파생금융상품(Option Market)
- 외환관리사 2종 과정 -
제일은행 자금부 대리
신 종 찬 (johnshin@kfb.co.kr)
Prologue
본 슬라이드에서는 옵션에 대한 개략적인 내용을 소개하였습니다.
본 과정은 외환관리사 2종 준비 과정이므로, 1회~6회의 기출 문제풀이 및 예제 문제는 별
도 소개해 드리겠습니다.
아래 웹 URL에 11월 말 이전에 게시하도록 하겠습니다.
http://vols.com.ne.kr/fxkorea5.html
참고하시기 바랍니다. - 편집자 주-
2
Introductions to Option
Option 이란…
Definition : 금융자산을 사전에 약정한 가격(행사가격, Strike Price)으로 미래에 매입(Call) 또는 매도
(Put)할 수 있는 권리(Option)의 매매(Buy or Sell).
권리보유자(매입자)는 시장상황에 따라 권리를 행사하거나 포기할 수 있음.
옵션매입자(Holder, Long)는 권리를 가지는 대신 대가(Premium)를 지급하며, 옵션매도자(Writer, Short)
는 대가를 받는 대신 옵션 행사에 따른 의무를 가진다(리스크 부담).
P/L
KRW
Receivable
1,200
Fwd, 9M
Option, 9M
1,250
1,300
USD/KRW
3
Introductions to Option (Cont’d)
Glossary
Call Options : Give the holder (buyer) the right, but not the obligation, to BUY the underlying asset from the writer
(seller) by a given time at a given price
Put Options : Give the holder the right, but not the obligation, to SELL the underlying asset to the writer by a given
time at a given price
Maturity : The “given time” is called the Expiration or Maturity date
Strike : The “given price” is called the Strike or Exercise price
European : An option that can be exercised only at the end of its life
American : An option that can be exercised at any time during its life.
Cash Option : Spot position or cash is delivered when option is exercised.
Future Option : When option is exercised, financial futures contracts is settled.
Premium : Option contract is a kind of financial assets, and its price movement depends on its undelying
assets.Therefore, premium is the price of financial assets.That is, the price paid by the buyer of the options
Option Value = Intrinsic Value + Time Value
1)Intrinsic Value: Profit an Option Holder would make from exercising the option immediately, i.e., Difference
Between Exercise Price and Price of the Underlying
2)Time Value: Value of Being able to Postpone Decision to Exercise. This is, the expected increase in the option’s
intrinsic value in the remaining life of the option.
4
Introductions to Option (Cont’d)
Plain Vanilla Option의 Risk Profile at Maturity
Long a Call
-PREMIUM
+PREMIUM
Short a Call
Long a Put
-PREMIUM
+PREMIUM
Short a Put
5
Introductions to Option (Cont’d)
옵션거래의 동기
일반적인 목적 : 환율위험을 헤지
환율방향에 대한 레버리지거래
환율 변동성에 대한 거래
포트폴리오의 위험형태를 변형시킴
옵션 vs. 선물환 : Flexibility
현물환 혹은 선물환 거래에서는 매입자, 매도자 모두 계약 만기에 상호 결제하여야 하는 의무가 있지
만, 옵션거래에서는 매입자는 결제이행을 청구할 권리를 갖는 반면 의무는 지지않으며, 매도자는 결
제이행의 의무가 있음.
The forward contract exactly matches the existing FX position : There is neither risk of loss nor potential
for gain. The option locks in the worst case at the premium paid and leaves the option holder with a
potential unlimited gain in case of favorable spot moves.
6
Introductions to Option (Cont’d)
CASE 1: 환리스크의 선택적 Hedge
S석유의 자금담당자는 3개월후 지급할 U$표시 수입대금에 대한 환리스크를 Hedge하고자 하나, 현재
의 U$/Won환율이 상당히 높은 상태이고 달러가 하락세로 접어드는 경우 큰폭의 하락이 가능하다고
생각하고 있다. 지속적인 달러 상승(Won하락)의 리스크를 피하면서도 대세 전환에 따른 이익을 기대
할 수 있는 Hedge 방법은 무엇인가?
또 그와 같은 Hedge를 실시한 후의 Risk Profile은?
U$/Won
7
Introductions to Option (Cont’d)
Buy U$-Call (Won-Put) Option
+
Initial Exposure
Call Option 매입
=
Covered Exposure
= Insured Receipt
= Long Put Option
8
Introductions to Option (Cont’d)
CASE 2: 우발적 환리스크의 Hedge
D 건설의 미국지사는 알제리 정부가 주관하는 발전소 공사에 응찰하고자 한다. 공사대금은 공사개
시후 1년후에 전액 FFR로 지급되며 D 건설이 본공사를 수주할 확율은 50% 정도이다. 공사의 Margin
이 크지않아 관련된 환리스크를 Hedge하여야 하는데 알제리 정부의 bidding process는 통상 3개월이
걸린다.
D 건설 자금부의 입장에서는 Hedge를 하지 않고 수주하였을 때의 환리스크와 Hedge를 하였으나 수
주하지 못했을 때의 리스크를 모두 고려하여야 하는 것이 문제이다.
D 건설이 산정한 수주의 확율이 정확하다면 선물환으로 Hedge가 가능한가?
수주 여부와 관계없이 환리스크를 Hedge할 수 있는 방법은?
9
Introductions to Option (Cont’d)
선물환 Hedge의 문제점
50%의 수주확율에 따라 입찰금액의 50% 선물환 Hedge가 합리적이기는 하지만,
만기가 가까와 짐에 따라 수주의 확률은 점차 0
또는 100%에 접근할 것임 (지속적인 Hedge금액의 변경 필요)
통화옵션에 의한 Hedge
U$-Call(Ffr-Put) Option
수주 시
U$/Ffr
수주하지
못할 경우
10
Introductions to Option (Cont’d)
CASE 3: Zero-cost Options
Buy 1242 U$ Call with Paying 3% premium, and Sell 1180 U$ Put with Receiving 3% premium.
Forward Risk Reversal
1180
1210
1242
옵션의 장점은 불리한 방향만을 Hedge
옵션의 단점은 Premium의 지급
수개의 옵션을 매입/매도함으로써 Zero-premium 옵션을 창출 가능
옵션매입에 따른 지급 Premium = 옵션매도에 따른 수입 Premium
옵션의 최대장점은 어떠한 형태의 Risk Profile도 구성할 수 있는 Flexibility에 있음
--> 가장 효과적인 Financial Engineering Tool
11
Introductions to Option (Cont’d)
Option의 가치
Option Value = 시간가치 (Time Value) + 내재가치 ( Intrinsic Value)
Value of (Call) Option at Maturity : C = max ( S - X, 0 )
Option Value(a+b)
Time Value(a)
Intrinsic Value(b)
(S-X)
0
K(Strike)
OTM
ATM
S(Spot)
ITM
12
Introductions to Option (Cont’d)
Intrinsic Value(내재가치)
내재가치(S-X)란 행사가격과 선물환율과의 차이이다.
개념적으로 내재가치는 “0”과 같거나 크다.
30
25
20
P / L 15
10
5
0
1,050
1,100
1,150
1,200
1,250
1,300
1,350
1,400
1,450
Spot
13
Introductions to Option (Cont’d)
Time Value(시간가치)
시간가치는 옵션가치에서 내재가치를 뺀 가치이다.
즉, Time value= Option Value-Intrinsic Value. 시간가치는 미래의 불확실한 잠재적인 이익에 대한
Premium을 지불하는 것이다. 시간가치는 ATM에서 최대가 된다.
일년 후에 1불에 800원 혹은 2,000원이 될 가능성?
8.00
7.00
6.00
5.00
P / L 4.00
3.00
2.00
1.00
1,050
1,100
1,150
1,200
1,250
1,300
1,350
1,400
1,450
Spot
14
Introductions to Option (Cont’d)
Option가격 결정요소
Spot price (S)
Strike price (X)
Time to expiration ( Maturity, say 182days...)
Volatility of underlying ()
Risk-free interest rate (r, rf)
For USD/KRW, r= KRW, rf= USD
Option가격 결정요인별 가격분석
CALL
PUT
현물환율 (S)
+
-
행사가격 (X)
-
+
Volatility ()
+
+
Interest Rate (r)
+
+/-
Time to Mature (T)
+
+
15
Financial Variables’ Movement
Process of Stock Price
충분히 짧은 시간(t)의 주가의 변화분(S)은 기대수익률()과 시간(t)의 곱 만큼이고,
S  St
시간(t)이 0의 극한값으로 작아질 때, 다음 식이 성립한다.
dS  Sdt
dS
 dt
S
S T  S 0 e T
그리고, 주가(S)가 의 변동성을 갖고 움직일 때, 아래와 같은 식이 성립한다.
dS  Sdt  Sdz
dS
 dt  dz
S
S
 t   t
S
S
~  ( t ,  t )
S
16
Financial Variables’ Movement (Cont’d)
환율 Simulations (Cont’d)
Simulating a Price Path (Single Path)
1,500.00
1,450.00
1,400.00
1,350.00
1,300.00
1,250.00
1,200.00
1,150.00
1,100.00
1,050.00
96
10
4
11
2
12
0
12
8
13
6
14
4
15
2
16
0
16
8
17
6
18
4
19
2
20
0
20
8
21
6
22
4
23
2
24
0
24
8
88
80
72
64
56
48
40
32
8
16
24
0
1,000.00
17
Financial Variables’ Movement (Cont’d)
환율 Simulations (Cont’d)
Simulated Price Distribution(200 Trials)
Frequency
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
90
1,
0
86
1,
0
82
1,
0
78
1,
0
74
1,
0
70
1,
0
66
1,
0
62
1,
0
58
1,
0
54
1,
0
50
1,
0
46
1,
0
42
1,
0
38
1,
0
34
30
1,
0
26
1,
0
22
1,
0
0
18
1,
1,
0
14
1,
0
10
1,
0
06
1,
0
02
1,
0
98
94
90
0
0
Final Price
18
Financial Variables’ Movement (Cont’d)
Lognormal Property of Stock price
일반적으로 주가는 Lognormal분포를 따르기 때문에 다음과 같은 식이 성립한다.
ln ST  ln S 0 ~  [( 
2
2
)T ,  T ]
ST
2
ln
~  [(  )T ,  T ]
S0
2
ln ST ~  [ln S 0  (  
2
2
)T ,  T ]
여기서,lnS는 평균이 (-2/2)이고, 표준편차가 T 인 정규분표를 보임을 알 수 있다.
19
Volatility
Volatility의 의미
High volatility means you have higher change(probability) to win the option at the maturity, so, other
things being equal, the premium also much expensive.
Spot
USD Call
Lower Volatility
Higher Volatility
900
1100
1200
1300
1500
20
Volatility (Cont’d)
High volatility equals high premium but nobody can calculate the future volatility
Types of volatilities
Futures volatility
