САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИЧИНЫ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ШУМОВ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ РЕФЕРАТ Выполнил: Лукин Д. С., студент 3го курса по направлению «Инженерно-ориентированная физика», группа 20.Б20-фз Санкт-Петербург 08.06.2023 1 Оглавление: Введение ................................................................................................................ 3 Цифровые сигналы ............................................................................................. 5 Принцип работы цифрового фильтра ............................................................ 8 Причины возникновения шумов в цифровых фильтрах ........................... 9 Шум квантования ............................................................................................... 9 Прохождение шума квантования через цифровой фильтр .......................... 10 Собственный шум цифрового фильтра.......................................................... 12 Квантование коэффициентов .......................................................................... 14 Предельный цикл малого уровня ................................................................... 15 Заключение ......................................................................................................... 18 Источники и литература.................................................................................. 19 2 Введение Обработка электрических сигналов по принятым алгоритмам используется в настоящее время во всех областях техники. Это обусловлено тем, что практически все датчики технических систем преобразуют контролируемую информацию именно в электрический сигнал различной формы. Такие сигналы необходимо усиливать по амплитуде и мощности, разветвлять, фильтровать, концентрируя энергию в том или другом участке частотного спектра, очищать от шумов и паразитных сигналов, выполнять с сигналом различные преобразования, необходимые для технических систем, передавать сигнал по каналам связи в системах радиоуправления и т.д. Развитый аппарат обработки сигналов аналоговыми устройствами начинает уступать по эффективности комбинированным (аналого- цифровым) или цифровым построениям, что обусловлено бурным развитием микросхемотехники и резким повышением быстродействия и уменьшения стоимости и размеров имеющихся компонентов. В настоящее время от традиционного аналогового построения различных технических систем (измерительных, авторегулирования, управления, слежения и др.), в том числе использующих радиотехнические каналы связи, начинают отказываться и переходить к цифровым системам. Бытовая радио-, фото-, аудио- и видеотехника является в большинстве своем цифровой, это следствие появления технологий хранения и передачи больших объемов данных в цифровом виде. Переориентировка на цифровую базу происходит в научной, производственной технике самого разнообразного применения. Очевидные преимущества цифровых сигналов привлекли внимание широкого круга специалистов, и интенсивная работа в этом направлении отражена в большом числе монографий и статей. Однако только в некоторых из этих изданий уделяется внимание 3 возникновению шумов при прохождении цифрового сигнала через цифровой фильтр. Это важная часть знаний о работе цифровых фильтров, поскольку возникновение шумов напрямую влияет на результаты работы системы, а именно на качество выходного сигнала, которое в некоторых областях применения фильтров является ключевой характеристикой. 4 Цифровые сигналы Рассмотрим структурную схему устройства цифровой обработки сигналов для наиболее общего случая обработки аналоговых сигналов (рис. 1). Рис. 1 Структурная схема устройства цифровой обработки сигналов Аналоговый сигнал uвх, поступающий на вход устройства, проходит через ограничивающий фильтр ОФ. В этом фильтре происходит подавление тех компонентов входного аналогового сигнала, частоты которых превосходят значение некоторой верхней (максимальной) частоты fв рабочего диапазона частот. Выходной сигнал фильтра u(t) изображен на эпюре 1 (Рис. 2). По значению частоты устанавливают fв значение частоты дискретизации fд. Минимальное значение должно, в соответствии с теоремой Котельникова, удовлетворять равенству fд≥2fв Напряжение с выхода ограничивающего фильтра поступает на аналогоцифровой преобразователь АЦП. В нем осуществляется дискретизация аналогового сигнала по времени и уровню, которую соответственно 5 выполняют дискретизатор Д и квантователь К. В результате этих операций аналоговый сигнал заменяется последовательностью цифровых отсчетов. Рис. 2 Дискретизация аналогового сигнала Дискретизатор работает как ключ, управляемый последовательностью импульсов uT(t) (эпюра 2 на рис. 2). Период их повторения Т, называемый интервалом дискретизации, связан с частотой дискретизации fд, соотношением Т= 1/fд. Последовательность дискретных отсчетов является функцией не непрерывного времени, а дискретных моментов Т, 2Т, ... , nТ ... или функцией номера n интервала дискретизации, как это отмечено на эпюре 3 (рис. 2), так как Т — постоянная величина. В квантователе К осуществляется преобразование дискретных выборок uд в числа с конечным числом разрядов. Таким образом, выходные отсчеты квантователя представляют собой цифровую последовательность х(n), которая также является функцией номера интервала дискретизации n, но уже 6 квантована по величине. График х(n) показан на эпюре 4 (см. рис. 2) в условной форме, так как х представляет собой последовательность чисел. Цифровая последовательность х(n) с выхода квантователя поступает на цифровой процессор ЦП, который выполняет функции цифрового фильтра. В результате фильтрации на выходе этого процессора появляется новая цифровая последовательность у(n), которую можно сохранить в памяти цифрового процессора или вывести из него для обратного преобразования в аналоговый сигнал («восстановления» аналогового сигнала). Это преобразование выполняют цифроаналоговый преобразователь ЦАП и формирующий фильтр ФФ (см. рис. 1). 7 Принцип работы цифрового фильтра Цифровой фильтр, основанный на применении процессора с программируемой логикой, обрабатывает сигнал согласно заложенному в него алгоритму. Построение описания работы фильтра происходит при помощи математического аппарата, позволяющего на основе аналоговых фильтров прототипов получить алгоритмы для цифрового фильтра. Одним из способов теоретического расчета выходного напряжения y(t) аналогового фильтра является операция свертки его импульсной характеристики h(t) с входным воздействием x(t): Реальный фильтр можно представить как аналоговое вычислительное устройство, производящее математические операции в соответствии с выражением (2.1). Схожие, более простые математические операции может выполнить цифровой процессор. Для упрощения интеграл в выражении (2.1) следует заменить суммой: Выходной эффект у(nТ) отличается от y(t) только своей дискретной формой. Следовательно, описанный цифровой вычислитель вполне уместно назвать цифровым фильтром, сохраняющим характеристики своего аналогапрототипа, в частности линейность. Существуют и другие способы синтеза цифрового фильтра по аналогупрототипу. 8 Причины возникновения шумов в цифровых фильтрах В реальных цифровых фильтрах точность вычислений ограничена и зависит от числа разрядов используемых устройств: аналого-цифрового преобразователя, регистров коэффициентов, сумматоров, умножителей. Это обстоятельство приводит к появлению таких эффектов, как шум квантования, шум округления коэффициентов и результатов вычислений, а также некоторых других нежелательных эффектов. Шум квантования Начнем изучение причин шумов с шума квантования. В процессе преобразования значений дискретных отсчетов uд в цифровые х(n) (рис. 2) возникает ошибка квантования 𝜉 = х(n) − uд , значение которой является случайной величиной. Ошибка возникает вследствие конечного числа разрядов в цифровой форме записи чисел. Последовательность значений 𝜉(n) называется шумом квантования. Его соседние по времени отсчеты считаются некоррелированными между собой. Плотность вероятности 𝑤(𝜉) равномерна Δ Δ 2 2 между значениями − < 𝜉 < + 𝑤(𝜉) = и в этих пределах 1 , Δ − где Δ –шаг квантования по уровню. Рис. 3. Плотность вероятности 𝑤(𝜉) 9 Δ Δ <𝜉<+ 2 2 При некоторых входных воздействиях, например в виде меандра, 𝜉(n) является последовательностью постоянных значений, а следовательно, при таких воздействиях шум квантования отсутствует. Располагая выражением для 𝑤(𝜉), рассчитаем дисперсию шума квантования: Составим выражение, связывающее дисперсию шума квантования с числом разрядов цифрового устройства b. Если максимальное значение сигнала равно Umax, то шаг квантования: Δ = U2𝑚𝑎𝑥 2𝑏 , следовательно Определим эффективное значение шума квантования как 𝑈ш.эфф = 𝜎𝜉 . 𝑈ш.эфф = 𝑈𝑚𝑎𝑥 2√ 3 ∗ 2𝑏 Таким образом, разрядность цифрового устройства через величину кванта Δ влияет на уровень дисперсии шума квантования, а значит, и на отношение сигнал/шум 𝐴 = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑈ш.эфф = 2√3 ∗ 2𝑏 при прохождении сигналом цифрового фильтра. Прохождение шума квантования через цифровой фильтр Определим спектральную плотность шума квантования. Поскольку соседние отсчеты шума квантования считаются некоррелированными, то это позволяет назвать шум квантования цифровым «белым» шумом, спектр которого является равномерным. В аналоговой области «белый» шум характеризуется бесконечно протяженным 10 спектром с конечной спектральной плотностью. В цифровой области «белый» шум имеет конечную мощность, характеризуемую его дисперсией. Все процессы в цифровой области не могут превышать по частоте fд/2 - интервал Найквиста, протяженность которого в цифровых частотах равна 𝜋. Следовательно, спектр цифрового «белого» шума сосредоточен в этом же диапазоне, и его спектральная плотность определяется выражением: Пусть на входе цифрового фильтра действует шум квантования 𝜉вх (n) 2 2 с дисперсией 𝜎вх . Требуется определить дисперсию 𝜎вых шумового процесса 𝜉вых (n) на выходе цифрового фильтра. 