数学问题中的发散和
逆向思维
典型的逆向思维实例：三个公开的
数学问题介绍
报告人：伍俊良
树立一种好的思维方法的重要性
• 本科学生学习马克思主义哲学的必要性与应用上的盲目性
• 世界观：反过来就是观世界，培养观察世界各种现象运动规律。复杂
多样的自然现象造就了学科内容的多样性，地质地貌造就了地质学，
地貌学，地壳运动学，采掘，采矿，冶金，石油，勘探，生物化学，
物理学，天体物理学。造就了世界众多的自然科学家，如哥白尼，开
普lie 张衡、祖冲之牛顿，爱因斯坦，法拉第，霍金。这些人无一不是
用数学方法在刻画世界。
• 大自然赋予人类众多的财富，矿藏，石油，海洋，森林，赋予人们美
轮美奂的自然美景，让我们去享用。但也给人类提出了警示，产生众
多的社会科学，如可持续发展，保护环境，减排，低碳，计划生育，
控制人口等。
• 人生观，反过来就是观人生，指人们对人生意义的不同理解，用不同
的思维方式去看待人生，认识人类社会的演进。
方法论
• 方法论是哲学科学或科学哲学的另外一个重要方面，一个
好的世界观和观察事物的方法是任何科学家的共同特质。
如达尔文发现与发展生物进化学说；
牛顿发现万有引力并创立牛顿力学和天体物理学；
法拉第发现了电和磁并创立了电磁学；
贝尔发现电话改变了世界。
高斯，莫比乌斯等。
这些无一不与他们具有观察事物的超人能力和科学的方法
相关。
数学科学的强大渗透力和独立性
• 数学可以作为其他任何科学的基础，其本身也是
•
高度抽象而独立于其他科学的科学，自成体系。
从逻辑思辨角度来看，其他科学往往没有数学的
逻辑体系这么复杂多样，因为其他学科往往着力
于具体应用和实现。而数学则不然，只要符合逻
辑的概念都可以定义（但不要成为空集），而应
用科学往往强调于可实现性。
两种思维：先存在理论，后寻找背景；
先存在背景，后寻找理论
硕士生与博士生的学习方法
• 硕士生的历程介于本科生与博士生之间，他们既
•
有被动接受知识的一面，也是一个逐步树立创新
思维的过程，一个好的硕士生往往也具备一定的
创新能力，但相对于博士生而言，他们还没有具
备系统的科学思维能力和创新能力。
博士生的学习则主要基于创新思维的系统训练和
独立研究能力的形成，他们不再是以学习知识为
主要方面，而是通过独立的研究过程来培养他们
的思维方式，扩大他们的知识面，形成自己独特
的知识结构体系和思维方法。
发散思维能力的培养
• 象牙尖的观点既肯定又否定；
• 每一个研究方向虽然特殊但又存在不同的
分支内容；
数学问题中成对出现的问题归纳
• 分析：连续——不连续；可导——不可导；收敛——发散；
• 代数：可约——不可约；可逆——不可逆；可交换——不
•
•
•
可交换；交换代数 ——不可交换代数；正交——非正交；
几何：欧氏几何——非欧几何；笛卡尔坐标系——仿射坐
标系
微分方程：线性——非线性；稳定不稳定；
最优化：光滑——非光滑；凸——非凸，单目标——多目
标
看看一个常规的数学问题及其启示
• 一个n 阶实矩阵A
• 必定存在一个复数（或实数）z，使得z是A
的特征值
• 也就是一定存在一个非零的n维向量X，使
得AX=zX
学生的常规思维，被动接受，一般
不会考虑其它的问题，也不会提出
其他问题。
反向思维启示
• 反过来问，任意给定一个复数z，能否找到
一个实矩阵A，以z作为它的特征值？这样
的矩阵如何确定？！
• 这就是数学中的反问题或者称为逆问题。
这类现象在数学和其他学科中均大量存在。
• 两个杂志介绍：
IP: Inverse Problems
QM: Question Mathematices
问题的进一步发散
• 任何一个n 阶实矩阵A，必定存在n个复数（实数）作为它
•
•
•
•
•
的特征值。
反过来，它的逆问题是：
任意给定n个复数或者（实数），如何来确定一个实（复）
矩阵，使得这个矩阵的n个特征值刚好就是给定的n个复数？
这样的矩阵是否一定存在？！
再进一步，要求这个矩阵还是非负的（非负逆特征值问题，
Nonnegative Inverse Eigenvalues Problem——NIEP）；
如果给定的n个数是实数，则称RNIEP
再进一步问，在给定的n个数是实数的情况下，确定的矩
阵不仅要求是非负的，而且还要求是对称的！SNIEP
• 这就是著名的三大公开问题，非负逆特征
值问题NIEPs (Nonnegative Inverse
Eigenvaluese Problems )。
