Kompendium i Matematisk Analyse: Optimering, Funktioner, Lineær Algebra, Integration

Kompendium i Matematisk analyse Skrevet av Ole Kristian Pladsen Jensen Tjenestetilbyder innehar alle immaterielle rettigheter knyttet til alt materiale som er tilgjengelig på Nettsidene og i Tjenesten, samt til det materialet som sendes i form av flyers, videoer, e-post, dokumenter, plakater med mer. Hel eller delvis referanse til, eller gjengivelse av, materiale tilhørende Tjenestetilbyder kan kun finne sted etter uttrykkelig skriftlig tillatelse. Det presiseres at materialet du mottar er for ditt personlige bruk og er beskyttet av lov om opphavsrett. Det er ikke tillatt å kopiere, distribuere, fremvise, publisere eller selge informasjon, programvare, produkter eller tjenester som gjøres tilgjengelig Nettsidene. Unntak gjøres for utskrift for særskilt personlig bruk. Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Innhold Optimeringsproblemer ...................................................................................................... 4 Grunnleggende funksjonsanalyse.............................................................................................. 4 Oppsummering av derivasjonsregler ............................................................................................................. 4 Ekstremalpunkter .......................................................................................................................................... 5 Voksende og avtagende ................................................................................................................................ 6 Konveks, konkav og vendepunkter ................................................................................................................ 7 Kontinuerlige funksjoner ............................................................................................................................... 8 Definisjonsområde......................................................................................................................................... 9 Ytre punkter, indre punkter og endepunkter ................................................................................................ 9 Mengder ........................................................................................................................................................ 9 Ekstremverdisetningen ................................................................................................................................ 10 Optimering uten bibetingelser ................................................................................................ 10 Stasjonære punkter ..................................................................................................................................... 10 Klassifisere stasjonære punkter ................................................................................................................... 10 Optimering over definisjonsområde ........................................................................................................... 11 Lagranges metode .................................................................................................................. 12 Kuhn-Tuckers metode ............................................................................................................ 13 Funksjonsanalyse ............................................................................................................ 14 Implisitt derivasjon................................................................................................................. 14 Elastisiteter ............................................................................................................................ 14 Homogene funksjoner ............................................................................................................ 15 Lineær algebra................................................................................................................ 16 Lineære systemer og matriser ................................................................................................. 16 Vektorer ....................................................................................................................................................... 16 Matriser ....................................................................................................................................................... 