Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
(please correct in this file)
1
ON
GROUP
CLASSIFICATION
OF
ONE-DIMENSIONAL
2
EQUATIONS OF NONISENTROPIC FLUIDS WITH INTERNAL
3
INERTIA
4
Running head: FLUIDS WITH INERTIA
5
6
Piyanuch Siriwat*
7
School of Science, Mae Fah Luang University, Chiangrai, 57100, Thailand.
8
9
E-mail:fonluang@yahoo.com
* Corresponding author
10
11
Abstract
12
One-dimensional flows of fluids with internal inertia are studied in the manuscript.
13
The studied equations include such models as the non-linear one-velocity model of a
14
bubbly fluid (with incompressible liquid phase) at small volume concentration of
15
gas bubbles, and the dispersive shallow water model. These models are obtained for
16
special types of the potential function W (  ,  , S ). Earlier the case W S  0 was
17
studied. In the present manuscript the study of the case W S  0 is started.
18
19
20
Keywords: Group classification, equivalence Lie group, admitted Lie group, fluids
with internal inertia
21
22
23
1
Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
(please correct in this file)
1
Introduction
2
Symmetry is a fundamental topic in many areas of physics and mathematics (Golubitsky
3
and Stewart, 2002), (Marsden and Ratiu, 1994), (Olver, 1993). Whereas group-
4
theoretical methods play a prominent role in modern theoretical physics, a systematic use
5
of them in constructing models of continuum mechanics has not been widely applied yet
6
(Ovsiannikov, 1994). The present paper is focused on group classification of a class of
7
dispersive models (Gavrilyuk and Teshukov, 2001), described by the system of
8
equations:
   div(u )  0, u  p  0,
W
W  W
W
p
W  (
 (
)  div(
u ))  W ,

 t 

9
(1)
10
where t is time,  is the gradient operator with respect to space variables,  is the fluid
11
density, u is the velocity field, S is entropy, W (  ,  , S ) is a given potential, ''dot''
12
denotes the material time derivative: f 
13
derivative of W with respect to  at a fixed value of u. These models include the non-
14
linear one-velocity model of a bubbly fluid (with incompressible liquid phase) at small
15
volume
16
(Wijngaarden,1968), and the dispersive shallow water model (Green and Naghdi, 1976),
17
(Salmon, 1998). Equations (1) were obtained in (Gavrilyuk and Teshukov, 2001), using
18
the Lagrangian of the form
19
concentration
L
of
gas
df
W
 f t  uf and
denotes the variational
dt

bubbles
(Iordanskii,
1960),
(Kogarko,
1961),
1
| u |2 W (  ,  , S ).
2
20
The behavior of such continuum along thermodynamical variables also depends
21
on their derivatives with respect to space and time. In this particular case the potential
2
Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
(please correct in this file)
1
function W depends on the total derivative of the density which reflects the dependence
2
of the medium on its inertia.
3
The main tool for modeling in the present paper is the group analysis method
4
(Ibragimov, 1999), (Olver, 1993), (Ovsiannikov, 1978). This method is a basic method
5
for constructing exact solutions of partial differential equations. A wide range of
6
applications of group analysis to partial differential equations are collected in
7
(Ibragimov, 1994), (Ibragimov, 1995), (Ibragimov, 1996). Group analysis, besides
8
facilitating the construction of exact solutions, provides a regular procedure for
9
mathematical modeling by classifying differential equations with respect to arbitrary
10
elements. This feature of group analysis is the fundamental basis for mathematical
11
modeling in the present paper.
12
A complete group classification of equations (1), where W  W (  ,  ) is
13
performed in (Siriwat and Meleshko, 2011) (one-dimensional case) and (Siriwat and
14
Meleshko, 2008) (three-dimensional case). Invariant solutions of some particular cases
15
which are separated out by the group classification are considered in (Hematulin et al.,
16
2007), (Salmon, 1998), (Siriwat and Meleshko, 2008). Notice that the thermodynamics
17
requires including the entropy into the study W  W (  ,  , S ). It is also worth to notice
18
that the classical gas dynamics model corresponds to W  W (  , S ) (or    (  , S ) ). A
19
complete group classification of the gas dynamics equations was presented in
20
(Ibragimov, 1995). Later, an exhausted program of studying the models appeared in the
21
group classification of the gas dynamics equations was announced in (Ovsiannikov,
22
1978). Some results of this program were summarized in (Ovsiannikov, 1999). The
23
analysis of equations (1) with W  W (  ,  , S ) is more complicated than the analysis of
24
the gas dynamics equations. Recently the group classification of the one-dimensional
3
Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
(please correct in this file)
1
equations of fluids (1), where the function W  W (  ,  , S ) satisfying the conditions
2
W S  0 and WS  0 were studied in (Siriwat and Meleshko, 2011). The present paper
3
starts the study of group classification of equations (1), where W S  0.
4
5
Equivalence Lie Group
6
The group classification separates all equations (1) on equivalent classes. The
7
equivalence is performed with respect to the equivalence Lie group. For equations (1)
8
with W  W (  ,  , S ), this group was found in (Siriwat and Meleshko, 2011). The
9
equivalence transformations consists of the mappings:
10
11
12
X 1e :     ea ,
X 2e :
  ,
X 3e :     e2 a ,
X 6e :
  ,
X 7e :
  ,
X 8e :
  ,
X 9e :
  ,







