Control de Procesos Industriales
Herramientas matemáticas. Transformada z
Grado en Ingeniería Electrónica Industrial y Automática
Dpto. de Ingeniería Electromecánica
Área de Ingeniería de Sistemas y Automática
Universidad de Burgos
Versión: febrero 2018
Índice
1. Transformada z
2. Propiedades y teoremas de la transformada z
3. Transformada z inversa
4. Resolución de ecuaciones en diferencias usando la transformada z
5. Función de transferencia discreta (función de transferencia pulso)
1. Transformada z
Secuencias y convolución discreta
Transformada Z
Tablas
Introducción
 La transformada de Laplace se usa en los sistemas continuos para su
análisis y diseño, facilitando el manejo de los modelos matemáticos de los
sistemas descritos en ecuaciones diferenciales.
 Sin embargo, para trabajar con señales que solo toman valores en
determinados instantes de tiempo, esto es las señales involucradas en los
sistemas discretos, es necesario introducir nuevas herramientas
matemáticas que faciliten su análisis y diseño.
» Secuencia de ponderación y convolución discreta
» Transformada z
 Los modelos matemáticos que representan sistemas discretos están
descritos en forma de ecuaciones en diferencias:
𝑥𝑥 𝑘𝑘 + 𝑎𝑎1 𝑥𝑥 𝑘𝑘 − 1 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑘𝑘 − 𝑛𝑛 = 𝑏𝑏0 𝑢𝑢 𝑘𝑘 + 𝑏𝑏1 𝑢𝑢 𝑘𝑘 − 1 + ⋯ + 𝑏𝑏𝑚𝑚 𝑢𝑢 𝑘𝑘 − 𝑚𝑚
 La transformada z permite convertir dichos sistemas de ecuaciones en
diferencias a sistemas algebraicos mas sencillos de manejar.
Secuencias de valores
Una secuencia es un conjunto numerado de elementos x(k), siendo k el
índice entero de la muestra

Secuencia unilateral: es una secuencia en el intervalo 0 ≤ k ≤ ∞
{x(k)} = {x(0), x(1), x(2), …}

Secuencia bilateral: es una secuencia en el intervalo -∞ ≤ k ≤ ∞
{x(k)} = {…, x(-2), x(-1), x(0), x(1), x(2), …}
x(k) es una función discreta. Dando valores a k se obtiene el valor de la
función para dicho instante
{x(k)} es la secuencia de valores
x(k)
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
Secuencia:
{x(k)} = {x(0), x(1), x(2), x(3), …}
{x(k)} = {1.0, 1.5, 2.0, 2.5, …}
Función discreta:
0 1 2 3 k
x(k) = 1 + 0.5*k 0 ≤ k ≤ ∞
Secuencias de valores. Propiedades

Desplazamiento. Secuencia retrasada: {y(k)} es una secuencia
retrasada n elementos respecto de {x(k)} si se cumple para cualquier k,
{y(k)} = {x(k-n)}

Desplazamiento. Secuencia adelantada: {y(k)} es una secuencia
adelantada n elementos respecto de {x(k)} si se cumple para cualquier k,
{y(k)} = {x(k+n)}
x(k)
0 1 2 3
y(k) = x(k-2)
k
0 1 2 3
y(k) = x(k+2)
k
0 1 2 3
k

Suma: Dos secuencias se pueden sumar para generar una nueva
secuencia si se suman las muestras de igual índice
{y(k)} = {x(k)} + {v(k)} = {x(k) + v(k)}

Producto por una constante: Una secuencia se multiplica por una
constante multiplicando cada muestra por la constante
{y(k)} = m*{x(k)} = {m*x(k)}
Secuencia impulso unitario. Delta de Kronecker δ(k)
Probablemente es la función discreta mas sencilla y es ampliamente usada
en sistemas discretos. Se define como una secuencia que vale 1 para k = 0
y 0 para el resto de índices k
δ(k)
2.0
1.5
1.0
0.5
-3 -2 -1 0 1 2 3 k
Secuencia:
{δ(k)} = {…, δ(-2), δ(-1), δ(0), δ(1), δ(2), …}
{δ(k)} = {…, 0, 0, 1, 0, 0, …}
Función discreta:
1,
𝛿𝛿 𝑘𝑘 = �
0,
𝑘𝑘 = 0
𝑘𝑘 ≠ 0
Secuencia impulso unitario. Delta de Kronecker δ(k)
Cualquier función discreta x(k) puede ser expresada como una suma infinita
de secuencias impulso desplazadas, donde cada secuencia impulso es
multiplicada por un término constante x(n)
∞
𝑥𝑥 𝑘𝑘 = � 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝛿𝛿 𝑘𝑘 − 𝑛𝑛 =
𝑛𝑛=−∞
⋯ + 𝑥𝑥 −2 𝛿𝛿 𝑘𝑘 + 2 + 𝑥𝑥 −1 𝛿𝛿 𝑘𝑘 + 1 + 𝑥𝑥 0 𝛿𝛿 𝑘𝑘 + 𝑥𝑥 1 𝛿𝛿 𝑘𝑘 − 1 + 𝑥𝑥 2 𝛿𝛿 𝑘𝑘 − 2 + ⋯
x(k)
Secuencia:
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
{x(k)} = {x(0), x(1), x(2), x(3), …}
{x(k)} = {1.0, 1.5, 2.0, 2.5, …}
+
Función discreta:
0 1 2 3 k
x(k) = 1 + 0.5*k 0 ≤ k ≤ ∞
∞
𝑥𝑥 𝑘𝑘 = � 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝛿𝛿 𝑘𝑘 − 𝑛𝑛
𝑛𝑛=0
= 𝑥𝑥 0 𝛿𝛿 𝑘𝑘 + 𝑥𝑥 1 𝛿𝛿 𝑘𝑘 − 1 + 𝑥𝑥 2 𝛿𝛿 𝑘𝑘 − 2 + ⋯
=
+…
Secuencia de ponderación y convolución discreta
La secuencia que describe el comportamiento de un sistema discreto lineal
e invariante con el tiempo es la secuencia de ponderación {h(k)}.