Historical volatility
Implied volatility
과거
Historical Vol.
현재
미래
Implied Vol.
Futures Vol.
Volatility smile
Risk Reversal
Volatility smile is not always uniform in both directions.
To reflect the preference for upside or downside protection
21
Volatility (Cont’d)
Volatility & Time value
An increase in volatility does not affect the intrinsic value of an option, but does have an interesting effect on
the time value of an option.
The time value of a one-year European call with a strike of Y100 calculated for a range of spot prices at
different volatility levels result in the above curve.
For any ATM option, an increase in volatility will proportionately increase its time value
80
70
20% Vols.
60
50
15% Vols.
P / L 40
30
20
10% Vols.
10
0
1,050
1,100
1,150
1,200
1,250
1,300
1,350
1,400
1,450
Spot
22
Volatility (Cont’d)
Historical Volatility 구하기
과거의 특정기간 동안의 시장가격을 자연로그 (Natural Log, Ln)의 변화율(일중 로그수익률)로 구한
후 그 값에 대한 표준편차를 구하는 것.
Monthly Volatility: (Daily Data 사용 시)
1Month Volatility : Ln(St/St-1)*(과거 21일간의 표준편차)* 252
2Month Volatility : Ln(St/St-1)*(과거 42일간의 표준편차)* 252
3Month Volatility : Ln(St/St-1)*(과거 63일간의 표준편차)* 252
1year :252 영업일
재무계산에서의 로그수익률사용
단순수익률(Simple yield : {V2-V1} / V1)의 단점 :
예를 들어, 매년 말 자산가치가 100, 120, 100으로 변한다면,
매년의 단순 수익률은 20%, -16.7%일 것이다. 이 경우 단순 수익률의 합은 +3.3%가 된다.
그렇지만, 우리는 직관적으로 수익이 없음을 알 수 있다.
로그수익률(Logarithm yield : Ln(V2/V1) )의 경우 수익률은 18.23%, -18.23%로 수익률의 합은 0임을
알 수 있다.
재무계산에서는 이러한 오류와 계산의 편의를 위해 로그수익률을 사용한다.
Ln(V2/V1) + Ln(V3/V2) + ….. + Ln(Vn/Vn-1) = Ln(V2/V1 * V3/V2 * ….. * Vn/Vn-1) = Ln(Vn/V1)
23
Volatility (Cont’d)
Historical Volatility 구하기(Cont’d)
A
Date
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
1-Jan-01
2-Jan-01
3-Jan-01
4-Jan-01
5-Jan-01
8-Jan-01
9-Jan-01
10-Jan-01
11-Jan-01
12-Jan-01
15-Jan-01
16-Jan-01
17-Jan-01
18-Jan-01
19-Jan-01
22-Jan-01
23-Jan-01
24-Jan-01
25-Jan-01
26-Jan-01
29-Jan-01
30-Jan-01
31-Jan-01
1-Feb-01
2-Feb-01
5-Feb-01
6-Feb-01
B
MID
1262.4
1276.4
1270.8
1261
1263.5
1265.5
1255.2
1266.8
1278.1
1281.5
1285.5
1282.8
1277.5
1284
1277.5
1274.2
1274.5
1273
1274
1280.2
1264
1265.5
1259.2
1257.5
1249.3
1262.5
1257.3
C
D
LN(S t/S t-1 ) Hist. Vol.
1W
0.01103
(0.00440)
(0.00774)
0.00198
0.00158
(0.00817)
0.00920
0.00888
0.00266
0.00312
(0.00210)
(0.00414)
0.00508
(0.00508)
(0.00259)
0.00024
(0.00118)
0.00079
0.00485
(0.01274)
0.00119
(0.00499)
(0.00135)
(0.00654)
0.01051
(0.00413)
E
1M
=LN(B4/B3)
11.40%
7.79%
11.66%
11.24%
11.22%
11.17%
7.53%
8.06%
6.14%
7.14%
6.36%
6.50%
6.00%
3.75%
4.45%
10.50%
10.62%
10.91%
10.65%
8.46%
10.68%
10.90%
=STDEV(C4:C8)*SQRT(252)
=STDEV(C4:C24)*SQRT(252)
9.54%
8.82%
8.72%
8.61%
9.38%
9.47%
24
Volatility (Cont’d)
Volatility Quotation
25
Volatility (Cont’d)
U$/Won 3Month Historical, Implied & Future Volatility
16.00%
14.00%
12.00%
10.00%
8.00%
6.00%
4.00%
2.00%
Hist. Vol.
Imp. Vol.
Sep-02
Aug-02
Jul-02
Jun-02
May-02
Apr-02
Mar-02
Feb-02
Jan-02
Dec-01
Nov-01
Oct-01
Sep-01
Aug-01
Jul-01
Jun-01
May-01
Apr-01
Mar-01
Feb-01
Jan-01
0.00%
Future Vol.
26
Option Valuation by Binomial Trees
Theoretical Option Value
Sum of Expected Values = Sum of probability * expected price change
Binomial P/L
104 (1)0.5*4=Y2
(+Y4)
Y100
(-Y4)
Expected Value for USD
Call:
= Y2+ 0= Y2
96 (2)0.5*0=0
27
Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d)
Binomial Tree
The binomial tree displays an asset’s potential price outcomes and the probability of occurrence
associated with each specific time intervals.
Assumption: There is 50:50 chance price will be moved by $1
Binomial Tree
101
(1/2)
100
99
(1/2)
102
(1/4)
100
(1/2)
98
(1/4)
103
(1/8)
101
(3/8)
99
(3/8)
97
(1/8)
104
(1/16)
105
(1/32)
102
103
(5/32)
100
101
(5/16)
98
99
(5/16)
97
(5/32)
96
(1/16)
95
(1/32)
28
Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d)
Binomial Tree & Option
The binomial tree is useful for visualizing how different variables affect options pricing
All values above(Below) the strike price line represent outcomes that would produce a payoff for a
Call (Put)option
105
104
103
102
Buy U$ Call
101
101
103
102
100
101
100
100
(Spot)
99
99
99
98
Strike Y98
98
97
97
96
t1 t2
t3
t4
t5
T
95
29
Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d)
Theoretical Value = Sum of MAX(0,Si-K) * Probability
= (Y7*1/32)+(Y5*5/32)+(Y3*5/16)+(Y1*5/16)+(0*5/32)+(0*132)= Y2.25
Given a time t1~T European call option with a strike price of Y98,
P/L
the theoretical value of this call is Y2.25
104
Option Value
103
102
101
100
(Spot)
101
100
102
Strike Y98
98
99
(5/16)
Y1
96
t3
t4
Y5
Y3
98
t2
103
(5/32)
101
(5/16)
97
t1
Y7
100
99
99
105
(1/32)
t5
97
(5/32)
95
T (1/32)
0
0
30
Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d)
Concept of Binomial Option Valuation Method (No-arbitrage approach)
주식이 양 만큼과 옵션포지션(Short Call)으로 구성된 포트폴리오(위험-중립 포지션: 기초자산의 가
격변동에 따른 포트폴리오의 가치변화가 없음)의 가격변화는 다음 그림과 같을 것임.
ΔSu
-fu
ΔS
-f
ΔSd
-fd
주가가 변할 경우 위험-중립 포트폴리오 이므로, 아래와 같은 식이 성립할 것이다.
S0u  f u  S0 d  f d ,  
fu  f d
S 0u  S 0 d
무위험 수익률을 r이라 한다면, 포트폴리오의 현재가치는
(S0u  fu )erT 혹은 S0 - f 이다.
S 0   f  ( S 0u  f u )e  rT
f  S 0   ( S 0u  f u )e  rT
or,  e  rT [ pfu  (1  p) f d ]
31
Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d)
변동성을 감안한 이항모델의 일반화 (Risk neutral approach)
위험중립적인 투자가가 향후 주가가 p(위험중립확률: Risk neutral probability)의 확률로 상승하거나 (1-p)의
확률로 하락할 것으로 가정한다면, 이항모델의 1구간 후의 주식가격은 다음과 같다.
pS 0u  (1  p ) S 0 d  S 0 e rt
e rt  pu  (1  p )d
한편, 충분히 적은 기간 동안의 주가의 분산을 살펴보면(분산 = E(x2)- E(x)2),
pu2  (1  p)d 2  [ pu  (1  p)d ]2   2t
아래와 같이 요약될 수 있다.
ert (u  d )  ud  e2rt  ert
ue
 t
,d  e
 t
,u 
1
d
만약 여기에
가정을 하면, 위의 식을 만족하면서 다음과 같을 결과
가 도출될 것(Cox, Ross, Rubinstein 1979년)이고, 옵션 가격도 계산될 것임.
e rt  d
p
ud
f  erT [ pfu  (1  p) f d ]
32
Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d)
변동성을 감안한 이항모델의 일반화(Risk neutral approach) (Cont’d)
이항을 일반화 시켰을 때, 향후 주가의 움직임은 다음과 같고,
SuN-1d0
fN-1,N-1
그때의 옵션가치는 그림과 같이 표현될 것임.
3 0
Su d
f3,3
~~
~~
2 0
Su d
f2,2
1 0
S
f
Su d
f1,1
Su0d1
f1,0
Su1d1
f2,1
Su0d2
f2,0
f N , j  max(S0u j d N  j  X ,0) or
SuN-1d1
fN-1,N-2
~~
Su2d1
f3,2
SuN-1d1
fN, N-1
SuN-2d2
fN,N-2
~~
SujdN-j
fN,j
Su1d2
f3,1
Su0d3
f3,0
Suj-1dN-j-1
fN-1,j-1
Suj-1dN-j+1
fN,j-1
~~
~~
~~
이때 각 이항에서의 옵션가격은 다음과 같이 표현될 수 있음.
SuNd0
fN,N
~~
Su0dN-1
fN,1
Su0dN
fN,0
fi, j  e rt [ pfi 1, j 1  (1  p) f i 1, j ]
specially,AmericanOption
fi, j  max{S0u j d i  j  X , e rt [ pfi 1, j 1  (1  p) f i 1, j ]}
33
Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d)
이항모델의 통화옵션 적용
배당이 없는 주식에서와 마찬가지로, 무위험 수익률 r대신 r-rf의 수익을 보이므로,
다음과 같은 관계가 성립한다.
pS0u  (1  p ) S 0 d  S 0 e ( r  rf ) t
e ( r  rf ) t  pu  (1  p )d
e ( r  rf ) t (u  d )  ud  e 2 ( r  rf ) t   2 t
a  e ( r  rf ) t
따라서 통화옵션의 경우도, 주식과 마찬가지로 이항모델을 이용하여 옵션가격을 산출할 수 있다.
단, 통화옵션의 할인계수가 Exp(-rt)임을 유의해야 한다.
34
Binomial Option Pricing Example I (Call Option)
Option pricing of Non-dividend stock
현재 주가가 $100이고, 1개월간 5.00%상승하거나 5.00%하락이 예상된다면, 2개월 행사가격 $100인 콜옵
션 가격은 얼마인가? 단, 무위험 수익률은 연속복리로 년 6%로 가정하고, 2기간으로 Pricing하면…
무위험 차익거래에 의한 가격산정 (No-arbitrage or Riskless hedge approach)
1개월 간의 할인율 = 1/(1+6%/12)= 0.9950 or exp(-6%*1/12)=0.9950
fu의 경우,
Δ=
f uu  f ud
$10.25  $0

