Esercizi Macchine Elettriche
Elettrotecnica
Università degli Studi di Perugia
25 pag.
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
Esercitazioni di Elettrotecnica
Modulo B - Macchine Elettriche
Francesco Rinaldi
2015/2016
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
2
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
INDICE
i macchine elettriche statiche
1 trasformatore
7
1.1 Esercitazione 1
7
1.2 Esercitazione 2
8
1.3 Esercitazione 3
9
ii macchine elettriche rotanti
2 macchina sincrona
13
2.1 Esercitazione 4
13
2.2 Esercitazione 5
13
2.3 Esercitazione 6
14
2.4 Esercitazione 7
15
2.5 Esercitazione 8
15
3 macchina asincrona
17
3.1 Esercitazione 9
17
3.2 Esercitazione 10
18
3.3 Esercitazione 11
19
3.4 Esercitazione 12
20
3.5 Esercitazione 13
20
4 macchine a corrente continua
4.1 Esercitazione 14
23
4.2 Esercitazione 15
23
4.3 Esercitazione 16
24
4.4 Esercitazione 17
24
4.5 Esercitazione 18
25
4.6 Esercitazione 19
25
23
3
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
4
INDICE
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
Parte I
M A C C H I N E E L E T T R I C H E S TAT I C H E
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
1
1.1
T R A S F O R M AT O R E
esercitazione 1
testo Determinare la rete equivalente con il secondario riportato al primario di
un trasformatore trifase con seguenti caratteristiche:
• Collegamento a stella Y-Y
• Potenza nominale: Pn = 300kVA
• V1n = 30000V
• V2n = 380V
• Potenza prova a vuoto: P0 = 3200W
• Corrente a vuoto: I10 = 0, 1A
• Tensione di alimentazione di corto circuito: Vcc % = 4, 5%
• Potenza assorbita in corto circuito: Pcc = 5KW
Calcolare il rendimento convenzionale del trasformatore.
svolgimento Disegnando lo schema avremo che:
Dalla prova a vuoto risulterà:
Z0 =
cos ϕ0 = √
P0
E1n
V
= √ 1n = 1, 7 · 105 [Ω]
I10
3 · I10
3 · V1n · I10
=√
3200W
3 · 30000 · 0, 1
= 0.62
→
ϕ0 = 0.9
R0 = Z0 cos ϕ0 = 1, 05 · 105
X0 = Z0 sin ϕ0 = 1, 3 · 105
P0 = 3E1n · I10 cos ϕ0 = 3221, 61
7
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
8
trasformatore
Dalla prova in corto circuito risulterà:
V1n
30000
· Vcc % =
· 4, 5 = 1350V
100
100
Vcc
Ecc = √ = 779, 4V
3
Pcc = 3Ecc · I1n cos ϕcc → cos ϕcc = 0.375
779, 4
Ecc
= 136, 74
=
Z1cc =
I1n
5, 7
Vcc =
Dai dati di targa invece:
Pn A =
√
3 · V1n · I1n =
η=
1.2
√
3 · V2n · I2n
→
I1n = I2n =
Pn A
√ = 5, 7A
V1n · 3
Pn A
300000
= 0, 973
=
Pn A + P0 + Pcc
300000 + 5000 + 3200
esercitazione 2
testo Un trasformatore trifase ha una rete equivalente riportata al primario con
i seguenti valori:
• Z0 = 4000 + j7000
• Zcc = 12 + j35
• Carico puramente resistivo: CR = τ 2 Rc = 100Ω
• Tensione di alimentazione: E1n = 230V
Calcolare il rendimento del trasformatore.
svolgimento
I1n
q
p
R20 + X02 = 40002 + 70002 = 8062Ω
p
| Z1cc | = 122 + 352 = 37Ω
E
230
I10 = 1n =
= 0.03A
Z0
8062
E1n
230
=p
= 1, 96A
=p
2
2
2
( Rcc + τ Rc ) + Xcc
(100 + 12)2 + 352
| Z0 | =
2
PCu = 3 · I1n
· Rcc = 1, 962 · 12 · 3 = 138, 31W
PFe = 3 · I02 · Rcc = 0, 032 · 12 · 3 = 10, 8W
2
Pu = 3 · I1n
· CR = 1, 962 · 100 · 3 = 1152, 48W
η=
1151, 48
Pu
= 0, 89
=
Pu + PCu + PFe
1152, 48 + 10, 8 + 138, 31
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
1.3 esercitazione 3
1.3
esercitazione 3
testo Un trasformatore trifase con rapporto di trasformazione
τ = 10 ha un’impedenza di corto circuito riportata al primario pari a
Zcc = 10 + j15.
