УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ САУ
Задача: САР состоит из нелинейного элемента (Н.Э.) и двух линейных звеньев с
передаточной функцией W1(p) и W2(p) (рисунок 1).
Определить при каких значениях коэффициента k система будет абсолютно
устойчива.
Передаточные функции линейной части системы
W1 ( p ) 
k1
T1 p  2T1 p  1
2
W2 ( p) 
2
k2
T2 p  1
Рисунок 1 – Структурная схема нелинейной системы к примерам
Результаты расчетов проверьте моделированием в Matlab Simulink
Таблица - Значения коэффициентов
№
варианта
k1
k2
T1 , с-1,
T2 , с-1
ξ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
1
1,5
0,5
2,5
1
1,5
0,5
1
1,5
0,5
2,5
1
1,5
0,5
1
1,5
0,5
2,5
1
1,5
0,5
1
1,5
0,5
2,5
1
1,5
0,5
1
1,5
0,5
2,5
1
1,5
0,5
1
1,5
0,5
2,5
1
1,5
0,5
1
1
1
1
0,5
0,5
0,5
0,75
0,75
0,75
0,75
1,2
1,2
1,2
0,8
0,8
0,8
0,8
1,5
1,5
1,5
2
3
5
2
3
5
2
3
5
2
3
5
2
3
5
2
3
5
2
3
5
0,02
0,03
0,04
0,05
0,02
0,03
0,04
0,05
0,02
0,03
0,04
0,05
0,02
0,03
0,04
0,05
0,02
0,03
0,04
0,05
0,02
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
Задача Система состоит из нелинейного элемента (Н.Э.) и двух линейных звеньев с
передаточной функцией W1(p) и W2(p) (рисунок 2). Определить при каком
значении коэффициента k данная система будет устойчива. Передаточные
функции линейной части системы
W1 ( p ) 
K1
T1 p  2T1 p  1
2
2
W2 ( p ) 
K2
T2 p  1
Значения коэффициентов
K1 = 1 ; K2 = 1 ; T1 = 1c ; ξ= 0,05 ; T2 = 5c
Рисунок 2 – Структурная схема нелинейной системы
РЕШЕНИЕ
Решение сводится к определению допустимого значения коэффициента k, в пределах
которого может находится нелинейное звено согласно рисунку 3. Для этого строим
модифицированный годограф Найквиста и по критерию абсолютной устойчивости
В.М. Попова определим значение точки (-1/k; j0).
Рисунок 3 – К понятию абсолютной устойчивости
1. Передаточная функция линейной части системы
W ( p) 
K1
K2
K1 K 2

 2 3
2
T1 p  2T1 p  1 T2 p  1 T1 T2 p  (2T1T2  T1 ) p 2  (2T1  T2 ) p  1
2
2
2. После подстановки численных значений коэффициентов
W ( p) 
1
5 p  1,5 p 2  5,1 p  1
3. Частотная передаточная функция
3
1
(1  1,5 2 )  j (5,1  5 2 )
W ( j ) 


(1  1,5 2 )  j (5,1  5 2 ) (1  1,5 2 )  j (5,1  5 2 )
(1  1,5 2 )
 (5,1  5 2 )