 0.9762
S1u  S1d $110.25  $99.75
Δ*$105 – fu = 0.9950 * (Δ*$110.25-$10.25)
fu = $ 5.6118
fd의 경우,
Δ=
f ud  f dd
$0  $0

 0,
S1u  S1d $99.75  $90.25
$100
f
=3.0725
$110.25
fuu=$10.25
$105
fu =5.6118
$95
fd =0
$99.75
fud=$0
$90.25
fdd=$0
Δ*$95 – fd = 0.9950 * (Δ*$99.75-$0)
fd = $0
f의 경우,
Δ=
fu  f d
$5.6118 $0

 0.56118
, Δ*$100 – f = 0.9950 * (Δ*$105-$5.6118)
S 0u  S 0 d
$105 $95
f = $3.0725
35
Binomial Option Pricing Example I (Call Option)
Risk-neural probability에 의한 가격산정
1개월 간의 할인율 = 1/(1+6%/12)= 0.9950 or exp(-6%*1/12)=0.9950
e rt  d e 6% /12  0.95
p

 0.550125
ud
1.05  0.95
fu의 경우,
fu = 0.9950*(0.550125*$10.25+(1-0.550125)*$0)=$5.6106
fd의 경우,
fd = 0.9950*(0.550125*$0+(1-0.550125)*$0)=$0
f의 경우,
$110.25
fuu=$10.25
f = 0.9950*(0.550125*$5.6106+(1-0.550125)*$0) = $3.0711
 가격차이는 P값의 계산과정에서 발행
$100
f
=3.0711
$105
fu =5.6106
$95
fd =0
$99.75
fud=$0
$90.25
fdd=$0
36
Binomial Option Pricing Example II (Put Option)
Option pricing of Non-dividend stock
현재 주가가 $100이고, 1개월간 5.00%상승하거나 6.00%하락이 예상된다면, 2개월 행사가격 $100인 풋
옵션 가격은 얼마인가? 단, 무위험 수익률은 연속복리로 년 6%로 가정하고, 2기간으로 Pricing한다면…
무위험 차익거래에 의한 가격산정 (No-arbitrage or Riskless hedge approach)
1개월 간의 할인율 = 1/(1+6%/12)= 0.9950 or exp(-6%*1/12)=0.9950
fu의 경우,
f uu  f ud
$0  $1.3
Δ=

 0.11255
S1u  S1d $110.25  $98.7
Δ*$105 – fu = 0.9950 * (Δ*$110.25-$0)
fu = $ 0.52884
$100
f
=2.5485
fd의 경우,
Δ=
$110.25
fuu=$0
$105
fu =0.52884
$94
fd =5.5
f ud  f dd
$1.3  $11.64

 1
, Δ*$94 – fd = 0.9950 * (Δ*$98.7-$1.3)
S1u  S1d $98.7  $88.36
$98.7
fud=$1.3
$88.36
fdd=$11.64
fd = $5.5
f의 경우,
Δ=
fu  f d
$0.52884 $5.5

 0.45192 , Δ*$100 – f = 0.9950 * (Δ*$105-$0.52884)
S 0u  S 0 d
$105 $94
f = $2.5485
37
Binomial Option Pricing Example II (Put Option)
Risk-neural probability에 의한 가격산정
1개월 간의 할인율 = 1/(1+6%/12)= 0.9950 or exp(-6%*1/12)=0.9950
e rt  d e6% /12  0.94
p

 0.5910
ud
1.05  0.94
fu의 경우,
fu = 0.9950*(0.5910*$0+(1-0.5910)*$1.3)=$0.5290
fd의 경우,
fd = 0.9950*(0.5910*$1.3+(1-0.5910)*$11.64)=$5.5014
f의 경우,
$110.25
fuu=$0
f = 0.9950*(0.5910*$0.5290+(1-0.5910)*$5.5014) = $2.5498
 가격차이는 P값의 계산과정에서 발행
$100
f
=2.5498
$105
fu=0.5290
$94
fd =5.5014
$98.7
fud=$1.3
$88.36
fdd=$11.64
38
Binomial Option Pricing Example III (Currency Option)
Pricing of Currency Option
현재 달러/원 환율이 달러당 1,200원이고, 달러화 3개월 금리가 2.0%이고, 원화 3개월 금리가 5.0%일
때 행사가격이 1,200원인 3개월 미국식 달러 풋 옵션의 가격은 얼마인가? 단, 매월 달러/원 환율이 50
원씩 상승하거나 하락한다고 할때 3기간에 대한 옵션 가격을 구하면…
무위험 차익거래에 의한 가격산정 (No-arbitrage or Riskless hedge approach)
1개월 간의 할인율 = exp(-5%*1/12)=0.99584
fuu의 경우,
1,350
fuuu=0
f uuu  f uud
00

