Matemáticas III Administración y
Negocios
Matrices y sistemas de
ecuaciones lineales
matriz
cuando
Una
no
que
define
se
referimo
a
como un
una
la dator se ardean en
matriz
n
en
las matrices
general
A B C
,
,
,
la denotación de
se
i
desistan
matriz pertencria
se
jmp
i ésimo
j
anterior
a
con
una
,
gemplo
Sea
si
matriz A
reglos
A
buscamos el elemento
69
=
-
2
,
fila 2
S
-
-
1
43
-
-
a 24
de la
matriz A
8
2
; j y, columna 4
=
69-1-8
-
S
-
43
-
2
entonces acu
=
-2
mayusculas
doble subindi a ij
j éxima columna
=
de data , por
avrigle
encerrado
denotan con las
,
quiere
asglo rectangular,
demento de la matriz A
a
i
es un
o D
los elementos de la
Pos
como un
matriz
m columnas
grandes parentesis rectangulares
por lo
·
expresa
se
n xm
gilas y
Se entunde tambien que la
logineral
de dator ordenador
conjunta
dicir
de orden
En
si As
general,
an
Ar 9, 3
021
9220123
A =
matriz Mxn
una
. . .
⑧
⑧
⑧
⑧
⑧
①
⑧
⑧
⑧
⑧
00
⑧
⑧
Amanzanz
orden de
una
an
cuando
denota
se
nxm ,
In
son la elementos en cualquier lina vertal
Si una
tiene
matriz
naglones y
/luasé
nem
n
matriz
en
especificarse,
donde
en
columnas
que forman
,
cuadrada,
matriz
cuadrada de orden
en una
un
una
reglos
columna
se
dici que su famaño
se
dic que se una
pom)
s
Los matriar pueden pertenen
conjunto de la
numeros
dada una matriz real
conjunto
debe
man
cualquier lima horizontal que forman
Sonla elementos
* en caso de
Dij
=
anm
N
es
sobruntiende su tamaño
se
escribimos A
...
matriz
La
Si el Famaño También se
matriz
El tamano de una
matriz A puede denotarse por aij
A
·
0
.
entonces
,
rales
es
a
se
cualquier conjunto, y si partir
pude
definir lo siguiente
dinota Muxm
(11) o M/nxm i) al
,
de todos las matrices de orden nxm
Maxm(IR)
=
[A (Qij)nxm
=
En particularconjuntode tador
al
a
con
QijER
,
coeficientes riales
i,
i]
la matrices eadrados d en
d
Tipos de Matrices
1) matriz
Ejempla
rectangular
de la
distinta
de orden
-6
-
6
A=
o
-2
-
B69
8
1
o
vector columna
B
=
matriz de orden nx1 Mnx (1R)
es una
-
11x5
2
3
3x1
2
,
1
matriz cuadrada
,
cuando n=m
,
A =
se
12
21
B
S
43
denota Mn(IR)
3
=
63
34
2x2
3x3
hula
Matriz
cadai
,
,
7)
3
,
3) matriz columna
6)
-
3x2
356
-
5)
7
-
2x4
un
matriz reylón, vector (xm
reglos
Mexm(R)
matriz d orden
una
1234
A=
nxm
matiz cuadrado
Mnxm(IR)
2)
,
34
j ,
o
=
donde aij=o , para
matriz dand
dijo
0
00
00
aij EMnxm(R)
edentidad Cuando m
y In=aij
O
O
O
00
00
=
n
,
10
100
010
001
B
=
0
1
C=
2
1x1
Igualdad de damatricis
matrices donde
(aigt Muxm (IR)
Ay B
Deemo
los matrices
que
Ay
M
Bij
&
San
A =
,
.
Bone
en
1 mugamuflaycome am
gran
Gemplo 1
A
Gemplo 2
23
=
B
y
au U
A =
ambos son de anden 2 ,
y
entonces
10
10
son
-
B
A =B
23
=
10
2
=
inabr solo eiaban
,
Si -
a= 2+ 4
6
a=
Suma de matrices
A-(aij) y B (bij) matrice de orden
Sean
en Ir
.
s
agine
de ade nam
,
como
de
suma
Por
una
definida
A+B
(aij) (bij)
nueva
yemplo
+
=
-1
A+ B
-
3
052
-
2
1
la
matriz
colficientes
(A + B)
(ajj bij)
+
-1
=
-
1
-
3
0 5
.
-
2
-
1
-
2
1
=
-
0 5
.
0
330
00
o
-
20
46C
B=
y
00
20
4)C
-
-1
120
A
+
su
con
sean
12 0
=
como
con
respectivo bij resultando
aij
matriz dijt bij
052
Calcule
ty
por
Se suma cada termino
en
nxm
=
-
2
-
1
por escalas
multiplicación
Muxm(IR)
Si A =
(aij) E
Pondurador
y
LEM
.
defin
se
como
L
.
