近代物理之發展
簡單之固態理論
量子力學之發展
1900年12月14日，蒲朗克於會議上提出
了能量量子化的假說：
E=hν
馬克斯·蒲朗克
Max Planck
馬 克 斯 · 蒲 朗 克 (Max
Planck，1858年4月23日－
1947年10月4日)，德國物
理學家，由於他在黑體輻
射方面的研究獲得諾貝爾
物理學獎。
其中E是能量，ν是頻率，並引入了一
個重要的物理常數h —蒲朗克常數，這
樣的假說調和了古典物理學理論研究熱
輻射規律時遇到的矛盾。基於這樣的假
設，他並給出了黑體輻射的蒲朗克公式
，圓滿地解釋了實驗現象。這個成就揭
開量子論與量子力學的序幕，因此12月
14日成為了量子日，以作紀念。
量子力學之發展
有些物體的熱輻射完全和本身的材質無關，這些物體能吸收所有照射到它表面的
輻射，因此被稱為黑體(blackbodies)。所有黑體所放射的熱輻射，在相同的溫度
均具有相同的光譜，此稱黑體輻射(blackbody radiation)。
量子力學之發展
阿爾伯特·愛因斯坦
（ Albert Einstein ， 1879
年3月14日－1955年4月
18日），著名理論物理
學家，相對論的創立者。
因在光電效應方面的研
究 ，被授予 1921 年 諾 貝
爾物理學獎。
1.1905年阿爾伯特·愛因斯坦通過擴展蒲朗克的量子理
論提出不僅僅物質與電磁輻射之間的交互作用是量子化
的，而且量子化是一個基本物理特性的理論。通過這個
新理論他得以解釋光電效應。
2.海因里希·魯道夫·赫茲等人的實驗發現通過光照可以
從金屬中打出電子來。不論入射光的強度只有當光的頻
率超過一個臨限值後才會有電子被射出。此後被打出的
電子的動能隨光的頻率線性升高，而光的強度僅決定射
出的電子的數量。
3.愛因斯坦提出了光的量子（光子這個名稱後來才出現）
的理論來解釋這個現象。光的量子的能量為
在光電效應中這個能量被用來將金屬中的電子射出（功
函數）和加速電子（動能）：
這裡m是電子的質量，v是其速度。假如光的頻率太小的
話，那麼它無法使得電子越過功函數，不論光強有多大
量子力學之發展
較亮的光會造成較多的電子射出，但是每個電子的能量並沒有變化。
電子的最大動能與光的頻率有關。
對於一個給定的金屬，則有一個起始頻率；低於起始頻率的光，則無論其強度為
何，均沒有電子射出。
高於起始頻率的光即使是非常弱，而電子幾乎是瞬間射出。
量子力學之發展
光電效應可以視為原子內的電子吸收了單一光子的全部能量
較亮的光意味著有較多相同能量的光子，所以有較多相同能量的電子射出。
光的頻率決定了光子的能量，因此也就決定了電子的能量。
如果每個光子的能量太小，則電子就沒有足夠的能量逃離原子 (所需的最小能
量稱作功函數，與起始頻率fo有直接的關係) 。
只要電子吸收了一個光子就可以逃離出來。
量子力學之發展
玻耳模型是丹麥物理學家尼爾斯·玻耳於1913年提出的關於氫
原子結構的模型。玻耳模型引入能量量子化的概念，使用經
典力學研究原子內電子的運動，很好地解釋了氫原子光譜和
元素周期表，取得了巨大的成功。玻耳模型是20世紀初期物
理學取得的重要成就，對原子物理學產生了深遠的影響。
尼爾斯·玻耳
量子力學之發展
量子力學之發展
1924年，法國物理學家路易士-德布羅依(Prince Louis-Victor
de Broglie)提出：運動中的物體，除其粒子特性外，會伴隨著
波動特性，而其波長為普朗克常數除以物體本身的相對動量。
動量與波長之關係
能量與頻率之關係
Prince LouisVictor de Broglie
投球手以每秒10米之球速投出一個質量為1.0公斤的棒球。這
個球的波長為:
量子力學之發展
波耳模型下的電子駐波
如果我們計算原子中電子的波長，我們發現原子的穩定態乃對應於圓形軌道的周
長為波長的整數倍者
圓形駐波的條件乃周長為波長的整數倍
量子力學之發展
一具動能100eV之電子的de Broglie波長為何？
波長 l =1Å 的X-ray 光子具有多少能量？
量子力學之發展
1927年，戴文生-基瑪(Davisson and Germer) 在貝爾實驗室將電子射向鎳
結晶，發現其繞射圖譜和布拉格定律（這原是用於X射線的）預測的一樣。
 入射的電子束撞擊靶面，經靶面散射後被
探測器接收。
 實驗結果顯示：入射能量為54eV的電子
束，經散射之後，在50度角的方向有極大
出現。
量子力學之發展
A paradox for a single wave:
w = velocity of propagation
particle
| (x, t) |2 : the average of the square of the wave function, is a measure of the
probability of finding a particle in unit volume at a given place and
time.
量子力學之發展
在de Broglie所提出的物質波概念中，對於整
個粒子的行動並沒有提出完整的理論，只指出
粒子的運動乃由其相關物質波所規範，卻沒有
說明波傳遞方式。1925年，薛丁格利用de
Broglie的觀念，使用波動函數提出薛丁格方程
式，建構一般情況下波傳遞的情形。
薛丁格（Erwin Schrödinger，1887年8月
12日－1961年1月4日），又譯薛定谔、
水丁格，原名埃爾文·魯道夫·約瑟夫·亞
歷山大·施勒丁格，生於維也納埃德伯
格（Wien Erdberg），卒於維也納。奧
地利理論物理學家，量子力學的奠基人
之一。1933年和英國物理學家狄拉克共
同獲得了諾貝爾物理學獎，被稱為量子
物理學之父。
其中
是漢彌爾頓算符
。並且 V是系統的勢能，也可稱為位能。