0
Δ=
S 2u  S 2 d 1,350 1,250
Δ*1,300 – fuu = 0.99584 * (Δ*1,350- 0)
fuu = 0
fud의 경우,
Δ=
f uud  f udd
0  50

 0.5 1,200
S 2u  S 2 d 1,250 1,150
f
Δ*1,200 – fud = 0.99584 * (Δ*1,250- 0)
fud = 22.4
fdd의 경우, f  f
50  150
udd
ddd

 1
Δ=
S 2u  S 2 d 1,150 1,050
Δ* 1,100 – fdd = 0.99584 * (Δ* 1,150 - 50)
1,300
fuu
=0
1,250
fu
1,150
fd
1,200
fud
=22.4
1,100
fdd
=100
1,250
fuud=0
1,150
fudd=50
1,050
fddd=150
fdd = 95.008, => fdd = 100
39
Binomial Option Pricing Example III (Currency Option)
무위험 차익거래에 의한 가격산정 (Cont’d)
fu의 경우,
Δ=
f uu  f ud
0  22.4

 0.2240
S1u  S1d 1,300 1,200
1,300
fuu=0
Δ*1,250 – fu = 0.99584 * (Δ*1,300- 0)
fuu = 9.989
fd의 경우,
Δ=
1,350
fuuu=0
1,200
f
=31.113
f ud  f dd
22.4  100

 0.776
S1u  S1d 1,200 1,100
Δ*1,150 – fd = 0.99584 * (Δ*1,200- 22.4)
1,250
fu =9.989
1,250
fuud=0
1,200
fud=22.4
1,150
fd
=57.233
1,100
fdd=100
1,150
fudd=50
1,050
fddd=150
fud = 57.233
f의 경우,
Δ=
fu  f d
9.989 57.233

 0.47244
S 0u  S 0 d
1,250 1,150
Δ* 1,200 – f = 0.99584 * (Δ* 1,250 -9.989)
f = 31.113
40
Binomial Option Pricing Example IV (Currency Option)
이항모델을 이용한 풋 옵션 가격계산(Excel에 의한 계산)
환율(So)=1,200
1,356.32
0.00
행사가격(X)=1,200
1,302.07
0.00
원화금리(r)=5%
1,249.99
10.95
달러금리(rf)=2%
변동성=14.14%
기간=3개월(0.25)
이항갯수(N)=3 (t=0.08333)
1,200.00
32.80
1,249.99
0.00
1,200.00
22.92
1,152.00
56.80
할인계수=0.99584
1,152.00
48.00
1,105.93
94.07
성장계수(a)=1.0025
1,061.69
138.31
상승확률(p)=0.52045
u=1.04166
d=0.96000
•
22.92 = Max[(1200-1200) , 0.99584 * (0.52045*0 + (1-052045) * 48)]
•
94.07 = Max[(1200-1105.93) , 0.99584 * (0.52045* 48 + (1-052045) * 138.31) ]
•
10.95 = Max[(1200-1249.99) , 0.99584 * (0.52045*0 + (1-0.52045) *22.92) ]
•
56.80 = Max[(1200-1152.00) , 0.99584 * (0.52045 * 22.92 + (1-0.52045) * 94.07) ]
•
32.80 = Max[(1200-1200) , 0.99584 * (0.52045 * 10.95 + (1-0.52045)*56.80) ]
41
Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d)
Currency Option Pricing Application with Visual Basic Code
엑셀 스프레드시트 프로그램에서의 Binomial Tree를 이용한 통화옵션 가격산정
Function Binomial_European(S, X, Sday, Mday, Vol, r, rf, Call_Put, N)
Dim St(0 To 200, 0 To 200) As Double
Dim optlet_price(0 To 200, 0 To 200) As Double
tau = (Mday - Sday) / 365
dt = tau / N
u = Exp(Vol * Sqr(dt))
d=1/u
a = Exp((r - rf) * dt)
b = Exp(-r * dt)
P = (a - d) / (u - d)
For i = 0 To N
For j = 0 To i
St(i, j) = S * u ^ j * d ^ (i - j)
Next j
Next i
For j = 0 To N
If (Call_Put = "Call") Then
optlet_price(N, j) = Application.WorksheetFunction.Max(St(N, j) - X, 0)
Else
optlet_price(N, j) = Application.WorksheetFunction.Max(X - St(N, j), 0)
End If
Next j
For i = N - 1 To 0 Step -1
For j = 0 To i
optlet_price(i, j) = (P * optlet_price(i + 1, j + 1) + (1 - P) * optlet_price(i + 1, j)) * b
Next j
Next i
Binomial_European = optlet_price(0, 0)
End Function
42
Option Valuation by Binomial Trees (Cont’d)
Currency Option Pricing Application with Visual Basic Code (Cont’d)
엑셀 스프레드시트 프로그램에서의 Binomial Tree를 이용한 통화옵션 가격산정
Function Binomial_American(S, X, Sday, Mday, Vol, r, rf, Call_Put, N)
Dim St(0 To 200, 0 To 200) As Double
Dim optlet_price(0 To 200, 0 To 200) As Double
tau = (Mday - Sday) / 365: dt = tau / N
u = Exp(Vol * Sqr(dt)):
d=1/u
a = Exp((r - rf) * dt):
b = Exp(-r * dt)
P = (a - d) / (u - d)
For i = 0 To N
For j = 0 To i
St(i, j) = S * u ^ j * d ^ (i - j)
Next j
Next i
For j = 0 To N
If (Call_Put = "Call") Then
optlet_price(N, j) = Application.WorksheetFunction.Max(St(N, j) - X, 0)
Else:
optlet_price(N, j) = Application.WorksheetFunction.Max(X - St(N, j), 0)
End If
Next j
For i = N - 1 To 0 Step -1
For j = 0 To i
optlet_price(i, j) = (P * optlet_price(i + 1, j + 1) + (1 - P) * optlet_price(i + 1, j)) * b
If (Call_Put = "Call") Then
optlet_price(i, j) = Application.WorksheetFunction.Max(St(i, j) - X, optlet_price(i, j))
Else:
optlet_price(i, j) = Application.WorksheetFunction.Max(X - St(i, j), optlet_price(i, j))
End If
Next j
Next i
Binomial_American = optlet_price(0, 0)
End Function
43
Black-Scholes Model
Black-Scholes Option Pricing Model
Fisher Black, Myron Scholes, & Robert Merton, 1973
Nobel Prize for economics, 1997
기본가정
주가는 일정한 평균과 변동성을 가지며 로그분포를 보인다.
주가의 공매가 완전한 상태이고, 세금과 거래비용이 없다.
만기까지 배당이 없으며, 무위험 차익거래의 기회가 없다.
무위험 수익률은 만기까지 일정하며, 거래가 연속적이다.
유럽식 Call 옵션가격
위의 가정이 성립할 때, 무배당 주식의 유럽식 옵션 가격은 다음과 같다.
c  e  rT E[max(ST  X ,0)]  e  rT [ E ( ST ) N (d1)  XN (d 2)]
 e  rT [ S 0 e rT N (d1)  XN (d 2)]
 S 0 N (d1)  Xe rT N (d 2)
ln(S 0 e rT / X )   2T / 2 ln(S 0 / X )  (r   2 / 2)T
d1 

 T
 T
ln(S 0 e rT / X )   2T / 2 ln(S 0 / X )  (r   2 / 2)T
d2 

 T
 T
44
Black-Scholes Model (Cont’d)
유럽식 Put 옵션 가격
p  e  rT E[max(X  ST ,0)]  e  rT [ XN (d 2)  E ( ST ) N (d1)]
 e  rT [ XN (d 2)  S 0 e rT N (d1)]
 Xe rT N (d 2)]  S 0 N (d1)
Key Result
E[max(F  X ,0)]  E ( F ) N (d1)  XN (d 2)
ln[E ( F ) / X ]  s 2 / 2
d1 
s
ln[E ( F ) / X ]  s 2 / 2
d2 
s
Key Result의 증명

E[max(F  X ,0)]   ( F  X ) g ( F )dF, g ( F )  pdf .of .F
X
이때, 아래와 같이 가정하고,
ln F  m
m  ln[E( F )]  s / 2
s
H(Q)는 Q에 대한 확률밀도함수 일 때,
2
h(Q) 
1 Q 2 / 2
e
2
Q
45
Black-Scholes Model (Cont’d)
Key Result의 증명 (Cont’d)
E[max(F  X ,0)]  

(ln X  m ) / s
(e Qs  m  X )h(Q)dQ  e m  s
2
/2


(ln X  m ) / s
h(Q  s )dQ  X 

(ln X  m ) / s
h(Q)dQ
 e m  s / 2 {1  N [(ln X  m) / s  s ]}  X {1  N [(ln X  m) / s ]}
2
 e m s
e
2
/2
m s 2 / 2
N [( ln X  m) / s  s ]  XN[( ln X  m) / s ]}
ln[E ( F ) / X ]  s 2 / 2
ln[E ( F ) / X ]  s 2 / 2
N[
]  XN[
]
s
s
 e m  s / 2 N [d1]  XN[d 2]
 E ( F ) N [d1]  XN[d 2]
2
m (lnF-m)/s
e sQ  m h(Q)  e sQ  m *
1 Q 2 / 2
1 ( Q 2  2 sQ  2 m) / 2
e

e
2
2
1 ( (Q  S )2  s 2  2 m) / 2 e m s / 2 ( (Q  S )2 ) / 2

e

e
2
2
2
46
Black-Scholes Model (Cont’d)
Black-Scholes 통화옵션식의 도출
환율 또한 주가와 같이 GBM을 따르고, 위험-중립적이라면, 아래와 같은 식이 성립한다.
dS  (r  rf )Sdt  Sdz
환율은 연속복리 배당(q)을 하는 주가와 동일하므로, S0 대신 S0 Exp(-qT) 혹은 S0 Exp(-rf*T)를 대입한
것과 동일하다.(달러/원 환율의 경우 rf는 달러화 금리)
앞서, Black-Scholes는 아래의 왼쪽 식과 같았으므로, 오른쪽의 유럽식 통화옵션 가격식이 도출된다.
c  S 0 N (d1)  Xe
 rT
N ( d 2)
p  Xe rT N ( d 2)  S 0 N ( d1)
ln(S 0 / X )  (r   / 2)T
 T
ln(S 0 / X )  (r   2 / 2)T
d2 
 T
d1 
2
c  S 0 e  rfT N (d1)  Xe rT N (d 2)
p  Xe rT N (d 2)  S 0 e  rfT N (d1)
ln(S 0 / X )  (r  rf   2 / 2)T
d1 
 T
ln(S 0 / X )  (r  rf   2 / 2)T
d2 
 T
47
Black-Scholes Model (Cont’d)
Put-Call Parity
유럽식 콜옵션과 풋 옵션간에는 아래와 같은 관계가 성립한다.
즉 Call매입과 Put 매도는 선물환의 매입포지션과 동일.
c  Xe rt  p  S 0 e  rft
c  p  S 0 e  rft  Xe rt
c p  F
S0e  rfT N (d1)  Xe rT N (d 2)  Xe rT
 XerT N (d 2)  S0e rfT N (d1)  S0e rfT
+Call
+Forward
- Put
48
Black-Scholes Model (Cont’d)
Currency Option Pricing Application with Visual Basic Code
엑셀 스프레드시트 프로그램에서의 Black-Scholes 통화옵션 가격산정
Function EC(S, X, Sday, Mday, vol, r, rf) As Double
Dim t As Double
Dim d1 As Double
Dim d2 As Double
t = (Mday - Sday) / 365
d1 = (Log(S / X) + (r - rf + vol ^ 2 / 2) * t) / (vol * t ^ 0.5)
d2 = d1 - vol * t ^ 0.5
EC = Exp(-rf * t) * S * Application.NormSDist(d1) - Exp(-r * t) * X * Application.NormSDist(d2)
End Function
Function EP(S, X, Sday, Mday, vol, r, rf) As Double
Dim t As Double
Dim d1 As Double
Dim d2 As Double
t = (Mday - Sday) / 365
d1 = (Log(S / X) + (r - rf + vol ^ 2 / 2) * t) / (vol * t ^ 0.5)
d2 = d1 - vol * t ^ 0.5
EP = Exp(-r * t) * X * Application.NormSDist(-d2) - Exp(-rf * t) * S * Application.NormSDist(-d1)
End Function
49
Option Sensitivity (Delta)
델타(Delta)
c  f (S , X , T ,  , r , rf ) 의 함수이다.
c
델타()는 기초자산 가격변화에 대한 옵션가격 변화이다.
로 옵션가격의 기울기이다.

S
앞서 옵션가격 산정에서 보았듯이,
유럽식 옵션의 델타
Option
price
Black-Scholes 옵션 가격계산으로 부터,
Call
call  N (d1)
 put  N (d1) 1
FWD(Delta=1)
Slope = 
B
통화옵션의 델타
A
Stock price
옵션가격계산에서와 마찬가지로 r대신 r-rf를 대입하면 다음과 같다.
 call  e  rfT N (d1)
 puu  e  rfT [ N (d1)  1]
50
Option Sensitivity (Delta; Cont’d)
델타는?
기초자산 가격변화에 따른 민감도
기초자산 보유 상당액(헤지비율)
통상적인 콜옵션의 경우 0~1사이이고, 풋옵션은 -1~0사이. ATM옵션의 델타는 0.50
기초자산(S) 가격변화에 따른 델타의 변화
OTM
X
Delta of Call
Delta of Put X
1.0
S
Delta
ITM
ATM
X
S
-1.0
Time
51
Option Sensitivity (Delta; Cont’d)
델타헤지
델타란 옵션이 기일에 실행될 가능성의 정도를 나타내는 수치(기초자산 보유 상당액)이기 때문에 옵
션의 가치변동을 외환포지션을 이용하여 헤지할 수 있음.
Dynamic Hedging
델타는 환율,시간,Volatility 등의 변화에 따라 변하기 때문에 수시로 조정할 필요가 있음.
델타헤지 수단은?
선물환을 사용하는 것이 원칙이나 실무적으로는 두 가지를 병행하는데, 현물환을 사용할 경우 외환
포지션의 carrying cost변화에 따른 risk를 가지게 됨.
델타중립화(Delta Neutral)와 동적헤징(Dynamic Delta Hedging)
델타중립화는 옵션 포지션과 기초자산 포지션으로 델타를 중립화시키는 것으로, 콜옵션의 델타가
0.6일 경우 0.6만큼의 기초자산을 매도하면 델타는 중립화(0)된다.
기초자산 가격 등 변수가 변할 때 옵션의 델타 또한 변하게되고 이때 재조정(Rebalancing)이 필요하게
된다. 이에 따른 재조정을 동적헤징이라 한다.
52
Option Sensitivity (Delta; Cont’d)
Continuous delta hedging
지속적인 델타 재조정으로 옵션을 복제 가능 이는 옵션가격결정의 중요한 포인트임.
델타 재조정은 왜 필요한가?
감마효과(the gamma effect, convexity effects)
가격변동성의 변화(change in perceived volatility)
time decay due solely to the passage of time
성공적인 옵션복제를 위한 가정
No transaction cost
no jumps
no shift in the volatility.
53
Option Sensitivity (Gamma)
감마(Gamma)
감마는 기초자산 가격변화에 따른 옵션델타의 변화이다. 즉,
2 f
 2
S
아래 그림과 같이 기초자산 가격 SS’가 될 땔 옵션가격은 C C’이 아닌 C C’’이 된다.
이때 C’’-C’의 가격변화의 오차가 발생하고, 이는 채권가격의 Convexity와 같은 개념이다.
Delta of Call
Call
price
X
C’’
S
C’
Gamma of Call
C
Stock price
S
S’
S
54
Option Sensitivity (Gamma; Cont’d)
유럽식 통화옵션의 감마
 rfT
Gamma의 변화
N ' (d1)e
,
S T
1  x2 / 2
N ' ( x) 
e
2

ATM
OTM
ITM
Time
옵션감마의 성질
Delta of delta : 환율의 변화에 대한 델타치의 변화율로 옵션포지션의 리스크관리에 매우 중요한 지표.
델타 값의 변화하는 속도를 나타냄
일반적으로 만기가 길면 감마가 줄어든다, 특히 ATM의 경우 만기 시 기하급수적으로 증가한다.
이는 Plain vanilla 옵션보다는 Exotic(Digital)옵션의 경우 더 크게 나타난다.
Positive/Negative 감마
환율이 상승하면 달러매입포지션이 발생하고 환율이 하락하면 달러매도포지션이 발생하는 것이
Positive 감마이고 그 반대의 경우가 Negative 감마 포지션임.
옵션매입은 Positive 감마, 옵션매도는 Negative감마
55
Option Sensitivity (Gamma)
감마 포지션의 이해
Put옵션 매입자 : (+) 감마
시장가격 상승
(Short Position 감소: +델타) : 손실감소(+효과 : +감마)
시장가격 하락
(Short Position 증가: -델타) : 이익증가(+효과 : +감마)
Put옵션 매도자 : (-) 감마
시장가격 상승
(Long Position감소 : -델타) : 이익감소 (-효과 : -감마)
시장가격 하락
(Long Position증가 : +델타) : 손실증가(-효과 : -감마)
감마 중립화(Gamma Neutral)
델타중립화와 마찬가지로 포트폴리오의 감마를 0으로 만드는 것을 말한다.
그러나, 기초자산과 선물환의 경우 감마가 0이므로 기초자산으로는 중립화 시킬 수 없고, 옵션 거래
를 통해서만 중립화가 가능하다.
델타-감마 중립화(Delta-Gamma Neutral)전략은 옵션 포지션을 이용하여 델타와 감마를 통시에 중립
화 시키는 전략이다.
56
Option Sensitivity (Theta)
쎄타(Theta)
쎄타는 시간의 경과에 대한 옵션 가격의 민감도를 말한다. 즉,

f
t
시간이 경과함에 따라 옵션가치는 줄어들게 되므로 Time Decay라고도 한다.
유럽식 통화옵션의 쎄타
SN ' (d1)e  rfT
call  
 rfSN (d1)e rfT  rXerT N (d 2)
2 T
SN ' (d1)e rfT
 put  
 rfSN (d1)e rfT  rXerT N (d 2)
2 T
쎄타의 성질
일반적으로 옵션매입의 경우 마이너스(-)이다.
ATM일 경우 Time decay가 가장 크다.
Theta of Call
X
S
Theta Change of Call
T
OTM
ITM
ATM
57
Option Sensitivity (Vega)
베가(Vega)
베가는 변동성에 대한 옵션가격의 변화를 말한다. 즉,
기초자산 또는 선물환의 경우 베가 리스크는 없다.