 ,
W   We  a ;
 ,
W W;
 ,
W W;
 ,
W   We 2 a ;
 ,
W   W  a;
  , W    ( S )a  W ;
  , W    g (  , S )a  W .
Here a is the group parameter and because the function W depends on  ,  , and
S , only the transformations of these variables are presented.
13
14
15
Admitted Lie Group
The determining equations of an admitted Lie group were obtained in (Siriwat
16
and Meleshko, 2011) and consist of the equations
17
WS    W  2k1  2(W   W )  k3  (W   W   W )  k8  0
18
(W  WS   )   (W   W  2  W   W   W )  k8
(W  2  2W   2W )  k1  2(W  2  W   W )  k3  0
(2)
(3)
4
Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
(please correct in this file)
(WS    WS    WS    WS )   (WSS    WSS    WSS    WSS )
1
(WS   2   2WS    WS   2  2WS    2WS    2WS )k1
2(WS   2   WS    WS   2  WS    WS    WS )k3
(WS    WS   2   WS   2  WS    WS   2  WS    WS  WS   2 )k8  0
(4)
2
3
where ki , (i  1,3, 4,5, 7,8) are constant. The admitted generators have the form
4
X  k4Y4  k5Y5  k6Y6  k1 X1  k3 X 3  k8 X 8   (S ) S ,
5
6
where
Y4  t x  u , Y5   x , Y6  t ,
7
X 1  t  t  u u    , X 3  x x  2t t  u u     3  , X 8       .
8
Here we excluded from the study cases of the function W (  ,  , S ) such that
9
10
equations (1) admit projective transformations corresponding to the generator
X 2  tx x  t 2t  ( x  ut )u  t    (   3t  )  .
11
The complete study of these cases were given in (Siriwat and Meleshko,
12
2008).The kernel of the admitted Lie algebras is defined by the generators Y4 , Y5 , Y6 .
13
The goal of the group classification is to find extensions of the kernel. The extensions
14
depend on the value of the function W (  ,  , S ). They can only be operators of the form
15
16
k1 X1  k3 X 3  k8 X 8   S .
Relations between the constants k1 , k3 and k8 depend on the function W (  ,  , S ).
17
The paper (Siriwat and Meleshko, 2008) gives a complete solution of the group
18
classification problem for the case where W S  0. The present paper deals with the
19
functions W (  ,  , S ) satisfying the condition W S  0. This assumption allows to find the
20
coefficient  from equation (2) and complicates the further study comparing with
5
Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
(please correct in this file)
1
(Siriwat and Meleshko, 2008). In the present paper a complete solution of the group
2
classification problem is presented for the cases where (a) g  S  0 and (b) g  S  0. Here
3
W  e g . The study of the case where g  S  0 and g  S  0 will be presented in the future
4
work.
5
6
The Study of Equations (1) with W S  0
7
Using the function g (  ,  , S ) , equation (2) is rewritten in the form
8
9
k3   g S  k8  g   k1 g  ,
(5)
Differentiating (5) with respect to  ,  and S , one has
10
 g  S  k8 (  g  )   k1 g   0
(6)
11
 g  S  k8  g   k1 (  g   g  )  0
(7)
12
 g ss  g s   k8  g  S  k1 g  S  0
(8)
13
14
15
16
17
Case g  S  0 and g  S  0
Assume that g  S  0 and g  S  0 and, hence, g   ( S )  (  ,  ), where    0. In
this case the function
W (  ,  , S )   ( S ) (  ,  )  h(  , S ),
18
where  ( S )  e ( S ) . Solving equation (8), one finds that
19
 k
20
21