A
=
=
2
.
como
producto por escalar o
(aigi)
(2
.
aij)
Se multiplica el escala por cada termino dentro de la
por
yemplo
sua
la
matriz A
013
=
924
6
Calcule
2 A
2
matriz
-
1
-
013
026
as24
=y
12
-
2
-
EMmxm(1R)
4
y
g
Siaumentan las ventas en 50% entonces Ventas (1 +)
1 SA
,
=
1, 5223476
7490 20
Matriza (1
=
335124
27
6030
1, S A
+0
,
5)
L
=
2
Para los ventar de mayo
,
el valor inicial más los entrados
De
Kistencia
habe
Saldo Inicial
entradat
la
existencia considera
munor los
Saldo Inicial + entrada- salidor
B
30 30 20
Recibor
-Venta
Salida
solidar
+
+
c
-
20 3812
A
223416
183228
104807490 20
exinuncia
283416
Salda final
14908
1) Detumine el tamaño de las matricis
A
oM2xz
M2
=
B = Mex3
C=
M3x1
D=
Mzó M3x3
E = M2x3
F
=
6
=
H
2) Del
anterior ,
yercicio
=bij
si
biz = 3
b21 = -1
,
3) determin la matriz
A
ajj
anan
=
Entonces
,
2x2
Sixij
=
i
,
A=
,
,
=
Mc o Maxz
Mix3
M , 0 Mex
encuentre b12 , b21 , 622 ,
baz
=
2
bas
,
=
3
,
+
j -2 entonces
,
11 -z = 0
An =
Q21 = 2 + 1
921
922
A=
aij
=
baz =
(aij) para la cual aiji j
-
basy baz
-
-z
Q12
=
1 +2
-
Q22 = 2 + 2
2= 1
2= 1
-
2= 2
01
12
4) Determine la
bin
B
=
matriz 3x2 B (bij) para la cual bij
=
bin 2(1) + 3(1)
b12
b2 baz
=
,
b31 b32
Sibig Ci 3j -4 Entonces
=
=
bij
,
b2c = ((2) + 3(1)
b31 = 2(3) + 3(1)
19
entonces B
+
-
=
36
s8
-
=
2i +
3j
-
y
y= 1
bez
y= 3
b2z = ((2) + 3(2)
-
4
=
5b32
=
=
2() + 3(2)
-
2(3) + 3(2)
4= 4
-
y=
-
6
y= 8
eectu las operaciones molicados y simplifique
Parte 11,
1)
2)
324
1
-
z
-
-
23
21
-
y
-
=
2
4
-
-
4
<3
y)
e
0
5)
<12
+
3
-
-
2
-
-
-
-
-
y2
-
-
+
3
34
-
8
-
=
-
7
461
-
31
6324
2
39
=
-
-8
-
1
93
-
21
-12246
0
-362112
-
4
=
103
-
-
y
8
-
20
96
+
1012
-
510
34
-
50
ISS
-
-
5
15 - 65-221
1520
0-25
=
3
-
-
935
330
-
-
12
309
123
10 -5 10
4204
6
=
-
18
1376
-
46
y
0
32
2
-
1221
310
1280
-
3
2
320
-
4
30
-
151
40
-
0
10
70
-
223
456
8)
1
33
321
123
22
2S
3239Y es
47
7)
1
1
13
4
-
6)21
-
-
O s
+
-12
6
28
302-60
3)
-
16
17
=
134-12
S1021
Parte
determin la valous para los cuales las
3,
matriciales
1)
valido
son
X
2)3 -
=
3 = y+ 2
=
3
-
2=
1
=
4
-
1 = z
y
0= +
y
1
-
3
1
= 3
t
=
X= 4
3)X =En e
4= y 1
X= 2 X
4+ 1
y
2x = 2
413
y
X =1
413
-
=
S
=
y
=
S
-
1
y
-
1
2x
34
u2v
6)x34
-
1
17
1t
+
y
-
3
s3
y
7 + uz +
+x
-
532+ 1
1 + 13 + 2
-
-
=
V+
-
33
0 s
-
=
34
223
SW 2
.
-1
333
10S
-
12
=
-
26
5 34
223
3
-
1
X + 1 = 23 + t = 7 3 = V + 1
t= y z= v
X= 1
1
273273
5
1
3= w 2
y+ x
3= w
y+ 1
y
-
55-23
0S
1
26
2 = uz = 23 = V
0S
Sw 23
S
-
s
=
-
0
1
413
5
yS
y
1 + 13+ 43272+
-
=
2 + 12
-
27V+ 1
y 2
27
=
S
12
-
1
=
1
34X
a
3
3 +t
*+ 1
=
Se en
=
2 = z
E= t X= 6
534
=
273
2
6
+
S
1 = z +1
-
-
5)
cuaciones
= I
X= 1
y
siguientes
-
1
1+ u
=
u=
0z +
-
y
=
S
17 + 2 = S
z = 3
=
3
=
3
=
2
Parte IV, problemas aplicado
a) Corto total
+ 1
11
12 iS
10
131012
111376
1
111741113
+
-
111
9167
16910111
171011
8
756
b) Corto total (1
C+ (7 , 2) =
+ 0
,
02
1 2 Ot
.
13, 275, 6 19 , 2
171376
16
, 813 2156
1 , 2747173
976710 879 28 4
=
,
,
17910
Costo total
Ct
,
,
A + B + C
3525/22662483Si
20
=
=
,
,
20 410 8 12
8106
6010375
C+=
282719
a)(t
C
=
=
A + B
01779
01620
17018
+
21148
b)
18020
03339
=
24160
35038
4S
300
y (+ ($us) = 0, 2 (+ ($us) (($4k)
·
0 6 , 6 7, 8
03339
0. 235038
4S
300
=
7 07, 6
960
=
multiplicación de matrices
Sa A
·
(aig) E Maxm(r) y B (bij) E Maxmlr)
=
=
sudefine la multiplicación de AyB
A
dij aijbij
dande
Por
.
jemplo
3)
23
412
B = AB =
10
-
2 3 + 3 2 2 1 + 3 32 07 3 4
de A por la
:
.