f

일반적으로 감마중립화 포지션이라고 베가중립적 이지는 않다.
유럽식 통화옵션의 베가
  S T N ' (d1)erfT
Vega
X
S
58
Option Sensitivity (Theta & Vega)
쎄타 리스크
시간경과에 따른 옵션가치의 변화
실무적으로는 하루의 시간경과를 기본단위로 함.
보다 장기인 옵션의 쎄타가 낮음.
At the money에서 쎄타는 최대치가 됨.
At the money에서 환율변화에 대한 델타의 변화(감마)는 가장 크고 또한 동시에 쎄타치도 최대가 됨.
이는 옵션매도포지션인 경우, at the money 에서 환율변동에 대한 델타 중립화를 위한 헤지거래의 비
용은 가장 커지지만 플러스의 쎄타치도 최대가 된다는 것임..
베가리스크
Implied volatility변화에 대한 옵션가치의 변화
Historical volatility와는 직접적인 관련은 없음.
보다 장기인 옵션의 베가가 높음.
At the money에서 베가는 최대치가 됨. Deep out of money인 옵션은 거의 행사되지 않을 확률이 매우
높기 때문에 volatility의 변화는 그 옵션가치에 큰 영향을 주지 못하지만 at the money인 경우에는 베
가가 높게 됨
59
Option Sensitivity (옵션리스크 관리의 실제)
베가나 감마를 먼저 중립화시킴.
옵션포지션을 통해서만 중립화 가능.
베가, 감마포지션을 중립화 시킨 후 잔존 델타를 관리함.
Delta-gamma replication.
Volatility hedging
B/S 는 만기까지 일정한 volatility를 가정하고 있으나 실제 volatility 자체도 계속 변하기 때문에 이를
관리하기 위한 비용은 B/S가격결정에 빠져 있음.
헤지정확도 vs. 헤지비용
보다 정교한 옵션리스크관리는 보다 많은 옵션을 사용하게 되는 데, 이는 많은 비용을 초래하기 때
문에 최적화해야 한다는 관점을 가져야 함.
60
Option Sensitivity (Application)
Currency Option Pricing Application with Visual Basic Code
엑셀 스프레드시트 프로그램에서의 Black-Scholes 통화옵션의 Greek산출
Function Delta_Call(S, X, Sday, Mday, vol, r, rf) As Double
Dim t As Double
Dim d1 As Double
t = (Mday - Sday) / 365
d1 = (Log(S / X) + (r - rf + vol ^ 2 / 2) * t) / (vol * t ^ 0.5)
Delta_Call = Exp(-rf * t) * Application.NormSDist(d1)
End Function
Function Delta_Put(S, X, Sday, Mday, vol, r, rf) As Double
Dim t As Double
Dim d1 As Double
t = (Mday - Sday) / 365
d1 = (Log(S / X) + (r - rf + vol ^ 2 / 2) * t) / (vol * t ^ 0.5)
Delta_Put = Exp(-rf * t) * (Application.NormSDist(d1) - 1)
End Function
Function Gamma(S, X, Sday, Mday, vol, r, rf)
Dim t As Double: Dim d1 As Double: Dim N1 As Double
t = (Mday - Sday) / 365
d1 = (Log(S / X) + (r - rf + vol ^ 2 / 2) * t) / (vol * t ^ 0.5)
N1 = (1 / (2 * Application.Pi()) ^ 0.5) * Exp((-d1 ^ 2) / 2)
Gamma = (N1 * Exp(-r * t)) / (S * vol * t ^ 0.5)
End Function
61
Option Sensitivity (Application; Cont’d)
Currency Option Pricing Application with Visual Basic Code(Cont’d)
엑셀 스프레드시트 프로그램에서의 Black-Scholes 통화옵션의 Greek산출
Function Vega(S, X, Sday, Mday, vol, r, rf)
Dim t As Double: Dim d1 As Double: Dim N1 As Double
t = (Mday - Sday) / 365
d1 = (Log(S / X) + (r - rf + vol ^ 2 / 2) * t) / (vol * t ^ 0.5)
N1 = (1 / (2 * Application.Pi()) ^ 0.5) * Exp((-d1 ^ 2) / 2)
Vega = S * (t ^ 0.5) * N1 * Exp(-rf * t)
End Function
Function Theta_Call(S, X, Sday, Mday, vol, r, rf)
Dim t As Double: Dim d1 As Double: Dim N1 As Double: Dim d2 As Double
t = (Mday - Sday) / 365
d1 = (Log(S / X) + (r - rf + vol ^ 2 / 2) * t) / (vol * t ^ 0.5): d2 = d1 - vol * t ^ 0.5
N1 = (1 / (2 * Application.Pi()) ^ 0.5) * Exp((-d1 ^ 2) / 2)
Theta_Call = -(S * N1 * vol * Exp(-rf * t)) / (2 * t ^ 0.5) + rf * S * Application.NormSDist(d1) *
Exp(-rf * t) - r * X * Exp(-r * t) * Application.NormSDist(d2)
End Function
Function Theta_Put(S, X, Sday, Mday, vol, r, rf)
Dim t As Double: Dim d1 As Double: Dim d2 As Double: Dim N1 As Double
t = (Mday - Sday) / 365
d1 = (Log(S / X) + (r - rf + vol ^ 2 / 2) * t) / (vol * t ^ 0.5): d2 = d1 - vol * t ^ 0.5
N1 = (1 / (2 * Application.Pi()) ^ 0.5) * Exp((-d1 ^ 2) / 2)
Theta_Put = -(S * N1 * vol * Exp(-rf * t)) / (2 * t ^ 0.5) - rf * S * Application.NormSDist(-d1) *
Exp(-rf * t) + r * X * Exp(-r * t) * Application.NormSDist(-d2)
End Function
62
Option Valuation & Sensitivity ; Practice
Option Pricing Application
Black-Scholes
Spot Price(S)
1,250
Strike Price(X)
1,270
Sday 15-Oct-02
Mday 15-Apr-03
σ
10.00%
r
5.0%
rf
2.0%
Time to Maturity(T)
0.50
# of Node(Binomial)
30
European
Call Price
Put Price
Delta call
Delta put
Gamma
Theta call
Theta put
Vega
34.31
35.44
0.50387
-0.48621
0.00441
-52.13071
-14.94621
348.55375
Binomial
European
Call Price
Put Price
34.54
35.68
American
Call Price =Binomial_American(B3,B4,B5,B6,B7,B8,B9,"Call",B11)
Put Price
38.43
63
Exotic Options
Barrier Options
Barrier Options의 Payoffs는 옵션기간에 기초자산가격이 특정수준(Hurdle Rate)에 도달했는지에 따라
결정된다.
Barrier Options는 크게 Knock-In(K/I)과 Knock-Out(K/O)으로 나눌 수 있는데,
K/I은 특정환율에 도달해야만 옵션이 생기는 것이고, K/O는 옵션이 소멸되는 것이다.
Barrier Options의 장점은 우선 Plain Vanilla옵션보다 옵션가격이 저렴하기 때문에 많이 선호되지만,
급격한 환율변동에 큰 손실이 발생하므로 주의가 필요하다.
KO(Terminated)
1350
KI(Started)
1350
64
Exotic Options (Cont’d)
Barrier Options의 가격계산(Down Barrier Call)
H <= X 인 경우,
cdi  S 0 e  rfT ( H / S 0 ) 2  N ( y )  Xe rT ( H / S 0 ) 2   2 N ( y   T )

