過去對牛頓力學的討論都是等加速度運動
但牛頓力學最有用的是………….
運動方程式
牛頓定律還有更偉大的用處
牛頓定律能預測物體的整個運動軌跡。


F  ma
只有牛頓定律是無法預測物體的運動，必須進一步得到力的描述，
也就是必須知道力與位置等物理量的關係，牛頓定律才有用處！

  
F  F (r , v .....)
將力的公式代入牛頓定律，就得到位置所滿足的一組方程式，
物體運動的位置函數，必須滿足這個方程式！
2
  dr
d r
F (r , .....)  ma  m 2
dt
dt
Equation of Motion 運動方程式
牛頓定律加上力的描述，給定運動方程式Equation of Motion，
此系統未來任一時間的位置函數x(t)，必須滿足這個方程式！
2
  
d r
F (r , v .....)  m 2
dt
運動方程式（Equation of Motion）提供我們預測此系統未來狀態的工具！
這是力學最重要的原則！
粒子的運動軌跡由運動方程式及起始條件完全決定，如同機械一般。
宇宙是由粒子構成！
整個宇宙就是一個巨大的機器，根據一個巨大的運動方程式運轉
力學
Mechanics
機械學
We may regard the present state of the universe as the effect of its past
and the cause of its future. An intellect which at a certain moment would
know all forces that set nature in motion, and all positions of all items of
which nature is composed, if this intellect were also vast enough to
submit these data to analysis, it would embrace in a single formula the
movements of the greatest bodies of the universe and those of the tiniest
atom; for such an intellect nothing would be uncertain and the future just
like the past would be present before its eyes.
—Pierre Simon Laplace,
A Philosophical Essay on Probabilities[
Pierre-Simon Laplace (1749–1827)
牛頓提供了力的描述的第一個例子：萬有引力。
由許多的觀察可以讓我們歸納（拼湊）出萬有引力的描述。
由加速度的方向可以推論出萬有引力是由受力者指向施力者的中心。
物體下落運動以同樣的加速度進行
a 與質量無關
F  ma
所以地球對地表物體的萬有引力與該物體的質量成正比！
F  mM
m
引力與距離的關係？
我們必須對不同位置的引力作測量！
行星繞太陽也是由於太陽對行星的萬有引力：
九大行星系統等於對萬有引力在九個不同距離做了九次觀察。
在九個不同位置，圓周軌道滿足：
Kepler’s Third Law
T 2  r3
萬有引力提供了圓周運動的向心力。
v2
r
1
F  2  2
r
T
r
引力與距離平方成反比！
萬有引力

m1m2
F1on2  G 2 rˆ
r


F  ma
運動方程式
牛頓將此猜想運用於月球軌道的計算！
Newton's own copy of his Principia, with hand-written corrections
“ a Mathematical demonstration of Copernican hypothesis”
Makes out all the phenomena of the celestial motions by the only supposition of
a gravitation towards he center of sun, decreasing as the squares of the distances.
人類探頭進入自然現象的內在，了解帶動自然運轉背後零件與規則！
engraving around 1530 (from Hemleben: "Galilei")
牛頓成為人類對自然的控制能力的象徵！
Newton, by William Blake; here,
Newton is depicted critically as a
"divine geometer”
地表附近的運動：
地球對地表上物體的萬有引力：

mM
mM
F  G 2 rˆ  G 2 rˆ  mg ˆj
r
R
地表上重力大致上與位置無關。
y

F   mg ˆj
地表附近的運動是一個典型的等加速度運動
加速度在運動過程中不變！
地表附近的自由落體
ma = -mg jˆ
d 2 y (t )
m
  mg
2
dt
解微分方程式
d2y
 g
dt 2
dv
 g
dt
t
v(t )   dt ' g    gt  gt0   gt  c1
t0
v   gt  c1
如果沒有這個常數，
起始速度只能為零。
dy
 v   gt  c1
dt
1
y (t )   gt 2  c1t  c0
2
微分方程式無法決定唯一解
如果沒有這個常數，
起始位置只能為零。
解微分方程式
1
y (t )   gt 2  c1t  c0
2
v   gt  c1
微分方程式無法決定唯一解
解中的兩個未定常數正好由兩個起始條件來決定：
y (0)  y0
v(0)  v0
運動方程式加上兩個起始條件就決定唯一的一個解！
y(0)  c0  y0
v(0)  c1  v0
1
y (t )   gt 2  v0t  y0
2
要求出物體運動路徑，必須加上初位置初速度兩個起始條件
垂直拋體
1
y (t )   gt 2  v0t  y0
2
牛頓粒子
牛頓定律加上力的描述給定運動方程式，再加上起使條件(起始位置
與速度），便能決定此系統未來任一時間的狀態！


