) + c:
A la familia de todas estas antiderivadas de f en I se le llama la integral inde…nida de f en
I; y se denota
Z
f (x) dx = F (x) + c:
Ejemplo 9.7 La función exponencial es antiderivada de sí misma, es decir
Z
ex dx = ex + c:
Mientras
Z
dx
= ln x + c:
x
Ejemplo 9.8 De acuerdo con los ejemplos del principio de sección se tiene:
Z
Z
p
x
2
p
(2x + 3) dx = x + 3x + c;
dx = 1 x2 + c:
1 x2
Ejemplo 9.9 En forma similar se tiene
Z
Z
dx
cos x dx = sen x + c;
= arctan x + c;
1 + x2
Z
sec2 x dx = tan x + c:
Ejemplo 9.10 Otros ejemplos que se obtienen de manera inmediata son:
Z
Z
Z
dx
dx
p
p
= arcsen x + c;
sec x tan x dx = sec x + c;
= arcsec x + c:
1 x2
jxj x2 1
Completitud
S. Cambronero
212
Ejemplo 9.11 Derivando la función
F (x) = ln jsec x + tan xj
se tiene
F 0 (x) =
Esto quiere decir que
1
sec x tan x + sec 2 x = sec x:
sec x + tan x
Z
sec xdx = ln jsec x + tan xj + c:
Un resultado elemental pero de carácter general es el siguiente, que establecemos como un
lema.
Lema 9.1.1 Para cada
9.1.1
2R
f 1g se tiene
Z
x
x dx =
+1
+ c:
+1
(9.1)
Ejercicios
1. Calcule las siguientes integrales inde…nidas:
Z
Z
p
cot2 x dx
x x dx
2. Demuestre que si
6= 0 entonces
Z
e x dx =
Z
e
sen2 x2
dx
Z
jxj dx:
x
+ c:
3. Demuestre que
Z
4. Demuestre que
Z
5. Demuestre que
p
p
p
dx
= arcsinh x + c = ln x + x2 + 1 + c:
x2 + 1
p
dx
= arccosh x + c = ln x + x2
x2 1
Z
f (x) dx =
Más precisamente, si F es primitiva de f y
de f:
Z
1 + c;
x > 1:
f (x) dx.
es una constante, entonces F es primitiva
Completitud
6. Demuestre que
S. Cambronero
Z
(f (x) + g(x)) dx =
Z
f (x) dx +
Z
213
g(x) dx:
Esto es, si F y G son primitivas de f y g respectivamente, entonces F + G es primitiva
de f + g:
7. Usando los ejercicios anteriores calcule
Z
Z
p
5
2
6x + 3x 1 dx;
x
x+ p
x
dx;
Z
x2 dx
:
1 + x2
8. Usando los ejemplos vistos al principio de la sección, y las propiedades anteriores, calcule
Z
Z
Z
Z
1 x
1 + x + x2
p
dx;
cos2 x2 dx;
tan2 x dx:
dx;
2
x
1 x
9. Calcule las siguientes integrales
Z
Z
Z p
p
3
(t + csc t cot t) dt;
sec x (sec x + tan x) dx;
x2 + x 4 x
p
Z
Z
Z
Z
x+ x
dx
sen 2x
p
dx;
dx
jsen xj dx
3
4
sen x
x
(3x)
10. Calcule la integral
Z
1
dx
: Sug. Note que
sen x
1
1
1 + sen x
=
= sec2 x + sec x tan x:
sen x
cos2 x
dx
11. Demuestre que
d
dx
arctan
1
+ arctan x
x
= 0; para x 6= 0:
Concluya que arctan x1 +arctan x = 2 para x > 0: ¿Cómo interpreta usted esta igualdad
cuando x = 0 ? ¿Cuál es la identidad correspondiente para x < 0 ?
12. Deduzca el resultado del ejercicio anterior directamente, usando el hecho que tan
cot :
9.2
2
El método de sustitución
Hasta el momento hemos podido crear una serie de ejemplos, con base en ejemplos previos,
combinándolos vía sumas y productos por escalares. A continuación veremos nuevas maneras
de combinar los integrandos, a través de composiciones. Comenzamos con un ejemplo.
