Цифровые фильтры.
Цифровые фильтры являются мощным средством для
обработки сигнала и селективного пропускания или подавления
спектральных компонент сигнала.
На языке передаточных функций фильтры делятся на
следующие категории схематически отображенные на рис. 8:
- фильтр низких частот f c (lowpass);
- фильтр высоких частот f c (highpass);
- полосовой фильтр  f н , fв  (bandpass);
- заграждающий (режекторный) фильтр  f н , fв  (bandstop).
Кроме этого отметим всепропускающий фильтр, частотная
𝑘+𝑒 −𝑗ωτ
характеристика которого 1-го порядка имеет вид 𝐻(𝜔) =
,
1+𝑘𝑒 −𝑗ωτ
т.е. |𝐻(𝜔)| = 1 и не зависит от частоты, а Φ(𝜔) зависит от частоты.
Фильтр оказывается полезным для создания режекторных фильтров
и фильтров акволайзеров.
H(f)
H(f)
H(f)
f
H(f)
f
fc
fc
lowpass
highpass
f
f
fн fв
bandpass
fн fв
bandstop
Рис. 8. Типы фильтров: низкочастотный, высокочастотный, полосовой, заграждающий.
На практике изменение коэффициента передачи на частоте среза
происходит не скачком, а плавно, занимая некоторую область
частот, зависящую от типа фильтра.
Реальные фильтры в модуле коэффициента передачи имеют
осцилляции до и за частотой среза, а также в полосе пропускания.
Цифровые фильтры можно разделить на линейные и
нелинейные. Линейные фильтры описываются импульсной
характеристикой и делятся в свою очередь на два подкласса:
- КИХ фильтры с конечной импульсной характеристикой;
- БИХ фильтры с бесконечной импульсной характеристикой.
В общем случае зависимость выхода yi линейного цифровго
фильтра от его входа xi может быть представлена в виде:
K 1
М 1
k 0
m 1
yi   bk xi k   am ym j .
В дальнейшем будем полагать, что шаг дискретизации   1 .
Для КИХ фильтров все a j  0 и фильтр представляет собой
взвешенное с bi скользящее среднее с конечной памятью по входу.
2
Для БИХ фильтров хотя бы один из коэффициентов a j  0 и
фильтр состоит из двух частей: нерекурсивной (с памятью по
входному сигналу) и рекурсивной (с памятью по выходному
сигналу). Обе памяти имеют конечную длину во времени.
Аналоговые фильтры описываются дифференциальными
уравнениями, а цифровые – конечно-разностными аналогами этих
уравнений. Выход аналогового фильтра состоит из:
- “собственных” движений, обусловленных начальными
условиями, которые затухают с течением времени и
- “вынужденных” движений, обусловленных входным
воздействием.
Аналогичная ситуация имеет место и в случае цифровых фильтров.
Собственные движения определяются содержимым памяти по
входному и выходному сигналам в момент включения фильтра.
Время затухания собственных движений порядка Kτ для КИХ
фильтра Mτ для БИХ, где τ – шаг дискретизации. Поэтому, если Вас
интересуют только вынужденные движения на выходе фильтра, то
после подачи на его вход внешнего воздействия анализировать его
выход следует только после затухания собственных движений.
Частотную характеристику фильтра можно получить,
выполнив фурье-преобразование от импульсного отклика или,
проще: положить xi  X exp ji  : yi  Y exp ji  , где τ=1.
Подставив xi , yi в выражение для фильтра, получим следующее
выражение для передаточной функции:

H   
1 
K-1
b exp  jk 
k 0 k
M-1
a exp  jm 
m 0 k
 H   exp  j  .
Поскольку фильтр – цифровой и его вход и выход –
дискретные функции, то передаточная функция является
периодической функцией частоты с периодом 2π.
Передаточная функция содержит в случае БИХ фильтра как
нули, так и полюса, поэтому фильтр может быть неустойчивым. В то
же время КИХ фильтр всегда устойчив.
Фаза гармонического сигнала на выходе фильтра отличается
от фазы этого сигнала на его входе, т.е. происходит задержка
сигнала при прохождении фильтра. Различают 2 вида задержки.