.
=
.
.
:
.
.
.
se
nxp
.
344 3 + 1.24 1 + 1 34 0 + 1 4
SiC = A B
, entonces el elemento
al
matriz de aden
para cada i i
-
.
.
712
1479
=
reglón
la
(dij)
12
el i-ésimo
como
,
Gij de la matriz producto se
obtiene multiplicando
jisima columna de B
de la primera matriz
de da matrices cada
jumar el producto
reglón
de la
cada
,
multiplica por
Solo
solo si el número
y
SiA es una
esta
de columnas de
matriz nxm y Bes
definido solo
segunda matriz
alumna
si
una
es
una
tamamo
A I
.
=
I A = A
.
igual al
matriz EXP,
,
numero
de
reglamen
entonces el producto AB
=
matriz de calquier
siempre
es
N P
identidad
multiplicación por la matriz
SiA
A
se
cumple que
cuando
matriz identidad
donde
y In=aij
aijlSi 10
men, ,
no o
B
=
1
O
0
1
dB
matriz encima
resulta de
de
A2
An
=
=
, por
multiplicar una matriz consigo misma
gemplo el recultado
bien A A A A
A A
entonces
puede decir que
,
o
.
A.A A
:
....
=
.
es
.
,
An
multiplicación por matriz nula
calquier matriz de cualquier aden al multiplicare
nula de como resultado la
Sin embargo
,
si
el
=10
A B=
.
0
y
0
00
B
nula
producto de da matrices resulta
nula no masariamente
A
matriz
por la
=
0
Sin
alguna matriz
esa
tantoA como
son
la
en
matriz
la
nula
, por
Bno
matriz nula
embargo el resultado sida la matriz
nula
matriz
gemplo
, parte
Gercicios
multiplicación de matrices
,
1)I.
.
O
3 2+ y 8
S 2+ 6 0
3)
T
10
-
.
.
=
13
.
0 3+ 2 2 +
.
-
.
-
1
.
.
-10 2 + 2 1 + 1 3
.
.
=
-
.
.
2 3 + 1 2 + 0 -1
.
.
.
-2 -2+ + 1 1 + 0 3
.
.
Y
S
-
.
1
-
4S
X
1
12
3
2
456
3
-
1
1 3 + 0 2 + 2 -11 :27 0 1 + 2 3
121
-
231
-
10
.
112
1023-2
-2
6
-
=
.
.
.
3x2
02
.
-
S6
2)
2
1 2 + - 20
-
2 1 + 3 2 +1 3
.
- 1 1 + 2.2 +
=
11
.
.
3 3
-
=
.
.
-
26
y 1 + 5 2+ 6 3
.
.
6
.
Y
4)
2
-
1010
2
2 7 +1 0 + 0 2
132021
40-3
5)
21
.
.1 + 0 0 + 3 2
4
-
-
.
=
.
.
.
.
.
S
-
-
.
2
S 4+ 3 1 + 6 3
3 0 + 3 -176 2
.
.
:
1497641
.
.
.
.
2
3
g
S
-
-
38
.
.
3
-
Y
41
2
2
2
.
.
.
S 2+ 30+ 6 1
.
-32156
1
.
.
s7821
=
Y
.
-
.
Cuts
.
0213
1 2 + 3 1 +2 0
.
020H + 222104
S 1 +3 3 +6 0
.
1 0 + 3 2 +2 7
.
-
.
.
1 +0 0
22 +
-
.
4 0+ 0 2 + 3 1 4 2 + 0 1 + 3 0
-
+ 1374
1
2 0 + 1 2 +0 1
.
.
.
2 14 102421
6)
.
1 1 + 30 + 2 2
=
O
=
.
.
=
-
218
321
23
Y
y
0
0
4 1 + 1 9-2 0
.
=3
.
.
.
4 8f1 1 + 2 0
.
S
.
.
.
22
-
T
1)21
1
022
3
-
1
+
-
320
112
=
211
-
022
-
3
-
260
t
1
3
6
1
=
S
5
2 7 +1 5
.
-
.
.
0 7 + 2 50 -2 + 2 5
.
.
.
.
3 7-1 5
.
.
191
:2 + 1 S
2
3 : 2-1 5
.
=
.
7 + 2 4 + 1 03 8+2 1 + 1 0
833
=
-
.
1010
16-11
A
.
.
Parte 11 ,
multiplique y nabeza
1 1 +2 2
A?
12122743
3
12
1) si A
=
2
.
.
=
3
A2 + 21-31
calcul
.
1 27 2 3
.
.
222 3.
+
s
8
8
13
=
121212-z108 +S
+2
M
412
1216/
100
2) Si A
=
0
2
Calcul A2-SA + 2 I,
1
003
100108
A=
02
02
,
00
3003
1 07 0 2 + 0 0
1 070 1 + 0 3
0 1 + 2 0t1 00 0 + 2 2 + 1 0
0 072 7 + 1 3
0 1 + 0 0+ 3 0
0 0+0 1 + 3 3
1. 1 + 0 0 + 0 0
.
1
=
.
.
.
001
S
009
.
