EJERCICIOS Y PROBLEMAS
DE SUCESIONES Y SERIES
EDDY ABREU, AIDA MONTEZUMA Y JAIME RANGEL
Universidad Metropolitana,
Caracas, Venezuela, 2017
Hecho el depósito de Ley
Depósito Legal:
ISBN:
Formato: 21,5 X 27,9 cms.
Nº de páginas: 74
Reservados todos los derechos.
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Autoridades
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Presidente del Consejo Superior
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Rector
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Vicerrectora Académica
María Elena Cedeño
Vicerrectora Administrativa
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Secretario General
Comité Editorial de Publicaciones
de apoyo a la educación
Prof. Roberto Réquiz
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Prof. Mario Eugui
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Prof. Rossana París
Prof. Alfredo Rodríguez Iranzo (Editor)
A Fabiana, Oriana, Annabella, Mikaela y Mattias
A.M.
A Mariana y a mis Ángeles del Cielo
E.A.
A Valentina y Ángel
J.R.
INTRODUCCIÓN
La presente guía ha sido diseñada para ayudar a los estudiantes de Matemática III a
comprender los temas de sucesiones y series que se dictan en el curso.
Este material está escrito con un lenguaje preciso y sencillo, para facilitar su comprensión;
contiene 42 ejercicios y problemas resueltos, 100 ejercicios y problemas propuestos con
sus respuestas y 12 problemas para reforzar la creatividad.
 Ejercicios y problemas resueltos para que los estudiantes reflexionen sobre los
distintos conceptos teóricos, propiedades y teoremas básicos, para que adquieran
destrezas, precisión en los cálculos y en la resolución de problemas. Así mismo se
presentan ejercicios y problemas integradores de conocimientos que le permitan
establecer relaciones entre distintos conceptos matemáticos.
 Ejercicios y problemas propuestos con sus respuestas, cuya finalidad es que el
estudiante revise y refuerce los conceptos estudiados, adquiera destrezas técnicas
y compruebe el progreso alcanzado.
 Problemas para reforzar la creatividad que al ser menos rutinarios y requerir una
mayor comprensión de los conceptos, y algunos con muchas soluciones, plantean
un reto a los estudiantes y contribuyen a elevar el nivel del curso.
4
CONTENIDOS
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................................ 4
CONTENIDOS ................................................................................................................................................. 5
EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS ...................................................................................................................... 6
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS ................................................................................................................ 30
PROBLEMAS PARA REFORZAR LA CREATIVIDAD ................................................................................................... 36
BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................................... 37
5
Ejercicios y problemas resueltos

 1n 
1. a) Calcule los seis primeros términos de la sucesión  2 



n 
n 1
b) Grafique los términos obtenidos en la parte en a).
c) ¿Parece tener límite la sucesión? Si es así, calcúlelo.
Solución:
1
2
5
2
1
3
5
3
1
4
a) a1  2  1  1 , a 2  2   , a 3  2   , a 4  2  
b)
9
4
a5  2 
1 9

5 5
a6  2 
1 13

6 6
c) Si parece tener límite:

 1n   2  0  2
lim 2 

n 
n 

2. Determine si la sucesión cuyo término enésimo es a n 
n3
converge o diverge. Si
3n  7n 3
converge calcule su límite.
Solución:
En este caso, bastaría con calcular el límite. Observe que tanto el numerador como el
denominador tienden a infinito cuando n tiende a infinito, pero si se divide el numerador y
el denominador entre n3 se pueden aplicar los teoremas de límites y resulta:
lim 1
n3
1
1
1
n 

lim



n  3n  7 n 3
n  3
3
07 7
 7 lim 2  lim 7
2
n


n


n
n
lim
6
Como el límite existe, la sucesión es convergente, y converge a
3. Determine si la sucesión cuyo término enésimo es a n 
1
.
7
3 ln n
converge o diverge. Si
en
converge calcule su límite.
Solución:
Observe que tanto el numerador como el denominador tienden a infinito cuando n tiende
a infinito, pero no se puede aplicar la regla de L’Hopital a una sucesión.
Sea f ( x) 
3 ln x
ex
, con x  0 (A la función f si se le puede aplicar la regla).
3
3 ln x L´H
3
lim x  lim xx  lim x  0
x  e
x  e
x  xe
3 ln n
 0 y la sucesión es convergente, y converge a 0.
n  e n
Como f (n)  a n , se tiene que lim
4. Determine si la sucesión cuyo término enésimo es a n 
n5  4
converge o diverge. Si
ln n 2  2


converge calcule su límite.
Solución:
Observe que tanto el numerador como el denominador tienden a infinito cuando n tiende
a infinito.
f ( x) 
Sea
x5  4

ln x 2  2


, x0

5x 4
5x 4 x 2  2
5 x 6  10x 4 L´H
30x 5  40x 3
x 5  4 L´H
lim

lim

lim

lim
 

x 
x 
x 
x 
x    ln x 2  2
2x
2x
2x
2
x2  2
lim


Como f (n)  a n para n  0 , se tiene que lim
n 
5. Determine si la sucesión

n
2n


n 1
n5  4

ln n 2  2

  y la sucesión es divergente
converge o diverge. Si converge calcule su límite.
7
Solución:
1
Sea f ( x)  2 x  x , para x  1 .
1
f ( x)  2 x  x  ln f ( x)  
1
ln(2 x )
1
ln(2 x)  f ( x)  e x
x
2
ln(2 x) L´H
1
1
Como lim ln(2 x)  lim
 lim 2 x  lim  0 , dado que la función exponencial es
x  x
x 
x


x


x
1
x
continua, se tiene que lim f ( x)  e 0  1
x 
1
Dado que f (n)  2n  n para n  1 , se tiene que lim f (n)  1 , y
la sucesión
n 

n
2n


n 1
converge a 1.
6. Determine si la sucesión cuyo término enésimo es a n 
3n  5
es monótona, o no es
4  7n
monótona.
Solución:
an 
3n  5
4  7n
a n 1 
y
3n  1  5 3n  2