16 Matriselikningen 𝐴𝑥 = 𝑏 ............................................................................................................................. 16 Regneoperasjoner med matriser ................................................................................................................. 17 Kvadratisk matrise ....................................................................................................................................... 17 Transponerte ............................................................................................................................................... 17 Ortogonale matriser .................................................................................................................................... 17 Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 2 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Symmetri ..................................................................................................................................................... 18 Diagonalmatrise........................................................................................................................................... 18 Identitetsmatrisen ....................................................................................................................................... 18 Determinanter ....................................................................................................................... 19 Utviklingssetningen ..................................................................................................................................... 20 Inverse ................................................................................................................................... 21 Invers ved kofaktorutvikling ........................................................................................................................ 21 Invers ved Gauss-Jordan eliminasjon .......................................................................................................... 21 Løse likningssystemet 𝑨𝒙 = 𝒃 ................................................................................................ 22 Løsning......................................................................................................................................................... 22 Når har systemet løsning ............................................................................................................................. 22 Cramers regel .............................................................................................................................................. 22 Integrasjon ..................................................................................................................... 23 Grunnleggende integrasjon..................................................................................................... 23 Delvis integrasjon ................................................................................................................... 24 Integrasjon ved substitusjon ................................................................................................... 24 Differensiallikninger ....................................................................................................... 25 Første ordens differensiallikninger .......................................................................................... 25 Separable differensiallikninger .................................................................................................................... 26 Lineære differensiallikninger ....................................................................................................................... 27 Partikulær løsning ........................................................................................................................................ 