02 - CPI - Transformada z

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Control de Procesos Industriales
Herramientas matemáticas. Transformada z
Grado en Ingeniería Electrónica Industrial y Automática
Dpto. de Ingeniería Electromecánica
Área de Ingeniería de Sistemas y Automática
Universidad de Burgos
Versión: febrero 2018
Índice
1. Transformada z
2. Propiedades y teoremas de la transformada z
3. Transformada z inversa
4. Resolución de ecuaciones en diferencias usando la transformada z
5. Función de transferencia discreta (función de transferencia pulso)
1. Transformada z
Secuencias y convolución discreta
Transformada Z
Tablas
Introducción
 La transformada de Laplace se usa en los sistemas continuos para su
análisis y diseño, facilitando el manejo de los modelos matemáticos de los
sistemas descritos en ecuaciones diferenciales.
 Sin embargo, para trabajar con señales que solo toman valores en
determinados instantes de tiempo, esto es las señales involucradas en los
sistemas discretos, es necesario introducir nuevas herramientas
matemáticas que faciliten su análisis y diseño.
» Secuencia de ponderación y convolución discreta
» Transformada z
 Los modelos matemáticos que representan sistemas discretos están
descritos en forma de ecuaciones en diferencias:
  + 1   − 1 + ⋯ +    −  = 0   + 1   − 1 + ⋯ +    − 
 La transformada z permite convertir dichos sistemas de ecuaciones en
diferencias a sistemas algebraicos mas sencillos de manejar.
Secuencias de valores
Una secuencia es un conjunto numerado de elementos x(k), siendo k el
índice entero de la muestra

Secuencia unilateral: es una secuencia en el intervalo 0 ≤ k ≤ ∞
{x(k)} = {x(0), x(1), x(2), …}

Secuencia bilateral: es una secuencia en el intervalo -∞ ≤ k ≤ ∞
{x(k)} = {…, x(-2), x(-1), x(0), x(1), x(2), …}
x(k) es una función discreta. Dando valores a k se obtiene el valor de la
función para dicho instante
{x(k)} es la secuencia de valores
x(k)
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
Secuencia:
{x(k)} = {x(0), x(1), x(2), x(3), …}
{x(k)} = {1.0, 1.5, 2.0, 2.5, …}
Función discreta:
0 1 2 3 k
x(k) = 1 + 0.5*k 0 ≤ k ≤ ∞
Secuencias de valores. Propiedades

Desplazamiento. Secuencia retrasada: {y(k)} es una secuencia
retrasada n elementos respecto de {x(k)} si se cumple para cualquier k,
{y(k)} = {x(k-n)}

Desplazamiento. Secuencia adelantada: {y(k)} es una secuencia
adelantada n elementos respecto de {x(k)} si se cumple para cualquier k,
{y(k)} = {x(k+n)}
x(k)
0 1 2 3
y(k) = x(k-2)
k
0 1 2 3
y(k) = x(k+2)
k
0 1 2 3
k

Suma: Dos secuencias se pueden sumar para generar una nueva
secuencia si se suman las muestras de igual índice
{y(k)} = {x(k)} + {v(k)} = {x(k) + v(k)}

