Rp
Rp
Rp
Rp = {x = (x1 , · · · , xj , · · · , xp ), x1 , · · · , xj , · · · , xp ∈ R}
λ·x
x = (x1 , · · · , xj , · · · , xp )
λ
x
y
‫ذ‬+‫ذ‬
y = (y1 , · · · , yj , · · · , yp )
x+y
x
‫ذ·ذ‬
Rp
λ
x + y = (x1 , · · · , xj , · · · , xp ) + (y1 , · · · , yj , · · · , yp )
= (x1 + y1 , · · · , xj + yj · · · , xp + yp )
λx = λ(x1 , · · · , xj , · · · , xp )
= (λx1 , · · · , λxj , · · · , λxp )
0 = (0, 0, · · · , 0)
−1x = −x
RP
−(x1 · · · , xp ) = −1(x1 · · · , xp ) = (−x1 · · · , −xp )
Rp
x, y
Rp
z
λ
µ
(x + y) + z = x + (y + z)
x+y =y+x
x+0=0+x=x
x + (−x) = (−x) + x = 0
λ(µx) = (λµ)x
(λ + µ)x = λx + µx
λ(x + y) = λx + λy
1x = x
Rp
R
R
p
(R , +, ·)
p
R
p
R
x
λ
p
x = (x1 , · · · , xj , · · · , xp )
µ
y = (y1 , · · · , yj , · · · , yp )
λx + µy = λ(x1 , · · · , xj , · · · , xp ) + µ(y1 , · · · , yj , · · · , yp )
= (λx1 + µy1 , , · · · , λxj + µyj · · · , λxp + µyp )
Rp
Rp
S
x, y
Rp
z
S
(S, +, ·)
Rp
λ
S
µ
RP
S ⊂ Rp
Rp
(S, +, ·)
S "= ∅
x, y ∈ S
x+y ∈S
λ∈R
x∈S
S ⊂ Rp
λx ∈ S
Rp
(S, +, ·)
S "= ∅
λ, µ ∈ K
x, y ∈ S
a b
R
3
S = {(x, y, z) ∈ R3 , ax+by+cz = 0}
c
R3
S
λx + µy ∈ S
S = {(x, y, z) ∈ R3 , z = 0}
a b
S
c
S = {(x, y, z) ∈ R3 ,
x y z
+ + = 1}
a b c
S
R3
y = (y1 , · · · , yj , · · · , yp )
%·, ·& : Rp ×Rp → R
R
p
%x, y& =
x, y, z
p
!
x = (x1 , · · · , xj , · · · , xp )
xj yj
j=1
Rp
λ, µ
%λx + µy, z& = λ%x, z& + µ%y, z&
R
RP
!x, λy + µz" = λ!x, y" + µ!x, z"
x
y
!x, y" = !y, x"
!x, x" ≥ 0
Rp
x
x
Rp
Rp
!x, x" = 0
Rp
!·, ·"
x, y
⇒
z
Rp
(Rp , !·, ·")
!·, ·" : Rp × Rp → R
λ
x=0
Rp
Rp
µ
!λx + µy, z" = λ!x, z" + µ!y, z"
!x, λy + µz" = λ!x, y" + µ!x, z"
!x, y" = !y, x"
!x, x" ≥ 0
!x, x" = 0
⇒
(Rp , !·, ·")
|!x, y"| ≤
!
!x, x"
x=0
x
!
!y, y"
Rp
y
RP
x
y
c
x = cy
a1 , a 2 , · · · , a n
|a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn | ≤
λ
!
a21
+
y = cx
b1 , b 2 , · · · , b n
a22
x
+ ··· +
a2n
!
b21 + b22 + · · · + b2n
y
"λx + y, λx + y# ≥ 0
"x, x#λ2 + "x, y#λ + "y, y# ≥ 0
∆! ≤ 0
∆! = ("x, y#)2 − "x, x#"y, y#
("x, y#)2 ≤ "x, x#"y, y#
|"x, y#| ≤
x
Rp
"
"
"x, x# "y, y#
(Rp , "·, ·#)
||x|| :=
|| · || : Rp → R
"
"x, x#
Rp
x, y
|| · ||
(Rp , || · ||)
λ
||x|| = 0
||λx|| = |λ|||x||
||x + x|| ≤ ||x|| + ||y||
Rp
"·, ·#
Rp
x ∈ Rp
||x|| = 0 ⇒
⇒
⇒
x ∈ Rp
λ∈R
RP
!
