4.4. Quadratische Funktionen mit dem Funktionsterm 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ( 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ)
Die Graphen dieser Funktionen sind ebenfalls verschobene Normalparabeln. Leider kann man den
Scheitelpunkt hier nicht ablesen.
Beispiel 1: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5
Ergänze die folgende Wertetabelle! Berechne dabei f(0,5) und f(1,5) durch Einsetzen in den Term.
Probiere für den Rest Tabellenberechnung mit dem TR: Menu 6 (ältere Rechner: Mode → 3 table
→ jetzt den Funktionsterm eingeben f(x) = ….. dazu alpha-taste drücken und suchen über welcher Taste
der Buchstabe x steht, diese dann drücken und entsprechende Operationen durchführen, bis der Term
dasteht. (g(x) mit „=“ überspringen)
Dann auf „=“ → Startwert 0 eingeben → „=“ → Endwert 4 eingeben → Schrittweite 1 eingeben →
dann kommt eine dreispaltige Tabelle: in der 2. Spalte sind deine x-Werte , in der 3. Spalte findest du die
dazugehörigen y-Werte (wenn du mit der Pfeiltaste nach unten gehst, kannst du alle aufrufen).
Du kannst auch Schrittweite 0,5 eingeben, dann bekommst du die Zwischenwerte.
x
0
1
2
3
4
0,5
1,5
y
Zeichne jetzt den Graphen in dein früheres Koordinatensystem ein. Was fällt dir auf?
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Wenn man die Scheitelform einer quadratischen Funktion hat, kann man sich die Arbeit mit der
Wertetabelle ersparen und noch andere Anwendungen machen. Wie kann man den obigen Term in
Scheitelform umwandeln?
Das Verfahren der quadratischen Ergänzung
In der Scheitelpunktform kommt die 1. oder 2. binomische Formel vor. Man muss den Term also so
umformen, dass man diese Formeln anwenden kann.
Vergleiche 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)2
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 = 𝑥 2 − 2 ∙ 2𝑥 + 22 − 22 + 5
= (𝑥2 − 2 ∙ 2𝑥 + 4) − 4 + 5
(𝑥 − 2)2
=
+1
Wenn man das fehlende Stück 𝑏 2
hier 22 dazuzählt und wieder
abzieht, hat man insgesamt nichts
geändert.
Dieses Vorgehen funktioniert immer.
Alternativ könnte man sich das fehlende quadratische Stück auch von der 5 „klauen“. Das ginge dann
so:
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 + 1 = (𝑥 − 2)2 + 1
In jedem Fall muss man die vollständige binomische Formel herstellen.
Beispiel 2: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 7
Wandle den Term durch quadratische Ergänzung in Scheitelpunktform um. Gib den Scheitelpunkt an
und entscheide mit der Lage des Scheitelpunkts, ob die Parabel Nullstellen hat.
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Berechnung von Nullstellen
Um die Nullstellen von quadratischen Funktionen der Form 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 zu bestimmen,
wandelt man den Term durch quadratische Ergänzung in die Scheitelpunktform um und setzt diese
gleich Null.
Beispiel: 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)2 − 2
(𝑥 − 3)2 − 2 = 0
(𝑥 − 3)2 = 2
Bringe zuerst die Zahl 2 auf die andere Seite!
Ziehe die Wurzel auf beiden Seiten!
√(𝑥 − 3)2 = √2
|𝒙 − 𝟑| = √2
Beachte, was du beim Rechnen mit Wurzeln gelernt hast!
Wurzel und Quadrat heben sich nicht einfach auf. Betragsstriche sind nötig!
Es gibt zwei Fälle und damit zwei Lösungen, also auch zwei Nullstellen.
𝑥 − 3 = √2
𝑥1 = 3 + √2
bzw.
𝑥 − 3 = − √2
𝑥2 = 3 − √2
nach x auflösen
Das sind die exakten Lösungen. Man kann sie dann auch noch ausgerechnet und gerundet angeben.
Berechne nach obigem Schema die Nullstellen von g(𝑥) = (𝑥 − 2,5)2 − 20,25
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