2
00
04s-010st
o
0
02
500
100
=
04
=
.
.
.
100
.
.
.
.
.
100
003
.
.
0 0+ 0 2 +3 0
.
100
.
.
.
.
.
.
.
.
1)005021 +2010
009
.
.
00 is
009
-100
=
0
-
40
00
3) dados A = Y B
2
=
al encuntu (A + Br
3
-
-
-
Y
1
T
-
+33130 t
=
0 3+ 2 0
.
.
-
9
1212
A
=
3434
122
1 2+ 2 4
3. 1 + 4 3
3 2+ 4 4
7 2+ 2 3
1 -1 + 2
-
.
.
.
.
z
AB
=
2
B
-
-
3
2
1
:
.
.
-
1
2 2 + 1.
-
.
-
3
.
2 -1 + 1 2
-
.
-
3
-
z
-
3
-
2
-
3 2 + 2 3 3 -1 + 2.2
.
-
-
.
-
.
-
=
y
22
-
S
=
-
:
I
=
15
-
23 2 + 4 33 7 74 -2
-
15
=
-
34
718
=
.
.
-
710
.
.
.
.
1
-
1 1 +2 3
.
-
Az +
6
7
-
11
O
07
+2
22
710
-
+
-
-
4
6
-
15 22
I
+ B2
2AB
8
12
60
37/
-
-
-
-
S
+
11
10
22
+
7
O
O
7
70
0
.
S
04
b) enauntre A? + 2 AB + B
0 1 + 22
7
/
.
matriz transpuesta
Sea A
(aij) EMaxm(K)
define la matriz transpuesta de A
como la
matriz de aden ma definida por
=
se
:
n
At
esto
(aji)
=
quiere decir cambiar filas por
columnas
Propiedades operaciones
1) acociatividad (A + B) + c
2) comutatividad
=
A + (B + c)
A + B = B +A
3)elemento mutro A +
0
=
A
Clemento emurco A + (-A) 0 donde
5) Distributividad ((A + B) G A + 2 B
6) Distributividad (x + B)A
L A + B A
1) Distributividad A(B + c) AB + AC
8) elemento neutro 1 A A
9) arociatividad (LB)A < (BA)
4)
=
,
=
.
.
=
.
=
.
=
=
10) acociatividad (AB)(
=
11) arociatividad ((AB)
=
A (BC)
(xA)B
=
Propiedades de matriz transpresta
1)(A + )
+
=
A
ABA Tener
Sean A CMmxn
y BEMmxp
,
entonces
(AB)t BAt
=
Sea A e un se dice
·
A es simetrica
·
A es asimetric
que
sing
si
y
solo si A
=
solo si At
A
=
-A
A(XB)
-
-
A
=
(-1) A
-
,
en
simbolo At
matriz escalonada
que una matriz ese en suforma escalonada
Para
debe
siguientes propiedades
1)
salingaces las
cualquier fila nula albe estas la parte infesio de la matriz
la parte
Las
filas que todos elementos
inferia
en
·
son ara
sus
124
142
o
0
0
0
3
2) en cada
van en
2
O
00
0
O
inoriscalonada !
fila nula el primer elemento distento de
ezquierda del primer elemento distinto de
no
,
eno
aro
·
a
este lemento se le denomina pevote ,
de cada pivate anterior
y
escalonada
esta en una columna a la
debajo de N.
cada una debe esta debajo
a
la
izquierda
1203
120
*
O
4
0
-51
gracio ,and cal
A=
0321
matriz esta
en
fama wolorador, y
s
B
=
0
1 -0
0001
y
-
24700
33201
0000-120
0000003
0000000
·
Solo A
000200
c=
00 -500
enando a
para
D=
7
0
-1
04
01
,
D
y
E con escabonador
·
Bro es ecalonada
·
C el
,
cua no
100011
2210
0000
-
escalonada
0000
0000
0 0
=
0012
0004
1
E
O
0201
invetaxcalanada !
porque
prote de la filatra
pivate de la fila do
esta
nula
debajo
fila
esta
la derecha del
la
no
a
matriz escalonada reducida
Para
que una matriz ese en suforma
escalonada relucida debe
siguientes propiedades
satisfacer las
coloflamulaalbetolapagnidelamoen e
a a la
ezquierda
del primer elemento distinto de aro
3) toda la pivotes deben
se
debajo de N.
uno
4) Todos la elementos por encima de cada pero deben es aros
O
escolonado
10
1-5-2 O
Reducida
0100 Te
1
20
0
0
4
2
000001
-
20301
escalonada, pero
No
reducida
0000001
Operaciones elementales sobr filas
Sean A E Maxm
k E IK
definen los siguientes operaciones elementales (OA)
y
se
sobr los
filas de A
:
1) S
Si
evercambio o permutación de
2) Si
kli
remplazo de la fla fi(a) por +0 veces la flafi(a) de la matriz A
3) Si
Sit K
fla V (1) por lafla (j(1) de la matriz A
remplazo de lafila fiAl por
:
la suma de
fila fi CA) mas K vecinda filafa
Ejercicio
,
1)
0
atumine la
3
fora
13
F2
13
2)
0-2
escalonada
#1
7
F3
2
0
04
04
O
1
-
-
1
% F2
03
.
=
2
10
01
I
01
0-2
0-2
Y
00
0
escalonada
O
01
.
10
F1 + 1 F3
01
=
12
O
.