"x, x# = 0
"x, x# = 0
x=0
!
||λx|| =
"λx, λx#
!
=
λ"x, λx#
!
=
λλ"x, x#
!
= |λ| "x, x#
=
|λ|||x||
(Rp , "·, ·#)
x
y
Rp
&x + y&2 = &x&2 + &y&2 + 2"x, y#
|| · ||
"·, ·#
&x − y&2 = &x&2 + &y&2 − 2"x, y#
RP
!
"
2 !x!2 + !y!2 = !x + y!2 + !x − y!2
"
1!
!x + y!2 − !x!2 − !y!2
2
"
1!
#x, y$ =
!x + y!2 − !x − y!2
4
#x, y$ =
(Rp , #·, ·$)
x
y
Rp
#·, ·$
θ
|| · ||
#x, y$ = ||x||||y|| cos θ
θ
x
y
(Rp , #·, ·$)
x
y
Rp
#x, y$ = 0
x⊥y
A
Rp
x⊥A
Rp
x
y
A
#x, y$ = 0
A
B
A⊥B
Rp
(x, x)
A
B
A×B
#x, y$ = 0
X
Rp
A
X Rp
X ⊥ = {y ∈ Rp , #x, y$ = 0, x ∈ X}
X⊥
Rp
B = (v1 , v2 , · · · , vj , · · · , vp )
!vi , vj " = 0,
RP
i #= j, (i, j) ∈ [1, p] × [1, p]
Rp
B = (v1 , v2 , · · · , vj , · · · , vp )
!vi , vj " = δij ,
(i, j) ∈ [1, p] × [1, p]
δij

 1
δij =
 0
i=j,
i #= j
B = (v1 , v2 , · · · , vj , · · · , vp )
Rp
x = (x1 , · · · , xi , · · · , xj , · · · , xp )
y = (y1 , · · · , yi , · · · , yj , · · · , yp )
!x, y" =
p
p
$
$
i=1 j=1
!vi , vj "xi yj
x
y
Rp
%
&
||x + y||2 + ||x − y||2 = 2 ||x||2 + ||y||2
x
x⊥y
⇔
y
Rp
Rp
||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2
R2
Φ
x = (x1 , x2 )
Φ(x, y) = 2x1 y1 + 2x2 y2 + x1 y2 + x2 y1
y = (y1 , y2 )
RP
R2
Ψ
x = (x1 , x2 , x3 )
y = (y1 , y2 , y3 )
R3
Φ(x, y) = 2x1 y1 + 2x2 y2 + 2x3 y3 + x1 y2 + x2 y1 + x1 y3 + x3 y1 + x2 y3 + x3 y2
R3
a
Φ
x = (x1 , y1 )
y = (y1 , y2 )
R2
Φ(x, y) = x1 y1 + x2 y2 + a(x1 y2 + x2 y1 )
a
R2
Φ
x = (x1 , x2 , · · · , xp )
y = (y1 , y2 , · · · , yp )
Rp
ϕ(x, y) = w1 x1 y1 + w2 x2 y2 + · · · + wp xp yp
wj > 0
ϕ
j = 1, 2, · · · , p
(Rp , !·, ·")
x
y
Rp
R
p
|| · ||
!
!
! x
!
y
$x − y$
!
!
−
! ||x||2 ||y||2 ! = ||x|| · ||y||
!·, ·"
RP
(Rp , +, ·)
R
x
y
Rp
Rp
Rp
⇔
x=0
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||
|| · || : Rp → R
x
Rp
||x|| ≥ 0
x
||λx|| = |λ|||x||
Rp
|| · ||
R
λ
||x|| = 0
(Rp , || · ||)
Rp
|| · ||
Rp
||x|| < 0
N
'
'
'
'
T©QBSBUJPO BOE & TFQBSBUJPO
IPNPH©O©JU© BOE & IPNPHFOFJUZ
TPVTBEEJUJWJU© BOE & TVC BEEJUJWJUZ
JO©HBMJU© USJBOHVMBJSF BOE & USJBOHMF JOFRVBMJUZ
OPSN
RP
Rp
|| · ||
x ∈ Rp
0 = x + (−x)
||0|| =
≤
≤
≤
||0|| = 0
y
||x + (−x)||
||x|| + || − x||
||x|| + | − 1|||x||
2||x||
||x|| ≥ 0
Rp
(Rp , || · ||)
!
!
!
!
! ||x|| − ||y||! ≤ ||x − y||
x
||x|| = ||(x − y) + y||
≤ ||x − y|| + ||y||
||x|| − ||y|| ≤ ||x − y||
x
||y|| − ||x|| ≤ ||y − x||
y
||y − x|| = || − (x − y)|| = | − 1|||x − y||
− (||x|| − ||y||) ≤ ||x − y||
−||x − y|| ≤ ||x|| − ||y||
−||x − y|| ≤ ||x|| − ||y|| ≤ ||x − y||
RP
(Rp , || · ||)
x
||x|| = 1
x
(Rp , || · ||)
u=
1
x
||x||
Rp x = (x1 , · · · , xj , · · · , xp )
||x||1 =
||x||2 =
u
"
p
!
k=1
p
!
k=1
|xk |
|xk |2
# 12
||x||∞ = max |xk |
1≤k≤p
|| · ||1 || · ||2
|| · ||∞
x = (x1 , · · · , xj , · · · , xp )
R
J
Rp
Rp
y = (y1 , · · · , yj , · · · , yp )
||x||1 = |x1 | + · · · + |xp |
||x||1 = 0
|x1 | + · · · + |xp | = 0
x1 = · · · = xp = 0
x=0
||0|| = 0
Rp
λ
RP
JJ
||λx||1 = |λx1 | + · · · + |λxp |
= |λ| (|x1 | + · · · + |xp |)
= |λ|||x||1
JJJ
||x + y||1 =
≤
≤
≤
J
||x||2 =
|x1 + y1 | + · · · + |xp + yp |
(|x1 | + |y1 |) + · · · + (|xp | + |yp |)
(|x1 | + · · · + |xp |) + (|y1 | + · · · + |yp |)
||x||1 + ||y||1
!
x21 + x22 + · · · + x2p
||x||2 = 0
||x||22 = 0
x21 + x22 + · · · + x2p = 0
x1 = x2 = · · · = xp = 0
x=0
x=0
||x||2 = 0
JJ
||λx||2
!
=
(λx )2 + · · · + (λxn )2
! "1
#
=
λ2 x21 + · · · + x2p
!
= |λ| x21 + · · · + x2p
= |λ|||x||2
JJJ
||x + y||22 =
≤
≤
≤
≤
|x1 + y1 |2 + · · · + |xp + yp )2
(|x1 | + |y1 |)2 + · · · + (|xp | + |yp |)2
(|x1 |2 + 2|x1 ||y1 | + |y1 |2 ) + · · · + (|xp |2 + 2|xp ||yp | + |y 2 |p )
(|x1 |2 + · · · + |xp |2 ) + 2 (|x1 ||y1 | + · · · + |xp ||yp |) + (|y1 |2 + · · · + |yp |2 )
||x||22 + 2 (|x1 ||y1 | + · · · + |xp ||yp |) + · · · + ||y||22
|x1 ||y1 | + · · · + |xp ||yp | = |x1 ||y1 | + · · · + |xp ||yp |
RP
"
!
2
2
|x1 ||y1 | + · · · + |xp ||yp | ≤
|x1 | + · · · + |xp | |y1 |2 + · · · + |y|2p
≤ ||x||2 ||y||2
||x + y||22 ≤ ||x||22 + 2||x||2 ||y||2 + ||y||22
≤ (||x||2 + ||y||2 )2
||x + y||2 ≤ ||x||2 + ||y||2
J
JJ
||x||∞ = max {|x1 |, · · · , |xp |}
||x||∞ = 0
|x1 | = · · · = |xp | = 0
x1 = · · · = xp = 0
x=0
x=0
||x||∞ = 0
||λx||∞ =
=
=
=
max {|λx1 |, · · · , |λxp |}
max {|λ||x1 |, · · · , |λ||xp |}
|λ| max {|x1 |, · · · , |xp |}
|λ|||x||∞
JJJ
||x + y||∞ =
≤
≤
≤
Rp
|| · ||1
max {|x1 + y1 | , · · · , |xp + yp |}
max {|x1 | + |y1 |, · · · , |xp | + |yp |}
max {|x1 |, · · · , |xp |} + max {|y1 |, · · · , |yp |}
||x||∞ + ||y||∞
|| · ||1
|| · ||2
|| · ||2
|| · ||1 ≤ || · ||2
Rp
C
RP
Rp
x
||x||1 ≤ C||x||2
R
p
|| · ||2
|| · ||1
|| · ||2
|| · ||1
|| · ||1 ∼ || · ||2 || · ||1
C1
C2
C1 ||x||2 ≤ ||x||1 ≤ C2 ||x||2
R
|| · ||1 , || · ||2
p
Rp
x
||x||∞ ≤ ||x||1 ≤ p||x||∞
√
||x||∞ ≤ ||x||2 ≤ p||x||∞
1
√
√ ||x||2 ≤ ||x||1 ≤ p||x||2
p
Rp
x = (x1 , · · · , xp )
|| · ||∞
|| · ||1
|| · ||∞
||x||∞ =
≤
max |xk |
1≤k≤p
p
!
k=1
|xk |
||x||∞ ≤ ||x||1
||x||1 =
≤
|| · ||2
x
p
!
k=1
|xk |
max |xk | + max |xk | + · · · + max |xk |
1≤k≤p
1≤k≤p
1≤k≤p
||x||1 ≤ p||x||∞
||x||∞ ≤ ||x||1 ≤ p||x||∞
|| · ||2
|| · ||∞
||x||2∞
=
=
≤
!
max |xk |
1≤k≤p
max |xk |2
"2
1≤k≤p
p
#
k=1
|xk |2
≤ ||x||22
||x||∞ ≤ ||x||2
||x||22
=
p
#
k=1
≤
|xk |2
max |xk |2 + max |xk |2 + · · · + max |xk |2
1≤k≤p
1≤k≤p
1≤k≤p
≤ p max |xk |2
≤
||x||2 ≤
√
1≤k≤p
p||x||2∞
p||x||∞
||x||∞ ≤ ||x||2 ≤
|| · ||1
√
p||x||∞
|| · ||2
||x||21 ≤ p||x||22
||x||1 ≤
√
p||x||2
RP
RP
1
√ ||x||2 ≤ ||x||1
p
1
√
√ ||x||2 ≤ ||x||1 ≤ p||x||2
p
|| · ||
p = 1
x
||x||1 = ||x||2 = ||x||∞ = |x|
Rp
(Rp , ||·||)
d : Rp ×Rp → R
d(x, y) = ||x − y||
x, y
z
Rp
d(x, y) = 0
⇔
x=y
d(x, y) = d(y, x)
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Rp
d
x, y
z
|| · ||
RP
(Rp , d)
Rp
Rp
d(x, y) =
=
=
=
=
||x − y||
|| − (y − x)||
| − 1|||y − x||
||y − x||
d(y, x)
d(x, y) = 0 ⇔ ||x − y|| = 0
⇔ x−y =0
⇔ x=y
d(x, z) =
=
≤
≤
Rp
x, y
z
Rp
||x − z||
||(x − y) + (y − z)||
||x − y|| + ||y − z||
δ(x, y) + δ(y, z)
d : Rp × R p → R
d(x, y) = 0
⇔
x=y
Rp
d(x, y) = d(y, x)
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
RP
Rp
(Rp , d)
x
Rp
y
d(x, y) =
Rp
d

0
x=y
1
x != y
(Rp , d)
x
y
d(x, y) ≥ 0
x
y
Rp
Rp
d : Rp × Rp → R
d(x, y) < 0
Rp
d
y =z
0 ≤ 2d(x, y)
(Rp , d)
d(x, y)
x
y
d(x, x) ≤ (x, y) + d(y, x)
d(x, y) ≥ 0
x
y