La secuencia de ponderación {h(k)} es la secuencia de salida {y(k)} de
un sistema discreto lineal e invariante con el tiempo cuando la secuencia
de entrada {x(k)} es un pulso {δ(k)}
Sistema discreto lineal e
{y(k)}
{x(k)} = {δ(k)}
invariante con el tiempo
{h(k)}
Convolución discreta: De manera general, se puede calcular la secuencia
de salida {y(k)} de un sistema discreto lineal e invariante con el tiempo
conociendo la secuencia de entrada {x(k)} y la secuencia de ponderación
del sistema {h(k)}:
{x(k)}
{y(k)}
{h(k)}
∞
∞
𝑛𝑛=−∞
𝑛𝑛=−∞
Convolución discreta
de dos señales
𝑦𝑦 𝑘𝑘 = � 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ℎ 𝑘𝑘 − 𝑛𝑛 = � ℎ 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑘𝑘 − 𝑛𝑛
{y(k)} = {x(k)} ⊗ {h(k)} = {h(k)} ⊗ {x(k)}
Convolución discreta. Demostración
Si {x(k)} = {δ(k)} → {y(k)} = {h(k)}
{x(k)}
Entrada = {m*δ(k)} → Salida = {m*h(k)} con m constante
{y(k)}
{h(k)}
Entrada = {m*δ(k-n)} → Salida = {m*h(k-n)} con m constante
Suponiendo m = x(n) y sumando entrada y salida para todo n
∞
∞
𝑛𝑛=−∞
𝑛𝑛=−∞
Entrada = � 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝛿𝛿 𝑘𝑘 − 𝑛𝑛 → Salida = � 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ℎ 𝑘𝑘 − 𝑛𝑛
Entrada (por def. de secuencia de impulso unitario):
∞
∞
𝑥𝑥 𝑘𝑘 = � 𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝛿𝛿 𝑘𝑘 − 𝑛𝑛
𝑛𝑛=−∞
Salida: 𝑦𝑦 𝑘𝑘 = � 𝑥𝑥 𝑘𝑘 ℎ 𝑘𝑘 − 𝑛𝑛
𝑛𝑛=−∞
Convolución discreta. Fórmula práctica
Suponiendo funciones causales y que las señales empiezan y terminan
en instantes de tiempos concretos. Comienzo en k = 0 y fin en k, la
convolución discreta puede calcularse como:
𝑘𝑘
𝑘𝑘
𝑛𝑛=0
𝑛𝑛=0
𝑦𝑦 𝑘𝑘 = � 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ℎ 𝑘𝑘 − 𝑛𝑛 = � ℎ 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑘𝑘 − 𝑛𝑛
Secuencia de ponderación y convolución. Problemática
La convolución discreta permite conocer la respuesta de un sistema
discreto lineal invariante con el tiempo ante una entrada cualquiera,
conociendo dicha entrada y la secuencia de ponderación del sistema.
{x(k)}
{y(k)}
{h(k)}
Pero es necesario manejar secuencias de infinitos términos para calcular
los sumatorios, lo que es poco práctico.