=
Completitud
S. Cambronero
214
Ejemplo 9.12 Considere la función F (x) = sen x2 y note que F 0 (x) = 2x cos x2 : Esto nos
dice que
Z
2x cos x2 dx = sen x2 + c:
En la práctica, se puede tener el problema de hallar la integral inde…nida de 2x cos x2 ; o en
general de una función de la forma 2xf (x2 ): Si conocemos una primitiva F de f; se sigue que
0
F (x2 ) = 2xF 0 (x) = 2xf (x)
y consecuentemente
Z
2xf (x) dx = F (x2 ) + c:
Ejemplo 9.13 Para calcular
Z
2x
dx
+1
x4
vemos que el integrando es 2xf x2 ; donde f (x) =
primitiva de f tenemos
Z
1
: Ahora, como arctan x es una
x2 + 1
2x
dx = arctan x2 + c:
+1
x4
Un poco más generalmente, si F es una primitiva de f y u es una función derivable, entonces
d
F (u(x)) = F 0 (u(x))u0 (x) = f (u(x))u0 (x);
dx
esto es
Z
f (u(x))u0 (x) dx = F (u(x)) + c:
El método de sustitución consiste en tratar de expresar el integrando en la forma f (u(x))u0 (x);
donde la función f tenga una primitiva conocida, digamos F:
Z
Z
1
2
3
Ejemplo 9.14 Para calcular I = x cos x dx; primero la escribimos I = 3 3x2 cos x3 dx;
donde el integrando tiene la forma deseada, con f (x) = cos x y u (x) = x3 : Como F (x) =
sen x es una primitiva de f; se sigue que
Z
Z
2
3
1
x cos x dx = 3 3x2 cos x3 dx = 13 sen x3 + c:
Z
sen x1
Ejemplo 9.15 En la integral
dx se puede tomar f (x) = sen x; u (x) = x1 . Dado
x2
que cos x es primitiva de f obtenemos
Z
Z
sen x1
1
1 0
dx = f
dx = cos x1 + c:
x2
x
x
Completitud
S. Cambronero
215
du
= x12 , podemos escribir formalEn el ejemplo anterior, dado que para u = x1 tenemos
dx
dx
mente du =
y sustituir en la integral
x2
Z
Z
sen x1
dx
=
sen u du = cos u + c = cos x1 + c:
x2
Veamos otros ejemplos utilizando esta técnica.
Z
cos x
Ejemplo 9.16 Para calcular
dx; con u = sen x se tiene
1 + sen2 x
Z
Z
cos x
du
dx =
= arctan u + c = arctan (sen x) + c:
2
1 + sen x
1 + u2
Z
Ejemplo 9.17 Para calcular
tan2 x sec2 x dx tomamos u = tan x: Se obtiene
Z
2
2
tan x sec x dx =
Ejemplo 9.18 Para calcular
Z
Z
4
tan x dx =
x
2
Z
+c=
1
3
tan3 x + c:
tan4 x dx podemos proceder así:
Z
1
3
=
Luego el cambio u =
Z
1 3
3u
2
2
tan x tan x dx =
tan2 x sec2 x dx
Z
3
1
sec2 x
3 tan x
=
niendo
u2 du =
Z
=
Ejemplo 9.19 Para calcular
Z
tan3 x
Z
Z
tan2 x sec2 x
1 dx
tan2 x dx
1 dx
tan x + x + c:
dx
podemos factorizar el 4 en el denominador, obtex2 + 4
Z
Z
dx
1
dx
=
:
2
2
x
x +4
4
+1
2
nos da
dx
=
x2 + 4
1
4
Z
2du
=
u2 + 1
1
2
arctan u + c =
1
2
arctan
Ejemplo 9.20 Un cálculo similar nos lleva en general a
Z
dx
1
x
= arctan
+ c; para a > 0:
2
2
x +a
a
a
x
2
+ c:
Completitud
S. Cambronero
Ejemplo 9.21 Para calcular la integral
Z
x2
completamos el cuadrado, obteniendo
Z
216
dx
+ 2x + 2
dx
=
x2 + 2x + 2
Z
dx
:
(x + 1)2 + 1
Luego el cambio de variables u = x + 1 nos lleva a
Z
Z
du
dx
=
= arctan u + c = arctan (x + 1) + c:
x2 + 2x + 2
u2 + 1
Ejemplo 9.22 Similarmente tenemos
Z
Z
dx
=
x2 + x + 1
dx
x+
1 2
2
+
3
4
=
Z
du
;
+ 34
u2