4  7n  1 7n  11
Observe que
a n  a n1  a n  a n1  0 y
a n  a n1 
a n  a n1  a n  a n1  0
3n  5 3n  2 3n  57n  11  3n  24  7n 
47


 0 para n  0


7n  11
4

7
n
4  7n7n  11
4  7n 7n  11
Por lo tanto, a n  a n1  0 , y en consecuencia a n  a n1 y la sucesión es creciente, en
consecuencia es monótona.
Otra manera de estudiar la monotonía es definiendo una función derivable tal que
f (n)  a n :
Sea f ( x) 
3x  5
con x  0 , y estudiemos el signo de la primera derivada:
4  7x
f ´(x) 
34  7 x   73x  5
4  7 x 
2

12  21x  21x  35
4  7 x 
2

47
4  7 x 2
0
8
Por lo tanto, la función f es creciente en para x  0 , como f (n)  a n la sucesión dada es
creciente.
7. Determine si la sucesión cuyo término enésimo es a n 
 1n es creciente o
5n
decreciente, o no es monótona.
Solución:
La solución dada no es monótona. ¿Por qué?
 5n 
8. Determine si la sucesión  n 

 2  n 1
es creciente o decreciente, o no es monótona.
Solución:
n
5
5
Sean a n    y a n 1   
2
2
5
a n 1  a n   
2
n 1
n
n 1
.
n
5
 5  5 
        1 
2
 
 2  2 
n
5 3
    0  a n1  a n  0  a n1  a n , para todo n.
2 2
En consecuencia, la sucesión es creciente.

 2n 
9. a) Demuestre que la sucesión  n
es decreciente y está acotada inferiormente.

 3  4  n2
b) ¿Qué se puede deducir del resultado obtenido en a).
Solución:
a) a n  a n1 
2n



2 4  3
2 4  3 3  2


3  43  4 3  43
3 4
n
n
n








2 n 3 n 1  4  2 n 1 3 n  4
2 n 3 n 1  4  2  3 n  8
2 n 1



3 n 1  4
3 n  4 3 n 1  4
3 n  4 3 n 1  4
n
n
n 1
n
n
n 1
4
0



para n  2
Por lo tanto, a n  a n1  0 , en consecuencia a n  a n1 y la sucesión es decreciente.
Observe que 0 
2n
3n  4
para toda n  2 y en consecuencia la sucesión está acotada
inferiormente.
b) Como la sucesión es decreciente y está acotada inferiormente es convergente.
9
10. Si la sucesión dada en 9a) es convergente halle su límite.
Solución:
Observe que tanto el numerador como el denominador tienden a infinito cuando n tiende
a infinito.
Sea f ( x) 
2x
3x  4
, con x  0
x
2 x ln 2
2 x L´H
 2  ln 2

lim
 lim  
 0 ¿Por qué?
x  3 x ln 3
x  3  ln 3
x  3 x  4
lim
2n
 0 y la sucesión converge a 0.
n  3 n  4
Como f (n)  a n se tiene que lim
11. a) Halle los cinco primeros términos de la sucesión cuyo término enésimo es
n
1

a n  1   .
n

b) Determine si la sucesión converge o diverge. Si converge calcule su límite.
Solución:
2
2
3
9
 1
3
a 2  1        2,25
4
 2
2
a) a1  1  1  2
4
4
5
625
 1
5
a 4  1      
 2,44
4
4
256


 
3
64
 1
4
a 3  1      
 2,37
27
 3
3
5
7776
 1
6
a 5  1      
 2,48
5
5
3125


 
1
tiende a 1 cuando n tiente a infinito, y en consecuencia resulta una
n
indeterminación de la forma 1 .
b) Observe que 1 


1
x
x


1
x
x
Sea f ( x)  1   , para calcular el límite se hace y  1   ,
x

x
1
x ln  1 
 1
 1
 1
y  1    ln y  ln1    ln y  x  ln1    y  e  x 
 x
 x
 x
Como la función exponencial es continua lim y  e
x 
 1
lim x ln  1 
 x
x 
.
10


1
x
Evaluemos lim x ln1   :
x 
 1
1
ln1  
 2
L' H
x
1
 1


x
lim x ln1    lim
1
 lim
 lim
x 
x  
1
1
1  1  x 
 x  x 
1
1    2 
x
x
 x  x 
Por lo tanto,
x
1

lim 1    e1  e
x
x  
n
1

Como f (n)  a n se tiene que lim 1    e y la sucesión es convergente y converge a
n  
n
e.
12. Escriba la fórmula de recurrencia para a n si los tres primeros términos de la sucesión
son 6 , 6  6 , 6  6  6 , y halle lim a n .
n 
Solución:
Observe que a1  6 , a 2  6  a1 , a3  6  a 2 , en general se tiene que
a1  6 y a n1  6  a n para n  1
Para hallar el límite se supone que a n  L , entonces se tiene que a n1  L cuando n  
.
En consecuencia, cuando n   , se obtiene
L  6 L
De donde
L2  6  L  L2  L  6  0  L 
1  1  24 1  5

3
2
2
(la solución negativa se descarta, ¿por qué?)
Luego, lim a n  3
n 

1
es convergente o divergente. Si es convergente,
n 1 n( n  1)
13. Determine si la serie 
encuentre su suma.
11
Solución:
La serie converge si su sucesión de sumas parciales converge:
Como S1  a1 ; S 2  a1  a2 , S 3  a1  a2  a3 
Se tiene que
S1 
1
,
2
S2 
1
1
,