j
 U ( )  jV ( )
(1  1,5 2 ) 2   2 (5,1  5 2 ) 2
(1  1,5 2 ) 2   2 (5,1  5 2 ) 2
( 1  1,52 )
U(  ) 
( 1  1,52 )2  2 ( 5,1  52 )2
V( ) 
 ( 5,1  52 )
( 1  1,52 )2  2 ( 5,1  52 )2
4. Модифицированная вещественная и мнимая часть частотной передаточной
функции
U * ( ) 
(1  1,5 2 )
(1  1,5 2 ) 2   2 (5,1  5 2 ) 2
V *() 
  2 ( 5,1  52 )
( 1  1,52 )2  2 ( 5,1  52 )2
5. Изменяя частоту от ω = 0 до ω = ∞ строим модифицированный годограф
Найквиста. Результаты вычислений показаны в таблице 4.1. График показан на рисунке 4.
Таблица 4.1 – Расчёт модифицированного годографа Найквиста.
ω
0,00
0,05
0,20
0,40
0,60
0,82
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
U*(ω)
1,00
0,94
0,51
0,21
0,11
0,00
-0,2
-0,81
-1,92
-1,0
-0,46
-0,25
-0,15
V*(ω)
0,00
-0,01
-0,11
-0,2
-0,29
-0,56
-0,9
-1,21
-0,38
0,74
0,65
0,50
0,39
Рисунок 4 – Модифицированный годограф Найквиста
 2 (5,1  5 2 )
V * ( ) 
=0
(1  1,5 2 ) 2   2 (5,1  5 2 ) 2
Обратите внимание. Модифицированный годограф Найквиста с коэффициентом
демпфирования колебательного звена ξ = 0,05 имеет необычную форму. Если ξ уменьшить
до 0,005, то он ещё больше “растянется” вдоль оси абсцисс.
(5,1  52 )  0 ;
  5,1 / 5  1,02
6. Полученный выпуклый годограф при ω = 1,02 пересекает отрицательную ось
абсцисс в точке (-1/k; j0) или (-1,72 ; j0). Через эту точку можно провести прямую Попова.
Значит 1/k > |-1,72| и k ≤ 0,58.
ОТВЕТ При значении k ≤ 0,58 система будет абсолютно устойчива.
Примечание – Учитывая, что годограф получился выпуклым, то значение
коэффициента k, можно определить по алгебраическим критериям устойчивости.
Пример 4.7 – Определить при каком значении коэффициента k нелинейная
система будет абсолютно устойчивой по критерию В.М. Попова при других
передаточных функциях линейной части системы
W1 ( p) 
K1
T1 p  21T1 p  1
2
W2 ( p ) 
2
K2
T2 p  2 2T2 p  1
2
2
Значение коэффициентов
К1=1, К2=1, Т1=1,25с, Т2=5с, ξ1=0,05, ξ2=0,5
РЕШЕНИЕ
1. Передаточная функция линейной части системы
W ( p) 

K1
K2


2
T1 p 2  21 T1 p  1 T2 p 2  2 2T2 p  1
2
K1K 2
2
2
T1 T2 p 4  2(T1 T2 2  T1T2 1 ) p 3  (T1  T2  4T1T21 2 ) p 2  2(T11  T2 2 ) p  1
2
2
2
2
2 Подставим численные значения коэффициентов в передаточную функцию
разомкнутой системы линейной части системы
W ( p) 
1
39 p  10,92 p  27,18 p 2  5,12 p  1
4
3
3 Частотная передаточная функция
1  39 4  27,18 2
W ( j ) 

(1  39 4  27,18 2 ) 2   2 (5,12  10,92 2 ) 2

j (5,12  10,92 2 )
(1  39 4  27,18 2 ) 2   2 (5,12  10,92 2 ) 2
4 Модифицированная вещественная и мнимая часть частотной передаточной функции
1  39 4  27,18 2
U * ( ) 
(1  39 4  27,18 2 ) 2   2 (5,12  10,92 2 ) 2
 (5,12  10,92 2 )
V * ( ) 
(1  39 4  27,18 2 ) 2   2 (5,12  10,92 2 ) 2
5 Изменяя частоту от ω = 0 до ω = ∞ строим модифицированный годограф Найквиста.
Результаты вычисления показаны в таблице 4.2. График показан на рисунке 5.
Таблица 4.2 – Расчёт модифицированного годографа Найквиста
ω
0
0,1
0,25
0,3
0,5
0,684
0,75
0,8
0,9
1,0
U*(ω)
1
0,82
-0,34
-0,40
-0,26
-0,318
-0,44
-0,39
0,14
0,06
V*(ω)
1
-0,09
-0,18
-0,13
-0,47
0
0,14
0,45
0,26
0,03
Рисунок 5 – Модифицированный годограф Найквиста к примеру 4.7
Обратите внимание. Модифицированный годограф Найквиста получился
вогнутым. Поэтому действительное значение коэффициента k по алгебраическим
критериям не определяется. Для его определения необходимо проводить прямую Попова и
по её пересечению с осью абсцисс определяется значение коэффициента k.
6 Проводим прямую Попова так, чтобы модифицированный годограф Найквиста
располагался вправо от неё. Получаем точку пересечения (-1/k; j0) при значении (-0,4; j0).
Значит 1/k > |0,4| и k ≤ 2,5.
Примечание – С помощью алгебраического критерия устойчивости можно
определить максимальное значение коэффициента k, если вместо нелинейного звена
находится линейное звено.
Пример 4.9 – Определить значение k по критерию абсолютной устойчивости
В.М. Попова для нелинейной системы с неустойчивой линейной частью, которая
описывается следующими передаточными функциями
W раз ( p) 
K1
K2
K1 K 2