F  ma
起始條件


r (0), v (0)

r (t ) 函數可唯一解出
22
電磁波打在一個點電荷上
點電荷處的電場
E (t )  E0 sin  t
點電荷受的電力
F = qE0 sin w t
d2y
m 2  qE0 sin  t
dt
dv y
qE0

sin  t
dt
m
vy  
qE0
cos  t  c1
m
運動方程式
vy 
qE
dy
  0 cos  t  c1
dt
m
y
qE0
sin  t  c1t  c0
m 2
一個解
代入運方左邊等於零
電磁波打在一個點電荷上，此點電荷會以電磁波的頻率為頻率進行震盪運動。
此震盪運動的點電荷又會放出電磁波，稱為Scattering 散射。
此散射電磁波頻率與原來入射電磁波相同，是點狀波源。
天空的顏色是來自太陽光被大氣層分子散射的結果
I scatter  f
4
Rayleigh Scattering
二維拋體運動
以分量來討論非常方便：
  
ˆj ˆj
Fm
ama mg
mg
d 2x
m 2 0
dt
d 2x
0
dt 2
d2y
m 2  mg
dt
d2y
 g
dt 2
垂直與水平彼此獨立。
垂直與水平彼此獨立。
d 2x
0
dt 2
d2y
 g
dt 2
垂直運動即一自由落體，水平運動即一等速運動。
水平等速運動
d 2x
0
2
dt
垂直有初速的自由落體
兩者疊加
d2y
 g
dt 2
自由落體運動
d2y
 g
2
dt
解微分方程式
d2y
 g
2
dt
dv
 g
dt
v   gt  c1
dy
 v   gt  c1
dt
1
y (t )   gt 2  c1t  c0
2
解中的兩個未定常數正好由兩個起始條件來決定：
y (0)  y0
v(0)  v0
1
y (t )   gt 2  v0t  y0
2
運動方程式加上兩個起始條件，整個拋體的運動就全部找到：
vx (t )  vx 0
v y (t )  v y 0  gt
x(t )  x0  vx0t
1
y (t )   gt 2  v y 0 t  y 0
2
有了位置函數，所有問題都可以解答：
最高高度與射程 Height and Range
x(t )  x0  vx0t
1
y (t )   gt 2  v y 0 t  y 0
2
射程發生在 y  0
最高點發生在 v y  0
求出時間再代回
同樣的初速，在45˚角時，射程最遠
x(t )  x0  vx0t
1 2
y (t )   gt  v y 0 t  y 0
2
正好自由落體
下落的距離
http://techtv.mit.edu/collections/ph
ysicsdemos/videos/735-monkeyand-a-gun
牛頓定律加上力的描述給定運動方程式Equation of Motion，再加上
起使條件(起始位置與速度），便能決定此系統未來任一時間的狀態！
d 2x
Fx ( x, y, z....)  m 2
dt
d2y
Fy ( x, y , z....)  m 2
dt
d 2z
Fz ( x, y, z....)  m 2
dt
x (t ), y (t ), z (t )
三個函數都可解出
牛頓定律給定運動方程式Equation of Motion，加上起使條件
(起始位置與速度），便能決定此系統未來任一時間的狀態！

mm
F  G 1 2 2 rˆ
r
萬有引力決定了星體之間的力，運動方程式
便決定了星體的軌道。
運動方程式 Equation of Motion，並不能決定唯一一個解。
必須加上起使條件(起始位置與速度），才能決定此系統未來任一時間的狀態！
只有唯一的一個解，滿足運動方程式，及起始條件！
只要你找到一個，無論用甚麼手段，就是它了！
微分方程式基本定理
費曼演講集 V1 Chapter 9
阻力 Fluid Resistance Force
阻力 Fluid Resistance Force
力的方向與速度相反
速率愈大，阻力愈大
物體運動慢時（尤其是在液體中），阻力大小與速率成正比
fd = k× v
在氣體中物體運動較快時，阻力大小會與與速率平方成正比
fd = b× v2
速度增加，阻力變大，加速度變小
直到阻力與重力抵銷時，受力為零，就不再增加，而維持等速。
f d  kvt  mg
終端速度 Terminal speed vt
Dv  mg
2
t
mg
vt 
D
質量越大的物體，終端速度越大！
亞里斯多德說重物掉得快，其實與日常觀察真的符合的。
阻力 Fluid Resistance Force
力的方向與速度相反
速率愈大，阻力愈大
物體運動慢時（尤其是在液體中），阻力大小與速率成正比
fd = k× v
在氣體中物體運動較快時，阻力大小會與與速率平方成正比
fd = b× v2
f d  kv
向量表示式：