03
01
1
10
Fi-t E2
Fy + 2 F3
.
F3 + 2 F2
escalonada
00
00
102
3)
02
-
1
102
F3
E2
310
310
02
10
102
=
02
4)
=
1
=
F3-2F1
3
213
-
F2-3F1
00
00
F3 =
1
0213
0213
0213
1024
13
-
00-6-19
11
-
1 F2
.
F2 + F3 =
00-6-19
-
010-7
00-6
100 +13
4
=
0
10 -4
%
O
%. 5301
7
-
escalonada
1
Fat3F 01311
0
010
21
310-1
3 -101
01311
-33
0
1029
024
100
.
1024
1
F3-2F2
0-110 E2
F2-6 F1 =
100
F1-253
1029
3
6
02-1
1
1024
F2
1
010
101
021
0
=
-
010
1024
0
-
102
102
escalonada
-
19
F1 153
+
Determinante de
a cada
matriz
El determinante
por
·
yumplo
matriz
una
e
le puede
se
A
asocia
denota
encerrando la
3
2
=
y
3
y
,
matriz entre barras verticales
, su determinante
es
denota
A
S
matriz nxn
una
de aden n
S
.
denominado su determinante
,
entonces
,
El determinante de
2
número ral
un
determinante
a
dic qu es
un
determinante
de aden z
321
24
·
2
Para dendar
determinante
un
Determinante de una
·
Se calcula con el producto
de la
Por
n usa
entre la
diagonal principal
-
a,
be
az
b2
=
en
yemplo
1)2-
-
3
-
2)32 =
el imbolo
(dela)
matriz de orden 2
diagonal Segundaria
t
de aden 3
, determinante
2
=
2S
=
3
.
1 3 4)
-
-
.
=
22
S
e
4
.
4
-
1002)
=
12
muna
el producto
Determinante de una matriz de
Su pude calcular mudiante la
·
dada una matriz ,
=
On
be
G
a2
be
G2
as
by
G3
1) Las da primeras
=
su
filas
On
be
G
az
b2
G2
as
by
G3
On
be
G
az
b2
G2
orden 3
de Sarrus
regla
u calcula
determinante
se
trasladan al
final de la matriz
2) Se multiplica los
diagonales principales ye resia la
multiplicación de las diagonalessegundarios
On
be
Ge
az
b2
G2
-Autaba
Asti-Deu-Q1b36-asbac
as
by
63
+
On
be
G
+
Az
b2
G2
+
-
=
Por
jemplo
+
diagonales principales
-
diagonales segundarios
102
=
0
1
y
230
102
O
14
= 10 052 204
+
+
+
t
+
-
000
-
1 3 4
.
.
-
2 1 2
.
.
=
-
16
determinante
Propiedade del
Suan
Ay
Bala
matrices
cuadrados de adern
,
k es un escalar
y
es us
estio
Positivo
1) diuminante de matriz dentidad : det (In)
2) determinante de matriz transpuesta : det At
=
1
dit A
=
3) determinante de matriz por escolar : det (KA)
4) dturminante de matrizelvadaar : det (A4
K det (1)
(dht(a))
=
5) determinante de mutiplicación de matric : det (1 B)
.
=
=
de A
.
det B
Ejercicios
Parte 1 , calcula los
1)
3 +
2)a
b
-
=
2
=
3
3)ab
=
determinantes
siguientes
3
-
1
37
=
4.
-
7
Q
-2
b
3
a 3
b.
-
.
=
3a + 26
=
albt)-latb)b = ta-=
ac
-
b2
9)214
35
-1
5 0+
4 +1 1 1
=
.
-
.
1 5
-
.
4
07 50 = -21
-
.
100
2
14
35
5)
-
1
234
567
=
2 6 10 + 5 9 4 + 8 3 7
.
.
.
.
.
.
-
8 6 4
.
-
.
2 9 7
.
.
-
S 3 10
.
.
8910
=
=
468
-
468
0
234
567
6)
abc
o
7)
de
00
f
a
b
C
O
d
e
=
---d
adf + +
.
793
8
20
0S4
793
820
=
+ 2 4 + 8 5 3 + 0 9 0
.
.
.
.
.
.
-
0 2 3
.
.
-
7 5 0
.
.
89 4=
.
-
.
=-
176
112
-
288
c
=
adf
Parte II
1)
,
Determine X en cada caso
x3
2
4X3
=
S
9SX
=
6
-
S
2
=
9
SX
=
9+6
SX
=
15
/is
X 3
=
2)
x3
+
=
3
=
2
X
3(X + 3)(X + 1)
=
X +1
X2 + 4x + 3
-
-
2x = 3
X1
2x = 3
*+ 2X + 3 3
-
=
X2
0
=
0 ix+ 2
=
0
=
-2
X2+ 2x 0
=
X(X + 2)
3)
=
0
100
xx 23
-
=
XX + 1X
3
1 x(X
.
-
x + 1 0 + x0
2) + x
3
.
X(X 2)
100
-
X2 X 23
-
X2 2x
-
(X + 1)3
=
3
=
-
X2
X2
-
3x
SX
-
SX
-
-
-
-
3
6
-
.
-
=
-
.
-
1(x + 13
3
3
X 6= 0
3= 0
X1
-
=
j
y +1
6
=
=
0
y)X+12X
XX
=
2
=
1
=
2
(x
+20 + X 1 X + 02
120
.