27 Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 3 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Optimeringsproblemer Grunnleggende funksjonsanalyse Oppsummering av derivasjonsregler Opprinnelig funksjon 𝒇(𝒙) Deriverte av funksjon 𝒇′(𝒙) 𝑓(𝑥) = 𝑘 𝑓 ′ (𝑥) = 0 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛 ⋅ 𝑥 𝑛−1 𝑓(𝑥) = 𝑘 ⋅ 𝑔(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑘 ⋅ 𝑔′(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑔′ (𝑥) + ℎ′(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑔(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑒 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑔′(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = 1 𝑥 𝑓(𝑥) = ln 𝑔(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = 1 ⋅ 𝑔′(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑘 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑘 𝑥 ⋅ ln 𝑘 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ ℎ(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑔′ (𝑥) ⋅ ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑥) ⋅ ℎ′(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑛 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑔′ (𝑥) ⋅ ℎ(𝑥) − 𝑔(𝑥) ⋅ ℎ(𝑥) ℎ(𝑥)2 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑛 ⋅ 𝑔(𝑥)𝑛−1 ⋅ 𝑔′(𝑥) Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 4 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Ekstremalpunkter Ekstremalpunkter er en samlebetegnelse for maksimumspunkter og minimumspunkter. Globale ekstremalpunkter er punkter hvor funksjonsverdien 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) har størst/minst verdi over alle kombinasjoner av 𝑥1 , 𝑥2 , … . , 𝑥𝑛 . Lokale ekstremalpunkter er punkter hvor funksjonsverdien 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) er størst/minst over alle kombinasjoner av 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 over et begrenset område. 𝑓(𝑥) Globalt maksimum Lokalt maksimum Lokalt minimum 𝑥 Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 5 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Voksende og avtagende 𝒇(𝒙) er voksende 𝒇(𝒙) er strengt voksende hvis 𝑓(𝑥2 ) ≥ 𝑓(𝑥1 ) når 𝑥2 > 𝑥1 hvis 𝑓(𝑥2 ) > 𝑓(𝑥1 ) når 𝑥2 > 𝑥1 hvis 𝑓 ′ (𝑥) ≥ 0 for alle 𝑥 hvis 𝑓 ′ (𝑥) > 0 for alle 𝑥 𝒇(𝒙) er avtagende 𝒇(𝒙) er strengt avtagende hvis 𝑓(𝑥2 ) ≤ 𝑓(𝑥1 ) når 𝑥2 > 𝑥1 hvis 𝑓(𝑥2 ) < 𝑓(𝑥1 ) når 𝑥2 > 𝑥1 hvis 𝑓 ′ (𝑥) ≤ 0 for alle 𝑥 hvis 𝑓 ′ (𝑥) < 0 for alle 𝑥 Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 6 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Konveks, konkav og vendepunkter 𝑓′′(𝑥) 𝑓(𝑥) Vendepunkt Konkav 𝑥 Konveks Den dobbeltderiverte 𝑓′′(𝑥) sier når funksjonen er konveks eller konkav. Når 𝑓′′(𝑥) er negativ er funksjonen konkav Når 𝑓′′(𝑥) er positiv er funksjonen konveks Når 𝑓′′(𝑥) skifter fortegn har funksjonen et vendepunkt (altså når 𝑓(𝑥) skifer mellom å være konkav/konveks) Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 7 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Kontinuerlige funksjoner En funksjon er kontinuerlig dersom den er sammenhengende. Hvis funksjonen er todimensjonal så betyr det at du kan tegne kurven til funksjonen uten å måtte løfte pennen fra arket. 𝒇(𝒙) er kontinuerlig Funksjon 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝒇(𝒙) er kontinuerlig Funksjon 𝑓(𝑥) = 𝒇(𝒙) er ikke kontinuerlig 1 𝑥 Funksjon −𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) = { 𝑥, 𝑥<2 𝑥≥2 Forklaring på to-delt funksjon 𝑓(𝑥) = −𝑥 når 𝑥 < 2 𝑓(𝑥) = 𝑥 når 𝑥 ≥ 2 Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 8 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Definisjonsområde Definisjonsområdet (også kalt definisjonsmengden) til en funksjon sier hvilke verdier av 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 du kan putte inn i funksjonen 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) og få en verdi ut. Funksjon definert over mengde Funksjonen 𝑓(𝑥, 𝑦) er definert over mengden 𝑀. Det vil si at 𝑓(𝑥, 𝑦) er definert for alle verdier av 𝑥 større eller lik 1 og 𝑥 mindre eller lik 2, og alle verdier av 𝑦 større eller lik 1 og mindre eller lik 2. Ytre punkter, indre punkter og endepunkter Ytre punkt: et punkt utenfor definisjonsområdet Indre punkt: et punkt innenfor definisjonsområdet Endepunkt: et punkt langs kanten av definisjonsområdet Mengder Lukket mengde inneholder alle endepunktene Åpen mengde inneholder ikke alle endepunktene Begrenset mengde har tall som endepunkter Ubegrenset mengde har −∞ eller ∞ som endepunkter Kompakt mengde er en lukket og begrenset mengde Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 9 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Ekstremverdisetningen Dersom en funksjon er kontinuerlig over en lukket og begrenset mengde, vil funksjonen ha et maksimumspunkt og minimumspunkt over mengden. Optimering uten bibetingelser Stasjonære punkter Stasjonære punkter er punkter