ฟังก์ ชัน(Function)
บทนำ
• ในแคลคูลสั เราคุน้ เคยกันดีกบั ฟังก์ชนั f ที่มีค่าเป็ น
จานวนจริ ง ซึ่ งกาหนดด้วยตัวแปรอิสระ xℝ และ
มีตวั แปรตาม y=f(x), โดยที่ yℝ.
• ฟังก์ชนั ในรู ปแบบทัว่ ไป เป็ นการกาหนดสมาชิกของ
เซตใดๆ ซึ่ งเป็ นที่รู้กนั ว่าเป็ นการส่ งค่าหรื อทอดค่า
(Mapping) จากเซตหนึ่งไปสู่ อีกเซตหนึ่ง
นิยำมแบบทั่วไปของฟังก์ ชัน
• นิยาม สาหรับเซต A, B ใดๆ, สามารถกล่าวได้วา่ ฟั งก์ ชัน
f จาก (หรื อ “mapping”) A ไป B (f:AB)
เป็ นการกาหนดค่าแบบเจาะจงเมื่อ f(x)B โดยที่ xA
• Some further generalizations of this
idea:
– A partial (non-total) function f assigns
zero or one elements of B to each element
xA.
– Functions of n arguments; relations.
ภำพประกอบกำรแทนฟังก์ชัน
ฟังก์ชนั สามารถที่จะแทนด้วยรู ปภาพในแบบต่างๆ ได้หลาย
ลักษณะดังนี้
f
a•
A
f
•
b
B
Like Venn diagrams
A
•
•
•
•
•
B
•
•
•
•
y
Bipartite Graph
x
Plot
ฟังก์ชันกับตรรก
• หมำยเหตุ ประพจน์ใดๆ สามารถพิจารณาเป็ นฟังก์ชนั จาก
“สถานการณ์” ที่ทอดค่าไปยังค่าความจริ ง {T,F}
ตรรกใดๆ จะถูกเรี ยกว่า “situation theory”
Ex.
p=“ฝนกาลังจะตก”; s=สภาพแวดล้อมในขณะนั้น, ดังนั้น
p(s){T,F}.
• หมำยเหตุ ตัวดาเนินการใดๆ ของประพจน์สามารถพิจารณาเป็ น
ฟังก์ชนั ที่ทอดค่าจากคู่อนั ดับของค่าความจริ งไปสู่ค่าความจริ ง
Ex.
((F,T)) = T.
→((T,F)) = F.
ฟังก์ชันกับตรรก......(ต่ อ)
• หมำยเหตุ พรี ดิเคตใดๆ เป็ นฟังก์ชนั ของวัตถุต่างๆ ที่ทอดค่าไปยัง
ประพจน์ที่มีค่าความจริ ง
Ex.
P :≡ “is 7 feet tall”;
P(Mike) = “Mike is 7 feet tall.” = False.
• หมำยเหตุ สายของบิต B ที่มีความยาว n บิต สามารถพิจารณา
เป็ นฟังก์ชนั ชนิดหนึ่ง ที่ทอดค่าจากตาแหน่งของบิต {1,…,n}
ไปสู่ค่าของบิตในตาแหน่งนั้นๆ {0,1}.
Ex.
B=101  B(3)=1.
ฟังก์ ชันกับเซต
• หมำยเหตุ เซต S ใดๆ ที่อยูใ่ นเซตเอกภพสัมพัทธ์ U สามารถ
พิจารณาเป็ นฟังก์ชนั ที่ทอดค่าสมาชิกต่างๆใน U ไปสู่ค่า {T,
F}, หรื อกล่าวอีกอย่างหนึ่งก็คือสมาชิกแต่ละตัวใน U อยูใ่ นเซต
S หรื อไม่
ตัวอย่าง: S={3} fS(0)=F, fS(3)=T.
• หมำยเหตุ ตัวดาเนินการของเซตใดๆ เช่น ,, เป็ นฟังก์ชนั
ที่ทอดค่าจากคู่ต่างๆ ของเซตที่ถูกดาเนินการไปสู่เซตใหม่ที่เป็ นผล
ของจากการดาเนินการ
ตัวอย่าง: (({1,3},{3,4})) = {3}
ศัพท์ เฉพำะที่ใช้ ในฟังก์ชัน
นิยำม Let f:AB, and f(a)=b (where aA
& bB). Then
A is the domain of f.
B is the codomain of f.
b is the image of a under f.
a is a pre-image of b under f.
We also say
the signature
of f is A→B.
In general, b may have more than 1 pre-image.
The range RB of f is R={b | a f(a)=b }.