2 23
S3 
1
1
1
…


2 23 3 4
Determinemos una fórmula para S n :
Observe que
1
1
1
, luego
 
k (k  1) k k  1
1 1
1 
1
 1  1 1 1 1
 1
S n  1            
  
 1
n 1
 2  2 3  3 4
 n 1 n   n n  1
Determinemos si la sucesión de sumas parciales converge:
1 

lim S n  lim 1 
 1
n  
n  1
n 

1
converge a 1.
n 1 n( n  1)
Por lo tanto, la serie 

n
es convergente o divergente. Si es convergente,
n 1 5n  1
14. Determine si la serie 
encuentre su suma.
Solución:

Una condición para que la serie  a n converja es que lim a n  0 , observe que
n 
n 1
lim
n 
n
 lim
5n  1 n 
1
1
5
n

1
0
5

n
diverge.
n 1 5n  1
En consecuencia, la serie 
12

0,8n
n 0
7
15. Determine si la serie 
es convergente o divergente. Si es convergente, encuentre su
suma.
Solución:
0,8n

La serie 
7
viene dada por
n 0
es una serie geométrica de razón 0,8   1,1 y por lo tanto converge. Su suma

n
 0,8 
n 0

0,8n
n 0
7
En consecuencia, la serie 
1
1

5
1  0,8 0,2
converge a

0,8n
n 0
7


1 
5
n
 0,8 
7 n 1
7

1
diverge.
n 1 n
16. Demuestre, usando el criterio de la integral, que la serie armónica 
Solución:
1
con x  1,   , f es una función continua, positiva y decreciente (verifíquelo),
x
1
además f (n)  .
n
Sea f ( x) 

Evaluemos  f ( x)dx .
1

1
 f ( x)dx  
1
1
x
b
dx  lim 
b  1
1
b
dx  lim ln x1  lim ln b  ln 1  lim ln b  
b


b
b
x


Por lo tanto, la integral  f ( x)dx diverge, en consecuencia la serie 
1
1
n 1 n
diverge.

1
, con p  1 converge.
p
n 1 n
17. Demuestre, usando el criterio de la integral, que la serie 
Solución:
13
Sea f ( x) 
f ( n) 
1
con x  1,   , f es una función continua, positiva y decreciente, además
xp
1
n

Evaluemos  f ( x)dx .
1
b
b 1
 x1 p 
 b1 p
1 
1
 lim 

 f ( x)dx   p dx  lim  p dx  lim 


b


b


b


1 x
1 x
1
1  p  1
1  p 1  p 


b
Como p  1 se tiene que 1  p  0 y lim b1 p  0 , por lo tanto lim 
b 
b  1
1
1
y la integral
dx 
x
p 1

1
, con p  1 converge.
p
n 1 n
converge, en consecuencia, la serie 
  n 
18. Determine si la serie   n  es convergente o divergente.
n 1  e 
Solución:
Sea f ( x) 
x
, f es una función continua, positiva en 1,  y además es decreciente ya que
ex
f ´(x) 
e x  xe x
e
2x

1 x
ex
 0 si x  1
Luego, se puede aplicar el criterio de la integral para estudiar la convergencia de la serie
b
b x
1 1 1
1 2 2
x
1
 b
 b
 x
dx  lim  x  x   lim  b  b     lim  b  b   
(*)
 x dx  blim

x
 1 e
b   e
e e  b   e
e e
e
e
e 1 b   e
1 e

(*) Ya que lim
b 
1
e
0 y
b

Como la integral 
1
lim
b 
b
e
b
L ´H
 lim
b 
1
eb
0
  n 
x
dx
converge,
la
serie

 n  converge.
n 1  e 
ex
2  5n
es convergente o divergente.
n
n 1 2

19. Determine si la serie 
Solución:
14
Observe que 0 
2  5n
5
y 0 
n
2
2
n
2  5n 5n  5 
 n  
2n
2
2
5
n 1  2 

n
La serie    es una serie geométrica de razón
n
(1)
5
 1 y por lo tanto diverge (2)
2
2  5n
diverge.
n
n 1 2

De (1) y (2), por el criterio de comparación resulta que la serie 

20. Determine si la serie 
n3  2 n
es convergente o divergente.
n7  3
n 1
Solución:
Observe que 0 
n3  2 n
n7  3
n3  2 n
Sean a n 
n7  3

La serie 
n 1
1
n
Se evalúa lim
n 
n3
y 0
y bn 
n3
n7
n7

1
n

1
n
.
es divergente ¿por qué?
an
,
bn



2 
1  5 


3
7
a
n n 2 n
n 3
n2 
 lim 
 lim
1
lim n  lim
n 
n 
n 
n  b
1
3
n
n7  3
1 7
n
n

1
Dado que el límite es finito y positivo y la serie 
diverge, por el criterio por comparación en
n 1
n
n3  2 n

el límite la serie 
n 1
n3  2 n
n7  3


diverge.
15
 1  n
2 
21. Determine si la serie    
es convergente o divergente.
n(n  4) 
n 1 3 



Solución:





n k
n k
nk
n k
nk
Recuerde que si  a n y  bn son convergentes entonces  a n b n    a n   bn es
convergente.
La serie
 1 

 

n 1  3 


La serie 
1
n 1
n
2
n
es una serie geométrica de razón
es una p serie con
p  2  1,
1
3
con
1
3
 1 por lo tanto converge.
por lo tanto converge, como 0 
1
1

,
n(n  4) n 2

1
también converge.
n 1 n( n  4)
por el criterio de comparación, la serie 
n
 1  n

1
2    1 






2
 
En consecuencia,    
y converge.


n(n  4)  n 1  3 
n 1 n( n  1)
n 1 3 



  3

22. Determine si la serie   7  5 n  es convergente o divergente. Si es convergente, encuentre
n 1  n

su suma.
Solución:

 1

3
converge ya que  7 converge por el criterio de la p-serie, pero la serie  5 n
7
n 1 n
n 1 n
n 1
  3

diverge, ya que es una serie geométrica de razón mayor que 1, por lo tanto   7  5 n  diverge.
n 1  n

¿Por qué?
La serie 
6n
es convergente o divergente.
n 1 n!

