МИНОБРНАУКИ РОССИИ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)
Кафедра РАПС
ОТЧЁТ
по практической работе № 1
по дисциплине «Дополнительные главы математики»
Тема: Формирование случайных сигналов с заданными вероятностными
характеристиками
Студентка гр. 5403
Галеева А.Р.
Преподаватель
Туркин Д.Н.
Санкт-Петербург
2020
Цель работы: получение практических навыков формирования
случайных сигналов с требуемыми вероятностными характеристиками.
Таблица 1 – Исходные данные
Вариант
𝑘𝜈
𝑇𝜈 , с
𝑃
∆⁄𝜎 2
3
0.6
4
0.98
0.1
Постановка задачи
В работе требуется инструментальными средствами Simulink
сформировать случайный процесс 𝜈(𝑡), имеющие наперёд заданные
статистические характеристики, соответствующие спектральной плотности
вида
𝑘𝜈
𝑆𝜈 (𝜔) =
1 + 𝑇𝜈2 𝜔 2
Для сформированного случайного процесса определить требуемый объём
экспериментальных
значений
(выборки)
и
необходимое
время
моделирования, для которых доверительный интервал шириной ∆ будет
накрывать истинное значение его дисперсии с заданным уровнем
вероятности Р. Конкретные значения уровней вероятности Р и ∆ задаются в
табл.1, где обозначено 𝜎 2 – истинное значение дисперсии.
Используя графические примитивы Simulink реализовать модель,
состоящую из генератора белого шума, фильтра первого порядка с
параметрами, обеспечивающими требуемый уровень спектральной
плотности на его выходе, и устройства для оценки значений среднего и
дисперсии формируемого сигнала.
Для оценки среднего и дисперсии по выборке конечной длины
использовать следующие выражения:
𝑛
1
𝜈̅ = ∑ 𝜈𝑖 ;
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑛
1
1
𝑛
𝑆𝜈2 =
𝜈̅ 2
∑(𝜈𝑖 − 𝜈̅ )2 =
∑ 𝜈𝑖 2 −
𝑛−1
𝑛−1
𝑛−1
𝑖=1
𝑖
Путём модельного эксперимента определить оценку значения 𝑆𝜈2 и
ширину доверительного интервала, накрывающего истинное значение
дисперсии с заданной вероятностью. Сравнить величину оценки дисперсии,
полученной экспериментальным путём, с её расчётным значением,
рассчитанным по формуле:
𝑁 ∙ 𝑘2ф
𝐷𝜈 =
,
2 ∙ 𝑇ф
где обозначено: 𝑁 – уровень интенсивности генератора белого шума; 𝑘ф ,
𝑇ф – соответственно коэффициент передачи и постоянная времени
формирующего фильтра.
Построим модель, включающую в себя генератор белого шума,
формирующий фильтр и две подсистемы для измерения оценок значения
среднего и дисперсии сигнала на входе и выходе формирующего фильтра
(рис.1 и рис.2).
Рисунок 1 – Схема модели
Рисунок 2 – Схема блока Subsystem
Рассчитаем коэффициент
постоянную времени:
передачи
формирующего
фильтра
и
𝑘ф = √𝑘𝜈 ⁄𝑁 = √0.6⁄0.001 = 24.5
𝑇ф = 𝑇𝜈 = 4
С целью получения интервальных оценок дисперсии с заданной
вероятностью (𝑃 = 0.98) и заданной шириной доверительного интервала
(∆= 0.1 ∙ 𝜎 2 ), необходимо определить необходимый для этого объём
выборки. В моем случае выражение для расчёта требуемого объёма выборки
получит вид:
2
3√2
𝑛=(
) + 1 ≈ 1800.
0.1
Период дискретизации экспериментальных точек в этом случае может
быть
выбран равным: 𝑇д = 0.1 ∙ 𝑇ф = 0.1 ∙ 4 = 0.4 с. Следовательно,
модельное время необходимо установить равным 1800 ∙ 0.4 = 720 с.
В результате моделирования величина дисперсии составляет 0.06934.
Вычислим теоретическое значение дисперсии на выходе фильтра первого
порядка:
𝑁 ∙ 𝑘 2 0.001 ∙ 24.52
𝐷𝜈 =
=
= 0.07503
2 ∙ 𝑇ф
2∙4
Вывод: В ходе работы мы построили модель для получения цветного
шума из генератора белого шума с помощью фильтра в MATLAB. Также
получены параметры входного сигнала: среднего значения (𝑚вх =
0.001066), и дисперсия (𝐷вх = 1.016), что соответствует параметрам белого
шума (𝑚вх = 0, 𝐷вх = 1). А так же была получена дисперсия выходного
сигнала (𝐷вых = 0.06934) и она соответствует теоретическому значению
дисперсии (𝐷вых = 0.07503).