Considerando una tensione di a vuoto al secondario pari a V20 = 400V,
a) Calcolare la caduta di tensione da vuoto a carico considerando un carico con
cos ϕcc = 0, 7 e che assorbe una corrente pari a I2n = 20A.
b) Verificare il risultato ottenuto considerando la rete equivalente riportata al
secondario.
svolgimento Sapendo che:
I12 =
cos ϕcc = 0, 7
→
∆E1 % =
=
20A
I2n
=
= 2A
τ
10
arccos 0, 7 = 0, 7954
→
(1)
sin 0, 7954 = 0.71414
I12 · ( R1cc cos ϕcc + X1cc sin ϕcc )
· 100 =
τE20
2 · (10 · 0, 7 + 15 · 0, 71414)
· 100 = 1, 53%
√
10 · 400
3
Sfruttando la rete equivalente riportata al secondario e in virtù della (1),
avremo che:
∆E2 % =
I2 · ( R2cc cos ϕcc + X2cc sin ϕcc )
· 100 = 1, 53%
E20
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
9
10
trasformatore
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
Parte II
M A C C H I N E E L E T T R I C H E R O TA N T I
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
2
2.1
MACCHINA SINCRONA
esercitazione 4
testo Nella prova a vuoto di un generatore sincrono trifase, in corrispondenza
di una determinata corrente di eccitazione Iecc , si registra una tensione
concatenata pari a V0 = 380V.
Nella prova in corto circuito, in corrispondenza della stessa corrente di
eccitazione, Iecc , la corrente erogata vale Iecc = 50A
Determinare il valore della reattanza sincrona della macchina.
svolgimento Avremo che:
Xecc =
V
E0
=√ 0
= 4, 38Ω
Iecc
3 · Iecc
osservazione Fissando ns e Iecc ottengo un valore unico di E0 che vale sia per
la prova a vuoto che in corto.
Infatti:
Xs =
2.2
E0
Iecc
→
E = jXs I ecc
esercitazione 5
testo Una macchina sincrona trifase, funzionante da generatore in isola, alimenta un carico con fattore di potenza cos ϕ = 0, 8.
La macchina presenta una reattanza sincrona pari a Xs = 3Ω.
Considerando la reattanza costante e una tensione a vuoto alla velocità di
sincronismo pari a E0 = 220V, determinare la tensione prodotta al carico
per una corrente erogata pari a Iecc = 5A.
svolgimento Dall’equazione della maglia, ricaviamo che
E0 = jXs + E
Essendo la reattanza capacitiva avremo che la tensione in uscita è minore di
quella a vuoto, ossia:
E < E0
(2)
13
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
14
macchina sincrona
E non potrà essere negativa; perciò ne prendo il modulo.
E02 = E2 + Xs2 I 2 + 2EXs I sin ψ
Opportunamente organizzando, ci ritroveremo ad avere un’equazione di
secondo grado completa, in funzione di E. Avremo, perciò:
2
E + 18E − 48175 = 0
→
E 1, 2 =
(
E1 = 210, 67V
E2 = −228, 67V
Per la (2) possiamo accettare solo la soluzione positiva E1 .
2.3
esercitazione 6
testo Un generatore sincrono trifase è collegato ad una rete a potenza e a
frequenza prevalenti. Considerando la macchina funzionante in corrispondenza del minimo di una caratteristica a "V",
calcolare il valore della reattanza sincrona, sapendo che:
• La corrente erogata: Iecc = 10A
• La tensione di carico: E = 220V
• La tensione a vuoto in corrispondenza dalla corrente di eccitazione
relativa al punto di funzionamento: E0 = 230V
svolgimento Utilizziamo la formula:
E02 = E2 + Xs2 I 2 + 2EXs I sin ψ
Considerando la macchina funzionante in corrispondenza del minimo di
una caratteristica a "V", avremo che
cos ψ = 1
→
sin ψ = 0
→
2EXs I sin ψ = 0
La formula si riduce così a:
E02 = E2 + Xs2 I 2
→
Xs =
s
E02 − E2
= 6, 7Ω
I2
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
2.4 esercitazione 7
2.4
esercitazione 7
testo Un motore sincrono trifase, con 2 coppie polari, assorbe da una rete
elettrica funzionante a 50 Hz una potenza di 11 kW.