• 它由前苏联著名的数学家Kolmogorov 在
1937年所提出。
看看背景
• 1937年, Kolmogorov [1]问一个问题: 何时一个给
定的复数是一个非负矩阵的特征值？
• 这个问题很快得到证明：答案是:任何一个复数都
是一些非负矩阵的特征值 [2]. Suleimanova ([3],
[25]) 在1949扩张了 Kolmogorov的问题成为如下
叫做非负逆特征值问题 nonnegative inverse
eigenvaluese problem (NIEP)的公开问题.
也就是：
• 问题 1 (NIEP). 确定n个复数是一个n阶非负矩阵
的特征值的必要与充分条件。
• 问题1对于n>=4时仍然是未决问题，n=2时容易解
决，n=3时已经被 Loewy 和 London 解决[4]
( R.Loewy and D.D.London, A note on an inverse
problem for nonnegative matrices, Linear and
Multilinear algebra, 6(1978), 83-90).
在同一篇论文中，Suleimanova [3] 也给出了下列非负逆特
征值问题，并给出了一个充分条件
• 问题2 (RNIEP).确定n个实数是一个n阶非
负矩阵的谱的充分必要条件.
• 问题2 仍然是未决问题当n>=5.
Fiedler [5] 在1974年提出了下列对称非负的逆特征
值问题
• 问题 3 (SNIEP). 确定n个实数是一个非负
对称矩阵的谱的充分必要条件。
• 问题 3对于n>=5时仍然是未决问题.
相关研究背景
• 全世界有许多学者研究上述这些问题，据
不完全统计，大约有300多篇学术论文研究
此问题。多次召开专门的国际会议讨论，
有专门撰写相关的学术专著的，有广泛流
传的网络资料材料.pdf文件。
主要的参考文献列举如下
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
[1] A.N. Kolmogorov, Markov chains with countably many possible states, Bull. Univ. Moscow (A) 3
(1937) 1–16 (in Russian).
[2] H.Minc, Nonnegative Matrices, John Wiley and Sons, New York, 1988, p166.
[3] K.R. Suleimanova, Stochastic matrices with real eigenvalues, Soviet Math. Dokl. 66 (1949) 343–
345 (in Russian).
[4] R. Loewy, D. London, A note on an inverse problem for nonnegative matrices, Linear and
Multilinear
Algebra 6 (1978) 83–90.
[5] M. Fiedler, Eigenvalues of nonnegative symmetric matrices, Linear Algebra App. 9 (1974) 119–
142.
[6] Moody T. Chu, Gene H. Golub, Inverse Eigenvalue Problems: Theory, Algorithms, and
Applications, Oxford University press. P93-122.
[7] Ricardo L.SoTo, Reliability by symmetric nonnegative
matrices,http://www.scielo.cl/pdf/proy/v24n1/art06.pdf.
[8] A. Borobia, On the nonnegative eigenvalue problem, Linear Algebra Appl. 223–224 (1995) 131–
140.
[9] M. Boyle, D. Handelman, The spectra of nonnegative matrices via symbolic dynamics, Ann.
Math.
