UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
Facultad de Ingeniería Civil
Unidad de Posgrado
Matemática
aplicada
▪ Docente: Felipe Torres Estrella
▪ Ciclo Académico: 2026 - 1
Sistema de
ecuaciones
diferenciales
SUBTEMAS:
2.1.Transformación de una ecuación diferencial de orden
a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer
orden
2.2 Sistemas lineales homogéneos
2.3 Formas canónicas de Jordan. Matriz exponencial
Sesión 2:
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Objetivo: Al finalizar la sesión el estudiante transforma una ecuación diferencial de orden n a un
sistema de n ecuaciones diferenciales.
Además conoce la teoría para resolver un sistema lineal homogéneo de primer orden.
Además el estudiante debe conocer la forma de determinar la forma canónica de Jordan de una
matriz y trabaja con la exponencial de una matriz.
• https://www.youtube.com/watch?app=desktop&v=IOd1IRwG5zM
TRANSFORMACION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE ORDEN n HOMOGENEO A UN
SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Sea la ecuación diferencial de orden 𝑛
𝑎𝑛 𝑡 𝑦 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑡 𝑦 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑡 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑡 𝑦 = 0
Para transformar esta ecuación en un sistema de ecuaciones diferenciales equivalente definimos las primeras (𝑛 −
1) derivadas de 𝑦 (incluyendo la propia 𝑦, la derivada 0-ésima) como nuevas incógnitas:
𝑥1 = 𝑦(𝑡)
𝑥2 = 𝑦′(𝑡)
⋮
𝑥𝑛 = 𝑦 (𝑛−1) (𝑡)
Entonces el sistema consta de la identificación de 𝑥𝑗 (𝑡) como la derivada de 𝑥𝑗−1 (𝑡), junto con la ecuación
diferencial original expresada en estas variables (y dividida entre el coeficiente principal 𝑎𝑛 (𝑡)):
𝑥1′ = 𝑥2
𝑥2′ = 𝑥3
⋮
′
𝑥𝑛−1 = 𝑥𝑛
𝑎0 𝑡
𝑎1 𝑡
𝑎𝑛−1 (𝑡)
𝑥𝑛 ′ = −
𝑥1 −
𝑥2 − ⋯ −
𝑥
𝑎𝑛 𝑡
𝑎𝑛 𝑡
𝑎𝑛 (𝑡) 𝑛
Para sistemas de dos o mas ecuaciones diferenciales de orden superior, se aplica el mismo procedimiento a cada
función incógnita en orden.
Ejemplos
1. La ecuación diferencial para el oscilador masa-resorte no amortiguado sin forzamiento es 𝑚𝑦 ′′ + 𝑘𝑦 = 0. Expresar esta
ecuación diferencial como un sistema equivalente de ecuaciones de primer orden en forma normal expresada en notación matricial.
Respuesta
𝑦′
0
=
𝑣
−𝑘/𝑚
1 𝑦
0 𝑣
2. Sea la ecuación diferencial 𝑦 ′′′ − 6𝑦 ′′ + 11𝑦 ′ − 6𝑦 = 0 como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
equivalente
𝑥1 ′
0
Respuesta 𝑥2 ′ = 0
6
𝑥3 ′
1
0
−11
0 𝑥1
1 𝑥2
6 𝑥3
3. Un oscilador masa-resorte queda descrito mediante el sistema de segundo orden
𝑑2𝑥
2 2 + 6𝑥 − 2𝑦 = 0
𝑑𝑡
𝑑2𝑦
+ 2𝑦 − 2𝑥 = 0
𝑑𝑡 2
Escribirla en la notación matricial
𝑥1 ′
0 1 0 0
𝑥
Respuesta 𝑥2 = −3 0 1 0
0 0
0 1
3
𝑥4
2 0 −2 0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
SISTEMAS LINEALES HOMOGÉNEOS
Describimos a continuación el modo de resolver un sistema homogéneo de primer orden con coeficientes constantes,
𝑋 ′ = 𝐴𝑋. Se calculan la forma canónica de Jordan 𝐽 de A y la matriz de paso 𝑃 tales que 𝑃−1 𝐴𝑃 = 𝐽. Se tiene 𝐴 =
𝑦1
.
𝑃𝐽𝑃−1 . El siguiente paso es hacer el cambio de variable 𝑋 = 𝑃𝑌 con 𝑌 = . y sustituir en la ecuación.
.