der alle partiellderiverte er lik 0 samtidig. Du finner stasjonære punkter ved å partiell-derivere funksjonen 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ). Deretter setter du alle de partiell-deriverte lik 0, og løser likningssettet for 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 . Klassifisere stasjonære punkter Stasjonære punkter kan være maksimumspunkter, minimumspunkter eller sadelpunkter. Dobbelt-derivert testen Funksjonen 𝑓(𝑥, 𝑦) har et stasjonært punkt (𝑥, 𝑦) = (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ) ′′ (𝑥 ∗ ∗ ) 𝐴 = 𝑓𝑥𝑥 ,𝑦 ′′ 𝐵 = 𝑓𝑥𝑦 (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ) ′′ (𝑥 ∗ ∗ ) 𝐶 = 𝑓𝑦𝑦 ,𝑦 Lokalt maksimumspunkt Lokalt minimumspunkt Sadelpunkt 𝐴𝐶 − 𝐵 2 > 0 og 𝐴 < 0 𝐴𝐶 − 𝐵 2 > 0 og 𝐴 > 0 𝐴𝐶 − 𝐵 2 < 0 Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 10 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Optimering over definisjonsområde Dersom definisjonsområdet/definisjonsmengden er en lukket og begrenset mengde vil funksjonen oppnå maksimum og minimum over mengden. Da må maks/min punktet befinne seg inne i definisjonsområdet eller langs kanten av definisjonsområdet. Maksimumspunkter/minimumspunkter over området/mengde 1. Undersøk indre stasjonære punkter 2. Undersøk punkter langs kantene av definisjonsområdet • Stasjonære punkter langs kanten av definisjonsområdet • Hjørnepunkter i hjørnene av definisjonsområdet’ 3. Sammenlign punktene ved å sette de inn i funksjonen for å avgjøre hvilket punkt som er maksimumspunktet og minimumspunktet Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 11 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Lagranges metode Lagranges metode brukes til å optimere funksjoner under bibetingelser gitt som likninger. Nedenfor er en generell fremgangsmetode. 1. Definisjon av optimeringsproblemet Maksimer/minimer 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) gitt bibetingelsene 𝑔1 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑏1 𝑔2 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑏2 ⋮ 𝑔𝑚 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑏𝑚 2. Lag Lagrangefunksjonen 𝑚 𝐿(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) − ∑ 𝜆𝑖 (𝑔𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) − 𝑏𝑖 ) 𝑖=1 3. Nødvendige betingelser for løsning (1) (2) ⋮ (𝑛) (𝑛 + 1) (𝑛 + 2) ⋮ (𝑛 + 𝑚) 𝐿′𝑥1 = 0 𝐿′𝑥2 = 0 ⋮ 𝐿′𝑥𝑛 = 0 𝑔1 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑏1 𝑔2 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑏2 ⋮ 𝑔𝑚 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑏𝑚 Første ordens betingelser Bibetingelser 4. Løs likningssettet Løs likningssettet fra steg 3 for alle kombinasjoner av 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 og 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑚 som tilfredsstiller betingelsene fra steg 3. De punktene du finner ansees som kandidatpunkter til maksimum/minimum 5. Evaluer kandidatpunktene Evaluer kandidatpunktene ved å sette kandidatpunkt inn i 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) hver for seg og sammenlikn funksjonsverdien. Punktet med størst funksjonsverdi er maksimum og punktet med minst funksjonsverdi er minimum. Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 12 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Kuhn-Tuckers metode Kuhn-Tuckers metode brukes til å optimere funksjoner under bibetingelser gitt som ulikheter. Slike optimeringsproblemer kalles for ikke-lineære programmeringsproblemer. 1. Definisjon av optimeringsproblemet Maksimer/minimer 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) gitt bibetingelsene 𝑔1 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ≤ 𝑏1 𝑔2 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ≤ 𝑏2 ⋮ 𝑔𝑚 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ≤ 𝑏𝑚 2. Lag Lagrangefunksjonen 𝑚 𝐿(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) − ∑ 𝜆𝑖 (𝑔𝑖 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) − 𝑏𝑖 ) 𝑖=1 3. Nødvendige betingelser for løsning (𝐼) (𝐼𝐼) (𝐼𝐼𝐼) 𝐿′𝑥𝑖 = 0 𝑔𝑗 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) ≤ 𝑏𝑗 𝜆𝑗 ≥ 0 𝑓𝑜𝑟 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑗 = 1,2, … , 𝑚 𝑓𝑜𝑟 𝑗 = 1,2, … , 𝑚 Forkortelse av skrivemåten fra Lagranges metode ‘’Alle lambdaene er større eller lik 0’’ Komplementær slakkhet 𝜆𝑗 > 0 𝜆𝑗 = 0 ↔ 𝑔𝑗 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑏𝑗 ↔ 𝑔𝑗 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) < 𝑏𝑗 4. Løs likningssettet Løs likningssettet fra steg 3 for alle kombinasjoner av 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 og 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑚 som tilfredsstiller betingelsene fra steg 3. De punktene du finner ansees som kandidatpunkter til maksimum/minimum 5. Evaluer kandidatpunktene Evaluer kandidatpunktene ved å sette kandidatpunkt inn i 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) hver for seg og sammenlikn funksjonsverdien. Punktet med størst funksjonsverdi er maksimum og punktet med minst funksjonsverdi er minimum. Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 13 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Funksjonsanalyse Implisitt derivasjon Er en måte å finne stigningstallet til en kurve som ikke er gitt ved en funksjon, men en likning. Implisitt derivasjon lar oss altså finne 𝑦′ når 𝑦 ikke er en funksjon av 𝑥. Fremgangsmåte: 1. Lat som at 𝑦 = 𝑓(𝑥) 2. Derivere hele likningen med hensyn på 𝑥 3. Løs for 𝑦′ Elastisiteter Elastisiteten (partiell-elastisiteten) til en funksjon viser prosentvis endring i avhengig variabel 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) gitt en liten prosentvis endring (vanligvis 1% endring) i en av de uavhengige variablene 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 . Generell skrivemåte: elastisiteten til 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) med hensyn på 𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝐸𝑙𝑥𝑖 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = ⋅ 𝑓′ 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) 𝑥𝑖 hvor 𝑖 kan være 1,2, … , 𝑛 Tolkning Det er vanlig å tolke prosentvis endring i avhengig variabel, gitt en 1% endring i uavhengig variabel. Hvis 𝐸𝑙𝑥 𝑓(𝑥) = −1,5 betyr det at avhengig variabel reduseres med 1,5% hvis du øker uavhengig variabel med 1%. Eller motsatt, at avhengig variabel øker med 1,5% hvis du reduserer uavhengig variabel med 1%. Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 14 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Homogene funksjoner En funksjon er homogen av grad 𝑲 dersom du kan øke alle de uavhengige variablene 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 med et tall 𝑡, slik at den avhengige variabelen øker med 𝑡 𝐾 . Beregne homogenitetsgraden 𝑲 1. Ta utgangspunkt i funksjonen 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) 2. Gang alle de uavhengige variablene med et tall 𝑡 slik at 𝑓(𝑡𝑥1 , 𝑡𝑥2 , … , 𝑡𝑥𝑛 ) 3. Hvis du kan trekke ut 𝑡 slik at 𝑡 𝐾 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) er funksjonen homogen av grad 𝐾 Eulers teorem Eulers teorem er en alternativ måte å beregne homogenitetsgraden 𝐾 på. Eulers teorem sier at funksjonen 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) er homogen av grad 𝐾 dersom 𝑓𝑥′1 ⋅ 𝑥1 + 𝑓𝑥′2 ⋅ 𝑥2 + ⋯ + 𝑓𝑥′𝑛 ⋅ 𝑥𝑛 = 𝐾 ⋅ 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) Eulers teorem og elastisiteter Du kan også finne homogenitetsgraden 𝐾 ved å summere partiell-elastisitetene til funksjonen 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 ⋅ 𝑓𝑥′1 + ⋅ 𝑓𝑥′2 + ⋯ + ⋅ 𝑓′ = 𝐾 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) 𝑥𝑛 som er det samme som å skrive 𝐸𝑙𝑥1 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) + 𝐸𝑙𝑥2 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) + ⋯ + 𝐸𝑙𝑥𝑛 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝐾 Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 15 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Lineær algebra Lineære systemer og matriser Lineær vil si at likningene er av første orden, som betyr at alle de ukjente kun er opphøyd i 1 (og ikke 2,3 … , 𝑛). Generelt lineært ligningssystem med 𝑚 likninger og 𝑛 ukjente 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 … 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 … ⋮ 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 . . Vektorer En vektor er et ordnet sett med tall eller symboler 𝑎 = [𝑎1 𝑎2 𝑎1 𝑎2 𝑎=[ ⋮ ] 𝑎𝑛 … 𝑎𝑛 ] ← Radvektor ← Kolonnevektor Matriser Rader (likninger) Rektangulær oppstilling av tall eller symboler 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 𝐴=[ ⋮ Matrisen 𝐴 har format (𝑚 ⋅ 𝑛) ⋮ ⋱ ⋮ ]← 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 Kolonner (ukjente) Matriselikningen 𝐴𝑥 = 𝑏 Det generelle ligningssystemet ovenfor kan skrives som en matriselikning 𝐴𝑥 = 𝑏 ↔ 𝑎11 𝑎21 [ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑚2 … 𝑎1𝑛 𝑥1 𝑏1 … 𝑎2𝑛 𝑥2 𝑏2 ⋱ ⋮ ]⋅[ ⋮ ]=[ ⋮ ] … 