2 Дисперсия 𝜎вых равна среднеквадратичному значению выходной последовательности 𝜉вых (n): 2 2 𝜎вых = 𝜉̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ вых . (n) Определим выходную последовательность 𝜉вых (n) как дискретную свертку входного воздействия 𝜉вх (n) с импульсной характеристикой цифрового фильтра h(n): Используя результаты двух последних формул, имеем: 11 Последовательности𝜉вх (n − 𝑘) и 𝜉вх (n − m) получены из одной и той же последовательности 𝜉вх (n) путем ее сдвига соответственно на 𝑘 и m тактов. Последовательность 𝜉вх (n) представляет собой цифровой «белый» шум, отсчеты которого не коррелированы между собой. Следовательно, Таким образом, правая часть не равна нулю только при 𝑘 = m. Для удобства записи последующего выражения примем 𝑘=m=n окончательный результат примет следующий вид: Таким образом при прохождении цифрового фильтра шум квантования преобразуется согласно последнему выражению. Отношение называют коэффициентом передачи мощности цифрового фильтра для шума квантования. Собственный шум цифрового фильтра Цифровой фильтр, основанный на процессорах с программируемой логикой в ходе обработки сигнала, выполняет операции умножения с суммирования. Каждый из умножителей можно считать источником цифрового шума. Пусть максимальная точность представления чисел в устройстве b разрядов, тогда произведение двух b-разрядных чисел имеет 12 разрядность 2b. Для того чтобы использовать произведение в последующих вычислениях, необходимо ограничить его b разрядами. Это делают, выполняя одну из двух процедур: либо процедуру усечения, либо процедуру округления. Каждая из этих процедур приводит к неточному представлению младшего разряда числа. Предположим, что выполнена процедура округления. Реальный результат 𝑝(𝑛) умножения последовательности 𝑠(𝑛) с 𝑏 разрядными отсчетами на коэффициент 𝑎, имеющий такое же число разрядов, можно представить как сумму «идеальной» 2𝑏-разрядной последовательности 𝑝ид (𝑛) и последовательности 𝑒(𝑛), каждый отсчет которой представляет ошибку округления: 𝑝(𝑛) = 𝑝ид (𝑛) + 𝑒(𝑛) Ошибки округления 𝑒(𝑛) имеют ту же природу происхождения, как и ранее рассмотренный шум квантования 𝜉(n). Иллюстрация выражения показана на рис. 4. Рис. 4 Образование собственного шума Характеристикой каждого источника шума в составе цифрового фильтра является дисперсия: Предположим, что в состав цифрового фильтра входят k умножителей — источников шума округления. Шум источника с номером к проходит на выход фильтра, в результате чего там образуется выходная шумовая последовательность, дисперсию которой определим, используя формулу, полученную ранее. 13 где ℎ𝑘 (𝑛) — импульсная характеристика, определяемая от точки приложения шума 𝑒𝑘 (𝑛) до выхода цифрового фильтра. Поскольку процессы 𝑒𝑘 (𝑛) не коррелированы, то дисперсия результирующего шума округления на выходе цифрового фильтра равна сумме дисперсий процессов: При оценке шумовых свойств реальных цифровых фильтров необходимо кроме шума округления учитывать также и шум квантования: Квантование коэффициентов При проектировании цифрового фильтра расчетные значения его коэффициентов выражены, как правило, иррациональными числами с бесконечной и непериодической дробной частью. Следствием вынужденного ограничения разрядности является неточное представление коэффициентов, а это, в свою очередь, приводит к неизбежным ошибкам в воспроизведении АЧХ и других показателей цифрового фильтра по сравнению с расчетными данными. Наибольшее значение имеют ошибки в воспроизведении АЧХ, поэтому обсуждаемая проблема, в принципе, должна сводиться к постановке задачи в такой формулировке: «Определить чувствительность АЧХ цифрового фильтра к неточности представления его коэффициентов». Общего решения такой задачи применительно к цифровым фильтрам 14 различных типов и произвольного порядка получить нельзя. В зависимости от конкретно поставленных требований к цифровому фильтру критериями чувствительности АЧХ могут быть различные понятия, такие как среднеквадратичное отклонение от заданной формы, погрешность преобразования на заданной частоте, максимальная погрешность и т.д. Основные положения состоят в следующем. 1. Расчет чувствительности АЧХ к неточному представлению коэффициентов цифрового фильтра по выбранному критерию в каждом отдельном случае выполняется индивидуально. 