23. Determine si la serie 
Solución:
Evaluemos lim
n
a n 1
an
16
6 n 1
6 n 1
n  1!  lim n  1!  lim 6 n1 n!  lim 6  0  1
lim
n
n
n   6 n n  1!
n n  1
6n
6n
n!
n!
6n
converge.
n 1 n!

Como el límite es menor que 1, por el criterio del cociente la serie 
 n 2 1 
24. Determine si la serie   1  2 
n 1
 2n  n 

n
n
es convergente o divergente.
Solución:
lim n
n 
n

n 2  1 
(1)
 2n 2  n 


n
1
2
1
n

 lim
lim
 1
n   2n 2  n
n 
1
2
2
n
 n 2 1 
Por el criterio de la raíz, la serie   1  2 
n 1
 2n  n 


25. Determine si la serie   1
n
n 1
1
n 2 1
n
n
converge.
n
es convergente o divergente.
1  2n 2
Solución:
La serie dada es una serie alterna (1)
n 1
No es obvio ver si

f ´(x) 
Luego,

n
x
. Para ver si es decreciente, sea f ( x) 
2
1  2n
1  2x 2
1  2n  1
1
1  2x 2
 4x x
2 x
2

1  2 x 
2 2
n 1
1  2n  1
2

n
1  2n 2

1  2 x 2  8x 2

2 x 1  2x 2

2

1  6x 2

2 x 1  2x 2

2
 0 para toda x  1
(2)
1
3
Y
2
n
lim
 lim n
0
2
n  1  2n
n  1
2
n2
(3)
De (1), (2) y (3), la serie dada es convergente por la prueba de la serie alterna.
17
 3n n ! es convergente o divergente.
n 1 n  2 !

26. Determine si la serie 
Evaluemos lim
n
a n 1
an
 3n 1 n  1!
n  3!
lim
n
 3n n !
n  2!
 3n 1
n  3n  2
 lim
n
 3n
n  2n  1
 1
3 1  
3n  1
 n   3 1
 lim
 lim
n
n   n  3
3
1
n
 3n n ! diverge.
n 1 n  2 !

Como el límite es mayor que 1, por el criterio del cociente la serie 
 1n1 converge condicionalmente o absolutamente, o diverge.
3
n 1 n  2 

27. Determine si la serie 
Solución:
 1n1 =  1

3
3
n 1 n  2 
n 1 n  2 

Estudiemos la convergencia de la serie 
Observe que 0 
1
y 0
n  2
3
1
n3
1
n  2
3

1
n3
(1)

1
es una serie es una p-serie con p  3  1 y por lo tanto converge (2)
3
n 1 n
La serie 
 1n1
3
n 1 n  2 

De (1) y (2), por el criterio de comparación resulta que la serie 
converge entonces la
 1n1 converge absolutamente.
3
n 1 n  2 

serie 

28. Determine si la serie 
n2
 1n converge condicionalmente o absolutamente, o diverge.
ln n
Solución:
i) La serie dada es una serie alterna (1)
18
ii)
1
1

ln(n  1) ln n
(2)
1
0
n  ln n
iii) lim
(3)
De (1), (2) y (3), la serie dada es convergente por la prueba de la serie alterna.

Estudiemos la convergencia de la serie 
n2
Observe que 0 
 1n = 

ln n
1
n 2 ln n
1
1
y 0
ln n
n
ln n  n 
1
1

n ln n
  1

1
1
diverge, por criterio de comparación, la serie 
=
diverge,
n  2 ln n
n 2 n
n 2 ln n
n

La serie armónica 

por lo tanto, la serie 
n2
 1n converge condicionalmente.
ln n
1
.
3
29. Demuestre que el decimal infinito 0.333333… es igual a
Solución:
Observe que
0,33333  0,3  0,03  0,003 0,0003   3 
  1 
1
1
1
 3
 3
  3  
10
100
1000
n 1 10 
n
n
1
1
Considere la serie    , esta es una serie geométrica de razón
  1,1 y por lo tanto
10
n 0 10 
converge a

n
  1 
1
1 10


  
1
9
9
n  0 10 
1
10 10
Pero
n
  1 
  1 
  1  
n  0 10 
n 1 10 
n
En consecuencia,
n
n
  1 
  1 
10
1
       1  1 
9
9
n 1 10 
n  0 10 
19
Y
n
1 1
1
3    3  
9 3
n 1 10 

Es decir, 0.333333… es igual a
1
.
3

 x
7
n
30. Encuentre los valores de x para los cuales la serie  5  converge.
n 1
Solución:
La serie dada es una serie geométrica de razón
y diverge para
x
x
1
en consecuencia, converge para
7
7
x
 1 , por lo tanto converge sólo para los valores de x tales que
7
7  x  7
xn
converge.
n 1 n !

31. Encuentre los valores de x para los cuales la serie 
Solución:
Sean
an 
xn
n!
a n 1 
y
a n 1

an
lim
n
x n 1
n  1!
n
x
n!
 x
x n 1
n  1!
n!
1
 x
(n  1) !
n 1
a n 1
1
 x lim
 x  0  0 1
n


an
n 1
Por el criterio del cociente, la serie converge para toda x  R .