2
3
T1 p  1 T2 p  T3 p  1 T1T2 p  (T2  T1T3 ) p 2  (T3  T1 ) p  1
Рисунок 6 – Структурная схема нелинейной системы к примерам 4.9 – 4.10
Параметры системы : T1 = 1c; T2 = 1c; T3 = 3c; K1 = 0,5; K2 = 1
РЕШЕНИЕ
1. Если разомкнутая система имеет один положительный вещественный корень, то
замкнутая система структурно неустойчивая. Для получения устойчивой системы
необходимо эти звенья охватить местной отрицательной обратной связью и определить
коэффициент передачи в цепи обратной связи K ос . Его величина должна быть такая, чтобы
свободный член в характеристическом полиноме был положителен.
Wзам ( p ) 

K1 K 2

T1T2 p  (T2  T1T3 ) p  (T3  T1 ) p  ( K1K 2 K ос  1)
3
2
0,5 1
0,5
 3
2
p  (1  1 3) p  (3  1) p  (0,5  1 K ос  1) p  4 p  2 p  (0,5  1 K ос  1)
3
2
Необходимые условия устойчивости – все коэффициенты характеристического
полинома должны быть положительные. Коэффициент при р определяется
(T3 -T1)=(3-1)=2 > 0. Свободный коэффициент
K0 = (K1K2Koc -1)==(0,5·1·Koc -1) > 0 .
При Koc = 2,2, тогда K0 = (0,5·1·2,2-1) = 0,1. Согласно критерию Гурвица 4·2 >1·0,1.
Значит при Koc = 2,2 линейная система с местной обратной связью будет устойчива.
2 Определим устойчивость нелинейной замкнутой системы. Для этого построим
модифицированный годограф Найквиста с полученной устойчивой линейной части
системы.
Wзам ( j ) 

0,5
3
 j 
2
 4 j   2 j  0,1

0,5(0,1  4 2 )
0,5 2 (2   2 )

j
(0,1  4 2 ) 2   2 (2   2 ) 2
(0,1  4 2 ) 2   2 (2   2 ) 2
Результаты расчета показаны в таблице 4.3. Модифицированный годограф Найквиста
на рисунке 7.
Таблица 4.3 – Расчет модификационного годографа Найквиста к примеру 4.9
ω
0
0,5
0,8
1,0
1,2
1,3
1,41
1,6
2
U*(ω)
0,5
0,28
-0,16
-0,12
-0,087
-0,075
-0,063
-0,052
-0,028
V*(ω)
0
-0,27
-0,12
-0,06
-0,024
0,021
0
-0,058
-0,016
Рисунок 7 – Модифицированный годограф Найквиста к примеру 4.9
3 Проводим прямую Попова, которая располагается слева от модифицированного
годографа (рисунок 7). Она пересекает ось абсцисс в точке ω* = - 0,068
4 Определяем максимальное значение коэффициента k при ω* = -0,068
ω∗ = 0,068 = 1 / k, k = 14,7
5 Определяем значение свободного коэффициента K*0 в замкнутой нелинейной
системе
K0* = (K0 + k⋅ K2K1 − 1 ) = (0,1⋅ 05⋅ 1⋅ 14,7 − 1 ) = 7,45
6 Минимальное значение Kос.min= 2,2 по условию устойчивости замкнутой системы
при наличии одного положительного корня. Напоминаем, что при Kос.min= 2,2, то Kо= 0,1.
Определим ω**min
ω∗∗ = 1 / 2,2 = 0,456
или
ω∗∗ = −0,456
ОТВЕТ Прямая Попова может проходить через частоты в пределах
ωmax > ω> ωmin ; − 0,068 > ω> −∞