Фазовая задержка τф(ω) – это задержка гармонического колебания с
частотой ω, проходящего через систему (аналог фазовой скорости),
т.е. τф(ω)= -    / ω .
Групповая задержка  гр   - задержка огибающей узкополосного
сигнала со средней частотой ω (аналог дисперсии в распределенных
3
системах)  гр     d d . Если  гр    const , то сдвиг фаз
гармонических сигналов на выходе фильтра относительно входа не
будет зависеть от частоты сигнала. Это важное свойство цифровых
фильтров существенно при фильтрации фазомодулировавнных
сигналов типа xt   sin 0t   t .
Таким образом, чтобы фильтр не вносил фазовое искажение сигнала
необходимо  гр     гр  const. При этом выходной сигнал будет
задержан относительно входного на  гр .
Расчет цифровых фильтров включает следующие этапы;
- сначала задается желаемая частотная характеристика фильтра
(аналитически или графически) и определяется его порядок К, М;
- затем, используя тот или иной метод, конструируется цифровой
фильтр, частотная характеристика которого аппроксимирует
исходную характеристику с заданным критерием качества;
- и, наконец, по полученной частотной характеристике цифрового
фильтра рассчитываются коэффициенты
a j , bk .
Таким образом, задача расчета цифрового фильтра, в общем
случае, является задачей аппроксимации исходной частотной
характеристики.
На практике существует большое количество приложений,
которые после указания ряда параметов (тип фильтра, порядок,
дополнительные параметры) генерируют набор коэффициентов
a j , bk и программный код, реализующий требуемый фильтр.
КИХ фильтры.
Выход цифрового КИХ фильтра
соотношением
y i связан с его входом xi
K 1
yi   hk xi k ,
k 0
(37)
которое представляет собой дискретную свертку входного сигнала
xi с импульсной характеристикой фильтра hi или взвешенное
скользящее среднее.
Коэффициент передачи КИХ-фильтра и имеет вид:
K 1
H     hk e i k .
k 0
КИХ-фильтры обладают следующими свойствами:
4
(38)
- поскольку коэффициенты фильтра hk обычно симметричны или
антисимметричны hk  hK k 1  , то фазочастотная характеристика
линейно зависит от частоты:    ,   K  1 2 ;
- следствием этого является то, что КИХ-фильтры приводят к
задержке входного сигнала на величину  delay  K 1 2 (заметим:
если K – четное, то задержка - полуцелая от шага квантования;
порядок КИХ фильтра есть P=K-1);
- передаточная функция содержит только нули и КИХ-фильтры
всегда устойчивы,
Поскольку фаза коэффициента передачи КИХ фильтра
линейно зависит от частоты, то все частоты распространяются через
фильтр с одной и той же фазовой скоростью и КИХ-фильтр не
обладает дисперсией.
Работу КИХ-фильтра наглядно можно описать, используя
понятие сдвигового регистра – внутренней динамической памяти.
Входная последовательность поступает на вход сдвигового регистра,
длина или емкость которого равна числу коэффициентов фильтра P.
Выходная последовательность образуется на выходе сумматора,
число входов которого опять же равно числу коэффициентов
фильтра. На каждый вход сумматора поступает произведение с
соответсвующих разрядов сдвигового регстра и регистра
коэффициентов.
Сдвиговый регистр
𝑥𝑖 - входная
последовательность
xn
xn-1
…
xn-2
xn-K-1
x
x
+
x
𝑦𝑖 - выходная
последовательность
x
h0-
h1
h2
…
hK-1
Коэффициенты фильтра
Рис. 9. Принцип работы КИХ фильтра.
Как отмечалось выше, модуль коэффициента передачи КИХфильтра имеет осцилляции выше или ниже частоты среза или в
полосе пропускания для полосового фильтра. Подавить эти
осцилляции можно различными способами: использовать технику
5
спектральных окон или использовать алгоритм Паркса-МакКлелана
(Parcs-McClellan). Преимущество использования спектральных окон
состоит в простоте реализации, не требующей больших
вычислительных ресурсов. К недостаткам следует отнести
увеличение переходной области, в которой происходит падение
коэффициента передачи.
Характеристики КИХ-фильтров с линейной фазой.