32. Encuentre los valores de x para los cuales la serie 
n 1
 1n x  1n converge.
n 2
3 n
Solución:
20
an 
Sean
 1n x  1n
3n n 2
a n 1

an
a n 1 
y
 1n1 x  1n1
2
3 n 1 n  1
 1n x  1n

 1n1 x  1n1
2
3 n 1 n  1
x  1  n 2


3  n  1
3n n 2
2




x 1
x 1
a n 1
1
 
lim

lim 
n a
1
3 n  
3
n
1  
n

x 1
x 1
Por el criterio del cociente, para
 1 la serie converge , para
 1 la serie diverge
3
3
y si
x +1
3
= 1 el criterio no aporta información.
Dado que
x 1
3
 1  x  1  3  3  x  1  3  4  x  2
Si  4  x  2 la serie converge, si x  4 ó x  2 la serie diverge.
Falta estudiar cuando
x 1
3
 1 , es decir, si x  4 ó x  2

Si x  4 se obtiene la serie 
 1n  3n
n
n 1
3 n
2
 1n  1n

 
n 1
n
2

1
, la cual converge por el
2
n 1 n
 
criterio de la p-serie con p  2  1 .

 1n 3n
n 1
3n n 2
Si x  2 se obtiene la serie 


n 1
 1
n
2
n

 
n 1
  1
1
converge, la serie  2
2
n 1 n
n 1 n



En consecuencia, la serie converge 
n 1
 1n , como la serie de términos positivos
2
n
n
también converge.
 1n x  1n si y sólo si
n 2
3 n
x   4 , 2 .
21
33) Sea f la función definida por f ( x) 
1
. Usando una serie de potencias, conocida,
2( x  3)
halle la representación en serie de potencias centrada en c  0 para la función dada.
Indique su intervalo de convergencia.
Solución:

Se sabe que la serie geométrica  x n 
n 0
1
1 x
para x  1 , como la representación de una
función en serie de potencias es única,
1
1 1
1 1 1
1
1
1   x
1   1n x n
 
  

   

x 6
2( x  3) 2 x  3 2 3
6 n 0 3 n
x  6 n 0 3 

1
1   
3
 3
n
para 
x
1
3
En consecuencia,
f ( x) 

1
1   1n x n
 
2( x  3) 6 n 0 3 n
x
 1 Þ x < 3 Þ -3 < x < 3
3
34. a) Usando una serie de potencias, conocida, halle la representación en serie de
potencias de x centrada en c  0 para la función f definida por f ( x) 
1
, indique su
3x  4
intervalo de convergencia.
b) Use el resultado de la parte a) para hallar la representación en serie de potencias
de la función g definida por g ( x) 
x3
. Indique su intervalo de convergencia.
3x  4
Solución:
1
1
1
1
1 æ 3x ö 1   1n 3 n x n
=
= ×
= å ç- ÷


3x + 4 4 æ1+ 3x ö 4 1- æ - 3x ö 4 è 4 ø 4 n 0
4n
ç
÷
ç
÷
è
è 4ø
4ø
n
a)
f (x) =
¥
n=0

 1n 3 n x n
n 0
4 n 1

22
Esta serie converge sólo para 
3x
4
 1 , es decir, para x  . El intervalo de convergencia
4
3
 4 4
 ,  .
 3 3
x3
(-1) 3 x =   1n 3 n x n3 , para x    4 , 4 
g ( x) 
 x å
3x  4
4
n 0
4 n 1
 3 3
n
b)
3
¥
n=0
n
n
n+1
35. Usando una serie de potencias, conocida, halle la representación en serie de potencias
de x+1 para la función h definida por h(x) =
1
, indique su intervalo de convergencia.
3x + 4
Solución:
h( x ) 


1
1
1


  (1) n 3 n ( x  1)
3x  4 3x  3  1 1  (3( x  1)) n 0

n
Esta serie converge sólo para -3(x+1) <1 .
3( x  1)  1  x  1 
æ
è 3
1
1
1
4
2
   x 1     x  
3
3
3
3
3
ö
3ø
El intervalo de convergencia ç - 4 , - 2 ÷.
36) Dada la función f
definida por f ( x) 
5x  4
. Use series de potencias,
 3x 2  3x  2
conocidas, para hallar una representación en serie de potencias centrada en c  0 de la
función dada. Indique su intervalo de convergencia.
Solución:
Al descomponer en fracciones simples
5x  4
, resulta:
 3x 2  3x  2
23
f ( x) 
5x  4
A
B
1
2
5x  4
(Verifíquelo)





2
 3x  3x  2 (3x  1)(2  x) 3x  1 2  x 3x  1 2  x
1
:
3x  1
i) Hallemos la serie correspondiente a


1
1
n
n

   3x     1 3 n x n para 3x  1
n 0
3x  1 1   3x  n 0
3x  1  x 
ii) Hallemos la serie correspondiente a
1
1
1
 x
3
3
3
2
:
2x
n

 x
x
xn
2
1
1

      n para
x
n 0 2
n 0 2 
2
2x
1
2
x
 1  x  2  2  x  2
2
De i) y ii) resulta:
 


1
xn
x5
1
1
n
n n n
   1 3 n  n  x n , para   x 





1
3
x


n
2
n

0
n

0
n

0
3
3
2 
2
 3x  3x  2


37. Use la serie geométrica  x n 
n 0
1
, para x  1 para obtener la serie de potencias
1 x
de
a)
1
1  x 2
b) ln(1  x)
Solución:
Observe que las series de potencias pueden ser derivadas o integradas término a término
dentro de su intervalo de convergencia.
24
a) Como
1
1  x 
2

d  1 
1
se derivan

 , para obtener la serie correspondiente a
dx  1  x 
1  x 2
los términos de la serie correspondiente a
1
:
1 x

1
 1  x  x2  x3     x n
n 0
1 x
Luego,

1
1  x 
x
b) Como ln(1  x)   
0
2
 1  2 x  3x 2  4 x 3     n x n 1
n 1
1
dt , para obtener la serie correspondiente a ln(1  x) se integran
1 t
los términos de la serie correspondiente a
1
:
1 x