เรนจ์ เปรียบเทียบกับโคโดเมน
หมำยเหตุ
• เรนจ์หรื อพิสยั ของฟังก์ชนั ไม่จาเป็ นต้องเท่ากับสมาชิกในโค
โดเมนทุกตัว
• โคโดเมนคือเซตของฟังก์ชนั ที่ถูกทอดค่าจากสมาชิกแต่ละ
ตัวในโดเมน
• เรนจ์เป็ นเซตเฉพาะและเป็ นเซตย่อยในโคโดเมนที่ถูกทอด
ค่าจากเซตโดเมน นัน่ คือ R={b | a f(a)=b }
ตัวอย่ ำงของเรนจ์ เมื่อเทียบกับโคโดเมน
ตัวอย่ ำง สมมุติในการกาหนดเกรดให้นกั ศึกษา:
“f เป็ นฟังก์ชนั ที่มีการทอดค่าชื่อของนักศึกษาที่เรี ยนวิชานี้ โดย
เกรดที่จะให้กบั นักศึกษาคือ {A,B,C,D,F}”
• จากตัวอย่างนี้, เซตของโคโดเมนคือ:
{A,B,C,D,F}
__________, และเซตของเรนจ์คือ unknown!
________.
• ถ้านักศึกษาทุกคนที่เรี ยนวิชานี้ได้เกรด A หรื อไม่กไ็ ด้เกรด B
{A,B} ส่ วนเซตของโค
ดังนั้นเรนจ์ของฟังก์ชนั f คือ _________,
โดเมนคือ still {A,B,C,D,F}!
.
นิยำมโดยทั่วไปของตัวดำเนินกำรในแง่ ของฟังก์ ชัน
นิยำม ตัวดาเนินการ n-ary ใดๆ ที่กระทาบนเซต S เป็ นฟังก์ชนั
จากเซตอันดับ n-tuples ที่เป็ นสมาชิกของ S ไปยังตัวมันเอง
Ex. ถ้า S={T,F},
 can be seen as a unary operator, and
, are binary operators on S.
Ex.  and  are binary operators on the set of
all sets.
กำรสร้ ำงตัวดำเนินกำรของฟังก์ชัน
ถ้า  (“dot”) เป็ นตัวดาเนินการใดๆ บนเซต B ดังนั้นเรา
สามารถขยาย  เพื่อใช้แทนตัวดาเนินการของฟังก์ชนั
f:AB.
Ex. ตัวดาเนินการไบนารี ใดๆ
:BBB, และฟังก์ชนั f,g:AB, ที่กาหนดอยูใ่ น
รู ป
(f  g):AB เพื่อกาหนดเป็ นฟังก์ชนั ที่นิยามโดย
aA, (f  g)(a) = f(a)g(a)
ตัวอย่ ำงของตัวดำเนินกำรฟังก์ ชัน
,× (“plus”,“times”) เป็ นตัวดาเนินการไบนารี่ บนเซต
จานวนจริ ง ℝ. (Normal addition &
multiplication.)
ทั้งสองตัวดาเนินทาให้เราสามารถนาฟังก์ชนั มารวมและคูณเข้าด้วยกัน
ได้ดงั นี้
Def. Let f, g: ℝ  ℝ.
(f  g): ℝ  ℝ, where (f  g)(x) = f(x)  g(x)
(f × g): ℝ  ℝ, where (f × g)(x) = f(x) × g(x)
ตัวดำเนินกำรฟังก์ ชันเชิงประกอบ
นิยาม กาหนดให้ g:AB และ f:BC. ฟังก์ชนั เชิงประกอบของ
(composition function) f และ g, เขียนแทนด้วย f○g, ซึ่ ง
กาหนดได้โดย (f○g)=f(g(a))
A
.a
g
B
f
. g(a)
C
. f(g(a))
ข้อสังเกต ○ (like Cartesian , but unlike +,,) is
non-commuting. (Generally, f○g  g○f.)
อิมเมจของเซตทีอ่ ยู่ภำยใต้ ฟังก์ ชัน
Def. Let f:AB, and SA.
The image of S under f is simply the set of
all images (under f) of the elements of S.
f(S) : {f(s) | sS}
: {b |  sS: f(s)=b}.
Note the range of f can be defined as simply
the image (under f) of f’s domain!
ฟังก์ ชันแบบ one-to-one
Def. A function is one-to-one (1-1), or injective, or
an injection, iff every element of its range has only
1 pre-image.
Formally: given f:AB,
“f is injective” : xy{f(x) = f(y)  x = y}.
Only one element of the domain is mapped to any
given one element of the range.
Domain & range have same cardinality. What about
codomain?
Memory jogger: Each element of the domain is
injected into a different element of the range.
Compare “each dose of vaccine is injected into a different
patient.”
กำรทดค่ ำแบบ one-to-one
Bipartite (2-part) graph representations of
functions that are (or not) one-to-one:
a•
b•
c•
d•
•1
•2
•3
•4
•5
One-to-one
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Not one-to-one
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Not even a
function!
Sufficient Conditions for 1-1ness
For functions f over numbers, we say:
f is strictly (or monotonically) increasing iff
x>y  f(x)>f(y) for all x,y in domain;
f is strictly (or monotonically) decreasing iff
x>y  f(x)<f(y) for all x,y in domain;
If f is either strictly increasing or strictly
decreasing, then f is one-to-one.
Ex.
f(x) = x3
f(x) = 1/x (Converse is not necessarily true)
ฟังก์ ชันออนทู (Onto or Surjective)
Def. A function f:AB is onto or surjective or a
surjection iff its range is equal to its codomain
(bB, aA: f(a)=b).