010
X2
X+ 12X
X2
X-y
x2
=
2
-
-
-
2x
2x
2x
-
-
-
2
2
=
-
-
-
.
X
-
(x+ 1) 1 2 x
3= 0
X= 3
3 =0
=
.
·
.
1
1 =0
(x 3)(X+ 1)
-
.
0
=
Xz -1
0
(X 6)(X + 1)
-
xxx
2) 0
X +1
=
X
=
0
-
1
0
-
X0X
.
=
3
matriz
Mediante Gauss jadan
enversa
Sea A e Mmxn (1R)
A
donde OEi
Primero
·
G
In
con
se
i = 1 2
,
...
v , son
los OEque
,
In
...
la matriz A
Matriz A
Otr
OE
An Ot
contrasta
aden de la
·
inversible , entonces
transforman A
con
At
en su
escalonada reducidas por fila
del mirmes
In EMran
(A (n)
la matriz edentidad
Si A EMaxn
,
entonces
e realizan transformaciones sobr la matriz A que afectan
Segundo
la
matriz Identidad (A(0E) hasta que la matriz A llega la forma
a
a
escalonada reducida
·
tercero
que la matriz
llegue
lugo
de
resultado
la
A
matriz
OE es
* la
principal condición
distinto de eno
,
es
a se
envasa
forma escalonada reducida el
(In A)
que el determinante de la matriz A sa
Si det (A) 70
,
entonces A
es
inversible
Operaciones elementales sobr filas
Sean A E Maxm
k E IK
definen los siguientes operaciones elementales (OA)
y
se
sobr los
filas de A
:
1) S
Si
evercambio o permutación de
2) Si
kli
remplazo de la fla fi(a) por +0 veces la flafi(a) de la matriz A
3) Si
Sit K
fla V (1) por lafla (j(1) de la matriz A
remplazo de lafila fiAl por
:
la suma de
fila fi CA) mas K vecinda filafa
Propiedades de la matrices invisibles
·
Sean A B matrices envecibles de Orden se
,
1)(A 1)
-
2) (kA)
1
A
=
"
3) (AB)
y)(A + ) =
S) (Ar)"
6) det (A -y
1A
=
B A 1
-
=
=
=
=
(A
-
1) +
(a-
r
1
det (A)
,
kun escalar
y
~ un entro
positivo
Ejercicios
I
Parte
,
detumine la
,
matriz
enrna
1)32520 E
sier
paible
En
-
=
3210
-
↓
1101
-
1.
1
=
01"3
-
10
01
-
1
Fu + 1 E 2
-
301
01
3)
-
1
-
10
F1 + zF2 =
01
2
-
-
3
1
-
-
Te
1013
0
4)
1
-
21
-
2
-
-
=
S
-
25 10
S
21
1
-
-
-
1
12
0
-
-
3
12
-
7 1
-
1
20
112001
0
3
-
7 1
001
-
-
20
*
0
F3 + 1 #1
10
I
21
3
-
7 1
-12-2
12 F1-2E2
0
-
-
01
4 12
001-12
O
01
-
-
-
S %
-
Y
101
E2-2 F
.
-
3
7 1
-
-
27
-
-
20
1145
373120324
0
-
30-523/-72 :E E
001
-
4 12
-
- %-5/6
-
0
-
00
100% %
S-1 %
0
.
1100E-2F1
F3F2
-
01
1 F2
-2
0
4 12
32
-
123010
3 0-51231-2
001
112
010
20
11
350
120
-
-
301
-
112001
123010F
F2 + 7F1
-
23010
-
-
T
su
123
-
13
13
=
2
F2
YY
S
2
A
F
-
.F
3
1013
FE
.
123010
-
0
-
1
-
112001
3010
-
3
-
2
I
123123018
-
.
S
1100
=
0
Fetz F
A
1013
1F012
1
A
1
=
=10230
2
S
01 3
-
1
0
F2 + 3F1
701 %
=
% 3/s
2)S =S10 FET
=
1101
A
=
=
% *
%
-22
Ye/
S
1
102
021
=
02700
F
E
021010
21000
1
0210
0 E2
-
210001
210
102
1 +
1100012
10001
=
017070
201700
=
1100012
070 F2-F3
10/*x2-*/
01%
00
100
O
1
Flyys
02/9YY
001 4
-
=
Y
=
FE2
1
000
01
048 % 8o
12
001 4
-
Y
=
-
-
4/94
A =/Y
Y 4
-
700
.
& E3
.
1100012
017070
0-1970
F3-YF,
1
1
EF
017020
00
Fr-1Ez
% % % -Y . E3
Sectimas de
dado
un
limales
cuaciones
!
0 :
linales
de
n
QuX1
+
QueX2
+...
+
an Xm
Q2X
+
022X2
+...
+
Den Xm
+
Ana I
:
sistema
:
anx1
ecuaciones
anm
con
m
encognitar
be
= b2
=
En
=
xm
uando matrices el sistema o se puede escribir como
donde A
es la
,
A=
es
la
B
es
la matiz de terminar constantes
...
A2 Q22
...
matriz encognita
Oen
Olm Onz
...
U : Ax = B ,
:
,
X
=
Anm
con
A
matriz Xo E Mmx
Sectima
colución
·
Sertema
tiene
,
compatible
ya
na
bn
X
se
=
BEMm(IR)
B
se
,
y
dice que es solucion de O si
da cuando tiem alminos una
solución
incompatible
solución
Xm
B=
EMaxm(IR)
AXo
·
:
be
b2
:
X1
On
:.