1
 1  x  x2  x3     x n
n 0
1 x
Luego,
 xn


x2 x3 x4
ln(1  x)    x 


    
n 1 n
2
3
4



38. Encuentre la suma S(x) de  x  5n . ¿Dónde es válida?
n 0
Solución:

 x  5 es una serie geométrica de razón x-5, luego
n
n 0

S ( x )    x  5 
n
n 0
1
1

1  ( x  5) 6  x
Válida para x  5  1 , es decir, para x  (4,6)
39. Determine el polinomio de Maclaurin de orden n para la función f ( x)  e x .
Solución:
f ( x)  e x  f (0)  1
f ' ( x)  e x  f ' (0)  1
25
f
( n)

( x)  e  f
x
( n)
(0)  1
Por lo tanto, al sustituir en la fórmula del polinomio de Maclaurin de grado n:
Pn  f (0)  f ' (0) x 
f ' ' (0) 2
f ( n ) (0) n
x 
x
2!
n!
Se obtiene que
Pn  1  x 
x2 x3
xn
 
2! 3!
n!
40. Determine la serie de Maclaurin para la función f ( x)  e x .
Solución:
Del ejercicio anterior, se tiene que
ex 1 x 
x2 x3
xn
 

2! 3!
n!
Y será válido para todo x una vez que demostremos que
Rn ( x) 
lim Rn  0 , donde
n 
f ( n 1) (c) n 1
para algún c entre 0 y x.
x
(n  1) !
f
( n 1)
( x )  e x  Rn ( x ) 
ec
ec
x n 1 
x n 1 , para algún c entre 0 y x
n  1!
n  1!
Como e x es una función creciente,

x n 1
ec
n 1
x

Si x  0  c  0  e  1 y Rn ( x) 
n  1!
n  1!

Si x  0  e x  1 y Rn ( x)  0

Si x  0  c  0  e c  e x y Rn ( x) 
c
ec
e x x n´1
x n 1 
n  1!
n  1!
26
Como
lim
n 
xn
es el término enésimo de una serie convergente (problema
n!
) se tiene que
xn
 0 para toda x  R , por lo tanto lim Rn  0 y e x es igual a la suma de su serie, es
n 
n!
decir,
ex 1 x 
41. a) Pruebe que
 xn
x2 x3
xn
 
 
2! 3!
n!
n 0 n!
ex
1 1 1 x x2

   
  para 0  x   .
x 2 x 2 x 2! 3! 4!
b) Halle la serie de Mac-Laurín para la función G( x)  x 2 e 3x .
Solución:
xn
n  0 n!

Del problema anterior se obtiene que e x  
a) Podemos derminar las serie de Mac-Laurín para
Laurín correspondiente a e x por
ex
1
 2
2
x
x
ex
multiplicando la serie de Macx2
1
:
x2

 1 1 1 x x2
x 2 x3
xn
1  x 







 x 2  x  2!  3!  4!  
2! 3!
n!


La nueva serie converge para toda x  R  0 , porque la serie correspondiente a e x
converge para toda x  R .
b) En este caso, para obtener la serie correspondiente a e 3 x sustituimos x por 3x :
e 3 x  1  3x 
 (3x) n
(3x) 2 (3x) 3
(3x) n


 
n 0 n!
2!
3!
n!
Luego, multiplicamos la serie correspondiente a e 3 x por x 2

G( x)  x 2 e 3x  x 2 1 

n
 (3x)
 3 n x n2

(3x) n
3x (3x) 2 (3x) 3



   x 2 
 
n 0
n 0
1!
2!
3!
n!
n!
n!

27
La nueva serie converge para toda x  R , porque la serie correspondiente a e x lo hace.
42. a) Use la definición para hallar la serie de Taylor centrada en a 
f ( x)  cos x .
b) Se sabe que sen x  
π
para la función
2
d cos x 
y que las series de potencias pueden ser derivadas
dx
término a término dentro de su intervalo de convergencia. Use el resultado obtenido en la
parte a) parte obtener el desarrollo en serie de Taylor centrada en a  π para la función
2
f ( x)  sen x .
Solución:
æp ö
f (x) = cos x Þ f ç ÷ = 0
è2ø
a)
 
f ' ( x)   sen x  f '    1
2
f ' ' ( x)   cos x  f ' ' (0)  0
π
f ' ' ' ( x)  sen x  f ' ' '    1
2
π
f ( 4) ( x)  cos x  f ( 4)    0
2

Por lo tanto, al sustituir en la fórmula de la serie de Taylor
π
π
f '' 
f (n)  
2
n
π
π
π
π
 π 
2
2
cos x  f    f '   x   
 x   
 x   
2
2! 
2
n!
2
2
 2 

Se obtiene que
π



x  
x  
π
2
2

cos x   x    

,
2
3!
5!

3
5
Y será válido para todo x una vez que demostremos que lim Rn  0 .
n 
f
( n 1)
( x)  cos x ó
f
( n 1)
( x)  sen x
Por lo tanto,
28
( n 1)
f
( x)  1 para toda x  R
Y
( n 1)
(c ) 
π
Rn ( x) 
x  
n  1!  2 
f

x
n 1

n´1
2
n  1!


