FORMELSAMLING for numerikkdelen av PNS
Løsning av likninger
Halveringsmetoden:
Dersom 𝑓 er kontinuerlig og 𝑓(𝑎) < 0 < 𝑓(𝑏) så er det et nullpunkt, 𝑐, i intervallet (𝑎, 𝑏) (Skjæringssetningen). Samme gjelder
om 𝑓(𝑎) > 0 > 𝑓(𝑏).
Metode:
1
Deler intervallet i to ved 𝑚 = (𝑎 + 𝑏), og beholder det intervallet der 𝑓 bytter fortegn; på figur over: (𝑎, 𝑚).
2
Dette gjentas til man oppnår ønsket nøyaktighet.
Newtons metode
Velg 𝑥0 slik at 𝑓(𝑥0 ) ≈ 0
𝑓(𝑥 )
Da er 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − ′(𝑥𝑛 ) for 𝑛 = 0,1,2, …
𝑓
𝑛
Hvis lim 𝑥𝑛 = 𝑟 så er 𝑓(𝑟) = 0
𝑛→∞
Gauss-Seidel
Vi betrakter 𝐴𝑥⃗ = 𝑏⃗⃗, der 𝐴 er en 𝑛 𝑥 𝑛-matrise og 𝑥⃗ og 𝑏⃗⃗ er kolonnevektorer med n elementer.
La 𝐴 = 𝐿 + 𝐷 + 𝑈, der 𝐷 diagonalmatrisen med samme hoveddiagonal som 𝐴, og der 𝐿 og 𝑈 betegner henholdsvis nedre og øvre
triangulære matriser med elementene tilsvarende som de i 𝐴.
Likningssystemet kan da skrives på formen (𝐿 + 𝐷 + 𝑈)𝑥⃗ = 𝑏⃗⃗, som gir følgende iterasjonsformel:
(𝐿 + 𝐷)𝑥⃗𝑘+1 = 𝑏⃗⃗ − 𝑈𝑥⃗𝑘 .
Basert på dette får vi følgende iterative metode (Gauss-Seidel):
Startvektor: 𝑥⃗0
𝑥⃗𝑘+1 = 𝐷 −1 (𝑏⃗⃗ − 𝑈𝑥⃗𝑘 − 𝐿𝑥⃗𝑘+1 ), k = 0, 1, 2, …
Diagonaldominant matrise
|𝑎𝑖𝑖 | > ∑ |𝑎𝑖𝑗 |
𝑗≠𝑖
for alle 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.
Derivasjon og integrasjon
Numerisk derivasjon
Vanlig derivasjon:
𝑓′(𝑥) ≈
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
Senterderivasjon:
𝑓′(𝑥) ≈
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 − ℎ)
2ℎ
Det bestemte integral:
𝑏
Definisjon: ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≝ lim ∑𝑛𝑖=1 𝑓(𝑥𝑖∗ )∆𝑥
𝑛→∞
hvor ∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
, 𝑥𝑖∗ ∈ [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖 ], 𝑥0 = 𝑎 og 𝑥𝑛 = 𝑏
Numerisk integrasjon - med steglengde: ∆𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑛
:
Sett: 𝑥0 = 𝑎 og 𝑥𝑛 = 𝑏.
Trapesmetoden:
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ 𝑇𝑛
𝑎
=
∆𝑥
[𝑓(𝑥0 ) + 2𝑓(𝑥1 ) + ⋯ + 2𝑓(𝑥𝑛−1 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )]
2
Simpsons metode:
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ 𝑆𝑛 =
𝑎
∆𝑥
[𝑓(𝑥0 ) + 4𝑓(𝑥1 ) + 2𝑓(𝑥2 ) + ⋯ + 2𝑓(𝑥𝑛−2 ) + 4𝑓(𝑥𝑛−1 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )]
3
Differensiallikninger
Eulers metode
Initialverdiproblem: 𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) der 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ ∙ 𝑓(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 )
(𝑛 = 0, 1, 2, 3, … )
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + ℎ,
Eulers metode i to dimensjoner
𝑥0
𝑥(𝑡)
𝑥(𝑡 )
Initialverdiproblem: 𝑥⃗ ′ (𝑡) = 𝐴𝑥⃗ = 𝐹(𝑥, 𝑦), der ⃗⃗⃗(𝑡)
𝑥
=[
] og ⃗⃗⃗
𝑥0 = ⃗⃗⃗(𝑡
𝑥 0 ) = [ 0 ] = [𝑦 ]
𝑦(𝑡)
𝑦(𝑡0 )
0
𝑥⃗𝑛+1 = 𝑥⃗𝑛 + ℎ ∙ 𝐹(𝑥⃗𝑛 ) = 𝑥⃗𝑛 + ℎ ∙ 𝐴𝑥⃗𝑛
(𝑛 = 0, 1,2,3, … )
Omskriving av 2. ordens differensiallikning med konstante koeffisienter til 1. ordens system av differensiallikninger:
𝑦 ′′ + 𝑎𝑦 ′ + 𝑏𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑧′
−𝑎
[ ]=[
𝑦′
1
𝑓(𝑥)
−𝑏 𝑧
][ ]+[
]
0 𝑦
0