tomando u = x + 21 : Luego, por uno de los ejemplos anteriores
Z
Z
du
dx
2u
=
= p23 arctan p
+c
2
2
3
x +x+1
u + 34
=
Ejemplo 9.23 Para calcular
p2
3
p
arctan 2x+1
+ c:
3
Z
p
dx
4x x2
3
completamos el cuadrado dentro de la raíz
Z
Z
dx
p
q
=
4x x2 3
1
dx
(x
:
2
2)
Tomando u = x 2 obtenemos
Z
Z
dx
du
p
p
=
= arcsen u + c = arcsen (x 2) + c:
2
4x x
3
1 u2
Z
p
dx
p
Ejemplo 9.24 En integrales como
; en las que aparece un x; es conveniente
x (x + 1)
p
tomar u = x: Es decir, x = u2 : En tal caso se obtiene dx = 2u du: En nuestro caso
Z
Z
Z
p
dx
2udu
du
p
=
=2
= 2 arctan x + c:
2
2
u (u + 1)
u +1
x (x + 1)
Completitud
S. Cambronero
217
Z
x+3
dx; en la que aparece un término lineal
x 4
4: Obtenemos
Ejemplo 9.25 Para calcular integrales como
en el denominador, conviene tomar u = x
Z
Z
u+7
x+3
dx =
du = u + 7 ln u + c = x + 7 ln (x
x 4
u
Nótese que al …nal, en vez de x
constante general.
Ejemplo 9.26 Para calcular
4 escribimos x; ya que el
4) + c:
4 puede ser absorvido por la
Z
x3 + 4x2 x + 3
dx
x2 2x + 2
conviene primero efectuar la división de polinomios indicada, obteniendo
Z
Z 3
9x 9
x + 4x2 x + 3
dx =
x+6+ 2
dx
2
x
2x + 2
x
2x + 2
Z
x2
9x 9
=
+ 6x +
dx:
2
2
x
2x + 2
Ahora, tomando u = x2
Z
Finalmente
9.2.1
Z
2x + 2 obtenemos du = 2(x 1) dx: Entonces
Z
9x 9
du
9
dx = 2
= 92 ln juj + c:
2
x
2x + 2
u
x3 + 4x2 x + 3
dx =
x2 2x + 2
x2
2
+ 6x + 92 ln x2
2x + 2 + c:
Ejercicios
1. Calcule la integral inde…nida por sustitución
Z
Z
Z
p
p
4
2x + 3 dx
cot x dx
sen x 1 + cos x dx
p
Z
Z
Z
sen x
x
1
p
p
p
dx
dx
dx
2
4
x
x2
Z
Z 3+x
Z x
sen 5 x cos3 x dx
tan4 x sec2 x dx
tan6 x dx
Z
Z
Z
p
sec4 x dx
sen3 x dx
x 2x + 3 dx
p(x)
2. Cuando el integrando tiene la forma ax+b
; donde p(x) es un polinomio, el cambio
u = ax + b siempre funciona. Convénzase de esto calculando:
Z
Z
Z
Z 4
x+3
2x2 + 4x + 5
x3
x
6x
dx;
dx;
dx;
dx:
2x + 1
x 1
x+1
7 x
Completitud
S. Cambronero
218
3. Calcule las siguientes integrales:
Z
Z q
Z
Z
p
2x 1
x
3
5
p
p
x 3x + 4 dx
x (3x 2) dx
dx
dx
x+1
Z
Z
Z x+5
Z x+1
p
p
p
dx
p
p
x3 x 2 dx
(x + 1) 2 x dx
x2 3 x + 1 dx
dx
x 1+ x+1
4. Use el cambio de variable u =
x
a
para calcular la integral
Z
p
Z
dx
p
; con a > 0:
x x2 a2
dx
a2
x2
; con a > 0:
Proceda similarmente con
5. Halle una función y = '(x) tal que
dy
= 3x2 + x;
dx
y(0) = 1:
6. Demuestre que si f es derivable, entonces
Z
1
[f (x)]n+1 + c; n 6=
[f (x)]n f 0 (x) dx =
n+1
7. Calcule las integrales
Z
dx
p
;
x x2 4
Z
dx
p
;
x x2 + 2x
Z
p
dx
:
2x x2
8. Calcule las siguientes integrales
p
Z
Z
Z
sec2 x + 5
x+3
dx
p
p
p
dx
dx
2
Z p x+5
Z x+2
Z 2x x
x 1
dx
dx
p dx
p
p
p
p
3
1
x
x
+
x
1+ x
9. Calcule la integral
Z p
p
1:
Z
Z
p
x
dx
x4
dx
p
:
1+ x+1
1
x2 1
dx: Observe primero que
x
x2 1
x2 1
x
= p
=p
2
2
x
x x
1
x
1
1
p
x x2
1
:
Completitud
9.3
S. Cambronero
219
Sustituciones trigonométricas
A continuación presentamos una serie de ejemplos, en los que las funciones trigonométricas
juegan un papel importante.