,

where k is constant. For an arbitrary function  (  ,  ) equations (6) and (7) lead to
k8  0, k1  0.
6
Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
(please correct in this file)
1
In this case equation (5) becomes
k3  k ,
2
(9)
3
and, hence, for existence of the extension of the kernel of admitted Lie algebras, one has
4
k  0. Because of arbitrariness of the function  (  ,  ), equation (3) gives that the
5
function h does not depend on  . Substituting W into equation (4), up to equivalence
6
transformation one obtains
h  0.
7
8
Thus, the function
W (  ,  , S )   ( S ) (  ,  ),
9
10
and the extension of the kernel is given by the generator
( X 1  X 3 / 2  S  S ).
11
X 3  SS .
12
13
14
15
16
17
18
19
Case g S   0 and g S   0
Supposing that g   0, from (6) and (7) one finds
k 1  k8
( g )
 g 
 ( g ) ( g ) ( g )
,  

 g
 g 
gS
S


 k8 .

(10)
Because for k8  0 there is no extension of the kernel, then k8  0 , and, hence,
( g )
 g 
 ,
where  is constant. Integrating the last relation with respect to  , one has
 g    g   h(  , S ).
(11)
7
Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
(please correct in this file)
Substituting  g  into the second equation of (10), and differentiating it with
1
2
respect to  , one has that there exist functions  ( S ) and  ( S ) such that
h   gS  
3
4
In this case equations (10) and (5) become
5
k1  k8  ,    k8 , k3  k8.
6
From the last relation one derives that  is constant. Hence, equation (11) becomes
 g    g    g S  .
7
(12)
8
Notice that because g  g  S  0, the function  ( S )  0. The general solution of equation
9
(12) is
10
11
12
13
g (  ,  , S )   ln |  |  (    ,  ( S )),
where  ( S )   ( S ) /   ( S ). In this case the function
W (  ,  , S )     (   ,  ( S ))  h(  , S ),
16
 h S     h  (2   )  h
h    (  )  h0 ( S ).
Changing the function  (if necessary), one can assume that
18
h  h0 ( S ).
20
21
(15)
Solving (15), one has
17
19
(14)
where     2 . Substituting W (  ,  , S ) into equation (3) , we obtain
14
15
(13)
(16)
Substituting (16) into (4), one obtains the conditions
h0    

 (  1).
h0   
Integrating this equation, one gets
8
Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
(please correct in this file)
h0  q1  ( 1)   ,
1
2
(17)
where q1 is constant. The general solution of this equation depends on  .
3
4
If   0, then h0  q1 ln  , and
W (  ,  , S )   (   ,  S )  q1 ln | S |,
5
6
(18)
and the extension of the kernel is given by the generator
2 X1  (2  1) X 3  2 X 8  2S  S .
7
8
Here S   ( S ). If   0, then h0  q1  . Changing the function  (if it is
9
10
necessary), one can assume that
W (  ,  , S )     (   ,  ( S )),
11
12
(19)
and the extension of the kernel is given by the generator
2(   ) X1  (2    1) X 3  2 X 8  2S S .
13
14
15
Now let us suppose that g   0, In this case
W (  ,  , S )   (  ) (  , S )  h(  , S ),
16
17
where
  

  
18
19

  0.
S
Equation (6) becomes

20
  
k8     0.
 