r  rf   2 / 2
2
ln[H 2 /( S 0 X )]
,y
  T
 T
cdo+cdi=c이므로, cdo=c-cdi
H >= X 인 경우,
cdo  S 0 N ( x1)e  rfT  Xe rT N ( x1   T )  S 0 e  rfT ( H / S 0 ) 2 N ( y1)
 Xe rT ( H / S 0 ) 2  2 N ( y1   T )
ln(S 0 / H )
ln(H / S 0 )
  T , y1 
  T
 T
 T
cdi  c  cdo
x1 
65
Exotic Options (Cont’d)
Barrier Options의 가격계산(Up Barrier Call)
H<= X 인 경우, cuo=0, cui=c
H>= X 인 경우,
cui  S0 N ( x1)e  rfT  Xe rT N ( x1   T )  S0 e  rfT ( H / S0 ) 2 [ N ( y )  N ( y1)]
 XerT ( H / S0 ) 2 2 [ N ( y   T )  N ( y1   T )]
cuo  c  cui
66
Exotic Options (Cont’d)
Barrier Options의 가격계산(Down Barrier Put)
H<=X인 경우,
pdi   S0 N ( x1)e  rfT  Xe rT N ( x1   T )  S0e  rfT ( H / S 0 ) 2 [ N ( y )  N ( y1)]
 Xe rT ( H / S0 ) 2 2 [ N ( y   T )  N ( y1   T )]
pdo  p  pdi
H >= X 인 경우, pdo=0, pdi=p
Barrier Options의 가격계산(Up Barrier Put)
H<= X 인 경우,
puo   S 0 N ( x1)e  rfT  Xe rT N ( x1   T )  S 0e  rfT ( H / S0 ) 2 N ( y1)
 XerT ( H / S0 ) 2  2 N ( y1   T )
pui  p  puo
H>= X 인 경우,
pui   S0e  rfT ( H / S0 ) 2 N ( y)  Xe rT ( H / S0 ) 2 2 N ( y   T )
puo  p  pui
67
Exotic Options (Cont’d)
Binary Options(Digital Options)
Binary Options는 만기 Payoffs이 불연속이다.
대표적인 것이 Cash-or-nothing 옵션으로 Cash-or-nothing Call은
Cash-or-nothing Put은
Qe rT N (d 2) 이다.
Qe rT N (d 2)
또 다른 형태의 Binary Options은 Asset-or-nothing 콜과 풋옵션으로 콜옵션은
 rfT
풋옵션은
이다.
S0 e
N (d1)
Cash-or-Nothing Call
Cash-or-Nothing Put
Asset-or-Nothing Call
Asset-or-Nothing Put
이고,
S0erfT N (d1)
이고,
68
Exotic Options (Cont’d)
Non-standard American Options
Bermudan option은 일반적인 American option과 달리 행사가 특정기간 동안에만 할 수 있다.
옵션 가격 산정은 이항모델(Binomial Tree)나 삼항모델(Trinomial Tree)에 의해 계산 가능하다.
Forward Start Options
Forward Start Options은 미래 일정시점에서 시작되는 옵션이다.
유럽식 ATM Forward Start 콜Options의 가격은
e
 rT 1
^
E [c
S1
]
S0
이다.
여기서 c는 현재시점에서의 T2-T1동안의 옵션가격
Compound Options
Compound Options은 옵션에 대한 옵션이다.
따라서, Call on Call, Put on Call, Call on Put, Put on Put이 있을 수 있다.
Chooser Options
Chooser Options는 특정기간 후에 옵션을 선택할 수 있는 옵션이다.
따라서 옵션의 Payoffs는 max(c,p)이다.
69
Exotic Options (Cont’d)
Chooser Options (Cont’d)
이는 Put-Call Parity에 의해 계산될 수 있을 것이다.
max(c, p)  max(c, c  Xe r (T 2T 1)  S1e  rf (T 2T 1) )
 c  e rf (T 2T 1) max(0, Xe( r rf )(T 2T 1)  S1 )
결국 Chooser Options는 행사가격이 X인 콜옵션과 행사가격이 Xe-(r-rf)(T2-T1)인 풋옵션의 합성이다.
Lookback Options
Lookback Options의 Payoffs는 옵션 기간동안의 최대 혹은 최소값에 의해 결정된다.
유럽식 콜옵션의 경우는 만기환율과 기간동안의 최소환율간의 차액을 지급한다.
유럽식 풋옵션의 경우는 만기환율과 기간동안의 최대환율간의 차액을 지급한다.
결국 Lookback Options는 가격이 비쌀 수 밖에 없다.
Shout Options
Shout Options는 매입자가 매도자에게 옵션기간동안 일차적으로 권리를 행사하고, 만기에 다시 Payoff
을 선택할 수 있다. Lookback Option과 비슷한 성질을 갖고 있으나, 옵션가격은 낮다.
70
Exotic Options (Cont’d)
Asian Options
Asian Options는 만기 Payoffs이 옵션기간동안의 평균환율에 의해서 결정된다.
콜옵션의 경우는 max(0,Savg.-X), 풋옵션은 max(0,X-Savg.)
Asian Options는 Plain Vanilla 옵션보다 저렴하다.
Asian Options의 다른 형태로 행사가격대신 만기환율과 평균환율의 차액을 지급할 수 있을 것이다.
즉, 콜옵션의 경우는 max(0,ST-Savg), 풋옵션은 max(0,Savg.-ST)
71
Option Strategy : 1. Hedging using Put Option (Protective Put)
달러 Long포지션의 Put옵션을 이용한 헤지(Protective Put)
Underlying Long Position + Put Buy = Call Sell
수출업자
헤지결과
환율
$ Put 매입
72
Option Strategy : 2. Hedging using Call Option
달러 Short포지션의 Call옵션을 이용한 헤지
$ Call 매입
헤지결과
환율
수입업자
73
Option Strategy : 3. Covered Call Writing
달러 Long포지션의 Call옵션 매도로 전략적인 Put옵션 포지션 운용
Underlying Long Position + Call Sell = Put Sell
$ Holder
환율
$ Call 매도
74
Option Strategy : 4. Straddle
Long Straddle (Spot 1200)
Buy USD Call 1205 + Buy USD Put at 1205
Expectation :
시장이 너무나 요동을 쳐서 어떻게 될지 전망이 안됨.
그러나 만기까지는 현재보다 높거나 낮은 수준으로 예상.
Strategy :
Premium은 높게 주더라도 양방향으로 벌어 보자.
Premium : 75won
Payoff
Below 1165: Start gaining
1165-1240 : Loss Area (Max 75원)
Above 1240 : Start gaining
Strip & Strap
Strip : Buy 2 Put & Buy 1 Call
환율의 상승보다 하락가능성이 클 때
Strap : Buy 1 Put & Buy 2 Call
환율의 하락보다 상승가능성이 클 때
1165
1205
1240
LONG STRADDLE
75
Option Strategy : 5. Strangle
Long Strangle (Spot 1200)
Buy USD Call 1230 + Buy USD Put at 1170
Expectation :
시장방향은 도대체 전망이 되지 않으나 만기에는
현재수준보다 위로나 아래로 현저한 차이가 있을 것임.
Strategy :
Straddle에 비해 premium도 적게 내고 적게 벌자
Premium : 40won
Payoff
Below1130 : Start gaining
1130~1270 : Loss Area (Max loss 40원)
1170
1200
1230
Above 1270 : Start gaining
LONG STRANGLE
76
Option Strategy : 6. Bull Spread with Call
Spread Position
동일한 형태(Call or Put)의 옵션을 2개 이상 사고파는 거래
Bull Call Spread (Spot 1200)
Call Option 매입.매도를 통해 Bullish한 시장에서 이익을 얻음.
Buy USD Call at 1205 + Sell USD Call at 1230 (ITM Call Buy + OTM Call Sell)
Expectation :
자신은 없지만 현재 수준보다는 달러강세 예상
Strategy :
Premium도 절약하고/ loss도 줄이되/ 큰 profit도 기대 안 함.
Premium : 11won 지급
Payoff
Below 1205 : Pay premium (11원)
1205
1216 1230
1205~1216 : Loss (S-1205-11)
1216~1230 : Profit(S-1205-11)
Above 1230 : Profit(14원 = 1230-1205-11)
BULL CALL SPREAD
77
Option Strategy : 7. Bull Spread with Put
Bull Put Spread (Spot 1200)
Put Option 매입.매도를 통해 Bullish한 시장에서 이익을 얻음.
Buy USD Put at 1205 + Sell USD Put at 1230 (OTM Put Buy + ITM Put Sell)
Expectation :
자신은 없지만 현재 수준보다는 달러강세 예상
Strategy :
조금의 Premium 수취 / loss도 줄이되/ 큰 profit도 기대 안 함.
Premium : 11won 수취
Payoff
Below 1205 : Loss(-14원 = -1230+1205+11)
1205~1219 : Loss (S-1230+11)
1219~1230 : Profit(S-1230+11)
1205
1219 1230
Above 1230 : Premium(11원)
BULL PUT SPREAD
78
Option Strategy : 8. Bear Spread with Put
Bear Put Spread (Spot 1200)
Put Option 매입.매도를 통해 Bearish한 시장에서 이익을 얻음.
Buy USD Put at 1230 + Sell USD Put at 1205 (ITM Put Buy + OTM Put Sell)
