Repetition af differentialregning
Ekstremumspunkter
Maksimering i flere variable
Stamfunktioner og ubestemte integraler
Definition af differentialkvotienten
En funktion f siges at være differentiabel i et punkt a, hvis
f ′ (a) = lim
h→0
f (a + h) − f (a)
h
eksisterer.
8 y
6
y = f (a) + f ′ (a)(x − a)
4
(a, f (a))
2
x
1
2
Repetition af differentialregning
3
Ekstremumspunkter
4
5
Maksimering i flere variable
Stamfunktioner og ubestemte integraler
Vigtige afledede
hvis f (x ) = ex , så gælder f ′ (x ) = ex for alle x .
hvis f (x ) = cos(x ), så gælder f ′ (x ) = − sin(x ) for alle x .
hvis f (x ) = sin(x ), så gælder f ′ (x ) = cos(x ) for alle x .
hvis f (x ) = x n , hvor n = 1, 2, 3, . . ., så gælder f ′ (x ) = nx n−1 for alle
x.
hvis f (x ) = x a for en konstant a, så gælder f ′ (x ) = ax a−1 i hvert fald
for alle x > 0.
hvis f (x ) = ln(x ), så gælder f ′ (x ) = x1 = x −1 for alle x > 0.
Repetition af differentialregning
Ekstremumspunkter
Maksimering i flere variable
Stamfunktioner og ubestemte integraler
Regneregler for differentiation (Afsnit 4.2)
For to differentiable funktioner f og g gælder følgende regneregler:
(f + g)′ (x ) = f ′ (x ) + g ′ (x ).
(c · f )′ (x ) = c · f ′ (x )
for enhver constant c.
(f · g)′ (x ) = f ′ (x ) · g(x ) + g ′ (x ) · f (x ).
f ′
g
(x ) =
f ′ (x ) · g(x ) − g ′ (x ) · f (x )
,
g(x )2
Repetition af differentialregning
Ekstremumspunkter
hvis g(x ) ̸= 0.
Maksimering i flere variable
Stamfunktioner og ubestemte integraler
Kædereglen (Afsnit 4.3)
For to funktioner f og g defineres den sammensatte funktion ved:
(f ◦ g)(x ) = f (g(x )).
Hvis f og g er differentiable, gælder der, at
(f ◦ g)′ (x ) = f ′ (g(x )) · g ′ (x ).
Eksempel: Betragt de to funktioner f (x ) = sin(x ), og g(x ) = x 4 , samt den
sammensatte funktion h(x ) = (f ◦ g)(x ) = sin(x 4 ).
Så gælder der, at
h′ (x ) = cos(x 4 ) · (4x 3 ) = 4x 3 cos(x 4 ).
Repetition af differentialregning
Ekstremumspunkter
Maksimering i flere variable
Stamfunktioner og ubestemte integraler
Monotoniforhold for diff. funktioner (Afsnit 5.1-5.2)
Betragt en differentiabel funktion f defineret på et interval (a, b).
Så gælder der, at
f ′ (x ) > 0
for alle x i (a, b) ⇐⇒ f er voksende på (a, b).
f ′ (x ) < 0
for alle x i (a, b) ⇐⇒ f er aftagende på (a, b).
Desuden gælder
(Den Afledte Test)
Antag c er et tal i (a, b), således at
f ′ (x ) > 0 for alle x i (a, c),
f ′ (x ) < 0 for alle x i (c, b).
Så har f et maximum i c:
f (c) ≥ f (x )
Repetition af differentialregning
Ekstremumspunkter
for alle x i (a, b).
Maksimering i flere variable
Stamfunktioner og ubestemte integraler
Globale ekstrema
En funktion f defineret på [a, b] siges at have globalt (eller absolut)
maksimum i et tal c fra [a, b], hvis
f (c) ≥ f (x ) for alle x i [a, b].
En funktion f defineret på [a, b] siges at have globalt (eller absolut)
minimum i et tal c fra [a, b], hvis
f (c) ≤ f (x ) for alle x i [a, b].
Repetition af differentialregning
Ekstremumspunkter
Maksimering i flere variable
Stamfunktioner og ubestemte integraler
Kritiske punkter
Betragt en funktion f defineret på [a, b], som er differentiabel på (a, b).
Et tal c i (a, b) kaldes da for et kritisk punkt for f , hvis f ′ (c) = 0.
(Bestemmelse af globale ekstrema)
Hvis f har globalt maksimum eller globalt minimum i et punkt c fra [a, b],
så gælder nødvendigvis, at
c = a,
eller c = b,
Repetition af differentialregning
Ekstremumspunkter
eller
c er et kritisk punkt for f .
Maksimering i flere variable
Stamfunktioner og ubestemte integraler
Eksempel 1
Betragt funktionen f (x ) = 3x 2/3 − 3x 5/3 defineret på [0, 8]. Vi ønsker at
bestemme (det globale) maksimum for f .
Løsning: Vi bestemmer først de kritiske punkter for f :
f ′ (x ) = 3 23 x 2/3−1 − 3 35 x 5/3−1 = 2x −1/3 − 5x 2/3
1
= x −1/3 (2 − 5x ) = x 1/3
(2 − 5x )
for x i (0, 8). Det følger således at
1
f ′ (x ) = 0 ⇐⇒ x 1/3
(2 − 5x ) = 0 ⇐⇒ 2 − 5x = 0 ⇐⇒ x = 25 .
Dermed skal ekstremumspunkterne for f findes blandt 0, 25 og 8.
Ved indsættelse finder vi, at
f (0) = 0,
f ( 25 ) = 0.977,
f (8) = −84.