( x, t )  A e xp(kx  t )
稱之為波函數(wave function)
量子力學之發展

2
2M
 
2
CM
2
2
氫
原
2  V  E
(r, , )  R n (r) m ()m ()
(n   1)! 2z 3/ 2  zr / nao 2 1
zr

(
)
re
Ln  1 (2
)
2n(n  )! na o
na o

(2  1)(  m)! m
1 im
P (cos ) 
e
2(  m)!
2
(r, , )  R n (r) m ()m ()
where
n  0,1, 2,3,  principle quantum number 主量子數
 0,1, 2, , n  1 Orbital quantum number 角動量量子數
m   , , 1, 0,1, ,  Magnetic quantum number 磁量子數
子
量子力學之發展
1s orbital n  1,   0, m  0  100
1s
1
氫
Z 3 / 2  Zr / ao

( ) e
 ao
原
子
量子力學之發展
2s orbital n  2,   0, m  0  200
氫
原
1
Z 3/ 2
Zr  Zr / 2 ao

( ) ( 2  )e
ao
4 2 ao
1
Z 3 / 2 Zr  Zr / 2 ao

n  2,   1, m  0  210 
( )
e
cos

ao

4 2 ao
2p orbital
1 Z 3 / 2 Zr  Zr / 2 ao
n  2,   1, m  1  211 
( )
e
sin e i

ao
8  ao

2s
2p (2,1, ± 1)
2p (2,1,0)
子
量子力學之發展
3s orbital n  3,   0, m  0  300
氫
原
1
Z 3/ 2
Zr
Z 2 r 2 Zr / 3ao

( ) (27  18  2 2 )e
ao
ao
81 3 ao

2 Z 3/ 2
Zr Zr  Zr / 3ao
n

3
,


1
,
m

0



(
)
(
6

) e
cos

310

ao ao
81  ao
3p orbital
n  3,   1, m  1  311  1 ( Z )3 / 2 (6  Zr ) Zr e  Zr / 3ao sin e i

ao ao
81  ao

3s
子
3p (2,1, ± 1)
3p (2,1, 0)
量子力學之發展
氫
原
子

1
Z 3 / 2 Z 2 r 2  Zr / 3ao
2
n

3
,


2
,
m

0



(
)
e
(
3
cos
  1)
320

2
ao
81 6 ao

1
Z 3 / 2 Z 2 r 2  Zr / 3ao

 i
3d orbitaln  3,   2, m  1  321 
( )
e
sin

cos

e
2
a
a
81

o
o


1
Z 3 / 2 Z 2 r 2  Zr / 3ao
2
 2 i
n

3
,


2
,
m


2



(
)
e
sin

e
32  2

2
a
a
162

o
o

3d(3,2,0)
3d (3,2, ± 1)
3d (3,2, ± 2)
量子力學之發展
氫
原
子
量子力學之發展
電
子
組
態
2( 2  1)
(1)奧彿包程序(Aufbau process)：電子需由低能階往高能階填。
(2)包立不相容原理(Pauli exclusion principle)：每個軌域最多只能填入兩個電子，
且自旋方向需相反。
(3)漢斯規則(Hunds rule)：填電子時，需盡量傾向半滿或全滿狀態。
量子力學之發展
電
子
組
態
簡單之固態理論
晶體(crystal)
簡單之固態理論
晶 體 之 組 成
簡單之固態理論
a1
a2
T
R
R






T  m1a1  m2a2  m3a3  a1  3a2
Lattice + Basis = crystal structure





R  R  m1a1  m2a2  m3a3
a1 to be the shortest period of the lattice
a2 to be the shortest period not parallel to a1
a3 to be the shortest period not coplanar with a1 and a2
primitive vectors
The volume cell enclosed by the primitive vectors is called primitive unit cell
簡單之固態理論
unit
cells
簡單之固態理論
The various kinds of lattice structures possible in nature are described by the symmetry group that
describes their properties.
Rotation symmetry : 2 , 2 / 2, 2 / 3, 2 / 4, 2 / 6
 2 / 5, 2 / 7 are not allowed because such a structure could not fill up an infinite space.
g
b
a
簡單之固態理論
The 14 Bravais lattices in 3-dimensional systems and their properties.
簡單之固態理論
The 14 Bravais lattices in 3-dimensional systems.
簡單之固態理論
Simple cubic: SC
The simple cubic lattice is generated by the primitive vectors ax, ay, az, where x, y,
and z are the unit vectors.
Repeating the cubic cell through space provides the crystal.
簡單之固態理論
Body-centered cubic: BCC
The bcc lattice can be generated from the simple cubic structure by palcing a
lattice point at the center of the cube.
If x, y, and z are three orthogonal unit vectors, then a set of primitive vectors for
the bcc could be a1=ax, a2=ay, and a3=(a/2)(x+y+z).
Repeating the cubic cell through space provides the crystal.
簡單之固態理論
Face-centered cubic: FCC
To construct the face centered cubic Bravais lattice add to the simple cubic lattice an
additional point in the center of each square face.
A symmetric set of primitive vectors for the fcc cubic lattice is a1=(a/2)(y+z),
a2=(a/2)(z+x), a3=(a/2)(x+y).
簡單之固態理論
Diamond and Zinc Blende Structures
They have two atoms per basis.
The coordinates of the basis atoms are (0, 0, 0) and (a/4, a/4, a/4).
The lattice belongs to the tetrahedral phases; that is, each atom is surrounded by four
equidistant nearest neighbors, which lie at the corners of a tetrahedron.
 The diamond and the zincblende lattices can be considered as two interpenetrating fcc
lattices.
簡單之固態理論
Hexagonal Close Pack (Wurtzite) Structure
簡單之固態理論
Structure, Lattice
constant, and density of
some materials at room
temperature
簡單之固態理論
Notation to Denote Planes and Points in a Lattice: Miller Indices
The Reciprocal Lattice
If a1, a2, and a3 are primitive vectors of the lattice, then b1, b2, and b3 are the primitive
vectors of the reciprocal lattice. The general reciprocal lattice vector is given by
where, h, k, and l are integers.
(hkl): is called the index of the plane and may denote a single plane or a set of parallel
planes.
[hkl] : the direction is perpendicular to the (hkl) plane.
< hkl >: is for a set of equivalent directions
簡單之固態理論
(1) Define the x, y, z axes (primitive vectors).
(2) Take the intercepts of the plane along the axes in units of lattice constants.
(3) Take the reciprocal of the intercepts and reduce them to the smallest integers.
倒數
截 距 3,2,1
平面指數

( 233)

1 1 1
, ,
3 2 2
最小整數比

2:3:3
簡單之固態理論
簡單之固態理論
Point defects
簡單之固態理論
Line defects
簡單之固態理論
簡單之固態理論
簡單之固態理論
簡單之固態理論
簡單之固態理論
簡單之固態理論
簡單之固態理論
簡單之固態理論
AlGaAs
AlGaAs
GaAs
簡單之固態理論
簡單之固態理論