∞
∞
𝑛𝑛=−∞
𝑛𝑛=−∞
𝑦𝑦 𝑘𝑘 = � 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ℎ 𝑘𝑘 − 𝑛𝑛 = � ℎ 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑘𝑘 − 𝑛𝑛
Solución: Usar la Transformada Z
Transformada z
Definamos
f(t)
f(t) función del tiempo tal que f(t) = 0 para t < 0
Solo tiene en cuenta los valores muestreados de f(t),
es decir, f(0), f(T), f(2T),… (T = periodo de muestreo)
0 T 2T 3T
z = σ + jω una variable compleja
Z[-] un símbolo operativo
F(z) transformada z de f(t)
La transformada z de f(t) se obtiene mediante
𝐹𝐹 𝑧𝑧 = 𝑍𝑍 𝑓𝑓 𝑡𝑡
= 𝑍𝑍 𝑓𝑓 𝑘𝑘𝑘𝑘
∞
= � 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑘𝑘)𝑧𝑧 −𝑘𝑘
𝑘𝑘=0
Cambio de variable t ⇒ z
Lo que es equivalente a la siguiente serie:
Posición en el tiempo
kT de amplitud f(kT)
𝐹𝐹 𝑧𝑧 = 𝑓𝑓 0 + 𝑓𝑓 𝑇𝑇 𝑧𝑧 −1 + 𝑓𝑓 2𝑇𝑇 𝑧𝑧 −2 + ⋯ + 𝑓𝑓 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑧𝑧 −𝑘𝑘 + ⋯
t
Transformada z de secuencias de valores
Definamos
f(k) una secuencia de números f(0), f(1), f(2),… tal
que f(k) = 0 para k < 0
f(k)
z = σ + jω una variable compleja
Z[-] un símbolo operativo
0 1 2 3
F(z) transformada z de f(k)
La transformada z de f(k) se obtiene mediante
𝐹𝐹 𝑧𝑧 = 𝑍𝑍 𝑓𝑓 𝑘𝑘
∞
= � 𝑓𝑓(𝑘𝑘)𝑧𝑧 −𝑘𝑘
𝑘𝑘=0
Lo que es equivalente a la siguiente serie:
𝐹𝐹 𝑧𝑧 = 𝑓𝑓 0 + 𝑓𝑓 1 𝑧𝑧 −1 + 𝑓𝑓 2 𝑧𝑧 −2 + ⋯ + 𝑓𝑓(𝑘𝑘)𝑧𝑧 −𝑘𝑘 + ⋯
Posición k, de
amplitud f(k)
k
Transformada z de funciones elementales
 Función escalón unitario
𝑓𝑓 𝑡𝑡 = �
1 𝑡𝑡 ≥ 0
0 𝑡𝑡 < 0
𝐹𝐹 𝑧𝑧 = 𝑍𝑍 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 𝑍𝑍 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑘𝑘)
1(t)
𝑓𝑓 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 1
∞
∞
𝑘𝑘=0
𝑘𝑘=0
𝑘𝑘 = 0,1,2,3, …
0 T 2T 3T
= � 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑘𝑘)𝑧𝑧 −𝑘𝑘 = � 1𝑧𝑧 −𝑘𝑘 = 1 + 1𝑧𝑧 −1 + 1𝑧𝑧 −2 + 1𝑧𝑧 −3 + ⋯ =
𝐹𝐹 𝑧𝑧 = 𝑍𝑍 𝑓𝑓 𝑡𝑡
= 𝑇𝑇
1𝑧𝑧 −1
𝑓𝑓 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑘𝑘𝑘𝑘
∞
1
𝑧𝑧
=
1 − 𝑧𝑧 −1 𝑧𝑧 − 1
Convergencia de la serie de
potencias en z-1
 Función rampa unitaria
𝑡𝑡 𝑡𝑡 ≥ 0
𝑓𝑓 𝑡𝑡 = �
0 𝑡𝑡 < 0
t
∞
𝑘𝑘 = 0,1,2,3, …
(Solución cerrada)
f(t)
∞
= � 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑘𝑘)𝑧𝑧 −𝑘𝑘 = � 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑧𝑧 −𝑘𝑘 = 𝑇𝑇 � 𝑘𝑘𝑧𝑧 −𝑘𝑘
+
𝑘𝑘=0
2𝑧𝑧 −2
+
3𝑧𝑧 −3
Convergencia de la serie
𝑘𝑘=0
+ ⋯ = 𝑇𝑇
𝑧𝑧 −1
1−
𝑘𝑘=0
𝑧𝑧 −1 2
𝑧𝑧
= 𝑇𝑇
𝑧𝑧 − 1
2
0 T 2T 3T
t
Transformada z de funciones elementales
 Función polinomial ak
𝑘𝑘
𝑎𝑎
𝑓𝑓 𝑘𝑘 = �
0
𝐹𝐹 𝑧𝑧 = 𝑍𝑍 𝑓𝑓 𝑘𝑘
𝑘𝑘 = 0,1,2, …
𝑘𝑘 < 0
Convergencia de la serie
∞
= � 𝑎𝑎𝑘𝑘 𝑧𝑧 −𝑘𝑘 = 1 + 𝑎𝑎𝑧𝑧 −1 + 𝑎𝑎 2 𝑧𝑧 −2 + 𝑎𝑎 3 𝑧𝑧 −3 + ⋯ =
𝑘𝑘=0
1
𝑧𝑧
=
1 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 −1 𝑧𝑧 − 𝑎𝑎
 Función exponencial
−𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑒𝑒
𝑓𝑓 𝑡𝑡 = �
0
𝐹𝐹 𝑧𝑧 = 𝑍𝑍 𝑓𝑓 𝑡𝑡
𝑡𝑡 ≥ 0
𝑡𝑡 < 0
∞
𝑓𝑓 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑒𝑒 −𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
∞
𝑘𝑘 = 0,1,2,3, …
= � 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑘𝑘)𝑧𝑧 −𝑘𝑘 = � 𝑒𝑒 −𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑧𝑧 −𝑘𝑘
𝑘𝑘=0
𝑘𝑘=0