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 𝑏𝑚 Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 16 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Regneoperasjoner med matriser I lineær algebra så har rekkefølgen på operasjonene noe å si, i motsetning til vanlig algebra. Det betyr at hvis du ganger sammen to matriser 𝐴 og 𝐵 så er det slik at: 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴, med mindre 𝐴 = 𝐵 eller at en av matrisene er lik Identitetsmatrisen 𝐼 Relevante regler (𝐴𝐵)𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶) 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 (𝐴 + 𝐵)𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 Kvadratisk matrise Matrisen 𝐴 er kvadratisk dersom den har like mange rader 𝑚 som kolonner 𝑛. Transponerte Den transponerte til (𝑚 ⋅ 𝑛) matrisen 𝐴 er den matrisen du får om du bytter alle rader med kolonner. Formatet til den transponerte matrisen blir (𝑛 ⋅ 𝑚). 𝑎11 𝑎21 𝐴′ = [ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑚2 … … ⋱ … 𝑎1𝑛 ′ 𝑎11 𝑎2𝑛 𝑎12 ⋮ ] =[ ⋮ 𝑎𝑚𝑛 𝑎1𝑛 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎2𝑛 … 𝑎𝑚1 … 𝑎𝑚2 ⋱ ⋮ ] … 𝑎𝑚𝑛 Relevante regler (𝐴′ )′ = 𝐴 (𝐴 + 𝐵)′ = 𝐴′ + 𝐵′ (𝛼𝐴)′ = 𝛼𝐴′ (𝐴𝐵)′ = 𝐵′𝐴′ Ortogonale matriser En kvadratisk matrise 𝐴 er ortogonal hvis 𝐴𝐴′ = 𝐼 eller 𝐴′ = 𝐴−1 Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 17 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Symmetri Matrisen 𝐴 er symmetrisk dersom 𝐴 = 𝐴′ . Matrisen må være kvadratisk. 𝑎 𝐴 = [1 2 1 𝑏 3 2 3] 𝑐 ← Symmetrisk Matrisen 𝐴 er skeivsymmetrisk dersom 𝐴 = −𝐴′. Matrisen må være kvadratisk, og alle tallene langs hoveddiagonalen må være 0. 0 𝐴 = [−1 −2 1 2 0 3] −3 0 ← Skeivsymmetrisk Diagonalmatrise En diagonalmatrise er en kvadratisk matrise der alle elementene utenfor hoveddiagonalen er lik tallet 0. 𝑎11 0 𝐼=[ ⋮ 0 0 𝑎22 ⋮ 0 … … ⋱ … 0 0 ] ⋮ 𝑎𝑛𝑚 Identitetsmatrisen Identitetsmatrisen 𝐼𝑛 er en matrise kvadratisk (𝑛 ⋅ 𝑛) matrise med tallet 1 langs hoveddiagonalen og tallet 0 ellers. 1 0 0 1 𝐼𝑛 = [ ⋮ ⋮ 0 0 … 0 … 0 ] ⋱ ⋮ … 1 Identitetsmatrisen 𝐼𝑛 oppfører seg som tallet 1 i vanlig multiplikasjon, slik at enhver matrise 𝐴 ganget med identitetsmatrisen 𝐼 vil være lik matrisen 𝐴 𝐼𝑛 ⋅ 𝐴(𝑛⋅𝑛) = 𝐴(𝑛⋅𝑛) ⋅ 𝐼𝑛 = 𝐴(𝑛⋅𝑛) Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 18 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Determinanter Determinanten til matrisen 𝐴, noteres ofte som |𝐴| eller det (𝐴). Determinanten er et tall som beregnes basert på elementene i 𝐴, og kan brukes til å si noe om egenskapene til matrisen 𝐴. For eksempel er det slik at matrisen 𝐴 har en invers hvis |𝐴| ≠ 0, og ingen invers dersom |𝐴| = 0 Determinant til 2x2 matrise 𝑎11 𝑎12 𝐴 = [𝑎 ] 21 𝑎22 |𝐴| = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎21 𝑎12 Determinant til 3x3 matrise 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝐴 = [𝑎21 𝑎22 𝑎23 ] 𝑎31 𝑎32 𝑎33 |𝐴| = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎31 𝑎22 𝑎13 − 𝑎32 𝑎23 𝑎11 − 𝑎33 𝑎21 𝑎12 Relevante regler 1. |𝐴| = |𝐴′ | 2. |𝐴 ⋅ 𝐵| = |𝐴| ⋅ |𝐵| 3. |𝑐𝐴| = 𝑐 𝑛 |𝐴| 4. |𝐴 + 𝐵| ≠ |𝐴| + |𝐵| 5. Hvis alle tallene i en rad eller kolonne er lik 0, blir |𝐴| = 0 6. Hvis to rader eller kolonner er like, så er |𝐴| = 0 7. Hvis to linjer eller kolonner er proporsjonale er |𝐴| = 0 8. Hvis to rader eller kolonner bytter plass, blir den nye determinanten −|𝐴| 9. Hvis alle elementene i en rad eller kolonne multipliseres med en konstant 𝑐, blir determinanten 𝑐|𝐴| 10. Hvis et konstant multiplum av en rad eller kolonne legges til en annen rad eller kolonne vil determinantens verdi være uendret Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 19 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Utviklingssetningen Utviklingssetningen er en metode som lar deg finne determinanten til en (𝑛 ⋅ 𝑛) matrise. 𝐴 er en kvadratisk (𝑛 ⋅ 𝑛) matrise, med 𝑛 rader og 𝑛 kolonner 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑗 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑗 … 𝑎2𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗 ](𝑛⋅𝑛) = 𝑎 ← Hvor 𝑖 er rad og 𝑗 er kolonne 𝑎 … 𝑎 … 𝑎 𝑖1 𝑖2 𝑖𝑗 𝑖𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎 𝑎 … 𝑎 … 𝑎 [ 𝑛1 𝑛2 𝑛𝑗 𝑛𝑛 ](𝑛⋅𝑛) 𝐴𝑖𝑗 kalles for kofaktoren (eller komplimentet) til elementet 𝑎𝑖𝑗 i matrisen 𝐴. Kofaktoren 𝐴𝑖𝑗 er determinanten til ‘’del-matrisen’’ som inneholder alle elementene i 𝐴, men unntak av alle elementene langs rad 𝑖 og kolonne 𝑗, ganget med (−1)𝑖+𝑗 . 