(20)
9
Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
(please correct in this file)

1
  
Assume that     0 or     , where  is constant. Equation (7) gives
 
2
 (    
)   
  k1
.
  S     S
2
3
In this case
k 3  k8  k1,
4
5
where

6
7
(21)
 (   S   S  )    S
.
  S     S
(22)
If  is not constant, then k1  0. , and equation (3) becomes
8
k8 (h   (  2)h )  0.
9
Since for the existence of an extension of the kernel one has to consider k8  0, then
h   ( 2) ,
10
(23)
11
where    ( S ).
12
If   1, then h(  , S )   ( S )  ln |  |  1 ( S ). Equation (4) leads to the condition that
13
1 is constant: in this case it can be assumed without loss of the generality that
14
1  0. Thus,
W (  ,  , S )   ( (  , S )   ( S ) ln |  |),
15
16
and the extension of the kernel is given by the generator
X1  X 3  X 8 .
17
18
If   0, then h(  , S )   (S ) ln |  |  1 ( S ). Equation (4) leads to that   k , where k is
19
constant. Thus,
20
W (  ,  , S )   (  , S )  k ln |  |  1 ( S ),
10
Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
(please correct in this file)
1
and the extension of the kernel is given by the generator
X 3  2 X 8.
2
3
If (  1)  0, then h(  , S )   ( S )    1 ( S ). Here one can assume that   0. Equation
4
(4) leads to that 1 is constant. Thus,
W (  ,  , S )    (  , S ),
5
6
and the extension of the kernel is given by the generator
7
2 X1  (  1) X 3  2 X 8 .
8
9
Assume that   k
  k1
10
11
is constant. Then
Notice that in this case
   k 
  S
12
13
depends on S , say  ( S ) :
   k 
  ( S ).
  S
14
15
   k 
, k 3  k8  k1k .
  S
Since for  ( S )  0 one obtains that     (S )   k which leads to zero
 ( S )  0.
16
denominator
17
 (  , S )   2k (  ( S )), where  ( S ) is related with  ( S ) and    0.
18
19
20
in
(22),
one
has
to
assume
that
In
this
case
Substituting  (  , S ) into (3), one finds
k8   (  h   h  2h )  k1 (  h S  k  h  2 h )  0.
(24)
Assuming that  h   h  2h  0, one finds h  2 (S )   2 .
11
Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
1
For   1 , one has
h(  , S )  2 ( S )  ln |  |  3 ( S ).
2
3
(please correct in this file)
Equation (24) gives
2  (2  k )   2  0.
4
5
The general solution of this equation is
6
2  q1 k  2 .
7
Substituting it into equation (24), one gets
k8   2 3  k1 (  3    2 3 (k  3)    3 )  0.
8
9
If  3 is constant, then without loss of generality one can assume that 3  0. Thus,
W (  ,  , S )   (  2 k (  ( S ))  q1 k  2 ( S ) ln |  |),
10
11
and the extension of the kernel is given by the generators
 X1  2 X 3  X 8 , 2(1  k ) X1  kX 3  2S  S .
12
13
If 3  0, then k8   k1 , where

14
(   3    2 3 (k  3)    3 )
  2 3
15
is constant. Hence, if 3  q2 ln  , then   k  2, and if 3  q2   , where   0, and
16
then   k  2  . Thus, for
W   (  2k (  S )  q1S k 2 ln |  |)  q2 ln S ,
17
18
the extension of the kernel is given by the generator
2 X1  (4  k ) X 3  2(2  k ) X 8  2S  S ,
19
20
21
and for
W   (  2k (  S )  q1S k 2 (S )ln |  |)  q2 S  ,
12
Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
(please correct in this file)
1
the admitted generator is
2(  k  1) X1  (k  2 ) X 3  2 X 8  2S  S .
2
3
4
Assuming that   0, one has
h(  , S )  2 ( S ) ln |  |  3 ( S ).
5
6
Equation (24) gives
2  (2  k )   2  0.
7
8
The general solution of this equation is
2  q1 k  2 .
9
10
Substituting it into equation (24), one gets
11
k8  k  3 (2  k )  k1 3 (  3    2 3 (k  3)    3  )  0 .
12
The study of this equation is similar to the previous case. If  3 is constant, then
13
without loss of generality one can assume that 3  0. Thus,
W   2 k (  S )  S k  2   k ln |  |,
14
15
and the extension of the kernel is given by the generators
(1  k ) X1  kX 3  S  S , X 3  2 X 8 .
16
17
If 3  0, then k8   k1 , where
  3     2 3 (k  3)    3 

 k   3(k  2)
18
19
is constant. Hence, if 3  q2 ln  , then   k  2, and if 3  q2   , where   0, then
20
  k  2  . Thus,
21
W (  ,  , S )   2k (  S )  q1 ln |  | ( S k 2 1),
13
Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
(please correct in this file)
1
and the extension of the kernel is given by the generator
2(1  k ) X1  (k   2k ) X 3  2 2k X 8  2S  S ,
2
3
4
5
and for
W (  ,  , S )   2k (  (S ))  q1S k 2 (ln |  | S  ),
the admitted generator is
6
7
2  (k  2)(1  k ) X1  (   k (k  2)   (  k  2)) X 3  2 (k  2   ) X 8  2  (k  2) S  S .
8
9
Assume that  (  1)  0, one has
h  2 ( S )    3 ( S ),
10
11
12
13
Equation (24) gives
2  (2  k )   2  0.
The general solution of this equation is
2  q1 k  2 .
14
15
16
17
18
19
20
Substituting it into equation (24), one gets
k8  2 3   k1 (  3    2 3 (k  3)    3  )  0.
If  3 is constant, then without loss of generality one can assume that 3  0. Thus,
W (  ,  , S )   2k (  S )  q1  S k 2 ,
and the extension of the kernel is given by the generators
2(1  k ) X1  kX 3  2S  S , 2 X1  (  1) X 3  2 X 8 .
21
22
If 3  0, then k8   k1 , where
14
Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
(please correct in this file)

1
      2 3 (k  3)    3 
 2 3 


3
2
is constant. Hence, if 3  q1 ln  , then  (k  2) /  , and if 3  q1  , where
3
  0, then   (k  2   ) /  . Thus,
W (  ,  , S )    (  2k (  S )  q1 (S k 2  ln | S |)),
4
5
and the extension of the kernel is given by the generator
2 X1  (2  k  2) X 3  2(2  k ) X 8  2S  S ,
6
7
8
9
and for
W (  ,  , S )     2k (  S )  q1S k 2 (    S  ),
the admitted generator is
2 (  k  1) X1  ( k   (  1)) X 3  2 X 8  2 S  S .
10
11
12
Assuming that  h   h  2h  0, equation (24) becomes
 h S    h (k  2)
k8  k 1 
.
 (  h   h (2   ))
13
14
15
Since k 1  0 for the existence of the extension of the kernel, then

 h S    h (k  2)
  (  h  h (2   ))
16
is constant. Hence, the function   h satisfies the equation
17
S        [ (2   )  k  2].
18
19
20
The general solution of this equation is
h   ( k  2  ) f (   )  3 ( S ).
Substituting h into (4), one has
15
Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
(please correct in this file)
       (k    3)  2 3 .