Кроме групповой задержки можно вести фазовую задержку
 фаз      . Таким образом, у КИХ фильтра фазовая и групповая
задержки не зависят от частоты.
В зависимости от значения K (четное или нечетное) и вида
симметрии импульсной характеристику (симметричная или
антисимметричная) возможны 4 различных вида КИХ-фильтров с
линейными фазовыми характеристиками.
P – порядок фильтра, N – число коэффициентов фильтра.
Расположение нулей КИХ-фильтров с линейной фазой сильно
ограничено характером симметрии их импульсной характеристики.
Координаты нулей таких фильтров легко можно найти, используя zпреобразование импульсных характеристик, которое аналогично
преобразованию Лапласа для дискретных систем.
6
Медоды расчета КИХ-фильтров с линейной фазой.
В основном используются три класса методов расчета КИХфильтров с линейной фазой: методы взвешивания с помощью окна;
методы частотной выборки и методы расчета оптимальных (по
Чебышеву) фильтров. Рассмотрим первый из них.
Метод взвешивания с помощью окна.
Поскольку частотная характеристика цифрового фильтра H  
является периодической функцией частоты, ее можно представить
рядом Фурье:
2
n 
1
 in
H     hne , hn 
H  ein d .
(49)

2 0
n  
Из (49) видно, что коэффициенты Фурье h n  совпадают с
коэффициентами импульсной характеристики цифрового фильтра.
Использование (49) для проектирования фильтров связано с двумя
трудностями.
Во-первых, импульсная характеристика имеет бесконечную
длину, поскольку суммирование в (49) производится в бесконечных
пределах.
Во-вторых, фильтр физически нереализуем, так как
импульсная характеристика отлична от нуля при отрицательных
значениях n .
Одним из выходов является усечение ряда Фурье (49) с
помощью окна wn, wn  0, n  M . При этом для получения КИХаппроксимации функции H   формируется последовательность
hˆn  hn  wn .
(50)
Однако, усечение импульсной характеристики прямоугольным
окном приводит к эффекту Гиббса в частотной плоскости.
Действительно, если возьмем Фурье-преобразование (50), то
полученная частотная характеристика (слева) будет равна (справа)
свертке прямоугольника (идеальная частотная характеристика) и
sinc’a, т. е. получим «завал» частотной характеристики и
осцилляции. Чтобы убрать осцилляции используются окна wn  с
различной аподизацией (например, Хэмминга, Кайзера и др.).
Спектральык окна, используемые в этом методе, должны
удовлетворять следующим условиям:
- ширина главного лепестка частотного окна W    FT wn  ,
содержащего по возможности большую часть общей энергии,
должна быть малой;
7
- энергия в боковых лепестках должна быстро уменьшаться при
приближении ω к π.
Можно констатировать, что синтезированные таким образом
фильтры не являются оптимальными. Основное достоинство метода
взвешивания состоит в его простоте и легкости использования,
поскольку почти всегда можно найти замкнутые выражения для
вычисления коэффициентов окна.
После усечеия производится сдвиг исмпуьсной
характеристики на М отсчетов по времени, чтобы выпонялся
принцип причинности; при этом в передаточной функции возникает
линейный по частоте сдвиг фаз и происходитзадержка во времени
выходного сигнала.
БИХ фильтры.
БИХ фильтры основаны авторегрессионных моделях
скользящего среднего (АРСС). Более подробные сведения о АРСС
моделях будут даны в разделе, посвященном современным методам
СА. Выход БИХ фильтра зависит не только от предыстории входа,
но и от предыстории выхода:
K 1
M 1
k 0
m1
yi   bk xik   a j yi j .
(64)
Выражение (64) представляет собой дискретную форму
дифференциального уравнения порядка M с правой частью.
Коэффициент передачи БИХ фильтра содержит как нули, так и
полюса и имеет вид:
K 1
b e 
i k
H   
k
k 0
M 1
1   a j eim
.
(65)
m 1
Из этого выражения следует, что фаза коэффициента передачи
нелинейно зависит от частоты, т.е. БИХ фильтр всегда имеет
групповую задержку. БИХ фильтры могут быть неустойчивыми,
если хотя бы один полюс окажется расположенным в правой
половине комплексной частотной плоскости. Чем выше порядок
фильтра M, тем, в общем случае, менее устойчивым является
фильтр. Как правило, при конструировании БИХ фильтров
вырполняется условие K<M, где M – порядок фильтра
Классификация БИХ фильтров повторяет классификацию
аналоговых фильтров, которая включает следующие типы фильтров:
Баттерворда, Чебышева, обратного Чебышева, эллиптический,
Бесселя.