Producto por una constante: Una secuencia se multiplica por una
constante multiplicando cada muestra por la constante
{y(k)} = m*{x(k)} = {m*x(k)}
Secuencia impulso unitario. Delta de Kronecker δ(k)
Probablemente es la función discreta mas sencilla y es ampliamente usada
en sistemas discretos. Se define como una secuencia que vale 1 para k = 0
y 0 para el resto de índices k
δ(k)
2.0
1.5
1.0
0.5
-3 -2 -1 0 1 2 3 k
Secuencia:
{δ(k)} = {…, δ(-2), δ(-1), δ(0), δ(1), δ(2), …}
{δ(k)} = {…, 0, 0, 1, 0, 0, …}
Función discreta:
1,
  = �
0,
 = 0
 ≠ 0
Secuencia impulso unitario. Delta de Kronecker δ(k)
Cualquier función discreta x(k) puede ser expresada como una suma infinita
de secuencias impulso desplazadas, donde cada secuencia impulso es
multiplicada por un término constante x(n)
∞
  = �     −  =
=−∞
⋯ +  −2   + 2 +  −1   + 1 +  0   +  1   − 1 +  2   − 2 + ⋯
x(k)
Secuencia:
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
{x(k)} = {x(0), x(1), x(2), x(3), …}
{x(k)} = {1.0, 1.5, 2.0, 2.5, …}
+
Función discreta:
0 1 2 3 k
x(k) = 1 + 0.5*k 0 ≤ k ≤ ∞
∞
  = �     − 
=0
=  0   +  1   − 1 +  2   − 2 + ⋯
=
+…
Secuencia de ponderación y convolución discreta
La secuencia que describe el comportamiento de un sistema discreto lineal
e invariante con el tiempo es la secuencia de ponderación {h(k)}.
La secuencia de ponderación {h(k)} es la secuencia de salida {y(k)} de
un sistema discreto lineal e invariante con el tiempo cuando la secuencia
de entrada {x(k)} es un pulso {δ(k)}
Sistema discreto lineal e
{y(k)}
{x(k)} = {δ(k)}
invariante con el tiempo
{h(k)}
Convolución discreta: De manera general, se puede calcular la secuencia
de salida {y(k)} de un sistema discreto lineal e invariante con el tiempo
conociendo la secuencia de entrada {x(k)} y la secuencia de ponderación
del sistema {h(k)}:
{x(k)}
{y(k)}
{h(k)}
∞
∞
=−∞
=−∞
Convolución discreta
de dos señales
  = �   ℎ  −  = � ℎ    − 
{y(k)} = {x(k)} ⊗ {h(k)} = {h(k)} ⊗ {x(k)}
Convolución discreta. Demostración
Si {x(k)} = {δ(k)} → {y(k)} = {h(k)}
{x(k)}
Entrada = {m*δ(k)} → Salida = {m*h(k)} con m constante
{y(k)}
{h(k)}
Entrada = {m*δ(k-n)} → Salida = {m*h(k-n)} con m constante
Suponiendo m = x(n) y sumando entrada y salida para todo n
∞
∞
=−∞
=−∞
Entrada = �     −  → Salida = �   ℎ  − 
Entrada (por def. de secuencia de impulso unitario):
∞
∞
  = �     − 
=−∞
Salida:   = �   ℎ  − 
=−∞
Convolución discreta. Fórmula práctica
Suponiendo funciones causales y que las señales empiezan y terminan
en instantes de tiempos concretos. Comienzo en k = 0 y fin en k, la
convolución discreta puede calcularse como:


=0
=0
  = �   ℎ  −  = � ℎ    − 
Secuencia de ponderación y convolución. Problemática
La convolución discreta permite conocer la respuesta de un sistema
discreto lineal invariante con el tiempo ante una entrada cualquiera,
conociendo dicha entrada y la secuencia de ponderación del sistema.
{x(k)}
{y(k)}
{h(k)}
Pero es necesario manejar secuencias de infinitos términos para calcular
los sumatorios, lo que es poco práctico.
∞
∞
=−∞
=−∞
  = �   ℎ  −  = � ℎ    − 
Solución: Usar la Transformada Z
Transformada z
Definamos
f(t)
f(t) función del tiempo tal que f(t) = 0 para t < 0
Solo tiene en cuenta los valores muestreados de f(t),
es decir, f(0), f(T), f(2T),… (T = periodo de muestreo)
0 T 2T 3T
z = σ + jω una variable compleja
Z[-] un símbolo operativo
F(z) transformada z de f(t)
La transformada z de f(t) se obtiene mediante
  =   
=   
∞
= � () −
=0
Cambio de variable t ⇒ z
Lo que es equivalente a la siguiente serie:
Posición en el tiempo
kT de amplitud f(kT)
  =  0 +    −1 +  2  −2 + ⋯ +    − + ⋯
t
Transformada z de secuencias de valores
Definamos
f(k) una secuencia de números f(0), f(1), f(2),… tal
que f(k) = 0 para k < 0
f(k)
z = σ + jω una variable compleja
Z[-] un símbolo operativo
0 1 2 3
F(z) transformada z de f(k)
La transformada z de f(k) se obtiene mediante
  =   
∞
= � () −
=0
Lo que es equivalente a la siguiente serie:
  =  0 +  1  −1 +  2  −2 + ⋯ + () − + ⋯
Posición k, de
amplitud f(k)
k
Transformada z de funciones elementales
 Función escalón unitario
  = �
1  ≥ 0
0  < 0
  =  () =  ()
1(t)
  = 1
∞
∞
=0
=0
 = 0,1,2,3, …
0 T 2T 3T
= � () − = � 1 − = 1 + 1 −1 + 1 −2 + 1 −3 + ⋯ =
  =   
= 
1 −1
  = 
∞
1