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝑎11 | 𝑎𝑖1 𝑎𝑛1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑛𝑗 𝑎1𝑛 𝑎𝑖𝑛 | 𝑎𝑛𝑛 (𝑛−1)⋅(𝑛−1) Determinanten til 𝐴 kan utvikles etter en rad eller kolonne fra 𝐴 Fra rad 𝒊: |𝐴| = 𝑎𝑖1 |𝐴𝑖1 | + 𝑎𝑖2 |𝐴𝑖2 | + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 |𝐴𝑖𝑛 | Fra kolonne 𝒋: |𝐴| = 𝑎1𝑗 |𝐴1𝑗 | + 𝑎2𝑗 |𝐴2𝑗 | + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 |𝐴𝑛𝑗 | Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 20 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Inverse Den inverse til matrisen 𝐴 noteres 𝐴−1. Den inverse av matrisen 𝐴 er en matrise slik at 𝐴𝐴−1 = 𝐴−1 𝐴 = 𝐼. Matrisen 𝐴 har en invers dersom |𝐴| ≠ 0. Invers ved kofaktorutvikling 𝐴−1 = 1 ⋅ 𝑎𝑑𝑗 𝐴 |𝐴| der 𝑎𝑑𝑗 𝐴 er en adjungerte til matrisen 𝐴, hvor hver av elementene i 𝑎𝑑𝑗 𝐴 er den transponerte av matrisen som inneholder alle kofaktorene til matrisen 𝐴 𝐴11 𝐴 𝑎𝑑𝑗 𝐴 = [ 12 ⋮ 𝐴1𝑛 𝐴21 𝐴22 ⋮ 𝐴2𝑛 … 𝐴𝑛1 … 𝐴𝑛2 ] ⋱ ⋮ … 𝐴𝑛𝑛 der 𝐴𝑖𝑗 er kofaktoren til 𝐴, utviklet basert på elementet 𝑎𝑖𝑗 i rad 𝑖 og kolonne 𝑗 𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝑎11 | 𝑎𝑖1 𝑎𝑛1 𝑎1𝑗 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑛𝑗 𝑎1𝑛 𝑎𝑖𝑛 | 𝑎𝑛𝑛 (𝑛−1)⋅(𝑛−1) Invers ved Gauss-Jordan eliminasjon Gauss-Jordan eliminasjon er kanskje den enkleste metoden for å 𝐴−1 [𝐴 | 𝐼] = [𝐼 | 𝐴−1 ] Lag matrisen[𝐴 | 𝐼], der 𝐼 er identitetsmatrisen og 𝐴 er koeffisientmatrisen. Benytt tillatte rad operasjoner ved Gauss-eliminasjon helt til du sitter igjen med matrisen [𝐼 | 𝐴−1 ], med identitetsmatrisen 𝐼 på venstre side. Matrisen til høyre for 𝐼 vil da være 𝐴−1 . Tillatte radoperasjoner 1. Bytte plass på to rader 2. Gange en rad med et tall forskjellig fra 0 3. Addere et multiplum av en rad til en annen rad Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 21 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Løse likningssystemet 𝑨𝒙 = 𝒃 Generelt likningssystem med 𝑚 likninger og 𝑛 ukjente 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1 … 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2 … ⋮ 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 . . Systemet kan skrives som en matriselikning 𝐴𝑥 = 𝑏, hvor 𝐴 er koeffisientmatrisen, 𝑥 er en vektor med 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , og 𝑏 er en vektor med alle konstantene 𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑚 𝐴𝑥 = 𝑏 ↔ 𝑎11 𝑎21 [ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎12 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑚2 … 𝑎1𝑛 𝑥1 𝑏1 … 𝑎2𝑛 𝑥2 𝑏 ⋅[ ⋮ ] = [ 2] ⋱ ⋮ ] ⋮ … 𝑎𝑚𝑛 (𝑚⋅𝑛) 𝑥𝑛 (𝑛⋅1) 𝑏𝑚 (𝑚⋅1) Løsning Løsningen på systemet er gitt ved 𝑥 = 𝐴−1 𝑏 𝐴−1 𝐴𝑥 = 𝐴−1 𝑏 ↔ 𝐼𝑥 = 𝐴−1 𝑏 ↔ 𝑥 = 𝐴−1 𝑏 Når har systemet løsning 𝑚=𝑛 Like mange likninger som ukjente Entydig løsning 𝑚>𝑛 Flere likninger enn ukjente Som oftest ingen løsning 𝑚<𝑛 Færre likninger enn ukjente Som oftest uendelig mange løsninger Cramers regel Matriselikningen 𝐴𝑥 = 𝑏 er det generelle likningssystemet med 𝑛 likninger og 𝑛 ukjente. Systemet har entydig løsning dersom |𝐴| ≠ 0. Cramers regel er en metode for å løse dette likningssystemet, hvor løsningen er gitt ved 𝑥1 = |𝐴2 | |𝐴𝑛 | |𝐴1 | , 𝑥2 = , … , 𝑥𝑛 = |𝐴| |𝐴| |𝐴| hvor 𝐴𝑗 er koeffisientmatrisen 𝐴 hvor kolonne 𝑗 er erstattet med høyresiden i likningssystemet. Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 22 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Integrasjon Grunnleggende integrasjon Nedenfor er noen grunnleggende integrasjonsregler. Husk å alltid legge til konstanten 𝐶 til det integrerte uttrykket slik at løsningen generaliseres. I noen tilfeller brukes absoluttverdi, som betyr at negative fortegn blir omgjort til positive fortegn. ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 𝑭(𝒙) ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 1 𝑥 𝑛+1 + 𝐶 𝑛+1 𝑛 ≠ −1 ∫ 1 𝑑𝑥 𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶 |𝑥| ← absoluttverdi ∫ 1 𝑑𝑥 𝑥+𝑎 = 𝑙𝑛|𝑥 + 𝑎| + 𝐶 |𝑥 + 𝑎| ← absoluttverdi ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑒 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 1 𝑎𝑥 𝑒 +𝐶 𝑎 ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝐶 For to gitte funksjoner 𝑓(𝑥) og 𝑔(𝑥): ∫ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 For en funksjon 𝑓(𝑥) og en konstant 𝐶: ∫ 𝐶 ⋅ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐶 ⋅ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 23 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Delvis integrasjon Bruk delvis integrasjon når du skal integrere flere funksjoner av samme variabel slik som ∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥. Delvis integrasjon er basert på produktregelen fra derivasjon (𝑢 ⋅ 𝑣)′ = 𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣′, hvor 𝑢 = 𝑓(𝑥) og 𝑣 = 𝑔(𝑥) Delvis integrasjon formel ∫ 𝑢𝑣 ′ 𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑢′ ⋅ 𝑣 𝑑𝑥 , hvor 𝑢 = 𝑓(𝑥) og 𝑣 = 𝑔(𝑥) Prioritert rekkefølge for valg av 𝒖 1. 