𝑦𝑛
Se tiene 𝑃𝑌 ′ = 𝐴𝑃𝑌, esto es, 𝑌 ′ = 𝑃−1 𝐴𝑃𝑌 con lo que la resolución del sistema homogéneo 𝑋 ′ = 𝐴𝑋 queda
reducida a la resolución del nuevo y más simple sistema
𝑌 ′ = 𝐽𝑌
Una vez resuelto éste último, se deshace el cambio y se tiene la solución del sistema homogéneo original.
Desarrollaremos todo este proceso para el caso de los sistemas homogéneos planos (dos ecuaciones). Para sistemas
con más ecuaciones el procedimiento es análogo.
Sistemas lineales homogéneos planos
Sea 𝑋 ′ = 𝐴𝑋 un sistema lineal homogéneo de coeficientes constantes y plano.
Caso 1. Si la matriz A∈ 𝑀2 (𝑅) es diagonalizable con autovalores reales, la forma canónica de Jordan de A es
1
0
0
2
𝑦1′
1
=
0
𝑦2′
0
2
𝐽=
Se hace el cambio 𝑋 = 𝑃𝑌 y se resuelve el sistema 𝑌 ′ = 𝐽𝑌
𝑦1
𝑦2
Resulta 𝑦1 𝑡 = 𝐶1 𝑒 1𝑡 , 𝑦2 𝑡 = 𝐶2 𝑒 2 𝑡 . Escrito en forma matricial,
1 𝑡
1 𝑡
0
𝑦1 𝑡
𝑒
𝑒
𝑌=
= 𝐶1
+ 𝐶2  𝑡 =
𝑦2 (𝑡)
𝑒 2
0
0
Al deshacer el cambio 𝑋 = 𝑃𝑌 , se tiene
1 𝑡
𝐶1
𝑥1 𝑡
𝑒
0
𝑋=
=𝑃
𝐶2
𝑥2 (𝑡)
0
𝑒 2 𝑡
𝑝11
𝑝12
= 𝐶1 𝑒 1 𝑡 𝑝
+ 𝐶2 𝑒 2 𝑡 𝑝
21
22
0
𝑒 2 𝑡
𝐶1
𝐶2
𝑝11
𝑝12
Siendo 𝑝
y 𝑝
las columnas de 𝑃, esto es, las autovectores asociados a los autovalores 1 y 2 respectivamente.
21
22
Obsérvese que la matriz
1 𝑡
𝑒
Φ 𝑡 =𝑃
0
0
𝑒 2 𝑡
es una matriz fundamental.
Caso 2. Si la matriz A no es diagonalizable, con un autovalor doble  ∈ 𝑅, entonces
𝐽=
𝜆 1
0 𝜆
Se considera 𝑋 = 𝑃𝑌 y se resuelve el sistema 𝑌 ′ = 𝐽𝑌. Queda
𝑦2 𝑡 = 𝑐2 𝑒  𝑡
Al sustituir en 𝑦1′ = 𝑦1 + 𝑦2 se tiene 𝑦1′ = 𝑦1 + 𝐶2 𝑒  𝑡 . Esta ecuación, para cada valor de 𝐶2 fijo, es lineal de primer orden. Al
resolver, da lugar a
𝑦1 (𝑡) = 𝑐1 𝑒  𝑡 + 𝑐2 𝑡𝑒  𝑡
Por tanto, escrito en forma matricial,
𝑌=
𝑦1 𝑡
= 𝑐1
𝑦2 (𝑡)
𝑒 𝑡
0
+ 𝑐2
𝑡𝑒 𝑡 = 𝑒 𝑡
𝑒 𝑡
0
𝑡𝑒 𝑡
𝑒 𝑡
𝑐1
𝑐2
Se deshace el cambio 𝑋 = 𝑃𝑌 y queda
𝑡
𝑒
𝑋=𝑃
0
𝑡
𝑒
La matriz Φ 𝑡 = 𝑃
0
𝑡𝑒 𝑡
𝑒 𝑡
𝑡𝑒 𝑡
𝑒 𝑡
𝑐1
𝑡
=
𝑒
𝑐2
es una matriz fundamental.
𝑐1 + 𝑐2 𝑡
𝑝11
𝑝12
+
𝑐
2 𝑝
𝑝21
22
caso 3. Si la matriz tiene dos autovalores complejos conjugados  = 𝑎 + 𝑖𝑏, ത = 𝑎 − 𝑖𝑏, la forma canónica de Jordan es la
matriz
𝐽=
La matriz de paso 𝑃 = 𝑃1
𝜆 0
∈ 𝑀2 (ℂ)
0 𝜆ҧ
𝑃2 ∈ 𝑀2 (ℂ) tiene por columnas 𝑃1 , 𝑃2 = 𝑃1 a los autovectores (complejos conjugados)
ത
asociados a los autovalores  𝑦 .
Se hace el cambio 𝑋 = 𝑃𝑌 y se resuelve el sistema
𝑌 ′ = 𝐽𝑌
Se obtiene 𝑦1 (𝑡)= 𝑐1 𝑒 𝑎+𝑖𝑏 𝑡 , 𝑦2 (𝑡) = 𝑐2 𝑒 𝑎−𝑖𝑏 𝑡 con 𝑐1 , 𝑐2 ∈ ℂ constantes arbitrarias. Escrito en forma matricial,
𝑎+𝑖𝑏 𝑡
𝑦1 𝑡
𝑒
𝑌=
=
𝑦2 (𝑡)
0
0
𝑒 𝑎−𝑖𝑏 𝑡
𝑐1
𝑐2
Deshaciendo el cambio, obtenemos
𝑎+𝑖𝑏 𝑡
𝑥1 𝑡
𝑒
𝑋=
=𝑃
𝑥2 (𝑡)
0
0
𝑒 𝑎−𝑖𝑏 𝑡
𝑐1
𝑐2
= 𝑐1 𝑒 (𝑎+𝑖𝑏)𝑡 𝑃1 + 𝑐2 𝑒 (𝑎−𝑖𝑏)𝑡 𝑃1
que es la solución general compleja del sistema 𝑋 ′ = 𝐴𝑋. Nosotros deseamos encontrar la solución general real (las
funciones 𝑥1 𝑡 , 𝑥2 (𝑡)) deben será reales. Para obtenerla, basta encontrar que si 𝑋(𝑡) es solución compleja del sistema
𝑝11
𝑢 + 𝑖𝑣1
𝑋 ′ = 𝐴𝑋, entonces 𝑅𝑒(𝑋 𝑡 ) e 𝐼𝑚(𝑋 𝑡 ) son soluciones reales de 𝑋 ′ = 𝐴𝑋. Si 𝑃1 = 𝑝
= 1
, se tiene que
𝑢2 + 𝑖𝑣2
21
𝑢1
𝑣1
𝑅𝑒 𝑃1 = 𝑢 y 𝐼𝑚 𝑃1 = 𝑣 . Consideremos la solución compleja
2
2
𝑒 𝑎+𝑖𝑏𝑡 𝑃1 = 𝑒 𝑎𝑡 cos 𝑏𝑡 + 𝑖𝑠𝑒𝑛 𝑏𝑡
= 𝑒 𝑎𝑡
cos 𝑏𝑡
𝑢1
𝑣1
𝑢2 − 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡) 𝑣2
+ 𝑖𝑒 𝑎𝑡
𝑢1
𝑣1
+
𝑖
𝑢2
𝑣2
sen 𝑏𝑡
𝑢1
𝑢2 + 𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑡
𝑣1
𝑣2
Por lo dicho arriba, tanto
𝑋1 𝑡 = 𝑒 𝑎𝑡 cos 𝑏𝑡
𝑢1
𝑣1
−
𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑡)
𝑢2
𝑣2
𝑋2 𝑡 = 𝑒 𝑎𝑡 sen 𝑏𝑡
𝑢1
𝑢2 + 𝑐𝑜𝑠 𝑏𝑡
Como
𝑣1
𝑣2
Son soluciones reales (e independientes) del sistema 𝑋 ′ = 𝐴𝑋, de modo que la solución general será
𝑢1
𝑋 = 𝑐1 𝑋1 + 𝑐2 𝑋2 = 𝑢
2
𝑣1
𝑣2
𝑒 𝑎𝑡 cos 𝑏𝑡
−𝑒 𝑎𝑡 sen 𝑏𝑡
𝑒 𝑎𝑡 sen 𝑏𝑡
𝑒 𝑎𝑡 cos 𝑏𝑡
Obsérvese que la matriz
𝑢1
𝑄= 𝑢
2
𝑣1
1
1
𝑣2 = 𝑅𝑒(𝑃 ) 𝐼𝑚(𝑃 )
𝑐1
𝑐2
es la matriz de paso tal que 𝑄−1 𝐴𝑄 = 𝐽′, siendo 𝐽′ =
𝑎
−𝑏
𝑏
la forma canónica real de 𝐴.
𝑎
En cualquiera de los tres casos, si los dos autovalores de la matriz 𝐴 son tales que 𝑅𝑒 𝜆 < 0, se tiene que
lim 𝑥𝑖 (𝑡) = 0,
𝑖 = 1,2
t→∞
para cualquier solución 𝑋 =
𝑥1 (𝑡)
del sistema 𝑋 ′ = 𝐴𝑋.
𝑥2 (𝑡)
Observación 1. Considere una ecuación lineal de segundo orden homogénea de coeficientes constantes 𝑥 ′′ + 𝑎1 𝑥 ′ +
𝑎0 𝑥 = 0, 𝑎1 , 𝑎2 ∈ ℝ. Mediante el cambio de variables
𝑥 = 𝑥1
ቊ𝑥 ′ = 𝑥
2
se puede reducir el estudio de las soluciones de la ecuación al estudio del sistema plano equivalente
𝑥1′
ቊ ′
𝑥2
El polinomio característico de 𝐴 =
=
𝑥2
𝑜
= −𝑎2 𝑥1 − 𝑎1 𝑥2
0
−𝑎2
𝑥1′
0
=
−𝑎2
𝑥2′
1
−𝑎1
𝑥1
𝑥2
1
es 𝑝 𝜆 = 𝜆2 + 𝑎1 𝜆 + 𝑎2 . Obsérvese la relación existente entre el
−𝑎1
polinomio 𝑝 𝜆 y la ecuación de segundo orden.
Utilizando lo hecho en los sistemas planos y teniendo en cuenta que sólo nos interesa 𝑥1 𝑡 , se concluye que:
•
Caso 1. Si los dos autovalores 𝜆1 , 𝜆2 son reales (y distintos, ya que de ser iguales la matriz 𝐴 sería diagonal),
entonces 𝑥 𝑡 = 𝑥1 𝑡 = 𝑘1 𝑒 𝜆1𝑡 + 𝑘2 𝑒 𝜆2𝑡 , siendo 𝑘1 y 𝑘2 constantes arbitrarias.
•
Caso 2. Si hay un autovalor doble, 𝜆, entonces 𝑥 𝑡 = 𝑥1 𝑡 = 𝑘1 𝑒 𝜆𝑡 + 𝑘2 𝑡𝑒 𝜆𝑡 , siendo 𝑘1 y 𝑘2 constantes arbitrarias.
•
Caso 3. Si los autovalores son complejos conjugados, entonces 𝑥 𝑡 = 𝑥1 𝑡 = 𝑘1 𝑒 𝑎𝑡 cos(𝑏𝑡) +
𝑘2 𝑒 𝑎𝑡 sen 𝑏𝑡 , siendo 𝑘1 y 𝑘2 constantes arbitrarias.
FORMA CANONICA DE JORDAN
Teorema
Sea 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (ℝ) con un número máximo m de vectores propios linealmente independientes. Entonces existen 𝑀 ∈ 𝑀𝑛 (ℝ)
invertible y 𝐽 ∈ 𝑀𝑛 (ℝ) diagonal por bloques tales que
𝐴 = 𝑀𝐽𝑀−1
Siendo 𝐽 una matriz que satisface lo siguiente
𝑎 𝐽 tiene 𝑚 bloques, es decir, tantos bloques como el número máximo de vectores propios linealmente independientes de
𝐴.
𝐽1 0
0 𝐽2
𝐽=
⋮ ⋯
0 0
⋯ 0
⋯ 0
⋱ ⋮
⋯ 𝐽𝑚
(b) Cada bloque 𝐽𝑖 es una matriz triangular superior con único valor propio 𝜆𝑖 repetido a lo largo de su diagonal principal y
correspondiente a uno de los vectores propios asociados a ese valor propio. Sobre la diagonal principal tiene otra diagonal
compuesta por unos si 𝐽𝑖 es de orden mayor que 1, es decir,
𝜆𝑖 1 0
0 𝜆𝑖 1
𝐽𝑖 = ⋮ 0 ⋱
0 ⋮ 0
0 ⋯ 0
⋯
⋯
⋱
⋱
0
0
0
⋮
⋮
𝜆𝑖
(c) El mismo valor propio 𝜆𝑖 puede aparecer en varios bloques si tiene asociados a varios vectores propios linealmente
independientes
A la matriz 𝐽 así definida se le denomina la forma canónica de Jordan de la matriz 𝐴.
Ejemplo 1. El polinomio característico de una matriz 𝐴 es
𝑃𝐴 𝜆 = 𝜆 − 2 3 𝜆 − 3
Las posibles formas canónicas de Jordan de 𝐴 son
2
𝐽= 0
0
0
0
2
0
0
0
0
2
0
0
0 𝑜 𝐽=
0
3
2
0
0
0
1
2
0
0
0
0
2
0
0
0
0
3
2
𝑜 𝐽= 0
0
0
1
2
0
0
0
1
2
0
0
0
0
3
O cualquier matriz obtenida reacomodando los bloques de Jordan en 𝐽. La primera matriz corresponde a una
multiplicidad geométrica de 3 (para 𝜆 = 3); la segunda corresponde a una multiplicidad geométrica de 2, y la tercera a
una multiplicidad geométrica de 1.