Remark. An onto function maps the set A onto (over,
covering) the entirety of the set B, not just over a
piece of it.
Ex. Let f:ℝ  ℝ.
f(x) = x3 is onto,
f(x) =x2 is not onto. (Why?)
กำรทอดค่ ำบนฟังก์ ชันออนทู
Some functions that are, or are not, onto
their codomains:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Onto
(but not 1-1)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Not Onto
(or 1-1)
•
•
•
•
•
•
•
•
Both 1-1
and onto
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1-1 but
not onto
Bijections
• Def. A function f is said to be a bijection,
(or a one-to-one correspondence, or
reversible, or invertible,) iff
it is both one-to-one and onto.
• Def. For bijections f:AB, there exists an
inverse of f, written f 1:BA, which is the
unique function such that
– (where IA is the identity function on A)
Inverse functions
f-1(b)

b = f(a)

a = f-1(b)
f(a)
A
B
f-1
f
a
1
1
a
b
2
2
b
c
3
3
c
d
B
B
d
A
(ก) f: AB ไม่เป็ น
หนึ่ งต่อหนึ่ งแต่มกี ารแผ่ทวั่ ถึง
A
(ข) f-1:BA
ไม่เป็ นฟั งก์ชนั
The Identity Function
• Def. For any domain A, the identity function
I:AA (variously written, IA, 1, 1A) is the
unique function such that aA, I(a)=a.
• Some identity functions you’ve seen:
– ing 0, ·ing by 1,
– ing with T, ing with F,
– ing with , ing with U.
• Remark. The identity function is always
both one-to-one and onto (bijective).
Identity Function Illustrations
The identity function:
•
•
•
•
•
•
•
y
y = I(x) = x
•
•
Domain and range
x
กรำฟของฟังก์ชัน
We can represent a function f:AB as a
set of ordered pairs {(a,f(a)) | aA}.
Note that a, there is only 1 pair (a,b).
Later topic: relations loosen this
restriction.
For functions over numbers, we can
represent an ordered pair (x,y) as a
point on a plane.
A function is then drawn as a curve (set of
points), with only one y for each x.
A Couple of Key Functions
In discrete math, we will frequently use the
following two functions over real numbers:
Def. The floor function ·:ℝ→ℤ, where x (“floor
of x”) means the largest (most positive) integer 
x. Formally, x :≡ max({iZ|i≤x}).
Def. The ceiling function ·:ℝ→ℤ, where x
(“ceiling of x”) means the smallest (most negative)
integer  x.
Formally, x :≡ min({iZ|i≥x})
Visualizing Floor & Ceiling
Real numbers “fall to their floor” or “rise
to their ceiling.”
3
Note that if xZ,
.
2
.
x   x &
.
1
x   x
0
.
1
Note that if xZ,
.
.
2
x = x = x.
1.6=2
1.6
1.6=1
1.4= 1
1.4
1.4= 2
3
.. .
3
3=3= 3
Plots with floor/ceiling
• Note that for f(x)=x, the graph of f includes the
point (a, 0) for all values of a such that a0 and
a<1, but not for the value a=1.
• We say that the set of points (a,0) that is in f does
not include its limit or boundary point (a,1).
– Sets that do not include all of their limit points are
generally called open sets.
• In a plot, we draw a limit point of a curve using an
open dot (circle) if the limit point is not on the
curve, and with a closed (solid) dot if it is on the
curve.
Plots with floor/ceiling: Example
Plot of graph of function f(x) = x/3:
f(x)
Set of points (x, f(x))
+2
3
+3
2
x
ทบทวนเรื่องฟังก์ ชัน
• Function variables f, g, h, …
• Notations: f:AB, f(a), f(A).
• Terms: image, preimage, domain,
codomain, range, one-to-one, onto, strictly
(in/de)creasing, bijective, inverse,
composition.
• Function unary operator f 1,
binary operators , , etc., and ○.
• The RZ functions x and x.
จงเขียนหรื อยกตัวอย่างฟังก์ชนั ต่อไปนี้
1 ฟังก์ชนั แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (One-to-one) แต่ไม่เป็ นฟังก์ชนั แบบ
ทัว่ ถึง (Onto)
2 ฟังก์ชนั แบบทัว่ ถึงแต่ไม่เป็ นฟังก์ชนั แบบหนึ่งต่อหนึ่ง
3 ฟังก์ชนั ที่เป็ นทั้งแบบทัว่ ถึงและแบบหนึ่งต่อหนึ่ง
4 ฟังก์ชนั เชิงประกอบ (Composite function) เมื่อ g = {(1,
b), (2, c), (3, a)} โดยที่ g เป็ นฟังก์ชนั จากเซต X = {1, 2,
3} ไปยังเซต A = {a, b, c, d} ส่ วนฟังก์ชนั f = {(a, x),
(b, x), (c, z), (d, w)} โดยที่ f เป็ นฟังก์ชนั จาก A ไปยัง B =
{w, x, y, z}ให้หา gf