x  
2
Como lim 
 0 por ser el término enésimo de una serie convergente (hacerlo),
n 
n!
n
lim Rn  0 y cosx es igual a la suma de su serie, es decir,
n 
2 n 1
π

x  

2
n
, para toda x  R .
cos x    1 
n 1
2n  1!
π



3 x  
5 x  
2
2
d cos x 


sen x  
 sen x  1 


dx
3!
5!
2
b)
2
4
π
π


x 
x 

2
2


n
sen x  1 

     1
n 0
2!
4!
π

x 
2

2n !
4
2n
, xR
29
Ejercicios y problemas propuestos
En los problemas del 1 al 6 determine los cinco primeros términos de la sucesión con el
término enésimo dado.
1. a n 
2n
n!
4. a n 
1   1
n
n
2. a n 
n 1
3n  2
5. a n 
1 1

n n2
 n 

 2 
6. a1  2, an  3an1  1
3. a n   1n cos
Respuestas:
8 16 32
1) 2, 2, , ,
6 24 120
3 4 5 6
5) 2, , , ,
4 9 16 25
3 4 5 6
2) 2, , , ,
4 7 10 13
3) 0,  1, 0, 1, 0
1
4) 0, 1 , 0, , 0
2
6) 2, 5 , 14, 41, 122
En los problemas del 7 al 12 determine el término general a n , suponiendo que se
mantiene el patrón de los cinco términos que se dan.
8. 0, 5 , 0, 5 , 0
2 4
8 16
32
, ,
3 9 27 81 243
4 9 16 25
10. 1, , , ,
2 6 24 120
7.  , , 
11.
7
9 11
, 4, , 5,
2
2
2
1 1 1
1 1
12. , , ,  ,
2 4 8 16 32
9.
1 8 27 64 125
, , , ,
3 5 7 9 11
Respuestas:
7) a n 
12) a n 
 1n 2 n
3n

8) a n  1   1n
 52
9) a n 
n6
2
10) a n 
n2
n3
11) a n 
n!
2n  1
 1n1
2n
En los problemas del 13 al 20 determine si la sucesión con término enésimo dado
converge o diverge. Si converge calcule el límite.
13. a n 
17. a n 
1
n
n  1!
n!
14. a n 
3n 2  2n  1
n 1
18. a n 
n 1
n

, n2
n
n 1
3
15. a n 
n 1
n
19. a n  cos n


20. a n  2 
cos n
n
2n 

n
 3  4  n2
16. 
30
Respuestas:
13) converge a 0
14) diverge
19) diverge 20) converge a 2
15) converge a 0
16) converge a 0
17) diverge
18) converge a 0
En los problemas del 21 al 28 determine si la sucesión con término enésimo dado es
monótona. Discuta la existencia de cotas de la sucesión. Para n  1 .
21. a n 
1
n
5
25. a n   
2
3n
n2
1
26. a n  n 
n
22. a n 
n
 n 

 6 
23. a n  2  cos
27. a n 
(1) n
n2  5
sen n
n
n
2
28. a n 
n
24. a n 
Respuestas:
21) decreciente, está acota superiormente por 1 e inferiormente por 0
22) creciente, está acota
superiormente por 3 e inferiormente por 1
23) no es monótona, está acotada superiormente por 3 e
inferiormente por 1 24) no es monótona, está acotada superiormente por 1 e inferiormente por 1 25)
5
creciente, está acotada inferiormente por
y no tiene cota superior
26) creciente, está acotada
2
inferiormente por 2 y no tiene cota superior 27) no es monótona, está acotada superiormente por
inferiormente por 
1
e
9
1
28) creciente, acotada inferiormente por 2 y no tiene cota superior.
6
En los problemas del 29 al 34 determine si la afirmación dada es verdadera o falsa.
Justifique su respuesta.
1 
 converge.
 an 
29. Si a n  converge entonces 
 an 
 converge a cero.
n 
30. Si a n  converge entonces 
31. Si a n  y bn  convergen entonces a n  bn  converge.

32. 2 

n2 
 diverge.
1  2n 2 
33. Si a n  converge a 4 entonces a n 2  4 cuando n  
31
34. Toda Sucesión acotada es convergente
Respuestas:
29) falso 30) verdadero 31) verdadero
32) falso 33) verdadero 34) falso
En los problemas del 35 al 37 determine los tres primeros términos no nulos de cada una
de las series dadas.
n2  n  2
n 1 ln n  1
n 2  2n
2
n 1 2n  n  1


 n 

 2 

37.   1n cos
36. 
35. 
n 1
Respuestas:
35) 
1 3
8


4 22 37
36)
4
8
14


ln 2 ln 3 ln 4
37) 1  1  1
En los problemas del 38 al 46 determine las siguientes series son convergentes o
divergentes. Si converge determine su suma.
n 2  2n
2
n 1 2n  n  1
39. 
4n  3
n 1
2n
42. 

38. 

41. 
 3
44.   
n 1
 5 

e 2n
n 1 ln n  3


40. 
n 0
 1  n 3 
43.     
n 
n 1  5 


 n 
46.   1n cos 
n 1
 2 
2n
n 1 10000


(1) n
3
n 1
n
2n  3
4n

45. 
Respuestas:
38) diverge
42) diverge
39) diverge
43) diverge
40) converge a 2 
44) converge a
3
5 3
4 3
3
41) diverge
45) diverge
46) diverge
En los problemas del 47 al 67 determine las siguientes series son convergentes o
divergentes.
32


48. 
n4
n 1 3n!
51.   n  2 
n 1  3
n 

n 1
ln 3
n 1

 1n
n 1
n n
62. 

2n  3
n 1
2
n  2

 1n1
n 1
2 n!
60. 
  1n
1
 
3
n 1  n  1
8



n

5n

 1n1 n!
n 0
10n
61. 
n
63.  
5n  2 
65.   2

n 1  n  n 

n 1
n !2
2n !
 n 
cos 2  
 2 
58. 
n 1
n2
4n
57. 
n


55. 
n 1

59.   1n

n 1
n4

 1  n
5 
52.    

n 1  2 
n 

ln n 
54.  arctan(n  1)
n 1
n  13
n 0

53.  1,0003n
56. 
1


50. 
49. 
nn  1
n 1
8 lnn  1

1
1
2
n 1 2n  n  1
47. 
5n n
n 1 2n !

66. 




n 3

 1
7

64. 
 2
n

n 1
2
n5



3sen 2 n 
n 1
n n
67. 