:
una
matriz de efuentes
X
Que Que
AX = B
unico
o
cuando el
infinito
sistema no
Sistema
·
homogenes
Sea ACMnxm (1)
,
Todo sistema
AyB
·
·
entonces
El cistema 8
donde (d representa
homogeno
Si
.
con
Ax
=
homogemo
matrices
(0))
:
AX
a
la
(0) , sellamo
=
matriz nula de aden
compatible
equivalentes por flas (A-B)
nx
es
ten las mismas
,
entonces
soluciones
BX = (0)
al aplicar
en un
sistema
se
OE por
detien
la
matriz cojientes
filassistema
homogenio
a
un
equivalente original
al
matriz ampliada y metodo de Gaur Jadan
Seat
eMaxm(IR)
el sistema U
:
y
Be Mm(i)
Ax = B
con
,
consideremo
Bo
la
matriz (A B) de aden nx (m
define
asociada al sinima
ampliado
matriz
se
be
021 Q22
Oven be
:...::
Q Que
U
=
An
...
Am Onc
Se obtiene
...
...
Anm
,
entonces
transformaciones
escalonada reducida
la
Llegar
EnX
AX = B
-
ab aplicar
OE
On
22
21
(A B)
como
=
B
(EB )
*
#
a
farma
para
torna del
rango
eMaxm(IR)
Seat
1) El sistema Ax
2) Sa
Ax= B
il si Pla)
BE Mux(IR)
y
B
=
sistema
un
PlaB)
=
tiene solución
iil si Pla)
PA)
si
encognita , entonces el sistema
unica
m
entonces el sistema teine ,
,
Guia
1)
2x
2y
y
-
=
132X
=
32
321
2
-
13
0
-
1
4x
3y
F1
372 =
-
14 = 0
-
-
F2
-
-
Ysy
1
-
13
13
1
+
-
m
-
-
1E2
37
F1
-
3 F2
12
=
=
z
↳ /
12 -
7
1
2342
X
=
y
F
F2
F + 8 F2
106
X= 6
01
y 10
-
8
-
74
10
7 43 % 7 76
7
2 -1g1F210
1-8
-
=
1
74
2342
77
0110
7 7
=
1
-
-2
137
!E %
F2-2F1
8
-
USTe
UX =
-
13
=
2 10
-
0
F2-2F
y-
-
-
=
01
4 F0
y
2342
S
3
X= 1
012
zy
-
137
S74
3) (X +
y
321
2
X= 1
X
701
(2X
B
1
101
-
137
y
=
13-2
=
-1
7
=
1
2
2
Sy
+
F1-1F3
-
13
=
2)
infinitor soluciones
A
3x +
PAB)
=
compatible
m) Cantidad de
=
PAB)
=
compatible si y solo
es
F2
-
-
8
74
-
2 F10 19790 F2
:
la
4) 2(x y)
-
y(1
2
-
y)
-
-
7
-
=
5 (x
=
3xy
25
En
16
7
F
-
2x +
3y
3x
2
-
-
111
01
3
-
-
01
00
F3
-
0
371
00
-1
z
X+
-
-
=
-
2
zz =
9
31
=
S
-
5
-
=
-
125
-
2
12S
-
1
F1
-
-
112
00
y
Z
0
11-8
F3-3E2
-
-
1
F2
in
-
-
1
10
F2-2F1
214
1
32
F3
0
0
.
if
F3-F2
-1
1
00
F3 + IF
-
31
-
125
0
7 13
0
3
0
F3 %8
11 2
2
-
-
-
29
125
-
5
S
-
672
.
3
11 - 8
-125
-
38-3
=
Z
-
S
011 %
3
F2 + 1E
010-1
-
=
-
-
-
0 -77 17
11
F3
1
5
-125
1 13 /
3
0
-1
S
0
23
01
F3 + SF2
-
111
0
7
-
-
-
4
0-147
F2-IF1
111
11X
125
2
-
16
1
1
29 F2 + 3707 13-6
112
4
1
2
-
-
32
1
3
1
=
2y +Sz
125
-
-
=
-
z
-
010
F2 + 3 F1
-1
y
S
-
-
111
y
1
21
01
010-1
3
-
3
X = 1
3x +
2
4
32
-
-
=
zy
1
6)2x y + z
-
y
111
y
42
23 -1
1001
00
=
0
-
1
y
=
1
-
2S
-
-
X
-
=
-
-
X= 2
2
1
214
-
-
011
32
111
=
-
yy
2
.