ˆ
f d  kv v  kv
阻力向量與速度向量成正比！
空氣阻力大小與速度成正比時的拋體運動


f d  k  v
fg = -mg× jˆ

 
ma  f g  f d
kjˆ - k× v
ma
=
-mg×
ˆ
a = -g× j - × v
m

fd

v
垂直與水平依舊彼此獨立。
dv
kk
d 2 xx


  vvxx
2
dt
m
dt
m
dv
kk
d 2 yy
 gg  vvyy
2
dt
m
dt
m
先看 x 軸分量
dvx
k
  vx
dt
m
速度函數的微分與自己成正比！
有沒有這樣的函數？
 
d x
e  ex
dx
 
d bx
e  b  e bx
dx
指數函數的微分
f ( x)  a x
a x  x  a x
a x (a x  1)
(a x  1) 
x 
f ' ( x)  lim
 lim
 a   lim

x 0
x 0
x 0
x
x

x


中括號內的式子與 x 無關，可以視為一個常數

(a x  1)  x
x
f ' ( x)   lim

a

c

a

x 0

x


對於不同的 a，c 也會不一樣，比如a=1 時 c=0，而a很大時，c應該也很大。
那麼在a=1與a=∞之間，應該有一個a，它所對應的c=1
(e x )'  e x
將此數稱為 e
d bx
d
d dbx  bx

e bbebx
 e bx
e 
ebx 
dx
dx
d (bx)
 
 
Euler's number
常數 e 是一個無理數，在數學上就像 π 一樣重要，其值大概是2.71828左右。
2.71828182845904523536028747135266249775724709369995
 
d x
e  ex
dx
有了e，指數函數微分就可以完全計算出來
 
d bx
e  b  e bx
dx
a x  e ln a x  Exp log e a   x 
(a x )'  (e ln ax )'  ln a  e ln a x  ln a  a x
Leonhard Euler
(1707-1783)
 
dvx
k
  vx
dt
m
速度函數的微分與自己成正比！
d x
e  ex
dx
d bx
e  b  e bx
dx
 
指數函數可以滿足這個性質。
因此速度為指數函數!
選擇係數 b 為正比的比例常數：
vx  e
k
 t
m
但我可以在這個解的前面乘上任一個常數C，解仍成立
  mk t 
d  e 
k

   k  e mt
dt
m
  mk t 
d  e 
k
k  mt


c
 c   e 
dt
m
vx  c  e
k
 t
m
k
 t

d  c  e m 
k

   k  c  e  m t 

dt
m 

vx  c  e
k
 t
m
常數 c 是任意數，我們似乎得到無限多組解。
但如同自由落體， c 可以由起始速度決定：
vx (0)  c  vx 0
vx  vx 0  e
k
 t
m
vx
速度解出
vx  c  e
k
 t
m
指數遞減
減少一定倍數的時間相同
原子核的衰變遵守同樣的微分方程式，
衰變是一個微觀的量子現象。
我們無法預測單一一顆原子核何時及是否衰變，只能預測它衰變的機率。
λ
每單位時間衰變機率為 λ
1-λ
對單一的原子核雖然無法預測，
如果是觀測一大群原子核：
原子核的數量是可以預測的
dvx
k
  vx
dt
m
dN
 N
dt
N  N 0 e  t
λ 是一個原子核每秒衰變的機率!
λN 即是每秒衰變發生的次數!
隨時間增加以指數遞減
減少一定倍數的時間相同
細菌的生長也是類似
細菌分裂每單位時間發生的機率大致是一個常數
dN
  N
dt
N  N 0 e  t
增加一定倍數的時間相同
y方向的速度
阻力下的落體
dv y
dt
  g  kvy
阻力
y方向的速度
阻力下的落體
dv y
dt
 g 
k
k 
mg 
v y    v y 
m
m 
k 
將右方的兩項合在一起
V  vy 
mg
k
dV dv y

dt
dt
dV
k
 V
dt
m
V的行為與之前的水平速度一樣。
V  V0  e
k
 t
m
mg   m t

  vy0 
e
k 

k
mg   m t mg

vy   vy0 
e 
k 
k

k
 g  kvT  0
k
 t
mg 
vy  
 1  e m 
k 

vx
vy
一般代數方程式的解通常是 No wiggle room
2x  1  2
微分方程式的解需要刻意讓自己挪出足夠的空間與自由度，才能滿足起始條件。
d2y
 g
2
dt
乘一常數
dvx
k
  vx
dt
m
vx  e
k
 t
m
vx  c  e
k
 t
m
齊次微分方程
dv y
dt
加一常數
 g
v y   gt
非齊次微分方程
微分方程式的解總是會有足夠空間來容納起始條件
v y   gt  c1
物體速度稍快時，阻力與速度平方成正比
fd = b× v2
相量表示式：
fd = -b× v2 × v̂ = -b× v× v
阻力向量現在就不與速度向量成正比！
空氣阻力大小與速度平方成正比時的拋體運動
fd = -b× v2 v̂ = -b× v× v
ma = fg + fd = -mg× jˆ - b× v× v
運動方程式：