Dermed antager f globalt maksimum for x = 25 , og maksimum for f er
0.977.
Repetition af differentialregning
Ekstremumspunkter
Maksimering i flere variable
Stamfunktioner og ubestemte integraler
Eksempel 2 (Afsnit 6.1)
Et tørstigt dyr ønsker at komme til en flod så
hurtigt som muligt.
1
Det kan løbe langs en fri sti i 300 m, og
derefter nordpå gennem skov i 800 m.
2
Det kan løbe i 160 m/m langs stien, men
kun 70 m/m gennem skoven.
3
Løber dyret direkte gennem skoven mod
floden minimeres afstanden, men det vil
gå langsomt hele tiden.
4
Løber det i stedet 300 m langs stien, og
derefter ind i skoven, minimeres tiden
brugt i skoven.
5
Den hurtigste rute er måske en
kombination, som vist i figuren.
Repetition af differentialregning
Ekstremumspunkter
Maksimering i flere variable
Stamfunktioner og ubestemte integraler
Eksempel 2: Løsning
1
Lad x betegne afstanden vist på tegningen.
2
Mao. løber dyret 300 − x meter på stien.
3
Ifølge
Pythagoras løber dyret dermed
√
8002 + x 2 meter i skoven.
4
5
6
7
8
Den samlede tid, dyret bruger, bliver dermed
√
300 − x
8002 + x 2
T (x ) =
+
160
70
Vi ønsker at bestemme x i [0, 300], der
minimerer T (x ).
x
1
T ′ (x ) = − 160
+ 70√800
.
2 +x 2
Ligningen T ′ (x ) = 0 har ingen løsninger i
[0, 300]. Dvs. ingen kritiske punkter!
Minumum er altså enten T (0) = 13.30 eller
T (300) = 12.21.
Repetition af differentialregning
Ekstremumspunkter
Maksimering i flere variable
Stamfunktioner og ubestemte integraler
Eksempel 3: Maksimeringsproblem i 2 variable (Afs. 6.2)
Find to positive tal x og y , således at
Løsning:
(a) x + 3y = 30,
og
(b) x 2 · y
er størst mulig.
2
1
Vi ønsker at maksimere M = x y .
2
Udtryk y udfra x gennem betingelsen (a):
x + 3y = 30 =⇒ 3y = 30 − x =⇒ y = 10 − 13 x .
Bemærk at x ∈ [0, 30], hvis det skal være opfyldt, at y ≥ 0.
3
Udtryk M alene som funktion af x :
M = M(x ) = x 2 y = x 2 (10 − 13 x ) = 10x 2 − 13 x 3
4
for x i [0, 30].
Find de kritiske punkter for M(x ):
M ′ (x ) = 20x − x 2 = x (20 − x ), så M ′ (x ) = 0 ⇐⇒ x = 0 eller x = 20.
5
Ved indsættelse ses, at M(0) = 0, M(20) = 1333.3, M(30) = 0.
6
10
Vi finder således: x = 20 og y = 10 − 20
3 = 3 .
Repetition af differentialregning
Ekstremumspunkter
Maksimering i flere variable
Stamfunktioner og ubestemte integraler
Stamfunktioner og ubestemte integraler
(Stamfunktion)
En stamfunktion til en givet funktion f er en funktion F , der opfylder at
F ′ (x ) = f (x )
for alle x .
Hvis F er en stamfunktion til f , er F + C også en stamfunktion til f for
enhver konstant C . Og der findes ikke andre stamfunktioner til f end dem
på formen F + C .
(Ubestemt integral)
Lad f være en givet funktion, og lad F være én stamfunktion til f .
Det ubestemte integral af f er da givet ved
Z
f (x ) dx = F (x ) + C
hvor C er en arbitrær konstant.
Repetition af differentialregning
Ekstremumspunkter
Maksimering i flere variable
Stamfunktioner og ubestemte integraler
Vigtige stamfunktioner
Z
ex dx = ex + C , og
Z
ekx dx =
k ̸= 0.
ekx
+ C for enhver konstant
k
Z
cos(x ) dx = sin(x ) + C ,
Z
Z
Z
sin(x ) dx = − cos(x ) + C ,
1
x a+1 + C for enhver konstant a ̸= −1.
x a dx = a+1
x −1 dx =
Z
Repetition af differentialregning
1
dx = ln(|x |) + C .
x
Ekstremumspunkter
Maksimering i flere variable
Stamfunktioner og ubestemte integraler
Regneregler for ubestemte integraler
(Linearitet af ubestemte integraler)
Betragt funktioner f og g samt en konstant a.
Så gælder der, at
Z
a · f (x ) dx = a
Z
f (x ) dx .
og at
Z
(f (x ) ± g(x )) dx =
Repetition af differentialregning
Ekstremumspunkter
Z
f (x ) dx ±
Z
Maksimering i flere variable
g(x ) dx .
Stamfunktioner og ubestemte integraler
Eksempel 4.
3
Bestem det ubestemte integral: ( x1 + x√+1
− 7 sin(x ) + e−2x ) dx
x
R
Løsning: Vi finder ved brug af regnereglerne:
1 x3 + 1
+ √
− 7 sin(x ) + e−2x dx
x
x
Z
Z 3
Z
Z
1
x +1
√
=
dx +
dx − 7 sin(x ) dx + e−2x dx
x
x
Z = ln(|x |) +
Z
1 −2x
(x 5/2 + x −1/2 ) dx − 7(− cos(x )) + ( −2
e )
= ln(|x |) + 72 x 7/2 + 2x 1/2 + 7 cos(x ) − 12 e−2x + C .