Ejemplo 2. Determine la forma canónica de Jordan de la matriz
𝐴=
6
−4
1
10
Determine la matriz 𝑃 tal que 𝐴 = 𝑃𝐽𝑃−1
Ejemplo 3. Determine una forma canónica de Jordan de la matriz
−3 3 −2
𝐴 = −7 6 −3
1 −1 2
Determine una matriz 𝑃 tal que 𝐴 = 𝑃𝐽𝑃−1
LA MATRIZ 𝒆𝑨
Sea 𝐴 una matriz de orden 𝑛𝑥𝑛 con elementos reales (o complejos). Entonces 𝑒 𝐴 es una matriz de orden 𝑛𝑥𝑛 definida por
∞
2
3
4
𝑘
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝑒𝐴 = 𝐼 + 𝐴 +
+
+
+⋯= ෍
2! 3! 4!
𝑘!
𝑘=0
Observación. No es difícil demostrar que la serie de matrices de esta ecuación converge para toda matriz. Se darán algunas
indicaciones. Primero definimos 𝐴 𝑖 como la suma los valores absolutos de las componentes en la fila 𝑖 de 𝐴. Después se
define la norma de 𝐴 (norma de la máxima suma por filas de 𝐴) denotada por 𝐴 , como
𝐴 = max 𝐴 𝑖
1≤𝑖≤𝑛
Como
𝐴+𝐵 ≤ 𝐴 + 𝐵
Se puede demostrar que
𝐴𝐵 ≤ 𝐴 𝐵
Usando estas dos ultima inecuaciones en la definición de 𝑒 𝐴 se obtiene
𝐴2
𝐴3
𝐴4
𝐴 +
+
+
+⋯=𝑒𝐴
2!
3!
4!
Puesto que 𝐴 es un número real, 𝑒 𝐴 es finito. Esto muestra que la serie converge para cualquier matriz 𝐴.
|𝑒 𝐴 | ≤ 1 +
Teorema: Para cualquier vector constante 𝑐, 𝑥 𝑡 = 𝑒 𝐴𝑡 𝑐 es una solución del sistema 𝑋 ′ = 𝐴𝑋. Más aún, la solución del
sistema diferencial 𝑋 ′ = 𝐴𝑋, dado por 𝑋 𝑡 = 𝑒 𝐴𝑡 𝑋0 satisface 𝑋 0 = 𝑋0 .
Definición: La matriz 𝑒 𝐴𝑡 se denomina la matriz solución principal o matriz exponencial del sistema 𝑋 ′ = 𝐴𝑋.
Ejemplo 4. Calcule 𝑒 𝐴𝑡 , donde la matriz
1
𝐴= 0
0
0 0
2 0 .
0 3
𝑒𝑡
0
0
𝐴𝑡
Respuesta: 𝑒 = 0 𝑒 2𝑡
0 .
0
0
𝑒 3𝑡
Ejemplo 5. Calcule 𝑒 𝐴𝑡 , donde la matriz
𝐴=
𝑎
0
1
.
𝑎
𝑒 𝑎𝑡 𝑡𝑒 𝑎𝑡 .
0
𝑒 𝑎𝑡
Teorema. Sea 𝐽 la forma canónica de Jordan de una matriz 𝐴 y sea 𝐽 = 𝑃−1 𝐴𝑃. Entonces 𝐴 = 𝑃𝐽𝑃−1 y
Respuesta: 𝑒 𝐴𝑡 =
𝑒 𝐴𝑡 = 𝑃𝑒 𝐽𝑡 𝑃−1 .
Ejemplo 6. Calcule 𝑒 𝐴𝑡 , donde la matriz
𝐴=
3 −1
.
−2 2
−𝑒 𝑡 − 2𝑒 4𝑡
−𝑒 𝑡 + 𝑒 4𝑡 .
−2𝑒 𝑡 + 2𝑒 4𝑡 −2𝑒 𝑡 − 𝑒 4𝑡
Ejemplo 7. Calcule 𝑒 𝐴𝑡 , donde la matriz
1
Respuesta: 𝑒 𝐴𝑡 = −
3
𝐴=
Respuesta: 𝑒 𝐴𝑡 = 𝑒 3𝑡
1−𝑡
𝑡
−𝑡
.
1+𝑡
2
1
−1
.
4
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Gracias