8
В отличие от КИХ-фильтров устойчивые, физически
реализуемые БИХ-фильтры, не обладают линейной фазовой
характеристикой, за исключением частного случая, когда все полюса
лежат на единичной окружности.
При практической реализации фильтра желательным является
(приблизительное) постоянство групповой задержки во всей полосе
пропускания фильтра.
Расчет фильтра сводится к задаче нахождения его
коэффициентов ak , bk , обеспечивающих с заданным критерием
аппроксимацию характеристик фильтра: импульсная и частотная
характеристика, характеристика групповой задержки.
Таким образом, задача расчета фильтра сводится к задаче
аппроксимации и может быть решена чисто математическими
методами.
Существуют три группы методов расчета цифровых фильтров.
Одна группа основана на использовании хорошо разработанных
методов расчета аналоговых фильтров с последующей
дискретизацией и переходом к цифровым фильтрам. Другую группу
методов расчета БИХ-фильтров образуют прямые методы расчета на
z -плоскости. В третьей группе используются процедуры
оптимизации для нахождения такого расположения полюсов и
нулей, при котором обеспечивается аппроксимация с заданным
критерием. В последнем случае расчет фильтров, как правило,
проводится методом последовательных приближений.
На рис. 14.1 приведены амплитудно- и фазочастотные
характеристики стандартных полосовых КИХ фильтров 5-го
порядка.
9
Рис. 14.1. АЧХ и ФЧХ полосовых КИХ фильтров 5-го порядка
(вверху справа для сравнения приведен фильтр 2-го порядка)
АЧХ фильтров Баттерворда и Бесселя не содержат
осцилляций, как в полосе пропускания фильтров, так и вне ее. ФЧХ
этих фильтров близка к линейной во всей полосе частот. Спад АЧХ
на границе полосы пропускания у фильтра Баттерворда круче, чем у
фильтра Бесселя. АЧХ фильтра инверсного Чебышева не содержит
осцилляций в полосе пропускания, но имеются слабые осцилляции
вне этой полосы, что отражается в скачках фазы ФЧХ, при этом спад
АЧХ на границе пропускания круче, чем у фильтров Баттерворда и
Бесселя. АЧХ эллиптического фильтра и фильтра Чебышева
содержат существенные осцилляции в полосе пропускания и более
слабые осцилляции вне этой полосы. При этом они имеют
значительно более крутой спад коэффициента передачи на границе
полосы пропускания по сравнению с другими фильтрами. С
10
увеличением порядка фильтра растет крутизна спада АЧХ на
границе полосы пропускания, а у фильтра Чебышева число
осцилляций в полосе пропускания при сохранении уровня этих
осцилляций. Расчет коэффициентов фильтра содерижится во многих
щироко используемых приложениях (LabView, Matlab, Matematica,
Matcad, и пр.).
Для получения коэффициентов ak , bk следует выбрать тип фильтра,
тип частотной характеристики, указать порядок фильтра, указать
частоты среза (для некоторых типов фильтров следует указать
уровень осцилляций (riples) .
Нелинейные фильтры.
КИХ и БИХ фильтры являются линейными и удовлетворяют
принципу суперпозиции. Нелинейные фильтры этому принципу не
удовлетворяют и поэтому не могут быть исследованы обычной
линейной техникой с помощью ипульсной характеристики и
передаточной функции. Примером нелинейного фильтра является
так называемый медианный фильтр, который представляет собой
некоторую нелинейную комбинацию фильтра низкий и высоких
частот. При этом фильтр низких частот позволяет удалить из
сигнала высокие частоты, а фильтр высоких частот позволяет
передать резкие перепады большой величины, которые несут
информацию. Простым примером работы медианного фильтра
является его воздействие на аддитивную смесь меандра и
широкополосного шума. В выходном сигнале шум подавлен и
платой за его подавления является завал фронтов меандра.
11