133 (1991) 249–316.
[10] P. Egleston, Nonnegative matrices with prescribed spectra, Ph.D. Dissertation, Central
Michigan
University, 2001.
[11] C. Johnson, Row stochastic matrices similar to doubly stochastic matrices, Linear and
Multilinear
Algebra 10 (1981) 113–130.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
[12] C. Johnson, T.J. Laffey, R. Loewy, The real and the symmetric nonnegative inverse
eigenvalue
problems are different, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996) 3647–3651.
[13] F. Karpelevich, On the eigenvalues of a matrix with nonnegative elements, Izv. Akad. Nauk
SSSR
Ser. Mat. 15 (1951) 361–383.
[14] R.B. Kellogg, Matrices similar to a positive or essentially positive matrix, Linear Algebra Appl.
4
(1971) 191–204.
[15] C. Knudsen, J.J. McDonald, A note on the convexity of the realizable set of eigenvalues for
nonnegative
symmetric matrices, Electron. J. Linear Algebra 8 (2001) 110–114.
[16] T. Laffey, Realizing Matrices in the Nonnegative Inverse Eigenvalue Problem, Texts in
Mathematics
(Series B), Univ. Coimbra, 1999, pp. 21–32.
[17] T. Laffey, E. Meehan, A refinement of an inequality of Johnson, Loewy, and London on
nonnegative
matrices and some applications, Electron. J. Linear Algebra 3 (1998) 119–128.
[18] T. Laffey, E. Meehan, A characterization of trace zero nonnegative 5×5 matrices, Linear
Algebra
Appl. 302–303 (1999) 295–302.
[19] J.J. McDonald, M. Neumann, The Soules approach to the inverse eigenvalue problem for
nonnegative
symmetric matrices of order-5, Contemp. Math. 259 (2000) 387–407.
[20] L. Mirsky, H. Perfect, Spectral properties of doubly stochastic matrices, Monatsh. Math. 69
(1965)
35–57.
• [21] H. Perfect, Methods of constructing certain
•
•
•
•
•
•
•
stochastic matrices, Duke Math. J. 20 (1953) 395–404.
[22] N. Radwan, An inverse eigenvalue problem for
symmetric and normal matrices, Linear Algebra
Appl. 248 (1996) 101–109.
[23] R. Reams, An inequality for nonnegative matrices
and the inverse eigenvalue problem, Linear and
Multilinear Algebra 41 (1996) 367–375.
[24] G. Wuwen, Eigenvalues of nonnegative matrices,
Linear Algebra Appl. 266 (1997) 261–270.
[25] Xingzhi Zhan, Matrix Theory, Academic Press (In
Chinese), 2008.6.p127.
[26] Patricia D. Egleston, Terry D. Lenker, Sivaram K.
Narayan, The nonnegative inverse eigenvalue problem,
Linear Algebra and its Applications 379 (2004) 475–490.
众多资料的证明的局限性
• 有限维的证明只能是一个结果，不能从根
本上证明问题；
• 特殊不能代替一般；
• 存在盲目性；
• 问题过于复杂化。
我们的证明思路与方法：
• 首先阐明：数学问题象一幅画：蒙娜丽莎。
• 可实现的基本要求
• 举例来说，一元二次方法一定有两个复（实）根，
•
但不是任意两个复数都可能是一个给定的一元二
次方程的根，为什么？？
同样对于给定的n个复数并不一定都能够是一个非
负矩阵的谱。
公开问题可实现的基本条件是：
将一般的实矩阵的逆特征值问题与非负的实矩阵的逆特征值
问题联系起来，仍然利用逆相思维！
• 回答IEP三个公开问题NIEP，参考论文的证
明过程
• 最后我以两句搞笑的电影台词来结束我的
报告，让大家共勉：
（男同胞）失信于**人，何以取天下（沈
腾）
（全体）失信于学生，何以谈教学！
致谢！
• 感谢各位老师的宝贵时间并希望提出
宝贵意见！