Rp
Ejemplo 9.27 Calcular
1 x2 dx: El hecho que 1 sen2 = cos ; nos sugiere que hagamos
p el cambio x = sen (equivalentemente = arcsen x). Obtenemos así dx = cos d
y 1 x2 = cos (se puede obviar el signo, pues lo importante es el resultado …nal). Se
obtiene entonces
Z p
Z
Z
1 + cos 2
sen 2
2
2
1 x dx = cos d =
d = +
+ c:
2
2
4
p
Luego, como = arcsen x y sen 2 = 2 sen cos = 2x 1 x2 ; se obtiene
Z p
p
1 x2 dx = 12 arcsen x + 12 x 1 x2 + c:
p
En general, si en una integral aparece una expresión de la forma a2 x2 ; se puede intentar
el cambio x = a sen ; o también x = a cos :
R 2
Ejemplo 9.28 Para calcular la integral px4 +1x2 dx; hacemos el cambio x = 2 cos : Obtenemos
Z
Z
Z
x2
4 cos2
p
p
dx =
( 2 sen ) d = 4 cos2 d
4 x2
4 4 cos2
p
=
2
sen 2 + c = 2 arccos x2 x2 4 x2 + c
p
Similarmente, si en una integral aparece una expresión de la forma a2 + x2 ; se puede intentar
el cambio x = a tan ; o también x = a cot : Luego, se hace uso de una de las identidades
1 + tan2 = sec2 ;
Ejemplo 9.29 Para calcular
I=
Z
1 + cot2 = csc2 :
p
dx
x2 + 9
hacemos x = 3 tan : Se obtiene
Z
Z
3 sec 2
p
I=
d = 3 sec d = ln jsec + tan j + c:
9 tan2 + 9
donde hemos usado el ejemplo 9.11. Finalmente
I = ln jsec + tan j + c = ln
p
1p 2
x
x +9+
+ c = ln x + x2 + 9 + c:
3
3
En el último paso, la constante arbitraria c absorbe un
ln 3:
Completitud
9.3.1
S. Cambronero
220
Ejercicios
1. Calcule las siguientes integrales mediante el cambio x = sen
Z
Z
Z
Z p
dx
dx
dx
2
p
p
p
1 x dx;
;
;
:
2
2
2
1 x
x 1 x
x 1 x2
2. Calcule las siguientes integrales mediante el cambio x = tan
Z
Z p
Z
Z
dx
dx
dx
2
p
p
p
;
;
:
1 + x dx;
2
2
2
1+x
x 1+x
x 1 + x2
3. Calcule las siguientes integrales mediante el cambio x = sec
Z
Z p
Z
Z
dx
dx
dx
2
p
p
p
;
;
x
1 dx;
x2 1
x x2 1
x2 x2
4. Calcule la integral
Z
:
sen 3x cos 5x dx: Use la identidad trigonométrica
sen cos
9.4
1
=
1
(sen ( + ) + sen (
2
)) :
Integración por partes
Considere f y g derivables en un intervalo I. Por la regla del producto se tiene
d
(f (x)g(x)) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x):
dx
Si conocemos iuna primitiva '(x) de f 0 (x)g(x); obtenemos
d
(f (x)g(x)
dx
es decir que f (x)g(x)
'(x)) = f (x)g 0 (x)
'(x) es una primitiva de f (x)g 0 (x): En otras palabras
Z
Z
0
f (x)g (x) dx = f (x)g(x)
f 0 (x)g(x) dx:
(9.2)
Esta igualdad es de gran utilidad en el cálculo de primitivas, como lo ilustran los ejemplos
que incluimos a continuación.