Expectation :
자신은 없지만 현재 수준보다는 달러약세 예상
Strategy :
적은 Premium 지출 / loss도 줄이되/ 큰 profit도 기대 안 함.
Premium : 11won 지급
Payoff
Below 1205 : Profit(14원 = 1230-1205-11)
1205~1219 : Profit (1230-S-11)
1219~1230 : Loss(1230-S-11)
1205
1219 1230
Above 1230 : Premium(11원)
BEAR PUT SPREAD
79
Option Strategy : 9. Calendar Spread with Call
Calendar Spread (Spot 1200)
동일 행사가격, 만기 불일치
Buy 6M USD Call 1200 + Sell 3M USD Call at 1200
Expectation :
환율이 당분간 약세를 보이다 강세로 반전할 것을 예상
Strategy :
적은 Premium 지출로 기간별 환율예상에 대한 수익 / loss 가능성도 있음
Premium : 10won 지급
1200
CALL CALENDAR SPREAD
80
Option Strategy : 10. Calendar Spread with Put
Calendar Spread (Spot 1200)
동일 행사가격, 만기 불일치
Buy 6M USD Put 1200 + Sell 3M USD Put at 1200
Expectation :
환율이 당분간 강세를 보이다 약세로 반전할 것을 예상
Strategy :
적은 Premium 지출로 기간별 환율예상에 대한 수익 / loss 가능성도 있음
Premium : 10won 지급
1200
PUT CALENDAR SPREAD
Diagonal Spread
행사가격과 만기가 모두 불일치하는 Call 옵션 혹은 Put 옵션의 매입과 매도
81
Option Strategy : 11. Butterfly Spread
Long Butterfly Spread with Call (Spot 1200)
Buy USD Call at 1170 + Buy USD Call at 1230 + Sell 2 USD Call at 1200
Expectation :
환율이 현수준에서 상당히 안정적으로 머물 것이다.
Strategy :
적은 Premium 지급 / 제한된 loss / 소폭의 profit
Premium : 10won 지급
Payoff
Below 1170 : Premium(-10원)
1170~1200 : Loss (S-1170-10)
1170
1200 1230
1200~1230 : Profit(1230-S-10)
Above 1230 : Premium(-10원)
BUTTERFLY SPREAD
Long Butterfly Spread with Put
Buy USD Put at 1170 + Buy USD Put at 1230 + Sell 2 USD Put at 1200
82
Option Strategy : 12. Risk Reversal
Risk Reversal
Buy USD call at 1242, sell USD put at 1180
Expectation :
특별한 상승/약세요인이 없어 1150 ~ 1300의 Range예상.
Strategy :
선물환에 비해 많이 벌지도/잃지도 않고 싶다.
Payoff
Below 1180 : Start losing (Less loss than Forward)
1180~1242 : No impact (Saved hedging cost)
Above 1242 : Start earning (less profit than Forward)
Forward Risk Reversal
1180
1240
83
Option Strategy : 13. Seagull
Seagull
Buy USD call at 1200, sell USD put at 1170, and sell USD call at 1230
Expectation :
큰 상승은 없으나 조금의 상승가능성은 있어보이고, 큰 하락은 없어보임.
Strategy :
비용없이 범위(1170~1230)내에서 Call의 효과를 내고,
실현가능성이 없어 보이는 잠재이익을 포기
1170
1200
1242
84
Option Strategy : 14. Range Forward
달러 Short포지션의 Risk-Reversal 을 이용한 제한적 위험운용
Underlying + Risk Reversal = Spread Position
initial Exposure
U$ Short (Won Long)
Buy U$ Call Option
(X= SH)
+
SH
Sell U$ Put Option
(X= SL)
+
=
SL
85
Option Strategy : 15. Target Forward
달러 Long포지션의 옵션포지션을 이용한 전략적 포지션운용
현재의 선물환보다 높은 환율에서 선물환을 매도하여 이익을 확정하고, 달러화 약세위험을 커버.
만기환율에 따라 추가적인 달러매도 거래로 환위험을 관리.
제로코스트
Initial Exposure
U$ Long(Won Short)
Buy U$ Put Option
(X= SH)
SH
+
Sell 2* U$ Call Option
(X= SH)
+
=
S SH
86
Option Strategy : 16. Double Forward
달러 Long포지션의 옵션포지션을 이용한 전략적 포지션운용
현재의 선물환보다 높은 환율에서 선물환을 매도하여 이익을 확정하고, 달러화 약세위험을 커버.
만기환율의 움직임에 따라 추가적인 선물환 거래로 환위험을 관리할 수 있다.
제로코스트
Buy U$ Put Option
(X= SH)
Initial Exposure
U$ Long(Won Short)
SH
+
Sell U$ Call Option +
Sell U$ FWD Call Option (X= SH)
+
=
S SH
87
Option Strategy : 17. Participating Forward
달러 Long포지션의 옵션포지션을 이용한 전략적 포지션운용
달러화 공급이 예상될 때, 달러화 약세에 대한 위험을 커버하고, 강세에 대한 이익을 얻을 수 있다.
제로코스트
Buy U$ Put Option
(X= SL)
Initial Exposure
U$ Long(Won Short)
SL
+
Sell 50% U$ Call Option
+
=
SL S
88
Option Strategy : Excel Application
엑셀 스프레트 시트를 이용한 Option Strategy 응용(Target Forward Sell)
Rebate(Won)
X(strike)
Hurdle/ ITM
Trigger(Y/N)
Deal Price
PV($)
Delta($)
Exposure
Gamma(1W)
Vega(1%;$)
CASH1
Option Strategy
Portfolio
Start date=
Mat. date=
T(days)=
Fwd rate(ref.)
Fwd rate
Di(won)=
Rf(U$)=
Vol(ref.)
Vol(actual)
Call/Put/Fwd
Amount
CASH2
Spot=
Total NPV
Adjustment
CASH3
1230.00
-44
1,000
CASH4
Today= 02-06-09
Spot= 02-06-12
Payoff range=
FWD
FWD
1,000,000
FWD 1
FWD 2
1251.65
#DIV/0!
1239.27
0.00
0
0
0
0
0
0
-1,044
-405,060
289,815
-8,722
-1,970
FWD
FWD
FWD 3
FWD 4
1239.27
#DIV/0!
4
994,767
94,436
0
0
200
Opt 1
1239.27
#DIV/0!
0
0
0
0
0
OPTION1
02-06-09
02-09-12
95
9.00
9.27
5.00%
1.99%
6.10%
7.50%
C
-2,000,000
Opt 2
1251.00
11.73
13.70
0
0
0
0
0
OPTION2
02-06-09
02-09-12
95
9.00
9.27
5.00%
1.99%
6.10%
8.00%
P
1,000,000
0
-22,279
-822,539
120,408
-16,467
-3,954
OPTION3
02-06-09
02-09-12
95
9.00
9.27
5.00%
1.99%
6.10%
12.00%
C
Opt 3
1251.00
-11.73
26.11
0
21,231
-577,289
74,971
7,745
1,984
OPTION4
02-06-09
02-09-12
95
9.00
9.27
5.00%
1.99%
6.10%
10.25%
C
Exotic1
02-06-09
02-09-12
95
9.00
9.34
5.02%
1.99%
6.10%
12.50%
DIC
Exotic2
02-06-09
02-09-12
95
9.00
9.34
5.02%
1.99%
6.10%
12.50%
DIC
Exotic3
02-06-09
02-09-12
95
9.00
9.34
5.02%
1.99%
6.10%
7.50%
DOC
Exotic4
02-06-09
02-09-12
95
9.00
9.34
5.02%
1.99%
6.10%
25.00%
UIP
1220.00
1200.00
Y
1220.00
1200.00
1220.00
1200.00
1220.00
1250.00
Opt 4
1239.27
#DIV/0!
#DIV/0!
1239.27
#DIV/0!
#DIV/0!
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
150,000,000
Payoff at Maturity
100,000,000
50,000,000
0
Won
0
12
1,
-50,000,000
14
1,
0
16
1,
0
0
18
1,
0
20
1,
0
22
1,
-100,000,000
-150,000,000
spot
-200,000,000
0
24
1,
0
26
1,
0
28
1,
0
30
1,
0
32
1,
0
0
0
0
0
CASH 1
CASH 2
CASH 3
CASH 4
OPTION1
OPTION2
OPTION3
OPTION4
Exotic1
Exotic2
Exotic3
Exotic4
보정1
보정2
Portfolio
89
Epilogue
Q&A ?
Other issues in Option markets?
Any issue of derivatives market including swap and credit derivatives ?
More Information
E-mail : johnshin@kfb.co.kr
Call
: 02-3702-4412
Class presentation file : http://vols.com.ne.kr/fxkorea5.html
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