= 1 + 𝑒𝑒 −𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑧𝑧 −1 + 𝑒𝑒 −𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑧𝑧 −2 + 𝑒𝑒 −𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑧𝑧 −3 + ⋯ =
Convergencia de la serie
1
1 − 𝑒𝑒 −𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑧𝑧 −1
=
𝑧𝑧
𝑧𝑧 − 𝑒𝑒 −𝑎𝑎𝑎𝑎
Transformada z de funciones elementales
 Función senoidal
𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑤𝑤𝑤𝑤) 𝑡𝑡 ≥ 0
0
𝑡𝑡 < 0
𝑓𝑓 𝑡𝑡 = �
𝐹𝐹 𝑧𝑧 = 𝑍𝑍 𝑓𝑓 𝑡𝑡
= 𝑍𝑍 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤
𝑓𝑓 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤)
∞
𝑘𝑘 = 0,1,2,3, …
= � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤𝑤)𝑧𝑧 −𝑘𝑘 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 0 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑤𝑤𝑤𝑤 𝑧𝑧 −1 + ⋯
𝑘𝑘=0
Es mas fácil obtener la convergencia, teniendo en cuenta que
𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 = cos 𝑤𝑤𝑤𝑤 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑤𝑤𝑤𝑤)
𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 = cos 𝑤𝑤𝑤𝑤 − 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑤𝑤𝑤𝑤)
1 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗
𝐹𝐹 𝑧𝑧 = 𝑍𝑍
𝑒𝑒
− 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗
2𝑗𝑗
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑤𝑤𝑤𝑤 =
1 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗
𝑒𝑒
− 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗
2𝑗𝑗
1
=
𝑍𝑍 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 − 𝑍𝑍 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗
2𝑗𝑗
Usando las propiedades
de la transformada Z !!!
1
1
1
𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧(𝑤𝑤𝑤𝑤)
=
−
= 2
2𝑗𝑗 1 − 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑧𝑧 −1 1 − 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇 𝑧𝑧 −1
𝑧𝑧 − 2𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧 𝑤𝑤𝑤𝑤 + 1
Tablas de transformadas z (I)
Tablas de transformadas z (II)
Tablas de transformadas z (III)
2. Propiedades y teoremas de la transformada z
Propiedades
 Multiplicación por una constante. Si a es una constante y F(z) es la
transformada z de f(t), entonces
Z [af (t )] = aZ [ f (t )] = aF ( z )
 Linealidad de la transformada z. Si H(z) y G(z) son las transformadas z
de h(t) y g(t) y a y b son escalares, entonces
Z [ah(t ) + bg (t )] = aH ( z ) + bG ( z )
 Multiplicación por ak. Si a es una constante y F(z) es la transformada z
de f(t), entonces
[
]
Z a k f (t ) = F (a −1 z )
Teoremas (I)
 Teorema de translación real. Si f(t) = 0 para t < 0 y f(t) tiene transformada
z F(z), entonces
Z [ f (t − nT )] = z − n F ( z )
y
n −1


Z [ f (t + nT )] = z  F ( z ) − ∑ f (kT ) z − k 
k =0


n
• Multiplicar una transformada z por z-n implica retrasar la señal un tiempo nT
• Multiplicar una transformada z por zn implica avanzar la señal un tiempo nT
Teoremas (II)
 Ejemplo. Encontrar la transformada z de una función escalón unitario que
esté retrasada un periodo de muestreo (1T)
𝑍𝑍 1 𝑡𝑡 − 1𝑇𝑇
= 𝑧𝑧
−1
𝑍𝑍 1 𝑡𝑡
= 𝑧𝑧
Función escalón original:
−1
1
𝑧𝑧 −1
=
1 − 𝑧𝑧 −1 1 − 𝑧𝑧 −1
f(t)