𝑙𝑛 (𝑥) 2. 𝑥𝑛 3. 𝑒 𝑛𝑥 Integrasjon ved substitusjon Generell fremgangsmåte for integrasjon ved substitusjon Substitusjon 1. Velg den høyeste graden av polynom du skal substituere og kall den 𝑢 2. Deriver 𝑢 med hensyn på 𝑥, benytt skrivemåten 𝑑𝑥 og omskriv ved å isolere 𝑑𝑢 𝑑𝑢 på en side av likhetstegnet 3. Sett variabelen 𝑢 inn for polynomet du valgte i punkt 1. 4. Sett inn 𝑑𝑢 ved å identifisere uttrykket i integralet fra punkt 2. Integrasjon 5. Løs integralet med hensyn på 𝑢 6. Sett inn polynomet fra punkt 1. tilbake inn for 𝑢 Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 24 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Differensiallikninger Første ordens differensiallikninger Differensiallikninger er likninger hvor den ukjente er en funksjon, og hvor den deriverte av funksjonen er en del av likningen. Første orden refererer til at det kun er den første-deriverte som inngår i likningen, mens ved andre eller tredje orden, så inngår også den andre-deriverte eller tredjederiverte av funksjonen. Notasjon 𝛿𝑥(𝑡) 𝑑𝑥(𝑡) = = 𝑥 ′ (𝑡) = 𝑥̇ (𝑡) 𝛿𝑡 𝑑𝑡 𝑥(𝑡) sier at variabelen 𝑥, er en funksjon av tiden 𝑡. Når det er snakk om differensiallikninger er det vanligst å bruke 𝑥̇ (𝑡) som et uttrykk for den deriverte av 𝑥(𝑡) med hensyn på 𝑡. Eksempel Populasjonsveksten i en reveflokk kan beskrives med en differensiallikningen nedenfor 𝑥̇ (𝑡) = 𝑟 ⋅ 𝑥(𝑡) 𝑥(𝑡) 𝑥(𝑡) er antall rever i flokken på et gitt tidspunkt 𝑡. Antall rever i flokken 𝑥 er en funksjon av tidspunktet 𝑡. Vi observerer størrelsen på flokken men vi kjenner ikke til den nøyaktige funksjonen til flokken, men vi ser at den varierer med tidspunkt 𝑡. 𝑟 Vekstraten, altså hvor mange prosent flokken øker med i størrelse hvert år. En konstant vekstrate som baseres på hvor mange reveunger som fødes i gjennomsnitt per foreldrepar. 𝑥̇ (𝑡) Viser hvor mange rever flokken økte med i antall over et år 𝑡. Den deriverte av funksjonen 𝑥(𝑡) med hensyn på tidspunkt 𝑡. Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 25 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Separable differensiallikninger Separable differensiallikninger er skrevet på formen 𝑥̇ = 𝑓(𝑡)𝑔(𝑥) Metode for generell løsning 𝑥̇ = 𝑓(𝑡)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑡)𝑔(𝑥) 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑡)𝑔(𝑥)𝑑𝑡 1 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑔(𝑥) ∫ 1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 𝑔(𝑥) Eksempel 𝑥̇ = 𝑥𝑒 𝑡 , hvor 𝑥 = 𝑔(𝑥) og 𝑒 𝑡 = 𝑓(𝑡) 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 𝑡 𝑑𝑡 1 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 1 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 𝑙𝑛(𝑥) = 𝑒 𝑡 + 𝐶 𝑡 𝑥 = 𝑒 𝑒 +𝐶 ↔ 𝑡 𝑥 = 𝑒𝑒 ⋅ 𝑒𝐶 ↔ 𝒕 𝒙 = 𝑨𝒆𝒆 , hvor 𝐴 = 𝑒 𝐶 Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 26 Eksamenskurs på nett. Se videoer, test deg selv og få faglig hjelp Lineære differensiallikninger Vi tar for oss to typer med lineære differensiallikninger, som er lineære differensiallikninger med konstant- eller variabel høyreside Lineære differensiallikninger er skrevet på formen Konstant høyreside Variabel høyreside 𝑥̇ + 𝑎𝑥 = 𝑏 𝑥̇ + 𝑎𝑥 = 𝑓(𝑡) Formel for generell løsning Konstant høyreside 𝑥 = 𝐴𝑒 −𝑎𝑡 + 𝑏 𝑎 Variabel høyreside 𝑥 = 𝐶𝑒 −𝑎𝑡 + 𝑒 −𝑎𝑡 ∫ 𝑓(𝑡) 𝑒 𝑎𝑡 𝑑𝑡 Partikulær løsning Partikulær løsning er en løsning hvor konstantene, ofte kalt 𝐴 eller 𝐶 er definert. Størrelsen på konstantene bestemmes ved hjelp av initialbetingelser (tilleggsbetingelser) Eksempel Den separable differensiallikningen 𝑥̇ = 4𝑥 ⋅ 1 𝑡 har den generelle løsningen 𝑥 = 𝐴𝑡 4 . Bruk initialbetingelsen 𝑥(2) = 32 til å finne den partikulære løsningen. Du gjør det ved å sette initialbetingelsen inn i den generelle løsningen og løse for 𝐴 32 = 𝐴(2)4 𝐴= 32 32 = =2 24 16 som gir den partikulære løsningen 𝒙 = 𝟐𝒕𝟒 Dokumentet er til personlig bruk og er beskyttet av EnkelEksamens opphavsrett. 27

Kompendium i Matematisk Analyse: Optimering, Funktioner, Lineær Algebra, Integration

Related documents

Products

Support

Kompendium i Matematisk Analyse: Optimering, Funktioner, Lineær Algebra, Integration

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib