Transformácie obrazu
Gonzales, Woods: Digital Image Processing
kapitola: Image transforms
Fourierova transformácia

Jean Baptiste Joseph Fourier
(1768-1830)

Akákoľvek funkcia f(x) môže byť vyjadrená ako
vážený súčet sínusov a kosínusov
Suma sínusov a kosínusov

A sin(ωx+φ)
Time and Frequency

example : g(t) = sin(2πf t) + (1/3)sin(2π(3f) t)
Time and Frequency

example : g(t) = sin(2πf t) + (1/3)sin(2π(3f) t)
=
+
Frequency Spectra

example : g(t) = sin(2πf t) + (1/3)sin(2π(3f) t)
=
+
Frequency Spectra
Frequency Spectra
=
=
+
Frequency Spectra
=
=
+
Frequency Spectra
=
=
+
Frequency Spectra
=
=
+
Frequency Spectra
=
=
+
Frequency Spectra

1
= A sin(2 kt )
k 1 k
Frequency Spectra
FT: Just a change of basis
M * f(x) = F(w)
*
.
.
.
=
IFT: Just a change of basis
M-1 * F(w) = f(x)
*
.
.
.
=
Fourierova transformácia
Ak f(x) je spojitá funkcia s reálnou premenou x,
potom Fourierovou transformáciou F(x) je
Inverznou Fourierovou transformáciou nazývame
pár Fourierovej
transformácie
Fourier Transform
f(x)
Fourier
Transform
F(u)
Pre každé u od 0 po inf, F(u) obsahuje amplitudu A
and fázu  odpovedajúceho sinusu
Asin(ux   
A   R(u ) 2  I (u ) 2
F(u)
Inverse Fourier
Transform
I (u )
  tan
R(u )
1
f(x)
Definitions

F(u) sú komplexne čísla:

Magnitúda FT (spektrum):

Fázový uhol FT:

Reprezentácia pomocou magnitúdy a fázy:

Power of f(x): P(u)=|F(u)|2=
FT – je periodická s periódou
N, to znamená, že na jej
určenie stačí jedna perióda vo
frekvenčnej oblasti.
2D Fourierova transformácia

Fourierova transformáci je ľahko rozšíriteľná do
2D
Príklad 2D funkcie
Sinusoidové vzory sa zobrazia vo
frekvenčnom spektre ako body.

Nízke frekvencie sú pri strede a vysoké na
okrajoch
Sampling Theorem
Continuous signal:
f x 
x
Shah function (Impulse train):
sx  
s x 
Sampled function:

 x  nx 
n  
0
x
x0

f s x   f x sx   f x    x  nx0 
n  
Sampling
Sampling and the Nyquist rate

Pri vzorkovaní spojitej funkcie môže vzniknúť
aliasing ak vzorkovacia frekvencia nie je dostatočne
vysoká

Vzorkovacia frekvencia musí byť taká vysoká aby
zachytila aj tie najvyššie frekvencie obrazu
Sampling and the Nyquist rate


Predísť aliasingu:
Vzorkovacia frekvencia > 2 * max frekvencia v
obraze
 Treba viac ako 2 vzorky na periódu
 Minimálna vzorkovacia frekvencia sa nazýva
Nyquist rate
Diskrétna Fourierova
transformácia
Rozšírenie DFT do 2D

Predpokladajme že f(x,y) je M x N.

DFT

Inverzná DFT:
Filtre
Vizualizácia DFT



Väčšinou zobrazujeme |F(u,v)|
Dynamický rozsah |F(u,v)| je obvykle veľmi vysoký
Aplikujeme logaritmus:
(c je konštanta)
original image
before scaling
after scaling
DFT Properties: (1) Separability

The 2D DFT can be computed using 1D
transforms only:
Forward DFT:
Inverse DFT:
kernel is
separable:
e
 j 2 (
ux  vy
)
N
e
 j 2 (
ux
vy
)  j 2 ( )
N
N
e
DFT Properties: (1) Separability

Rewrite F(u,v) as follows:

Let’s set:

Then:
DFT Properties: (1) Separability

How can we compute F(x,v)?
)
N x DFT of rows of f(x,y)

How can we compute F(u,v)?
DFT of cols of F(x,v)
DFT Properties: (1) Separability
DFT Properties: (2) Periodicity

The DFT and its inverse are periodic with
period N
DFT Properties: (3) Symmetry
• If f(x,y) is real, then
DFT Properties: (4) Translation
f(x,y)
F(u,v)
• Translation is spatial domain:
• Translation is frequency domain:
)
N
DFT Properties: (4) Translation
DFT Properties: (4) Translation
Warning: to show a full period, we need to translate the
origin of the transform at u=N/2 (or at (N/2,N/2) in
2D)
|F(u)|
|F(u-N/2)|
DFT Properties: (4) Translation

To move F(u,v) at (N/2, N/2), take
Using
)
N
DFT Properties: (4) Translation
no translation
after translation
DFT Properties: (5) Rotation

Otočením f(x,y) o uhol θ, sa otočí F(u,v) o ten
istý uhol θ
DFT Properties: (6)
Addition/Multiplication
but …
DFT Properties: (7) Scale
DFT Properties: (8) Average
value
Average:
F(u,v) at u=0, v=0:
So:
Magnitude and Phase of DFT

What is more important?
magnitude

phase
Hint: use inverse DFT to reconstruct the image using
magnitude or phase only information
Magnitude and Phase of DFT
Reconstructed image using
magnitude only
(i.e., magnitude determines the
contribution of each component!)
Reconstructed image using
phase only
(i.e., phase determines
which components are present!)
Magnitude and Phase of DFT
Výpočtová náročnosť DFT
discrete Fourier transform — DFT
{f0, f1, ... , fN-1} – vstupná body
{F0, F1, ... , FN-1} – výsledok Fourierovej transformácie
Výpočet pomocou 2 cyklov – > zložitosť O(N2)
Snaha zredukovať na O(Nlog2N) – > FFT
Fast Fourier Transform - FFT
Pre N=8
Rozdelíme na párne a nepárne členy
Urobíme to isté vo zátvorkách
Suma vo vnútorných zátvorkách je rovnaká pre
n=0, 2, 4, 6 a pre n=1, 3, 5, 7
Takže máme 4 (zátvorky) x 2 súčtov na najnižšej úrovni
Keďže n=1, 3, 5, 7 zodpovedá polovici periódy П a platí
dostaneme 1 pre n=0, 2, 4, 6 a
- 1 pre n=1, 3, 5, 7
V hranatých zátvorkách je perióda exponentu n=4
– > n=0, 4; n=1, 5; n=2, 6 a n=3, 7.
Pre n=0, 4 factor je 1
pre n=2, 6 je to -1;
pre n=1, 5 je -i
a pre n=3, 7 je i.
Takže máme 2 (zátvorky) x 4 súčtov na strednej úrovni
Na najvyššej úrovni máme 1 sumu a periódu exponentu n=8
– > 1 x 8 súčtov
Polovicu z nich môžeme vypočítať iba zmenou znamienka
Na každej úrovni urobíme 8 operácií (n)
Máme 3 = log 8 úrovne (log n)
O( n log n )
FFT - algoritmus
{f0, f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7}→{f0, f4, f2, f6, f1, f5, f3, f7}.
Prepare input data for summation — put them into convenient order;
For every summation level:
For every exponent factor of the half-period:
Calculate factor;
For every sum of this factor:
Calculate product of the factor and the second term of the sum;
Calculate sum;
Poradie koeficientov pre FFT
0
000
000
000
0
1
001
010
100
4
2
010
100
010
2
3
011
110
110
6
4
100
001
001
1
5
101
011
101
5
6
110
101
011
3
7
111
111
111
7
Príklad pre N=16