f(0) f(T) f(2T) f(3T)
∞
𝐹𝐹 𝑧𝑧 = � 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑘𝑘)𝑧𝑧 −𝑘𝑘 = 𝑓𝑓(0) + 𝑓𝑓(𝑇𝑇)𝑧𝑧 −1 + 𝑓𝑓(2𝑇𝑇)𝑧𝑧 −2 + ⋯
𝑘𝑘=0
Función escalón retrasada un periodo de muestreo:
∞
0
f(t-T)
𝑧𝑧 −1 𝐹𝐹 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 −1 � 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑘𝑘)𝑧𝑧 −𝑘𝑘 = 𝑓𝑓(0)𝑧𝑧 −1 + 𝑓𝑓(𝑇𝑇)𝑧𝑧 −2 + 𝑓𝑓(2𝑇𝑇)𝑧𝑧 −3 + ⋯ 0
𝑘𝑘=0
T
2T 3T
t
f(0) f(T) f(2T)
T
2T 3T
t
Teoremas (III)
 Teorema de traslación compleja. Si F(z) es la transformada z de f(t),
entonces la transformada z de e-atf(t) es F(zeaT):
[
Ze
− at
] ∑e
∞
f (t ) =
k =0
− akT
f ( kT )z
−k
∞
=
∑ f (kT )( ze
aT − k
)
= F ( ze aT )
k =0
 Teorema del valor inicial. Si F(z) es la transformada z de f(t) y el límite
lim F ( z ) existe, entonces el valor inicial f(0) está dado por:
z →∞
f (0) = lim F ( z )
z →∞
La transformada z por definición es:
∞
𝐹𝐹 𝑧𝑧 = � 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑘𝑘)𝑧𝑧 −𝑘𝑘 = 𝑓𝑓(0) + 𝑓𝑓(𝑇𝑇)𝑧𝑧 −1 + 𝑓𝑓(2𝑇𝑇)𝑧𝑧 −2 + ⋯
𝑘𝑘=0
Aplicando límites a la expresión anterior:
∞
lim 𝐹𝐹 𝑧𝑧 = lim � 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑘𝑘)𝑧𝑧 −𝑘𝑘 = lim 𝑓𝑓 0 + 𝑓𝑓 𝑇𝑇 𝑧𝑧 −1 + 𝑓𝑓 2𝑇𝑇 𝑧𝑧 −2 + ⋯
𝑧𝑧→∞
𝑧𝑧→∞
= 𝑓𝑓(0)
𝑘𝑘=0
𝑧𝑧→∞
Teoremas (IV)
 Teorema del valor final. Sea f(kT)=0 para k < 0, si F(z) es la
transformada z de f(t) y todos los polos están dentro del círculo unitario,
con la posible excepción de un solo polo en z=1, entonces el valor final de
f(kT), es decir cuando k tiende a infinito, está dado por:
lim f (kT ) = lim[(1 − z −1 ) F ( z )]
k →∞
z →1
 Teorema de la diferenciación compleja. Si F(z) es la transformada z de
f(t) entonces:
−T
dF ( z )
= z −1Z [tf (t )]
dz
Z [tf (t )] = −Tz
dF ( z )
dz
Teoremas (V)
 Transformada Z de la convolución de secuencias. Sean H(z) y G(z) las
transformadas Z de las secuencias h(kT) y g(kT). La transformada Z de la
convolución de las secuencias h(kT) y g(kT) es el producto de la
transformadas Z de cada señal:
Z [h(kT )] = H ( z )
Z [ g (kT )] = G ( z )
Z [h(kT ) ⊗ g (kT )] = Z [h(kT )] × Z [ g (kT )] = H ( z )G ( z )
Convolución de dos señales
k
k
n=0
n=0
h(kT ) ⊗ g (kT ) = ∑ h(nT ) g (kT − nT ) = ∑ g (nT )n(kT − nT )
Tablas de propiedades y teoremas de la transformada z (I)
Tablas de propiedades y teoremas de la transformada z (II)
3. Transformada z inversa
Método de expansión en fracciones parciales
Método de la división directa
Método de la integral de inversión
Métodos computacionales
Transformada z inversa
El proceso inverso de encontrar la función del tiempo f(t) a partir de la
transformada z F(z) se denomina transformada inversa de z:
Z-1 [F ( z )] = f (kT )
El resultado es la función f(t) evaluada solo en los valores discretos del
tiempo, f(0), f(T), f(2T), f(3T), …
Pero no dice nada de los valores de f(t) en el resto de tiempos
La transformada z inversa da una única secuencia f(kT) pero no da una
única f(t)
f(kT)
f1(t)
f2(t)
f(kT) es única, pero f1(t) y f2(t) son diferentes funciones aunque en cada
valor discreto del tiempo todas valen lo mismo
¿Cómo calcular la transformada z inversa?