11
+z
y
-
-
=
z
3x
-
y=
2-2S
-
10
6 F2 =
3x
=
2
-
2-2S
07
5)x + y + z
yy
-
2x
=s
F1 -116-1
=
61
y
61
1
-
Fz
2
-
S
-
11 % F2 1 F
-
001-1
-
F1
Es
-1
23
F1-SF3-12
-S
F1-2F2-10
O
O
2
0
0101
0101
0101
00
O
00
1-1
7) x + 2y + z
2x +
3x +
4
2 S
3
122
11t = 8
36S
-
2y + 27 4t
121
011
00
-
-
-
=
=
-
by + Sz
121
3 = 2
-
Sy + 3z 8t
X+
01-7
121
-
-
122
36S
-
1
32
-
20
-
-
4353 1F1
-
-
11
32
121
20
011
-
=
g
-
-
32
2
O
00
002-22
Fu-IE300000
F1
120
F1
-
1F3
-
21
010-1
1
-
-
10003
2F2
010-1
1
1-71
00
X=3
010-1
y
1
1-71
E
-
t
= -
1
00000
X
3
1
y
C 1
(
z
6=
-
t= 1
-
Sea t = C
y
y
00000
z
=
-
30
-
-
=
7
1
+C
1
1
CO
1
1 +c
t
C= 1
-
1
-
1-71
00
00000
10003
F2-1F3
1-71
Fy- 3 F1
1-71
-
-
1-71
00
32
g
2
-
011
F2-2F1
=
z= 1
43
011
18
1-1
1
O
2
00000
00
-
121
070-1
00
84
-
32
1-71
36S
3
-
y
121
32
-
X
=
z = 16
+
8) al Si a
=
4
2x + + z 42114
y + z=
y
1
111
X +
y+ z 1X + y + z 1
2
ax +
=
=
X
2114
-100
1
-
F1
1
ay + z
F2
-S
211
100S
0
-
11
-
-
2 11
=
1
X
-100
-S
-
2y
F1
F3- F1
211
-1100S
2114
1
1
-
21
0 11
0
1
+z = 1
-
2114
1
100S
6
.
-21
-
-
4
-
F2-2F1
211
100S
6
0 11
F3 + 2F2
F2- F1
-
=
-
0
0
-
100S
6
3 -16 F3
0 11
.
00
X
=
Si y
-
6
3-1
= -
6
jz
1
=
b) Si a
=
4
y + z=
X +
y+ z 1
-1ax +
=
X
-
ay + z
=
-
-
1
Determinie de A
y
X +
y z
X +1
-
+
y
=
1
1
11
-
1
1111
111
111
-
114
111
inversible
-
+
+z = 1
111
no es
1114
+z= 4
1x +
=
-
1 +1 +1
-
(1
-
1 +
1)
=
0
Sistemas de
ecuaciones con
Parametros
también se
conoce como
discutir un sistema de scuaciones
,
concicte en
tener un sistema de
ecuaciones
asociado
a
un
ek
cocenteofuminodependente qutamaalgunen o
de
·
·
resovalo lo primero que
debma hacer es
escalonar la Matriz (solo escalonada, no es
necesario reducirla
Para
el parametro podemo
utilizando
,
Luego
de la
discutir el
rango
matriz y por
ende También de
matriz ampliado
,
una
dependiendo de las valores del parametro
k) Podema sabes tres posibles
que
Supongamos
ecuaciones
cistemas de
Entonces ,
es
,
Determinado
cuando P(1)
compatible
cuando P(1)
=
=
P(AIB) = K
P(AIB)
indeterminado
cuando P(1)
Sestima
=
PlAIB)
Incompatible
cuando P(1)
P(AIB)
consider que es el numero de encognitas pribles
K
Ejercicio
kx
+
y + z
=
4
k114
x
+
y +
z
=
k
117k
2
1
E
F2
111k
111k
114 F2-KEY
01 k1 ky k
01-k1-k 4-k F2
F3
1k2
1
X
111k
K
1
-
111k
0
-
2k 12 k
-
-
-
1
-
k2F3 F10
-
F2 .
-
-
1k2
2 k 12 - k
-
0
01 k 1 ky k2 Fz (1 k)F1
-
-
K
111
-2
20 11 kk
-
-
-
-
-
=
111k
01 k1 k4 k
-
+ kz
y
-
-
-
-
1
12
00
1
-
-
2
k
k
-
k2
10 -k23k
2
2
a) Determine los valons de k para que el Sivina
Sea
encompatibil
K
111
1
00
2
1 kk
-
0
-
1
-
k2
10 -k23k
22
Para que sa
1
-
k2
Incompatible P(a) <PLAIB),
0
=
2
1
-
k2
(1 k)(1 + x)
-
#Si k
=
1 o k =1 ,
entonce
=
0
=
0
el Sistema
1-k = 0
la
,
It=
k
=
-
1
encompatible
b) ¿ como podria
eu
compatible ?
cuando
K# 1
y
K + -1 entonces el Sistema es
compatible
Gercicio
X+ y+ z
=
0
=
0
=
0
kX + 2z
2X
-
y + xz
&
1110
k020
2
1110
1110
7k0 F2-CF1
k020
0 -3
1110
1110
2
-
0
-
k2-k0
F3 + KF1
0
1
0
0
k2 +
k +6
F3-KF1
k
+
k(2 k)
-
3
O
k2
k
6 k
-
-
+ 2k
30
sa
-
compatible
01 1
-
.
-30
6 70
+
que el sistemana
valores 3
Para
k + 270
k+ 2
K * 3 o KF-2 el Sistema es compatible
,
-
compatible k no puede tomar los
y-2
-
k2
k2 + k + 6
k2 + k + 6
.
(k 3)(k 2) =0
cuano
=
-
k +67
-
-
k2-k0
(k 3)(k + 2) 7 0
k+
-
2
-
=013
3
-
0
F2 :
k20
0 -3
a) valous de k para que el Serena
-
E3
7k0
0
2k
-
F2
1110
k020
12 0
0
k-2
-