R
Ejemplo 9.30 Para calcular la integral x sen x dx; se puede tomar f (x) = x; g 0 (x) =
sen x: Se obtiene f 0 (x) = 1; g (x) = cos x: Al aplicar la identidad (9.2) se obtiene
Z
Z
x sen x dx =
x cos x
cos x dx
=
x cos x + sen x + c
Completitud
S. Cambronero
221
En la práctica, es más sencillo escribir u = f (x) ; dv = g 0 (x) dx; de donde du = f 0 (x) dx y
v = g (x) : Se obtiene
Z
Z
udv = uv
vdu:
Ejemplo 9.31 Para calcular
Z
x2 ln xdx
hacemos u = ln x; dv = x2 dx: Se obtiene
Z
x2 ln xdx =
=
Ejemplo 9.32 En general, la integral
x3
ln x
3
x3
ln x
3
Z
x3 dx
3 x
x3
+c
9
Z
xn ln xdx
Z
eax cos (bx ) dx
se puede calcular usando u = ln x; dv = xn : Se obtiene
Z n+1
Z
x
dx
xn+1
n
ln x
x ln xdx =
n+1
n+1 x
xn+1
xn+1
=
ln x
+ c:
n+1
(n + 1)2
Ejemplo 9.33 Integrales como
I=
se pueden calcular mediante el uso de integración por partes en dos pasos. En efecto, tomamos
u = eax ; dv = cos bx dx: Tenemos
Z
a
ax sen (bx)
I=e
eax sen (bx) dx:
b
b
Luego, en la integral de la derecha tomamos u = eax ; dv = sen (bx) dx y obenemos
Z
a
a
ax sen (bx)
ax cos (bx)
I=e
e
+
eax cos (bx) dx :
b
b
b
b
Esta última integral es de nuevo I; así que
I = eax
sen (bx) a cos (bx)
+
b
b2
a2
I
b2
de donde se despeja
I=
Z
eax cos (bx ) dx = eax
a cos (bx) + b sen (bx)
a2 + b2
+ c:
Completitud
9.4.1
S. Cambronero
Ejercicios
1. Calcule las siguientes integrales por partes
Z
Z
Z
x tan x dx
arcsec x dx
ex sen xdx
Z
Z
Z
2
n ln x dx
px
dx
x
xn ex dx
1 x2
2. Calcule
I=
Z
eax sen (bx ) dx:
222
Referencias
[1] Apóstol, T. Calculus. Editorial Reverté, S.A. 2da. edición, Barcelona 1978.
[2] Apóstol, T. Análisis Matemático. Editorial Reverté S.A. 2da. edición. 1982.
[3] Bartle, R. Introducción al Análisis Matemático. Limusa-Noriega, 1980.
[4] Bartle, R.G. & D.R. Sherbert. Introducción al Análisis Matemático de una Variable.
Limusa, 1996.
[5] Berberian, S.K. A First Course in Real Analysis, UTM, Springer-Verlag, 1994
[6] Boyer, C. Historia de la matemática. Madrid, Alianza Universidad, 1986.
[7] Courant, R. & F. John. Introduction to Calculus and Analysis. Vol. I. Springer-Verlag,
N.Y. 1989.
[8] Courant, R. & H. Robbins. What is Mathematics? New York, 1941.
[9] Dorronsoro, G. & Hernández, E. (1996). Números, grupos y anillos. Madrid: Universidad. Autónoma de Madrid.
[10] Eves, H. An Introduction to the History of Mathematics. 3rd ed. NY 1961.
[11] Halmos, P.R. Naive Set Theory. Springer–Verlag, NY 1974.
[12] Leithold Louis. El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Harla. 1987., 1971.
[13] Pedrick, G. A …rst Course in Analysis. Springer-Varlag, N.Y. 1994.
[14] Pownall, M.W. Real Analysis. A …rst course with foundations. WCB Publishers, 1994.
[15] Priestly. Calculus: An Historical Approach. Springer-Verlag. 1979.
[16] Ross. Elementary Analysis: The theory of Calculus. Springer-Verlag. 1980.
[17] Rudin W. Principios de Análisis Matemático. McGraw–Hill. 2da. edición. 1966.
[18] Spivak, M. Cálculo In…nitesimal. Editorial Reverté, 1977.
[19] Sprecher, D.A. Elements of Real Analysis. Dover Pub. Inc. New York, 1970.
223