Si la función F(z) no es muy compleja, se puede descomponer en sumandos
sencillos (funciones sencillas en z) y mediante las tablas, calcular cada
término
Cuando F(z) es compleja el método basado en tablas no es fácil
Cuatro métodos diferentes:
1. Método de expansión en fracciones parciales
Basado en tablas
2. Método de la división directa
3. Método de la integral de inversión
4. Métodos computacionales
No basados en
tablas
Método de expansión en fracciones parciales (I)
 Es idéntico al método de expansión de fracciones utilizado en la
transformada de Laplace
 Se requiere que todos los términos de la expansión en fracciones parciales
se puedan reconocer fácilmente en la tabla de pares de transformadas
 Dado F(z)
𝑏𝑏0 𝑧𝑧 𝑚𝑚 + 𝑏𝑏1 𝑧𝑧 𝑚𝑚−1 + ⋯ + 𝑏𝑏𝑚𝑚−1 𝑧𝑧 + 𝑏𝑏𝑚𝑚
𝐹𝐹 𝑧𝑧 =
𝑧𝑧 𝑛𝑛 + 𝑎𝑎1 𝑧𝑧 𝑛𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1 𝑧𝑧 + 𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑚𝑚 ≤ 𝑛𝑛
 Primero se factoriza el denominador de F(z) y se encuentran los polos y
después se expande en fracciones
– Si m=n:
𝑏𝑏0 𝑧𝑧 𝑛𝑛 + 𝑏𝑏1 𝑧𝑧 𝑛𝑛−1 + ⋯ + 𝑏𝑏𝑛𝑛−1 𝑧𝑧 + 𝑏𝑏𝑛𝑛
𝑑𝑑1
𝑑𝑑2
𝑑𝑑𝑛𝑛
𝐹𝐹 𝑧𝑧 =
= 𝑑𝑑0 +
+
+ ⋯+
𝑧𝑧 − 𝑝𝑝1 𝑧𝑧 − 𝑝𝑝2 … (𝑧𝑧 − 𝑝𝑝𝑛𝑛 )
𝑧𝑧 − 𝑝𝑝1 𝑧𝑧 − 𝑝𝑝2
𝑧𝑧 − 𝑝𝑝𝑛𝑛
– Si m<n:
𝑏𝑏0 𝑧𝑧 𝑚𝑚 + 𝑏𝑏1 𝑧𝑧 𝑚𝑚−1 + ⋯ + 𝑏𝑏𝑚𝑚−1 𝑧𝑧 + 𝑏𝑏𝑚𝑚
𝑑𝑑1
𝑑𝑑2
𝑑𝑑𝑛𝑛
𝐹𝐹 𝑧𝑧 =
=
+
+ ⋯+
𝑧𝑧 − 𝑝𝑝1 𝑧𝑧 − 𝑝𝑝2 … (𝑧𝑧 − 𝑝𝑝𝑛𝑛 )
𝑧𝑧 − 𝑝𝑝1 𝑧𝑧 − 𝑝𝑝2
𝑧𝑧 − 𝑝𝑝𝑛𝑛
Método de expansión en fracciones parciales (II)
 Si existe un polo doble p1, la expansión contendrá además términos
r1
r2
+
( z − p1 ) 2 ( z − p1 )
 Si existe un polo triple p1, la expansión contendrá además términos
r3
r1
r2
+
+
( z − p1 ) 3 ( z − p1 ) 2 ( z − p1 )
Método de la división directa
 Si F(z) está dada en forma de polinomio en z-1. La transformada inversa
f(k) se obtiene por inspección
𝐹𝐹 𝑧𝑧 = 𝑓𝑓 0 + 𝑓𝑓 1 𝑧𝑧 −1 + 𝑓𝑓 2 𝑧𝑧 −2 + ⋯ + 𝑓𝑓(𝑘𝑘)𝑧𝑧 −𝑘𝑘 + ⋯
 Si F(z) está dada en forma de una función racional, la expresión en serie
de potencias crecientes z-1 se puede obtener dividiendo el numerador
entre el denominador
𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 𝑧𝑧 −1 + 𝑏𝑏2 𝑧𝑧 −2 + ⋯
𝐹𝐹 𝑧𝑧 =
= 𝑓𝑓 0 + 𝑓𝑓 1 𝑧𝑧 −1 + 𝑓𝑓 2 𝑧𝑧 −2 + ⋯ + 𝑓𝑓(𝑘𝑘)𝑧𝑧 −𝑘𝑘 + ⋯
−1
−2
𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1 𝑧𝑧 + 𝑎𝑎2 𝑧𝑧 + ⋯
 Es útil cuando se desea encontrar los primeros términos de la
transformada z inversa, es decir f(0), f(1), f(2), f(3),…
 Pero no produce un una expresión general de f(k)
Método de la integral de inversión (I)
 La transformada z inversa se puede obtener en términos de los residuos Ki
usando la teoría de variable compleja
𝑍𝑍 −1 𝐹𝐹 𝑧𝑧
= 𝑓𝑓(𝑘𝑘𝑘𝑘) = 𝐾𝐾1 + 𝐾𝐾2 + ⋯ + 𝐾𝐾𝑚𝑚
𝑚𝑚
= �[𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐹𝐹 𝑧𝑧 𝑧𝑧 𝑘𝑘−1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐹𝐹(𝑧𝑧)𝑧𝑧 𝑘𝑘−1 ]