Considerando un rendimento della macchina pari a η = 0, 8,
Calcolare il valore della coppia utile prodotta dal motore.
svolgimento Sappiamo che:
Pmotore = Pu = C · ω
sappiamo anche che:
ns =
60 · f
60 · 50
=
= 1500 giri/minuto
p
2
ω=
ns
· 2π = 157 rad/s
60
Perciò:
η=
Pu
Pu + Pp
→
Pu = η · ( Pu + Pp ) = 0, 8 · 11000 = 8800W
Allora, avremo che:
C=
2.5
Pm
= 56 Nm
ω
esercitazione 8
testo Una macchina sincrona trifase funzionante da generatore in isola alimenta
un carico costituito da tre impedenze a stella di valore Z = 8 + j15 [Ω].
La macchina presenta una reattanza sincrona pari a Xs = 0.45 [Ω] e una
tensione di fase erogata nel funzionamento a vuoto pari a E0 = 230 [V].
Utilizzando la rete equivalente semplificata della macchina determinate la
potenza meccanica fornita all’asse sapendo che le perdite dovute all’attrito,
all’effetto joule negli avvolgimenti e le perdite nel nucleo ferromagnetico
ammontano complessivamente a Ppersa = 390 [W].
svolgimento Il collegamento a stella può essere considerato come un’unica
impedenza con le stesse caratteristiche.
Possiamo calcolarci inizialmente la corrente che scorre nel circuito:
I0 = p
E0
R2z + ( Xs + Xz )2
=p
230 V
82 + (15 + 0, 45)2
= 13, 22 A
Pcarico = 3Rc I 2 = 4194, 44 W
Pmeccanica = Pcarico + Ppersa = 4194.44 + 390 = 4584, 44 W
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
15
16
macchina sincrona
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
3
3.1
MACCHINA ASINCRONA
esercitazione 9
testo Un motore asincrono trifase con rotore avvolto, ha le seguenti caratteristiche:
• Tensione nominale En = 220V
• Frequenza nominale f n = 50Hz
• Coppia polare: p = 2
• Resistenza del rotore = 0, 05Ω
• Reattanza di dispersione rotorica = 0, 05Ω
• Rapporto di trasmissione: τ = 2
Determinare la coppia meccanica prodotta dal motore, alimentato a tensione
nominale, quando gira alla velocità di 1450 giri al minuto.
(Assumere nella formula della coppia Es coincidente con la tensione stellata
nominale).
svolgimento Avremo che:
s=
Es2
C=
3pRr
·
ωτ 2
ns =
60 · f
giri/minuto
p
R2r
s
+ s · XR2
nm
p
2
ns − nm
= 1−
= 1 − nm ·
= 1 − 1450 ·
= 0, 03
nm
ns
60 · f
60 · 50
ωs =
C=
3·2·1
·
314 · 4
ns
· 2π · 2 = 314
60
2202
0,012
0,032
+ 0, 03 · 0, 052
= 750 Nm
osservazione ωs è la pulsazione di rete, non la velocità di rotazione.
17
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
18
macchina asincrona
3.2
esercitazione 10
testo Un motore asincrono trifase con rotore avvolto, ha le seguenti caratteristiche:
• Tensione nominale Vn = 380V
• Corrente nominale In = 14A
1) Nella prova a vuoto, con rotore trascinato a velocità si sincronismo assorbe:
• P0 = 90W
• I0 = 4A
2) Nella prova a corto circuito con rotore bloccato:
• Pcc = 125W
• Tensione di alimentazione: Vcc = 18V
• Resistenza statore: Rs = 0.1Ω
Determinare la rete equivalente semplificata.
svolgimento Esaminiamo le varie prove:
Dalla prova a vuoto, ricaviamo:
V1n
√
219, 39
E1n
= 3 =
= 54, 84[Ω]
Z0 =
I0
4
4
P0 = 3E1n I0 · cos ϕ0
→
cos ϕ0 =
90
P0
=
= 0, 03418
3E1n I0
3 · 4 · 219, 39
R0 = Z0 cos ϕ0 = 54, 84 · 0, 03418 = 1, 875Ω
X0 = Z0 sin ϕ0 = 54, 84 · 0, 9994 = 54, 81Ω
Dalla prova in corto circuito con rotore bloccato:
P0 = 3Ecc I1n · cos ϕcc
→
cos ϕcc =
Pcc
125
= 0, 2864
=
18
3Ecc I1n
3 · 14 · √
3
Rcc = Zcc cos ϕcc = 0, 7423 · 0, 2864 = 0, 213Ω
X0 = Zcc sin ϕcc = 0, 7423 · 0, 9581 = 0, 711Ω
Rcc = Rs + τ 2 Rr
→
τ 2 Rr = Rcc − Rs = 0, 213 − 0, 1 = 0, 113Ω
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
3.3 esercitazione 11
3.3
esercitazione 11
testo Un motore asincrono ha una rete semplificata i cui parametri sono:
• R f e = 80Ω
• Xm = 50Ω
• Rs = 0, 3Ω
• Xds = 0, 8Ω
• τ = 1, 5
• Rr = 0, 7Ω
• Xdr = 2, 5Ω
a) Determinare la rete equivalente semplificata il valore della resistenza del
reostato di avviamento da inserire per avere coppia massima allo spunto.