fd
m

v
dvx
= -b× vx × v
dt
v  vx2  v y2
dvx
m
= -b× vx × vx2 + vy2
dt
m
dvy
dt
= -mg- D × vy × vx2 + vy2
垂直與水平不再彼此獨立。
這個方程式只能用數值方法來解：
數值方法 Numerical solution
df
f
f ( x  x)  f ( x)
 lim
 lim
dx x0 x x0
x
微分是無法用電腦算的
但微分在取極限前只是一個減與除的運算
數值方法
不要讓 Δt 趨近於零，只是讓它很小！
所得的解只是一個近似。
想像時間是如下棋一樣是不連續的。
你下一步走多遠？
變化率 
v
t 0
x
t
變化
時間
x  v  t
若時間不連續，速度即平均速度，平均速度就決定位移！
下一步走多遠由起始速度決定！
起始位置
起始速度
x0
v0
x  v0  t
t  0  t
x  v0  t
x0
v0
x
x1
v1
?
下一步呢？
決定下一部需要此時的速度 v1
v  v1  v0  ?
決定此時的速度需要速度的變化
速度的變化率就是加速度，由力可以算出
力則由當時已知的位置與速度算出！
t  t
x0
v0
x1
v1
F ( x0 , v0 )
v  v1  v0  a(t0 )  t 
 t
m
下一個速度由起始位置及起始速度可以得到
總結：由 t0 的位置與速度可以得到 t1 的位置與速度
同樣的方法可以讓我們由 t1 的位置與速度得到 t2 的位置與速度
t  2t
x  v1  t
x0
起使速度 v0
x1
v1
x
x2
v2
F ( x1 , v1 , t1 )
v  v2  v1 
 t
m
t  2t
x0
起使速度 v0
x1
v1
x2
v2
於是我們得到 t2 的位置與速度
有了起始條件，以及運動方程式，我們可以以加減乘除運算，
一步一步計算出系統未來的狀態！
x0
起使速度 v0
起始位置 x0
x1
v1
x3
x2
v2
v3
1
F ( xi , vi , ti )
m
1
F ( xi 1 , vi 1 , ti 1 )
m
v(ti 1 )  v(ti )
1
t  F ( xi , vi , ti )
m
v(ti )
v(ti 1 )  v(ti )  t 
v(ti 1 )
v(ti  2 )
x(ti 1 )  x(ti )  t  v(ti )
x(ti 1 )  x(ti )  t  v(ti )
x(ti )
1
F ( xi , vi , ti )
m
x(ti 1 )
流程圖看起來複雜，卻只是算術而且一直重複
x(ti  2 )
不連續時間下，我們得到唯一一個解
將時間由不連續趨近連續，原則上就可以得到真正的解！ t  0
不連續時間下得到的解，就是真實解的一個近似！
這個近似可以系統性地進行改善！
起始位置 x0
x0
起使速度 v0
x1
v1
x3
x2
v2
v3
運動方程式加上兩個起始條件就決定唯一的一個解！
微分方程式基本定理
阻力下的落體
dv y
dt
  g  kv y
阻力
t  104 s
x(ti 1 )  x (ti )  104  v (ti )
v(ti 1 )  v(ti ) 104  980 196  v(ti ) 
 g  kvT  0
k
 t
mg 
vy  
 1  e m 
k 

空氣阻力大小與速度平方成正比時的拋體運動
運動方程式：

fd
dvx
m
= -b× vx × vx2 + vy2
dt
m
dvy
dt
= -mg- b× vy × vx2 + vy2
這個方程式非常複雜。
但對電腦來說，也就是加減乘除而已！

v
這個方程式可以用數值方法來解：
 v2
v
阻力對射程的影響
射程減少近一半
最大射程仰角降低
行星系之運動
第 j 個星球對第 i 個星球的引力
Fij  
Fij
yi-yj
rij
j
Fij
xi-xj
rij  ( xi  x j )2  ( yi  y j )2
rij2
此引力的 x 分量：
i
x
Gmi m j
Fijy
Fijx  
Gmi m j
rij2

( xi  x j )
rij
第 i 個星球的運動方程式：
( xi  x j )
d 2 xi
  Gm j 
2
dt
j i
( xi  x j ) 2  ( yi  y j ) 2


( yi  y j )
d 2 yi
  Gm j 
2
dt
j i
( xi  x j )2  ( yi  y j )2

3/ 2

3/ 2
這樣的預測模式，不只適用於物理
任何系統，有了運動方程式，加上起使條件，
便能決定此系統未來任一時間的狀態！
使用越精確的運動方程式，預測越準！