=
1 −  −1  − 1
Convergencia de la serie de
potencias en z-1
 Función rampa unitaria
  ≥ 0
  = �
0  < 0
t
∞
 = 0,1,2,3, …
(Solución cerrada)
f(t)
∞
= � () − = �  − =  �  −
+
=0
2 −2
+
3 −3
Convergencia de la serie
=0
+ ⋯ = 
 −1
1−
=0
 −1 2

= 
 − 1
2
0 T 2T 3T
t
Transformada z de funciones elementales
 Función polinomial ak


  = �
0
  =   
 = 0,1,2, …
 < 0
Convergencia de la serie
∞
= �   − = 1 +  −1 +  2  −2 +  3  −3 + ⋯ =
=0
1

=
1 −  −1  − 
 Función exponencial
−

  = �
0
  =   
 ≥ 0
 < 0
∞
  =  −
∞
 = 0,1,2,3, …
= � () − = �  −  −
=0
=0
= 1 +  −  −1 +  −  −2 +  −  −3 + ⋯ =
Convergencia de la serie
1
1 −  −  −1
=

 −  −
Transformada z de funciones elementales
 Función senoidal
()  ≥ 0
0
 < 0
  = �
  =   
=   
  = ()
∞
 = 0,1,2,3, …
= � () − =  0 +    −1 + ⋯
=0
Es mas fácil obtener la convergencia, teniendo en cuenta que
  = cos  + ()
 − = cos  − ()
1 
  = 

−  −
2
  =
1 

−  −
2
1
=
   −   −
2
Usando las propiedades
de la transformada Z !!!
1
1
1
()
=
−
= 2
2 1 −    −1 1 −  −  −1
 − 2  + 1
Tablas de transformadas z (I)
Tablas de transformadas z (II)
Tablas de transformadas z (III)
2. Propiedades y teoremas de la transformada z
Propiedades
 Multiplicación por una constante. Si a es una constante y F(z) es la
transformada z de f(t), entonces
Z [af (t )] = aZ [ f (t )] = aF ( z )
 Linealidad de la transformada z. Si H(z) y G(z) son las transformadas z
de h(t) y g(t) y a y b son escalares, entonces
Z [ah(t ) + bg (t )] = aH ( z ) + bG ( z )
 Multiplicación por ak. Si a es una constante y F(z) es la transformada z
de f(t), entonces
[
]
Z a k f (t ) = F (a −1 z )
Teoremas (I)
 Teorema de translación real. Si f(t) = 0 para t < 0 y f(t) tiene transformada
z F(z), entonces
Z [ f (t − nT )] = z − n F ( z )
y
n −1


Z [ f (t + nT )] = z  F ( z ) − ∑ f (kT ) z − k 
k =0


n
• Multiplicar una transformada z por z-n implica retrasar la señal un tiempo nT
• Multiplicar una transformada z por zn implica avanzar la señal un tiempo nT
Teoremas (II)
 Ejemplo. Encontrar la transformada z de una función escalón unitario que
esté retrasada un periodo de muestreo (1T)
 1  − 1
= 
−1
 1 
= 
Función escalón original:
−1
1
 −1
=
1 −  −1 1 −  −1
f(t)
f(0) f(T) f(2T) f(3T)
∞
  = � () − = (0) + () −1 + (2) −2 + ⋯
=0
Función escalón retrasada un periodo de muestreo:
∞
0
f(t-T)
 −1   =  −1 � () − = (0) −1 + () −2 + (2) −3 + ⋯ 0
=0
T
2T 3T
t
f(0) f(T) f(2T)
T
2T 3T
t
Teoremas (III)
 Teorema de traslación compleja. Si F(z) es la transformada z de f(t),
entonces la transformada z de e-atf(t) es F(zeaT):
[
Ze
− at
] ∑e
∞
f (t ) =
k =0
− akT
f ( kT )z
−k
∞
=
∑ f (kT )( ze
aT − k
)
= F ( ze aT )
k =0
 Teorema del valor inicial. Si F(z) es la transformada z de f(t) y el límite
lim F ( z ) existe, entonces el valor inicial f(0) está dado por:
z →∞
f (0) = lim F ( z )
z →∞
La transformada z por definición es:
∞
  = � () − = (0) + () −1 + (2) −2 + ⋯
=0
Aplicando límites a la expresión anterior:
∞
lim   = lim � () − = lim  0 +    −1 +  2  −2 + ⋯
→∞
→∞
= (0)
=0
→∞
Teoremas (IV)
 Teorema del valor final. Sea f(kT)=0 para k < 0, si F(z) es la
transformada z de f(t) y todos los polos están dentro del círculo unitario,
con la posible excepción de un solo polo en z=1, entonces el valor final de
f(kT), es decir cuando k tiende a infinito, está dado por:
lim f (kT ) = lim[(1 − z −1 ) F ( z )]
k →∞
z →1
 Teorema de la diferenciación compleja. Si F(z) es la transformada z de
f(t) entonces:
−T
dF ( z )
= z −1Z [tf (t )]
dz
Z [tf (t )] = −Tz
dF ( z )
dz
Teoremas (V)
 Transformada Z de la convolución de secuencias. Sean H(z) y G(z) las
transformadas Z de las secuencias h(kT) y g(kT). La transformada Z de la
convolución de las secuencias h(kT) y g(kT) es el producto de la
transformadas Z de cada señal:
Z [h(kT )] = H ( z )
Z [ g (kT )] = G ( z )
Z [h(kT ) ⊗ g (kT )] = Z [h(kT )] × Z [ g (kT )] = H ( z )G ( z )
Convolución de dos señales
k
k
n=0
n=0
h(kT ) ⊗ g (kT ) = ∑ h(nT ) g (kT − nT ) = ∑ g (nT )n(kT − nT )
Tablas de propiedades y teoremas de la transformada z (I)
Tablas de propiedades y teoremas de la transformada z (II)
3. Transformada z inversa
Método de expansión en fracciones parciales
Método de la división directa
Método de la integral de inversión
Métodos computacionales
Transformada z inversa
El proceso inverso de encontrar la función del tiempo f(t) a partir de la
transformada z F(z) se denomina transformada inversa de z:
Z-1 [F ( z )] = f (kT )
El resultado es la función f(t) evaluada solo en los valores discretos del
tiempo, f(0), f(T), f(2T), f(3T), …
Pero no dice nada de los valores de f(t) en el resto de tiempos
La transformada z inversa da una única secuencia f(kT) pero no da una
única f(t)
f(kT)
f1(t)
f2(t)
f(kT) es única, pero f1(t) y f2(t) son diferentes funciones aunque en cada
valor discreto del tiempo todas valen lo mismo
¿Cómo calcular la transformada z inversa?
Si la función F(z) no es muy compleja, se puede descomponer en sumandos
sencillos (funciones sencillas en z) y mediante las tablas, calcular cada
término
Cuando F(z) es compleja el método basado en tablas no es fácil
Cuatro métodos diferentes:
1. Método de expansión en fracciones parciales
Basado en tablas
2. Método de la división directa
3. Método de la integral de inversión
4. Métodos computacionales
No basados en
tablas
Método de expansión en fracciones parciales (I)
 Es idéntico al método de expansión de fracciones utilizado en la
transformada de Laplace
 Se requiere que todos los términos de la expansión en fracciones parciales
se puedan reconocer fácilmente en la tabla de pares de transformadas
 Dado F(z)
0   + 1  −1 + ⋯ + −1  + 
  =
  + 1  −1 + ⋯ + −1  + 
 ≤ 
 Primero se factoriza el denominador de F(z) y se encuentran los polos y
después se expande en fracciones
– Si m=n:
0   + 1  −1 + ⋯ + −1  + 
1
2

  =
= 0 +
+
+ ⋯+
 − 1  − 2 … ( −  )
 − 1  − 2
 − 
– Si m<n:
0   + 1  −1 + ⋯ + −1  + 
1
2

  =
=
+
+ ⋯+
 − 1  − 2 … ( −  )
 − 1  − 2
 − 
Método de expansión en fracciones parciales (II)
 Si existe un polo doble p1, la expansión contendrá además términos
r1
r2
+
( z − p1 ) 2 ( z − p1 )
 Si existe un polo triple p1, la expansión contendrá además términos
r3
r1
r2
+
+
( z − p1 ) 3 ( z − p1 ) 2 ( z − p1 )
Método de la división directa
 Si F(z) está dada en forma de polinomio en z-1. La transformada inversa
f(k) se obtiene por inspección
  =  0 +  1  −1 +  2  −2 + ⋯ + () − + ⋯
 Si F(z) está dada en forma de una función racional, la expresión en serie
de potencias crecientes z-1 se puede obtener dividiendo el numerador
entre el denominador
0 + 1  −1 + 2  −2 + ⋯
  =
=  0 +  1  −1 +  2  −2 + ⋯ + () − + ⋯
−1
−2
0 + 1  + 2  + ⋯
 Es útil cuando se desea encontrar los primeros términos de la
transformada z inversa, es decir f(0), f(1), f(2), f(3),…
 Pero no produce un una expresión general de f(k)
Método de la integral de inversión (I)
 La transformada z inversa se puede obtener en términos de los residuos Ki
usando la teoría de variable compleja
 −1  
= () = 1 + 2 + ⋯ + 

= �[     −1     =   () −1 ]
=1
Donde K1, K2, …, Km son los residuos de F(z)zk-1 en los polos z1, z2, …, zm
 Si F(z)zk-1 tiene un polo simple en z=zi el residuo Ki se calculará como:
 = lim  −  () −1
→
Ojo los polos pueden cambiar en función de
los distintos valores de k
 Si F(z)zk-1 tiene un polo múltiple de orden q en z=zi el residuo Ki se
calculará como:
1
 −1
 =
lim −1  −   () −1
 − 1 ! → 
Método de la integral de inversión (II)
 Es una técnica muy sencilla cuando F(z)zk-1 no tiene polos en el origen
(z=0)
 Si F(z)zk-1 tiene polos en el origen (z=0) el método se complica bastante,
siendo mas efectivo el método de expansión fracciones parciales
4. Resolución de ecuaciones en diferencias
usando la transformada z
Resolución de ecuaciones en diferencias (I)
Sea el sistema en tiempo discreto, lineal e invariante en el tiempo descrito
por la siguiente ecuación en diferencias:
  + 1   − 1 + ⋯ +    −  = 0   + 1 ( − 1) + ⋯ +    − 
con u(k) la entrada y x(k) la salida del sistema en la k-ésima iteración
Para obtener la solución de la ecuación en diferencias:
1. Aplicar la transformada z a ambas partes de la ecuación
[  ] + 1 [  − 1 ] + ⋯ +  [  −  ]
= 0 [  ] + 1 [  − 1 ] + ⋯ +  [  −  ]
2. Aplicar el teorema del desplazamiento real, entonces
Los términos x(k+1), x(k+2),…, x(k-1), x(k-2),… se pueden expresar en términos
de X(z) y de las condiciones iniciales
Los términos u(k+1), u(k+2),…, u(k-1), u(k-2),… se pueden expresar en términos
de U(z) y de las condiciones iniciales
3. Aplicar la señal de entrada U(z)
4. Calcular la transformada inversa de la salida Z-1[X(z)] que será la solución en el
tiempo x(k) buscada y que cumple la ecuación en diferencias inicial
Resolución en ecuaciones en diferencias (II). Tabla útil
  + 
  − 
   + 
−1
=     − �    −
   − 
=0
=  − ()
5. Función de transferencia discreta
(función de transferencia pulso)
Función de transferencia discreta H(z)
De manera análoga a cómo se define la función de transferencia en un
sistema continuo, es posible definir la función de transferencia en un sistema
discreto.
La función de transferencia discreta se define solo para sistemas lineales
invariantes con el tiempo y bajo la suposición de condiciones iniciales
nulas.
La función de transferencia discreta (o función de transferencia pulso) H(z)
es la relación entre la transformada z de la salida Y(z) y la transformada z de
la entrada U(z)
U(z)
Y(z)
H(z)
  =    
()
⟹   =
()
Función de transferencia discreta H(z)
Un sistema discreto lineal invariante con el tiempo puede expresarse también
mediante una ecuación en diferencias:
y  + 1   − 1 + ⋯ +    −  = 0   + 1 ( − 1) + ⋯ +    − 
Aplicando la transformada z a ambos miembros de la ecuación y suponiendo
condiciones iniciales nulas, se obtiene:
[  ] + 1 [  − 1 ] + ⋯ +  [  −  ]
= 0 [  ] + 1 [  − 1 ] + ⋯ +  [  −  ]
Aplicando el teorema del desplazamiento real
  
  
= ()
= ()
   − 1
   − 1
=  −1 ()
=  −1 ()
   − 2
   − 2
=  −2 ()
=  −2 ()
1 + 1  −1 + ⋯ +   −   = 0 + 1  −1 + ⋯ +   − ()
…
…
() 0 + 1  −1 + ⋯ +   −
  =
=
()
1 + 1  −1 + ⋯ +   −
Función de transferencia discreta y secuencia de ponderación
U(z)
Y(z)
H(z)
{u(k)}
() 0 + 1  −1 + ⋯ +   −
  =
=
1 + 1  −1 + ⋯ +   −
()
{y(k)}
{h(k)}
Y(z) = H(z)U(z)
{y(k)} = {u(k)} ⊗ {h(k)} = {h(k)} ⊗ {u(k)}
Z[y(k)] = Z[u(k) ⊗ h(k)] = Z[h(k) ] x Z[u(k)]
La secuencia de ponderación {h(k)} de un sistema es la transformada z
inversa de la función de transferencia pulso del sistema H(z)
{h(k)} = Z-1[H(z)]
Función de transferencia discreta H(z)
 La función de transferencia discreta, la secuencia de ponderación y la
ecuación en diferencias son diferentes representaciones de un sistema
discreto y se denominan modelo de representación externa o también
modelo entrada-salida
– Son modelos matemáticos que representan el comportamiento de la señal de salida de un
sistema en función de la señal de entrada aplicada
– La función de transferencia discreta solo puede representar sistemas lineales
 Existen otros modelos denominados de representación interna, que
describen la relación entre TODAS las variables internas de un sistema, no
solo entre las salidas y las entradas
– Pueden representar tanto sistemas lineales y no lineales, como continuos y discretos
– Un ejemplo son los modelos en variables de estado:
()
=   +  

  =   + ()
( + 1) = ′   + ′  
  =  ′   + ′ ()
Modelo en variables de estado
Modelo en variables de estado
Modelo continuo lineal e invariante
en el tiempo
Modelo discreto lineal e invariante
en el tiempo
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