𝑖𝑖=1
Donde K1, K2, …, Km son los residuos de F(z)zk-1 en los polos z1, z2, …, zm
 Si F(z)zk-1 tiene un polo simple en z=zi el residuo Ki se calculará como:
𝐾𝐾𝑖𝑖 = lim 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧𝑖𝑖 𝐹𝐹(𝑧𝑧)𝑧𝑧 𝑘𝑘−1
𝑧𝑧→𝑧𝑧𝑖𝑖
Ojo los polos pueden cambiar en función de
los distintos valores de k
 Si F(z)zk-1 tiene un polo múltiple de orden q en z=zi el residuo Ki se
calculará como:
1
𝑑𝑑 𝑞𝑞−1
𝐾𝐾𝑖𝑖 =
lim 𝑞𝑞−1 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧𝑖𝑖 𝑞𝑞 𝐹𝐹(𝑧𝑧)𝑧𝑧 𝑘𝑘−1
𝑞𝑞 − 1 ! 𝑧𝑧→𝑧𝑧𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑧𝑧
Método de la integral de inversión (II)
 Es una técnica muy sencilla cuando F(z)zk-1 no tiene polos en el origen
(z=0)
 Si F(z)zk-1 tiene polos en el origen (z=0) el método se complica bastante,
siendo mas efectivo el método de expansión fracciones parciales
4. Resolución de ecuaciones en diferencias
usando la transformada z
Resolución de ecuaciones en diferencias (I)
Sea el sistema en tiempo discreto, lineal e invariante en el tiempo descrito
por la siguiente ecuación en diferencias:
𝑥𝑥 𝑘𝑘 + 𝑎𝑎1 𝑥𝑥 𝑘𝑘 − 1 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑘𝑘 − 𝑛𝑛 = 𝑏𝑏0 𝑢𝑢 𝑘𝑘 + 𝑏𝑏1 𝑢𝑢(𝑘𝑘 − 1) + ⋯ + 𝑏𝑏𝑚𝑚 𝑢𝑢 𝑘𝑘 − 𝑚𝑚
con u(k) la entrada y x(k) la salida del sistema en la k-ésima iteración
Para obtener la solución de la ecuación en diferencias:
1. Aplicar la transformada z a ambas partes de la ecuación
𝑍𝑍[𝑥𝑥 𝑘𝑘 ] + 𝑎𝑎1 𝑍𝑍[𝑥𝑥 𝑘𝑘 − 1 ] + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑍𝑍[𝑥𝑥 𝑘𝑘 − 𝑛𝑛 ]
= 𝑏𝑏0 𝑍𝑍[𝑢𝑢 𝑘𝑘 ] + 𝑏𝑏1 𝑍𝑍[𝑢𝑢 𝑘𝑘 − 1 ] + ⋯ + 𝑏𝑏𝑚𝑚 𝑍𝑍[𝑥𝑥 𝑘𝑘 − 𝑚𝑚 ]
2. Aplicar el teorema del desplazamiento real, entonces
Los términos x(k+1), x(k+2),…, x(k-1), x(k-2),… se pueden expresar en términos
de X(z) y de las condiciones iniciales
Los términos u(k+1), u(k+2),…, u(k-1), u(k-2),… se pueden expresar en términos
de U(z) y de las condiciones iniciales
3. Aplicar la señal de entrada U(z)
4. Calcular la transformada inversa de la salida Z-1[X(z)] que será la solución en el
tiempo x(k) buscada y que cumple la ecuación en diferencias inicial
Resolución en ecuaciones en diferencias (II). Tabla útil
𝑥𝑥 𝑘𝑘 + 𝑛𝑛
𝑥𝑥 𝑘𝑘 − 𝑛𝑛
𝑍𝑍 𝑥𝑥 𝑘𝑘 + 𝑛𝑛
𝑛𝑛−1
= 𝑧𝑧 𝑛𝑛 𝑋𝑋 𝑧𝑧 − � 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑧𝑧 −𝑘𝑘
𝑍𝑍 𝑥𝑥 𝑘𝑘 − 𝑛𝑛
𝑘𝑘=0
= 𝑧𝑧 −𝑛𝑛 𝑋𝑋(𝑧𝑧)
5. Función de transferencia discreta
(función de transferencia pulso)
Función de transferencia discreta H(z)
De manera análoga a cómo se define la función de transferencia en un
sistema continuo, es posible definir la función de transferencia en un sistema
discreto.
La función de transferencia discreta se define solo para sistemas lineales
invariantes con el tiempo y bajo la suposición de condiciones iniciales
nulas.