1
2

3

3
(25)
3
4
The general solution of this equation is
 q1 ln 
k    2
q1
3  
5
6
If 3  q1 ln  , then k    2 Thus,
W        (  , S )  q1 ln | S |  f (  S  ),
7
8
and the extension of the kernel is given by the generator
2 X1  (2   ) X 3  2 X 8  2S  S ,
9
10
If 3  q1 k    2 , then k    2 Thus,
W     ( k  2) (  , S )  S k  2 (q1  f (  S  ),
11
12
k    2,
k    2.
the admitted generator is
2(   k  1) X1  (k   (  1)) X 3  2 X 8  2S  S .
13
14
15
Now continue the study starting from equation (20), where (
16
case k8  0 ,
k 3  k1,
17
18
  
)  0. In this

where  and  are defined by (22) and (21)
19
20

2
 (   S   S  )    S
 (    
)   
,   k1
.
  S     S
  S     S
16
Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
(please correct in this file)
If  is not constant, then k1  0 and in this case there is no extension of the kernel.
1
2
This means that  is constant, say k. Then
  k1
3
4
Since k1  0, one has
   k 
  (S ) .
  S
5
6
The characteristic system of this equation is
d
7
8
9
   k 
, k 3  k1k .
  S


d 
dS

 ( S ) k 
(26)
Since for  ( S )  0 one obtains that     ( S )  (  ) which leads to zero
 ( S )  0.
10
denominator
11
case (  , S )   2k (  ( S )), where  ( S ) is related with  ( S ) and    0.
12
Equation (3) becomes
13
14
15
16
17
in
(22),
one
has
to
assume
that
In
this
 h S    (k  2)h  0.
and h   k 2 , where  is constant. Thus,
W   2 k q (  , S )  S k  2 ,
and the admitted generator is
2(1  k ) X1  kX 3  2S  S .
18
19
20
17
Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
(please correct in this file)
1
Result of the Group Classification
2
The result of group classification of equations (1) is summarized in Table 1. The linear
3
part with respect to  of the function W (  ,  , S ) is omitted.
4
5
Acknowledgements
6
This work was supported by Mae Fah Luang University, Suranaree University of
7
Technology and by the Office of the Higher Education Commission under the NRU
8
project. The author also would like to express thanks to Prof. Dr. Sergey V. Meleshko for
9
his guidance during the work.
10
11
References
12
Gavrilyuk, S.L. and Teshukov, V.M. (2001). Generalized vorticity for bubbly liquid and
13
dispersive shallow water equations. Continuum Mech. Thermodyn. ,13:365-382.
14
Golubitsky, M. and Stewart, I. (2002). The symmetry perspective: from equilibrium to
15
16
17
chaos in phase space and physical space. Birkhäuser, 325 p.
Green, A.E. and Naghdi, P.M. (1976). A derivation of equations for wave propagation
in water of variable depth. J. Fluid Mech., 78:237-246.
18
Hematulin, A., Meleshko, S.V., and Gavrilyuk, S.G. (2007). Group classification of
19
one-dimensional equations of fluids with internal inertia. Math Meth Appl Sci.,
20
30:2101-2120.
21
22
23
24
Ibragimov, N.H. (1994). CRC Handbook of {L}ie Group Analysis of Differential
Equations. 1st ed (volume 1). CRC Press, Boca Raton, 430 p.
Ibragimov, N.H. (1995). CRC Handbook of {L}ie Group Analysis and Ordinary
Differential Equation. 1st ed (volume 2). CRC Press, Boca Raton, 546 p.
18
Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
(please correct in this file)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Ibragimov, N.H. (1996). CRC Handbook of {L}ie Group Analysis and Ordinary
Differential Equation. 1st ed (volume 3). CRC Press, Boca Raton, 536 p.
Ibragimov, N.H. (1999). Elementary Lie Group Analysis and Ordinary Differential
Equations. Wiley& Sons, Chichester, 341 p.
Kogarko, B.S. (1961). On the model of cavitating liquid. Dokl AS USSR, 137:13311333.
Marsden, J. and Ratiu T. (1994). Introduction to Mechanics and Symmetry. 2nd ed.
Spriger-Verlag, NY, 555 p.
Olver, P.J. (1993). Applications of {L}ie Groups to Differential Equations. 2nd ed.
Springer-Verlag, NY, 516 p.
Ovsiannikov, L.V. (1994). Program SUBMODELS. Gas dynamics. J. Appl. Mech.,
58(4):30-55.
Ovsiannikov, L.V. (1978). Group analysis of differential equations, Moscow. In:
English translation. Ames, W.F. 1st ed. Academic Press, NY, 416 p.
Ovsiannikov, L.V. (1999). Some results of the implementation of the "PODMODELI"
program for the gas dynamics equations. J. Appl. Mech., 63(3):349-358.
Salmon, R. (1998). Lectures on Geophysical Fluid Dynamics. 1st ed. Oxford University
Press, NY, 1013 p.
19
Siriwat, P. and Meleshko, S.V. (2008). Applications of group analysis to the three-
20
dimensional equations of fluids with internal inertia. SIGMA 4 (2008), 4(027):1-
21
19.
22
Siriwat, P. and Meleshko, S.V. (2011). Group classification of one-dimensional
23
nonisentropic equations of fluids with internal inertia. Continuum Mech.
24
Thermodyn., accepted.
19
Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
(please correct in this file)
1
2
Wijngaarden, van L. (1968). On the equations of motion for mixtures of liquid and gas
bubbles. J Fluid Mech., 33:465-474.
3
4
20
Format Checking: Nov 22, 2011
แก้ไขรายการเอกสารอ้างอิงที่ไฮไลท์สีเหลืองไว้คะ่ ชื่อย่อวารสารยังไม่ถูกต้อง และ มีเอกสารอ้างอิง 2
รายการ ที่ไม่ปรากฏในบทความค่ะ
(please correct in this file)
1
Table 1. (Result of the group classification)
M1
W (, , S )
 (  ,  )S
Extensions
2( X1  X 3 )  2S  S
M2
 (   ,  S )  q1 ln | S |
2 X1  (2  1) X 3  2 X 8  2S  S
M3
M4
M5

2(    ) X 1  (2    1) X 3

  (  ,  S )
 0
2 X 8  2S  S
 ( (  , S )  S ln |  |)
 (  , S )  k ln |  |  S
X1  X 3  X 8
X3  2X8
M7
  (  , S )
 (  2 k (  S )  q1 k  2 S ln |  |)
M8
 (   (  S )  q1
M6
Remarks
2 X1  (  1) X 3  2 X 8
 (  1)  0
X1  2 X 3  X 8 ,
2(1  k ) X 1  kX 3  2S  S
2 k
k 2
S ln |  |)
2 X1  (4  k ) X 3  2(2  k ) X 8  2S  S
 q2 ln S
M9
M10
2(  k  1) X 1  (k  2 ) X 3
 (  2k (  S )  q1 k 2 S ln |  |)
 q2 S 
2 X 8  2S  S
 2k (  S )  S k 2   k ln |  |
(1  k ) X 1  kX 3  S  S ,
X3  2X8
M 11
2(1  k ) X 1  kX 3  2S  S ,
 2 k (  S )  q1 ln  ( S k  2  1)
2 X 1  (  1) X 3  2 X 8
M12
2   (k  2)(1  k ) X 1  (   k (k  2)
 2 k (  S )  q1S k  2 (ln |  |  S  )
 (  k  2)) X 3  2 (k  2   ) X 8
2  (k  2) S  S
M 13
 2 k (  S )  q1   S k  2
2(1  k ) X1  kX 3  2S  S ,
M14
 (
2 X 1  (  1) X 3  2 X 8
2 X 1  (2  k  2) X 3

2 k
 (  S )  q1 ( S
k 2
 ln | S |))
2(2  k ) X 8  2 S  S
 (  S )  q1S
2 (  k  1) X 1  ( k   (  1)) X 3
M 15

 
2 k
M16
 
 
M17
   ( k   2) (  , S )
2(   k  1) X 1  (k   (  1)) X 3
 S ( k   2) (q1  f (  S  )
2 X 8  2S  S
 2k q (  , S )  S k 2
2(1  k ) X1  kX 3  2S  S
k 2
(  S )


2 X 8  2 S  S
M 18

 (  , S )  q1 ln | S |  f (  S )

2 X1  (2   ) X 3  2 X 8  2S  S
2
21