2. Особое внимание к выбору разрядности коэффициентов следует уделить в тех случаях, когда расчетные значения особых точек передаточной функции фильтра (полюсов и нулей) находятся в непосредственной близости от окружности единичного радиуса на комплексной плоскости. Предельный цикл малого уровня В отличие от импульсной характеристики аналоговых фильтров протяженность импульсной характеристики цифровых фильтров ограничена во времени. Действительно, с момента возникновения ИХ ее отсчеты ℎ(𝑛) постепенно уменьшаются и, рано или поздно, достигнут значения, равного Δ шагу квантования Δ. Далее, когда очередной отсчет станет меньше, чем | |, то 2 этот и все последующие отсчеты будут равны нулю. Однако иногда возникают ситуации, когда из-за неудачно выбранных значений коэффициентов цифрового фильтра или их разрядности отсчеты ИХ, приняв значение Δ, сохраняют его до бесконечности. Такое явление называется возникновением предельного цикла малого уровня. Поясним природу возникновения этого эффекта на примере фильтра 1го порядка с разностным уравнением 15 Разностное уравнение – форма описания цифрового фильтра, оно позволяет сразу без каких-либо дополнительных исследований представить структуру цифрового фильтра. Рис. 5 Структура фильтра Для простоты дальнейшего рассмотрения используем простые начальные условия: 1) будем использовать десятичную систему счисления; 2) будем считать, что аналого-цифровой преобразователь и вычислители цифрового фильтра удерживают только один знак после запятой. Примем коэффициент b = -0,6 и определим отсчеты ИХ, используя разностное уравнение. Отсчеты занесем в таблицу 1. Таблица 1. 16 График ИХ, построенный по данным табл. 1, показан на рис. 6. Начиная с n = 4 отсчеты ИХ попеременно принимают значения -0,1 и +0,1 и циклически повторяются с периодом, равным двум интервалам дискретизации. Система рождает предельный цикл, движение по которому формирует некоторый периодический процесс. Рис. 6 Проявление рассмотренного эффекта особенно заметно при обработке речевых сигналов, когда частота дискретизации находится в области частот, воспринимаемых человеческим ухом. В данном случае предельный цикл обнаруживается в паузах в виде помехового свиста. Исключить эффект возникновения предельного цикла можно несколькими способами: 1. увеличить разрядность коэффициентов цифрового фильтра; 2. если частота дискретизации задана, то значения коэффициентов можно изменить, сменив структурную форму цифрового фильтра. 17 Заключение В реферате собрана вся ключевая информация о причинах и источниках шумов, возникающих в цифровых фильтрах. Реферат также содержит дополнительные общие сведения о цифровых сигналах и цифровых фильтрах. Рассмотрено преобразование аналогового сигнала в цифровой, согласно структурной схеме. Показано каким образом выполняется дискретизация сигнала. Далее рассмотрен принцип работы цифрового фильтра, который обрабатывает сигнал согласно заложенному в него алгоритму. Построение описания работы фильтра происходит при помощи математического аппарата, позволяющего на основе аналоговых фильтров прототипов получить алгоритмы для цифрового фильтра. Основное содержание реферата посвящено подробному рассмотрению причин возникновения шумов в цифровых фильтрах. В реальных цифровых фильтрах точность вычислений ограничена и зависит от числа разрядов используемых устройств: аналого-цифрового преобразователя, регистров коэффициентов, сумматоров, умножителей. Это обстоятельство приводит к появлению таких эффектов, как шум квантования, шум округления коэффициентов и результатов вычислений, а также такого эффекта как предельный цикл малого уровня. Основными результатами работы является получение выражений для оценки мощности шумов и соотношения сигнал/шум вызываемых различными причинами. Также приведение способов уменьшения мощности шумов, рассмотрение ситуаций, в которых на определенные причины возникновения шумов следует обратить особое внимание. 18 Источники и литература 1. Основы теории и расчета цифровых фильтров - Васильев В.П., 2018 270 стр. 2. Гольденберг Л. М. Цифровая обработка сигналов: учеб, пособие для вузов / Л. М. Гольденберг, Б. Д. Матюшкин, М. Н. Поляк. — М.: Радио и связь, 1990. — 256 с. 3. Университет ИТМО, Курс лекций Денисова «Обработка цифровых сигналов», л. 9. 4. Подавление шума в речевых сигналах на основе метода нелокального усреднения. Новоселов С.А. Цифровая Обработка Сигналов №1/2012 5. Цифровая обработка аудио и видео данных. А. А. Петровский, М.И. Вашкевич, И.С. Азаров, 64 стр. 6. https://books.ifmo.ru/file/pdf/613.pdf 7. https://habr.com/ru/articles/460445/ 8. https://ru.wikipedia.org/wiki/Цифровая_обработка_сигналов 9. https://ru.wikipedia.org/wiki/Цифровой_фильтр 10.https://ru.wikipedia.org/wiki/Шум_Квантования 11.http://www.ets.ifmo.ru/denisov/dsp/lec9.htm 19