b) Determinare, inoltre, il rendimento elettrico della macchina quando è alimentata a tensione nominale Vn = 380V per uno scorrimento pari a
s = 0, 1
(Nel rendimento elettrico non si considera la potenza persa per attrito).
svolgimento Avremo allo spunto:
Rr + 3R a
=1
Xr
→
′
3R a = R a = Xr − Rr = 1, 8Ω
E2
= 601, 67W
Rfe
1−s
2
= 14, 17W
= τ · Rr ·
s
Pf e =
R Pu
Rcc = Rs + τ 2 · Rr = 1, 875Ω
Xcc = Xs + τ 2 · Xr = 6, 425Ω
I=
E
E
E
=q
=q
=
|Z|
R21 + X12
[ Rs + τ 2 · Rr + τ 2 Rr · ( 1−s s )] + [ Xs + τ 2 Xr ]
=
380
√
3
p
16, 052 + 6, 2452
= 12, 72A
Pu = I 2 · R Pu = 12, 722 · 14 = 2265, 17W
Pavv = I 2 · Rcc = 12, 722 · 1, 875 = 303, 37W
η=
Pu
= 0, 713
Pu + Pf e + Pavv
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
19
20
macchina asincrona
3.4
esercitazione 12
testo Considerare un motore asincrono trifase a 3 coppie polari alimentato
da una rete a 50 Hz che porta in rotazione un carico meccanico con uno
scorrimento pari a s = 0, 08.
Calcolare la coppia prodotta dal motore sapendo che sta assorbendo dalla rete
3 kW di potenza e che il suo rendimento è pari a 0,85.
(Nel rendimento elettrico non si considera la potenza persa per attrito).
svolgimento Avremo che:
η=
Pu
Pu + Pf e + Pavv
→
ns =
s=
ns − nm
ns
Pu = η · ( Pu + Pf e + Pavv ) = 0, 85 · 3000 = 2550W
60 · f
= 1000 giri/minuto
p
→
nm = ns − s · ns = 920 giri/minuto
nm
· 2π = 96.34 rad/s
60
Pu
Pu = C · ωs → C =
= 26, 46 Nm
ωs
ωs =
osservazione ωs = velocità di sincronismo (campo magnetico);
ωm = velocità di rotazione meccanica (rotore)
3.5
esercitazione 13
testo Un motore asincrono trifase ha le seguenti caratteristiche:
• Tensione nominale: Vn = 380V
• Frequenza nominale: f n = 50 Hz
• Coppie polari: p = 1
• Resistenza rotore: Rr = 0, 1Ω
• Reattanza di dispersione rotorica: Xr = 0, 5Ω
• Rapporto di trasformazione: τ = 2.
Se viene collegato un carico meccanico che presenta una coppia resistente
pari a Cr = 30 Nm, costante con la velocità di rotazione,
è necessario l’uso di un reostato di avviamento?
(Assumere nella formula della coppia Es = En : tensione stellata = tensione
nominale).
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
3.5 esercitazione 13
svolgimento Sarà necessario il reostato di avviamento se si verifica che
Cr > Cm
Calcoliamoci la Cm :
Cm =
3 · p · Rr
E2
·
ωs · τ 2 R2r
+ s · Xr2
s
60 · f
= 3000 giri/minuto
p
nm
· 2π = 314 rad/s
ωs =
60
ns =
Imponiamo s = 1 (consideriamo la situazione nella condizione allo spunto)
V
E = √ = 219, 39V
3
Cm =
3 · 1 · 0, 1 219, 392
·
= 44, 2Nm
314 · 22 0,12 + 0, 5
1
Verificando che Cm > Cr , concludiamo che non c’è bisogno di usufruire del
reostato di avviamento.
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
21
22
macchina asincrona
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
4
4.1
MACCHINE A CORRENTE
CONTINUA
esercitazione 14
testo Considerare una dinamo con eccitazione in derivazione con:
• Tensione erogata ai morsetti pari: V = 48 V,
• Resistenza indotto + resistenza spazzole: Ri + Rs = 2, 5Ω
• Resistenza di eccitazione: Re = 120Ω
Determinare la tensione E0 generata dall’indotto quando la corrente della rete
è pari a Is = 3A.
svolgimento Ricordando che la dinamo è una macchina a corrente continua
che funziona da generatore, dobbiamo verificare queste condizioni:
E0 > V
Ie =
V
48
=
= 0, 4A
Re
120
E0 = ( Ri + Rs ) · Is + Re · Ie = 56, 5V
4.2
esercitazione 15
testo Considerare una dinamo con eccitazione separata con:
• Tensione erogata ai morsetti pari: V = 35 V,
• Resistenza indotto + resistenza spazzole: Ri + Rs = 3Ω
• Tensione generata all’indotto: E0 = 40V
Determinare la coppia C da fornire per generare tale tensione con una velocità
pari a 800 giri/minuto.
(Trascurare la coppia resistente dovuta all’attrito).
svolgimento Ricordando che la dinamo è una macchina a corrente continua
che funziona da generatore, dobbiamo verificare queste condizioni:
E0 = ( Ri + Rs ) · Is + V = ( Ri + Rs ) · Is + Re · Ie
→
I=
E0 − V
= 1.67A
Ri + R s
Sapendo che:
C · ω = Eo · I
23
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
24
macchine a corrente continua
con
2π · ns
2π · 800
=
= 83.77 rad/s
60
60
40 · 1, 67
E0 · I
=
= 0, 79 Nm
C=
ω
83, 77
ωs =
4.3
esercitazione 16
testo Considerare la caratteristica elettromeccanica della coppia di un motore
in corrente continua con eccitazione separata:
Sapendo che il motore assorbe una corrente di 12 A e produce una coppia di
40 Nm, che corrente deve assorbire per erogare una coppia di 36 Nm?
svolgimento
C2 ω = E0 · I2
I
I
ω
= 2 = 1
→
E0
C2
C1
4.4
C1 ω = E0 · I1
I · C2
I2 = 1
= 10, 8A
C1
esercitazione 17
testo Un motore con eccitazione in serie con la somma delle resistenze di
indotto, delle spazzole e di eccitazione è pari a 1 Ω, è alimentato da una
tensione di 40 V.
Alla macchina è collegato un carico meccanico che insieme all’attrito oppone
una coppia pari a 2 Nm.
Determinare la velocità del rotore in giri/minuto, sapendo che assorbe una
corrente pari a 8 A.
svolgimento
E0 = ( Ri + Rs + Re ) · I + V
Poiché la macchina funziona da motore, I si considera di verso opposto:
I = −8 A. Perciò:
E0 = 40 − 8 = 32V
E0 · I
E0 · I = C · ω → ω =
= 128 rad/s
C
Otteniamo dunque:
f =
ns =
ωs
= 20, 38Hz
2π
ωs
· 60 = 1222, 9 giri/minuto
2π
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
4.5 esercitazione 18
4.5
esercitazione 18
testo Un motore in corrente continua con eccitazione in derivazione ha le
seguenti caratteristiche:
•
•
•
•
Resistenza circuito di indotto: Ri = 2Ω
Resistenza circuito di eccitazione: Re = 288Ω
Resistenza contatto spazzole collettore: Rs = 3Ω
Tensione di alimentazione: V = 48V
Sapendo che la tensione di indotto è pari a E0 = 43V, determinare il rendimento elettrico della macchina, trascurando le perdite nel nucleo ferromagnetico.
svolgimento
η=
Pu
Pu
=
Pj
Pu + Ps + Pi + Pe
E0 = ( Ri + Rs ) · Is + Re · Ie
E0 − V
Is =
= −1
Ri + R s
V
48
Ie =
= 0, 167A
=
Re
288
Pe = Ie2 · Re = 8, 03W
Ps + Pi = Is2 · ( Rs + Ri ) = 5W
Dato che funziona da motore:
Pu = E0 · I = 43W
Avremo infine:
η=
43W
Pu
=
= 0, 76
Pu + Ps + Pi + Pe
(43 + 5 + 8, 03)W
| {z }
Pa
4.6
esercitazione 19
testo Considerare una dinamo con eccitazione in derivazione, con tensione
erogata ai morsetti pari a 48 [V], resistenza di indotto e resistenza spazzole
pari a 1 [Ω], resistenza di eccitazione 40 [Ω],
determinare la tensione erogata E0 generata dall’indotto quando la corrente
erogata al carico è pari 7 [A].
svolgimento
V
48
= 1.2 A
=
Re
40
Ii = Ie + Is = 7 + 1.2 = 8.2 A
Ie =
E0 = ( Rs + Ri ) · Ii + V = 1 · 8, 2 + 48 = 56, 2 V
Document shared on www.docsity.com
Downloaded by: nunzio92 (build.your.future92@gmail.com)
25