La función de transferencia discreta (o función de transferencia pulso) H(z)
es la relación entre la transformada z de la salida Y(z) y la transformada z de
la entrada U(z)
U(z)
Y(z)
H(z)
𝑌𝑌 𝑧𝑧 = 𝐻𝐻 𝑧𝑧 𝑈𝑈 𝑧𝑧
𝑌𝑌(𝑧𝑧)
⟹ 𝐻𝐻 𝑧𝑧 =
𝑈𝑈(𝑧𝑧)
Función de transferencia discreta H(z)
Un sistema discreto lineal invariante con el tiempo puede expresarse también
mediante una ecuación en diferencias:
y 𝑘𝑘 + 𝑎𝑎1 𝑦𝑦 𝑘𝑘 − 1 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑦𝑦 𝑘𝑘 − 𝑛𝑛 = 𝑏𝑏0 𝑢𝑢 𝑘𝑘 + 𝑏𝑏1 𝑢𝑢(𝑘𝑘 − 1) + ⋯ + 𝑏𝑏𝑚𝑚 𝑥𝑥 𝑘𝑘 − 𝑚𝑚
Aplicando la transformada z a ambos miembros de la ecuación y suponiendo
condiciones iniciales nulas, se obtiene:
𝑍𝑍[𝑦𝑦 𝑘𝑘 ] + 𝑎𝑎1 𝑍𝑍[𝑦𝑦 𝑘𝑘 − 1 ] + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑍𝑍[𝑦𝑦 𝑘𝑘 − 𝑛𝑛 ]
= 𝑏𝑏0 𝑍𝑍[𝑢𝑢 𝑘𝑘 ] + 𝑏𝑏1 𝑍𝑍[𝑢𝑢 𝑘𝑘 − 1 ] + ⋯ + 𝑏𝑏𝑚𝑚 𝑍𝑍[𝑥𝑥 𝑘𝑘 − 𝑚𝑚 ]
Aplicando el teorema del desplazamiento real
𝑍𝑍 𝑦𝑦 𝑘𝑘
𝑍𝑍 𝑢𝑢 𝑘𝑘
= 𝑌𝑌(𝑧𝑧)
= 𝑈𝑈(𝑧𝑧)
𝑍𝑍 𝑦𝑦 𝑘𝑘 − 1
𝑍𝑍 𝑢𝑢 𝑘𝑘 − 1
= 𝑧𝑧 −1 𝑌𝑌(𝑧𝑧)
= 𝑧𝑧 −1 𝑈𝑈(𝑧𝑧)
𝑍𝑍 𝑦𝑦 𝑘𝑘 − 2
𝑍𝑍 𝑢𝑢 𝑘𝑘 − 2
= 𝑧𝑧 −2 𝑌𝑌(𝑧𝑧)
= 𝑧𝑧 −2 𝑈𝑈(𝑧𝑧)
1 + 𝑎𝑎1 𝑧𝑧 −1 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑧𝑧 −𝑛𝑛 𝑌𝑌 𝑧𝑧 = 𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 𝑧𝑧 −1 + ⋯ + 𝑏𝑏𝑚𝑚 𝑧𝑧 −𝑚𝑚 𝑈𝑈(𝑧𝑧)
…
…
𝑌𝑌(𝑧𝑧) 𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 𝑧𝑧 −1 + ⋯ + 𝑏𝑏𝑚𝑚 𝑧𝑧 −𝑚𝑚
𝐻𝐻 𝑧𝑧 =
=
𝑈𝑈(𝑧𝑧)
1 + 𝑎𝑎1 𝑧𝑧 −1 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑧𝑧 −𝑛𝑛
Función de transferencia discreta y secuencia de ponderación
U(z)
Y(z)
H(z)
{u(k)}
𝑌𝑌(𝑧𝑧) 𝑏𝑏0 + 𝑏𝑏1 𝑧𝑧 −1 + ⋯ + 𝑏𝑏𝑚𝑚 𝑧𝑧 −𝑚𝑚
𝐻𝐻 𝑧𝑧 =
=
1 + 𝑎𝑎1 𝑧𝑧 −1 + ⋯ + 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑧𝑧 −𝑛𝑛
𝑈𝑈(𝑧𝑧)
{y(k)}
{h(k)}
Y(z) = H(z)U(z)
{y(k)} = {u(k)} ⊗ {h(k)} = {h(k)} ⊗ {u(k)}
Z[y(k)] = Z[u(k) ⊗ h(k)] = Z[h(k) ] x Z[u(k)]
La secuencia de ponderación {h(k)} de un sistema es la transformada z
inversa de la función de transferencia pulso del sistema H(z)
{h(k)} = Z-1[H(z)]
Función de transferencia discreta H(z)
 La función de transferencia discreta, la secuencia de ponderación y la
ecuación en diferencias son diferentes representaciones de un sistema
discreto y se denominan modelo de representación externa o también
modelo entrada-salida
– Son modelos matemáticos que representan el comportamiento de la señal de salida de un
sistema en función de la señal de entrada aplicada
– La función de transferencia discreta solo puede representar sistemas lineales
 Existen otros modelos denominados de representación interna, que
describen la relación entre TODAS las variables internas de un sistema, no
solo entre las salidas y las entradas
– Pueden representar tanto sistemas lineales y no lineales, como continuos y discretos
– Un ejemplo son los modelos en variables de estado:
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)
= 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑡𝑡 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝑡𝑡
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑦𝑦 𝑡𝑡 = 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑡𝑡 + 𝐷𝐷𝐷𝐷(𝑡𝑡)
𝑥𝑥(𝑘𝑘 + 1) = 𝐴𝐴′ 𝑥𝑥 𝑘𝑘 + 𝐵𝐵′ 𝑢𝑢 𝑘𝑘
𝑦𝑦 𝑘𝑘 = 𝐶𝐶 ′ 𝑥𝑥 𝑘𝑘 + 𝐷𝐷′ 𝑢𝑢(𝑘𝑘)
Modelo en variables de estado
Modelo en variables de estado
Modelo continuo lineal e invariante
en el tiempo
Modelo discreto lineal e invariante
en el tiempo