Respuestas:
47) converge
48) diverge
49) converge 50) converge
51) converge 52) diverge 53) diverge
54) diverge 55) converge 56) converge 57) converge 58) converge 59) diverge
60) converge 61) diverge 62) converge 63) converge 64) diverge 65) converge 66) converge 67)
converge
En los problemas del 68 al 73 determine si las series convergen condicionalmente o
absolutamente, o divergen.

 1n
n 1
4 n!
68. 

 2n1
n 1
n2
71. 

 1n1 2  n 2 
n 1
en
69. 

 13n sen n
n 1
n3
72. 

70. 
 1n
n 1 5

73. 
n 1
n4
 1n
n2
n3  1
Respuestas:
33
68) converge absolutamente 69) converge absolutamente 70) converge condicionalmente
71) diverge 72) converge absolutamente 73) converge condicionalmente.
En los problemas del 74 al 77 exprese el decimal periódico como una serie geométrica, y
exprese su suma como el cociente de dos enteros.


74. 0, 5

75. 0,12

76. 0,2 6
77. 0,00 2
Respuestas:
n
n
  1 
5
74) 5    
9
n 1 10 
  1 
12
75) 12  
 
99
n 1 100 
n
n
  1 
4
76) 0,2  6    
15
n  2 10 
  1 
1
77) 2    
450
n 3 10 
En los problemas del 78 al 86 encuentre los valores de x para los cuales la serie converge.

 1n  3 
n
2
n 1
78. 
n 1
 1n1 x  4n
n 1
3n  n 2
43x  2
n 1
5n

n n
x
n
n 010

81. 

 1n1 n  1x  4n
n 1
2n
84. 

79. 
xn
1
n 0 x 

n
80.   

 1n1 x  1n
n 1
n

 x  6 2 n
n
82. 
83. 
2
n

n ! x  3
85. 
n 1
2n !
86. 

n 1

n n 2  3n  2

Respuestas:
2
2
x
3
3
7
82)  1  x 
3
78) 
79)  7  x  1
83)  2  x  0
80) x  1 ó
84) 3  x  5
x 1
81)  10  x  10
85)  7  x  1
86) 5  x  7
En los problemas del 87 al 92, use una serie conocida, para hallar la representación en
serie de potencias centrada en el punto indicado para la función dada. Indique su
intervalo de convergencia.
87. f ( x) 
1
, a0
9 x
88. f ( x) 
x2
, a0
x5
89. f ( x) 
1
, a0
2x  3
34
1
, a 1
6 x
90. f ( x) 
91. f ( x) 
1
 2  5x 
 ,a0
 3 
2
, a0
2
x 4
92. f ( x)  
Respuestas:

87)   1
n
xn
,9 x9
32n2
n n

3
3
n 2 x
, x
  1
n 1
n 0
2
2
3
2
n

1
 

x
  2 n  2 ,  2  x  2
n 0
 2

n 0
89)
91)
x n2
,5 x5
n 1
n 0 5
n

n x  1
90)   1
,6 x8
n 0
7 n 1

88)  

92) 3   1
n
n 0
5n x n
2
2
, x
n 1
5
5
2
En los problemas del 93 al 100 calcule la serie de Taylor correspondiente a función f dada
en el punto a indicado (Suponga que f tiene un desarrollo en serie de potencias) y
determine el intervalo de convergencia.
93. f ( x)  sen x , a  
95. f ( x)  ln1  x  , a  0
1
x
94. f ( x)  , a  1
98. f ( x)  cosx 2  , a  0
96. f ( x)  arctan x , a  0
97. f ( x)  x  e 2 x , a  0
99. f ( x)  ln x , a  1
100. f ( x)  cos 2 x , a  0
Respuestas:

93)   1
n
n 1

95)   1n 1
n 1


99)   1n
n 0
n
x
, 1  x  1
n
n 1
n
x  1
n 1
97)   1n 1
n 1

1
x   2n1 ,    x  
2n  1!
2 x
, x
n  1!
n 1
,0 x2
94)   1x  1n ,  2  x  0
n 0

96)   1n1
n 1

n
98)   1
n 0

x 2n 1
, 1 x 1
2n  1
1 4n
x , x
2n!
100) 1    1
n 1
n
2 2 n 1 x 2 n
,  x
2n!
35
Problemas para reforzar la creatividad
1. Construya una sucesión decreciente que converja a 5. Justifique su respuesta.
2. Construya una sucesión creciente que converja a 4. Justifique su respuesta.
3. Dé un ejemplo de dos sucesiones  xn  y  yn  tales que lim xn  0 , lim yn   y
n 
lim xn yn   1 .
n 
n 
4. Construya una serie geométrica que converja a 7. Justifique su respuesta.
5. Dé un ejemplo de dos series  a n y  bn divergentes tal que  an  bn  converja.
6. Dé un ejemplo de dos series  a n y  bn convergentes tal que la serie  a n bn diverge.
7. ¿Por qué lim a n  0 no es suficiente para garantizar la convergencia de la serie  a n ?
n 
2
9
2
9
8. Construya una serie de potencias de x que converja para   x  . Justifique su
respuesta.
9. Construya una serie de potencias de x  3 que converja para  10  x  4 . Justifique su
respuesta.
n

10. Suponga que la serie de potencias  b n x  4 converge en x  2 . ¿Por qué se
n 0
puede asegurar que converge en x  5 ? ¿Se puede afirmar que también converge en
x  6 ? Justifique su respuesta.
11. Compruebe que, para   0

n
n 0
n!
a) 
e   1

n
n 0
n!
b)  n
e   
12. Sean 0  p  1 y q 1  p , demuestre que

a)  q n 1 p  1
n 1

b)  nq n 1 p 
n 1
1
p
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BIBLIOGRAFÍA
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